М.И.КАРГАПОЛОВ, Ю. И. МЕРЗЛЯКОВ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ГРУПП
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982

22.144
К 22
УДК 512.8
К а р г а п о лов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы тео-
теории групп.— 3-е изд., перераб. идоп.— М.: Наука, 1982.— 288 с.
Книга посвящена изложению основ теории групп — одного
из важнейших разделов современной алгебры. Помимо традицион-
традиционного материала, относящегося к собственно основам теории групп,
излагаются некоторые последние достижения в этой области, еще
не получившие отражения в монографической литературе. Большое
внимание уделяется примерам и упражнениям, разъясняющим
основные понятия и результаты.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов университетов и пединститутов.
Михаил Иванович Каргаполов
Юрий Иванович Мерзляков
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Редактор Ф. И. К и з н е р
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор Н. Б. Румянцева
И. Б. N1 12126
Сдано в набор 06.02.82. Подписано к печати 09.06.82. Т-06791.
Формат 84Х1081/»!- Бумага тип. N1 1. Обыкновенная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 15,24.
Тираж 11 800 акз. Заказ Ni 1420. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 10
Издательство «Наука».
1702030000—094 Главная редакция
К '—асо/поч QO 29-82. физико-математической
U06(U^)-tid, литературы, 1982,
с изиенениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 6
Из предисловия ко второму изданию 6
Из предисловия к первому изданию 7
Обозначения классических объектов 8
Введение 9
Глава 1. Определение и важнейшие части группы
§ 1. Определение группы 15
1.1. Аксиоматика. Изоморфизм A5). 1.2. Примеры A7).
§ 2. Подгруппы. Нормальные подгруппы 22
2.1. Подгруппы B2). 2.2. Порождающие множества B4).
2.3. Пиитические и локально циклические группы. Ранг
B8). 2.4. Смежные классы C0). 2.5.Классы сопряженных
элементов C2).
§ 3. Центр. Коммутант 36
3.1. Центр C6). 3.2. Коммутант C8).
Глава 2. Гомоморфизмы
§ 4. Гомоморфизмы и фактор-группы 44
4.1. Определения D4). 4.2. Теоремы о гомоморфиз-
гомоморфизмах D7). 4.3. Поддекартовы произведения E1). 4.4.
Матрёшки E4).
§ 5. Эндоморфизмы. Автоморфизмы 59
5.1. Определения E9). 5.2. Допустимые подгруппы
F4). 5.3. Совершенные группы F7).
§ 6. Расширения посредством автоморфизмов ... 69
6.1. Голоморф F9). 6.2. Сплетения G2).
Глава 3. Абелевы группы
§ 7. Свободные абелевы группы. Размерность ... 76
7.1. Свободные абелевы группы G6). 7.2. Размерность
абелевой группы G9).
§ 8. Конечно порожденные абелевы группы .... 83
§ 9. Полные абелевы группы 86
§ 10. Периодические абелевы группы 90
Глава 4. Конечные группы
§ 11. Силовские подгруппы 98
11.1.Теорема Силова (98). 11.2. Применение и груп-
группам порядка pq A01). 11.3.3 Примеры силовских под-
подгрупп A02).

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12. Группы подстановок 105
12.1. Регулярное представление A06). 12.2. Представ-
Представления подстановками смешных классов A08). 12.3.
Транзитивность. Примитивность A10).
§ 13. Простые конечные группы ; . . . . 114
13.1. Знакопеременные группы A15). 13.2. Проектив-
Проективные специальные линейные группы A18).
Глава 5. Свободные группы и многообразия
§ 14. Свободные группы 122
14.1. Определение A22). 14.2. Матричное представле-
представление A28). 14.3. Подгруппы A31). 14.4. Ряды цеит-
ралов и коммутантов A35).
§ 15. Многообразия 137
15.1. Тождества и многообразия A38). 15.2. Другой
подход к многообразиям A41).
Глава 6. Нильпотентные группы
§ 16. Общие свойства и примеры 143
16.1. Определение A43). 16.2. Общие свойства A48).
16.3. Нильпотентные группы автоморфизмов A51).
§ 17. Важнейшие подклассы 154
17.1. Конечные нильпотентные группы A54). 17.2.
Конечно порожденные нильпотентные группы A57).
17.3. Нильпотентные группы без кручений A65).
§ 18. Обобщения нильпотентности 169
18.1. Локальная нильпотентность A69). 18.2. Нор-
мализаторное условие A71). 18.3. Энгелевость A73).
Глава 7. Разрешимые группы
§ 19. Общие свойства и примеры 176
19.1. Определения A76). 19.2. Полицикличность и
сверхразрешимость A79).
§ 20. Конечные разрешимые группы 180
20.1. Холловы и картеровы подгруппы A80). 20.2.
О полной приводимости представлений A84). 20.3.
Критерий сверхразрешимости A90).
§ 21. Разрешимые группы матриц 193
21.1. Почти триангулируемость A93). 21.2. Полицик-
Полицикличность разрешимых групп из GLn Q,) A98). 21.3. Вло-
Вложение голоморфов полициклических групп в GinB) A99).
§ 22. Обобщения разрешимости 203
22.1. Классы Куроша — Черникова B03). 22.2. При-
Примеры B06). 22.3. Локальная теорема B09).
Г л а в а 8. Условия конечности
§ 23. Периодичность и локальная конечность . ... 214
23.1. Совпадают ли эти понятия? B14). 23.2. Бесконеч-
Бесконечная 2-порождениая 2-группа автоматных преобразований
B16). 23.3. Другое доказательство B26).
§ 24. Условия минимальности и максимальности . . 232
24.1. Определения и примеры B32). 24.2. Перенос с
абелевых подгрупп на разрешимую группу B36).
24.3. О локально разрешимых группах B42).

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Конечность ранга 248
25.1. Примеры B48). 25.2. Перенос с абелевых подгрупп
на разрешимую группу B52). 25.3. О локально раз-
разрешимых группах B58).
Дополнение. Вспомогательные сведения из алгебры,
логики и теории чисел
§ 26. О нильпотентных алгебрах 267
26.1. Нильпотентность ассоциативных и лиевых алгебр
B67). 26.2. Ненильпотентные нильалгебры B70).
§ 27. Локальные теоремы логики 275
27.1. Алгебраические системы B75). 27.2. Язык исчис-
исчисления предикатов B76). 27.3. Локальные теоремы
B78).
§ 28. О целых алгебраических числах 280
Литература 285
Предметный указатель 287

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании добавлена глава 8, в которой обсуж-
обсуждаются важнейшие условия конечности — периодичность
и локальная конечность, условия минимальности и мак-
максимальности, условие конечности ранга. Есть изменения
и в других частях книги, иногда довольно значительные.
Во избежание путаницы проводится четкое различие между
степенью (группы, свободной в многообразии), размерно-
размерностью (абелевой группы) и рангом группы.
Сегодня, когда я пишу это предисловие, исполняется
пять лет со дня кончины Михаила Ивановича Каргаполова.
Включение в книгу теоремы 25.2.1, «наиболее глубокой
из теорем о разрешимых группах» [43],— дань его свет-
светлой памяти.
Я благодарен В. Я. Блощицыну, Ю. М. Горчакову,
В. Д. Мазурову, Ю. В. Сосновскому, В. А. Чуркину и
В. П. Шункову, беседы с которыми помогли мне в работе.
Новосибирск, Академгородок, Ю. И. Мерзляков
20 февраля 1981 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание отличается от предыдущего отдель-
отдельными изменениями в разных местах книги. Больше вни-
внимания уделено, в частности, полициклическим и локально
полициклическим группам — самым естественным обоб-
обобщениям классического понятия конечной разрешимой
группы.
Авторы
Новосибирск, Академгородок,
14 января 1976 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 7
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга — записки лекций по теории групп, читан-
читанных авторами в Новосибирском университете в 1968—
1970 гг. Мы хотели изложить именно основы, не вдаваясь
в детали и обходя трясину обобщений. Надеемся, что сту-
студент, желающий заниматься теорией групп и познакомив-
познакомившийся по этим запискам с ее основами, сможет быстро
перейти к чтению специальной литературы по избранному
вопросу.
Мы старались не переступать границу между абстракт-
абстрактной и схоластической теорией групп, по возможности по-
поясняя высокие понятия простыми примерами. Четыре типа
примеров сопровождают изложение: числа по сложе-
сложению, числа по умножению, подстановки и матрицы. Для
понимания основного текста достаточно знания общего
курса алгебры, в примерах иногда используются более
специальные сведения. Примеры и упражнения частично
используются в основном тексте, поэтому их формулиров-
формулировки не следует пропускать при чтении, а решение отклады-
откладывать слишком надолго.
В нескольких местах отмечены нерешенные вопросы.
Достаточно полное собрание таких вопросов, отражающее
интересы широкого круга специалистов по теории групп,
можно найти в последнем издании «Коуровской тетради».
Авторы

ОБОЗНАЧЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Для удобства читателя перечислим «персональные» обозначения
классических объектов, закрепленные за ними на протяжении
всей книги (рядом указаны номера страниц, где эти обозначения
впервые вводятся и объясняются):
Ап 24
Ап 117
Вг(т) 214
С 19
С* 20
С„ 20
СрСО 20
Пп(К),Пп(К,л) 20
F(X) 123
Fn(X),Fn 124
F^X), F«, 124
F7 (X), FnB) 138,
GF(q) 19
GF(q)* 20
GLn(K),GLn(K,u)
Mn(K) 20
On(K),On(K,«) 24,
PSLn(K) 118
© 19
, 50
139
20, 50
50
Q* 20
Qp 19
Q * 62
R 19
R* 20
S(M) 20
Sn 20
S^M) 117
81,п(К),8Ьп(К,*)
Тп(К),Тп(К,л) 20,
Un 24
иТп(К),иТп(К,л)
г 19
Z* 20
Zn 19
Z* 20
Zp0o 62
Г„(т),Гп(аM0, 146
20, 50
50
20, 50
24, 50

ВВЕДЕНИЕ
Почему квадрат кажется нам симметричной фигурой,
круг — еще более симметричной, а цифра 4 совсем не-
несимметричной? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмот-
рассмотрим движения, совмещающие фигуру с нею самой. Легко
понять, что таких движений для квадрата существует во-
восемь, для круга — бесконечно много, а для цифры 4 лишь
одно — тождественное, которое оставляет каждую точ-
точку фигуры на месте. Множество G различных движений,
самосовмещающих данную фигуру, и служит характерис-
характеристикой большей или меньшей ее симметричности: чем боль-
больше G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве G
композицию, т. е. действие над его элементами, по следую-
следующему правилу: если х, у — два движения из G, то резуль-
результатом их композиции (иногда говорят «произведением»)
называется движение ху, равносильное последователь-
последовательному выполнению сначала движения х, а затем движения у.
Например, если х, у — отражения квадрата относительно
диагоналей, то х-у — его поворот около центра на 180°.
Очевидно, композиция на G обладает следующими свойст-
свойствами: 1) (ху) z = х (yz) для любых элементов х, у, ъ
из G, 2) в G существует такой элемент е, что хе = ех = х
для любого х из G, 3) для любого х из G существует в G
такой элемент х~г, что хх~х = х~хх = е. Действительно,
в качестве е можно взять тождественное движение, а в ка-
качестве а: — движение, обратное к х, т. е. возвращающее
каждую точку фигуры из нового положения в старое.
Отвлечемся теперь от нашего примера и рассмотрим
произвольное множество G, на котором задана компози-
композиция, т. е. для любых двух элементов х, у из G определен
элемент ху снова из G. Если при этом выполняются условия
1)? 2), 3), то множество G с заданной на нем композицией на-
называется группой. Группы — один из основных типов

10 ВВЕДЕНИЕ
алгебраических систем, а теория групп — один из основ-
основных разделов современной алгебры.
Понадобилась работа нескольких поколений матема-
математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде
чем идея группы выкристаллизовалась с ее сегодняшней
ясностью. От Лагранжа, стихийно применявшего группы
подстановок для решения алгебраических уравнений в ра-
радикалах A771), через работы Руффини A799) и Абеля
A824) к Эваристу Галуа, в работах которого A830) уже
достаточно сознательно используется идея группы (им же
впервые введен и сам термин),— вот путь, по которому
развивалась эта идея в рамках теории алгебраических
уравнений. Независимо и по другим причинам она воз-
возникла в геометрии, когда в середине XIX в. на смену
единой античной геометрии пришли многочисленные «гео-
«геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и
родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской
программой» Клейна A872), положившей в основу клас-
классификации геометрий понятие группы преобразований.
Третий источник понятия группы — теория чисел. Отме-
Отметим здесь работу Эйлера о вычетах, остающихся при деле-
делении степеней A761), и работу Гаусса о композиции двоич-
двоичных квадратичных форм A801).
Осознание в конце XIX в. принципиального единства
теоретико-групповых идей, существовавших к тому вре-
времени независимо в разных областях математики, привело
к выработке современного абстрактного понятия группы
(Кэли, Фробениус, ван Дик и др.). Это был один из самых
ранних примеров абстрактной алгебраической системы.
Он послужил во многих отношениях образцом при пере-
перестройке других областей алгебры и всей математики на ру-
рубеже XX в.— их путь уже не был столь извилистым и труд-
трудным. Изучение групп без предположения конечности и без
каких бы то ни было"*предположений о природе элементов
впервые оформилось в самостоятельную область матема-
математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория
групп» A916).
В настоящее время теория групп является одной
из самых развитых областей алгебры, имеющей многочис-
многочисленные применения как в самой математике, так и за ее
пределами — в топологии, теории функций, кристалло-
кристаллографии, квантовой механике и других областях матема-

ВВЕДЕНИЕ 11
тики и естествознания. Конечной целью собственно теории
групп является описание всех групповых композиций.
Приведем несколько примеров применения групп в ал-
алгебре, в математике вообще и в естествознании.
1. Группы Г а л у а. Содержанием классической
теории Галуа является применение теории групп к изу-
изучению полей в следующем духе. Пусть К — конечное,
сепарабельное и нормальное расширение поля к. Автомор-
Автоморфизмы поля К, оставляющие элементы подполя к непод-
неподвижными, образуют группу G относительно их последова-
последовательного выполнения. Она называется группой Галуа рас-
расширения К/к. Основная теорема теории Галуа утверждает,
что, сопоставляя каждой подгруппе ff<^Gee неподвиж-
неподвижное подполе Кн = {х\ х (= К, xh = х для всех h ?Е Щ,
мы получим антиизоморфное отображение решетки под-
подгрупп группы G на решетку промежуточных подполей, за-
заключенных между кн. К. Расширение Кн/к тогда и только
тогда будет снова конечным, сепарабельным и нормальным,
когда подгруппа Н нормальна в G, причем в этом случае
сужение автоморфизмов из G на Кн будет гомоморфизмом
группы G на группу Галуа расширения Кн/к с ядром Н.
Приложение к вопросу о разрешимости уравнений
в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть
/ — многочлен от X над полем к, К — поле разложения /.
Пусть G — группа Галуа расширения К/к. Она называется
группой Галуа многочлена / над полем к (ее элементы
естественным образом изображаются подстановками кор-
корней уравнения / (X) = 0). Оказывается, уравнение / (X) =
= 0 тогда и только тогда решается в радикалах, когда
группа Галуа многочлена / полициклическая.
Аналогом теории Галуа является теория Пикара —
Вессио, изучающая средствами теории групп расширения
дифференциальных колец и решающая, в частности, воп-
вопрос о разрешимости дифференциальных уравнений в квад-
квадратурах. Та роль, которую в теории Галуа играют группы
подстановок, в теории Пикара—Вессио принадлежит
алгебраическим группам матриц.
В указанных примерах группы возникают в форме
групп автоморфизмов математических структур. Это не
только одна из важнейших форм, но и вообще присущая
только группам форма применения, обеспечивающая им
особое положение в алгебре. Дело в том, что автоморфиз-

12 ВВЕДЕНИЕ
мы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда
можно «группировать», тогда как определить на множестве
автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь другой
полезной структуры удается лишь в специальных случаях.
2. Гомологические группы. Ведущей
идеей теории гомологии является применение теории,
(абелевых) групи к изучению категории топологических
пространств. Каждому пространству X сопоставляется
семейство абелевых групп Но (X), Hi (X), ... и каждому
непрерывному отображению f: X ~> Y — семейство гомо-
гомоморфизмов /п: Нп (X) -*- Нп (Y), п = О, 1, 2, ... Изуче-
Изучение гомологических групп Нп (X) и их гомоморфизмов
средствами теории групп часто позволяет решить исход-
исходную топологическую задачу. Типичный пример — задача
продолжения: можно ли отображение g: A -*- У, опреде-
определенное на подпространстве А пространства X, продолжить
на всё X, т. е. представить g как суперпозицию вложения
h: A -*- X и некоторого непрерывного отображения g:
X -*¦ У? Если да, то в гомологиях должно быть gn = gnhn,
т. е. каждый гомоморфизм gn: Hn(A) -*¦ Hn(Y) можно про-
пропустить через Нп (X) с заданным множителем hn. Если
эта алгебраическая задача неразрешима, то, конечно,
и исходная топологическая задача неразрешима.
Таким способом можно получать важные положитель-
положительные результаты. В качестве иллюстрации наметим доказа-
доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке: каждое
непрерывное отображение / n-мерного шара Еп в себя
обладает неподвижной точкой. Пусть, напротив, / (х) Ф х
для всех х Ez Еп. Проведем луч с началом / {х) через точ-
точку х. Пусть он протыкает сферу 5" в точке g (x). Оче-
Очевидно, g непрерывно, так что задача продолжения тожде-
тождественного отображения g: 5" ->• Sn~x до отображения
Еп -*¦ 5" разрешима. При п = 1 это сразу дает проти-
противоречие. Пусть п ^ 2. Рассмотрим теорию гомологии
с коэффициентами из группы Z целых чисел. Тогда
#„_! {Ьп) = 0, Нп., E"-1) = Z, А„-1 = 0, gn_! = 1. Ясно,
что производная алгебраическая задача неразрешима.
Это снова дает противоречие.
Гомологические группы иллюстрируют другой типич-
типичный путь применения групп — путь изучения неалгебраи-
неалгебраических объектов с помощью алгебраических систем, от-
отражающих их поведение. Именно таков основной метод

ВВЕДЕНИЕ 13
алгебраической топологии. Впрочем, аналогичный метод
и, в частности, гомологические группы успешно исполь-
используются и для изучения самих алгебраических систем —
например, в теории расширений групп.
3. Группы симметрии. Как было сказано
выше, понятие группы позволяет в точных терминах оха-
охарактеризовать симметричность той или иной геометричес-
геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров A890)
решил задачу классификации правильных пространствен-
пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач
кристаллографии. Плоских федоровских групп существу-
существует всего 17, они были найдены непосредственно. Прост-
Пространственных же федоровских групп существует 230,
и только теория групп позволила провести их исчерпыва-
исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый слу-
случай применения теории групп непосредственно в естество-
естествознании.
Аналогичную роль играет теория групп в физике.
Так, в квантовой механике состояние физической системы
изображается точкой бесконечномерного векторного про-
пространства. Если физическая система переходит из одного
состояния в другое, то изображающая ее точка подвер-
подвергается линейному преобразованию. Соображения сим-
симметрии и теория представлений групп линейными пре-
преобразованиями имеют здесь первостепенное значение.
Указанные примеры иллюстрируют классифицирую-
классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идет о симметрии.
Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфиз-
автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому
теория групп незаменима в этих вопросах. Ее классифи-
классифицирующая роль велика и в самой математике — доста-
достаточно вспомнить об «Эрлангенской программе» Клейна.
Таким образом, лежащее в фундаменте современной
математики понятие группы является весьма разносто-
разносторонним орудием самой математики — оно используется
как важнейшая составная часть ряда сложных алгебраи-
алгебраических систем, как чуткий отражатель свойств различных
объектов топологии, как испытательный полигон теории
алгоритмов и многими иными путями. Вместе с тем груп-
группы — это мощный инструмент познания одной из наиболее
глубоких закономерностей реального мира — симметрии.
Перечислим теперь некоторые важные классы групп.

14 ВВЕДЕНИЕ
Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающей-
развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп.
Важное место в ней занимает отыскание конечных простых
групп, к которым относятся многие классические группы
матриц над конечными полями, несколько серий групп
автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные «споради-
«спорадические» группы. На другом полюсе находятся конечные
разрешимые группы, в них обычно интересуются специ-
специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и
пр.), во многом определяющих строение самой группы.
Часто конечные группы возникают в форме групп подста-
подстановок или матриц над конечными полями; изучению пред-
представлений матрицами и подстановками посвящено большое
самостоятельное направление теории конечных групп.
Типичным методом исследования бесконечных групп
является наложение на них условий конечности. Здесь
наибольшее внимание привлекают периодические группы,
локально конечные группы, группы с условием мак-
максимальности для подгрупп, группы с условием минималь-
минимальности для подгрупп, конечно порожденные группы, груп-
группы конечного ранга, финитно аппроксимируемые группы.
При изучении абелевых групп важную роль играют
полные абелевы группы, абелевы группы без кручения
и периодические абелевы группы, а в них сервантные и
примерные подгруппы. Исследование произвольной абе-
левой группы во многом сводится к теориям указанных
классов с помощью теории расширений абелевых групп,
развиваемой в основном гомологическими методами.
Более широкими по отношению к классу абелевых
групп являются классы нильпотентных и разрешимых
групп, теория которых также достаточно развита. Из обоб-
обобщений нильпотентности и разрешимости отметим локаль-
локальную нильпотентность, локальную разрешимость, норма-
лизаторное условие, энгелевость, а также многочисленные
классы групп, определяемые наличием в них нормальных
систем того или иного типа.
Наконец, несколько больших самостоятельных разде-
разделов теории групп определяются внесением в группу до-
дополнительных структур, согласованных с групповой опе-
операцией,— назовем здесь топологические группы, группы
Ли, алгебраические группы, линейные грудпы.

Глава f
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ
§ I. Определение группы
1.1. Аксиоматика. Изоморфизм. Множества и функции
на них — вот два типа объектов, к изучению которых сво-
сводится в конечном счете любая математическая теория.
Если аргументы функции / пробегают множество М и она
принимает при этом значения из того же самого множества,
то / называется алгебраической операцией на М. Наука,
изучающая алгебраические операции, называется алгеброй.
При этом алгебру интересует только вопрос, как дейст-
действует та или иная алгебраическая операция, и вовсе не
интересует, н а ч е м она действует. Отвлечься от второго
вопроса и сосредоточиться на первом позволяет понятие
изоморфизма. Пусть заданы два множества с отмеченными
на них алгебраическими операциями и можно установить
взаимно однозначное соответствие между самими множест-
множествами и между множествами операций на них, причем
соответственный операции будут функциями одинакового
числа аргументов и при соответственных значениях аргу-
аргументов будут принимать соответственные значения. Тогда
эти множества с операциями называют изоморфными.
Изоморфные объекты одинаково устроены в смысле опе-
операций, поэтому в алгебре их не различают или рассмат-
рассматривают, как точные копии друг друга — подобно тому,
как мы не различаем экземпляров одного и того же рома-
романа, напечатанных разным шрифтом и на разной бумаге,
если интересуемся только содержанием романа. Разумно
считать, что каждый класс изоморфных объектов как раз
и выделяет в чистом виде некоторый тип алгебраических
операций. Это сводит задачу алгебры — изучение алгеб-
алгебраических операций — к более осязаемой задаче изучения
множеств с операциями с точностью до изоморфизма.
Некоторые виды алгебраических" операций столь ча-
часто встречаются в математике, что их изучение стало
предметом самостоятельных теорий. Именно таково по-

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ.
нятие группы — предмет теории групп. Группа — эт<
множество с одной бинарной (двуместной) операцией, под
чиняющейся некоторым аксиомам. Значение бинарно!
операции / на паре элементов х, у удобно записывать т
в виде / (х, у), как для других операций, а в виде xfy —
это экономит три символа и хорошо согласуется с кано-
каноническими обозначениями числовых операций: мы ведь
пишем 2 + 3 = 5, а не +B, 3) = 5. В теории групп би-
бинарную операцию называют обычно умножением и обозна-
обозначают точкой (которую почти всегда опускают), реже ис-
используют -\-, о, * и другие символы. Запись операции точ-
точкой называют еще мультипликативной записью, а запись
плюсом — аддитивной записью.
1.1.1. Определение. Множество G с бинарной
операцией • называется группой, если:
1. Операция ассоциативна, т. е. (ab) с = a (be) для
любых а, Ь, с из G.
2. Операция гарантирует единицу, т. е. в С сущест-
существует такой элемент е — он называется единицей, — что
ае — еа = а для любого а из G.
3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е.
для любого а из G существует в G такой элемент х — он
называется обратным к а,— что ах = ха = е.
1.1.2. Определение. Множество G с бинарной
операцией • называется группой, если:
1. Операция ассоциативна.
2. Операция гарантирует левые и правые частные, т. е.
для любых элементов а, Ь из G существуют в G такие эле-
элементы х, у — они называются соответственно левым и
правым частными от деления Ь на а,— что ах = Ъ,уа = Ь.
1.1.3. Упражнение. Определения 1.1.1 и 1.1.2
равносильны. Единица в любой группе G единственна. Для
любого элемента а из G обратный к нему единствен (он
обозначается а). Для любых а, Ъ из G оба частных
от деления Ъ на а единственны (они обозначаются: а\Ъ —
левое частное и Ь/а — правое частное).
Согласно общей концепции изоморфизма взаимно
однозначное отображение ср одной группы в другую, со-
сохраняющее произведение, называется изоморфным. Иными
словами, отображение <р группыG в группу G* (символичес-
(символически ф: G ->• G*) является изоморфным, если образы раз-
различных элементов различны (образ элемента а при ото-

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 17
бражении ср обозначаем а*):
а«Р ф Ъ"> при афЪ (а, ЬеС)
и образ произведения равен произведению образов;
Группы изоморфны (в символах G~G*), если сущест-
существует изоморфизм одной из них на другую.
Например, множество G положительных действитель-
действительных чисел — группа относительно обычного умножения
чисел, множество G* всех действительных чисел — груп-
группа относительно обычного сложения чисел, а отображе-
отображение q>: G-+G*, определяемое формулой а* = log а,— изо-
изоморфизм G на G*. Пользуясь логарифмической линей-
линейкой, мы просто пожинаем плоды этого изоморфизма.
Задача теории групп — изучение групповых операций
или, иначе, изучение групп с точностью до изоморфизма.
Теория групп была бы закрыта, если бы удалось составить
каталог всех возможных групп с точностью до изоморфиз-
изоморфизма. К счастью для теории групп и к несчастью для прило-
приложений, составить такой каталог практически невозможно.
1.2. Примеры. Благодаря ассоциативности в группах
элемент (ab)c = a(be) можно записывать просто как abc,
по той же причине однозначно определено произведение п
элементов а^ . . . а„ — без указания скобок, но в ука-
указанном порядке. Произведение п элементов, равных а,
называется п-й степенью элемента а и обозначается ап.
Полагают, далее, о° = е и для п<^0 ап = (а~п)~х или
ап = (а~х)~п, что, как легко видеть, одно и то же.
1.2.1. Упражнение. Если а — произвольный
элемент группы, т, п — целые числа, то атап — ат*п,
(ат)п = атп.
Может оказаться, что ап = е при некотором п ^> О,
тогда наименьшее п с этим условием называют порядком
или периодом элемента а и обозначают | а \. Если ап Ф е
при любом п]> 0, то элементу а приписывают бесконеч-
бесконечный порядок и пишут [ а | = оо.
1.2.2. Упражнение. Если ап = е, то п делится
на | а |.
1.2.3. Упражнение. Если элементы a, b переста-
перестановочны, т. е. db = ba, и их порядки взаимно просты, то
I аЪ | = | а | • | Ь |.

18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ
[ГЛ. 1
1.2.4. Упражнение. Пусть элементы а, Ъ пере-
перестановочны и имеют порядки т, п. Тогда в группе суще-
существует элемент — это уже не всегда будет произведение
аЪ,— порядок которого равен наименьшему общему крат-
кратному чисел т, п.
Говорят, что G — группа без кручения, если любой ее
неединичный элемент имеет бесконечный порядок. Если,
напротив, порядки всех элементов группы конечны, то
она называется периодической. Группа, содержащая
неединичные элементы как конечного, так и бесконечного
порядка, называется смешанной. Если порядки элементов
периодической группы ограничены в совокупности, то их
наименьшее общее кратное называется периодом или пока-
показателем группы. Пусть р — простое число. Периодичес-
Периодическая группа, порядки элементов которой являются степе-
степенями числа р, называется р-группой. Группы, являющиеся
р-группами при каком-нибудь простом р, носят общее
название примарных групп. Мощность \G \ группы G
называется порядком группы. Если эта мощность конечна,
то группа G называется конечной, в противном случае —
бесконечной. Если операция в группе G коммутативна,
т. е. аЪ — Ъа для любых а, Ь из G, то группа G называ-
называется коммутативной или абелевой — в честь Н. Г. Абеля.
Часто коммутативную операцию записывают аддитивно и
тогда изменяют терминологию и обозначения, пользуясь
следующим словариком:
•
умножение
произведение
единица
обратный
степень
частное
е или 1
о
ап
а/Ъ, Ъ\а
+
сложение
сумма
нуль
противоположный
кратное
разность
0
—а
па
а—Ь

g 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 19
Группы вездесущи: теория Галуа и теория дифферен-
дифференциальных уравнений, алгебраическая топология и клас-
классификация элементарных частиц в физике, кристаллогра-
кристаллография и теория относительности, теория узлов, различные
другие ветви топологии и теории функций — вот неполный
перечень тех областей науки, где появляется понятие
группы, причем не праздно «являет себя», а активно рабо-
работает. Применениям теории групп в разных областях науки
посвящены толстые книги, и мы отсылаем интересующих-
интересующихся к этим книгам. Приведем лишь несколько примеров
из материала общего курса алгебры, которым мы ограни-
ограничиваемся в этой книге. (Обозначения, набранные жирным
и ажурным шрифтом, закрепляются за соответствующи-
соответствующими «классическими» объектами до конца книги. Все они
общеприняты — с точностью до нюансов — и широко
употребляются в литературе; для удобства читателя пол-
полный список таких обозначений вынесен на стр. 8.)
1.2.5. Примеры. I. Множество элементов произ-
произвольного кольца К, рассматриваемое относительно опе-
операции сложения,— абелева группа. Она называется ад-
аддитивной группой кольца К. Мы будем обозначать ее той
же буквой К, придерживаясь общего принципа, что бук-
буква обозначает множество, а какие на нем отмечены опера-
операции, должно быть ясно из контекста. В частности, адди-
аддитивные группы поля С комплексных чисел, поля R дей-
действительных чисел, поля (Q рациональных чисел, кольца
Z целых чисел— абелевы группы без кручения. Вообще,
аддитивная группа поля нулевой характеристики не имеет
кручения, а аддитивная группа поля положительной ха-
характеристики р имеет период р. Аддитивные группы ко-
конечного поля GF (q) из q элементов и кольца Zn вычетов
по модулю п — конечные абелевы группы, причем
\QF(q)\ = q, | Zn I = и.
Пусть р — простое число. Рациональное число вида т/рп,
где т, п — целые числа, называется р-ичной дробью.
Множество Qp всех р-ичных дробей относительно обыч-
обычного сложения чисел — абелева группа без кручения.
II. Множество всех обратимых элементов произволь-
произвольного кольца К с единицей, рассматриваемое относитель-
относительно операции умножения, является группой. Она называ-

20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
ется мультипликативной группой кольца К и обозна-
обозначается К* (если | К | Г> 2, то множество К* заведомо не
содержит нуля и потому отлично от множества К). Если
кольцо К коммутативно, то и группа К* коммутативна.
В частности, мультипликативные группы С*, R*, Q*, Z*,
GF (q)*, Z* абелевы. Множество Сп комплексных чисел,
удовлетворяющих уравнению хп = 1, с обычным умноже-
умножением чисел — абелева группа. Пусть р — простое число.
Множество С „с всех корней уравнений хрп = 1, п = 1,
2,. . ., из поля комплексных чисел с обычным умноже-
умножением — бесконечная абелева /ьгруппа. Она называется
квазициклической группой типа р°°. Группы Z*, GF (q)*,
Z*, Cn конечны, причем
|Z*| = 2, \GF (q)*\ = q-l, | Z?l = Ф (*),
где ф — функция Эйлера, т. е. q> (тп) = ф (т) ф (п) при
взаимно простых т, п и ф (рк) = рн — р*~1 при простом р.
III. Пусть М — множество, 8 (М) — совокупность
всех взаимно однозначных отображений М на себя. Если
в качестве умножения на 8 (М) взять последовательное
выполнение отображений, то 8 (М) становится группой.
В частности, при М = {1, . . ., п) эта группа превра-
превращается в группу всех подстановок и-й степени. В этом
случае она называется симметрической группой и-й сте-
степени и обозначается 8п. Группа 8п конечна и | 8п\ = п\.
При п ^> 2 группа 8п неабелева.
IV. Множество GLn (К) всех обратимых матриц сте-
степени п над коммутативным кольцом К с единицей являет-
является группой относительно обычного умножения матриц.
Она называется общей линейной или общей матричной
группой степени п надкольцом К. Очевидно, Q,Ln (К) —
= Мп (К)*, где jM"n (К) — кольцо всех матриц степени п
над кольцом К. При п > 2 группа GLn (К) неабелева.
Рассмотрим еще в GLn (К) подмножество 8Ln (К) матриц
с определителем 1, подмножество Dn (К) диагональных
матриц, подмножество Тп (К) матриц с нулевым углом
под главной диагональю и подмножество UTn (К) мат-
матриц с нулевым углом под главной диагональю и с единица-
единицами по диагонали. Все перечисленные множества тоже
являются группами относительно умножения матриц.

g 1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 21
Их названия: специальная линейная группа, диагональ-
диагональная группа, треугольная группа, унитреуголъная группа.
Если в качестве К взято конечное поле GF (q), то вместо
GLn (К) пишут также GLn (q) и аналогично для других
матричных групп.
1.2.6. Упражнение. Zn — Cn.
1.2.7. Упражнение. Группа С* изоморфна
группе всех невырожденных матриц вида ( " Ч с дей-
действительными коэффициентами, рассматриваемых отно-
относительно обычного умножения матриц.
1.2.8. Упражнение. Qp & Qq при р Ф q.
1.2.9. Упражнение. Если подстановка а из '8п
представима в виде произведения независимых циклов
длины пи . . ., щ, то ее порядок | а | равен наименьшему
общему кратному чисел щ, . . ., щ.
Число примеров групп можно сильно увеличить, если
указать какую-нибудь конструкцию, производящую из
заданных групп новые группы. Теория групп имеет
на вооружении разнообразные конструкции такого рода.
Одна из самых простых, но важных конструкций состоит
в следующем.
Пусть Gu . . ., Gm — группы. Легко проверить, что
множество G — Gx X . . . X Gm последовательностей
(gu- • -, ?m>i ga€EGa, с покомпонентным умножением
?ь • • •> ?m> = (glgi, • • -, gmg'my
является группой. Ее называют декартовым произведе-
произведением групп Ga, а самиС?а — его множителями. Это понятие
легко распространить на случай произвольной сово-
совокупности множителей Ga, а е= /. А именно, обозначим
через
Множество функций
/: / -> U
l
с условием, что / (a) €E Ga для любого а?/. Легко про-
проверить, что множество G с умножением по правилу
(fg) (a) = / (a) g (a) является группой; она и называется
декартовым произведением групп Ga. Значение функции /

22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
в точке а называется проекцией или компонентой эле-
элемента / в множителе Ga. Множество
supp (/) = {а | а е /, / (а) Ф е}
называется носителем или суппортом функции /. Ясно,
что множество функций с конечными носителями из декар-
декартова произведения групп Ga само является группой от-
относительно умножения функций. Эта группа называется
прямым произведением групп Ga и обозначается через
11 Ga (без черты). Очевидно, для конечного числа множи-
телей прямое и декартово произведения совпадают.
При аддитивной записи групповой операции вместо
произведений говорят о суммах, вместо множителей —
о слагаемых и пишут:
С = d 0 . . . 0_Gm,
G = 2j Ga, G = 2j Ga.
ael aeJ
1.2.10. Упражнение. Cm X Cn — Cmn ПРИ вза"
имно простых т, п.
1.2.11. Упражнение.])пA)-Р X ... X К*
(п раз).
1.2.12. Упражнение. Пусть а — элемент группы,
имеющий конечный порядок п. Возьмем каноническое раз-
разложение числа п на простые множители
п = П рт (р)
р
и доложим Пр = nlpmW>. Элемент апр имеет порядок рт^\
и существуют такие целые числа хр, что
а = П апрхр.
р
§ 2. Подгруппы. Нормальные подгруппы
2.1. Подгруппы. Если часть Н группы G замкнута от-
относительно умножения, т. е. вместе с любыми двумя свои-
своими элементами а, Ъ содержит и их произведение аЪ, то су-
сужение умножения на Н будет алгебраической операцией
в Н; говорят, что эта операция индуцирована умножением

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 23
из G. Если Я является группой относительно индуциро-
индуцированной операции, то ее называют подгруппой группы G
и пишут Я <; G. Если Я <; G и Я Ф G, то пишут Я < G
(не путать со знаками cr, Q для включения множеств!).
2.1.1. Упражнение. Для того чтобы часть Я
группы G была подгруппой, необходимо и достаточно, что-
чтобы Я была замкнута относительно умножения и обра-
обращения, т. е. вместе с любыми двумя своими элементами
а, Ъ содержала бы также ab и а. Можно эти условия замк-
замкнутости запасать еще так:
НН с Я, Я с Я,
если воспользоваться обычными обозначениями
АВ = {аЪ | а е А, Ъ е 5}, Л = {а | а е 4}
для любых подмножеств Л, В данной группы.
2.1.2. Упражнение. Произведение А В подгрупп
А, В группы G тогда и только тогда само будет подгруппой,
когда АВ = БЛ.
2.1.3. У п р а ж н е н и е. Если А, В — конечные под-
подгруппы, то
Во всякой группе множество, состоящее только из
единицы, а также вся группа являются подгруппами.
Подгруппы, отличные от единичной и всей группы, на-
называются собственными или истинными.
Продолжая изучение групп I — IV из § 1, укажем
в них некоторые подгруппы.
2.1.4. Примеры. I. Очевидно,
Z<QP<Q<R<C,
Z = П QP,
GF (рт) < GF (рп) при т \ п.
II. Очевидно,
Z* < Q* < R* < С*,
cp~ = U срП,
GF (рт)* < GF {рп)* при /я | п.

24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. i
III. В симметрической группе 8п множество Ап всех
четных подстановок — подгруппа. Она называется зна-
знакопеременной группой степени п. Очевидно, | ^1„ | == -g- га!
IV. При п > 2
Dn (К) < Тп (К),
Отметим также в G-Ln (К) ортогональную подгруппу
(штрих означает транспонирование):
Оп (К) = {а | аа' = е},
а при К — С еще унитарную подгруппу (черта означает
взятие комплексно-сопряженного элемента к каждому
элементу матрицы):
Un = {а | аа' = е}.
Наконец,
UTn (К) = UT\ (К) > UT*(K) >...,
где UTn (К) — множество матриц из UTn (К) cm — 1
нулевыми диагоналями выше главной.
2.2. Порождающие множества. Легко видеть, что пере-
пересечение любого множества подгрупп — подгруппа. Если
М — произвольная часть группы G, то пересечение (М)
всех подгрупп, содержащих М, называется подгруппой,
порожденной множеством М, а само М — порождающим
множеством подгруппы (М). Допуская вольность речи,
иногда говорят, что элементы множества М являются
порождающими элементами подгруппы (Л/). Подгруппу
(М), особенно в сложных формулах, удобно обозначать
также через гр (М). Группа, обладающая конечным по-
порождающим множеством, называется конечно порожден-
порожденной. Более общо и более точно, группа называется
т-порожденной, если она обладает порождающим множест-
множеством мощности т.
2.2.1. Теорема. Если М — подмножество группы
G, то
Доказательство. Обозначим правую часть
через Я. Так как подгруппа (М) содержит все at из М

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 25
то (М) эЯ. С другой стороны, НН ? Я, Я cr Я,
поэтому Я — подгруппа, содержащая М. Отсюда Я э (Л/)
и окончательно Я = (Л/).
В качестве иллюстрации укажем порождающие мно-
множества для групп I — IV из § 1. При этом мы пишем
(М) ==(... | . . .),
если М задано в виде
т. е. опускаем фигурные скобки внутри круглых.
2.2.2. Примеры. I. Очевидно,
Z = A),
гп = A (mod я)),
Н. «Очевидно,
Z* = (- 1),
Q* = (-1, 2, 3, 5, 7, И,. . .),
)q
С„ = (On),
СрОО = (арШ | т = 1, 2,. . .),
где ?д — первообразный корень уравнения а;9 = 1
в поле GF (q),
2я , . . 2я
— + i.sm— .
III. Из общего курса алгебры известно, что симмет-
симметрическая группа 8п порождается своими транспозициями
(ij). Так как (ij) — (It) (I;1) (li), то Sn порождается даже
транспозициями A2), A3), . . ., (In). Знакопеременная
группа Ап порождается всевозможными тройными цик-
циклами (ijk), так как четная подстановка есть произведение
четного числа транспозиций и
(if) (**) = (ijk), (Ч) (Щ = № иЩ.
IV. Пусть К — поле. Рассмотрим в GLn (К) матрицы
вида
Ui (a)=e + aeu, d(P) = е + ф - 1)епп,
а, р еД, Р ф 0, i ф и

26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. i
где е — единичная матрица, etj — матрица, содержащая
на (г, /)-м месте 1, а на остальных местах нули. Матрицы
ttj (а) при а^О называются трансвекциями. Покажем,
что каждая матрица из GLn (К) представима в виде
tx...trd (pX+i . . . ts,
где tt — трансвекции. Это будет означать, в частности, что
GLn (К) = (*w (a), d (Р) | ajEX, гф j), A)
8Ln (К) = (tt] (а) | а е= К, i Ф /). B)
Действительно, умножение матрицы на трансвекцию
справа равносильно добавлению к одному ее столбцу дру-
другого столбца, умноженного на скаляр из К, а умножение
на трансвекцию слева равносильно аналогичному пре-
преобразованию строк; такие преобразования назовем эле-
элементарными. Пусть а ЕЕ GLn (К). Элементарными пре-
преобразованиями столбцов матрицы а можно добиться, чтобы
было а12 Ф 0. Выполняя еще одно элементарное пре-
преобразование — добавляя к первому столбцу второй, ум-
умноженный на ~ац, мы получим единицу на( 1,1)-м ме-
месте, а затем с ее помощью получим нули в первой строке
и первом столбце нашей матрицы, за исключением
A, 1)-го места, где оставим единицу. Продолжая этот про-
процесс применительно к правой нижней клетке степени
п — 1, мы дойдем в конце концов до матрицы типа d ф).
Таким образом, а = tx . . . tT d (p*) tr+i ... ta, где ti —
трансвекции, что и требовалось.
Аналогично доказывается, что
Тп(К) - (tu (a), diag (plf. . ., $r) \ a, f, E^K, i < j), C)
(tu{a)\aE:K, j-i>m). D)
Полученные результаты позволяют определить SLn (К)
над некоммутативными кольцами К, для которых обыч-
обычное понятие определителя теряет смысл. А именно, для та-
таких К формулу B) принимают за определение. Далее,
пусть К — тело. Аналогично предыдущему любую обра-
обратимую матрицу а над К можно представить в виде а =
= t1...trd ф) tr+i . . . ta, P Ф 0. Отметим для читате-
читателя, знакомого с понятиями коммутанта и фактор-группы,
что образ элемента Р при факторизации группы К* по ком-

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 27
мутанту называется определителем матрицы а в смысле
Дьёдонне.
2.2.3. Упражнение. Пусть и ^ 2, ри . . .
• • •) Рп — различные простые числа, рь = рг . . .
. . . Pi-iPi+i • • • Рп- Тогда
1 = ГР (Pi, • • м Рп),
и ни один элемент из этого порождающего множества
нельзя удалить.
2.2.4. Упражнение: #„ = гр (A2), A2 ... п)).
2.2.5. Упражнение:
Z) = rp(e-f ei;|l<i<n, 1<7<п, i ф /),
Z) = гр (е + «и, ещ + е23 + . . . + «n_lt n -f
Антиподом порождающих множеств является подгруп-
подгруппа Фраттини. Чтобы прийти к этому понятию, назовем
подгруппу Н группы G максимальной подгруппой со свой-
свойством а, если П обладает свойством а и не содержится ни
в какой большей подгруппе с этим свойством. Если а —
свойство быть меньше всей группы, то максимальные под-
подгруппы со свойством а называются просто максимальными.
Конечно, в группе может и не быть максимальных под-
подгрупп — см. примеры ниже. По определению подгруппа
Фраттини Ф {G) группы G — это пересечение всех ее
максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G —
в противном случае.
Элемент х группы G назовем непорождающим элемен-
элементом группы, если его можно удалить из любого порож-
порождающего множества группы G, в которое он входит.
2.2.6. Теорема. Множество S всех непорождаю-
щих элементов группы G совпадает с подгруппой Фратти-
Фраттини Ф (G).
Доказательство. аMсф (G). Действитель-
Действительно, если G не содержит максимальных подгрупп, то ут-
утверждение тривиально. Пусть теперь х €= S, Н — мак-
максимальная подгруппа из G.* Если х ф. Н', то (х, Н) =
= G, (Н) Ф G. Это противоречит включению iGS. Зна-
Значит, х е я, х е Ф (G).
б) Ф (G) с: 5. Пусть, напротив, существует элемент
»бФ (G), который вместе с некоторым множеством М

28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
порождает G, но (М) Ф G. По лемме Цорна существуют
подгруппы Н, максимальные среди подгрупп, содержащих
М и не содержащих х. Ясно, что все эти подгруппы просто
максимальны. Но тогда они содержат Ф (G), а вместе с ней
х, вопреки построению. Теорема доказана.
2.2.7. Примеры. I. В группе Z подгруппа (р)
максимальна при любом простом р, поэтому Ф (Z) = 0.
Легко сообразить, что в группе Q любой элемент является
непорождающим, поэтому Ф (Q) = Q.
П. Так как группа Ср0о совпадает с объединением под-
подгрупп СрП, п=1, 2, . . ., то каждый ее элемент является
непорождающим. Поэтому Ф (С &,) — С „,.
III. Можно проверить, что подгруппа Ht группы 8п,
состоящая из всех подстановок, оставляющих символ i
неподвижным, максимальна в 8п. Так как пересечение
#! П • • • П Нп равно 1, то Ф (8п) = 1. Аналогично
можно показать, что Ф {Ап) = 1.
IV. Выделим в группе UTn (Z) подгруппу Hip, со-
состоящую из всех матриц х с условием xiii+1 6= (/?), где 1 <
<Ti<;n — 1, р — простое число. Можно проверить, что
Hip максимальна в UTn (Z)- Так как пересечение всех
#,р лежит в TJTl (Z), то Ф (UTn (Z))<UT*n (Z). В дей-
действительности можно доказать и обратное включение, т. е.
2.3. Циклические и локально циклические группы.
Ранг. Подгруппа (а), порожденная одним элементом а,
называется циклической. По теореме 2.2.1 она состоит из
всевозможных степеней порождающего элемента:
(а) = {ап | п = 0, ±1, ± 2,. . . }.
Пример 2.2.2.1 показывает, что Z и Zn — циклические
группы. Оказывается, этими группами исчерпываются —
с точностью до изоморфизма — все циклические группы.
2.3.1. Теорема. Любая бесконечная циклическая
группа изоморфна группе Z, любая циклическая группа
конечного порядка п изоморфна группе 1п.
Доказательство. Пусть (а) —бесконечная
циклическая группа. Зададим отображение <р: Z -»¦ (а),
полагая га"Р = ап. Оно взаимно однозначно: если бы при
п >• т было nv = тУ, т. е. ап~т = е, то группа (а) ока-

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 29
залась бы конечной. Далее, (п + тL = п^тУ, т. е. ф —
изоморфизм. Если (Ь), (с) — циклические группы конеч-
конечного порядка п, то мы получим изоморфизм (Ъ) на (с),
если положим Ь* >-*¦ ск, О <^ к < п — 1.
2.3.2. Теорема. Любая подгруппа циклической
группы — циклическая.
Доказательство. Пусть (а) — циклическая
группа порядка п, Н — ее неединичная подгруппа (оче-
(очевидно, единичная подгруппа — циклическая). Пусть
т — наименьшее целое число с условием:
ат ЕЕ Н, 0<т<п.
Очевидно, (ат) с: Н. Покажем, что в действительности
(ат) = Н. Возьмем в Я произвольный элемент, он имеет
вид ак, 0 <[ к < п. Поделим к на т с остатком: к = mq +
+ г, 0 «^ г <С т. Тогда
аг = а* (а"')"* е Я.
По выбору чисел т, г отсюда следует, что г = 0 и ак ?Е
ЕЕ (ат). Аналогично доказывается цикличность подгрупп
бесконечной циклической группы.
Группу называют локально циклической, если каждое
ее конечное подмножество порождает циклическую под-
подгруппу.
2.3.3. Упражнение. Доказать, что Q и С „
— локально циклические группы. В частности, они не
допускают никакого конечного порождающего множества.
Более общо, назовем группу локально т-порожден-
ной, если каждая ее конечно порожденная подгруппа яв-
является n-порожденной при некотором n ^ m. Наимень-
Наименьшая мощность т с этим свойством называется рангом
группы G. Ясно, что ранг группы всегда либо конечен, ли-
либо счетен (тогда он обозначается символом оо). Таким об-
образом, локально циклические группы — это в точности
группы ранга 1. Разумеется, ранг группы не превосходит
ее мощности, а ранг подгруппы не превосходит ранга
группы.
2.3.4. Упражнение. Если G — прямое произ-
произведение р-групп Gv по различным простым числам р,

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. t
пробегающим некоторое множество л, то
ранг G = sup (ранг Gv).
рея
Указание: учесть 1.2.12.
2.4. Смежные классы. С каждой подгруппой Н груп-
группы G можно связать множества
которые называются левыми смежными классами группы G
по подгруппе Н. Аналогично определяются правые смеж-
смежные классы Hg. Каждый элемент класса называется пред-
представителем этого класса. Легко видеть, что
аН = ЬЕ 4Ф a~lb e Я, E)
На = НЪ4г? аЪ'1 е Я. F)
Это позволяет другим путем прийти к понятию смежных
классов. Именно, с подгруппой Н свяжем отношение ~ ле-
левой смежности — соответственно правой смежности —
на множестве G, полагая по определению
а ~ Ъ 44 а~хЬ е= Н {левая смежность)
и соответственно
а ~ Ъ ?Ф аЪ~г ?Е Н {правая смежность).
Легко проверяется, что эти отношения являются эквива-
лентностями на G, т. е. рефлексивны (а ~ а), симметрич-
симметричны (а ~ Ь =Ф Ь ~ а) и транзитивны (а ~ b, b ~ с =$>
=$• а ~ с), а потому задают два разбиения группы G на
непересекающиеся классы. В силу E), F) эти разбиения
совпадают соответственно с разбиением на левые смежные
классы и с разбиением на правые смежные классы.
В частности, левые смежные классы попарно не пересе-
пересекаются, и то же верно для правых классов.
Так как соответствие gH *-* Hg'1 взаимно однозначно,
то мощность множества смежных классов не зависит от
того, левые или правые классы рассматриваются. Она
называется индексом подгруппы П в группе G и обозна-
обозначается \G : Н \.
2.4.1. Упражнение. | Z : (и) | = п.
2.4.2. Упражнение. Группа Q не содержит соб-
собственных подгрупп конечного индекса.

121 подгруппы, нормальные подгруппы 31
2.4.3. Упражнение. \ Sn : Лп \ = 2 при п > 2.
2.4.4. Упражнение. Пусть А, В — подгруппы
группы G. Тогда
\А:А r\B\^\G:B\. G)
Указание: если ~lt ~2 — отношения левой
смежности соответственно в G по В и в А по Л f] 5, то
второе является сужением на А первого отношения.
Каждый класс gH', i/g равномощен подгруппе Я, как
показывают взаимно однозначные соответствия h «-»¦ gft,
fe <->¦ feg, h €E H. В частности, если группа G конечна, то
ее порядок | G | можно подсчитать, умножив мощность
| Н | каждого класса на число | G : Н | всех классов. Так
получается
2.4.5. Теорема (Лагранж). Если Н — подгруппа
конечной группы G, то
\G\=\H\.\G:H\. (8)
Из нее вытекает важнейшее следствие: порядок под-
подгруппы всегда делит порядок группы. Так как | а \ =
= | (а) |, то порядок всякого элемента тоже делит поря-
порядок группы.
2.4.6. Упражнение. Всякая группа простого
порядка — циклическая.
2.4.7. Упражнение. Пусть А, В — подгруппы
группы G, причем А <[ В. Индексы | G : В |, \ В : А | оба
конечны тогда и только тогда, когда конечен индекс
I G : А |. Если индекс \ G : А \ конечен, то
| G : А | = | G : В \ • | В : А |. (9)
Это обобщает теорему Лагранжа (она получается при
А = 1).
2.4.8. Упражнение. Пересечение конечного чис-
числа подгрупп конечного индекса — снова подгруппа ко-
конечного индекса.
Указание: с помощью формул G), (9) вывести
формулу
\G:A С] В |< \G:A\ ¦ \G : В |. A0)
2.4.9. Упражнение. Пересечение всех подгрупп
конечного индекса группы Qp совпадает с нулевой под-

32 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
группой. Аналогичное утверждение справедливо для лю-
любой другой собственной подгруппы группы Q.
2.4.10. Упражнение. Подгруппами СрП, п =
= 1,2,. . ., исчерпываются все собственные подгруппы
квазициклической группы С „,. В частности, квазицикли-
квазициклическая- группа не содержит собственных подгрупп конеч-
конечного индекса.
Как показывает последнее упражнение, собственные
подгруппы квазициклических групп конечны, хотя сами
эти группы бесконечны. Каковы все бесконечные
группы, собственные подгруппы которых конечны? Эта
проблема О. Ю. Шмидта, поставленная в 30-е годы, ока-
оказалась чрезвычайно трудной. Разумеется, такие группы—
назовем их для краткости группами Шмидта — обязаны
быть периодическими. Будем говорить, что группа ло-
локально конечна, если все ее конечно порожденные под-
подгруппы конечны. Как установил М. И. Каргаполов (Сиб.
матем. ж., 1962, 4, № 1, с. 232—235), среди локально ко-
конечных групп единственными группами Шмидта являются
квазициклические. Этим и объясняется трудность пробле-
проблемы — приходится работать в классе периодических, но
не локально конечных групп, где даже построение отдель-
отдельных примеров сопряжено пока с очень большими усилия-
усилиями — мы еще поговорим об этом более подробно в § 23.
Лишь совсем недавно А. Ю. Ольшанский (Изв. АН СССР:
Сер. матем., 1980, 44, № 2, с. 309—321) указал первый
пример неквазициклических групп Шмидта — построен-
построенные им группы бесконечны, порождаются двумя элемен-
элементами и все их собственные подгруппы имеют конечные и
даже простые порядки.
2.5. Классы сопряженных элементов. Особенно важ-
важную роль в группах играют те подгруппы, относительно
которых левые и правые смежные классы совпадают. Та-
Такие подгруппы называются нормальными. Точнее, гово-
говорят, что подгруппа Н группы G нормальна в G и пишут
Н ^3 G, если Нх = хН для любого х из G. Если Н ssg G
и Н Ф G, то пишут Н <]G.
Ясно, что условие Нх = хН равносильно условию
х~1Нх = Н. Говорят, что элемент а сопряжен с элемен-
элементом Ъ посредством элемента х, если а = х^Ьх. Часто ис-
используют степенные обозначения: х~хЬх = Ъх. Легко про-

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 33
верить, что всегда
(ab)x = axbx, {а*У = аху. (И)
Если А, В — два подмножества группы, то обозначают
А1* = {аь \а<=А, Ь е В}.
Теперь можно сказать, что подгруппа Н группы G тогда
и только тогда нормальна в G, если вместе с каждым
своим элементом она содержит и все элементы, сопряжен-
сопряженные с ним посредством элементов из G, или, короче, если
Первая из формул A1) показывает, что отображение
группы G на себя по правилу а >-+ ах (при фиксированном
х из G) является изоморфизмом. Подмножество Мх назы-
называется сопряженным с подмножеством М в группе G.
Теперь мы можем выразиться третьим способом: подгруп-
подгруппа тогда и только тогда нормальна, когда она совпадает
со всеми своими сопряженными. По этой причине нор-
нормальные подгруппы называют еще самосопряженными.
Употребительны также названия «нормальный делитель»,
«инвариантная подгруппа». Группы, не содержащие соб-
собственных нормальных подгрупп, называют простыми.
2.5.1. Примеры. I. II. Так как аддитивная и
мультипликативная группы поля абелевы, то любая их
подгруппа нормальна.
III. Так*как любая подстановка, сопряженная с чет-
четной, снова четна, то Ап О 8п.
IV. Пусть п > 2. Так как det(ab) = det a-dot b, то
матрица с определителем 1 переходит после сопряжения
снова в такую же матрицу, поэтому SLn (К) ^ GLn (К).
Так как при умножении треугольных матриц их диаго-
диагональные элементы на одинаковых местах перемножаются,
то UTn (К) ^ Тп (К). В действительности можно про-
проверить, что UT% (К) ^ Тп(К) для любого тп = 1, 2, . . .
2.5.2. Упражнение. Если р —простое число,
то ХР — простая группа.
2.5.3. Упражнение. Если | G : Н \ — 2, то
2.5.4. Упражнение. Если А ^ G, В s?]G, то

34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
2.5.5. Упражнение. Может случиться, что A «S3
sg5, В ^ С, но A s? С.
Пусть G — произвольная группа. Определим на ней
отношение ~, полагая а ~ Ъ, если элементы а, Ъ сопря-
сопряжены в G. Легко проверяется, что это отношение — эк-
эквивалентность, т. е. рефлексивно (а ~ а), симметрично
(а ~ Ъ =4-Ь ~ а) и транзитивно (а ~ Ь, Ь ~ с =Ф а ~ с).
Поэтому G разбивается на непересекающиеся классы
сопряженных элементов aG. В частности, нормальными
подгруппами будут такие подгруппы, которые состоят
из нескольких полных классов сопряженных элементов.
В отличие от смежных классов классы сопряженных
элементов не всегда равномощны. При вычислении их
мощностей решающую роль играет понятие норма-
нормализатора. Пусть М — подмножество, Я—подгруппа
группы G. Нормализатором множества М в подгруппе Н
называется множество
NH (M) = {h | h <= Н, Mh = М),
которое, как легко проверить, является подгруппой в Н.
Если не указано, в какой подгруппе Н берется нормали»
затор, то это означает, что он берется во всей группе G.
Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна
в группе, когда ее нормализатор совпадает со всей груп-
группой.
2.5.6. Теорема. Если М — подмножество, Н —
подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств,
сопряженных с М элементами из Н, равна индексу
\Н : Nh {M)\. В частности,
\aG | = \G:NG(a)\.
Доказательство. Отобразим множества Мх,
х ее Я, на правые смежные классы группы Я по подгруп-
подгруппе 7V = Nh (M), полагая
(ЛР)<р = Nx для х 6Е Я.
Отображение ср однозначно, так как из Мх = Mv следует
Nx = Ny. Отображение ср переводит разные элементы
в разные, так как из Nx = Ny следует Мх = Mv. Нако-
Наконец, ф — отображение на, так как каждое Nx имеет про-
прообраз Мх. Теорема доказана.

§ 2J ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 35
2.5.7. Примеры. I. II. Так как аддитивная и муль-
мультипликативная группы поля абелевы, то любой их класс
сопряженных элементов состоит из одного элемента.
III. Пусть М — множество. Два отображения из
8 (М) тогда и только тогда сопряжены в S (М), когда
и разложении на независимые циклы они содержат оди-
одинаковое число циклов каждой длины, включая и одноэле-
одноэлементные циклы (здесь число и длина циклов понимаются
в смысле мощности). Действительно, если
о = (аЛ ...) (PiP,- ..)(•• .)...,
а' = («;«;. . .)(КК...)(...)...,
причем циклы одинаковой длины выписаны друг против
друга, то непосредственно проверяется, что а' = ах,
где
X =
В частности, две подстановки из Sn тогда и только тогда
сопряжены в Sn, когда они имеют одинаковое цикличес-
циклическое строение,— например, подстановка A2) C456) сопря-
сопряжена в Se с подстановкой A5) B436) и не сопряжена
с подстановкой A2) C45) F). Что касается знакоперемен-
знакопеременной группы Ап, то элементы одинакового циклического
строения составляют в ней либо 1, либо 2 равномощных
класса сопряженных элементов — это легко усматривает-
усматривается из теоремы 2.5.6 и соотношения | Sn : Ап | = 2.
IV. Как помнит читатель, вопрос о сопряженности
матриц занимает важное место в общем курсе алгебры.
Для алгебраически замкнутых полей К вопрос о сопря-
сопряженности элементов из GLn (К) исчерпывающим образом
решается теоремой Жордана: две матрицы из GLn (К)
тогда и только тогда сопряжены в этой группе, когда они
приводятся к одинаковой жордановой форме.
2.5.8. Упражнение. Порядки сопряженных
элементов (вообще, мощности сопряженных множеств)
равны.
2.5.9. Упражнение. Пусть подстановка а из 8п
разлагается на независимые циклы с длинами Пу .
• . ., п , 2"i = п- Вычислить | Nsn(a) \.

36 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
2.5.10. Упражнение. Проверить формулу
rtin (сер) при / = re,
d-* (p) ti} (a) d ф) = tnj (j) при i = п,
{tij (а) в остальных случаях.
Пользуясь ею, убедиться, что в примере 2.2.2.IV мож-
можно считать г = 0.
2.5.11. Упражнение. Нормализаторы всех эле-
элементов, сопряженных с данными, составляют класс со-
сопряженных подгрупп.
2.5.12. Упражнение. В группе матриц вида
(о i) • «т^О, наД полем Q указать подгруппу, сопряжен
ную с некоторой своей истинной подгруппой.
2.5.13. Упражнение. Если А — подгруппа ко-
конечного индекса группы G, то пересечение
N = П А*
является нормальной подгруппой конечного индекса в G.
Указание: воспользоваться теоремой 2.5.6 и
упражнением 2.4.8.
§ 3. Центр. Коммутант
Мы видели, что произвольная группа может сильно
отличаться по свойствам от числовых групп. Во многом
это отличие связано с некоммутативностью. Отклонение
от коммутативности измеряется центром и коммутантом:
чем больше центр и чем меньше коммутант группы, тем
ближе она к абелевым группам.
3.1. Центр. Пусть М — подмножество, Н — подгруп-
подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором М в Н совокуп-
совокупность тех элементов из Н, которые перестановочны с мно-
множеством М в целом. Можно рассмотреть также множество
тех элементов из Н, которые перестановочны с М поэле-
поэлементно, т. е.
Си (М) = {х | х е Н, т* — т для всех т е М}.
Это множество называется централизатором множества М
в подгруппе Ц и является, как нетрудно проверить,

§ 31 ЦЕНТР. КОММУТАНТ 37
нормальной подгруппой нормализатора Nh {Щ- Если М
состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор
и централизатор в Я совпадают. Если не указано, в какой
подгруппе // берется централизатор, то это означает, что
он берется во всей группе G.
Централизатор всей группы G называется ее центром
и обозначается Z (G). Очевидно, группа тогда и только
тогда абелева, когда она совпадает со своим центром.
Ясно, что единица всегда лежит в центре. Если других
центральных элементов группа не содержит, то она назы-
называется группой с тривиальным центром или даже группой
без центра. Заметим еще, что любая подгруппа центра
нормальна в группе.
Для иллюстрации вычислим центры в группах I — IV
И8§1.
3.1.1. Примеры. I.II. Так как аддитивная и муль-
мультипликативная группы поля абелевы, то они совпадают
со своим центром.
III. ОчеЁидно, группы 82 и А3 абелевы в поэтому
совпадают с центром. Далее, любая нетождественная
подстановка из 8п, разложенная на независимые циклы,
имеет вид (ij...)(...)... Непосредственно проверя-
проверяется, что она не перестановочна с транспозицией (jk)
при п ;> 3, а также с тройным циклом (jkl) при п ;> 4;
здесь разные буквы обозначают разные символы. Значит,
группы 8п при п>3и группы Ап при п > 4 имеют три-
тривиальный центр.
IV. Пусть К — поле. Центры групп GLn[(K),
8Ln (К) состоят из содержащихся в них скалярных мат-
матриц. Действительно, любая скалярная матрица, очевид-
очевидно, лежит в центре. Обратно, если а — центральный эле-
элемент любой из этих групп, то он перестановочен со всеми
трансвекциями tu = U) A), т. е. ati} = ttja. Отсюда лег-
легко получаем, что
а1} = 0, ait = djj при всех i Ф /,
т. е. а — скалярная матрица. В этом и других подобных
вычислениях мы советуем читателю записывать каждую
матрицу х в виде ^xrsers и пользоваться известной таб-
таблицей умножения матричных единиц:
(еи при / = г,
(
= 1
г,

38 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ. 1
Аналогичные рассуждения показывают, что центр группы
Тп (К), | К | Ф 2, состоит из всевозможных скалярных
матриц, отличных от нулевой, а в группе UT™ (К) цент-
центральными будут в точности те матрицы, которые отличают-
отличаются от матрицы е только правой верхней клеткой степени т.
В частности,
Z (UTn (К)) = UTV (К) = {tin (а) | а €= К). B)
Диагональная группа Dn (К) абелева и потому совпа-
совпадает с центром.
3.1.2. Упражнение. Найти централизатор диа-
диагональной матрицы в G-Ln (К).
3.1.3. Упражнение. Централизатор нормаль-
нормальной подгруппы сам является нормальной подгруппой.
3.1.4. Упражнение. Если Н — конечная нор-
нормальная подгруппа группы G, то индекс ее централизатора
конечен.
\G:CG{H)\J\G: Г)Со(х)\<:П Ш:Св(х)\^\И\М-
жен кен
3.1.5. Упражнение. Группа матриц (" П, а Ф
Ф 0, над полем, отличным от G.F B), имеет тривиальный
центр.
3.1.6. Упражнение: \ Z (G-Ln (q)) | = q — 1,
\Z(SLn(q)) | =н.О.Д. (п, q-1).
3.1.7. Упражнение. Центр прямого (декартова)
произведения совпадает с прямым (декартовым) произве-
произведением центров сомножителей.
3.2. Коммутант. Очевидно, элементы а, Ь группы G
тогда и только тогда перестановочны, когда аГ^'^Ь = е.
Левая часть этого соотношения называется коммутатором
элементов a, b — в указанном порядке — и обозначается
[а, Ь]. Подгруппа, порожденная в G всевозможными ком-
коммутаторами, называется коммутантом группы G. Ясно,
что группа тогда и только тогда коммутативна, когда ее
коммутант равен единице, а в общем случае коммутант
в некотором смысле измеряет'отклонение от коммутатив-
коммутативности.
Более общо, если L, М — подмножества группы G,
то их взаимным коммутантом называют подгруппу
[L, М] = гр ([а, Ы\а^Ь,Ь^М).

§ 3] ЦЕНТР. КОММУТАНТ 39
Так как
[а, ЬГ = \а\ Ъх),
то взаимный коммутант нормальных подгрупп — нор-
нормальная подгруппа. В частности, коммутант [G, G] группы
G — нормальная подгруппа. Беря коммутант от комму-
коммутанта и т. д., мы получим убывающую цепочку нормаль»
ных подгрупп
G^G' >G">. . .,
которая называется рядом коммутантов группы G.
Иногда коммутант называют производной группой, а ряд
коммутантов — производным рядом.
Отметим полезные коммутаторные соотношения, про»
веряемые непосредственно:
[а, ЬГ1 = [b, a], lab, с] = [а, с]ь [Ь, с], [а, Ъ\ = [6, а]а"-
C)
Теперь, как обычно, проиллюстрируем новое поня-
понятие на группах I — IV из § 1.
3.2.1. Примеры. I.II. Так как аддитивная и муль-
мультипликативная группы поля абелевы, то их коммутанты
равны единице.
III. Очевидно, [82, 82] = 1, [Л3, А 3] = 1. Далее,
U4, A1] = {1, A2) C4), A3) B4), A4) B3)}. D)
Действительно, непосредственно проверяется, что правая
часть — подгруппа (она называется четверной группой
Клейна). Эта подгруппа даже нормальна в At, так как
содержит все подстановки типа (**) (**), а при сопряже-
сопряжениях, как мы знаем, циклический тип подстановки не
меняется. Так как Ап порождается всевозможными трой-
тройными циклами, то для включения cz ввиду формул C)
и нормальности правой части D) достаточно проверить,
что коммутаторы от тройных циклов лежат в правой ча-
части. Но это сразу вытекает из соотношений
l(ijk), (ijl)] = (ij)(kl), [(ijk), (ilj)\ = (U)(jk),
которые проверяются непосредственно; здесь разные бук-
буквы обозначают разные символы. Эти же соотношения до-
доказывают и обратное включение. Наконец,
[8п, Sn] = Ап при любом п, E)
Мп. Ап\ = Ап ПРИ П > 5. F)

40 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [ГЛ..1
Действительно, коммутатор любых двух подстановок из
Sn есть четная подстановка и потому лежит в Ап. С дру-
другой стороны,
(ijk) = l(ik), (if)] = [(Ш), (ijm)},
где разные буквы обозначают разные символы. Так как
Ап порождается тройными циклами, то всё доказано.
IV. Пусть К — поле. Всегда
[GLn (К), GLn (К)] = SLn (К), G)
[8Ln (К), SLn (К)] = SLn (К), (8)
за исключением группы GL2 B) в первой формуле и
групп 8L2 B), SL2 C) во второй формуле (отметим, что
GL2 B) = SL% B), так что фактически исключитель-
исключительных групп две). Действительно, определитель коммута-
коммутатора любых двух матриц равен 1, поэтому включения сле-
слева направо очевидны. С другой стороны, мы знаем, что
SLn (К) порождается трансвекциями. Легко проверить,
что
[*»>t (a). *w(P)l = *u (<*Р) при различных ц j, к, (9)
[ti} (a), diag (Ра, ... р„)] = t{. (а (& - l)). A0)
Ввиду (9) обратные включения для п > 3 тоже справедли-
справедливы. Пусть теперь п = 2. Так как при | К \ ^> 2 можно
в формуле A0) выбрать (^ Ф р2, то формула G) доказана
для всех групп, кроме GL2 B). Так как при | К | > 3
можно выбрать рх Ф р2, рхр2 = 1, то формула (8) доказана
для всех групп, кроме 8L2 B), SL2 C). Отмеченные
группы действительно исключительные — можно пока-
показать, что для них формулы G), (8) несправедливы.
Аналогичным образом, используя формулы C), D)
предыдущего параграфа и формулы (9), A0), получим,
что
[Тп (К), Тп (К)] = UTn (К) при | К | > 2, A1,
[UTrn (К), ит'п (К)] = UTT (К). A2)
При | К | = 2 первая формула неверна, но тогда Тп (К) =
— UTn (К), и можно пользоваться второй формулой.

