М. И. КАРГАГЮЛОВ, Ю. И. МЕРЗЛЯКОВ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ГРУПП
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
;ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

517.1
К 21
УДК 519.4
Основы теории групп. Каргаполов М. И.,
Мерзляков Ю.И. Изд. 2-е, Главная редакция
физико-математической литературы издательства
«Наука», М., 1977, 240 стр.
Книга посвящена изложению основ теории групп —
одного из важнейших разделов современной
алгебры. Помимо традиционного материала,
относящегося к собственно основам теории групп, излагаются
некоторые последние достижения в этой области, еще
не получившие отражения в монографической
литературе. Большое внимание уделяется примерам и
упражнениям, разъясняющим основные понятия и
результаты. Книга рассчитана на научных работников,
аспирантов и студентов старших курсов университетов и
пединститутов.
Табл. 3, илл. 3, библ. 40.
», 20203—090 по *п © Главная редакция
Ь . 00-7/ • физико-математической литературы
053(02)-77 издательства «Наука», 1977, с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Из предисловия к первому изданию 5
Введение 7
Глава 1. Определение и важнейшие части группы ... 13
§ 1. Определение группы 13
1.1. Аксиоматика. Изоморфизм (13). 1.2. Примеры (15).
§ 2. Подгруппы. Нормальные подгруппы 20
2.1. Подгруппы (20). ,2.2. Порождающие множества
(22). 2.3 Циклические подгруппы (26). 2.4. Смежные
классы (27). 2.5. Классы сопряженных элементов (29).
§ 3. Центр. Коммутант 33
3.1. Центр (33). 3.2. Коммутант (35).
Глава 2. Гомоморфизмы 41
§ 4. Гомоморфизмы и факторы 41
4.1. Определения (41). 4.2. Теоремы о гомоморфизмах
(44). 4.3. Поддекартовы произведения (47). 4.4.
Субнормальные ряды (51).
§ 5. Эндоморфизмы. Автоморфизмы 55
5.1. Определения (55). 5.2. Допустимые подгруппы
(50). 5.3. Совершенные группы (62).
§ 6. Расширения посредством автоморфизмов .... 65
6.1. Голоморф (65). 6.2. Сплетения (68).
Глава 3. Абелевы группы 71
§ 7. Свободные абелевы группы. Ранг 71
7.1. Свободные абелевы группы (71). 7.2. Ранг абеле-
вой группы (74).
§ 8. Конечно порожденные абелевы группы 76
§ 9. Полные абелевы группы 79
§10. Периодические абелевы группы 83
Глава 4. Конечные группы 89
§11. Силовские р-подгруппы 89
11.1. Теорема Силова (89). 11.2. Применение к
группам порядка pq (92). 11.3. Примеры силовских р-под-
групп (93)
§ 12. Простые конечные группы 96
12.1. Знакопеременные группы (97). 12.2.
Проективные специальные линейные группы (100).
§ 13. Группы подстановок 106
13.1". Регулярное представление (107). 13.2.
Представления подстановками смежных классов (109). 13.3.
Транзитивность._Примитивность (112).

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Свободные группы и многообразия 116
§ 14. Свободные группы 116
14.1. Определение (116). 14.2. Матричное
представление (120).14.3. Подгруппы (123). 14.4. Ряды централов и
коммутантов (126).
§ 15. Многообразия 129
15.1. Тождества и многообразия (129). 15.2. Другой
подход к многообразиям (133).
Глава 6. Нильпотентные группы 135
§ 16. Общие свойства и примеры 136
16.1. Определение (136). 16.2. Общие свойства (140).
16.3. Нильпотентные группы автоморфизмов (144).
§ 17. Важнейшие подклассы 146
17.1. Конечные нильпотентные группы (146). 17.2.
Конечно порожденные нильпотентные группы (150). 17.3.
Нильпотентные группы без кручения (157).
§ 18. Обобщения нильпотентности 161
18.1. Локальная нильпотентность (161). 18.2. Нормали-
заторное условие (163). 18.3. Энгелевость (165).
Глава 7. Разрешимые группы 168
§ 19. Общие свойства и примеры 168
19.1. Определения (168). 19.2. Разрешимые группы с
условием максимальности (170). 19.3. Разрешимые
группы с условием минимальности (172).
§ 20. Конечные разрешимые группы 174
20.1. Холловы и картеровы подгруппы (174). 20.2. О
полной приводимости представлений (178). 20.3.
Критерий сверхразрешимости (184).
§ 21. Разрешимые группы матриц 187
21.1. Почти триангулируемость (187). 21.2.
Полицикличность разрешимых групп из GLn (Z) (192). 21.3.
Вложение голоморфов полициклических групп в (?Jbn (Z)
(194).
§ 22. Обобщения разрешимости 1С8
22.1. Классы Куроша — Черникова (198). 22.2. Примеры
(200).22.3. Локальная теорема (204).
Дополнение. Вспомогательные сведения пз алгебры,
логики и теории чисел 209
§ 23. О нильпотентных алгебрах 209
23.1. Нильпотентность ассоциативных и лиевых алгебр
(209).23.2. Ненильпотентные нильалгебры (213).
§ 24. Локальные теоремы логики 218
24.1. Алгебраические системы (218). 24.2. Язык
исчисления предикатов (219). 24.3. Локальные теэремы (221).
§ 25. О v^ целых алгебраических числах 225
Литература 230
Предметный указатель 232
Указатель обозначении «классических» ' объектов 239

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание отличается от предыдущего
отдельными изменениями в разных местах книги. Больше
внимания уделено, в частности, полициклическим и локально
полициклическим группам — самым естественным
обобщениям классического понятия конечной разрешимой
группы.
Мы благодарны Ю.М.Горчакову, В. А. Чуркину и
В. П. Шункову за ряд полезных замечаний.
Авторы
Новосибирск, Академгородок,
14 января 1976 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга — записки лекций по теории групп,
читанных авторами в Новосибирском университете в 1968—
1970 гг. Мы хотели изложить именно основы, не вдаваясь
в детали и обходя трясину обобщений. Надеемся, что
студент, желающий заниматься теорией групп и
познакомившийся по этим запискам с ее основами, сможет быстро
перейти к чтению специальной литературы по избранному
вопросу.
Мы старались не переступать границу между
абстрактной и схоластической теорией групп, по возможности
поясняя высокие понятия простыми примерами. Четыре
типа примеров сопровождают изложение: числа по
сложению, числа по умножению, подстановки и матрицы. Для

6 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
понимания основного текста достаточно знания общего
курса алгебры, в примерах иногда используются более
специальные сведения. Примеры и упражнения частично
используются в основном тексте, поэтому их
формулировки не следует пропускать при чтении, а решение
откладывать слишком надолго.
В нескольких местах отмечены нерешенные вопросы.
Достаточно полное собрание таких вопросов, отражающее
интересы широкого круга специалистов по теории групп,
можно найти в последнем издании «Коуровской тетради».
Новосибирск, Академгородок,
3 февраля 1971 г.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
Почему квадрат кажется нам симметричной фигурой,
круг — еще более симметричной, а цифра 4 совсем
несимметричной? Чтобы ответить на этот вопрос,
рассмотрим движения, совмещающие фигуру с нею самой. Легко
понять, что таких движений для квадрата существует
восемь, для круга — бесконечно много, а для цифры 4 лишь
одно — тождественное, которое оставляет каждую
точку фигуры на месте. Множество G различных движений,
самосовмещающих данную фигуру, и служит
характеристикой большей или меньшей ее симметричности: чем
больше б?, тем симметричнее фигура. Определим на множестве G
композицию, т. е. действие над его элементами, по
следующему правилу: если х, у — два движения из G, то
результатом их композиции (иногда говорят «произведением»)
называется движение ху, равносильное последовательному
выполнению сначала движения х, а затем движения у.
Например, если х, у — отражения квадрата относительно
диагоналей, то х-у — его поворот около центра на 180°.
Очевидно, композиция на G обладает следующими
свойствами: 1) (ху) z — х (yz) для любых элементов х, г/, z из G,
2) в G существует такой элемент е, что хе = ех = х для
любого х из G, 3) для любого х из G существует в G такой
элемент х"1, что хх'1 = х~хх = е. Действительно, в
качестве е можно взять тождественное движение, а в
качестве х~х — движение, обратное к х, т. е. возвращающее
каждую точку фигуры из нового положения в старое.
Отвлечемся теперь от нашего примера и рассмотрим
произвольное множество G, на котором задана
композиция, т. е. для любых двух элементов х, у из G определен
элемент ху снова из G. Если при этом выполняются условия
1, 2, 3, то множество G с заданной на нем композицией
называется группой. Группы — один из основных типов
алгебраических систем, а теория групп — один из
основных разделов современной алгебры.
Понадобилась работа нескольких поколений
математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде

8
ВВЕДЕНИЕ
чем идея группы выкристаллизовалась с ее сегодняшней\
ясностью. От Лагранжа, стихийно применявшего группы
подстановок для решения алгебраических уравнений в
радикалах (1771), через работы Руффини (1799) и Абеля;
(1824) к Эваристу Галуа, в работах которого (1830) уже
достаточно сознательно используется идея группы (им же
впервые введен и сам термин),— вот путь, по которому
развивалась эта идея в рамках теории алгебраических
уравнений. Независимо и по другим причинам она
возникла в геометрии, когда в середине XIX в. на смену
единой античной геометрии пришли многочисленные
«геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и
родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской
программой» Клейна (1872), положившей в основу
классификации геометрий понятие группы преобразований. Третий
источник понятия группы —- теория чисел. Отметим здесь
работу Эйлера о вычетах, остающихся при делении
степеней (1761), и работу Гаусса о композиции двоичных
квадратичных форм (1801).
Осознание в конце XIX в. принципиального единства
теоретико-групповых идей, существовавших к тому
времени независимо в разных областях математики, привело
к выработке современного абстрактного понятия группы
(Кэли, Фробениус, ван Дик и др.). Это был один из самых
ранних примеров абстрактной алгебраической системы.
Он послужил во многих отношениях образцом при
перестройке других областей алгебры и всей математики на
рубеже XX в. — их путь уже не был столь извилистым и
трудным. Изучение групп без предположения конечности и без
каких бы то ни было предположений о природе элементов
впервые оформилось в самостоятельную область
математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория
групп» (1916).
В настоящее время теория групп является одной
из самых развитых областей алгебры, имеющей
многочисленные применения как в самой математике, так
и за ее пределами — в топологии, теории функций,
кристаллографии, квантовой механике и других областях
математики и естествознания. Конечной целью собственно
теории групп является описание всех групповых композиций.
Приведем несколько примеров применения групп в
алгебре, в математике вооГще и в естествознании.

ВВЕДЕНИЕ
9
1. Группы Галуа. Содержанием классической
теории Галуа является применение теории групп к
изучению полей в следующем духе. Пусть К — конечное, се-
парабельное и нормальное расширение поля к.
Автоморфизмы поля К, оставляющие элементы подполя к
неподвижными, образуют группу G относительно их
последовательного выполнения. Она называется группой Галуа
расширения К/к. Основная теорема теории Галуа утверждает,
х1То, сопоставляя каждой подгруппе // <; G ее
неподвижное подполе Кн = {х | х ЕЕ К, xh = х для всех h ЕЕ Щ,
мы получим антиизоморфное отображение решетки
подгрупп группы G на решетку промежуточных подполей,
заключенных между к ж К. Расширение Кн/к тогда и только
тогда будет снова конечным, сепарабельным и нормальным,
когда подгруппа Н нормальна в G, причем в этом случае
сужение автоморфизмов из G на Ки будет гомоморфизмом
группы G на группу Галуа расширения Кн/к с ядром Н.
Приложение к вопросу о разрешимости уравнений
в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть
/ — многочлен от X над полем к, К — поле разложения /.
Пусть G — группа Галуа расширения К/к. Она
называется группой Галуа многочлена / над полем к (ее элементы
естественным образом изображаются подстановками
корней уравнения/ (X) = 0). Оказывается, уравнение/ (Х) =
= 0 тогда и только тогда решается в радикалах, когда
группа Галуа многочлена / полициклическая..
Аналогом теории Галуа является теория Пикара —
Вессио, изучающая средствами теории групп расширения
дифференциальных колец и решающая, в частности,
вопрос о разрешимости дифференциальных уравнений в
квадратурах. Та роль, которую в теории Галуа играют группы
подстановок, в теории Пикара — Вессио принадлежит
алгебраическим группам матриц.
В указанных примерах группы возникают в форме
групп автоморфизмов математических структур. Это не
только одна из важнейших форм, но и вообще присущая
только группам форма применения, обеспечивающая им
особое положение в алгебре. Дело в том, что
автоморфизмы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда
можно «группировать», тогда как определить на множестве
автоморфизмов строение кольца'или какой-пибудь другой
полезной структуры удается лишь в специальных случаях.

10
ВВЕДЕНИЕ
2. Гомологические группы. Ведущей
идеей теории гомологии является применение теории
(абелевых) групп к изучению категории топологических
пространств. Каждому пространству X сопоставляется
семейство абелевых групп Н0 (X), Нг (X), ... и каждому
непрерывному отображению /: X ->- У — семейство
гомоморфизмов fn : Нп (X) ->- Нп (У), п = 0, 1, 2, . . .
Изучение гомологических групп Нп (X) и их гомоморфизмов
средствами теории групп часто позволяет решить
исходную топологическую задачу. Типичный пример — задача
продолжения: можно ли отображение g: A -> У,
определенное на подпространстве А пространства X, продолжить
на всё X, т. е. представить g как суперпозицию вложения
h: A -> X и некоторого непрерывного отображения g:
X ->- У? Если да, то в гомологиях должно быть ^ = gnhnj
т. е. каждый гомоморфизм gn: Hn (А) -> Нп (У) можно
пропустить через Нп(Х) с заданным множителем hn. Если
эта алгебраическая задача неразрешима, то, конечно,
и исходная топологическая задача неразрешима.
Таким способом можно получать важные
положительные результаты. В качестве иллюстрации наметим
доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке: каждое
непрерывное отображение / гг-мерного шара Еп в себя
обладает неподвижной точкой. Пусть, напротив, / (х) Ф х
для всех х е= Еп. Проведем луч с началом / (х) через
точку х. Пусть он протыкает сферу Sn~x в точке g (x).
Очевидно, g непрерывно, так что задача продолжения
тождественного отображения g: 5,n"1 -> Sn~l до отображения
Еп -> £п~1 разрешима. При п = 1 это сразу дает
противоречие. Пусть п J> 2. Рассмотрим теорию гомологии
с коэффициентами из группы Z целых чисел. Тогда
Н^Е») =0, Нп_, (Sn'i) = Z, Лл_1 = 0, ^-х = 1. Ясно,
что производная алгебраическая задача неразрешима.
Это снова дает противоречие. г
Гомологические группы иллюстрируют другой
типичный путь применения групп — путь изучения
неалгебраических объектов с помощью алгебраических систем,
отражающих их поведение. Именно таков основной метод
алгебраической топологии. Впрочем, аналогичный метод
и, в частности, гомологические группы успешно
используются и для изучения самих алгебраических систем —
например, в теории расширений групп,

ВВЕДЕНИЕ И
3. Группы симметрии. Как было сказано
выше, понятие группы позволяет в точных терминах
охарактеризовать симметричность той или иной
геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров (1890)
решил задачу классификации правильных
пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач
кристаллографии. Плоских федоровских групп
существует всего 17, они были найдены непосредственно.
Пространственных же федоровских групп существует 230, и
только теория групп позволила провести их исчерпывающую
классификацию. Это был исторически первый случай
применения теории групп непосредственно в естествознании.
Аналогичную роль играет теория групп в физике.
Так, в квантовой механике состояние физической системы
изображается точкой бесконечномерного векторного
пространства. Если физическая система переходит из одного
состояния в другое, то изображающая ее точка
подвергается некоторому линейному преобразованию.
Соображения симметрии и теория представлений групп
линейными преобразованиями играют здесь руководящую роль.
Указанные примеры иллюстрируют
классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идет о симметрии.
Изучая симметрию, по существу имеют дело с
автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому
теория групп незаменима в этих вопросах. Ее
классифицирующая роль велика и в самой математике —
достаточно вспомнить об «Эрлангенской программе» Клейна.
Таким образом, лежащее в фундаменте современной
математики понятие группы является весьма
разносторонним орудием самой математики—оно используется как
важнейшая составная часть ряда сложных
алгебраических систем, как чуткий отражатель свойств различных
объектов топологии, как испытательный полигон теории
алгоритмов и многими иными путями. Вместе с тем группы
— это мощный инструмент познания одной из наиболее
глубоких закономерностей реального мира — симметрии.
Перечислим теперь некоторые важные классы групп.
Старейшей и по-прежнему интенсивно
развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп.
Важное место в ней занимает отыскание конечных простых
групп, к которым относятся многие классические группы
матриц над конечными полями, несколько серий групп

J2 ВВЕДЕНИЕ
автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные
«спорадические» группы. На другом полюсе находятся конечные
разрешимые группы, в них обычно интересуются
специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и
пр.), во многом определяющих строение самой группы.
Часто конечные группы возникают в форме групп
подстановок или матриц над конечными полями; изучению
представлений матрицами и подстановками посвящено большое
самостоятельное направление теории конечных групп.
Типичным методом исследования .бесконечных групп
является наложение на них условий конечности. Здесь
наибольшее внимание привлекают периодические
группы, локально конечные группы, группы с условием
максимальности для подгрупп, группы с условием
минимальности для подгрупп, конечно порожденные группы,
группы конечного ранга, финитно аппроксимируемые группы.
При изучении абелевых групп важную роль играют
полные абелевы группы, абелевы группы без кручения
и периодические абелевы группы, а в них сервантные и
примарные подгруппы. Исследование произвольной абе-
левой группы во многом сводится к теориям указанных
классов с помощью теории расширений абелевых групп,
развиваемой в основном гомологическими методами.
Более широкими по отношению к классу абелевых
групп являются классы нильпотентных и разрешимых
групп, теория которых также достаточно развита. Из
обобщений нильпотентности и разрешимости отметим
локальную нильпотентность, локальную разрешимость, норма-
лизаторное условие, энгелевость, а также многочисленные
классы групп, определяемые наличием в них нормальных
систем того или иного типа.
Ряд важных классов групп определяется внесением
дополнительных структур, согласованных с групповой
операцией. Сюда относятся топологические группы,
группы Ли, линейные группы, упорядочиваемые группы.
Из других классов групп отметим группы, свободные
в том или ином многообразии, полные группы, группы,
аппроксимируемые в том или ином смысле, группы
автоморфизмов тех или иных математических систем, группы,
определяемые условиями в терминах порождающих
элементов и определяющих соотношений, группы, выделяемые
условиями на решетку подгрупп.

Глава 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ
§ 1. Определение группы
1.1. Аксиоматика. Изоморфизм. Множества и функции
на них — вот два типа объектов, к изучению которых
сводится в конечном счете любая математическая теория.
Если аргументы функции / пробегают множество М и она
принимает при этом значения из того же самого множества,
то / называется алгебраической операцией на М. Наука,
изучающая алгебраические операции, называется
алгеброй. При этом алгебру интересует только вопрос, к а к
действует та или иная алгебраическая операция, и вовсе не
интересует, н а ч е м она действует. Отвлечься от второго
вопроса и сосредоточиться па первом позволяет понятие
изоморфизма. Пусть заданы два множества с отмеченными
на них алгебраическими операциями и можно установить
взаимно однозначное соответствие между самими
множествами и между множествами операций на них, причем
соответственные операции будут функциями одинакового
числа аргументов и при соответственных значениях
аргументов будут принимать соответственные значения. Тогда
эти множества с операциями называют изоморфными.
Изоморфные объекты одинаково устроены в смысле
операций, поэтому в алгебре их не различают или
рассматривают как точные копии друг друга — подобно тому,
как мы не различаем экземпляров одного и того же
романа, напечатанных разным шрифтом и на разной бумаге,
если интересуемся только содержанием романа. Разумно
считать, что каждый класс изоморфных объектов как раз
и выделяет в чистом виде некоторый тип алгебраических
операций. Это сводит задачу алгебры — изучение
алгебраических операций — к более осязаемой задаче
изучения множеств с операциями с точностью до изоморфизма.
Некоторые виды алгебраических операций столь
часто встречаются в математике, что их изучение стало

14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
предметом самостоятельных теорий. Именно таково
понятие группы — предмет теории групп. Группа — это
множество с одной бинарной (двуместной) операцией,
подчиняющейся некоторым аксиомам. Значение бинарной
операции / на паре элементов х, у удобно записывать не
в виде / (х, у), как для других операций, а в виде xfy —-
это экономит три символа и хорошо согласуется с
каноническими обозначениями числовых операций: мы ведь
пишем 2 + 3 = 5, а не + (2, 3) = 5. В теории групп
бинарную операцию называют обычно умножением и
обозначают точкой (которую почти всегда опускают), реже
используют + , о, * и другие символы. Запись операции
точкой называют еще мультипликативной записью, а запись
плюсом — аддитивной записью.
1.1.1. Определение. Множество G с бинарной
операцией • называется группой, если:
1. Операция ассоциативна, т. е. (ab) с = a (be) для
любых а, Ь, с из G.
2. Операция гарантирует единицу, т. е. в G
существует такой элемент е — он называется единицей,— что ае—
= еа = а для любого а из G.
3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е.
для любого а из G существует в G такой элемент х — он
называется обратным к^а,— что ах = ха — е.
1.1.2. Определение. Множество G с бинарной
операцией • называется группой, если:
1. Операция ассоциативна. t-
2. Операция гарантирует левые и правые частные, т. е.
для любых элементов a, b из G существуют в G такие
элементы х, у — они называются соответственно левым и
правым частными от деления Ъ на а,— что ах = Ь, у а = Ь.
1.1.3. Упражнение. Определения 1.1.1 и 1.1.2
равносильны. Единица в любой группе G единственна. Для
любого элемента а из G обратный к нему единствен (он
обозначается через а'1). Для любых а, Ъ из G оба частных
от деления Ъ на а единственны (они обозначаются: а \ b —
левое частное в. Ъ / а — правое частное).
Согласно общей концепции изоморфизма взаимно
однозначное отображение ср одной группы в другую,
сохраняющее произведение, называется изоморфным. Иными
словами, отображение ф группы G в группу G*
(символически ф: G ->- G*) является изоморфным, если образы раз-

§1J
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
15
личных элементов различны (образ элемента а при
отображении ф обозначаем а*)\
а* ф № при афЪ (а, Ъ Еб)
и образ произведения равен произведению образов:
(аЬ)* = aPb*.
Группы изоморфны (в символах: G ~ G*), если
существует изоморфизм одной из них на другую.
Например, множество G положительных
действительных чисел — группа относительно обычного умножения
чисел, множество G* всех действительных чисел —
группа относительно обычного сложения чисел, а
отображение ф: G->G*, определяемое формулой а* = log а, —
изоморфизм G на б*. Пользуясь логарифмической
линейкой, мы просто пожинаем плоды этого изоморфизма.
Задача теории групп — изучение групповых операций
или, иначе, изучение групп с точностью до изоморфизма.
Теория групп была бы закрыта, если бы удалось
составить каталог всех возможных групп с точностью до
изоморфизма. К счастью для теории групп и к несчастью для
приложений, составить такой каталог практически
невозможно.
1.2. Примеры. Благодаря ассоциативности в группах
элемент (ab)c = a (be) можно записывать просто как abc,
по той же причине однозначно определено произведение п
элементов аха% ... ап — без указания скобок, но в
указанном порядке. Произведение п элементов, равных а,
называется п-й степенью элемента а и обозначается ап.
Для нуля и целых отрицательных п полагают а0 = е,
ап = (а"71)'1 или ап = (а'1)"71, что, как легко видеть,
одно и то же. Щ& :ч
1.2.1. Упражнение. Если а — произвольный
элемент группы, т, п — целые числа, то атап= ат+п,
(ат)п == атп.
Может оказаться, что ап = е при некотором п ^> О,
тогда наименьшее п с этим условием называют порядком
или периодом элемента а и обозначают через | а |. Если
ап ф е при любом п > 0, то элементу а приписывают
бесконечный порядок и пишут \а\ = оо.
1.2.2. Упражнение. Если ап = е, то п делится
на | а |.

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
1.2.3. Упражнение. Если элементы а, Ъ
перестановочны, т. е. аЪ = Ьа, и их порядки взаимно просты, то
I ob | = \а | • | Ъ \.
1.2.4. Упражнение. Пусть элементы а, Ъ
перестановочны и имеют порядки т, п. Тогда в группе
существует элемент — это уже не всегда будет произведение
ab,— порядок которого равен наименьшему общему
кратному чисел т, п.
Говорят, что G — группа без кручения, если любой ее
неединичный элемент имеет бесконечный порядок. Если,
напротив, порядки всех элементов группы конечны, то
она называется периодической. Если порядки элементов
периодической группы ограничены в совокупности, то их
наименьшее общее кратное называется периодом или
показателем группы. Пусть р — простое число.
Периодическая группа, порядки элементов которой являются
степенями числа р, называется р-группой. Мощность | G |
группы G называется порядком группы. Если эта мощность
конечна, то группа G называется конечной, в противном
случае — бесконечной. Если операция в группе G
коммутативна, т. е. аЪ = Ъа для любых а, Ъ из G, то группа G
называется коммутативной или абелевой — в честь
Н. Г. Абеля. Часто коммутативную операцию
записывают аддитивно и тогда изменяют терминологию и
обозначения, пользуясь следующим словариком:
•
умножение
произведение
единица
обратный
степень
частное
е или 1
а-1
ап
а/Ъ, Ь\а
+
сложение
■ сумма
нуль
противоположный
кратное
разность
0
—а
' па
а — Ъ
Группы вездесущи: теория Галуа и теория
дифференциальных уравнений, алгебраическая топология и
классификация элементарных частиц в физике, кристаллогра-

§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
17
фия и теория относительности, теория узлов, различные
другие ветви топологии и теории функций — вот неполный
перечень тех областей науки, где появляется понятие
группы, причем не праздно «являет себя», а активно
работает. Применениям теории групп в разных областях науки
посвящены толстые книги, и мы отсылаем
интересующихся к этим книгам. Приведем лишь несколько примеров
из материала общего курса алгебры, которым мы
ограничиваемся в этой книге. (Обозначения, набранные жирным
шрифтом, закрепляются за соответствующими
«классическими» объектами до конца книги. Все они
общеприняты — с точностью до нюансов — и широко
употребляются в литературе; их указатель помещен на стр. 239.)
1.2.5. Примеры. I. Множество элементов
произвольного кольца К, рассматриваемое относительно
операции сложения,— абелева группа. Она называется
аддитивной группой кольца К. Мы будем обозначать ее той
же буквой К, придерживаясь общего принципа, что
буква обозначает множество, а какие на нем отмечены
операции, должно быть ясно из контекста. В частности,
аддитивные группы поля С комплексных чисел, поля R
действительных чисел, поля Q рациональных чисел, кольца
Z целых чисел — абелевы группы без кручения. Вообще,
аддитивная группа поля нулевой характеристики не имеет
кручения, а аддитивная группа поля положительной
характеристики р имеет период р. Аддитивные группы
конечного поля GF (q) из q элементов и кольца Zn вычетов
по модулю п — конечные абелевы группы, причем
\OF(q)\=q, \Zn\ = n.
Пусть р — простое число. Рациональное число вида mlpn,
где т, п — целые числа, называется р-ичной дробью.
Множество Qv всех р-ичных дробей относительно
обычного сложения чисел — абелева группа без кручения.
П. Множество всех обратимых элементов
произвольного кольца К с единицей, рассматриваемое
относительно операции умножения, является группой. Она
называется мультипликативной группой кольца К и
обозначается К * (если | К | > 2, то. множество К* заведомо не
содержит нуля и потому отлично от множества К). Если
кольцо К коммутативно, то и группа К * коммутативна.
В частности, мультипликативные группы С*, J£*, Q*, Z*,

18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
GF (g)*, Zn абелевы. Множество Сп комплексных чисел,
удовлетворяющих уравнению хп = 1, с обычным
умножением чисел — абелева группа. Пусть р — простое число.
Множество С ос всех корней уравнений х^п — 1, п = 1,
2, . . ., из поля комплексных чисел с обычным
умножением — бесконечная абелева /?-группа. Она называется
квазициклической группой типар00. Группы Z*, GF(q)*,
Zn, Cn конечны, причем
|Z*| = 2, \GF(q)*\ = g-1, \Z*\ = (p(n),
\Сп\ = п,
где ф — функция Эйлера, т. е. ф (тп) = ф (т) ф (п) при
взаимно простых т, дги ф (pk) = pk — р1*"1 при простом/?.
III. Пусть М — множество, 8 (М) — совокупность
всех взаимно однозначных отображений М на себя. Если
в качестве умножения на 8 (М) взять последовательное
выполнение отображений, то 8 (М) становится группой.
В частности, при М = {1, . . ., п) эта группа
превращается в группу всех подстановок п-ш степени. В этом
случае она называется симметрической группой тг-й
степени и обозначается 8п. Группа 8п конечна и | 8п | = п\.
При п^> 2 группа Sn неабелева.
IV. Множество GLn (К) всех обратимых матриц
степени п над коммутативным кольцом К с единицей
является группой относительно обычного умножения матриц.
Она называется общей линейной или общей матричной
группой степени п над кольцом К. Очевидно, GLn (К) =
= Мп (К)*, где Мп (К) — кольцо всех матриц степени п
над кольцом К. При п > 2 группа GLn (К) неабелева.
Рассмотрим еще в GLn (К) подмножество 8Ln (К) матриц
с определителем 1, подмножество Dn(K) диагональных
матриц, подмножество Тп (К) матриц с нулевым углом
под главной диагональю и подмножество ЛТп (К)
матриц с нулевым углом под главной диагональю и с
единицами по диагонали. Все перечисленные множества тоже
являются группами относительно умножения матриц.
Их названия: специальная линейная группа,
диагональная группа, треугольная группа, унитреугольная группа.
Если в качестве К взято конечное поле GF (q), то вместо
GLn (К) пишут также GLn (q) и аналогично для других
матричных групп.

из
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
19
1.2.6. Упражнение. Z„ ~ Сп.
1 2.7. У п р а ж н е н и е. Группа О* изоморфна
группе всех невырожденных матриц вида (о) с
действительными коэффициентами, рассматриваемых
относительно обычного умножения матриц.
1.2.8. Упражнение. Qv ф Qq при р Ф q.
1.2.9. Упражнение. Если подстановка а из $п
представима в виде произведения независимых циклов
длины щ, . . ., пк} то ее порядок | а | равен наименьшему
общему кратному чисел тгх, . . ., пл.
Число примеров групп можно сильно увеличить, если
указать какую-нибудь конструкцию, производящую из
заданных групп новые группы. Теория групп имеет
на вооружении разнообразные конструкции такого рода.
Одна из самых простых, но важных конструкций состоит
в следующем.
Пусть Gx, . . ., Gm — группы. Легко проверить, что
множество G = Gx X . . . X Gm последовательностей
<£i> • • •» £т>> £а £Е Ga, с покомпонентным умножением
является группой. Ее называют декартовым
произведением групп Ga, а сами Ga — его множителями. Это
понятие легко распространить на случай произвольной
совокупности множителей Ga, a G /. А именно, обозначим
через
G= П^а
множество функций
с условием, что / (a) ЕЕ Ga для любого а ЕЕ /. Легко
проверить, что множество G с умножением по правилу
(fg)(a) = f (a) g (а) является группой; она и называется
декартовым произведением групп Ga. Значение функции /
в точке а называется проекцией или компонентой
элемента / в множителе Ga. Множество
supp (/) = {а | а Е /, / (a) ^= e}

20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
называется носителем или суппортом функции /. Ясно,
что множество функций с конечными носителями из
декартова произведения групп Ga само является группой
относительно умножения функций. Эта группа называется
прямым произведением групп Ga и обозначается через
Y[ £а(без черты). Очевидно, для конечного числа множи-
(Х<=1
телей прямое и декартово произведения совпадают.
При аддитивной записи групповой операции вместо
произведений говорят о суммах, вместо множителей —
о слагаемых и пишут:
О = Gx © ... © Gm,^
G = 2j Gu, G = 2j Ga.
aeJ осе/
1.2.10. Упражнение. Cm X Cn ~Сшп , при
взаимно простых m, п.
1.2.11. Упражнение. Dn{K) ~ К* X . . . X К*
(п раз).
§ 2. Подгруппы. Нормальные подгруппы
2.1. Подгруппы. Если часть Я группы G замкнута
относительно умножения, т. е. вместе с любыми двумя
своими элементами а, Ъ содержит и их произведение ab, то
сужение умножения на Я будет алгебраической операцией
в Я; говорят, что эта операция индуцирована умножением
из G. Если Я является группой относительно
индуцированной операции, то ее называют подгруппой группы G
и пишут Я <; G. Если Я <; G и Я ф G, то пишут Я < G
(не путать со знаками cz, ci для включения множеств!).
2.1.1. Упражнение. Для того чтобы часть Я
группы G была подгруппой, необходимо и достаточно,
чтобы Я была замкнута относительно умножения и
обращения, т. е. вместе с любыми двумя своими элементами
а, Ъ содержала бы также аЪ и а~г. Можно эти условия
замкнутости записать еще так:
ЕЕ Q Я, Е-1 cz Я,
если воспользоваться обычными обозначениями
АВ = {аЪ | а е А, Ъ ЕЕ В), А'1 = {а-1 \а^А)
для любых подмножеств Л, В данной группы.

§21
ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
21
2.1.2. Упражнение. Произведение АВ подгрупп
А, В группы G тогда и только тогда само будет подгруппой,
когда АВ - В А.
2.1.3. У п р а ж н е н и е. Если А, В — конечные
подгруппы, то
\AB\-iAhi±
\АВ\- \АГ\В\ •
Во всякой группе множество, состоящее только из
единицы, а также вся группа являются подгруппами.
Подгруппы, отличные от единичной и всей группы,
называются собственными или истинными.
Продолжая изучение групп I — IV из § 1, укажем
в них некоторые подгруппы.
2.1.4. Примеры. I. Очевидно,
z<Qv<Q<K<c,
GF (рт) < GF (рп) при т \ п.
II. Очевидно,
Z*<Q*<.K*<C*,
^роо = U Срп,
GF (рт)* < GF (рп)* при т \ п.
III. В симметрической группе Sn множество Ап всех
четных подстановок — подгруппа. Она называется зна-
попеременной группой степени п. Очевидно, | Ап \ = — п\
ГУ. При тг>2
SLn{K)<GLn(K),
пп(ю<:тп(к),
UTn(K)^Tn(K)<GLn(K).
Отметим также в GLn{K) ортогональную подгруппу
(штрих означает транспонирование):
Оп (К) = {а | аа' = е},
а при К = С еще унитарную подгруппу (черта означает
взятие комплексно-сопряженного элемента к каждому

22
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. {
элементу матрицы):
Un = {а | аа! = е).
Наконец,
UTn (К) = UTln (К) >ит1(К)>...,
где UT™ (К) — множество матриц из UTn (К) cm — 1
нулевыми диагоналями выше главной.
2.2. Порождающие множества. Легко видеть, что
пересечение любого множества подгрупп — подгруппа. Если
М — произвольная часть группы G, то пересечение (М)
всех подгрупп, содержащих М, называется подгруппой,
порожденной множеством М, а само М — порождающим
множеством подгруппы (М). Допуская вольность речи,
иногда говорят, что элементы множества М являются
порождающими элементами подгруппы (М).
Подгруппу (М), особенно в сложных формулах, удобно
обозначать также через гр (М). Группа, обладающая
конечным порождающим множеством, называется конечно
порожденной.
2.2.1. Теорема. Если М — подмножество группы
G, то
(М) = К1 . . . alTYa^M, гг = ± 1, т = 1, 2,. . .}.
Доказательство. Обозначим правую часть
через Я. Так как подгруппа (М) содержит все at из М,
то (М) э Н. С другой стороны, НЕ с: Я, Я"1 cz Я,
поэтому Я — подгруппа, содержащая М. Отсюда Я ^ (М)
и окончательно Я = (М).
В качестве иллюстрации укажем порождающие
множества для групп I — IV из § 1. При этом мы пишем
(М) = (...]...),
если М задано в виде
М = {. . . | . . . },
т. е. опускаем фигурные скобки внутри круглых,
2.2.2. Примеры. I. Очевидно.
z = (1),
Zn=(l (modn)),
1
Q =
п = 1, 2,

ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 2в
П. Очевидно,
^* = (-1),
Q* = (-1, 2, 3, 5, 7, И,. . .),
GF(q)* = (£,),
Сп = (aj,
Ср00 = (apm|m - 1, 2,. . .),
где £д — первообразный корень уравнения х^"1 = 1
в поле 6rl^ (q),
2jt . . . 2jt
а„ = cos \- i sin .
n тг ' /г
III. Из общего курса алгебры известно, что
симметрическая группа 8п порождается своими транспозициями
(ij). Так*как (ij) = (li)(l/)(li), то $п порождается даже
транспозициями (12), (13), . . ., (In). Знакопеременная
группа Ап порождается всевозможными тройными
циклами (i]k), так как четная подстановка есть произведение
четного числа транспозиций и
(it)(tk) = (i}k), (и)(ы) = (И])оы).
IV. Пусть К — поле. Рассмотрим в GLn (К) матрицы
вида
ttj (а) = е + аеф d (р) = * + (р — 1) е пп,
а, р е К, р ф 0, i ф /,
где е — единичная матрица, ец — матрица, содержащая
на (i, /)-м месте 1, а на остальных местах нули. Матрицы
ttj (а) при а Ф О называются трансвекциями. Покажем,
что каждая матрица из GLn (К) представима в виде
tL . . . tr а (р) £г+1 . . . fs,
где £г- — трансвекции. Это будет означать, в частности, что
GLn (К) = (*„ (a), d (р) | a, pel, i ^ /), (1)
SLn (К) = (*„ (а) | а <= Я, » # /)• (2)
Действительно, умножение матрицы на трансвекцию
справа равносильно добавлению к одному ее столбцу
другого столбца, умноженного па скаляр из К, а
умножение на трансвекцию слева равносильно аналогичному

24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
преобразованию строк; такие преобразования назовем
элементарными. Пусть а ЕЕ GLn (К). Элементарными
преобразованиями столбцов матрицы а можно добиться, чтобы
было а12 Ф 0. Выполняя еще одно элементарное
преобразование — добавляя к первому столбцу второй,
умноженный на — , мы получим единицу на (1,1)-м месте,
Я12
а затем с ее помощью получим нули в первой строке и
первом столбце нашей матрицы, за исключением (1,1)-го
места, где оставим единицу. Продолжая этот процесс
применительно к правой нижней клетке степени лг — 1, мы
дойдем в конце концов до матрицы типа d (|3). Таким
образом, а = 11 . . . t7d($) tr+1 . . . ts, где tt — трансвекции,
что и требовалось.
Аналогично доказывается, что
Тп (К) = (tu (a), diag (plf . . ., рг) | а, p е К, i < /), (3)
UT™ (K) = (ttJ (a)\atEK, ]-i> m). (4)
Полученные результаты позволяют определить SLn (К)
над некоммутативными кольцами К, для которых обычное
понятие определителя теряет смысл. А именно, для таких
К формулу (2) принимают за определение. Далее, пусть
К — тело. Аналогично предыдущему любую обратимую
матрицу а над К можно представить в виде а = tL . . .
. . . tjd (P) tr+1 . . . ts, P Ф 0. Отметим для читателя,
знакомого с понятиями коммутанта и фактор-группы, что
образ элемента Р при факторизации группы К* по
коммутанту называется определителем матрицы а в смысле
Дъёдонне.
2.2.3. Упражнение. Пусть п > 2, рг, . . ., рп —
различные простые числа, pi = рг . . . р^± pt+1 . . . рп.
Тогда
z = гр (л» • • •» aJ»
и ни один элемент из этого порождающего множества
нельзя удалить.
2.2.4. Упражнение: Sn = гр ((12), (12 . . . п)).
2.2.5. Упражнение:
SLn (Z) - гр (е + еи | 1 < i < /г, 1 < / < п, 1ф /).
SLn (Z) = гр (в + е12, е12 + е23 + . . . + еп^1т +
+ (-1ГЧа).

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 25
Антиподом порождающих множеств является
подгруппа Фраттини. Чтобы прийти к этому понятию, назовем
подгруппу Н группы G максимальной подгруппой со
свойством а, если Н обладает свойством а и не содержится ни
в какой большей подгруппе с этим свойством. Если а —
свойство быть меньше всей группы, то максимальные
подгруппы со свойством а называются просто
максимальными. Конечно, в группе может и не быть максимальных
подгрупп — см. примеры ниже. По определению
подгруппа Фраттини Ф (G) группы G — это пересечение всех ее
максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G —
в противном случае.
Элемент х группы G назовем непорождающим
элементом группы, если его можно удалить из любого
порождающего множества группы G, в которое он входит.
2.2.6. Теорема. Множество S всех непорождаю-
щих элементов группы G совпадает с подгруппой
Фраттини Ф (G).
Доказательство. а) £ с: Ф (G).
Действительно, если G не содержит максимальных подгрупп, то
утверждение тривиально. Пусть теперь х ее S, Н —
максимальная подгруппа из G. Если х (=£ Н, то (х, Н) — G, (Н) Ф
Ф G. Это противоречит включению х ЕЕ S. Значит, х ЕЕ Н,
хееФ (G).
б) Ф (G) с: S. Пусть, напротив, существует элемент
х ЕЕ Ф (G), который вместе с некоторым множеством М
порождает G, но (М) Ф G. По лемме Цорна существуют
подгруппы Н, максимальные среди подгрупп, содержащих
М и не содержащих х. Ясно, что все эти подгруппы просто
максимальны. Но тогда они содержат Ф (G), а вместе с ней
х, вопреки построению. Теорема доказана.
2.2.7. Примеры. I. В группе Z подгруппа (р)
максимальна при любом простом/?, поэтому Ф (Z) = 0.
Легко сообразить, что в группе Q любой элемент является
непорождающим, поэтому Ф (Q) = Q.
II. Так как группа СрО0 совпадает с объединением
подгрупп Cvn, п = 1, 2, . . ., то каждый ее элемент
является непорождающим. Поэтому Ф (С х) = С ^.
III. Можно проверить, что подгруппа Ht группы 81V
состоящая из всех подстановок, оставляющих символ i
неподвижным, максимальна в 8п. Так как пересечение

26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. i
Нг f) . . . f) Нп равно 1, то Ф (8п) = 1. Аналогично
можно показать, что Ф (Ап) = 1.
IV. Выделим в группе UTn(Z) подгруппу Hip,
состоящую из всех матриц х с условием xit i+1 ее (р), где 1 <^
^ i <; п — 1, р — простое число. Можно проверить,
что #fP максимальна в UTn (Z). Так как пересечение
всех Hip лежит в ЕГТ£ (Z), то Ф (J7Tn (Z)) < UTl (Z).
В действительности можно доказать и обратное
включение, т. е.
0(CTTn(Z))= CT*(Z).
2.3. Циклические подгруппы. Подгруппа (а),
порожденная одним элементом а, называется циклической. По
теореме 2.2.1 она состоит из всевозможных степеней
порождающего элемента:
(а) = {ап\ п = О, +1, ±2, . . .}.
Пример 2.2.2.1 показывает, что Z и Zn — циклические
группы. Оказывается, этими группами исчерпываются —
с точностью до изоморфизма — все циклические группы.
2.3.1. Теорема. Любая бесконечная циклическая
группа изоморфна группеZ, любая циклическая группа
конечного порядка п изоморфна группе Zn.
Доказательство. Пусть (а) — бесконечная
циклическая группа. Зададим отображение ср: Z -»- (а),
полагая п* — ап. Оно взаимно однозначно: если бы при
п^> т было п^ = т®, т. е. ап-т = е, то группа (а)
оказалась бы конечной. Далее, (п + т)® = п^т*, т. е. ф —
изоморфизм. Если (6), (с) — циклические группы
конечного порядка п, то мы получим изоморфизм (Ь) на (с),
если положим bk ~* c!i, О <; к ^ п — 1.
2.3.2. Теорема. Любая подгруппа циклической
группы — циклическая.
Доказательство. Пусть (а) — циклическая
группа порядка п, Н — ее неединичная подгруппа
(очевидно, единичная подгруппа — циклическая). Пусть т —
наименьшее целое число с условием:
ат е Я, 0 < т < п.
Очевидно, (ат) ci H. Покажем, что в действительности
(ат) — Н. Возьмем в Н произвольный элемент, он имеет
вид ак, О ^ к < п. Поделим & на т с остатком: к = та +

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 27
+ г, 0 < г < т. Тогда
аг - a* (am)-q <= Я.
По выбору чисел га, г отсюда следует, что г = О и ак ЕЕ
£= (ат). Аналогично доказывается цикличность подгрупп
бесконечной циклической группы.
2.3.3. Упражнение. Группу называют
локально циклической, если каждое ее конечное подмножество
порождает циклическую подгруппу. Доказать, что Q
и С оо — локально циклические группы. В частности, они
не допускают никакого конечного порождающего
множества.
2.4. Смежные классы. С каждой подгруппой Я
группы G можно связать множества
gH = {gh\h ЕЯ}, ?EG,
которые называются левыми смежными классами группы G
по подгруппе Я. Аналогично определяются правые
смежные классы Hg. Каждый элемент класса называется
представителем этого класса. Легко видеть, что
аН = ЪН ФФ а~1Ъ <= Я, (5)
На = НЪ 4Ф ab-1 e Я. (6)
Это позволяет другим путем прийти к понятию смежных
классов. Именно, с подгруппой Я свяжем отношение ~
левой смежности — соответственно правой смежности —
на множестве G, полагая по определению
а ~ Ъ 4=$ а~хЪ £Ei H {левая смежность)
я соответственно
а ~ b 4Ф аЬ"1 ЕЕ Я (правая смежность).
Легко проверяется, что эти отношения являются эквиза-
лентностями на G, т. е. рефлексивны (а ~ а),
симметричны (а ~ Ъ =4> Ъ ~ а) и транзитивны (а ~ b, b ~ с =$
Н> а ~ с), а потому задают два разбиения группы G
на непересекающиеся классы. В силу (5), (6) эти
разбиения совпадают соответственно с разбиением на левые
смежные классы и с разбиением на правые смежные
классы. В частности, левые смежные классы попарно не
пересекаются, и то же верно для правых классов.

28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
Так как соответствие gH <-> Hg~x взаимно однозначно,
то мощность множества смежных классов не зависит от
того, левые или правые классы рассматриваются. Она
называется индексом подгруппы Н в группе G и
обозначается | G : Н |.
2.4.1. У п р а ж н е н и е. j Z : (п) | = п.
2.4.2. Упражнение. Группа Q не содержит
собственных подгрупп конечного индекса.
2.4.3. Упражнение. \ Sn : Ап\ = 2 при п > 2.
2.4.4. Упражнение. Пусть А, В — подгруппы
группы G. Тогда
\A:Af]B\^\G:B\. (7)
Указание: если ~и ~2 — отношения левой
смежности соответственно в G по В и в А по A f] В, то
второе является сужением на А первого отношения.
Каждый класс gH, Hg равномощен подгруппе Я, как
показывают взаимно однозначные соответствия h <-> gh,
h <-> hg, h ЕЕ Н. В частности, если группа G конечна, то
ее порядок | G \ можно подсчитать, умножив мощность
| Н \ каждого класса на число j G : Н \ всех классов. Так
получается
2.4.5. Теорема (Лагранж). Если Н — подгруппа
конечной группы 6?, то
\G\ = \H\.\G:H\. (8)
Из нее вытекает важнейшее следствие: порядок
подгруппы всегда делит порядок группы. Так как | а \ =
= | (а) |, то порядок всякого элемента тоже делит порядок
группы.
2.4.6. Упражнение. Всякая группа простого
порядка — циклическая.
2.4.7. Упражнение. Пусть А, В — подгруппы
группы G, причем А <^ В. Индексы | G : В |, \ В: А \ оба
конечны тогда и только тогда, когда конечен индекс
| G : А |. Если индекс | G : А \ конечен, то
\G:A\ = \G:B\.\B:A\. (9)
Это обобщает теорему Лагранжа (она получается при
А - 1).

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 29
2.4.8. Упражнение. Пересечение конечного
числа подгрупп конечного индекса — снова подгруппа
конечного индекса.
Указание: с помощью формул (7), (9) вывести
формулу
\G:A C\B\^\G:A\-\G:B\. (10)
2.4.9. Упражнение. Пересечение всех подгрупп
конечного индекса группы Qv совпадает с нулевой
подгруппой. Аналогичное утверждение справедливо для
любой другой собственной подгруппы группы Q.
2.4.10. Упражнение. Подгруппами С
= 1,2,. . ., исчерпываются все собственные подгруппы
квазициклической группы Ср0с.
Как показывает последнее упражнение, все
собственные подгруппы квазициклических групп конечны, хотя
сами эти группы бесконечны. Существуют ли не
квазициклические группы такого типа — неизвестно (проблема
О. Ю. Шмидта). Известно, однако, что среди локально
конечных групп, с которыми мы познакомимся несколько
позже, таких групп не существует (М. И. Каргаполов,
Сиб. матем. ж. 4, № 1 (1963), 232-235).
2.5. Классы сопряженных элементов. Особенно
важную роль в группах играют те подгруппы, относительно
которых левые и правые смежные классы совпадают.
Такие подгруппы называются нормальными. Точнее,
говорят, что подгруппа Я группы G нормальна в G и пишут
Я ^ G, если Их = хН для любого х из G. Если Я ^ G и
Н ф G, то пишут Я <1 G.
Ясно, что условие Нх = хН равносильно условию
х~хНх = Я. Говорят, что элемент а сопряжен с
элементом Ь посредством элемента х, если а = х~гЬх. Часто
используют степенные обозначения: х~гЪх = Ъх. Легко
проверить, что всегда
(ab)x = ахЪх, (ах)у = аху. (И)
Если А, В — два подмножества группы, то обозначают
Ав = {аь\аЕЕА, Ъ ЕЕ В).
Теперь можно сказать, что подгруппа Я группы G тогда
и только тогда нормальна в G, если вместе с каждым

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
своим элементом она содержит и все элементы,
сопряженные с ним посредством элементов из G, или, короче, если
HG с Я.
Первая из формул (11) показывает, что отображение
группы G на себя по правилу а ->- ах (при фиксированном
х из G) является изоморфизмом. Подмножество Мх
называется сопряженным с подмножеством М в группе G.
Теперь мы можем выразиться третьим способом:
подгруппа тогда и только тогда нормальна, когда она совпадает
со всеми своими сопряженными. По этой причине
нормальные подгруппы называют еще самосопряженными.
Употребительны также названия «нормальный делитель»,
«инвариантная подгруппа». Группы, не содержащие
собственных нормальных подгрупп, называют простыми.
2.5.1. Примеры. I. II. Так как аддитивная и
мультипликативная группы поля абелевы, то любая их
подгруппа нормальна.
III. Так как любая подстановка, сопряженная с
четной, снова четна, то Ап <\ 8п.
IV. Пусть п ;> 2. Так как det (ab) — det a-det &, то
матрица с определителем 1 переходит после сопряжения
снова в такую же матрицу, поэтому SLn (К) ^ &La {К).
Так как при умножении треугольных матриц их
диагональные элементы на одинаковых местах перемножаются,
то UTn (К) <] Тп (К). В действительности можно
проверить, что UTn (К) <1 Тп (К) для любого m = 1, 2,. . .
2.5.2. Упражнение. Если р — простое число,
то Zv — простая группа.
2.5.3. Упражнение. Если| G : II| = 2, тоН<]G.
2.5.4. Упражнение. Если А о G, В <] G, то
AB^G.
2.5.5. Упражнение. Может случиться, что А ^3
О В, В *Q С, но А ф С.
Пусть G — произвольная группа. Определим на ней
отношение ~, полагая а ~ Ъ, если элементы а, Ъ
сопряжены в G. Легко проверяется, что это отношение —
эквивалентность, т. е. рефлексивно (а ~ а), симметрично
(а ~ b ==> b ~ а) и траизитивно (а ~ Ь, Ъ ~ с =ф а ~ с).
Поэтому G разбивается на непересекающиеся классы
сопряженных элементов aG. В частности, нормальными

§ 2] ПОДГРУППЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 31
подгруппами будут такие подгруппы, которые состоят
из нескольких полных классов сопряженных элементов.
В отличие от смежных классов классы сопряженных
элементов не всегда равномощны. При вычислении их
мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.
Пусть М — подмножество, Н — подгруппа группы G.
Нормализатором множества М в подгруппе Н
называется множество
NH (М) = {h\h€E Я, Mh = М),
которое, как легко проверить, является подгруппой в Н.
Если не указано, в какой подгруппе Н берется
нормализатор, то это означает, что он берется во всей
группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда
нормальна в группе, когда ее нормализатор совпадает со всей
группой.
2.5.6. Теорема. Если М — подмножество, Н —
под группа/^ группы G, то мощность класса подмножеств,
сопряженных с М элементами из Н, равна индексу
Н : Nh{M) |. В частности,
\a*\ = \G:NG{a)\.
Доказательство. Отобразим множества Мх,
х ее Н, на правые смежные классы группы Н по
подгруппе N = Nh (М), полагая
(Mxf = Nx для х е И.
Отображение ф однозначно, так как из Мх = Му следует
Nx = Ny. Отображение ф переводит разные элементы
в разные, так как из Nx = Ny следует Мх = Му.
Наконец, ф — отображение на, так как каждое Nx имеет
прообраз Мх. Теорема доказана.
2.5.7. Примеры. I. II. Так как аддитивная и
мультипликативная группы поля абелевы, то любой их класс
сопряженных элементов состоит из одного элемента.
III. Пусть М — множество. Два отображения из
S (М) тогда и только тогда сопряжены в $ (М), когда в
разложении на независимые циклы они содержат одинаковое
число циклов каждой длины, включая и одноэлементные
циклы (здесь число и длина циклов понимаются в смысле

32
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
мощности). Действительно, если
а = (а^ . . .)(PiPs ...)(...)...,
а' = («;«;.. .)(р&. ..)(...)...,
причем циклы одинаковой длины выписаны друг против
друга, то непосредственно проверяется, что а' = ах, где
\аЛ • • • Р1Р2 • • 7
В частности, две подстановки из Sn тогда и только тогда
сопряжены в Sn, когда они имеют одинаковое
циклическое строение,—например, подстановка (12) (3456)
сопряжена в >SV с подстановкой (15) (2436) и не сопряжена
с подстановкой (12) (345) (6). Что касается
знакопеременной группы Ап, то элементы одинакового циклического
строения составляют в ней либо 1, либо 2 равномощных
класса сопряженных элементов — это легко
усматривается из теоремы 2.5.6 и соотношения ) Sn : Ап \ = 2.
IV. Как помнит читатель, вопрос о сопряженности
матриц занимает важное место в общем курсе алгебры.
Для алгебраически замкнутых полей К вопрос о
сопряженности элементов из GLn (К) исчерпывающим образом
решается теоремой Жордана: две матрицы из GLn (К)
тогда и только тогда сопряжены в этой группе, когда они
приводятся к одинаковой жордановой форме.
2.5.8. Упражнение. Порядки сопряженных
элементов (вообще, мощности сопряженных множеств)
равны.
2.5.9. Упражнение. Пусть подстановка а из Sn
разлагается на независимые циклы с длинами пг,. . .
• • •» Щ, 2ta = п- Вычислить | Nsn {а) |.
2.5.10. Упражнение. Проверить формулу
tin{a$) при / = п,
а
d г ф) tv (a) d (|3) = tnj ^-p-J при i = п,
tij(a) в остальных случаях,
Пользуясь ею, убедиться, что в примере 2.2.2.IV
можно считать г — 0.

