Текст
К. БЕКУРЦ, К. ВИРТЦ
НЕЙТРОННАЯ
ФИЗИКА
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
И. Л- Чихладзе и А. Д. Климова
Под редакцией
д-ра физ.-мат. наук
Л. А. Микаэляна
и канд. физ.-мат. наук
В. И. Лебедева
АТОМИЗДАТ МОСКВА 1968
УДК 621.039.51
NEUTRON PHYSICS
by
К. H. BECKURTS AND К. WIRTZ
SPRINGER-VERLAG
BERLIN • GOTTINGEN • HEIDELBERG • NEW YORK
1964
К. Бекурц, К. Виртц. Нейтронная физика. М.» Атом-
издат, 1968.
В книге К. Бекурца и К. Виртца систематически и строго
изложены вопросы теоретического и экспериментального
исследования нейтронных полей. Наряду с математическим
рассмотрением проблемы описываются методы эксперимен-
тального определения основных характеристик нейтронных
полей, обсуждаются детали экспериментов.
Книга будет полезна специалистам в области нейтронной
физики. Ее можно также рекомендовать как учебное пособие
для студентов соответствующих специальностей.
Рисунков 291, таблиц 51, библиографий 790.
2-3-7
36-67
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Характер и направленность предлагаемой читателю книги К. Бекурца
и К. Виртца достаточно четко изложены в предисловиях к немецкому и анг-
лийскому изданиям, которые мы воспроизводим с небольшими сокращениями.
В связи с этим ограничимся несколькими замечаниями.
Книга К. Бекурца и К. Виртца — это, насколько нам известно, наи-
более полное учебное пособие, предназначенное для лиц, изучающих теорию
нейтронных полей в неразмножающих средах или занимающихся измере-
ниями этих полей. Ознакомление с этой книгой даст вполне достаточную
подготовку тем, кто собирается непосредственно работать в этой области
или изучать оригинальную литературу. Исключение составляют только
некоторые места, посвященные рассмотрению нестационарных задач (гл. 9,
10 и 18), т. е. области, в которой в настоящее время происходит бурное
развитие. В этом и ряде других случаев мы добавили ссылки на литературу,
вышедшую в последнее время.
Теоретические вопросы изложены гораздо более полно и строго, чем
в ряде других пособий, хорошо известных в Советском Союзе.
И только лицам, специализирующимся в области теории, следует обра-
титься к более подробной литературе, например к фундаментальной моно-
графии Вейнберга и Вигнера «Физическая теория ядерных реакторов» (М.,
Изд-во иностр, лит., 1961). Следует, однако, отметить, что, заслуженно
уделяя довольно много места рассмотрению различных аналитических при-
ближений и четко выясняя их физический смысл, авторы в то же время
недостаточно подчеркивают роль метода, широко и прочно вошедшего в совре-
менную практику,— прямого расчета нейтронных полей с помощью вычисли-
тельной техники.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРОВ К ПЕРВОМУ (1958)
И ВТОРОМУ (1964) ИЗДАНИЯМ
Основой этой книги является курс лекций, которые начиная с 1951 года
читались К. Виртцем в Геттингенском университете. Цель лекций состояла
в том, чтобы познакомить студентов с методами экспериментальной физики
для последующей работы в нейтронно-физических лабораториях, в которых
проводились эксперименты по измерению потока нейтронов, диффузионной
длины, возраста, эффективной температуры нейтронов, сечений поглоще-
ния и других ядерно-физических параметров. Более того, они могли служить
в качестве подготовительного курса для прослушивания лекций по физике
ядерных реакторов. В немецком издании книги первоначальный характер
лекций был сохранен. Предполагалось, что она будет полезна не только
студентам, но и всем работающим в области экспериментальной нейтронной
физики.
Ввиду быстрого развития нейтронной физики за последние несколько
лет объем книги во втором издании пришлось значительно увеличить.
Оказалось необходимым переписать все главы и дополнительно ввести
шесть новых. Рассматриваемый предмет теперь разбит на четыре части.
Часть I посвящена краткому описанию основ экспериментальных методов
ядерной физики, наиболее важных для нейтронной физики. В первых
двух главах собственно ядерная физика излагается кратко, в объеме,
необходимом для понимания последующих глав. Часть II касается теории
нейтронных полей; специальные методы измерения в нейтронных полях
излагаются в частях III и IV. Приложение содержит данные по сечениям,
резонансным интегралам и т. п. Содержащиеся в первом издании замечания
по защите от излучения при экспериментировании с источниками нейтронов
опущены, поскольку за прошедшее время были изданы хорошие руковод-
ства по данному предмету.
Новое издание книги почти целиком было написано К. Г. Бекурцем.
Авторы благодарны В. Пёнитцу за подбор многочисленных данных и таблиц,
за просмотр иллюстраций и проверку материалов рукописи. Существенную
помощь в пересмотре и исправлении некоторых глав оказали В. Глезер,
Дж. Каллилц, Е. Кифхабер, М. Кюхле и В. Рейхардт. Профессор Г. Гольд-
штейн (Колумбийский университет) взял на себя труд проверить некоторые
утверждения и внес ряд полезных замечаний. Особенно авторы благодарны
Л. Дреснеру (Окриджская национальная лаборатория) за перевод рукописи
на английский язык.
Авторы
Часть I
ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ И ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
Глава 1
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕЙТРОНА
1.1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В 1930 г. Боте и Бекер обнаружили искусственную у-радиоактивность.
Они подвергли облучению а-частицами полония литий, бериллий, бор и дру-
гие легкие элементы и с помощью счетчика наблюдали у-лучи, энергия
которых, определенная по поглощению в свинце, соответствовала приблизи-
тельно энергии естественной у-активности. у-Лучи, возникающие при облу-
чении лития, были приписаны возбуждению ядра при неупругом рассеянии
а-частиц; в случае бора предполагалось, что остаточное ядро С13 при реак-
ции В10 (а, р) С13 возникает в возбужденном состоянии. Как оказалось
в дальнейшем, оба предположения были сделаны правильно. Для бериллия,
где возникало наиболее проникающее у-излучение, Боте и Бекер полагали,
что возбуждение ядра происходит в результате захвата сх-частицы.
Реакция Be + а впоследствии была детально изучена Жолио и Кюри.
Используя ионизационную камеру, они нашли, что кроме у-лучей, обнару-
женных Боте, имеется проникающая радиация, которая могла выбивать
протоны с энергией около 5 Мэв из водородсодержащих веществ. Если пред-
положить, что это проникающее излучение — у-лучи, то появление в резуль-
тате взаимодействия (комптон-эффект) частицы большой массы (протона)
с относительно высокой энергией заставляло приписать этим у-лучам неве-
роятно большую энергию.
На основании вышеизложенного и некоторых других наблюдений
Чадвик в 1932 г. предположил, что помимо у-излучения, обнаруженного
Боте, испускается неизвестная до того времени нейтральная частица с малой
массой, равной примерно массе протона. Чадвик назвал эту частицу ней-
троном (символ п) и написал реакцию, в результате которой она возникает
при облучении бериллия а-частицами:
Бе9 + а —> С12 п,
или, как часто пишут:
Be9 (а, п) С12.
Поскольку свободные нейтроны не были ранее обнаружены, естественно
было предположить, что они как свободные частицы неустойчивы. С другой
стороны, открытие нейтрона дало возможность объяснить многие вопросы
строения ядра. В частности, в 1932 г. Гейзенберг (Heisenberg, 1932) пред-
положил, что атомные ядра содержат только протоны и нейтроны. Таким
образом старые представления, согласно которым ядра состоят из протонов
и электронов, были отвергнуты. Сделанное предположение о стабильности
нейтрона внутри ядра выдержало испытание временем и считается справедли-
вым до сегодняшнего дня.
1.2. СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ НЕЙТРОНОВ
На основании рассмотрения баланса кинетической энергии протонов
отдачи, выбиваемых нейтронами, Чадвик сделал вывод, что масса нейтрона
приблизительно равна массе протона. Как впервые показали Чадвик и Гольд-
5
габер (Chadwick, Goldhaber, 1935), точное определение массы нейтрона может
быть произведено только с учетом энергии связи дейтрона: масса дейтрона
md равна сумме масс нейтрона и протона тп + тр, уменьшенной на вели-
чину дефекта массы, соответствующую энергии связи Ed. Таким образом,
= md — тр + Ed/c2.
Величина Ed может быть найдена или с помощью измерения энергии у-лучей
при захвате нейтрона протоном (Ed = 2,225 ± 0,003 Мэе) (Chupp et al.,
1961), или из пороговой энергии фотораспада дейтрона (Ed = 2,227 ±
± 0,003 Мэв) (Noyes et al., 1954). Зная энергию Ed и величины md и тр,
нетрудно вычислить массу нейтрона тп. Табл. 1.2.1 содержит значения масс,
а также другие величины, характеризующие свойства нейтронов и некоторых
легких частиц.
Таблица 1.2.1
Свойства легких частиц
Частица Масса, 10' 24 г Масса, а. е. м. а Заряд Спин Магнитный момент
Нейтрон 1,674663 1,008665 <10-!8с 1 2 —1,913148 NM 6
Протон 1,672357 1,007276 е 1 2 2,79276 NM
Атом водорода Дейтрон 1,673268 3,343057 1,007825 2,013554 е 1 0,857407 NM
Электрон 9,1081-10"4 5,4859-10~4 —е 1 ~Т 1,0011596 М
а 1 а. е. м. равна 1/12 массы атома С12, составляющей 1,660277-10-24 г. Согласно соотноше-
нию Е = тс2, 1 а. е. м. соответствует энергия 931,441 Мэв.
6 1 NM = -—— = 0,505038-10-23 дрг/гс\ 1 М = — = 0,927249 • 10~20 эрг/гс.
2тгс 2т с
р к
Таким образом, нейтрон на 0,840-10“3 а.е.м. тяжелее атома водорода.
По этой причине нейтрон может распасться на протон и электрон с макси-
мальной энергией 0,840-0,9314 Мэв = 782 кэв. Такой [3-распад свободного
нейтрона впервые наблюдался Снеллом в 1948 г. (Snell, 1950). Максимальное
значение энергии, определенное Робсоном (Robson, 1951) и равное 782 +
± 13 кэв, находится в хорошем согласии с величиной, вычисленной на осно-
вании разности масс. Согласно Спиваку и др. (Spivak et al., 1958), период
полураспада этого процесса равен 11,7 + 0,3 мин. Таким образом, по срав-
нению с процессами, с которыми мы будем иметь дело в последующем, ней-
трон является долгоживущим и может рассматриваться как устойчивая
частица.
Спин нейтрона равен х/2. Действительно, поскольку дейтрон не имеет
орбитального углового момента, а его спин равен 1, в то время как спин
протона равен 1/2, то нейтрон должен иметь спин либо V2, либо 3/2. Величину
3/2 можно достоверно отбросить, что следует из результатов различных экспе-
риментов, в частности из рассмотрения энергетической зависимости сечения
рассеяния нейтрон — протон.
То, что нейтрон обладает магнитным моментом, впервые было доказано
Альварецем и Блохом в 1940 г. (Alvarez, Bloch, 1940). Более точное значение,
приведенное в таблице, было определено Коэном, Корнгольдом и Рамзеем
(Cohen et al., 1956) с помощью усовершенствованного метода Раби. Благодаря
этому магнитному моменту нейтрон может испытывать магнитное взаимодей-
ствие с атомами ферромагнитного вещества *. Так называемое «магнитное
рассеяние» нейтронов — явление, существенное для исследования свойств
* Взаимодействие с магнитными моментами атомных ядер пренебрежимо мало.
6
твердого тела, а также для получения поляризованных нейтронов,— не будет
рассматриваться в данной книге.
Были поставлены различные эксперименты по измерению электриче-
ского заряда нейтрона. Шапиро и Естулин (1956) пытались отклонить ней-
троны в сильном электрическом поле, но не обнаружили никакого эффекта
в пределах точности своей аппаратуры (10-12 е). Ферми и Маршалл (Fermi,
Marshall, 1947) в опытах по рассеянию нейтронов на ксеноне получили верх-
нюю границу заряда равной 10~18 е.
1.3. ОСНОВЫ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ С НЕЙТРОНАМИ
При столкновении с атомными ядрами нейтроны в зависимости от энер-
гии могут вступать в различные ядерные реакции. В общем делается различие
между процессами рассеяния, при которых нейтрон испытывает упругое
или неупругое столкновение с ядром, и процессами поглощения, при кото-
рых поглощение нейтрона сопровождается вторичным излучением. Для
количественной характеристики нейтронных реакций используется понятие
сечения взаимодействия.
1.3.1. Сечение, средняя длина свободного пробега
Предположим, что коллимированный ток нейтронов J (J — число ней-
тронов, пересекающих за 1 сек 1 см2 поверхности, расположенной перпен-
дикулярно пучку) падает на вещество, содержащее N идентичных атомных
ядер в 1 см3. Число «событий» (число актов рассеяния или поглощения)
за 1 сек в 1 см3 равно
^ = JNg. (1.3.1)
Предполагается, что ток пронизывает образец практически без ослабления.
Коэффициент пропорциональности о называется сечением взаимодействия.
Согласно формуле (1.З.1.), величина о имеет размерность [см2]. В качестве
меры сечения используется единица, называемая барном:
1 барн =10~24 см2. (1.3.2)
Сечения рассеяния и поглощения (crs и аа соответственно) обычно отли-
чаются друг от друга; каждое из этих сечений состоит из парциальных сече-
ний, таких, как упругое и неупругое рассеяние, радиационный захват,
деление и т. д. (см. разд. 1.3.2). Сумма парциальных сечений называется
полным сечением; таким образом,
04 = <Ts + <Ta- (1.3.3)
Часто используется величина
a7V = 2, (1.3.4)
называемая макроскопическим сечением. Ее можно рассматривать как
вероятность того, что нейтрон испытает акт рассеяния или будет поглощен
на отрезке длиной 1 см. Физический смысл величины S будет выяснен более
четко позднее.
Число атомов в 1 см3 вещества вычисляется из соотношения
у плотность
атомный вес
X число Авогадро.
(1.3.5)
Для графита с плотностью 1,6 г!см3 можно найти, например,
1 6
N — 6,025-1023 атом/см3 = 8,03-1022 атом/см3. (1.3.6)
Если рассеивающее или поглощающее вещество содержит молекулы с раз-
личными сечениями, справедливо следующее соотношение:
(1.3.7)
7
где
ЛГ ПЛОТНОСТЬ ч Л /л о Ох
Ато1 =----------------X число Авогадро (1.3.8)
молекулярный вес г ' 7
есть число молекул в 1 см3, а щ — число атомов в молекуле i-го типа с сече-
нием О/. Сечение, таким образом, аддитивно. Однако далее мы увидим, что
имеются исключения из этого правила. Продолжим теперь рассмотрение,
которое приведет нас к понятию средней длины свободного пробега. Вероят-
ность того, что произойдет столкновение с атомом вещества, пропорцио-
нальна длине пути Да; в веществе и равна S Да;. Соответственно вероятность
того, что нейтрон пройдет путь Да; без столкновения, равна 1 — 2Да;.
Вероятность пройти расстояние пДа; = х без столкновения равна
(1 — 2 Дх)п = (1 — 2 = (1 — 2 (1.3.9)
При Да;0, когда х остается постоянным (так что п->оо), вероятность
становится равной
Sx -
lim(l — 2Дх)*Дж = е-2ж. (1.3.10)
Дх->0
Таким образом, доля е—2х падающих нейтронов проходит расстояние х без
столкновения, или, другими словами, величина е~2х равна вероятности
того, что нейтрон пройдет расстояние х без столкновения. Вероятность того,
что нейтрон испытает столкновение с атомом на длине dx после прохождения
расстояния х равна Sda;e~2x. Вероятность того, что нейтрон испытает
столкновение по прохождению пути произвольной длины, равна, очевидно,
^е-2ж2(7х=1. (1.3.11)
о
Однако нас интересует не сам факт столкновения на любом интервале, а ско-
рее величина средней длины того пути, который нейтрон проходит без столк-
новения. Используя обычный метод вычисления средних величин, получим
следующее выражение для средней длины свободного пробега до столкнове-
ния:
оо
J xe~^xZdx оо
Л = ----------= ^а:е-2х2& = ^-. (1.3.12)
£e~^xZdx о
о
Таким образом, средняя длина свободного пробега равна обратной величине
макроскопического сечения, т. е.
1 = 1-^. (1.3.13)
Следует различать среднюю длину пробега до рассеяния
^=4 = ^
п до поглощения
(,-ЗЛ5>
Таким образом, величина полного макроскопического сечения равна
* S (1.3.16)
Л Ag Лд
8
Если нейтрон движется с постоянной скоростью у, среднее время между
двумя столкновениями равно
Л
т = —
v
Число столкновений за секунду равно соответственно
1 V v
7 = Т = у2-
(1.3.17)
(1.3.18а)
Если плотность нейтронов со скоростью к равна п, то число событий гр в 1 см3
за 1 сек определяется соотношением
<P = Y = «pS. (1.3.186)
1.3.2. Классификация нейтронных реакций
В целях дальнейшего рассмотрения разобьем все нейтроны на три группы
в соответствии с их кинетическими энергиями *
Е^±-ти\ (1.3.19)
а именно на медленные нейтроны (Е <; 1000 эв), нейтроны промежуточной
энергии (1 < Е < 500 кэв) и быстрые нейтроны (0,5 < Е < 20 Мэв), Ней-
троны с энергиями, превышающими 20 Мэв, в ядерных реакторах практически
отсутствуют. Далее атомные ядра можно классифицировать как легкие
(Я < 25), средние (25 <Я < 80) и тяжелые (А > 80).
Встречаются два типа реакций.
Реакции с образованием промежуточного ядра. Падающий нейтрон погло-
щается ядром мишени, при этом образуется относительно долгоживущее
(>10-17 сек) составное ядро, энергия возбуждения которого равняется
сумме кинетической энергии и энергии связи поглощенного нейтрона **
(7—10 Мэв для средних ядер и 6—7 Мэв для тяжелых ядер). Распад состав-
ного ядра может произойти различными путями. Во-первых, может быть
испущен нейтрон с той же энергией, что и поглощенный. Такой процесс
называется упругим рассеянием через составное ядро или иногда резонансным
рассеянием. Последний термин следует использовать в области энергий,
где сечение имеет резонансный характер. В системе центра масс нейтрон —
ядро-мишень энергия нейтрона не изменяется. Процесс, таким образом,
представляет собой упругое столкновение.
Энергия возбуждения составного ядра может быть реализована путем
излучения одного или нескольких у-квантов. Такое явление называется
радиационным захватом или (п, у)-реакцией. Остающееся ядро часто
неустойчиво по отношению к Р-распаду.
При достаточно больших энергиях возбуждения составное ядро может
испустить заряженные частицы или два нейтрона [(п, а)-, (п, р)-, (п, пр)-
и (п, 2п)-реакции]. Возможно также испускание нейтрона, кинетическая
энергия которого меньше энергии падающего нейтрона; в этом случае оста-
точное ядро будет находиться в возбужденном состоянии и испустит впослед-
ствии у-квант (неупругое столкновение). Наконец, может иметь место деле-
ние в случае наиболее тяжелых ядер.
Прямые реакции, Ядерные реакции могут осуществляться непосред-
ственно без образования промежуточного ядра. Для рассматриваемой обла-
* Если Е = [эв], a v = [м/сек], то Е ~ 5,21 *10~9 р2, a v = 1,38«IO4 Д/Е.
** Имеется в виду сумма энергий в системе центра масс нейтрон — ядро-мишень;
для тяжелых ядер различие между соответствующими величинами в лабораторной систе-
ме и в системе центра масс не существенно.
9
сти энергий нейтронов наиболее важной прямой реакцией является упругое
рассеяние, т. е. упругое рассеяние без образования промежуточного ядра.
Прямое упругое рассеяние часто отождествляется с потенциальным рас-
сеянием, т. е. с отклонением падающего нейтрона ядерным потенциалом,
Рис. 1.3.1. Полное сечение кислорода как функция энергии
нейтронов.
действительная часть которого описывает усредненное взаимодействие со
всеми нуклонами ядра.
Это отождествление некорректно, если падающий нейтрон поглощается с образо-
ванием связанного состояния. Такое поглощение может быть объяснено мнимым потен-
циалом. Следовательно, ядерный потенциал оказывается комплексным; прямое упругое
Рис. 1.3.2. Полное сечение марганца как функция
энергии нейтронов.
рассеяние должно рассматри-
ваться как потенциальное рас-
сеяние комплексным потенциа-
лом, но не только его действи-
тельной частью. Подробное
обсуждение этого вопроса мож-
но найти в статьях по оптиче-
ской модели, приведенных в
п. 1.3.5.
В то время как упру-
гое рассеяние может иметь
место всегда, образование
составного ядра является
резонансной реакцией, т. е.
составное ядро может быть
образовано, если сумма
энергий связи и кинетиче-
ской энергии падающего
нейтрона соответствует ка-
кому-либо возбужденному
состоянию составного ядра.
Сечение взаимодействия
нейтронов с атомными яд-
рами по этой причине со-
стоит из двух компонент: медленно меняющейся, связанной с упругим рас-
сеянием, и резонансной с острыми максимумами, отвечающими определенным
уровням составного ядра. Если резонансы лежат близко, сечение обра-
зования составного ядра может иметь непрерывную зависимость от энергии.
На основе этих простых характеристик можно сделать несколько важ-
ных выводов, касающихся энергетической зависимости полного сечения.
10
На рис. 1.3.1—1.3.3 показаны полные сечения для кислорода, марганца
и индия в зависимости от энергии. Так, легкое ядро кислорода имеет
несколько далеко отстоящих
уровней возбуждения; по
этой причине его сечение
имеет только несколько дале-
ко отстоящих резонансов в
области энергий выше 0,5 Мэе.
Преимущественным типом
реакций в области малых и
промежуточных энергий яв-
ляется потенциальное рас-
сеяние. Сечение потенциаль-
ного рассеяния примерно в
4 раза больше геометриче-
ского сечения (которое всегда
равно нескольким барнам).
Почти все легкие ядра имеют
аналогичную зависимость *.
Марганец имеет четко разде-
ленные резонансы, отстоящие
друг от друга в среднем на
интервал, равный нескольким
килоэлектронвольтам во всей
области энергий вплоть до
самых высоких. Энергетиче-
скую зависимость сечения
вблизи резонанса можно опи-
сать формулой Брейта — Виг-
нера (см. п. 1.3.4). Наоборот,
Рис. 1.3.3. Полное сечение индия как функция
энергии нейтронов.
для индия резонансы весьма
близки друг к другу. При энергиях нейтронов порядка нескольких кило-
электронвольт резонансы уже значительно перекрываются и зависимость
сечения от энергии становится по существу непрерывной.
1.3.3. Составное ядро
В соответствии с конечным временем жизни т возбужденное состояние
промежуточного ядра характеризуется шириной по энергии
Г = у, (1.3.20)
где Г/Ь = 1/т — вероятность того, что возбужденное состояние распадется
в течение 1 сек. Она равна сумме вероятностей для различных «каналов рас-
пада», таких, как у-излучение, излучение вторичного нейтрона, излучение
заряженной частицы и т. д. Таким образом, полная ширина Г является суммой
парциальных ширин'.
Г^Г7Ч-Гп + Га+... . (1.3.21)
Следовательно, отношение Г7/Г есть вероятность распада составного ядра
путем испускания у-кванта, Г7? /Г — вероятность распада с излучением
нейтрона и т. д. Параметр Г7 называется радиационной шириной, Гп — ней-
тронной шириной и т. д. В общем величины изменяются от резонанса
к резонансу, а также в зависимости от индивидуальных свойств ядра. Тем не
менее имеются и некоторые общие характеристики.
* Важным исключением из этого правила являются В10, Li6 и Не3, для которых
имеют место экзотермические (я, ос)- и (п, р)-реакции (см. п. 1.4.1).
11
Радиационная ширина Г7 данного ядра меняется слабо от резонанса
к резонансу. Из экспериментов найдено, что Г7 0,2 эв для средних ядер,
в то время как для тяжелых ядер Г7 0,03 эв.
Нейтронная ширина имеет сложную зависимость. Для фиксированного
ядра она существенно меняется от резонанса к резонансу; однако в среднем
она явно возрастает с увеличением энергии нейтронов. Для легких ядер
величина Гп составляет несколько килоэлектронвольт, для средних
ядер она исчисляется электронвольтами и падает до тысячных долей элек-
тронвольта для тяжелых. Большинство резонансов медленных и промежуточ-
ных нейтронов — так называемые резонансы s-волны, т. е. поглощенный
нейтрон не сообщает орбитального углового момента составному ядру.
В этом случае может быть введена приведенная нейтронная ширина для
каждого уровня с помощью соотношения
Гп^ГпоУЕ (£, эв). (1.3.22)
Ширины Гпо, вычисленные для нескольких резонансов одного и того же
ядра, распределены по определенному статистическому закону (так называе-
мое распределение Портера — Томаса) вокруг среднего значения Гпо, кото-
рое является характеристикой данного ядра. Приведенные ширины могут
быть определены также для /?-, d- и других резонансных волн, но соответст-
вующие выражения более сложны. Для тяжелых ядер и нейтронов низких
энергий Г7 > Гп, т. е. резонансный захват существенно превалирует над
резонансным рассеянием. С увеличением энергии нейтронов относительный
вклад процесса рассеяния увеличивается. Для легких ядер, наоборот,
Гл > Г7, т. е. резонансы — преимущественно резонансы рассеяния.
Гп и Г7 выделяются среди парциальных ширин, поскольку резонансное
рассеяние и радиационный захват возможны для всех составных ядер, обра-
зованных нейтронами, в то время как реакция (п, 2п), а также неупругое рас-
сеяние и в большинстве случаев реакции (тг, р) и (п, а) имеют место только
выше определенной пороговой энергии падающего нейтрона. Парциальные
ширины Га> Гр и т. д. равны нулю ниже пороговой энергии, а выше имеют
зависимость, подобную соответствующей зависимости для нейтронной
ширины, т. е. они статистически флуктуируют от уровня к уровню и в сред-
нем возрастают по величине. Из-за кулоновских сил парциальные ширины
испускания заряженных частиц уменьшаются с увеличением массового
числа. Как правило, при высоких энергиях нейтронов парциальные ширины
неупругого рассеяния, а также реакции (тг, 2п) являются преобладающими,
так как с увеличением энергии возрастает число возбужденных состояний
остаточного ядра, доступных для неупругих процессов. Некоторые наиболее
тяжелые ядра (особенно важными из которых являются U233, U235, Ри239,
Ри241) могут испытать деление на медленных нейтронах. Следовательно,
их ширина деления Гу отлична от нуля. Гу имеет статистический характер
и флуктуирует от уровня к уровню. Для U235 Гу 50 мэв (Г7 = 36 мэв
и Гпо = 0,01 мэв); для Ри239 Гу 130 мэв, (Г7 = 39 мэв и Гпо = 0,38 мэв).
1.3.4. Формула Брейта — Вигнера
Вблизи одиночного, изолированного резонанса изменение сечения
реакции (п, у) может быть описано с помощью формулы Брейта — Вигнера.
Если ограничиться s-резонансами ядра с нулевым спином*, то применима
следующая формула вблизи резонансной энергии ER.
, v (Е) = лX2 £^2 _1_ (f/2)2 ’ (1.3.23)
* Общий случай отличного от нуля спина описан в п. 4.1.2.
12
где приведенная длина волны де Бройля для нейтрона * определяется
соотношением
(1.3.24)
Сечение имеет максимум при Е = ER, равный
(1.3.25)
При Е = Er ± Г/2 сечение пп,7 равно приблизительно половине своего
максимального значения. Таким образом, параметр Г имеет смысл полуши-
рины резонанса. В качестве типично-
го примера на рис. 1.3.4 показано
сечение родия для очень медленных
нейтронов. Четко выделяется резо-
нанс при энергии 1,23 эв. Кривая
была вычислена с помощью формулы
Брейта — Вигнера. При очень низ-
ких энергиях сечение увеличивается
пропорционально i/У Е. Этот изве-
стный закон i/v для сечения захвата
может быть получен при помощи
формулы Брейта — Вигнера. Дей-
ствительно, при Е -> 0, согласно
уравнению (1.3.23) (ER > Г),
оп>7(£)^л/.2АА . (1.3.26а)
Из этого соотношения следует при
использовании формулы (1.3.22), что
оп,7(£) = я^^/А =
ГП0Г7 1 Рис. 1-3.4. Экспериментальная и расчетная
— ^R —р• (1.3.266) (приближение Брейта—Вигнера) зависн-
ув у Е мости полного сечения родия от энергии
Закон 1/в имеет следующий физиче- нейтронов,
ский смысл: даже нейтроны с энер-
гией Е 0 могут быть захвачены с образованием составного состояния.
Если условия резонанса не выполнены точно, резонансный множитель
ГугГу
(А' —^й)2+(Г/2)2
в формуле (1.3.23) мал. Однако, поскольку лк2 неограниченно возрастает
при Е -> 0, сечение захвата как произведения этих двух сомножителей
становится достаточно большим. Закон i/v можно интуитивно объяснить,
если предположить, что вероятность захвата нейтрона пропорциональна
времени его пребывания вблизи ядра. Закон i/v для сечения захвата медлен-
ных нейтронов выполняется почти для всех атомных ядер **. Во многих слу-
чаях можно вычислить часть сечения, соответствующую закону i/v, на
основании известных параметров наблюдаемых резонансов. Часто, однако,
* Имеет место следующее соотношение между длиной волны де Бройля X (см)
>и энергией нейтрона Е (эв):
. 2,86-10“9 8,17-10-18
** Единственными исключениями из этого правила являются ядра, резонансы
^которых расположены в непосредственной близости к Е ~ 0.
13
следует учитывать так называемые резонансы отрицательных энергий,
т. е. возбужденные состояния составного ядра, энергия которых меньше
Рис. 1.3.5. Полное сечение
железа как функция энергии
нейтронов.
циального рассеяния, то
энергии связи последнего нейтрона.
Формула Брейта — Вигнера для других
реакций имеет вид, аналогичный соотношению
(1.3.23) с заменой параметра Г7 на соответ-
ствующую парциальную ширину. Простая
формула Брейта — Вигнера, однако, недоста-
точно точно описывает поведение сечения деле-
ния. В этом случае следует пользоваться форму-
лой для многих уровней, которая учитывает
взаимное влияние различных резонансов.
Формула Брейта — Вигнера в применении
к процессу упругого рассеяния имеет сложный
вид вследствие интерференции потенциального
и резонансного рассеяния. Если записать сече-
ние потенциального рассеяния (которое являет-
ся преимущественным на больших расстояниях
от резонансов) в виде
п^-4ла2, (1.3.27)
где а — эффективный радиус ядра для потен-
вблизи резонанса в области малых энергий
имеет место соотношение
gs{E) лХ2|2 % + ^Е_Е^ + 1Г/2
(1.3.28)
Согласно равенству (1.3.28), при рассеянии должны складываться амплитуды,
а не интенсивности рассеянных волн. Из этого же равенства получаем
<rs(£’) = лХ2^—-+ ^г/2)2 + 4лаа + 4лкГпа £д)2 + (Г/2)2 • (1-3.29)
Первое слагаемое описывает чисто резонансное рассеяние и тождественно
совпадает с соотношением (1.3.23). Второе слагаемое соответствует потенци-
альному рассеянию; при | Е — ER | > Г сечение os . стремится к 4тш2 —
= 0pot- Третье слагаемое характеризует интерференцию процессов потен-
циального и резонансного рассеяния. При Е < ER оно отрицательно, т. е.
сечение рассеяния уменьшается вследствие интерференции. Процессы потен-
циального и резонансного рассеяния могут даже фактически погасить друг
друга; на рис. 1.3.5 показан такой случай для железа при резонансе 29 кэв.
1.3.5. Сечения в непрерывной области
Ход сечения с обособленными резонансными пиками трансформируется
в монотонную кривую при высокой энергии для средних ядер и уже при
средней энергии — для тяжелых ядер. Во многих случаях это обусловлено
тем фактом, что при высоких энергиях разрешающая способность нейтрон-
ных спектрометров, используемых при измерениях сечения, недостаточна
для разделения индивидуальных резонансов.
На рис. 1.3.6 показано среднее сечение в зависимости от энергии и мас-
сового числа для многих средних и тяжелых ядер. На нем отчетливо видно
непрерывное уменьшение сечения при увеличении энергии и возрастание
сечения при увеличении массового числа*. Далее в ходе сечения проявляется
структура гигантского резонанса, точнее наблюдается имеющий резонанс-
ный вид максимум сечения (в зависимости от Е при фиксированном Лив зави-
симости от А при фиксированном Е). Оптическая модель, развитая Фешбахом,
* На рисунке нанесены значения щ/лТ?2, где R определяется соотношением (1.3.31).
14
Тис. 1.3.6. Полные сечения элементов как функции их атомных весов и энергии нейтронов (Feshbach, 1960; Porter, Weisskopf, 1954).
Портером и Вайскопфом (Feshbach et al., 1954), дает объяснение такой зави-
симости; мы не будем здесь, однако, рассматриватьэтотвопросболееподробно.
При очень высоких энергиях полное сечение стремится к удвоенному
геометрическому сечению. В этом случае
^(£)^2л(7? + Х)2, (1.3.30)
где R —«геометрический» радиус ядра, вычисленный из соотношения
Я = 7?041/з, 7?о^1,4.1О-13 см. (1.3.31)
Полное сечение Of, определяемое уравнением (1.3.30), состоит из двух
сравнимых по величине компонент: о5 — прямого упругого рассеяния
Медленные нейтроны ( £<1000 эд) Нейтроны промежу- точных энергий (1<£<500 кэб) Быстрые нейтроны (0t5<£< 20 МэВ)
Легкие ядра (А<25) Потенциальное рассеяние
Разрешенные —— ! Резонан1 резонансы; Р~0,1 + 1 МэВ тое рассеяние; реакции (п,р), (л,<х) и (п,2п)
Средние ядра (2£<А<80) Разрешенные Резонансное Потенциальное рассеяние резонансы 1-100 кзв рассеяние; радиоак- тивный захват Перекры- Непрерыв- бающиеся ный резонансы спектр (п.р) (л, а) (л, 2п) -реак- ции; неупругое рассеяние
Тяжелые ядра (А>80)
Разрешенные резонан- сы; 1^100 зб РадиоактиВный захват Пврекры- Вающиеся резонансы Непрерывный спектр Неупругое рассеяние; (п,2п)-реакции
Рис. 1.3.7. Систематика ядерных реакций с участием нейтронов.
и бс — сечения образования составного ядра. Упругое рассеяние через состав-
ное ядро пренебрежимо мало при высоких энергиях. Равенство ос =
= л (7? + к)2 означает, что ядро является «черным» для очень быстрых ней-
тронов, т. е. оно поглощает все падающие нейтроны. Сечение рассеяния
х)2 описывает так называемое теневое рассеяние, которое строго
анизотропно и направлено преимущественно вперед. На рис. 1.3.7 приве-
дена систематика различных типов реакций, рассмотренных в данном раз-
деле.
1.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
Рассмотрим поведение некоторых сечений, наиболее важных для после-
дующего изложения. Подробное графическое и табличное описание сечений
можно найти в таблицах Юза и Шварца (Hughes, Schwartz, 1958) и в табли-
цах Гольдберга, Мэя и Штейна (Goldberg, May, Stehn, 1962). Серии спе-
циальных таблиц сечений для расчетов реакторов были выпущены различ-
ными авторами, в том числе Паркером (Parker, 1960, 1963), Хавертоном
(Howerton, 1956, 1958, 1961) и Шмидтом (Schmidt, 1963).
16
1.4.1. Сечения В10, Li6 и Не8
Сечения В10, Li6, Не3 имеют энергетическую зависимость, отличную от
соответствующей зависимости для других легких ядер. Эти три элемента
используются в детекторах нейтронов.
В естественной смеси изотопов бора содержится 80,2% В11 и 19,8% В10.
Захват нейтрона в В10 приводит к экзотермической (га, а)-реакции:
Li7 +сс+2,79 Мэв (6,1%),
, В10 + п
Li7* + а 4-2,31 Мэв (93,9%),
^Li’ + y+ 0,478 Мэв.
Относительный выход цепочек реакции зависит от энергии нейтрона; приве-
денные выходы соответствуют медленным нейтронам' Сечение этой реакции
Рис. 1.4.1. Сечения некоторых ядерных
реакций с участием нейтронов как
функция энергии нейтронов.
Рис. 1.4.2. Полные сечения дейтерия (а)
и водорода (б) как функции энергии нейтро-
нов.
равно 3840 11 барн при v — 2200 м/сек *. Оно следует закону i/v доста-
точно точно в интервале энергий вплоть до 104 эв. Сечение рассеяния В10 для
медленных нейтронов равно 4,0 барн.
Изотоп Li6, содержание которого в естественной смеси изотопов эле-
мента составляет 7,52%, взаимодействует с нейтронами по следующей схеме:
Li6п —> Н3 + сс ’-4,786 Мэв.
* v = 2200 м!сек является наиболее вероятной скоростью максвелловского распре-
деления по скоростям при 20,4° G (см. п. 5.3). Принято нейтронные сечения относить
к этой скорости; ей соответствует энергия 0,0253 эв.
2 Нейтронная физика
17
Сечение этой реакции равно 936 ± б барн при скорости нейтронов 2200 м/сек.
Оно следует закону 1 / и в интервале энергии 0 < Е < 1 кэв и имеет широкий
Рис. 1.4.3. Угловое распределение
на водороде
Г do 1 . ,ч
L3Q==2SGn(COS,|’)-
(в системе центра масс) нейтронов, рассеянных
сечение рассеяния в единичный телесный угол
резонанс при энергии 250 кэв (рис. 1.4.1). Сечение рассеяния для медленных
нейтронов равно 1,4 барн.
Рис. 1.4.4. Угловое распределение
(в системе центра масс) нейтронов, рассеянных
на дейтерии.
Естественная смесь изотопов гелия содержит Не3 в количестве 1,3-10"4%.
Изотоп Не3 взаимодействует с нейтронами согласно схеме
Не3 + п —> Н3 + /? + 0,764 Мэв.
Сечение этой реакции равно 5327 ± 10 барн при v = 2200 м/сек\ его зависи-
мость от энергии в области высоких энергий приведена на рис. 1.4.1. Сече-
ние рассеяния равно 0,8 барн.
18
1.4.2. Сечения некоторых замедляющих веществ
На рис. 1.4.2 показаны полные сечения водорода и дейтерия в зависи-
мости от энергии. Для обоих элементов полные сечения практически равны
сечениям упругого рассеяния. Сечения захвата при и0 = 2200 м/сек
составляют 0,328 барн для водорода и 0,46 мбарн для дейтерия; в обоих
случаях сечения следуют за-
кону l/v *.
При энергиях нейтронов
выше 3,339 Мэв дейтрон может
при столкновении с нейтроном
расщепиться, т. е. может иметь
место реакция
n + H2-^Hx + 2n.
Вклад этой реакции в пол-
ное сечение, однако, очень мал
(оно возрастает от нуля вблизи
порога до величины 100 мб при
10 Мэв). На рис. 1.4.3 и 1.4.4
показаны угловые распределе-
ния упруго рассеянных нейтро-
нов в системе центра масс при
различных энергиях. Для водо-
рода рассеяние в системе центра
масс является изотропным для
всех энергий, представляющих
практический интерес. Наобо-
рот, дейтерий обнаруживает зна-
чительную анизотропию рассе-
яниядля энергий выше 0,2 Мэв.
Энергетическая зависимость
сечения рассеяния в области
низких энергий будет рассмот-
рена в п. 1.4.4.
Рис. 1.4.5. Полное сечение углерода (а) и берил-
лия (б) как функция энергии нейтронов.
На рис. 1.4.5 приведены полные сечения для бериллия и углерода..
Сечения захвата этих элементов также очень малы. При vQ = 2200 м/сек
(Уа = 10 мбарн для бериллия и па = 3,8 мбарн для углерода**. Для этих
элементов также справедлив закон 1/гл. Сечение рассеяния бериллия имеет
резонансы при 0,62, 0,81 и 2,73 Мэв. Если энергия нейтрона превышает
1,85 Мэв, возможна реакция (п, 2п) в соответствии со схемой
Be9 + п —> Be8 + 2п.
Выше энергии 2 Мэв сечение углерода имеет несколько резонансов. При
энергиях нейтрона, превышающих 4,43 Мэв, может иметь место неупругое
рассеяние. Угловое распределение упруго рассеянных нейтронов в системе
центра масс изотропно для бериллия вплоть до энергии 0,5 Мэв и 1,4 Мэв —
для углерода. Зависимость сечения рассеяния при малых энергиях будет
обсуждаться в п. 1.4.3.
Полное сечение для кислорода приведено на рис. 1.3.1. Сечение захвата
при скорости z?0 = 2200 м/сек не превышает 0,2 мбарн. Выше энергии
0,3 Мэв появляется резонансное рассеяние. Выше энергии 3,350 Мэв значи-
* Прямого доказательства справедливости закона i/v для сечения захвата легких
ядер до сих пор не предложено. Однако ввиду того, что резонансы при низких энергиях
не наблюдаются, это предположение кажется справедливым.
** Это сечение может существенно возрасти из-за загрязнения графита (см. гл. 17).
2* 1&
тельный вклад в полное сечение дает реакция (рис. 1.4.6)
О164-?г—>С13 + Не4.
Угловое распределение упруго рассеянных нейтронов становится анизо-
тропным в системе центра масс при энергиях, превышающих 0,3 Мэв.
Рис. 1.4.6. Сечение реакции О16 (п, а) С13 как функция энергии
нейтронов.
1.4.3. Сечение рассеяния на ядрах кристаллических сред
при низких энергиях
На рис. 1.4.7 показано полное сечение кристаллического бериллия при
низких энергиях. Сечение потенциального рассеяния, которое постоянно
выше энергии 0,025 эв, при низких энергиях сильно меняется; в част-
Рис. 1.4.7. Сечение бериллия при различных
энергиях для низких энергий нейтронов.
ний, наблюдается явление дифракции *
сталле может быть формально описана ка:
ности, сечение резко падает при
0,0052 эв. При более низких энер-
гиях сечение возрастает пропор-
ционально 1/v, причем его вели-
чина явно зависит от температуры
образца. Эти эффекты связаны
с кристаллической структурой
бериллия: рассеяние медленных
нейтронов происходит когерентно.
т. е. нейтронные волны, рассеян-
ные от соседних ядер бериллия,
могут интерферировать между со-
бой. Ввиду того что для энергии
нейтронов в интервале от 0,01 до
0,1 эв длина волны де Бройля
порядка 10-8 см. т. е. соизмерима
с величиной межатомных расстоя-
Как известно, дифракция в кри-
отражение от плоскостей решетки.
Если d — расстояние между двумя плоскостями решетки, то отражение
имеет место, только когда выполняется соотношение
nk = 2с? sin 0; п = 1, 2, 3, . . . .
(1.4.1)
где 0 — угол падения, d — шаг решетки и А — длина волны. Если нейтроны
с длиной волны X рассеиваются на поликристалле, то ввиду произвольной
* См. Кертис Л. Введение в нейтронную физику. М., Атомиздат, 1965.—
Прим. ред.
20
ориентации индивидуальных микрокристаллов всегда найдутся плоскости
и углы падения, для которых справедливо соотношение (1.4.1). Однако, если
l>2dmax. (1.4.2)
где dma3c — максимальный шаг в решетке кристалла (для бериллия dmax —
— 1,98 А), уравнение (1.4.1) не может быть удовлетворено. Поэтому коге-
рентное рассеяние не может иметь места. На основании приведенных рас-
суждений можно объяснить резкий спад в сечении (см. рис. 1.4.7). Это
явление наблюдается и в графите (при Е — 0,00183 эв), а также почти во
всех других кристаллических средах.
Рассеяние нейтронов не всегда когерентно. Например, для смеси изо-
топов с различными рассеивающими свойствами сечение когерентного рас-
сеяния отличается от полного сечения рассеяния. Для ядер с отличным от
нуля спином амплитуда рассеяния зависит от ориентации спина нейтрона
по отношению к спину ядра. Если для двух ориентаций спина амплитуды
сильно различаются, то вклад когерентного рассеяния может оказаться
весьма малым. В случае когда когерентное рассеяние существенно, следует
характеризовать процесс рассеяния не только с помощью полного сечения
рассеяния, но также сечением когерентного рассеяния оС0д- В то время как
во многих случаях и всоь почти равны (для бериллия as = 7,54 барн,
ocoh — 7,53 барн\ для углерода os = 5,53 барн, ocoh — 5,50 барн); для
водорода (gs = 81,5 барн, aCOh = 1,79 барн) и ванадия (as = 5,13 барн,
oCQh = 0,032 барн) наблюдается заметное различие в значениях этих сече-
ний. Рассеяние на этих элементах практически некогерентное.
Ниже энергии, при которой наблюдается резкий скачок, сечение состоит
из парциальных сечений поглощения, некогерентного рассеяния и теплового
неупругого рассеяния. В графите и бериллии два первых эффекта пренебре-
жимо малы. Ниже энергии обрыва сечение связано с процессами, при которых
нейтрон приобретает энергию от колебаний решетки. При Т -+ 0 это сечение
неограниченно убывает (см. рис. 1.4.7). Неупругое рассеяние медленных
нейтронов будет рассмотрено в п. 10.1.
1.4.4. Сечение рассеяния на свободных и связанных ядрах
На рис. 1.4.8 на примере хода полного сечения для Н2О проиллюстри-
рованы следующие важные особенности поведения сечения при малых энер-
гиях: в интервале от 1 эв до 10 кэв сечение
постоянно и равно сумме сечений рассеяния
на двух свободных протонах и на ядре кис-
лорода. При энергии порядка 1 эв сечение
рассеяния начинает расти с уменьшением
энергии, причем в конечном счете оно почти
в 4 раза превышает значение сечения на
плато *. Этот рост обусловлен наличием
химической связи протонов в молекуле воды.
Рассмотрим столкновение нейтрона
и свободного (несвязанного) ядра с массой М.
Это явление имеет место, когда энергия
нейтрона велика по сравнению с энергией
Рис. 1.4.8. Сечение рассеяния
нейтронов на воде при низких
энергиях нейтронов.
химической связи ядер. Обозначим сечение
такого столкновения символом osy. Допу-
стим теперь, что ядра жестко связаны
в молекуле, масса которой Мто[. Как по-
называет квантовомеханическое рассмотрение, сечение рассеяния связан-
ного атома изменяется прямо пропорционально квадрату отношения приве-
* Вследствие эффекта Допплера реально наблюдаемое возрастание несколько
более крутое (см. п. 10.1).
21
денных масс:
c=as4^)2’ (1.4.3)
где
<14-4>
<‘-4-5>
Так как Mmoi > М, то всегда р/ > р. Особый интерес представляет слу-
чай совершенно жесткой связи (Mmoi -> оо), которая, например, может иметь
место в твердом теле. Тогда
tf' = orSb= (y)2°W> (1.4.6)
или, если принять А ж М/тп,
(1-4.7)
Сечение, определяемое соотношением (1.4.7), называется сечением рассея-
ния на связанных атомах.
Теперь легко объяснить поведение сечения для воды, изображенное
на рис. 1.4.8. При Е > 1 эв протоны можно считать свободными. В этом
случае сечение рассеяния равно сумме сечений рассеяния на атомах Gsf.
С уменьшением энергии химическая связь становится существенной и «эффек-
тивная масса» протона увеличивается, а следовательно, возрастает и сечение
рассеяния согласно соотношению (1.4.3). Можно считать, что при очень
малых энергиях протоны жестко связаны с атомами кислорода; тогда
Mmoi!M = 18 > 1. Таким образом, в силу соотношения (1.4.7) имеет место
увеличение сечения в 4 раза. Этот эффект наблюдается во всех водород-
содержащих соединениях. Тяжелая вода обладает подобными, однако менее
явно выраженными свойствами.
1.4.5. Сечения элементов для медленных нейтронов
В табл. 1.4.1 приведены значения сечений рассеяния и поглощения для
некоторых элементов. Величины сечений поглощения соответствуют ско-
рости z?o — 2200 м/сек. В некоторых случаях в таблице указаны также зна-
чения g-факторов, характеризующих степень отклонения хода сечения от
закона 1/р. Способ использования g-фактора описан в п. 5.3.
Таблица 1.4.1
Сечение рассеяния и поглощения для нейтронов со скоростью 2200 м/сек
Элемент оа, барн ag, барн Элемент aa, барн os, барн
1Н 0,328+0,002 38+4 (газ) 4gCd 2537+9 7+1
2Не 0 0,8+0,2 g = 1,338
з1Л 70,4+0,4 1,4+0,3 491п 194+2 2,2+0,5
4Ве 0,010+0,001 7+1 g = 1,020
5в 758+4 4+1 50^П 0,625+0,015 4+1
«с (3,73±0,07).10-з 4,8+0,2 51Sb 5,7+1,0 4,3+0,5
7N 1,88+0,05 10+1 5гТе 4,7+0,1 5+1
8о <2«10-4 4,2+0,3 53I 6,22+0,25 3,6+0,5
9f <1-10“2 3,9+0,2 54Хе 74+1 4,3+0,4
10Ne 0,032+0,009 2,4+0,3 55^s 28+1 7+1
«Na 0,531+0,008 4,0+0,5 56®а 1,2+0,1 8+1
12м g 0,063+0,003 3,6+0,4 5?La 8,9+0,2 9,3+0,7
13^1 0,241+0,003 1,4+0,1 58^e 0,73+0,08 2,8+0,5
22
Продолжение табл. 1.4.1
Элемент <Га. барн барн Элемент Од, банн as» барн
14Si 0,16+0,02 1,7+0,3 59рр 11,3+0,2 4,0+0,4
15р 0,20-4-0,02 5+1 6oNd 49,9+2,2 16±3
16$ 0,52+0,02 1,1+0,2 62$m 5828+30
17С1 33,8+1,1 16+3 g = l,638
IgAl’ 0,66±0,04 1,5+0,5 бЗ^и 4406+30 8+1
1»К 2,07+0,07 1,5+0,3 £• = 0,999
20^а 0,44+0,02 3,2+0,3 64Gd 46 617+100
21$с 24±1 24+2 £=0,888
22^ 5,8+0,4 4+1 65Tb 46+3
23^ 5,00+0,01 5+1 бб^У 940+20 100+20
24^г 3,1±0,2 3,0+0,5 67 ЙО 65+3
25МП 13,2±0,1 2,3±0,3 68^г 173+17
26Fe 2,62+0,06 11+1 еэТт 127+4 7+3
27С0 37,1+1,0 7+1 70УЬ 37+4 12+5
2§Ni 4,6+0,1 17,5+1 71Lu 112+5
29 С11 3,81+0,03 7,2+0,7 72Hf 101,4+0,5 8+2
30 1,10+0,02 3,6±0,4 £ = 1,020
3iGa 2,80+0,13 4+1 73Та 21,0+0,7 5+1
32^е 2,45+0,20 3+1 74W 19,2+1,0 5+1
33As 4,3+0,2 6+1 75Re 86±4 14+4
34$е 11,7+0,1 11+2 76OS 15,3+0,7 15,3+1,5
35Вт 6,82+0,06 6+1 77Ir 440+20
ЗбКг 31+2 7,2+0,7 7sPt 8.8+0,4 10+1
37Rb 0,73+0,07 5,5+0,5 79Au 98,6+0,3 9,3+1,0
38$г 1,21+0.06 10+1 £ = 1,005
39 ¥ 1,31+0,08 8oHg 374+5 20+5
4()Zr 0,185+0,004 8±1 g = 0,998
4iNb 1,16+0,02 5±1 81T1 3,4+0,5 14±2
42М0 2,70+0,04 7±1 82^^ 0,170+0,002 11+1
43ТС 22+3 5±1 sshi 0,034+0,002 9+1
44Ru 2,56+0,12 6+1 9oTh 7,56+0,11 12,6+0,2
4sRh 149+4 5+1 92U 7,68+0,07 8,3+0,2
46?<i 8,0+1,5 3,6+0,6 g = 0,99
4?Ag 64,5+0,6 £ = 1,004 6+1
Сечения рассеяния усреднены в соответствии с распределением Макс-
велла при комнатной температуре. Приведенные данные в основном взяты
из таблиц Юза и Шварца «Нейтронные сечения» (Hughes, Schwartz, 1958,
1960), использовались также и новые данные.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Amaldi Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Bd. XXXVIII/2. Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer, 1959.
Blatt J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. New York, John Wiley
and Sons, 1952.
Evans H. D. The Atomic Nucleus. New York — Toronto — London, McGraw-Hill.
1955.
Hughes D. J. Neutron Cross Sections. London — New York — Paris, Pergam on Press,
1957. (См. на русском языке: Юз Д. Нейтронные эффективные сечения. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1959.)
Marion J. В., Fowler J. L. (ed.) Fast Neutron Physics. Part II. New York, Inter-
science Press, 1963. (См. на русском языке: Физика быстрых нейтронов. Т. II. Под
^ред. Дж. Мариона и Дж. Фаулера. Сокращ. перев. с англ. М., Атомиздат, 1966).
Вейнберг А. М., Вигнер Е. П. Физическая теория ядерных реакторов. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
Власов Н. А. Нейтроны. М., Гостехиздат, 1955.
23
Специальная
Открытие нейтрона
В othe W., В ecker Н. Z. Physik, 66, 289 (1930).
Chadwick J. Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 136, 692 (1932).
Curie J., J oli ot F. J. Physique Radium, 4, 21 (1933).
Heisenberg W. Z. Physik, 77, 1 (1932).
Энергия связи дейтрона
Chadwick J., Goldhaber M. Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 151, 479 (1935).
C h u p p E. L., J e well R. W. J о h n W. Phys. Rev., 121, 234 (1961).
Noyes J. C. et al., Phys. Rev., 95, 396 (1954).
p-Распад нейтрона
Robson J. M. Phys. Rev., 83, 349 (1951).
Snell A. H. Phys. Rev., 78, 310 (1950).
Spivak P. E. et al. Nucl. Phys., 10, 395 (1958).
Магнитный момент нейтрона
Alvarez J. W., Bloch F. Phys. Rev., 57, 111 (1940).
Cohen V. W., Corngold N. R., Ramsey N. F. Phys. Rev., 104, 283 (1956).
Заряд нейтрона
Fermi E., Marshall L. Phys. Rev., 72, 1139 (1947).
Шапиро И. С., E сту лин И. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 3, 626 (1956).
Ядерные реакции с участием нейтронов
Burcham W. Е. Nuclear Reactions, Levels and Spectra of Light Nuclei.
Kinsey В. B. Nuclear Reactions, Levels and Spectra of Heavy Nuclei.
Rainwater J. Resonance Processes by Neutrons. Handbuch der Physik. Bd. X. Ber-
lin — Gottingen — Heidelberg, Springer, 1957.
Оптическая модель
Feshbach H. Nuclear Spectroscopy, part B. New York — London, Academic Press,
1960, p. 1033.
Feshbach H., Porter С. E., W ei ssk о p f V. F. Phys. Rev., 96, 448 (1954).
Siissmann G., Medina F. Fortschr. d. Physik, 4, 297 (1956).
Таблицы и графики сечений
Goldberg М. D., May V. M., S t ehn J. R.^ Angular Distributions in Neutron-
Induced Reactions. Vol. I and II. BNL-400, Second Edition (1962).
Howerton R. J. Tabulated Differential Neutron Cross Sections, part I, UGRL-5226
(1956); part II, UCRL-5351 (1958); part III, UCRL-5573 (1961).
Hughes D. J., Carter B. Angular Distributions. BNL-400 (1958).
Hughes D. J. and Schwartz R. B. Neutron Cross Sections. BNL-325 (1958); and
Supplement 1960.
Parker K. AWRE 0-27/60 (1960); 0-79/63 (1963); 0-82/63 (1963).
Schmidt J. J. KFK-120 (1963).
Глава 2
ИСТОЧНИКИ НЕЙТРОНОВ
2.1. ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ
Ввиду малой продолжительности жизни нейтроны не встречаются
в природе и должны быть получены искусственно. Они могут быть получены
в различных реакциях на ядрах, в которых нейтроны наиболее слабо свя-
24
заны. В этих реакциях образуется сначала возбужденное * промежуточное
ядро с энергией возбуждения, равной сумме энергии связи и кинетической
энергии (в системе центра масс) налетающей частицы, которая может быть
cz-частицей, протоном, дейтроном или у-квантом. Если энергия возбужде-
ния больше, чем энергия связи «последнего нейтрона» в промежуточном
ядре, то вероятность излучения нейтрона достаточно велика. Остаточная
энергия возбуждения распределяется в виде кинетической энергии между
нейтроном и остаточным ядром. Ядро после вылета нейтрона может ока-
заться в возбужденном состоянии и перейти затем в основное состояние
путем излучения у-кванта. Возможность получения нейтронов в той или иной
реакции определяется энергией связи нейтрона в ядре. В табл. 2.1.1 при-
Таблица 2.1.1
Энергия связи последнего нейтрона в легких ядрах
[Everl ing et al. Nucl. Phys., 18, 529 (i960)]
Ядро Энергия связи, Мэв Ядро Энергия связи, Мэв Ядро Энергия связи, Мэв Ядро Энергия связи, Мэв
Н2 2,225 Be9 18,896 С12 18,720 015 13,222
№ 6,258 Be9 1,665 С13 4,937 016 15,669
Не3 7,719 Be10 6,814 С14 8,176 017 4,142
Не4 20,577 В9 18,575 N13 20,326 О18 8.047
Не5 —0,956 В10 8,440 N14 10,553 JP18 9,141
Li6 5,663 В11 11,456 N15 10,834 р19 10,442
Li7 Li8 7,253 2,033 С11 13,092 N16 2,500 р20 6,599
ведены значения энергий связи последнего нейтрона в ядрах некоторых
элементов, полученные либо из соотношения разности масс, либо на основа-
нии рассмотрения баланса ядерных реакций.
Оказывается, что энергия связи ядер, которые могут быть представлены
как ядра, состоящие из сс-частиц (Не4, Be8, С12, О16), велика. Эти ядра осо-
бенно устойчивы (за исключением Be8, который является неустойчивым по
отношению к распаду на две а-частицы). С другой стороны, нейтрон, добав-
ленный к подобному ядру, очень слабо связан. Для элементов, следующих
за кислородом, такая закономерность менее характерна; для средних ядер
энергия связи равна примерно 7—10 Мэв, а для тяжелых она составляет
около 6—7 Мэв. С точки зрения получения нейтронов легкие ядра наиболее
предпочтительны, так как из-за высокого кулоновского барьера реакции
с заряженными частицами на тяжелых ядрах происходят при очень больших
энергиях.
2.1.1. Различные типы реакций
(а, п)-Ре акция осуществляется по следующей схеме:
ZXA + 2Не4 -» г+2ХА+3 + n + Q.
Значение Q может быть как больше нуля (экзотермическая реакция), так
и меньше (эндотермическая реакция). Примеры:
Be9 + Не4-> С124-/2 + 5,704 Мэв,
Bn + He4—>N14+- п + 0,158 Мэв,
Li7 + Не4—В10 + п—2,790 Мэв.
* Большое количество реакций, в которых рождаются нейтроны, протекает без
образования промежуточного ядра. Важным примером такой реакции является рас-
щепление дейтрона. Результаты последующего энергетического рассмотрения применимы
также и в этом случае.
25
Энергия возбуждения ядра, образовавшегося после захвата а-частицы,
составляет около 10 Мэв; по этой причине (см. табл. 2.1.1) реакция (а, п)
может быть как экзотермической, так и эндотермической.
(d, п)-Реакция*.
ZXA + Л2->Z+1XA+1+« + <?•
Примеры:
Н3 + Н2Не4 + тг+17,588 Мэв.
Li7 + Н2-^ Be8+ ft+15,028 Мэв.
С12 + Н2—>N13 + ft — 0,282 Мэв.
Из-за малой энергии связи дейтрона при его захвате всегда образуется
сильно возбужденное промежуточное ядро; по этой причине почти все
{d. ft)-peaK4HH экзотермические.
(р, п)-Реакция:
7XA+JV^z^XA + n-\-Q.
Примеры:
Li7 + H1->Be7 + n—1,646 Мэв.
H3 + №->He3 + ft —0,764 Мэв.
В случае (р, п)-реакции из ядра ZXA образуется ядро Z+1XA, которое воз-
никает в результате Р-распада ядра ZXA. Допустим, что такой р-распад
возможен и максимальная энергия Р-частиц равна Е'р. Для величины Q
в случае (р, п)-реакции имеем, очевидно, соотношение
Q^E^Qn. (2.1.1)
где Qn = 0,782 Мэв является значением величины Q p-распада нейтрона.
Тритий, упомянутый выше, является Р-излучателем, причем максимальная
энергия р-частиц составляет 18 кэв; следовательно, Q = 18 кэв — 782 кэв =
= — 764 кэв. Все (р, п) -реакции со стабильными ядрами эндотермические.
Минимальная энергия порога равна 0,782 Мэв.
(у. п)-Реакция (ядернъгй фотоэффекту.
zXA + y-^zXA-i+n + Q.
Примеры:
Ве9 + у—>Be8 + ft —1,666 Мэв,
Н2 + у—»Н1 +ft—2,225 Мэв.
2.1.2. Энергетическое рассмотрение
С помощью законов сохранения энергии и импульса могут быть выве-
дены важные соотношения. Сначала будет показано как следствие закона
сохранения импульса, что величина порога Es эндотермической реакции
больше, чем значение Q. Допустим, что падающая частица с массой mG
и скоростью v (Е == у mG и2) соударяется с покоящимся ядром мишени.
В этом случае для того, чтобы реакция могла произойти, должно выпол-
няться равенство
Здесь mz — масса составного ядра, vz — скорость составного ядра. Согласно
закону сохранения импульса,
mGv = mzvz. (2.1.3а)
26
так что
(2.1.36)
В соответствии с уравнением (2.1.2)
2 2 \ mz /
Е,~----2-;--•
1— mG/mz
(2.1.4)
Например, энергия порога Es для (р, п)-реакции на Li7 равна 1,881 Мэв.
Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом энергия, освобождае-
мая в экзотермической реакции, распределяется между нейтроном и оста-
точным ядром. Допустим сначала, что промежуточное ядро, находясь в состоя-
нии покоя, распадается на нейтрон с массой тп и остаточное ядро с массой
тпТ. В этом случае
^*4+^ = <2 (2.1.5)
и
mnvn^mrvT. (2.1.6)
Следовательно,
£ ~ —. Т
п 14- mnfmr mz
Энергия нейтрона в случае реакции Н3 (d, п) Не4 (на покоящемся ядре дей-
трона) в соответствии с (2.1.7) равна примерно 14,1 Мэв.
Если первичная частица обладает заметной кинетической энергией Е,
что обычно имеет место на практике, энергия нейтрона зависит от угла
испускания по отношению к направлению движения первичной частицы.
Вычислим энергию нейтрона в простейших предельных случаях испускания
в направлениях 0° (излучение вперед) и 180°. Согласно закону сохранения
энергии,
+ = + = + (2.1.8)
& &
Из закона сохранения импульса следует, что
mGv=^ ±(mnvn — mrvT\ (2.1.9)
Знак плюс следует использовать в случае испускания под углом 0°, а минус —
под углом 180° к направлению движения первичной частицы. Поэтому
En = ^v*n=—2—+ £7.^_ х Ь+те^+^Г1-^4 ±2х
2 14-mn/mr pnr4-mn)2 I mGmn L J
X л/1 1 mr(^n + ^r) j Q . 11 /21 10)
Как будет показано ниже, уравнение (2.1.10) является частным случаем
общего уравнения (2.5.1), которое справедливо для произвольных углов
излучения как в случае экзотермических, так и эндотермических реакций.
Согласно соотношению (2.1.10) в применении к реакции Н3 (d, п) Не4,
при энергии дейтрона Е = 0 энергия нейтрона Еп = 14,1 Мэв для обоих
направлений излучения, в то время как при Е = 0,500 Мэв энергия Еп
составляет 15,79 Мэв для излучения вперед и 12,77 Мэв для излучения назад.
В случае (а, п)-реакции на бериллии при использовании а-частиц из ВаС'
27
(7,680 Мэв) энергии нейтрона Еп равны 13,1 и 7,7 Мэв соответственно для
излучения вперед и назад. Энергии нейтронов, испускаемых во всех других
направлениях, всегда лежат между этими предельными!значениями.
Предыдущее рассмотрение проводилось без учета релятивистских эффек-
тов, поскольку при энергии нейтрона 10 Мэе отношение vn!c равно 0,14т
так что соответствующая ошибка мала. Но точные расчеты, особенно при
высоких энергиях, должны проводиться в релятивистском приближении.
2.1.3. Вычисление мощности нейтронных источников
Для вычисления интенсивности нейтронных источников могут быть
использованы значения сечений, приведенные в п. 1.3.1. Если ток
J (см~2‘Свк~* 1) протонов, дейтронов или а-частиц пронизывает вещество
мишени, содержащей N одинаковых атомов в 1 см3, то число нейтронов
dQ, рожденных за 1 сек в слое толщиной dx с площадью сечения 1 см2, равно
dQ ~JoN dx. (2.1.11)
Здесь о (барн) — сечение ядерной реакции, в которой образуются нейтроны.
Для определения полного выхода следует проинтегрировать уравнение
(2.1.11). При этом необходимо помнить, что сечения ядерных реакций сильно
меняются в зависимости от сорта падающих частиц. Кроме того, падающие
частицы в свою очередь быстро замедляются при взаимодействии с кулонов-
ским полем электронов вещества мишени (длины пробегов часто составляют
всего лишь несколько микрон). Замедление заряженных частиц в веществе
характеризуется замедляющей способностью dE/dx (эв-см"1), зависящей от
энергии. Для длины пробега R частицы с энергией Eq при прохождении
вещества мишени имеет место следующее соотношение:
Eq
о
Согласно соотношениям (2.1.11) и (2.1.12), полная мощность источника ней-
тронов на 1 см2, поверхности толстой мишени при бомбардировке заряжен-
ными частицами энергии Ео равна
Eq
Q^JN £ ^~~dE. (2.1.13)
v J dEjdx 4 '
0
Если ввести величину выхода ц = QU, т. е. число нейтронов, приходя-
щихся на одну первичную частицу, то можно написать
Ео
x\ = N^^-dE. (2.1.14)
1 J dE/dx v 7
О
Таким образом, для того чтобы вычислить выход нейтронного источника,
необходимо знать не только сечение реакции получения нейтронов, но также
и замедляющую способность вещества мишени *. Если сечение о слабо зави-
сит от энергии, то, вынося его за знак интеграла, получим
£о
П = = (2.1.15)
1 J dE[dx к 7 v 7
0
* Часто вместо замедляющей способности вводится понятие «атомного сечения
Ео
1 о f o' (Е)
замедления» 8 = —-д?- (зв-сл^2); в этом случае п = \ ---------dE.
ox j.)/ л е
о
28
где X — средняя длина свободного пробега первичной частицы по отноше-
нию к ядерному столкновению. При соответствующем выборе значений <т
соотношение (2.1.15) может быть использовано также для оценки выхода
и в том случае, когда сечение реакции сильно зависит от энергии.
Для получения моноэнергетических нейтронов обычно используют тон-
кие мишени, т. е. мишени, в которых потеря энергии первичных частиц
мала. Если АЕ —«толщина» такой мишени, то
d dE/dx (dE/dx)-^
(2.1.16)
2.2. РАДИОАКТИВНЫЕ (а, /г)-ИСТОЧНИКИ
2.2.1. Ra — Be-источник
Изотропный источник нейтронов с высокой и почти постоянной по вре-
мени интенсивностью, который приблизительно имитирует точечный источ-
ник, можно получить с помощью реакции Be9 (а, п) С12 при использовании
О. \^79Мэб(9^7,)
'Б20пе^,5Э-’~ <6Ю
[7^
ЗМ№МзВ(>9!Г/0
8^218
(7Щ
.жЧ.ге.гмш
(Ш\1,озмэд(б%)\ /СаС)
83^
J3~(99,96%)
19,72 мин
0,65-"-
0,59-"'
5,51Мз9(37Х)
19,72мин П7
Г 77^1
ЪаС“)\
1,88—(9%)^
1,51— (40%)
1,02—(23%)
0,42—(9 7°)
fl 7' -г
1,32 мин
1,96 Мэб
7,68 Мэб (*100%)
1,64’lD^ce^ р-
19,4 года
-М21° 5,013 дня
.
’(RaDMossttaefis^ ”(RaE) \и7мзв(99.т\
0,m-"-(S5'A) al
тя\5'305Мэ1т
(RaG)
Стабильный
изотоп
0,018-- (85%)
Г
Рис. 2.2.1. Схема распада радия.
естественного радия, имеющего высокую «-активность. Такой источник
часто является стандартным нейтронным источником. Недостатком Ra — Ве-
источника является интенсивное у-излучение, сопровождающее нейтроны,
и разброс последних по энергиям. На рис. 2.2.1 показана цепочка радио-
активного превращения радия. В 1 г чистого 88Ra226 происходит 3,7-1010
распадов в 1 сек (1 кюри). В каждом акте распада излучается «-частица
с большой энергией. В течение нескольких месяцев чистый Ra226 приходит
в состояние равновесия со всеми своими дочерними элементами (не считая
RaD). За это время образуется пренебрежимо малое количество RaE. При-
мерно через месяц интенсивность a-излучения и, следовательно, мощность
Ra — Be-источника становятся практически постоянными. Так как среди
дочерних элементов имеются еще три других «-излучателя, то «-активность
29
возрастает до 4 кюри, причем а-частицы трех дочерних элементов обладают
большей энергией, чем ос-частицы самого радия *.
Среди дочерних элементов имеются также |3-излучатели, которые обра-
зуют сильно возбужденные ядра, испускающие у-лучи. В табл. 2.2.1 при-
ведены интенсивности и энергии наиболее жестких у-лучей (Latyshev, 1947).
Характеристики Ra — Ве-источника
Таблица 2.2.1
Энергия, Мэв Выход у-квантов на один акт а-распада Ra226 Энергия нейтро- нов реакции Ве9 (у, п) Ве8, кэв "Энергия, Мэв Выход у-квантов на один акт а-распада Ra226 Энергия нейтро- нов реакции Ве9 (у, п) Ве8, кэв
1,690 0,0224 21 2,090 0,022 377
1,761 0,143 84 2,200 0,059 475
1,820 0,024 137 2,420 0,025 670
При Еу > 1,666 Мэв может иметь место реакция Be9 (у, п) Be8; эта реак-
ция дает вклад в мощность Ва — Be-источника порядка нескольких про-
центов. В последней колонке табл. 2.2.1 указаны энергии групп фотоней-
тронов. На рис. 2.2.2 показан в разрезе Ra — Be-источник. Обычно веще-
ство источника представляет собой смесь бромида радия и порошка бериллия,
Рис. 2.2.2. Поперечный разрез ти-
пичного Ra — Ве-источника:
1 — смесь На — Be; 2 — внешний кон-
тейнер; 3 — внутренний контейнер.
Рис. 2.2.3. Сечение реакции Ве9(а, п)С12 как
функция энергии а-частиц.
спрессованную под большим давлением. Эту смесь аккуратно запаивают
в оболочку из латуни или никеля, которую из соображений безопасности
(радон) окружают второй оболочкой. Радий и бериллий смешивают, как
правило, в весовом отношении 1 : 5. Существуют источники, содержащие
* Возрастание мощности нейтронного источника после его изготовления в течение
первых недель может быть приближенно описано законом
п п 1 + 5 (l-e-z/3’8)
? = Со-------g--------,
где t — время, истекшее со дня изготовления источника (дни). Мощность нейтронного
источника возрастает примерно в 6 раз по отношению к начальному значению, хотя
сама a-активность увеличивается примерно в 4 раза. Причина этого заключается в том,
что a-излучение дочерних элементов обладает большей энергией, а сечение (а, п)-реакции
радия сильно возрастает с энергией.
30
нейтронов Ra —
Рис. 2.2.4. Энергетический спектр
Ве-источника:
---------расчет Гесса (Hess, 1959); —
Шмидта-Рора (Schmidt-Rohr, 1953); . .
чера (Teucher, 1949);--- ___ _л.______
— измерение
ниш, tvooj, . . —измерения Той-
----измерения Хилла (Hill, 1947).
до 5 г радия. Особо тщательного изготовления требуют Ra — Ве-источ-
ники с постоянной во времени интенсивностью.
Выход Ra — Be-источника можно оценить с помощью соотношения
(2.1.15). Поскольку весовое отношение радия к бериллию равно 1: 5, атом-
ное отношение составляет 1 : 125, и, следовательно, можно предположить,
что а-частица проходит только сквозь бериллий. Длина пробега а-частицы
с энергией 5 Мэв в бериллии плотностью 1,75 г/см3 (средняя плотность
спрессованного вещества)
составляет около 37 мкм.
На рис. 2.2.3 показано
сечение (а, п)-реакции в
бериллии в зависимости
от энергии а-частиц (Hal-
pern, 1949). На основании
этой кривой можно полу-
чить среднее значение се-
чения реакции для всех че-
тырех а-излучающих ком-
понент, равное 300 мбарн.
Для бериллия плотностью
1,75 г/см3 соответствующее
значение % = 30 см и, сле-
довательно,
п % 30 ±и ’
(2.2.1)
т. е. 1 г радия в равнове-
сии с дочерними вещества-
ми за исключением RaD
обладает а-активностыо
4 кюри, что соответствует
интенсивности 4-3,7 х
X1010 • 10“ 4 нейтрон /сек =
= 1,5-107 нейтрон /сек. Ре-
ально наблюдаемые мощ-
ности Ra — Ве-источни-
ков составляют (1,2 ~
-4-1,7) -107 нейтрон/сек на
1 г Ra226. Методика изме-
рений абсолютной мощно-
сти источника обсуждается
в п. 14.3.
На рис. 2.2.4 показаны спектры нейтронов Ra — Be-источника, полу-
ченные экспериментально различными авторами, и спектр, вычисленный
Гессом (Hess, 1959). Энергетическое распределение имеет непрерывный
характер вплоть до максимальной энергии 13,1 Мэв, соответствующей наи-
более жестким а-частицам (RaC') с энергией 7,68 Мэв. Наиболее вероят-
ная энергия составляет около 4 Мэв, средняя энергия — 5 Мэв.
Непрерывный характер спектра обусловлен следующими факторами.
1. Вследствие непрерывного замедления cz-частиц в бериллии (а, ^-реак-
ция происходит при всех энергиях от нуля до 7,68 Мэв.
2. Каждой а-частице с определенной энергией соответствуют нейтроны
различных энергий ввиду различных возможных направлений вылета.
3. После вылета нейтрона ядро С12 может остаться в возбужденном
состоянии (первым двум возбужденным состояниям С12 соответствуют
уровни 4,4 и 7,65 Мэв). Это обстоятельство приводит к тому, что появляется
большое количество нейтронов, кинетическая энергия которых меньше
31
5,4 Мэв] последняя соответствует реакции с участием а-частиц нулевой энер-
гии и случаю, когда ядро С12 переходит в основное состояние.
4. Нейтроны низких энергий могут получаться в результате фото-
расщепления бериллия, а также в реакциях
Be9 + Не4—> Не4 + Be8 + п — 1,665 Мэв,
Ве9 +Не4-^ЗНе4+ /2-1,571 Мэв.
Нетрудно видеть, что различные экспериментальные результаты сильно
отличаются друг от друга и не вполне
Рис. 2.2.5. Энергетический спектр нейтро-
нов Ро — Ве-источника:
— — — —измерения Кохрана (Cochran, 1955);
-------измерения Медвецки (Medveczhy, 1956).
чен путем облучения Bi209 нейтронами
соответствуют спектру, рассчитан-
ному Гессом (Hess, 1959). В обла-
сти энергий ниже 1 Мэв, где,
согласно Гессу, должен наблюдать-
ся четкий максимум, измерения
до сих пор не проведены.
2.2.2. Другие источники нейтро-
нов (а, п)-типа
Ро210 (RaF) является другим
хорошо известным а-излучателем,
имеющим период полураспада
138,5 дня и излучающий а-ча-
стицы с энергией 5,305 Мэв. RaF
может быть или выделен из радия
как дочернее вещество, или полу-
в соответствии с ядерной реакцией:
Bi209 (n, v)Bi210——> Ро210.
5 дней
Ро210 имеет большое преимущество по сравнению с рядом других источ-
ников, так как не излучает [3- и у-лучей. Недостатком является короткое
время жизни. G помощью Ро — Ве-ис- $
точника можно получить около 2,5 X
X106 нейтрон/сек на 1 кюри Ро210. На
рис. 2.2.5 показан энергетический спектр
нейтронов Ро — Ве-источника. Средняя
энергия нейтронов составляет около 47Иав;
максимальная энергия несколько меньше,
чем для Ra — Ве-источника, ввиду мень-
шей энергии сс-частиц. В Ро — Ве-источ- S
нике большое количество нейтронов полу-
чается также в реакциях с образованием
ядра С12 в возбужденном состоянии. Так
как возбужденное состояние в С12 снимает-
ся за время, меньшее 10~15 сек путем испу-
скания одного или двух у-квантов, то в
большинстве случаев у-квант появляется
практически одновременно с нейтроном,
а так как Ро240 не имеет иного у-излу- Рис. 2.2.6. Энергетический спектр
Чения, то измерение (тг, у)-совпадений нейтронов Ри — Ве-источника.
не представляет большого труда. Это
обстоятельство иногда используется для измерений по времени пролета.
Сравнительно недавно появилась возможность использовать для изго-
товления нейтронных источников Ри239, который стал доступен в больших
количествах благодаря существенному прогрессу в его производстве. Изо-
топ Ри239 имеет период полураспада 24 360 лет; энергии испускаемых а-частиц
равны 5,15, 5,13 и 5,10 Мэв. Для нейтронных источников используется сплав
РпВе13. Такой Ри — Be-источник излучает 8,5-104 нейтрон!сек-г Pu (Run-
32
nals, Boucher, 1947). На рис. 2.2.6 показан спектр нейтронов Pu — Be-
источника, полученный Стюартом (Stewart, 1955). Pu — Be-источник обла-
дает рядом существенных преимуществ: 1) так как плутоний с бериллием
образуют сплав, то при изготовлении источников легко достигается вос-
производимость их параметров; 2) источники испускают мягкие у-кванты
и 3) имеют большой период полураспада. Однако недостатками для некоторых
приложений являются относительно невысокий удельный выход и то обстоя-
тельство, что в нейтронном поле мощность источника изменяется вследствие
деления Pu239.
Таблица 2.2.2
Реакции (а, п) на легких ядрах
Мишень Q, Мэв Выход нейтронов на 106 а-частиц из Ро210 (толстая мишень) Мишень Q, Мэв Выход нейтронов на 106 а-частиц из Ро2Ю (толстая мишень)
Li6 —3,977 0 О18 —0,700 29
Li7 —2,790 2,6 р19 —1,949 12
Be9 5,704 80 Na23 —2,971 1,5
В10 1,061 13 Mg24 —7,192 0
ВП 0,158 26 Mg25 2,655 6,1
С13 2,215 10 Mg26 0,036 —
О17 0,589 — Al27 —2,652 0,74
Табл. 2.2.2 содержит полезную информацию по ряду других (а, ^-реак-
ций, которые могут использоваться при создании радиоактивных нейтрон-
ных источников.
2.3. РАДИОАКТИВНЫЕ (у, п)-ИСТОЧНИКИ
В отличие от (а, /^-источников, испускающих нейтроны с непрерывным
спектром, фотонейтронные источники, использующие монохроматические
у-лучи, излучают почти моноэнергетические нейтроны. Ввиду того что энер-
гия у-лучей радиоактивных веществ редко превышает 3 Мэв, (у, /г)-реакции
могут быть осуществлены только в бериллии (Q = — 1,665 Мэв) и в дейте-
рии (Q = — 2,225 Мэв); в качестве у-излучателей используются различные
естественные и искусственные радиоактивные изотопы. Недостатками фото-
нейтронных источников являются малый выход и обычно небольшое время
жизни у-излучателей. При работе с фотонейтронными источниками следует
принимать необходимые меры предосторожности по защите от жесткого
у-из л учения.
2.3.1. Энергетический баланс (у, п)-реакций
Во-первых, покажем, что и для случая (у, /г)-реакции пороговая энер-
гия Es больше величины Q. Допустим, что у-квант с энергией Е соударяется
с покоящимся ядром мишени. Тогда должно выполняться соотношение
E = Es = ^v^Q, (2.3.1)
выражающее закон сохранения энергии для случая, когда реакция может
иметь место. Согласно закону сохранения импульса,
^ = mtvt, (2.3.2)
где с — скорость света. Из этих соотношений следует, что
£s = | <21 + 2mt~2 ~ I <21 [ 1 + (188J^эв).л ] • (2.3.3)
3 Нейтронная физика
33
Здесь А — массовое число ядра мишени; численный множитель представ-
ляет соответствующий коэффициент перевода единиц массы в единицы
энергии. Таким образом, энергия порога Es больше, чем (?, однако различие
невелико. Для дейтерия, например, Es = 1,0006(?.
Вычислим далее энергии нейтронов, излученных в прямом и обратном
направлениях при (у, тг)-реакции. Если обозначить массу и скорость нейтрона
соответственно тп и vn, а массу и скорость остаточного ядра тг и vr, то,
согласно закону сохранения энергии,
En-=E~\Q\-^v^ (2.3.4)
а, согласно закону сохранения импульса,
+ (mnvn~mrvr). (2.3.5)
Здесь знак плюс соответствует излучению нейтрона под углом 0° по отноше-
нию к направлению движения падающего у-кванта, а знак минус — излуче-
нию под углом 180°. Пренебрегая слагаемыми порядка Е![(ти + тпг) с2],
получаем
(Д-1СI) ± £ /2• (2.3.и>
Так как в действительности в фотонейтронных реакциях могут реализоваться
все направления излучений, из соотношения (2.3.6) следует, что даже при
использовании монохрома-
тических у-лучей спектр
нейтронов не строго моно-
хроматичен. Согласно со-
отношению (2.3.6), разброс
энергий составляет
АЕп =
= /2(Л-1)(Е-|(2 )
V (931 Мэв) А3
(2.3.7)
Для у-излучения Na24 (Е=
= 2,757 Мэв) в реакции на
дейтерии энергия получае-
мых нейтронов Еп равна
265 + 33 кэв, а в реакции
на бериллии — 969 +
+ 5,1 кэв.
2.3.2. Sb — Be-источник
Рис. 2.3.1. Схема распада Sb124. На рис. 2.3.1 показана
схема распада изотопа
Sb124, образующегося при облучении нейтронами изотопа Sb123. Примерно
48% всех (3-распадов приводит к возбужденному состоянию Те121, излучаю-
щему при распаде у-кванты с энергией 1,692 Мэв. Естественная смесь изо-
топов сурьмы содержит 42,75% Sb123 и 57, 25% Sb121. Сечение активации
изотопа Sb123 равно 2,5 барн при р0 = 2200 м/сек, а период полураспада
изотопа Sb124 составляет 60,9 дня *.
* Облучением до насыщения в потоке тепловых нейтронов, равном 1013 нейт-
рон/(см2 • сек), можно получить для у-квантов с энергией 1,692 Мэв удельную актив-
ность около 2 кюри на 1 г естественной сурьмы.
34
На рис. 2.3.2 изображен разрез типового Sb — Be-источника нейтронов.
Внутренний цилиндр из сурьмы может быть вынут из бериллиевого кожуха.
Таким образом, имеется возможность «включать» и
по желанию. С помощью такого источника можно
получить до 107 нейтрон/сек на 1 кюри у-активности
сурьмы с энергией 1,692 Мэв. Такой фотонейтронный
источник наиболее широко распространен. Недо-
статком его является небольшой период полураспада
(60,9 дня); однако всегда имеется возможность
«зарядить» источник заново путем облучения в ядер-
ном реакторе. Из уравнения (2.3.6) следует, что
при Е = 1,692 Мэв энергия нейтронов Еп равна
26 ± 1,5 кэв. Экспериментально было получено
значение Еп = 24 + ‘2,2 кэв (Schmitt, 1960).
2.3.3. Другие фотонейтронные источники
Табл. 2.3.1 содержит полезные данные, харак-
теризующие другие фотонейтронные источники.
Величины выходов Y относятся к стандартной гео-
метрии, при которой 1 г тяжелой воды или бериллия
располагается на расстоянии 1 см от источника
у-излучения активностью 1 кюри. Расчет действи-
тельного выхода источника производится с по-
мощью соотношения.
(? = 4лр^У, (2.3.8)
где р — плотность, a t — эффективная толщина
кожуха. Среди естественных у-источников можно
отметить MsThj (Ra228, период полураспада кото-
рого составляет 6,7 года, а энергии у-квантов
равны 1,8, 2,2 и 2,6 Млв), а также дочерние про-
дукты радия; вклад (у, ii) -реакции в выход нейтро-
нов Ra — Be-источника уже обсуждался в п. 2.2.1.
«выключать» источник
Рис. 2.3.2. Разрез Sb —
Ве-источника:
1 — проволока, удерживаю-
щая источник; 2 — источник;
3 — цилиндр из бериллия.
Ввиду хорошей стабильности и воспроизводимости характеристик чистый
Ra (у, п) Be-источник нейтронов является весьма полезным стандартным
источником, обладающим большим периодом полураспада.
Источники фотонейтронов
Таблица 2.3.1
Эмиттер у-кван- тов П/2 Энергия у-кван- тов, Мэв Выход у-квантов на акт распада Мишень E , кэв (2.3.6) Измеренное значение En, кэв У-10-4
Na2^ 15,0 ч 2,757 2,757 1,00 1,00 Ве D2O 969 265 830 220 24—29 12; 14
А128 2,27 мин 1,782 1,00 Be 103 — —
СР8 37,29 мин 2,15 0,47 Be 430 — —•
Мп56 2,576 ч 1,77 2,06 2,88 2,88 0,30 0,20 0,01 0,01 Be Be Be D2O 93 350 1076 350 150 300 220 2,9 0.31
3* 35
Продолжение табл. 2.3.1
Эмиттер у-кван- тов ТУ2 Энергия у-квант- тов, Мэв Выход у-квантов на акт распада Мишень 1 En, кэв (2.3.6) Измеренное значение E^, кэв У - 10-4
Ga27 14,1 ч 1,87 2,21 2,51 2,51 0,08 0,33 0,26 0,26 Be Be Be d2o 181 484 750 140 130 5,9 3,7 4,6; 6,9
As76 26,7 ч 1,77 2,06 0,2 0,1 Be Be 93 350 — —
Y»8 104 дня 1,853 2,76 2,76 0,995 0,005 0,005 Be Be d2o 166 972 265 160 10 13 0,3
Iniie 54 мин 2,090 0,25 Be 377 300 0,82
La140 40,2 ч 2,51 2,51 0,04 0,04 Be d2o 747 140 620 130 0,23; 0,34 0,68; 0,97
pr144 17,3 мин 2,185 0,02 Be 462 — 0,08
2.4. ИСТОЧНИКИ НЕЙТРОНОВ С ДЕЛЯЩИМСЯ ВЕЩЕСТВОМ
Некоторые наиболее тяжелые атомные ядра делятся спонтанно. Так как
при делении всегда испускаются нейтроны, эти тяжелые ядра могут быть
использованы как нейтронные источники. Табл. 2.4.1 содержит некоторые
Таблица 2.4.1
Источники нейтронов спонтанного деления
Ядро Период полураспада, годы Число а-частиц на деление Число нейтронов на деление Удельный выход нейтронов *, нейтрон/(мг • сек)
pu236 2,85 1,3-10» 1,9 26
pu238 89.4 5,5-108 2,0 2,2
pu240 6600 1,9-107 2,1 1,1
рп242 3,79-105 1,9-105 2,3 1,7
Cm242 162,5 дня 1,6-107 2,3 1,7-104
Cm244 18,4 7,6-!05 2,6 9-103
Cf252 2,6 — 3,5 2,7•109
* Ьез учета нейтронов (ос, п)-реакции, выход которых зависит от чистоты источника.
данные, относящиеся к трансурановым элементам. Все эти ядра, за исключе-
нием Cf252, являются сс-излучателями. На ядрах загрязнения поэтому могут
иметь место (а, тг)-реакции, в силу чего на собственно нейтронный спектр
таких источников будут накладываться спектры нейтронов соответствую-
щих реакций. Нейтронный спектр таких источников аналогичен спектру
деления U235 (см. рис. 2.6.1). На практике наиболее широко используются
источники с Cf252 и Рп240. Мощность этих источников возрастает при облуче-
нии нейтронами ввиду деления, вызванного нейтронами.
36
Существует возможность создать радиоактивные (а, лг)-источники, ней-
тронный спектр которых подобен спектру деления, (а, тг)-Реакция на F19
дает нейтроны со средней энергией 2 Мэв, что близко к значению средней энер-
гии нейтронов спектра деления. Согласно Точилину и Алвесу (Tochilin,
Рис. 2.4.1. Энергетический спектр нейтронов источника,
имитирующего спектр нейтронов деления:
— — — — вычисленный спектр; --------- — измеренный спектр
Т Д
нейтронов деления; ОД — измерения Точилина и др. (Tochi-
± .1
lin et al., 1958).
Alves, 1958), подобный имитирующий источник можно изготовить из смеси
полония, фтора и бора с небольшой добавкой лития и бериллия. На рис. 2.4.1
показан спектр нейтронов такого источника.
2.5. ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ С ПОМОЩЬЮ
ИСКУССТВЕННО УСКОРЕННЫХ ЧАСТИЦ
Ускорители как нейтронные источники имеют преимущества перед
радиоактивными препаратами. Достижимая интенсивность при этом на
несколько порядков больше, чем в случае радиоактивных источников. Могут
быть получены моноэнергетические нейтроны практически с любой энергией
и с хорошим разрешением по энергиям. Источник может быть пульсирую-
щим, что позволяет проводить измерения по времени пролета. В качестве
источников нейтронов используются различные типы ускорителей в соответ-
ствии с тем, какое из следующих обстоятельств является основным.
а) Моноэнергетические нейтроны могут быть получены в (/>, п)- и (б/, п)-
реакциях с использованием протонов и дейтронов, ускоренных генератором
Ван де Граафа. Иногда для этой цели используются циклотроны, которые
позволяют варьировать энергию и получать моноэнергетические частицы.
б) Реакция (d, п) также весьма эффективна при низких энергиях дей-
трона (меньше 1 Мэв). В качестве мишеней используются дейтерий, литий,
тритий и бериллий. В комбинации с простыми ускорителями низкой энергии,
позволяющими иметь относительно большие токи, можно получить мощные
непрерывные либо пульсирующие нейтронные источники.
37
в) Особенно мощные пульсирующие нейтронные источники могут быть
получены с помощью линейных электронных ускорителей в (у, тг)-реакциях.
Такие источники используются в основном в спектрометрах, работающих
по принципу времени пролета. Иногда для этих целей используются ней-
троны, получаемые в (/>, п)- и (d, ^-реакциях на циклотронах и синхроцикло-
тронах.
2.5.1. Моноэнергетические нейтроны п)-реакций
Поскольку для изложенного ниже метода зависимость энергии нейтро-
нов от углового распределения играет большую роль, обобщим сначала
соотношение (2.1.10). Если обозначить энергию и массу излученного ней-
трона Еп, тп, энергию и массу соударяющейся частицы Е и mG, а массы
мишени и остаточного ядра mt и тТ (mr mt + mG — тп), то
ь 0 <=“*+ FFF (1 нэ ] ±
±2 тг } <2-5'
Для эндотермических реакций Q < 0, причем энергия порога реакции опре-
деляется соотношением [см. уравнение (2.1.1)]
ES = \Q\™G ~mt . (2.5.2)
Если энергия первичных частиц равна точно этому значению, то энергия
получаемых нейтронов равна нулю в системе центра масс; в лабораторной
системе скорость нейтронов совпадает со скоростью центра масс. При этом
их энергия равна
Е-=Е^^- (2-М
С увеличением энергии бомбардирующих частиц нейтроны излучаются
внутрь конуса, описанного около направления падения с угловым раствором,
определяемым соотношением
cos= д/'тг W-P-—Я • (2.5.4)
и г mGmn L Е v тг ) J v 7
Внутри этого конуса могут быть реализованы два значения энергии нейтро-
нов, соответствующие знакам плюс и минус в уравнении (2.5.1). При даль-
нейшем увеличении начальной энергии раствор конуса увеличивается;
энергия одной из групп нейтронов увеличивается, в то время как энергия
другой группы падает *. Энергия второй группы нейтронов уменьшается
до нуля при увеличении начальной энергии
E's=-
тг
mt — mn
1<?|.
(2.5.5)
При этой энергии угловой раствор йо = 90°; это означает, что все нейтроны
излучаются в переднюю полусферу. Дальнейшее увеличение начальной
энергии приводит к излучению нейтронов по всем направлениям. В этом
случае в соотношении (2.5.1) сохраняется только знак плюс, т. е. соотноше-
ние между начальной энергией, углом излучения и энергией нейтрона ста-
новится однозначным. Согласно уравнению (2.5.5), величина E's представ-
* Существование второй группы нейтронов связано с тем фактом, что в окрестно-
сти порога нейтроны., излученные назад в системе центра масс, в лабораторной системе
кажутся движущимися вперед. Это можно легко увидеть, если вывести уравнение (2.5.1)
путем преобразования системы центра масс к лабораторной (Amaldi, 1959).
38
ляет собой граничную энергию для получения моноэнергетических нейтро-
нов. Обычно решение уравнения (2.5.1) представляют с помощью простых
номограмм (рис. 2.5.1 и 2.5.2).
Наиболее часто для получения моноэнергетических нейтронов исполь-
зуется следующая (/?, т?)-реакция:
Li7-f-p—>Ве7 + п—1,646 Мэв,
Рис. 2.5.1. Соотношение между энергией
протона, энергией нейтрона и углом вылета
для пороговой реакции Li7(p, п)Ве7.
около 10% интенсивности основной
Граничная энергия Es для этой реакции равна 1,881 Мэв. При такой энер-
гии протона нейтроны излучаются в направлении вперед с энергией Ens =
— 30 кэв. На рис. 2.5.1 показано
соотношение между энергией протона
(AZJp — Е — Es), углом излучения
и энергией нейтрона при Es<zE < Е'3
(Hanna, 1955). Граничная энергия
для излучения моноэнергетических
нейтронов равна 1,920 Мэв. При
такой энергии протонов нейтроны,
излученные вперед, имеют энергию
120 кэв. Если энергия протона уве-
личивается, увеличивается также
энергия нейтрона согласно уравне-
нию (2.5.1); при энергии протона
2,378 Мэв (энергия излученного впе-
ред нейтрона равна 650 кэв) воз-
можна реакция
Li7 + p->Be7* + n — 2,076 Мэв,
Be9 4- у + 430 кэв,
т. е. ядро Be7 может оставаться в воз-
бужденном состоянии. При более
высоких энергиях появляется группа
нейтронов с малой энергией, соответ-
ствующей этой реакции; интенсив-
ность этой группы непрерывно воз-
растает до величины, составляющей
группы (при Е = 5 Мэв). Таким образом, с помощью реакции Li7 (р, п) Be7
можно получить моноэнергетические нейтроны, излученные в направ-
лении вперед, энергии которых лежат в интервале 120—670 кэв. Моноэнер-
гетические нейтроны более низких энергий излучаются по другим направ-
лениям *; для данной начальной энергии, большей величины E's, энергия
нейтронов Еп уменьшается непрерывно при возрастании угла й согласно
соотношению (2.5.1). Выход нейтронов также быстро падает, так что
измерения параметров нейтронов, излученных в обратном направлении,
представляют значительные трудности. Подробные таблицы по зависимости
энергии нейтрона от угла й и энергии Е были составлены Гиббонсом
и Ньюсоном **. На рис. 2.5.2 приведена диаграмма, отражающая связь
между энергиями протона и нейтрона (McKibben, 1946).
Однородность нейтронов по энергии в (р, тг)-реакции определяется
энергетической однородностью первичных частиц. С помощью хорошо стаби-
лизированного генератора Ван де Граафа можно получить пучки ионов
с разбросом по энергии меньше 1 кэв; при использовании специальных элек-
трических фильтров эта величина может быть уменьшена до 250 эв. С целью
* Исключение составляет группа с энергией 30 кэв, соответствующая точно энер-
гии порога.
** См. Marion, Fowler, стр. 136 (1960), а также Власов Н. А. Нейтроны. М., Гос-
техиздат, 1955.
39
уменьшения энергетической неоднородности, вызванной замедлением пер-
вичных частиц, обычно используют тонкие мишени, в которых потеря энергии
Рис. 2.5.2. Номограмма Мак-Киббена для реакции Li7(/?, п)Be7.
частиц мала. Такие мишени могут быть изготовлены путем осаждения при
испарении металлического лития или фторида лития на танталовую или
платиновую подложку. При бомбардировке протонами мишени должны
Рис. 2.5.3. Выход нейтронов в направле-
нии вперед из металлической литиевой
мишени «толщиной» 40 кэв в зависимости
от энергии протонов. (Пунктир — энергия
нейтронов).
тщательно охлаждаться. В камере
генератора Ван де Граафа, где уста-
навливается мишень, должен под-
держиваться вакуум не хуже
10 мм рт. ст. Наибольшую опасность
представляет при этом конденсация
масел вакуумного насоса, что ведет
к образованию углеродистых отложе-
ний. Это имеет место для всех мише-
ней, в частности для тритий-цирко-
ниевых мишеней.
Вычисление выхода реакции
Li7 (/?, п) Be7 можно проделать с по-
мощью формул п. 2.1.3. Данные по
энергетической зависимости сечения
и величину замедляющей способности
металлического лития можно найти
в книге «Физика быстрых нейтро-
нов» под редакцией Мариона и Фау-
лера (Marion, Fowler, 1960). На рис.
2.5.3 показан выход нейтронов в на-
правлении вперед для мишеней из
металлического лития «толщиной»
40 кэв в зависимости от энергии протонов (Hanson, Taschek, Williams, 1949).
Для получения нейтронов используется также следующая реакция:
Н3 + р _> Не3 + п — 0,764 Мэв.
Энергия порога Es для этой реакции составляет 1,019 Мэв\ энергия нейтро-
нов, излученных вперед, соответствующая этой пороговой энергии, равна
40
63,7 кэв. При энергиях протонов E's. превышающей 1,148 Мэв (энергия
нейтронов, направленных вперед, при этом равна 286,5 кэв). зависимость
между углом и энергией нейтрона становится однозначной. Ядро Не3 не
имеет возбужденных состояний. По этой причине Н3 (р. п) Не3-реакция дает
возможность получить нейтроны, энергии которых лежат в довольно широ-
ком диапазоне (вплоть до 4 Мэв). При энергиях протонов выше 5 Мэв начи-
нают играть роль вторичные процессы (например, реакция Н3 + р -> Н2 +
+ Н2). Подробные таблицы по кинематике этих реакций можно найти
в работе Фаулера и Бролли (Fowler, Brolley, 1956). В качестве мишеней часто
используют так называемые газовые мишени, т. е. камеры, наполненные
газообразным тритием и закрытые тонким окном, направленным к ускори-
телю.
В качестве материала для окна используют чрезвычайно тонкие алю-
миниевые, никелевые или молибденовые фольги (1 — 10 мг/см21). Они могут
выдержать давление трития до 1 атм при токе несколько микроампер. Вообще
говоря, при прохождении окна только первичные частицы теряют заметную
долю своей энергии (около 100 кэв); однако вызванный этим дополнительный
разброс по энергии мал. Часто используют мишени из трития-циркония или
трития-титана; эти мишени будут описаны в п. 2.5.2.
Иногда для получения нейтронов используют реакции:
Sc45 + p->Ti45 + n- 2,840 Мэв.
V51 + p—>Cr51+n— 1,536 Мэв.
С помощью этих реакций можно получать нейтроны относительно низких
энергий, которые вылетают вперед [для скандия Еп (0°) = 5,49 кэв при
Е '= 2,904 Мэв. для ванадия Еп (0°) = 2,3 кэв при E's = 1,567 Мэв]; однако
выход нейтронов в этих реакциях весьма мал.
2.5.2. (d, п)-Источники нейтронов
Реакции
Н2 + Н2->Не34 -п + 3,265 Мэв.
Н2 + Н3—> Не4 +п+17,588 Мэв
часто используются для получения моноэнергетических нейтронов высокой
энергии. Расчет зависимости энергии нейтронов от энергии первичной
частицы следует производить на основании соотношения (2.5.1); поскольку
в этих реакциях всегда Q > 0, то перед знаком корня сохраняется только
знак плюс, так что зависимость между величинами Е. Еп. и й однозначна.
На рис. 2.5.4 показана связь между Е. Еп и й для обеих этих реакций. Реак-
ция Н2 (d. п) Не3 удобна для получения нейтронов, энергии которых лежат
в интервале 2—10 Мэв. а реакция Н3 (d. п)Не4— для получения нейтронов
с энергиями 12—20 Мэв. Соответствующие расчетные таблицы можно найти
в работе Фаулера и Бролли (Fowler, Brolley, 1956). Часто используются
газовые мишени, а также тонкие тритий- титановые или дейтерий- цирконие-
вые мишени. Такие мишени изготовляют следующим образом: тонкий слой
циркония или титана испаряют на подложку из меди, серебра или вольфрама;
затем после тщательной очистки от газа слой насыщают газообразным три-
тием или дейтерием при медленном охлаждении в соответствующей атмосфере.
Таким путем может быть адсорбировано полтора атома трития или дейтерия
на атом циркония или титана. Эти мишени весьма производительны и при
хорошем охлаждении могут выдержать большие ионные токи. Тонкие дейте-
риевые мишени можно изготовить из тяжелого льда при конденсации пара
тяжелой воды на подложке, охлаждаемой жидким воздухом. На рис. 2.5.5.
показаны сечения (d. п)-реакций на Н2 и Н3, а также величина замедляющей
41
способности тритий-титановой мишени в зависимости от энергии дейтрона;
на основании этих данных с помощью формулы (2.1.16) можно вычислить
выходы нейтронов для тонких мишеней. *
В тех случаях, когда допустим разброс нейтронов по энергиям, можно
использовать мишени, толщины которых больше длины пробега первичной
Рис. 2.5.4. Соотношение между энергиями дейтрона и нейтрона и углом испус-
кания для реакций H3(d, я)Не4 и H2(d, п) He3(Amaldi et al., 1937).
частицы. При этом для реакции H3(d, zz)He4 используются толстые тритий-
циркониевые или тритий-титановые мишени, а для реакции H2(d, zz)He3 —
Рис. 2.5.5а. Сечения реакций H2(d, я)Не3
и H3(d, я) Не4 в зависимости от энергии
дейтрона.
мишени из тяжелого льда, дей-
терий-циркониевые или дейте-
рий-титановые мишени. Часто
также применяют в качестве
мишеней металлические фольги,
Рис. 2.5.56. Потеря энергии дейтро-
нами в типичной тритий-титановой
мишени.
насыщенные дейтерием в результате бомбардировки пучком дейтронов из
ускорителя.
На рис. 2.5.6 показаны выходы различных (d, лг)-реакций на толстых
мишенях в зависимости от энергии дейтронов. Реакции H2(d, zz)He3 и особенно
H3(d, п)Не4 весьма эффективны даже в случае очень малых энергий дейтро-
* Для вычисления угловой зависимости интенсивности излучения нейтронов,
необходимо знать зависимость хода сечения от угла.
42
Рис. 2.5.6. Выход нейтронов из тол-
стой мишени для различных (d, п)-
ре акций:
1 — толстая ВЛ — Zr-мишень, реакция
Н3 (d, п) Не4; 2 — реакция Be9 (d, п) В10,
толстая мишень; з — мишень из тя-
желого льда*, реакция H2(d, п)Не3.
нов. Например, можно получить около 1011 нейтрон/сек при бомбардировке
свежей тритий-титановой мишени током 0,5 ма при энергии дейтронов
300 кэв. Поэтому в качестве мощного по-
стоянного или пульсирующего H3(d, ?г)Не4-
источника нейтронов часто используют
небольшие нейтронные генераторы напря-
жением 100—300 кэв и с высоким дей-
тронным током **.
При высоких энергиях дейтронов
часто используется реакция
Ве9 + Н2—^В10 + тг + 4,362 Мэв.
Спектр нейтронов, получаемых в этой
реакции, широк, так как ядро В10 может
оставаться в возбужденном состоянии.
В качестве материала мишеней использует-
ся обычно металлический бериллий. Такие
мишени весьма прочны и могут быть
хорошо охлаждаемы.
Иногда используются (ос, ^-реакции
на Li7:
Li74 Н2-> Be8+ ?г+15,028 Мэв,
Li7 + Н2 -> 2Не4 -Ь п + 15,122 Мэв,
Li7 + H2—>Не5 + Не4 + 14,165 Мэв,
Не4 + 0,958 Мэв.
Эти реакции также не дают моноэнерге-
тических нейтронов. Выход реакций доста-
точно высок даже при низких энергиях
дейтронов; однако изготовление прочных
литиевых мишеней представляет значи-
тельные трудности.
2.5.3. Использование тормозного излучения
от электронных ускорителей
На современных линейных ускорителях с бегущей волной можно полу-
чить большие токи электронов с энергией вплоть до Е = 50 4- 100 Мэв.
При соударении этих электронов с ядрами мишени возникает интенсивное
тормозное излучение, спектр которого непрерывен до энергии hv = Е.
Ввиду того что энергия большей части квантов тормозного излучения пре-
восходит энергию связи нейтронов в ядрах вещества мишени, можно получить
нейтроны в результате (у, и)-реакции. На рис. 2.5.7 показан выход нейтро-
нов из толстой мишени в зависимости от энергии электронов. Величина
выхода быстро растет с увеличением энергии электронов. Для урана выход
нейтронов максимален, поскольку в этом случае нейтроны рождаются не
только в результате (у, п)-реакции: значительный вклад дают также ней-
троны фотоделения. В связи с этим на практике используют толстые урано-
вые мишени. При бомбардировке толстой урановой мишени электронами,
* Согласно Фибигеру (Fiebiger, 1956), облучая золото током дейтронов 50 мка,
можно получить источник мощностью, вдвое меньшей той, которая получается при облу-
чении мишени из тяжелого льда.
** Хорошо охлаждаемая тритиевая мишень может выдержать тепловую нагрузку
100 вт/см2. Долговечность мишени составляет при этом 1 ма* **ч\ при более высоких инте-
гральных потоках выход падает примерно до х/10 начального значения.
43
средний ток которых составляет около 1 ма, а энергия 40 Мэв, выход равен
примерно 1014 нейтрон/сек. При таких высоких тепловыделениях (в данном
случае 40 кет) конструирование мишеней представляет особые трудности
(Poole, Wiblin, 1958). Энергетический спектр нейтронов урановой мишени,
бомбардируемой электронами высокой энергии, подобен спектру нейтронов
деления; средняя энергия нейтронов равна примерно 2 Мэв.
Известно, что линейный ускоритель электронов работает в импульсном
режиме, причем современный линейный ускоритель дает обычно до
500 импульсов электронов в 1 сек, ши-
Рис. 2.5.7. Выход нейтронов из толстой
урановой мишени при бомбардировке
электронами (Barber, George, 1959).
рину которых можно в случае необхо-
димости варьировать в пределах от 0,1
до 5 мксек-, ток электронов в импульсо
может достигать 1 а. Иногда в качестве
пульсирующего источника нейтронов
используют также бетатрон, однако
интенсивность нейтронов в этом случае
гораздо меньше, чем при использовании
линейного ускорителя.
2.5.4. Получение квазимоноэнергетиче-
ских нейтронов с помощью метода вре-
мени пролета
В пп. 2.5.1 и 2.5.2 было показано,
каким образом можно получить различ-
ные группы моноэнергетических ней-
тронов в широком диапазоне энергий
(вплоть до 20 Мэв и даже выше) с по-
мощью генератора Ван де Граафа в ре-
зультате (р, п)- и (d, п)-реакций. Ниж-
ний предел диапазона энергий состав-
ляет около 120 кэв, если исключить из
рассмотрения случай испускания ней-
тронов назад в реакции Li7(/?, ?г)Ве7, а также (р, п)-реакции на ванадии
и скандии, выход которых невелик. Однако нейтроны, получаемые на ускори-
телях и имеющие непрерывное распределение в области энергий от 0,01 до
120 кэв, могут быть разделены на группы по времени пролета.
Предположим, что источник излучает импульс нейтронов с широким
энергетическим распределением. Допустим далее, что детектор нейтронов
расположен на расстоянии I от источника. Из соотношения, связывающего,
энергию нейтронов Е и время их пролета до детектора t:
v Д/2Е/т '
(2.5.6)
следует, что между этими двумя величинами существует однозначная зави-
симость, при условии что длительность импульса нейтронов мала по сравне-
нию с временем пролета. Таким образом, возможно измерение энергий ней-
тронов от непрерывных источников. Так как под детектором можно подра-
зумевать любой измерительный инструмент, детектирующий ядерные реак-
ции, вызванные нейтронами, данный метод позволяет изучать эти реакции
точно так же, как и в случае моноэнергетического источника *.
На практике детектор обычно соединен с многоканальным анализато-
ром, который регистрирует отдельно число событий Zi, осуществляющихся
в интервале времени (^+i, G); таким способом в одном измерении может быть
получен весь энергетический спектр нейтронов. Если время пролета измерять
* Естественно, нельзя использовать активационный метод.
44
в микросекундах, длину пролета — в метрах, а энергию нейтрона — в элек-
тронвольтах, то имеет место важное соотношение
= (2.5.7)
1 Д/Е
Точность измерений энергии методом времени пролета зависит от неопреде-
ленности AZ в величине времени пролета и от разброса AZ в значении длины
пролета. Интервал слагается из ширины импульса нейтронного источника,
а также из величины разрешающего времени детектора и соответствующей
электронной аппаратуры. Как правило, неопределенность в значении длины
пробега пренебрежимо мала по сравнению с неопределенностью в величине
времени проле!а. В этом случае имеет место соотношение
А£’ = |^| Et = 2E~ . (2.5.8)
| dt ] t ' 7
Тогда, согласно соотношению (2.5.7),
Е-0,028 рЕч\ (2.5.9)
Обсудим коротко наиболее важные приложения метода времени
пролета.
Интервал 5—120 кэв. В п. 2.5.1 мы видели, что в этой энергетической
области в реакции Li7(/>, zz)Be7 достигается высокий выход нейтронов
в направлении вперед, но ввиду существования второй группы нейтронов
эта реакция не дает моноэнергетических нейтронов. С помощью метода вре-
мени пролета можно легко разделить эти две группы нейтронов. Однако,
если имеется необходимое оборудование для измерения по времени пролета,
легче получать нейтроны с непрерывным спектром, используя толстые литие-
вые мишени, с последующим разделением их по энергиям методом времени
пролета*. Таким образом, в одном измерении можно исследовать всю энерге-
тическую область. Подобный метод был применен Гудом и сотрудни-
ками, которые в качестве пульсирующего источника протонов использовали
пучок генератора Ван де Граафа, отклоняемый периодически с помощью
электростатического дефлектора. Если ширина импульса равна 5 нсек,
а длина пролета составляет 5 м (разрешающая способность AZ/Z = 1 нсек/м),
то, согласно соотношениям (2.5.8) и (2.5.9), АЕ = 28 эв, а Е = 10 кэв. Сле-
довательно, \Е1Е = 2,8-10~3. Подробное описание соответствующих экспе-
риментальных методов можно найти в работе Пилера и Гуда (В книге:
Физика быстрых нейтронов. Т. I. Под ред. Дж. Мариона и Дж. Фаулера.
М., Госатомиздат, 1963).
Интервал 0,001—10 кэв. Если урановую мишень линейного ускорителя
электронов окружить замедлителем (пластиком, плексиглазом и т. п.),
испущенные нейтроны можно замедлить до низких энергий. На рис. 2.5.8
показано оборудование для нейтронной спектроскопии на линейном ускори-
теле в Харуэлле**. В разных направлениях от линейного ускорителя
выведены длинные вакуумированные трубы для пучков нейтронов; на кон-
цах этих труб расположены счетчики нейтронов или специальные детек-
торы нейтронных реакций. В связи с высокой интенсивностью нейтро-
нов длина пролета может быть доведена до 200 м. Разброс по времени
AZ существенно определяется флуктуациями времени замедления нейтронов
до энергии Е\ согласно изложенному в п. 9.1.1, для воды и пластика имеет
* При использовании, например, толстой литиевой мишени, бомбардируемой
протонами с энергией 1,910 Мэв, получаются нейтроны, направленные вперед, с энер-
гиями между 1 и 105 кэв (см. рис. 2.5.1).
** Для увеличения мощности источника мишень линейного ускорителя Харуэлла
окружена размножающим слоем обогащенного урана.
45
Рис. 2.5.8. Оборудование линейного
ускорителя в Харуэлле:
1 — волновод ускорителя; 2 — вспомо-
гательная мишень; з — основная мишень
с бустером; 4 — каналы для нейтро-
нов. (Рисунок предоставлен сотрудником
Харуэлла Рае)
4
место следующее приближенное соотношение:
= = (2.5.10)
Ssy д/е v ’
где t измеряется в микросекундах, а Е — в электронвольтах. Для Е = 100 эв
kt = 0,18 мксек’, пренебрегая неопределенностями в значениях других вели-
чин и полагая длину пролета равной 100 м, получим кЕ = 0,05 эв, т. е.
kE/Е = 5-10-4 *.
Очевидно, с помощью этого метода можно достичь высокого разрешения.
По этой причине спектрометры по времени пролета совместно с линейными
ускорителями применяют в нескольких лабораториях. Синхроциклотрон
Колумбийского университета, с помощью которого можно получать протоны
высокой энергии для (р, тг)-реакции, также используется совместно со спектро-
метром по времени пролета.
Метод времени пролета в области энергий порядка нескольких мега-
электронвольт нашел свое применение на циклотронах, где используется
присущая данному ускорителю пульсация пучка **. Обычный циклотрон
(например, 42-дюймовый циклотрон Мичиганского университета) дает 107
импульсов в секунду длительностью 4 мсек. Энергия дейтронов при этом
равна примерно 25 Мэв, При бомбардировке толстой бериллиевой мишени
возникают нейтроны с широким энергетическим распределением (от 0 до
25 Мэв); моноэнергетические нейтроны можно получить методом времени про-
лета на пролетной базе 5 м. Во избежание наложения отдельных циклов изме-
рений частоту нейтронных импульсов следует существенно уменьшить.
Поскольку в этой энергетической области для получения моноэнергетических
нейтронов можно применять другие способы (см. и. 2.5.1 и 2.5.2), этот
метод используется редко; однако для нейтронов более высоких энергий
такой метод представляется перспективным.
2.6. ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ
РЕАКТОРАХ
Рассмотрим типичный исследовательский реактор с тепловой мощно-
стью 10 Мет. Так как в одном акте деления высвобождается около 200 Мэв,
то в 1 сек происходит 3-1017 делений. В результате одного акта деления
испускается примерно 2,5 нейтрона, так что в реакторе рождается около
7,5-1017 нейтронов в 1 сек. Для нейтронных исследований доступна, конечно,
только ничтожно малая доля этой мощности источника.
Цель этого раздела не состоит в том, чтобы подробно ознакомить чита-
теля с механизмом цепной реакции или большим количеством физических
и технологических проблем реакторостроения. Скорее есть желание описать
наиболее важные виды излучений, возникающих в исследовательских
реакторах, различные устройства для проведения облучений, а также позна-
комить читателя с некоторым вспомогательным оборудованием для нейтрон-
ной спектроскопии. Что касается реакторной техники, то имеется целый ряд
хороших руководств, где детально описаны отдельные типы реакторов.
2.6.1. Виды излучений
Поле излучения внутри реактора характеризуется нейтронным пото-
ком Ф (см. разд. 5.1), т. е. числом нейтронов, пересекающих в 1 сек во всех
направлениях сферу сечением л7?2 = 1 см2. В первом приближении можно
считать, что все направления движения нейтронов равновероятны, т. е.
* Линейный ускоритель электронов, используемый в Институте атомной энергии
им. И. В. Курчатова для получения нейтронов, описан в журнале «Атомная энергия»,
13, 327 (1962).— Прим. ред.
* * Рыбаков Б. В., Сидоров В. А. Спектроскопия быстрых нейтронов. М.,
Атомиздат, 1958.— Прим. ред.
47
распределение нейтронов по скоростям изотропно. Нейтроны в реакторе
имеют широкое энергетическое распределение Ф (Е), простирающееся от
0,001 эв до 10 Мэв. Величина Ф (£) dE представляет собой поток нейтронов
Рис. 2.6.1. Энергетический спектр нейтронов деления при
делении U235 тепловыми нейтронами.
с энергией, лежащей в интервале (2Г, Е + dE). Область изменения энергии
нейтронов можно разбить на следующие три интервала:
а) Е > 0,5 Мэв — область быстрых нейтронов, где Фу = ф (Е) dE.
0,5 Мэв
В этой области энергий распределение Ф (Е) приблизительно совпадает
со спектром нейтронов деления (рис. 2.6.1), который в свою очередь можно
описать законом
2V(£)^e-^sh /2£, (2.6.1)
где Е — энергия нейтрона, Мэв.
б) 0,2 эв < Е < 0,5 Мэв — область эпитепловых или резонансных
нейтронов, для которой
CDgT) i
<$(E)dE = -~dE. (2.6.2)
В этой энергетической области спектр в основном определяется нейтронами,
замедленными при упругих столкновениях с ядрами замедлителя. Поток
ФеР1 слабо зависит от энергии, и в первом приближении его можно считать
постоянным.
в) Е < 0,2 эв — область тепловых нейтронов, где
Ф^Е-^Ф^е-^т^ . (2.6.3)
Тепловые нейтроны находятся по существу в состоянии термодинамического
равновесия с тепловым движением атомов замедлителя; поэтому их распре-
деление по энергии можно аппроксимировать максвелловским распределе-
нием, соответствующим некоторой эффективной температуре нейтронного
газа, которая несколько выше температуры замедлителя. Для полного потока
тепловых нейтронов имеет место следующее соотношение:
6,2 эв ©о
<2-6-4)
Hl Hz ill (LC
о 0
Приведенное выше разбиение нейтронов в реакторе на три энергетические
группы является, конечно, грубым; в зависимости от конкретных условий
48
во всех трех областях действительные спектры могут довольно сильно отли-
чаться от тех упрощенных спектров, которые были представлены здесь. Однако
для общей ориентации подобное разделение спектра нейтронов на три группы
вполне оправдано.
Относительная доля каждой из этих трех компонент спектра зависит
от координаты внутри реактора, типа реактора, мощности, при которой
работает реактор. Что касается пространственного распределения нейтронов
Рис. 2.6.2а. Горизонтальное сечение исследовательского реактора FR-2
в Карлсруэ:
1 — колонна для измерений; 2 — магнетитовый бетон; з — технологический
исследовательский канал; 4 — алюминиевый бак; 5 — отражатель; 6 — тепловая
колонна; 7 — вертикальные каналы; 8 — шибер; 9 — сквозной канал в тепловой
колонне; 10 —• центральный канал; 11 — касательный канал; 12 — пневматиче-
ский канал; 13—-сквозной канал; 14 —-технологический исследовательский
канал; 15 — отверстие для трубопровода теплоносителя; 16 — активная зона;
17 — тепловая защита.
в реакторе, то интенсивность различных компонент, имеющих максимум
в середине активной зоны, довольно быстро спадает при приближении к внеш-
ней поверхности. Рассмотрим для примера два типа реакторов.
а) Тяжеловодный исследовательский реактор на природном уране. На
рис. 2.6.2 показан в качестве примера исследовательский реактор FR-2
в Карлсруэ. Другими реакторами этого типа являются канадские исследова-
тельские реакторы NRX и NRV, французский реактор FL-2 и швейцарский
исследовательский реактор.
б) Легководный исследовательский реактор с высокообогащенным урано-
вым горючим. В качестве примера этого типа реактора на рис. 2.6.3 показан
реактор для испытания материалов Национальной станции по испытанию
реакторов (шт. Айдахо). Другими примерами такого типа реакторов являются
реакторы ETR, ORR, различные реакторы бассейнового типа и шведский
исследовательский реактор R-2 в Штудсвике.
4 Нейтронная физика
49
Таблица 2.6.1
Уровень потока различных компонент излучения
в типичных исследовательских реакторах
Тип реактора Фу, см~2-сек-1 см~2' сек~1 Ф^, см-2-сек-1 ф . V Мэв • см—2. сек-1
а 2.10*2 10*2 З-Ю13 1012
б 2-1014 1013 3-1014 5-101я
Рис. 2.6.26. Вертикальный разрез исследовательского реактора FR-2 в Карлсруэ:
1 — коллектор теплоносителя; 2 — магнетитовый бетон; з — экспериментальный канал; 4 — актив-
ная зона; 5 — нижняя часть верхней защиты; 6 — зазор (7 5 мм); 7 — трубопровод охлаждаю-
щего воздуха; 8 — верхняя часть верхней защиты (заполненная бетоном); 9 — привод затвора^;
10 — слой гелия (жидкое уплотнение); 11 — сталь (20 мм); 12 — свинец (100 мм); 13 — слой
бораля (7 мм) на стали (20 мм); 14 — тепловая защита; 15 — затвор экспериментального
канала; 16 — бак из алюминия (12 мм); 17 — бораль (7 мм); 18 —сталь (15 мм); 19 — свинец
(60 мм); 20 —сталь (35 мм); 21 — литая сталь; 22 — отражатель; 23 —топливный элемент;
24 — центральный капал; 25 — нижняя переходная втулка; 26 — кольцевая пробка; 27 — вход
D.jO; 28 выход D2O.
50
В табл. 2.6.1 приведены величины различных компонент поля излуче-
ния в среднем сечении активной зоны, т. е. максимальные потоки обоих
типов реакторов. Эти величины соответствуют мощности реактора 10 Мвт\
при нормировке на мощность 1 Мет следует приведенные значения умножить
на коэффициент 0,1. Представленные в таблице потоки должны рассматри-
ваться только как ориентировочные значения, поскольку даже для реактора
основного типа отношение потока к мощности зависит от размеров реактора
и состава топлива. Тем не менее эти величины могут с успехом использоваться
для различных оценок. В действительности, для реакторов типа «б» истин-
ные значения могут существенно превышать приведенные цифры, в то время
Рис. 2.6.3а. Горизонтальное сечение реактора для испытания материалов (Наци-
ональная станция по испытанию реакторов, Айдахо):
1 — решетка активной зоны; 2 — верхнее колено выходного трубопровода; з — канал для
вывода воздуха; 4 — отражатель; 5 — защита; 6 — вход воды; 7 — нижнее колено выход-
ного трубопровода; 8 — графитовые шарики; 9 — графитовые блоки; 10 — тепловая
защита; 11 — тепловая колонна.
как для реакторов типа «а» такая разница меньше. Это связано с тем обстоя-
тельством, что реакторы с легководным замедлителем и обогащенным ураном
имеют гораздо меньшие размеры активной зоны, чем реакторы с тяжеловод-
ным замедлителем на естественном уране, так что в первом случае удельная
мощность выше.
В табл. 2.6.1 приведены также величины потоков (Мэв-смГ2 сект1) у-излу-
чения. Это излучение возникает как в результате процесса деления, так
и в результате захвата нейтронов конструкционными материалами; кроме
того, у-излучение является также следствием радиоактивного распада оскол-
ков деления.
4* 51
2.6.2. Экспериментальные устройства
Приспособления для облучения различных материалов в реакторе
отличаются, конечно, от устройств, с помощью которых из реактора выво-
дится излучение. Последние представляют наибольший интерес для нейтрон-
ной физики. Для вывода излучения из реактора используются каналы.
Рис. 2.6.36. Вертикальный разрез реактора для испытания материалов
(Национальная станция по испытанию реакторов, Айдахо):
1 — канал; 2 — подреакторное помещение; 3 — нижняя заслонка; 4 — аморти-
затор стержня грубой регулировки; 5 — стержень грубой регулировки; 6 — магнит
привода стержня грубой регулировки; 7 — привод стержня грубой регулировки;
8 — вход воздуха; 9 — вход воды; ю — верхняя крышка с приводами регулирую-
щего стрежня и стержня грубой регулировки; и — экспериментальное отверстие;
12 — защита реактора; 13 — привод регулирующего стержня; 14 — горизонтальное
колено выходного трубопровода; 15 —регулирующий стержень; 16 — первый этаж;
17 — объем для разгрузки шариков; 18 — контейнер гидропочты.
Каналы для пучков нейтронов, как правило, представляют собой алюминие-
вые цилиндрические трубы, которые начинаются от отражателя или из актив-
ной зоны, проходят сквозь защиту в горизонтальном направлении или же
пронизывают весь реактор насквозь (см. рис. 2.6.2. и 2.6.3), Число нейтро-
нов, которое можно вывести с помощью такого канала, оценивается следую-
щим образом: если Ф — поток на передней стенке канала, имеющей площадь
52
F, то ФР/4 — число нейтронов, входящих в канал за 1 сек (см. п. 5.1.1).
Пусть I — расстояние между передней стенкой канала (вход канала) и внеш-
ним краем защиты (выход канала). Тогда плотность потока нейтронов
J (см~2-сек~1) на выходе из канала равна
Например, если I — 300 см, Ф = 1013 см~2-сек~1 и F = 50 см2, то J =
= 5-108 см~2-сек~1.
Основную трудность при выводе излучения с помощью канала представ-
ляет тот факт, что одновременно выводятся все компоненты реакторного
излучения, т. е. тепловые, эпитепловые и быстрые нейтроны, а также у-излу-
чение. Для подавления различных компонент излучения существует
несколько методов; так, для уменьшения интенсивности нейтронов тепловой
группы можно использовать кадмиевые или борные фильтры, для эпитепло-
вых и быстрых нейтронов — замедляющие слои, а для у-квантов — свинцо-
вые или висмутовые фильтры. Особенно эффективной мерой для уменьшения
у-излучения является использование сквозного канала, в который поме-
щается небольшой рассеивающий образец из Н2О, D2O или графита; образец
рассеивает в основном нейтроны, и интенсивность у-квантов на выходе канала
мала. Вывод, защита и оптимизация нейтронного излучения из эксперимен-
тальных реакторов являются сложными задачами и не будут здесь рассма-
триваться *.
Другим важным экспериментальным устройством исследовательских
реакторов является тепловая колонна (см. рис. 2.6.2). Тепловая колонна
представляет собой призму из графита высокой чистоты (поперечное сечение
призмы обычно составляет примерно 2x2 л^); призма простирается от
боковой поверхности активной зоны до внешнего края защиты реактора.
Нейтроны, утекающие из активной зоны, полностью замедляются, но не
поглощаются в этой графитовой колонне; таким образом формируется весьма
чистый поток тепловых нейтронов. С помощью каналов, проходящих сквозь
тепловую колонну, могут быть получены пучки тепловых нейтронов. Исполь-
зуя тепловую колонну, можно получить в чистом виде (но при значительной
потере интенсивности) по крайней мере одну из компонент реакторного
излучения.
Иногда, особенно при исследовании защиты, используются нейтронные
конверторы. В таких экспериментах пучок медленных нейтронов падает
на пластину из обогащенного урана, за счет чего создается мощный источник
нейтронов деления; примесь первичных медленных нейтронов можно легко
исключить с помощью кадмиевых или борных фильтров.
2.6.3. Вспомогательная аппаратура для получения
моноэнергетических нейтронов
Для измерения сечений медленных нейтронов создан целый ряд вспомо-
гательных приспособлений, позволяющих выделить монохроматические
нейтроны из непрерывного спектра нейтронов реактора. Наиболее важными
из них являются кристаллический спектрометр, кристаллический фильтр,
механический монохроматор и прерыватель.
Кристаллический спектрометр (область энергий 0,01—10 эв) (рис. 2.6.4).
Действие кристаллического спектрометра основано на брэгговском законе
рассеяния нейтронов [см. уравнение (1.4.1)]. Отражение происходит от
монокристалла, поверхность которого вырезана параллельно рассматривае-
мой плоскости решетки. Часто кристалл используется также для пропуска-
ния нейтронов. Падающий и отраженный пучки тщательно коллимируются
* См. Р. A. Egelstaff (ed.): Tailored Neutron Beams, J. Nucl. Energy, Parts A, B;
17, No 4/5 (1963).
53
(угловой раствор А© составляет около 0,1° или менее) с помощью коллима-
тора Соллера, чтобы по возможности уменьшить энергетический разброс
ЛЕ. Используется первый порядок отражения, поскольку интенсивность
отражения падает примерно как 1 In2, Часто используются следующие плос-
кости решетки: Бе 1231, d = 0,732 A; NaCl 240, d=l,26A; С 111,
d = 2,08 A; LiF 111, d = 2,32 A. Для d = 2,32 А и E = 1 эв угол © равен
3,5°, а при 100 эв он равен 0,35°. Поскольку разброс по энергиям связан
с углом 0 следующим соотношением:
M--_2ctgO-A6~ 2^ , (2.6.6)
то при 100 эв и 0 = 0,1° получим ЛЕ IE = 0,6. Использование бериллия
является более предпочтительным из-за малости расстояния между плоско-
стями решетки. Тем не менее ни с одним кристаллическим спектрометром
Рис. 2.6.4. Кристаллический спектрометр:
1 — защита; 2 — коллиматор; з — кристалл; 4 — коллиматор; 5 — ВГ3-счетчик.
нельзя достичь хорошего разрешения при энергиях, превышающих 10 эв.
Измерения с нейтронами более высоких энергий представляют значительные
трудности, поскольку как интенсивность падающих на спектрометр нейтро-
нов со спектром реактора Ф (/?), так и отражающая способность кристалла
следуют закону 1/2?; следовательно, интенсивность отраженных нейтронов
меняется как 1/Е2. При очень низких энергиях, т. е. ниже максимума распре-
деления Максвелла, появляются высокие порядки отражения. Из соотно-
шения (1.4.1) следует, что для данных d и 0 дополнительно к нейтронам,
соответствующим отражению первого порядка (п = 1), появляются ней-
троны со средними энергиями в 4, 9 и т. д. раз большими, чем для основного
отражения. В этом случае необходимы специальные меры для устранения
отражений высоких порядков, например предварительное использование
грубого монохроматора.
Кристаллический фильтр {рис. 2.6.5). Резкий спад сечения рассеяния
при прохождении нейтронов через кристаллические вещества (см. п. 1.4.3)
может быть использован для создания весьма простого монохроматора. Пучок
нейтронов из реактора пропускается через фильтр, представляющий собой
поликристаллический бериллиевый стержень (поперечное сечение 5x5 см)
длиной около 25 см. Нейтроны пучка с энергиями, превышающими энергию
границы спада, рассеиваются, в то время как «холодные» нейтроны проходят
через фильтр почти без ослабления. Сечение неупругого рассеяния ниже гра-
ничной энергии можно уменьшить путем охлаждения фильтра жидким возду-
хом, что увеличивает пропускную способность фильтра для холодных ней-
тронов. На рис. 2.6.6 показан спектр нейтронов, отфильтрованных с помощью
бериллия. Еще более «холодные» нейтроны могут быть получены с помощью
графита (граничная длина волны обрезания равна 6,04 А, энергия 1,83 мэв)
или висмута (8,00 А, 1,28 мэв).
54
Механический монохроматор (область энергий 0,0005—0,005 эв)
(рис. 2.6.7). Очевидно, что медленные нейтроны могут пройти сквозь ротор,
Рис. 2.6.5. Кристаллический фильтр. (Всегда существуют такие
ориентации плоскостей решетки, что для нейтронов с энергиями
выше пороговой выполняются условия брэгговского отражения.)
изображенный на рис. 2.6.8, только тогда, когда выполняется соотношение
^ = —. (2.6.7)
(0 V V 7
Здесь со — угловая скорость ротора, v — скорость нейтрона. Если I — 50 см,
Дер = 30° и со — 105 сек~г (1000 об/мин), то и = 100 м/сек, что соответствует
монохроматическим нейтронам с энергией 0,052 мэв. Энергетическая одно-
родность в этом случае гораздо меньше, чем для кристаллического спектро-
Рис. 2.6.6. Распределение интенсивности тепловых нейтронов после прохождения
фильтра в виде поликристаллической бериллиевой колонны (Larsson el al., 1958, 1959).
[Показано распределение времен пролета, полученное с помощью тонкого 1/у-детек-
тора; чтобы получить зависимость Ф (Е), следует все значение умножить на X2 ~ 1/Е. J
метра. Однако пропускная способность нейтронов с наперед заданной энер-
гией очень высока. В качестве поглощающего вещества, как правило, исполь-
зуется кадмий; по этой причине такой монохроматор относительно прозрачен
для нейтронов с энергией Е > 0,25 эв. Иногда механический монохроматор
комбинируют с бериллиевыми фильтрами; в этом случае могут быть получены
55
чистые пучки нейтронов с энергией порядка миллиэлектронвольт. Интен-
сивность такого источника можно значительно увеличить, если очень холод-
ный замедлитель (сосуд, наполненный жидким водородом) ввести в реактор,
сдвигая таким образом максимум интенсивности энергетического распреде-
ления нейтронов в область нескольких миллиэлектронвольт.
Прерыватели. Прерыватели в основном употребляются не столько для
получения монохроматических нейтронов, сколько для разбиения непрерыв-
ного потока нейтронов на короткие импульсы (пачки). Это создает возмож-
ность применять технику времени пролета (см. п. 2.5.4). Прерыватели
Коллимированный
пучок тепловых
нейтронов
Рис. 2.6.8. Медленный прерыватель:
1 — алюминиевые прокладки; 2 — кадмиевые пластины; з —детектор; 4 — за-
щита.
делятся на медленные и быстрые. В медленных прерывателях в качестве
поглощающего материала используется кадмий (см. рис. 2.6.8); эти преры-
ватели используются для спектроскопии нейтронов с энергиями ниже 0,25 эв.
Легко видеть, что длительность импульса, получаемого с помощью ротора,
изображенного на рис. 2.6.8, равна
= (2.6.8)
Если d = 1 мм, R = 5 см и со = 1050 сект1, то длительность импульса ней-
тронов \t — 20 мксек*, при длине пролета, равной 5 м, разрешение AZ/Z =
— 4 мксек/м, т. е. \Е = 3 мэв для Е = 0,1 эв. Чтобы ротор был мало про-
зрачен для нейтронов более высоких энергий, в быстрых прерывателях он
выполнен из тяжелых веществ (сталь, никель). При использовании этих
веществ на пределе их прочности, в тяжелых роторах и при очень большом
числе оборотов, могут быть получены импульсы длительностью менее 1 мксек.
56
На рис. 2.6.9 показан схематически прерыватель окриджского исследо-
вательского реактора. При длительности нейтронного импульса 0,7 мксек
и максимальной длине пролета 180 м достигается разрешение 4-10-3 мксек/му
Рис. 2.6.9. Быстрый прерыватель Окриджской национальной лаборатории:
1 — входной коллиматор; 2 — кадмиевый чехол; з — коллиматор внутри реактора,
4 — чехол ротора; 5 — ротор; 6 — мотор; 7 — магнитные датчики; 8 — борсодержащий
бетон; 9 — броневая плита толщиной 7 6 мм; 10 — выходной коллиматор; 11 — откачанная
пролетная труба; 12 — В4С-защита; 13 — нейтронный детектор (пропорциональный
В10Г3-счетчик); 14 — тонкие алюминиевые окна; 16— контроль положения.
что соответствует ДЕ = 3,5 эв при энергии 1 кэв. В прошлом подобные пре-
рыватели позволили сделать большой вклад при изучении нейтронных резо-
нансов. В настоящее время существенное улучшение разрешения и интенсив-
ности достигается при использовании спектрометров по времени пролета
в совокупности с линейными ускорителями.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Am а 1 d i Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik. Bd.
XXXVIII/2, especially § 31—60. Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer,
1959, p. 1.
Feld В. T. The Neutron. Experimental Nuclear Physics. Vol. II. New York, John Wiley
and Sons, 1953, p. 209.
Marion J. B., Fowler J. L. Fast Neutron Physics. Part I. New York, Interscience
Publishers, 1960. (См. на русском языке: Физика быстрых нейтронов. Т. I. Под
ред. Дж. Мариона и Дж. Фаулера. Сокращ. перев. с англ. М., Госатом-
издат, 1963
Власов Н. А. Нейтроны. М., Гостехиздат, 1955.
Специальная
Whaling W. Handbuch der Physik. Bd. XXXIV. Berlin — Gottingen — Heidelberg^
Springer, 1958, p. 193.
Latyshev G. D. Rev. Mod. Phys., 19, 132 (1947).
Сечение реакции Be9 (a, it)
Halpern I. Phys. Rev., 76, 248 (1949).
R i s s e r J. R., P r i c e J. E., С 1 a s s С. M. Phys. Rev., 105, 1288 (1957).
Измерения распределения по энергиям нейтронов
(Ra — Be)-источника
Hill L. D. AEGD-1945 (1947).
Schmidt-Rohr U. Z. Naturforsch., 8a, 470 (1953).
Teucher M. Z. Physik, 126, 410 (1949).
57
Расчет спектров различных (а, п)-источников
Hess W. N. Ann. Phys., 6, 115 (1959).
Измерения распределения по энергиям нейтронов
Ро — Be- и Рп — Ве-источников
Anderson М. Е., В о n d W. Н. Nucl. Phys., 43, 330 (1963).
Breen R. J., Hertz M. R., Wright D. U. Mound Laboratory Report MLM-1054
(1956).
Cochran R. G., H e n г у К. M. Rev. Sci. Instr., 26, 757 (1955).
Medveczky L. L. Acta Phys. Acad. Sci. Hung., 6, 261 (1956).
Whitmore B. G., В a k e r W. B. Phys. Rev., 78, 799 (1950).
Pu — Be-источники нейтронов
R u n n a 1 s О. I. С., В о u c h e r R. R. Can. J. Phys., 34, 949 (1949).
Stewart, Leona. Phys. Rev., 98, 740 (1955).
Выходы (a, n)-реакций на легких ядрах
Roberts J. Н. Los Alamos Report MDDC 731 (1947).
Wattenberg A. Phys. Rev., 71, 497 (1947).
Фотонейтронные источники
Russel В. et al. Phys. Rev., 73, 545 (1948).
Sandmeier H. A. Kerntechnik, 3, 167; 3, 215 (1961).
Schmitt H. W. Nucl. Phys., 20, 220 (1960).
Wattenberg A. Nucl. Sci., Series 6 (1949).
Спонтанное деление как источник нейтронов
Caswell R. S. et. al. NBS Handbook, No 72, p. 12 (1960).
Имитация источников деления
Martin D. S. AECD-3077 (1946).
T о c h i 1 i n E., A 1 v e s R. V. USNRDL-TR 201 (1958); Health Physics, 1, 332 (1958).
Моноэнергетические нейтроны (p, n)- и (cZ, n)-реакций
Fowler J. L., В roll e у J. E. Rev. Mod. Phys., 28, 103 (1956).
Gibbons J. H. Phys. Rev., 102, 1574 (1956).
Hanna R. C. Phil. Mag. VII, 46, 383 (1955).
Hanson A. O., Taschek R. F., Williams J. H. Rev. Mod. Phys., 21, 635
(1949).
McKibben J. L. Phys. Rev., 70, 101 (1946).
Выходы (<Z, n)-реакций на толстых мишенях
A m а 1 d i Е., Hafstad L. R., T u v e M. A. Phys. Rev., 51, 896 (1937).
Bulletin «Н» of the High Voltage Engineering Corporation, Burlington, Massachusetts.
Мишени для H2(d, n) He3-реакции
Fiebiger К. Z. Naturforsch., Ila, 607 (1956).
Описание небольших нейтронных генераторов
В 1 о m s б Е., von D ar del G. Appl. Sci. Res., ВЗ, 35 (1952).
E у r i c h W. Nukleonik, 4, 167 (1962).
Peck R. A., Eubank H. P. Rev. Sci. Instr., 26, 444 (1955).
Выходы нейтронов при бомбардировке различных мишеней
нейтронами высоких энергий
Baldwin G. С., GaerttnerE. R., Y е a t е г М. L. Phys. Rev., 104, 1652 (1956).
Barber W. С., G е о г g е W. D. Phys. Rev., 116, 1551 (1959).
Метод времени пролета
Good W. М., N е i 1 е г J. Н., Gibbons J. Н. Phys. Rev., 109, 926 (1958).
Spaepen J. (ed.) Neutron Time of Flight Methods; Proceedings of the 1961 EANDC
Symposium, Brussels, Euratom, 1961.
58
Нейтронный спектрометр на линейном ускорителе в Харуэлле
Poole М. J., W i b 1 i n Е. R. Geneva, 1958, Р/59, Vol. 14, р. 266. *
Бетатрон как нейтронный спектрометр
Yeat er М. L., G а е г t t n е г Е. R., Baldwin G. С. Rev. Sci. Instr., 28, 514
(1957).
Колумбийский синхроциклотрон как нейтронный спектрометр
Havens W. W. Geneva, 1955, Р/574, Vol. 4, р. 74. **
Rainwater J. et al. Rev. Sci. Instr., 31, 481 (1960).
Измерения по времени пролета в области энергий
порядка нескольких мегаэлектронвольт
В о w е n Р. Н. et al. Nucl. Phys., 22, 640 (1961).
Grismore R., Parkinson W. C. Rev. Sci. Instr., 28, 245 (1957).
Реакторы как источники нейтронов
Hughes D. J. Pile Neutron Research. Cambridge, Addison-Wesley, 1953. (См. na
русском языке: Юз Д. Нейтронные исследования на ядерных котлах. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1954.)
Hughes D. J. Reactor Techniques. Handbuch der Physik. Bd XLIV/2, Berlin — Gott-
ingen — Heidelberg, Springer, 1959, p. 330 ff.
Расчет спектра быстрых и эпитепловых нейтронов
в реакторах
Hakansson R. Nukleonik, 4, 233 (1962).
Robinson М. Т., О е п О. S., Н о 1 m е s D. К. Nucl. Sci. Eng., 10, 61 (1961).
Rowlands G. J. Nucl. Energy, All, 150 (1959/60).
Wright S. B. AERE-R 4080 (1962).
Кристаллические спектрометры
Borst L.B., Sailor V.L. Rev. Sci. Instr., 24, 141'(1953).
Кристаллические фильтры
E g el s t a f f P. A., Pease R. S. J. Sci. Instr., 31, 207 (1954).
Механические монохроматоры
Holt N. Rev. Sci. Instr., 28, 1 (1957).
L о w d e R. D. J. Nucl. Energy, All, 69 (1959/60).
Низкотемпературные замедлители
Webb E. J. Nucl. Sci. Eng., 9, 120 (1961).
Webb E. J. J. Nucl. Energy, A u В 17, 187 (1963).
Медленные прерыватели
Egelstaff P. A. J. Nucl. Energy, 1, 57 (1954/55).
Larsson К. E. et al. J. Nucl. Energy, 6, 222 (1958).
Larsson К. E., Arkiv Fysik, 16, 199 (1959).
Block R. C., Slaughter G. G., Harvey J. A. Nucl. Sci. Eng., 8, 112 (1960).
Быстрые прерыватели
Seidl F. G. et al. Phys. Rev., 95, 476 (1954).
Zimmermann R. L. et al. Nucl. Instr. Meth., 13, 1 (1961).
* В этой главе и в последующих главах см. также на русском языке «Труды
Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии.
Женева, 1958». М., Атомиздат, 1959.
** В этой главе и в последующих главах см. также на русском языке «Материалы
Международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева,
1955» (16-томник).
59
Глава 3
ДЕТЕКТОРЫ НЕЙТРОНОВ
Ввиду того что нейтрон является нейтральной частицей, он не может
быть непосредственно зарегистрирован обычными детекторами, в которых
используется явление ионизации, и поэтому детектирование нейтронов
производится не непосредственно, а при помощи ядерных реакций, в резуль-
тате которых появляются вторичные заряженные частицы. Существуют два
различных типа подобных реакций. В первых заряженная ядерная частица
появляется мгновенно, как, например, в реакциях В10(тг, a)Li7, Не3(тг,/7)Н3
или при рассеянии нейтрона на протоне. Детекторы «мгновенного» действия,
которые будут описаны в этой главе, основаны на приведенных выше реак-
циях. Ко вторым реакциям относятся такие реакции, в результате которых
появляется различного рода радиоактивное излучение ((3+-, [З-- или у-лучи),
которое может быть измерено после извлечения облученного вещества из
нейтронного поля. Этот способ регистрации носит название метода актива-
ции (или метода радиоактивных индикаторов-проб) и применяется в основном
для измерения интенсивности потока нейтронов. Детали метода обсуждаются
в гл. 11—13.
3.1. НЕЙТРОННЫЕ ДЕТЕКТОРЫ НА ОСНОВЕ (п, а)-РЕАКЦИЙ
В В10 И Li6
3.1.1. Борный счетчик
Наиболее простым и часто используемым детектором нейтронов является
борный счетчик. Как правило, это пропорциональный счетчик, наполненный
газообразным трифторидом бора BF3, высокообогащенным (до 96%) изо-
топом В10. В качестве наполняющего газа используется также триметил
Амплитуда импульса, в
Рис. 3.1.1. Идеализированный спектр амплитуд им-
пульсов В Е3-счетчика, облучаемого тепловыми нейт-
ронами.
бора В(СН3)3. Реже при-
меняются счетчики с бор-
ным покрытием, т. е. счет-
чики, стенки которых
имеют покрытие, содержа-
щее бор, и которые напол-
няются обычным газом,
используемым в счетчиках.
На рис. 3.1.1 показан
спектр импульсов В Расчет-
чика, облученного тепло-
выми нейтронами. На ри-
сунке виден максимум, со-
ответствующий двум про-
дуктам реакции В10(п, a)Li7.
Некоторые из а-частиц и
ядер Li7, образованные
вблизи стенок или торцов
счетчика, могут покинуть
чувствительный объем, не
истратив полностью свою энергию на ионизацию газа счетчика. В резуль-
тате этого помимо основного максимума появляется некоторое количество
импульсов с меньшей амплитудой. В области очень малых амплитуд
число импульсов увеличивается; эти небольшие импульсы обусловлены
у-лучами, возникающими в стенках камеры при прохождении электронов.
Имеется возможность легко различить нейтроны и у-лучи с помощью соот-
ветствующим образом подобранного интегрального дискриминатора *. В том
* Величина порога дискриминатора может быть определена с помощью характе-
ристики счетчика. Характеристика должна иметь плато, наклон которого составляет
1—2% на 100 в напряжения на счетчике.
60
случае когда газ содержит примеси, спектр существенно уширяется вслед-
ствие захвата электронов, что вызывает некоторые трудности при разделении
1 2 3 4
508
Рис. 3.1.2. Длинный счетчик Мак-Таггарта:
1 — парафин; 2 — ВГ3-счетчик (рабочая длина ^310 мм)', 3 — В2О3;
4 — восемь отверстий на окружности диаметром 89 мм, глубиной
1 52 мм и диаметром 25,4 мм', 5 — кадмиевая крышка (0,46 мм).
нейтронов и у-квантов. В связи с этим при изготовлении борных счетчиков
необходимо использовать газы высокой чистоты.
Рис. 3.1.3. Зависимость чувствительности длинного счетчика
от энергии. (Нулевое положение счетчика относится к уста-
новке, показанной на рис. 3.1.2, в то время как для после-
дующих кривых счетчик был сдвинут влево.)
8—1 — ехр ( — 1,7 • 10
Если р — давление газа в борном счетчике (атм), a Z — длина рабочего
объема счетчика (см), то эффективность детектирования нейтрона с энергией
Е (эв), падающего на счетчик в продольном направлении, равна
(3.1.1)
Например, при р = 1 атм и I — 20 см эффективность 8 равна примерно
0,90 для тепловых нейтронов (Е = 0,0253 эв) и составляет всего 0,03 для
нейтронов с энергией 100 эв. Очевидно, обычный борный счетчик пригоден
для детектирования только очень медленных нейтронов.
61
Для детектирования быстрых нейтронов с помощью борного счетчика,
нейтроны сперва должны быть замедлены. Согласно Хансену и Мак-Киб-
бену (Hanson, McKibben, 1947), наилучшим для этого является использова-
ние так называемого длинного счетчика. Длинный счетчик представляет
собой устройство, состоящее из борного счетчика и парафинового замедли-
теля, что позволяет регистрировать быстрые нейтроны, причем эффектив-
ность не зависит от энергии нейтрона в широком диапазоне. На рис. 3.1.2
изображен длинный счетчик Мак-Таггарта (McTaggart, 1958), а на
рис. 3.1.3 — зависимость эффективности счетчика от энергии нейтронов,
изменяющаяся только на 3% в области от 25 кэв до 5 Мэв, Конструкция такого
счетчика может быть упрощена; например, отверстия в передней части могут
отсутствовать. Эффективность в этом случае, однако, падает в области энер-
гий ниже 1 Мэв, Без слоя В2О3 и внешнего парафинового покрытия счетчик
становится чувствительным к нейтронам, падающим на боковые стенки. При
энергиях нейтронов, превышающих 5 Мэв, чувствительность счетчика посте-
пенно падает. Грейвс и Девис (Graves, Davis, 1955) показали, однако, что
можно добиться слабой зависимости эффективности от энергии нейтронов
в области 1 —14 Мэв путем некоторого удаления борного счетчика от поверх-
ности замедлителя.