§ 3] ЦЕНТР. КОММУТАНТ 41
3.2.2. Лемма. Пусть G — произвольная группа,
А, В — ее подгруппы, Н = гр (А, В). Тогда
[А, В], А [А, В], В [А, В] нормальны в Н, A3)
А[А,В]-В[А,В)=Н, A4)
и,5] = гр(гр(О))*, A5)
где С = {[a,-, b}] | i е /, / е /}, если А = гр (а,- | i e
<= /), в = гР (ь,1 / е У).
Доказательство. Второе из тождеств C) по-
показывает, что подгруппа А нормализует [.4, В], а тогда
A3), A4) очевидны. Докажем A5). Так как С с [А, В] «Q
^ Н, то вложение справа налево очевидно. Проверим об-
обратное вложение [А, В] <^ D, где D обозначает правую
часть A5). Нам надо проверить, что
[at . . а'2, б?. . . Ь%] S D при е, = ±1, б^ = ±1.
Имеем
D1 . . . а?Д =-(«4, [а,,,
т. е.
[а, ЬЛ G? гр (СА), где а = а?,1 . . . а'т.
Отсюда
6l 6 О *П
(bj,. . . bj ) = (bj, [Ь,-,, o]Nt . • • (Ь{_ [Ь,- , о]) =
что и требовалось доказать.
Пусть теперь ах, а%, . . ., Ах, А%, . . .— соответственно
элементы и подгруппы некоторой группы. Положим по
индукции
[olt . . ., ап+1] = [\аъ . . ., ап], ап+1],
при п > 2.
3.2.3. Лемма о трех коммутантах.
Пусть А, В, С — подгруппы некоторой группы, Н — ее
нормальная подгруппа. Если два из коммутантов
[А, В, С], [В, С, А], 1С, А, В]
лежат в И, то и третий лежит в Н.

42
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ
[ГЛ. 1
Доказательство вытекает из следующего кра-
красивого соотношения, проверяемого непосредственно (тож-
(тождество Ф. Холла):
[в, б"*, с]ь[Ь, с*, а)с[с, в"», Ы« = 1. A6)
3.2.4. Упражнение. Найти ряды коммутантов
групп ?3, #4.
3.2.5. Упражнение. Найти коммутанты групп
SL2 B), 8L% C).
3.2.6. Упражнение. Если А, В, С — нормаль-
нормальные подгруппы некоторой группы, то [АВ, С] =
3.2.7. Упражнение. Коммутант прямого про-
произведения групп есть прямое произведение коммутантов
сомножителей. Можно ли здесь прямые произведения за-
заменить на декартовы?
3.2.8. Упражнение. Найти коммутант группы
/а 8\ , „
матриц @ | , а, ФО, над полем и показать, что каждый
элемент этого коммутанта — коммутатор.
Обращаем внимание читателя, что, вообще говоря,
коммутант группы не исчерпывается коммутаторами. Су-
Существуют даже конечные группы, в которых произведение
двух коммутаторов может не равняться никакому комму-
коммутатору. Мы закончим параграф примером такой группы
с наброском доказательства.
3.2.9. Пример. Рассмотрим множество S из 10
символов со следующей таблицей умножения:
•
1
а
Р
Y
б
X
X
|Х
V
0
i
1
а
Р
Y
б
X
X
|Х
V
0
а
а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
э
р
X
0
0
0
0
0
0
0
0
V
У
X
V
0
0
0
0
0
0
0
б
6
V-
0
0
0
0
0
0
9
0
и
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
V-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V
V
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

§ 31 ЦЕНТР. КОММУТАНТ 43
Легко проверить, что умножение в S ассоциативно, т. е.,
как говорят, S — полугруппа. Пусть К — полугрупповое
кольцо для S над полем QF B), т. е. кольцо формальных
комбинаций
и100
с коэффициентами из GF B) относительно естественных
операций сложения и умножения. Наконец, пусть G —
множество всех матриц над К вида
/1 х ух
0= 0 1 х I
\0 0 1/
Легко проверить, что G — группа порядка 220, причем
если
A и v\ /1 0 хи — их\
О 1 и \ то [о, Ъ] = [О 1 0 ). A7)
0 0 1/ \0 0 1 /
Назовем хи — их кольцевым коммутатором элементов х, и.
3.2.10. Упражнение. Элемент (j, + v есть сум-
сумма двух кольцевых коммутаторов, но сам не является коль-
кольцевым коммутатором.
3.2.11. Упражнение. Используя A7) и преды-
предыдущее упражнение, указать в группе G произведение двух
коммутаторов, не являющееся коммутатором.

Глава 2
ГОМОМОРФИЗМЫ
§ 4. Гомоморфизмы и фактор-группы
4.1. Определепия. Согласно одному из исходных опре-
определений отображение группы в группу называется изомор-
изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и сохраняет опера-
операцию. Отказываясь от первого требования, приходим к
понятию гомоморфизма: отображение ф группы G в груп-
группу G* называется гомоморфным или гомоморфизмом, если
(аЬ)ф = афЬф для любых элементов а, Ъ из G.
4.1.1. Примеры. I. Отображение Z-*-Zn> сопо-
сопоставляющее целому числу его вычет по модулю п, являет-
является гомоморфным. Пусть р — простое число, гп — перво-
первообразный корень степени рп из 1 в поле комплексных чи-
чисел, причем е?+1 = е„, п = 1, 2, . . . Отображение Qp ->¦
-»-С <*, сопоставляющее р-ичной дроби —д- комплексное
число е™, хорошо определено и является гомоморфизмом.-
II. Отображение R* ->-Z*, сопоставляющее каждо-
каждому числу из R* его знак,— гомоморфизм.
III. Отображение 8п ->-Z*, сопоставляющее каждой
подстановке ее знак в зависимости от четности,— гомо-
гомоморфизм.
IV. Гомоморфизмами будут: отображение GLn (К) -+¦
-+К*, сопоставляющее матрице ее определитель; отобра-
отображение Тп (К) -*-1>п (К), сопоставляющее треугольной
матрице ее диагональ; отображение UТ™ (К) -+К © . . .
. . . © К (п — m раз), сопоставляющее матрице х строч-
КУ \xl, m+li %2, ТО+2> • • •» хп-тп,п)'
Мы видим, что при гомоморфном отображении некото-
некоторые свойства алгебраической операции могут потеряться:
некоммутативная группа может стать коммутативной,
группа без кручения — периодической и т. д., хотя наи-
наиболее «памятные» свойства — конечность, коммутатив-
коммутативность и т.п.— сохраняются при всех гомоморфизмах.
Можно сказать, что гомоморфный образ группы G — это

ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 45
воспоминание о ней, запечатлевшее с точки зрения оче-
очевидца-гомоморфизма наиболее существенные черты G.
Лишенное некоторых деталей, оно неполно характеризует
героиню, но, во-первых, именно поэтому его легче изу-
изучать, а во-вторых, опросив нескольких очевидцев, можно
собрать и всю нужную информацию о G. Например, зная,
что группы Z2i Z31 • • • являются гомоморфными образа-
образами группы G, можно утверждать, что G бесконечна, хотя
знание любого из этих образов в отдельности недостаточ-
недостаточно для такого заключения.
4.1.2. Упражнение. Гомоморфный образ (нор-
(нормальной) подгруппы — (нормальная) подгруппа. Сужение
гомоморфизма на подгруппу — гомоморфизм подгруппы.
Пусть ф — гомоморфизм группы G в группу G*. Мно-
Множество всех элементов из G, отображающихся при ср в
единицу, называется ядром гомоморфизма ф и обознача-
обозначается Кег ф. Ядро любого гомоморфизма является норма-
нормальной подгруппой. Действительно, пусть Кег ф = Я.
Так как
(Яс)ч> = (Яч>)еЧ> = 1,
то
НЕ с Я, Я"* с Я, HG с Я.
Но это и означает, что Н ^ G. Далее, легко сообразить,
что ядро гомоморфизма ф тогда и только тогда тривиаль-
тривиально (Кег ф = 1), когда ф — изоморфизм. В общем случае
можно сказать, что ядро гомоморфизма измеряет его за-
забывчивость: чем больше ядро, тем больше деталей забыва-
забывает гомоморфизм. Самый забывчивый гомоморфизм помнит
о группе только то, что в ней была единица.
Оказывается, ядрами гомоморфизмов исчерпываются
все нормальные подгруппы в группе, т. е. любая нормаль-
нормальная подгруппа служит ядром некоторого гомоморфизма.
Стандартный способ построения гомоморфизма с заданным
ядром состоит в следующем. Пусть G — группа, Я — ее
нормальная подгруппа, GIH — множество классов G по
Я (сейчас нет нужды говорить о левых или правых клас-
классах — ввиду нормальности Я они совпадают). Легко по-
понять, что аН-ЪН = аЬН, т. е. множество GIH замкнуто
относительно поэлементного умножения классов. Легко
проверить, что GIH — даже группа относительно этого

46 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
умножения; она называется фактор-группой группы G
по нормальной подгруппе Н. Единицей группы GIH яв-
является класс Н, а обратным к классу аН — класс а~1Н.
Подчеркнем, что класс аН является классом элементов в
группе G, но в группе GIH он сам является элементом,
а не классом. Непосредственно ясно, что отображение ср:
G -у G/H по правилу g® = gH есть гомоморфизм. Такие
гомоморфизмы называют естественными. Они и решают
нашу задачу: ядром естественного гомоморфизма G ->
->¦ GIH служит как раз Н.
4.1.3. Упражнение. Фактор-группа цикличе-
циклической группы — циклическая.
4.1.4. Упражнение. Фактор-группа GIH тогда
и только тогда абелева, когда Н содержит коммутант
[G, G).
Другой подход к понятию фактор-группы, отличный
от приведенного в тексте, дает
4.1.5. Упражнение. Эквивалентность ~ на
группе G называется конгруэнтностью, если всегда
а ~ Ь, а' ~ Ь' =Ф аа' ~ ЬЬ'.
Произведение двух классов конгруэнтных элементов —
снова класс конгруэнтных элементов. Множество Gl~
всех классов конгруэнтных элементов является груп-
группой относительно умножения классов. Она называется
фактор-группой группы G по конгруэнтности ~. Анало-
Аналогичное понятие легко определить для произвольной систе-
системы с операциями.
4.1.6. Упражнение. Всевозможные конгруэнт-
конгруэнтности на группе находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с нормальными подгруппами из G. Именно, если
Н ^ G и если положить по определению
а ~ Ь <Н- аГЧ е Н,
то отношение ~ будет конгруэнтностью, а смежные клас-
классы G по Н — классами конгруэнтных элементов. Обрат-
Обратно, если на G задана конгруэнтность ~, то множество Н
элементов, конгруэнтных единице, будет нормальной под-
подгруппой в G, а классы конгруэнтных элементов — смеж-
смежными классами G по Н. Таким образом, фактор-группы по
конгруэнтностям совпадают с фактор-группами по нор-
нормальным подгруппам. В других системах с операциями

§ 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 47
понятие фактор-систем по конгруэнтностям по-прежнему
имеет смысл, хотя разумного аналога нормальных под-
подгрупп может не существовать. Таким образом, для групп
подход упражнения 4.1.5 равносилен подходу, приведен-
приведенному в тексте, но в общей ситуации первый лучше.
4.1.7. (Факторизация и ранг.) Если Н — нормальная
подгруппа группы G, то
ранг G ^ ранг Я + ранг GIH.
Доказательство. Пусть г, s — ранги групп
Я и GIH соответственно. Возьмем в G конечное подмноже-
подмножество М и рассмотрим в фактор-группе GIH подгруппу, по-
порожденную элементами хН, х Gr М. Так как она конечно
порождена, то в гр (М) можно выбрать такое подмножест-
подмножество S мощности s, что
гр (хЯ | х е М) = гр (хЯ | х <= S).
Зафиксируем для каждого х е= М какую-нибудь запись
х = xsxh, xs G гр E), хя е Я.
Так как гр (хн | х €= М) — конечно порожденная под-
подгруппа группы Я, то она порождается некоторым подм-
подмножеством R мощности <^ г. Теперь ясно, что гр
(М) = гр (R U S), т. е. ранг G < г + s.
4.2. Теоремы о гомоморфизмах. Если G — группа,
Я — ее подгруппа, то обозначим через L (G, Н) совокуп-
совокупность всех подгрупп группы G, содержащих Я. В част-
частности, L (G, 1) — совокупность всех подгрупп из G. Спра-
Справедлива следующая теорема о соответствии подгрупп при
гомоморфизме.
4.2.1. Теорема. Если задан естественный гомо-
гомоморфизм ц>: G ->¦ GIH, то возникает отображение
*|з: L (G, Н) -*¦ L (G/H, 1), сопоставляющее подгруппам из
L (G, Н) их образы относительно <р. Это \|) является взаим-
взаимно однозначным отображением на. Если А, В — подгруп-
подгруппы из L (G, Н), то они сопряжены в G тогда и только тогда,
когда их образы А^, В^ сопряжены в GIH. В частности,
А нормальна в G тогда и только тогда, когда А^ нормаль-
нормальна в GIH. Если Л < fi, то \ В : А | = \ В* : А* \.
Доказательство. Отображение \|з переводит
разные подгруппы А, В из L (G, Н) в разные: если nEi,
а 5= В, то о'Е Лф, аф ф 5Ф. Действительно, если аф О

48 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
е B<f, то а* = Ь*, fee В, откуда Ь'1а ЕЯ<В, аеВ,
вопреки допущению. Далее, \|з —отображение на, так
как прообразом данной подгруппы А из GIH относительно
•ф будет полный прообраз А относительно ф. Столь же не-
непосредственно проверяется, что
В = Ах 44- В<» = DФ)*41.
Наконец, если .4 < В, то между левыми смежными клас-
классами В по А и левыми смежными классами 5* по Л* су-
существует взаимно однозначное соответствие, так как
х~*у <= А <Н> (хН)-ЦуН) е Л/Я.
Теорема доказана.
Оказывается, естественными гомоморфизмами исчер-
исчерпываются по существу все гомоморфизмы группы, точнее,
любой гомоморфизм можно получить, выполнив сначала
естественный гомоморфизм, а затем изоморфизм. Сейчас
мы увидим также, что «гомоморфизмы с одним и тем же яд-
ядром помнят о группе одно и то же: их воспоминания изо-
изоморфны».
4.2.2. Теорема. Если <р — гомоморфизм группы G
с ядром Н, то G41 ~: G/H. Более того, гомоморфизм ц> рав-
равносилен последовательному выполнению естественного го-
гомоморфизма г: G ->¦ GIH, а затем некоторого изоморфизма
х: GIH ->G*.
Доказательство. Установим отображение т:
GIH ->Сф, полагая
(хН)х = off для х е G.
Это действительно отображение, так как из хН = уН
следует х* = у®. Отображение т переводит разные эле-
элементы в разные, так как из яф = у41 следует х~1у ?? Н.
Далее, т — отображение на, что очевидно. Наконец, т
сохраняет умножение, так как
(ХН ¦ уН)* = (хуНу = (ху)9 = хФуф = (Хну (уН)\
Следовательно, т — изоморфизм GIH на G9. Теперь ясно,
что ф = ет. Теорема доказана.
Для иллюстрации применим эту теорему к примерам
4,1.1. Вычисляя ядра указанных там гомоморфизмов, по-

§ 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 49
лучаем следующие формулы:
Zn, A)
cpOO, B)
^Zi, C)
K)^K*, D)
Tn (K)/UTn (Я)^ад~Рх...хР, E)
праз
UTl(K)/UTZ+l(K)~K@...@K. F)
n—m pas
С помощью теоремы 4.2.2 продолжим изучение отобра-
отображения i|>: L (G, Я) ->L {GIH, 1) из теоремы 4.2.1 и пока-
покажем, что нормальные подгруппы, соответствующие друг
другу, определяют изоморфные фактор-группы.
4.2.3. Теорема. Если Я ^ G, A ^ G и Я < А, то
(G/H)/(A/H)~G/A.
Доказательство. Установим отображение ср:
GIH -+G/A, полагая
(хЯ)* = хА для ie6.
Это действительно отображение, так как из хН = уН сле-
следует х~1у еЯ^4, хА = уА. Далее, ср — отображение
на, что очевидно. Наконец, <р сохраняет умножение, так
как
{хН-уН)<* = (хуН)* = хуА = хА-уА.
Таким образом, ср — гомоморфизм GIH на GIA. Очевидно,
Кег ф = AIH, поэтому А/Н ^G/H, а изоморфизм выте-
вытекает из теоремы 4.2.2.
4.2.4. Теорема. Если А ^ В < G, H ^ G, то
ВН/АН ~ В/А {В Г] Я).
В частности,
ВН/Н ^ В/В П Я.
Доказательство. Очевидно, что АН ^ ВН
и сужение на подгруппу В естественного гомоморфизма
ВН -у ВН/АН имеет ядро ЯП ЛЯ и образ ВН/АН. По тео-
теореме 4.2.2, примененной к этому сужению, BHIAH cz.
^ В/В П АН. Остается учесть] очевидное равенство
В f) АН = А (В П Я). Теорема доказана.

50 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
4.2.5. Упражнение. Если G = А У. В, то GIA ~
4.2.6. Упражнение. Пусть Н — подгруппа
группы С*, состоящая из всех комплексных чисел с мо-
модулем 1, R** — мультипликативная группа положитель-
положительных действительных чисел. Тогда C*/#~!R**.
Несомненно, понятия группы, подгруппы, нормальной
подгруппы, гомоморфизма и фактор-группы читатель знал
из общего курса алгебры, но в книге под названием «Ос-
«Основы теории групп» уместно было напомнить их. Анало-
Аналогичные понятия подкольца, идеала, кольцевого гомомор-
гомоморфизма и фактор-кольца напоминать, видимо, излишне.
Интересная связь между теми и другими понятиями воз-
возникает при рассмотрении групп матриц над кольцами.
4.2.7. Упражнение. Пусть К — ассоциативное
кольцо с единицей, G — группа матриц степени п над К.
Если й — идеал в К, то
Ga = {е + а | е + а ^ G, atj e а)
— нормальная подгруппа в G. Она называется главной
конгруэнц-подгруппой по модулю й, а ее надгруппы —
конгруэнц-подгруппами группы G. Всякий кольцевой го-
гомоморфизм <р: К -*¦ К' индуцирует групповой гомоморфизм
Фс: G ->С по правилу
= №, g^G.
Его ядро Кег <рс = Стсегф- Например, гомоморфизм Z -*¦
->Zm индуцирует гомоморфизм SLn (Z) ->- SLn (Zw),
ядро которого (m-я главная конгруэнц-подгруппа) обоз-
обозначается Гп (иг). Каждое Гп (тп) имеет конечный индекс в
SLn (Z). Вообще, кольцевой гомоморфизм К -*~К/а ин-
индуцирует групповые гомоморфизмы GLn (К) ->G?n (К/а),
SLn(K) -*-SLn (К/ й) и т. д.; их ядра — главные кон-
груэнц-подгруппы по модулю й — обозначаются соответ-
соответственно GLn (К, a), SLn (К, а) и т. д. В частности,
Гп (m) = SLn (Z, mT).
В связи с последним упражнением возникает важная
конгруэнц-проблема для матричной группы G: всякая ли
подгруппа конечного индекса в G содержит Gi по некото-
некоторому идеалу / конечного индекса? Один из самых ранних
примеров положительного решения конгруэнц-проблемы
будет изложен на стр. 207. Отметим еще, что Меннике

§ 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 51
(Mennicke J. L.— Ann. Math., 1965, 81, № 1, p. 31—37)
и независимо Басе, Лазар и Серр (Bass H., Lazard M.,
Serre J.-P.— Bull. Amer. Math. Soc, 1964, 70, № 3,
p. 385—392) положительно решили конгруэнц-проблему
для группы SLn (Z), n > 3 (для п — 2 давно было из-
известно отрицательное решение). Работа Меннике доступ-
доступна студенту второго курса.
4.2.8. Упражнение. Пусть р — простое число,
т, п — натуральные числа, т ;> 2. Рассмотрим в группе
GLn (Z т) главные конгруэнц-подгруппы
Pk = GLn(Zpm, P*Zpm),
т. е.
Доказать, что отображение <рк: Рк —>- jPm_x, определяемое
правилом
является гомоморфизмом на с ядром Рк+1- Этот гомомор-
гомоморфизм совпадает с возведением матриц в рт~к~1-ю степень,
за исключением случая, когда р = 2, к = 1.
4.3. Поддекартовы произведения. Напомним, что пря-
прямое произведение
С = П^ G)
состоит из функций /:/-*¦ U @i c условиями:
iel
1) / (О 6Е G; для всех i e /,
2) I supp (/) | < оо.
Легко проверить, что подмножество
Gl = {/I/EG, i(j) =enVTii=f=i)
является нормальной подгруппой в G, причем она изо-
изоморфна множителю Gt в силу отображения />->-/ (i). Час-
Часто Gl отождествляют с Gt в силу этого изоморфизма. При
таком отождествлении Gt О G, группа G порождается под-
подгруппами G, и каждый элемент g из G допускает запись
g = iix • • ¦ gim, gi e Gt, (8)

52 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
где все значки ilt . . ., im различны, а неединичные мно-
множители однозначно определяются элементом g.
Это замечание позволяет дать внутреннее оп-
определение прямого произведения — в отличие от в н е ш-
н е го определения гл. 1.
Пусть группа G порождается своими нормальными
подгруппами Gt, причем каждый элемент g из G допускает
запись (8), где все значки ilt . . ., im различны, а нееди-
неединичные множители однозначно определяются элементом
g. Тогда говорят, что группа G разлагается в прямое про-
произведение подгрупп Gt. Очевидно, группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение своих под-
подгрупп Gt, когда она изоморфна прямому произведению
абстрактных групп Gt. Поэтому для группы G, разложи-
разложимой в прямое произведение подгрупп Gt, используется та
же запись G), что и для прямого произведения абстракт-
абстрактных групп Gj. При аддитивной записи операции говорят
о разложении в прямую сумму и пишут
lex
4.3.1. Примеры. I. Аддитивная группа поля С
разлагается в прямую сумму подгруппы действительных
и подгруппы чисто мнимых чисел: С = К ф Ж.
II. Очевидно,
p
III. Четверная группа Клейна разлагается в прямое
произведение двух подгрупп второго порядка:
IV. Очевидно,
Вп (К) = G1 X . . . X Gn,
где Gt — подгруппа из Dn {К), у матриц которой на всех
диагональных местах, кроме 1-го, стоит 1.
4.3.2. Упражнение. Группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение своих нормаль-
нормальных подгрупп Gt, когда она порождается ими и из любого
соотношения gu . . . gim = е, где ^Еб| и все значки
различны, вытекают соотношения gtl = . . . = gtm = e.

g 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 53
4.3.3. Упражнение. Группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение нормальных под-
подгрупп Gt, когда она порождается ими и
Gt П гр (Gj | / Ф г) = 1 для всех L
4.3.4. Упражнение. Циклическая группа по-
порядка тп, где тип взаимно просты, разлагается в прямое
произведение подгрупп порядков т, п.
4.3.5. Упраж пение. Пусть р — простое число.
Циклическая группа порядка рп неразложима в прямое
произведение собственных подгрупп.
4.3.6. Упражнение. Аддитивная группа поля
Q неразложима в прямую сумму собственных подгрупп.
Подгруппа А прямого произведения G) называется
подпрямым произведением групп Git если проекция А на
каждый множитель Gt совпадает с Gi. Подчеркнем, что
подпрямое произведение не определяется множителями
однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого произ-
произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это
не всегда будет прямое произведение — контрпримером
служит диагональ D прямого квадрата G X G, состоящая
из пар <#, ?>, ge G.
4.3.7. Упражнение. Пусть G = Gx X Ga, A —
подгруппа из G, А% — ее проекция на множитель Gt,
i = 1, 2. Доказать, что А разлагается в прямое произве-
произведение Ах X Аа тогда и только тогда, когда At = Gt (~| A,
i = 1, 2.
4.3.8. Упражнение. Пусть G = Gx X G2, где
Gv Ga — конечные группы взаимно простых порядков.
Всякая подгруппа А <^ G разлагается в прямое произве-
произведение своих проекций на множители Glt G2.
Если G — подпрямое произведение конечных групп,
то очевидно, что любое конечное множество элементов
из G содержится в конечной нормальной подгруппе. По-
Последнее свойство принято называть локальной нормаль-
нормальностью. Как показывает пример группы Срос, класс ло-
локально нормальных групп шире класса подпрямых произ-
произведений конечных групп. Вместе с тем имеются тесные свя-
связи между этими классами (Hall Р.— J. London Math. Soc,
1959, 34, p. 289—304; Горчаков Ю. М.— Матем. сб., 1965,
67, с. 244—254). С теорией локально нормальных групп и,

54 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
вообще, групп с конечными классами сопряженных эле-
элементов можно познакомиться по книге Ю. М. Горчакова [8].
По аналогии с подпрямыми произведениями определя-
определяются поддекартовы произведения: подгруппа А декартова
произведения
называется поддекартовым произведением групп Gt, если
проекция А на каждый множитель Gt совпадает с Gt.
Очевидно, любое подпрямое произведение групп G; будет
и поддекартовым произведением этих групп.
4.3.9. Теорема (Ремак). Пусть в группе G задано
семейство нормальных подгрупп Ht, iE/, и Н — их пе-
пересечение. Тогда фактор-группа GIH изоморфна некоторому
поддекартову произведению фактор-групп GIHi.
Доказательство. Рассмотрим отображение
сопоставляющее каждому g из G функцию /, где /(i) =
= gHt. Легко проверить, что ф — гомоморфизм, а Н —
его ядро. Теперь остается воспользоваться теоремой о
гомоморфизмах 4.2.2.
4.3.10. Примеры. I. Группа Q/Z изоморфна под-
декартовой сумме групп Q/Qp по всем простым р.
II. Группа С* изоморфна подпрямому произведению
групп С*/СрОО по любым двум различным простым чис-
числам р.
III. Пусть множество М разбито на непересекающиеся
части Mi, i ЕЕ /. Пусть G <! S (М), причем каждый эле-
элемент из G отображает каждое Мt на себя. Тогда G изо-
изоморфна поддекартову произведению подгрупп из 8 (Мг),
iE/.
IV. Группа GLn(Z) изоморфна подгруппе декартова
произведения конечных групп GLn (Zm), m = 1, 2, . . .
4.3.11. Упражнение. Пересечение нормальных
подгрупп, определяющих абелевы фактор-группы, само
определяет абелеву фактор-группу.
4.4. Матрёшки. Пусть G — группа. Система вложен-
вложенных друг в друга подгрупп группы G, содержащая единич-

§ 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 55
ную подгруппу и всю G, называется матрёшкой группы G
(другие термины: башня, ряд, цепь). До § 22 мы будем
иметь дело исключительно с конечными матрёшками
(кроме двух случаев в § 7 и § 13, когда встретятся «транс-
«трансфинитно возрастающие матрёшки»), а потому термин «мат-
«матрёшка» будет всегда обозначать конечную матрёшку —
вплоть до § 22. Матрёшка
1 = Go < Gx < . . . < Gn = G (9)
называется нормальной, если каждая подгруппа G, нор-
нормальна в G. Например, любая матрёшка подгруппы абеле-
вой группы нормальна. Матрёшка (9) называется субнор-
субнормальной, если выполнено более слабое условие: каждый
предыдущий член — нормальная подгруппа следующего
члена, т. е. Gt ^ Gi+1 для i = О, 1, 2, . . ., п — 1. Члены
субнормальных матрёшек называются субнормальными
подгруппами (если подгруппа Н субнормальна в G, то
пишут Н ОО G. Фактор-группы Gi+1/Gj называются сек-
секциями матрёшки (9). Вообще, секцией группы G называется
всякая фактор-группа В/А, где А, В — подгруппы из G,
причем А О В. Иногда матрёшки записываются не по
возрастанию от 1 до G, а по убыванию от G до 1. Найдя
в группе субнормальную матрёшку, секции которой хоро-
хорошо изучены, мы тем самым продвигаемся и в изучении са-
самой группы.
Говорят, что группа G является расширением группы А
посредством группы В, если в G существует такая нор-
нормальная подгруппа Н, что Н ~ A, GlH ~ В. В этом смыс-
смысле секции субнормальной матрёшки — это те строитель-
строительные блоки, из которых путем последовательных расшире-
расширений можно собрать всю группу. Подчеркнем, однако, что
результат не определяется только использованными сек-
секциями, а зависит еще от способа их сборки — например,
расширение Z2 посредством 1% может быть группой Z2 X
X Z2 и группой 1ц. Группы, собранные из циклических
секций, называют полициклическими. Точнее, субнор-
субнормальная матрёшка с циклическими секциями называется
полициклической, а группа с такой матрёшкой — поли-
полициклической группой.
4.4.1. Примеры. I. Секции матрёшки 1 < B) <
< Z < Qp изоморфны соответственно группам Z, Z2, С

56 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
II. Все секции матрёшки 1 < Ср < Cpt < . . . <
< СрП — циклические порядка р.
III. Группа А± обладает полициклической матрёшкой
1 < {1, A2)C4)}<{1, A2)C4), A3)B4), A4)B3)> < АА
A0)
с секциями порядков 2, 2, 3. Эта матрёшка не является
нормальной, поскольку подгруппа (A2)C4)) не нормальна
в At, хотя и субнормальна.
IV. Группа Тп {К) обладает нормальной матрёшкой
Тп (К) > UTl (К) > UTl {К) > .. .> UTnn{K) = 1 (И)
с секциями So, Sv . . ., «S^, где
50^Х*Х...Х^* (w раз),
Sm си К ф . . . 0 К (п — тп раз) при пг > 1.
(Суб)нормальная матрёшка группы индуцирует (суб)-
нормальные матрёшки в подгруппах и фактор-группах:
4-4.2. Теорема. Пусть G — группа с {субнормаль-
{субнормальной матрёшкой (9). Если Н <! G, то, пересекая матрёш-
матрёшку (9) с Н, мы получим {субнормальную матрёшку в Hi
1 = Но < Ях < . . . < Нп = Я, Hi = Gir]H,
причем секция Hi+1/Hi будет изоморфна подгруппе секции
Gi+jGi. Если Н ^G, то, беря образы членов матрёшки
(9) при естественном гомоморфизме G -*-G/H, мы получим
(суб)нормальную матрёшку в GIH:
причем секция П1+11П( будет гомоморфным образом секции
/G
_ Доказательство. Соотношения Яг ^ Hi+1,
G t ^ Пг+1,_а в случае нормальных матрёшек соотношения
Hi^H, Gt^G, проверяются непосредственно. Далее,
используя теоремы о гомоморфизмах, получаем:
Н1+1/Нг «= Ям/#м П G{ ~ Hl+1Gi/
Теорема доказана.
4.4.3. Упражнение. Подгруппы и фактор-груп-
фактор-группы полициклической группы — полициклические. Рас-

g 4] ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 57
ширение полициклической группы посредством полицик-
полициклической группы — снова полициклическая группа. Про-
Произведение двух полициклических нормальных подгрупп
произвольной группы — полициклическая подгруппа.
Две субнормальные матрёшки данной группы назы-
называются изоморфными, если они имеют одинаковое число
секций и между их секциями существует такое взаимно
однозначное соответствие, при котором соответственные
секции изоморфны. Например, в группе С12 матрёшки
К С, < С4 < Си
К С3 < Се < Си
изоморфны. Если одна матрёшка содержит все члены дру-
другой, то первая называется уплотнением второй.
4.4.4. Теорема (Шрайер). Во всякой группе вся-
всякие две {субнормальные матрёшки обладают изоморфными
(субнормальными уплотнениями.
Доказательство. Пусть в группе G заданы
две (суб)нормальные матрёшки
l=A0^A1<...<Am = G, A2)
1 = Во < Вг < . . . < Яп = G. A3)
Мы уплотним каждый промежуток At < Al+1 первой мат-
матрёшки вставкой, приготовленной при помощи второй мат-
матрёшки, и наоборот. Вставка в промежуток Ai^.Ai+1
изготовляется так: пересекаем матрёшку A3) с Ai+1,
а затем почленно умножаем на if; получилась цепочка
подгрупп с началом At и концом Ai+1 — вставка готова.
Она имеет вид
Ai = Cjo < С и <[... ^C'in = Ai+1,
Си = (At+i П В,)Аг.
Аналогично изготовляются вставки для второй матрёшки:
П At)B,.
Очевидно, если члены матрёшек A2), A3) были нормальны
в G, то и все члены вставок такие же. Остается проверить,
что

58 ГОМОМОРФИЗМЫ 1ГЛ. 2
Но по теореме 4.2.4
П 4, + i).
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что во всякой
группе всякие две (суб)нормальные матрёшки без повторяю-
повторяющихся членов, не уплотняемые без повторения членов, изо-
изоморфны (теорема Жордана — Гёльдера).
4.4.5. Упражнение. Пусть G — полицикличе-
полициклическая группа. Число бесконечных секций в любой ее поли-
полициклической матрёшке одно и то же. Оно называется по-
полициклической размерностью группы G. По этому числу
удобно вести индукцию при изучении полициклических
групп.
Отметим, что теоремы 4.4.2 и 4.4.4 без каких-либо из-
изменений в доказательствах переносятся на счётные
матрёшки вида
l=G0«3Gi«3...«3Gnss3..., G=[jGn,
n=l
а также на некоторые более сложные типы «бесконечных
субнормальных матрёшек», но, как уже упоминалось
выше, мы отложим эту тему до § 22.
В заключение пункта отметим тесно связанное с гомо-
гомоморфизмами понятие аппроксимируемости. В наиболее
общей форме это понятие определяется следующим обра-
образом (Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Бесконечные
группы.— В сб.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Гео-
Геометрия. 1966.— М., 1968, с. 75; мы говорим о группах,
хотя можно было бы говорить о произвольных алгебраи-
алгебраических системах — см. п. 27.1 Дополнения).
Пусть G — группа, р — отношение (или, иначе, пре-
предикат) между элементами и множествами элементов, опре-
определенное на G и всех ее гомоморфных образах (например,
бинарное отношение равенства элементов, бинарное отно-
отношение «элемент х входит в подгруппу у», бинарное отноше-
отношение сопряженности элементов и т. п.). Пусть К — класс
групп. Будем говорить, что группа ^аппроксимируется

§ 5] ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ 59
группами из К относительно р, если для всяких элемен-
элементов и множеств элементов из G, не находящихся в отно-
отношении р, существует такой гомоморфизм группы G на
группу из класса К, при котором образы этих элементов
тоже не находятся в отношении р. В литературе чаще всего
встречается аппроксимируемость относительно равенства
элементов, в этом случае упоминание об отношении обыч-
обычно опускают и говорят просто об аппроксимируемости.
Как вытекает из теоремы Ремака 4.3.9, группа G тогда и
только тогда аппроксимируется группами класса К, ког-
когда она вкладывается в декартово произведение групп
из К.
Аппроксимируемость конечными группами называют
также финитной аппроксимируемостью. Финитную ап-
аппроксимируемость относительно предиката р удобно обо-
обозначать ФАр; в частности, если р пробегает предикаты ра-
равенства, сопряженности, вхождения в подгруппу, вхожде-
вхождения в конечно порожденную подгруппу, вхождения в
данную подгруппу Н и т. п., то получаются свойства (и
классы) ФАР, ФАС, ФАВ, ФАВщ, ФАВ-Я и т. п. На важ-
важную роль этих свойств указал А. И. Мальцев (Уч. зап.
Ивановского пед. ин-та, 1958, 18, с. 49—60): из их наличия
в группе вытекает разрешимость соответствующей алго-
алгоритмической проблемы.
§ 5. Эндоморфизмы. Автоморфизмы
5.1. Определения. Гомоморфное отображение группы
в себя называется ее эндоморфизмом, а изоморфное отоб-
отображение группы на себя называется ее автоморфизмом. Эн-
Доморфный образ подобен удостоверению личности в
кармане этой личности. Множества всех эндоморфизмов и
автоморфизмов данной группы G обозначаются соответст-
соответственно через End G и Aut G. На этих множествах опреде-
определяют умножение, считая произведением двух эндомор-
эндоморфизмов их последовательное выполнение. Легко проверить,
что тогда End G становится полугруппой, a Aut G даже
группой, причем
Aut G < 8 (G).
Если группа G абелева, то на End G определяют еще

60 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
сложение, полагая
а;Ф+* = хч>хЪ для ф, -ф е End G, х (= G.
Непосредственно проверяется, что тогда End G становит-
становится кольцом. В общем случае кольца не получается, и End
играет в теории групп меньшую роль, чем Aut.
В гл. 1 мы уже отмечали, что сопряжение группы G
некоторым элементом а из G является изоморфизмом, так
как оно взаимно однозначно и
(ху)а = хауа для 1,кбб.
Этот автоморфизм а называется внутренним автоморфиз-
автоморфизмом группы G, производимым элементом а. Непосредствен-
Непосредственно проверяется, что
=х, хУ-1°ч> = ха!'
а, Ь, х бб, f G Aut G,
поэтому
аЬ = аЪ, а'1 = a, qf^acp = а*. (!)
Отсюда вытекает, в частности, что множество Int G всех
внутренних автоморфизмов группы G является нормальной
подгруппой группы Aut G,
Int G «3 Aut G. B)
Автоморфизмы, не являющиеся внутренними, называют
внешними, а группу
Out G = Aut Glint G C)
называют группой внешних автоморфизмов. Очевидно, для
абелевой группы Out совпадает с Aut.
Первое из соотношений A) показывает, что отображе-
отображение G —> Int G, сопоставляющее каждому g из G внутрен-
внутренний автоморфизм ?, является гомоморфным. Ядро этого
гомоморфизма состоит из элементов g с условием
х8 = х, 1бб,
т. е. совпадает с центром Z (G) группы G. Применяя теоре-
теорему о гомоморфизмах, получаем формулу
Jpt G os GIZ (G). D)

§ 5] ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ 61
В качестве иллюстрации опишем кольца End G и груп-
группы Aut G для некоторых групп G из примеров I—IV гл. 1.
При этом мы используем очевидную формулу
(End G)* = Aut G.
5.1.1. Примеры. I. Имеем:
Z*^Za, E)
m^Zm- F)
End Q ~ Q, Aut Q ~ Q*. G)
Действительно, изоморфизмы для End даются соответ-
соответственно следующими формулами (ввиду аддитивной запи-
записи групповой операции мы пишем эндоморфизм ф не как
показатель степени, а как множитель):
Ф ь-». 1ф, ф >-*¦ (l(mod т))ц>, ц> >-»¦ 1ф.
Рассмотрим подробно только последний случай. Гомоморф-
ность отображения ф >-*¦ 1ф проверяется непосредственно.
Покажем, что ядро тривиально, т. е. из 1ф = 0 следует
Ф = 0. Пусть г, s — целые числа, s Ф 0. Так как
0= 1ф= (s-T^ = s(T)\p,
то
Наконец, для всякого bgQ найдется прообраз ф ЕЕ
ЕЕ End Q, а именно, эндоморфизм х >-»¦ ха группы Q.
II. Опишем кольцо End С „,. Пусть гп — первообраз-
первообразный корень из 1 степени рп в поле комплексных чисел,
причем 8п+г = еп, га = 1, 2,... Очевидно, эндоморфиз-
эндоморфизмы группы С о, полностью определяются своим действием
на 8ц е2,. . . Пусть ф GE End Cp00, тогда
г1 = г1п, кп(в1рП, и = 1,2,. . .
Так как (е^+1)р = e^, то кп — образ кп+1 при гомомор-
гомоморфизме Zpn+i —*• Ърп { по правилу: х (mod p**1) >-*¦
!-*¦ х (mod pn) для х е Z). Таким образом, каждому
Ф из End С „ отвечает последовательность (ки к2,. . .),
кп е ТрП, с урловием, что кп — образ) k^fl при

62 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
ском гомоморфизме Z_n+i -»Z«. Непосредственно про-
проверяется, что множество Z <» всех таких последовательно-
последовательностей является кольцом относительно покомпонентного
сложения и покомпонентного умножения, а возникшее у
нас отображение End С «, —> Z «> является изоморфизмом
на. Это дает искомое описание кольца End С «,. Кольцо
Z оо называется кольцом целых р-адических чисел, его
элементы естественным образом записываются в виде
...an...ala0= 2
n=o
и естественно складываются и умножаются: «вычет пи-
пишем, число периодов в уме». Приведем для иллюстрации
образцы действий над целыми 5-адическими числами:
... 20134
+ ... 12203
...32342
X
...20134
...12203
...11012
...0000
... 323
... 23
...4
...11312
...20134
« 12203
...02431
Отметим попутно, что множество Q „> «дробных» р-адиче-
р-адических чисел вида
оказывается уже полем относительно аналогичных опера-
операций и называется полем р-адических чисел. Читатель сам
сформулирует правило деления углом для р-адических
чисел (только при делении и нужна простота р). Итак,
End Cp3O ~ Zp=c, Aut Cp0o — г%*>. (8^
Легко сообразить, что Z*«. состоит из тех целых р-
адических чисел, у которых «свободный член» а0 отли-
отличен от нуля.

§ 5J ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ 63
III. Справедлива формула
Aut вп ~8п при п ф 2, 6. (9)
Мы докажем ее в конце параграфа. При п = 2, 6 эта фор-
формула неверна — см. там же.
IV. Описанию автоморфизмов классических матрич-
матричных групп посвящена обширная литература — см., на-
например, [1, 9]. Приведем без доказательства типичный ре-
результат. Пусть п ;> 3, К — поле характеристики =/=2.
Тогда для каждого автоморфизма ф из Aut GLn (К) либо
х*> = а* ¦ g~lx°g, х ЕЕ GLn (К), A0)
либо
afi = a*.g-1Vg, x^GLn(K), (И)
при подходящих a ge Aut К, i|j: GLn (К) —> К* и подходя-
подходящем элементе g €Е ^-Ьп (Щ- Здесь ~ обозначает взятие об-
обратной матрицы к транспонированной. Для многих мат-
матричных групп, особенно над кольцами, группы автомор-
автоморфизмов плохо изучены или совсем не изучены.
5.1.2. Упражнение. Если \G\ > 2, то AutG =/= 1.
Указание: рассмотреть случаи, когда 1) G неабе-
лева, 2) G абелева и содержит элементы порядка ^> 2,
3) G удовлетворяет тождественному соотношению х* = е.
5.1.3. Упражнение:
Aut (Z 0... ® Z) =„ (),
End (Zm © • • • © ZJ ^ Мп(Ът),
Aut (Zm © . • • © ZJ ^ GLn (Zm),
Q©...©Q) — !fn(Q),
(в левых частях п слагаемых).
5.1.4. Упражнение:
End (СрОО х ... X Ср
Aut (СрОО х . . . хСрМ) ~ <?in (Zp«)
(в левых частях п множителей).
5.1.5. Упражнение. Все конгруэнц-подгрушш
GLn(ZpX, pkZpX), к = 1,2,...,

64 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
группы GLn(Z о,) не имеют кручения, за исключением
случая р = 2, к = 1.
Указание: рассмотреть формулу бинома
(е + Рка)т = ' + G) А + BJP2V + • • • + Рткат-
5.1.6. Упражнение. Пусть А, В — абелевы
группы. Множество Нот (А, В) всех гомоморфизмов из
А в В является кольцом [относительно поточечного
сложения по правилу
а (ф + а|з) = ац> + ат|з, а е А,
и суперпозиции в качестве умножения:
а (ф\(з) =
5.1.7. Упражнение. Учитывая, что порядки эле-
элементов группы не меняются при ее автоморфизмах, пере-
перечислить непосредственно автоморфизмы группы 83 и убе-
убедиться, что все они внутренние.
5.2. Допустимые подгруппы. Язык автоморфизмов поз-
позволяет дать еще одно определение нормальных подгрупп:
подгруппа Н группы G тогда и только тогда нормальна,
когда она выдерживает все внутренние автоморфизмы
группы G, т. е.
Яф <; Н для всех ф е Int G.
Заменяя в этом условии Int G на произвольное множество
Ф из End G, приходят к более общему понятию: подгруп-
подгруппу Н группы G называют допустимой относительно Ф (ко-
ф
роче, Ф-допустимой) и пишут Н *С G, если
Н? < Н для всех ф е Ф.
Очевидно, единичная подгруппа и вся группа допустимы
относительно любого Ф. Если группа не содержит дру-
других Ф-допустимых нормальных подгрупп, она называется
Ф-простой. При ф ЕЕ Ф подмножества М, Мф называются
Ф-сопряженными. Отношение Ф-сопряженности исполь-
используется только при Ф ^ Aut G, когда оно является экви-
эквивалентностью, в общей ситуации оно бесполезно. В наи-

§ 5]
ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ
65
более употребительных случаях, когда Ф совпадает с
End G, Aut G, Int G, приставку Ф читают «эндоморфно»,
«автоморфно», «внутренне» и пишут
Н < G, Н < G, Н < G.
1
Знак <^ употребляют обычно в стилизованной форме ^,
как мы и поступаем с самого начала. Отметим, что некото-
некоторые авторы дают Ф-понятиям особые названия согласно
следующей таблице
сопряженные
допустимые
простые
внутренне
автоморфно
эндоморфно
сопряженные
равнотипные
нормальные
характеристиче-
характеристические
вполне характери-
характеристические
простые
элементарные
Мы пощадим читателя и будем использовать из этой таб-
таблицы только первую строчку, которая новых слов не со-
содержит. Оставшиеся четыре названия — от пяти разных
корней — можно не запоминать.
5.2.1. Упражнение. Пересечение и порождение
любого множества Ф-допустимых подгрупп есть Ф-допус-
тимая подгруппа.
• а
5.2.2. Упражнение. Отношения <^, ^ транви-
тивны (в отличие от отношения О), т. е.
5.2.3. Упражнение. Автоморфно допустимая
подгруппа нормальной подгруппы нормальна во всей
группе, т. е.
Л<5, В ^ С =4-А^С.
Очевидными примерами эндоморфно допустимых под-
подгрупп произвольной группы G служат ее последовательные
коммутанты, п-я степень Gn = гр (хп | х G= G) и п-й слой

66 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
GB = гр (г 11 E G, хп = 1). Центр группы G всегда авто-
морфно допустим, так как из аЬ = Ьа, а, Ъ €Е G, ц> ?=
ЕЕ Aut G следует a^b'» = Ь*а('), причем при пробегании
элементом а группы G элемент af тоже пробегает всю груп-
группу G. Подчеркнем, что даже в конечной группе центр
может не быть эндоморфно допустимым — см. ниже III.
Укажем примеры допустимых подгрупп в конкретных
группах.
5.2.4. Примеры. I. В группах Z, Ъп все подгруп-
подгруппы эндоморфно допустимы. Группа Q автоморфно проста
(и тем более эндоморфно проста), так как любые два ее
ненулевых элемента автоморфно сопряжены — см. опи-
описание Aut Q выше.
II. Очевидно, что
ее е
Ср < Ср! < . . . , Срп ^ Ср».
III. Так как коммутант группы эндоморфно допустим
е
в ней, то Ап <[ 8п. Пусть п > 3. Так как группа 8п не
имеет центра, то в конечной группе Сг X &п центром
служит подгруппа Сг- Она не является эндоморфно допус-
допустимой, так как не выдерживает эндоморфизма (—l)m x *-*•
~A2)т, т = 0,1, х^8п.
IV. Пусть К — поле. Так как взаимный коммутант
Ф-допустимых подгрупп есть Ф-допустимая подгруппа, то
Тп(К)>иТ*п(К), ? = 1, 2, ...
5.2.5. Упражнение. Максимальные примарные
подгруппы абелевой группы эндоморфно допустимы.
5.2.6. Упражнение. Подгруппа Фраттини про-
произвольной группы автоморфно допустима. Поэтому в ко-
конечной простой группе она равна 1.
5.2.7. Упражнение. Группа Q® .. . ф Q ав-
автоморфно проста.
5.2.8. Упражнение. Периодическая абелева
группа тогда и только тогда автоморфно проста, когда она
является элементарной абелевой группой, т. е. абелевой
группой простого периода или, что равносильно, разла-

§ 5] ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ 67
гается в прямую сумму некоторого множества изоморфных
копий группы Zp для некоторого простого числа р.
Иногда рассматривают более общую ситуацию: G —
группа, V — произвольное множество с заданным отобра-
отображением V —> End G. Тогда V называется множеством
операторов группы G и для Ф с: F очевидным образом
определяются все Ф-понятия. При Ф = V приставку Ф
читают «операторно».
5.3. Совершенные группы. Группа называется совершен-
совершенной, если она без центра и все ее автоморфизмы внутрен-
внутренние. Если группа G совершенна, то Z (G) = 1, Out G = 1
и по C), DI
Aut G~G,
т. е. изучение группы автоморфизмов заменяется изуче-
изучением самой группы. Этим свойством совершенных групп
и вызвано роскошное название, данное им на заре теории
групп. В действительности совершенные группы не игра-
играют какой-либо особой роли в теории групп (точно так же,
как совершенные числа в теории чисел). Цель этого пунк-
пункта — указать классическую серию совершенных групп —
симметрические группы.
5.3.1. Теорема (Гёльдер). При п Ф 2,6 симметри-
симметрическая группа 8п совершенна.
Доказательство, а) Из § 3 мы уже знаем,
что при п !> 3 группа 8п имеет тривиальный центр. Оста-
Остается доказать, что при п =?= 6 каждый автоморфизм у
группы 8п внутренний. Пусть В* — множество всех про-
произведений к независимых транспозиций из 8п, 1 <J &<! -у.
Согласно 2.5.7.III две подстановки из 8п сопряже-
сопряжены в 8п тогда и только тогда, когда в разложении на неза-
независимые циклы они имеют одинаковое число циклов каж-
каждой длины. В частности, Вг [_) В2 [J •¦• — разбиение мно-
множества всех элементов порядка 2 из 8п на классы сопря-
сопряженных элементов и каждое Вк переходит при внутренних
автоморфизмах группы 8п в себя. Это подсказывает нам
следующий путь: сначала докажем, что у переводит Вх
в себя, а уже затем, что у — внутренний автоморфизм.
б) Автоморфизм у переводит Вг в себя. Действительно,
всякий автоморфизм группы сохраняет" порядки элемен-
элементов, а классы сопряженных элементов переводит в классы

68 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ.
сопряженных элементов, поэтому В\ = Вк при некотором Л
Мы получим равенство В\ = Вх из самых грубых сообра
жений: проверим, что | В^ \ Ф \ Вх |, если к Ф 1, п ф 6
Действительно, 8п содержит f " ) транспозиций, поэ
тому имеется Ц ( „ ) множеств'из к независимых тран
t=0 V '
спозиций. Так как порядок множителей в произведенш
независимых транспозиций несуществен, то
*-1
4
i=0
Теперь равенство | Вх | = \ В^ \ сводится к следующему
(га — 2)(га — 3). . .(и - 2к + 1) = AJ2*-1. A2;
Докажем, что при п ф 6, к Ф 1 это невозможно. В самом
деле, так как правая часть A2) положительна, то должно
быть п > 2к. Отсюда левая часть удовлетворяет неравен-
неравенству:
л. ч. A2) > Bйг — 2)!
Индукцией легко получаем, что
B* - 2)! > Щ*-1 при к > 4.
Остается рассмотреть случаи к = 2, 3. При к = 2 легко
проверяется, что равенство A2) невозможно ни для каких
п. Пусть к = 3. Так как га > 2&, га =/= 6, то и ^> 6 и
л. ч. A2) > 5-4-3-2 > 3!2г = пр. ч. A2).
Итак, равенство A2) невозможно, если п Ф 6, кф\.
в) Автоморфизм у внутренний. В самом деле, пусть
rjO) — множество всех транспозиций символа { с другими
символами. Покажем, что Т (i)v == Т (/) при некотором /.
Так как всякие две транспозиции иэ Т (i) не перестано-
перестановочны, то их образы относительно у также должны со-
содержать общий перемещаемый символ. При этом тройка
(ia), (ib), (ic) не может перейти в тройку (ju), (jv), (uv),
так как произведение первых трех элементов имеет по-
порядок 4, а произведение вторых трех — порядок 2.
Следовательно, 7T(t)TS T(j). Применив к Т (/) обратный
автоморфизм у, видим, что Т (i)f = Т (;). Тем самым

g 6] РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 69
по автоморфизму у мы построили такую подстановку
я, что Т (i)v = T (in) для всех i = 1, 2,. . ., п. Так как
(Ы)у = (Т (к) п т (i))y = Т(Ы)пт (Ы) =
= (кп, Ы) = я (Ы)л,
то у совпадает на всех транспозициях, а потому и вообще
на всех подстановках с сопряжением подстановкой я.
Теорема доказана.
Группы #2, &я не являются совершенными, так как пер-
первая абелева, а вторая обладает внешним автоморфизмом
порядка 2. Построение этого автоморфизма указано, на-
например, в заметке: Miller D. W.— Amer. Math. Monthly,
1958, 65, № 4, p. 252-254.
5.3.2. Упражнение. Совершенная нормальная
подгруппа всегда выделяется прямым множителем груп-
группы. Наводящий вопрос: что должно быть другим множи-
множителем?
§ 6. Расширения посредством автоморфизмов
Опишем две важные в теории групп конструкции,
основанные на автоморфизмах.
6.1. Голоморф. Эта конструкция возникает в связи
вот с каким вопросом: нельзя ли произвольную группу G
вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы каждый
автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего
автоморфизма группы G*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается,
в качестве G* можно взять множество пар cpg, ф ЕЕ Ф,
g ЕЕ G, умножаемых по правилу:
Ф?-фУ = фф'^У A)
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно,
аксиомы группы проверяются непосредственно. Так же
непосредственно проверяется, что отображения
ф_С*, G-+G* B)
по правилам ф •-»¦ ф1, g >->- \g являются изоморфными
вложениями. Мы отождествим Ф и G с подгруппами из
G* в силу этих вложений. Из правила умножения A)
сразу вытекает, что
cp-igq, = ?Ч> для ф е Ф, ? е G. C)

70 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
Теперь ясно, что
G* = (PG, GzQG*, Ф П G = 1 D)
и ввиду C) каждый автоморфизм ф 6= Ф является сужением
некоторого внутреннего автоморфизма группы G*.
Задача решена. Построенная группа (&G называется
голоморфом группы G и обозначается Hoi G.
Если вместо Ф = Aut G взять Ф ^ Aut G, то группа
ФС по-прежнему будет обладать свойствами C), D).
В этом случае Ф6? называется расширением группы G
посредством группы автоморфизмов Ф. Ввиду D) это со-
согласуется с общим понятием расширения из п. 4.4.
Можно еще дальше обобщить ситуацию и взять произ-
произвольную группу Ф с отмеченным гомоморфизмом Ф —*
—*¦ Aut G. Считая, что элементы из Ф действуют на G как
соответствующие им автоморфизмы, мы тем же правилом A)
превращаем OG в группу со свойствами C), D). Теперь
группа ФС называется расширением группы G посредст-
посредством группы операторов Ф.
Отметим, что все обсуждавшиеся сейчас расширения
расщепляемы в следующем смысле: расширение G группы
А посредством группы В называется расщепляемым,
если в G существуют такие подгруппы Н, К, что
G = НК, A~H*QG, H Г\ К = \.
Очевидно, что тогда K~GIA. Говорят также, что G —
полупрямое произведение групп А и В, и пишут G — А х В
или G = В .< А.
Укажем голоморфы некоторых конкретных групп.
6.1.1. Примеры. I. Пусть К — любое из колец Zt
Zni Q- Согласно 5.1.1.1 автоморфизмы аддитивной груп-
группы К исчерпываются умножениями на элементы из К*,
поэтому
II. Похожее по форме описание можно дать для Hoi С «,.
Именно, частичную последовательность (si, s2,. . .) назо-
назовем р-нитъю, если в ней несколько первых мест пусты,
а на остальных стоят элементы sn €= Zn, причем psn —
= sn+1 (в понятном смысле) и ее нельзя доопределить на
пустых местах с сохранением этого свойства. Условимся

§ 6] РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 71
складывать р-нити покомпонентно на тех местах, где оба
слагаемых определены, с последующим доопределением
суммы на пустых местах, пока оно возможно. Непосред-
Непосредственно проверяется, что р-нити с таким сложением со-
составляют группу. Она изоморфна группе С «,. Действи-
Действительно, пусть е„ — первообразный корень из 1 степени
п
рп в поле комплексных чисел, причем е?+1 = еп, п =
= 1, 2, ... Каждое число х из Ср0о лежит в некоторой
группе С п, поэтому х = е^ь sn €Е Z п, начиная с некото-
некоторого^. Так как е^*1 = е^1 = е^_™, то частичная последова-
последовательность показателей sn будет р-нитью. Легко видеть,
что отображение х ь> (slt s2). . .) является изоморфизмом
группы С с, на группу р-нитей, причем автоморфизмы
из Aut С о,, представленные согласно 5.1.1.II целыми
р-адическими числами, действуют на р-нити как поком-
покомпонентные умножения. Поэтому
Hoi Ср<в — {(J «) |а ^ Z?«,, P есть р-нить|.
Отличие от предыдущего примера здесь в том, что коэф-
коэффициенты матриц берутся из разных множеств и не видно
кольца, в котором бы оба они лежали.
III. Мы знаем, что при пф2, б группа 8п совершенна.
В частности, Aut Sn ~ 8n. Так как 8п нормальна в своем
голоморфе, то она выделяется в нем прямым множителем
(упражнение 5.3.2). Поэтому
Hoi 8n ~ Sn х Sn при п ф 2, 6.
Ясно, что и для любой другой совершенной группы G
справедлива формула Hoi G ~ G x G.
IV. Для голоморфов групп 6?Z/, SL, Г и пр, трудно
рассчитывать на описание, которое было бы проще опре-
определения, поскольку уже группы автоморфизмов в этом
случае довольно сложно устроены.
6.1.2. Упражнение. Пусть К — любое из колец
2,, Zmi <Q. Доказать формулу (в суммах п слагаемых):
Hoi (к е... е к) си

72 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
6.1.3. Упражнение. Найти все классы сопряжен-
сопряженных элементов группы Hoi Z-
6.1.4. Упражнение. Указать в Hoi Z такой
убывающий ряд нормальных подгрупп
HolZ = #„>#!>. . .,
что f]Ht = 1 и каждая секция HJHi^i лежит в центре
фактор-группы H0/Hi+1, i = 0,1, 2, ...
6.1.5. Упражнение. Является ли Hoi Z совершен-
совершенной группой?
6.1.6. Упражнение. Пусть G — расширение
конечной элементарной абелевой />-группы А при помощи
конечной элементарной абелевой g-группы В. Если р ф q
я В — нециклическая группа, то в G существуют элементы
порядка pq.
Решение. Будем рассматривать группу А ~
^ZP®...©ZP как векторное пространство над полем
к из р элементов. Пусть В* — множество линейных пре-
преобразований этого пространства, индуцированных со-
сопряжениями посредством элементов из В. Легко видеть,
что дело сводится к отысканию неединичных элементов
aEi.bGBc условием аь = а (тогда аЬ будет искомым
элементом порядка pq) или, другими словами, к отыска-
отысканию в В* неединичного элемента 9, обладающего в про-
пространстве А ненулевой неподвижной точкой. По условию,
В* содержит два таких преобразования ср, г|) порядка
q, что гр (ф) Ф гр (г|)). Из основного курса алгебры из-
известно, что перестановочные линейные преобразования
обладают общим собственным вектором над алгебраиче-
алгебраическим замыканием к поля к; пусть а — такой вектор для
Ф, -ф, причем
аф = ц.а, аг|) = va, fi, v Efc
Если ц. = 1 или v = 1, то можно взять 9 = ф или 9 = г|)
соответственно. Пусть fi ф 1, v ф 1. Так как fi, v поро-
порождают в мультипликативной группе поля к одну и ту
же циклическую подгруппу порядка q, то fi = vm при
подходящем натуральном показателе т. Тогда 9 =
= фг|гт — искомое преобразование, так как 9 Ф 1 и
ад = а.
6.2. Сплетения. Пусть А, В — группы. Обозначим
через Fun (В, A), fun (В, А) декартово произведение и

§ 6] РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 73
прямое произведение изоморфных копий группы А, индек-
индексированных элементами группы В. Таким образом,
Pun (В, А) — это группа всех функций В~+А с обыч-
обычным умножением, a fun (В, А) — подгруппа функций с
конечными носителями. Для / €= Fun (В, A), b ЕЕ В
определим функцию /ь, полагая
f (х) = / (Ьх), XGB. E)
Непосредственно проверяется, что отображение
Ъ: Fun (В, А) -* Fun (В, А) F)
по правилу / ь->- fb есть автоморфизм группы Fun (В, А),
отображающий fun (В, А) на себя, а отображения
В -у Aut (Fun (В, А)), В -> Aut (fun (В, А)), G)
сопоставляющие каждому Ь из В автоморфизм Ь и его су-
сужение на fun (В, А), являются при А Ф 1 изоморфными
вложениями. Расширения групп Fun (В, A), fun (В, Л)
посредством групп операторов G) называются декарто-
декартовым сплетением и прямым сплетением группы А с группой
В и обозначаются АгВ я АгВ соответственно. Таким
образом, декартово сплетение А г В — это множество
В -Fun (В, А) с умножением
bf-b'f = bb'f'f, где ? (х) = / (Ьх), (8)
а прямое сплетение АгВ — его подгруппа B-fnn(B, A).
Мы видим, что при построении сплетений группы А с
группой В сами группы А, В играют разные роли: А пас-
пассивна, а В активна. Впредь мы так и будем называть
эти группы.
Подгруппы Fun (В, A), fun (В, А) называются фунда-
фундаментами) или базами соответствующих сплетений.
Очевидно, декартово сплетение А г В и прямое сплетение
АгВ тогда и только тогда совпадают, когда А тривиаль-
тривиальна или В конечна. Подгруппа
Diag (ВМ) = {/ | / е Fun (В, A), f (x) = const для х <= В},
т. е. диагональ базы Fun (В, А), называется также
диагональю декартова сплетения АгВ. Наконец, для каж-

74 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
дого а ^ А определим функцию а из Fun (В, А), полагая
7
е при х Ф е.
Непосредственно проверяется, что отображение А —>
—> Fun E, А) по правилу ян-а является изоморфным
вложением. Подгруппа А, на которую при этом вложении
отображается группа А, называется первой копией,
а сопряженная с ней подгруппа Аь, ЪееВ, называется
fe-й копией пассивной группы. Таким образом, пассивная
группа А участвует в сплетениях АЪ В, А г В своими ко-
копиями А", а активная группа В сама содержится в этих
сплетениях и, действуя сопряжениями на копии пассив-
пассивной группы, «сплетает» их — переставляет между собой.
Очевидно,
fun (В, А)= П Аь.
ЬеВ
6.2.1. Упражнение. Если А' <1 А, В' ^ В, то
сплетение А' г В' изоморфно подгруппе сплетения А г В
(порожденной образом подгруппы А' при каноническом
вложении в первую копию пассивной группы и подгруп-
подгруппой В').
6.2.2. Упражнение. Нетривиальная нормальная
подгруппа прямого сплетения имеет нетривиальное
пересечение с базой (при условии, конечно, что пассивная
группа нетривиальна).
6.2.3. Упражнение. Пусть группа А нетриви-
нетривиальна. Тогда
Z (А г В) = Diag (В, Z (А)),
Z (А г В) — 1, если В бесконечна.
6.2.4. Упражнение. Коммутант сплетения А г В
совпадает с произведением [В, В]-Н, где
Я = {/ е fun (В, А) | П / Ф) = е (mod [А, А])].
6.2.5. Упражнение. Каждый элемент коммутан-
коммутанта сплетения IS г Z есть коммутатор.

§ 6] РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 75
6.2.6. Упражнение. Сплетение Z г Z изоморфно
подгруппе, порожденной в OLn (К) матрицами
i\ /С о\
0 1/' \0 1/'
0
где ? — трансцендентное действительное число.
6.2.7. Упражнение. Операции г, г неассоциа-
неассоциативны в классе групп (даже в классе конечных групп).
Важную связь сплетений с произвольными расшире-
расширениями дает следующая
6.2.8. Теорема. Любое расширение группы А по-
посредством группы В изоморфно вкладывается в декартово
сплетение А г В (вложение Фробениуса).
Доказательство. Пусть А О G, G/A = В,
s: В -> G — функция, выбирающая представителей
в смежных классах. Пусть W = АЪ В. Определим ото-
отображение ф8: G -» W, полагая g4** — gfg, gE=G, где
g — смежный класс Ag, fg — элемент базы сплетения W,
задаваемый формулой
U (Ъ) = ((gbyyw, ъ <= в.
Непосредственно проверяется, что ф4 — изоморфное
вложение. Оно называется вложением Фробениуса.
6.2.9. Упражнение. В тех же обозначениях
(В, А) = W, G*« П Fun №. Л) = А**.
6.2.10. Упражнение. Если s' — другая выби-
выбирающая функция, то подгруппы G^s, б4*"' сопряжены в W.
Отметим, что декартово сплетение А г В называют
также полным сплетением и обозначают A Wr В, а прямое
сплетение А г В называют также дискретным сплетением
и обозначают АшВ. Пассивную и активную группы
называют иногда нижней и верхней. В § 12 мы слегка
обобщим изложенное здесь понятие сплетения в связи
с рассмотрением мономиалышх представлений — исто-
исторически самой ранней разновидности сплетений. Там
же будет указано вложение произвольной группы G,
содержащей заданную подгруппу Н заданного индек-
индекса т, в мономиальную группу матриц степени т над Н —
начальный вариант доказанной здесь теоремы.

Глава 3
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Для абелевых групп более удобна и общепринята
аддитивная запись операции, и мы будем в этой главе
пользоваться ею.
§ 7. Свободные абелевы группы. Размерность
7.1. Свободные абелевы группы. Пусть ? — класс
групп. Говорят, что группа F = (xt | i GE /) из 8 есть
свободная группа в классе ? со свободным порождающим
множеством {xt \ i (= /}, если для любой группы (?ЕЙ
с порождающим множеством {а, \ i ЕЕ 1} отображение
Xt I-»- at продолжается до гомоморфизма F -> G. Мощность
множества / называется степенью {свободы) свободной
группы F. Само множество {xt \ i e /} будем называть
также базой F. Можно показать, что не всякий класс
групп обладает свободными группами. Однако в классе
абелевых групп свободные группы существуют и имеют
очень ясное описание.
7.1.1. Лемма. Пусть фактор-группа GIN аб еле вой
группы G разлагается в прямую сумму бесконечных
циклических групп:
GIN = 2 (Ai/N), A, = гр К, N).
Тогда G есть прямая сумма подгрупп N и А =
= гр (ог 11 e /).
Доказательство. Во-первых, замечаем, что
G = гр (N, А). Далее, предположим, что А П N Ф 0.
В пересечении A f] N возьмем ненулевой элемент а,
который можно записать в виде
Отсюда в фактор-группе GIN получаем равенство
N = 2 nkaik + N,

§ 7J СВОБОДНЫЕ АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ. РАЗМЕРНОСТЬ 77
что в силу определения прямой суммы влечет ща11( -\-
+ N = N'. Так как Aik I N является бесконечной ци-
циклической группой, то из равенства nkaik + N = N
следует щ = 0. Таким образом, элемент а = 2jwJcai*
равен нулю, что противоречит допущению.
7.1.2. Теорема. Прямые сумма бесконечных ци-
циклических групп и только они являются свободными
группами в классе абелевых групп.
Доказательство. Рассмотрим прямую сумму
G = 21 (хд бесконечных циклических групп (жг) и произ-
вольную абелеву группу А с множеством порождающих
элементов at, i ЕЕ I- Отображение 2WA> *-*• Swsaifc)
продолжающее отображение xt ^ а, множества {х, \ i -ЕЕ
ЕЕ- /} на множество {at | i ?E /}, как легко видеть, будет
гомоморфизмом G ~> А. Но это означает, что G есть сво-
свободная абелева группа, т. е. свободная группа в классе
абелевых групп. Степень ее свободы равна числу прямых
слагаемых.
Пусть теперь F — свободная абелева группа и {xt \ i ее
ЕЕ /} — множество ее свободных порождающих. По оп-
определению свободной группы существует гомоморфизм т
группы F на прямую сумму А = 21 (ад бесконечных
циклических групп (аг), продолжающий отображение xt >-»¦
!-»¦ at. С другой стороны, по доказанному выше, сущест-
существует гомоморфизм а: А -*¦ F, продолжающий отображе-
отображение at >->¦ xt. Так как та оставляет на месте все порождаю-
порождающие элементы группы F, то та = 1 и F с** А. Теорема
Доказана.
Оказывается, подгруппы свободной абелевой группы
сами являются свободными абелевыми группами. В до-
доказательстве этого факта мы воспользуемся понятием
трансфинитно возрастающей матрёшки
0 = TVo < N1 < . . . < Na < . . . < Ny - G A)
абелевой группы G, т. е. вполне упорядоченного по воз-
возрастанию ряда подгрупп, занумерованных трансфи-
нитыми числами. При этом предполагается, что для пре-
предельного трансфинитного числа а подгруппа Na сов-
совпадает с объединением всех подгрупп Nr, P < а.

78 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Если А ^ G, то в системе подгрупп
О = Л0<Л!< . . . <4а< . . . <4V = A, B)
где Аа = А [\ Na, возможны совпадения. Заново зану-
занумеровав трансфинитными числами различные члены си-
системы B), получаем возрастающую матрёшку
О = А'о < А\ < . . . < Ар < . . . < А'х = А C)
подгруппы А, о которой говорят, что она получена пере-
пересечением матрёшки A) с подгруппой А.
Для доказательства теоремы о подгруппах нам потре-
потребуется следующий признак свободы коммутативной
группы.
7.1.3. Теорема. Абелева группа G свободна тогда
и только тогда, когда она обладает трансфинитно воз-
возрастающей матрёшкой, каждая секция которой изоморф-
изоморфна бесконечной циклической группе 1.
Доказательство. Пусть в абелевой группе G
имеется возрастающая матрёшка A) с бесконечными цик-
циклическими секциями. Для всякого а < у в разности
¦Wa+i \ Na выберем такой элемент аа+1, что 7Va+i =
= (аа+1 + Na), и покажем разложимость G в прямую
сумму 2 (°a+i) бесконечных циклических подгрупп
(fla+i)- Доказательство будем вести индукцией по длине
у матрёшки A). При у = 1 утверждение очевидно; сделаем
допущение о справедливости этого утверждения для всяко-
всякого а < у*
В группе G выбираем произвольный элемент g Ф О
и считаем g e -/Vp, g i? ~2i Na = -Vp-i- В силу TVp =
0
<0
= (ap, iVp-i) и леммы 7.1.1 элемент g однозначно представ-
представляется в виде g — gx + тшр, gx e iVp_x. По индуктивно-
индуктивному предположению, так как р — 1 < у, элемент gx
однозначно записывается через арг:
что влечет однозначность записи
g = + +
Итак, доказана разложимость группы G в прямую
сумму бесконечных циклических подгрупп, что по тео-
теореме 7.1.2 равносильно свободе G.