3] ЦЕНТР. КОММУТАНТ ' 33
2.5.11. Упражнение. Нормализаторы всех
элементов, сопряженных с данным, составляют класс
сопряженных подгрупп.
2.5.12. Упражнение. В группе матриц вида
(а Р\ а Ф 0, над полем Q указать подгруппу,
сопряженную с некоторой своей истинной подгруппой.
2.5.13. Упражнение. Если А — подгруппа
конечного индекса группы G, то пересечение
N = П А*
является нормальной подгруппой конечного индекса в G.
Указание: воспользоваться теоремой 2.5.6 и
упражнением 2.4.8.
§ 3. Центр. Коммутант
Мы видели, что произвольная группа может сильно
отличаться по свойствам от числовых групп. Во многом
это отличие связано с некоммутативностью. Отклонение
от коммутативности измеряется центром и коммутантом:
чем больше центр и чем меньше коммутант группы, тем
ближе она к абелевым группам.
3.1. Центр. Пусть М — подмножество, Н —
подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором М в Н
совокупность тех элементов из Н, которые перестановочны с
множеством М в целом. Можно рассмотреть также множество
тех элементов из Н, которые перестановочны с М
поэлементно, т. е.
Сн (М) = {х | х ЕЕ Я, тх = т для всех т ее М).
Это множество называется централизатором множества
М в подгруппе Н и является, как нетрудно проверить,
нормальной подгруппой нормализатора NH (М). Если М
состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор
и централизатор в Н совпадают. Если не указано, в
какой подгруппе Н берется централизатор, то это означает,
что он берется во всей группе G.
Централизатор всей группы G называется ее центром
и обозначается С (G). Очевидно, группа тогда и только
тогда абелева, когда она совпадает со своим центром.
2 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1 1
Ясно, что единица всегда лежит в центре. Если других 1
центральных элементов группа не содержит, то она назы- 1
вается группой с тривиальным центром или даже группой |
без центра. Заметим еще, что любая подгруппа центра 1
нормальна в группе. I
Для иллюстрации вычислим центры в группах I — IV 1
из §1. 1
3.1.1. Примеры. I.II. Так как аддитивная и муль- 1
типликативная группы поля абелевы, то они совпадают I
со своим центром. 1
III. Очевидно, группы #2 и у!3 абелевы и поэтому 1
совпадают с центром. Далее, любая нетождественная под- 1
становка из 8п, разложенная на независимые циклы, 1
имеет вид (ij ...)(...)... Непосредственно проверяется, 1
что она не перестановочна с транспозицией (jk) при ^г > 3, 1
а также с тройным циклом (jkl) при п > 4; здесь разные 1
буквы обозначают разные символы. Значит, группы Sn I
при п > 3 и группы Ап при п > 4 имеют тривиальный 1
центр. I
IV. Пусть К — поле. Центры групп GLn (К), SLn (К) 1
состоят из содержащихся в них скалярных матриц. Дей- 1
ствительно, любая скалярная матрица, очевидно, лежит 1
в центре. Обратно, если а — центральный элемент любой 1
из этих групп, то он перестановочен со всеми трансвекция- 1
ми ttj = ttj (1), т. е. atij = tijd. Отсюда легко получаем, щ
что щ
atj = 0, а,ц = djj при всех i ф /, 1
т. е. а — скалярная матрица. В этом и других подобных 1
вычислениях мы советуем читателю записывать каждую I
матрицу х в виде ^2ixrser8 и пользоваться известной таблицей щ
умножения матричных единиц: щ
_ { *и при / - г, 1
ей*™ - j 0 при j ф Гш (1) Я
Аналогичные рассуждения показывают, что центр группы щ
Тп (К), | К | Ф 2, состоит из всевозможных скалярных щ
матриц, отличных от нулевой, а в группе UT™ (К) цент- 1
ральными будут в точности те матрицы, которые отлича- 1
ются от матрицы е только правой верхней клеткой степени 1
т. В частности, 1
С (UTn (К)) = UTT1 (К) = {tln (а) | а е= К). (2) I

§ 3]
ЦЕНТР. КОММУТАНТ
35
Диагональная группа Dn (К) абелева и потому
совпадает с центром.
3.1.2. Упражнение. Найти централизатор
диагональной матрицы в GLn (К).
3.1.3. Упражнение. Централизатор
нормальной подгруппы сам является нормальной подгруппой.
3.1.4. Упражнение. Если Н — конечная
нормальная подгруппа группы G, то индекс ее
централизатора конечен.
Решение:
\G:CG(H)\ = \G:f]CG(x)\^ Ц \ G : CG (х) |<| #||Н'.
3.1.5. Упражнение. Группа матриц u °), а Ф
Ф О, над полем, отличным от GF (2), имеет тривиальный
центр.
3.1.6. Упражнение. | С {G-Ln (q)) \ = q — 1,
| С (SLn (q)) | - н. о. д. (л, q - 1).
3.1.7. Упражнение. Центр прямого (декартова)
произведения совпадает с прямым (декартовым)
произведением центров сомножителей.
3.2. Коммутант. Очевидно, элементы а, Ъ группы G
тогда и только тогда перестановочны, когда а~хЪ~хаЪ = е.
Левая часть этого соотношения называется коммутатором
элементов а, Ъ — в указанном порядке — и обозначается
[а, Ъ]. Подгруппа, порожденная в G всевозможными
коммутаторами, называется коммутантом группы G. Ясно,
что группа тогда и только тогда коммутативна, когда ее
коммутант равен единице, а в общем случае коммутант
в некотором смысле измеряет отклонение от
коммутативности.
Более общо, если L, М — подмножества группы G,
то их взаимным коммутантом называют подгруппу
[L, М] - гр ([a, 6l|aEi,bEM).
Так как
[а, Ы* = [а*, Ьх1
то взаимный коммутант нормальных подгрупп —
нормальная подгруппа. В частности, коммутант [G, G]
группы G — нормальная подгруппа. Беря коммутант от
коммутанта и т. д., мы получим убывающую цепочку
3*

36 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
нормальных подгрупп
G>G' >G"> . . .,
которая называется рядом коммутантов группы G.
Иногда коммутант называют производной группой, а ряд
коммутантов — производным рядом.
Отметим полезные коммутаторные соотношения,
проверяемые непосредственно:
[а, Ь]-1 = [Ъ, а], lab, с] = [а, с]ь[Ъ, с], la'\ b] -[&, а]*~\
(3)
Теперь, как обычно, проиллюстрируем новое понятие
на группах I—IV из § 1.
3.2.1. Примеры. I.II. Так как аддитивная и
мультипликативная группы поля абелевы, то их коммутанты
равны единице.
III. Очевидно, [82, S2] = 1, [A3i А3] = 1. Далее,
U4, Ad = {1, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}. (4)
Действительно, непосредственно проверяется, что правая
часть — подгруппа (она называется четверной группой
Клейна). Эта подгруппа даже нормальна в Av так как
содержит все подстановки типа (**)(**), а при
сопряжениях, как мы знаем, циклический тип подстановки не
меняется. Так какЛп порождается всевозможными
тройными циклами, то для включения с: ввиду формул (3)
и нормальности правой части (4) достаточно проверить,
что коммутаторы от тройных циклов лежат в правой
части. Но это сразу вытекает из соотношений
i№), ww - ты), i№), ш = mm,
которые проверяются непосредственно; здесь разные
буквы обозначают разные символы. Эти же соотношения
доказывают и обратное включение. Наконец,
[Sn, Sn] = Ап при любом п, (5)
[Ап, Ап] = Ап при п > 5. (6)
Действительно, коммутатор любых двух подстановок из
Sn есть четная подстановка и потому лежит в Ап. С
другой стороны,
(ijk) = ЦШ), (ij)] = l(ikl), (ijm)l

§ з]
ЦЕНТР. КОММУТАНТ
37
где разные буквы обозначают разные символы. Так как
А порождается тройными циклами, то всё доказано.
ПIV. Пусть К — поле. Всегда
[GLn (К), GLn (К)] = SLn (К), (7)
[8Ln (К), 8Ln (К)] - SLn (К), • (8)
за исключением группы GL2 (2) в первой формуле и групп
8L2 (2), 8L2 (3) во второй формуле (отметим, что GL2 (2) =
= 8L2 (2), так что фактически исключительных групп
две). Действительно, определитель коммутатора любых
двух матриц равен 1, поэтому включения слева направо
очевидны. С другой стороны, мы знаем, что 8Ln (К)
порождается трансвекциями. Легко проверить, что
[tin (а)» hi (P)l = U] (оф) ПРИ различных г, /, к, (9)
[t{j (a), diag (рь .. ., pn)] = t{j (a №- - l\\ . (10)
Ввиду (9) обратные включения для п > 3 тоже
справедливы. Пусть теперь п = 2. Так как при | К \ ^> 2 можно
в формуле (10) выбрать рх ф Рг» то формула (7) доказана
для всех групп, кроме GL2 (2). Так как при | К | ^> 3
можно выбрать Рх Ф р2, рхр2 = 1, то формула (8) доказана
для всех групп, кроме SL2(2), 8L2 (3). Отмеченные
группы действительно исключительные — можно показать,
что для них формулы (7), (8) несправедливы.
Аналогичным образом, используя формулы (3), (4)
предыдущего параграфа и формулы (9), (10), получим,
что
[Тп (/О, Тп (К)] = UTn (К) при | К | > 2, (И)
[UTrn{K), UTl{K)\ = UTT(K). (12)
При | К | = 2 первая формула неверна, но тогда Тп (К) —
= UTn (К), и можно пользоваться второй формулой.
3.2.2. Лемма. Пусть G— произвольная группа,
А, В — ее подгруппы, Н = гр (А, В). Тогда
U, В], А [А,.В], ВЫ, В\ нормальны в Я, (13)
A [A, BY В [А, В]=Л, (14)
U, В) - гр(гр (СА)У\ (15)

38 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
где С = {[ah bj] | ге=/, j ^J), если А = rp (at \ i GE /),
В = rp (b, | / ЕЕ /).
Доказательство. Второе из тождеств (3)
показывает, что подгруппа А нормализует [А, В], а тогда
(13), (14) очевидны. Докажем (15). Так как С cz [А, В] ^
^ Я, то вложение справа налево очевидно. Проверим
обратное вложение [A,B]<^D, где D обозначает правую
часть (15). Нам надо проверить, что
[а\\. . . а£, b)l. . . Ъ*£] G D при 8| = + 1, 8, = ± 1.
Имеем
(а\\. .. а."р = (аи [аи, Ъ,])* . . . (а,т [а^, bj]fm =
= 4*--.«^/, /егР(сА),
т. е.
£ £
[а, Ьу] е гр (СА), где а = <ц\ . . а{™.
Отсюда
(Ф.. ■ Ь)у = фи [bh, a]f . .. (bin [bin, a))*» =
что и требовалось доказать.
Пусть теперь ах, а2, • . ., <41? ^42» • . • — соответственно
элементы и подгруппы некоторой группы. Положим по
индукции
[аг, . . ., ап+1] = [[а1? . . ., aj, a„+il,
Ml7 . . ., Ап+1\ = HAi, . . ., An\, An+1\
при п > 2.
3.2.3. Лемма о трех коммутантах.
Пусть А, В, С — подгруппы некоторой группы, Н —
ее нормальная подгруппа. Если два из коммутантов
[А, В, CI IB, С, А], [С, А, В]
лежат в Н, то и третий лежит в Н.
Доказательство вытекает из следующего
красивого соотношения, проверяемого непосредственно
(тождество Якоби):
[a, 6-1, сПЪ, с-1, а]с[с, а"\ Ъ]а = 1. (16)

§ з]
ЦЕНТР. КОММУТАНТ
39
3.2.4. Упражнение. Найти ряды коммутантов
групп /$3, #4. ^
3 2.5. Упражнение. Найти коммутанты групп
SL2\2), SL2(3).
3.2.6. Упражнение. Если А, В, С —
нормальные подгруппы некоторой группы, то [АВ, С] =
= U, С][В,С].
3.2.7. У.п ражнение. Коммутант прямого
произведения групп есть прямое произведение коммутантов
сомножителей. Можно ли здесь прямые произведения
заменить на декартовы?
3.2.8. Упражнение. Найти коммутант группы
матриц (!! П, а Ф О, над полем и показать, что каждый
элемент этого коммутанта — коммутатор.
Обращаем внимание читателя, что, вообще говоря,
коммутант группы не исчерпывается коммутаторами.
Существуют даже конечные группы, в которых произведение
двух коммутаторов может не равняться никакому
коммутатору. Мы закончим параграф примером такой группы с
наброском доказательства.
3.2.9. Пример. Рассмотрим множество S из 10
символов со следующей таблицей умножения:
•
1
а
Р
Т
б
к
X
И-
V
0
1
1
а
Р
1 тг
б
к
X
И-
V
0
а
а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
Р
к
0
0
0
0
0
0
0
0
т
г
%
V
0
0
0
0
0
0
0
б
б
и-
0
0
0
0
0
0
0
0
X
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
и-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V
V
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Легко проверить, что умножение в S ассоциативно, т. е.,
как говорят, S — полугруппа. Пусть К — полугрупповое
кольцо для S над полем GF (2), т. е. кольцо формальных

40 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ ЧАСТИ ГРУППЫ [Гл. 1
комбинаций
п±1 + п2а + гс3|3 + rc4v + пь8 + щк + щХ + ns\i +
+ n9v + п100
с коэффициентами из GF (2) относительно естественных
операций сложения и умножения. Наконец, пусть G —
множество всех матриц над К вида
/1 х у\
а - 0 1
\о о \)
Легко проверить, что G — группа порядка 220, причем
если
Ь= 0 1 и 1 то [а,Ь] = 0 J 0 . (17)
\0 0 1/ Ч) О 1 '
Назовем хи — их кольцевым коммутатором элементов х, и.
3.2.10. Упражнение. Элемент \i + v есть
сумма двух кольцевых коммутаторов, но сам не является
кольцевым коммутатором.
3.2.11. Упражнение. Используя (17) и
предыдущее упражнение, указать в группе G произведение двух
коммутаторов, не являющееся коммутатором.

Глава 2
ГОМОМОРФИЗМЫ
§ 4. Гомоморфизмы и факторы
4.1. Определения. Согласно одному из исходных
определений отображение группы в группу называется
изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и сохраняет
операцию. Отказываясь от первого требования, приходим к
понятию гомоморфизма: отображение ф группы G в
группу G* называется гомоморфным или гомоморфизмом,
если {аЪУ = аф&ф для любых элементов а, Ъ из G.
4.1.1. Примеры. I. Отображение Z-+Zn,
сопоставляющее целому числу его вычет по модулю ?г, является
гомоморфным. Пусть р — простое число, гп —
первообразный корень степени рп из 1 в поле комплексных чисел,
причем 8n+i = еп, п = 1, 2, ... Отображение Qv -+■ Cv<*,
сопоставляющее /кичной дроби — комплексное число е™,
хорошо определено и является гомоморфизмом.
П. Отображение R* ->- Z*, сопоставляющее каждому
числу из JB* его знак,— гомоморфизм.
III. Отображение #п ->- Z*, сопоставляющее каждой
подстановке ее знак в зависимости от четности,—
гомоморфизм.
IV. Гомоморфизмами будут: отображение GLn (К) —>-
-> it*, сопоставляющее матрице ее определитель;
отображение Тп (ЛГ) ->- Dn (if), сопоставляющее треугольной
матрице ее диагональ; отображение Е7"Т™ (К) ->- if© . . .
• • • © if (^ — га раз), сопоставляющее матрице х строч-
КУ \^l,m+l> #2,m+2> • • •» хп-т,п/*
Мы видим, что при гомоморфном отображении
некоторые свойства алгебраической операции могут потеряться:
некоммутативная группа может стать коммутативной,
группа без кручения — периодической и т. д., хотя
наиболее «памятные» свойства — конечность, коммутатив-

42
ГОМОМОРФИЗМЫ
[Гл. 2
ность и т. п. — сохраняются при всех гомоморфизмах.
Можно сказать, что гомоморфный образ группы G — это
воспоминание о ней, запечатлевшее с точки зрения
очевидца-гомоморфизма наиболее существенные черты G.
Лишенное некоторых деталей, оно неполно характеризует
героиню, но, во-первых, именно поэтому его легче изучать,
а во-вторых, опросив нескольких очевидцев, можно
собрать и всю нужную информацию о G. Например, зная, что
группы Z2, Z3, . . . являются гомоморфными образами
группы G, можно утверждать, что G бесконечна, хотя
знание любого из этих образов в отдельности
недостаточно для такого заключения.
4.1.2. Упражнение. Гомоморфный образ
(нормальной) подгруппы — (нормальная) подгруппа. Сужение
гомоморфизма на подгруппу — гомоморфизм подгруппы.
Пусть ф — гомоморфизм группы G в группу G*.
Множество всех элементов из G, отображающихся при ф в
единицу, называется ядром гомоморфизма ф и обозначается
через Кег ф. Ядро любого гомоморфизма является
нормальной подгруппой. Действительно, пусть Кег ф = Я.
Так как
{нну = н*н* = 1, (я-1)* = (я*)-1 = 1,
(HG)* = (H*yG* - 1,
то
НН с Я, Я"1 Q Я, HG £ Я.
Но это и означает, что Я ^ G. Далее, легко сообразить,
что ядро гомоморфизма ф тогда и только тогда
тривиально (Кег ф = 1), когда ф — изоморфизм. В общем случае
можно сказать, что ядро гомоморфизма измеряет его
забывчивость: чем больше ядро, тем больше деталей
забывает гомоморфизм. Самый забывчивый гомоморфизм помнит
о группе только то, что в ней была единица.
Оказывается, ядрами гомоморфизмов исчерпываются
все нормальные подгруппы в группе, т. е. любая
нормальная подгруппа служит ядром некоторого гомоморфизма.
Стандартный способ построения гомоморфизма с заданным
ядром состоит в следующем. Пусть G — группа, Я — ее
нормальная подгруппа, GIH — множество классов G по
Я (сейчас нет нужды говорить о левых или правых
классах — ввиду нормальности Я они совпадают). Легко по-

§4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
43
нять, что аН-ЪН = аЬН, т. е. множество GIH замкнуто
относительно поэлементного умножения классов. Легко
проверить, что GIH — даже группа относительно этого
умножения; она называется фактор-группой группы G
по нормальной подгруппе Я. Единицей группы GIH
является класс Я, а обратным к классу аН — класс а~1Н.
Подчеркнем, что класс аН является классом элементов в
группе G, но в группе GIH он сам является элементом, а
не классом. Непосредственно ясно, что отображение
ф: G ->- GIH по правилу g* — gH есть гомоморфизм.
Такие гомоморфизмы называют естественными. Они и
решают нашу задачу: ядром естественного гомоморфизма
G ->- GIH служит как раз Я.
4.1.3. Упражнение. Фактор-группа
циклической группы — циклическая.
4.1.4. Упражнение. Фактор-группа GIH тогда
и только тогда абелева, когда Я содержит коммутант [6?, G].
Другой подход к понятию фактор-группы, отличный
от приведенного в тексте, дает
4.1.5. Упражнение. Эквивалентность ~ на
группе G называется конгруенцией, если всегда
а ~ Ъ, а1 ~ Ъ' =ф аа! ~ ЪЪ'.
Произведение двух классов конгруентных элементов —
снова класс конгруентных элементов. Множество Gl~
всех классов конгруентных элементов является группой
относительно умножения классов. Она называется
факторгруппой группы G по конгруенции ~ . Аналогичное
понятие легко определить для произвольной системы с
операциями.
4.1.6. Упражнение. Всевозможные
конгруенции на группе находятся во взаимно однозначном
соответствии с нормальными подгруппами из G. Именно, если
Я ?^Э G и если положить по определению
а ~ Ъ <Н> а~гЬ е Я,
то отношение ~ будет конгруенцией, а смежные классы G
по Я — классами конгруентных элементов. Обратно, если
на G задана конгруенция ~, то множество Я элементов,
конгруентных единице, будет нормальной подгруппой в
£, а классы конгруентных элементов — смежными
классами G по Я. Таким образом, фактор-группы по

44 гомоморфизмы £гл. 2 ?
конгруенциям совпадают с фактор-группами по нормаль- \
ным подгруппам. В других системах с операциями
понятие фактор-систем по конгруенциям по-прежнему имеет !■
смысл, хотя разумного аналога нормальных подгрупп j
может не существовать. Таким образом, для групп подход \
упражнения 4.1.5 равносилен подходу, приведенному j
в тексте, но в общей ситуации первый лучше. 1
4.2. Теоремы о гомоморфизмах. Если G — группа, |
Н — ее подгруппа, то обозначим через L (G, Н) совокуп- ]
ность всех подгрупп группы G, содержащих Н. В част- 1
пости, L (G, 1) — совокупность всех подгрупп из G. Спра- \
ведлива следующая теорема о соответствии подгрупп при \
гомоморфизме. \
4.2.1. Теорема. Если задан естественный гомо- |
морфизм ф: G -»■ GIH, то возникает отображение яр: 1
L (G, Н) ->- L (G/H, 1), сопоставляющее подгруппам из 1
L (G, Н) их образы относительно ф. Отображение яр явля- j
ется взаимно однозначным отображением на. Если 3
,Л, 5 — подгруппы из L (G, Н), то они сопряжены в G \
тогда и только тогда, когда их образы Лф, 5Ф сопряже- |
ны в GIH. В частности, А нормальна в G тогда и толь- 1
ко тогда, когда А^ нормальна в G/H. Если А <; В, то |
\В :А\ = \В* :А*\. j
Доказательство. Отображение яр переводит |
разные подгруппы А, В из L (G, Я) в разные: если aei, |
а €£ В, то аф ее ^4Ф, аф $Ё .5Ф. Действительно, если аф е I
е #ф, то аф = &ф, & е #, откуда b_1a Eff<S,aGB, |
вопреки допущению. Далее, яр — отображение wa, так |
как прообразом данной подгруппы Л из G/H относитель- 1
но яр будет полный прообраз А относительно ф. Столь же 1
непосредственно проверяется, что |
В = Ах 4=$ 5Ф = (Лф)*ф. 1
Наконец, если Л ^ В, то между левыми смежными клас- 1
сами В по А и левыми смежными классами В* по ^4Ф су- 1
ществует взаимно однозначное соответствие, так как 1
х-1у ^А^ {хН)-\уН) ЕЕ AIH. 1
Теорема доказана. 1
Оказывается, естественными гомоморфизмами исчер- |
пываются по существу все гомоморфизмы группы, точнее, 1
любой гомоморфизм можно получить, выполняя сначала 1

§ 4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
45
естественный гомоморфизм, а затем изоморфизм. Сейчас
мы увидим также, что «гомоморфизмы с одним и тем же
ядром помнят о группе одно и то же: их воспоминания
изоморфны).
4.2.2. Теорема. Если ф — гомоморфизм группы G
с ядром Н, то Сф ~ GIH. Более того, гомоморфизм ф
равносилен последовательному выполнению естественного
гомоморфизма е: G -> G/H, а затем некоторого
изоморфизма т: GIH ->• Сф.
Доказательство. Установим отображение т:
GIH ->■ (?ф, полагая
(хНу = х* для ж£&
Это действительно отображение, так как из хН = уН
следует яф — г/ф. Отображение т переводит разные элементы
в разные, так как из х* == г/ф следует х_1г/ ЕЕ Я. Далее,
т — отображение иа, что очевидно. Наконец, т сохраняет
умножение, так как
{хНуНУ = (а##)т = (яу)ч> - хфг/ф = (хНУ(уН)\
Следовательно, т — изоморфизм 67# на Сф. Теперь ясно,
что ф = ет. Теорема доказана.
Для иллюстрации применим эту теорему к примерам
4.1.1. Вычисляя ядра указанных там гомоморфизмов,
получаем следующие формулы:
Z/(n)~Zn, (1)
Qp/Z~CpX, (2)
SJAn~Z*~Z2, (3)
GLn{K)/SLn(K)~K*, (4)
Tn(K)/UTn(K)~Dn(K)^K* x ... X Я*, (5)
n раз
UT% (K)IUTTl (К)~К®...®К. (6)
n-m раз
С помощью теоремы 4.2.2 продолжим изучение
отображения ip: L (G, Н) -+ L (GIH, 1) из теоремы 4.2.1 и
покажем, что нормальные подгруппы, соответствующие друг
ДРУГУ, определяют изоморфные фактор-группы.
4.2.3. Теорема. Если Н ^ G, A^GuH^A, то
{GIH)I{AIH)~GIA.

46
ГОМОМОРФИЗМЫ
1Гл. 2
Доказательство. Установим отображение ср:
GIH ->- G/A, полагая
(хНу = хА для х е= G.
Это действительно отображение, так как из хН = уН
следует х~гу ЕЕ Н <1 А, хА = уА. Далее, ф — отображение
на, что очевидно. Наконец, ф сохраняет умножение, так
как
(хН-уНу =- (хуНу — хуА - хА-уА.
Таким образом, ф — гомоморфизм G/H на GIA. Очевидно,
Кег ф = А/Н, поэтому А/Н ^ G/H, а изоморфизм
вытекает из теоремы 4.2.2.
4.2.4. Теорема. Если А ^ В ^ G, H ^ G, то
BHIAH ~ В/А (В П Н).
В частности,
BHIH ~ BIB П Н.
Доказательство. Пусть 6 — сужение на В
естественного гомоморфизма ф: G ->■ G/H. Очевидно,
Кег 6 = В П Н. Так как А* = Л^, 5е = £ф, то полными
прообразами подгрупп А®, 5е относительно 6 будут
подгруппы А (В f] Н), В. Так как А ^ В, то Ле ^ £е.
Поэтому по теореме 4.2.1 о соответствии А (В f] H) ^ В и
по теореме 4.2.3
В/А (В [} Н)~ В*/А» = (ВН/Н)/(АН1Н) ~ ВН/АН.
Теорема доказана.
4.2.5. Упражнение. Если G = А хВ,то GIA ~ В.
4.2.6. Упражнение. Пусть Н — подгруппа
группы С*, состоящая из всех комплексных чисел с модулем 1,
.R** — мультипликативная группа положительных
действительных чисел. Тогда С*/# ~ JK**.
Несомненно, понятия группы, подгруппы, нормальной
подгруппы, гомоморфизма и фактор-группы читатель знал
из общего курса алгебры, но в книге под названием
«Основы теории групп>> уместно было напомнить их.
Аналогичные понятия подкольца, идеала, кольцевого
гомоморфизма и фактор-кольца напоминать, видимо, излишне.
Интересная связь между теми и другими понятиями
возникает при рассмотрении групп матриц над кольцами.

§ 4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
47
4.2.7. Упражнение. Пусть К — ассоциативное
кольцо с единицей, G — группа матриц степени п над К.
Если / — идеал в К, то
Gj = {е + а\е + а^ G, аи е /}
нормальная подгруппа в G. Она называется главной
конгруенц-подгруппой по модулю J, а ее надгруппы —
потруещ-подгруппами группы G. Всякий кольцевой
гомоморфизм ср: К -> К' индуцирует групповой гомоморфизм
cpG: G-> G' по правилу
Ш9в = Л 8 е= с.
Его ядро Кег ф(; = С?кегФ- Например, гомоморфизм Z ->-
-> Zm индуцирует гомоморфизм £Z>n (Z) -> #.Ln (Zm),
ядро которого (т-я. главная конгруенц-подгруппа)
обозначается Гп(т). Каждое Гп (т) имеет конечный индекс в
SLn(Z).
В связи с последним упражнением возникает важная
конгруенц-проблема для матричной группы G: всякая ли
подгруппа конечного индекса в G содержит Gj по
некоторому идеалу / конечного индекса? Один из самых ранних
примеров положительного решения конгруенц-проблемы
будет изложен на стр. 201. Отметим еще, что Меннике (J. L.
Mennicke, Ann. Math. 81, № 1 (1965), 31—37) и независимо
Басе, Лазар и Серр (Н. Bass, M. Lazard. J.-P. Serre,
Bull. Amer. Math. Soc. 70, № 3 (1964), 385-392)
положительно решили конгруенц-проблему для группы SLn (Z),
п > 3 (для п = 2 давно было известно отрицательное
решение). Работа Меннике доступна студенту второго курса.
4.3. Поддекартовы произведения. Напомним, что
прямое произведение
G=I[Gi (7)
состоит из функций /: /—* (J Gb с условиями:
1) / (i) €E Gt для всех i £= /,
_ 2) |supp(/)|<oo.
Легко проверить, что подмножество
(?; = {/ | / «= G, / 0) = е при / ф i)

48
ГОМОМОРФИЗМЫ
[Гл. 2
является нормальной подгруппой в G, причем она
изоморфна множителю Gj в силу отображения / -> / (£).
Часто Gi отождествляют с Gt в силу этого изоморфизма. При
таком отождествлении Gt ^ G, группа G порождается
подгруппами Gt и каждый элемент g из G допускает запись
г = «ъ • • • ftm, Ei е Glf (8)
где все значки г\, . . ., im различны, а неединичные
множители однозначно определяются элементом g.
Это замечание позволяет дать внутреннее
определение прямого произведения — в отличие от
внешнего определения гл. 1.
Пусть группа G порождается своими нормальными
подгруппами Gt, причем каждый элемент g из G допускает
запись (8), где все значки ix, . . ., im различны, а
неединичные множители однозначно определяются элементом g.
Тогда говорят, что группа G разлагается в прямое
произведение подгрупп Gt. Очевидно, группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение своих подгрупп
Gh когда она изоморфна прямому произведению
абстрактных групп Gt. Поэтому для группы G, разложимой в
прямое произведение подгрупп Gt, используется та же запись
(7), что и для прямого произведения абстрактных групп
Gt. При аддитивной записи операции говорят о
разложении в прямую сумму и пишут
G = G10...0Gm, G= 2JGi.
4.3.1. Примеры. I. Аддитивная группа поля С
разлагается в прямую сумму подгруппы действительных
и подгруппы чисто мнимых чисел: С = jR © iR.
II. Очевидно,
0* = (-1)хП(Р)-
V
III. Четверная группа Клейна разлагается в прямое
произведение двух подгрупп второго порядка:
{1, (12) (34), (13) (24), (14) (23)} = ((12)(34))х((13) (24)).
IV. Очевидно,
I)n{K) = Gxx ... х Gn,

§ 4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
№
где Gt — подгруппа из Dn (К), у матриц которой на всех
диагональных местах, кроме г-го, стоит 1.
4.3.2. Упражнение. Группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение своих
нормальных подгрупп Gt, когда она порождается ими и из любого
соотношения gu . . . gifn = e, где gt e Gt и все значки
различны, вытекают соотношения gu = . . . = gim = е.
4.3.3. Упражнение. Группа G тогда и только
тогда разлагается в прямое произведение нормальных
подгрупп Gtl когда она порождается ими и
Gt П ГР (Gj | 7 Ф 0 = 1 Для всех *•
4.3.4. Упражнение. Циклическая группа
порядка тп, где тжп взаимно просты, разлагается в прямое
произведение подгрупп порядков т, п.
4.3.5. Упражнение. Пусть р — простое число.
Циклическая группа порядка рп неразложима в прямое
произведение собственных подгрупп.
4.3.6. Упражнение. Аддитивная группа поля
Q неразложима в прямую сумму собственных подгрупп.
Подгруппа А прямого произведения (7) называется под-
прямым произведением групп Gt, если проекция А на
каждый множитель Gt совпадает с Gt. Подчеркнем, что
подпрямое произведение не определяется множителями
однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого
произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это
не всегда будет прямое произведение — контрпримером
служит диагональ D прямого квадрата G X G, состоящая
из пар <£, #>, ^GG.
4.3.7. Упражнение. Пусть G = Gx X С2, А —
подгруппа из С, А-г — ее проекция на множитель Gi%
i = l,2. Доказать, что А разлагается в прямое произведение
A-l X А2 тогда и только тогда, когда At = Gt f] A,
i = 1, 2.
4.3.8. Упражнение. Пусть G = Gx X G2, где Gl9
G2 — конечные группы взаимно простых порядков.
Всякая подгруппа А ^ G разлагается в прямое произведение
своих проекций на множители G1? G2.
Если G — подпрямое произведение конечных групп,
то очевидно, что любое конечное множество элементов
из G содержится - в конечной нормальной подгруппе.

30 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2
Последнее свойство принято называть локальной
нормальностью. Как показывает пример группы С «,, класс
локально нормальных групп шире класса подпрямых
произведений конечных групп. Вместе с тем имеются тесные связи
между этими классами (P. Hall, J. London Math. Soc. 34
(1959), 289-304; Ю. М. Горчаков, Матем. сб. 67 (1965),
244-254).
По аналогии с подпрямыми произведениями
определяются поддекартовы произведения: подгруппа А
декартова произведения
называется поддекартовым произведением групп Gt, если
проекция А на каждый множитель Gt совпадает с Gt.
Очевидно, любое подпрямое произведение групп G{ будет
и поддекартовым произведением этих групп.
4.3.9. Теорема (Ремак). Пусть в группе G задано
семейство нормальных подгрупп Ht, i E= /, и Н — их
пересечение. Тогда фактор-группа G/H изоморфна некоторому
поддекартову произведению фактор-групп GIHt.
Доказательство. Рассмотрим отображение
Ф:б-*П(6/Й,),
сопоставляющее каждому g из G функцию /, где / (i) =
= gHt. Легко проверить, что ф — гомоморфизм, а Я —
его ядро. Теперь остается воспользоваться теоремой о
гомоморфизмах 4.2.2.
4.3.10. Примеры. I. Группа QIZ изоморфна под-
декартовой сумме групп Q/Qp по всем простым р.
II. Группа С* изоморфна подпрямому произведению
групп С*/С оо по любым двум различным простым
числам р.
III. Пусть множество М разбито на
непересекающиеся части Mt, i ее /. Пусть G <^ 8 (А/), причем каждый
элемент из G отображает каждое Mt на себя. Тогда G
изоморфна поддекартову произведению подгрупп из 8 (Мг),
IV. Группа GLn (Z) изоморфна подгруппе декартова
произведения конечных групп GLn (Zm), m = 1, 2, . , ,

§4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
51
4.3.11. Упражнение. Пересечение нормальных
подгрупп, определяющих абелевы фактор-группы, само
определяет абелеву фактор-группу.
4.4. Субнормальные ряды. Каждая нормальная
подгруппа Н группы G определяет цепочку 1 <; Н <; G.
Обобщая эту ситуацию, цепочку
1 = G0 < Gx < . . . < Gn = G (9)
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы G
называют нормальным рядом в G. Например, любая
цепочка вложенных друг в друга подгрупп абелевои группы
будет в ней нормальным рядом. Ряд (9) называется
субнормальным, если выполняется более слабое условие:
каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа
следующего члена, т. е. Gt <] Gi+1 для i = О, 1,2,...
. . ., п — 1. Члены субнормальных рядов называются
субнормальными подгруппами (если подгруппа Н субнормальна
в G, то пишут #<]<]£). Факторгруппы Gi+1/Gt называются
факторами, а число п — длиной ряда (9). Вообще,
фактором группы G называется всякая фактор-группа В/А,
где А, В — подгруппы из G, причем А ^ В. Иногда
ряды записываются не по возрастанию от 1 до G, а по
убыванию от G до 1. Найдя в группе субнормальный ряд,
факторы которого хорошо изучены, мы тем самым
продвигаемся и в изучении самой группы.
Говорят, что группа G является расширением группы А
посредством группы В, если в G существует такая
нормальная подгруппа Н, что Н ~ A, G/H ~ В. В этом смысле
факторы субнормального ряда — это те строительные
блоки, из которых путем последовательных расширений
можно собрать всю группу. Подчеркнем, однако, что
результат не определяется только составляющими блоками,
а зависит еще от способа сборки — например, расширение
Z2 посредством Z2 может быть группой Z2xZ2 и группой
Z^. Группы, собранные из циклических блоков, называют
полициклическими. Точнее, субнормальный ряд с
циклическими факторами называется полициклическим, а группа
с таким рядом — полициклической группой.
4АА. Примеры. I. Факторы ряда 1 < (2) < Z <
<С Ор изоморфны соответственно группам (2), Z2, С -
II. Все факторы ряда 1<СР< Ср2 <;...<; С п —
циклические порядка р.

52 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2
III. Группа АА обладает полициклическим рядом
1<{1,(12)(34)}<{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}<44 (10)
с факторами порядков 2, 2, 3. Этот ряд не является
нормальным, поскольку подгруппа ((12) (34)) не нормальна в АА,
хотя и субнормальна.
IV. Группа Тп (К) обладает нормальным рядом
Тп (К) > ITTl (К) > VTl (#)>...> UTl(K) = 1 (И)
с факторами F0, Ft, . . ., 7^n_i> где
F0 ~ К* X . . . X Z* (п раз),
Fm ~ К 0 . . . 0 К (п — m раз) при m > 1.
(Суб)нормальный ряд всей группы индуцирует (суб)-
нормальные ряды в подгруппах и фактор-группах:
4.4.2. Теорема. Пусть G ~ группа с
(субнормальным рядом (9). Если Н <; G, то, пересекая ряд (9) с Н, мы
получим (суб)нормальный ряд в Н:
1 = Я0 <ЯХ < . . . < Я„ = Я, Я, = Gt Г) Я,
причем фактор Hi+1/Hi будет изоморфен подгруппе
фактора Gi+1/Gi. Если Н 5^J G, то, беря образы членов ряда
(9) при естественном гомоморфизме G-+- G/H, мы получим
(суб)нормалъный ряд в G/H:
1 = UQ < Пг < . . . < Un = G/tf, G* - dHIH,
причем фактор Gi+1/Gi будет гомоморфным образом
фактора GUlIGt.
_ Д о^к азательство. Соотношения Ht ^g Hi+1,
Gi^Gi+1,_^Si в _случае нормальных рядов соотношения
Hi^H, Gt^G проверяются непосредственно. Далее,
используя теоремы о гомоморфизмах, получаем:
Hi+1/Hi = Hi+1/Hi+1 Г) Gt ~ Hi+1Gi/Gi <; Gi+1/Gi,
GM/Gt ~ Gi+1H/GtH ~ GUl/Gt (Cf+1 f] H) ~ (GUl/Gt)/{...).
Теорема доказана.
4.4.3. Упражнение. Подгруппы и
фактор-группы полициклической группы — полициклические.
Расширение полициклической группы посредством полицик-

§ 4]
ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОРЫ
53
лической группы — снова полициклическая группа.
Произведение двух полициклических нормальных подгрупп
произвольной группы — полициклическая подгруппа.
Два субнормальных ряда группы называются
изоморфными, если они имеют одинаковую длину и между их
факторами существует взаимно однозначное соответствие,
при котором соответственные факторы изоморфны.
Например, в группе С12 ряды
К С2 < С4 < Г12>
К С3 < С6 < С12
изоморфны. Если один ряд содержит все члены другого,
то первый ряд называется уплотнением второго.
4.4.4. Теорема (Шрайер). Любые два
(субнормальных ряда группы обладают изоморфными
(субнормальными уплотнениями.
Доказательство. Пусть в группе G заданы
два (суб)нормальных ряда:
1 -Л0<^х<. . . <Лт =С, (12)
1 = В0 < Вг < . . . < Вп = G. (13)
Мы вставим в каждый скачок А{ <; Ai+1 первого ряда
цепочку, приготовленную с помощью второго ряда, и
наоборот. Вставка в скачок A t <; Л,+1 изготовляется так:
пересекаем ряд (13) с Ai+1, а затем почленно умножаем
на At; получилась цепочка подгрупп с началом At и
концом А(+1 — вставка готова. Она имеет вид
A-i = ^io ^ ^ il ^ • • • ^ ^ in — Ai+i,
Си = (AU1 П Bj)At.
Аналогично изготовляются вставки для второго ряда:
В, = DJ0 < Dtl < . . . < DM = B,+lf
Ля = (*>« П ^)#>-
Очевидно, если члены рядов (12), (13) были нормальны в
G, то и все члены вставок такие же. Остается проверить,
что
Cij+i/Cij ^ Dj,i+i/Dji-

54
ГОМОМОРФИЗМЫ
[Гл. 2
Но по теореме 4.2.4
Ci.i+JCi} = (Ai+1 П Bj+1)AAAui П В,)А ~
~ (AUl П Bh,)/(Ai+1 П Bj)(A, П 5i+1).
£W^ = (Bj+1 П А,+1)ВДВ,+1 П Л,)Я, ^
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что любые два
(суб)нормалъных ряда группы без повторяющихся членов,
не уплотняемые без повторения членов, изоморфны
(теорема Жордана — Гёльдера).
4.4.5. Упражнение. Пусть G —
полициклическая группа. Число бесконечных факторов в любом
полициклическом ряде группы G одно и то же. Оно называется
поли циклическим рангом группы G. По нему удобно вести
индукцию при изучении полициклических групп.
Отметим, что теоремы 4.4.2. и 4.4.4 без всяких
изменений в доказательствах переносятся на ряды
l = Go^G!^...^Gn^..., G= l)Gni
n=i
а также на некоторые более сложные типы «бесконечных
субнормальных рядов». Во избежание недоразумений
подчеркнем, что в некоторых учебниках субнормальные ряды
называются нормальными, а нормальные —
инвариантными. Это менее удобно, так как члены инвариантных
рядов приходится называть нормальными подгруппами, а
члены нормальных рядов — субнормальными
подгруппами или употреблять совсем посторонние слова —
достижимая и пр. В нашем изложении — как и в английской
литературе — слова «инвариантная», «достижимая»
остаются незанятыми и в дальнейшем используются только в
неформальном смысле.
В заключение пункта отметим тесно связанное с
гомоморфизмами понятие аппроксимируемости. В наиболее
общей форме это понятие определяется следующим
образом ([6], стр. 75; мы говорим о группах, хотя можно было
бы говорить о произвольных алгебраических системах —
см. п. 24.1 Дополнения).
Пусть G — группа, р — отношение (или, иначе,
предикат) между элементами и множествами элементов, опре-

§ 51
ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ
55
деленное на G и всех ее гомоморфных образах (например,
бинарное отношение равенства элементов, бинарное
отношение «элемент х входит в подгруппу у», бинарное
отношение сопряженности элементов и т. п.). Пусть К — класс
групп. Будем говорить, что группа G аппроксимируется
группами из К относительно р, если для всяких
элементов и множеств элементов из G, не находящихся в
отношении р, существует такой гомоморфизм группы G на
группу из класса К, при котором образы этих элементов
тоже не находятся в отношении р. В литературе чаще
всего встречается аппроксимируемость относительно равенства
элементов, в этом случае упоминание об отношении
обычно опускают и говорят просто об аппроксимируемости.
Как вытекает из теоремы Ремака 4.3.9, группа G тогда и
только тогда аппроксимируется группами класса К,
когда она вкладывается в декартово произведение групп
из К.
Аппроксимируемость конечными группами называют
также финитной аппроксимируемостью. Финитную
аппроксимируемость относительно предиката р удобно
обозначать ФАр; в частности, если р пробегает предикаты
равенства, сопряженности, вхождения в подгруппу,
вхождения в конечно порожденную подгруппу, вхождения в
данную подгруппу /Гит. п., то получаются свойства (и
классы) ФАР, ФАСФАБ^ФАВ^, ФАВ-Я и т. п. На
важную роль этих свойств указал А. И. Мальцев (Уч. зап.
Ивановского пед. ин-та 18 (1958), 49—60): из их наличия
в группе вытекает разрешимость соответствующей
алгоритмической проблемы.
§ 5. Эндоморфизмы. Автоморфизмы
5.1. Определения. Гомоморфное отображение группы
в себя называется ее эндоморфизмом, а изоморфное
отображение группы на себя называется ее автоморфизмом. Эн-
доморфный образ подобен удостоверению личности в
кармане этой личности. Множества всех эндоморфизмов и
автоморфизмов данной группы G обозначаются
соответственно через End G и Aut G. На этих множествах
определяют умножение, считая произведением двух
эндоморфизмов их последовательное выполнение. Легко проверить,
что тогда End G становится полугруппой, a Aut G даже

56
ГОМОМОРФИЗМЫ
[Гл. 2
группой, причем
Aut G < S (G).
Если группа G абелева, то на End G определяют еще
сложение, полагая
#ф+ф = Х'*х* для ф, яр е End G, жеб.
Непосредственно проверяется, что тогда End G
становится кольцом. В общем случае кольца не получается, и End
играет в теории групп меньшую роль, чем Aut.
В гл. 1 мы уже отмечали, что сопряжение группы G
некоторым элементом а из G является изоморфизмом, так
как оно взаимно однозначно и
(ху)а = хауа для x,y<=G.
Этот автоморфизм а называется внутренним
автоморфизмом группы G, производимым элементом а.
Непосредственно проверяется, что
(ха)ъ = хаЬ, (ха)а~1 = х, х*~1** = ха*у
а, &, х Е: G, фЕ Aut G,
поэтому
ab = ао, а г = а г, ф хаф = аф. (1)
Отсюда вытекает, в частности, что множество Int G всех
внутренних автоморфизмов группы G является
нормальной подгруппой группы Aut G,
Int G ^ Aut G. (2)
Автоморфизмы, не являющиеся внутренними, называют
внешними, а группу
Out G = Aut G/Int G (3)
называют группой внешних автоморфизмов. Очевидно, для
абелевой группы Out совпадает с Aut.
Первое из соотношений (1) показывает, что
отображение G -+- Int G, сопоставляющее каждому g из G
внутренний автоморфизм g, является гомоморфным. Ядро этого
гомоморфизма состоит из элементов g с условием
X8 = х, ^е^,

§ ^>]
ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ
57
т. е. совпадает с центром С (G) группы G. Применяя
теорему о гомоморфизмах, получаем формулу
Inb G~G/C(G). (4)
В качестве иллюстрации опишем кольца End G и
группы Aut G для некоторых групп G из примеров I—IV гл. 1.
При этом мы используем очевидную формулу
(End G)* = Aut G.
5.1.1. Примеры. I. Имеем:
End Z ~Z, Aut Z ~ Z* ~ Z2, (5)
End Zm~Zmy Aut Zm~Z*, (6)
EndQ~Q, AutQ — Q*. (7)
Действительно, изоморфизмы для End даются
соответственно следующими формулами (ввиду аддитивной
записи групповой операции мы пишем эндоморфизм ф не как
показатель степени, а как множитель):
ф->-1ф, ф ->- (l(mod т))ф, ф-^1ф.
Рассмотрим подробно только последний случай. Гомоморф'
ность отображения ф -> 1ф проверяется непосредственно.
Покажем, что ядро тривиально, т. е. из 1ф = 0 следует
Ф = 0. Пусть г, s — целые числа, s ф 0. Так как
о = 1Ф = (*.-LW = *(4-W
то
Ф = 0, (-£-)<Р = 0, Ф = 0.
Наконец, для всякого а ЕЕ Q найдется прообраз ф ЕЕ
ЕЕ End Q, а именно, эндоморфизм х ->- ха группы Q.
II. Опишем кольцо End С <*>. Пусть &а —
первообразный корень из 1 степени рп в поле комплексных чиселу
причем е£+1 = en, и = 1, 2, ... Очевидно,
эндоморфизмы группы С оо полностью определяются своим действием
на ех, е2, . . . Пусть ф е End Ср00, тогда
Б п. = еп ? ^л S Z П1 71 = 1, 2, ...

Г>8 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2
Так как (е£+1)р = е£, то к п — образ кп+1 при
каноническом гомоморфизме Z n+1->Z n (по правилу: х (mod/?n+1)->-
->• ж (mod pn) для .zee Z). Таким образом, каждому ф из
End С оо отвечает последовательность (кг, к2, . . .), кп ЕЕ
ЕЕ Z п, с условием, что кп — образ кп+1 при каноническом
гомоморфизме Z п+1
Z п. Непосредственно проверяется,
что множество Z ^ всех таких последовательностей
является кольцом относительно покомпонентного сложения и
покомпонентного умножения, а возникшее у нас
отображение End С оо -^ Z оо является изоморфизмом на. Это дает
искомое описание кольца End С те. Кольцо Z «,
называется кольцом целых р-адических чисел, его элементы
естественным образом записываются в виде
оо
...ап.. .а^о = S апРп, 0<«п<Р»
и естественно складываются и умножаются: «вычет
пишем, число периодов в уме». Приведем для иллюстрации
образцы действий над целыми 5-адическими числами:
+ [
7
.. 20134
..12203
..32342
X
+
..20134
..12203
..11012
.. 0000
..323
..23
..4
..11312
...20134
- ...12203
...02431
Отметим попутно, что множество Q
ских чисел вида
«дробных» р-адичвт
. аха0, а_!. . . a_s = 2 апРп, 0 < ап < Р»
оказывается уже полем относительно аналогичных
операций и называется полем р-адических чисел. Читатель сам
сформулирует правило деления углом для /?-адических
чисел (только при делении и нужна простота р). Итак,
EndC ^~Z
AutC
:z;e
(8)

§ 5] ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ 59
Легко сообразить, что Z' состоит из тех целых /?-адиче-
ских чисел, у которых «свободный член» а0 отличен от
нуля.
III. Справедлива формула
Aut$n~Sn при пф2,*6. (9)
Мы докажем ее в конце параграфа. При п = 2,6 эта
формула неверна — см. там же.
IV. Описанию автоморфизмов классических
матричных групп посвящена обширная литература — см.,
например, [1]. Приведем без доказательства типичный
результат. Пусть п > 3, К — поле характеристики ф2.
Тогда для каждого автоморфизма ср из Aut GLn (К) либо
я?* = x^-g~lx°g, х е GL7} (К), (10)
либо
#ф = &-g-4°g, х е GLU (К), (11)
при подходящих а ее Aut К, яр: GLn (К) ->- К* и
подходящем элементе g ЕЕ GLn (К), Здесь ~ обозначает взятие
обратной матрицы к транспонированной. Для многих
матричных групп, особенно над кольцами, группы
автоморфизмов плохо изучены или совсем не изучены.
5.1.2. Упражнение. Если | G | >2, то AutG ф\.
Указание: рассмотреть случаи, когда 1) G неабе-
лева, 2) G абелева и содержит элементы порядка ^> 2,
3) G удовлетворяет тождественному соотношению х2 = е.
5.1.3. Упражнение:
End(Z©...©Z)~3/„(^),
Aul(Z©...©Z)~GLn(Z),
End (Zm © . . . © Zm) ~ Mn (Zm),
Aut (Zm © . . . © Zm) ~ GLn (Zm),
Еп(1(ое...ео)-лгя(о),
Aut(Q©...®Q)~G£n(Q)
(в левых частях п слагаемых).
5.1.4. Упражнение:
End (Ср00 X ... х СрОС) ~ Mn{^p~),
Aut (СрСО х ... X СрОС) ~ Oin (ZpOC)
(в левых частях п множителей).

60
ГОМОМОРФИЗМЫ
1Гл. 2
5.1.5. Упражнение. Учитывая, что порядки
элементов группы не меняются при ее автоморфизмах,
перечислить непосредственно автоморфизмы группы S3 и
убедиться, что все они внутренние.
5.2. Допустимые подгруппы. Язык автоморфизмов
позволяет дать еще одно определение нормальных подгрупп:
подгруппа Н группы G тогда и только тогда нормальна,
когда она выдерживает все внутренние автоморфизмы
группы 6?, т. е.
Яф <; Н для всех ф е= Int G.
Заменяя в этом условии Int G на произвольное множество
Ф из End G, приходят к более общему понятию:
подгруппу Н группы G называют допустимой относительно Ф (ко-
ф
роче, Ф-допустимой) и пишут Н <^ G, если
#ф < Н для всех ф е Ф.
Очевидно, единичная подгруппа и вся группа допустимы
относительно любого Ф. Если группа не содержит
других Ф-допустимых нормальных подгрупп, она называется,
Ф-простой. При ф£Ф подмножества М, М* называются
Ф-сопряженными. Отношение Ф-сопряженности
используется только при Ф <^ Aut G, когда оно является
эквивалентностью, в общей ситуации оно бесполезно. В
наиболее употребительных случаях, когда Ф совпадает с
End G, Aut 6?, Int G, приставку Ф читают «эндоморфно»,
«автоморфно», «внутренне» и пишут
#<С, Я<С, ff<C.
i
Знак <; употребляют обычно в стилизованной форме ^,
как мы и поступаем с самого начала. Отметим, что
некоторые авторы дают Ф-понятиям особые названия согласно
следующей таблице
внутренне
автоморфно
эндоморфно
сопряженные
сопряженные
равнотипные
допустимые
нормальные

характеристические
вполне
характеристические
простые
простые
элементарные

§ 51
ЭНДОМОРФИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ
61
Мы пощадим читателя и будем использовать из этой
таблицы только первую строчку, которая новых слов не
содержит. Оставшиеся четыре названия — от пяти разных
корней — можно не запоминать.
5.2.1. Упражнение. Пересечение и порождение
любого множества Ф-допустимых подгрупп есть Ф-допус-
тимая подгруппа.
е а
5.2.2. Упражнение. Отношения <;, ^ транзи-
тивны (в отличие от отношения ^), т. е.
Л<£, В^С^А <С.
5.2.3. Упражнение. Автоморфно допустимая
подгруппа нормальной подгруппы нормальна во всей
группе, т. е.
А^В, В^С =Ф А^С.
Очевидными примерами эндоморфно допустимых
подгрупп произвольной группы G служат ее последовательные
коммутанты, п-я степень6?п=гр (хп| хЕЕ G) и п-й слой Gn =
= гр (х | х ЕЕ G, хп = 1). Центр группы G всегда
автоморфно допустим, так как из аЪ = Ъа, а, Ъ е= G, фЕ Aut G
следует а*Ъ'* — Ь^а*, причем при пробегании элементом а
группы G элемент а* тоже пробегает всю группу G.
Подчеркнем, что даже в конечной группе центр может не быть
эндоморфно допустимым — см. ниже III.
Укажем примеры допустимых подгрупп в конкретных
группах.
5.2.4. Примеры. I. В группахZ, Zn все
подгруппы эндоморфно допустимы. Группа Q автоморфно проста
(и тем более эндоморфно проста), так как любые два ее
ненулевых элемента автоморфно сопряжены — см.
описание Aut О выше.
II. Очевидно, что
ее е
Ср ^ Cvt <^ ... , СрП ^ Сроо-
III. Так как коммутант группы эндоморфно допустим
е
в ней, то Ап <; Sn. Пусть п > 3. Так как группа Sn не

62 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2 Ж
имеет центра, то в кон чной группе С2 X 8п центром щ
служит подгруппа С2. Она не является эндоморфно допус- ж
тимой, так как не выдерживает эндоморфизма (—i)m х-+- щ
-^(12)т, т = 0, 1, же Sn. 1
IV. Пусть К — поле. Так как взаимный коммутант ж
Ф-допустимых подгрупп есть Ф-допустимая подгруппа, то Щ
SLn(K)^GLn(K), 1
Тп(К)>иТ{п(К), £ = 1,2,... 1
5.2.5. Упражнение. Максимальные р-подгруп- Щ
пы абелевой группы эндоморфно допустимы. ж
5.2.6. Упражнение. Подгруппа Фраттини про- ж
извольной группы автоморфно допустима. Поэтому в ко- Щ
нечной простой группе она равна 1. 1
5.2.7. Упражнение. Группа Q 0 . . . ф Q ав- I
томорфно проста. Щ
Иногда рассматривают более общую ситуацию: G — -ж
группа, V — произвольное множество с заданным отобра- Я
жением V ->■ End G. Тогда V называется множеством ж
операторов группы G и для ФсУ очевидным образом ж
определяются все Ф-понятия. При Ф = V приставку Ф ж
читают «операторное. щ
5.3. Совершенные группы. Группа называется совершен- щ
ной, если она без центра и все ее автоморфизмы внутрен- ж
ние. Если группа G совершенна, то С (G) = 1, Out G = 1 ж
и по (3), (4) J
Aul G ~ G, Ж
т. е. изучение группы автоморфизмов заменяется изуче- Щ
нием самой группы. Этим свойством совершенных групп щ
и вызвано роскошное название, данное им на заре теории щ
групп. В действительности совершенные группы не игра- ж
ют какой-либо особой роли в теории групп (точно так же, ж
как совершенные числа в теории чисел). Цель этого пунк- щ
та — указать классическую серию совершенных групп — щ
симметрические группы. ж
5.3.1. Теорема (Гёльдер). При п Ф 2, 6 симметри- щ
ческа я группа 8п совершенна. щ
Доказательство. а)Из§3 мы уже знаем, ж
что при п ^> 3 группа ^п имеет тривиальный центр. Оста- щ
ется доказать, что при п =?=. 6 каждый автоморфизм у 1
ж

§ 5]
ЭНДОМОР Т>ИЗМЫ. АВТОМОРФИЗМЫ
<)3
группы Sn внутренний. Пусть Вк — множество всех
произведений к независимых транспозиций из Sn, 1 <^ к ^
< !L. Согласно 2.5.7. III две подстановки из Sn сопряже-
ны в Sn тогда и только тогда, когда в разложении на
независимые циклы они имеют одинаковое число циклов
каждой длины. В частности, Bt (J B2 jj . . . — разбиение
множества всех элементов порядка 2 из Sn на классы
сопряженных элементов и каждое В,к переходит при внутренних
автоморфизмах группы $п в себя. Это подсказывает нам
следующий путь: сначала докажем, что у переводит Вх
в себя, а уже затем, что у — внутренний автоморфизм.
б) Автоморфизм у переводит Вх в себя. Действительно,
всякий автоморфизм группы сохраняет порядки
элементов, а классы сопряженных элементов переводит в классы
сопряженных элементов, поэтому Z?J = Bk при некотором к.
Мы получим равенство В\ = Вг из самых грубых
соображений: проверим, что | Вк \ Ф \ Вг |, если к Ф 1, пф$.
Действительно, $п содержит С\ транспозиций, поэтому
k-i
имеется [[ Сп-2г множеств из к независимых транспози-
г=0
ций. Так как порядок множителей в произведении
независимых транспозиций несуществен, то
k-i
|я*1 = тгП си = т45»(»-1)...(«-2л +1).
Теперь равенство | Дх | = | 5fc | сводится к следующему:
(п - 2){п - 3) . . . (п - 2к + 1) = к&~К (12)
Докажем, что при п ф Q, к Ф 1 это невозможно. В самом
деле, так как правая часть (12) положительна, то должно
быть п ;> 2к. Отсюда левая часть удовлетворяет
неравенству:
л. ч. (12) > (2ft - 2)!
Индукцией легко получаем, что
(2к - 2)! > kW-1 при к > 4.
Остается рассмотреть случаи к = 2, 3. При к = 2 легко
проверяется, что равенство (12) невозможно ни для каких п.