3.1.2. Борные сцинтилляторы
Основными недостатками ВБ3-счетчика являются малая эффективность
при энергии выше 1 эв и невысокое разрешающее время (около 1 мксек-,
в опытах по времени пролета с медленными нейтронами имеется дополни-
тельная неопределенность по времени Д£ = Hv, поскольку неизвестно, когда
нейтрон был захвачен в счетчике). Эти неудобства можно в значительной
Катодный,
повторитель
РЬ
Рис. 3.1.4. Плоский борный счетчик (Marion, Fowler, 1960).
Пучок
нейтронов
Nal(Tl)
В10(диаметр-12^см;
\толщийа 1,27см)
степени обойти путем использования сцинтилляционных счетчиков; экспери-
ментальные расходы становятся, однако, выше, а защита от у-излучения —
труднее.
В детекторе, показанном на рис. 3.1.4, у-кванты с энергией 478 кэв,
возникшие при захвате нейтрона пластиной из В10, регистрируются с помо-
щью кристалла Nal. При этом, если использовать так называемый быстро-
медленный метод совпадения, можно достигнуть разрешения порядка
нескольких наносекунд. В связи с этим подобный детектор весьма удобен
при измерениях по методу времени пролета. Пластина из В10 толщиной около
1 см является черной для нейтронов с энергией до 10 кэв. Эффективность
детектора по отношению к у-квантам с энергией 478 кэв составляет около
10%. Защита от фона у-излучения представляет трудность.
Достаточно нечувствительные к у-лучам нейтронные сцинтилляторы
могут быть изготовлены путем сплавления В20О3 и сульфата цинка. Такие
счетчики могут иметь толщину 1 или 2 мм\ их эффективность равна примерно
эффективности ВБ3-счетчика. Они особенно удобны для экспериментов по
времени пролета с медленными нейтронами. Разрешающее время таких счет-
62
чиков составляет около 0,25 мксек, причем дополнительная неопределен-
ность по времени отсутствует, что обусловлено небольшой толщиной счет-
чика.
Нейтронные детекторы, чувствительные в широкой энергетической
области, могут быть изготовлены путем растворения веществ, содержащих
бор в жидких сцинтилляторах. Боллингер и Томас (Bollinger, Thomas,
1957) описали детектор, в котором в качестве растворителя использовалась
смесь толуола и метилбората (в отношении 1:1), а в качестве сцин-
тиллятора — 2—5-дифенилоксазол (4 г!л). При таком способе регистрации
быстрые нейтроны вследствие столкновений с протонами замедляются
и поглощаются в боре. Эффективность детектора толщиной 2 см составляет
около 36% для нейтронов с энергией 2 кэв; разрешающее время, которое
в основном определяется процессом замедления, составляет около 0,3 мксек.
Значительные трудности связаны с тем обстоятельством, что в таком сцин-
тилляторе световой выход для тяжелых заряженных частиц примерно
в 5 раз меньше, чем для электронов; величина импульса, соответствующая
энергии 2,3 Мэв, высвобожденной в реакции В10(тг, a)Li7, примерно такая же,
как и для электронов с энергией 40 кэв. По этой причине устранение шумов
усилителя точно так же, как защита от у-излучения, сопряжено с определен-
ными трудностями.
3.1.3. Детекторы с Li6
Li6 используется в основном в виде монокристаллов Lil, активированных
европием; они имеют сцинтилляционные свойства, аналогичные соответст-
вующим свойствам монокристалла Nal(Tl). Захват тепловых нейтронов вызы-
вает острый пик (А EIE ж 6%) в спектре импульсов, соответствующий зна-
чению Q = 4,78 Мэв. (Ввиду того что световой выход для тяжелых частиц
ниже, чем для электронов, амплитуда импульсов от сх-частиц соответствует
амплитудам для электронов с энергией 4,1 Мэв.) Используя одноканальный
анализатор импульсов или интегральный дискриминатор, можно отделиться
от импульсов, образованных у-лучами с энергией менее 4,1 Мэв. Разрешаю-
щее время составляет около 0,3 мксек; эффективность по отношению к мед-
ленным нейтронам высока (эффективность кристалла толщиной 1 см равна
60% для нейтронов с энергией 10 эв). Монокристаллы Lil могут быть исполь-
зованы также для спектроскопии быстрых нейтронов (в области энергий
5—15 Мэв). Если Е — энергия нейтрона, вызывающего (п, сх)-реакцию, то
Е + 4,78 Мэв есть полная энергия, переданная кристаллу. Таким образом,
спектр импульсов может быть преобразован в энергетический спектр падаю-
щих нейтронов, если известно сечение реакции Li6(zz, а)Н3. Световой выход
зависит от распределения энергии реакции между тритием и а-частицей.
Это обстоятельство влияет на соотношение между величиной импульса
и энергией нейтрона. Для улучшения разрешения кристалл полезно охла-
дить до температуры жидкого азота (Murray, 1958).
Для детектирования быстрых нейтронов с помощью кристалла Li6I
Брамблетт, Эвинг и Боннэр (Bramblett, Ewing, Bonner, 1960) предложили
систему «стандартных» сфер из замедляющего вещества. Если энергетиче-
ский спектр детектируемых нейтронов известен приближенно, то можно
маленький монокристалл Li6I последовательно устанавливать внутри поли-
этиленовых сфер диаметрами 5; 7,5; 12,5; 20 и 30 см, измеряя всякий раз
скорость счета. На рис. 3.1.5 показаны экспериментально определенные
эффективности этих сфер в зависимости от энергии нейтронов. При уве-
личении диаметра максимум чувствительности явно перемещается в область
высоких энергий. Таким образом, сопоставление результатов, полученных
с различными сферами, позволяет сделать некоторые заключения о форме
исследуемого спектра нейтронов.
Сравнительно недавно была доказана возможность изготовления так
называемых стеклянных сцинтилляторов путем сплавления Li^O, А12О3.
63
С12О3 и SiO2. Эти счетчики обладают коротким временем высвечивания
(разрешающее время может быть доведено до 5 нсек) и высокой чувствитель-
ностью. Эффективность сцинтиллятора толщиной 3,75 см для нейтронов
с энергией 1 кэв составляет 25%. Спектр импульсов имеет максимум, соот-
ветствующий энергии электрона около 1,6 Мэе с разрешением порядка 25%.
Рис. 3.1.5. Относительная чувствительность сферических счет-
чиков Боннера разных диаметров как функция энергии
нейтронов.
нечувствительным к у-квантам с энергией, меньшей 1,3 Мэв (Firk, Slaughter,
Ginter, 1961). Стеклянные сцинтилляторы могут быть изготовлены также
с использованием В2О3; может быть использована смесь с ZnS (см. п. 3.1.2)
и с литием (Stedmann, 1960).
3.2. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ЭНЕРГИИ
С ПОМОЩЬЮ ПРОТОНОВ ОТДАЧИ
Если нейтрон с энергией Е сталкивается с покоящимся протоном, то
протон приобретает кинетическую энергию, определяемую соотношением *
ЕР = Е cos2 й. (3.2.1)
Здесь й — угол рассеяния (в лабораторной системе), измеряемый по отноше-
нию к направлению движения нейтрона; Ер может принимать все значения
между нулем (скользящее соударение, й = 90°) и Е (лобовое соударение,
й = 0°). В связи с тем что рассеяние в системе центра масс изотропно, все
значения энергии протона между нулем и Е равновероятны. Другими сло-
вами, когда водородсодержащее вещество бомбардируется нейтронами
энергии Е, спектр протонов отдачи описывается соотношением
f dEp
f(Ep)dEp={ Е ' (3.2.2)
I 0, ЕР>Е.
Если на водородсодержащее вещество падает поток нейтронов, имею-
щих некоторое энергетическое распределение J (Е), то спектр протонов
отдачи определяется соотношением
f(EP) = const ] J(E)oa(E)-^-. (3.2.3)
Ер
* О кинематике нейтрон-протонных соударений см. п. 7.1.
64
Следовательно,
J (Е) I dEp |лр=в
(3.2.4)
Вышеприведенные соотношения важны при использовании протонов отдачи
в нейтронной спектроскопии; если в данном акте рассеяния одновременно
измерены Ер и 'й, то можно определить энергию нейтрона. Различные ней-
тронные спектрометры, которые будут описаны в п. 3.2.2, основаны на этом
принципе. Если измерения ограничиваются только энергиями протонов
отдачи, то спектр нейтронов может быть определен с помощью дифференци-
рования измеренного энергетического распределения протонов отдачи;
практически этот метод обеспечивает необходимую точность только в редких
случаях.
3.2.1. Простые счетчики протонов отдачи
На рис. 3.2.1 изображен типичный пропорциональный счетчик для
регистрации быстрых нейтронов. В качестве наполняющего газа может быть
использован водород или метан при давлении до 2 атм. Пробег протонов
отдачи в этих газах относительно велик (в водороде при давлении 1 атм
Рис. 3.2.1. Пропорциональный счетчик протонов отдачи (Marion, Fowler, 1960):
1 — ковар; 2 — сталь толщиной 0,51 мм; 3 — крестовина (120°); 4 — заземленные трубки;
5 — ковар; 6 — гибкий провод; 7 — трубка для откачки; 8 — латунь толщиной 0,25 мм;
9 — сталь толщиной 0,38 мм, покрытая никелем.
R == 2,5 см для Е = 0,5 Мэв); краевые эффекты в этом счетчике играют важ-
ную роль и спектр импульсов сильно отличается от простой формы, опреде-
ляемой соотношением (3.2.2) (особенно при бомбардировке нейтронами высо-
ких энергий). По этой причине определение неизвестного спектра нейтронов
вряд ли возможно. С другой стороны, если спектр известен, этот счетчик
очень удобен для измерений потоков быстрых нейтронов в области энергий
от 30 кэв до 3 Мэв. Он может быть преобразован в пороговый детектор при
использовании электронного импульсного дискриминатора; в таком случае
будут регистрироваться только импульсы, соответствующие протонам отдачи
с энергиями, превышающими EQ. Согласно соотношению (3.2.2), эффектив-
ность без учета краевых эффектов равна
8 = 0, E<Eq,
Е>Е0
(3.2.5)
5 Нейтронная физика
65
Абсолютное значение эффективности составляет около 1 % для нейтронов
с энергией 1 Мэе, падающих в продольном направлении, когда счетчик напол-
нен СН4 при давлении 1,5 атм.
Значительно более высокую эффективность при малых краевых эффек-
тах можно получить, если применять в качестве детекторов протонов отдачи
сцинтилляционные счетчики. Для этой цели могут быть использованы орга-
нические кристаллы (антрацен, стильбен), жидкие сцинтилляторы, также
сцинтилляторы с пластиком. Эффективность детектирования нейтронов
с энергией 100 кэв, например, в случае стильбенового кристалла толщиной
1 см составляет 60% и уменьшается примерно до 4% для 10 Мэв. Нейтроны
с энергией ниже 30 кэв не могут регистрироваться, поскольку генерируемые
ими импульсы сравнимы по величине с шумом фотоумножителя. Эти счетчики
могут быть приспособлены для использования в измерениях по времени
пролета с быстрыми нейтронами. Их наилучшее разрешающее время состав-
ляет примерно 1 нсек. Спектр импульсов, соответствующий облучению моно-
энергетическими нейтронами, не имеет простой прямоугольной формы, опре-
деляемой соотношением (3.2.2), поскольку для протонов связь .между свето-
вым выходом и энергией нелинейная. По этой причине невозможно опреде-
лить энергетическое распределение падающих нейтронов на основании
соотношения (3.2.4) с использованием спектра импульсов. Однако на нели-
нейность кристалла могут быть сделаны соответствующие поправки (Broek,
Andersson, 1960). Наибольшая трудность при работе со сцинтилляционными
счетчиками протонов отдачи связана с тем обстоятельством, что чувствитель-
ность детектора к у-квантам и нейтронам примерно одна и та же. В последнее
время благодаря использованию метода дискриминирования формы импульса
(Brooks, 1959) стало возможным уменьшить на несколько порядков чувстви-
тельность жидких сцинтилляторов и органических кристаллов по отноше-
нию к у-квантам.
Согласно Хорньяку (Hornyak, 1952), простой нечувствительный к у-излу-
чению сцинтиллятор для протонов отдачи можно изготовить путем сплавле-
ния сульфида цинка вместе с органическим стеклом. Детектор Хорньяка
не позволяет получить узкого распределения импульсов и поэтому пригоден
только для предварительных экспериментов.
Чувствительность большинства детекторов протонов отдачи слабо зави-
сит от направления падающих нейтронов; ввиду этого детекторы должны быть
хорошо защищены, если нет необходимости в счете нейтронов, падающих
в поперечном направлении. Однако имеется возможность изготовления сцин-
тилляционных счетчиков со строго направленной чувствительностью. Для
этой цели используется то обстоятельство, что протоны отдачи, возникающие
при рассеянии быстрых нейтронов, строго коллимированы в направлении
вперед в лабораторной системе координат. С помощью пластикового сцин-
тиллятора, состоящего из отдельных стерженьков, толщина которых меньше
длины пробега протонов отдачи, Стетсон и Берко (Stetson, Berko, 1960)
подбором соответствующего уровня дискриминации установили, что для
нейтронов, падающих в продольном направлении, эффективность регистра-
ции в 1000 раз больше, чем для нейтронов, падающих в поперечном направ-
лении. Строго направленная чувствительность может быть осуществлена
также с помощью искровых счетчиков (Kruger, 1959).
3.2.2. Спектроскопия нейтронов по протонам отдачи
Одновременное измерение энергии и угла рассеяния протона отдачи
может быть осуществлено с помощью ядерных эмульсий. При работе с ядер-
ными эмульсиями используются как внутренние, так и внешние источники
протонов отдачи, т. е. протоны, возникающие в специальной фольге вне
эмульсии или же генерируемые в самой фотопластинке. При использовании
специальных типов ядерных фотоэмульсий могут быть измерены энергии
66
протонов вплоть до 200 кэв. Метод фотопластинок по этой причине часто
используется для исследования спектра нейтронов в энергетической области
0,2—20 Мэв. Для определения энергии нейтронов в области 50—500 кэв
иногда применяют пузырьковые камеры, с помощью которых детектируют
треки протонов отдачи.
Существуют различные типы
непосредственно регистрирующих
нейтронных спектрометров. В ус-
тановке Джонсона и Трейла, изо-
браженной на рис. 3.2.2, протоны
отдачи испускаются из тонкой
пластиковой фольги. Протоны, вы-
летевшие в направлении вперед,
проходят через два пропорциональ-
ных счетчика и останавливаются
в кристалле CsI или Nal(Tl). Со-
бытие регистрируется, если имеет
место тройное совпадение между
двумя пропорциональными счет-
чиками и кристаллом. Энергию
протона можно определить по
величине импульса сцинтилля-
ционного счетчика; при этом необ-
ходимо внести небольшие поправки
на потерю энергии в пропорцио-
нальных счетчиках. С помощью Рис. 3.2.3. Спектрометр совпадений протонов
этой установки можно получить отдачи (Marion, Fowler, 1960).
разрешение по энергии около 5%
в области энергии нейтронов 1—20 Мэв; эффективность счета мала
(~10-5), поскольку излучающая фольга из пластика должна быть чрез-
5* 67
вычайно тонкой. Согласно Шмидту-Рору (Schmidt-Rohr, 1953), а также
Перлоу (Perlow, 1956), измерения энергии в диапазоне от 50 кэв
до 1 Мэв можно проводить с помощью коллимирования протонов отдачи,
образующихся в газоразрядной области пропорционального счетчика.
Другой прибор, позволяющий проводить измерения энергии, напоминает
хорошо известный спектрометр Комптона для у-квантов с двумя кристаллами
(рис. 3.2.3). В этом случае измеряется распределение энергии протонов
отдачи, произведенных в первом сцинтилляторе; события регистрируются,
однако, только тогда, когда рассеянный нейтрон входит во второй кристалл,
ориентированный под углом ф по отношению к направлению движения
падающего нейтрона (т. е. в случае, если имеет место запаздывающее совпа-
дение). Очевидно, что
K^E'p/sin2^, (3.2.6)
так что после поправки на нелинейность светового выхода может быть опре-
делен спектр нейтронов. Для этого метода характерна слабая чувствитель-
ность и невысокое разрешение.
3.3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
3.3.1. Камера деления
При делении тяжелого ядра осколки деления обладают суммарной кине-
тической энергией порядка 160 Мэв. Поэтому имеется возможность создать
Рис. 3.3.1. Сечение деления некоторых тяжелых ядер как
функция энергии нейтронов.
нечувствительные к у-излучению камеры деления для регистрации нейтронов.
Такие детекторы удобны для измерения нейтронных полей в реакторах (где
имеется высокий у-фон), для измерений сечений деления (см. п. 4.4.1),
и, кроме того, их можно использовать как пороговые детекторы. На рис. 3.3.1
показаны сечения деления некоторых тяжелых ядер в зависимости от энер-
гии нейтронов, отчетливо видны пороги при энергиях 0,26 Мэв для U234,
0,32 Мэв для Np237, 0,70 Мэв для U236, 1,3 Мэв для U238, 1,5 Мэв для Th232.
Камеры деления с покрытиями из этих изотопов часто используются как
пороговые детекторы для быстрых нейтронов или в более общем случае
как спектральные индикаторы (см. гл. 13). Делящиеся на тепловых нейтро-
нах изотопы U233, U235 и Ри239 также служат иногда спектральными инди-
каторами для полей тепловых нейтронов (см. п. 15.2).
68
Как правило, детекторы деления наполнены аргоном и работают в режиме
ионизационной камеры. Делящееся вещество наносится обычно в виде
покрытия на электроды. Для получения хорошего спектра импульсов тол-
щина покрытия не должна превышать 1 мг!см\ поскольку в противном
случае самопоглощение продуктов деления становится заметным. В связи
с такой малой поверхностной
плотностью урана изготовлять
камеры с высокой эффективностью
детектирования трудно. В некото-
рых случаях изготовлялись много-
слойные камеры, общая поверх-
ность электродов которых состав-
ляла несколько тысяч квадратных
сантиметров.
При использовании плутония
полное количество делящегося
вещества не должно превышать
10—20 мг, что обусловлено силь-
ной а-активностью.
Обычно камеры для измерения
сечений изготовляют в виде плос-
копараллельных пластин, по-
скольку простота их конструкции
позволяет проводить необходимую
проверку для выполнения точных
абсолютных измерений. Для из-
мерения потоков часто применяют
электроды в виде коаксиальных
цилиндров. Подробное обсуждение
конструкций и характеристик
камер деления можно найти в
статье Ламфера (Lamphere, 1953).
3.3.2. Детекторы с Не3
Пропорциональный счетчик,
наполненный Не3, при облучении
нейтронами с энергией Ё дает
Амплитуда импульса, В
Рис. 3.3.2. Спектр импульсов Не3-счетчика
при облучении быстрыми нейтронами:
1— область, соответствующая у-излучению; 2 —
пик, соответствующий эпитепловым нейтронам;
3 — пик, соответствующий нейтронам с энергией
120 кэв; 4 — пик, соответствующий нейтронам с
энергией 600 кэв; 5 — пик, обусловленный ядрами
отдачи Не3; 6 — пик, соответствующий нейтронам
с энергией 1 Мэв.
импульсы, величина которых про-
порциональна Е + Q, где Q (764 кэв) — энергия реакции Не3(п, /?)Н3. Эта
реакция часто используется для исследования спектра нейтронов в области
энергий от 200 кэв до 2 Мэв. Цилиндрический счетчик, описанный Бэтче-
лором, Эйвсом и Скирма (Batcheror, Aves, Skyrme, 1955), имеет диаметр
примерно 5 см, эффективную длину около 10 см и наполнен смесью Не3 и
криптона (для уменьшения краевых эффектов), парциальные давления кото-
рых равны соответственно 27 см и 164 см. На рис. 3.3.2 показаны спектры
импульсов, измеренных с помощью этого счетчика при бомбардировке
нейтронами с энергиями 0,12, 0,6 и 1,0 Мэв. При более высоких энергиях
нейтронов импульсы, возникающие от ядер отдачи Не3, вносят уже суще-
ственный вклад: при упругом соударении нейтрона с энергией Еп с покоя-
щимся ядром гелия последнее получает энергию от 0 до 3/4 Еп. По этой
причине с помощью Не3-спектрометра не удается непосредственно исследо-
вать спектры, простирающиеся в область нескольких мегаэлектронвольт*.
* Однако, как показал Фергюссон (EANDC-UK-17, 1962), ядра отдачи могут быть
исключены из спектра, если регистрировать совпадение между двумя заряженными
частицами, возникающими в реакции Не3 (n, р) Н3. Сейерес (EANDC-33, 1963) исполь-
зовал дискриминатор формы импульса для расширения области использования Не3-
детектора до 8 Мэв.
69
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Allen W. D. Neutron Detection. London, George Newnes Ltd., 1960. (См. на русском
языке: Аллен В. Д. Регистрация нейтронов. Перев. с англ. М., Госатомиздат,
1962.)
В arsch all Н. Н. Detection of Neutrons. Handbuch der Physik, Bd. XLV. Berlin —
Gottingen — Heidelberg, Springer, 1958, p. 437 ff.
Marion J. B., Fowler J. L. (ed.) Fast Neutron Physics. Part I. New York, Intersci-
ence Publishers, 1960. (См. на русском языке: Физика быстрых нейтронов. Т. I. Под
ред. Дж. Мариона и Дж. Фаулера. Сокращ. перев. с англ. М., Госатомиздат, 1963.)
Rossi В., Staub Н. Ionization Chambers and Counters. New York — Toronto —
London, McGraw-Hill, 1949. (См. на русском языке: Росси Б., Штауб Г. Иони-
зационные камеры и счетчики. Перев. с англ., М., Изд-во иностр, лит., 1951.)
Специальная
BF3- и В (СН3)3-счетчики
Ferguson G. A., Jablonski F. Е. Rev. Sci. Instr., 28, 893 (1957).
Fowler I.L., Tunnicliffe P. R. Rev. Sci. Instr., 21, 734 (1950).
Hauser U. H. Z. Naturforsch., 7a, 781 (1952).
Tongiori С. V., Hayakawa S., WidgoffM. Rev. Sci. Instr., 22, 899 (1951).
Длинные счетчики
Allen W. D., Ferguson A. T. G. Proc. Phys. Soc. (London), A70, 639 (1957).
Graves E. R., Davis R. W. Phys. Rev., 97, 1205 (1955).
Hanson А. О., M с К i b b e n M. L. Phys. Rev., 72, 673 (1947).
McTaggart M. H. AWRE-Report NR/AI/59 (1958).
Tochilin E., Alves R.V. Nucl. Instr. Meth., 8, 225 (1960).
Борные счетчики
Bollinger L. M., Thomas G. E. Rev. Sci. Instr., 28, 489 (1957).
Koontz P. G., К e e p i n G. R., Ashley J. E. Rev. Sci. Instr., 26, 352 (1955).
Muehlhause С. O., Thomas G. E. Phys. Rev., 85, 926 (1952).
Rae E. E., В owe у E. M. Proc. Phys. Soc. (London), A66, 1073 (1953).
Sun К. H., Malmberg P. R., P ec j ak F. A. Nucleonics, 14, No. 7, 46 (1956).
Li6-детекторы нейтронов
В r a m b 1 e t t R. L., E w i n g R. I., В о n n e r T. W. Nucl. Instr. Meth., 9, 1 (1960).
F i r k F. W., Slaughter G. G., Ginther R. J. Nucl. Instr. Meth., 13, 313 (1961).
Murray R. B. Nucl. Instr. Meth., 2, 237 (1958).
Stedmann R. Rev. Sci. Instr., 31, 1156 (1960).
Нейтронные детекторы для измерений по времени пролета
Brooks F. D. Neutron Time-of-Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961, p. 389.
Пропорциональные счетчики протонов отдачи
Allen W. D. F e r g u s о n A. T. G. Proc. Phys. Soc. (London), A70, 639 (1952).
S k у r m e T. H. R., Tunnicliffe P. R., Ward A. G. Rev. Sci. Instr., 23, 204
(1952).
Сцинтилляционные счетчики протонов отдачи
В г о е k Н. W., Anderson С. Е. Rev. Sci. Instr., 31, 1063 (1960).
Cranberg L., Beauchamp R. K., Levin J. S. Rev. Sci. Instr., 28, 89 (1957).
G e t t n e r M., S e 1 о v e W. Rev. Sci. Instr., 31, 450 (1960).
Hardy J. E. Rev. Sci. Instr., 29, 705 (1958).
McCrary J. H., Taylor H. L., В о n n e r T. W. Phys. Rev., 94, 808 (1954).
Разделение нейтронов и у-квантов методом дискриминации формы импульса
Brooks F. D. Nucl. Instr. Meth., 4, 151 (1959).
Owen R. В. Nucleonics, 17, No. 9, 92 (1959).
Метод Хорньяка
Handloser J., Higinbotham W. E. Rev. Sci. Instr., 25, 98 (1954).
H о r n у a k W. F. Rev. Sci. Instr., 23, 264 (1952).
70
Направленная чувствительность детекторов протонов отдачи
Kruger G. Nukleonik, 1, 237 (1959).
Stetson R. F., Berko S. Nucl. Instr. Meth., 6, 94 (1960).
Наблюдение протонов отдачи с помощью фотопластинок
Deckers Н. Nucl. Instr. Meth., 13, 224 (1961).
Nereson N., R eines R. Rev. Sci. Instr., 21, 534 (1950).
Rosen L. Nucleonics, 11, No. 7, 32 (1953); Geneva, 1955, P/582, Vol. 4, p. 97.
Наблюдение протонов отдачи с помощью камеры Вильсона
Е gll er С. et al. Nucl. Sci. Eng., 1, 391 (1956).
Спектрометры протонов отдачи
Вате S. J. et al. Rev. Sci. Instr., 28, 997 (1957).
Benenson R. E., Shurman M. B. Rev. Sci. Instr., 29, 1 (1958).
Cli agn on P. R. О w e n G. E., Madansky L. Rev. Sci. Instr., 26, 1156 (1955).
Cochran R. G., Henry К. M. Rev. Sci. Instr., 26, 757 (1955).
Giles R. Rev. Sci. Instr., 24, 986 (1953).
Nereson M., Darden S. Phys. Rev., 89, 775 (1953).
Perlow G. J. Rev. Sci. Instr., 27, 460 (1956).
Schmidt-Rohr U. Z. Naturforsch., 8a, 470 (1953).
Конструкция камер деления
Baer W., Bayard R. T. Rev. Sci. Instr., 24, 138 (1953).
Hickman G. D. Nucl. Instr. Meth., 13, 190 (1961).
Lamphere R. W. Phys. Rev., 91, 655 (1953).
Rohr R. C., R о h r e r E. R., Macklin R. L. Rev. Sci. Instr., 23, 595 (1952).
Не3-Детекторы
Batchelor R., Aves R., Skyrme T. H. R. Rev. Sci. Instr., 26, 1037 (1955).
Batchelor R., Me Hyder H. R. J. Nucl. Energy, 3, 7 (1956).
Глава 4
ИЗМЕРЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
В этой главе будет сделан краткий обзор наиболее важных дифферен-
циальных методов измерения сечений. Под дифференциальными методами
обычно понимаются методы, при которых вещество бомбардируется пучком
нейтронов и величина соответствующего сечения определяется либо путем
измерения ослабления или рассеяния потока нейтронов, либо по величине
наведенной активности. Как правило, сечения измеряются в зависимости от
энергии монохроматических нейтронов; иногда, однако, измеряются средние
величины в хорошо известном спектре (спектр Максвелла тепловых нейтро-
нов, спектр 1/Z?, спектр деления). В последующих главах подробно будут
обсуждаться различные интегральные методы измерения сечений, основан-
ные на взаимодействии нейтронов с веществом.
4.1. МЕТОД ПРОПУСКАНИЯ
4.1.1. Определение полного сечения
На рис. 4.1.1 схематически показано экспериментальное устройство
для простейшего опыта по пропусканию. Если Z0— скорость счета детектора
без образца, то после введения образца толщиной d скорость счета будет
равна
Z+ = Z°e-Natd. (4.1.1)
71
Если Т = Z+IZQ — пропускание образца, то полное сечение в силу (4.1.1)
равно
Gt = ’ (4.1.2)
Соотношение (4.1.1) выполняется строго только в том случае, если рассеян-
ные нейтроны не достигают детектора, т. е. в условиях «хорошей геометрии»,
которые достигаются за счет расположения детектора на достаточном рас-
стоянии от источника и за счет уменьшения размеров как самого детектора,
так и образца до минимально возможной величины. В опытах по пропуска-
нию следует тщательно учитывать фон нейтронов, рассеянных от стен лабо-
ратории, ибо в противном случае скорость счета Z+ даже в случае сильного
ослабления образцом может содержать большую погрешность. Измерения
фона осуществляются с помощью «теневого конуса», расположенного между
образцом и детектором, причем конус исключает все нейтроны первичного
пучка. При соблюдении указанных условий измерение величины Gt может
Падающие
нейтроны Образец Прошедшие
~ — — 7 п нейтроны
Детектор
tf 1
Рис. 4.1.1. Принципиальная схема эксперимента по пропус-
канию.
быть выполнено достаточно точно. Особым достоинством метода пропуска-
ния является то, что он сразу дает абсолютное значение сечения. В гл. 1
уже были описаны некоторые типичные результаты подобных измерений
Как правило, имеют смысл опыты по пропусканию только моноэнерге-
тических нейтронов. Если пучок нейтронов имеет широкий энергетический
спектр J (Е), простая интерпретация опыта становится невозможной,
поскольку спектральные изменения пучка нейтронов, прошедших
образец, влияют на чувствительность детектора *.
Соотношение
Z+ = z°e-Jv^d,
где
- _ J 0t (Е) J (Е) dE
J J (£) dE ’
имеет место только в том случае, если образец достаточно
[Ndot(E) < 1] и эффективность детектора не зависит от энергии.
в этих условиях в соотношении (4.1.3) можно пользоваться эффективным
сечением, усредненным по спектру падающих нейтронов.
4.1.2. Определение резонансных параметров
Особый интерес представляют опыты по пропусканию в резонансной
области, где сечения быстро меняются с энергией. На рис. 4.1.2 показана
типичная кривая пропускания для довольно широкого энергетического
интервала, полученная с помощью прерывателя. Сечение может быть
вычислено на основании опытов по пропусканию при различных энергиях
с помощью соотношения (4.1.2). Однако при такой процедуре невозможно
сквозь
(4.1.3)
(4.1.4)
ТОНКИЙ
Только
* Процесс, однако, является обратимым, поскольку, при известной зависимости
сечения от энергии из опытов по пропусканию может быть получена информация о спек-
тре нейтронов.
72
получить истинного хода сечения, поскольку наблюдаемая зависимость суще-
ственно искащена вследствие влияния эффекта Допплера (см. п. 7.4.3)
и отчасти вследствие конечной разрешающей способности спектрометра.
Вообще говоря, само по себе измерение полного сечения не представ-
ляет значительного практического интереса: основной целью экспериментов
является определение резонансных параметров Брейта — Вигнера. Поэтому,
как правило, стараются по возможности определять эти величины непосред-
ственно из кривых пропускания и таким образом исключают возмущения,
вызванные эффектом Допплера, а также конечной разрешающей способно-
стью прибора. Существуют различные методы непосредственного определе-
ния резонансных параметров; здесь же мы кратко обсудим только один из
наиболее простых методов — так называемый метод площадей. Рассмотрим
для простоты неделящееся ядро, для которого отличны от нуля только Гу
Рис. 4.1.2. Типичные кривые пропускания в резонансной области, полученные
с помощью тонкого (а) и толстого (б) образцов.
и Гп. Пренебрегая потенциальным рассеянием, а следовательно, и эффектом
интерференции, можно вблизи резонанса записать следующее соотношение
(см. п. 1.3.4):
= (£__£я)2_|_(г/2)2 • (4.1.5а)
Введя обозначение
<т0 = Ot (Er) = 4лИ -Ь- , (4.1.56)
можно соотношение (4.1.5а) представить в виде
’,|£Ь4Й)‘'
Тогда величина пропускания образца с учетом приведенных соотношений
равна
Т (Е) = ехр
7Ш0
(4.1.7)
/ E — Er \ 2
к Г/2 )
где п = Nd атом!см\
Площадь под кривой пропускания определяется интегралом
£#4-8
А = [ 1 —- ехр
Евг& I
(4.1.8)
В этом соотношении длина интервала интегрирования 2s должна быть доста-
точно большой, чтобы охватить почти весь резонанс. Следовательно, без
существенной погрешности можно положить & — оо, после чего нетрудно
провести интегрирование, в результате которого получим соотношение
А(п<э0, Г) = А„0г0ге-^о/2[10(п0г0/2) + 11(псг0/2)], (4.1.9а)
73
где Iо и Ii — модифицированные функции Бесселя первого рода. В предель-
ных случаях для очень тонких и очень толстых фольг соотношение )4.1.9а)
можно упростить. Именно для тонких фольг, для которых по0 < 1,
Л = -^по0Г. (4.1.96)
Этот результат может быть получен непосредственно из уравнения (4.1.8),
поскольку при < 1 подынтегральную функцию можно аппроксимировать
показателем экспоненты.
Для толстых фольг, для которых, наоборот, тго0 > 1,
А = Г У(4.1.9в)
Этот результат с точностью до численного множителя может быть также
получен из соотношения (4.1.8). При по0 > 1 показатель экспоненты
велик и подынтегральная функция равна практически единице, если
[2 (Е — Eb)IV\2 < па0; с другой стороны, если [2 (Е — Е^)!Т]2 > тга0,
то показатель экспоненты и, следовательно, подынтегральная функция малы
и интеграл приблизительно равен «ширине» АЕ = Г
Таким образом, из экспериментов по пропусканию на тонких и толстых
фольгах с последующим графическим интегрированием кривых пропускания
могут быть получены две различные комбинации параметров п0 и Г. Из этих
соотношений могут быть отдельно найдены а0 и Г. С помощью выражения
(4.1.56) можно найти также Гл и в конечном итоге вычислить Г7 как раз-
ность между Г и Гп. Достоинством рассмотренного метода является то обстоя-
тельство, что, хотя функция разрешения спектрометра изменяет форму кри-
вой пропускания (уширяет и делает ее более плоской), площадь А под кри-
вой пропускания не изменяется. Физически это очевидно (и может быть легко
подтверждено прямыми вычислениями), поскольку величина А пропорцио-
нальна полному числу поглощенных и рассеянных в резонансе нейтронов,
которое, естественно, не зависит от разрешающей способности прибора.
Однако если резонанс существенно уширяется вследствие эффекта Допплера
(см. п. 7.4.3), то может измениться и величина А. В этом случае соотношение
между 4, (То и Г можно установить с помощью диаграмм, опубликованных
Пильчером и др. (Pilcher, Harvey, Hughes, 1956). Тем не менее соотношения
(4.1.96) и (4.1.9в) по-прежнему справедливы в предельных случаях, когда
па0 < 1 и w0 > 1. Таким образом, метод площадей всегда дает возможность
достаточно просто определить резонансные параметры с помощью опытов
по пропусканию на тонких и толстых образцах.
Серьезные трудности могут возникнуть в связи с тем, что формула
Брейта — Вигнера справедлива только для реакций, в которых ядро-
мишень имеет нулевой спин, а нейтрон — нулевой орбитальный угловой
момент. В общем случае в формуле Брейта — Вигнера возникает статисти-
ческий весовой множитель
g = 2(27+1) ' (4.1.10)
Здесь I — спин ядра-мишени и J — спин составного ядра. Для резонансов
5-волны (Z = 0) спин J равен Z -j- х/2 или I — х/2. Как правило, спин состав-
ного ядра J неизвестен; в связи с этим g-фактор является дополнительной
неизвестной величиной. Равенство (4.1.6) справедливо и в этом случае для
полного сечения, однако п0 дается соотношением
o0 = 4nk^-bL. (4.1.11)
Из анализа кривых пропускания, как и выше, могут быть найдены о0
и Г, однако теперь на основе этих величин может быть определена только
комбинация gTn. Поэтому, если необходимо определить Гл и, следовательно,
Г7, следует задать величину g. Если I = х/2, то, согласно уравнению (4.1.10),
74
возможные значения g равны г/4 или 3/4, так что возникает значительная
неопределенность. В некоторых случаях правильные значения J и g нетрудно
предугадать (если, например, Гп > Г7 или если предположение о том, что g
равно наименьшему из двух возможных значений, приводит к неравенству
> Г). В большинстве случаев, однако, Гп, Г7 или J можно определить
непосредственно с помощью дополнительных измерений, например на осно-
вании анализа опытов по резонансному рассеянию или резонансному захвату.
Спин составного ядра J может быть определен в экспериментах по взаимо-
действию поляризованных ядер с поляризованными нейтронами. Все эти
эксперименты, однако, очень сложны; поэтому присутствие в уравнениях
множителя g создает существенные трудности при интерпретации опытов
по измерению резонансных сечений.
4.1.3. Определение неупругого сечения
На рис. 4.1.3 показано устройство, наиболее часто используемое для
измерения сечения неупругих процессов при взаимодействии быстрых ней-
тронов с тяжелыми ядрами:
£>пе — п = &п, п' Ч" &п, -у 4~ On, f • • • • (4.1.12)
Исследуемое вещество размещают вокруг источника, изотропно излучающего
источник
Рис. 4.1.3. Принципиальная схема опыта по про-
пусканию в сферической геометрии.
нейтроны, в виде концентрического сферического слоя толщиной d. На рас-
стоянии Z, значительно превышающем радиус сферы 7?, располагают порого-
вый детектор, не регистрирующий нейтроны, которые испытали неупругое
столкновение. Если Q — мощность источника, то в отсутствие сферического
слоя ток 7, падающий на детектор, равен
/ = (4.1.13)
Если источник окружен сферическим слоем, то соответствующий ток опреде-
ляется соотношением
+ (4.1.14)
где Js — ток упруго рассеянных в сферическом слое нейтронов. Неупруго
рассеянные нейтроны не регистрируются, поэтому они исключены из рас-
смотрения. Для тонких слоев Nvtd < 1, и поскольку I > R, то
г QNп s • (4.1.15)
Поэтому (4.1.16)
или J 4л/2 е пе- (4.1.17)
75
Таким образом, опыт по пропусканию с тонким сферическим слоем дает воз-
можность определить непосредственно сечение неупругих процессов. Как
показали Бете, Вейстер и Картер (Bethe, Beyster, Carter, 1956, 1957), в неко-
торых случаях соотношение (4.1.17) справедливо даже тогда, когда условие
Nde < 1 не выполняется. Можно также показать, что соотношение (4.1.17)
справедливо и в том случае, когда сферический слой окружает детектор.
На практике часто используют этот факт, поскольку большинство (р, п)~
и (rf, ^-источников излучает нейтроны неизотропно; изготовить же детектор
с изотропной чувствительностью нетрудно.
На рис. 4.1.4 показано сечение неупругих процессов для железа, кото-
рое имеет типичную для большинства ядер зависимость от энергии, определен-
ную в экспериментах со сферическим слоем. Сначала сечение быстро растет
Рис. 4.1.4. Сечение неупругих процессов для железа как
функция энергии нейтронов.
вплоть до энергии порядка нескольких мегаэлектронвольт; далее оно почти
постоянно в широкой энергетической области и приблизительно равно гео-
метрическому сечению. Полное сечение примерно вдвое больше сечения
неупругих процессов (см. п. 1.3). При высоких энергиях во многих случаях
сечение неупругих процессов равно сечению неупругого рассеяния, по-
скольку другими конкурирующими реакциями можно пренебречь. Метод*
сферического слоя является поэтому простейшим способом определения
сечения неупругого рассеяния.
Важное приложение этого метода связано со следующим обстоятельством:
так как для неделящихся ядер в области энергий ниже порога неупругого
рассеяния поглощение является единственным конкурирующим с упругим
рассеянием процессом, измерение методом пропускания со сферическим
слоем позволяет определить непосредственно величину сечения поглощения,
которое в большинстве случаев равно сечению радиационного захвата.
Описанная процедура обладает относительно малой точностью, если сечение
оа невелико по сравнению с os.
4.2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ
4.2.1. Упругое рассеяние и угловые распределения
На рис. 4.2.1 показано типичное устройство для изучения упругого
рассеяния нейтронов. Нейтроны источника рассеиваются образцом, размеры
которого малы по сравнению со средней длиной пробега до рассеяния; послед-
нее условие необходимо для того, чтобы результаты не были искажены много-
кратным рассеянием. Под углом й0, который может меняться, расположен
детектор, тщательно защищенный от прямого пучка и от нейтронов фона,
76
обусловленного рассеянием на стенах помещения. Если AQ — телесный
угол, охватывающий детектор, V — объем образца, 8 — эффективность
детектора, то скорость счета равна
Z = JVN-^— ап п (cos Фо) eAQ, (4.2.1)
£ ST
где &п,п (cos йо) — дифференциальное сечение рассеяния. Полное сечение
рассеяния получается в результате интегрирования функции вП)П (cos й0)
по всей области изменения
угла й0:
л
п = ^n,n (cos^o) sin й0^й0.
о
(4.2.2)
Согласно соотношениям
(4.2.1) и (4.2.2), при абсо-
лютных измерениях для
определения величины <зп>п
следует знать абсолютные
значения J и 8. Можно,
однако, провести относи-
тельные измерения, сравнив
изучаемое сечение с сече-
Ладаюицие
нейтроны
Образец
Рис. 4.2.1. Принципиальная схема эксперимента по
измерению углового распределения рассеянных ней-
нием, которое хорошо из- тронов.
вестно из других измерений
(например, для многих легких ядер аП)П — О/, поскольку впе < ап,п).
В одном из вариантов этого метода рассеивающее вещество имеет форму
кругового кольца, на оси которого располагают
Рис. 4.2.2. Угловое распределение (в системе центра
масс) нейтронов при упругом рассеянии на железе.
как источник, так и детек-
тор. В этом случае прямое
излучение поглощается
теневым конусом, который
размещается между источ-
ником и детектором.
В экспериментах по изуче-
нию рассеяния, естествен-
но, возникает необходи-
мость свести к минимуму
влияние неупруго рассе-
янных нейтронов. Для
этой цели может быть при-
менена методика измере-
ния с помощью порогового
детектора; часто исполь-
зуется также метод вре-
мени пролета.
Если изучаемое рас-
сеивающее вещество может
быть использовано в каче-
стве наполняющего газа
для пропорционального
счетчика (водород или
благородные газы), то для
пределения может быть применен качественно
измерения углового рас-
отличный метод. Согласно
законам упругого столкновения, имеется прямое соотношение между рас-
пределением энергии ядер отдачи и угловым распределением нейтронов
(п. 7.1). Таким образом, измерение с помощью анализатора спектра импуль-
сов от ядер отдачи в пропорциональном счетчике дает возможность после
77
внесения поправок на краевые эффекты получить угловое распределение
нейтронов.
Угловое распределение нейтронов, упруго рассеянных на легких ядрах,
обсуждалось в п. 1.4.2. На рис. 4.2.2 показано угловое распределение
упруго рассеянных на железе нейтронов, которое является типичным и для
более тяжелых ядер. В то время как при низких энергиях рассеяние почти
изотропно в системе центра масс, при увеличении энергии наблюдается
явная анизотропия, причем рассеяние вперед является всегда более вероят-
ным. Во многих случаях результаты экспериментов по исследованию углового
распределения упруго рассеянных нейтронов можно интерпретировать
с помощью оптической модели, рассмотрение которой выходит за пределы
этой книги.
4.2.2. Неупругое рассеяние
Процесс неупругого рассеяния характеризуется дифференциальным
сечением рассеяния (Е', Е, cos где Е'— энергия нейтрона до столк-
новения, Е — энергия после столкновения и й0 — угол рассеяния. Измерение
Рис. 4.2.3. Система, использованная Кранбергом для изучения
инеупругого рассеяния по времени пролета нейтронов:
1 — пластины дефлектора; 2 — диафрагма; з — электростатическая
линза; 4 — мишень; 5 — рассеиватель; 6 — политен; 7 — ЫСО3
(50%) + парафин (50%); 8 — свинец; 9 — пластиковый сцинтиллятор;
10 — металлическая защита; 11 — фотоумножитель.
этого сечения может быть произведено с помощью аппаратуры, изображенной
на рис. 4.2.1. Помимо прочего должна быть измерена и энергия нейтронов
Е после рассеяния. В принципе для этих измерений могут быть использо-
ваны спектрометры, однако в большинстве случаев их разрешающая способ-
ность и чувствительность недостаточны. Поэтому чаще используют метод
времени пролета. Схема опыта изображена на рис. 4.2.3. Монохроматиче-
ские нейтроны с энергией Е' получают с помощью генератора Ван де Граафа
в результате (р, п)~ и (d, тг)-реакций. С помощью электростатического откло-
няющего устройства протонный или дейтронный пучок формируется в виде
очень коротких импульсов (длительностью порядка нескольких наносекунд)
с высокой частотой следования (105—106 сек”1). Полученные в результате
указанных реакций нейтроны рассеиваются образцом. Спектр нейтронов,
рассеянных образцом под углом й0, измеряется по методу времени пролета
с помощью детектора, соединенного с многоканальным временным анализа-
тором. Энергетический спектр рассеянных нейтронов может быть рассчитан
на основе формул, приведенных в п. 2.5.5; для этой цели, конечно, необ-
ходимо знать зависимость эффективности детектора от энергии. Получить
78
необходимое разрешение и достаточную интенсивность нейтронов, вообще
говоря, весьма трудно. Среди важнейших помех следует отметить зависящий
от времени фон нейтронов, рассеянных от стен помещения. В том случае^
когда таким способом измерено дифференциальное сечение рассеяния
<зп,п' (Е', Е, cos й0), можно путем интегрирования по углам получить сече-
ние неупругого рассеяния п> (Е', Е) и далее, проинтегрировав по энергиям
испущенных нейтронов, вычислить полное сечение неупругого рассеяния
(5Пу П' (£"), которое может быть измерено также методом сферического слоя.
Если неупругое рассеяние определяется лишь несколькими уровнями
возбуждения ядра-мишени, то сечение неупругого рассеяния оп, п' (Ef, Ej)
может быть найдено в зависимости от энергии нейтрона Е' путем измерения
Рис. 4.2.4. Экспериментальные j и расчетные (---) величины сечения неупругого
возбуждения для первых уровней W184.
интенсивности у-лучей, сопровождающих высвечивание возбужденного
состояния, с помощью кристалла Nal(Tl) *. Здесь, так же как и в случае
метода времени пролета, определение абсолютного значения сечения неупру-
гого рассеяния связано с большими трудностями.
На рис. 4.2.4 и 4.2.5 приведены некоторые результаты экспериментов
по неупругому рассеянию. При низких энергиях существует реальная воз-
можность разделить вклад отдельных уровней ядра-мишени и определить
таким образом неупругие сечения возбуждения вп,п' (Е', Ej), При высоких
энергиях падающих нейтронов плотность уровней ядра-мишени настолько
велика, что подобное разделение теряет смысл. Как показывает опыт, про-
цесс испускания нейтрона из составного ядра в этом случае может рассма-
триваться на основе модели ядерного испарения, согласно которой
Е) = а„,п,(Е')Ае-я/Ео. (4.2.3)
* Здесь Ej — энергия возбуждения соответствующего уровня ядра-мишени;
энергия рассеянного нейтрона Е определяется соотношением Е = Е' — Ej, если пре-
небречь энергией ядра отдачи.
79
«Ядерная температура» Ео может быть определена по энергетическому рас-
пределению неупруго рассеянных нейтронов; при этом энергия Ео зависит
от Е' и равна примерно 1 Мэв. Угловое распределение неупруго рассеянных
нейтронов в первом приближении можно считать изотропным.
Энергия нейтронов, Мэв
Рис. 4.2.5. Энергетический спектр нейтронов, неупруго рассеянных
на тантале под углом 90° (первоначальная энергия нейтронов 5 Мэв).
4.3. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СЕЧЕНИЙ РЕАКЦИЙ
Ниже будут рассмотрены все основные реакции, за исключением деле-
ния, т. е. реакции (п, а), (п, р), (п, у), (п, 2п) и ряд других. Не существует
какого-либо универсального метода, с помощью которого можно было бы
измерить сечение любой из этих реакций. Способы исследования, которые
обычно используются, могут быть классифицированы следующим образом.
1. Если х ~ то сечение можно определить из опытов по пропус-
канию. Это условие выполняется для многих (п, у)-реакций с медленными
нейтронами и, например, для реакции (п, а) при взаимодействии медленных
нейтронов с В10. Если же сечение рассеяния не является пренебрежимо малым
по сравнению с сечением реакций, то могут быть проведены эксперименты
по пропусканию со сферическим слоем.
2. Сечения реакций, в которых происходит поглощение нейтрона, могут
быть определены с помощью интегральных методов, рассматриваемых ниже.
Эти интегральные методы применяются даже в тех случаях, когда сечение
изучаемой реакции очень мало по сравнению с сечением рассеяния.
3. Если остаточное ядро, образовавшееся в результате реакции, ста-
бильно, то выход реакции и, следовательно, ее сечение можно определить
с помощью масс-спектрометрического анализа. Этот метод применим только
в некоторых случаях и для чрезвычайно сильных доз облучения.
4. Во многих случаях реакция ведет к образованию остаточного радио-
активного ядра, активность которого после облучения нейтронами может
быть определена с помощью детектирования позитронного, электронного
или у-излучения. Если тонкий слой (Ndoact < 1) исследуемого вещества
облучается в течение времени нейтронным током J [нейтрон/(см2-сек)],
то активность слоя А (число распадов в 1 сек на 1 см2 поверхности) в момент
80
времени t2 после окончания облучения дается соотношением (см. п. 11.1)
А = JNoactd (1 — e-^i) е~^. (4.3.1)
Здесь X = 0,693ITi/2 — постоянная радиоактивного распада Остаточного
ядра. Если величины J и А определены в результате абсолютных измерений,
то нетрудно вычислить сечение aact- Активационный метод наиболее часто
используется для измерения сечений реакций. Почти все измеренные сече-
ния (п, р)-, (тг, а,)- и (тг, 2тг)-реакции с нейтронами высоких энергий были опре-
делены таким методом. Некоторые примеры будут приведены в гл. 13.
5. Если имеется возможность ввести вещество мишени в детектор (напри-
мер, в виде газа, подобного Не3, или в виде компоненты сцинтиллирующего
кристалла Lil, или CsI и т. д.), то (тг, /?)- и (тг, сс)-реакции могут быть изу-
чены путем непосредственного наблюдения спектров импульсов. Сечения
(тг, р)- и (тг, а)-реакций получают иногда как результат прямого регистриро-
вания протонов и а-частиц, испускаемых тонкими фольгами.
6. Сечение радиационного захвата можно определить, наблюдая непо-
средственно у-излучение, возникающее после облучения нейтронами веще-
ства мишени. Поскольку переход из возбужденного состояния в основное
происходит обычно не сразу, а через различные промежуточные состояния,
наблюдаемый спектр у-излучения сложен. Он может сильно деформироваться
с изменением энергии захватываемого нейтрона, поскольку возможны раз-
личные промежуточные состояния. Поэтому интенсивность испущенных
у-квантов не является разумной мерой сечения захвата. С другой стороны,
если все возникающие в одном акте захвата у-кванты суммируются в большом
сцинтилляционном счетчике (большой сосуд с жидким сцинтиллятором)
и регистрируются только те импульсы, величина которых соответствует
энергии возбуждения составного ядра (т. е. сумме кинетической энергии
и энергии связи нейтрона в составном ядре), то скорость счета пропорцио-
нальна сечению захвата. Таким способом могут быть измерены сечения (тг, у)-
реакций для ядер, не активирующихся в результате радиационного захвата.
Рассматриваемую методику можно применить совместно с методом времени
пролета в области энергий от 10 эв до 100 кэв в том случае, когда отсут-
ствуют источники моноэнергетических нейтронов для активационных экспе-
риментов.
Ни один из изложенных выше методов, за исключением метода пропус-
кания и интегральных методов, не позволяет получить абсолютное значение
для величины сечения, поскольку для определения абсолютного значения
сечения необходимо знать величину потока падающих нейтронов и скорость
реакции. Абсолютные измерения этих величин (особенно потока нейтронов)
являются весьма сложной задачей. Поэтому опубликованные значения сече-
ний реакций включают большие неопределенности. Во многих случаях экспе-
рименты ограничиваются измерением сечения по отношению к некоторой
стандартной величине.
4.4. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ДЕЛЯЩИМИСЯ ВЕЩЕСТВАМИ
Детальное изучение свойств размножающих сред не является предметом
данной книги. Поэтому здесь будут кратко рассмотрены только некоторые
методы по определению параметров делящихся элементов, поскольку эти
методы входят в число важнейших при изучении физики нейтронов. Среди
параметров делящегося вещества наиболее характерными являются сече-
ние деления an,y (Е), сечение захвата вп,у(Е) и среднее число вторичных ней-
тронов v, испущенных при делении. Одной из определяющих характеристик
является отношение сечения захвата к сечению деления, т. е.
<4-4л>
6 Нейтронная физика
81
а также выход нейтронов на один нейтрон, захваченный делящимся веще-
ством:
п (Е) = v ayl>f = v (4 4 2)
н 7 ozz,/(£) + on,v(£) 1+а(£) ' k * * 7
В принципе развиты независимые методы измерения всех пяти параметров,
но они неприменимы одновременно для всех ядер при любых энергиях ней-
тронов. Однако только три из указанных параметров независимы, и поэтому
достаточно трех соответствующих измерений.
4.4.1. Измерение сечения деления
Идея эксперимента по измерению сечения деления проста: делящееся
вещество помещается в камеру деления и подвергается облучению нейтро-
нами. Если скорость деления определена из абсолютных измерений и если
известны поток нейтронов и общее количество делящегося материала, то
нетрудно вычислить сечение деления ап, у. На практике, однако, абсолютное
измерение скорости деления, определение количества урана или плутония,
а также измерение потока нейтронов представляют значительные трудности.
Хотя, как правило, энергетическая зависимость у (Е) может быть акку-
ратно измерена, точность наших знаний относительно абсолютных значений
сечений недостаточна по многим причинам. В табл. 4.4.1 приведены соответ-
ствующие данные для U235 при Е = 0,0253 эв с учетом последних результатов.
Таблица 4.4.1
Сечение деления U235 тепловыми нейтронами (г?о = 22ОО м/сек)
Метод измерения у, барн
Абсолютный счет числа делений с помощью 4л-камеры деления. Измерение потока — по активации Ан197 587+6 (Deruytter, 1961)
Абсолютный счет числа делений с помощью ка- меры деления. Измерение потока — по активации Ан197 557 (Friesen, Seppi, Leonard, 1956) 590+12 (Raffle, 1959) 568+7 (Bigham, 1958)
Количество актов деления определялось на осно- вании счета числа вторичных нейтронов. Абсолютное значение потока — по поглощению в пластине В10 605+6 (Saplakoglu, 1958)
Чтобы определить сечение деления в области резонанса, необходимо
знать брейт-вигнеровские параметры Гп, Г, g, а также полуширину деления
Гу, которую можно получить на основании результатов опытов по пропуска-
нию и по измерению скорости деления. Эксперименты по пропусканию
с тонкими и толстыми фольгами дают значения а0 и Г (см. п. 4.1.2). Если
энергетическая зависимость у (Е) вблизи резонанса известна, то, вычисляя
площадь под соответствующей кривой, получим
Af= Jncr„, f (E)dE -=^-n<yorf. (4.4.3)
Комбинируя полученный результат с данными опытов по пропусканию,
можно вычислить Г у. Часто в области резонанса вместо сечения деления опре-
деляется величина ц, ибо в максимуме резонанса имеет место соотношение
И,., Гу
v Гу + г7
(4.4.4)
82
В этом случае величина Г/ снова может быть получена в комбинации с дан-
ными экспериментов по пропусканию. Описание резонансов делящихся
веществ с помощью формулы Брейта — Вигнера для одиночного уровня
недостаточно точно, так что в последнее время делаются попытки связать
измеряемые сечения с формулой для многих уровней.
4.4.2. Определение параметров v, ц и а
Для определения среднего числа вторичных нейтронов v, испускаемых
при делении, исследуемое вещество помещают в камеру деления и облучают
нейтронами. Если регистрируются все акты деления, то число испущенных
вторичных нейтронов определяется соотношением
Q^Zv, (4.4.5)
где Z — полная скорость счета. Величина Q определяется с помощью одного
из стандартных методов измерения мощности источника, обсуждаемых
в гл. 14. Большинство измерений параметра v, проведенных до сих пор,
выполнено относительно величины v при делении U235 тепловыми нейтро-
нами.
Величина ц измеряется, согласно определению, как отношение числа
нейтронов, испущенных делящимся образцом, к числу поглощенных ней-
тронов. При низких энергиях такие измерения просты, поскольку о'п>/ +
+ Оп, у > Os, так что все падающие нейтроны поглощаются в достаточно
толстом образце; поэтому необходимо измерить только интенсивность первич-
ного нейтронного пучка и число вторичных нейтронов. При высоких энер-
гиях, наоборот, образец должен быть тонким, чтобы рассеяние было по
возможности минимальным, так как число поглощенных нейтронов опреде-
ляется по пропусканию. Число вторичных нейтронов измеряется стандартным
методом, который будет описан ниже.
Отношение сечения захвата к сечению деления можно определить,
если поместить образец из исследуемого делящегося вещества в центр боль-
шого сосуда с жидким сцинтиллятором и облучить его моноэнергетическими
нейтронами пульсирующего источника. В каждом акте захвата нейтрона
поглощение у-кванта генерирует в сцинтилляторе импульс, величина кото-
рого пропорциональна полной энергии возбуждения составного ядра. Если
имеет место акт деления, то сначала появляется импульс, вызванный мгно-
венным у-излучением деления, после которого с запаздыванием от 10 до
100 мксек следует другой импульс, вызванный захватом термализованных
нейтронов деления. С помощью подходящего электронного оборудования
явления могут быть индивидуализированы и, следовательно, может быть
непосредственно измерен параметр ос. Другой метод основан на масс-спектро-
метрическом анализе образца, облучавшегося в течение долгого времени
в реакторе; с помощью этого метода может быть получено только среднее
значение величины ос по недостаточно хорошо известному спектру нейтронов
в реакторе. Наконец, отношение Gnjl(5t может быть определено, если одно-
временно измерены полная скорость деления и пропускание образца. Для
очень медленных нейтронов as < так что величина 1 —|— ос может быть
получена после внесения соответствующей небольшой поправки.
В табл. 4.4.2 приведены значения ап, 7, ос, v и ц для изотопов U233,
U235 и Ри239, соответствующие нейтронам со скоростью 2200 м/сек. Поскольку
только три из этих пяти параметров независимы, различные эксперимен-
тальные значения обработаны таким образом, чтобы выполнялись соотноше-
ния (4.4.1) и (4.4.2) для «согласующейся» системы параметров.
Наиболее достоверное экспериментальное значение ц = 2,077 ± 0,010,
известное в настоящее время, получено Макклином и др. (Macklin et al.,
1960) методом марганцевого бассейна (см. гл. 13).
6* 83
Таблица 4.4.2
Параметры делящихся веществ (v0 — 2200 м/сек) *
Эле- мент ап, /’ баРн °л> г барн 1 + а П V Автор
JJ233 524+4 49+2 1,0935+0,0038 2,291+0,009 2,50+0,012 Evans, Fluhar- ty, 1960
(J235 586+7 94+5 1,160+0,010 2,077+0,010 2,410+0,020 Macklin et. al., 1960
ри239 748,2+4,9 281,9+6 1,377+0,011 2,093+0,014 2,882+0,016 Sher, Felder- baum, 1962
* В работе Весткотта и др. (препринт Международного Агентства по атомной энергии, Вена,
1965; см. «Atomic Energy Review», Vol. 3, No. 2) проведен анализ большого числа эксперимен-
тальных данных, собрана обширная библиография и описан метод получения средних величин.
Из этой работы рекомендуем читателю таблицу ядерных констант при скорости нейтронов
2200 м/сек для изотопов урана и плутония.—Прим. ред.
Изо- топ аа’ барн Су, барн %, г барк а U V
U233 576,3±2,3 527,7±2,1 48,6±1,5 0,0921 ±0,0029 2,284±0,008 2,494±0,009
U235 679,9±2,3 579,5±2,0 100,5+1,4 0,1734±0,0025 2,071±0,007 2,430±0,008
PU239 1008,1±4,9 742,4±3,5 265,7±3,7 0,3580±0,0054 2,U4±0,010 2,871 ±0,014
PU241 1391±22 1009±9 382±21 0,379±0,021 2,154±0,036 2,969±0,023
Измеряя отношение en,flet Саффорд и Мелконян (Safford, Melkonian,
1959) получили для величины 1 4~ а значение 1,160 ± 0,010*. Величина
v = 2,41 ± 0,02 была определена с помощью этих данных на основании
соотношения (4.4.2). Это значение согласуется с результатами непосредствен-
ных измерений, проведенных Кенвордом и др. (Kenward et al., 1958), Моатом
и др. (Moat et al., 1961), Колвином и Соэрби (Colvin, Sowerby, 1960), равными
соответственно 2,420 ± 0,037, 2,39 ± 0,05 и 2,43 ± 0,037.
Для сечения поглощения сга = сгп, / Д- вп, ? Блок, Слаутер и Харви
(Block, Slaughter, Harvey, 1960) с помощью экспериментов по пропусканию
получили величину 680 ± 6 барн/, используя наилучшие значения а, приве-
денные выше, можно вычислить, согласно уравнению (4.4.1), сечение деления
и сечение радиационного захвата, которые получаются равными соответст-
венно 586 ± 7 и 94 ± 5 барн. Найденное таким образом значение сечения
деления хорошо согласуется с результатами, полученными непосредственно
в опытах Раффла (Raffle, 1959) и Деруиттера (Deruytter, 1961).
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Hughes D. J. Neutron Cross Sections. London — New York — Paris, Pergam on Press,
1957. (См. па русском языке: Ю з Д. Нейтронные эффективные сечения. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1959.)
Marion I. В., Fowler J. L. (ed.) Fast Neutron Physics. Part II. New York, Inter-
science Publishers, 1963. (См. на русском языке: Физика быстрых нейтронов. Т. II.
Под ред. Дж. Мариона и Дж. Фаулера. Сокращ. перев. с англ. М., Атомиздат, 1966)
Spaepen J. (ed.) Neutron Time-of- Flight Methods. Proceedings of an EANDG Symposium.
Brussels, Euratom, 1961.
Специальная
Эксперименты по пропусканию с быстрыми нейтронами
Nereson N., Darden S. Phys. Rev., 89, 775 (1953); 94, 1678 (1954); LA-1655 (1954).
Okazaki A. et al. Phys. Rev., 93, 461 (1954).
Walt M. et al. Phys. Rev., 89, 1271 (1953).
* В действительности значение 1,171 было получено при энергии Е = 0,00291 эв;
затем оно было приведено к значению скорости нейтронов v = 2200 м/сек с использова-
нием известной зависимости сечения от энергии.
.84
Эксперименты по пропусканию с резонансными нейтронами
В j е гг um -М фП е г Н., Shore F. J., Sailor V. L. Nucl. Sci. Eng., 8, 183 (1960).
Carpenter R. T., Bollinger L. M. Nucl. Phys., 21, 66 (1960).
Newson H. et al. Ann. Phys., 8, 211 (1959); 14, 346, 365 (1961).
Rosen J. L. et al. Phys. Rev., 118, 687 (1960).
Методы определения резонансных параметров
Lane R. О., Morehouse N. F., Phillips D. L. Nucl. Instr. Meth., 9, 87 (1960).
Lynn J. E. Nucl. Phys., 7, 599 (1957).
Lynn J. E., Rae E. R. J. Nucl. Energy, 1, 418 (1957).
Pilcher V. E., Harvey J. A., Hughes D. J. Phys. Rev., 103, 1342 (1956).
Определение g-фактора в опытах по рассеянию и поглощению
Fox J. D. et al. Phys. Rev., 110, Г472 (1958).
London H. H., Rae E. R. Phys. Rev., 107, 1333 (1957).
Rae E. R. et al. Nucl. Phys., 5, 89 (1958).
Wood R. E. Phys. Rev., 104, 1425 (1956).
Определение спина нейтрона в экспериментах
по поляризации
Bernstein S. et al. Phys. Rev., 94, 1243 (1954).
P о s tm a H. et al. Phys. Rev., 126, 979 (1962).
Sailor V. L. et al. Bull. Am. Phys. Soc., 6, 275 (1961).
Stolovy A. Phys. Rev., 118, 211 (1960).
Измерение сечения неупругих процессов методом
сферического слоя
В е t h е Н. A., Beyster J. R., Carter R. Е. J. Nucl. Energy, 3, 207, 273 (1956);
4, 3, 147 (1957).
Beyster J. R. et al. Phys. Rev. 98, 1216 (1955).
Graves E. R., D a v i s R. W. Phys. Rev., 97, 1205 (1955).
MacGregor M. H., Booth R., Ball W. P. Phys. Rev., 130, 1471 (1963); 108, 726
(1957).
Измерение сечения поглощения методом сферического слоя
Macklin R.L., Schmitt H.W., Gibbons J. Н. ORNL-2022 (1956); Phys.
Rev., 102, 797 (1956).
Schmitt H. W., С о о k C. W. Nucl. Phys., 20, 202 (1960).
Исследование упругого рассеяния. Угловое распределение рассеянных нейтронов
Beyster J. R., Walt М., Salmi Е. W. Phys. Rev., 104, 1319 (1956).
Cohn H. О., F о w 1 e r J. L. Phys. Rev., 114, 194 (1959).
Coon J. H. et al. Phys. Rev., Ill, 250 (1958).
Langsdorf A., Lane R. O., Monahan J. E. Phys. Rev., 107, 1077 (1957).
Seagrave J. D., Cranberg L., Simmons J. E. Phys. Rev., 119, 1981 (1960).
Исследование неупругого рассеяния методом времени пролета
Cranberg L. LA-2177 (1959).
Cranberg L., Levin J. S. Phys. Rev., 103, 343 (1956); 109, 2063 (1958).
Smith A. B. Z. Physik, 175, 242 (1963).
Измерение сечения неупругого рассеяния
методом детектирования индуцированного у-излучения
Day R. В. Phys. Rev., 102, 767 (1956).
Day R. В., W а 1 t M. Phys. Rev., 117, 1330 (1960).
Van Loef J. J., L i n d D. A. Phys. Rev., 101, 103 (1956).
Исследование (n, p) -реакции методом активации
Hiirlimann T., Huber P. Helv. Phys. Acta, 28, 33 (1955).
Kern B. D., Thompson W. E., Ferguson J. M. Nucl. Phys., 10, 226 (1959).
Terrell J., Holm D. M. Phys. Rev., 109, 2031 (1958).
Исследование (n, а)-реакции методом активации
G r u n d 1 J. A., Henkel R. L., P e r k i n s B. L. Phys. Rev., 109, 425 (1958).
Schmitt H. W., Halpern J. Phys. Rev., 121, 827 (1961).
85
Исследование (n, 2ii)-реакции методом активации
Bayhurst В. Р., Prest woo d R. J. LA-2493 (1962); Phys. Rev., 121, 1438 (1961).
Ferguson J. M., Thompson W. E. Phys. Rev., 118, 228 (1960).
Исследование (n, у)-реакции методом активации
Вате S. J., С u b i t t R. L. Phys. Rev., 113, 256 (1959).
Cox S. A. Phys. Rev., 122, 1280 (1961).
Hanna R. C., R ose B. Nucl. Energy, A8, 197 (1959).
Macklin R. L., Lazar N. H., Lyon W. S. Phys. Rev., 107, 504 (1957).
Прямое измерение сечения (n, у)-реакции
Block R. С. et al. Neutron Tim e-of-Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961, p. 203.
D i v e n В. C., Terrel J., Hemmendi n.g er A. Phys. Rev., 120, 556 (1960).
Gibbons J. H. et al. Phys. Rev., 122, 182 (1961).
Macklin R. L., G i b b о n s J. H., I n a da T. Nucl. Phys., 43, 353 (1963).
Измерение сечения деления на быстрых нейтронах
Allen W. D., Henkel R. L. Progr. Nucl. Energy. Series I. Vol. 2, p. 1 (1958).
Lamphere R. W. Phys. Rev., 104, 1654 (1956).
Lamphere R. W., Greene R. E. Phys. Rev., 100, 763 (1955).
Schmitt H. W., M u г г a у R. В. Phys. Rev., 116, 1575 (1959).
Эксперименты по исследованию процесса деления
в резонансной области
Bowman С. D., Auchampaugh G. F., Fultz S. С. Phys. Rev., 130, 1482
(1963).
Egel staff P. A., Hughes D. J. Progr. Nucl. Energy. Series I. Vol. 1, p. 55 (1956).
Havens W. W. et al. Phys. Rev., 116, 1538 (1959).
Shore F. J., S a i 1 о г V. L. Phys. Rev., 112, 191 (1958).
Аппроксимация сечения деления в резонансной области
с помощью формулы многих уровней
Moore М. S., R е i с h С. W. Phys. Rev., 118, 718 (1960).
Vogt Е. Phys. Rev., 118, 724 (1960).
Измерение сечения деления на медленных нейтронах
Bigham С. В. et al. Geneva, 1958, Р/204, Vol. 16, р. 125.
Deryitter A.J.J. Nucl. Energy, A u В 15, 165 (1961).
Raffle J.F.J. Nucl. Energy, A 10, 8 (1959).
Измерение параметра v
Colvin D. W., S о w e r b у M. G. EANDC-(UK) 3 (1960).
D i v e n В. C. et al. Phys. Rev., 101, 1012 (1956).
Kenward C. J., Richmond R., Sanders J. E. AERE E/R 2212 (1958).
Moat A., M a t h e r D. S., M с T a g g a r t M. H. J. Nucl. Energy A u B, 15, 102 (1961).
Измерение параметра ц
G a e r t t n e r E. R. et al. Nucl. Sci. Eng., 3, 758 (1958).
Macklin R. L. et al. Nucl. Sci. Eng., 8, 210 (1960).
Измерение параметра a
Cocking S. J. J. Nucl. Energy, 6, 285 (1957/58).
Di ven В. C., Terrell J., Hemmendinger A. Phys. Rev., 109, 144 (1958).
Safford G. J., Melkonian E. Phys. Rev., 113, 1285 (1959).
Сечение поглощения медленных нейтронов в U235
Block R. С., S 1 a u g h t е г G. С., H a r v e у J. A. Nucl. Sci. Eng., 8, 112 (I960).
Safford G. J., Havens W. W., R u s t a d В. M. Nucl. Sci. Eng., 6, 433 (1959).
Определение «согласующейся» системы параметров для U233, U235, Pu239
Evans J. E., Fluharty R. C. Nucl. Sci. Eng., 8, 66 (1960).
Leonard B. R. ANL-6122, 227 (1959); HW-69342 (1961).
Sher R., Felderbaum J. Least Square Analysis of the 2200 m/sec Parameters of
U233, u235 and Pu239. BNL-722 (T-256-92-94-1) (1962).
Часть II
ТЕОРИЯ НЕЙТРОННЫХ ПОЛЕЙ
Глава 5
НЕЙТРОННЫЕ ПОЛЯ
Предположим, что в рассеивающей среде имеются источники, которые
испускают моноэнергетические нейтроны энергии Е или нейтроны, имеющие
энергетическое распределение 5 (Е). Вследствие упругих и неупругих столк-
новений нейтроны обмениваются кинетической энергией с атомами рассеи-
вающего вещества. Если энергия нейтронов источника превышает кинетиче-
скую энергию теплового движения рассеивающих атомов, то при последова-
тельных столкновениях нейтроны будут терять энергию, пока не наступит
тепловое равновесие с движением атомов среды. Результирующее распределе-
ние нейтронов по энергиям является приблизительно тепловым. Нейтроны
с таким распределением называют тепловыми нейтронами.
Вообще говоря, не существует рассеивающей среды, которая не погло-
щала бы нейтронов, особенно медленных. В прикладной нейтронной физике
особое значение придают веществам, которые, во-первых, имеют большое
макроскопическое сечение рассеяния 2S, во-вторых, сильно замедляют ней-
троны, т. е. имеют небольшой атомный вес, и, наконец, слабо поглощают
нейтроны (оа < os). Такие вещества используются обычно в качестве замед-
лителей, причем лучшими из них являются Н2О, D2O, бериллий, окись
бериллия, графит и различные водородсодержащие органические соедине-
ния. При использовании урана или плутония можно выбрать такое соотно-
шение концентраций в среде, при котором производство нейтронов компен-
сирует их поглощение. Однако рассмотрение размножающих сред не входит
в наши задачи.
Интенсивность нейтронов (которая строго будет. определена ниже)
в рассеивающей и поглощающей среде зависит от мощности источника
и в зависимости от его характеристик может быть как стационарной, так
и нестационарной; источник, кроме того, порождает диффузионные токи.
Как правило, общее рассмотрение диффузионных процессов приводит
к трудным математическим задачам. Поэтому мы будем изучать лишь неко-
торые простые приближения.
5.1. ОПИСАНИЕ ПОЛЯ
Совокупность нейтронов в рассеивающей среде, характеризуемых рас-
пределением по энергиям, во времени и в пространстве, называют нейтрон-
ным диффузионным полем, или, короче, нейтронным полем.
5.1.1. Поток, плотность и ток нейтронов
Рассмотрим элемент объема рассеивающей среды dV = dxdydz, поло-
жение которого в пространстве определяется вектором г. Пусть
п (г, Q, Е) dVdQdE — число нейтронов в элементе объема, направление
движения которых характеризуется единичным вектором Q, лежащим в телес-
ном угле dQ около вектора О, кинетическая энергия которых заключена
87
между Е и Е + dE. Таким образом, п (г, й, Е) (см~3 • стер”1 - эв"1) есть
число нейтронов в 1 см3 с энергией Е и с направлением движения в единице
телесного угла около вектора й. Задания этой дифференциальной плотности,
которая может также зависеть и от времени, достаточно для описания ней-
тронного поля. Интегрируя дифференциальную плотность по всей области
изменения энергии, получим полное число нейтронов в точке г с данным
направлением движения, т. е.
п (г, й) dV d& = J п (г, Й, Е) dV d£l dE.
о
(5.1.1)
Функцию п (г, й) называют векторной плотностью. Если ее проинтегриро-
вать по всем возможным направлениям движения нейтронов, получим пол-
ное число нейтронов в элементе объема dV в точке г:
n(r)dV = § п(г, J J«(г, Q, E)dVd£ldE,
4л 4л О
(5.1.2)
где п (г) — плотность нейтронов в точке г.
Далее введем дифференциальный поток нейтронов, определяемый соот-
ношением
Я
Рис. 5.1.1. К определению
векторного потока и потока
нейтронов (см. текст).
F(t, Й, K)dQdE = n(v, Й, E)vdQdE, (5.1.3)
где v = У~2Е1т — скорость нейтронов. Очевидно, так введенная величина
представляет собой число нейтронов в точке г с энергиями в интервале (Е,
Е + dE), имеющих направление й в элементе
телесного угла йй, которые пересекают за 1 сек
поверхность площадью 1 см2, перпендикулярную
направлению Й. Интегрируя дифференциальный
поток F (г, й, Е) (см~2 • сек"1 • стер"1 • ов~1) по
энергии, получим векторный поток F (г, й), пред-
ставляющий собой число нейтронов в единице
телесного угла, которые пересекают за 1 сек по-
верхность площадью 1 см2, перпендикулярную
направлению й в телесном угле с?й. Величина
Ф (г) = F (г, й)йй = п(г) v (5.1.4)
е)
4л
называется потоком нейтронов *. Практически
поток Ф (см~2-сек-1) является основной величи-
ной, наиболее часто используемой при описании
нейтронных полей, поэтому важно выяснить ее физический смысл.
Рассмотрим круг, площадь которого л/?2 = 1 см2, а центр неподвижно
закреплен в точке г (рис. 5.1.1). Функция F (г, Й) с?й представляет собой
число нейтронов в элементе телесного угла с?Й, пересекающих за 1 сек этот
круг в направлении Й, перпендикулярном плоскости круга. Тогда физически
процесс интегрирования, в результате которого получаем поток, можно
представить как вращение круга во всех направлениях относительно фикси-
рованного центра. При таком вращении круг описывает сферу с поверхно-
стью 4л7?2 = 4 см2. Таким образом, функция Ф будет представлять полное
число нейтронов, входящих за 1 сек в эту сферу со всех сторон. Очевидно,
в изотропном нейтронном поле, в котором все направления движения ней-
тронов равновероятны, число нейтронов, пересекающих за 1 сек поверхность
площадью 1 см2, равно Ф/2. Действительно, в изотропном поле любой эле-
мент поверхности сферы пересекает одинаковое количество нейтронов.
Поскольку поверхность площадью 4 см2 за 1 сек пересекается 2Ф нейтронами
* Здесь v — усредненная по энергетическому спектру скорость нейтронов.
88
(каждый нейтрон один раз пересекает сферу, входя в нее, и один раз —
выходя), то число нейтронов, пересекающих 1 сл2 поверхности за 1 секг
равно Ф/2. Позднее будет показано, что это утверждение имеет место также
и для слабо анизотропных нейтронных полей.
В большинстве случаев величина F может быть представлена как функ-
ция только одного угла '0, отсчитываемого от «оси распределения», относи-
тельно которой поле считается аксиально-симметричным. В таком случае
функцию F (г, й) можно разложить по полиномам Лежандра, что, как пра-
вило, дает значительное преимущество при математическом решении соответ-
ствующей задачи.
оо
F(r, = (2Z + l)Fz(r)Pz(cosfl). (5.1.5>
1=0
Первые четыре полинома Лежандра имеют вид
Ро = 1, cos'd,
p2=il(3cos2d — l), Р3 = 4(5 cos3 fl —3 cos2 fl).
В разложении (5.1.5) коэффициенты Ft (г) определяются соотношением
л
Fi (г) - 2 л F (г, Й) Pi (cos d) sin & dft. (5.1.6)
о
В частности,
Fo (г) = 2л (г, £J)sinfl(?fl = J F (г, Й)<Ш = Ф(г). (5.1.7)
О 4л
Нетрудно выяснить также физический смысл второго коэффициента
разложения. Для этого введем новое важное понятие — плотность тока J
в направлении оси распределения. Величина этого вектора представляет
собой разность числа нейтронов, пересекающих 1 см2 поверхности за 1 сек
в противоположных направлениях, перпендикулярных оси. Таким образом,
J(r) = F (г, й) cos d d£l = 2л F (г, й) cos d sin d d$. (5.1.8)
4л О
Сравнивая полученное выражение с соотношением (5.1.6), находим, что
J (г) = Fx (г). Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, полу-
чим приближенное выражение для векторного потока
/’(г, Q) = -A-Ф(rJ + ^J^cosfl, (5.1.9)
которым во многих случаях можно пользоваться на практике.
5.1.2. Общее уравнение переноса
Пространственно-временное поведение нейтронного поля можно описать
на основании рассмотрения баланса нейтронов. Изменение числа нейтронов
п (г, й, Е) dVdQdE с направлениями движения в телесном угле с/й и энер-
гиями в энергетическом интервале dE в элементе объема dV может быть обу-
словлено следующими причинами:
1) утечкой из данного элемента объема, которая определяется соот-
ношением
div [ЙР (г, Й, £*)] dV dQdE = Q grad F (г, Й, Е) dV б/Й dE\
2) источниками нейтронов с плотностью
S (г, Й, £);
8$
3) потерями, связанными с поглощением и рассеянием,
S^(r, й, EjdVdEdQ, где = +
4) приростом числа нейтронов, вызванным рассеянием,
J j Ss (Й' -» Й, Е' -> Е) F (г, Д', Е’) dQ’ dE' dV d& dE,
4л 0
где
2ДЙ'->Й, E'—>E)dQdE —
сечение процесса, при котором нейтрон с энергией Е', имеющий направле-
ние Й', рассеивается в элемент телесного угла dQ около направления й,
приобретая при этом энергию Е в интервале dE.
Поскольку мы рассматриваем только изотропные среды, в которых пол-
ное сечение рассеяния не зависит от направления движения нейтронов, то
§ §2ДЙ'-> Д, Е' ^>E)dQdE^s(E’Y (5.1.10)
4л 0
Если рассеяние изотропно в лабораторной системе координат, то
2ДЙ'->Й, Е' ->E)dE----~2,(E' —>E)dE, (5.1.11)
где (Е' -> Е) dE — дифференциальное сечение процесса, при котором
нейтрон с энергией Е' в результате рассеяния приобретает энергию Е в интер-
вале dE. Сумма всех этих вкладов должна равняться скорости изменения
дифференциальной плотности, т. е.
dF %Й’ = - Й grad F (г, Д, Е) — Zt(E)F (г, Д, Е) +
+ ^2ДЙ'-^ Д, E’->E)F (г, Д', E')dQ' dE' + S(r, Д, Е). (5.1.12)
4л О
Это интегро-дифференциальное уравнение с семью независимыми перемен-
ными (три пространственные координаты, две переменные, определяющие
направление й, энергетическая и временная переменные) называется уравне-
нием переноса или уравнением Больцмана. Оно совместно с соответствую-
щими граничными условиями определяет векторный поток, отвечающий дан-
ному распределению источников. Рассмотрим наиболее важные граничные
условия.
1. На поверхности раздела G между двумя рассеивающими средами
А и В для всех rG, й и Е должно, очевидно, в силу непрерывности выпол-
няться соотношение
FA(rG, Й, E) = Fb(tg, Й, Е). (5.1.13)
2. На поверхности раздела между рассеивающей средой и вакуумом
или абсолютно поглощающей средой должно выполняться очевидное условие
(поскольку ни один нейтрон не может вернуться обратно в среду через эту
границу)
F (rG, Й, Е) = 0 (5.1.14)
для всех Й, направленных внутрь среды.
Уравнение (5.1.12) можно в некоторых важных частных случаях упро-
стить. Пусть, например, временная и энергетическая зависимости отсутст-
вуют. Тогда уравнение переноса принимает вид
Й grad F (г, Й) + 2^(г, Й) = § (Й' -> й) F (г, й')йй' + 5(г, Й). (5.1.15)
4л
90
Оно описывает диффузию моноэнергетических нейтронов в среде со стацио-
нарными источниками для случая, когда столкновения не приводят к изме-
нению энергии. Одним из важных частных случаев является ситуация, когда
отсутствуют временная и пространственная зависимости. Интегрируя по всем
углам, можно получить
(5.1.16)
(Sa + Ss) Ф (Е) - § Ss (Е' —> Е) Ф (Е') dE' + S(E).
о
Здесь Ф (Е) — поток нейтронов с энергией Е, отнесенный к единичному
энергетическому интервалу. Уравнение (5.1.16) описывает замедление ней-
тронов в бесконечной среде с равномерно распределенными источниками
(см. гл. 7 и 10). В гл. 8 будет рассмотрен случай стационарных полей с уче-
том пространственной и энергетической зависимостей, для которого
ние переноса имеет вид
ft grad F (г, ft, Е) + S^E (г, ft, Е) =
уравне-
ft, Е'->Е) F (г, ft', E')dQ' dE' + S(y, ft, Е).
(5.1.17)
В част-
0
Наконец, в гл. 9 будут рассмотрены поля, зависящие от времени.
ности, мы рассмотрим пространственно-временную зависимость, а также
зависимость от времени и энергии. Естественно, что при описании таких полей
в левых частях уравнений (5.1.15) и (5.1.16) должны появиться соответственно
1 dF 1 дФ
члены-----—и------— .
v dt v dt
переноса
задач уравнение переноса удобно
Рассмотрим круг площадью 1 сж2
*
5.1.3. Интегральная форма уравнения
При решении многих прикладных
записывать в интегральной форме
(рис. 5.1.2) и найдем число нейтро-
нов, пересекающих его за 1 сек в
направлениях, лежащих в эле-
менте телесного угла dQ, около
нормали к плоскости круга. Вклад
в это число элемента объема
R2dRdQ, очевидно, равен величине
[ (г - Rtl, Й') 2S (й' Й) dQ' +
+ 5 (г-ЯЙ, й)]/?2й/?йй,
умноженной на вероятность того,
что нейтрон достигнет плоскости
круга. Последняя же может быть
получена как произведение вели-
чины телесного угла на вероят-
ность eztR того, что нейтрон не
испытает ни одного столкновения вдоль пути R. Деля на элемент телесного
угла dft, получим
F (г, Й) = J [ § Ss (Й' -> Й) F (r — RQ, Й') dGl' +
0
+ 5(г-ЯЙ, Й)] e~stRdR.
* Для простоты нами будет рассмотрен случай, когда отсутствует
от пространственных координат и времени, хотя нетрудно показать, что и
пение (5.1.12) можно преобразовать в интегральное.
(5.1.18)
зависимость
общее урав-
91
Если рассеивающая среда бесконечна, то интегрирование следует вести
в бесконечных пределах; в случае конечных размеров среды верхний предел
интегрирования равен величине RmaX1 при которой прямая линия г — 7? О
достигает поверхности. Уравнение (5.1.18) можно вывести также непосред-
ственно из уравнения переноса (5.1.15).
В дальнейшем будем считать, что, пространственно распределенные-
источники излучают изотропно, т. е.
5(r,Q)=-^S(r). (5.1.19}
Это предположение справедливо во многих практических случаях, так что-
условие (5.1.19) не накладывает существенных ограничений и по существу
не нарушает общности. Если на некоторое время предположить также, что
рассеяние нейтронов изотропно в лабораторной системе координат, т. е.
что (Q' -> Q) = Ss, то интегральное уравнение переноса принимает
особенно простой вид. В этом случае можно произвести интегрирование по
О', в результате которого получим
F (т, fi) = -L^[SsO(r-/?D) + 5 (r-RQ^e-^dR. (5.1.20)
о
Если в последнем интеграле произвести замену переменных, положив
г — /?О = г' и в соответствии с этим
dR d& - Д2 dR dQIR2 = dVf I(т ~ r')2,
о, интегрируя по О, получим
ф(г) = 5 [Ss<D (г') + £(г')]4ея(г_г,)2^'. (5.1.21)
V'
Это уравнение также может быть получено непосредственно, но в отли-
чие от уравнения переноса (5.1.15) оно не содержит координату направления
О и поэтому во многих практических случаях решается легче, чем уравне-
ние (5.1.15).
5.2. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
БЕЗ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЭНЕРГИИ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИ
Стационарное уравнение переноса без зависимости от энергии описы-
вает диффузию моноэнергетических нейтронов в рассеивающей среде, в кото-
рой сечения 2^ и 2S (£" -> Е) не зависят ни от Е, ни от Е', так что столкно-
вения нейтронов с ядрами среды не приводят к потере энергии. В дальнейшем
будет показано, что подобное рассмотрение можно использовать для описа-
ния диффузии тепловых нейтронов. Для этого случая будут рассмотрены
методы решений, которые можно обобщить и на задачи с энергетической зави-
симостью.
5.2.1. Разложение по сферическим гармоникам. Закон Фика
Попытаемся на основании уравнения (5.1.15) вывести простое диффузион-
ное уравнение типа закона Фика, позволяющее получить линейное соотноше-
ние между плотностью тока, определяемой согласно соотношению (5.1.8),
и градиентом нейтронного потока. Предположим снова, что нейтронное поле
обладает аксиальной симметрией относительно оси распределения и, ограни-
чиваясь плоской геометрией, положим, что ось распределения совпадает
92
с осью х. Тогда уравнение (5.1.15) принимает вид
cos'd1 dF{x' + (х, й) = 2S (й' -> Й)F (x, Й') dQ' + ~s (*)• (5-2-1)
OX tLjl
Заметим, что в изотропной среде сечение рассеяния Ss (й' —»О) зависит
только от угла чЭ’о между направлениями й и 8'. Поэтому его можно раз-
ложить в ряд по полиномам Лежандра относительно cos й0 = Й • О'
оо
Ss (й' Й) = ~ 3 (21 +1) 2sZ Pz (cos #0),
1 = 0
SsZ = 2л Ss (й' —> й) Pi (cos й0) sin O0 d$0.
о
(5.2.2)
(5.2.3)
Первый коэффициент разложения определяется соотношением
2s0 = 2л Ss (О' —> О) sin й0 ^Оо = Ss (Й' —> й) dQ0 = Ss, (5.2.4)
О 4л
где Ss — полное сечение рассеяния.
Далее
л
Ssl = 2л Ss (Й' —> й) cos й0 sin О0 <7й0 =
о
== ^ Ss (й' —> й) cos
4л
Уравнение (5.2.5) определяет средний
косинус угла рассеяния в лаборатор-
ной системе координат.
Разложение (5.2.2) можно под-
ставить в уравнение (5.2.1), но
прежде, чем сделать это, выразим
полиномы Лежандра Pi (cos й0) через
углы О', ф', й и ф (рис. 5.2.1). Со-
гласно теореме сложения полиномов
Лежандра,
Pi (cos й0) = Pi (cos й) Pi (cos O') +
+2 2 <cos (cos ^') x
I ь —j— 11 ь у J
m=l
X СО8 7?г(ф'— ф), (5.2.6)
где Pf — присоединенные полиномы
Лежандра. Подставляя соотношения
(5.2.2) и (5.2.6) в уравнение (5.2.1)
о ЙЙО = 2s cos й0. (5.2.5)
Рис. 5.2.1. Соотношение между углам т О,
О', Йо, ф И ф'.
и интегрируя по углу ф', получаем
n 9F (х, О) . V г, /
C°S & —L + ^tF (х, Й) =
оо л
+ у 2 (2/ + 1) Ss/Pz (cosO) F (хЛ Й') Pi (cos O') sinO' ^0'+-^- S (x). (5.2.7)
Z=0 0
Разложим далее векторный поток F по полиномам Лежандра (см. п. 5.1.1)
и, ограничиваясь двумя членами разложения, получим снова выведенное
ранее соотношение (5.1.9)
F = 4ГФ cos
93
Такая процедура приводит к соотношению, называемому элементарным
диффузионным уравнением. Позднее мы подробно изучим область примени-
мости этого уравнения. Подставляя соотношение (5.1.9) в уравнение (5.2.7)
и интегрируя сначала по 12 , после простых преобразований можно получить
-^- + 2аФ = 5(я). (5.2.8)
Далее, умножая результат подстановки (5.1.9) в (5.2.7) на cos й и интегрируя
затем по всем телесным углам, получим
+ = (5.2.9)
Оба эти важные уравнения имеют простой физический смысл. Соотноше-
ние (5.2.8) представляет собой уравнение непрерывности, согласно кото-
рому в 1 см* объема стационарного нейтронного поля потери нейтронов
вследствие утечки и поглощения равны числу нейтронов, генерируемых
источником 5. Физически это соотношение очевидно, и можно показать, что
оно не зависит от конкретного приближения, так как при интегрировании
по 12 отброшенные члены разложения все равно исчезнут. Из уравнения
(5.2.9) можно получить
J =-----------=----------~ D -j— . (5.2.10)
3[2S(1— cos^0) + SJ dx dx v f
Последнее соотношение выражает известный закон Фика для диффузии,
согласно которому плотность тока нейтронов пропорциональна градиенту
потока. Константа пропорциональности D (см) называется коэффициентом
диффузии. Если ввести транспортное сечение
Str = Ss(l — cos 'О’о),
то D может быть записано в виде
D =---------- .
(5.2.11)
(5.2.12)
В отличие от соотношения (5.2.8) последнее представляет собой при-
ближенное выражение. Если сохранить члены более высокого порядка в раз-
ложении функции F по полиномам Лежандра, то, как нетрудно показать,
можно получить точное соотношение
Комбинируя уравнения (5.2.8) и (5.2.10), получим элементарное уравнение
диффузии
P-g--2o®(x) + 5(x) = 0. (5.2.14)
Если ввести понятие длины диффузии
Ь = ^ 32„(2<Г+2О) ’ (5.2.15)
то уравнение (5.2.14) можно переписать в виде
4^—Агф+^7Г = °, (5.2.16а)
dx2 L2 D '
или в общем случае трехмерной геометрии
+ = (5.2.166)
Это простое диффузионное уравнение позволяет вычислить поток, обуслов-
ленный заданным распределением источников.
94
5.2.2. Асимптотическое решение уравнения переноса
Имеется один важный случай, при котором точное решение уравнения
переноса может быть легко получено, а именно случай так называемого
асимптотического распределения в бесконечной среде. Асимптотическим
распределением называется распределение нейтронов на больших расстоя-
ниях от источника; вклад в асимптотический поток дают те нейтроны, кото-
рые испытали уже достаточно много столкновений. Мы получим асимптоти-
ческое решение для частного случая плоской геометрии, что позволит нам
сделать важное заключение относительно
справедливости элементарной теории диф-
фузии.
Для простоты предположим, что рассея-
ние нейтронов изотропно в лабораторной
системе координат, т. е. что все коэффициен-
ты за исключением Ss0 = равны
нулю. В этом случае одномерное уравнение
переноса в отсутствие источников имеет вид
л
cos й= 4- F (^, Q') sin й' с?й'.
дх 2 е) 7
о
.2.17)
Будем искать решение уравнения (5.2.17) в
форме
F(x, й)-е~^/(со8Й). (5.2.18)
Здесь х является пока что неизвестной
величиной. Подставив выражение (5.2.18) i
л
/(соей) (2,— хсо8Й)=у 2S / (cos й') sin й' йй', (5.2.19а)
о
откуда
л
f (cos й') sin й'dft'
f (cos = I 2S ° s^- . (5.2.196)
Zj t - /v CUO U *
Рис. 5.2.2. Зависимость величи-
ны x/Sj от отношения сече-
ний Ss/Sf.
уравнение (5.2.17), получим
Умножая обе части последнего равенства на sinfl и интегрируя затем по й,
получим соотношение между х, и
«ГЕ ТЕ «ГЕ
? f (cos й) sin й О = Ss ? / (cos й') sin й' <7й' sin . (5.2.20)
J v 7 2 6 J J ' 7 J — x cos й v
0 0 0
Полагая соэй^ц и зшйс/й ——получаем
+i
л _ i у С d[l
2 s 3 Si —хр ’
откуда
(5.2.21)
2х 1 —x/Sj v 7
Уравнение (5.2.21) позволяет выразить х через Ss и На рис. 5.2.2
показана зависимость величины х/2^ от Ss/Si. Если Ss/2i 1, т. е. < Ss
(слабое поглощение), то х < 2^ так что логарифм может быть разложен
в ряд Тейлора. В результате получим соотношение
(5.2.22а)
95
которое в предельном случае, когда Sa/2s—>0, переходит в
x2 = 3SaSf. (5.2.226)
Поскольку уравнение (5.2.22а) имеет два корня, то общий вид асимптоти-
ческого решения уравнения переноса следующий:
= + (5-2.23а)
где А и В — некоторые константы. Соответствующее выражение для потока
может быть записано в виде
Ф (гг) = 2л F (х, £}) sin ft cHf = Ае~%х + Bqkx. (5.2.236)
о
Исследуем теперь справедливость закона Фика для этого асимптотиче-
ского решения. Согласно соотношению (5.1.8), используя (5.2.23а), получим
следующее выражение для плотности тока:
^-Ве*х. (5.2.24а)
XX v '
Далее в силу соотношения (5.2.236)
2 а с1Ф
X2 dx
(5.2.246)
Таким образом, в асимптотической области всегда существует соотношение
типа закона Фика между плотностью тока и градиентом потока. * В част-
ности, в предельном случае малого поглощения
1
3 (S$ + 2а) idx 1
(5.2.24в)
что совпадает с уравнением (5.2.10) (при изотропном рассеянии cos й0 = 0).
Таким образом, элементарная теория диффузии справедлива асимптотически
в слабо поглощающей среде. Этот вывод может быть сделан непосредственно
на основании равенства (5.2.236), так как очевидно, что поток, определяемый
соотношением (5.2.236), является решением дифференциального уравнения
^9—Х2Ф = О (5.2.25)
ах* v 7
(или \?2Ф — х2Ф — 0 в трехмерном случае), которое в комбинации с выраже-
нием (5.2.226) совпадает с элементарным уравнением диффузии (5.2.16а)
в предельном случае < Ss. Таким образом, для слабого поглощения
величина х равна обратной длине диффузии.
Очевидно, что уравнения (5.2.246) и (5.2.25) справедливы для асимптоти-
ческого распределения в случае произвольного поглощения, если в формули-
ровке соответствующей диффузионной задачи заменить длину диффузии
величиной 1/х, а коэффициент диффузии — величиной х2/5а. Однако, как
будет показано ниже, асимптотическое решение уравнения переноса в сильно
поглощающей среде не имеет практического значения, поскольку даже на
больших расстояниях от источника неасимптотическая часть решения, свя-
занная с источником, является превалирующей.
Результаты, полученные выше, будут справедливы и для случая слабо
анизотропного рассеяния, если представить сечение рассеяния первыми
двумя членами разложения по полиномам Лежандра. Правда, в этом случае
функция углового распределения f (cos й), а следовательно, и трансцендент-
ное уравнение для определения параметра х несколько сложнее. Если
2a/2s < 1, то уравнение для х2 имеет вид
х2 = 3SaSi (1 — cos й0) 1
SgCOSfy)
(1 —cos йо)
(5.2.26)
£ А
5
* Это означает, что отношение F2 (#)/Ф (х) не зависит от х.
96
При Sa/Si ->• 0 величина 1/х снова стремится к длине диффузии, определен-
ной соотношением (5.2.15), причем уравнения (5.2.24) и (5.2.25) остаются
без изменения; поэтому выводы относительно применимости элементарной
теории диффузии остаются такими же, как и в случае изотропного рассеяния.
5.2.3. Поток нейтронов вблизи точечного источника
Рассмотрим бесконечную среду, в которую помещен точечный изотроп-
ный источник, и исследуем поведение поля на малых расстояниях от источ-
ника. Для случая изотропного рассеяния в лабораторной системе координат
интегральное уравнение переноса принимает вид
Ф (г) = J [2.Ф (г') + Qb (г')] ^-(r_r7)-2 dV, (5.2.27)
или с учетом свойств 6-функции
e-V р e-2dr-r'l
Ф(г) = <24~-2-+ \ ^Ф(г') ----^dV'. (5.2.28)
Первое слагаемое представляет вклад в поток тех нейтронов, которые дости-
гают точки г, не испытав ни одного столкновения. На больших расстояниях
от источника интегрирование второго слагаемого снова приводит к асимпто-
тическому решению, которое в случае сферической симметрии имеет вид
(см. п. 6.1.1)
где величина х определяется соотношением (5.2.21).
Общее решение уравнения (5.2.28) в случае сферической симметрии
можно получить с помощью преобразования Фурье. Сам метод решения
здесь не будет обсуждаться (см., например, Case, de Hoffmann, Placzek,
1953). Приведем только необходимые результаты. Решение имеет вид
* Ф(г) — ^transient (T) + ®As(r), (5.2.29)
где
= (5.2.30а)
S 2? —к2
(5.2.306)
и
^transient (г) ~ 4лг2 6 * S (SjF). (5.2.31)
Здесь 8 — некоторая медленно меняющаяся функция, величина которой
порядка единицы; на рис. 5.2.3 приведен график этой функции для ряда
значений Sa/S/.
На рис. 5.2.4 показан полный поток и соответствующие составляющие
потока, определяемые уравнением (5.2.29), для значения = 0,1.
Нетрудно видеть, что член Ф transient (г) дает заметный вклад в поток только
в непосредственной близости от источника. На больших расстояниях пре-
валирует асимптотическое решение. Расстояние г *, на котором обе компо-
ненты потока имеют одинаковые значения, определяется соотношением
откуда для 2а < 2S г* = 0,22/S^. С другой стороны, в случае сильного
поглощения возникает совершенно иная ситуация. Если, например, Sl5 —
= 0,92;, т. е. — 10, то г* = l,48-107/S^ и асимптотическое значение
потока практически не достигается.
7 Нейтронная физика
97
Величина |3 в соотношении (5.2.306) имеет определенный физический
смысл, для выяснения которого определим число нейтронов Z в асимптоти-
Рис. 5.2.3. Зависимость функции s от величины
произведения
ческом распределении, по-
глощаемых в 1 сек. Оно равно
2=^£аФА5 dV =
v
оо
= (г) • 4лг2 dr =
о
— Qj3x2 re~%r dr = Qfr.
о
(5.2.33)
Поскольку полное число ней-
тронов, поглощенных в 1 сек,
равно мощности источника Q,
величина Р представляет до-
лю нейтронов источника,
переходящих в асимптоти-
ческое распределение. Если
Sa/Ss < 1, то легко пока-
зать, что
1-4-1^, (5.2.34)
т. е. при 0 все ней-
троны достигают асимптоти-
ческого распределения.
Приведенные рассуждения можно применить и к случаю среды со сла-
бым анизотропным рассеянием, для которой получаются аналогичные резуль-
таты. В связи с этим можно сделать важные заключения о справедливости
элементарной теории диффузии. В бес-
конечной, слабо поглощающей среде
элементарная теория диффузии приме-
нима для описания распределения на
расстояниях, превышающих одну-две
средние длины свободного пробега, от
изотропного точечного источника. Она
дает не только правильную функцио-
нальную зависимость потока, но также
и его абсолютное значение с точ-
ностью до величины порядка Sa/S^.
Это утверждение справедливо не только
для точечных источников, но и для
любых других, которые могут быть
представлены как совокупность точеч-
ных источников. Заметим, что локали-
Рис. 5.2.4. Полный поток нейтронов
4л (Sjr)2 Ф (S^r) (7), асимптотическое
решение 4л (2jr)2 ФАз (%tr) (2) и пере-
ходное решение4л (S^)2 ^transient (%tr)
(3) для 2G/2f = 0,1.
зованные сильные поглотители, а также поверхности, через которые ней-
троны уходят из среды, можно представить как соответствующим образом
распределенные отрицательные точечные источники. Поэтому в любой
слабо поглощающей среде существует асимптотическое поле нейтронов,
которое на достаточно больших расстояниях (превышающих одну-две сред-
ние длины свободного пробега) от локализованных источников или гранич-
ных поверхностей можно описать с помощью элементарного уравнения
диффузии.
98
Теперь остается решить вопрос о возможности применения элементарной
теории диффузии к описанию сред с распределенными источниками с плот-
ностью 5 (х). Покажем, что полученные выше результаты справедливы также
и в том случае, когда среда содержит гомогенно распределенные источники.
Предположим, что для среды с однородной плотностью источников 5/4л
найдено точное решение F (г, Q) уравнения переноса. Тогда F* (г, Q) =
= F (г, Q) — *S7(4nSa) — решение соответствующего уравнения переноса
без источников. Уравнение (5.2.25) имеет место для потока Ф* —
= F* (г, О) dQ в асимптотической области; поэтому уравнение
Г2Ф - х2Ф = — ~ S, (5.2.35)
которое в пределе при Sa/14 -> 0 переходит в уравнение (5.2.166), спра-
ведливо для Ф = Ф* + S/5Л. Это доказательство, данное для постоянной
пространственной плотности источников, можно обобщить и на случай источ-
ников со слабо меняющейся плотностью.
5.2.4. Поток нейтронов вблизи границы рассеивающей среды
Выясним теперь, какие граничные условия следует ставить на поверх-
ности раздела между рассеивающей средой и вакуумом или «черным» погло-
тителем. Рассмотрим среду, простирающуюся в направлении х от х = О
до х = оо и от —оо до 4~оо вдоль направлений у и z. Допустим, что при
х — х^ > 1/24 расположен плоский источник. Предположим, что полупро-
странство х < 0 представляет собой пустоту; это означает, что нейтрон, поки-
дающий среду через плоскость # = О, не может вернуться обратно. Если
= 0 и рассеяние изотропно, то уравнение переноса имеет вид
cos О ~ + 2SF = у SsJ F sin A' rffl' • (5.2.36a)
0
Это уравнение следует решать совместно со следующим граничным условием:
Е(й, х = 0) = 0 для 0<й<л/2. (5.2.366)
Нетрудно определить общий вид асимптотического решения; действи-
тельно, поскольку 2а = 0их = 0, то для xQ > х > 1 / S s имеем
т. е.
Фаз ~х-\- d,
где d — произвольная постоянная *.
Значение потока в произвольной точке х определяется решением урав-
нения (5.2.36а) совместно с граничным условием (5.2.376). Подробное иссле-
дование этой математически сложной задачи теории переноса, известной под
названием проблемы Милна, можно найти, например, в книге Дэвисона
(Davison, 1947). Приведем лишь окончательные результаты
Ф (х) = х4- d -j- Ф1гап8гепг (#)> (5.2.38а)
где
7 0,7104 .р. эо£\
d = —— , (5.2.386)
"3
Фtransient ~~ jg [Е2 (bsx)-~ 0,2911Е3 (ад]. (5.2.38в)**
* В действительности общее решение имеет вид а (х 4~ d). Однако мощность источ-
ника выбрана таким образом, что а = 1.
** Точный вид переходного решения более сложен. Приближенное соотноше-
ние (5.2.38в) получено Ле-Кейном (Le Caine, 1947) и отличается от точного решения
не более чем на 0,3%. Таблицы функции Еп приведены в приложении III.
7* 99
На рис. 5.2.5 показан ход потока вблизи внешней границы. Асимптоти-
ческое значение достигается уже на расстояниях порядка одной длины сво-
бодного пробега. Величина d называется граничной точкой экстраполяции,
поскольку экстраполированное значение Фд8 обращается в нуль при х = — d
Часто величину d не совсем корректно называют также длиной экстраполя-
ции. Длина экстраполяции для поверх-
ности произвольной формы определяется
соотношением
Рис. 5.2.5. Истинный поток нейтро-
нов (—) и асимптотическое реше-
ние (---) вблизи плоской границы
непоглощающей среды.
Л __ Ф-4-S (ГО)
О
где дифференцирование производится по
направлению внешней нормали к поверх-
ности. Здесь, как и во многих других
практических случаях, d и % совпадают,
хотя в общем случае они различаются.
Задача Милна может быть решена
также и для поглощающей среды. Асимп-
тотическая часть решения имеет вид
Фаз (я) = sh [х(^4-б/)]. (5.2.40)
5.2.6 приведена зависимость
d от Sa/S<. Для 2а<2г
поглощающей среды значения
(5.2.39)
На рис.
величины
d = 0,7104/Ss. Важно отметить, что для
длины экстраполяции % и координаты граничной точки экстраполяции d
не совпадают, если не выполнено условие d < 1/х.
В случае слабо анизотропного рассеяния получаются аналогичные
результаты, если сечение рассеяния заменить на транспортное сечение
(1 — cos й0). В частности, для слабо поглощающей среды коорди-
ната граничной точки экстраполяции определяется
соотношением
d =
0,7104
_____________ 0,7104
Ss (1—COS Йо)
при использовании элементарной
граничное условие на поверхности
или «черным» поглотителем
(5.2.41)
Рис. 5.2.6. Зависимость
граничной точки экстра-
поляции от относитель-
ной доли поглощения.
Таким образом,
теории диффузии
раздела с вакуумом
заключается в том, что поток нейтронов обращается
в нуль на экстраполированной границе, т. е.
®(rG+ J-n)-0, (5.2.42)
где л — единичный вектор по направлению внешней
нормали к поверхности раздела. Этот результат
справедлив как для плоской поверхности, так и для
поверхности с небольшой кривизной; для сильно
искривленных поверхностей рекомендуется исполь-
зовать граничное условие типа соотношения
(5.2.39).
Соответствующие данные для длины экстраполяции
в случае сферической и цилиндрической геометрий
приведены в п. 6.3.2.
Посмотрим, что дает формальное применение элементарной теории диф-
фузии к рассмотрению поведения нейтронного поля вблизи границы. Пред-
ставим плотность тока нейтронов в виде
J = J+ — J-,
(5.2.43а)
где J+ и J~ — компоненты плотности тока соответственно в направлении от
100
оси распределения и в противоположном ему направлении. При этом
л/2
J+ = 2л F (х, Й) cos й sin Ф d'd, (5.2.436)
о
J~=—2n F (х, й) cos'O' sin $ М. (5.2.43в)
л/2
Согласно элементарной теории диффузии *
F (х, Й)=-^-Ф(ж)—-7-V- -^-cosft.
v ’ ' 4л ' ' 4л2^г dx
Тогда
у+__Ф (rr) 1 4Ф
4 65^г dx
,___Ф (z) , 1 б/Ф
J ~ 4 + 6Sir ~dx ’
(5.2.44)
Эти соотношения точны, если выполнены условия применимости элементар-
ной теории диффузии, т. е. в рассматриваемом случае для области, отстоящей
на несколько длин свободного пробега от границы. Если предположить,
что элементарная теория диффузии справедлива вплоть до поверхности,
то в качестве граничного условия следует принять
J+ (х) = 0 при х — 0.
(5.2.45а)
Из соотношения (5.2.44) следует, что
ф (ат) | _ 2 _ 0,667
d<&/dx |х=0 ~ 3%tг ~~ ^tr
(5.2.456)
Таким образом, для длины экстраполяции, определение которой в данном
случае эквивалентно понятию граничной точки экстраполяции, вместо точ-
ного значения 0,7104/2Эг получается значение 0,667/S^.
5.2.5. Различные приближения решения транспортного
уравнения
Точное решение уравнения переноса возможно только в нескольких
простейших случаях, причем иногда это связано с преодолением значитель-
ных математических трудностей. Из предыдущего рассмотрения следует, что
в слабо поглощающих средах нейтронное поле на некотором расстоянии от
источников и поверхностей может быть описано элементарной теорией диф-
фузии. Эта теория дает точные результаты в предельном случае, когда
0, но чем больше отношение Sa/S^, тем хуже это приближение
отражает истинную ситуацию. Однако во многих практически важных слу-
чаях Sa/Si < 1, поэтому можно применять диффузионную теорию (см. гл. 6).
Если условия применимости диффузионной теории не выполнены, сле-
дует пользоваться другими приближениями. Рассмотрим два наиболее важ-
ных из них.
Р N-приближение (метод сферических гармоник). Как и выше (см.
п. 5.2.1), векторный поток F (г, й) раскладывается в ряд по полиномам
Лежандра, однако в этом случае разложение обрывается после TV-го члена
разложения FN (х). Очевидно, приближение тем лучше, чем больше N.
Умножая последовательно уравнение переноса на каждый из полиномов
* Поскольку для применимости теории диффузии должно выполняться неравен-
ство < 2^, то в выражении для коэффициента диффузии можно пренебречь вели-
чиной 2а.
101
Pi (cos ft) и производя интегрирование, получаем
^- + S^o = SsOFo + 5o(x);
1 l________dFI у 27 _____ у IP
2Z-H-1 dx '21 + 1 dx 1 l — ^slF i,
N dFj\r i , у 27 у 27
2/V 4-1 dx
1=1, 2, ...,N-1-, (5.2.46)
Это система линейных дифференциальных уравнений для Ft (х), которая
должна быть решена совместно с соответствующими граничными условиями.
Постановка граничных условий является характерной трудностью Рдг-метода
и не будет здесь обсуждаться.
S N-приближение (метод дискретных ординат] метод Вика). Согласно
этому методу, уравнение переноса также сводится к системе линейных диффе-
ренциальных уравнений. Эта процедура, однако, производится не с помо-
щью разложения функции F в ряд по сферическим гармоникам, а путем
замены интегрирования по углу i) в уравнении переноса на суммирование
по конечному числу направлений. Рассмотрим для простоты среду, обла-
дающую плоской симметрией, в которой рассеяние изотропно, а внешние
источники нейтронов отсутствуют. Введем в качестве переменной направле-
ния величину ц = cos й1, заменив векторный поток F (х, S2) функцией
F (х, ц) = 2л7г (х, S2). Тогда уравнение переноса примет вид
+1
= ц')дц'.
-1
(5.2.47)
Если вместо непрерывно меняющегося направления ц ввести дискретные
направления i = 1, . . . , TV, то интегральное уравнение может быть
заменено системой дифференциальных уравнений
N
+ = gkFAx), i = l,...,N, (5.2.48)
где Ft (x) = F (x, |uii), a — подходящим образом подобранные весовые
множители. В методе Вика направления и весовые множители gk выби-
раются так, чтобы получить наилучшее приближение к точному значению
интеграла при численном интегрировании методом Гаусса. В 5дг-методе
Карлсона интервал —1 < ц < 1 обычно разбивается на равные части,
в каждой из которых векторный поток аппроксимируется линейной функцией
по ц. Далее система уравнений (5.2.48) интегрируется при специальных
граничных условиях, наложенных на функции Fk (х); при большом числе
направлений N такой счет возможен только с помощью электронно-вычисли-
тельной машины.
Подробное изложение этого и других методов можно найти, например,
в книге Дэвисона (Davison, 1957) и в работе Картера и Роулэндса (Carter,
Rowlands, 1961).
5.3. ТЕПЛОВЫЕ НЕЙТРОНЫ
Если в бесконечную непоглощающую среду ввести нейтроны, то по исте-
чении некоторого времени должно установиться состояние равновесия между
движением нейтронов и тепловым движением рассеивающих атомов. Пред-
полагается, что энергии нейтронов при этом будут распределены согласно
закону Максвелла с температурой рассеивающей среды. Практически такой
идеальный случай не реализуется, поскольку любая среда конечна и погло-
щает нейтроны. Практически энергия нейтронов, излучаемых тем или иным
источником, больше тепловой, так что время термализации конечно. Поэтому
102
существует определенная вероятность того, что нейтрон в процессе замедле-
ния покинет среду или будет поглощен, так и не достигнув состояния полной
термализации; следовательно, истинное тепловое равновесие никогда не
достигается. Аналогичная ситуация наблюдается даже в том случае, когда
нейтроны источника имеют равновесное распределение по энергиям,
поскольку сечения всех процессов зависят от энергии. Однако в хорошем
замедлителе, который достаточно велик и имеет небольшое сечение погло-
щения, энергетическое распределение нейтронов к концу процесса замедле-
ния приближенно совпадает с равновесным. Ниже мы изучим некоторые
свойства идеализированного поля тепловых нейтронов, распределение кото-
рых соответствует истинному равновесию.
Настоящие результаты можно рассматривать только как первое приближение;
более детально свойства тепловых нейтронов будут изучаться в гл. 10.
5.3.1. Максвелловское распределение по энергиям
Согласно закону распределения Максвелла, число нейтронов в 1 см3
с энергиями между Е и Е 4- dE равно
dn = n(E)dE = -^-e~E/hTyEdE, (5.3.1)
7 (лЛ’П /2
или
<5-з-2>
оо
где п = п (Е) dE — плотность нейтронов. Из этих соотношений следует, что
о
средняя энергия тепловых нейтронов равна
J Еп (£*) dE оо
£ = -5---------=\-^&~E/kT (^XhdE = ^kT. (5.3.3)
“ Л 1/л Vкт > *
J п (Я) dE о v
о
Поскольку E = mv2!2 и dE ~mv dv, то распределение по скоростям имеет вид
= * e_m„2/(2feT)_g_ dv. (53Л)
Наиболее вероятная скорость равна
или
^viT = kT. (5.3.6)
Если обозначить кТ = Е?,
то
^-v*T = ET. (5.3.7)
имеем Ет — кТ = 0,0253 эв и ит = 2200 м/сек = и0.
При 7 = 293,6° К (20,4° С)
Средняя скорость равна
оо
ип (у) dv
J п (у) dv
0
оо
.=-4-? е“(,;/’М2 (JL\sdv = ^=VT, (5.3.8)
Т/л « \ »т ! Т/ л
* Ет не есть наиболее вероятная энергия; из уравнения (5.3.2) следует, что наи-
более вероятная энергия равна кТ/2, т. е. Ет/2.
103
Поэтому = ~ vt, в то время как v2 = ^vr. Распределение потока нейтро
нов по энергиям дается соотношением
или
Здесь
Ф (Е) dE -Е/Ет Е dE
Ф Erp Eq, 1
ф (^) dv _ 2e-(v/vT)2 / 3 dv
ф \ V? / Vf
ф =\^n(v) v dv ==iw
0
2
Vя
nvT
(5.3.9)
(5.3.10)
(5.3.11)
равно полному потоку нейтронов. На рис.
и Ф(£)/Ф в зависимости от Е1ЕТ. В
дается
5.3.1 показаны функции п{Е)!п
распределении потока наблю-
сдвиг в сторону более высоких
Рис. 5.3.1. Максвелловское распреде-
ление потока (2) и плотности (2) ней-
тронов.
энергий по сравнению с плотностью ней-
тронов.
Полезно получить некоторые общие
формулы для средних значений вели-
чины (Е!ЕТ)1, усредненных по плотности
и потоку нейтронов. Усреднение по плот-
ности нейтронов дает
(5.3.12)
Усредняя по потоку нейтронов, получим
оо оо
(5313)
о о
Приведем некоторые частные значения гамма-функции:
Г(1/2)=/л; Г (1) = 1; Г(3/2) = ]/-^-; Г (2) = 1; Г(5/2) = ^К
5.3.2. Скорость реакций в поле тепловых нейтронов
Если некоторое вещество с сечением 2 (Е) поместить в поле тепловых
нейтронов, то число реакций в 1 см2 за 1 сек, или скорость реакции, опреде-
ляется выражением
оо
ф - ^2 (£)Ф (£’)(/£'. (5.3.14)
о
Скорость реакции может быть записана также как произведение полного
потока нейтронов Ф на величину среднего сечения 2, которая получается
* Табулированные значения гамма-функции, определяемой соотношением Г (а) =
оо
= приведены в книге Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами
о
и кривыми. Перев. с нем. М., Гостехиздат, 1948.
104
путем усреднения по энергетическому распределению потока:
оо
гр = 2Ф, 2=Д11(£) (-Ц-) е~Е/Ет^ (5.3.15)
О
Для важного частного случая поглотителя, сечение которого следует закону
1/р, т. е. (Е) = (Ет) УЕт/Е, получим согласно уравнению (5.3.15)
Sa = J^2a(£T). (5.3.16)
Следовательно, среднее значение сечения такого поглотителя отличается
от соответствующего значения при энергии Ет множителем }Лл/2 = 0,886;
последнее обстоятельство следует помнить при использовании табличных
значений сечений для тепловых нейтронов. Из уравнений (5.3.8) и (5.3.16)
следует, что среднее сечение равно значению сечения при средней скорости
— 2
нейтронов V — —-t=vt. Таким образом,
~|/ л
(у) пи, (5.3.17)
откуда видно, что при данной плотности нейтронов п скорость реакции
в 1 / ^-поглотителе не зависит от энергии Ет — кТ *.
Скорость реакции в 1/^-поглотителе можно получить при использовании
значения сечения, соответствующего произвольной скорости. В случае
так называемого весткоттовского представления (см. гл. 12), например,
всегда используют значение щ = 2200 м/сек, т. е. значение наиболее вероят-
ной скорости при температуре 293,6° К, хотя истинная температура Т может
отличаться от этой величины. Скорость реакции 1 /^-поглотителя равна,
следовательно, nv$a (р0). В большинстве таблиц приводятся значения
сечений именно при этой скорости. Если для определения скорости реакции
используется понятие средней скорости нейтронов и, как принято в настоя-
щей кнцге, тогда при любой температуре
V ~|/л т /~293,6° V / \ /ГГ 9 Л О\
= У М4 (0.3.18)
Если сечение не следует закону 1 / и, часто используют множитель g, который
определяется следующим образом. Допустим, что ф = Ф, где
2а = ^(П-^]/-|^2а(г;0). (5.3.19)
Из этого соотношения следует, что
-------------------------------00
еm = Ti V -ssTzhS <£> (^-)• <5-3-20>
v 0
Для 1/у-поглотителя, как нетрудно проверить, g (Г) == 1. При использова-
нии плотности нейтронов скорость реакции определяется соотно-
шением
= (r0) g(T). (5.3.21)
Если известна экспериментальная зависимость сечения от энергии в области
низких энергий, то, проинтегрировав графически или численно уравнение
* Даже в случае произвольного спектра п (Е) скорость реакции в 1/р-погл отите ле
не зависит от спектра, поскольку для такого поглотителя всегда выполняется соотно-
шение
!|)= п (£) v^-dE^K ^га(£) dE = Kn,
где К — коэффициент пропорциональности.
105
(5.3.20), получим множитель g как функцию температуры. Если сечение
аппроксимируется формулой Брейта — Вигнера в этой энергетической
области, то интегрирование может быть проведено аналитически. Подробные
таблицы значений g (Z) для многих элементов составлены Весткоттом
(Westcott, 1960).
5.3.3. Элементарное уравнение диффузии для тепловых нейтронов
Если энергетическое распределение нейтронов в среде не зависит от
пространственных координат, то процесс диффузии можно описать с помощью
одногруппового уравнения без энергетической зависимости, в котором се-
чения усреднены по спектральному распределению. В частности, можно
вывести элементарное уравнение диффузии для тепловых нейтронов, что
мы и сделаем исходя из уравнения переноса (5.1.17) с учетом пространствен-
ной и угловой зависимости. Ограничимся для простоты плоской геометрией
в предположении, что источники излучают изотропно и рассеяние нейтронов
изотропно в лабораторной системе координат.
Тогда
cos ft dFSx^.Fl ^(E)F (x, Q, E) =
= у J J (E' ->E)F (x, Й', £')sinft'dft'd£'+yS(;r, E). (5.3.22)
0 0
Пусть, как и выше (см. п. 5.2.1),
F (х, Q, Е) = -±-Ф(х, E)+~J(x, Я) cos ft. (5.3.23)
J L 4r<TL
Если подставить это соотношение в уравнение (5.3.22) и проинтегрировать
его по £2, можно получить
" £’~ + 2<Ф E) = S(x, Е) 4-1 S.s (Е' -» Е) Ф (х, E')dE'. (5.3.24а)
О
Для вывода второго уравнения подставим снова соотношение (5.3.23) в урав-
нение (5.2.22), результат умножим на cos й и проинтегрируем по всем телес-
ным углам единичной сферы. Тогда
Т ~ + (£) J (ж’ = °- (5.3.246)
Комбинируя уравнения (5.3.24а) и (5.3.246), получим зависящее от
энергии диффузионное уравнение
- Ww?2ф Е) + (2?) ф (*’ Е} =
— S(x, Е) +1 Ss (Е' -> Е) Ф (х, Е') dE'. (5.3.25)
о
При выводе этого уравнения не делалось никаких предположений о кон-
кретной форме спектра. В последующих главах мы часто будем использовать
его в различных видах для вычисления спектра в задачах замедления с про-
странственной зависимостью, а также в теории термализации.
Предположим теперь, что в слабо поглощающей среде поток Ф (х) может
быть всегда представлен в виде
Ф (х, Е) = Ф (х) е-Е^т. (5.3.26)
106
Подставив это выражение в (5.3.25) и проинтегрировав результат по всем
энергиям *, получим
- 25 ?2Ф (х) + 2аФ (х) - S (х). (5.3.27)
Здесь S (х) --= S (х, Е) dE,
о
В-И4) (5-3-28>
О
и
оо
Sa = J Sa (Е) e-EAT EL . (5.3.29)
О
Таким образом, эффективные диффузионные параметры для тепловых нейтро-
нов получены путем усреднения по максвелловскому распределению пара-
метров, зависящих от энергии.
В случае анизотропного рассеяния, при котором средний косинус угла
рассеяния слабо зависит от энергии, имеем
J) = V ( Е Y______1______ p-E/kT dE
5 \kl J 3 [Ztr (A) + Sa (£)] e kT ~
0
co
ЧШзЖ'Жт- <5-3-30>
о
где — транспортная длина свободного пробега тепловых нейтронов. Квад-
рат длины диффузии определяется соотношением
Е2 = Х = -Ц^, (5.3.31)
где Xa = l/Sa — средняя длина свободного пробега до поглощения. Можно
записать диффузионное уравнение не для потока Ф, а для плотности ней-
тронов п — Фlv. В последнем случае оно приобретает вид
DvV2n~ Zavn = — S, (5.3.32)
или
— — S, (5.3.33)
zo
__2^ _ ____
где Dq — Dv — v (см21сек) — коэффициент диффузии, Z0 = l/(^Sa) — среднее
время жизни нейтрона до поглощения.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Am al di Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Berlin—Gottingen —Heidelberg, Springer, 1959.
Case К. M., de Hoffmann F.,Placzek G. Introduction to the Theory of Neutron
Diffusion. Vol. I. Los Alamos, N. M.; Los Alamos Scientific Laboratory, 1953.
Davison B. Neutron Transport Theory. Oxford, Clarendon Press, 1947. (См. на русском
языке: Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Перев. с англ. М., Атомиздат,
1960.)
* Здесь было использовано соотношение Ss (£' Е) dE — Ss (£"), в связи
о
г чем исчезло слагаемое, содержащее сечение рассеяния.
107
Salmon J. et al. Theorie Ginetique de Neutrons Rapides. Paris, Presses Universitaires
de France, 1961.
Вейнберг A. M. Вигнер E. П. Физическая теория ядерных реакторов. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
Специальная
Уравнения переноса
В о t h е W. Z. Physik, 118, 401 (1942); 119, 493 (1942).
Задача Милна
L е Caine J. Phys. Rev., 72, 564 (1947).
Mark C. Phys. Rev., 72, 558 (1947).
Marshak R. E. Phys. Rev., 72, 47 (1947).
Placzek G., Seidel W. Phys. Rev., 72, 550 (1947).
Теория переноса и уравнение диффузии
Weinberg А. М. AECD-3405 (1949).
.Рдг-метод
К о f i n k W. ORNL-2334, 2358 (1957).
5дг-метод
Carlson B. G. LA-1891 (1955).
Метод Вика
W i ck G. C. Z. Physik, 121, 702 (1943).
Приближенные методы решения стационарного уравнения переноса
в отсутствие энергетической зависимости
Carter С., Rowlands G. J. Nucl. Energy, А и В 15, 1 (1961).
Сечения тепловых нейтронов
Westcott С. Н. AECL-1101 (1960).
Глава 6
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ДИФФУЗИИ
В этой главе мы применим элементарную теорию диффузии к некоторым
важным частным задачам. Нас будет интересовать в основном диффузия теп-
ловых нейтронов в слабо поглощающих, «хороших» замедлителях, таких,
как Н2О, D2O, графит, бериллий, окись бериллия и различные водород-
содержащие материалы (парафин, плексиглас и т. д.). В средах из этих
замедлителей условия применимости диффузионной теории хорошо выпол-
нены, так что на расстоянии нескольких длин свободного пробега от границ
и источников результаты получаются достаточно точными. В дальнейшем
рассмотрении будем предполагать, что нейтроны источника имеют тепловое
распределение по энергиям.
6.1. РАСШИРЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
6.1.1. Элементарный вывод закона Фика
Закон Фика и элементарное уравнение диффузии могут быть получены
без использования общего уравнения переноса (Глесстон, Эдлунд, 1954).
Рассмотрим изотропно рассеивающую, слабо поглощающую (2а < 5,§)
среду и вычислим ток нейтронов, пересекающих элемент поверхности dS
108
за 1 сек (рис. 6.1.1). Величина
J- dS = Ss Ф(г)е”2зГб/г^фсо8Й81пй^й (6.1.1)
ООО
равна числу нейтронов, пересекающих за 1 сек эту площадку в отрицатель-
ном направлении оси z. Аналогично определяется число нейтронов,
Рис. 6.1.1. К выводу закона Фика (см. текст).
пересекающих за 1 сек площадку dS в положительном направлении оси z:
J+ dS -= ZtS. Ф (г) e-2sr dr cZcp [ cos й [ sin й d$. (6.1.2)
О 0 л/2
Разложим функцию Ф в ряд Тейлора вблизи начала координат:
ф(м.-)=ф(шШ<Ь+Ск <61-3>
Подставляя это разложение в уравнения (6.1.1) и (6.1.2) и интегрируя резуль-
тат, получим *
/- = ±ф(0)
/+ = |ф(0)
(6.1.4)
* В общем случае Ф (г) = Ф (0)-|-г grad Ф = Ф (0) + г cos О (—) -J-rsin'f)' sintpx
\uZ / r=0
/ дФ \ , . a / дФ \
X o'1 Г Sm C°S \"d5/ o’ однако ПРИ интегрировании по ф слагаемые,
содержащие cos ф и зшф, выпадают.
109
Из этих уравнений непосредственно следует закон Фика, согласно которому
. (6.1.5)
Если положить D = l/3Ss, закон Фика может быть записан в обычном виде
J — D grad Ф. (6.1.6)
Уравнение (6.1.5) справедливо в том случае, если функция потока Ф с доста-
точной степенью точности аппроксимируется линейным приближением
(6.1.3) в интервале нескольких длин свободного пробега, т. е. когда выпол-
няется соотношение
Соотношение (6.1.7) заведомо нарушается вблизи источников, поверхностей
раздела, границ; не выполняется оно также и в сильно поглощающих средах.
Если исключить из рассмотрения указанные случаи, то элементарное
уравнение диффузии можно получить непосредственно на основании баланса
числа нейтронов в 1 см?.
Действительно,
divJ + S^ = S(r), (6.1.8)
где div J — утечка или приток нейтронов вследствие диффузии; 5аФ —
потери, обусловленные поглощением; S (г) — прирост за счет внешних источ-
ников. Тогда, используя соотношение (6.1.6), получим элементарное урав-
нение диффузии
— D ?2Ф + 2аФ - S (г). (6.1.9)
6.1.2. Диффузионные параметры тепловых нейтронов
Табл. 6.1.1 содержит диффузионные параметры для различных замедли-
телей для тепловых нейтронов (Т = 293,6° К). Приведенные значения были
получены на основе различных экспериментальных данных, которые иногда
существенно отличаются друг от друга и не могут поэтому считаться доста-
точно точными. Сечения поглощения графита и бериллия могут значительно
возрасти из-за ничтожно малых загрязнений; приведенные данные соответ-
ствуют чистым замедлителям. Если температура нейтронного поля выше
293,6° К, нетрудно внести необходимые поправки в величину сечения погло-
Таблица 6.1.1
Диффузионные параметры для тепловых нейтронов (То = 293,6° К)
Вещество Плот- ность, г/с.нЗ D, см (”)> 10-4 СМ-1 L, см Do = Dv, 105 см2/сек Z0=l/l>2a(u)]> 10~4 сек
н2о 1,00 0,144 189 2,755 0,431 0,357 2,13
D2O (чистая) 1,10 0,810 0,31 161 2,43 2,01 1300
D2O (99,8 мол.%) 1,10 0,802 0,70 107 2,41 1,99 576
Графит 1,60 0,858 3,11 52,5 2,574 2,13 129
Бериллий 1,85 0,495 11,0 21,2 1,48 1,23 36,5
Окись бериллия 2,96 0,471 5,30 29,8 1,41 1,17 76,0
Парафин 0,87 0,109 226 2,19 0,327 0,270 1,78
Плексиглас 1,18 0,136 173 2,80 0,411 0,340 2,32
Даутерм А а 1.06 0,198 115 4,15 0,594 0,492 3,48
Гидрид циркония 3,48 0,233 152 3,93 0,699 0,579 2,66
а Смесь окиси дифенила и дифенила в отношении 1 : 0,36. Точка плавления
12,3° С.
110
щения, но при этом следует также заново переопределить коэффициент
диффузии. Ниже, при обсуждении методов измерения параметров L и D,
будут приведены значения последних, полученные при различных темпера-
турах.
6.1.3. Поток нейтронов вблизи точечного источника;
физический смысл понятия длины диффузии
Длина диффузии, введенная с помощью соотношения L = ]/D/2а,
имеет простой физический смысл. Рассмотрим поток нейтронов в бесконечной
среде вблизи точечного источника мощностью Q. С учетом сферической сим-
метрии уравнение диффузии можно записать в виде
d2<b 2 с/Ф Ф л
dr2 ' г dr L2 1
ИЛИ
1-Д-(гФ)—1.ф = 0,
г dr2 ' ' L2
общее решение которого есть
Ф (г) — — e~r/L -j- — er/L
(6.1.10)
(6.1.11)
Поскольку нейтронный поток не должен обращаться в бесконечность при
г-> оо, то 5 = 0. Постоянную А можно определить из того условия, что
в стационарном состоянии все нейтроны, испущенные источником, должны
поглощаться в среде, т. е.
оо
Q = J 2аФ (г) dV = e~r/L 4лг2 dr =
V о
= 4л2аА e~^Lr dr = ^aAL\ (6.1.12)
о
откуда
О Р т/Ь ry р r/L
Ф(г)=, V-7T---------= ---- • (6.1.13)
' ' ^n^aL2 г г 7
Найдем среднее расстояние г от источника, на которое перемещается
нейтрон от момента рождения до момента захвата. Вероятность того, что
нейтрон поглотится на расстоянии, заключенном в интервале между г
и г + dr, равна — 2аФ (г) 4лг2йг.
Следовательно,
оо оо
г = ~ г2аФ (г) 4лг2 dr = r2e~r/L dr — 25. (6.1.14)
о о
Аналогично определяется средний квадрат длины расстояния от источника,
на которое перемещается нейтрон до момента поглощения:
оо
г2 = r3e~r/L dr = 652. (6.1.15)
о
Таким образом, величина длины диффузии характеризует с точностью до
численного множителя среднее расстояние между точкой рождения нейтрона
и точкой, где он поглощается. Это расстояние не следует смешивать со сред-
ним расстоянием, в действительности пройденным нейтроном; последнее
равно средней длине пути до поглощения и вследствие зигзагообразного
движения во много раз превышает среднее расстояние между точкой излу-
чения нейтрона и точкой его поглощения.
111
6.2. РЕШЕНИЕ ДИФФУЗИОННОГО УРАВНЕНИЯ
В НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ
6.2.1. Простые симметричные источники
в бесконечной среде
Точечный источник был рассмотрен нами в п. 6.1.3.
Плоский источник. Допустим, что источник, расположенный в плоско-
сти (я, у), излучает Q нейтронов с 1 см2 поверхности за 1 сек. Тогда для
2 О имеем
Общее решение этого уравнения следующее:
[Ae~zL, z>0,
Ф (Z) = \Ae*/L, z < 0.
Постоянная А снова может быть получена из условия баланса нейтронов
Q = А [ J Sae2/L dz +12«e-z/L dz ] = 2^aAL.
— оо 0
Таким образом,
ф(2)= 2fe7e“'2'/L- (6-2.1)
Линейный источник. Пусть источник, расположенный на оси z цилиндри-
Рис. 6.2.1. Модифицированная функция
Бесселя нулевого порядка.
ческой системы координат, испус-
кает Q нейтронов за 1 сек с 1 см
длины. Тогда для г =£=• 0
dr2 т г rfr
Решение этого уравнения может
быть представлено в виде комбинации
модифицированных функций Бесселя
нулевого порядка Io (r/L), Ко (r/L) *.
Графики этих функций приведены на
рис. 6.2.1. Поскольку Io (r/L) стремит-
ся к бесконечности при r/L->oo, то
Ф (г) = ЛК0 (г/А),
Q = 12аФ (г) • 2лг dr = 2nS„L2 Ко (r/L) = 2nA^aL2,
О о
откуда
Ф<г>-2ТяЫк"И£)-
(6.2.2)
Тонкий сферический слой. Допустим, что сфера радиусом г' испускает
Q нейтронов за 1 сек, так что поверхностная плотность источника на 1 см2
равна (?/(4лг'2). Тогда решение уравнения (6.1.10) можно записать в виде
е-г/Ь
Ф>(г) = 4—-—, г>г',
Ф< (г) = В , r<r'.
* См., например, Ватсон Д. Н. Теория бесселевых функций. Перев. с англ. М.,
Изд-во АН СССР, 1949.
112
При r = r оба решения должны совпадать, т. е.
4e-1”/L = Bsh .
Выразим мощность источника через плотность тока в точке г = г':
, , , о / ^ф . йф^ \
ж ж ж=Л=»(7 - 7L,
Из этих соотношений следует, что
7 = =^sh (-^) , 5 = 72^е-'-'/ь.
Таким образом,
Ф(г) = [e-l’-H/b-e-lr+r'I/L] (6.2.3)
для всех г.
Тонкий цилиндрический слой. Пусть цилиндрический источник радиу-
сом г' испускает Q нейтронов за 1 сек с 1 см длины; поверхностная плот-
ность источников, таким образом, равна Q/(2nr'). Предположим, что ось z
направлена вдоль оси цилиндра. Тогда решение аксиально симметричного
диффузионного уравнения записывается в виде
Ф>(г) = ЛК0(г/Л), г>г',
Ф<(г) = Ш0(г/Л), г<г'.
При r = rf оба решения совпадают, т. е.
ЛК0(г7£) = Ш0 (//£).
Выразим снова мощность источника через плотность тока на поверхности:
откуда
Следовательно,
[^I0(r'/L)K0(r/L), r>r’,
Ф(г)={ (6.2.4)
l^K0(r7L)I0(r/L), r<r'.
6.2.2. Произвольное распределение источников.
Диффузионные ядра
Вообще говоря, источники тепловых нейтронов никогда не имеют строго
определенной геометрической формы. Чаще всего встречаются простран-
ственно распределенные источники (замедляющиеся нейтроны). Однако,
как будет показано ниже, всегда можно заменить распределенные источники
системой источников простой геометрической формы, подобной одной из тех,
которые обсуждались в предыдущем пункте.
В бесконечной среде поток в точке г, обусловленный точечным источни-
ком единичной мощности (1 нейтрон/сек), расположенным в точке г', опи-
сывается функцией
1 e-|r-r'f/L
ф <г> = ТЯГ 77=7Т
Если источники имеют некоторое пространственное распределение S (г),
можно считать, что в элементе объема dV' находится точечный источник мощ-
8 Нейтронная физика
ИЗ
ности S (г') dV', вклад которого в общий поток в точке г равен
Интегрируя по всему объему, получим полный поток в точке г
е е-|г-г'|/ъ
Ф<ГН5<Г,) <6-2'5>
Выражение
р-|г-г'|/Ь
GPt (г, г ) = 4Я/)|Г_Г-1 (6.2.6)
называется точечным диффузионным ядром. На основании уравнения (6.2.5)
можно вычислить нейтронный поток в случае произвольно распределенных
источников S (г').
Если распределение источников обладает какой-либо симметрией, как
это часто случается на практике, тогда вместо точечного диффузионного
ядра (6.2.6) возникает диффузионное ядро, соответствующее данному распре-
делению. В некоторых случаях это существенно упрощает вид диффузионного
ядра. Если плотность источников зависит только от координаты z (плоская
симметрия), то в соответствии с выражением (6.2.1) поток может быть выра-
жен в виде
+°° е—|г—r'1/L,
ф(2)= J 2SaL dz'. (6.2.7)
— оо
Диффузионное ядро в этом случае определяется соотношением
= . <6-2-8»
Для сферически симметричного распределения источников S (г) поток выра-
жается следующим образом:
ф (г) = S (г') [e~Ir“r'l/L — e~lr+r'l/jL] 4лг'2 dr'. (6.2.9)
о
В этом случае диффузионное ядро имеет вид
Ges(r, г') = e-k+r'I/q. (6.2.10)
О J \tLJr Г
Если распределение источников имеет аксиальную симметрию, то
ф (г) = S (г) GAs (г, r')-2nr'dr', (6.2.11)
о
где
{ 2^K0(r/L)I0(r'/L), г>г',
GAs(r,r')=\ (6.2.12)
{.2^Io(r/L)Ko(r'/L), г < г'.
Наконец, мощность источника может зависеть только от координат (г', ф')
точки плоскости. Распределенные источники можно тогда заменить системой
линейных источников мощности S (г', ф') г' dr' dtp', в соответствии с чем
поток будет выражен в виде
Ф (г, ф) § § S (г', ф') Gl (г, ф; г', ф') г' dr' dtp', (6.2.13)
о о
114
где
GL(r, q>; г', q>')= 2^-K0(p/L).
(6.2.14)
Здесь p = ]A2 + r'2— 2rrf cos (ср — ф')—расстояние между точкой излучения
(г', ср') и точкой наблюдения (г, ф).
6.2.3. Диффузионные задачи с простыми граничными условиями
Поток нейтронов вблизи точечного
расположенного в центре сферы.
Рис. 6.2.2.
источника,
Рассмотрим решение диффузионных задач в конечных средах
с источниками простой геометрической формы (см. п. 6.2.1), считая,
что среда имеет такую же симметрию, как и источник.
Будем предполагать, что по-
ток нейтронов обращается в нуль
на экстраполированной границе
среды, т. е. Ф (rG + nd) = О,
где d = 0,71^г*. Для решения
диффузионного уравнения исполь-
зуем следующее обстоятельство.
Б конечной среде, ограниченной
поверхностью rG, поток нейтронов,
обусловленный заданным распре-
делением источников, равен по-
току нейтронов в бесконечной
среде с такими же внутренними
источниками в совокупности с со-
ответствующим образом подобран-
ными отрицательными источни-
ками вне поверхности rG. По-
этому поток можно представить
как сумму решения, полученного
в п. 6.2.1, и потока, обусловлен-
ного неизвестными фиктивными
поверхностными источниками, на-
ходящимися на рассматриваемой
поверхности.
Точечный источник в центре
сферы. Допустим, что R — эффек-
тивный радиус сферы, т. е. сумма
истинного радиуса и величины d.
Тогда
4:J / Г
где коэффициент t определяется из граничного условия Ф (Я) = 0, в силу
которого
, Q q~r/l
1 4nSa£2 sh~(R/L) *
Таким образом,
Q sh (FF
4n2oL2sh(K/L) Г • (6.2.15)
* Это соотношение было введено в п. 5.2.4 для моноэнергетических нейтронов. Оно
было получено простым усреднением по тепловому энергетическому распределению
потока и является только лишь первым приближением, которое довольно плохо выпол-
няется для сред с сильной зависимостью сечения рассеяния от энергии, например для
Н2О. Более подробно вопрос об определении величины граничной точки экстраполяции
будет рассмотрен в гл. 10.
8* 115
На рис. 6.2.2 показано соответствующее решение для нескольких зна-
чений R/L*, эти кривые отражают влияние поверхности на распределения
потока. Поучительно вычислить долю В нейтронов, поглощенных внутри
сферы, которая дается соотношением
R
J 5аФ (г) -4лг2 dr
ту 0____________________л______R/L
Q sh (R/L) ’
(6.2.16)*
При R = L 15% всех нейтронов поглощается в сфере, в то время как при
R = 10L в сфере поглощается уже 99,9% нейтронов.
Плоский источник в центре слоя. Пусть слой бесконечен по направле-
ниям х и у и имеет эффективную толщину, равную 2а. Допустим, что источник
расположен в плоскости z — 0. Решение уравнения диффузии будем искать
в виде
O(Z) = ^re-Wb + ^ch Ш .
Из граничных условий Ф (а) = Ф (—а) = 0 следует, что
— Q p-a/L
2LaL
ch (a/L) ’
так что
Аналогично можно получить выражение для потока нейтронов и в других
простейших случаях. Приведем только окончательные результаты.
Линейный источник, расположенный по оси бесконечно длинного цилиндра
с эффективным радиусом R:
= • <6 2Л8>
Тонкий сферический слой радиусом г', концентрически вложенный в сферу
радиусом R:
( ь (R~r' А
QL S V L j sh (r,
faDr' sh (R/L) r
фад>
QL sh (r'/L) Sh I L
( 4«Z)r' sh (R/L) r
Бесконечно длинный цилиндрический слой радиусом г', концентрически
вложенный в бесконечный цилиндр радиусом R:
г < г',
(6.2.19)
, г>г'.
-&Г Щт?) WL Ко (r'/L) - Ко (/?/£) 10 (г'/Л)], г < г',
' а т < ’!Г\ (6.2.20)
I 2&7 тЦУЙ (^) Ко ад - Ко {R/L) Io (r/L)], г > г’.
I. 1Q ytl./ Jj)
Как и выше, из этих решений можно получить диффузионные ядра для
случая произвольно расположенных источников.
* Строго говоря, интегрирование должно быть распространено только до R — d,
однако если R не очень мало, т. е. R превышает L, то ошибка невелика.
116
6.2.4. Распределение нейтронов в призме (колонне)
Во многих экспериментах используются так называемые колонны из
замедлителя, представляющие собой призмы или цилиндры.
Рассмотрим призму, имеющую бесконечную протяженность по направ-
лению z, внутри которой в точке (хг, у', z') расположен точечный источник.
Соответствующее диффузионное уравнение
?2Ф — -Х-Ф = — -^-6(х—х')8(у — y’)8(z — z')
JLj^ U
должно быть решено совместно с граничными условиями
Ф (х, у, z) = 0 при х ~ 0, х ~ а; у=0, у = Ь.
Кроме того, в пределе при z —> + оо поток также должен обращаться в нуль.
Разложим функцию Ф в ряд Фурье:
Ф(х,у,г)~ У Фг, m(z) sin sin . (6.2.21)
I, m=l, 2, 3, ...
Это выражение всегда удовлетворяет граничным условиям по направлениям
х и у.
Разложим далее в ряд Фурье S-функции:
6(х —х') 6 (у —/) = у AZjmsin-^-sin-^- ,
Z, т
где
а Ъ
= § б (я—х') 8 (у —у') sin sin ^-dxdy =
о о
Если подставить соотношения (6.2.21) и (6.2.22) в диффузионное уравнение
и, вычислив соответствующие производные по х и у, умножить обе части
. 1лх . тпх
уравнения на sm —sin -у- и проинтегрировать результат по сечению
колонны, можно получить следующее дифференциальное уравнение для
коэффициентов Фурье Фц та (z):
где
____1 m
Ц,т 1'т
4 Q . 1пх . тпу
—г -TV Sin -Sin —O(z — Z ),
ab D а Ъ 4 7
1 __ 1 I 2 / Z2 ।
Lt т ~ £2 + Л V °2 + Ь2 ) ’
(6.2.23а)
(6.2.236)
Формально это уравнение совпадает с уравнением для потока Ф/, т,обуслов-
ленного плоским источником мощности sin —— sm — , расположен-
ным в плоскости z = z' в бесконечной среде, которая характеризуется длиной
диффузии Lit т. Поэтому его решение может быть записано в виде
Фг т (z) = sin-^- sin «
’ ' / Dab а ъ
Следовательно, окончательно имеем
Ф (X, у, Z) = У Llt т sin-^- sin т sin_^L sin . (6.2.24)
L/du CL 0 CL С)
l, m
Согласно соотношению (6.2.236), длина релаксации т уменьшается
с увеличением номеров Z, тп; поэтому на больших расстояниях от источника
117
поток описывается выражением
Ф (я, у, z) sin sin-^y- e~lz~z'hbn.
Другими словами, поток в направлении оси z спадает экспоненциально,
однако в отличие от бесконечной среды, где также наблюдается экспонен-
циальный спад, характеризуемый длиной
диффузии, здесь появляется длина релакса-
ции = ЫУЛ + л2Л2 (1/а2 + 1/&2), кото-
рая описывает утечку нейтронов в попереч-
ном направлении и которая тем меньше,
чем меньше поперечные размеры колонны.
Уравнение (6.2.24) при Q = 1 дает диф-
фузионное ядро для расчета потока нейтро-
нов, обусловленного произвольным распре-
делением источников в бесконечной ко-
лонне.
Для вычисления потока нейтронов в ко-
Рис. 6.2.3. Прямоугольная приз-
ма.
нечной колонне (рис. 6.2.3) воспользуемся
снова разложением в ряд Фурье. В этом
случае уравнение (6.2.23а) следует решать
совместно с граничным условием Фг> m(z) —0 для z = 0 и z = с. Нетрудно
показать, что соответствующие гармоники потока имеют вид
С ^Li,mQ] sh ( c — z \ ,
| Dab 1П a Sln b sh (с/Й, m) Sh I Ll>m ) ’ Z> Z ’
<Dz,m(z)=-| (6.2.25)
I Dab S П a b sh (c/Lz, m) k m J ’ '
Если источник расположен достаточно далеко от верхней поверхности,
то поток на большом расстоянии от источника описывается соотношением
Ф (х, у, z) ~ sin sin-^- sh .
~ л и \ J
Если^г-^>2, то гиперболический синус можно с достаточной степенью
точности заменить экспонентой -L e(c-z)/Ln. таким образом, на расстоянии
нескольких длин релаксации от верхней плоскости призмы влияние границ
становится слабо ощутимым, вследствие чего поток будет спадать экспонен-
циально, как и в призме бесконечной длины.
6.3. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФУЗИИ
6.3.1. Примыкающие среды. Альбедо
На рис. 6.3.1 показана простая система из двух различных сред. В плос-
кости z = 0 расположен плоский источник, к которому с обеих сторон при-
мыкают слои толщиной If, а за ними помещены слои другого вещества тол-
щиной — If. Запишем выражения для потоков в следующем виде:
I
Фп (z) = tn sh
(6.3.1а)
(6.3.16)
Такое решение автоматически обращается в нуль при z = /ц. Для определе-
ния постоянных и используем условия непрерывности потока и тока
118
на поверхности раздела сред
®i Gi) = Фц Gi),
= - рп ,
1 к dz J Zj \ dz J J
(6.3.2)
откуда
hi —к
Lu
-ЙН* Ш(^V) +^sh Шsh (^V)
(6.3.3)
к =
Q
2
На рис. 6.3.1 показано распределение потока нейтронов для типичного слу-
чая двух примыкающих сред; в качестве сравнения приведено распределение
потока в отсутствие отражателя.
В первом нейтронный поток в
среде I всюду выше вследствие
отражения нейтронов. Влияние
среды II можно учесть, введя
понятие коэффициента отраже-
ния на границе I — II, или по-
нятие так называемого альбедо р.
Альбедо определяется как отно-
шение тока J", проходящего из
среды II в среду I, к току/+,
проходящему из среды I в сре-
ду II. Согласно соотношениям
(5.2.44),
г Ф . Рц d<D \
р _ 2~~dT I =
ф Du d([) г ~
,4 2 dz J z=Zj
Рис. 6.3.1. Поток нейтронов вблизи плоского
источника lb слое с отражателем t(—) и без
отражателя (----------------).