§ 7J СВОБОДНЫЕ АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ. РАЗМЕРНОСТЬ 79
Пусть теперь G — свободная абелева группа и
G = S (Sa) — разложение G в прямую сумму бесконечных
<x<V
циклических подгрупп. Положив 7V0 = 0, Na+1 = (ga, Na)
и Na = 5j ^р Для предельного трансфинитного числа cti
Р
Р
получаем трансфинитно возрастающую матрёшку с беско-
бесконечными циклическими секциями. Тем самым доказана и
необходимость условия. Теорема доказана.
В п. 4.4 было установлено, что секции субнормальной
матрёшки подгруппы А <[ G, полученной пересечением А
с членами субнормальной матрёшки группы G, изоморф-
изоморфны подгруппам секций матрёшки группы G. Точно так же
доказывается это утверждение для трансфинитно возра-
возрастающих матрёшек A) и C). Поэтому непосредственно из
теоремы 7.1.3 вытекает теорема о подгруппах свободной
абелевой группы:
7.1.4. Теорема. Всякая ненулевая подгруппа сво-
свободной абелевой группы является свободной абелевой
группой.
7.1.5. Упражнение. Пусть п — целое поло-
положительное число, 91П — класс всех абелевых групп, на
которых выполняется тождество пх -= 0. Доказать,
что прямые суммы групп 7П и только они будут свободны-
свободными группами в классе 9tn. Для каких классов %п спра-
справедлива теорема о свободе подгрупп свободной группы?
7.2. Размерность абелевой группы. Выше мы опреде-
определили степень свободной абелевой группы как мощность
системы свободных порождающих. Это понятие по опре-
определению имеет смысл только для свободных абелевых
групп. Теперь мы введем понятие размерности для произ-
произвольных абелевых групп. Оно аналогично понятию раз-
размерности векторного пространства и, как легко сооб-
сообразить, для свободных абелевых групп размерность будет
совпадать с их степенью свободы.
Конечное множество элементов gt, . . ., gk абелевой
группы G называется линейно зависимым, если найдутся
такие целые числа relt . . ., щ, не все равные нулю, что
Swjgfi ~ 0. Произвольная система элементов группы G
называется линейно зависимой, если линейно зависима
некоторая конечная подсистема этой системы. Легко
показать, что в абелевой группе (г, содержащей хотя бы

80 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
один элемент бесконечного порядка, существуют макси-
максимальные линейно независимые системы элементов и все
такие системы имеют одинаковые мощности. Мощность
максимальной линейно независимой системы элементов
абелевои группы G называется размерностью или, более
точно, 1-размерностъю этой группы и обозначается
dim G или, более точно, dim^ G.
Периодическая группа, очевидно, не содержит линей-
линейно независимых систем, поэтому ее размерность естест-
естественно считать равной нулю.
7.2.1. Теорема. Ненулевая абелева группа без кру-
кручения имеет размерность 1 тогда и только тогда, когда
она изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональ-
рациональных чисел Q.
Доказательство. Пусть G <[ (Q, G Ф 0 и gt,
gz — отличные от нуля элементы группы G. Тогда суще-
существуют такие целые числа ге1( щ ф 0, что п^г = n2gz.
Таким образом, любые два ненулевых элемента из G
составляют линейно зависимую систему и, следователь-
следовательно, dim G — 1.
Пусть теперь размерность абелевои группы G без кру-
кручения равна 1. Зафиксируем некоторый отличный от ну-
нуля элемент g0 €Е G. Тогда для произвольного элемента
g ЕЕ G найдутся такие целые п, т (причем, если g Ф 0,
то п, т Ф 0), что ng — mgo- Ввиду произвольности выбо-
выбора g (ЕЕ G мы получили некоторое отображение (р: g м
группы G в группу (Q.
Отображение ф однозначно. В самом деле, пусть еще
nxg = т^о. Вычитая почленно из равенства ng = mgo,
умноженного на тъ равенство nxg = m^o, умноженное
на т, получаем {пт1 — щт) g = 0. Если g ф 0, то
пгпъ — n-jn => 0 и, значит, ^. = -^1, При g =0 числа
т, тх обязаны равняться нулю, поэтому — = —- = U.
Пусть теперь kg1 = lg0 и -г- = —. Тогда из равенств
ng — mg0, kg1 = lg0 получаем mk (g — gj = 0 и, так
как G без кручения, g = gv Тем самым доказана взаим-
взаимная однозначность отображения ср.
Так как из равенств ng = mg0, sg' = tgti, g, g' Gr G,
следует, что ns (g -\- g') = (sm + nd) g0, то отображение

§ 7] СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ. РАЗМЕРНОСТЬ 81
Ф удовлетворяет соотношению (g + g') q> = g<p + g'y.
Теорема доказана.
7.2.2. Упражнение. Пусть G — абелева группа
и А < G. Тогда dim G = dim A + dim GlA.
7.2.3. Пусть G — конечномерная абелева группа без
кручения и ф — ее изоморфизм в себя. Тогда индекс
| G : Gy | конечен.
Доказательство. Зафиксируем в G какую-
нибудь максимальную линейно независимую систему эле-
элементов аг, . . ., ап. Отображению ф естественным образом
можно сопоставить матрицу (<хи (ф)) над полем Q, пола-
полагая
i
Погрузив G с отмеченной в ней базой аи . . ., ап в вектор-
векторное пространство Q", мы можем продолжить ф до линей-
линейного преобразования этого пространства. Умножим ха-
характеристический многочлен этого преобразования на
общий знаменатель его коэффициентов; пусть / —полу-
—получившийся при этом многочлен над Z- По основному
свойству характеристического многочлена / (ф) = О,
а так как det ф Ф О, то / @) = т Ф 0. Тогда mG <C G<p.
Так как | G : mG | < mdimG < оо, то и | G : G<p \ < оо.
Предложение доказано.
Следует предостеречь читателя, что далеко не все
привычные теоремы линейной алгебры сохраняются для
абелевых групп и их размерностей. Например, в связи
с хорошо известной возможностью разложения любого
векторного пространства в прямую сумму одномерных
подпространств естественно спросить: всякая ли абелева
группа без кручения разлагается в прямую сумму одно-
одномерных групп? Ответ отрицателен:
7.2.4. Пример (Л. С. Понтрягин). Существует
двумерная абелева група G без кручения, не разложи-
разложимая в прямую сумму А ф В, где А, В — одномерные
слагаемые. Группу G мы определим как подгруппу ад-
аддитивной группы Н всех линейных форм ах + by с ра-
рациональными коэффициентами а, Ъ; очевидно, Н ~
^ Q T) Q, так что dim Я = 2. Именно, пусть
G = гр (х0, хх, х2, . . ., у),

82 АВВЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
где
хо=х, Xi = ^н , i = l,2,... D)
Очевидные вычисления показывают, что
, _ х + A + 2 + 2* + • ¦ • Ч- 2<;-'>2) у __ . 9
Xi ^ , I 1, 6, ¦ • •
E)
Так как каждое Xi-X целочисленно выражается через xt
и у (см. D)), то каждый элемент g Ez G целочисленно вы-
выражается через xt и у при достаточно большом i. Отсюда
и из E) легко следует, что если cj/GG, cgQ, tocgZ> —
запомним это.
Для доказательства неразложимости группы G в пря-
прямую сумму А ф В достаточно убедиться, что никакой не-
ненулевой элемент g ее G не является безгранично делимым
в G, т. е. для каждого g Ф О найдется такое натуральное
число n(g), что для каждого п р- п (g) уравнение п\ = g
не имеет в G решений. В самом деле, если бы было G =
= А © В, то А и В были бы одномерными (учесть 7.2.2
и то, что Н не имеет кручения). Поскольку ни А, ни В не
содержат ненулевых элементов, допускающих безгранич-
безграничное деление, то по теореме 7.2.1 А ~ В ^ Z, откуда 6г~
~Z ®Z, что очевидным образом неверно.
Итак, осталось доказать, что G не содержит ненулевых
элементов, допускающих безграничное деление. Пусть,
напротив, такой элемент g существует. Так как всякое
его целочисленное кратное тоже безгранично делимо, то
можно считать, что
g = ах + by, где а, Ь GE Z.
Из E) видно, что коэффициентами линейных форм, лежа-
лежащих в G, могут быть далеко не любые рациональные числа,
а только 2-ичные дроби, поэтому безграничная делимость
в группе G равносильна безграничной делимости пополам.
Таким образом, для каждого i = 1, 2, . . . в G сущест-
существует элемент
1 ах -4- !,!/
2' 2l

§ 8) КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 83
Ввиду E) щ — axi = cty, где
с, = — [Ъ - а A + 2 + 2* + . . . + 2<«>2)].
По замечанию из первого абзаца ct — целое число. «Уплот-
«Уплотнив» сумму в круглых скобках до геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем 2, получим оценку
1 -I- 2 + 2* + . . . + 2»-1J < 2«-i:
откуда
• + -Ш-
Так как сг — целые числа, то, начиная с некоторого ix
все они равны нулю. Но тогда для этих i
й-аA+2+24 + . . .+ 2<;-1>!) = О,
что явно невозможно.
§ 8. Конечно порожденные абелевы группы
В этом параграфе мы в первую очередь уточним теоре-
теорему о подгруппах свободной абелевой группы конечной сте-
степени и, основываясь на этом уточнении, докажем основную
теорему о конечно порожденных абелевых группах.
8.1.1. Теорема. Пусть Fn — свободная абелева
группа конечной степени п, А — ее отличная от нуля под-
подгруппа. Тогда А свободна и группы Fn, А обладают соот-
соответственно базами ji, . . ., /п и аъ . . ., afc такими, что
k <1 n, at = mji, I <I i <[ к, и mi+l делится на mit I ^
Доказательство. Пусть
Fn = (/о е • • • е аи),
А = (а[) 0 ... © (а*)
^
Возникает матрица М = (т^). Будем называть элемен-
элементарными следующие преобразования строк и столбцов
целочисленной матрицы: а) перестановка двух строк,
б) прибавление к одной строке целочисленного кратного
другой строки, в) умножение строки на —1 и аналогич-

84 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
ные преобразования столбцов. Пользуясь тем, что для
любых целых чисел а, Ь, отличных от нуля, найдутся та-
такие целые числа х, у, что ах + by = н. о. д. (а, Ь), обыч-
обычными рассуждениями линейной алгебры — более точно,
теории ^.-матриц — можно привести матрицу М элемен-
элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду
где тк\тн1.
тк 0 . . . О,"
Остается заметить, что элементарные преобразования
строк соответствуют переходу к другой базе подгруппы А,
а элементарные преобразования столбцов — к другой ба-
базе группы Fn. Теорема доказана.
8.1.2. Теорема. Всякая конечно порожденная
абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических
подгрупп. Более точно, G разлагается в прямую сумму
бесконечных циклических и примарных циклических групп,
причем количество бесконечных циклических слагаемых
и набор порядков примарных циклических слагаемых в лю-
любом таком разложении одни и те же, т. е. являются ин-
инвариантами группы G.
Доказательство. По условию, группа G изо-
изоморфна некоторой фактор-группе FnjA свободной абеле-
вой группы Fn конечной степени п. Согласно теореме
8.1.1 в группах Fn и А существуют такие базы flt . . ., fn
viav. . ., ak, что at = m^i, 1 <I i<^k. Покажем, что FnjA —
прямая сумма циклических подгрупп (ft + A).
Прежде всего, ясно, что FJA порождается этими под-
подгруппами. Далее, пусть нуль фактор-группы FJA имеет
запись
А = lxh + ...+ Ink + A.
Тогда lxjx + . . .+lnfn = a €= А. С другой стороны, вы-
выражая элемент а через базу аъ . . ., afc подгруппы А и учи-
учитывая равенства at = тЦь приходим к соотношениям
Ввиду однозначности записи элементов через свободные
порождающие U получаем lt = s^, I <| i <^ k, lt = О,

S 8] КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ 85
к < / ^ п. Но это означает, что каждый из элементов
lift принадлежит А. Тем самым доказана однозначность
представления нуля в виде суммы элементов подгрупп
(/i + А) и, значит, разложимость группы G в прямую
сумму циклических подгрупп. Наконец, каждую конеч-
конечную циклическую подгруппу можно разложить в прямую
сумму примарных циклических слагаемых ввиду 1.2.12.
Докажем теперь инвариантность чисел, о которых
говорится в формулировке теоремы. Зафиксируем какое-
нибудь разложение группы G в прямую сумму бесконеч-
бесконечных циклических и примарных циклических слагаемых
и обозначим через G^ и Gv прямые суммы бесконечных
циклических и циклических р-слагаемых этого разложе-
разложения соответственно, где р — простое число. Понятно, что
Gp — максимальная /^-подгруппа, а Т =^GP — макси-
р
мальная периодическая подгруппа группы G, так что под-
подгруппа Goc ^ GIT и все Gp не зависят от выбранного раз-
разложения. Так как число бесконечных циклических сла-
слагаемых равно dim GK, то оно — инвариант группы G. Да-
Далее, число циклических слагаемых в разложении группы
Gp совпадает с таким же числом для ее нижнего слоя G* =
= {g ЕЕ Gp | pg = 0} и, значит, с размерностью вектор-
векторного пространства G* над полем из р элементов, а потому—
тоже инвариант. Наконец, пусть
и, для определенности, пг1 5> . . . > ms. Индукцией по
пг1 4- . . . + та мы докажем, что числа mt не зависят от
выбора разложения. В самом деле,
поэтому, по индуктивному предположению, те из чисел mj(
которые > 2,— инварианты разложения. Так как коли-
количество остальных mt — это разность между s и количест-
количеством чисел mt > 2, то оно — также инвариант группы.
Теорема доказана.
8.1.3. Упражнение. Пусть F — свободная абеле-
ва группа конечной степени п с базой
А, .... /„. C)

86 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ.
Элементарным преобразованием базы C) назовем пере
ход от C) к базе одного из следующих типов:
а) /ь • • •. f}> ¦ • •> fu ¦ ••-/„, * </>
б) fu . . ., ft + mfj, . . ., fjt ...,/„, 1Ф j,
B) fit ¦ • •> Jit • • •¦> In-
Показать, что с помощью конечной цепочки элементар*
ных преобразований можно перейти от базы C) к наперед
заданной базе группы F.
8.1.4. Упражнение. Пересечение подгрупп ко-
конечного индекса конечно порожденной абелевой группы
равно нулю.
8.1.5. Упражнение. Совокупность всех элемен-
элементов конечного порядка конечно порожденной абелевой
группы — конечная подгруппа.
8.1.6. Упражнение. Показать на примере, что
теорема 8.1.1 не распространяется на случай свободных
абелевых групп бесконечной степени.
Решение. Пусть G = (ах) © (а2) © . . . — счетная,
прямая сумма бесконечных циклических групп,
Я = гр (ил, й2, . . .), где Ъп = пап — а„_х.
Если бы в G и Н существовали согласованные базы, то
фактор-группа GIH ~ Q тоже разлагалась бы в прямую
сумму циклических групп, что неверно.
8.1.7. Упражнение. Все подгруппы конечно по-
порожденной абелевой группы конечно порождены.
8.1.8. Упражнение. Если А, В — конечно по-
порожденные абелевы группы, то аддитивная группа коль-
кольца Нот (А, Б) (см. определение в 5.1.6) также конечно
порождена.
§ 9. Полные абелевы группы
Группа G называется полной или делимой, если для вся-
всякого целого числа л)=0и любого элемента g ЕЕ G урав-
уравнение пх = g имеет в группе G хотя бы одно решение.
9.1.1. Примеры. I. Очевидно, аддитивная группа
Q рациональных чисел полна.
II. Докажем полноту квазициклической группы С «.
Как мы знаем, группа С «, изоморфна (в аддитивной за-
записи) объединению возрастающей цепочки конечных

§ 9] ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 87
циклических групп
причем рах = 0, рап+1 = ап, п = 1, 2, . . . Рассмотрим
уравнение sx = #. Элемент g содержится в одной из под-
подгрупп последовательности, например, в (ап), т. е. g = lan.
Если s = ркт, (т, р) = 1, то найдутся такие dlt d2, что
1 = pndx + md2. Отсюда с помощью равенств g = Zan,
рпап = 0 получаем g — (pnd1 + md2) g = md2lan. Послед-
Последнее равенство с учетом соотношения ркап+]! = а„ влечет
равенство g — mpk (d2lan^1(). Таким образом, элемент
d2lan+Tt удовлетворяет уравнению sx — g.
Важность рассмотренных примеров определяется тем,
что прямыми суммами групп Q и Срв0 исчерпываются
все полные абелевы группы — см. ниже теорему 9.1.6.
9.1.2. Упражнение. Доказать полноту гомоморф-
гомоморфных образов, прямых и декартовых сумм полных абелевых
групп.
9.1.3. Теорема. Произвольная абелева группа изо-
изоморфна подгруппе некоторой полной абелевой группы.
Доказательство. Пусть F — такая свободная
абелева группа со свободными порождающими xt, г ?Е /,
что G ~. FIN. Обозначим через F* прямую сумму 2 Q\
lei
групп Qi, изоморфных аддитивной группе рациональных
чисел Q, и в каждом слагаемом Qt отметим какой-нибудь
ненулевой элемент bt. Очевидно, отображение xt *-*¦ bi
продолжается до изоморфного отображения т группы F
в группу F*. На основании изоморфизма т группу F мож-
можно считать подгруппой в F*. Согласно 9.1.2 фактор-груп-
фактор-группа F*/N полна и, кроме того, содержит подгруппу FIN,
изоморфную группе G.
9.1.4. Теорема. Полная подгруппа А абелевой
группы G выделяется в G прямым слагаемым.
Доказательство. Обозначим через В макси-
максимальную подгруппу группы G, пересекающуюся по нулю
с подгруппой А (существование подгруппы В легко дока-
доказать методом трансфинитной индукции или с помощью
леммы Цорна), и докажем равенство G — А ф В.
Предположим, что G Ф А 0 В, и выберем элемент
8 €Е G, не содержащийся в сумме А 0 В. Циклическая
подгруппа (g) имеет ненулевое пересечение с А ф В, так

88 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
как в противном случае сумма А + В + (g) оказалась бы
прямой и подгруппа В @ (g), строго содержащая В, пе-
пересекалась с А по нулю, что противоречит выбору В.
Таким образом, g (=? А ф В, но некоторое кратное ng этого
элемента уже содержится в А ф В, причем п можно счи-
считать наименьшим положительным числом с условием ng ЕЕ
Ei®?. Можно даже считать п простым числом: если
бы зто было не так, то вместо g мы стали бы рассматривать
элемент — g, где р — простой делитель п.
Ввиду выбора g найдутся такие элементы а ЕЕ А, Ъ ЕЕ
ЕЕ В, что ng = а + Ъ. Так как подгруппа А полная, то
в ней существует элемент ах с условием пах = а. Подста-
Подставив в предыдущее равенство вместо а элемент паи полу-
получим ngt = b, где gy = g — at. Вместе с g элемент gt также
не принадлежит подгруппе А ф В.
На основании выбора подгруппы В пересечение А (")
П (gi, В) отлично от нуля. Это означает, что некоторый
ненулевой элемент а' €Е А можно представить в виде сум-
суммы а' = kgt + Ь', V ^ В, 0 < к < п. Так как (к, п) = i,
то существуют такие I, s, что Ik -f- sn = 1 и, следователь-
следовательно, gi = Ikgy -f sngx. Так как ngx, kgt = a' — V ЕЕ А ф В,
то gx ЕЕ Л ф ?. Полученное противоречие доказывает
теорему.
9.1.5. Упражнение. Сумма любого множества
полных подгрупп абелевой группы является полной под-
подгруппой.
9.1.6. Теорема. Ненулевая полная абелева группа
G разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных ад-
аддитивной группе Q рациональных чисел или квазицикличес-
ким группам С ю, быть может, по различным простым
числам р.
Доказательство. Нужное нам разложение
группы G будем строить трансфинитной индукцией.
В группе G выберем произвольный элемент g Ф О,
Разберем две возможности относительно g.
1) Элемент g имеет бесконечный порядок. Ввиду пол-
полноты группы G существует такая последовательность эле-
элементов
§ = gll ^2» • • •) §П1 • • ч
что (п + 1) gn+1 = gn, n = 1, 2, . . . Легко проверяется.

9] ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 89
что подгруппа, порожденная gu g2, . . ., изоморфна ад-
аддитивной группе рациональных чисел Q.
2) Элемент g имеет конечный порядок п. Тогда элемент
ах = — g, где р — простой делитель п, имеет простой
порядок р. Снова ввиду полноты G существует последо-
последовательность элементов аи а2, . . ., рап+1 = ап, порождаю-
порождающая теперь группу, изоморфную С оо.
Итак, в любом случае в группе G существует подгруп-
подгруппа At, изоморфная Q или С оо.
Пусть построена последовательность полных подгрупп
Аг < А% < ...<^А$<С • ¦ •> Р* <С ai такая, что при
предельном трансфинитном числе р* А$= 2 -^6. а при
р
непредельном Р подгруппа А$ разлагается в прямую сум-
сумму Ap-i и подгруппы Cp-i, изоморфной Q или некоторой
С .
Если а — предельное число, то положим Аа = 2j ^p-
Р<а
Если а — непредельное число, то подгруппа Aa,-i полна.
При A^^G по теореме 9.1.4 существует прямое раз-
разложение G = Аа-1 ® С- Аналогично построению At в
полной группе С выбираем подгруппу Ca-i, изоморфную
Q или С и, и полагаем Аа, = Aa-i 0 Co-i-
Процесс индуктивного построения Аа оборвется на пер-
первом номере у» Ддя которого Ау = G.
Построив Аа, а <^ у, остается заметить, что G разла-
разлагается в прямую сумму подгрупп Аг = С0, Си . . .
. . ., Са, . . . Теорема доказана.
9.1.7. Упражнение. В абелевой группе без кру-
кручения пересечение любого множества полных подгрупп
есть полная подгруппа.
9.1.8. Упражнение. Минимальная полная
группа G*, содержащая данную группу G, называется
пополнением G. Другими словами, пополнение G* группы G
есть такая полная группа, содержащая G, что всякая
полная группа А с условием G < A <I G* совпадает с
G*. Доказать существование абелевых пополнений без кру-
кручения абелевой группы G без кручения. Между двумя таки-
такими пополнениями G существует изоморфизм, продолжаю-
продолжающий произвольный наперед заданный автоморфизм G.

90 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
9.1.9. Упражнение. Показать на примере, что
пересечение полных подгрупп периодической группы не
обязано быть полным.
9.1.10. Упражнение. Группа, не содержащая
ненулевых полных подгрупп, называется редуцированной.
Произвольная абелева группа разлагается в прямую
сумму полной и редуцированной подгрупп.
9.1.11. Упражнение. В теории модулей важ-
важную роль играют понятия проективного и инъективного
модулей. Эти понятия для абелевых групп (модулей над
кольцом целых чисел) можно определить так. Абелева
группа F называется проективной (проективным Т.-моду-
лем), если для любого гомоморфизма т: А ->• В группы А
на В и любого гомоморфизма <р: F -+- В группы F в В су-
существует такой гомоморфизм^: F-^-A, что диаграмма
коммутативна, т. е. <р = г|лг. Абелева группа G называется
инъективной, если для любого изоморфизма т группы В
в А и любого гомоморфизма <р группы В в G существует
такой гомоморфизм т|): А ->• G, что диаграмма
коммутативна, т. е. ф = тг|з. Доказать, что 1) абелева
группа проективиа тогда и только тогда, когда она сво-
свободна, 2) абелева группа инъективна тогда и только тогда,
когда она полна.
§ 10. Периодические абелевы группы
В произвольной абелевой группе G совокупность Т
всех элементов конечного порядка образует подгруппу,
которую иногда называют периодической частью группы G.

§ 101 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕБЫ ГРУППЫ 91
Фактор-группа GIT уже не имеет кручения. Этот факт
в какой-то мере сводит изучение произвольных абелевых
групп к исследованию периодических групп и групп без
кручения. Следует заметить, что вообще периодическая
часть не выделяется прямым слагаемым.
10.1.1. Пример. Пусть
р р
(суммирование по ж;ем простым р). Очевидно, G — перио-
периодическая часть в G. Покажем, что GIG — полная группа
и G не выделяется в U прямым слагаемым.
Докажем сначала полноту фактор-группы GIG. Пусть
f^G, n — целое положительное число. Поскольку при
р ^> п в группе Zp существует элемент gv с условием
ngP = / (р), то ng = /', где
при р<д, ,,, , |0 прир<ге,
nv* р>п, I (Р)-\/(р) при р>п.
Но fG = f'G, поэтому уравнение пх = fG имеет решение
в UIG.
_ Теперь допустим, что G разлагается в прямую сумму
G — G ® Н. Из предыдущего ввиду Н ~ UIG следует
полнота подгруппы Н. Таким образом, в подгруппе Н
при произвольном п должно иметь решение уравнение
пх = h, h Е: Н. Но если, например, h (р) Ф 0, то это
уравнение не может иметь решений при п = р. Получен-
Полученное противоречие доказывает наше утверждение относи-
относительно G.
В периодической абелевой группе G совокупность Gv
всех р-элементов, т. е. элементов, порядки которых есть
степени фиксированного простого числа р, образует
подгруппу. Очевидно, Gp — максимальная р-подгруппа
в G; она называется также примарной компонентой
группы G.
10.1.2. Упражнение. Периодическая абелева
группа разлагается в прямую сумму своих примерных
компонент.
Ввиду 10.1.2 при изучении периодических абелевых
групп — по крайней мере в постановке и решении во-
вопроса о разложимости — достаточно рассматривать
р-группы. Поэтому в настоящем параграфе мы ограничимся
формулировкой и доказательством некоторых предложе-

92 АБЕЛЕБЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
ний относительно р-групп, хотя соответствующие обобще-
обобщения на периодические группы можно было бы легко уста-
установить.
В связи с теоремой о разложимости конечно порожден-
порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических под-
подгрупп естественно возникает вопрос о существовании та^
кого разложения в произвольной абелевой р-группе без
яолных подгрупп. В общем случае вопрос решается отри-
отрицательно, однако имеются полезные признаки, при вы-
выполнении которых абелева р-группа разлагается в прямую
сумму циклических подгрупп.
10.1.3. Пример. Пусть G = ^ (ап) — прямая сумма
• п
циклических подгрупп (а„) порядков |а„1 = рп,
п = 1, 2, . . ., и Ъп = рп~1ап. Положим N = гр \сх, . . .
..., сп, . ..), где с„ = Ъп — Ьп+1, докажем, что группа U =
= GIN не содержит нетривиальных полных подгрупп и не
разлагается в прямую сумму циклических подгрупп.
В самом деле, фактор-группа G/Nlt где Nr = NJN,
Nx = FХ, N), по конечной подгруппе TV^ разлагается
в прямую сумму циклических подгрупп (я„, ЛГ1)МГ1,
й-п — о-п + N. Легко показать, что такие группы не имеют
отличных от нуля полных подгрупп.
Так как bt -\- N = bi+1 + N, то pn~lan = at и, зна-
значит, в группеG для произвольного числа ки фиксирован-
фиксированного элемента а1 решается уравнение рпх = ах. Однако
прямые суммы циклических р-групп таким свойством,
очевидно, не обладают. Поэтому G не может разлагаться
в прямую сумму циклических подгрупп.
10.1.4. Упражнение. Абелева группа простого
периода р разлагается в прямую сумму циклических под-
подгрупп.
Указание: воспользоваться трансфинитной ин-
индукцией или рассмотреть абелеву группу периода р как
линейное пространство над полем GF (р) и применить
теорему линейной алгебры о разложимости пространства
в прямую сумму одномерных подпространств.
10.1.5. Первая теорема Прюфера. Абе*
лева р-группа конечного периода разлагается в прямуК
сумму циклических подгрупп.
Доказательство будем вести индукцией nq
периоду группы. Ввиду 10.1.4 сразу предполагаем, чта

§ 10] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕБЫ ГРУППЫ 93
теорема истинна для групп периода <Срп, и рассматриваем
абелеву группу G периода рп.
Так как подгруппа pG имеет период р1^1, то по ин-
индуктивному предположению она разлагается в прямую
сумму циклических подгрупп: pG= 5j (<ч)- Обозначим
через xt решение уравнения рх = аг — которое, ра-
разумеется, существует в группе G — и положим
Н = (xt | i ЕЕ /). Заметим, что Н = 21 (^г) (доказать.!).
Пусть, далее, В — максимальная подгруппа, пересе-
пересекающая Н по нулю, и пусть G Ф Н -\- В. Возьмем эле-
элемент g ЕЕ G, не содержащийся в Н -f- В. Из построения
подгруппы Н видно, что уравнение рх = pg имеет в Н хотя
бы одно решение, например, h. Элемент gx = g — h
не принадлежит сумме Н + В и pg1 = 0. По выбору под-
подгруппы В пересечение Н f) (gx, В) не равно нулю. Это
означает, что некоторый ненулевой элемент/^ Е: Н можно
представить в виде hx = kgx -f Ьц Ьг ^ Вг, 0 < к < р.
Отсюда, если sk= I (mod p), то g1 = skgt = s/ij — sbj ЕЕ
E= H -\- В, что противоречит предположению относительно
элемента gr. Таким образом, G = Н © В.
Так как подгруппа Н по построению, а подгруппа В
ввиду 10.1.4 разлагаются в прямые суммы циклических
подгрупп, то аналогичным разложением обладает и груп-
группа G. Теорема доказана.
Говорят, что элемент g=? 0 абелевои р-группы G имеет
в G конечную высоту h, если уравнение рпх = g разрешимо
только при п <[ h. Если уравнение рпх = g имеет решение
при любом п, то высота g считается по определению бес-
бесконечной.
В терминах высоты мы сформулируем и докажем еще
один достаточный признак разложения абелевои р-группы
в прямую сумму циклических подгрупп. Но прежде чем
формулировать признак, введем полезное понятие сер-
вантной подгруппы.
Подгруппа А группы G называется сервантной, если
для произвольного числа п и всякого элемента а Е: А
из разрешимости уравнения пх --= а в группе G следует
разрешимость этого уравнения в подгруппе А.
10.1.6. Упражнение. В прямой сумме абелевых
групп каждое из слагаемых сервантно.

94 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
10.1.7. Упражнение. Периодическая часть абе-
левой группы G сервантна в G.
10.1.8. Упражнение. Подгруппа А абелевой
р-группы G сервантна тогда и только тогда, когда раз-
разрешимость произвольного уравнения типа рпх = а,
a Ег А, в группе G влечет разрешимость этого уравне-
уравнения в А.
10.1.9. Упражнение. В абелевой группе G с усло-
условием nG = 0 подгруппа А сервантна тогда и только
тогда, когда для всякого делителя т числа п и любого
а ЕЕ Л разрешимость уравнения тх — а в G влечет раз-
разрешимость этого уравнения в подгруппе А.
10.1.10. Упражнение. Пусть сервантная под-
подгруппа А абелевой группы G определяет циклическую
фактор-группу GIA = (g + А). Тогда в смежном классе
g -f- А существует такой элемент gt, что | gx \ = | GIA \.
10.1.11. Упражнение. Если фактор-группа абе-
абелевой группы G по сервантной подгруппе А разлагается
в прямую сумму циклических подгрупп, то А выделяется
в G прямым слагаемым.
Указание: использовать упражнение 10.1.10.
10.1.12. Теорема (Прюфер — Л. Я. Куликов).
Если сервантная подгруппа А абелевой группы G имеет
конечный период, то она выделяется в G прямым слагае-
слагаемым.
Доказательство. Согласно условию пА = 0
для некоторого числа п Ф 0. Отсюда и из сервантности А
следует A f \ nG = 0.
Докажем сервантность подгруппы BlnG, где В = А +
+ nG, в фактор-группе GlnG. Для этого предположим,
что уравнение тх = а + nG, а Ег А, имеет в GlnG реше-
решение g -\- nG. Ввиду 10.1.9 число т можно считать делите-
делителем п, п = ттг.
Из соотношения т (g + nG) = a + nG вытекает ра-
равенство mg = а + n8i и. значит, а = т (g — т&). От-
Отсюда и из сервантности А следует существование в А та-
такого элемента аг, что а = тах. Но тогда элемент аг +
+ nG удовлетворяет уравнению тх = а + nG.
Так как BlnG сервантна в GlnG, а фактор-группа
группы GlnG no BlnG по первой теореме Прюфера разла-
разлагается в прямую сумму циклических подгрупп, то соглас-
согласно 10.1.11 подгруппа BlnG выделяется прямым слагав-

§ 10] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 95
мым, GlnG = B/nG ф ClnG. Отсюда G = А © С, что и
требовалось доказать.
10.1.13. Следствие. Если периодическая часть Т
абелевой группы, G имеет конечный период, то Т служит
для G прямым слагаемым.
10.1.14. Вторая теорема Прюфера.
Счетная абелева р-группа G без элементов бесконечной вы-
высоты разлагается в прямую сумму циклических подгрупп.
Доказательство. Ввиду счетности G нижний
слой А = {g ЕЕ G | pg = 0} также счетен, и поэтому су-
существует такая последовательность подгрупп
0 = Ло<^!< . . .< Ап< . . .,
что U An = А и | Лп+1 : Ап | = р.
п
Пусть Ах = (%) и Ьх — решение уравнения рых = аи
где hx — высота элемента ах. Как легко заметить, под-
подгруппа (Ьх) сервантна в G и, следовательно, G разлагает-
разлагается в прямую сумму G = (Ьх) ф Вх. Очевидно, А2 = Ах -f-
+ (^2 П Вх) и высота h2 ненулевого элемента а2 ЕЕ А2 {\
П BiB G совпадает с высотой этого элемента в подгруп-
подгруппе В х-
Обозначим через Ь2 ЕЕ Вг решение уравнения рых =
= а2. Как и прежде, существует прямое разложение Bt =
= F.) Ф В2, причем G = (Ьх) Ф F2) 0 52.
Продолжая аналогично процесс построения подгрупп
(Ьп) и 5„, получим, прямую сумму С = (fe^ ф (Ь2) Ф • • •
и последовательность подгрупп Вх ^> В2 ^> . . ., такие,
что G = (Ьх) Ф . . . ф (Ь„) ф 5„ и 52 П 4л = 0.
Докажем, что G = С. Пусть g ^ G, \ g \ = рт. Выбе-
Выберем п, для которого p™~lg ЕЕ Ап. Пусть g = с + Ъ,
с <= (&0 + . . . + (Ьп), Ь <= 5„. Так как pm^b Einfl
f | Вп — 0, то | Ъ | < | g | и, значит, можно считать уже
доказанным, что ft ЕЕ С. Но тогда и g ЕЕ С Теорема дока-
доказана.
Отказаться от условия счетности во второй теореме
Прюфера нельзя, как показывает следующий
10.1.15. Пример. Пусть р — простое число,
G =2jZpni Т — периодическая часть группы G. Очевид-
п
но, Т является р-группой без элементов бесконечной вы-
высоты и имеет мощность континуума. Докажем, что Т не
равлагается в прямую сумму циклических подгрупп. Пусть,

96 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
напротив, Т = 5j (ai)- Ввиду несчетности Т найдется
такое бесконечное подмножество 1г l_ /, что порядки эле-
элементов подгруппы А = 2j (#i) ограничены в совокупно-
сти — скажем, числом р". Так как Л в группе Т выде-
выделяется прямым слагаемым, то высоты ненулевых элемен-
элементов подгруппы А в группе Т не превосходят к. Пусть
Ьп — порождающий элемент группы %рП. Для любого
/ел
/ (п) е (рм6в) при л > к.
Так как компоненты функций / в прямом слагаемом Zpn
принимают только конечное множество значений, а под-
подгруппа А бесконечна, то в Л найдутся такие различ-
различные элементы flt /2, что fx (re) = /2 (re) при 1 <; ге <
<^ 2&. Их разность / = /i — /2 отлична от нуля, лежит
в Л и имеет в Т7 высоту, большую к. Но это противоре-
противоречит построению Л.
Отметим, что весьма нетривиальные аналоги теорем
Прюфера для локально нормальных групп установили
Ю. М. Горчаков и Ф. Холл (см. [8]).
Изучим в заключение, как устроены периодические
абелевы группы конечного ранга. Учитывая упражнение
2.3.4, достаточно рассмотреть только примарные группы,
а для них полное описание дает следующая
10ЛЛ6. Теорема. Примарная абелева группа тог-
тогда и только тогда имеет конечный ранг г, когда она раз-
разлагается в прямую сумму г квазициклических и конечных
циклических групп.
Доказательство. Так как циклические и ква-
квазициклические группы имеют ранг 1, то утверждение
«тогда» очевидно (с учетом 4.1.7). Обратно, пусть G —
абелева р-группа конечного ранга г. Ввиду 9.1.10 доста-
достаточно рассмотреть следующие два случая.
1. Группа G полна. Тогда по теореме 9.1.16 она долж-
должна быть прямой суммой квазициклических групп. Понят-
Понятно, что число слагаемых не может быть больше г.
2. Группа G редуцирована. Покажем, что G счетна и
не содержит элементов бесконечной высоты, тогда оста-
останется сослаться на вторую теорему ПрюфераJ.-10Л.14.
Прежде всего для каждого к = 1, 2, . . . группа G со-

10] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 97
держит лишь конечное число элементов, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению ркх = 0 (учесть первую теорему Прю-
фера и конечность ранга группы), поэтому G счетна. Да-
Далее, допустим, что G содержит ненулевой элемент а бес-
бесконечной высоты; пусть рт — его порядок. Возьмем
в G для каждого к = 1, 2, ... по элементу х\ с условием
р*хц = а. Так как элементы рк-гХк, к = 1, 2, . . ., имеют
один и тот же порядок рт+1, то, по предыдущему, среди
них найдется бесконечная подпоследовательность совпа-
совпадающих друг с другом; обозначим этот элемент аг. Оче-
Очевидно, раг = а и, по построению, аг тоже имеет бесконеч-
бесконечную высоту. Продолжая построение по индукции, получим
элементы а = ао, alt а^, . . . с условием pai+1 = at, i =
= 0, 1, 2, ... Ясно, что порожденная ими подгруппа
полна,— противоречие с редуцированностью группы G.

Глава 4
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
§ 11. Силовские подгруппы
Изучая абелевы группы, мы видели, что их строение
во многом определяется строением максимальных р-под-
групп. В теории конечных групп максимальные р-под-
группы также играют существенную роль. В этом пара-
параграфе мы докажем следующую теорему Силова о конеч-
конечных группах: для каждой степени ра, делящей порядок
группы, существует подгруппа порядка ра, причем если
ра+1 делит порядок группы, то всякая подгруппа поряд-
порядка ра содержится в некоторой подгруппе порядка ра+1;
все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены
в группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта тео-
теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом
в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конеч-
конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных на-
направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.),
так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоре-
теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы ко-
конечных (а часто и бесконечных) групп называются силов-
скими р-подгруппами.
Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силов-
силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности под-
подгруппы порядка рт, где рг — максимальная степень р,
делящая порядок группы. Отметим, что если число т
делит порядок конечной группы G, но не является сте-
степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп
порядка т — например, в знакопеременной группе АА
порядка 12 нет подгрупп порядка 6, см. упражнение 11.2.2.
11.1. Теорема Силова. В доказательстве этой теоремы
нам понадобится понятие действия. Говорят, что группа
G действует' на множестве М, если для каждых элемен-
элементов т 6= М, g ЕЕ G определен элемент mg ЕЕ М, причем
(mgi) gi = rn {gtg2) и те = m для всех m e M, gly g2 e G;
здесь e — единица группы G. Множество mG — {mg | g ?=

§11] СИЛОБСКИЕ ПОДГРУППЫ 99
Er G) называется орбитой элемента т. Очевидно, орбиты
любых двух элементов из М либо совпадают, либо не
пересекаются, так что множество М разбивается на не-
непересекающиеся орбиты.
11.1.1. Теорема (Силов). Пусть G — конечная
группа, р — простое число. Существование. Для
каждой степени ра, делящей порядок G, в G существует
подгруппа порядка ра. Вложение. Если pa+l делит
порядок G, то каждая подгруппа порядка ра из G вложе-
вложена в некоторую подгруппу порядка ра+1 из G. В частности,
силовские р-подгруппы из G — это в точности подгруппы
порядка рг, где рг — максимальная степень р, делящая
порядок G. Сопряженность. Все силовские р-под-
р-подгруппы из G сопряжены в G. Количество. Количе-
Количество силовских р-подгрупп из G сравнимо с 1 по модулю
р и делит порядок G.
Доказательство. Существование.
Пусть | G | = рг1, (р, I) = 1. Пусть Ж — множество всех
подмножеств мощности ра из G. Очевидно,
3=1
поэтому наибольшая степень р, делящая | SK |, — это
рг-а Если М ЕЕ 5К, g ЕЕ G, то, очевидно, Afg = {mg | m ЕЕ
ЕЕ ЛГ} ЕЕ 3R, так что G действует на ?№ правыми сдвига-
сдвигами. Пусть {Mi, . . ., Ms} — та орбита, мощность s кото-
которой не делится на pr~a+l. Пусть, далее,
Gt = {g | g ЕЕ G, Mtf = M,}, 1 < * < s.
Непосредственно проверяется, что Gi — подгруппа
в G, a Gj — правые смежные классы G по Gx. Покажем,
что подгруппа Gx имеет требуемый порядок ра. Обозна-
Обозначим пока | Gj | = t, тогда по теореме Лагранжа 2.4.5
st = | G | = />*7. Так как наибольшая степень р, деля-
делящая s,— это рг'а, то i делится на ра, в частности, t ^>
> ра. С другой стороны, если ж ЕЕ Mlf то, очевидно,
rGx Q Ми поэтому | Gx | < | Mx \ или t < pa. Оконча-
Окончательно t = pa.
Вложение. Пусть pa+1 делит | G |, P — подгруп-
подгруппа порядка ра из G, 6 — класс подгрупп, сопряженных

100 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
с Р элементами из G. Мы знаем, что
| 6 | = | G : NG (P) \.
Если | К | не делится на р, то | Ng (Р) I делится на pa+l,
а цотому по первой части теоремы в No (P)/P существует
подгруппа Р*/Р порядка р. Тогда Р* — требуемая под-
подгруппа Р. Пусть теперь | & | делится на р. Группа Р
действует на К сопряжениями, причем мощности орбит
делят | Р |, а потому имеют вид рп{, at > 0. Так как име-
имеется по крайней мере одна одноэлементная орбита
{Р} и | К | делится на р, то непременно найдется и другая
одноэлементная орбита {Q}. Но это означает, что Р нор-
нормализует Q, поэтому PQ есть р-подгруппа (учесть, что
PQlQ ^ PIP П Q и расширение /з-подгруппы посредством
р-подгруппы есть р-подгруппа). Применяя к PQ тот внут-
внутренний автоморфизм группы G, который переводит Q
в Р, мы получим р-подгруппу Р'Р, содержащую Р в ка-
качестве собственной нормальной подгруппы. Снова по пер-
первой части теоремы в Р'Р/Р найдется подгруппа Р*/Р
порядка р, тогда Р* — требуемая подгруппа.
Из доказанного утверждения вытекает, что силовские
р-подгруппы конечной группы — это в точности подгруп-
подгруппы порядка рг, где рт — максимальная степень р, деля-
делящая порядок группы.
Сопряженность. Теперь пусть Р — подгруп-
подгруппа порядка рг жз G (в частности, это силовская р-под-
группа), а & имеет прежний смысл. Надо доказать, что
любая силовская р-подгруппа Q из G лежит в 6. Но Q
действует на К сопряжениями, причем орбиты имеют
снова мощности ра», <х% ^> 0. Так как теперь | К | заведомо
не делится на р, то имеется некоторая одноэлементная
орбита {Р'}, т. е. Q нормализует Р'. Тогда P'Q есть
р-подгруппа, и ввиду максимальности Р', Q имеем Q =
= P'Q = P'6i
Количество. В обозначениях предыдущего пунк-
пункта достаточно проверить, что {Q} — единственная одно-
одноэлементная орбита. Но если {(/} — другая такая орбита,
то QQ' является р-подгруппой, отличной от Q, что невоз-
невозможно. Теорема доказана.
Отметим, что иногда говорят не об одной, а о трех
теоремах Силова: утверждения о существовании и вло-
вложении называются первой теоремой о сопряженности —

§11] СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ 101
второй, а о количестве силовских р-подгрупп — третьей
теоремой Силова.
11.1.2. Упражнение. Группа порядка 196 со-
содержит нормальную силовскую р-подгруппу.
11.1.3. Упражнение. Силовские р-подгруппы
бесконечной группы не всегда сопряжены в группе, т. е.
предположение конечности в теореме Силова существенно.
Указание: рассмотреть прямую степень группы 83.
11.1.4. Упражнение. Пусть Р — силовская р-
подгруппа конечной группы G, Н — подгруппа, содержа-
содержащая нормализатор Ng (Р)- Тогда Ng (Н) = Н.
¦11.2. Применение к группам порядка pq. Теорема Си-
Силова часто дает весьма существенную информацию о дан-
данной конечной группе, а группы не очень большие — в том
или ином смысле — позволяет описать полностью. В ка-
качестве иллюстрации дадим здесь описание групп поряд-
порядка pq.
Пусть р, q — простые числа, р < q. Какой должна
быть группа G порядка рд? Силовские р- и д-подгрзшш
из G, будучи подгруппами простого порядка, являются
циклическими. Пусть (а), (Ь) — соответственно силовские
р- и g-подгруппа. По теореме Силова число силовских
g-подгрупп в G имеет вид 1 -f- kq и делит pq, поэтому си-
силовская g-подгруппа (Ъ) единственна. В частности, она
нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид
1 -(-Ар и делит q, поэтому возможны два случая:
а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она
нормальна и, значит, [а, Ь] €= (я) П (Ь) = !• Так как
(аЬ)рч = av4bpq = 1, то G = (ab). Таким образом, в этом
случае G ~ ZPq.
б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это
возможно лишь при условии q = 1 (mod р). Пусть а~1Ьа =
= V. Если г = 1, то снова G = (ab), т. е. G~ ZPg.
Пусть г ф\. Индукцией по х получаем а~хЪах = Ьг*.
откуда
fl-J6V = brXu
для всех целых х, у. При х = р, у = 1 это дает гр == 1
(mod q), кроме того, получаем формулу умножения
crbV-aV^a*^*". A)
Обратно, легко проверить, что если q = 1 (mod p), rv щ

102 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 4
= 1 (mod q), г ф 1 (mod q), то эта формула умножения
определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, ре-
решения сравнения rp = I (mod q) составляют циклическую
группу порядка р, поэтому те из них, которые ф1 (mod q),
имеют вид г, г2, . . ., гт>'1, где г — одно из них. Все эти
решения определяют одну и ту же группу, так как заме-
замена порождающего а на а' приводит к замене г на г'.
Таким образом, с помощью теоремы Силова мы опи-
описали все возможные типы групп порядка pq; их оказалось
два — абелев и неабелев, причем второй существует толь-
только при условии q = 1 (mod p).
11.2.1. Упражнение. Существуют только две
неизоморфные группы из 6 элементов — циклическая Ze
и симметрическая 83.
11.2.2. Упражнение. Знакопеременная группа
-44 не содержит подгрупп порядка 6, хотя число 6 делит
ее порядок 12. Таким образом, теорему Лагранжа 2.4.5
нельзя обратить — факт, упоминавшийся в начале пара-
параграфа .
Решение. Если бы подгруппа из 6 элементов со-
содержалась в -44, то она была бы изоморфна Ze или 83
(упражнение 11.2.1). Но никакая подстановка на 4 сим-
символах не может быть порядка 6, поэтому первый случай
невозможен. Невозможен и второй, так как в 83 сущест-
существуют неперестановочные элементы порядка 2, а в 44 их
нет. В самом деле, At содержит три элемента порядка 2:
A2) C4), A3) B4), A4) B3), и все они попарно переста-
перестановочны.
11.3. Примеры силовских подгрупп. Обратимся к груп-
группам I—IV гл. 1.
11.3.1. Примеры. I. Аддитивная группа кольца
вычетов Zn разлагается в прямое произведение своих
силовских р-подгрупп, которые являются циклическими
подгруппами порядков рТ\ . . ., pTs, если п имеет кано-
каноническое разложение п = р™1. . . р™».
П. Силовская р-подгруппа мультипликативной груп-
группы С* — это квазициклическая группа С <х.
III. Опишем силовские р-подгруппы симметрических
групп. Как мы знаем, | 8п | = п\ Каков максимальный
показатель е (п), при котором ре^ делит п!? В последова-
последовательности 1, 2, . . ., п кратными р будут числа р, 2р, . . .

§ 11J СЙЙОВСКЙЕ ПОДГРУППЫ ЮЗ
.. ., кр, где к — \-j-\ . поэтому е(п) = Г—1 +е(к). Так
[т ]=[-^1 •то в (п)=[f ] + Ы+• • •Удобно
как
разложить п по основанию р:
п = «о + flxp -I- . . . + asps, 0 < at < p, B)
тогда
е (п) = fll + а2 A + р) + а3 A + р + р2) + . . .
. . . + as A + р + . . . + р-1). C)
Рассмотрим сначала группы #„, когда п — степень р.
Пусть в S т уже найдена силовская р-подгруппа, т. е.
подгруппа Нт порядка р^+--+рт~1; построим по ней в Sp7n+i
подгруппу Ны+\ порядка р1+ — +рт. Для этого разобьем
переставляемые символы 1,2, . . ., pm+1 на последователь-
последовательные отрезки длины рт. Если
и х — подстановка на символах ?-го отрезка, то лег-
легко сообразить, что с'гхс — подстановка на символах
(i -f- 1)-го отрезка (сложение по модулю р). Отсюда вид-
видно, что подгруппа, порожденная подгруппами с~гНтсг,
0^г<р, является их прямым произведением и, стало
быть, подгруппа Нш+Ъ порожденная подгруппой Нт и
элементом с, изоморфна сплетению Нт г (с). Подгруппа
Нт+1 — искомая, так как
Я| I цг IP I r I n1+---+Pm
m+1 I — I лтп I \c \ — P •
Одновременно мы видим, что силовская р-подгруппа в 8 т
изоморфна последовательному сплетению (. . . Aрг1р)г . . .
. . .) г ХР циклической группы ZP с самой собою т раз.
Теперь пусть п произвольно. Разобьем символы 1, ...
. . ., п на а0 одноэлементных, ах р-элементных и т. д. от-
отрезков (см. B)). На каждом из этих отрезков рассмотрим
симметрическую группу — она будет некоторой степени
рт, а в ней возьмем силовскую р-подгруппу, построенную
как выше. Так как эти подгруппы действуют на непере-
непересекающихся множествах^ то их порождение Рп является

104 конечные П>уппЫ [гл. 4
их прямым произведением, а потому имеет порядок!
(см. C)). Следовательно, Рп — силовская р-подгруппа
в 8п. Из построения видно, что она изоморфна прямому
произведению нескольких последовательных сплетений
типа (. . . (ZpsZp) г . . .) гХР.
IV. Рассмотрим, наконец, общие линейные группы над
конечными полями. Пусть р — простое число, т, п —
целые числа > 1 и q = рт. Покажем, что UTn (g) —
силовская р-подгруппа группы GLn (q). Подсчитаем по-
порядки этих групп.
Какие n-ки над полем GF (д) могут быть первой стро-
строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме
нулевой, т. е. qn — 1 штук. Если первая строка выбрана,
то в качестве второй строки можно взять любую, не про-
пропорциональную первой; таких строк qn — q. Если две
первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно
взять любую строку, не зависящую линейно от первых
двух; это дает qn — q2 возможностей. И таи далее. Зна-
Значит,
П—1
|в?п(<7)|=П(<7п-?9- D)
г=0
Так как угловые элементы матриц из TJTn (q) пробе-
пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых
мест BI T0 I UTn (q)\ = дЫ. Из сравнения порядков
мы видим, что UTn (q) — силовская р-подгруппа в
<?й ()
„ (?)
11.3.2. Упражнение. Выписать подстановки,
составляющие силовскую 2-подгруппу группы 8t.
11.3.3. Уп р а ж н е н и е. Пусть р — простое число,
пг, п — натуральные числа, Pn (Zpm) — совокупность тех
матриц из GLn (Zpm), коэффициенты которых, стоящие
под главной диагональю, кратны р, а на диагонали —
сравнимы с 1 по модулю р. Проверить, что Рп (Z jW) —
силовская р-подгруппа в GLn (X m).

§ 12] ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК Ю5
Указание: с помощью гомоморфизма &Ln (Z т)—>
->-GLn ("Zp) вывести формулу
п-1
| GLn (Zpm) | = П (Ртп - Pmn~n+i)' E)
г=0
В заключение отметим в виде упражнений несколько
общих замечаний.
11.3.4. Упражнение. Пусть ф — гомоморфизм
конечной группы G. Если Р — силовская р-подгруппа
из G, то Р® — силовская р-подгруппа из Сф. Обратно,
всякая силовская р-подгруппа из 6?ф является образом
некоторой силовской р-подгруппы из G. Это замечание
бывает полезно в индуктивных доказательствах.
11.3.5. Упражнение. Произведение двух эле-
элементов порядка р может иметь как конечный порядок, не
делящийся на р, так и бесконечный порядок. Таким об-
образом, элементы порядков ра при данном р не всегда со-
составляют подгруппу.
11.3.6. Упражнение. Пусть G — конечная груп-
группа и А ^ G. Если индекс \ G : А | меньше некоторого
простого делителя р порядка группы G, то пересечение
П Ае, g ?= G, содержит силовские р-подгруппы группы
G и, в частности, отлично от единицы.
§ 12. Группы подстановок
Рассмотрим более подробно группы подстановок —
важный и исторически первый пример групп. Они были
введены в науку Эваристом Галуа для изучения условий
разрешимости алгебраических уравнений в радикалах —
с каждым алгебраическим уравнением он связал некото-
некоторую группу подстановок корней, полицикличность кото-
которой оказалась необходимым и достаточным условием раз-
разрешимости уравнения в радикалах. В 1870 году появился
фундаментальный трактат Жордана о группах подстано-
подстановок, содержащий ясное и подробное изложение идей
Галуа, а также многочисленные свойства подстановок.
Лишь к началу XX в. современное абстрактное понятие
группы освободилось от этих пелёнок, а группы подста-
подстановок постепенно заняли их нынешнее скромное поло-
положение в общей теории. Вообще, группы подстановок есте-

106 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
ствеино возникают всюду, где изучается симметрия «ко-
«конечно определенных» объектов — например, с каждым
кристаллом можно связать группу его вращений, записы-
записываемых подстановками вершин. Детальнее с группами
подстановок можно познакомиться по книге [46].
12.1. Регулярное представление. Оказывается, под-
подстановки дают исчерпывающий пример конечных групп.
12.1.1. Теорема (Кэли). Всякая конечная группа
изоморфна некоторой группе подстановок.
Доказательство. Пусть G — конечная груп-
группа, которую мы хотим изобразить подстановками. Подста-
Подстановками чего, какого множества?— вот первый вопрос,
который возникает. Возьмем в качестве этого множества
саму G, поскольку ничем другим мы не располагаем.
Пусть g — элемент из G. Какую подстановку g ему сопо-
сопоставить? Ее первая строка уже выбрана — это элементы
из G, как-нибудь занумерованные. Умножим их справа
на g и запишем полученные элементы во вторую строчку.
Из групповых аксиом следует, что элементы второй строч-
строчки попарно различны, так что g — действительно под-
подстановка. Остается проверить, что отображение"является
изоморфизмом. Но, во-первых, это гомоморфизм, т. е.
аЪ = аЪ для всех а, Ь €Е G.
Действительно, на каждый элемент х ЕЕ G обе части ра-
равенства действуют одинаково:
хаЬ = х (аЪ) = (ха) Ъ = (ха) Ъ = х (йЪ).
Во-вторых, .ядро отображения " тривиально: если g = 1,
то подстановка g переводит символ 1, с одной стороны,
в g, а с другой — оставляет на месте, поэтому g = 1.
Теорема доказана.
12.1.2. Упражнение. Всякая конечная группа
вкладывается в знакопеременную группу.
Если в доказательстве теоремы Кэли не предполагать,
что группа G конечна, то с помощью того же представле-
представления правыми сдвигами — оно называется регулярным
представлением группы G — получается
12.1.3. Обобщенная теорема Кэли.
Всякая группа изоморфна группе взаимно однозначных
отображений — «бесконечных подстановок» — некоторого
множества на себя.

§ 12] группы подстановок 107
Представление абстрактных групп подстановками бы-
бывает полезно в самых различных вопросах, и не только
в теории конечных групп.
12.1.4. Пример. О теоремах вложения. Часто воз-
возникает потребность вложить данную группу G в некото-
некоторую большую группу G* с тем или иным интересным
свойством,— например, с одним из следующих свойств:
а) G* — простая группа,
б) в G* из каждого элемента извлекаются корни про-
произвольной степени, т. е. уравнение хп = g разрешимо
в G* для любого g из G* и любого натурального п,
в) любые два элемента из G*, имеющие одинаковый —
конечный или бесконечный — порядок, сопряжены в G*.
Читатель без труда увеличит этот список, руководст-
руководствуясь своим собственным пониманием интересного.
В двух совместных работах авторов и В. Н. Ремес-
ленникова (ДАН СССР, 1960, 134, № 3, с. 518-520;
Уч. зап. Пермского ун-та, 1960, 17, № 2, с. 9—11) был
предложен путь доказательства теорем вложения, состоя-
состоящий в том, что группа, предварительно представленная
подстановками, вкладывается в группу подстановок, в не-
некоторой мере уже обладающую требуемым свойством
(простотой, корнями, сопрягающими элементами и т. п.),
после чего дело завершает индукция, иногда трансфинит-
трансфинитная. Такой путь удобен тем, что конкретное представле-
представление абстрактной группы подстановками конкретизирует —
и тем самым облегчает — вычисления. В качестве иллю-
иллюстрации укажем вложение произвольной группы G в груп-
группу G* со свойством в). Для этого определим по индукции
цепочку групп G = Go <J G1 <^ . . . Именно, если Gn
уже построена, то возьмем в качестве Gn+i группу преоб-
преобразований множества Gn, а вложение Gn <^ Gn+i опреде-
определим как регулярное представление группы Gn. Объеди-
Объединение G* групп Gn и будет искомым. В самом деле, если
а, Ъ — два элемента одинакового порядка г <^ оо из G*,
то они лежат в некоторой Gn, а потому в Gn+i изображают-
изображаются произведениями независимых циклов длины г. Соглас-
Согласно 2.5.7 элементы а, Ъ сопряжены в Gn+i, а потому и
в G*.
Аналогично, если мы хотим вложить G в группу G*
со свойством б), то достаточно научиться вкладывать G
в такую группу, в которой уравнение ж" = g для данных

108 конечные группы trn. 4
п, g €E G было бы разрешимо. Один способ такого вложе-
вложения указан — на языке подстановок — в упомянутых
выше работах, что и решает задачу.
Наконец, задача а) тоже решается положительно, как
мы увидим в следующем параграфе.
Возникает вопрос — нельзя ли произвольную группу
вложить в такую группу G*, которая обладала бы свой-
свойствами а), б) и т. п. одновременно? Разумеется, ответ
будет утвердительный, если можно построить G* с каж-
каждым из этих свойств в отдельности и если эти свойства
переносятся на объединения возрастающих цепочек групп —
для доказательства достаточно периодически повторить
вложения типов а), б), в), . . . счетное число раз и перейти
к объединению.
Отметим, что другие методы доказательства теорем
вложения — в частности, для отмеченных выше свойств
а), б), в) — указали также Ф. Холл (Hall P. — J. London
Math. Soc, 1959, 34, p. 305—319) и Б. Нойман (Neumann
В. Н.— J. London Math. Soc, 1943, 18, p. 4—11); метод
первого основан на сплетениях, а второго — на свобод-
свободных произведениях с объединенной подгруппой.
12.2. Представления подстановками смежных классов.
Обобщим теперь теорему Кэли в другом направлении.
Пусть Н — подгруппа конечного индекса группы G, не
обязательно конечной. Каждому элементу g из G сопоста-
сопоставим подстановку g множества правых смежных классов
G по Н, определяемую по аналогии с п. 12.1. Именно,
если хъ . . ., хт — правые представители G по Н, то
полагаем
/Я*х ...НХт
12.2А. Теорема. Отображение "", задаваемое по-
последней формулой, является гомоморфным представлени-
представлением группы G. Ядром этого представления служит нор-
нормальная подгруппа N из G, максимальная среди содержа-
содержащихся в Н.
Доказательство. То, что л — представление,
легко проверяется непосредственно, как и раньше. Пусть
К — ядро этого представления. Покажем, что К <J N.
Пусть g€E К, т. е. g = 1. Это означает, что Hxg = Их

§12) ГРУППЫ подстановок 109
для всех х GE G. Отсюда Hxg = Нх и, следовательно,
Ясно, что правая часть этого включения — нормальная
подгруппа из G, содержащаяся в Н. Ясно также, что
любая другая такая же подгруппа содержится в каждом
Нх, поэтому
N = Г) Нх.
xt=G
Таким образом, g е N и К ~< N. Обратно, N < К. Дей-
Действительно, пусть g Е= N. Тогда Hxg = Hxgx~lx = Нх,
откуда & = 1 и N <^ #. Теорема доказана.
Из нее и теоремы Лагранжа 2.4.5 сразу вытекает
12.2.2. Теорема. Всякая подгруппа конечного ин-
индекса т содержит нормальную подгруппу конечного индек-
индекса, делящегося на т и делящего т\.
Более слабое утверждение уже отмечалось в первой
главе (см. 2.5.13). Теорема 12.2.1 и вытекающая из нее
теорема 12.2.2 позволяют устанавливать отсутствие под-
подгрупп того или иного порядка в данной группе — см.
упражнение 13.1.3 в следующем параграфе.
12.2.3. Упражнение. Группа из 12 элементов не
может быть простой.
Пусть R — кольцо, Н — группа. Групповым кольцом
группы // над R называется кольцо Я [Н] формальных
линейных комбинаций
г^х + . . . + rnhn, rt Е й, lii Ё Н,
которы§складываются и умножаются по следующим пра-
правилам:
S гА + S «Л =
(аналогичный объект встречался нам на стр. 43).
Вернемся теперь к началу пункта и заметим, что пред-
представление g •-*• g связывает с каждым g из G «перестанов-
«перестановку представителей» я (g) и «дополнительные множители»
hi (g):
xtg = hi (g) xin{gy

НО КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 1ГЛ. 4
Непосредственно проверяется, что формула
g н> diag (ht {g), . . .,hm (g))-n (g)
задает изоморфное вложение G^GLm(Z [H]), где Ъ\Н\ —
целочисленное групповое кольцо группы Н, а переста-
перестановка я (g) записана матрицей из нулей и единиц. Это
вложение называется мономиальным представлением груп-
группы G над подгруппой Н. Мы видим, что любая группа,
содержащая Н в качестве подгруппы индекса т, вклады-
вкладывается в группу всевозможных матриц степени т над
Z [Я], содержащих в каждой строке и каждом столбце
точно один ненулевой элемент, лежащий в Н (мономиалъ-
ная подгруппа группы GLm (Z [#]))• Описанная кон-
конструкция особенно употребительна в теории линейных
представлений конечных групп, где она дает представле-
представление группы, индуцированное представлением подгруппы.
Сказанное можно следующим образом перевести на
язык сплетений.
Пусть А, В —группы, причем В <^ 8 (X), X — неко-
некоторое множество. Легко проверить, что множество
В -Fun (X, А) с умножением
Ы-Ь'Г = ЬЬ'ГГ, где f (х) = f (xb-f), XELX,
является группой. Она называется сплетением группы А
с группой подстановок В. Наиболее важный случай этого
понятия — сплетение, рассмотренное в гл. 2, оно назы-
называется стандартным и получается, если В представить
подстановками самой себя по правилу х ¦-»¦ Ъ~гх. Упо-
Употребляя для сплетений прежнюю символику, мы видим,
что мономиальная подгруппа из OLm (% 1Н]) — это
в точности Н г 8т, а теорема 6.2.8 констатирует описан-
описанную выше ситуацию для стандартных сплетений.
12.3. Транзитивность. Примитивность. Здесь мы рас-
рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к группам
подстановок и существенно связанные с их действием на
множестве передвигаемых символов. В действительности
эти понятия относятся к произвольным группам, действу-
действующим на множестве, поэтому мы дадим определения в бо-
более общей ситуации, чем необходимо.
Если группа G действует на множестве М и существует
всего одна орбита — само М,— то говорят, что G тран-
зитивна (на М). Ясно, что это равносильно требованию,

§ 12] ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК \\\
что для любых двух элементов т, т' из М найдется эле-
элемент g из G с условием mg = m'. Обобщая это понятие,
говорят, что группа G r-кратно транзитивна, если для
любых двух r-ок {ти . . ., тг} и {т[, . . ., т'г) элементов
из М найдется элемент g из G с условием mtg = ml,
1 <^ i <^ г. Разбиение множества М на непересекающиеся
подмножества {Ма} называется разбиением на блоки
относительно G, если для каждого Ма и каждого gGC
найдется такое Л/р, что Mag = Afp, иными словами, если
элементы из G переставляют подмножества Ма (блоки)
целиком. Конечно, всегда существуют тривиальные раз-
разбиения — на одноэлементные блоки и на единственный
блок. Если нетривиальных разбиений М на блоки не су-
существует, то говорят, что группа G примитивна. В част-
частности, все эти понятия распространяются на группы под-
подстановок конечного множества М, рассматриваемые с их
естественным действием на М.
12.3.1. Упражнение. Условие Mag = M$ в оп-
определении блочного разбиения равносильно более сла-
слабому по форме условию Mag с Afp.
12.3.2. Упражнение. Группы 8п, Ап соответ-
соответственно и- и (» — 2)-кратно транзитивны.
12.3.3. Упражнение. Всякая дважды транзи-
транзитивная группа примитивна.
12.3.4. Упражнение. Всякая неединичная нор-
нормальная подгруппа N примитивной группы G транзитивна.
Указание: орбиты для N составляют полную
систему блоков для G.
Пусть группы G, G' действуют соответственно на мно-
множествах М, М'. Естественно называть их изоморфными —
как группы преобразований,— если можно установить
взаимно однозначное отображение М на М' (скажем, ср)
и изоморфизм G на G' (скажем, а[)), при которых соответ-
соответствующие элементы групп переводят соответствующие
элементы множеств снова в соответствующие элементы,
т. е.
m,4g® = (mg)v для всех т ЕЕ М, g GE G.
Изоморфные группы подстановок называют также по-
подобными.
В предыдущем пункте с каждой подгруппой конечного
индекса мы связали гомоморфное представление группы

112 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
подстановками множества смежных классов. Легко ви-
видеть, что это представление транзитивно. Оказывается,
верно и обратное: всякое транзитивное представление
данной группы подстановками подобно некоторому опи-
описанному ранее представлению подстановками правых
смежных классов по некоторой подгруппе конечного ин-
индекса. Именно, справедлива
12.3.5. Теорема. Пусть я — гомоморфизм группы
G на транзитивную группу подстановок множества М.
Будем считать, что G действует на М по правилу mg =
= mg11. Пусть mt ЕЕ М, Н — стабилизатор тх в G, т. е.
Н = {g \gsG, mxg = mj.
Тогда Н — подгруппа конечного индекса в G и группа G*
подобна группе подстановок смежных классов G по Н,
описанной в предыдущем пункте.
Доказательство. Пусть М = {т^ . . ., т,}.
Обозначим
Я; = {^|?е G, т^ = Mi), I < i < s.
В силу транзитивности 0я все Ht непусты. Непосредст-
Непосредственно проверяется, что Нг — подгруппа из G, а Н\ —
правые смежные классы G по Нх. Так как Н — Ни то
Н — подгруппа конечного индекса в G.
Пусть я' — описанное в предыдущем пункте пред-
представление G подстановками правых смежных классов G
по Н. Нам осталось доказать, что группы подстановок Gn
и Gn> подобны. Пусть ф — отображение М на правые
смежные классы G по Н, переводящее mt в Ht, a ty —
отображение Gn на Gn>, переводящее gn в gn'. Легко про-
проверить, что если Xя = уп, то х71' = уп', так что отображе-
отображение i|) определено корректно. Теперь непосредственно
проверяется, что ср, ty — взаимно однозначные отобра-
отображения на и
то? W = (то;?*)(р Для 1 < i < *, g ЕЕ G.
Теорема доказана.
Покажем, что изучение произвольных групп подста-
подстановок сводится в некоторой мере к изучению транзитивных
групп, а изучение транзитивных групп — к изучению
примитивных. Напомним, что подпрямым произведением
групп G( называется такая подгруппа их прямого про-

§ 12] ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК ИЗ
изведения, проекция которой на каждый множитель Gt
совпадает с Gt.
12.3.6. Теорема. Всякая группа подстановок на п
символах является подпрямым произведением транзи-
транзитивных групп подстановок на nt символах с условием
2jW* = п. Если G — транзитивная группа подстановок
множества М и задано неизмелъчаемое разбиение М на
блоки мощности ^ 2, то стабилизатор блока М' в целом,
т. е. множество
Н = {g | g e= G, M'g = M'},
является подгруппой группы G, примитивно действующей
на М'.
Доказательство. Пусть G — группа подста-
подстановок множества М, М, — соответствующие орбиты, Gi—¦
группа подстановок множества М(, индуцированная дей-
действием Сна М(. Очевидно, G будет подпрямым произведе-
произведением групп Cj.
Теперь докажем второе утверждение. Очевидно, Н —
подгруппа. Пусть х1: . . ., xt — правые представители
G по Н. Тогда M'Xi, . . ., M'xs — исходное разбиение М
на блоки (использовать транзитивность G). Если бы Н
действовала на М' не примитивно, то существовало бы
нетривиальное разбиение М' на блоки М[, . . ., МТ от-
относительно Н. Но тогда исходное разбиение множества М
относительно G можно было бы измельчить до разбиения
M'iXj, I ^ i <; г, 1 < / < s. Теорема доказана.
12.3.7. Теорема. Пусть G — транзитивная груп-
группа подстановок множества М. Пусть М разбито на
блоки, Мл — какой-нибудь блок, тг — какая-нибудь точка
из Mj,. Пусть Н — стабилизатор тх, К — стабилиза-
стабилизатор М± в целом, т. е.
Н = {g | gSG, mxg = т^,
К -={g\g^G,M1g = M1).
Тогда Н, К — подгруппы из G, причем Н <! К < G.
Общее число блоков равно \ G : К \ и каждый блок состоит
из | К : Н | элементов.
Доказательство. Первое вытекает из опре-
определений. Далее, пусть Нх\, . . ., Hxs — правые смежные
классы G до Н, причем хг = 1. По теореме 12.3.5 можно

114 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
считать, что М = {Нхг, . . . Hxs}, a G действует на М
правыми сдвигами. Пусть М1 = {Нхи . . ., Нхг}, т/^ =
= II. Ввиду транзитивности G всякий блок получается
из Mi правым сдвигом на элемент из G, поэтому все блоки
равномощны, и, значит, достаточно убедиться, что г =
= \ К '. Н \ или что
К = Нхх U • • • U Нхг.
Но, с одной стороны, каждое hxt, h ЕЕ Н, 1 <. i <^ г,
переводит смежный класс Н в некоторый смежный класс
из Mi, поэтому и весь блок Мх переводит в себя. Значит,
Нхх\} . . . [}Нхг с К.
С другой стороны, если х €Е К, то Нх = Hxt для некото-
некоторого 1 <^ i ^ г, откуда получается противоположное
вложение.
§ 13. Простые конечные группы
Подобно тому как натуральные числа получаются из
простых чисел посредством умножения, так и любую
конечную группу можно построить из простых конечных
групп посредством расширений. В самом деле, рассмот-
рассмотрим в конечной группе G субнормальную матрёшку без
повторений
1 = Go < G1 < . . . < Gm = G,
т. е. матрёшку, в которой каждый предыдущий член —
собственная нормальная подгруппа следующего члена.
Если некоторая секция Gi+i/Gi не является простой груп-
группой, то, взяв в ней собственную нормальную подгруппу
H/Gi, можно уплотнить матрёшку вставкой Gt<^H <^ Gi+i,
поэтому в неуплотняемой без повторений субнормальной
матрёшке все секции просты. В этом смысле простые ко-
конечные группы — это те строительные блоки, из которых
можно собрать произвольную конечную группу, хотя
в отличие от чисел результат не определяется здесь толь-
только составляющими блоками, а зависит от способа сборки.
Тривиальный пример простых групп — циклические
группы простого порядка; очевидно, это единственные
простые группы, являющиеся абелевыми. Классификация
простых конечных групп — чрезвычайно важная и, цо-

§ 13] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 115
жалуй, в настоящее время главная проблема в теории
конечных групп, хотя она не исчерпывает всего содержа-
содержания этой теории. Наступление ведется в нескольких на-
направлениях: одни развивают общие — «индустриаль-
«индустриальные» — методы, стремясь к тому, чтобы научиться еди-
единообразно получать все простые конечные группы,—
сюда примыкают и тонкие работы по отождествлению
групп, полученных разными способами,— другие, напро-
напротив, полагаясь на интуицию и старательское счастье,
ищут отдельные примеры — ценность каждой новой про-
простой группы сейчас необычайно высока,— третьи прово-
проводят классификацию при тех или иных дополнительных ус-
условиях,— например, при заданной силовской подгруппе,
и т. д. В 60-е годы пала знаменитая проблема Бернсайда,
полвека остававшаяся неприступной,— Файт и Томпсон
[36] доказали, что любая нециклическая простая конеч-
конечная группа содержит четное число элементов (впрочем,
чаще эту теорему формулируют иначе — без упоминания
простых групп: любая нечетная группа, т. е. конечная
группа нечетного порядка, полициклична).
Настоящий параграф преследует скромную цель —
указать две классические серии простых конечных групп —
знакопеременные группы и проективные специальные
линейные группы. Приводимые здесь доказательства
кустарны и не дают представления об упоминавшихся
индустриальных методах. Хороший обзор современного
состояния этой области и таблицу известных простых
конечных групп можно найти в статьях В. Д. Мазурова
[18] и Ашбахера [35].
13.1. Знакопеременные группы. В этом пункте нам будет
полезно замечание III из примера 2.5.7.
13.1.1. Т е о р е м а (Галуа). При пфА знакопере-
знакопеременная группа Ап проста. Группа -44 не проста.
Доказательство, а) Группы Аи Аг, Аъ имеют
порядки 1, 1, 3 соответственно, а потому просты. Группа
At не проста — ввиду 4.4.1.III она обладает полицикли-
полициклической матрёшкой с секциями порядков 2, 2, 3. Пусть те-
теперь п > 5 и N — неединичная нормальная подгруппа
группы Ап; надо доказать, что N = Ап. Так как Ап
порождается тройными циклами (см. 2. 2.2.III), то доста-
достаточно показать, что все они лежат в N. Мы сделаем это
в несколько этапов.