64 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2
Пусть к — о. Так как п > 2&, п ф 6, то w^ii и
л. ч. (12) > 5-4.3.2 >3!22 = пр. ч. (12).
Итак, равенство (12) невозможно, если п ф 6, к Ф 1.
в) Автоморфизм у внутренний. Для доказательства мы
построим индукцией по г такие внутренние автоморфизмы
у2, . . ., уп что ту?1 • • • Угх оставляет на месте
транспозиции (12), . . ., (1г). Тогда при г = п получим автоморфизм
YY21 • • • Yn\ оставляющий на месте произвольную
транспозицию (ij) = (li)(l/)(li). Так как Sn порождается
транспозициями, то будем иметь у-уг1 • • • Уп1 = 1? откуда у —
внутренний автоморфизм.
Пусть сначала г — 2. Согласно б) (12)* = (£/) при
некоторых £, /. Пусть у2 — внутренний автоморфизм с
условием (12)Y* =(ij). Тогда ууг1 оставляет (12) на месте.
Перейдем теперь от г к г + 1. Пусть у' = YY21 ... -уг1
оставляет на месте транспозиции (12), . . ., (1г) и
(1, г + 1)*' = (£/)• Пересечение {1, 2}f| {i, j } непусто,
так как в противном случае равенство
((12)(1, г + l))v = (12)(i/)
приводит к абсурду — слева стоит элемент третьего
порядка, а справа второго. Можно считать, что i = 1 или
i = 2. В любом случае /^>г, поскольку -у' оставляет
(12), . . ., (1г) на месте и
_ f(lj') при i - 1,
(Ч) ~ 1(12)(1у)(12) при i = 2.
Разберем сначала случай г > 3. Пересечение {1, 3}П
П {*> /} тоже непусто и, значит, i = 1. Пусть yr+i —
сопряжение посредством подстановки (г -f- 1, 7); мы
считаем здесь, что (ss) = 1. Тогда 7r+i действует на (12), . . .
. . ., (1, г + 1) как -у', а потому v'Vm = YY2"1 • • - y7li
оставляет транспозиции (12), . . ., (1, г + 1) на месте.
Остается рассмотреть случай г = 2. Если пересечение
{1, 2} р| {£, /} содержит 1, то снова проходит предыдущее
рассуждение. В противном случае можно считать, что
(ij) = (23) или (24), так что (12)*' - (12), (13)*' = (23)
или (24). Обозначим через у3 сопряжение посредством (12)
или соответственно посредством (12) (34). Очевидно, у3

РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 65
действует на (12), (13) как у', а потому у'Тз1 = ТТгУзх
оставляет транспозиции (12), (13) на месте. Теорема
доказана.
Группы S2l S6 не являются совершенными, так как
первая абелева, а вторая обладает внешним автоморфизмом
порядка 2. Построение этого автоморфизма указано,
например, в заметке Миллера — 1). W- Miller, Amer. Math.
Monthly 65, № 4 (1958), 252-254.
5.3.2. Упражнение. Совершенная нормальная
подгруппа всегда выделяется прямым множителем
группы. Наводящий вопрос: что должно быть другим
множителем?
§ 6. Расширения посредством автоморфизмов
Опишем две важные в теории групп конструкции,
основанные на автоморфизмах.
6.1. Голоморф. Эта конструкция возникает в связи вот
с каким вопросом: нельзя ли произвольную группу G
вложить изоморфно в такую группу 6?*, чтобы каждый
автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего
автоморфизма группы 6?*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается,
в качестве G* можно взять множество пар <р#, ср ее Ф,
g ЕЕ G, умножаемых по правилу:
vg-v'g' = 4>v'g*'g' (l)
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно,
аксиомы группы проверяются непосредственно. Так же
непосредственно проверяется, что отображения
Ф-^G*, G-^G* (2)
по правилам ф-^ф1, g->lg, являются изоморфными
вложениями. Мы отождествим Ф и G с подгруппами из
G* в силу этих вложений. Из правила умножения (1)
сразу вытекает, что
Ф"1СТ = гф Для ФЕФ, ?GC. (3)
Теперь ясно, что
G* - ФС, GsgG*, ФПС=1 (4)
и ввиду (3) каждый автоморфизм ф ЕЕ Ф является
сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*.
3 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

0) ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2 Ш
Задача решена. Построенная группа ФСг называется
голоморфом группы G и обозначается Hoi G.
Если вместо Ф — Aut G взять Ф <; Aut G, то группа
ФG по-прежнему будет обладать свойствами (3), (4).
В этом случае Ф6? называется расширением группы G
посредством группы автоморфизмов Ф. Ввиду (4) это
согласуется с общим понятием расширения из п. 4.4.
Можно еще дальше обобщить ситуацию и взять
произвольную группу Ф с отмеченным гомоморфизмом Ф ->-
-> AuL G. Считая, что элементы из Ф действуют на G как
соответствующие им автоморфизмы, мы тем же правилом
(1) превращаем Ф6? в группу со свойствами (3), (4). Теперь
группа ФG называется расширением группы G
посредством группы операторов О.
Отметим, что все обсуждавшиеся сейчас расширения
расщепляемы в следующем смысле: расширение G группы
А посредством групп i В называется расщепляемым,
если в G существуют такие подгруппы Н, К, что
G = НК, A~H^G, H f] К = I.
Очевидно, что тогда К c^.GIA. Говорят также, что G —
полупрямое произведение групп А и 5, и пишут G —
А \ В или G = В а А.
Укажем голоморфы некоторых конкретных групп.
6.1.1. Примеры. I. Пусть К — любое из колец Z,
Zn, Q. Согласно 5.1.1. I автоморфизмы аддитивной группы
if,исчерпываются умножениями на элементы из X*,
поэтому
= К*, p(=#j.
II. Похожее по форме описание можно дать для Hoi С
Именно, частичную последовательность (s1? s2, . . .)
назовем р-нитъю, если в ней несколько первых мест пусты, а
на остальных стоят элементы sn ЕЕ Z п, причем psn = sn+1
(в понятном смысле) и ее нельзя доопределить на пустых
местах с сохранением этого свойства. Условимся
складывать /?-нити покомпонентно на тех местах, где оба
слагаемых определены, с последующим доопределением суммы
на пустых местах, пока оно возможно. Непосредственно
проверяется, что р-нити с таким сложением составляют
группу. Она изоморфна группе С «,. Действительно, пусть

§ 6J
РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ
07
е _ первообразный корень из 1 степени рп в поле
комплексных чисел, причем е£+1 = еп, п = 1, 2, . . . Каждое
число ж из С ос лежит в некоторой группе Срп, поэтому х =
_ es/(j 5?г £= Z п, начиная с некоторого п. Так как е^1 =
— £„■- -н+1
8Psn то частичная последовательность показате-
лей s будет /?-нитью. Легко видеть, что отображение # ->
-> (Si? 52, . . .) является изоморфизмом группы С <*, на
группу р-нитей, причем автоморфизмы из Aut С <»,
представленные согласно 5.1.1.II целыми р-адическими
числами, действуют на р-нити как покомпонентные
умножения. Поэтому
Но1СрСО~|^ ^[а&^рос, р есть jd-нить} .
Отличие от предыдущего примера здесь в том, что
коэффициенты матриц берутся из разных множеств и не видно
кольца, в котором бы оба они лежали.
III. Мы знаем, что при пф2, 6 группа 8п совершенна.
В частности, Aut 8п ~ 8п. Так как 8п нормальна в своем
голоморфе, то она выделяется в нем прямым множителем
(упражнение 5.3.2). Поэтому
Hoi 8п ~ 8п X 8п при п ф 2, 6.
Ясно, что и для любой другой совершенной группы G
справедлива формула Hoi G c^. G X G.
IV. Для голоморфов групп GL, 8L, Т и пр. трудно
рассчитывать на описание, которое было бы проще
определения, поскольку уже группы автоморфизмов в этом
случае довольно сложно устроены.
6.1.2. Упражнение. Пусть X— любое из колец Z.
Zm, Q. Доказать формулу (в суммах п слагаемых):
Hoi {к е... © к) ~
l\0 a
6.1.3. У п р а ж н е н и е. Найти все классы
сопряженных элементов группы Hoi Z.
6.1.4. Упражнение. Указать в Hoi Z такую
цепочку нормальных подгрупп
HolZ = Н0 >ЯХ > . . .,
з*

68 ГОМОМОРФИЗМЫ [Гл. 2
что Г) Hi = 1 и каждый фактор #;/#
i+i лежит в центре
фактор-группы Я0/#*+1, 1 = 1,2,...
6.1.5. Упражнение. Является ли Hoi Z
совершенной группой?
6.2. Сплетения. Пусть А, В — группы. Обозначим
через Fun (В, A), fun (В, А) декартово произведение и
прямое произведение изоморфных копий группы А,
индексированных элементами группы В. Таким образом,
Fun (В, А) — это группа всех функций В -+ А с обычным
умножением, a fun (В, А) — подгруппа функций с
конечными носителями. Для / ЕЕ Fun (В, А), Ъ ее В
определим функцию /ь, полагая
f (х) = / (to), х е= В. (5)
Непосредственно проверяется, что отображение
Ъ: Fun (В, А) -> Fun (В, А) (6)
по правилу / -> fb есть автоморфизм группы Fun (В, Л),
отображающий fun (В, А) на себя, а отображения
В -> Aut (Fun (5, Л)), 5 -> Aut (fun (5, Л)), (7)
сопоставляющие каждому & из В автоморфизм Ъ и его
сужение на fun (В, А), являются изоморфными вложениями.
Расширения групп Fun (В, A), fun (В, А) посредством
групп операторов (7) называются декартовым сплетением
и прямым сплетением группы А с группой В и
обозначаются через А г В и А г В соответственно. Таким образом,
декартово сплетение А г В — это множество В -Fun (В, А)
с умножением
Ы-Ъ'Г = ЪЬ'РТ, где f> (х) = / (Ъх), (8)
а прямое сплетение А г В — его подгруппа В-fun (В, А).
Мы видим, что при построении сплетений группы А с
группой В сами группы А, В играют разные роли: А
пассивна, а В активна. Впредь мы так и будем называть эти
группы.
Подгруппы Fun (Z?, A), fun (В, А) называются
фундаментами или базами соответствующих сплетений.
Очевидно, декартово сплетение А г В и прямое сплетение А г В
тогда и только тогда совпадают, когда А тривиальна или

РАСШИРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АВТОМОРФИЗМОВ 69
В конечна. Подгруппа
Diag (5, A) = {f\ /eFun (В, A), f(x) = const для х^В),
т. е. диагональ базы Fun (В, А), называется также
диагональю декартова сплетения А г В, Наконец, для
каждого а ЕЕ А определим функцию а из Fun (5, ^4), полагая
[ а при х = е,
а (х) = {
' { е при х Ф е.
Непосредственно проверяется, что отображение А ->
-> Fun (Z?, А) по правилу а —>■ а является изоморфным
вложением. Подгруппа А, на которую при этом вложении
отображается группа А, называется первой копией, а
сопряженная с ней подгруппа Аь, b ЕЕ В, называется Ь-й
копией пассивной группы. Таким образом, пассивная
группам! участвует в сплетениях^, г В, А г В своими копиями Аь,
а активная группа В сама содержится в этих сплетениях
и, действуя сопряжениями на копии пассивной группы,
«сплетает» их — переставляет между собой. Очевидно,
fun (В, А) = П АЬ-
Ъ(=В
6.2.1. Упражнение. Если А' <^ А, В' <; В, то
сплетение А' г В' изоморфно подгруппе сплетения А г В
(порожденной образом подгруппы А' при каноническом
вложении в первую копию пассивной группы и
подгруппой В').
6.2.2. Упражнение. Нетривиальная
нормальная подгруппа прямого сплетения имеет нетривиальное
пересечение с базой (при условии, конечно, что пассивная
группа нетривиальна).
6.2.3. Упражнение. Пусть группа А
нетривиальна. Тогда
С (А г В) = Diag (Д, С (4)),
С (А г В) = 1, если В бесконечна.
6.2.4. У пражнение. Коммутант сплетения А г В
совпадает с произведением [В, В]-Н, где
Н = {/ ЕЕ fun (В, A)\l[f(b) = e (mod [A, A])}.
Ъ(=В *

70 ГОМОМОРФИЗМЫ 1Гл. 2
6.2.5. У п р а ж н е н и е. Каждый элемент
коммутанта сплетения Z г Z есть коммутатор.
6.2.6. Упражнение. Сплетение Z г Z изоморфно
подгруппе, порожденной в GLn (К) матрицами
/1 Ч (I о\
где £ — трансцендентное действительное число.
6.2.7. Упражнение. Операции г, г
неассоциативны в классе групп (даже в классе конечных групп).
Важную связь сплетений с произвольными
расширениями дает следующая
6.2.8. Теорема. Любое расширение группы А
посредством группы В изоморфно вкладывается в декартово
сплетение А г В (вложение Фробениуса).
Доказательство. Пусть А <] С, GIA — В, s:
В -> G — функция, выбирающая представителей в
смежных классах. Пусть W = А г В. Определим отображение
ф8: G -> W, полагая g*s = gfg, g ее G, где g —
смежный класс Ag, fg — элемент базы сплетения W,
задаваемый формулой
fg (Ъ) = (ЫГ1^, Ъ ЕЕ В.
Непосредственно проверяется, что ф5 — изоморфное
вложение. Оно называется вложением Фробениуса.
6.2.9. Упражнение. В тех же обозначениях
G^-Fun (В, А) = W, £ф- П Fun (В, А) - А**.
6.2.10. Упражнение. Если s' — другая
выбирающая функция, то подгруппы СФя, G*s' сопряжены в W.
Отметим, что декартово сплетение А г В называют
также полным сплетением и обозначают A Wr В, а
прямое сплетение А г В называют также дискретным
сплетением и обозначают A wr В. Пассивную и активную
группы называют иногда нижней и верхней. В § 13 мы
слегка обобщим изложенное здесь понятие сплетения в
связи с рассмотрением мономиальпых представлений —
исторически самой ранней разновидности сплетений. Там
же будет указано вложение произвольной группы G,
содержащей заданную подгруппу Н заданного индекса т,
в мономиальную группу матриц степени т над Н —
начальный вариант доказанной здесь теоремы.

Глава 3
ЛБЕЛБВЫ ГРУППЫ
Для абелевых групп более удобна и общепринята
аддитивная запись операции, и мы будем в этой главе
пользоваться ею.
§ 7. Свободные абелевы группы. Ранг
7.1. Свободные абелевы группы. Пусть L — класс групп
Говорят, что группа F = (xt \ i ЕЕ /) из L есть свободная
группа в классе L со свободным порождающим множеством
{xt | i ЕЕ /}, если для любой группы G ЕЕ L с
порождающим множеством {at \ i ЕЕ /} отображение xt -> at
продолжается до гомоморфизма F ->- G. Мощность множества
/ называется рангом свободной группы F. Само множество
{xt \ i ЕЕ /} будем называть также базой F. Можно
показать, что не всякий класс групп обладает свободными
группами. Однако в классе абелевых групп свободные
группы существуют и имеют очень ясное описание.
Чтобы получить его, докажем предварительно следующую
лемму.
7.1.1. Лемма. Пусть фактор-группа GIN абелевой
группы G разлагается в прямую сумму бесконечных
циклических групп:
G/N - 2 (A/N), А, = (аъ N).
Тогда G есть прямая сумма подгрупп N и А ~ {at\i ЕЕ I)-
Доказательство. Во-первых, замечаем, что
G = (7V, А). Далее, предположим, что А [) N Ф 0.
В пересечении A f) N возьмем ненулевой элемент а,
который можно записать в виде
а = ^inkaik.
Отсюда в фактор-группе GIN получаем равенство
N = %nkaik + N,

?2 АЁЕЛЕВЫ ГРУППЕ ft л. 3
что в силу определения прямой суммы влечет nkdi, +
-f N = N. Так как AtJN является бесконечной цикли-
а
ческой группой, то из равенства ща^ + N = N следует
пк = 0. Таким образом, элемент а = ^jnkat равен нулю,
что противоречит допущению.
7.1.2. Т е о р е м а. Прямые суммы бесконечных
циклических групп и только они являются свободными группами
в классе абелевых групп.
Доказательство. Рассмотрим прямую сумму
G = 2 (хд бесконечных циклических групп (xt) и произ-
вольную абелеву группу А с множеством порождающих
элементов atl iEEl. Отображение ^Щх1к~^^щсьь
продолжающее отображение xt ->- at множества {xt\i ЕЕ
ЕЕ 1} на множество {at \ i Ez /}, как легко видеть, будет
гомоморфизмом G-+A. Но это означает, что G есть
свободная абелева группа, т. е. свободная группа в классе
абелевых групп. Ранг ее равен числу прямых слагаемых.
Пусть теперь F — свободная абелева группа и {xt \ i ЕЕ
G/}- множество ее свободных порождающих. По
определению свободной группы существует гомоморфизм т
группы F на прямую сумму А = 2 (а0 бесконечных цик-
лических групп (aj, продолжающий отображение xt —>■
-> аг-. По теореме о гомоморфизмах А ~ FIN, где N =
= Кег т, и фактор-группа FIN разлагается в прямую
сумму бесконечных циклических групп (xt-\-N), i£ /.
Согласно 7.1.1 F = N @ В, В = (xt \ i GE /). Но
подгруппа В порождается тем же множеством {xi\i ЕЕ /},
что и группа F. Следовательно, ядро N гомоморфизма т
равно нулю, т. е. т является изоморфизмом. Таким
образом, свободная абелева группа F оказалась изоморфной
прямой сумме А бесконечных циклических групп.
Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 7.1.2 видно, что ранг
свободной абелевой группы G не зависит от выбора свободных
порождающих и совпадает с числом слагаемых
разложения G в прямую сумму циклических подгрупп.
Оказывается, подгруппы свободной абелевой группы
сами являются свободными абелевыми группами. В
доказательстве этого факта мы воспользуемся понятием

§7]
СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ. РАНГ
73
возрастающего ряда
О = N0 < N, < . . . < N« < . . . < Ny = G (1)
абелевой группы G, т. е. упорядоченного по включению
ряда подгрупп, занумерованных трансфинитными
числами. При этом предполагается, что для предельного
трансфинитного числа а подгруппа 7Va совпадает с
объединением всех подгрупп Np, |3 < a.
Если А < G, то в совокупности подгрупп
О = А0 < Аг < . . . < А* < . . . < Ау = А, (2)
где Ad = А П Na, возможны совпадения. Заново
занумеровав трансфинитными числами различные члены ряда
(2), получаем возрастающий ряд
О - А0 < А[ < . . . < А9 < . . . < Ах = А (3)
подгруппы A j о котором говорят, что он получен
пересечением ряда (1) с подгруппой А.
Для доказательства теоремы о подгруппах нам
потребуется следующий признак свободы коммутативной
группы.
7.1.3. Теорема. Абелева группа G свободна тогда
и только тогда, когда она обладает возрастающим рядом,
каждый фактор которого изоморфен бесконечной
циклической группе Z.
Доказательство. Пусть в абелевой группе G
имеется возрастающий ряд (1) с бесконечными
циклическими факторами. Для всякого a <C у в разности
Na+i \ Nd выберем такой элемент aa+i, что iV"a+i = (aa+i +
+ No,), и покажем разложимость G в прямую сумму
2j (tfa+i) бесконечных циклических подгрупп (aa+1). До-
казательство будем вести индукцией по длине у ряда (1).
При 7 = 1 утверждение очевидно; сделаем допущение
о справедливости этого утверждения для всякого a < у.
В группе G выбираем произвольный элемент g Ф О
и считаем g^N$, g ф 2 NG = N^v В силу N& =
— ( AT \ °<Р
— \а&, ^Vi) и леммы 7.1.1 элемент g однозначно
представляется в виде g = g! + пар, gx е N^t. По
индуктивному предположению, так как р — 1 <С у, элемент gx

74 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. 3
однозначно записывается через а0\
gx = пга^ + . . . + nsaz6, рг < р,
что влечет однозначность записи
g = пха^ + . . . + nsa$ + пар,.
Итак, доказана разложимость группы G в прямую
сумму бесконечных циклических подгрупп, что по
теореме 7.1.2 равносильно свободе G.
Пусть теперь G — свободная абелева группа и G =
= 23 (god — разложение G в прямую сумму бесконечных
циклических подгрупп. Положив 7V0 = 0, Na+i = (ga, Na)
и Na = 23 ^р Для предельного трансфинитыого числа
а, получаем возрастающий ряд с бесконечными
циклическими факторами. Тем самым доказана и необходимость
условия. Теорема доказана.
В п. 4.4 было установлено, что факторы
субнормального ряда подгруппы А <^ G, полученного пересечением А
с членами субнормального ряда группы G, изоморфны
подгруппам факторов ряда группы G. Точно так же
доказывается это утверждение для возрастающих рядов
(1) и (3). Поэтому непосредственно из теоремы 7.1.3
вытекает теорема о подгруппах свободной абелевой группы:
7.1.4. Теорема. Всякая ненулевая подгруппа
свободной абелевой группы является свободной абелевой
группой.
7.1.5. Упражнение. Пусть п — целое
положительное число, 3tn — класс всех абелевых групп, на
которых выполняется тождество пх = 0. Доказать, что
прямые суммы групп Zn и только они будут свободными
группами в классе %п. Для каких классов %п
справедлива теорема о свободе подгрупп свободной группы?
7.2. Ранг абелевой группы. Выше мы определили ранг
Свободной абелевой группы как мощность системы
свободных порождающих. Это понятие по определению имеет
смысл только для свободных абелевых групп. Теперь
мы приведем определение ранга, пригодное для
произвольных абелевых групп. Оно аналогично определению
размерности векторного пространства и, как легко сооб-

-S 7l
СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ. РАНГ
75
разить, для свободных абелевых групп равносильно
прежнему определению.
Конечное множество элементов gu . . ., gk абелевой
группы G называется линейно зависимым, если найдутся
такие целые числа пх, . . ., пк, не все равные нулю, что
y,n-gi = 0. Произвольная система элементов группы G
называется линейно зависимой, если линейно зависима
некоторая конечная подсистема этой системы. Легко
показать, что в абелевой группе G, содержащей хотя бы
один элемент бесконечного порядка, существуют
максимальные линейно независимые системы элементов и все
такие системы имеют одинаковые мощности. Мощность
максимальной линейно независимой системы элементов
абелевой группы G и называется рангом, этой группы.
Периодическая группа, очевидно, не содержит
линейно независимых систем, и поэтому ее ранг естественно
считать равным нулю.
7.2.1. Теорема. Ненулевая абелева группа без
кручения имеет ранг 1 тогда и только тогда, когда она
изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональных
чисел Q.
Доказательство. Пусть G ^ Q, G Ф 0 и gx,
g2 — отличные от нуля элементы группы G. Тогда
существуют такие целые числа пх, п2 Ф 0, что n1g1 ~ n2g2.
Таким образом, любые два ненулевых элемента из G
составляют линейно зависимую систему и, следовательно,
ранг G равен 1.
Пусть теперь ранг абелевой группы G без кручения
равен 1. Зафиксируем некоторый отличный от нуля
элемент g 0 ЕЕ G. Тогда для произвольного элемента g ЕЕ G
найдутся такие целые п, т (причем, если g Ф 0, то
п,т Ф 0), что ng = mgQ. Ввиду произвольности выбора
g ЕЕ G мы получили некоторое отображение ср: g ->- —
группы G в группу Q. п
Отображение ф однозначно. В самом деле, пусть еще
nig = migo. Вычитая почленно из равенства ng = mg0,
умноженного на тх, равенство п^ = т^0, умноженное
на т, получаем \пт1 — пхт) g = 0. Если g Ф 0, то
птх — пгт = 0 и, значит, — = —. При g = 0 числа т, т,
обязаны равняться нулю, поэтому — = ^- --= 0.

% АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. 3
Пусть теперь kgY — lg0 и -г- = — .В этом случае из
равенств ng = mg0, kgx = lg0 получаем mk (g — gx) = 0
и, так как группа G без кручения, g = glm Тем самым
доказана взаимная однозначность отображения ф.
Так как из равенств ng = mg0, sg' = tg0, g, g' ЕЕ G,
следует rcs (g -f- g') = (sm + nd) go, то отображение ф
удовлетворяет соотношению (g + #')ф = #ф + #'ф.
Теорема доказана.
В связи с известной теоремой о разложении линейного
пространства в прямую сумму одномерных подпространств
естественно поставить вопрос: всякая ли абелева группа
без кручения разлагается в прямую сумму групп ранга 1?
В общем случае ответ отрицателен. Первый пример
неразложимой абелевой группы без кручения ранга 2
построил Л. С. Понтрягин (см. [20], пример 15). В
настоящее время имеется ряд публикаций по проблеме
разложимости абелевых групп без кручения, в которых, в
частности, приведены другие примеры таких групп.
7.2.2. Упражнение. Пусть G — абелева группа
и А <^ G. Тогда ранг группы G равен сумме рангов групп
А и GIA.
§ 8. Конечно порожденные абелевы группы
В этом параграфе мы в первую очередь уточним
теорему о подгруппах свободной абелевой группы
конечного ранга и, основываясь на этом уточнении, докажем
основную теорему о конечно порожденных абелевых
группах.
8.1.1. Теорема. Пусть Fn — свободная абелева
группа конечного ранга п и А — ее отличная от нуля
подгруппа. Тогда А свободна и группы A, Fn обладают
соответственно базами а1ч . . ., а^ и Д, . . ., }п такими,
что к <; п, at = mtfi, 1 ^ i <^ к, и mi+1 делится на ть
1 < i<k— 1.
Доказательство будем вести индукцией по
рангу п свободной абелевой группы Fn. Так как при п = 1
группа Fn циклическая и для нее, очевидно, выполняется
утверждение теоремы, мы делаем индуктивное
предположение о справедливости теоремы для свободных
абелевых групп ранга п — 1.

8i КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 77
В группе Fn найдется такая база
/i, h,. . ., ьп, (l)
а в подгруппе А существует такой элемент
аг= тх{х + s2b2 + . . . + snbn, m1 > О,
что отличные от нуля коэффициенты любого ненулевого
элемента из А, записанного через произвольную базу Fn,
по абсолютной величине не меньше т^
Оказывается, коэффициенты st делятся на т1.
Действительно, пусть st — qim1 + rh 0 < rt < т^ Тогда
А = Л + 92^2 + • • • + Qnbn, b2, . . ., bn (2)
— база группы Fn и аг = m1f1 + r2fo2 + . . . + rnbn.
В силу выбора элемента аг все коэффициенты г{ обязаны
равняться нулю, и, значит, аг = ^Д.
Положим В = А П ^n-i, гДе ^n-i= ГР(^2> • • •> Ъп),
и докажем, что ^4 разлагается в прямую сумму подгрупп
(ах), В. Так как (а^ f] В = 0, то достаточно доказать
равенство ^4 = (а1? 5).
Если а = гаД + 6 ЕЕ -4, &Е ^n-i и m = qm1 + r,
О <; г <С ^i, то элемент а — qax принадлежит А ж в его
записи через базу (2) коэффициент при Д равен г < яг^
что в силу выбора числа т1 влечет г = 0. Таким образом,
получаем b = а — mf = а — qax ЕЕ А к, следовательно,
b £Е В. Отсюда ввиду произвольности выбора а вытекает
А = Ы 0 В.
По индуктивному предположению подгруппа В,
принадлежащая свободной абелевой группе Fn^1 ранга п — 1,
и группа Fn_x обладают такими базами а2, . . ., а]г и /2, . . .
. . ., /п, что к <; п, at = tfij/j, 2 <^ t <; /с, mm делится
на /7if, 2 < i < &.
Очевидно, совокупности элементов а1? а2, . . ., afc и
Л> Д »• • -,/п являются базами соответственно А и Fn.
Для проверки требуемых по теореме свойств баз нам
остается доказать, что т2 делится на т^ Пусть т2 =
= qm1 + r, 0 < г <; т^ Перейдем от базы Д, . . ., fn
к базе ?/2—Д, /2, . . ., Д. В записи принадлежащего
подгруппе А элемента
а2 — аг = /Tii (gr/2 — Д) + г/а

78
АБЕЛЕПЫ ГРУППЫ
[Гл. 3
через последнюю базу коэффициент при /2 равен г < т±.
Как и прежде, заключаем, что г = 0 и, следовательно,
т2 делится на т1 без остатка. Теорема доказана.
8.1.2. Теорема. Произвольная конечно порсжденная
абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических
подгрупп.
Доказательство. По условию группа G
изоморфна фактор-группе FJA свободной абелевой группы
Fn некоторого ранга п. Согласно теореме 8.1.1 в группах
Fn и А существуют такие базы /1? . . ., fn и аг, . . ., ак,
что at = rrtjfi, 1 <[ i <^ к. Ввиду изоморфизма G ~
c^l FnIA для доказательства теоремы нам достаточно
показать разложимость фактор-группы FJA в прямую
сумму циклических подгрупп (A -f- ^4).
Во-первых, совершенно ясно, что FJA порождается
подгруппами (A -\- А). Далее, пусть нуль фактор-группы
FIA имеет запись
А - hU + . . . +lnfn + А.
Отсюда получаем l1f1 -f . . . -f lnfn = a ЕЕ А.
Записывая элемент а относительно базы подгруппы А и
учитывая равенства at = mtju приходим к соотношениям
hh + • • • + hfn -= Wi + • • • + skak =
= ^i^iA + • • • + skmkfk.
Ввиду однозначности записи элементов через свободные
порождающие А получаем l{ = s^mf, 1 ^ i <; /с, lj = О,
k <C j ^ п. Но это означает, что каждый из элементов
ltfi принадлежит А. Тем самым доказана однозначность
представления нуля в виде суммы элементов подгрупп
(/, + А).
8.1.3. Упражнение. Пусть F — свободная
абелева группа конечного ранга п с базой
Л, -..,/»• (3)
Элементарным преобразованием базы (3) назовем
переход от (3) к базе одного из следующих типов:
а) А» • • •? fji • • 'i fit • • •» fni l <C ]->
6) A, . . ., ft + mfj, . . ., A,. . ., A, i ф А
B) A» • • •» fii • • -i fn-
Показать, что с помощью конечной цепочки
элементарных преобразований можно перейти от базы (3) к наперед
заданной базе группы F.

§ 9]
ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
79
81.4. Упражнение. Пересечение подгрупп
конечного индекса конечно порожденной абелевой группы
равно нулю.
8.1.5. Упражнение. Совокупность всех элементов
конечного порядка конечно порожденной абелевой группы
образует конечную подгруппу.
8.1.6. Упражнение. Показать на примере, что
теорема 8.1.1 не распространяется на случай свободных
абелевых групп бесконечного ранга.
8.1.7. Упражнение. Все подгруппы конечно
порожденной абелевой группы конечно порождены.
§ 9. Полные абелевы группы
Группа G называется полной или делимой, если для
всякого целого числа ?1>0и любого элемента g ЕЕ G
уравнение пх = g имеет в группе G хотя бы одно решение.
9.1.1. П р и м е р ы. I. Очевидно, аддитивная группа Q
рациональных чисел полна.
П. Докажем полноту квазициклической группы С «,.
Как мы знаем, группа С «, изоморфна (в аддитивной
записи) объединению возрастающей цепочки конечных
циклических групп
Ы < ((h) < . . . < (ап) <
причем рах = 0, рап+1 = ап, и = 1, 2 ,. . . Рассмотрим
уравнение sx — g. Элемент g содержится в одной из
подгрупп последовательности, например, в (ап), т. е. g = lan.
Если s = ркт, (т, р) = 1, то найдутся такие d1? d2, что
1 = pndx + md2. Отсюда с помощью равенств g = lan,
рпап = О получаем g = (p11d1 -f md2)g = md2lan.
Последнее равенство с учетом соотношения ркап+^ = ап влечет
равенство g = mpk [d2lan+k). Таким образом, элемент
dzlcin+b удовлетворяет уравнению sx = g.
Важность рассмотренных примеров определяется тем,
что прямыми суммами групп Q и С <* исчерпываются
все полные абелевы группы — см. ниже теорему 9.1.6.
9.1.2. У п р а ж н е н и е. Доказать полноту
гомоморфных образов, прямых и декартовых сумм полных абелевых
групп.
9.1.3. Теорема. Произвольная абелева группа
изоморфна подгруппе некоторой полной абелевой группы.

80
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
[Гл. 3
Доказательство. Пусть F — такая
свободная абелева группа со свободными порождающими xtl
i ЕЕ /, что G ~ FIN, Обозначим через F* прямую сумму
2 Qi групп Qu изоморфных аддитивной группе рацио-
нальных чисел Q, и в каждом слагаемом Qt отметим
какой-нибудь ненулевой элемент bt. Очевидно, отображение
xt ->- bt продолжается до изоморфного отображения т
группы F в группу F*. На основании изоморфизма т
группу F можно считать подгруппой в F*. Согласно 9.1.2
фактор-группа F*/N полна и, кроме того, содержит
подгруппу F/N, изоморфную группе G.
9.1.4. Теорема. Полная подгруппа А абелевой
группы G выделяется в G прямым слагаемым.
Доказательство. Обозначим через В
максимальную подгруппу группы G, пересекающуюся по нулю
с подгруппой А (существование подгруппы В легко
доказать методом трансфинитной индукции или с помощью
леммы Цорна), и докажем равенство G = А 0 В.
Предположим, что G Ф А 0 В, и выберем элемент
g ЕЕ G, не содержащийся в сумме А 0 В. Циклическая
подгруппа (g) имеет ненулевое пересечение с А 0 В, так
как в противном случае сумма А + В + (g) оказалась бы
прямой и подгруппа В 0 (g), строго содержащая В,
пересекалась ci по нулю, что противоречит выбору В.
Таким образом, g £=£ А 0 5, но некоторое кратное ng этого
элемента уже содержится в А 0 В, причем г* можно
считать наименьшим положительным числом с условием
ng ее А 0 В. Можно даже считать п простым числом:
если это было бы не так, то вместо g мы стали бы
рассматривать элемент —g, где р — простой делитель /г.
Ввиду выбора g найдутся такие элементы ае4, Ъ ЕЕ
ЕЕ В, что ng = а + Ъ. Так как подгруппа А полная, то
в ней существует элемент аг с условием паг = а.
Подставив в предыдущее равенство вместо а элемент пах,
получим ngx = 6, где gi = g — ах. Вместе с g элемент gx также
не принадлежит подгруппе 4 0 В.
На основании выбора подгруппы В пересечение A f]
Г) (gn В) отлично от нуля. Это означает, что некоторый
ненулевой элемент а ЕЕ А можно представить в виде
суммы а = kgx + Ь', V G 5, 0 < к < га. Так как (к, п) = 1,

„ en ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 81
то существуют такие Z, s, что Ik + sn = 1 и,
следовательно, g! = Ikgx + sngi. Так как ngl9 kgx = а ~Ъ' е А © 5,
то gi £= -4 ф 5. Полученное противоречие доказывает
теорему.
9.1.5. Упражнение. Сумма любого множества
полных подгрупп абелевой группы является полной
подгруппой.
9.1.6. Теорема. Ненулевая полная абелева группа
G разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных
аддитивной группе Q рациональных чисел или квазицикличес-
ким группам С «,, быть может, по различным простым
числам р.
Доказательство. Нужное нам разложение
группы G будем строить трансфинитной индукцией.
В группе G выберем произвольный элемент g ф 0.
Разберем две возможности относительно g.
1) Элемент g имеет бесконечный порядок. Ввиду
полноты группы G существует такая последовательность
элементов
g = £i> £2, • • м £д,. . .,
что (п + 1) gn+i = ёт п = 1» 2, . . . Легко проверяется,
что подгруппа, порожденная gu g2, . . ., изоморфна
аддитивной группе рациональных чисел Q.
2) Элемент g имеет конечный порядок п. Тогда элемент
di = —g, где р — простои делитель п, имеет простои
порядок р. Снова ввиду полноты G существует
последовательность элементов ах, а2, . . ., p#n+i = сьп->
порождающая теперь группу, изоморфную Ср0с.
Итак, в любом случае в группе G существует
подгруппа Аъ изоморфная Q или С оо.
Пусть построена последовательность полных подгрупп
Аг < Л2 <^ . . . <^ А$ < . . ., |3 < а, такая, что при
предельном трансфинитном числе р А$ = ^j Аъ, а при не-
предельном (3 подгруппа Лр разлагается в прямую сумму
-4/3-1 и подгруппы Cp-i, изоморфной Q или некоторой С <*>.
Если а — предельное число, то положим Аа = 2
Пресли а — непредельное число, то подгруппа A^-i
полна. При Ла-х ^G по теореме 9.1.4 существует прямое

82 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. 3
разложение G = Aa-i © С. Аналогично построению Ах щ
в полной группе С выбираем подгруппу Са-ъ изоморфную . щ
Q или С со, и полагаем А* = -4a-i © Ca-i- щ
Процесс индуктивного построения Ал оборвется на пер- щ
вом номере у, для которо о Ау = G. щ
Построив Ааг, а <^ у, остается заметить, что G разла- щ
гается в прямую сумму подгрупп Ах = С0, С1? . . . Ж
. . ., Са, . . . Теорема до: азана. ■
9.1.7. Упражнение. В абелевой группе без кру- ■
чения пересечение любого множества полных подгрупп щ
есть полная подгруппа. щ
9.1.8. Упражнение. Минимальная полная груп- Щ
па G*, содержащая данную группу G, называется попол- щ
нением G. Другими ело ами, пополнение G* группы G Щ
есть такая полная группа содержащая G, что всякая пол- ■
пая группа А с условием G <J A <J G* совпадает с G*. Я
Доказать существование абелевых пополнений без круче- щ
ния абелевой группы G бе кручения. Между двумя такими 1
пополнениями G существует изоморфизм, продолжающий Ш
произвольный наперед заданный автоморфизм G. [Ш
9.1.9. Упражнение. Показать на примере, что Щ
пересечение полных подгрупп периодической группы не щ
обязано быть полным. "щ
9.1.10. Упражнение. Группа, не содержащая щ
ненулевых полных подгрупп, называется редуцированной. щ
Произвольная абелева группа разлагается в прямую щ
сумму полной и редуцированной подгрупп. щ
9.1.11. Упражнение. В теории модулей важную Ж
роль играют понятия проективного и инъективного моду- Щ
лей. Эти понятия для абелевых групп (модулей над коль- щ
дом целых чисел) можно определить так. Абелева группа F Щ
называется проективной (проективным Z-модулем), если щ
для любого гомоморфизма т: А ~^В группы А на В и Щ
любого гомоморфизма ф: F -+B группы F в В существует -Ш
такой гомоморфизм я|?: F -*~А, что диаграмма Я
F Ж
V I ч I
/ \ I
А -г*-В Ш

§10 1
ПЕГИОДИЧЕСТШЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 83
коммутативна, т. е. ф = г|гс. Абелева группа G называется
инъективной, если для любого изоморфизма т группы В
в Л и любого гомоморфизма ф группы В в G существует
такой гомоморфизм^: А ->- С, что диаграмма
п
U
/
/
-В
х
коммутативна, т. е. ф = тф. Доказать, что 1) абелева
группа проективна тогда и только тогда, когда она
свободна, 2) абелева группа инъективна тогда и только тогда,
когда она полна.
§ 10. Периодические абелевы группы
В произвольной абелевой группе G совокупность Т
всех элементов конечного порядка образует подгруппу,
которую иногда называют периодической частью группы G.
Фактор-группа G/T уже не имеет кручения. Этот факт
в какой-то мере сводит изучение произвольных абелевых
групп к исследованию периодических групп и групп без
кручения. Следует заметить, что вообще периодическая
часть не выделяется прямым слагаемым.
10.1.1. Пример. Пусть;
G = 2jZv, G — 2jZv
v v
(суммирование по всем простым р). Очевидно, G —
периодическая часть в G. Докажем, что GIG — полная группа
и G не выделяется в G прямым слагаемым. _
Докажем сначала полноту фактор-группы GIG. Пусть
f€EG, n— целое положительное число. Поскольку при
р ^> п в группе Zv существует элемент gp с условием
n8v = /(р), то щ = /', где
Г 0 при р < п, ГО при р < и,
I gv при р > п, чг/ [f (p) при р > п.
Ho_/G = /'G, поэтому уравнение пх = /G имеет решение
в GIG.

84 аёелевы Группе! [Гл. .1 щ
_ Теперь допустим, что G разлагается в прямую сумму Щ
G = G 0 Я. Из предыдущего ввиду Н ~ GIG следует I
полнота подгруппы Н. Таким образом, в подгруппе Н 1
при произвольном п должно иметь решение уравнение I
пх = h, h ЕЕ Н. Но если, например, h (р) Ф 0, то это I
уравнение не может иметь решений при п — р. Получен- 1
ное противоречие доказывает наше утверждение относи- щ
тельно G. I
В периодической абелевой группе G совокупность Gv 1
всех р-элементов, т. е. элементов, порядки которых есть 1
степени фиксированного простого числа р, образует 1
подгруппу. Очевидно, Gv — максимальная /)-подгруппа 1
в G; она называется также примаркой р-компокентой 1
группы G. I
10.1.2. Упражнение. Периодическая абелева I
группа разлагается в прямую сумму своих примарных ком- 1
понент. 1
Ввиду 10.1.2 при и учении периодических абелевых §
групп — по крайней мере в постановке и решении вопро- М
са о разложимости — достаточно рассматривать р-группы. т
Поэтому в настоящем параграфе мы ограничимся форму- щ
лировкой и доказательством некоторых предложений от- щ
носительно р-групп, хотя соответствующие обобщения Я
на периодические группы можно было бы легко устано- :Щ
вить. щ
В связи с теоремой о разложимости конечно порожден- щ
ной абелевой группы в прямую сумму циклических под- 1
групп естественно возникает вопрос о существовании та- М
кого разложения в произвольной абелевой р-группе без щ
полных подгрупп. В общем случае вопрос решается отри- щ
цательно, однако имеются полезные признаки, при вы- Я
полнении которых абелева р-группа разлагается в пря- щ
мую сумму циклических подгрупп. щ
10.1.3. Приме р. Пусть G = 2 {ап) — прямая сум- щ
п Щ
ма циклических подгрупп (ап) порядков|ап| - рп, п = 1, щ
2, . . ., и Ъп = р71"1 ап. Положим Л^=гр(сх, . ._., сп, . . .), 1
где сп = Ъп — Ъп+1, и докажем, что группа G = GIN не Щ
содержит нетривиальных полных подгрупп и не разла- т
гается в прямую сумму циклических ^шдгрупп. щ
В самом деле, фактор-группа G/Nl9 где Л\ = NJN, Щ
N% = (&1» Ю* по конечной подгруппе Nx разлагается 1

§ ю]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
85
bv прямую сумму циклических подгрупп (апэ Л'^/Л^,
а = ап + -W- Легко показать, что такие группы не имеют
отличных от нуля полных подгрупп.
Так как bt_+ N = bi+1 + N, то рп~х ап =- а± и,
значит, в группе G для произвольного числа п и
фиксированного элемента ах решается уравнение рпх =- ах. Однако
прямые суммы циклических р-групп таким свойством,
очевидно, не обладают. Поэтому G не может разлагаться в
прямую' сумму циклических подгрупп.
Напомним, что периодом р-группы G называется такое
число р", что рп G = 0, но рп~^ф 0.
10.1.4. Упражнение. Абелева группа простого
периода р разлагается в прямую сумму циклических
подгрупп.
Указание: воспользоваться трансфинитной
индукцией или рассмотреть абелеву группу периода р как
линейное пространство над полем GF (р) и применить
теорему линейной алгебры о разложимости пространства в
прямую сумму одномерных подпространств.
10.1.5. Первая теорема Прюфера.
Абелева р-группа конечного периода разлагается в прямую
сумму циклических подгрупп.
Доказательство будем вести индукцией по
периоду группы. Ввиду 10.1.4 сразу предполагаем, что
теорема истинна для групп периода <[ рп, и
рассматриваем абелеву группу G периода рп.
Так как подгруппа pG имеет период р91"1, то по
индуктивному предположению она разлагается в прямую
сумму циклических подгрупп: pG = 2 (аг)- Обозначим через
xt решение уравнения рх — at — которое, разумеется,
существует в группе G — и положим Н = {xt | i e= /).
Заметим, что Я = 2 (^(доказать!). Пусть, далее, В —
максимальная подгруппа, пересекающая Н по нулю, и
пусть G Ф Н + В. Возьмем элемент g ЕЕ G, не
содержащийся в Н + В. Из построения подгруппы Н видно, что
уравнение рх = pg имеет в Н хотя бы одно решение, на-,
пример, h. Элемент gx = g — h не принадлежит сумме
Н + В и pgx = 0. По выбору подгруппы В пересечение
Н f] (g9 В) не равно нулю. Это означает, что некоторый
ненулевой элемент hx ЕЕ Н можно представить в виде

§0 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ |.Гл. з
li\ — kgx + fei, friEE 5X, 0 < /c < p. Отсюда, если sk == 1
(mod p), то gx = s&gj. = sfex — sbi e= Я 4 5, что
противоречит предположению относительно элемента gt.
Таким образом, G = Н @ В.
Так как подгруппа Я по построению, а подгруппа В
ввиду 10.1.4 разлагаются в прямые суммы циклических
подгрупп, то аналогичным разложением обладает и
группа G, Теорема доказана.
Говорят, что элемент g Ф 0 абелевой р-группь! G имеет
в G конечную высоту h, если уравнение рпх = g
разрешимо только при п <; h. Если уравнение рпх = g имеет
решение при любом п, то высота g считается по
определению бесконечной.
В терминах высоты мы сформулируем и докажем еще
один достаточный признак разложения абелевой р-груп-
пы в прямую сумму циклических подгрупп. Но прежде
чем формулировать признак, введем полезное понятие
сервантной подгруппы.
Подгруппа А группы G называется сервантной, если
для произвольного числа п и всякого элемента а ЕИ А
из разрешимости уравнения пх= а в группе G следует
разрешимость этого уравнения в подгруппе А.
10.1.6. У п р а ж н е н и е. В прямой сумме абелевых
групп каждое из слагаемых сервантно.
10.1.7. Упражнение. Периодическая часть
абелевой группы G сервантна в G.
10.1.8. Упражнение. Подгруппа А абелевой
р-группы G сервантна тогда и только тогда, когда
разрешимость произвольного уравнения типа рпх = а, а ЕЕ А,
в группе G влечет разрешимость этого уравнения в А.
10.1.9. Упражнение. В абелевой группе G с
условием nG = 0 подгруппа А сервантна тогда и только
тогда, когда для всякого делителя т числа п и любого
аЕ4 разрешимость уравнения тх = а в G влечет
разрешимость этого уравнения в подгруппе А.
10.1.10. Упражнение. Пусть сервантная
подгруппа А абелевой группы G определяет циклическую
фактор-группу GIA — {g + А). Тогда в смежном классе
g + А существует такой элемент gx, что \ gi\ = \ G/A |.
10.1.11. Упражнение. Если фактор-группа
абелевой группы G по сервантной подгруппе А разлагается

§ to!
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
87
в прямую сумму циклических подгрупп, то А выделяется
в G прямым слагаемым.
Указание: использовать упражнение 10.1.10.
10.1.12. Теорема (Прюфер — Л. Я. Куликов).
Если сервантная подгруппа А абелевой группы G имеет
конечный период, то она выделяется в G прямым слагаемым.
Доказательство. Согласно условию пА = 0
для некоторого числа п Ф 0. Отсюда и из сервантности А
следует A f] nG = 0.
Докажем сервантность подгруппы BlnG, где В = А +
+ nG, в фактор-группе GlnG. Для этого предположим,
что уравнение тх = а + nG, а ЕЕ А, имеет в GlnG решение
g + nG. Ввиду 10.1.9 число т можно считать делителем
п, п = ттг.
Из соотношения т (g + nG) —■ а + nG вытекает
равенство mg = а + ngx и, значит, а — т (g — т^х).
Отсюда и из сервантности А следует существование в А
такого элемента аг, что а = таг. Но тогда элемент ах +
+ nG удовлетворяет уравнению тх --=- а + nG.
Так как BlnG сервантна в GlnG, а фактор-группа
группы GlnG no BlnG по первой теореме Прюфера
разлагается в прямую сумму циклических подгрупп, то
согласно 10.1.11 подгруппа BlnG выделяется прямым слагаемым,
GlnG = BlnG © C/nG. Отсюда G = А © С, что и
требовалось доказать.
10.1.13. Следствие. Если периодическая часть Т
абелевой группы G имеет конечный период, то Т служит
для G прямым слагаемым.
10.1.14. Вторая теорема Прюфера.
Счетная абелева р-группа G без элементов бесконечной
высоты разлагается в прямую сумму циклических подгрупп.
Доказательство. Ввиду счетности G нижний
слой А — (g ЕЕ G\pg — 0) также счетеи, и поэтому
существует такая последовательность подгрупп
0 = A0<At<. . . <ЛП<. . .,
что у Ап = А и \Ап+1:Ап\ = р.
П
Пусть Ах -— (а±) и Ьх — решение уравнения phlx = аг,
где hx — высота элемента аг. Как легко заметить,
подгруппа (ftj) сервантна в G и, следовательно, G
разлагается в прямую сумму G = (bi) © Вх. Очевидно,

ЛБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. 3
А2 = А1 + (А2 П Вх) и высота h2 ненулевого элемента
а2 ЕЕ А2 (~) Вх в G совпадает с высотой этого элемента в
подгруппе Вх.
Обозначим через Ъ2 ЕЕ Вх решение уравнения
ph*x = a2. Как и прежде, существует прямое разложение
В± - (Ьа) © В21 причем G = (Ъх) ф (Ьа) © 52.
Продолжая аналогично процесс построения подгрупп
(Ьп) и Вп, получим прямую сумму С = (Ьг) © (Ь2) © . . .
и последовательность подгрупп Bx^> В2^> . . ., такие,
что G - (Ъх) © ... © (Ьл) ШВ.и^П^^О.
Докажем, что G = С. Пусть g ^ G, \ g \ = рт.
Выберем тг, для которого pm~1g Ez Ап. Пусть g = с + Ь,
с S (Ьх) + . . . + (Ьл), Ъ ЕЕ Яд. Так как /Л"1 6Ginfl
р] 5Д = 0, то | Ь | <^ | g | и, значит, можно считать уже
доказанным, что b ЕЕ С. Но тогда и g ЕЕ С. Теорема
доказана.
Отказаться от условия счетности во второй теореме
Прюфера нельзя, как показывает следующий
10.1.15. Пример. Пусть р — простое число,
G = ]>jZ n, T — периодическая часть группы G. Очевидно,
п Р
Т является /^-группой без элементов бесконечной высоты
и имеет мощность континуума. Докажем, что Т не
разлагается в прямую сумму циклических подгрупп. Пусть,
напротив, Т = 23 iai)- Ввиду несчетности Т найдется
i<ai
такое бесконечное подмножество I± cz /, что порядки
элементов подгруппы А = 2 (аг) ограничены в совокупно-
сти — скажем, числом р*. Так как А в группе Т
выделяется прямым слагаемым, то высоты ненулевых
элементов подгруппы А в группе Т не превосходят к. Пусть Ьп —
порождающий элемент группы Z п. Для любого f ЕЕ А
f (п) е (рп~*Ьп) при п > к.
Так как компоненты функций / в прямом слагаемом Z п
принимают только конечное множество значений, а
подгруппа А бесконечна, то в Л найдутся такие различные
элементы Д, /2, что /х (п) = /2 (п) при 1 < п < 2к. Их
разность / ^ fx — /2 отлична от нуля, лежит в А и имеет в Т
высоту, большую к. Но это противоречит построению Д,

I
I
Глава i
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
§ 11. Силовские р-подгруппы
Изучая абелевы группы, мы видели, что их строение
во многом определяется строением максимальных р-под-
групп. В теории конечных групп максимальные
^-подгруппы также играют существенную роль. В этом
параграфе мы докажем следующую теорему Силова о
конечных группах: для каждой степени ра, делящей порядок
группы, существует подгруппа порядка ра, причем если
ра+1 делит порядок группы, то всякая подгруппа
порядка ра содержится в некоторой подгруппе порядка ра+1;
все максимальные ^-подгруппы попарно сопряжены в
группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта теорема,
доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872
году, явилась краеугольным камнем теории конечных
групп. Она неоднократно обобщалась в разных
направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и
за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в
честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а
часто и бесконечных) групп называются силовскими
р-под группами.
Из теоремы Силова вытекает, в частности, что
силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности
подгруппы порядка рг, где рг — максимальная степень р,
делящая порядок группы. Отметим, что если число т
делит порядок конечной группы G, но не является
степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп
порядка т — например, в знакопеременной группе JL4
порядка 12 нет подгрупп порядка 6, см. упражнение 11.2.2.
ИЛ. Теорема Силова. В доказательстве этой теоремы
нам понадобится понятие действия. Говорят, что группа
G действует на множестве М, если для каждых
элементов т ЕЕ М, g Ez G определен элемент mg €Е M, причем

90
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. k
(mgi) g% т (gig*) и те - т Для всех т ^ Mi £i> &> ^ G;
здесь ^ — единица группы G. Множество mG ^ {/?zg | £ ЕЕ
ЕЕ G} называется орбитой элемента 7П. Очевидно, орбиты
любых двух элементов из М либо совпадают, либо не
пересекаются, так что множество М разбивается па
непересекающиеся орбиты.
11.1.1. Теорема (Силов). Пусть G — конечная
группа, р — простое число. Существование. Для
каждой степени ра, делящей порядок G, в G существует
подгруппа порядка р*. Вложение. Если рЛ+1 делит
порядок G, то каждая подгруппа порядка ра из G вложена
в некоторую подгруппу порядка ра+1 из G. В частности,
силовские р-подгруппы из G — это в точности подгруппы
порядка рг, где рг — максимальная степень р, делящая
порядок G. Сопряженность. Все силовские
р-подгруппы из G сопряжены eG. Количество.
Количество силовских р-подгрупп из G сравнимо с 1 по модулю
р и делит порядок G.
Доказательство. Существование.
Пусть | G | = рг1, (р, I) = 1. Пусть 3R — множество всех
подмножеств мощности ра из G. Очевидно.
поэтому наибольшая степень р, делящая | 3R |, — это
рг_а. Если MGiS5,^EG, то, очевидно, Mg = {mg\ m ЕЕ
ЕЕ М) ЕЕ Ж, так что G действует на Ж правыми
сдвигами. Пусть {М1У. . ., Ms} — та орбита, мощность s
которой не делится на pr~a+i. Пусть, далее,
Gt = {g i g ЕЕ G, Mlg = Mt), 1 < i < s.
Непосредственно проверяется, что Gx — подгруппа
в G, a Gt — правые смежные классы G по Gv Покажем, что
подгруппа Gx имеет требуемый порядок р*. Обозначим
пока \GX\ = t, тогда по теореме Лагранжа 2.4.5 st — | G \ =
= рТ1. Так как наибольшая степень р, делящая s,—
это рг~а, то t делится на ра, в частности, t 3> ра. С
другой стороны, если х е= Мъ то, очевидно, xGx cz Мъ
поэтому \GX | <^ | М1 | или t <; ра. Окончательно t = р*.
В л о ж е н и е. Пусть py+l делит | G |, Р —-
подгруппа порядка рх из G, © — класс подгрупп, сопряженных

§ 11]
СИЛОВСКИЕ р-ПОДГРУППЫ
91
с Р элементами из G. Мы знаем, что-
| <£ | = | G : NG (P) |.
Если | © | не делится на р, то | NG (Р) | делится на pa+1, a
потому по первой части теоремы в NG (Р) IP существует
подгруппа Р*/Р порядка р. Тогда Р* — требуемая
подгруппа Р. Пусть теперь | © | делится на р. Группа Р
действует на (£ сопряжениями, причем мощности орбит
делят | Р |, а потому имеют вид рч, at > 0. Так как
имеется по крайней мере одна одноэлементная орбита {Р}
и | © | делится на р, то непременно найдется и другая
одноэлементная орбита {Q}. Но это означает, что Р
нормализует Q, поэтому PQ есть р-подгруппа (учесть, что PQIQ~
~ PIP П Q и расширение р-подгруппы посредством
р-подгруппы есть р-подгруппа). Применяя к PQ тот
внутренний автоморфизм группы G, который переводит Q
в Р, мы получим р-подгруппу Р'Р, содержащую Р в
качестве собственной нормальной подгруппы. Снова по
первой части теоремы в P'PIP найдется подгруппа Р*1Р
порядка р, тогда Р* — требуемая подгруппа.
Из доказанного утверждения вытекает, что силовские
р-подгруппы конечной группы — это в точности
подгруппы порядка рг, где рг — максимальная степень р,
делящая порядок группы.
Сопряженность. Теперь пусть Р—
подгруппа порядка рг из G (в частности, это силовская р-под-
группа), а (£ имеет прежний смысл. Надо доказать, что
любая силовская р-подгруппа Q из G лежит в (£. Но Q
действует на (£ сопряжениями, причем орбиты имеют
снова мощности ра% at > 0. Так как теперь |К| заведомо не
делится на р, то имеется некоторая одноэлементная
орбита {Р'}, т. е. Q нормализует Р'. Тогда P'Q есть
р-подгруппа, и ввиду максимальности Р', Q имеем Q =P'Q =■- Р' е ©.
Количество. В обозначениях предыдущего
пункта достаточно проверить, что {Q} — единственная
одноэлементная орбита. Но если {Q'} — другая такая орбита,
то QQ' является р-подгруппой, отличной от Q, что
невозможно. Теорема доказана.
Отметим, что иногда говорят не об одной, а о трех
теоремах Силова: утверждения о существовании и
вложении называются первой теоремой, о сопряженности —

92
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 4
второй, а о количестве силовских /?-подгрупп — третьей
теоремой Силова.
11.1.2. Упражнение. Группа порядка 196
содержит нормальную силовскую ^-подгруппу.
11.1.3. Упражнение. Силовские /^-подгруппы
бесконечной группы не всегда сопряжены в группе, т. е.
предположение конечности в теореме Силова
существенно.
Указание: рассмотреть прямую степень
группы #з
11.1.4. Упражнение. Пусть Р — силовская р-
подгруппа конечной группы G, Я — подгруппа,
содержащая нормализатор Ng (Р)- Тогда No (#) — Н.
11.2. Применение к группам порядка pq. Теорема
Силова часто дает весьма существенную информацию о
данной конечной группе, а группы не очень большие — в том
или ином смысле — позволяет описать полностью. В ка-'
честве иллюстрации дадим здесь описание групп
порядка pq.
Пусть /?, q — простые числа, р<^ q. Какой должна
быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы
из G, будучи подгруппами простого порядка, являются
циклическими. Пусть (а), (Ь) — соответственно силовские
р- и g-подгруппа. По теореме Силова число силовских
g-подгрупп в G имеет вид 1 + kq и делит pq, поэтому
силовская g-подгруппа (Ь) единственна. В частности, она
нормальна в G. Число силовских /?-подгрупп имеет вид
1 + кр и делит q, поэтому возможны два случая:
а) Силогская ^-подгруппа (а) единственна. Тогда она
нормальна и, значит, [а, Ъ] ЕЕ (a) f] (b) = 1. Так как
(ab)pq = apqbpl = 1, то G = (ab). Таким образом, в этом
случае G ~ Zpq.
б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это
возможно лишь при условии q = 1 (mod p). Пусть а~хЪа —
= Ът. Если г = 1, то снова G = (ab), т. е. G ~ ZPq. Пусть
г Ф 1. Индукцией по х получаем а~х Ъах = ЬгХ, откуда
а-*Ъуа* = Ь**у
для всех целых х, у. При х = р, у = 1 это дает г*> == 1
(mod q), кроме того, получаем формулу умножения
ахЪу.агЪ1 = ax+zbyrZ+t. (1)

§ 113
СИЛОВСКИЕ р-ПОДГРУППЫ
93
Обратно, легко проверить, что если q = 1 (mod p), rp =
== 1 (mod q), гф1 (mod q), то эта формула умножения
определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец,
решения сравнения гр = 1 (mod q) составляют циклическую
группу порядка р, поэтому те из них, которые ф 1 (mod q),
имеют вид г, г2,. . ., гр~\ где г — одно из них. Все эти
решения определяют одну и ту же группу, так как замена
порождающего а на aJ приводит к замене г на г3.
Таким образом, с помощью теоремы Силова мы
описали все возможные типы групп порядка pq; их
оказалось два — абелев и неабелев, причем второй существует
только при условии q = 1 (mod p).
11.2.1. Упражнение. Существуют только две
неизоморфные группы из 6 элементов — циклическая Z6
и симметрическая $3.
11.2.2. Упражнение. Знакопеременная группа
Л4 не содержит подгрупп порядка 6, хотя число 6 делит
ее порядок 12. Таким образом, теорему Лагранжа
2.4.5 нельзя обратить — факт, упоминавшийся в начале
параграфа.
Решение. Если бы подгруппа из 6 элементов
содержалась в vd4, то она была бы изоморфна Z6 или S3
(упражнение 11.2.1). Но никакая подстановка на 4 символах
не уожет быть порядка 6, поэтому первый случай
невозможен. Невозможен и второй, так как в 83 существуют
неперестановочные элементы порядка 2, а в А± их нет.
В самом деле, А± содержит три элемента порядка 2:
(12) (34), (13) (24), (14) (23), и все они попарно
перестановочны.
11.3. Примеры силовских р-подгрупп. Обратимся к
группам I — IV гл. 1.
11.3.1. Примеры. I. Аддитивная группа кольца
вычетов Zп разлагается в прямое произведение своих
силовских р-подгрупп, которые являются циклическими
подгруппами порядков рГ\. . ., p™s, если п имеет
каноническое разложение п = р™\ . . //*Ч
II. Силовская р-подгруппа мультипликативной
группы С* — это квазициклическая группа С «,.
III. Опишем силовские р-подгруппы симметрических
групп. Как мы знаем | 8п\ = п\ Каков максимальный
показатель е (п), при котором ре№ делит п\? В последова-

СЦ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
тельности 1, 2, . . ., п кратными р будут числа р, 2р, . . .
. . ., кр, где к = — , поэтому е (п) = — + е (/с). Так
Ш=И'то е {п)=[т]+й+• • • Удобно
как
разложить п по основанию р:
п = а0 + аур + . . . + asps, 0 < aL < р,
тогда
«■ (га) = сх + а2 (1 + />) + а3 (1 + Р + Р1) + ■ ■ ■
... + as (1 + р + . . . + р^).
(2)
(3)
Рассмотрим сначала группы 8П1 когда п — степень р.
Пусть в S т уже найдена силовская р-подгруппа, т. е.
подгруппа Нт порядка p1+-+Pm_1; построим по ней в 8 т+1
подгруппу Hm+i порядка pl+---+v . Для этого разобьем
переставляемые символы 1,2,..., pw+1 на последовательные
отрезки длины рт. Если
J
< = U(hPm +
],2pm + j,...,(p-l)pm + ])
3=1
их — подстановка на символах i-то отрезка, то легко
сообразить, что с~гхс — подстановка на символах (i -f 1)-
го отрезка (сложение по модулю р). Отсюда видно, что
подгруппа, порожденная подгруппами c~rHmcr, О <^ г << р,
является их прямым произведением и, стало быть,
подгруппа Нт+1, порожденная подгруппой Нт и элементом
с, изоморфна сплетению Нш г (с). Подгруппа #т+1 —
искомая, так как
\Нп
= \н„
= р!+-
• +р
Одновременно мы видим, что силовская р-подгруп-
па в S т изоморфна последовательному сплетению
(. . . (Zp£ Zp) г. . . ) г Zp циклической группы Zp с самой
собою т раз.
Теперь пусть п произвольно. Разобьем символы 1, . . .
. . ., п на а0 одноэлементных, аг р-элементных и т. д.
отрезков (см. (2)). На каждом из этих отрезков рассмотрим
симметрическую группу — она будет некоторой степени

§ 111
СИЛОВСКИЕ р-ПОДГРУППЫ
95
р"\ а в ней возьмем силовскую /^-подгруппу, построенную
как выше. Так как эти подгруппы действуют на
непересекающихся множествах, то их порождение Рп
является их прямым произведением, а потому имеет порядок
s
\Рп\-= П (jD1 + P+"-+P7n"1)U,n = pw>
?n=l
(см. (3)). Следовательно, Рп — силовская р-подгруппа
в 8п. Из построения видно, что она изоморфна прямому
произведению нескольких последовательных сплетений
типа (. . . (Zp eZp) г . . .) г Zp.
IV. Рассмотрим, наконец, общие линейные группы над
конечными полями. Пусть р — простое число, т, п —
целые числа > 1 и q = рт. Покажем, что UTn (q) —
силовская р-подгруппа группы GLn (g). Подсчитаем
порядки этих групп.
Какие п-ки над полем OF (q) могут быть первой
строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме
пулевой, т. е. qn — 1 штук. Если первая строка выбрана,
то в качестве второй строки можно взять любую, не
пропорциональную первой; таких строк qn — g. Если две
первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно
взять любую строку, не зависящую линейно от первых
двух; это дает qn — q2 возможностей. И так далее.
Значит,
п—1
|G£»(?)i= П (?"-?')• w
Так как угловые элементы матриц из UTn (q)
пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых
2 С2
мест Сп, то | UTn (q) | = q n. Из сравнения порядков мы
видим, что UTn (q) — силовская р-подгруппа в GLn (q).
11.3.2. Упражнение. Выписать подстановки,
составляющие силовскую 2-подгруппу группы 54.
11.3.3. Упражнение. Пусть р — простое число,
т, п — натуральные числа, JPn (Z т) — совокупность тех
матриц из GLn (Zpm), коэффициенты которых, стоящие
под главной диагональю, кратны р, а на диагонали —
сравнимы с 1 по модулю р. Проверить, что JPn (Zp™) —
силовская ^-подгруппа в GLn (Zp™).