(6.3.4)
I
Если обозначить толщину отражателя 1ц — через &, то в силу уравнения
(6.3.16) (ВД с1ЬШ. \ Ф / z—^ Ln \Lu)
Следовательно, . 2DU ( b \ 1 ~±~ cth ( -у— ) Lu \klJ
Для толстого отражателя (Ъ > L) cth (Ъ/Ьц) ж 1, так что
(в.З.в)
Если альбедо отражателя известно, то для нахождения потока нейтронов
в среде I нет необходимости решать диффузионное уравнение в среде II
119
(в отражателе). Можно воспользоваться условием, что отношение падающего
и отраженного потоков на границе с отражателем равно р. Как показано
выше, для плоской геометрии выполняется соотношение (6.3.5); в случае
толстых отражателей соотношение (6.3.6) справедливо не только для плос-
кой, но также для сферической и цилиндрической геометрий. Как видно
из табл. 6.3.1, величина альбедо даже для весьма тонких отражателей из
Таблица 6.3.1
Значения альбедо для тепловых нейтронов для плоских
отражателей из различных рассеивающих материалов
Рассеиватель Альбедо р
Ъ = оо Ь= 60 см Ъ = 4 0 см Ъ — 20 см
н20 0,811 0,811 0,811 0,811
d2o 0,981 0,947 0,922 0,853
Бериллий 0,911 0,910 0,907 0,881
Графит 0,936 0,923 0,903 0,834
тяжелой воды и графита достаточно высокая, в то время как легкая вода
не является таким хорошим отражателем для тепловых нейтронов, что обу-
словлено сравнительно сильным поглощением в воде.
6.3.2. Сильный поглотитель в нейтронном поле *
Допустим, что поток нейтронов в бесконечной среде постоянен и равен
Фо. Если в такое поле внести сильно поглощающее вещество, например
кадмий, то его действие будет эквивалентно отрицательному источнику
и приведет к уменьшению потока нейтронов вблизи поглотителя. Если это
сферический поглотитель радиусом R, то нейтронное поле на расстоянии г от
его центра будет описываться функ-
цией
ф (г) = ф0 —A e-r/L. (6.3.7)
Постоянную А можно определить из
граничного условия на поверхности
поглотителя. Согласно соотношению
(5.2.39),
Ф(Д)
(d(D/dr)r=R
(6.3.8)
„ о о « тг Длина экстраполяции X зависит от
Рис. 6.3.2. Длины экстраполяции для тт
сфер (7) и цилиндров (2) (Davison, Kush- радиуса кривизны поглотителя. На
neriuk, 1946). рис. 6.3.2 показана зависимость вели-
чины X от радиуса сферы и цилиндра.
Предельная величина длины экстраполяции % при R = 0 составляет 4/3 2^,
тогда как в другом предельном случае, когда R -> оо, X0,7104/2^. Эти
кривые представляют точную зависимость для случая моноэнергетических
нейтронов, диффундирующих в непоглощающей, изотропно рассеивающей
среде; они могут быть использованы также в качестве первого приближения
при исследовании поведения тепловых нейтронов в слабо поглощающей среде
с малой анизотропией рассеяния, если заменить величину 1/2S на %tr.
* См. также п. 11.2 и 11.3.
120
Из соотношений (6.3.7) и (6.3.8) следует, что для сферического поглотителя
Ф0Яек/ь
(6.3.9)
и, следовательно,
ф(г) = фо
Л e(R-r)/L
1
(6.3.10)
1
Число нейтронов Z, захваченных поглотителем за 1 сек, можно вычислить
если известна величина тока нейтронов в точке г = R. Тогда
Z = 4лЯ2£> (= лй2Ф0
k dr J r—R
(6.3.11)
Для R < % (и, следовательно, для R < L) Z — л/?2Ф0, поскольку X =
4= 40; величина/ в этом случае равна числу нейтронов невозмущенного
потока, падающих на сферу радиусом R. Для более высоких значений R
число нейтронов Z всегда меньше величины л/?2Ф0, поскольку происходит
ослабление потока вблизи сферы. В частности, в предельном случае, когда
R » L, Z = лЯ2Ф0.42Ш.
Подобное же исследование можно провести для поглотителя в виде
бесконечно длинного цилиндра. В случае поглотителя сложной геометри-
ческой формы вычисление нейтронного потока является громоздкой матема-
тической задачей.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Fermi Е. (Ed. J. G. Beckerley). Neutron Physics. AECD-2664 (1951).
Глесстои С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. Перев. с англ. М.,
Изд-во иностр, лит., 1954.
Специальная
Решение уравнения диффузии
Placzek G. The Science and Engineering of Nuclear Power. Vol II. Cambridge, 1949,
p. 77.
Wallace P. R. Nucleonics, 4, No. 2, 30 (1949), 4, No. 3, 48 (1949).
Wallace P.R.,le Caine J. AECL-336 (1943).
Длина экстраполяции для сферы и цилиндра
Reactor Physics Constants. ANL-5800, 167 (1959).
Davison В., К ushn eri uk S. A. MT-214 (1946).
Глава 7
ЗАМЕДЛЕНИЕ
Как правило, энергия нейтронов, образующихся в ядерных реакцияхг
значительно превосходит тепловую. При столкновениях быстрых нейтронов
с атомами рассеивающей среды потеря энергии происходит одновременно
с процессом диффузии. Столкновения могут быть как упругими, так и неупру-
гими. До тех пор пока энергия нейтрона превышает примерно 1 эв, атомы
до соударения можно считать покоящимися и свободными. Такое предполо-
жение перестает быть справедливым при низких энергиях, при которых
химические связи атомов рассеивателя и само тепловое движение этих
121
атомов влияют на процесс замедления. Целью теории замедления является
описание пространственного и энергетического распределения нейтронов,
обусловленного данным распределением источников. В последующем изло-
жении мы рассмотрим три различные стороны этой задачи. В настоящей
главе будет изучено замедление в пространственно независимом случае,
т. е. в бесконечной среде с однородным распределением источников. При
этом мы будем учитывать только упругие столкновения со свободными,
первоначально покоящимися атомами, пренебрегая как неупругим рассея-
нием быстрых нейтронов, так и эффектами, обусловленными химическими
связями и тепловым движением атомов рассеивателя. В гл. 8 при тех же
ограничениях будет рассмотрен случай с пространственной зависимостью,
т. е. будет изучено замедление нейтронов с одновременной диффузией в конеч-
ной среде, содержащей произвольно распределенные источники. Наконец,
в гл. 10 будет изучена термализация нейтронов, т. е. замедление нейтронов
в области малых энергий, когда необходимо учитывать химические связи
и тепловое движение атомов. В случае легких элементов, которые могут быть
использованы в качестве замедлителей, неупругое рассеяние не играет ника-
кой роли при энергиях, меньших нескольких мегаэлектронвольт (см.
п. 1.4.2), поэтому нет необходимости принимать его во внимание при изу-
чении процесса замедления *.
Уравнение переноса для замедляющихся нейтронов в бесконечной среде
с однородно распределенными источниками было выведено в п. 5.1.2:
оо
(2а + 2S) Ф (Е) = § 2S (Е' Е) Ф (£') dE' + S(E). (5.1.16)
о
Оно представляет собой простое соотношение баланса нейтронов в единич-
ном энергетическом интервале вблизи энергии Е\ в левой части уравнения
записано число нейтронов, покидающих 1 см3 за 1 сек вследствие поглощения
и рассеяния, в то время как справа фигурирует прирост числа нейтронов
в 1 см3 за 1 сек, обусловленный рассеянием и внешними источниками **.
7.1. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ И ЗАМЕДЛЕНИЕ
7.1.1. Динамика столкновении
Рассмотрим упругое столкновение нейтрона, имеющего энергию Е^,
с атомным ядром (масса которого А), находящимся первоначально в состоя-
нии покоя. Наша основная цель состоит в вычислении вероятности того, что
нейтрон после столкновения будет иметь энергию в интервале (Е2, Е2 + dE2}.
Кроме того, представляет интерес изучение углового распределения ней-
тронов после столкновения. Для последующего необходимо рассмотреть
столкновение как в лабораторной системе координат (Z-система), так
и в системе центра масс (С-система). Динамика столкновения показана
схематически на рис. 7.1.1. Введем следующие обозначения:
— скорость нейтрона до столкновения, л
и2 — скорость нейтрона после столкновения, I £ си тем
vm— скорость центра масс, | в " истем ,
й 0 — угол рассеяния; )
— ит ~ скорость нейтрона до столкновения,
va — скорость нейтрона после столкновения, в С-системе.
ф — угол рассеяния J
* Ситуация, совершенно отличная от той, которая имеет место для быстрых реак-
торов, не содержащих замедлителя, поскольку в последних неупругое рассеяние на тяже-
лых ядрах сильно влияет на спектр нейтронов.
** Уравнение (5.1.16) справедливо также для потока, усредненного по простран-
ственным координатам в конечной гомогенной среде с произвольно распределенными
источниками; размеры среды должны быть, однако, настолько большими, чтобы с поверх-
ности практически не было утечки нейтронов.
122
Как видно из рис. 7.1.2,
v22 = v2a + vll + 2vavmcos^ (7.1.1)
z;2 cos Фо = va cos гр 4- vm. (7.1.2)
Рис. 7.1.1. Схема кинематики столкновений в лабораторной системе координат (а)
и в системе центра масс (б).
Из закона сохранения импульса следует, что скорость центра масс равна
(7-1-3)
Скорость нейтрона до столкновения в С-системе равна
^1—t7-1-4)
В системе центра масс скорость ядра совпадает со скоростью центра масс
vm в лабораторной системе координат. В С-системе импульсы нейтрона
Рис. 7.1.2. Соотношение между скоростями va, vm и v2.
и ядра равны и направлены в противоположные стороны. Аналогичная ситуа-
ция имеет место и после столкновения. В силу закона сохранения энергии
в С-системе скорости нейтрона и ядра после упругого соударения также
должны оставаться без изменения. Таким образом,
(7-1-5)
Из уравнения (7.1.1) следует, что энергия нейтрона в Z-системе после столк-
новения определяется соотношением
тр _ v2 77 Л2+ 2Л cos гр 4-1
^2 ----(Л4-1)2---• (7.1.6)
123
Косинус угла рассеяния в Л-системе равен
n A cos 4- 1
cos v0 = —, • -____ ". .
~|/Л2 + 2Л cos ,ф +1
Введем вспомогательную величину
(7.1.7)
(7.1.8)
(7.1.9)
Тогда уравнение (7.1.6) можно записать в виде
= -j- [(14- а) + (1 — а) eos -ф].
Максимальная потеря энергии происходит при лобовом соударении, т. е.
при ф = 180° и cos ф = —1; в этом случае Е2 = В результате одного
акта столкновения энергия после соударения не может принимать значение
меньше аЕ±. Для водорода а = 0 и E2min — 0- Для больших массовых чисел А
7.1.2. Энергетическое и угловое распределения
Пусть g (Е± Е2) dE2 — вероятность того, что нейтрон, имеющий пер-
воначально энергию Ег, после столкновения попадет в энергетический интер-
вал (Е2, Е2 + dE2). Поскольку энергия Е2 и угол рассеяния ф однозначно
связаны соотношением (7.1.9), то
g{E±~> Е2) dE2 — Р'(cos ф) dcos ф, (7.1.11)
где р (cos ф) d cos ф — вероятность того, что косинус угла рассеяния
в системе центра масс будет лежать в интервале cos ф + d cos ф. Согласно
изложенному в п. 1.4.2, для большинства хороших замедлителей рассеяние
в системе центра масс изотропно при энергиях ниже 1 Мэв\ в таком случае
р (cos ф) = const = 1/2. С другой стороны, однако,
^(^1 >Е2^)
__ Id cos ф _ 1
2 dE2 ~(1 — a) Ei
(7.1.12)
для aEi^ Е2^ Е{. Для Е2 > Е± и для Е2 < aEY g (2?! -> Е2) = 0. Понятие
вероятности g (Е^ Е2), определяемой соотношением (7.1.12), будет исполь-
зовано ниже, при решении уравнения переноса (5.1.16), в котором вместо
величины Ss (2?' -> Е) будет фигурировать функция
2s(£')g (£'->£).
(7.1.13)
Можно вычислить также угловое распределение нейтронов после столк-
новения в лабораторной системе координат. Для многих задач теории пере-
носа интерес представляет определение только среднего косинуса угла рас-
сеяния. Если рассеяние изотропно в С-системе, то
______ +1
cos й0 =
-1
Acosip + l 1 7 , 2
....... т ’ — d COS Ф = -7ГТ- .
1/Л2 + 2Л созф + 1 2
(7.1.14)
Чем легче рассеивающее ядро, тем вероятнее рассеяние вперед. Наоборот,
для тяжелых ядер, для которых 2/ЗЛ 0, рассеяние в лабораторной системе
координат почти изотропно.
Если рассеяние в С-системе не является изотропным, выражения для
g (Ei Е2) и р (cos ф) становятся более сложными. Для слабо анизотроп-
124
ного рассеяния
р (cos гр) (1 + 3 cos гр cos гр). (7.1.15)
Используя соотношение (7.1.15), можно, как и выше, показать, что
g(E1->E2') = -^-_ia)Ei (1 + 3 cos ip — -jj^- cos г|з ^2) (7.1.16а)
(aEi Е2 Е)
и
c°S’&o== + + cos (1 —+) • (7.1.166)
7.1.3. Средняя логарифмическая потеря энергии
Если вероятность g (Е\ -> Е2) известна, то нетрудно вычислить среднюю
энергию нейтрона после столкновения:
Е± Ei
Ё2= $ E2g(E^E2)dE2 = -(1^Х = ^(1+а)- (7ЛЛ7а>
aEi aEi
Средняя потеря энергии в результате одного акта столкновения равна,
очевидно,
'КЁ = Е1-Е2^Е1^-^. (7.1.176)
Средняя логарифмическая потеря энергии определяется соотношением
_______________________________ Ei
g = ln^-ln£2 = ln (|1)= § In g(E1—*E2)dE2 =
aEi
Ei
+ In (Ф-к.-+ g = 1 + т-^-1па. (7.1.18)
J (E2 } (1 — a) Er 1 1 —a ' >
aEi
Таким образом, величина средней логарифмической потери энергии не зави-
сит от энергии. Это обстоятельство обусловливает введение логарифмиче-
ской шкалы энергии при описании процесса замедления (см. п. 7.2.1).
В силу соотношения (7.1.18) £ — 1 для водорода; для тяжелых же ядер
величина g может быть с весьма хорошей точностью аппроксимирована выра-
жением
—+ (7.1.19)
Л+ф
О
Используя понятие средней логарифмической потери энергии можно
оценить среднее число соударений п, необходимое для того, чтобы нейтрон
с начальной энергией Eq замедлился до энергии Е. Очевидно,
пВ = 1п(+), п = (7.1.20)
В табл. 7.1.1 приведены величины а, % и п (последняя для замедления от
энергии 2 Мэв до 0,0253 эв) для некоторых ядер. Значения тг, полученные
с помощью соотношения (7.1.20), только приближенные, поскольку не учи-
тывались эффекты термализации при низких энергиях и анизотропия рас-
сеяния в С-системе при высоких энергиях. При расчете точного числа соуда-
рений необходимо принимать во внимание энергетическое распределение
нейтронов в процессе замедления (Kiisters, 1963; De Marcus, 1959).
Из соотношения (7.1.16а) следует, что в случае слабо анизотропного
рассеяния в С-системе
£=kotropie — 3cosi|) [q+- — у + Ina^ . (7.1.21)
125
Используя соотношение (7.1.21), можно оценить влияние анизотропии рас-
сеяния на процесс замедления. Если, например, дифференциальное сечение
рассеяния дейтерия при энергии 0,75 Мэв, приведенное на рис. 1.4.4, аппрок-
симировать с помощью соотношения (7.1.15), то для cos ф можно получить
значение 0,067, так что £ = 0,662, в то время как ^isotropic = 0,725. Таким
Таблица 7.1.1
Параметры замедления различных веществ
Вещество А а 1 п а
Водород 1 0 1,000 18
Дейтерий 2 0,111 0,725 25
Гелий 4 0,360 0,425 43
Литий 7 0,562 0,268 67
Бериллий 9 0,640 0,209 86
Углерод 12 0,716 0,158 114
Кислород 16 0,778 0,120 150
Уран 238 0,983 0,00838 2172
а Число столкновений п вычислялось по формуле (7.1.20) и соот-
ветствует замедлению от энергии 2 Мэе до 0,025 3 эв.
образом, различие невелико, поэтому в дальнейшем анизотропия рассеяния,,
как правило, не будет учитываться. В ряде случаев, однако, например при
очень высоких энергиях, следует учитывать анизотропию рассеяния.
Введем теперь две важные характеристики замедлителя, называемые
соответственно замедляющей способностью и коэффициентом замедления.
Очевидно, чем выше значение £, тем эффективнее замедлитель. Но параметр £
определяет потерю энергии лишь при одном столкновении. Частота же столк-
новений характеризуется величиной сечения Ss. Поэтому чем больше произ-
ведение gSs, называемое замедляющей способностью, тем быстрее происхо-
дит замедление нейтронов. Значения для некоторых замедлителей при-
ведены в табл. 7.1.2. Они соответствуют значениям в области «плато»г
Таблица 7.1.2
Замедляющая способность и коэффициент замедления
Замедлитель Плотность, г/см3 £Ss, см-1
н2о 1,00 1,35 71
D2O (чистая) 1,10 0,176 5670
D2O (99,8 мол.%) 1,10 0,178 2540
Графит 1,60 0,060 192
Бериллий 1,85 0,158 143
которое простирается примерно от 1 эв до нескольких килоэлектронвольт.
При более высоких энергиях сечение Ss уменьшается, в соответствии с чем
падает и величина £Ss. С другой стороны, при очень низких энергиях теряет
смысл само понятие параметра g. Кроме большой замедляющей способности,
замедлитель должен обладать малым сечением поглощения 2а. Поэтому
качество замедлителя определяется величиной gSs/Sa, называемой коэф-
фициентом замедления. Обычно коэффициент замедления вычисляется
с использованием среднего сечения захвата для тепловых нейтронов при
комнатной температуре.
126
7.2. ЗАМЕДЛЕНИЕ В рОДОРОДЕ (Л=1)
Исследуем решение уравнения переноса (5.1.16) для водорода. Сечение
рассеяния, определяемое соотношением (7.1.13), принимает особенно простой
вид для А — 1, в силу чего уравнение (5.1.16) имеет точное решение для
Ф (£’), в то время как в общем случае А =^= 1 можно получить только при-
ближенное решение.
7.2.1. Плотность столкновений. Плотность замедления, летаргия
Плотность столкновений гр (Е) определяется как число нейтронов
(Sa + Ss) Ф (Е), испытавших в течение 1 сек соударения (рассеивающие
или захватные) в 1 см3. Используя (7.1.13), можно записать уравнение
(5.1.16) для гр (К) в виде
Е/а
i|)(^)= £ _^^E’)g(E'-^E)dE’ + S(E). (7.2.1)*
Е
Плотностью замедления q (К) назовем число нейтронов в 1 см3, замед-
ляющихся ежесекундно ниже энергии Е. Вероятность того, что нейтрон
с начальной энергией Е' > Е окажется после столкновения в области энер-
гий Е" < Е, определяется соотношением
Е
G(E',E) = g (Е' -> £") dE". (7.2.2)
аЕ'
Согласно определению плотности замедления,
Е/а
(£,) G Е) dE'- (7-2.3)
Е
Используя равенство (7.1.12), запишем выражение для вероятности G (Ef, Е)
в виде
аЕ'
Для всех значений Е' <ZE и E'^EIa вероятность G(E',E) равна нулю.
Из соотношений (7.2.1) и (7.2.4) следует, что
(7-2-5>
Часто для описания процесса замедления используется логарифмиче-
ская шкала энергий, поскольку средняя логарифмическая потеря энергии
при одном столкновении постоянна. В качестве переменной в этом случае
используется величина, называемая летаргией и определяемая как
м=1п(^)' (7-2.6)
Здесь Eq — произвольная энергия, выбранная за начальную точку отсчета;
в большинстве приложений Eq полагается равной максимальной энергии
в спектре нейтронов источника. Тогда в начальный момент летаргия и = О
и возрастает непрерывно в процессе замедления. Соотношения (7.2.1) и (7.2.5)
* Для водорода верхний предел интегрирования равен максимальной энергии
нейтронов источника Eq. Для более тяжелых ядер имеет место аналогичное утвержде-
ние, если Е Х> uEq.
127
могут быть записаны как функции летаргии в следующем виде:
и
i|>(u)= у у- (ц') g —» и) du' + S (и), (7.2.7)*
cJ “Г
и—In (1/а)
и
q(u) = ~~kv~ 4* (ц') & (и’, и) du', (7.2.8)
е) ^ar^s
и—In (1/а)
где
u'+ln (1/а)
G(u', u)= J g (и' -»и”) du". (7.2.9)
и
Тогда
(7-2Л0>
Здесь
f /77/ 774 I dE I е“(и“и,) , / 1 \ . ,
| g (E —*E) -y— — ------, и — In I —
g(u'-»u) = ] /\du\ 1—a \a) (7.2.11)
0 в остальных случаях,
U'+ln (1/а) .
P e-(u-u") , e-(u-u)-a /1\ , .
\ —л-------du =----, и — In — u, _ Л _
G(u', w) = { J i-a l-« \а)^ (7.2.12)
О в остальных случаях.
Следует заметить, что
i|5(M) = 1|J(£)|^-| = £1|J(^), (7.2.13)
в то время как
g(u) = g(£).
7.2.2. Вычисление плотности замедления и энергетического спектра
Поскольку для водорода а — 0, уравнение для плотности столкновений
следует записать в виде
eQ
S w ^dde + stE).
(7.2.14)
Дифференцируя функцию ф (Е) по Е, получим следующее дифференциаль-
ное уравнение:
= ф(^) dS(E)
dE Za-i-Zs Е dE •
Это уравнение нетрудно проинтегрировать непосредственно, переписав его
предварительно в зависимости от плотности замедления. Согласно соотноше-
ниям (7.2.3), (7.2.4) и (7.2.14),
q(E) = E\$(E)-S(E)], (7.2.16)
откуда
dq ___ Q {Е}о / р\
dE Sa + Zs Е Дз + Sa
(7.2.17)
* Для водорода нижний предел интегрирования и = 0. В более тяжелых замедли-
телях нижний предел и = 0, если и < In (1/a).
128
Рассмотрим сначала случай, когда поглощение отсутствует. Тогда
eq
q(E)—^ S(E')dE'. (7.2.18)
Е
Таким образом, в отсутствие поглощения плотность замедления при энергии Е
равна числу нейтронов источника с энергиями выше Е, генерируемых
в 1 см3 за 1 сек.
Если источник испускает моноэнергетические нейтроны, т. е. S (Е) =
— S8 (Е — Eq), то для E^Eq
q(E)=S.
Этот результат справедлив для всех непоглощающих замедлителей; физи-
чески он очевиден и непосредственно следует из общего уравнения (7.2.5).
Действительно, согласно соотношению (7.2.11), плотность столкновений
в водороде равна
так что, в случае когда S(E) = S$(E — Eq),
^(E) = ^ + Sb(E-EQ), ]
о е У (7-2.19)
Таким образом, при всех энергиях, меньших, чем энергия нейтронов источ-
ника, Ф (Е) — 5/(Ss£’). Поскольку сечение рассеяния в водороде постоянно
в области энергий от 1 до 104 эв, поток замедляющихся нейтронов в этой
области следует закону НЕ.
Рассмотрим далее общий случай замедления с учетом поглощения для
чистого водорода или смеси водорода с тяжелым поглотителем, ядра которого
не дают вклада в замедление. Если источник испускает моноэнергетические
нейтроны, т. е. S (Е) = S6 (Е — EQ), то для Е <; EQ
d\nq __ 1
dE Sa + ^s Е 1 , (7.2.20)
Е
eq
В данном случае q(EQ)~ ( ( S, так что
V ^а~г^з / Eq
eq
_ \ dE'
<7-2-21»
Величина
<7-2-22>
называется вероятностью избежать резонансного захвата в процессе замед-
ления. Она представляет собой вероятность того, что нейтрон, испущенный
с энергией Eq, не будет поглощен в процессе замедления до энергии Е.
9 Нейтронная физика 129
Множитель есть вероятность того, что нейтрон источника
не будет поглощен при первом столкновении. Практически во многих слу-
чаях Sa < для Е = Eq, так что
eq
_ Г dE'
»j Е'
р(Е)=-е Е . (7.2.23)
В общем случае для произвольного энергетического распределения источни-
ков плотность замедления имеет вид
оо Sq dE"
Е£‘+г" Е" <>£'• (7.2.24)
Е
где величину
?(£)=«, ?(Д) (7.2.25)
J S (£") dE'
Е
можно определить как вероятность избежать резонансного захвата.
Согласно соотношению (7.2.16),
Ф № = (7-2.26)
Для сильного поглотителя зависимость потока от энергии отличается от зако-
на НЕ, поскольку при уменьшении Е уменьшается и плотность замедления q.
Кроме того, вблизи каждого резонанса имеет место «выедание» потока.
Вычислим теперь с помощью равенства (7.2.23) величину р (Е) для двух
частных случаев. Рассмотрим сначала случай гипотетического поглотителя,
сечение поглощения Sa которого бесконечно в энергетическом интервале
Е1^Е^Е2 и равно нулю всюду вне этого интервала. Тогда для Е < Е{
И Eq Е2
е2
J Е'
El (7.2.27)
Таким образом, хотя сечение поглощения бесконечно велико, существует
отличная от нуля вероятность того, что нейтроны замедлятся до энергий
ниже Е^, причем число замедлившихся нейтронов тем больше, чем уже
«опасная зона». Это обусловлено тем, что нейтроны могут замедлиться от
энергий, превышающих Е2, до энергий ниже EY в результате одного столк-
новения, проскочив таким образом опасную зону. Подобное рассмотрение
полезно для оценки величины р в случае поглотителей, сечение которых
в резонансах очень велико.
Если отношение сечения рассеяния к сечению поглощения не зависит
от энергии и равно |3, то
Ео
_ \ 1 dE' 1
Р(*) = е * <7-2’28)
Следовательно,
ф<Е>Ж(^Г<гдаг- (7.2.29)
Таким образом, поток нейтронов Ф (Е) пропорционален £’-3/(1+3)? т. е.
при уменьшении энергии возрастает медленнее, чем по закону НЕ.
130
7.3. ЗАМЕДЛЕНИЕ В ТЯЖЕЛЫХ СРЕДАХ (А ф 1)
7.3.1. Непоглощающие среды
Предположим, что энергия нейтронов источника равна Eq, a S = 1;
тогда
Е/а
W) = j 1p(£')(-T-^7 + 6(£-£Q). (7.3.1)
Е
Сведение к простому дифференциальному уравнению здесь не представляется
возможным, поскольку верхний пре-
дел интегрирования зависит от энер-
гии Е. Однако, как показано Плаче-
ком (Placzek, 1946), можно решать
интегральное уравнение последова-
тельно, т. е. сначала на интервале
&Eq < Е < Eq, затем на интервале
&2Eq <_Е < &Eq и т. д. Поскольку
в общем виде результаты получаются
довольно громоздкими, мы приведем
на рис. 7.3.1 * лишь решение ф0 (и)
для А = 2, 4, 12. В интервале
О < и < 31п (х/а), т. е. при oAEq <
<ZE <Eq плотность столкновений ис-
пытывает осцилляции («осцилляции
Плачека») около асимптотического
значения 1/|. Эти осцилляции свя-
заны с тем обстоятельством, что мак-
симальная потеря энергии нейтроном
при одном столкновении может дости-
гать величины (1 — а) Е. При энер-
гии Е = aEQ имеет место разрыв
непрерывности в величине плотности
столкновений, поскольку энергия
нейтронов после первого столкнове-
ния не может быть ниже значения aEQ.
Нетрудно показать, что асимпто-
тически фо (7?) = Плотность
замедления q (Е), которая в непо-
глощающей среде равна плотности
источника 5 = 1 для всех E^EQ,
записывается в виде
Рис. 7.3.1. Функция Плачека для плотно-
сти столкновений при различных массовых
числах замедлителя.
Е/а
j ЯЧ#')
Е
Е/а
Е — аЕ' _______ 1 Р Е — аЕ' dE'
(1 - а) Е' (1 — а) Е'
Е
а
1 — а
In а ) = 1.
(7.3.2)
Подставляя непосредственно функцию ф (Е) ~ !/(££) в уравнение (7.3.1),
можно показать, что она является решением.
Таким образом, в непоглощающей среде плотность замедления q (Е) = S
и поток Ф (Е) в «асимптотической» области связаны соотношением
Ф(Е)
(7.3.3)
* В решении Плачека принимаются во внимание только те нейтроны, которые
испытали хотя бы одно столкновение. Чтобы получить полное решение, необходимо
учесть вклад нейтронов источника, не испытавших соударений.
9* 131
Рис. 7.3.2. Функция ЕФ (Е) для источ-
ника нейтронов деления в графите
Rowlands, (1960).
Поскольку сечения рассеяния большинства замедлителей постоянны в области
между 1 эв и несколькими килоэлектронвольтами, поток в этой «эпитепловой»
области имеет спектр, пропорциональный 1ДЕ.
Аналитически этот факт может быть выражен в виде
Ф(£)^ = Фер^; фер{ = 1|-. (7.3.4)
Для данной плотности замедления величина тем больше, чем меньше
замедляющая способность замедлителя. Все эти результаты, очевидно,
справедливы и для водорода, как показывает сравнение с соотношением
(7.2.19). Для немоноэнергетического источника с произвольным спектраль-
ным распределением
ty(E) = S(E)-\- J S(E')^E'(E)dE'. (7.3.5)
Е
Здесь (Е) — плотность столкновений, обусловленная источниками
единичной мощности с энергией Е', т. е. решение Плачека, обсуждавшееся
выше. Если (Е) заменить ее
асимптотическим значением 1/(^£'),
то уравнение (7.3.5) примет вид
Етах
q(E) = S(E) + ^ $ S(E')dE'.
Е
(7.3.6а)
Для энергий, меньших минимальной
энергии спектра источника,
1Р(£) = -р-. (7.3.66)
На рис. 7.3.2 показан поток Ф (и) =
= ЕФ(Е) в углероде, вычисленный
Роулендсом (Rowlands, 1960) для источ-
ника нейтронов со спектром деления;
сильные колебания потока вблизи энер-
гий 2 и 3 Мэв обусловлены резонансами
в сечении углерода. Поток Ф (и) при-
нимает постоянное значение для Е <
<0,1 Мэв, и только ниже этой энергии спектр следует закону НЕ. Роу-
ленде показал, что если в этом случае пренебречь «осцилляциями Плачека»,
т. е. вместо уравнения (7.3.5) использовать приближение (7.3.6а), то мак-
симальная ошибка составит около 10% вблизи энергии 10 Мэв; с уменьше-
нием энергии ошибка быстро падает, так что уже при энергии Е < 20 кэв
это приближение дает практически точные результаты.
Рассмотрим далее замедление в непоглощающей среде, содержащей
смесь ядер разного типа. Плотность столкновений в этом случае определяется
N
как ф (Е) = Ф (Е) 2 2= Ф (E) а в асимптотической области
г=1
N Е/а^
W)=2 $ (7.3.7а)
i=l Е
W Е/аг
,-2 $ тг’Н*') <7-3-76)
г=1 Е
.132
Если предположить, что все сечения имеют подобную зависимость от энергии,
т. е. отношения Ssj/Ss не зависят от энергии, то функция ф (£) = const/E
является решением уравнения (7.3.7а). Постоянная может быть определена
на основании соотношения (7.3.76), согласно которому
7V
q = const* У (7.3.8а)
1=1
Если ввести среднюю логарифмическую потерю энергии для смеси ядер
по формуле
N
l = (7.3.86)
ТО
^(Е) = -Л— ф(£') = -^—• (7.3.8в)
1(E) ’
Таким образом, в смеси замедляющие способности различных компонент
складываются аддитивно.
7.3.2» Поглощающие среды; приближение Вигнера
Наиболее удобно при решении уравнения замедления в поглощающей
среде использовать в качестве переменной летаргию. Если имеется моно-
энергетический источник нейтронов, для которого и = 0, то для и^>0
U , ,ч
р у (W-« )
и— In (1/а)
<?(^) = V чр (и') е- — ” du',
d ^>а ~r -"s 1 а
u—In (1/а)
(7.3.9а)
(7.3.96)
(7.3.9в)
Беднаржем (Bednarz, 1961) было получено аналитическое решение этих
уравнений для произвольных Sa и Его метод решения математически
весьма труден и приводит к очень сложным соотношениям. Поэтому огра-
ничимся здесь обсуждением некоторых важных приближенных методов.
Допустим, что в замедляющей среде имеется моноэнергетический источ-
ник единичной мощности, для которого и = 0. Плотность замедления q (и)
в этом случае равна вероятности избежать резонансного захвата р (и) при
летаргии и. Число нейтронов, поглощенных в 1 см2 за 1 сек в процессе замед-
ления до летаргии и, равно 1 — р (и). Представим теперь плотность столк-
новений в виде
4|>(u) = -J— — . (7.3.10)
Ъ b ь
Такую запись надо понимать в следующем смысле. Если бы поглощение
равнялось нулю, то величина 1/£ представляла бы асимптотическую плот-
ность, обусловленную источником единичной мощности. Однако в процессе
замедления до летаргии и поглощается 1 — р (п) нейтронов. Это поглощение
формально может быть представлено отрицательным источником с мощно-
стью 1 — р (и). Асимптотическая плотность столкновений для нейтронов,
обусловленных этим источником, равна -—. Очевидно, ее следует вычесть
из плотности столкновений 1/£, которая имеет место в отсутствие поглощения.
133
Используя соотношение (7.3.10), можно сразу проинтегрировать уравне-
ние (7.3.9в); в результате получим
=_________________ T) (u\
du ^a + %s) P{
i KSs+Sa)
p(u) = e 0
(7.3.11)
Эти уравнения, записанные в зависимости от энергии, принимают вид
eQ
_ е* Sg dE'
I £(Sa+2S) E' >
p(E) = e E
Ф /£) =----1^)-----
K ’ £(Sa+Ss)E-
(7.3.12а)
(7.3.126)
Предполагая, что плотность столкновений имеет всюду асимптотическое
значение 1/£, т. е. пренебрегая «осцилляциями Плачека» в пределах первых
нескольких интервалов столкновений, можно приближенно решить уравне-
ния (7.3.10) — (7.3.12). Можно по существу предположить, что источник
испускает нейтроны очень высоких энергий, в то время как поглощение
становится заметным при значительно более низких энергиях, так что неасим-
птотические осцилляции, обусловленные присутствием источника, не играют
практически никакой роли. Однако плотность столкновений, обусловленная
«отрицательными» источниками, тоже имеет неасимптотические осцилляции;
поэтому более строго следует писать
и
ф(и) = J-4- lfu. (и) du’. (7.3.13)
о
Здесь ipu' (и) — плотность столкновений при летаргии и в непоглощающей
среде, обусловленная единичным источником нейтронов с летаргией и'.
Если 'фгд' (и) заменить ее асимптотическим значением 1/g, то это снова при-
ведет к уравнению (7.3.10).
Уравнения (7.3.12а) и (7.3.126), называемые часто приближением Виг-
нера, представляют лишь приближенные соотношения, поскольку они полу-
чены с использованием предположения (7.3.10). Они точны только для водо-
рода, что нетрудно видеть, сравнивая их с соотношениями (7.2.22) и (7.2.26).
Как было показано выше, в водороде нет неасимптотических осцилляций
плотности столкновений вблизи энергии источника. Имеются два важных
случая, для которых уравнения (7.3.12а) и (7.3.126) являются совершенно
точными соотношениями. Один из них относится к очень слабому поглоще-
нию (Sa < Ss), когда отклонение плотности столкновений от соответствую-
щей величины в непоглощающей среде столь мало, что неасимптотическими
колебаниями можно пренебречь. Тогда
Ео
f Sg dE'
J £Ss E'
p(E) = e E (7.3.14а)
и
ф(Е) = _т.. (7.3.146)
Часто эти уравнения называют приближением Ферми.
Другой, гораздо более важный случай — это поглощение сильными,
хорошо разрешенными резонансами. Если ширина резонанса \и мала по
сравнению с интервалом столкновений In (1/сс), а расстояние между резонан-
сами порядка нескольких интервалов столкновений, то соотношения (7.3.12а)
и (7.3.126) являются весьма хорошим приближением. В этом случае плот-
134
ность столкновений в резонансной области определяется выражением
р у p-(u-u')
фв(и) = \ у 7у- rp(u')- -- du'^^(u), (7.3.15)
и— 1п(1/а)
т. е. она весьма близка к плотности столкновений в отсутствие резонанса.
Это обусловлено тем, что вклад столкновений в области резонанса в интеграл
пренебрежимо мал, поскольку Ан < 1п (1/а). Вообще говоря, когда разность
между «возмущенной» и «невозмущенной» плотностями столкновений доста-
точно мала, то влиянием неасимптотических осцилляций можно пренебречь
и пользоваться соотношениями (7.3.10) — (7.3.12), которые при этом дают
весьма точные результаты.
Выражение (7.3.11) для р (и) может быть непосредственно получено на основе
следующих рассуждений. Допустим, что плотность замедления для летаргий, меньших,
чем летаргия первого резонанса, равна единице. Тогда (w) = Ф (и) = —, аФ^(н) =
. 1
Вероятность того, что нейтрон будет поглощен в первом резонансе, есть
р IPS
\ (и') du' = \ -=—— du', откуда вероятность избежать захвата равна
а + —
Ди Аи
IPS ь Ай ' 2,3
1 — \ -—du' е , так как Ди<^£. Вероятность того, что ней-
G в)
Аи
трон в процессе замедления избежит захвата в ряде последовательных резонансов,
определяется произведением соответствующих вероятностен, т. е.
p(w) = e Ли1
Sq
2a+2s
du*
“ I
Au2
Sq
Sa-^Ss
du'
и
L f
Л д’ Sa+Ss
du'
(7.3.16)
Условия применимости соотношений (7.3.10) — (7.3.12) хорошо выпол-
няются во многих практических случаях. Уравнения (7.3.12а) и (7.3.126)
широко используются для исследования замедления в гомогенных средах.
Соотношение (7.3.12а) является исходным также для определения резонанс-
ного интеграла, понятие которого будет введено в п. 7.4.
Однако нетрудно построить пример, для которого приближение Вигнера
приводит к неверному результату. Предположим, что сечение поглощения
бесконечно в энергетическом интервале Et^E' ^Е2 и равно нулю
всюду вне этого интервала. Из равенства (7.3.12а) следует, что для Е <Z Et
Пусть теперь Ег = аЕ2; тогда р = (что равно приблизительно е-2
для больших Л). В действительности, однако, в области энергий между Е}
и Е2 поглощаются все нейтроны, поскольку бесконечно, так что ни один
из них не может проскочить через этот интервал и, следовательно, р = 0.
Конечно, рассмотренный пример не осуществляется на практике, но тем не
менее желательно иметь более точные приближения для вероятности
избежать резонансного захвата, особенно в тех случаях, когда сечение
захвата медленно меняется с энергией и когда его величиной нельзя пре-
небречь по сравнению с сечением рассеяния.
7.3.3. Приближение Герцеля — Грейлинга (Goertzel, Greuling, 1960)
На основании уравнений (7.3.9в) и (7.3.13) можно получить интегро-диф-
ференциальное уравнение для вероятности избежать резонансного захвата:
£ = -ггй {'тМ<“)“т) <7-ЗЛ7>
о
135
При выводе этого уравнения функция фи' (и) была представлена в виде суммы
асимптотической и неасимптотической компонент согласно тождеству
фи' (и) ~ 1/|+ (и) — 1/£]. Пренебрегая асимптотической частью, полу-
чим сразу приближение Вигнера, рассмотренное в п. 7.3.2. На основе урав-
нения (7.3.17) разными авторами, в частности Вейнбергом и Вигнером (1961),
а также Корнгольдом (Gorngold, 1957), были получены приближения более
высокого порядка для вычисления вероятности избежать резонансного
захвата. Опишем простое аппроксимационное решение, найденное Дресне-
ром (Dresner, 1960).
Как было показано в п. 7.3.1, неасимптотическая часть фи, (и) за-
метно отличается от нуля только в интервале и' < и < и' + 31п (1/а).
Поэтому
w - т ]du' ~ (u) “ f 1du' ~
о о
со
du'- (7-ЗЛ8)
о
Это приближение является достаточно хорошим, если dp!du слабо меняется
на одном интервале столкновений; но, когда сечение поглощения имеет
острые резонансы, его точность резко падает. Дреснер оценил интеграл,
стоящий в правой части соотношения (7.3.18). Согласно Дреснеру,
оо
Jj[4o(“)—g-] du==^ — 1) (7.3.19а)
о
где
(7.3.196)
(у = 1; 0,584; 0,138 соответственно для А = 1, 2, 12).
Уравнение (7.3.17) с учетом соотношений (7.3.19а) и (7.3.18) принимает
ВИД dp du V YSa + gSs Р^' (7.3.20а)
откуда Р (и)— и е 2а , , \ и -~е 0 , (7.3.206)
или eq f Ха dE' J 52s+ySo Е' е в (7.3.20b)
Соотношение (7.3.20в) было получено другим способом впервые Герцелем
и Грейлингом, и поэтому его часто называют приближением Герцеля —
Грейлинга для вероятности избежать резонансного захвата. Для слабо
меняющегося сечения захвата оно дает существенно лучшие результаты,
чем приближение Вигнера.
Рассмотрим важный случай, когда сечение захвата (Е) меняется
по закону Цу/'Е. Если при этом сечение рассеяния постоянно, интегриро-
вание можно провести аналитически; при Eq = оо выражение для вероят-
ности избежать резонансного захвата имеет следующий вид:
р (Е) = (1 + X -2/v . (7.3.21)
136
7.4. РЕЗОНАНСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
7.4.1. Определение резонансного интеграла
Допустим, что в бесконечной среде находятся равномерно распределен-
ные источники нейтронов высокой энергии с мощностью 1 нейтрон/(см3 • сек).
Пусть также в среде гомогенно распределен поглотитель, ядерная плотность
которого равна N атом/см3. Предположим, что поглотитель имеет изолиро-
ванный резонанс, полуширина которого мала по сравнению с интервалом
столкновения. Согласно п. 7.3.2, число нейтронов, поглощенных в 1 см3
за 1 сек, дается соотношением
ib — — V du
I d Sa(u) + Ss(u) aU'
ъ 0
(7.4.1)
Представим теперь в виде
где 1 /(|5р) — нейтронный поток (на единицу летаргии), который бы суще-
ствовал в среде в отсутствие резонанса. Здесь
= Ss7n -j- lV(5pot, (7.4.3)
где — сечение рассеяния замедлителя, a Qpot — микроскопическое
сечение потенциального рассеяния поглотителя.
Величина Ieff (барн) называется эффективным резонансным интегралом.
Согласно соотношениям (7.4.1) и (7.4.2),
a SpCTa(u) 0 Oa{u)du 0 Oa(E) dE Г7 A AX
eff J2s(u) + 2a(u) d Os68 (u) + oa(u) G^es + ва (E) E
и 1 _i-----------1 _i--------------
В последнем равенстве мы использовали следующее обозначение:
= = + (7.4.5а)
Величина ор определяет сечение рассеяния (за вычетом резонансного рассея-
ния) на один атом поглотителя. Далее
Res, ч Ss(u) —
(м) =---ту---- (/.4.56)
представляет микроскопическое сечение резонансного рассеяния, т. е.
сечение рассеяния на один атом поглотителя за вычетом сечения apof.
Определение (7.4.4) относится к случаю одиночного резонанса. Вообще
говоря, интегрировать следует только по области резонанса, но пределы
интегрирования могут быть расширены от 0 до оо без существенной погреш-
ности, поскольку сечение поглощения исчезает всюду вне области резонанса.
Обычно эффективный резонансный интеграл реального поглотителя, имею-
щего много узких резонансов, определяется аналогичным соотношением,
при условии, однако, что расстояния между резонансами достаточно велики.
В этом общем случае
tpa — 1 — e~NIeff^p\ (7.4.6)
Соотношение (7.4.2) применимо, следовательно, в том случае, когда показа-
тель экспоненты мал.
Введенные таким образом резонансные интегралы называют часто гомо-
генными резонансными интегралами. Однако наиболее важное практическое
137
применение имеют так называемые гетерогенные резонансные интегралы.
Последующее несколько формальное рассмотрение имеет в основном подго-
товительный характер, поскольку подробно теория гетерогенного резонанс-
ного интеграла будет изложена в гл. 12. Сейчас же мы попытаемся вычислить
эффективный резонансный интеграл и вероятности избежать резонансного
захвата с помощью параметров Брейта — Вигнера. Введем сначала некото-
рые вспомогательные понятия.
Согласно соотношению (7.4.4), величина Ieff для данного резонансного
поглотителя достигает максимального значения при ор -> оо, т. е. при «беско-
нечном разбавлении» поглотителя. В этом случае
Ieff = Ie0=^oa(u)du=^<ya(E')~- . (7-4.7)
Обычно величину называют «резонансным интегралом бесконечного раз-
бавления» или просто «резонансным интегралом». Как будет показано
в гл. 12, ее легко определить экспериментально. Интеграл Iejf уменьшается
при увеличении концентрации поглотителя, т. е. при уменьшении сечения
<Гр. Это обусловлено тем, что поток нейтронов в резонансе, пропорциональ-
ный l/(Ss + Sa), ослабляется тем больше, чем меньше сечение 2Р по срав-
нению с величиной (явление самоэкранирования); при бесконечном же
разбавлении ослабление потока отсутствует, поскольку < Sp.
7.4.2. Вычисление резонансного интеграла
с помощью формулы Брейта — Вигнера
В последующем рассмотрении пренебрежем для простоты интерферен-
цией между потенциальным и резонансным рассеянием.
Согласно изложенному в п. 4.1.2, можно написать
где
Следовательно,
М£) + <^(Я)=------7/4-
\ 1
Оо = 4лк2я£ Г?- ,
Оа(£)- г
1+ )
г7 _____Оо______
"F -1 1 / 2
М Г/2 ) dE
л , Е
(7.4.8а)
(7.4.86)
(7.4.8в)
(7.4.9)
В последнем интеграле можно распространить интегрирование от — оо
до 4-оо и функцию ЦЕ заменить значением ЦЕп, поскольку резонанс пред-
полагается узким. Тогда, выбирая в качестве новой переменной интегриро-
вания величину х = Е и ВВОДЯ обозначение ^ = ар/о0, соотношение (7.4.9)
можно переписать в виде
гг Г +°°
г Цр1 у р dx
leff~~2ER J 14-4(14-*2) •
—00
(7.4.10)
•138
Преобразуя интеграл (7.4.10) с использованием подстановки у2 = tx2!(t + 1),
получим
4-00
1 V dy __________ Л
Vi (1 + 0 3 1 + У2 ~ Д/« (1 + 0 ’
— оо
откуда
ло,рГ<у/(2£'^)
eff~ Д/г (1 + 0
или, так как t~ ар/а0,
_ ла0Гт/(2^й) __
У 1+ао/ар V 1 + ао/ар
где величина
Zoo = ло0Г7/(2£,д) = 2^VRg
(7.4.11)
(7.4.12)
(7.4.13)
соответствует предельному случаю «бесконечного разбавления». Соотноше-
ние (7.4.12) отчетливо показывает влияние эффекта самоэкранирования.
Для очень больших концентраций поглотителя ор1о0 < 1 и Ieff ~ УgpIoqIoo.
В случае весьма высоких концентраций поглотителя приведенные выше
формулы не могут быть применены непосредственно. Действительно, выше
предполагалось, что резонансы узки, т. е. их полуширина мала по сравне-
нию с интервалом столкновений. Как правило, это требование выполняется,
если полуширина рассматривается как естественная полуширина резонанса;
другими словами, условие Г < (1 — cz) ER выполнено, если замедление
нейтронов происходит на легких ядрах. Однако соответствующая полуширина
не является естественной, а определяется скорее полушириной того энерге-
тического интервала, при котором резонансное сечение-----больше,
чем постоянное сечение рассеяния ар. Эта полуширина по порядку вели-
чины равна reff « Г У Gq/<5p, и необходимо, следовательно, потребовать,
чтобы Геу/ < (1 — a) ER, последнее условие не всегда выполняется, если
концентрация поглотителя высока. Подробно эта задача наряду с другими
была изучена Дреснером (Dresner, 1960). Мы же в дальнейшем будем считать,
что условие Ге// (1 — a) ER всегда выполнено.
К сожалению, при выводе формулы (7.4.11) были допущены и другие
существенные упрощения: известно, что формула Брейта — Вигнера
в использованном здесь виде правильно описывает ход сечения резонансных
реакций только в том случае, когда ядро-мишень находится первоначально
в состоянии покоя. Поэтому формулу Брейта — Вигнера необходимо пре-
образовать с учетом эффекта Допплера, который обусловлен тепловым дви-
жением ядер поглотителя.
7.4.3. Допплеровское уширение резонансных линий
Допустим, что группа атомных ядер облучается нейтронами, обладаю-
щими скоростью v. Если первоначально ядра покоятся, то скорость реакции
пропорциональна ио (р). Предположим, однако, что ядра обладают максвел-
.ловским распределением по скоростям, т. е.
Р(У)с?7 = (—JO3/2e~2S^4jtFW. (7.4.14)
Тогда относительная скорость нейтронов равна
^ = |V-v|, (7.4.15)
139
и скорость реакции, следовательно, пропорциональна величине
\ vRelG (yRel) Р (vRel) dvRel =
оо
= I V-V | о (I V-V I) Р (7) dV = voeff (р).
о
(7.4.16)
В последнем равенстве введено эффективное сечение, которое следует исполь-
зовать при описании взаимодействия нейтронов с ядрами, находящимися
в тепловом движении. Из уравнения (7.4.16) вытекает физически очевидное
заключение, состоящее в том, что когда o' (р) ~ 1/v, то а (0 = (и).
С другой стороны, как будет показано в п. 10.1, если величина а постоянна,
то также имеет место равенство а = oeff (и)- Ниже мы рассмотрим случай
резонансных реакций, сечение которых а (у) описывается с помощью формулы
Брейта — Вигнера. Как и следовало ожидать, в этом случае естественная
линия уширяется, поскольку для нейтронов, энергии которых отличаются
от резонансной, могут все же отыскаться ядра, для которых выполняются
условия резонанса. При этом мерой отклонения энергии падающего ней-
трона от Е = mv2l2 является величина
-^ [(V + к)2 - (7- v)2] = 2mvV -у= , (7.4.17)
где А — массовое число ядра-мишени. Таким образом, вместо естественной
полуширины Г появляется эффективная полуширина линии, пропорциональ-
ная |/*4Е’дЛТ0М (если, конечно, последняя не мала по сравнению с Г,
т. е. если нельзя пренебречь эффектом Допплера).
Величина оеу/ (Е) может быть вычислена непосредственно на основании
соотношений (7.4.14) и (7.4.16) с использованием формулы Брейта — Вигнера,
что, однако, приводит к весьма сложным выражениям. Для важного частного
случая, когда резонансная энергия ER > кТ0, а интерференционные слагае-
мые малы, сечения вблизи резонанса определяются следующими соотноше-
ниями:
СТа eff (Е) = О0 -jT- Я5 (®, *)>
(7.4.18)
где
(7.4.19)
а
+°о -у02(Х-у)2
(Й) Р Л 4
ф (0, х) =-----— \ — —5------------dy.
’ 21/л J 1+3/2
— ОО
(7.4.20)
Функция ф (0, х) в данном случае определяет форму линии. При
То 0, т. е- когда А —>• 0 и 0 --> оо, кривая ф (0, х) стремится к естествен-
ной форме линии (1 + я:2)”1 («слабое» допплеровское уширение). С другой
стороны, когда 0 —>• 0 (Г < А), то при не очень больших значениях х функ-
ция ф (0, х) имеет вид
1 /а 2 9 (Е~Еп\2
1 >— ~7 0 x2 1 г— Г —--------— \
1|>(©, х) = -Ь/л© 4' = b/rt_Le 1 д > . (7.4.21)
В этом случае «сильного» допплеровского уширения форма линии представ-
ляет гауссову кривую, полуширина которой совпадает с допплеровской
полушириной А, введенной выше на основе эвристических рассуждений.
140
Если хг > 6/02, функция ф (0, х) асимптотически близка к естествен-
ной форме линии, т. е.
ф (0, х) ~ (1 + я2)"1 + .. ., (7.4.22)
где многоточие означает слагаемые более высокого порядка малости по срав-
нению с (1 + я2)-1. Другими словами, достаточно далеко от центра линии
всегда превалирует естественная форма кривой. Детальное исследование
свойств ф-функции проведено Дреснером. Подробные таблицы функции ф
составлены Розе и др. (Rose, et al., 1954). Вывод уравнения (7.4.20) можно
найти, например, в работе Солбрига (Solbrig, 1961), а также в статье Адлера
и Налибова (Adler, Naliboff, 1961).
До сих пор наши рассуждения основывались на предположении, что
атомы поглотителя обладают максвелловским распределением по скоростям.
Это было бы справедливо в случае поглощения в идеальном газе. В действи-
тельности поглотитель находится или в жидком, или в твердом состоянии,
и справедливость вышепри-
веденных формул вызывает
некоторые сомнения. Однак<\
как показал Лэмб, если твер-
дое тело может быть описано
с помощью модели Дебая или
Эйнштейна и если температу-
ра не очень низка, эффект
Допплера можно оценить на
основании соотношения
(7.4.14) с той лишь разницей,
что вместо истинной термо-
динамической температуры
следует использовать не-
сколько более высокую эф-
фективную температуру.
7.4.4. Вычисление резонан-
сного интеграла с учетом
эффекта Допплера
Подставляя соотношения
(7.4.18) в выражение (7.4.4)
для эффективного резонанс-
ного интеграла, получим
т fi __ С (0. х) ,/г
eft 2ER J i|>(0, + « ах-
(7.4.23)
Вычислить этот интеграл ана-
литически не представляется
чениях параметра Допплера 0 (t ~ 2Y«10-5).
возможным. Дреснер наряду
с Адлером и др. (Adler, Nordheim, Hinman, 1958) вычислили его численно
и затабулировали для различных значений 0 и t; некоторые из соответ-
ствующих результатов приведены на рис. 7.4.1. Для очень больших
разбавлений и очень больших концентраций ядер поглотителя все кривые
стремятся к кривой для 0 = оо (Z = 0° К): в промежутке резонансный
интеграл больше соответствующей величины для 0 == оо вследствие влия-
ния эффекта Допплера, причем разница тем больше, чем меньше 0, т. е.
чем выше температура. Это обстоятельство можно объяснить следующим
образом. При очень больших разбавлениях, когда t > 1, значением функции
141
ф (0, х) можно пренебречь по сравнению с величиной t в знаменателе подын-
тегрального выражения равенства (7.4.23). Тогда
-j-°°
1е// = а|> (©, х) dx = = Joo *. (7.4.24)
е) AEr ' z
— оо
Из соотношения (7.4.24) следует, что при бесконечном разбавлении эффект
Допплера не влияет на величину резонансного интеграла поглощения.
В этом случае поток нейтронов вблизи резонанса слабо зависит от энергии^
так что подынтегральное выражение в формуле для резонансного интеграла
будет просто пропорционально величине сечения, которое, естественно, не
зависит от эффекта Допплера.
При высоких концентрациях поглощающих ядер поток нейтронов умень-
шается вблизи резонанса. Вследствие эффекта Допплера область «выедания»
потока шире, а форма кривой положе по сравнению со случаем То = О,
в результате чего самоэкранирование меньше, чем при То = 0, и поэтому резо-
нансный интеграл больше. При очень высоких концентрациях наблюдается
сильное уменьшение потока, вследствие чего центральная часть резонанса
не дает никакого вклада в величину резонансного интеграла. На краях,
которые в данном случае определяют величину резонансного интеграла,
резонансная линия имеет естественную форму [см. (7.4.22)], в силу чего
эффект Допплера не влияет на значение резонансного интеграла.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Dresner L. Resonance Absorption in Nuclear Reactors. Oxford — London — New
York — Paris, Pergamon Press, 1960.
Вейнберг A. M., Вигнер E. П. Физическая теория ядерных реакторов. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
Специальная
Среднее число упругих столкновений при замедлении
Kiisters Н. Nukleonik, 5, 33 (1963).
Marcus W. С. de. Nucl. Sci. Eng., 5, 336 (1959).
Замедление в непоглощающих средах
Placzek G. Phys. Rev., 69, 423 (1946).
Замедление нейтронов деления
Rowlands G. J. Nucl. Energy, All., 150; A13, 14 (1960).
Точное решение уравнения замедления
Bednarz R. Nucl. Sci. Eng., 10, 219 (1961).
Вычисление вероятности избежать резонансного захвата при А 1
Corngold N. Proc. Phys. Soc. (London), A70, 793 (1957).
Goertzel G., Greuling E. Nucl. Sci. Eng., 7, 69 (1960).
Keane A. Nucl. Sci. Eng., 10, 117 (1961).
Weinberg A. M., W i g n e r E. P. BNL-433, 125 (1956).
Резонансные интегралы и резонансное поглощение
Wigner Е. Р. et al. J. Appl. Phys., 26, 260 (1955). * 1 * * * У
*
1 9
Ц-ОО 4-00 4-00 --— 7/)2
p e p p e 4
4> (©, x) dx = -2 y- dx dy----=
— oo —oo —oo
4-00 4-00 j 4-00
__ 0 P dy P ——e^u2 c]u
У-1 — \ л । n \ du e — \ л । я — л.
л J i+v2 4 J l + us
— OO -OO -OO
142
Допплеровское уширение резонансов
Adler F. Т., N а 1 i b о f f Y. D. J. Nucl. Energy, A u В 14, 209 (1961).
G о e r t z e 1 G. Geneva, 1955, P/613, Vol. 15, p. 472.
Rose M. et al. BNL-257 (1953); WAPD-SR, 506 (1954).
S ol b ri g A. W. Nucl. Sci. Eng., 10, 167 (1961).
Solbrig A. W. Amer. J. Phys., 29, 257 (1961).
Вычисление резонансных интегралов
с учетом допплеровского уширения
Adler F. Т., Nordhe i m L. W., Hinman G. W. Geneva, (1958), P/1988, Vol.
16, p. 155.
Dresner L. Nucl. Sci. Eng., 1, 68 (1956).
Глава 8
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИХСЯ
НЕЙТРОНОВ
В этой главе будет изучено пространственное и энергетическое распреде-
ление нейтронов в процессе замедления. Задача заключается в вычислении
потока Ф (г, Е) или плотности замедления q (г, Е), обусловленных данными
источниками. В общей постановке эта задача гораздо сложнее, чем два ее
частных случая, рассмотренных выше, т. е. диффузия без замедления и замед-
ление без диффузии. Рассмотрим, например, нейтронное поле точечного
источника быстрых нейтронов в бесконечной среде. На больших расстояниях
от источника поле в основном определяется нейтронами, не испытавшими
ни одного столкновения или испытавшими всего лишь несколько столкнове-
ний с малым углом рассеяния и с ничтожной потерей энергии. Распределение
этих нейтронов по направлениям сильно анизотропно, так что описание про-
цесса диффузии с помощью закона Фика становится невозможным. По этой
причине решение задач так называемого глубокого проникновения связано
со значительными трудностями и представляет интерес в основном при расчете
защиты реакторов; в дальнейшем мы их рассматривать не будем *. На близ-
ких расстояниях от источника (соответствующие границы будут определены
более точно ниже) распределение направлений движения нейтронов имеет
слабую анизотропию (если исключить из рассмотрения нейтроны, энергии
которых лежат в узкой области, примыкающей снизу к энергетическому
интервалу нейтронов источника), так что с некоторыми ограничениями спра-
ведлив закон Фика. Поэтому поток может быть приближенно описан диффу-
зионным уравнением без энергетической зависимости. Но даже и это урав-
нение в общем случае не решается, и мы вынуждены вводить дальнейшие
упрощения. В «тяжелых» замедлителях (таких, как бериллий, графит) можно
применить очень простое приближение, называемое возрастной теорией; оно
будет подробно изучаться в п. 8.2. Для водородсодержащих сред и сред,
содержащих дейтроны, возрастная теория дает весьма неточные результаты;
в п. 8.3 мы познакомимся с некоторыми другими, более точными приближе-
ниями. Наконец, в п. 8.4 для некоторых частных случаев будет вычислено
распределение тепловых нейтронов, обусловленное данными источниками
быстрых нейтронов.
8.1; СРЕДНИЙ КВАДРАТ ДЛИНЫ ЗАМЕДЛЕНИЯ
8.1.1. Понятие величины гЕ
Рассмотрим изотропный точечный источник быстрых нейтронов в бес-
конечной среде. Предположим, что известна плотность замедления q (г, Е),
которая в данном случае сферически симметрична и зависит только от рас-
* См. гл. 16, а также Holte (1951) и Verde, Wick (1947).
143
стояния г до источника. В таком случае процесс замедления может быть оха-
рактеризован с помощью величины гЕ, называемой средним квадратом рас-
стояния от источника, на котором нейтроны пересекают энергию Е (т. е.
замедляются за энергию Е). Эта величина определяется соотношением
J r2q (г, Е)-4лг2 dr
= ----------------• (8.1.1)
q (г, Е) -4яг2 dr
О
Можно ввести еще два параметра, обозначаемые Ls и тЕ и связанные с вели-
чиной г2е следующим соотношением:
= = (8.1.2)
где параметр Ls называется длиной замедления, ахЕ — возрастом нейтронов.
Смысл последнего термина выявится в дальнейшем. Аналогично можно ввести
понятие среднего квадрата длины замедления, если вместо плотности замед-
ления q (г, Е) использовать поток Ф (г, Е}:
J г2Ф (г, £’)4яг2 dr
< (8.1.3)
J Ф (г, Е)) 4яг2 dr
6
где гЕ2 — средний квадрат расстояния от источника, на котором нейтроны
обладают энергией Е, Эта величина несколько больше, чем г#, но в боль-
шинстве случаев отличие несущественно [см. уравнение (8.1.15)].
Смысл введенных величин состоит в том, что они являются мерой рас-
пространения нейтронов в процессе замедления. Их нетрудно с достаточной
степенью точности измерить экспериментально (см. гл. 16) и непосредственно
сравнить с результатами расчетов с помощью приближенных теоретических
моделей.
8.1.2. Элементарное вычисление Ге
Рассмотрим бесконечную, непоглощающую среду, в которой нейтроны
замедляются только в результате упругих столкновений. На рис. 8.1.1
Рис. 8.1.1. Типичная траектория нейтрона в процессе замедления.
показан схематически путь нейтрона в процессе замедления от энергии источ-
ника Eq до энергии Е. Допустим, что rv — средний пробег нейтрона после
v-ro столкновения. Тогда
п—1 п—1 п—2 п—1
ге~ (S rv) — rv + 2 2 3 rvrg* (8.1.4)
л?=0 v=0 v=0
Суммирование производится только до п — 1, поскольку при n-м столкно-
вении нейтрон пересекает энергию Е. Если обозначить угол между векто-
144
рами rv и гц через йг, ц, то
___ п—1 п—2 п— 1
Ге = 3 4 + 2 3 rv 3 Гц cos O’v, ц.
v=0 v=0 |u,=v4-l
(8.1.5)
Усреднение следует производить: 1) по азимутальным углам рассеяния
<Pv, v+i отдельных актов рассеяния; 2) по величинам длины пробегов rv
между столкновениями; 3) по
полярным углам расреяния
'O'v, v+i (что эквивалентно
усреднению по всем энер-
гиям Ev, поскольку потеря
энергии при столкновении
однозначно определяет вели-
чину угла рассеяния) и, на-
конец, 4) по числу всех
столкновений, в результате
которых происходит умень-
шение энергии от энергии
источника Eq до энергии Е.
Выкладки, связанные с
усреднением по азимуталь-
ным углам, дают возмож-
ность выразить величину
cos 'O'v, ц через cos $v, v+1,
cos 'O'v+i, v+2 и т. д., т. e. через
Рис. 8.1.2. Соотношение между углами $v, ц,-1
Йц-1, |1> Йу,ц.
косинусы углов рассеяния в
отдельных актах рассеяния.
Воспользуемся для этого ре-
куррентными соотношения-
ми, которые могут быть получены на основе формул сферической тригоно-
метрии. Допустим, что мы уже знаем costf'v, ц-i, и вычислим cos йг, ц
(рис. 8.1.2). Если (р — азимутальный угол рассеяния при pi-м столкновении,
то, согласно теореме косинусов сферической тригонометрии,
cos йу ц = cos йг, ц-! cos йц_ь ц + sin 'fl'v, ц-i sin йц-i, jxcoscp. (8.1.6)
Это выражение следует усреднить по всем углам (р. Поскольку азимутальные
углы принимают равновероятные значения, слагаемое, содержащее cos(p,
исчезает при усреднении по (р, так что
cos йЛ?, ц = cos йу, ц-i cos йц-!, ц, (8.1.7а)
или, как легко видеть,
COS Йу, ц = COS Й¥, v+i COS ^+b v+2 ... COS Йц-р ц (8.1.76)
(для упрощения записи черта, обозначающая процедуру усреднения, всюду
опущена).
Среднее расстояние между двумя столкновениями определяется как
оо
ге
6
dr
dr
ZS(EV)
(8.1.8a)
^s(Ev) г
$ е
б
в то время как средний квадрат расстояния равен
— )г
r2e v dr
2
I? (£\>)
e-^(Ev)r
dr
2A| (Ev),
(8.1.86)
10 Нейтронная физика
145
где Ev — энергия нейтрона после v-ro столкновения. Таким образом,
7*Е — 2 [2 (-E'v) 4“ 3 (#v) S ^8 (^р.) COS 'O’v, v+1 • • • COS 'O’p.-i, p,] . (8.1.9)
v=0 v=0 p,=v-H
Поскольку величина угла рассеяния и потеря энергии однозначно свя-
заны законами упругих столкновений, можно было бы выразить cos 'O’v’v+i
через значения энергий Ev и Ev+1. После этого следовало бы провести усред-
нение по распределению Ev и по распределению числа столкновений. Однако
такая процедура связана со значительными трудностями, и выполнение ее
представляется практически невозможным для всех веществ, кроме чистого
водорода. Поэтому рассмотрим простой приближенный расчет, справедливый
для тяжелых замедлителей (А > 1). Процесс замедления в таких замедли-
телях связан с большим числом столкновений, в каждом из которых проис-
ходит лишь небольшая потеря энергии; в силу этого распределение по энер-
гиям после v-ro столкновения сконцентрировано вблизи среднего значения
Ev. Усредняя по углам рассеяния с учетом того, что cos v+1 =
= COS 'frv+i, v+2 * . . . = 2/ЗЛ, получим
п—1 п—2 п— 1
[ 2 Wv)+ £M#v) 2 , (8.1.10a)
V=0 V=0 |Ll=v+l
что может быть записано также в виде
п—1 п—1
71 = 2 2 M£v)2 (8.1.106)
v=0 y,=v
В выражениях (8.1.10а) и (8.1.106) усредненные по энергетическому распре-
делению нейтронов после v-ro столкновения величины XI и Xs заменены соот-
ветственно их значениями (Ev)n ks (Ev) при энергии Ev. Рассмотренное
приближение дает хорошие результаты, если А достаточно велико, a Хс, (£*)
слабо меняется с энергией.
При выполнении этих условий имеет место соотношение
П—1 ОО _
2 мад (^pv«M£v)2 (^)и- > (8-i.ii)
n=v х=0
так что
п—1
71 = —Ц-2А’(^)- (8.1.12)
1 ~ЗЛ v==0
Поскольку число соударений весьма велико, суммирование может быть
заменено интегрированием. Так как вероятность того, что столкновение
произойдет в энергетическом интервале (Е, Е + dE), равна dE/(^Е), то
_ eq
Л-- \ . (8.1.13)
2Х* (Eq)
1—2/(34)
Первое слагаемое
в правой части соотношения (8.1.12) обусловлено
нейтронами источника, не испытавшими ни одного столкновения. Вклад
этих нейтронов не учтен в интеграле (8.1.13). Поэтому, вводя поправку на
первое столкновение, получим
_ eq
rl = 2Vs(£Q) + - --2 ^- VS(E')^
* (1 — зл) Е
(8.1.14)
146
Следует заметить, что в первом слагаемом преднамеренно опущен множитель
-—2Дзд) (см. п- 8.2.5). Поскольку величина поправки на первое столкнове-
ние ^ала и» кроме того, 2/(ЗЛ) < 1, то соответствующая погрешность в зна-
чении гЕ ничтожна. __
Аналогично можно получить выражение для г£2:
eq
= 2Х? (£q) + 2 2- М (Е') + 2Ц (Е).
% Е
(8.1.15)
п + 1-го слагаемого,
Первое слагаемое 2Х2 (Е) в соотношении (8.1.15) представляет собой поправку
на последний пролет. Появление этого слагаемого нетрудно понять,
если вспомнить, что при вычислении г2Е суммирование производилось только
до п — 1, поскольку при n-м столкновении нейтроны замедлялись за энер-
гию Е. На п — 1-м шаге энергия нейтрона больше, чем Е\ поэтому при вычис-
лении гЕ2 следует производить суммирование до
в результате чего во всех суммах появится член г„. Нетрудно видеть, что
поправочное слагаемое не будет иметь множителя
г^2/6 = т1 иногда называют возрастом потока нейтронов. Соотношение
(8.1.15) имеет важное практическое значение, так как в экспериментальных
измерениях часто определяют именно величину гЕ2 (см. гл. 16).
Полученные здесь соотношения дают достаточно точные результаты
для графита и могут быть использованы в качестве первого приближения
для других замедлителей.
Вычислим теперь средний квадрат длины замедления для плоского
источника в бесконечной среде. Поскольку в этом случае плотность замед-
ления зависит только от расстояния х от поверхности источника, то
Г=2ДЗЛГ • ПаРаметр
J x2q (х, Е) dx
. (8.1Л6)
j q (я» Е) dx
о
Если рассматривать плоский источник как множество точечных, то можно
выразить хЕ через гЕ. Простые геометрические соображения приводят
к соотношению
ге = Зхе, (8.1.17а>
в то время как в общем случае (s = 1, 2, 3, . . .)
ris = (2s-(-l)4s. (8.1.176)
8.1.3. Формулировка метода точного вычисления величины тЕ
Параметр г2Е наряду с моментами более высокого порядка rEs можно
вычислить с помощью так называемого метода моментов, предложенного»
впервые Ферми. В процессе обсужения этого метода мы рассмотрим PN-при-
ближение для решения уравнения переноса с энергетической зависимостью,
являющееся при N — 1 отправной точкой для возрастной теории и некоторых
других приближений.
Пусть в бесконечной среде в плоскости х = 0 расположен бесконечный
плоский источник нейтронов с нулевой летаргией. Соответствующее одно-
10* 14?
мерное уравнение переноса имеет вид
St (и) F (ж, Й, и) + cos a dF{x' Q' и}
и
= Ss (й' —> й, и' —> и) F (х, Й', и') dQ'du' + ^“ $ (и) 6 (х). (8.1.18)
О 4л
Предполагая, что источник испускает нейтроны изотропно, разложим функ-
цию Ss (Й' —> Й, и' — и) по полиномам Лежандра относительно косинуса
угла рассеяния Фо
Ss(Q'->a, и’ (2Z + l)Sst(u'-^w)Pz(cosd0), (8.1.19а)
I
где
л
Ssz (и' —> и) = 2л Ss (Й' —> Й, и' —> и) Pi (cos Фо) sin Фо с?Ф0. (8.1.196)
о
Если рассеяние изотропно в системе центра масс, то на основе результатов
п. 7.1 может быть получено явное выражение для сечения Ss (й' -> Й,
и' -> и). Согласно соотношению (7.2.11), вероятность того, что нейтрон,
имевший до столкновения летаргию и', приобретет после столкновения летар-
гию и, определяется следующей функцией:
g(u —>и) = <
-т——е-(и-и') и — in—
1 —а а
в остальных случаях.
Из соотношений (7.1.6) и (7.1.7) следует, что косинус угла рассеяния, соот-
ветствующий изменению летаргии от и' до и, равен
и—и' и—и'
О. -4 Ч- 1 9 А 1 9 / О 1 О \
cos^o^—g—е 2------2—е 2 ’ (8.1.20)
Следовательно, для и — In (1 /а) < и' < и
Ss (й' —> Й, и —> и) =
= S« <a'^rb.e-(U”“')d [cos] • (З-1-21)
Множитель 1/2л отражает то обстоятельство, что все азимутальные углы
рассеяния равновероятны; 6-функция учитывает тот факт, что только одно
значение cos Фо соответствует изменению летаргии и — и'. Согласно (8.1.196),
первый коэффициент разложения выражается в виде
(U-U')
Ss0 (и' —> и) 2S (и') , и — In (1/а) < и' < и. (8.1.22а)
Здесь Ss0 (ц' -> и) — сечение процессов рассеяния, переводящих нейтрон
из состояния с летаргией и' в состояние, соответствующее летаргии и. Запи-
шем второй член разложения:
. и—и' и —и'
~ , ч V, / /\ е~( и) (А + 1---------~— А — 1 —X-\
2si (и > и) las(u) 1\ 2 е 2 е ) *
и — In (1/а) < и' <Zu.
(8.1.22)
148
Интегрируя выражения для 2s0 (и' —и) и Ssl (и'—>и) по всем энергиям,
получим соотношения, аналогичные равенствам (5.2.4) и (5.2.5), т. е.
u'-|-ln(l/a)
Ss0 (и—> и) du = Ss (u'), (8.1.23а)
и'
u'4-ln(l/a)
Ssi (и' —> и) du = Ss (и') cos Фо = (и') . (8.1.236)
и'
Подставляя равенство (8.1.19а) в уравнение переноса и производя необхо-
димые преобразования (см. п. 5.2.1), получим
cos ф dF{x’g^ и) + (и) F (х, Й, и.) =
= 4 § 2 Si', u') Рг (cos д') X
и— 1п(1/ос) 1=0 О
X sin'©' dft' du' -р^6 (и) S (х). (8.1.24)
Разложим далее векторный поток по полиномам Лежандра:
х
F (х, Q, и)=^2 (2/+l)^z(^, iz)Pz(cos^), (8.1.25а)
1=0
где
Fi (х, и) = 2л F (х, Й, и) Pi (cos й*) sin Ф dd). (8.1.256)
о
Если умножить уравнение переноса (8.1.24) на Pz(cosd) и проинтегри-
ровать результат по й1, то, используя соотношения (8.1.25), можно полу-
чить следующую систему интегро-дифференциальных уравнений:
{х, и)=-. )
и
= 2SO (и' —> и) Fq (я, и') du' -р Q6 (и) S (х)\
и—1п(1/сс)
Z-|-l dFi+i (*£’ । I u) ]
2Z-4-1 dx +2/+1 dx +^tri(X,U)~
u
(u' u) Fi (я, и') du\ I = 1, . . ., N~ 1;
u— ]n(l/a)
> (8.1.26)
N dFjy_{ u)
2N -j-1 dx
^tFN (x, u) =
Ss_v (u’ u) FN (x, u') du’.
u— ln(l/a)
Система уравнений (8.1.26) представляет, очевидно, обобщение системы
(5.2.46) для случая, когда зависимостью от энергии нельзя пренебречь. Они
являются исходными для различных приближенных методов, которые будут
рассмотрены в последующих разделах. Приступим к изложению метода
моментов.
Момент Mni определяется формально соотношением
Mni(u)= -^-Fi (х, и) dx, (8.1.27)
149
Физический смысл момента Af00 (и) очевиден, так как, согласно определению,
-|-ОО 4-00
Моо (^) = Fq и) dx = Ф (х, и) dx, т. е. он представляет собой инте-
—оо —оо
4-00
грал от потока по всему пространству. Момент М20 [и) х2, Ф (х, и) dx
—оо
пропорционален, как нетрудно видеть, среднему квадрату длины замед-
ления, т. е.
51 = 4^"2 Sr- <8л-28а>
В общем случае все моменты MnQ, соответствующие нечетному п, равны О,
в то время как для четного п они определяются соотношением
<8л-28б>
Если умножить обе части уравнений (8.1.26) на хп/п\ и проинтегриро-
вать результат по х от —оо до +оо, можно получить систему совместных
интегральных уравнений относительно Mni (и). Проинтегрировав последние
с помощью электронно-вычислительной машины, можно на основе получен-
ных моментов вычислить распределение нейтронного потока Ф (х, и) (см.,
например, Spencer, Fano, 1951); обычно такая процедура применяется при
расчете ослабления нейтронов в защите. Ниже мы попытаемся вычислить
с помощью моментов MQQ и М20 средний квадрат длины замедления. Для
определения величин Моо и М20 воспользуемся соответствующей системой
уравнений для первых трех моментов:
2f(u)M00(u)= § Zs0(u'^u)Mm(u')du’ + Qb(u), (8.1.29а)
и—1п(1/а)
(и) Мн(и) == Ssl (и' —> и) (и') du' +±Моо (^), (8.1.296)
и— 1п(1/а)
(и) M2Q (и) = Ss0 (и' —> и) М20 (и') du' +Мц (и). (8.1.29в)
и— 1п(1/а)
4-00
При выводе этих уравнений интегралы типа ^х были проинте-
—оо
грированы по частям:
-|-оо 4-°°
X = (^’^) |+ОО-~ хР±(х, u)dx =—Мп(х).
— оо —оо
I 4'°° j
Выражение -TrFi (х, и)\ обращается в нуль, поскольку при х ± 00 F
А —-оо
убывает быстрее, чем любая степень функции х. Кроме того, было исполь-
4-00
зовано также обстоятельство, что Fi (х, и) dx = 0 для Z =^= 0.
—оо
Уравнение (8.1.29а) для M0Q (и) соответствует уравнению (5.1.16)
для потока в бесконечной среде с равномерно распределенными источниками.
Это нетрудно понять, если вспомнить, что момент 7ИОо (ц) является интегра-
лом от потока по всему пространству и должен иметь поэтому такую же
150
зависимость от энергии, как и поток, обусловленный равномерно распреде-
ленными источниками в бесконечной среде.
Путем последовательного интегрирования уравнений (8.1.29) можно
получить моменты Моо (и), Мп (и) и М2о (и), а следовательно, и величину
т* = Л/20 (и)/МОо (и)- Здесь не будут проводиться соответствующие выкладки,
поскольку окончательные выражения весьма громоздки; результаты для
некоторых частных случаев приведены в работе Маршака (Marshak, 1947).
В общем случае для смеси ядер нескольких элементов, сечения которых зави-
сят от энергии различным образом, и при анизотропном рассеянии в системе
центра масс аналитическое интегрирование невозможно, так что следует
прибегать к численным и различным приближенным методам. Результаты
некоторых таких вычислений будут приведены в гл. 16 при обсуждении
экспериментальных значений длины замедления.
Важный вывод, который можно сделать исходя только из вида системы
уравнений (8.1.29), следующий. Во-первых, эти уравнения представляют
точные соотношения. Те же самые соотношения мы могли бы получить,
основываясь на /\-приближении для F (х, и), согласно которому F (х, и) =
1 3
= у- Fq (х, и) + у- Fi (х, и) cos ft. Последнее утверждение нетрудно про-
верить. Отсюда поэтому следует, что любая теория замедления, основанная
на /\-приближении, будет давать правильное значение rl, если не вводить
каких-либо дополнительных упрощений.
3.2. ТЕОРИЯ ВОЗРАСТА
8.2.1. Диффузионное уравнение с энергетической зависимостью
и теория возраста
Ниже будет сделана попытка вывести простое дифференциальное урав-
нение для нейтронного потока, обладающего пространственной и энергети-
ческой зависимостью, в произвольной среде. Будем исходить из соотноше-
ния баланса нейтронов в 1 сл^3, согласно которому
^^ц) + 2аф (Г) u) + div J(r, u)=S(r, и). (8.2.1)
Это уравнение представляет точное соотношение, являющееся комбинацией
прежних уравнений баланса (7.2.10) и (6.1.8). Согласно изложенному
в п. 7.2.1, плотность замедления и поток связаны соотношением
Р e-(u-u)_fv
q(u)= И8(ц')Ф(ц')е 1-а а du'. (8.2.2)
и—1п( 1/сх)
Предположим теперь, что справедлив закон Фика, согласно которому имеет
место следующее соотношение между градиентом потока и плотностью тока:
J (г, и)= — D (и) grad Ф (г, и), (8.2.3а)
где коэффициент диффузии дается выражением
D = 3Sir (и) = 32s (и) (1-2/34) ’ (8.2.36)
Вообще говоря, область применимости уравнения (8.2.3а) весьма ограни-
чена. Соответствующие условия, при которых оно справедливо, будут иссле-
дованы в п. 8.2.2. Подставляя соотношение (8.2.3а) в уравнение (8.2.1),
получим
5-Ц^ + 2аф(г, u) — D(u) V2<D(r, u)=S(r, и). (8.2.4)
151
Полученное диффузионное уравнение с энергетической зависимостью является
исходным для различных приближенных методов. Прежде чем решать его,
попытаемся упростить зависимость между потоком и плотностью замедления,
определяемую соотношением (8.2.2).
В «тяжелом» замедлителе, подобном графиту, максимальная потеря
энергии мала. Поэтому можно аппроксимировать величину Ss (и') Ф (и'}
ее значением в точке и’ — и и вынести последнее за знак интеграла. Тогда
д(и) = 2в(и)Ф(и) \ - 1_а а<1и'=^Ф(и), (8.2.5)
и—111(1/а)
т. е. взаимосвязь между потоком и плотностью замедления точно такая же,
как и в случае бесконечной среды с равномерно распределенными источни-
ками. С помощью этого соотношения можно на основании уравнения (8.2.4)
получить уравнения только для Ф или для q. Ограничиваясь для простоты
случаем, когда Sa = О, а источники нейтронов отсутствуют, можем напи-
сать
^5’ ц) = (г, и). (8.2.6)
ди gS5 (и) 1 v v '
Если в качестве новой переменной ввести возраст по Ферми, определяемый
соотношением
С D (И
(И
о
2
е 'kl(E') dE'
J 3g (1 — 2/ЗЛ) E' 1
E
(8.2.7)
то можно получить известное уравнение возраста для плотности замедления
дх v 4
(8.2.8)
Это уравнение совпадает по форме с дифференциальным уравнением тепло-
проводности, в котором независимой переменной является время, а искомой
функцией — температура. Если рассматривается среда, в которой присут-
ствуют источники, испускающие нейтроны нулевой летаргии (т = 0), и, кроме
того, =^= 0, то соответствующее уравнение возраста имеет вид
(8.2.9а)
Введем функцию q* (г, т) = q (г, т) р (т), где
- ( d(i-
p(x) = p(u) = e 0
(8.2.96)
Тогда уравнение для д* не будет содержать слагаемого, соответствующего
поглощению; таким образом, поглощение можно учесть обычным образом
с помощью понятия вероятности избежать резонансного захвата. В дальней-
шем, особенно в последующих приложениях, будем рассматривать только
случай, когда = 0. Очевидно, конечно, что теория возраста применима
только в случае Sa < Ss.
Решения уравнения (8.2.8) при наличии плоского источника, испускаю-
щего Q нейтронов с нулевой летаргией с 1 см2 за 1 сек, в бесконечной среде
имеет вид (см. п. 8.2.3)
д(г,т) = -^=ен. (8.2.10)
|/ 4лт
152
Это решение изображено на рис. 8.2.1, из которого видно, что плотность
замедления, которая, согласно равенству (8.2.10), имеет гауссову форму,
Рис. 8.2.1. Плотность замедления вблизи плоского источника согласно
возрастной теории. (Велиина Д/т измеряется в тех же единицах, что и а?.)
расплывается с увеличением возраста т. Средний квадрат длины замедления
в таком случае равен
оо —х2
__ ж2 —е 4т dx
___ Л, X 1/4лт
х2е=~=°--------------------= 2т(Е), (8.2.11а)
V — е 4т dx
d у 4лт
т. е.
_ Eq
(8.2.116)
Е
С точностью до поправки на первое столкновение это выражение совпадает
с полученным ранее результатом [см. (8.1.14)]. Таким образом, для возраст-
ного приближения характерно то, что оно не учитывает влияния первого
столкновения. Мы вернемся к этому вопросу в п. 8.2.5.
Чтобы не возникло путаницы в обозначениях при использовании поня-
тия возраста, введем некоторые разграничения. Будем называть возрастом
хЕ х/6 среднего квадрата длины замедления от точечного источника [см.
(8.1.1)] независимо от того, справедлива ли в рассматриваемом случае воз-
растная теория или нет. Возрастом по Ферми т или т (Е) назовем переменную
в уравнении возраста; в среде, для которой справедлива теория возраста,
хЕ (Е) ж хе- Наконец, под возрастом потока хЕ будем понимать х/6 среднего
квадрата длины замедления, определенную на основании распределения
потока нейтронов согласно соотношению (8.1.3). В возрастном приближении
не существует различия между хЕ и хЕ. Термин «возраст» продиктован тем
обстоятельством, что мы имеем дело с величиной, возрастающей в процессе
замедления; в дальнейшем будет показано, что имеется прямая связь между
возрастом по Ферми и временем замедления.
Прежде чем перейти к приложениям теории возраста, рассмотрим усло-
вия ее применимости.
8.2.2. Теория возраста и уравнение переноса
В п. 5.2.1 было выведено элементарное уравнение диффузии на основе
Pi-приближения для уравнения переноса. Попытаемся теперь получить
Pi-приближение для уравнения переноса (8.1.24) с учетом энергетической
153
зависимости. Итак, предположим, что
4 . Ч
F (х, Q, и) ~-7—Fq (х, и) Ft (х, и) cos (8.2.12)
^xJ V ~r J V
Если 2а = 0, то, согласно системе (8.1.26), уравнения для функций FQ
и имеют вид
ц) + ад (х, и) = | 2s0 (uz —> и) Fo (х, и') du' + ^6 (и) б (a:), (8.2.13а)
и—1п(1/сс)
1 gF0 (х, “) + s<>F1(X) Ц)= С ^si(u'->u)Fi(x, u')du'. (8.2.136)
o uX
u~ ln(l/a)
В отличие от случая без энергетической зависимости из второго уравнения
не следует непосредственно закон Фика, поскольку правая часть этого
уравнения не равна нулю. Таким образом, /^-приближение и диффузион-
ная теория не эквивалентны, если энергетической зависимостью нельзя
пренебречь. Введем дополнительные предположения
2S (u')F0 (и') = 2S (и) Fo (и) + (и' —и) [2, (и) Fo (и)], (8.2.14а)
2s(u')F1(u') = 2s(u)F1(u), (8.2.146)
т. е. предположим, что плотность столкновений слабо меняется на интер-
вале одного столкновения. В связи с этим важно отметить, что функцию
Ss (u')Fi (z/) можно аппроксимировать только одним слагаемым при разло-
жении в ряд, поскольку для справедливости Pi -приближения должно
выполняться условие Fi (х, и) < FQ(x, и). Используя соотношение (8.2.146),
можно непосредственно преобразовать уравнение (8.2.136) в закон Фика.
На основании (8.1.226) можно показать, что
Z,(.. »)--ЗЬ(,Д,зл) (8.2.15»)
Принимая во внимание соотношения (8.2.14а) и (8.1.22а), уравнение (8.2.13а)
можно преобразовать к виду
dF' = — g dig* И_£р (*, и)]. Qb б (8.2.156)
ох о и
Если положить q (х, и) = gSs (и) FQ (я, и), то, комбинируя последние два
уравнения, получим
dq (я, и) ___
ди
1 d2q (х, и)
3£Sl(u) (1—2/ЗЛ)
Q6 (х) 6 (и),
(8.2.16)
что по существу совпадает с уравнением (8.2.6). Для того чтобы уравнение
(8.2.16) было справедливо, должны, очевидно, выполняться приближения
(8.2.12) и (8.2.14). Исследуем теперь вопрос, насколько хорошо они выпол-
няются, рассмотрев распределения потока вблизи плоского источника.
Перепишем уравнение (8.2.10) в следующем виде:
2s(u)f0(u)=4-7^=e (8.2.17а)
Условие (8.2.12) выполняется достаточно хорошо, если Ft (х, и} < FQ (х, и);
о использованием соотношений (8.2.15а) и (8.2.17а) оно принимает вид
х < 6 (1 — 2/ЗЛ) (и} т (и). (8.2.176)
Теория возраста, таким образом, справедлива только на относительно
малых расстояниях от источника. Это условие становится более очевидным,
154
если рассмотреть среду, в которой Ss (и) слабо зависит от и. В такой среде
т = 3g(l-2/3^)Sf =3~(Г-2./ЗА) ' где «-число соударении, необходи-
мых для замедления до летаргии и. Условие (8.2.176) сводится теперь
к следующему:
х < 2nKs. (8.2.17в)
Такое ограничение связано с тем обстоятельством, что на больших расстоя-
ниях от источника поток в основном определяется нейтронами с резко анизо-
тропным угловым распределением, испытавшими лишь небольшое число
столкновений, в результате которых энергия и направления нейтронов изме-
нились незначительно.
Условие (8.2.14а) предполагает, что (и) FQ (я, м)] <
< Ss (и) Fo (х, и). С использованием соотношений (8.2.17а) и (8.2.176)
можно переписать это условие в виде
£-£«т. (8.2.17г)
Таким образом, число столкновений в процессе замедления должно быть
велико, т. е. замедляющая среда должна быть тяжелой. Это условие заве-
домо не выполняется для воды, и следует ожидать, что в этом случае воз-
растная теория будет давать плохое приближение.
Наконец, условие (8.2.146) выполняется в том случае, если
или Л-^«Лв(м), (8.2.17д)
OU ии
т. е. если сечение слабо меняется на интервале столкновения.
Кроме того, поглощение должно быть очень мало (2а < Ss). Естест-
венно, что изложенная теория справедлива при достаточном удалении
(порядка нескольких длин ^s) от любых поверхностей, поскольку в против-
ном случае угловое распределение нейтронов сильно анизотропно и условие
(8.2.12) не выполняется. Несмотря на все эти ограничения, возрастная
теория применяется для решения многочисленных задач замедления,
поскольку, например, для графита и бериллия указанные условия хорошо
выполнены. В дальнейшем будут изучены несколько методов решения урав-
нения возраста.
8.2.3. Приложение уравнения возраста
к простым задачам замедления
Определим теперь плотность замедления для нескольких простых гео-
метрий точечных и плоских источников в однородных средах. В качестве
граничного условия на свободных поверхностях потребуем, чтобы
q (rG + nd, т) = 0 для всех т, где d = 0,71 /[^1 — j . Следует помнить,
что в данном случае сечение рассеяния, а поэтому и значение экстраполиро-
ванной граничной точки зависят от Е и, следовательно, от т; во избежание
существенных математических трудностей мы будем использовать некоторое
среднее значение величины d, не зависящее от энергии. При более строгом
подходе, учитывающем указанную энергетическую зависимость, необходимо
другое описание процесса замедления — так называемый многогрупповой
метод, который будет изложен ниже. Аналогичное осложнение возникает
при описании процесса замедления в среде, состоящей из двух или более
зон, содержащих различные замедлители. В этом случае поток и ток должны
быть непрерывны на поверхностях раздела при каждом значении летаргии.
В таких задачах использование понятия возраста не дает больше преиму-
ществ, поскольку зависимость т от и, согласно соотношению (8.2.7), в раз-
155
личных средах различная; другими словами, при пересечении поверхности
раздела возраст нейтрона может изменяться скачком. Даже в случае исполь-
зования уравнения (8.2.6), которое эквивалентно уравнению возраста для
описания замедления в такой гетерогенной среде, решение вряд ли возможно,
поскольку на каждой поверхности раздела необходимо дважды удовлетво-
рить бесконечно многим граничным условиям. При решении таких задач
используются преимущественно многогрупповые методы.
Плоский источник в бесконечной среде. Уравнение возраста в этом случае
имеет вид
+ (8.2.18а)
Решение этого уравнения должно быть найдено при граничном условии
q — 0 для х = ± оо. Здесь удобно использовать метод преобразования
Фурье, применение которого в различных задачах подробно описано в книге
Снеддона (Sneddon, 1951). Фурье-образ функции q (х, т), как известно,
определяется соотношением
-(-ОО
/ (со, ту q (х, т) е~1СйЛ' dx, (8.2.186)
— оо
а обратное преобразование имеет вид
4-00
q(x, т) —/ (со, т) eicoxe?co. (8.2.18в)
Нетрудно показать, учитывая, что q обращается в нуль на бесконечности,
что фурье-образом функции dq/dx является величина гео/, а фурье-образ
функции d2q!dx2 равен — со2/. Тогда, применяя преобразование Фурье
к обеим частям уравнения (8.2.186), получим следующее дифференциальное
уравнение:
+ (8.2.18г)
решение которого для т > 0 имеет вид
/ (со, т) — <2e~w2T.
Поэтому
4-оо
q(x, т)”-^ e""(w2T"icoxMco.
— оо
Преобразуя показатель экспоненты со2т—гсоя= (со |Лт-
(8.2.18д)
(8.2.18е)
—, получим
q(x, т)— 4Х \ е ' 2
— оо
(8.2.18ж)
Вводя новую переменную интегрирования и = со ]/т------, окончательно
2 Ут
получаем
О
(8.2.10)
У 4лт
Полученное решение изображено графически на рис. 8.2.1.
Точечный источник в бесконечной среде. Применим преобразование
Фурье к уравнению
(8.2.19а)
156
в соответствии с соотношениями
/ (<о, т) = q (г, т) e~ift),r dx dy dz, (8.2.196)
— оо
4-oo
q(r, т)="(2л)з’§И T)ei<O rAoi ^2^3. (8.2.19b)
— oo
Поскольку плотность столкновений обращается в нуль на бесконечности,
в результате преобразования Фурье из уравнения (8.2.19а) получим
+(о2/ (fi>) т) = (т). (8.2.19г)
Решение дифференциального уравнения (8.2.19г) для т>0 имеет вид
/(ш, т)-(?е-ю2\ (8.2.19д)
Учитывая, что (о2 = со2 + (о2 + <*>1 и г2 = я2-Р z/2 4-z2, применим к соотноше-
нию (8.2.19д) обратное преобразование Фурье, в результате чего получим
п г2
(8.2.19е)
Таким образом,
г2
оо-------
-- • р р 4Т
Ге = \г2------4лг2 dr = 6т (£’), (8.2.19ж)
q (4лт)
в то время как в общем случае
оо г2
ге = г2$ Л чз/2 4яг2 dr =(2Ж у-1)! tS (8.2.19b)
J (4лт) /2 $1
Точечный источник в центре сферы. Запишем уравнение возраста
в сферических координатах *
S--S- + 7-g-+4&re<r>e«' (8.2.20а)
ИЛИ
= (8.2.206)
Граничное условие определяется соотношением q(R, т)=--0, где R — эффек-
тивный радиус сферы. Разложим функцию rq в ряд Фурье:
rq = 2 Ai (т) sin ’ (8.2.20в)
Z=1
где
Ai "F § rq sin ("Тг) dr-
о
Применяя преобразование Фурье к уравнению (8.2.206), получим
= (* б * 8-2.20Г)
* При преобразовании к сферическим координатам функцию 6 (г) следует заме-
б (г)
нить на .
4лг2
157
Это уравнение для т > О имеет решение
т _ (ln I2
Л(т) = ^е (8.2.20д)
Подставляя выражение (8.2.20д) в уравнение (8.2.20в), получаем
00 / 1л \2
<7= 2^2 Zsin-^е’Ь-) (8.2.20е)
1=1
Чем больше т, тем быстрее сходится сумма в правой части соотношения
(8.2.20е); при т > (л/7?)2 основной вклад в нейтронный поток дает только
первое слагаемое (Z —1). При R —> со решение, определяемое выражением
(8.2.20е), должно стремиться к решению для бесконечной среды (8.2.19е).
В таком предельном случае суммирование можно заменить интегрированием»
в результате чего равенство (8.2.20е) сведется к следующему предельному
соотношению:
оо
lim q (г, т) — sin (<ог) е-м2та> d<t>. (8.2.20ж)
егсог_е~-гсог
Осуществляя интегрирование с учетом того, что sincor=------------, полу-
чим выражение, стоящее в правой части равенства (8.2.19е).
Точечный источник в бесконечно длинной призме. Пусть эффективные
размеры призмы равны соответственно а и b (см. рис. 6.2.3). Допустим,
что координатные оси направлены так, как показано на рис. 6.2.3. Если
источник расположен в точке (х0, yQ, z0), то уравнение возраста имеет вид
= ^ + “ х0)Ь (у — y0)b(z — z0) д (т). (8.2.21а)
Разложим, как и выше, функцию q в ряд Фурье:
q (х, у у z, т) = 2 (z, т) sin sin , (8.2.216}
I, т=1
где
Alm(z, x) = -^-^q(x, у, z, х) sinsin-^-dxdy. (8.2.21в)
О о
Применяя преобразование Фурье к уравнению (8.2.21а), получаем
+ (^+<) 4,„(Z. Т) =
= ^7? + 4 96 <г - sin sin 8 W- (8.2.21Г)
Решение этого уравнения, которое может быть получено аналогично тому,
как это было сделано для плоского источника, имеет вид
Ап , п-.>.
Jxlx.) g-l---------771=-----• - 'г-“ (8-2.21Д)
ай ]/ 4лт а 0
Окончательно для плотности q (я, у, z, т) получаем выражение
= 2 Sin '^Sin=- ) X
Z,m=l
(z-zp)2
X (е sin sin -») . (8.2.21е)
158
Сумма в правой части равенства (8.2.21е) быстро сходится для больших
(А + А) т > 1,
\ а2 о2/ ’
значений т; если л2
ТО
(Z-ZQ)2
/ \ Лт • • Л?/
q (х, у, z, т) ~ е 4г sm — sm-~- .
Плоский источник в конечной призме. Допустим, что эффективные раз-
меры призмы равны а, Ъ и с, а оси координат направлены так, как показано
на рис. 6.2.3. Пусть источник расположен в точке (лг0? £/о> 2о)- Раскладывая
функцию q в ряд Фурье по трем направлениям, получаем решение в виде
<1
00 / /2 m2 п2 \
abc \ а Ъ с J
I, т, 7i=l
1пх . тяу . nziz
sin-------Sin —г— sin-----------
a b с
(8.2.22)
8.2.4. Физический смысл преобразования Фурье для плотности замедления
В п. 8.2.3 в качестве математического метода решения уравнения
возраста был использован метод преобразования Фурье. Выясним теперь
физический смысл преобразования Фурье для плотности замедления, обу-
словленной точечным источником в бесконечной среде. Для этого перепишем
соотношение (8.2.196) в более удобном виде. Поскольку в бесконечной среде
плотность замедления зависит только от расстояния до источника, исполь-
зуем при интегрировании сферические координаты:
оо 2л л
f т) = J q (г, т)
ООО
e-i(drcos $r2 £г sjn ф
(8.2.23)
Проинтегрировав по углам ф и О, получим
/ (со, т) = q (г, т) 4лг2 dr.
о
(8.2.24)
Преобразование Фурье для плотности замедления, записанное в таком виде,
эквивалентно в данном случае соотношению (8.2.196). При использовании
сферических координат в (^-пространстве получим, согласно (8.2.19в),
следующее выражение для обратного преобразования Фурье:
оо
T)=-(2^j3-т)^^4лсо3(7©. (8.2.25)
О
Рассмотрим для простоты непоглощающую среду, в которой находится
источник единичной мощности. В этом случае из соотношений (8.2.19д) сле-
дует, что / (со, т) = е—со2т.
Очевидно, общее решение уравнения возраста в конечной среде, содер-
жащей произвольные источники, можно записать в виде
q (г, т) = 3 SnRn (г) е~ (8.2.26)
п
где Вп — собственные значения, а Вп— собственные функции уравнения
V2J? (г) +B2R (г) - 0, (8.2.27)
удовлетворяющего граничному условию В — 0 на эффективной поверхно-
сти среды. Коэффициенты Sn соответствуют разложению распределения
источников по этим функциям. Именно
q(r т = 0) = 5(г)= S-S’n^n(r). (8.2.28)
159
Результаты, полученные ранее для конечной призмы и для сферы [см. соот-
ветственно (8.2.22) и (8.2.20e)J, являются частными случаями решений этих
общих уравнений. Следовательно, можно описать процесс замедления
в конечной однородной среде чисто формально следующим образом. Распре-
деление источников представляет суперпозицию гармоник вида SnRn (г),
которые в процессе замедления уменьшаются, поскольку нейтроны утекают
из среды, причем характер спада п-тл. гармоники описывается множителем
е~в™т = / (и = £„, т).
Таким образом, преобразование Фурье / т) для плотности замедле-
ния, обусловленной точечным источником в бесконечной среде, является
вероятностью того, что нейтрон /г-й гармоники избежит утечки из конечной
среды в процессе замедления до возраста т.
Покажем теперь, что этот результат является более общим, чем рас-
смотрение, проведенное выше. Рассмотрим произвольную рассеивающую
среду, для которой теория возраста, вообще говоря, несправедлива. В таком
случае фурье-образ для плотности замедления, обусловленной точечным
источником в бесконечной среде, определяется следующим образом:
/ (й, Е) = (г, Е) 4лт2 dr. (8.2.24а)
О
Функция / (со, Е) представляет вероятность избежать утечки, т. е. в конеч-
ной среде с произвольно распределенными источниками 5 (г) выполняется
соотношение
q (г, Е) = ZSnRn (г) / (5П, Я), (8.2.29)
где Rn и Вп— соответственно собственные функции и собственные значения
уравнения (8.2.27) с граничным условием R = 0 на экстраполированной
поверхности среды. Соотношение (8.2.29) выполняется строго, если имеется
только одна экстраполированная поверхность, на которой плотность замед-
ления обращается в нуль при всех значениях энергии. Но поскольку сечение
рассеяния зависит от энергии, то это условие в общем случае не выполняется
на практике, так что в вычислениях приходится использовать некоторое
усредненное значение экстраполированной точки. Тогда равенство (8.2.29)
справедливо только на расстояниях нескольких длин свободного пробега
от поверхности. Если же размеры самой среды составляют всего лишь
несколько длин свободного пробега, то оно неприменимо вообще.
Соотношения (8.2.24а) и (8.2.29) имеют большое практическое значение,
поскольку они позволяют вычислять плотность замедления в любой конеч-
ной однородной среде без использования конкретной модели замедления.
При этом плотность замедления, обусловленную точечным источником
в бесконечной среде, можно определить экспериментально (см. гл. 16)
и получить преобразование Фурье в соответствии с соотношением (8.2.24а)
путем графического или численного интегрирования. Подставив отнормиро-
ванные значения вероятности избежания утечки в выражение (8.2.29),
можно непосредственно получить плотность замедления q (г, Е) . Нетрудно
показать, что подобный метод может быть использован для расчета плотно-
сти замедления в среде с поглощением.
В заключение выведем простую связь между преобразованием Фурье
для плотности замедления и моментами г#. Раскладывая функцию sin cor
в выражении (8.2.24а) в ряд Тейлора вблизи точки г = 0 и учитывая, что
источник имеет единичную мощность, a = 0, получим
/ «» - 2 “ 4 -4 + А - •
S—0 ' ' '
160
Это соотношение получено без каких-либо предположений о конкретной
модели замедления. С другой стороны, согласно теории возраста,
/ (со, т) = е-“2т = У TS®2S. (8.2.31)
s!
s=0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях со в выражениях (8.2.30)
и (8.2.31), приходим к соотношению
^-_(2s + 1)'ts (Е), (8.2.32)
которое выше было получено непосредственно [см. (8.2.19з) ].
8.2.5. Учет первого пролета в теории возраста
Выражение для среднего квадрата длины замедления (8.1.14), получен-
ное непосредственно, отличается от соответствующей величины, найденной
на основании теории возраста, слагаемым, учитывающим первое столкно-
вение. Такое расхождение объясняется тем, что теория возраста недоста-
точно корректно описывает энергетический спектр нейтронов. Обсудим это
несколько подробнее. Если ф (и) — проинтегрированное по пространствен-
ным переменным нейтронное поле в бесконечной непоглощающей среде,
содержащей источник единичной мощности при и = 0, то плотность столк-
новений определяется соотношением [см. (7.3.9а) J
Р p-(U-U')
ф (и) = ф (и')—du' (8.2.33)
и—111(1/а)
Решением этого уравнения для и > 0 является функция Плачека (см.
п. 7.3), асимптотическое значение которой равно 1/g. При и = 0 плотность
столкновений обладает особенностью, обусловленной наличием 6-функции,
поскольку все нейтроны испытывают свое первое столкновение при и = 0.
В возрастном приближении уравнение для плотности столкновений
имеет вид
(8.2.34)
Решением этого уравнения для всех и > 0 является функция 1/g, которая
не отражает ни «осцилляций Плачека», ни особенности при и = 0. Иными
словами, в теории возраста не учитывается вклад нейтронов, не испытавших
ни одного столкновения, в силу чего в соотношении (8.2.116) отсутствует
поправка на первый пролет.
Согласно Флюгге (Flugge, 1943), теория возраста может быть улучшена,
если учесть пространственное распределение нейтронов, не испытавших ни
одного столкновения. Пусть (Eq) — сечение рассеяния нейтронов, обла-
дающих энергией источника. Тогда вероятность того, что такие нейтроны
испытают первое столкновение на расстоянии г от источника, дается выраже-
нием
W (г) dr = 2S {Eq)—--------teir^dr. (8.2.35)
При описании плотности замедления с помощью уравнения возраста в каче-
стве плотности источников возьмем функцию S (г) = QW (| г — г0 |) вместо
исходного точечного источника, расположенного в точке г0. Тогда плотность
замедления в бесконечной среде с точечным источником в начале координат
определяется соотношением
О р e~2Wr' . (г-Н2
= “ *’ (8-2-36)
И Нейтронная физика 161
или
2SE(Q)
QSs (Eq) -IL p 2 Vx
=.......... e 4T \ Z2[l — erf(Z)]t?Z, (8.2.37)
8л |/ Т r d
2s(^0) ---77=
S Q 2 /г
где
t
Вычисляя средний квадрат длины замедления на основании соотношения
(8.2.37), получим результат, в точности совпадающий с выражением (8.1.14).
Можно надеяться, что описанная модифицированная модель теории
возраста пригодна по крайней мере в качестве первого грубого приближения
для описания замедления нейтронов на больших расстояниях от источника,
но в действительности, как будет видно из гл. 16, эта задача оказывается
более сложной.
8.3. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ПЛОТНОСТИ ЗАМЕДЛЕНИЯ
8.3.1. Ме^од Селенгута — Герцеля
В теории возраста предполагается, что при разложении функции плот-
ности столкновений на одном интервале столкновений в ряд Тейлора можно
ограничиться первыми двумя членами [см. (8.2.14а) J. В силу этого теория
возраста справедлива только для тяжелых замедлителей, что является ее
существенным ограничением. Если же замедлитель содержит водород,
нейтроны в результате одного столкновения могут проскочить через произ-
вольно большой интервал летаргии, так что простое приближение в виде
первых двух членов разложения в ряд Тейлора будет неприменимо. Для
водородсодержащей смеси Селенгут и Герцель получили следующее при-
ближение. Предположим, что справедлив закон Фика, устанавливающий
связь между плотностью тока и градиентом потока. Тогда можно восполь-
зоваться диффузионным уравнением с учетом энергетической зависимости
^Ц^ + 2аФ(г, zz) —£>72Ф(г, и) = S (г, и). (8.2.4)
Плотность замедления представим в виде суммы двух компонент, одна из
которых (г, и) соответствует нейтронам, испытавшим последнее столкно-
вение с ядром водорода, а другая — qA (г, и) — учитывает только те ней-
троны, которые испытали свое последнее столкновение с тяжелым ядром:
q (г, и) = qH (г, и) + qA (г, и),
где
и
qA(r,u) = 2гАФ(г, и')---j—------du' да |25АФ (г, и). (8.3.1)
и—1п(1/сс)
Таким образом, для описания замедления на тяжелых ядрах использовано
возрастное приближение [см. равенство (8.2.5)]. Для плотности замедления
на водороде используем точное соотношение (см. п. 7.2.2)
и
7н(г, и) = 26.НФ (г, и) e-<u~u') du'. (8.3.2)
о
1G2
В основу метода Селенгута — Герцеля положено уравнение (8.2.4) совместно
с соотношениями (8.3.1) и (8.3.2). В частном случае, когда можно пренебречь
как вкладом в плотность замедления от столкновений с тяжелыми ядрами,
так и поглощением нейтронов, комбинируя уравнение (8.2.4) с соотношением
(8.3.2), получим для q простое дифференциальное уравнение *
-^ = ^-V2 (q +4£)-г^(г, и). (8.3.3)
ди Ssh V ди / 1 v v 7
Если рассматривается бесконечная среда с точечным источником нейтронов,
то фурье-образ для плотности замедления удовлетворяет следующему
уравнению:
u)4--g/(j°’“) ]+3(u),l
ди SSH L ди J 1 V 7 |
или (8.3.4)
df (со, и) (, . Z)co2\ Z)co2 , , \ । я / \ ।
"“агЧ1 “) i «(“> J
Решение этого уравнения имеет вид
о S±1
/ (®, U) = е—-------„------------. (8.3.5)
\ 26Н / и=0
Для того чтобы получить с помощью этого выражения средний квадрат
длины замедления, следует вычислить (52//5со2)(02=о, так как, согласно соот-
ношению (8.2.30),
_(») +(/(£><&, (8.3.6)
6 \ дсо2 / g>=Q kSsH/u=0 J SsH (u ) ' 7
0
n 1
или, поскольку D = —-------------------- ,
3 (l-2/3X)+ySsHJ
— и
ГЕ _ ____ __________ 1 _ ______| _______du ______ JQ Q
6 _‘Ts~SSH[2SH + 3SSA(l-2/3^)]^0"t’^ 25Н[25н + 325А(1-2/ЗЛ)] •
Первое слагаемое представляет в некотором смысле поправку на первый
пролет; она явно завышена, поскольку в рассматриваемом здесь приближе-
нии учитываются только первые столкновения с протонами. Тем не менее
соотношение (8.3.7) дает весьма полезное приближение для вычисления тЕ
в воде и других водородсодержащих соединениях.
Таким образом, возрастная теория справедлива при описании замедле-
ния в тяжелых замедлителях, а метод Селенгута — Герцеля является про-
стым приближением при изучении водородсодержащих замедлителей. В то
же время ни один из этих методов не дает удовлетворительных результатов
в промежуточной области, например при рассмотрении процесса замедления
на дейтерии (А = 2). В последнем случае можно рекомендовать метод Гер-
целя — Грейлинга, который был изучен в п. 7.3 в связи с задачами замед-
ления без учета пространственной зависимости (Mack, Zweifel, 1960).
8.3.2. Многогрупповой метод
Во всех методах расчета пространственного распределения замедляю-
щихся нейтронов, обсуждавшихся до сих пор, энергия или летаргия рас-
* Уравнение (8.3.3) нетрудно получить, если продифференцировать по и обе части
соотношения (8.3.2) и, разрешив полученное равенство относительно Ф (г, и), подста-
вить результат в уравнение (8.2.4). В общем случае окончательное уравнение получается
весьма сложным.
11* 163
сматривались как непрерывные переменные и делалась попытка нахожде-
ния аналитических решений. Другим весьма полезным приближением
является так называемый метод групп, при использовании которого вся
область изменения энергии или летаргии разбивается на ряд интервалов,
в каждом из которых нейтроны предполагаются моноэнергетическими.
Тогда замедление нейтронов в результате упругих или неупругих столкно-
вений можно рассматривать как процесс перехода нейтронов из одной группы
в другую. В этом случае диффузионная задача решается в каждой группе
отдельно; однако можно применить все развитые выше методы для решения
одногрупповых задач переноса, в частности PN- и /^-приближения.
Многогрупповой метод является единственным методом, позволяющим
решать задачи замедления в неоднородных средах, для которых относи-
тельно простая теория возраста не справедлива. Кроме того, только много-
групповая теория дает практически возможность описать поведение нейтрон-
ного поля в тех случаях, когда замедление обусловлено преимущественно
неупругим рассеянием.
В последующем ограничимся рассмотрением так называемой диффу-
зионной многогрупповой теории, в которой диффузионное уравнение с энер-
гетической зависимостью решается для каждой энергетической группы; при
этом будем рассматривать среду, в которой замедление нейтронов обуслов-
лено только упругим рассеянием. В основу метода положим обычное урав-
нение диффузии (8.2.4):
^Ц^ + 2аФ(г, и)-2)Г2Ф(г, и) = 5 (г, и).
Всю область изменения летаргии от 0 до итах разобьем на п интервалов.
Интегрируя уравнение (8.2.4) по интервалу изменения летаргии, соответ-
ствующему каждой из этих групп, получим следующую систему дифферен-
циальных уравнений:
(8.3.8)
Введем сокращенные обозначения:
164
виде
(8.3.10)
Ov. Для
предше-
Тогда систему дифференциальных уравнений можно переписать в
-Z)1V2O1 + Sa1O1 = ^-9i;
— £)уГ2Фу-г 2ауФу = *$\> + ?v-l — Qv', v = 2, 3, ..., п.
Выясним теперь, как связаны между собой величины qv и
У
водорода, очевидно, qv = а^у Фи, поскольку нейтроны всех
ц=1
ствующих групп могут дать вклад в плотность замедления при uv. Однако
в случае малого числа широких групп (например, Azz — 3) вероятность того,
что нейтрон перескочит через группу при столкновении с протоном, весьма
мала. Для более тяжелых ядер эта вероятность просто равна нулю, так что
qv — S&V Фу, где — так называемое сечение замедления.
Чтобы определить групповые константы Sav и Dv согласно соотноше-
ниям (8.3.9), необходимо знать зависимость потока Ф (г, и) от летаргии
в каждой группе. Поскольку, как правило, такая зависимость неизвестна,
необходимо сделать какие-то дополнительные предположения, что внесет
определенный произвол в рассматриваемый метод. Это обстоятельство осо-
бенно существенно в том случае, когда среда содержит резонансный погло-
титель, вызывающий сильное локальное уменьшение потока, Обычно вводят
некоторые эффективные сечения (подобно тому как были введены резонанс-
ные интегралы в гл. 7). Ограничимся здесь простейшим предположением,
что поток Ф (и) постоянен в каждой группе, или, другими словами, что
Ф (Е) ~ 1/Е. Тогда
D (и) du
D
Uy Uy___i
V—1
а у — ' ’
Uy — Uy-}
J Ss (и) du
v V-1
2j?y —----------------
_i
(8.3.11а)
Число столкновений в 1 см3 за 1 сек в v-й группе равно Ssv Ф^. Поскольку
нейтрон должен испытать N = столкновений при замедлении от
летаргии uv-i до uv, то
qv = Ssv Ф^ТУ, откуда
у _________
^bv —
(8.3.11a) и (8.3.116), можно решить систему урав-
(8.3.116)
Используя соотношения
нений (8.3.10).
Рассмотрим теперь
при г0 = 0 в бесконечной среде. Если предположить, что Sav
чить Ly — ~v~, то
^bv
случай точечного моноэнергетического источника
“ “ = 0, и обозна-
e~r/L1
J 4nZ>2|r — ri I P
(8.3.12)
Б общем случае
%b, у—1Фу—1 (гу—1) е
| г —rv_t |
dr.
165
Применяя преобразование Фурье, можно написать
fv (со) — (г) 4лг2 dr.
(8.3.13)
В частности,
оо е r/L1 sin or „ 7 1
11 ( Dr г аг — л г or 1 + о2£|
/2 (®) _ 1 1 1 + W2£2 1_|_W2Z,2 '
fn (®) = П —1—. 11 1 + ^LV V=1
(8.3.14а)
(8.3.146)
Равенства (8.3.146) нетрудно получить, если воспользоваться теоремой
свертки. Применяя обратное преобразование Фурье, вычислим поток нейтро-
нов в каждой группе:
V Z?(v-1) _7/l.
(8.3.15)
Поскольку г^/6=— ld2fv (со)/^со2](0=о, то средний квадрат длины замед-
ления будет определяться соотношением
72
^ = Z?1 + L|+...+L2. (8.3.16)
Легко видеть, что в пределе, когда uv — uv-i -> О, v -> оо, величина
Гу/6 стремится к значению возраста по Ферми. Таким образом, многогруп-
повая теория при бесконечном увеличении числа групп дает результаты,
эквивалентные соответствующим результатам, полученным по теории воз-
раста. Разумеется, такой предельный переход не справедлив, если среда
содержит водород, поскольку нарушается исходное предположение о том,
что нейтроны могут при соударениях с ядрами замедлителя переходить
только в смежную группу.
На практике обычно определяют экспериментально плотность замедле-
ния вблизи точечного источника в бесконечной среде и, применяя преобра-
зование Фурье, аппроксимируют экспериментальную зависимость / (со, Е)
произведением Д--------—содержащим по возможности меньше множите-
лей. Обратное преобразование часто называют «синтетической» плотностью
замедления. Во многих случаях для описания процесса замедления доста-
точно небольшого числа групп. Во многих практических задачах простая
двухгрупповая теория, в которой все быстрые нейтроны объединены в одну
группу (тепловые нейтроны образуют вторую группу), является достаточно
хорошим первым приближением. При этом считают, что = ]/"г#/6 (энер-
гия Е соответствует приблизительно тепловой энергии), т. е. синтетическая
плотность замедления должна быть согласована с измеренным значением
величины гЕ. В этом случае решение задач для гетерогенных сред, состоя-
щих из различных материалов, особенно просто, поскольку должны только
выполняться условия непрерывности потока и плотности тока для каждой
из групп на любой поверхности раздела.
166
8.3.3. By-приближение
Опишем теперь другой метод решения задач замедления, который дает
более точные результаты по сравнению с /^-приближением при эквивалент-
ной затрате труда. Рассмотрим бесконечную среду с плоским источником
нейтронов, расположенным в плоскости х = 0. Применим к функции
F (х, й, и) преобразование Фурье, согласно которому
+ °о
/(со, й, и) — F (х, Й, и) e~i0)x dx. (8.3.17)
— оо
Умножая уравнение переноса (8.1.24) на e“i(OX и интегрируя результат
по всем х, получаем
U ОО
[icocos'd' + S; (и)] /(со, й, и) У (214- 1)(и' —>и) X
и—1п(1/а) 1=0
л
X Pi (cos й) / (со, Й', и') Pi (cos й') sin й' с?й' du' + 6 (и). (8.3.18)
о
Представим функцию / (со, Й, и) в виде разложения по полиномам Лежандра
с точностью до TV-го слагаемого:
N
/(со, й, = (2Z+l)/z((0, u)Pz(cosd), ((8.3.19а)
1=0
—оо
fi (со, и) = Fi (х, и) e~i(dxdx. (8.3.196)
— оо
Коэффициенты разложения Fi (х, и) определяются соотношением (8.1.256).
Если умножить последовательно уравнение (8.3.18) на Pi (cos й)
(Z = 0, 1, . . . , N) и проинтегрировать результат по всем телесным углам,
можно получить систему дифференциальных уравнений, аналогичную
системе (8.1.26), относительно функций fi (со, и). Другими словами, полу-
чено Рдг-приближение для фурье-образа дифференциального потока, которое
никоим образом не отличается от /^-приближения для самого дифферен-
циального потока. Сущность /^-метода заключается в том, что уравнение
переноса сначала делится на Zco cos й + Si (и) и только затем умножается
на Pi (cos й) и интегрируется. В этом случае получается следующая система
уравнений:
N и
1 , р 08 (и) Ат
= — ^si(u' —>u)/z(®, и') Alj du' 4----2---’
l=-0 u-ln(l/cc)
(8.3.20a)
где
p Pl (cos Й) P j (cos Й)
Aij = \ —-----/ sin йс/й. (8.3.206)
LJ J tco cos Й +2^ (u) v 7
0
Эта система интегральных уравнений может быть решена, например, на
основе многогруппового метода, в результате чего будут найдены функции
fj (со, и), а следовательно, и Fj (ж, и):
-j-oo
Fj(x,u)=-^- § fj (со, и) das. (8.3.21)
— оо
Обратное преобразование Фурье дает величину дифференциального потока
F (х, й, и), а функция /0 (со, и) определяет поток Ф (я, и) и все моменты х^.
167
Смысл 5 ^приближения можно выяснить на основании следующего
рассуждения. Предположим, что все величины Ssz (ц' и) равны нулю,
за исключением Ss0 (и' -> и), т. е. рассеяние изотропно в лабораторной
системе координат. В этом случае угловое распределение функции f (о, S2, и)
равно просто некоторой константе, деленной на /со cos Ф 4- 2/ (и), и для
вычисления функции /0 (<*>, ^), а следовательно, и полного решения задачи
достаточно решить только одно из уравнений (8.2.20а), соответствующее
j == 0 *. С другой стороны, при использовании /^-приближения для кор-
ректного вычисления угловой зависимости потока следует решить большое
число уравнений, независимо от того, является ли рассеяние изотропным
или нет.
Таким образом, в Вдг-приближении при расчете углового распределения
исходят из предположения изотропного рассеяния нейтронов и вычисляют
отклонение от этого распределения. Очевидно, эта процедура сходится
гораздо быстрее, чем /^-метод. Подробное описание и многочисленные при-
ложения Вдг-метода можно найти в работе Бете, Тонкса и Гурвица (Bethe,
Tonks, Hurwitz, 1950).
8.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ЗАДАННЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ИСТОЧНИКОВ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
По достижении тепловой энергии в результате замедления нейтрон
начинает диффундировать как тепловой, и этот процесс продолжается до
тех пор, пока нейтрон не будет захвачен или пока не покинет среду. Такой
переход из состояния замедления в состояние тепловой диффузии происходит
непрерывно; этот процесс, а также и более общая проблема термализации
нейтронов будут подробно обсуждаться в гл. 10. В первом приближении,
однако, можно предположить, что такой переход происходит скачком;
поэтому плотность замедления qth (г, Е) при энергии Е, примыкающей
сверху непосредственно к тепловой области, может быть вычислена на осно-
вании развитых выше методов и затем использована как плотность источни-
ков при описании диффузии тепловых нейтронов с помощью элементарной
диффузионной теории или с помощью какого-либо другого, более хорошего
приближения. При таком подходе будут нарушены сделанные выше пред-
положения о том, что плотность замедления может быть вычислена только
на основе рассмотрения процесса упругого рассеяния на свободных ядрах,
находящихся первоначально в состоянии покоя (что неверно при энергиях
ниже примерно 1 эв), и что нейтроны источника имеют сразу тепловое рас-
пределение. Как правило, однако, ошибки, связанные с этими допущениями,
малы и могут быть учтены с помощью простых поправок.
В качестве простейшего предельного случая рассмотрим сначала бес-
конечную среду, в которой имеются однородно распределенные источники
быстрых нейтронов. Допустим, что поглощение в процессе замедления пре-
небрежимо мало. Тогда плотность замедления не зависит ни от простран-
ственных координат, ни от энергии; соответственно тепловой поток
также не зависит от координат и связан с плотностью замедления q соотно-
шением
Ф^ = =-- (8.4.1)
Учитывая, что эпитепловой поток на единицу летаргии Фер1 = q/(£Zs)
постоянен в интервале между 1 эв и несколькими килоэлектронвольтами,
* В случае изотропного рассеяния все другие функции f j (со, и) могут быть полу-
чены с помощью соотношения
и
10 1
Zj(w, 3s0(u' —> и)/о (со, и') AOJ du' + у Q6 (и) Аоj.
К—1п(1/о)
168
поскольку в этом интервале величина сохраняет постоянное значение,
имеем
^- = ^. (8.4.2)
pi
Таким образом, при данной величине эпитеплового потока поток тепловых
нейтронов тем больше, чем больше коэффициент замедления (см. п. 7,1.3).
8.4.1. Средний квадрат длины замедления и площадь миграции
Рассмотрим точечный источник быстрых нейтронов в бесконечной среде.
Пусть <t>th — поток тепловых нейтронов, обусловленный этим источником.
Найдем средний квадрат расстояния от источника, на котором поглощается
тепловой нейтрон:
J г22аФ^ (г) 4лт2 dr
. (8.4.3)
J ^a^th(r)^nr^dr
0
Для источника тепловых нейтронов г2 = 6L2 (см. п. 6.1.3). При наличии
источника быстрых нейтронов будем вычислять г2 на основании следующего
соотношения:
г2 = г2 = [Г1 (г _ Г1)]2 - г* 4-(r- Ti)2 + 2гх • (г — гх), (8.4.4)
где г4 — точка, в которой заканчивается процесс замедления и нейтрон
достигает тепловой энергии; г2 = = §xth — средний квадрат длины
замедления до тепловой энергии; (г — rj2 = 6L2— средний квадрат рас-
стояния от источника тепловых нейтронов до точки, в которой нейтрон
поглощается. Смешанное слагаемое в равенстве (8.4.4) обращается в нуль
при усреднении, поскольку направления г и г — Fj независимы. Тогда
окончательно
^-6(т^ + ^2)-6М2. (8.4.5)
Величина М2 = L2 4- называется площадью миграции, а М =
= ]/"L2 + xth — длиной миграции. Обе величины являются мерой среднего
расстояния от точечного источника, на которое перемещается нейтрон в тече-
ние времени жизни.
8.4.2. Точечный источник в бесконечной среде
Вычислим поток тепловых нейтронов (г), используя в качестве
источника тепловых нейтронов плотность замедления, рассчитанную на
основании теории возраста, согласно которой
(r) = ,/ e~XWiXth)- (8.4.6а)
(4лт^) /2
Кроме того, вычислим тот же поток с использованием плотности замедления,
найденной с помощью многогрупповой диффузионной теории с одной груп-
пой быстрых нейтронов, т. е.
Нетрудно видеть, что в обоих случаях r2h = 6т^. Поток тепловых нейтронов
может быть вычислен с использованием диффузионного ядра для сфериче-
ского слоя (см. п. 6.2.2), в соответствии с чем
оо
ф«л(г) = qth(r')GsS(r', r)-iar'2dr', (8.4.7)
О
где ядро GsS(r', г) определяется соотношением (6.2.10).
169
Согласно возрастной теории [см. (8.2.37)],
<г> = [1 + (iw;-^) ] -
(8.4.8а)
где erf (я) — интеграл ошибок.
В соответствии с многогрупповой теорией
ф ( QLZ ( e~r/L е~г/Ух^\
4пРг \ L^-ith L^-Xth ) •
(8.4.86)
Полезно рассмотреть поведение потока на больших расстояниях от источ-
ника. Согласно соотношению (8.4.86), поток на больших расстояниях опре-
деляется соотношением
ЧМ'-)- 4д,д(^1„д| (8.4.9а)
Ф-<Г>- М ~г------ ^>L'- <8АЭб)
Таким образом, когда L2 > Xth, отношение потока тепловых нейтронов
к эпитепловому потоку возрастает при увеличении расстояния от источника.
На очень больших расстояниях имеются в основном тепловые нейтроны.
Такой случай имеет место в графите и тяжелой воде, где это явление исполь-
зуется при сооружении «тепловых колонн» в реакторах. С другой стороны,
когда L2 < ход потока тепловых нейтронов даже на больших расстоя-
ниях определяется поведением плотности замедления и отношение потоков
тепловых и эпитепловых нейтронов стремится к постоянному значению
®th _ 1
®epi 2а 1
Такая ситуация имеет место в обычной воде, если источник излучает нейтроны
относительно высоких энергий (порядка нескольких мегаэлектронвольт);
естественно, что чисто тепловой спектр нейтронов не может установиться.
Согласно возрастной теории, на больших расстояниях от источника
как при т > Л2, так и при т < Z2
О 2 p-r/L
ф^) = L_
(8.4.10)
Таким образом, в соответствии с возрастной теорией на больших расстоя-
ниях от источника тепловые нейтроны всегда превалируют. Этот вывод не
корректен, поскольку возрастная теория несправедлива на больших расстоя-
ниях от источника.
8.4.3. Различные случаи расположения плоского
и точечного источников
Приведем результирующие выражения для потока тепловых нейтронов
для ряда типичных случаев. Заметим, что при вычислении потока тепловых
нейтронов в качестве плотности замедления использовались решения соот-
ветствующих уравнений возраста (см. п. 8.2.3), а само вычисление произво-
дилось с помощью метода диффузионных ядер. Предполагалось, что в конеч-
ной среде эффективная поверхность как для тепловых, так и для нетепловых
нейтронов одна и та же, что является довольно грубым приближением.
170
Тогда для плоского источника в бесконечной среде
{«-«• [1+erf (гЙГ1^) ] +
+ eV4^erf(тй^+1Я]}
(8.4.11)
Для сферы радиусом R с точечным источником в центре
00 i
®th(r)= 2rZa№ 2 г 12Л2 е R2 sin7R_- (8.4.12)
1 = 1 1 Г R2 L
Если точечный источник расположен в
длинной призмы, то
точке (я0, z/0, zQ) бесконечно
Oi7i(a:, у, z) = Qer/j2 2 |sinsin e я («2 + b2 T Lim X
Z, m—1
- Z~Z° /“
4е L'" 1>ег'(14Нт&)] +
2--ZQ
+el'" [i-erf(f4+47)]]siii4si"2T} <8-4лз>
ЛИТЕРАТУРА
Общая
A m a 1 d i E. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Berlin—Gottingen—Heidelberg. Springer, 1959.
Davison B. Neutron Transport Theory. Oxford, Claredon Press, 1957. (См. на русском
языке: Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Перев. с англ. М., Атомиздат,
1960.)
Goldstein Е. Fundamental Aspects of Reactor Shielding. Reading, Addison-Wesley,
1959. (См. на русском языке: Гольдштейн Г. Основы защиты реакторов. Перев.
с англ. М., Госатомиздат, 1961.)
Sneddon J. N. Fourier Transforms. New York — Toronto — London, McGraw-Hill
Co., 1951.
Вейнберг A. M., Вигнер Е.П. Физическая теория ядерных реакторов. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
Специальная
Вычисление среднего квадрата длины замедления
Blanchard С. Н. Nucl. Sci. Eng., 3, 161 (1953).
Fermi E. Ricerca Scientifica, 7, 13 (1936).
Goldstein H., Certaine J. Nucl. Sci. Eng., 10, 16 (1961).
H о r w a у G. Phys. Rev., 50, 897 (1936).
Placzek G. Phys. Rev., 69, 423 (1946).
V о 1 k i n H. C. J. Appl. Phys., 26, 127 (1955).
Теория возраста
Fermi E. (Ed. J. G. Beckerley), AECD-2664 (1951).
Flugge S. Phys. Z., 44, 493 (1943).
Wallace P. S., 1 e Caine J. AECL-336 (1943).
Приближение Селенгута — Герцеля
Hurwitz H., Z w e i f e 1 P. F. J. Appl. Phys., 26, 923 (1955).
Simon A. ORNL-2098 (1956).
171
Приближение Герцеля — Грейлинга
Levine М. М. et al. Nucl. Sci. Eng., 7, 14 (1960).
Mack R. J., Z wei f el P. F. Nucl. Sci. Eng., 7, 144 (1960).
Вv-метод
В e t h e H. A., Tonks L., Hurwitz H. Phys. Rev., 80, 11 (1950).
Многогрупповой метод
Ehrlich R., Hurwitz H. Nucleonics, 12, No. 2, 23 (1954).
Mandi M. E., H о w 1 e t t J. Geneva, 1955, P/430, Vol. 5, p. 433.
Различные методы вычисления параметров замедления
для воды
Goldstein Н., Z w е i f е 1 Р. F., F о s t е г D. G. Geneva, 1958, Р/2375, vol. 16г
р. 379.
Hurwitz Н., Ehrlich R. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1, Vol. 1, p. 343 (1956).
Wilkins J. E., H ell ens R. L., Z wei iel P. E. Geneva, 1955, P/597, vol. 5r
p. 62.
Распределение нейтронов на больших расстояниях
от источника
Holte G. Arkiv Fysik, 2, 523 (1951); 3, 209 (1951); 8, 165 (1953).
Spencer L. V., F a n о U. Phys. Rev., 81, 464 (1951).
Verde M., W i c k G. C. Phys. Rev., 71, 852 (1947).
Глава 9
ЗАВИСИМОСТЬ ПРОЦЕССОВ ЗАМЕДЛЕНИЯ И ДИФФУЗИИ ОТ ВРЕМЕНИ
В данной главе будет изучаться поведение нейтронных полей с нестацио-
нарными источниками. При этом мы ограничимся обсуждением процессов
диффузии и замедления и, в частности, сделаем предварительные разъясне-
ния для изложения тех важных методов измерения, при которых исполь-
зуются нестационарные источники (сами методы будут обсуждаться в гл. 18).
В первую очередь мы рассмотрим процесс замедления с зависимостью от
времени в отсутствие диффузии, затем — процесс диффузии в зависимости
от времени в отсутствие замедления и, наконец,— пространственно-времен-
ное распределение при замедлении (правда, только для возрастного при-
ближения). Почти всегда будет предполагаться, что источник нейтронов
дает очень короткие импульсы [S (t) ~ 8 (£)]. Это практически наиболее
важный случай.
Очевидно, при соответствующей нормировке результирующий поток
Ф (£\ t) можно рассматривать как вероятность того, что нейтрон, родив-
шийся в нулевой момент времени, к моменту t обладает энергией Е. Поэтому
историю «среднего» нейтрона можно непосредственно описать с помощью
функции Ф (Е, t). Если решение, зависящее от времени, проинтегрировать
по всему интервалу изменения t, можно снова получить результаты, приве-
денные ранее для стационарного источника.
В п. 9.4 будет рассмотрен частный случай периодической во времени
функции источника нейтронов.
9.1. ЗАМЕДЛЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНЫХ СРЕДАХ
Предположим для простоты, что среда не поглощает нейтроны. Тогда
поток Ф (и, t) удовлетворяет уравнению
1 ЭФ (u, t)
v dt
28Ф+ 28Ф (zzz) —а du' + 6 (и) 6 (0- (9.1.1)
и— 1п(1/а)
172
Это уравнение соответствует моноэнергетическим источникам единичной
мощности с однородным пространственным распределением. При этом пред-
полагается, что замедление обусловлено упругим рассеянием, которое изо-
тропно в С-системе. Написанное уравнение может быть решено с помощью
преобразования Лапласа, согласно которому преобразованный по Лапласу
поток Ф (и, t) определяется как
Ф(гг, s) ^O(w, t)e~stdt. (9.1.2а)
о
Обратное преобразование Лапласа, как известно, имеет вид
Ф(и, t) = ~ J Ф (и, s) е?( ds. (9.1.26)
су—г<х>
Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (9.1.1), полу-
чаем
U / /ч
+ —) Ф(«, s) = £5Ф(и', s) t_a du'+ 6 (и). (9.1.3)
и—In (1/а)
По форме это уравнение совпадает с уравнением для стационарного ней-
тронного потока Ф (а) в среде с макроскопическим сечением поглощения s/v.
Поэтому в дальнейшем можно применить результаты, полученные в гл. 7.
9.1.1. Замедление в водороде
Согласно результатам, полученным в п. 7.2.2, поток нейтронов Ф (и)
в водороде с равномерно распределенными источниками нулевой летаргии
с единичной мощностью определяется соотношением
Q Scrf-Ss
ф= (хтг)и 0 е S + 2----------+ 2+2 • <9л-4а)
Преобразованный по Лапласу поток нейтронов имеет в этом случае вид
ф («. - ?‘+Ч 2. + а('*>, . (9.1.46)
(г-Ч)
где Vq — скорость нейтронов источника (и = 0) и v — скорость нейтронов
с летаргией и (предполагается, что сечение 2S постоянно). Осуществляя
обратное преобразование Лапласа согласно соотношению (9.1.26) (Marshak,
1947), получим
Ф(М) z) = ^(2sy02(l-^- + ^-r)e-^+M(“)e-2sV. (9.1.5)
Второе слагаемое описывает спад потока нейтронов, не испытавших соуда-
рений. Для выяснения физического смысла первого слагаемого рассмотрим
«асимптотическую» область малых энергий, для которых v < vQ. Имея в виду,
2
что ^sVqt > 1, и вводя замену Ф (v, t) = — Ф (и, t), получим
Фа$ (у, t) = ^svt)2e-^vt = x2Q-x^ (9.!.6)
173
Таким образом, асимптотический поток зависит только от безразмерной
величины х = Ss vt *. Из равенства (9.1.6) можно непосредственно получить
либо распределение по скоростям Ф (р) в произвольный фиксированный
момент времени t, либо распределение по времени Ф (t) для произвольной
скорости v. На рис. 9.1.1 приведено распределение Ф (t) для нескольких
значений скорости. Для построения этого графика использовалось значение
Рис. 9.1.1. Временное распределение нейтронного потока в
воде при различных скоростях нейтронов.
Ss, соответствующее плотности протонов в Н2О. Асимптотическое решение
справедливо в том случае, когда энергия замедляющихся нейтронов значи-
тельно меньше, чем энергия нейтронов источника. Кроме того, как упомина-
лось выше, соотношение (9.1.46), на основе которого получено асимптотиче-
ское решение, имеет место, когда сечение рассеяния не зависит от энергии.
Последнее утверждение справедливо для водорода в области энергий от 1
до 20 000 эв.
Вычислим теперь среднее во времени значение асимптотического решения
оо
\ФАз(р, t)dt = ^-. (9.1.7а)
0
Это соотношение можно истолковать следующим образом. В стационарном
состоянии поток, обусловленный источниками единичной плотности, равен
Ф (Е) = l/(Ss£’) (см. п. 7.2.2), или Ф (v) = Ф (Е) = После инте-
грирования нестационарного решения по всему промежутку времени полу-
чим результат, соответствующий стационарному решению с эквивалентным
источником. Этого следовало ожидать. Действительно, среднее время замед-
ления до энергии Е (или скорости v) равно
J (^, 0 dt
(9.1.76)
Фаз (*Ь 0 dt
0
Поскольку мы использовали асимптотическое решение при вычислении
времени tE, значение последнего не зависит от энергии источника. Если
* Не следует забывать, что в действительности поток Ф (у, t) имеет размерность
[нейтрон/см3], в то время как правая часть равенства (9.1.6) безразмерная. Кажущееся
несоответствие обусловлено тем фактом, что при введении источника единичной плот-
ности размерность последней была опущена.
174
вычислять время tE с использованием соотношения (9.1.5), то для v < vQ
= ----(9.1.7в)
V VQ } ^sVq K 7
Таким образом, когда v < vQ, различие между ~tE и tE несущественно.
Согласно уравнению (9.1.76), tE для замедления в воде до 1 эв равно
1,6 мксек, до 100 эв — 0,16 мксек и до 10 кэв — 0,016 мксек.
Мерой дисперсии потока нейтронов по времени при фиксированной
энергии является величина
^ = 4-4 = ^. (9.1.7г)
где
J t2®As (v, t) dt
(9.1.7д)
J Фа8 (^, 0 dt
b
Величина A = tElV?> служит критерием при оценке разрешающей способно-
сти нейтронных спектрометров, использующих пульсирующие источники
и водородсодержащие замедлители (см. п. 2.5.4).
Зависимость средней скорости от времени определяется соотношением
оо
J vn {у, t) dv
J n (у, t) dv
b
Но поскольку n (y, t) — ——-, TO
n (y, t) dv=^ - dv = 1, (9,1.8a)*
о 0
так как источник излучает 1 нейтрон!см*, Тогда
v(t} = (DAs (у, t) dv
о
2
= § РФа8 dV = (2^)2 ’
о 5
оо
г>4(0=Л t)dv = у2в
о
(9.1.86)
Следовательно,
(9.1.8в)
тт n "F 1,8 эв-мксек2 \
ЧТО ДЛЯ Н2О Ь =---------------- I ’
/ Л£ \ 2 _ ЁЭ-Ё2 7
\~Ё~ J ~ £2
(9.1.8г)
3 ’
* Строго говоря, необходимо интегрировать только до значения vq с использо-
ванием общего решения. Однако при t (Ss^q)-1 интегрирование можно распростра-
нить до бесконечности и общее решение заменить асимптотическим.
175
Таким образом, энергетический спектр нейтронов при замедлении в водо-
роде размазан в широком диапазоне. Это обусловлено тем, что нейтрон
может потерять произвольно большую долю своей энергии при одном соуда-
рении.
9.1.2. Замедление в тяжелых замедлителях (А 1)
Для описания замедления при рассеянии на тяжелых ядрах можно,
как и выше, исходить из уравнения (9.1.3); однако здесь возникнет трудность,
связанная с тем обстоятельством, что не существует простого стационарного
решения уравнения замедления, когда =+ 0. Поэтому необходимо исполь-
зовать приближения, подобные изложенным, например, в п. 7.3. Применяя
метод Герцеля — Грейлинга, Коппель (Koppel, 1960) получил изящное при-
ближенное решение зависящей от времени задачи замедления, рассмотреть
которое мы, к сожалению, не имеем сейчас возможности. Ограничимся
вычислением по методу Маршака некоторых средних величин, с помощью
которых можно получить полезную физическую информацию.
Для дальнейшего рассмотрения удобно исходить из нестационарного
уравнения замедления для плотности нейтронов п (v, t), зависящей от ско-
рости:
-pSsn(^, 0 $ Ssn(v',t)^. (9.1.9)
U L X ел* U
V
Слагаемое, соответствующее внешним источникам, опущено, поскольку
ищется асимптотическое решение, которое справедливо для скоростей,
гораздо меньших, чем скорости нейтронов источника. Если в уравнении
(9.1.9) ввести новую переменную х = v SsZ, то его можно переписать в виде
х/ Усс
-^[хп(х)]=—хп(х) + -^- J п(х')-^. (9.1.10)
Введем теперь понятие момента Mi, соответствующего плотности нейтро-
нов тг, согласно соотношению
xln (х) dx. (9.1.11)
о
Если умножить обе части уравнения (9.1.10) на и результат проинте-
грировать, можно получить следующую рекуррентную формулу моментов:
М, = ----jjp- . (9.1.12)
2 1—а 2
1 1 + 1 1 —а
В качестве нормировочного значения возьмем 7И0 = 1. Если попытаться
вычислить Mi через MQ с помощью этого рекуррентного соотношения,
то возникнет затруднение, так как правая часть равенства становится
неопределенной. Поэтому следует положить Zle и перейти затем к пре-
делу при 8—>0. Тогда
М1 = уМ0 = -|, (9.1.13а)
откуда в случае Z > 2
i
Мг==тП -----------V~1 v+~" • (9.1.136)
v=2 2 Д-ц 2
v +1 1 —а
176
Если А > 1, то рекуррентное соотношение для моментов можно аппрокси-
мировать выражением *
мг =---------------М^. (9.1.14)
1+(3-г’№)
Полагая 7И0=1 и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка, получим
М, = А + ^,
М2 = А(А + 2),
М3 = АЦА + 4), (9.1.15)
Поскольку
п (х) dx~n (и, t) dt,
то при фиксированном значении скорости v
со
2 Р
Mi = v^s vn (у, t) dt,
о
или
\vn(v, t)dt=—^—. (9.1.16а)
е) ^sv
О
Это уравнение, являясь аналогом уравнения (9.1.7а), означает, что в резуль-
тате интегрирования по всему промежутку времени спектр становится экви-
валентным спектру нейтронов для соответствующего стационарного случая.
Далее,
<9Л-166)
(9ЛЛ6в)
A* 2=^-?^(Js)2 (9.1.16г)
С другой стороны, согласно соотношениям (9.1.15) для А > 1,
, 4 + 4/3 tE ~ А (9.1.17а)
- Л 2 4-104/3 tE (Ssr)2 ~ Л2 ~ (2SP)2 ’ (9.1.176)
Д2 = Л-^ = 24/3 (2sr)2 ’ (9.1.17b)
откуда №11?е ~ 2/(ЗЛ). Другими словами, относительная дисперсия за
время замедления до определенной энергии уменьшается с увеличением
массового числа. Такая зависимость обусловлена тем обстоятельством, что
в случае больших массовых чисел нейтроны замедляются в результате боль-
шого количества столкновений, каждое из которых приводит только к малой
потере энергии. Благодаря большому числу столкновений статистические
флуктуации потерь энергии при одном столкновении и статистические флук-
* Соотношение (9.1.14) получается в результате разложения в ряд Тейлора вели-
пг-Щ , . _ т+1
2 Г 4 ^-4 ] 2
чины а = |_ 1-------(Л~Р 1)^~ J с точностью до первых трех членов.
12 Нейтронная физика 177
туации длин пробегов между последовательными столкновениями в значи-
тельной степени компенсируют друг друга; таким образом, в первом при-
ближении замедление — это непрерывный процесс уменьшения средней
энергии нейтронов при сохранении относительно узкого энергетического
распределения.
Таблица 9.1.1
Вещество Плотность, г/см3 t^, мксек Д, .мксек
Be 1,78 10,18 2,0
C 1,6 25,40 4,7
Pb 11,34 408,1 22,8
В табл. 9.1.1 приведены значения tE и А ~ (Х#—£#)1/2 для некоторых
тяжелых замедлителей, вычисленные с помощью соотношений (9.1.166)
и (9.1.16г).
Аналогично можно ввести понятие момента распределения по скоростям
при фиксированном времени:
у (0 = Mi __ У f 2
^(0= M2 (2s/)2 1
Л(0 = M4 (SsO4 '
(9.1.18а)
(9.1.186)
(9.1.18в)
Когда А > 1, средняя энергия при фиксированном времени t определяется
соотношением
W - J «7W =0,522 мксек*.см~*-эв (9.1.19а)
и соответствующая дисперсия равна
(А£А2-- Е2~Е2_______L
\ Е / £-2 ЗА
(9.1.196)
Как видно из соотношения (9.1.196), энергетический спектр нейтронов в тече-
ние процесса замедления в тяжелых средах всегда имеет очень острую форму.
Такой вид спектра является результатом почти непрерывного характера
процесса замедления. Например, для свинца (А =207) у (&Е/Е)2 = 11,4%.
В заключение покажем, что соотношение (9.1.18а) может быть выведено
с помощью элементарных рассуждений. Поскольку число столкновений
за 1 сек равно v S.s, а среднее увеличение летаргии составляет то
или, поскольку v~VQe~11'2,
du
dt
&s»,
dv ___ 2
dt “ 2
(9.1.20a)
(9.1.206)
Интегрируя последнее уравнение, получаем
Q
2 Р dv _ 2 / i 1 '
J ~ \ V vQ ) ’
откуда, если и < Vq,
(9.1.20b)
178
При выводе этого соотношения предполагалось, что нейтрон обладает конеч-
ной энергией в любой момент времени, что справедливо только для доста-
точно больших значений А. Для малых массовых чисел А равенство (9.1.20в)
справедливо в том случае, если v представляет собой среднюю скорость.
Соотношение (9.1.20в) часто используется для вычисления времени замедле-
ния, но, как показывает сравнение с соотношением (9.1.17а) или (9.1.166),
эта процедура корректна только для больших значений А (для А = 1 ошибка
составляет 50%).
9.2. ДИФФУЗИЯ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕЙТРОНОВ
9.2.1. Диффузионное уравнение, зависящее от времени
Уравнение баланса нейтронов для моноэнергетического нейтронного
поля, зависящего от времени, может быть записано в виде
I ° = — divJ(r, 0-2аФ(г, t) + S (г, t). (9.2.1)
Если предположить, что ток нейтронов и градиент потока связаны законом
Фика, то из уравнения (9.2.1) непосредственно вытекает диффузионное
уравнение, зависящее от времени:
V 3<b(dt = D?2ф <г’ ~ 2“Ф (r’ + S <г’ (9.2.2)
Последнее уравнение справедливо при выполнении тех же условий, которые
необходимы для применимости /^-приближения (см. гл. 5); в частности,
оно дает хорошие результаты при достаточном удалении от граничной поверх-
ности и места расположения локализованных источников при условии, что
< Ss. В п. 9.2.2 будут введены некоторые другие ограничения, несмотря
на которые уравнение (9.2.2) широко используется в практических прило-
жениях. В частности, оно составляет основу анализа экспериментов по
нестационарной диффузии, обсуждаемых в гл. 18. Ниже мы исследуем неко-
торые из этих решений для импульсного источника мощностью S (г, t) =
= S (г) 6 (t). Можно надеяться, что результаты для моноэнергетических
нейтронов будут верны также и для тепловых нейтронов. В первом прибли-
жении это утверждение справедливо, однако ниже будет показано (см.
п. 10.3), что в случае импульсного поля тепловых нейтронов должны быть
сделаны некоторые поправки.
При рассмотрении импульсного источника слагаемое, соответствующее
поглощению, можно исключить с помощью подстановки
Ф (г, О = Фо(г, (9.2.3)
Тогда
±^1;=7)?2фо(г) z) + 5(r)6(i). (9.2.4)
Нетрудно убедиться, что в одном важном частном случае поглощение можно учесть
аналогичным образом даже в задачах с энергетической зависимостью, именно когда
поглощение следует закону 1/и (см. п. 9.1).
При решении уравнения (9.2.4) можно воспользоваться тем обстоятель-
ством, что формально оно сходно с уравнением возраста (см. п. 8.2). Вводя
подстановки т — Dvt и q = Ф/р, получим уравнение, совпадающее по форме
с уравнением возраста, так что можно использовать результаты, получен-
ные в п. 8.2.4.