116 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
б) Так как N содержит неединичную четную подста-
подстановку, то, разлагая ее в произведение независимых цик-
циклов, можно считать, что N содержит одну из следующих
подстановок:
6.1) а — A234...)..., т. е. в разложении подстановки а
есть цикл длины !>4,
6.2) а = A23) D5. ..)..., т. е. имеется тройной цикл
и еще какие-то циклы,
6.3) а = A23),
6.4) а = A2)C4). . ., т. е. а — произведение незави-
независимых транспозиций.
в) Подгруппа N содержит хотя бы один тройной цикл.
В самом деле, она содержит коммутатор [а, Ъ] =а~1(Ь~1аЬ)
при любом Ь ЕЕ -4П- Взяв
A23) в случае 6.1),
Ъ\=
A24) в случае 6.2),
A23) в случае 6.4),
после несложных вычислений получим
A24) в случае 6.1),
[а, Ь] =
A2534) в случае 6.2),
A3) B4) в случае 6.4).
Тем самым случай 6.2) свелся к 6.1), который в свою оче-
очередь свелся к 6.3), а для него утверждение тривиально.
Осталось разобрать случай 6.4). Сопрягая четной подста-
подстановкой A2534) подстановку [а, Ь], мы получим B4) A5)
(см. замечание III в примере 2.5.7), а затем, умножив
[а, Ы на эту подстановку, получим A35).
г) Подгруппа N содержит все тройные циклы. В самом
деле, по предыдущему она содержит некоторый цикл
(iiijjig)- Пусть (А/а/з) ~ любой другой тройной цикл.
Так как п ^> 5, то существует четная подстановка вида
(h h 'з • • • \
\ /1 /а /з • • • / '
Сопрягая ею (JiMe)* получим (/i/г/з)- Теорема доказана.
Заметим, что рассуждение а) — г) этого доказатель-
доказательства — типичный и в принципе универсальный путь
доказательства простоты: взяв в нормальной подгруппе
N элемент а, о котором мы знаем только, что он отличен

6 13J ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 117
от единицы, и учитывая, что умножение и обращение,
а также сопряжение и коммутирование произвольным
элементом группы не выводят нас за пределы N, мы по-
постепенно вытягиваем из N всё новые и новые элементы,
пока не обнаружим там все порождающие элементы груп-
группы. Философ, снизошедший до теоремы Галуа, мог бы так
резюмировать идею приведенного доказательства: ухва-
ухватившись за данное звено, вытаскиваем всю цепь. К сожа-
сожалению, эта руководящая идея оставляет в тени способ
вытаскивания.
13.1.2. Упражнение. Если и — произвольное
кардинальное число, то знакопеременной группой степени
п называют группу Ап тех преобразований множества
мощности п, каждое из которых действительно пере-
передвигает лишь конечное число символов и разлагается
в произведение четного числа транспозиций. Повторяя
доказательство теоремы Галуа, доказать простоту Ак
при п Ф 4.
В связи с последним упражнением отметим следующее.
Пусть, как это принято в теории множеств, cov обозна-
обозначает (v + l)-e бесконечное кардинальное число. Пусть
М — множество мощности cov и 8ц, (М) — совокупность
тех отображений из 8 (М), которые в действительности
передвигают множество символов мощности <Сюи- Ясно,
что трансфинитно возрастающая матрёшка
...<8V(M)<8(M) A)
состоит из нормальных подгрупп группы 8 (М). Оказы-
Оказывается, членами этой матрёшки исчерпываются вообще
все нормальные подгруппы группы 8 (М) (Ваег R.—
Studia math., 1934, 5, p. 15—17). В частности, секция
8 (M)/8V (M) — простая группа. Отметим, наконец, что
в свете этих фактов задача а) из 12.1.4 решается совсем
просто. В самом деле, для конечных групп решение сразу
следует из 12.1.2. Если же группа G имеет бесконечную
мощность cov, то, взятая в регулярном представлении,
она попадает в 8(G), где пересекается, с 8V (G) по едини-
единице, а потому G изоморфно вкладывается в 8 (G)/8V (G).
13.1.3. Упражнение. В знакопеременной груп-
группе Аъ порядка 60 нет подгрупп порядка 15,20, 30.

118 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
Решение. Если бы Аь содержала подгруппу по-
порядка 15, т. е. индекса 4, то по теореме 12.2.2 она содер-
содержала бы нормальную подгруппу конечного индекса,
делящегося на 4 и делящего 24. Это, однако, невозможно,
так как согласно теореме 13.1.1 Аъ — простая группа.
Остальные случаи разбираются аналогично.
13.2. Проективные специальные линейные группы.
Пусть К — поле. Фактор-группа PSLn (К) специальной
линейной группы 8Ln (К) по ее центру — подгруппе ска-
скалярных матриц — называется проективной специальной
линейной группой. Эти группы — над конечными поля-
полями — были введены в числе других серий групп Жорда-
ном A870), который установил их простоту. Неточности
в первоначальном доказательстве Жордана устранил
Диксон.
13.2.1. Упражнение. Дробно-линейные функ-
функции
с коэффициентами из поля К и определителем ad — be =
= 1 составляют относительно суперпозиции группу, изо-
изоморфную группе PSL2 (К).
13.2.2. Упражнение. Проверить формулы:
18Ln (q) | = ——j- 11 (qn — ql), B)
i=0
n—1
I P8Ln (q) \ = ' П (qn ~ q% где d = (n,q- 1). C)
W ' i—3
Указание: рассмотреть Si как ядро гомоморфиз-
гомоморфизма det и воспользоваться формулой D) из § 11, а также
упражнением 3.1.6.
Для доказательства теоремы Жордана — Диксона,
причем над любым — не обязательно конечным — полем,
мы воспользуемся таким признаком простоты:
13.2.3. Л е м м.а. Примитивная группа G преобра-
преобразований множества М проста, если выполнены следующие
условия:
1) G совпадает со своим коммутантом G',

§ t3] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 119
2) стабилизатор Sm некоторого элемента т из М
содержит такую абелеву нормальную подгруппу Ат, что
G = гр (А8т | g <EE G). D)
Доказательство. а) Пусть N — неединич"
ная нормальная подгруппа группы G; надо доказать,
что G — N. Заметим сначала, что G = SmN. В самом деле,
ввиду 12.3.4 N транзитивна, поэтому для всякого g?=G
найдется такое AG N, что mh = mg. Следовательно,
ghrl^Sm и g(=SmN.
б) Далее, G = AmN. Действительно, в силу D) каж-
каждый элемент g из G записывается в виде
g = of . . .of», at <=Am, gt EG,
а ввиду а) можно считать, что каждый gt лежит в N. Так
как Ат и iV перестановочны, то ^Е AmN.
в) Наконец, G = N. В самом деле, ввиду 1), б) и
коммутаторных соотношений из § 3,
G = lAmN, AmN]^N.
Лемма доказана.
13.2.4. Теорема (Жордан — Диксон). Для вся-
всякого поля К группа P8Ln (К) проста, за исключением
двух случаев: P8L2 B) и P8L2 C).
Доказательство. Прежде всего, указанные
две группы имеют порядки 6 и 12 (см. формулу C)),
а потому действительно не просты — см. упражнения
11.2.1 и 12.2.3. Переходя к общему случаю, рассмотрим
естественное действие группы G = JP8Ln (К) на множестве
М всех прямых re-мерного векторного пространства над
полем К с какой-нибудь фиксированной базой еу, ...
. . ., еп и проверим, что для G, М выполнены все условия
леммы 13.2.3.
Так как для любых двух пар различных прямых су-
существует линейное преобразование, переводящее первую
пару во вторую, то группа G дважды транзитивна, а по-
потому примитивна (см. 12.3.3).
Далее, G совпадает со своим коммутантом — это сразу
следует из формулы (8) примера 3.2.1 (именно здесь выпа-
выпадают две исключительные группы).
Проверим, наконец, условие 2). Пусть т — прямая
с направляющим вектором еп, Яспо, что стабилизатор

120 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 4
Sm (точнее, его прообраз в группе 8Ln (К)) состоит из все-
всевозможных матриц вида
0...0 | *
Отображение группы Sm на пару диагональных клеток —
гомоморфизм, ядро которого Ат состоит из всевозможных
матриц того же вида с единичными клетками по диаго-
диагонали. Очевидно, группа Ат абелева, и остается проверить
только формулу D). Так как группа SLn (К) порождается
своими трансвекциями ti}- (а) (см. 2.2.2.IV), то достаточно
убедиться, что ttj (а) сопряжена в SLn (К) с некоторой
tlk (а). Но если i = 1, то это тривиально, а если i Ф 1,
то в качестве сопрягающей матрицы можно взять матрицу
перехода от фиксированной базы еи . . ., et, . . . к базе
— et, .. ., ег,.. ., где все невыписанные векторы не меня-
меняются. Теорема доказана.
13.2.5. Упражнение. В связи с теоремой Жор-
дана — Диксона естественно спросить, не получим ли
мы новые простые конечные группы, если в определении
JP8Ln (К) возьмем вместо поля К кольцо вычетов Zm?
Эти надежды несостоятельны: если т — простое число, то
мы возвращаемся к случаю поля, если же т составное,
то группа PSLn (%т) не проста.
13.2.6. Упражнение. Указать группу, центр
которой определяет простую фактор-группу, но не выде-
выделяется прямым множителем.
Решение. Если бы в группе G = 8L2 E) центр Z,
состоящий из матриц +е, имел прямое дополнение Н, то
одна из матриц
лежала бы в Н, где Z, — порождающий мультипликатив-
мультипликативной группы поля из 5 элементов. Но тогда квадрат —е
этой матрицы лежал бы в пересечении Z f] H, что не-
невозможно.
Томпсон (Thompson J. G.— Pacif. J. Math., 1964,
14, № 1, p. 363—364) назвал подгруппу А конечной

§ 13] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 121
группы G 2-сигнализатором группы G, если порядок
| А | и индекс | G : Ng (A) | нечетны. Там же он высказал
гипотезу, что 2-сигнализаторы простых конечных групп
всегда абелевы. Мы закончим главу примером, опроверга-
опровергающим эту гипотезу. Он принадлежит В. Д. Мазурову
(Алгебра и логика, 1968, 7, № 3, с. 60—62) и использует
только простоту групп P8L.
13.2.7. Пример. В простой группе PSL-, (q), где q
нечетно, существуют неабелевы 2-сигнализаторы. Дей-
Действительно, рассмотрим в G = 8L7 (q) подгруппы А, В,
состоящие соответственно из всевозможных матриц вида
/1 • • \ / а (х, у) 0 0 \
О е2 * , 0 х О I а(х,у)= , .
\0 0 ej \ 0 0 у) К У> det
где Cjt — единичная матрица степени к и клеточное раз-
разбиение оба раза одно и то же. Ввиду формулы B) этого
параграфа и формулы D) из § 11
\G\ = ^r{q'-\){q-!-q)...{q->-q*), \ А \ = степень q,
I В | = (q* - l)(g2 -q)(<f- 1) {cf - q)(cf - q*){<f - <?).
Отсюда непосредственно видно, что | А |, \ G : В \ —
нечетные числа. Ясно, что В нормализует А, поэтому
индекс | G : Ng (A) | нечетен. Если <р — факторизация
группы G по ее центру Z, то порядок подгруппы Лф и ин-
индекс ее нормализатора в G* тоже нечетны, т. е. Лф есть
2-сигнализатор в PS L-, (q). Но A f] Z = 1, поэтому груп-
группа Лф изоморфна А и, значит, неабелева.

Глава 5
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ
§ 14. Свободные группы
В начале гл. 3 мы определили понятие группы, сво-
свободной в данном классе, и установили, что в классе абе-
левых групп свободные группы существуют и имеют ясное
описание. В этом параграфе будет доказано существова-
существование, дано описание и изучены простейшие свойства сво-
свободных групп в классе всех групп.
14.1. Определение. Элементы порождающего множе-
множества М любой данной группы G могут быть связаны со-
соотношениями в G, т. е. произведения самих этих элементов
и элементов, к ним обратных, могут равняться единице
в G. Например, хх~х = е, х~хх = е для любого х из М.
Будучи следствиями аксиом, последние соотношения
неизбежны в любой группе и потому называются три-
тривиальными. Оказывается, существуют группы, не допу-
допускающие в некотором порождающем множестве никаких
нетривиальных соотношений — «свободные от соотно-
соотношений». Цель этого пункта — дать конструкцию таких
групп и доказать, что они и будут свободными группами
в классе всех групп в смысле общего определения гл. 3
(этим объясняется, в частности, происхождение термина
«свободная»).
Пусть / — множество. О какой бы группе G с порож-
порождающими Xi, i E= /, ни шла речь, ее элементы изобража-
изображаются словами хТ,. . . х*™, Zj = +1, а их умножение —
приписыванием слова к слову. Это и подсказывает идею
конструкции: надо сами слова от букв {xt, x^\ i ЕЕ /}
без подслов типа xetx1e, e = +l, объявить элементами
группы, а их приписывание друг к другу с последующим
вычеркиванием таких подслов — умножением.
Более точно, зафиксируем два множества символов
х = {х( ме/} и х-^^Гме/}.

§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 123
Слово в алфавите X — это пустая (обозначается 1) или
конечная последовательность символов из X (J ^-1-
Число элементов этой последовательности называется
длиной слова. Слово назовем сократимым, если оно со-
содержит соседние символы вида х\, х[ъ, е = ;4;1. Напри-
Например, первое из слов
2 112 3' **'!**'2 2 3
несократимо, а второе сократимо. Будем говорить, что
два слова и и v эквивалентны (в символах: и ~ v), если
v можно получить из и через конечное число вставок
и сокращений слов вида х\х~1е. Ясно, что отношение —
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Все слова,эк-
слова,эквивалентные и, образуют класс эквивалентных слов, ко-
который мы обозначим через [и].
14.1.1. Теорема. Пусть X — {xt | i (= /}. На мно-
множестве F (X) классов эквивалентных слов в алфавите X
определим умножение, полагая [u\[v\ = [uv]. Это опре-
определение не зависит от случайного выбора представителей
в классах. Множество F (X) является группой относи-
относительно этого умножения.
Доказательство, а) Любой класс эквива-
эквивалентных слов содержит единственное несократимое слово.
Действительно, пусть р (и) обозначает несократимое сло-
слово, полученное из и последовательными вычеркиваниями
самого правого подслова х^х"?. Функция р обладает сле-
следующими свойствами (знак = обозначает графическое
равенство):
р (") ~ ", A)
р (и) = и, если и несократимо, B)
р (uv) ~ р (и р (v)), C)
р {х\х1%) = р (и) при е = ±1> D)
р (uxixjev) == р {uv) при е = ±1, E)
р {uv) == р (р {и) р (у)). F)
Свойства A), B), C) следуют непосредственно из опреде-
определения р, D) вытекает из C), формула E) следует из.(З),

124 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
D), формула F) — из C), D), E) индукцией по длине и.
Пусть теперь и ~ v, где u, v — несократимые слова. По
определению существует последовательность слов
и == «!, иг, . . ., ит ~ v,
в которой соседние слова получаются друг из друга одной
вставкой или одним сокращением подслова вида *1?
В E) () () () ()
р
Ввиду E) р (wi+i) = р (ut), поэтому р (v) = p (и). Ввиду
несократимости слов и, v это означает, что и = и.
б) Независимость произведения [u][v] от случайного
выбора представителей и, v вытекает из а) и формулы F).
Ассоциативность умножения классов ясна из определения.
Единицей будет класс, содержащий пустое слово, а обрат-
обратным к классу [х\\, ... я*] — класс [хг т. . . xj?1]. Теорема
доказана.
Группа F (X) называется свободной группой со свобод-
свободным порождающим множеством X, а мощность | X \
называется ее степенью {свободы). Если X = {хи . . .
. . ., хп}, X — {Xi, хг, . . .}, то вместо F (X) пишут также
Fn(x), Foo (x) соответственно. Если обозначения порождаю-
порождающих несущественны, то пишут просто Fn, F^. В дальней-
дальнейшем для записи элементов свободной группы мы будем
использовать представители классов, т. е. писать, напри-
например, и = v, uv = w вместо [и] = [v], [и] [v] = [н;]. Ввиду
замечания а) можно говорить также о несократимой за-
записи класса, подразумевая под этим несократимую запись
р (и) любого его представителя и.
14.1.2. Упражнение. Свободные группы сте-
степени 1>2 некоммутативны.
14.1.3. Упражнение. Если и — непустое слово,
то длина слова р (ип), п ^> 2, больше длин слов р (и),
р (и~х). В частности, любая свободная группа является
группой без кручения.
ИЛ Л. Упражнение. Несократимое слово на-
назовем циклически несократимым, если оно начинается
некоторым символом х\, а кончается символом, отличным
от яТ8. Вычеркивая в начале и конце слова одинаковые
символы, входящие с разными показателями, можно
любое несократимое слово и в конечное число шагов
привести к циклически несократимому виду а (и). Дока-
Доказать, что элементы и, v свободной группы тогда и только

§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 125
тогда сопряжены в ней, когда а (и) = и?ги?2, о (v) =
= w2W! при подходящих wt, w2.
Оказывается, любая группа, обладающая порождаю-
порождающим множеством мощности п, является гомоморфным об-
образом свободной группы степени п. Больше того, следую-
следующая теорема показывает, что группы F (X) — это и есть
группы, свободные в классе всех групп в смысле начала
гл. 3.
14.1.5. Теорема. Пусть группа G порождается
множеством М = {gt \ i (= /}. Возьмем алфавит X =
= {xt | i €= /}. Отображение X -*- М по правилу xt н*. gt
единственным образом продолжается до гомоморфизма
F (X)->G.
Доказательство. Ясно, что образом класса
[х\\ . . . Xim] надо объявить элемент gfj'. . . gim. Коррект-
Корректность и гомоморфность этого отображения вытекают из
определений. Теорема доказана.
Элементы ядра Н гомоморфизма F (X) ->• G называются
соотношениями группы G в алфавите X. Если множество
Н' соотношений таково, что минимальная нормальная
подгруппа в F (X), содержащая #', совпадает с Н, то Н'
называется определяющим множеством соотношений
в алфавите X. Так как G ~ F (Х)/Н, то задание алфавита
X и множества Н' полностью определяет группу G. Пара
X, Н' называется генетическим кодом группы G; символи-
символическая запись: G = гр (X || Н'). Иногда для краткости
перечень порождающих элементов опускают, подразуме-
подразумевая, что группа порождается всеми элементами, упомина-
упоминаемыми в определяющих соотношениях. Конечно, одна и
та же группа допускает много различных генетических
кодов, и польза того или иного кода зависит от конкретной
задачи. Особый интерес представляют группы, допускаю-
допускающие конечный генетический код, они называются конечно
определенными.
Иногда вместо слов и из Н' в записи генетического
кода пишут равенства и = 1 или даже их = и2, если и
имеет вид и^1.
14.1.6. Упражнение. Свободная абелева груп-
группа степени п допускает следующий генетический код:
гр (х1г . . м хп || xTxfxiX,, 1 < i < / < п).

126 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5;
14.1.7. Упражнение:
CsxCj= гр (х, у || х2 = 1, у2 = 1, ху = ух).
Для отыскания генетического кода группы во многих
случаях бывает удобен метод перечисления смежных
классов, который мы поясним сейчас на примере группы
8i. Прежде всего, в рассматриваемой группе выбираются
порождающие элементы и записываются соотношения
между ними, представляющиеся по каким-то сообра-
соображениям, хотя бы интуитивным, достаточными для опреде-
определения группы. Например, в группе 8ц в качестве порож-
порождающих можно взять элементы х = A234), у = A2)
(см. упражнение 2.2.4). Так как ху — B34), то
*4 = 1, у2 = 1, (хуK = 1.
Поскольку наша группа не очень сложна, разумно пред-
предположить, что эти соотношения и достаточны для ее
определения. Чтобы доказать это, рассмотрим
группу
G = гр (х, у\а*- 1, у2 = 1, (ху)* = 1),
а в ней какую-нибудь подгруппу, скажем, Н = (х),
и постараемся установить, что G содержит | St | : 4 = 6
смежных классов по Н. Тогда будет
\G\= \H \-\G:H | = 24,
а так как G имеет 8t своим гомоморфным образом, то полу-
получим искомый изоморфизм G ~ ?4.
Начертим в соответствии с определяющими соотноше-
соотношениями группы G три таблицы
X X X X
11111
У У
1 1
х у х у х у
1 1 1
и начнем перечислять смежные классы G по Н, обозначив
саму /7 цифрой 1. Очевидное равенство 1а; = 1 мы уже
внесли во все таблицы. Что написать на пустом месте во
второй таблице? Положим It/ = 2, тогда как следствие
получается 2у = I. Внесем эти соотношения во все таб-
таблицы, открыв одновременно в каждой из них новую
строку:

§ 141
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
127
X
1
2
1
X
1
X
1
X
1
CSl
1
Csi
V
CSl
1
и
1
CSl
X
1
2
1
и
CSl
X
CSl
1/
1
X
CSl
1
V
1
CSl
Положим, далее, 2х = 3, За; = 4. Таблицы примут вид
1
CSI
3
4
X X
1
3
4
1
4
CSl
X
1
2
3
X
1
2
3
4
1
2
3
4
V
CSl
1
V
1
2
3
4
1
CSl
3
4
X 1/
1 2
3
4
X
3
2
1
X
2
1
У
1
2
3
4
Пусть теперь Ах = 5, тогда из первой таблицы Ъх = 2, из
третьей 3t/ = 5 и из второй 5у = 3. Получаем
1
2
3
4
5
X
1
3
4
5
CSl
X
1
4
5
CSl
3
X
1
5
CSl
3
4
X
1
2
3
4
5
V
1
2
3
4
5
2
1
5
3
У
1
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
1
3
4
5
2
2
5
3
1
X
3
2
4
1
5
1
4
CSl
2
1
5
3
1
2
3
4
5
Таблицы явно густеют — верный признак того, что про-
процесс перечисления смежных классов приближается к кон-
концу (в противном случае таблицы с увеличением числа
строк все более пустеют). Теперь надо положить 4у = 6,
и мы получим
1
CSl
3
4
5
6
X X
1
3
4
5
2
G
1
4
!j
2
3
G
1
5
CSl
3
4
6
1
2
3
4
5
6
у
1
2
3
4
5
6-
2
1
5
G
3
4
у
1
2
3
4
5
6
1
CSl
3
4
5
6
x у
1
3
4
5
2
6
X
2
5
G
3
1
4
У
3
2
6
4
1
5
X
5
1
4
6
2
3
у
2
1
5
6
3
4
1
2
3
4
5
6

128 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ (ГЛ. 5
Таблицы закрылись — перечисление смежных клас-
классов закончено. Его результат: | G : Н\ = 6. Заметим, что
на каком-то шаге мы могли и не заметить возмож-
возможного заполнения некоторых мест, тогда какой-то класс
получил бы несколько разных номеров. Таким обра-
образом, из закрытия таблиц следует лишь неравенство
| G : И | <^ 6. Так как, однако, G имеет гомоморфным
образом группу 8t, то строгое неравенство на самом деле
невозможно.
Отметим еще, что 3-я, 4-я и 5-я строки первой таблицы
являются следствиями 2-й строки и их можно было бы
вообще не писать; то же относится ко 2-й, 5-й, 6-й строкам
второй таблицы и 2-й, 4-й, 5-й, 6-й строкам третьей таб-
таблицы. Впрочем, эти и некоторые другие упрощения метода
перечисления носят уже технический характер, и мы не
будем на них задерживаться. Добавим только, что
описанный метод хорошо поддается программированию
для вычислительных машин (см., например, сб. Вычис-
Вычисления в алгебре и теории чисел.— М.: Мир, 1976).
14.1.8. Упражнени е:
S3 = гр(*, у || х* = у3 = {xyf = 1).
14.1.9. Упражнение. Перечислить 5 смежных
классов группы
G = гр(я, у, z || х3 = у3 = Z3 = (yz)a = {zxf = {xyf = 1)
по подгруппе Н = гр(.г, у).
14.1.10. Упражнение. Найти генетический код
группы порядка pq, где р, q — простые числа, р < q.
14.1.11. Упражнение. Подгруппа, порожденная
в F (х, у) элементами хпухп, п = 0, 1, 2, . . ., свободно
порождается ими (т. е. описывается пустым множеством
соотношений).
Задание групп генетическими кодами естественно воз-
возникает в топологии (например, в теории узлов) и других
областях. Подробную теорию можно найти в [11, 17].
14.2. Матричное представление. В этом пункте мы до-
докажем изоморфную вложимость счетных свободных групп
в SL2 (Z). Так как группы Ft, F2,... вкладываются в FK,
a Fx в F2 (упражнение 14.1.11), то достаточно найти в
SL3 (Z) свободную подгруппу степени 2.

§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 129
14.2.1. Теорема. Пусть т — целое число ;> 2.
Подгруппа, порожденная в SL2 (Z) трансвекциями
1 О'
порождается ими свободно, т. е. описывается пустым
множеством соотношений.
Доказательство. Обозначим для краткости
а — t12 (т), Ъ = ?21 (пг). Пусть w — чередующееся произ-
произведение ненулевых степеней элементов а, Ъ в группе
SL2 (Z). Надо показать, что w Ф е. Если w начинается со
степени 6, то можно сопрячь w этой степенью и рассмот-
рассмотреть полученное произведение, которое начинается уже
со степени а. Поэтому пусть и? = aaibP* . . . саг, где с = а
или Ъ, все ocj Ф 0. Пусть zt — верхняя строчка матрицы
. . . сак Если Zjjfc-! = (жй-1, а:й), то
где
= x2k -f
Объединяя последние две формулы, получаем
xi+i — Xi + mai+1xi+1 для i — 1, 2, . . . , г — 1.
Нам достаточно доказать, что с ростом i от 1 до г + 1
числа | xt | возрастают. Для ? = 1, 2 это проверяется не-
непосредственно. Дальше ведем индукцию:
| xi+% | > т | ,+1 | | 4+1
> 2 | *,+1 | - | xt
Теорема доказана.
Указанные в ней канонические вложения F2 ->¦
-*SL2 (Z) весьма полезны в теории свободных групп. Для
иллюстрации отметим одно их применение.
14.2.2. Теорема. Пусть р — простое число. Лю-
Любая свободная группа F (X) аппроксимируется конечными
р-группами.
Доказательство. Пусть X' — конечная часть
X. Посылая остальные свободные порождающие в едини-
единицу, мы получим гомоморфизм F (X) -> F (X1). Так как
ядра таких гомоморфизмов пересекаются по единице, то
по теореме Ремака 4.3.9 F (X)—поддекартово произве-

130 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
дение счетных свободных групп. Таким образом, можно
считать, что F (X) счетна, а потому по теореме 14.2.1 вло-
вложена в конгруэнц-подгруппу Г2 (р). Напомним (см. уп-
упражнение 4.2.7), что по определению
Г2 (т) = {х | х е 8L2 (Z), х = е (mod m)}.
Будучи ядрами гомоморфизмов 8L2 (Z) -*- SL2 (Z_*)»
подгруппы Г2 (рк) — нормальные подгруппы конечных
индексов в SL2 (Z) и, очевидно, пересекаются по единице,
к = 1, 2, . . . Поэтому, снова по теореме Ремака, Г2 (р)—
поддекартово произведение конечных групп Г2 (р)/Г2 (рк).
Наконец,
(е + pzf = 2 (*) (pzI s e (mod p2),
(е + РЧУ = S (р) (phy = е (mod p«),
поэтому Г2 (р)/Г2 (р*) есть р-группа. Теорема доказана.
Обратим внимание на то, что финитную аппроксими-
аппроксимируемость свободных групп мы вывели здесь из финитной
аппроксимируемости группы GLn(?,). Вообще, финитную
аппроксимируемость группы часто удается извлечь из ее
представимости матрицами ввиду следующей теоремы
А. И. Мальцева (Матем. сб., 1940, 8, № 3, с. 405—421):
всякая конечно порожденная группа матриц над полем
финитно аппроксимируема. Простое доказательство этой
теоремы можно найти в [20], стр. 408.
Легко проверить, что множество
Gm = {х | х е #i2 (Z), хп — х22 = 1 (mo
Ж12 = a:2i = 0 (mod m)}
является подгруппой в SL2 (Z), причем
гр (t12 (те), *„ (т)) < Gm.
В общем случае равенства нет, но, как показал И. Н. Са-
Санов (ДАН СССР, 1947, 57, № 7, с. 657—659),
гр (*1ЯB), t21 B)) = G2,
т. е. любую матрицу из Ga можно разложить в произведе-

§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 131
шее степеней трансвекций а = t12 B) и b = ttl B). Идею
такого разложения подсказывают формулы:
а *u\aa=/*u
\ tp /«11 + 2fte12 я12 \
/ I *2i + 2fte22 z22 ; '
Мы ограничимся тем, что поясним ее на примере матрицы
/_ 23 — 86 '
/_ 23 — 86 \
*=(_ 4 -is)'
В ней | х1% | > | х1г \. Ищем такое а, чтобы в матрице
х' = хаа было | a:i2 | < | х'п |. Для этого делим х12 +
+ | жп | на 2хХ1 с остатком: —63 = (—46)-2+ 29. Берем
а = —2 (частное с обратным знаком), тогда
23
Теперь ищем такое р, чтобы в матрице х" = х'№ было
I #12 [ > | Жц |. Делим жц + | xi'a | на 2х'12 с остатком:
—17 = 12-(—2) + 7. Берем р = 2 (частное с обратным
знаком), тогда
Значит, х = а?Ь~2а*.
14.2.3. Упражнение. Описать и обосновать ал-
алгоритм разложения матриц из G2 по порождающим t12 B),
/о\ тт /321 — 86 \
t21 B). Пользуясь им, разложить матрицу Ly8 _187J-
14.3. Подгруппы. Оказывается, что любая подгруппа
свободной группы сама свободна. Эта теорема была дока-
доказана Нильсеном в 1921 году для конечно порожденных
подгрупп, а в полном объеме — Шрайером в 1927 году.
В этом пункте мы изложим метод Шрайера, позволяю-
позволяющий находить систему свободных порождающих для
подгруппы свободной группы.
Пусть Н — подгруппа произвольной группы G. За-
Зафиксируем в каждом правом смежном классе G по Н по
представителю. Для подгруппы Н выбираем представите-
представителем 1. Функция, принимающая на любом правом смеж-
смежном классе постоянное значение — фиксированный пред-
представитель этого класса,—называется (правой) выбирающей

132 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
функцией. Непосредственно проверяются следующие свой-
свойства этой функции: п = п и uv = uv, где и, v ?= G, а п —
фиксированный представитель класса Ни.
Выбирающая функция позволяет по порождающим
элементам группы строить порождающие элементы под-
подгруппы.
14.3.1. Теорема. Пусть М — порождающее мно-
множество группы G, Н — ее подгруппа, и *-*¦ п — функция,
выбирающая правые представители G no H, S — множе-
множество выбранных представителей. Тогда
-1
H = rp(szsx |se<S\ i6M).
Доказательство. Ясно, что элементы sxsx
содержится в подгруппе Н. Покажем, что любой элемент
из Н можно записать как произведение элементов sxsx
и элементов, к ним обратных. Непосредственно проверя-
проверяется, что
1 __1
(sxsx у1 = $'х~Ч'х 1, где s' = sx,
причем по s' однозначно восстанавливается s = s'x'1.
Пусть теперь элемент и = xf . . . xz/, xt e M, &t —
= ±1, взят из Я. Мы должны записать его в виде слова
от элементов вида sxsx . Обозначим иг = 1, мг+1 = ж?1...
. . . #fj. Тогда искомой записью будет
-1 -1 ——-\
и = (щх^щх* ) (пгх*иъх1' )... (urxrrurxrr )• A)
Действительно,
^ И{1=1, 1=1,..., Г — 1,
поэтому правая часть соотношения A) равна
= l-B-a™ 1-м-1=
и.
Теорема доказана.
14.3.2. Упражнение. Подгруппа конечного ин-
индекса в конечно порожденной группе конечно порождена.
14.3.3. Упражнение. Найти в свободной группе
Fn порождающие элементы подгруппы слов четной длины.

§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 133
14.3.4. Упражнение. Пользуясь доказательст-
доказательством теоремы 14.3.1 и формулой упражнения 2.2.4, найти
порождающее множество для Ап.
Множество элементов свободной группы, представлен-
представленных несократимыми словами, называется шрайеровым,
если вместе с каждым своим элементом оно содержит и
все его начальные отрезки.
14.3.5. Теорема (Нильсен — Шрайер). Пусть X —
произвольный алфавит, Н — произвольная подгруппа сво-
свободной группы F = F(X). Существует по крайней мере одна
шрайерова система представителей F по Н. Если и >-*¦ п —
соответствующая ей выбирающая функция, то Я свободно'
порождается неединичными элементами sxsx , где s про-
пробегает множество выбранных представителей, а х пробе-
пробегает X.
Доказательство, а) Существование шрайеро-
вой системы правых представителей. Назовем длиной
смежного класса группы F по подгруппе Я длину самого
короткого слова в нем. Построим шрайерову систему ин-
индукцией по длине"класса.
Выберем пустое слово в качестве представителя для Я.
Если L — класс длины 1, то выберем любое слово длины
1 в качестве представителя этого класса. Пусть в классах
длины, меньшей г, представители уже выбраны, т. е. на
этих классах уже' определена [выбирающая функция
и -»- п, причем длина представителя совпадает с длиной
класса. Пусть L — произвольный класс длины г. Возьмем
в"*нем какое-нибудь слово уг . . . уТ, yt е= X (J X, и
объявим представителем класса L слово у± . . . уг-\Уг-
Ясно, что так построенная система представителей шрайе-
шрайерова.
б) Пусть S — шрайерова система представителей F по
Н, и >->¦ п — соответствующая ей выбирающая функция.
Покажем, что неединичные элементы
sxsx , sgS, гЕХ, B)
свободно порождают Н. Из теоремы 14.3.1 мы уже знаем,
что они порождают Я. Остается доказать, что эти эле-
элементы не связаны нетривиальными соотношениями.
Прежде всего, каждое слово B) несократимо. Действи-
Действительно, сокращения могут начаться только на стыках

134 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
с буквой х. Но если s = ^af \ то sxsx = s^Sy = 1, а если
sx 1 = af1^1, то s = s2 и sxsx = 1.
Далее, пусть и, v — неединичные слова вида B) или
к ним обратные, причем uv Ф 1. Из доказательства тео-
теоремы 14.3.1 мы знаем, что
и = sxs~sze , v = tyHyt , s, t<= S, x,y (= X, e, 6 = ±1.
Ввиду несократимости слов и, v процесс сокращений в про-
произведении uv может начаться только на стыке. Он заглох-
заглохнет, не дойдя до хв слева и уь справа. Действительно,
ввиду шрайеровости системы представителей, если про-
процесс сокращений захватил бы сначала ж8, то было бы
t = s^^w, где Si == sa?, откуда
s1x~e = s1x~e = s.
Но это невозможно, поскольку и Ф 1. Если же процесс
сокращений захватил бы сначала у6, то было бы s± = ty6w,
где s± = sx8, откуда
ty6 = tj?.
Но это невозможно, так как v Ф 1. Наконец, сокра-
сократиться одновременно Xе, уь также не могут, поскольку
UV ф 1.
Пусть теперь дано непустое несократимое слово в сим-
символах B). Надо доказать, что если рассматривать его как
слово в алфавите X и произвести все возможные сокраще-
сокращения, то останется непустое слово. Но действительно, ввиду
сказанного выше, сокращения могут начинаться только
на стыках слов B) и прекращаются, не доходя до их серд-
сердцевин х. Теорема доказана.
14.3.6. Упражнение. В группе F (х, у) найти
шрайерову систему представителей и с ее помощью сво-
свободные порождающие для коммутанта и для наименьшей
нормальной подгруппы, содержащей х, уг, где г — целое
число.
Следующая теорема позволяет вычислять степени сво-
свободы подгрупп конечного индекса в свободных группах
конечной степени.
14.3.7. Теорема. Пусть F = F (xlf . . ., хп), Н <
< F, | F : Я | = /. Если п, j — конечные числа, то Н имеет
степень
т = 1 + (п - 1) /.

-I
s'xs'x
sxsx
при
при
s =
s =
s'
s'
X,
af1,
X
X
ex.
§ 14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 135
Доказательство. В обозначениях предыдущей
теоремы пусть М — множество всех nj записей вида B).
Нам надо понять, когда эти записи изображают единицу.
С этой целью обозначим через So множество S без едини-
единицы и определим отображение т: So -*- М, полагая
Непосредственно проверяется, что т — взаимно однознач-
однозначное отображение So на те записи из М, которые изобра-
изображают единицу. Так как степень Н равна числу остальных
записей, т. е. nj — (/ — 1), то все доказано.
14.3.8. Упражнение. Подгруппа конечного ин-
индекса в свободной группе бесконечной степени сама имеет
бесконечную степень свободы.
14.3.9. Упражнение. Если Flt F2 — свободные
подгруппы одного и того же конечного индекса в группе
G, то Fj ~ F2.
14.4. Ряды централов и коммутантов. Пусть G — про-
произвольная группа. Определим в G убывающий ряд под-
подгрупп
& yfi > . . . C)
следующим образом: ty-fi = G, и если подгруппа ynG уже
определена, то yn+iG = [ynG, G]; здесь [А, В] — взаимный
коммутант групп А и В. Полученный ряд подгрупп назы-
называется нижним центральным рядом, a ynG п-м централом
группы G. Пересечение всех подгрупп ряда C) — со-й
централ группы G.
Слова
Yi (*i) = xv
Yn+l (Яц • • •, Xn+l) = I?n (XU • ¦ м xn), Xn+i], П = 1, 2, .. .,
называются простыми коммутаторами, число п — весом
коммутатора уп.
14.4.1. Упражнение. Для любой группы G
Уп G = гр (уп (#!, . . ., gn) | gt e G), п = 1, 2, . . .
14.4.2. Упражнение. Для любой группы G
имеем
lytG, YjGKyi+jG, t, / = 1, 2,...

136 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
Указание. Применить индукцию и лемму о грех
коммутантах 3.2.3.
14.4.3. Упражнение. Для любой группы я-й
коммутант лежит в 2"-м централе, п-ш централ подгруппы
лежит в п-и централе группы.
14.4.4. Теорема (Магнус). Во всякой свободной
группе F со-й централ равен единице.
Доказательство, а) Пусть сначала F счетна.
По теореме 14.2.1 она вкладывается в конгруэнц-подгруп-
пу Г2 (т), т >= 2, поэтому^ достаточно убедиться, что со-й
централ группы Г2 (т) равен единице.
Возьмем матрицы
г = е + т'оеГа(т') и / = е -f тг6еГ2 (да1).
Пусть g'1 = е + тка' и f1 = e -f mlb'. Тогда комму-
коммутатор
[?, /1 = (в + т*с')(в + тгЬ')(е + лА»)(« + тг6) =
= е + (тге*а' + тка + m2*fl'o) +
+ (mlbr 4- mlb + щ«Ь'Ь) + . . . = е + . . . ,
где точками обозначены смешанные произведения типа
m2k+la'ab. Ясно, что любое такое смешанное произведение
сравнимо с нулевой матрицей по модулю ты, а потому
lg, /] е= Г2 (тм).
Проведенное вычисление показывает, что
1Г2(гпк), Г2 (тг)] < Г2 (mw),
поэтому угГ2 (т) < Г2 (т{). Поскольку Q Г2 (т1)= е, то
для счетных групп теорема доказана.
б) Пусть теперь F — произвольная свободная группа.
Допустим, что о)-й централ F содержит неединичный эле-
элемент /. Возьмем для каждого л = 1, 2, ... разложение /
в произведение простых коммутаторов веса п, соберем
все коммутируемые элементы и выразим их через порож-
порождающие элементы группы F. Ясно, что при этом будет
использовано лишь счетное множество порождающих эле-
элементов. Это множество порождает свободную подгруппу.
Так как она счетна и не подчиняется теореме Магнуса, то
мы получаем противоречие. Теорема доказана.

§ 15] МНОГООБРАЗИЯ 137
Ввиду 14.4.3 из нее вытекает, что со-й коммутант сво-
свободной группы, т. е. пересечение всех коммутантов с на-
натуральными номерами, равен единице.
Пусть и — слово в алфавите X. Логарифмом и по осно-
основанию х ?Е X называется целое число logx и, равное сум-
сумме показателей при букве х в слове и (очевидно, для экви-
эквивалентных слов значения логарифма одинаковы). Ясно,
что отображение, сопоставляющее каждому и из F (X)
набор его логарифмов logxu по всем ieX, является го-
гомоморфизмом свободной группы F (X) на свободную абе-
леву группу того же ранга. Так как слова с-одинаковыми
логарифмами по всем основаниям лежат в одном смежном
классе по коммутанту, то коммутант [F (X), F (X)] будет
ядром этого гомоморфизма. Применяя это рассуждение
к коммутанту свободной группы и т. д., мы получаем сле-
следующий результат:
Секции ряда коммутантов свободной группы — сво-
свободные абелевы группы.
Отметим без доказательства, что секции нижнего
центрального ряда свободной группы — также свобод-
свободные абелевы группы (теорема Витта). Это устанавливается
значительно более тонкими средствами.
14.4.5. Упражнение. Свободные группы раз-
различных степеней свободы не изоморфны.
14.4.6. Упражнение. Используя коммутатор-
коммутаторные тождества п. 3.2, доказать, что секции нижнего цент-
центрального ряда свободной группы конечной степени яв-
являются конечно порожденными абелевыми группами.
§ 15. Многообразия
Подклассы, выделяемые в классе всех групп тождест-
тождественными соотношениями, называются многообразиями.
Например, класс абелевых групп — многообразие, выде-
выделяемое тождеством ху = ух. Многообразия тесно связаны
со свободными группами, поскольку тождества —это эле-
элементы свободных групп. Теории многообразий посвящено
значительное число работ, в том числе книга [21].
Здесь мы введем исходные понятия этой теории и уста-
установим, что многообразия совпадают с классами групп,
замкнутыми относительно взятия подгрупп, гомоморф-
гомоморфных образов и декартовых произведений.

138 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
15.1. Тождества и многообразия. Слово v в алфавите
хъ х2, . . . называется тождеством на классе групп 2,
если на любой группе Сиз 2 оно обращается в единицу,
когда аргументы х±, х2, . . . пробегают G. Пусть V — мно-
множество слов в алфавите хг, xt, . . ., G — группа. В общем
случае слова из V не обязаны быть тождествами на G, и
их значения на G порождают некоторую подгруппу
V (G) = гр (v (gl, . . ., gn(v)) |i;eF,?gG). A)
Эта подгруппа называется вербальной (= словесной) в G
относительно V и в некотором смысле измеряет отклоне-
отклонение группы G от групп многообразия, определяемого тож-
тождествами V. Очевидными примерами вербальных подгрупп
служат коммутант и d-я степень группы — они опреде-
определяются словами [х, у], xd и измеряют отклонение группы
от коммутативных групп и от групп периода d.
15.1.1. Упражнение. Централы и последова-
последовательные коммутанты группы являются вербальными под-
подгруппами.
15.1.2. Упражнение. Вербальная подгруппа
вербальной подгруппы вербальна во всей группе.
15.1.3. Упражнение. Вербальные подгруппы в
группе F&, — это в точности те подмножества Н этой груп-
группы, которые удовлетворяют условиям: 1) и, v Er Н =^
21
х
(= Fn =s> и (wlt . . ., vn(v)) е Я.
Докажем существование и одновременно дадим описа-
описание свободных групп в произвольном многообразии в
смысле начала гл. 3.
15.1.4. Теорема. Пусть 2 — многообразие групп,
определяемое тождествами V. Пусть X — алфавит,
Fv (X) = F (X)/V (F (X)) B)
и * обозначает естественный гомоморфизм F (X) -*¦ Fv(X).
Если X = {xt | i Er /), G — группа из 2 с порождаю-
порождающим множеством {gi \ i Ет /}, то отображение xf *-+¦ gt
единственным образом продолжается до гомоморфизма
Fv (X) -*- G. Другими словами, группы Fv (X) свободны
в многообразии I 2. Ими исчерпываются все свободные
группы из 2-
Доказательство, а) Ясно, что для получения
гомоморфизма Fv (X) -> G надо слову от х* сопоставить

§ 15] МНОГООБРАЗИЯ 13lJ
это же слово от gt. Корректность и голоморфность этого
отображения проверяются непосредственно. Следователь-
Следовательно, J?v (X) — свободная группа в ?.
б) Пусть F — свободная группа в 2 со свободными
порождающими ft, i e= I. Отображение ft -> x* продол-
продолжается до гомоморфизма F-> Fv (X), а отображение х* ->
-> fi продолжается до гомоморфизма Fv (X) -> F. От-
Отсюда F ~ F\- (X). Теорема доказана.
Множество {х* | i €= /} называется свободным порож-
порождающим множеством группы Fv (X), а его мощность —
степенью свободы группы Fv (X). Частными случаями этих
понятий являются одноименные понятия для свободных
и свободных абелевых групп, встречавшиеся нам раньше.
Свободную группу степени п в многообразии ? обозна-
обозначают также Fn B).
Исчерпывающее описание групп, свободных в много-
многообразии абелевых групп, было дано в §7. В других мно-
многообразиях свободные группы могут быть устроены весь-
весьма сложно — см., в частности, § 23.
15.1.5. Упражнение. Группа кватернионов
ГР (xi УII ^4) хгУг, х~хУЩ) не свободна ни в каком многооб-
многообразии.
Пусть v — слово. Очевидно,
v(gi, • ¦ ., ?г)ф = v (??, . . ., gt)
для любого гомоморфизма q>: G-*- G*, поэтому гомоморф-
гомоморфный образ вербальной подгруппы V (G) лежит в вербаль-
вербальной подгруппе V (G*). В частности, всякая вербальная
подгруппа эндоморфно допустима.
15.1.6. Упражнение . Указать в С2 X С4 эндо-
эндоморфно допустимую, но не вербальную подгруппу.
Для групп, свободных в многообразии, ситуация упро-
упрощается:
15.1.7. Теорема. Пусть й —многообразие групп,
G — группа, свободная в 8. Любая эндоморфно допусти-
допустимая подгруппа Н группы G вербалъна.
Доказательство. Возьмем в G свободно по-
порождающее множество {gi\ i €= 1} и рассмотрим в Fa,
множество V слов v (хи, . .., xijn) с условием, что
v(gh,. . ., gim) е= Я. Покажем, что Н = V (G). Вклю-
Включение Н <J V (G) очевидно. Обратно, пусть d?F,

140 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
Надо показать, что
Но ввиду свободы G в 2 отображение gt >->- g't можно
продолжить до эндоморфизма группы G. Так как
v (gt . . ., gt ) (= Н и Н эндоморфно допустима, то
v (g.. . ., g'i ) GE Н. Теорема доказана.
Соответствие между многообразиями и определяющи-
определяющими их множествами слов из Fx не взаимно однозначно,
поскольку два различных множества слов могут опреде-
определять одной тоже многообразие. С другой стороны, множе-
множество всех тождеств, истинных на данном многообразии,
является вербальной подгруппой в Fm, и легко проверить,
что это соответствие между многообразиями и вербальными
подгруппами взаимно однозначно. Поэтому изучение мно-
многообразий и изучение вербальных подгрупп в F^ —
равносильные задачи.
15.1.8. Упражнение. Подгруппа, порожден-
порожденная в Fm вербальными подгруппами, вербальна. Какое
многообразие она определяет?
Два множества тождеств V, W называются эквивалент-
эквивалентными, если они определяют одно и то же многообразие
групп или, что равносильно, если V (Fx) = W (F^,).
15.1.9. Упражнение. Любое конечное множе-
множество тождеств эквивалентно одному тождеству.
(Отметим, однако, что далеко не каждое многообразие
групп может быть задано одним тождеством.)
15.1.10. Теорема. Любое множество V слов в ал-
алфавите х1, х2, . . . эквивалентно множеству вида W =
= {х[, Uj | / 6= /}, где d ^> 0, Uj — слова из коммутанта
группы F (xv х2, . . . ).
Доказательство. Запишем каждое ииз F
в виде
V = X™* . . . Xi SU,
где все значки i±, . . ., is различны, а и — элемент ком-
коммутанта группы F (ж1, х2, . . . ). Пусть d — общий наи-
наибольший делитель чисел т±, . . ., msno всем v из V. Число
d и элементы и, взятые по всем v из V,— искомые. Дейст-
вительно, ясно, что V (F&,) ^ W (F^). Обратно, слова Xi*
содержатся в V (F^,) — они получаются из v, когда ос-

§ 15] МНОГООБРАЗИЯ 141
тальные алфавитные буквы посылаются в единицу,— поэ-
поэтому и слова xi, и содержатся в V (Fa,). Теорема доказана.
15.2. Другой подход к многообразиям. Если 2 — класс
групп, то пусть S2, Q2, С2 обозначают соответственно
замыкания этого класса относительно операций взятия
подгрупп, гомоморфных образов и декартовых произве-
произведений. Если 2 — многообразие, то, очевидно, S2 = 2,
Q2 = 2, С2 = 2. Оказывается, справедлива и обрат-
обратная
15.2.1. Теорема (Биркгоф). Пусть 2 — класс
групп. Если S2 = 2, Q2 =-2, С2 = 2, то 2 — мно-
многообразие.
Доказательство. Пусть V — все тождества,
истинные на 2, 2 — многообразие, определяемое ими.
Очевидно, й ей и надо убедиться, что ?cg.
Поскольку Q2 = 2, то достаточно проверить, что лю-
любая группа F, свободная в 2, принадлежит 2, а ввиду
соотношений С2 = 2, S2 = 2 для этого достаточно
вложить F в декартово произведение групп из 2. Укажем
такое вложение.
Согласно теореме 15.1.4
F = F (X)IV (F (X))
при подходящем алфавите X — {xt | i ЕЕ I}. Для каждого
слова v (#;,, . . ., х% ), не принадлежащего множеству V,
возьмем в 2 группу Gv, а в ней элементы gvi, i ЕЕ I, на
которых
V (&,!„ • • ., gvij Ф 1.
Возьмем декартово произведение
а в нем подгруппу, порожденную элементами ft, i ЕЕ I,
где /г (v) — gvi. Так как элементы ft не подчиняются ни-
никаким соотношениям, кроме тождеств из V, то порож-
порожденная ими подгруппа изоморфна F. Теорема доказана.
Легко видеть, что в действительности мы доказали
равенство
2 = QSC2 C)
для произвольного класса групп 2.

142 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 5
15.2.2. Упражнение. Пусть G — конечная
группа, 3I — многообразие, определяемое всеми тожде-
тождествами, истинными на G. Любая конечно порожденная
группа из Ш конечна.
Указание: воспользоваться формулой C) при
S = {G}.
15.2.3. Упражнение. В конечно порожденной
группе G любая подгруппа Н конечного индекса содержит
вербальную подгруппу конечного индекса.
Решение. Ввиду 2.5.13 можно считать, что Н нор-
нормальна в G. Пусть V — система всех тождеств, истинных
на конечной группе G/H, 3R — многообразие, определяе-
определяемое этими тождествами. Так как группа GIV (G) конечно
порождена и принадлежит 90J, то она конечна (упражне-
(упражнение 15.2.2).
15.2.4. Упражнение. Указать классы групп ?,
3R, 91 с условиями:

Глава 6
НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
В предыдущих главах мы познакомились с абелевыми
и конечными группами. Произвольная группа не обязана
принадлежать этим двум семействам, но всегда так или
иначе связана с ними. Установить возможно больше та-
таких связей и с их помощью изучить саму группу — вот
привычный путь многих работ по теории групп. На этом
пути придуманы многочисленные условия, близкие к
условиям коммутативности или конечности группы, на-
начиная от самых естественных и кончая весьма причудли-
причудливыми и просто вздорными.
Важнейшие обобщения коммутативности — разре-
разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы— это
группы, которые можно собрать из абелевых групп по-
посредством нескольких последовательных расширений. За-
Замечательны они, в частности, своей связью с задачей о
разрешимости алгебраических уравнений в радикалах
(см. введение), которой обязаны и самим названием.
Нильпотентные группы составляют класс, промежу-
промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они
определяются более сложно и допускают более глубокое
изучение.
Мы посвятим эту главу изучению нильпотентных групп,
а следующую главу — изучению разрешимых групп.
Много интересных фактов теории нильпотентных и раз-
разрешимых групп можно найти в [15, 30, 39, 44].
§ 16. Общие свойства и примеры
16.1. Определение. Пусть G — группа. Нормальная
матрёшка
1 = Go < Gj < . . . < Gs = G A)
называется центральной, если все ее секции центральны,
т. е.
Gi+1/Gt < Z (G/G,) для всех i B)

144 НИЛЫГОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
или, что равносильно,
[Gm, G] < Gt для всех г. C)
Группа, обладающая центральными матрёшками, назы-
называется нилыготентной (название будет объяснено ниже),
а минимальное число секций таких матрёшек — ее сту-
ступенью нильпотентности. Непосредственно из определе-
определения видно, что нильпотентные группы составляют класс,
промежуточный между классами абелевых и разрешимых
групп, причем абелевы группы — это в точности нильпо-
нильпотентные группы ступени 1.
16.1.1. Упражнение. Всякая матрёшка под-
подгрупп с условием C) автоматически является нормаль-
нормальной.
Пусть G — произвольная группа. Мы можем попы-
попытаться построить в ней центральную матрёшку, руковод-
руководствуясь либо формулой B), либо формулой C). Именно,
пусть
ЬС = 1, WfilUG = Z {Gllfi), i = О, 1, 2, . . .,
yfi = G, y]+iG = [yfi, G], j = 1, 2, .. .
Подгруппы t,fi называются гиперцентрами группы G,
а подгруппы yfi — это знакомые нам централы группы G
(те и другие легко определяются для произвольных транс-
трансфинитных номеров, но мы не хотим сейчас погружаться
в эту трясину). Ясно, что если некоторый гиперцентр
совпадает со всей группой или некоторый централ сов-
совпадает с единицей, то группа нильпотентна.
Обратно, пусть группа G нильпотентна и A) — произ-
произвольная центральная*матрёшка в ней. Положим для крат-
краткости Zt = t,fi, Tj = yfi. Определения и легкая индук-
индукция дают следующие включения:
I = Zo ^ Zi ^....,
V/ V/
l = Go<G1<...<Gs_1<Gs = G, D)
' V/ V/
...<Г,<Г1 = С.
Отсюда видно, что в нильпотентной группе ряды гипер-
гиперцентров и централов являются матрёшками, т. е. содер-
содержат 1 и G, и число секций в каждой из них равно ступени
нильпотентности группы. Под влиянием диаграммы D)

16] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 145
эти ряды называются верхним центральным и нижним
центральным (второй термин формально уже был введен
в п. 14.4, но только сейчас получил объяснение). Хотя
верхняя и нижняя центральные матрёшки нильпотентнои
группы имеют одинаковое число членов, сами матрёшки
не обязаны совпадать — см. упражнения 16.2.10 и 16.2.11.
16.1.2. Пример. Пусть К — поле, тг > 3. Пользуясь
формулами (9), A2) из 3.2.1, нетрудно проверить, что ряд
UTn (К) = VT\{K) > UT%(K) > . . . > UTZ(K) = 1
является одновременно- верхней и нижней центральной
матрёшкой в группе UTn (К). В частности, эта группа
нильпотентна ступени п — 1. В работе одного из авторов
(Мерзляков Ю. И.— Алгебра и логика, 1964, 3, № 4,
с. 49—58) вычислены центральные ряды других матрич-
матричных групп, в том числе нижние центральные ряды главных
конгруэнц-подгрупп над локальными кольцами и силов-
ских р-подгрупп из GLn (Zpm). В последнем случае,
например, получается такое описание. Пусть для крат-
краткости К —- Zpm- Возьмем пустую матрицу степени п,
т. е. квадрат, разбитый на п горизонтальных и п верти-
вертикальных полос, и покроем ее ковром идеалов К, рК,
р2К, . . . следующим образом (на схеме п = 3):
рК рК
р2К рК\ рК \ рК \ К \К К
...р2К Р2К р2К\рК\р"кТр"к\К К К
п п п
Пусть G — силовская р-подгруппа из GLn (К). Как мы
знаем, она состоит из всех матриц степени п над К, срав-
сравнимых с единичной матрицей по модулю ковра идеалов
в отмеченном положении (упражнение 11.3.3). Оказы-
Оказывается, что при г ^ 2 централ yrG содержит те и только те
матрицы из SLn (К), которые сравнимы с единицей по
модулю ковра идеалов, сдвинутого на г — 1 шагов вправо.
Более формально, пусть К — ассоциативное кольцо с
единицей. Система его идеалов а = {Лц \ i, /G Z} на-
называется ковром идеалов, если
aikakj ^ dij для всех i, /, k e Z-

146 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
Легко проверить, что если К коммутативно, то
Гп (a) = (iE SLn (К) | xi} = 6U mod <ц ^
— группа; она называется (специальной) конгруэнц-под-
группой по модулю ковра а или ковровой подгруппой
(в частности, при К — Z, &ц = (тп) получается Гп (т)
из 4.2.7). В этих обозначениях упомянутый выше резуль-
результат гласит (теперь уже на языке формул, а не рисунков):
если G — силовская р-подгруппа группы GLn (К), К =
= Zpm, TO
У7.С = Г„(й("'г)), г = 2,3, ....
где
квадратные скобки означают взятие целой части и р1К =
= К при I <^ 0. Отсюда видно, в частности, что силов-
силовская р-подгруппа группы GLn (Z т) нильпотентна ступе-
ступени тп — 1.
Из замечания после формулы D) ясно, что группа G тог-
тогда и только тогда нильпотентна ступени <^ s, когда
Ys+iG = 1. Поэтому класс 9is всех нильпотентных групп
ступени <^> есть многообразие, определяемое тождеством
Ys+l (*l. • • •. *s+l) = feu • • •> «s+ll = 1
(см. упражнение 14.4.1). В частности, 9is замкнуто от-
относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и
декартовых произведений. Согласно общей теории гл. 5
многообразие 3ls обладает свободными группами; все они
имеют вид
F (X)/ys+1F (X)
при подходящем алфавите X.
16.1.3. Упражнение. Пусть G — свободная
нильпотентная группа ступени 2 со свободными порождаю-
порождающими а, Ь. Пусть еще с = [Ь, а]. Каждый элемент g из G
единственным образом записывается в виде g — aa№cv
с целыми а, р, у, причем
Следовательно, отображение аа№сУ ь> [ 0 1 a J является
изоморфизмом G на UT3(Z).

§ 16] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 147
Несколько слов о терминологии. Свое нынешнее на-
название нильпотентные группы получили не сразу — долго
их называли ничего не говорящим словом «специальные».
Между тем в теории колец уже давно работало понятие
нильпотентного, т. е. «потенциально нулевого» кольца —
это кольцо, в котором произведение данного числа любых
элементов равно нулю:
х1...хп = 0 E)
(таково, например, кольцо треугольных матриц степени п
с нулевой диагональю). Классическая теория Ли устано-
установила соответствие между особым классом колец — коль-
кольцами Ли — и особым классом групп — группами Ли,—
при котором умножению в кольцах соответствует комму-
коммутирование в группах и, в частности, тождеству E) соот-
соответствует тождество
[хь . . ., хп] = 1. F)
По этой причине термин «нильпотентная» в конце концов
закрепился и за группами с тождеством F). Отметим, что
теория групп не осталась в долгу перед теорией колец —
разрешимые кольца Ли были названы так по аналогии
с разрешимыми группами.
Иногда ступень нильпотентности называют классом
нильпотентности. Это менее удобно, так как порождает
стилистические шедевры вроде «класса нильпотентных
групп данного класса».
О связи между нильпотентностью в кольцах и группах
еще раз напоминает
16.1.4. Упражнение. Пусть А — ассоциативное
кольцо с единицей, В — его подкольцо, Вп — подкольцо,
порожденное произведениями Ьг . . . Ъп, bt ?E В. Если
подкольцо В нильпотентно, т. е. Вп = 0 при некотором п,
то множества G(i) = {1 + х \ х GE В1} являются груп-
группами относительно умножения в А, причем [G(*>, Gu>] ^
<1 G(i+J). В частности, все они нильпотентны ступени <^п.
Это вновь доказывает нильпотентность некоторых групп
примера 16.1.2, но уже без описания центральных мат-
матрёшек.
16.1.5. Упражнение. В любой нильпотентной
группе без кручения единица — единственный элемент,
сопряженный со своим обратным.

148 НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
16.1.6. Упражнение. Периодические конечно
порожденные нильпотентные группы конечны.
Указание: воспользоваться упражнением 14.3.2.
16.2. Общие свойства. Само определение нильпотент-
ных групп подсказывает ясный и обычно безотказный путь
их изучения — индукцию по ступени нильпотентности.
Проводя индукцию, чаще всего работают с централами
и гиперцентрами, но иногда используют и другие подгруп-
подгруппы. В этой связи полезна
16.2.1. Лемма. Пусть G — нилъпотентная группа
ступени s ^ 2. Любая ее подгруппа, порожденная комму-
коммутантом и одним элементом, имеет ступень нильпотент-
нильпотентности меньше s.
Доказательство. Пусть а ?Е G, Н ={a, [G, G]).
Так как
[G, С] < (C-iG) ПЖС-хЯ,
то группа HIZa-\H циклическая. Поскольку фактор-группа
по центру не может быть циклической, отличной от 1, то
^s-i Н = Н, что и требовалось.
Свойства нильпотентных групп, которые мы установим
в зтом пункте, относятся в основном к подгруппам.
16.2.2. Теорема. Любая подгруппа нилъпотент-
ной группы субнормальна. Более точно, если G — нилъпо-
нилъпотентная группа ступени s, то для любой ее подгруппы Н
ряд последовательных нормализаторов достигает G не
позже чем через s шагов.
Доказательство. Введем обозначения
7Н = tfi, Но = Н, Н]+1 = NG (Н,).
Достаточно проверить, что Zt <[ Н%. Для i = 0 это оче-
очевидно. Перейдем от i к i + 1- Так как
[G, Zi+l] < Zt < Hh
то
Hf^ < Ht [Hu Zi+1] < Ht.
Это означает, что Zi+1 нормализует Ht, т. e. Zi+1 ^ Ht+1.
Теорема доказана.
16.2.3. Теорема. В нильпотентной группе любая
нетривиальная нормальная подгруппа имеет нетривиаль-
нетривиальное пересечение с центром.

§ 16] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 149
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности. Пусть G — нильпотентная
группа, Н *QG, Н Ф I, Zt = t,tG. Если Н <^ZU то утверж-
утверждение тривиально. Пусть Н ^ Zv Тогда по индуктивному
предположению, примененному к G/Zu пересечение
HZ1 f] Z2 содержит некоторый элемент а ф Zx. Так как
а = hz, /tG И, !Ё Zv
то А 6 Я fl Z2, h ф. Zlm Пусть элемент g ?E G таков, что
[k, g] Ф е. Тогда
[h, g]tBH П [Z2, G] < H П Zj,
т. е. пересечение Н\{~] Zx нетривиально. Теорема доказана.
16.2.4. Упражнение. В нильпотентной группе
любая нормальная подгруппа простого порядка лежит
в центре.
16.2.5. Теорема. Пусть G — нильпотентная груп-
группа. Если А — ее подгруппа с условием A [G, G] = G, то
А = G. В частности,
[G, G] < Ф (G). G)
Доказательство. Пусть, напротив, А ф G.
Положим At = A't,tG, г = 0, 1, 2, ... Очевидно, At ^
^Лг+1. Пусть Ат <; G, Am+i = G. Так как секция
Атп1Ат абелева, то [G, G] < Ат, откуда
A IG, G] < Ат < G.
Противоречие. Утверждение о подгруппе Фраттини вы-
вытекает из ее описания как множества непорождающих
элементов (теорема 2.2.6). Теорема доказана.
[Откроем здесь одну тайну. Приводя примеры под-
подгрупп \Фраттини в 2.2.7, мы установили включение
Ф (ET2y(Z)) < UTl (Z) и сообщили (оставив доказа-
доказательство читателю!), что верно и обратное включение. При
этом мы имели в виду как раз теорему 16.2.5.]
16.2.6. Теорема. В любой нилъпотентной группе G
любая максимальная абелева нормальная подгруппа А
совпадает со своим централизатором. В частности, А —
максимальная абелева подгруппа и GIA изоморфно вкла-
вкладывается в Aut A.
Доказательство. Обозначим Н — Cg (A),
Zt = Z,jG. Пусть уже доказано, что Н [} Zt <[ А, и пусть

150 НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. в
х ?Е Н f] Zi+1. Для всякого g ЕЕ G имеем [х, g] €Е Н П
П Zг <^ Л, поэтому гр (х, А) — абелева нормальная под-
подгруппа из G, содержащая А. Ввиду максимальности А
имеем х ЕЕ А, т. е. Н f] ^i+i <^ А. Так как Zn = G при
некотором и, то Н = Л, что и требовалось доказать.
Элементы конечных порядков будем коротко называть
периодическими элементами.
16.2.7. Теорема. В любой нилъпотентной группе
G совокупность xG периодических элементов есть подгруппа
{периодическая часть группы G).
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности с использованием леммы 16.2.1.
Пусть a, b — периодические элементы группы G. Положим
А = (a, [G, С]), В = (Ъ, [G, G)).
По индуктивному предположению хА, тВ — подгруппы
в А, В соответственно. Так как хА эндоморфно допустима
в А, а А нормальна в G, то хА нормальна в G. По той же
причине хВ нормальна в G. Так как любой элемент из
хА-хВ при возведении в подходящую степень попадает
сначала в хВ, а затем в 1, то группа хА-хВ периодическая.
В частности, элементы аЪ, аГ1 периодические, что и тре-
требовалось доказать.
16.2.8. Теорема. В любой нилъпотентной группе G
без кручения извлечение корней — однозначная операция
{хотя и не обязательно всюду определенная), т. е. из
ап = Ьп, п Ф 0, следует а — Ь.
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности. Так как для абелевых групп
теорема очевидна, то будем считать, что G неабелева. Рас-
Рассмотрим подгруппу (a, [G, G]). Она нормальна в G и имеет
меньшую ступень нильпотентности (лемма 16.2.1). Так
как а, аь ЕЕ {a, [G, G]) и, очевидно, (аь)п = а", то по
индуктивному предположению аь — а. Значит, элементы
а и Ъ перестановочны, откуда {ab~l)n = е. Так как G без
кручения, то а = Ъ. Теорема доказана.
16.2.9. Упражнение. В любой нильпотентной
группе без кручения хтуп — упхт {т, п Ф 0) =^ ху = ух.
Указание: {у~^хуп)т = хт =» у'пхуп = х и т. д.
16.2.10. Упражнение. В нильпотентных груп-
группах без кручения все факторы верхнего центрального ряда
тоже без кручения.