%
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 4
Указание: с помощью гомоморфизма G Ln (Z ».)->■
-> GLn (Zv) вывести формулу
п—1
I OLn (Zpm) | = П (Ртп - Pnn~n+i). (5)
В заключение отметим в виде упражнений несколько
общих замечаний.
11.3.4. Упражнение. Пусть ф — гомоморфизм
Конечной группы G. Если Р — силовская р-подгруппа
из G, то Рф — силовская р-подгруппа из Сф. Обратно,
всякая силовская р-подгруппа из G* является образом
некоторой силовской р-подгруппы из G. Это замечание
бывает полезно в индуктивных доказательствах.
11.3.5. Упражнение. Произведение двух
элементов порядка р может иметь как конечный порядок, не
делящийся на р, так и бесконечный порядок. Таким
образом, элементы порядков />а при данном р не всегда
составляют подгруппу.
11.3.6. Упражнение. Пусть G — конечная труп-
па и А <; G. Если индекс | G : А | меньше некоторого
простого делителя р порядка группы G, то пересечение
П Ag, g ЕЕ G, содержит силовские /?-подгруппы группы
Си, в частности, отлично от единицы.
§ 12. Простые конечные группы
Подобно тому как натуральные числа получаются из
простых чисел посредством умножения, так и любую
конечную группу можно построить из простых конечных
групп посредством расширений. В самом деле,
рассмотрим в конечной группе G субнормальный ряд без
повторений
1 = G0 < Gx < . . . < Gm = G,
т. е. ряд подгрупп, в котором каждый предыдущий член —
собственная нормальная подгруппа следующего члена.
Если некоторый фактор Gi+1/Gt не является простой
группой, то, взяв в нем собственную нормальную
подгруппу H/Gi, можно уплотнить ряд вставкой Gt < Н <
< Gi+ъ поэтому в неуплотняемом без повторений
субнормальном ряду все факторы просты* В этом смысле

& 12J
ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
97
простые конечные группы — это те строительные блоки,
из которых можно собрать произвольную конечную
группу, хотя в отличие от чисел результат не определяется
здесь только составляющими блоками, а зависит от
способа сборки. Тривиальный пример простых групп —
циклические группы простого порядка; очевидно, это
единственные простые группы, являющиеся абелевыми.
Классификация простых конечных групп —- чрезвычайно
важная и, пожалуй, в настоящее время главная
проблема в теории конечных групп, хотя она не исчерпывает
всего содержания этой теории. Наступление ведется в
нескольких направлениях: одни развивают общие —
«индустриальные» — методы, стремясь к тому, чтобы
научиться единообразно получать все простые конечные группы,—
сюда примыкают и тонкие работы по отождествлению
групп, полученных разными способами, — другие,
напротив, полагаясь на интуицию и старательское счастье,
ищут отдельные примеры — ценность каждой новой
простой группы сейчас необычайно высока,— третьи
проводят классификацию при тех или иных дополнительных
условиях, — например, при заданной сгловской /?-под-
группе, и т. д. Не так давно пала знаменитая проблема
Бернсайда, полвека остававшаяся неприступной,— Файт
и Томпсон доказали (W. Feit, J. G. Thompson, Pacif.
J. Math. 13, № 3 (1963), 775—1029), что каждая
нециклическая простая конечная группа содержит четное число
элементов.
Настоящий параграф преследует скромную цель —
указать две классические серии простых конечных групп—
знакопеременные группы и проективные специальные
линейные группы. Приводимые здесь доказательства ку-
старны и не дают представления об упоминавшихся
индустриальных методах. Хороший обзор современного
состояния этой области и таблицу известных простых конечных
групп можно найти в [7, 10, 15].
12.1. Знакопеременные группы. В этом пункте
систематически используются следующие факты из гл. 1:
формула
\xG\ = \G: NG Or) |
и утверждение, что подстановки одинакового
циклического строения составляют в группе $п один, а в группе
А М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

98 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
Ап — один или два равномощных класса сопряженных
элементов.
12.1.1. Теорема (Галуа). При п Ф 4
знакопеременная группа Ап проста. Группа А± не проста.
Доказательство. Мы рассмотрим группы Ап
при малых п непосредственно, а для п ^> 7 дадим общее
доказательство простоты. Этот путь не является
кратчайшим, но зато позволяет ближе познакомиться со
знакопеременными группами малых степеней.
Группы Аг, А2, А3 имеют порядки 1, 1, 3
соответственно, а потому просты.
Группа А± не проста, она обладает
полициклическим рядом с факторами порядков 2, 2, 3 — см. 4.4.1.III.
Группа Аь. Перечислим все классы сопряженных
элементов из Аъ и проверим, что никакое их
объединение не может дать собственной подгруппы, этим и будет
доказана простота группы Аъ. Рассмотрим возможные
типы циклического строения элементов из Аъ.
а) Элементы типа х = (123). В группе 8Ь, а потому
и в Аъ, таких элементов -^-•5«4«3 = 20. Все они
сопряжены в #5, а потому | Sb : Nab (х) | = 20. Так как | -8Ъ | =
= 120, то | Ns6 {х) | = 6. Ясно, что степени х и
транспозиция (45) нормализуют х, поэтому
#,,(*) = {!. (123)> (132)> (45)> (123)(45), (132)(45)}.
Так как последние три подстановки нечетны, то
| Л^5 (х) | = 3, откуда | Аъ : NАъ (х) \ = 20, т. е. циклы
типа (123) составляют один класс сопряженных элементов
и в Аъ.
1 5-4 3*2
б) Элементы типа у = (12) (34). Всего их -^-- —^ ^- =
= 15 штук, и, значит, их невозможно разбить на 2 равно-
мощных класса. Поэтому все эти элементы сопряжены
в Аь.
в) Элементы типа z = (12345). Всего их —-51= 24,
поэтому | Ns6 (z) | = 120 : 24 = 5, т. е. нормализатор z
исчерпывается степенями z. Так как все они четны, то
| Nas (z) | = 5, поэтому в Аъ с элементом z сопряжено
60 : 5 == 12 элементов, а все циклы длины 5 разбиваются
на два класса сопряженных.

§ 12] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 99
Наши подсчеты показывают, что если Н —
нормальная подгруппа в Аъ, то
\Н\ = 1 + 20г + 155 + 12*,
О <г< 1, 0<*< 1, 0<*<2.
Перебрав все 12 возможностей для г, s, t и учитывая, что
IН I должно делить | Аъ\ = 60, мы заключаем, что
Я I = 1 или | Н | = 60. Этим доказана простота
группы Аъ.
Дальше нам потребуется следующее замечание:
г) Если п ;> 5 и Н — нормальная подгруппа из Ап,
содержащая тройной цикл, то Я = Ап. Поскольку группа
Ап порождается тройными циклами, то достаточно
проверить, что произвольный цикл (ijk) сопряжен в Ап с циклом
(123). Если эти два цикла имеют общий символ, то они
в действительности передвигают не более чем 5 символов,
а потому лежат в подгруппе А из Ап, оставляющей п — 5
символов неподвижными. Очевидно, А ~ Аъ, поэтому
цикл (ijk) сопряжен с (123) уже в А — см. а). Если же
циклы (ijk), (123) не имеют общих символов, то можно перейти
от первого ко второму через цикл (12/с).
Группа А6. Пусть Н — неединичная нормальная
подгруппа из А*. Рассмотрим два случая.
д) Никакая подстановка из Н, отличная от 1, не имеет
неподвижных символов. Очевидно, есть два различных
типа циклического строения таких подстановок —
(12)(3456) и (123)(456). Подстановок первого типа в
действительности не может быть в Н, так как их квадраты
обладают неподвижными символами. Легко проверить, что
подстановок второго типа 40. Так как в А6 они
распадаются в один или два равномощных кдасса
сопряженных, то | Н | = 1 + 20г, где г = 1 или 2. Мы видим,
нто | Н | не делит | А% \ = 360, как это должно быть
по теореме Лагранжа 2.4.5, поэтому случай д) в
действительности невозможен.
е) Некоторая неединичная подстановка х из Н имеет
неподвижный символ i. Пусть А — совокупность всех
подстановок из А6, оставляющих i на месте. Очевидно,
А ~ Аь, так что А — простая группа. Так как A f| H —
нормальная подгруппа в А, содержащая неединичные
элементы — например, я,— то A f) H = А. Отсюда А <#,
а*

100
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 4
подгруппа Н содержит тройные циклы и согласно
г) совпадает с А6.
Группа Ап, п > 7. Пусть Н — нормальная подгруппа
из Ап, отличная от 1. Покажем, что Н = Ап. Пусть х —
неединичный элемент из Н, у — тройной цикл, не
перестановочный с х. Тогда z = у'1 (x~iyx) — неединичный
элемент из Н, разлагающийся в произведение двух
тройных циклов и потому передвигающий самое большее
6 символов, Пусть А — совокупность всех подстановок
из АП1 оставляющих другие п — 6 символов
неподвижными. Тогда А ~ AQ и доказательство заканчивается так
же, как в пункте е), ввиду простоты А6. Теорема доказана.
12.1.2. Упражнение. Если п — произвольное
кардинальное число, то знакопеременной группой степени п
называют группу Ап тех преобразований множества
мощности и, каждое из которых действительно передвигает
лишь конечное число символов и разлагается в
произведение четного числа транспозиций. Повторяя
доказательство теоремы Галуа, доказать простоту Ап при
В связи с этим упражнением отметим следующее.
Пусть М — множество мощности fr$v» Sp (M) —
совокупность тех отображений из S (М), которые в
действительности передвигают множество символов мощности <Ki^-
Ясно, что ряд
1 <Л^<80(М) <S1(M) <...
. . . <S,(M) <S(M) (1)
состоит из нормальных подгрупп группы S (М).
Оказывается, членами ряда (1) исчерпываются все нормальные
подгруппы группы 8 (М) (см. [19], стр. 321). В частности,
фактор 8 (M) I $v (M) — простая группа.
12.2. Проективные специальные линейные группы.
Пусть К — поле. Фактор-группа JPSLn (К) специальной
линейной группы 8Ln (К) по ее центру — подгруппе
скалярных матриц — называется проективной специальной
линейной группой. Эти группы — над конечными
полями — были введены в числе других серий групп Жорда-
иом (1870), который установил их простоту. Неточности
в первоначальном доказательстве Жордана устранил
Диксон.

§ 12]
ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
ЮГ
12.2.1. Упражнение. Дробно-линейные функции
/(x)==^+i
J х ' сх + d
с коэффициентами из поля К и определителем ad — be = 1
составляют относительно суперпозиции группу,
изоморфную группе PSL2 (К).
12.2.2. Упражнение. Проверить формулы:
п—1
|^«(?)| = АП(?П-Д (2)
п—1
| Р^п (д) | = ^-^jy П (Яп ~Я% где d = (n, q - 1). (3,)
Указание: рассмотреть #2у как ядро
гомоморфизма det и воспользоваться формулой (4) предыдущего
параграфа, а также упражнением 3.1.6.
Мы предполагаем, что начальные сведения о конечных
полях известны читателю из общего курса алгебры. Еще
нам понадобится
12.2.3. Лемма. В каждом конечном поле К уравнение-
х2 — у2 — а разрешимо при любом свободном члене а из К.
Доказательство. Если поле К имеет
характеристику 2, то оно состоит из корней уравнения z2m —
— z = О, а потому каждое а из К — квадрат. Если
характеристика К не равна 2, то система уравнений х +
+ 1/ = а, х — у = 1 разрешима в К. Ее решение и будет
решением уравнения х2 — у2 = а. Отметим, что при
характеристике Ф 2 рассуждение сохраняет силу для
произвольного поля (не обязательно конечного).
12.2.4. Теорема (Жордан — Диксон). Для всякого
конечного поля К группа PSLn (К) проста, за исключением
двух случаев: PSL2 (2) и PSL2 (3).
Доказательство, а) Рассмотрим сначала
случай п = 2. Ввиду (3) группы PSL2 (2), PSL2 (3) имеют
порядки 6, 12, а потому не просты — см. упражнение
11.2.1 предыдущего параграфа и упражнение 13.2.4
следующего. Пусть теперь | К | > 4. Пусть Я — нормальная
подгруппа из $L2(K), содержащая все скалярные
матрицы (т. е. ± е) и хотя бы одну нескалярную матрицу а.
Нам надо показать, что Н = SL2 (К).

102 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 1Гл. 4
б) Подгруппа Н содержит трансвекцию t12 (Я) при
некотором X Ф 0. В самом деле, пусть сначала а21 = 0, т. е.
а =
Если а2 = 1, то искомой трансвекцией будет ± а, если
же а2 Ф 1, то годится коммутатор [а, £12] = t12 (1 — а2).
Здесь и ниже ttj обозначает t(j (1).
Пусть теперь а21 Ф 0. При любом ненулевом р из К
и однозначно определенном * матрица
ъ=№ \)
\«2lP — «UP/
лежит в SL2 (К), поэтому Н содержит матрицу
с = — Ь_1а6. а = Р2 .
Если \ К \ Ф 5, то существует Р с условием р4 Ф 1,
поэтому в качестве искомой трансвекции опять годится
коммутатор [с, t12] = t12 (1— р4). Остается разобрать случай,
когда \К\ = Ъ. Возьмем Р = 1, тогда с = t121 (а1г + а22))
Если след матрицы
tr а = ап + а22 ф 0,
то с — искомая трансвекция. Если же tr а = 0, то надо
заменить а на матрицу а* = [а, t12], для которой
заведомо
tr а* = 2 + all ^ 0*
в) Подгруппа Н содержит все трансвекции, а потому
совпадает с 8L2 {К). Действительно, Н содержит все
трансвекции вида t12 (*), так как
(Т °) tia(X)\T °j = *u(V),
tu (V) *u (W1 = *и (А- (Р2 - б2))

§ 12]
ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
103
и р2 __ а2 пробегает всё К при произвольных р, о (см.
12.2.3). Наконец,
Этим рассмотрение случая я = 2 заканчивается.
г) Рассмотрим теперь случай, когда п > 3, if —
произвольное поле. Пусть снова Н — нормальная
подгруппа из $Ln(K), содержащая все скалярные матрицы
и некоторую нескалярную матрицу а. Надо убедиться,
что Н = SLn (К). В последующих выкладках мы
советуем читателю записывать каждую матрицу w в виде
w = ^wrsers и пользоваться таблицей умножения
матричных единиц|(1) из 3.1.1. Так как матрица а не скаляр-
на, то она не перестановочна по крайней мере с одной
трансвекцией ttj. Меняя, если надо, нумерацию строк
и столбцов, будем считать, что х = [a, t21] Ф е.
Обозначим еще у = а"1, тогда непосредственные вычисления
показывают, что
'* 2/12Я12 • • • г/12*1гЛ
X = в —
* £722а12 * ' * Ужа1п
д) Подгруппа Н содержит неединичную матрицу
0
В самом деле, если а13 = ... = а1п = 0, то можно взять
z = х. Если же некоторое а11с Ф 0, к Ф 1, 2, то годится
z = /~fc и'1 xuf21CJ где
и =
— е — — ^j аиечи /2й = ^ — ^22 — еш + Чъ — ек2-
i=2
е) Подгруппа Я содержит неединичную матрицу
0

Щ/| КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
В самом деле,
[Z, r3lJ = е (2Ц Ч е3\ ^12^32?
[Z, t32\ = в 22i^31 (222 Ч е32*
Если хотя бы один из этих коммутаторов отличен от е,
то он и годится в качестве v. Пусть оба коммутатора
равны е. Тогда
'1 0
0 1
, *
0
е 4
Если п — 3 или ztl = zi2 = 0 для всех i > 4, то годится
v — z. Если же, скажем, z41, £42 не равны0 одновременно,
то в качестве v годится коммутатор
U, tM\ = е 241^з1 — z42^32*
ж) Подгруппа Н содержит по крайней мере одну транс-
векцию. В самом деле, если v32 = 0, то годится сама v.
Если же и32 Ф 0, то годится
hi (^Г1 vt2l (к) = е + (v31 + %v32) e31 + v32e32
при подходящем X.
и) Подгруппа Н содержит все трансвекции, а потому
совпадает с SLn (К). В самом деле,
fiktij(k)fik = % (^), flj hj (X) fij = tn{ — %),
dik (li)~ltij (h) dik (u.) = ^ (fyi),
где i, 7, A:, Z — попарно различные символы, /^- = e —
— £^ — еш -f- efft — e^, dik (u.) —диагональная
матрица, содержащая на t-м, к-м диагональных местах
соответственно элементы 1/jx, \i Ф О, а на остальных — единицы.
Теорема доказана.
В действительности она верна и без слова «конечного»:
для п ;> 3 мы по существу доказали это, так как в
пунктах г) — и) конечность поля не использовалась; при п = 2
мы опирались на лемму 12.2.3, в которой конечность поля
существенна, однако имеются пути, обходящие эту лемму
[1, 37].
По поводу методов отметим еще, что в п. 12.1 нам
удалось доказать простоту Лъ из очень грубых соображений —

§ 12]
ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
105
мы перечислили все классы сопряженных элементов и
обнаружили, что, как бы их ни объединять, мощность
объединения не может делить порядок группы, если объединение
не единица и не вся группа. Рассуждение а) — и) этого
пункта — более типичный и в принципе универсальный
путь доказательства простоты: взяв в нормальной
подгруппе Н элемент а, о котором мы знаем только, что он
отличен от единицы (bJPSL), и учитывая, что умножение
и обращение, а также сопряжение и коммутирование
произвольным элементом группы не выводят нас за
пределы Я, мы постепенно вытягиваем из Н всё новые и
новые элементы, пока не обнаружим там все порождающие
элементы группы. Философ, снизошедший до теоремы
Жордана — Диксона, мог бы так резюмировать идею
приведенного доказательства: ухватившись за данное
звено, вытаскиваем всю цепь. К сожалению, эта
руководящая идея оставляет в тени способ вытаскивания.
12.2.5. Упражнение. В связи с теоремой
Жордана — Диксона естественно спросить, не получим ли мы
новые простые конечные группы, если в определении
PSLn (К) возьмем вместо поля К кольцо вычетов Zm? Эти
надежды несостоятельны: если т — простое число, то мы
возвращаемся к случаю поля, если же т составное, то
группа PSLn (Zm) не проста.
12.2.6. Упражнение. Указать группу, центр
которой определяет простую фактор-группу, но не
выделяется прямым множителем.
Решение. Если бы в группе G = SL2 (5) центр Z,
состоящий из матриц ± е, имел прямое дополнение Н, то
одна из матриц
лежала бы в Н, где£ —порождающий мультипликативной
группы поля из 5 элементов. Но тогда квадрат —е этой
матрицы лежал бы в пересечении Z f) H, что невозможно.
Томпсон (J. G. Thompson, Pacif. J. Math. 14, № 1
(1964), 363—364) назвал подгруппу А конечной группы G
2-сигнализатором группы G, если порядок | А | и
индекс | G : NG (А) | нечетны. Там же он высказал гипотезу,
что 2-сигнализаторы простых конечных групп всегда абе-

106 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
левы. Мы закончим параграф примером, опровергающим
эту гипотезу. Он принадлежит В. Д. Мазурову (Алгебра
и логика 7, № 3 (1968), 60—62) и использует только
простоту JPSL.
12.2.7. Пример. В простой группе PSL1 (q), где q
нечетно, существуют неабелевы 2-сигнализаторы.
Действительно, рассмотрим в G= SL7 (q) подгруппы А, В,
состоящие соответственно из всевозможных матриц вида
где ек — единичная матрица степени к и клеточное
разбиение оба раза одно и то же. Ввиду формулы (2) этого
параграфа и формулы (4) предыдущего параграфа
IG | = у^у- {q1 - 1) (q7 - q). . . (g7 - g6), | A \ = степень g,
\B | = (g2 -l)(g2 - g)(g4-l)(g4 - g)(g* - д2)(д* -g3).
Отсюда непосредственно видно, что | Л [, \ G : В \ —
нечетные числа. Ясно, что В нормализует А, поэтому
индекс J G : Nq (A) | нечетен. Если ф — факторизация
группы G по ее центру Z, то порядок подгруппы Лф и
индекс ее нормализатора в 6?ф тоже нечетны, т. е. А® есть
2-сигнализатор в PSL7(q). Но A f] Z = 1, поэтому
группа Лф изоморфна А и, значит, неабелева.
§ 13. Группы подстановок
В заключение главы рассмотрим группы
подстановок — важный и исторически первый пример групп. Они
были введены в науку Эваристом Галуа для изучения
условий разрешимости алгебраических уравнений в
радикалах — с каждым алгебраическим уравнением он
связал некоторую группу подстановок корней, свойства
которой и определяют ответ на вопрос о разрешимости.
В 1870 году появился фундаментальный трактат Жорда-
на о группах подстановок, содержащий ясное и
подробное изложение идей Галуа, а также многочисленные
свойства подстановок. Лишь к началу XX в. современное
абстрактное понятие группы освободилось от этих
пелёнок, а группы подстановок постепенно заняли их нынешнее

§ 13]
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
107
скромное положение в общей теории. Вообще, группы
подстановок естественно возникают всюду, где изучается
симметрия «конечно определенных» объектов — например,
с каждым кристаллом можно связать группу его вращений,
записываемых подстановками вершин. Детальнее с
группами подстановок можно познакомиться по книге [40].
13.1. Регулярное представление. Оказывается,
подстановки дают исчерпывающий пример конечных групп.
13.1.1. Теорема (Кэли). Всякая конечная группа
изоморфна некоторой группе подстановок.
Доказательство. Пусть G — конечная
группа, которую мы хотим изобразить подстановками.
Подстановками чего, какого множества? — вот первый вопрос,^
который возникает. Возьмем в качестве этого множества
саму G, поскольку ничем другим мы не располагаем.
Пусть g — элемент из G. Какую подстановку g ему
сопоставить? Ее первая строка уже выбрана — это элементы
из G, как-нибудь занумерованные. Умножим их справа
на g и запишем полученные элементы во вторую строчку.
Из групповых аксиом следует, что элементы второй
строчки попарно различны, так что g — действительно
подстановка. Остается проверить, что отображение " является
изоморфизмом. Но, во-первых, это гомоморфизм, т. е.
ab = ab для всех a, b ЕЕ G.
Действительно, на каждый элемент х ЕЕ G обе части
равенства действуют одинаково:
xab = x(ab) = (ха) Ь = (ха) Ъ = х (ab).
Во-вторых, ядро отображения ~ тривиально: если g = 1,
то подстановка g переводит символ 1, с одной стороны,
в g, а с другой — оставляет на месте, поэтому g = 1.
Теорема доказана.
13.1.2. Упражнение. Всякая конечная группа
вкладывается в простую конечную группу.
Если в доказательстве теоремы Кэли не предполагать,
что группа G конечна, то с помощью того же
представления правыми сдвигами — оно называется регулярным
представлением группы G — получается
13.1.3. Обобщенная теорема Кэли.
Всякая группа изоморфна группе взаимно однозначных

108 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
отображений — «бесконечных подстановок» — некоторого
множества на себя.
Представление абстрактных групп подстановками
бывает полезно в самых различных вопросах, и не только
в теории конечных групп.
13.1.4. Пример. О теоремах вложения. Часто
возникает потребность вложить данную группу G в некоторую
большую группу G* с тем или иным интересным
свойством,— например, с одним из следующих свойств:
а) G* — простая группа,
б) в G* из каждого элемента извлекаются корни
произвольной степени, т. е. уравнение хп = g разрешимо
в G* для любого g из G* и любого натурального п,
в) любые два элемента из 6?*, имеющие одинаковый —
конечный или бесконечный — порядок, сопряжены в С7*.
Читатель без труда увеличит этот список,
руководствуясь своим собственным пониманием интересного.
В двух совместных работах авторов и В. Н. Ремеслен-
никова (ДАН СССР 134, № 3 (1960), 518-520; Уч. зап.
Пермского ун-та 17, № 2 (1960), 9—11) был предложен путь
доказательства теорем вложения, состоящий в том, что
группа, предварительно представленная подстановками,
вкладывается в группу подстановок, в некоторой мере уже
обладающую требуемым свойством (простотой, корнями,
сопрягающими элементами и т. п.), после чего дело
завершает индукция, иногда трансфинитная. Такой путь
удобен тем, что конкретное представление абстрактной
группы подстановками конкретизирует — и тем самым
облегчает — вычисления. В качестве иллюстрации укажем
вложение произвольной группы G в группу G* со
свойством в). Для этого определим по индукции цепочку групп
G = G0 <; G± <^ . . . Именно, если Gn уже построена, то
возьмем в качестве Gn+1 группу преобразований
множества 6?п, а вложение Gn <; Gn+1 определим как регулярное
представление группы Gn. Объединение G* групп Gn и
будет искомым. В самом деле, если а, Ъ — два элемента
одинакового порядка г <^ ^оиз G* •> т0 они лежат в некоторой
Gn, а потому в Gn,rl изображаются произведениями
независимых циклов длины г. Согласно 2.5.7 элементы а, Ъ
сопряжены в Gn+1, а потому и в G*.
Аналогично, если мы хотим вложить G в группу G* со
свойством б), то достаточно научиться вкладывать G в та-

§ 13]
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
109
кую группу, в которой уравнение хп = g для данных п,
Z e G было бы разрешимо. Один способ такого вложения
указан — на языке подстановок — в упомянутых выше
работах, что и решает задачу.
Наконец, задача а) тоже решается положительно.
В самом деле, если группа G конечна, то решение дается
упражнением 13.1.2. Если же G бесконечна и | G | = j}<v,
то пусть #v (G) имеет тот же смысл, что и в формуле (1)
предыдущего параграфа. Группа G, взятая в регулярном
представлении, содержится в S (G) и пересекается с S* (G)
по единице, поэтому G изоморфно вкладывается в простую
группу 8 (G) I S^ (G).
Возникает вопрос — нельзя ли произвольную группу
вложить в такую группу G*, которая обладала бы
свойствами а), б) и т. п. одновременно? Разумеется, ответ будет
утвердительный, если можно построить G* с каждым из
этих свойств в отдельности и если эти свойства
переносятся на объединения возрастающих цепочек групп —
для доказательства достаточно периодически повторить
вложения типов а), б), в), . . . счетное число раз и перейти
к объединению.
Отметим, что другие методы доказательства теорем
вложения — в частности, для отмеченных выше свойств а),
б), в) — указали также Ф. Холл (P. Hall, J. London
Math. Soc. 34 (1959), 305-319) и Б. Нойман (В. Н.
Neumann, J. London Math. Soc. 18 (1943), 4—11); метод
первого основан на сплетениях, а второго — на свободных
произведениях с объединенной подгруппой.
13.2. Представления подстановками смежных классов.
Обобщим теперь теорему Кэли в другом направлении.
Пусть Н — подгруппа конечного индекса группы G, не
обязательно конечной. Каждому элементу g из G
сопоставим подстановку £ множества правых смежных классов Gno
Я, определяемую по аналогии с п. 13.1. Именно, если хг, ...
• • • » Хщ — правые представители G по Я, то полагаем
/ UzL...Hxn \
g ~ \Hxig. •• Нхт8/'
13.2.1. Т е о р е м а. Отображение л, задаваемое
последней формулой, является гомоморфным представлением
группы G. Ядром этого представления служит нормальная
подгруппа N из G, максимальная среди содержащихся в Н.

110 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
Доказательство. То, что ~ — представление,
легко проверяется непосредственно, как р раньше. Пусть
К — ядро этого представления. Покажем, что К ^ N.
Пусть g ЕЕ К, т. е. g = 1. Это означает, что Hxg = Нх
для всех ^£& Отсюда Hxg = Нх и, следовательно,
g£Ef)lIx.
Ясно, что правая часть этого включения — нормальная
подгруппа из G, содержащаяся в Н. Ясно также, что
любая другая такая же подгруппа содержится в каждом
Нх, поэтому
N = П И*-
Таким образом, g ЕЕ N и К <; iV. Обратно, N <^ К.
Действительно, пусть g ЕЕ N. Тогда Hxg = Hxgx~xx = Нх,
откуда g' = 1 и N ^ К. Теорема доказана.
Из нее и теоремы Лагранжа 2.4.5 сразу вытекает
13.2.2. Теорема. Всякая подгруппа конечного
индекса т содержит нормальную подгруппу конечного
индекса, делящегося на т и делящего ш\.
Более слабое утверждение уже отмечалось в первой
главе (см. 2.5.13). Теорема 13.2.1 и вытекающая из нее
теорема 13.2.2 позволяют устанавливать отсутствие
подгрупп того или иного порядка в данной группе.
13.2.3. Упражнение. В знакопеременной
группе Аь порядка 60 нет подгрупп порядка 15, 20, 30.
Решение. Если бы Аь содержала подгруппу
порядка 15, т. е. индекса 4, то по теореме 13.2.2 она
содержала бы нормальную подгруппу конечного индекса,
делящегося на 4 и делящего 24. Это, однако, невозможно, так
как согласно теореме 12.1.1 Аь—простая группа.
Остальные случаи разбираются аналогично.
13.2.4. Упражнение. Группа из 12 элементов не
может быть простой. В частности, группа JPSL2 (3) не
простая — факт, упоминавшийся в предыдущем
параграфе.
Пусть R — кольцо, Н — группа. Групповым кольцом
группы Н над R называется кольцо R [Н] формальных
линейных комбинаций
rxhx + ... + rnhn, гi е -ff, ht е Я,

§ 13]
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
111
которые складываются и умножаются по следующим
правилам:
2ЬЛ| + 2*Лг = 2 (П + St) hu
(аналогичный объект встречался нам на стр. 39).
Вернемся теперь к началу пункта и заметим, что
представление g -> § связывает с каждым g из G «перестановку
представителей» тс (g) и «дополнительные множители»
ht(g):
Hxtg = НхЫя), xtg = ht (g) xin{g).
Непосредственно проверяется, что формула
g -> diag (кг (g), . . ., hm {g))-n (g)
задает изоморфное вложение G-> GLm (Z [Я]), где Z [#] —
целочисленное групповое кольцо группы #, а
перестановка jt (g) записана матрицей из нулей и единиц. Это
вложение называется мопомиалъным представлением
группы G над подгруппой Н. Мы видим, что любая группа,
содержащая Н в качестве подгруппы индекса т,
вкладывается в группу всевозможных матриц степени т над
Z [Я], содержащих в каждой строке и каждом столбце
точно один ненулевой элемент, лежащий в Н (мономиалъная
подгруппа группы GLm (Z [Я])). Описанная конструкция
особенно употребительна в теории линейных
представлений конечных групп, где она дает представление группы,
индуцированное представлением подгруппы.
Сказанное можно следующим образом перевести на
язык сплетений.
Пусть А, В — группы, причем В <^ S (X), X —
некоторое множество. Легко проверить, что множество
В -Fun (X, А) с умножением
bf.b'f = Wf'f, где f (x) = / (яЬ-i), х е= X,
является группой. Она называется сплетением группы А
с группой подстановок В. Наиболее важный случай этого
понятия — сплетение, рассмотренное в гл. 2, оно
называется стандартным и получается, если В представить
подстановками самой себя по правилу я -> Ь'1 х.
Употребляя для сплетений прежнюю символику, мы видим, что

112 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
мономиальная подгруппа из GLm (Z [//]) — «это в
точности Н г Sm, а теорема 6.2.8 констатирует описанную выше
ситуацию для стандартных сплетений.
13.3. Транзитивность. Примитивность. Здесь мы
рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к группам
подстановок и существенно связанные с их действием на
множестве передвигаемых символов. В действительности
эти понятия относятся к произвольным группам,
действующим на множестве, поэтому мы дадим определения в более
общей ситуации, чем необходимо.
Если группа G действует на множестве М и существует
всего одна орбита — само М,— то говорят, что G тран-
зитивна (на М). Ясно, что это равносильно требованию,
что для любых двух элементов т, т' из М найдется
элемент g из G с условием mg = m'. Обобщая это понятие,
говорят, что группа G r-кратно транзитивна, если для
любых двух r-ок {т1, . . ., тг} и {mi, . . ., тг} элементов
из М найдется элемент g из G с условием mtg = т\, 1 <;
<; i <; г. Разбиение множества М на непересекающиеся
подмножества {Ма} называется разбиением на блоки
относительно G, если для каждого Ма и каждого g ЕЕ G
найдется такое М& что Mag = Мр, иными словами, если
элементы из G переставляют подмножества Ма (блоки)
целиком. Конечно, всегда существуют тривиальные
разбиения — на одноэлементные блоки и на единственный
блок. Если нетривиальных разбиений М на блоки не
существует, то говорят, что грулпа G примитивна." В
частности, все эти понятия распространяются на группы
подстановок конечного множества М, рассматриваемые с их
естественным действием на М.
13.3.1. Упражнение. Условие M^g = M$ в
определении блочного разбиения равносильно более слабому
по форме условию Mag с М$.
13.3.2. Упражнение. Группы 8п, An
соответственно п- и (п — 2)-кратно транзитивны.
13.3.3. Упражнение. Всякая дважды
транзитивная группа подстановок примитивна.
13.3.4. Упражнение. Всякая неединичная
нормальная подгруппа N примитивной группы подстановок
G транзитивна.
Указание: орбиты для N составляют полную
систему блоков для G.

§ 13]
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
113
Пусть группы G, G' действуют соответственно на
множествах М, М'. Естественно называть их изоморфными —
как группы преобразований,— если можно установить
взаимно однозначное отображение М на М'
(скажем, ф) и изоморфизм G на G* (скажем, г|)), при которых
соответствующие элементы групп переводят
соответствующие элементы множеств снова в соответствующие элементы,
т. е.
m*g^ = (mg)* для всех т е М, g G&
Изоморфные группы подстановок называют также
подобными.
В предыдущем пункте с каждой подгруппой конечного
индекса мы связали гомоморфное представление группы
подстановками множества смежных классов. Легко
видеть, что это представление транзитивно. Оказывается,
верно и обратное: всякое транзитивное представление
данной группы подстановками подобно некоторому
описанному ранее представлению подстановками правых
смежных классов по некоторой подгруппе конечного
индекса. Именно, справедлива
13.3.5. Теорема. Пусть к—гомоморфизм группы G
на транзитивную группу подстановок множества М.
Будем считать, что G действует на М по правилу mg = mgn.
Пусть тх ЕЕ М, Н — стабилизатор тг в G, т. е.
Н = {g\g ^G,mxg = щ).
Тогда Н — подгруппа конечного индекса в G и группа Gn
подобна группе подстановок смежных классов G по Н,
описанной в предыдущем пункте.
Доказательство. Пусть М = {тг, . . ., ms}.
Обозначим
Hi = {g | g e б, mxg = mt}, 1 < i < s.
В силу транзитивности G~ все Ht непусты.
Непосредственно проверяется, что Нг — подгруппа из G, а Нь — правые
смежные классы G по Hv Так как Н = Нх, то Я —
подгруппа конечного индекса в G.
Пусть я' — описанное в предыдущем пункте
представление G подстановками правых смежных классов Gno
Н.^ Нам осталось доказать, что группы подстановок G71 и
Gn подобны. Пусть ф — отображение М на правые смеж-

114 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 4
ные классы G по Н, переводящее mt в II и a if) — отображение
G* на G"', переводящее gu в gn'. Легко проверить, что если
хл — у-^ т0 xrj _ ^п'? так чт0 отображение if) определено
корректно. Теперь непосредственно проверяется, что ф,
г|) — взаимно однозначные отображения на и
mi* (^)Ф = (mig*)* для Ki<5t^GG.
Теорема доказана.
Покажем, что изучение произвольных групп
подстановок сводится в некоторой мере к изучению транзитивных
групп, а изучение транзитивных групп — к изучению
примитивных. Напомним, что подпрямым произведением
групп Gt называется такая подгруппа их прямого
произведения, проекция которой на каждый множитель G{
совпадает с Gt.
13.3.6. Теорема. Всякая группа подстановок па п
символах является подпрямым произведением
транзитивных групп подстановок на nt символах с условием Упь =
= п. EmuG — транзитивная группа подстановок
множества М и задано неизмелъчаемое разбиение М на блоки
мощности ]> 2, то стабилизатор блока М' в целом, т. е.
множество
Н = {g\gEEG, M'g = M'},
является подгруппой группы G, примитивно действующей
наМ'.
Доказательство. Пусть G — группа
подстановок множества М, Mt — соответствующие орбиты, Gt —
группа подстановок множества Ми индуцированная
действием G на Mt. Очевидно, G будет подпрямым
произведением групп Gt.
Теперь докажем второе утверждение. Очевидно, 77 —
подгруппа. Пусть хг, . . ., xs — правые представители G
по Н. Тогда М,х1, . . ., М'х& — исходное разбиение М
на блоки (использовать транзитивность G). Если бы Н
действовала на М' не примитивно, то существовало бы
нетривиальное разбиение М' на блоки Ми . . ., Мг
относительно П. Но тогда исходное разбиение множества М
относительно G можно было бы измельчить до разбиения
MiXj, 1 ^ i ^ г, 1 <^ 7 <; s. Теорема доказана.
13.3.7. Теорема. Пусть G — транзитивная группа
подстановок множества М. Пусть М разбито на блоки,

§ 13]
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
115
jlf какой-нибудь блок, тг — какая-нибудь точка из
М . Пусть Н — стабилизатор тх, К — стабилизатор Мг
в целом, т. е.
Н = {g\g^G,m1g = щ},
К = {g\g^G, Mlg = Мг).
Тогда Я, К — подгруппы из G, причем Н < К < G. Общее
число блоков равно \ G : К \ и каждый блок состоит из
| К : Н | элементов.
Доказательство. Первое вытекает из
определений. Далее, пусть Нх19 . . ., Я#8 — правые смежные
классы G по Я, причем хг = 1. По теореме 13.3.5 можно
считать, что М = {Яа^, . . ., Нх8}, a G действует на М
правыми сдвигами. Пусть ML = {Я^, . . ., Я#г}, rax =
= Я. Ввиду транзитивности G всякий блок получается из
Мг правым сдвигом на элемент из G, поэтому все блоки
равномощны и, значит, достаточно убедиться, что г —
= [ К : Я | или что
К = Нхг U . . . U Нхг.
Но, с одной стороны, каждое hxu h е= Я, 1 < i <; г,
переводит смежный класс Я в некоторый смежный класс из
Мг, поэтому и весь блок М± переводит в себя. Значит,
Нхх U . . . [J Нхг с #.
С другой стороны, если х е= Z, то Я# = Я^ для
некоторого 1 ^ i ^ г, откуда получается противоположное
вложение.
13.3.8. Упражнение. Транзитивная группа
подстановок G тогда и только тогда примитивна, когда
стабилизатор некоторой (равносильно, каждой) точки —
максимальная подгруппа в G.

Глава 5
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ
§ 14. Свободные группы Ж
В начале гл. 3 мы пределили понятие группы, сво- ж
бодной в данном классе и установили, что в классе абе- щ
левых групп свободные руппы существуют и имеют ясное ж
описание. В этом параграфе будет доказано существование, щ
дано описание и изучены простейшие свойства свободных ж
групп в классе всех групп. ж
14.1. Определение. Элементы порождающего множест- Ж
ва М любой данной группы G могут быть связаны соотно- Ж
шениями в G, т. е. произведения самих этих элементов и щ
элементов, к ним обратных, могут равняться единице в G. ж
Например, хх~х — е, х~хх = е для любого х из М. Будучи Щ
следствиями аксиом, последние соотношения неизбежны ж
в любой группе и потому называются тривиальными. Щ
Оказывается, существуют группы, не допускающие в не- щ
котором порождающем множестве никаких нетривиальных Ж
соотношений — «свободные от соотношений». Цель этого щ
пункта — дать конструкцию таких групп и доказать, что ж
они и будут свободными группами в классе всех групп щ
в смысле общего определения гл. 3 (этим объясняется, в ж
частности, происхождение термина «свободная»). Ж
Пусть / — множество. О какой бы группе G с порож- Ж
дающими xt, i ^ /, ни шла речь, ее элементы изображают- ж
ся словами х\\ . . . х™, е$ = ±1, а их умножение — припи- щ
сыванием слова к слову. Это и подсказывает идею кон- Щ
струкции: надо сами слова от букв {xt, xj1 \ i e /} без ~ж
подслов типаязд~£, е = ± 1, объявить элементами группы, Щ
а их приписывание друг к другу с последующим вы- ж
черкиванием таких подслов — умножением. Щ
Более точно, зафиксируем два множества символов щ
х = {xt | i e /} и х-» = К1 Me/}. 1

§14]
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
117
Слово в алфавите X — это пустая (обозначается 1) или
конечная последовательность символов из X (J X"1. Число
элементов этой последовательности называется длиной
слова. Слово назовем сократимым, если оно содержит
соседние символы вида х\, х~С, е — db 1. Например,
первое из слов
/-у» /у» /yi /у». 'У» /у» /у» /у» -1-/у»
2 112 3* tAyyJjOvK/^ «Л'О
несократимо, а второе сократимо. Будем говорить, что
два слова и ж v эквивалентны (в символах: и ~ v), если v
можно получить из и через конечное число вставок и
сокращений слов видах\х{г. Ясно,что отношение — рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Все слова, эквивалентные и,
образуют класс эквивалентных слов, который мы обозначим
через [и].
14.1.1. Теорема. Пусть X = {xt \ i ЕЕ /}. На
множестве F (X) классов эквивалентных слов в алфавите X
определим умножение, полагая [и] [v] = [ии]. Это
определение не зависит от случайного выбора представителей
в классах. Множество F (X) является группой относительно
этого умножения.
Доказательство, а) Любой класс
эквивалентных слов содержит единственное несократимое слово.
Действительно, пусть р (и) обозначает несократимое слово,
полученное из и последовательными вычеркиваниями
самого правого подслова xtxj*. Функция р обладает
следующими свойствами (знак == обозначает графическое
равенство):
р(и)~и, (1)
р (и) == и, если и несократимо, (2)
р (uv) == р (up (и)), - (3)
р (х\х\ги) = p (и) при е = ± 1, (4)
р (ux\x~Lzv) === р (ии) при е = ± 1, (5)
PN = p(p(u)p(v)). (6)
Свойства (1), (2), (3) следуют непосредственно из опреде-
ленияр, (4) вытекает из (3), формула (5) следует из (3), (4),
формула (6) — из (3), (4), (5) индукцией по длине и. Пусть
теперь и ~ v, где и, и — несократимые слова. По

118 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
определению существует последовательность слов
и = щ, и2, . . ., ит = и,
в которой соседние слова получаются друг из друга одной
вставкой или одним сокращением подслова вида x\x~iZ.
Ввиду (5) р (ui+1) = р (щ), поэтому р (у) = р (и). Ввиду
несократимости слов и, v это означает, что v == и.
б) Независимость произведения [и] [v] от случайного
выбора представителей и, v вытекает из а) и формулы (6).
Ассоциативность умножения классов ясна из определения.
Единицей будет класс, содержащий пустое слово, а
обратным к классу [х\\. . . х{^\ — класс Ц m ... xj^1]. Теорема
доказана.
Группа F (X) называется свободной группой со
свободным порождающим множеством X, а мощность | X \
называется ее рангом. Если X = {хг, . . ., хп), X =
= {#!, х2, . . .}, то вместо F (X) пишут также Fn (ж),
F^ (x) соответственно. Если обозначения порождающих
несущественны, то пишут просто Fn, F^. В дальнейшем
для записи элементов свободной группы мы будем
использовать представители классов, т. е. писать, например,
и = v, uv = w вместо [и] = [у], [и] [v] = [w]. Ввиду
замечания а) можно говорить также о несократимой записи
класса, подразумевая под этим несократимую запись
р (и) любого его представителя и.
14.1.2. Упражнение. Свободные группы ранга
^> 2 некоммутативны.
14.1.3. Упражнение. Если и — непустое слово,
то длина слова р (ип), n ;> 2, больше длин слов р (и),
р (и"1). В частности, любая свободная группа является
группой без кручения.
14.1.4. Упражнение. Несократимое слово
назовем циклически несократимым, если оно начинается
некоторым символом х\, а кончается символом, отличным от
х\г. Вычеркивая в начале и конце слова одинаковые
символы, входящие с разными показателями, можно любое
несократимое слово и в конечное число шагов привести
к циклически несократимому виду а (и). Доказать, что
элементы u, v свободной группы тогда и только тогда
сопряжены в ней, когда а (и) = w1w2l а (и) == w2wx при
подходящих и\, w2.

i
(
4j СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 119
Оказывается, любая группа, обладающая
порождающим множеством мощности п, является гомоморфным
образом свободной группы ранга п. Больше того,
следующая теорема показывает, что группы F (X) — это и есть
группы, свободные в классе всех групп в смысле начала
гл. 3.
14.1.5. Теорема. Пусть группа G порождается
множеством М = {gt\i(= /}. Возьмем алфавит X =
=? {xi\ i ЕЕ I}. Отображение X -*- М по правилу xt ->- gt
единственным образом продолжается до гомоморфизма
F{X)->G.
Доказательство. Ясно, что обра3ом класса
[х\\ . . . х\т] надо объявить элемент g\[ . . . gj\
Корректность и гомоморфность этого отображения вытекают из
определений. Теорема доказана.
Элементы ядра Я гомоморфизма F(X) -> G называются
соотношениями группы G в алфавите X. Если множество
Я' соотношений таково, что минимальная нормальная
подгруппа в F(X), содержащая Я', совпадает с Я, то Я'
называется определяющим множеством соотношений в
алфавите X. Так как G ~ F(X)/H, то задание алфавита X
и множества слов Я' полностью определяет группу G. Мы
будем называть пару (X || Я') описанием группы G в терминах
соотношений или, короче, описанием Дика группы G —
в честь автора этой конструкции (символически: G ~
~ (X || Я') или G ~ гр (X || Я')). Конечно, одна и та же
группа допускает много различных описаний Дика и
польза того или иного описания зависит от конкретной
задачи. Особый интерес представляют группы, допускающие
конечное описание Дика, они называются конечно
определенными.
14.1.6. Упражнение. С2 X С2 ~ (х, у \\ х2, у2,
х~1у~1ху).
14.1.7. Упражнение. Свободная абелева группа
ранга п допускает следующее описание Дика:
гр (х1, . . ., хп || xfxfxiX], 1 < i< /< п).
14.1.8. Упражнение. S3 ~ (ж, у \\ х2, у3, {ху)2).
14.1.9. У п ражнение. Описать в терминах
соотношений группы порядка pq, где р, q — простые числа,
P<q

120 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
14.1.10. Упражнение. Группа матриц вида
(о l)'8 = — "*' над кольп-ом Zn допускает описание
(х, у || хп, у2, (ху)2).
14.1.11. Упражнение. Подгруппа, порожденная
в F(x, у) элементами хпухп, п = 0, 1, 2, . . ., свободно
порождается ими (т. е. описывается пустым множеством
соотношений).
Задание групп описаниями Дика естественно
возникает в топологии (например, в теории узлов) и других
областях. Подробную теорию описаний Дика можно
найти в [14, 31].
14.2. Матричное представление. В этом пункте мы
докажем изоморфную вложимость счетных свободных групп
в 8L2 (Z). Так как группы F1, F2, ... вкладываются в
JPoo, a jFooB F2 (упражнение 14.1.11), то достаточно найти
в SL2 (Z) свободную подгруппу ранга 2.
14.2.1. Теорема. Пусть т — целое число > 2.
Подгруппа, порожденная в 8L2 (Z) трансвекциячи
'iaC") = (J Г)' f«(m) = (i ?)'
порождается ими свободно, т. е. описывается пустым
множеством соотношений.
Доказательство. Обозначим для краткости
а = t12 (т), Ъ = t21(m). Пустые — чередующееся
произведение ненулевых степеней элементов а, Ъ в группе SL2(Z).
Надо показать, что w ф е. Если w начинается со
степени Ъ, то можно сопрячь w этой степенью и рассмотреть
полученное произведение, которое начинается уже со
степени а. Поэтому пусть w — аа1Ь*2 . . . саг, где с = а
или Ъ, все аг- Ф 0. Пусть zi — верхняя строчка матрицы
а*№ . . . с^.Если z2fe_! = (z2fc-n x2k), то
22/с = z2k-iba2li = (x2k+1, x2k), z2l:+1 = z2kaa2k+1 = (x2k+1, x2k+2),
где .
x2k+i ~ x2k-i ~r ma2kx2k, x2k+2 = x2k -f- tfio^+i #2\-+i»
Объединяя последние две формулы, получаем
**+2 = ** + m<*i+ixi+i Для ^= 1».2, . . ., г — 1.

14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 121
Нам достаточно доказать, что с ростом i от 1 до г + 1
числа \xt\ возрастают. Для i = 1, 2 это проверяется
непосредственно. Дальше ведем индукцию:
| Xi + 2 \>Ш\ а*+1 I I X*+l I — I ** I >
>2|*i+1|-|*, |>|*i+1| + 1.
Теорема доказана.
Указанные в ней канонические вложения F2 ->- SL2 (Z)
весьма полезны в теории свободных групп. Для
иллюстрации отметим одно их применение.
14.2.2. Теорема. Пусть р — простое число.
Любая свободная группа F (X) аппроксимируетея^конечными
р-группами.
Доказательство. Пусть X' — конечная часть
X. Посылая остальные свободные порождающие в
единицу, мы получим гомоморфизм F(X)-+- F(X'). Так как
ядра таких гомоморфизмов пересекаются по единице, то
по теореме Ремака 4.3.9 F(X) — поддекартово
произведение счетных свободных групп. Таким образом, можно
считать, 4toF(X) счетна, а потому по теореме 14.2.1
вложена в коигруенц-подгруппу Г2(р). Напомним (см.
упражнение 4.2.7), что по определению
Г2 (т) = {х | х ЕЕ SL2 (Z), х = е (mod m) }.
Будучи ядрами гомоморфизмов SL2 (Z) ->- SL2 (Z fc),
подгруппы Г2 (рк) — нормальные подгруппы конечных
индексов в SL2(Z) и, очевидно, пересекаются по единице,
к = 1, 2, . . . Поэтому, снова по теореме Ремака, Г2 (р) —
поддекартово произведение конечных групп Г2 (р)/Г2 (рк).
Наконец,
(е + pzf = 2 4 (PZY = е (modp2),
(е + p*z)P = fj 4 (p2Z)J = е (mod ^3),
г=0
поэтому Га (р)/Г2 (рк) есть ^-группа. Теорема доказана.
Обратим внимание на то, что финитную
аппроксимируемость свободных групп мы вывели здесь из финитной
аппроксимируемости группы GLn(Z). Вообще, финитную
аппроксимируемость группы часто удается извлечь из ее

122 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
представимости матрицами ввиду следующей теоремы
А. И. Мальцева (Матем. сб. 8, № 3 (1940), 405—421):
всякая конечно порожденная группа матриц над полем
финитно аппроксимируема. Простое доказательство этой
теоремы можно найти в [16], ч. 3, стр. 99.
Легко проверить, что множество
Gm = {х | х е SL2 (Z), хп = х22 == 1 (mod т/г2),
х12 = х21 = 0 (mod тгс)}
является подгруппой в #JC2 C^)> причем
гр (*la (m), *а1 (in)) < Gm.
В общем случае равенства нет, но, как показал И. Н.
Санов (ДАН СССР 57, № 7 (1947), 657-659),
гр (*i2 (2), t21 (2)) - G2,
т. е. любую матрицу из G2 можно разложить в
произведение степеней трансвекций а = t12 (2) и Ъ — t21 (2). Идею
такого разложения подсказывают формулы:
/*u xi2\aa=(xn *12+2аз:и\
\ЯГ21 #22/ \#21 a?22+2cw?2i/ '
/*11 *12\^р = (Х11 + 2Р*12 »12\
W *22/ W + 2Р*22 *22/ *
Мы ограничимся тем, что поясним ее на примере матрицы
/_23 — 86\
* = (-4 -is)'
В ней | х12 | ^> | хп |. Ищем такое а, чтобы в матрице х' =
= .ша было | х[2 | << I хп |. Для этого делим х12 + | xn |
на 2^ис остатком: —63 = (—46) «2 + 29. Берем a = —2
(частное с обратным знаком), тогда
_2 /—23 6\
\— 4 1/
Теперь ищем такое |3, чтобы в матрице х" ~ х'№ было
| #12 | ^> I ^п |- Делим Жп + | ^12 | на 2^i2 с остатком:
—17 = 12 • (—2) + 7. Берем |3 = 2 (частное с обратным
знаком), тогда
зГ = *'6* = /J J) = a3.
Значит, х = а3Ь~2а2.