12* 179
Тогда для плоского источника в бесконечной среде *
Ф (х, t) = — е“ (9.2.5)
|/faiDvt
а для точечного источника в бесконечной среде
Г2
Ф(г’ ^==7Г^Т’7Ге”'^~^ <9-2-6)
(4т£Ы) /2
Из соотношения (9.2.6) следует, что средний квадрат расстояния в момент
времени t равен
__ (9.2.7)
откуда величина "|Л г2 для тепловых нейтронов в Н2О и графите по истечении
10 мсек составляет 45 и 110 см соответственно.
Конечные среды. Если предположить, что линейные размеры среды велики
по сравнению с длиной свободного пробега, то поток нейтронов, зависящий
от времени, определяется соотношением
ф (г, 0 = 3 SnvRn (г) (9.2.8а)
где Rn (г) — собственные функции, а — соответствующие собственные зна-
чения уравнения
72Ф + ^2Ф = 0, (9.2.86)
удовлетворяющего граничному условию Ф = 0 на эффективной поверхности
среды. Величины Sn— коэффициенты разложения функции источника по
этим собственным функциям. Поток нейтронов представляет, таким обра-
зом, суперпозицию бесконечного числа гармоник, каждой из которых соот-
ветствует время релаксации ----------г •
DvBn
Для больших времен превалирует «фундаментальная» гармоника
Ф(г, 0— 7?0(г)е-^, (9.2.8в)
где
а = v%a + DvB2 = vZa (1 + L2B2),
(9.2.8г)
a Bq — нулевая собственная функция, В2— наименьшее собственное значение,
которое называется геометрическим параметром.
Собственные функции и собственные значения для прямоугольного
параллелепипеда с эффективными размерами а, Ъ и с определяются соотно-
шениями
п / \ • 1л>х . тму . nnz
Klmn(X, р, z) = sin------ Sin—г^-Sin-------
7 a b с
D2 _ „2 ( 12 I m2 I n2 )
В частности,
Bq и» У, %) = Sin-y- sin——-sin, I
(9.2.9a)
(9.2.96)
Вклад диффузии в постоянную времени релаксации, очевидно, тем больше,
чем меньше линейные размеры среды; в качестве характеристической еди-
ницы длины используется, как правило, диффузионная длина. Согласно
соотношению (9.2.8г), если линейные размеры среды велики по сравнению
с диффузионной длиной, то а ж v однако этот результат не имеет прак-
тического значения, поскольку при рассматриваемых условиях время, по
* В последующем рассмотрении величина Q идентифицируется с полным числом
нейтронов, генерируемых в одном импульсе.
180
истечении которого остается только фундаментальная гармоника, весьма
велико.
Собственные функции и собственные значения для цилиндра с эффектив-
ным радиусом г0 и высотой h в случае радиальной симметрии определяются
равенствами *
Rim (Г, z) = Io sin )
(9.2.10)
где сц — соответствующий корень функции Бесселя Io (<z0= 2,405, =
= 5,520, а2 = 8,654, &3 = 11,792). Решения уравнения (9.2.86) для неко-
торых других случаев были получены Сьёстрэндом (Sjostrand, 1958).
9.2.2. Условия применимости диффузионного уравнения,
зависящего от времени
Из равенства (9.2.6) следует, что описание зависящих от времени ней-
тронных полей с помощью диффузионного уравнения (9.2.4) не является
достаточно корректным.
Для t — 0 поток нейтронов обращается в нуль всюду, за исключением
точки г = 0. Этот результат вполне корректен для t = 8t > 0. С другой
стороны, для t — 6t > 0 функция Ф (г, t), будучи достаточно малой для
всех г 0, не обращается в нуль ни в одной точке. В действитель-
ности, однако, Ф (г, t) должен быть равен нулю всюду вне сферы г = v6t,
поскольку за время 6t ни один нейтрон не может пройти расстояние, большее,
чем v8t. Это обстоятельство нельзя отразить правильно с помощью диффу-
зионного уравнения, зависящего от времени, поскольку последнее было
получено с использованием закона Фика, не учитывающего конечность
времени столкновения. Обсудим это несколько подробнее, вспомнив элемен-
тарный вывод закона Фика, приведенный в начале гл. 6. Ток нейтронов
выражался через поток следующим образом:
J dS =—Ss cos $Ф (г) e~~ztr dr dq sin О d'Q. (9.2. На)
0 0 0
Закон Фика был получен на основании этого соотношения в результате
разложения функции Ф (г) в ряд Тейлора:
(9.2.116)
Эта процедура корректна в стационарном нейтронном поле только в том
случае, когда < Ф- В нестационарном нейтронном поле уравнения
dz
(9.2.11), очевидно, не могут связывать ток и поток нейтронов в один и тот же
момент, поскольку после столкновения в точке г нейтрон достигнет элемента
поверхности dS только по истечении времени t/v. Если в первом приближе-
нии считать, что все нейтроны испытывают свое последнее столкновение
на расстоянии одной длины свободного пробега, то соответствующее время
запаздывания равно l/(vSs), и закон Фика принимает вид
J (z, / + ° • (9.2.12а)
Раскладывая функцию J в степенной ряд по t с точностью до второго слагае-
мого, получим
+ (9.2.126)
c/^jg (Н и?»
* Если источники радиально симметричны, в решение входят только радиально
симметричные гармоники.
181
или в общем случае
J + ^S=-7)^ad(I)- (9.2.12в)
с/g U Ь
Если изменением функции J за время одного столкновения можно прене-
бречь, то, опуская второе слагаемое в левой части, получим известный закон
Фика в его первоначальной форме *.
Дифференцируя уравнение баланса (9.2.1) по времени, а уравнение
(9.2.12в) по координатам и комбинируя полученные соотношения, получим
одно дифференциальное уравнение для потока нейтронов, которое для непо-
глощающей, свободной от источников среды имеет вид
По форме это уравнение совпадает с хорошо известным телеграфным урав-
нением электродинамики, согласно которому при любом возмущении будет
существовать фронт волны, перемещающийся с групповой скоростью vG;
вне фронта этой волны возмущение тождественно равно нулю.
В нашем случае vG = v2/3, т. е. скорость распространения фронта
волны равна у/]/3. Можно было бы ожидать, что скорость распространения
будет равна и, а наличие множителя 1 /]/3 связать с использованием /^-при-
ближения, с помощью которого нельзя достаточно хорошо описать угловое
распределение движущихся нейтронов источника. Общее решение уравнения
(9.2.13) для бесконечной среды было получено Вейнбергом и Нодерером
(Weinberg, Noderer, 1951). По форме оно представляет собой волну и равно
нулю для всех r> vt/]/ 3, а для г < vtlY 3 совпадает с решением диффу-
зионного уравнения с временной зависимостью.
Полезно рассмотреть затухание во времени импульсного нейтронного
поля в конечной непоглощающей среде, принимая во внимание конечность
времени столкновения. Для этого будем исходить из разложения
Ф(г, t) = ^SnRn(r)Tn(t), (9.2.14)
где Тп (/) удовлетворяет уравнению
+ -ViBnTn. (9.2.15а)
Предполагая, что решение для Тп (t) можно записать в виде &~st, получим
следующее характеристическое уравнение для 5:
v
М (9.2.156)
О U о
откуда
(9.2.15b)
В общем случае /^-приближение приводит к N + 1 значениям величины s.
При больших t существенным является только наименьшее значение s,
которое, согласно равенству (9.2.15в), определяется соотношением
S = ^ (1 — /I — 12D2^) « DvB2n + ^ .... (9.2.15г)
Таким образом, в первом приближении снова получаем результат, согла-
сующийся с элементарной диффузионной теорией; однако появляются еще
дополнительные слагаемые, которые тем больше, чем больше В\. К обсуж-
1 3
дению этих поправок мы вернемся в п. 10.3.3. Для В^, >> --^2 ~ Т
уравнение (9.2.15г) дает мнимое значение s. Это означает, что для малых
* Уравнения (9.2.12) можно вывести также с помощью Pt-приближения на осно-
вании уравнения переноса, зависящего от времени.
182
систем затухание нейтронного потока во времени не подчиняется экспонен-
циальному закону. Однако всегда следует иметь в виду, что неравенство
7?n > yzjyi выполняется только для очень малых систем, для которых исполь-
зование простой диффузионной теории (/^-приближения) не может быть
физически оправданным. Для описания затухания нейтронного потока
в малых системах были получены более громоздкие решения (Bowden, 1963;
Daitch, Ebeoglu, 1962; Kladnik, 1964), которые мы не будем здесь обсуждать.
9.3. ТЕОРИЯ ВОЗРАСТА И ДИФФУЗИОННОЕ УРАВНЕНИЕ,
ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ
Для описания пространственного и временного распределения нейтронов
в процессе замедления будем исходить из уравнения баланса
u_ г). <9А1)
Если предположить, что замедление обусловлено столкновениями с тяже-
лыми ядрами, то, используя закон Фика в его элементарном виде
J = — D grad Ф (и), получим q (и) = Ф, так что
Для простоты ограничимся рассмотрением непоглощающей среды с моно-
энергетическими источниками нейтронов S (г, u, t) — S (г) б (и) f (t). Если
теперь в качестве независимой переменной использовать возраст
и
т = \ — du , можно получить
е)
О
= (э.з.з)
Это уравнение, очевидно, является обобщением уравнения возраста на
случай нестационарных источников. Решение уравнения (9.3.3), как нетрудно
показать, может быть записано в виде функции
т
?(r, I, т)-д0(г, » (9.3.4а)
О
что проверяется непосредственной подстановкой в уравнение (9.3.3). Функ-
ция qQ (г, т) является решением уравнения возраста, не зависящего от
времени:
^=V29o + S(r)6(r). (9.3.46)
Смысл этого уравнения легко выяснить для случая импульсного источ-
т
ника, когда f (t) = б (t). Тогда q (г, т, t) — q0 (г, т) б , т. е.
о
t и т не есть независимые переменные, поскольку каждому моменту времени t,
прошедшему после начала процесса замедления, соответствует единственное
значение т, определяемое соотношениями
г t
t = ; т = Dv dt'. (9.3.5)
о о
183
Этот результат не является неожиданным. В п. 9.1.2 было показано, что
для А > 1, когда только и справедлива теория возраста, нейтроны в про-
цессе замедления образуют узкую энергетическую группу. Следовательно,
можно говорить о некоторой четко определенной энергии Е (t) или летаргии
и (£). Таким образом, каждому моменту времени однозначно соответствует
величина возраста по Ферми
x=l^-du'= \^-d^-dt'= <\Dvdl'. (9.3.6)
0 0 0
Именно эта прямая связь между т и t явилась причиной введения термина
«возраст».
Теперь уже нетрудно понять, почему диффузионное уравнение, завися-
щее от времени (см. п. 9.2.1), во многом подобно уравнению возраста: диф-
фузионное уравнение с временной зависимостью можно преобразовать в урав-
нение возраста, если взять в качестве независимой переменной не время,
а возраст.
Для описания пространственного и временного распределения нейтронов
в процессе замедления в среде с пульсирующим полем нет необходимости
искать какие-либо новые решения — можно воспользоваться решениями
стационарного уравнения возраста, полученными в п. 8.2.
9.4. ДИФФУЗИЯ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕЙТРОНОВ,
ИСПУСКАЕМЫХ ГАРМОНИЧЕСКИ МОДУЛИРОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ
Рассмотрим, наконец, пространственное и временное распределение
в среде, в которой имеется синусоидально модулированный источник. Такой
источник можно осуществить, например, периодическим прерыванием пучка
нейтронов из реактора, в результате чего будут образовываться нейтронные
волны, по характеру распространения которых можно сделать выводы
о свойствах среды. Мы вернемся к изучению нейтронных волн в гл. 18.
Диффузионное уравнение с зависимостью от времени при наличии
точечного источника Qq + 6Qeiwf* в бесконечной среде принимает вид
Л» + 2л, + 22+^д(г). (9.4.1)
v dt \ дг% г дг ) 4лг2 х 7 4 7
решение которого может быть представлено в форме
Ф(г, t) = Фо (г) -)- 6Ф0 (г) eitof, (9.4.2а)
где
(9.4.26)
6Ф0(г) = ^-4—. (9.4.2b)
Здесь L® — «комплексная» диффузионная длина, определяемая как
1 _ Ъа+ia/v _ 1 гео /Q л Q X
1^~-----D ~7A + Ed • (Э.4.оа)
При o/(pSa) >1, т. е. когда период осцилляций мал по сравнению со сред-
ним временем жизни,
£ Ч1+">) ‘ (1 - '¥) =* (»)+'*<«»
* SQ < Qo, поскольку мощность источника не может быть отрицательной.
184
Таким образом,
<5Ф0 (г) eia>i = е*
U v ' 2nDr
(9АА)
Модулированная часть нейтронного потока является затухающей волной
с глубиной проникания
. A2Du
1 “ к]/— . (9.4.5а)
х . rSa г со v
Соответствующая длина волны равна
2я 1/2^ ___
= (9.4.56)
к и£а г со v 7
2со
а фазовая скорость
« = V2PPCO _ j/2/j^; (9.4.5в)
к vl>a v
2со
«Ответ» системы определяется соотношением
! дфр (г) I _ 6Q е-хг
Фо (r) Qo е r/L
(9.4.5г)
Таким образом, при высоких частотах глубина проникания волны мала, что
вызывает быстрое затухание амплитуды нейтронной волны с увеличением г.
При очень малых частотах (со -> 0) х -> 1/Л, а к 0, т. е. решение стано-
вится квазистационарным. Использование диффузионной теории для описа-
ния нейтронных волн корректно, пока со < v Ss, т. е. до тех пор, пока
период осцилляций велик по сравнению с интервалом времени между двумя
столкновениями.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Am al di Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Berlin—Gottingen—Heidelberg. Springer, 1958.
Von Dardel G. F. The Interaction of Neutrons with Matter Studied with a Pulsed Neut-
ron Sorce. Stockholm, 1954.
Marshak R. E. The Slowing Down of Neutrons. Rev. Mod. Phys., 19, 185 (1947).
Weinberg A. M., Noderer L. G. Theory of Neutron Chain Reactions. AECD-
3471 (1951).
Специальная
Зависимость от времени процесса замедления в водороде
Дядькин Г., Баталина Е. «Атомная энергия», 10, 5 (1961).
Ornstein L. S., Uhlenbeck G. Е. Physica, 4, 478 (1937).
Зависимость от времени процесса замедления в средах с А Ф 1
Казарновский М. В. Доклады. М., 1955.
Koppel J. U. Nucl. Sci. Eng., 8, 157 (1960).
Eriksson К. E. Arkiv Fysik, 16, 1 (1959).
Svartholm N. Trans. Chalmers Univ. Technol., Gothenburg, 1955.
Waller I. Geneva, 1958, P/153, Vol. 16, p. 450.
Решение уравнения Ф + В2Ф 0
Sjostrand N. G. Nukleonik, 1, 89 (1958); Arkiv Fysik, 13, 229 (1958).
185
Нейтронные волны
Raievski V. Horowitz J. Compt. Rend., 238, 1993 (1954).
Теория переноса в применении к импульсному режиму
Bowden R. L. TID-1884 (1963).
D ai t ch P. В., Ebeoglu D. В. Nucl. Sci. Eng., 17, 212 (1962).
К 1 a d n i k R. Nukleonik, 6, 147 (1964).
Sjostrand N. G. Arkiv Fysik, 15, 147 (1959).
Wing G. M. An Introduction to Transport Theory. New York, John Wiley and Sons Inc.
1963.
Глава 10
ТЕРМАЛИЗАЦИЯ НЕЙТРОНОВ *
Рассмотрение нейтронных полей в п. 5.3 основывалось на идеализиро-
ванном предположении о том, что нейтроны находятся в состоянии истинного
теплового равновесия со средой и, следовательно, обладают максвелловским
распределением по энергии, соответствующим температуре среды. Как
упоминалось выше, предположение о существовании такого равновесного
состояния не является вполне оправданным. В данной главе будет подробно
изучено энергетическое распределение нейтронов в области энергий ниже
1 эв. При этом мы попытаемся связать теорию процесса термализации с раз-
витой выше теорией замедления для энергий нейтронов, превышающих 1 эв,
в предположении, что рассеяние происходит на свободных покоящихся
ядрах.
Изучение термализации является наиболее сложной задачей. Кажу-
щийся таким элементарным процесс рассеяния очень медленных нейтронов
твердыми или жидкими замедлителями до сих пор до конца не изучен. Даже
когда закон рассеяния известен, точное вычисление пространственно-энер-
гетического спектра приводит к сложным математическим задачам.
В данной главе мы ограничимся объяснением наиболее важных физиче-
ских явлений и укажем пути детального исследования нейтронного спектра.
Этот вопрос находится до сих пор в большой мере в состоянии становления,
и содержание настоящей главы следует рассматривать как предварительную
информацию.
В п. 10.1 обсуждается задача неупругого рассеяния медленных ней-
тронов. В п. 10.2 рассматривается проблема термализации, т. е. задача
определения спектра Ф (Е) или Ф (г, Е) в среде при заданных источниках.
Некоторые свойства полей термализованных нейтронов, т. е. полей, которые
асимптотически устанавливаются на достаточно больших расстояниях от
источника (а в случае пульсирующих источников — по истечении длитель-
ного интервала времени после импульса), изучаются в п. 10.9. Обсуждение
этих вопросов важно для правильной интерпретации экспериментов по диф-
фузии тепловых нейтронов, которые будут рассмотрены в гл. 17 и 18. Нако-
нец, в п. 10.4 затрагивается вопрос о характере приближения существенно
термализованного спектра к асимптотическому распределению.
На ранней стадии развития теории термализации спектр нейтронов
аппроксимировался максвелловским распределением с эффективной темпе-
ратурой Т, и основная задача заключалась в вычислении отклонения этой
температуры от температуры замедлителя То. A. priori не существует физиче-
ской основы для такого допущения, и такое рассмотрение во многих случаях
приводит к неверным количественным результатам. Введение понятия темпе-
ратуры нейтронов тем не менее полезно для качественных оценок, и это
будет использоваться нами многократно для объяснения различных явлений
термализации (см. пп. 10.2.1, 10.2.3, 10.3.1, 10.4.1).
* Вопросы термализации изложены также в монографии В. Ф. Турчина «Медлен-
ные нейтроны», М., Атомиздат, 1963.— Прим. ред.
186
10.1. РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
Процесс рассеяния характеризуется дифференциальным сечением рас-
сеяния os (Ef Е, Й' -> S2). В изотропной среде or,s (£" -> Е, й' S2) =
I
= 2^ (Е' -> Е, cos й0), где й0—угол рассеяния. Часто для решения
задач термализации достаточно знать величины os (Е' -> 20 =
ч-t
os (Е' -> Е, cos й0) d cos й0. В то время как для энергий, превышающих
—1
1 эв, сечение os (Е' -> Е) вычисляется с помощью полного сечения рас-
сеяния на основании законов упругих столкновений (см. п. 7.1), в области
тепловых энергий необходимо принимать во внимание тепловое движение
и химические связи рассеивающих атомов. Будем решать эту задачу в два
приема: сначала, пренебрегая влиянием химической связи, вычислим рас-
сеяние на гипотетическом идеальном газе с плотностью и температурой,
соответствующими истинной термализирующей среде, т. е. учтем только
тепловое движение атомов; затем покажем, каким образом можно учесть
наличие химической связи в истинной среде. Наконец, обсудим эксперимен-
тальные методы исследования рассеяния медленных нейтронов.
10.1.1. Вычисление сечения as (EJ' EJ) для идеального одноатомного газа
Изложенный ниже вывод принадлежит Вигнеру и Уилкинсу (Wigner,
Wilkins, 1944). Допустим, что замедляющий газ состоит из атомов с массой
М = Атп, обладающих сечением рассеяния orsy, которое не зависит от
энергии. Пусть атомы газа имеют максвелловское распределение по скоро-
стям
P(V)dV= (10.1.1)
Рассмотрим сначала столкновения между нейтронами со скоростью v' и ато-
мами со скоростью F. Предположим, что до столкновения угол между направ-
лениями движения нейтрона и атома газа равен 8 (cos 8 = ц). Тогда отно-
сительная скорость нейтрона равна
vrel = ^v's + V2-2v'l^.
Если плотность атомов в газе равна N атом /см3, то число атомов в 1 см3
со скоростями в интервале (V, V + dV) равно Р (F) dV. Поскольку как для
нейтронов, так и для атомов газа все направления движения равновероятны,
вероятность того, что угол столкновения лежит в интервале (8, 8 + cfe),
равна с?ц/2. Следовательно, число таких столкновений в 1 см3 за 1 сек равно
d^ = vTelosiNP(V)dVd^-. (10.1.2а)
Величина может быть записана также в виде
- v'doV'VllN, (10.1.26)
где doV'V[il — микроскопическое сечение столкновения нейтрона со скоро-
стью v' с атомом газа, скорость которого V направлена под углом 8 к направ-
лению движения нейтрона. Очевидно
do^ = v^lP(V)dV^-. (10.1.3)
Найдем теперь вероятность g (v' -> и) dv того, что нейтрон после столкновения
будет иметь скорость в интервале (v, v + dv). Определим ее, рассматривая
столкновение в системе центра масс нейтрон — атом газа, в которой нейтрон
187
обладает перед столкновением скоростью
А
А+1
Vrel •
В результате столкнове-
ния скорость меняется только по направлению. Следовательно, скорость
после столкновения в лабораторной системе координат дается соотношением
V2rei + 2vm‘-^-^VrelCOS^.
Здесь vm— скорость центра масс и ф — угол рассеяния в системе центра
масс. Последняя определяется соотношением
~}/у,2^а^-\-2Ау,У\1
Предполагая, что в системе
центра масс рассеяние изотропно, получаем
V *^7 Vmin •>
g(l/_>р) =
2v
vmax vmin
Vmin Vmax->
(10.1.4)
^max'
Здесь vmaX и vmin— соответственно наибольшая и наименьшая скорости,
которые может иметь нейтрон после столкновения:
Vmax — Vm “F j । ^rel-t Vmin — Vm
А
Комбинируя соотношения (10.1.3) и (10.1.4) и интегрируя результат по всем
направлениям и скоростям V, получим сечение рассеяния для процессов,
в которых нейтрон со скоростью v' после рассеяния имеет скорость
в интервале (г, v + dv):
ОО 4-1
IIP р
(v' —> v) dv -= \ dV \ vrei d[ioSfP (F) g(y' v) dv. (10.1.5)
о -i
rp A +1 A — 1
Если положить ц == 2~~\/a И ~ 2Д/А ’ T° РезУльтат интегрирования может
быть записан в виде
о5(г/-»р) = т]2^г> {erf [ (тр —рг>')] ± evt [_V^+ Pv') ] +
+ exp[^(p'2-i;2)] (erf [ +
+ erf []Л^(тр' + рг>)])} • (10.1.6)
В этом выражении верхний знак сложения или вычитания соответствует
v' > v, нижний — v' < v. Сечение as (Е' ->• Е) определяется тогда соотно-
шением
(Е' В) „ S" Ъ1. е.-Ят. / е erf [ ч / J- PJ/J ] +
+ е~е'т ert [ ч V iff,-Р Efi ] -
о-W. erf [ Ч /5+ Р / J] - «rf [ Ч / J - Р / Jo ] | } -
(10.1.7)
В качестве иллюстрации к равенству (10.1.7) на рис. 10.1.1 показана
функция os (Е" -> Е) — —а^- для различных значений Е' /kTQ при А = 1,
&sf
на рис. 10.1.2 — при А = 16. Если Е' 1кТ§ стремится к бесконечности,
188
функция as (Е' -> Е) стремится к зависимости, найденной в и. 7.1, поскольку
в этом случае тепловыми скоростями рассеивающих ядер можно пренебречь
по сравнению со скоростью
нейтрона. При меньших энер-
гиях нейтрона влияние теп-
лового движения рассеиваю-
щих атомов становится за-
метным: становятся возмож-
ными столкновения, при
которых нейтрон приобре-
тает энергию, а вероятность
столкновений с потерей энер-
гии уменьшается.
Полное сечение рассеяния
оо
(E') = ^s (Е' -+E)dE
о
Рис. 10.1.1. Дифференциальное сечение рассеяния
на ядрах протонного газа, находящихся в состоя-
нии теплового движения.
можно получить непосредственно из уравнения (10.1.3) в результате инте-
грирования по V и ц:
Ъ (Я') = = GSf ~7= ip (Р).
67 Р2 |/ л
(10.1.8)
где — относительная скорость, усредненная по V и р.; р2 = АЕ'!кТ0, а
гр (р) = ре-₽2 4- (2р2 +1) erf (р). (10.1.9)
Функция ф (Р), широко используемая в кинетической теории газов, затабу-
лирована Джинсом *. На рис. 10.1.3 показано отношение cs (E')leSf в зави-
Рис. 10.1.2. Дифференциальное сечение рассеяния на
ядрах кислорода, находящихся в состоянии тепло-
симости от р. Возраста-
ние при малых Р, т. е.
при энергиях Е' <ZkTQIA,
происходит из-за того, что
очень медленный нейтрон
часто соударяется с более
быстро движущимся ато-
мом газа (так называемый
эффект разогрева). Для
А > 1 os (А") = os/, по-
скольку увеличение щ (£')
начинается при энергии
ниже Е' — kTQIA.
Можно вычислить так-
вого движения.
атомами газа. Если, как и выше,
центра масс, то средний косинус
координат будет равен
же угловое распределение
нейтронов, рассеянных
считать рассеяние изотропным в системе
угла рассеяния в лабораторной системе
coS^0 = Aerf(p) + _L^erf(p)2^pe_P2-| . (ю.1.10)
Если Е' > кТ^/А, угловое распределение совпадает с распределением при
рассеянии нейтронов на покоящихся атомах. Однако при уменьшении Е'
средний косинус угла рассеяния cos Фо монотонно уменьшается и cos Фо = 0
для Е' < кТ^/А, т. е. рассеяние изотропно также и в лабораторной системе
координат.
* Jeans, Sir J ames. The Kinetic Theory of Gases. Cambridge University Press, 1948.
189
Исследуем теперь несколько подробнее поведение дифференциального
сечения рассеяния os (Е' Е). Заметим прежде всего, что выражение
в фигурных скобках в равенстве (10.1.7) симметрично относительно Е и Е',
т. е.
E'Q-E'/kTQ as ->Е) = Ee~E/kTo <js(E —> Е'). (10.1.11)
Чтобы выяснить физический смысл равенства (10.1.11), вспомним, что
в состоянии истинного термодинамического равновесия (которое имело бы
Рис. 10.1.3. Зависимость полного сечения рас-
сеяния от энергии ядер газа, находящихся в
место в бесконечной непогло-
щающей среде), поток нейтро-
нов имеет максвелловское рас-
пределение по энергиям
Ф (Е) ~ Ee~E/'hTQ. Соотношение
(10.1.11) означает тогда, что в
состоянии равновесия число
нейтронов, переходящих из со-
стояния с энергией Е в состоя^
ние с энергией Е', равно числ$
нейтронов, переходящих из со-
стояния с энергией Е' в состоя-
ние с энергией Е. Это утвержде-
ние составляет содержание
принципа детального равнове-
состоянии теплового движения. сия, хорошо известного из ста-
тистической физики. Соотноше-
ние (10.1.11) справедливо для сечения рассеяния произвольного рассеива-
теля и, в частности, для химически связанных систем, которые будут обсуж-
даться ниже. В дальнейшем мы увидим, что решение большинства задач
термализации в существенной степени определяется этим соотношением.
В некоторых приложениях удобно использовать понятие моментов
as (кЕ? = § crs (£" -> Е) (Ef — Е? dE.
о
(10.1.12)
дающих информацию о потере энергии при столкновении. Момент gs (kE)v
можно вычислить непосредственно на основании соотношения (10.1.12)
с использованием равенства (10.1.7), однако окончательные формулы весьма
громоздки (Dardel, 1954). Но при А > 1 и Е' > кТ^/А для первых двух
моментов получаются очень простые выражения
оо
os (ДЕ) = *\ 0S (Е' -> Е) (Е'-E)dE = ^- osf (Е' - 2kT0), (10.1.13а)
(J А
о
03 (ДЕ)2 - J 03 (Е' -> Е) (Е' — Е)2 dE = A os/E'kT0. (10.1.136)
о
Все другие моменты являются величинами более высокого порядка относи-
тельно 1/Л. Соотношение (10.1.13а) для средней потери энергии на столкнове-
ние при Е' > кТо приводит к результату, который был получен в п. 7.1
для средней потери энергии при соударении с покоящимся ядром
(кЁ = 2Е'/А). Потеря энергии на столкновение уменьшается при уменьше-
нии энергии нейтрона, обращаясь в нуль при Е' = 2kTQ, а в случае, когда
Е < 2кТо. нейтрон при столкновении уже преобретает энергию. Мерой
190
среднего значения энергии обмена в течение 1 сек при столкновении тепло-
вого нейтрона с рассеивающими атомами является величина *
оо оо
М2 = ТЭТ М №) <Е' - £)2 ->E)dE'dE, (10.1.14)
\К1 о) е) d
0 0
1 ней-
где М (Е)— распределение Максвелла
e-E/kT0^ нормированное на
Иа рис. 10.1.4 показаны кри-
вые М21озъ в зависимости от 1/4,
вычисленные при помощи соот-
ношений (10.1.15) и (10.1.16).
Рис. 10.1.4. Средний квадрат потери энергии,
соответствующий равновесному максвелловскому
спектру нейтронов, для произвольного газа (2) и
для тяжелого газа (7).
10.1.2. О рассеянии нейтронов на химически связанных атомах
Модель, использованная в п. 10.1.1, не является реальной (хотя и может
оказаться полезной, как будет видно ниже). При плотностях, характерных
для твердых и жидких тел, химическими связями между рассеивающими
атомами нельзя пренебрегать, особенно при энергиях нейтронов, малых
по сравнению с энергией связи. При полностью жестких связях не происхо-
дило бы обмена энергией между медленными нейтронами и рассеивающими
атомами, поскольку последние обладали бы бесконечно большой эффективной
массой. Другими словами, рассеяние было бы упругим в лабораторной системе
координат. Практически такая ситуация не имеет места. В действительности
происходит обмен энергией между нейтронами и внутренними степенями
свободы рассеивателя, к которым относятся собственно колебания решетки
в случае твердого тела, вращение и колебания молекул, а также в какой-то
мере ограниченное поступательное перемещение последних в случае моле-
кулярных жидкостей, подобных Н2О.
В этих случаях дифференциальное сечение рассеяния может быть пра-
вильно вычислено только с помощью аппарата квантовой механики, при
условии что квантовые состояния ядер рассеивающих веществ известны.
В дальнейшем будем изучать процесс рассеяния в средах, состоящих только
из одного типа атомов. Допустим, что явления интерференции отсутствуют,
так что рассеяние некогерентно. В этом случае, согласно приближению
Борна, дифференциальное сечение рассеяния определяется соотношением
(Е" —> Е, cos -©о) =-
= I7 2 р- (^о) I2 6 (Еь- Еа + Е-Е'). (10.1.17)
__________ а, b
* Можно попытаться охарактеризовать обмен энергией линейной величиной —
оо оо
= М (Ег) (Е' — Е) as (Е' —> Е) dE' dE\ однако из физических соображений
° о о
очевидно, что М\ обращается в нуль; формально это можно доказать на основе соот-
ношения (10.1.11).
191
Здесь К' иК — волновые числа падающего и рассеянного нейтрона соответ-
ственно (К = p/h = У2тЕ/Й); Озь — полное сечение рассеяния на жестко
связанных атомах, т. е. (1 + 1М)Ч/ (см. п. 1.4). Величина х определяет
изменение волнового числа при одном столкновении, т. е. х = К' — К.
Согласно теореме косинусов,
х2 = К'2 4-К2-~2КК' cos Фо. (10.1.18)
Матричный элемент | | eix'r | | 2 представляет собой вероятность того,
что при столкновении, в результате которого волновое число изменяется
на величину х, а импульс — соответственно на величину Лх, рассеивающая
система переходит из состояния а в состояние Ь. Суммирование произ-
водится по всем начальным и конечным состояниям, причем плотность
начальных состояний взвешивается с множителем Больцмана ра (Т^) =
_ е-ка//гТо/2 е-^<х//?70ф Дельта-функция 6 (Еъ — Еа + Е — £") отражает
а
то обстоятельство, что в сумму будут давать вклад только такие состояния
5, для которых выполнено условие Еь — Еа = Е' — Е. Наконец, черточка
сверху означает, что необходимо произвести усреднение по всем ориента-
циям рассеивающего вещества по отношению к падающему пучку нейтронов.
После такого усреднения сечение рассеяния зависит только от модуля вели-
чины х и не зависит от ее направления.
Если в равенстве (10.1.17) заменить d-функцию на ее представление
с помощью интеграла Фурье
-F оо
Ъ(ЕЬ — Еа + Е — Е') = еИЕЬ-Еа+Е-Е'Х/П^,
— оо
положив
eiEbt/h __ eiHt/h (10.1.19)
где Н — гамильтониан системы, то соотношение (10.1.17) принимает вид* *
________________________________________ —оо
<js(E’-^E, cosfl0) = g]/A J е{<Е-Е'н/*х(х, t)dt, (10.1.20а)
— оо
где
Х(х, 0 = 3 Ра (Л>) е-^'гешг/йе^-ге-ш(/й | (10.1.206)
а
Если под t понимать время, то можно величину
eiHt/hei^'re-iHt/h егХ-г(О (10.1.21)
рассматривать как оператор Гайзенберга. Полагая F = eix r, можно окон-
чательно написать
Х(х, t) = 2 Ра (Л>) Wa | F* (0) Е (0 11ро>. (10.1.20b)
Соотношение (10.1.20в), которое было выведено Виком (Wick, 1954; см.
также Zemach, Glauber, 1956), является исходным для различных прибли-
женных методов вычисления сечения неупругого рассеяния. Обзор различ-
ных таких методов и обширную библиографию по этому вопросу можно
найти в работе Нелкина (Nelkin, 1960). Здесь мы приведем лишь окончатель-
ные результаты для некоторых важных частных случаев.
* При выводе соотношений (10.1.20) было использовано свойство замкнутости,
• Ht
согласно которому У, | фь> | $ | фа) = (фа | 21$ | %). Здесь 21 = е~гхге h , 23 =
ь
. Hi
^eixre 1 h .
192
Для изотропного гармонического осциллятора *, обладающего частотой со,
Х(х, /) = ехр — 1) + й(е-*“« — l)]j- , (10.1.22)
где
п~ 0
1
/tco
eA>T(J — 1
есть среднее число заполнения, М = Атп— масса рассеивающего атома.
Подставляя выражение (10.1.22) в соотношение (10.1.20а), получим
дифференциальное сечение рассеяния. К сожалению, интегрирование по
времени не удается провести аналитически, но можно разложить функцию
% (х, t) в степенной ряд, в результате чего сечение а будет также представ-
лен . ,
лено степенным рядом. Полагая у — е 0 , получаем
z ,ч / х2 h /ко \
Х(х, z) = eXp(-2j7-cth2^)exP
х2/г
4Mo>sh2&-0
(10.1.23а)
Второй множитель в равенстве (10.1.23а) имеет вид производящей функции
бесселевых функций, так что
о , . +°° . , ПЙСй
Х(х, i) = exp (_22_^cth^) 2 . (10.1.236)
n=-oo l2Mcosh—=-l
\ Z/t-Z Q/
В результате подстановки последнего соотношения в выражение (10.1.20а)
и почленного интегрирования получим
<тв (£" —> Е, cos #0) -= ех₽ (
+°° пП(х)
X 2 е 2hToIn(---------------^~-\б(Е'-Е+пПа>).
п=-°о ^2Мсо sh 2^/
(10.1.24)
Нетрудно видеть, что отдельные слагаемые в правой части соответствуют
процессу, в котором п «фононов» переходит или от нейтрона к осциллятору,
или наоборот**. Слагаемое с/г —0 описывает упругое рассеяние, т. е. рассея-
ние, в котором квантовое состояние осциллятора не меняется. Экспо-
ненциальная функция перед суммой играет ту же самую роль, что и
множитель Дебая — Уоллера в теории рассеяния Х-лучей. Чтобы убе-
диться в этом, рассмотрим упругое рассеяние, при котором Е' = Е,
j 4nsin -у |
К' = К и х2 = 2Х2 (1 — cos й0) = ---J (где X = 2л/Х — длина
волны деБройля). Заметим, что «средняя амплитуда колебания» квантово-
* Рассеивающий атом может быть охарактеризован фиксированным потенциалом
гармонического осциллятора. Такое представление имеет место в модели твердого тела
Эйнштейна, согласно которой рассеивающие атомы в молекуле связаны с тяжелой, сла-
бо рассеивающей основой.
* * По этой причине разложение называется разложением по «фононам».
13 Нейтронная физика 193
х2 / +i /ио \
механического осциллятора с температурой То равна
ft2 1 Л СО
и cth .
6М ha ZRTq
(10.1.25)
Если положить
Io (------\ = 1,
\ Q/
что часто имеет место на практике, то
oei (cos й0) = (Е
Е', cos йо) = ~ ехр
/, • 'O’o'
____________I 4л sin
(10.1.26а)
Характерное угловое распределение, описываемое с помощью соотношения
(10.1.26а), обусловлено тем, что нейтроны рассеиваются не на точечном
рассеивающем центре, а скорее на «тепловом облаке», размазанном по области
радиуса и2,
В предельном случае, когда Е' > 1г и кТ0 > Лео, сечение должно стре-
миться к величине сечения рассеяния одноатомного газа, выведенной
в п. 10.1.1. Однако мы не можем показать, что это справедливо при исполь-
зовании соотношения (10.1.24), поскольку в этом случае в сечение дает вклад
большое количество слагаемых, т. е. разложение по фононам сходится мед-
ленно.
Можно получить более удобное представление сечения, если разложить
в ряд Тейлора функцию
х (х, t) = exp [(п + 1) (eim( — 1) + п (e~ial — 1)] | .
Тогда
оо
X (*>0 = 2 {ж + (eiwZ- !) 1)]}", (10.1.266)
п=0
__ оо -|-оо
„.(В’
П=0 —оо
X {^?[(w+l)(ei“'-l)H-«(e-i“i-1)]}”dt. (10.1.26b)
Отдельные слагаемые в правой части имеют порядок малости 1/Ап. Если
ограничиться случаем тяжелых ядер, можно оборвать разложение функции
% (х, t) на втором слагаемом (приближение тяжелого кристалла):
os(E'->E, со3й0) = ^|/-^-{[1-^-А(2^+1)]6(£-£;') +
+ — f • (10.1.27а)
ZtlVl СО I
Далее
+1
as (£" —> Е) = 0's (£" —» Е, cos ^о) d cos й'о =
—1
= <’•» {(<-;£ iy)6 - £') -
Н-----^±£__ 6 (£" — Е — Лео) + е”^^ S (£' — Е 7- Лео)]} (10.1.276)
2ЛЛсо sh тг;
194
и
oo
»• (£') - «. (£' - В) dE -«4(1- 4-ctb +
0 V-----,----'
упругие столкновения
ft co ftco
+/Г44Д'4" 4-4,744'“ (,0.1.27b)
1 V E Aha) Hat r 1 E Aha> c Ttco J v 7
2 sh 2kT0 2 sh 2kT0
процессы с потерей энергии процессы с увеличением энергии
Если Е' > 71(0, соотношение (10.1.27в) принимает простой вид
a.s(£') = osb (1 -4") • (10.1.27г)
Это соответствует результату для тяжелого газа, для которого было пока-
зано, что as(5') = as/, но os/ = др^СМ)^ ~ CTsb (j ~4) + 0 (4) ’ где 0 —
слагаемые более высокого порядка относительно 1/Л, которыми мы пре-
небрегли.
Запишем теперь, как и выше, выражение для моментов (см. п. 10.1.1)
os (ЕЕу os (Е' Е)(Е'~E)v dE. (10.1.28а)
о
Используя соотношение (10.1.276), получаем
оо
os (£ —> Е) (Е — E)dE = <jsb 124sh (ha^kTo) x
0
X [ |/1 (2E' - M — j/1 + (2E' + Й©) } .
(10.1.286)
При E' > 7? co
MAE) = 4^b (£'-ri(0Cth-4^-L (10.1.28b)
•Л. \ Zu/fx 0 /
( -^<3sb(E' — Ъа), ha^>kT0,
os(bE)={ 9 (10.1.28г)
\ -^-osb(.E'~2kT0), Ъ(л^кТ0.
Последний результат согласуется с соответствующим результатом (10.1.13а)
для тяжелого газа. Таким образом, при высоких энергиях химические связи
становятся несущественными. Вычислим, наконец, М2 (Purohit, 1962)
©о 00
М2 = 7TFT2 И м (Е') (Е' -£)2 as (Е' -» Е) dE dE' =
о) J (•)
о о
о ( ha) \
(ha>) K2(-2^rJ
24(Wsh4^
(10.1.29)
Здесь К2 — модифицированная функция Бесселя второго рода и второго
порядка. Для Тгсо < кТ0 К2 =8(4то~)2 и = 8osb/A; этот
результат аналогичен соотношению (10.1.16). На рис. 10.1.5 показана вели-
чина М2А/(8(У8ъ) в зависимости от 0 /Т0 = h со!кТ0 (0 — температура по
13* 195-
Эйнштейну). Этот рисунок четко демонстрирует влияние химической связи
на термализационные свойства замедляющего вещества. При Т$ > © влия-
ние связей едва ощутимо. Для 770<® наблюдается быстрое уменьшение
величины М2- С одной стороны, это обусловлено тем, что становится невоз-
можным процесс потери энергии, поскольку лишь небольшое число ней-
тронов с максвелловским распределением имеет энергию, превышающую
Рис. 10.1.5. Средний квадрат потери
энергии для равновесного максвел-
ловского спектра нейтронов в модели
тяжелого кристалла Эйнштейна (по
отношению к соответствующему зна-
чению для тяжелого газа).
к@. С ^другой стороны, невозможен также
и процесс передачи энергии нейтронам
вследствие слабого теплового возбуждения
замедлителя.
Рассмотрим теперь процесс рассеяния
нейтронов твердым телом. В простом
случае, когда колебания решетки носят
гармонический характер и когда в каждой
элементарной ячейке имеется лишь по
одному атому, функция % (х, t) опреде-
ляется соотношением
w max
/(х, Z)-exp § р(о))— [(^ +
о
+ 1)(е*<о/_ 1) <7cd|. (10.1.30)
Это выражение отличается от выражения
(10.1.22) только тем, что показатель
экспоненты усреднен по нормальному распределению колебаний решетки.
Согласно часто используемой модели Дебая, это распределение имеет вид
= 3 (llr)3®2’
(10.1.31)
где — температура Дебая. Соотношение (10.1.30) может быть представ-
лено в виде разложения по фононам, однако здесь встретятся те же трудно-
сти, что и в случае кристалла Эйнштейна (Sjolander, 1959) *. Тем не менее
полезно вычислить сечение процесса, в котором поглощается или излучается
только один фонон:
(£' Е, cos в.) - / J o-s«- р «о,) (db - 1) . j
Е>Е', Й<о0 = Е—Е'\ )
(10.1.32а)
„_,(£ Е, со5ад_^ / (clh Jg^+1) . j
E<Z.E', Ji<£>0 = E' — E. J
(10.1.326)
®max
Здесь e~2W = exp [ —\ p (co)—cth dco 1 — множитель Дебая —
1 ZtiVL CD <£R,1 л j
0
Уоллера. Из соотношения (10.1.32a) следует, что при очень малых энергиях
падающего нейтрона спектр рассеянных нейтронов характеризует спектр
колебаний решетки (с поправкой на температурный эффект). Когда вклад
многофононных процессов мал, спектр колебаний решетки может быть опре-
делен на основе опытов по неупругому рассеянию нейтронов.
* Разложение в ряд по фононам производится следующим образом: сначала выде-
ляется множитель Дебая — Уоллера и затем оставшаяся часть разлагается в ряд по сте-
пеням показателя его экспоненты.
196
В дальнейшем будем исходить из модели Дебая. В результате разложе-
ния в степенной ряд экспоненты в выражении (10.1.30) с точностью до второго
члена (модель «тяжелого кристалла») получим
os(E' —>Б,со8Й0) =
r ___ h&D/h
Т /-f-{ [1 - ВД? j “(2»
0
= • -J 3хЗД2 Г E'~E 11 /4А4ООЧ
+ 2M(/c@n)3 L 1_е-(Е'-Е)ЛТо J J ’ (10.1.33a)
\E-E' | < A:6d,
0
во всех других случаях.
Из соотношения (10.1.33а) следует, что
<М£'~*£).= { V7' F ’ (10-1-336)
\E'-E\<k®D,
0 во всех других случаях.
Таблицы функции Ф (Tq/@d)
®D/To
1 Т% Р х dx
4 ‘ @2 j ех — j
п 0
составлены Блекманом
(Bleckmann М. The Specific Heat of Solids. Handbuch der Physik,
VII/1, 377, 1957).
Используя соотношения (10.1.33), можно снова вычислить величины
os (Б'), Оз (ДБ) и др., однако соответствующие выражения весьма сложны.
На рис. 10.1.6 приведена зависимость
момента М2 от величины ©d/T0, вычис-
ленная в соответствии с выражением
k&D/h / И (О \
2 °sb 24 (k&D)3 (кТ0Г 3 ------------------
° Sh \2кТ0)
(10.1.33b)
При &D/TO<Z1 влияние химических
связей несущественно, в то время как
при более низких температурах твердое
Рис. 10.1.6. Средний квадрат потери
энергии для равновесного максвел-
ловского спектра нейтронов в модели
тяжелого кристалла Дебая (по отно-
шению к соответствующему значе-
нию для тяжелого газа).
тело постепенно «застывает».
Для вывода соотношения, определя-
ющего сечение рассеяния одноатомного
газа, можно использовать формализм
квантовой механики. В этом случае
волновые функции в выражении (10.1.206)
описывают плоские волны и гамильтониан соответствует свободным
частицам. Тогда (Zemach, Glauber, 1956)
Х(«.О = вхр[^(й-^)].
Подставляя % (х, t) в соотношение (10.1.20а), получим
(10.1.34а)
(10.1.346)
197
Теперь нетрудно уже получить равенство (10.1.7), проинтегрировав послед-
нее выражение по всем углам рассеяния Полезно сравнить соотношения
(10.1.34а) и (10.1.22). Для этого в выражении (10.1.22) разложим в ряд по
степеням t функции в результате чего получим
Г fox2 г (и>-1 й" 1 ^<0 -| л
X(z, Z) = exp Z20 (/2) ] | , (Ю.1.35а)
где о (t2) — слагаемые более высокого порядка. В фурье-преобразовании,
которое приводит к выражению для сечения, малым значениям t соответст-
вует большая энергопередача Е' — Е. Это, в свою очередь, означает, однако,
что величина дифференциального сечения как для связанных, так и для
свободных атомов при большой передаче энергии стремится к одному и тому
же предельному значению, определяемому равенством
__ -роо
а.(Е^Е, J ехр[>(^5^)]л =
— оо
= Дг-1/ + 4-(£' + £-2 cosi^o) I , (10.1.356)
которое после интегрирования по всем углам рассеяния й принимает вид
а^Е’ ^Е’<Е.'Е’. {1О.1.35в)
Здесь величина а имеет тот же смысл, что ив п. 7.1.1, причем соотношение
(10.1.35в) соответствует результату, приведенному там для случая рассея-
ния свободными покоящимися ядрами. Нетрудно понять, что квадратичное
по t слагаемое (слагаемое Допплера) в показателе экспоненты (10.1.34а)
описывает изменение сечения рассеяния, обусловленное тепловым движением
рассеивающих атомов. При TQ -> 0 оно обращается в нуль. Слагаемое Доп-
плера возникает также и в случае осциллятора, причем в качестве множителя
перед t2 фигурирует уже не тепловая энергия свободных частиц кТ$, а сред-
няя тепловая энергия осциллятора. Вид квадратичного слагаемого (так же
как слагаемых более высокого порядка) определяется характером химической
связи. В приближении Допплера сохраняются только линейные и квадра-
тичные по t слагаемые, последнее из которых отражает природу химической
связи (Purohit, Rajagopal, 1962).
Справедливость принципа детального равновесия для рассматриваемых
здесь рассеивающих систем требует дополнительного исследования. Для
выполнения этого принципа [см. равенство (10.1.11)1 необходимо, чтобы
е /гТо %(x,Z)e h 1 /гТо %(х, Z)e h (10.1.36а)
— оо — оо
или
,Е'-Е +°° . Е—Е' / ih ч
Х(х, I) е h h KTq'dt. (10.1.366)
— оо — оо
Равенство (10,1.366) справедливо, если
Х(«> 0 = х[\ — (*—(10.1.36в)
Нетрудно убедиться, используя соотношения (10.1.22) и (10.1.34а), что
это условие действительно выполняется для функции / (х, t), причем равен-
ство (10.1.36в) справедливо для любой функции % (х, t), определяемой соот-
ношением (10.1.206).
Наконец, рассмотрим рассеяние нейтрона на свободном ротаторе. Эта
задача была изучена Земахом и Глаубером (Zemach, Glauber, 1956), а также
Волкином (Volkin, 1959). Ее точное решение приводит к очень сложным выра-
198
жениям и позволяет вычислить сечение только в частных случаях. Однако
при достаточно больших энергиях нейтрона и при высоких температурах *
возможно использование простой полуклассической модели. Рассмотрим
изображенную на рис. 10.1.7 схему столкновения нейтрона с атомным ядром
массы М, которое связано жесткой связью с фиксированной точкой таким
образом, что оно может вращаться около этой точки произвольным образом
(«жестко связанный свободный ротатор»). Допустим, что импульс нейтрона
при столкновении изменяется от р' до р, т. е. ротатор приобретает импульс
отдачи р' —р = Йх. Допустим далее, что ротатор находится до столкнове-
ния в покое. В результате столк-
новения ротатор приобретает энер-
гию АЕ1; однако за ускорение
ротатора ответственны только те
компоненты вектора 7/х, которые
перпендикулярны линии, связы-
вающей ротатор с фиксированной
точкой. Таким образом,
Ъ 2v2
NE = Е' — Е = 4^ sin2 0.
(10.1.37а)
Рис. 10.1.7. Схема рассеяния нейтронов жест-
ко связанным с неподвижной точкой ротатором.
Если бы ядро было полностью
свободным, то величина АЕ рав-
нялась бы Я2х2/27И. С точки зрения соотношения между энергией и импуль-
сом, которые передаются ротатору, последний ведет себя подобно свободному
ядру, эффективная масса которого зависит от угла 0 между вектором х
п осью связи. В результате усреднения по всем углам получим
кЕ
2М
+1
1 Р
Y \ sin2 Qd cos 0
-1
ft2X2
Ж77’
(10.1.376)
где Meff = 3/2 М, т. е. после усреднения по всем направлениям х ротатор
ведет себя подобно ядру с массой Meff. Для многоатомных молекул вычис-
ление эффективной массы более сложно. При получении выражения для
сечения можно теперь использовать соотношение (10.1.34) с заменой всюду
массы М на Ме//. Эта простая аппроксимация была предложена в работах
Сакса и Теллера (Sachs, Teller, 1941), а также Брауна и Ст. Джона (Brown,
St. John, 1954). Справедливость такого приближения достаточно подробно
была исследована Кригером и Нелкином (Krieger, Nelkin, 1957). Однако,
поскольку свободное вращение не осуществляется, как правило, для замед-
ляющих веществ, имеющих практическое значение, мы не будем обсуждать
эту проблему более глубоко.
10.1.3. Рассеяние нейтронов в воде, бериллии и графите
На основе формализма, развитого в предыдущем пункте, попытаемся
исследовать рассеяние нейтронов реальными замедлителями. Лучшее, на
что можно рассчитывать,— это грубое описание процесса рассеяния,
поскольку истинный характер движения в атомах, твердых телах и жидко-
стях значительно более сложный, чем в рассмотренных выше моделях.
Вода, Свободная молекула воды может испытывать осцилляции, кван-
товые уровни которых соответствуют энергиям 0,198; 0,474; 0,488 эв. Ее
вращательный спектр весьма сложен, и ему отвечают состояния, уровни
энергии которых лежат ниже 10-4 эв. Если молекула воды не является сво-
бодной, а взаимодействует с другими молекулами жидкой воды, энергетиче-
* Значения kTQ и Е' должны быть велики по сравнению с энергией наинизшего
вращательного уровня. Например, в парах Н2О этот уровень лежит примерно при
0,0001 эв, так что указанное условие выполняется в широко!! области энергии нейтронов.
199
ские уровни, соответствующие колебательному движению, остаются по суще-
ству теми же самыми. С другой стороны, вращение молекул воды строго
запрещено из-за сильного дипольного взаимодействия с соседними молеку-
лами. Вместо вращения появляются крутильные колебания, которым соот-
ветствуют энергетические уровни, расположенные в окрестности 60 мэв
(согласно результатам измерений спектра Рамана). Следовательно, при
Е' 60 мэв нейтрон может передать энергию, возбуждая крутильные колеба-
ния, а при Е' > 0,2 эв он может передать энергию, возбуждая вибрационные
степени свободы. Обратные процессы маловероятны, поскольку при комнат-
ной температуре как вибрационные степени свободы, так и крутильные
колебания возбуждаются слабо при таких энергиях. По этой причине при
Е' < 60 мэв обмен энергией может сопровождаться только поступательным
движением молекулы как целого. Такое движение, как известно из опытов
по измерению удельной теплоемкости, также является в какой-то мере огра-
ниченным. Однако при вычислении сечения рассеяния для описания про-
цесса термализации его можно с достаточной степенью точности считать
свободным. Теоретическое исследование рассеяния на молекулах воды было
проведено Нелкином (Nelkin, 1960). Он предположил, что
% («, t) = %г (х, t) Xr (х, t) Xv (х, t), (10.1.38а)
где функция
XT(x,0 = exp (it ] (10.1.386)
связана с поступательным движением (М~18тр). Функция %л(х, t) опи-
сывает крутильные колебания, которым соответствует эффективная масса
mR~ 2,32тр (Krieger, Nelkin, 1957), причем
Xr(x, 0 = exp {^i-[(« + l)(ei(Bi—1) + п(е-гюг —1)]} , (10.1.38в)
где Йо) = 0,060 эв. Наконец, вибрационная часть определяется соотноше-
нием *
Xv(x,0 = exp{^-[^-(e-1'-l) +^(e-^-l)]} . (10.1.38г)
Здесь ^^ = 0,20 эв, а два вибрационных состояния при 0,474 и 0,488 эв
объединены в одно при Йсо2 =0,481 эв. Масса mv определяется следующим
образом. Для очень больших величин передаваемой энергии сечение рассея-
ния должно стремиться к сечению рассеяния на свободных протонах, т. е.
lim % (х, t) = exp • (10.1.38д)
t->0 \ ЛтР /
Если в соотношениях (10.1.38в) и (10.1.38г) функции ei0)f и e-ic0? разложить
в ряд по степеням t, то, комбинируя равенства (10.1.386) — (10.1.38г),
можно получить
Х(х, 0 = ехр (А. + А+it+ ... ] . (10.1.38е)
Таким образом, Цтр = ИМ + HmR + 1/пгу, откуда mv — 1,95 тр.
Преобразование Фурье, которое позволяет из соотношения (10.1.38а)
получить выражение для сечения рассеяния, в общем случае не может быть
осуществлено в явном виде; если, однако, энергия падающего нейтрона
не выходит за определенные пределы, выражение для функции % (х, t) можно
упростить. Так, например, если энергия падающего нейтрона меньше 0,20 эв,
следует учитывать только упругое взаимодействие с вибрационными степе-
нями свободы; таким образом, функция (х, t) сводится к множителю
* Предполагается, что п = 0, поскольку кТ$ < и kTQ < йсо2.
200
Дебая — Уоллера. Если произвести разложение по фононам в этой области,,
то можно получить
as (Е' —» £, cos '©о) =
_- —j—'ОО 72?i(D
П= — ОО
xI" (----ех₽ [ ~-Ш^г(Е-Е'~пП(0 + ^)2] ЛЮ-1-38Ж)
2ткы sh ~2Уу ~
где
К®
р_ * (X + AU22W
2 ЗГПу \ CDi С02 / ТП^СО
[см. соотношения (10.1.24) и (10.1.346)]. При £<0,1 эв, т. е. в области
собственно тепловых энергий, существенны только слагаемые, соответствую-
щие п = 0 и n = ± 1. Другими словами, надо учитывать только те
Рис. 10.1.8. Экспериментальная (О — BNL-325) и расчетная
(—) зависимости полного сечения рассеяния для Н2О от
энергии падающих нейтронов.
процессы, при которых либо вовсе не происходит обмена энергией с крутиль-
ными колебаниями, либо излучается или поглощается всего один квант.
Выше энергии 0,2 эв, и особенно
при энергиях, превышающих
0,48 эв, необходимо учитывать
потерю энергии на возбуждение
вибрационных гармоник; функ-
ция %т (х, t) в этом случае может
быть приведена к более простому
виду с помощью приближения
Допплера. Окончательные выра-
жения для <ys (£' -> £) мы выпи-
сывать не будем.
На рис. 10.1.8 представлены
Рис. 10.1.9. Экспериментальная (О» •) и Рас~
четная (—) зависимости среднего косинуса
угла рассеяния для Н2О от энергии падаю-
щих нейтронов.
измеренные значения полного
сечения рассеяния наряду с рас-
четными, полученными на основе
развитых выше моделей. Наблю-
дается достаточно хорошее согла-
сие экспериментальных и расчетных результатов. Теория дает также весьма
удовлетворительное значение среднего косинуса угла рассеяния, усреднен-
ного по всем энергиям рассеянных нейтронов в зависимости от энергии
падающих нейтронов (рис. 10.1.9). Особенно удовлетворительные резуль-
201
таты, как будет показано ниже, получаются при расчете по этой модели
некоторых интегральных эффектов термализации *.
Разумно предположить, что развитая здесь модель будет удовлетвори-
тельно описывать также и рассеяние на тяжелой воде. Однако в этом случае
возникает ряд трудностей. Формализм, развитый в п. 10.1.2, справедлив
для чисто некогерентного рассеяния, при котором никакие интерференцион-
ные эффекты не рассматриваются. В применении к обычной воде предполо-
жение о некогерентном рассеянии оправдано **, поскольку osb = 4as/ =
= 81,5 барн, Gcoh = [,l§ барн. С другой стороны, рассеяние на дейтерии
нельзя считать некогерентным, так как oSf — 7,6 барн, всоЬ = 5,4 барн',
поэтому следует ожидать, что интерференционные эффекты будут играть
важную роль при рассеянии. Вычисление сечения рассеяния с учетом этого
эффекта не проведено до сих пор ***. Однако Хонэк (Honeck, 1962) показал,
учитывая различие в массах и в значениях сечений рассеяния, что модифи-
цированная модель Нелкина (Nelkin, 1960) правильно описывает различные
интегральные эффекты термализации, которые были рассмотрены для D2O.
Кристаллические замедлители. Такие замедлители, как бериллий и гра-
фит, рассеивают нейтроны преимущественно когерентно. Для бериллия
os& acoh = 7,53 барн, а для углерода osb ж QCOh = 5,50 барн. «Некоге-
рентное приближение», в котором не учитываются интерференционные
эффекты, не может быть, очевидно, использовано для вычисления сечения
упругого рассеяния. В п. 1.4.3 было показано, что для кристаллического
замедлителя, рассеивающего когерентно, ход сечения резцо обрывается,
так как когерентное рассеяние невозможно для нейтронов с длиной волны,
большей, чем удвоенное расстояние между плоскостями решетки. Есте-
ственно, некогерентное приближение не может объяснить подобное поведение
сечения. Непрерывное угловое распределение, предсказываемое теорией
некогерентного рассеяния, не соответствует действительности, так как реаль-
ное угловое распределение при рассеянии в поликристаллических веществах
имеет ярко выраженные максимумы для определенных углов рассеяния
(кольца Дебая — Шеррера). И только для нейтронов с настолько большой
энергией (для бериллия эта энергия равна приблизительно 0,05 эв, а для
графита — 0,03 эв), что имеют место отражения высоких порядков по суще-
ству от любого возможного набора плоскостей решетки, сечение и угловое
распределение при упругом рассеянии могут быть рассчитаны в некогерент-
ном приближении, с удовлетворительной точностью. Интерференционные
эффекты наблюдаются и при неупругом рассеянии; подобное явление рас-
сматривали Плачек и Ван Хоф (Placzek, van Hove, 1954), а также Котари
и Сингви (Kothari, Singwi, 1959). Маршал и Стюарт (Marshall, Stuart, 1961)
вычислили зависимость от энергии сечения процессов, в которых испу-
скается или поглощается один или несколько фононов с учетом эффектов
интерференции для магния и алюминия; они показали, что пренебрежение
эффектами интерференции приводит только к малым ошибкам (не превышаю-
щим нескольких процентов). На основании этих расчетов и некоторых каче-
ственных оценок можно сделать вывод, что при рассмотрении процесса
термализации сечение неупругого рассеяния можно описать с достаточной
степенью точности с помощью теории некогерентного рассеяния, развитой
в п. 10.1.2. Как будет показано ниже, упругое рассеяние не играет по суще-
ству никакой роли в задачах термализации с отсутствием пространственной
зависимости, и, следовательно, использование некогерентного приближения
не приводит к дополнительным ошибкам. Однако, если процесс термализа-
ции происходит совместно с процессом переноса нейтронов, упругим рассея-
* Согласно рассмотренной модели, М2 =91 барн на молекулу Н2О при комнат-
ной температуре.
** Это несправедливо при очень низких температурах, при которых возможно
частичное взаимодействие спинов.
*** Замечание при корректуре: см., однако, Butler D. Proc. Phys. Soc., 81,
Part 2, No. 520, 276 (1963).
202
нием пренебрегать нельзя; при описании процесса необходимо использовать
значения сечения упругого рассеяния, полученные в экспериментах или
с помощью специальных расчетов. Сечение упругого рассеяния для бериллия
было вычислено Бхандари (Bhandari, 1957), а для графита — Кубхандани
и др. (Khubchandani, Kothari, Singwi, 1958).
При вычислении сечения в некогерентном приближении будем исходить
из формулы (10.1.30). Основными трудностями при расчете эффектов терма-
лизации в твердых телах являются выбор функции распределения частот,
с одной стороны, и, с другой стороны, обращение преобразования Фурье
для функции % (х, t), с помощью которого можно получить выражение для
сечения. Для бериллия спектр Дебая р (со) при @D = 1000° К дает весьма
хорошее приближение при описании спектра колебаний решетки. Сечение
неупругого рассеяния в приближении тяжелого кристалла можно получить
с помощью соотношений (10.1.33а) — (10.1.33b). Как показал Нелкин
(Nelkin, 1957), сечение рассеяния, вычисленное таким образом, весьма удо-
влетворительно согласуется с измеренными значениями для холодных ней-
тронов, хотя это приближение представляется не совсем оправданным в связи
с малой массой бериллия (Л =9). Вследствие сильно анизотропной струк-
туры графита спектр колебаний решетки не может быть аппроксимирован
распределением Дебая. Действительно, необходимо различать спектр колеба-
ний, параллельных плоскостям решетки графита, и спектр колебаний, пер-
пендикулярных им. Первый из этих спектров простирается до Лсоц/А: =
= 2600° К, а второй — до Ъ <oj_//r = 1600° К. В первом, очень грубом при-
ближении можно положить
X (х, Ф-4-Х1 (А 0 + у Х|| (х, t), (10.1.39а)
где функции %j_. хи вычислены с использованием спектров Дебая для темпе-
ратур 0D, равных 1600 и 2600 ° К соответственно. Гораздо более удовлетво-
рительная модель была развита Парксом (Parks, 1961; см. также Takahashi,
1962). Паркс исходит из соотношения
оо 1
Х(х, Z) = exp [(га + 1) (eicot — 1) + n (e~iat — 1)] dl d<i>^ ,
о о
(10.1.396)
где
р(со, Z) = l2p± (со) + (1 — Z2) р у (со). (10.1.39в)
Здесь I — косинус угла между направлением х и нормалью к плоскостям
решетки, р± (со) и рц (со) — функции распределения частот колебаний,
перпендикулярных и параллельных плоскостям решетки соответственно.
Функции р± (<о) и рц (со) были получены Иошимори и Китано *.
Для вычисления сечения с помощью функции % (х, t) было использовано
разложение по фононам. В это разложение должно быть включено большое
количество слагаемых, так что окончательные выражения весьма сложны
и расчеты могут быть проведены только с помощью электронно-вычислитель-
ных машин. Некоторые численные результаты расчетов будут представ-
лены ниже**.
Расчеты сечения рассеяния для окиси бериллия были проделаны Бхан-
дари и др. (Bhandari, Kothari, Singwi, 1958), для гидрида циркония — Мил-
лером и др. (Miller, Brehm, Roberts, 1962), для других замедлителей —
Боффи и др. (Boffi, Molinari, Parks, 1962), а также Гольдманом и Федериччи
(Goldmann, Federighi, 1962).
* Y oshimori A., Kitano Y. J. Phys. Soc. Japan, 11, 352 (1956).
** Паркс получил M2 = 1,068 барн в графите при комнатной температуре.
203
10.1.4. Экспериментальное исследование рассеяния
медленных нейтронов
Рис. 10.1.10. Типичное устройство для из-
мерений неупругого рассеяния медленных
нейтронов:
1 — детекторы; 2 —ловушка; з — защита; 4 — вра-
щающийся кристалл; 5 — первый коллиматор;
6 — граница реактора; 7 — второй коллиматор;
8 — монитор; 9 — образец.
В связи с трудностью расчета дифференциальных сечений возникает
необходимость их экспериментального измерения. Кроме необходимости
таких измерений для нейтронной физики, соответствующее изучение пред-
ставляет большой интерес для физики твердых и жидких тел, поскольку это
дает возможность получить инфор-
мацию о внутренней динамике
твердых тел и жидкостей *.
Метод измерения обычно за-
ключается в следующем: рассеива-
ющий образец, размеры которого
настолько малы, что многократное
рассеяние исключено, облучается
моноэнергетическими нейтронами
с энергиями в пределах от 0 до
0,5 эв и измеряется интенсивность
рассеянных нейтронов в зависимо-
сти от угла и энергии. Необходимог
очевидно, иметь два нейтронных
спектрометра, и в принципе можно
применить все методы монохро-
матизации нейтронов, описанные
в п. 2.6.3. Наиболее подходящим
для этих исследований является
метод времени пролета, примене-
ние которого схематически пока-
зано на рис. 10.1.10. Нейтронный
пучок из реактора проходит сна-
чала через «пульсирующий моно-
хроматор», в котором выделяются
нейтроны с энергиями в узкой
области вблизи значения Е', и не-
прерывный пучок разбивается на
короткие импульсы. Затем ней-
троны рассеиваются и регистри-
руются большим количеством
детекторов, расположенных под
различными углами Фо- Каждый детектор соединен с временньш анали-
затором; такой способ регистрации позволяет измерить энергию нейтро-
нов. В качестве пульсирующего монохроматора часто используется двойной
прерыватель, т. е. два синхронизированных по фазе прерывателя, распо-
ложенных один за другим, в которых сдвиг фазы, угловая скорость
и взаимное расстояние определяют энергию Е' (Egelstaff, 1962; Brugger,
1962). Реже используется (Brockhouse, 1958; Glaser, 1961) вращающийся
кристаллический спектрометр (см. рис. 10.1.10). В этом приборе малень-
кий, быстро вращающийся кристалл располагается на соответствующем
расстоянии между входным и выходным коллиматорами. Если исключены
отражения выше первого порядка, а также отражения от нежелательных
плоскостей решетки, необходимое условие отражения выполняется только
дважды за одно обращение; следовательно, из выходного коллиматора
поступают импульсы монохроматических нейтронов. Большое число тех-
нических проблем, связанных с такими нейтронными спектрометрами^
здесь обсуждаться не будет.
* См., например, «Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids». Proc,
of the 1962 Chalk River Conference. Vol. I, II. Vienna, International Atomic Energy Agen-
cy, 1963.
204
Результаты измерения дают энергию и угловое распределение рассеян-
ных нейтронов в относительных единицах. Для того чтобы из этих данных
получить величину сечения os (Е' -> Е, cos й0), следует произвести норми-
ровку с использованием известного значения сечения упругого рассеяния
для ванадия (eSb = 5,13 ± 0,02 барн), В этом случае можно пренебречь
когерентными эффектами и вычислить угловое распределение упруго рас-
сеянных нейтронов точно, используя множитель Дебая — Уоллера.
При оценке результатов опытов по рассеянию принято вводить некото-
рую четную функцию S (х, Йсо), определенную следующим образом:
as(E' -> cos й0)-2л]/ -|/е 2kTo S (х, Лео), (10.1.40)
где Йсо = Е' — Е, В соотношении (10.1.40) было использовано то обстоя-
тельство, что, кроме множителя ]/EIE', as (Л" -> Е, cos й0) зависит только
от передаваемого момента Ях [см. (10.1.17)]. Сечение, вычисляемое по фор-
муле (10.1.40) [с помощью произвольной четной функции S (х, Л со) ], удовле-
творяет принципу детального равновесия. Следовательно, измеряемое сечение,
которое является функцией трех параметров Л", Е, cos й0 может быть выра-
жено с помощью двухпараметрической функции S (х, Йсо), поведение которой
легко определить. Поскольку для данных значений х, Йсо функция S может
быть определена неоднозначно (т. е. более чем одной подходящей комбина-
цией величин Ef, Е, cos й0), возможна проверка справедливости метода изме-
рения. При обработке результатов экспериментов по рассеянию возникает
серьезная проблема, связанная с тем обстоятельством, что вследствие недо-
статочной интенсивности нейтронов очень малых и очень больших энергий,
5-функция может быть изучена только в ограниченной области изменений
хи со. Однако на основании простых предположений о процессе рассеяния
экспериментально определенные значения 5-функции можно проэкстраполи-
ровать на более широкую область значений х и со, что в числе других было
проделано Эгельстафом и Шофильдом (Egelstaff, Schofield, 1962).
Брюггер (Brugger, 1962) суммировал все известные результаты измере-
ния функции 5 (х, Я со). Соответствующие численные данные могут быть
использованы либо как исходные для задач термализации, либо для про-
верки и улучшения теоретических моделей расчета дифференциальных сече-
ний рассеяния.
10.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО СПЕКТРА НЕЙТРОНОВ
На практике наиболее важной задачей физики термализации является
вычисление пространственно-энергетического распределения потока нейтро-
нов Ф (г, Е) в конечной поглощающей и иногда даже неоднородной среде,
обусловленного заданными источниками быстрых нейтронов. При решении
этой задачи следует исходить из общего уравнения переноса (5.1.12) и искать
решение на основе либо теоретически вычисленного, либо эмпирического
закона рассеяния. В общем случае даже при использовании самых тривиаль-
ных приближений простое аналитическое решение пространственной задачи
не представляется возможным. Можно получить только численные резуль-
таты с помощью электронно-вычислительных машин.
Случай с отсутствием пространственной зависимости (бесконечная среда
с гомогенно распределенными источниками) является гораздо более простой
задачей. Здесь применимо простое уравнение баланса
(Е) Ф (Е) = ЬФ (Е) + 5 (Я), (10.2.1)
где
оо
ЬФ - J (Е' Е) Ф (£") dE' — (Е) Ф (£). (10.2.2а)
205
Оператор термализации L определяет разность между числом нейтроновг
попавших в область энергий Е и вышедших из этой области в процессе рас-
сеяния.
Согласно принципу детального равновесия, для максвелловского
спектра М (Е) = 7^- q-e/hto справедливо уравнение
/с/ о
LM = 0. (10.2.26)
Кроме того, для любого потока
J ЬФ(Е)с1Е = 0. (10.2.2в)
о
В уравнении (10.2.1) функция S (Е) представляет плотность источников.
Поскольку наиболее интересным является изучение спектра при энергиях,,
существенно меньших по сравнению с энергиями нейтронов источника,
энергию последних можно считать бесконечной. Тогда нет необходимости
явно вводить соответствующее слагаемое в уравнение (10.2.1) — можно
просто потребовать, чтобы поток был должным образом нормирован, т. е.
(Е) Ф (Е) dE = S. Практически всегда существует пространственная
о
зависимость; тем не менее решение поставленной задачи представляет боль-
шой интерес, поскольку это позволяет, во-первых, изучить механизм терма-
лизации; кроме того, в некоторых случаях задачи с пространственной зави-
симостью можно свести к задачам без такой зависимости. Поэтому сначала
будет детально вычислен спектр нейтронов в отсутствие пространственной
зависимости, после чего мы коротко обсудим задачи с пространственной зави-
симостью, ограничившись при этом качественными рассмотрениями.
10.2.1. Пространственно-независимый спектр
в модели тяжелого газа
в качестве замедлителя
Замкнутое аналитическое решение уравнения (10.2.1) не может быть
получено ни для одного из рассмотренных в п. 10.1 законов рассеяния.
Однако в двух простых предельных случаях уравнение (10.2.1) можно свести
к дифференциальному уравнению второго порядка, дальнейший анализ кото-
рого проще, чем анализ исходного интегрального уравнения. Первый из
этих случаев представляет собой модель протонного газа Вигнера — Уил-
кинса (Wigner, Wilkins, 1944) и будет рассмотрен ниже, второй — модель
тяжелого газа. Последний случай мы исследуем детально.
Для начала введем функцию ф (Е) = Ф (Е)1М (Е). С помощью прин-
ципа детального равновесия уравнению (10.1.2) можно придать вид
(Е) ф (Е) - § ф (Е') (Е Е') dE' — Ъ* (Е) ф (Е). (10.2.3а)
о
Разложим теперь функцию ф (Е') в ряд Тейлора вблизи точки Е' = Е. Тогда
оо
(£) ^ (£) = У У (W , (10.2.36)
п— 1
где (АЕ)п = Ngs (АЕ)п —моменты сечения рассеяния, определяемые
согласно соотношению (10.1.12). В п. 10.1.1 показано, что для тяжелого
газа первые два момента имеют порядок 1М, в то время как все другие
моменты более высокого порядка. Если с помощью соотношения (10.1.12)
вычислить моменты сц. ДЕ и os (ДЕ)2, то с учетом слагаемых основного
206
порядка получим
2а (Е) Я? (Е) = g2s [ (2кТ0 ~Е)^ + ЕкТ0 J . । (10.2.3в)
Здесь использовано приближение £ = 2М. Поток Ф (Е) нейтронов удовле-
творяет соотношению
2а (£) Ф (Я) 12,s [ (£ - кТй) Ф + ЕкТ0 , (10.2.4)
т. е. в случае тяжелого газа оператором термализации является простои
порядка. Можно легко проверить,
дифференциальный оператор второго
что соотношение (10.2.26) для этого
оператора выполняется.
Рассмотрим далее уравнение
(10.2.4) в предельном случае, когда
Е > kTQ. Можно положить кТ$ равным
нулю, и в отсутствие поглощения
уравнение (10.2.4) может быть пере-
писано в виде
-^(?25£Ф(£)) = 0, (10.2.5а)
решение которого
Ф(£) = -^-. (10.2.56)
Это хорошо известный из теории за-
медления закон НЕ для эпитеплового
потока. Постоянную можно получить,
если потребовать, чтобы предел
lim ^SE Ф (Е) равнялся плотности
Е—>оо
источников.
В дальнейшем в данном разделе
мы будем предполагать, что сечение
поглощения следует закону 1 lv, т. е.
Рис. 10.2.1. Спектр нейтронов"в тепловом
тяжелом газе’в качестве замедлителя.
(Е) = Sa (кТк) у kTQIE. На рис. 10.2.1 приведена функция Е Ф (Е),
вычисленная Гурвицем и др. (Hurwitz, Nelkin, Habetler, 1956) для различных
значений (Л:Го)/(^26.) в зависимости от УEikT§. Эти зависимости были
получены путем численного решения уравнения (10.2.4) (Cohen, 1955).
В качестве граничного условия необходимо положить Ф (Е = 0) = 0;
решение содержит еще постоянный множитель как свободный параметр,
который может быть определен из условия, что (Е) Ф (E)dE равен
о
плотности источников. В некоторых случаях удобной может оказаться
иная нормировка. В п. 10.2.1 было показано, что «тепловой максимум»
существует только в случае слабого поглощения [Sa (kTQ) < При
наличии сильного поглощения большинство нейтронов поглощается до того,
как они станут тепловыми.
Слабое поглощение. Случай слабого поглощения представляет большой
интерес, поскольку для многих сред (кТо) < В этой ситуации допу-
стимо приближенное решение уравнения (10.2.4). Положим
Ф (Е) - М (Е) + F (Е), (10.2.6а)
т. е. разобьем поток на максвелловскую компоненту и компоненту, которая,
очевидно, обращается в нуль, когда = 0 (вопрос нормировки обсудим
ниже). Если подставить такую функцию в уравнение (10.2.4), то
(Е) М (Е) + (Е) F (Е) - LF. (10.2.66)
207
Поскольку поглощение мало, слагаемое в левой части, включающее функцию
F (£), является малым возмущением, и им можно пренебречь. Тогда
ZaM(E) = LF = -^.{^s[(E-kT0)F(E) + EkT0^]} . (10.2.6в)
Если поглощение следует закону 1/н, то, интегрируя это неоднородное
уравнение, получим (функция Ei* (^) определена на стр. 254)
E/kT0 у
F(E) = МУо) М (Е) \ ^A\fxe-Xdxdy +
b-^s е) У е)
О О
+ {aJ/(£) + &[M(Z?)Ei* (^)]} •
(10.2.6г)
Слагаемое в фигурных скобках представляет общее решение однород-
ного уравнения LF ~0 и содержит две произвольные постоянные а и Ь.
Поскольку F (Е' = 0) = 0, то 6 = 0. Постоянную а можно определить из соот-
ношения баланса нейтронов. Очевидно,
lim gSs£<D (Я) S« (Я) Ф (2?) dE,
(10.2.7а)
т. е. число нейтронов, поглощенных в 1 см3, должно равняться плотности
источников. С одной стороны,
lim gSs£Q (Е) - lim &SEF (£) =
Е->оо Е->оо
E/HTq у
= УыЪУкТ^ЕМ(Е} £ dxdy = X^-^a(,kTb), (10.2.76)
о^о 2
в то время, как для поглощения, следующего закону i/v,
оо _
J 2а [М (Е) + F (£)] dE = 2О (кТ0) (1 + а) +
о
+ ^^§2а(£)Л/(£) J ~ J Vxe~xdFdydE. (10.2.7в)
8 0 0 0
Тогда (Cohen, 1955)
оо E/kTo у
2a (Е) М (Е) ? 4Л V'xe-xdxdydE^
О 0 0
= 2а (кТ0) V Vz е-г V Ух Q-x dx dy dz = 2a (kT^ • 0,7989 • 2 Ул. (10.2.7г)
о оо
Из соотношений (10.2.76) и (10.2.7в) следует, что
а= --а£^Уо)-0,7989-4.
Е>2->8
Таким образом, окончательно можно получить
Е/hTo у
Ф(Е)^М(Е) 4-^^М(А’) ( £ К^е-^^-4.0,7989), (10.2.7д)
\ <•) У* j /
0 0
или
-&Sa (кТ0)
Ф(Е) = М(Е)Ф~^=--------F^E). (10.2.8а)
208
Здесь введена функция
E/kTQ у
Fi(E) = М (Е) (~^= £ dzdy-----~ 0,7989), (10.2.86)
'•Ул J У J Ул /
которая при высоких энергиях стремится к закону 1/Е. На рис. 10.2.2
показаны функции М (Е) и (Е) в зависимости от Е/кТц.
Такое удобное представление спектра было получено Горовицем и Третья-
ковым (Horowitz, Tretiakoff, 1960). Оно применимо к замедлителю из тяже-
лого газа в случае слабого по-
глощения [Sa (A;770)/^Ss < 0,1].
Этот результат можно сравнить
с результатом элементарного
расчета, проведенного в п. 8.4.
В этом пункте термализацион-
ные эффекты не учитывались, а
спектр был представлен двумя
компонентами, одна из которых
соответствовала энергиям, суще-
ственно превышающим кТо, и
была пропорциональна 1/Е, а
другая относилась к области
тепловых энергий и описыва-
лась максвелловским распреде-
лением. Из баланса нейтронов
следовало, что отношение теп-
Рис. 10.2.2. Функции кТ0М(Е) (1) nkTQFi(E)(2}
для тяжелого газа в качестве замедлителя,
находящегося в тепловом равновесии.
лового и эпитеплового потоков
на единицу Летаргии определя-
ется коэффициентом замедления
Sa(A;77o) J • Этот же результат
получен нами и сейчас; однако для малых энергий функция F± (Е) описы-
вает переходную область между этими двумя предельными случаями. Пред-
ставление потока Ф(Е) с помощью соотношения (10.2.8а) обладает также
следующим интересным свойством. Чтобы выяснить его, вычислим полную
плотность нейтронов
~ 1 PI
n = \<D(E)±-dE=\±M(E)dE-]—-------^F^EjdE. (10.2.9а)
о о о
Обращаясь к соотношениям (10.2.86) и (10.2.7г), убеждаемся, что интеграл
оо
\—Fi (Е) dE обращается в нуль. Другими словами, функция возмущения
о
не дает вклада в плотность нейтронов, и полная плотность нормируется
к тому же значению, что и максвелловская часть. В нашей работе
п —
у М (Е) dE
о
- лтп
V 8кТ0
в упоминавшейся] выше работе Горовица
и Третьякова полная плотность нейтронов п нормирована к единице, т. е.
для согласования с результатами этих авторов соотношение (10.2.8а) сле-
дует умножить на величину • Использованный коэффициент норми-
ровки несуществен, пока функция плотности источников не конкретизи-
рована. Однако если распределение плотности источников S (см~3-сек~1)
14 Нейтронная физика
209
задано, то нормировка фиксирована, причем
Ф(Е)
S
2а (АГо)
-^2а(ЛГ0)
М(Е)+ -±-_----F^E)
(10.2.96)
Эффективная температура нейтронов. Обсудим теперь полезное для
практических целей понятие эффективной температуры нейтронов. Для
этого обратимся к представленным на рис. 10.2.3 кривым вычисленного
спектра Ф (Е) в зависимости от энергии Е для различных малых значений
величины Sa (A:770)/^2s. Оказывается, что в тепловой области спектры обла-
дают подобной формой и с возрастанием поглощения сдвигаются вправо,
Рис. 10.2.3. Спектр нейтронов для слабо поглощающего
тяжелого газа в качестве замедлителя.
Sa #= 0 тепловой спектр может быть описан максвелловским распределением,
температура которого (т. е. температура нейтронов) выше температуры замед-
лителя. Не существует хорошего физического обоснования такого предполо-
жения, и оно может быть оправдано только хорошими результатами, связан-
ными с его применением.
На рис. 10.2.4 приведены кривые Ф(Е)!Е в зависимости от Е/кТ^ для
спектров, показанных на рис. 10.2.3. Если бы возмущенные спектры обла-
дали максвелловскими распределениями, кривые представляли бы прямые
линии, из наклона которых можно было бы определить температуру нейтро-
нов * *. Из изложенного ранее следует, что в области энергий Е <; ЬкТ$
и для Sa (/c770)/^Ss < 0,2 действительно имеет место прямолинейная зави-
симость.
На рис. 10.2.5 показано отношение (Т — Tq)/Tq, полученное на осно-
вании представления спектра в виде прямых, в зависимости от
Пунктирная кривая соответствует соотношению
T T(i [1 + l,46S^y-o)] =7’о [14-0,73Л2а^-Уо)J , (10.2.10а)
Е -т/ът , Ф(£) Е , ,
* Так как если Ф (Е} — '(kfyTе ь/ » то In —' =---------+ In
210
которое может рассматриваться как рецепт для вычисления температуры
нейтронного газа. Можно получить другие соотношения для определения
температуры, если выполнить иным способом согласование спектра с макс-
велловским распределением.
Например, Коэн (Cohen, 1957)
получил
Ф(Е)/Е
Рис. 10.2.4. Функция Ф (Е)/Е, соответствующая
максвелловскому распределению со сдвигом по
температуре (---) и вычисленная с помощью
соотношения (10.2.8а) (—).
Рис. 10.2.5. Температура нейтронно-
го газа для тяжелого газа в каче-
стве замедлителя, соответствующая
максвелловскому распределению со
сдвигом по температуре (—) и соот-
ношению (10.2.10а) (--------).
в то время как Ковейю и др.* (Coveyou, Bate, Osborn, 1955) нашли, что
Т — То Г1 + 0,91Л ^Го) 1 • [(10.2.10b)
L "s -1
— 1/л
Используя среднее сечение поглощения тепловых нейтронов Sa —- — (&Z0)
Zu
”|У jy —
да -Jy- Sa (kT0) и имея ввиду соотношение Sa/|Ss — Ферг/Ф<Л (см. ниже),
можно переписать эти выражения в виде
= (10.2.10г)
где, согласно (10.2.10а), 0 = 4-О,7371о/]Лл = 1,657’0. Таким образом, темпера-
тура нейтронного газа тем больше, чем больше отношение эпитеплового
потока к тепловому.
Вернемся теперь к вопросу о форме потока в том случае, когда тепло-
вой поток представлен максвелловским распределением со сдвигом по темпе-
ратуре. С этой целью вычтем из спектров, показанных на рис. 10.2.3, аппрок-
симирующие их максвелловские распределения (см. рис. 10.2.4). Результи-
рующая функция F2 (Е) нормирована таким образом, чтобы F2 (Е) ME
для Е > кТ0. На рис. 10.2.6 показана функция EF2 (Е) в зависимости от
Е!кТ (но не от ElkTQY). Из рисунка видно, что F2 (Е) зависит от сечения
* Ковейю и др. исходили из спектра, вычисленного методом^ Монте-Карло для
газообразного замедлителя произвольной массы.
14* 211
поглощения, но в грубом приближении, пригодном для многих практических
целей, можно ввести некоторую среднюю функцию Fz (Е) — А /Е,
где функция А называется «функцией переходной области» (joining
function); она обращается в нуль при Е <; 4/сГ, проходит через максимум
газового
тепловом
Рис. 10.2.6. Функция переходной области для
замедлителя, молекулы которого находятся в
движении.
при Е ж 8кТ и приближается к значению 1 для Е >> 15 кТ (см. рис. 10.2.6).
Окончательно спектр можно записать в виде
ф(^) = -^2е"е/',Т + Х^Г^- (10.2.10д)
Величину X можно найти из условия баланса нейтронов: =
= J 2а (£) Ф (Е) dE = (кТ) + Л J Sa (^) А (E/кТ) dE/E, т. е. *
о о
-V-2a (*П
%- 2
(10.2.10е)
1
1 (fen >
Когда Sa < второй множитель можно положить равным единице, так
что отношение максвелловского потока к эпитепловому потоку на единицу
летаргии будет равно коэффициенту замедления.
Как будет видно из последующего, приближенное представление спектра
с помощью соотношения (10.2.10д) возможно для многих реальных замедли-
телей. Оказывается, что функция переходной области весьма слабо зависит
от свойств замедлителя; следовательно, во многих практических случаях
спектр может быть описан с помощью двух параметров % и Т. Это обстоя-
тельство особенно часто принимается во внимание при оценке результатов
измерений на образцах (см. гл. 11 и 12). Такое описание спектра не вполне
корректно, и в действительности концепция температуры нейтронов не при-
водит к успеху, когда сечение поглощения обладает резонансами вблизи
тепловой энергии или если нарушено условие (kTQ) <
* Функция переходной области (рис. 10.2.6) удовлетворяет следующему соотно-
шению для 1/гл-поглотителя:
А (Е/кТ)
dE ъ 2а (кТ).
212
10.2.2. Пространственно-независимый спектр
в реальных замедлителях
При вычислении спектра нейтронов в реальном замедлителе необходимо
решить уравнение (10.2.1), используя закон рассеяния, правильно описы-
вающий характер химических связей. В принципе имеются следующие воз-
можности для нахождения соответствующего решения.
а) Прямое численное интегрирование. Уравнение (10.2.1) можно пре-
образовать в систему линейных уравнений путем деления непрерывной энер-
гетической области на некоторое число дискретных групп по аналогии
с многогрупповым методом. Чтобы достаточно хорошо воспроизводилась
энергетическая зависимость, число групп должно быть велико (от 25 до 50).
Соответствующая система уравнений может быть решена на электронно-
вычислительной машине. Преимуществом этого метода является возможность
проведения расчетов с использованием сечения поглощения с произвольной
энергетической зависимостью и при произвольном законе рассеяния, кото-
рый, в частности, может быть определен экспериментально. Не следует,
однако, забывать, что эти расчеты весьма трудоемки, поскольку спектр
должен быть вычислен для каждого значения 2а. Кроме того, теряется
физическая «наглядность», которая позволила бы установить связь между
характером спектра и законом рассеяния.
б) Модифицированный метод Горовица — Третьякова. Если погло-
щение невелико и подчиняется закону 1/р *, можно положить
-^2а(кГ)
Ф(Е) = М(Е) + ~~- ev---FJE), (10.2.11а)
где функция Т\ (Е) определяется соотношением
2Д£)М(£) = -±—;--------LF^E) (10.2.116)
при условии
оо
^Ll^LdE^O. (10.2.11b)
о
Функция F1 (£*) должна быть определена путем численного решения уравне-
ния (10.2.116) с использованием измеренного или полученного теоретически
закона рассеяния; проведение таких расчетов, как и в предыдущем случае,
является весьма трудоемким. Однако необходимо проводить этот расчет
только один раз, так как каждый замедлитель характеризуется единственной
функцией Fi (2?)**. На рис. 10.2.7 приведена функция Ft (Е), вычисленная
этим методом для графита; для сравнения приведена соответствующая кри-
вая, рассчитанная в модели тяжелого газа. Наблюдаются существенные рас-
хождения, особенно при низких энергиях, поскольку из-за сильной связи
спектр в графите существенно жестче, чем в тяжелом газе. К сожалению, не
имеется расчетов функции Fi (Е) для других замедлителей. Более того, до
сих пор не было удачной попытки получить зависимость 2^ (Е) на основании
измеренных спектров.
в) Метод Корнголъда. Корнгольд (Corngold, 1960) показал, что общее
решение уравнения (10.2.1) может быть записано в виде степенного ряда
оо
ф<£)“ -етг-2 °- (т)”'2- <10-2Л2>
п=0
* Последнее условие не является необходимым, однако определение функции
Fi (Е) становится более сложным в случае, когда 5 =?ь i/v.
* * Это справедливо, конечно, при Sa (kT0) С 0,1.
213
где коэффициенты ап зависят от сечения поглощения и некоторых интеграль-
ных выражений, содержащих функцию % (х, £), характеризующую закон
рассеяния. Более глубокое обсуждение этого физически изящного, но фор-
мально довольно трудного метода выходит за рамки данной книги (см.,
например, Parks, 1961). Это решение особенно удобно для представления
спектра в переходной области между тепловой и эпитепловой частями.
г) Полу эмпирические методы. Если закон рассеяния для замедлителя
неизвестен либо известен плохо или неосуществимы математические способы
вычисления спектра, можно попытаться модифицировать некоторые методы,
изложенные в п. 10.2.1, с помощью экспериментальных данных, что позво-
лит получить по крайней мере грубое описание спектра. Такие возможности
Рис. 10.2.7. Функция F^E) при комнатной температуре
для графита (—) и для тяжелого газа (----------).
часто использовались в ранних работах, касающихся термализации нейтро-
нов. Наиболее элементарный из этих методов использует понятие эффектив-
ной нейтронной температуры. Спектр описывается с помощью соотношения
(10.2.10д) (функция EF2 определяется либо экспериментально, либо согласно
модели тяжелого газа), причем значение величины % может быть найдено
с помощью равенства (10.2.10е) *. Соотношение между температурами Т
и То определяется экспериментально. Часто вводится также понятие «эффек-
тивной» массы. Разность температур нейтронов и замедлителя в тяжелом газе
пропорциональна массовому числу Л, согласно (10.2.10а—в). Если имеется
заметная химическая связь, разность температур при некоторых обстоятель-
ствах может быть больше, поскольку процесс термализации затруднен.
«Эффективной» массой тогда является значение А, которое необходимо под-
ставить в соотношение (10.2.10а), чтобы получить истинную разность темпе-
ратур. Может оказаться, что эффективная масса во много раз больше
истинной.
Другой полуэмпирический метод основан на использовании понятия
оператора термализации для тяжелого газа [см. уравнение (10.2.4)]. Если
замедляющая способность зависит от энергии, оператор термализации можно
записать в более общем виде
L = -^aSs)(E) ^E-kT0) + kT0E^-] , (10.2.13)
который удовлетворяет, очевидно, принципу детального равновесия LM = 0.
Величина замедляющей способности должна достигать своего зна-
* Замедляющая способность gSs должна соответствовать значению на «плато»,
т. е. своему значению при энергиях выше 1 эв.
214
чения на плато для энергий Е > 1 эв. но при меньших энергиях она может
иметь произвольную зависимость. Можно попытаться учесть влияние хими-
ческих связей с помощью подходящим образом подобранного закона изме-
нения замедляющей способности при уменьшении энергии, после чего опре-
делить функцию Ei (Е) для результирующего оператора (Gadilhac et al.,
1962; Schaefer, Allsopp, 1962).
10.2.3. Основные сведения о спектре нейтронов
с пространственной зависимостью
В последующем качественном рассмотрении предполагается, что спра-
ведливо диффузионное приближение. Именно в качестве источников тепло-
вых нейтронов может быть использована плотность замедления. Последняя
предполагается известной для энергий, превышающих граничное значение
Ет > кГ0*, либо из результатов измерений, либо из расчетов. Тогда для
Е < Ет в однородной среде
-£>72Ф (г, £) + 2а(£)Ф(г, £)-
Ет
= J 25(Е'->'Е)Ф(г, £')d£'-Ss(£)©(r, E) + q(r, Em)f(E). (10.2.14)
о
Здесь f (Е) — энергетическое распределение нейтронов источника, испытав-
ших последнее столкновение при энергии, превышающей Ет. Функция
Ет
f (Е) нормирована так, чтобы f (Е) dE = 1; в тяжелом замедлителе
о
/ (Е) ж 6 (Е - Ет).
Попытаемся разделить переменные в уравнении (10.2.14), представив
функцию Ф (г, Е) в виде
Ф(г, £)-Ф,Л(г)Ф(£),
где
Ет
J Ф(Е)й£=Л. (10.2.15)
о
Другими словами, спектр тепловых нейтронов представлен нами как произ-
ведение нормированной, не зависящей от координат спектральной функции
на полный тепловой поток. Указанная процедура приводит к уравнениям
- D (Е) Ф (Е) + So (Е) Ф (Е) =
Ет
= 2з(Е'-^Е)Ф(Е')ЙЕ'-2ДЕ)Ф(Е)4^£^-/(Е) (10.2.16)
0
И
-Ё72Ф(Л + 2аФгл = ?(г, Ет), (10.2.17)
где
Ет
D= Е(Е)Ф(Е)ЛЕ (10.2.18а)
о
и
Ет
§ Ъа(Е)Ф(Е)аЕ. (10.2.186)
о
* Граничная энергия должна быть достаточно высокой, чтобы выполнялось усло-
вие Ss (Е' -> Е) 0 при Е' <Z Ет С Е.
215
Из уравнения (10.2.16) непосредственно следует, что функция Ф (Е) не зави-
сит от пространственных переменных тогда и только тогда, когда не зависят
от координат величины у 2 Ф^/Ф^ и q (г, E)IQth (г). Это всегда имеет место,
если существует локальное равновесие между тепловыми нейтронами и их
источниками. Такое равновесие — типичное явление для внутренних обла-
стей гомогенного реактора или для областей в водородсодержащем замед-
лителе, достаточно удаленных от источников нейтронов. Если эти условия
Рис. 10.2.8. Спектр нейтронов в тяжелом газовом замедлителе
для = 0,1 при различных величинах утечки.
выполнены, можно, по крайней мере качественно, охарактеризовать функцию
Ф (Е). Именно можно утверждать, что спектр Ф (JE) такой же, как и в беско-
нечной среде с гомогенно распределенными источниками и эффективным
сечением поглощения
Kf,(E) = Sa(E) + D(E) В\ где
^th
К сожалению, большинство методов и результатов, приведенных
в пп. 10.1.1 и 10.1.2, справедливо только для 1/^-поглощения, в то время как
сечение (В), очевидно, не подчиняется закону 1/щ поскольку в выра-
жение для входит величина D (Е). Как правило, поэтому для вычисле-
ния спектра Ф (Е) пользуются многогрупповым методом. Де Сорбино и Кларк
(De Sorbino, Clark, 1961) решили уравнение (10.2.16) численно путем разло-
жения для модели тяжелого газа в частном случае, когда поглощение следует
закону 1/у, а коэффициент диффузии не зависит от энергии. На рис. 10.2.8
показаны некоторые из соответствующих результатов при различных значе-
ниях параметра DB2/£Ss. В случае, когда (ZcT0)/2s < 1 и ADB2/^S <
< 1, спектры в тепловой области снова могут быть аппроксимированы макс-
велловскими распределениями со сдвигом по температуре, определяемым
соотношением
= 0,73 4- 0,70 d|£2. (10.2.19)
Расчеты Де Сорбино и Кларка проводились только для случая, когда
В2 > 0 (что соответствует чистой утечке нейтронов из элемента объема).
Однако соотношение (10.2.19) справедливо также и для отрицательных В2,
отвечающих притоку нейтронов в элемент объема. Первое слагаемое в пра-
вой части совпадает с соответствующим слагаемым для бесконечной среды;
однако, присутствует еще дополнительное слагаемое, обусловливающее
уменьшение или увеличение температуры (в соответствии со знаком В2)
по сравнению с бесконечной средой.
216
Полезно привести равенство (10.2.19) к виду, аналогичному (10.2.10г).
Полагая S*" = (*Т) + DB'* 1 и = Ф^/Ф^, получим
Т-То = ©--^DB*(10.2.20)
Первое слагаемое, которое существенно превосходит второе, идентично
правой части равенства (10.2.10г): превышение температуры нейтронов над
температурой замедлителя определяется, как и в бесконечной среде, отно-
шением «притока» нейтронов к «популяции». Поправочное слагаемое возни-
кает в связи с тем, что энергетическая зависимость коэффициента диффузии
отлична от закона 1/и и обусловливает добавочное возрастание или уменьше-
ние температуры в зависимости от знака В2. Этот эффект идентичен эффекту
диффузионного охлаждения или диффузионного разогрева в поле термализую-
щихся нейтронов (см. п. 10.3 *). Когда В2 = 0, все диффузионные эффекты
исчезают и соотношение (10.2.20) переходит в (10.2.10г).
Если спектр слабо меняется с координатой, то развитый здесь форма-
лизм приближенно справедлив даже в случае, когда переменные простран-
ственно-энергетического распределения, вообще говоря, не разделяются.
В этом случае необходимо ввести «локальное» эффективное сечение погло-
щения
V2 f ф (г, Е) dE
«Локальную» кривизну функции потока следует получить либо расчет-
ным путем, либо как результат измерений. Этот метод неудобен для анали-
тического расчета спектра, зависящего от координат, однако он может быть
использован для получения предварительной качественной информации.
Соотношение (10.2.20) может оказаться также весьма полезным для анализа
результатов измерения спектра и температуры при оценке изменения спектра,
вызванного диффузионными эффектами (см. гл. 15).
Существует много методов для расчета спектров с пространственно-
энергетической зависимостью в связи с их большим значением для теории
гетерогенных реакторов. Некоторые авторы пытаются решить задачу в основ-
ном аналитически, исходя из преобразованного по Фурье диффузионного
уравнения (10.2.14), зависящего от энергии, и решая его в тепловой области
путем разложения по собственным функциям оператора термализации (см.
п. 10.3). Однако осуществление обратного преобразования связано с боль-
шими трудностями и приводит к весьма сложным выражениям. Большинство
же авторов применяют многогрупповые методы, что, как правило, требует
использования электронно-вычислительных машин. В этом случае тепловая
область делится на большое число энергетических групп (до 70) и уравнение
переноса, зависящее от энергии, заменяется системой не зависящих от энер-
гии уравнений переноса. Для решения таких систем используются различные
приближения (Z\-, Рз~, S^-, ^-приближения). Некоторые авторы решают
численно уравнение переноса в интегральном виде. В любом случае затраты
вычислительного труда велики и возрастают с увеличением числа групп.
Детальное обсуждение различных методов можно найти в работе Хонека
(Honeck, 1962).
* Будет показано, что изменение температуры, вызванное диффузией, в общем
случае определяется соотношением —-—-== —11 + 2 ™ '> второе слагае-
1 о ^th ^VAz2 \ а ш 1 /
мое в равенстве (10.2.20) соответствует модели тяжелого газа при постоянном коэффи-
циенте диффузии D.
217
10,3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛЕЙ ТЕРМАЛИЗОВАННЫХ НЕЙТРОНОВ
Быстрые нейтроны, излучаемые источником, в процессе последователь-
ных столкновений с атомами вещества-замедлителя теряют энергию и в конеч-
ном счете достигают энергий, примыкающих к области тепловых нейтронов.
Здесь они постепенно достигают асимптотического состояния, в котором их
средняя энергия более не меняется от столкновения к столкновению. Будем
называть нейтроны в таком асимптотическом состоянии термализованными
и исследуем их свойства более подробно. Энергетическая зависимость, кото-
рая была исследована в п. 10.2, не описывала поведения чисто термализо-
ванных нейтронов; из-за присутствия стационарных источников нетепловых
нейтронов происходило усреднение по спектрам нейтронов во всех стадиях
процессов замедления и термализации. Можно указать два класса экспери-
ментов, в которых изучаются поля полностью термализованных нейтронов,
именно эксперименты по стационарной диффузии (см. гл. 17) и импульсные
методы измерения (см. гл. 18).
В стационарных измерениях распределение нейтронов изучается на
столь больших расстояниях от источника, что присутствуют только терма-
лизованные нейтроны *. Например, в бесконечной среде в случае плоской
геометрии поток нейтронов определяется соотношением
Ф(я, Е)~ Ф(Е)е-^/Ч (10.3.1)
В экспериментах с пульсирующими нейтронами в систему вводят короткий
импульс быстрых нейтронов и спустя некоторое время, по истечение которого
нейтроны термализуются, исследуют затухание результирующего поля,
происходящее по закону
Ф (г, E,t)~R (г) Ф (Е) е (10.3.2)
Выше мы ознакомились с некоторыми полученными на основе одно-
групповой теории соотношениями между величинами £ и а, а также диффу-
зионными и поглощающими свойствами среды. В последующем будет изу-
чаться модификация этих соотношений, обусловленная эффектами термали-
зации и изменением свойств спектра Ф (£). В п. 10.3.1 будет использоваться
упрощенная модель, согласно которой пространственная зависимость потока
дается элементарной теорией диффузии, а энергетическая зависимость учи-
тывается с помощью эффективной температуры нейтронов. В п. 10.3.2 кон-
цепция эффективной нейтронной температуры не будет использоваться,
а в п. 10.3.3 будет исключено диффузионное приближение. Таким образом,
поля термализованных нейтронов будут описываться по существу точно,
за исключением случая разделения переменных по координате и энергии
в конечных средах (см. п. 10.3.4).
10.3.1. Элементарное описание полей термализованных нейтронов.
Диффузионное охлаждение и диффузионный разогрев
Сначала рассмотрим стационарное и нестационарное поля одновременно.
В рамках элементарной диффузионной теории энергетическая, пространствен-
ная и временная зависимость потока описывается соотношением
A = - So (Е) Ф (Е, г, 0 + D (Е) У2Ф (Е, г, t) + ЕФ. (10.3.3)
* В водородсодержащих средах с источниками нейтронов высоких энергий никогда
не устанавливается чисто тепловое поле, поскольку при энергиях, превышающих 1 Мэв,
сечение нейтрон-протонного взаимодействия сильно уменьшается. В этом случае опре-
деляющую роль в формировании спектра играют первичные нейтроны источника. Поэто-
му необходимо использовать источники низкой энергии (например, Sb — Ве-источник)
или вводить поправки с помощью метода кадмиевой разности (см. п. 17.1.1).
218
Здесь L — снова оператор термализации, определяемый как
£Ф= ^Ss(£' ->£)Ф(Е', г, t)dEf -2Д^)Ф(Е, г, t).
о
В уравнение (10.3.3) не включено слагаемое источника. В термализованном
поле энергетическая зависимость потока должна быть выделена следующим
образом:
Ф(Е, г, /) = ф(Е)ф(г, t).
Тогда уравнение (10.3.3) принимает вид
— 2аф(г, г) + £У2ф(г, t), (10.3.4)
где Sa и D усреднены обычным образом по спектру Ф(Е'). Уравнение (10.3.4)
является уравнением баланса числа нейтронов в 1 см3 п (г, t) = Ф (г, t)tv.
Можно вывести также уравнение баланса для плотности энергии n(r, t)E =
оо
р 1
= Ф(/£, г, t)EdE. Для этого умножим уравнение (10.3.3) на Е и про-
о
интегрируем по всем энергиям. Это приведет к следующему результату:
4- 9Ф£ ° = -2аЕаФ (г, t) + ЁЕ^Ф (г, t) +
V
+ Ф(г, t)^E [ Я)Ф(£')<?£'-Ss(Я)Ф(£)] dE, (10.3.5)
о о
где
J Е£а (Е) Ф (Е) dE
Еа = ----------------. (10.3.6)
J 2a (Е) Ф (Е) dE
о
Полагая, что поглощение следует закону 1/р, имеем Еа=Е. Кроме того,
J ED (Е) Ф (E)dE
(10.3.7)
J D (Е) Ф (Е) dE
0
Очевидно,
= J ^(Е~ £')Ss (£"—> Е) Ф ^Е') dE dE'.
о о
Умножая уравнение (10.3.4) на Е и вычитая результат из уравнения (10.3.5),
после некоторых простых преобразований получаем
D '1^- (ED — E)—^^(E' — E)Ss (Е'->Е) Ф (Е') dE’ dE. (10.3.8)
о о
Если 72Ф/Ф = 0, т. е. отсутствует диффузия, левая часть уравнения (10.3.8)
обращается в нуль. В этом случае поток нейтронов Ф (2?) равен, очевидно,
219
функции М (Е) = e~E/kT° (см. сноску на стр. 191), т. е. спектр терма-
лизованных нейтронов является чисто равновесным спектром. Поскольку
величины Ed и Е никогда не равны между собой [в противном случае
коэффициент диффузии D (Е) должен бы быть пропорционален 1/и], левая
часть не обращается в нуль, если У2Ф/Ф =^= 0. В зависимости от знака
величины ?2Ф/Ф каждый элемент объема в процессе диффузии нейтронов
теряет или получает энергию. Эта передача энергии происходит в резуль-
тате столкновений с атомами замедлителя, т. е. спектр Ф (Е) должен отли-
чаться от равновесного.
В рамках диффузионного приближения соотношение (10.3.8) выпол-
няется точно. Сделаем теперь предположение, что спектр может быть пред-
ставлен распределением Максвелла со сдвигом по температуре (T^Tq),
именно Ф (Е) = e~E/kT. Тогда Е = ^-кТ и
оо
^EDw-^e~E/KTdE
Ed = -----------------= 2кТ г кТ* (10.3.9)
$W) -^e-^dE
о
оо
о
__ оо
о
Когда \Т-Т0\/Т0 < 1 (мы будем рассматривать только случай слабого
отклонения от состояния истинного равновесия),
Ф (Е) = е-^ = М(Е) + - 2) М (Я). (10.3.10)
Это уравнение получено путем разложения функции Ф (£*) в ряд Тейлора
в окрестности точки T = TQ с точностью до второго слагаемого. Тогда*
| § (Е' — Е) Ss (Е' —>*Е) Ф (£') dE' dE =
о о
= Е' (Е' -Е) Ss (Е' Е)М (£') dE' dE = ^k(T-То)NM2 (10.3.11)
(TV— число атомов в 1 сл^3), т. е. среднее значение поглощаемой или испу-
скаемой при одном столкновении энергии пропорционально произведению
разности температур нейтронов и замедлителя, а также среднему квадрату
потери энергии, определяемому согласно соотношению (10.1.14). Комбинируя
соотношения (10.3.11), (10.3.9) и (10.3.8) с учетом того, что Е = 3&772,
получим
+ =^k(T-T0)NM2, (10.3.12а)
Ч/ 4* \ С4 111 1 J
* M2=7^H(£'-£)2M(K')os(E'-»£)^'d£ =
\K1 о) ej d
= (2?'2+7?2^2£’27')M(£')-^(£' ~~>E)dE'dE =
=7vFV2 И E’ &'-£) M (.E’) os (E' -» E) dE'dE.
Q) e) e)
Последнее равенство следует из принципа детального равновесия.
220
или, если положить в левой части Т То и решить уравнение относи-
тельно Т — TQ,
л I 2 1п Д
т ~^о _ Н _________d\n.T (10 3 19б1
70 ~U Ф NM2 ’ (lU.J.lU))
Нестационарный случай. Ф (г, t) — R (г) e~aZ, где R (г) — собственная
функция уравнения у 2R + B2R = 0, отвечающая наименьшему собствен-
ному значению и удовлетворяющая нулевому граничному условию для
потока на эффективной поверхности среды. Тогда из равенства (10.3.126)
следует, что
j I 2 &
Т-^~-ВВ* . , (10.3.13)
т. е. имеет место диффузионное охлаждение.
Физическая причина диффузионного охлаждения заключается в том, что
нейтроны, обладающие большой энергией, преимущественно утекают через
поверхность среды в процессе затухания импульса нейтронов. Эта преимуще-
ственная утечка приводит к охлаждению спектра, которое тем больше, чем
слабее энергетическое взаимодействие нейтронного газа с замедлителем.
Постоянная затухания а, согласно уравнению (10.3.4), равна
а - v%a + DvB2. (10.3.14)
Если сечение поглощения подчиняется закону 1 / v, первое слагаемое в правой
части не зависит от формы спектра, причем = i;Sa = i?02a (vQ).
Его часто обозначают символом а0. Произведение D v зависит как от формы
спектра, так и от величины В2, как это следует из соотношения (10.3.13).
Поскольку имеет место зависимость
(Dv) (Т) = (Dv) (То) + (Т - То)
То’
(10.3.15a)
то, полагая (Dv) (70) = Do, а
1 + 2 <Р.П
гр dDv dhiT
1qU ~dT NM~2
и комбинируя соотношения (10.3.15a) и (10.3.13), получаем
Dv=DQ — СВ2.
Таким образом, окончательно
а = а0 + DqB2 — СВ\
(10.3.156)
(10.3.16)
В отличие от линейного соотношения между величинами а и В2, пред-
сказываемого простой одногрупповой теорией, имеем квадратичную зависи-
мость, обусловленную эффектом диффузионного охлаждения *.
Такой характер зависимости а от В2 наблюдался экспериментально.
Постоянная С называется «константой диффузионного охлаждения» и опре-
деляется соотношением
или при Dv
2( dD« }-
С=—Ур?.т’ . (10.3.176)
vNM2
* Разумеется, в разложении появляются также слагаемые более высокого порядка
по В2, но при малых В2 ими можно пренебречь.
221
Часто используется величина с = C/D^, которая определяется как
В графите и бериллии коэффициент D (Е) почти постоянен, так что
d In D n m л vD* DI D tt
Л5Т = °- Тогда C==2A^ = ^^’ a C==2W Некото₽ые вычисленные
значения коэффициента С приведены в табл. 10.3.1; очевидно, эти значения
зависят от используемой модели.
Таблица 10.3.1
Расчетные значения коэффициента диффузионного охлаждения С,
вычисленные с использованием эффективной температуры нейтронов (То = 2О°С)
Вещество d In D d In T D, cm c, сж-4. сек-1 Модель, на основании которой рассчитана функция М2
Н2о 1/2 0,144 3400 2650 4250 Модель Нелкина Соотношение (10.1.15) при А~1 Соотношение (10.1.15) при А = 18
Be (1,85 г) см2) 0 0,5 9-104 5,6-104 Соотношение (10.1.33в) Соотношение (10.1.15) при А — 9
Графит (1,6 г/см3) 0 0,86 10,8-105 4-105 Модель Паркса Соотношение (10.1.15) при А = 12
(10.3.19а)
(10.3.196)
(10.3.19в)
В стационарном случае Ф(г, Z)=7?(r), а функция R (г) удовлетворяет
уравнению V2/? — RIL2 — 0.
Температура нейтронов определяется соотношением
л , dlnD
T~TQ __ D dlnz
Tq ~ L* NM2 NM2 • (1U.J.W)
Другими словами, имеет место диффузионный разогрев, обусловленный тем,
что средняя энергия нейтронов, втекающих в каждый элемент объема,
больше, чем энергия нейтронов, поглощенных в нем. Диффузионная длина
определяется равенством
£2__ Р Ри
v^a
По аналогии с соотношением (10.3.156) можно написать
Dv = Dq 4" С~Г2~ •
Тогда
£
Обозначая L% = Dol[v^a (р)] и &[v£a (у) L2] « C/Do — с, получаем
L2 = L20 + c. (10.3.19г)
Часто это соотношение записывают в виде
с \
LIJ ’
1 _ 1
Z2 ~ Ц
1
(10.3.19д)
222
10.3.2. Описание эффекта диффузионного охлаждения
методом полиномов Лагерра
Использование понятия температуры нейтронов весьма удобно’для полу-
чения качественной оценки эффектов диффузии в термализованных полях,
однако недостатком этой модели является предположение, что спектр Ф (Е)
всегда может быть описан распределением Максвелла. Откажемся теперь от
этого предположения. Для иллюстрации развиваемой методики рассмотрим
только случай диффузионного охлаждения поля импульсных нейтронов;
описание диффузионного разогрева полностью аналогично.
Будем снова исходить из уравнения (10.3.3), предполагая опять, что
Ф (£*, г, t) = Ф (Е) R (г) е~а/; учитывая, что у 2R/R = — В2, получим
-2- Ф(Е) = D (Е) В2Ф(Е) — ЬФ. (10.3.20)
В целях сокращения записи положим = 0; поскольку 1 /^-поглощение
не влияет на спектр поля импульсных нейтронов, а только увеличивает
постоянную затухания на величину а0 = и2а (и). Это предположение не
ограничивает общности. Уравнение (10.3.20) определяет задачу на собствен-
ные значения; существует полная система собственных значений av и соб-
ственных функций Фv (£*). Нас интересует только наименьшее собственное
значение и соответствующая ему собственная функция, определяющая спектр;
в п. 10.4 мы вернемся к вопросу о собственных функциях более высокого
порядка, которые описывают переходный процесс приближения к термали-
зованному состоянию.
Чтобы решить уравнение (10.3.20), попытаемся преобразовать инте-
гральное уравнение в систему линейных уравнений. Это может быть сделано,
например, с помощью многогруппового метода, согласно которому непре-
рывный энергетический интервал должен быть разбит на п дискретных энер-
гетических групп.
Более изящным и гораздо более наглядным методом является разложе-
ние функции Ф (Z?) в ряд по ортогональным функциям. Положим
Ф (Е) = 2 AkL$> М (Е), (10.3.21)
/г=0
где Ak — некоторые константы и L™ — присоединенные полиномы Лагерра
первого рода *. Последние определяются соотношением
k
= S (10.3.22а)
v=0
В частности,
Е<1’(^) = 1,
L*'(x) = 2—x, (10.3.226)
L?(x) = 3-3x + ^-. j
Эти функции удовлетворяют следующему соотношению ортогональности
J xe~xL^ (х) (х) dx = (k+ 1) dik. (10.3.22в)
о
В силу этой ортогональности функции особенно удобны для описания
термализованных полей нейтронов; разумеется, уравнение принимает весьма
простой вид в модели тяжелого газа. Если подставить разложение (10.3.21)
* См., например, «Higher Transcendental Functions», Vol. J. New York, McGrow-
Hill Book Co., 1953, p. 179.
223
в уравнение (10.3.20), после этого умножить обе части на 1Д*(Е/kTQ)
и результат проинтегрировать по энергии, то
а 5 2 DikAk- J LlkAh. (10.3.23)
/г=0 /г=0 /г=0
Таким образом, получена система линейных однородных уравнений отно-
сительно Для существования нетривиального решения определитель,
составленный из коэффициентов при 4д, должен обращаться в нуль, т. е.
| aVik - BWik 4- Lik | - 0. (10.3.24)
Уравнение (10.3.24) — алгебраическое уравнение, решение которого дает
собственные значения. Но прежде чем решать его, необходимо оценить
матричные элементы Pu, Dik и Lik:
v«‘ “ I«”«) А м т к' (AAidE-
о
=~ $ (ж) dx,
т о
(10.3.25а)
где vT = уг2кТ01тп. Из соотношения (10.3.25а) следует, что
= Vn-=TVoo- (Ю.3.256)
Гефель и для i^k Дреснер (Hafele, Dresner, 1960) показали в общем случае, что
Далее - (‘-‘+т)r г ( (г —Z)! (к — 1)] Ц (10.3.25b)
Dik = \w ( 0 ^)рдам(ВД.“(^ | dE. (10.3.25г)
В важном частном случае, который мы начиная с этого момента только
и будем рассматривать, когда D (Е) = const, используя (10.3.25г), можно
получить
Dik = (k+i)DSih. (10.3.25д)
Наконец,
оо
(Ю.з.аг.о)
о
В модели тяжелого газа матричные элементы Lu имеют наиболее простой
вид. В этом случае оператор L определяется как [см. уравнение (10.2.4)]
\(Е-кТ0)Ф(Е) + ЕкТ0^-'] .
CLIL Ц CblJj |
Тогда
+ xe~xL^ (х) = — кЬ^ (х)хе~х, (10.3.25ж)
т. е. функции Lh} (E/kTQ) М (Е) — собственные функции оператора термали-
зации в модели тяжелого газа, соответствующие собственным числам —k^Hs.
Поэтому, используя соотношение (10.3.22в), можно получить для модели
тяжелого газа
(10.3.25з)
Lih — — к (к 4- 1) |SsSu*
224
Нетрудно показать, что даже в случае произвольного закона рассеяния все
элементы Lok и Lk0 обращаются в нуль; далее
т _ nm2
- Г“
(10.3.25и)
где N — число рассеивающих атомов в 1 сл^3, а *М2 — средний квадрат потери
энергии (см. п. 10.1). Общие выражения для матричных элементов Lt^
с учетом более высоких моментов ядра рассеяния были получены Пурохитом
(Purohit, 1961) и Такахаши (Takahashi, 1962).
Чтобы решить уравнение (10.3.24), ограничим разложение функции
Ф (Е)1М (Е) конечным числом слагаемых Z. Тогда уравнение (10.3.24) пре-
вращается в уравнение Z-ro порядка относительно а. Для Z = 1, 2 получим
откуда
оо — — 0,
DqqB% 7-х 2 D2 ГЛ П9 [
— = D —— vTB2 = D0B2,
иоо ул )
и
(10.3.26а)
.откуда
или
где
ссРоо — DqqB2 ccFoi
c&Voi ос Tit — ^2l^ii~r^ii
а = — (-^В*
V оо 1 00^11 \ Иоо /
D2-^—vt
с . Dio (Vqi\2 Уя
^ооЬи V ^оо ) %NMZ
(10.3.266)*
(10.3.26b)
Это соотношение для коэффициента С идентично выражению (10.3.17а),
полученному для постоянного значения D с использованием понятия темпе-
ратуры нейтронов. Этот результат нетрудно понять, если обратиться к соот-
ношению (10.3.10). Действительно, если ограничиться только слагаемыми
порядка не выше В2, то приближение для Z = 2 идентично представлению
возмущенного спектра максвелловским распределением со сдвинутой темпе-
ратурой.
Оценим теперь погрешность рассмотренных приближений. Для этого
сохраним в разложении функции Ф (Е)/М (Е) большее число слагаемых.
Для модели тяжелого газа
2
AD2 —— »т
=2) _ 1/л
“ 162s
(10.3.27а)
поскольку M2 = 8os/A. Согласно Гефелю и Дреснеру (Hafele, Dresner, 1960),
для произвольного Z
2
AD2 ——— I— 1
г(0 __ Ул 1
22s v(v + l)
v=l
г (2v — 1)!! Л 2
L (2v)!! J
(10.3.276)**
* Слагаемыми более высокого порядка по сравнению с В± мы пренебрегли.
** х\\ = х (х — 2) (а? — 4)... (2) или (1).
15 Нейтронная физика
225
// 2 \
/ AD2——vT \
I 9^—— / для разных значе-
ний /. Из таблицы видно, что сходится довольно медленно к своему
асимптотическому значению С^°°\ причем
С(оо)
(10.3.27b)
122
Последняя величина примерно на 33% больше значения C(Z 2). Выражение
(10.3.27в) может быть получено также без использования
Таблица 10.3.2
/ / 2
/ / AD2 т /— V,
Величина С(О
----2------/, вычисленная с помощью соотношения
/
(10.2.276) для разных значений I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cl 0,1250 0,1484 0,1566 0,1603 0,1623 0,1635 0,1643 0,1649
1 10 11 12 13 14 15 16
Cl 0,1652 0,1655 0,1657 0,1659 0,1660 0,1661 0,1662
приближения с помощью полиномов Лагерра путем прямого интегрирования
уравнения (10.3.20) (Hurwitz, Nelkin, 1958; Beckurts, 1957). Приближения
высокого порядка для величины С в случае кристаллических замедлителей
изучались Такахаши (Takahashi, 1962). Он использовал приближение тяже-
лого кристалла в предположении, что коэффициент диффузии D постоянен.
Им было показано, что для получения хорошей точности при расчете величины
С следует брать до 20 слагаемых. Такахаши нашел, что 6^=20) _ 2,48 С(1=2>>
для графита и C(z==:20) — 3,36 CU==2'> для бериллия. Учитывая эти оценки,
можно использовать значения приведенные в табл. 10.3.1. Получен-
ные результаты показывают, что для кристаллических замедлителей с сильной
связью модель с использованием понятия температуры нейтронов является
весьма плохим приближением.
В заключении опишем кратко иную процедуру вычисления константы
диффузионного охлаждения. Решение уравнения (10.3.20) в общем случае
может быть записано в виде
Ф (Е) -= М (Е) + £2Ф2 (Е) + 54Ф4 (Е) + ...,
a = DQB2 — CB* + FB6+ ...
(10.3.28)
Подставляя эти выражения в уравнение (10.3.20) и приравнивая нулю коэф-
фициенты при различных степенях В, получаем
(10.3.29a)
(- D (£)) М (Е) + ЛФ2 (Е) = 0,
- ~ М(Е) + -^2- Ф2 (Я) - D (Е) Ф2 (Е) + ЬФь (Е) = 0 (10.3.296)
226
и т. д. Проинтегрировав написанные выражения по всем энергиям, получим
оо
D (£) М (Е) dE
Do =-^--------------, (10.3.29b)
? — М (Е) dE
J V
О
оо
§ (-^2-D(E)} Ф2 (E)dE
С = ----------------------, (10.3.29г)
-X М (Е) dE
о
поскольку L Ф dE = 0. В этом случае нет необходимости решать задачу
о
на собственные значения. Вместо этого следует определить функцию Ф2 (Е)
из уравнения (10.3.29а) и затем из соотношения (10.3.29г) найти константу
диффузионного охлаждения. Для модели тяжелого газа нетрудно провести
интегрирование уравнения (10.3.29а), в результате чего снова получится
соотношение (10.3.27в) для величины С. Для других законов рассеяния урав-
нение (10.3.29а) можно решить либо многогрупповым методом, либо с помо-
щью разложения по полиномам Лагерра. Эти методы можно применить также
для вычисления слагаемых высокого порядка (коэффициента F и т. д.)
в разложении а (В2) по степеням В2.
10.3.3. Теория переноса для поля термализованных нейтронов
Исследуем теперь погрешности, связанные с использованием элемен-
тарной диффузионной теории, при рассмотрении полей термализованных
нейтронов. Будем исходить из уравнения переноса в плоской геометрии
в отсутствие источников для изотропно рассеивающей среды
1 dF (Е, ц, х, t) _
v dt
оо 4-1
= — 2e(£)/’-H-£- + 4"S $ 2S(£"->£’)^(£’,1 и', t)dE'd[i' (10.3.30a)
0 -1
(в последующем предположение об изотропном рассеянии будет снято).
В стационарном случае в бесконечной среде для поля термализованных ней-
тронов можно написать F (Е, ц, х, t) = F (Е, ц) е~хх.
Тогда
оо 4-1
[S, (Е) -np]F(E, и) = 4$ $ ZS(E' -» E)F(E', y,’)dE’dp,’. (10.3.306)
0 -1
В нестационарном случае F (Е, ц, х, t) = F(E, ц, х) e~at и
|Ч(£)-^] F (Е, И, х) =
оо 4-1
= + $ 2-s (£/ E)F(E', и', x)dE'dy!. (Ю.З.ЗОв)
О -1
Эти два уравнения являются уравнениями для собственных значений кон-
станты релаксации х = HL и константы затухания а соответственно. При
решении уравнения (Ю.З.ЗОв) следует конкретизировать граничные условия
на поверхности среды. Но прежде, чем приступить к решению этих уравне-
ний, приведем простой аргумент, подтверждающий существование верхнего
15* 227
предела собственных значений. Функции F (Е, ц) и F (Е, ц, х) всегда неотри-
цательны. Кроме того, внутренний интеграл 2S (£" Е) F dE'd[F 0.
Поэтому из уравнения (10.3.306) следует, что 2/ (Е)—хц>0 или,
поскольку |1<Л,
x<min{2z (£)}. (10.3.30г)
Следовательно, постоянная релаксации никогда не может быть больше
минимального значения полного сечения на всем энергетическом интервале.
Аналогично из уравнения (Ю.З.ЗОв) при условии отсутствия зависимости
от координат, т. е. при dF !dx = 0, вытекает, что
cz<;min {v^t (Е)}. (Ю.З.ЗОд)
Нелкин (Nelkin, 1958) показал, что неравенство (Ю.З.ЗОд) справедливо
также, когда dF!дх 0. Интуитивно эти предельные соотношения можно
объяснить следующим образом. Наличие как пространственной, так и вре-
менной асимптотики в спектре означает, что все группы нейтронов незави-
симо от их энергии затухают с одинаковой скоростью соответственно в про-
странстве или во времени. Интенсивность нейтронов с энергией Е не может
спадать быстрее, чем функция е~2*(Е)х в стационарном случае, и быстрее,
чем функция в нестационарном случае, поскольку l/2j (Е) —
средняя длина свободного пробега между двумя столкновениями и 1 / р2^(Е) —
среднее время между столкновениями. Таким образом, нейтроны, для которых
величины 2/ или р2^ обладают минимумом, как бы ограничивают скорость
затухания. Для воды и для тяжелой воды минимальное значение величины
2г (Е) достигается при Е = оо, а для кристаллических замедлителей —
непосредственно ниже брэгговской граничной энергии. Минимум величины
v 2^ (Е) всегда имеет место при Е — 0. В табл. 10.3.3 приведены значения
величин 1/(2&)тгг1 и l/(i?2s)m^ для некоторых замедлителей.
Таблица 10.3.3
Нижние предельные значения времени релаксации
и длины релаксации для некоторых замедлителей
при комнатной температуре
Замедлитель мксек V(S )w • , см
Графит (1,6 г/см3) 380 23
Бериллий (1,85 г/см3) 260 18
н2о ~3 0,6
d2o —30 2,8
Если поглощение увеличивается * (в стационарном случае) или умень-
шаются геометрические размеры среды (в импульсном случае), величины х
или а будут увеличиваться соответственно, стремясь при этом к пределам,
определяемым соотношениями (10.3.30г) и (Ю.З.ЗОд). Естественно, встает
вопрос, достигаются ли эти предельные значения асимптотически, т. е. для
бесконечно больших значений 2а или 2?2, либо для конечных величин
2а 1(2а)с] или В2 [(В2)с). Если справедливо последнее, то для 2а > (2а)с
или для В2 > (В2)с не будет существовать решения уравнений (10.3.306)
* Например, вследствие отравления среды бором (см. п. 17.2).
228
и (10.3.30b). Другими словами, в этих крайних случаях не существует асимп-
тотического спектра термализованных нейтронов. Результаты экспериментов
и расчетов свидетельствуют о том, что имеет место последний случай, но
мы до сих пор далеки от полного понимания поведения нейтронного поля
в таких исключительных ситуациях. Однако, как правило, при слабом погло-
щении или при не слишком малых размерах замедлителя критические пре-
дельные условия не имеют места и можно попытаться решить уравнения
(10.3.306) и (10.3.ЗОв) для этих практически важных случаев.
+ 1
Если в уравнение (10.3.306) ввести обозначение Ф (Е) = F (Е, ц) б/ц,
-1
можно получить результат, аналогичный найденному в п. 5.2.2:
оо
Ф(Е)=^-1п[|^|±^] ^ЛЕ'^Е)Ф(Е’)аЕ’. (10.3.31а)
о
Уравнение (10.3.ЗОв) для нестационарного случая не удается свести к про-
стому интегральному уравнению, поскольку существует пространственная
зависимость. Можно, однако, осуществить преобразование Фурье. Введем
фурье-образ F (Е, ц, В) функции F (Е, ц,, х), определяемый как
4~ОО
F (Е, р., В) = J F (Е, р, х) e~iBx dx.
(10.3.316)
Он удовлетворяет уравнению
]F(Z?, и, В) —
оо -|-1
— iBp,F(E, р, В)+ -|-§ $ ^ЛЕ' E) F(E', р', B)dE'dn'. (10.3.31в)
0 -1
+1
Вводя обозначение Ф (Е, В) = F (Е, ц, В) б/ц и повторяя процедуру,
-1
изложенную в п. 5.2.2, получаем
В
Ф (Е, В) = arctg
2S (Е' -> Е) Ф (Е', В) dE'. (10.3.31г)
о
Уравнения (10.3.31а) и (10.3.31г) можно решить численно, определив таким
образом собственные значения % и а и соответствующие им спектры в зависи-
мости от сечения поглощения или параметра В2, Такие численные расчеты
были проделаны Хонеком (Honeck, 1962). Однако, согласно Нелкину (Nel-
kin, 1962), возможно также и аналитическое решение в виде степенного ряда,
которое мы и попытаемся теперь найти для уравнения (10.3.31г) в нестацио-
нарном случае. Пренебрегая поглощением [1/^-поглощение только увеличи-
вает постоянную затухания на величину ос0 = 2о (^о) и не влияет на
спектр], запишем уравнение (10.3.31г) в виде
В
B/arctg
-2, (Е)
Ф(Е, В)-ЬФ,
(10.3.32а)
где L — обычный оператор термализации. Положим теперь
Ф (Е, В) = М (Е) + Е2Ф2 (Е) + В4Ф4 (Е) (10.2.326)
а-Е052 — CB* + FBQ 4 . . ..
(10.3.32b)
229
Если подставить эти выражения в уравнение (10.3.32а), разложить в ряд
функцию B/arctg и пРиРавнять коэффициенты при одинаковых
степенях В, то можно написать
(з17Ж-М^=ЬФ^Е), (10.3.32г)
( 32s (£) v~) ф2 (#)+[ — + 322 (£) (~у- — 15Ss ) ] М (Е) = £Ф4 (Е).
(10.3.32д)
Уравнение (10.3.32г) идентично с соотношением (10.3.29а), полученным
на основе элементарной диффузионной теории; в частности,
(10,3.33а)
соответствует выражению (10.3.29в). Интегрирование уравнения (19.3.32д)
по всем энергиям приводит к соотношению
оо оо
$ (“Г"- 3Ss (£) ) °2 (£,) dE $ 32| (Е) ( 15Ss (£) ~)M(E)dE
С = о------------------------+ -°----------------------------.
оо 1 оо
_L м (Е) dE dE
О 0
(10.3.336)
Здесь первое слагаемое, которое мы обозначим Ср, совпадает по форме с пра-
вой частью равенства (10.3.29г). Второе слагаемое G, очевидно, не связано
с эффектом диффузионного охлаждения, поскольку оно не содержит функцию
Ф2. Оно представляет поправку общей транспортной теории к результатам
элементарной диффузионной теории. Причины появления таких поправок
обсуждались в п. 9.2. Однако полученный здесь результат отличается от
соотношения (9.2.15г), являясь при этом более точным. Если сечения не зави-
сят от энергии, то Ct = — Z)0/(15S|)< С другой стороны, для тяжелого газа
CD= Л290/(3621), так что при А » 1 имеем CD » Ct.
Аналогичное рассмотрение возможно в случае анизотропного рас-
сеяния, если положить (Е' -> Е, Q' -> Q) — Ss0 (^ ->£') +
3
+ (Е' Е) cos Фо + . . . Мы не будем приводить здесь весьма слож-
ные формулы, получающиеся в результате соответствующих выкладок, но
дадим некоторые численные результаты, полученные Хонеком (Honeck,
1962), который, кроме прямого численного расчета собственных значений,
Таблица 10.3.4
Диффузионные параметры при 20° С
Вещество Do, см% -сек-1 с = CD 4- ct, см* • сек-1 F, см6 • сек~1 Модель
Н2О (N = 3) D2O (А = 2) Графит (1,6 г/см3; N — 1) 3,746-104 2,069-105 2,178-105 2,878-104 4,852-105 2,457-Ю8 г- xji СО ю О о о о о о о 1 1 1 2,7-102 3,73-105 —8,3-Ю7 Модель Нелкина Модифицированная модель Нелкина Модель Паркса
230
выполнил также вычисление первых нескольких коэффициентов разложения
функции а (В2) для ряда веществ (табл. 10.3.4). В этих расчетах анизотро-
пия рассеяния учитывалась включением в разложение Ss (£" Е, cos йо)
по полиномам Лежандра Pi (cos й^) N слагаемых. Следует отметить, что
слагаемое Ct вносит небольшой вклад в величину константы диффузионного
охлаждения С.
Результаты, аналогичные полученным, справедливы также и для ста-
ционарного случая.
10.3.4. Замечания о задаче Милна для тепловых нейтронов
При рассмотрении полей термализованных нейтронов, обусловленных
импульсным источником, молчаливо предполагалось, что имеет место разде-
ление переменных по пространственным переменным и энергии, в соответ-
ствии с чем Ф (Е, г) == Ф (Е) R (г), где R (г) — собственная функция урав-
нения
V2/? + B27? = 0,
отвечающая наименьшему собственному значению.
[Это предположение эквивалентно возможности осуществления преобра-
зования Фурье в виде (10.3.316).] Исследуем теперь справедливость этого
предположения.
Рассмотрим сначала общую задачу Милна для тепловых нейтронов.
Допустим, что полупространство х > 0 занято непоглощающим веществом,
температура которого TQ. Предположим, что на бесконечности (х = оо)
имеется источник, испускающий нейтроны с равновесным распределением
по энергии. Пусть далее полупространство х < 0 представляет вакуум.
Тогда асимптотическое распределение потока на больших расстояниях от
поверхности раздела имеет вид
Ф {х, E)~(x + d)M (Е), (10.3.34)
причем положение экстраполированной граничной точки не зависит от
энергии. Для моноэнергетических нейтронов d = 0,7iktr (см. п. 5.2.4).
В средах, для которых сечение рассеяния слабо зависит от энергии, терма-
лизованное поле нейтронов не отличается существенно от поля моноэнерге-
тических нейтронов и d О,712^г. С другой стороны, если сечение рассея-
ния заметно изменяется с энергией (например, для Н2О), спектр будет зна-
чительно искажен вблизи поверхности раздела, что связано с различием
в вероятностях утечки нейтронов разных энергий, так что длина экстрапо-
ляции будет отличаться от величины 0,71Л^г.
Математический анализ задачи Милна с учетом энергетической зависи-
мости очень сложен и не входит в рамки этой книги (Kladnik, 1962; Conkie,
1960; Kiefhaber, 1964). Кифгабер выполнил расчеты в /^-приближении для
воды с использованием модели Нелкина. Из его расчетов следует, что в отсут-
ствие поглощения соотношение (10.3.34) дает весьма точные результаты для
расстояний, превышающих 1 см от поверхности раздела; при этом величина d
на 9% больше, чем координата экстраполированной граничной точки, полу-
ченной на основании усреднения функции l/S^ (Е) по спектру Максвелла.
Если расстояние от поверхности раздела меньше 1 см, спектр отличается от
распределения Максвелла, причем отклонение тем больше, чем ближе точка
, к поверхности; на самой поверхности раздела спектр примерно на 20%
«горячее», чем внутри (см. рис. 10.3.1). К сожалению, нет аналогичных расче-
тов для других замедлителей (за исключением газовых замедлителей). Для
бериллия и графита краевые эффекты, вероятно, менее заметны, чем для
воды, поскольку в этих случаях сечение слабо зависит от энергии *.
* Однако при низких температурах «холодные» нейтроны, т. е. нейтроны, энергии
которых меньше брэгговской и которые имеют очень большие длины свободного пробега,
вызывают сильные краевые возмущения.
231
На основании этих результатов можно сделать вывод, что внутри блока
замедлителя, в котором имеется импульсное поле нейтронов, спектр терма-
лизованных нейтронов не зависит от координат, если линейные размеры
Рис. 10.3.1. Спектр нейтронов, уте-
кающих со свободной поверхности воды,
вычисленный в Р± -приближении с ис-
пользованием модели Нелкипа (7), и
максвелловское распределение, соот-
ветствующее температуре замедлите-
ля (2).
Рис. 10.3.2. Координата граничной
точки экстраполяции для различных
слоев воды, вычисленная в Р3-прибли-
жении (—) [Для сравнения приведены
результаты диффузионной теории (Q).]
блока велики по сравнению со средней транспортной длиной свободного
пробега. Это заключение подтверждено вычислениями Гелбарда и Дэвиса
(Gelbard, Davis, 1962), которые
Рис. 10.3.3. Локальный параметр
V2 Ф(Е, х) dE
nt = -----------в зависимо-
Ф (£, х) dE
сти от положения в слое.
рассчитали численно величины Ф (£*, х)
и а для слоев воды на основании много-
группового метода в Р3-приближении без
предположения о возможности разделения
переменных. Гелбард и Дэвис вычислили
положение экстраполированной точки d
в зависимости от толщины слоя а, под-
бирая для каждого слоя такое значе-
ние В2, чтобы вычисленная непосред-
ственно величина а удовлетворяла соот-
ношению а =сс0-г DqB2 — СВ2 + . . . По-
СКОЛЬКУ =
— a j . На рис. 10.3.2 показана кривая
а (В2}, полученная на основе этих расче-
тов. Для В2 = 0 dx что нахо-
дится в хорошем согласии с результатом
Кифгабера. Кривая а (В2) для сфер весь-
ма близка к кривой, показанной на
рис. 10.3.2. На рис. 10.3.3 приведена ве-
личина — V2 Ф (Е, х) dEI Ф (Е, х) dE,
полученная с помощью таких расчетов
для слоя толщиной 5,1 см, как функция х. Если бы величина Ф (Е, х) могла
быть представлена в виде произведения Ф (Е) В (я), где R (х) удовлетворяет
уравнению V27? + B2R — 0, то функция, представленная на рис. 10.3.3,
должна бы быть постоянной. Это утверждение действительно имеет место для
внутренних областей слоя. Вблизи же поверхности, где локальная кривизна
потока сильно зависит от координат, разделение переменных не является
законным. Подробное изложение этих задач можно найти в работе Уилль-
ямса (Williams, 1963).
232
10.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ИМПУЛЬСНОГО ПОЛЯ НЕЙТРОНОВ
К РАВНОВЕСНОМУ СОСТОЯНИЮ
Ниже мы рассмотрим процесс приближения поля не полностью терма-
лизованных нейтронов к равновесному состоянию, ограничившись при этом
анализом процесса во времени. Такой анализ важен для интерпретации неко-
торых экспериментов, обсуждаемых в гл. 18. Кроме того, он позволяет
проникнуть в глубь механизма термализации нейтронов. Обсуждение про-
цесса приближения к равновесному состоянию в пространстве можно найти
в работах Коттвица, Селенгута, Кучера (Kottwitz, 1960; Selengut, 1961;
Kuscer, 1963).
Математически вопрос о приближении к равновесному состоянию сво-
дится к рассмотрению высших собственных значений и соответствующих им
собственных функций уравнения (Ю.З.ЗОв); асимптотическое состояние, рас-
смотренное в п. 10.3, отвечает наименьшему собственному значению. Однако,
прежде чем приступить к формальному рассмотрению, попытаемся понять
сущность процесса приближения к равновесному состоянию с помощью про-
стой концепции температуры нейтронов.
10.4.1. Элементарное рассмотрение приближения к равновесию
Ограничимся рассмотрением процессов в бесконечных непоглощающих
средах. Как и выше (см. п. 10.3.1), будем исходить из уравнения баланса
нейтронов
-L 0 = £ф + 5 (0 б (Е_ Д<?). (10.4.1а)
Уравнение (10.4.1а) описывает термализацию импульса нейтронов, имевших
первоначально энергию Eq, введенного в бесконечную среду в момент вре-
мени t = 0. В результате интегрирования уравнения (10.4.1а) по всем
оо
энергиям получим, что Ф t) dE = 0 для t > 0, т. е. полная
о
плотность нейтронов п постоянна во времени. При выбранной выше норми-
ровке источника она равна единице. Если уравнение (10.4.1а) умножить
почленно на Е и результат проинтегрировать по всем энергиям, то для
t> 0
-п-^- = ^(Е' — Е)Ф(Е', t)Zs(E' E)dE' dE. (10.4.16)
о о
Интеграл EL Ф dE преобразован так же, как это было сделано в п. 10.3.1.
Соотношение (10.4.16) является точным; оно означает, что энергия, передан-
ная 1 еж3 за 1 сек путем столкновений, равна уменьшению средней энергии
нейтронов в 1 см3 за 1 сек. Если Ф (Е, t) = М (Е), правая часть обращается
в нуль. В этом случае имеет место асимптотическое состояние, в котором
Е = ЗкТ0/2,
Будем снова предполагать, что вблизи равновесного состояния спектр
можно представить распределением Максвелла со сдвинутой температурой,
которая в этом случае должна зависеть от времени. Принимая во внимание
нормировку на постоянную плотность нейтронов, можно написать
Ф (Е, t) = nv (10.4.2а)
Подставив это выражение в уравнение (10.4.16) и переписав правую часть
с учетом соотношений (10.3.10) и (10.3.11), получим следующий результат
при Т (t) — То < То’
_dT^_=vNM2[T^_T0], (10.4.26)
233
Заменяя величину v = зуя обозначение , /ЪкТ „ , /8кТ$ |/ в правой части выражением у и исполь- 7W- ’ (10-4’2в) V Ятпп г
получим Т(1)-Тй~е^нт. (10.4.2г)
Температура нейтронов, таким образом, приближается к равновесному зна-
чению экспоненциально с постоянной времени l/tr. Будем называть вели-
чину tT, определяемую] соотношением (10.4.2в), временем релаксации темпе-
ратуры; в табл. 10.4.1 приведены значения величины tT.
Таблица 10.4.1
Время релаксации температуры tT при 20° С
Вещество tT, мксек Модель, на основании которой получена величина М%
Н2о 4 3,2 5,05 Модель Нелкина Соотношение (10.1.15) при Л = 1 Соотношение (10.1.15) при Л = 18
Be (1,85 г/см3) 34 22 Соотношение (10.1.33в) Соотношение (10.1.15) при Л = 9
Графит (1,6 см3) 140 52 Модель Паркса Соотношение (10.1.15) при Л = 12
Сравнивая выражения (10.4.2в) и (10.3.176), получаем важное соотно-
шение между константой диффузионного охлаждения и временем релакса-
ции температуры
2
3
Mln D0\2^
\ din Т ) 1т'
(10.4.3а)
Если величина D не зависит от энергии, имеет место следующее простое
равенство:
6
(10.4.36)
Вычислим теперь релаксацию температуры в конечной среде. Обобщая
непосредственно на этот случай уравнения (10.3.12а) и (10.4.26) с учетом
того, что ?2Ф/Ф=—находим
. (Ю.4.4а)
ci>4> Су о \ и in j. j
Из последнего уравнения получаем
Г 4 । 2dInJ> 1 .. Г 1 I ДоВ2Л , о <*lng)],
T(t)-T0\l-DB*-----J~e (10,4.46)
Температура, достигнутая к концу процесса термализации, меньше, чем
величина То, вследствие, эффекта диффузионного охлаждения. Благодаря
преимущественной утечке нейтронов с большими энергиями термализация
происходит быстрее, чем в бесконечной среде.
234
10.4.2. Анализ термализации с зависимостью от времени
как задача определения собственных значений
После инжекции импульса нейтронов в бесконечную непоглощающую
среду поток нейтронов будет удовлетворять уравнению
1 ЭФ(Е,Г)
v dt
Общее решение этого уравнения можно искать в виде
Ф (Е, 0 = 3 ВпФп (Е) (10.4.5а)
п
где ап и Фп (£) — собственные значения и соответствующие им собственные
функции уравнения
~-Ф(Е)=—ЬФ. (10.4.56)
Представление решения в форме (10.4.5а) возможно в том случае, если
функции Фп (£*) образуют полную ортогональную систему. Ортогональность
собственных функций уравнения (10.4.56) доказать нетрудно*. Вопрос
о полноте системы весьма сложен. Дискретные собственные значения удо-
влетворяют условию czn^min [v (р)] (см. п. 10.3.3); можно показать,
что в области min [к Ss (к)] < ос < шах [к Ss (к)] существует непрерывное
множество собственных значений и собственных функций (Corngold, Michael,
Wollmann, 1963; Koppel, 1962). Вместо равенства (10.4.5а) следует писать
max(v2s)
Ф (Е, 0 = 2 (Е) e~“"z + $ в (а) F<* (£) е~“'da- (Ю.4.5в)
п min(uXs)
Система будет полна только в том случае, если мы будем учитывать как
дискретный, так и непрерывный спектры собственных функций. Однако
здесь нас не интересует общее решение Ф (Z?, £), справедливое для всех
моментов времени после импульса; мы хотим знать, каким образом спектр
приближается к равновесному состоянию спустя достаточно большой интер-
вал времени после инжекции импульса. Поэтому достаточно, как правило,
знать собственные функции уравнения (10.4.56), отвечающие двум наимень-
шим собственным значениям. Равновесное состояние соответствует собствен-
ному числу а = 0 и собственной функции М (£*). По истечении большого про-
межутка времени будем иметь
Ф (Е, ^) = Е0М(Е) + Е1Ф1(Е)е_“1' + е(г), (10.4.5г)
где 8 (t) — быстро затухающая во времени функция.
Попытаемся теперь вычислить величины и (Л1). Постоянная 1/а1?
очевидно, является характеристической мерой длительности процесса терма-
лизации; будем называть ее временем термализации и обозначать tth = 1 /щ.
Записывая решение в виде (10.4.5г), мы молчаливо предполагаем, что суще-
ствует по крайней мере одно дискретное собственное значение, кроме а = 0,
меньшее предела min (к Ss); справедливость этого до сих пор в общем виде
не доказана. Может оказаться в действительности, что значения ос1? вычис-
ленные ниже, для графита окажутся того же порядка величины, что и крити-
ческое значение, а для бериллия — даже выше него **.
* Если п -=h т, то Ф+ (Е) Фт (Е) dE = 0. Здесь Ф+=ФП {Е)/М (Е)— собственные
о
функции сопряженного уравнения.
** Следует отметить здесь, что в модели тяжелого газа min (u2s) = оо, т. е. время
столкновения равно нулю. По этой причине система дискретных собственных функций
для этой модели полна. Модель тяжелого газа получается при 4 оо, если величина
= 2SsM остается конечной. Следовательно, на основании модели тяжелого газа
нельзя сделать никаких выводов о зависимости процесса термализации от времени.
235
Применим метод разложения в ряд по полиномам Лагерра. Подставим
разложение
оо
Ф (Е) = 2 AU1’ (^) М(Е) (10.3.21)
7г=0
в уравнение (10.4.56), умножим обе части на и проинтегрируем
по всем энергиям. В результате получим линейную однородную систему
уравнений относительно коэффициентов Аъ, решение которой не тривиально
тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т. е.
I ik + Lik | — 0.
В приближении I — 2 уравнение
тривиальный корень а = 0)
(10.4.6а) принимает вид (если отбросить
Уоо ^01
а710 сх/Ин
Тогда
_ Уоо^и _ 2 NM2
l~ v^v^-vi, ~ yS Vt 3
^th —
nm2
(10.4.6a)
(10.4.66)
(10.4.6в)
В приближении I ~ 2 время tth идентично времени релаксации темпера-
туры, определяемым соотношением (10.4.2в). Используя равенства (10.3.10)
и (10.4.2а), можно показать, что представление спектра распределением
Максвелла вблизи равновесного состояния эквивалентно аппроксимации
потока нейтронов линейной комбинацией только двух полиномов Лагерра
(аналогично тому, как это было сделано при описании процесса диффу-
зионного охлаждения).
Такахаши (Takahashi, 1962) исследовал вопрос о точности приближения
для I = 2. Для этого он учитывал большее число членов в разложении по
полиномам Лагерра. Оказалось, что хорошая сходимость по сх± достигается
при Z > 20, причем
a(z_20) _- _ — для модели тяжелого газа,
1 1,2<о
а(/=2>
а(/-20) _ — — для Графита ПрИ 20° С,
* о
а(?=2)
а(1=20)__— — для бериллия при 20° С.