§ 16] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 151
16.2.11. Упражнение. Аналог для нижнего цен-
центрального ряда неверен: например, если
/1 пг г\ /1 о ni\
<?= о 1 г 1 то [G,6]= о 1 о ,
Vо о 1 / \о о 1 /
откуда G/IG, G] ~ Z 0 Z 0 Z».
Рассмотрим теперь нйльпотентные нормальные под-
подгруппы в произвольных группах.
16.2.12. Теорема (Фиттинг). Во всякой группе про-
произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп сту-
ступеней s, t есть нормальная нилъпотентная подгруппа сту-
ступени <. s + t.
Доказательство. Пусть А ^ G, В ^ G,
ys+1A = 1, уихВ = 1. Тогда
Yn
(АВ) = [АВ,..., АВ] = П [Нъ • • •, Я„], (8)
где кааддое Hi совпадает либо с А, либо с В (см. 3.2.6).
е
Так как ytA <! A «g G, то уИ ^би, значит,
[Vi-4. 5] <^ ytA для всех i.
Таким образом, если i членов из Ну, . . ., Я„ совпадают
с А, а остальные п — i совпадают с В, то
[tflf . . ., Нп] < уИ П Уп-iB. (9)
Возьмем re = s + f + 1. Тогда либо i ^ s + 1» либо
?г — i > ? + 1, откуда ввиду (8), (9) уп (АВ) = 1. Теорема
доказана.
16.2.13. Упражнение. Пусть класс & состоит
из всех групп G с условием
n=l
Произведение двух нормальных подгрупп, принадлежа-
принадлежащих &, не обязано принадлежать к — противоречащим
примером служит
16.3. Нилыгатентные группы автоморфизмов. Как было
отмечено в примере 16.1.2, любая группа унитреугольных

152 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
матриц нилыготентна. Но ведь матрицы — это автомор-
автоморфизмы векторного пространства с фиксированной базой,
а унитреугольные матрицы — это в точности те автомор-
автоморфизмы, которые оставляют на месте матрёшку подпро-
подпространств, натянутых на убывающие конечные отрезки
базы, и действуют тождественно в секциях этой матрёшки.
Оказывается, это свойство и есть подлинная причина ниль-
нильпотентности.
16.3.1. Лемма. Пусть в группе G задана (г + 1)-
членная нормальная матрёшка
G = G0>G1>...>Gr = l A0)
и Ф — группа всех автоморфизмов группы G, оставляющих
члены матрёшки A0) инвариантными и действующих тож-
тождественно в секциях Gi/Gi+1 (стабилизатор матрёшки A0)).
Будем рассматривать G, Ф как подгруппы голоморфа
Hoi G. Группы Ф и [G, Ф] нилъпотентны ступени < г.
Доказательство, а) Группа Ф нильпотентна
ступени < г. Действительно, по условию
G? = Gu [Gu Ф] < Gi+1 для всех i. A1)
Пусть Ф^ — централизатор в Ф секций Gi/Gt+j, i =
= 0, 1, 2, ... Очевидно,
Ф = Ф1 > Ф2 > . . . > Фг = 1,
и нам достаточно доказать, что это центральная матрёшка
в Ф, т. е.
[Ф}, Ф] < Ф7+1 для всех /
или
[Gh [Ф;, Ф]] < Gl+}+1 для всех i, j.
Но это следует из соотношений
[Ф,, [Ф, <?,]] < [Ф„ GiJ < Gt+U1,
[Ф, [Gu Ф,]] < [Ф, Gt+j] <
ввиду леммы о трех коммутантах 3.2.3.
б) Группа [G, Ф] нильпотентна ступени ¦< г. Действи-
Действительно,
[G, [Ф, Gt]] < [G, Gi+1] < GM,
[Ф,, [Gn G\] < [Ф, Gt] < Gi+1,

§ 16] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 153
поэтому, снова ввиду леммы о трех коммутантах,
[Gu [G, Ф]] < G;+1 для всех i.
Это означает, что сопряжения элементами из [G, Ф] дей-
действуют тождественно в секциях матрёшки d > G2 ^ ...
... ;> Gr = 1. По уже доказанному утверждению а) группа
этих сопряжений, т. е.
нильпотентна ступени < г — 1. Но [G, Ф] <j Glt поэтому
С[сф] (Gi) лежит в центре [G, Ф]. Отсюда и следует б). Лем-
Лемма доказана.
Теперь естественно пойти дальше и спросить себя:
не будет ли нильпотентным стабилизатор произвольной
матрёшки подгрупп, не обязательно нормальной? Здесь
под стабилизатором матрёшки A0) понимается макси-
максимальная подгруппа Ф из Aut G с условием A1). Оказы-
Оказывается, ответ и в этом случае будет утвердительный, хотя
доказательство усложняется, а оценка ступени нильпо-
нильпотентности ухудшается:
16 3.2. Теорема (Ф. Холл). Стабилизатор любой
(г + 1)-членной матрёшки подгрупп есть нилъпотентная
группа ступени <Л о ) •
Доказательство проводится индукцией по г.
Пусть Ф — стабилизатор матрёшки A0). Пусть еще Ч* =
= Сф (GJ. Так как Ф стабилизирует r-членную матрёшку
Gt ~^ G2 P* . . ., то по индуктивному предположению груп-
группа ФР? нильпотентна ступени <^ ( г „ J, т. е.
Обозначим
Так как ? ^ Ф, то W — ^ > ^2 > . . . Нам достаточно
доказать, что [G, ?г] = 1. Для этого мы проверим, что
[G, Ч^] ^ Gt для всех i. Для i = 1 это очевидно. Перей-
Перейдем от i к i + 1- Пусть geG, i|>i+1 e Wt+i. Надо пока-
показать, что [1|>2+1, g] e Gi+1. Но г|)г+1 — слово от коммутато-
коммутаторов вида
Ы 1] ЧГ Ф

154 НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
Элемент i|>f+1 — то же самое слово от произведений
№i, Ф^ = tyj, Ф! ty*. ф, gl A2)
Заметим, что
1%, Ф. gl ^ Gi+i
ввиду тождества Ф. Холла (см. 3.2.3) и соотношений
[ф, g-\ ifc] е= [Ф, С, У,] < [Glt Y\ = i,
[g, у:1, ф] е= [С, Т„ Ф] < [G,, Ф] < Gl4l.
Таким образом, в произведении A2) левый множитель
принадлежит W, а правый Gi+V Но W централизует
Gi > Gi+1, поэтому iffn <= ^i+iGi+1. Отсюда [ij),+1, g] e
e Gi+1 и всё доказано.
Вот как далеко привел нас пример 16.1.2!
§ 17. Важнейшие подклассы
17.1. Конечные нильпотентные группы. Другим важ-
важным источпиком нильпотентных групп является следую-
следующий
17.1.1. Пример. Любая конечная р-группа G
нильпотентна. Действительно, группа G имеет нетриви-
нетривиальный центр. Для доказательства заметим, что элемент
тогда и только тогда является центральным, когда он со-
составляет полный класс сопряженных элементов. Так как
| с<4 = | G : ЛГС (с) |,
то мощности С; классов сопряженных элементов группы G
являются степенями числа р. Так как единица составляет
полный класс сопряженных элементов, то по крайней
мере одно из чисел с; равно 1. Но их сумма 2сг = I G I
делится на р, поэтому еще несколько чисел с; должны
равняться 1. Таким образом, G имеет нетривиальный центр
Zj. По той же причине G/Zt имеет нетривиальный центр
Z2/Z1 и т. д. Мы видим, что достаточно большой гипер-
гиперцентр группы G совпадает с G. Значит, G нильпотентна.
ИЛ.2. Упражнение. Пусть р — простое число.
Существуют только две неизоморфные группы порядка р2:
Zp« и ZP X Zp. Групп порядка р3 имеется пять — три
абелевых:
p"j &jps A /upi аир A /Lip А и_,р

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 155
и две неабелевых: при р = 2 это группа диэдра
гр (a, b\\a* = I, b2 = 1, bab = а)
и группа кватернионов
гр (a, b || а* = 1, Ь2 = а2, б'^Ь = а),
а при р ^> 2 — группы
гр (а, 6 || а** = 1, \р = 1, 6-]а6 = а1+р),
гр (а, 6, с || а? = 1, 6Р = 1, ср= 1,!
[а, 6] = с, [а, с] = [Ъ, с] = 1).
Бесконечные р-группы могут не быть нильпотентны-
ми,— например, прямое сплетение любой нетривиальной
р-группы с бесконечной р-группой есть р-группа без
центра (см. упражнение 6.2.3). Конкретный пример:
С оо г С ». Другой хороший способ лишить группу цент-
центра — постоянно смещать его в связи с укрупнением:
17.1.3. Упражнение. Пусть К — поле положи-
положительной характеристики р, ТТТШ (К) — группа бесконеч-
бесконечных матриц над К, у которых строки и столбцы занумеро-
занумерованы натуральными числами, по диагонали стоит 1, под
ней — нули, а над диагональю лишь конечное число
элементов отлично от нуля. Группа UТа (К) является
р-группой без центра (см. формулу B) из 3.1.1).
Оказывается, прямыми произведениями конечного чис-
числа конечных р-групп исчерпываются все конечные ниль-
потентные группы. Более того, справедлива
17.1.4. Теорема (Бернсайд — Виланд). Пусть
G — конечная группа. Следующие условия равносильны:
а) G нилъпотентна,
б) любая подгруппа из G субнормальна,
в) G — прямое произведение своих силовских р-подгрупп,
г) [G, G] < Ф (G).
Доказательство проведем по следующей
схеме:

156 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
а) =4> б). См. теорему 16.2.2.
б) 4в). Пусть Р — силовская р-подгруппа из G.
Так как Ng{P) совпадает со своим нормализатором в G
(упражнение 11.1.4), а ввиду б) нормализатор всякой
собственной подгруппы больше ее самой, то Ng (P) = G.
Таким образом, силовские р-подгруппы нормальны в G.
Отсюда уже легко получается в).
в) =?• а). См. пример 17.1.1.
а) =4> г). См. теорему 16.2.5.
г) =4- в). Опять достаточно проверить, что любая си-
силовская р-подгруппа Р из G нормальна в G. Пусть, напро-
напротив, Ng (P) — собственная подгруппа в G и Я — содер-
содержащая ее максимальная подгруппа из G. Так как
[G, G] < Ф (б) < Я,
то Я нормальна в G. С другой стороны, Я содержит No {P),
а потому должна совпадать со своим нормализатором
в G (упражнение 11.1.4). Этим противоречием заканчивает-
заканчивается доказательство теоремы.
Из теоремы Бернсайда — Виланда непосредственно
следует, что сплетение конечной р-группы, отличной от 1,
с конечной g-группой, отличной от 1, тогда и только тогда
нильпотентно, когда р = q.
17.1.5. Упражнение. Какова ступень нильпо-
нильпотентности сплетения Zpm г Zp?
Исчерпывающий ответ на вопрос, когда бывают ниль-
потентными сплетения, содержится в следующем упраж-
упражнении.
17.1.6. Упражнение. Пусть А, В — нильпотент-
ные неединичные группы. Каждое из сплетений А г В,
А г В тогда и только тогда нильпотентно, когда А, В
являются р-группами, причем А имеет конечный период,
а В конечна.
Указание: воспользоваться упражнениями 6.2.1
и 6.2.3 и естественным гомоморфизмом Z^Zp -*-Т,ч г ZP-
Отметим в заключение этого пункта факт, относящийся
к произвольным конечным группам.
17.1.7. Теорема (Фраттини). Подгруппа Фратти-
ни конечной группы нилъпотентна.
Доказательство. Пусть G — конечная груп-
группа, А — ее подгруппа Фраттини. Ввиду теоремы ПАЛ
достаточно проверить, что любая силовская р-подгруппа

§ fV] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 157
Р группы А нормальна в А или, что равносильно, в G
(см. упражнение 5.2.6), т. е. NG(P) = G. Но это равно-
равносильно соотношению
G = A -NG (P),
так как множество А конечно и состоит из непорождаю-
щих элементов группы G (теорема 2.2.6). Последнее соот-
соотношение мы и докажем.
Пусть g — произвольный элемент из G. Сопряжение G
посредством g отображает А в себя, поэтому Р8 — снова
силовская р-подгруппа из А. По теореме Силова 11.1.1
подгруппы Р и Ре сопряжены некоторым элементом
SG4, т. е. Pg = Pa. Отсюда go^E^^, g(=A-NG(P).
Теорема доказана.
Отметим, что попутно нами доказана
17.1.8. Лемма Фраттини. Пусть А — нор-
нормальная подгруппа конечной группы G, Р — ее силовская
р-подгруппа. Тогда G — A-NG (P).
17.1.9. Упражнение. Пусть А — нормальная
подгрУппа группы G и В — такая подгруппа из А, что
В, В' %,А сопряжены в А тогда и только тогда, когда эти
подгруппы сопряжены в G. Тогда G = A-NG (В). (Обоб-
(Обобщенная лемма Фраттини.)
17.2. Конечно порожденные нильпотентные группы.
Очевидный пример таких групп — UTn (Z). Оказывается,
подгруппами унитреугольных групп над Z исчерпывают-
исчерпываются вообще все конечно порожденные нильпотентные груп-
группы без кручения, а произвольные конечно порожденные
нильпотентные группы являются их конечными расши-
расширениями и, в частности, вкладываются в группы 8Ln (Z).
Мы установим здесь два эти факта, основные в теории ко-
конечно порожденных нильпотентных групп.
17.2.1. Лемма. Пусть G—произвольная группа.
Если G порождается множеством М, то централ yfi
порождается следующим централом уц-fi и простыми
коммутаторами веса i от элементов из М.
Доказательство. Для i = 1 это очевидно.
Перейдем от i к i +1. По определению yi+1G порождается
элементами [х, у], х €= yiG, у ЕЕ G. По индуктивному пред-
предположению х = ж? ... Xmmz, где каждое х, — простой ком-
коммутатор веса i от элементов из М, z ЕЕ yufi, ?j = ± 1.
Далее, у — слово от элементов из М \J M'1. Используя

158 НИЛЫЮТЕНТНЫК ГРУППЫ [ГЛ. 6
коммутаторные соотношения C) из п. 3.2, мы видим, что
[х, у] — слово от элементов вида
[х}, a]g = [xj, a] [xj, a, g], [z, a]g,
a^M, g^G.
Так как [xj, a, g], [z, а] принадлежат Уи-^G, то всё доказано.
Мы будем говорить, что группа почти или почти вся
обладает некоторым свойством, если она содержит нор-
нормальную подгруппу конечного индекса, обладающую этим
свойством.
17.2.2. Теорема. Любая конечно порожденная нилъ-
потентная группа G обладает центральной матрёшкой
с циклическими секциями и почти вся без кручения. Если G
вся без кручения, то она обладает центральной матрёш-
матрёшкой с бесконечными циклическими секциями.
Доказательство, а) Пусть G конечно порож-
порождена и нильпотентна. Каждая секция ее нижней централь-
центральной матрёшки — конечно порожденная абелева группа
(см. 17.2.1) и, значит, обладает матрёшкой с циклическими
секциями. Поскольку уплотнение центральной матрёш-
матрёшки — снова центральная матрёшка, то G обладает цент-
центральной матрёшкой с циклическими секциями. Индук-
Индукцией по числу членов матрёшки докажем, что G почти вся
без кручения. Пусть Н — максимальный член матрёшки,
отличный от G, а — элемент, порождающий G (mod Я).
По индуктивному предположению Я почти без кручения,
поэтому при некотором т подгруппа Я™ = (hm \ h €= Я)
без кручения. Ввиду 16.1.6 | Я : Я | ¦< оо. Если
| G : Я | < оо, то Я — искомая подгруппа без кручения
в G. Пусть | G : Я | = оо. Тогда (а) Нт содержит искомую
подгруппу, так как она без кручения и
| G : (a) IT | = | Н : Н П (а) Н™ |< | Я : Нт\< оо.
б)^Пусть G — нильпотентная группа без кручения.
По доказанному она полициклическая, поэтому секции
ее верхней центральной матрёшки — тоже полицикличе-
полициклические (упражнение 4.4.3). Так как они — группы без кру-
кручения (упражнение 16.2.10), то верхняя центральная
матрёшка уплотняется до матрёшки с бесконечными цик-
циклическими секциями. Теорема доказана.
17.2.3. Упражнение. Любая полициклическая
группа почти вся не имеет кручения.

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 159
Указание: см. доказательство 17.2.2.
17.2.4. Упражнение. В любой конечно порож-
порожденной нильпотентной группе периодическая часть ко-
конечна. Более общо, в любой группе почти без кручения пе-
периодические подгруппы конечны.
Теорема 17.2.2 позволяет в конечно порожденную ниль-
потентную группу G без кручения внести целочисленные
координаты специального вида и с их помощью предста-
представить G целочисленными унитреугольными матрицами.
Более точно, пусть G — множество. Набор функций
fi'.G-t-'E, i = l, . . ., s, называется координатным, если
отображение гн-^ (х), . . ., fl(x)) является взаимно одно-
однозначным отображением множества G в множество Z*
всех целочисленных s-ок. Пусть G с: %*. Отображение
q>: G -»- Zr называется полиномиальным, если существуют
такие многочлены Д, . . ., /г от s переменных с коэффици-
коэффициентами из поля Q, что
х? = (А (х), . . ., U (х)) для iSC.
Если /1( . . ., /г — многочлены первой степени, то <р назы-
называется линейным. Пусть теперь G — конечно порожденная
нильпотентная группа без кручения. Рассмотрим в ней
центральную матрёшку
G = G, > G2 > . . . > Gs+1 = 1
с бесконечными циклическими секциями и возьмем эле-
элементы а1? . . ., а4 с условием Gt = гр(аг, Gi+1). Очевидно,
каждый элемент х из G однозначно записывается в виде
так что набор функций 1Ъ . . ., ts является координатным.
Упорядоченную систему aj, . . ., as назовем малъцевской
базой группы G, а числа fj (х), . . ., ts (x) — координатами
элемента х в этой базе.
17.2.5. Теорема. Пусть G — конечно порожден-
порожденная нилъпотентная группа без кручения с отмеченными на
ней малъцевскими координатами tlf . . ., tt. Существуют
натуральное число п = n(G) и такое изоморфное вложе-
вложение <р: G -*-UTn (Z), что отображение ф полиномиально
на G, а обратное к нему отображение ф линейно на G*
(в матричных координатах, имеющихся на ?7Tn(Z)).

160 НИЛЫ1ОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
В частности, умножение и возведение в степень в группе G
записываются многочленами в малъцевских координатах.
Более точно, если x,yEEG, m GE Z. 1 <^ i <C s» mo
ti (xy) = многочлен над Q
от {ta (х), ta (у) \a<i) + tt (х) + tt (у), A)
tt (xm) = многочлен над Q
от т и {ta {х) | а < i} + mtt (x). B)
Доказательство, а) Выведем сначала утверж-
утверждение «в частности». Для любой матрицы а из UTn (Z)
и любого m из Z мы имеем
п—I
= !. C)
а" = ? G) (« - е)\ где (^) = "(»-D - ("-
t=0
т. е. коэффициенты матрицы ат являются многочленами
от m и коэффициентов матрицы а. В силу основного ут-
утверждения теоремы координаты tt (xy), tt (xm) линейно
выражаются через коэффициенты матриц (жу)ф, (жт)ф,
которые полиномиально выражаются чррез коэффициенты
матриц ж*, г/ф и число т. Снова по основному утверждению
теоремы коэффициенты матриц xv, у9 полиномиально вы-
выражаются через координаты ta (x), ta (у), поэтому маль-
цевские координаты произведения ху и степени хт яв-
являются многочленами от мальцевских координат элемен-
элементов х, у и числа т. То, что эти многочлены имеют вид A),
B), сразу вытекает из определения центральной матрёшки,
б) Теперь заметим, что вместо вложения ф достаточно
указать полиномиальное вложение Up: G -*-GLn (Z), об-
обратное к которому ф линейно на G^, причем G^ состоит
из унипотентных матриц (матрица а называется унипо-
тентной, если она имеет единственный характеристиче-
характеристический корень 1 или, что равносильно, (а — е)п = 0). Дей-
Действительно, группу Н = G^ путем сопряжения в GLn (Q)
можно отобразить в UTn (Z). Мы докажем сначала, что
Н сопряжена с подгруппой из U Tn (Q). Будем рассмат-
рассматривать GLn (Q) как группу автоморфизмов /г-мерного
векторного пространства V над полем Q и возьмем неуп-
лотняемую матрёшку V = V1 ^> F2 ^> . . . ^> Vm+1 = 0

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 161
подпространств, инвариантных относительно Н. В базе,
отнесенной к этой матрёшке, автоморфизмы из Н записы-
записываются клеточно-треугольными матрицами, диагональные
клетки которых изображают действие Н в секциях
Vt /Vi+1, поэтому достаточно доказать, что каждая такая
секция U имеет размерность 1. Так как коммутант [Н, Н]
имеет меньшую ступень нильпотентности, то можно счи-
считать, что [Н, Н] приводится к унитреугольному виду.
Тогда существует ненулевой вектор и ЕЕ U, неподвижный
относительно автоморфизмов из [Н, Н]. Пусть U' — под-
подпространство всех таких векторов. Оно инвариантно отно-
относительно Н, так как для h ЕЕ Н, Ы ЕЕ [Н, Н] имеем
(uh) h' = u {hh'h~l)h = uh.
Так как секция U не содержит собственных подпрост-
подпространств, инвариантных относительно Н, то U' = U.
Отсюда [Н, Н] = 1 на U, т. е. Н индуцирует абелеву
группу автоморфизмов секции U. Но любое множество
перестановочных линейных преобразований имеет общий
собственный вектор над расширением основного поля с по-
помощью характеристических корней этих преобразований.
Так как группа Н ушшотентна, то она имеет общий собст-
собственный вектор в f/. Так как подпространство, натянутое
на этот вектор, инвариантно относительно Н и U не содер-
содержит собственных инвариантных подпространств, то U
одномерно. Этим доказано, что На <! UTn (Q) при под-
подходящем а ЕЕ GLn (Q). Возьмем теперь в На конечное
число порождающих матриц, возьмем общий знаменатель
Л^ их коэффициентов и рассмотрим матрицу
6 = diag(l,AT, N\ .... TV"-1).
Легко видеть, что НаЬ <,UTn (Z).
в) Остается доказать существование г|\ Мы сделаем
это индукцией по длине мальцевской базы. Пусть для
групп с мальцевской базой длины < s требуемое матрич-
матричное представление уже найдено, а вместе с ним доказана
и вся теорема (см. а), б)). Пусть группа G имеет мальцев-
скую базу аъ . . ., as длины s. В качестве подготовки
к построению г|; мы установим в этом пункте формулу A)
для группы G. Обозначим для краткости tt (x) = |г,
ti (у) = 4i- Очевидно,
ху = а\^ (аГW)2 • • • (arW)-^2 • • • а?

162 НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
По индуктивному предположению и ввиду а), б) форму-
формулы A), B) справедливы для групп с мальцевской базой
длины < s, поэтому достаточно проверить, что координаты
элементов [a?, aj в мальцевской базе а2, . . ., as — много-
многочлены от т). Очевидно,
[a?, at] = al4 (а
и
а[ aidi = афС+х . . . а,
Применяя к гр (а1? ai+1, . . ., as) индуктивное предполо-
предположение, мы заключаем, что
где ?^ — многочлены от т). Отсюда Id, at\ = aj+i . . . at ,
и формула A) доказана для группы G.
г) Построение г|\ Пусть Q [t] — кольцо многочленов
над Q от функций tlt . . ., ts. Определим на нем действие
группы G, полагая для а из G
3 \ /
(«левый сдвиг аргумента»). Непосредственно проверяется,
что оператор op (a), задаваемый этой формулой, является
автоморфизмом кольца Q It], а правило а >->- op (a) оп-
определяет изоморфизм G-*- Aut (Q Ы).
Произведение вида Л/ (t) = $'••• i?s назовем одно-
одночленом от tlf . . . , ?„. Ввиду A)
где сгу (а) — многочлен над Q от мальцевских координат
элемента а, а одночлены М} (t), входящие с ненулевыми
коэффициентами в выражение для t", не содержат пере-
переменных ti, . . ., ts. Отсюда видно, что op (a) — op (е)
отображает произвольный одночлен М (t) либо в 0, либо
в линейную комбинацию меньших одночленов, если счи-
считать одночлены упорядоченными по последним различным
показателям. Значит, при подходящем т = т (а, М)
преобразование (ор (а) — ор (е))т аннулирует М (t).

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 163
Пусть Н — аддитивная подгруппа, порожденная ор-
орбитой множества координатных функций {tv . . ., ts} от-
относительно операторов ор (х), х ЕЕ G. Ввиду D) Н лежит
в подгруппе, порожденной функциями {tt, -jyM] (t)}
при некотором натуральном N, а потому конечно порож-
порождена. Пусть hx, . . ., hn — база свободной абелевой груп-
группы Н. Пусть еще
A» = S*«C*)Ai. E)
т. е. (ijjjjj (х)) — матрица сужения ор (х) на Я в базе hv . . .
. . ., hn. Так как Н содержит координатные функции
t±, . . ., ts, то правило х i->- (tlpfci (x)) определяет изомор-
изоморфизм г|>: G -*• GLn (Z), причем G* состоит из унипотентных
матриц. Отображение ij; линейно] на G®, так как мно-
множество {tt} линейно выражается через {hk}, а вычисляя
функции E) в точке е, мы видим, что {hk} линейно выра-
выражается через {%;}. Само г|; полиномиально, т. е. функции
г|;кг являются сужениями на G некоторых многочленов над
Q. Действительно, пусть х ЕЕ G. Так как каждое Afc —
линейная комбинация над Z от некоторых if, g €= G, то
ввиду D) Щ — такая же комбинация от
Отсюда
i
где Pkj — многочлен над Q; в частности,
G)
Так как множество {hk} линейно независимо над Q, то
таковы и строки матрицы (Рк} (е)). Подставляя F), G) в
E) и пользуясь линейной независимостью {Mj (t)}, полу-
получим для 1|)>г (х) систему линейных уравнений
откуда и видно, что функции г|>кг полиномиальны над Q.
Теорема доказана.

164 НИЛЫГОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
В связи с приведенным доказательством уместно отме-
отметить здесь общий метод расщепляемых координат
(Мерзляков Ю. И.— Алгебра и логика, 1968, 7, № 3,
с. 63—104), позволяющий устанавливать изоморфную
представимость групп матрицами. Изложение этого ме-
метода можно найти в [20].
17.2.6. Упражнение. Пусть р — простое число.
Любая конечно порожденная нильпотентная группа без
кручения аппроксимируется конечными /ьгруппами.
Указание: см. доказательство теоремы 14.2.2.
В начале пункта мы отметили, что из теорем 17.2.2
и 17.2.5 следует вложимость произвольной конечно по-
порожденной нильпотентной группы G в группу SLn (Z)
при некотором п. Ясно, что достаточно указать вложение
/хЧ> 0\
<р: G-> GrLm (Z), так как тогда вложение х>->-1 „ ф I будет
требуемым. Остается воспользоваться следующим общим
замечанием. Пусть Н — подгруппа конечного индек-
индекса то в произвольной группе G. Пусть av . . ., ат — пра-
правые представители G по Н. Если а — точное представле-
представление группы Н матрицами степени п, то формула
g -* II (atgajy ||
задает точное представление группы G матрицами степени
тп (здесь-ечитается ха = 0 при х ф. Н). Очевидно, это
не что иное, как представление группы G, индуцированное
представлением а (см. п. 12.2).
17.2.7. Упражнение. Группа, почти вся предста-
вимая матрицами над кольцом с единицей, вся предста-
вима матрицами над этим кольцом.
17.2.8. Упражнение. Любая конечно порож-
порожденная нильпотентная группа финитно аппроксимируема.
17.2.9. Упражнение. Существуют конечно
порожденные нильпотентные группы без кручения А, В,
изоморфно вложимые одна в другую, но не изоморфные,—
таковы, например,
А= 01 z i в= 0 О г ПрИ пфО, 1.
V о о 1 У \о о 1 /
17.2.10. Упражнение. Конечно порожденная
нильпотентная группа с конечным центром сама конечна.

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 165
17.3. Нилыготентные группы без кручения. В этом
классе групп наиболее интересна и содержательна теория
извлечения корней, которая и будет сейчас изложена.
Ее исходным пунктом служит теорема 16.2.8 предыдущего
параграфа, согласно которой в любой нильпотентной
группе G без кручения извлечение корней есть частичная
операция, т. е. оно однозначно, хотя и не обязательно
всюду определено. Оказывается, группу G всегда можно
вложить в полную нильпотентную группу (где извлечение
корней всюду определено), причем любые два «минималь-
«минимальных» нильпотентных пополнения группы G изоморфны
друг другу'и исчерпываются корнями из элементов груп-
группы G.
Напомним, что произвольная группа G называется
полной, если для любого ее элемента g и любого нату-
натурального т в G существует решение уравнения хт — g.
Примером полной группы является группа UTn (К) над
полем К нулевой характеристики. Действительно, для
любых a EztJ7Tn (К), [igZ положим по определению,
обобщая формулу C):
г=0
где
М- (Р- — 1) • • ¦ (ц —
П
Непосредственно проверяется, что
au+v = onaV> auv =
1
Отсюда, в частности, следует, что а т — корень та-й сте-
степени из а, т. е. группа TJTn (К) полна.
Полная нильпотентная группа G без кручения назы-
называется (нилъпотентным) пополнением группы G, если она
содержит G и не содержит собственных полных подгрупп,
содержащих G.
17.3.1. Теорема. Пусть Н — подгруппа полной
нильпотентной группы G без кручения. Множество уИ
всех элементов из G, попадающих в некоторой степени в Н
(корень из подгруппы Н в группе G), является подгруппой и,
значит, пополнением Н в G. Гиперцентры подгрупп Н

166 НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
и У Я связаны следующим образом:
и утг=упн, ьв = нг\ УШ-
Доказательство, а) Докажем сначала, что
УН — подгруппа, т. е. ху ЕЕ Ун, если х ЕЕ УН, у ЕЕ
€Е УН. Пусть А = (х, у), В = А П Я, At = ytA. До-
Достаточно проверить, что все \BAt : BAi+1 | <; оо, так
как тогда будет \ А : В | < оо. Ряд
субнормальный с абелевыми секциями, так как ввиду ком-
коммутаторных тождеств C) из п. 3.2
WAt,BA,]<[B, B]Ai [AuB)Ai [АиА(]<ВА1+1.
Пустьхт, у™Е5и уже доказано, что секция ^i
конечна и имеет период яг'-1. Докажем, что секция
BAilBAi+1 конечно порождена и имеет период т1. Первое
вытекает из полицикличности А (теорема 17.2.2). Далее,
[Лг_1, А, 4] = 1 (mod^4<+1), поэтому функция [и, v]
(mod ^41+1), и ЕЕ -4j-i, v ЕЕ А, гомоморфна по обоим ар-
аргументам (снова коммутаторные тождества!). Отсюда
А? = [4М, Л]'п* < [АТХ\ Ат]
Так как
то, применяя еще раз коммутаторные тождества, полу-
получаем
4™'< BAi+l,
что и требовалось.
б) Для доказательства формул о гиперцентрах обо-
обозначим Ht = t,tH и перейдем от i к i + 1. Прежде всего,
Ъ+iVH ^ V^i+n так как Для любого х из ?г+1|Л# име-
имеем жт ЕЕ Я при подходящем т и
откуда ?т ЕЕ Я/+1, ж ЕЕ/Я~^ Обратно, >г+1 <
^ Ej+il/'Я, т. е. подгруппы УН, ]/Hi+1 поэлементно
перестановочны по модулю УHt. Действительно, пусть

§ 17] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 167
х е У7Г, у <= /^TTi» т- е- ^ S //, /G/Zi+i при под-
подходящих /га, га. Так как [Я, Я<+1] < Ht < |^Яг, то хтуп ==
= #V" (mod Y~Ht). Так как |/"Я/угЯ4 — группа без кру-
кручения (упражнение 16.2.10), то ху = j/ж (mod Y^i) (уп-
(упражнение 16.2.9), что и требовалось.
Y
Наконец, Я f] Y^t+i = Я*+1. Докажем только не-
нетривиальное включение Я f] Y^i+i < Яг+1. Пусть
х €Е Н [)У Яг+1, жт ^ Я1+1. Тогда ят перестановочно
с любым элементом из Я по модулю Яг, а, значит, таково
и х (упражнения 16.2.9 и 16.2.10). Отсюда х еЕ Яг+1.
Теорема доказана.
17.3.2. Теорема (А. И. Мальцев). Любая нилъпо-
тентная группа G без кручения обладает нилъпотентным
пополнением той же ступени нильпотентности. Любые
два нилъпотентных пополнения группы G изоморфны;
более того, для любого автоморфизма ф группы G суще-
существует изоморфизм между ними, продолжающий ц>.
Доказательство, а) Единственность.
Пусть Glt G2 — группы, изоморфные G, ф — изоморфизм
(?! на G2, У Gt — нильпотентное пополнение группы Gt.
Возьмем прямое произведение Р = YGX X V"G2, в нем
подгруппу D = {ххч | х ЕЕ Gx) и рассмотрим ее корень
Y в этом произведении. Проверим, что
=1 при i = l,2. (8)
Действительно, если х е= У D f) Y^u т0 •г'" ёВГ)^
при подходящем тга. Отсюда х = 1, и вторая из формул
(8) доказана. Изпее следует, что сужение проектирования
я: Р -> ^С^на группу ]/Z) есть изоморфизм, следователь-
следовательно, YD = ]/Z)". Далее, сужение я на Y@i — тоже изо-
изоморфизм, поэтому Y^i = rG". Но D" = 6^, поэтому
I^Z) = Y^s. ¦ Возвращаясь к полным прообразам отно-
относительно п, получаем первую из формул (8) для i = 2.
По симметрии она верна и для i = 1.
Формулы (8) показывают, что любой элемент х1 из
является проекцией точно одного элемента х из Y&
на множитель YGi- Сопоставляя элементу хг проекцию

168 НИЛЫГОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
элемента х на множитель у Gx, мы получим изоморфизм
У Gx на ]/(?2, продолжающий ф.
б) Существование. Если группа G конечно
порождена, то она вкладывается в полную нильпотент-
ную группу UTn (Q) при некотором п (теорема 17.2.5).
Корень Y& из подгруппы G в группе UTn (Q) будет
нильпотентным пополнением группы G. Для g из (?и нату-
натурального m обозначим yr g решение уравнения xm = g
в группе Y&- Очевидно,
причем ввиду а) таблица умножения в Y~G полностью
определяется таблицей умножения в G. Отбросим теперь
предположение, что G конечно порождена, и рассмотрим
множество формальных символов j/ g, g ЕЕ G, m = 1, 2,...
Определим на этом множестве формулой (9) отношение
равенства и обозначим через ]/1г получившееся множество
классов равных элементов. Условимся умножать y^g,
т',—-
У g как элементы нильпотентного пополнения группы
ГР {§1 &')• Тогда YG становится группой, содержащей
подгруппу G. Если группа G нильпотентна ступени s,
то пополнения ее конечно порожденных погрупп имеют
ступени ^> (теорема 17.3.1), поэтому |^G удовлетворяет
тождеству [хх, . . ., ^s+1] = 1. Значит, ]/G— нильпо-,
тентное пополнение группы G с той же самой ступенью
нильпотентности. Теорема доказана.
Нильпотентная группа, содержащая периодические
элементы, уже не всегда вкладывается в полную ниль-
потентную группу, так как периодическая часть полной
нильпотентной группы G обязана лежать в центре. Дей-
Действительно, по индуктивным соображениям можно счи-
считать, что любой периодический элемент g из G лежит во
втором гиперцентре. Если g-"^ = 1, т Ф 0, то [g, xm] =
= [?! х]т = [gm, х] = 1 для произвольного х из G. Ввиду
полноты G элемент хт пробегает всю группу, поэтому
элемент g центральный.

18] ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ 169
§ 18. Обобщения нильпотентности
Из многочисленных обобщений нильпотентности мы
рассмотрим только три: локальную нильпотентность, нор-
мализаторное условие и энгелевость.
18.1. Локальная нильпотентность. Говорят, что груп-
группа локально нилъпотентна, если все ее конечно порожден-
порожденные подгруппы нильпотентны. При этом сама группа
может не быть нильпотентной, как показывает пример
прямого произведения нильпотентных групп неограни-
неограниченно растущих ступеней или пример группы UTa (К)
из упражнения 17.1.3. Более общо, если а — свойство
групп, которое переносится на подгруппы, то говорят,
что группа tG локально обладает свойством а, если все
конечно порожденные подгруппы из G обладают свой-
свойством а (определение для произвольного а см. в следую-
следующей главе).
18.1.1. Упражнение. Подгруппы и фактор-
факторгруппы локально нильпотентных групп сами локально
нильпотентны. Всякая локально нильпотентная группа
является локально полициклической.
18.1.2. Теорема. 1) Во всякой группе произведе-
произведение двух нормальных локально полициклических подгрупп
есть локально полициклическая подгруппа.
2) (Б. И. Плоткин) Во всякой группе произведение двух
нормальных локально нилъпотентных подгрупп есть ло-
локально нильпотентная подгруппа.
Доказательство. 1) Пусть К, L — нормаль-
нормальные локально полициклические подгруппы произвольной
группы G. Надо показать, что любая конечно порожден-
порожденная подгруппа из KL полициклическая. Возьмем в KL
такую подгруппу и запишем ее порождающие в виде про-
произведений ab, а (= К, b E= L. Пусть А — подгруппа,
порожденная левыми множителями, В — правыми. По ус-
условию, группы А, В полициклические. Очевидно, доста-
достаточно убедиться, что их порождение Н = тр(А, В) —
полициклическая группа. Воспользуемся леммой 3.2.2,
описывающей строение Н (отметим, что в нашем случае
множества /, /, С конечны). Ввиду этой леммы и упраж-
упражнения 4.4.3 достаточно проверить полицикличность груп-
группы А [А, В].

170 НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
Так как К, L нормальны в G, то [К, L] <; К f] L.
Так как А, гр (С) конечно порождены и лежат в локально
полициклической группе К, то гр (А, С) полицикличес-
полициклическая. Значит, лежащая в ней подгруппа гр (СА) также
полициклическая. С другой стороны, она лежит в L, по-
поэтому гр(гр(СА), В) — конечно порожденная подгруппа
из L и, значит, тоже полициклическая. По лемме 3.2.2 в ней
содержится [А, В], поэтому [А, В\ — полициклическая
группа. Так как А и [А, В] обе лежат в К и конечно по-
порождены, то их произведение — полициклическая группа.
2) Доказывается по той же схеме.
Теперь снова, как и после теоремы Фиттинга, полезно
обратиться к упражнению 16.2.13.
Не все свойства нильпотентных групп из § 16 имеют
место для локально нильпотентных групп -%¦ так, в при-
примере 18.2.2 следующего пункта мы увидим, что подгруппы
локально нильпотентных групп не всегда субнормальны.
Что же остается от теоремы 16.2.2 в случае локально
нильпотентных групп? Справедлива, например, такая
18.1.3. Теорема (Маклейн). Любая максималь-
максимальная подгруппа Н локально нилъпотентной группы G
нормальна.
Доказательство. Пусть, напротив, Н не нор-
нормальна в G. Тогда существует ге[б, G], х ф Н. Ввиду
максимальности Н гр (Я, х) = G. Пусть
х = 1уи Zj] . . . lyn, zn], yu zt e G.
Пусть yit zt выражаются как слова от г и fe^ . . ., hm из
Я, и
Я* = rp (hu . . ., hm), G* = гр (hu . . ., hm, x).
По условию группа G* нильпотентна. Очевидно, х g=
€=[<?*, G*], хфН*, поэтому Я* — собственная под-
подгруппа в G*. По теореме 16.2.2 можно включить Н* в суб-
субнормальную матрёшку группы G*, которая по теореме
17.2.2 уплотняется до полициклической матрёшки
1<...<Я*<Я1<. . .<HS<G*. A)
Так как секция G* I Hs коммутативна, то [G*, G*] ^ Ня
а, значит, х ?Е Hs. Но тогда G* <^ Hs, что противоречит
строгим включениям A). Теорема доказана.

? iSf ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ 171
18.1.4. Упражнение. Во всякой локально
нильпотентной группе G периодические элементы состав-
составляют подгруппу (называемую периодической частью
группы G).
Указание: см. 16.2.7.
18.1.5. Упражнение. Всякая периодическая ло-
локально нильпотентная группа разлагается в прямое про-
произведение силовских подгрупп.
Указание: учитывая 16.1.6 и 17.1.4, доказать
единственность силовской /(-подгруппы для каждого про-
простого числа р.
18.2. Нормализаторов условие. Как показали Хайне-
кен и Мохамед (Heineken H., Mohamed I. J.— J. Algebra,
1968, 10, p. 368—376), обратить теорему 16.2.2, вообще
говоря, нельзя, т. е. существуют ненильпотентные груп-
группы, у которых все подгруппы субнормальны. Отметим,
однако, что для всякого натурального числа п существуют
такие натуральные числа г (п) и s (n), что всякая группа,
у которой всякая подгруппа с г (п) порождающими вклю-
включается в субнормальный ряд длины ^ п, является ниль-
нильпотентной группой ступени <^ s (n) (Roseblade J. E.—
J. Algebra, 1965, 2, № 4, p. 402-412).
Более слабым условием по сравнению с субнормаль-
субнормальностью всех подгрупп является следующее нормализа-
торное условие: каждая собственная подгруппа отлична
от своего нормализатора.
18.2.1. Теорема (Б. И. Плоткин). Всякая группа
G с нормализаторным условием локально нилъпотентна.
Доказательство. По лемме Цорна всякий
элемент из G лежит в некоторой максимальной локально
нильпотентной подгруппе //. Достаточно показать, что
Н нормальна в G (тогда G будет покрываться локально
нильпотентными нормальными подгруппами, а потому
по теореме 18.1.2 сама будет локально нильпотентной).
Обозначим N = NG (H). Если Ng = N, то Hs, H нор-
нормальны в N. По теореме 18.1.2 их произведение Н3Н ло-
локально нильпотентно. Ввиду максимальности Н имеем
Н8Н = Н, откуда Не = Н, g e N. Таким образом,
N совпадает со своим нормализатором. Ввиду нормализа-
торного условия N = G, что и требовалось доказать.
Обращение этой теоремы неверно, как показывает
следующий пример, решающий и другие вопросы.

172 НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
18.2.2. Пример (М. И. Каргаполов). Определим
для каждого трансфинитного числа а группу Ga, п олагая
|Ср г Ga-i при непредельном а,
U Gp при предельном а.
Р<
Из построения видно, что каждое Ga являетсяр-группой,
причем все ее конечно порожденные подгруппы конечны
и | Ga | > | а|. В частности, все группы Ga локально
нильпотентны.
Пусть у — первое несчетное трансфинитное число.
Ясно, что все Ga при а < у счетны, а группа Gv несчетна.
Покажем, что Gv не удовлетворяет нормализаторному
условию. Действительно, в противном случае в Gv суще-
существовала бы последовательность подгрупп Н%, зануме-
занумерованных трансфинитными числами к гц v, с условиями:
а) Но = 1, Н^ О i/м+ц Н\— \J H^ при предельном к,
Hv = Gy,
б) все факторы H^+JH^ коммутативны.
(Такую последовательность можно было бы построить,
например, беря первую и третью формулы из а) за опре-
определение #я, а в качестве Яц+1 беря порождение Н^ и лю-
любого элемента из N (#ц), лежащего вне Н^.) Мы покажем
сейчас, что группа Gv в действительности не содержит
подгрупп с условиями а), б).
Пусть, напротив, такие Ну. существуют. Уплотнив,
если нужно, последовательность этих подгрупп, можно
считать, что все факторы Нт1/Н^ циклические. Тогда
все Нп с натуральными номерами п счетны, а потому и их
объединение На счетно. Занумеруем элементы из На:
h±, h2, ... Очевидно, hm ЕЕ Gp при некотором |Зт ¦< -у-
Объединение всех Gp есть некоторое Gp, причем р ¦< у,
поскольку Gp счетно, а группа Gv несчетна. Мы получим
противоречие, если установим, что Gp содержит все Н\
при а» ¦< "к <^ v. Сделаем это индукцией по "к. Для пре-
предельных к утверждение очевидно, поэтому пусть к —
непредельное число. Пусть уже доказано, что Н\-^ <^
<^ Gp, но существует h ЕЕ И\, h ф. Gp. Пусть а таково,
что h e= Ga, h ф Ga-.v Очевидно, Р < а — 1, поэтому
^ Ga^. По определению сплетения,
h = bf,b<= Ga-ь f €E fun (Ge-x, Cp),

§ 18] ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ 173
причем / Ф 1. Для всех х ЕЕ #x-i имеем
[хъ, п = x~bxbl e cM n fun (G«-i, cp) = l,
т. е. Hx-i централизует /. Таким образом, элемент /' =
= bfb'1 Ф 1 имеет в Ga-\ бесконечный централизатор.
С другой стороны, этот централизатор, действуя на Ga-X
правыми сдвигами, должен переводить supp (/') в себя.
Значит, он изоморфен группе подстановок конечного
множества supp (/') и потому не может быть бесконечным.
18.2.3. Упражнение. Группа Gv имеет триви-
тривиальный центр.
Группы с нормализаторным условием столь близки
к группам с центральными матрёшками (вообще говоря,
бесконечными), что долго никто не знал, существуют ли
группы с нормализаторным условием и без центра. Этот
старый вопрос был положительно решен Хайнекеном и
Мохамедом (см. статью, цитированную в начале пункта).
Однако по-прежнему неизвестно ([13], вопрос 2.80),
имеет ли произвольная группа с нормализаторным усло-
условием отличную от единицы абелеву нормальную под-
подгруппу.
18.3. Энгелевость. Источником этого обобщения ниль-
нильпотентности служит коммутаторное тождество
[х0, xlt . . ., хп] = 1, B)
определяющее, как мы знаем, нильпотентные группы
ступени ^ п. Стремление иметь возможно меньше пере-
переменных приводит нас к тождеству
[х,у, ..., 2/1 = 1 C)
(отсутствие внутренних скобок означает, конечно, «пра-
«правильную» их расстановку: [[[х, у], у], . . ., у]). Группа
с тождеством C) называется ограниченно энгелевои группой
ступени ^ п — в честь Энгеля, заложившего вместе с Ли
основы теории групп и алгебр Ли, упоминавшейся в на-
начале главы. Очевидно, в многообразии ограниченно энге-
левых групп ступени ^ п содержится многообразие всех
нильпотентных групп ступени ^ п. Эти многообразия не
совпадают, как показывает

1?4 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 6
18.3.1. Пример (Уэстон). Пусть М — множество
натуральных чисел, разлагающихся в произведение раз-
различных простых чисел, т. е. не делящихся на квадраты.
Каждому т ее М сопоставим циклическую группу вто-
второго порядка с порождающим ат и обозначим через А
прямое произведение всех (ат). Каждому простому числу
р сопоставим автоморфизм ц>р группы А, задаваемый на
порождающих следующим образом:
атат/Р при р\т,
ат в остальных случаях.
Очевидно, фр = 1 и фрфд = фдфр, так что группа Ф,
порожденная всеми фр, коммутативна периода 2. Пусть
G — расширение А посредством Ф (см. п. 6.1). Из опре-
определения видно, что при q, не делящем т,
ат = [Ят9> %]•
Отсюда Ш, G] = A, [G, А] = А и, значит, группа G не
нильпотентна. С другой стороны, она удовлетворяет тож-
тождеству [х, у, у, у] = 1. Действительно, если а, а' е А,
Ф, ф' ?Е Ф, то имеем последовательно: [а, а'ф] = [а, ф]
ввиду тождества [х, yz] = [x, z] [x, y]z и коммутативности
группы А, [а, ф, ф] = 1 ввиду тождества [х,] у, z] =
= [у, х] [z, x] [x, yz] и соотношения [а, ц>]2 = 1, наконец,
[ац>, а'ф', а'ф', а'ф'] = [аф, а'ф', ф', ф'] = 1 в силу преды-
предыдущего. Отметим еще тот очевидный факт, что группа
Уэстона имеет период 4.
Группа называется энгелевой, если для любых ее эле-
элементов х, у выполняется соотношение C) при некотором п,
зависящем, вообще говоря, от этих элементов. Очевидно,
класс энгелевых групп содержит класс всех локально
нильпотентных групп. Эти классы различны, как показы-
показывает такой
18.3.2. Пример (Е. С. Голод). Для любого d > 2
существует ненильпотентная группа G с d порождающими,
у которой любая подгруппа с d — 1 порождающими ниль-
нильпотентна. Такая группа строится с помощью аналогичного
примера для алгебр, а именно с помощью ненильпотент-
ной (бесконечномерной) алгебры А с d порождающими,
у которой любая подалгебра с d — 1 порождающими ниль-
нильпотентна. Указанная конструкция, детально изложенная

§ 18] ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ 175
в § 26 Дополнения, дает Л в виде F'll, где F' — подал-
подалгебра «многочленов без свободного члена» свободной ас-
ассоциативной алгебры F с порождающими хх, . . ., xd над
каким-нибудь полем к, I — однородный идеал в F'.
Пусть р — простое число, к = GF (р). Возьмем в FII
множество
1 + Л = {1 + а |ае4}.
Очевидно, A + а) A + Ъ) = 1 + а + Ъ + аЬ, A + а) =
= 1 — а + а* — ... + (— lf-W1-1, если ап = 0, поэ.
тому 1 -\- А — группа. Далее, для всякого а ЕЕ А су.
шествует такое т, что арт = 0, откуда
1=0
поскольку все биномиальные коэффициенты, кроме пер-
первого и последнего, делятся на р. Значит, 1 + А является
р-группой. Пусть G — подгруппа, порожденная в ней
элементами 1 + хг, . . ., 1 + zd, где xt = xt + /. Ясно,
что подгруппа, порожденная элементами 1 + alt ...
. . ., 1 + fl^-i, at ЕЕ Л, лежит в 1 + Л*, где Л* — под-
подалгебра, порожденная элементами а1? . . ., ad^x. По
условию алгебра Л* нильпотентна, поэтому и группа
1 + Л* нильпотентна (упражение 16.1.4). Таким обра-
образом, все подгруппы с d — 1 порождающими из G нильпо-
тентны. Однако сама группа G ненильпотентна. В самом
деле, в противном случае ввиду 16.1.6 она была бы конеч-
конечной. Но тогда и групповое кольцо к [G] и его естествен-
естественный гомоморфный образ FII = к © Л были бы конеч-
конечными, что противоречит бесконечности алгебры Л.
Пока неизвестно, будет ли группа локально нильпо-
тентной, если для любых ее элементов х, у выполняется
соотношение C) при п, зависящем только от у. Неизвест-
Неизвестно также, будет ли в произвольной группе произведение
нормальных энгелевых подгрупп снова энгелевой под-
подгруппой.

Глава 7
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
§ 19. Общие свойства и примеры
19.1. Определения. Как было сказано в начале пре-
предыдущей главы, разрешимые группы— это группы, ко-
которые можно собрать последовательными расширениями
из абелевых групп. Возможны и другие равносильные
определения разрешимости.
19.1.1. Теорема. Для произвольной группы G рав-
равносильны следующие утверждения:
а) группа G обладает субнормальной матрёшкой с абе-
левыми секциями,
б) группа G обладает нормальной матрёшкой с абеле-
еыми секциями,
в) ряд коммутантов G > G' > . . . > G<n) > . . .
группы G через конечное число шагов обрывается на еди-
единице, т. е. является {конечной) матрёшкой,
г) группа G удовлетворяет одному из тождеств
б„ {хх, . . ., х2П) = 1, п = 0, 1, 2, ....
где б0 (х) = х, б„+1 (хг, . . ., х2„+1) = [6„ {хх, . . ., ага„),
2+ 2
Доказательство, в) =^-б)=^а). Очевидно,
а) => в). Пусть группа G обладает субнормальной
матрёшкой с абелевыми секциями:
1 = Но < #! < . . • < Hs = G.
Так как фактор-группа GIHS^ абелева, то G' <[ Я8_1.
Предположим, что уже установлено включение GW ^
^ Н&_ъ, 1 ^ k < s. Ввиду коммутативности секции
Нs-k/'НS-K--1 коммутант ((?№)' = &к+и содержится в Я8_^_1.
Отсюда № = 1. Следовательно, доказана равносильность
первых трех утверждений.
в) ==> г). Допустим, что s-й коммутант №> группы G
равен единице. Так как (s — 1)-й коммутант группы
равен единице, то, используя индуктивные сооб-

§ 19] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 177
ражения, можно считать, что 68_Х (gu . . ., g <._-л g
где 68_Х {gx, . . ., #„,_•) — значение слова 6s_j на элемен-
элементах gi. Отсюда в силу коммутативности группы G(s) полу-
получаем 6S {gx, . . ., g2,) = 1 для любых gi e G.
г) =4- в). Обратно, пусть на группе G справедливо
тождество 6S = 1. Очевидно, подгруппа Н, порожденная
значениями слова 6s_j, нормальна и коммутативна. На
фактор-группе GIH выполняется тождество Ь^х = 1 и
поэтому можно считать Gts-u ^ Н, что влечет G;s) = 1.
Теорема доказана.
Группа G называется разрешимой, если для нее верно
одно из утверждений а), б), в), г). Матрёшки пунктов а), б)
также называют разрешимыми. Если группа G разрешима,
то наименьшее положительное число п, для которого G:™> =
= 1, называется ступенью разрешимости этой группы.
Из доказательства теоремы 19.1.1 видно, что на разре-
разрешимых группах ступени разрешимости <^ п и только на
них выполняется тождество б„ = 1. Следовательно, класс
разрешимых групп ступени разрешимости <^ п есть мно-
многообразие. Непосредственным следствием этого замечания
является замкнутость класса разрешимых групп относи-
относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и конеч-
конечных прямых произведений, а также декартовых произве-
произведений при условии ограниченности ступеней разреши-
разрешимости сомножителей. Прямое (декартово) произведение
произвольных разрешимых групп может не быть разре-
разрешимой группой.
19.1.2. Упражнение. Треугольные матричные
группы Тп (К) разрешимы. Их прямое произведение по
п = 1, 2, ... не является разрешимой группой.
19.1.3. Упражнение. Расширение разрешимой
группы посредством разрешимой группы само разрешимо.
19.1.4. Упражнение. В произвольной группе
произведение двух разрешимых нормальных подгрупп
является разрешимой подгруппой.
19.1.5. Упражнение. В произвольной конечной
группе существует (единственная) разрешимая нормаль-
нормальная подгруппа, фактор-группа по которой не содержит
отличных от единицы абелевых нормальных подгрупп.
19.1.6. У п р а ж н е н и е. Конечная разрешимая
группа обладает субнормальной матрёшкой с цикличе-
циклическими секциями простых порядков.

178 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
19.1.7. Упражнение. Минимальная нормаль-
нормальная подгруппа конечной разрешимой группы является
элементарной абелевой, т. е. разлагается в прямое про-
произведение циклических групп одного и того же простого
порядка.
19.1.8. Упражнение. Периодические конечно
порожденные разрешимые группы конечны (ср. с 16.1.6).
19.1.9. Упражнение. Пусть р — простое число,
Тр — группа матриц вида
над кольцом <QP /j-ичных дробей с положительными диа-
диагональными элементами. Доказать, что 1) центр Z (Тр)
группы Тр состоит из матриц с единственной звёздоч-
звёздочкой в правом верхнем углу и, следовательно, изоморфен
аддитивной группе <QP; 2) группа Тр порождается диаго-
диагональными матрицами
d2 = diag (I, p, 1, 1), d3 = diag A, 1, р, 1)
и трансвекциями Ьц — е + ец, i <С /.Как показал Абельс
(Abels H.— London Math. Soc. Lecture Note Ser., 1979,
36, p. 205—211), Tp имеет в этих порождающих конечный
генетический код
[d2, d3] = 1, ltw tn] - й°- к\
л>6('. i) , _ , т,в(»+1. i)
li, i+l ">j — "'j'l, i+t J
где б (г, /) обозначает единицу при i = / и нуль при г Ф j.
Таким образом, группы Тр доставляют пример конечно
определенных разрешимых групп, у которых центр не
конечно порожден и существуют бесконечные возрастаю-
возрастающие ряды Nx<. iV2 < ... нормальных (даже центральных)
подгрупп.
Другой важный пример, вскрывающий уже не струк-
структурную, а алгоритмическую сложность конечно опреде-
определенных разрешимых групп, указала недавно О. Г. Хар-
лампович (Изв. АН СССР: Сер. матем., 1981, 45, № 4,
с. 852—873) — она построила 3-ступенно разрешимую

§ 19] ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 179
группу с конечным генетическим кодом
G = гр (Xl, . . ., хп || vx = 1, . . ., vm = 1)
и неразрешимой проблемой равенства. Последнее озна-
означает, что для группы G не существует алгоритма, который
по любым двух словам в алфавите хг, . . ., хп распознавал
бы их равенство или неравенство как элементов группы G.
19.2. Полицикличность и сверхразрешимость. Оче-
Очевидный пример разрешимых групп — полициклические
группы. Важный подкласс полициклических групп со-
составляют сверхразрешимые группы — это группы, обла-
обладающие нормальной (а не просто субнормальной) матрёш-
матрёшкой с циклическими секциями. Знакомый нам пример
сверхразрешимых групп дают конечно порожденные
нильпотентные группы.
19.2.1. Упражнение. Подгруппы и фактор-
факторгруппы сверхразрешимых групп сверхразрешимы.
19.2.2. Теорема. Коммутант сверхразрешимой
группы нилъпотентен.
Доказательство. Пусть в группе G задана
нормальная полициклическая матрёшка 1 = Go <^ Gx <Г ...
. . . 4^ Gn = G, и пусть G' — коммутант группы G.
По теореме 4.4.2 ряд
1 = Но < #i < . • • < Я„ = G', где 1^ = G| П &,
является нормальной полициклической матрёшкой в G'.
Покажем, что на самом деле она центральна в G'', т. е.
IG', Hi+1] ^ Hi для всех i = 0, 1, 2, . . ., п — 1. Очевид-
Очевидно, сопряжения группы G элементами из G индуцируют
автоморфизмы в секциях Hi+1/Hi. Так как группа авто-
автоморфизмов циклической группы абелева (см. 5.1.1), то
коммутант G' должен индуцировать во всех секциях
Hi+1/Hi тождественное преобразование. Но это и означает
нужные нам включения. Теорема доказана.
Отметим одно свойство конечных сверхразрешимых
групп.
Пусть G — конечная группа порядка п = р^ . . ¦ рЛ
где pi — простые числа, pt ]> . . . ]> рк. Нормальная
матрёшка
1 = Но < Нх < . . . < Нк = G
называется силовской матрёшкой группы G, если секция

180 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
Hi+1/Hi, i = 0, 1, ..., к — 1, является силовской
Рг+1-подгруппой группы G/Ht. (Иногда в этом определе-
определении не требуют упорядоченности Pi^> ¦ ¦ • ^>Рк-)
19.2.3. Теорема. Конечная сверхразрешимая груп-
группа обладает силовской матрёшкой.
Доказательство. Пусть р — наибольший
простой делитель порядка сверхразрешимой группы G,
и пусть Н — какая-нибудь ее нормальная подгруппа
простого порядка q. Фактор-группа GIH сверх разрешима
и | GIH | <^ | G |. По индуктивным соображениям можно
считать, что в фактор-группе GIH силовская р-подгруппа
Р/Н нормальна. При р = q подгруппа Р будет силовской
р-подгруппой в G и Р ^3 G. Если р Ф q, то в GIH найдется
нормальная подгруппа HJH порядка р. По теореме Си-
лова, как легко видеть, силовская р-подгруппа Н2 группы
Ht единственна и потому ввиду соотношения HX^G
нормальна в G. Снова применяя к G/H2 индуктивные со-
соображения, получаем нормальность силовской р-под-
группы группы G. На этом по существу доказательство
заканчивается.
§ 20. Конечные разрешимые группы
Заметим, прежде всего, что конечные разрешимые
группы — это в точности конечные полициклические
группы.
В первом пункте этого параграфа излагается теория
холловых и картеровых подгрупп в конечной разреши-
разрешимой группе, которая напоминает теорию силовских
р-подгрупп в произвольной конечной группе. В третьем
пункте будет указан один критерий сверхразрешимости
конечной группы. Второй пункт носит подготовительный
характер, однако излагаемые в нем теоремы Машке и
Шура о произвольных конечных группах очень важны
сами по себе.
20.1. Холловы и картеровы подгруппы. По теореме
Силова 11.1.1 в произвольной конечной группе порядка
п = р?1. • • pfs (Pi — различные простые числа) всегда
существует подгруппа порядка р?* и любые две такие
подгруппы сопряжены между собой. Ф. Холл нашел
обобщение теоремы Силова для конечных разрешимых
групп, а именно доказал существование и сопряженность

§ 20] КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 181
подгрупп порядка к в конечной разрешимой группе по-
порядка п для всякого к с условием к\ п, (&>-т-) = 1- Такие
делители числа п называют холловыми, а всякую под-
подгруппу, порядок которой равен некоторому холлову
делителю порядка группы, называют холловой подгруппой.
Отметим без доказательства, что из существования хол-
ловых подгрупп конечной группы G по всевозможным
холловым делителям порядка группы G вытекает разре-
разрешимость G. Этот факт установлен Ф. Холлом (Hall P.—
J. London Math. Soc, 1937, 12, p. 198-200) и С. А. Чуни-
хиным (Изв. НИИММ Томского ун-та, 1938, 2, с. 220—223).
20.1.1. Теорема (Ф. Холл). Пусть G — конечная
разрешимая группа порядка пик — холлов делитель чис-
числа п. Тогда
1) в группе G существует по крайней мере одна под-
подгруппа порядка к;
2) любые две подгруппы порядка к сопряжены в G;
3) любая подгруппа порядка k' \ к содержится в под-
подгруппе порядка к.
Доказательство будем вести индукцией по п.
Допустим, что все утверждения теоремы справедливы для
произвольной конечной разрешимой группы, порядок
которой меньше п. Обозначим через А минимальную нор-
нормальную подгруппу группы G. Согласно упражнению
19.1.7 подгруппа А разлагается в прямое произведение
циклических подгрупп простого порядка р, \ А | = рт.
Еслир | к, то ввиду индуктивного допущения в фактор-
факторгруппе G/A существует подгруппа В/А порядка к/рт.
Тогда порядок В равен к. Кроме того, любые подгруппы
В и Вг порядка к содержат, очевидно, подгруппу А. По
индукции подгруппы BJA и BJA сопряжены в GIA.
Следовательно, подгруппы Ви В2 сопряжены в G.
Пусть теперь р не делит к. Обозначим через D наиболь-
наибольшую нормальную подгруппу группы G, порядок которой
взаимно прост с к, а через HID — минимальную нормаль-
нормальную подгруппу группы GID. Порядок HID имеет вид
<Д q' | к.
Если нормализатор N (Q) силовской g-подгруппы Q
из Н совпадает с G, то Q ^ G и доказательство пп. 1),
2) проводится так же, как при первоначальном допущении
Р \к.

182 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ (ГЛ. 7
Пусть N (Q) Ф G. Из равенства G = N(Q)H =
= N (Q) D (см. лемму Фраттини 17.1.8) следует, что поря-
порядок N (Q) делится на к. Отсюда ввиду индуктивных пред-
предположений вытекает существование в N (Q), а значит, и
в группе G, подгруппы порядка к.
Возьмем две подгруппы Вх, В2 порядка к. Пересечения
Bi П Н, В2 П Н являются в Н силовскими д-подгруп-
пами, поэтому, ввиду их сопряженности, можно счи-
считать, что Вг П Н = В2 Г) Н = Q. Подгруппа Q, оче-
очевидно, нормальна в подгруппе (Вг, В^). На основании
индукции подгруппы BJQ и B2IQ сопряжены в (Ви B^jIQ.
Отсюда следует сопряженность подгрупп Ви Вг.
Итак, утверждения 1), 2) доказаны. Докажем 3).
Пусть В' — подгруппа порядка к'. При р \ к порядок
подгруппы АВ', очевидно, делит к. В силу индуктивного
допущения подгруппа АВ'/А содержится в некоторой
подгруппе порядка к/рт. Тогда АВ' содержится в под-
подгруппе порядка к. Пусть теперь р не делит к. На основании
индуктивных предположений подгруппа АВ'/А содер-
содержится в подгруппе С/А порядка к. На том же основании
можно считать, что С = G. По доказанному п. 1) в G
существует подгруппа В порядка к. Очевидно, произве-
произведение АВ совпадает с G и потому АВ'В = G. Из формул
получаем, что порядок D = АВ' f] В равен к'. По дока-
доказанному п. 2) подгруппы В' и D сопряжены в АВ' : В' —
= Dg. Отсюда следует, что В' содержится в подгруппе
В8 порядка к. Теорема доказана.
20.1.2. Упражнение. Индекс произвольной ма-
максимальной подгруппы конечной разрешимой группы G
есть степень простого числа. Для всякого простого дели-
делителя р порядка группы G существует максимальная в G
подгруппа, индекс которой есть степень р.
20.1.3. Упражнение. Пусть А — холлова под-
подгруппа конечной разрешимой группы G, Н — подгруппа,
содержащая нормализатор Ng (А). Тогда Ng (Н) = Н.
Ф. Холл ввел понятие силовской базы и обобщил свою
теорему в этих терминах, что послужило толчком к даль-
дальнейшим ее обобщениям в различных направлениях.

§ 20] КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 183
Совокупность Gpi, GP2, . . . силовских ргподгрупп
группы G называется (полной) силовской базой, если
1) G = гр (Gpi, GP2, . . .),
2) GViGv. = Gp.GPi для всех i, j.
Иногда в определении силовской базы вместо 2) тре-
требуют выполнение условия
2') Множество простых делителей порядков элемен-
элементов подгруппы гр (GPii, . . ., СЦ) совпадает с {рг, . . .
. . ., ph} для всех h, . . ., ia.
Обычно эти определения оказываются равносильными.
Две силовские базы {GPi}, {GPl} называются сопряжен-
ными, если существует такой элемент g, что G'Pi = G%{
для всех i.
Обобщение, полученное Холлом, состоит в следующем
(Hall Р. — Ргос. London Math. Soc, 1937, 43, p. 316—323).
Произвольная конечная разрешимая группа G обладает
силовскими базами и любые две базы сопряжены в ней.
Любая силовская база подгруппы продолжается до си-
силовской базы группы G.
Понятие силовской базы имеет смысл для произволь-
произвольных периодических групп, поэтому естественно пытаться
распространить теорему о существовании силовских баз
на периодические разрешимые группы. Такие распростра-
распространения получены для ряда классов бесконечных групп,
однако произвольная периодическая разрешимая группа
не обязана обладать силовскими базами (Каргапо-
лов М. И.— ДАН СССР, 1959, 127, № 6, с. 1164-1166;
Алгебра и логика, 1963, 2, № 5, с. 19—28).
Подгруппа Н группы G называется картеровой, если
Н нильпотентна и совпадает со своим нормализатором в G.
20.1.4. Теорема (Картер). Конечная разрешимая
группа G обладает по крайней мере одной картеровой
подгруппой и любые две картеровы подгруппы группы G
сопряжены между собой.
Доказательство будем вести индукцией по
порядку группы G.
Пусть А — минимальная нормальная подгруппа груп-
группы G и \ А [ = рт. В силу индуктивного предположения
фактор-группа G/A обладает картеровой подгруппой,
скажем, К'/А. Пусть Q — холлова р'-подгруппа группы

184 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
К', т. е. р не делит \Q\vl\K'\=\Q \pl. Покажем, что
К = Nk' ((?) будет картеровой подгруппой в G.
Действительно, по обобщенной лемме Фраттини
17.1.9 имеем К' = NK> (Q)-QA = КА. Подгруппа К раз-
разлагается в прямое произведение нильпотентных подгрупп
Q и К [) Р, где Р — силовская р-подгруппа группы
К'. Поэтому подгруппа К нильпотентна. Далее, пусть
К8 = К. Так как А «3 G и К' = КА, то К'' = К' и,
следовательно, g ?Е К'. Нормализатор холловой под-
подгруппы совпадает со своим нормализатором (см. 20.1.3),
поэтому элемент g содержится в К, что и требовалось до-
доказать.
Пусть теперь Ки К2 — картеровы подгруппы группы G.
Докажем их сопряженность в G.
Сначала докажем, что KtAIA, i = 1, 2, является, кар-
картеровой подгруппой группы G/A. Нильпотентность под-
подгруппы К{А/А очевидна. Если (KtA)g == KtA, g ф. KtA,
то | KtA | <^ | G | и, значит, в силу индуктивного пред-
предположения, примененного к картеровым подгруппам
из KiA, существует такой элемент а ?= KtA, что К\ =
= К? или К.Т = К%. Но подгруппа К% совпадает со
своим нормализатором, поэтому gaT1 (ЕЕ Kt, что про-
противоречит допущению g ф KtA.
Легко понять, что холлова р'-подгруппа Qt из Kt
является холловой р'-подгруппой группы КгА. Кроме
того, нормализатор TV" {Qt) подгруппы Qt в KtA нильпо-
тентен и содержит Kt. Следовательно, К{ совпадает
с N (Qi). По индуктивному допущению картеровы под-
подгруппы КгА1А, КгА1А сопряжены между собой. Поэтому
можно считать, что КхА = К^А. Как было отмечено,
подгруппа Kt совпадает с нормализатором iV" (Qt) в КХА.
Но холловы //-подгруппы Qi, Q2 групп Ки К2, являю-
являющиеся холловыми р'-подгруппами группы KtA, сопря-
сопряжены между собой. Поэтому должны быть сопряженными
и их нормализаторы, т. е. Кх и Кг. Теорема доказана.
20.2. О полной приводимости представлений. Здесь мы
сделаем отступление в теорию матричных представлений.
Основная цель этого пункта — изложить классическую
теорему Машке о полной приводимости представлений
конечных групп. Она понадобится нам в следующем пунк-
пункте. Попутно будут изложены и другие сведения о пол-
полной приводимости.

§ 20] КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 185
Пусть V — линейное пространство над полем К, G —
группа линейных преобразований пространства V. Если
в V существует собственное подпространство, допустимое
относительно G, то группу G называют приводимой. В про-
противном случае группу G называют неприводимой или
неприеодимо действующей на пространстве V. Группа G
называется вполне приводимой, если для всякого допусти-
допустимого подпространства U <^ V существует допустимое до-
дополнение, т. е. такое допустимое подпространство W,
что V = U © W.
Произвольный гомоморфизм ф абстрактной группы G
в группу линейных преобразований и-мерного векторного
пространства над полем К называется линейным пред-
представлением группы G. Если группа линейных преобра-
преобразований G* неприводима (приводима, вполне приводима),
представление ф также называется неприводимым (соот-
(соответственно приводимым или вполне приводимым). Произ-
Произвольный гомоморфизм^ группы G в группу матриц GLn (К)
называется матричным представлением. Представления
ф и 1|з тесно связаны между собой. Так, линейному пред-
представлению ф при фиксированной базе 2 пространства V
сопоставляется матричное представление фг, где g —
матрица линейного преобразования gf в базе 2. При
выборе другой базы 2' получается новое матричное пред-
представление ф2<, эквивалентное фц, т. е. связанное с ф2
фу фу
соотношением g = tg Г, где t — матрица перехода
от 2 к 2', ?EG.
20.2.1. Пример. Пусть G — конечная группа, А —
ее нормальная подгруппа, разлагающаяся в прямое про-
произведение п циклических групп порядка р. На множестве
А введем сложение и умножение на элементы поля
GF (р) из р элементов, полагая по определению а-\- Ъ =
= ab, аа = аа, где показатель а (ЕЕ GF (р) естественным
образом отождествляется с некоторым целым числом.
Нетрудно видеть, что при введенных операциях А стано-
становится линейным пространством над полем GF (р). Далее,
преобразование g: x>->- x3, g Ez G, х?Е-4, будет линейным
преобразованием пространства А, а отображение ~ гомо-
гомоморфизмом G в группу линейных преобразований А. Таким
образом, получено линейное представление группы G,
причем, очевидно, G ~ GICq (A).

186 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
20.2.2. Теорема (Машке). Пусть <р — представ-
представление конечной группы G линейными преобразованиями
линейного пространства V над полем К. Если порядок
G не делится на характеристику поля К, то представление
ф вполне приводимо.
Доказательство. Будем считать, что G дей-
действует на V в силу представления ф. Пусть U — допусти-
допустимое относительно G подпространство из V. Обозначим
через W какое-нибудь дополнение подпространства U,
V — U © W. Далее, обозначим через п\у проектирование
V на подпространство W и положим
где т — порядок группы G. Отображение t является
линейным преобразованием пространства V. При фикси-
фиксированном ft?G элемент gh вместе с g пробегает все
элементы группы G. Поэтому справедливы равенства
(в*) h = -L Yj "h • hT^nwgh = (vh) t,
из которых следует допустимость линейного подпростран-
подпространства И^о — Vt относительно G.
Остается установить разложение V = U © HV Про-
Произвольный элемент иб^ представим в виде суммы
v = (у — vt) + vt, vt G Wo. Первое слагаемое v — vt
равно
v ~~ ~^Г Xj vS'lnwg = 4" S (v*~l ~~ vS~Xnw) g-
g g
Так как vg~x — vg'^w ЕЕ U и U допустимо, то v — vt
принадлежит U. Отсюда следует равенство V = U + Wo.
Предположим, наконец, что v ЕЕ U f] Wo. Так как v ЕЕ U,
U допустимо относительно G и для любого элемента
и 6Е U проекция unw равна 0, то
vt = 0. A)
С другой стороны, элемент v принадлежит Wo, поэтому
существует такой элемент v' ЕЕ V, что
v't = v. B)

% 20J КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 187
Но тогда vt = v'f. Как было отмечено выше, v' — v'tEH U
и, значит, v't — v'f = 0. Отсюда vt = v't, что вместе с ра-
равенствами A), B) влечет v = 0. Теорема доказана.
20.2.3. Пример. Пусть G, А имеют тот же смысл,
что и в примере 20.2.1. Очевидно, подгруппа В ^ А
нормальна в группе G тогда и только тогда, когда линейное
подпространство В пространства А допустимо относитель-
относительно группы линейных преобразований G. Предположим,
что р не делит порядок группы GICq (А) и В — некоторая
нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в А.
Так как порядок группы преобразований G не делится
на р, то по теореме Машке группа G вполне приводима
и, значит, подпространство В обладает допустимым допол-
дополнением С. Множество С будет нормальной подгруппой
группы G и А = В X С.
20.2.4. Упражнение (обобщение теоремы Маш-
Машке). Пусть G — конечная группа линейных преобразова-
преобразований линейного пространства V над полем характеристики
р ^> 0, Р — силовская р-подгруппа группы G. Если
G-допустимое подпространство U обладает Р-допустимым
дополнением, то U обладает также G-допустимым допол-
дополнением.
Решение. Пусть V = U ф W, где W есть Р-до-
пустимое подпространство. Обозначим через п\у проекти-
проектирование V на подпространство W и положим
vt = ±
где т = | G : P | и S — некоторое множество элементов,
выбранных по одному в каждом правом смежном классе
группы G по подгруппе Р. Очевидно, проектирование я^
перестановочно с каждым элементом подгруппы Р. По-
Поэтому линейное преобразование t не зависит от выбора
множества S. Доказательство G-допустимости подпро-
подпространства Wo = Vt и справедливости разложения V =
= U ф Wo дословно повторяет соответствующие рас-
рассуждения из доказательства теоремы Машке.
20.2.5. Упражнение. Пусть А = В X С — абе-
лева нормальная подгруппа группы G и (| А |, | G : А |)= 1.
Если В нормальна в G, то существует такая нор-
мальная[в G подгруппа D, что А *= В X D.