§ 14]
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
123
14.2.3. Упражнение. Описать и обосновать
алгоритм разложения матриц из G2 по порождающим t12 (2),
F „ /321 — 86 \
t2l (2). Пользуясь им, разложить матрицу Lg8 _187J.
14.3. Подгруппы. Оказывается, что любая подгруппа
свободной группы сама свободна. Эта теорема была
доказана Нильсеном в 1921 году для конечно порожденных групп,
а в полном объеме — Шрайером в 1927 году. В этом
пункте мы изложим метод Шрайера, позволяющий
находить систему свободных порождающих для подгруппы
свободной группы.
Пусть Н — подгруппа произвольной группы G.
Зафиксируем в каждом правом смежном классе G по Н по
представителю. Для подгруппы Н выбираем представителем 1.
Функция, принимающая на любом правом смежном классе
постоянное значение — фиксированный представитель
этого класса,— называется (правой) выбирающей
функцией. Непосредственно проверяются следующие свойства
этой функции: й = й и uv = uv, где и, и ЕЕ G, а й —
фиксированный представитель класса Ни.
Выбирающая функция позволяет по порождающим
элементам группы строить порождающие элементы
подгруппы.
14.3.1. Теорема. Пусть М — порождающее
множество группы G, Н — ее подгруппа, и —>- й — функция,
выбирающая правые представители G no H, S —
множество выбранных представителей. Тогда
-J
Н = гр (sxsx |se*5, х е Щ-
Доказательство. Ясно, что элементы sxsx
содержатся в подгруппе Я. Покажем, что любой элемент
из Н можно записать как произведение элементов sxsx
и элементов, к ним обратных. Непосредственно
проверяется, что
(sxsx )~1 = s'x'h'x"1 , где s' = sx,
причем по s' однозначно восстанавливается s = s'x~l.
Пусть теперь элемент и = ж*1 . . . х?', xt e M, et = ± 1,
взят из Н. Мы должны записать его в виде слова от
элементов вида sxsx'1. Обозначим Mi = 1,м*+1 = х\х . . .х\} -

124 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ 1Гл. 5
Тогда искомой записью будет
и = {ихх^щхх )(u2xl2u2xl2 )... (\iTx\rurxrr ). (1)
Действительно,
-i
UjX\ Щ+х = 1, J = 1, . . ., Г — 1,
поэтому правая часть соотношения (1) равна
-1
щиигх/ = 1 • и • гГ1 = 1 • и • 1 = и.
Теорема доказана.
14.3.2. Упражнение. Подгруппа конечного
индекса в конечно порожденной группе конечно порождена.
14.3.3. Упражнение. Найти в свободной группе
Fn порождающие элементы подгруппы слов четной длины.
14.3.4. Упражнение. Пользуясь
доказательством теоремы 14.3.1 и формулой упражнения 2.2.4, найти
порождающее множество для Ап.
Множество элементов свободной группы,
представленных несократимыми словами, называется шрайеровым,
если вместе с каждым своим элементом оно содержит и все
его начальные отрезки.
14.3.5. Теорема (Нильсен — Шрайер). Пусть X —
произвольный алфавит, Н — произвольная подгруппа
свободной группы F = F (X). Существует по крайней мере
одна шрайерова система представителей F по Н. Если
и —>■ й — соответствующая ей выбирающая функция, то
Н свободно порождается неединичными элементами sxsx~ »
где s пробегает множество выбранных представителей,
а х пробегает X.
Доказательство, а) Существование шрайеро-
вой системы правых представителей. Назовем длиной
смежного класса группы F по подгруппе Н длину самого
короткого слова в нем. Построим шрайерову систему
индукцией по длине класса.
Выберем пустое слово в качестве представителя для Н.
Если L — класс длины 1, то выберем любое слово длины 1
в качестве представителя этого класса. Пусть в классах
длины, меньшей г, представители уже выбраны, т. е. на
этих классах уже определена выбирающая функция и -> й,

14] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 125
причем длина представителя совпадает с длиной класса.
Пусть L — произвольный класс длины г. Возьмем в нем
какое-нибудь слово ух . . . уп у{ ^ X \J X"1, и
объявим представителем класса L слово ух . . . уг_г z/r. Ясно,
что так построенная система представителей шрайерова.
б) Пусть S — шрайерова система представителей F
по Я, и ->■ и — соответствующая ей выбирающая функция.
Покажем, что неединичные элементы
-1
&ш; ,sg5, ^gX, (2)
свободно порождают Н. Из теоремы 14.3.1 мы уже знаем,
что они порождают Н. Остается доказать, что эти
элементы не связаны нетривиальными соотношениями.
Прежде всего, каждое слово (2) несократимо.
Действительно, сокращения могут начаться только на стыках
с буквой х. Но если s = s^-1, то sxsx z=$i$11= 1» а
—-1 -г — -1
если sx = яг152 , то 5 = s2 и яш: = 1.
Далее, пусть и, v — неединичные слова вида (2) или
к ним обратные, причем ииф1. Из доказательства теоремы
14.3.1 мы знаем, что
и = sxzsxz~x, и = tybiyb , s, t<^ S, x, у е X, e, 6 = ±1.
Ввиду несократимости слов и, v процесс сокращений в
произведении uv может начаться только на стыке. Он
заглохнет, не дойдя до хг слева и уъ справа. Действительно,
ввиду шрайеровости системы представителей, если
процесс сокращений захватил бы сначала xz, то было бы ; =
= sxx~zw, где sx = sxz, откуда
sxx~z = sxx~z = s.
Но это невозможно, поскольку иф\. Если же процесс
сокращений захватил бы сначала?/5, то было бы sx = tybw,
где s± = sxE, откуда
ty* = W-
Но это невозможно, поскольку иф1. Наконец,
сократиться одновременно хг, уъ также не могут, поскольку
ии ф 1.
Пусть теперь дано непустое несократимое слово в
символах (2). Надо доказать, что если рассматривать его как

126 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
слово в алфавите X и произвести все возможные
сокращения, то останется непустое слово. Но действительно, ввиду
сказанного выше, сокращения могут начинаться только
на стыках слов (2) и прекращаются, не доходя до их
сердцевин х. Теорема доказана.
14.3.6. Упражнение. В группе F (х, у) найти
гарайерову систему представителей и с ее помощью
свободные порождающие для коммутанта и для наименьшей
нормальной подгруппы, содержащей х, г/г, где г — целое
число.
Следующая теорема позволяет вычислять ранги
подгрупп конечного индекса в свободных группах конечного
ранга.
14.3.7. Теорема. Пусть F = F (хг, . . ., хп), Н <
<; F, | F : Н | = /• Если п, j — конечные числа, то Н имеет
ранг
т = 1 + (п — 1)/.
Доказательство. В обозначениях предыдущей
теоремы пусть М — множество всех nj записей вида (2).
Нам надо понять, когда эти записи изображают единицу.
С этой целью обозначим через S0 множество S без единицы
и определим отображение т: S0 ->- М, полагая
-1
s'xs'x при s = s'x, хЕЕХ,
-1
sxsx при s = s'#_1, х€ЕХ.
Непосредственно проверяется, что т — взаимно
однозначное отображение S0 на те записи из М, которые
изображают единицу. Так как ранг Н равен числу остальных
записей, т. е. п] — (/ — 1), то всё доказано.
14.3.8. Упражнение. Подгруппа конечного
индекса в свободной группе бесконечного ранга сама имеет
бесконечный ранг.
14.3.9. Упражнение. Если Fly F2 — свободные
нормальные подгруппы одного и того же конечного
индекса в группе G, то F± ~ F2.
14.4. Ряды централов и коммутантов. Пусть G —
произвольная группа. Определим в G убывающую цепочку
подгрупп
YiG > Y2G > • • • (3)
sx =

§ 14] свободные группы 127
следующим образом: yxG = G, и если подгруппа ynG уже
определена, то уn+1G = [ynGf G]; здесь [А, В] — взаимный
коммутант групп А и В. Полученный ряд подгрупп
называется нижним центральным рядом, a ynG п-м
централом группы G. Пересечение всех подгрупп ряда (3) —
оо-й централ группы G.
Слова
Yi (xi) = *i»
Yn+;l \xli • • •» xn+l) ~ *-Уп\х1* • * •» жп)> ^n+J»
w = 1, 2, . . .,
называются простыми коммутаторами, число ?г — весом
коммутатора уп.
ИЛА. Упражнение. Для любой группы G
ynG = Ti^(yn(glJ . . ., gn)\gt^G), 71 = 1,2, ...
14.4.2. Упражнение. Для любой группы G
имеем
[yiG,yjG]^yi+fi, i, / = 1,2, . . .
Указание. Применить индукцию и лемму о трех
коммутантах 3.2.3.
14.4.3. Упражнение. Для любой группы п-й
коммутант лежит в 2п-м централе, п-й централ подгруппы
лежит в п-м централе группы.
14.4.4.Теорема (Магнус). Во всякой свободной группе
F (д-й централ равен единице.
Доказательство, а) Пусть сначала F счетна.
По теореме 14.2.1 она вкладывается в конгруенц-под-
группу Г2 (т), т > 2, поэтому достаточно убедиться, что
(о-й централ группы Г2 (т) равен единице.
Возьмем матрицы
g = е + т*а е Г2 (т*) и / = е + т1Ъ <= Г2 (т1).
Пусть g-1 = е + т*а' и f-1 = е + т1Ъ'. Тогда
коммутатор
[«Г, /] = (* + tuV) (в + mlV) (е + т*а) (е + т1Ъ) =
= е + (mka + mka + тиа'а) +
+ (mlbf + т1Ъ + m2lb'b) + . . . = е + . . .,
где точками обозначены смешанные произведения типа
т + a'ab. Ясно, что любое такое смешанное произведение

128 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
сравнимо с нулевой матрицей по модулю ткч, а потому
Проведенная выкладка показывает, что
[Г2 Ю, Г2 (т1)} < Г2 К+'),
поэтому Yj Г2 (лгг) ^ Г2 (т). Поскольку [) Г2 (т1) = е,
г
то для счетных групп теорема доказана.
б) Пусть теперь F — произвольная свободная группа,,
Допустим, что оз-й централ F содержит неединичный
элемент /. Возьмем для каждого п = 1, 2, . . . разложение /
в произведение простых коммутаторов веса п, соберем
все коммутируемые элементы и выразим их через
порождающие элементы группы F. Ясно, что при этом будет
использовано лишь счетное множество порождающих
элементов. Это множество порождает свободную подгруппу.
Так как она счетна и не подчиняется теореме Магнуса, то
мы получаем противоречие. Теорема доказана.
Ввиду 14.4.3 из нее вытекает, что со-й коммутант
свободной группы, т. е. пересечение всех коммутантов с
натуральными номерами, равен единице.
Пусть и — слово в алфавите X. Логарифмом и по
основанию х GE X называется целое число \ogxu, равное сумме
показателей при букве х в слове и (очевидно, для
эквивалентных слов значения логарифма одинаковы). Ясно,
что отображение, сопоставляющее каждому и из F (X)
набор его логарифмов logxu по всем х ЕИ X, является
гомоморфизмом свободной группы F (X) на свободную абеле-
ву группу того же ранга. Так как слова с одинаковыми
логарифмами по всем основаниям лежат в одном смежном
классе по коммутанту, то коммутант [F (X), F (X)] будет
ядром этого гомоморфизма. Применяя это рассуждение
к коммутанту свободной группы и т. д., мы получаем
следующий результат:
Факторы ряда коммутантов свободной группы —
свободные абелевы группы.
Отметим без доказательства, что факторы нижнего
центрального ряда свободной группы — также свободные
абелевы группы (теорема Витта). Это устанавливается
значительно более тонкими средствами.
14.4.5. Упражнение. Свободные группы
различных рангов не изоморфны.

§ 15]
МНОГООБРАЗИЯ
129
14.4.6. Упражнение. Используя коммутаторные
тождества п. 3.2, доказать, что факторы нижнего
центрального ряда свободной группы конечного ранга являются
конечно порожденными абелевыми группами.
§ 15. Многообразия
Подклассы, выделяемые в классе всех групп
тождественными соотношениями, называются многообразиями.
Например, класс абелевых групп — многообразие,
выделяемое тождеством ху = ух. Многообразия тесно
связаны со свободными группами, поскольку тождества — это
элементы свободных групп. Теории многообразий
посвящено значительное число работ, в том числе книга [18].
Здесь мы введем исходные понятия этой теории и
установим, что многообразия совпадают с классами групп,
замкнутыми относительно взятия подгрупп, гомоморфхын
образов и декартовых произведений.
15.1. Тождества и многообразия. Слово v в алфавите
хг, хг% ... называется тождеством на классе групп S,
если на любой группе G из £ оно обращается в единицу,
когда аргументы х1, х2, . . . пробегают G. Пусть V —
множество слов в алфавите хг, х2, . . ., G — группа. В общем
случае слова из V не обязаны быть тождествами на G, и их
значения на G порождают некоторую подгруппу
V (G) = гр (v (ft, . . ., gn{v)) \vEEV,gEEG). (1)
Эта подгруппа называется вербальной (= словесной) в G
относительно Уив некотором смысле измеряет
отклонение группы G от групп многообразия, определяемого
тождествами V. Очевидными примерами вербальных
подгрупп служат коммутант и d-я степень группы — они
определяются словами [х, у], xd и измеряют отклонение
группы от коммутативных групп и от групп периода d.
15.1.1. Упражнение. Централы и
последовательные коммутанты группы являются вербальными
подгруппами.
15.1.2. Упражнение. Вербальная подгруппа
вербальной подгруппы вербальна во всей группе.
15.1.3. Упражнение. Вербальные подгруппы в
группе F^ — этовв точности те подмножества Н этой
группы, которые удовлетворяют условиям: 1) и, v e= H =^
5 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

130 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ II МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
=ф uv е н, 2) w£//=y гг1 е п, 3) и е #, *>i, ...
..., vn(u) <= F^^u (иг, . . ., vn(u)) е я.
Докажем существование и одновременно дадим
описание свободных групп в произвольном многообразии в
смысле начала гл. 3.
15.1.4. Теорема. Пусть 2 — многообразие групп,
определяемое тождествами V. Пусть X — алфавит,
Fv (X) = F (X)/V (F (X)) (2)
и * обозначает естественный гомоморфизм F (X)-+Fv (X).
Если X = {xt | i ЕЕ I}, G — группа из 2 с порождающим
множеством {gt | i ЕЕ I}, то отображение х% ->- g; един-
ственным образом продолжается до гомоморфизма FV(X) ->-
->- 6?. Другими словами, группы Fv (X) свободны в
многообразии 2. Ими исчерпываются все свободные группы из 2.
Доказательство, а) Ясно, что для получения
гомоморфизма Fv (X) -> G надо слову OTxf сопоставить это
же слово от gt. Корректность и гомоморфность этого
отображения проверяются непосредственно. Следовательно,
Fy (X) — свободная группа в 2.
б) Пусть F —- свободная группа в й со свободными
порождающими /ь i £Е /. Отображение ft ->- xf
продолжается до гомоморфизма F-+Fv (X), а отображение xf -+-
->■ ft продолжается до гомоморфизма Fy (X) ->- F. Отсюда
F ~ Fy (X). Теорема доказана.
Множество {xf \ i ЕЕ 1} называется свободным
порождающим множеством группы Fy (X), а его мощность —
рангом группы Fy (X). Частными случаями этих понятий
являются одноименные понятия для свободных и
свободных абелевых групп, встречавшиеся нам раньше.
Свободную группу ранга п в многообразии 2 обозначают
также Fn (2).
Исчерпывающее описание групп, свободных в
многообразии абелевых групп, было дано в § 7. В других
многообразиях свободные группы могут быть устроены
весьма сложно. Например, до недавнего времени было
неизвестно, конечны ли конечно порожденные группы,
свободные в многообразии групп с определяющим торждеством
xd = 1, d >> 7. Решая эту знаменитую проблему Берн-
сайда, П. С. Новиков и С. И. Адян доказали (Изв. АН
СССР, сер. матем., 32, №№ 1, 2, 3 (1968)), что при нечетном

§ I»!
МНОГООБРАЗИЯ
131
d > 4381 группа В (т, d) с т > 2 порождающими,
свободная в многообразии ж* = 1, бесконечна. Позднее
граница «при нечетном d > 4381» была понижена до границы
«при нечетном d > 665» [2]. В то же время все абелевы
подгруппы В (m, d) циклические, а центр тривиален [2].
Отметим еще следующий глубокий результат А. И. Ко-
стрикина (Изв. АН СССР, сер. матем., 23 (1959), 3-34):
для всякого натурального числа т и всякого простого
р существует лишь конечное число конечных групп
периода р с т порождающими.
15.1.5. Упражнение. Группа кватернионов
гр (х, у || .г4, х2у2,х~гуху) не свободна ни в каком
многообразии.
Пусть и — слово. Очевидно,
u(gl9 . . ., gr)* = v{g'l . . ., gl)
для любого гомоморфизма ср: G-+ G*, поэтому
гомоморфный образ вербальной подгруппы V (G) лежит в
вербальной подгруппе V (G*). В частности, всякая вербальная
подгруппа эндоморфно допустима.
15.1.6. Упражнение. Указать в С2 X С4
эндоморфно допустимую, но не вербальную подгруппу.
Для групп, свободных в многообразии, ситуация
упрощается:
15.1.7. Теорема. Пусть 8 — многообразие групп,
G — группа, свободная в й. Любая эндоморфно
допустимая подгруппа Н группы G вербалъна.
Доказательство. Возьмем в G свободно
порождающее множество f{gt | гЕЛ "и рассмотрим в F^
множество V слов v(xti, . . ., xlrn) с условием, что
v(giv- • ., gtm) ЕЕ Н. Покажем, что Н = V (G). Включение
Н ^ V (G) очевидно. Обратно, пусть v е= V, & е С
Надо показать, что
v(g'h, . . ., glj^H.
Но ввиду свободы Св 8 отображение gt ->- g\ можно
продолжить до" эндоморфизма группы G. Так как
v(gtn- • ., gim) ЕЕ Н и Н эндоморфно допустима, то
и\&хт • -I gim) £= я. Теорема доказана.
5*

132 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
Соответствие между многообразиями и
определяющими их множествами слов из F^ не взаимно однозначно,
поскольку два различных множества слов могут определять
одно и то же многообразие. С другой стороны,
множество всех тождеств, истинных на данном многообразии,
является вербальной подгруппой в F^, и легко проверить,
что это соответствие между многообразиями и
вербальными подгруппами взаимно однозначно. Поэтому
изучение многообразий и изучение вербальных подгрупп в F^ —
равносильные задачи.
15.1.8. Упражнение. Подгруппа, порожденная
в jPoo вербальными подгруппами, вербальна. Какое
многообразие она определяет?
Два множества тождеств F, W называются
эквивалентными, если они определяют одно и то же многообразие
групп или, что равносильно, если V (F^) = W (F^).
15.1.9. Упражнение. Любое конечное
множество тождеств эквивалентно одному тождеству.
Более 20 лет стоял вопрос о существовании
многообразий групп, не задаваемых конечным числом тождеств.
А. Ю. Ольшанский решил его утвердительно, показав,
что существует точно континуум различных
многообразий групп (Изв. АН СССР, сер. матем., 34, № 2 (1970),
376—384). Конкретные многообразия групп, не
определяемые конечными системами тождеств, впервые были
указаны в работах: С. И. Адян, Изв. АН СССР, сер.
матем., 34, № 4 (1970), 715—734, и М. R. Vaughan-Lee,
Bull. London Math. Soc. 2, № 6 (1970), 280-286.
15.1.10. Теорема. Любое множество V слов в
алфавите хи х2, ... эквивалентно множеству вида W =
= {х[, uf | / £Е J}, где d > 0, Uj — слова из коммутанта
группы F (хг, х2, . . .).
Доказательство. Запишем каждое у из F
в виде
m, ms
V == Xit\ . .Xi*U,
где все значки il9 . . ., is различны, aw — элемент
коммутанта группы F (#i, #2, . . .)." Пусть сГ— общий
наибольший делитель чисел"^, . . ., тч подвеем v из V. Число
dn элементы и, взятые по^всемЪ из V,— искомые. Действи-
771
тельно, ясно, что V (F^K W (FJ). Обратно, слова х^

5 15]
МНОГООБРАЗИЯ
133
содержатся в ViF^) — они получаются из и, когда
остальные алфавитные буквы посылаются в единицу,— поэтому
и слова я?, и содержатся в V (F^). Теорема доказана.
15.2. Другой подход к многообразиям. Если й — класс
групп, то пусть S8, Q8, С8 обозначают соответственно
замыкания этого класса относительно операций взятия
подгрупп, гомоморфных образов и декартовых
произведений. Если 8 — многообразие, то, очевидно, S8 = 8,
Qg = 8, С8 = 8. Оказывается, справедлива и обратная
15.2.1. Теорема (Биркгоф). Пусть 8 — класс
групп. EcauSQ =8, Q8 = 8, С8 = 8, шо^8 — многообразие.
Доказательство. Пусть V — все тождества,
стинные на 8, t£ — многообразие, определяемое ими.
Очевидно, 8 с 8 и надо убедиться, что 8 с: 8. Поскольку
Q8 = 8, то достаточно проверить, что любая группа F,
свободная в 8, принадлежит 8, а ввиду соотношений С8 =
= 8, S8 = 8 для этого достаточно вложить F в
декартово произведение групп из 8. Укажем такое вложение.
Согласно теореме 15.1.4
F = F (X)IV (F (X))
при подходящем алфавите X = {xt \i ЕЕ I}. Для каждого
слова и (xhl . . ., Xi\, не принадлежащего множеству V,
возьмем в 8 группу GV1 а в ней элементы gvll i ЕЕ /, на
которых
V(gvh, • -, gvij Ф 1.
Возьмем декартово произведение
а в нем подгруппу, порожденную элементами fiyiEEl,
гДе ft (v) = gvi. Так как элементы /г не подчиняются
никаким соотношениям, кроме тождеств из V, то
порожденная ими подгруппа изоморфна F. Теорема доказана.
Легко видеть, что в действительности мы доказали
равенство
8~ = QSC8 (3)
для произвольного класса групп 8.
^15.2.2. Упражнение. Пусть G — конечная
группа, ЗЙ — многообразие, определяемое всеми тожде-

134 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ [Гл. 5
ствами, истинными на G. Любая конечно порожденная
группа из Ж конечна.
Указание: воспользоваться формулой (3) при
2 = {G}.
15.2.3. Упражнение. В конечно порожденной
группе G любая подгруппа Н конечного индекса содержит
вербальную подгруппу конечного индекса.
Решение. Ввиду 2.5.13 можно считать, что Н
нормальна в G. Пусть V — система всех тождеств, истинных
на конечной группе G/H, $} — многообразие,
определяемое этими тождествами. Так как группа G/V (G) конечно
порождена и принадлежит ЗК, то она конечна
(упражнение 15.2.2).
15.2.4. Упражнение. Указать классы групп £,
3R, 31 с условиями:
S2 ф2, QS = 8, CS = S,
S5SR = Ж, Q5SK ф Я», C9R = Ж,
Sit - 31, Q41 =-31, СЭ? ф 3?.

Глава б
НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
В предыдущих главах мы познакомились с абелевыми
и конечными группами. Произвольная группа не обязана
принадлежать этим двум семействам, но всегда так или
иначе связана с ними. Например, свободная группа ранга
;> 2 не абелева и не конечна, но, как мы знаем, обладает
счетным убывающим нормальным рядом с абелевыми
факторами и аппроксимируется конечными группами.
Установить возможно больше таких связей и с их
помощью изучить саму группу — вот привычный путь
многих работ по теории групп. На этом пути придуманы
многочисленные условия, близкие к условиям
коммутативности или конечности группы, начиная от самых
ясных условий и кончая весьма причудливыми и просто
вздорными.
Важнейшие обобщения коммутативности —
разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы — это
группы, которые можно собрать из абелевых групп
посредством нескольких последовательных расширений.
Замечательны они, в частности, своей связью с задачей о
разрешимости алгебраических уравнений в радикалах
(см. введение), которой обязаны и самим названием.
Нильпотентные группы составляют класс,
промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они
определяются более сложно и допускают более глубокое
изучение.
Мы посвятим эту главу изучению нильпотентных групп,
а следующую главу — изучению разрешимых групп. Что
касается обобщений конечности, то некоторые из них —
например, периодичность, конечная порождаемость —
уже встречались нам раньше, а другие будут вводиться
по мере надобности. Много интересных фактов теории
нильпотентных и разрешимых групп можно найти в [13,
^5, 35, 38, 391.

136 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 6
§ 16. Общие свойства и примеры
16.1. Определение. Дусть G — группа/ Нормальный
ряд
1 = G0 < Gx < . . . < Gs = G (1)
называется центральным, если все его факторы
центральны, т. е.
GiJGi < С (G/Gt) для всех * (2)
или, что равносильно,
[Gi+1, G] ^ G{ для всех г. (3)
Группа, обладающая центральными рядами, называется
нильпотентной (название будет объяснено ниже), а
минимальная длина таких рядов — ее ступенью
нильпотентности. Непосредственно из определения видно, что ниль-
потентные группы составляют класс, промежуточный
между классами абелевых и разрешимых групп, причем
абелевы группы — это в точности нильпотентные группы
ступени 1.
16.1.1. Упражнение. Всякий ряд подгрупп с
условием (3) автоматически является нормальным.
Пусть G — произвольная группа. Мы можем
попытаться построить в ней центральный ряд, руководствуясь
либо формулой (2), либо формулой (3). Именно, пусть
Z0G = 1, Ci+iG/CiG = С (G/tfi), * = 0, 1, 2, . . .,
yiG = G, yJ+1G = [yiG, G], / = 1,2,...
Подгруппы ^G называются гиперцентрами группы G,
а подгруппы ytG — это знакомые нам централы группы G
(те и другие легко определяются для произвольных
трансфинитных номеров, но мы не хотим сейчас погружаться
в эту трясину). Ясно, что если некоторый гиперцентр
совпадает со всей группой или некоторый централ
совпадает с единицей, то группа нильпотентна.
\ Обратно, пусть группа G нильпотентна и (1) —
произвольный центральный ряд в ней. Положим для краткости
Zt = £fG, Tj = yjG. Определения и легкая индукция

i 16]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
137
дают следующие включения:
1 =Z0<Z1<-..,
V/ V/
1 = C0<G1< ... < G..X <GS = G,
V V/
...<Г2 <I\ = G.
(4)
Отсюда видно, что в нильпотентнои группе ряды
гиперцентров и централов обрываются, причем их длины равны
ступени нильпотентности группы. Под влиянием
диаграммы (4) эти ряды называются верхним центральным
и нижним центральным (второй термин формально уже
был введен в п. 14.4, но только сейчас получил
объяснение). Хотя верхний и нижний центральные ряды
нильпотентнои группы имеют одинаковую длину, они сами
не обязаны совпадать — см. упражнения 16.2.10 и 16.2.11.
16.1.2. Пример. Пусть К — поле, п > 3.
Пользуясь формулами (9), (12) из 3.2.1, нетрудно проверить,
что ряд
UTn (К) ^ VTI (К) > UTI (К) > . . .> VTnn (К) = 1
является одновременно верхним и нижним центральным
рядом в группе TJTn (К). В частности, эта группа ниль-
потентна ступени п — 1. В работе одного из авторов
(Ю. И. Мерзляков, Алгебра и логика 3, № 4 (1964),
49—58) вычислены центральные ряды других матричных
групп, в том числе нижние центральные ряды главных
конгруенц-подгрупп над локальными кольцами и сило-
вских р-подгрупп из GLn(Z m). В последнем случае,
например, получается такое описание. Пусть для
краткости К = Z
Возьмем
рГП. Ajucmivicivi пустую матрицу степени п,
т. е. квадрат, разбитый на п горизонтальных и п
вертикальных полос, и покроем ее ковром идеалов К, рК,
следующим образом (на схеме п — 3):
Р2К,
р2К р*К р2К рК рК
...р*Кр*К р2К рК
...р2К ргК р2К
\рК
\рК
\рК
к \ к \
рК\ К \
рК\рК\
\ /■
к
к к
к к к

138
НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. в
Пусть G — силовская р-подгруппа из GLn (К). Как мы
знаем, она состоит из всех матриц степени п над К,
сравнимых с единичной матрицей по модулю ковра идеалов
в отмеченном положении (упражнение 11.3.3).
Оказывается, что при г > 2 централ yrG содержит те и только
те матрицы из SLn (К), которые сравнимы с единицей
по модулю ковра идеалов, сдвинутого на г — 1 шагов
вправо. Более формально, пусть К — ассоциативное
кольцо с единицей. Система его идеалов а = {аг;- | г, / ЕЕ Z)
называется ковром идеалов, если
uihukj cz uij для всех i, j, k ЕЕ Z.
Легко проверить, что если К коммутативно, то
Тп (а) = {х е SLn (К) | хи = 6U mod аи)
— группа; она называется (специальной) ъонгруенц-подгруп-
пой по модулю ковра а (в частности, при К — Z, аг7- — (т)
получается Гп (т) из 4.2.7). В этих обозначениях
упомянутый выше результат гласит (теперь уже на языке
формул, а не рисунков): если G — силовская р-подгруппа
группы GLn (К), К = Zpm, то
YrG = ГЯ (*<».'>), г = 2,3,...,
где
квадратные скобки означают взятие целой части и р1К =
= К при I <; 0. Отсюда видно, в частности, что
силовская /ьподгруппа группы GLn (Z т) нильпотентна
ступени тп — 1.
Из замечания после формулы (4) ясно, что группа G
тогда и только тогда нильпотентна ступени <^ s, когда
ys+1G = 1. Поэтому класс 3ls всех нильпотентных групп
ступени <; s есть многообразие, определяемое тождеством
Ys+l \xli • • •» xs+l) = l^l> • • •» xs+l* = *
(см. упражнение 14.4.1). В частности, 9ls замкнуто
относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и
декартовых произведений. Согласно общей теории гл. 5
многообразие 3}5 обладает свободными группами; все

§ 16]
ОЁЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
139
они имеют вид
F (X)/ys+1F (X)
при подходящем алфавите X.
16.1.3. Упражнение. Пусть G — свободная ниль-
потентная группа ступени 2 со свободными
порождающими а, Ъ. Пусть еще с = [Ь, а]. Каждый элемент g из G
единственным образом записывается в виде g = а*№су
с целыми а, р, у, причем
/1 Р ?\
Следовательно, отображение ааЬрс* —► I О 1 а является
\0 0 1/
изоморфизмом G на {7Т3 (Z).
Несколько слов о терминологии. Свое нынешнее
название нильпотентные группы получили не сразу — долго
их называли ничего не говорящим словом «специальные/).
Между тем в теории колец уже давно работало понятие
нильпотентного, т. е. «потенциально нулевого» кольца —
это кольцо, в котором произведение данного числа любых
элементов равно нулю:
хг . . . хп = 0 (5)
(таково, например, кольцо треугольных матриц степени п
с нулевой диагональю). Классическая теория Ли
установила соответствие между особым классом колец —
кольцами Ли — и особым классом групп — группами Ли,—
при котором умножению в кольцах соответствует
коммутирование в группах и, в частности, тождеству (5)
соответствует тождество
[*i, . . ., хп] = 1. (6)
По этой причине термин «нильпотентная» в конце концов
закрепился и за группами с тождеством (6). Отметим, что
теория групп не осталась в долгу перед теорией колец —
разрешимые кольца Ли были названы так по аналогии
с разрешимыми группами.
Иногда ступень нильпотентности называют классом
нильпотентности. Это менее удобно, так как порождает
стилистические шедевры вроде «класса нильпотентных
групп данного класса».

40 HXTbUrjJrfrH ЫЕ ГРУППЫ |ГЛ.^
О связи между нильпотентностью в кольцах и группах
еще раз напоминает
16.1.4. Упражнение. Пусть А — ассоциативное
кольцо с единицей, В — его подкольцо, Вп — подкольцо,
порожденное произведениями Ьг . . . Ьпу Ь% ЕЕ В. Если
подкольцо В нильпотентно, т. е. Вп = 0 при некотором п,
то множества G^ = {1 + х \ х ЕЕ В1} являются
группами относительно умножения в А, причем [G^\ СЩ <^
^ G^K В частности, все они нильпотентны ступени ^ п.
Это вновь доказывает нильпотентность некоторых групп
примера 16.1.2, но уже без описания центральных рядов.
16.1.5. Упражнение. В любой нильпотентной
группе без кручения единица — единственный элемент,
сопряженный со своим обратным.
16.1.6. Упражнение. Периодические конечно
порожденные нильпотентные группы конечны.
Указание: воспользоваться упражнением 14.3.2.
16.2. Общие свойства. Само определение нильпотент-
ных групп подсказывает ясный и обычно безотказный путь
их изучения — индукцию по ступени нильпотентности.
Проводя индукцию, чаще всего работают с централами
и гиперцентрами, но иногда используют и другие
подгруппы. В этой связи полезна
16.2.1. Лемма. Пусть G — нилъпотентная группа
ступени s>2. Любая ее подгруппа, порожденная
коммутантом и одним элементом, имеет ступень нильпотентности
меньше s.
Доказательство. Пусть a^G, Н = (a, [G, G]).
Так как
[б, С] <(С-1С) П Я< С^Я,
то группа Hlt.s-xH циклическая. Поскольку
факторгруппа по центру не может быть циклической, отличной
от 1, то £,8-гН =■ Н, что и требовалось.
Свойства нильпотентных групп, которые мы
установим в этом пункте, относятся в основном к подгруппам.
16.2.2. Теорема. Любая подгруппа нильпотентной
группы субнормальна. Более точно, если G —
нилъпотентная группа ступени s, то для любой ее подгруппы Н ряд
последовательных нормализаторов достигает G не позже
чем через s шагов.

§ 16]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
141
Доказательство. Введем обозначения
Ъ, = Ifi, Н0 = Н, HJ+1 = NG (Hj).
Достаточно проверить, что Zt <^ Ht. Для i = 0 это
очевидно. Перейдем от i к £ + 1. Так как
[£, Zml ^ Zt ^ Я^,
то
ГУ,
Н{1+ <^ Я* [Яь Zi+1I ^ Ht.
Это означает, что Zm нормализует Ни т. е. Zi+1 ^ Я^.
Теорема доказана.
16.2.3. Теорема. В нилыготентной группе любая
нетривиальная нормальная подгруппа имеет
нетривиальное пересечение с центром.
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности. Пусть G — нильпотентная груп-
па, Я <1 G, Я ф 1, Z% = Ifi. Если Я < Zlf то
утверждение тривиально. Пусть Я ^Zx. Тогда по
индуктивному предположению, примененному к G/Zx, пересечение
HZ1 P) Z2 содержит некоторый элемент а ^ Zx. Так как
а = Az, h ее Я, z£ Zx,
то fe е Я П Z2, й ^ Zle Пусть элемент g ЕЕ G таков, что
[Л, £*] =^= е. Тогда
[А, «1еЯП [Z2f G] < Я Л Zlf
т. е. пересечение Н [) Zx нетривиально. Теорема доказана.
16.2.4. Упражнение. В нильпотентной группе
любая нормальная подгруппа простого порядка лежит
в центре.
16.2.5. Теорема. Пусть G — нильпотентная
группа. Если А — ее подгруппа с условием A [G, G] = G,
то А = G. В частности,
[G, G\ < Ф (G). (7)
Доказательство. Пусть, напротив, А Ф G.
Положим Ai = Л • £*G, * = 0, 1, 2, . . . Очевидно, At ^
*3 4«+1. Пусть Ат <G, A т+1 = G. Так как фактор
Am+iiAm абелев, то [G, G] <, Лто, откуда
Л [б, G]< 4m < G.

142 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. t
Противоречие. Утверждение о подгруппе Фраттини
вытекает из ^ее описания как множества непорождающих
элементов (теорема 2.2.6). Теорема доказана.
I. [Откроем здесь одну тайну. Приводя примеры
подгрупп Фраттини в 2.2.7, мы установили включение
Ф (UTn (Z)) ^ UTn (Z) и сообщили (оставив
доказательство читателю!), что верно и обратное включение. При этом
мы имели в виду как раз теорему 16.2.5.]
16.2.6. Теорема. В любой нилъпотентной группе G
любая максимальная абелева нормальная подгруппа А
совпадает со своим централизатором. В частности,
А — максимальная абелева подгруппа и GIA изоморфно
вкладывается в Aut A.
Доказательство. Обозначим Н = CG {A),
Zt = £$. Пусть уже доказано, что Н f) Zt ^ A, n пусть
жеЯП Zm. Для всякого g e G имеем [х, g] ЕЕ Н f)
f] Zt ^ А, поэтому гр (х, А) — абелева нормальная
подгруппа из G, содержащая А. Ввиду максимальности А
имеем х ЕЕ А, т. е. Я f| Zi+1 ^ А. Так как Zn = G
при некотором п, то Н = А, что и требовалось доказать.
Элементы конечных порядков будем коротко называть
периодическими элементами.
16.2.7. Теорема. В любой нилъпотентной группе G
совокупность %G периодических элементов есть подгруппа
(периодическая часть группы G).
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности с использованием леммы 16.2.1.
Пусть a, b — периодические элементы группы G. Положим
А = (a, [G, G}), В = (Ь, [G, G]).
По индуктивному предположению тА, хВ — подгруппы
в А, В соответственно. Так как %А эндоморфно допустима
в А, а А нормальна в G, то %А нормальна в G. По той
же причине %В нормальна в G. Так как любой элемент
из тА-тВ при возведении в подходящую степень попадает
сначала в %В, а затем в 1, то группа тА-тВ периодическая.
В частности, элементы ab, a~L периодические, что и
требовалось доказать.
16.2.8. Теорема. В любой нилъпотентной группе G
без кручения извлечение корней — однозначная операция
(хотя и не обязательно всюду определенная), т. е. из
ап = &п, п Ф О, следует а = Ъ.

§ 16]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
143
Доказательство проводится индукцией по
ступени нильпотентности. Так как для абелевых групп
теорема очевидна, то будем считать, что G неабелева.
Рассмотрим подгруппу (a, [G, G]). Она нормальна в G и
имеет меньшую ступень нильпотентности (лемма 16.2.1).
Так как а, аъ е (а, [G, G]) и, очевидно, (аь)п = ап,
то по индуктивному предположению аь — а. Значит,
элементы а и Ъ перестановочны, откуда (ab*1)71 = е. Так как
G без кручения, то а = Ь. Теорема доказана.
16.2.9. Упражнение. В любой нильпотентной
группе без кручения хтуп = г/пят (тга, п Ф 0) =$ ху = ух.
Оказание: (у'пху7,)т = хт =Ф г/^^г/71 = я и т. д.
16.2.10. Упражнение. В нильпотентных группах
без кручения все факторы верхнего центрального ряда
тоже без кручения.
16.2.11. Упражнение. Аналог для нижнего
центрального ряда неверен: например, если
/1 nZ Z\ /l 0 nZ
G = [ 0 l Z1 то [G, G] - 0 1 0
Vo о i / \o о i
откуда G/[G, G] ~ Z © Z © Z„.
Рассмотрим теперь нильпотентные нормальные
подгруппы в произвольных группах.
16.2.12. Теорема (Фиттинг). Во всякой группе
произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп
ступеней 5, t есть нормальная нильпотентная подгруппа
ступени ^ s + t.
"Доказательство. Пусть А ^ G, В ^ G,
ys+1A = l^Yf+i Я = 1. Тогда
7п(^Я) = [Л#,..., АВ] = П Г#ь • • •, #»], (8)
п
где каждое Яе совпадает либо с А, либо с i? (см. 3.2.6).
е
Так как ytA < А <] G, то уг-Л ^йи, значит,
[уг^4, 2?] < У(А для всех г.
Таким образом, если i членов из Ях, . . ., Нп совпадают
с А, а остальные п — i совпадают с В, то
[Нр ...,ЯП]<ТИП 7n-i5. (9)

144 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 6
Возьмем п = s + t + 1. Тогда либо i > s + 1, либо
п — i > t + 1, откуда ввиду (8), (9) Tn U#) = 1-
Теорема доказана.
16.2.13. Упражнение. Пусть класс] 5? состоит
из всех групп G с условием
у„0= П YnG=l.
n=l
Произведение двух нормальных подгрупп,
принадлежащих $, не обязано принадлежать $ — противоречащим
примером служит
SLn(Z) = Tn(2).Tn(Z).
16.3. Нильпотентные группы автоморфизмов. Как было
отмечено в примере 16.1.2, любая группа унитреугольных
матриц нильпотентна. Но ведь матрицы — это
автоморфизмы векторного пространства с фиксированной базой,
а унитреугольные матрицы — это в точности те
автоморфизмы, которые оставляют на месте ряд подпространств,
натянутых на убывающие конечные отрезки базы, и
действуют тождественно в факторах этого ряда.
Оказывается, это свойство и есть подлинная причина
нильпотентности.
16.3.1. Лемма, Пусть в группе G задан нормальный
ряд
G = G0 > Gx > . . . > Gr = 1 (10)
длины г и Ф — группа всех автоморфизмов группы G,
оставляющих члены ряда (10) инвариантными и
действующих тождественно в факторах Gi/Gi+1 (стабилизатор
ряда (10)). Будем рассматривать G, Ф как подгруппы
голоморфа HolJG. Группы ФЪ [G, Ф] нилъпотентны
ступени < г.
Доказательство, а) Группа Ф нильпотентна
ступени < г. Действительно, по* условию
~" G? = Gt, [Gh Ф] < GM для всех L (И)
Пусть Фj — централизатор в Ф факторов Gi/Gi+jy i =
= 0, 1, 2, . . . Очевидно,
Ф = Фг > Ф2 > . . . > Фг = 1,

16j ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ 145
и нам достаточно доказать, что это центральный ряд в Ф,
т. е.
[Ф7-, Ф] < Фу+i для всех /
или
[Gt, [Фу, Ф]] < Gi+J+l для всех г, /.
Но это следует из соотношений
[ф„ [Ф, G,]] < Щ, Gi+1] <
ввиду леммы о трех коммутантах 3.2.3.
б) Группа [С?, Ф1 нильпотентна ступени < г.
Действительно,
[G, [Ф, С,Н < IG, Gl+1] < Gf+1,
[Ф, lGi9 G]J< [Ф, GJ < Gl+1>
поэтому, снова ввиду леммы о трех коммутантах,
[Gt, [G, ФЦ <; Gi+1 для всех i.
Это означает, что сопряжения элементами из [G, Ф]
действуют тождественно в факторах ряда Gx > G2 ^> . . .
. . . > £r = 1. По уже доказанному утверждению а)
группа этих сопряжений, т. е.
IG, Ф1/С№ф] (GO,
нильпотентна ступени < г — 1. Но [G, Ф] ^ Gu
поэтому C[G,<&] {Gij лежит в центре ГС?, Ф1. Отсюда и следует б).
Лемма доказана.
Теперь естественно пойти дальше и спросить себя:
не будет ли нильпотентным стабилизатор произвольного
ряда подгрупп, не обязательно нормального? Здесь под
стабилизатором ряда (10) понимается максимальная
подгруппа Ф из Aut G с условием (11). Оказывается, ответ
и в этом случае будет утвердительный, хотя
доказательство усложняется, а оценка ступени нильпотентности
ухудшается:
16.3.2. Теорема (Ф. Холл). Стабилизатор
убывающего ряда подгрупп длины г есть нилъпотентная
группа ступени ^ С?.
Доказательство проводится индукцией по
длине ряда. Пусть Ф — стабилизатор ряда (10). Пуст1>

146
НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. в
еще W = Сф (Gi). Так как Ф стабилизирует ряд Gx >
> G2 > . . . длины г — 1, то по индуктивному
предположению группа ФЛР нильпотентна ступени <; Cr-i, т. е.
Обозначим
Тх = Y, ¥т = №,, Ф].
Так как ¥ ^Ф, то ¥ = Wx > ¥2 > . . . Нам достаточно
доказать, что [G, Wr] — 1. Для этого мы проверим, что
[G, 4^1 <; G^ для всех i. Для г* = 1 это очевидно.
Перейдем от i к j + 1. Пусть £ ее G, ipm e Ч^+г- Надо
показать, что Рфт, gl e Gi+1. Но г|^-+1 — слово от
коммутаторов вида
1%, Ф"1!, % ЕТ.фЕ Ф.
Элемент tyf+1 — то же самое слово от произведений
bph Ф"1^ = bl>i, Ф"'1 1Ъ, Ф'1, Д (12)
Заметим, что
ввиду тождества Якоби (см. 3.2.3) и соотношений
[ф, г1, %1 е= ГФ, G, ¥г] < [^ VI = 1,
te, -фгх, ф! <= [G, у„ Ф1< [с,, Ф1 < gi+1.
Таким образом, в произведении (12) левый множитель
принадлежит "Ф", а правый Gi+1. Но W централизует Gt >
> Gm, поэтому apf+1 e %+i<?m. Отсюда fym, #1 (=
е Gj+i и всё доказано.
Вот как далеко привел нас пример 16.1.2!
§ 17. Важнейшие подклассы
17.1. Конечные нильпотентные группы. Другим
важным источником нильпотентных групп является
следующий
17.1.1. Пример. Любая конечная р-группа G
нильпотентна. Действительно, группа G имеет нетривиальный
центр. Для доказательства заметим, что элемент тогда и
только тогда является центральным, когда он составляет

§ 17]
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ
147
полный класс сопряженных элементов. Так как
| аР | = | G : NG (а) J,
то мощности ct классов сопряженных элементов группы G
являются степенями числа р. Так как единица составляет
полный класс сопряженных элементов, то по крайней
мере одно из чисел ct равно 1. Но их сумма 2е* = I G I
делится на р, поэтому еще несколько чисел сь должны
равняться 1. Таким образом, G имеет нетривиальный центр
Z1# По той же причине G/Z± имеет нетривиальный центр
Z2/Z± и т. д. Мы видим, что достаточно большой
гиперцентр группы G совпадает с G. Значит, G нильпотентна.
17.1.2. Упражнение. Пусть р — простое число.
Существуют только две неизоморфные группы порядка
р2: Zvz и Zv X 7jv. Групп порядка р3 имеется пять — три
абелевых:
и две неабелевых: при р = 2 это группа диэдра
гр (а, Ъ || а4 - 1, Ь2 - 1, ЪаЪ = а'1)
и группа кватернионов
гр (а, Ъ || а4 = 1, Ь2 = а2, Ъ~хаЪ = а"1),
а при р^>2 — группы
гр (а, Ъ || а?2 = 1, Ьр = 1, 6-^6'= а1+р),
гр (а, Ь, с || ар = 1, &р = 1, cv = 1,
[а, М = с, [а, d = [Ь, с! = 1).
Бесконечные ^-группы могут не быть нильпотентны-
ми,— например, прямое сплетение любой нетривиальной
^-группы с бесконечной р-группой есть р-группа без
центра (см. упражнение 6.2.3). Конкретный пример:
СрО0 г Ороо. Еще один пример р-группы без центра
содержится в следующем упражнении.
17.1.3. Упражнение. Пусть К — поле
положительной характеристики р, ЛТШ (К) — группа
бесконечных матриц над К, у которых строки и столбцы
занумерованы натуральными числами, по диагонали стоит 1, под
ней — нули, а над диагональю лишь конечное число

14Й
нйльпотенФные Группе!
£*л. *
элементов отлично от нуля. Группа 1/Тш (К) является
/^-группой без центра (см. формулу (2) из 3.1.1).
Оказывается, прямыми произведениями конечного
числа конечных jp-групп исчерпываются все конечные ниль-
потентные группы. Более того, справедлива
17.1.4. Теорема (Бернсайд — Виланд). Пусть G —
конечная группа. Следующие условия равносильны:
а) G нилъпотентна,
б) любая подгруппа из G субнормальна,
в) G — прямое произведение своих силовских р~под-
групп,
г) [G, G] < Ф (G).
Доказательство проведем по следующей
схеме:
б)
) Г)
а) =ф б). См. теорему 16.2.2.
б) =Ф в). Пусть Р — силовская ^-подгруппа из G.
Так как Nq (P) совпадает со своим нормализатором в G
(упражнение 11.1.4), а ввиду б) нормализатор всякой
собственной подгруппы больше ее самой, то Ng (Р) = G.
Таким образом, силовские /^-подгруппы нормальны в G.
Отсюда уже легко получается в).
в) =4> а). См. пример 17.1.1.
а) =4> г). См. теорему 16.2.5.
г) 4в), Опять достаточно проверить, что любая
силовская /?-подгруппа Р из G нормальна в G. Пусть,
напротив, Nq (Р) — собственная подгруппа в G и Н —
содержащая ее максимальная подгруппа из G. Так как
IG, GI < Ф (G) < Я,
то Н нормальна в С. С другой стороны, Н содержит
Ng (P), а потому должна совпадать со своим
нормализатором в G (упражнение 11.1.4). Этим противоречием
заканчивается доказательство теоремы.
Из теоремы Бернсайда — Виланда непосредственно
следует, что сплетение конечной /?-группы, отличной от 1,
с конечной g-группой, отличной от 1, тогда и только тогда
нильпотентно, когда р = q.

i
■ 1?J ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 149
17.i,5# Упражнение. Какова ступень
нильпотентности сплетения Zvm г Zv1
Исчерпывающий ответ на вопрос, когда бывают ниль-
потентными сплетения, содержится в следующем
упражнении.
17.1.6. Упражнение. Пусть А% В — нильпотент-
ные неединичные группы. Каждое из сплетений А г В,
АгВ тогда и только тогда нильпотентно, когда А, В
являются ^-группами, причем А имеет конечный период,,
а В конечна.
Указание: воспользоваться упражнениями 6.2.1
и 6.2.3 и естественным гомоморфизмом Z г Zp -+ Zq г Zv„
Отметим в заключение этого пункта факт, относящийся
к произвольным конечным группам.
НАЛ. Теорема (Фраттини). Подгруппа Фраттини
конечной группы нилъпотентна.
Доказательство. Пусть G — конечная
группа, А — ее подгруппа Фраттини. Ввиду теоремы 17.1.4
достаточно проверить, что любая силовская ^-подгруппа
Р группы А нормальна в А или, что равносильно, в G
(см. упражнение 5.2.6), т. е. Ng (Р) = G. Но это
равносильно соотношению
G =A-NG(P),
так как множество А конечно и состоит из непорождаю-
щих элементов группы G (теорема 2.2.6). Последнее
соотношение мы и докажем.
Пусть g — произвольный элемент из G, Сопряжение G
посредством g отображает А в себя, поэтому Рё — снова
силовская ^-подгруппа из А. По теореме Силова 11.1.1
подгруппы Р и Рё сопряжены некоторым элементом
йЕ4, т. е. Р* = Ра. Отсюда ga'1 e NG (P), g e
ЕЕ A-Ng (P). Теорема доказана.
Отметим, что попутно нами доказана
17.1.8. Лемма Фраттини. Пусть А —
нормальная подгруппа конечной группы G, Р — ее силовская
р-подгруппа. Тогда G = A-NG (P).
17.1.9. Упражнение. Пусть А — нормальная
подгруппа группы G и В —- такая подгруппа из А, что
В, В' ^ А сопряжены в А тогда и только тогда, когда эти
подгруппы сопряжены в G. Тогда G = A-NG(B).
(Обобщенная лемма Фраттини.)