Таким образом, в приближении I — 2 величина имеет завышенное значе-
ние, особенно для сред с сильной химической связью. Это означает, что кон-
цепция температуры нейтронного газа не пригодна для количественных оце-
нок процессов термализации, зависящих от времени. Поэтому для получе-
ния правильных значений времени термализации следует величину времени
релаксации температуры (см. табл. 10.4.1) умножить на приведенные выше
коэффициенты.
Для графита, таким образом, согласно модели Паркса, можно получить
tth = 420 мксек, что превышает предельное значение; для бериллия же,
согласно модели Дебая, tth = 150 мксек, в то время как в соответствии
с соотношением (10.3.30в) и с табл. 10.3.3 это значение должно быть не
236
меньше 260 мксек. Расчеты Такахаши в этом случае представляются невер-
ными. Действительно, вычисления, проведенные Корнгольдом и Шапиро
(Corngold, Shapiro; в печати), показали, что для бериллия отсутствуют дис-
кретные гармоники выше основной. Для воды указанный коэффициент не
был вычислен, но в данном случае хорошим приближением может оказаться
значение 1,28, вычисленное согласно модели тяжелого газа.
Если коэффициент диффузии не зависит от энергии, то согласно (10.4.9в)
и (10.3.26в) в приближении I = 2 имеет место соотношение
С = (10.4.7)
соответствующее выражению (10.4.36), полученному с использованием поня-
тия температуры нейтронов.
При переходе от I = 2 к I = 20 величины С и tth возрастают примерно
в одном и том же отношении независимо от используемой модели.
Такахаши, не прибегая ни к какой конкретной модели термализации,
показал, что соотношение (10.4.7) в первом приближении всегда справедливо.
Можно вычислить величину также и для конечных сред; это было
проделано Пурохитом в приближении I = 2. Наблюдалось возрастание пара-
метра В2, как и предполагалось на основе качественных рассмотрений
с использованием понятия эффективной температуры (см. п. 10.4.1).
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Am al di Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer, 1959
Corngold N. (ed.) Proceedings of the Brookhaven Conference on Neutron Thermaliza-
tion, BNL-719 (1962).*
Poole M. J. Nelkin M. S., Stone R. S. The Theory and Measurement of Reactor
Spectra. Progr. Nucl. Energy Ser. 1, Vol. 2, p. 91 (1958).
Kothari L. S.,Duggal V. P. Scattering of Thermal Neutrons from Solids and their
Thermalization Near Equilibrium. Advances in Nuclear Science and Technology.
Vol. 2, p. 186 (1964).
Специальная
Описание рассеяния нейтронов в модели ядерного газа
Cohen Е. R. Geneva, 1955, Р/611, Vol. 5, р. 531.
D а г d el G. F., von. Phys. Rev., 94, 1272 (1954).
Wigner E. P., W i 1 k i n s J. E. AEGD-2275 (1944).
Wilkins J. E. CP-2482 (1944).
Неупругое рассеяние на химически связанных атомах
Brown Н. D., Jo h n D. S. St. DP-33 (1954).
Fermi E. Ricerca Sci., 1, 13 (1936).
Janik J. A., Kowalska A. Institute of Nuclear Physics. Cracow, Report No. 255
(1963).
Krieger T. J., Nelkin M. Phys. Rev., 106, 290 (1957).
Nelkin M. GA-1689 (1960).
P 1 a c z e k G. Phys. Rev., 86, 377 (1952).
P u г о h i t S. N. BNL-719, 203 (1962) *.
P u г о h i t S. N., R a j a g о p a 1 A. K. BNL-719, 238 (1962) *.
Sachs R. G., T e 11 e r E. Phys. Rev., 60, 18 (1941).
Sjolander A. Arkiv Fysik, 14, 315 (1959).
V о 1 k i n H. C. Phys. Rev., 113, 866 (1959); 117, 1029 (1960).
Wick G. C. Phys. Rev., 94, 1223 (1954).
Z e m a c h A. C., G 1 a u b e r R. J. Phys. Rev., 101, 118 (1956).
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
237
Неупругое рассеяние на Н2О, D2O и других водородсодержащих соединениях
В о f f i V. С., М о 1 i n а г i V. С., Р arks D. Е. BNL-719, 69 (1962) *.
Goldmann D.T., Federighi F. D. BNL-719, 100 (1962)* .
Gossmann G. Nukleonik, 4, 110 (1962).
Honeck H. Trans. Amer. Nucl. Soc., 5, 1, 47 (1962).
Miller Brehm R. L., Roberts W. J. NAA-SR-7140 (1962).
Nelkin M. Phys. Rev., 119, 741 (1960).
Springer T. Nukleonik, 3, 110 (1961).
Неупругое рассеяние нейтронов на кристаллах
В h a n d а г i R. С. J. Nucl. Energy А, 6, 104 (1957).
В h a n d а г i R. С., К о t h а г i L. S., S i n g w i K. S. J. Nucl. Energy, A 7, 45 (1958).
Khubchandani P. G., Kothari L. S., S i n g w i K. S. Phys. Rev., 110, 70
(1958).
Kothari L. S., S i n g w i K. S. Solid State Physics, 8, 109 (1959).
Marshall W., Stuart R. Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids.
Vienna, International Atomic Energy Agency, 1961, p. 75.
Nelkin M. Nucl. Sci. Eng., 2, 373 (1957).
Parks D. E. GA-2438 (1961); Nucl. Sci. Eng., 13, 306 (1962).
P 1 a c z e k G., van Hove L. Phys. Rev., 93, 1207 (1954).
Takahashi H. BNL-719, 1299 (1962) *.
Приборы для изучения неупругого рассеяния нейтронов
Brockhouse В. N. Bull. Am. Phys. Soc., 3, 233 (1958).
Brugger R. M., Evans J. E. Nucl. Instr. Methods, 12, 75 (1961).
Egelstaff P. A., Cocking J., Alexander J. CRRP-1078 (1960).
Glaser W. Neutron Time of Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961, p. 301.
Эксперименты по неупругому рассеянию нейтронов
Brugger R. M. BNL-719, 3 (1962) *.
Egelstaff P. Nucl. Sci. Eng., 12, 250 (1962).
Egelstaff P., Schofield P. Nucl. Sci. Eng., 12, 260 (1962).
Haywood S. С., T h о r s о n I. M. BNL-719, 26 (1962) *.
Sinclair R. N. Inelastic Scattering of Neutrons in Solids and Liquids. Vol. 2. Vienna,
International Atomic Energy Agency, 1963, p. 199.
Спектр нейтронов в газовых замедлителях
в отсутствие пространственной зависимости
Cohen Е. R. Nucl. Sci. Eng., 2, 227 (1957).
С о v е у о u R. F., В a t е R. R., О s b о г n R. К. ORNL-1958 (1955).
Horowitz J., Т г е t i а к о f f О. EANDC-(Е)-14 (1960).
Hurwitz Н., Nelkin М. S., Н a b е 11 е г G. I. Nucl. Sci. Eng., 1, 280 (1956).
Wigner E. P., W i 1 к i n s J. E. AECD-2275 (1944).
Wilkins J. E. CP-2481 (1944).
Спектр нейтронов с учетом химических связей замедлителя
в отсутствие пространственной зависимости
С a d i 1 h а с М. et al. BNL-719, 439 (1962) *.
Corngold N. Ann. Phys., 6, 368 (1959); 11, 338 (1960).
Parks D. E. Nucl. Sci. Eng., 9, 430 (1961).
Schaefer G. W., Allsopp K. BNL-719, 614 (1962) *.
Пространственно-зависимый спектр нейтронов
Honeck Н. BNL-719, RD-1 (1962)*; BNL-821 (T-319) (1963).
Marchuk С. I. et al. BNL-719, 706 (1962)*.
Michael P. Nucl. Sci. Eng. 8, 426 (I960).
De Sobrino L., Clark M. Nucl. Sci. Eng., 10, 388 (1961).
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской конфе-
ренции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М., Атом-
издат, 1964.
238
Теория эффекта диффузионного охлаждения
В eck urts К. Н. Nucl. Sci. Eng., 2, 516 (1957).
Beckurts К. H. Z. Naturforsch., 12a, 956 (1957).
Von Dardel G. F. Phys. Rev., 94, 1272 (1954).
Hafele W., Dresner L. Nucl. Sci. Eng., 7, 304 (1960).
Hurwitz FL, Nelkin M. S. Nucl. Sci. Eng., 3, 1 (1958).
Nelkin M. S. J. Nucl. Energy, A 8, 48 (1958).
Purohit S. N. Nucl. Sci. Eng., 9, 157 (1961).
Singwi K. S. Arkiv Fysik, 16, 385 (1960).
Takahashi H. BNL-719, 1299 (1962) *.
Транспортная теория полей тепловых нейтронов
Honeck Н. BNL-719, 1186 (1962)*.
Nelkin М. Nucl. Sci. Eng., 7, 210 (1960).
Nelkin M. Physica, 29, 261 (1963); GA-3122, 3298 (1962).
Sjostrand N. G. Arkiv Fysik, 15, 147 (1959).
С о n к i e W. R. Nucl. Sci. Eng., 7, 295 (1960).
Разделение пространственной и энергетической зависимости
для термализованного поля нейтронов; задача Милна
Gelbard Е. М., Davis J. A. Nucl. Sci. Eng., 13, 237 (1962).
Kiefhaber E. Nucl., Sci. Eng., 18, 404 (1964).
Kladnik R. BNL-719, 1211 (1962)*.
К 1 a d n i к R., К u s с e r I. Nucl. Sci. Eng., 13, 149 (1962).
Williams M.M.R. J. Nucl. Energy, A u В 17, 55 (1963).
Временная зависимость процесса термализации
С or ng ol d N., Michael P., Wollmann W. Nucl. Sci. Eng., 15, 13 (1963);
BNL-719, 1103 (1962) *.
Corngold N., Shapiro G. S. Nucl. Sci. Eng. (в печати).
Koppel J. U. Nucl. Sci. Eng., 16, 101 (1963); GA-2988 (1962); BNL-719, 1232 (1962) *.
Purohit S. N. Nucl. Sci. Eng., 9, 157 (1961).
Диффузия нейтронов в окрестности разрыва непрерывности по температуре;
приближение (в пространстве) к равновесному состоянию
Bennett R. А., Н ei nem an R. Е. Nucl. Sci. Eng., 8, 294 (1963).
Kottwitz D.A. Nucl. Sci. Eng., 7, 345 (1960).
К u s с e r I. J. Nucl. Energy, A u В 17, 49 (1963).
De Ladonchamps J. R. L., Grossman L. M. Nucl. Sci. Eng., 12, 238 (1962).
Selengut D. S. Nucl. Sci. Eng., 9, 94 (1961).
Takahashi H. BNL-719, 1299 (1962) *.
Weiss Z., S u walski W. Nukleonika, 6, 243, 443, 691, 704 (1961).
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской конфе-
ренции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
Часть Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА И СПЕКТРА ПОЛЯ НЕЙТРОНОВ
Г л а в а 11
ИЗМЕРЕНИЕ ПОТОКА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАЗЦОВ
Детекторы нейтронов, рассмотренные в гл. 3, не всегда могут быть
использованы для определения интенсивности стационарного нейтронного
поля, но почти всегда имеется возможность успешно применять так называе-
мые радиоактивные индикаторы и измерять интенсивность нейтронного поля
по активности образца, активированного в этом поле. Таким образом могут
быть проведены весьма точные относительные и абсолютные измерения интен-
сивности нейтронов. Поскольку существует большое количество элементов,
пригодных для изготовления индикаторов, с различной зависимостью сече-
ния активации от энергии нейтронов, то при измерении с помощью образцов
можно получить информацию об энергетическом распределении нейтрон-
ного поля.
В этой главе будут описаны эксперименты, проводимые в полях чисто
тепловых нейтронов. В процессе изложения будут получены ответы на общие
вопросы, связанные с измерениями методом образцов. Последующие главы
будут посвящены измерениям потока эпитепловых нейтронов с помощью
резонансных индикаторов и разделению активаций, обусловленных тепло-
выми и эпитепловыми нейтронами (гл. 12), а также использованию пороговых
детекторов в экспериментах с быстрыми нейтронами (гл. 13.). Гл. 14 и 15
также частично касаются использования в экспериментах активацион-
ного метода.
11.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ *
11.1.1. Активация и активность
Начнем с определения геометрических форм, которые будут нас интере-
совать в дальнейшем. На практике наиболее часто используются в качестве
образцов фольги, т. е. образцы, выполненные в виде тонких дискообразных
фольг с площадью поверхности порядка 0,1 —10 см2. Иногда для измерения
пространственного распределения потока используются образцы в форме
длинных полосок или проволочек. При использовании фольг и полосок акти-
вация и активность часто выражаются величинами, приведенными к 1 см2
поверхности, в то время как для проволочек соответствующие значения
относятся к 1 см длины.
Активация С может быть определена как число радиоактивных атомов,
образующихся при поглощении нейтронов в 1 см2 поверхности образца за
1 сек. Величина С зависит от интенсивности поля нейтронов F (г, О, Е},
толщины образца d и от значения сечений Hact (Е), (Е) и (Е).
В п. 11.2.1 будет изучаться общая связь между этими величинами и акти-
вацией С.
* Недавно вышла в свет книга Д. Тейлора «Нейтронное излучение и активацион-
ный анализ» (М., Атомиздат, 1965), посвященная практическим приложениям метода
и описанию используемой при этом современной аппаратуры.— Прим. ред.
240
При (Е) + Ss (£')] d < 1, т. e. для тонких образцов, нейтронное
поле при прохождении через образец практически не ослабляется, так что
C = ®yactd, (11.1.1)
где Ф — поток тепловых нейтронов * и 2ас/ — «среднее» сечение активации
(см. п. 5.3.2). Таким образом, активация тонких образцов пропорциональна
потоку или плотности нейтронов; если сечение Hact (^) следует закону 1/и,
то С — nv Zact (у) d. В этом случае можно определить плотность нейтронов
с помощью активации, даже если спектр неизвестен.
Полная активация В (t) — это число радиоактивных атомов, имею-
щихся в данный момент на 1 см2 поверхности образца. Если X — постоянная
распада, то при постоянной активации, которая начинается при t = О,
(11.1.2)
Величина В (t) достигает значения С/Х, соответствующего насыщению, после
«бесконечно долгого» облучения. После облучения в течение времени, рав-
ного периоду полураспада образца Ту2 = 0,693/X, полная активация состав-
ляет 50% величины насыщения, а по истечении десяти периодов полураспада
она достигает уже 99,9%. После прекращения облучения В (t) уменьшается
по закону
jg(Z2) = -^(l-e-wi)e-w2, (11.1.3а)
где tr — время облучения, a t2 — время, прошедшее после окончания облу-
чения.
Наконец, активность А — это число атомов, распадающихся за 1 сек
на 1 см2 поверхности образца. Очевидно, А = кВ, и А (£2) =
= С (1 — e^7Ji) е^ 7^2, или
АТ = С, (11.1.36)
где зависимость от времени определяется временным фактором
Л — ^7- (11.1.3=)
При сравнении результатов различных измерений обычно вычисляют
активность, умноженную на соответствующий временной фактор. Отметим,
что величина А является «истинной» активностью образца, в то время как
измерения с помощью счетчика дают «кажущуюся» активность, которая
меньше истинной вследствие самопоглощения излучаемой радиации и гео-
метрических (телесный угол) эффектов.
11.1.2. Материалы, используемые для образцов при измерениях
в поле тепловых нейтронов
В табл. 11.1.1 приведены некоторые полезные данные, характеризую-
щие вещества, которые могут быть использованы в качестве образцов при
измерениях в поле тепловых нейтронов. Первые три колонки содержат число
атомов на 1 а вещества, сечение поглощения и сечение рассеяния. Кроме
того, в таблице выделены активируемые изотопы и их процентное содержание
в естественной смеси элемента, сечения активации, получаемые изотопы
и период полураспада последних. Основная активность выделена полужир-
ным шрифтом; величины активностей остальных изотопов используются при
оценке погрешностей в измерениях с образцом, так как необходимо знать
время выжидания, в течение которого распадаются короткоживущие изо-
топы; кроме того, надо оценить фон, который следует вычесть при учете
активности долгоживущих изотопов.
* Точнее, средний по поверхности образца поток тепловых нейтронов.
16 Нейтронная физика
241
Таблица 11.1.1
Свойства образцов, используемых при измерениях в поле тепловых нейтронов
Эле- мент w/p, 1022 атом/г Ga, барн (vq — 2200 м/сек) Os, барн Изотопиче- ский состав, % Gacf 6apH (vq = 2200 м/сек) Радиоактивный , изотоп
25МП 1,097 13,2+0,1 2,3+0,3 Mn65 (100) 13,2+0,1 Mn^ (2,58 ч)
27С0 1,022 37,1 + 1,0 7±1 Co59 (ЮО) 16,9±1,5 20,2±l,9 Со™™ (ю,4 мин) (10,4 мин-± 5,28 года, 99%) Со60 (5,28 года)
0,948 3,81+0,03 7,2+0,6 Си63 (69,1) Си33 (30,9) 4,41+0,20 1,8+0,4 Сиб4 (12,87 ч) Си66 (5,14 мин)
47Ag 0,558 64,5+0,6 g (0,0253 эв) = = 1,0045 6+1 Ag107 (51,35) Agio» (48,65) 45+4 3,2±0,4 105+15 Ag108 (2,3 мин) Agnom (253 дНя) Ag110 (24 сек)
49In 0,525 194+2 g (0,0253 эв) = = 1,0194 2,2±0,5 In“3 (4,23) In115 (95,77) 56+12 2,0+0,6 160+2 42±1 In114mi (49 дней) In114 (72 сек) 1п116Ш1 (54,12 мин) In116 (14,1 сек)
6eDy 0,371 940+20 100+20 Dyi64 (28,18) 2000+200 800+100 Dy1B5’n (1,3 лш„) Dy165 (140 мин)
79Au 0,3055 98,5+0.4 g (0,0253 эв) = = 1,0052 9,3+1,0 Au'97 (100) 98,5+0,4 Aui»s (2,695 дня)
Марганец имеет особые преимущества как поглотитель, сечение которого
строго следует закону 1/v в тепловой области энергий. На практике он часто
используется в виде марганцевоникелевых фольг, содержащих около 90 вес. %
марганца (р = 7,6 г/см3). При захвате нейтрона изотопом Ni64 образуется
побочная активность, которая по чисто случайному совпадению имеет такой
же период полураспада, как и Мп56; однако она дает вклад, равный всего
0,01% по отношению к основной активности. Марганцевоникелевые фольги
весьма прочны, и их можно изготовлять толщиной до 6 мг/см2 А 7,9-10“3 мм.
Массовые коэффициенты * поглощения ра и активации pact равны соответ-
ственно 0,135 и 0,130 см2/г. Такие фольги удобны для измерений в потоках,
превышающих 104 нейтрон / (см2 • сек). На рис. 11.1.1 показана схема распада
марганца. Имеет место как р-, так и у-излучение, и обе активности могут быть
использованы для счета. Марганец применяется также в методе марганцевого
бака для определения интегральной интенсивности нейтронного поля (см.
п. 14.3.3).
Часто для измерений при длительном облучении** в больших потоках
нейтронов [1010—1013 нейтрон / (см2 - сек)] используется кобальт, поскольку
* При работе с образцами обычно принято измерять их толщину не в единицах
длины, а в единицах массы, приходящейся на единицу поверхности, б = pd (г/см2);
в этом случае вместо макроскопического сечения поглощения используется массо-
вый коэффициент поглощения |да = 2а/р (см2/г).
** Длительное облучение необходимо для определения полной дозы, полученной
образцом, помещенным в реактор.
242
он имеет большой период полураспада и малое сечение активации. В основ-
ном кобальт применяется в виде проволочек. Активность облученных образ-
цов наиболее удобно опреде-
лять с помощью регистрации Мп °
у-из л учения,. так как интенсив-
ность |3-излучения у Со60 мала.
Медь, подобно марганцу,
имеет сечение поглощения,
строго подчиняющееся закону
1/и. Вследствие большого пе-
риода полураспада и малого
сечения активации образцы меди
менее чувствительны, чем мар-
ганцевоникелевые фольги [по-
токи должны превышать 105 ней-
трон/(см2-сек)]. Из чистой ме-
таллической меди (р=8,90 г/см3)
легко могут быть изготовлены
тонкие фольги или полоски
с хорошими механическими
свойствами и малой поверхно-
стной массой (порядка 5 мг/см2).
Для активности с периодом
полураспада 12,87 ч =
— 0,0361 см2/г и рас/ =
-0,0289 см2/г.
На рис. 11.1.2 показана
схема распада Си64. Активность
образцов наилучшим образом
может быть измерена с помощью
регистрации р“- и |3+-излучения
позитронной аннигиляции. Могут
счета у- у-совпадений.
и у-из лучения, возникающего при
ыть с успехом использованы методы
Серебро и родий используются в основном для демонстрационных опытов,
связанных с активацией нейтронами, поскольку они имеют малый период
СЦ1*
12,87ч
0,34
1,34Мэб
"V
0,57
38%
Zn ^(стабильный)
1,34
0,66
19% J?
43% 3.3
№ ^(стабильный)
Рис. 11.1.2. Схема распада Си64.
полураспада и большое се-
чение активации; соответ-
ствующие данные для сереб-
ра включены в табл. 11.1.1
только для полноты.
Изотоп индия с периодом
полураспада 54 мин часто
используется для определе-
ния малых потоков. Сечение
индия не подчиняется за-
кону 1/р; действительно,
индий имеет резонансы, ко-
торые в среднем могут
привести к сильной эпитеп-
ловой активации образца
(см. п. 12.1.2). Кроме ак-
тивностей, приведенных в
табл. 11.1.1, имеется побоч-
ная активность (4,5 ч), свя-
занная с изомером In115, который может быть возбужден при неупругом
рассеянии быстрых нейтронов. Из металлического индия (р = 7,28 г /см3)
могут быть изготовлены прочные фольги толщиной до 10 мг/см2', более тон-
кие фольги могут быть получены осаждением паров индия на подходящую
16* 243
подложку или сплавлением индия с оловом. Для металлического индия
= 1,019 см2/г и [iact (54 мин) = 0,8045 см2/г. На рис. 11.1.3 показана
схема распада In116; активность, очевидно, может быть измерена с помощью
регистрации |3- или у-излу-
чения.
Для измерений неболь-
ших потоков нейтронов удоб-
но использовать диспрозий.
Сечение активации диспро-
зия слабо отличается от
закона 1 /у; по сравнению
с индием вклад эпитепловой
активации меньше. Диспро-
зий иногда используется в
виде диспрозий-алюминиевых
сплавов или в виде окиси
диспрозия Dy2Os, осажден-
ной на алюминиевую под-
ложку после смешивания со
связующей основой. Для
Dy2O3 = 1,586 см2/г и
pact = 0,381 см2/г (эти дан-
ные соответствуют активно-
сти с периодом полураспада
140 мин). Из схемы рас-
пада Dy165, приведенной на
Sn116(стабильный)
Рис. 11.1.3. Схема распада In116, 1п116тп1, In116w2.
рис* 11.1.4, можно видеть, что
для определения активности
диспрозия можно использо-
вать только р-излучение.
Для точных измерений, особенно для абсолютных измерений, наилуч-
шим является золото. Прокаткой могут быть легко изготовлены фольги
Рис. 11.1.4. Схема распада Dy1G5.
металлического золота (р = 19,32 г/см3) толщиной до 5 мг /см2; тонкие
фольги могут быть получены испарением. Для золота = pact =
= 0,3008 см2/г. На рис. 11.1.5 показана схема распада золотау
244
из которой следует, что возможна регистрация как |3-, так и у-из-
лучения *.
На рис. 11.1.6 для некоторых веществ представлены g-факторы в зави-
симости от температуры нейтронов. Данные по сечениям в эпитепловой
области будут приведены в п. 12.1.2.
Аи™
2,7дня
Нд 191(ста5ильный)
Рис. 11.1.5. Схема распада Ап198.
Рис. 11.1.6. Температурная зависимость
g-факторов для некоторых веществ [см.
уравнения (15.3.19) — (15.3.21)].
11.1.3. Определение активности образца
Следует делать различие между задачами определения абсолютной
и относительной активности образца. Измерение абсолютной активности
проводят в том случае, когда хотят определить абсолютную величину потока;
однако в большинстве случаев необходимо знать только относительное изме-
нение потока и, следовательно, проводить измерения относительной актив-
ности, при которых определяется активность одного образца относительно
другого или относительно некоторого стандарта. Ниже мы рассмотрим именно
такие относительные измерения.
Если активность измеряется с помощью регистрации у-излучения,
лучше всего использовать сцинтилляционный счетчик, фотопик которого
соответствует определенной у-линии излучения. Поскольку энергия у-лучей
обычно весьма высока (табл. 11.1.2), их самопоглощение в материале образца
мало, если толщина образца не слишком велика. «Кажущаяся» активность,
т. е. число у-квантов, излучаемых с 1 см2 за 1 сек с одной стороны фольги,
таким образом, равна половине истинной активности (в предположении,
что каждый распад дает точно один у-квант). Следовательно, скорость счета
пропорциональна истинной активности. Многие вещества излучают у-кванты,
которые не могут быть использованы для счета; в этом случае активность
образца следует определять по интенсивности |3-излучения.
При этом, однако, кажущаяся активность меньше истинной вследствие
самопоглощения |3-лучей. В частности, кажущаяся активность может зави-
сеть от ориентации фольги в поле нейтронов, как это будет показано
в п. 11.2.5. Самопоглощение |3-лучей может быть приблизительно описано
экспоненциальным законом ослабления. Если Р-излучатель, поверхностная
плотность которого пренебрежимо мала, покрыт слоем толщиной х, вероят-
ность того, что электрон, возникающий в результате |3-распада, покинет
слой, равна
w (х) — е-ах. (11.1.4)
* Au198 имеет сечение поглощения 30 000 барн. При измерениях в больших потоках
нейтронов могут возникнуть ошибки, связанные с потерями ядер при поглощении
нейтронов.
245
Таблица 11.1.2
Данные по у-распаду для некоторых образцов
Элемент Период полураспада Энергия у-квантов, Мэв Число у-квантов на распад Полный коэффи- циент поглоще- ния в образце ц? *, см2/г
25Мп 2,58 ч (Мп5б) 2,12 1,81 0,845 0,145 0,235 0,989 0.0415 (Мп), 0,0405 (Ni) 0,0450 (Мп), 0,0435 (Ni) 0,0656 (Мп), 0,0645 (Ni)
27С0 5,28 года (Сов<>) 1,333 0,173 1,00 0,99 0,0512 0,0548
491п 54,12 мин (In116^) 2,12 1,76 1,51 1,29 1,10 0,83 0,41 0,14 0,16 0,02 0,07 0,84 0,61 0,14 0,30 0,06 0,0400 0,0425 0,0458 0,0496 0,0540 0,0635 0,0970 0,6650
79Ан 2,695 дня (Ап198) 0,412 0,99 0,192
* Если фольга толщиной 6 равномерно активирована, то средняя вероятность излучения
у-кванта равна <ро (Д^)/(2ц^,6).
Этот закон выполняется весьма точно для веществ, которые обладают про-
стой схемой распада (например, золото); для веществ со сложным р-спектром,
таких, как индий, необхо-
Рис. 11.1.7. Интерполяционные кривые поглоще-
ния р-лучей, испускаемых тонкими фольгами,
в зависимости от толщины поглотителя (алюминия).
Кривые построены на основе экспериментальных
данных Мейстера (Meister, 1958).
димо учитывать ослабление
каждой отдельной компо-
ненты i с помощью соответ-
ствующего массового коэф-
фициента поглощения а/.
Однако в измерениях, не
требующих большой точно-
сти, можно ограничиться
использованием некоторого
среднего значения а. В
табл. 11.1.3 приведены дан-
ные по энергиям р-частиц,
а также массовые коэффи-
циенты поглощения для не-
которых веществ, используе-
мых в качестве индикаторов.
Четвертый столбец содержит
массовые коэффициенты по-
глощения cz0, определенные
из начальной части кривой поглощения для алюминия (рис. 11.1.7).
Величина а0 с достаточной степенью точности может быть представлена
следующим эмпирическим выражением:
rzo= 17,0^ max ([aQ] = СМ2/г, [Е^тах]^- Мэв).
246
Таблица 11.1.3
Данные по 0-распаду для некоторых образцов
Вещество Период полураспада Максимальная энергия р-частиц В|3 max’ Мэв осо для алюминия, с м2/г сс для вещества образца, см2/г
26МП 2,58 ч (Мп5б) 2,86 (60%) 1,05 (24%) 0,75 (16%) 11,6+ю 7,5
29Cn 12,87 ч (CiM) 0,573 (38%) 0,656 (19%) (₽+) 34,9+1,5 35
49 In 54,12 мин (Iniiem^ 1,00 (51%) 0,87 (28%) 0,60 (21%) 25,0±2,0 22
66Dy 140 мин (Dy165) 1,28 (85%) 1,19 (13%) 0,29 (1,4%) 12,5 [согласно (11.1.5)] — 12,5
79Au 2,695 дня (Au198) 0,957 (99%) 0,295 (1%) 20,0+1,0 25
Если спектр сложен, величину а0 следует вычислять для каждой компоненты
отдельно с помощью соотношения (11.1.5) и полученные значения усреднять.
В пятой колонке приведен средний коэффициент поглощения, который выбран
таким образом, чтобы измерен-
ная кривая поглощения (для
вещества образца в качестве
поглотителя) наилучшим обра
зом соответствовала экспонен-
циальной функции е~ах в диапа-
зоне О—100 мг!см~ (рис. 11.1.8).
Нетрудно видеть, что величины
а и а0 различаются не сильно;
поэтому соотношение (11.1.5)
может быть использовано для
оценки значения а веществ, если
отсутствуют соответствующие
экспериментальные данные.
11.2. АКТИВАЦИЯ ФОЛЬГ,
ДЕТЕКТИРУЮЩИХ НЕЙТРОНЫ
Чтобы получить наиболь-
шую точность, возможную при
измерениях с образцом, необ-
ходимо знать законы активации фольг, которые будут изложены ниже.
При этом мы сначала обсудим соотношение между активацией (или актив-
ностью) и интенсивностью падающих на фольгу нейтронов в предположе-
нии, что поле падающих на фольгу нейтронов такое же, как и в отсутствие
Рис. 11.1.8. Интерполяционные кривые погло-
щения 0-частиц в зависимости от толщины
поглотителя (выполненного из того же мате-
риала, что и фольга). Кривые построены на
основе экспериментальных данных Мейстера
(Meister, 1958).
247
фольги. В действительности фольга возмущает поле нейтронов, в связи с чем
необходимо вносить соответствующие поправки. Этот последний вопрос будет
подробно обсуждаться в п. 11.3.
11.2.1. Активация и поток нейтронов
Рассмотрим сначала моноэнергетическое поле нейтронов. Предположим,
что векторный поток представлен обычным образом с помощью полиномов
Лежандра, зависящих от cos й, где й — угол рассеяния по отношению к оси
поля:
оо
F(r, Й)=^2 (2Z + l)Fz(r)Pz(cosf>). (11.2.1)
Допустим, что ф — угол между осью поля и нормалью к поверхности фольги
(рис. 11.2.1). Тогда в полярной системе координат, связанной с нормалью
Рис. 11.2.1. Соотношение между углами ф,
й, й*, ф*.
нейтроны не могут попасть в фольгу
радиус фольги велик по сравнению с
Число нейтронов, поглощенных за 1
dx с поперечным сечением 1 ел2, равно
к поверхности фольги, имеем
оо
F(r, Й*) = ^-2 (2Z+1)X
X Fi (г) [л (cos О’*) Pi (cos tp) +
+ 2 2 (/7m)i (C°S X
m=l
X Pp (cos ф) cosm ф* J . (11.2.2)
Предполагаем, что функции Ft (г)
не меняются заметно вдоль поверх-
ности фольги, так что можно пре-
небречь зависимостью от г. Допу-
стим далее, что а) рассеяние в
фольге отсутствует (р^ — ца), б)
через боковую поверхность (т. е.
ее толщиной).
сек на глубине х в слое толщиной
Л/2 2 Л
РА (х) dx = [ j § F (Й*) е
О о
Ма(б-х)
cgs^* й*б7й*Йф* \ladx-[-
л 2л
+ [ J ^F (й*) е
л/2 О
|c°s ®*1 J fa.
(11.2.3)
Первое слагаемое в правой части описывает вклад нейтронов, падающих
«снизу», второе — вклад нейтронов, падающих «сверху». Если подставить
сюда выражение (11.2.2) для F (й*), слагаемые, содержащие присоединен-
ные полиномы Лежандра, после интегрирования по ф* исчезнут. Поэтому
оо
Ра (я) = у 2 (2Z + В Flgl (Иа, х, 6) Pi (cos ip), (11.2.4а)
248
где
г Лр2 _
gl X, 6) = |1а е costf* рг (cos ft*) sjn ft* rfft* _|_
О
+ е lcos^*S PL (cos fP) sin O'* dfi* J . (11.2.46/
л/2
В частности, если cosO* = Z,
1 _ ,Ug(d —x) __ ggx
go ([ia, x, 6) = [Ла [e 1 + e ‘ ] dt =
0
= p.a {E2 [|ia (6 — ж)] E2 (Ha^)}, (H.2.4b)
1 _ nalfi-x) _ Цдх
gi (p.a, x, 6) = |ia \ t [e * — e ‘ ] dt =
о
= Ha {E3 [Ha (6 — ж)] — E3 ([W)}, (11.2.4г)
gz([la, X, 6) =J1O — (3t2 — 1) [e ' +
0
+ e ‘ ]^ = ^{ЗЕ4[Иа(6-х)Ц-
+ 3E4 (|лох) — E2 [Ца (6 — ,r)] — E2 ([iax)}.
(И.2.4д)
Для функций
оо 1
En(x) = <\j^^du=<\jtn~2e-x/tdt (11.2.4e)
1 0
составлены подробные таблицы (см., на-
пример, Placzek, 1951).
На рис. 11.2.2 приведены функции gQl
gi и §*2- Все функции gi, соответствующие
четным значениям Z, инвариантны относи-
тельно преобразования х S — х, в то вре-
Рис. 11.2.2. Функции gi (ца, х, д)
для Z = 0, 1, 2 при цад = 0,1 (—) и
цад = 1,0 (---).
мя как величины gi с нечетными I меняют знак
Активацию С можно получить в результате
ния РА (х) (fXacf/pa) по толщине фольги, т. е.
при этом преобразовании,
интегрирования произведе-
6 оо
с = 1 2 (21 + 1)^фг(М) Л(со81|>). (11.2.5а)
Pa d Ра
0 1=0
Здесь
б
фг (Цаб) = gl (Ца, X, 6) dx =
о
Р г Л42 _ 1М6-У)
— ца \ \ е eos„ рг (cos й*) sin й* t/'O’* +
о о
2 —
Г \ е lcos^*ipz(cos'fl'*)sind*^* | dx. (11.2.56)
л/2
249
Из соотношения (11.2.56) следует, что все функции ф/ (цаб), соответствую-
Рис. 11.2.3. Вероятность поглощения в фольге
Фо (раб) U) в изотропном нейтронном поле и
аппроксимация этой вероятности дробнора-
циональной функцией (2).
в то время как для ф/ (раб) с чет-
ными I имеет место равенство
(Иаб) = 2 Рг (Z) (1 - е
О
(11.2.5b)
где t = cos^*. В частности,
Фо (Раб) = 1 — 2Е3 (|лаб), (11.2.5г)
ф2 (Р«б) = + Е3 (Цаб) — ЗЕ5 (Цаб).
(И.2.5д)
В последующем ограничимся
рассмотрением полей нейтронов,
векторный поток которых описывается только первыми двумя слагаемыми
разложения по полиномам Лежандра. В этом случае
(М)|
Ра *
(11.2.6)
т. е. активация не зависит от ориентации фольги и пропорциональна потоку.
Зависимость от тока нейтронов отражается только на локальном распре-
делении активации в фольге (см. рис. 11.2.2), но не влияет на интегральную
активацию по толщине фольги. Поскольку
величина Ф (г)/2 равна числу нейтронов,
падающих с обеих сторон фольги на 1 см2,
поверхности, то функцию ф0 (раб), оче-
видно, можно интерпретировать как веро-
ятность поглощения в фольге для изо-
тропного нейтронного поля. В случае
очень толстой фольги (цаб > 1) ф0 (ца6)=
= 1, Т. е. С ==^^~ . с другой СТО-
На 2
РОНЫ, ДЛЯ очень ТОНКОЙ фольги ф0 (Раб) =
= 2|1аб И
С = ФМ . 2 б = Иасгбф (г) =
Ра
= 5ас^й-Ф(г) (11.2.7) Рис. 11.2.4. Коэффициент самоэкра-
нирования поглощающей фольги в
[см. (11.1.1)]. На рис. 11.2.3 показана изотропном нейтр ином поле,
функция фо (раб) и аппроксимация этой
функции соотношением 2раб/(1 + 2цаб), которым мы иногда будем поль-
зоваться в последующем.
Равенство (11.2.6) часто записывается в виде
С=Нае(6^^-)ф(Г).
Z,paO
(11.2.8)
Величина Ф
2рао
(Do
выражение
(г) представляет средний поток нейтронов в фольге;
называется коэффициентом самоэкранирования; его
зависимость от цаб приведена на рис. 11.2.4*.
* Коэффициент самоэкранирования равен отношению среднего потока в фольге
к невозмущенному потоку Ф (не путать с потоком Ф5 на поверхности фольги, который
меньше, чем Ф и равен
Фз = -^-[1 + Е2(Иа6)]).
250.
11.2.2. Влияние рассеяния в фольге
Исследуем теперь погрешности, возникающие при расчете активации,
обусловленные допущением, что рассеянием в фольге можно пренебречь.
Так как в рассматриваемой области энергий сечение рассеяния для боль-
шинства веществ, используемых на практике, гораздо меньше, чем их сече-
ние поглощения, достаточно рассмотреть только первое и второе столкнове-
ния в фольге. Поскольку и в этом случае функция тока нейтронов не дает
вклада в величину активации, исследуем
нейтронов. Число нейтронов, испытавших
первое столкновение в слое dx на глу-
бине х, согласно соотношениям (11.2.4а) —
(11.2.4в), равно
Pt (х) dx = ^- {Е2 [fit (б — ж)] +
+ Е2 (И<ж)} [itdx, (11.2.9)
где П; = + ps — полный коэффициент
ослабления. Доля общего числа
столкновений приводит непосредственно
к активации. Величина же ц8/цг дает
число рассеянных нейтронов, дальнейшую
исследовать. Предположим теперь, что рассеяние изотропно. Вероятность
того, что нейтрон, испытавший рассеивающее столкновение в точке х,
покинет фольгу без последующих столкновений, равна[р^ (6 — я)] +
+ Е2 (ц/^)]; поэтому число нейтронов, претерпевающих второе столкновение
в фольге, равно
д
Pt (х) {1 —4 {е2 [|4 (6 —я)]+Е2 (14Х)} | dx
О
Функция
активацию в изотропном поле
Рис. 11.2.5. Функция % (ц^б).
судьбу которых необходимо
(Ц.2.10а)
d
X ^гб) = 244 5 <Ег (S - ж)] Н Ег <2 ~ {Ег + Ег dx
О
(11.2.106)
приведена на рис. 11.2.5. Так как доля полного числа вторичных
столкновений снова приводит к
активации, активация фольги
после первых двух столкнове-
ний
Рис. 11.2.6. Коэффициент самоэкранирования,
вычисленный с учетом рассеяния в фольге (—) и
без поправки на рассеяние (----------).
равна
Q ~ iLLacZ
Hi
д
[ § Pt (х) dx 4
О
4—2(-%Л/. =
= + нЛс(М)1-
(11.2.11)
На рис. 11.2.6 показана вели-
чина С/(цас^6 Ф), вычисленная
согласно соотношениям (11.2.11)
и (11.2.8), для различных тол-
щин и для ц8/цг = 0,01; 0,1.
Влияние рассеяния мало, так что в большинстве случаев им можно пре-
небречь и вычислять активацию на основании соотношения (11.2.8), даже
251
если величина pis не слишком мала по сравнению с ц/. С физической точки
зрения причину слабого влияния рассеяния можно объяснить следующим
образом. Средняя длина пу-
Рис. 11.2.7. Функция сро (раб), соответствующая
максвелловскому распределению по энергиям, для
1/^-поглотителя (—) и аппроксимация этой функ-
ции соотношением (11.2.13в) (----------).
ти в веществе фольги для
нейтронов, падающих в на-
правлении нормали к по-
верхности, увеличивается
из-за рассеяния, в то время
как для наклонно падающих
нейтронов она уменьшается.
В первом приближении мож-
но считать, что оба эти эф-
фекта взаимно погашаются.
В последующем рассмотре-
нии рассеянием в фольге мы
будем пренебрегать, в соот-
ветствии с чем при расчете
активации будем исходить из
соотношения (11.2.6).
11.2.3. Активация в поле те-
пловых нейтронов
Прежние результаты,.
в частности соотношение
(11.2.6), можно теперь усреднить по максвелловскому распределению ней-
тронов по энергиям. Для тонких фольг
С = = Даsaci (0,0253 ae)-d. (11.2.12)
Зависимость множителя g от температуры для некоторых веществ, исполь-
зуемых для изготовления фольг, приведена на рис. 11.1.6. При рассмотре-
нии толстых фольг ограничимся
случаем, когда отношение
не зависит от энергии нейтронов.
Тогда
С = -^Д^ФоМ, (11.2.13а)
Р'а *
где
Фо(Иаб)=
ОО
= 6]-g-.
G
(11.2.136)
На рис. 11.2.7 приведена функция
Фо(ца6) в зависимости от
для важного частного случая
1/^-поглотителя [ца (Е) ~ 1/1/ Е\ .
Эта кривая была получена числен-
Рис. 11.2.8. Фупкция^^- ф0 (р^б) для фольг
Pz
из индия и золота в максвелловском спек-
тре с температурой 293,6° К.
ным интегрированием соотношения
(11.2.136); функция Фо(Цаб) была затабулирована Мартинэ (Martinez, 1961),
а также рядом других авторов. На рисунке приведена также приближен-
ная зависимость
ФоМ^ З^фо [Ца (ИШ (11.2.13b)
252
которая отклоняется от истинного хода кривой менее чем на 0,5% для
(kT) 6 <0,5.
На рис. 11.2.8 приведена функция —ср0 Дцб) для фольг из золота
Ра
и индия (сечение поглощения не подчиняется закону 1/v) в зависимости
от толщины для 293,6°К; эти кривые были получены численным инте-
грированием.
11.2.4. Активация нейтронами, падающими на края фольги
До сих пор наше рассмотрение было строго справедливо только для
бесконечных фольг, поЬкольку мы пренебрегали влиянием нейтронов, вхо-
дящих в фольгу с боковой поверхности. Вклад таких нейтронов в актива-
цию дискообразных фольг тщательно изучал Ханна (Hanna, 1963). В случае
моноэнергетического изотропного поля нейтронов он предполагает, что для
фольги радиусом R и толщиной d можно написать
С = С(1 + е). (11.2.14)
Здесь С—активация бесконечной фольги, а
е = t1 М - А (11.2.15)
где п ~ 2R/d,
1
А (ица6) = Е2 (ицаб sin ср) d cos ср, (11.2.16а)
о
о г _ о _ Наб
1(Иа6) = -±г \ | 1 + е cos*--Ml-e cos#) sin26-^. (11.2.166)
РаО е) L Ра0 J
0
Ханна нашел, что А (1) = 0,2258, А (2) = 0,0881 и А (4) = 0,0235. Для
не очень толстых фольг функция I (ца6) приблизительно аппроксимируется
выражением
I (ца6) = 1- -g-|ia6. (11.2.16b)
Практически величиной А (пцаб) в соотношении (11.2.15) можно пренебречь
по сравнению с I (ца6). Поэтому
Для фольги из золота при d = 0,25 мм и R = 6 мм е = 0,015; таким обра-
зом, поправки на нейтроны, входящие через боковую поверхность, действи-
тельно малы, однако при точных измерениях ими нельзя пренебречь. Согласно
изложенному в п. 11.2.3, в поле тепловых нейтронов поправка е может быть
записана в виде
е=- (1-4М) ~ -2Га(^А~1< Г1 -ДД(кт)б! .
Фо (М) ' 6 ! Фо [Иа {кТ) б] nR L 3 v 7 J
(11.2.18)
11.2.5. Поправки к кажущейся активности
при учете самопоглощения |3-частиц
В толстых фольгах активация неравномерна по толщине (см. рис. 11.2.2)
и, кроме того, вероятность выхода электрона распада из фольги зависит от
расстояния до поверхности фольги. Поэтому кажущаяся |3-активность А *
толстых фольг уже более не пропорциональна ее активации. Тем не менее
величину А * можно вычислять на основе экспоненциального закона ослаб-
ления [3-излучения, рассмотренного в п. 11.1.3.
253
Если определить векторный поток аналогично тому, как это было сделано
в п. 11.2.1, и пренебречь как рассеянием нейтронов в фольге, так и влия-
нием нейтронов, падающих на края фольги, то в моноэнергетическом поле
кажущаяся активность верхней поверхности (см. рис. 11.2.1) определяется
выражением *
оо
= (2Z+ l)^(r)<Pz (v, (cosip). (11.2.19)
а 1=0
Здесь Т — временной множитель, т^цаб и р^аб. Функции ф/ (v, Р) опре-
деляются следующим образом:
б
Ф/ (v, Р) = e~axgi (fia, х, б) dx, (11.2.20)
о
где gi (ца, х, 6) дается соотношением (11.2.46). В результате интегрирования
получаем
<Po(v, p) = ~(l-e-3)[l + E1(v)]-
_^.{E1(v + ₽) + ln2L+₽+e-₽[E1(v-₽)-ln^Pl]} +
+ 1J(l + e-f>) E2(v),
Ф1 (v, P)=j{<Po (v, ₽)-4(H-e-₽) [1-22?3(v)]}
(11.2.21a)**
(11.2.216)
Функции ф0 (v, P) и ф! (v, P) для фольг из золота и индия в поле тепловых
нейтронов приведены на рис. 11.2.9 и 11.2.10. Табличные значения этих
функций приведены в при-
ложении IV. Кажущуюся
активность нижней (см.
рис. 11.2.1) поверхности мож-
но вычислить с помощью
соотношения
л *_ I P'aef I V* /97 ।
А-~ 2 ца 2Т +
z=o
+ 1)FZ (г) (-1)4 (v, P)X
xPz (cos ф). (11.2.22a)
На основании приведенных
формул можно сделать не-
сколько важных выводов.
а) В изотропном поле
нейтронов кажущаяся актив-
ность всегда пропорциональ-
на потоку Ф. Однако коэффи-
циент пропорциональности не возрастает бесконечно при увеличении тол-
щины фольги, а проходит через максимум, который для индия лежит вблизи
значения 6 = 120 мг/см2. При измерениях потока неразумно использовать
* Соотношение (11.2.9) получается как результат интегрирования по толщине
фольги произведения функции Ра (х) [см. (11.2.4а)] на e~ax (|лас«/ра) с учетом вре-
менного множителя Т. Множитель 1/2 отражает то обстоятельство, что половина элек-
тронов распада излучается вверх, а половина — вниз.
** При (3 >> v функция Е1 (v — Р) должна быть заменена на —Ei * (Р — v), где
X
Р еи
Ei* (х) = \ — du (см. Jamnke, Emde, L о s ch, «Tables of Higher Functi-
ons», 1960).
254
фольги, толщина которых превышает значение, соответствующее максимуму
чувствительности. Уменьшение чувствительности фольги при больших тол-
щинах связано с тем, что при счете Р-частиц эффективным является только
тонкий поверхностный слой (толщина которого порядка 1/а), и вероятность
того, что нейтроны, падающие на противоположную сторону фольги, достиг-
нут этой области, уменьшается с увеличением толщины фольги.
б) Даже в слабо анизотропных полях нейтронов, которые могут быть
описаны только с помощью первых двух слагаемых разложения векторного
потока по полиномам Лежандра,
кажущиеся активности А* и А*
обнаруживают некоторую зависи-
мость от угла ориентации ф. Эта
зависимость тем больше, чем боль-
ше толщина фольги; для очень
тонких фольг ею можно прене-
бречь. В принципе на основании
анализа этой зависимости можно
определить ток нейтронов, однако
соответствующий эффект слишком
мал для точных измерений.
в) Как правило, интересуются
Рис. 11.2.10. Функции ср0 (v, |3) (J) и (v, |3)
(2) для индиевых фольг.
только потоком нейтронов, и по-
этому следует исключать слагае-
мое тока из величины кажущейся
активности, полученной с по-
мощью толстой фольги. Для этого надо измерить активность как верхней,
так и нижней сторон фольги и результаты сложить; если при этом прене-
бречь величиной #2 и четными слагаемыми более высокого порядка, то
р),
Р'а 1
(11.2.226)
так как все нечетные слагаемые взаимно уничтожаются. При р -> 0 функция
фо (у, Р) стремится к ф0 (Ца^) и А* + А* = С/Т, что совпадает с соотноше-
нием (11.1.36).
В заключение следует отметить, что соотношения (11.2.19) — (11.2.22)
были выведены на основании экспоненциального закона ослабления, который
достаточно точно выполняется для поглощения p-излучения только в тонких
фольгах. Результаты определения кажущейся активности более толстых
фольг, с помощью интегрирования могут иметь заметные погрешности,
поскольку в таких фольгах имеет место эффект обратного рассеяния электро-
нов, который трудно учесть. Следовательно, истинная активность будет
больше по сравнению с величиной, полученной на основании изложенной
здесь теории, которая имеет в какой-то степени качественный характер. При
абсолютных измерениях самопоглощение р-лучей следует определять экспе-
риментально; мы вернемся к этому вопросу в п. 14.1.3.
11.2.6. Активация цилиндрического образца
Для определения пространственного распределения потока иногда
используются образцы в виде длинных полосок или проволоки. Если актив-
ность и активация полосок могут быть рассчитаны с помощью уже выведен-
ных формул (без учета поправок на нейтроны, входящие в фольгу со стороны
боковой поверхности), для проволоки необходимо отдельное рассмотрение.
Вычислим активацию единицы длины бесконечного цилиндра радиусом
R в изотропном поле нейтронов, пренебрегая рассеянием в веществе образца.
Пусть падающий нейтрон имеет направление движения (й, ф) (рис. 11.2.11).
Если этот нейтрон избежит поглощения, то длина его пробега до того, как
255
*он покинет цилиндр будет равна I = j—
следовательно, равна 1—так что
Вероятность поглощения,
2л л/2
С = 2л fi Ф f (1 _ е-2аК0, ч») Cos ft sin ft d® dq>.
e) e)
0 0
(11.2.23)
Здесь множитель 2л7? учитывает то обстоятельство, что одному сантиметру
длины цилиндра соответствует 2л7? квадратных сантиметров поверхности.
Рис. 11.2.11. К анализу пог-
лощения нейтронов цилинд-
рическим образцом.
Предполагая, что падающий поток не меняется
по периметру, можем написать
C = n7?^^-Xo(Safi), (11.2.24)
где
2л л/2 _ 2SgR cos О
Хо (Safi) = (1-е i-si»*ocoS2o)x
О о
X cos 6 sin 6 db dq>. (11.2.25)
Очевидно, величина /0 (Sa7?) представляет
вероятность поглощения нейтрона при изотроп-
ном распределении скоростей падающих на
бесконечный цилиндр нейтронов (поскольку
л7?Ф/2 — число нейтронов, падающих за 1 сек
на 1 см длины цилиндра). Следовательно,
2л Л/2 2 Sqf? cos Ф
%0(Sa/?) = l—e“r-sin2^cos2^x
О О
X cos 6 sin 6 d$ dtp. (11.2.26а)
Вводя новые переменные интеграции у —
___ cos й __ cos й
- 1 —sin2 й cos2 ср — yilsin2ftcos2q) ’
получим
1 оо
4 Р X* dx Р e-2SaRy &у
n w ~|/1----X2 w z/3 ~|/у2— х2
(11.2.266)
В результате интегрирования (Case, de Hoffman, Placzek, 1953) имеем
Хо (2ай) = 4 (Safi)2 {2 {Safi (Kt (Safi) It (Safi) + Ko (Sofi) Io (Safi)] - 1}} +
+ 4 (Safi)2 [ К1(^)у«Д) _ Ko (Safi) I| (Safi) + K, (Safi) I0 (S„fi) ] ,
(11.2.27)
* Это отношение для l может быть получено следующим образом. В декартовой
системе координат уравнение рассматриваемой цилиндрической поверхности имеет вид
(х — R)2 + у2 = R2. Уравнение траектории нейтрона может быть записано как х =
— t cos й, у = t sin й sin ср, z = t sin й cos <p.
Очевидно, точкам пересечения траектории с цилиндрической поверхностью
соответствуют значения t = x = y = z = Q и t = l. Таким образом, Z2 = л:2 —г/2^2 =
on cos й
= 2Rx~\-z2~2Rl cos й +12 sin2 Й cos2 ср, откуда l~--•
1 т J 1 — sm2 й cos2 ср
256
где Io, Ii, Ко и Kt— модифицированные функции Бесселя первого и второго
рода соответственно. Функция %0 (2<гй) показана на рис. 11.2.12. Она
стремится к единице при больших значениях 2аД; для малых величин 2а/?,
т. е. для тонких цилиндров, %0 (2а2?) ~ 22 и, следовательно, С =
= Ф. Таблицы функции 1 —
— /0 (2 а7?)/(22 а7?) приведены в работе Кейза,
де-Гоффмана и Плачека (Case, de Hoffman,
Placzek, 1953).
Получим теперь выражение для вероятно-
сти поглощения в сферических образцах.
Аналогично тому, как это было сделано для
цилиндра, можно вывести следующую формулу
для активации сферы радиусом R в изотроп-
ном поле нейтронов
2л л/2
’У (1-e-^'W) cos 1'}sindrfddrp.
0 0
(11.2.28)
Рис. 11.2.12. Вероятность
поглощения цилиндрическим
образцом.
Здесь С — полная активация (а не активация на 1 см2 поверхности).
В данном случае I = 2R cos й (рис. 11.2.13) и, следовательно,
(11.2.29)
С=л7?2ф^ф1|5о (2ОД),
Рис. 11.2.13. К анализу поглощения нейтронов сфе-
рическим образцом.
или
Фо (2а2?) — вероятность поглощения, определяемая
л/2
фо (2а7?) = 2 (1—e~22aRc0Sl9’) cos й sin Ф
о
р 22с&К
Ч’"<2‘д)-1 + трг
1__е-22аК
“2 (2а7?)2 *
соотношением
(11.2.30а)
(11.2.306)
На рис. 11.2.14 приведена функция ф0 (2а7?). При 2а7? < 1 имеют место
соотношения ip0 (2аВ) ж у 2аВ и С = ~ лВ3 2ОФ.
17 Нейтронная физика
257
На рис. 11.2.15 сравниваются вероятности поглощения для плоских
образцов, цилиндров и сфер, вычисленные с помощью соотношений (11.2.5г),
(11.2.27) и (11.2.306) соответственно. Независимой переменной является
величина 2а (V — объем образца, S — площадь поверхности); величина
xS
4
4V/S равна 2d для плоских образцов, 27? для цилиндра и у R для
сферы. Оказывается, что при
таком выборе независимой пе-
ременной эти три кривые мало
отличаются друг от друга.
Рис. 11.2.15. Вероятность поглощения для
плоского образца, цилиндра и сферы.
Рис. 11.2.14. Вероятность погло-
щения сферическим образцом.
11.3. ВОЗМУЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ ФОЛЬГАМИ
В п. 11.2 активация или активность образца относилась к падающему
потоку нейтронов, так как предполагалось, что введение образца не изме-
няло этого потока. Такое предположение было бы оправданным, если бы
отсутствовал эффект обратного рассеяния и каждый нейтрон с момента
рождения до момента поглощения пересекал поверхность образца только
один раз. В действительности, однако, имеется значительная вероятность
обратного рассеяния, причем нейтроны, поглощенные в образце, исключаются
из потока, рассеянного в обратном направлении. Поэтому истинная акти-
вация С меньше активации Со, соответствующей невозмущенному полю.
Положим
= (11.3.1)
где Хс — поправка к активации. Эта величина зависит от свойств как
образца, так и окружающей среды. В пп. 11.3.1 — 11.3.3 мы изучим различ-
ные способы ее вычисления.
В дальнейшем путем простых рассуждений покажем связь между вероят-
ностью обратного рассеяния, вероятностью поглощения в образце и величи-
ной поправки к активации. Число нейтронов, пересекающих за 1 сек поверх-
ность F в поле нейтронов, равно No = F у . Из этого количества TV*1* ней-
тронов пересекает поверхность только один раз, a = NQ~ N™ ней-
тронов — два, три и более раз. Если р — вероятность обратного рассеяния,
т. е. вероятность того, что нейтрон, прошедший через поверхность образца,
пересечет ее еще раз после одного или более столкновений, то
= + • (И.3.2а)
258
Следовательно,
1— Р
(11.3.26)
Заменим теперь рассматриваемую поверхность фольгой. Число нейтронов,
падающих на фольгу за 1 сек, равно N = N^ + 7V(2).j Число нейтронов,
пересекающих поверхность фольги в первый раз, естественно, то же самое,
что и в отсутствие фольги. С другой стороны, jV(2) Л^2), так как, вообще
говоря, только часть падающих на фольгу нейтронов может пройти через
нее и участвовать в процессе обратного рассеяния. Если предположить, что
распределение направлений скоростей нейтронов всегда изотропно, то
вероятность прохождения через фольгу равна 1 — ф0 (ца<5). Следовательно,
№2) = [1 - Фо (И«б)1 Р + М1; [1 - Фо (Наб)]2 . =
или
Отсюда следует, что
или при C/Cq ж NINо
= у(1) [1 —Фо(М)]^
° 1 - [1- Фо (М)] Р
N=________________
1 — [1—фо (Наб)]р
N __________1______
N° 1+ ^0 (Наб)
ХС = ~^уфо (Наб).
(И.3.2в)
(11.3.2г)
(И.3.2д)
(11.3.2е)
Поправка к активации пропорциональна поглощению в фольге и тем больше,
чем больше вероятность обратного рассеяния.
Кроме поправки к активации, которую необходимо учитывать при абсо-
лютных измерениях * или при сравнении результатов измерения потоков
в различных средах, иногда требуется знать изменение плотности или потока
нейтронов при введении образца. Если Фо— невозмущенный поток, то вслед-
ствие дополнительного поглощения поток Ф (г) вблизи фольги меньше, чем
Фо-
Определим поправку к потоку следующим образом:
>МГ)
_ фр —ф (г)
ФЫ
(11.3.3)
где Ф (rs) — средний по поверхности фольги поток нейтронов. Поправку
хф (г) необходимо знать для оценки взаимного влияния нескольких фольг,
облучаемых одновременно. В п. 11.3.4 мы приведем некоторые результаты
расчета величины хф (г); поправку к потоку хф (0) на поверхности фольги
можно оценить примерно так же, как это было сделано при вычисле-
нии поправки к активации. Поток на верхней поверхности фольги опреде-
ляется как нейтронами, падающими на фольгу непосредственно сверху,
так и нейтронами, которые прошли через фольгу снизу. Согласно вышеизло-
1 Фо
женному, вклад первого слагаемого в поток равен , в то время как
второму слагаемому соответствует величина [1 — ф0 (цаб)1. Поток
* При вычислении Со — С (1 +• хс) значение С определяется экспериментально,
а поправка Kq рассчитывается с помощью изложенного метода.
17* 259
на поверхности фольги, следовательно, будет равен *
Ф<г->"ТТ^ [‘-i'Ml'-6)] •
фр
ф (г«)
1 + *ф (0)
1 + хс
1
1—2-Фо (М)
Хф (0) Ж Ис + у Фо (Наб)-
(11.3.4а)
(11.3.46)
(И.3.4в)
Вследствие «теневого эффекта» поправка к потоку на поверхности фольги
всегда больше, чем поправка к активации; практически имеется возмущение
потока даже тогда, когда вероятность обратного рассеяния обращается
в нуль.
Рис. 11.3.1. К вопросу о возмущении
потока вблизи фольги.
11.3.1. Вычисление поправки к активации
с помощью элементарной теории диффузии
Рассмотрим фольгу в виде диска, радиус которого R достаточно велик
по сравнению с транспортной длиной свободного пробега в окружающей
среде. Для простоты будем считать,
что среда бесконечна. В отсутствие
фольги поток нейтронов Фо всюду
однороден. Если обозначить возмущен-
ный поток нейтронов Ф (г), то Ф (г) =
= Фо — ЛФ (г). Согласно элементар-
ной теории диффузии, возмущение по-
тока ЛФ (г) равно
I r-г' I
ЛФ (г) = —Ь- Q (г')п---- dS',
(11.3.5)
где Q (г') dS'— число нейтронов, по-
глощаемых за 1 сек элементом поверх-
ности фольги dS'. Интегрирование про-
изводится по всей поверхности фольги
(рис. 11.3.1). Вместо величины Q (г')
можно использовать понятие локальной активации С (г') = (цаС£/ца) Q (г');
тогда можно написать С = С (г') dS'/(4л7?2). Выразим теперь С (г') как
функцию возмущенного потока нейтронов на поверхности фольги. В каче-
стве возмущенного векторного потока поля нейтронов используем выра-
жение
F(r, Й) = ^о(г) + АЛ(Г)С081{Е
Угол ф между осью поля и нормалью к поверхности фольги зависит теперь
от положения на поверхности фольги (рис. 11.3.2). Поскольку обе поверх-
ности фольги симметричны, можно ораничиться обычным рассмотрением
одной стороны. Пренебрегая нейтронами, входящими через края фольги,
и, считая, что в фольге нет рассеяния, имеем
С(г)==^[^фо(Иа6) + |Л(г)Ф1*Мс081|5] , (И.3.6)
* Более точно, Ф (rs)
Ф 1
——5-----— (1 + Е2 (раб)) (см. сноску на стр. 250).
1 г
260
где
i
ф* (Ио6) = 2 ^2 (1 - е-^/‘) dt = 4 - 2Е4 (Ио6) =
О
= 4(1- е-иаб) + ±а6. (1 _ фо Мь
О о
Если ца6<0,3, то
~ 4 ф° <^aS)-
(11.3.7а)
(11.3.76)
В отличие от изложенного в п. 11.2.1 слагаемое, содержащее не обра-
щается в нуль, так как имеется ток нейтронов, входящих в фольгу с обеих
сторон. Поскольку F± (г) cos ф — нормальная
компонента тока, падающего на фольгу,
а результирующая нормальная компонента
тока 22^ (г) cos ф, падающего на фольгу с обеих
сторон, равна Q (г) нейтронов, поглощенных
единицей поверхности, то
с (Г) = ф0 (Ио6) + 4 С (г) ф* (Иа6).
(11.3.8)
Если выразить теперь Fo (г) через Фо и ЛФ(г),
то с учетом соотношения (11.3.5) можно полу-
чить
С (г} =- ^act ф° cDn (п 5) 1 С с (fZ) е 'r r х
°'' ~ 2 SnD |Г —г'| Х
X d5>M + 4<7(rMM. (11.3.9)
Здесь ((Ласг/ца) ~ фо (Наб) —активация Со, ко-
Рис. 11.3.2. Геометрическая
интерпретация при рассмот-
рении возмущения поля ней-
тронов.
торая имела бы место в невозмущенном поле
нейтронов. Поэтому уменьшение активации определяется соотношением
Со-С (г) = dS'<?o W -1 С (г) ф* (Иа6). (11.3.10а)
Интегрируя по поверхности и деля на С = С (г) dS, получим поправку
к активации
Р ? C(r')e~lr-r/ l/L ds ds,
Хс = = -L- ---------ф0МФ1*(М)- (И.З.Юб)
\ С (г) dS
Пренебрегая зависимостью активации от координаты на поверхности фольги,
можно получить приближенное выражение для
H R 2л;
Хс = "8^0 фо 7^ S 2яг dr $ r' dr’ S с/ф
ООО
е— г2-|-г'2 — 2rr' cos ф /Ь
j/r2_j_r'2— 2rr' COS ф
уф* (ца6).
(11.3.10b)
В общем случае интегрирование осуществить не удается; рассмотрим два
предельных случая. Если R > L, то вследствие быстрого затухания экспо-
ненты интеграл
Р е— Vr24-r'2 —2гг'COS ф /ь
\ г'dr' \ dср--г — —
J е) Д/г^-^-г'2 — 2rг’ COS <р
о л v 1 •
261
не зависит от координаты г на поверхности фольги и может быть аппрокси-
мирован своим значением 2лЛ(1 — e~B/L) 2л£/ при г = 0. Тогда
хс = 4'^(ро^аб)~Тф‘ (11.3.11а)
Во втором предельном случае, когда R < L, экспоненту можно положить
равной единице, а так как
R R 2л
•—bv 2лг dr г' dr' ~ —- = 2n/?Hz,
л/? Л 3 — 2rr’ COS ф
где W = = 0,85, то
OJT
хс=|4Жф»^об)-4ф*^б). (и.з.иб)
Интерполяционная формула, дающая правильное значение хс в предельных
случаях R > L и R < L и представляющая, вероятно, хорошее приближе-
ние в промежуточной области, имеет вид
ХС = ~ (1 - е-ТО) Фо (^6) - Ф1* (Наб) ] (11.3. Ив)
(мы заменили D на Л^/3). Для значений ца6, фигурирующих в практических
приложениях, можно, используя соотношение (11.3.76), записать выраже-
ние (11.3.Ив) следующим образом:
%c = i (11.3.11Г)
Когда радиус фольги стремится к нулю, соотношения (11.3.116) — (11.3.11г)
дают отрицательное значение поправки к активации, что, естественно, лишено
какого-либо физического смысла. Этот парадокс нетрудно объяснить, если
вспомнить, что вышеизложенное рассмотрение проводилось на основе эле-
ментарной теории диффузии, которая неприменима в этом предельном случае.
Ниже будет показано, что соотношение (11.3.11г) становится весьма точным,
если внутри скобок опустить 1/2. Дополнительные расчеты поправки к акти-
вации фольги, основанные на элементарной теории диффузии, можно найти
в ряде других работ (см., например, Bothe, 1943; Tittle, 1951; Vigon, Wirtz,
1954).
11.3.2. Вычисление поправки к активации
с помощью теории переноса
В работе Скирма (Skyrme, 1944) была вычислена поправка к активации
для дискообразных фольг на основе приближенного решения уравнения
переноса (теории возмущений первого порядка).
Он нашел, что в изотропно рассеивающей среде *
”» = Т {ts (т) - Тк (т v) } т» (нЛ- <11.3.12)
Здесь Z-1/S^— средняя длина пробега в среде, y = Z/X5, R — радиус
фольги и L — диффузионная длина. Функции S (х) и К (х. у) приведены
на рис. 11.3.3 и 11.3.4. Для малых значений х
S = Зл Х~~45л ~7Э2 Х^ • • • ’ (11.3.13а)
* В оригинальной работе Скирма эти результаты имеют другой вид; здесь мы
использовали обозначения, предложенные Риччи и Элдриджем (Ritchie, Eldridge, 1960).
262
а для больших х
sW'-1-4(4+tt+'") (11.3.136)
СлагаемоеК (x, у) в формуле (11.3.12) всегда меньше 0,1 и, как пра-
вило, является пренебрежимо малой поправкой.
На рис. 11.3.5 приведены величины хс/фо вычисленные с помо-
щью соотношений (11.3.11г) и (11.3.12) с использованием параметров воды
(L = 2,76 см, ktr = 0,43 см). При этом величина %, фигурирующая в соотно-
шении (11.3.12), заменена на ktr. Из графиков следует, что теория диффузии
дает меньшие значения, чем теория Скирма, но изменение величины
хс/фо (Цаб) с увеличением Rl^tr в обоих случаях имеет сходный характер.
Рис. 11.3.4. Функция К (яг, у) (а? =
= 2R/L).
Это нетрудно объяснить, если учесть тот факт, что размеры фольг, исполь-
зуемых обычно на практике, удовлетворяют соотношению 22? 1. Поэтому
в соответствии с равенством (11.3.11г) имеем
<Ро(М) Ktr V 9д2 !, + •••) 8 ’ (Н.3.14а)
в то время как на основании соотношения (11.3.12) можно написать
*с--- = --^-(1 --7Г-4+ ••1—4 К. (11.3.146)
Фо (РаФ Л х L / 2
Первые слагаемые в обоих этих выражениях мало отличаются друг от друга
при малых значениях RIL. Они дают «асимптотический» вклад далеко
отстоящих элементов фольги к поправке активации, который хорошо опи-
сывается диффузионной теорией. Неасимптотические слагаемые (3/8 и г/2 К)
существенно различаются. Если, однако, в соотношении (11.3.11г) опустить
член то согласие между результатами диффузионной теории и результа-
тами расчета с помощью соотношения (11.3.12) будет весьма хорошим. Соот-
ветствующая кривая также показана на рис. 11.3.5.
Справедливость теории Скирма для фольг большого радиуса исследо-
валась Риччи и Элдриджем (Ritchie, Eldridge, 1960), которые с помощью
вариационных методов получили весьма точное решение уравнения переноса
для бесконечной фольги в изотропно рассеивающей среде. На рис. 11.3.6
приведена величина хп/хГ, равная отношению поправки к активации по
Риччи — Элдриджу к значению, полученному в соответствии с формулой
(11.3.12) при 2? = сю. Из этой кривой видно, что xf° всегда несколько больше,
263
чем xD, причем это различие наиболее заметно в сильно поглощающих средах
и для толстых фольг. На практике же (L/Х > 6, цаб С 0,3) обычно соответ-
ствующая разница меньше 5 %. Если
радиус фольги конечен, Риччи и
Элдридж рекомендуют пользоваться
соотношением
Рис. 11.3.5. Результаты расчета поправки
к активации фольги, обусловленной возму-
щением нейтронного поля в воде:
1 — соотношение (11.3.11г), в котором опущен
член 1/2; 2 —соотношение (11.3.12); з — соотно-
шение (11.3.11г).
рования, которое обсуждалось в п. 11.
ются одновременно. При сравнении
(11.3.15)
которое дает правильные результа-
ты в предельном случае приR оо.
Это так называемая модифицирован-
ная формула Скирма, которая ис-
пользуется весьма часто; различие
между результатами, получаемыми
по этой формуле и с помощью соот-
ношения (11.3.12), мало.
Дальтон и Осборн (Dalton, 1962;
Osborn, 1963) независимо провели
анализ поправок к активации и
потоку, используя уравнение пере-
носа. Эти авторы исходят из инте-
грального уравнения переноса в
бесконечной среде (см. п. 5.1.3),
в которой поток до внесения детек-
тора равен Фо. Вычислив численно
поток Ф, усредненный по всему
объему образца, они определяют
результатами, полученными вы-
ше, необходимо представить от-
ношение Ф/Фо в виде
ф =Фо (М. . (11.3.16)
Фо 2рад 1 + *с ' 7
На рис. 11.3.7 приведены зна-
чения 1 + для золотых фольг
различных размеров, помещен-
ных в воду; точки соответствуют
результатам, полученным с по-
мощью соотношения (11.3.16)
на основании отношения пото-
активацию фольги С — Ф|Лас* б. В
этом решении влияние самоэкрани-
М, и поправка к активации учитыва-
результатов Дальтона и Осборна с
ков, вычисленных Дальтоном и рис< ц.з.б. Отношение поправки к активации
Осборном. Сплошная кривая по Риччи — Элдриджу к значению, полученному
была рассчитана по модифи- Скирма на основании (11.3.12) при R=
цированной формуле Скирма
(11.3.15). В обоих случаях для золота и воды использовались одни и те же
сечения рассеяния и поглощения. В расчетах Дальтона — Осборна анизотро-
пия рассеяния учитывалась приближенно; аналогично в вычислениях по
формуле (11.3.15) вместо % использовалась величина ^tr - ^sl (1 и)*
Максимальное отклонение, равное 20%, наблюдается для фольг очень
малых радиусов. В остальных случаях согласие между результатами расче-
264
тов по модифицированной теории Скирма и расчетов Дальтона и Осборна
удовлетворительное. Таким образом, напрашивается вывод, что для R > Ktrr
Рис. 11.3.7. Результаты расчета воз-
мущений, вносимых золотыми фоль-
гами, помещенными в воду.
т. е. для размеров фольг, используемых
обычно для измерений в водородсодержа-
щих средах, модифицированная теория
Скирма при Z = ktr является полезным
приближением. Справедливость этого
утверждения до настоящего времени дока-
зана только для моноэнергетического по-
ля. Поскольку соотношения (11.3.12) и
(11.3.15) мало отличаются друг от друга,
можно использовать как простую теорию
Рис. 11.3.8. Функция h (раб), используемая для
расчета поправки к активации (по Мейстеру).
Скирма, так и результаты элементарной диффузионной теории с учетом того,,
что в последнем случае необходимо в равенстве (11.3.11г) опустить сла-
гаемое —г/2.
Для R < что соответствует размерам фольг, применяемых для
измерений в графите, бериллии и тяжелой воде, до сих пор не проведено
сравнение результатов по модифициро-
ванной теории Скирма с результатами
численных расчетов по Дальтону —
Осборну. Однако в этом случае нет
необходимости искать полное решение
уравнения переноса для вычисления
поправки к активации; в этом случае,
как уже показал Боте (Bothe, 1943),
достаточно рассмотреть индивидуальные
столкновения. Согласно Мейстеру (Meis-
ter, 1956), для R < в изотропно рас-
сеивающей среде
= (И.3.17)
Функция h (ца6) приведена на рис. 11.3.8;
ее значение в начале координат равно
h (0) = 0,828. Если R < величина
Ис/фо (Цаб) сильнее зависит от толщины
фольги, чем соответствующая величина,
рассчитанная по Риччи — Элдриджу,
для фольг бесконечного радиуса. На
рис. 11.3.9 сравниваются значения
вычисленные как по модифицирован-
ной теории Скирма, так и по теории
Мейстера, для фольг различных разме-
ров в графите.
Рис. 11.3.9. Результаты расчета возму-
щений для фольг, помещенных в гра-
фит, согласно модифицированной теории
Скирма (---) и теории Мейстера (-).
Теория Мейстера всегда дает меньшие значения х<?, однако
для тонких фольг и при Rl^tr —0 оба результата близки. Как будет пока-
зано ниже, теория Мейстера более точно воспроизводит экспериментально
265
измеренные возмущения, чем расчеты по модифицированной теории Скирма
при R < ktr.
Сравнение с результатами расчета величины хс по диффузионной тео-
рии для малых значений Rl'ktr не имеет смысла, поскольку при R < ktr
элементарная диффузионная теория не применима.
11.3.3. Поправка к активации в поле тепловых нейтронов
До сих пор все наши результаты были справедливы для моноэнергети-
ческого поля нейтронов; теперь необходимо исследовать вопрос о том, как
усреднить эти результаты по распределению скоростей нейтронов. Чтобы
получить точный ответ, необходимо решить уравнение переноса в задаче
о возмущении, вносимом фольгой, с учетом обмена энергией между тепло-
выми нейтронами и рассеивающей средой. Такого решения до сих пор не
было получено, поэтому ограничимся некоторыми качественными сообра-
жениями.
В полученных выше соотношениях (11.3.11г), (11.3.12), (11.3.15)
и (11.3.17) величина ис представлена как произведение возмущения потока
на вероятность поглощения ф0 (р-аб). Величина возмущения потока норми-
рована к (отрицательной) единичной мощности источников; этими источни-
ками являются процессы поглощения в образце. Допустим, что спектр ней-
тронов невозмущенного поля Фо (Е) до внесения фольги является максвел-
ловским распределением М (Е) с температурой, равной температуре замед-
лителя. Энергетическое распределение источников, возмущающих поток,
такое же, как и энергетическое распределение процессов поглощения
в фольге; как правило, оно не совпадает с распределением Максвелла. Напри-
мер, в тонких фольгах с сечением поглощения, подчиняющимся закону 1/г,
оно пропорционально функции М (EyV'E. Энергетический спектр возму-
щения потока зависит как от термализационных свойств замедляющей среды,
так и от числа столкновений, которое испытает нейтрон до своего рассеяния
обратно в фольгу. Если это число велико и среда эффективно термализует
нейтроны, возмущение потока будет иметь максвелловское распределение;
тогда для вероятности поглощения вместо функции ф0 (р^б) следует исполь-
зовать среднее значение ф0 (р-аб), определяемое согласно соотношению
(11.2.136). С другой стороны, если обратное рассеяние происходит в резуль-
тате единичного столкновения (R Ktr) и обмен энергией между нейтроном
и замедлителем мал, спектр возмущения потока, падающего на фольгу, как
правило, мягче чем распределение Максвелла, а вероятность поглощения
больше, чем ф0 (раб). Ханна (Нанна, 1963) показал, что при незначительной
ретермализации и тонком поглотителе, сечение которого следует закону
1/ v, вероятность поглощения равна ф0 (ц^б); во всех практически важных
случаях величина вероятности поглощения должна лежать между значе-
ниями ф0 (цаб) И ~ фо (ц«б).
Ввиду того что различие между этими двумя предельными случаями не
очень велико и так как возмущение потока в большинстве случаев значи-
тельно ретермализовано, то для расчета вероятности поглощения можно
использовать величину ф0 (цаб), определяемую соотношением (11.2.136).
Для 1/^-поглотителей, которые имеют не очень большую толщину, ф0 (ца6) =
^2С__фо [ца (кТ) б]; в этом случае имеет место также равенство
-------------- -|/“
h (цаб) фо (р-аб)=Л)— h (кТ) б] ф0 [ца (кТ) б], что целесообразно учиты-
вать при использовании соотношения (11.3.17).
Дополнительной задачей является правильное усреднение величины
хс/ф0 (цаб), или, что то же самое, определение того среднего значения
266
транспортной длины свободного пробега, которое следует использовать
в формулах для этой величины. Так как для графита и бериллия слабо
зависит от энергии нейтронов, то можно использовать усредненное по тепло-
вому спектру значение В водородсодержащих замедлителях энергети-
ческая зависимость величины Xtr гораздо сильнее, в частности в воде
Xtr (Е) ~ УЕ (см. п. 17.1.4). Во многих измерениях с фольгой в водород-
содержащих средах R > т. е. большинство обратно рассеянных нейтро-
нов испытывает несколько столкновений и правильно описывается диффу-
зионной теорией. Кроме того, обмен энергией между нейтронами и молеку-
лами водородсодержащих сред велик, и нейтроны источника возмущения
весьма быстро термализуются. В этом случае при вычислении величины
хс/фо (р-аб) также можно использовать обычное усредненное по тепловому
спектру значение транспортной длины свободного пробега.
11.3.4. Вычисление возмущения потока
Рассмотрим дискообразную фольгу в бесконечной среде, в которой поток
до внесения фольги имеет постоянное значение Фо. Введем цилиндрическую
систему координат г, z и попытаемся вычислить поправку к потоку по оси
фольги
хф (г = 0, z) = Ф°"Ф (г = 0' = АФС'-М.
ф (г, z = 0) Ф(г,2 = 0)
Используя соотношение (11.3.5), которое дает в диффузионном приближе-
нии выражение для поправки ДФ, имеем
. £ Уг'2+г2/Ь
ДФ(г = 0, (11.3.18)
yr 2-|-z2
Согласно уравнению (11.3.8),
2
Ф(г', z = 0) Фо (Раб)
! — -|-ф? (Раб)
и поэтому
Хф (г = 0, z)
1 Фо (Раб)
4Р . 3 * , я
!—4 Ф* (Раб)
е e-'/r'2+z2/L
\ Ф (г', z = 0)----. — г' dr'
J l/r'2 + Z2
Ф (Г, 2 = 0)
(11.3.19)
Аналогично тому, как это было сделано при вычислении поправки к акти-
вации, заменим теперь поток, зависящий от координаты на поверхности
фольги, на его среднее значение; в результате интегрирования получим
хФ(г = 0, z)=^-^-(e-^L-e~^yR2+z2)----. (11.3.20)
tr 1—f-фНРаб)
Когда R > L,
хФ=^~е-г/1-------^(Иа6)---, (11.3.21)
tr 1-^-ф*(раб)
а если R < L, z > R, то
3 R2 е / сро (Раб) /л л о опч
Хф ~3 _ м ’ (И.о.22)
1—д~<Р*(М)
267
Возмущение потока на поверхности фольги равно
хф(г = 0, z = 0) = 4--A(l —е-л/ь)-ф^(Цаб)--. (11.3.23)
4 Ur 1-4<рГК6)
Сравнивая эту формулу с соотношением (11.3.11г), которое также было выве-
дено с помощью элементарной диффузионной теории, получим для малых
значений ца6 и при W = 1
Кф(г = 0, 3=О) = Хс + -|-СРо(НаЙ).
Этот результат аналогичен соотношению (11.3.4в), которое было выведено
выше другим способом.
11.3.5. Возмущение активации образцов в виде полосок
Вышеизложенное рассмотрение касалось дискообразных фольг, которые
наиболее часто используются на практике. Однако иногда применяются
и квадратные фольги, возмущение активации которых, вероятно, того же
порядка, что и для дискообразных фольг равной площади, т. е., если а —
длина стороны фольги, применима формула для дискообразных фольг
с R = а!У'п. Для образцов в виде полосок, одна сторона которых гораздо
больше другой, такое рассмотрение невозможно и следует попытаться найти
поправку к активации с помощью элементарной диффузионной теории.
Допустим, что а — ширина образца, а его длина достаточно велика по срав-
нению с L. Пусть поле нейтронов до введения образца всюду постоянно.
Предположим, наконец, что оно не меняется по длине фольги. Вычисление
поправки активации тогда можно провести точно так же, как в п. 11.3.1;
аналогом соотношения (11.3.106) в этом случае будет следующее равенство:
ет НС(1'|К” (ет4“
Со С __ 0 0 /
хс = —5— =-------------------------------ср0 (paS) -
С (х) dx
0
—|-ф*(Иа6). (11.3.24)
Здесь Ко Ь —диффузионное ядро для линейного источника
zrt \ Ju /
(см. п. 6.2.2). Если мы теперь заменим активацию, зависящую от коорди-
наты, на ее среднее значение по образцу, то получим
а а
= ( 1 *~Ь 1 ) dx dx'^ М - i Ф* (Наб). (11.3.25)
о о
Предположим теперь, что ширина образца мала по сравнению с диффузион-
(I /р____________________' I \ jT,
-—т—1) ]п —।---, где у — 0,577 — постоянная
Ju / у j X — X |
Эйлера; в результате интегрирования получим
’’ет ('"
(11.3.26)
Вычисление поправки к активации с помощью уравнения переноса в этом
случае не проведено. По аналогии с ситуацией для дискообразных фольг
выражение, полученное с помощью диффузионной теории, должно давать
правильное значение для возмущения, если в соотношении (11.3.26) опу-
268
з
стить слагаемое--ср* (р,а6). С помощью этого соотношения можно также
произвести грубую оценку величины ис Для бесконечного цилиндра (обра-
зец в виде проволоки), если а заменить на nR и <р0 (р^) — на Хо (2аЛ).
11.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ФОЛЬГОЙ
11.4.1. Методы измерения поправки к активации
Единственным методом прямого измерения величины кс является метод
полости (Meister, 1956; Botlie, 1943). В этом методе активация С, соответ-
ствующая возмущенному потоку, сравнивается с величиной активации Со
той же самой фольги для случая, когда возмущение отсутствует. Такой слу-
чай облучения без возмущения может быть осуществлен размещением фольги
внутри некоторой полости в среде, размеры которой велики по сравнению
с размерами фольги. Вероятность обратного рассеяния в этом случае очень
мала и, согласно соотношению (11.3.2е), мала также величина хс. Значения
С и Cq следует относить к одному и тому же невозмущенному потоку путем
использования эталонной фольги, возмущающий эффект которой известен.
Подобную ситуацию можно осуществить без полости в среде, имеющей очень
малое сечение рассеяния, например в алюминии (Х$ 10 см); однако в такой
среде очень трудно получить поток чисто тепловых нейтронов. Преимуще-
ством метода полости является возможность использования (3-счета при опре-
делении активности фольги. Поскольку распределение процессов активации
по глубине фольги мало различается в возмущенном и невозмущенном слу-
чаях, коэффициенты, характеризующие самопоглощение |3-частиц, почти
равны и поэтому сокращаются в выражении (С — Cq)/Cq для
Тем не менее в большинстве экспериментов величина хс измеряется
косвенными способами и без использования полости. В этих экспериментах
серия фольг разной толщины последовательно облучается в одном и том же
месте среды и определяется удельная активность, которая пропорциональна
удельной активации С* = С76. Результатом измерений является отношение
С*/С* (6 = 0) = Ф/Фо, с помощью которого можно вычислить ис согласно
соотношению (11.3.16). Величина С* (5 = 0) представляет удельную акти-
вацию фольги в отсутствие самоэкранирования и возмущения активации.
Величину С* (6 = 0) можно получить или из экспериментов с очень тонкими
фольгами ([ia8 < 10-3), или путем экстраполяции к нулевой толщине значе-
ний С* (6), измеренных для толстых фольг. Рендалл и Уокер (Walker et al.,
1963) разработали специальный метод для определения величины С* (0).
В отличие от метода полости в этом случае необходимо измерить истин-
ную активность, т. е. у-активность фольги, либо оценить самопоглощение
(3-частиц в фольге расчетным способом или, еще лучше, экспериментальным
путем (см. п. 14.1.3).
Для выполнения точных измерений поправки к активации необходимо
так провести облучение, чтобы невозмущенный поток Фо не менялся заметно
вдоль поверхности фольги. Поле нейтронов также должно быть изотропным;
в данном случае выполнение этого условия может быть достигнуто враще-
нием образца. Спектр невозмущенного поля должен обладать максвеллов-
ским распределением с температурой, по возможности наиболее близкой
к температуре замедлителя. Иногда требуется проверить выполнение этого
условия непосредственным измерением температуры нейтронов (см. п. 15.3).
Если спектр содержит эпитепловую компоненту, она может быть оценена
с помощью метода кадмиевой разности (см. п. 12.2).
11.4.2. Возмущение активации в графите (Н < Х/г)
При R < ktr поправка к активации мала по сравнению с поправкой на
самоэкранирование; например, для золотой фольги толщиной 0,2 мм и радиу-
сом 1 см, помещенной в графит, ф0 (ца6)/(2ца6) « 0,8, а (1 + хс)-1 « 0,97.
269
Ввиду этого не удается достаточно точно определить хс с помощью соотно-
шения (11.3.16) по измеренным отношениям Ф/Фо (см., например, Klema,
Ritchie, 1952); метод полости, вероятно, может дать более точные значения.
На рис. 11.4.1 для нескольких фольг из индия приведены значения хс,
полученные этим методом в измерениях Мейстера (Meister, 1956). Для срав-
нения на рисунке изображены также кривые *, вычисленные согласно соот-
ношению (11.3.17). В пределах экспериментальных погрешностей наблю-
Рис. 11.4.1. Результаты измерения
(J , и расчета (---------) возмуще-
ний, вносимых индиевыми ф Ольгами,
помещенными в графит.
дается хорошее согласие измеренных
и расчетных значений хс, на основании
чего можно заключить, что соотношение
(11.3.17) является удовлетворительным
приближением для определения ис при
R <
11.4.3. Возмущение активации в воде
и парафине (JR >
На рис. 11.4.2 приведены измерен-
ные Мейстером значения для индиевых
фольг, помещенных в парафин (метод
полости). Кривые экстраполированы
согласно формуле хс = const-фо (цаб).
Значения хс/фо (ца6), определенные для
фольги с различными радиусами, при-
ведены на рис. 11.4.3 наряду с резуль-
татами расчета по формуле Скирма
(11.3.12), которая в этой области пара-
метров практически совпадает с моди-
фицированной формулой Скирма **. На-
блюдается хорошее совпадение экспери-
ментальных и расчетных результатов, на основании чего можно сделать
вывод, что формула Скирма может быть использована для расчета поправки
активации в случаях, когда R > Можно также, как следует из
рис. 11.4.3, использовать более простую формулу
= 4 -Л- (1 ~ е-° ’85й^) Фо (11.4.1)
которая получается из соотношения (11.3.11г) после исключения неасимпто-
тического слагаемого —1/2.
Тщательное исследование поправки к активации в воде с помощью
измерения отношения Ф/Фо было проведено Штелцером (Stelzer, 1958),
Хаснейном и др. (Hasnain et al., 1961), Зобелом (Zobel, 1963) и Уокером,
Рендалом и Стинсоном (Walker, Randall, Stinson, 1963). Эти измерения
хорошо согласуются с результатами Мейстера, на основании чего можно
заключить, что хс точно определяется теорией Скирма или модифицирован-
ной теорией Скирма, если используются усредненные по тепловой области
значения вероятности поглощения ф0 (ца6), а также усредненное по тепло-
вой области значение ktr вместо X. В качестве примера на рис. 11.4.4 при-
ведены значения Ф/Фо для индиевых фольг (R = 1 см), помещенных в воду;
эти значения взяты из работы Уокера, Рендала и Стинсона. Сплошная кри-
вая вычислена с помощью соотношения (11.3.16) при использовании вели-
чин полученных на основании модифицированной формулы Скирма
(11.3.15). Наблюдается блестящее согласие.
* Расчеты проводились для hir = 2,6 см в случае графита и ва (2200 м/сек) —
= 190 барн для индия. Измеренная температура нейтронов в месте расположения фоль-
ги составляла Т = 320° К; значение ра (кТ) оценено при этой температуре.
** Для парафина = 0,325 см и L = 2,15 см.
270
Рис. 11.4.2. Результаты измерения
^-0 и расчета (—) возмущений,
вносимых индиевыми фольгами, по-
мещенными в парафин.
2,0
Рис. 11.4.3. Функция Хс/Фо (Ца$) Для индие-
вых фольг в парафине, измеренная Мейстером,
(oj и рассчитанная по формулам (11.3.12) (—)
и (11.4.1) (------------------).
Рис. 11.4.5. Экспериментально изме-
/ТТ\
ценное о J и расчетное (--------)
возмущение потока вблизи индиевых
фольг в графите.
Рис. 11.4.4. Отношение Ф/Фо для индие-
вых фольг в воде, измеренное эксперимен-
тально (ф) и рассчитанное по формуле
(11.3.16 (—).
11.4А. Измерение возмущения потока
На рис. 11.4.5 показано возмущение потока вблизи индиевых фольг,
помещенных в графит, в соответствии с результатами Мейстера. Возмущен-
ное поле измерялось с помощью весьма тонких диспрозиевых фольг, собст-
венный вклад которых в возмущение был пренебрежимо мал. Приведена
также кривая возмущения потока Хф (2), вычисленная с помощью элемен-
тарной диффузионной теории на основании соотношения (11.3.20). Вблизи
фольги соотношение (11.3.20) дает слишком малые значения для возмуще-
ния потока. Это связано с тем, что для z <zKs элементарная диффузионная
теория неприменима. Для больших расстояний z от фольги формула (11.3.20)
дает достаточно точные результаты. Этот вывод весьма важен, поскольку
на практике соотношение (11.3.20) используется только для того, чтобы
оценить расстояние между фольгами, при котором их взаимное влияние
пренебрежимо мало. Согласно рис. 11.4.5, для этих целей можно исполь-
зовать результаты диффузионной теории.
Для индиевых фольг толщиной 100 мг!см2 и радиусом 1 см, располо-
женных в графите на расстоянии около 15 см друг от друга и в воде — на рас-
стоянии 8 см, величина Хф (2) составляет в соответствии с соотношением
(11.3.20) менее 10-3 .
ЛИТЕРАТУРА
Образцы, активируемые тепловыми нейтронами
Tittle С. W. Nucleonics, 8, No. 6, 6 (1951); 9, No. 1, 60 (1951).
Сечение активации; ^--фактор
Hughes D. L, Schwartz R. В. BNL-325 (1958).
Westcott С. H. AECL-1101 (1960).
Схемы распада; энергии р-частиц и у-квантов;
периоды полураспада
S t г от i ng er D., Hollander J. M., Seaborg G. T. Rev. Mod. Phys., 30,
585 (1958).
Самопоглощение р-частиц
Gleason G. I., T a у 1 0 r J. D., T a b e r n D. L. Nucleonics, 8, No. 5, 12 (1951).
Meister H. Z. Naturforsch. 13a, 722 (1958).
Коэффициент поглощения у-квантов
Davisson С. M., Evans R. D, Rev. Mod. Phys., 24, 79 (1952).
Теория активации фольг
Bothe W. Z. Phys., 120, 457 (1943).
Case К. M., de Hoffmann F., Placzek G. Introduction to the Theory of Neut-
ron Diffusion. Los Alamos Scientific Laboratory, 1953.
Hanna G. C. Nucl. Sci. Eng., 15, 325 (1963).
Martinez J. S., UCRL-6526 (1961).
Vi gon M.A. Z. Naturforsch., 8a, 727 (1953).
Еп-функции
Placzek G. NRG-1547 (1951).
Возмущения, обусловленные фольгами
Bothe W. Z. Physik, 120, 437 (1943).
Corinaldesi E. Nuovo Cimento, 3, 131 (1946).
Dalton G. R., Osborn R. K. Nucl. Sci. Eng., 9, 198 (1961).
Dalton G. R. Nucl. Sci. Eng., 13, 190 (1962).
272
Meister H. Z. Naturforsch. Ila, 347 (1956).
Meister H. Ibid., Ila, 579 (1956).
Osborn R. K. Nucl. Sci. Eng., 15, 245 (1963).
R i t c h i e R. H., Eldridge H. B. Nucl. Sci. Eng., 8, 300 (1960).
Sky rm e T.H.R. UKAEA-Report MS 91 (1944); reprinted, 1961.
V i g о n M., Wirtz K. Z. Naturforsch., 9a, 286 (1954).
Измерение возмущений, обусловленных фольгами
Gallagher Т. L. Nucl. Sci. Eng., 3, 110 (1957).
Hasnain S. A., M u s t a f a T., В 1 о s s e г T. V. ORNL-3193 (1961).
К 1 e m a E. D., Ritchie R. H. Phys. Rev., 87, 167 (1952).
Meister H. Z. Naturforsch., 10a, 669 (1955); Ila, 356 (1956).
Sola A. Nucleonics, 18, 78 (1960).
Stelzer K. Nukleonik, 1, 10 (1958).
Thompson M. W. J. Nuclear Energy, 2, 286 (1955).
De Troyer A.,Tavernier G. C. Bull. Acad. R. Belg., Cl. sci. Ser. 5, 39, 880 (1953).
T r u b e у D. К., В 1 о s s e г T. V., E s t a b г о о к G. M. ORNL-2842 (1959).
Walker J. V., Randall J. D., Stinson R. C., Jr. Nucl. Sci. Eng., 15, 209
(1963).
Z о b el W. ORNL-3407 (1963).
Глава 12
АКТИВАЦИЯ ЭПИТЕПЛОВЫМИ НЕЙТРОНАМИ
Продолжим обсуждение вопросов активации, начатое в гл. 11, распро-
странив его на важный практический случай, когда поле содержит как теп-
ловые, так и эпитепловые нейтроны. Одна и та же активность может быть
вызвана в веществе образца тепловыми нейтронами и индуцирована погло-
щением эпитепловых нейтронов, в связи с чем возникает необходимость раз-
деления этих компонент дополнительными измерениями. Проводя соответ-
ствующие измерения, можно получить одновременно и информацию о потоке
эпитепловых нейтронов.
Сначала в п. 12.1 будут обсуждаться вопросы, связанные с активацией
эпитепловыми нейтронами без учета тепловых нейтронов; затем в п. 12.2
мы обсудим вопрос разделения этих двух компонент активации. Связанная
с этим задача измерения резонансных интегралов будет рассмотрена
в п. 12.3.
12.1. АКТИВАЦИЯ ЭПИТЕПЛОВЫМИ НЕЙТРОНАМИ
Рассмотрим активацию фольги в однородном поле нейтронов, энерге-
тическое распределение которых дается соотношением
Ф(Я) dE--4>epi (Е)^-,
и предположим, что функция Фер; (Е) медленно меняется с энергией. Если
пренебречь рассеянием в фольге, активация (без учета возмущения фольгой)
определяется соотношением
Е
max
С = | £ Ферг (Я) [цо(Я) 6] -f- . (12.1.1)
ЕС
Точное значение нижнего предела интегрирования будет определено позд-
нее; энергия Етах является наибольшей энергией в спектре, и во многих
случаях ее можно считать без существенной погрешности бесконечной.
Вообще говоря, точное интегрирование выполнить трудно, но ниже будет
показано, что часто интеграл (12.1.1) можно оценить с помощью различных
приближенных методов.
18 Нейтронная физика
273
12.1.1. Приближенное вычисление активации
При вычислении активации С сделаем следующие допущения:
а) Ферг (Е) — const, т. е. спектр нейтронов пропорционален 1/Е,
б) Коэффициент поглощения (Е) вещества фольги может быть пред-
ставлен в виде
(Е) = ц. (») /< + У---------^-1-----, (12.1.2)
• 1+( ° V
к Г*/2 /
т. е. он может быть представлен суммой двух компонент, одна из которых
соответствует закону i/v, вторая является суммой симметричных брейт-
вигнеровских резонансных линий, связанных с различными резонансами.
Такое разбиение, вообще говоря, возможно, если энергии резонансов велики,
т. е. Er > Г\ Для индия (энергия первого резонанса равна 1,46 эв,
Г = 75 мэв), однако, такое представление не может быть точным.
в) Функция ф0 может быть аппроксимирована функцией, введенной
в п. 11.2.1:
что может быть переписано в виде
TW^»2p<,(^)/^6 + 2 2 --------------• (12.1.3)
‘ , + W) +2,'""S
При выводе этого выражения предполагалось, что самоэкранированием той
части сечения, которая подчиняется закону 1/щ можно пренебречь [обычно
На (&Е) УкТ/Е 6 < 1 при Е > Ес\, а функцию ф0 можно разложить на ком-
поненты, соответствующие вкладам отдельных резонансов, которые счита-
лись хорошо разрешенными.
В этих предположениях имеем
Е
мах --
к J м^)]/46т+
(12.1.4)
где X/ (г = 1, 2, 3 ...) определяет долю поглощения в i-м резонансе, при-
водящем к рассматриваемой активности. Например, для In115 только 79%
всех захватов в основном резонансе при 1,46 эв и 65% захватов в резонансе
при 3,68 эв приводят к 54-минутной активности In116; остальные захваты
приводят к активности с периодом полураспада 14 сек. Фактор Хо отно-
сится к 1/^-поглощению.
В первом слагаемом соотношения (12.1.4), соответствующем 1/^-погло-
щению, нетрудно осуществить интегрирование, в результате которого (в пред-
положении, что Етах^--оЕ) получим
С1/с-2Л0ФвргИа(А:Г) =
= 221ОФерг(1« (#с) 6 = 2Ферг2Уо‘/« (£с) d,
(12.1.5)
274
где = 6/р, o^tip/W и = Вклад отдельного резонанса опреде-
ляется соотношением
C = (DepiW 6 --------—J-------------= (12.1.6)
и d / Л — £d \ 2 .
1+1-------I +2ц‘ 6
V Г г/2 /
где
'*«- $-----п+---------------Т <12л-7>
О / & — £/р\2 .
1+(-------I +2ЛГЛ+
\ Г7'2 > 00
Здесь Ze// совпадает с эффективным резонансным интегралом симметричного
резонанса, рассмотренного в п. 7.4.2, с заменой <тр на i/(2Nd). Поэтому
где
+ - (12.1.86)
R
Окончательно
С = Фер^1е//,ае/(/, (12.1.9а)
где
% ’/i
Ieff, act = 2а*/» (Ес) + У 1°°= . . (12.1.96)
i |/l+27Vd+ae
Из соотношения (12.1.96) следует, что активация фольги, соответствую-
щая 1/^-поглощению, пропорциональна объему фольги. С другой стороны,
вследствие сильного самоэкранирования [см. (12.1.8а)] относительный вклад
резонансов в активацию тем меньше, чем толще фольга.
Для толстых фольг 2NdOa0 > 1 и резонансная часть величины Ieff, act про-
порциональна 1/]Лd, т. е. активация фольги на резонансах пропорциональна
квадратному корню из толщины. Для «бесконечно» тонких фольг NdGaQ < 1
и Iefj, act в пределе стремится * к величине
Iact = 2o^t(Ec)^^ Vi - J oact(E)^. (12.1.9b)
г ПС
Интегральное выражение в правой части является точной формой записи
для fact, в то время как соотношение /act = 2oac? (^с) + 2 выпол-
няется в предположении, что справедливо представление (12.1.2).
Удобно ввести понятие «коэффициента эпитепловой экранировки»
Gepi = . (12.1.10)
act
На рис. 12.1.1 приведены значения Gepi (d) для золота [Ес = 0,68 эв,
согласно Брозе (Brose, 1964)]. На этом рисунке сравниваются измеренные
значения, результаты элементарных расчетов на основе методов, развитых
в данном разделе, и результаты точных вычислений. При точном расчете
не следует пренебрегать рассеянием и замедлением в фольге. В этом случае
нельзя применять соотношение (12.1.2); необходимо использовать более
точное представление функции ф0; кроме того, следует учитывать эффект
* Точное определение резонансного интеграла дано в п. 12.3.1.
18* 275
Допплера. При попытке проведения таких расчетов можно использовать
методы, развитые для вычисления резонансного поглощения в гетерогенных
реакторах (Dresner, 1960; Adler, Nordheim, 1958). Из рис. 12.1.1 видно, что
элементарный расчет совпадает с экспериментально наблюдаемой зависи-
мостью весьма удовлетворительно. Подобные эксперименты с индиевыми
Рис. 12.1.1. Коэффициент эпитеплового самоэкра-
нирования для золотых фольг в зависимости от их
толщины:
О — эксперимент; — — — — точный расчет;-------------
расчет, основанный на соотношениях (12.1.9).
фольгами были проделаны
Трубе, Блоссером и Эстабру-
ком (Trubey, Blosser, Esta-
brook, 1959), Брозе и Кнохе
(Brose, Knoche, 1963), а так-
же рядом других исследова-
телей.
Следует отметить, что
Трубе и др. провели более
точное вычисление коэффи-
циента эпитепловой экра-
нировки для поглощающей
фольги в отсутствие рассея-
ния, чем это сделано выше.
Они исходили из соотноше-
ния
1 С г dE
~2 \ Фо (Ра б] —-
Ge pi = р *
Jjpa (Я)б^-
(12.1.11а)
В этом выражении они ис-
пользовали точное представ-
ление функции фо (ца<5) = 1 — 2Е3 (ца6), а не дробно-линейную аппрокси-
мацию. Предполагая, что имеется одиночный резонанс и пренебрегая 1 /^-ком-
понентой, можно получить по-
сле осуществления интегриро-
вания в знаменателе
Gepi —
£
2
(12.1.116)
где
Г/2 *
В работе Трубе и др. показано,
что из соотношения (12.1.116)
можно получить следующие при-
ближенные выражения:
Рис. 12.1.2. Коэффициент с амоэкр аниров ания
GePi для резонансного интеграла согласно расче-
там Трубе и др. (---) и элементарному расчету
с помощью соотношения (12.1.8а) (-----).
1 +-,>1^об) -0,3274Иоод, ,хао6 « 1,
Й4/— й /-< , 4 1 •
3 Ул |/ цао6
Для промежуточных значений цаоб интеграл был получен численно.
Результат показан на рис. 12.1.2; на этом же рисунке приведено простое
приближение (12.1.8а) Gepi = 1/]/14- 2цао<У
2 76
12.1.2. Образцы с резонансным поглощением
Откажемся теперь от предположения, что эпитепловой поток на еди-
ницу летаргии не зависит от энергии. Тогда активация фольги в эпитепло-
вом потоке будет определяться соотношением
оо
C = Nd[ J ^(Е)Фер1(Е)^-+^Фер1(Е1)кЁеП~\ . (12.1.12)
ес г
Часто встречаются вещества с очень большим резонансом, так что основ-
ная часть активации связана с процессом захвата в этом резонансе. Тогда
С - N c№epi (Е7) (12.1.13)
т. е. активация пропорциональна потоку при определенной энергии, отве-
чающей резонансу. Такие резонансные фольги (с кадмиевым покрытием
в целях исключения активации тепловыми нейтронами) часто используются
для измерения полей эпитепловых нейтронов, энергетическое распределение
которых отличается от закона i/E. Табл. 12.1.1 содержит некоторые полез-
Таблица 12.1.1
Резонансные детекторы (рис. 12.1.3)
Вещество Изотоп Tl/2 Резонансная энергия, эв J °act dE’ 0,55 эв барн
J °act <Е> dE 0,55 эв
In ln115 54,12 мин 1,457 2700 0,96
Au AU197 2,695 дня 4,905 1150 0,95
W \\186 24 ч 18,8 400 0,98
La La139 40,2 ч 73,5 11 0,97
Мп Mn55 2,58 ч 337 15,7 0,88
ные данные для резонансных детекторов *. В последней колонке приведена
активация бесконечно тонкой фольги, вызванная захватом в основном резо-
нансе; во всех случаях она весьма близка к единице. Ситуация, однако, ста-
новится менее благоприятной при использовании фольг конечных толщин.
В этих фольгах резонансы самоэкранированы, причем этот эффект тем силь-
нее, чем больше резонанс. Величина left, act поэтому уменьшается
с увеличением толщины фольги. Это легко можно увидеть на примере неко-
торых веществ, используемых в качестве фольг, соответствующие результаты
для которых приведены на рис. 12.1.4. По этой причине резонансные фольги
должны быть по возможности тоньше, в противном случае следует вводить
поправки, для вычисления которых необходимо знать по крайней мере грубо
величину Фер1 (Е). Метод сэндвича, который будет обсуждаться в п. 12.1.3,
позволяет исключить эти трудности. Резонансные детекторы не вполне при-
годны для абсолютных измерений, так как величина сечения в резонансах
известна недостаточно точно. Тем не менее они могут быть прокалиброваны
путем активации в потоке известной интенсивности, изменяющемся по закону
1/Е. При таких измерениях необходимо помнить, что кадмиевое покрытие,
используемое для экранировки фольги от тепловых нейтронов, тоже погло-
щает некоторую часть резонансных нейтронов. Однако этим резонансным
поглощением можно пренебречь, если использовать одну и ту же фольгу
и покрытие как при калибровке, так и при измерении.
* Иногда в качестве резонансных детекторов используются следующие вещества:
Со59 (132 эв), Na23 (2950 эв). С137 (26 кэв) и F19 (27 кэв).
277
6t,6apH
б^барн
La
1О'г IO’1 7 10 10г Е,зО
Рис. 12.1.3. Энергетическая зависимость сечений для некоторых
резонансных детекторов. (Соответствующие зависимости для мар-
ганца и индия приведены на рис. 1.3.2 и 1.3.3.)
Возмущение активации при измерениях с помощью резонансной фольги
весьма мало. Это связано с тем, что средняя потеря энергии нейтрона при
столкновении с атомом окружающего замедлителя обычно больше, чем
ширина резонанса. Поэтому нейтрон, который однажды прошел фольгу
Рис. 12.1.4. Вклад основного резонанса в активацию различных
резонансных детекторов в зависимости от их толщины.
с резонансной энергией, имеет весьма малую вероятность обратного рассея-
ния на фольгу с почти той же самой энергией; поэтому такое рассеяние не
может вызвать возмущение.
12.1.3. Метод сэндвича
Можно изготовлять резонансные детекторы такжэ из толстых фольг
в виде сэндвича из трех слоев одного и того же вещества. Два крайних слоя
такого детектора поглощают нейтроны с энергиями преимущественно вблизи
основного резонанса. Активация среднего слоя, обусловленная 1/^-компо-
нентой и побочными резонансами, почти такая же, как и соответствующая
активация внешних слоев. В величине активации, полученной как разность
активаций внешнего и внутреннего слоев, содержится большая доля, свя-
занная с захватом на основной уровень, чем это имеет место в случае облу-
чения отдельной фольги.
На рис. 12.1.5 приведена доля разностной активации, связанной
с основным резонансом, для сэндвичей из одинаковых фольг для различных
резонансных веществ. Следует отметить существенное улучшение по срав-
нению с отдельными фольгами (см. рис. 12.1.4).
279
На рис. 12.1.6 показана типичная конструкция сэндвича из фольг. Для
того чтобы избежать активации внутренней фольги «неэкранированными»
нейтронами, падающими на края сэндвича, следует использовать экранирую-
щее кольцо толщиной примерно 5 мм. Фольга облучается под кадмиевым
Рис. 12.1.5. Вклад основного резонанса в разностную активацию раз-
личных резонансных детекторов в виде сэндвича в зависимости от их
толщины.
4
Рис. 12.1.6. Конструкция типичного детекто-
ра в виде сэндвича:
1 — сэндвич; 2 — фольги сэндвича; 3 — защитное
кольцо; 4 — кадмиевое покрытие.
покрытием. Если фольги настолько тонкие, что активация тепловыми ней-
тронами однородна и взаимно погашается при вычитании, то сэндвич можно
облучать без кадмиевого покрытия. Этот метод, однако, не очень точен,
поскольку результат является разностью двух больших величин, мало отли-
чающихся друг от друга. На рис. 12.1.7 приведено отношение активации
внешней фольги к активации внут-
ренней фольги CDICc для одина-
ковых фольг в 1/^-спектре. Это
отношение является одним из важ-
ных факторов при выборе разме-
ров фольг сэндвича. Разность
CD — Сс будет определена тем
точнее, чем больше отношение
CDICc- Очевидно, для золота,
свинца и вольфрама нетрудно по-
лучить достаточно большую вели-
чину этого отношения. Для лан-
тана и марганца соответствующая
разность мала и поэтому актива-
ции CD и Сс должны быть опре-
делены весьма точно.
Познакомимся теперь с теорией активации фольг в виде сэндвичей.
Рассмотрим фольгу толщиной 6, коэффициент поглощения и активации
которой равен покрытую с обеих сторон фольгами (д', Активация
внутренней фольги в моноэнергетическом изотропном потоке нейтронов Ф
определяется соотношением
л/2 _ __ Наб
Сс= — *2 \ е cos#*(i — е cos cos sjn (12.1.14а)
о
(см. п. 11.2.1). Осуществляя интегрирование, получаем
сс = ф [Е3 — е3 (p,;6z + ^аб)] = -5- [<р0 (р,;б' + — ф0 (цаб'). (12.1.146)
Для одинаковых фольг из одного вещества (pa = |Tq, $ =
Cc = -J[<Po(2^)-<poM]. (12.1.15)
Активация всего сэндвича из одинаковых фольг равна
Cc+2CD = -^o(3|2a6), (12.1.16)
280
откуда активация внешней фольги
CD = [фо (3|М&) — Фо (2ца6) + фо (Иаб)].
(12.1.17)
Проинтегрировав выражения для и Сс по 1 /Е-спектру (см. п. 12.1.1),
можно найти отношение CDICc. Кривые, приведенные на рис. 12.1.7, были
получены таким способом (при Ес~ 0,68 эв).
Рис. 12.1.7. Расчетное (-----) и экспериментальные (Ehret, 1961) отношения
активации внешней фольги детектора-сэндвича к активации внутренней^ фольги
в зависимости от толщины.
12.2. ОДНОВРЕМЕННАЯ АКТИВАЦИЯ ФОЛЬГИ ТЕПЛОВЫМИ
И ЭПИТЕПЛОВЫМИ НЕЙТРОНАМИ
12.2.1. Метод кадмиевой разности
Предположим теперь, что энергетическое распределение потока нейтро-
нов имеет вид
ф(Е) = Ф^^е-^ + Фер. , (12.2.1)
где Ф^ и Фер1—постоянные, Т — температура нейтронов и А (Е!кТ) — функ-
ция переходной области, введенная в п. 10.2.1. Пренебрегая рассеянием
в фольге *, получим следующее выражение для активации:
----------- ОО
С = (Наб) + \ Фо lHa (Е) 6] dE = Cth + Cepl.
На е) На
0
(12.2.2)
Чтобы разделить активацию тепловыми и эпитепловыми нейтронами,
фольгу облучают при полном экранировании кадмием толщиной 0,5—1,5 мм.
Сечение поглощения кадмия (рис. 12.2.1) велико при малых энергиях,
а при энергии примерно 0,5 эв начинает резко падать. Поэтому в первом,
грубом приближении можно предположить, что кадмий захватывает все
тепловые и пропускает все эпитепловые нейтроны. Следовательно, в при-
сутствии кадмия происходит активация только тепловыми нейтронами;
* Кроме того, здесь и в дальнейшем мы пренебрегаем поправкой к активации
вследствие возмущения потока тепловых нейтронов.
281
Рис. 12.2.1. Сечение поглощения кадмия в зави-
симости от энергии нейтронов.
Рис. 12.2.2. Коэффициент кадмиевой поправки для
золотых фольг в изотропном поле нейтронов в зави-
симости от толщины фольг. (Толщина кадмиевого
фильтра 1 мм.)
Рис. 12.2.3. Коэффициент кадмиевой поправки для
индиевых фольг в изотропном поле нейтронов в
зависимости от толщины фольг при толщине кад-
миевого фильтра 1 мм (1) и 0,5 мм (2).
точнее [см. (12.1.14)], если толщина кадмия 6СР, то активация равна
, °°
('CD ерi С ftact , г CD /туч SiCD > / j-i\ $ i г CD / tj\ $CD
c = ~^~ VPolHa (E)6 -r[la(E)6] — ф0[ца (£)S ]} X
d Pa
0
X Д(Д//сГ) dE=--^~. (12.2.3)
P CD
В последнем выражении введен коэффициент кадмиевой поправки
оо
Фо [pa U?) 6] А {Е/’кТ)
с) Ра
Fcd = ---------------»------------------------------------------, (12.2.4)
{фо (£) 6CD + Ma (£) 6] - Фо [HCD (£) 6CD]}A(£//tr) -^=-
О На А
учитывающий то обстоятельство, что кадмий захватывает нейтроны, энергии
которых заключены в диапазоне между граничной энергией эпитеплового
спектра (около 0,1 эв) и границей поглощения кадмия. (Последняя будет
определена ниже.) Фактор FCD зависит от толщины кадмиевого покрытия,
толщины фольги, вещества фольги и функции переходной области, которая
в свою очередь определяется свойствами замедлителя и при определенных
обстоятельствах температурой нейтронов. На рис. 12.2.2 и 12.2.3 показаны
коэффициенты кадмиевой поправки, которые были вычислены для золота
и индия при использовании функции переходной области по Иохансону
(Johansson et al., 1960; а также см. п. 12.2.2).
Чтобы получить активацию, обусловленную тепловыми нейтронами,
следует из полной активации фольги вычесть эпикадмиевую активацию,
умноженную на коэффициент кадмиевой поправки, т. е.
Ctll = C-FCDCCD. (12.2.5)
Все изложенное в гл. 11 справедливо и для С th- Так как измеренная актив-
ность по у-лучам пропорциональна активации, все полученные результаты,
в частности поправочные коэффициенты (см. рис. 12.2.2 и 12.2.3), справед-
ливы также и для величины активности. При (3-счете следует учитывать само-
поглощение электронов; однако соответствующий коэффициент появляется
как в числителе, так и в знаменателе соотношения (12.2.4), причем в обоих
случаях он почти один и тот же, так что в первом приближении его можно
сократить.
12.2.2. Вычисление фактора для тонкого 1/т-поглотителя
Допустим, что 1 /^-поглотитель настолько тонок, что самоэкранирова-
нием в фольге можно пренебречь. Допустим также, что все процессы погло-
щения приводят к активации. Покажем далее, что прозрачность по отноше-
нию к тепловым нейтронам T((h для достаточно толстого кадмиевого покры-
тия пренебрежимо мала. Заметим прежде всего, что
оо
J {(р0 |Х° (Е) 6CD + На (Е) 6] - ф0 [h£d (Е) 6CD]} e- =
G
oo
= Ф/л J Ha (E) 6E2 )HaD (E) 6CD] e-wr (12.2.6)
0
283
[так как ца (Е) 6 < 1]. Следовательно,
^CaD
iCD
th
^th
Cth
(E)^} ]/-^e~E,kT^
Cl/ E c~E/kT dE
J V кТ кТ
{E) 6CD]}/
(12.2.7)
где щ (E) — i^a (кТ) ~\гкТ]Е, Если предположить, что резонансное сечение
поглощения кадмия описывается формулой Брейта — Вигнера, то в соотно-
шении (12.2.7) можно осуществить интегрирование. На рис. 12.2.4 приве-
дена величина Т™ в зависимости от толщины кадмиевого покрытия при
температуре Т = 300° К. При толщине покрытия, превышающем 0,5 мм, кад-
мий становится практически непрозрач-
ным для тепловых нейтронов; поэтому
в соотношении (12.2.3) величину С^р
Рис. 12.2.4. Пропускание изотропного
поля тепловых нейтронов (Т = 300° К)
кадмиевыми покрытиями различной
толщины.
можно не учитывать. В дальнейшем
будет предполагаться, что толщина кад-
миевого покрытия всегда больше 0,5 мм.
Чтобы определить поправочный
коэффициент Fc:d, запишем следующий
интеграл:
оо
C™i = CCD = Фер1^ра (Е)дх
О
X Е,[^° (Е) 6СР] . dE. (12.2.8)
Если бы сечение кадмия представляло
идеальную ступенчатую функцию, т. е.
было бы весьма велико после граничной энергии ECD и равно нулю до
нее, то величина CCD определялась бы соотношением
ecd
(12.2.9)
в предположении, что функция /ЦЕ/кТ) уже равна единице для Е/^ЕСВ,
В нашем же случае сечение кадмия всего лишь аппроксимируется ступен-
чатой функцией. Тем не менее принято использовать уравнение (12.2.9)
для определения граничной энергии кадмия. Другими словами, предпола-
гается, что выполняется условие
$ (12.2.10а)
ecd 0
из которого определяется энергия ECD в зависимости от толщины кадмия
<5СЛ и функции ЦЕ/кТ). Если цДТД = (кТ) ]/~кТ/Е, то в левой части
можно провести интегрирование, в результате которого получим
ECD = —--------------------------------- . (12.2.106)
{ § Д (E/кТ) Е2 (Е) bCD] 2
284
Основной вклад в интеграл знаменателя (для не слишком тонкого кадмия)
дает область энергий выше 0,3 эв; в этой области все варианты предлагаемой
функции переходной области очень близки к единице, и поэтому энергия ECd
очень слабо зависит от выбора этой функции. На рис. 12.2.5 приведена
величина ECd в зависимости от толщины кадмия, вычисленная с исполь-
зованием функции переходной области, предложенной Иохансоном и др.
(Johansson et al., 1960) для D2O
при Т = 300° К. При d = 1 мм
Ecd = 0,68 эв; это значение мы
часто будем использовать в каче-
стве стандартного. Тогда для
1 / ^-поглотителя
CCD = ФерГ2На(адб. (12.2.11)
Кроме того, необходимо вычи-
слить
оо
cepi = Ферг J На (Е) б А dE.
о
(12.2.12)
Функция А (Е1кТ) также аппрокси-
мируется ступенчатой функцией,
и в этом случае также
ляемую следующим образом:
Рис. 12.2.5. Граничная энергия кадмия для
тонкого 1/у-поглотителя в изотропном ней-
тронном поле в зависимости от толщины кад-
миевого покрытия.
можно ввести граничную энергию Еет, опреде-
Р / т~»\ dE
На (^) “g
ЕЕТ
dE.
(12.2.13а)
Полагая (Е) = ца (кТ) УкТ!Е и осуществляя интегрирование в левой
части, получаем
Еет
4
оо
о
(12.2.136)
Так как функция переходной области зависит только от Е!кТ, то, вводя
новую переменную х = Е1кТ, можно получить
Еет = —-------—---------= [1кТ, (12.2.13b)
[ J А x~~3^2dx^ 2
где ц 3,6 ± 0,4 для функции А (х) в D2O (Johansson et al., 1960), а для
графита ц 3,4 + 0,3 (Coates, 1961). Тогда для 1/^-поглотителя
Cepi — Ферг *
(12.2.14)
а коэффициент кадмиевой поправки для тонкого 1 / ^-поглотителя опреде-
ляется как
, Cepi 1 Г Ecd
cd = ~^cd = у ~^кт~ •
(12.2.15)
Если, например, толщина кадмиевого покрытия составляет 1 мм
и Т = 293,6° К, то FCd ~ 2,75. Этот коэффициент, приведенный на
рис. 12.2.6 в зависимости от толщины кадмия, несколько больше, чем соот-
ветствующие коэффициенты (см. рис. 12.2.2 и 12.2.3) для золота и индия.
Это отличие связано с тем, что для золота и индия эпитепловая активация
в основном обусловлена поглощением в резонансах, которые расположены
285
при столь высоких энергиях, что поглощение в кадмии оказывает на них
весьма слабое влияние. Некоторые полученные здесь результаты применимы
к тонким фольгам в том случае, когда сечение вещества фольги можно пред-
ставить двумя компонентами, одна из которых подчиняется закону 1/ v,
а другая соответствует резонансному поглощению, причем первый резо-
нанс лежит так высоко, что кадмий уже не поглощает нейтроны. Тогда
Рис. 12.2.6. Коэффициент кадмиевой
поправки для топкой фольги с погло-
щением по закону 1/и в изотропном по-
токе нейтронов как функция толщины
кадмиевого покрытия.
Cepi^--<Depi J nact(E)~ (12.2.16а)
еет
и
оо
Сс13 = фер1 J ^act{E)~. (12.2.166)
ecd
Следовательно,
оо ^cd
Р dE Р dE
^act (^) “ ^act (^) “ р
®act р &act (^) р
ECD ecd
(12.2.16в)
где Еет и Ecd определяются соотношениями (12.2.13в) и (12.2.106) соот-
ветственно. Выражение (12.2.16в) дает весьма хорошее приближение для
золота и диспрозия. Для индия, с другой стороны, ECd и Еет должны
быть переопределены, поскольку на них оказывает влияние первый резонанс
при энергии 1,46 эв.
12.2.3. Кадмиевое отношение и определение эпитеплового потока
Кадмиевое отношение определяется как отношение активности открытой
фольги к ее активности при полном экранировании кадмием:
(12.2.17а)
Очевидно,
Фгл-^-фо (Иаб)
_______________________На___________________________
оо
ферг £ {фо (Е) 6CD + (£) 6] - ф0 [pcaD (£) 6CD]} A(7^r) dE
0 Ца E
Для тонкой фольги
Rcd — Fcd
"|/ л 1 / 293,6° ,
ф<й -у-s' (Л у —— °act <2200 •’1- сгк)
- 5
\ 6act \Е) ~£~
ECD
В частности, для тонкого 1/^-поглотителя
Rcd — Fcd ~
®th V -1 / Е cd
Фер1 4 Г кТ
(12.2.176)
(12.2.18а)
(12.2.186)
286
Таким образом, путем измерения кадмиевого отношения при известном потоке
Ф/л можно определить эпитепловой поток. Если использовать тонкий Hv-
детектор, например, ВЕ3-счетчик, то необходимость в дополнительных дан-
ных отпадает (значения ECD и FCD вычисляются на основании методов,
развитых в п. 12.2.2). Если применять тонкие фольги из другого вещества,
то необходимо знать эпикадмиевый резонансный интеграл активации и сече-
ние активации на тепловых нейтронах. Соответствующие данные для золота
и индия приведены в табл^ 12.1.1 и в п. 11.2.2; эти данные не очень точны
Рис. 12.2 8. Расчетные (---) и экспери-
ментальные (О — Greenfield et al., 1957)
значения поправочного коэффициента К
для индиевой фольги как функция ее тол-
щины. (Расчетные значения соответствуют
толщине кадмиевого покрытия 1 мм,
экспериментальные — толщине кадмия
0,5 мм.)
Рис. 12.2.7. Расчетные значения поправоч-
ного коэффициента К для золотой фольги
как функция ее толщины. (Толщина кад-
миевого покрытия 1 мм.)
(за исключением золота). Для толстых фольг следует особенно тщательно
учитывать эффект самоэкранирования на тепловых и особенно на эпитепло-
вых нейтронах. Для описания этого эффекта введем некоторый поправочный
коэффициент ТГ, который определим следующим образом:
раю ...to)
№cd — Fcd)q Pact X
—— Фо (Pa°)
оо
[фоКС^СЛ + ^)-фО (Ц^СП)]
<9 Pa я
X . (12.2.19)
§ oact(E)^-
ecd
Для данного вещества фольги коэффициент К является функцией величин
§ и 7, а также зависит от выбора функции переходной области. Можно
определить также коэффициент /Гр, который учитывает эффект самопогло-
щения |3-частиц. Величину К можно определить, измеряя кадмиевые отно-
шения для фольг различных толщин в одном и том же поле либо вычисляя
ее на основании методов, развитых в пп. 11.2 и 12.2.1. На рис. 12.2.7
и 12.2.8 приведены расчетные и экспериментальные значения величин К
и /Гр для фольг из золота и индия. Используя эти данные, можно определить
отношение Ф^/Фер/. Для этого надо сначала измерить активации С и Ссп
для толстых фольг. Затем определить величину RCd — Fcd и умножить ее
на К или на /Гр. Тогда для результирующей величины справедливо соотно-
шение (12.2.18а), и если известны соответствующие сечения, то можно опре-
делить Фиг1Фер1.
287
12.2.4. Метод двух фольг
При попытке разделить тепловую и эпитепловую активации фольги,
облученной в размножающей среде, могут возникнуть следующие трудности.
Кадмий возмущает поток тепловых нейтронов вблизи фольги и поэтому
влияет на источники быстрых нейтронов (поскольку меняется скорость
деления). Таким образом, измеряемый эпитепловой поток в присутствии
кадмия искажен и его трудно вычислить, особенно в том случае, когда одно-
временно облучается большое количество фольг, покрытых кадмием. Метод
двух фольг позволяет преодолеть эту трудность. В этом методе две фольги,
изготовленные из различных веществ, прикладываются друг к другу и облу-
чаются одновременно. Фольга 1 выполнена из вещества с малым резонанс-
ным интегралом (например, из меди или марганца), в то время как фольга 2
изготовлена из вещества, резонансный интеграл которого велик по сравне-
нию с тепловым сечением (например, из золота). Тогда
' (12.2,20а)
^2—O'2A®lh~\' ^22^ epi* J
Здесь коэффициенты — константы, зависящие от сечений веществ фольг,
их толщины, температуры нейтронов и функции переходной области. Если
aih известны, потоки и Ферг могут быть определены на основании раздель-
ного измерения активаций и С2:
Ф*л — biiCi + bi2C2,
Ферг = ^21^1 Г Ь22С2^ J
где
а22
Ь _ а22 7-, __ —^12
Оц — ------------------ , (712 — ----------------
а22а11 — й12а21 #22^11 — а12а21
(12.2.206)
(12.2.20в)
и т. д. Величины сцъ, и можно вычислить, если известны характеристики
фольг. Можно определить их и экспериментально путем измерений с кадмием
и без него в эталонном спектре, для которого Ф^д и Ф^ известны. Эталонный
спектр должен быть подобен спектру измеряемого поля, так как величины
и bik зависят от температуры нейтронов и функции переходной области.
Точность, с которой Ф/д и Ферг могут быть определены этим методом, зави-
сит от формы спектра и, как правило, меньше, чем точность метода кадмие-
вой разности.
12.2.5. Тонкие фольги (метод Весткотта)
Скорость реакции ф (см~3-сек~г) в достаточно тонкой фольге (влиянием
самоэкранирования можно пренебречь) равна
ф == Nd [ g (7) ]/ Ga (2200 Mt сек-) + <Depi | oa (E) ^^W)_dE~] .
0
(12.2.21)
Следуя Весткотту (Westcott, 1960), величину ф можно представить в значи-
тельно более простом и удобном виде, если использовать формальное описа-
ние спектра, несколько отличное от того, которым мы пользовались до сих
пор. Согласно Весткотту, величина ф записывается в виде
ф =N dn<5aVQ (12.2.22а)
(р0 = 2200 м/сек). Здесь п — полная плотность нейтронов, т. е.
n^n^dv^^-^-dE, (12.2.226)
о о
288
a Qa — эффективное сечение, определяемое как
оо оо
/г (р) voa (v)dv=^<I> (Е) оа (Е) dE.
о о
(12.2.22в)
Для облегчения вычисления сечения оа введем некоторые вспомогательные
величины; пусть nth — плотность тепловых нейтронов, определяемая соот-
ношением
„ ®th ”|/ л
nth = = ~2----
V 4 vT
(12.2.23а)
a nept—плотность эпитепловых нейтронов, т. е.
оо
Перг = Ферг (12.2.236)
у у р VT
[см. (12.2.13в)]. Очевидно, n = nth-}-nepi. Вводя сокращенные обозначения
f = nepiln, 1 — f = rith/n и используя соотношение (12.2.21), можно получить
___ оо
Оа = (1 - /) g (Г) Оа (Р0) + / J <уа (£) dE =
О
- g (Г) оа (р0) + / [ J оа (Е) dE — g (Т) <Уа ы ] . (12.2.24а)
О
п F МЕ/кТ) 7„ 2 1
Имея в виду, что \------dE=———, слагаемое в квадратных скобках
& vE у р VT
можно переписать в виде
/_ °о
-3^ Г Г Ста (Д) _g (У) ff(t (р0) 22L ~| А dE. (12.2.246)
"^0 d L_ с/ zl
0
Величина
оо
r = ^[oa(E)-g (7) <та (РО) ] А (g/r) dE (12.2.25)
о
называется избыточным резонансным интегралом. Тогда
Оа = g (Т) Оа (РО) + f Г.
Введем теперь две вспомогательные величины. Во-первых, допустим, что
избыточный резонансный интеграл может быть выражен в виде
<12'2'26>
Величина s безразмерная и зависит от температуры нейтронов. Введем
также новый параметр спектра
г = (12.2.27а)
Из определения величины f и из соотношений (12.2.23а) и (12.2.236) следует,
что
г==---]/л^/4—(12.2.276)
1 I
4 Фер1
19 Нейтронная физика
289
Для мягкого спектра Ф^/Ферг > 1 и поэтому г ж Фе-ptl^th- Наконец^
сечение оа можно выразить в зависимости от г и s следующим образом:
Ga==Oa(Vo) (g + rs). (12.2.28)
Подробные таблицы параметров g и s в зависимости от температуры нейтро-
нов можно найти в работе Весткотта (Westcott, 1960) или Кэмпбелла и Фри-
ментла (Campbell, Freemantle, 1957). Для 1/р-поглотителя g=l, s == О’
и, следовательно, <уа = tfa (г0). В поле чисто тепловых нейтронов г = 0г
так что оа = (^о) g- Для большинства ядер значения $ и Г не зависят
от функции переходной области, так как если при очень низких энергиях нет
резонансов, то подынтегральная функция в соотношении (12.2.25) практи-
чески обращается в нуль в области, где А (Е!кТ) быстро меняется. Исключе-
нием из этого правила являются лютеций и плутоний (см. п. 15.2).
Удобно переписать формулы для кадмиевого отношения в обозначениях
Весткотта. Активация 1/^-детектора, покрытого кадмием, равна (см. также*
п. 12.2.2)
CCD = Ndoa(y0^epi
ecd
2 \
или после интегрирования I Фер1 = vTnr)
V у л *
Так как С — N dnoa (и0) то
о С 1 ~\/ л -j /~ Ecd
(12.2.29а)
(12.2.296)
(12.2.29в)
Таким образом, если известно кадмиевое отношение 1/у-поглотителя, можно*
определить г аналогично тому, как это было сделано для !Ф^/Ферг [см.
(12.2.186)]. Активация вещества, сечение которого следует закону 1/р при
низких энергиях (g 1), а при более высоких энергиях (> 1 эв) имеет
резонансный характер, определяется соотношением
CCD = Ndca(v0)nv0 + . (12.2.30а)
Следовательно,
(12.2.306)
Представление Весткотта особенно удобно при оценке температуры нейтронов
на основе измерений с помощью фольг (см. п. 15.2) и при описании результа-
тов измерений резонансного интеграла методом двух спектров (см. п. 12.3.3).
Обобщение на случай толстых фольг не является очевидным.
12.3. ИЗМЕРЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Многие вопросы, затронутые в данной главе, имеют значение, выходя-
щее далеко за пределы теории активации фольг. В приближении, в котором
поле нейтронов формируется из теплового максвелловского спектра и эпитеп-
лового l/TJ-cneKTpa, все скорости реакций могут быть выражены как функ-
ции от тепловых сечений и резонансных интегралов независимо от того,
касается ли это поглощения, деления, активации или рассеяния. Поэтому
290
значительный интерес представляет прямое измерение резонансных инте-
гралов как при бесконечном разбавлении, так и в случаях, когда самоэкра-
нирование играет важную роль. Ниже мы познакомимся с большинством
основных методов измерения резонансных интегралов для тонких фольг.
Однако прежде всего дадим более точно определение резонансного инте-
грала.
12.3.1, Точное определение резонансного интеграла
Согласно Гольдштейну и др. (Goldstein et al., 1961), эпикадмиевый резо-
нансный интеграл определяется соотношением
2 Мэв
у е / dE
Iх = j &х (^) ?
0,55 эв
(12.3.1)
где х — а означает поглощение, х — f — деление, х — s — рассеяние
и х = act — активацию. Не следует смешивать так определенный резонанс-
ный интеграл с величиной 1ехР, которая действительно определяется из
опытов по измерению скорости реакции для бесконечно тонкой, покрытой
кадмием фольги, т. е.
Етах
Ixp= § <ух(Е)^-~-dE, (12.3.2)
ecd
где функция f (Е) отражает тот факт, что спектр поля, в котором производи-
лись измерения, может отличаться от идеального 1/£-спектра. Энергия ECd
зависит от толщины кад-
мия, от вещества погло-
тителя, пространственного
распределения нейтронно-
го поля или от располо-
жения . соответствующей
аппаратуры. Для тонких
фольг с поглощением, под-
чиняющимся закону 1/ р,
расположенных в изотроп-
ном нейтронном поле, ве-
личина Ecd была вычи-
слена в п. 12.2.3. Значе-
Рис. 12.3.1. Граничная энергия кадмия для 1/р-погло-
тителя, соответствующая направленному пучку нейтро-
нов, как функция толщины кадмиевого фильтра.
ния, приведенные на рис. 12.3.1, соответствуют пучку нейтронов, падаю-
щих нормально на фольгу с сечением, характеризуемым законом 1/ р. Дан-
ные для других экспериментальных условий можно найти в работе Галь-
перина и др. (Halperin et al., 1960). В общем случае энергия ECd будет
отличаться от значения 0,55 эв. Верхний предел интегрирования Етах в
общем случае также должен отличаться от энергии 2 Мэв, однако, как
правило, это отличие не оказывает существенного влияния на величину 1Х.
В любом случае почти всегда следует вносить расчетные поправки в вели-
чину измеренных интегралов.
Определим теперь избыточный резонансный интеграл в следующем виде
[см. (12.2.25)]:
2 Мэв
Гх = J M^ILdE. (12.3.3)
о
В отличие от определения эпикадмиевого интеграла соотношение (12.3.3)
не является однозначным, так как содержит функцию переходной области,
зависящую от поля нейтронов. Как было показано выше, во многих случаях
нет необходимости знать точный вид функции A (ElkT). В этом случае также
19* 291
следует делать различие между величинами, вычисленными на основании
определения и непосредственно измеренными.
Введенные здесь обозначения 1Х и Гх нельзя смешивать с обозначениями
тк тй.
leff и loo, соответствующими резонансным интегралам поглощения для сим-
метричного брейт-вигнеровского резонанса с самоэкранированием и без него.
12.3.2. Определение резонансного интеграла
с помощью кадмиевого отношения
Понятие кадмиевого отношения дает простой способ сравнения резонанс-
ных интегралов. Измеряя скорости реакций в тонкой фольге с кадмиевым
покрытием и без него, можно вычислить кадмиевое отношение. Для тонких
фольг имеем
~|/л ./293,6° .
Ф,Л ~Т~ 8х V “Г- °х (1’о)
Ecd — Fcd
(12.3.4)
Величина FCd может быть вычислена с помощью соотношения (12.2.16в)
(с заменой сх на Gact) при использовании предварительной оценки резонанс-
ного интеграла. Если измеряется кадмиевое отношение эталонного вещества,
для которого резонансный интеграл уже известен, то
{RCD—FcD^standard _ [g (у) G (v^\siandard , . n n
R-CB Fcd Istandard 8x(F)Gx(vq)
Из этого соотношения можно определить 1ххр, поскольку тепловое сечение
и g-фактор известны с достаточной точностью. Чтобы с помощью найденной
величины получить теперь значение 1Х, следует вычислить вклад области
энергий от 0,55 эв до Ecd- При соответствующих расчетах необходимо знать
энергетическую зависимость сечения ох (Ё), полученную с помощью диффе-
ренциальных методов измерений. Иногда следует вносить поправку в верх-
нюю граничную энергию спектра, однако, как правило, такая поправка
не обязательна. Наконец, при некоторых обстоятельствах необходимо учи-
тывать отклонение спектра от закона ЦЕ (Hardy et al., 1961).
Измерения могут проводиться как в поле нейтронов, так и в пучке
нейтронов. Как правило, на опыте измеряется скорость активации, однако
с помощью небольших делительных камер можно измерять также скорость
деления; регистрируя мгновенное у-излучение, можно измерять скорость
захвата.
В качестве эталона при таких измерениях используется обычно актив-
ность золота [оа (Е) = oact (Е)] с периодом полураспада 2,695 дня. Путем
сравнения с кадмиевым отношением для борного счетчика, которое не зави-
сит от величины сечения, так как о ~ 1/ v [см. (12.2.186)], Ирлоу и Иохансон
оо
(Jirlow, Johansson, 1960) получили <та (Е) = 1535 ± 40 барн. Вычис-
0,5 эс
ление на основе тщательно измеренных параметров Брейта — Вигнера дало
значение 1а = 1556 барн, что хорошо согласуется с измеренной величиной.
Большое количество результатов по измерению резонансных интегралов
можно найти в приложении II.
В ранних исследованиях часто предполагалось, что в соотношении
(12.3.5) FCI) = 1. Другими словами, предполагалось, что вклад в скорость
реакции открытой фольги, обусловленный нейтронами с энергиями между
граничной энергией тепловой области Еет и граничной энергией кадмия
ECD. пренебрежимо мал. Это некорректно, особенно когда измеренное
кадмиевое отношение не очень велико по сравнению с единицей. Если, однако,
соответствующим образом определить эффективное тепловое сечение (Halpe-
rin et al., 1960), то можно положить FCD = 1-
292
12.3.3. Другие методы измерения резонансных интегралов
В методе двух спектров скорость реакции в фольге (бесконечно тонкой)
измеряется в двух спектрах различной жесткости. Например, скорость
реакции в поле нейтронов с г = 0 определяется как
Ro~ nQVQO (р0) g,
в то время как в поле, для которого г =/= О, она равна
(g + rs).
Измерив щ Itiq тонким ВБ3-счетчиком, можно получить
j , rs_
#0^1 g ’
(12.3.6а)
(12.3.66)
(12.3.6b)
из которого можно найти величину $, если г уже известно из измерений кад-
миевого отношения 1/^-детектора. С помощью соотношения (12.2.26) можно
определить Г при известном значении s. Достоинство описанного метода
состоит в том, что результаты не зависят от детальных свойств кадмиевого
поглотителя. Однако он не пригоден для веществ с очень малым значением s.
Большое количество измерений резонансных интегралов поглощения
было выполнено методом котлового осциллятора.
Спивак (Spivak et al., 1955) описал метод пропускания для определения
резонансных интегралов. Пучок нейтронов проходит сквозь тонкую фольгу
резонансного поглотителя и проникает в детектор, эффективность которого
не зависит от энергии нейтронов. Пропускание (отношение скорости счета Z+
с фольгой к скорости счета Z0 без нее) тогда определяется соотношением
~=i-Nd^at(E)~=l-Ndr^. (12.3.7)
В установке Спивака детектировались также нейтроны, рассеянные в фольге,
поэтому данные по измерению пропускания определяли резонансный инте-
грал поглощения 1еаР.
ЛИТЕРАТУРА
Вычисление эффективного резонансного интеграла
Adler F. Т., N or dheim L. W. Ga-377 (1958).
D г е s n е г L. Resonance Absorption in Nuclear Reactors. Oxford, Pergam on Press, 1960.
Измерение и расчет коэффициента эпитеплового самоэкранирования
Brose М. Dissertation. Karlsruhe, 1962; см. также Nukleonik, 6, 134 (1964).
Brose М., К п о с h е М. Unpublished Karlsruhe report (1963).
Т г u b е у D. К., В 1 о s s е г Т. V., Е s t а b г о о k G. М. ORNL-2842, 204 (1959).
Измерение функции переходной области
Coates М. S. Neutron Time-of-Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961.
J ohansson E., L a m p a E., Sjostrand N. G. Arkiv Fysik, 18, 513 (1960).
Резонансные детекторы; метод сэндвича
Bigham R. М., Р е а г с е С. В. AECL-1228 (1961).
Ehret G. Atompraxis, 7, 393 (1961).
Stewart Н. В., G a v i n G. В. The Physics of Intermediate .Spectrum Reactors. Ed.
J. Stehn. USAEC, 1959.
Эффективные граничные энергии кадмия
Dayton I. E., Pettus W. G. Nucleonics, 15, No. 12, 86 (1957).
Farinelli U. Neutron Dosimetry, Vol. 1. Vienna, International Atomic Energy Agency,
1963.
293
Hickman G. D., Leng W. B. Nucl. Sci. Eng., 12, 523 (1962).
Martin D. H. Nucleonics, 13, No. 3, 52 (1955).
Stoughton R. W., Halperin J.,Lietzke M. P. Nucl. Sci. Eng., 6, 441 (1959).
Stoughton R. W. Halperin J. Nucl. Sci. Eng., 15, 314 (1963).
Кадмиевое отношение; эпитепловой поток нейтронов
Fastrup В. Riso Report No. 1, 1959; J. Nucl. Energy, A 11, 143 (1963).
Fastrup B., Olsen J. Riso Report No. 43, 1962; см. также Neutron Dosimetry.
Vol. 1. Vienna, International Atomic Energy Agency, 1963.
Greenfield M. A., Koontz R. L., J a r e t t A. A. Nucl. Sci. Eng., 2, 246 (1957).
Manner W., Springer T. Nukleonik, 1, 337 (1959).
Скорости реакций в смешанных нейтронных полях
Campbell С. G., Freemantle R. С. AERE, RP/R 2031 (1957).
N i si е R. G. Neutron Dosimetry. Vol. 1. Vienna, International Atomic Energy Agency,
1963.
Stoughton R. W., Halperin J. Nucl. Sci. Eng., 6. 100 (1959).
Westcott С. H., Walker W. H., Alexander T. K. Geneva, 1958, P/202,
Vol. 16, p. 70.
Westcott С. H. AECL-1101 (1960).
Определение резонансного интеграла
Goldstein H. et al. EANDC-12 (1961).
Измерение резонансных интегралов
Hardy J., Klein D., Smith G. G. Nucl. Sci. Eng., 9, 341 (1961).
Harris S. P., Muehlhause С. O., Thomas G. E. Phys. Rev., 79, 11 (1950).
J i r 1 о w K., Johansson E. J. Nucl. Energy, A 11, 101 (1960).
Johnston F. J., Halperin J., Stoughton R. W. J. Nucl. Energy, A 11, 95
(1960).
Macklin R. L., P о m e r a n с e H. S. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1, Vol. 1, 179 (1956).
Spivak P. E. et al. Geneva, 1955, P/659, Vol. 5, p. 91.
T a t e r s a 11 R. B. et al. Nucl. Energy, A 12, 32 (I960).
Глава 13
ПОРОГОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
Некоторые ядерные реакции, такие, как (п, 2п)-реакция, неупругое
рассеяние и некоторые из (п,/?)-и (тг, сх)-реакций, могут осуществляться только
тогда, когда энергия нейтронов выше определенной пороговой энергии. Во
многих случаях эти реакции приводят к появлению радиоактивности, которая
может быть измерена. С помощью пороговых детекторов в виде фольг на
основе этих реакций можно определять поток, энергетический спектр и долю
быстрых нейтронов. Такие фольги имеют особое значение при измерениях
в протяженных средах (реакторах); как правило, детекторы, описанные
в гл. 3, используются преимущественно при измерениях на пучках нейтронов.
13.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОРОГОВЫХ ДЕТЕКТОРАХ
Активация дискообразного порогового детектора в виде фольги, тол-
щина которой не очень велика, определяется соотношением
С = Nd Gact (Е) Ф (Е) dE, (13.1.1)
о
поскольку при высоких энергиях сечения настолько малы, что (при разум-
ных толщинах фольги) рассеянием и самоэкранированием можно пренебречь.
Основной трудностью при измерениях со всеми пороговыми детекторами
является то обстоятельство, что энергетические зависимости потока быстрых
нейтронов Ф (Е) и сечения oact \Е) обычно весьма сложны. Энергетическая
294
.зависимость сечения активации в некоторых случаях известна, в то время
как для получения информации о спектре нейтронов необходимы, вообще
говоря, дополнительные исследования. Исключение составляет частный слу-
чай моноэнергетических нейтронов, получаемых с помощью ускорителя.
Вопросы, связанные с обработкой результатов измерений с пороговыми детек-
торами, будут детально обсуждаться в п. 13.2.
13.1.1. Определение эффективной пороговой энергии
Энергетическая зависимость сечения активации идеального порогового
детектора должна иметь ступенчатую форму, в соответствии с которой сечение
равно нулю ниже пороговой энер-
гии^, а выше этой энергии оно
равно некоторой постоянной вели-
чине а0. Поскольку активация в
этом случае пропорциональна ве-
личине По Ф (^) ТО в Ре"
Es
зультате измерений получают ин-
тегральный поток нейтронов выше
энергии Es. Повторяя измерения
с достаточно большим числом раз-
личных детекторов, можно полу-
чить интегральный поток в зави-
симости от энергии Es. Дифферен-
цируя последний по энергии Es,
можно определить поток Ф (Е).
Для реальных детекторов лишь в
Рис. 13.1.1. Сечение реакции S32(n, р)Р32 в
зависимости от энергии нейтронов (На
рис. 13.1.1—13.1.11 кривые представляют ре-
зультаты интерполяции по большому числу
различных измерений.)
гень грубом приближении можно счи-
тать, что энергетическая зависимость сечения имеет ступенчатую форму
(рис. 13.1.1). Однако в этом случае можно ввести понятие некоторой эффек-
тивной пороговой энергии Ер8\ определяемой соотношением
^aact(E)(S(E)dE = vQ J Ф(£)Ж (13.1.2)
О Eeff
в
где о0— значение сечения на «плато», достигаемое при высоких энергиях.
Таким образом, эффективная пороговая энергия соответствует истинной
скорости реакции. Очевидно, такое определение энергии Е^ зависит от
вида функции Ф (£'); другими словами, величина Efff не является универ-
сальной константой. Однако в первом, грубом приближении спектр нейтронов
в реакторах выше энергии 0,5 Мэе представляет собой спектр нейтронов деле-
ния. Поэтому обычно в соотношении (13.1.2) для всех веществ используют
спектр деления U235 тепловыми нейтронами N (Е) вместо функции Ф (£).
В табл. 13.1.1 —13.1.3 приведены полученные таким образом значения Ее^;
там же указаны некоторые другие данные для пороговых детекторов. Вели-
чина а0 соответствует значению сечения на плато или, когда плато отсутст-
вует, максимальному значению сечения активации. Понятие величины о0
теряет смысл в том случае, когда фольга облучается в спектре, сильно отли-
чающемся от спектра нейтронов деления (ситуация, которая возникает во
многих практических случаях). Тем не менее она может быть использована
для определения области энергий, в которой применимы фольги. Позднее мы
покажем, каким образом может быть изменено понятие пороговой энергии.
В таблицах приведено также значение сечения активации о, усреднен-
ного по спектру деления ЩЕ); величина о может быть вычислена с исполь-
зованием сечения (5act(E) или измерена непосредственно путем активации
295
Характеристики пороговых детекторов [реакция (п, р)[
Таблица 13.1.1
Элемент Ядро-мишень (содержа- ние, %) Продукт реакции (период полу- распада) Е$, Мэв сто, мбарн Ee'f, Мэв о, мбарн Материал, из которого изго- товлен детектор Вид радио- активно- сти Побочные активности (пороговая энергия [Мэе]; период полураспада)
Фосфор Р31 (100) Si31 (157 мин) 0,716 140 3,0 30 Фосфорсо- держащее стекло ₽- Р30 (12,7; 2,6 мин) А128 (2,0; 2,3 мин) А129 (13,6; 6,6 мин) Р32 (тепловая энергия; 14,2 дня)
Сера S32(95) Р32 (14,2 дня) 0,954 350 3,2 66 Таблетки, со- держащие серу р- Р33(8,7; 25 дней) Si31 (1,32; 157 мин) S35 (тепловая энергия; 87 дней)
Никель Ni58 (68) Со58 (72 дня) (Q-0,399) 600 3,45 100 Металличе- ский никель Y, (ЕС), 8+ Ni&7 (12,0; 36 ч) Со61 (0,5; 1,65 ч) Ni56 (тепловая энергия; 2,56 ч)
Железо Fe54 (5,82) Мп54 (290 дней) (Q- 0,094) 400 3,75 53 Металличе- ское железо Y> (ЕС) Сг51 (—; 27,8 дня) Мп56 (2,95; 154,5 мин)
Алюминий Al27 (too) Mg27 (9,393 мин) 1,89 80 5,30 3,5 Металличе- ский алю- миний Y> Р“ А128 (тепловая энергия; 2,3 мин) Na24 (3,26; 14,97 ч)
Железо Fe56(91,6) Мп56 (154,5 мин) 2,95 130 7,70 0,97 Металличе- ское железо Y> Р- СГ51 (-; 27,8 дня) Мп54 (—; 290 дней)
Магний Mg24 (78,8) Na24 (14,97 ч) 4,9 200 8,00 1,2 Металличе- ский магний Y- Р~ —
Рис. 13.1.2. Сечение реакции Р31(тг, j»)Si31
в зависимости от энергии нейтронов.