188 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
Теорему Машке удобно использовать для доказатель-
доказательства следующего важного предложения:
20.2.6. Теорема (Шур). Пусть конечная группа G
порядка п содержит такую нормальную подгруппу А по-
порядка к, что (к, I) = 1, I = п/к. Тогда А обладает по
крайней мере одним дополнением, т. е. подгруппой В
с условиями G = А-Б, A f] В = 1.
Доказательство, а) Пусть сначала А абе-
лева и имеет простой период р. По теореме Фробениу-
са 6.2.8 можно считать G подгруппой сплетения W =
= А г В, В = G/A, причем
W = G-A, G П А = А, где А = Fun (В, А)
(см. упражнение 6.2.9). Так как | G : А | не делится на
р и А <1 W, то ввиду теоремы Машке 20.2.2 существует
такая нормальная в W подгруппа С, что А = А X С.
Из соотношений WIC = I/O- ВС1С, I f] ВС = С и есте-
естественного изоморфизма ф: WIC -> G следует, что G = Л/),
где D — образ подгруппы ВС/С относительно <р.
б) Теперь докажем теорему в общих предположениях.
Доказательство будем вести индукцией по порядку группы.
Допустим, что теорема неверна для выбранной группы G,
но справедлива для всякой группы меньшего порядка.
Отметим, что существование дополнения к подгруппе А
равносильно существованию в G подгруппы порядка I,
гак как {k, Z) = 1.
Пусть Р — силовская р-подгруппа из А и N (Р) —
ее нормализатор в G. Так как G = A-N (Р), то N (Р) об-
обладает нормальной подгруппой A f) N (Р), порядок кото-
которой взаимно прост с индексом I = | N (Р) : A f] N (Р) \.
Поэтому, если | TV (P) \ <^ п, то по индуктивному
предположению подгруппа N (Р), а следовательно
и группа G, обладает подгруппой порядка I, что проти-
противоречит выбору G. Значит, всякая силовская р-подгруппа
из А нормальна в G, и поэтому коммутант А' <^ А. Пусть
к' ф.\. Тогда группа GIA' удовлетворяет условиям тео-
теоремы и | G : А' | <^ п. Следовательно, в G/A' существует
зодгруппа С/А' порядка I. Применяя индуктивное пред-
юложение к группе С, приходим к существованию в ней
подгруппы порядка I. Из полученного противоречия с
выбором G вытекает коммутативность А. Если, далее,
р | к, Ар Ф 1, то, беря Ар в роли А', получаем аналогии-

§ 20] КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 189
ное противоречие. Значит, А абелева периода р. Ввиду
а) теорема доказана.
Существенным дополнением к теореме Шура является
утверждение о сопряженности в G любых двух подгрупп
порядка I. Это утверждение было доказано Цассенхаузом
при условии разрешимости подгруппы Л, а С. А. Чуни-
хиным — при условии разрешимости фактор-группы GIA.
Но на основании теоремы Файта — Томпсона о разреши-
разрешимости конечных групп нечетного порядка (см. о ней
в начале § 13) по крайней мере одна из групп А, GIA раз-
разрешима, поэтому сопряженность дополнений в теореме
Шура имеет место всегда.
Приведем в заключение пункта несколько общих заме-
замечаний о полной приводимости и неприводимости.
20.2.7. Лемма. Группа G линейных преобразований
линейного пространства V над полем К вполне приводима
тогда и только тогда, когда V разлагается в прямую
сумму допустимых неприводимых подпространств.
Доказательство. Пусть G вполне приводима.
Обозначим через Ux какое-нибудь допустимое неприводи-
неприводимое подпространство и предположим, что построены такие
допустимые неприводимые подпространства Uu . . ., Us,
что U = (U,, ...,?/,) = U, ф . . .ф Us. Пусть U Ф V.
Тогда существует допустимое дополнение W, V — ?/ф
ф W, в котором можно выбрать допустимое неприводимое
подпространство Us+1. Сумма U + Us+1, очевидно, будет
прямой, и соображения индукции заканчивают доказа-
доказательство. Обратно, пусть V = 1/г ф . . .@Ur, UtG<^ Ut,
Ut — неприводимое подпространство. Возьмем какое-
нибудь допустимое подпространство U. Обозначим че-
через / максимальное подмножество множества индексов
{ 1, 2,. . ., г} с условием U f| 2j Z7i = 0 и докажем, что
V = U ф 2 иг. Действительно, в противном случае най-
ISEl
дется такое /, что Uj f|(^®S^) = 0- Но тогда
.S
что противоречит выбору I.
20.2.8. Упражнение. Группа линейных пре-
преобразований пространства V вполне приводима тогда и

190 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ |ГЛ. 7
только тогда, когда для всякого допустимого неприводи-
неприводимого подпространства существует допустимое дополнение.
20.2.9. Лемма. Неприводимое представление абе-
левой группы G над алгебраически замкнутым полем одно-
одномерно.
Доказательство. Пусть группа G неприво-
димо действует на пространстве V над алгебраически
замкнутым полем К. Если g E=G, X — характеристиче-
характеристическое число линейного преобразования g и vg = Kv, 0 Ф
ф v е V, то из (vf)g = {vg) f = К {vf), /eG, следует,
что совокупность U всех собственных векторов преобра-
преобразования g, соответствующих числу X, является допусти-
допустимым подпространством. Ввиду неприводимости G получаем
V — U. Таким образом, каждый ненулевой вектор про-
пространства V является собственным для каждого g E: G.
Отсюда и из неприводимости G следует одномерность V.
20.3. Критерий сверхразрешимости. Здесь будет уста-
установлена
20.3.1. Теорема (Хупперт). Конечная группа сверх-
сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максималь-
максимальные подгруппы имеют простые индексы.
Доказательство. Необходимость.
Допустим, что G — конечная сверхразрешимая группа,
и докажем индукцией по | G \ простоту индексов ее мак-
максимальных подгрупп.
Ввиду сверхразрешимости в G существует нормальная
подгруппа N некоторого простого порядка р. Если теперь
М — максимальная подгруппа группы G, то М fl N = 1
или N <^ М. В первом случае, очевидно, индекс М в G
равен р. Во втором случае подгруппа M/N максимальна
в G/JV и по индуктивному предположению имеет простой
индекс. Отсюда следует простота индекса М в G.
Достаточность. Пусть максимальные под-
подгруппы группы G имеют простые индексы, и пусть дока-
доказано, что все группы с таким условием, имеющие порядки
< | G |, сверхразрешимы. Докажем сначала разрешимость
группы G. Обозначим через р наибольший простой дели-
делитель порядка | G | и через М' какую-нибудь максималь-
максимальную подгруппу, содержащую силовскую р-подгруппу
группы G. Тогда \ G : М' \ <С р и согласно упражнению
11.3.6 пересечение М" — f\ M'e отлично от единицы и,
«ев

§ 20] КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 191
конечно, нормально в G. Таким образом, некоторая ми-
минимальная нормальная подгруппа М группы G отлична
от G. Возьмем силовскую g-подгруппу Q из М по наи-
наибольшему простому делителю q порядка | М | и предпо-
предположим, что ее нормализатор N @ не равен G. Так как
N (Q) М = G (лемма Фраттини 17.1.8), то для произ-
произвольной максимальной подгруппы Н ~^> N (Q) группы G
тем более выполняется равенство^\ЙЖ = G, откуда
\G :H \ = \M :M f]H |. Простой индекс | М: Mf]H\=
= доделит число | М : Nm (Q) I, взаимно простое с q,
и, следовательно, q' <[ q. Снова ввиду упражнения
11.3.6 можно утверждать, что в М существует собственная
нормальная подгруппа Мо, содержащая все «/-элементы
и? М. Этим же свойством обладает и всякая подгруппа,
сопряженная с Мо. Поэтому пересечение [)М% отлично
G
g
от 1, М и нормально в G, что противоречит выбору М.
Из полученного противоречия следует, что N (Q) = G,
т. е. Q ^ G назначит, Q = М. Таким образом, в группе G
есть разрешимая нормальная подгруппа М, фактор-груп-
фактор-группа по которой согласно индукции сверхразрешима. Отсю-
Отсюда получается разрешимость G.
Как мы знаем, минимальная нормальная подгруппа М
разрешимой группы G абелева и разлагается в прямое
произведение циклических групп простого порядка q
(упражнение 19.1.7). Остается доказать, что \М |= q, или
по крайней мере существование в G какой-либо цикличес-
циклической нормальной подгруппы. Рассмотрим две возможности.
1) Наибольший простой делитель р порядка группы G
больше q. В зтом случае в GIM найдется нормальная под-
подгруппа AIM порядка р (теорема 19.2.6). При N (Р) = G,
где Р <[ А — подгруппа порядка р, в группе G существует
циклическая нормальная подгруппа, что влечет сверх-
сверхразрешимость G. Если N (Р) Ф G, то максимальная под-
подгруппа Н > N (Р) не содержит М (иначе было бы G =
= N (Р)А = НРМ < Н), откуда G = НМ и пересе-
пересечение Н f] М нормально в G. Ввиду минимальности М
это пересечение равно единице и, следовательно, так как
индекс | G : Н \ прост, порядок М равен q, что и требо-
требовалось доказать.
2) Число q является наибольшим простым делителем
порядка группы G. В данной ситуации ввиду сверхразре-

192 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
шимости группы GIM и теоремы 19.2.6 силовская д'-под-
группа Gq нормальна в G. Из нормальности центра Z
подгруппы Gq в группе G и Z f| М Ф 1 (см. 16.2.3) следу-
следует М < Z.
Если М = Gq, то в фактор-группе GIM найдется нор-
нормальная подгруппа AIM простого порядка р, отличного
от д. Тогда сверхразрешимость G доказывается так же,
как в случае 1).
Пусть теперь М ф Gq. Обозначим через В/М нормаль-
нормальную подгруппу группы GIM порядка q. Очевидно, под-
подгруппа В абелева. Все элементы группы В имеют порядок
q — в противном случае Bq была бы искомой подгруппой
порядка q, нормальной в группе G.
Предположим сначала, что В не лежит в центре Z.
Разумеется, В принадлежит второму гиперцентру группы
Gq. В силу сверхразрешимости группы GIB существует
такая матрёшка
1 < Д = Во < В, < . . .<Bs=Gq,
что Bt *QG, I Bi+1: Bt | = q. Найдется такой номер к,
что В < Z (Вк), но В < Z (Вк+1). Пусть В = (М, Ъ),
Вы = (Вк, Ьк+1). Тогда совокупность всевозможных
элементов вида [b, x], x GE Вк+1, будет подгруппой поряд-
порядка q, нормальной в G. Действительно, для произвольных
элементов х = c^i+i, у = сф^, си с2 €= Вк, g?G, имеем:
[Ь, х] [Ъ, у] =[&, blk+1] 1Ъ, Ъ?Л = lb, bk+1V+™, '
[Ъ, Ъы\е = [Ье, И+1) = [eft», с3 Ь*+1] = [Ъ, Ък+1]п+г, "
где а, с3 — некоторые элементы соответственно из М и Вк.
Таким образом, можно считать, что В принадлежит
центру группы Gq. Далее, группу В можно рассматри-
рассматривать как линейное пространство над полем GF (q), a
группу F автоморфизмов В, индуцированных внутрен-
внутренними автоморфизмами группы G, — как группу линей-
линейных преобразований этого пространства (см. пример
20.2.1). Так как В ^ Z, то порядок группы F, изоморфной
GICq (В), взаимно прост с q. Поэтому на основании теоремы
Машке 20.2.2 допустимое относительно ^подпространство
М имеет в В допустимое дополнение А размерности 1. На
групповом языке это означает, что А является цикли-
циклической нормальной подгруппой группы G.

§ 21] РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ 193
Итак, в любом случае G обладает нормальной подгруп-
подгруппой простого порядка. Как отмечалось выше, это доказы-
доказывает теорему.
20.3.2. Упражнение. Конечная группа сверх-
сверхразрешима тогда и только тогда, когда сверхразрешима
ее фактор-группа по подгруппе Фраттини.
§ 21. Разрешимые группы матриц
В начале главы мы отметили треугольные матричные
группы как пример разрешимых групп (упражнение
19.1.2). Другим примером разрешимых матричных групп
по существу служит любая конечная разрешимая группа,
так как по теореме Кэли 12.1.1 она представима подста-
подстановками, а, значит, и матрицами. Объединяя зти примеры,
мы можем рассмотреть класс расширений треугольных ма-
матричных групп посредством конечных разрешимых групп:
согласно упражнению П .2.1 все такие расширения пред-
ставимы матрицами. Оказывается, этот класс будет со-
содержать любую разрешимую группу матриц над алгебра-
алгебраически замкнутым полем, так как она почти треугольна
с точностью до сопряжения в общей линейной группе.
Мы установим эту теорему Колчина — Мальцева в первом
пункте настоящего параграфа. Во втором пункте будут
рассмотрены разрешимые подгруппы из GLn(?) и будет
установлено, что все они полицикличны. Наконец, в
третьем пункте будет доказано, что голоморф произволь-
произвольной полициклической группы изморфно вкладывается
в GLn (Z) при подходящем п.
21.1. Почти триангулируемость. Говорят, что группа
матриц Н ^ Ф?п (К) триангулируема, если при некото-
некотором g ЕЕ GIjn (К) группа Н8 треугольна. Прежде чем
доказывать почти триангулируемость разрешимых матрич-
матричных групп, мы рассмотрим общие свойства неприводимых
и BnonHej приводимых матричных групп (определения
и начальные сведения см. в п. 20.2). При этом мы обычно
будем отождествлять группу матриц G с группой линейных
преобразований некоторого пространства, матрицы кото-
которых в фиксированной базе совпадают с элементами из G.
21.1.1. Лемма (Клиффорд). Нормальная подгруппа
Н вполне приводимой группы G линейных преобразований
векторного пространства V сама вполне приводима.

194 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
Доказательство. Пусть С/х — допустимое не-
неприводимое относительно Н подпространство. Тогда су-
существует минимальное множество элементов gu . . ., gs
группыС? такое, что допустимое относительно G замы-
замыкание И\ подпространства С/х порождается подпростран-
подпространствами C/j = Uxgi, i = 1, . . ., s. Легко видеть, что Ut
допустимы относительно Н и Ог = С7Х ф . . . ф Us. При
V1 ф V существует допустимое дополнение В, в котором
можно выбрать допустимое неприводимое относительно
Н подпространство U'. По аналогии с Ux строим
U2 = С/8+1 ф . . . ф Uk < В. Очевидно, J7X ф U2 =
= #i © • • • © ^k- Продолжая аналогичные рассужде-
рассуждения, покажем, что V разлагается в прямую сумму допусти-
допустимых неприводимых относительно Н подпространств. Вви-
Ввиду леммы 20.2.7 это заканчивает доказательство.
21.1.2. Лемма. Центр неприводимой группы мат-
матриц над алгебраически замкнутым полем состоит из ска-
скалярных матриц.
Доказательство. Пусть G неприводимо дей-
действует на линейном пространстве V над алгебраически
замкнутым полем. По лемме Клиффорда ее центр Z впол-
вполне приводим, и поэтому существует база vu . . ., vn про-
пространства V, составленная из собственных векторов эле-
элементов из Z (см. лемму 20.2.9). Пусть сб2, vtc = Xji;,-
и, например, Xj Ф %2. Обозначим через U подпространство,
порожденное теми vt, для которых Яг = Ях. Подпростран-
Подпространство U будет (собственным) допустимым. Действительно,
для произвольного g ЕЕ G вектор vxg можно представить
в виде v-jz = а{иг + • • ¦+ anvn" Из неравенств
vi (gc) = axXii;i + . . . + anlnvn,
Vi (eg) = К (a^i + . . .+ anvn)
в силу gc = eg получаем a.j = 0, если ^фХи и, значит,
Vyg e U. Включение vtg e U справедливо, конечно, для
всякого i7j G U. Тем самым доказана допустимость U,
что противоречит неприводимости группы G. Из получен-
полученного противоречия следует, что Kt = Xj,): = 1, 2, . . ., п.
Следующая лемма позволит нам проводить индукцию
по степени матриц.
21.1.3. Лемма. Пусть в неприводимой группе
матриц G степени п над алгебраически замкнутым полем
существует нецентральная абелева нормальная подгруппа

§ 21] РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ 195
Н. Тогда в G есть приводимая нормальная подгруппа ко-
конечного индекса ^ (ге!)!.
Доказательство. По лемме Клиффорда 21.1.1
подгруппа Н вполне приводима. Поэтому ввиду лемм
20.2.7 и 20.2.9 можно считать, что Н диагональна. Так как
Н не лежит в центре G, то существует нескалярная матри-
матрица Ъ €= Н. Для произвольного g €= G элемент Ъе принад-
принадлежит Н и имеет те же характеристические числа, что и Ъ.
Поэтому \Ьа | <; ге!. Отображение G —> 8 (bG) по правилу
,b
будем гомоморфизмом. Его ядро А, очевидно, содержится
в Cg Ф) и | G : А | ^ (ге!I. В центре А содержится неска-
нескалярная матрица Ъ, поэтому согласно 21.1.2 группа А при-
приводима.
21.1.4. Лемма. Если G имеет абелеву нормальную
подгруппу А индекса п, то в G существует абелева авто-
автоморфно допустимая подгруппа конечного индекса, не пре-
превосходящего некоторого числа, зависящего только от п.
Доказательство. Очевидно, существуют та-
такие автоморфно сопряженные с А подгруппы А = Alf
А2, . . ., As, s < п, что S = гр (Аи . . ., As) совпадает
с подгруппой, порожденной всеми автоморфно сопряжен-
сопряженными с А подгруппами. Подгруппа S автоморфно допусти-
допустима. Ее центр Z содержит f] At, и поэтому индекс \G : Z |
не превосходит числа геп. Подгруппа Z будет искомой.
Теперь почти все готово для доказательства теоремы
Колчина — Мальцева. Нам понадобится еще только
упражнение 27.3.2 из Дополнения, решаемое прямым при-
применением одной локальной теоремы логики. Мы советуем
читателю принять это упражнение пока на веру, отложив
изучение локальных теорем до § 22, где мы специально
их обсуждаем. Можно испробовать и другой путь: решить
упражнение непосредственно.
21.1.5. Теорема (Колчин — А. И. Мальцев). Раз-
Разрешимая группа G матриц степени п над алгебраически
замкнутым полем обладает триангулируемой подгруп-
подгруппой конечного индекса, не превосходящего некоторого числа,
зависящего только от п.
Доказательство, а) Допустим сначала, что
группа G неприводима и нильпотентиа. Ввиду леммы

196 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
20.2.9 достаточно доказать, что G обладает нормальной
абелевой подгруппой конечного индекса, не превосходя-
превосходящего некоторого числа т(ге), зависящего только от п.
Мы сделаем это индукцией по п.
Если G неабелева, то в ней найдется нецентральная абе-
лева нормальная подгруппа (такова, например, любая
максимальная абелева нормальная подгруппа — см. тео-
теорему 16.2.6). Тогда ввиду 21.1.3 в G содержится приводи-
приводимая нормальная подгруппа Н конечного индекса ^ (и!)!.
По лемме Клиффорда 21.1.1 группа Я вполне приводима
и потому является подпрямым произведением неприводи-
неприводимых нильпотентных групп Ht, степени которых меньше п.
В силу индуктивного предположения в каждой группе Ht
существует нормальная абелева подгруппа конечного
индекса, не превосходящего х {п — 1). Но тогда в Я су-
существует абелева нормальная подгруппа А индекса
< т (и — 1)п. Ввиду \G-.A |< (и!)! т (и — 1)п пере-
пересечение В подгрупп, сопряженных с А, имеет в Gиндекс,
не превосходящий некоторого числа, которое можно взять
в качестве т (п).
б) Откажемся от нильпотентности группы G, т. е. бу-
будем считать, что G неприводима и разрешима. Индукцией
по п покажем, что G опять обладает нормальной абелевой
подгруппой конечного индекса, не превосходящего неко-
некоторого числа р (и), зависящего только от п.
Если в G существует хотя бы одна нецентральная абе-
абелева нормальная подгруппа, то можно дословно повторить
доказательство а). Допустим поэтому, что каждая нор-
нормальная абелева подгруппа группы G центральна. Обозна-
Обозначим через R подгруппу, порожденную всеми нормальны-
нормальными нильпотентными подгруппами группы G. Ввиду а)
и упражнения 27.3.2 из Дополнения в R существует абе-
абелева нормальная подгруппа конечного индекса <! То (и).
Согласно 21.1.4 в R существует абелева автоморфно до-
допустимая подгруппа В конечного индекса «^ тх (и), где
х1 — некоторая функция. Отметим, что R нильпотентна,
В содержится в центре G. Оценим индекс | G : R |.
Пусть KB = #о < #i < • • • <BS= R— централь-
центральная матрёшка автоморфно допустимых подгрупп группы R.
Пусть Z — централизатор зтой матрёшки в G, т. е. Z =
= П Zt, тде Zi+JBi — централизатор секции Bi+JBi
в G/Bt. Очевидно, R < Z. Если R < Z и A/R — нееди-

§ 21] РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ 197
ничная абелева автоморфно допустимая подгруппа в Z/R,
отличная от единицы, то Л — нильпотентная нормальная
подгруппа в G, строго содержащая R, что невозможно.
¦Значит, Z = R. Так как В < Z (G) и | R : В |< тх (и),
то | G : R\ <[ т2 (и), где т2 — функция. Таким образом,
можно взять р (п) = тх (п) т, (и), и В будет искомой под-
подгруппой.
в) Рассмотрим, наконец, общий случай. Пусть V —
пространство с фиксированной базой et,. . ., еп, на кото-
котором действует G Возьмем неуплотняемую матрёшку
V = V, > V2 > . . . > 7S+1 = 0 A)
G -допустимых подпространств. Группа G на каждой сек-
секции Vt/Vi+i действует неприводимо. Ввиду б) в ней суще-
существуют такие нормальные подгруппы Gt, что | G : Gt | «^
^ р in) и Gt/At абелева, где At — ядро индуцированного
в VJVi+i представления группы G. Положим Go = f) Gt.
Тогда на основании леммы 20.2.9 матрёшку A) можно уп-
уплотнить до Go-допустимой матрёшки
V - V[ > 72> . . . > V'n+1 = 0
с одномерными секциями. Матрицы линейных преобразо-
преобразований из Go в базе /lt. . . ., /„, /у g= F^ \ F;'+1, имеют
треугольный вид. Следовательно, подгруппа Go сопряже-
сопряжением с помощью матрицы перехода от*{/у} к {et} приводит-
приводится к треугольному виду. Индекс подгруппы Go, очевидно,
ограничен некоторым числом, зависящим только от п.
Теорема доказана.
21.1.6. У п р а ж~н е н и е. Ступень разрешимости
произвольной разрешимой группы матриц степени п
не превосходит некоторого числа, зависящего только от п.
Вывести отсюда, что если в группе матриц все конечно
порожденные подгруппы разрешимы, то она сама разре-
разрешима.
21.1.7. Упражнение*. Разрешимая матричная
группа степени п обладает нормальной подгруппой, ком-
коммутант которой нильпотентен, а индекс не превосходит
некоторого числа, зависящего только от п. Этот резуль-
результат бывает, в частности, полезным при доказательстве
непредставимости матрицами тех или иных абстрактных

198 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
групп (см., например, Смирнов Д. М.— Матем.сб., 1965,
67, № 3, с. 366—383).
21.2. Полицикличность разрешимых групп из GLn (Z)-
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля Q рацио-
рациональных чисел. Элементы из Q называются алгебраичес-
алгебраическими числами. Элемент из (Q называется целым алгебраи-
алгебраическим числом, если он является корнем многочлена с це-
целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1.
Пусть К — поле алгебраических чисел, имеющее ко-
конечную степень над полем Q. Согласно § 28 Дополнения
множество к всех целых алгебраических чисел поля К
является кольцом, причем аддитивная и мультиплика-
мультипликативная группы кольца к конечно порождены. С помощью
этих результатов теории чисел сейчас будет доказана
21.2.1. Теорема (А. И. Мальцев). Всякая раз-
разрешимая группа целочисленных матриц полициклична.
Доказательство. Пусть G — разрешимая
группа целочисленных матриц степени п. По теореме Кол-
чина — Мальцева 21.1.5 существует такая матрица g =
= (gtj) и такая подгруппа А ^ G конечного индекса, что
В — А% принадлежит группе треугольных матриц Тп (К)
над алгебраическим расширением
К = Q (?п, g121. ¦ -, gnu)
поля (Q. Элементы gtj можно считать, очевидно, целыми
числами поля К. Отсюда получаем, что всякий элемент
произвольной матрицы из В представляется в виде дроби,
числитель которой есть некоторое целое алгебраическое
число, а знаменатель равен определителю матрицы g.
Пусть к обозначает кольцо всех целых алгебраических
чисел из К, к* — мультипликативная группа кольца к.
Диагональные элементы матриц из В удовлетворяют ха-
характеристическим уравнениям матриц из А, старшие коэф-
коэффициенты которых равны 1, значит, эти диагональные
элементы принадлежат к*. Рассмотрим гомоморфизм В —>¦
-> к* X ... X к* (п раз)" сопоставляющий каждой'мат-
каждой'матрице Ь (= В ее диагональ. Пусть С — ядро этого гомомор-
гомоморфизма. По теореме 28.1.12 из Дополнения фактор-группа
В/С конечно порождена. Ядро С состоит из всевозможных
унитреугольных матриц группы В. Обозначим через С{
подгруппу всех матриц из С, имеющих i нулевых

§ 21] РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
диагоналей выше главной. Очевидно, матрёшка
будет нормальной матрёшкой группы С. Легко понять,
что каждая секция СУСг+1 изоморфна подгруппе прямой
суммы п — i — 1 экземпляров аддитивной группы коль-
кольца к, которая по теореме 28.1.6 из Дополнения конечно
порождена. Отсюда следует конечная порожденность С,
а значит и группы В. Так как В = Ag и индекс | G : А \
конечен, то вся группа G конечно порождена. Ясно, что
это доказывает теорему.
С помощью этой теоремы можно получить следующее
более сильное утверждение.
21.2.2. Теорема. Разрешимая группа автоморфиз-
автоморфизмов конечно порожденной абелевой группы полициклична.
Доказательство. Пусть А — конечно порож-
порожденная абелева группа, Ф — некоторая разрешимая груп-
группа ее автоморфизмов. Обозначим через Н периодическую
часть группы А и рассмотрим гомоморфизм т: Ф ->
—* Aut (А/Я), сопоставляющий произвольному ф?ф ав-
автоморфизм Ф фактор-группы AIH, индуцированный ср,
т. е. (Haft — Ha<f. По предыдущей теореме фактор-груп-
фактор-группа Ф/Т, где Т= кег т, конечно порождена. Докажем ко-
конечность Ч*". Действительно, если аи . . ., ап — система
порождающих группы А, то для произвольного ij) S Y
имеем af = Ьгаь ht e= H. Ввиду конечности периодичес-
периодической части Н имеется лишь конечное число возможностей
для образов порождающих at при отображениях из W.
Отсюда следует конечность группы Ч? и, значит, конечная
порожденность Ф. Теперь ясно, что Ф — полицикличес-
полициклическая группа, что и требовалось доказать.
21.3. Вложение голоморфов полициклических групп
в OLn A). Пусть G — группа. Легко видеть, что мы полу-
получим действие голоморфа Hoi G на целочисленном груп-
групповом кольце Z [G], если положим
BWi)« = Satffa »i е Z, Ф S Aut G, gi, g e G. B)
21.3.1. Лемма. Пусть G < OLn (Z), N — унитре-
уголъная нормальная подгруппа в G, a GIN конечно порож-
порождена. Если Ф — подгруппа из Aut G, отображающая N
в себя и действующая тождественно в GIN, то существует

200 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУШПЛ [f Jt. 1
изоморфное вложение <?>G -*¦ GLm (Z), унитреуголъное
на N.
Доказательство. Продолжим заданное вло-
вложение G < GLn (Z) До кольцевого гомоморфизма р:
Z [G]-*Mn (Z); пусть К — его ядро. Пусть / — идеал
кольца Z IG], порожденный всевозможными разностями
1 — х, х €= N. Так как группа ./V унитреугольна, то
(A -*!>... A -хп))<> = О при xt S N,
откуда 1па К и, следовательно, (/+ K)nCZ К. По теоре-
теореме 26.1.4 Дополнения аддитивная группа % [GM (I -\-К)п
конечно порождена. Пусть Т/ (/ + К)* — ее перио-
периодическая часть. Так как аддитивная группа Z IGVK
не имеет кручения, то Т а К. По условию, для любых
фЕФ, gGG имеем g* = gx, x e N, поэтому g9 — g =
= 8 (х — 1) ?= I- Отсюда видно, что аддитивная группа
1-{-К Фб-допустима. Следовательно, действие группы OG
на Z Ш\ в силу B) индуцирует действие Ф? на конечно
порожденной аддитивной группе Z ШУТ. Оно точное,
так как Т а К. Остается проверить, что N действует на
Z ШУТ унитреугольно. Для этого из соображений индук-
индукции достаточно указать в Z \G\IT ^-неподвижный эле-
элемент, отличный от нуля. Так как Р а Т, то существует
такое s > 0, что /* ф Т, It+1 С Т (мы считаем здесь,
что 7° = Z [G]). Всякий элемент из /* \ Т по модулю Т
отличен от нуля и ^-неподвижен. Лемма доказана.
21.3.2. Теорема (Ю. И. Мерзляков). Голоморф
Hoi G произвольной полициклической группы G изоморфно
вкладывается в GLn (Z) при подходящем п.
Доказательство, а) Группа G обладает авто-
морфно допустимой матрёшкой G ^ М > N ^ 1, где
\G : М |< схз, М — группа без кручения, MIN — абеле-
ва группа без кручения, ./V — максимальная нильпотент-
ная нормальная подгруппа в М. В самом деле, возьмем в
G нормальную матрёшку G = Gx> G2 > . . . > Gt+1 =,1,
каждая секция которой либо имеет простой период, либо
не имеет кручения. Группа G действует в зтих секциях
сопряжениями, что определяет матричные представления
G->Aut (GJG^i). По теореме Колчина — Мальцева
21.1.5 для каждого i существует подгруппа Tt конечного
индекса в G, вызывающая в векторном пространстве
Gi/Gi+i треугольные автоморфизмы. Пересечение Т =

§ 21J РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ 201
= О Tt также имеет конечный индекс в G и действует
треугольно во всех секциях. Ввиду 17.2.3 можно считать,
что Т не имеет кручения. Так как коммутант 7" действует
унитреугольно, то [Gt, Т',..., Т'] ^ Gi+i. Следовательно,
[G, Т',. . ., Т'] = 1, если число коммутирований доста-
достаточно велико. В частности, группа Т' нильпотентна. Мы
знаем, что в конечно порожденной группе всякая под-
подгруппа конечного индекса содержит вербальную под-
подгруппу конечного индекса (упражнение 15.2.3). Пусть
V — такая вербальная подгруппа в G, что V <I T,
| G : V | < оо, и пусть N — максимальная нильпотент-
ная нормальная подгруппа в V. Так как V <^ Т' f} V <^
< N, то группа VIN абелева. Пусть пг — период ее пе-
периодической части. Положим М — F"W. Ясно, что груп-
группы М, N — искомые.
б) Пусть Ф — группа всех автоморфизмов группы М,
действующих в MIN тождественно. Покажем, что суще-
существует изоморфное матричное представление группы ФМ
над Z, унитреугольное на N. Докажем сначала предста-
представимость самой М индукцией по степени г свободной абе-
левой группы MIN. Если г = 0, то это следует из теоре-
теоремы 17.2.5. Пусть
М = {а)-Мо, (в)П^о = 1, N < Мо < М
и степень MJN равна г — 1. По индукции можно считать,
что Мй имеет требуемое представление. Тогда, ввиду лем-
леммы 21.3.1, такое представление имеет и М. Применив
21.3.1 еще раз, получим представление для ФМ.
в) Голоморф Hoi M изоморфно представим матрицами
над Z- В самом деле, ввиду б) и 17.2.7 достаточно убедить-
убедиться, что | Aut М : Ф | < оо. Это мы и проверим. Прежде
всего, из коммутативности M/N и коммутаторных соот-
соотношений (см. п. 3.2) следует, что в Hoi M
[M/N, a]m < l(M/N)m, а] < [АГ, a] N/N C)
для всех а е= AutM, пг = 1, 2,. . . Пусть р4 €Е Aut M.
Так как подгруппа ф) М из голоморфа Hoi M поли-
полициклическая, то она содержит нормальную подгруппу Т
некоторого конечного индекса т, коммутант которой Т'
нильпотентен (см. а)). Так как N — максимальная ниль-
потентная нормальная подгруппа в М, то
[Mm, pm] < Г Л М < N.

202 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
Отсюда и из C) следует, что Ш/N, pm]m = 1. Так как
MIN без кручения, то [MIN, р4] = 1, т. е. pm G Ф. Та-
Таким образом, группа (Aut МIФ периодическая. Если
г — ранг M/N, то имеем очевидное вложение (Aut М)/Ф —>
—> GLr (Z). Так как GLr (Z) почти вся без кручения
(упражнение 19.3.4), то (Aut М)/Ф конечна.
г) Голоморф Hoi G изоморфно представим матрицами
над Z. В самом деле, воспользуемся тем, что для произ-
произвольной группы X существует вложение
Hoi X -> Aut (Хг Z,). D)
Чтобы получить это вложение, зададим действие Hoi X
на X г TL%, полагая
/ о х \4>s (а
vg о
о р
для всех ф^А^Х, i, у, g ё X. Все нужные свойства
без труда проверяются. Если X — полициклическая груп-
группа, то, очевидно, группа X г Z2 такая же, поэтому вме-
вместо Hoi G достаточно представить матрицами Aut G. Да-
Далее, пусть Г — группа всех автоморфизмов группы G,
действующих тождественно в (конечной) секции GIM.
Так как | Aut G : Г | < оо, то достаточно предста-
представить Г. Пусть S — конечное порождающее множество
группы G по модулю М. Рассмотрим отображение
Г -> Hoi М X ... X Hoi M по правилу
Y1-»- П У\м ¦ [y,s]. F)
Непосредственно проверяется, что это изоморфное вло-
вложение. Так как Hoi M изоморфно представима матрицами
над Z (см. в)), то и Г такая же. Теорема доказана.
21.3.3. Упражнение. Если М — автоморфно
допустимая подгруппа конечного индекса в некоторой
группе G и Hoi M изоморфно представима матрицами, то
и Hoi G изоморфно представима матрицами.
21.3.4. Упражнение. Голоморф произвольной
полициклической группы почти весь не имеет кручения
и для всякого простого числа р почти весь аппроксими-
аппроксимируется конечными р-группами.

§ 22] ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ 203
Указание. См. доказательство теоремы 14.2.2.
Роль теоремы 21.3.2 состоит в том, что она открывает
путь в теорию полициклических групп методам алгебраи-
алгебраической геометрии, теории чисел и /ьадического анализа —
в зависимости от выбора основного кольца коэффициентов,
в которое мы погружаем Z. Например, как заметил Вер-
фриц, эта теорема позволяет доказать конечную опреде-
определенность группы автоморфизмов произвольной полицик-
полициклической группы G (Auslander L.— Ann. Math., 1969, 89,
№ 2, p. 314—322) следующим образом. Если Hoi G <^
<^ GLn (Z) и G замкнута в полиномиальной топологии,
то ее нормализатор и централизатор в GLn (Z) также
замкнуты и, значит, конечно определены (Borel A.—
Proc. Internat. Congress of Mathns, Stockholm, 1962, p.
10—22). Поэтому группа Aut G ~ TV* (G)/C* (G) конечно
определена. Если G не замкнута, то рассуждения не-
несколько усложняются. Подробности и другие интересные
комментарии к теореме 21.3.2 можно найти в докладе
Верфрица, прочитанном 22 июня 1973 года на симпозиуме
в Лондоне [44].
В связи с конструкцией, встретившейся нам мимо-
мимоходом в конце доказательства 21.3.2, отметим следующий
21.3.5. Вопрос [13]. Пусть С — фиксированная
неединичная группа (например, С = Z2)- Известно (Ал-
(Алгебра и логика, 1970, 9, № 5, с. 539—558), что для любых
групп А, В все расщепляемые расширения группы В по-
посредством группы А вкладываются некоторым единым
способом в прямое произведение А X Aut (В г С). Как
они в нем расположены?
§ 22. Обобщения разрешимости
22.1. Классы Куроша — Черникова. Мы знаем, что
разрешимость можно определить как наличие конечной
субнормальной матрёшки с абелевыми секциями или ко-
конечной нормальной матрёшки с абелевыми секциями,
а также как обрыв ряда коммутантов на единице,— все
эти условия равносильны. Возникает мысль рассмотреть
бесконечные субнормальные матрёшки разных типов и
выяснить свойства получающихся классов и связи между
ними (естественно ожидать, что равносильные условия
перестанут быть таковыми в общем случае). Такая теория
«обобщенно разрешимых» групп была создана и осново-

204 Разрешимые группы [гл. 1
полагающей тут явилась работа А. Г. Куроша и С. Н. Чер-
Черникова [15]. Мы будем называть классы обобщенно раз-
разрешимых групп, возникающие в рамках этой теории,
классами Куроша — Черникова, хотя некоторые из них
рассматривались и до работы [15]. В настоящем пункте
будут приведены определения и обозначения этих классов.
Основным понятием теории классов Куроша — Черни-
Черникова является следующее понятие субнормальной матрёш-
матрёшки, не обязательно конечной.
Система Jf- подгрупп группы G называется субнормаль-
субнормальной матрёшкой, если она:
1) содержит 1 и G;
2) линейно упорядочена по вложению, т. е. для вся-
всяких А, В из Jf- либо А <[ В, либо В < А;
3) замкнута относительно объединений и пересечений,
в частности, вместе с каждым А Ф G содержит пересе-
пересечение А* всех Яе J с условием Н ^> А и вместе с каж"
дым В Ф 1 содержит объединение В всех Н €= Л-с ус-
условием Н <^В;
4) удовлетворяет условию А ^ЗЛ* для всех А 6= Jf,
АФО.
Фактор-группы А* IА называются секциями субнор-
субнормальной матрёшки JI. Говорят, что Л- вполне упорядоче-
упорядочена по возрастанию, если А*фА для всех А Ф G, и вполне
упорядочена по убыванию, если В" Ф В для всех В Ф 1.
Субнормальная матрёшка называется нормальной, если
все ее члены нормальны в группе. Если одна субнормаль-
субнормальная матрёшка содержит другую, то первая называется
уплотнением второй. Обобщая определение из п. 16.1,
нормальную матрёшку Л, называют центральной, если все
ее секции центральны, т. е.
Л# / А < Z (G I А) для всех А^Л,Афп,
или, что равносильно,
[Д G] < А для всех А е Jf, Афв.
Наконец, субнормальную матрёшку называют разрешимой,
если все ее секции абелевы.
Возникают следующие классы Куроша — Черникова
(мы сохраняем традиционные обозначения, хотя и не счи-
считаем их вполне удачными):

§ 22] ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ 205
RN: группа обладает разрешимой субнормальной ма-
матрёшкой (не обязательно конечной — эта оговорка в даль-
дальнейшем не повторяется, но всегда предполагается);
RN*: группа обладает разрешимой субнормальной
матрёшкой, вполне упорядоченной по возрастанию;
RN: всякую субнормальную матрёшку группы можно
уплотнить до разрешимой субнормальной матрёшки;
RI: группа обладает разрешимой нормальной матрёш-
матрёшкой;
RI*: группа обладает разрешимой нормальной мат-
матрёшкой, вполне упорядоченной по возрастанию;
RI: всякую нормальную матрёшку группы можно
уплотнить до разрешимой нормальной матрёшки;
Z: группа обладает центральной матрёшкой;
ZA: группа обладает центральной матрёшкой, впол-
вполне упорядоченной по возрастанию;
ZD: группа обладает центральной матрёшкой, вполне
упорядоченной по убыванию;
Z: всякую нормальную матрёшку можно уплотнить до
центральной матрёшки;
N: всякую подгруппу можно включить в субнормаль-
субнормальную матрёшку;
N: всякую подгруппу можно включить в субнормаль-
субнормальную матрёшку, вполне упорядоченную по возрастанию.
Сами матрёшки, упоминаемые в этих определениях,
удобно называть соответственно RN-матрёшками, RN*-
матрёшками и т. д.
22.1.1. Упражнение. Условие N равносильно
нормализаторному условию из п. 18.2.
22.1.2. Упражнение. Для конечных групп ус-
условия RN, RN*, R~N, RI, RI*, RI равносильны разреши-
разрешимости, а условия Z, ZA, ZD, 2, N', N — нильпотентности.
22.1.3. Упражнение. Группа тогда и только
тогда обладает свойством RI (соответственно Z), когда все
ее гомоморфные образы обладают свойством RI (соответ-
(соответственно Z).
22.1.4. Упражнение. Свойства RN*, RI*, ZA,
RN, RI, Z, N, N переносятся на гомоморфные образы.
Многие свойства разрешимых и нильпотентных групп
без труда переносятся (вместе с доказательством) на их
обобщения:

206 Разрешимые группы [гл. 1
22.1.5. Упражнение. Стабилизатор произволь-
произвольной нормальной матрёшки обладает центральной матрёш-
матрёшкой. (Ср. с 16.3.1.)
22.1.6. Упражнение. Коммутант всякой группы,
обладающей нормальной матрёшкой с циклическими сек-
секциями, обладает центральной матрёшкой. (Ср. с 19.2.2.)
22.1.7. Упражнение. Во всякой Z.A-rpynne G
всякая максимальная абелева нормальная подгруппа А
совпадает со своим централизатором. В частности, А —
максимальная абелева подгруппа и GIA изоморфно вкла-
вкладывается в Aut А. (Ср. с 16.2.6.)
Классы Куроша — Черникова весьма широки,— на-
например, класс Z содержит ввиду теоремы Магнуса 14.4.4
все свободные группы. Более тонким является утвержде-
утверждение, что всякая счетная свободная группа изоморфно
вкладывается в некоторую группу класса Z,— это пока-
покажет один из примеров, к которым мы сейчас переходим.
22.2. Примеры. Важный пример обобщенно разреши-
разрешимых групп дают упорядочиваемые группы.
22.2.1. Пример. Всякая упорядочиваемая группа G
обладает свойством RN (напомним, что группа называется
упорядочиваемой, если на ней можно задать линейное упо-
упорядочение ^, устойчивое относительно умножения; под-
подробнее см. п. 27.2 Дополнения). Действительно, пусть
G — группа с линейным упорядочением <^. Ее подмноже-
подмножество V называется выпуклым, если вместе с любыми дву-
двумя своими элементами а, Ь оно содержит и все промежу-
промежуточные элементы, т. е.
Оказывается, система М всех выпуклых подгрупп упоря-
упорядоченной группы G является разрешимой субнормальной
матрёшкой. Действительно, условие 1) из определения
субнормальной матрёшки очевидно. Проверим условие 2).
Пусть А, В — выпуклые подгруппы и существует элемент
Ъ €= В, Ъ ф А. Пусть, скажем, Ъ > 1. Ясно, что а ^Ь
для любого sgi. Так как 1 <J а <^ Ь или 1 ^ а~х <^ Ь,
то А <^ В, что и требовалось. Условие 3) очевидно. Про-
Проверим 4), т. е. условие А <] В, где А, В — выпуклые под-
подгруппы, причем А <^ В и между ними не содержится ни-
никаких других выпуклых подгрупп. Для любого b Е= В
имеем А" <^ВЬ, причем ясно, что АЬ,ВЬ — снова вы-

§ 22] ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ 207
пуклые подгруппы и между ними нет других выпуклых
подгрупп. Так как Бь = В, то Аь = А, что и требовалось
доказать. Наконец, каждая секция Л* / А матрёшки М
есть упорядоченная группа, не содержащая собственных
выпуклых подгрупп. По классической теореме Гёльдера
об упорядоченных группах (она доказывается в [10] на
одной странице на основе определений) секция A* I A
изоморфно вкладывается в аддитивную группу поля R,
в частности, абелева. Значит, Jf — разрешимая субнор-
субнормальная матрёшка.
Теперь обратимся к примерам обобщенно нильпотент-
ных групп. Важный тип таких примеров доставляют раз-
разного рода конгруэнц-подгруппы — как классические
Гп (т) над кольцом Z, так и их аналоги над другими коль-
кольцами. Рассмотрим здесь
22.2.2. Пример (Мерзляков Ю. И.— Алгебра и ло-
логика, 1963, 2, № 5, с. 29—36). Пусть к — множество, со-
состоящее из нуля и всех рациональных чисел, имеющих
в несократимой записи нечетный знаменатель. Очевидно,
к — кольцо. Пусть
+ 2nJt 2nfc \
2пк i + 2nk)' n=1'2
т. е. Gn — совокупность матриц, элементы которых неза-
независимо друг от друга пробегают соответствующие множе-
множества рациональных чисел. Легко понять, что каждое Gn —
группа. Как мы знаем, группа Gx содержит свободную
подгруппу ранга 2 (см. теорему 14.2.1), а поэтому и сво-
свободные подгруппы любого конечного или счетного ранга.
Покажем, что Gr обладает также свойством Z, т. е. что
фактор-группа группы G^ по любой нормальной под-
подгруппе Н обладает центральной матрёшкой (см. упражне-
упражнение 22.1.3).
Прежде всего, если И лежит в центре Gu то система
фактор-групп
GHH > С///Я > ... > fl (GnHlH) > 1
будет, как нетрудно проверить, центральной матрёшкой
фактор-группы GJH. Допустим теперь, что нормальная
подгруппа Н не лежит в центре Gi, и покажем, что тогда
Я Р> Т П Gn при некотором п, A)

208 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
где Т — совокупность матриц из Gx с определителем 1.
Этим всё будет доказано, так как группа GJH будет тогда
гомоморфным образом группы GJT П Gn, вкладываю-
вкладывающейся по теореме Ремака 4.3.9 в прямое произведение
абелевой группы GJT и нильпотентной группы GJGn.
А для доказательства утверждения A) мы снова применим
плодотворный философский метод вытягивания цепи
(см. стр. 117).
а) Подгруппа Н содержит матрицу h с условием й^ ^=
Ф hl2- Действительно, пусть с — какая-нибудь нескаляр-
нескалярная матрица из Н. Непосредственно проверяется, что
в качестве h годится одна из матриц с, са, сь, сас, сьс, сась,
где а = t12 B), Ь = t21 B).
б) Если Н содержит h, то Н содержит также транс-
векции tl2 (К), t21 {К), где К = 2ц ((?4 / /г?х) — 1), ]i —
произвольное рациональное число с нечетными числите-
числителем и знаменателем. В самом деле, непосредственно про-
проверяется, что t12 {К) = [a, huh]v, где а = tla B), и =
= diag (—fe227 ^n), v — diag A, \i). А матрица f21 (А,) по-
получается транспонированием этого соотношения, причем
h можно не транспонировать, поскольку К зависит только
от ее диагональных элементов. Отметим полезную в этих
вычислениях формулу
*п — *п \
а при d = diag (a, 0). ;¦•'.
в) Существует такое m ~> 1, что Н содержит все транс-
векции t12 Bmx), t2l Bm«), x?lt. Это сразу вытекает из
а) и б).
г) Подгруппа Н содержит произвольную матрицу
A I 22ma 22mB \
22m7 1 + 22тб)' «,p,Y,6eA;, deta:=l.
Действительно, непосредственно проверяется, что
х = t12 {2ml) t21 Bm6) tl2 Bm) t21 Bi), B)
где
V
На этом вытягивание элементов заканчивается,

9 22] ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ 209
Попутно получается положительное решение конгру-
енц-проблемы для группы SL2 (к). В самом деле, пусть
Н — нормальная подгруппа в SL2 (к) конечного индекса п.
Так как п-е степени трансвекций из SL2 (к) лежат в Н,
то выполняется в). Так как в) =Ф г), то Н — конгруэнц-
подгруппа.
Отметим, что двойка не играла в наших рассуждениях
особой роли. Аналогично устанавливается, например, сле-
следующий факт. Пусть я — множество, получаемое из мно-
множества всех простых чисел удалением конечного подмно-
подмножества (назовем его я'), Qn — кольцо я-ичных дробей,
т. е. рациональных чисел, знаменатели которых делятся
только на простые числа из я. Каждая подгруппа Н ко-
конечного индекса п в SL2 (Qn) является конгрузнц-под-
группой. В самом деле, пусть Н нормальна и q — произ-
произведение всех чисел из я'. Возьмем какую-нибудь верхнюю
границу /га ^ 1 для показателей, с которыми делители из
я' входят в п. Так как И содержит все трансвекций
ti) (Qm^)i * €= Qni то наше утверждение вытекает из сле-
следующего аналога разложения B) при [i = [i' = qm
qm
где
Ъ
Из примера 22.2.2 видно, что свойства RI и ^ не пере-
переносятся на подгруппы, так как свободные нециклические
группы этими свойствами не обладают (см. 22.1.4).
Продолжая изложенную здесь работу, Г. А. Носков
показал (Сиб. матем. ж., 1973, 14, № 3, с. 680—683), что
группа-Gx обладает и свойством RN, так что оно тоже не
переносится на подгруппы.
В топологических группах условия конечности и обоб-
обобщенной разрешимости исследовали В. М. Глушков,
В. С. Чарин и другие авторы.
22.3. Локальная теорема. Система Af{, is/, подмно-
подмножеств множества М называется его локальным покрыти-
покрытием, если любой элемент из М содержится в некотором Мг
и любые два множества Ми Мj содержатся в некотором
третьем множестве Мк. Примеры локальных покрытий —

210 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. 7
система всех конечных подмножеств данного множества и
система всех конечно порожденных подгрупп данной
группы. Говорят, что группа G локально обладает свой-
свойством о, если существует локальное покрытие группы G,
состоящее из подгрупп со свойством ст. Ясно, что если а
переносится на подгруппы, то G тогда и только тогда ло-
локально обладает свойством а, когда любая конечно порож-
порожденная подгруппа из G обладает этим свойством. Приме-
Примерами локальных свойств могут служить локальная ниль-
нильпотентность и локальная конечность, встречавшиеся нам
в предыдущей главе.
Говорят, что для свойства групп (и соответствующего
класса групп) справедлива локальная теорема, если вся-
всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама
обладает им. Так, локальная теорема справедлива в клас-
классе абелевых групп и не справедлива в классе конечных
групп.
Почему для одних свойств локальная теорема справед-
справедлива, а для других нет? Задавшись этим вопросом,
А. И. Мальцев (Уч. зап. Ивановского пед. ин-та, 1941, 1,
№ 1, с. 3—9) обратил внимание на то, что локальные тео-
теоремы не специфичны для теории групп, а столь же естест-
естественны для колец, луп и других алгебраических систем,
поэтому ключ к ним надо искать не в теории групп или
других частных теориях, а в основаниях математики.
И действительно, идейным источником самых разнообраз-
разнообразных локальных теорем оказалось следующее замечание
формальной логики: если теорема выводится из некоторого
списка аксиом, то она выводится из конечной части этого
списка. Развивая это замечание, А. И. Мальцев пришел
к своей теореме компактности узкого исчисления преди-
предикатов, а от нее — к локальной теореме для любого свой-
свойства, записываемого так называемыми квазиуниверсаль-
квазиуниверсальными формулами. Тем самым вопрос о справедливости
локальной теоремы для данного свойства а, который до
А. И. Мальцева решался кустарно для каждого а, был
сведен к общему и чисто «грамматическому» вопросу:
нельзя ли записать а квазиуниверсальными аксиомами?
С помощью остроумного приема, который мы здесь
изложим, А. И. Мальцев еще в упомянутой выше работе
1941 года записал квазиуниверсальными формулами спе-
специального вида свойства RN, Ш, Z и этим способом дока-

§ 22) Обобщения разрешимости 211
зал для них локальную теорему. Позднее он вернулся
к своему методу, придал ему современную общность и
в работе «Модельные соответствия» (Изв. АН СССР, сер.
матем., 1959, 23, № 3, с. 313—336) единообразно получил
практически все интересные локальные теоремы теории
групп. Можно сказать, что работа 1941 года впервые по-
поставила «и» между локальными теоремами алгебры и ло-
логикой, а работа 1959 года в известном смысле поставила
точку над «и». Вместе с тем первая работа явилась исход-
исходным пунктом теории моделей.
Мы докажем здесь методом А. И. Мальцева локаль-
локальную теорему для классов Куроша — Черникова. Замкну-
Замкнутое изложение логической части метода дается в § 27
Дополнения. Читатель, незнакомый с этим методом, дол-
должен обратиться сейчас к Дополнению, а затем продол-
продолжать чтение.
22.3.1. Теорема (А. И. Мальцев). Для свойств
RN, RI, Z, RN, Rl, Z, N справедлива локальная теорема.
Доказательство. Используя упоминавшийся
прием А. И. Мальцева, перейдем от языка субнормальных
матрёшек к языку предикатов. Для этого с каждой суб-
субнормальной матрёшкой Л подгрупп группы G свяжем
предикат Р на G, полагая Р (х, у) = И тогда и только
тогда, когда в матрёшке Л существует подгруппа, содер-
содержащая ж и не содержащая у. Ясно, что Р удовлетворяет
следующим универсальным аксиомам (кванторы опущены):
1) —\Р (х, х),
2) Р (х, у) /\P{y,z)-+P (x, z),
3) P{x,z)/\^P (у, z)-+P (х, у),
4) Р (х, z)/\P (у, z)-+P (ху~\ z),
5) хф1^РA,х),
6) Р (х, у)-+Р (у~1ху, у).
Обозначим Ау = {х | х е G, Р (х, у) = И}, у ф 1. Не-
Нетрудно проверить, что
Ау= U А, А=
уфА<=М
т. е. Ау ёЕ Л и каждое 4ei, А Ф G, представимо в
виде пересечения подгрупп Ау.

212 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ (ГЛ. 1
Обратно, пусть на G задан предикат Р со свойствами
1) — 6). Множества Ау составляют систему подгрупп,
линейно упорядоченную по вложению. Если мы добавим
к этой системе G, а также объединения и пересечения лю-
любых подсистем, то получится субнормальная матрёшка под-
подгрупп в группе G. Из 1) — 3) легко следует, что указан-
указанные переходы от ,М к Р и от Р к Jf взаимно обратны, а по-
потому осуществляют искомый перевод на язык ИП.
Основные понятия теории классов Куроша — Черни-
Черникова после перевода на язык 1JII будут выглядеть следую-
следующим образом:
7) разрешимость матрёшки: х Ф 1 Д | Р (х, у) Д
Д ~\Р (у, х)-+Р Aх, у], х),
8) нормальность матрёшки: Р (х, у) -+- Р (г *хг, у),
9) центральность матрёшки: х Ф 1 ->Р ([х, у], х).
Охарактеризуем еще трехчленные матрёшки 1 ^ А <^
<^ G на языке ИП. Очевидно, для этого к аксиомам 1) —
5) надо добавить аксиому
10) трехчленность матрёшки: х Ф 1 Д Р (х, у) -у
Теперь ясно, что свойства RNt RI} Z записываются
формулами
RN: (ЭР) (Ух) (Уу) (Уг) (A) Д B) Д C) Д D) Д E) Д G)),
Ш: (ЭР) (Ух) (Уу) (Уг) (A) Д B) Д C) Д
Л D) Д E) Д G) Д (8)),
Z: (ЭР) (Ух) (Уу) (Уг) (A) Д B) Д C) Д D) Д E) Д (9)),
где A), B), ... — выражения из 1), 2), . . ., а свойства
RN, RI, Z, ДГ, говорящие об уплотняемости, записывают-
записываются формулами
Ж: (УР)((Р - субн.) -*CQ)((Q - разр. субн.) Д
_ Л (V") (у)(Л(и. у) -+Q (". у
RI: (уР) ((Р - норм.) МШ№ ~ Разр. норм.) Д
Z: (у/Р) ((P - норм.) МШ№ ~ Центр.) Д
A(yu)(yv)(P(u,v) -+Q(u,v)))),
N: (УР) ((P - трехчл.) ->(Э0 ((Q - субн.) Д
и, v)-+Q(utv)))),

S 22] Обобщения разрешимости 2lS
где сокращенные записи должны быть заменены очевид-
очевидными комбинациями формул 1) — 10). Поскольку все
семь свойств оказались квазиуниверсальными, остается
сослаться на теорему 27.3.3 из Дополнения. Теорема до-
доказана.
Для свойств RN*, RI*, ZA, ZD, N, не охваченных тео-
теоремой Мальцева, локальная теорема не справедлива,—
см., в частности, пример 18.2.2.
Заметим, что формулы для RN, RI, Z предметно-уни-
предметно-универсальны, поэтому по теореме 27.3.1 из Дополнения эти
свойства переносятся на подгруппы (что нетрудно доказать
и непосредственно).
22.3.2. Упражнение. Свойства RN*, RI*, ZA,
ZD, N, N тоже переносятся на подгруппы.

Глава 8
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
§ 23. Периодичность и локальная конечность
23.1. Совпадают ли эти понятия? Напомним, что груп-
группа называется периодической, если каждый ее элемент
имеет конечный порядок. Группа называется локально ко-
конечной, если каждая ее конечно порожденная подгруппа
конечна. Ясно, что всякая локально конечная группа
является периодической. Верно ли обратное?— в этом со-
состоит проблема Бернсайда, поставленная еще в начале
века. Более точно, известны следующие ее варианты:
I. Общая проблема Бернсайда 35: всякая ли периоди-
периодическая группа локально конечна?
II. Ограниченная проблема Бернсайда 35 (г, т): вся-
всякая ли группа данного периода га, т. е. с тождественным
соотношением хт= 1, и с данным числом порождающих
элементов г конечна?
III. Ослабленная проблема Бернсайда 93' (г, т): ко-
конечно ли число конечных групп данного периода т
с данным числом порождающих элементов г?
Понятно, что из отрицательного решения проблемы
35 (г, т) для каких-либо г, т следует отрицательное ре-
решение проблемы 35, а из положительного решения 33 (г, т)
следует положительное решение 35' (г, га).
Состояние трех этих вопросов на сегодня таково:
I. E. С. Голод (Изв. АН СССР: Сер. матем., 1964, 28,
№ 2, с. 273—276) и С. В. Алёшин (Матем. заметки, 1972,
11, № 3, с. 319—328) построили примеры бесконечных ко-
нечло порожденных периодических групп, что отрицатель-
отрицательно решает общую проблему Бернсайда. Разумеется, реша-
решает ее — попутно — и недавний пример А. Ю. Ольшан-
Ольшанского, о котором мы говорили в § 2 в связи с проблемой
О. Ю. Шмидта.
И. П. С. Новиков и С. И. Адян (Изв. АН СССР: Сер.
матем., 1968, 32, с. 212-244, с. 251—524, с. 709-731)
доказали бесконечность свободной группы Вт {га) в много-

§ 23] ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 215
образии групп с тождеством хт = 1 иг свободными по-
порождающими, где г 1> 2, т — нечетное число > 4381.
Позднее эта граница была понижена до т > 665 — см. [2].
С другой стороны, известна конечность свободных берн-
сайдовых групп малых периодов: Вг B) (упражнение),
Вг C) (Burnside, 1902), Вт D) (И. Н. Санов, 1940) и Вг F)
(М. Hall, 1957). Конечна ли пропущенная в этом списке
группа Вт E) — неизвестно.
III. А. И. Кострикин (Изв. АН СССР: Сер. матем.,
1959, 23, №1,с. 3—34; см. также: Матем. сб., 1979, НО,
№ 1, с. 3—12) положительно решил ослабленную пробле-
проблему Бернсайда 23' (г, га) в случае, когда m — простое число.
Итак, общая проблема Бернсайда решена, однако до
сих пор известно всего лишь несколько отдельных перио-
периодических не локально конечных групп или, лучше ска-
сказать, конструктивных типов таких групп. Как пойдет
дело дальше — судить трудно, но сейчас эти примеры про-
производят приблизительно такое же впечатление, как пер-
первые образцы лунного грунта. Каждый из них, несомнен-
несомненно, заслуживает самого пристального внимания, и мы
посвятим этот параграф изложению замечательной конст-
конструкции С. В. Алёшина. (Пример Е. С. Голода был изло-
изложен выше — см. 18.3.2 и § 26 Дополнения,— а остальные
из упомянутых конструкций, к сожалению, слишком
громоздки для изложения их в учебнике.)
Пользуясь случаем, отметим, что для линейных групп —
в отличие от общего случая — результаты по проблеме
Бернсайда были получены еще в начале века и имеют по-
положительный характер — см. [20], стр. 409.
Мы закончим эти предварительные замечания следую-
следующим важным свойством локально конечных групп (его
аналог для периодических групп — легкое упражнение):
23.1.1. Т е о ре м а (О.Ю.Шмидт). Расширение G
локально конечной группы А посредством локально конеч-
конечной группы G/A — само локально конечная группа.
Доказательство. Проверим, что каждое ко-
конечное множество М из G порождает конечную подгруппу.
По условию фактор-группа гр (М, А)/А конечна. Уве-
Увеличив, если нужно, множество М, будем считать, что оно
замкнуто относительно взятия обратных элементов и со-
содержит представители всех смежных классов гр (М, А)

216
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 8
по А. Тогда для любых х, у из М выполняется равенство
ху = щ-аХуУ, где Щ е М, аХлУ е А.
Отсюда следует, что любое произведение элементов из М
можно записать как произведение некоторого элемента
из М на произведение некоторых aXiV. Так как всевозмож-
всевозможные аХгУ порождают конечную подгруппу, то всё доказано.
23.2. Бесконечная 2-порожденная 2-группа автомат-
автоматных преобразований. В упомянутой выше работе
С. В. Алёшина для каждого простого числа р построена
бесконечная 2-порожденная финитно аппроксимируемая
р-группа автоматных преобразований. Идея конструкции
хорошо видна уже в простейшем случае, когда р = 2, ко-
которым мы и ограничимся.
Что такое автомат и как он работает? Не вдаваясь в
общую теорию, ограничимся примерами следующих двух
нужных нам автоматов а и Ь:
По определению, эти автоматы действуют на множест-
множестве Ki всех кортежей (т. е. конечных последовательнос-
последовательностей) цифр 1, 2. Автомат а имеет 7 состояний, изображенных
на рисунке кружками, одно из которых — начальное —
помечено буквой а. В кружках написаны подстановки
множества / = {1,2}: е — тождественная, т — транспо-
транспозиция. Работает автомат а так: если дан кортеж у = ixi2 . ¦ ¦
. . . im, то а действует на его первую цифру ix подстановкой
е, соответствующей начальному состоянию, и переходит
в новое состояние по стрелке ij, 8атем действует на i, под-

§ 23] ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 217
становкой, соответствующей этому новому состоянию, а
сам переходит из него по стрелке i2, и т. д. Здесь удобно
ввести следующее обозначение: если после переработки
кортежа у автомат а переходит в состояние, которому со-
соответствует подстановка я, то будем писать
а/у ~ п.
Например, пусть у = 121221. Путешествуя по стрел-
стрелкам автомата а (как в детских настольных играх), мы на-
находим, что
а/1 ~ е,
а/12~е,
а/121 ~т,
а/1212 ~е,
а/12122 ~ в,
в/121221 ~ в,
поэтому уа = 1«2«1«2*2е1в = 121121 и а/у ~ е.
Аналогично|работает автомат Ь.
23.2.1. Упражнение. В любом кортеже авто-
автомат а меняет не более одной цифры, причем отрезок, пред-
предшествующий этой цифре, должен иметь вид B ... 21.
Применив а еще раз, мы вернемся к исходному кортежу,
каким бы он ни был, так что а2 = 1 (мы будем отождеств-
отождествлять автоматы и определяемые ими преобразования мно-
множества кортежей К%). В частности, а — взаимно однознач-
однозначное преобразование, обратное самому себе. Вот полный
перечень случаев, когда автомат а переходит в (единствен-
(единственное) состояние с подстановкой т: если дл. у > 3, то а/у ~
~ т тогда и только тогда, когда
12... 21 при дл. у = 0 (mod 3),
у = ¦ 22... 21 при дл. y = 1 (mod 3),
?2... 21 при дд. у = 2 (mod 3).
23.2.2. Упражнение. Автомат Ъ действует сов-
совсем просто:
2г]<
12т],

218 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
где х\ — произвольный кортеж. В частности, Ъ меняет
только первые две цифры кортежа, причем любую их пару
можно переделать в любую другую пару, применив Ь
несколько раз. Далее, б4 = 1, так что Ь — тоже взаимно
однозначное преобразование множества К% (с обратным
преобразованием Ь3).
23.2.3. Теорема (СВ. Алёшин). Группа автомат-
автоматных преобразований G = гр (а, Ь) является бесконечной фи-
финитно аппроксимируемой 2-группой.
Доказательство.! а) Группа G бесконечна.
В самом деле, достаточно найти в ней такие элементы хи
х2, . . ., что
для всякого кортежа х\, потому что взяв ук = хх. . . xk,
мы будем иметь
2 ... 22 It 1... 12...,
т. е. найдем в G бесконечно много различных элементов
J/i, г/г. • • •
Ясно, что можно взять xt — Ь3, х% = Ь2 (см. упражне-
упражнение 23.2.2). Предположим теперь, что элементы хх, . . .
. . ., а*-!, к > 3, уже построены, и построим а%. Имеем
...— _2...212t]. A)
Из определения автомата а видно (см. также упражнение
23.2.1), что
12...212г]-!»12...211г] при т == 0, 1 (mod 3),
22...212Т]— -»22...211т] при m=2(mod3).
m m
Следовательно, изменив, если необходимо, в последнем
кортеже цепочки A) первую цифру (с помощью подходя-
подходящей степени преобразования Ъ) и применив затем а и,

g 23] ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 219
возможно, еще рае подходящую — обратную — степень Ь,
получим
2...
Применив, наконец, хг . . . а*_2, олучим требуемый
кортеж 1 .. . 1т]. Таким образом, можно взять
х x b~
к ^2 t b~ ab Xi ... xit_$
при подходящем m = 0, 1.
б) Группа G аппроксимируется конечными 2-группами.
В самом деле, пусть /" — множество кортежей длины п
в алфавите / = {1,2}, Gn — группа подстановок множе-
множества /", индуцируемых (путем сужения на /") преобразо-
преобразованиями из G, п = 1, 2, . . . Ясно, что ядра всех гомомор-
гомоморфизмов-сужений G -+Gn пересекаются по единице,
поэтому остается заметить, что каждая Gn является 2-груп-
пой. Для этого мы покажем индукцией по п, что Gn имеет
период 2".
Пусть сначала п = 1. Всякий элемент g E= G имеет
вид g = ЬР'аЬР* а . . . b$s и на произвольную цифру i E=_
GE {1, 2} действует как подстановка tPi+ "+Ps. Понятно,
что ig2 = i. Пусть уже доказано, что yg2*'1 = у для вся-
всякого у Ei 7", и пусть / е {1, 2}. Очевидно, (yj)gin~1 —
= ур , где т = 0 или 1. Действуя еще раз преобразова-
нием g* , получим (уу)^ = 77-
в) Осталось последнее — но и самое сложное: дока-
доказать, что G является 2-группой. Ввиду б) никакого кру-
кручения, кроме 2-кручения, в группе G быть не может, по-
поэтому достаточно доказать только, что она периодическая.
Нам понадобится несколько вспомогательных понятий, и в
этом пункте мы объясним одно из них — гибкость кортежа
относительно автоматного преобразования.
Пусть у — кортеж в алфавите {1, 2}, g — лемент груп-
группы G, взятый в фиксированной записи через порождаю-
порождающие
g = Zj . . . zs, где каждое zh = а или Ь.
Пусть, flaneej d — наименьшее натуральное число с ус-
условием yg* = у. Последовательность Tg (у) всех промежу-

220
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
(ГЛ. 8
точных результатов применения слова
тежу y вапишем в таблицу:
. . ж*)й к кор-
Таким образом,
Y Y
7Z
ПРИ
при
Y?
1 </<<*- 1,
а сама последовательность Tg (у) получается чтением этой
таблицы строка за строкой. Пусть, далее, Гв (у) — под-
подпоследовательность последовательности Tg (у), составлен-
составленная из всех у'к вида i2 . . . 2/, к которым применяется zk =
= а (напомним, что только после таких кортежей автомат
а может изменить следующую цифру, см. упражнение
23.2.1). Если Г — конечная последовательность, то пусть Г
обозначает круговую последовательность, получаемую из Г
записыванием последнего члена перед первым. Пусть нако-
наконец, sgtQg (у) (соответственно sgm^ (у)) — число связных
«2-отрезков» вида
i'2 . . 22, . . ., i*2 ... 22,
чередующихся в последовательности Tg (у) (соответствен-
(соответственно в круговой последовательности F°g (у)] со связными
«1-отрезками» вида
2 . . .21, ... i'2 . . . 21
(понятно, что если имеются и те и другие отрезки, то в
Tg (у) их количества одинаковы, а вГв (у) отличаются са-
самое большее на единицу). Мы назовем число
гибкостъю*) кортежа у относительно преобразования g
(точнее, относительно фиксированной записи элемента g
через порождающие а, Ь). Например, если «хвостовые»
!)' П"— от flexibility.