150 ЙИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ ЕГл. 6
17.2. Конечно порожденные нильпотентные группы.
Очевидный пример таких групп — UTn (Z). Оказывается,
подгруппами унитреугольных групп над Z исчерпываются
вообще все конечно порожденные нильпотентные группы
без кручения, а произвольные конечно порожденные
нильпотентные группы являются их конечными
расширениями, и, в частности, вкладываются в группы SLn (Z).
Мы установим здесь два эти факта, основные в теории
конечно порожденных нильпотентных групп.
17.2.1. Лемма. Пусть G — произвольная группа.
Если G порождается множеством М, то централ ytG
порождается следующим централом yi+iG и простыми
коммутаторами веса i от элементов из М.
Доказательство. Для i = 1 это очевидно.
Перейдем от i к i + 1. По определению yt+fi порождается
элементами [х, у], хее ytG, у ЕЕ G. По индуктивному
предположению х — х\1 . . . #^% где каждое Xj — простой
коммутатор веса i от элементов из М, z£E yt+1G, ey- = ± 1.
Далее, у — слово от элементов из М (J М-1. Используя
коммутаторные соотношения (3) из п. 3.2, мы видим,
что [х, у] — слово от элементов вида
[xjy a]8 = [xj, a] [xj, a, g], [z, a]g,
й£ М9 g^G.
Так как [xj, a, g], [za], принадлежат yi+fi, то всё
доказано.
Мы будем говорить, что группа почти или почти вся
обладает некоторым свойством, если она содержит
нормальную подгруппу конечного индекса, обладающую
этим свойством.
17.2.2. Теорема. Любая конечно порожденная нилъ-
потентная группа G обладает центральным рядом с
циклическими факторами и почти вся без кручения. Если G
вся без кручения, то она обладает центральным рядом с
бесконечными циклическими факторами.
Доказательство, а) Пусть G конечно
порождена и нильпотентна. Каждый фактор ее нижнего
центрального ряда — конечно порожденная абелева группа
(см. 17.2.1) и, значит, обладает рядом с циклическими
факторами. Поскольку уплотнение центрального ряда —
снова центральный ряд, то G обладает центральным рядом

i
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ
151
с циклическими факторами. Индукцией по длине этого
ряда докажем, что G почти вся без кручения. Пусть
ff максимальный член этого ряда, отличный от G,
а элемент, порождающий G (mod H). По индуктивному
предположению Н почти без кручения, поэтому при
некотором т подгруппа Нт = (hm \ h e= Н) без кручения.
Ввиду 16.1.6 \Н:Нт\< оо. •* Если |G:#[<oo, то
ffrn __ искомая подгруппа без кручения в G. Пусть
I G : Н | = оо. Тогда (а) Нт содержит искомую
подгруппу, так как она без кручения и
\G : (а) Нт | = | Н : Н f] (а) Нт \ < | Н : Нт | < оо.
б) Пусть G — нильпотентная группа без кручения.
По доказанному она полициклическая, поэтому факторы
ее верхнего центрального ряда - тоже полициклические
(упражнение 4.4.3). Так как они — группы без
кручения (упражнение 16.2.10), то верхний центральный ряд
уплотняется до ряда с бесконечными циклическими
факторами. Теорема доказана.
17.2.3. Упражнение. Любая полициклическая
группа почти вся не имеет кручения.
Указание: см. доказательство 17.2.2.
17.2.4. Упражнение. В любой конечно
порожденной нильпотентной группе периодическая часть
конечна. Более общо, в любой группе почти без кручения
периодические подгруппы конечны.
Теорема 17.2.2 позволяет в конечно порожденную ниль-
потентную группу G без кручения внести целочисленные
координаты специального вида и с их помощью представить
G целочисленными упитреугольными матрицами. Более
точно, пусть G — множество. Набор функций ft: G-^Z,
i = 1, . . ., s, называется координатным, если
отображение х -> (f1 (х) ,. . ., /s (x)) является взаимно
однозначным отображением множества G в множество Zs
всех целочисленных s-ок. Пусть GczZs. Отображение
ф: G~^Zr называется полиномиальным, если существуют
такие многочлены Д, . . ., /г от s переменных с
коэффициентами из поля Q, что
^ = (Л», л .,7/(*)) для х еЧ?.
Если /1? . . м /г — многочлены первой степени, то ф
называется линейным. Пусть теперь G — конечно порож-

152
НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 6
денная нильпотентная группа без кручения. Рассмотрим
в ней центральный ряд
G = G1 > G, > . . . > Gs+1 = 1
с бесконечными циклическими факторами и возьмем
элементы ах, . . ., а& с условием Gt = гр (а-п Gi+1).
Очевидно, каждый элемент х из G однозначно записывается в
виде
x = a[t{x)...aa*(*\ tt(x)^Z,
так что набор функций £и . . ., ts является координатным.
Упорядоченную систему аи . . ., а& назовем малъцевской
базой группы G, а числа 1г(х), . . ., ts (х) —
координатами элемента х в этой базе.
17.2.5. Теорема. Пусть G — конечно порожденная
нильпотентная группа без кручения с отмеченными на ней
мальцевскими координатами tl9 . . ., ts. Существуют
натуральное число п — п (G) и такое изоморфное вложение ср:
G-+- UTn (Z), что отображение ср полиномиально на G,
а обратное к нему отображение ср-1 линейно на G^ (в
матричных координатах, имеющихся на UTn (Z)). В
частности, умножение и возведение в степень в группе G
записываются многочленами в мальцевских координатах. Более
точно, если х, у ЕЕ G, т ЕЕ Z, 1 <; i <^ s, то
h (ХУ) = многочлен над Q
от {^ (х), t* (у) [ а < 0 + U (х) + Ц (у), (1)
U (я™) = многочлен над Q
от т и {ta (х) | а < i} + mtt (x). (2)
Доказательство, а) Выведем сначала
утверждение «в частности». Для любой матрицы а из TJTn (Z)
и любого т из Z мы имеем
a™ = Ycl(a-e)\ где С -т1т~ 1]' ;• {т~ ' + 1), С»,-1.
г=0
(3)
т. е. коэффициенты матрицы а771 являются многочленами
от га и коэффициентов матрицы а. В силу основного
утверждения теоремы координаты tt (xy), tf (xm) линейно

S 17]
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ
153
выражаются через коэффициенты матриц (ху)*, (хт)?,
которые полиномиально выражаются через коэффициенты
матриц #ф, У* и число т. Снова по основному утверждению
теоремы коэффициенты матриц- х*, у* полиномиально
выражаются через координаты £а (х), ta (г/), поэтому маль-
цевские координаты произведения ху и степени хт
являются многочленами от мальцевских координат
элементов х, у и числа 7/г. То, что эти многочлены имеют вид (1),
(2), сразу вытекает из определения центрального ряда,
б) Теперь заметим, что вместо вложения ф достаточно
указать полиномиальное вложение if: G->- GLn (Z),
обратное к которому яр"1 линейно на 6?ф, причем С?ф состоит
из унипотентных матриц (матрица а называется унипо-
тентной, если она имеет единственный
характеристический корень 1 или, что равносильно, (а — ё)п = 0).
Действительно, группу Я = 6?ф путем сопряжения в
GLn (Q) можно отобразить в UTn (Z). Мы докажем
сначала, что Я сопряжена с подгруппой из UTn (Q). Будем
рассматривать GLn (Q) как группу автоморфизмов
тг-мерного векторного пространства V над полем Q и
возьмем неуплотняемую цепочку V = Vx ^> V2 ]> . . .
• • • !> Vm+1= 0 подпространств, инвариантных
относительно Я. В базе, отнесенной к этой цепочке, автоморфизмы
из Я записываются клеточно-треугольными матрицами,
диагональные клетки которых изображают действие Я
в факторах Vt/Vi+11 поэтому достаточно доказать, что
каждый такой фактор U имеет размерность 1. Так как
коммутант [Я, Я] имеет меньшую ступень
нильпотентности, то можно считать, что [Я, Я] приводится к уни-
треугольному виду. Тогда существует ненулевой вектор
и ЕЕ U, неподвижный относительно автоморфизмов из
[Я, Я]. Пусть V — подпространство всех таких векторов.
Оно инвариантно относительно Я, так как для h ЕЕ Н,
h' ЕЕ [Я, Я] имеем
(uh)h' = u{hh'h"l)h = uh.
Так как фактор U не содержит собственных
подпространств, инвариантных относительно Я, то U' = U.
Отсюда [Я, Я] = 1 на U, т. е. Я индуцирует абелеву
группу автоморфизмов фактора U. Но любое множество
перестановочных линейных преобразований имеет общий
собственный вектор над расширением основного поля с

154 НИЛЫГОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 6
помощью характеристических корней этих
преобразований.] Так как группа // уяипотентна, то она имеет
общий собственный вектор в U. Так как подпространство,
натянутое на этот вектор, инвариантно относительно Н
и U не содержит собственных инвариантных
подпространств, то U одномерно. Этим доказано, что На ^
<; UTn (Q) при подходящем а ЕЕ OLn (Q). Возьмем
теперь в На конечное число порождающих матриц,
возьмем общий знаменатель N их коэффициентов и
рассмотрим матрицу
Ъ = diag (1, N, N2, . . . ,Л^/г-1).
Легко видеть, что НаЬ < UTn (Z).
в) Остается доказать существование if>. Мы сделаем
это индукцией по длине мальцевской базы. Пусть для
групп с мальцевской базой длины << s требуемое
матричное представление уже найдено, а вместе с ним доказана
и вся теорема (см. а), б)). Пусть группа G имеет маль-
цевскую базу at, . . ., as длины s. В качестве подготовки
к построению if) мы установим в этом пункте формулу (1)
для группы G. Обозначим для краткости tt (x) = |г,
ti (у) = чг- Очевидно,
ху = af+m (fl^Vfl?1)^1 • • • {aTWaTY^al2 . . . af
и
-f\ -1 Ч\ Г D 1-1
ах d\ ax = [al9 at\ a^ .
По индуктивному предположению и ввиду а), б)
формулы (1), (2) справедливы для групп с мальцевской базой
длины <С s, поэтому достаточно проверить, что координаты
элементов [а[, at] в мальцевской базе а2, . . ., as —
многочлены от г\. Очевидно,
[а?, at] = а^ (а^а^^
и
aC-ayCLi = axai+i+1. .. asis, c{j ^Z.
Применяя к гр(ах, ai+1, . . ., as) индуктивное
предположение, мы заключаем, что
(—1 \*П Л чгЛ+1 ^is

§ 17]
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ 155
у # .
где £.. __ многочлены от г\. Отсюда [а\, at] = а{1[г+1 . . .
а;18, и формула (1) доказана для группы G.
г) Построение я|з. Пусть Q [t] — кольцо многочленов
над Q от функций^, . . ., ts. Определим на нем действие
группы G, полагая для а из G
F {х) = f {ax), /GQlfl, ^G(?
(«левый сдвиг аргумента»). Непосредственно проверяется,
что оператор ор (а), задаваемый этой формулой, является
автоморфизмом кольца Qlt], а правило а -> ор (а)
определяет изоморфизм 6?-> Aut (О U]).
Произведение вида М (t) = t™1 . . . ts s назовем
мономом от *!,..., *8. Ввиду (1)
tf = *i+2*tf(a)M,(f), (4)
i
где Cij (a) — многочлен над Q от мальцевских координат
элемента а, а мономы Mj (£), входящие с ненулевыми
коэффициентами в выражение для $, не содержат
переменных fy, . . ., t8. Отсюда видно, что ор (а) — ор (е)
отображает произвольный моном М (t) либо в 0, либо в
линейную комбинацию меньших мономов, если считать
мономы упорядоченными по последним различным
показателям. Значит, при подходящем т = т (а, М)
преобразование (ор (а) — ор (е))т аннулирует М (t).
Пусть Н — аддитивная подгруппа, порожденная
орбитой множества координатных функций {£1? . . ., ts}
относительно операторов ор (х), х ЕЕ G. Ввиду (4) Н лежит
в подгруппе, порожденной функциями {tt, -^ Mj (t)} при
некотором натуральном N, а потому конечно порождена.
Пусть Нг, . . .,kn — база свободной абелевой группы Я.
Пусть еще
h%= ^m{x)hb (5)
г
т- е- (%г (х)) — матрица сужения ор (х) на Я в базе hly . . .
• ..,йл. Так как Н содержит координатные функции
*i, . . ., ts, то правило х -> (%, (ж)) определяет
изоморфизм \f>: G-+GLn (Z), причем 6?ф состоит из унипотент-
ных матриц. Отображение ifr1 линейно на С?ф, так как

156 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ ГГл. 0
множество {tt} линейно выражается через {hk}, а
вычисляя функции (5) в точке е, мы видим, что {hk} линейно
выражается через {%J. Само яр полиномиально, т. е.
функции tykl являются сужениями на G некоторых
многочленов над Q. Действительно, пусть х ЕЕ G. Так как
каждое hk — линейная комбинация над Z от некоторых £?,
gEz G, то ввиду (4) hk — такая же комбинация от
tix^ti+^c{1(gx)Mj{t).
4
Отсюда
л* = 2/^(*)л^(0. (6)
3
где Рю- — многочлен над Q; в частности,
A* =S fti (е) ЛГИ*)- (?)
3
Так как множество {hk} линейно независимо над Q, то
таковы и строки матрицы (Pkj (e)). Подставляя (6), (7)
в (5) и пользуясь линейной независимостью {Mj (£)},
получим для %z (x) систему линейных уравнений
i
откуда и видно, что функции %z полиномиальны над Q.
Теорема доказана.
В связи с приведенным доказательством уместно
отметить здесь общий метод расщепляемых координат
(Ю. И. Мерзляков, Алгебра и логика 7, № 3 (1968),
63—104), позволяющий устанавливать изоморфную
представимость групп матрицами. Изложение этого метода
можно найти в [16], ч. 3.
1 17.2.6, Упражнение. Пусть р — простое число.
Любая конечно порожденная нильпотентная группа без
кручения аппроксимируется конечными ^-группами.
' Указание: см. доказательство теоремы 14.2.2.
В начале пункта мы^отметили, что из теорем 17.2.2
й 17.2.5 следует вложимость произвольной конечно
порожденной нильпотентной группыТг в группу SLn (Z)
при некотором п. Ясно, что достаточно указать вложение
ф]будет

§ 171
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ
157
требуемым. Остается воспользоваться следующим общим
замечанием. Пусть Н — подгруппа конечного индекса т
в произвольной группе G. Пусть аг, . . ., ат —правые
представители G по Н. Если а — точное представление
группы Н матрицами степени п, то формула
g-+\\{aigafy\\
задает точное представление группы G матрицами степени
тп (здесь считается ха = 0 при х ф Н). Очевидно, это
не что иное, как представление группы 6?,
индуцированное представлением а (см. п. 13.2).
17.2.7. Упражнение. Группа, почти вся предста-
вимая матрицами над кольцом с единицей, вся представима
матрицами над этим кольцом.
17.2.8. Упражнение. Любая конечно
порожденная нильпотеятная группа финитно аппроксимируема.
17.2.9. Упражнение. Существуют конечно
порожденные нильпотентные группы без кручения Л, 5,
изоморфно вложимые одна в другую, но не изоморфные,—
таковы, например,
/1 Z Z\ (\ nZ Z\
Л=[0 1 Z , #=Л0 О Z при т?.^= О, 1.
Vo о 1 / \о о 1 /
17.2.10. Упражнение. Конечно порожденная
нильпотентная группа с конечным центром сама конечна.
17.3. Нильпотентные группы без кручения. В этом
классе групп наиболее интересна^ содержательна теория
извлечения корней, которая и будет сейчас изложена.
Ее исходным пунктом служит теорема 16.2.8 предыдущего
параграфа, согласно которой в любой нильпотентной
группе G без кручения извлечение корней есть частичная
операция, т. е. оно однозначно, хотя и не обязательно
всюду определено. Оказывается, группу G всегда можно
вложить в полную нильпотентную группу (где извлечение
корней всюду определено), причем любые два
«минимальных» нильпотентных пополнения группы G изоморфны
ДРУГ другу и исчерпываются корнями из элементов
группы G.
Напомним, что произвольная группа G называется
полной, если для любого ее элемента g и любого
натурального т в G существует решение уравнения хт — g.

158 нилыготентные группы [Гл. в
Примером полной группы является группа ТУТп (К) над
полем К нулевой характеристики. Действительно, для
любых а ЕЕ ТТТп (К), \i EH К положим по определению,
обобщая формулу (3):
п—г
г=;0
где c^jl = г, , Су. = 1.
Непосредственно проверяется, что aia+v = a? a", a^v =
i
= (а^у. Отсюда, в частности, следует, что ат — корень
т-и степени из а, т. е. группа ЛТп (К) полна.
Полная нильпотентная группа U без кручения
называется (нилъпотентным) пополнением группы G, если она
содержит Сине содержит собственных полных подгрупп,
содержащих G.
17.3.1. Теорема. Пусть Н — подгруппа полной
нилъпотентной группы G без кручения. Множество У Н
всех элементов из G, попадающих в некоторой степени в Н
(корень из подгруппы Н в группе G)^ является подгруппой и,
значит, пополнением Н в G. Гиперцентры подгрупп Н
и УН связаны следующим образом:
I, Уё= УхЖ, ин = я n VW.
Доказательство, а) Докажем сначала, что
У И — подгруппа, т. е. ху Е: УН, если х ЕЕ УН, у ЕЕ
е УН. Пусть А = (х,у), В = А Г) Я, At = ytA.
Достаточно проверить, что все | BAt : BAi+1 | <Coo , так
как тогда будет \ А : В | << оо. Ряд
BAL > ВА2 > . . .
субнормальный с абелевыми факторами, так как ввиду
коммутаторных тождеств (3) из п. 3.2
[ВАЬ ВА{\ < [В, B]Ai [At, B]Ai [Au At] < BAi+1.
Пусть хт, ут ЕЕ В и уже доказано, что фактор BA^JBAt
конечен4! и' имеет период иг1"1. Докажем, что фактор
BAilBAiJrl конечно порожден и имеет период тг. Первое

§17]
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДКЛАССЫ
159
вытекает из полицикличности А (теорема 17.2.2). Далее,
Ui_i, А, А] = 1 (modi4i+1), поэтому функция [и, v]
(mod'^i+i), и е -4:-i, УЕ^, гомоморфна по обоим
аргументам (снова коммутаторные тождества!). Отсюда
jm* г Л Ал™-Х ^ Г у!7711"1 ЛтЛ Л
Ai = Мг-1, -4] < Мг-1 , ^ ] Ai+1.
Так как
iCl"1 < (в Г) 4-0 4. ^т < ^
то, применяя еще раз коммутаторные тождества, получаем
что и требовалось.
б) Для доказательства формул о гиперцентрах
обозначим Ht = £>iH и перейдем от i к i + 1. Прежде всего,
£i+i V^i <* V^i+u так как Для любого л: из £,1+1)/Я
имеем хт ЕЕ Я при подходящем т и
откуда £т е Я1+1, а: е |^Я^+1.__ Обратно, У#|+1 <
^ £i+i УЯ, т. е. подгруппы Y H, \^Hi+1 поэлементно
перестановочны по модулю YН%. Действительно, пусть
ж е /Я", г/ е /Ят, т. е. zm е Я, г/п е Я*+1 при
подходящих иг, ?г. Так как [Я, Hi+1] ^ Ht ^ УНг, то #mz/n ==
~ г/пд;т (mod У#)). Так как УН/]^7Гг — группа без
кручения (упражнение 16.2.10), то ху = ух (mod УЯ*)
(упражнение 16.2.9), что и требовалось.
Наконец, Я Г) Уя^+1 = Я^+1. Докажем только
нетривиальное включение Я f| |/"Я^+1 < ffi+1. Пусть
* ее я п У я $+1, хт ее Яг+1. Тогда #т перестановочно
с любым элементом из Я по модулю Ht, а, значит, таково
и х (упражнения 16.2.9 и 16.2.10). Отсюда x<=Hi+1.
Теорема доказана.
17.3.2. Т е о р е м а (А. И. Мальцев). Любая нилъпо-
тентная группа G без кручения обладает нилъпотентным
пополнением той же ступени нильпотентности. Любые
два нилъпотентных пополнения группы G изоморфны;
более того, для любого автоморфизма ф группы G
существует изоморфизм между ними, продолжающий ср.

160 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. в
Доказательство, а) Единственность.
Пусть G±1 G2 — группы, изоморфные 6?, ср — изоморфизм
Gx на G2, yGt — нильпотентное пополнение группы Gt.
Возьмем прямое произведение в нем
подгруппу D = {ал:'* | яЕЕ G^} и рассмотрим ее корень
YD в этом произведении. Проверим, что
р = уъ.уои Yd n /5Г = i при i = i, 2. (8)
Действительно, если а: е
при подходящем яг. Отсюда х — 1, и вторая из формул (8)
доказана. Из нее следует, что сужение проектирования пх
Р -+Y&1 на ГРУППУ V& есть изоморфизм, следовательно,
Y D* = YD71. Далее, сужение п на Y@i — тоже
изоморфизм, поэтому YG'i = ^ ^Г- Но Dn = G*, поэтому
YD = Y&l • Возвращаясь к полным прообразам
относительно я, получаем первую из формул (8) для i = 2.
По симметрии она верна и для i = 1.
Формулы (8) показывают, что любой элемент хх из
Y&X является проекцией точно одного элемента х из ]/*/?
на множитель j/^. Сопоставляя элементу х± проекцию
элемента х на множитель YG±1 мы получим изоморфизм
YTTX на j/"G 2, продолжающий ф.
б) Существование. Если группа G конечно
порождена, то она вкладывается в полную нильпотент-
ную группу VTn(Q) при некотором п (теорема 17.2.5).
Корень ]/"б? из подгруппы G в группе UT n (Q) будет
нильпотентным пополнением группы G. Для g из G и
натурального лтг обозначим через -\/ g решение уравнения
xm = g в группе Y&' Очевидно,
mYg = mY7 & gm' = s'm, (9)
причем ввиду а) таблица умножения в YG полностью
определяется таблицей умножения в G. Отбросим теперь
предположение, что G конечно порождена, и рассмотрим
множество формальных символов у g, g ЕЕ G, т = 1, 2,...
Определим на этом множестве формулой (9) отношение
равенства и обозначим через Y@ получившееся множество

§ 18]
ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ
101
классов равных элементов. Условимся умножать у g,
"j/g7 как элементы нильпотентного пополнения группы
гр (g, g')- Тогда YG становится группой, содержащей
подгруппу G. Если группа G нильпотентна ступени s,
то пополнения ее конечно порожденных подгрупп имеют
ступени <> (теорема 17.3.1), поэтому ]/~G удовлетворяет
тождеству [хг, . . ., х8+1] = 1. Значит, YG — нильпо-
тентное пополнение группы G с той же самой ступенью
нильпотентности. Теорема доказана.
Нильпотентная группа, содержащая периодические
элементы, уже не всегда вкладывается в полную ниль-
потентную группу, так как периодическая часть полной
нильпотентной группы G обязана лежать в центре.
Действительно, по индуктивным соображениям можно считать,
что любой^периодический элемент #из G лежит во втором
гиперцентре. Если gm = 1, т ф 0, то [g, xm] = [g, x]m =
= [gm, x] = 1 для произвольного х из G. Ввиду полноты
G элемент хт пробегает всю группу, поэтому элемент g
центральный.
§ 18. Обобщения нильпотентности
Из многочисленных обобщений нильпотентности мы
рассмотрим только три: локальную нильпотентность,
нормализаторное условие и энгелевость.
18.1. Локальная нильпотентность. Говорят, что
группа локально нильпотентна, если все ее конечно
порожденные подгруппы нильпотентны. При этом сама группа
может не быть нильпотентной, как показывает пример
прямого произведения нильпотентных групп
неограниченно растущих ступеней или пример группы Т7ТЫ (К)
из упражнения 17.3.1. Более общо, если а — свойство
групп, которое переносится на подгруппы, то говорят,
что группа G локально обладает свойством а, если все
конечно порожденные подгруппы из G обладают свойством
о (определение для произвольного а см. в следующей
главе).
18.1.1. Упражнение. Подгруппы и
факторгруппы локально нильпотентных групп сами локально
нильпотентны. Всякая локально нильпотентная группа
является локально полициклической.
6 М- И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

162 НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. в Ж
18.1.2. Теорема. 1) Во всякой группе произведем щ
ние двух нормальных локально полициклических подгрупп Щ
есть локально полициклическая подгруппа. щ
2) (Б. И. Плоткин) Во всякой группе произведение двух Ж
нормальных локально нильпотентных подгрупп есть ло- щ
кально нилъпотентная подгруппа. ж
Доказательство. 1) Пусть К, L — нормаль- щ
ные локально полициклические подгруппы произвольной ж
группы G. Надо показать, что любая конечно порожден- Ж
ная подгруппа из KL полициклическая. Возьмем в KL Ж
такую подгруппу и запишем ее порождающие в виде про- щ
изведений аЪ, а £Е К, b Ez L. Пусть А — подгруппа, щ
порожденная левыми множителями, В — правыми. По ус- щ
ловию, группы А, В полициклические. Очевидно, достаточ- 1
но убедиться, что их порождение 77 = гр (А, В) — поли- 1
циклическая группа. Воспользуемся леммой 3.2.2, опи- щ
сывающей строение Н (отметим, что в нашем случае Ш
множества /, /, С конечны). Ввиду этой леммы и упраж- I
нения 4.4.3 достаточно проверить полицикличность группы I
A U, В]. I
Так как К, L нормальны в G, то [К, L] <^ Kf)L. щ
Так как Л, гр (С) конечно порождены и лежат в локально ж
полициклической группе К, то гр (А, С) полициклическая, ж
Значит, лел^ащая в ней подгруппа гр (СА) также полици- ж
клическая. С другой стороны, она лежит в L, поэтому Щ
гр(гр(СА), В) — конечно порожденная подгруппа из L ж
и, значит, тоже полициклическая. По лемме 3.2.2 в ней ж
содержится [А, В], поэтому [А, В] — полициклическая Щ
группа. Так как А и [А, В] обе лежат в К ж конечно ж
порождены, то их произведение — полициклическая ж
группа. Ж
2) Доказывается по той же схеме. щ
Теперь снова, как и после теоремы Фиттинга, полезно Щ
обратиться к упражнению 16.2.13. ■
Не все свойства нильпотентных групп из § 16 имеют Щ
место для локально нильпотентных групп — так, в при- щ
мере 18.2.2 следующего пункта мы увидим, что подгруппы Ж
локально нильпотентных групп не всегда субнормальны, ж
Что же остается от теоремы 16.2.2 в случае локально ж
нильпотентных групп? Справедлива, например, такая щ
18.1.3. Теорема (Маклейн). Любая максимальная ж
подгруппа Н локально нильпотентной группы G нормальна, ж

§ 18]
ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ
165
Доказательство. Пусть, напротив, Я не
нормальна в G. Тогда существует х е \G, G], х^Н.
Ввиду максимальности Я гр (Я, х) = G. Пусть
х = [у1ч гг] . . . [уп, zn], yt, zt e G.
Пусть i/j, £* выражаются как слова от х и hu . . ., hm
из Я, и
Я* = гр(Л1? . . ., fcm), G* = ГР №i» • • •» Am, я).
По условию группа G* нильпотентна. Очевидно, # ЕЕ
Е= [G*, 6?*], # Q= Я* , поэтому Я* — собственная
подгруппа в Сг*. По теореме 16.2.2 можно соединить Я* с С?*
субнормальным рядом, который по теореме 17.2.2
уплотняется до полициклического ряда
Я* <#!<. . . <Я5<С*. (1)
Так как фактор G*/Hs коммутативен, то [G*, 6?*]<;ЯЭ
и, значит, # ЕЕ Яя. Но тогда G* <; Яя, что противоречит
строгим включениям (1). Теорема доказана.
18.2. Нормализаторное условие. Как показали Хайне-
кен и Мохамед (Н. Heineken, I. J. Mohamed, J. Algebra
10 (1968), 368—376), обратить теорему 16.2.2, вообще говоря,
нельзя, т. е. существуют ненильпотентные группы, у
которых все подгруппы субнормальны. Отметим, однако, что
для всякого натурального числа п существуют такие
натуральные числа г (п) и s (п), что всякая группа, у которой
всякая подгруппа с г (п) порождающими включается
в субнормальный ряд длины ^п, является нильпотентной
группой ступени О (и) (J. E. Roseblade, J. Algebra 2,
№ 4 (1965), 402-412).
Более слабым условием по сравнению с
субнормальностью всех подгрупп является следующее
нормализаторное условие: каждая собственная подгруппа отлична от
своего нормализатора.
18.2.1. Теорема (Б. И. Плоткин). Всякая группа
G с нормализаторным условием локально нильпотентна.
Доказательство. По лемме Цорна всякий,
элемент из G лежит в некоторой максимальной локально
нильпотентной подгруппе Я. Достаточно показать, что
Я нормальна в G (тогда G будет покрываться локально
нильпотентными нормальными подгруппами, а потому
по теореме 18.1.2 сама будет локально нильпотентной).
6*

164 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ 1Гл. 6
Обозначим N = NG (Я). Если N* = ЛГ, то Hg, Я
нормальны в N. По теореме 18.1.2 их произведение Н8Н
локально нильпотентно. Ввиду максимальности Я имеем
HgH = Я, откуда Hg = Я, g ^ N. Таким образом,
N совпадает со своим нормализатором. Значит, ввиду
нормализаторного условия N = G, что и требовалось
доказать.
Обращение этой теоремы неверно, как показывает
следующий пример, решающий и другие вопросы.
18.2.2. Пример (М. И. Каргаполов). Определим
для каждого трансфинитного числа а группу Ga, полагая
Срг Ga-i при непредельном а,
(J Gp при предельном а.
3<а
Из построения видно, что каждое Ga является р-группой,
причем все ее конечно порожденные подгруппы конечны
и | Ga | > | a |. В частности, все группы Ga локально
нильпотентны.
Пусть* у — первое несчетное трансфинитное число.
Ясно, что все Ga при a <C у счетны, а группа GY несчетна.
Покажем, что Gy не удовлетворяет нормализаторному
условию. Действительно, в противном случае в Gy
существовала бы последовательность подгрупп Ял,
занумерованных трансфинитными числами X <; v, с условиями:
а) Я0 = 1, Я{л О Ям+1, Ял = [J Я{л при предельном
X, Ну, = бгу,
б) все факторы Яу,+1/Я[л коммутативны.
(Такую последовательность можно было бы построить,
например, беря первую и третью формулы из а) за
определение Ял, а в качестве Я^+1 беря порождение Яр, и
любого элемента из N (Я^), лежащего вне Я^.) Мы покажем
сейчас, что группа Gy в действительности не содержит
подгрупп с условиями а), б).
Пусть, напротив, такие Ял существуют. Уплотнив,
если нужно, последовательность этих подгрупп, можно
считать, что все факторы H^+JH^ циклические. Тогда
все Нп с натуральными номерами п счетны, а потому и их
объединение Яо счетно. Занумеруем элементы из Н&.
ht, h2l . . . Очевидно, hm E= G$ при некотором (Зт < у.
Объединение всех G$ есть некоторое £?р, причем р < у,
6г0 — С7р, 6ra —

§ 181
ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ
165
поскольку С?,з счетно, а группа Gy несчетна. Мы получим
противоречие, если установим, что G$ содержит все Я>.
при о)< % <; v. Сделаем это индукцией по X. Для
предельных I утверждение очевидно, поэтому пусть X —
непредельное число. Пусть уже доказано, что Ях_х <
^ G3, но существует h е Ях, h ф G$. Пусть а таково,
что AEGa, h ЕЁ бга-1- Очевидно, |3 < а — 1, поэтому
Нг-i ^ Gol-i- По определению сплетения,
h = ь/, & е са-1, / е fun (Ga_!, су,
причем /^=1. Для всех х ^ Н^г имеем
[Д /] - arV ЕЕ Ga_! П fun (Ga-x, Cp) = 1,
т. е. Ях-i централизует /. Таким образом, элемент /' =
= bfb~x Ф 1 имеет в Ga_i бесконечный централизатор.
С другой стороны, этот централизатор, действуя на Ga-i
правыми сдвигами, должен переводить supp (/') в себя.
Значит, он изоморфен группе подстановок конечного
множества supp (/')и потому не может быть бесконечным.
18.2.3. Упражнение. Группа Gy имеет
тривиальный центр.
Группы с нормализаторным условием столь близки
к группам с центральным рядом (вообще говоря,
трансфинитным), что долго никто не знал, существуют ли группы
с нормализаторным условием и без центра. Этот старый
вопрос был решен Хайнекеном и Мохамедом (см. статью,
цитированную в начале пункта).
Однако по-прежнему неизвестно ([11], вопрос 2.80),
имеет ли произвольная группа с нормализаторным
условием отличную от единицы абелеву нормальную подгруппу.
18.3. Энгелевость. Источником этого обобщения
нильпотентности служит коммутаторное тождество
[Xq, Х±, . . ., Хп\ = 1, (Z)
определяющее, как мы знаем, нильпотентные группы
ступени ^ п. Стремление иметь возможно меньше
переменных приводит нас к тождеству
[Л у^^у) = 1 (3)
п
(отсутствие внутренних скобок означает, конечно,
«правильную» их расстановку: [[[х, г/], г/], у] . . .). Группа
с тождеством (3) называется ограниченно тгелееой группой

166 НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ [Гл. 6
ступени ^ п — в честь Энгеля, заложившего вместе с Ли
основы теории групп и алгебр Ли, упоминавшейся в
начале главы. Очевидно, в многообразии ограниченно энге-
левых групп ступени <; п содержится многообразие всех
нильпотентных групп ступени <; п. Эти многообразия не
совпадают, как показывает
18.3.1. Пример (Уэстон). Пусть М — множество
натуральных чисел, разлагающихся в произведение
различных простых чисел, т. е. не делящихся на квадраты.
Каждому т Ez M сопоставим циклическую группу
второго порядка с порождающим ат и обозначим через А
прямое произведение всех (aw). Каждому простому числу
р сопоставим автоморфизм фр группы А, задаваемый на
порождающих следующим образом:
аФр __ Г o,mamJV при р\т,
т \ ат в остальных случаях.
Очевидно, фр = 1 и фрфд = Фдфр, так что группа Ф,
порожденная всеми фр, коммутативна периода 2. Пусть
G — расширение А посредством Ф (см. п. 6.1). Из
определения видно, что при q, не делящем т,
Яш = [°W 4>J-
Отсюда [G, G] = A, [G, А] = А и, значит, группа G не
нильпотентна. С другой стороны, она удовлетворяет
тождеству 1х, у, у, у] = 1. Действительно, если а, а' е^,
Ф, ф' €Е Ф, то имеем последовательно: [а, а'ф] — [а, ф]
ввиду тождества \х, yz] = [х, z] [х, y]z и коммутативности
группы A, [а, ф, ф] = 1 ввиду тождества [х, у, z] —
= [г/, х] \z, x] [х, yz] и соотношения [а, ф]2 = 1, наконец,
[аф, а'ф', а'ф', а'ф'] = Гаф, а'ф', ф', ф'] = 1 в силу
предыдущего. Отметим еще тот очевидный факт, что группа
Уэстона имеет период 4.
Группа называется энгелевой, если для любых ее
элементов х, у выполняется соотношение (3) при некотором п,
зависящем, вообще говоря, от этих элементов. Очевидно,
класс энгелевых групп содержит класс всех локально
нильпотентных групп. Эти классы различны, как
показывает
18.3.2. Пример (Е. С. Голод). Для любого d > 2
существует ненильпотентная группа G с d порождающими,
у которой любая подгруппа с d — 1 порождающими ниль-

§ 181
ОБОБЩЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ
107
потентна. Такая группа строится с помощью аналогичного
примера для алгебр, а именно с помощью ненильпотент-
ной (бесконечномерной) алгебры А с d порождающими,
у которой любая подалгебра с d — 1 порождающими ниль-
потентна. Указанная конструкция, детально
изложенная в § 23 Дополнения, дает А в виде F'/I, где
F' — подалгебра «многочленов без свободного члена»
свободной ассоциативной алгебры F с порождающими
хи . . .,' xd над каким-нибудь полем к, I — однородный
идеал в F'. Пусть р — простое число, к = GF (р)л
Возьмем в FII множество
1 + А = {1 + а | а е А).
Очевидно, (1 + а)(1 + Ъ) = 1 + а + Ъ + аЪ, (1 + а)-1^
= 1 __ а + а2 - . . . + (-1)71"1 а71"1, если а71 == 0,
поэтому 1+4 — группа. Далее, для всякого a£i
существует такое т, что а?™ = 0, откуда
поскольку все биномиальные коэффициенты, кроме
первого и последнего, делятся на р. Значит, 1 + А является
р-группой. Пусть G — подгруппа, порожденная в ней
элементами 1 + х±, . . ., 1 + %d, где xt = xt + /. Ясно,
что подгруппа, порожденная элементами 1 + аг, ...
. . ., 1 + ad_b а,- е= -4, лежит в 1+4*, где 4* —
подалгебра, порожденная элементами ах, . . ., ad_x. По
условию алгебра 4* нильпотентна, поэтому и группа
1+4* нильпотентна (упражнение 16.1.4). Таким
образом, все подгруппы с d — 1 порождающими из G нильпо-
тентны. Однако сама группа G ненильпотентна. В самом
деле, в противном случае ввиду 16.1.6 она была бы
конечной. Но тогда и групповое кольцо к [G] и его
естественный гомоморфный образ FII = к © А были бы конечными,
что противоречит бесконечности алгебры А.
Пока неизвестно, будет ли группа локально нильпо-
тентной, если для любых ее элементов х, у выполняется
соотношение (3) при п, зависящем только от у.
Неизвестно также, будет ли в произвольной группе произведение
нормальных энгелевых подгрупп снова энгелевой
подгруппой. Обсуждение этих вопросов и некоторые
результаты можно найти в [19].

Глава 7
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
§ 19. Общие свойства и примеры
19.1. Определения. Как было сказано в начале
предыдущей главы, разрешимые группы — это группы,
которые можно собрать последовательными расширениями
из абелевых групп. Возможны и другие равносильные
определения разрешимости.
19.1.1. Теорема. Для произвольной группы G
равносильны следующие утверждения:
а) группа G обладает субнормальным рядом с абеле-
выми факторами,
б) группа G обладает нормальным рядом с абелевыми
факторами,
в) ряд коммутантов G ;> Gr ;> . . . > G^ > . . .
группы G через конечное число шагов обрывается на
единице,
г) группа G удовлетворяет одному из тождеств
О п \Хц . . ., Х^п) = 1, W = U, 1, 4, ...,
где о0 (х) = х, on+i (х1, . . ., #2n+i) = LOn (x1, . . ., х2П),
Доказательство, в) ^ б) 4 а). Очевидно,
а) «=Ф в). Пусть группа G обладает субнормальным рядом
с абелевыми факторами:
1 - #0 < Нг < . . . < Hs = G.
Так как фактор-группа GIH&-X абелева, то G' <; #s-i.
Предположим, что уже установлено включение G^k) <^
<^Hs-k, I ^ k <C s. Ввиду коммутативности фактора
Hs-k/Hs-k-i коммутант (GW)' = G(fc+1) содержится в #e_fr-i-
Отсюда №) = 1. Следовательно, доказана равносильность
первых трех утверждений.

*1W
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
169
в) =^ г). Допустим, что s-й коммутант G^) группы G
равен единице. Так как (s — 1)-й коммутант группы
(G[/G(s"1) равен единице, то, используя индуктивные
соображения, можно считать, что 8Д (&, . . ., g^) (= G(s\
где 6s_i (&, . . ., £2<-i) — значение слова 8S_X на"
элементах gt. Отсюда в силу коммутативности группы №)
получаем 6s(gl9 . . ., gr2s) = 1 Для любых gt ^ G.
г) =Ф в). Обратно, пусть на группе G справедливо
тождество 8S = 1. Очевидно, подгруппа^Я, порожденная
значениями слова 6s_i, нормальна и коммутативна. На
фактор-группе G/H выполняется^ тождество 63_, = 1 и
поэтому можно считать G(s_1)^ Я. что влечет №> = 1.
Теорзма доказана.
Группа G называется разрешимой, если для нее верно
одно из утверждений а), б), в), г). Ряды пунктов а), б)
также называют разрешимыми. Если группа G разрешима,
то наименыпее'положительное число п, для которого G'n) =
= 1, называется ступенью разрешимости этой группы.
Из доказательства теоремы 19.1.1 видно, что на
разрешимых группах ступени разрешимости <^гс и только на
них выполняется тождество 8п = 1. Следовательно, класс
разрешимых групп ступени разрешимости <^гс есть
многообразие. Непосредственным следствием этого замечания
является замкнутость класса разрешимых групп
относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и
конечных прямых произведений, а также декартовых
произведений при условии ограниченности ступеней
разрешимости сомножителей. Прямое (декартово) произведение
произвольных разрешимых групп может не быть
разрешимой группой.
19.1.2. Упражнение. Треугольные матричные
группы Тп (К) разрешимы. Их прямое произведение по
га = 1, 2, ... не является разрешимой группой.
19.1.3. Упражнение. Расширение разрешимой
группы посредством разрешимой группы само разрешимо.
19.1.4. Упражнение. В произвольной группе
произведение двух разрешимых нормальных подгрупп
является разрешимой подгруппой.
19.1.5. У п р а ж н е н и е. В произвольной конечной
группе существует (единственная) разрешимая
нормальная подгруппа, фактор-группа по которой не содержит
отличных от единицы абелевых нормальных подгрупп.

170
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7
19.1.6. Упражнение. Конечная разрешимая
группа обладает субнормальным рядом с циклическими
факторами простых порядков.
19.1.7. Упражнение. Минимальная
нормальная подгруппа конечной разрешимой группы разлагается
в прямое произведение циклических групп одного и того
же простого порядка.
Отметим без доказательства, что свойство группы быть
или не быть разрешимой вполне определяется строением
решетки ее подгрупп: группа, имеющая такую же решетку
подгрупп, что и некоторая разрешимая группа, сама
разрешима. Этот результат, решающий 40-ю проблему Бирк-»
гофа (см. его книгу «Теория структур», ИЛ, 1952) получен
Б. В. Яковлевым (Алгебраи логика 9, №3 (1970), 349—369).
19.2. Разрешимые группы с условием максимальности.
Очевидным примером разрешимых групп служат
полициклические группы. Поскольку подгруппы
полициклических групп снова полициклические (упражнение 4.4.3),
то они, в частности, конечно порождены.
19.2.1. Упражнение. Пусть G —
произвольная группа. Тогда и только тогда все ее подгруппы
конечно порождены, когда в G выполняется условие
максимальности (для подгрупп): всякая возрастающая цепочка
подгрупп Н1 <; #2 <; . . . обрывается, т. е. Нп =
= НпЛ.х = . . . при некотором п.
19.2.2. Упражнение. Класс групп с условием
максимальности замкнут относительно взятия подгрупп,
гомоморфных образов и расширений.
Разрешимые группы с условием максимальности
описываются без труда:
19.2.3. Теорема. Группа G тогда и только тогда
разрешима и удовлетворяет условию максимальности,
когда она полициклическая.
Доказательство. Достаточность уже
отмечалась. Докажем необходимость. Пусть G удовлетворяет
условию максимальности и имеет разрешимый ряд
1 = G0 ^ Gx <; . . . <; Gn = G. Так как его факторы
Gi+i/Gi тоже удовлетворяют условию максимальности
(см. 19.2.2), то они конечно порождены и, значит,
разлагаются в прямые произведения циклических групп
(теорема 8.1.2). Это позволяет уплотнить данный ряд до
полициклического ряда. Теорема доказана.

§ 191
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
171
Отметим, что другим очевидным примером групп
с условием максимальности служат конечные группы.
Бэр (R. Baer, Math. Z. 66 (1956), 269—288) поставил
следующую проблему максимальности: не будет ли
произвольная группа с условием максимальности конечным
расширением полициклической группы (иначе говоря, почти
полициклической группой)? Решение этой проблемы пока
не получено.
Важный подкласс полициклических групп составляют
сверхразрешимые группы — это группы, обладающие
нормальным (а не просто субнормальным) рядом с
циклическими факторами. Знакомый нам пример
сверхразрешимых групп дают конечно порожденные нильпотентные
группы.
19.2.4. Упражнение. Подгруппы и
факторгруппы сверхразрешимых групп сверхразрешимы.
19.2.5. Теорема. Коммутант сверхразрешимой
группы нилъпотентен.
Доказательство. Пусть в группе G задан
нормальный полициклический ряд 1 — G0 <; Gx ^ . . .
. . . ^ Gn = G. Пусть Zi+JGi — централизатор фактора
Gi+1/Gi в G/Gt. Пересечение Z = f]Zt при действии на G
сопряжениями вызывает в факторах Gi+1/Gi тождественные
автоморфизмы, поэтому по лемме 16.3.1 группа Z ниль-
потентна. Далее, по теореме Ремака 4.3.9 G/Z
вкладывается в прямое произведение групп GIZt. Так как G/Zi+1
изоморфна группе автоморфизмов фактора Gi+1/Giy
вызываемых внутренними автоморфизмами группы G/Gt, a
группа автоморфизмов циклической группы абелева, то
G/Z — абелева группа. Значит, [G, G] ^ Z, и всё доказано.
Отметим одно свойство конечных сверхразрешимых
групп.
Пусть G — конечная группа порядка п = р\х . . . /?**,
где pi — простые числа, рг ^> . . . ^> рк. Нормальный ряд
1 = Я0 < Нг < . . . < Hk = G
называется силовским рядом группы G, если фактор
Hi+1/Ht, i == 0, 1, ..., к — 1, является силовской
Pi+i-подгруппой группы G/Hi. (Иногда, в этом
определении не требуют упорядоченности рг j> . . . > рк.)
19.2.6. Теорема. Конечная сверхразрешимая
группа обладает силовским рядом.

172 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
Доказательство. Пусть р —^наибольший
простой делитель порядка сверхразрешимой группы G,
и пусть Н — какая-нибудь ее нормальная подгруппа
простого порядка q. Фактор-группа G/H сверхразрешима
и | G/H | < | G |. По индуктивным соображениям можно
считать, что в фактор-группе G/H силовская /^-подгруппа
Р/Н нормальна. При р = q подгруппа Р будет силовской
р-подгруппой в G и Р ^ G. Если р ^= q, то в G/H найдется
нормальная подгруппа HJH порядка р. По теореме Си-
лова, как легко видеть, силовская р-подгруппа Н2 группы
Н± единственна и потому ввиду соотношения Н±^ G
нормальна в G. Снова применяя к G/H2 индуктивные
соображения, получаем нормальность силовской р-под-
группы группы G. На этом по существу доказательство
заканчивается.
19.3. Разрешимые группы с условием минимальности.
Говорят, что группа удовлетворяет условию
минимальности (для подгрупп), если всякая убывающая цепочка
ее подгрупп Нх > Нг > . . . обрывается, т. е. Нп =
= Нп+г = . . . при некотором п. Очевидно, всякая
группа с условием минимальности периодическая,
поскольку бесконечная циклическая группа не удовлетворяет
этому условию.
19.3.1. Упражнение. Класс групп с условием
минимальности замкнут относительно взятия подгрупп,
гомоморфных образов и расширений.
В этом пункте мы выясним строение произвольной
разрешимой группы с условием минимальности.
19.3.2. Т е о р е м а (С. Н. Черников). Всякая
разрешимая группа G с условием минимальности есть конечное
расширение прямого произведения квазициклических
групп, взятых в конечном числе. (Здесь под произведением
нуля множителей понимается единичная группа).
Доказательство. Ввиду условия
минимальности группа G содержит подгруппу Н конечного индекса,
не содержащую других подгрупп конечного индекса.
Так как пересечение двух подгрупп конечного индекса
само имеет конечный индекс, то Н единственна, а потому
нормальна. Если G абелева, то Н —- полная абелева
периодическая группа. (В самом деле, \Н : Нр J < сю,
поэтому Нр —ыН для любого простого р.) По теореме
9.1.6 Н разлагается в прямое произведение квазицикли-

§ 191
ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
173
ческих групп. Ввиду условия минимальности их число
конечно. Значит, для абелевых групп теорема
справедлива.
Пусть теперь G — бесконечная неабелева группа.
Возьмем в Я неединичную абелеву нормальную подгруппу
А (например, последний неединичный коммутант).
Покажем, что А лежит в центре группы Я. В самом деле, А —
абелева группа с условием минимальности, а потому по
предыдущему содержит лишь конечное число элементов
любого данного порядка. Значит, каждый элемент а
из А имеет в Я лишь конечное число сопряженных
элементов, откуда | Я : Си (я) | < °°- Так как Я не
содержит подгрупп конечного индекса, то Сн {о) = Я, А <;
<, С (Я), что и требовалось.
Покажем теперь, что подгруппа И иильпотентна. Мы
сделаем это индукцией по ее ступени разрешимости к.
Так как, по предыдущему, #(fe-D ^ С (Я), то Н/С (Н)
разрешима ступени <;& — 1. По индуктивному
предположению, примененному к группе СУС(Я), группа Н/С (Я)
иильпотентна, а потому и сама Я иильпотентна.
Покажем, наконец, что Я абелева. Пусть В —
максимальная абелева нормальная подгруппа в Я. По
доказанному ранее В лежит в центре группы Я, а по теореме
16.2.6 В совпадает со своим централизатором в Я. Отсюда
В = Я, т. е. группа Я абелева. Теорема доказана.
Всякое конечное расширение прямого произведения
квазициклических групп, взятых в конечном числе, будем
называть черниковской группой.
19.3.3. Упражнение. Класс черниковских групп
замкнут относительно взятия подгрупп, гомоморфных
образов и расширений.
Так как автоморфизмы групп вида
срО0 х ... х ср00
изображаются матрицами из GLn (Z «,) (упражнение
5.1.4), то при изучении черниковских групп оказывается
полезным
19.3.4. Упражнение. Группа матриц GLn (Z J)
почти вся не имеет кручения. В частности, ее периодические
подгруппы конечны.

174
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7
Указание. Конгруенц-подгруппа по модулю р\
i — 1, 2, . . ., т. е. группа матриц е + pla, a e Mn (ZpOC),
имеет конечный индекс в GLn (Z <х) и не имеет кручения,
за исключением случая р = 2, i = 1. Первое
утверждение очевидно (ср. с упражнением 4.2.7), а во втором
легко убедиться, глядя на формулу бинома:
(е + р]а)ш = е + С1тр:а + C2mp*W + . . . + pm'lam.
С. Ы. Черников (см. [12], стр. 428) поставил
следующую проблему минимальности: не будет ли произвольная
группа с условием минимальности черниковскои группой
(он называет такие группы экстремальными)? В § 22
мы изложим доказательство теоремы Черникова при более
слабых предположениях, нежели разрешимость группы.
Отметим, что в настоящее время известно положительное
решение проблемы минимальности в классе локально
конечных групп (В. П. Шунков, Алгебра и логика 9,
№ 2 (1970), 220—248), однако в общей постановке
проблема открыта.
§ 20. Конечные разрешимые группы
В первом пункте этого параграфа излагается теория
холловых и картеровых подгрупп в конечной
разрешимой группе, которая напоминает теорию силовских
/>-подгрупп в произвольной конечной группе. В третьем
пункте будет указан один критерий сверхразрешимости
конечной группы. Второй пункт носит подготовительный
характер, однако излагаемые в нем теоремы Машке и
Шура о произвольных конечных группах очень важны
сами по себе.
20.1. Холловы и картеровы подгруппы. По теореме
Силова 11.1.1 в произвольной конечной группе порядка
и = рТ • • • P*s (Pi — различные простые числа) всегда
существует подгруппа порядка р** и любые две такие
подгруппы сопряжены между собой. Ф. Холл нашел
обобщение теоремы Силова для конечных разрешимых
групп, а именно, доказал существование и сопряженность
подгрупп порядка к в конечной разрешимой группе
порядка п для всякого к с условием к | /г, (^»-тг) = !• Такие

\
! § 20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
175
делители числа п называются холловыми, а всякую
подгруппу, порядок которой равен некоторому холлову
делителю порядка группы, называют холловой подгруппой.
Отметим без доказательства, что из существования хол-
ловых подгрупп конечной группы G по всевозможным
холловым делителям порядка группы G вытекает
разрешимость G. Этот факт установлен Ф. Холлом (P. Hall,
J London Math. Soc. 12 (1937), 198-200) и С. А. Чуни-
хиным (Изв. НИИММ Томского ун-та 2 (1938), 220-223).
20.1.1. Теорема (Ф. Холл). Пусть G — конечная
разрешимая группа порядка пик — холлов делитель п.
Тогда
1) в группе G существует по крайней мере одна
подгруппа порядка к;
2) любые две подгруппы порядка к сопряжены в G;
3) любая подгруппа порядка k' | к содержится в
подгруппе порядка к.
Доказательство будем вести индукцией по п.
Допустим, что все утверждения теоремы справедливы для
произвольной конечной разрешимой группы, порядок
которой меньше п. Обозначим через А минимальную
нормальную подгруппу группы G. Согласно упражнению
19.1.7 подгруппа А разлагается в прямое произведение
циклических подгрупп простого порядка р, | А | = рт.
Если р | &, то ввиду индуктивного допущения в
факторгруппе GIA существует подгруппа В/А порядка к/рт.
Тогда порядок В равен к. Кроме того, любые подгруппы
В1ч В2 порядка к содержат, очевидно, подгруппу А. По
индукции подгруппы В J А и В2/А сопряжены в G/A.
Следовательно, подгруппы 5Х, В2 сопряжены в G.
Пусть теперь р не делит к. Обозначим через D
наибольшую нормальную подгруппу группы G, порядок которой
взаимно прост с к, а через HID — минимальную
нормальную подгруппу группы GID. Порядок HID имеет вид
q\ qs\k.
Если нормализатор N (Q) силовской ^-подгруппы Q
из Н совпадает с G, то Q ^ G и доказательство пп. 1),
2) проводится так же, как при первоначальном допущении
Р \к.
Пусть- N (Q) ф G. Из равенства G = N (Q) Н =
= N (Q) D (см. лемму Фраттини 17.1.8) следует, что
порядок TV (0 делится на к. Отсюда ввиду индуктивных пред-

176 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
положений вытекает существование в N (Q), а значит, и
в группе G, подгруппы порядка к.
Возьмем две подгруппы Вг, В2 порядка к. Пересечения
Вг О Я, В2 П Н являются в Н силовскими д-подгруп-
пами, и поэтому, ввиду их сопряженности, можно
считать, что Вг f] Н = В2 П Н = Q. Подгруппа Q,
очевидно, нормальна в подгруппе (В19 52). На основании
индукции подгруппы BJQ и BJQ сопряжены в (Вг, B2)/Q.
Отсюда следует сопряженность подгрупп Вг, В2.
Итак, утверждения 1), 2) доказаны. Докажем 3).
Пусть В' — подгруппа порядка к'. При р \ к порядок
подгруппы АВ', очевидно, делит к. В силу индуктивного
допущения подгруппа АВ'/А содержится в некоторой
подгруппе порядка к/рт. Тогда АВ' содержится в
подгруппе порядка к. Пусть теперь р не делит к. На основании
индуктивных предположений подгруппа АВ'/А
содержится в подгруппе С/А порядка к. На том же основании
можно считать, что С = G. По доказанному п. 1) в G
существует подгруппа В порядка к. Очевидно,
произведение АВ совпадает сби потому АВ'В = G. Из формул
lg' = МД'ПДГ 1^=^' \АВ'\=ртк>; |Д| = А
получаем, что порядок D = АВ' f] В равен к'. По
доказанному п. 2) подгруппы В' и D сопряжены в АВ': В' —
= Dg. Отсюда следует, что В' содержится в подгруппе
Bg порядка к. Теорема доказана.
20.1.2. Упражнение. Индекс произвольной
максимальной подгруппы конечной разрешимой группы G
есть степень простого числа. Для всякого простого
делителя р порядка группы G существует максимальная в G
подгруппа, индекс которой есть степень р.
20.1.3. Упражнение. Пусть А — холлова
подгруппа конечной разрешимой группы G, Н — подгруппа,
содержащая нормализатор Nq (А). Тогда Ng (Н) = Н.
Ф. Холл ввел понятие силовской базы и обобщил свою
теорему в этих терминах, что послужило толчком к
дальнейшим ее обобщениям в различных направлениях.
Совокупность GPl1 GP21 . . . силовских /?гподгрупп
группы G называется (полной) силовской базой, если
1) G = гр (GPl, GP!, . . .),
2) GPjGPj = Gp.GPi для всех i, j.

§ 20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
177
Иногда в определении силовской базы вместо 2)
требуют выполнение условия
2') Множество простых делителей порядков
элементов подгруппы гр (GPii, . . ., Gn) совпадает с {ри, . . .
. • •» Pis} ДЛЯ ВСеХ l"l» ' * "' *"«•
Обычно эти определения оказываются равносильными.
Две силовские базы {Gp.}, {Gv.} называются сопряжен-
ними, если существует такой элемент g, что GV{ = G|
для всех г".
Обобщение, полученное Холлом, состоит в следующем
(P. Hall, Ргос. London Math. Soc. 43 (1937), 316—323).
Произвольная конечная разрешимая группа G обладает
силовскими базами и любые две базы сопряжены в ней.
Любая силовская база подгруппы продолжается до
силовской базы группы G.
Понятие силовской базы имеет смысл для
произвольных периодических групп, поэтому естественно пытаться
распространить теорему о существовании силовских баз
на периодические разрешимые группы. Такие
распространения получены для ряда классов бесконечных групп,
однако произвольная периодическая разрешимая группа
не обязана обладать силовскими базами (М. И. Каргапо-
лов, ДАН СССР 127, № 6 (1959), 1164 - 1166; Алгебра и
логика 2, № 5 (1963), 19-28).
Подгруппа Н группы G называется картеровой, если
Н нильпотентна и совпадает со своим нормализатором в G.
20.1.4. Теорема (Картер). Конечная разрешимая
группа G обладает по крайней мере одной картеровой
подгруппой и любые две картеровы подгруппы группы G
сопряжены между собой.
Доказательство будем вести индукцией по
порядку группы G.
Пусть А — минимальная нормальная подгруппа
группы G и | А | = рт. В силу индуктивного предположения
фактор-группа G/A обладает картеровой подгруппой,
скажем, К'1А. Пусть Q —- холлова р'-подгруппа группы
К', т. е. р не делит | Q \ и | К' \ = | Q \ р1. Покажем, что
К = NK* (Q) будет картеровой подгруппой в G. i
Действительно, по обобщенной лемме Фраттини
17.1.9 имеем 1С = NK>(Q)>QA = КА. Подгруппа К раз-

I
м
1
178 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7 |
лагается в прямое произведение нильпотентных подгрупп |
Q и К (~) Р, где Р — силовская /^-подгруппа группы |
А"'. Поэтому подгруппа if нильпотентна. Далее, пусть
Кй = К. Так кж A *QG и К' = КА, то K,g - К' и, j
следовательно, g £Е К' Нормализатор холловой под- \
группы совпадает со своим нормализатором (см. 20.1.3),
поэтому элемент g содержится в К, что и требовалось
доказать.
Пусть теперь Кх, К — картеровы подгруппы группы
G. Докажем их сопряженность в G.
Сначала докажем, что KtAIA, i = 1, 2, является кар-
теровой подгруппой группы G/A. Нильпотентность
подгруппы К (А/А очевидна. Если (KtA)g = KtA, g ф KtA,
то | KtA | < | G | и, значит, в силу индуктивного
предположения, примененного к картеровым подгруппам
из KtA, существует такой элемент а ЕЕ KtA9 что Kf =
= Kf или Kfa = Kt. Но подгруппа Kt совпадает со
своим нормализатором поэтому ga~x ЕЕ Ku что
противоречит допущению g {£ КtA.
Легко понять, что холлова р'-подгруппа Qt из Kt
является холловой //-подгруппой группы К (А. Кроме
того, нормализатор N (Qt) подгруппы Qt в KtA нильпо-
тентен и содержит Kt. Следовательно, Kt совпадает
с N (Qi). По индуктивному допущению картеровы
подгруппы КгА1А, К2А/А сопряжены между собой. Поэтому
можно считать, что КХА = К2А. Как было отмечено,
подгруппа Kt совпадает с нормализатором N (Qt) в КгА.
Но холловы //-подгруппы Qx, Q2 групп Кг, К2,
являющиеся холловыми //-подгруппами группы КХА,
сопряжены между собой. Поэтому должны быть сопряженными
и их нормализаторы, т. е. Кг и К2. Теорема доказана.
20.2. О полной приводимости представлений. Здесь мы
сделаем отступление в теорию матричных представлений.
Основная цель этого пункта — изложить классическую
теорему Машке о полной приводимости представлений
конечных групп. Она понадобится нам в следующем пунк- г
те. Попутно будут изложены и другие факты о полной ^
приводимости. j
Пусть V — линейное пространство над полем К, G — \
группа линейных преобразований пространства V. Если
в V существует собственное подпространство, допустимое

§.20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
179
относительно G, то группу G называют приводимой. В
противном случае группу G называют неприводимой или
неприводимо действующей па пространстве V. Группа G
называется вполне приводимой, если для всякого
допустимого подпространства U < V существует допустимое
дополнение, т. е. такое допустимое подпространство W,
что V = U 0 W.
Произвольный гомоморфизм ф абстрактной группы G
в группу линейных преобразований тг-мерного векторного
пространства над полем К называется линейным
представлением группы G. Если группа линейных
преобразований Сф неприводима (приводима, вполне приводима),
представление ф также называется неприводимым
(соответственно приводимым или вполне приводимым).
Произвольный гомоморфизм г|) группы G в группу матриц GLn (К)
называется матричным представлением. Представления
Ф и г|) тесно связаны между собой. Так, линейному
представлению ф при фиксированной базе 2 пространства V
сопоставляется матричное представление ф2, где g*z —
матрица линейного преобразования £ф в базе 2. При
выборе другой базы 2' получается новое матричное
представление ф£', эквивалентное ф2, т. е. связанное с ф2
соотношением g*z' = tg'^z Г1, где t — матрица перехода
от 2 к 2', gGG.
20.2.1. Пример. Пусть G — конечная группа, А —
ее нормальная подгруппа, разлагающаяся в прямое
произведение п циклических групп порядка р. На множестве
А введем сложение и умножение на элементы поля
GF (р) из р элементов, полагая по определению а + Ъ =
= ab, <ха = аа, где показатель а ЕЕ GF (р) естественным
образом отождествляется с некоторым целым числом.
Нетрудно видеть, что при введенных операциях А
становится линейным пространством над полем GF (р). Далее,
преобразованиеg: х -> xg, g EG, х е= А, будет линейным
преобразованием пространства А, а отображение Л
гомоморфизмом G в группу линейных преобразований А. Таким
образом, получено линейное представление группы G,
причем, очевидно, G ~ GICG (A).
20.2.2. Теорема (Машке). Пусть ф —
представление конечной группы G линейными преобразованиями
линейного пространства V над полем К. Если порядок

180 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
G не делится на характеристику поля К, то представление
Ф вполне приводимо.
Доказательство. Будем считать, что G
действует на V в силу представления <р. Пусть U —-
допустимое относительно G подпространство из V. Обозначим
через W какое-нибудь дополнение подпространства С/,
V = U ф W. Далее, обозначим через nw проектирование
V на подпространство W и положим
= "^tXj vg lnwg' v^Vf
vt
m
где т — порядок группы G. Отображение t является
линейным преобразованием пространства V. При
фиксированном h EzG элемент gh вместе с g пробегает все
элементы группы G. Поэтому справедливы равенства
(ut)h = ^^vh-hr^Jiwgh = {vh)t,
g
из которых следует допустимость линейного
подпространства W0 = Vt относительно G.
Остается установить разложение V ~ U ф W0.
Произвольный элемент v ЕЕ V представляем в виде суммы
v = (v — vt) -f- vt, vt ЕЕ W0. Первое слагаемое v — vt
равно
v "" 1Z Xi ^"1jt^ = ^Yj(Vgl ~ vg~ljlw>>gt
g g
Так как vg'1 — ^%£ U л U допустимо, то v — vt
принадлежит U. Отсюда следует равенство V = U + W0.
Предположим, наконец, что уЕ^П W0. Так как v ЕЕ U,
U допустимо относительно G и для любого элемента
и ЕЕ U проекция unw равна 0, то
vt « 0. (1)
С другой стороны, элемент v принадлежит W0, поэтому
существует такой элемент v ЕЕ V, что
v't = v. (2)
Но тогда vt = v't2. Как было отмечено выше, v — v't ЕЕ U
и, значит, v't — v't2 = 0. Отсюда vt = z/£, что вместе
с равенствами (1), (2) влечет v = 0. Теорема доказана.