Рис. 13.1.3. Сечение реакции Ni58(Tz, />)Со58
в зависимости от энергии нейтронов.
Рис. 13.1.4. Сечение реакции
Fe56(/z, р)Мп56 в зависимости от энер-
гии нейтронов.
Рис. 13.1.5. Сечение реакции
А127(/г, p)Mg27 в зависимости от энергии
нейтронов.
Рис. 13.1.6. Сечение реакции Mg24(n, jp)Na24
в зависимости от энергии нейтронов.
Рис. 13.1.7. Сечение реакции
Rh103(n, zz')Rh103rn в зависимости от
энергии нейтронов.
в потоке сразу за конвертирующей пластинкой. Между величинами а, а0,
Eesff и о act (Е) существует следующая связь:
^N(E)oact(E)dE = o0 J N (Е) dE = (Е) dE.
О Eeff О
(13.1.3)
13.1.2. Вещества для пороговых детекторов
Табл. 13.1.1 содержит полезные характеристики пороговых детекторов,
работающих на основе реакции (п, р); элементы расположены в порядке воз-
растания пороговой энергии Eesff. В четвертой колонке приведены истинные
Рис. 13.1.8. Сечение реакции
1п115(тг, тг')1п115т в зависимости
от энергии нейтронов.
Рис. 13.1.9. Сечение реак-
ции А127(тг, a) Na24 в зави-
симости от энергии нейтро-
нов.
пороговые энергии, при которых рассматриваемые процессы становятся
энергетически возможными. Благодаря наличию кулоновского барьера
энергия Es почти всегда гораздо меньше, чем Eesff. Значения а0 получены
с помощью кривых, приведенных на рис. 13.1.1—13.1.6 *. С помощью
Рис. 13.1.10. Сечение реакции
Сн65(тг, 2тг)Сн64 в зависимости
от энергии нейтронов.
Рис. 13.1.11. Сечение реакции Cu63(n, 2п)Сп62
в зависимости от энергии нейтронов.
этих значений и значений величины a (Beauge, 1963) на основании соотноше-
ния (13.1.3) была вычислена эффективная пороговая энергия Eesff. Для
спектра деления было использовано выражение (2.6.1). Таблица содержит
также характеристики некоторых побочных активностей, образующихся
в результате облучения естественной смеси, периоды полураспада которых
не пренебрежимо малы по сравнению с периодом полураспада основной
активности. При облучении фольг применялось кадмиевое покрытие для
* Зависимость or (Е) для реакции Fe54 (п, р) Ми54 не приведена, так как известны
только значения для энергий 2 и 14 Мэв. В табл. 13.1.1 в качестве ог0 использовано зна-
чение о (14 Мэв).
298
Таблица 13.1.2
Характеристики пороговых детекторов [реакции (п, п'), (п, а) и (п, 2п)[
Элемент Ядро-мишень (содержа- ние, %). Тип реакции Продукт реакции (период полу- распада) Es, Мэв оо, мбарн Мэв о, мбарн Материал, из которого изго- товлен детектор Вид радиоак- тивно- сти Побочные активности (пор говая энергия [Мэе]; период полураспада)
Родий Rh103 (100) (я, п') Rhl03m (57 лши) 0,040 1500 0,9 1093 Металличе- ский родий у, е~ Rh104w (тепловая энергия; 4,4 мин) Rh102 (9,5; 210 дней)
Индий 1пИ5 (95,8) (га, га') In115™ (4,5 ч) 0,335 350 1,65 171 Металличе- ский индий у, е~ (тепловая энергия; 54,1 мт) 1п113т (0,393; 1,7 ч) AgH3 (9,5; 5,3 ч) AgH2 (—; 3,4 ч)
Алюминий А12’ (100) (я, а) Na24 (14,97 ч) 3,26 120 8,15 0,61 Металличе- ский алю- миний Mg37 (1,89; 9,39 мин)
Медь Си** (30,91) (п, 2п) Си34 (12,8 ч) 10,1 1000 11,7 0,31 Металличе- ская медь Y> ₽+, 0“ Со61 (10,5; 1,65 ч) Ni65 ; 2,56 ч) Си64 (тепловая энергия; 12,8 ч)
Медь Си63 (69,09) (я, 2я) Си62 (9,8 мин) 10,9 800 13,2 0,073 Металличе- ская медь ₽+ Go60m (—. 10,5 Мин) Си66 (тепловая энергия; 5,1 мин) Со62 (—; 13,9 мин) Ni65 (—; 2,56 ч) Со61 (—; 1,65 ч)
Никель Ni58 (68,0) (га, 2п) Ni57 (37 ч) 12,0 80 14 4-IO"3 Металличе- ский никель у, Р+ Ni56 (тепловая энергия; 2,56 ч) Со61 (0,5; 1,65 ч)
исключения активации тепловыми нейтронами. Некоторые элементы, обра-
зующиеся в результате облучения фольг, обладают особенно большими
периодами полураспада [Fe54 (n, p)Mn54; Ni58 (и, р)Со58]. Это обстоятельство
может быть использовано для интегрирования потока по времени при опре-
делении дозы нейтронов.
Табл. 13.1.2 содержит соответствующие данные для пороговых детекто-
ров на основе (н, н')-, (н, ос)- и (п, 2п)-реакций. С помощью этих детекторов
можно проводить измерения при очень больших или очень малых пороговых
энергиях. На рис. 13.1.7—13.1.11 приведены сечения некоторых реакций
в зависимости от энергии нейтронов. Значения а заимствованы из работы
Боже (Beauge, 1963). Значения сечений о0 получены с помощью соответствую-
щих кривых, а эффективная пороговая энергия вычислена, как и выше,
на основании соотношения (13.1.3).
Следует заметить, что приведенные на рис. 13.1.7—13.1.11 зависимо-
сти, равно как и значения а (см. табл. 13.1.1 и 13.1.2), не являются особенно
точными; в некоторых случаях отдельные измерения отличаются друг от
друга на 50%. Значения н для S32(zz, /?)Р32-и Р31(я, /?)8131-реакций, по-види-
мому, наиболее достоверны. Результаты измерения величины а и соответ-
ствующие таблицы можно найти в работах Меллиша (Mellish, 1961), Рох-
лина (Rochlin, 1959), Пассела и Хита (Passell, Heath, 1961) и Боже (Beauge,
1963). Данные по энергетической зависимости сечений приведены в работах
Лискина и Паульсена (Liskien, Paulsen, 1961), Бейурста и Прествуда
(Bayhurst, Prestwood, 1960) и в упоминавшейся уже не раз работе Боже.
Таблицы характеристик ряда других веществ, которые могут быть исполь-
зованы как пороговые детекторы, составлены Бирли (Byerly, 1960).
13.1.3. Камеры деления в качестве пороговых детекторов
При обсуждении процесса деления (см. гл. 1 и 3) было замечено, что
зависимость сечения деления от энергии для ряда элементов носит четко
выраженный ступенчатый характер с энергетическим порогом вблизи 0,3 —
1,3 Мэв; это обстоятельство позволяет применять детекторы деления для
измерения потоков быстрых нейтронов наряду с детекторами на основе
(н, р)-, (н, ос)-, (н, 2п)- и (н, п')-реакций. Табл. 13.1.3 содержит некоторые
полезные характеристики детекторов деления. Зависимость сечений деления
от энергий для ряда тяжелых элементов была приведена на рис. 3.3.1.
Таблица 13.1.3
Характеристики пороговых детекторов деления
Изотоп Еs, Мэв По, мбарн Мэв 0, мбарн
U 234: -0,3 1500 0,62 1200
Np237 —0,4 1500 0,87 1100
IJ236 — 0,7 850 1,25 520
Th232 ~1,3 140 1,40 28
(J238 — 1,3 606 1,55 310
Как правило, скорость деления определяется с помощью камеры деле-
ния. Для этой цели созданы небольших размеров камеры, которые могут
быть легко введены в нейтронное поле. Сконструированы также секциониро-
ванные камеры деления, с помощью которых можно одновременно опреде-
лять скорость деления в нескольких веществах. При изготовлении таких
камер следует особое внимание обращать на чистоту применяемых делящихся
веществ. Если, например, слой U238 содержит только 0,7% U235, то 99% всех
300
делений при облучении в обычном тепловом реакторе будет происходить
на U235.
Скорость реакции можно определить также по активности продуктов
деления. В этом случае либо производят замер активности непосредственно
после облучения, либо определяют активность продуктов деления, собран-
ных на так называемые захватывающие фольги, устанавливаемые на время
облучения около делящегося слоя (Kohler, Romanos, 1963).
13.2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ
С ПОМОЩЬЮ ПОРОГОВЫХ ДЕТЕКТОРОВ
Существуют три различных способа обработки результатов измерений,
выполненных с помощью пороговых детекторов. При использовании так
называемых «математических» методов неизвестный спектр нейтронов опре-
деляется на основании результатов измерений с различными детекторами
(см. п. 13.2.1). «Полуэмпирические» методы основаны на дополнительных
предположениях о форме спектра. Наконец, в некоторых случаях спектр
может быть получен расчетным путем. Поэтому измерения с помощью поро-
говых детекторов служат для подтверждения расчетного спектрального
распределения, а иногда и для определения абсолютного значения потока
быстрых нейтронов (Kohler, 1960—1963). При исследовании реакторных
систем на быстрых нейтронах часто используются пороговые детекторы,
и особенно спектральные индикаторы (см. п. 13.1.3); здесь мы не будем
обсуждать применение пороговых детекторов для этих целей.
Методы определения неизвестных спектров, которые мы попытаемся
изложить в последующем достаточно подробно, были тщательно разработаны
только для некоторых случаев; так как в величинах сечений существуют
большие неопределенности, точные результаты можно получить только
в исключительно благоприятных ситуациях.
13.2.1. «Математические» методы
Многогрупповой метод. Активация порогового детектора к пропорцио-
оо
нальна величине Ah = сРФ (Е) dE. Если область энергий разбить на
о
ряд энергетических групп, то
Ah= 2а'‘ф>’ (13.2.1)
5=1
где Фу — интегральный поток в /-й группе, а Оу — соответствующим образом
усредненное сечение в той же группе.
Если теперь облучить М пороговых детекторов (к = 1, 2, ... , М), то
вместо соотношений (13.2.1) можно записать систему М линейных уравне-
ний относительно неизвестных
м
A>j^y\S’^Ak, (13.2.2)
/?=1
где Sy — матрица, обратная матрице Оу. Как известно, обратная матрица
существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы Оу не обра-
щается в нуль, т. е. когда сечения линейно независимы. Если величины
Oj известны [а их можно вычислить по ofe (/?), только сделав разумные пред-
положения об энергетической зависимости потока в у-й группе], то можно
определить Sy и затем по величинам Аь получить информацию о поведении
потока. Небольшие погрешности в величинах и Ак могут привести к отно-
сительно большим ошибкам в потоках Фу; в действительности высокую точ-
ность, вероятно, можно получить, только если число детекторов М заметно
301
превышает число энергетических групп N, а величины Ф; (/ = 1, 2, . . . , N)-
подбираются (например, методом наименьших квадратов) так, чтобы наилуч-
шим образом удовлетворить набору УЦ (Л = 1, 2, . . . , М) (Fischer, 1960;
Uthe, 1957).
Метод Хартмана (Hartmann, 1957). Поток Ф (Л’) представляется в виде*
суммы некоторых вспомогательных функций cpn (Е):
N
Ф' (Е) = 2 апфп (Е). (13.2.3)
П=1
Для наилучшей аппроксимации функции Ф (Е) необходимо потребовать,
чтобы выполнялось условие
§ [Ф (Е) - Ф' (Я)]2 dE = min. (13.2.4>
Продифференцировав это соотношение по а^ и приравняв нулю результи-
рующее выражение, получим
N
J Ф (£) фа (Я) dE = 2 «п $ Ф„ (Е) фа (Е) dE. (13.2.5)
п= 1
Если предположить, что вспомогательные функции Ц>ь(Е) суть сечения акти-
вации различных пороговых детекторов (или соответствующая их линейная
комбинация), то £ поскольку Ak — Ф (Е) (Е) dE j
N
A = 2 фпА^п, (13.2.6)'
п=Л
где
(Е) (Е) dE.
Следовательно, коэффициенты ап могут быть вычислены с помощью известных
величин Ak путем обращения матрицы флд. Разложение потока Ф(Е) по
функциям, энергетическая зависимость которых совпадает с зависимостью
сечений от энергии, не имеет физического смысла; как показал Дитрих
(Dietrich, Thomas, 1962), при некоторых обстоятельствах можно получить
такие функции аппроксимации Ф'(Е), которые принимают даже отрицатель-
ные значения (см. рис. 13.2.2).
13.2.2. Полу эмпирические методы
Обсуждаемые ниже методы используются для определения неизвестных
спектров в предположении, что имеется некоторая информация относительно
их формы. Все эти методы без исключения дают более точные результаты,,
чем чисто математические.
Метод эффективной пороговой энергии. Если предположить, что иссле-
дуемый спектр мало отличается от спектра нейтронов деления, то, используя
понятие эффективной пороговой энергии, введенное в п. 13.1.1, можно
сразу определить интегральный спектр
оо
Ah = ^ J ®(E)dE = ^F(E%). (13.2.7)
Feff
Esk
Применяя большое количество пороговых детекторов, можно найти зависи-
мость F(E) и, дифференцируя последнюю по энергии, определить спектр
Ф(Е).
Можно ввести модифицированное понятие эффективной пороговой энер-
гии (Grundl, Usner, 1960) на основании взаимосвязи между величинами.
302
Рис. 13.2.1. Сечение о0 Для реак-
ции А127 (тг, р) Mg27 в зависимо-
сти от спектрального индекса р
для различных значений эффек-
тивной пороговой энергии Е($-.
<у0 и Eesf, определяемой соотношением (13.1.2). Согласно Грандлу и Узнеру,
Оо и Elff выбираются таким образом, чтобы при неизменном соотношении
(13.1.2) между величинами о0 и изменение сечения о0 было минимальным
при малых отклонениях спектра от спектра нейтронов деления. Грандл
и Узнер предложили использовать следую-
щую форму спектра:
N(E) = ^rVEe-^E, (13.2.8)
V л
где [ZJ] = Мэв.
При р = 0,77 это соотношение соот-
ветствует экспериментально наблюдаемому
спектру нейтронов деления, совпадая по
существу с зависимостью (2.6.1). На
рис. 13.2.1 приведена функция о0(Р) для
реакции А127 (п, /?) Mg27, вычисленная при
различных значениях параметра Eesff с по-
мощью соотношения
J а (Е) УЁ dE
<М₽) = -Ц;------------• (13.2.9)
J У Е dE
Ее^
Если построить семейство кривых о0 (Р)
для различных фиксированных величин Eestf,
то искомым значением сечения сг0 будет точка
а0(Р = 0,77) на той кривой, для которой cfo0W = 0 при р = 0,77.
В табл. 13.2.1 приведены величины Ee3ff и а0, полученные описанным
способом. Ими можно пользоваться даже тогда, когда исследуемый спектр>
не является в точности спектром деления.
Таблица 13.2.1
Характеристики пороговых детекторов (Gruudl, Usner, 1960)
Реакция Ее^, Мэв ао> мбарн Реакция Мэв Со, мбарн
Р31 (п, р) 2,71 118,9 Си63 (тг, 2тг) S32 (тг, р) 12,77 694
А127 (тг, р) Fe56 р) 4,67 55,7 2,78 272,0
6,33 52,4 U233 (тг, f) 1,67 650
А127 (тг, а) 7,25 58,7 Np237 (тг, /) 0,80 533
Метод Утэ. Согласно Утэ (Uthe, 1957), спектр нейтронов записывается
в виде
Ф' (E)=N (Е)УупЕ\ (13.2.10)
где N (Е) — спектр нейтронов деления. Коэффициенты полинома Ьп выби-
раются таким образом, чтобы величины Ak, определенные с помощью поро-
говых детекторов, аппроксимировались наилучшим образом по методу наи-
меньших квадратов, т. е.
N
S (А— 3 ^па)2 = min, (13.2.11а)
где
<Jnk=^0h(E)N (E)EndE. (13.2.116)
303
Дифференцируя соотношение (13.2.11а) по Ьп(п = 1, 2, . . .) и прирав-
нивая результат нулю, получим систему линейных уравнений относительно
неизвестных Ьп. Соотношение (13.2.8) может правильно описывать спектр
Рис. 13.2.2. Интегральный спектр F (Е) = Ф (Е) dE
Е
в датском реакторе бассейнового типа DR-2, полу-
ченный с помощью пороговых детекторов:
1 — многогрупповой метод; 2 — метод Хартмана; 3 — метод
Дитриха.
быстрых нейтронов в реак-
торе лишь при наличии
нескольких слагаемых
ЬпЕ^п\ так что этот метод
дает хорошие результаты,
если используется доста-
точное количество порого-
вых детекторов с хорошо
известной энергетической
зависимостью сечений.
Метод Дитриха. При
использовании воды в ка-
честве замедлителя можно
предположить, что каждый
нейтрон в результате
одного столкновения теря-
ет значительную долю
своей энергии и поэтому
после столкновения не мо-
жет давать вклада в акти-
вацию порогового детек-
тора.
Тогда
(13.2.12а)
где
2ДЕ>2О + 2Ш(Е).
(13.2.126)
Здесь 2sH (Е) — сечение
рассеяния водорода, имею-
щее сильную энергетиче-
скую зависимость; суммар-
ное сечение поглощения
и неупругого рассеяния
всех других веществ, име-
ющихся в реакторе, обоз-
начено общим символом 20. В первом приближении энергетической зави-
симостью величины 2 0 можно пренебречь. В области энергий от 2 до
12 Мэв сечение 2sH (Е) изменяется примерно по закону 7J-0’75. Поэтому
энергетическая зависимость потока определяется следующим образом:
Ф (#) ~ ’
4 7 °,75
(13.2.13)
где а, — параметр, который можно определить на основании обработки
результатов измерений с помощью пороговых детекторов. Для этого следует
вычислить величины А& с использованием потоков, определяемых соотноше-
нием (13.2.13), при различных значениях параметра а. Искомым будет то
значение а, при котором различие в измеренных и расчетных величинах
Ah будет минимальным.
Для активной зоны датского реактора DR-2 было получено значение
а = 11. При этом расчетные данные удовлетворительно воспроизводили
экспериментально измеренные активности (с точностью до 5%), полученные
304
с помощью пороговых детекторов Р31, S32, А127 и Fe5G на основе реакции
(тг, р) и на основе реакции (тг, а) для А127.
При измерениях на реакторе DR-2 сравнивались различные методы
оо
оценок. На рис. 13.2.2 приведены интегральные потоки F(E) = Ф (Е) dE,
Е
полученные на основании обработки результатов измерений с помощью
указанных детекторов.
ЛИТЕРАТУРА
Общие сведения о пороговых детекторах
Byerly Р. R. Fast Neutron Physics. New York, Interscience Publishers, 1960.
Grundl I., Usner A. Nucl. Sci. Eng., 8, 598 (I960).
Hughes D.J. Pile Neutron Research. Cambridge, Addison-Wesley, 1953. (См. на русском
языке: IO з Д. Нейтронные исследования на ядерных котлах. Перев. с англ. М.»
Изд-во иностр, лит., 1954.)
Kohler W. Atomkernenergie, 9, 81 (1964). Neutron Dosimetry. Proceedings of the 1962.
Harwell Symposium. Vol. 1 and 2. Vienna, International Atomic Energy Agency, 1963.
P a s s e 11 T. О., H e a t h R. L. Nucl. Sci. Eng., 10, 308 (1961).
R о c h 1 i n R. S. Nucleonics, 17, No. 1, 54 (1959).
Эффективные сечения
В e a u g e R. Sections Efficaces Pour les Detecteurs de Neutrons Par Activation, Recom-
mandees par le Groupe de Dosimetrie d’Euratom. CEA-Report (1963).
M e 11 i s h С. E. Nucleonics, 19, No. 3, 114 (1961).
Roy I. С., H a w t о n I. I. AECL-1181 (1960).
Энергетическая зависимость сечений для различных детекторов
Bayhurst В. Р., Prestwood R. J. LA-2493 (1960).
Hughes D. J., S с h w а г t z R. B. BNL-325 (1958).
Liskien H., Paulsen A. EANDC (E) 28 (1961).
Применение пороговых детекторов; методы обработки
Ager - II a nnssen Н., Doderlein I. М. Geneva, 1958, Р/566, Vol. 14, р. 455.
Dierckx R. Neutron Dosimetry. Vol. 1. Vienna, International Atomic Energy Agency,
1963; см. также CEN-Rapprt R 2128 (1961).
Dietrich O. W., Thomas I. Physics of Fast and Intermediate Reactors. Vol. 1.
Vienna, International Atomic Energy Agency, 1962.
Fischer G. I. Nucl. Sci. Eng., 7, 355 (1960).
Hartmann S. R. WADC-TR-57/375 (1957).
Kohler W. FRM-Berichte, No. 27; No. 30 (1960); No. 39 (1961); No. 43 (1962); No. 52;
No. 56 (1963).
Trice I. B. CF-55-10-140 (1955). Oak Ridge National Laboratory.
Uthe P. M. WADC-TR-57/3 (1957).
Камеры деления как пороговые детекторы
Hurst G. S. et al. Rev. Sci. Inst., 27, 153 (1956).
Kohler W., Romanos J. Nukleonik, 5, 159 (1963).
Reinhardt P. W., Davis F. J. Health Phys., 1, 169 (1958).
Глава 14
СТАНДАРТИЗАЦИЯ НЕЙТРОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Большое количество исследований в нейтронной физике связано с точ-
ными абсолютными измерениями. Особый интерес представляют абсолютные
измерения двух типов: абсолютные измерения мощности источников и абсо-
лютные измерения потоков в протяженных средах или в пучках свободных
нейтронов. Абсолютное измерение мощности источника необходимо во всех
исследованиях, основанных на ядерных реакциях с получением нейтронов,
20 Нейтронная физика 305
особенно при измерении параметров тир для делящихся веществ. Абсолют-
ные измерения потока необходимы во многих измерениях сечений (см. гл. 4);
они являются также основой нейтронной дозиметрии, особенно при работе
на ядерных реакторах. Задачи абсолютных измерений потока и мощности
источника, естественно, тесно взаимосвязаны.
В пп. 14.1 и 14.2 будут рассмотрены методы абсолютного измерения
потока, в п. 14.3 — методы определения мощности источника и в и. 14.4 —
важнейшие относительные методы, позволяющие сравнивать произвольные
мощности источников или потоки нейтронов со стандартами.
14.1. АБСОЛЮТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПОТОКОВ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАЗЦОВ
Абсолютное значение потока тепловых нейтронов удобно измерять
с помощью активируемых образцов. Основная проблема поэтому состоит
в возможности абсолютного измерения их активации, чему и будет посвя-
щено последующее рассмотрение. Методы, которые будут описаны, приме-
нимы не только для абсолютных измерений потока; по существу, они состав-
ляют основу всех экспериментов по измерению сечения активации (см.
п.4.3).
Если известно абсолютное значение потока тепловых нейтронов в среде,
то методом кадмиевого отношения нетрудно определить и абсолютное зна-
чение величины Фер1- Эксперименты с образцами могут служить также для
измерения потока быстрых нейтронов в пределах ограничений (см. гл. 13),
связанных с трудностью определения спектра.
14.1.1. Вещества образцов для абсолютных измерений
Предположим, что спектр потока в среде определяется соотношением
(12.2.1). Если определить активацию фольги в этом поле и исключить акти-
вацию эпитепловыми нейтронами методом кадмиевой разности (см. п. 12.2.1),
то остаточная активация тепловыми нейтронами может быть выражена как
(см. гл. И)
-^Т^Фо(Наб) ] (1 + е)
с„-—
Таким образом, если известна активность образца A th = Cih/T (Т — вре-
менной фактор), то поток тепловых нейтронов равен
Ф№ = . (14.1.16)
(Наб) (14-е)
У а
Для тонких фольг < 1 и
Ф№=—------------7^-+Х---------------• (14.1.1b)
1/л g (П у ltiact Ы 6 (1 + е)
Следовательно, поток тепловых нейтронов можно определить на основа-
нии абсолютного измерения активности A th, если известны поправка к акти-
вации хс, коэффициент поглощения p,a(E) и коэффициент активации
ЦасД^), а в случае тонкой фольги — сечение активации тепловыми ней-
тронами и g-фактор; кроме того, должна быть известна также температура
нейтронов *.
* Зависимость плотности нейтронов п ~ Qth/v от температуры определяется соот-
ветствующей зависимостью для величин g (7) и %с. Для очень тонкого 1/у-поглотителя
Хс = 0 и g (Т) — 1, так что необходимость в вычислении или измерении температуры
отпадает.
306
В идеальном случае схема распада образца должна отвечать возможности
абсолютного счета при разумном значении периода полураспада; величина
сечения активации должна быть известна с достаточной точностью при усло-
вии, что энергетическая зависимость этого сечения, по крайней мере, лишь
незначительно отличается от закона 1/р (g 1). Из всех рассмотренных выше
веществ (см. п. 11.1.2) наиболее полно удовлетворяет этим требованиям
золото. Его сечение активации {pact = в а) при vo — 2200 ж!сек хорошо
известно (eact = 98,5 ± 0,4 барн), а g-фактор (см. рис. 11.1.6) близок к 1;
разумная величина периода полураспада и простая схема распада позво-
ляют проводить точный абсолютный счет, в частности методом совпадений.
Иногда для абсолютных измерений применяется индий, но его сечение акти-
вации известно менее точно, а сложная схема распада недостаточно удобна
для абсолютного счета. При абсолютных измерениях можно также исполь-
зовать Натрий [<5act (^о) = 0,531
кобальт и марганец. Однако по-
лучаемая при этом точность
всегда меньше, чем в экспери-
ментах с золотом. Согласно Гри-
миленду (Grimeland, 1952), актив-
ность натрия довольно просто
определить, облучив в нейтрон-
ном поле кристалл Nal(Tl), и
затем, выждав некоторое время
для спада активности иода
(Ti/2 = 24,09 мин), сосчитать
количество сцинтилляций в кри-
сталле с помощью фотоумножи-
теля. Так как каждый распад
ядра натрия дает одну сцинтил-
ляцию, нет необходимости вво-
дить поправки на поглощение
или геометрию счетчика.
14.1.2. Абсолютное определение
активности образца
Для определения абсолютной
активности фольги следует вос-
пользоваться методами, развиты-
ми в ядерной физике для абсо-
лютной калибровки радиоактив-
ных (3- и у-излучателей. Рассмот-
рим наиболее важные из этих
+ 0,008 барн, g = 1, Ti/2 — 14,97 ч],.
Рис. 14.1.1. Разрез типичного пропорциональ-
ного проточного метанового 4л(3-счетчика:
1 — свинцовая защита; 2 — фольга; з — подвижная
рамка для фольги; 4 — проволочка.
методов.
4л—^-Счетчик (Houtermans et al., 1952; Pate, Yaffe, 1955). При счете
фольгу располагают внутри 4л-счетчика, состоящего из двух полуцилиндри-
ческих камер (рис. 14.1.1). Количество механических держателей должно
быть по возможности минимальным. Подбирается такое расположение, при
котором все р-частицы, излучаемые образцом, создают достаточные импульсы.
Наиболее часто используются проточные счетчики с метаном, которые харак-
теризуются большой стабильностью и хорошей эффективностью счета (около
1,00 ± 0,01). Здесь мы не будем детально обсуждать различные возможные
конструкции таких счетчиков.
При измерениях с помощью 4л-счетчика регистрируются как число
событий в секунду N± и N2 в каждой из камер, так и скорость совпадений
А12. Величина
Nf^N. + Nz-N^
(14.1.2)
20* 307
равна числу частиц, излучаемых в течение 1 сек *, при условии, что внесены
соответствующие поправки на фон и мертвое время, но без учета некоторых
поправок высшего порядка. Для определения истинной активности в вели-
чину N$ необходимо, конечно, внести поправку на самопоглощение Р-частиц
в образце (см. п. 14.1.3).
Метод $-у-совпадений (Planta, Huber, 1956; Larsson, 1954; Raffle, 1959).
Если вещество образца обладает простой схемой p-y-распада и если нет
угловой корреляции в р-у-каскаде, можно с помощью Р-детектора (кристалла
стильбена, антрацена, пропорционального
счетчика) и счетчика, чувствительного
у-лучам (Nal), измерить число р-у-совпаде-
3 ний. Если цр — эффективность р-счетчпка
(число отсчетов на один акт распада в об-
^4 разце), — эффективность у-счетчика, а
5 FA (F — площадь фольги) — истинная ско-
рость распада в фольге, то после поправки
на фон и мертвое время с учетом случайных
совпадений скорость p-счета будет =
£ = Y]pFA, скорость у-счета 7Vv = FA, а ско-
рость совпадений Таким об-
7 разом, истинная скорость распада
FA = 1^' (14.1.3)
Рис. 14.1.2. Разрез типичного
устройства для счета р-у-совпаде-
ний в 4л-геометрии:
1 — фотоумножитель; 2 — кристалл
Nal(Tl); 3 — фольга; 4 — проволочка;
5 — 4л — 0-счетчик.
Очевидно, самопоглощение Р-частиц не
оказывает влияния на этот результат. Чтобы
соотношение (14.1.3) было справедливо,
необходимо выполнение следующих условий:
1) не должно иметь места явление
конверсии электронов;
2) Р-счетчик должен быть нечувствителен к у-квантам, а у-счетчик —
к р-частицам;
3) удельная активность фольги должна быть однородной;
4) чувствительность счетчика к p-излучению должна быть одинаковой
для всех точек фольги;
5) чувствительность к у-излучению также не должна зависеть от коор-
динаты точки на фольге (достаточно выполнения только двух из условий
3-5).
Как правило, эти условия наряду с упомянутыми выше или не вы-
полняются, или выполняются только приближенно; поэтому следует вно-
сить соответствующие поправки в соотношение (14.1.3). Необходимость
введения таких поправок ограничивает точность метода р-у-совпадений;
даже при использовании золотой фольги точность измерения величины
FA едва ли может быть лучше 1%.
Метод 4л—$-у-совпадений (Campion, 1958/59; Wolf, 1961). Точность
метода р-у-совпадений можно значительно улучшить, существенно расширив
при этом возможность его применения для работы с веществами со сложными
схемами распада, если использовать 4л-счетчик, описанный выше для р-счета
(рис. 14.1.2 и 14.1.3). Источники ошибок, существенные для обычного метода
Р-у-совпадений, рассмотренного выше, не оказывают в этом случае такого
сильного влияния, особенно для тонких фольг. Детальное обсуждение этого
метода и анализ необходимых поправок можно найти в работе Кэмпиона
* При определении величины N$ нет необходимости регистрировать TV2, Ar12
раздельно. Если соединить выходы двух камер параллельно и исключить возможность
запаздывания импульсов относительно друг друга, то результирующая скорость счета
будет, очевидно, равна
308
(Campion, 1958/59; см. также Ponitz, 1963). Точность определения величины
FA с помощью этого метода при использовании золотых фольг составляет
примерно 0,3%.
Измерение активности с помощью жидкого 4л— fi-сцинтиллятора (Steyn,
1960; Belcher, 1953). Самопоглощение Р-изл учения можно исключить, если
Рис. 14.1.3. Схема электронного блока для метода 4л — р-у-совпадений.
растворить радиоактивное вещество в жидком сцинтилляторе. В этом случае
появляется принципиальная возможность сосчитать каждый распад.
14.1.3. Самопоглощение электронов при счете в 4л>геометрии
Среди методов, описанных в п. 14.1.2, наиболее удобным и требующим
наименьших затрат на аппаратуру является метод измерения р-активности
в геометрии 4л. Это единственный метод (за исключением трудного в осуще-
ствлении метода жидкого сцинтиллятора), который можно использовать для
измерения небольших активностей, возникающих в слабых нейтронных
потоках. Однако в этом случае в результаты измерений необходимо вносить
поправки, учитывающие самопоглощение электронов. Для этого вводят
эффективный множитель самопоглощения определяемый соотношением *
N^S^FA. (14.1.4)
Термин «эффективный» отражает то обстоятельство, что фактор S$ учитывает
не только самопоглощение р-частиц, но и любые другие эффекты, приводя-
щие к отклонению величины от числа электронов, испускаемых фольгой
за 1 сек. Коэффициент зависящий от толщины фольги, можно определить
экспериментально, измеряя величину N$ для фольг различной толщины
в 4л— р-счетчике и определяя истинную скорость распада F,A например мето-
дом 4л— р-у-совпадений (с учетом необходимых поправок). Коэффициент
можно определить также, не прибегая к методу совпадений. Активируя
набор фольг различной толщины в одном и том же поле нейтронов, можно
вычислить их истинную активность А — С/Т (см. гл. 11), после чего экстра-
* В п. 11.2.5 было показано, что в некоторых случаях кажущаяся р-активность
фольги зависит от ее ориентации. При 4л-счете этот эффект не имеет места, так как изме-
ряется активность для обеих сторон фольги и поэтому член, соответствующий результи-
рующему току, равен нулю.
309
Рис. 14.1.4. Эффективный коэффициент самопоглощения (6)
при активации золотых фольг тепловыми нейтронами, измерен-
ный с помощью счетчика Гейгера (О-------О) и пропорцио-
нального счетчика (X ------------------- X).
Рис. 14.1.5. Отношение коэффициентов самопо-
глощения эпитепловых и тепловых нейтронов
для золотых фольг.
Рис. 14.1.6. Эффективный коэффициент самопоглощения
для индиевых фольг, активированных тепловыми нейтро-
нами (период полураспада 54 мин).
полировать кривую удельных активностей к нулевой толщине, для которой
фактор iSp должен быть равен единице.
Поскольку коэффициент самопоглощения зависит от распределения
активации по толщине фольги, то значения S& различны при активации теп-
ловыми и эпитепловыми нейтронами
и в некоторых случаях должны опре-
деляться раздельно.
На рис. 14.1.4 приведено распре-
деление Sp (6) для золотых фольг,
активированных тепловыми нейтронами.
Экспериментальные данные, были по-
лучены Мейстером (Meister, 1958) мето-
дом экстраполяции при использовании
4л — [3-счетчика, работающего в режиме
счетчика Гейгера. Результаты Пёнитца
(Ponitz, 1963), также показанные на
рис. 14.1.4, были получены методом
4л — |3-у-совпадений с тщательным уче-
РисЛ'14.1.7. Эффективный коэффициент
самопоглощения для медных фольг,
активированных тепловыми нейтронами
(период полураспада 12,8 ч).
том поправок на метановом проточном пропорциональном счетчике. Тем же
методом Пёнитц определил коэффициент самопоглощения при активации
золотых фольг эпитепловыми нейтронами; на рис. 14.1.5 показаны отно-
шения 5ррг полученные на основании этих]измерений. На рис. 14.1.6 —
14.1.8 приведены значения
коэффициента S^(6) для
индия, меди и марганца
(Мп — Ni-фольги), полу-
ченные Мейстером методом
экстраполяции на 4л-счет-
чике Гейгера.
Рис. 14.1.8. Эффективный коэффициент самопоглощения
для Мп — Ni-фольг, активированных тепловыми
нейтронами.
14.2. ДРУГИЕ МЕТОДЫ
АБСОЛЮТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
ПОТОКА
В последующем обзоре
методов измерения потока
в основном будут обсуж-
даться измерения на пучках нейтронов из реактора и на пучках ней-
тронов, получаемых с помощью ускорителя. Будут рассматриваться только
моноэнергетические нейтроны в предположении, что либо источник испус-
кает моноэнергетические нейтроны, либо производится разделение нейтронов
по энергиям методом времени пролета. В принципе для абсолютного измере-
ния потока можно использовать любой из детекторов, описанных в гл. 3,
при условии, что геометрия детектора проста, сечение реакции детектиро-
вания достаточно хорошо известно и возможен абсолютный счет в детекторе.
Обычно основной проблемой является определение зависимости сечения
реакции от энергии, поскольку для определения сечения необходимо изме-
рить скорость реакции вещества детектора в известном потоке нейтронов,
для измерения которого необходимо, в свою очередь, знать сечение вещества
другого детектора и т. д. Таким образом, при абсолютных измерениях потока
следует использовать в детекторах те вещества, сечения которых определены
непосредственно в абсолютных измерениях. Основным из таких методов
является метод пропускания.
В области энергий от 100 кэв до 20 Мэв абсолютные измерения потока
можно осуществлять на основании реакции рассеяния нейтрон — протон,
сечение которой известно из опытов по пропусканию и полуэмпирической
интерполяции последних с точностью до 1 % (см. рис. 1.4.2). Можно пред-
положить, что выше энергии 10 Мэв рассеяние изотропно в (7-системе; при
311
более высоких энергиях необходимо учитывать анизотропию, известную из
опытов по рассеянию. Для регистрации можно использовать счетчики прото-
нов отдачи (см. п. 3.2.1), некоторые телескопические счетчики (см. п. 3.2.2)
и ядерные фотопластинки. Точность измерения потока в этих случаях состав-
ляет 3—5%. Так как сечение деления U235, измеренное относительно сечения
нейтрон-протонного рассеяния, известно с точностью 4—7% в области энер-
гий от 100 кэв до 10 Мэв и так как счет актов деления выполнить легче, чем
счет протонов отдачи, для абсолютных измерений потока нейтронов в этой
области энергий часто используются счетчики деления U235.
В области энергий 0—10 кэв абсолютные измерения потока можно выпол-
нить на основании реакции В10(тг, a) Li7. Сечение этой реакции было изме-
рено методом пропускания (с поправкой на рассеяние, влияние которого
возрастает с увеличением энергии) и сейчас известно с точностью до несколь-
ких процентов; в пределах этой точности сечение следует закону 1/р. Изо-
топ В10 используется в В F3-счетчиках, в счетчиках с борным покрытием и бори-
рованных стеклах. В последнем случае иногда необходимо вводить поправки
на рассеяние нейтронов. Если энергия нейтронов меньше 10 кэв, то доста-
точно толстый слой В10 будет поглощать все падающие на него нейтроны.
Поэтому можно определить поток, не привлекая величину сечения реакции
В10(тг, a) Li7, путем абсолютного измерения скорости реакции по у-лучам
Li7* с энергией 478 кэв. Для этого необходимо знать энергетическую зави-
симость относительно выхода разных каналов реакции В10(тг, a) Li7.
До сих пор не разработана удовлетворительная методика абсолютных
измерений потока в области энергий 10—100 кэв. Хотя сечение реакции рас-
сеяния нейтрон — протон в этой области энергий известно достаточно хорошо,
детекторы протонов отдачи не могут быть использованы, так как вряд ли
можно регистрировать протоны отдачи таких низких энергий. Поэтому необ-
ходимо использовать детекторы на основе реакций В10(тг, a) Li7, Не3(тг, р) Н3
или Li6 (п, а) Н3; к сожалению, ход сечения этих реакций недостаточно
хорошо известен в области энергий 10—100 кэв, что обусловлено трудностью
их измерений методом пропускания (o”s > оа). Подробное обсуждение проб-
лем, возникающих при измерении потоков и сечений в этой энергетической
области, можно найти в работе под редакцией Бетчелора (Batchelor, 1963).
Во многих случаях можно определить величину потока косвенным
путем. Если, например, энергетический спектр и мощность источника ней-
тронов известны, то в отсутствие обратного рассеяния известен также и поток
в непосредственной близости от источника. Абсолютную величину неизвест-
ного потока, измеренного соответствующим детектором, например длинным
счетчиком, можно получить в результате сравнения с абсолютным значением
потока вблизи источника. Среди прочих косвенных методов можно упомянуть
о так называемом методе стандартной призмы, который иногда используется
при абсолютном измерении потока тепловых и эпитепловых нейтронов. Стан-
дартная призма представляет собой графитовый блок с размерами порядка
2 X 2 X 3 м, внутрь которого помещается калиброванный источник ней-
тронов. Потоки тепловых и эпитепловых нейтронов в этом случае вычис-
ляются с помощью возрастной и диффузионной теорий. Неизвестный поток
определяется на основании сравнения активности фольги с активностью,
наведенной потоком в стандартной призме. В этих экспериментах при изме-
рениях с фольгами необходимо вводить соответствующие поправки.
14.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ИСТОЧНИКОВ НЕЙТРОНОВ
Для абсолютной калибровки источников нейтронов применяется
несколько методов.
Метод коррелированных частиц. В некоторых реакциях вместе с ней-
троном мгновенно или с некоторым запаздыванием излучается заряженная
частица; абсолютное определение числа этих частиц, если это возможно,
позволяет тем самым измерить мощность источника.
312
Прямое измерение потока. Если спектр и угловое распределение излу-
чаемых нейтронов известны, то мощность источника может быть определена
путем измерения потока вблизи источника (при этом следует, конечно, исклю-
чить обратное рассеяние). Этот метод является инверсией метода косвенного
определения потока.
Метод полного поглощения. Источник помещается в достаточно протя-
женной поглощающей среде. Все излучаемые источником нейтроны замед-
ляются и в конечном итоге поглощаются в этой среде; мощность источника
можно определить в результате интегрирования скорости поглощения по
пространству.
В п. 14.3.1 будет рассмотрен метод коррелированных частиц,
а в и. 14.3.2 и 14.3.3 будут обсуждаться различные приложения метода
полного поглощения. Метод прямого измерения потока не требует дальней-
ших разъяснений; по существу он не очень точен и применяется только
в некоторых частных случаях.
14,3.1. Метод коррелированных частиц
Рис. 14.3.1. Типичное устройство "для
счета коррелированных частиц
1 — пропорциональный счетчик; 2 — тритиевая
мишень.
В реакции H3(d, п) Не4 одновременно с нейтроном излучается а-частица.
Ее кинетическая энергия зависит от направления излучения нейтрона и от
энергии дейтрона (при Ed — 0: Еа = 3,49 Мэв для всех направлений; см.
п. 2.1.2). ос-Частицы, испущенные
тритиевой мишенью в ограниченном
телесном угле, можно регистрировать
сцинтилляционным счетчиком (пред-
почтительно ZnS), пропорциональным
счетчиком или кристаллическим детек-
тором. На рис. 14.3.1 показана ти-
пичная счетная аппаратура, исполь-
зованная Ларсоном (Larsson, 1954).
При малых энергиях дейтронов
(Ed < 200 кэв) угловое распределе-
ние нейтронов в С-системе изотропно.
В первом приближении оно изотроп-
но также и в L-системе. Если Дй —
телесный угол, охватываемый сс-счет-
чиком, другими словами, если все
частицы, излучаемые мишенью в этом
телесном угле, регистрируются, то
скорость счета а-частиц определяется
соотношением
Nax~Q, (14.3.1)
на основании которого легко опреде-
лить мощность источника. Если тре-
буется большая точность (особенно
при высоких энергиях дейтронов), необходимо учитывать угловое-распре-
деление как нейтронов, так и сс-частиц. Таким образом, чтобы определить
мощность источника по величине т¥а, необходимо знать угловое распределе-
ние нейтронов (зависящее от энергии дейтрона) в С-системе; к счастью,
оно, как правило, хорошо известно.
В этом методе может быть использована также реакция H2(d, п)]Не3.
Следует, однако, помнить, что при бомбардировке дейтерия дейтронами
может наблюдаться также реакция H2(tZ, р) Н3; при малых энергиях дей-
тронов сечение этой реакции примерно равно сечению реакции Н2(й, п) Не3.
Абсолютные измерения могут быть осуществлены и для реакции Н3(р, и)Не3.
Так как излучение нейтрона и ядра гелия во всех этих реакциях происходит
313
одновременно, а-частица или ядро Не3 могут быть использованы также для
регистрации процесса во времени; достигаемая точность разрешения по вре-
мени составляет 5-10"9 сек. Для реакции H3(d, тг)Не4 точность определения
мощности источника равна примерно 2%.
Согласно Ричмонду и Гарднеру (Richmond, Gardner, 1957), абсолютное
определение мощности источника можно осуществить на основании абсо-
лютного измерения числа фотопротонов, возникающих в результате реакции
фоторасщепления дейтрона Н2(у, n)Hx. Эти исследователи в качестве у-излу-
чателя использовали препарат ThC" (Еу = 2,62 Мэв), который они помещали
между двумя ионизационными камерами, наполненными дейтерием.
В каждом акте (у, п)-процесса излучаются один нейтрон и один протон
с кинетической энергией 190 кэв. Детектирование протона не представляет
трудности. Измеряемая мощность источника весьма мала.
В различных реакциях, используемых для получения нейтронов, обра-
зуется радиоактивное остаточное ядро. В результате абсолютного измерения
его радиоактивности можно определить мощность источника. Как правило,
для этого необходимо разрушить источник. Одним из важных примеров
такого процесса является (а, п)-реакция на изотопе F19 (см. п. 2.2.2), в кото-
рой образуется хорошо известный позитронный излучатель Na22. Реакция
Li7(/?, тг)Ве7 приводит к активности, вызванной захватом электрона в Be7
(Z1/2 = 53,4 дня), которая лучше всего может быть измерена с помощью
регистрации у-из лучения с энергией 478 кэв от изотопа Li7. Наконец, можно
определить мощность источника нейтронов, возникающих в реакции
Ве9(у, тг)Ве8, по количеству гелия, образующегося при сс-распаде изотопа Be8.
14.3.2. Метод водяного бака
Этот метод наиболее часто используется для абсолютного измерения
мощности радиоактивных источников. Источник располагается в середине
бака, наполненного дистиллированной водой; размеры бака выбираются
достаточно большими, чтобы утечка нейтронов была незначительной *.
Таким образом, все нейтроны, испущенные источником, замедляются
и в конечном итоге поглощаются водой. Следовательно,
Q = (Е) Ф (г, Е) dr dE. (14.3.2)
Интегрирование производится по всему объему, включая и источник, так
что сечение поглощения Sa(2?) относится либо к воде, либо к веществу
источника.
Ограничимся теперь рассмотрением только тепловых нейтронов. Учи-
тывая поглощение в процессе замедления с помощью понятия вероятности
избежать резонансного захвата р и вводя поправку KQ на поглощение ней-
тронов в источнике, получим
pQ = Kq § 2а^фгд(г)-4лг2с7г. (14.3.3)
Предполагается, что источник излучает нейтроны изотропно, так что поток
Ф/й зависит только от расстояния г до источника. Если это условие не выпол-
няется, то, вращая источник в процессе измерения, можно получать резуль-
таты, совпадающие с соответствующими результатами для изотропного
источника. В выражении (14.3.3) %ath — сечение поглощения тепловых ней-
тронов в воде £ 2>atfl = 29|Д- (i?0); величина 2а(^о) известна
весьма точно: для водорода oa(vQ) = 327 ± 2 мбарн:, вкладом кислорода
можно пренебречь.
* Если в центре сферы радиусом 1 м помещен Ra — Be-источник, то за пределы
сферы выходит только 0,5% всех нейтронов.
314
Поскольку метод кадмиевой разности с использованием золотых фольг
позволяет достаточно точно (в пределах 0,5%) измерить поток тепловых
нейтронов в абсолютных единицах, то с помощью соотношения (14.3.3)
нетрудно определить и мощность источника. При этом интеграл в выраже-
нии (14.3.3) берется по всему объему воды. Поэтому необходимо знать зави-
симость потока от г, которую можно определить экспериментально;
затем нетрудно осуществить графическое интегрирование функции 4лг2Ф(г).
Однако можно в процессе облучения передвигать фольгу в воде таким обра-
зом, что ее активность в конце облучения будет непосредственно давать
интеграл по потоку (Curtiss, 1959; Hage, 1960). Поправочный коэффициент
Kq может быть вычислен на основании диффузионной теории по известным
характеристикам источника; например, для типичного Ra — Ве-источника
KQ ж 1,025.
Значительно труднее определить вероятность избежать резонансного
захвата. Величина р может быть представлена как произведение двух сомно-
жителей, один из которых pi характеризует (п, сопроцесс в О16 при энер-
гиях выше 3,6 Мэв и (тг, р)-процесс при энергиях выше 10 Мэв, в то время
как множитель р2 учитывает эпитепловой захват в водороде. Величина р2
может быть рассчитана с помощью соотношения (7.3.21) или определена на
основе измеренного кадмиевого отношения по скорости эпитеплового погло-
щения; она равна примерно 0,985. Множитель pi зависит от спектра нейтро-
нов источника; для Ra — Be-источника, например, он не может быть вычис-
лен достаточно точно, так как вклад нейтронов с энергиями выше 3,6 Мэв
в полную мощность источника известен лишь приблизительно (об учете
в неопределенности в спектре для Е < 1 Мэв см. п. 2.2.1). Можно опреде-
лить величину р^ экспериментально, помещая последовательно один и тот
же источник в бак с водой и с парафином и измеряя интегральный поток
с помощью резонансного образца. Так как парафин не содержит кислорода,
то для него значение pt равно единице и отношение интегралов резонансных
потоков должно давать величину pi для воды. Поскольку значения
для воды и парафина различны, необходимо провести дополнительные
калибровочные измерения, используя для этого Sb — Be-источник, для
которого множитель pY всегда равен единице. Таким способом для Ra — Ве-
источника было получено значение р{ = 0,978 (Troyer de, Tavernier) *.
Согласно Пёнитцу, величина рх = 0,982 ± 0,004. Вероятность р.{ быстро
уменьшается с увеличением энергии нейтронов источника, что связано с уве-
личением сечений (п, а)- и (п, р)-реакций на О16; согласно Ларсену (Larsson,
1954), для нейтронов с энергией 14 Мэв р± = 0,826. Очевидно, не имеет
смысла применять описанный метод водяного бака для источников, испус-
кающих нейтроны высокой энергии; разумнее использовать парафин или
другую органическую жидкость, не содержащую кислорода.
Источники ошибок в методе водяного бака обусловлены погрешностями
результатов абсолютного измерения потока Ф/л (около 0,5%), погрешностями,
возникающими при интегрировании потока (примерно 0,5%) и вычислении
величин рх, р2 и Kq (порядка 0,3% для каждой из этих величин в случае
типичного Ra — Ве-источника), неопределенностями в значении сечения
поглощения воды (около 0,6%); суммарная погрешность составляет при-
мерно 1,5%. Разброс результатов различных независимых измерений мощ-
ности источника такого же порядка (см. п. 14.5).
14.3.3» Другие методы полного поглощения
Метод марганцевого бака. Источник располагается в середине доста-
точно большого бака, содержащего водный раствор MnSO4. В этом случае
большая доля замедлившихся нейтронов поглощается в марганце, в резуль-
тате чего образуется радиоактивный изотоп Мп56 с периодом полураспада
* Значение pL = 0,978 получено после перерасчета результатов измерений де-Труйе
и Тавернье, получивших первоначально р.{ = 0,975.
315
2,58 ч. К концу облучения раствор тщательно перемешивается, извлекается
определенная доля раствора и производится абсолютное измерение активно-
сти содержащегося в нем Мп56. Если концентрация марганца в воде настолько
высока, что поглощаются все нейтроны, обработка результатов измерения
осуществляется без привлечения величины сечений. Практически в марганце
поглощается примерно только 50% нейтронов, и поэтому при оценке необ-
ходимо знать сечение поглощения марганца и воды. Кроме того, нельзя
пренебрегать поглощением нейтронов в сере. Точность абсолютного опреде-
ления мощности источника этим методом составляет примерно 2%. Эта
погрешность обусловлена в основном трудностями, связанными с абсолют-
ным счетом активности марганца. Метод марганцевого бака дает гораздо
большую точность при относительных измерениях (см. п. 14.4).
Метод борного бака. Нейтроны, испущенные источником, поглощаются
в водном растворе какого-либо борного соединения, например борной
кислоты. Если (TVh) — число атомов бора (водорода) в 1 см3, то, пре-
небрегая резонансным поглощением и поглощением в источнике, имеем
оо оо
<2 = (^B<rB + 2VHaH) 4лг2Ф (г) dr = NBcB (1 + ^) \ 4№Ф (г) dr. (14.3.4>
с, \ ' В^ В / cJ
о о
Поток Ф(г) можно определить с помощью небольшого борного счетчика-
Если Vz — чувствительный объем борного счетчика и Nz — число атомов
бора в 1 см3 его объема, то скорость счета будет равна
Z (г)~Ф {г) N ZV zqb. (14.3.5)
Подставив выражение для Ф(г) в соотношение (14.3.4), получим
оо
е ” sS; (1 + м <14-3'6>
о
Сечения бора и водорода входят в слагаемое TVh^h/^b^b, которое при
больших концентрациях бора мало по сравнению с единицей. Варьируя
величину отношения TVh/AGb, можно сделать это слагаемое пренебрежимо
малым. Достижимая в этом методе точность равна примерно 2%.
Полное поглощение в жидком сцинтилляторе. Источник нейтронов рас-
полагается внутри большого жидкого сцинтиллятора, в котором растворена
какая-либо соль кадмия.
Нейтроны в результате столкновений с атомами сцинтиллятора замед-
ляются и в конечном итоге поглощаются в кадмии. Поглощение в кадмии
вызывает сложный у-каскад с полной энергией порядка 9 Мэв. Сцинтилля-
ции, обусловленные этими у-лучами, регистрируются фотоумножителями,
размещенными на поверхности бака. Достоинством этого метода является
мгновенная (в пределах менее чем 20 мксек) регистрация нейтронов, в силу
чего можно использовать методы совпадений. Метод совпадений часто исполь-
зуется, например, при измерении среднего числа нейтронов v. Недостаток
метода — большая чувствительность бака к у-квантам; одно только косми-
ческое излучение дает довольно высокий фон, так что необходимо исключать
низкоэнергетическое у-излучение интегральным дискриминатором. В этом
случае, однако, теряется и некоторая доля у-квантов, возникающая при
истинных захватах, т. е. эффективность регистрации аппаратуры уже не
может быть равна 100%. Поэтому следует либо калибровать аппаратуру,,
либо вычислять эффективность регистрации методом Монте-Карло.
14,4. МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ МОЩНОСТЕЙ ИСТОЧНИКОВ
Если имеется стандартный источник нейтронов, прокалиброванный
одним из изложенных в п. 14.3 методов, то мощность других источников,
естественно, можно определять сравнением с этим стандартным источником-
316
Такое сопоставление осуществить довольно просто, если оба источника
имеют одинаковые энергетические спектры и одинаковые угловые распреде-
ления излучаемых нейтронов. В этом случае достаточно сравнить потоки,
обусловленные такими двумя источниками, с помощью произвольного
детектора в одинаковых условиях. Если энергетические спектры сопостав-
ляемых источников не совпадают, сравнение можно осуществить путем
измерения потока длинным счетчиком, описанным в п. 3.1.1. При этом,
однако, следует учитывать различие в угловых распределениях, проводя
каждый раз интегрирование по углам. Более удобны методы сравнения,
в которых чувствительность регистрации не зависит от энергии нейтронов,
а испущенные источником нейтроны регистрируются в 4л-геометрии. В прин-
ципе все методы полного поглощения сводятся к этому случаю. Метод
марганцевого бака (см. п. 14.3.3) часто используется при сравнении
Рис. 14.4.1. Борная призма:
1 — отражатель; 2 — камера деления; з — бетон; 4 — место для уста-
новки ВГз-счетчиков; б — графит; 6 — кадмиевые пластины.
источников. Так как основные ошибки возникают при абсолютном счете
активности марганца, то метод относительных измерений весьма точен
(около 0,5%). (В оценку ошибки не включены погрешности, связанные
с поглощением нейтронов большой энергии в кислороде. Для нейтронов
с энергией меньше 3,6 Мэв эта ошибка отсутствует.) Метод бака со сцинтил-
лятором также часто используется в относительных измерениях; после
определения эффективности бак может быть использован для измерения
мощности источников.
Кроме того, были созданы также специальные установки с 4л-геометрией,
эффективность регистрации которых почти не зависит от спектра. Ниже
мы подробно познакомимся с некоторыми из этих установок.
Борная призма. На рис. 14.4.1 показана установка Колвина и Соверби
(Colvin, Sowerby, 1958), которая в основном использовалась для измерения
среднего числа вторичных нейтронов v. Она состоит из 240 ВЕ3-счетчиков,
размещенных в графитовом кубе со стороной 220 см. Эта чувствительная
зона окружена графитовым отражателем, за которым расположена внешняя
защита от нейтронов. Исследуемый источник помещается в центр борной
призмы.
Призма калибруется с помощью абсолютного счета фотопротонов в реак-
ции Н2(у, ft)Hx. При калибровке ионизационная камера, содержащая метан
с дейтерием (CD4), бомбардируется у-квантами различных энергий [полу-
ченными в реакциях (р, у) на легких ядрах]. Определенная таким образом
317
чувствительность практически не зависит от энергии нейтронов. Однако
она в какой-то степени зависит от направления излучения нейтронов, что
обусловлено сильной анизотропией конструкции борной призмы. Зависи-
мость чувствительности от направления, а также небольшие отклонения
кривой чувствительности от постоянной величины следует учитывать при
измерениях мощности источников, но при этом необходимо знать хотя бы
грубо спектр исследуемого источника.
При измерении параметра v камера деления с изучаемым делящимся
веществом помещается в центр борной призмы и бомбардируется внешним
пучком нейтронов. При каждом акте деления импульс от камеры деления
открывает
счетчиков
импульсов
электронный затвор и позволяет регистрировать импульсы В Fo-
за время порядка 15 мсек. Кроме того, регистрируется число
камеры деления. Величина у
2 — пропорциональный В10Г3-счетчик; з — канал;
4 — высокое напряжение и предусилитель.
получается как частное от деления
числа отсчетов ВР3-счетчиков
на число отсчетов камеры деле-
ния с учетом соответствующих
поправок на пропуски, фон и
энергетическую зависимость
чувствительности борной приз-
мы. Чувствительность по отно-
шению к фону существенно
уменьшается при использовании
электронного затвора. Анало-
гичные методы применяют при
измерениях параметра v в жид-
ких сцинтилляторах. Точность
определения величины v методом
борной призмы составляет около
0,5%.
Сфера Маклина (Macklin,
1957). На рис. 14.4.2 показано
простое устройство, состоящее
из восьми ВР3-счетчиков в сфере
из графита. Источник нейтро-
нов вводится в центр сферы
через канал сечением 10 X 10 см.
Маклин рассчитал чувствитель-
ность этого устройства с по-
мощью диффузионной и возрастной теорий; согласно его расчетам она
постоянна (с точностью до 1%) в области от 1 кэв до 1 Мэв и равна примерно
0,035. Однако при более высоких энергиях чувствительность быстро падает.
Маклин показал экспериментально, что чувствительность не зависит от
углового распределения и что утечка нейтронов из канала для введения
источника, если он открыт, не оказывает заметного влияния на чувстви-
тельность. Эта установка особенно удобна при исследовании на ускори-
телях реакций с образованием нейтронов.
Другие установки. Для детектирования нейтронов использовались раз-
личные устройства при размещении В Р3-счетчиков в воде или парафине.
В качестве примера на рис. 14.4.3 показан парафиновый детектор, приме-
нявшийся в опытах Мариона и др. (Marion et al., 1960). Двенадцать BF3-
счетчиков расположены в виде двух концентрических колец, в центре кото-
рых имеется канал для введения источника нейтронов (мишени — при
работе на ускорителе). Чувствительность этой установки равна примерно
0,1 и постоянна в пределах 5% своего значения в области энергий от 100 кэв
до 2,5 Мэв. Для этих детекторов можно получить более высокую чувствитель-
ность по сравнению с графитовыми детекторами при меньших размерах, но
нельзя создать детекторы, плато чувствительности которых достигает обла-
318
сти нескольких килоэлектронвольт (вследствие более низкого значения
длины диффузии).
Использование подкритического или критического реактора. Можно
сравнивать различные источники нейтронов, помещая их в подкритический
реактор и сопоставляя затем потоки тепловых нейтронов (Wattenberg,
Eggler, 1950). Результаты такого сравнения не зависят от спектра источника
только в том случае, когда реактор достаточно велик, так что можно пре-
небречь различием в величинах вероятности избежать утечки для быстрых
нейтронов различных энергий. Вряд ли этот метод будет использоваться
в дальнейшем.
Если источник нейтронов ввести в точно критический реактор, то мощ-
ность последнего будет возрастать со временем линейно, причем скорость
роста будет зависеть от мощности источника. Избыточное размножение
Рис. 14.4.3. Детектор нейтронов для относительного измерения мощности
источника:
1 — боралевая защита; 2 — внешнее кольцо счетчиков; з — подвижная секция;
4 — мишень; 5 — внутреннее кольцо счетчиков; 6 — основной блок парафина;
7 — внешняя защита из парафина; 8 — труба для ввода пучка.
нейтронов можно компенсировать введением отрицательного источника,
т. е. поглотителя. В стационарном состоянии мощность стока нейтронов
равна мощности источника. Мощность источника, таким образом, будет
известна, если в результате абсолютного счета активности поглотителя будет
измерена скорость поглощения. На этом принципе основан метод Литтлера
(Littler, 1951). Следует помнить, что избыточные нейтроны эмитируются при
высоких энергиях, в то время как поглотитель захватывает тепловые ней-
троны, что делает необходимым введение соответствующих поправок на
резонансное поглощение и утечку.
14.5. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ
МОЩНОСТИ Ra — Ве-ИСТОЧНИКОВ
Чтобы проверить различные методики определения мощности источ-
ников и получить, кроме того, международный стандарт мощности источ-
ника, часто производились сравнения источников, абсолютно прокалибро-
ванных в различных лабораториях. Такие исследования проводились в основ-
ном с Ra — Be-источниками, которые особенно удобны благодаря большому
периоду полураспада и разумному выходу. При этих исследованиях особое
внимание следует уделять эффекту увеличения мощности источника со вре-
менем, вызванному накоплением полония.
Изменение мощности во времени описывается соотношением
л 1 I 0 14 Н — Р_°,0357 (to-Hl))
319
Здесь Q(to) — мощность источника, определенная в момент калибровки,
tQ (годы) — время, отсчитываемое от момента выделения радия, и Q(ti) —
мощность источника по истечении промежутка времени (годы) после
калибровки. Эта формула справедлива, конечно, только тогда, когда началь-
ное увеличение мощности (см. п. 2.2.1) уже закончено. В табл. 14.5.1 при-
ведены результаты сравнения международных стандартов (на февраль
Таблица 14.5.1
Результаты сравнений мощности Ra—Ве-источников
Лаборатория Мощность первичного эталона, 106 ней- трон/сек Мощность того же источника по результатам измерений в других лабораториях, 106 нейтрон /сек
РТВ АВА UKAEA им
NRC, Канада 3,21 (±1,5%) 3,227 (±2,2%) 3,18 (±2,2%) 3,234 (2,2%)
PTB, Германия 1,95 (±2%) —. 1,937 (±2,2%) — 1,975 (±2%)
ABA, Швеция 2,65 (±2%) 2,658 (±2%) — — 2,689 (±2% )
СКАЕ А, Харуэлл, Англия 9,08 (±1,7%) — 9,15 (±2,2%) — —
UM, Бельгия 7,88 (±2%) 7,88 (±2%) — — —.
UB, Швейцария 1,52 (±2,8%) — 1,516 (±2,2%) 1,560 (±1,7%) —
СССР 5,96 (±3%) — 6,00 (±2,2%) — —
1962 г.). В общем наблюдается удовлетворительное согласие результатов,
полученных в различных лабораториях; более того, можно утверждать, что
на сегодняшний день можно осуществить измерение мощности источника
с точностью до 1,5%.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Hughes D. J. Pile Neutron Research. Cambridge, Addison — Wesley, 1953. (См. на рус-
ском языке: Юз Д. Нейтронные исследования на ядерных котлах. Перев. с англ.
М. Изд-во иностр, лит., 1954.)
Larsson К. Е. J. Nucl. Energy, 6, 322 (1958).
Neutron Dosimetry. Proceedings of the 1962 Harwell Symposium. Vol. 1 and 2. Vienna,
International Atomic Energy Agency, 1963.
Richmond R. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 2, p. 165 (1958).
Wattenberg A. The Standartization of Neutron Measurements. Ann. Rev. Nucl.
Sci., 3, 119 (1953).
Специальная
Абсолютное измерение потока с помощью кристалла Nal
Grimeland В. Phys. Rev., 86, 937 (1952).
4л-счетчик
Cohen R. Ann. Phys. (Paris) XII, 7, 185 (1952).
Houtermans F. G., M e у e r - S c h u t z m e i s t e r L.,Vincent D. H. Z. Phy-
sik, 134, 1 (1952).
Pate B. D., Y a f f e L. Can. J. Chem., 33, 15 (1955).
Метод p-у-совпадений
M о s b u r g E. R., Murphey W. M. J. Nucl. Energy, A u В 14, 25 (1961).
Putman J. L. Brit. J. Radiol., 23, 46 (1950).
Raffle J. F. J. Nucl. Energy, A10, 8 (1959).
Метод 4л — р-у-совпадений
Campion P. J. Int. J. Appl. Radiation Isotopes, 4, 232 (1958/59).
Wolf G. Nukleonik, 2, 255 (1961).
320
Сцинтилляционный 4л — р-счетчик
Belcher Е. Н. J. Sci. Instr., 30, 286 (1953).
Steyn J. Metrology of Radionuclides. Vienna, International Atomic Energy Agency,
1960.
Самопоглощение при 4л—p-счете
Meister H. Z. Naturforsch., 13a, 722 (1958).
Ponitz W. KFK-180 (1963).
Определение сечения активации, обусловленной тепловыми нейтронами
Cocking S. J., R a f f 1 е J. F. J. Nucl. Energy, 3, 70 (1956).
S е г е n L., F г i е d 1 a n d е г H. N., T u r k e 1 S. H. Phys. Rev., 72, 988 (1947).
Stoughton R. W., Halperin J. Nucl. Sci. Eng., 6, 100 (1959).
Wolf G. Nukleonik, 2, 255 (1961).
Абсолютное измерение потока с помощью протонов отдачи
G am т el J. L. В книге: Marion, Fowler, loc. cit. Vol. II, ChapterV. T.
Perry J. E.B книге: Marion, Fowler, loc. cit. Vol. I, Chapter IV.B
Абсолютное измерение потока в области 10—100 кэв
Batchelor R. (ed.) EANDC-33 U (1963).
Стандартная призма
D е b г u е J. CEN-Report R 1860 (1960).
Измерение мощности источника методом коррелированных частиц
Barschall Н. Н., Rosen L., Taschek R. F. Rev. Mod. Phys., 24, 1 (1952).
Larsson К. E. Arkiv Physik, 9, 293 (1954).
Marin P. C. Nucl. Instrum. Methods, 5, 26 (1959).
Richmond R., Gardner B. J. AERE, R/R 2097 (1957).
Метод водяного бака
Larsson К. E. Arkiv Physik, 7, 323 (1954).
Planta C., Huber P. Helv. Phys. Acta, 29, 375 (1956).
Troyer A. de, Tavernier G. C. Bull. Acad. R. Belg. Cl. sci., Ser. 5, 40, 150.
Интегрирование потока с помощью механического передвижения фольг
Curtiss L. F. Introduction to Neutron Physics. Princeton D. von Nostrand Company
Inc. 1959.
H a g e W. Nukleonik, 2, 73 (1960).
Walker R. L. MDDC-414 (1946).
Метод марганцевого бака
A x t о n E. J., С г о s s P. J. Nucl. Energy, A u В 15, 22 (1961).
Fisher G. J. Phys. Rev., 108, 99 (1957).
J u r e n J. de, C h i n J. J. Res. Nat. Bur. Stand., 55, 311 (1955).
Walker R. L. MDDC-414 (1946).
Метод борного бака
O’Neal R. D., Scharff-Goldhaber G. Phys. Rev., 69, 368 (1946).
Измерение мощности источника с помощью жидкого сцинтиллятора
D i v е п В. С. et al. Phys. Rev., 101, 1012 (1956).
R e i n e s F. et al. Rev. Sci. Instr., 25, 1061 (1954).
Методы сравнения мощности источников
Colvin D. W., Sowerby MG. Geneva, 1958, P/52, Vol. 16, p. 121.
Colvin D. W., S о w e r b у M. G. EANDC (UK)-3 (1960).
Littler D. J. Proc. Phys. Soc. (London), A64, 638 (1951).
Macklin R. L. Nucl. Instrum. Methods, 1, 335 (1957).
Marion J. B. et al. Nucl. Instrum. Methods, 8, 297 (1960).
W attenberg A., E g g 1 e r C. AECD 3002 (1950).
21 Нейтронная физика
321
Глава 15
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
ПО ЭНЕРГИЯМ
В данной главе рассматриваются эксперименты по определению стацио-
нарных спектров очень медленных нейтронов (Е < 10 эв) в протяженных
средах. Основная часть главы посвящена обсуждению различных методов
измерений (пп. 15.1 и 15.2); в последнем пункте суммированы некоторые
важные результаты, касающиеся различных замедляющих веществ; эти
результаты связаны с общей теорией, изложенной в гл. 10.
Будем делать различие между дифференциальными и интегральными
методами измерений. Первые из них основаны на детальном исследовании
энергетических распределений выведенного из среды пучка нейтронов мето-
дом времени пролета или с помощью кристаллического спектрометра. Эти
методы непосредственно дают спектр Ф (Е). Интегральные же методы позво-
ляют получить только средние по спектру значения, а для дальнейших оце-
нок требуются дополнительные сведения о спектре. Например, можно опре-
делить температуру нейтронов, если известно, что тепловая часть спектра
аппроксимируется распределением Максвелла.
Дифференциальные методы обеспечивают более полную физическую
информацию, что является их существенным преимуществом по сравнению
с интегральными методами. Однако они требуют более сложного оборудова-
ния и их применение ограничено исследованием относительно простых
систем. Например, обычно невозможно вывести из реактора пучок нейтронов,
который характеризовал бы поле нейтронов в целом. С другой стороны,
измерения интегральным методом могут быть проведены почти всегда.
Поэтому в настоящее время дифференциальные методы используются при
измерениях с «чистыми» системами. Соответствующие эксперименты ста-
вятся в целях развития общей теории и для выявления основных физических
характеристик спектра Ф (Е). Интегральные измерения осуществляются
для проверки теории применительно к частным системам в тех случаях, когда
дифференциальные измерения невозможны.
До введения достаточно надежных дифференциальных методов только
интегральные измерения давали полезную информацию по термализации
в стационарном поле нейтронов.
15.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СПЕКТРА
МЕТОДОМ ВРЕМЕНИ ПРОЛЕТА
Дифференциальный спектр может быть изучен либо с использованием
кристаллического спектрометра, либо с применением техники времени про-
лета. Хотя с помощью кристаллического спектрометра было проведено боль-
шое количество тщательных исследований, этот метод не стал более пред-
почтительным по сравнению с методом времени пролета, что связано в основ-
ном с трудностью расчета энергетической зависимости чувствительности
спектрометра. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением метода
времени пролета. В первую очередь, однако, мы обсудим общую для всех
дифференциальных методов задачу, касающуюся вывода характеристиче-
ского пучка нейтронов из среды.
15.1.1. Вывод пучка
Чтобы получить пучок нейтроов для спектрального анализа поля ней-
лонов, используют канал вывода пучка, который простирается от поверх-
ности среды до точки г, в которой исследуется спектр. Такой канал, как
правило, имеет форму закрытой с одной стороны трубы, как это показано на
рис. 15.1.1. Обозначьм J (Е) (см~2-сек'1-эв'2) — плотность тока получен-
322
ного таким образом пучка нейтронов. Задача состоит в определении энергети-
ческого спектра потока Ф (г, Е) в точке г. Установим связь между величи-
нами Ф (г, Е) и J (Е) в предположении, что возмущением поля нейтронов,
вызванным введением ка-
нала, можно пренебречь.
Затем мы оценим соответ-
ствующие поправки.
Если й — направле-
ние канала, то, очевидно,
J (Е) ~ #(г, Й, Е) (# —
дифференциальный век-
торный поток). Таким
образом, спектр пучка
характеризует спектр век-
торного потока в направ-
лении пучка, а не проин-
тегрированный по углам
поток Ф(г, Е). Поэтому
необходимо либо провести
интегрирование по всем на-
правлениям Й, либо найти
простое соотношение меж-
ду величинами Ф(г, Е) и
Защита Защита
Рис. 15.1.1. Каналы для вывода нейтронов при спек-
тральных измерениях.
F (г, Й, Е).
Такое соотношение имеет простой вид для изотропного поля нейтронов.
В этом случае F(r, Й, Е) = Ф (г, Е)!кп и J (Е) ~ Ф(г, Е). Следует поэтому
выводить пучок всегда, когда это возможно, из области, где поток изотропен,
т. е. из области с равным нулю градиентом потока. Если зависимость функ-
ции Ф(г, Е) от координат слабая, можно использовать соотношение между
величинами Ф(г, Е) и F(r, й, /?), полученное на основе диффузионной тео-
рии:
F (г, О, Я)=-^-[Ф(г, £) + 3£)(£)Й.?Ф(г, £)]. (15.1.1)
Тогда
7 (£) ~ Ф (г, Е) + 3D (£) Е)~Ф (г, Е) [1+ЗД (g)-?^-(r’ £)] , (15.1.2)
или приближенно
Ф (г, £)-/(£) [l-3Z)g-In-^z(r’ . (15.1.3)
Здесь dldz соответствует дифференцированию в направлении канала пучка
(и фактически в направлении из среды в канал) в точке наблюдения г. Сле-
довательно, необходимо сделать поправку к измеренному значению J (Е),
для вычисления которой необходимо знать величину 27(2?) и градиент потока.
Градиент потока нетрудно определить с помощью измерений методом акти-
вации в предположении, что он не зависит от энергии; коэффициент диффу-
зии D(E) вычисляют обычно приближенно *.
Такая методика дает надежные значения для потока Ф(г, Е), когда
поправки малы (меньше 20%).
Совершенно иной способ основан на интегрировании векторного потока
по всем углам с использованием рассеивателя, введенного в канал, насквозь
пронизывающий среду (рис. 15.1.2). Если пренебречь возмущением поля
каналом и образцом и если предположить, что рассеиватель настолько мал
что многократное рассеяние не играет никакой роли, то для спектра ней-
* В случае воды, энергетическая зависимость коэффициента диффузии которой
особенно сильна, можно использовать значения cos йо (Е) и (£'), приведенные
на рис. 10.1.9 и 10.1.8. Для графита и бериллия величина D почти постоянна выше гра-
ничной энергии. р
21* 325
тронов, упруго рассеянных рассеивателем, будем иметь
J(E) ~ Jj#(r, й', Е)2ДЙ'->Й, E)dQ',
(15.1.4)
а в случае изотропного рассеяния
J (Е) ~ (Е) § F (г, Й', Е) dtt' = Ss (Е) Ф (г, Е).
Дополнительный вклад могут дать также неупруго рассеянные нейтроны.
Для идеального рассеивателя этот вклад должен быть пренебрежимым;
кроме того, необходимо, чтобы упругое рассеяние было изотропным, сечение
поглощения — по возможности малым, а сечение рассеяния должно слабо
зависеть от энергии. Свойства металлического циркония приближаются
к этим требованиям (Beyster et al., 1961); могут быть использованы также
свинец, графит и тяжелая
вода (Johansson et al., 1960,
1962).
Вопрос о возмущени-
ях, вносимых в спектр
нейтронов введением ка-
нала для пучка, до сих
пор теоретически не иссле-
дован. В связи с этим не-
обходимо делать строгое
различие между гомоген-
ными и гетерогенными си-
стемами в соответствии с
тем, насколько быстро ме-
няется спектр от точки
к точке внутри системы.
В гетерогенной системе
введение канала для пучка
Рис. 15.1.2. Устройство для исследования спектра с
использованием рассеивающего образца в целях инте-
грирования по углам:
1 — рассеиватель; 2 — защита.
может вызвать очень сильное возмущение изучаемого спектра, поскольку
к фронтальной поверхности канала могут проникать нейтроны с совершенно
другим энергетическим распределением. В гомогенных системах это не имеет
Рис. 15.1.3. Устройство коллиматора, использованного Пулом при спек-
тральных измерениях с нейтронами:
1 — плоский источник (диаметр 10 хи); 2 — коллиматор, состоящий из В2О3 и
парафина, в металлическом контейнере; з — отверстие диаметром 5 мм', 4 — счетчик.
места. Можно предположить, что возмущения спектра, обусловленные дру-
гими причинами, невелики, если диаметр канала мал по сравнению со сред-
ней длиной свободного пробега нейтронов. Эксперименты с протяженными
графитовыми и водяными системами (Poole, 1961; Beyster, 1962) показали,
что это утверждение справедливо, причем наблюдаемое энергетическое рас-
пределение J (Е) вряд ли изменяется при увеличении диаметра канала при-
мерно до 5 см. Такие выводы получены, с одной стороны, на основании срав-
нения со спектрами, измеренными с использованием каналов очень малых
диаметров (когда возмущения практически отсутствуют), и, с другой стороны,
324
как результат интегральных измерений, в которых сравнивались отношения
активаций Lu176/Lu175 (см. п. 15.2.2) в точке г при наличии канала и без него.
Нам хотелось бы обратить также внимание на вопросы, связанные
с коллиматором (рис. 15.1.3), который используется всегда при выводе
пучка нейтронов. Коллиматор должен обеспечивать возможность попадания
на детектор только тех нейтронов, которые входят в канал через его перед-
нюю стенку. Коллиматор изготовляется обычно из материалов, способных
сильно поглощать медленные нейтроны, таких, например, как карбид бора
(В4С), борированный металл (лучше с изотопом В10), и иметь форму, отве-
чающую наилучшим образом условиям геометрической оптики.
15.1.2. Метод прерывателя
Рис. 15.1.4 схематически поясняет принцип работы прерывателя для
измерения спектра. Пучок, выведенный из среды, разбивается на короткие
Рис. 15.1.4. Селектор, использованный Стоуном и Словачек ом для измерения спектров
медленных нейтронов:
1 — активная зона реактора; 2 — пластинка делящегося вещества; з — входное отверстие;
4 — тепловая колонна; 5 — защита; в — кадмий; 7 — обогревающие провода; 8 — матрица;
9 — коллиматор; 10 — ротор селектора.
пачки (импульсы) с помощью вращающегося прерывателя; эти порции ней-
тронов проходят по трубе (пролетное расстояние), в конце которой располо-
жен детектор. Распределение нейтронов по энергиям J (Е) может быть опре-
делено из распределения импульсов в детекторе по времени, если выполнены
следующие условия.
а) Разрешающая способность системы достаточно высокая. Другими
словами, неопределенность Д^ во времени пролета (связанная как с прерыва-
телем, так и с детектором) мала по сравнению со временем пролета нейтро-
нами расстояния Z.
К вопросу об общем соотношении между энергетическим спектром и рас-
пределением времени пролета при конечной разрешающей способности мы
вернемся снова в п. 15.1.4; здесь достаточно заметить, что на практике вели-
чина AZ/Z в большинстве случаев равна примерно 10 мксек/м (например,
Д£ = 50 мксек и I — 5 м).
б) Функция пропускания прерывателя и эффективность детектора
хорошо известны либо из расчетов, либо из экспериментов.
в) Все возмущающие эффекты либо исключены, либо тщательно учтены.
Для этой цели детектор или, еще лучше, вся установка в целом защищены
от нейтронов фона. Кроме того, необходимо по возможности устранить рас-
сеяние или поглощение нейтронов по пути к детектору. Рассеивающее воз-
мущение на молекулах воздуха, имеющее место при больших длинах про-
лета, может быть устранено вакуумированием трубы пролета.
325
Рис. 15.1.5. Ротор для измерений спектров
медленных нейтронов:
1 — алюминий; 2 — борированная феноловая резина.
Обычно для регистрации используют ВЕ3-счетчики, соединенные в один
счетный блок, чтобы получить возможно большую площадь чувствительности
(см. рис. 15.1.4). Для увеличения чувствительности, особенно при высоких
энергиях нейтронов, несколько счетных блоков можно располагать один
за другим *. Чувствительность регистрации счетного блока, зависящую от
энергии, можно вычислить,
исходя из размеров этого блока,
давления газа и сечения реак-
ции В10(тг, <z)Li7; при вычисле-
ниях необходимо произвести
усреднение по поверхности
блока. Необходимо учесть так-
же поглощение нейтронов стен-
ками счетчиков. Чувствитель-
ность нетрудно определить
также экспериментально на
основании сравнения с соответ-
ствующими данными для очень
тонкого счетчика, наполненного
естественной смесью изотопов
бора, чувствительность кото-
рого точно следует закону 1/р.
На рис. 15.1.5 показан
ротор, используемый для иссле-
дования спектров нейтронов. Поскольку изучаемые спектры обычно содержат
эпитепловые нейтроны, кадмий не может быть использован для покрытия
сторон щелей; необходимо применять вещества, поглощающие в пределах
возможного нейтроны всех энергий. Обычно используют борированные
пластики или подходящие сплавы, такие, как сплав К-Monel (30%
Си, 70% Ni). Функция пропускания системы зависит от формы щелей.
Обсудим этот вопрос для случая ротора радиусом R с плоской щелью
шириной h (рис. 15.1.6). Пусть ротор вращается с постоянной угловой
скоростью со против часовой стрелки и при t = 0 (а также при t = Jz тглт/со,
п = 1, 2, 3, . . .) щель параллельна направлению падающих нейтронов.
Допустим, что параллельный пучок падающих нейтронов сформирован
по ширине щели входным коллиматором. Если h < 7?, то, согласно Стоуну
и Словачеку (Stone, Slovacek, 1959), действие такого прерывающего уст-
ройства подобно действию щели, расположенной в точке х = 0, с пере-
менной по времени шириной h-W (v, t), где W (v, t) — доля пропущенных
* M. Фортэ описал простое электронное устройство с запаздыванием для компен-
сации разницы во времени пролета между различными счетными блоками в трудах «Pro-
ceedings of the Conference on Neutron Time-of-Flight Methods». Brussels, Euratom, 1961.
326
нейтронов. Для скоростей в интервале 4со7?2/^ v < оо
W (у, t) -= <
о,
zxo / 2R Л 2
~ "4Г \"Т J
vw ( 2R , Д2
~^h +J
2aR +
h
а в области
скоростей со/?2//г < v < ^R2!h
(15.1.5)
(15.1.6)
Для v < ^R~!h функция W (v, I) всегда равна нулю. Кроме того, функция
W (v, t) периодична во времени, и ее период равен половине периода враще-
ния, т. е. W (v, t) — W (v, t ± пн!®). На рис. 15.1.7 показаны функции
Рис. 15.1.7. Типичные формы импульсов нейтронов, получаемые на селекторе
с плоскими пластинами, при v ^R2/h (а) и v <Z 4(f)R2/h (б).
W (у, t) для двух типичных значений и. Видно, что в предельном случае,
когда и -> оо, функция W (у, t) принимает простой вид треугольника с осно-
ванием h/(ci)R). При меньших скоростях нейтронов начинает влиять конеч-
ность времени пролета: нейтроны, входящие в щель при определенной ее
ориентации, которые могли бы пройти через нее, если бы ротор не вращался,
в действительности соударяются со стенками щели вращающегося ротора.
В частности, нейтроны со скоростями v < ti>R2lh = vco не могут вовсе прой-
ти через щель, так как время 2RI и, необходимое для пролета через щель,
больше, чем максимальное время 2Л/(со7?), в течение которого щель открыта.
Имеется следующее очевидное соотношение между шириной основания 2Ai
(от величины которой зависит разрешающая способность), граничной
327
скоростью vc0 и радиусом ротора R:
R ~ 2vc()\t.
(15.1.7)
Это соотношение накладывает значительные ограничения на выбор характе-
ристик установки. Например, если необходимо иметь значения vQQ =
= 500 м!сек и 2&t = 100 мксек, то, согласно приведенному соотношению,
R = 5 см. Следовательно, Д/со = 5-10'4 см-сек и со = 400 сек~г для h = 2 мм.
Можно уменьшить скорость vcQ путем подбора соответствующей формы
Рис. 15.1.8. Относительное пропускание для
селектора с плоскими пластинами:
------ —расчет на основании соотношений (15.1.9);
. . . — измерения Стоуна и Словачека.
щелей. Вычисления для изог-
нутых щелей можно найти
в работе Марсэгерра и Паули
(Marseguerra, Pauli, 1959).
Более важной характери-
стикой, чем функция W (и, t),
является функция пропуска-
ния Т (у), определяемая как
усредненная по времени вероят-
ность того, что нейтрон со ско-
ростью v пройдет через щель.
Проинтегрировав равенства
(15.1.5) и (15.1.6) в преде-
ла -Г f г л
лах-----< t < — и умно-
2(о 2со J
жив результат на со/л, полу-
чим для интервала скоростей
4<о/?2/7г, v < оо
т (v)(1 ,
' 7 2л2? \ 3 и2 /
• (15.1.8а)
и для скоростей
^R2!h^.v ^A&R2!h
Ъ / 8 г2 г _
+ у]/ (15.1.86)
Часто вводят переменную |3 = vcol v и определяют величину пропускания
т (|3) по отношению к пропусканию 7г/(2л7?), соответствующему нейтронам
с бесконечной скоростью:
тф) = 1-|р, (15.1.9а).
т((3) = 4₽2-8р + ^/₽, 4<₽<1. (15.1.96)
На рис. 15.1.8 приведена функция т (|3) в соответствии с выражениями
(15.1.9). Эта функция непосредственно входит в качестве множителя в энерге-
тическое распределение нейтронов, наблюдаемых в экспериментах с преры-
вателем, и поэтому должна быть определена аккуратно. Выражения для
функции т (Р) более сложны в случае изогнутых щелей. Функцию пропуска-
ния можно определить также экспериментально (Johansson et al., 1960).
Эксперименты по определению спектров нейтронов подробно описаны
Стоуном и Словачеком (Stone, Slovacek, 1959), Мостовым и др. (Mostovoi et al.,
1955), Иохансоном, Лампом и Сёстрандом (Johansson, Lampa, Sjostrand,
1960), а также Коутсом (Coates, 1961). Чтобы провести чистый эксперимент
с хорошим разрешением, необходимо иметь средний поток тепловых нейтро-
нов 5-108—1-1010 нейтрон!(см2-сек). Такие высокие потоки возможны только
в реакторах и неразмножающих или подкритических сборках, облучаемых
нейтронами из реактора.
328
15.1.3. Метод пульсирующих источников
На рис. 15.1.9 показана другая, весьма полезная установка для измере-
ния спектра нейтронов методом времени пролета. Пульсирующий источник
периодически излучает в изучаемую систему короткие импульсы нейтронов.
Нейтроны, выведенные из системы после каждого импульса, проходят через
пролетную трубу и регистрируются детекторами. Если систему выбрать
таким образом, чтобы время затухания поля нейтронов после каждого
импульса было мало по сравнению со временем пролета, то точно так же,
Рис. 15.1.9. Схема устройства линейного ускорителя, использованного Пулом для изме-
рения спектров медленных нейтронов:
1 — дискриминатор и регистратор; 2 — усилитель; з — ВР3-счетчини; 4 — бетонная защита;
5 — борная защита; 6 — откачанная пролетная труба (12м ); 7 — монитор, 8 —коллиматор;
9 — бак; 10 — мишень линейного ускорителя; 11 — впускное отверстие; 12 — линейный усно-
ритель.
как и в экспериментах с прерывателем, из распределения времен пролета
можно получить энергетический спектр.
В принципе при выборе и конструировании детекторов и пролетной
трубы руководствуются теми же соображениями, что и в методе с прерыва-
телем. В неразмножающих средах, рассмотрением которых мы здесь огра-
ничимся, время затухания в эпитепловой области (т. е. для энергий выше
0,5 эв) одного порядка со временем замедления до данной энергии. С другой
стороны, в тепловой области затухание во времени имеет экспоненциальный
характер с постоянной времени а = + D$B2. Величина 1/а обычно
гораздо больше времени замедления, и именно она определяет разрешающую
способность. Например, в среде из чистой воды бесконечных размеров вели-
чина 1/а равна примерно 200 мксек, в то время как время замедления в эпи-
тепловой области составляет всего лишь несколько микросекунд. Если пред-
положить, что разрешающая способность равна 10 мксек! м, то длина пролета
должна быть порядка 20 м в случае чистой воды. Разрешение в эпитепловой
области гораздо лучше (менее 1 мксек). В графите время замедления до энер-
гии 0,5 эв равно примерно 25 мксек. Время жизни тепловых нейтронов может
достигать нескольких миллисекунд в зависимости от размеров среды и сте-
пени поглощения. Поэтому необходимые длины пролета должны составлять
около нескольких сот метров. Пролетные трубы такой большой длины весьма
дороги, а потери нейтронов при этом велики. Однако можно значительно
сократить время жизни тепловых нейтронов, отравляя замедлитель, т. е.
добавляя к нему поглотитель. Аналогичные рассуждения справедливы также
для D2O и бериллиевых систем. В размножающих системах время затухания
323
не зависит от энергии нейтронов и в случае сильного размножения весьма
велико; необходимые длины пролета в этом случае тоже велики. На практике
обычно длина пролета не превышает 60 л*, т. е. изучаются только системы,
время релаксации в которых меньше 0,5 мсек; для систем с большим време-
нем жизни предпочтительнее метод прерывателя. Более корректное рассмо-
трение эффектов разрешения для этих двух методов будет проведено
в п. 15.1.4.
Метод пульсирующего источника по сравнению с методом прерывателя
имеет некоторые преимущества, поскольку позволяет работать с гораздо
меньшими потоками без коррекции на пропускание прерывателя. Для
примера сравним результаты опытов с прерывателем и пульсир!ующим источ-
ником при равных длинах пролета и одинаковых сечениях пучка. В экспе-
риментах с прерывателем используется только около 1% нейтронов, поки-
дающих выводной канал; остальные 99% задерживаются ротором прерыва-
теля. В опыте с пульсирующим источником используются все нейтроны;
поэтому при той же скорости счета средний поток может быть в 100 раз
меньше. Эксперименты на больших линейных ускорителях были проведены
Пулом (Poole, 1961), Вейстером (Beyster, 1961) и рядом других исследова-
телей. Серия экспериментов с использованием пульсирующего Т (d, тг)Не4-
источника нейтронов, была осуществлена Рейхардом (Reichardt).
15.1.4. Разрешение по энергий в измерениях
методом времени пролета
Пусть J(E) — энергетическое распределение нейтронов в пучке, выхо-
дящем из среды, и е (Е) — зависящая от энергии чувствительность детектора.
Допустим, что любые другие поправки, связанные с определением функции
пропускания прерывателя или обусловленные эффектом поглощения в про-
летной трубе, учитываются одним поправочным множителем Т (Е). В опыте
по времени пролета измеряется зависящая от времени скорость счета Z (t);
попытаемся установить связь между функциями Z (t) и J (Е). Пусть
J (Е) = J (Е) Т (Е) s (Е). (15.1.10)
Тогда при идеальном разрешении, когда отсутствуют неопределенности во
времени пролета, имеем
Zo(/) = const J(E)6 — dE. (15.1.11а)
В этом выражении постоянная зависит от таких параметров, как телесный
угол и частота повторения, влияние которых здесь не рассматривается.
Дельта-функция, стоящая под знаком интеграла, отражает то обстоятель-
ство, что в величину Zo (0 дают вклад только те нейтроны, время пролета
которых 11\/'2Е/ш равно t. Здесь I — длина пути пролета, которая в опыте
с прерывателем отсчитывается от середины ротора до детектора, а в опыте
с пульсирующим источником — от точки наблюдения до детектора. Из соот-
ношения (15.1.11а) следует, что
z«W=»onst7[K=^(i)2]|^|»
-еоМ17[г-^(т)г]т?' (15.1.116)
т. е. что Zo (t) \ dt\ = J (Е) j dE |. Это последнее соотношение, очевидно,
и могло быть непосредственно использовано вместо равенства (15.1.11а)
в начале нашего рассмотрения. Однако для перехода к практически более
важному случаю, когда неопределенностью во времени пролета пренебречь
нельзя, удобнее использовать выражение (15.1.11а), в котором 6-функцию
следует заменить нормированной функцией разрешения по времени R (к)
330
~{-оэ
£ R (X) dX = 1J . Функция R (X) определяется, с одной стороны, зависящим
—оо
от времени пропусканием в опыте с прерывателем или энергетической зави-
симостью функции Ф (г, t) в экспериментах с пульсирующим источником
и, с другой стороны, шириной канала временного анализатора, соединенного
с детектором. Чтобы исключить влияние ширины канала на функцию раз-
решения, используют, как правило, достаточно большое число весьма узких
каналов; поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать этим эффектом.
Однако возникает дополнительная трудность, связанная с тем, что функция
R (X) зависит обычно от энергии нейтронов. Для прерывателя, имеющего
Q
Рис. 15.1.10. Идеализированная функция разрешения для
прерывателя (а) и установки с пульсирующим источником (б).
плоские щели, пропускание как функция времени зависит от скорости в соот-
ветствии с соотношениями (15.1.5) и (15.1.6); в опыте с пульсирующим источ-
ником время затухания в эпитепловой области зависит от энергии нейтронов.
Однако в качественных рассуждениях мы будем предполагать, что R (X)
не зависит от энергии.
Для прерывателя положим (рис. 15.1.10, а)
1
д?
|Х|
(ДО2 ’
| Х|< AZ;
0 в остальных случаях
(15.1.12а)
Соотношение (15.1.12а) описывает функцию, имеющую треугольный вид
с шириной основания 2А£ = h/R&. Случай X = 0 соответствует нулевой
точке по времени, когда щели прерывателя параллельны падающему пучку.
Для пульсирующего источника (рис. 15.1.10, б)
о
ае~О+аМ?
X <— 1/сс;
(15.1.126)
Мы предположили, что после инжекции импульса поток нейтронов Ф (г, Е, t)
затухает чисто экспоненциально для всех энергий; это утверждение заведомо
не имеет места в эпитепловой области в случае неразмножающей среды.
Ниже будет показано, что нулевая точка по времени не совпадает с моментом
инжекции импульса, а сдвинута по отношению к нему на единицу среднего
времени жизни 1/а.
Итак,
оо
Z (Z) = const 7(Д) Я ( - J.__ -t\ dE, (15.1.13а)
J 1 |/2£/тп )
или с использованием соотношения (15.1.116)
4-00
Z(Z)= § Z0(Z4-X)^(X)dX. (15.1.136)
331
Выражение (15.1.136) связывает действительно наблюдаемое распределение
времени пролета Z (t) с распределением Zo (0, которое имело бы место в слу-
чае идеального разрешения. Раскладывая в ряд Тейлора функцию Zo (t 4- Z)r
получим с учетом нормировки функции разрешения
оо -Loo
Z(O = Zo(O + S ^Zo(O-4- ’S (15.1.14a)
L4L IL ; «J
n=l — OO
С помощью соотношения (15.1.12a) нетрудно убедиться, что в случае преры-
вателя все нечетные моменты функции разрешения, в частности первый
момент, обращаются в нуль в силу симметрии функции R (X). Для пульси-
рующего источника первый момент также равен нулю, поскольку нулевая
точка по времени сдвинута по отношению к моменту инжекции на величину
среднего времени жизни. Поэтому если можно пренебречь слагаемыми более
высокого порядка по сравнению со вторым слагаемым, то
Z(0=Zo(O + Z;(O-v (15.1.146)
Zu
— ОО
или
4-00
Z0(l) = Z(t) [l-^-.l J V/?(X)rfX]. (15.1.14b)
— 00
Чтобы определить энергетический спектр с помощью функции Z (£), надо
поступить следующим образом. Необходимо сначала вычислить отношение
Z" (t)/Z (t) на основании результатов измерения величины Z (£) * и, исполь-
зуя второй момент функции разрешения, рассчитать функцию Zo (t). Зави-
симость J (К) может быть затем вычислена с помощью соотношения (15.1.11),
a J (Е) — с помощью соотношения (15.1.10). Чтобы получить величину
потока Ф (г, Е), необходимо внести соответствующие поправки, обсуждав-
шиеся в п. 15.1.1.
Если обозначить для краткости
4- VT?(X)dX = 4^2. (15.1.15а)
Zu <»)
----ОО
то с помощью соотношения (15.1.12а) для прерывателя, функция разреше-
ния которого имеет вид треугольника с шириной полуоснования Д£, можно
получить
А2 = у(Аг)2, А = ^, (15.1.156)
а для пульсирующей сборки с временем затухания 1/а
А2=(-Г)2. А = -Г- (15.1.15в)
Для прямоугольной функции разрешения с шириной основания А£'
Д2 = _(дгр д = ^1. (15.1.15г)
3 Уз v '
Если имеется суперпозиция нескольких функций разрешения, то А2 =
Д* 4~ ^2 + • • • • Например, если в опыте с пульсирующим источником
мы измеряем распределение времени пролета с помощью каналов с шириной
* Чтобы вычислить отношение Z" (f)/Z (7), необходимо весьма точно знать зави-
симость Z (^). На практике обычно измеренные величины аппроксимируют гладкой кри-
вой Z (0 в некоторой узкой области и затем дифференцируют эту аппроксимирующую
кривую.
332
')2, и эффектом конечной ширины канала можно
пренебречь, если Az' < 1/(2сх).
Если величина А известна, можно оценить ошибки результатов измере-
ния, обусловленные отсутствием поправки на разрешение. Наоборот, исходя
из заданной формы спектра и требуя, чтобы указанная ошибка была, напри-
мер, меньше 1%, можно вычислить необходимую для этого величину А.
На рис. 15.1.11 показаны максимальные значения величины А/Z (мксек/м),
при которых ошибка в нескорректированном спектре не превышает 1 %, т. е.
z < 10~2 (Poole, 1961).
"О (t)
В основу расчетов было положено предположение, что детектор черный,
8 (Е) = 1, Т (Е) = 1 и J (Е) ~ М (Е) или J (Е) ~ 1/Е. Величина A/Z,
Рис. 15.1.11. Максимальная величина разрешения, при которой
точность измерений спектра нейтронов методом времени про-
лета равна 1% (------). Величина разрешения, полученная
в конкретных экспериментах (------).
естественно, зависит от энергии и уменьшается с ее увеличением. Верхняя
граница максвелловского распределения является наиболее критической
областью, так как в этой области спектр меняется очень быстро. Как видно
из рисунка, при А/Z 5 4- 10 мксек/м точность результатов измерений для
нейтронов с энергиями ниже 10 эв составляет 1% и выше. На рис. 15.1.11
приведена также величина разрешения, достигнутая в некоторых конкрет-
ных экспериментах.
Дополнительные сведения об определении поправки на разрешение
можно найти в работах Стоуна и Словачека (Stone, Slovacek, 1956, 1959),
а также Пула и Вейстера (Poole, 1961; Beyster, 1961).
15.2. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
Интегральные методы основаны на измерении эффективных сечений
образцов в поле нейтронов. Соответствующие эксперименты могут быть
основаны либо на измерениях пропускания (ослабления активации образца
при суперпозиции фильтров), либо на активационных измерениях с помо-
щью образцов, сечения активации которых имеют некоторую характерную
зависимость от энергии. Результаты таких измерений можно интерпрети-
ровать на основании сравнения измеренных эффективных сечений с величи-
нами, полученными путем усреднения известного дифференциального сече-
ния по вычисленному теоретически спектру нейтронов. В какой-то мере более
прямой, но не всегда применимой является оценка измерения с использова-
нием образцов в терминах эффективной температуры нейтронов. Согласно
изложенному в п. 10.2.1, спектр медленных нейтронов часто можно аппрок-
333
симировать следующим образом:
ф(Е) = Ф(ь^е-^ + Фер1^^1. (15.2.1)
В этом случае спектр полностью характеризуется параметрами Ф^/Ф^
и Т (или параметрами г и 7\ если используется представление Весткотта;
см. п. 12.2.5). Отношение Ф^/Ф^ (или г) может быть определено с помо-
щью измерения кадмиевого отношения (см. п. 12.2); покажем теперь, что
температура Т может быть получена в результате измерений с использова-
нием образцов.
15.2.1. Определение температуры методом пропускания
На рис. 15.2.1 показана принципиальная схема измерений по пропус-
канию со свободным пучком нейтронов. Коллимированный пучок нейтронов
с максвелловским распределением по энергиям J ~ е~Е/кТ проходит
К1
Лучок
нейтроноВ
Рис. 15.2.2. Пропускание направлен-
ного пучка тепловых нейтронов фоль-
гой из i/v поглотителя.
J'(E)=J(E)e'Za(E)ct
Рис. 15.2.1. Схема устройства для измерения
температуры нейтронов методом пропускания:
1 — 1/^-поглотитель; 2 — 1 /v-детектор.
сквозь поглощающую фольгу толщиной d, сечение поглощения которой еле-
дует закону 1/v [2а (Е) — 2а (кТ0) ]КкТ/Е То/Т] ; после прохождения
фольги нейтроны регистрируются детектором. Допустим, что сечение веще-
ства детектора следует закону Ни, а толщина детектора настолько мала,
что его чувствительность пропорциональна ilv. Тогда для отношения ско-
рости счета Z+ с поглотителем к скорости счета Z0 без него имеем следующее
выражение:
Z+
Z0 “
dE
Ve
(15.2.2а)
или в обозначениях ^T^IT (&Г0) d = у и Е!кТ = х
Г е-у/ V х -ух е х dx
Z+ О
/О 00 _
\ ~[/х е~х dx
о
(15.2.26)
На рис. 15.2.2 приведено отношение Z+/Z0 в зависимости от у (Zahn, 1937).
Ослабление следует приблизительно экспоненциальному закону, причем
334
постоянная спада постепенно уменьшается. Это уменьшение обусловлено
ужестчением максвелловского спектра в результате 1/ ^-поглощения в фольге.
Для очень тонких фольг (кТ0) d < 1] показательную функцию в соотно-
шении (15.2.26) можно разложить в ряд. Тогда
<15-2-2">
Для очень толстых фольг [Sa (кТо) d > 1] было получено (Laporte, 1937)
В каждом случае отношение Z+/Z° есть однозначная функция аргумента z/,
который, в свою очередь, определяется однозначно с помощью опытов по
пропусканию; следовательно, если
величины d и (к То) известны,
можно найти температуру Т. Такие
измерения были проведены Ферми
и др. (Fermi et al., 1947), а также
Юзом, Уоллесом и Хольцманом
(Hughes, Wallace, Holtzmann, 1948).
Разновидность метода пропус-
кания была описана Бранчем (Branch,
1946) и развита впоследствии Кюхле
(Kuchle, 1957). В этом варианте
1 2
Рис. 15.2.3. Сэндвич из фольг для изме-
рения температуры нейтронов:
1 — индий; 2 — золото.
метода в качестве детектора исполь-
зуется индиевая фольга, заключенная между двумя золотыми фольгами.
На рис. 15.2.3 показано типичное устройство в виде сэндвича. Для
предотвращения активации внутренней фольги продольно падающими
нейтронами используется защитное кольцо. Если пренебречь рассеянием
Рис. 15.2.4. Отношение С+/С® для фольги из
индия (6 = 65,7 мг/см2), помещенной между
золотыми фольгами (д' = 360 мг/см2), как функ-
ция температуры нейтронов.
в фольге, то, согласно изложен-
ному в п. 11.2.3, активация
открытой внутренней фольги
в максвелловском спектре будет
определяться соотношением
Г'О _ _L ? p-E/hT №act (^) v
2 3 (кТу е (Я) А
О
Хф0[|1а(£)6]й. (15.2.3)
Если фольга покрыта с обеих
сторон и вещество покрытия
толщиной б' имеет коэффициент
поглощения Ца (£'), то актива-
ция фольги, согласно соотношению (12.1.3), равна (при условии что рас-
сеянием можно пренебречь *)
оо
С+ = V Txfe e~E/kT 1 6 + б') - б')]} dE-
° (15.2.4)
Таким образом, при заданных значениях p,acf, [4, Щ*, б и б' отношение акти-
ваций является функцией только температуры. На рис. 15.2.4 показано
* Влияние рассеяния в фольгах покрытия на величину С+ подробно изучалось
Кюхле для золота как поглотителя. Оказалось, что оно пренебрежимо мало; некоторое
число почти нормально падающих нейтронов не достигает фольги из-за обратного рас-
сеяния, в то время как часть наклонно падающих нейтронов, которые в противном слу-
чае остались бы в поглотителе, рассеивается в фольгу.
335
это отношение (Kuchle, 1957) для конкретного устройства типа сэндвич.
Отношение С+/С° получают в результате измерения активации после облу-
чения экранированной и открытой фольг соответственно; необходимо,
конечно, внести поправки с помощью временного множителя на всевозмож-
ные эффекты, связанные с различными временами счета и облучения. Чув-
ствительность счетной аппаратуры не имеет значения, поскольку определяют
отношение двух скоростей счета. Следует, однако тщательно следить за тем,
чтобы наблюдаемые скорости счета были пропорциональны истинной актив-
ности фольги (см. п. 11.2.5). Необходимо поэтому либо измерять у-актив-
ность, либо усреднять скорость p-счета по обеим сторонам фольги.
Как правило, изучаемое поле тепловых нейтронов содержит также
и эпитепловые нейтроны. Поэтому необходимо разделить эффекты актива-
ции тепловыми и эпитепловыми нейтронами, что можно осуществить методом
кадмиевой разности. Для этого следует определить величины С+ и С° как
без кадмиевого покрытия, так и для сэндвича с полным кадмиевым покры-
тием (толщиной 0,5 — 1 мм), в результате чего будут получены значения
Q, C+CD, со° и C°CD. Тогда
СК = Ct-F+CDC+CD (15.2.5а)
и
C0tn = C00-F0cDC0cD, (15.2.56)
где Fcd и Fcd — коэффициенты кадмиевой поправки (см. п. 12.2.1) соответ-
ственно для незащищенной фольги и для сэндвича. Измерения и расчеты
Кюхле показали, что для использованных им фольг Fcd ~ Fcd] этот
вывод, вероятно, справедлив . практически для всех сэндвичей. Если
Fcd ~ Fcd — FCd, можно пользоваться значениями, приведенными на
рис. 12.2.3.
В этом методе возмущение активации оказывает серьезное влияние на
результаты измерения температуры: фольга, покрытая поглотителем,
вызывает гораздо большее уменьшение потока, чем незащищенная фольга.
Поэтому в измеренное значение С th! С th следует вносить соответствующие
поправки, что может быть сделано с помощью соотношений, приведенных
в п. 11.3. Однако, если используются, например, поглотители из золота,
каждый из которых имеет толщину 360 мг/см2, и индиевая фольга толщиной
65,7 мг/см2, для сэндвича в целом ца6 « 0,28; при таких значениях величины
ца6 нельзя надежно измерить возмущение активации. Возмущение тем
больше, чем меньше транспортная длина свободного пробега в окружающей
среде по сравнению с толщиной фольги, что, вероятно, исключает возмож-
ность определения температуры нейтронов в Н2О этим методом. Можно,
однако, избежать возмущения, если поместить сэндвич из фольг в доста-
точно большую полость. В этом случае нет возмущения поля и измеренная
величина пропускания не нуждается в поправке.
Точность измерения температуры нейтронов этим методом составляет
примерно 10°. В п. 15.3 мы рассмотрим результаты таких измерений.
15.2.2. Измерение температуры нейтронов
с помощью фольг из лютеция
Информацию о спектре нейтронов можно получить, не прибегая к изме-
рениям методом пропускания, а используя фольги, сечение активации
которых отличается от закона 1/и. В то время как активация фольги с сече-
нием, изменяющимся по закону ijv, всегда пропорциональна плотности
нейтронов и не зависит от спектра, активация фольги с сечением, не зави-
сящим от энергии, пропорциональна потоку. С помощью отношения таких
двух активаций можно определить среднюю скорость нейтронов.
Лютеций является подходящим веществом для таких измерений. Есте-
ственная смесь лютеция состоит из 97,40% Lu175 и 2,60% Lu176. Изотоп
.336
Lu175 стабилен, в то время как Lu176 распадается с периодом полураспада
2,2 -1010 лет. Захват нейтронов в изотопе Lu175 приводит к изомерному состоя-
нию Lu176, которое распадается с периодом полураспада 3,684 ч (рис. 15.2.5а);
захват нейтронов в Lu176 приводит к образованию Lu177, период полураспада
которого равен 6,8 дня (рис. 15.2.56). В то время как сечение активации изо-
топа Lu175 в тепловой области следует закону i/v, сечение Lu176 значительно
отличается от такой зависимости, что обусловлено сильным резонансом при
Рис. 15.2.5а. Схема распада Lu176 и
Lu176™.
энергии 6,142 эв. Поэтому, если облучить фольгу из лютеция в поле нейтро-
нов и затем отдельно измерить активности изотопов Lu176 и Lu177, можно
получить важный спектральный показатель, с помощью которого легко опре-
делить температуру нейтронов. Вместо Lu175 можно использовать марганце
вую или медную фольгу в качестве эталонного 1/^-детектора. В этом случае
нет необходимости определять активности обоих изотопов лютеция раздельно;
после облучения необходимо просто выждать определенное время, доста
точное для спада активности Lu176m. В работах Шмида и Стинсона (Schmid,
Stinson, 1960), а также Буркарта (Burkart, 1962) даны многочисленные прак-
тические рекомендации для работы с лютециевыми фольгами.
Покажем теперь, как определить температуру нейтронов на основании
таких измерений. Для этой цели используем формализм Весткотта, изло-
женный в п. 12.2.5; поэтому наши рассуждения будут справедливы только
для тонких фольг. Допустим, что спектр нейтронов характеризуется пара-
метрами г и Т. Рассмотрим активацию лютециевой фольги или сэндвича,
состоящего из лютециевой фольги и 1/ ^-детектора. Тогда
С = Х^(7’) + гЦШ 1
Ci/v = Ki/v\\^rsl/v(T)\. / (15.—о)
22 Нейтронная физика
337
Здесь величины g (Z) и s (Т) соответствуют активности возбужденного Lu177,
а величина s1/v (Т) относится к 1/^-детектору (активности Lu176m или актив-
ности фольги из меди или марганца *); коэффициенты К и Ki/V — константы,
зависящие от плотности нейтронов, абсолютного значения сечения
активации и толщины фольги. Запишем теперь отношение активаций:
Рис. 15.2.6. Температурная зави-
симость g-фактора для Lu176
[расчет (--) и эксперимент (Q)].
С __ К g(T) + rs(T) g(T)-^rs(T)
Ci/v Ki/v i + i + rsi/^^T) •
(15.2.7)
В левой части этого равенства записана из-
меряемая величина CjCVv, в правой части —
неизвестные величины К, г и 7\ Величина К
может быть исключена с помощью дополни-
тельных измерений в известном спектре
нейтронов. Для этой цели наиболее удобно
использовать поле нейтронов в тепловой
колонне реактора, где заведомо имеется рав-
новесный спектр; тогда г = 0 и температура
Т равна температуре замедлителя Ттс-
Следовательно,
-Kg (ТтС).
(15.2.8)
Поскольку температура Ттс известна,
а величина g (Ттс ) может быть определена
с помощью таблиц Весткотта (см. также
рис. 15.2.6), соотношение (15.2.8) дает вели-
чину К, Тогда
l + rsi/u(7) ’
(15.2.9)
где в левой части равенства стоит измеренное отношение активации, делен-
ное на значение К, полученное из дополнительных измерений.
Соотношение (15.2.9) не позволяет однозначно определить температуру
Т7, так как правая часть содержит неизвестную величину г. Необходимо
поэтому измерить кадмиевое отношение 1/г;-фольги. Согласно изложенному
в п. 15.2.5,
Rcd
ci/v
bCD
1rs (T)
(15.2.10)
где Ecd — граничная энергия кадмия, которая зависит от его толщины
(см. рис. 12.2.5). Теперь для определения параметров г и Т имеются два
независимых уравнения, которые можно решить, например, графически.
Однако проще следующая итерационная процедура. Начнем с некоторой
оценки величины Т и определим значение г на основании измеренного кад-
миевого отношения, используя соотношение (15.2.10); с помощью этого
значения г и измеренного отношения активаций (С7С1/и) * можно вычислить
новое значение температуры Т, с помощью которой может быть, в свою оче-
редь, получено следующее приближение для гит. д.
На рис. 15.2.6 приведен g-фактор для Lu176 в зависимости от темпера-
туры Т. Значения величины g были рассчитаны с помощью соотношения
(5.3.20), в котором сечение было представлено как суперпозиция отдельных
брейт-вигнеровских резонансов. В табл. 15.2.1 приведены параметры, исполь-
* Если сечение точно следует закону i/v при всех энергиях, то s = 0; однако это
не имеет места для меди, марганца и Lu175.
338
Резонансные параметры Lu176
Таблица 15.2.1
Еэб 2gr^, мэв Г^, мэв Ей, эв 2grn, мэв 1\,, мэв
0,142 1,57 4,35 0,08742-1-0,00035 0,40+0,06 0,48+0,04 584-0,2 -60 -60 6,13 9,77 1,46+0,14 1,47±0,13 -60 ^60
Примечание. Величина g-фактора точно не известна; но, поскольку I = 7, g^ 1/2 и по-
этому 2grn^r?r
зованные для нескольких первых резонансов. На рис. 15.2.6 также пока-
заны некоторые экспериментальные значения g-фактора (определенные путем
измерений с обогреваемой тепловой
колонной) (Schmid, Stinson, 1960).
Для Т < 500° С g-фактор весьма
сильно зависит от температуры. На
рис. 15.2.7, а приведена величина
s (Т7) для Lu176, рассчитанная с по-
мощью соотношений (12.2.25а) и
(12.2.26) для сечений, зависящих
от энергии. Величина 5 (7) для
Lu176 в какой-то степени зависит
от функции переходной области,
Рис. 15.2.7. Функция s (Т7) для Lu17G, Си63 и Мп55" (а) и Lu175 (б),
используемая при обработке результатов измерения температуры нейтронов.
поскольку первый резонанс лежит вблизи границы между тепловой
и эпитепловой областями. Однако вариации, связанные с этой зависимостью,
даже в случае экстремальных предположений о виде функции переходной
области невелики.
Для Си63, Мп55 и Lu175 g (Г)-фактор всегда равен единице. На
рис. 15.2.7, а и б, приведены значения $ (Т7) для этих трех веществ. Из
рисунка видно, что значение величины s (Г) для Lu175 относительно велико;
более того, соответствующие значения не являются вполне достоверными.
Поэтому определение величины г с помощью кадмиевого отношения для
Lu175 не может быть достаточно точным, и разумнее использовать Си63 или
Мп55 в качестве 1/^-детектора.
Точность измерения температуры нейтронов этим методом равна при-
мерно ±5°. Описанный метод точнее (а также несколько проще), чем метод
пропускания, изложенный в п. 15.2.1. Недостаток метода состоит в том,
22* 339
что из-за самопоглощения р-частиц приходится использовать очень тонкие
фольги лютеция. Чтобы получить хорошую статистику, облучение следует
производить в потоке нейтронов, не меньшем 105 см~2-сек~1 (по сравнению
с потоком 103 см~2-сек~1 для метода пропускания). Результаты таких изме-
рений будут изложены в п. 15.2.3.
15.2.3. Другие методы определения температуры нейтронов
Для активационных измерений, описанных в п. 15.2.2, вместо Lu178
можно использовать Еп151. Естественная смесь европия состоит из 47,77%
Еп151 и 52,23% Еп153. Захват в изотопе Еп151 приводит к активности с перио-
дом полураспада 9,2 ч (схема распада приведена на рис. 15.2.8); сечение
1,39 Мэв
0,963
97,
0,8^1
11%
8т 152(ста5ипьный)
9,3 ч Еи15гт
1,51 Мэв
0,963
0,685
0,563
207»
У 0,122,
13пет
О^Мэв
0,21
0,037о
0,56.
1,6%
.0,95
207*
1,200
0,207о
1,26
0,015 %
0,77
0,000%J3+
(1%ЕС)
0,895
0,007%/3*
(0,25% ЕС)
1,55
2%
1,87
7Щ
1,32
1%
1,ОМэв
0,037»
0,975
0,57
0,70
0,057»
1\7Ь Мэв
1,32
0,615
0,271 Т
D,06%\
’У 0,3^
. —Г-
0,3^3 0,615
2,67о 0,005%
а/~1015лет Qd152
8тт
Рис. 15.2.8. Схема распада
Eu152m.
активации этой реакции сильно отличается от закона 1/р, а в тепловой
области имеет место практически зависимость 1/Е. В отличие от лютеция
для Еп151 g-фактор сильно уменьшается с температурой. На рис. 15.2.9
приведена величина g (7) для Еп151; к сожалению, приведенные значения
недостаточно достоверны. Оценка измерений проводится точно так же, как
и для лютеция. В работе Шпрингера и др. (Springer et al., 1962) содержится
большое количество полезной информации по этому вопросу.
Можно рекомендовать комбинацию нескольких веществ для детекторов,
например Lu, Ей и Си или Lu, Pu и Мп; в этом случае можно сделать вывод
о том, насколько хорошо спектр описывается максвелловским распределе-
нием и насколько хорошо согласуются различные измерения температуры.
Вследствие сильного резонанса при энергии 0,297 эв сечение деления
Pu239 сильно отклоняется от закона 1/v. На рис. 15.2.10—15.2.12 показаны
величины g (71) и s (71) для Pu239 и U235. Как видно из рисунка, g (7)-фактор
для Рп239 сильно увеличивается при возрастании температуры, особенно
в области высоких температур. Следовательно, можно определить темпера-
туру нейтронов одновременными измерениями скоростей деления Pu239
и U235. Результаты измерений обрабатываются в принципе точно так же,
как и для лютеция. Исследования с помощью камеры деления проводились
340
Рис. 15.2.9. Температурная за-
висимость g-фактора для реак-
ции Ей151 (/?, у) Eu1&2w.
Рис. 15.2.11. Функция s (Т) соответствующая
делению U235.
Рис. 15.2.12. Функция s (Z), соот-
ветствующая делению Ри239.
Рис. 15.2.13. Схема устройства для измерения
средней скорости нейтронов:
1 —тонкий 1/^-детектор; 2 —детектор у-квантов; 3 —
толстая кадмиевая пластина.
Кэмпбеллом, Пулом и Фриментлом (Campbell, Freemantle, Poole, 1958).
Стинсон, Шмид и Хейнеманн описали метод (Stinson, Schmid, Heineman,
1960), в котором U235 и Pu239 облучаются в поле нейтронов и затем скорость
их деления определяется измерением активности продуктов деления. Осо-
бым достоинством метода измерения скорости деления при изучении спектров
в реакторах состоит в том, что помимо оценки спектра совершенно незави-
симо и непосредственно получают ряд важных технических данных.
На рис. 15.2.13 показано, как можно использовать кадмий для изме-
рения температуры пучка нейтронов. Так как кадмиевый лист толщиной
0,5 мм является черным для всех тепловых нейтронов, скорость захвата
в нем пропорциональна потоку. В отличие от этого скорость захвата в l/v-
детекторе (тонком ВР3-счетчике) пропорциональна плотности нейтронов.
Среднюю скорость нейтронов и, следовательно, их температуру можно полу-
чить, определяя отношения этих двух скоростей захвата. К сожалению,
захват нейтронов в кадмии не приводит к активации; тем не менее скорость
захвата в кадмии может быть определена по интенсивности захватного у-излу-
чения. В принципе вместо кадмия можно использовать любой черный
детектор, например толстый Li6 1-кристалл или ВЕ3-счетчик высокого дав-
ления.
В связи с этим следует упомянуть о методе определения температуры
нейтронов в реакторе, предложенном Андерсоном (Anderson, 1947) и впослед-
ствии улучшенном Гейвином (Gavin, 1957). Если поместить вещество-погло-
титель в реактор, то коэффициент размножения последнего уменьшается
на величину, которая пропорциональна числу дополнительно поглощаемых
нейтронов за 1 сек. Сравнением эффектов, вызванных кадмием и 1/^-погло-
тителем, таким, как бор, марганец или медь, можно определить среднюю
скорость и температуру нейтронов.
15.3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ СПЕКТРОВ
15.3.1. Измерения в воде
Измерения спектров нейтронов в воде и в водных растворах различных
поглотителей проводились Пулом (Poole, 1957), Вейстером и др. (Beyster
et al., 1961), Рейхардом (Reichardt, Burkart, 1962) (все измерения выпол-
нены методом пульсирующего источника), а также Стоуном и Словачеком
(Stone, Slovacek, 1959) (метод прерывателя). Измерения в воде выполняются
достаточно просто, поскольку диффузионная длина мала (2,76 см в чистой
воде и еще меньше в поглощающих растворах) по сравнению с длиной релак-
сации К, характеризующей скорость спада интенсивности быстрых нейтро-
нов. Поэтому вблизи источника довольно быстро устанавливается состояние
равновесия; спектр в этой области мало отличается от спектра в бесконечной
среде с гомогенно распределенными источниками и легко поддается теорети-
ческому расчету. На рис. 15.3.1 показаны спектры, измеренные Пулом
(Poole, 1957) на расстояниях 2, 5, 10 и 12,5 см от источника. На расстояниях,
превышающих 10 см, спектр практически уже не меняется.
На рис. 15.3.2 показаны спектры в растворах борной кислоты различ-
ных концентраций (Beyster et al., 1961). Для сравнения показаны спектры
в бесконечной среде, рассчитанные по модели Нелкина. Согласие теории
с экспериментом хорошее, за исключением чистой воды. Модель Нелкина
хорошо описывает также результаты измерений для растворов самария
(см. рис. 15.3.3). Следует отметить провалы в спектрах, вызванные резонанс-
ным поглощением. С другой стороны, модель Вигнера — Уилкинса (рас-
сеяние нейтронов на свободных протонах) описывает результаты измерений
менее удачно.
Пул (Poole, 1957) и впоследствии Рейхард и Буркарт (Reichardt,
Burkart, 1962) пытались разделить измеренный в растворах борной кислоты
спектр на максвелловское распределение и 1/Е-компоненту. На рис. 15.3.4
показано, что представление спектра в тепловой области в виде максвеллов-
342
Рис. 15.3.1. Спектр нейтронов в чистой воде на различных
расстояниях от источника.
Рис. 15.3.2. Экспериментальные и расчетные (------модель
Нелкина;-----------модель Вигнера — Уилкинса) спектры
в растворах борной кислоты (1—6,04 барн/протону
2—3,15 барн/протон) и в чистой воде (3).
Рис. 15.3.3. Экспериментальные (измерение Вейстера) и расчетные
(модель Нелкина) спектры нейтронов в водных растворах самария.
Рис. 15.3.4. Спектры (измерение Рейхардта и Буркарта) нейтронов
в воде (Го = 293° К) и водных растворах борной кислоты. (В левой
части приведены максвелловские распределения, аппроксимирующие
спектр в тепловой области, и указаны соответствующие температуры.)
ского распределения действительно возможно; на рис. 15.3.5 приведены
определенные таким образом температуры нейтронов в зависимости от
количества поглотителя. Рейхард и Буркарт измерили также температуру
нейтронов с помощью лютециевых фольг; эти измерения хорошо согласуются
-----— расчет; О — измерения с . помощью лютециевых
фольг; ф — дифференциальные измерения.
со значениями, полученными из дифференциальных измерений. Кривая 7
рассчитана с помощью соотношения (10.2.10в) для газа из протонов, жестко
связанных с атомами кислорода (А = 18, os = 80 барн!протон). Кривая 2
на рис. 15.3.5 соответствует ожидаемой температуре нейтронов согласно
соотношению (10.2.10в) для свободного протонного газа (Л = 1, crs =
Рис. 15.3.6. Функция переходной области для воды и для водного
раствора борной кислоты.
= 20 барн!протон). Измеренное увеличение температуры, как и следовало
ожидать, лежит между этими двумя пределами. И наконец, на рис. 15.3.6
показаны функции переходной области для чистой воды и раствора борной
кислоты с сечением поглощения 3,15 барн/протон*, эти функции были полу-
чены как результат вычитания аппроксимирующего максвелловского распре-
деления из измеренных спектров. Эти две функции явно различны, что ука-
зывает на неудовлетворительность концепции эффективной температуры
нейтронов.
345
15.3.2. Измерения в графите
Систематическое исследование спектра в графите гораздо сложнее, чем
для Н2О. Во-первых, невозможно гомогенно ввести отравитель в графитовые
системы. Эффективное сечение поглощения может быть увеличено только
путем создания систем с чередующимися графитовыми пластинами и пласти-
нами поглотителя из меди, бористой стали и т. д. Кроме того, вследствие
большой диффузионной длины и большой длины замедления не достигается
Рис. 15.3.7. Установка, использованная Парксом, Вейстером
и Викнером для измерения спектра нейтронов в графите:
1 — мишень линейного ускорителя; 2 — железо-константановые термо-
пары, расположенные в каждом из углов на глубине 102 мм; 3 — тепло-
изоляция из алюминиевых фольг; 4 — выходное отверстие; 5 — охлаждаю-
щая катушка из медной трубки (диаметр 6,35 мм) в алюминиевом кожухе;
6 — изоляционная набивка из стекловолокна; 7 — железоконстантановые
термопары, расположенные в каждой обогревающей панели между
изоляцией и медью; 8 — кожух из алюминия (толщина 6,35 мм);
9 — пластины из графита; 10 — боралевая пластина (3,17 мм); 11 — гра-
фитовый затвор для выходного отверстия; 12 — медная обогревающая
поверхность (6,35 мм); 13 — шесть обогревающих шин на каждой
панели; 14 — болты для крепления обогревателей. [Между всеми слоями
графита прокладка из борированной (1%) стали. Подводка электроэнергии
к обогревающим шинам не показана.]
полного равновесия между первичным источником нейтронов и потоком
тепловых нейтронов, т. е. спектр вблизи источников быстрых нейтронов
всегда сильно искажен эффектами диффузии; поэтому для сравнения расчет-
ных и измеренных спектров приходится использовать теорию, учитывающую
пространственную зависимость.
Единственное систематическое сравнение теории с экспериментом было
проведено Парксом, Вейстером, Викнером (Parks, Beyster, Wikner, 1962).
Па рис. 15.3.7 показана экспериментальная установка. Графитовый куб,
сторона которого равна 60 см гетерогенно отравлен пластинами бористой
стали. Тепловое сечение поглощения на атом углерода составляет примерно
0,4 барн = 0,53). Вся установка в целом теплоизолирована и может
нагреваться до 500° С. Боковые грани используются для инжекции нейтро-
346
нов и вывода пучка. Измерения проводятся методом пульсирующего источ-
ника с длиной пролета 60 м. Так как время релаксации тепловых нейтронов
в такой сильно отравленной системе равно примерно 200 мксек, полученное
разрешение по энергии было вполне удовлетворительным. На рис. 15.3.8
показаны спектры, измеренные при различных температурах; для сравнения
приведены спектры, рассчитанные по модели Паркса (см. п. 10.1.3) и модели
свободного газа (при А = 12). Диффузионные эффекты учитывались в расче-
тах подбором эффективных сечений поглощения (см. п. 10.2.3); локальная
кривизна потока определялась на основании измерений с помощью фольг.
Модель Паркса воспроизводит измеренные спектры весьма удовлетвори-
тельно. Модель свободного газа неудовлетворительна при низких темпера-
турах, однако при высоких температурах графита дает хорошие результаты,
поскольку влияние химической связи менее ощутимо.
Измерение температуры нейтронов в графите проводилось Коутсом
(Coates, 1961), Кюхле (Kuchle, 1957), а также Кэмпбеллом, Пулом и Фри-
ментлом (Campbell, Freemantle, Poole, 1958). Коутс определил спектр в под-
критической сборке из графита и естественного урана при различных тем-
пературах, разделив его в соответствии с соотношением (10.2.10г) на макс-
велловскую и эпитепловую части. Для температуры нейтронов он исполь-
347
Рис. 15.3.8. Экспериментальные (О) и расчетные (-----
модель Паркса;----------— модель свободного газа)
спектры нейтронов в графите при различных темпера-
турах.
зовал соотношение
7 = 70 [14-0,54^^72]
(15.3.1) *
Рис. 15.3.9. Функция переходной области для графита.
переходной области, полученная на основании этих измерений; из-
мерения при различных температурах графита приводят к той же
функции.
Кюхле определил температуру нейтронов в графите вблизи Ra — Ве-
источника методом пропускания. Он нашел, что разность Т — велика
вблизи источника и уменьшается с увеличением расстояния от него. Вели-
чина Т — Т(] оказалась примерно пропорциональной отношению потоков
Ферг/Ф^, которое определялось в той же серии опытов методом кадмиевой
разности. Если исключить
эффект диффузионного охлаж-
дения, используя соотноше-
ние (10.2.20), и аппрокси-
мировать экспериментальные
данные функцией (15.3.1),
можно найти Ae/f = 40 ±
± 10 — результат, хорошо
согласующийся в пределах
экспериментальной ошибки
с данными работы Коутса.
15.3.3. Другие замедлители
Иохансон, Лампа, Сёст-
ранд (Johansson, Lampa,
Sjostrand, 1960) провели с
помощью прерывателя весьма
Рис. 15.3.10. Функция переходной области для D2O.
тщательные измерения спект-
ра нейтронов, выходящих из центрального канала тяжеловодного реактора
на природном уране. Измеренный спектр был разделен на тепловую и эпи-
тепловую части в соответствии с соотношением (10.2.10г). На рис. 15.3.10
показана полученная таким образом функция переходной области. Она
подобна функциям, полученным для графитовых систем.
Имеется также ряд результатов для других замедлителей, в основном
для водородсодержащих, таких, как гидрид циркония и полиэтилен; полу-
чены также результаты для тяжелой воды и окиси бериллия.
* Здесь (к Т) — сечение поглощения, усредненное по решетке.
349
ЛИТЕРАТУРА
Общая
В еу s t er J. R. et al. GA-2544 (1961).
Beyster J. R. Status of Neutron Spectra Measurements. BNL-719 *, p. RC 1 (196 ?).
Poole M. J., Nelkin M. S., Stone R. S. Progress Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 1,
p. 91 (1958).
Специальная
Метод времени пролета в применении к измерению спектра
нейтронов
Beckurts К. Н., Reichardt W. Neutron Time-of-Flight Methods. Brussels,
Euratom, 1961.
Beyster J. R. et al. Nucl. Sci. Eng., 9, 168 (1961).
MarseguerraM., Pauli G. Nucl. Instrum. Methods, 4, 140 (1959); Geneva, 1955,
P/640, Vol. 4, p. 12.
Poole M. J. Neutron Time-of-Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961.
Stone R. S., S 1 о v a c e k R. E. KAPL-1499 (1956).
Stone R. S., S 1 о v a c e k R. E. Nucl. Sci. Eng., 6, 466 (1959).
Измерение спектра нейтронов кристаллическим спектрометром
S turm W. J. Phys. Rev., 71, 757 (1947).
Taylor В. T. AERE-N/R 1005 (1952).
Zinn W. H. Phys. Rev., 71, 752 (1947).
Измерение температуры пучков нейтронов методом пропускания
Fermi Е., Marshall J., Marshall L. Phys. Rev., 72, 103 (1947).
Hughes D. J., Wallace J. R., H о 1 t z m a n n R. H. Phys. Rev., 73, 1277
(1948).
Измерение температуры нейтронов методом пропускания
с использованием фольг
Branch G. MDDC-747 (1946).
Kuehl е М. Nucl. Sci. Eng., 2, 87 (1957).
Расчет пропускания нейтронов через поглотители
Laporte О. Phys. Rev., 52, 72 (1937).
Zahn С. Т. Phys. Rev., 52, 67 (1937).
Измерение температуры нейтронов фольгами из лютеция
Burkart К., Reichardt W. BNL-719, 318 (1962)*.
Burkart К. Diploma Thesis. Karlsruhe, 1962.
Chi dl ey В. G., Turner R. B., Bigham С. B. Nucl. Sci. Eng., 16, 39 (1963).
Schmid L. C., S t i n s о n W. P. Nucl. Sci. Eng., 7, 477 (1960); HW-66319 (1960);
HW-69475 (1961); HW-64866 (1960).
Определение температуры нейтронов на основании измерения
скорости давления
Bigham С. В., Turner R. В., С h i d 1 е у В. G. Nucl. Sci. Eng., 16, 85 (1963).
Campbell C. G., Freemantle R. G., Poole M. J. Geneva, 1958, P/10, Vol.
22, p. 233.
Stinson W. P., Schmid L. С., H e i n e m a n R. E. Nucl. Sci. Eng., 7, 435
(1960).
Измерение температуры нейтронов фольгами из европия
Korpium Р., Renz К., Springer Т. BNL-719, 401 (1962) *.
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
350
Сравнение влияния различных поглотителей на реактивность
для определения температуры нейтронов
Anderson Н. L. et al. Phys. Rev., 72, 16 (1947).
Gavin G. В. Nucl. Sci. Eng., 2, 1 (1957).
Измерения в H2O и в водных растворах
с использованием поглотителей
В е у s t е г J. R. et al. Nucl. Sci. Eng., 9, 168 (1961).
Burkart K., Reichardt W. BNL-719, 318 (1962) *.
Poole M. J. J. Nucl. Energy, 5, 325 (1957).
Stone R. S., S 1 о v a c e k R. E. Nucl. Sci. Eng., 6, 466 (1959).
Измерения в графите
Campbell C. G., Freemantle R. G., Poole M. J. Geneva, 1958, P/10, Vol.
22, p. 233.
Coates M. S. Neutron Time-of-Flight Methods. Brussels, Euratom, 1961.
Kiichle M. Nucl. Sci. Eng., 2, 87 (1957).
Parks D. E., Beyster J. R., W i k n e r N. F. Nucl. Sci. Eng., 13, 306 (1962).
Измерения в D2O
J ohansson E., L a m p a E., Sjostrand N. G. Arkiv Physik, 18, 513 (1960).
J ohansson E., Jonsson E. Nucl. Sci. Eng., 13, 264 (1962).
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М
Атомиздат, 1964.
Часть IV
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
Глава 16
ПАРАМЕТРЫ ЗАМЕДЛЕНИЯ
В этой главе мы рассмотрим стационарные и нестационарные опыты по
изучению замедления и диффузии нейтронов в области энергий выше тепло-
вой. Наиболее важными из них являются эксперименты по определению
среднего квадрата длины замедления (см. п. 16.1), так как эта величина
непосредственно используется при расчетах реакторов. Кроме того, сравне-
ние измеренного и расчетного значений средней длины замедления позволяет
сделать выводы о справедливости теории замедления и достоверности ядерно-
физических констант. В п. 16.2 мы познакомимся с некоторыми способами
измерения распределения нейтронов на больших расстояниях от источников.
Эти измерения особенно важны для расчета защиты. Наконец, в п.16.3
мы рассмотрим некоторые эксперименты по изучению временной зависимо-
сти процессов замедления.
16.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ДЛИНЫ ЗАМЕДЛЕНИЯ
16.1.1. Основные сведения о методике измерений
Средний квадрат длины замедления можно определить на основании
измерения фольгами распределения нейтронов вблизи точечного источника,
расположенного в замедляющей среде. Среда должна быть настолько про-
тяженной, чтобы утечкой нейтронов можно было пренебречь. Для практи-
ческих целей наиболее интересной величиной является средний квадрат
длины замедления до тепловой энергии r2th = Однако, согласно изло-
женному в п. 8.4.1, измерение распределения с помощью образцов, активи-
руемых тепловыми нейтронами, определяет скорее величину 6М2 =
= 6 (т/й + L2), а не г2//г. Другими словами, на результат эксперимента
влияет процесс диффузии тепловых нейтронов. Чтобы определить r2h = frith,
следует измерять распределение нейтронов при дискретных значениях энер-
гии непосредственно над тепловой областью с помощью резонансных образ-
цов. Обычно при определении среднего квадрата длины замедления исполь-
зуют распределение нейтронов при энергии 1,46 эв. которое можно измерить
индиевыми фольгами. Как было показано в п. 12.1, в тонкой индиевой
фольге (d <Z 10 мг/см2). покрытой кадмием, 95% активности с периодом полу-
распада 54 мин возникает в результате захвата нейтронов в резонансе при
энергии 1,46 эв. Поэтому для активации тонкой индиевой фольги, покрытой
кадмием, можно написать
CGD(г) ~Ф(г; 1,46 эв), (16.1.1)
откуда
J rWCD (г) 4лг2 dr
-------------= ^46 46 (16.1.2)
CCD (г) 4лг2 dr
О
352
Заметим, что эксперимент дает не значение возраста, а значение возраста
потока т1?46эб при 1,46 эв, так как измеряется поток нейтронов при энергии
1,46 эв, а не плотность замедления. Возраст же меньше на величину Дт* =
= t*i,46 эв— Ti,46 эв. Эту разность можно оценить только расчетным путем.
Согласно Гольдштейну и др. (Goldstein et al., 1961) величина Дт* равна
0,43 см2 для Н2О, 3,7 см2 для D2O и 1,7 см2 для графита. Ниже будет
показано, что экспериментальная погрешность измеренных значений воз-
раста того же порядка, что и эти поправки.
Интегрирование в соотношении (16.1.2) распространено до г — оо,
в то время как практически поток может быть измерен только в конеч-
ной области. В большинстве случаев
достаточно осуществить измерение
потока в ограниченной области, так
как ход потока на больших расстоя-
ниях от источника можно опреде-
лить достаточно точно путем экстра-
поляции. Сказанное выше можно
пояснить с помощью рис. 16.1.1,
где изображена зависимость r2CCD(r),
измеренная на фольгах из индия
вблизи Ra — Be-источника, располо-
женного в воде. На больших рас-
стояниях от источника, очевидно,
имеет место зависимость
1лс CD(r) ~ е-2- (16.1.3)
ИЛИ
CCD (г) ~ е-2г/г2.
Поэтому измерения необходимо рас-
пространить только на такое расстоя-
Рис. 16.1.1. Функция r2CCD (г) для индие-
вых фольг, покрытых кадмием, в зависимо-
сти от расстояния до Ra — Ве-источника
в воде.
ние, которое достаточно для определения постоянной затухания S. Для боль-
ших расстояний можно провести экстраполяцию в соответствии с соотноше-
нием (16.1.3). Объяснение подобного поведения связано с характером процес-
са замедления при первых столкновениях на больших расстояниях от источ-
ника, о чем неоднократно упоминалось в гл. 8. В п. 16.2 мы снова вернемся
к этому вопросу.
Итак, процедура определения величины т*,46 состоит в следующем.
Сначала определяют функцию CCD (г) для тонких индиевых фольг вблизи
источника. Строя в полулогарифмическом масштабе кривую r2CCD (г)
и экстраполируя ее линейно, получают зависимость CCD (г) для всех значе-
ний г. Далее в линейном масштабе строят кривые r^CCD (г) и r2CCD (г)
и интегрируют их графически в пределах от г = 0 до г = со. Частное от
деления полученных интегралов и дает величину г*%б эв-
При практическом использовании этой процедуры необходимо учитывать
источники погрешности. Во-первых, для получения достаточной интенсивно-
сти следует использовать не очень тонкие индиевые фольги; поэтому обычно
толщина фольги равна примерно 100 мг]см,2. В соответствии с рис. 12.1.4
в фольгах такой толщины примерно 15% активации обусловлено захватом
нейтронов высокими резонансами, так как резонанс с энергией 1,46 эв почти
полностью самоэкранирован *. Эффект активации нейтронами высоких
энергий следует исключить либо расчетным путем, либо использованием
метода сэндвича при измерении потоков (см. п. 12.1.3). Дополнительные
ошибки могут быть также следствием конечности размеров источника.
* Рис. 12.1.4 справедлив для потока со спектром 1/Е. В спектре вблизи источ-
ника относительное число нейтронов высоких энергий больше, чем в 1/7?-спектре, так
что вклад высоких резонансов в активацию будет еще больше.
23 Нейтронная физика ^53
в результате чего нейтроны могут поглощаться или испытывать неупру-
гое рассеяние в источнике. И, наконец, погрешности могут быть связаны
с отклонением от идеальной сферической геометрии.
Для сред с большими длинами замедления, таких, как D2O или графит,
трудно обычно создать достаточно большие системы для измерения возраста.
Как показано в работе Вейнберга и Нодерера (Weinberg, Noderer, 1951),
утечку из конечной системы можно учесть расчетным путем. Для этой цели
из исследуемого вещества изготовляют параллелепипед с длинами сторон а
и Ь. Высота параллелепипеда должна быть существенно больше по сравне-
нию с длиной замедления. Источник нейтронов располагают в середине
параллелепипеда и измеряют распределение резонансного потока вдоль оси
в зависимости от расстояния до источника. Затем вычисляют моменты z2v,
соответствующие осевому распределению потока:
j CCD (z) z2v dz
L_---------.
J CCD (z) dz
b
G помощью этих моментов определяют возраст нейтронов на основании сле-
дующего соотношения:
V _Л±1— f я2 । я2 V 72у+2
(2v + 2)! V /
т* v-"0________________________
V 1 / Л2 Л2 | V “2v
(2v)l U2 + ^2 J
у=0
которое выведено Вейнбергом и Нодерером (Weinberg, Noderer, 1951).
16.1.2. Измерение среднего квадрата длины
замедления нейтронов деления в воде
В качестве примера применения метода, развитого в п. 16.1.1, рассмо-
трим измерение величины т*546 эв для нейтронов деления в воде. В связи
с систематическим расхождением между результатом весьма аккуратных
расчетов (~26 см2) и ранними экспериментальными результатами (~30 см2)
это измерение недавно было проведено повторно. Особенно тщательные
измерения были проведены Дернером и др. (Doerner et al., 1961), Ломбардом
и Бланшаром (Lombard, Blanchard, 1960), а также рядом других исследова-
телей.
На рис. 16.1.2 приведена схема установки Ломбарда и Бланшара.
Тепловые нейтроны из тепловой колонны реактора бассейнового типа падают
на источник деления — приблизительно квадратную (80 х 80 мм) пластину
толщиной 10 мм из сплава урана с цирконием (концентрация U235
1,4-1021 атом! см?)). Индиевые фольги (100 мг/см2), покрытые кадмием тол-
щиной 1 мм, закрепляются с помощью специального приспособления, позво-
ляющего точно воспроизводить положение фольг при повторении опыта.
Вся установка в целом погружается в бак реактора.
На рис. 16.1.3 показана активность индиевых фольг в эпикадмиевой
области в зависимости от расстояния до источника. При измерении этого
распределения расстояние между торцом тепловой колонны и пластинкой
источника было равно 1,7 см. Увеличение этого расстояния не влияет на
относительное распределение нейтронов, на основании чего можно сделать
вывод, что замедление в графите тепловой колонны не оказывает влияния
на экспериментальные результаты. Приведенные данные являются разностью
соответствующих значений, полученных в эксперименте по определению
354
величины CCD с источником и без него. Таким способом исключалась доля
активации фольги, обусловленная потоком непосредственно из тепловой
колонны. Активация, вызванная фотонейтронами, образующимися в резуль-
тате реакции у-квантов высокой
энергии из реактора с дейтерием,
присутствующим в воде бака,
в этом случае также исключается.
Наоборот, у-лучи большой энер-
гии, возникающие при делении
в пластинке источника, могут
генерировать фотонейтроны в воде
и искажать измеряемое распре-
деление. Однако контрольные
эксперименты, в которых у-кван-
ты, выходящие из пластинки
источника, поглощались слоем
висмута толщиной 1,25 см, пока-
зали отсутствие этого эффекта.
Чтобы оценить влияние акти-
вации фольги, обусловленной за-
хватом нейтронов более высокими
резонансами индия, проводились
измерения, в которых индиевые
фольги покрывались с обеих сто-
рон кадмиевыми и индиевыми
фольгами. Оказалось, что даже
фольги с индиевым покрытием об-
ладают значительной активно-
стью; следовательно, существенный вклад в активацию дают нейтроны,
энергии которых отличны от 1,46 эв. Однако пространственная зависимость
активности для фольг с ин-
диевым покрытием и без
него одна и та же, т. е.
график, приведенный на
рис. 16.1.3, справедлив
и для нейтронов с энер-
гией 1,46 эв.
Чтобы определить
влияние толщины плас-
тинки источника на рас-
пределение нейтронов, про-
водились измерения вблизи
источника, толщина пла-
стин которого была равна
2 и 3 см. Оказалось, что
поток (нормированный к
значению на расстоянии
10 см от источника) умень-
шается с увеличением тол-
щины пластины источника
для расстояний, меньших
7 см. Это уменьшение свя-
зано с поглощением эпи-
тепловых нейтронов в пла-
стинке. Указанный эффект можно оценить экстраполированием соответ-
ствующих данных к нулевой толщине пластины.
Согласно определению, понятие возраста введено для распределения
нейтронов Ф (р) вблизи точечного источника, в то время как в опыте изме-
У/////////////////////////7/7//////7/////Л
Рис. 16.1.2. Установка, использованная
Ломбардом и Бланшаром для измерения воз-
раста нейтронов деления в воде:
1 — тепловая колонна; 2 — источник с делящимся
веществом; з — фольги; 4 — вертикальные полиэти-
леновые стержни; 5 — опора; 6 — горизонтальный
полиэтиленовый кронштейн; 7 — дно бассейна.
Рис. 16.1.3. Активность фольг из индия, облучаемых
эпикадмиевыми нейтронами, как функция расстояния
до плоского источника нейтронов деления.
23* 355
ряется функция F (z) вблизи источника в виде пластины. Между этими
двумя распределениями имеется следующее соотношение:
F (г = z) = S (г') Ф (р | г — г' |) dA.
Здесь S (г') — мощность источника на единицу площади поверхности пла-
стинки и интегрирование проводится по всей площади пластинки. Величина
S (г') определялась на основании измерений с помощью фольг в различных
точках на пластинке источника. Чтобы вычислить функцию Ф (р) по изме-
ренному распределению F (z), приведенный выше интеграл преобразовы-
вался по формуле Симпсона. Используя полученную таким образом зависи-
мость Ф (р), Ломбард и Бланшар с помощью соотношения (16.1.2) получили
значение Эб = 26,8 ± 0,9 см2. Эта величина возраста является средней
для двух значений, полученных при |3-счете активности передней и задней
сторон фольг (относительно их ориентации к пластинке источника во время
облучения). Такое усреднение представляется необходимым, поскольку
эффекты тока влияют на результат измерений активности фольг (см.
п. 11.2.5). Но даже после такого усреднения активация толстой индиевой
фольги не будет точно пропорциональна потоку при энергии 1,46 эв. Как
было показано в п. 12.2.1, в активацию фольги дают вклад все четные коэф-
фициенты разложения векторного потока по полиномам Лежандра. Так как
коэффициенты Ft (г), как правило, невелики при Z > 2 и соответствующие
им функции <рг (ца6) имеют малые значения для тонких фольг, то в этом
случае вкладом слагаемых высокого порядка почти всегда можно пренебречь.
Однако для индиевой фольги толщиной 100 мг!см2 > 1 в резонансе
и поэтому <р0 (jia6) = 1 и <р2 = 1/4. Тогда С ~ Fo (r)( 1 + у-Суу-) ,
и даже относительно малая Р2“компонент^ разложения векторного потока
будет оказывать влияние на активацию фольги, в связи с чем необходимо
ввести поправку в возраст потока, равную 0,5 см2. Поэтому результат Лом-
барда и Бланшара следует также увеличить до значения т*1,4б эв = 27,3 +
+ 0,9 см2.
Таблица 16.1.1
Экспериментальные значения возраста потока нейтронов деления в воде
* т1,46 эв, см% Автор * т1,46 эв, См2 Автор
32,3 30,8 30,03 31,0 Anderson, Fermi, Nagle, 1944 Hill, Roberts, Fitch, 1948 Hoover, Arnette, 1950 Wade, 1956 26,7 27,3±0,9 27,0+0,9 27,86±0,l Blosser, Trubey, 1959 Lombard, Blanchard, 1960 Pettus, 1960 Doerner et al., 1961
В табл. 16.1.1 приведены значения т* 1?46 эв, измеренные в различных
лабораториях. Ранние исследования давали относительно большие значения,
что было связано с недооценкой влияния размеров источника на распреде-
ление потока. Наоборот, результаты, полученные в последние годы, доста-
точно хорошо согласуются друг с другом. Теоретическое значение возраста
равно 26,0 см2. Результаты для моментов более высоких порядков (г4, г6)
при энергии нейтронов 1,46 эв в воде приведены в работе Дер-
нера и др. (Doerner et al., 1961; см. также Hill, Roberts, Fitch, 1948,
1955).
356
16.1.3. Результаты измерений величины r*%6 = 6т*,46 эв
для различных сред и разных типов источников*
Вода, В табл. 16.1.2 приведены измеренные значения т* t,46 эв Для раз-
личных источников нейтронов в воде. Значения, полученные для радио-
активных (ос, ^-источников, не вполне достоверны, так как спектры таких
источников зависят от их состава, который может изменяться в зависимости
от способа приготовления. Была проведена также серия экспериментов
по измерению возраста в гомогенных смесях воды с алюминием, цирконием,
Таблица 16.1.2
Возраст потока нейтронов до индиевого резонанса в воде
Источник E, Мэв Tl,46 8в’ см2 Автор Примечание
Sb—Be 0,025 5,48±0,15 Барков Л. М., Макарин В. К., Мухин К. Н. В этих измерениях не учтены все воз- можные погрешно- сти (например, не принимался во вни- мание конечный размер источника)
Na—Be 0,970 13,9+0,2 Foster —
H2 (d, n) He3 (толстая мишень, = кэв) 2,6 34,6±2,2 Spiegel, Oliver, Caswell Приведено среднее значение по рас- пределениям, изме- ренным в различ- ных направлениях от источника
Ba—Be 5 54,4 Duggal et al. —
Po—Be 5 57,3±2,0 Valente, Sullivan —
He3 (d, n) He* (толстая мишень, 2^ = 150 кэв) 14,1 150±6 Caswell et al. —
железом, висмутом и свинцом. Соответствующие результаты можно найти
в работах Мунна и Понтекорво (Munn, Pontecorvo, 1947), Рейера, Обен-
шайна и Хелленса (Reier, Obenshain, Hellens, 1958), а также в работе Хилла,
Робертса и Фитча (Hill, Roberts, Fitch, 1948).