§ 231 ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 221
цифры кортежей из Fg (у) имеют вид 2122122112, то
sgmg(Y) = 4, sgmg (у) = 3, flg (у) =1. Говоря нефор-
неформально, гибкость кортежа отражает число виляний хвос-
хвостом в последовательности Tg (у).
23.2.4. Упражнение. Если yg = б, то
sgmg (у) = sgmg (б) и flg (у) = Ug (б). Заметим, что
именно ради этого свойства мы перешли от sgm к sgm°.
Что же касается деления пополам и перехода к целой
части, то они были сделаны исключительно ради того,
чтобы выполнялось утверждение следующего пункта.
г) Покажем, что с увеличением длины кортежа его
гибкость, вообще говоря, уменьшается. Говоря точно,
для всякого g G= G, всякого кортежа у длины !>3 и вся-
всякой цифры / 6 {1, 2} выполняется неравенство
ilg (yj) < ilg (у). B)
Более того, если l\g (у) ^> 0, d — наименьшее число с ус-
условием у^ = у и автомат g** после переработки кортежа
у переходит в состояние, которому соответствует тожде-
тождественная подстановка, т. е. gd/y •— е, то
ng(yj)<ng(y). C)
Заметим сначала, что если i'2 . . . 2, i . . .2 — два
соседних кортежа в последовательности Tg (у), то
в Tg (yj) к ним будет приписана одна и та же цифра. В са-
самом деле, если бы дописанные кортежи имели вид
i'2 . . .2/', i . . .2j" D)
с различными ;", /", то в последовательности Tg (yj)
(без тильды) первое изменение цифры ;" в процессе перера-
переработки кортежа i'2 . . .2j' имело бы вид
f'2 . . .21/' A i' . . .21/"
(учесть механизм действия автоматов а и Ъ, см. упражне-
упражнения 23.2.1 и 23.2.2), а потому в Tg(y) между кортежами
D) стоял бы кортеж i' . . .21, что неверно. Таким обра-
образом, пока в последовательности T°g (у) хвостовая цифра 2
не меняется, в последовательности Tg (yj) у соответствую-

222
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 8
щих членов новая — дописанная — хвостовая цифра
тоже не меняется.
Заметив это, рассмотрим вначале случай, когда
gd/y ~ е. Тогда (yj)gd = yj, а потому Tg (у)) имеет ту
же самую длину, что и последовательность Tg (у), и по-
получается из нее приписыванием к членам вида ii . . .2
цифры 1 или 2. Из прерыдущего замечания и простых ком-
комбинаторных соображений следует, что если sgmg (у) !> 2,
то sgm°g(yj)^ -^-sgin^Y) • Так как при т — 1, 2, ...
выполняется очевидное неравенство ~о~ <Ст> т0 ПРИ
fig (у) У О выполняется неравенство C).
Пусть теперь gd/y ~ т. Тогда (yj)gd = yjx, (yj)g2d =
= yj, т. е. Fg (yj) вдвое длиннее последовательности
Tg (у). Так как связным 1-отрезкам в первой половине
последовательности Tg (yj) соответствуют связные 2-от-
резки и наоборот, то для вычисления гибкости кортежа
у относительно g получаем следующую таблицу:
тип виляний хвостом
в половинах TJyj)
в первой
1~1
1-2
2-1
2-2
во второй
2-2
2-1
1-2
1- 1
т—общее число
отрезков в каждой
половине
нечетное
четное
четное
нечетное
sgm| (yj)
т
m—i
m—l
т
Мы видим, что во всех случаях
Так как
т < sgmg (у) < sgmg(Y) + 1,
то во всех случаях выполняется неравенство B).
д) Для всякого g €E G существует такое натуральное
число ng, что гибкость любого кортежа длины ng отно-
относительно g не изменится, как бы этот кортеж ни

§ 23] ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 223
дописывать, т. е.
fl, (тл) = Пй (у)
для всякого у длины ng и всякого кортежа т|.
В самом деле, множество 1п всех кортежей длины п
в алфавите / = {1, 2} распадается на орбиты относи-
относительно циклической группы (g); назовем их п-орбитами.
Ясно, что начальные отрезки длины п <^п кортежей ка-
какой-нибудь га-орбиты N сами лежат в одной орбите и,
более того, составляют в точности некоторую гс'-орбиту N';
мы будем говорить, что «-орбита N продолжает п'-орби-
TyN'. Ввиду упражнения 23.2.4 каждой гс-орбите N можно
приписать гибкость fl (N) = flg (у), у ЕЕ N.
Пусть множество Р распадается на 3-орбиты /?, ...
...,/? и fl (if) — fl. Пусть уг ее /?, di — наименьшее
число с условием y^g*1 — y^. Если g^Ayi ~ е, то
tig Ы
для любого / Е: {1, 2} (см. г)), поэтому в множестве /*
буДУт две 4-орбиты /*, /*, продолжающих 7? и имеющих
гибкость <^fl (/?). Если же g^Ayi ~т, то в /* будет лишь
одна 4-орбита it, продолжающая /?, причем fl (/*) ^
< fl (if). Продолжая этот процесс индуктивно, мы ви-
видим, что для всякого п = 4, 5, ... либо существует
единственная n-орбита, продолжающая данную (п — 1)-
орбиту, либо существуют две такие n-орбиты, но тогда
их гибкость строго меньше, чем у данной (п — 1)-орбиты.
Ввиду конечности чисел /?,...,/? найдется такое ng,
что каждая (ng — 1)-орбита покрывается точно одной
Wg-орбитой и гибкость уже не убывает. Отсюда и следует
наше утверждение.
Проведенное рассуждение можно пояснить рисунком—
см. стр. 224, где орбиты обозначены точками, а их продол-
продолжение — отрезками, идущими вниз.
В дальнейшем мы увидим, что стабилизация гибкости,
описанная в д), происходит обязательно на нуле, но для
этого нам потребуется еще одно вспомогательное понятие —
понятие типа последовательности fg (у).
е) Пусть снов» yg* = у, дл. у ;> 3. Какой] должна
быть подстановка ?*1уЧ Оказывается, что при некоторых
условиях на дл. у можно дать вполне определенный ответ.

224 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
Именно, пусть Т = {1}, {2} или {1, 2}. Ввиду формулы
из упражнения 23.2.1 можно указать сколь угодно боль-
большое число пт, такое, что для всякого кортежа б длины пт'
а/6 ~ т & 6 = i2 . . .21, i s T.
Значит, если дл. у — гаг и Nt — число всех кортежей вида
й . . .21, i GE Т, в последовательности Fg G), то
В частности, g^/y ^ е тогда и только тогда, когда t
четно. Ввиду важности этой ситуации введем специаль-
J
4
г?
5
П-1
: -I -м-] -ж
ную терминологию: будем называть Т типом последова-
последовательности Т„ {у),4 если число Nt четно.
23.2.5. Упражнение. При любых g, у после-
последовательность Tg (у) обладает хотя бы одним типом (а,
возможно] и несколькими). [Учесть, что хотя бы одно из
чисел Nlf N2, Nj. + N2 должно быть четным.]
ж) Покажем, что если бы^гибкость при дописывании
кортежей относительно какого-то g стабилизировалась
не на нуле, то не поэднее чем через шаг после стабилиза-
стабилизации гибкости наступала бы и стабилизация типов. Более
О < flg (v) = йв
для некоторого кортежа у и цифр /lt /8, то типы последо-
последовательностей fg G/1) и fg (Y/1/2) одинаковы.

§ 231 ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 225
В самом деле, пусть d — наименьшее число с условием
ygd = 7- В силу первого равенства и замечания г)
g'V'Y ~ т, поэтому в последовательности Tg G/1) вместе
с каждым кортежем вида 61 должен быть кортеж 62
и наоборот (см. третий абзац пункта г)). По той же при-
причине в Tg G/1/2) вместе со всяким кортежем 61 должен
быть 62 и наоборот. Следовательно, множество кортежей
ив Fg G/1/2) с хвостовой цифрой 1 можно получить из та-
таких же кортежей в Tg G/1) следующим приемом: меняем
хвостовую цифру 1 на 2 и приписываем новую хвостовую
цифру 1. Теперь наше утверждение прямо следует из
определения типа (см. е)).
з) Покажем, что стабилизация гибкости, описанная
в д), на самом деле всегда происходит на нуле, т. е.
fig G) = О Для всех У Длины ^-rig.
Действительно, ввиду д)
«я (У) = П, Gл)
для всех 7 длины ng и всех г\. Допустим, что flg G) ^> 0.
Ввиду ж) типы всех последовательностей
Tg G/1 ¦ • ¦/*), * = 1, 2, . . .,
при произвольных /ь /я, ... из {1, 2} одинаковы; пусть
Т — один из этих типов. Согласно е) найдется такое
число n'g ^> ng, что для всякого кортежа б длины п
о/б ~ т 4=> 6 = Й. . .21, i е Т.
Положим к = п8 — Tig, тогда дл. 7/1 •••/* = «g- Пусть
d таково, что {yix . . . jk) gd = 7/1 • • • h- Так как число
Nt всех кортежей вида ii . . . 21, iGT, в последова-
последовательности Fg G7*! . . . /if) четно (по определению типа),
то gd/yh . . . /k ~ е (см. е)). Но тогда ввиду г) должно
выполняться строгое неравенство
что явно противоречит условию. ¦
и) Докажем, наконец, что группа G периодическая.
Более точно, еслш g€=G, то g*n8+2 = 1, где ng !> 3 — число,
определенное в д) (см. также предыдущий пункт). Прежде
всего, мы уже отмечали (см. б)), что если d = 2ns, то
УН? — У Для любого кортежа 7 длины ng. Остается

226 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
доказать, что
(уц) gid = У] Для любого г\.
Так как ilg (у) = 0, то возможны такие четыре случая:
и.1) Последовательность Г^ (у) пустая. Тогда, в част-
частности, в ней нет кортежей вида i2 . . .21. Так как автомат
а меняет только цифру, идущую за таким кортежем, а Ь
вообще не меняет цифр, начиная с третьего места, то
(yj) gd = У! Для любого / G= {1, 2}. Так как в Tg (у) нет
и кортежей вида г2 . . .2, то последовательность Tg (yj)
тоже пустая. Следовательно, рассуждение можно повто-
повторить, и (уц) gd = уц для любого кортежа г\.
и. 2) Последовательность Tg (у) целиком состоит из
кортежей вида ?2 ... 21. Пусть / Е {1, 2}. Так как
в Fg (yj) могут войти лишь кортежи, начала которых
являются элементами из Tg (у), то последовательность
fg (yj) пуста. Так как yg* = у, то (yj) g*d = yj, и мы
приходим к случаю и.1) для кортежа yj.
и.З) Последовательность Г^ (у) целиком состоит из
кортежей вида i2 . . .2. Отсюда, как и в и.1), следует,
что (yj) g4 = yj для всякой цифры / G {1, 2}. Более того,
последовательность Tg (yj) получается приписыванием
к Tg (у) одной и той же цифры /. Если ; = 1, то мы при
ходим к случаю и.2) для кортежа yj, и всё заканчивается.
Если же / = 2, то мы возвращаемся к рассматриваемому
случаю и.З), но уже для yj. Снова будем иметь:
и т. д.
и.4) Последовательность T°g (у) состоит из одного
1-отрезка и одного 2-отрезка. Тогда при любом / ?: {1, 2}
последовательность Tg (yj) подпадает под и.2) или
и.З). Так как (yj) g2i = yj, то (yjr\) g411 = yjr\ для всяко-
всякого кортежа tj. Теорема доказана.
23.3. Другое доказательство. Определим на множестве
К® всех кортежей в алфавите {1, 2} частичное упорядоче-
упорядочение <^, полагая у <] 6, если у — начальный отрезок кор-
кортежа б. Изображая кортежи одной длины точками на
одной горизонтали, кортежи большей длины — точками
на более низкой горизонтали, и соединяя у с б отреэком,

§ 231 ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 227
если у <! б, получим следующее стандартное представ-
представление множества К% в виде дерева:
Понятно, что автоматные преобразования сохраняют от-
отношение ^, поэтому группа Алёшина G = гр (а, Ь) есте»
ственным образом вкладывается в группу Aut К® авто-
автоморфизмов дерева К™.
23.3.1. Упражнение. Пусть р — простое чис-
число, К% — множество кортежей длины <^гс в алфавите
{1, 2, . . ., р} с определенным выше частичным упорядо-
упорядочением (т. е., как говорят, дерево кратности р и высо-
высоты п). Тогда
Aut Kp тХрг(...г(ХРгХр)...)
п раз
оо
Если Кр = U К% (дерево всех кортежей), то Aut Kp —
п=1
объединение последовательности групп Gp = Aut Kp
с естественными вложениями Gp -*- Gpl+1=ZP г Gp, что
позволяет рассматривать группы автоматных преобразо-
преобразований как подгруппы этого объединения Gp- Изложен-
Изложенные на таком языке конструкции, параллельные конструк-
конструкции С. В. Алёшина, включая доказательство, можно
найти в публикациях В. И. Сущанского (см., например,
ДАН СССР, 1979, 247, № 3, с. 557-561).
Как действует автомат а на дереве Kf? Вспомним, что
если дл. у ^ 3, то а/у ~ т тогда и только тогда, когда
Y = 12 . . .21 и дл. y = 0 или 2 (mod 3)
или
у = 22 . . .21 и дл. у = 1 или 2 (mod 3)

228 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
(см. упражнение 23.2.1). Значит, на поддеревьях [у]
с «корнями» у указанного вида автомат а совершает пре-
преобразование
П:
(перестановку половин), а на всех остальных поддеревьях
[б] — тождественное преобразование
Т: бт] +-> бт].
Перейдем еще к одной естественной интерпретации
множества Kt'- пусть А — отрезок прямой линии, Д1;
А2 — его половины, Ап, А12) А21, А22 — их половины
и т. д., тогда кортеж у будем изображать отрезком Av.
Пусть теперь П обозначает перестановку половинок (ле-
(левая сдвигается вправо, правая — влево), а Т — тождест-
тождественное преобразование отрезка. Легко сообразить, что на
этом языке автомату а соответствует такое преобразование
множества отрезков Av:
— A
Г П ...
Более точно, на первой четверти Ап отрезка Д преобра-
преобразование а действует как П, а на второй четверти Ди
так: делим А12 пополам, вторую половину — снова попо-
пополам, ее вторую половину — снова пополам и т. д., после
чего на полученных отрезках расставляем преобразования
ПТППТП... На третьей четверти А21 преобразование а
действует как Т, а четвертую четверть Д22 снова разби-
разбиваем как вторую и на полученных отрезках расставляем
преобразования ТППТПП...
Пусть GQ — подгруппа группы G, состоящая из эле-
элементов, допускающих запись через порождающие a, b
с нулевой суммой показателей при Ъ. Ясно, что | G: Go \ =
= 4 (представители в смежных классах — 1,6, б2, б3) и
Gp = гр (a, b^ab, b~2ab2, 6а63).

§ 231 ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 229
23.3.2. Упражнение. Проверить, что порожда-
порождающие элементы группы Go действуют на четвертях отрез-
отрезка А следующим образом:
а | л ,птп... , т t тпп... х
Ь~гаЬ ,тпп... , т , п , птп... t
Ь'2аЬг! птп... , п ,тпп..., т ,
r^J, т .тпп... ,птп..., п {
Пусть теперь Г — какой-нибудь другой отрезок пря-
пряной линии, t, и, v — преобразования множества его
2-ичных долей, определяемые рисунками:
ТПП...
V t ПТП"-
(для и, v имеется в виду описанное выше разбиение отрез"
ка по правилу «вторая половина — пополам»). Пусть
Н = гр (t, и, v).
Ясно, что Go — подпрямое произведение четырех экзем-
экземпляров группы Н (см. упражнение 23.3.2), а потому груп-
группа G тогда и только тогда будет бесконечной 2-группой,
когда такова Н. Таким образом, мы получим новое дока-
доказательство теоремы С. В. Алёшина 23.2.3 (впрочем, без
легко доказываемого там свойства финитной аппроксими-
аппроксимируемости), если будет доказана следующая
23.3.3. Теорема (Р. И. Григорчук). Группа Н ~
бесконечная 2-группа.
Замечательно то, что попутно мы получим еще один
экземпляр периодической, но не локально 'конечной
группы, встроенный в группу Алёшина как секция (не

230
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 8
правда ли, переход от G к Я напоминает выламывание
адамова ребра?).
Доказательство. Очевидно, uv = w, где w
определяется рисунком
W
ППТ...
Ч
Непосредственно проверяется, что
UV = VU =
UW = WU = V, VW — WV — U,
поэтому каждый элемент из Я имеет вид
*М*. . .*?*,
где звездочки — элементы вида и, v, w (на концах могут
отсутствовать). Пусть Яо — подгруппа группы Н, состоя-
состоящая из элементов, допускающих запись с четным числом
множителей t. Очевидно, | Н : Я о | =2,
Но = гр (tut, tot, twt, и, v, w)
и Но отображает каждую из двух половин 1\, Г2 отрезка
Г на себя. Пусть фг — сужение Яона1\. Легко проверить,
что гомоморфизмы <plt ф2 действуют на порождающие
элементы группы Но следующим образом:
E)
(тильда поставлена, чтобы подчеркнуть, что соответствую-
соответствующее преобразование определено уже не на Г). Сейчас для
нас важно то, что под тильдой появляются все элемен-
элементы t, и, v, w, поэтому
#<* с* Hf ас Н.
Так как х >-»- ж*1 X х®1 — вложение группы Но, то груп-
группа Н оказалась гомоморфным образом своей собственной
подгруппы Но. Значит, Я бесконечна!
X
х^
х^
tut
W
1
tvt
и
I
г twt
V
t
и
1
W
V
г
и
г
V

?23] ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ 231
Покажем теперь, что всякий ее элемент имеет порядок
вида 2т. Для порождающих t, и, v, w это очевидно, по-
поэтому применим индукцию по к = дл. ft. Пусть уже дока-
доказано, что элементы длины, меньшей к, имеют порядки
вида 2т. Можно считать, что к > 2 и ft имеет специальный
вид
h = UU. . .t*, F)
где звездочки снова обозначают и, v, w (иначе мы сопряг-
сопрягли бы h элементом t или *).
Случай 1: fe ? Яо и, значит, произведение F) распада-
распадается на четверки t*t*. Из таблицы E) явствует, что под
действием фг и ф2 каждая такая четверка переходит в *?,
?* или *, так что
дл. Л" <-*-<*.
По индуктивному предположению ft*1, ft*» — 2-элементы,
поэтому и ft — 2-элемент.
Случай 2: ft ф. Яо и в записи F) есть хотя бы один мно-
множитель и. Применив, если необходимо, подходящее сопря-
сопряжение, можно считать, что и — именно первая звездочка.
Так как | Я : Но\ — 2, то ft2 е Яо> причем ft2 начинается
с четверки tut* и имеет в середине четверку t*tu. Из
таблицы E) видно, что t*tu под действием фг перехо-
переходит в *, a tut* под действием ф2 переходит в *. Следова-
Следовательно,
дл. (Л»)ч* < к, дл. (ft> < к,
и остается сослаться на индуктивное предположение.
Случай 3: ft ф. На и в записи F) нет множителей и, но
есть хотя бы один множитель v. Применив подходящее
сопряжение, можно считать, что v — именно первая звез-
звездочка. Снова ft2 e Яо, но теперь ft2 начинается четверкой
tvt* и имеет в середине четверку t*tv. Из таблицы E)
видно, что tvt* под действием фх переходит в Ш, a t*tv
под действием ф2 переходит в Ш, поэтому оба слова (Ла)ф»
имеют в своей записи множитель и. Так как
дл. (h*)v> < к, дл. (ft2)*» < к, G)
то мы приходим к уже рассмотренному случаю 2.
Случай 4: ft ф. Яо и в записи F) нет ни и, ни v. Тогда
ft2 ЕЕ Яо и ft2 начинается с четверки twtw. Из таблицы E

232
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 8
видно, что под действием <рх эта четверка переходит в vt,
а под действием <р2 — в tv, так что оба слова (й2)Фг имеют
в своей записи множителыл Так как снова выполнено G),
то мы приходим к уже рассмотренному случаю 3. Теоре-
Теорема доказана.
23.3.4. Упражнение. Если трактовать порож-
порождающие t, и, v, w группы Н как преобразования множества
К® кортежей в алфавите {1, 2}, то их можно задать сле-
следующими автоматами:
U
Здесь на одном рисунке изображены все четыре автомата,
так как они отличаются друг от друга лишь начальными
состояниями (помеченными соответствующей буквой).
Взглянув теперь на автомат Алёшина а, вы можете по-
почувствовать операцию выламывания ребра почти физи-
физически.
§ 24. Условия минимальности и максимальности
24.1. Определения и примеры. Говорят, что группа
удовлетворяет условию минимальности (для подгрупп)
или, короче, условию min, если всякий убывающий ряд
ее подгрупп Н± > Нг ;> . . . обрывается, т. е. Нп =
= Hn+i = . . . при некотором п. Говорят, что группа
удовлетворяет условию максимальности (для подгрупп)
или, короче, условию max, если всякий возрастающий ряд
ее подгрупп Нг <^ Нг^. ... обрывается, т. е. #„ =
= #„+1 = . . . при,некотором п.
Конечно, всякая группа с условием min должна быть
периодической, поскольку бесконечная циклическая
группа не удовлетворяет этому условию.

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 233
24.1.1. Упражнение. Условие max равносильно
условию, что все подгруппы рассматриваемой группы ко-
конечно порождены.
24.1.2. Упражнение. Условия min и max сох-
сохраняются при переходе к подгруппам, гомоморфным
образам и расширениям.
Учитывая это упражнение и очевидное замечание, что
квазициклическая группа С « удовлетворяет усло-
условию min (см. 2.4.10), а бесконечная циклическая груп-
группа Z — условию] max, мы получаем следующий основ-
основной
24.1.3. Прим е"р. Назовем черниковской группой
расширение прямого произведения конечного числа ква-
квазициклических групп (вообще говоря, по различным прос-
простым числам) при помощи конечной группы (под произве-
произведением нуля множителей здесь понимается единичная
группа). Всякая черниковская группа удовлетворяет ус-
условию min. Всякая почти полициклическая группа удов-
удовлетворяет условию max.
Может показаться удивительным, но до самого послед-
последнего времени не было известно, исчерпываются ли этим
каноническим примером вообще все*группы с условием
min (проблема Черникова) и группы с условием max
(проблема Бэра), хотя интерес к этим двум вопросам
неуклонно возрастал в течение десятилетий по мере их
положительного решения всё в новых и новых классах
групп. Окончательный ответ на оба вопроса оказался,
однако, отрицательным — это показывает пример
A. Ю. Ольшанского, о котором говорилось в § 2. Открытие
подобных примеров наложило глянец полной завершен-
завершенности на полученные ранее положительные результаты,
два из которых заслуживают особого упоминания— чер-
никовость локально разрешимых групп с условием ми-
минимальности для абелевых подгрупп (Черников С. Н.—
Матем. сб., 1951, 28, № 1, с. 119—129) и черниковость
локально конечных групп с тем же условием (Шунков
B. П.— Алгебра и логика, 1970, 9, § 5, с. 579—615).
Первый из этих результатов будет доказан в нашей книге
(см. 24.3.4), а доказательство второго, опирающееся на
узкоспециальные сведениятиз теории конечных простых
групп, остается, к сожалению, слишком громоздким для
изложения его в учебнике.

234 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
Разрешимые группы с условием min полностью опи-
описывает следующая
24.1.4. Теорема (С. Н. Черников). Всякая раз-
разрешимая группа G с условием минимальности является
черниковской (или, по первоначальной терминологии
С. Н. Черникова, экстремальной).
Доказательство. Ввиду условия минималь-
минимальности группа G содержит подгруппу Я конечного индек-
индекса, не содержащую других подгрупп конечного индекса.
Так как пересечение двух подгрупп конечного индекса
само имеет конечный индекс, то Я единственна, а потому
нормальна. Если Я абелева, то для всякого простого
числа р группа Н/Нр ~ ZP X Zp X . . . конечна, а по-
потому Я = Нр, т. е. Я — полная абелева группа. По
теореме 9.1.6 она разлагается в прямое произведение
квазициклических групп. Ввиду условия минимальности
их число конечно. Тем самым для абелевой группы G тео-
теорема доказана.
Пусть теперь G бесконечна и неабелева. Возьмем в
Я неединичную абелеву нормальную подгруппу А (напри-
(например, последний неединичный коммутант). Покажем, что
А лежит в центре группы Я. В самом деле, А — абелева
группа с условием минимальности, а потому по предыду-
предыдущему содержит лишь конечное число элементов любого
данного порядка. Значит, каждый элемент а из А имеет в
Я лишь конечное число сопряженных элементов, откуда
| Н : Си (а) | < се. Так как Я не содержит подгрупп ко-
конечного индекса, то
Си (а) = Н, А < Z (Я),
что и требовалось.
Покажем теперь, что подгруппа Я нильпотентна. Мы
сделаем это индукцией по ее ступени разрешимости к.
Так как, по предыдущему, Я'*) < Z (Я), то HfZ (Я)
разрешима ступени <^/с — 1. По индуктивному предполо-
предположению, примененному к группе G/Z (Я), группа H/Z(H)
нильпотентна, а потому и сама Я нильпотентна.
Покажем, наконец, что Я абелева. Пусть В — макси-
максимальная абелева нормальная подгруппа в Я. По дока-
доказанному ранее В лежит в центре группы Я, а по теореме
16.2.6 В совпадает с ее централизатором в Я. Отсюда
В = II, т. е. группа // абелева. Теорема доказана.

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 235
24.1.5. Упражнение. Класс черниковских
групп замкнут относительно взятия подгрупп, гомоморф-
гомоморфных образов и расширений.
Так как автоморфизмы групп вида
Ср„х ... X Ср,3
изображаются матрицами из GLn (Z «) (упражнение
5.1.4), то при изучении черниковских групп оказывается
полезным
24.1.6. Упражнение. Группа матриц GLn (Z. «)
почти вся не имеет кручения. В частности, ее периодиче-
периодические подгруппы конечны.
Указание. Конгруэнц-подгруппа по модулю /?*,
i = 1, 2, . . ., т. е. группа матриц е + р*а, а е Мп (ZpK).
имеет конечный индекс в GLn (Z <*) и не имеет кручения
за исключением случая р = 2, i = 1 (см. 4.2.7 и 5.1.5).
Что касается разрешимых групп с условием max, то
их полное описание дает такая очень простая
24.1.7. Теорема. Группа G тогда и только тогда
разрешима и удовлетворяет условию максимальности, ког-
когда она полициклическая.
Доказательство. Достаточность уже отмеча-
отмечалась (см. 24.1.3). Докажем необходимость. Пусть G удов-
удовлетворяет условию max и имеет конечную разрешимую
матрёшку
1 = Go < Gx < . . . < Gn = G.
Так как ее секции Gl+1/Gi тоже удовлетворяют усло-
условию max (см. 24.1.2), то они конечно порождены и, зна-
значит, разлагаются в прямые произведения циклических
групп (теорема 8.1.2). Это позволяет уплотнить данную
матрёшку до полициклической матрёшки. Теорема до-
доказана.
Выделим особо — ввиду его важности — описание
абелевых групп с условиями min и max, получен-
полученное в ходе доказательства теорем 24.1.4 и 24.1.7:
24.1.8. Упражнение. Абелева группа тогда и
только тогда удовлетворяет условию min, когда она раз-
разлагается в прямое произведение конечного числа квази-
квазициклических и конечных циклических групп. В частно-
частности, для абелевых р-групп условие min равносильно ус-

236 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
ловию конечности ранга (см. 10.1.16). Абелева группа
тогда и только тогда удовлетворяет условию max, когда
она разлагается в прямое произведение конечного числа
циклических групп.
24.1.9. Упражнение. Опираясь на локальную
теорему А. И. Мальцева 22.3.2 и теорему О. Ю. Шмидта
23.1.1 и повторяя схему доказательства теоремы 24.1.4,
получить следующее ее обобщение: всякая RN-группа с
условием min является разрешимой черниковской.
24.2. Перенос с абелевых подгрупп на разрешимую
групиу. В этом пункте мы докажем, что если в разреши-
разрешимой группе G условие min или max выполняется для
абелевых подгрупп, то оно должно выполняться и для про-
произвольных подгрупп, а потому G опять-таки будет черни-
черниковской или полициклической группой соответственно.
Конечно, первое, что приходит в голову,— доказывать это
утверждение индукцией по ступени разрешимости. Пусть
А — последний неединичный коммутант группы G. Если
мы докажем, что в GIA все абелевы подгруппы снова удов-
удовлетворяют условию min (max), то останется сослаться на
то, что свойство группы быть черниковской (полицикли-
(полициклической) сохраняется при расширениях (см. 4.4.3 и 24.1.5).
Таким образом, нужно научиться доказывать, что неко-
некоторое свойство подгрупп группы G сохраняется при пере-
переходе к ее фактор-группе по нормальной абелевои подгруп-
подгруппе А. А нельзя ли «пересаживать» подгруппы из GIA в
саму G (тогда и их свойства, естественно, наследовались
бы)? Идеальным ответом здесь была бы «дополняемость»
А в G, т. е. наличие в G подгруппы X, для которой
(тогда X ~ GIA). Мы увидим, что хотя идеальный ответ
не всегда возможен, некоторую «почти дополняемость»
можно гарантировать — она и будет основным нашим
орудием.
Пусть А — нормальная подгруппа группы G. Будем
говорить, что А min-неприводима относительно G, если
всякая нормальная подгруппа Н группы G, содержащая-
содержащаяся в Л и отличная от А, конечна. Двойственным образом,
будем говорить, что А т&х-неприводима относительно
G, если для всякой нормальной подгруппы Н группы G,
содержащейся в А и отличной от 1, фактор-группа АIII

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 237
периодическая. (Конечно, для полной двойственности
лучше было бы требовать, что AIH конечна, однако в при-
приложениях max-неприводимость обычно возникает именно
в такой более слабой форме; этим объясняется также,
почему в следующей лемме предположений для случая
max делается больше и доказательство длиннее.)
24.2.1. Лемма. Пусть А О G, обе группы A, GIA
абелевы и А не центральна в G.
а) Если А min-неприводима относительно G, то су-
существует такая подгруппа X, что
G = XA и \Х П А \ < оо.
б) Если А — группа без кручения конечного ранга,
т&х-неприводимая относительно G, то существует такая
подгруппа X, что
\G: XA \<<х> и X ft A = 1.
Доказательство. Можно сразу считать, что
подгруппа А бесконечна — иначе имели бы случай а) и
достаточно было бы взять X = G. Возьмем в группе G
элемент х, для которого [А, х] Ф 1, и покажем, что его
централизатор X = Cq (х) — искомая подгруппа в обоих
случаях. Очевидно, отображение 9: а >-*¦ [а, х] есть эн-
эндоморфизм подгруппы А. Более того, он перестановочен
со всеми сопряжениями группы G, т. е.
[с, х]е = [ав, х] для всех а е A, g^G,
так как хе = х (mod А) (воспользоваться коммутаторны-
коммутаторными тождествами из § 3).
а) Поскольку Кег 6<Ли4 min-неприводима относи-
относительно G, то Кег 0 или, что то же самое, пересечение
X [} А конечно. Тогда образ Аь бесконечен, откуда,
снова ввиду.min-неприводимости, А = Ав = [А, х]. Те-
Теперь ясно, что для всякого g€E:G существует а€ЕА с ус-
условием [g, х] = [а, х], откуда ga~l ёХи, следовательно,
G = AX.
б) Так как Кег 9 < А, группа А /Кег 9 ~ Ад не имеет
кручения, а А max-неприводима относительно G, то
Кег 0 = 1 или, что то же самое, X Г\ А = 1. Далее,
ввиду 7.2.3, фактор-группа А!А9 конечна; пусть т — ее
порядок. Группа G индуцирует в А /А6 (сопряжениями)

238 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
группу автоморфизмов, изоморфную группе GIC, где С =
= CG(A/Ae), поэтому GIC также конечна. Если с ЕЕ С,
то [с, хГ Eie = U,i]. Далее,
[ст, х] ~ [с, х]т (mod [С, х, С]),
[С, х, С] < [А, С] < [А, х],
так что [ст, х] = [а, х] для некоторого sGl Отсюда
стаГ1^Х, ст е= ХА. Следовательно, фактор-группа GIXA
периодическая, и остается доказать, что она конечно по-
порождена.
Пусть аи . . ., ат — представители смежных классов
группы А по подгруппе [А, х]. Для каждого / = 1, . . ., т
выберем в G элемент g} с условием а} = [gj, x], а если
такого элемента не существует, то положим gj = 1. Для
каждого g E=G имеем [g, x] = аг [bt, x] при подходящих
i и bt ЕЕ А. Следовательно,
[gb!\ x] = at = [gt, x],
откуда
gb^gj1 El, g е гр (gu . . ., gm, X, А).
Теперь ясно, что группа G/XA конечно порождена. Лемма
доказана.
24.2.2. Теорема (С. Н. Черников). Разрешимая
группа G, у которой абелевы подгруппы удовлетворяют ус-
условию min, является черниковской.
(Заметим, что на самом деле С. Н. Черников доказал
сразу значительно более сильную теорему 24.3.4, содер-
содержащую 24.2.2 как частный случай. Внутренняя логика
позднейшего изложения предмета не всегда совпадает
с его историей.)
Доказательство проведем индукцией по ступе-
ступени разрешимости группы G. Как уже говорилось в начале
пункта, достаточно доказать, что если группа G удовлет-
удовлетворяет условию min для абелевых подгрупп и А — ее абе-
лева нормальная подгруппа, то фактор-группа G/A тоже
удовлетворяет условию min для абелевых подгрупп. За-
Заметим на будущее, что доказательства подобных утверж-
утверждений для пары G, А нередко очень облегчаются разложе-
разложением подгруппы А в G-допустимую матрёшку
1 = Аг < А2 < ... < Ап+1 = А

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 239
с последующим рассмотрением пары G, Alt затем пары
GIA\, А2/Аг и т. д.
Допустим сначала, что А конечна, и докажем, что каж-
каждая абелева подгруппа В/А группы G/A действительно
удовлетворяет условию min. Группа В/Св (А) также ко-
конечна (она изоморфна подгруппе из Aut А) и, разумеется,
A <J Св (А). Будем считать поэтому, что [А, В] — 1,
причем А уже не обязательно конечна. Возьмем в В ка-
какую-нибудь максимальную абелеву нормальную подгруп-
подгруппу М. Очевидно, А ^ М, а так как В нильпотентна,
то М = Св (М) (см. 16.2.6). Легко видеть, что отобра-
отображение
г: BIM ->Hom {MlА, А),
определенное правилом
(ЬМ)Х: хА <-+[х, Ь],
является вложением (определение Нош см. в 5.1.6). Так
как В (и даже вся G) периодическая, а М удовлетворяет
условию min, то достаточно убедиться, что периодичес-
периодическая часть группы Нот (MlА, А) конечна. Ввиду 24.1.8
Ml A = P (BQ, где Р — полная, Q — конечная группы,
поэтому достаточно проверить, что всякий периодический
элемент ф из Нот (MlА, А) действует на Р тривиально,
т. е. отображает Р в нуль. Но это действительно так:
если бы ф отображал какой-то элемент i E P не в нуль,
то для всякого п > 1 гомоморфизм пф отображал бы эле-
1
менты множества —х также не в нуль.
Пусть теперь А бесконечна. Разложив ее в G-допусти-
мую матрёшку с примарными секциями, конечными или
полными, мы видим, что достаточно изучить случай, когда
А — полная абелева р-группа. Докажем, что в этом слу-
случае всякая абелева подгруппа В/А группы GIA также удов-
удовлетворяет условию min. Так как для А — 1 утверждение
тривиально, воспользуемся ипдукцией по рангу группы А.
Предположим сначала, что А min-приводима относитель-
относительно В, т. е. содержит неединичную полную собственную
5-допустимую подгруппу Н. Так как полная подгруппа
абелевой группы выделяется в ней прямым множителем
(теорема 9.1.4) и ранг конечного прямого произведения
квазшщклнческих р-групп равен числу сомножителей, то

240 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
получаем такую картину:
В '
А '
Н '
1 ¦
> ранг
J
> ранг
J
А/Н
Н<
< рангД
ранг А
Поднимаясь по матрёшке 1^Я^Л, мы видим, что
ранг группы В!А конечен. Пусть теперь А min-неприво-
дима относительно В. Можно считать также, что [А, В] Ф1,
так как противоположный случай был рассмотрен выше.
По лемме 24.2.1. а) В содержит такую подгруппу X, что
В = ХА я \Х П А\<оо.
Согласно разобранному выше случаю (когда А конечна)
подгруппа X удовлетворяет условию min, а потому В и
В/А также ему удовлетворяют. Теорема доказана.
24.2.3. Теорема (А. И. Мальцев). Разрешимая
группа, у которой все абелеви подгруппы удовлетворяют
условию max, является полициклической.
Доказательство проводится по тому же пла-
плану. Пусть G удовлетворяет условию max для абелевых
подгрупп, А — ее абелева нормальная подгруппа; дока-
докажем, что G/A также удовлетворяет условию max для абе-
абелевых подгрупп.
Сначала опять допустим, что [Л, В] = 1 (этим, в част-
частности, охватывается случай, когда А конечна). Пусть М,
х имеют тот же смысл, что и в предыдущем доказательстве.
Так как Ml А и А — конечно порожденные абелевы груп-
группы, то таковы и аддитивная группа Horn (MlА, А) (см.
8.1.8) и вложенная в нее группа В/М. Следовательно,
В и вместе с ней В/А удовлетворяют условию max.
Переходя к общему случаю, можно считать, что А не
имеет кручения, так как ее периодическая часть Ао ко-
конечна и, значит, над Ао можно подняться согласно преды-
предыдущему. Докажем опять, что всякая абелева подгруппа
В/А группы G/A удовлетворяет условию max. Так как

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ
241
при А = 1 это тривиально, воспользуемся индукцией по
рангу группы А. Предположим сначала, что А тах-
приводима относительно В, т. е. содержит неединичную
Б-допустимую подгруппу Н с непериодической фактор-
факторгруппой AIH. Пусть TIH — периодическая часть группы
AIH. Так как в конечно порожденных абелевых группах
без кручения ранг совпадает с размерностью, а при факто-
факторизации размерности складываются (см. 7.2.2), то картина
такова:
В
ранз А/т < рана А
т/н конечна
ранг Н< рана А
Поднимаясь по матрёшке I ^ Н ^ Т ^ А, мы видим, что
ранг группы В/А конечен. Пусть теперь А тах-неприво-
дима относительно В. Можно считать также, что [А, В] Ф1
(противоположный случай был разобран выше). По лемме
24.2.1.6) существует подгруппа X, для которой
\В:ХА\<оо и X Г}А = i.
Так как подгруппа X ~ XAIA абелева, то она, а потому
и подгруппа ХА, удовлетворяет условию max. Следова-
Следовательно, В и В/А также удовлетворяют этому условию.
Теорема доказана.
Полезно отметить для дальнейшего, что на самом деле
вместо теорем 24.2.2 и 24.2.3 доказана более общая.
24.2.4. Теорема. Пусть А — абелева нормальная
подгруппа группы G. Если G удовлетворяет условию min
(соответственно max) для абелевых подгрупп, то G/A
также удовлетворяет условию min (соответственно max)
для абелевых подгрупп.
24.2.5. Упражнение. Если в разрешимой груп-
группе все абелевы подгруппы конечны, то она сама конечна.

242 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
24.3. О локально разрешимых группах. В этом пункте
мы распространим теорему 24.2.2 с разрешимых на ло-
локально разрешимые группы, придав ей тем самым наи-
наибольшую разумную общность. Подчеркнем сразу же, что
для параллельной ей теоремы 24.2.3 подобное обобщение
невозможно — причины этого мы обсудим в следующем
параграфе, когда столкнемся с аналогичным препятствием
для групп конечного ранга.
Начнем с такого частного случая:
24.3.1. Лемма. Всякая локально конечная р-группа
G с условием min для абелевых подгрупп является разре-
разрешимой черниковской.
Доказательство, а) Ввиду теоремы 24.2.2
достаточно доказать, что G разрешима. Так как в нераз-
неразрешимой группе существуют счетные неразрешимые под-
подгруппы, то можно предполагать, что G счетна и отлична
от единицы.
б) Центр Z (G) группы G отличен от единицы. В самом
деле, так как G счетна, то ее можно представить в виде
объединения возрастающей последовательности конечных
подгрупп 1 <G1<G2< ... Пусть Zt = Z (GO, i = 1, 2,...
Так как центр конечной р-группы отличен от единицы (см.
17.1.1), то все Zt ф 1. Порожденная ими подгруппа
Z = гр (Zlt Z2, ...)
абелева, а потому удовлетворяет условию min. Учитывая
строение абелевых групп с условием min (упражнение
24.1.8), видим, что элементы z из Z с условием zp = 1
составляют конечную подгруппу Р. Так как Р <^ Gt для
некоторого ?, то Р (~| Zt > Р (~| ^,-+1 > • • • и, значит,
Р П Zj = Р fl Zj+X = ... для некоторого /. Ясно, что
1< Р П Z, < Z (G).
в) Все гиперцентры группы G разрешимы. Пусть, на-
напротив, а-й гиперцентр t^G группы G неразрешим, при-
причем а — первое порядковое число с этим свойством. Ясно,
что оно предельное и больше нуля. Положим для кратко-
краткости L — t,aG и выберем в L какую-нибудь максимальную
абелеву нормальную подгруппу М. Очевидно, L является
Z-4-группой, поэтому, ввиду 22.1.7, М = CL(M). Пусть
AIM — максимальная абелева нормальная подгруппа
группы ЫМ. По теореме 24.2.4 AIM удовлетворяет ус-
условию min. Очевидно, М также удовлетворяет этому уело-

§ 24) УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 243
вию и может быть представлена в виде объединения воз-
возрастающей последовательности своих конечных подгрупп
Мх < М2 <С ..., нормальных в L. Так как
СА(М1)>СА(М2) >...,
то найдется номер i, для которого
СА (Мг) = СА (Mi+1) = ... = СА (М) = М.
Группа AIM ~ А1Са(Мг) вкладывается в Aut Mt, а пото-
потому конечна. Но тогда и (Z.4-rpynna) LIM конечна (см.
последнее замечание в 22.1.7). Значит, L разрешима.
г) Группа G разрешима. В самом деле, если ?р6? < G,
то из теоремы 24.2.4 следует, что фактор-группа G/?pG
удовлетворяет условию min для]абелевых подгрупп [учесть,
что ввиду в) fpG разрешима]. Ввиду б) центр этой фак-
фактор-группы отличен от единицы, а потому ?pG < ?p+iG.
Таким образом, последовательность гиперцентров {?р6?}
доходит до всей группы G, а потому, снова ввиду в), G долж-
должна быть разрешимой. Лемма доказана.
24.3.2. Лемма. Пусть G — локально конечная
группа, р — простое число, S = X/Y — секция группы G и
St •< S2 < ... — бесконечная возрастающая последователь-
последовательность конечных р-подгрупп группы S. Тогда в X существует
такая возрастающая последовательность конечных р-под-
р-подгрупп Рг < Р2 < ..., что
St = PtYIY, i = 1, 2, ...
Доказательство. Возьмем в смежных клас-
классах по Y, составляющих (конечную) секцию St, по пред-
представителю и породим ими подгруппу Ft. Так как G ло-
локально конечна, то Ft конечна и, очевидно, St = FtYIY.
Можно считать при этом, что Fi <! F2 <C ••• Выберем
в каждой подгруппе Ft по силовской р-подгруппе Pt так,
чтобы было Рг < Р2 < ... Так как при гомоморфизмах ко-
конечных групп силовские подгруппы переходят в силовские
(см. 11.3.4), а при факторизации Ft по Ft fl Y получается
/>-группа (изоморфная St), то Pt (Ft f] Y) = F{. Теперь
ясно, что FiY = PtY и Р1 < P2 < ...
24.3.3. Лемма. Пусть G — локально конечная груп-
группа. Если G удовлетворяет условию min для абелевых под-
подгрупп, то она не имеет бесконечных элементарных абе-

244 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ (ГЛ. 8
левых секций. Если в G все силовские подгруппы конечны, то
и в любой ее секции тоже.
Доказательство. Допустим, что G удовлет-
удовлетворяет условию min для абелевых подгрупп и обладает
счетной элементарной абелевой секцией S. Пусть 5Х •<
< S2 < ... — возрастающая последовательность конечных
подгрупп из S, дающая в объединении S, Р1 < Р2 <... —
соответствующая ей в силу предыдущей леммы после-
последовательность />-подгрупп группы G. Так как группа
Р = {JPi удовлетворяет условию min для абелевых под-
подгрупп, то она черниковская (лемма 24.3.1). Значит, ранги
всех Pt ограничены. Это, однако, невозможно, так как
ранги группы St неограничены. Второе утверждение лем-
леммы следует из 24.3.2 совсем очевидным образом.
24.3.4. Теорема (С. Н. Черников). Всякая локаль-
локально разрешимая группа с условием минимальности для
абелевых подгрупп является разрешимой черниковской.
Доказательство. Пусть G — локально разре-
разрешимая группа с условием min для абелевых подгрупп. По
локальной теореме А. И. Мальцева 22.3.2 G обладает
некоторой /^/-матрёшкой. Пусть Л — неуплотняемая
Д/-матрёшка группы G. Очевидно, каждая секция S этой
матрёшки — периодическая абелева автоморфно простая
группа, поэтому S — элементарная абелева группа (см.
5.2.8). По лемме 24.3.3 она к тому же конечна.
Пусть R — подгруппа, порожденная в G всеми квази-
квазициклическими подгруппами. Так как R не содержит под-
подгрупп конечного индекса (см. 2.4.10), то она стабилизирует
матрёшку .//, т. е. индуцирует в каждой ее секции S
единичную группу автоморфизмов. Значит, R обладает
центральной матрёшкой (см. 22.1.5). Так как R локально
конечна, то она локально нильпотентна. Ввиду 18.1.5 и
24.3.1 она черниковская, а так как не содержит собствен-
собственных подгрупп конечного индекса, то абелева.
Фактор-группа GIR уже не содержит квазицикличе-
квазициклических подгрупп. В самом деле, допустим, что такая под-
подгруппа HIR существует, т. е. в G найдутся элементы
1 = аъ аг, ... такие, что
Н = гр (alf а2, . . .)-R
и
af+1^ai (mod R), i = 1,2, ...

§ 24] УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 245
Группа Н, действуя в группе R сопряжениями, индуци-
индуцирует в ней автоморфизмы. Если хотя бы один из них был бы
нетождественным, то, взяв элемент из R, который им пе-
передвигается, и добавив все элементы из R того же порядка,
мы получили бы конечное множество М, на котором Н
действует нетождественно. Подгруппа Но всех элемен-
элементов из Н, действующих на М тождественно, содержит
R и имеет конечный индекс в Н. Так как Н/Но ~
~ (H/R)/(H0/R) и HIR не содержит собственных подгрупп
конечного индекса, то получилось противоречие. Значит, Н
поэлементно перестановочна с R. Заметив это, мы заме-
заменим сейчас элементы 1 = ах, а2, . . . на 1 = bu b2, ...
с условием
bt = at (modi?), bf+1 = bu i = 1, 2, . . .
Действительно, пусть Ьъ . . ., bt уже построены и af+l =
= Ъ(гг, rt €E R. Возьмем в R элемент xi+1 с условием
х?+1 = rt и положим frj+i = ai+1;r7+i- Ясно, что bi+1 =
= ai+1 (mod R) и bf+1 = bt. Построенные таким спосо-
способом элементы Ьъ Ь2, . . ., очевидно, порождают в G ква-
квазициклическую подгруппу, не лежащую в R, что проти-
противоречит выбору подгруппы R.
Так как, по доказанному, группа GIR не содержит
квазициклических подгрупп и удовлетворяет условию
min для абелевых подгрупп (теорема 24.2.4), то все ее
абелевы и все ее силовские подгруппы конечны (см. 24.1.8
и 24.3.1 соответственно). Докажем, что сама GIR конечна.
Итак, пусть G — локально разрешимая группа, у ко-
которой все абелевы и все силовские подгруппы конечны.
Надо доказать, что G сама конечна. Так как каждая бес-
бесконечная группа содержит счетные подгруппы, то доста-
достаточно доказать, что G не может быть счетной. Пусть, на-
напротив, она счетна. Так как G локально конечна (см.
24.2.5), то ее можно представить в виде объединения воз-
возрастающей последовательности конечных подгрупп
G1<G,<.. .
Так как каждая Gn конечна и разрешима, то она со-
содержит некоторую нормальную элементарную абелеву
/?„-подгруппу Ап (см. 19.1.7). Если среди простых чисел
plt р2, • • ¦ имеется лишь конечное число различных, то,
перейдя к подходящей подпоследовательности, можно

246 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
считать, что все рп совпадают с некоторым р. Пусть
А = гр (Alt А2, . . .) = АХА2 . . .
Так как силовские подгруппы в G конечны, то А конечна.
Но тогда среди подгрупп Аг, А2, . . . найдется бесконечно
много совпадающих, т. е. G обладает конечной нормаль-
нормальной элементарной абелевой подгруппой Kv
Ввиду 24.2.5 и 24.3.3 в локально разрешимой группе
G/K1 все абелевы и все силовские подгруппы снова ко-
конечны. Повторим проведенное выше рассуждение для
GIKx, взятой вместо группы G. Если при этом в G/Kx най-
найдется конечная нормальная элементарная абелева под-
подгруппа К21Кг, то повторим рассуждение для GIK2, и т. д.
В конце концов мы либо построим в G бесконечную воз-
возрастающую последовательность конечных нормальных
подгрупп ^1<12<„., либо придем к фактор-группе
GlKu, для которой процесс выделения групп Ап связан
с последовательностью простых чисел рп, содержащей
бесконечно много различных членов.
В первом случае рассмотрим группу К = []Кг. Для
каждого простого числа р она может иметь лишь конеч-
конечное число секций Ki+1/Kit порядки которых делятся на
р (так как силовские подгруппы в G конечны), а потому
множество л (К) всех простых делителей порядков эле-
элементов из К бесконечно. Далее, для всякого рЕп (К)
множество элементов из К порядка р конечно, так как
все силовские /^-подгруппы группы К лежат в некотором
Kt. Пусть ^en (К), ах — элемент из К порядка рг и
С1 = С к («i). Так как
| К : С1 | = | af |< оо
(см. 2.5.6), то множество щ = я (Сх) снова бесконечно.
Возьмем в пх элемент р2 Ф рг и в Сг элемент а% порядка
/?2. Так как подгруппа
С2 = Ск К а2) = Ск К) П Ск (а2)
имеет в К конечный индекс, то множество п2 = я (С2)
бесконечно. Возьмем в я2 элемент р3 Ф ръ рг и в С2
элемент а3 порядка р3. Продолжая эти рассуждения, по-
получим попарно перестановочные элементы аъ а2,... по-
порядков ръ р2,... соответственно. Так как порожденная

§ 24) УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И МАКСИМАЛЬНОСТИ 247
ими подгруппа бесконечна, то первый случай на самом
деле невозможен.
Переходя ко второму случаю, будем считать, что
уже для самой группы G последовательность ръ р2,...
содержит бесконечно много различных чисел. Более того,
можно считать, что уже сами числа ръ р2, . . . различны —
иначе мы просто опустили бы те группы Gn, которым отве-
отвечают повторяющиеся рп.
Последовательность групп А1У А2, ... не может со-
содержать бесконечной подпоследовательности циклических
групп. В самом деле, пусть, напротив, Аь„ Акг,... —
такая подпоследовательность. Положим
В} = гр (Акр Л*.+1 ), / = 1,2,...
Так как группа 2?х обладает нормальной матрёшкой В\ ~^>
^> В2^> ... с циклическими секциями, то ее коммутант
В[ обладает центральной матрёшкой (см. 22.1.6). Так как
группа Z?i локально конечна, то она локально нильпо-
тентна, а потому разлагается в прямое произведение сво-
своих силовских подгрупп (см. 18.1.5). Но ее силовские яв-
являются циклическими, поэтому В[ абелева. Таким обра-
образом, группа Вх разрешима, а потому конечна (см. 24.2.5).
Это, однако, невозможно по самому определению группы В^.
Итак, среди групп А^, А2, •¦¦ число циклических
групп не более чем конечно; можно считать поэтому, что
их нет совсем. Так как At и Aj при i ф j — нецикличе-
нециклические элементарные абелевы группы различных периодов, то
в силу 6.1.6 в произведении AtAj существует элемент
порядка PiPj, а потому в группах At и А] существуют пе-
перестановочные между собой неединичные элементы а; и aj.
Рассмотрим всевозможные пары
fa, xt), где хг е Alr xt e At, хгхг = xtxx,
i = 2, 3, ... Так как группа Ах конечна, то существует
бесконечное множество пар
{Ьъ xit), (blt x^, ...
с одинаковым первым элементом. Значит, ъ А± существует
неединичный элемент Ьи централизатор которого в G со-
содержит бесконечную подгруппу N1: не содержащую Ъх.
Так как Nt удовлетворяет тем же условиям, что и G, то

248 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ 1ГЛ. 8
в Nx существует неединичный элемент Ь2» централизатор
которого в G содержит бесконечную подгруппу N2, не со-
содержащую Ъ2, и т. д. Очевидно, что элементы Ъъ Ъ2, ...
попарно перестановочны и порождают бесконечную под-
подгруппу. Это, однако, невозможно, так как все абелевы
подгруппы группы G конечны. Теорема доказана.
Общую теорию групп с заданными свойствами системы
их подгрупп, развиваемую с 40-х годов одним из осново-
основоположников современной теории групп С. Н. Черниковым
и его учениками, можно найти в монографии [31].
§ 25. Конечность ранга
25.1. Примеры. Рассмотрим для начала некоторые ин-
интересные конкретные группы и вычислим или хотя бы
оценим сверху их ранги.
25.1.1. Пример. Пусть р — простое число, т,
п — натуральные числа, т ^ 2. За исключением случая
р = 2, к = 1, все главные конгруэнц-подгрушш
Zpm,pkZpm), Л =1,2,...,
группы OLn (Z_m) имеют ранг п2 (не зависящий, стало
быть, ни от р, ни от т, ни от к).
В самом деле, из описания групп Р^, данного в 4.2.8,
видно, что Pmix — векторное пространство размерности
»2 над полем из р элементов, поэтому достаточно убедить-
убедиться, что при р ^> 2 ранг группы Рг не выше п2, а при/? = 2
ранг группы Р2 не выше п2. Оба эти случая разбираются
аналогично, и мы ограничимся рассмотрением только пер-
первого из них (р ^> 2).
Пусть Н — произвольная подгруппа группы Рх; нуж-
нужно показать, что она порождается не более чем п2 элемен-
элементами. Пусть фк— гомоморфизмы, описанные в 4.2.8. Оче-
Очевидно,
Я<Р« < (Я П РшУ* < • • • < (Я П Pm-lf™-1 = Н П Рт-1-
Выберем в векторном пространстве Н f] Pm-\ такую базу
аи . . ., as, в которой первые зг элементов являются ба-
базисными для Яф1, первые s2 элементов — базисными
для (Я П Л)ф2 и т. д., 0 < sx < . . . < s < п2. Пусть
т-
mt — наибольшее число, при котором уравнение хр ¦ = а{

8 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА ZVd
имеет решение в H,bt — одно из таких решений. Покажем,
что Н порождается элементами blt . . ., bs. Пусть уже до-
доказано, что
..., bs),
и пусть х ЕЕ: Н П Р\е Тогда х^ = v (. . ., аи . . .), где
v — некоторое слово, i <^ s^. Ясно, что
т,+к+1-т
x = v(...,bfl ,...)• у, yEffnft+i,
и, следовательно, Н f] Pk ^ гр (Ьъ . . ., bs). Индуктивные
соображения позволяют теперь заключить, что Н содер-
содержится в группе гр (Ь1( . . ., bs), а потому совпадает с ней
(обратное включение очевидно).
25.1.2. Упражнение. Провести доказательство
в случае р = 2, к > 1.
25.1.3. Пример. Ранг силовской /?-подгруппы
группыGLn (Zpm)непревосходитчисла6(п)=-у Eп — 1)п
(не зависящего от т).
Действительно, вта силовская /?-подгруппа Р описа-
описана — с точностью до сопряженности — в упражнении
11.3.3. Пусть Ръ имеют тот же смысл, что и выше (в уп-
упражнении 25.1.1). Рассмотрим цепочку подгрупп Р ^>
> Рг > Р2. Фактор-группа Р1РХ изоморфна группе
UTn (р), поэтому обладает нормальный матрёшкой с абе-
левыми секциями рангов п — 1, га — 2, . . ., 1 (см. 16.1.2).
Фактор-группа Рг1Р2 либо тривиальна, либо элементар-
элементарная абелева ранга га2. Наконец, группа Р2 либо триви-
тривиальна, либо ввиду 25.1.1 имеет ранг га2. Отсюда и из 4.1.7
следует, что ранг Р не выше 2га2 + (п — 1) + (га — 2) + . . .
. . . + 1 = в (га).
25.1.4. Пример. Как сказывается конечность
ранга на локальных свойствах групп — скажем, на ло-
локальной нильпотентности или локальной разрешимости?
Напомним для сравнения, что, например, при условии
линейности группы локальная разрешимость превра-
превращается в^разрешимость (упражнение 21.1.6), хотя, с дру-
другой стороны, существуют линейные локально нильпо-
тентные группы, не являющиеся нильпотентными (при-
(приведите примеры!). Мы покажем сейчас, что при условии
конечности ранга ни локально нильпотентная группа не

250 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
обязана быть' нильпотентной, ни локально разрешимая
группа — разрешимой.
В самом деле, пусть п — натуральное число !> 3.
Рассмотрим прямое произведение конгруэнц-групп
G = П GLn (Zm (p), pZm (p))>
V
где р пробегает все простые числа, т (р) = р1^ и числа
I (р) не ограничены в совокупности. Так как множители
этого произведения — конечные /?-группы (см. доказа-
доказательство 14.2.2), то G локально нильпотентна. С другой
стороны, согласно формуле (9) из § 3
при различных i, /, к, поэтому ступени разрешимости
множителей не ограничены в совокупности и, значит, G не
может быть разрешимой. Наконец, ввиду 2.3.4 и 25.1.1
ранг группы G конечен — равен п2.
25.1.5. Пример. Если А — абелева р-группа ко-
конечного ранга г, то всякая /^-подгруппа Ф ее группы ав-
автоморфизмов конечна и ранг Ф не превосходит числа
9 (г) из примера 25.1.3.
Ясно, что пример 25.1.3 появляется здесь не случай-
случайно — это в точности частный случай нашего утверждения,
когда А — прямая сумма г — п циклических групп од-
одного и того же порядка рт. Общее утверждение достаточно
свести к этому частному, что мы сейчас и сделаем.
Прежде всего, ввиду 10.1.16 А = В © С (в аддитив-
аддитивной записи), где группа В конечна, а С — прямая сумма
не более чем г квазициклических групп. Пусть р1 — наи-
наибольший порядок элементов из В, Ао — подгруппа эле-
элементов из А, удовлетворяющих уравнению
pl'x = 0, где V = max {I, 2).
Очевидно, Ао конечна и автоморфно (даже эндоморфно)
допустима в А. Покажем, что если фЕФи«р действует на
Ао тождественно, то ср = 1. В самом деле, так как В ^ Ао,
то ф оставляет элементы из В неподвижными, и остается
доказать, что <р|с = 1.
Ввиду 5.1.4 автоморфизму ф|с соответствует неко
торая матрица а над кольцом целых /?-адических чисел

§ 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 251
причем
а = е (mod p2),
так как <р оставляет на месте все решения уравнения
р2х — 0 (здесь е — единичная матрица). Если а Ф е, то
матрица а должна быть элементом бесконечного порядка
(см. указание к 24.1.6), что противоречит периодичности
группы Ф. Значит, ф = 1.
Из сказанного следует, что сопоставление каждому ав-
автоморфизму ф?ф его сужения фо на (конечную авто-
морфно допустимую) подгруппу А о является изоморфиз-
изоморфизмом, т. е. Ф ~ Фо, где Фо — группа всех таких ф0. Та-
Таким образом, можно сразу считать, что группа А к о-
н е ч н а.
Пусть А — прямая сумма циклических групп поряд-
порядков рт\ . . ., рШт и m — max (mx, . . ., mr). Погрузим А
в «однородную» сумму
А* = (ах) ф ... ф (аг),
где все слагаемые одного и того же порядка pmt полагая
А = (pbaj) 0 . . . 0 {рктат),
где kt = m — mt, i = 1, . . .х г. Для каждого автомор-
автоморфизма ф группы А имеем
(ркЩ Ф = S «ii (ф) (р%), A)
где atj (ф) — подходящие целые числа. Понятно, что
Ыо i \ max (к,,1сt)-k.
= Pi/ (ф) Р ' ' '.
где Pij (ф) — тоже целые числа. Пусть
Простое матричное вычисление показывает, что а* =
= б^аб, где
а = (аи (Ф)), а* = {а% (Ф)), б = diag {p\ . . .,, /')•
Если теперь ф €= Ф и фр* = 1^ то apS = e по модулю

252 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
ковра идеалов
Сопрягая это соотношение матрицей б, видим, что (а*)р8 s
= е по модулю транспонированного ковра
Следовательно, возводя матрицу (а*)р* в рт-ю степень,
мы получим единичную матрицу по модулю рт (ср. с дока-
доказательством 14.2.2). Это означает, что а* — матрица ко-
конечного порядка; в частности, она обратима. Матрица а*
определяет автоморфизм ф* «однородной» группы А* по
формуле
Из A) видно, что ф* продолжает ф с подгруппы А на всю
группу А*. Более того, если ф*, ij)* — какие-нибудь про-
продолжения автоморфизмов ф, о|з из Ф, то ф*1|)* — продол-
продолжение автоморфизма <ро|з, а потому, по тем же соображени-
соображениям, что и выше, оно является р-элементом. Значит, сово-
совокупность Ф* всех Ф*, взятых по всем ф <ЕЕ Ф,— р-группа
автоморфизмов группы А*. Ввиду 25.1.3 ранг группы
Ф* не превосходит 9 (г), а потому и ранг ее гомоморфного
образа Ф не может превосходить этого числа.
25.2. Перенос с абелевых подгрупп на разрешимую
группу. Здесь будет доказана следующая основная
25.2.1. Теорема (М. И. Каргаполов). Всякая раз-
разрешимая группа, у которой ранги абелевых подгрупп ко-
конечны, сама имеет конечный ранг.
Доказывать теорему мы будем в такой форме (учитывая
индуктивные соображения, изложенные в предыдущем
параграфе в связи с теоремами 24.2.2 и 24.2.3):
25.2.2. Теорема. Пусть А — абелева нормальная
цодгруппа группы G. Если ранги абелевых подгрупп группу

§ 25) КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 253
G конечны, то ранги абелевых подгрупп группы GIA тоже
конечны.
Начнем с лемм.
25.2.3. Лемма. Пусть А — периодическая абелева
нормальная подгруппа группы G. Если А имеет конечный
ранг, a GIA содержит свободную абелеву подгруппу счетной
степени, то и G содержит свободную абелеву подгруппу
счетной степени.
Доказательство. Пусть ххА, х2А, . . . — счет-
счетная база свободной абелевой подгруппы группы GIA и
Atj = rp (xt, Xj). Согласно 3.2.2 коммутант Atj группы
Afj порождается всевозможными элементами, сопряжен-
сопряженными с коммутатором [хи xj]. Так как все они лежат в А,
а абелева группа конечного ранга и конечного периода
конечна (учесть 10.1.16), то Л у конечен. Согласно 3.1.4
индекс его централизатора в Ац должен быть конечен,
поэтому Ац централизуется некоторым элементом Xj ,
пц ^> 0. В частности,
\х xnij хпц 1 - 1
IX;, Xj , Xj J — 1,
откуда индукцией по т (с использованием коммутаторных
соотношений из § 3) получается, что
^ \хихп?Т, m = 1,2, ...
В частности, приго=| А,',| имеем lxt, x,-li ] = 1. Положим
wi{j = ra{j | Aij\, mi = l и m-} =
при / > 1. Ясно, что rp (я™1, z™\ . . .) — свободная
абелева группа счетной степени. Лемма доказана.
Обратимся теперь к локально конечным группам.
Прежде всего, нам понадобится лемма 24.3.1, которую
удобно переформулировать так:
25.2.4. Лемма. Локально конечная р-группа, у ко-
которой ранги всех абелевых подгрупп конечны, является раз-
разрешимой черниковской группой.
Действительно, для абелевых р-групп условие конеч-
конечности ранга и условие min совпадают (см. 24.1.8).
25.2.5. Лемма. Пусть G — локально конечная груп-
группа, у которой ранги абелевых подгрупп конечны, р — про-
простое число. Тогда'.

254 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
а) ранги силовских р-подгрупп группы, G конечны и ог-
ограничены в совокупности,
б) ранги р-секций группы G не превосходят sp, где sp —
максимум рангов силовских р-подгрупп группы G,
в) sp ^ -я- Eар + 1) яр> где av — максимум рангов абе-
левых р-подгрупп группы G.
Доказательство, а) По лемме 25.2.4 ранги
всех силовских р-подгрупп группы G конечны; покажем,
что они ограничены в совокупности. Пусть, напротив, су-
существует последовательность конечных р-подгрупп Р1л
Р2, ... неограниченных рангов. Тогда найдется анало-
аналогичная последовательность, для которой каждое Qi =
= гр (Ри . . ., Pt) — р-группа. В самом деле, если
/*!, . . ., Pt уже подобраны так, что Qt —р-группа, то
некоторая сопряженная с Pi+1 подгруппа лежит в той же
силовской р-подгруппе группы Qi+1, что и Qt (по теореме
Силова 11.1.1, примененной к конечной группе <?j+i).
Если теперь заменить Pi+1 на эту сопряженную с ней под-
подгруппу, то Qi+i также будет р-группой. Подправленные
таким способом Plt Р2, . . . порождают р-подгруппу. По
лемме 25.2.4 ее ранг конечен, однако ранги подгрупп Ри
Р2, ••• не ограничены,— противоречие.
б) Ясно, что достаточно ограничиться рассмотрением
конечных р-секций группы G. Если ЫМ — такая
секция, то L = ХМ, где X — конечная подгруппа. Пусть
Р — ее силовская р-подгруппа. Так как при гомоморфиз-
гомоморфизме X —»¦ XMIM силовская р-подгруппа отображается на
силовскую р-подгруппу (см. 11.3.4), то
L = ХМ = РМ, B)
откуда
ранг ЫМ <^ ранг Р <^ sp.
в) Пусть Р — силовская р-подгруппа группы G ранга
sp. Так как Р черниковская (см. 25.2.4), то она содержит
такую максимальную абелеву нормальную подгруппу М,
что PIM — конечная р-группа. Далее, Р является ZA-
группой (см. доказательство леммы 24.3.1), поэтому,
ввиду 22.1.7, Р/М изоморфно вкладывается в Aut M. Так
как ранг М не превосходит ар, то ввиду 25.1.5
ранг Р/М < в (ар) = -jr Eар - 1) ар.

§ 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 255
Наконец, ввиду 4.1.7
sP < av + 8 (ар) = -j-Eар + 1) ар.
Лемма доказана.
25.2.6. Упражнение. В условиях леммы 25.2.5
каждая р-секция группы G — черниковская группа.
25.2.7. Лемма. Пусть G — локально конечная груп-
группа, А — ее нормальная подгруппа, являющаяся прямым
произведением своих силовских подгрупп, a GIA абелева.
Если ранги абелевых подгрупп группы G конечны, то G сама
имеет конечный ранг.
Доказательство, а) Можно считать, что си-
ловские подгруппы SVIA группы G/A по каждому просто-
простому числу р конечны. В самом деле, согласно 25.2.6 каждая
группа Sp/A черниковская, а потому ее ранг совпадает
с рангом нижнего слоя S*IA, т. е. максимальной подгруп-
подгруппы периода р. Бели мы докажем, что ранг группы
G* — гр (S*\ p — простое число)
конечен, то это будет означать конечность рангов групп А
и G*IA, а потому и GIA (см. 2.3.4) и, значит, всей группы G.
б) Силовские подгруппы группы G (а также любой ее
подгруппы) сопряжены. В самом деле, каждая силовская
р-подгруппа Gpi группы G должна содержать (единствен-
(единственную) силовскую р-подгруппу Ар группы Л. Так как Gpi/Ap
конечна, то Gpi = XpiAp, где Xpi — конечная р-группа
(см. выше доказательство формулы B)). Если Yvi, Yvj —
(иловские р-подгруппы конечной группы rp(Xpi, Xpj),
содержащие Xpi, XPj соответственно, то
Gpi — YptAp, Gpj = YpjAp,
поэтому, по теореме Силова 11.1.1, Gpi и Gp) сопряжены
в G.
в) Достаточно доказать, что G = ТА для некоторой
подгруппы Т, являющейся прямым произведением своих
силовских подгрупп Тр. Действительно, если Нр — абе-
абелева подгруппа наибольшего ранга группы Тр, то все та-
такие Нр порождают абелеву подгруппу, которая должна
иметь конечный ранг, скажем, г. По лемме 25.2.5.в) ранг
А
каждой Тр не превосходит „ Eг + 1) г, а потому ранг Т

256 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
конечен (см. 2.3.4). По тем же соображениям ранг А и,
значит, ранг всей группы G также конечен.
г) Построение требуемой Т.
Пусть Pi = 2, р2 = 3, ... — последовательность про-
простых чисел, Si/A — силовская ргподгруппа группы G/A.
Рассмотрим две последовательности подгрупп
G = N0>N1> ...
и
*1> *2> •••>
где Pi+1 — силовская р;+1-подгруппа группы Nt,
и покажем, что G = NtA для всех i = О, 1, 2,... Для
i = 0 это тривиально; перейдем от i к i + 1. Очевидно,
Pt+1 — силовская рг+1-подгруппа пересечения iVjfl^i+i»
нормального в Nt, поэтому, по обобщенной лемме Фрат-
тини 17.1.9,
Nt = Nl+1 (Nt П St+1).
Но
Nt П St+l = Pi+1 (Nt Л А),
поскольку секция (Nt f] Si+l)/(Ni П A) — конечная р-группа
(см. вывод формулы B)). Отсюда
Nt = Ni+l (Nt П А)
иС = NtA = Ni+lA, как и требовалось.
Согласно 25.2.6 группа Pt удовлетворяет условию min,
поэтому ряд ее подгрупп
лгх n pi > ^2 П pi > • • •
обрывается, т. е.
NkW f]Pi
для некоторого к (i) ^ i; обозначим эти пересечения Т,.
Если к ~^> к (i) и Р — произвольная ргподгруппа группы
N)i, то Р нормализует подгруппу Рг (так как Nk ^
W Ni)' ПОЭТОМУ
и, значит, Т'i — единственная силовская ргподгруппа

§ 25J КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 257
группы Nk. Отсюда следует, что [Ти Tj] = 1 при i Ф j
и, значит, подгруппа
Т = гр (Ти Т2, ...)
— прямое произведение ее силовских подгрупп Tlt Т2, . . .
Группа Т — искомая. В самом деле, осталось убедить-
убедиться только, что G = ТА. Так как G = гр (Su S2, ...) А,
то для этого достаточно установить равенства Si = Т,А.
Но
и если к ]> к (i), то
Nkf\St = Tt (Nk П А)
(см. вывод формулы B)). Следовательно, St = TtA. Лем-
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 25.2.2. Оче-
Очевидно, достаточно дать доказательство только в двух край-
крайних случаях, когда А — периодическая подгруппа и
когда А не имеет кручения, так как в общем случае можно
подняться по матрёшке 1 <^ А 0 <^ А, где А 0 — периоди-
периодическая часть группы А.
Предположим сначала, что А периодическая, и пока-
покажем, что ранги абелевых подгрупп группы GIA конечны.
Пусть, напротив, GIA содержит абелеву подгруппу В/А
бесконечного ранга. По лемме 25.2.7 ее периодическая
часть BJA должна иметь конечный ранг, а потому группа
без кручения В/Во должна быть бесконечного ранга. Тог-
Тогда В/Во имеет и бесконечную размерность над Z (иначе
она вкладывалась бы в конечную прямую сумму Q 0 . . .
• . .0<Q, ранг которой конечен), а потому содержит сво-
свободную абелеву подгруппу счетной степени. По лемме
25.2.3, примененной последовательно к парам В/А, Во/А
а В, А, такую подгруппу должна содержать сама В. Но
это противоречит конечности рангов абелевых подгрупп
группы G.
Теперь разберем второй случай: подгруппа А не имеет
кручения. Покажем, что в этом случае всякая абелева под-
подгруппа В/А группы G/A также имеет конечный ранг
Мы будем следовать той схеме и тем обозначениям, какие
применялись выше для доказательства теорем 24.2.2 и
24.2.3 (см. стр. 239). Если [А, В] = 1, то, согласно этой

258
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
[ГЛ. 8
схеме, достаточно убедиться, что ранг группы Нот (Ml A, А)
конечен. Так как Ml А и А — абелевы группы конечного
ранга, причем А без кручения, то группа Нот (MlА, А)
изоморфна подгруппе аддитивной группы (прямоуголь-
(прямоугольных) матриц над полем Q, а потому действительно имеет
конечный ранг. В общем случае воспользуемся индукцией
по рангу группы А (при А = 1 утверждение тривиально).
Предположим сначала, что А max-приводима относи-
относительно В, т. е. содержит неединичную В-допустимую под-
подгруппу Н с непериодической фактор-группой AIH. Пусть
TIH — периодическая часть группы А /Н. Так как в абе-
левых группах конечного ранга без кручения ранг совпа-
совпадает с размерностью, а при факторизации размерности
складываются (см. 7.2.2), то картина такова:
Г'
н
1
ранг А/Т < ранг А
Т/Н периодическая
ранг Н < ранг А
Поднимаясь по матрёшке 1 <^ Н ^ Т «^ А, мы видим, что
ранг группы В/А конечен. Пусть теперь А тах-неприво-
дима относительно В. Можно считать, далее, что [А, В] Ф
ф1, так как противоположный случай уже разобран. Тог-
Тогда по лемме 24.2.1.6) существует такая подгруппа X, что
В : ХА
и X
= 1.
Так как подгруппа X ~ ХА/А абелева, то она, а потому
и подгруппы ХА и В имеют конечные ранги. Но тогда и
BIA должна иметь конечный ранг. Теорема доказана.
25.3. О локально разрешимых группах. Как уже от-
отмечалось в начале п. 24.3, в отличие от теоремы 24.2.2
ни теорема 24.2.3, ни теорема 25.2.1 на локально разре-
разрешимые группы не переносятся — это показывает пример,
который мы сейчас изложим.