§ 20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
181
20.2.3. Пример. Пусть G, А имеют тот же смысл,
что и в примере 20.2.1. Очевидно, подгруппа В ^ А
нормальна в группе G тогда и только тогда, когда линейное
подпространство В пространства А допустимо
относительно группы линейных преобразований G. Предположим,
что р не делит порядок группы G/Cq (А) и В — некоторая
нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в А.
Так как порядок группы преобразований G не делится
на р, то по теореме Машке группа G вполне приводима и,
значит, подпространство В обладает допустимым
дополнением С. Множество С будет нормальной подгруппой
группы G и А = В х С.
20.2.4. Упражнение (обобщение теоремы
Машке). Пусть G —конечная группа линейных
преобразований линейного пространства V над полем характеристики
р ^> 0, Р — силовская р-подгруппа группы G. Если
G-допустимое подпространство U обладает Р-допустимым
дополнением, то U обладает также G-допустимым
дополнением.
Решение. Пусть V = U 0 W, где W есть Р-до-
пустимое подпространство. Обозначим через nw
проектирование V на подпространство W и положим
vt = — 2j vg^nwg, yeF,
g<as
где т = | G : P | и S — некоторое множество элементов,
выбранных по одному в каждом правом смежном классе
группы G по подгруппе Р. Очевидно, проектирование nw
перестановочно с каждым элементом подгруппы Р.
Поэтому линейное преобразование t не зависит от выбора
множества £. Доказательство G-допустимости
подпространства WQ = Vt и справедливости разложения V =
= U 0 W0 дословно повторяет соответствующие
рассуждения из доказательства теоремы Машке.
20.2.5. Упражнение. Пусть А = В X С — абе-
лева нормальная подгруппа группы G и (| А |, | G : А |) =
= 1. Если В нормальна в G, то существует такая
нормальная в G подгруппа D, что А = В X D.
Теорему Машке удобно использовать для
доказательства следующего важного предложения:

182 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
20.2.6. Теорема (Шур). Пусть конечная группа G
порядка п содержит такую нормальную подгруппу А
порядка &, что (к, I) = 1, /==--. Тогда А обладает по
крайней мере одним дополнением, т. е. подгруппой В
с условиями G = А-В, A f] В = 1.
Доказательство, а) Пусть сначала А абе-
лева и имеет простой период р. По теореме Фробениу-
са 6.2.8 можно считать G подгруппой сплетения W =
= А гВ, В = G/A, причем
W= G-Л, G [] ^ = А, где Л - Fun (В9 А)
(см. упражнение 6.2.9). Так как | G : А | не делится на
р и А <] W, то ввиду теоремы Машке 20.2.2__существует
такая нормальная в W подгруппа С, что А = А X С.
Из соотношений W/C = А/С-ВС/С, A f] ВС = С и
естественного изоморфизма ф: W7C -> G следует, что G= Л/),
где D — образ подгруппы ВС/С относительно ф.
б) Теперь докажем теорему в общих предположениях.
Доказательство будем вести индукцией по порядку группы.
Допустим, что теорема неверна для выбранной группы G,
но справедлива для всякой группы меньшего порядка.
Отметим, что существование дополнения к подгруппе А
равносильно существованию в G подгруппы порядка Z,
так как (к, I) = 1.
Пусть Р — силовская р-подгруппа из А и N (Р) —
ее нормализатор в G. Ввиду равенства G = A-N (Р)
подгруппа N (Р) обладает нормальной подгруппой А Г) N (Р),
порядок которой взаимно прост с индексом I =
= \N (Р) : А Г) N (Р) |. Поэтому, если | N (Р) | < п, .то
по индуктивному предположению подгруппа N (Р), а
следовательно и группа G, обладает подгруппой порядка I,
что противоречит выбору G. Значит, всякая силовская
р-подгруппа из А нормальна в G, и поэтому коммутант
A' <lA. Пусть 4' ^ 1. Тогда группа GIA' удовлетворяет
условиям теоремы и | G : А' | < п. Следовательно, в GIA'
существует подгруппа СМ'порядка I. Применяя
индуктивное предположейие к группе С, приходим к
существованию в ней подгруппы порядка /. Из полученного
противоречия с выбором G вытекает коммутативность А.
Если, далее, р \к, Ар ф\, то, беря4р в роли А', получаем

§ 20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
183
аналогичное противоречие. Значит, А абелева периода р.
Ввиду а) теорема доказана.
Существенным дополнением к теореме Шура является
утверждение о сопряженности в G любых двух подгрупп
порядка I. Это утверждение было доказано Цассенхаузом
при условии разрешимости подгруппы А, а С. А. Чуни-
хиным — при условии разрешимости фактор-группы G/A.
Но на основании теоремы Файта — Томпсона о
разрешимости конечных групп нечетного порядка (см. о ней
в начале § 12) по крайней мере одна из групп A, G/A
разрешима, поэтому сопряженность дополнений в теореме
Шура имеет место всегда.
Приведем в заключение пункта несколько общих
замечаний о полной приводимости и неприводимости.
20.2.7. Лемма. Группа G линейных преобразований
линейного пространства V над полем К вполне приводима
тогда и только тогда, когда V разлагается в прямую
сумму допустимых неприводимых подпространств.
Доказательство. Пусть G вполне приводима.
Обозначим через U± какое-нибудь допустимое
неприводимое подпространство и предположим, что построены такие
допустимые неприводимые подпространства Ul4 . . ., Us,
что U еее (Ul9 . . ., Us) = U, 0 . . . 0 Us. Пусть U фУ.
Тогда существует допустимое дополнение W, V — U 0
0 W, в котором можно выбрать допустимое неприводимое
подпространство Us+1. Сумма U + Us+1, очевидно, будет
прямой. Теперь соображения индукции заканчивают
доказательство. Обратно, пусть V = Uj_@. . .0t/r, Ufi <;
^ Ut, Ut — неприводимое подпространство. Возьмем
какое-нибудь допустимое подпространство U. Обозначим
через / максимальное подмножество множества индексов
{1, 2, . . ., г} с условием1 U f] 2 Ut = Ои докажем, что
V = U 0 ^Ui. Действительно, в противном случае най-
дется такое /, что Uj f| (U 0 Уиг) = 0. Но тогда
\ iei /
что противоречит выбору /.
20.2.8. Упражнение. Группа линейных
преобразований пространства V вполне приводима тогда и

184 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
только тогда, когда для всякого допустимого
неприводимого подпространства существует допустимое дополнение,
20.2.9. Лемма. Неприводимое представление абе-
левой группы G над алгебраически замкнутым полем
одномерно.
Доказательство. Пусть группа G неприво-
димо действует на пространстве V над алгебраически
замкнутым полем К, Если g e G, X —
характеристическое число линейного преобразования g и vg = Хи,
0 ф v е V, то из (vf) g = (vg) f = X (vf), /бб, следует,
что совокупность U всех собственных векторов
преобразования g, соответствующих числу X, является
допустимым подпространством. Ввиду неприводимости G получаем
V = U. Таким образом, каждый ненулевой вектор
пространства V является собственным для каждого g ее G.
Отсюда и из неприводимости G следует одномерность V.
20.3. Критерий сверхразрешимости. Здесь будет
установлена
20.3.1. Теорема (Хупперт). Конечная группа
сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее
максимальные подгруппы имеют простые индексы.
Доказательство. Необходимость.
Допустим, что G — конечная сверхразрешимая группа,
и докажем индукцией по | G | простоту индексов ее
максимальных подгрупп.
Ввиду сверхразрешимости в G существует нормальная
подгруппа N некоторого простого порядка р.* Если теперь
М — максимальная подгруппа группы G, то М (~) N = 1
или N <Г М. В первом случае, очевидно, индекс М в G
равен р. Во втором случае подгруппа MIN максимальна
в GIN и по индуктивному предположению имеет простой
индекс. Отсюда следует простота индекса М в G.
Достаточность. Пусть максимальные
подгруппы группы G имеют простые индексы, и пусть
доказано, что все группы с таким условием, имеющие порядки
< | G |, сверхразрешимы. Докажем сначала разрешимость
группы G. Обозначим через р наибольший простой
делитель порядка | G | и через М' какую-нибудь
максимальную подгруппу, содержащую силовскую р-подгруппу
группы G. Тогда | G : М' | < р и согласно упражнению
11.3.6 пересечение М" — П M'g отлично от единицы и,

§ 20]
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
185
конечно, нормально в G. Таким образом, некоторая
минимальная нормальная подгруппа М группы G отлична
от G. Возьмем силовскую g-подгруппу Q из М по
наибольшему простому делителю g порядка | М | и
предположим, что ее нормализатор N (Q) не равен G. Так как
N (Q) М = G (лемма Фраттини 17.1.8), то для
произвольной максимальной подгруппы Н > N (Q) группы G
тем более выполняется равенство НМ = G, откуда
\G : Н \ = \М : М f)H \. Простой индекс | М : Mf]H \ =
= q делит число | М : Nm (Q) \, взаимно простое
с д, и, следовательно, qf <Cq. Снова ввиду упражнения
11.3.6 можно утверждать, что в М существует собственная
нормальная подгруппа М0, содержащая все д-элементы
из М. Этим же свойством обладает и всякая подгруппа,
сопряженная с М0. Поэтому пересечение f] Mq отлично
от 1, Ми нормально в G, что противоречит выбору М.
Из полученного противоречия следует, что N (Q) = G,
т. е. Q ^ G и, значит, Q = М. Таким образом, в группе G
есть разрешимая нормальная подгруппа М,
фактор-группа по которой согласно индукции сверхразрешима.
Отсюда получается разрешимость G.
Как мы знаем, минимальная нормальная подгруппа М
разрешимой группы G абелева и разлагается в прямое
произведение циклических групп простого порядка q
(упражнение 19.1.7). Остается доказать, что \ М \ — д,или
по крайней мере существование в G какой-либо
циклической нормальной подгруппы. Рассмотрим две возможности.
1) Наибольший простой делитель р порядка группы G
больше д. В этом случае в G/M найдется нормальная
подгруппа AIM порядка р (теорема 19.2.6). При N (Р) = G,
где Р <А — подгруппа порядка р, в группе G существует
циклическая нормальная подгруппа, что влечет
сверхразрешимость G. Если N (Р) Ф G, то максимальная
подгруппа Н > N (Р) не содержит М (иначе было бы G =
= N (Р) А = НРМ < Я), откуда G = НМ и
пересечение Н П М нормально в G. Ввиду минимальности М
это пересечение равно единице и, следовательно, так как
индекс | G : Н | прост, порядок М равен д, что и
требовалось доказать.
2) Число q является наибольшим простым делителем
порядка группы G. В данной ситуации ввиду сверхразре-

186 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
шимости группы GIM и теоремы 19.2.6 силовская д-под-
группа Gq нормальна в G. Из нормальности центра С
подгруппы Gq в группе G и С f] М Ф 1 следует М ^ С.
Если М = Gq, то в фактор-группе GIM найдется
нормальная подгруппа AIM простого порядка р, отличного
от q. Тогда сверхразрешимость G доказывается так же,
как в случае 1).
Пусть теперь М Ф Gq. Обозначим через В/М
нормальную подгруппу группы GIM порядка q. Очевидно,
подгруппа В абелева. Все элементы группы В имеют порядок
q — в противном случае Bq была бы искомой подгруппой
порядка q, нормальной в группе G.
Предположим сначала, что В не лежит в центре С.
Разумеется, В принадлежит второму гиперцентру группы
Gq. В силу сверхразрешимости группы GIM существует
такой ряд
В = В0<В1<. . . <Bs = Gqi
что Bt ^ G, \ Bi+1: Bt | = q. Найдется такой номер &,
что В < С {Вк), но В < С (Вк+1). Пусть В = (М, Ь),
Bk+l = (Вк, Ьк+1). Тогда совокупность всевозможных
элементов вида [ft, х], х ЕЕ Вк+и будет подгруппой
порядка q, нормальной в G. Действительно, для произвольных
элементов х = сгЪ1м, у = c2b™+u c1? c2 e Вк, g e G,
имеем:
[Ь, х][Ъ, у] = [Ь, Ъ1к+1] [6, Ь?+11 - [Ь, Ък+1у™,
[Ъ, 6fc+J? = [Ъ*, Ь?+1] - [аЪп, с3Ьгк+1) = [Ь, 6,c+i]n+r,
где а, с3 — некоторые элементы соответственно изМи 5fe.
Таким образом, можно считать, что В принадлежит
центру группы Gq. Далее, на группу В можно смотреть
как на линейное пространство над полем GF (q), а на
группу F автоморфизмов В, индуцированных
внутренними автоморфизмами группы G,— как на группу
линейных преобразований этого пространства (см. пример
20.2.1). Так как В <; С, то порядок группы F, изоморфной
G/C(B)1 взаимно прост с q. Поэтому на основании теоремы
Машке 20.2.2 допустимое относительно F подпространство
М имеет в В допустимое дополнение А размерности 1. На
групповом языке это означает, что А является
циклической нормальной подгруппой группы G.

§ 21]
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
187
Итак, в любом случае G обладает нормальной
подгруппой простого порядка. Как отмечалось выше, это
доказывает теорему.
20.3.2. Упражнение. Конечная группа
сверхразрешима тогда и только тогда, когда сверхразрешима
ее фактор-группа по подгруппе Фраттини.
§ 21. Разрешимые группы матриц
В начале главы мы отметили треугольные матричные
группы как пример разрешимых групп (упражнение
19.1.2). Другим примером разрешимых матричных групп
по существу служит любая конечная разрешимая группа,
так как по теореме Кэли 13.1.1 она представима
подстановками, а, значит, и матрицами. Объединяя эти примеры,
мы можем рассмотреть класс расширений треугольных
матричных групп посредством конечных разрешимых групп:
согласно упражнению 17.2.7 все такие расширения пред-
ставимы матрицами. Оказывается, этот класс будет
содержать любую разрешимую группу матриц над
алгебраически замкнутым полем, так как она почти треугольна
с точностью до сопряжения в общей линейной группе.
Мы установим эту теорему Колчина — Мальцева в первом
пункте настоящего параграфа. Во втором пункте будут
рассмотрены разрешимые подгруппы из GLn (Z) и
будет установлено, что все они полицикличны. Наконец,
в третьем пункте будет доказано, что голоморф
произвольной полициклической группы изоморфно вкладывается в
GrLn (Z) при подходящем п.
21.1. Почти триангулируемость. Говорят, что группа
матриц И <; GrLn {К) триангулируема, если при
некотором gEzGLn(K) группа Н8 треугольна. Прежде чем
доказывать почти триангулируемость разрешимых
матричных групп, мы рассмотрим общие свойства неприводимых
и вполне приводимых матричных групп (определения и
начальные сведения см. в п. 20.2). При этом мы обычно будем
отождествлять группу матриц G с группой линейных
преобразований некоторого пространства, матрицы которых
в фиксированной базе совпадают с элементами из G.
21.1.1. Л е м м а (Клиффорд). Нормальная подгруппа
Н вполне приводимой группы G линейных преобразований
векторного пространства V сама вполне приводима.

188 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
Доказательство. Пусть 1/г — допустимое
неприводимое относительно Н подпространство. Тогда
существует минимальное множество элементов gu . . ., gs
группы_С такое, что допустимое относительно G
замыкание Ux подпространства Ux порождается
подпространствами Ut = Uigi, i = l, . . ., s. Легко видеть, что Ut
допустимы относительно Н и Ui = Ux ® . . . @ Ub. При
U\ Ф У существует допустимое дополнение 5, в котором
можно выбрать допустимое неприводимое относительно
Н подпространство U'. По аналогии с иг строим
U2 = Us+1 0 . • • 0 U* < В. Очевидно, Ог ® U2 =
= Ux ф . . . © Uk. Продолжая аналогичные
рассуждения, покажем, что V разлагается в прямую сумму
допустимых неприводимых относительно Н подпространств.
Ввиду леммы 20.2.7 это заканчивает доказательство.
21.1.2. Лемма. Центр неприводимой группы мат-
риц над алгебраически замкнутым полем состоит из
скалярных матриц.
Доказательство. Пусть G неприводимо
действует на линейном пространстве V над алгебраически
замкнутым полем. По лемме Клиффорда ее центр С
вполне приводим, и поэтому существует база vu . . ., vn
пространства V, составленная из собственных векторов
элементов из С (см. лемму 20.2.9). Пусть с ЕЕ С, vtc = %^ь
и, например, %х Ф Я2. Обозначим через U подпространство,
порожденное теми vh для которых Xt — Хг.
Подпространство U будет (собственным) допустимым. Действительно,
для произвольного g ЕЕ G вектор v±g можно представить
в виде vxg = axvx + . . . + anvn. Из равенств
vx (gc) = a1%1v1 + . . . + anXnvn,
Vi (eg) = К (а&г + . . . + anvn)
в силу gc = eg получаем а/ = 0, если Xj Ф Хи и, значит,
vxg ЕЕ U. Включение vtg ЕЕ U справедливо, конечно, для
всякого vt Ez U. Тем самым доказана допустимость Z7,
что противоречит неприводимости группы G. Из
полученного противоречия следует, что Хг = Я/, / = 1, 2, . . ., п.
Следующая лемма позволит нам проводить индукцию
по степени матриц.
21.1.3. Лемма. Пусть в неприводимой группе
матриц G степени п над алгебраически замкнутым полем

§ 211
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
189
существует нецентральная абелева нормальная подгруппа
Н. Тогда в G есть приводимая нормальная подгруппа
конечного индекса < (п\)\.
Доказательство. По лемме Клиффорда 21.1.1
подгруппа Н вполне приводима. Поэтому ввиду лемм
20.2.7 и 20.2.9 можно считать, что Н диагональна. Так как
Н не лежит в центре G, то существует нескалярная
матрица 6еЯ. Для произвольного g GE G элемент Ъй
принадлежит Н и имеет те же характеристические числа, что и Ь.
Поэтому | Ъ° | <; п\. Отображение G ->- S (bG) по правилу
будем гомоморфизмом. Его ядро А, очевидно, содержится
в Cg (Ь) и | G : А | <; (п\)\. В центре А содержится
нескалярная матрица Ъ, поэтому согласно 21.1.2 группа А
приводима.
21.1.4. Лемма. Если G имеет абелеву нормальную
подгруппу А индекса п, то в G существует абелева
автоморфно допустимая подгруппа конечного индекса, не
превосходящего некоторого числа, зависящего только от п.
Доказательство. Очевидно, существуют
такие автоморфно сопряженные с А подгруппы А = Ах,
А2, . . ., As, s <; п, что S = гр (Аи . . ., ^4S) совпадает
с подгруппой, порожденной всеми автоморфно
сопряженными с А подгруппами. Подгруппа S автоморфно
допустима. Ее центр С содержит f]At, и поэтому индекс \ G : С \
не превосходит числа пп. Подгруппа С будет искомой.
Теперь почти все готово для доказательства теоремы
Колчина—Мальцева. Нам понадобится еще только
упражнение 24.3.2 из Дополнения, решаемое прямым
применением одной локальной теоремы логики. Мы советуем
читателю принять это упражнение пока на веру, отложив
изучение локальных теорем до § 22, где мы специально
их обсуждаем. Можно испробовать и другой путь: решить
упражнение непосредственно.
21.1.5. Теорема (Колчин — А. И. Мальцев).
Разрешимая группа G матриц степени п над алгебраически
замкнутым полем обладает триангулируемой подгруппой
конечного индекса, не превосходящего некоторого числа,
зависящего только от п.

190 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
Доказательство, а) Допустим сначала, что
группа G неприводима и нильпотентна. Ввиду леммы 20.2.9 \
достаточно доказать, что G обладает нормальной абелевой
подгруппой конечного индекса, не превосходящего
некоторого числа т (п), зависящего только от п. Мы сделаем это
индукцией по п.
Если G неабелева, то в ней найдется нецентральная абе-
лева нормальная подгруппа (такова, например, любая
максимальная абелева нормальная подгруппа — см.
теорему 16.2.6). Тогда ввиду 21.1.3 в G содержится
приводимая нормальная подгруппа Н конечного индекса <; (п\)\.
По лемме Клиффорда 21.1.1 группа Н вполне приводима
и поэтому является подпрямым произведением
неприводимых нильпотентных групп Htl степени которых меньше п. :[
В силу индуктивного предположения в каждой группе Ht
существует нормальная абелева подгруппа конечного
индекса, не превосходящего т (п —1). Но тогда в Н
существует абелева нормальная подгруппа А индекса < т (п — 1)п.
Ввиду \G : А | < (п\)\ т (п —1)п пересечение В подгрупп,
сопряженных с А, имеет в G индекс, не превосходящий
некоторого числа, которое можно взять в качестве т (п).
б) Откажемся от нильпотентности группы G, т. е.
будем считать, что G неприводима и разрешима. Индукцией
по п покажем, что G опять обладает нормальной абелевой
подгруппой конечного индекса, не превосходящего неко*
торого числа р (?г), зависящего только от п.
Если в G существует хотя бы одна нецентральная
абелева нормальная подгруппа, то можно дословно повторить
доказательство а). Допустим поэтому, что каждая
нормальная абелева подгруппа группы G центральна.
Обозначим через R подгруппу, порожденную всеми
нормальными нильпотеитными подгруппами группы G. Ввиду а)
и упражнения 24.3.2 из Дополнения в R существует
абелева нормальная подгруппа конечного индекса <; т0 (п).
Согласно 21.1.4 в i? существует абелева автоморфно
допустимая подгруппа В конечного индекса <; т1 (п), где %г —
некоторая функция. Отметим, что R нильпотентна, В
содержится в центре G. Оценим индекс \G : R |.
Пусть В = В0 < Вх < . . . << Bs = R — центральный
ряд автоморфно допустимых подгрупп группы R. Пусть
Z — централизатор этого ряда в G, т. е. Z = Г) Zu где
Zi+1/Bi — централизатор фактора Bi+i/Bt в GIB%. Очевид-

§ 21]
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
101
н0 R <; Z. Если i!<Z и AIR —- неединичная абелева
автоморфно допустимая подгруппа в Z/R, отличная от
единицы, то А — нильпотентная нормальная подгруппа в G,
строго содержащая i?, что невозможно. Значит, Z = R.
Так как В < С (G) и | R :5|<ф), то |G: Д|<т2(п),
где Тз — функция. Таким образом, можно взять р (п) =
= Ti(w)t2 (л)» и ^ будет искомой подгруппой.
в) Рассмотрим, наконец, общий случай. Пусть V —
пространство с фиксированной базой еи . . ., еп, на
котором действует G. Возьмем неуплотняемый ряд
v = vx>v%>...> vs+1 = о (1)
G-допустимых подпространств. Группа G на каждом
факторе Vi/Vi+1 действует пеприводимо. Ввиду б) в ней
существуют такие нормальные подгруппы Gt, что | G : Gt | <^
^ р (п) и G-ilAt абелева, где At — ядро индуцированного
в VJVi+i представления группы G. Положим G0 = f] Gt.
г
Тогда на основании леммы 20.2.9 ряд (1) можно уплотнить
до G0-допустимого ряда
v = v\ > v't > ... > v'n+1 = о
с одномерными факторами. Матрицы линейных
преобразований из G0 в базе Д, . . ., fnj fj ЕЕ V] \ Vj+1, имеют
треугольный вид. Следовательно, подгруппа G0 сопряжением
с помощью матрицы перехода от {fj} к {еь} приводится
к треугольному виду. Индекс подгруппы С0, очевидно,
ограничен некоторым числом, зависящим только от п.
Теорема доказана.
21.1.6. Упражнение. Ступень разрешимости
произвольной разрешимой группы матриц степени п не
превосходит некоторого числа, зависящего только от п.
Вывести отсюда, что если в группе матриц все конечно
порожденные подгруппы разрешимы, то она сама разрешима.
21.1.7. Упражнение. Разрешимая матричная
группа степени п обладает нормальной подгруппой,
коммутант которой нильпотентен, а индекс не превосходит
некоторого числа, зависящего только от п. Этот результат
бывает, в частности, полезным при доказательстве
непредставимости матрицами тех или иных абстрактных групп
(см., например, Д. М. Смирнов, Матем. сб. 67, № 3 (1965),
366—383).

192
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7
21.2. Полицикличность разрешимых групп из GLn (Z).
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля Q
рациональных чисел. Элементы из Q называются алгебраическими
числами. Элемент из Q называется целым алгебраическим
числом, если он является корнем многочлена с целыми
коэффициентами и старшим коэффициентом 1.
Пусть К — поле алгебраических чисел, имеющее
конечную степень над полем Q. Согласно § 25 Дополнения
множество к всех целых алгебраических чисел поля К
является кольцом, причем аддитивная и
мультипликативная группы кольца к конечно порождены. С помощью
этих результатов теории чисел сейчас будет доказана
21.2.1. Теорема (А. И. Мальцев). Всякая
разрешимая группа целочисленных матриц полициклична.
Доказательство. Пусть G — разрешимая
группа целочисленных матриц степени п. По теореме Кол-
чина — Мальцева 21.1.5 существует такая матрица g =
= (ёи) и тадая подгруппа А <; G конечного индекса, что
В = Ай принадлежит группе треугольных матриц Тп (К)
над алгебраическим расширением
К = Q (£ц, gl2. • • •» ёпп)
поля Q. Элементы gtj можно считать, очевидно, целыми
числами поля К. Отсюда получаем, что всякий элемент
произвольной матрицы из В представляется в виде дроби,
числитель которой есть некоторое целое алгебраическое
число, а знаменатель равен определителю матрицы g.
Пусть к обозначает кольцо всех целых алгебраических
чисел из К, к* — мультипликативная группа кольца к.
Диагональные элементы матриц из В удовлетворяют
характеристическим уравнениям матриц из А, старшие
коэффициенты которых равны 1, значит, эти диагональные
элементы принадлежат &*. Рассмотрим гомоморфизм В ->-
->- к* X . . . X к* (п раз), сопоставляющий каждой
матрице b ЕЕ В ее диагональ. Пусть С — ядро этого
гомоморфизма. По теореме 25.1.12 из Дополнения фактор-группа
В/С конечно порождена. Ядро С состоит из всевозможных
унитреугольных матриц группы В. Обозначим через Ct
подгруппу всех матриц из С, имеющих i нулевых
диагоналей выше главной. Очевидно, ряд
С = С0 > Сг > . . . > C„-i - 1

§ 21]
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
193
будет нормальным рядом группы С. Легко понять, что
каждый фактор CtICM изоморфен подгруппе прямой
суммы п — i —1 экземпляров аддитивной группы кольца/с,
которая по теореме 25.1.6 из Дополнения конечно
порождена. Отсюда следует конечная порожденность С, а
значит и группы В, Так как В = Ag и индекс | G : А | конечен,
то вся группа G конечно порождена. Ясно, что это
доказывает теорему.
С помощью этой теоремы можно получить следующее
более сильное утверждение.
21.2.2. Теорема. Разрешимая группа
автоморфизмов конечно порожденной абелевой группы полициклична.
Доказательство. Пусть А — конечно
порожденная абелева группа, Ф — некоторая разрешимая
группа ее автоморфизмов. Обозначим через Н
периодическую часть группы А и рассмотрим гомоморфизм т: Ф ->■
-> Aut (AIH), сопоставляющий произвольному фЕФ
автоморфизм ф фактор-группы AIH, индуцированный ф,
т. е. (На)* = На*. По предыдущей теореме фактор-группа
Ф/¥, где ¥ = ker т, конечно порождена. Докажем
конечность W. Действительно, если аг, . . ., ап — система
порождающих группы Л, то для произвольного яр ЕЕ Y имеем
at = htau hi ЕЕ Н. Ввиду конечности периодической части
Я имеется лишь конечное число возможностей для образов
порождающих at при отображениях из W. Отсюда следует
конечность группы W и, значит, конечная порожденность Ф.
Теперь ясно, что Ф—полициклическая группа, что
и требовалось доказать.
Мы знаем, что разрешимая группа тогда и только тогда
будет полициклической, когда все ее подгруппы конечно
порождены (теорема 19.2.3). Теперь можно установить
другой критерий полицикличности разрешимой группы:
21.2.3. Т е о р е м а. Разрешимая группа G тогда
и только тогда будет полициклической, когда все ее абелевы
подгруппы конечно порождены.
Доказательство требуется только для
достаточности. Будем рассуждать индукцией по ступени
разрешимости группы G. Обозначим через Н последний
отличный от единицы коммутант группы G. Допустим, что в
фактор-группе GIH существует абелева подгруппа AIH, не
допускающая конечной системы порождающих. Так как
7 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

194 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ гГл. 7
фактор-группа А/В, где В = С а (#), абелева и изоморфна
группе автоморфизмов подгруппы Н, то эта фактор-группа
конечно порождена (см. теорему 21.2.2). Но тогда BIH
не обладает конечной системой порождающих. Далее,
группа BIH абелева иЯ^ С {В), поэтому группа В ниль-
потентна.
Пусть ff — какая-нибудь максимальная абелева
нормальная подгруппа группы В, содержащая #._Так как В
нильпотентна, то В1Н_ вкладывается в Ant И (теорема
16.2.6). По условию Н конечно порождена, поэтому В/Н
также конечно порождена (см. 21.2.2). Отсюда следует4
конечная порожденность В. Из полученного противоречия
вытекает, что фактор-группа GIH удовлетворяет условиям
доказываемого утверждения. Из того, что она имеет
меньшую чем G ступень разрешимости, следует
полицикличность группы GIH и вместе с ней группы G. Теорема
доказана.
21.3. Вложение голоморфов полициклических группе
GLn (Z). Пусть G — группа. Легко видеть, что мы получим
действие голоморфа Hoi G на целочисленном групповом
кольце Z [G], если положим
(%*&)** = 2а*?£,' «* €= Z, Ф ЕЕ Aut G, ft,?G G. (2)
21.3.1. Лемма. Пусть G <^ GrLn (Z), N — унитре-
уголъная нормальная подгруппа в G, a GIN конечно
порождена. Если Ф — подгруппа из Aut G, отображающая N
в себя и действующая тождественно в GIN, то
существует изоморфное вложение ФС —*GrLm (Z), унитреувольное
на N.
Доказательство. Продолжим заданное
вложение G <; G-Ln (Z) до кольцевого гомоморфизма р:
Z [G] ->- Мп (Z); пусть К — его ядро. Пусть / — идеал
кольца Z [G], порожденный всевозможными разностями
1 — х, х ЕЕ N. Так как группа N унитреугольна, то
((1- хг). . .(1- хп)У = 0 при xt e N,
откуда In CZ К и, следовательно, (/ -f- K)n CZ К. По
теореме 23.1.2 Дополнения аддитивная группа Z [G]I(I + К)п
конечно порождена. Пусть Т1(1 + К)п — ее
периодическая часть. Так как аддитивная группа Z [G]IK
не имеет кручения, то Т CZ К. По условию, для любых

§21]
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
195
ф^ф^еС имеем g'* = gx, x e N, поэтому g* — g =
-- g(x —1) £Е /. Отсюда видно, что аддитивная группа
I + К ФС-допустима. Следовательно, действие группы
ФС на Z [G] в силу (2) индуцирует действие Ф6? на
конечно порожденной аддитивной группе Z [G]IT. Оно точное,
так как Т (Z К. Остается проверить, что N действует на
Z [GVT унитреугольно. Для этого из соображений индукции
достаточно указать bZ [G]/T ^-неподвижный элемент,
отличный от нуля. Так как In (Z Г, то существует такое 5 >
;> 0, что /s ф Т, Г+1 (Z Т (мы считаем здесь, что 7° =
= Z [G]). Всякий элемент из Is \ Т по модулю Т отличен
от нуля и TV-неподвижен. Лемма доказана.
21.3.2. Теорема (Ю. И. Мерзляков). Голоморф
Hoi G произвольной полициклической группы G изоморфно
вкладывается в CrLn (Z) при подходящем п.
Доказательство, а) Группа G обладает авто-
морфно допустимым рядом G > М > N > 1, где | G : М | <<
<С °о, М — группа без кручения, MIN — абелева группа
без кручения, N — максимальная нильпотентная
нормальная подгруппа в М. В самом деле, возьмем в G
нормальный ряд G = G±^> G2^> . . . ^>Gl+1 = 1, каждый
фактор которого либо имеет простой период, либо не имеет
кручения. Группа G действует в этих факторах
сопряжениями, что определяет матричные представления G —>•
-> Ant (GilGi+1). По теореме Колчина — Мальцева 21.1.5
для каждого i существует подгруппа Tt конечного индекса
в G, вызывающая в векторном пространстве GilGi+1
треугольные автоморфизмы. Пересечение Т = [~] Tt также
имеет конечный индекс в G и действует треугольно во всех
факторах. Ввиду 17.2.3 можно считать, что Т не имеет
кручения. Так как коммутант Т' действует унитреугольно,
то [Gu Г', . . ., П<С,+1. Следовательно, [G, 7', . . .
. . ., Т'\ = 1, если число коммутирований достаточно
велико. В частности, группа 7' нильпотентна. Мы знаем,
что в конечно порожденной группе всякая подгруппа
конечного индекса содержит вербальную подгруппу
конечного индекса (упражнение 15.2.3). Пусть V — такая
вербальная подгруппа в G, что F< 7\ | G : V | < оо, и пусть
N — максимальная нильпотентная нормальная
подгруппа в V. Так как V < Г П У < N, то группа VIN
абелева. Пусть m — период ее периодической части. Положим
М = VmN. Ясно, что группы М, N — искомые.
7*

196
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7
б) Пусть Ф — группа всех автоморфизмов группы
А/, действующих в MIN тождественно. Покажем, что
существует изоморфное матричное представление группы
ФМ над Z, унитреугольное на N. Докажем сначала
представимость самой М индукцией по рангу г свободной абе-
левой группы MIN. Если г = О, то это следует из
теоремы 17.2.5. Пусть
М = (а)-М0, (а) Г) М0 = 1, N < М0 < М
1й ранг MJN равен г — 1. По индукции можно считать,
что Л/0 имеет требуемое представление. Тогда, ввиду
леммы 21.3.1, такое представление имеет и М. Применяя 21.3.1
еще раз, получим представление для ФМ.
в) Голоморф Hoi M изоморфно представим матрицами
над Z. В самом деле, ввиду б) и 17.2.7 достаточно
убедиться, что | AutM : Ф | << оо. Это мы и проверим. Прежде
всего, из коммутативности MIN и коммутаторных
соотношений (см. п. 3.2) следует, что в Hoi M
WIN, a]m < [(MIN)m, a] < Wm, alN/N (3)
для всех а ЕЕ Aut М, т = 1, 2, . . . Пусть |3 ЕЕ Aut М.
Так как подгруппа (Р)М из голоморфа Hoi M
полициклическая, то она содержит нормальную подгруппу Т
некоторого конечного индекса т, коммутант которой Т' нильпо-
тентен (см. а)). Так как N — максимальная нильпотент-
ная нормальная подгруппа в М, то
Ш?п, |3mJ < Г П М < N.
Отсюда и из(3) следует, что W/N, pwJm = l. Так как MIN
без кручения, то W/N, |3mJ = 1, т. е. ртЕФ. Таким
образом, группа (Aut М)1Ф периодическая. Если г — ранг M/N,
то имеем очевидное вложение (Aut М)1Ф ->- GLr (Z). Так
как GLr (Z) почти вся без кручения (упражнение 19.3.4),
то (Aut М)1Ф конечна.
г) Голоморф Hoi G изоморфно представим матрицами
над Z. В самом деле, воспользуемся тем, что для
произвольной группы X существует вложение
HolX->Aut (XeZ2).
(4)

§211
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
197
Чтобы получить это вложение, зададим действие HolX
на X г Z2, полагая
(х 0\*8 (х** 0 \ /0 х\** /О g~VA
1о у) ~\о W' U о/ ~ W* о / (5)
для всех ф GE Aut X, х, у, g ^ X. Все нужные свойства
без труда проверяются. Если X — полициклическая
группа, то, очевидно, группа XeZ2 такая же, поэтому вместо
Hoi G достаточно представить матрицами Aut G. Далее,
пусть Г — группа всех автоморфизмов группы G,
действующих тождественно в (конечном) факторе GIM. Так как
| Aut G : Г | < эо, то достаточно представить Г. Пусть S —
конечное порождающее множество группы G по модулю М.
Рассмотрим отображение Г -* Hoi М X ... X HolM
по правилу
7->П <V|m-[Y.*]- (6)
seS
Непосредственно проверяется, что это изоморфное
вложение. Так как Hoi M изоморфно представима матрицами
над Z (см. в)), то и Г такая же. Теорема доказана.
21.3.3. Упражнение. Если М — автоморфно
допустимая подгруппа конечного индекса в некоторой
группе G и Hoi M изоморфно представима матрицами, то
и Hoi G изоморфно представима матрицами.
21.3.4. Упражнение. Голоморф произвольной
полициклической группы почти весь не имеет кручения
и для всякого простого числа р почти весь
аппроксимируется конечными р-группами.
Указание. См. доказательство теоремы 14.2.2.
Роль теоремы 21.3.2 состоит в том, что она открывает
путь в теорию полициклических групп методам
алгебраической геометрии, теории чисел и р-адического анализа —
в зависимости от выбора основного кольца
коэффициентов, в которое мы погружаем Z. Например, как заметил
Верфриц, эта теорема позволяет доказать конечную
определенность группы автоморфизмов произвольной
полициклической группы G (L. Auslander, Ann. Math. 89, № 2
(1969), 314—322) следующим образом. Если Hoi G^GLn(Z)
и группа G замкнута по Зарисскому, то ее
нормализатор и централизатор в GLn{Z) также замкнуты и, значит,
конечно определены (A. Borel, Proc. Internat. Congress of

198 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
Mathns, Stockholm, 1962, 10—22). Поэтому группа Aut G^
~ N% (G)/C# (G) конечно определена. Если G не замкнута,
то рассуждения несколько усложняются. Подробности
и другие интересные комментарии к теореме 21.3.2 можно
найти в докладе Верфрица, прочитанном 22 июня 1973
года на симпозиуме в Лондоне [391.
В связи с конструкцией, встретившейся нам
мимоходом в конце доказательства 21.3.2, отметим следующий
21.3.5. Вопрос [11J. Пусть С — фиксированная
неединичная группа (например, С = Z2). Известно
(Алгебра и логика 9, № 5 (1970), 539—558), что для любых
групп А, В все расщепляемые расширения группы В
посредством группы А вкладываются некоторым единым
способом в прямое произведение А X Aut (В г С). Как они
в нем расположены?
§ 22. Обобщения разрешимости
22.1. Классы Куроша — Черникова. Мы знаем, что
разрешимость можно определить как наличие
субнормального ряда с абелевыми факторами или нормального ряда
с абелевыми факторами, а также как обрыв ряда
коммутантов на единице,— все эти условия равносильны.
Возникает мысль определить «трансфинитные субнормальные
ряды» разных типов и выяснить свойства получающихся
классов и связи между ними (естественно ожидать, что
равносильные условия перестанут быть таковыми в общем
случае). Такая теория «обобщенно разрешимых» групп
была создана и основополагающей тут явилась работа
А. Г. Куроша и С. Н. Черникова [131. Мы будем называть
классы обобщенно разрешимых групп, возникающие в
рамках этой теории, классами Куроша — Черникова, хотя
некоторые из них рассматривались и до работы [131. В
настоящем пункте будут приведены определения и
обозначения этих классов.
Основным понятием теории классов Куроша —
Черникова является следующее обобщение понятия
субнормального ряда.
Система © подгрупп группы G называется субнормаль-
ной системой, если она:
1) содержит 1 и G;

* 2'A
ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
199
2) линейно упорядочена по вложению, т. е. для всяких
А, В из © либо А < В, либо 5 < А;
3) замкнута относительно объединений и пересечений,
в частности, вместе с каждым ^4 ^= G содержит
пересечение А# всех Н ЕЕ<& с условием Я)>4 и вместе с каждым
2? ^ 1 содержит объединение В^ всех Я €Е © с условием
4) удовлетворяет условию 4 ^ Л# для всех Л е ©,
A^G.
Фактор-группы А*/А называются факторами
субнормальной системы ©. Говорят, что © вполне упорядочена
по возрастанию, если А$ Ф А для всех А Ф G, и вполне
упорядочена по убыванию, если В^ =^ь В для всех В Ф 1.
Система называется нормальной, если все ее члены
нормальны в группе. Если одна субнормальная система
содержит другую, то первая называется уплотнением
второй. Обобщая определение из п. 16.1, нормальную
систему © называют центральной, если все ее факторы
центральны, т. е.
А$1А < С (G/A) для всех А е ©, А ф G,
или, что равносильно,
U#, G] < А для всех 4g6,4^C
Наконец, субнормальную систему называют разрешимой,
если все ее факторы абелевы.
Возникают следующие классы Куроша — Черникова
(мы сохраняем традиционные обозначения, хотя и не
считаем их вполне удачными):
BN: группа обладает разрешимой субнормальной
системой подгрупп;
RN*: группа обладает разрешимой субнормальной
системен^ вполне упорядоченной по возрастанию;
RN: всякую субнормальную систему группы можно
уплотнить до разрешимой субнормальной системы;
RI: группа обладает разрешимой нормальной системой;
RI*: группа обладает разрешимой нормальной систе-
мой, вполне упорядоченной по возрастанию;
RI: всякую нормальную систему группы можно
уплотнить до разрешимой нормальной системы;

200 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл.
Z: группа обладает центральной системой;
ZA: группа обладает центральной системой, вполне
упорядоченной по возрастанию;
ZD: группа обладает центральной системой, вполне
упорядоченной по убыванию;
Z: всякую нормальную систему можно уплотнить до
центральной системы;
N: через всякую подгруппу проходит субнормальная
система;
N: через всякую подгруппу проходит субнормальная
система, вполне упорядоченная по возрастанию.
22.1.1. Упражнение. Условие N равносильно
нормализаторному условию из п. 18.2.
22.1.2. Упражнение. Для конечных групп
условия RN, i?A/*, i?7V, RI, /?/*, RI равносильны
разрешимости, а условия Z, ZA, ZD, Z, N, N равносильны
нильпотентности.
22.1.3. Упражнение. Группа тогда и только
тогда обладает свойством RI (соответственно Z), когда все
ее гомоморфные образы обладают свойством RI
(соответственно Z).
22.1.4. Упражнение. Свойства RN*, RI*, ZA,
RN, RI, Z, N, N переносятся на гомоморфные образы.
Классы Куроша — Черникова весьма широки,—
например, класс Z содержит ввиду теоремы Магнуса 14.4.4
все свободные группы. Более тонким является
утверждение, что всякая счетная свободная группа изоморфно
вкладывается в некоторую группу класса Z,— это покажет один
из примеров, к которым мы сейчас переходим.
22.2. Примеры. Важный пример обобщенно
разрешимых групп дают упорядочиваемые группы.
22.2.1. Пример. Всякая упорядочиваемая группа
G обладает свойством RN (напомним, что группа
называется упорядочиваемой, если на ней можно задать
линейный порядок <;, устойчивый относительно умножения;
подробнее см. п. 24.2 Дополнения). Действительно, пусть
G — группа с линейным порядком <^\ Ее подмножество М
называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими
элементами а, Ъ оно содержит и все промежуточные
элементы, т. е.
aEil/, fee M, a<s<b=#>:reA/.

5 22]
ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
20f
Оказывается, система © всех выпуклых подгрупп
упорядоченной группы G является разрешимой субнормальной
системой. Действительно, условие 1) из определения
субнормальной системы очевидно. Проверим условие 2).
Пусть А, В — выпуклые подгруппы и существует элемент
Ъ е В, Ъ ф А. Пусть, скажем, Ъ > 1. Ясно, что а < Ь
для любого а е А. Так как 1 < а < Ъ или 1 < а"1 < Ьг
то А <^ В, что и требовалось. Условие 3) очевидно.
Проверим 4), т. е. условие А <\ В, где А, В — выпуклые
подгруппы, причем 4<Ви между ними не содержится
никаких других выпуклых подгрупп. Для любого Ъ ЕЕ В
имеем Аъ <С Вь, причем ясно, что Аъ, Вь — снова
выпуклые подгруппы и между ними нет других выпуклых
подгрупп. Так как Вь = В, то Аъ — А, что и требовалось
доказать. Наконец, каждый фактор А#/А системы © есть
упорядоченная группа, не содержащая собственных
выпуклых подгрупп. По классической теореме Гёльдера об
упорядоченных группах (она доказывается в [81 на одной
странице на основе определений) фактор А$/А изоморфно
вкладывается в аддитивную группу поля JS, в частности,
абелев. Значит, © — разрешимая субнормальная система.
Теперь обратимся к примерам обобщенно нильпотент-
ных групп. Важный тип таких примеров доставляют
разного рода конгруенц-подгруппы — как классические
Гп (т) над кольцом Z, так и их аналоги над другими
кольцами. Рассмотрим здесь
22.2.2. Пример (Ю. И. Мерзляков, Алгебра и
логика 2, № 5 (1963), 29—36). Пусть к — множество,
состоящее из нуля и всех рациональных чисел, имеющих в
несократимой записи нечетный знаменатель. Очевидно, к —
кольцо. Пусть
/l + 2n/c 2nk \
Gn = \ 2nk 1+2V' и-1'2""'
т. е. Gn — совокупность матриц, элементы которых
независимо друг от друга пробегают соответствующие
множества рациональных чисел. Легко понять, что каждое Gn —
группа. Как мы знаем, группа Gx содержит свободную
подгруппу ранга 2 (см. теорему 14.2.1), а поэтому и
свободные подгруппы любого конечного или счетного ранга.
Покажем, что Gx обладает также свойством Z, т. е. что фак-

202
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
1.Гл. 7
тор-группа группы Gx по любой нормальной подгруппе Н
обладает центральной системой (см. упражнение 22.1.3).
Прежде всего, если Н лежит в центре Gb то система
фактор-групп
оо
GJH > GJI/H > ... > Г) (GnH/H) > 1
71=1
«будет, как нетрудно проверить, центральной системой
•фактор-группы GJH. Допустим теперь, что нормальная
подгруппа Н не лежит в центре Gu и покажем, что тогда
Н > Т Г) Gn при некотором га, (1)
где Т — совокупность матриц из Gx с определителем 1.
Этим всё будет доказано, так как группа GJH будет тогда
гомоморфным образом группы GJT f] Gn,
вкладывающейся по теореме Ремака 4.3.9 в прямое произведение
абелевой группы GJT и нильпотентной группы GjGn.
А для доказательства утверждения (1) мы снова применим
плодотворный философский метод вытягивания цепи
(см. стр. 105).
а) Подгруппа Н содержит матрицу h с условием hu Ф
Ф h\2. Действительно, пусть с — какая-нибудь
нескалярная матрица из Н. Непосредственно проверяется, что
в качестве h годится одна из матриц с, са, съ, сас, сьс, сась,
где а = t12 (2), Ъ = t21 (2).
б) Если Н содержит h, то Н содержит также транс-
векции t12 (Я), t21 {X), где X = 2(х((A|2/^ii) —1)» \*>
—произвольное рациональное число с нечетными числителем
и знаменателем. В самом деле, непосредственно
проверяется, что t12 (X) = [a, huh]v, где а = tn (2), и =
= diag(—A22, An), v = diag (1, п.). А матрица t21 (X)
получается транспонированием этого соотношения, причем
h можно не транспонировать, поскольку X зависит только
от ее диагональных элементов. Отметим полезную в этих
вычислениях формулу
xd = / при d = diag(a,p).
\~ft~^2l #22 J

§ 22]
ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
203
в) Существует такое т > 1, что Н содержит все
трансвекций t12 (2mx), £21(2mx), xefc Это сразу вытекает из
а) и б).
г) Подгруппа Н содержит произвольную матрицу
X
/l + 22ma 22mp \
= 1 2-у 1+2™J' °.Р.Т,веЛ, detail.
Действительно, непосредственно проверяется, что
х = *„ (2m|) t2l (2m8) tn (2m) tu (2тц), (2)
где
6 2mp-l ^ 2™у-6
5=1 a?22 ' #22
Ha этом вытягивание элементов заканчивается.
Попутно получается положительное решение конгру-
енц-проблемы для группы SL2 {к). В самом деле, пусть
Н — нормальная подгруппа в SL2(k) конечного индекса п.
Так как п-е степени трансвекций из 8L2(k) лежат в Я, то
выполняется в). Так как в) =^> г), то Н — конгруенц-под-
группа.
Отметим, что двойка не играла в наших рассуждениях
особой роли. Аналогично устанавливается, например,
следующий факт. Пусть п — множество, получаемое из
множества всех простых чисел удалением конечного
подмножества (назовем его л;'), Q„ — кольцо я-ичных дробей,
т. е. рациональных чисел, знаменатели которых делятся
только на простые числа из я. Каждая подгруппа Н
конечного индекса п в SL2(Qn) является конгруенц-подгруп-
пой. В самом деле, пусть Н нормальна и q —
произведение всех чисел из п. Возьмем какую-нибудь верхнюю
границу т !> 1 для показателей, с которыми делители из зт'
входят в п. Так как Н содержит все трансвекций ttj (gmx),
х ее Qn, то наше утверждение вытекает из следующего
аналога разложения (2) при \х = ц/ = qm:
ГЕЕЕ/'1+№'а jiji'P \
\ №'V 1 + W6/
= *12 ([*£) *21 ([*'«) *12 (|Х) *21 (|А'Т1), (2')
где
dets = l, £ = *'*Z 1 i 4=-^
#22 ' ' #22

204 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [Гл. 7
Из примера 22.2.2 видно, что свойства RI и Z не
переносятся на подгруппы, так как свободные нециклические
группы этими свойствами не обладают (см. 22.1.4).
Продолжая изложенную здесь работу, Г. А. Носков
показал (Сиб. матем. ж. 14, № 3 (1973), 680—683), что
группа С?! обладает и свойством BN, так что оно тоже не
переносится на подгруппы.
В топологических группах условия конечности и
обобщенной разрешимости исследовали В. М. Глушков,
В. С. Чарин и другие авторы — см. обзор [26].
22.3. Локальная теорема. Система Miy i£/,
подмножеств множества М называется его локальным
покрытием, если любой элемент из М содержится в некотором Мf
и любые два множества Mt, Mj содержатся в некотором
третьем множестве Мк. Примеры локальных
покрытий — система всех конечных подмножеств данного
множества и система всех конечно порожденных подгрупп
данной группы. Говорят, что группа G локально обладает
свойством а, если существует локальное покрытие группы G,
состоящее из подгрупп со свойством а. Ясно, что если а
переносится на подгруппы, то G тогда и только тогда локально
обладает свойством а, когда любая конечно порожденная
подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами
локальных свойств могут служить локальная
нильпотентность и локальная конечность, встречавшиеся нам в
предыдущей главе.
Пользуясь случаем, отметим, что класс локально
конечных групп не совпадает с классом периодических групп,
хотя, конечно, содержится в нем. В самом деле, для
всякого простого числа р существуют бесконечные конечно
порожденные /?-группы: одно семейство таких групп
указал Е. С. Голод (пример 18.3.2), а другое — С. В. Алё-4
шин (Матем. заметки И, № 3 (1972), 319-328). Более
сильный результат П. С. Новикова и С. И. Адяна
отмечался без доказательства на стр. 130.
Отметим еще следующее свойство локально конечных
групп.
22.3.1. Теорема (О. Ю. Шмидт). Расширение G
локально конечной группы А посредством локально
конечной группы GIA само локально конечно.
Доказательство. Проверим, что каждое
конечное множество М из G порождает конечную подгруппу.

§ 22]
ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
205
По условию фактор-группа гр (Af, А)/А конечна.
Увеличив, если нужно, множество М, будем считать, что оно
замкнуто относительно обратных элементов и содержит
представители всех смежных классов гр (М, А) ио А. Тогда
для любых х, у е М
ху = xy-ax,v, где ху е М, aXiV e А.
Отсюда следует, что любое произведение элементов из М
можно записать как произведение некоторого элемента
из М на произведение некоторых aXlV. Так как
всевозможные аХуУ порождают конечную подгруппу, то всё доказано.
Говорят, что для свойства групп (и соответствующего
класса групп) справедлива локальная теорема, если
всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама
обладает им. Так, локальная теорема справедлива в классе
абелевых групп и не справедлива в классе конечных групп.
Почему для одних свойств локальная теорема
справедлива, а для других нет? Задавшись этим вопросом,
А. И. Мальцев (Уч. зап. Ивановского пед. ин-та 1, № 1
(1941), 3—9) обратил внимание на то, что локальные
теоремы не специфичны для теории групп, а столь же
естественны для колец, луп и других алгебраических систем,
поэтому ключ к ним надо искать не в теории групп или
других частных теориях, а в основаниях математики.
И действительно, идейным источником самых
разнообразных локальных теорем оказалось следующее замечание
формальной логики: если теорема выводится из некоторого
списка аксиом, то она выводится из конечной части этого
списка. Развивая это замечание, А. И. Мальцев пришел
к своей теореме компактности узкого исчисления
предикатов, а от нее — к локальной теореме для любого
свойства, записываемого так называемыми
квазиуниверсальными формулами. Тем самым вопрос о справедливости
локальной теоремы для данного свойства сг, который до
А. И. Мальцева решался кустарно для каждого сг, был
сведен к общему и чисто «грамматическому» вопросу: нельзя
ли записать а квазиуниверсальными аксиомами?
С помощью остроумного приема, который мы здесь
изложим, А. И. Мальцев еще в упомянутой выше работе
1941 года записал квазиуниверсальными формулами
специального вида свойства RN, RI, Z и этим способом
доказал для них локальную теорему. Позднее он вернулся

206
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7 Л
к своему методу, придал ему современную общность и в
работе «Модельные соответствия» (Изв. АН СССР, сер. ма-
тем. 23, Ni 3 (1959), 313—336) единообразно получил
практически все интересные локальные теоремы теории групп.
Можно сказать, что работа 1941 года впервые поставила
«и» между локальными теоремами алгебры и логикой, а
работа 1959 года в известном смысле поставила точку над
«и». Вместе с тем первая работа явилась исходным
пунктом теории моделей.
Мы докажем здесь методом А. И. Мальцева локальную
теорему для классов Куроша — Черникова. Замкнутое
изложение логической части метода дается в § 24
Дополнения. Читатель, незнакомый с этим методом, должен
обратиться сейчас к Дополнению, а затем продолжать чтение.
22.3.2. Теорема (А. И. Мальцев). Для свойств
RN, BI, Z, BN, RI, Z, N справедлива локальная теорема.
Доказательство. Используя упоминавшийся
прием А. И. Мальцева, перейдем от языка субнормальных
систем к языку предикатов. Для этого с каждой
субнормальной системой © подгрупп группы G свяжем
предикат Р на G, полагая Р (х, у) = И тогда и только тогда,
когда в системе © существует подгруппа, содержащая х
и не содержащая у. Ясно, что Р удовлетворяет
следующим универсальным аксиомам (кванторы опущены):
1) ~] Р (х, х)
2) Р(х, у)АР(У> *)-»Р(*> *).
3) Р(х, z) /\-\P{y, z) -+Р(х, у),
4) Р(Х, z)/\P(y, z) -+Р(ху~\ z),
5) хф1 ->/>(1, *).
6) Р (х, у)~> Р {у-хху, у).
Обозначим Ау = {х | х S G, Р (х, у) = И}, уф1.
Нетрудно проверить, что
Av= U А, А= Г\ Ау (АЕЕ<В, АфО),
УбЁАе© у&А
т. е. Ау ЕЕ © и каждое А ЕЕ ©, А Ф G, представимо в
виде пересечения подгрупп Ау.
Обратно, пусть на G задан предикат Р со свойствами
1) — 6). Множества Ау составляют систему подгрупп,
линейно упорядоченную по вложению. Если мы добавим
к этой системе G, а также объединения и пересечения
любых подсистем, то получится субнормальная система под-

§ 22]
ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
207
групп в группе G. Из 1) — 3) легко следует, что указанные
переходы от© к Р и от Р к S взаимно обратны, а потому
осуществляют искомый перевод на язык ИП.
* Основные понятия теории классов Куроша —
Черникова после перевода на язык ИП будут выглядеть
следующим образом:
7) разрешимость системы: х Ф 1 Д ~~] Р (х, у) /\
Л 1р(У> х) -*р(Ь> уЪ *).
8) нормальность системы: Р (х, у) -^P{z"1xz, у),
9) центральность системы: хф\ ->- Р ([я, у], х).
Охарактеризуем еще «трехчленные» системы 1 <; А ^
^G на языке ИП. Очевидно, для этого к аксиомам
1) — 5) надо добавить аксиому
10) трехчленность системы: х Ф 1 Д Р (х, у) ->-
-> 1 Р (», z).
Теперь ясно, что свойства RN, RI, Z записываются
формулами
RN: (3P)(Vx)(Vy)(Vz) ((1) Л (2) Л (3) Л (4) Л
Л(5)Л(7)),
Ш: (3P)(Vx)(Vy)(Vz) ((1) Д (2) Л (3) Л (4) Л
Л (5) Л (7) Л (8)),
Z: (3P)(Vx)(Vy)(Vz) ((1) Д (2) Л (3) Л (*) Л (5) Л (9)),
где (1), (2), ... — выражения из 1), 2), . . ., а свойства
RN, RI, Z, N, говорящие об уплотняемости,
записываются формулами
Ш: (VP) ((Р - субн.) -* (30 ((Q - разр. субн.) Д
_ Д (V") (V») (Р (и, v)-»Q (и, v)))),
Ш: (VP) ((Р - норм.) -+(3Q) ((<? - разр. норм.) Д
А (Уи) (Vv) (P(u, v)-+Q(u, v)))),
Z: (VP) ((/> - норм.) -+(3Q) ((Q - центр.) Д
А (Уи) (Vv) (P(u, v) -+Q(u, v)))),
N: (VP) ((P _ трехчл.) -*(30 ((Q - субн.) Д
A(Vu) (Vv) (P(u, v) -+Q(u, v)))),
где сокращенные записи должны быть заменены
очевидными комбинациями формул 1) — 10). Поскольку все

208
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
[Гл. 7
семь свойств оказались квазиуниверсальными, остается
послаться на теорему 24.3.3 из Дополнения. Теорема
доказана.
Для свойств RN*, i?/*, ZA, ZD, N, не охваченных
теоремой Мальцева, локальная теорема не справедлива,—
см., в частности, пример 18.2.2.
Заметим, что формулы для RN, RI, Z
предметно-универсальны, поэтому по теореме 24.3.1 из Дополнения эти
^свойства переносятся на подгруппы (что нетрудно
доказать и непосредственно).
22.3.3. Упражнение. Свойства i?7V*, д/*? %А,
ZD, N, N тоже переносятся на подгруппы.
В качестве применения теоремы Мальцева 22.3.2
распространим теорему Черникова 19.3.2 на iW-группы.
Получается более общая
22.3.4. Теорема (С. Н. Черников). Всякая RN-
группа G с условием минимальности является
разрешимой черниковской.
Доказательство. Ввиду условия
минимальности G — периодическая /?Лт*-группа, а потому она
локально конечна (использовать индукцию и теорему
Шмидта 22.3.1). Так как конечная разрешимая группа обладает
свойством RI, а для него справедлива локальная теорема,
то G обладает свойством RI. Снова ввиду условия
минимальности G будет /?/*-группой. Теперь можно повторить
доказательство теоремы 19.3.2, учитывая, что свойство
RI* переносится на подгруппы и гомоморфные образы.
В самом деле, начало доказательства (первые два
абзаца) проходит почти без изменений. Далее, факторизуя
G по А и повторяя рассуждение, мы найдем
нетривиальный центр в HIA и т. д. Это показывает, что
верхний центральный ряд группы Н, продолженный,
возможно, трансфинитно (£а# = U £з# при предельном а),
достигает группы Н, т.е. Н — ZA-группа.
Пусть В — максимальная абелева нормальная
подгруппа в Н. По доказанному ранее В лежит в центре
группы Я, а по теореме 16.2.6 В совпадает со своим
централизатором в Я (в указанной теореме речь идет о ниль-
потентных группах, но ее доказательство сохраняется
для любых ZA-групп). Отсюда В = Я, т. е. группа Я
абелева. Теорема доказана.