На рис. 16.1.4 приводится график величины т 4,46 эв для чистой воды
в зависимости от средней энергии нейтронов источника. На рисунке для
сравнения представлены расчетные значения, полученные по методу Селен-
гута — Герцеля (см. п. 8.3.1), результаты точного расчета ** и измеренные
значения. В то время как точные расчеты хорошо согласуются с измерен-
ными значениями, метод Селенгута — Герцеля всегда дает слишком большие
значения для возраста.
* Более полные таблицы результатов измерений возраста составлены Мак-Арти
и др. (McArthy et al., 1961) и Персиани и др. (Persiani et al., 1963).
** Расчеты проводились методом Монте-Карло с учетом анизотропии рассеяния
на кислороде.
357
Шпрингер (Springer, 1958) предложил интересное применение явления
сильного увеличения возраста нейтронов в Н2О с увеличением энергии ней-
тронов источника. Очевидно, по результатам измерения возраста можно
Рис. 16.1.4. Возраст 46 эв для чистой воды как функция энергии
нейтронов источника:
О — экспериментальные значения для различных источников; ------- —
точные расчеты по Гольдштейну (Goldstein et al., 1958); — — — —
расчет по методу Селенгута — Герцеля.
весьма точно определить среднюю энергию нейтронов источника. Если окру-
жить источник сферическими слоями из тяжелого вещества, то средняя
энергия нейтронов, достигающих замедлитель, будет меньше вследствие
потери энергии при неупругом рассеянии. Можно весьма точно определить
уменьшение энергии по резуль-
Рис. 16.1.5. Возраст потока нейтронов деления
до индиевого резонанса в зависимости от
концентрации тяжелой воды.
татам измерения возраста и,
следовательно, получить инфор-
мацию о потере энергии при
неупругом рассеянии в иссле-
дуемом веществе. Такие изме-
рения проводились для нейтро-
нов Ra — Ве-,Н2 (й, п)Не3- и
H3(d, тг)Не4-источников.
Тяжелая вода. В табл. 16.1.3
приведены результаты некото-
рых измерений возраста потока
нейтронов в DoO с концентра-
цией 99,8%. Уэйд (Wade, 1956)
исследовал зависимость возра-
ста потока нейтронов деления
от концентрации D2O. Соответ-
ствующие результаты показаны
на рис. 16.1.5. В исследуемой области концентраций возраст уменьшается
примерно на 4% при увеличении концентрации обычной воды на 1%.
Расчет возраста потока нейтронов деления т*,4б эв в В2О (99,8%) мето-
дом Монте-Карло дает значение 112,2 см2 (Goldstein et al., 1958), а прибли-
женный расчет методом Грейлинга — Герцеля — 108 см2 (Levine et al.,
1960).
Графит. Табл. 16.1.4 содержит экспериментальные значения возраста
потока нейтронов до индиевого резонанса для различных источников в гра-
фите (плотность 1,6 г/см3). На рис. 16.1.6 приведены расчетные значения
величины т*,4б эв в зависимости от энергии источника. На рисунке пред-
ставлены результаты точного расчета (см. Goldstein et al., 1961) в сравнении
с простым приближением (8.2.116) возрастной теории. Расчетное значение
возраста нейтронов деления равно 304 см2.
358
Таблица 16.1.3
Возраст потока нейтронов до индиевого резонанса в D2O(99,8%)
Источник Е, Мэв т1,46 кэв’ см2 Автор Примечание
Деление урана 2 109±3 Wade Деление U235 тепло- выми нейтронами
№(d, п)Не3 (толстая мишень, £^ = 250 кэв) 2,6 119,1+1,5 Spiegel, Richard- son Приведено среднее значение по рас- пределениям ней- тронов, измерен- ным в различных направлениях от источника
Таблица 16.1.4
Возраст потока нейтронов в графите (плотность 1,6 г/слс3)
Источник E, Мэв т1,46 эв’ СМ2 Автор
Sb—Be 25-10-3 — 142 Hill, Roberts, McCammon
Деление урана 2 312,5+0,5 Hendrie et al.
Ra—Be 5 -380 Fermi
Pu—Be 5 —416 Steichen
Так как условия применимости возрастной теории для графита выпол-
няются достаточно хорошо, плотность замедления вблизи источника можно
описать аналитически. Например, распределение потока при энергии 1,46 эв
вблизи моноэнергетического
точечного источника в протя-
женной среде подчиняется за-
кону
Г2
Ф (1,46 эв, г) ~ е 4т1,46 эв?
(16.1.4)
где т*,4б эв — возраст потока
нейтронов, определенный с по-
мощью среднего квадрата дли-
ны замедления. Соотношение
(16.1.4) несправедливо для ис-
точника с широким энергети-
ческим спектром. Это обстоя-
тельство продемонстрировано на
рис. 16.1.7, на котором измеренное распределение потока вблизи Ra —
Ве-источника в графите сравнивается с расчетами согласно соотношению
(16.1.4) при т = 380 бш2. Расчет лучше согласуется с экспериментом,
когда спектр источника аппроксимируется несколькими возрастными груп-
пами. Тогда
500
400
300
200
100
0 12 3 6-
Рис. 16.1.6. Возраст нейтронов в графите (плот-
ность 1,6 г/см3) как функция энергии нейтронов
источника:
О — возрастная теория; -- — точный расчет.
т2
Ф(1,46эв, r) = ^gte 4т*МбЭ«.
(16.1.5)
359
Согласно Ферми, нейтроны Ra — Be-источников в графите можно
описать тремя группами, каждая из которых характеризуется параметрами
Рис. 16.1.7. Плотность замедления в графите
в зависимости от расстояния до Ra — Ве-
источника:
I — эксперимент; — — — — расчет в одногруп-
повом приближении возрастной теории; --------
возрастная теория, трехгрупповое приближение.
gi .............. 0,15 0,69 0,16
Т* 1,46 СЛ12 • • • 130 340 815
Результаты измерения других
исследователей несколько отличны
gi .............. 0,11 0,68 0,21
т* 146 дв, см* ... 175 340 860
Распределение потока, соответ-
ствующее этим значениям, также
приведено на рис. 16.1.7; наблю-
дается хорошее совпадение с из-
меренными значениями.
Другие замедлители. В табл.
16.1.5 приведены значения вели-
чины т*,4б эв для ряда замед-
лителей; здесь же указаны источ-
ники нейтронов, использовавшие-
ся в экспериментах. Некоторые
результаты относятся к ранним
измерениям и поэтому не всегда
достоверны. В ряде случаев при-
ведены расчетные значения. До
* для гидридов ме-
Таблица 16.1.5
сих пор нет надежно измеренных значений величины т
таллов и органических замедлителей.
Возраст
Т1,46 эв
для некоторых замедлителей
Вещество Плотность, г/см3 Источник Е, Мэв * Т1,46 эв’ см2 Автор , Примеча- ние
Be 1,85 Деление урана 2 80,2+0,2 Nobles, Wallace —
Be 1,78 Ra — Be 5 120+23 Герасева Л. А. и др. —
ВеО 2,96 Деление урана 2 93,4+4,7 Goodjohn, Young —
Дифенил С : 4« 1022 атом/см3 Н: 3,829-1022атом см3 » » 2 44,8 Campbell, Paschall —
ZrH Zr2H ZrH2 Zr2H3 4,8 5,0 4,5 4,6 » » 2 49,12 81,45 25,85 34,96 Lundy, Gross Расчет- ные зна- чения
16.1.4. Возраст нейтронов при замедлении
от энергии 1,46 эв до тепловой энергии
Если известна величина
= тТ,46Лв» (16.1.6)
то можно вычислить возраст нейтронов при замедлении до тепловой энергии,
исходя из экспериментально определенного возраста, соответствующего
энергии индиевого резонанса.
360
Согласно элементарной теории,
1,4 6 эв
(16.1.7)
где Еет ~ 3,5 кТ — граничная энергия тепловой области (см. п. 12.2.2).
В табл. 16.1.6 приведены определенные таким образом значения величины
Таблица 16.1.6
эв ПРИ ^ = 20° С
Вещество АТ, СМ2 [(16.1.7)] АТ, см2 (эксперимент) Автор
н20 0,8 1,0+0,5 Барков Л. М., Макарин В. К., Мухин К. Н.
D2O (99,8%) 14 — —
Be (1,85 г/см3) 10 •— —.
Графит (1,6 г/см3) 40 56,0+6,5 Duggal, Martelly
Ат для некоторых замедлителей. Такой способ расчета недостаточно точен,
поскольку не учитывается влияние химической связи на процесс замедления,
однако поправку Ат нетрудно определить экспериментально. Заметим, что
справедливо следующее выражение для площади миграции, которая опре-
деляется на основании среднего квадрата расстояния до момента поглощения
тепловых нейтронов:
M2 = L2 + xth - L2 -р тТ,46 эв + Ат. (16.1.8)
Поэтому поправку
Ат = М2-£2__т*46эв (16.1.9)
можно определить, если известны величины ЛР, L2 и т*1,46 эв- Параметры
М2 и т* !,46 Э6 можно измерить с помощью изложенных методов; в следующей
главе мы познакомимся с методами определения величины L2.
Основная трудность таких измерений связана с тем, что поправка Ат,
как правило, мала по сравнению со значениями М2 и L2. Поэтому погреш-
ность может быть значительной, поскольку величина Ат определяется как
малая разность больших величин. В связи с этим в таких измерениях удобно
использовать Sb — Be-источник (для которого значение т*1,4в эв мало).
Для уменьшения величины L2 можно ввести в замедлитель поглощающее
вещество. Измеренные таким образом значения Ат для некоторых замедли-
телей приведены в табл. 16.1.6.
16.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ
НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
Проводилось большое количество весьма точных измерений по изучению
пространственной зависимости потока тепловых нейтронов и нейтронов
с энергией 1,46 эв в воде на больших расстояниях от точечного источника.
На рис. 16.2.1—16.2.3 приведены некоторые из полученных результатов
(см. также рис. 16.1.1). На этих рисунках величины г2 ФЬ46 эв (г) и г2 (г)
представлены в полулогарифмическом масштабе. В первом приближении
эти функции линейно уменьшаются на больших расстояниях от источника.
Другими словами, выполняется закон Ф (г) ~ е“2г/г2, причем тепловой
и эпитепловой потоки имеют весьма сходные зависимости. Такое поведение
361
объясняется довольно просто, поскольку сечение рассеяния на водороде
очень быстро уменьшается с ростом энергии (см. п. 1.4.2). Если нейтрон,
испущенный источником, уже при первом столкновении теряет значитель-
ную долю энергии, то сечение для последующих столкновений становится
большим. Таким образом, вероятность замедления и поглощения нейтрона
в области первого столкновения велика. Поэтому тепловой и эпитепловой
потоки должны иметь зависимость, подобную зависимости потока первичных
нейтронов. Последняя же пропорциональна функции е-2г/г2, где 2 — пол-
ное сечение, отвечающее энергии источника. Если источник излучает ней-
троны с широким разбросом по энергии, то наблюдается ужестчение спектра,
поскольку сечение для первого столкновения увеличивается с уменьшением
Рис. 16.2.1. Функция r2CCD (г) для фольг
из индия с кадмиевым покрытием в зави-
симости от расстояния до точечного источ-
ника нейтронов деления в воде:
---------расчетная кривая получена с исполь-
зованием метода моментов (при энергии 2,03 зв);
— — — — экспериментальная зависимость
(Hill, Roberts, Fitch, 1948, 1955).
энергии и нейтроны исходного спект-
ра, обладающие более высокой энер-
гией, ослабляются меньше. По мере
увеличения расстояния от источника
влияние этих нейтронов становится
все более существенным, чем и
объясняется некоторое выравнивание
кривой ослабления для нейтронов
деления, приведенное на рис. 16.2.1.
Более тщательное исследование
кривых ослабления, построенных для
моноэнергетических источников (см.
рис. 16.2.2 и 16.2.3), также указы-
вает на некоторое отклонение от ли-
нейной зависимости. В этих случаях
ход кривых ослабления становится
более крутым с увеличением рас-
стояния от источника. Это объясняет-
ся тем, что описание процессов рас-
пространения, основанное на предпо-
ложении, что компонента вторичного
излучения (т. е. нейтроны, которые
испытали по крайней мере одно
столкновение) находится в равнове-
сии с первичной компонентой (ней-
тронами источника, не испытавшими
соударения), не совсем верно. Необ-
ходимо отметить, что рассеяние ней-
тронов водородом сильно анизотропно и направлено вперед в лабора-
торной системе. Поэтому нейтрон с заметной вероятностью может испытать
лишь небольшое изменение в направлении движения и в энергии при пер-
вом соударении. После соударения нейтрон все еще как бы принадлежит
к группе первичных нейтронов и различие между первичной и вторичной
компонентами излучения выражено не четко. По мере увеличения расстоя-
ния от источника число нейтронов в первичной компоненте, испытавших
столкновение с малым изменением направления своего движения и с неболь-
шой потерей энергии, будет увеличиваться. Это обстоятельство и объясняет
более крутой спад потока нейтронов на больших расстояниях. Если источ-
ник излучает нейтроны с широким энергетическим спектром, последний
эффект может быть частично скомпенсирован в результате ужестчения спект-
ра, о чем упоминалось выше.
Теоретическое исследование процессов распространения на большие
расстояния провести довольно трудно. Полное описание процесса распро-
странения нейтронов можно получить либо на основании метода моментов
(см. п. 8.1.3), либо в результате расчетов по методу Монте-Карло, что требует
значительной затраты времени на численный счет. Вик (Wick, 1949) и Хольт
(Holte, 1951) разработали некоторые приближенные аналитические методы.
362
Несмотря на отклонение от простой зависимости, описанной выше, при-
нято обычно аппроксимировать измеренное распределение нейтронов вблизи
точечного источника законом вида е-2г/г2. Такое приближение для воды,
как видно из рис. 16.2.1 —16.2.3, дает разумные результаты, по крайней
Таблица 16.2.1
Длина релаксации 1/S для различных источников нейтронов в воде
Источник Е, Мэв 1/2, см Расстояние от источника, см Автор
Na —Be Ra — Be Деление урана Ро — Be H3(d, дг)Не4 (толстая мишень, = —150 кэв) 0,97 5 2 5 14,1 3,3 (1,46 эв) 9,29 (1,46 эв) 9,46 (тепл.) 10,3+0,7 (тепл.) 14 (тепл.) 15—30 12—40 10—40 10—40 40—120 Foster Rush Hell, Roberts, Fitch Baer Gaswell et al.
мере, на ограниченных расстояниях. В табл. 16.2.1 приведены эксперимен-
тальные значения величины 1/S для различных источников нейтронов в воде.
Указана также область, в пределах которой измеренное распределение потока
аппроксимировалось вы-
ражением вида е~2г/г2.
Для измерений использо-
вались частично индиевые
резонансные фольги и ча-
стично фольги для тепло-
вых нейтронов. Различия
между результатами изме-
рений с использованием
двух типов фольг связа-
ны, вероятно, с экспери-
ментальными погрешно-
стями.
В замедлителях, в ко-
торых сечение рассеяния
с увеличением энергии
нейтронов не имеет чет-
кой тенденции к умень-
шению, представление о
равновесии излучения еще
менее справедливо, чем
для воды. Однако и в этом
случае распределение
нейтронов аппроксимиру-
ют иногда зависимостью
е-2г/г2. Например, Уэйд
(Wade, 1956) с помощью
индиевых резонансных де-
текторов получил значе-
ние 1/S =8,7 см для D2O
(концентрация 99,8%) в
Рис. 16.2.2. Функция г2Ф (г) для тепловых нейтро-
нов (7) и нейтронов с энергией индиевого резонанса (2)
в зависимости от расстояния до Na — Ве-источника
в воде (Foster, 1960).
интервале расстояний от 30 до 60 см от источника нейтронов деления.
Следует отметить, что в некоторых случаях, например в случае чистой
тяжелой воды или графита, первичные нейтроны не являются определяю-
щими при распространении нейтронов на большие расстояния от источ-
363
ника. В слабо поглощающих средах имеется чисто тепловое поле нейтронов,,
которое спадает на больших расстояниях от источника по закону
Подробные экспериментальные и расчетные данные по распространению
и замедлению быстрых нейтронов на больших расстояниях от источника
можно найти в книге Гольдштейна,
(Goldstein, 1959).
Рис. 16.2.3. Функция г2Ф (г) для тепловых
нейтронов (7) и нейтронов с энергией индие-
вого резонанса (2) в зависимости от расстоя-
ния до источника нейтронов с энергией
14,1 Мэв в воде (Caswell, 1957).
16.3. ЗАВИСИМОСТЬ ПРОЦЕССА
ЗАМЕДЛЕНИЯ ОТ ВРЕМЕНИ
16.3.1. Замедление до индиевого«
и кадмиевого резонансов в водо-
родсодержащих замедлителях
Зависимость процесса замед-
ления можно изучать путем инжек-
ции в среду коротких импульсов,
нейтронов, генерируемых пульси-
рующим источником, с последую-
щим измерением временной зави-
симости скорости захвата в резо-
нансных детекторах. Таким обра-
зом, можно определить поток
Ф (г, Er, t), зависящий от времени
и координат, или поток Ф (ER, t),
зависящий только от времени, если
среда достаточно протяженная и
осуществлено пространственное*
интегрирование скорости захвата.
Экспериментальную зависимость
Ф (Er, t) можно сравнить с ре-
зультатами расчета
(см. гл. 9). Надежные измерения такого рода выпол-
нены пока только
На рис. 16.3.1
для водородсодержащих замедлителей.
показана аппаратура, использованная Энгельманном
(Engelmann, 1958) при изучении замедления в водороде до индиевого резо-
нанса. Фактическим замедлителем был ацетат свинца с плотностью протонов.
Рис. 16.3.1. Установка, использованная Энгельманном для измерения
плотности замедления до энергии индиевого резонанса в ацетате
свинца:
1 — свинец; 2 — антикатод бетатрона; з — кристалл, умножитель и индиевая
фольга; 4 — замедлитель; 5 — нейтронная защита.
1,01-1022 протон/см3. Такая плотность протонов (в 7 раз меньше, чем в воде),
была выбрана для того, чтобы длина свободного пробега и, следовательно,
масштаб времени процесса замедления были больше. Поэтому время замед-
ления было больше по сравнению с длительностью импульса первичных ней-
тронов. В качестве источника нейтронов использовался бетатрон с энергией
электронов 31 Мэв-, длительность импульсов равнялась 2 мксек, а энергия
364
нейтронов, получающихся в (у, тг)-реакции на свинце — 2 Мэв. Нейтроны
регистрировались по у-лучам индиевой фольги, которая покрывалась со
всех сторон слоем бора толщиной 0,15 г!см2 для исключения захвата тепловых
нейтронов. Эта индиевая фольга вместе с кристаллом органического сцинтил-
лятора, детектирующего за-
хватное у-излучение, поме-
щалась в объем замедлителя.
Кристалл чувствителен так-
же к у-лучам, возникающим
при захвате тепловых ней-
тронов протонами, и к тор-
мозному излучению бета-
трона. Поэтому имеется силь-
ный фон и измерения должны
проводиться методом индие-
вой разности, т. е. как в при-
сутствии индиевой фольги,
так и без нее. На рис. 16.3.2
приведена зависимость ско-
Рис. 16.3.2. Распределение скорости захвата ней-
тронов при энергии 1,46 эв как функция времени.
рости захвата в индиевом ре-
зонансе, полученная таким методом. Учитывалась поправка на утечку
нейтронов в процессе замедления, в связи с чем результаты этих изме-
рений можно сравнить с распределениями в бесконечной среде (см. п. 9.1).
Рис. 16.3.3. Полное сечение смеси
кадмия и гадолиния при соотноше-
нии концентраций 1 : 365.
Кривая рассчитана с помощью соотноше-
ния (9.1.16) для свободных протонов и
соответствует указанной плотности про-
тонов. Это распределение в пределах
экспериментальной погрешности совпада-
ет с измеренными значениями, на осно-
вании чего можно заключить, что эффек-
ты связи не играют по существу никакой
роли при замедлении выше энергии
1,46 эв*. Этот результат не является
неожиданным, если принять во внима-
ние большое количество различных сте-
пеней свободы протона выше 1,46 эв, ко-
торым нейтрон может передать энергию.
Мёллер и Сёстранд (Moller, Sjostrand,
1962) изучали временную зависимость
процесса замедления в воде до гранич-
ной энергии кадмия. Они инжектировали
короткие импульсы нейтронов, получае-
мых с помощью генератора Ван де Гра-
афа, в центр бака с водой (объем 1 м3) и
изучали зависимость от времени интен-
сивности захватного у-излучения, гене-
рируемого в небольшом объеме водного
раствора сульфата кадмия или нитрата гадолиния. Энергетическая зави-
симость сечений захвата кадмия и гадолиния такова, что смесь этих
поглотителей с соответствующим образом подобранными концентрациями
имеет ход сечения, подобный приведенному на рис. 16.3.3 (оно равно
нулю выше энергии 0,2 эв и следует закону 1/р ниже 0,2 эв). Поэтому,
суммируя надлежащим образом скорости реакций, измеряемые с использо-
ванием кадмиевого и гадолиниевого растворов, можно получить величину,
* Мы выражаем благодарность д-ру Энгельманну, который указал нам на ошибку
в его оригинальной работе, где он на основе неправильно вычисленного распределения
сделал вывод о сильном влиянии связи.
365
пропорциональную плотности нейтронов ниже энергии 0,2 эв. Эта величина
достигает постоянного значения по истечении достаточно большого проме-
жутка времени (если не считать незначительного уменьшения плотности
нейтронов во времени вследствие поглощения). Деля соответствующие
экспериментальные результаты на это постоянное значение, можно полу-
чить долю плотности нейтронов / (t) с энергией ниже 0,2 эв в момент
времени t. На рис. 16.3.4 по-
казана функция f (t), изме-
ренная таким образом Мёл-
лером и Сёстрандом, которые
определяли время замедле-
ния до граничной энергии
кадмия с помощью соотно-
шения
(16.3.1)
о
Л. А, л f £ .
b***<*Y" tor*
* •
•
• • •
• 1
0 5 10 15 20 t, мксек
Используя зависимость f (t),
приведенную на рис. 16.3.4,
с некоторыми небольшими
Рис. 16.3.4. Относительная доля плотности нейтро- поправками, которые мы не
нов с энергией ниже 0,2 эв как функция времени будем обсуждать здесь, мож-
после импульса нейтронов. н0 П0ЛуЧИТЬ значение ts =
— 2,5 ± 0,5 мксек. Получен-
ную величину ts нельзя сопоставить с теоретическим значением, вычислен-
ным с помощью равенства (9.1.76), так как последнее определяет время
замедления до строго определенной энергии, в то время как мы хотим полу-
чить среднее время пребывания нейтрона выше некоторой энергии. Очевидно,
и соотношение
оо
V Ф(,, 0 —
1-/(0=^---------------- (16.3.2)
V ф (p, t) —
е) f
0
справедливо для доли плотности нейтронов выше граничной энергии кадмия.
Если подставить в это соотношение выражение (9.1.6) для потока Ф (к, t)
в водороде, то можно получить 1 — / (t) = (1 + e-2,;CDz. Тогда
соотношение (16.3.1) дает следующее выражение для времени ts:
(16.3.3)
vCD^s
Подставив значение скорости vcD, соответствующее энергии Ecd = 0,2 эв,
и величину сечения рассеяния, соответствующую плотности протонов в воде,
получим ts = 2,42 мксек. Экспериментальное и расчетное значения, таким
образом, совпадают в пределах экспериментальной погрешности, в связи
с чем можно сделать вывод, что химическая связь не влияет на длительность
времени замедления до энергии 0,2 эв в воде.
Де Жюрен (De Juren, 1961), а позднее Гроссхог (Grosshog, 1963) пока-
зали, что среднее время, в течение которого нейтрон находится выше гра-
ничной энергии кадмия, может быть получено на основании результатов
простых стационарных измерений. В бесконечной среде, содержащей гомо-
генно распределенные источники мощности S (см~~3 • сек"1) и 1/^-поглотитель,
полная плотность нейтронов п (см~3') равна 5Z0, где Zo = (l/z?)-Sa (z?) —
среднее время жизни нейтрона до захвата. Скорость счета 1/к-поглотителя,
например борного счетчика, равна Z ~ п = 5Z0. Если, далее измерить ско-
рость счета ZCD 1/^-детектора, защищенного кадмием, можно получить
366
плотность нейтронов nepi выше границы поглощения кадмия. Тогда nepi =
= Sts, и поэтому
Следовательно, если известно сечение поглощения среды, можно вычислить
время ts, измеряя кадмиевое отношение. Величины Z и ZCD, характеризую-
щие бесконечную среду с гомогенно распределенными источниками, можно
получить путем интегрирования по всему пространству функций Z (г)
и ZCD (г), определяемых вблизи точечного источника в протяженной среде.
Используя этот метод, де Жюрен] получил для воды значение ts = 1,54 ±
± 0,13 мксек. Этот результат впоследствии был подтвержден Гроссхогом,
согласно измерениям которого ts = 1,65 ± 0,10 мксек. Может показаться,
что эти значения находятся в противоречии с результатами Мёллера
и Сёстранда. Однако в их эксперименте граничная энергия кадмия равнялась
0,2 эв (см. рис. 16.3.3), в то время как она обычно гораздо больше для детек-
торов с толстым кадмиевым покрытием (см. п. 12.2.2). В экспериментах
де Жюрена и Гроссхога Ecd ~ 0,5 эв; для этой энергии соотношение
(16.3.3) дает значение ts — 1,58 мксек, что находится в хорошем согласии
с экспериментальными результатами.
Таким образом, имеются четыре независимых экспериментальных
результата, показывающих, что химическая связь мало влияет на временной
характер замедления в воде выше резонансной энергии кадмия, и поэтому
подтверждающих простое теоретическое рассмотрение, проведенное в п. 9.1.
Наоборот, результаты эксперимента Крауча (Crouch, 1957) говорят о силь-
ном влиянии химических связей на величину времени замедления до гра-
ничной энергии кадмия (ts 5 мксек). Причина такого расхождения не
выяснена.
16.3.2. Замедление в тяжелых замедлителях;
спектрометр по времени замедления
Бергман и др. (Bergman et al., 1955) изучали зависимость процесса
замедления нейтронов от времени в свинце в широкой области энергий. Они
инжектировали импульсы нейтронов длительностью 1 мксек с энергией
14 Мэв [реакция H3(d, тг)Не4] в свинцовый куб (2 X 2 х 2 м, вес свинца 90 тп)
и измеряли скорость захвата в различных резонансных поглотителях в зави-
симости от времени. Скорость поглощения определялась по захватному
у-излучению, которое регистрировалось пропорциональным счетчиком. На
рис. 16.3.5 приведена скорость счета в зависимости от времени, полученная
с помощью серебряной фольги. Наблюдается ряд максимумов, совпадающих
с резонансами серебра. Поскольку энергии резонансов хорошо известны
из экспериментов с прерывателем, на основании таких измерений можно
получить соотношение между временем замедления и энергией нейтрона.
На рис. 16.3.6 приводится такое соотношение и нанесены эксперименталь-
ные значения для меди, марганца и цинка. Гладкая кривая соответствует
теоретическому соотношению *
— 4 83
Е [кэв] = -р-([£] = мксек), (16.3.5)
которое получено из равенства (9.1.19а) при А = 207 и Ss = 0,346 см~1.
Особенность процесса замедления в тяжелых замедлителях состоит
в том, что в каждый момент времени средняя энергия определена весьма
* Более точное соотношение имеет вид Е [кэв]
= (f + 0,3)2 (* = [•“])•
367
точно. Согласно соотношению (9.1.19), для свинца кЕ21Е = ]/~8/ЗА =
= 11,4%. На практике, однако, следует учитывать два других эффекта,
которые уширяют распределение по энергии. Нейтроны, энергии кото-
рых превышают 0,57 Мэв, могут неупруго рассеяться в свинце и поэтому
потерять большую часть своей энергии. Вследствие неупругого рассеяния
энергетическое распределение быстрых нейтронов значительно уширяется
за первые несколько столкновений. Однако начальное уширение по мере
замедления уменьшается, поскольку более медленные нейтроны испытывают
меньшее количество столкновений в
единицу времени, чем быстрые. Соглас-
но Бергману и др. (Bergman et al.,
1955), точность определения энергии
при энергии 10 кэв еще составляет при-
мерно 35% и уменьшается до 11,4%
вблизи 1 кэв. При очень малых энер-
Рис. 16.3.5. Скорость захвата в се-
ребре как функция времени, измерен-
ная с помощью спектрометра по вре-
мени пролета:
О — захват в серебре; ф — фон.
Рис. 16.3.6, Время замедления как функ-
ция if]/ Е для спектрометра по времени
пролета.
гиях начинает сказываться тепловое движение атомов свинца, что приводит
к дополнительному уширению энергетического распределения. Тем не менее
во многих случаях разрешение такого «спектрометра по времени замедления»
вполне удовлетворительное для определения сечений реакций в зависимо-
сти от энергий. Исследуемое вещество обычно вводят в блок свинца и
измеряют скорость захвата нейтронов в зависимости от времени. Изменение
сечения в зависимости от энергии можно определить непосредственно, если
измерить поток с помощью ВР3-счетчика. Для абсолютного определения
сечения необходимы дополнительные нормировочные измерения. Получен-
ные таким образом величины представляют сечения, усредненные (вслед-
ствие ограниченной разрешающей способности) по энергетической области,
относительная ширина которой 12—30%. Для многих ядер такая разре-
шающая способность достаточна для разделения индивидуальных резонан-
сов; резонансные параметры можно определить на основании методов,
подобных описанным в п. 4.1.3. Сечения захвата некоторых ядер и их
резонансные параметры в области энергий от 10 эв до 10 кэв были опреде-
лены с использованием такого спектрометра по времени замедления Берг-
маном и др. (Bergman et al., 1955), Кашукеевым, Поповым и Шапиро.
(1961), а также Митцелем и Пленделем (Mitzel, Plendl, 1964).
368
ЛИТЕРАТУРА
Общая
A m а 1 d i Е. Loc. cit.
Goldstein H., Sullivan J. G., Jr., Coveyou R. R., Kinney W. E.,
Bate R. R. ORNL-2639 (1961).
McArthey A. E., Persiani P. J., Spinrad В. I., Templin L. J. Argon-
ne Reactor Physics Constants Center Newsletter, 1 (1961).
Persiani P. J.,Kaganove J. J., McArthey A. E. Argonne Reactor Physics
Constants Center Newsletter, 10 (1963).
Templin L. J. (ed.) Reactor Physics Constants. ANL-5800, Second Edition (1963),
Специальная
Измерение возраста нейтронов в ограниченной геометрии
Rose М. Е., Weinberg А. М. Моп-Р 297.
Weinberg А. М., Noderer L. С. AECD-3471, 111-54 (1951).
Измерение возраста нейтронов деления в Н2О
Anderson Н. L., Fermi Е., Nagle D. СР-1531 (1944).
Blosser Т. V., Т г u b е у D. К. ORNL-2842, 109 (1959).
Doerner R. С. et al. Nucl. Sci. Eng., 9, 221 (1961).
Hill J. E., R о b e r t s L. D., F i t c h T. E. ORNL-181 (1948); J. Appl. Phys., 26,
1013 (1955).
Hoover J. I., A r n e t t e T. I. ORNL-641 (1950).
Lombard D. B., Blanchard С. H. Nucl. Sci. Eng., 7, 448 (1960).
Pettus W. G. BAW-146 (1960).
Вычисление возраста нейтронов деления в Н2О
Goldstein Н., Z w е i f е 1 Р. F., F о s t е г D. G. Geneva, 1958, Р/2375, Vol. 16»
р. 379.
Wilkins J. Е., Н е 11 е n s R. L., Z w е i f е 1 Р. F. Geneva, 1955, Р/597, vol. 5,
р. 62.
Измерение возраста нейтронов от различных источников в Н2О
Barkov L. М., Makarin V. К., Mukhin К. N. J. Nucl. Energy, 4, 94 (1957).
(См. на русском языке: Барков Л. М., Макарьин В. К., Мухин К. Н.
«Атомная энергия» № 3, 33 (1956).]
С as well R. S. et al. Nucl. Sci. Eng., 2, 143 (1957).
D u g g a 1 V. P., P u r i S. M., Ram K. S. Geneva, 1958, P/1640, vol. 13, p. 85.
Foster D. G. Nucl. Sci. Eng., 8, 148 (1960).
H e u s c h C. A., Springer T. Nucl. Sci. Eng., 10, 151 (1961).
Munn A. M., Pontecorvo B. Can. J. Res., A25, 157, (1947).
R e i e r M., Obenshain F., H ell ens R. L. Nucl. Sci. Eng., 4, 1 (1958).
Spiegel V., Oliver D. W., Caswell R. S. Nucl. Sci. Eng., 4, 546 (1958).
Springer T. Nukleonik, 1, 41 (1958).
Valente F. A., Sullivan R. E. Nucl. Sci. Eng., 6, 162 (1959).
Возраст нейтронов от различных источников в D2O
Levine М. М. et al. Nucl. Sci. Eng., 7, 14 (1960).
Spiegel V., Richardson A. С. B. Nucl. Sci. Eng., 10, 11 (1961).
Wade J. DP-163 (1956).
Возраст нейтронов от различных источников в графите
Davey W. G. et al. AERE R/R 2501 (1958).
Duggal V. P., Martelly J. Geneva, 1955, P/358, vol. 5, p. 28.
Fermi E. (G. Beckerley, ed.) AECD-2664 (1951).
H e n d r i e J. M. et al. Geneva, 1958, P/601, vol. 12, p. 695.
Hill J. E., Roberts L. D., McCammon G. ORNL-187 (1949).
S t e i c h e n C. U. TID-15614 (1960).
Измерение возраста нейтронов в различных замедлителях
Campbell R. W., Paschall R. К. Trans. Am. Nucl. Soc., 4/2, 280 (1961).
G e r a s e v a L. A. et al. Geneva, 1955, P/662, vol. 5, p. 13.
24 Нейтронная физика 369
G о о d j о h n A. J., Young J. C. Trans. Am. Nucl. Soc., 3/2, 488 (1960).
Lundy T. S., Gr oss E. E. ORNL-2891 (1960).
Nobles R., Wallace J. ANL-4076, 10 (1947).
Поток нейтронов на больших расстояниях от источника
Goldstein Н. Fundamental Aspects of Reactor Schielding. Addison-Wesley Publi-
shing Company, 1959.
Holte G. Arkiv Fysik, 2, 523 (1950); 3, 209 (1951).
Verde M., Wick G. C. Phys. Rev., 71, 852 (1947).
Wick G. C. Phys. Rev., 75, 738 (1949).
Измерение длины релаксации быстрых нейтронов
Baer W. J. Appl. Phys., 26, 1235 (1955).
Caswell R. S. et al. loc. cit.
Foster D. G. HW-64866 (1960).
Rush J. H. Phys. Rev., 73, 271 (1948).
Wade J. W. loc. cit.
Зависимость процесса замедления в воде от времени
Crouch М. F. Nucl. Sci. Eng., 2, 631 (1957).
De J u r e n J. A. Nucl. Sci. Eng., 9, 408 (1961).
Engelmann P. Nukleonik, 1, 125 (1958).
Grosshog G. Chalmers Tekniska Hogskola, Goteborg, Report CTH-RF-4 (1963).
Moller E., S j 6 s tr an d N. G. BNL-719, 966 (1962) *; AB Atomenergi Report RF X
248 (1963).
Спектрометр по времени замедления
Bergman A. A. et al. Geneva, 1955, P/642, vol. 4, p. 135.
Kashukeev N. T., Popov Yu. P., S h a p i г о F. L. J. Nucl. Energy, A14, 76 (1961),
Mitzel F., Plendl H. S. Unpublished Karlsruhe Report, 1964.
Глава 17
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИИ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
СТАЦИОНАРНЫМИ МЕТОДАМИ
В данной главе мы познакомимся со стационарными методами определе-
ния параметров диффузии тепловых нейтронов. В первую очередь в п. 17.1
мы опишем классические методы определения диффузионной длины. В п. 17.2
рассмотрим так называемый метод отравления, с помощью которого можно
определить диффузионную и транспортную длины свободного пробега.
Если известно абсолютное значение сечения поглощения одного вещества,
то в относительных измерениях можно определить сечения поглощения дру-
гих веществ. Некоторые методы таких измерений обсуждаются в п. 17.3.
17.1. ИЗМЕРЕНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ ДЛИНЫ
17.1.1. Точечный источник в бесконечной среде
Все методы прямого определения диффузионной длины основаны на
измерении пространственной зависимости потока тепловых нейтронов в среде
без источников. Линейные размеры среды должны быть велики — порядка
по крайней мере нескольких длин диффузии.
Наиболее простая ситуация имеет место в том случае, когда размеры
среды настолько велики, что практически все излучаемые нейтроны погло-
щаются. Эффективный диаметр такой «бесконечной» среды должен составлять
около 30 длин диффузии. Для воды этот диаметр равен примерно 80 еж,
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.г
Атомиздат, 1964.
370
для графита — 15 м (соответствующий куб графита весит в этом случае
около 5000 ml). Следовательно, практически бесконечную среду можно реа-
лизовать только для воды и некоторых водородсодержащих замедлителей
с небольшой длиной диффузии.
При использовании точечного источника тепловых нейтронов доста-
точно измерить пространственную зависимость потока вдоль радиуса с помо-
щью фольг.
В этом случае (см. п. 6.1.3)
= (6.1.13)
4 7 4л/) г v '
и величину L можно получить с помощью графика функции In [r-Ф (r)J
в зависимости от г. Однако большинство источников излучает быстрые ней-
троны, и поэтому только что рассмо-
тренный случай не может быть реали-
зован непосредственно. Тем не менее
можно создать отрицательный источник
тепловых нейтронов, используя метод
кадмиевой разности. Измерения пото-
ков нейтронов вблизи источника про-
изводятся дважды: один раз в присут-
ствии поглощающего слоя, окружаю-
щего источник, и один раз — без него;
желательно в качестве поглотителя
использовать кадмий, сильно погло-
щающий тепловые нейтроны. Разность
измеренных потоков в этих двух слу-
чаях обусловлена тепловыми нейтрона-
ми, поглощенными в слое, и должна
удовлетворять приведенной выше фор-
муле. Таким методом Бекурц и Клю-
бер (Beckurts, Kluber, 1958) измерили
длину диффузии тепловых нейтронов
в воде. Точность получаемых таким
способом результатов невелика, по-
скольку оценивается разность двух
больших величин.
Более точные результаты могут
быть получены при измерении распре-
деления потока вблизи Sb — Ве-источ-
ника. Поскольку энергия нейтронов
Рис. 17.1.1. Поток тепловых нейтронов
как функция расстояния от Sb — Ве-
источника.
источника мала (Е 25 кэв), они становятся тепловыми на относительно
малых расстояниях от источника и пространственное распределение потока
слабо отклоняется от зависимости (6.1.13), в которую нетрудно внести соот-
ветствующие поправки на основании теоретических соображений. Таким
образом, исключается необходимость измерений методом кадмиевой раз-
ности. На рис. 17.1.1 приведена пространственная зависимость потока
тепловых нейтронов, полученная Рейером и де Жюреном (Beier, de Jurenr
1961) для воды при 23° С в интервале от 10 до 24 см при использовании
Sb — Ве-источника. Построенный график представляет функцию
In [r-Ath (г)] в зависимости от расстояния г, где A th (f) — активность
индиевых фольг после исключения активации эпитепловыми нейтронами
(см. п. 12.2). При г < 20 см спад функции r-Ath(r) не является строго
экспоненциальным: в этой области нейтроны источника все еще играют суще-
ственную роль. Поэтому необходимо либо вводить расчетные поправки, либо
определять диффузионную длину на основании анализа пространственной
зависимости потока в области г > 20 см. Последнее вряд ли осуществимог
так как из-за недостаточной интенсивности весьма трудно произвести точныо
24* 371
измерения потока для г > 20 см. Согласно де Жюрену, необходимые
поправки могут быть вычислены следующим образом. Слагаемое источника
в диффузионном уравнении
D?2Ф (г) - 2«Ф (г) - qth (г) - 0
(17.1.1)
для расстояний от Sb — Ве-источника в воде, превышающих 12 см, задается
эмпирическим выражением
/ ч Ке~^г
4th (г) = —,
где 1/S = 1,58 ± 0,02 см. Решение уравнения (17.1.1) с таким слагаемым
источника определяется функцией
ф(г) = ^-^{С-2?1[(2-±) г] +^LEi [(2 + ^-) г] } ,(17.1.2)
где С — некоторая константа*. Поправочный коэффициент F (г)
непосредственно из соотношения (17.1.2)
F (г) =------------------------------------------
C-F-' L (г~4)r J +е2'"'г* L (2Ч4)
получается
(17.1.3)
Тогда Ф (г) F (г) ~ £~rlL]r,
на F (г), можно исключить
Рис. 17.1.2. Поправочный ко-
эффициент F (г) для Н2О при
Т = 23° С, учитывающий влия-
ние нейтронов Sb — Ве-источ-
ника.
так что, умножая измеренные значения Ath (г)
влияние нейтронов источника. Чтобы вычислить
функцию F(г), следует экспериментально опре-
делить постоянную С. Очевидно,
<lth (г) 2D I L V £ / J 1
+ e2^JE1[(s + ±)r]} . (17.1.4)
Для фиксированного значения г отношение
Ф/^h можно определить, например, методом
кадмиевого отношения (см. п. 12.2.3) и, если
известны величины S, D и L, константу С
можно вычислить с помощью соотношения
(17.1.4). Но, поскольку параметры L и D не-
известны заранее, необходимо проводить вы-
числения методом последовательных прибли-
жений, оценивая сначала величины L и D
и определяя с их помощью первое приближе-
ние для С и F (г). После этого следует внести
поправку в измеренные результаты, определить
новое значение L и т. д. Рейером и де Жюреном
было получено значение С == 0,0606 для воды
при 23° С и построена функция# (г), показан-
ная на рис. 17.1.2. После внесения соответ-
ствующих поправок в результаты измерений
получено значение L = 2,776 ± 0,009 см. В п. 17.1.4 будут изложены
результаты некоторых других экспериментов для воды и водородсодержащих
замедлителей, в том числе при высоких температурах.
17.1.2. Ограниченные среды; призма
Изложенный метод измерения диффузионной длины практически непрш
меним, если длина диффузии нейтронов в замедлителе велика. В случае
таких замедлителей, как тяжелая вода, графит и бериллий, исследуемая
* Для вычисления постоянной С необходимо знать распределение qth (г) для всех
значений г вплоть до г = 0.
372
сборка имеет конечные размеры, сравнимые с диффузионной длиной,
и поэтому следует учитывать утечку нейтронов через поверхность. Стандарт-
ное устройство для измерения диффузионных длин в таких замедлителях
называют призмой. Призма представляет собой колонну из исследуемого
вещества с цилиндрическим или квадратным сечением; через торец этой
призмы вводятся нейтроны. Диффузионная длина вычисляется на основе
анализа распределения потока нейтронов в колонне. Измерение диффузион-
ной длины нейтронов в графите с помощью тепловой колонны было проведено
Хервордом и др. (Hereward et al., 1947), Карбломом (Carblom, 1952), а также
Хендри и др. (Hendrie et al., 1959); для бериллия длина диффузии была изме-
рена Герасевой и др. (Geraseva et al., 1955), а также Юзом и др. Измерения
1 2
Рис. 17.1.3. Призма для измерения диффузионной длины
в графите:
1 — приспособления для установки фольг при измерении осевых
и продольных распределений потока; 2 — подвижная кадмиевая пла-
стина; 3 — источник нейтронов.
для окиси бериллия проводились Кохлином и др. (Koechlin et al., 1955);
длина диффузии нейтронов в тяжелой воде была измерена Сарджентом и др.
(Sargent et al., 1947), а также Мейером и Лутцом (Lutz, Meier, 1962). В подоб-
ных же геометрических условиях был проведен ряд исследований для воды
и других водородсодержащих замедлителей.
На рис. 17.1.3 показана типичная аппаратура для измерений в графите. Попереч-
ные размеры а и Ь (в данном случае а = Ь) должны быть не менее двух или трех, еще
лучше четырех диффузионных длин. То же самое условие должно выполняться и для
длины призмы с. В качестве источников нейтронов используют либо радиоактивный
источник, либо ускоритель, мишень которого располагают на центральной оси призмы
вблизи ее торца. Эти источники излучают быстрые нейтроны, что приводит, естественно,
к усложнениям при оценке измеряемого распределения потока, и поэтому необходимо
применять метод кадмиевой разности *. Для этой цели можно использовать кадмиевую
пластину, которая полностью перекрывает все сечение призмы и которую легко уста-
новить или снять. Можно исключить также трудности, связанные с быстрыми нейтро-
нами, используя в качестве источника тепловую колонну реактора. Боковые поверхно-
сти и верхний торец призмы должны быть тщательно защищены кадмием (или другим
поглотителем нейтронов), чтобы гарантировать строгое выполнение граничных условий
для тепловых нейтронов. При использовании источника быстрых нейтронов нейтроны
с энергией выше граничной энергии кадмия могут беспрепятственно выйти из призмы,
рассеяться от стен помещения или других отражателей и снова войти в призму; это при-
ведет к искажению распределения потока вблизи поверхностей. Необходимо поэтому
исключить присутствие каких-либо сильных рассеивателей вблизи призмы. Распред е-
* Источником возмущений могут быть также фотонейтроны, образующиеся
в результате реакций Be9 (у, п) и D2O (у, п), обусловленных у-квантами высоких энер-
гий. Последние испускаются источником нейтронов. Этот эффект также может быть
исключен методом кадмиевой разности.
373
ление потока измеряется фольгами вдоль центральной оси призмы, а также вдоль сред-
них линий некоторых сечений на различных расстояниях от источника. Необходимо
предусмотреть приспособления для установки фольг в строго фиксированных положе-
ниях. Так как диффузионные параметры и распределение нейтронов зависят от темпе-
ратуры замедлителя, следует поддерживать по возможности постоянной температуру
помещений с точностью ±2° С. В процессе измерений при высоких температурах необ-
ходимо обогревающее оборудование.
Распределение потока тепловых нейтронов может быть представлено
в виде (см. п. 6.2.4) (в предположении, что все нейтроны тепловые)
Ф (х, у, z) = ^\ Л/nsh (т^-) sin (4F) sin • (17.1.5)
I, т
Здесь Aim постоянные, зависящие от мощности источника; они не суще-
ственны для рассматриваемой задачи. Длина релаксации Lim определяется
соотношением
4-
л2
(-
( а2
(17.1.6)
1
1
£2
т2 \
'b2 /
где а, Ъ и с — эффективные размеры призмы (истинные размеры, увеличен-
ные на соответствующие удвоенные значения длины экстраполяции). Доста-
Рис. 17.1.4. Продольное распределение потока теп-
ловых нейтронов в одном из сечений призмы:
О — эксперимент; -------— расчет в соответствии с за-
коном Ф (х) — sin (лх/а).
точно далеко от источника
вклад высоких гармоник
разложения Фурье мал, и по-
этому вдоль центральной оси
призмы (х = а/2, у = Ы2)
выполняется соотношение
Ф(х, у, Z)~sh(^) .
(17.1.7)
Измеряя спад потока вдоль
центральной оси z в этой
области, можно определить
величину Ln на основании
соотношения (17.1.7), а затем
с помощью равенства (17.1.6)
вычислить длину диффузии L.
Практически процедура вы-
числения величины L со-
стоит в следующем. В пер-
вую очередь следует устано-
вить, на каком расстоянии от источника можно пренебречь высшими
фурье-компонентами. Для этой цели проводят обычно измерения потока
вдоль средних линий в различных сечениях призмы. На рис. 17.1.4 при-
ведены результаты одного из таких измерений в призме, изображенной на
рис. 17.1.3. Измеренное распределение весьма хорошо описывается синусои-
дальной функцией, из чего можно заключить, что любые высшие фурье-
компоненты отсутствуют.
Кроме того, продольные измерения дают информацию о местоположении
экстраполированной граничной точки. Если доказано, что простая синусои-
дальная функция sin (nxla) достаточно полно описывает распределение
потока, величину а можно определить в результате обработки эксперимен-
тальных данных методом наименьших квадратов. Тогда местоположение
экстраполированной граничной точки можно найти из соотношения а =
= а0 4- 2d, где а0 — истинная длина стороны. Оказывается, что равенство
d = 0,71Xir не всегда выполняется точно; возможные причины отклонений
обсуждались в п. 10.4.3. В табл. 17.1.1 приведены определенные непосред-
ственно значения d для некоторых замедлителей. Так как величина а обычно
намного больше d, отклонение от простого соотношения d = 0,71Zfr не
374
Таблица 17.1.1
Экспериментальные значения экстраполированной граничной точки
Вещество d, см Автор d/0,71, cm Ktr 6’ CM
Графит (1,6 г/см3) 1,97+0,05 Hendrie et al. 2,77 2,6
D2O (99,4%) а 1,64+0,06 Auger, Munn, Ponte- corvo 2,31 2,5
Н2о 0,32 Sisk 0,45 0,432
а В новой оценке этого эксперимента получено значение d= 1,81 см; d/0,71 = 2,55 см.
& Значения получены в экспериментах по отравлению и в экспериментах с пульсирую-
щим источником нейтронов.
приводит к каким-либо трудностям при вычислении диффузионной длины
с помощью равенства (17.1.5). Другими словами, величину а можно опреде-
лять с помощью соотношения
= g,q -р 2 • 0,71%£Г.
По окончании этих измере-
ний, в результате которых
выделяется область, где по
существу отсутствуют высшие
фурье-компоненты, измеряют
спад потока нейтронов вдоль
центральной оси z (рис. 17.1.5).
За исключением области, близ-
кой к z = с, поток уменьшается
экспоненциально, и обычно при-
нято вводить так называемую
поправку на граничную точку,
чтобы исключить влияние этой
поверхности, которая приводит
к отклонению от простой экспо-
ненциальной зависимости. За-
метим, что соотношение (17.1.7)
можно записать в виде
-2—
ф (2) = e-z/L11 (1 — е L11).
(17.1.8)
Если разделить измеренные
значения потока на величину
—2
1 — е L11 (которую оценивают
сначала с использованием не-
которого приближенного зна-
чения величины Ли, а затем
исправляют в процессе после-
довательных приближений), то
Рис. 17.1.5. Осевое распределение потока теп-
ловых нейтронов в призме (измерения методом
кадмиевой разности) с учетом поправки на
длину экстраполяции (7) и без этой поправки (2).
полученная зависимость должна следовать простому экспоненциальному
закону. Построив соответствующий график в полулогарифмическом
масштабе, получим прямую линию, наклон которой определяет величину
{см. рис. 17.1.5, кривая 7). Естественно, что вся описанная процедура может
быть запрограммирована для расчета на вычислительной машине.
Полезно оценить количество вещества, необходимое для точного изме-
рения диффузионной длины методом призмы. Согласно соотношению (17.1.6),
375
имеем
Л = Ли(1-^1)-1/\ (17.1.9)
где
(У+^)-
Если предположить, что ошибка при определении величины |32 пренебрежимо
мала, то относительная погрешность А£/£ дается соотношением
= (!+Р2£2). (17.1.10)
Если размеры поперечного сечения малы, то ошибка в величине Ln очень
сильно влияет на значение L; например, когда а = b = Z, то 1 + [32£2^ 20.
Поэтому, как упоминалось выше, размеры поперечного сечения должны
превышать значение диффузионной длины по крайней мере в два-три, а еще
лучше в четыре раза. Длина же призмы определяется необходимостью суще-
ствования области с размерами не менее четырех длин релаксации, в которой
ослабление потока вдоль оси строго подчиняется экспоненциальному закону.
Как правило, выполнение этих условий достигается в том случае, если длина
призмы примерно в полтора раза превышает ее поперечные размеры.
В заключение отметим, что все эти рассуждения справедливы только
тогда, когда поток обусловлен источником тепловых нейтронов, находя-
щимся вне области измерений. Поэтому в качестве источника следует исполь-
зовать тепловую колонну; в противном же случае необходимо исключить
влияние источников, расположенных внутри области измерений, с помощью
метода кадмиевой разности. Для сред, в которых справедлива возрастная
теория (графит, бериллий, окись бериллия), можно теоретически учесть
эффект, связанный с этими источниками (Hereward et al., 1947).
17.1.3. Определение диффузионной длины на основании измерения
распределения потока в среде,
окруженной поверхностными источниками
Гейзенбергом был предложен метод измерения диффузионной длины,
требующий меньшее количество вещества, чем измерения с помощью призмы.
Рис. 17.1.6. Сборка, пред-
назначенная для измерения
диффузионной длины, с ис-
точниками, расположенными
на поверхности куба:
1 — канал для образцов; 2 —
канал для источника; з — па-
рафин; 4 — кадмий (подвиж-
ный); 5— исследуемое вещество.
Исследуемое вещество располагают внутри сфе-
ры, окруженной парафином или водой в качест-
ве отражателя. В центре сферы помещают источ-
ник быстрых нейтронов, например Ra — Ве-
источник. Сначала измеряют распределение по-
тока Ф' (г) вдоль радиуса; затем сферу окружают
слоем кадмия, оставляя без изменения отража-
тель, и снова измеряют поток Ф" (г). Тогда раз-
ность Ф (г) = Ф' (г) — Ф" (г) представляет собой
поток, обусловленный поверхностными источни-
ками тепловых нейтронов. Внутри сферы поток
Ф (г) есть сферически симметричное решение
уравнения элементарной диффузионной теории,
т. е.
0>(r)=-^sin£. (17.1.11)
Существует условие практической применимости
этого метода, состоящее в том, что радиус сферы
должен быть достаточно велик, так чтобы поток
Ф (г) существенно менялся в интервале между
центром сферы и ее поверхностью. Этот метод использовался в 1940 г. для
определения длины диффузии нейтронов в тяжелой воде (Heisenberg, Dopel),
бериллии и графите (Bothe, 1944). Недостатком этого метода является
необходимость применения сферической геометрии, что в случае графита,
например, требует сложной механической обработки отдельных графитовых
блоков. Поэтому полезно обобщить рассмотренный метод на случай куба.
Источники на поверхности куба. Изучаемое вещество имеет форму
куба, окруженного парафином или водой в качестве отражателя (рис. 17.1.6).
В центр куба помещают Ra — Be-источник. Распределение потока измеряется
дважды, как с кадмиевым покрытием куба, так и без него. Разность изме-
ренных величин связана с эффектом поверхностных источников.
Диффузионное уравнение внутри куба следует решать приближенно.
Симметрия системы относительно центра подсказывает, что решение должно
содержать только четные функции координат (начало координат совпадает
с центром куба)
Ф {х, у, z) = Ф050 ^2^2 “4 Фд^4 Т ®22^22 Фб^б ‘Ь Ф42^42
^222^222 4" Ф8^8 Фб2^62 + ^44^44 ^422^422- (17.1.12)
(Можно показать, что нет необходимости учитывать слагаемые более высо-
кого порядка.)
Здесь 5— простые симметричные многочлены вида:
50 = Г, S2--=x2 + y2^rz2} = + -И4;'
S6 = ^6-|- у6 Ч-26; S8 = x8 -'f- у8 z8;
522 = x2y2 + y2z2 -j- z2x2;
S42 = x^y2 + .zAs2 y^z2 + y^x2 + zA?2 + 24y2;
0 2 2 2 f (17.1.13)
^222 = ^У^1
Sq2 = %6У2 + x&z2 + y6x2 -j-- y6z2 -j- zQx2 + z6y2;
544 = %4y4 + x4z4 + y4z4;
5422 = X^y2Z2 + y*x2z2 4- z±x2y2.
Коэффициенты Ф — некоторые константы (пока что произвольные). Это общее
решение должно удовлетворять диффузионному уравнению. Применение
оператора Лапласа к различным 5-функциям приводит к следующим соот-
ношениям:
V25o-O;
V252-6;
V2S4 = 1252; V2522 = 4S2;
V2Se = 30S4; V2542 = 24522 + 454; V25222 = 2522; (17.1.14)
?258 = 5656; V2562 = 30542 + 456;
Г2544 = 12542; V25422 = 365222 + 2542.
Подстановка решения вида (17.1.12) в диффузионное уравнение ?2Ф —
— Ф/А2 ^ О с использованием соотношений (17.1.14) дает ряд связей между
коэффициентами Ф^; поэтому вместо равенства (17.1.12) можно получить
несколько упрощенное выражение
ф = ф2.Л(^, у, 2, Л)д-Ф4.2? (гс, у, z, £) +
+ Ф6-С (х, у, z, Л) + Ф8-Т) (х, у, z, L).
Здесь
(17.1.15)
А (х, у,г,Ь) = б-{-
+ Z2-{52 + 4 [522 + 4 [5222 + 4p(5422_ir)] ]} ;
В(х, у, Z, £) = 54-2522 + 4{4-4,55222 + А-2[-5422+4]} ;) (17.1.16)
С (ж, у, z, L) — Se 7,5542 4- Sg^ + 7,55422 5S44 j ;
D (х, у, z, L~) = Sg - 14S62 + 35544.
377'
Процедура определения диффузионной длины состоит в следующем.
В ряде точек (ж, у, z)t измеряют величину потока Ф\ Экспериментальные
результаты аппроксимируются выражением (17.1.15), на основании которого
методом наименьших квадратов определяют наиболее достоверные значе-
ния коэффициентов Ф2, Ф4, Фе и Ф8. Такие расчеты проводят для серии зна-
чений величины L, близких к ожидаемой величине диффузионной длины.
Очевидно, сумма квадратов соответствующих разностей
<2 = 2{Ф*-Ф[(я, У- 2)г, L]}2 (17.1.17)
есть функция параметра Z, достигающая минимума, когда последний равен
длине диффузии. Описанный метод можно несколько упростить, если линеа-
Рис. 17.1.7. Сборка, предна-
значенная для измерения диф-
фузионной длины, с источни-
ками, расположенными на по-
верхности цилиндра:
1 — каналы для образцов; 2 —ка-
нал для источника; 3 — кадмий;
4 — кадмий (подвижный); 5 — па-
рафин.
ризовать зависимости величин А, В и С как
функций параметра Л.
На основании этого метода была определена
длина диффузии нейтронов в графите (Fite,
1954; Schluter, 1956). Детальный численный
расчет был проведен на электронно-вычисли-
тельной машине.
Источники на поверхности цилиндра. Мож-
но комбинировать метод, описанный в п. 17.1.2,
в котором поверхность призмы является черной
для тепловых нейтронов, с методом поверхност-
ных источников. На рис. 17.1.7 показана уста-
новка, в которой используется такая комбина-
ция. Исследуемое вещество имеет вид цилинд-
ра, торцы которого постоянно покрыты кад-
мием. Ra — Be-источник располагается в центре
на оси цилиндра. Распределение нейтронов
вдоль различных направлений, параллельных
оси, измеряется с кадмиевой рубашкой, окру-
жающей цилиндр, и без нее. Распределение
разности измеренных величин обусловлено источниками тепловых нейтро-
нов на поверхности цилиндра. С учетом граничных условий при z — О
и z — а имеем
Ф = 2 AJo (V) sin^i ,
п
а 2 1 П2Я2
(17.1.18)
(17.1.19)
Здесь 10(я) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого
рода, а Ап — некоторые константы.
Распределение потока вдоль направления, параллельного оси, прохо-
дящего на расстоянии г0 от нее, дается соотношением
Ф (Z) = 2 Л1о (Vo) sin^ = 2 Вп (гQ) Sin .
п п
Величины
•®п (г0) ~ (^71То)
можно определить, применяя обратное преобразование Фурье к потоку,
измеренному вдоль этого направления. Так как 10 (0) = 1, то на оси цилиндра
хТч X? Л nnz
ф = 2i An sin — .
п
Из обращения Фурье распределения потока, измеренного вдоль оси, сле-
дует, что
Вп
378
и поэтому
Io (^nTo)
__ Вп (го)
~ ^тг(О) ’
(17.1.20)
так что величину L можно определить из этого трансцендентного уравнения.
Этот метод можно также использовать для измерения длины диффузии
в сборках в виде призмы или куба. Фите (Fite, 1954) определил таким спосо-
бом диффузионную длину в графитовом порошке.
17.1.4. Результаты различных измерений диффузионной длины
Обычная вода. Некоторые результаты экспериментов по измерению
длины диффузии представлены в табл. 17.1.2. Эти значения приведены
к температуре 22° С с использованием температурного коэффициента, опреде-
ляемого соотношением (17.1.21). Наиболее аккуратными являются резуль-
таты измерений де Жюрена и Рейера (Reier, de Juren, 1961), а также Старра
Таблица 17.1.2
Длина диффузии нейтронов в воде при температуре 22° С
Автор Метод L, см Примечание
Beckurts, Kluber, 1958 Метод кадмиевой раз- ности в бесконечной среде 2,74+0,03 —
Starr, Koppel, 1961 Тепловая колонна и призма 2,76+0,008 —
De Juren, Reier, 1961 Sb — Be-источник в бес- конечной среде 2,775+0,006 Внесены поправки на распределенные источ- ники в соответствии с (17.1.1)
Rohr, 1962 То же 2,778+0,011
Rockey, Skolnik, 1961 >> » 2,835+0,018 Без поправок на рас- пределенные источ- ники
и Коппеля (Starr, Koppel, 1962); средняя величина полученных ими значе-
ний равна L = 2,767 ± 0,008 см, которую мы примем в качестве наилучшего
значения. На рис. 17.1.8 приведены результаты некоторых измерений длины
диффузии нейтронов в воде в зависимости от температуры вплоть до
TQ = 250° С. Измерения при температуре выше 100° С следует проводить
в сосуде под давлением, что осложняет введение источников нейтронов.
В качестве фольг в этом случае удобно использовать такие жаростойкие
материалы, как «Р»-металл (71% Мп, 18% Си, 10% Ni), а также смешанные
керамики, составленные из DyO2 и А12О3. Температурные зависимости изме-
ренных величин хорошо согласуются друг с другом. При температурах, близ-
ких к комнатной, хорошим приближением служит соотношение
L = 2,77 + 0,006 (Г — 22), (17.1.21)
где [L] = см, [Г] = °C. Температурную зависимость длины диффузии
нейтронов в воде можно интерпретировать следующим образом. Будем
379
исходить из соотношения
оо
е 1 Е E/kT dE
- 3 Otr (Е) кТ кТ
£2(Л= Я 1 о------------------------------ . (17.1.22)
J СТ“ 1 ' кТ кт
О
Зависимость ядерной плотности N от температуры известна из эксперимен-
тов по измерению плотности. Температурная зависимость выражения, стоя-
щего в знаменателе равенства (17.1.22), определяется просто законом Uv
Рис. 17.1.8. Длина диффузии тепловых нейтронов в воде как
функция температуры:
О, 4~, V, А — эксперимент (см. соответственно: Beier, de Juren, 1961.
Wright, Frost, 1956; Rockey, Skolnik, 1960; Ballowe, Г962); 1 — рас-
чет в предположении, что Gtr(v)^l /v; 2 — расчет согласно Радков-
скому; 3 — расчет, основанный на модели Нелкина.
для числителя, необходимо сделать некоторые предположения об энергети-
ческой зависимости сечения atr (£*). Рассматривались следующие случаи.
а) Метод Радковского (Radkowsky, 1950). Сечение о/г (#) определяется,
как известно, величиной os (Е) [1 — cos Ф (#)!, причем для рассеяния на
свободных протонах cos й = 2/(ЗЛ). Радковский предложил обобщить это
соотношение на случай связанных в воде протонов на основе введения эффек-
тивной массы, зависящей от энергии. Эта масса определяется следующим
образом. Сечение рассеяния на свободном протоне равно 20 барн, в то время
как, согласно соотношению (1.4.3), сечение рассеяния на протоне, связан-
ном в молекуле с массой равно as = 20 (барн. Можно поэтому
на основании измеренного сечения рассеяния в воде ввести эффективную
массу
= (17.1.23)
1 / 80 барн
V “мяТ
и затем вычислить сечение <jtr (Е) с помощью величин <ys (Е) и Aeff (Е), Эта
методика была несколько улучшена С. И. Дроздовым и др. (Drozdov et al.,
1959), которые учли тепловое движение молекул (эффект Допплера;
см. п. 10.1.1). Результат этих расчетов приведен на рис. 17.1.8 (кривая 2)
(см. также Esch, 1963).
б) Согласно Дейтчу (Deutsch, 1956), хорошую аппроксимацию зависи-
мости длины диффузии от температуры можно получить в предположении,
что Gtr Е; соответствующая кривая также приведена на рис. 17.1.8
(кривая 7).
380
в) Кривая 3 на рис. 17.1.8 была рассчитана на основе модели Нелкина
для воды (см. п. 10.1.3). При этом использовались величины cos $ (Z?)
Таблица 17.1.3
Длина диффузии тепловых нейтронов в различных водородсодержащих
замедлителях
Вещество Темпера- тура, °C L, см Автор
Даутерм А (дифенил— 26,81 %; окси дифенил — 73,19%) 36 92 146 192 ‘ 4,214+0,006 4,941+0,002 4,934+0,005 5,245+0,004 Bata, Kiss, Pal
Дифенил 85 4,82+0,07 Brown et al.
Люцит (С5Н8О2, 1,18 г/см3) 20 3,14+0,03 Heintze
Парафин 61 70 81 95 123 2,751+0,053 2,807+0,055 2,833+0,052 2,942+0,050 3,120+0,054 Esch
и (5S (Е), приведенные соответственно на рис. 10.1.9 и 10.1.8. [В действи-
тельности необходимо вычислять cos $ (Е) и os (Е) для каждой температуры
воды, так как состояние тепло-
вого возбуждения и, следователь-
но, рассеивающие свойства изме-
няются с увеличением темпера-
туры. I
Другие водородсодержащие за-
медлители. Табл. 17.1.3 содержит
измеренные значения диффузион-
ной длины для некоторых водо-
родсодержащих замедлителей; ряд
измерений соответствует комнат-
ной температуре, ряд — более вы-
соким температурам.
Тяжелая вода. Длина диффу-
зии тепловых нейтронов в тяже-
Рис. 17.1.9. Длина диффузии тепловых ней-
тронов в тяжелой воде в зависимости от
содержания в ней Н2О.
\1.9 приведены результаты различных
в зависимости, от концентрации Н2О в
лой воде была измерена методом
призмы Сарджентом и др. (Sargent
et al., 1947), Лутцем и Мейером
(Lutz, Meier, 1962), а также Мей-
стером (Meister, 1960). На рис. 1
измерений при температуре 20° С
тяжелой воде. Длину диффузии нейтронов в тяжелой воде можно вычислить
^с помощью соотношения
L2-
_________D__________ _ __
Н2О2аН2О + PD2OSaD2o р
УН2О
^н2о-0)
у
аН2О । р
=---+^В2О
аВ2О
(17.1.22)
381
где Рн2о и Pd2o — относительные молярные концентрации легкой и тяже-
лой воды (РН2о + Pd2o = 1) *. Используя известные значения сечения
поглощения оа (2200 м!сек) для водорода и дейтерия, равные соответственно
327 и 0,5 мбарн, можно с помощью соотношения (17.1.22) экстраполировать
Таблица 17.1.4
Длина диффузии тепловых нейтронов в бериллии, окиси бериллия и графите
при комнатной температуре (измерение методом призмы)
Вещество Плотность. г/см3 L, см Автор
Be 1,85 20,8+0,5 Nobles, Wallace
Be 1,78 22,1+1 (21,3+1 при плотности 1,85 г/см3) Герасева Л. А. и др.
ВеО 2,92 32,7+0,5 Koechlin et al.
С 1,65 45,4+0,2 Carlblom
измеренную зависимость длины диффузии от концентрации Н2О к 100%-му
содержанию D2O. Таким способом Мейер
L = 0) = 136 ± 7 см, в то время как
и Лутц получили значение
Мейстером получено значение
168 + 18 см, а Сарджен-
том — 171 zb 20 см. Причина
такого сильного расхождения
последних двух результатов
с результатами Мейера и
Лутца не выяснена. Следует
отметить, однако, что помимо
погрешностей, возникающих
при измерении диффузионной
длины, возможны также нео-
пределенности в величине
концентрации D2O. Кроме
того, содержание изотопа О17
в разных пробах тяжелой во-
ды может существенно флук-
туировать, что будет заметно
влиять на поглощение тепло-
вых нейтронов, а следова-
тельно, и на величину длины
Рис. 17.1.10. Длина диффузии тепловых нейтронов диффузии
в графите как функция температуры. Другие замедлители. В
табл. 17.1.4 приведены ре-
зультаты измерений длины диффузии тепловых нейтронов в бериллии, окиси
бериллия и графите. Что касается графита, то имеется еще достаточно много
сведений по измерениям в графите, помимо приведенных в таблице (см.,
например, Hereward et al., 1947; Winzeler, 1952; Beckurts, 1954; Reichardt,
1960; Klose, 1962; Hendrie et al., 1959; Richey, Block, 1956). Такие много-
кратные измерения проводились с целью выяснения влияния сечения
* В соотношении (17.1.22) не учитывается зависимость коэффициента диффузии
от концентрации водорода. Такое допущение оправдано в области рассматриваемых,
нами высоких концентраций дейтерия.
382
поглощения примесей, наличие которых трудно определить химическим
путем. Миллс (Mills, 1955), а также Ллойд, Клейтон и Риччи (Lloyd et al.,
1958) изучали температурную зависимость длины диффузии нейтронов в
графите. На рис. 17.1.10 приведена функция L (Т) в области температур
от 20 до 600° С. Экспериментальные точки весьма точно следуют закону 710’25,
из чего можно сделать вывод, что коэффициент диффузии в графите не
зависит существенно от температуры.
17.2. ИЗМЕРЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С ОТРАВЛЕНИЕМ
17.2.1. Принцип метода
Если диффузионная длина и сечение поглощения известны, то коэффи-
циент диффузии можно вычислить из соотношения L2 = Dl^a и, следова-
тельно, сразу получить транспортную длину свободного пробега = 3D.
Длину диффузии нетрудно измерить методами, изложенными в и. 17.1,
однако с помощью стационарных методов * невозможно определить абсо-
лютное значение сечения поглощения. Метод отравления является способом,
позволяющим преодолеть эту
трудность.
В чистом замедлителе
имеет место соотношение
1/7L2 = HalD. Если увели-
чить сечение поглощения за
счет гомогенного размешива-
ния поглотителя с известным
сечением поглощения, то
1 ___
L'2 ~ D -И D
(17.2.1)
Предполагается, что рассеи-
вающие свойства замедлите-
ля и, следовательно, коэффи-
циент диффузии D не меня-
ются в результате добавления
поглотителя. Это условие за-
ведомо будет выполнено, если
Рис. 17.2.1. Обратная величина квадрата длины
диффузии 1/172 для раствора бора в 62О в зави-
симости от сечения поглощения 2а (Кash, Woods,
1953).
использовать сильный поглотитель, подобный бору, так как весьма малое
его количество, которое вряд ли влияет на среднее сечение рассеяния, зна-
чительно увеличивает сечение поглощения.
Измерив длину диффузии L' при различных концентрациях поглотителя
и построив кривую 1/2/2 в зависимости от получим прямую линию,
наклон которой определяет обратную величину коэффициента диффузии
HD, а точка пересечения с осью ординат — величину сечения
(рис. 17.2.1).
Предполагается, что концентрацию отравителя можно определить весьма
точно. Поэтому необходимо, чтобы отравитель был сильным 1/p-поглотите-
лем с хорошо известным сечением поглощения. При работе с жидкими замед-
лителями предпочитают добавлять естественный бор, например, в виде борной
кислоты; концентрацию бора в этом случае можно определять пикнометри-
ческим способом или титрованием. Сечение поглощения естественного бора
(19,81% В10), согласно рекомендации Просдочими и Деруитера (Prosdocimi,
Deruytter, 1963), равно 760,8 + 1,9 барн при скорости нейтронов 2200 м/сек.
* Нестационарные методы описаны в гл. 18. Косвенно абсолютные измерения
сечения поглощения можно осуществить на основе относительных стационарных методов,
изложенных в и. 17.3.
383
В случае твердых замедлителей, подобных графиту, гомогенное отрав-
ление осуществить невозможно. Для гетерогенного отравления используют
проволочки и фольги, которые, как правило, изготовляют из меди
[0а (2200 м/сек) = 3,81 + 0,03 барн]. Во избежание самоэкранирования
толщина меди должна быть достаточно малой. Чтобы возможно лучше вос-
произвести условия гомогенного отравления, взаимное расстояние между
проволочками и фольгами следует выбирать небольшим, во всяком случае
оно не должно превышать среднюю транспортную длину свободного пробега.
Соотношение (17.2.1) справедливо в предположении, что спектр в замед-
лителе не искажается в результате добавления поглотителя и всегда может
быть представлен максвелловским распределением с температурой замедли-
теля. В отсутствие источников в чистых или слегка отравленных замедлите-
лях это предположение всегда выполнено. Однако в случае сильного погло-
щения должен иметь место эффект диффузионного разогрева, который обсуж-
дался в п. 10.3. Тогда справедливо более общее соотношение
7^= (-^-+^-1 с) (17.2.2)
L2 \ D D ) V 2^'т v 7
[см. равенство (10.3.19д)]. Здесь С — постоянная диффузионного охлаж-
дения *. При достаточно большом поглощении зависимость функции 1/Z/2
от Sa отличается от прямолинейной. Поэтому в принципе с помощью экс-
периментов по отравлению можно определить величины D, Sa и С, За ис-
ключением опытов Старра и Коппеля (см. п. 17.2.2), определение постоянной
С таким способом до сих пор не производилось. Все другие исследователи
стремились подобрать концентрацию поглотителя настолько малой, чтобы
практически отсутствовало отклонение от спектра Максвелла.
17.2.2. Эксперименты по отравлению в D2O, Н2О и графите
Первые эксперименты по отравлению были проведены в 1953 г. Кэшем
и Вудсом в тяжелой воде (Kash, Woods, 1953). Используя цилиндрическую
призму, они определили диффузионную длину в чистой тяжелой воде и в рас-
творах борной кислоты, концентрация которой менялась вплоть до 146,8 мг
В2О3/л. На рис. 17.2.1 приведена величина 1/772 в зависимости от Sa. Из
наклона этой кривой ** можно получить значение = 3D = 2,49 ± 0,04 см.
Температура воды в этих опытах составляла 23° С, а концентрация D2O —
99,4%. Прямолинейный характер полученной экспериментальной зависи-
мости на рис. 17.2.1 позволяет сделать вывод, что спектральные эффекты
несущественны; к такому же заключению можно прийти на основе анализа
соотношения (17.2.2) (С = 5,25-Ю1 см^-сек”1; см. п. 18.1.3). Экстраполя-
ция к 100%-ному содержанию D2O дает значение Xtr = 2,52 ± 0,04 см.
Браун и Геннели (Brown, Hennelly, 1962) измерили методом отравления
температурную зависимость коэффициента диффузии для D2O. Отравление
в этом случае производилось медными проволочками. На рис. 17.2.2 при-
ведена величина D = Xtr/3 в интервале температур от 20 до 250° С. Гладкая
кривая вычислена согласно рекомендации Радковского (см. п. 17.1.4) и пре-
красно согласуется с измеренными значениями.
Хендри и др. (Hendrie et al., 1959) измерили транспортную длину сво-
бодного пробега в графите при гетерогенном отравлении медными фольгами.
* Согласно изложенному в и. 10.3.3, постоянная С включает поправку к результа-
там элементарной теории диффузии, полученную на основании теории переноса; как
правило, эта поправка пренебрежимо мала по сравнению с вкладом, обусловленным
спектральным сдвигом. _
** Точке пересечения кривой с осью ординат соответствует значение (D2O) =
= (1,64 ± 0,1)-10"4 см-1. Но, поскольку результаты измерения концентрации Н2О в D2O
недостаточно аккуратны, нельзя сделать определенного заключения о величине сечения
поглощения дейтерия.
384
Диффузионная длина измерялась в призме, набранной из чередующихся
слоев графита толщиной 25,4 мм и медных фольг. Толщина медных фольг
варьировалась от нуля до 0,2 мм. Плотность графита составляла 1,674 г!см\
В этих измерениях было получено значение Xtr = 2,62 ± 0,03 см при ком-
натной температуре. Это значение существенно больше всех величин, полу-
ченных с помощью нестационарных методов (см. гл. 18).
Ряд экспериментов (см., например, Beckurts, Kliiber, 1958; Miller, 1961;
Reier, 1961) был проведен для простой воды. Особенно тщательными из них
являются эксперименты Старра и Коппеля (Starr, Koppel, 1962). Во всех
Рис. 17.2.2. Коэффициент диффузии D rrh.
тяжелой воды как функция температуры:
---------расчет по методу Радковского; О, Ф,
□ , А, и, А — экспериментальные результаты
(см. соответственно; Brown, Hennelly, 1962;
Kash, Woods, 1953; Dexter, 1951; Hone, 1959;
Ganguly, Waltner; Raiewski, Horowitz, 1955).
случаях для отравления применялся
бор, иногда в таких больших кон-
центрациях, что были заметны спек-
тральные эффекты. На рис. 17.2.3
приведены значения 1/2/2, получен-
Рис. 17.2.3. Обратная величина квадрата
длины диффузии нейтронов в Н2О в зави-
симости от сечения поглощения S а (р^):
О — результаты измерений Старра и Коппеля
методом отравления; ф — результаты измере-
ний импульсным методом; --------- — аппро-
ксимация методом наименьших квадратов;
— — — — экстраполированная кривая.
ные Старром и Коппелем (Starr, Koppel, 1962), в зависимости от сечения
поглощения добавляемого бора. Измерения диффузионной длины прово-
дились в цилиндрическом баке с водой (диаметр 165 см, высота 150 см),
в который снизу вводились тепловые нейтроны из реактора. На рисунке
отчетливо видно уменьшение кривизны, обусловленное диффузионным разо-
гревом. Оценка методом наименьших квадратов с использованием соотно-
шения (17.2.2) дает значения = 0,434 ± 0,001 см, С = 2900 ± 350 см*1-сект1
(при 21° С) и оа (2200 м)сек) = 326,9 ± 1,6 мбарн!протон.
17.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
Абсолютное значение сечения поглощения можно вычислить, если
известны длина диффузии и средняя транспортная длина свободного пробега
нейтронов в рассматриваемой среде. Можно определить его и независимо
с помощью метода пульсирующего источника нейтронов (см. п. 18.1). Ниже
мы познакомимся с некоторыми методами, позволяющими найти взаимо-
связь между сечениями поглощения различных веществ (не обязательно
замедляющих). Это даст возможность на основании известных сечений погло-
щения эталонных образцов получить также абсолютные значения сечений
25 Нейтронная физика 385
поглощения исследуемых веществ. Такие методы обладают большими пре-
имуществами по сравнению с измерениями в призме, поскольку необходимое
количество изучаемого вещества в этом случае гораздо меньше, изменения
же, как правило, выполняются проще и быстрей. Кроме того, относительные
методы, особенно метод котлового осциллятора, дают возможность * (иногда
единственную) измерить сечение поглощения веществ, для которых не выпол-
нены условия, необходимые для определения сечения поглощения на осно-
вании измерения диффузионной длины (оа < ns) или методом пропускания
(оа > <ys).
17.3.1. Метод интегрального потока нейтронов
Допустим, что источник, излучающий Q нейтронов за 1 сек, расположен
в среде, размеры которой настолько велики, что утечка нейтронов практи-
чески отсутствует. Тогда, поскольку все нейтроны поглощаются в среде,
Q==^(£>dV
(17.3.1)
(для простоты спектральными эффектами пренебрегаем). Соответствующее
соотношение справедливо, если тот же самый источник расположен в другой
среде с другим сечением поглощения. Тогда
2g .
ф' dV'
(17.3.2)
Следовательно, можно получить соотношение между сечениями поглощения
различных веществ, сравнивая интегральные потоки нейтронов вокруг
одного и того же источника. Очевидно, достаточно привести относительные,
измерения потока, для чего могут быть использованы фольги. Следует,
однако, помнить, что соответствующие поправки к результатам измерения
с помощью фольг могут быть разными для различных сред. Классическое
приложение этого метода — измерение отношения сечения поглощения
в боре к соответствующей величине в водороде (Whitehouse, Graham, 1947;
Hamermesh et al., 1953; Baker, Wilkinson, 1958). Для этого интегральный
поток измеряется в чистой воде вблизи источника, а затем в растворе борной
кислоты. Тогда = ТУн^н + ^вОъ** и, следовательно,
/¥н f ТУв^в I ф 6/7
2¥н J ф' dV ‘
(17.3.3)
Так как величины TVh, -Ун и уУв известны точно, то отношение ав/#н опре-
деляется непосредственно на основании сравнения интегральных потоков.
Точность этого метода можно повысить, если проводить измерения при
различных концентрациях поглотителя. Таким способом в принципе можно
определять сечение поглощения и других веществ, однако по сравнению
с методом пульсирующего источника (см. п. 18.1.5) он более сложен и поэтому
вряд ли будет использоваться в этих целях.
Метод интегрального потока можно использовать также для определения
сечения поглощения в чрезвычайно слабо поглощающих средах, например
в графите или бериллии. При этом методику эксперимента следует несколько
видоизменить, так как требование малой утечки из экспериментального
объема приведет к неразумно большим количествам исследуемого вещества.
На рис. 17.3.1 показан один из вариантов установки, предназначенной для
* Более ограниченными в своем применении являются метод активации (см. п. 4.3
и 14.1) и метод пульсирующего источника нейтронов (см. п. 18.1.5).
** Поглощением} кислороде можно пренебречь.
386
таких опытов. Изучаемое вещество (2 'а) окружено отражателем из эталон-
ного материала (2а); в качестве такого эталона может быть использовано
«сильно» поглощающее вещество, например парафин; нетрудно подобрать
такую толщину последнего, при которой будет исключена заметная утечка
нейтронов. Относительные измерения выполняются в достаточно большом
объеме эталонного вещества, для которого также справедливо соотноше-
ние (17.3.1). G другой стороны, результаты измерений в сборке с иссле-
дуемым веществом, окруженным
отражателем,
отношению
удовлетворяют со-
OdF-j-SaJ Ф dV, (17.3.4)
Vl V2
откуда
J ®dV — J ®dV
Vl
Здесь Vi4 V2 и V3 — соответственно
объемы исследуемого вещества, отра-
жателя и эталонного вещества. Таким
способом были проведены измерения
Бёкхофом (Bockhoff, 1956) для графи-
та и Брозе (Brose, 1960) для алюми-
ния. Оказывается, что точность ре-
зультатов измерений удовлетвори-
тельна, если исследуемый образец
имеет линейные размеры, равные
примерно двум длинам диффузии.
Рис. 17.3.1. Сборка для измерения сече-
ния поглощения методом сравнения инте-
гральных потоков:
1 — источник; 2 — канал для источника;
3 — исследуемое вещество; 4 — парафин.
В качестве эталонного вещества использовали парафин. Интегрирование
по объему отражателя является довольно трудоемкой процедурой, если
геометрия установки не сферическая. Действительно, необходимо изме-
рять поток во многих точках и затем интегрировать по всем трем коор-
динатам х, у и z *. С другой стороны, в однородной, достаточно протя-
женной среде можно выполнить измерения только вдоль одного радиуса-
вектора и на основании полученных результатов вычислить величину
4л Ф (г) r2dr.
Спектральные эффекты не играют существенной роли в этих измерениях.
Если сечения эталонного и исследуемого веществ имеют зависимость 1/v
и сечение активации вещества детектора также подчиняется закону 1/v,
то результаты измерений совершенно не зависят от спектра нейтронов;
поэтому если известно сечение Sa (2200 м/сек), то мы получаем непосред-
ственно сечение (2200 м/сек). Если же в эпитепловой или быстрой области
имеются резонансы, то для получения интегральных потоков тепловых ней-
тронов следует проводить измерения методом кадмиевой разности, а погло-
щение выше граничной энергии кадмия учитывать введением вероятности
избежать резонансного захвата р (см. п. 7.2.3).
17.3.2. Метод призмы Мирейля
Впервые метод Мирейля был использован Раевским и др. (Raievski et al.,
1958); позднее он был усовершенствован Рейхардом (Reichardt, 1960). С помо-
щью этого метода можно провести быстрое измерение сечения поглощения
* Некоторые методы такого интегрирования обсуждались в первом издании этой
книги.
25* 387
2
Рис. 17.3.2. Призма Мирейля для измерения
чистоты графита:
1 — источник; 2 — детектор; 3 — канал для иссле-
дуемого графита.
Здесь мы ограничимся элементарным
малых количеств слабо поглощающих веществ, например графита и берил-
лия, что особенно удобно при серийных измерениях (промышленное испыта-
ние на чистоту). На рис. 17.3.2 показана типичная сборка для измерений
в графите. Вблизи торцов призмы из эталонного графита, имеющей размеры
160x 160x 280 см, помещают Ra — Be-источник и ВЕ3-счетчик. Некото-
рый объем V эталонного графита можно заменять исследуемым графитом.
Если z — скорость счета в том
случае, когда в объеме V нахо-
дится эталонный графит, то,
согласно теории возмущений,
скорость счета z' после введе-
ния исследуемого графита опре-
деляется соотношением
Л^1=_Л(^-1), (17.3.6а)
где L и L' — длины диффузии
нейтронов соответственно в эта-
лонном графите и в исследуе-
мом. Постоянную А можно
определить либо расчетным пу-
тем, либо на основании измере-
ний с использованием различ-
ных сортов графита. Затем с
помощью равенства (17.3.6а)
можно вычислить отношения
L*/L'2 и, следовательно, Sa/Sa.
выводом соотношения (17.3.6а)
при некоторых упрощающих условиях; более точный вывод можно найти
в работе Рейхарда (см. Reichardt, I960). Допустим, что точечный источник
нейтронов мощностью Q расположен в точке г0 и излучает чисто тепловые
нейтроны. Тогда, если в объеме находится эталонный графит, поток тепло-
вых нейтронов удовлетворяет уравнению
?2ф(г)__^ф(г)= _Л_б(г_Го). (17.3.66)
Если G (г, г0) — диффузионное ядро точечного источника в конечной призме,
то функция
ф (г) = (Х?(г0, г) (17.3.6b)
является решением уравнения (17.3.66). В частности, поток Ф (^) в точке
расположения счетчика равен ri)« Скорость счета z пропорциональна
этой величине. Если в объеме V находится исследуемое вещество, то
Г2Ф' (г)--^-Ф'(г) = — -=-6 (г — г0) вне V, (17.3.7а)
?2Ф' (г)-ДуФ'(г) = 0 внутри V. (17.3.76)
Полагая Ф' (г) = Ф (г) 6Ф (г) и комбинируя уравнения (17.3.6а) — (17.3.6в),
(17.3.7а) и (17.3.76), можно получить
72<5Ф(г) — --^6Ф(г) = 0 вне V, (17.3.7в)
Т26Ф(г)--^-6Ф(г)=-[-А— [ф(г) + 6Ф(г)] внутри V. (17.3.7г)
В правую часть уравнения (17.3.7г) входят источники возмущения 6Ф(г),
обусловленные различием в величинах L и Г. Если последние мало разли-
чаются, то 6Ф (г) < Ф (г) и в правой части уравнения (17.3.7г) можно пре-
небречь величиной 6Ф по сравнению с Ф. Тогда, комбинируя уравнения
388
(17.3.7в) и (17.3.7г), получаем
VW (г)-А 6Ф (г) = - (^—ттг) Ф (г) 6 (Ю, (17.3.7Д)
где 6 (7) = 1 внутри V и 6(7) = О вне V. Решение уравнения (17.3.7д)
может быть записано в виде
8Ф(г)=7) (Ж__1_^ф(г')С(г',г)йг', (17.3.8а)
где G (г', г) — диффузионное ядро для призмы; координата источника г'
теперь находится внутри объема V. Из соотношения (17.3.6в) следует, что
= _(_ 1 G G <rZ’ ri) dr'. (17.3.86)
Z Ф (Ti) \ L 2 } L2 e) G (r0, Ti) v 7
Таким образом, получено выражение (17.3.6), в котором постоянная А запи-
сана теперь в явном виде. Чтобы выполнить интегрирование, необходимо
знать диффузионное ядро для
призмы; оно может быть полу-
чено из соотношений (6.2.21) и
(6.2.25). При проведении точ-
ных расчетов следует помнить,
что источник излучает не те-
пловые нейтроны. Однако, если
расстояние между источником
и объемом исследуемого образца
достаточно велико по сравнению
с длиной замедления, резуль-
таты измерений совпадают с со-
Рис. 17.3.3. Чувствительность графитовой приз-
мы Мирейля как функция объема исследуемого
графита.
ответствующими результатами
для источника тепловых ней-
тронов. На рис. 17.3.3 приве-
дена величина А как функция
объема V для призмы, изображенной на рис. 17.3.2. Из рисунка видно,
что даже при малых объемах образцов достигается хорошая чувствитель-
ность (например, А = 0,1 для V ж 130 л). Так как точность определения
величин z и z' составляет около 0,1%, то при А = 0,1 точность измерения
отношения L/L' может достигать примерно 0,5%. Однако возможны допол-
нительные погрешности, связанные с неоднородностью вещества (флуктуа-
ции плотности, эффекты анизотропии), и практически эта точность не
выше 2%. Флуктуации температуры графита — один из важных источни-
ков погрешности, который, однако, может быть устранен, если в помеще-
нии, где расположена призма, поддерживается постоянная температура.
Рекомендуется также покрыть поверхность призмы кадмием, чтобы исклю-
чить влияние обратного рассеяния на скорость счета.
Изложенная здесь методика пригодна только для изучения веществ
с одинаковыми рассеивающими свойствами (например, для сравнения раз-
личных образцов графита в графитовой призме или различных образцов
бериллия в бериллиевой призме и т. д.). Если различие в величинах L и L'
достаточно велико, теория возмущения первого порядка, с помощью которой
было выведено соотношение (17.3.6а), уже неприменима, и необходимо учи-
тывать слагаемые более высокого порядка. В этом случае оценки становятся
более трудными и менее точными.
17.3.3. Котловой осциллятор
Существуют два вида измерений с помощью котлового осциллятора —
локальный и интегральный. Локальный метод основан на изучении ослабле-
ния потока вблизи поглощающего образца в неразмножающей среде. Как
правило, поле нейтронов создается ядерным реактором, хотя это не является
389
необходимым условием метода. С другой стороны, интегральный метод осно-
ван на влиянии поглотителя на реактивность реактора. Для полного пони-
мания этого метода необходимо детально знать теорию ядерных реакторов;
поэтому здесь мы ограничимся обсуждением основ.
На рис. 17.3.4 схематически показан локальный котловой осциллятор.
В графитовом отражателе реактора расположена кольцевая ионизационная
камера с борным покрытием, благодаря которому она чувствительна к ней-
тронам. Используя соответствующее механическое устройство, можно при-
вести небольшой образец исследуемого вещества в возвратно-поступатель-
ное движение в полости камеры. Частота такого движения должна быть
порядка 1 цикл/сек. Вслед-
Рис. 17.3.4. Локальный котловой осциллятор:
1 .— двигатель; 2 —механический выпрямитель; з — ко-
лесо, поворачивающееся на 180°; 4 —зубчатая передача
осциллятора; 5 — защита реактора; 6 — внутренняя зона
реактора; 7 — собирающий электрод; 8 — графитовый
вкладыш; 9 — бериллиевая лодочка; 10 — ионизацион-
ная камера; 11 — канал для кабеля ионизационной ка-
меры.
ствие рассеяния и поглоще-
ния нейтронов в веществе
образца, формируется перио-
дический сигнал, который
накладывается на постоянный
ток камеры. Этот сигнал мож-
но выделить и усилить чув-
ствительным усилителем и
затем измерить. На рис. 17.3.5
показана типичная зависи-
мость такого сигнала от вре-
мени за полный период осцил-
ляций. Сигнал а соответству-
ет измерению с кадмиевым
образцом (чистое поглоще-
ние), в то время как сигнал б
получен для образца из гра-
фита (чистое рассеяние) Ну-
левой момент по времени со-
ответствует внутренней точке
возврата движения. Каждый
раз генерируются два сигна-
ла, так как за период обра-
зец входит в камеру дважды.
Сигнал, обусловленный по-
глощением, отрицателен, а
сигнал, обусловленный рас-
сеянием, положителен; форма
последнего несколько отличается от формы сигнала поглощения, и наблю-
дается некоторый сдвиг по времени. Сигнал рассеяния связан в основном
с нейтронами, проходящими через канал, которые в отсутствие образца могут
свободно проходить по отверстию в ионизационной камере. На рис. 17.3.5
представлены идеализированные формы сигнала, а на рис. 17.3.6 — формы
сигналов, которые наблюдаются в действительности. Деформации формы сиг-
нала обусловлены частотными характеристиками усилителя, полоса пропу-
скания которого должна быть по возможности мала, чтобы не усиливать фоно-
вый шум, связанный, в частности, со статистическими флуктуациями тока
камеры. Как видно из рис. 17.3.6, эти искажения, однако, имеют такую форму,
что нетрудно выделить временной интервал Д£, в течение которого средний
сигнал рассеяния обращается в нуль. Поэтому можно выход усилителя
подключить к интегратору тока, который чувствителен только в течение
интервала Д£. Таким способом сигнал рассеяния можно в значительной
степени исключить. Практически за счет выбора области интегрирования
Д£ можно добиться того, что отношение соответствующих чувствительностей
будет равно примерно 500. Это значит, что осцилляции рассеивателя с данной
«поверхностью» рассеяния (определяемой как произведение полного числа
атомов на величину сечения рассеяния NVos = FSs) дают примерно
390
в 500 раз меньший эффект, чем осцилляция поглотителя с такой же поверх-
ностью поглощения Й2а.
Сигнал поглощения пропорционален поверхности поглощения FSa
(при условии что образец не слишком велик и самоэкранирование отсутст-
вует). Сечение поглощения определяется на основании сравнения поверх-
ности поглощения исследуемого вещества с поверхностью поглощения эта-
лона (золота, бора). Чувствительность этого метода весьма велика, что при
хорошем котловом осцилляторе позволяет регистрировать сигналы, соответ-
ствующие значению FSa = 0,1 мм2 (сигналы меньшей величины нельзя
отличить от флуктуаций тока камеры, обусловленных флуктуациями мощ-
ности реактора). Например, для измерения сечения поглощения алюминия
с точностью 1 % достаточно иметь около 20 г алюминия (оа = 0,24 барн).
В экспериментах с более сильно поглощающими веществами (оа > 1 барн)
б
Рис. 17.3.5. Идеализированная
форма сигналов поглощения (а) и
рассеяния (б) локального котло-
вого осциллятора.
Рис. 17.3.6. Реальная форма сигна-
лов поглощения (а) и рассеяния (б)
локального котлового осциллятора.
эффектом рассеяния можно полностью пренебречь, что связано с малой чув-
ствительностью метода по отношению к рассеянию. С другой стороны, если
поглощение очень мало, необходимо внести поправку, которая может быть
получена в эксперименте с высокой чувствительностью к рассеянию на эта-
лонном рассеивателе (графит, D2O), сечение которого хорошо известно.
С помощью локального осциллятора нельзя, очевидно, достаточно точно
определить сечение поглощения чрезвычайно слабо поглощающих веществ,
например графита, тяжело!! воды, бериллия; даже если относительная
чувствительность равна примерно 500, вклад рассеяния в полный сигнал
превышает вклад от поглощения. Эксперименты с локальными котловыми
осцилляторами описаны в работах Померанса (Pomerance, 1951), Гувера
и др. (Hoover et al., 1948), Смолла и Спурвея (Small, Spurway, 1956). В опы-
тах Фукета (Fuketa, 1961) за счет устранения флуктуаций мощности реактора
был значительно снижен возможный предел детектирования (%aV =
= 10"3 мм2). Это было достигнуто благодаря использованию двух иониза-
ционных камер, разность выходных сигналов которых регистрировалась
в процессе эксперимента.
В интегральном методе котлового осциллятора испытываемый образец
периодически выводится и вводится в активную зону реактора. Реактор рабо-
тает на постоянном среднем уровне мощности, который поддерживается
довольно невысоким для исключения тепловых эффектов. Мощность реактора
в этом случае испытывает характерные осцилляции вблизи среднего значе-
ния с частотой, равной частоте движения образца. Амплитуда этих осцилля-
391
ций пропорциональна изменению коэффициента размножения, обусловлен-
ному образцом. Введение образца влияет на коэффициент размножения раз-
личными способами: образец поглощает тепловые или эпитепловые нейтроны,
рассеивает их, вследствие чего меняется утечка; такие образцы, как графит
и бериллий, вносят вклад в замедление. Полный анализ и выделение различ-
ных эффектов требуют тщательного теоретического исследования. Например,
можно раздельно определить поглощение тепловых и эпитепловых нейтронов,
выполняя эксперименты на реакторах с различными спектрами или исполь-
зуя метод кадмиевой разности. Эффекты перетечки нейтронов можно сделать
малыми, если осуществлять осцилляции опытного образца между точками
с очень малыми градиентами потока (например, от края реактора, где поток
равен нулю, к центру активной зоны, где он максимален). Подробности
этого метода мы обсуждать не будем. Детальную информацию относительно
методики интегрального котлового осциллятора можно найти в работах
Вейнберга и Швейнлера (Weinberg, Schweinler, 1948), Лангсдорфа (Langs-
dorf, 1951), а также Розе, Купера и Татерселла (Rose, Cooper, Tattersail, 1958).
Предельные значения поддающихся измерению величин сечения погло-
щения в этом случае такие же, как и для локального осциллятора. Однако
существуют более эффективные способы исключения рассеяния, что позво-
ляет измерять сечения поглощения графита и бериллия. Кроме того, этим
способом можно определять величины резонансных интегралов и значение
параметра ц для делящихся веществ (Rose et al., 1958). Некоторые реакторы
построены специально для экспериментов с котловым осциллятором и осна-
щены всем необходимым для этого оборудованием (например, «Dimple»,
«Gleep», «Minerve»).
При использовании интегрального метода в принципе нет необходимо-
сти осуществлять осцилляцию образца; изменение коэффициента размно-
жения, вызванное введением образца, можно измерить, например, компен-
сацией калибровочным стержнем. Этот статический метод, так называемый
метод коэффициента опасности, раньше использовался весьма часто, однако
он менее чувствителен, чем осцилляторный метод, что обусловлено дрей-
фом мощности реактора за большие промежутки времени. Этот эффект,
вызванный изменениями температуры и давления воздуха, в значительной
степени исключается в экспериментах с осциллятором, но при статических
измерениях коэффициента размножения он ограничивает точность.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Templin L. J. (ed.) Reactor Physics Constants. ANL-5800, Second Edition (1963).
Corngold N. (ed.) Proc, of the Brookhaven Conference on Neutron Thermalization.
BNL-719 (1962) *.
Специальная
Измерение диффузионной длины в Н2О
В а 11 о w е W. С. BNL-719, 799 (1962) *.
Barkov L., Makarin V. К., Mukhin К. N. J. Nucl. Energy, 4, 94 (1957). [См.
на русскОхМ языке: Барков Л. М., Макарьин В.; К., Мухин К. Н.
«Атомная энергия» № 3, 33 (1956).]
В eckurts К. Н., К 1 u b е г О. Z. Naturforsch., 13а, 822 (1958).
Heintze L. R. Nucleonics, 14, No. 5, 108 (1956).
J и г е n J. A., deR osenwasser M. J. Res. Nat. Bur. Stand., 51, 203 (1951).
R e i e r M., de J и r e n J. A. J. Nucl. Energy, A14, 18 (1961).
Rockey K. S., Skolnick W. Nucl. Sci. Eng., 8, 66 (1960).
Rohr G. Unpublished Karlsruhe report (1962).
Sisk F. J. ORNL-933 (1951).
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
392
Starr E., К о p pel J. U. BNL-719, 1012 (1962) *.
Wilson С. V., В г a g d о n E. W., К anner H. CP-2306 (1944).
Wright W. B., Frost R. T. KAPL-M-WBW 2 (1956).
Температурная зависимость транспортной длины свободного пробега в водородсодержа-
щпх замедлителях
Deutsch R. W. Nucl. Sci. Eng., 1, 252 (1956).
Drozdov S. I. et al. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 2, p. 207 (1959).
Esch L. J. Nucl. Sci. Eng., 16, 196 (1963).
Petrie C. D., S t о rm M. L.,Zweifel P. F. Nucl. Sci. Eng., 2, 728 (1957).
Radkowsky A. ANL-4476, 89 (1950).
Измерение длины диффузии в графите методом призмы
Carlbom L. Arkiv Fysik, 6, 335 (1952).
Е г t a u d A. et al. Rapport CEA-3 (1948).
H e n d r i e J. M. et al. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1, Vol. 3, p. 270 (1959); the diploma
thesis of H. W i n z e 1 e r, Gottingen (1952); Beckurts К. H. Gottingen.
(1954); Reichardt W. Karlsruhe (1960); Klose H. Karlsruhe (1962).
H ereward H. G. et al. Canad. J. Res., A25, 15 (1947).
Laubenstein R. A. Geneva, 1958, P/594, Vol. 12, p. 689.
Lee M. T. HW-51175 (1957).
Richey C. R., В 1 о с к Е. Z. HW-45035 (1956).
Температурная зависимость длины диффузии в графите
Lloyd R. С., С 1 а у t о n Е. D., R i с h е у С. R. Nucl. Sci. Eng., 4, 690 (1958).
Mills J.E.C. AERE-RP/R-1618 (1955).
Измерение диффузионной длины в различных водородсодержащих замедлителях
Bata L., К i s s I. Р а 1 L. I. Geneva, 1958, Р/1730, Vol. 12, р. 509.
Brown W. W. et al. Geneva 1958, P/595, Vol. 12, p. 514.
Esch L. J. Nucl. Sci. Eng., 16, 196 (1963).
Heinze L. R. Nucleonics, 14, No. 5, 108 (1956).
Tittle C. W. Phys. Rev., 80, 756 (1950).
Измерение длины диффузии в D2O методом призмы
Н е г е w а г d Н. G. et al. Can. J. Res., A25, 26 (1947).
Lutz H. R., Meier R. W. Nukleonik, 4, 108 (1962).
Meister H. Unpublished Karlsruhe Report (1960).
Sargent B. W. et al. Can. J. Res., A25, 134 (1947).
Измерение длины диффузии в бериллии и окиси бериллия методом призмы
G е г a s е v a L. A. et al. Geneva, 1955, Р/662, Vol. 5, р. 13.
Koechlin J. С., Martelly J., Duggal V. P. Geneva, 1955, P/359, Vol. 5^
p. 20.
Nobles R., Wallace J. ANL-4076, 10 (1947).
Измерение положения граничной точки экстраполяции
для тепловых нейтронов
Auger Р., М u n n А. М., Pontecorvo В. Can. J. Res., А25, 143 (1947).
Hendrie J. М. et al. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 3, p. 270 (1959).
Hone D. W. J. Nucl. Energy, All, 34 (1959).
Sisk F. J. ORNL-933 (1951). U
Измерение длины диффузии методом поверхностных источников
В о t h е W., Fiinf er Е. Z. Phys., 122, 769 (1944).
В о t h e W., J ensen P. Z. Phys., 122, 749 (1944).
Fite J. G. Thesis. Gottingen, 1954.
Schluter H. Diploma Thesis. Gottingen, 1956.
Эксперименты по отравлению
Bt‘al 1 о w e W. С., M о r g a n W. R. Trans. Amer. Nucl. Soc., 4, 281 (1961).
Beckurts К. H., К 1 ii b e r O. Z. Naturforsch., 13a, 822 (1958).
Brown H. D., H e n n e 11 у E. J. BNL-719, 879 (1962) *.
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,,
Атомиздат, 1964.
393
Dexter A. H. ANL-4746, 14 (1951).
H e n d r i e J. M. et al. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 3, p. 270 (1959).
Kash S. W.. W о о cl s D. C. Phys. Rev., 90, 564 (1953).
Miller J. Trans. Amer. Nucl. Soc., 4, 282 (1961).
R e i e r M. J. Nucl. Energy, A14, 186 (1961).
Starr E., К op pel J. U. BNL-719, 1012 (1962) *.
Сечение поглощения бора
Prosdocimi A., Deruytter A. I. J. Nucl. Energy, A u В 17, 83 (1963).
Метод интегрирования потока
Baker A. R., Wilkinson D. H. Phil. Mag., Ser. VII, 3, 647 (1958).
В 6 ckho f f К. H. Diploma Thesis. Gottingen, 1956.
Brose M. Unpublished Karlsruhe Report (1960).
Hamermesh B., Ringo G. R., W e x 1 e r S. Phys. Rev., 90, 603 (1953).
Wirtz K., Beckurts К. H. Elementare Neutronenphysik. Berlin — Gottingen —
Heidelberg, Springer, 1958.
Whitehouse W. J., G r a h a m G. A. Can. J. Res., A25, 261 (1947).
R a i e v s k i V. et al. Geneva, 1958, P/1204, Vol. 13, p. 65.
Призма Мирейля
R e i c h a r d t W. Diploma Thesis. Karlsruhe, 1960.
Локальный котловой осциллятор
F u k e t a T. Nucl. Instr. Methods, 13, 35 (1961).
Hoover J. I. et al. Phys. Rev., 74, 864 (1948).
Pomerance H. Phys. Rev., 83, 641 (1951).
Small C. G., S p u r w а у A. H. AERE RP/R 1439 (1956).
Интегральный котловой осциллятор
Breton D. Geneva, 1955, P/356, Vol. 4, p. 127.
Langsdorf A. AECD-3194 (1951).
Rose H., Cooper W. A., Tattersall R. B. Geneva, 1958, P/14, Vol. 16, p. 34.
Weinberg A. M. S c h w e i n 1 e r H. C. Phys. Rev., 74, 851 (1948).
Глава 18
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИИ, ПОГЛОЩЕНИЯ |П ТЕРМАЛИЗАЦИИ
НЕЙТРОНОВ
НЕСТАЦИОНАРНЫМИ МЕТОДАМИ
В течение последних десяти лет в нейтронной физике широкое распро-
странение получили нестационарные методы измерений, поскольку такие
исследования позволяют глубже понять физическую природу проблемы,
давая при этом более точные по сравнению со стационарными методами
результаты. Это в наибольшей степени справедливо для метода пульсирую-
щих источников, большие потенциальные возможности которого впервые
были отмечены фон Дарделем (Dardel von, 1953); с тех пор этот метод стал
стандартным. Более подробно мы познакомимся с ним в п. 18.1 и 18.3.
Тесно связанным с методом пульсирующего источника, но менее распростра-
ненным является метод модулированных источников, предложенный Раев-
ским и Горовитцем (Raievski, Horowitz, 1954); этот метод будет обсуждаться
в п. 18.2.
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
394
Мы снова ограничимся описанием экспериментов для неразмножающих
сред. Оба упомянутых выше метода, особенно метод пульсирующих источ-
ников, имеют широкое применение при изучении подкритических реакторов.
18.1. ИЗМЕРЕНИЯ В ПОЛЯХ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ]
МЕТОДОМ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ИСТОЧНИКА
На рис. 18.1.1 схематически показана аппаратура для проведения
эксперимента с пульсирующим источником. Пульсирующий источник излу-
чает короткие (по сравнению с длительностью во времени изучаемого явле-
ния) импульсы нейтронов в исследуемое вещество. Зависимость потока
нейтронов от времени изучается с помощью детекторов, расположенных
ИОННЫЙ
Мишень - источник
источник ,,
\ Ускоритель
V—si частей,, 3D 0 к б
(о——Пучок дейтронов-----
^Отклоняющая
пластина ионного
источника
Усилитель
мощности
Приемник
| Высокочастотный
। кабель
Преобразо-
ватель
500 Мгр
нейтронов
[Исследуемый
вл о к
\замедлителя
^^Детектор (L/%
фотоумножитель)
Предуси-
литель
Линейный
усилитель
Отпирание
источника
Время
Выжидания
\ Ворота |
Основной
времязадающий
генератор
10 гр -^-ZOOMeu
18-канальный временной
дискриминатор
fTilll'i11
□ □ □ □ Перасчетные приборы
llil 1 1 1
□ □ □ □ Регистрирующие
приборы
Рис. 18.1.1. Устройство, использованное Де-Сосюром и Силь-
вером (De Saussure, Silver, 1959).
в среде или на ее поверхности, и регистрируется многоканальным анализа-
тором. После того как интенсивность нейтронов существенно спадает, в среду
вводится новый импульс нейтронов и вся процедура повторяется снова.
После каждого импульса нейтроны сперва замедляются (некоторые опыты
по замедлению с пульсирующим полем уже обсуждались в п. 16.3), а затем
термализуются; в конечном итоге мы получаем термализованное поле ней-
тронов, которое затухает вследствие утечки и поглощения в соответствии
с законами диффузионной теории. Теория такого затухания уже излагалась
подробно в п. 9.2 и 10.3; здесь нам потребуется единственный результат,
заключающийся в том, что после затухания всех высших пространственных
и энергетических гармоник поле спадает по закону Ф (5) ~ е-ос/, где
а (В2)« а0 + D0B2 — СВ^-р о (В4). (18.1.1)
В результате экспериментов с пульсирующим полем термализованных
нейтронов получают зависимость а (В2), на основе анализа которой можно
определить диффузионные параметры среды.
395
18.1.1. Оборудование для экспериментов
с пульсирующим источником нейтронов
Ограничимся здесь обсуждением только основного оборудования; более
подробные сведения об аппаратуре, используемой в экспериментах с пульси-
рующим источником нейтронов можно найти в работах фон Дардела
и Сёстранда (Dardel von, Sjostrand, 1954) и Бекурца (Beckurts, 1962).
В настоящее время в качества источника нейтронов наиболее часто
используют компактные ускорители дейтронов с напряжением 150—400 кв
совместно с тритиевыми мишенями. В экспериментах с тепловыми системами
длительность импульса должна меняться от 10 мксек до 1 мсек; обычно скваж-
ность лежит в интервале от 1/20 до 1/100. При токе в импульсе порядка 1 мат
т. е. при среднем токе от 10 до 50 мка, можно получить со свежей тритиевой
мишенью достаточную интенсивность. Необходимо иметь очень большое
отношение сигнала к фону; поэтому ток в течение импульса должен быть
велик по сравнению с током в интервалах между импульсами (по крайней
мере в 105 раз больше).
Выбор нейтронных детекторов в экспериментах с неразмножающими
тепловыми системами не представляет трудности. В большинстве экспери-
ментов применялись ВР3-счетчики. Однако измерения проводились также
с камерами деления, кристаллами Li6(Eu) I и сцинтилляторами из литиевого
стекла. ВБ3-счетчики и камеры деления обычно надежно работают при
температурах, не превышающих примерно 300° С; при более высоких темпе-
ратурах следует использовать охлаждение. Необходимо, чтобы детектор
и связанная с ним радиотехническая аппаратура имели малое мертвое
время, которое нужно точно знать. Усилитель должен надежно работать
при высоких скоростях счета, которые имеют место непосредственно после
импульса нейтронов.
Многоканальный временной анализатор должен иметь от 50 до 100 кана-
лов, ширины которых могут меняться в пределах от 1 мксек до 1 мсек. Ана-
лизаторы, используемые при измерениях по времени пролета, для такого
рода экспериментов непосредственно не приспособлены, так как обладают
большим мертвым временем. Существуют, однако, радиотехнические схемы,
созданные специально для экспериментов с импульсным источником ней-
тронов (см., например, Glass, 1957; Gatti, 1953; Dardel von, 1954).
В экспериментах с импульсным источником нейтронов обратное рассея-
ние нейтронов может создать большой фон. Поэтому необходимо позабо-
титься, чтобы обратное рассеяние было по возможности малым. По этой
причине установку с пульсирующим источником нейтронов следует распо-
лагать в достаточно большом помещении, температуру которого необходимо
тщательно контролировать и, возможно, даже поддерживать постоянной.
18.1.2. Измерение зависимости а (В2)
Чтобы получить зависимость а (В2), необходимо измерить постоянную
затухания а для сборок различных размеров и вычислить для них геометри-
ческий параметр В2. Некоторые формулы для расчета В2 приведены в п. 9.2.1.
В качестве длины экстраполяции обычно используют значение d — djl'ktr»
Однако для воды и других водородсодержащих замедлителей величина d
зависит от размеров сборки, что обусловлено сильной зависимостью сечения
рассеяния от энергии. В этих случаях предпочтительнее использовать резуль-
тат Гелбарда (см. п. 10.3.4).
Постоянная а определяется из кривой затухания. Эта процедура ослож-
няется тем обстоятельством, что кривая затухания имеет чисто экспонен-
циальный характер только в течение ограниченного интервала времени
(рис. 18.1.2). Действительно, в течение некоторого промежутка времени,
близкого к начальному, заметную роль играют еще высшие пространствен-
ные гармоники и переходные эффекты энергетической зависимости, а спустя
396
длительное время существенный вклад в поток начинает давать фон. Влия-
ние переходных эффектов, связанных с формированием энергетического
спектра, можно исключить, выждав
достаточное время после начала экспе-
римента, в течение которого поле
нейтронов полностью термализуется.
Поэтому после введения импульса
должно пройти некоторое время за-
паздывания tw, по истечении которого
можно приступать к измерению кривой
затухания. Время tw можно определить,
изучая затухание поля с помощью
двух детекторов с сильно отличающи-
мися энергетическими зависимостями,
например с помощью тонкого (закон 1/и)
и толстого (черного) борных счетчиков.
Пока спектр изменяется со временем,
отношение скоростей счета этих двух
детекторов также меняется во времени;
как только это отношение станет по-
Рис. 18.1.2. Зависимость потока нейтро-
нов от времени после введения импульса
быстрых нейтронов в замедлитель
(Bi, *2! — период наблюдения скорости
затухания).
стоянным, можно соответствующий мо-
мент времени принять за величину tw (Starr, de Villiers, 1962), Время tw
можно получить также, определяя величину а последовательно из кривой
затухания, начиная всякий раз вы-
Рис. 18.1.3. Постоянная спада, измеренная
в небольшом блоке бериллия (305 X 365 X
X 365 мм) в зависимости от времени t0,
прошедшего между моментом введения
импульса нейтронов и моментом начала
измерений. 2
числения с различных, все время
возрастающих моментов времени tQ.
Величина а сначала уменьшается,
а затем принимает постоянное значе-
ние при t0 > tw. Таким образом,
можно получить, например, для гра-
фита tw 2 мсек. В больших сбор-
ках (линейные размеры которых
превосходят две-три диффузионные
длины) время запаздывания в основ-
ном определяется пространственными
гармониками, а не эффектами терма-
лизации. При очень малых размерах
сборок существует ряд факторов,
вследствие которых стационарный
спектр не достигается даже спустя
произвольно большой промежуток
времени. Это наглядно видно на
примере очень холодного бериллие-
вого блока (рис. 18.1.3), для кото-
рого значение а постоянно умень-
шается с увеличением времени t0.
Это связано с тем (см. п. 10.3.3), что
при некоторых условиях асимптоти-
ческий спектр термализованных ней-
тронов не достигается вообще.
Влияние пространственных гар-
моник можно весьма существенно
уменьшить соответствующим расположением источника нейтронов и детектора.
В сборке в виде параллелепипеда источник устанавливают в центре одной
из боковых поверхностей так, чтобы по х- и ^-направлениям возбуждались
только нечетные (Z, т = 1, 3, 5, . . .) гармоники. Если детектор поместить
в центр прилегающей боковой поверхности, то из гармоник, возбуждаемых
по направлению z, будут регистрироваться только нечетные (п = 1, 3, 5, . . .).
397
Рис. 18.1.4. Взаимное расположение ис-
точника нейтронов и двух детекторов, при
котором гасятся все четные гармоники
и все нечетные, соответствующие значе-
ниям Z, т, п = 3:
1 — мишень пульсирующего источника, рас-
положенная в точке х = у ~ а/2, z = 0; 2 —
счетчик I, расположенный в точке х = у =
= 2Ла, z = Ь/3; з — счетчик II, расположен-
ный в точке х = у == 2/3а, г = 2/3Ь.
Таким образом, вместе с основной гармоникой 111 будут детектироваться
гармоники 311, 131 и 113, которые затухают значительно быстрее. Если
использовать два детектора, соединенных параллельно, и разместить их
в замедлителе, как это показано на рис. 18.1.4, то можно также исключить
все гармоники, для которых Z, иг, п = 3. Тогда следующими за основной
будут гармоники 511, 151, 115. Аналогичные рассуждения допустимы и для
цилиндрической геометрии. Как правило, исключение высших гармоник
тем труднее, чем больше система по сравнению с длиной диффузии нейтронов.
В некоторых случаях можно путем анализа кривой затухания с переменным
временем затухания (см. выше) непо-
средственно убедиться, что высшие
гармоники существенно уменьшились.
В случае протяженных систем
можно применить также метод ана-
лиза, основанный на разложении
в ряд Фурье. Перемещая в системе
маленький счетчик, измеряют кри-
вую затухания в большом числе
точек rv. Поток Ф (г, t) можно пред-
ставить в виде
Ф(г,<) = 2^Яп(г)Ф»(0. (18.1.2а)
п
Здесь Rn (г) — пространственные соб-
ственные функции тг-й гармоники,
а Фп (t) — соответствующие функции
затухания. Очевидно,
Фп(0~ ШИ dr. (18.1.26)
Таким образом, в соответствии с со-
отношением (18.1.26) можно выделить
кривые затухания отдельных гармо-
ник, если проинтегрировать измеренное пространственное распределение. Та-
кие вычисления для систем из Н2О были проведены Лопезом и Вейстером (Lo-
pez, Beyster, 1962), а для систем из D2O — Мейстером (Kussmaul, Meister,
1963).
Фон при измерениях обусловлен нейтронами, испускаемыми источником
в интервалах между импульсами, и обратным рассеянием. Можно сущест-
венно уменьшить эффект обратного рассеяния, покрывая поверхность блока
замедлителя кадмиевыми или, что еще лучше, толстыми борными листами.
Тем не менее почти всегда остается слабо меняющийся фон, вызванный
быстрыми нейтронами, который необходимо аккуратно определить и вычесть
из результатов измерений, прежде чем приступить к вычислению величины а
на основании измеренной кривой затухания.
После исключения фона и определения времени запаздывания можно
по кривой затухания вычислить а. Для получения достаточной точности
необходимо, чтобы кривая затухания на рабочем участке изменялась
в несколько десятков раз (20 или 30 раз) при хорошей статистической точ-
ности. Вычисления величины а обычно проводят либо методом Пайерлса
(Peierles, 1935), либо методом Корнелла (Cornell, 1956). В отдельных случаях
точность измерения величины а составляет примерно 0,2%.
18.1.3. Результаты исследования различных замедлителей
методом пульсирующего источника нейтронов
Во-первых, метод пульсирующего источника позволяет получить зави-
симость а (52) для замедлителя. Этим, однако, обычно не ограничиваются
и с помощью соотношения (18.1.1) пытаются определить диффузионные пара-
398
метры cz0 = v Sa (к), Do и С. Для этой цели измеренная зависимость аппрок-
симируется параболой, коэффициенты которой подбираются методом наи-
меньших квадратов *. Этот метод позволяет получить параметры и
с достаточной точностью. Наоборот, точность определения величины С не
высока, поскольку отклонение кривой а (В2) от прямолинейной зависимо-
сти невелико, а в малых сборках в величину а дают вклад также слагаемые
высших порядков GB8-\- . . .). Таким образом, следует проводить
измерения на сборках, для которых этот вклад несуществен, либо вносить
соответствующие расчетные поправки на слагаемые высших порядков.
Однако теоретическая оценка этих слагаемых, которые существенно зависят
от термализационных и диффузионных эффектов, трудна.
Легкая, вода. Табл. 18.1.1 содержит диффузионные параметры, получен-
ные разными авторами на основании аппроксимации зависимости а (Z>2)
Таблица 18.1.1
Диффузионные параметры воды (при 22° С), полученные
методом пульсирующего источника нейтронов
осо, сек-1 Dq, cm2- сек-1 С, см1- сек-1 Автор
4892 36 340+750 7300+1500 Dardel von, Sjost- rand, 1954
4831 35 000+1000 4000+1000 Антонов и др.,’ 1955
4950 34 850+1100 3000+1000 Bracci, Coceva, 1956
4808 35 450+600 3700+700 Dio, 1959
4785 35 400+700 4200+800 Kuchle, 1960
4768 36 892+400 5116+776 Lopez, Beyster, 1961
Примечание. Значения С не приведены
к температуре 22° С.
с помощью трехпараметрической кривой. При В2 < 0,9 см~2 вклад слагае-
мого с В8 мал, причем величина параметров не зависит существенно от спо-
соба оценки. Значения параметров приведены к температуре 22° С. Резуль-
таты Антонова и др. (Antonov et al., 1955), Браччи и Соцевы (Bracci, Coceva,
1956), Дио (Dio, 1958), а также Кюхле (Kuchle, 1960) в пределах эксперимен-
тальной погрешности хорошо согласуются с данными Старра и Коппеля,
полученными по методу отравления (см. п. 17.2.2). Результаты Лопеза
и Вейстера (Lopez, Beyster, 1962) несколько выше. На рис. 18.1.5 сравни-
вается кривая а (7>3), измеренная последними авторами, с кривой, получен-
ной Кюхле (которая почти совпадает с результатами остальных вышеупомя-
нутых авторов). Результаты Лопеза и Вейстера выше значений, получен-
ных Кюхле, особенно при больших геометрических параметрах. Возможная
причина такого расхождения может быть связана с тем, что Лопез и Бейстер
использовали для своих сборок кубическую геометрию, в то время как
Кюхле и другие исследователи использовали плоские цилиндры. На основа-
нии этих результатов можно заключить, что имеется сильная зависимость
экстраполированной граничной точки от геометрической формы сборки **
(Hall, Scott, Walker, 1962).
Антонов и др. исследовали процесс диффузии нейтронов в воде методом
пульсирующего источника при температурах вплоть до 280° С. Их экспери-
ментальные результаты для коэффициента диффузии можно аппроксимиро-
* Обычно подгонку производят таким образом, чтобы сумма квадратов относи-
тельных (но не абсолютных) отклонений точек на кривой от измеренных значений была
минимальной.
** Для кривых, приведенных на рис. 18.1.5, при вычислении В2 использовали
величину d, определяемую согласно Гелбарду (см. п. 10.3.4). При d = 0,71 должен
был бы получиться по существу тот же результат.
399
вать с помощью следующей формулы:
(°>934 ± °’028) +(0’289 ± °’009)' 10'2Г°+
+ (0,106 ± 0,03) -1О-4Г2о, (18.1.3а)
где То (°C) — температура воды.
Измеренные значения величины С согласуются с соотношением
= (0,987 ± 0,098) + (0,619 ± 0,031). 10'3Z0 +
+ (0,348 ± 0,104) • 10'4^. (18.1.36)
Хонек вычислил диффузионные параметры для Н2О при комнатной
температуре с помощью численного решения уравнения переноса для модели
Рис. 18.1.5. Постоянная спада а как функция геометрического пара-
метра В2 для воды при 26,7° С:
О — — — О — результаты Кюхле, полученные для плоского цилиндра
при 22° G и приведенные к температуре 26,7° G; ф-©— результаты Лопеза
и Вейстера для куба при 22° G.
Нелкина (см. табл. 10.3.4). Он получил значения jD0 = 37460 елгЛсейГ1
и С = 2878 см*-сек"1. Величину С можно оценить также элементарным
методом, изложенным в п. 10.3.1. Если предположить, что вращение моле-
кул воды существенно ограничено, но молекулы могут свободно переме-
щаться поступательно, то в первом приближении воду можно рассматривать
как газ с А — 18 и сц = 80 барн/атом водорода. Используя измеренное
значение Do в предположении, что ход сечения (Jtr имеет 1/р-зависимость,
получим значение С = 4250 см^-сек~х (см. табл. 10.3.1).
Тяжелая вода. На рис. 18.1.6 приведена кривая а (732) для тяжелой воды
(99,82% D2O, 22° С). Кусмаул и Мейстер (Kussmaul, Meister, 1963) полу-
чили результаты для jB2<5-10“3 см~2 на основании анализа разложения
в ряд Фурье пространственно-временного распределения потока, измерен-
ного в большом цилиндрическом баке. В результате аппроксимации экспе-
риментальных данных трехпараметрической кривой ими были найдены сле-
дующие значения:
Do = (2,00 ± 0,01). Ю5 см* > сек'1,
а0 — 19,0 ± 2,5 сек"1,
С - (5,25 ± 0,25) • 105 см4 • сек1.
400
Кусмаул и Мейстер установили, что в интервале изменения В2, в котором
проводились измерения, слагаемое, включающее пренебрежимо мало.
Хонек получил теоретически
переноса в модели Нелкина
в применении к D2O) значе-
ния Do = 2,069-105
и С = 4,852 • 105 бш4 • сек1 (см.
табл. 10.3.4).
Гангули и Уолтнер (Gan-
guly, Waltner, 1961) методом
пульсирующего источника
нейтронов исследовали темпе-
ратурную зависимость коэф-
фициента диффузии для D2O
в области температур от 20
до 50° С; их результаты
уже были приведены на
рис. 17.2.2.
(в результате численного решения уравнения
0 12 3 4 Bz.10"2CM~2
Графит. Антонов и др.
(Antonov et al., 1955), Бекурц
(Beckurts, 1957), Лаланд
(Lalande, 1961), Старр и
Прайс (Starr, Price, 1959,
Рис. 18.1.6. Постоянная спада а как функция
геометрического параметра В2:
• — измерения пространственно-временного распределе-
ния нейтронов в большом баке с D2O с последующим
анализом по методу Фурье; О — измерения спада основ-
ной гармоники в меньших объемах.
1962), Клозе, Кюхле и Рей-
хардт (Klose, Kuchle, Reichardt, 1962) проделали опыты с пульсирующим
источником нейтронов в графите. На рис. 18.1.7 приведена зави-
Рис. 18.1.7. Постоянная спада а как функция геометрического
параметра В2 (О — Starr, Price; ф — Klose et al.) для непо-
глощающего графита с плотностью 1,6 г/см3 при комнатной
температуре.
симость а (В2), полученная Старром и Прайсом, а также Клозе и др.* Эти
две серии измерений взаимно согласуются; в некоторых ранних эксперимен-
тах наблюдался более слабый спад кривой при больших значениях В2, кото-
рый, по-видимому, обусловлен ошибками при измерении величины а, свя-
* Эксперименты проводились с графитовыми образцами различной чистоты
и плотности. Чтобы исключить вызванную этим разницу, результаты приводились
к (гипотетическому) случаю непоглощающего графита с плотностью 1,6 г/см3, т. е. строи-
16 Г1,6\2
лась кривая — (а — а0) в зависимости от величины I — 1 В2.
.26 Нейтронная физика
401
занными с занижением времени запаздывания. Способы оценки диффузион-
ных параметров для графита, полученных на основании кривой а (В2), до
сих пор не разработаны достаточно аккуратно. При анализе эксперименталь-
ных кривых часто получают различные значения величин Do и С в зависимо-
сти от рассматриваемого диапазона изменения параметра В2. Это проиллю-
стрировано на рис. 18.1.8 для случая трех- и четырехпараметрической оце-
нок результатов измерений Клозе, Кюхле и Рейхардта. При трехпараметри-
ческой аппроксимации разумно, очевидно, использовать только часть кри-
вой до значений В2, не превышающих 6-10-3 см~2\ в этом случае * а0 =
Рис. И8.1.8а. Транспортная длина сво-
бодного пробега в графите как функция
наибольшего значения В2, использован-
ного при аппроксимации зависимости а (В2)
трехпараметрической (ф) и четырехпара-
метрической (О) кривыми.
Рис. 18.1.86. Постоянная диффузионного
охлаждения для графита как [функция
наибольшего значения В2, использован-
ного при аппроксимации зависимости а (В2)
трехпараметрической (ф) и четырехпара-
метрической (О) кривыми.
= 88,3 ±1,2 сек-1. DQ = (2,13 ± 0,02)-105 С = (26±5)х
X105 см^-сек'1 (р = 1,6 г/см3. Tq = 20qC). Аппроксимация с помощью
четырехпараметрической кривой возможна во всем интервале изменения В\
При этом получаются следующие значения параметров: а0 = 88,6 ± 1,6 сект1,
DQ = (2,11 ± 0,02)-105 С = (16 ± 5)-105 см4-^"1, F =
= — (20 ± 10)-107 см*-сек'1.
Таблица 18.1.2
Диффузионные параметры графита (1,6 г/еле3), полученные
при трехпараметрической аппроксимации зависимости а {В2)
а0> сек-1 10а см2.сек-1 С, Ю5 см4«сек-1 Диапазон изменения В2, 10-3 см-2 Автор
82+3 127+1 71,2±0,9 75,0+0,6 2,07+0,03 2,13+0,02 2,06+0,02 2,14+0,01 12,5+2,0 16,3+2,5 12,4+2,2 39+3 1—40 0,7—5,5 1,6—27,5 1,76—18,9 Антонов и др., 1955 Beckurts, 1956 Starr, Price, 1959 Starr, Price, 1962 (графит GBF)
р. Ро
При мечан ие. а0 (р1) = ~ сс0 (р2); DQ (рр= — DQ (р2);
с(р1)=(тг)3с
Табл. 18.1.2 содержит дополнительные данные, которые были полу-
чены с помощью трехпараметрической аппроксимации экспериментальной
зависимости а (В2). Антоновым и др., а также Старром и Прайсом получены
* При оценке диффузионных параметров результаты измерений с помощью пуль-
сирующего источника были увеличены на основе измеренных значений диффузионной
длины, полученных методом призмы.
402
Рис. 18.1.9. Транспортная длина свободного
пробега тепловых нейтронов в бериллии
(1,85 г/см3) как функция температуры за-
медлителя:
• — измеренные значения; О — расчет.
заниженные значения величины С, что связано, вероятно, с ошибками при
измерениях на малых сборках, как отмечалось выше; занижение параметра С,
полученного Бекурцем, можно объяснить тем, что при обработке результатов
эксперимента диапазон изменения величины В2 был невелик.
Для графита с плотностью 1,6 г/см3 Хонек, используя модель Паркса
(см. табл. 10.3.4), получил теоретически значения = 2,178-105 см^-сек-1,
С = 24,6-105 ел/Леея-1 и F = — 8,3-107 см6-сек-1. Метод Такахаши
(см. п. 10.3.2) дает значение С — 2,48-10,8-105 см1-сект1 = 26,8-105 см1-сект1,
в то время как, согласно модели свободного газа с массой, равной
12, С' = 4-105 (см.
табл. 10.3.1).
Бериллий. В табл. 18.1.3 при-
ведены некоторые данные по диф-
фузионным параметрам для метал-
лического бериллия при комнатной
температуре. Наблюдаются суще-
ственные расхождения в значениях
постоянной диффузионного охлаж-
дения, что обусловлено, вероятно,
недостаточно аккуратными изме-
рениями при больших значени-
ях В2.
Используя метод Такахаши
(см. п. 10.3.2), можно получить зна-
чение С — 3,36-9-104 см1-сек-1
^3-105 см1-сек-1, вто время как для газа с массой, равной 9 (см. табл. 10.3.1),
получаем С = 5,6 • 104 см1 • сек-1. Де Сосюр и Сильвер (De Saussure, Silver, 1959),
Таблица 18.1.3
Диффузионные параметры металлического бериллия (1,85 г/сле3),
полученные при трехпараметрической аппроксимации зависимости a (J52)
tzo, сек-1 ч -Оо, 10а см2 - сек-1 ~ с’ 10 см4-сек-1 Диапазон изменения В2, 10~з см-2 Автор
1,17+0,05 2,93+1,0 8—62 Антонов и др., 1955
150 1,25 0 5—36 Campbell, Stelson, 1959
270+19 1,24+0,04 3,90+0,80 3—41 Kloverstrom, 1958
288+60 1,25+0,06 1,40+1,00 8—72 De Saussure, Silver, 1959
285+8 1,235+0,013 2,80+0,30 3—75 Andrews, 1960
Таблица 18.1.4
Диффузионные параметры различных замедлителей при комнатной температуре,
полученные методом пульсирующего источника нейтронов
Вещество Плот- ность г/см3 осо, сек-1 х Аь 10а см2 - сек-1 С, 105 см4-сек-1 Диапазон измене- ния В2, Ю-з см-2 Автор
Даутерм A 1,062 2870+40 0,492+0,006 0,119+0,021 25—250 Kuchle
Плексиглас 1,18 4300 0,340 — 40—700 Seeman
BeO 2,96 131,5 1,18+0,02 3,85+0,08 20—40 Iyengar
Гидрид цир- кония 3,49 3765+89 0,579+0,003 1,58+0,27 30—110 Meadows, Whalen
Парафин 0,87 5620+150 0,270+0,009 0,020+0,012 71—672 Kuchle
Полиэтилен 0,918 5900+90 0,266+0,005 0,026+0,008 98—143 Sjostrand et al.
26* 403
а также Эндрюс (Andrews, 1960) методом пульсирующего источника изучали
температурную зависимость процесса диффузии нейтронов в бериллии.
На рис. 18.1.9 приведена наблюдавшаяся температурная зависимость вели-
чины Ktr. Для сравнения приведены результаты расчета Сингви и Котари
(Singwi, Kothari, 1958).
Другие замедлители. В табл. 18.1.4 приведены результаты ряда экспе-
риментов методом пульсирующего источника для некоторых замедлителей;
для даутерма А и ВеО была также измерена температурная зависимость
соответствующих параметров вплоть до температуры 200° С.
18.1.4. Определение геометрического параметра
методом пульсирующего источника нейтронов
Обычно в экспериментах с пульсирующими источниками нейтронов
измеряют постоянную затухания а на сборке простой геометрии, для кото-
рой нетрудно вычислить параметр В2. С другой стороны, если кривая а (В2)
для некоторого конкретного замедлителя уже измерена, то можно выполнить
обратную операцию. Именно, измеряя постоянные затухания на сборках
произвольной геометрии, можно с помощью кривой а (В2) определить гео-
метрический параметр. Такие эксперименты представляют обычно интерес
в том случае, когда либо невозможно решить уравнение У2Ф + 52Ф = 0,
либо соответствующая вычислительная процедура весьма громоздка. Такие
ситуации характерны для гомогенных систем со сложными поверхностями
(например, цилиндров с искривленными торцами) или для сборок, в которых
имеются локализованные сильные поглотители (например, кадмиевые
стержни, предназначенные для моделирования эффекта регулирующих
стержней в реакторе). Соответствующие эксперименты были проведены Бекур-
цем (Beckurts, 1956) и Сёстрандом и др. (Sjostrand et al., 1959).
18.1.5. Измерение поглощения методом
пульсирующего источника нейтронов
Большие сборки. Сечение поглощения можно определить на основании
анализа затухания поля нейтронов в «бесконечной» среде из исследуемого
вещества (практически такие «бесконечные» среды можно создать только для
водородсодержащих замедлителей). Если проинтегрировать диффузионное
уравнение -^-^- = £>72Ф — 2аФ по всему пространству, то слагаемое,
описывающее диффузию, обратится в нуль, а получившийся при этом инте-
гральный поток будет удовлетворять следующему уравнению:
±^-=-2аф, (18.1.4а)
решение которого имеет вид
Ф(0-е-^. (18.1.46)
Таким образом, если измерить поток Ф (г, t) вблизи пульсирующего источ-
ника и, проинтегрировав его по всему пространству, построить зависимость
логарифма интегрального потока от t, можно получить прямую линию с накло-
ном и 2а. Подобные эксперименты для воды проводились фон Дарделом
и Уолтнером (Dardel, Waltner, 1953), Мидсом и др. (Meads et al., 1956),
Рамана и др. (Ramanna et al., 1956). Если для измерения потока исполь-
зуют борные счетчики, то в некоторых случаях следует вносить поправку
на дополнительное поглощение в счетчике. Если, однако, использовать
жидкий сцинтиллятор, соединенный со светопроводом из плексигласа, то
необходимость введения такой поправки будет исключена. Действительно,
такой детектор не регистрирует нейтроны и чувствителен только по отно-
шению к у-квантам с энергией 2,2 Мэв, испускаемым в результате захвата
404
нейтронов в водороде. Так как длина свободного пробега этих у-лучей
в воде составляет около 20 см, интегрирование по определенной ограничен-
ной области осуществляется автоматически. Таким методом Мидс и др.
(Meads et al., 1956) получили значение 1/ (и Sa) = 203,3 ± 2,6 мксек.
Измерения с растворами поглощающих веществ. Метод пульсирующего
источника нейтронов позволяет провести абсолютные измерения сечения
поглощения любого поглотителя, который можно растворить в воде. Первую
серию измерений проводят в отсутствие поглотителя, т. е. исследуют зату-
хание поля нейтронов в сосуде, наполненном чистой водой (естественно,
можно применять и другие растворители), определяя постоянную затухания
а0. Затем измерение повторяют в той же геометрии с поглотителем. Если
ход сечения поглотителя следует закону i/v, так что спектральные эффекты
отсутствуют, то постоянная затухания а1 в растворе поглотителя удовлетво-
ряет соотношению
а1 = а0 -г Nv(ja -г ААн^н + (18.1.5)
Здесь оа — сечение поглощения растворенного вещества, N — число атомов
поглотителя в 1 см3, A7VH — изменение числа атомов водорода в 1 см3, вызван-
ное добавлением поглотителя, и AD0 — соответствующее изменение коэффи-
циента диффузии. Величины N и A7V можно определить с помощью химиче-
ского анализа и на основании измерения плотности, а добавку AZ>0 можно
вычислить с использованием сечения рассеяния. [Добавление сильных погло-
тителей даже при малой концентрации вызывает значительное изменение
постоянной затухания, так что последними двумя слагаемыми в соотношении
(18.1.5) можно пренебречь.] Таким образом, измеряя постоянные затухания
а0 и а1, можно с помощью соотношения (18.1.5) определить величину роа,
и следовательно, и сечение оа (2200 м/сек) — ива/(2200 м/сек) *. Этим спосо-
бом Дардел и Сёстранд (Dardel, Sjostrand, 1954) определили сечение поглоще-
ния бора (см. также Scott et al., 1954). Серия тщательных измерений сечения
поглощения некоторых веществ была проведена Мидоусом и Уоленом
(Meadows, Whalen, 1961). Некоторые результаты их измерений приведены
в табл. 18.1.5.
Таблица 18.1.5
Сечения поглощения l/v-поглотителей, полученные
методом пульсирующего источника нейтронов
Элемент аа (2200 м/сек), барн Элемент оа (2200 м/сек), барн
Li В ВЮ Na Ci Мп Со 70,4+0,4 758+4 3843+17 0,47+0.06 33,6+0,3 13,2+0,1 36,3+0,6 Se Вт I Nd Dy 11,7+0,1 6,82+0,06 6,22+0,15 49’9^2’2 936±20
Для веществ, сечение поглощения которых отклоняется от закона i/v,
необходимо ввести соответствующие поправки. Во-первых, при очень высо-
ких концентрациях сильного поглотителя, сечение которого не следует
закону 1/р (например, Cd, Gd или Sm), заметно изменяется спектр нейтро-
нов. Поэтому необходимо проводить измерения сечения поглощения для
различных концентраций поглотителя с последующей экстраполяцией резуль-
* В принципе нет необходимости определять отдельно величины а1 и ос0. Достаточ-
но построить отношение двух кривых затухания; полученная таким образом зависи-
мость соответствует постоянной затухания ос1 — а0 (в предположении, что высшие про-
странственные гармоники не вносят существенного вклада в результаты измерения).
405
татов к нулевой концентрации (рис. 18.1.10). Однако полученное таким
образом сечение поглощения усреднено не по спектру Максвелла,
а скорее по асимптотическому спектру
Рис. 18.1.10. Эффективное сечение поглощения
тепловых нейтронов кадмием в зависимости от
концентрации кадмия в воде (Medows, Whalen,
1961).
нейтронов в экспериментальном
объеме; вследствие эффекта диф-
фузионного охлаждения этот
спектр более или менее сильно
сдвинут в сторону низких энер-
гий в зависимости от размеров
среды. К счастью, нетрудно вве-
сти поправку на эффект диффу-
зионного охлаждения (Medows,
Whalen, 1961). В результате
этого получают величину vea=
= vog (Т) (Уа (2200 м/сек), где
g (Т7) — множитель Весткотта,
vQ = 2200 м/сек, В табл. 18.1.6
приведены результаты измере-
ний Мидоуса и Уоллена.
Таблица 18.1.6
Сечения поглощения некоторых веществ, не подчиняющиеся закону i/v
(метод пульсирующего источника нейтронов)
Элемент g (T «= 20° C) Ga (2200 м/сек), барн Элемент g (T =20° C) 0a (2200 м/сек), барн
Ag Cd In Sm Eu 1,004 1,338 1,020 1,638 0,999 64,8+0,4 2537+9 194+2 5828+30 4406+30 Gd Hf Au Hg 0,888 1,020 1,005 0,998 46 617+100 101,4+0,5 98,2+0,5 374+5
18.2. ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ
МЕТОДОМ МОДУЛИРОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Изучение диффузии на основании анализа распространения нейтронных
волн (см. п. 9.4) в рассеивающих средах было предложено Вигнером (см.
также Weinberg, Noderer, 1951) и впервые осуществлено Раевским и Горо-
вицем (Raievski, Horowitz, 1955).
На расстоянии г от синусоидальномодулированного источника [Q (t) =
= <?o+6(?eic°4 в бесконечной среде относительное изменение потока равно
дф (г, t) ___
Фо (И Z-
ег/£ ехр
V0
4 V^a /
1 г 2со . . [ ,
----—— - Г -j- I I (dt —
VW*> \
Л__ v^a \ '
2(0 |
(18.2.1)
Соотношение (18.2.1) справедливо при условии, что модулированная частота
велика по сравнению со скоростью поглощения но мала по сравнению
с частотой столкновений uSs. Для моноэнергетических нейтронов оно было
получено в п. 9.4; в последующем будем предполагать, что оно справедливо
для модулированных полей тепловых нейтронов. Тогда абсолютная величина
относительного изменения потока удовлетворяет соотношению
Qq
г
Т
(18.2.2)
406
в то время как фазовый угол определяется выражением
»“”«($)=- (18.2.3)
Если в фиксированной точке г измерить отношение 6Ф/Ф0 для различ-
ных частот (а и построить функции In | 6Ф/Ф0 | в зависимости от х =
= ^©(1+^/2®) или ф в зависимости от у = Уы (1—у2а/2<в), то
в результате получим прямую линию с наклоном —г/У2D0. Повторяя
измерения в различных точках г и строя зависимость углового коэффициента
от координаты, снова получим прямую линию с наклоном —11V2D0. Чтобы
вычислить величины х и у, необходимо знать сечение поглощения замедли-
теля, но, поскольку < 2со, достаточно иметь лишь приближенные
значения.
18,2.1. Получение и измерение модулированных полей
нейтронов
На рис. 18.2.1 показана аппаратура, использованная Горовицем и Раев-
ским для изучения распространения нейтронных волн в графите. Сужая
периодически пучок тепловых ней-
тронов, получают пучок, инте-
гральная интенсивность которого
изменяется синусоидально с хо-
рошей степенью точности. Частоту
можно варьировать в пределах от
50 до 500 гц. Пучок нейтронов па-
дает на рассеиватель, расположен-
ный в центре изучаемого замедли-
теля. В первом приближении
г~7~1Пт] г~рц
И g Н # I
Рис. 18.2.1. Аппаратура, использованная Горовицем и Раевским, для изу-
чения распространения нейтронных волн в графите:
1 — реактор; 2 — отражатель; 3 — модулирующий диск; 4 — кадмиевая диафрагма;
5 — двигатель постоянного тока; 6 — световой пучок; 7 — фотоумножитель; 8 — уси-
литель; 9 —переключение пересчетной схемы на шкалу 1000; ю —включение —
выключение; J7 — переключатель I; 12 — формирователь импульса; 13 — переклю-
чатель II; 14—распределитель; 15 —дискриминатор; 13 —высокое напряжение;
17 — графитовая призма; 18 — ВГ3-счетчик; 19 — никелевая мишень; 20 — ловушка.
рассеиватель можно рассматривать как синусоидальномодулированный
точечный источник. В качестве рассеивателя использовали никель (а впослед-
ствии полиэтилен).
Можно модулировать также и радиоактивный (у, п)-источник, изготовив,
•его, например, в виде сердечника из сурьмы с внешней рубашкой из несколь-
ких сегментов бериллия. Между сердечником и рубашкой помещают вращаю-
407
щийся поглотитель (рис. 18.2.2), который периодически ослабляет интен
сивность падающего на бериллий у-излучения. Такое приспособление исполь-
зовалось в экспериментах с тяжелой водой.
На рис. 18.2.1 показана также электронная аппаратура для регистра-
ции и анализа потока нейтронов, зависящего от времени. Поток нейтронов
точник.
измеряется ВГ3-счетчиком, импульсы которого
после усиления подводятся к группе из четырем
пересчетных схем. Эти схемы включаются и вы-
ключаются электронной системой, синхронизи-
рованной с модулятором таким образом, что
они регистрируют соответственно число от-
счетов Z21 ~И ^3 И- 2^4 Ч-2^1» Здесь
Zt — скорость счета в течение Z-й четверти
периода модуляции. Так как
. я
2 Тео
J Ф(0^, (18.2.4)
то
<р=агс^й4?Н!4тЯ (18-2-5а)
I бф i2
I Фо I
= [(Z1 + Z2)-(Z3 + Z4)]2+[(Z2 + Z3)-(^4 + ^J)i2
4 [(^1 + ^2) + (^з + ^4)]2
(18.2.5)
При таком способе интегрирования все четные
гармоники (которые могли возбуждаться вследствие отклонений модуляций
источника от точной синусоидальной формы) автоматически исключаются
18.2.2. Эксперименты с модулированным источником нейтронов
в графите и D2O
Эксперименты с модулированным источником нейтронов в графите
были проведены Раевским и Горовицем (Raievski, Horowitz, 1954), а также
Дроулерсом, Лакуром и Раевским (Droulers et al., 1958). Соответствующая
экспериментальная аппаратура показана на рис. 18.2.1. Предполагается,
что графитовая призма достаточно велика и ее можно считать практически
бесконечной.
На рис. 18.2.3 приведена функция In | S Ф/Фо | в зависимости от вели-
чины х = (1 + и^а12(д), измеренная в различных точках г. Экспери-
ментальные точки очень хорошо аппроксимируются прямолинейной зави-
симостью; угловые коэффициенты соответствующих прямых как функции
расстояния г приведены на рис. 18.2.4. Наклон прямой на рис. 18.2.4
определяет значение Do = (2,09 zb 0,03)-IO5 см2-сек~1 для графита с плот-
ностью 1,6 г/см3 при комнатной температуре. Величину Do можно определить,
также, измеряя фазовый угол ф в зависимости от расстояния до источника
при различных значениях у = ]Лсо (1—vSa/2co) (рис. 18.2.5). Определяя
наклон полученных прямых, строят зависимость их углового коэффициента
от величины у (рис. 18.2.6). Наклон этой результирующей прямой соответ-
ствует значению DQ = (2,09 4z 0,03)-105 см2-сек"1, что хорошо согласуется
со значением, полученным на основании измерения абсолютной величины
относительного изменения потока. Мы видим, что обработка результатов
измерения фазового угла отличается от обработки результатов, получен-
408
стояниях от источника.
1-1
Фо I
Рис. 18.2.4. Угловой коэффициент функций In
в зависимости от расстояния до источника (в гра-
фите) .
Рис. 18.2.0. Фазовый угол arg — как функ-
Фо
ция расстояния до источника при различных
частотах модуляции (в графите).
ных при измерении абсолютной величины относительного изменения потока.
Причина этого следующая. Фазовый угол измеряется относительно фазы
механического модулятора. Однако результат такого измерения не удовле-
творяет соотношению (18.2.3). Дело в том, что вследствие конечной величины
времени пролета нейтронов от
Рис. 18.2.6. Угловой коэффициент функций
дФ
arg — в зависимости от величины у.
Фо
модулятора до рассеивателя по-
является дополнительный сдвиг
фазы, зависящий от частоты.
Этот эффект можно исключить
при обработке результатов, если
строить сначала зависимость
фазового угла от г, а не от у.
Аналогичным образом Раевский
и Горовиц определили значение
Dq = (2,00 ± 0,05). 105
для тяжелой воды (100%) при
13° С.
Измеренное значение коэф-
фициента диффузии в графите
несколько меньше, чем значе-
ние, полученное в большинстве
измерений методом пульсирую-
щего источника нейтронов. Это
обстоятельство разумно связать
с тем фактом, что в эксперимен-
тах с модулированием источника имеют место также спектральные эффекты,
вследствие чего простая развитая здесь теория более не справедлива
и необходимы дополнительные поправки. Подробное теоретическое изучение
подобных эффектов было проведено только недавно (Perez, Uhrig, 1963).