125]
КОНЕЧНОСТЬ РАНГА
259
25.3.1. Пример (Ю. И. Мерзляков). Существуют
локально полициклические группы без кручения, у кото-
которых ранги всех абелевых секций конечны, но уже ранги
абелевых подгрупп не ограничены в совокупности.
Для построения таких групп введем понятие х-дефор-
мации. Мы будем рассматривать тройки (G, А, а), где G —
группа, А — ее нормальная подгруппа конечного индек-
индекса, являющаяся свободной абелевой группой конечной
положительной степени (так что в данном случае степень
свободы совпадает с рангом группы), а — отмеченная
в ней база. Пусть и — кортеж попарно взаимно простых
натуральных чисел, длина которого совпадает с рангом
группы А, к — произведение чисел из и. Обозначим через
А* подгруппу, порожденную элементами из а, возведен-
возведенными в соответствующие степени из и, а через Ак — под-
подгруппу к-х степеней элементов из А.
Пусть Ф* — круговой многочлен порядка к,
Ф* (х) — х схх ... сп.
Здесь га = ф (к), ф — функция Эйлера. Матрица
с! са с3 ... сп_1 <
1 О
1 О
имеет своим характеристическим многочленом Фь, поэто-
поэтому порождает в группе OLn (Z) циклическую подгруппу
порядка к.
Так как А/А* — тоже циклическая группа порядка к,
то существует ее точное представление степенями матри-
матрицы ?&• Пусть а — композиция этого представления с ес-
естественным гомоморфизмом А —> AIA*. Так как индекс
т = | G : А | конечен, то представление а: А —*¦ OLn (Z)
индуцирует представление о: G —*¦ GLmn (Z) по следую-
следующему правилу (см. конец п. 17.2): берем какие-нибудь пред-
представители «х, . . ., ит в смежных классах G по А и пола-
полагаем g^ = {(uilgUj)a) для ?G(?; здесь х° = 0 при х §? А.
Возьмем теперь свободную абелеву группу В си Zmn и
будем считать, что о; G -*~ Aut В, Пусть G* = GB —

260 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
расширение группы В посредством группы G, действую-
действующей на В в силу а. Очевидно, подгруппа А* = АкВ нор-
нормальна в G*, имеет в ней конечный индекс и является сво-
свободной абелевой группой конечного ранга. Отметим в ней
базу л*, начинающуюся с к-х степеней соответствующих
элементов из л. Тройка (G*, А*, а*) называется к-дефор-
мацией тройки (G, А, а); символическая запись
(G,A,a)^(G*,A*,a*). C)
25.3.2. Упражнение. Доказать, что если а ^А
и а8 ф. А* для всех g €= G, то С в (а) = 1.
25.3.3. Лемма. Если составное натуральное число к
делится на некоторое простое число, но не делится на его
квадрат, то det(l— t,k) = 1.
Доказательство. Прибавив в матрице 1 —
— tk к первому столбцу остальные и разложив определи-
определитель полученной матрицы по ее первому столбцу, мы ви-
видим, что det A — ?,ic) = Ф* A) (при произвольном к).
Воспользуемся теперь формулой
Л()
(см., например, [6], стр. 154). Пусть к = pi, гр,вр — простое
число, не делящее I. Тогда
()
d\l
В частности, если число I простое, то
хЦР-1) + Х«Р-Щ + . . . _|_ Х1 _|_ 1 = фр (д.) фк (х).
Положив здесь х = 1, получим Фк A) = 1. В общем слу-
случае рассуждаем точно так же, но с применением индукции
по числу делителей числа I.
25.3.4. Лемма. Пусть к — натуральное число, сво-
свободное от квадратов, t — произвольное натуральное число.
Матрица Z& сопряжена в группе GL^) (С) с тензорным
произведением Z,kjd (g) lV(d), где d = (к, t), lm — единичная
матрица степени т. Если при этом число kid составное,
то det A — ф) = 1.
Доказательство. Прежде всего,
?k ~ diag(el, .

§ 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 261
где — обозначает сопряженность в GL^) (G), а по диаго-
диагонали выписаны все примитивные корни к-й степени из 1.
Ясно, что если d = 1, то ?* — ?к. Пусть теперь d~^> 1
и к = dk^, t = dtx. Легко видеть, что
Возводя обе части этого соотношения в ix-ю степень и учи-
учитывая предыдущее замечание, получаем первое из доказы-
доказываемых утверждений. Второе утверждение легко вытекает
из первого, если учесть лемму 25.3.3. V:
Приступим к построению групп, о которых говорится
в примере 25.3.1.
а) Построение требуемых групп. Прежде всего, за-
занумеруем в последовательность vx, v2,.. . все последова-
последовательности целых чисел, стабилизирующие на нуле. Пусть
Gi — произвольная полициклическая почти абелева груп-
группа без кручения, Ах — ее свободная абелева подгруппа
конечного индекса, <>i — какая-нибудь база группы А1ш
Отправляясь от тройки (Gu Ai, ui), мы построим после-
последовательность деформаций
(Gi, Ах, их) > • • • *" (^п> Ап, On) ~—>...,
а затем перейдем к ее «пределу». Именно, пусть тройка
(Gn, An, йп) уже построена, и пусть й^* обозначает произ-
произведение элементов базылп, возведенных в соответствующие
степени из Vj (компоненты с номерами, большими длины
лп, не используются). Легко сообразить, что множество
элементов
(л»в, ?GGn, *=1, 2, .... и, D)
конечно. Возьмем в качестве х„ кортеж попарно взаимно
простых чисел, свободных от квадратов, с условием, что
группа Апп не содержит ни элементов D), отличных от
единицы, ни их степеней с простыми показателями (для
выполнения этого условия достаточно потребовать, на-
например, чтобы все числа из"и„ были составными, а их прос-
простые делители были больше, чем модули'координат элементов
D) в базе <хп). Теперь построение (п + 1)-й тройки про-
производится на основе определения и^-деформации,

262 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
т. е.
Gn+i = GnBn, Ап+1=А*ппВп E)
и an+i — какая-нибудь база группы An+i, начинающаяся с
кп-х степеней соответствующих элементов из л„. Здесь кп,
Вп имеют тот же смысл, какой имели к, В при определении
деформации C).
Пусть ?» — предельная деформация тройки (Gu Au ui)
относительно последовательности кортежей ки х2, . . .,
т. е. объединение последовательности вложенных друг в
друга групп Gt <J G2 <! • • • Мы покажем, что группа ?«,
искомая. Действительно, учитывая E), легко убеждаемся
индукцией по п, что все группы Gn полициклические, без
кручения и имеют конечные ранги. Таким образом, группа
Gco локально полициклическая, не имеет кручения и со-
содержит абелевы подгруппы Ап неограниченно растущих
рангов. Остается проверить, что ранги абелевых секций
группы Goo конечны.
б) Для всякого неединичного элемента h группы ?»
существует такое натуральное число n(h), что для вся-
всякого п ?> п (h) найдется элемент ап?Егр (h)f\ An, ни в какой
простой степени не попадающий в подгруппы (Ann)Si
g GE Gn. Именно, если fe €= Gs и A'Gs:A«' = о»*, причем vt
содержит нули на всех местах, начиная с (| л„| + 1)-го,
то можно взять n(h) = max (s, t). В самом деле, пусть
п > s, t и
Очевидно, ап = Лп' €= Ап. С другой стороны, так как t <[ п
то по построению кортежа хп для всякого простого числа р
выполняется соотношение
в) Приступим непосредственно к доказательству ко-
конечности рангов абелевых секций группы Go,- Пусть Н —
неединичная подгруппа группы Gx, H' — ее коммутант.
Достаточно убедиться, что
ранг HIH' < ранг Gnm,
где п (Я) = min n(h) по всем h e H, h Ф 1. Пусть п (Я) —
s= /. Достаточно доказать, что ранг любой конечно порож-

§ 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 263
денной подгруппы группы HIH' не превосходит ранга
группы Gi, поэтому, не ограничивая общности, можно
считать, что сама Н конечно порождена и по-прежнему
содержит h0, для которого п (h0) = 1. В частности, Н ^
<^ Gs при достаточно большом s > 2.
Так как С8=бгЯгЯг+1 . . . Bs-i,roGs обладает конечной
нормальной матрёшкой
Gs = ?>,_! > Dt > . . . > Ds = 1,
где
Dn = ВпВп+1 . . . Вя-и n = l, I + 1,. . ., s - 1.
Эта матрёшка индуцирует в Н матрёшку
Я = Я,_1>Я1>...>Я8 = 1, где ЯП = ЯП^„.
а в HIH' — матрёшку
Я/Я' = Я,_1>Яг>...>Я8=1, где Ип = НпН'/Н'.
Мы покажем, что на самом деле HJHn+i = 1 при п = Z,
Z + 1^. . 1JLs - 1, т. е. Яг = 1 и HIH' ~Я"г_х/Яг. Так
как Hi-ilHi — секция группы D^i/Di ~ Gt, то это и даст
требуемую оценку: ранг HIH' <^ ранг G*.
г) Итак, пусть I ^ n <^s. Применив дважды теорему
4.2.4, получим
Нп1Нп+1« НпН'/Нп+1Н' - Яп/Яп+1 (Яп П Я') =
= (Я п л„)/(Я' п ^п) (Я П ^п+1) ^
- (Я Г) Л„) Dn+1/ (Я' П Лп) Дп+1 -
где яп — естественная проекция Dn -> J?n. Обозначим для
краткости
осталось доказать, что L — М. При L = 1 утверждение
очевидно, поэтому предположим, что L ^? 1.
Пусть b <=L, Ъ = hnn, h е Я П ?**. т. е.
Л = Ь (mod D^x), Ь е Яп.
Так как п (h0) = Z (см. начало пункта в)), то существует
такой элемент hn (= гр (h0) f] An, что
для любого простого числа р и любого g e Gn.

264 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. 8
Заметим, что
= [hn,h]^H' r\Dn F)
Если ult. . ., ит — представители смежных классов груп-
группы Gn по подгруппе Ап, то, согласно построению^ группы
Gn+ь л
h?bhn = bhn,
где элемент Ъ записан строкой из 2'<р(*п), линейное пре-
преобразование hn — матрицей
diag ((иГх/гпМ1)а, ... , (и„ К ит)°)
и а — композиция естественного гомоморфизма Ап ->
-*- Ап/Апп с последующим изоморфизмом на группу (?к ).
Ввиду F)
[An, h]~b(l- К) (mod Dn+1). G)
По лемме 25.3.4 определители клеток 1 — (ut^Uj)"
равны 1, поэтому
det A - hn) = 1.
По теореме 8.1.1 свободные абелевы группы Bn,L обладают
согласованными базами
Ьц. • •, Ъг, br+i,. . ., bt, (8)
mJu. . ., mrbr, (9)
где m^ — целые числа, отличные от нуля. Так как
L Ап-допустима, то преобразование 1 — hn переводит базу
(9) в ее линейную Z-оболочку, а потому группу L* =
= гр (&!,. . ., Ьг) — в себя. Мы видим, что оно записыва-
записывается в базе (8) полураспавшейся целочисленной матрицей,
поэтому
det A - hn) \L = det A - Йп) |ы. = ± 1.
Значит,
Щ\ -X) = L.
Отсюда и из F), G) вытекает, что L — М. Доказательство
закончено.

§ 25] КОНЕЧНОСТЬ РАНГА 265
Отметим, что группы ?» обладают и другими любопыт-
любопытными свойствами:
25.3.5. Каждая из групп G^ локально разрешима, но
не обладает свойством RN*, поскольку каждая ее RN*-
подгруппа {в частности, каждая абелева подгруппа) со-
содержится в некоторой Gn.
Доказательство, а) Нормализаторы и центра-
централизаторы в Goo. Покажем прежде всего, что
Non+1 (М) = NGn{M) СВп (М) для М < Gn. A0)
Действительно, пусть элементы g e= Gn, Ъ е= Вп таковы,
что Mgh = М. Так как [М, Ь'1] < Вп, а с другой стороны
[М, б] < M-Wb~* = М~гМ8 < Gn,
то Ш, Ь'1] = 1. Отсюда Ъ е СВп (М), g e NGn (M), что
и требовалось.
Далее, ввиду 25.3.2 и выбора кортежа кп
б) Пусть Н — неединичная подгруппа группы G^,
через которую проведена трансфинитно возрастающая
субнормальная последовательность
Н = Яо < Н, < . . . < На < . . . < Ну,
т. е. На <3 Ha+i для всех трансфинитных чисел а <] у
и На = U ^р Для предельных а <^ у. Если /Г содержится
Р<а
в некотором Gs, то существует такой номер п = ин, что
Ну < Gn.
Действительно, пусть а — неединичный элемент пере-
пересечения Ht:f\ А„. Пусть он имеет в базе й8 координаты
м1( . . .,гиТ,^& последовательность v = (ии . . ., иг, 0,. . .)
имеет номер t, т. е. v = vt. Покажем, что число п =
= max (s, t) искомое, т. е. Нч < Gn. Пусть уже доказано,
что Яр <^ Gn для всех р <^ а ^ у, и докажем, что На <^
^ Gn. Для предельного а это очевидно. Пусть а — не-
непредельное трансфинитное число. Достаточно проверить,
что
Nal+1 (Я«Т,) = ЛГ01 (Яа_,) при I > п

266 УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ [ГЛ. I
или, ввиду A0), что
Сщ (Я„_1)= 1 при I > п. A2)
Но
Сщ (Ba-i) < CBl (a) < Сщ (a*8 "• *'-х). A3)
Ввиду выбора отмеченных баз as"kl-x = Oi, поэтому из A3)
и A1) вытекает A2).
Все утверждения предложения 25.3.5 теперь очевидны.
Примеры примерами, но некоторое недоумение все же
остается: почему из трех параллельных по формулировке
и схеме доказательства теорем 24.2.2, 24.2.3 и 25.2.1
первая допускает обобщение на локально разрешимые
группы, а две другие нет? Это недоумение полностью рас-
рассеивается, если учесть следующую важную теорему
Ю. М. Горчакова (ДАН СССР, 1964, 156, № 1, с 17—20):
всякая Периодическая локально разрешимая группа, у ко-
которой ранги абелееых подгрупп" конечны, сама имеет ко-
конечный ранг. Таким образом, параллелизм — и с ним ду-
душевный покой — восстанавливается очень просто: на
периодические локально разрешимые группы пе-
переносятся все три обсуждаемые теоремы (разберите сами
несложный оставшийся случай теоремы 24.2.3), а на груп-
группы без кручения не переносится ни одна из них. Правда,
вы можете возразить, что семейство групп с условием
min для абелевых подгрупп содержит одни лишь перио-
периодические группы, а групп без кручения и даже смешанных
групп в нем нет, но тут уж ничего не поделаешь — таковы
его суровые семейные нравы, заложенные в самом опреде-
определении.

Дополнение
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ,
ЛОГИКИ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 26. О нилыютентных алгебрах
Упомянутая в основном тексте вскользь связь между нильпо-
нильпотентностью в группах и кольцах играет в действительности важную
роль, обогащая как теорию групп, так и теорию колец. Мы приве-
приведем здесь некоторые сведения о нилыютентных алгебрах, необходи-
необходимые при изучении энгелевых групп в п. 18.3. В первом пункте бу-
будут даны основные определения и изучено поведение нильпотент-
нильпотентности при стандартном переходе от ассоциативных алгебр к лиевым
и обратно. Второй пункт посвящен построению ненильпотентных
нильалгебр.
26.1. Нильпотентность ассоциативных и лиевых алгебр. Пусть
к — поле, А — кольцо (ни коммутативность, ни ассоциативность
умножения в А не предполагаются). Кольцо А называется {линей-
{линейной) алгеброй над к, если для всяких ос е к, а е А определен эле-
элемент a«ei, причем это «умножение на скаляр» связано с опера-
операциями в к и А следующими соотношениями:
(а + Р)в = аа -f fa,
(оф)а = а (ре),
1а = а,
а (а -ф- Ъ) = аа -ф- аб,
а (ab) = (аа)Ь = а (аЬ).
Здесь а, E — любые элементы из к, 1 — единица поля к, а, Ъ —
любые элементы из А. Алгебра А называется ассоциативной, если
(ab)c = a (be) для всех а, Ъ, с е А.
Алгебра А называется лиевой (или алгеброй Ли), если
аЪ+ Ьа = О,
(аЪ)с -4- (Ъс)а -ф- М& = О
для всех а, Ь, с е А.
Роль ассоциативности читателю объяснять не надо, а вот лиевы
алгебры могут на первый взгляд показаться искусственным объек-
объектом. В действительности они столь же естественны как и ассоциа-
ассоциативные: каждая ассоциативная алгебра имеет лиеву спутницу, по-
получаемую следующим стандартным способом. Пусть А — ассоциа-
ассоциативная алгебра. Если а, Ь — ее элементы, то элемент (а, 6) = аЬ —
— Ьа называется их (кольцевым) коммутатором. Как и в случае
групп, можно сказать, что коммутатор измеряет отклонение от ком-
коммутативности, ср. с п. 3.2. Легко проверить, что множество А с от-

268 ДОПОЛНЕНИЕ
меченными на нем операциями сложения, коммутирования и умно-
умножения на скаляры из к будет лиевой алгеброй. Она называется лие-
вой алгеброй, присоединенной к ассоциативной алгебре А. Другой
источник алгебр Ли — группы Ли — упоминался в основном
тексте.
Пусть теперь в ассоциативной алгебре А выделено подпростран-
подпространство L, замкнутое относительно коммутирования (так что в присое-
присоединенной лиевой алгебре L будет лиевой подалгеброй). Ассоциатив-
Ассоциативная подалгебра"!,, порожденная в ассоциативной алгебре А множест-
множеством L, называется ассоциативной алгеброй, обертывающей лиеву
алгебру L.
Элемент а линейной алгебры А называется нильпотентным
(так сказать, «потенциально нулевым»), если ап = 0 при некото-
некотором п, вообще говоря, зависящем от а, и произвольной расстановке
скобок в ап. Алгебра А называется нильпотентной, если существу-
существует такое ге, что а1 . . . ап = 0 для всех аг, . . ., ап е А и произволь-
произвольной расстановки скобок в левой части. Наименьшее п с этим свойст-
свойством называется ступенью нильпотентности. Как упоминалось в
основном тексте, примером нильпотентной ассоциативной алгебры
служит алгебра треугольных матриц с нулевой диагональю.
26.1.1. Упражнение. Конечно порожденная нильпо-
тентная алгебра конечномерна.
26.1.2. Упражнение. Лиева алгебра L тогда и только
тогда нильпотентна, когда существует такое ге, что (. . .((aie2)as)- • •
. . .)ап = 0 для всех %, . . ., ап е L.
Как ведет себя нильпотентность при переходе от ассоциатив-
ассоциативных алгебр к лиевым и обратно, точнее, при операциях присоеди-
присоединения и обертывания? В одну сторону вопрос решается легко: по-
понятно, что если ассоциативная алгебра А нильпотентна ступени ге,
то присоединенная к ней лиева алгебра нильпотентна ступени
«^ ге (неравенство снять нельзя). А вот при обертывании рассчиты-
рассчитывать на сохранение нильпотентности уже не приходится, поскольку
существуют ненильпотентные ассоциативные алгебры, для которых
присоединенные лиевы алгебры нильпотентны: такова, например,
алгебра А всех треугольных матриц некоторой степени п с постоян-
постоянными диагоналями. Другой пример — прямая сумма В однопорож-
денных нильпотентных алгебр неограниченно растущих ступеней
нильпотентности.
Причина того, почему алгебра А не нильпотентна, бросается
в глаза: даже отдельные элементы алгебры А не все нильпотентны
в ассоциативном смысле. Оказывается, если потребовать ассоциа-
ассоциативную нильпотентность элементов да еще конечную порождаемость
«обертываемой» лиевой алгебры, то нильпотентность уже будет
сохраняться при обертывании:
26.1.3. Теорема. Пусть А — ассоциативная алгебра, L —
ее подпространство, замкнутое относительно коммутирования.
Если лиева алгебра L конечно порождена и нильпотентна, а каждый
ее элемент нильпотентен в ассоциативном смысле, то обертываю-
обертывающая ассоциативная алгебра L нильпотентна.
Доказательство. Пусть еи . . ., es — порождающие
элементы лиевой алгебры L. Назовем их порождающими коммута-
коммутаторами веса 1, а если порождающие коммутаторы с, d весов и, v

26] О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ 269
уже определены, то назовем коммутатор (с, d) порождающим комму-
коммутатором веса и + v (таким образом, вес определяется не только
самим элементом, но и выбранной для него записью). Пусть п — сту-
ступень нильпотентности лиевой алгебры L. Это означает, что комму-
коммутаторы веса 5s- п равны нулю, поэтому множество ненулевых по-
порождающих коммутаторов конечно. Упорядочим их по возраста-
возрастанию весов, а при одном весе — произвольным способом: clt ca,. . .
. . ., сг. По условию Cj* = 0 при некотором щ. Покажем, что ассо-
ассоциативная алгебра L нильпотентна ступени не более N =
= п (пх -+- , . . -\- пг). Очевидно, для этого достаточно проверить,
что все с^ . . . сг = 0.
Длиной произведения cit . . . ci назовем число т, весом —
сумму весов множителей, беспорядком — любое вхождение . . .cj. . .
. . . cj. . . при i > /, характеристикой — пару (m, t), где t —
число беспорядков. Упорядочим характеристики словарно, т. е.
положим (т, t) < {т', t'), если т < т' или т = т', t < t'. Оче-
Очевидно, любая убывающая цепочка характеристик обрывается.
Если в произведении cit . . . с4 веса w имеется беспорядок
ctcj, то после его замены на cft + (cu с,) мы получим сумму двух
произведений того же веса, но с меньшими характеристиками. Зна-
Значит, через конечное число таких замен мы придем к сумме произведе-
произведений
с™1 ... с™1, где /!<...< /|, все та > 1.
Остается заметить, что при w~^ N указанные произведения равны
нулю. Действительно, при w ^ N некоторое та ^ ге- , а тогда
T/lOt
с. ,= 0. Теорема доказана.
В заключение пункта приведем один результат о конечной по-
рождаемости в кольцах, напоминающий упражнение 14.3.2 для
групп. Хотя в его формулировке нильпотентность явно не фигу-
фигурирует, этот результат служит важным вспомогательным средством
при ее изучении, что оправдывает его изложение именно здесь.
Впрочем, нам он понадобится для других целей (см. § 21).
Напомним, что абелева группа А по сложению называется
левым модулем над кольцом к, если для всяких а е к, sei опре-
определено аа е А и выполняются первые четыре аксиомы из списка
в самом начале параграфа. Аналогично определяется правый мо-
модуль. Если на А определено строение левого и правого модуля над к,
причем (аа) E = а (ар) для всех а, р е к, a s А, то говорят о би-
модуле над к. Аннулятором бимодуля А над к называется совокуп-
совокупность всех аекс условием
ао = 0, аа = 0 для любого а е А.
Пусть К — ассоциативное кольцо (не обязательно коммута-
коммутативное), М — его подмножество, s — натуральное число. Тогда
М8 обозначает подгруппу аддитивной группы кольца К, порожден-
порожденную всевозможными произведениями s элементов из М.

270 ДОПОЛНЕНИЕ
26.1.4. Теорема. Пусть I — идеал конечно порожденного
ассоциативного кольца К. Если аддитивная группа К/1 конечно
порождена, то идеал I конечно порожден и все аддитивные группы
KIP, s= 1, 2, . . ., также конечно порождены.
Доказательство, а) Возьмем в аддитивной группе
кольца К конечно порожденную подгруппу А с условием:
К = А +I, кольцо К порождается множеством А. A)
Пусть /' — идеал, порожденный в К пересечением / П (-4 + А2).
Сумма А + /' — подкольцо. Действительно, если аь а2 е А, то
ввиду A) ща^ = а -j- ?, а е .4, ie/. Очевидно, i e /', так что
ал е= А + /'.
J5,j Отсюда К — А~\-Г (см. A)). Так как А конечно порождена, то
и аддитивная группа К/Г конечно порождена. Значит, ее подгруп-
подгруппа ///' тоже конечно порождена. Из определения идеала /' видно,
что он конечно порожден, так как A -f- A2 — конечно порожден-
порожденная аддитивная группа. Следовательно, идеал / конечно порожден.
б) Кольцо К действует на аддитивной группе IIP левыми и пра-
правыми умножениями, превращая эту группу в бимодуль над К. Ясно,
что / содержится в его аннуляторе, так что IIP можно рассматри-
рассматривать как бимодуль над К/1, причем ввиду а) он конечно порожден.
Так как аддитивная группа К/1 конечно порождена, то и аддитив-
аддитивная группа IIP конечно порождена. Индукцией по п убеждаемся,
что все аддитивные группы K/Iin конечно порождены. Наконец,
при произвольном s можно выбрать такое ге, что 2™ > s, поэтому
и все аддитивные группы К/Р конечно порождены. Теорема до-
доказана.
26.2. Ненильпотентные нильалгебры. В этом пункте рассмат-
рассматриваются, только ассоциативные алгебры. Если все элементы алгеб-
алгебры нильпотентны, она называется нилъалгеброй. Один из централь-
центральных вопросов теории нильпотентных алгебр состоит в следующем:
будет ли конечно порожденная ассоциативная нильалгебра нильпо-
тентной? Для конечномерных алгебр давно был получен утверди-
утвердительный ответ, но если не предполагать конечномерность зара-
заранее, то ответ, как показал Е. С. Голод, будет отрицательным. Более
точно, Е. С. Голод для каждого поля к и каждого d ^ 2 построил
ненильпотентную алгебру над полем к с d порождающими, у ко-
которой все подалгебры с d — 1 порождающими нильпотентны (Изв.
АН СССР: Сер. матем., 1964, 28, № 2, с. 273—276). Его конструкция
позволяет ответить и на ряд важных вопросов теории групп. Цель
настоящего пункта — изложить эту конструкцию.
Пусть F = к {хи. . ., ха) — кольцо многочленов над каким-
нибудь полем к от неперестановочных переменных хи. . ., х^.
Очевидно, F разлагается в прямую сумму /0 ф F\ ф . . ., где
Fo at к, Fn — векторное пространство над к, порожденное /Г1 одно-
одночленами г, 1: . . . X: . Многочлены из Fn называются однород-
ними степени п. Идеал / кольца F называется однородным, если он
порождается однородными многочленами (вообще говоря, различ-
различных степеней).
26.2.1. Упражнение. Идеал / тогда и только тогда одно-
однороден, когда он вместе с каждым своим элементом содержит и все

§ 26J О НИЛЫЮТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ 271
его однородные компоненты, т. е. из
а е= /, а = а^ + . . . + ап&, ащ е= Fn., щ < . . . < ns,
следует, что все ап. е /.
Пусть /i, /2i • ¦ • — ненулевые однородные многочлены из F
неубывающих степеней ^.2, причем число гп многочленов каждой
степени п конечно. Пусть / — идеал, порожденный элементами
/i, /2, . . ., А = F/I. Очевидно, А = Ао ф Аг ф . . ., где Ап =
— (-^п + Л^- В частности, Ао ~ Fo cz? к, Ai ^ Fu так как много-
многочлены fi имеют степени ^-2. Основную роль в излагаемой кон-
конструкции играет фактор-алгебра F/I по некоторому идеалу /.
В качестве подготовительного шага мы установим сейчас один при-
признак ее бесконечномерности.
Рассмотрим формальный степенной ряд
где *п — целые числа. Легко понять, что обратным к нему будет
оо
ряд Г1 = 2 »п'П' где
71=0
1/о = 1. yi=d,
п
Уп = <?!/„_! - Ц ^г/„_г, п = 2, 3, . . .
26.2.2. Теорема (Е. С. Голод). Яусть /" = к {хи. . ., id} —
кольцо многочленов над полем к от неперестановочных переменных
xlt . . ., ij. Пусть Д, /2, . . . — однородные многочлены us'F неубы-
неубывающих степеней ^ 2, / — порожденный ими идеал. Если число
гп многочленов степени п из Д, /2, . . . не превосходит числа sn и все
коэффициенты ряда ё~г неотрицательны, то алгебра F/I беско-
бесконечномерна.
Доказательство. ах) Пусть а„ — размерность фактор-
алгебры А„ = (Fn + /) / как векторного пространства над к.
Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что ряд
не есть многочлен. Пусть
п=2
и пусть уже доказано, что ряды «г1 и tu имеют неотрицательные

272 ДОПОЛНЕНИЕ
коэффициенты (мы сделаем это ниже). Так нак Х~Ч = 1, то
П=2
Отсюда видно, что t не многочлен. Но тогда и а = ХГ1-^ не
может быть многочленом.
б) Ряд г имеет неотрицательные коэффициенты. Действи-
Действительно, в силу очевидных свойств действий над формальными ряда-
рядаt = «_q=«(l_r1q)> где ц = 2 (sn ~ гп)'"»
71=2
и, значит,
А=г1 A - «"V1 = г1 A + 2 (г1**) •
Остается учесть, что ряды ё и q имеют неотрицательные коэф-
коэффициенты.
в) Убедимся, что ряд гл тоже имеет неотрицательные коэф-
коэффициенты, т. е.
en>den-i-Srifln-i' n>2- B)
«*2
Пусть 1п — множество всех однородных многочленов степени п
из /, Л* — прямое дополнение подпространства /п в пространстве
Fn, т. е. Fn = In ф Л*. Сравнение размерностей дает
«J™ = dim /„ + &п.
Пусть еще Нт — подпространство, порожденное многочленами сте-
степени т из Д, /2, . . ., a XY обозначает подпространство, натянутое
на элементы ху, х е X, у е Y. Мы покажем, что
tm. »>2. C)
Тогда подсчет размерностей в C) и даст B).
Пусть и е /п. По построению и есть сумма произведений вида
vfjw, где v, w — однородные многочлены. Будем считать, что и =
= vfjW. Если w имеет степень ^1, то ясно, что и е In_1F1. Бели же
/ имеет степень 0, то можно считать, что и = vf]. Пусть fj имеет сте-
степень т и, значит, принадлежит подпространству Нт. Тогда v e
i= F
t= rn-m>
Отсюда и е Ir^.lFi -\- А*_тНт. Теорема доказана.

§ 26] О НИЛЫ10ТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ 273
26.2.3. Пример. Если в условии теоремы 26.2.2
rn<eV(i-2e)"-», e>0, D)
то алгебра А бесконечномерна. Действительно, достаточно прове-
проверить, что ряд 8 имеет неотрицательные коэффициенты, где
I = 1 _ dt + 2 sz (rf - 2
Мы воспользуемся следующими формулами для формальных рядов:
= A - (^ - 2в) 0 ^ (» + 1) (rf -
= ^ + J]i (^ - в)" (^ + (И - 1) 8)
Так как d — 2e ^ 0, то d — e ^ e > 0, и всё доказано.
Теперь мы готовы к изложению конструкции Б. С. Голода. Ее
идею хорошо поясняет следующий частный
26.2.4. Пример. Пусть к — не более чем счетное поле,
F — к {х, у} — алгебра многочленов над полем к от неперестано-
вочных{переменных х, у, F' — подалгебра многочленов без свобод-
свободных членов. Покажем, что в алгебре F существует такой идеал /,
содержащийся в F', что алгебра А' = F'll не нильпотентна,'но все
ее элементы (и, значит, все подалгебры с одним порождающим)
нильпотентны.
Занумеруем элементы из F': ии щ?. ¦ . Пусть Ni = 9. Воз-
Возведем К! в Ni-ю степень и разложим и^1 на однородные слагаемые
N
/ь hi • ¦ •> /mi возрастающих степеней. Пусть число N3 превосходит
любую из них. Возведем и2 в N^-ю степень и разложим и^2 на
однородные слагаемые /т,+г, fmi+2, ... г возрастающих степеней.
Продолжая этот процесс, мы построим многочлены /i, /2). . . воз-
возрастающих степеней >9. Пусть" / — идеал, порожденный этими
многочленами. Ясно, что А' = F'll — нильалгебра с порождаю-

274 ДОПОЛНЕНИЕ
щими х. = х + /, у = у + /. Остается проверить, что Л' не ниль-
нильпотентна, а для этого достаточно убедиться, что А = F/I бесконечно-
бесконечномерна (тогда А' = Ai (В А2 (В ¦ ¦ ¦ тоже будет бесконечномерна,
а потому не нильпотентна — см. 26.1.1). В обозначениях теоремы
Голода имеем d = 2, rn <J 1, причем г2 = г3 = . . . = г8 = 0.
Прямое вычисление показывает, что при е = 1/4 выполняется усло-
условие примера 26.2.3, поэтому все доказано.
Изложим теперь результат Е. С. Голода в полном объеме.
26.2.5. Пример. Для всякого d ^ 2 и всякого поля А:
существует ненильпотентная алгебра над к с d порождающими,
каждая подалгебра которой с d— 1 порождающими нильпотентна.
В самом деле, пусть F = к {xi,.. ., ха} — алгебра многочленов над А:
от неперестановочных переменных хи . . ., ха, F' — подалгебра
многочленов без свободного члена. Построим в F такой идеал /,
лежащий в F', что F'll — искомая алгебра.
Пусть 8 — фиксированное число, 0 < 8 < 1/2. Ввиду примера
26.2.3 в качестве / можно взять идеал, порожденный однородными
многочленами Д, . . ., /Si, /S|+1, . . ., fSi, . . . степени ^2 с усло-
условием D) и следующим дополнительным условием: для любых d — 1
элементов из F' степени < п существует такое натуральное число Л',
что произведение любых N множителей из данных элементов при-
принадлежит идеалу 1п, порожденному элементами Д, . . ., fSn- Допу-
Допустим, что отрезок Д, . . ., /s, s = «n-ь уже построен, и покажем,
как дополнить его до отрезка Д, . . ., ft, t = sn.
Рассмотрим d — 1 многочленов степени <; п без свободного чле-
члена с неопределенными (буквенными) коэффициентами cia:
Ма (xv . . ., xd), 1 <J i «^ d — 1, Ma — одночлены.
Пусть N — натуральное число. Существует (d — i)N различных
произведений по ./V элементов gt. Записав их как многочлены от
{cia}, мы получим в качестве коэффициентов некоторые линейные
комбинации /s+1, ...,/( одночленов от {xj} степени N, N + 1,. . .
. . ., nN. Покажем, что при достаточно большом N многочлены
/s+], ...,/( — искомые. Ясно, что в проверке нуждается только
свойство D). Оно будет выполнено, если возьмем число N больше,
чем степени Д, . . ., /s, и",такое, что количество многочленов /s+1,. . .
• • •> ft будет *С е2 (d — 2е) ¦ Докажем существование такого N,
для чего оценим количество многочленов /s+i, . . ., ft в зависимости
от N.
Пусть g — gir . . giNt причем gi входит в это произведение
mt раз. Так как cia между собой перестановочны (это буквенные обо-
обозначения для элементов поля к), то g, как многочлен от {с^}, со-
содержит
слагаемых. Значит, столько и многочленов добавится от произведе-

271 ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ 275
ния g в отрезок /sti, . . ., ft. Так как L ) < " и различных g имеет-
имеется (<2 — l)w, то общее число многочленов /s+1,.. ., /t не превосходит
V
числа
Так как d — 1 < d — 2s, то это число < е2 (d — 2e,)N~^ при доста-
достаточно большом N. Доказательство закончено.
§ 27. Локальные теоремы логики
Здесь будет установлена локальная теорема Мальцева для ква-
квазиуниверсальных классов. Предполагая, что читатель знает основ-
основные определения формальной логики из общего курса, мы даем бег-
беглое, но вполне замкнутое изложение.
27.1. Алгебраические системы. Пусть А — множество. Функ-
Функция п переменных, определенная на А и принимающая значения
из множества {истина, ложь} (соответственно из .4), называется
п-арным предикатом (соответственно п-арной операцией) на А. Мно-
Множество А с отмеченными на нем предикатами Р^а и операциями
/e'f* (na, mp — их арности) называется алгебраической системой,
а перечень символов ?>?<*, /р*Э — ее сигнатурой. Две алгебраичес-
алгебраические системы одной и той же сигнатуры называются изоморфными,
если существует взаимно однозначное соответствие между ними, со-
сохраняющее предикаты и.операции. Примеры алгебраических систем —
группы, кольца, поля, векторные пространства, упорядоченные
множества и т. п.
Подмножество алгебраической системы, замкнутое относительно
всех сигнатурных операций, называется подсистемой, если оно рас-
рассматривается вместе с индуцированными на нем предикатами и опе-
операциями, которые получаются сужением сигнатурных предикатов
и операций самой системы.
Как отмечалось в основном тексте, совокупность подмножеств
Ai, i s /, множества А называется его локальным покрытием,
если любой элемент из А содержится в некотором At и любые два
множества At, Aj содержатся в некотором третьем множестве Аи-
С локальными покрытиями тесно связано следующее понятие
фильтра.
Пусть / — множество. Система F его непустых подмножеств
называется центрированной, если она замкнута относительно ко-
конечных пересечений: Zsf, Y^F=>X[]Y&F. Центриро-
Центрированная система F называется фильтром над /, если 'она вместе
с каждым своим множеством содержит все его надмножества:
X е. F, Y Z) X =Ф-У s F. Фильтр, не содержащийся ни в каком
большем, называется максимальным. Легко проверяется, что усло-
условие максимальности равносильно следующему: для каждого подмно-
подмножества из / либо оно само, либо его дополнение принадлежит F.
Очевидно, всякую центрированную систему можно дополнить до
фильтра (добавляя кАнеи надмножества всех ее множеств), а вся-

276 ДОПОЛНЕНИЕ
кий фильтр — до максимального (лемма Цорна). Заметим, кстати,
что до сих пор не известно ни одного максимального фильтра, по-
построенного без леммы Цорна, за исключением малоинтересного
фильтра, состоящего из всех надмножеств одной точки.
Пусть .Ai, { e /,— локальное покрытие множества А. Для
каждого а е / положим
/а= (Hie/, А{^Аа].
Легко видеть, что пересечение /а |~) 1^ содержит некоторое /v.
Поэтому система всех /о центрируема и, значит, существует мак-
максимальный фильтр F, содержащий эту систему. Если на каждом
Ai отмечен предикат Р{, то обозначим через Р — lim Pi предикат
на А, определяемый следующим правилом:
Р (х, у, . . .) = И на А 4Ф
<&{i | х, у, . . . е= Аг, Pi (х, у, . . .) = И на Ai} «= F.
Вообще говоря, сужение Р на Ai не обязано совпадать с P-v. Однако
если взять предикат, заданный на А, сузить его на каждое Ai и
затем перейти к пределу по фильтру F в указанном смысле, то, ко-
конечно, получится исходный предикат.
27.2. Язык исчисления предикатов. Алфавит языка ИП со-
состоит из предметных и предикатных переменных, скобок и следу-
следующих логических символов (первые четыре называются связками,
а последние два — кванторами):
А и
V или
| не
—» влечет
= равно
V для всякого
Э существует
Формулы ИП, не содержащие кванторов, относящихся к предика
там, называются формулами узкого исчисления предикатов (УИП)
Несмотря на бедность словаря, язык ИП весьма содержателен
Например, класс абелевых групп без кручения можно задать еле
дующими аксиомами ИП — даже аксиомами УИП — в обычной
сигнатуре •, , е теории групп:
1) ассоциативность: (yx)(yy)(yz)((xy) z = х (yz)),
2) определение единицы: (ух) (хе = х Д ех = х),
3) определение обратных элементов:
(ух) (х'1х = е А я* = «)•
4) коммутативность: (ух)(уу)(ху = ух),
5) отсутствие кручения:
(V*)(* = e VI (*•••* = «)). п = 1, 2,.

i 27] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ 277
Приведем еще несколько примеров. Бинарный предикат назы-
называется частичным порядком, если для него имеют место
6) рефлексивность: (ух)(х ^ х),
7) антисимметричность: (ух)(уу)(х <iy/\y^x->x— у),
8) транзитивность: (y*)(yy)(yz)(* ^кДКг-'К»),
и линейным порядком, если еще выполняется
9) линейность:_ (у*)(уу)(* < у V у < х).
Предикат <^, определенный на группе, называется устойчивым
относительно умножения, если
. 10)JV^)(yy)(yz)(i ^ у — xz < yz Д zi < z*/).
Группа называется упорядочиваемой, если на ней можно определить
линейный порядок, устойчивый относительно умножения. Группа
называется доупорядочиваемой, если любой ее частичный порядок,
устойчивый относительно умножения, можно продолжить до ли-
линейного порядка, устойчивого относительно умножения. Легко
понять, что классы упорядочиваемых и доупорядочиваемых групп
выделяются в классе всех групп следующими аксиомами ИП (но
уже не УИП):
11) упорядочиваемость:
(Р (х, х) Л (Р (х,у) Л Р <?,*)->* = V) Л
, и)АР (М - р (*, *)) Л (Р (*, »)УР(я, *))'Л
Д (Р (г, у) - Р (м, yz) Л Р («,
12) доупорядочиваемость:
(VP)((P-y. ч.п.)-
- CQ)((Q - у.л.п.) д <vb)(v»)(* («. ») - Q К »))))
В последней формуле ради] экономии места мы не выписываем яв-
явный вид аксиом устойчивого частичного порядка и аксиом устой-
устойчивого линейного порядка—они легко комбинируются из 6) — 10).
Напомним, что любую формулу ИП можно канонически пере-
переделать в равносильную ей предваренную формулу, в которой кван-
кванторы предшествуют всем другим логическим символам. Предварен
ная формула называется универсальной, если она совсем не содержит
кванторов Э, и предметно-универсальной, если она не содержит
кванторов 3, относящихся к предметным переменным. Формула ИП
называется квавиуниверсалъной, если она получается из пред-
предметно-универсальных формул без свободных предметных перемен-
переменных применением только связок с последующим навешиванием
кванторов V на свободные предикатные переменные (это опреде-
определение несколько отличается от первоначального определения
А. И. Мальцева A959) и было предложено Кливом (Cleave J. Р.—
J. London Math. Soc. A), 1969, 44, № 1, p. 121—130; Addendum.—
J. London Math. Soc.B), 1969, 1, № 2, p. 384), назвавшим такие
формулы булево-универсальными). Примером универсальных фор-
формул могут служить формулы 1) — 10). Формула 11) предметно-
универсальна, а формула 12) равносильна квазиуниверсальной
формуле, получающейся перенесением кванторных приставок из
области действия приставки CQ) непосредственно за CQ).

278 ДОПОЛНЕНИЕ
27.2.1. Упражнение. Простые группы выделяются в клас-
классе всех групп квазиуниверсальной аксиомой.
27.3. Локальные теоремы. Рассмотрим сначала предметно-уни-
предметно-универсальные формулы.
37.3.1. Теорема. Пусть Ф — предметно-универсальная
формула. Если Ф истинна на некоторой алгебраической системе,
то она истинна и на любой ее подсистеме. Если Ф истинна на под-
подсистемах А^, локально покрывающих алгебраическую систему А, то
Ф истинна и на А.
Доказательство. Чтобы избежать нудных «всеобщих»
обозначений, ограничимся случаем, когда сигнатура содержит один
символ бинарной операции и один символ S бинарного предиката.
а) Пусть А — алгебраическая система данной сигнатуры, удов-
удовлетворяющая предметно-универсальной аксиоме Ф, А' — подсис-
подсистема системы А, т. е. подмножество, замкнутое относительно опе-
операции с индуцированной операцией и индуцированным предикатом.
Покажем, что Ф истинна на А'. Предположим сначала, что Ф не
содержит кванторов. Тогда утверждение непосредственно следует
из определения истинности (напомним, что согласно определению
формула ИП тогда и только тогда истинна на алгебраической сис-
системе, если она истинна при любых значениях предметных и преди-
предикатных переменных, не связанных кванторами). Предположим
теперь, что Ф содержит кванторы, и проведем индукцию по их чис-
числу. В зависимости от того, какой квантор последний, возможны три
случая: 1) Ф = (У«) ?, 2) Ф = (П) ?, 3) Ф = (ЗГ) W, где t —
предметное, а Г — предикатное переменные. Доопределяя преди-
предикаты с Л' на всё А или, наоборот, сужая с А на А' и во всех трех
случаях применяя индуктивное предположение, мы получаем, что
Ф истинна на А'.
б) Пусть подсистемы Л{, i e /, локально покрывают алгебраи-
алгебраическую систему Л и удовлетворяют формуле Ф. Требуется доказать,
что Ф истинна на А. Пусть Ф содержит свободные предметные пе.
ременные х, у,... и свободные предикатные переменные Р, Q, .. ¦
Ф = Ф (х, у, . . ., Р, Q . . . ).
Пусть F — какой-нибудь максимальный фильтр над /, построен-
построенный по локальному покрытию Аи ie/, как указано в конце
п. 27.1. Отметим на каждом.^ предикаты Р{, Q;, . . . и положим
Ро = lim Pi, Qo = lim Q;, . . . Для доказательства теоремы дос-
достаточно установить, что при любых значениях х, у, ... из А
{i\x,y,...t=Ai,<S> (х, у, . . ., Ри Qit . . . ) = И на Аг) е= F =*¦
=>Ф(х, у, . . ., Ро, Qo, . . . ) = И на А. A)
Собираясь вести индукцию по числу кванторов, допустим сначала,
что Ф совсем их не содержит, и докажем, что тогда верно A) и об-
обратная импликация. Пусть A') обозначает объединение этих импли-
импликаций. Если формула Ф не содержит связок, то возможны три слу-
случая: 1) Ф = (и (х, y,...) = v(x,y,.. .)), 2) Ф = S (и, v), 3) Ф =
= Р (и, v, . . .), где и, v, . . . — произведения с некоторой расста-
расстановкой скобок. В первых двух случаях (Г) очевидно, а в третьем
случае вытекает из определения lim. Пусть теперь Ф по-прежнему
не содержит кванторов, но содержит связки. Так как V -* Q рав-

i 27) ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ 279
несильно ~~| W V О, то будем считать, что Ф содержит только связ-
связки Д, Vi ~1. и докажем A') индукцией по их числу. В зависимости
от того, какая связка последняя, возможны три случая: 4) Ф =
= V /\Q, 5) O=W\fQ, 6) Ф= —\У. В каждом из них A') легко
вытекает из индуктивного предположения и определения фильтра F.
Предположим, наконец, что Ф содержит кванторы, и докажем
утверждение A) индукцией по их числу. В зависимости от того,
какой квантор последний, возможны три случая: 7) Ф = {^tf?,
8) Ф = (V71) W, 9), Ф = (ЗГ)Ч', где t — предметное, а Т — пре-
предикатное переменные. Разберем случай 7). Придадим t произвольное
значение на А. Надо показать, что 4F (t, х, у, . . ., Ро, Qo, ...) = И
на А. В силу индуктивного предположения для этого достаточно
проверить, что множество
{i | t, х, у, . . . е= Аи Ч (t, х,у,.. ., Piy Qu . . .) = И на At)
принадлежит Р. Но это множество содержит пересечение множества
{...} из A) с множеством {i \ t <= Л4}, поэтому всё доказано. Теперь
разберем случай 8). Пусть То — произвольный предикат на А,
Т{ — его сужение на .Ai. Как отмечалось в конце п. 27.1, То =
= lim 7\. Надо показать, что
V (х, у, . . ., То, р0, Qo, . . .) = И на А.
В силу индуктивного предположения достаточно проверить, что
множество
{iU,S,...e4? (х, у, . . ., 7\, Р4, Qi, ...) = И на 4i}
принадлежит F. Но это множество содержит {...} из A), поэтому все
доказано. Разберем последний случай 9). Пусть посылка в A) вы-
выполнена. Тогда на каждой системе А{ существует такой предикат
Г{, что множество
{i | х, у, . . . 6= Аи ? (х, у, . . ., Ть Ри Qi, ¦¦¦) = И на А()
принадлежит F. Пусть Тп = lim 7\. В силу индуктивного предпо-
предположения W (х, у, . . ., То, Р„, Qo, ...) = И на А. Но это означает,
что выполнено заключение в A). Теорема доказана.
В качестве иллюстрации к этой теореме отметим справедливость
локальной теоремы для класса упорядочиваемых групп — доста-
достаточно учесть, что этот класс определяется предметно-универсальной
аксиомой 11) из п. 27.2.
27.3.2. Упражнение. Если в группе G каждая конечно
порожденная подгруппа содержит абелеву нормальную подгруппу
конечного индекса ^га, то и вся G содержит абелеву нормальную под-
подгруппу индекса ^л.
Рассмотрим теперь произвольные квазиуниверсальные фор-
формулы.
27.3.3. Теорема (А. И. Мальцев). Если квазиуниверсальная
формула Ф истинна на подсистемах Аи локально покрывающих
алгебраическую систему А, то Ф истинна и на А.
Доказательство. Согласно определению квазиуни-
версальнон формулы
Ф=

280 ДОПОЛНЕНИЕ
где Ф' составлена при помощи связок Д, \Д ~~1> —•из предметноуни-
версальных формул без свободных предметных переменных, но со
свободными предикатными переменными из списка Р±, . . ., Рп.
Допустим, что Ф истинна на каждом А^ и докажем, что Ф истинна
на А. Придадим предикатным переменным Р±, . . ., Рп какие-ни-
какие-нибудь значения на А. Надо показать, что Ф' истинна на А при такой
интерпретации Р+, . . ., Рп, причем известно, что Ф' истинна на
каждом Ai при индуцированных значениях Ри . . ., Рп. Другими
словами, надо доказать теорему для формулы Ф', когда Рх, . . ., Рп
считаются сигнатурными предикатами. Из начального курса логики
известно, что Ф' можно привести к равносильному виду Ф = Д ФО)
Фо = V Фар, где Фар — предметно-универсальная формула, занры-
тая по предметным переменным, или отрицание такой формулы.
Ясно, что если для всех Фо теорема верна, то" она верна и для Ф'.
Все это позволяет ограничиться рассмотрением следующих случаев:
1) Ф = Tj V • ¦ • V Тг,
2) Ф = П RiV • • • V 1 й8,
3) Ф = Tf V • • • V Тг V И й! V • • • V И Gs,
где *РО, Qp — предметно-универсальные формулы, закрытые по
предметный переменным, г, s > 1.
Разберем только случай 3). Пусть Ф истинна на каждой Л{, но
ложна на А. Тогда все ?а ложны на А, все Qp истинны на Л. По
второй части теоремы 27.3.1 каждая ?а ложна на некотором Ai(ay
Пусть Ai содержит все Ai(^ay По первой части теоремы 27.3.1 каждая
?а ложна на Л{, каждая Qp истинна на А^ Значит, Ф ложна на Л{,
что противоречит условию. Случаи 1), 2) разбираются аналогично
с очевидными упрощениями. Теорема доказана.
В качестве иллюстрации к ней отметим справедливость локаль-
локальной теоремы для класса доупорядочиваемых групп и класса про-
простых групп — см. формулу 12) в п. 27.2 и упражнение 27.2.1.
§ 28. О целых алгебраических числах
Мы предполагаем здесь, что начальные сведения и терминоло-
терминология теории полей известны читателю из общего курса алгебры.
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля Q рациональных
чисел. Элементы из Q называются алгебраическими числами. Эле-
Элемент из Q называется целым алгебраическим числом, если он яв-
является корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим
коэффициентом 1.
Пусть к — произвольное поле алгебраических чисел, имеющее
конечную степень (т. е. размерность как векторное пространство)
над полем Q, к0 — множество всех целых алгебраических чисел из А;.
28.1.1. Упражнение. Для всякого а е к существует
такое т e'Z, что та е к0."
28.1.2. Упражнение. Qo = Z.
28.1.3. Л е м м~а.' к0 — подколъцо в к.

i 28] О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 281
Доказательство. Пусть а, E е к0, у — произволь-
произвольный из элементов а ± Р, оф. Надо показать, что у е к0.
Пусть
(-1 т-1
Легко понять, что совокупность о всевозможных элементов вида
(—1 т—1
i=0 3=0
является подкольцом в к. Пусть ylt . . ., yt — база аддитивной
группы о и yr7 = 2j ^rs'Vs' ^rs e ^' Характеристический много"
s
член матрицы (drs) обращается в нуль в точке у, поэтому у f— целое
алгебраическое число. Лемма доказана.
Очевидно, для всякого а е А; сдвиг х к»- жа, г <= к, является
линейным преобразованием пространства к над полем Q. Пусть
^ — характеристический многочлен этого преобразования, tr a —
его след. Более общо, если К — подполе из С, L — его расширение
конечной степени, то для всякого а е L преобразование х i-> xa,
х е L, линейно над К и его след обозначается через trL/i? (а) (он
принадлежит, конечно, полю К).
28.1.4. Лемма. Если а <= к0, то у^ — многочлен над Z.
Доказательство. Пусть и — степень к над Q. Зафик-
Зафиксируем какую-нибудь базу к над Q и сопоставим каждому у <= к
матрицу у сдвига х к»- ху в этой базе. Очевидно, получится изо-
изоморфное вложение к —» Мп (Q). Так как а — корень уравнения над
Z со старшим коэффициентом 1, то таковы и характеристические
корни матрицы а. Ввиду 28.1.3 коэффициенты многочлена ха —
целые алгебраические числа. Ввиду 28.1.2 они лежат в Z. Лемма
доказана.
28.1.5. Лемма. Пусть щ, . . ., шп — база к над Q. Матри-
Матрица (tr (tOjG);)) невырождена. Существует база {(О*} поля к над Q,
двойственная к {<0j}, т. е. с условием^
tr (снсо!) = Ь
ц.
Доказательство, а) Пусть, напротив, между столб-
столбцами матрицы (tr (оно);)) существует нетривиальная зависимость
с коэффициентами Oj e Q. Тогда
ш = ^ajaj ф 0, tr (оно)) = 0 для всех 1 < i ^ п.
Так как {ац<о} — тоже база k над Q, то 1 =2 Pi03!ш ПРИ подходя-
подходящих Pj s Q" Вычисляя след от обеих частей, получим п = 0, что
неверно.

282 ДОПОЛНЕНИЕ
б) Ищем ш* в виде
Условие tr^iCD*) = &ij превращается в систему линейных уравне-
уравнений для |д, . . ., |уп. Ввиду а) она разрешима. Лемма доказана.
28.1.6. Теорема. Аддитивная группа кольца к0 конечно
порождена.
Доказательство. Пусть (nlt . . ., ш„ — база к над Q.
Ввиду 28.1.1 можно считать, что все щ eig. Пусть {ю^} —
двойственная база. Ввиду 28.1.1 существует такое т s Z> что
все та* е к0. Пусть 7 — произвольный элемент из к0,
у = 3*«Ч, Vi e Q.
Умножая это равенство на та*, и беря от обеих частей след, получим
myj = tr (myaif). Так как my®j е к0, то тоуу е Z. (лемма 28.1.4).
Мы видим, что аддитивная группа кольца к0 лежит в группе с порож-
порождающими-^— (оЛ, а потому сама конечно порождена (см. 8.1.7). Тео-
Теорема доказана.
28.1.7J Лемма. Пусть К — подполе в С- Для всякого расши-
расширения LlК степени d существует точно d изоморфизмов L в С, тож-
тождественных на К. Если Qj, . . ., ад — эти изоморфизмы, то
iTL/K (а) = otffl + .. •+ aCTd для каждого ael. A)
Если {o>i} — база L/K, то
det (trL/K (щ<0))) = det (vai)*. B)
Доказательство, а) Докажем сначала первое утверж-
утверждение. Пусть a t= L, f — минимальный многочлен элемента а над
полем К, at, . . ., am — корни / в С. Очевидно, существует взаимно
однозначное соответствие между изоморфизмами К(а)/К —»С и
отображениями a —> оц. По теореме о примитивном элементе (см.
[6], стр. 165) L = К (а) при подходящем а, поэтому всё доказано.
Можно обойтись и без теоремы о примитивном элементе —
достаточно представить L в виде К (yi). . . (ys) и заметить, что
каждый изоморфизм К (yt). . . (у^/К —• С имеет по предыдуще-
предыдущему точно | К (Vi). • -(Yi+i) : К (у{). . .(у,) \ продолжений на
K{yt)- ¦ ¦ (Yi+i).
б) Теперь докажем A). Если/, = К (а), то минимальный мно-
многочлен элемента а над К имеет степень | L : К |, а потому совпада-
совпадает с характеристическим многочленом преобразования xi->- za век-
векторного пространства X над полем К.
По предыдущему а01, . . ., a d — в точности все его корни,
откуда и следует A). Общий случай сводится к рассмотренному

§ 28] О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 283
с помощью формулы
trL/*(a) = \L:K(a) |trK(a)/jr (a).
Докажем ее. Пусть {ш;} — база L/K(a), {б;} — база К(а)/К. Тог-
Тогда {&нб7-} — база L/K и в ней матрица преобразования х >->- ха
имеет клеточно-диагональный вид, причем по диагонали повторя-
повторяется матрица этого преобразования в базе {6^}.
в) Докажем, наконец, B). Ввиду A)
а
поэтому матрица, составленная из левых частей этого равенства, есть
произведение матрицы (ш") на ее транспонированную. Отсюда и вы-
вытекает B). Лемма доказана.
Для всякого изоморфизма q>: L >-»- С существует сопряженный
изоморфизм ф: xt->- я45, х е L, где черта над яф обозначает взятие
комплексно-сопряженного числа. Если ф = ф, то изоморфизм <р
называется действительным, в противном случае — комплекс-
комплексным.
Вернемся к полю к. Пусть п = | А; : Q I, s — число действитель-
действительных, а It — число комплексных изоморфизмов к -* С, п = s +
+ 2t. Пусть щ, . . ., as — действительные, а as+j, as+1, . . .
• • -i °s+U 5s+( — комплексные изоморфизмы.
Рассмотрим n-мерное евклидово пространство Кп и отображе-
отображение а: к -* О?71, определенное формулой
*" = (ха\ . . ., х\ Re (*°s+*), Im (/s+1), . . .
.... Re (*°s+'), Im (/8+')), x e k,
где Re, Im — обозначения действительной и мнимой частей.
28.1.8. Упражнение. Отображение а есть изоморфное
вложение аддитивной группы к в аддитивную группу IR".
Пусть теперь к*, к*— мультипликативные группы поля к и
кольца к0. Определим отображение г: к* —» Rs+(, полагая
хх = (In | xai\, . . ., In | x°s+t |), x e= k*.
28.1.9. Упражнение. Отображение г — гомоморфизм груп-
группы к* в аддитивную группу Rs+(.
28.1.10. Лемма. Множество к% дискретно в О?71, т. е. имеет
лишь конечное пересечение с любым шаром из 0?п. Множество (к*)х
дискретно в Rs+t.
Доказательство. Пусть %, . . ., (о„ — база аддитив-
аддитивной группы кольца /с0. Так как det (tr (a>iCOy)) ф 0 (лемма 28.1.5),
то строки

284 ДОПОЛНЕНИЕ
линейно независимы над R (лемма 28.1.7), а потому и строки а>°,. . .
. . ., м? линейно независимы над R, т. е. составляют базу евклидова
пространства IRn. Возьмем в R71 биортогональную базу {е}}, т. е.
базу с'условиэм
(а% ej) = 6{J,
где круглые скобки обозначают скалярное произведение в IR™.
Пусть
х <= /с„, . * = J Z
Очевидно, ж" = 2j<4<»" и ввиду неравенства Копта — Буняковского
!*Л = 1(*",ч)|< 1^11 -IM-
Если ха принадлежит некоторому шару в О?71, то для целых чисел xj
имеем лишь конечное число возможностей, откуда следует первое
утверждение леммы. Если же х е к* и хх принадлежит шару || z \ •<
< г в Rs+f, то ха принадлежит шару радиуса ег 1^п"в R71. Лемма до-
казана.
28.1.11. Упражнение. Ядром' сужения т на /с* является
совокупность всех корней из единицы, содержащихся в поле к. Это
конечная циклическая группа.
Указание: если хх = 0, то | ха \\ <С У~п-
28.1.12. Теорема. Мультипликативная группа кольца /с0
конечно порождена.
Доказательство. Ввиду 28.1.11 достаточно убедиться,
что аддитивная группа А = (к*)х конечно порождена, что мы и
сделаем. Пусть а^, . . ., ат — максимальная линейно независимая
над R подсистема из А,
А' = {2«i<4 I а{е= 1\, А"= {^«{«ц |0 < aj < 1}.
Очевидно, для всякого х е А существует запись
* = *' + *", ж' е Л', *'«= Л".
Так как «s4,i'e4,№Hi's4.Ho множество Л" ограничено
в Rs+f, поэтому пересечение Л Г) Л" конечно (лемма 28.1.10). Сле-
Следовательно, индекс q = IЛ : Л' I конечен. Так как qA С Л', то Л
1 1
содержится в аддитивной группе с порождающими — av ..., — ат.
Ввиду 8.1.7 группа Л конечно порождена. Теорема доказана.
Отметим, что ив приведенного'доказательства вытекает, что
число свободныхтпорождающих группы Л не""превосходит s -\- t.
Более тонкими^ рассуждениями можно! показать, что оно равно
s + t —1 и, значит, к0 — прямое произведение конечной цикличе-
циклической группы и s -j- t — 1 бесконечных циклических групп (теорема
Дирихле).

ЛИТЕРАТУРА
1. Автоморфизмы классических групп: Сб. перев. с англ. и
франц.— М.: Мир, 1976.
2. Ад ян СИ. Проблема Бернсайда и тождества в группах.—
М.: Наука, 1975.
3. Белоногов В. А., Ф о м и н А. Н. Матричные пред-
представления в теории конечных групп.— М.: Наука, 1976.
4. Биркгоф Г. Теория структур.—М.: ИЛ, 1952.
5. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные рас-
расщепляемые группы.— М.: Наука, 1968.
6. ван дер В а р д е н Б. Л. Алгебра.— 2-е изд.—М.: Наука,
1979.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел.— 9-е изд.—
М.: Наука, 1981.
8. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами со-
сопряженных элементов.— М.: Наука, 1978.
9. Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами:
Сб. перев. с англ.— М.: Мир, 1980.
10. К о к о р и н А. И., К о п ы т о в В. М. Линейно упоря-
упорядоченные группы.— М.: Наука, 1972.
11. К о к с е т е р Г. С. М., М о з е р У. О. Дж. Порождающие
элементы и определяющие соотношения дискретных групп.— М.:
Наука, 1980.
12. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Нау-
Наука, 1977.
13. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп.—
7-е изд.— Новосибирск, 1980.
14. К у р о ш А. Г. Теория групп.— 3-е изд.— М.: Нау-
Наука, 1967.
15. К у р о ш А. Г., Ч е р н и к о в С. Н. Разрешимые и ниль-
потентные группы.— УМН, 1947, 2, № 3, с. 18—59.
16. Л и н д о н Р., Ш у п п П. Комбинаторная теория
групп.— М.: Мир, 1980.
17. М а г н у с В., К а р р а с А., С о л и т э р Д. Комбина-
Комбинаторная теория групп.— М.: Наука, 1974.
18. Мазуров В. Д. Конечные группы.— В сб.: Итоги нау-
науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 14.— М., 1976,
с. 5—56.
19. Мальцев А. И. Избранные труды, т. I: Классическая
алгебра.— М.: Наука, 1976.
-*20. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы.— М.^На-
М.^Наука, 1980.
21. Нейман X. Многообразия групп.—М.: Мир, 1969.
22. Овсянников Л- В. Аналитические группы.— Ново-
Новосибирск, 1972.

286 ЛИТЕРАТУРА
23. О'М и р а О. Т. Лекции о симплектических группах.— М.:
Мир, 1979.
24. ПонтрягинЛ.С. Непрерывные группы.— 3-е изд.—
М.: Наука, 1973.
25. Разрешимые и простые бесконечные группы: Сб. перев.
с англ. и нем.— М.: Мир, 1981.
26. СудзукиМ. Строение группы и строение структуры ее
подгрупп.— М.: ИЛ, 1960.
27. С у п р у в е н к о Д. А. Группы матриц.—М.: Нау-
Наука, 1972.
28. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы.— М.: Мир, 1974,
ч. 1, 1977, ч. 2.
29. Холл М. Теория групп.—М.: ИЛ, 1962.
30. Холл Ф. Нильпотентные группы.— Математика (сб.пе-
(сб.перев.), 1968, 12, № 1, с. 3-36.
31. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами си-
системы подгрупп.—М.: Наука, 1980.
32. ЧунихинС. А. Подгруппы конечных групп.— Минск,
1964.
33. Шеметков Л. А. Формации конечных групп.—М.:
Наука, 1978.
34. Шмидт О. Ю. Абстрактная теория групп.— В кн.:
О. Ю. Шмидт. Избранные труды. Математика, М.: Изд-во АН СССР,
1959, с. 17—175.
35. Aschbacher M. The finite simple groups and their
classification.— Yale University Press, 1980. [Русский перевод:
УМН, 1981, 36, № 2, с. 141—172.]
36. F e i t W., ThompsonJ.G. Solvability of groups of
odd order.— Pacif. J. Math., 1963, 13, № 3, p. 775—1029.
37. Gruenberg K.W. Cohomological topics in group theo-
theory.— Berlin, 1970.
38. H u p p e г t B. Endliche Gruppen, I.— Berlin, 1967; Hup-
pert В., Blackburn N. Finitegroups, II, III.—Berlin, 1981.
39. К argapolov M.I. Some questions in the theory of
soluble groups.— Lecture Notes Math., 1974, 372, p. 389—394.
40. KegelO.H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite
groups.—Amsterdam; London, 1973.
41. О'Меага О. Т., Lectures on linear groups.— Providence,
1974.
42. Puttaswamaiah B. M., D ixon J. D. Modular rep-
representations of finite groups.— N. Y., 1977.
43. Robinson D. J.S. A new treatment of soluble groups
with finiteness conditions on their abelian subgroups.— Bull. London
Math. Soc, 1976, 8, № 2, p. 113—129. [Русский перевод: УМН,
1979, 34, № 1, 197-215.]
44. Three lectures on polycyclic groups.— London: Queen Mary
College Math. Notes, 1973.
45. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups.—Ber-
groups.—Berlin, 1973.
46. W i e 1 a n d t H. Finite permutation groups.— N.|Y., 1964.
47. Wussing H. Die Genesis der ahstrakten Gruppenbe»
griffes.— Berlip, 196.9,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 59
— внешний 60
— внутренний 60
Алгебра 15, 267
— Ли 267
— нилыготентная 268
— обертывающая 268
— присоединенная 268
Аппроксимируемость 59
— финитная 59
Ассоциативность 16, 267
База 73, 76
— мальцевсная 159
Блок 111
Вес коммутатора 135
Вложение Фробениуса 75
Высота элемента 93
Гибкость 220, 223
Гиперцентр 144
Голоморф 70
Гомоморфизм 44
— естественный 46
Группа 16
— абелева 18
— аддитивная 19
— активная 73
— без центра 37
— вполне приводимая 185
— делимая 86
— диагональная 21
— доупорядочиваемая 277
— знакопеременная 24, 117
— инъективная 90
— квазициклическая 20
— коммутативная 18
— конечно определенная 125
— — порожденная 24
— локально конечная 32, 214
— — тп-порожденная 29
нильпотентная 169
нормальная 53
— — циклическая 29
— мультипликативная 20
— ш-порожденная 24
— нильпотентиая 144
— общая линейная 20
— ортогональная 24
— пассивная 73
— периодическая 18, 214
— полициклическая 55
— полная 86
— приводимая 185
— примарная 18
— проективная 90
Группа проективная специальная
линейная 118
— простая 33
— разрешимая 177
— сверхразрешимая 179
— свободная 124
— — в классе 76
— симметрическая 20
— смешанная 18
— совершенная 67
— специальная линейная 21
— треугольная 21
— триангулируемая 193
— унитарная 24
— унитреугольная 21
— упорядочиваемая 206, 277
— черниковская 233
— Шмидта 32
— экстремальная 234
— элементарная абелева 66
— энгелева 173, 174
Действие 98
Деформация 260
— предельная 262
Дробь р-ичная 19
2-сигнали8атор 121
Единица 16
Зависимость линейная 79
Изоморфизм 15, 16, 57, 111, 275
Индекс 30
Исчисление предикатов 276
Квантор 276
Класс смежный 30
— сопряженных элементов 34
Ковер идеалов 145
Код генетический 125
Кольцо групповое 109
Коммутант 38
Коммутатор 38, 267
— простой 135
Компонента 22
— примарная 91
Конгруэнтность 46
Конгруэнц-подгруппа 50, 146
Координаты 159
Логарифм 137
Локально 210
Матрешка 55
— нормальная 55
— полициклическая 55
— разрешимая 177, 204

288
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Матрешка субнормальная 55, 204
— трансфинитно возрастающая 77
— центральная 204
Метод перечисления смежных нлас-
сов 126
— расщепляемых координат 164
Многообразие 137
Множество порождающее 24
— шрайерово 133
Нильалгебра 270
Нормализатор 34
iV-rpynna 205
N-группа 205
Операторы 67
Операция алгебраическая 15, 275
Орбита 99, 223
Отображение полиномиальное 159
Период 17, 18
Подгруппа 23
— вербальная 138
— допустимая 64
— истинная 23
— картерова 183
— ковровая 146
— максимальная 27
— нормальная 32
— сервантная 93
— силовская 98
— собственная 23
— субнормальная 55
— Фраттини 27
— холлова 181
Подобие 111
Покрытие локальное 209, 275
Полугруппа 43
Пополнение 165
Порядок 17, 18
Почти 158
Предикат 275
Представление 185
— мономиальное 110
Преобразование элементарное 26,
83
Примитивность 1 ii j
Проекция 22
Произведение декартово 21
— поддекартово 54
— подпряыое 53
— полупрямое 70
— прямое 22, 52
р-группа 18
Размерность 80
— полициклическая 58
Ранг 29
Расширение 55, 70
— расщепляемое 70
Ряд коммутантов 39
— центральный верхний 145
нижний 135, 145
Д1-группа 205
Д1*-группа 205
Д/-группа 205
BN-rpyrma 205
BN*-rpynna 205
BN-rpynna 205
Связка 276
Секция 55
Сигнатура 275
Система алгебраическая 275
— центрированная 275
Слово 123
— сократимое 123
Смежность 30
Соотношение 125
Сопряженность 32, 64
Сплетение 73, 110
— декартово 73
— пряное 73
— стандартное НО
Степень 17, 65
— свободы 76, 124, 139
Ступень нильпотентности 144, 268
— разрешимости 177
Теорема локальная 210
Тождество 138
Транзитивность 110
Трансвекция 26
Уплотнение матрёшки 57, 204
Условие максимальности 232
— минимальности 232
— нормализаторное 171
Фактор-группа 46
Фильтр 275
Формула квазиуниверсальная 277
— предметно-универсальная 277
— универсальная 2*7
Центр 37
Централ 135, 144
Централизатор 36
Z-rpyrma 205
Z-группа 205
ZA-группа 205
ZD-группа 205
Частное 16
Часть периодическая 90, 150
Число алгебраическое 198, 280
— р-адическое 62
Элемент непорождающий 27
— обратный 16
— периодический 150
Эндоморфизм 59
Ядро гомоморфизма 45