18.3. ИЗУЧЕНИЕ ТЕРМАЛИЗАЦИИ МЕТОДОМ
ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ИСТОЧНИКА НЕЙТРОНОВ
На рис. 18.3.1 схематически показан «жизненный цикл» нейтрона
в замедляющей среде, в процессе которого нейтрон проходит стадию замед-
ления (эпитепловая область), стадию термализации, длящуюся значительно
дольше, и достигает наконец
асимптотической области, где
энергия нейтронов уже не
меняется со временем. Метод
пульсирующего источника
нейтронов чрезвычайно удобен
для изучения этого жизненного
цикла, так как он позволяет
определить спектр или по
крайней мере некоторые сред-
ние по спектру величины в
зависимости от хронологиче-
ского «возраста» нейтронов.
В п. 16.3.1 мы уже обсуждали
некоторые из таких экспери-
ментов в эпитепловой области
(анализ зависимости от време-
Рис. 18.3.1. Жизненный цикл нейтрона в за-
медляющей среде.
ни процесса замедления до
индиевого и кадмиевого резонансов). Эти исследования в принципе служат
для подтверждения элементарной теории процесса замедления на свободных
атомных ядрах, находящихся первоначально в состоянии покоя. В отличие
от этого эксперименты в области термализации, а также в асимптотической
410
области, которые будут обсуждаться ниже, имеют более глубокое физиче-
ское значение, поскольку они выявляют роль химических связей и в преде-
лах определенных ограничений позволяют проверить справедливость раз-
личных теорий термализации.
18.3Л. Интегральное исследование спектра, зависящего от времени
Классический метод изучения процесса термализации в зависимости
от времени — наблюдение пропускания нейтронов во времени. В экспери-
ментах такого типа измеряют обычно временную зависимость интенсивности
нейтронов, покидающих среду, повторяя в каждый момент времени измере-
ния дважды — один раз в присутствии поглощающей фольги между средой
Рис. 18.3.2. Зависимость от времени величины пропускания
через поглотитель (содержание бора 24,4 мг/см2) нейтронов,
покидающих замедляющую среду из воды (354° К) и льда
(98 и 273° К).
и детектором (число отсчетов Z+) и второй раз без нее (число отсчетов Z0).
По окончании таких измерений строят зависимость Z+ (t)/Z° (t). В качестве
фольги выбирают 1/^-поглотитель, например стекло, содержащее бор.
Результаты некоторых экспериментов по измерению кривых пропускания
для воды и льда при различных температурах показаны на рис. 18.3.2 (Dar-
del, Sjostrand, 1954). По окончании процесса термализации, продолжаю-
щегося с понижением температуры все дольше и дольше, наблюдается уста-
новление стационарного спектра. Аналогичные исследования для бериллия
были проведены Антоновым и др., для графита — Антоновым и др. (Anto-
nov et al., 1955), а также Бекурцом (Beckurts, 1957), для окиси бериллия —
Иенгаром и др. (Iyengar et al., 1957) и для гидрида циркония — Мидоусом
и Уоленом (Medows, Whalen, 1962).
Давая полезную качественную информацию, эксперименты по пропуска-
нию не обеспечивают, однако, надежных количественных данных. Большин
ство исследователей безоговорочно предполагали, что энергетическое рас-
пределение является максвелловским, на основании чего с использованием
результатов опытов по пропусканию вычислялась температура нейтронов
(см. и. 15.2.1). Такая процедура позволяет получить зависимость темпера-
туры нейтронов от времени. В качестве примера на рис. 18.3.3 приведена
такая зависимость Т (t) для графита. Используя элементарную теорию,
изложенную в п. 10.4.1, эту кривую можно аппроксимировать соотноше-
нием
Т (t) - То ~ (10.2.15)
из которого нетрудно получить время релаксации температуры t?.
В табл. 18.3.1 приведены полученные таким способом значения tr.
411
Таблица 18.3.1
Время релаксации, полученное из опытов по пропусканию
Вещество tp, мксек Автор
н2о ВеО (1,85 г/см3) Графит (1,6 г/см3) ВеО (2,96 г/см3) —7 121+50 183+38 185+54 165+Ю von Dardel Антонов и др. Антонов и др. Beckurts lyenger et al.
Существует целый ряд серьезных возражений относительно закон-
ности такой процедуры. Предположение, что спектр нейтронов максвеллов-
ский, вполне допустимо только в непосредственной близости от состояния
Рис. 18.3.3. Зависимость температуры нейтронов
в графите от времени, полученная из опытов по
пропусканию через поглотители из серебра. [Сплош-
ная кривая — расчет на основании соотношения
Т (t) — То ~ e~t/tT при tT = 185 мксек. ]
равновесия и при этом
скорее для внутренней ча-
сти, чем для поверхности
среды, где проводится по-
давляющая часть экспери-
ментов. Угловое распре-
деление нейтронов, поки-
дающих поверхность среды,
также влияет на резуль-
таты экспериментов по про-
пусканию. Как правило,
отсутствуют необходимые
сведения об этом распреде-
лении. Эффект простран-
ственных гармоник и конеч-
ность времени пролета
учесть весьма трудно. На-
конец, само понятие време-
ни релаксации температуры
весьма грубо. Поэтому не
следует придавать большого
значения результатам, при-
веденным в табл. 18.3.1, которые не согласуются ни с результатами
других измерений (см. ниже), ни с расчетными величинами (см. табл. 10.4.1).
Наоборот, время термализации tth можно определить достаточно точно.
Согласно изложенному в п. 10.4.2, оно равно 1/а1? где сц — первое собствен-
ное число оператора термализации для нестационарной задачи в отсутствие
поглощения. Величину tth можно измерить довольно аккуратно. Рассмотрим
бесконечную среду, поглощение в которой подчиняется закону 1/р. Зависи-
мость спектра от времени определяется соотношением *
_ _(г2п+‘ )<
Ф (£, t) = М (Е) е-«2“г + Ф, (Е) е + + 8 (t) ,
(18.3.1)
где символом 8 (t) обозначены все быстро затухающие слагаемые более высо-
кого порядка малости. Если поток измеряется детектором с чувствитель-
ностью 2 (£), зависящей от энергии, то скорость счета удовлетворяет соот-
ношению
Z(Z)-Zoe-^ + zie W_r81(Z), (18.3.2)
* Случай непоглощающей среды был рассмотрен в п. 10.4.2. Нетрудно убедиться,
что присутствие 1/у-поглотителя приводит лишь к увеличению собственного значения
на собственная же функция при этом не изменяется.
412
где (f) — быстро затухающие слагаемые более высокого порядка малости.
Здесь
Zo = 2 (Е) М (Е) dE; 2 (#) Ф1 (#) (18.3.3)
Следовательно, измеряя, помимо постоянной затухания основной энергети-
ческой гармоники, постоянную
Рис. 18.3.4. Скорость поглощения
нейтронов как функция времени
в водных растворах кадмия и гадо-
линия.
затухания первой гармоники, получаем
величину tih. Точность определения вре-
мени термализации можно существенно
увеличить, проводя измерения со вторым
Рис. 18.3.5. Постоянная затухания (в графите)
первой гармоники как функция геометрического
параметра. (Два наибольших значения лежат
выше критического предельного значения; см.
табл. 10.3.3.)
детектором, чувствительность которого 2' (Е) по-иному зависит от энергии.
Тогда
Z' (t) = Z'oe~^ + Z[e .
Поскольку Z'/Z'Zt/Zo, то можно подобрать некоторую константу а
таким образом, чтобы выполнялось соотношение
Z' (t)-aZ(t)~e Н-82(О (18.3.4)
[е2 (t) — быстро затухающие слагаемые более высокого порядка малости],
в результате чего основная гармоника будет исключена.
Мёллер и Сёстранд (Moller, Sjostrand, 1962) таким способом определили
время термализации в большой системе с водой. Нейтроны детектировались
путем регистрации захватного у-излучения кадмия и гадолиния; эти веще-
ства имеют сечения поглощения с существенно различной энергетической
зависимостью. Сосуд объемом 250 см3 с раствором этих веществ можно было
свободно перемещать внутри бака с водой. На рис. 18.3.4 приведены полу-
ченные скорости захвата, нормированные к одной и той же основной гармо-
нике затухания для времен, превышающих 20 мксек. Таким образом, раз-
ность соответствующих значений дает зависимость, из которой исключена
основная гармоника. Построив эту зависимость в полулогарифмическом
масштабе, Мёллер и Сёстранд получили значение tth 4 мксек. Значение,
вычисленное на основании модели Нелкина (при к = 2; см. п. 10.4.2
и табл. 10.4.1), также равно 4 мксек, что хорошо согласуется с экспери-
ментом.
Аналогичные измерения для графита были проведены Швейкертом
(Schweickert, 1964). «Бесконечная» среда в этом случае не могла быть реали-
зована и постоянная затухания первой энергетической гармоники определя-
лась для сборок различных размеров; на рис. 18.3.5 показаны результаты
этих измерений в зависимости от геометрического параметра В2. В этих
413
экспериментах необходимо тщательно следить за тем, чтобы были исключены
пространственные гармоники. Швейкерт использовал установку с двумя
счетчиками, показанную на рис. 18.1.4. Поток нейтронов измеряли дважды —
незащищенными ВБ3-счетчиками и ВР3-счетчиками, покрытыми серебром
в качестве поглотителя, что изменяло их функцию чувствительности. Линей-
ная экстраполяция результатов, показанных на рис. 18.3.5, к значению
В2 = 0 дает величину tth ~ 550 мксек (при плотности графита 1,6 а/ог3).
Расчет методом Такахаши приводит к значению ttK = 3-140 мксек — 420 мксек
Пучок
электронов
Ш Про (рот
Д Воск с Вором
Ш Кадмий
Щ Мягкое, железо
СВинец
Рис. 18.3.6. Схема установки, использованной Бернардом и др. для исследования
спектра нейтронов в зависимости от времени в графите:
1 — сборка замедлителя; 2 — монитор; з — мишень из ртути и урана; 4 —кварцевые окна
толщиной 0,43 см; 5 — прерыватель; 6 — свинцовая стенка толщиной 10 см; 7 —детектор.
(см. п. 10.4.2 и табл. 10.4.1). Учитывая неточность процедуры экстраполяции
и большие погрешности экспериментальных результатов, можно считать
расчетные и экспериментальные значения tih сравнимыми.
Аналогичные измерения для гидрида циркония были проведены Мидоу-
сом и Уоленом (см. Meadows, Whalen, 1962); они получили значение =
= 194 -н 32 мксек при плотности гидрида циркония 3,48 г!см*.
18.3.2. Прямые измерения спектра, зависящего от времени
Бернард и др. (Bernard et al., 1962) осуществили детальные измерения
зависящего от времени спектра нейтронов в графите. Их аппаратура пока-
зана на рис. 18.3.6. Пульсирующий источник (в данном случае линейный
ускоритель) синхронизирован с прерывателем таким образом, что между
моментом инжекции импульса и начальным моментом открытого положения
прерывателя существует конечное (переменное) время. Нейтроны выводятся
из центра графитового блока (60x 62x 71 см), где отсутствует градиент
потока; это гарантирует соответствие спектра выходящего пучка спектру
потока. Спектр определяют по времени пролета между прерывателем и детек-
тором, как и в стационарных опытах с прерывателем, описанных в гл. 15.
В результате таких измерений получают спектр, сдвинутый во времени
на величину времени пролета между центром блока и прерывателем, т. е.
функцию Ф (Е, t — d/v). Проводя измерения для различных значений вре-
мени запаздывания, можно получить спектр Ф (Е, t). На рис. 18.3.7 при-
ведены результаты измерения функции Ф (Е, t) в различные моменты вре-
414
мени после инжекции нейтронного импульса в диапазоне от 300 до 1000 мксек.
Наблюдается явно возрастающий со временем сдвиг спектра в сторону низ-
ких энергий; даже к моменту времени t — 1000 мксек процесс термализации
не является завершенным. Вследствие малой интенсивности измерения по
Энергия нейтронов, эв
Рис. 18.3.7. Спектр нейтронов в графите в различные моменты времени
после инжекции нейтронного импульса.
истечении больших промежутков времени после инжекции импульса ней-
тронов невозможны. На рис. 18.3.8, а — в приведены измеренные спектры.
Для сравнения показаны результаты расчетов, проведенных многогрупповым
методом с использованием экспериментальных значений сечения неупругого
рассеяния для графита; наблюдается хорошее согласие, если не считать слу-
чая t = 1000 мксек.
Подобным же образом можно определить асимптотический спектр,
устанавливающийся по окончании процесса термализации; при этом, однако,
измерения следует проводить спустя достаточно длительное время после
415
Ф(П, произб. ед Ф(Е),произЬ.еВ.
Рис. 18.3.8. Экспериментальные и рас-
четные спектры нейтронов в графите,
соответствующие времени запаздывания
t = 300 (а), 600 (б) и 1000 (в) мксек.
момента инжекции импульса нейтронов. Для сред, время жизни нейтронов
в которых мало, например для воды, возможен и другой подход. В этом слу-
чае вместо прерывателя используют простой вращающийся затвор, который
предотвращает утечку нейтронов из среды в процессе замедления и термали-
зации. Затвор открывается лишь после установления асимптотического
спектра. Поскольку время затухания поля мало по сравнению со временем
пролета нейтронов, нет необходимости закрывать затвор снова. Описан-
ным способом было проведено исследование асимптотического спектра
нейтронов в воде (Beckurts, 1961). Экспериментальная установка была
подобна установке, показанной на рис. 18.3.6. Длина пролета нейтронов
416
составляла 335 см\ в качестве пульсирующего источника нейтронов исполь-
зовался сильноточный ускоритель дейтронов с тритиевой мишенью. В этом
Рис. 18.3.9. Спектр нейтронов в «большом»
объеме воды (15 X 15 X 15 см), измеренный
спустя 170 мксек после инжекции импульса
нейтронов. (Сплошная кривая — максвел-
ловское распределение, соответствующее
температуре замедлителя.)
Рис. 18.3.10. Спектр нейтронов в
«малом» объеме воды (5X5X5 см).
(Сплошная кривая — максвеллов-
ское распределение, соответствую-
щее температуре замедлителя.)
эксперименте также имеется запаздывание, обусловленное конечностью
времени пролета, но этот эффект может быть исключен расчетным путем.
На рис. 18.3.9 показан спектр потока нейтронов в «большом» объеме воды,
спустя 170 мксек после инжекции импульса нейтронов. Приведено также
максвелловское рас-
пределение, соответ-
ствующее темпера-
туре замедлителя.
Эксперимент а л ь н ы е
точки хорошо ложат-
ся на эту кривую,
чего и следовало ожи-
дать, поскольку в
большом объеме диф-
фузионное охлажде-
ние практически от-
сутствует. Наоборот,
ход спектра, изме-
ренного в неболь-
ших сборках, обна-
руживает весьма за-
метное влияние диф-
фузионного охлаж-
дения (рис. 18.3.10).
На рис. 18.3.11 по-
казан спектр нейтро-
нов утечки с поверх-
ности «большого» ба-
ка с водой. Вслед-
ствие сильной зави-
27 Нейтронная физика
Рис. 18.3.11. Спектр нейтронов утечки с поверхности «боль-
шого» объема воды (15 X 15 X 15 см):
О — эксперимент; ------- — расчеты Кифхабера; — — — — мак-
свелловское распределение.
417
симости транспортной длины свободного пробега от энергии, этот спектр
гораздо «горячее» максвелловского. Спектр нейтронов утечки хорошо согла-
суется с расчетами Кифхабера (Kiefhaber, 1964), в которых для учета рас-
сеяния нейтронов на воде использовалась модель Нелкина.
ЛИТЕРАТУРА
Общая
Am al di Е. The Production and Slowing Down of Neutrons. Handbuch der Physik.
Berlin — Gottingen — Heidelb. Springer, 1959.
В eckurts К. H. Reactor Physics Research with Pulsed Neutron Sources. Nucl. Instrum.
Methods, 11, 144 (1961).
D a r d e 1 G. F. The Interactions of Neutrons with Matter Studied with a Pulsed Neutron
Source. Trans. Roy. Inst. TechnoL, Stockholm, 75, (1954).
Dardel G. F., Sjostrand N. G. Diffusion Measurements with Pulsed Neutron
Sources. Progr. Nucl. Energy, Ser. 1. Vol. 2, p. 183 (1958).
Proceedings of the Brookhaven Conference on Neutron Thermalization, BNL-719 (1962) *.
Raievski V. Physique des Piles Atomiques. Pressis Universitaires de France, 1960.
Специальная
Оборудование для экспериментов с пульсирующим источником нейтронов
Dardel G. V. Appl. Sci. Res., ВЗ, 35 (1953).
Gatti E. Rev. Sci. Instr., 24, 345 (1953).
Glass F. M. ORNL-2480, 22 (1957).
Измерение зависимости a( В2)
В eckurts К. H. BNL-719, RE 1 (1962)*.
Cornell R. G. ORNL-2120 (1956).
Peierls R. Proc. Roy. Soc. (London), A149, 467 (1935).
Silver E. G. BNL-719, 981 (1962)*.
Starr E., de V i 1 1 i e r s J. W. L. BNL-719, 997 (1962).*
Изучение диффузии нейтронов в Н2О
Antonov А. V. et al. Geneva, 1955, P/661, Vol. 5, p. 3.
Антонов А. В. и др. «Атомная энергия», 12, 25 (1962).
Bracci A., Coceva С. Nuovo Cimento, 4, 59 (1956).
Dardel G. F., Sjostrand N. G. Phys. Rev., 96, 1245 (1954).
Dio W. H. Nukleonik, 1, 13 (1958).
Hall R. S., S с о t t S. A., W a 1 k e r J. Proc. Phys. Soc. London, 79, 257 (1962).
Kuchle M. Nukleonik, 2, 131 (1960).
Lopez W. M., Beyster J. R. Nucl. Sci. Eng., 12, 190 (1962).
Изучение диффузии нейтронов в D2O
Ganguly N. К., Walther A. W. Trans. Am. Nucl. Soc., 4, No. 2, 282 (1961).
Kussmaul G., Meister H. J. Nucl. Energy, A u В 17, 411 (1963).
Изучение диффузии нейтронов в графите
Antonov А. V. et al. Geneva, 1955, P/661, Vol. 5, p. 3.
В e c k u r t s К. H. Nucl. Sci. Eng., 2, 516 (1957).
Klose H. Diploma Thesis. Karlsruhe (1962).
Klose H., Kuchle M., R e i c h r d t W. BNL-719, 935 (1962).
Lalande I. Industries Atomiques, 5, No. 5/6, 71 (1961).
Starr E., Price G. Trans. Amer. Nucl. Soc., 2, No. 2, 125 (1959).
Starr E., Pri ce G. BNL-719, 1034 (1962) *.
Изучение диффузии нейтронов в бериллии
Andrews W. М. UCRL-6083 (1960).
Antonov A. V. et al. Geneva, 1955, P/661, Vol. 5, p. 3.
Campbell E. C., S t e 1 s о n P. H. ORNL-2076, 32 (1956).
Komoto T. T., Kloverstrom F. Trans. Amer. ??ucl. Soc., 1, No. 1, 18 (1958).
S a u s s u r e G. de, S i 1 v e r E. G. ORNL-2641 (1959); ORNL-2482, 115 (1959).
S i n g w i K. S., К о t h a r i L. S. Geneva, 1958, P/1638, Vol. 16, p. 325.
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенскоп кон-
ференции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
418
Изучение диффузии нейтронов в других замедлителях
Iyengar S. В. D. et al. Proc. Indian Acad. Sci., 45, 215, 224 (1957).
Kiichle M. Nukleonik, 2, 131 (1960).
Meadows J. W., W h a 1 e n J. F. Nucl. Sci. Eng., 13, 230 (1962).
Seemann K. W. Trans. Amer. Nucl. Soc., 2, No. 1, 69 (1959).
S jo strand N. G., M e d n i s Nilsson T. Arkiv Fysik, 15, 471 (1959).
Измерение параметра В2 методом пульсирующего источника нейтронов
Beckurts K.H.Z. Naturforsch., Ila, 881 (1956).
Sjostrand N. G., M e d n i s J., N i 1 s s о n T. Arkiv Fysik, 15, 471 (1959).
Экспериментальное изучение поглощения в больших сборках
Collie С. Н., Meads R.E., Lockett Е.Е. Proc. Phys. Soc. (London), A69, 464
(1956).
D a r d e 1 G. F., W al tner A. W. Phys. Rev., 91, 1284 (1953).
Meads R. E. et al. Proc. Phys. Soc. (London), A69, 469 (1956).
R a m a n n a A. et al. J. Nucl. Energy, 2, 145 (1956).
Изучение поглощения в растворах
D а г d е 1 G. F., S j о s t г a n d N. G. Phys. Rev., 96. 1566 (1954).
Meadows J. W., Whalen J. F. Nucl. Sci. Eng., 9, 132 (1961).
Scott F. R., Th о m s о n D. B., Wright W. Phys. Rev., 95, 582 (1954).
Модулированный источник нейтронов
Droulers Y., Lacour J., RaievskiV. J. Nucl. Energy, 7, 210 (1958).
Perez R. B., U h r i g R. E. Nucl. Sci. Eng., 17, 90 (1963).
R a i e v s k i V., Horowitz J. Compt. Rend., 238, 1993 (1954); Geneva, 1955, P/360,
Vol. 5, p. 42.
Weinberg A. M., N о d e r e r L. C. AECD-3471 (1951).
Опыты по пропусканию нейтронов, спектры которых изменяются во времени
Antonov А. V. et al. Geneva, 1955, Р/661, Vol. 5, р. 3.
Beckurts К. Н. Nucl. Sci. Eng., 2, 516 (1957).
D a r d e 1 G. F., S j о s t r a n d N. G., Phys. Rev., 96, 1245 (1954).
Iyengar S.B.D. et al. Proc. Indian Acad. Sci., 45, 215 (1957).
Meadows J. W., W h a 1 e n J. F. Nucl. Sci. Eng., 13, 230 (1962).
Измерение времени термализации
Moller E., S j о s t r a n d N. G. BNL-719, 966 (1962) *.
Schweickert E. Diploma Thesis. Karlsruhe, 1964.
Измерение нейтронных спектров, зависящих от времени
Barnard Е. et al. BNL-719, 805 (1962)*.
Beckurts K.H.Z. Naturforsch., 16a, 611 (1961).
Kiefhaber E. Nucl. Sci. Eng., 18, 404 (1964).
Доклады, представленные на симпозиум в Карлсруэ, май 1965 **
Ш и м а е в С. Н., Мостовой В. И., Садиков И. П., Чернышев А. А.,
стр. 643.
Kallfelz Т., Reicharelt W., стр. 545.
Kryter R. С., С al am е G. Р., Tullurad R. R., Gaerttner Е. R.,
стр. 465.
Мостовой В. И., Садиков И. П., Чернышев А. А., стр. 643.
Poole М. Т., W у d 1 е г , стр. 535.
Slovacek R. Е., Carbone Е. Т., стр. 517.
* См. на русском языке: Термализация нейтронов. Труды Брукхейвенской конфе-
ренции, США. Перев. с англ, под ред. М. В. Казарновского и В. И. Мостового. М.,
Атомиздат, 1964.
** Список дополнительной литературы, предложенной научными редакторами
перевода.
27*
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТАБЛИЦЫ СЕЧЕНИЙ ИЗОТОПОВ ДЛЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Таблицы содержат измеренные значения сечений поглощения реакций, активации
и рассеяния изотопов *. Данные заимствованы из таблиц BNL-325 (1958) и из приложе-
ния к этим таблицам (1960); лишь в нескольких случаях приведены результаты более
поздних измерений.
В первой колонке таблиц приведен список элементов, которым принадлежат изото-
пы, представленные во второй колонке. После каждого изотопа указано процентное
содержание в естественной смеси. Для радиоактивных изотопов приведен период полу-
распада.
Третья колонка содержит значения сечений поглощения ва при скорости нейтро-
нов vQ = 2200 м/сек. В величине сечения поглощения ста учтен вклад всех реакций
<с исчезновением нейтрона [(/г, у); (тг, р); (п, d); (/г, а); деление].
Приведенные значения представляют результаты прямых измерений поглощения
методом котлового осциллятора, методом пульсирующего источника нейтронов, резуль-
таты измерений другими интегральными методами и результаты экспериментов по про-
пусканию (с учетом соответствующей поправки на рассеяние в последнем случае).
Последние две колонки содержат данные по сечениям реакций. Если поглощение
нейтрона приводит к активности, в четвертой колонке дается соответствующий период
полураспада. Обычно эта активность вызывается радиационным захватом нейтронов;
в тех немногих случаях, когда активность обусловлена другими реакциями, кроме перио-
да полураспада указан также символ конечного ядра. Иногда радиационный захват
нейтрона приводит к нескольким активностям, связанным с образованием изомерных
'Состояний. В этой таблице верхнее (метастабильное) состояние указано над основным
(если известен порядок) и приведенные сечения относятся к прямому образованию каж-
дого состояния. В тех случаях, когда переход из метастабильного состояния в основное
сопровождается рядом других переходов, приведена относительная доля вет-
вления.
В некоторых случаях сечение реакций определяли непосредственно, не прибегая
к измерению индуцированной нейтронами активности. К таким реакциям относятся
деление, некоторые (п, р)- и (п, а)-реакции, в которых непосредственно наблюдаются
протоны пли сс-частицы, и некоторые реакции, приводящие к образованию стабильных
или долгоживущих нуклидов, для которых проводится масс-спектрометрический анализ
-продуктов реакции. Во всех этих случаях в четвертой колонке указан тип реакции.
В пятой колонке приведены сечения активации или сечения соответствующих
реакций. Они соответствуют скорости нейтронов 2200 м/сек. Исключение составляют
-случаи, отмеченные звездочкой; для них измерения проводились в широком «реактор-
ном спектре» более или менее термализованных нейтронов.
Наконец, в последней колонке указаны сечения рассеяния. Большинство приве-
денных значений усреднено по тепловому спектру нейтронов. В ряде случаев, когда
отсутствовали необходимые данные (обозначено двумя звездочками) приведено сечение
/И + 1\2
рассеяния связанного атома, т. е. величина, превышающая в I—I раз сечение рас-
сеяния свободного атома, измеренное в области энергий порядка нескольких электрон-
вольт [см. уравнение (1.4.7)].
* Сечения рассеяния и поглощения элементов для естественных смесей изотопов
приведены в табл. 1.4.1 (см. стр. 22).
420
Таблица 1.1
Эле- мент Изотоп (%, Ti/2) Ga 6apH ^act <ro)> барп as. барн
1Н H1 (-100) № (0,015) (327+2) • 10-3 (0,46+0,10)-10-3 12,4 года (0,57+0,01). IO"3 7±1
2Не He3 (0,00013) He* (-100) 5327+10 0 n, p 5400+200 0 1,0±0,7
3Li Li6 (7,52) Li7 (92,48) 936+6 n, У 0,890 сек 0,028+0,008 0,033+0,005 1,4+0,2**
4Ве Be7 (54 дня) Be9 (100) IO"2 n, P n, a 2,7-106 лет 54 000+8000 <1 0,009+0,003 7=Ь1
5В Bio (19,8) Bn (80,2) 3840+11 zz, у n, p 0,03 сек 0,5+0,2 <0,2 <0,050 4,0+0,5 ** 4,4+0,3 **
6^ Ci2 (98,89) C13 (1,11) C1« (5570 лет) (0,5+0,2) • IO’3 <200 n, у 5570 лет 2,3 сек 0,0038+0,0002 (0,9+0,3).10-3 10-6 5,5+1,0 **
7n N1* (99,63) N15 (0,37) П, Р П, У 7,4 сек 1,75+0,05 0,08+0,02 (24+8). 10-6
8о 016 (99,76) О17 (0,037) 018 (0,204) 5570 лет (С1*) 29 сек 0,4+0,1 (0,21+0,04)-10-з
gF F19 (100) <10-2 11,2 сек 0,009+0,002 3,9+0,2
ioNe Ne20 (90,92) Ne2i (0,26) Ne22 (8,82) 38 сек 0,034+0,010
nNa Na23 (100) 0,528+0,009 14,97 ч 0,531 + 0,008 4,0+0,5
12^8 Mg2* (78,60) Mg2^ (10,11) Mg2^ (11,29) Mg27 (9,39мин) 0,034+0,010 0,280+0,090 0,060+0,060 9,39 мин 21,3 ч 0,027+0,005 <0,030*
13A1 Al27 (100) 2,30 мин 0,21+0,02 1,4+0,1
i4Si Si23 (92,27) Si2» (4,68) Si30 (3,05) 0,080+0,030 0,28+0,09 0,4+0,4 2,62 ч 0,110+0,010
15P P31 (100) 0,20+0,02 14,3 дня 0,19+0,01 5+1
421
Продолжение табл. II
Эле- мент Изотоп (%, Т1/2) c>a (^o)> барн TV2 ° act барн , барн
16s S32 (95,018) S33 (0,750) S34 (4,215) S38 (0,017) n, a 25,1 дня (P33) n, a 87 дней 5,1 мин 0,0018+0,0010 0,015+0,010 <8-10-3 0,26+0,05 0,14+0,04
17С1 Cl33 (75,4) Cl38 (3,08x X105 лет) Cl3- (24,6) 3,08-105 лет 87 дней (S35) 14,3 ДНЯ (Р32) 1,0 сек 37,5 мин 30+20 0,19+0,05 <0,05-10-3 90+30 0,005+0,003* 0,56+0,12
18Ат Ar38 (0,34) Ar38 (0,063) Ar40 (99,600) Ar4! (109 Л1ин) 35 дней 265 лет 109 мин >3,5 года 6+2 0,8+0,2 0,53+0,02 >0,060
19К К39 (93,08) К40 (0,012) К41 (6,91) 1,94+0,15 70+20 1,24+0,10 1,3-109 лет п, р 12,46 ч 3+2* <1 1,20+0,15
20 Са Са40 (96,97) Са42 (0,64) Са43 (0,145) Са44 (2,06) Са48 (0,0033) Са48 (0,185) 0,22+0,04 42+3 164 дня 4,8 дня 8,5 мин 0,70+0,08 0,25+0,10 1,1+0,1 3,1+0,3**
21 Sc Sc45 (100) 24,0+1,0 20 сек 85 дней 20 сек-{- <85 дней 10+4 12+6 22+2 24+2
22Т1 Ti46 (7,95) Ti47 (7,75) Ti48 (73,45) Ti49 (5,51) Ti50 (5,34) 0,6+0,2 1,7+0,3 8,3+0,6 1,9+0,5 <0,2 5,8 мин 0,14+0,03 2+2 4+1 4+2 1 + 1 3+1
23v V38 (0,24) V31 (99,76) п, у 3,76 мин 250+200 4,5+0,9
24СГ Ci*50 (4,31) Cr52 (83,76) Cr53 (9?55) Cr54 (2,38) 17,0+1,4 0,76+0,06 18,2+1,5 <0,3 27,7 дня 3,6 мин 14,6+1,5 0,38+0,04
25Mn Mn*5 (100) 13,2+0,1 2,587 ч 13,2+0,1 2,3+0,3
26Fe Fe54 (5,84) Fe56 (91,68) Fe57 (2,17) Fe58 (0,31) 2,3+0,2 2,7+0,2 2,5+0,2 2,5+2,0 2,96 года 44,3 дня 3,5 мин (Ст55) 2,7+0,4 1,00+0,1 <0,0015 2,5+0,3** 12,8+0,2 ** 2,0+0,5**
422
Продолжение табл. 1.1
ndvg ‘ + +1 24,4+0,5 ** 1,0+0,1 ** 9+1 ** +1 co
udvg ‘(°Л) 16,9=4=1,5 20,2+1,9 36,3+1,5 мин —5,28 года) 100+50 6+2 1,52+0,14 20+2 4,51+0,23 1,8+0,4 130+40 * 0,47+0,05 <10~5 (15+10). 10-6 <2-10-5 (6+4) • 10-6 0,090+0,010 1,10+0,15 <2-10-5 0,100+0,020 0,009 c© c© o'o' +1+1 c© 04 оо о о 1© о 00 CM CM С© о о о о о~ о" о" о" о" +1 +1+1+1+132 см о^оо см оо оо Л - о -о о о© -О - - О ОО Й © 5,4+1,0 o to cm -ГИ CIO О О О co co o' o o” o" +1+1 +1+1+1+1 co г- оюо© cm c© -to о о о о о o' o' o' t© О o' 0 0 o" +1 +1 +1 +1 О Ю CM см оо о c©
<м 10,4 мин 5,28 года 10,4 мин —j— 4-5,28 года (99,7% : 10,4 1,75 ч 1,75 ч 3s 3s со L© С© -1© CM 12,87 ч 5,15 мин 59 ч щ со со •С , . f. .°° * . * - ®оо Й ч е2й ес+'+ Мм о м sth 00 20,2 мин 14,2 ч 12 дней 48 сек 82 мин 57 сек 12 ч (-50% : 5Г 27 ч 5 к s й _A й я S S £ S ° $ St Й2 Г-ОО^Ю 3ч L© s—i CO CM 4,6 ч 18 мин 4,6 18 мин 35,9 ч
Hdvg ‘(Oa) о +1 1^- С© co см о О О 'T-н ©1 +1 +1 -н +1 xf со О 1© VF ©1 см см o'о' +1+1 L© СМ СМ CM o'o' +1+1 CM >© СО СО I— с© о о о o' О~ -гн о o' +1 +1 +1 +1 +1 XT1 00 см co -О —ICO C© c© - ООО 4,3+0,2 co о 1-0 t^ o" o' < +1+1+1+1+1 +1 OlO'CNO-i Ю 00 -Cf -CO oo- ©1
Изотоп (%, т1/2) О' S Et О vE О О 00 о -*-< сч ~ £ - о о о ю ® Ф О © © и ии СО со fs. 1© СО СО СО - -СМ С© 1© Г- СО - - - - < 3^00^2-0- 00 О r-f <?J щ ITJ СО ед СО со ед 2 2 2< 2 2 2 Си63 (69,1) Cues (30,9) Си66 (5,15 мин) Zn6^ (48,89) Zn66 (27,81) Zn6? (4,11) Zn68 (18,56) Zn70 (0,62) Ga89 (60,2) Ga71 (39,8) LQ C© t^- L"s- Ls- - -co - CO о -CO 0- o M w co Ф Ф ф Ф Ф 0 0 0 0 0 (001) 9isy l^cm+hooo o' 00 о 1© - - - - "С© о + c |S COO <M [S ts |S и Э0 00 Ф Ф Ф ф ф ф C/D C£) C£) C/D C£) СЛ Br78 (50,52) BrSi (49,48)
(D Д CD 2 ()giS S оо сч ng 62 Й N R a 0 0Э 32^е cn < 00 CQ Ф cn co jgss
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%, Т1/2) аа(^о), барн Tl/2 ° act ба?н os, барн
звКг Кг78 (0,35) Кг89 (2,27) Кг82 (11,56) Кг83 (11,55) Кг84 (56,90) Кг85 (9,4 года) Кг8в (17,37) Кт87 (77 мин) 34,5 ч 13 сек-\~ 4-2-105 лет n, у n, у 4,4 ч 9,4 года (23% : 4,4 п, у 77 мин 2,8 ч 2,0+0,5 95+15 45+15 210+30 0,10+0,03 0,060+0,020 ч 94 года) <15 0,060+0,020 <600
3?Rb Rb85 (72,15) Rb87 (27,85) Rb88 (17,8 мин) 18,7 дня 17,8 мин 15,4 мин 0,85+0,08 0,12+0,03 1,0+0,2
ssSr Sr84 (0,56) Sr86 (9,86) Sr87 (7,02) Sr88 (82,56) Sr89 (53 дня) Sr90 (19,9 года) <3 70 мин 65 дней (80% : 70 м 2,80 ч 53 дня 19,9 года 9,7 ч <1 1,1+0,3 ин —> 65 дней) 1,5+0,2 0,005+0,001 0.5±0,1 1,0+0,6
39Y Y89 (100) Y90 (64,8 4) 1,31+0,08 64,8 ч 61 день 1,26+0,08 <7 3+2
40Zr Zr" (51,46) Zr91 (11,23) Zr92 (17,11) Zr93 (1,1-106 лет) Zr94 (17,40) Zr9S (2,80) 0,10+0,07 1,58+0,12 0,25+0,12 <4 0,08+0,06 1,1+0,1 65 дней 17,0 ч 0,09+0,03 0,10+0,05
4iNb Nb93 (100) Nb94 (2,2X ХЮ4 лет) 1,16+0,02 6,6 мин 36 дней 1,0+0,5 15+4 5+1
42Мо Mo92 (15,86) M094 (9,12) Mo96 (15,70) Mo96 (16,50) M097 (9,45) Mo98 (12,75) Mo100 (9,62) <0,3 13,9+1,4 1,2+0,6 2,2+0,7 0,4+0,4 0,5+0,5 6,9 ч 67 ч 14,3 мин <0,006 0,50+0,06 0,20+0,05
43ТС Tc" (2, IX X105 лет) 22+3 5+1 **
44RU Ru96 (5,7) Ru98 (2,2) Ru99 (12,8) Ru100 (12,7) Ru101 (17,0) Ru102 (31,3) Ru104 (18,3) 2,8 дня 41 день 4,5 ч 0,21±0,02 1,44+0,16 0,7+0,2
424
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%. Tl/2) (Уа (do), барн Г1/2 ^act барн барн
Rh103 (100) 149+4 4,4 мин 42 сек (99,9% :4,4 12+2 140+30 : мин —> 42 сек) 5+1
48Pd Pdi°2 (0,8) Pdioi (9,3) Pdi<« (22,6) Pdioe (27,1) Pd108 (26,7) Pd110 (13,5) 17,0 дней 4,8 мин 13,6 ч 23,6 мин 5,5 ч 4,8+1,5 0,26+0,04 10+1 0,25+0,05 <0,05
47 A g Agio’ (51,35) Agios (48,65) 31+2 87+7 2,3 мин 253 дня 24,2 сек (5% : 253 д 45+4 3,2+0,4 110+10 ня —> 24,2 сек) 10+2 ** 6+1 **
4gCd Cd106 (1,22) Cdios (0,87) Cdno (12,39) Cdin (12,75) CdU2 (24,07) Cd113 (12,26) Cd114 (28,86) Cdiie (7,58) 20 000+300 6,7 ч 1,3 года 49 мин 5,1 года 43 дня 53 ч 2,9 ч 50 мин 1,0+0,5 1,41+0,35 0,15+0,05 0,030+0,015 0,14+0,03 1,1+0,3 1,5+0,3 <0,008
49In (4,23) Inns (95,77) 49 дней 72 сек (96,5% : 49 54,12 мин 14,1 сек 56+12 3,0+1,0 дней -> 72 сек) 160+2 42+1
50$n Snii2 (0,95) Sn114 (0,65) Sniis (0,34) Sniie (14,24) Snii7 (7,57) Sn118 (24,01) Snii9 (8,58) Sni20 (32,97) Sni22 (4,71) Sni24 (5,98) 112 дней 14,5 дня 250 дней 400 дней 27,5 ч 130 дней 40 мин 10 мин 10 дней 1,3+0,3 0,006+0,002 0,010+0,006 (1+1). 10-3 0,14+0,03 (1,0+0,5). Ю-з 0,16+0,04 0,2+0,1 (4+2). Ю-з
51Sb Sb!2i (57,25) Sbi23 (42,75) 5,9+0,5 4,1+0,3 2,8 дня 3,3 мин 21 мин 1,3 мин 60 дней 6,8±1,5 0,19±0,03 0,030+0,015 0,030+0,015 2,5+0,5
52^0 Tei20 (0,089) Tei22 (2,46) Tei23 (0,87) Tei2i (4,61) Tei25 (6,99) 70+70 2,8±0,9 410+30 6,8+1,3 l,56±O,16 110 дней 58 дней 1,1+0,5 5+3
425-
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%, т1/2) (Уа (г?о), барн ° act барн as, барн
52^6 Те126 (18,71) Те128 (31,79) Те130 (34,49) 0,8+0,2 0,3+0,3 0,5+0,3 110 дней 9,3 ч (98% : ИО 33 дня 72 мин 30 ч 25 мин (22% : 30 0,090+0,020 0,90+0,15 дней -> 9,3 ч) 0,015+0,005 0,15+0,04 <0,008 0,18+0,04 ч —25 мин)
531 1127 (100) П29 (1,7Х Х107 лет) I131 (8,1 дня) 6,22+0,25 25,0 мин 12,6 ч 2,4 ч 5,6+0,3 20+5 50+40 3,6+0,5
54Хе Хе124 (0,096) Хе126 (0,090) Хе128 (1,92) Хе129 (26,44) Хе130 (4,08) Хе131 (21,18) Хе132 (26,89) Хе133 (5,3 дня) Хе134 (10,44) Хе135 (9,13 ч) Хе138 (8,87) 74+1 (2,72+0,11).Ю9 у п, у п, у м, у 5,3 дня п, у 9,13 ч 3,9 мин <5 45+15 <5 120+15 0,2+0,1 190+90 0,2+0,1 0,15+0,8
Cs133 (100) Cs134 (2,3 года) Csi35 (2,6х Х106 лет; Cs137 (26,6 года) 29,0+1,0 2,9 ч 2,3 года (-99% : 2,9 2,6*106 лет 33 мин 0,017+0,004 30+1 ч -> 2,3 года) 134+12* 13+4* <2
56®а Ва130 (0,101) Ва132 (0,097) Ва134 (2,42) Ва135 (6,59) Ва136 (7,81) Ва137 (11,32) Ва138 (71,66) Ва139 (85 мин) Ва140 (12,8 дня) 2+2 5,8+0,9 0,4+0,4 5,1+0,4 0,7+0,1 12,0 дней 7,2 года 85 мин 12,8 дня 18 мин 10+1 7+2 0,5+0,1 4+1 12+4*
57La La138 (0,089) La139 (99,911) La140 (40 ч) 40 ч 3,7 ч 8,2+0,8 3,1±1,0
58^е Се136 (0,19) Се138 (0,26) Се140 (88,48) Се142 (11,07) Се143 (32 ч) 25+25 9+6 0,66+0,06 1,0+0,2 34,5 ч 8,7 ч 55 сек 140 дней 32 дня 32 ч 290 дней 0,6+0,2 6,3+1,5 0,007+0,005 0,6+0,3 0,31+0,10 0,94+0,05 6,0+0,7* 2,8+0,5** 2,6+0,5 **
59РГ Рг141 (100) Рг142 (19,2 ч) 11,3+0,2 19,3 ч 13,7 дня 10,8±1,0 18+3 * 4,0+0,4**
426
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%, т1/2) Ga (ио), барн Tl/2 Gact <ио), барн барн
eoNd Ndi42 (27,13) Ndi43 (12,32) Ndi44 (23,87) Nd14* (8,29) Nd*43 (17,1) Ndi48 (5,72) Nd150 (5,60) 18+2 324+10 5,0+0,6 60+6 10+1 3,4+1,0 3,0+1,5 72, у 11,3 дня 1,8 4 15 мин 240+50 1,8+0,6 3,7+1,2 1,5+0,2 76+7** 12+2**
61Pm Pm147 (2,5 года) 5,3 дня 60+20
62$m Sm144 (3,16) Sm147 (15,07) Sm448 (11,27) Sm149 (13,84) Sm150 (7,47) Sm161 (73 года) Sm152 (26,63) Sm164 (22,53) 87+60 40 800+900 10 000+2000* 216+6 400 дней 47 ч 24 мин <2 140+40 5,5+1,1
езЕч EU151 (47,77) Eu152 (13 лет) Eu1*3 (52,23) Eu154 (16 лет) Eu155 (1,7 года) 7700+80 450+20 9,2 ч п, у 16 лет 1,7 года 15,4 дня 1400+300 * 5500+1500* 420+Ю0* 1500+400* 14000+4000 *
64Gd Gd482 (0,20) Gd154 (2,15) Gd488 (14,73) Gd156 (20,47) Gd487 (15,68) Gd158 (24,87) Gd160 (21,90) 56 200+1000 242 000+4000 230 дней тг, у тг, у 18,0 ч 3,6 мин <125 70 000+20 000 * 160 000+60 000* 3,9+0,4 0,8+0,3
65ТЬ Tb489 (100) Tb180 (73 дня) 46+3 73 дня 7,0 дней ^>22 525+100*
66Dy Dy156 (0,052) Dy I88 (0,090) Dy189 (2,298) Dy184 (18,88) Dy182 (25,53) Dy183 (24,97) Dy184 (28,18) Dy488 (139 мин) 1,3 мин 139 мин 82 ч 2000+200 800+100 5000+2000 *
67Н0 HO165 65+3 27,3 ч 60+12
68Ег Er482 (0,136) Er484 (1,56) Er468 (33,4) Er487 (22,9) Er488 (27,1) Er470 (14,9) 75 мин 10 ч 9,4 дня 2,5 сек-[~ + 7,5 ч 2,03+0,20 1,65+0,17 2,0+0,4 9+2
еэТт Tm169 (100) Tm170 (129 дней) 127+4 129 дней 1,9 года 130+30 150+20* 7+3
427
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%, T1/2) oa (v0), барн Gact барн as, барн
70 Yb Yb1^ (0,140) Yb170 (3,03) Yb171 (14,31) Ybi72 (21,82) Yb173 (16,13) Ybi7^ (31,84) Yb176 (12,73) 32 дня 101 ч 1,8 дня 11 000+3000 * 60+40 5,5+1,0 !
71Lu Lui’5 (97,40) Lu17e (2,60) 3,7 ч 6,8 дня 35+15 4000+800
72Hf (0,18) Hf178 (5,15) Hf777 (18,39) Hf178 (27,08) HP78 (13,78) Hf180 (35,44) 1500+1000 15+15 380+30 75+10 65+15 14+5 46 дней 10+3
73Та Ta181 (99,988) Ta182 (111 дней) 21,0+0,7 16,4 мин 111 дней (-95% : 16,4 5,5 дня 0,030+0,01 19+7 мин—>111 дней) 17 000+2000* 5+1
74W W180 (0,14) W182 (26,4) W183 (14,4) W181 (30,6) W18e (28,4) W187 (24 4) 60+60 20+2 11 + 1 2,0+0,3 35+3 140 дней 73 дня 185 мин 24 ч 65 дней 10+10 2,20+0,25 0,022+0,004 34+7 90+40
75Re Re186 (37,07) Re187 (62,93) Re188 (17 ч) 104+8 66+5 91 ч 17 ч 150 дней 110+10 70+7 <^2
76OS OsiM (0,018) Os186 (1,59) Os187 (1,64) Os188 (13,3) Osi89 (16,1) Oswo (26,4) Osi92 (41,0) Os*»8 (3! 97 дней 10 мин 16,0 дней 31 ч 700 дней <200 0,008+0,002 8+3 1,6+0,4 600+200
77Ir IriQi (38,5) lr192 (74 дня) Iri»3 (61,5) 1,4 мин 74 дня п, у 19,0 ч 280+50 650+100 700+200 130+30
78Pt Ptieo (0,012) Pti92 (0,78) Pti94 (32,8) Ptl95 (33,7) Ptwe (25,4) Ptiee (7,2) PtW9 (31 MUH) 150+150 8+8 1,2+0,9 27+2 0,7+0,7 4,0+0,5 18 ч 4,3 дня 18 ч 1,3 мин 14,1 сек 31 мин 11,5 ч 0,76+0,10 90+40 0,87+0,09 0,069+0,014 0,028+0,005 3,9+0,8 15+10
428
Продолжение табл. 1.1
Эле- мент Изотоп (%, Т1/2) csa (tf0)> барн Tl/2 Gact <vo), барн as, барн
79Ah Au497 (100) Au198 (2,7 дня) Au199 (3,15 дня) 98,6+0,3 2,7 дня 3,15 дня 48 мин 96+Ю 26 000+1200 30+15* 9,3+1,0
80H g Hgi96 (0,146) Ilg198 (10,02) Hg199 (16,84) Hg200 (23,13) Hg201 (13,22) Hg292 (29,80) Hg294 (6,85) П, У П, У пч У п, у 47 дней 5,5 мин 3100+1000* 2500+800 * <60* <60 * 3,8+0,8 0,43+0,10
81Т1 TI203 (29,50) TI206 (70,50) 11,4+0,9 0,80+0,08 2,7 года 4,2 мин 8+3 0,10+0,03
82?Ь Pb294 (1,48) Pb29« (23,6) Pb297 (22,6) Pb298 (52,3) 0,8+0,6 0,025+0,005 0,70+0,03 <0,030 5-107 лет 3,2 ч 0,7+0,2 * 0,0006+0,0002
83^1 Bi209 (100) 0,034+0,002 5,0 дней 0,019+0,002 9+1
seRn Rn220 (54 сек) Bn222 (3,83 дня) 25 мин 11,7 дня (Ra223) <0,2* 0,72+0,07 *
Таблица 1.2
Эле- мент Изотоп (%, Ti/2) оа (г0), барн Т1/2 барн /’ борп (Js, барн
88^а Ra223 (11,2 дня) Ra224 (3,64 дня) Ra226 (1620 лет) Ra228 (6,7 года) 3,64 дня 14,8 дня 41,2 мин <10 мин 130+20 * 12,0+0,5* 20+3* 36+5 * <100 <0,0001
sgAe Ас227 (22 года) 510+40 6,13 ч 520+о0 <+
-90 rl h Th227 (18,6 дня) Th228 (1,90 года) Th229 (7,ЗХ Х103 лет) Th230 (8,0х Х104 лет) Th232 (100) (1,45-1010 лет) Th233 (23,3 мин) Th234 (24,1 дня) 27+2 7,56+0,11 7,3-103 лет 25,6 ч 23,3 мин 24,1 дня <10 мин 123+15 * 35+Ю* 7,33+0,12 1400+200 * 1,8+0,5 * 1500+1000 <0,3 45+11 <0,001 <0,0002 15+2* <0,010 12,6+0,2
429
Продолжение табл. 1.2
Эле- мент Изотоп (%, Т1/2) €>а (Vo), барн °act барн /, барн Qs, барн
91 ₽а Ра230 (17,3 дня) Ра231 (3,4х ||М Лет) Ра232 (1,31 дня) Ра233 (27,4 дня) Ра234 (UX2) (1,18 мин) (UZ) (6,7 ч) 1,31 дня 27,4 дня 1,18 мин 6,7 ч * 41 4ИИ1 О о СО ю О О V7 СМ CM L- 1500+250 0,010+0,005 700+100 <0,1 <500 <5000
92U и230 (20,8 дня) U231 (4,3 дня) U232 (73 года) U233 (1,61х Х105 лет) U234 (0,0057) (2,52-105 лет) U235 (0,714) (7,1-108 лет) U236 (2,40х Х107 лет) U238 (99,3) (4,50-109 лет) U239 (23,5 мин) 73+5 105+4 690+8 7+2 2,71 + 0,02 1,62-Ю5 лет 2,52-105 лет 7,1-108 лет 2,40-Ю7 лет 6,7 дня 23,5 мин 17 ч 300+200 * 52+2 90+30 107±5 6+1 2, / -1+0, Об 22±5 * 25±10 400+300 80+20 524+4 <0,65 586±7 <0,0005 14+3 * 10±2
93^Р Np234 (4,4 дня) Np236 (7500 лет) Np237 (2,2х Х106 лет) Np238 (2,10 дня) Np239 (2,3 дня) 170+5 2,10 дня 7,3 мин 60 мин «5% : 7,3 мы 169+6 35+10* 25+15* -1 60 мин) 900+300 2800+800 0,019+0,003 1600+100
94Ри Pu236 (2,7 года) Pu237 (46 дней) Pu238 (89,6 года) Pu289 (2,44х X Ю4 лет) Pu249 (6,6х Х103 лет) Pu241 (13,2 года) 1030,1 + 8 286+7 1400+80 2,44-1О4 лет 6,6-103 лет 13,2 года 3,7-105 лет 403+10 315+16 250+40 390+50 * 170+35 2500+500 16,8+0,3 748,2+4,9 0,030+0,045 1,010+13 9,6±0,5
ри242 (3,7х Х105 лет) Pu243 (4,98 ч) Pu244 (7,5Х X Ю7 лет) Рн245 (10 ч) 30+2 4,98 ч. 7,5-107 лет 10 ч 11,2 дня 19+1 170+90 * 1,8+0,3 * 260+150* <0,2
95Ат Ат241 (461 год) Ат242т (16 ч) Ат242 (100 лет) Ат243 (7,6х Х103 лет) 630+35 8000+1000 * 16,0 ч 100 лет «6% : 16,0 л 26 мин 750+80* 50+40 * 100 лет) 74+4 3,1+0,2 2500+1000 6400+500 * <0,075
430
Продолжение табл. 1.2
Эле- мент Изотоп (%, T1/2) Ga (v0), барн °aet <®о). барн Gn, f’ баРн (7S, барн
96Cm Cm242 (162,5 дня) Cm243 (35 лет) Cm244 (18 лет) Cm245 (2-104 лет) Cm246 (6,6x X Ю3 лет) Cm248 (4,2x X105 лет) 500+300 * 35 лет 18 лет 2-104 лет 6,6-103 лет <106 лет 65 мин 20+10* 250+50 15+10* 200+100* 15+10* 6+4 * <5 * 700+50 1900+200
97Bk Bk249 (290 дней) 3,1 ч 500+200 *
98^f Cf249 (470 лет; Cf250 (10 лет) Cf25i (—700 лет) Cf252 (2,2 года) Cf254 (55 дней) 900+400 * 10 лет — 700 лет 2,2 года 18 дней 270+100* 1500+1000* 3000+2000 * 28+7 <2 * 600+400*
99^s Es253 (20 дней) Es251 (480 дней) 2700+600 * 38 ч 24 дня 300+150* <40*
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ТАБЛИЦА РЕЗОНАНСНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО
РАЗБАВЛЕНИЯ ПОГЛОТИТЕЛЕЙ *
Представленная ниже таблица, публикуемая с разрешения Аргоннской нацио-
нальной лаборатории, содержит измеренные и вычисленные значения резонансных инте-
гралов поглощения, активации и деления для бесконечного разбавления поглотителя.
Табулируемой величиной является интеграл
Етах
е dE
lx= «х (I') 2? ’
Ес
в котором учтена, таким образом, 1/^-компонента сечения. Значения ЕтаХ и Ес зави-
сят от условий эксперимента. Экспериментальные результаты для величины 1Х не при-
ведены к значениям, соответствующим ЕтаХ = 2Мэв, как это было предложено
в п. 12.2.1, поскольку высокая энергетическая область дает только весьма малый вклад
в резонансный интеграл. При проведении расчетов в большинстве случаев предполага-
лось, что ЕтаХ = оо. Величина Eq, приведенная в таблице, оценивалась в каждом
эксперименте заново. В таблице указаны также значения энергии Eq, использовавшие-
ся в расчетах (как правило, Eq ~ 0,44 эв).
Измеренные значения приводятся с указанием примененного экспериментального
метода.
Таблица II. 1
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси 1х, барн (эксперимент) 1х, барн (расчет) Eq, эв Литера- тура
активация поглощение
Li В N р19 100 28 280+40 4,8+2,4 2,3+0,5 0,4 0,49 0,49 0,49 1 2 2 2
* McArthy А. Е., Persian! Р. J., Spinrad В. I., Templin L. J.
Argone National Laboratory. Reactor Physics Constans Newsletter. No. 1 (1961); Per-
sia n i P. J., К a g a n о v e J. J., M с A r t h у A. E. Ibid., No. 10 (1963).
431
Продолжение табл. II.1
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси I , барн (эксперимент) 1х, барн (расчет) E£r э эв Литера- тура
активация поглощение
Na33 100 -0,24 0,27 0,4 1
Na33 100 0,30+0,01 0,5 5
Mg 0,9 0,4 1
Mg 0,072 b 3
A127 100 <0,18 ь* 3
A127 100 -0,16 0,18 0,4 1
Si 0,5 0,4 1
p31 100 <2 0,4 1
S 0,6 0,4 1
€1 12 0,4 1
Cl 12,8+1,7 0,49 2
К 3,5+1,1 0,49 2
Ca 2 0,4 1
Sc45 100 -10,7 0,4 1
Ti 3 0,4 1
Ti 3,8+0,9 0,49 2
V 4,1 ь 3
V 3,3+0,8 0,49 2
V51 99,76 -2,2 0,4 1
Cr 2,6+1,1 0,49 2
Mn55 100 15,7+0,61 0,55 14
Mn55 100 15,4 b, с 3
Mn55 100 15,6+0,6г 0,55 4
Mn55 100 14,2+0,6 0,5 5
Mn** 100 14,0+0,3 6
100 17 п 0,4
Fe 2,1 0,4 1
Fe 1,8b 3
Fe 2,3+0,25 0,5 7
Те 2,3+0,4 0,49 2
Co*9 100 81+4 8
Co59 100 75+5 0,5 9
Co59 100 72,3+5 0,5 5
Ni 4 0,4 1
Ni 3,1 ь 3
Ni 3,2+0,5 0,49 2
Cu 3,3+0,3 0,5 7
Cu 3,7 4 0,4 1
Cu 3,13 0,64 10
Cu 3,7+0,8 0,49 2
Cu 3,12+0,07 0,64 31
Cu63 69,1 3,71+0,13 0,64 31
Cu63 69,1 4,4 0,4 1
Cu63 69,1 5,1+0,15 0,5 5
Cues 30,9 1,82+0,21 0,64 31
Cu65 30,9 2,2 0,4 1
Cu65 30,9 2,3+0,23 0,5 5
Zn 2 0,4 1
Zn 3,4+0,8 0,49 2
Ca 11,7+2,7 0,49 2
Ga69 60,2 9,2 0,4 1
Ga71 39,8 15 0,4 1
Ge 3,5+2,9 0,49 2
As™ 100 36,8 33 170 а 0,4 1
Se 9,6+1,2 0,49 2
Se77 7,58 33 s 0,4 12
Se80 49,82 0,9 s 0,4 12
Br 118+14 0,49 2
Br79 50,52 147 0,4 1
Br81 49,48 61,6s 0,4 12
Kr82 11,56 200 s 0,4 12
Kr83 11,55 240 s 0,4 12
Kr84 56,90 3,4s 0,4 12
432
Продолжение табл. ПЛ
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси I х, ба/Рп (эксперимент) Ix, барн (расчет) E , эв Литера- тура
активация поглощение
Rb 9,0+2,8 04,9 2
Rb85 72,15 0,55 s 0,4 12
Rb8? 27,85 0,17s 0,4 12
Sr 16 0,4 1
Sr 10,0+2,6 0,49 2
Y«9 100 0,91 0,4 1
Y89 100 0,73s 0,4 12
Zr 3 0,4 1
Zr 0,69+0,09 0,63 b, f 3
Zr 3,7+0,5 0,49 2
Zr 0,94+0,15 32
Zr91 11,23 5,4+1,6 г 0,55 13
Zr91 11,23 5,6 s 0,4 12
Nb93 100 14 ь 16 b,’g 3
Nb93 100 14,5+2,3 0,55 14
Nb93 100 8,62+0,65 0,60 33
Nb93 100 8,4+1, За 34
Nb93 100 10,91 0,44
Nb9* 500+200 а 34
Mo 32,1+3,1 37
Mo 26,751 0,44
Mo 20 b 22 b, g 3
Mo" 15.70 107 ь, h 107 b, g 3
Mo95 15,70 102,91 0,44
Mo96 16,5 43,41 0,44
Mo97 9,45 12,51 0,44
Mo93 23.75 5,43 d 0,44
Mo98 23,75 10,8+2,5 0,5 5
Mo100 Mo100 9,62 9,62 3,73+0,20 10,01 0,5 0,44 15
Tc" 72 b 3
RhlOS 100 656 575 1146 a 0,4 1
Rh103 100 1095 s 0,4 12
Pd 23 • 0,4 1
Ag >650 0,4 1
Ag 841 b 761 b,g 3
Agio’ 51,35 74 0,4 1
Agi" 48,65 1160 0,4 1
Ag109 48,65 1910 b, h 1440 b, g 3
In 3700 b 3100 b, g 3
In 2615+125 0,6 38
In 3300+850 3181 0,40 39
In 31501 0,44
ln113 4,23 877,41 0,44
ln115 95,77 32501 0,44
jn115 95,77 3337 40
ln115 95,77 2540 * 0,4 1
InU5 95,77 2630+133 6
Sn 8,8b 5,3 b, g 3
Sn 5,7+0,7 0,49 2
Snl20 32,97 0,82 s 0,4 12
Snl24 5,98 12 s 0,4 12
Sb 106+13 0,49 2
Sb 115+12 0,5 7
Sbl21 57,25 162 0,4 1
Sbl21 57,25 203 s 0,4 12
Sbl23 42,75 162 s 0,4 12
Sb123 42,75 ~138 0,4 1
Те —74 b, j >49 b, g 3
Те 50,0±6,0 0,49 2
Те122 2,46 56 s 0,4 12
Те123 0,87 6765 s 0,4 12
1/2 28 Нейтронная физика
433
Продолжение табл. II.1
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси Iх, барн (эксперимент) , Ix, барн (расчет) Eq, Э8 Литера- тура
активация поглощение
Те124 4,61 5,5s 0,4 12
Те125 6,99 24 s 0,4 12
Те126 18,71 9,0s 0,4 12
Те!28 31,79 10 s 0,4 12
J127 100 130+18 0,5 7
1127 100 183 Ь 158 b, g 3
J127 100 140 0,4 1
1127 100 173o
J129 42 s 0,4 12
J129 36+4 0,6 16
Хе139 26,44 260 s 0,4 12
Хе131 21,18 810 s 0,4 12
Cs133 100 400+25 г 0,55 17
Cs133 100 504 b 394 b, g 3
Cs135 62+2 0,6 16
Ba 12,6+1,7 0,49 2
Bai3» 7,81 13 s 0,4 12
La 11 0,4 , 1
La139 99,911 13 s 0,4 12
Ce 3,7+1,7 0,49 2
Ce144 2,60+0,26 0,5 41
pr141 100 25 s 0,4 12
Priu 100 15,5+3 г 0.55 17
Nd 40+6 0,5 7
Nd143 12,32 <218 b >181 b, t 3
Ndi45 8,29 156 ь, h >273 b, f 3
Pm147 2190 s 0,4 12
Pm147 1700+250 0,6 42
(Pm148)
1520+230
(Pm148 т)
Sm 1524,7 d 0,44
Sm 1790+270 0,49 2
Sm147 15,07 <1385 b 3
Sm147 15,07 572,6d 0,44
Sm149 13,84 3249 d 0,44
Sm1*0 7,47 255+25 0,54 43
Sm150 7,47 407,9d 0,44
Sm1*1 2373d 0,44
Sm152 26,63 3598 d 0,44
Sm152 26,63 2740+150 г 0,55 17
Sm152 26,63 2210 s 0,4 12
Sm152 26,63 2960 b 3
Eu1*4 47,77 <6900 b 7320 b 3
Eu153 52,23 1500 b 1760 b, g 3
Gd 67+8,0 0,49 2
Tb159 100 393 s 0,13 12
Dy 1390+220 1240 0,40 39
Dy 1264 d 0,44
Dy161 18,88 947,8d 0,44
Dy462 25,53 2610 d 0,44
Dy163 24,97 1244,8d 0,44
Dy364 28,18 382,1d 0,44
Dy164 28,18 420+50 0,4 11
Dy164 28,18 482+33 6
Lu 720+70 0,5 7
Lu175 97,40 463+15 6
Lu176 2,60 887+65 6
Hf 2800+600 0,5 7
Hf 2900 b 3
Hf 2150+480 1906 0,40 39
Hf 2000+350 0,55 14
434
Продолжение табл. ПЛ
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси Iх, барн (эксперимент) I x, барн (расчет) Eq, Эв Литера- тура
активация поглощение
Hf 2258 d 0,44
НН74 0,18 195,0d 0,44
Hf177 18,39 7476 d 0,44
Hf178 27,08 2999 d 0,44
Hf179 13,78 429,7d 0,44
Hfl80 35,44 33,3 d 0,44
Hfl8O 35,44 21,8 0,4 1
Ta 1110b 750 b, g 3
Ta 474+62 0,49 2
Taisi 99,988 590 555 e 0.4 1
w 290+35 0,49 2
w 340 b 3
w 367+33 0,56 37
w 370+60 320 0,40 39
w 333,5d 0,44
W182 26,4 531,0d 0,44
yyi83 14,4 389,3 d 0,44
\V184 30,6 7,5+2,0 6,3 0,40 39
yyi84 30,6 8,83 d 0,44
W186 28,4 420+100 460 0,40 39
yyi86 28,4 473,5d 0,44
W186 28,4 355 0,4 1
yyl86 28,4 396+59 6
Re 694+28 0,6 38
Rei8^ 37,07 1160 1630 a 0,4 1
Re187 62,93 305 310 e 0,4 1
Os 180+20 0,49 2
Ir 2000+490 0,49 2
lr191 38,5 3500 i 7680 a 0,4 1
Ir193 61,5 1370 i 976 a 0,4 1
Pt 69 0,4 1
Pt -189 b, j 114 b, j 3
Au197 100 1558 b 1591 b, g 3
Au197 100 1533+40 0,5 18
Au197 100 1558 0,4 1
Au197 100 1553 0,64 10
Au197 100 1584 ° 0,4
Hg 73+5 0,5 7
Hg 72,4+9 0,49 2
ДД203 129 0,4 1
T1205 0,5 0,4 1
Pb 0,1 0,4 1
Pb 0,13b 3
Bi209 100 0,5 0,4 1
Bi 209 100 0,07 b 3
Th232 100 110 b, h 3
Th232 100 85 0,5 9
Th232 100 94,0 d 0,44
Th233 500+150 k 0,4 20
Th233 400+100 0,5 9
Pa231 1560+55 0,1 26
Pa233 700+200 k 0,4 20
pa233 770+90 0,6 16
U 224+40 0,49 2
JJ233 100+4 (c) 0,4 20
U233 1000+200(c-H) 0,4 20
U233 813 (f) p 21
U233 812 (f) p 0,4 22
U233 870 (f) 23
u233 129,1 (c)d 0,44
U 233 686 (f)d 0,44
U 234 0,0057 661,4 е 0,44
28* 435
Продолжение табл. II.1
Элемент Процент- ное со- держание в естест- венной смеси 1х, барн (эксперимент) Ix, барн (расчет) Eq, Эв Литера- тура
активация поглощение
U 235 0,714 188,3 (с) d 0,44
U 235 0,714 264,4 (f)d 0,44
U235 0,714 271 (f) 0,4 1
U 235 0,714 274+11 (f) 0,5 25
U 235 0,714 340 (f) P 21
U 236 415+40 r 0,55 17
U 236 400+50 k 0,4 20
U 236 350+90 340+40 m 0,4 24
U238 99,3 280+10 k 0,4 20
(J238 99,3 287 b 3
Ц238 99,3 281+20 0,4 19
U 238 99,3 279 + 7 ™ 0,4 24
Np237 955 b, c 3
pu238 3260±280 0,5 35
pu238 111 ,2 <1 0,44
Pu239 181^5(c)d -0,44
pu239 280,2 (f)d 0,44
pu239 1137 (c)d 0,15
pu239 1843 (f) d 0,15
pu239 3600+1000 (c+f) k 0,15 20
pu239 327+22 (f) 0,5 25
Pu240 8269 d 0,44
pu240 . 8467 d 0,133
Pu240 8400+1100 t 0,13* 36
Pu249 11450 b, c 3
Pu240 8700+800 0,5 27
Pu249 9000+3000 0,4 28
Pu240 10 000+2800 0,2 29
Pu241 557+33 (f) 0,5 25
pu242 1275+30 0,5 30
Pu242 1034 d 0,44
Am241 1614(c) e 0,44
Am241 4,07 (f)d 0,44
Am243 1374 d 0,44
Am243 2290+50 0,5 30
Примечания, (с) — резонансный интеграл поглощения; (f) — резонансный
интеграл деления; (с + f) — полный резонансный интеграл поглощения и деления.
а Оценка получена с помощью параметров первого большого резонанса с исполь-
зованием сечения для тепловых нейтронов; не учтена поправка на неразрешенные уровни.
ь Данный резонансный интеграл не зависит существенно от значения граничной
энергии, поскольку ход сечения вблизи граничной энергии подчиняется закону 1/г>.
с Приведенные значения получены на основании измерений в максвелловском
спектре реактора «Dimple», а также с помощью осциллятора реактора «Gleep».
d Приведенные значения вычислены с помощью программы ANL-RE-266 на машине
IBM-704; программа учитывает отрицательные уровни энергии.
е Оценка получена с помощью параметров уровней; поправка на неразрешенные
уровни не учтена.
f Расчет с помощью параметров только первого резонанса с учетом вклада нераз-
решенных уровней.
S Расчет с помощью параметров, приведенных в таблице BNL-325, с учетом вклада
неразрешенных уровней.
11 Измерения только для одних растворов; введена поправка на экранирование.
i Резонанс вблизи тепловой области приводит к значительной зависимости от деталь-
ных характеристик использованного кадмиевого поглотителя.
j Измерения проведены только для одного образца; согласно оценкам, экраниро-
вание велико; поэтому следует подходить критически к приведенным значениям.
k Приведены значения, выбранные авторами на основании анализа имеющихся
данных.
1 Приведено значение для фольги толщиной 0,0254 мм; для фольги, толщиной
0,0508 мм соответствующее значение равно 15,5 ± 0,6 барн.
m Приведенные значения вычислены с помощью параметров уровня с использова-
нием сечения для тепловых нейтронов; учтена поправка на неразрешенный уровень
436
п Вычислено П. Персиани (Persiani, ANL) с помощью параметров уровня, при-
веденных в дополнении 1 второго издания таблиц BNL-325 (1960); учтены поправки
на неразрешенный уровень. В случае Dy184 включен связанный уровень. Параметры
для этого уровня получены из частного сообщения Р. Шера (Sher).
0 Вычислено П. Персиани с помощью параметров уровня, приведенных в работе
[28]; включена поправка на неразрешенный уровень.
Р Получено на основании численного интегрирования сечения деления.
<1 Предварительная оценка.
г В качестве стандарта использовался резонансный интеграл золота (с учетом
1/у-компоненты), равный 1534 барн.
s Вычислено с помощью параметров уровня, приведенных во втором издании таб-
лиц BNL-325 или дополнений к ним (1960). Если число разрешенных уровней равно
трем или больше, то приведенный резонансный интеграл включает вклад от неразре-
шенных резонансов, вычисленных с использованием средних параметров резонансов.
t Среднее значение, полученное с помощью экстраполяции с учетом экранирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Macklin R. L., Р о m е г a n с е Н. S. Resonance Capture Integrals. Proc. 1st
Intern. Conf. Peaceful Uses Atomic Energy, Geneva, P/833, 5, 96 (1955).
2. Klimentov V. B., Griazev V. M. Some Neutron Resonance Absorption Integ-
rals. J. Nucl. Energy, 9, 20-27 (1959).
3. Tattersail R. B. etal. Pile Oscillator Measurements of Resonance Absorption
Integrals. AERE-R-2887 (1959).
4. F e i n e r F. IAPL. Personal communication (1961).
5. D a h 1 b e r g R. et al. Measurements of Some Resonance Activation Integrals. J.
Nucl. Energy, 14, 53 (1961).
6. Crandall J. L. Savannah River. Personal communication
7. Spivak P. E. etal. Measurements of the Resonance Absorption Integrals for Various
Materials and veff — the Multiplication Coefficient of Resonance Neutrons for Fissi-
onable Isotopes. Proc. 1st. Conf. Peaceful Uses Atomic Energy, Geneva, P/659, 5,
91 (1955).
8. Feiner F.,Esch L. J. Cobalt Resonance Integral. KAPL-2000-12 (Dec. 1960).
9. J о h n s t о n F. J. et al. The Thermal Neutron Cross Section of Th233 and the Resonan-
ce Integrals of Th232, Th233 and Co59. J. Nucl. Energy, All, 95-100 (1960).
10. Bennett R. A., Effective Resonance Integrals of Cu and Au. HW-63576 (1960).
11. S h e r R. BNL. Personal communication (1960).
12. W alker W. H. Yields and Effective Cross Sections of Fission Products and Pseudo
Fission Products. CRRP-913 (March 1960).
13. Feiner F. A Measurement of the Resonance Integral of Z* 91r. KAPL-2000-8 (Dec.
1959).
14. Feiner F., Resonance Integrals of Manganese, Hafnium, and Niobium. KAPL-2000-
16 (Dec. 1961).
15. C a b e 1 1 M. J. The Thermal Neutron Capture Cross Section and the Resonance Capture
Integral of Mo100. J. Nucl. Energy, A12, 172-176 (1960).
16. E a s t w о о d T. A. et al. Radiochemical Methods Applied to the Determination of
Cross Sections of Reactor Interest. Proc. 2nd Intern. Conf. Peaceful Uses Atomic Ener-
gy, Geneva, P/203, 16, 54 (1958).
17. E i 1 a n d H. M. et al. Determination of Thermal Cross Sections and Resonance Integrals
of Some Fission Products. KAPL-2000-11 (Sept. 1960).
18. Jirlow K., Johansson E. The Resonance Integral of Gold. J. Nucl. Energy,
All, 101-107 (1960).
19. M a c k 1 i n R. L., Pome rance H. S. Resonance Activation Integrals of U238 and
Th232. J. Nucl. Energy, 2, 243—246 (1956).
20. Halperin J.,Stoughton R.W. Some Cross Sections of Heavy Nuclides Impor-
tant to Reactor Operation. Proc. 2nd Intern. Conf. Peaceful Uses Atomic Energy,
Geneva, P/1072, 16, 64 (1958).
21. Terasawa S. The Effect of Epithermal Fission on Aqueous Homogeneous Reactors.
ORNL-2553 (Aug. 1958).
22. F 1 u h a r t у R. G. et al. Total and Fission Cross Sections of U233 below 1 kev. Proc.
2nd. Intern. Conf. Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, P/645, 15, 111 (1958).
23. H a 1 p e r i n J. et al. The Resonance Integral for Neutron Fission of U233. ORNL-
2983 (1960).
24. Harvey J. A., S c h w a r t z R.B. Thermal and Resonance Cross Sections of Heavy
Nuclei. Pergamon Press Ltd., London, Ser. I. Physics and Mathematics, II, p.
51 (1958).
25. Hardy Jr. et al. The Resonance Fission Integrals of U235, pu239 and Pu241. Nucl.
Sci. Eng., 9, 341-345 (March 1961).
26. Simpson F. B. et al. Total Neutron Cross Section of Pa231. Nucl. Sci. Eng., 12,
243-249 (1962).
27. Cornish F. W., LounsburyM. Gross Sections of Pu239 and Pu240 in the Ther-
mal and Epicadmium Regions. CRC-633 (March 1956).
437
28. Е р оз о л имский В. Г. и др. «Атомная энергия», № 3, 27 (1956) 4, 86 (1957).
29. Krupchinsky Р. A. The Thermal Neutron Absorption Cross Section and. Resonance
Absorption Integral of Pu240. J. Nucl. Energy, 6, 155-162 (1957). [См. на русском
языке: Крупчицкий П. А. «Атомная энергия», 2, 240 (1957).]
30. В u 11 е г J. Р. et al. The Neutron Capture Cross Sections of Pu238, Pu242, and Am243.
Can. J. Phys., 35, 147 (Feb. 1957).
31. Bennett R. A. Note on the Resonance Integrals of Natural Copper, Cu63 and Cu65.
HW-68389 (Jan. 1961).
32. H e 11 s t r a n d E. et al. A Study of the Resonance Integral of Zirconium. EANDC
(OR) 15, «U» (June 1961).
33. Hellstrand E. et al. Studies of the Effective Total and Resonance Absorption Cross
Sections for Zircaloy 2 and Zirconium. Arkiv Fysik, 20, 41 (1962); Hellstrand
E., Lundgren G. The Resonance Integral of Niobium. A. E.-81 (1962).
34. S c h u m a n R. P., Activation Cross Sections of Nb93 and Nb94. IDO-16760, MTR-
ETR Technical Branches Quarterly Oct. 1 — Dec. 1, 1961.
35. В u 11 e r J. P. et al. The Neutron Capture Cross Sections of Pu238, Pu242, and Am243.
Can. J. Phys., 35, 147 (1957).
36. Tattersall R. B. Thermal Cross Section and Resonance Absorption Integral of
Pu240. AEEW-R 115 (1962).
37. L о n g R. L. Resonance Integral Measurements. ANL-6580, Reactor Development
Program Progress Report (1962).
38. К a r a m R. A., Parkinson T. F. The Nuclear Properties of Rhenium. Eight
Quarterly Technical Progress Report, University of Florida, Department of Nuclear
Engineering NP-11239 (1961).
39. Scoville J. J., Fast E., Knight D. W. Resonance Absorption Integrals of
Dysprosium and Tungsten. Trans. Amer. Nucl. Soc., 5, No. 2, 377 (1962).
40. Klopp, D. A., Zagotta W. E. Effective Resonance Integral of Indium Foils.
Trans. Amer. Nucl. Soc., 5, No. 2, 377 (1962).
41. L a n t z P. M. Thermal Neutron Capture Cross Section and Resonance Capture Integ-
ral of Ce144. Nucl. Sci. Eng., 13, 289-294 (July 1962).
42. Schuman R. P., Berreth J. R. Neutron Activation Cross Sections of Pm147,
Pm148, and Pm148w. Nucl. Sci. Eng., 12, 519—522 (April 1962).
43. H a 1 p e r i n J. et al. Thermal Neutron Cross Section and Resonance Integral of Sm150.
Trans. Amer. Nucl. Soc., 5, No. 2 376-377 (Nov. 1962).
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ En (x)
Таблица содержит значения функции
оо 1
р 0—их р
Е„ (-) = —^гг du = \^ 4~x^dt
1 о
(см. п. 11.2) для п = 0, 1, 2 и 3. Общие свойства функции Еп (а?), а также ее значения
для больших значений п можно найти в докладе Г. Плачека (G. Placzek) NRC-1547
(Канада).
Т а б л и ц a III. 1
X Е0 (х) Е1 (х) Е2 (х) Ез (х)
0,00 1,000000 0,500000
0,01 99,004983 4,037930 0,949670 0,490277
0,02 49,009934 3,354708 0,913104 0,480968
0,03 32,348184 2,959119 0,881672 0,471998
0,04 24,019736 2,681264 0,853539 0,463324
0,05 19,024588 2,467898 0,827834 0,454919
0,06 15,696076 2,295307 0,804046 0,446761
0,07 13,319912 2,150838 0,781835 0,438833
0,08 11,538954 2,026941 0,760961 0,431120
0,09 10,154791 1,918745 0,741244 0,423610
0,10 9,048374 1,822924 0,722545 0,416292
0,11 8,143947 1,737107 0,704752 0,409156
0,12 7,391004 1,659542 0,687775 0,402194
0,13 6,754580 1,588899 0,671538 0,395398
0,14 6,209702 1,524146 0,655978 0,388761
0,15 5,738053 1,464462 0,641039 0,382276
0,16 5,325899 1,409187 0,626674 0,375938
438
Продолжение табл. III.1
X Eq (х) El (х) Е2 (х) Е3 (х)
0,17 4,962734 1,357781 0,612842 0,369741
0,18 4,640390 1,309896 0,599507 0,363680
0,19 4,352416 1,264858 0,586636 0,357749
0,20 4,093654 1,222650 0,574201 0,351945
0,21 3,859925 1,182902 0,562175 0,346264
0,22 3,647813 1,145380 0,550535 0,340700
0,23 3,454494 1,109883 0,539260 0,335252
0,24 3,277616 1,076235 0,528331 0,329914
0,25 3,115203 1,044283 0,517730 0,324684
0,26 2,965583 1,013889 0,507440 0,319558
0,27 2,827332 0,984933 0,497448 0,314534
0,28 2,699228 0,957308 0,487737 0,309609
0,29 2,580219 0,930918 0,478297 0,304779
0,30 2,469394 0,905677 0,469115 0,300042
0,31 2,365958 0,881506 0,460180 0,295396
0,32 2,269216 0,858335 0,451682 0,290837
0,33 2,178557 0,836101 0,443010 0,286365
0,34 2,093442 0,814746 0,434757 0,281976
0,35 2,013394 0,794215 0,426713 0,277669
0,36 1,937990 0,774462 0,418870 0,273442
0,37 1,866850 0,755441 0,411221 0,269291
0,38 1,799635 0,737112 0,403759 0,265216
0,39 1,736043 0,719437 0,396477 0,261126
0,40 1,675800 0,702380 0,389368 0,257286
0,41 1,618659 0,685910 0,382427 0,253428
0,42 1,564397 0,669997 0,375648 0,249637
0,43 1,512812 0,654613 0,369025 0,245914
0,44 1,463719 0,639733 0,362554 0,242256
0,45 1,416951 0,625331 0,356229 0,238662
0,46 1,372356 0,611386 0,350046 0,235131
0,47 1.329792 0,597877 0,344000 0,231661
0,48 1,289132 0,584784 0,338087 0,228251
0,49 1,250258 0,572089 0,332303 0,224899
0,50 1,213061 0,559774 0,326644 0,221604
0,51 1,177442 0,547822 0,321106 0,218366
0,52 1,143309 0,536220 0,315686 0,215182
0,53 1,110575 0,524952 0,310381 0,212052
0,54 1,079163 0,514004 0,305186 0,208974
0,55 1,049000 0,503364 0,300100 0,205948
0,56 1,020016 0,493020 0,295118 0,202972
0,57 0,992150 0,482960 0,290238 0,200045
0,58 0,965342 0,473173 0,285458 0,197166
0,59 0,939538 0,463650 0,280774 0,194335
0,60 0,914686 0,454380 0,276184 0,191551
0,61 0,890739 0,445353 0,271686 0,188811
0,62 0,867652 0,436562 0,267276 0,186117
0,63 0,845384 0,427997 0,262954 0,183466
0,64 0,823894 0,419652 0,258715 0,180857
0,65 0,803147 0,411517 0,254560 0,178291
0,66 0,783108 0,403586 0,250484 0,175766
0,67 0,763744 0,395853 0,246487 0,173281
0,68 0,745025 0,388309 0,242567 0,170836
0,69 0,726922 0,380950 0,238721 0,168429
0,70 0,709408 0,373769 0,234947 0,166061
0,71 0,692457 0,366760 0,231244 0,163730
0,72 0,676045 0,359918 0,227611 0,161436
0,73 0,660149 0,353237 0,224046 0,159178
0,74 0,644748 0,346713 0,220546 0,156955
0,75 0,629822 0,340341 0,217111 0,154767
439
Продолжение табл. IIL1
X Ео (х) Ei. (х) Е2 (х) Ез (х)
0 76 0,615351 0,334115 0,213739 0,152612
0 77 0,601316 0,328032 0,210428 0,150492
0?78 0,587700 0,322088 0,207178 0,148404
0,79 0,574487 0,316277 0,203986 0,146348
0 80 0,561661 0,310597 0,200852 0,144324
0 81 0,549208 0,305042 0,197774 0,142331
0 82 0,537112 0,299611 0,194750 0,140368
0 83 0,525361 0,294299 0,191781 0,138436
0,84 0,513941 0,289103 0,188864 0,136532
0 85 0,502841 0,284019 0,185999 0,134658
0 86 0,492049 0,279045 0,183183 0,132812
0 87 0,481554 0,274177 0,180417 0,130994
0 88 0,471344 0,269413 0,177699 0,129204
0,89 0,461411 0,264750 0,175029 0,127440
0 90 0,451744 0,260184 0,172404 0,125703
0 91 0Л42334 0,255714 0,169825 0,123992
0 92 0,433173 0,251336 0,167290 0,122306
093 0,424251 0,247050 0,164798 0,120646
0,94 0,415562 0,242851 0,162348 0,119010
0 95 0,407096 0,238738 0,159940 0,117399
0 96 0,398847 0,234708 0,157573 0,115811
0 97 0,390807 0,230760 0,155246 0,114247
0 98 0,382970 0,226891 0,152958 0,112706
0,99 0,375330 0,223100 0,150708 0,111188
1 00 0,367879 0,219384 0,148496 0,109692
1,01 0,360613 0,215742 0,146320 0,108218
1’02 0,353524 0,212171 0,144180 0,106765
1’оз 0,346609 0,208671 0,142076 0,105334
1’04 0,338760 0,205238 0,140007 0,103924
1,05 0,333274 0,201873 0,137971 0,102534
1’06 0,326845 0,198572 0,135969 0,101164
1 ’ 07 0,320569 0,195335 0,134000 0,099814
1’08 0,314440 0,192160 0,132062 0,098484
1’09 0,308456 0,189046 0,130156 0,097173
1,10 0,302610 0,184991 0,128281 0,095881
1’ц 0,296900 0,182994 0,126436 0,094607
1’12 0.291321 0,180052 0,124621 0,093352
1’ 13 0,285870 0,177167 0,122835 0,092115
1’14 0,280543 0,174335 0,121078 0,090895
1,15 0,275336 0,171555 0,119348 0,089693
1’ 16 0,270247 0,168828 0,117646 0,088508
1’17 0,265271 0,166150 0,115971 0,087340
1 ’18 0,260406 0,163522 0,114323 0,086189
1’19 0,255648 0,160942 0,112701 0,085054
1,20 0,250995 0,158408 0,111104 0,083935
1,21 0,246444 0,155921 0,109532 0,082832
1,22 0,241992 0,153479 0,107986 0,081744
1 23 0,237636 0,151081 0,106463 0,080672
1’,24 0,233374 0,148726 0,104964 0,079615
1,25 0,229204 0,146413 0,103488 0,078572
1’26 0,225122 0,144142 0,102035 0,077545
1 27 0,221127 0,141911 0,100605 0,076532
1’28 0,217217 0,139719 0,099197 0,075533
1,29 0,213388 0,137566 0,097811 0,074548
1,30 0,209640 0,135451 0,096446 0,073576
1’31 0,205970 0,133373 0,095102 0,072619
1,32 0,202375 0,131331 0,093778 0,071674
1,33 0,198855 0.129325 0,092475 0,070743
1’34 0,195407 0,127354 0,091191 0,069825
440
Продолжение табл. Ш.1
X Ео (х) Е1 (х) Е2 (х) Ез (х)
1,35 0,192030 0,125417 0.089928 0,068919
1,36 0,188721 0,123513 0,088683 0,068026
1,37 0,185480 0,121642 0,087457 0,067145
1,38 0,182303 0,119803 0,086250 0,066277
1,39 0,179191 0,117996 0,085061 0,065420
1,40 0,176141 0,116219 0,083890 0,064576
1,41 0,173151 0,114473 0,082736 0,063742
1,42 0,170221 0,112756 0,081600 0,062921
1,43 0,167349 0,111068 0,080481 0,062110
1,44 0,164533 0,109409 0,079370 0,061311
1,45 0,161773 0,107777 0,078293 0,060523
1,46 0,159066 0,106174 0,077223 0,059745
1,47 0,156412 0,104596 0,076169 0,058978
1,48 0,153809 0,103045 0,075131 0,058222
1,49 0,151257 0,101520 0,074108 0,057476
1.50 0,148753 0,100020 0,073101 0,056740
1,51 0,146298 0,098544 0,072108 0,056014
1,52 0,143889 0,097094 0,071130 0,055297
1,53 0.141527 0,095666 0,070166 0,054591
1,54 0,139208 0,094263 0,069216 0,053894
1,55 0,136934 0,092882 0,068281 0,053206
1,56 0,134703 0,091524 0,067359 0,052528
1,57 0,132513 0,090188 0,066450 0,051859
1,58 0,130364 0,088874 0,065555 0,051199
1,59 0,128255 0,087580 0,064673 0,050548
' ,60 0,126185 0,086308 0,063803 0,049906
1 .61 0,124154 0,085057 0,062946 0,049272
1,62 0,122160 0,083825 0,062102 0,048647
1.63 0,120202 0,082613 0,061270 0,048030
1,64 0,118280 0,081421 0,060450 0,047421
1,65 0,116394 0,080248 0,059641 0.046821
1,66 0,114542 0,079093 0,058845 0,046228
1,67 0,112723 0,077957 0,058059 0,045644
1,68 0,110937 0,076938 0,057285 0,045067
1,69 0,109183 0,075738 0,056523 0,044498
1,70 0,107461 0,074655 0,055771 0,043937
1,71 0,105770 0,073588 0,055029 0,043383
1,72 0,104108 0,072539 0,054299 0,042836
1,73 0,102478 0,071506 0,053579 0,042297
1,74 0,100874 0,070490 0,052869 0,041764
1.75 0,099299 0,069489 0,052169 0,041239
1,76 0,097753 0,068503 0,051479 0,040721
1,77 0,096233 0,067534 0,050799 0,040210
1,78 0,094740 0.066579 0,050128 0,039705
1.79 0,093274 0,065639 0,049467 0,039207
1,80 0,091833 0,064713 0,048815 0,038716
1,81 0,090417 0,063802 0,048173 0,038231
1,82 0,089025 0,062905 0,047539 0,037752
1,83 0,087658 0,062021 0,046915 0,037280
1,84 0,086314 0,061152 0,046299 0,036814
1,85 0,084993 0,060295 0,045692 0,036354
1,86 0,083695 0,059452 0,045093 0,035900
1,87 0,082419 0,058621 0,044502 0,035452
1,88 0,081165 0,057803 0,043920 0,035010
1,89 0,079932 0,056998 0,043346 0,034576
1,90 0,078720 0,056204 0,042780 0,034143
1,91 0,077529 0,055423 0,042222 0,033718
1,92 0,076358 0,054654 0,041672 0,033299
1,93 0,075206 0,053896 0,041129 0,032885
1,94 0,074074 0,053150 0,040594 0,032476
29 Нейтронная физика
441
Продолжение табл. II 1.1
X Ео (х) Ei (х) Е2 (X) Ез (х)
1,95 0,072961 0,052414 0,040066 0,032073
1,96 0,071866 0,051690 0,039546 0,031675
1,97 0,070790 0,050977 0,039032 0,031282
1,98 0,069732 0,050274 0,038526 0,030894
1,99 0,068691 0,049582 0,038027 0,030511
2,0 6,76676-IO"2 4,89005-10-2 3,75343-10-2 3,01334-10-^
2,1 5,83126 4,26143 3,29663 2,66136
2,2 5,03651 3,71911 2,89827 2,35207
2^3 4,35908 3,25023 2,55036 2,08002
2,4 3,77991 2,84403 2,24613 1,84054
2,5 3,28340 2,49149 1,97977 1,62954
2,6 2,85668 2,18502 1,74630 1,44349
2.7 2,48909 1,91819 1,54145 1,27939
2,8 2,17179 1,68553 1,36152 1,13437
2,9 1,89735 1,48240 1,20336 1,00629
3,0 1,65957 1,30484 1,06419 0,89306
3,1 1,45320 1,14944 0,94165 0,79200
3,2 1,27382 1,01330 0,83366 0,70425
3,3 11,17672.10-3 8,93904-10-3 7,38433-10-3 6,25744-10-3
3,4 9,81567 7,89097 6,54396 5,56190
3,5 8,62782 6,97014 5,80189 4,94538
3,6 7,58992 6,16041 5,14623 4,39865
3,7 6,68203 5,44782 4,56658 3,91860
3,8 5,88705 4,82025 4,05383 3,48310
3,9 5,19023 4,26715 3,60004 3,10087
4,0 4,57891 3,77935 3,19823 2,76136
4,1 4,04212 3,34888 2,84226 2,45969
4,2 3,57038 2,96876 2,52678 2,19156
4,3 3,15548 2,63291 2,24704 1,95315
4,4 2,79030 2,33601 1,99890 1,74110
4,5 2,46867 2,07340 1,77869 1,55244
4,6 2,18518 1,84101 1,58321 1,38454
4,7 1,93517 1,63525 1,40960 1,23507
4,8 1,71453 1,45299 1,25538 1,10197
4,9 1,51971 1,29148 1,11831 0,98342
5,0 1,34759 1,14830 0,99647 0,87780
5,1 1,19544 1,02130 0,88812 0,78368
5’2 10,6088-10-4 9,0862-1О"4 7,9173-10-4 6,9978-IO"4
5 3 9,4181 8,0861 7,0591 6,2498
5’4 8,3640 7,1980 6,2964 5,5827
5,5 7,4305 6,4093 5,6168 4,9877
5,6 6,6033 5,7084 5,0116 4,4569
5’7 5,8701 5,0855 4,4725 3,9832
5’8 5,2199 4,5316 3,9925 3,5604
5’9 4,6431 4,0390 3,5641 3,1830
6,0 4,1313-10-4 3,6008*1О-4 3,1826-10"4 2,8460-10~4
б’1 3,6768 3,2109 2,8424 2,5451
б’2 3,2733 2,8638 2,5390 2.2763
6,3 2,9148 2,5547 2,2683 2,0362
б’4 2,5962 2,2795 2,0269 1,8217
6,5 2,3130 2,0343 1,8115 1,6300
6,6 2,0612 1,8158 1,6192 1,4586
6 J 1,8372 1,6211 1,4475 1,3055
6,8 1,6379 1,4476 1,2942 1,1685
6,9 1,4606 1,2928 1,1573 1,0146
7,0 1,3027 1,1548 1,0351 0,9366
7 Л 1,1621 1,0317 0,9259 0,8386
7’2 10,3692-10"5 9,2188-10“5 8,2831-10-5 7,5100-10~5
7’,3 9,2540 8,2387 7,4112 6,7261
7,4 8,2602 7,3640 6,6319 6,0247
442
Продолжение табл. Ш.1
X Е о (х) Е1 (к) Е2 (х) Ез (х)
7,5 7,3745 6,5831 5,9353 5,3970
7,6 6,5849 5,8859 5,3125 4,8352
7,7 5,8809 5,2633 4,7556 4,3323
7,8 5,2530 4,7072 4,2576 3,8821
7,9 4,4930 4,2104 3,8122 3,4790
8,0 4,1933 3,7666 3,4138 3,1181
8,1 3,7474 3,3700 3,0573 2,7949
8,2 3,3494 3,0155 2,7384 2,5054
8,3 2,9942 2,6986 2,4530 2,2461
8,4 2,6770 2,4154 2,1975 2,0138
8,5 2,3937 2,1621 1,9689 1,8057
8,6 2,1408 1,9356 1,7642 1,6192
8,7 1,9148 1,7331 1,5810 1,4521
8,8 1,7129 1,5519 1,4169 1,3024
8,9 1,5325 1,3898 1,2700 1,1682
9,0 1,3712 1,2447 1,1384 1,0479
9,1 1,2271 1,1150 1,0205 0,9400
9,2 10,9825-1O’G 9,9881-10“6 9,1492-Ю-6 8,4335-Ю-6
9,3 9,8306 8,9485 8,2033 7,5668
9,4 8,8004 8,0179 7,3558 6,7896
9,5 7,8791 7,1848 6,5965 6,0927
9,6 7,0551 6,4388 5,9160 5,4677
9,7 6,3179 5,7709 5,3061 4,9071
9,8 5,6583 5,1727 4,7595 4,4044
9,9 5,0681 4,6369 4,2695 3,9533
10,0 4,5400 4,1570 3,8302 3,5488
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Таблица IV.1
Функция ф0 (V, Р)
v 3 \ 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,0 0,2961 0,4854 0,6169 0,7114 0,7806 0,8321 0,8709 0,9002 0,9226 0,9397
0,2 0,2684 0,4399 0,5591 0,6447 0,7076 0,7545 0,7896 0,8162 0,8366 0,8522
0,4 0,2441 0,4002 0,5087 0,5867 0,6440 0,6867 0,7188 0,7432 0,7620 0,7762
0,6 0,2227 0,3653 0,4644 0,5358 0,5883 0,6275 0,6571 0,6795 0,6969 0,7102
0,8 0,2039 0,3346 0,4254 0,4911 0,5394 0,5755 0,6030 0,6238 0,6405 0,6522
1,0 0,1873 0,3075 0,3911 0,4516 0,4965 0,5298 0,5555 0,5754 0,5902 0,6023
1,2 0,1726 0,2835 0,3608 0,4170 0,4584 0,4897 0,5137 0,5321 0,5469 0,5579
1,4 0,1596 0,2622 0,3339 0,3861 0,4249 0,4542 0,4768 0,4944 0,5082 0,5194
1,6 0,1480 0,2433 0,3101 0,3588 0,3951 0,4228 0,4442 0,4609 0,4744 0,4851
1,8 0,1378 0,2264 0,2888 0,3344 0,3686 0,3948 0,4151 0,4312 0,4443 0,4546
2,0 0,1284 0,2114 0,2698 0,3127 0,3450 0,3698 0,3893 0.4048 0,4173 0,4275
2,2 0,1201 0,1979 0,2528 0,2933 0,3239 0,3476 0,3662 0,3812 0,3934 0,4035
2,4 0,1127 0,1857 0,2375 0,2758 0,3049 0,3276 0,3455 0,3601 0,3720 0,3820
2,6 0,1060 0,1748 0,2238 0,2600 0,2878 0,3095 0,3269 0,3410 0,3528 0,3627
2,8 0,0999 0.1649 0,2113 0,2459 0,2724 0,2933 0,3101 0,3239 0,3355 0,3452
3,0 0,0943 О;1560 0,2001 0,2330 0,2585 0,2786 0,2949 0,3084 0,3198 0,3296
29* 443
Таблица V.2
Функция ф1 (V, Р)
v 3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,2 0,0009 0,0030 0,0056 0,0085 0,0114 0,0132 0,0164 0,0189 0,0214 0,0235
0,4 0,0016 0,0052 0,0098 0,0147 0,0198 0,0249 0,0297 0,0342 0,0389 0,0431
0,6 0,0021 0,0071 0,0133 0,0201 0,0271 0,0339 0,0405 0,0468 0,0527 0,0582
0,8 0,0026 0,0086 0,0162 0,0243 0,0330 0,0411 0,0491 0,0569 0,0640 0,0708
1,0 0,0030 0,0098 0,0185 0,0278 0,0375 0,0471 0,0561 0,0644 0,0734 0,0808
1,2 0,0033 0,0108 0,0202 0,0305 0,0413 0,0516 0,0616 0,0714 0,0800 0,0891
1,4 0,0036 0,0115 0,0217 0,0327 0,0441 0,0552 0,0660 0,0762 0,0859 0,0948
1,6 0,0037 0,0121 0,0227 0,0343 0,0463 0,0579 0,0692 0,0801 0,0900 0,0995
1,8 0,0038 0,0125 0,0235 0,0355 0,0480 0,0600 0,0718 0,0829 0,0932 0,1033
2,0 0,0040 0,0128 0,0241 0,0364 0,0491 0,0615 0,0735 0,0850 0,0958 0,1060
2,2 0,0040 0,0130 0,0245 0,0370 0,0499 0,0625 0,0747 0,0864 0,0973 0,1077
2,4 0,0041 0,0132 0,0247 0,0374 0,0504 0,0631 0,0755 0,0872 0,0983 0,1087
2,6 0,0041 0,0132 0,0248 0,0375 0,0506 0,0634 0,0758 0,0877 0,0988 0,1093
2,8 0,0041 0,0132 0,0248 0,0375 0,0506 0,0634 0,0759 0,0877 0,0989 0,1096
3,0 0,0010 0,0132 0,0247 0,0374 0,0504 0,0632 0,0757 0,0875 0,0987 0,1091
Таблица IV.3
Отношение функций <Pi/q>o
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,2 0,003 0,007 0,010 0,013 0,016 0,018 0,021 0,023 0,026 0,028
0,4 0,007 0,013 0,019 0,025 0,031 0,036 0,041 0,046 0,051 0,056
0,6 0,010 0,019 0,029 0,038 0,046 0,054 0,062 0,069 0,076 0,082
0,8 0,013 0,026 0,038 0,049 0,061 0,071 0,081 0,092 0,100 0,109
1,0 0,016 0,032 0,047 0,062 0,075 0,089 0,101 0,112 0,124 0,134
1,2 0,019 0,038 0,056 0,073 0,090 0,105 0,120 0,134 0,146 0,154
1,4 0,022 0,044 0,065 0,085 0,104 0,122 0,138 0,154 0,169 0,183
1,6 0,025 0,050 0,073 0,096 0,117 0,137 0,156 0,174 0,190 0,205
1,8 0,028 0,055 0,081 0,106 0,130 0,152 0,173 0,192 0,210 0,237
2,0 0,031 0.061 0,089 0,116 0,142 0,166 0,189 0,210 0,230 0,248
2,2 0,033 0,066 0,097 0,126 0,154 0,180 0,204 0,227 0,248 0,267
2,4 0,036 0,071 0,104 0,136 0,165 0,193 0,218 0,242 0,264 0,284
2,6 0,039 0,075 0,111 0,145 0,176 0,204 0,232 0,257 0,280 0,302
2,8 0,041 0,080 0,117 0,153 0,186 0,216 0,244 0,271 0,295 0,318
3,0 0,043 0,085 0,123 0,160 0,195 0,227 0,256 0,284 0,309 0,331
ПРИЛОЖЕНИЕ V
ТАБЛИЦА ВРЕМЕННЫХ ФАКТОРОВ
В следующей таблице приведены функции Kt, e~Kt и 1 —е~^, где t измеряется
в единицах периода полураспада Т1/2, а К = In Эти данные полезны при оценке
измерений с фольгами (см. п. 11.1.1).
__________ Т а б лица V. I
'/^1/2 е Kt е ~Kt 1— e~~Kt Kt V^l/2 е —Kt 1 — е~Kt Kt
0,01 1,0069 0,9931 0,0069 0,00693 0,11 1,0792 0,9266 0,0734 0,07625
0,02 1,0140 0,9862 0,0138 0,01386 0,12 1,0867 0,9202 0,0798 0,08318
0,03 1,0210 0,9794 0,0206 0,02079 0,13 1,0943 0,9138 0,0862 0,09011
0,04 1,0281 0,9726 0,0274 0,02773 0,14 1,1019 0,9075 0,0925 0,09704
0,05 1,0353 0,9659 0,0341 0,03466 0,15 1,1096 0,9013 0,0987 0,10397
0,06 1,0425 0,9593 0,0407 0,04159 0,16 1,1173 0,8950 0.1050 0,11090
0,07 1,0497 0,9526 0,0474 0,04852 0.17 1,1251 0,8888 0,1112 0,11784
0,08 1,0570 0,9461 0,0539 0,05545 0,18 1,1329 0,8827 0,1173 0,12477
0,09 1,0644 0,9395 0,0605 0,06238 0,19 1,1408 0,8766 0,1234 0,13170
0,10 1,0718 0,9330 0,0670 0,06931 0,20 1,1487 0,8705 0,1295 0,13863
444
Продолжение табл. V.I
^1/2 eKt e_JU 1—е Kt VTi/2 еМ е_М 0 Xi Kt
0,21 1,1576 0,8645 0,1355 0,14556 0,81 1,7532 0,5704 0,4296 0,56145
0,22 1,1647 0,8586 0,1414 0,15249 0,82 1,7654 0,5664 0,4336 0,56838
0,23 1,1728 0,8526 0.1474 0,15942 0,83 1,7777 0,5625 0,4375 0,57531
0,24 1,1810 0,8467 0,1533 0,16636 0,84 1,7901 0,5586 0,4414 0,58224
0,25 1,1892 0,8409 0,1591 0,17329 0,85 1,8025 0,5548 0,4452 0,58918
0,26 1,1975 0,8351 0,1649 0,18022 0,86 1,8151 0,5509 0,4491 0,59611
0,27 1,2058 0,8293 0,1707 0,18715 0,87 1,8277 0,5471 0,4529 0,60304
0,28 1,2142 0,8236 0,1764 0,19408 0,88 1,8404 0,5434 0,4566 0,60997
0,29 1,2226 0,8179 0,1821 0,20101 0,89 1,8532 0,5388 0,4612 0,61690
0,30 1,2311 0,8122 0,1878 0,20794 0,90 1,8661 0,5359 0,4641 0,62383
0,31 1,2397 0,8066 0,1934 0,21488 0,91 1,8791 0,5322 0,4678 0.63076
0,32 1,2483 0,8011 0,1989 0,22181 0,92 1,8921 0,5285 0,4715 0,63770
0,33 1,2570 0,7955 0,2045 0,22874 0,93 1,9053 0,5249 0,4751 0,64463
0,34 1,2658 0,7900 0,2100 0,23567 0,94 1,9185 0,5212 0,4788 0,65156
0,35 1,2746 0,7846 0,2154 0,24260 0,95 1,9319 0,5176 0,4824 0,65849
0,36 1,2834 0,7792 0,2208 0,24953 0,96 1,9453 0,5141 0,4859 0,66542
0,37 1,2923 0,7738 0,2262 0,25646 0,97 1,9588 0,5105 0,4895 0,67235
0,38 1,3013 0,7684 0,2316 0,26340 0,98 1,9725 0,5070 0,4930 0,67928
0,39 1,3104 0,7631 0,2369 0,27033 0,99 1,9862 0,5035 0,4965 0,68622
0,40 1,3195 0,7579 0,2421 0,27726 1,00 2,0000 0,5000 0,5000 0,69315
0,41 1,3287 0,7526 0,2174 0,28419 1,02 2,0279 0,4931 0.5069 0,70701
0,42 1,3379 0,7474 0,2526 0,29112 1,04 2,0562 0,4863 0,5137 0,72087
0,43 1.3471 0,7423 0,2577 0,29805 1,05 2,0705 0,4830 0,5170 0,72780
0,44 1,3566 0,7371 0,2629 0,30498 1,06 2,0849 0,4796 0,5204 0,73474
0,45 1,3660 0,7320 0,2680 0,31192 1,08 2,1140 0,4730 0,5270 0,74860
0,46 1,3755 0,7270 0,2730 0,31885 1.10 2,1435 0,4665 0,5335 0,76246
0.47 1,3851 0,7220 0,2780 0,32578 1,12 2,1735 0,4601 0,5399 0,77632
0,48 1,3947 0,7170 0,2830 0,33271 1,14 2,2038 0,4538 0,5462 0,79019
0,49 1.4044 0,7120 0,2880 0,33964 1,15 2,2191 0,4506 0,5494 0,79712
0,50 1,4142 0,7071 0,2929 0,34657 1,16 2,2345 0,4475 0,5525 0,80405
0,51 1,4241 0,7022 0,2978 0,35351 1,18 2,2658 0,4413 0,5587 0,81791
0,52 1,4340 0,6974 0,3026 0,36044 1,20 2,2974 0,4353 0,5647 0,83178
0,53 1,4439 0,6926 0,3074 0,36737 1,22 2,3259 0,4293 0,5707 0,84564
0,54 1,4540 0,6878 0,3122 0,37430 1,24 2,3620 0,4234 0,5766 0,85950
0,55 1,4647 0,6830 0,3170 0,38123 1,25 2,3784 0,4204 0,5796 0,86643
0,56 1,4743 0,6783 0,3217 0,38816 1,26 2,3950 0,4175 0,5825 0,87337
0,57 1,4845 0,6736 0,3264 0,39509 1,28 2,4284 0,4118 0,5882 0,88723
0,58 1,4949 0,6690 0,3310 0,40203 1,30 2,4623 0,4061 0,5939 0,90109
0,59 1,5053 0,6643 0,3357 0,40896 1,32 2,4967 0,4005 0,5995 0,91495
0,60 1,5157 0,6597 0,3403 0,41589 1,34 2,5315 0,3950 0,6050 0,92882
0,61 1,5263 0,6552 0,3448 0,42282 1,35 2,5492 0,3923 0,6077 0,93575
0,62 1,5369 0,6507 0,3493 0,42975 1,36 2,5668 0,3896 0,6104 0,94268
0,63 1,5476 0,6462 0,3583 0,43668 1,38 2,6027 0,3842 0,6158 0,95654
0,64 1,5583 0,6417 0,3583 0,44361 1,40 2,6390 0,3789 0,6211 0,97041
0,65 1,5692 0,6373 0,3627 0,45055 1,42 2,6758 0,3737 0,6236 0,98427
0,66 1,5801 0,6329 0,3671 0,45748 1,44 2,7132 0,3685 0,6315 0,99813
0,67 1,5911 0,6285 0,3715 0,46441 1,45 2,7321 0,3660 0,6340 1,00506
0,68 1,6021 0,6242 0,3758 0,47134 1,46 2,7511 0,3635 0,6365 1,01199
0,69 1,6133 0,6199 0,3801 0,47827 1,48 2,7895 0,3585 0,6415 1,02586
0,70 1,6245 0,6156 0,3844 0,48520 1,50 2,8285 0,3536 0,6464 1,03972
0,71 1,6358 0,6113 0,3887 0,49213 1,52 2,8679 0,3487 0,6513 1,05358
0,72 1,6472 0,6071 0,3929 0,49907 1,54 2,9080 0,3439 0,6561 1,06745
0,73 1,6586 0,6029 0,3971 0,50600 1,55 2,9282 0,3415 0,6585 1,07438
0,74 1,6702 0,5987 0,4013 0,51293 1,56 2,9486 0,3391 0,6609 1,08131
0,75 1,6818 0,5946 0,4054 0,51986 1,58 2,9897 0,3345 0,6655 1,09517
0,76 1,6935 0,5905 0,4095 0,52679 1,60 3,0314 6,3290 0,6701 1,10904
0,77 1,7053 0,5864 0,4136 0,53372 1,62 3,0738 0.3253 0,6747 1,12290
0,78 1,7171 0,5824 0,4176 0,54065 1,64 3,1167 0,3209 0,6791 1,13676
0,79 1,7291 0,5783 0,4217 0,54759 1,65 3,1383 0,3186 0,6814 1,14369
0,80 1,7411 0,5744 0,4256 0,55542 1,66 3,1602 0,3164 0,6836 1,15062
445
Продолжение табл. V.1
*/Т1/2 е hl е 1 —е— kt
1,68 3,2043 0,3121 0,6879 1,16449
1,70 3,2490 0,3078 0,6922 1,17835
1,72 3,2944 0,3035 0,6965 1,19221
1,74 3,3403 0,2994 0,7006 1,20608
1,75 3,3636 0,2973 0,7027 1,21301
1,76 3,3870 0,2953 0,7047 1,21994
1,78 3,4342 0,2912 0,7088 1,23380
1,80 3,4822 0,2872 0,7128 1,24766
1,82 3,5308 0,2832 0,7168 1,26153
1,84 3,5801 0,2793 0,7207 1,27539
1,85 3,6050 0,2774 0,7226 1,28232
1,86 3,6301 0,2755 0,7245 1,28925
1,88 3,6808 0,2717 0,7283 1,30312
1,90 3,7322 0,2679 0,7321 1,31698
1,92 3,7842 0,2643 0,7357 1,33084
1,94 3,8371 0,2606 0,7394 1,34471
1,95 3.8638 0,2588 0,7412 1.35164
1,96 3,8906 0,2570 0,7430 1,35857
1,98 3,9449 0,2535 0,7465 1,37243
2,00 4,0000 0,2500 0,7500 1,38629
2,02 4,0558 0,2466 0,7534 1,40016
2,04 4,1124 0,2432 0,7568 1,41402
2,05 4,1410 0,2415 0,7585 1,42095
2,06 4,1698 0,2398 0,7602 1,42788
2,08 4,2280 0,2365 0,7635 1,44175
2,10 4,2871 0,2333 0,7667 1,45561
2,12 4,3469 0,2300 0,7700 1,46947
2,14 4,4076 0,2269 0,7731 1,48334
2,15 4,4382 0,2253 0,7747 1,49027
2,16 4,4691 0,2238 0,7762 1,49720
2,18 4,5316 0,2207 0,7793 1,51106
2,20 4,5948 0,2176 0,7824 1,52492
2,22 4,6590 0,2146 0,7854 1,53879
2,24 4,7240 0,2117 0,7883 1.55265
2,25 4,7569 0,2102 0,7898 1,55958
2,26 4,7899 0,2088 0,7912 1,56651
2,28 4,8568 0,2059 0,7941 1,58038
2,30 4,9246 0,2031 0,7969 1,59424
2,32 4,9933 0,2003 0,7997 1,60810
2,34 5,0630 0,1975 0,8025 1,62196
2,35 5,0982 0.1961 0,8039 1,62890
2,36 5,1337 0,1948 0,8052 1.63583
2,38 5,2054 0,1921 0,8079 1,64969
2,40 5,2780 0,1895 0,8105 1,66355
2,42 5,3517 0,1869 0,8131 1,67742
2,44 5,4264 0,1843 0,8157 1,69128
2,45 5,4642 0,1830 0,8170 1,69821
2,46 5,5021 0,1817 0,8183 1,70514
2,48 5,5789 0,1792 0,8208 1,71901
2,50 5,6569 0,1768 0,8232 1,73287
2,52 5,7359 0,1744 0,8256 1,74673
2,54 5,8159 0,1719 0,8281 1,76059
2,55 5,8564 0,1708 0,8292 1,76753
2,56 5,8971 0,1696 0,8304 1,77446
2,58 5,9794 0,1673 0,8327 1,78832
2,60 6,0629 0,1649 0,8351 1,80218
2,62 6,1475 0,1627 0,8373 1,81605
2,64 6,2333 0,1604 0,8396 1,82991
2,65 6,2767 0,1593 0,8407 1,83684
2,66 6,3203 0,1582 0,8418 1,84377
t/Tl/2 е hi e-X? 1 — е~ ^t kt
2,68 6,4086 0,1560 0,8440 1,85763
2,70 6,4980 0,1539 0,8461 1,87150
2,72 6,5887 0,1518 0,8482 1,88536
2,74 6,6807 0,1497 0,8503 1,89922
2,75 6,7271 0,1487 0,8513 1,90615
2,76 6,7739 0,1476 0,8524 1,91309
2,78 6,8685 0,1456 0,8544 1,92695
2,80 6,9643 0,1436 0,8564 1,94081
2,82 7,0615 0,1416 0,8584 1,95468
2,84 7,1603 0,1397 0,8603 1,96854
2,85 7,2101 0,1387 0,8613 1,97547
2,86 6,2602 0,1377 0,8623 1,98240
2,88 7,3616 0,1358 0,8642 1,99626
2,90 7,4643 0,1340 0,8660 2,01013
2,92 7,5685 0,1321 0,8679 2,02399
2,94 7,6741 0,1303 0,8697 2,03785
2,95 7,7275 0,1294 0,8706 2,04478
2,96 7,7813 0,1285 0,8715 2,05172
2,98 7,8899 0,1267 0,8733 2,06558
3,00 8,0000 0,1250 0,8750 2,07944
3,05 8,2821 0,1207 0,8793 2,11410
3,10 8,5741 0,1166 0,8834 2,14876
3,15 8,8765 0,1127 0,8873 2,18341
3,20 9,1897 0,1088 0,8912 2,21807
3,25 9,5137 0,1051 0,8949 2,25273
3,30 9,8492 0,1015 0,8985 2,28733
3,35 10,196 0,0981 0,9019 2,32204
3,40 10,556 0.0948 0,9052 2,35670
3,45 10,928 0,0915 0,9085 2,39136
3,50 11,314 0,0884 0,9116 2,42602
3,55 11,713 0,0854 0,9146 2,46067
3,60 12,126 0,0825 0,9175 2,49533
3,65 12,553 0,0797 0,9203 2,52999
3,70 12,996 0,0770 0.9230 2,56464
3,75 13,454 0,0743 0,9257 2,59930
3,80 13,929 0,0718 0,9282 2,63396
3,85 14,420 0,0693 0,9307 2,66862
3,90 14,929 0,0670 0,9330 2,70327
3,95 15,455 0,0647 0,9353 2,73793
4,00 16,000 0,0625 0,9375 2,77259
4,10 17,148 0.0583 0,9417 2,84190
4,20 18,379 0,0544 0,9456 2,91122
4,30 19,698 0,0508 0,9492 2,98053
4,40 21,112 0,0474 0,9526 3,04985
4.50 22,628 0,0442 0,9558 3,11916
4,60 24,252 0,0412 0,9588 3,18848
4,70 25,992 0,0385 0,9615 3,25779
4,80 27,856 0,0359 0,9641 3,32711
4,90 29,857 0,0335 0,9665 3,39642
5,00 32,000 0,0312 0,9688 3,46574
5,10 34,297 0,0292 0,9708 3,53505
5,20 36,759 0,0272 0,9728 3,60437
5,30 39,397 0,0254 0,9746 3,67368
5,40 42,224 0,0237 0,9763 3,74299
5,50 45,255 0,0221 0,9779 3,81231
5,60 48,503 0,0206 0,9794 3,88162
5,70 51,984 0,0192 0,9808 3,95094
5,80 55,715 0,0179 0,9821 4,02025
5,90 59,715 0,0167 0,9833 4,08957
6,00 64,000 0,0156 0,9844 4,15888
446
Продолжение табл. V.1
f/Tl/2 е ht е ~hi 1 — е~ kt (/г1/2 Qkt е —ht l-e-kf kt
6,20 73,517 0,0136 0,9864 4,29751 8,80 445,72 0,0022 0,9978 6,09970
6,40 84,448 0,0118 0,9882 4,43614 9,00 512,00 0,0020 0,9980 6,23832
6,60 6,80 7,00 97,007 111,43 128,00 0,0103 0,0090 0,0078 0,9897 0,9910 0,9922 4,57477 4,71340 4,85203 9,20 9,40 9,60 588,14 675,59 776,05 0,0017 0,0015 0,0013 0,9983 0,9985 0,9987 6,37695 6,51558 6,65421
7,20 147,03 0,0068 0,9932 4,99066 9,80 891,44 0,0011 0,9989 6,79284
7,40 168,90 0,0059 0,9941 5,12929 10,00 1024,0 0,0010 0,9990 6,93147
7,60 7,80 8,00 194,01 222,86 256,00 0,0052 0,0045 0,0039 0,9948 0,9955 0,9961 5,26792 5,40655 5,54518 10,50 11,00 11,50 1448,2 2048,0 2896,3 0,0007 0,0005 0,0004 0,9993 0,9995 0,9996 7,27805 7,62462 7,97119
8,20 294,07 0,0034 0,9966 5.68381 12,00 4096,0 0,0002 0,9998 8,31777
8,40 337,79 0,0030 0,9970 5,82244 13,00 8192,0 0,0001 0,9999 9,01091
8.60 388,03 0,0026 0,9974 5,96107
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
А — массовое число;
А, см^-сек-1— активность;
В2, см~2— геометрический параметр;
С, см~2 • сек-1 — активация;
CCD, см~2-секМ— активация фольги, покрытой кадмием;
Со, смг^секг1— невозмущенная активация;
С th, см~2-сек~г— активация тепловыми нейтронами;
см^-сек-1— активация эпитепловыми нейтронами;
С, см1-сек-1— постоянная диффузионного охлаждения;
С
с — -уг~, см2 — приведенная постоянная диффузионного охлаждения;
Е>о
с, см-сек 1 — скорость света;
В, D (Е), см — коэффициент диффузии;
В, см — средний коэффициент диффузии для тепловых нейтронов;
Во, см2-сек~1 — диффузионная постоянная;
d, см — экстраполированная граничная точка;
d, см — толщина поглощающего слоя;
В, Еп, эв, Мэв — энергия нейтронов;
кТ
Ет — —у, эв —1/2 наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов;
Еет, эв — граничная энергия тепловых нейтронов;
Eq, эв — нижняя граничная энергия резонансных интегралов;
Eqd, эв — кадмиевая граничная энергия;
Ец, эв — резонансная энергия;
Eq, Мэв — энергия нейтронов, испускаемых источником;
Ее^, Мэв — эффективная граничная энергия;
dE
dx
эв-см-1 — замедляющая способность вещества мишени для заряженных частиц;
F (г, О, Е), см 2-сек~1-спгер~1-эв-1 'I
f—дифференциальный поток нейтронов;
F (г. Q, и), см 2-сек 1-стер 1 J
F (г, Q), см~2 - сек-1 • опер-1— векторный поток;
Fi (г, и), см^-секМ- — коэффициенты разложения по полиномам Лежанд-
ра функции В (г, Q, и);
Fi (г), см^-сек-1— коэффициенты разложения по полиномам Ле-
жандра функции F (г, £2);
Fqd — поправочный кадмиевый коэффициент;
В1 (В), эв-1 —спектральная функция Горовитца —Третьякова;
/ (<О, Т) |
[ —фурье-оораз плотности замедления для точечного
/ (со, Е) ' источника в бесконечной среде;
g— статистический множитель в формуле Брейта —
Вигнера;
g, g (Т) — множитель Весткотта для поглотителей, сечение
которых не подчиняется закону i/v;
447
L
g(E'->E), эв-1— вероятность того, что при столкновении энергия
нейтрона изменится от значения Е' до Е *;
h — постоянная Планка, деленная на 2л;
барн — резонансный интеграл при бесконечном разбав-
лении;
барн — эффективный резонансный интеграл;
барн — резонансный интеграл;
барн—избыточный резонансный интеграл;
J, J, см~2‘Сек~1— плотность потока нейтронов;
2л _____-j
К—-—- , см 1 — волновое число;
л
I eff,
I x,
Е
М(Е) =
к, эв/°К— постоянная Больцмана;
Л, см — диффузионная длина;
L, смт1— оператор термализации;
Ls, см — длина замедления;
М, г — масса рассеивающего атома;
е-£?//^То? дв-1 — равновесный спектр тепловых нейтронов в замед-
лителе с температурой Eq‘,
М2, барн — мера среднего квадрата передаваемой энергии
в равновесном максвелловском спектре;
???, тпп, г — масса нейтрона;
7V, см~3— число атомов в 1 слг3;
N (£), Мэв-1 — спектр нейтронов деления;
тг (г, О, Е), см~3 - сте р-1 - эв-1— дифференциальная плотность нейтронов;
тг (г, 9), см~3-стер-1— векторная плотность;
п(г), тг, см-3— плотность нейтронов;
п (Е), см-Я-эв'1 — плотность нейтронов на единицу энергии;
п—среднее число заполнения осциллятора;
р, р (Е), р (и)—’вероятность избежать резонансного захвата;
Q, сек"1 — мощность источника;
Q, Мэв — энергия реакции;
q (Е), q (iz), см~3• сек-1— плотность замедления при энергии Е (летаргии и);
qfh(r), см~3 • сект1 — плотность замедления непосредственно над теп-
г ловой областью энергий;
Е, см — радиус ядра;
RCo — кадмиевое отношение;
г — спектральный индекс в представлении Весткотта:
см2— средний квадрат длины замедления;
S (г, О, Е), см~3 • сек-1 ♦ стер-1 • эв-1— дифференциальная плотность источников;
£, Е(г), еле-3 • сек"1— плотность источников на единицу энергии;
Ер — эффективный коэффициент самопоглощения
[3-частиц;
5 — приведенный избыточный резонансный интеграл;
Z+
Т =—пропускание нейтронов;
Т — временной фактор;
Е, °К — температура нейтронов;
Ео, °К — температура замедлителя;
Л/2, сек, мин, ч, дни, годы — период полураспада;
tE, сек — время замедления до энергии Е;
tT, сек — время релаксации по температуре;
tth, сек — время термализации;
и — летаргия;
V, см-сект1 — скорость рассеивающего атома;
v, см-сек-1 — скорость нейтронов;
vQ, см ‘ сек-1 — наиболее вероятная скорость нейтронов в макс-
велловском спектре с температурой Т = 293,6° К;
vT, см • сек-1 — наиболее вероятная скорость нейтронов в максвел-
ловском спектре с температурой Е;
а, сс (Е2), сект1 — постоянная затухания во времени импульсного
поля нейтронов;
®п, v
сс =-------отношение сечения захвата к сечению деления;
0П, /
(А — 1\2
сс — I - - ) —максимальное относительное изменение энергии
\ А +1 /
при упругом столкновении;
* Более точно, вероятность того, что энергия после столкновения будет находиться
в единичном интервале вблизи значения Е.
448
а, гле2*^1— коэффициент поглощения |3-частиц;
а0 = у2а, сект1— вероятность поглощения;
Р — альбедо;
Г, эв — полная ширина резонанса;
Гп, эв — нейтронная ширина резонанса;
эв — радиационная ширина резонанса;
_ 2
v ~ /— см • сек'-1 — средняя скорость нейтронов максвелловского
|/ л
спектра с температурой Т;
Et 1
у—, мксек-мт1— разрешающая способность спектрометра по вре-
мени пролета;
А (Е/kT) — функция переходном области;
б = рг7, г-см~2— масса на единицу поверхности;
s — поправка па нейтроны, падающие на края фольги;
ц — выход нейтронов на один нейтрон, поглощенный
делящимся веществом;
Фо—угол рассеяния в лабораторной системе коор-
динат;
х, см-1 — асимптотическая постоянная релаксации поля
нейтронов;
х, х, см-1 — изменение волнового числа нейтрона при столкно-
вении;
хс — поправка к активации;
хф (г) — поправка к потоку;
X, сек-1 — постоянная радиоактивного распада;
%, см — средняя длина свободного пробега;
Xs, см — средняя длина свободного пробега по отношению
к рассеянию;
Ха, см— средняя длина свободного пробега по отношению
к поглощению;
см — средняя траспортная длина свободного пробега;
Xj— доля поглощений в t-м резонансе резонансного
детектора, приводящих к требуемой активности;
%, см — приведенная длина волны де-Бройля для ней-
тронов;
р^, cat2-г-1 — полный коэффициент взаимодействия;
па, см2-г-1 — коэффициент поглощения;
р-aci» cat2 • г-1 — коэффициент активации;
ps, cat2-г"-1 — коэффициент рассеяния;
цао, cat2-г"1 — коэффициент поглощения в максимуме резонанса;
v —среднее число вторичных нейтронов деления;
g— средняя логарифмическая потеря энергии;
gS5, cat-1 — замедляющая способность;
р, г-см~3 — плотность;
5, см-1 — макроскопическое сечение;
5а, см-1 — среднее макроскопическое сечение поглощения
тепловых нейтронов;
£ у
—коэффициент замедления;
ZS(Q' -> Й, Е' -+Е), см-1 • стер"1-эв-1—макроскопическое сечение процессов рассеяния,
в результате которых нейтрон, имевший перво-
начально направление движения й' и энергию Е',
будет двигаться в направлении Й с энергией Б*;
Ss (й'—>Й), см-1-стер-1 — макроскопическое сечение процесса рассеяния,
в результате которого нейтрон, двигавшийся
первоначально в направлении (2', приобретает
направление движения Й*;
(и' —и), см-1 — коэффициенты разложения по полиномам Лежанд-
ра функции Ss (Й' —> О, и'—>н);
см-1 — коэффициенты разложения по полиномам Лежанд-
ра функции 28(Й' —> Q);
(•£" —> 2?), см-З-эв-1 — макроскопическое сечение процессов рассеяний,
при которых энергия нейтронов изменяется от
величины Е' до £*;
о, барн — микроскопическое сечение;
аа0’ барн — сечение поглохцепия в максимуме резонанса;
* Более точно, направление после столкновения должно лежать в единичном телес-
ном угле вблизи направления Q, а энергия — в единичном интервале энергий вблизи Е.
449
ощ барн — полное сечение в максимуме резонанса;
барн —сечение рассеяния на свободном атоме;
(Jsb, барн — сечение рассеяния на связанном атоме;
о, барн — среднее по спектру деления сечение;
О', барн — эффективное сечение в представлении Весткотта;
ocohi барн — сечение когерентного рассеяния;
п0, барн — сечение, соответствующее плато порогового
детектора;
сг/г, х, барн — сечение реакций (и, а), (и, у), (и, и), (п, п'),
(п, р), (а, 2п), (п, f);
с>д, д (cos-йо), барн — сечение процесса упругого рассеяния в направ-
лении *;
on п, (Е, Еj), барн — сечение возбуждения процесса неупругого рас-
сеяния;
<7П п,(Е,-+Е'), барн-Мэв~х — сечение процесса неупругого рассеяния, при
котором энергия нейтронов изменяется от зна-
чения Е до Е**\
0's (Е' Е, cos й0), барн-эв-1— сечение процесса пеупругого рассеяния в направ-
лении -Op с изменением энергии от значения Е'
до Е*> **;
0's (Е' Е), барн-эе^— сечение процесса рассеяния, при котором энер-
гия изменяется от значения Е' до
o's(A£’)v, 6apH-aev — момент потери энергии за один акт рассея-
ния;
тЕ, см2— возраст;
т(£'), т, см2— возраст по Ферми;
tje, см2— возраст потока;
Ф (г), Ф, см~2- сек~1— поток нейтронов;
Ф (£”), см^-секг^-эв^ — поток нейтронов на единичный интервал энергии;
см~2-сек~^ — поток тепловых нейтронов;
Ферь смг2- секг^-— эпитепловой поток нейтронов па единицу летар-
гии;
Ф/, см~2’сек~^- — поток быстрых нейтронов;
Фо (цаб) — вероятность поглощения фольгой в изотропном
потоке нейтронов;
<P0(V, Р) 1 , д ,
u V —функции, описывающие p-активность фольг;
Ф1(V, Р) J
% (и, t) — вспомогательная функция рассеяния;
%о — вероятность поглощения в цилиндре в изотроп-
пом потоке нейтронов;
ф, см~3 -сек~^-— плотность столкновений, т. е. число столкнове-
ний в 1 см3 за 1 сек;
ф— угол рассеяния в системе центра масс;
ф (Е), см~3-сек~1>эв~1 — плотность столкновений на единичный интервал
энергии;
фо (2а7?) — вероятность поглощения в сфере в изотропном
потоке нейтронов.
* Точнее, косинус угла рассеяния должен лежать в единичном интервале вблизи
значения cos й0.
** Точнее, энергия после рассеяния должна лежать в единичном интервале энер-
гий вблизи значения Е.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию.............................................. 3
Из предисловий авторов к первому (1958) и второму (1964) изданиям........... 4
Часть I. ПОЛУЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ И ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ...... 5
Глава 1. Физические свойства нейтрона................................... 5
1.1. Исторический обзор ............................................... 5
1.2. Свойства свободных нейтронов...................................... 5
1.3. Основы ядерных реакций с нейтронами............................... 7
1.3.1. Сечение, средняя длина свободного пробега..................... 7
1.3.2. Классификация нейтронных реакций ............................. 9
1.3.3. Составное ядро................................................ И
1.3.4. Формула Брейта — Вигнера .................................... 12
1.3.5. Сечения в непрерывной области................................ 14
1.4. Экспериментальные значения сечений............................... 16
1.4.1. Сечения В10, Li6 и Не3....................................... 17
1.4.2. Сечения некоторых замедляющих веществ........................ 19
1.4.3. Сечение рассеяния на ядрах кристаллических сред при низких энер-
гиях ................................................................ 20
1.4.4. Сечение рассеяния на свободных и связанных ядрах............. 21
1.4.5. Сечения элементов для медленных нейтронов ................... 22
Литература ............................................................... 23
Глава 2. Источники нейтронов.............................................. 24
2.1. Получение нейтронов в ядерных реакциях............................ 24
2.1.1. Различные типы реакций........................................ 25
2.1.2. Энергетическое рассмотрение .................................. 26
2.1.3. Вычисление мощности нейтронных источников..................... 28
2.2. Радиоактивные (а, п)-источники ................................... 29
2.2.1. Ra — Ве-источник ............................................. 29
2.2.2. Другие источники нейтронов (а, и)-типа......................... 32
2.3. Радиоактивные (у, п)-источпики .................................... 33
2.3.1. Энергетический баланс (у, гс)-реакций.......................... 33
2.3.2. Sb — Ве-источник .............................................. 34
2.3.3. Другие фотонейтронные источники ............................... 35
2.4. Источники нейтронов с делящимся веществом.......................... 36
2.5. Получение нейтронов с помощью искусственно ускоренных частиц ... 37
2.5.1. Моноэнергетические нейтроны (р, п)-реакций .................... 38
2.5.2. (с?, п)-Источники нейтронов.................................... 41
2.5.3. Использование тормозного излучения от электронных ускорителей 43
2.5.4. Получение квазимоноэнергетических нейтронов с помощью метода
времени пролета...................................................... 44
2.6. Получение нейтронов в исследовательских реакторах.................. 47
2.6.1. Виды излучений................................................. 47
2.6.2. Экспериментальные устройства .......................... 52
2.6.3. Вспомогательная аппаратура для получения моноэнергетических
нейтронов ........................................................... 53
Литература ................................................................. 57
Глава 3. Детекторы нейтронов............................................ 60
3.1. Нейтронные детекторы на основе (п, а)-реакций в В10 и Li6.......... 60
3.1.1. Борный счетчик ................................................ 60
3.1.2. Борные сцинтилляторы .......................................... 62
3.1.3. Детекторы с Li6 ............................................... 63
451
3.2. Детектирование быстрых нейтронов и определение их энергии с помощью
протонов отдачи ................................................... 64
3.2.1. Простые счетчики протонов отдачи ............................. 65
3.2.2. Спектроскопия нейтронов по протонам отдачи.................... 66
3.3. Другие методы детектирования...................................... 68
3.3.1. Камера деления ............................................... 68
3.3.2. Детекторы с Не3............................................... 69
Литература ................................................................ 70
Глава 4. Измерение сечений................................................. 71
4.1. Метод пропускания................................................. 71
4.1.1. Определение полного сечения................................... 71
4.1.2. Определение резонансных параметров............................ 72
4.1.3. Определение неупругого сечения ............................... 75
4.2. Эксперименты по рассеянию ........................................ 76
4.2.1. Упругое рассеяние и угловые распределения..................... 76
4.2.2. Неупругое рассеяние .......................................... 78
4.3. Эксперименты по определению сечении реакций....................... 80
4.4. Эксперименты с делящимися веществами.............................. 81
4.4.1. Измерение сечения деления.................................... 82
4.4.2. Определение параметров v, и ц и а ............................ 83
Литература ................................................................ 84
Часть II. ТЕОРИЯ НЕЙТРОННЫХ ПОЛЕЙ................. 87
Глава 5. Нейтронные поля................................................... 87
5.1. Описание поля .................................................... 87
5.1.1. Поток, плотность и ток нейтронов.............................. 87
5.1.2. Общее уравнение переноса ..................................... 89
5.1.3. Интегральная форма уравнения переноса ........................ 91
5.2. Стационарное уравнение переноса без зависимости от энергии. Элемен-
тарная теория диффузии................................................. 92
5.2.1. Разложение по сферическим гармоникам. Закон Фика.............. 92
5.2.2. Асимптотическое решение уравнения переноса.................... 95
5.2.3. Поток нейтронов вблизи точечного источника.................... 97
5.2.4. Поток нейтронов вблизи границы рассеивающей среды............. 99
5.2.5. Различные приближения решения транспортного уравнения .... 101
5.3. Тепловые нейтроны ............................................... 102
5.3.1. Максвелловское распределение по энергиям..................... 103
5.3.2. Скорость реакций в поле тепловых нейтронов................... 104
5.3.3. Элементарное уравнение диффузии для тепловых нейтронов .... 106
Литература ............................................................... 107
Глава 6. Приложения элементарной теории диффузии............................ 108
6.1. Расширение общей теории ......................................
6.1.1. Элементарный вывод закона Фика.............................
6.1.2. Диффузионные параметры тепловых нейтронов..................
6.1.3. Поток нейтронов вблизи точечного источника; физический смысл поня-
тия длины диффузии ...............................................
6.2. Решение диффузионного уравнения в некотррых простых случаях . . .
6.2.1. Простые симметричные источники в бесконечной среде.........
6.2.2. Произвольное распределение источников. Диффузионные ядра . . .
6.2.3. Диффузионные задачи с простыми граничными условиями........
6.2.4. Распределение нейтронов в призме (колонне).................
6.3. Некоторые частные вопросы теории диффузии.....................
6.3.1. Примыкающие среды. Альбедо ................................
6.3.2. Сильный поглотитель в нейтронном поле......................
Литература ............................................................
108
108
110
111
112
113
115
117
118
118
120
121
Глава 7. Замедление ....................................................... 121
7.1. Упругое рассеяние и замедление ................................... 122
7.1.1. Динамика столкновений ........................................ 122
7.1.2. Энергетическое и угловое распределения........................ 124
7.1.3. Средняя логарифмическая потеря энергии........................ 125
7.2. Замедление в водороде (Л ~ 1)..................................... 127
7.2.1. Плотность столкновений. Плотность замедления, летаргия........ 127
7.2.2. Вычисление плотности замедления и энергетического спектра .... 128
7.3. Замедление в тяжелых средах (А 1)................................. 131
7.3.1. Непоглощающие среды......................................... 131
452
7.3.2. Поглощающие среды; приближение Вигнера...................... 133
7.3.3. Приближение Герцеля — Грейлинга (Goertzel, Greuling, 1960) . . . 135
7.4. Резонансные интегралы ........................................... 137
7.4.1. Определение резонансного интеграла .......................... 137
7.4.2. Вычисление резонансного интеграла с помощью формулы Брейта —
Вигнера............................................................. 138
7.4.3. Допплеровское уширение резонансных линий..................... 139
7.4.4. Вычисление резонансного интеграла с учетом эффекта Допплера 141
Литература ............................................................... 142
Глава 8. Пространственное распределение замедляющихся нейтронов .... 143
8.1. Средний квадрат длины замедления................................. 143
8.1.1. Понятие величины г2Е......................................... 143
8.1.2. Элементарное вычисление гЕ................................. 144
8.1.3. Формулировка метода точного вычисления величины г2Е.......... 147
8.2. Теория возраста.................................................. 151
8.2.1. Диффузионное уравнение с энергетической зависимостью и теория
возраста............................................................ 151
8.2.2. Теория возраста и уравнение переноса ........................ 153
8.2.3. Приложение уравнения возраста к простым задачам замедления 155
8.2.4. Физический смысл преобразования Фурье для плотности замедления 159
8.2.5. Учет первого пролета в теории возраста....................... 161
8.3. Другие приближенные методы расчета плотности замедления.......... 162
8.3.1. Метод Селенгута — Герцеля ................................... 162
8.3.2. Многогрупповой метод ....................................... 163
8.3.3. Bjy-приближение.............................................. 167
8.4. Распределение тепловых нейтронов, обусловленное заданным распределе-
нием источников быстрых нейтронов .................................. 168
8.4.1. Средний квадрат длины замедления и площадь миграции.......... 169
8.4.2. Точечный источник в бесконечной среде........................ 169
8.4.3. Различные случаи расположения плоского и точечного источников 170
Литература ............................................................... 171
Глава 9. Зависимость процессов замедления и диффузии от времени........... 172
9.1. Замедление в бесконечных средах.................................. 172
9.1.1. Замедление в водороде........................................ 173
9.1.2. Замедление в тяжелых замедлителях (А 1)...................... 176
9.2. Диффузия моноэнергетических нейтронов ........................... 179
9.2.1. Диффузионное уравнение, зависящее от времени................. 179
9.2.2. Условия применимости диффузионного уравнения, зависящего от
времени............................................................. 181
9.3. Теория возраста и диффузионное уравнение, зависящее от времени . . . 183
9.4. Диффузия моноэнергетических нейтронов, испускаемых гармонически
модулированным источником ........................................... 184
Литература ............................................................... 185
Глава 10. Термализация нейтронов.......................................... 186
10.1. Рассеяние медленных нейтронов................................... 187
10.1.1. Вычисление сечения os (Ef —^Е) для идеального одноатомного газа 187
10.1.2. О рассеянии нейтронов на химически связанных атомах......... 191
10.1.3. Рассеяние нейтронов в воде, бериллии и графите.............. 199
10.1.4. Экспериментальное исследование рассеяния медленных нейтронов 204
10.2. Вычисление стационарного спектра нейтронов ..................... 205
10.2.1. Пространственно-независимый спектр в модели тяжелого газа в каче-
стве замедлителя ................................................... 206
10.2.2. Пространственно-независимый спектр в реальных замедлителях 213
10.2.3. Основные сведения о спектре нейтронов с пространственной зави-
симостью ........................................................... 215
10.3. Некоторые свойства полей термализованных нейтронов.............. 218
10.3.1. Элементарное описание полей термализованных нейтронов. Диффу-
зионное охлаждение и диффузионный разогрев.......................... 218
10.3.2. Описание эффекта диффузионного охлаждения методом полиномов
Лагерра ............................................................ 223
10.3.3. Теория переноса для поля термализованных нейтронов.......... 227
10.3.4. Замечания о задаче Милна для тепловых нейтронов............. 231
10.4. Приближение импульсного поля нейтронов к равновесному состоянию 233
10.4.1. Элементарное рассмотрение приближения к равновесию......... 233
10.4.2. Анализ термализации с зависимостью от времени как задача опре-
деления собственных значений........................................ 235
-Литература ............................................................. 237
453
Часть III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА И СПЕКТРА ПОЛЯ НЕЙТРОНОВ 240
Глава 11. Измерение потока тепловых нейтронов с помощью образцов .... 240
11.1. Общие сведения ................................................ 240
11.1.1. Активация и активность .................................... 240
11.1.2. Материалы, используемые для образцов при измерениях в поле
тепловых нейтронов ............................................... 241
11.1.3. Определение активности образца............................. 245
11.2. Активация фольг, детектирующих нейтроны ....................... 247
11.2.1. Активация и поток нейтронов ............................... 248
11.2.2. Влияние рассеяния в фольге................................. 251
11.2.3. Активация в поле тепловых нейтронов........................ 252
11.2.4. Активация нейтронами, падающими на края фольги............. 253
11.2.5. Поправки к кажущейся активности при улете самопоглощения
р-частиц .......................................................... 253
11.2.6. Активация цилиндрического образца.......................... 255
11.3. Возмущения, вызванные фольгами................................. 258
11.3.1. Вычисление поправки к активации с помощью элементарной теории
диффузии............................................................ 260
11.3.2. Вычисление поправки к активации с помощью теории переноса 262
11.3.3. Поправка к активации в поле тепловых нейтронов............. 266
11.3.4. Вычисление возмущения потока .............................. 267
11.3.5. Возмущение активации образцов в виде полосок............... 268
11.4. Экспериментальное изучение возмущений, вызванных фольгой .... 269
11.4.1. Методы измерения поправки к активации...................... 269
11.4.2. Возмущение активации в графите (Я < .................... 269
11.4.3. Возмущение активации в воде и парафине (R Ktr)............. 270
11.4.4. Измерение возмущения потока................................ 272
Литература ............................................................... 273
Глава 12. Активация эпитепловыми нейтронами............................... 273
12.1. Активация эпитепловыми нейтронами .............................. 272
12.1.1. Приближенное вычисление активации ......................... 274
12.1.2. Образцы с резонансным поглощением.......................... 277
12.1.3. Метод сэндвича............................................. 279
12.2. Одновременная активация фольги тепловыми и эпитепловыми нейтро-
нами ................................................................ 281
12.2.1. Метод кадмиевой разности.................................... 281
12.2.2. Вычисление фактора FqD для тонкого 1/^-поглотителя.......... 283
12.2.3. Кадмиевое отношение и определение эпитеплового потока .... 286
12.2.4. Метод двух фольг............................................ 288
12.2.5. Тонкие фольги (метод Весткотта)............................. 288
12.3. Измерение резонансных интегралов ............................... 290
12.3.1. Точное определение резонансного интеграла................... 291
12.3.2. Определение резонансного интеграла с помощью кадмиевого отно-
шения ............................................................. 292
12.3.3. Другие методы измерения резонансных интегралов.............. 293
Литература ............................................................... 293
Глава 13. Пороговые детекторы быстрых нейтронов........................... 294
13.1. Основные сведения о пороговых детекторах........................ 294
13.1.1. Определение эффективной пороговой энергии.................... 295
13.1.2. Вещества для пороговых детекторов ........................... 298
13.1.3. Камеры деления в качестве пороговых детекторов............... 300
13.2. Обработка результатов, полученных с помощью пороговых детекторов 301
13.2.1. «Математические» методы ..................................... 301
13.2.2. Полуэмпирические методы...................................... 302
Литература ............................................................... 305
Глава 14. Стандартизация нейтронных измерений............................. 305
14.1. Абсолютное измерение потоков тепловых нейтронов с помощью образцов 306
14.1.1. Вещества образцов для абсолютных измерений.................. 306
14.1.2. Абсолютное определение активности образца.................... 307
14.1.3. Самопоглощение электронов при счете в 4л-геометрии........... 309
14.2. Другие методы абсолютного измерения потока...................... 311
14.3. Определение мощности источников нейтронов....................... 312
14.3.1. Метод коррелированных частиц................................. 313
14.3.2. Метод водяного бака ......................................... 314
14.3.3. Другие методы полного поглощения ............................ 315
45 4
14.4. Методы сравнения мощностей источников............................... 316
14.5. Сравнение результатов различных методов измерения мощности Ra — Ве-
источников ........................................................... 319
Литература .................................................................... 320
Глава 15. Исследование распределения медленных нейтронов по энергиям . . 322
15.1. Исследование дифференциального спектра методом времени пролета 322
15.1.1. Вывод пучка .................................................... 322
15.1.2. Метод прерывателя .............................................. 325
15.1.3. Метод пульсирующих источников ............... 329
15.1.4. Разрешение по энергии в измерениях методом времени пролета . . . 330
15.2. Исследование спектра интегральными методами......................... 333
15.2.1. Определение температуры методом пропускания..................... 334
15.2.2. Измерение температуры нейтронов с помощью фольг из лютеция 336
15.2.3. Другие методы определения температуры нейтронов................. 340
15.3. Результаты измерений стационарных спектров ......................... 342
15.3.1. Измерения в воде................................................ 342
15.3.2. Измерения в графите ............................................ 346
15.3.3. Другие замедлители.............................................. 349
Литература .................................................................... 350
Часть IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ 352
Глава 16. Параметры замедления................................................. 352
16.1. Определение среднего квадрата длины замедления...................... 352
16.1.1. Основные сведения о методике измерений.......................... 352
16.1.2. Измерение среднего квадрата длины замедления нейтронов деления
в воде ............................................................. 354
16.1.3. Результаты измерений величины 6т*1>46 эе для различ-
ных сред и разных типов источников 357
16.1.4. Возраст нейтронов при замедлении от энергии 1,46 эв до тепловой
энергии ............................................................ 360
16.2. Пространственная зависимость потока нейтронов на больших расстоя-
ниях от точечного источника быстрых нейтронов..................... 361
16.3. Зависимость процесса замедления от времени.......................... 364
16.3.1. Замедление до индиевого и кадмиевого резонансов в водородсодер-
жащих замедлителях ...................................................... 364
16.3.2. Замедление в тяжелых замедлителях; спектрометр по времени замед-
ления .................................................................... 367
Литература .................................................................. 369
Глава 17. Исследование диффузии тепловых нейтронов стационарными методами 370
17.1. Измерение диффузионной длины ........................................ 370
17.1.1. Точечный источник в бесконечной среде ........................... 370
17.1.2. Ограниченные среды; призма....................................... 372
17.1.3. Определение диффузионной длины на основании измерения распре-
деления потока в среде, окруженной поверхностными источниками 376
17.1.4. Результаты различных измерений диффузионной длины................ 379
17.2. Измерение транспортной длины свободного пробега в экспериментах
с отравлением ........................................................ 383
17.2.1. Принцип метода .................................................. 383
17.2.2. Эксперименты по отравлению в D2O, Н2О и графите.................. 384
17.3. Определение сечения поглощения относительными интегральными
методами ...................................................... 385
17.3.1. Метод интегрального потока нейтронов ............................ 386
17.3.2. Метод призмы Мирейля............................................ 387
17.3.3. Котловой осциллятор ............................................. 389
Литература .................................................................... 392
Глава 18. Исследование диффузии, поглощения и термализации нейтронов
нестационарными методами ...................................................... 394
18.1. Измерения в полях тепловых нейтронов методом пульсирующего источ-
ника ................................................................. 395
18.1.1. Оборудование для экспериментов с пульсирующим источником
нейтронов ................................................................ 396
18.1.2. Измерение зависимости ос (В2).................................... 396
18.1.3. Результаты исследования различных замедлителей методом пуль-
сирующего источника нейтронов ............................... 398
455
18.1.4. Определение геометрического параметра методом пульсирующего
источника нейтронов ............................................... 404
18.1.5. Измерение поглощения методом пульсирующего источника нейтронов 404
18.2. Измерение коэффициента диффузии методом модулированных источников 406
18.2.1. Получение и измерение модулированных полей нейтронов .... 407
18.2.2. Эксперименты с модулированным источником нейтронов в графите
и D2O ............................................................. 408
18.3. Изучение термализации методом пульсирующего источника нейтронов 410
18.3.1. Интегральное исследование спектра, зависящего от времени ... 411
18.3.2. Прямые измерения спектра, зависящего от времени........... 414
Литература ........................................................... 418
Приложения
I. Таблицы сечений изотопов для тепловых нейтронов.................... 420
II. Таблица резонансных интегралов для бесконечного разбавления поглотителей 431
III. Таблица функции ~Еп(г) ............................................ 438
IV. Функции фо (v, Р) и Ti (v, Р) ...................................... 4 14
V. Таблица временных факторов.......................................... 445
VI. Список обозначений ................................................ 447
К. Бекурц, К. Виртц
НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА
Редактор В. А. Кузьмичева
Художественный редактор А. С. Александров
Технический редактор Н. А. Власова
Корректор С. В. Смолян
Здано в набор 29. IX. 1967 г. Подписано в печать 21. II. 1968 г. Бумага 70хЮ8/1б?
типографская № 1 Усл. печ. л. 39,9 Уч.-изд. л. 40,76
Тираж 4100 экз. Заказ изд. 1485 Цена 3 р. 13 к, Зак. тип. 1276
Атомиздат, Москва, К-31, ул. Жданова, 5/7
Московская типография № 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9