Дополнение
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ АЛГЕБРЫ, ЛОГИКИ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 23. О нильпотентных алгебрах
Упомянутая в основном тексте вскользь связь между
нильпотентностью в группах и кольцах играет в действительности важную
роль, обогащая как теорию групп, так и теорию колец. Мы
приведем здесь некоторые сведения о нильпотентных алгебрах,
необходимые при изучении энгелевых групп в п. 18.3. В первом пункте
будут даны основные определения и изучено поведение
нильпотентности при стандартном переходе от ассоциативных алгебр
к лиевым и обратно. Второй пункт посвящен построению нениль»
потентных нильалгебр.
23.1. Нильпотентность ассоциативных и лиевых алгебр. Пусть
к — поле, А — кольцо (ни коммутативность, ни ассоциативность
умножения в Л не предполагаются). Кольцо А называется (линейной)
алгеброй над к, если для всяких а е &, а е А определен элемент
ааеЛ, причем это «умножение на скаляр» связано с операциями
в к и А следующими соотношениями:
(а + Р)а = аа + Ра,
(ар)а = а (Ра),
1а = а,
а (а + Ь) = аа + а&,
а (ab) — (аа) Ъ~ а (аЪ).
Здесь а, Р — любые элементы из /с, 1 — единица поля /с, а, Ь —
любые элементы из А. Алгебра А называется ассоциативной, если
(аЬ) с = a (be) для всех а, &, с е А,
Алгебра А называется 'лиевой (или алгеброй Ли), если
аЪ + Ъа = О,
(аЪ) с + (Ьс) а + (со) 6=0
Для всех а, &,сб1
8 М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков

210 ' ДОПОЛНЕНИЕ
Роль ассоциативности читателю объяснять не надо, а вот лиевы
алгебры могут на первый взгляд показаться искусственным
объектом. В действительности они столь же естественны как и
ассоциативные: каждая ассоциативная алгебра имеет лиеву спутницу, ..
получаемую следующим стандартным способом. Пусть А —
ассоциативная алгебра. Если а, Ъ — ее элементы, то элемент (а, Ь) =
= аЬ — Ьа называется их (кольцевым) коммутатором» Как и в
случае групп, можно сказать, что коммутатор измеряет отклонение
от коммутативности, ср. с п. 3.2. Легко проверить, что множество
А с отмеченными на нем операциями сложения, коммутирования
и умножения на скаляры из к будет лиевой алгеброй. Она
называется лиевой алгеброй, присоединенной к ассоциативной алгебре А.
Другой источник алгебр Ли — группы Ли — упоминался в
основном тексте.
Пусть теперь в ассоциативной алгебре А выделено
подпространство L, замкнутое относительно коммутирования (так что в
присоединенной лиевой алгебре L будет лиевой подалгеброй).
Ассоциативная подалгебра L, порожденная в ассоциативной алгебре А
множеством L, называется ассоциативной алгеброй, обертывающей
лиеву алгебру L.
Элемент а линейной алгебры А называется нилъпотентным
(так сказать, «потенциально нулевым»), если ап = 0 при
некотором тг, вообще говоря, зависящем от а, и произвольной расстановке
скобок в ап. Алгебра А называется нилъпотентной, если
существует такое тг, что аг . . . ап = 0 для всех аъ . . . ., ап е А и
произвольной расстановки скобок в левой части. Наименьшее п с этим
свойством называется ступенью нильпотентности. Как
упоминалось в основном тексте, примером нильпотентной ассоциативной
алгебры служит алгебра треугольных матриц с нулевой диагональю.
23.1.1. Упражнение. Конечно порожденная нильпотент-
ная алгебра конечномерна.
23.1.2. Упражнение. Лиева алгебра L тогда и только тогда
нильпотентна, когда существует такое тг, что (•••{(а1а2)а3) • • .) cin =*
*■= 0 для всех аъ » . ., ап <= L.
Как ведет себя нильпотентность при переходе от
ассоциативных алгебр к лиевым и обратно, точнее, при операциях
присоединения и обертывания? В одну сторону вопрос решается легко:
понятно, что если ассоциативная алгебра А нильпотентна ступени
тг, то присоединенная к ней лиева алгебра нильпотентна ступени
^ п (неравенство снять нельзя). А вот при обертывании рассчиты
вать на сохранение нильпотентности уже не приходится, поскольку
существуют ненильпотентные ассоциативные алгебры, для которых

§ 23]
О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ
211
присоединенные лиевы алгебры нильпотентны: такова, например,
алгебра А всех треугольных матриц некоторой степени п с
постоянными диагоналями. Другой пример — прямая сумма В однопорож-
денных нильпотентных алгебр неограниченно растущих ступеней
нильпотентности.
Причина того, почему алгебра А не нильпотентна, бросается
в глаза: даже отдельные элементы алгебры А не все нильпотентны
в ассоциативном смысле. Оказывается, если потребовать
ассоциативную нильпотентность элементов да еще конечную порождаемость
«обертываемой» лиевой алгебры, то нильпотентность уже будет
сохраняться при обертывании:
23.1.3. Теорема. Пусть А — ассоциативная алгебра, L —
ее подпространство, замкнутое относительно коммутирования.
Если лиева алгебра L конечно порождена и нильпотентна, а каждый
ее элемент нилъпотентен в ассоциативном смысле, то обертывающая
ассоциативная алгебра L нильпотентна.
Доказательство. Пусть ег, . . ., ей — порождающие
элементы лиевой алгебры L. Назовем их порождающими
коммутаторами веса 1, а если порождающие коммутаторы с, d весов и, v
уже определены, то назовем коммутатор (с, d) порождающим
коммутатором веса и + v (таким образом, вес определяется не только
самим элементом, но и выбранной для него записью). Пусть п —
ступень нильпотентности лиевой алгебры L. Это означает, что
коммутаторы веса 2^ п равны нулю, поэтому множество ненулевых
порождающих коммутаторов конечно. Упорядочим их по возрастанию
весов, а при одном весе —произвольным способом: сг, с2, • • •, сг.
По условию с{' = 0 при некотором щ. Покажем, что ассоциативная
алгебра L нильпотентна ступени не более N = п (щ + . . . -|- пг)»
Очевидно, для этого достаточно проверить, что все cit . . . с- — 0.
Длиной произведения с, ... с,- пазовем число ш, весом —
1 lm
сумму весов множителей, беспорядком — любое вхождение . . . ct . . .
. . . Cj . . . при i > /, характеристикой — пару (т, t), где t — число
беспорядков. Упорядочим характеристики словарно, т. е. положим
{т, t) < (га', t'), если т < т или т = т , t < t'. Очевидно,
любая убывающая цепочка характеристик обрывается.
Если в произведении с- ... с{ веса w имеется беспорядок
CjCj, то после его замены на cjct + (ch cj) мы получим сумму двух
произведений того же веса, но с меньшими характеристиками.
Значит, через конечное число таких замен мы придем к сумме произ"
ведений
СГ ' • ' °1^ где /х < • • • < hi все Щ > *•
8*

212 ДОПОЛНЕНИЕ
Остается заметить, что при w >. N указанные произведения равны
нулю. Действительно, при w ^ N некоторое та ^ nj , а тогда
с- = 0. Теорема доказана.
•'ОС
В заключение пункта приведем один результат о конечной
порождаемости в кольцах, напоминающий упражнение 14.3.2
для групп. Хотя в его формулировке нильпотентность явно не
фигурирует, этот результат служит важным вспомогательным
средством при ее изучении, что оправдывает его изложение именно
здесь. Впрочем, нам он понадобится для других целей (см. § 21).
Напомним, что абелева группа Л по сложению называется левым
модулем над кольцом /с, если для всяких а е к, а е Л определено
аа s Л н выполняются первые четыре аксиомы из списка
в самом начале параграфа. Аналогично определяется правый модуль.
Если на А определено строение левого и правого модуля над /с,
причем (аа)3 = а (а(3) для всех а, (3 е &, а з Л, то говорят о
бимоду/ie нал. к. Аннулятором бимодуля А над к называется
совокупность всех а е к с условием
аа = 0, аа = 0 для любого а е Л.
Пусть if — ассоциативное кольцо (не обязательно
коммутативное), М—его подмножество, s—натуральное число. Тогда Ms
обозначает подгруппу аддитивной группы кольца К, порожденную
всевозможными произведениями s элементов из М.
23.1.4. Теорема. Пусть I — идеал конечно порожденного
ассоциативного кольца К. Если аддитивная группа К/1 конечно
порождена, то идеал I конечно порожден и все аддитивные группы
К/13, 5=1, 2, . . ., также конечно порождены.
Доказательство, а) Возьмем в аддитивной группе
кольца К конечно порожденную подгруппу А с условием:
К = А + /, кольцо К порождается множеством А. (1)
Пусть Г —идеал, порожденный в К пересечением If](А + А2).
Сумма А + /' —подкольцо. Действительно, если аъ а2<^ А, то
ввиду (1) ага2 = а + г, а е A, i е /. Очевидно, i е /'', так что
аха2 е= А + /'.
Отсюда К = Л + /' (см. (1)). Так как Л конечно порождена,
то и аддитивная группа К/Г конечно порождена. Значит, ее
подгруппа Щ' тоже конечно порождена. Из определения идеала /'
видно, что он конечно порожден, так как А + А2 — конечно
порожденная аддитивная группа. Следовательно, идеал / конечно
порожден.

§ 23]
О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ
213
б) Кольцо К действует на аддитивной группе I/P левыми
и правыми умножениями, превращая эту группу в бимодуль над К.
Ясно, что 7 содержится в его аннуляторе, так что I/P можно
рассматривать как бимодуль над К/1, причем ввиду а) он конечно
порожден. Так как аддитивная группа К/1 конечно порождена,
то и аддитивная группа I/P конечно порождена. Индукцией по п
убеждаемся, что все аддитивные группы К/Рп конечно порождены.
Наконец, при произвольном s можно выбрать такое я, что 2П > s,
поэтому и все аддитивные группы К/Р конечно порождены. Теорема
доказана.
23.2. Ненильпотентные нильалгебры. В этом пункте
рассматриваются только ассоциативные алгебры. Если все элементы алгебры
нильпотентны, она называется нилъалгеброй. Один из центральных
вопросов теории нильпотентных алгебр состоит в следующем:
будет ли конечно порожденная ассоциативная нильалгебра нильпо-
тентной? Для конечномерных алгебр давно был получен
утвердительный ответ, но если не предполагать конечномерность заранее,
то ответ, как показал Е. С. Голод, будет отрицательным. Более
точно, Е. С. Голод для каждого поля к и каждого d^2 построил
ненильпотентную алгебру над полем к с d порождающими, у которой
все подалгебры с d — 1 порождающими нильпотентны (Изв. АН
СССР, сер. матем., 28, № 2 (1964), 273—276). Его конструкция
позволяет ответить и на ряд важных вопросов теории групп. Цель
настоящего пункта—изложить эту конструкцию.
Пусть F = к [хъ . . ., xd} — кольцо многочленов над каким-
нибудь полем /сот неперестановочных переменных хг, . . ., х&.
Очевидно, F разлагается в прямую сумму FQ © Fx 0 . . . , где F0 ~
~ /с, Fn — векторное пространство над /с, порожденное dn
одночленами х^х-ч . . . xi . Многочлены из Fn называются однородными
степени п. Идеал I кольца F называется однородным, если он
порождается однородными многочленами (вообще говоря, различных
степеней).
23.2.1. Упражнение. Идеал /тогда и только тогда
однороден, когда он вместе с каждым своим элементом содержит и все
ого однородные компоненты, т. е. из
а е= 7, а = аПх + , , . + ап^ ап, е= F , пх < . . . < и8|
следует, что все а» е= I.
Пусть Д, /2, . . . — ненулевые однородные многочлены из F
неубывающих степеней ^ 2, причем число гп многочленов каждой
степени п конечно. Пусть 7 — идеал, порожденный элементами

214 дополнение
/х, /2, . . ., Л = /7/. Очевидно, Л = Л0 ф Ах 0 . . . , где Ап =
= (Лг +/)//. В частности, Л0 ~ ^о ~ &, ^i — ^ъ так как
многочлены ft имеют степени ^ 2. Основную роль в излагаемой
конструкции играет фактор-алгебра F/I по некоторому идеалу /. В
качестве подготовительного шага мы установим сейчас один признак
еэ бесконечномерности.
Рассмотрим формальный степенной ряд
в-1_Д+2 sntn,
71=2
где sn — целые числа. Легко понять, что обратным к нему будет
ряд гг= 2 yntn, где
Уо = 1, У\ = </,
п
•?'я = б/'Аг-1 - 2 V'/i-i» ^ - 2, 3, . . .
г =2
23.2.2. Теорема (E.G. Голод). Пусть F = к {хъ . . ., хд] —-
кольцо многочленов над полем к от неперестановочных переменных
х1ч . . ., хд. 'Пусть /х, /2, . . . —однородные многочлены из F
неубывающих степеней 2> 2, / — порожденный ими идеал. Если
число гп многочленов степени п из /ь /2, . . . не превосходит числа sn
и все коэффициенты ряда З"1 неотрицательны, то алгебра F/I
бесконечномерна.
Доказательство, а) Пусть ап — размерность фактор-
алгебры Ап = (Fn + /)/ как векторного пространства над к. Для
доказательства теоремы достаточно убедиться, что ряд
ОО
а - 5J «„*"
П=0
не есть многочлен. Пусть
оо
П=2
и пусть уже доказано, что ряды с-1 и га имеют неотрицательны^
коэффициенты (мы сделаем это ниже). Так как г-1 г = 1, то
I, ff» 1 ч
r-i(l+ 2 г/Ч-1+г*Л,

§ 23] О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ 215
Отсюда видно, что г-1 не многочлен. Но тогда и а = Г"1*га не может
быть многочленом.
б) Ряд г-1 имеет неотрицательные коэффициенты.
Действительно в силу очевидных свойств действий над формальными рядами
оо
r==3-_q==3(l_-riq), где q== 2 (Sn^.rn)tn4
и, значит,
оо
г-1 = г1 (1 - Г1 q)"1 = Гх (1 + ^ (S_1 Ч)™) •
Остается учесть, что ряды £-1 и q имеют неотрицательные
коэффициенты.
в) Убедимся, что ряд га тоже имеет неотрицательные
коэффициенты, т. е.
«n>*»n-i-Srie»-l- n>2- <2>
г =2
Пусть 1п — множество всех однородных многочленов степени п из
/, Л* — прямое дополнение подпространства 1п в пространстве Fn,
т. е. Fn = In ф Л*. Сравнение размерностей дает
сР = dim In -f ап.
Пусть еще Нт — подпространство, порожденное многочленами
степени т из /ь /2, . . ., a XY обозначает подпространство,
натянутое на элементы хуу х е X, у е У. Мы покажем, что
/„SVa^-b 2 ^*_mffm. »>2. (3)
m=2
Тогда подсчет размерностей в (3) и даст (2).
Пусть и е /п. По построению и есть сумма произведений вида
v/j-w, где г?, w — однородные многочлены. Будем считать, что
и = v/yw. Если w имеет степень ;> 1, то ясно, что ы е In~iF\- Если
же w имеет степень 0, то можно считать, что и = vfj. Пусть /у имеет
степень т и, значит, принадлежит подпространству Нт. Тогда
v e Fn-m,
Отсюда м e /n-i^i + A*_mHm. Теорема доказана.

216 Дополнений
23.2.3. Пример. Если в условии теоремы 23.2.2
rn < e» (tf — 2s)n"2, e > 0, (4)
то алгебра А бесконечномерна. Действительно, достаточно
проверить, что ряд З"1 имеет неотрицательные коэффициенты, где
3 = 1 — dt + 2 £'2 (6/ — 2e)n'2171-
Мы воспользуемся следующими формулами для формальных рядов:
1 °° Iй0
1-«-„^"' (1 -, „=„
Имеем
ОО
$ = 1 -Л + S2*2 2 (d—22)ntU =
= 1 — Л +
п—о
8^2 (1 __(tf__8)f)2
1 — (rf — 2е) * ~~ l—(d — 2s) *
откуда
1 — (d — 2e) *
(lJ(d_8jf)2 = (1 - (^- 28) 0 J (n + 1) (d - e)ntn =
oo
-=1+ S (tf-e)n"V+ ("-*) e)'n-
Так как б/ — 2s ^ 0, то rf — 8 ^. s > 0, и всё доказано.
Теперь мы готовы к изложению конструкции Е. С. Голода.
Ее идею хорошо поясняет следующий частный
23.2.4. Пример. Пусть к — не более чем счетное поле,
F = к {х, у} — алгебра многочленов над полем к от
неперестановочных переменных х, у, Fr — подалгебра многочленов без свободных
членов. Покажем, что в алгебре F существует такой идеал /,
содержащийся в F', что алгебра А' = F'II не нильпотентна, но все
ее элементы (и, значит, все подалгебры с одним порождающим)
нильпотентны.
Занумеруем элементы из F': иг, и2, . . . Пусть Nx = 9.
Возведем иг в А^-ю степень и разложим и^па однородные слагаемые
fb /2» • • •» 1тг возрастающих степеней. Пусть число N2 превосхо-

23]
О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ
217
пит любую из них. Возведем и2 в 7У2-ю степень и разложим и™2 на
однородные слагаемые /mi+1, fmi+v • * * возрастающих
степеней. Продолжая этот процесс, мы построим многочлены /х, /2, • • .
возрастающих степеней ]> 9. Пусть I — идеал, порожденный
этими многочленами. Ясно, что А' = F'/I — нильалгебра с
порождающими х = х -\- I, у = у + /• Остается проверить, что А' не
нпльпотентна, а для этого достаточно убедиться, что А = F/I
бесконечномерна (тогда А' = Аг (В А2 Ф . . . тоже будет
бесконечномерна, а потому не нпльпотентна —см. 23.1.1). В
обозначениях теоремы Голода имеем d = 2, гп <^ 1, причем г2 — г3 = . . .
1
... = Г8 = 0. Прямое вычисление показывает, что при 8 — -т-
выгюлняется условие примера 23.2.3, поэтому всё доказано.
Изложим теперь результат Е. С. Голода в полном объеме.
23.2.5. Пример. Для всякого й>2и всякого поля к
существует ненильпотентная алгебра над к с d порождающими, каждая
подалгебра которой с d — 1 порождающими нпльпотентна. В самом
деле, пусть F ==■ к {х±, . . ., Х&) — алгебра многочленов над к от
неперестановочных переменных хх, . . ., х& F' —подалгебра
многочленов без свободного члена. Построим в F такой идеал 7,
лежащий в F', что F'll — искомая алгебра.
1
Пусть е — фиксированное число, 0 < 8 < -«г-. Ввиду примера
23.2.3 в качестве I можно взять идеал, порожденный однородными
многочленами /ь . . ., / , /Sl+1, . . ., /s , . . . степени >2с
условием (4) и следующим дополнительным условием: для любых d — 1
элементов из F' степени ^ п существует такое натуральное число
Лг, что произведение любых N множителей из данных элементов
принадлежит идеалу 7П, порожденному элементами /1? . . ., /Sn.
Допустим, что отрезок /ь . . ., /s, s = sn_b уже построен, и покажем, как
дополнить его до отрезка Д, . . ., fh t = sn.
Рассмотрим d — 1 многочленов степени ^ п без свободного
члена с неопределенными (буквенными) коэффициентами cia}
gi = y2ici(xMaixV • • -^d)' 1 <t<c? —1, Ma — мономы.
a
Пусть N — натуральное число. Существует (d — 1)^ различных
произведений по N элементов gt. Записав их как многочлены от
{ciaj, мы получим в качестве коэффициентов некоторые линейные
комбинации fs+v . . ., ft мономов от {xj} степени N, N + 1, . . .,nN.
Покажем, что при достаточно большом N многочлены /s+1, . . ., ft —
искомые. Ясно, что в проверке нуждается только свойство (4). Оно
будет выполнено, если возьмем число N больше, чем степени

218
ДОПОЛНЕНИЕ
Д, . . ., /s, и такое, что количество многочленов /s+1, . . ., ft будет
^ е- (d — 2е)' . Докажем существование такого N, для чего
оценим количество многочленов / , ...,/; в зависимости от N.
Пусть g = gt . . • gtN, причем gt входит в это произведение т%
раз. Так как cia между собой перестановочны (это буквенные
обозначения для элемептов поля к), то g, как многочлен от {ci(X},
содержит
d-i
i=l l
слагаемых. Значит, столько и многочленов добавится от
произведения g в отрезок /т, . . ., ft. Так как Cvu < uv и различных #
имеется (d — 1)Y, то общее число многочленов /s+1, . . ., ft не
превосходит числа
Так как d — 1 < с? — 2е, то это число ^ e2(d — 2е)АГ~2 при
достаточно большом N. Доказательство закончено.
§ 24. Локальные теоремы логики
Здесь будет установлена локальная теорема Мальцева для
квазиуниверсальных классов. Предполагая, что читатель знает
основные определения формальной логики из общего курса, мы даем
беглое, но вполне замкнутое изложение.
24.1. Алгебраические системы» Пусть А —-множество. Функция
п переменных, определенная на А и принимающая значения из
множества (истина, ложь} (соответственно из А), называется п-арным
предикатом (соответственно п-арной операцией) на А. Множество А
с отмеченными на нем предикатами Ра и операциями fn ' (па, т^ —
их арности) называется алгебраической системой, а перечень сим-
волов Ра , /р р — ее сигнатурой. Две алгеораические системы одной
и той же сигнатуры называются изоморфными, если существует
взаимно однозначное соответствие между ними, сохраняющее
предикаты и операции. Примеры алгебраических систем — группы,
кольца, поля, векторные пространства, упорядоченные множества
и т. п.
Подмножество алгебраической системы, замкнутое относительно
всех сигнатурных операций, называется подсистемой, если оно
рассматривается вместе с индуцированными на нем предикатами и one-

§ 24] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ 219
рациями, которые получаются сужением сигнатурных предикатов
и операций самой системы.
Как отмечалось в основном тексте, совокупность подмножеств
^.j i e /, множества А называется его локальным покрытием, если
любой элемент из А содержится в некотором At и любые два
множества At, Aj содержатся в некотором третьем множестве Ак. С
локальными покрытиями тесно связано следующее понятие фильтра.
Пусть / — множество. Система F его непустых подмножеств
называется центрированной, если она замкнута относительно
конечных пересечений: XeF, Y^F=$>Xf]Y(=F.
Центрированная система F называется фильтром над /, если она вместе с
каждым своим множеством содержит все его надмножества: X е F,
Y 3 X =Ф> У е F. Фильтр, не содержащийся ни в каком большем,
называется максимальным* Легко проверяется, что условие
максимальности равносильно следующему: для каждого подмножества
из / либо оно само, либо его дополнение принадлежит F. Очевидно,
всякую центрированную систему можно дополнить до фильтра
(добавляя к ней надмножества всех ее множеств), а всякий фильтр —
до максимального (лемма Цорна). Заметим, кстати, что до сих пор
не известно ни одного максимального фильтра, построенного без
леммы Цорна, за исключением малоинтересного фильтра, состоя"
щего из всех надмножеств одной точки.
Пусть Ait i e /,— локальное покрытие множества А. Для
каждого а е / положим
/e={i|ie/, AtnAa}.
Легко видеть, что пересечение /а [) In содержит некоторое / .
Поэтому система всех /а центрируема и, значит, существует
максимальный фильтр F, содержащий эту систему. Если на каждом At
отмечен предикат Pt, то обозначим через Р — lim Pt предикат на
А, определяемый следующим правилом:
р (*, У, . . •) = И на А 4Ф
<=Ф {i | я, у, . . . е= Au Pt (ж, у, . . . ) = И на At] е= F.
Вообще говоря, сужение Р на At не обязано совпадать с Pt. Однако,
если взять предикат, заданный на А, сузить его на каждое At и
затем перейти к пределу по фильтру F в указанном смысле, то,
конечно, получится исходный предикат.
24.2. Язык исчисления предикатов. Алфавит языка ИП состоит
из предметных и предикатных переменных, скобок и следующих
логических символов (первые четыре называются связками, а

220 ДОПОЛЙЕЙЙЁ
оследние два — кванторами):
А и
V или
~~| не
—» влечет
= равно
V для всякого
3 существует
Формулы ИП, не содержащие кванторов, относящихся к предикатам,
называются формулами узкого исчисления предикатов (УИП).
Несмотря на бедность словаря, язык ИП весьма содержателен.
Например, класс абелевых групп без кручения можно задать следую'
щими аксиомами ИП — даже аксиомами УИП — в обычной
сигнатуре •, -1, e теории групп:
1) ассоциативность: (Ух) (fy) (Уг) ((xy) z = х (yz)),
2) определение единицы: (Ух) (хе = х /\ ех = х),
3) определение обратных элементов:
(Ух) (х~хх = е Д хх~г ~ е).
4) коммутативность: (Ух) (Уу) (ху = ух),
5) отсутствие кручения:
(Ух) (х = е V "1 (я?. . . х = *)), п = 1, 2, . . .
п
Приведем еще несколько примеров. Бинарный предикат <
называется частичным порядком, если для него имеют место
6) рефлексивность: (Ух) (х ^ х),
7) транзитивность: (Ух) (Уу) (Уг) (х < у Д У < z -* х ^ z),
и линейным порядком, если еще выполняется
8) линейность: (Ух) (Уу) (х < у V У ^ #)•
Предикат ^, определенный на группе, называется устойчивым
относительно умножения, если
9) (V*) (Уу) (Vz) (* < у — а* < у* Л ** < ^)-
Группа называется упорядочиваемой, если на ней можно определить
линейный порядок, устойчивый относительно умножения. Группа
называется доупорядочиваемой, если любой ее частичный порядок,
устойчивый относительно умножения, можно продолжить до
линейного порядка, устойчивого относительно умножения. Легко понять,
что классы упорядочиваемых и доупорядочиваемых групп
выделяются в классе всех групп следующими аксиомами ИП (но уже не
УИП):

§ 24]
ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ
221
10) упорядочиваемость:
(ЗР) (УХ) (Уу) (V*) (Р (х, х) Д (Р (*, У) Л * (У, *) - Р (*, ^)) Л
Л {Р (*, 1/1VP (У. *)) Л (Р (ж, У)-*Р (xz, yz) Л Р (*г, **/)))'
И) доупорядочиваемость:
(W>) ((/> _ у. ч. п.) -*
- (3Q) ((Q -У- л. п.) Д (W*) № К v)-Q (". *»))•
В последней формуле ради экономии места мы не выписываем
явный вид аксиом устойчивого частичного порядка и аксиом
устойчивого линейного порядка. Они легко комбинируются из 6), 7), 8), 9).
Напомним, что любую формулу ИП можно канонически
переделать в равносильную ей предваренную формулу, в которой
кванторы предшествуют всем другим логическим символам.
Предваренная формула называется универсальной, если она совсем не содержит
кванторов 3, и предметно-универсальной, если она не содержит
кванторов 3, относящихся к предметным переменным. Формула
ИП называется квазиуниверсальной, если она получается из
предметно-универсальных формул без свободных предметных переменных
применением только связок с последующим навешиванием
кванторов V на свободные предикатные переменные (это определение
несколько отличается от первоначального определения А. И.
Мальцева (1959) и было предложено Кливом (J. P. Cleave, J. London
Math. Soc. (1), 44, № 1 (1969), 121—130; Addendum, J. London Math.
Soc. (2), 1, № 2 (1969), 384), назвавшим такие формулы булево-
универсальными). Примером универсальных формул могут служить
формулы 1) — 9). Формула 10) предметно-универсальна, а формула
11) равносильна квазиуниверсальной формуле, получающейся
перенесением кванторных приставок из области действия приставки
(3Q) непосредственно за (3Q).
24.2.1. Упражнение. Простые группы выделяются в
классе всех групп квазиуниверсальной аксиомой.
24.3. Локальные теоремы. Рассмотрим сначала предметно-
универсальные формулы.
24.3.1. Теорема. Пусть Ф — предметно-универсальная
формула. Если Ф истинна на некоторой алгебраической системе, то
она истинна и на любой ее подсистеме. Если Ф истинна на
подсистемах Ai, локально покрывающих алгебраическую систему А, то Ф
истинна и на А.
Доказательство. Чтобы избежать нудных «всеобщих»
обозначений, ограничимся случаем, когда сигнатура содержит один
символ-бинарной операции и один символ S бинарного предиката,

222
Дополнений
а) Пусть А — алгебраическая система данной сигнатуры,
удовлетворяющая предметно-универсальной аксиоме Ф, А'
—подсистема системы Л, т. е. подмножество, замкнутое относительно
операции • с индуцированной операцией и индуцированным
предикатом. Покажем, что Ф истинна на А'. Предположим сначала, что
Ф не содержит кванторов. Тогда утверждение непосредственно
следует из определения истинности (напомним, что согласно
определению формула ИП тогда и только тогда истинна на алгебраической
системе, если она истинна при любых значениях предметных и
предикатных переменных, не связанных кванторами). Предположим
теперь, что Ф содержит кванторы, и проведем индукцию по их
числу. В зависимости от того, какой квантор последний,
возможны три случая: 1) Ф - (ft)V, 2) Ф = (/Г)Ф\ 3) Ф = (ЗГ)¥, где
t — предметное, а Т — предикатное переменные. Доопределяя
предикаты с А' на всё А или, наоборот, сужая с А на А' и во всех
трех случаях применяя индуктивное предположение, мы получаем,
что Ф истинна на А''.
б) Пусть подсистемы i,-, i e /, локально покрывают
алгебраическую систему А и удовлетворяют формуле Ф. Требуется
доказать, что Ф истинна на А. Пусть Ф содержит свободные предметные
переменные х, г/, . . . и свободные предикатные переменные
Ф = Ф(х,у, . . ., Р, <?, . . .).
Пусть F — какой-нибудь максимальный фильтр над /,
построенный по локальному покрытию Лг-,ге/, как указано в конце п. 24.1.
Отметим на каждом Аь предикаты Pt, Qi9 . . . и положим Р0 =
= lim Pt, Q0 = lim Qt, . . . Очевидно, для доказательства теоремы
достаточно установить, что при любых значениях х, у, ... из А
{1\х,у, . . . 6= Аь Ф (х, у, . . ., Pi9 Qt, . . .) = И на At) e= F =ф
=» Ф (*, у, . . ., Р0, <?0, . . .) = И на Л. (1)
Собираясь вести индукцию по числу кванторов, допустим сначала,
что Ф совсем их не содержит, и докажем, что тогда верно (1) и
обратная импликация. Пусть (1') обозначает объединение этих
импликаций. Если формула Ф не содержит связок, то возможны три случая:
1) Ф = (и (х, yt...) = v (х, у, . . .)), 2) Ф - S (и, и), 3) Ф =
= Р (и, и, . . .), где и, и, ... — произведения с некоторой
расстановкой скобок. В первых двух случаях (1') очевидно, а в
третьем случае вытекает из определения lim. Пусть теперь Ф
по-прежнему не содержит кванторов, но содержит связки. Так как W -* Q
равносильно ~~\ W у О, то будем считать, что Ф содержит только

г
§ 24] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛОГИКИ 223
связки Д, \Л ~1> и докажем (Г) индукцией по их числу. В
зависимости от того, какая связка последняя, возможны три случая:
4) Ф = ¥ Л ®, 5) ф = ^ V Q» 6) Ф = П ^- В каждом из них
(Г) легко вытекает из индуктивного предположения и'определения
фильтра /.
Предположим, наконец, что Ф содержит кванторы, и докажем
утверждение (1) индукцией по их числу. В зависимости от того,
какой квантор последний, возможны три случая: 7) Ф = (V^)^F,
8) Ф = (VT) Y, 9) Ф == (ЗГ)¥, где * — предметное, а Т —
предикатное переменные. Разберем случай 7). Придадим /
произвольное значение на А. Надо показать, чтоЧ' (г, х, у, . . ., Р0, Q0, . . .) =
= И на Л. В силу индуктивного предположения для этого
достаточно проверить, что множество
{i | t, х, у, . . . е= Ai% Y (t, x, у, . . ., Pj, ^, . . .) = И на At}
принадлежит F. Но это множество содержит пересечение
множества {. . .} из (1) с множеством {i \ t е= At}, поэтому всё доказано.
Теперь разберем случай 8). Пусть Т0 — произвольный предикат
на Л, Tf — его сужение на A t. Как отмечалось в конце п. 24.1, Т0 =
= lim Tt. Надо показать, что
¥ (х, у, . . ., Г0, Р0, <?о, . . .) = И на А.
В силу индуктивного предположения достаточно проверить, что
множество
{i | х, у, . . . 6= Л*, Y (яг, у, . . ., Ть Pt, Qt, . . .) = И на At)
принадлежит F. Но это множество содержит {. . .} из (1), поэтому
всё доказано. Разберем последний случай 9). Пусть посылка в (1)
выполнена. Тогда на каждой системе At существует такой предикат
Tt, что множество
{i\x,y, ...е^, У (х, у, . . ., Ти Pi9 Qt, . . .) - И на At}
■»
принадлежит F. Пусть Т0 = lim Tt. В силу индуктивного
предположения W (х, у, . . ., Т0, Р0, Q0, . . .) = И на А. Но это означает,
что выполнено заключение в (1). Теорема доказана.
В качестве иллюстрации к этой теореме отметим справедливость
локальной теоремы для класса упорядочиваемых групп —
достаточно учесть, что этот класс определяется
предметно-универсальной аксиомой 10) из п. 24.2.
24.3.2. Упражнение. Если в группе G каждая конечно
порожденная подгруппа содержит абелеву нормальную подгруппу

224
ДОПОЛНЕНИЕ
конечного индекса < тг, то и вся G содержит абелеву нормальную
подгруппу индекса ^ п.
Рассмотрим теперь произвольные квазиуниверсальные формулы.
24.3.3. Теорема (А. И. Мальцев). Если квазиуниверсалъ-
ная формула Ф истинна на подсистемах А$, локально покрывающих
алгебраическую систему А, то Ф истинна и на А.
Доказательство. Согласно определению
квазиуниверсальной формулы
Ф = (/Рх) ... (*РП)Ф',
где Ф' составлена при помощи связок Д, \Д ~~1» -* из предметно-
универсальных формул без свободных предметных переменных,
но со свободными предикатными переменными из списка Р1у ...
. . ., Рп. Допустим, что Ф истинна на каждом Лг-, и докажем, что
Ф истинна на А, Придадим предикатным переменным Рг, . . ., Рп
какие-нибудь значения на А. Надо показать, что Ф' истинна на А
при такой интерпретации Р1у . . ., РП1 причем известно, что Ф'
истинна на каждом At при индуцированных значениях Р1? . . ., Рп.
Другими словами, надо доказать теорему для формулы Ф', когда
Ри . . ., Рп считаются сигнатурными предикатами. Из начального
курса логики известно, что Ф' можно привести к равносильному
виду Ф' = Д Фа, Фа = V Фар» гДе фаз ~~ предметно-универсаль-
ная формула, закрытая по предметным переменным, или отрицание
такой формулы. Ясно, что если для всех Фа теорема верна, то она
верпа и для Ф\ Все сказанное позволяет ограничиться
рассмотрением следующих случаев:
1) Ф = Y, V . . • V Уг,
2) Ф = и Qi V • • • V И Q8,
3) Ф = чгг у . . . V ^г V И Qi V • • • V П ав,
где ¥а, Qn — предметно-универсальные формулы, закрытые по
предметным переменным, г, s ^ 1.
Разберем только случай 3). Пусть Ф истинна на каждой At,
но ложна на А. Тогда все Чга ложны на А, все Qn истинны на А.
По второй части теоремы 24.3.1 каждая Wa лЛкна на некотором
Ацау Пусть Af содержит все Ацау По первой части теоремы 24.3.1
каждая Ч?а ложна на At, каждая й« истинна на At. Значит, Ф
ложна па At, что противоречит условию. Случаи 1), 2) разбираются
аналогично с очевидными упрощениями. Теорема доказана.
В качестве иллюстрации к ней отметим справедливость
локальной теоремы для класса доупорядочиваемых групп и
класса простых групп — см. формулу 11) в п. 24.2 и упражнение
24.2.1,

§ 25] О ЦЕЛЫХ АЛГЕВРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 225
§ 25. О целых алгебраических числах
Мы предполагаем здесь, что начальные сведения и
терминология теории полей известны читателю из общего курса алгебры.
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля Q рациональных
чисел. Элементы из Q называются алгебраическими числами. Элемент
из Q называется целым алгебраическим числом, если он является
корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим
коэффициентом 1.
Пусть к — произвольное ноле алгебраических чисел, имеющее
конечную степень (т. е. размерность как векторное
пространство) над полем Q, к0 — множество всех целых алгебраических чисел
из к.
25.1.1. У п р а ж н е и и е. Для всякого а <= к существует
такое т е Z, что та е к0.
25.1.2. Упражнение. Q0 — Z.
25.1.3- Лемма. к0 — подколъцо в к.
Доказательство. Пусть а, |3 е к0, у — произвольный
из элементов а + (3, а|3. Надо показать, что у е к0.
Пусть
1—1 т—1
а1 = 2 «У- ai e Z Pm = S bfi'> bj e Z
Легко понять, что совокупность о всевозможных элементов вида
l—l га—1
является подкольцом в к. Пусть yt, . . ., yt — база аддитивной
группы о и у 7 = S^rs^s' ^/s e Z' Характеристический многочлен
s
матрицы (drs) обращается в нуль в точке 7» поэтому 7 — целое
алгебраическое число. Лемма доказана.
Очевидно, для всякого а е к сдвиг ж-» яоб, ж£^, является
линейным преобразованием пространства к над полем Q. Пусть
Хх — характеристический многочлен этого преобразования, tr (a) —-
его след. Более общо, если К — подполе из С, L — его
расширение конечной степени, то для всякого а е L преобразование х -»
-» яга, ж е £, линейно над А" и его след обозначается через tvL/R (а)
(он принадлежит, конечно, полю К).
25,1.4. Лемма. Если а е к0, то %х — многочлен над %,

226
ДОПОЛНЕНИЕ
Доказательство. Пусть п — степень к над Q.
Зафиксируем какую-нибудь базу к над Q и сопоставим каждому у(= к
матрицу у сдвига х -» ху в этой базе. Очевидно, получится изоморфное
вложение к -» Мп (Q). Так как а — корень уравнения над Z со
старшим коэффициентом 1, то таковы и характеристические корни
матрицы 5с. Ввиду 25.1.3 коэффициенты многочлена %а — целые
алгебраические числа. Ввиду 25.1.2 они лежат в Z. Лемма доказана.
25.1.5. Лемма. Пусть со^ . . ., соп —- база к над Q.
Матрица (tr (cojCOj-)) невырождена. Существует база {со-} поля к над Q,
дуальная к {сОг}, т. е. с условием
tr (cOjCD*) = 6U.
Доказательство, а) Пусть, напротив, между
столбцами матрицы (tr (co$co7)) существует нетривиальная зависимость
с коэффициентами ау- е Q. Тогда
со = 206/0./ ^ ^» tr ^i05) = ^ Для всех 1 < *' < л.
Так как {сог-со} — тоже база к над Q, то 1 = ^jPi00*00 ПРИ
подходящих Рг- е у. Вычисляя след от обеих частей, получим и = О, что
неверно.
б) Ищем со* в виде
Условие tr (cojco*) = бг-7- превращается в систему линейных
уравнений для £л, • • •» Ъы* Ввиду а) она разрешима. Лемма доказана.
25.1.6. Теорема. Аддитивная группа кольца к0конечно
порождена.
Доказательство. Пусть сох, . . ., соп —- база к над Q.
Ввиду 25.1.1 можно считать, что все cof е к0. Пусть (со*) —
дуальная база. Ввиду 25.1.1 существует такое т е Z, что все тлсо* e
<= &0. Пусть у — произвольный элемент из к01
Умножая это равенство на гасо* и беря от обеих частей след,
получим myj = tr (wyco*). Так как wyco* е &0, то wyy е Z (лемма
25.1.4). Мы видим, что аддитивная группа кольца к0 лежит в
группе с порождающими \—оз^, а потому сама конечно порождена
(см. 8.1.7). Теорема доказана,

§ 25] б ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 227
25.1.7. Лемма. Пусть К — подполе в С. Для всякого
расширения L/K степени d существует точно d изочорфизмов L в С,
тождественных на К. Если ох, . . ., Od — эти изоморфизмы, то
tTL/K (а) = а01 + • • • + a°d для каждого а е L. (1)
Если {сог-} — база L/K, то
det (trL/K (co^j)) = det (ю"')«. (2)
Доказательство, а) Докажем сначала первое
утверждение. Пусть а ее L, f — минимальный многочлен элемента а над
полем К, аг1 . . ., ат — корни/ в С. Очевидно, существует
взаимно однозначное соответствие между изоморфизмами К (а)/К -> С
и отображениями а -> аг-. По теореме о примитивном элементе (см.
[5], стр. 169) L ~ К (а) при подходящем а, поэтому всё доказано.
Можно обойтись и без теоремы о примитивном элементе. Для этого
достаточно представить L в виде К (уг) . . . (ys) и заметить, что
каждый изоморфизм К (у±) . . . (у()/К -> С имеет по
предыдущему точно | К (уг) . . . (yi+1): К (уг) . . . (yt) | продолжений на
к (Ух) • • • (Yi+i).
б) Теперь докажем (1). Если L = Z (а), то минимальный
многочлен элемента а над if имеет степень | L : Z |, а потому совпадает
с характеристическим многочленом преобразования х -> ха>
векторного пространства L над полем К.
По предыдущему aai, . . ., a°d — в точности все его корни,
откуда и следует (1). Общий случай сводится к рассмотренному с
помощью формулы
trL/x (a) = | £ : * (а) | • trK(a)/K (a).
Докажем ее. Пусть {о,-} — база L/K(a), [dj] — база К(а)/К.
Тогда {о>гбу} — база L/K и в ней матрица преобразования х -»
-» #а имеет клеточно-диагональный вид, причем по диагонали
повторяется матрица этого преобразования в базе {б7}.
в) Докажем, наконец, (2). Ввиду (1)
1гь/к(щ.©;.) = 2®?®7»
a
поэтому матрица, составленная из левых частей этого равенства,
есть произведение матрицы (ю?) на ее транспонированную. Отсюда
и вытекает (2). Лемма доказана.
Для всякого изоморфизма ср: L -» С существует сопряженный
изоморфизм ср: х -^ #ф, х е £, где черта над л;ф обозначает взятие

teft
Дополнение
комплексно-сопряженного числа. Если ф = ср, то изоморфизм ф
называется действительным, а в противном случае — комплексный.
Вернемся к полю к. Пусть п — \ к : Q |, s — число
действительных, a 2t ~ число комплексных изоморфизмов к -» С', п = s +
+ 2*. Пусть ах, . . ., а3 — действительные, a <xs+1, 5S+1, . . ., os+u
ns+t — комплексные изоморфизмы.
Рассмотрим гс-мерное евклидово пространство Rn и
отображение о: к -> Rn, определенное формулой
х = (*% . . ., /«; Re (/s+1), Im (/s+1), . . .
. .., Re Or°s+*),Im (/s+/)), *e&,
где Re, Im — обозначения действительной и мнимой частей.
23.1.8. Упражнение. Отображение а есть изоморфное
вложение аддитивной группы к в аддитивную группу Rn.
Пусть теперь &*, /с*—мультипликативные группы поля к
и кольца к0. Определим отображение т: &* -» Rs+t, полагая
хх = (In |*вЧ, • • ., ln|/s+'|), a:eP.
25.1.9. Упражнение. Отображение т — гомоморфизм
группы к* в аддитивную группу Rs+t.
25.1.10. Лемма. Множество к° дискретно в Rn, т. е. ичеет
лишь конечное пересечение с любым шаром из Rn. Множество (&0)т
дискретно в Rs+t.
Доказательство. Пусть ©х, . . ., соп —• база
аддитивной группы кольца к0. Так как det (tr (со^со^)) ф 0 (лемма 25.1.5),
то строки
(«,\ . . . , С?», СО?* « G)fS+1 0>°S +i, «,"«+'), 1 < * < «,
линейно независимы над R (лемма 25.1.7), а потому и строки со J, . . .
. . ., со* линейно независимы над JS, т. е. составляют базу
евклидова пространства Rn. Возьмем в Rn биортогональную базу {ej}, т. е.
базу с условием
(со?, ej) = 6г7,
где круглые скобки обозначают скалярное произведение в Rn.
Пусть

§ 25] 6 ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 229
Очевидно, /= Yj;.©? и ввиду неравенства Коши — Буняков-
ского
I *Л = I (*°> ej) I < И х° II " И eJ II '
Если ха принадлежит некоторому шару в Дп, то для целых чисел
xj имеем лишь конечное число возможностей, откуда следует
первое утверждение леммы. Если же х е &* и хх принадлежат шару
|| z || < г в fjs+', то«г° принадлежит шару радиуса erYn в Rn.
Лемма доказана.
25.1.11. Упражнение. Ядром сужения т на к* является
совокупность всех корней из единицы, содержащихся в поле к.
Это конечная циклическая группа.
Указание: если хх = 0, то || ха || <^ |/"тг".
25.1.12. Теорема. Мультипликативная группа кольца к0
конечно порождена.
Доказательство. Ввиду 25.1.11 достаточно убедиться,
что аддитивная группа А = (к^)х конечно порождена, что мы и
сделаем. Пусть ах, . . ., ат — максимальная линейно независимая над
R подсистема из Л,
А' = {^яг I a, e Z}, А" = {^ад | 0 < щ < 1}.
Очевидно, для всякого я е А существует запись
х=х' + х", х'<=А', х"ееА".
Так как жеЛ,/б^,то и х" е Л. Но множество Л" ограничено
в 2£s+', поэтому пересечение А (~) А" конечно (лемма 25.1.10).
Следовательно, индекс q = \ А : А' \ конечен. Так как qACL A'', то А
1 1
содержится в аддитивной группе с порождающими — alt... , — ат.
Ввиду 8.1.7 группа А конечно порождена. Теорема доказана.
Отметим, что из приведенного доказательства вытекает, что
число свободных порождающих группы А не превосходит s + t.
Более тонкими рассуждениями можно показать, что оно равно s +
+ t — 1 и, значит, к* — прямое произведение конечной
циклической группы и 5 + t — 1 бесконечных циклических групп (теорема
Дирихле).

ЛИТЕРАТУРА
1. Автоморфизмы классических групп, сб. переводов с англ.
и франц., «Мир», 1976.
2. С. И. А д я н, Проблема Бернсайда и тождества в группах,
«Наука», 1975.
3. В. А. Б е л о н о г о в, А. Н. Ф о м и н, Матричные
представления в теории конечных групп, «Наука», 1976.
4. В. М. Б у с а р к и н, Ю.М. Горчаков, Конечные
расщепляемые группы, «Наука», 1968.
5. Б. Л. ван дер. Варден, Алгебра, «Наука», 1976.
6. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков,
Бесконечные группы, сб. «Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия.
1966», М., 1968, 57—90.
7. Р. К а р т е р, Простые группы и простые алгебры Ли, сб.
переводов «Математика» 10, № 5 (1966), 3—47.
8. А. И. К о к о р и н, В. М. К о п ы т о в, Линейно
упорядоченные группы, «Наука», 1972.
9. Конечные группы, Коллектив авторов, отв. ред. Л. А. Ше-
метков, Минск, 1975.
10. А. И. К о с т р и к и н, Конечные группы, сб. «Итоги
науки. Алгебра. 1964», М., 1966, 7—46.
11. Коуровская тетрадь, Нерешенные задачи теории групп,
5-е изд., Новосибирск, 1976.
12. А. Г. К у р о ш, Теория групп, 3-е изд., «Наука», 1967.
13. А. Г. К у р о ш, С. Н. Черников, Разрешимые и
нильпотентные группы, УМН 2, № 3 (1947), 18—59.
14. В.Магнус, А. К а р р а с, Д. С о л и т э р,
Комбинаторная теория групп, «Наука», 1974.
15. В. Д.Мазуров, Конечные группы, сб. «Итоги науки
и техники. Алгебра. Топология. Геометрия», том 14, М., 1976,
5—56.
16. Ю.И.Мерзляков, Рациональные группы, ч. 1
(алгебраические группы матриц), Новосибирск, 1967; ч. 2 (абстрактные
алгебраические группы), Новосибирск, 1970; ч. 3 (линейные группы),
Новосибирск, 1975.
17. Ю. И. Мерзляков, Линейные группы, сб.
«Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970», М., 1971,
75—110.
18. Х.Нейман, Многообразия групп, «Мир», 1969.
19. Б. И.Плоткин, Группы автоморфизмов
алгебраических систем, «Наука», 1966.
20. Л.С. Понтрягин, Непрерывные группы, 3-е изд.,
«Наука», 1973.

ЛИТЕРАТУРА
231
21. М. С у д з у к и, Строение группы и строение структуры
ее подгрупп, ИЛ, 1960.
22. Д. А. С у п р у н е н к о, Группы матриц, «Наука», 1972.
23. Л. Ф у к с, Бесконечные абелевы группы, ч. 1, «Мир»,
1974.
24. М. X о л л, Теория групп, ИЛ, 1962.
25. Ф. X о л л, Нильпотентные группы, сб. переводов
«Математика», 12, № 1 (1968), 3—36.
26. В. С. Ч а р и н, Топологические группы, сб. «Итоги
науки. Алгебра. 1964», М., 1966, 123—160.
27. С. Н. Ч е р н и к о в, Условия конечности в общей теории
групп, УМН 14, № 5 (1959), 45—96.
28. С. А. Ч у н и х и н, Подгруппы конечных групп, Минск,
1964.
29. С. А. Ч у н и х и н, Л. А. Ш е м е т к о в, Конечные
группы, сб. «Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969»,
М., 1971, 7—70.
30. О. Ю. Шмидт, Абстрактная теория групп, в книге
«О. Ю. Шмидт. Избранные труды. Математика», изд-во АН СССР,
1959, 17—175.
31. Н. S. М. С о х е t e r, W. О. J.Moser, Generators and
relations for discrete groups, New York — Heidelberg — Berlin,
1972.
32. J. D. D i x о n, Problems in group theory, New York, 1973.
33. K. W. G r u e n b e r g, Cohomological topics in group
theory, Berlin, 1970.
34. В. Н u p p e r t, Endliche Gruppen, I, Berlin, 1967.
35. M. I. К a r g a p о 1 о v, Some questions in the theory of
soluble groups, Lecture Notes Math., № 372 (1974), 389—394.
36. О. Н. К eg el, B. A. F. W e h r f r i t z, Locally finite
groups, Amsterdam — London, 1973.
37. О. Т. О'М е а г a, Lectures on linear groups, Providence,
1974.
38. D. J.S.Robinson, A new treatment of soluble groups
with finiteness conditions on their abelian subgroups, Bull. London
Math. Soc. 8, № 2 (1976), 113—129.
39. Three lectures on polycyclic groups, Queen Mary College
Mathematics Notes, London, 1973.
40. H. W i e 1 a n d t, Finite permutation groups, New York —
London, 1964.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 16
— — делимая 79
— — инъективная 83
— — проективная 82
— — редуцированная 82
автоморфизм 55
— внешний 56
— внутренний 56
автоморфно допустимая
подгруппа 60
— простая группа 60
аддитивная группа кольца 17
активная группа сплетения 68
алгебра 13
— ассоциативная 209
— Ли 209
— лиева 209
— линейная 209
— нильпотентная 210
— обертывающая 210
— присоединенная 210
алгебраическая операция 13
— система 218
алгебраическое число 192, 225
алфавит 117
аннулятор 212
аппроксимируемость
относительно предиката 55
— финитная 55
арность 218
ассоциативная алгебра 209
— операция 14
База мальцевская 152
— свободной группы 71
— силовская 176
— сплетения 68
бесконечная группа 16
беспорядок 211
бимодуль 212
блок 112
Вербальная подгруппа 129
верхний центральный ряд 137
вес коммутатора 127, 211
взаимный коммутант 35
вложение Фробениуса 70
внешний автоморфизм 56
внутренний автоморфизм 56
возрастающий ряд 72
вполне приводимая группа 179
— приводимое представление
179
— упорядоченная система 199
— характеристическая
подгруппа 60
выбирающая функция 123
выпуклое подмножество 200
высота 86
Гиперцентр 136
главная конгруенц-подгруппа
47
голоморф 66
гомоморфизм 41
— естественный 43
гомоморфное отображение 41
группа 7, 14
— абелева 16
— автоморфно простая 60
— аддитивная 17
— активная 68
— без кручения 16
— — центра 34
— бесконечная 16
— внешних автоморфизмов 56
— вполне приводимая 179
— диагональная 18
— диэдра 147
— доупорядочиваемая 220
— знакопеременная 21, 100
—- квазициклическая 18
— кватернионов 147

ЙРЕДМВТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
233
группа Клейна четверная 36
— коммутативная 16
— конечная 16
— конечно определенная 119
— — порожденная 22
— кратно транзитивная 112
— локально нормальная 50
— мультипликативная 17
— неприводимая 179
— нильпотентная 136
— общая линейная 18
— — матричная 18
— ограниченно энгелева 166
— ортогональная 21
— пассивная 68
— периодическая 16
— полициклическая 51
— полная 79, 157
— приводимая 179
— примитивная 112
— проективная специальная
линейная 100
— простая 30
— разрешимая} 169
— сверхразрешимая 171
— свободная 118
— — абелева 72
— — в классе 71
— симметрическая 18
— совершенная 62
— специальная линейная 18
— с тривиальным центром 34
— транзитивная 112
— треугольная 18
— триангулируемая 187
— унитарная 21
— унитреугольная 18
— упорядочиваемая 200, 220
— Ф-простая 60
— циклическая 26
— черниковская 173
— экстремальная 174
— элементарная 60
— энгелева 166
групповое кольцо НО
2-сигнализатор 105
действие 89
— неприводимое 179
действительный изоморфизм 228
декартова сумма 20
декартово произведение 19
— сплетение 68
делимая абелева группа 79
делитель нормальный 30
— холлов 175
диагональ декартова сплетения
69
диагональная группа 18
Дика описание 119
дискретное множество 228
диэдра группа 147
длина ряда 51
— слова 117
— смежного класса 124
дополнение 179, 182
допустимая подгруппа 60
достижимая подгруппа 54
доупорядочиваемая группа 220
дробь р-ичная 17
Единица 14
естественный гомоморфизм 43
Зависимость линейная 75
знакопеременная группа 21, 100
Идеал однородный 213
изоморфизм 14, 53, ИЗ, 218
— действительный 228
— комплексный 228
— сопряженный 227
изоморфное отображение 14
инвариантная подгруппа 30
индекс подгруппы 28
индуцированная операция 20
индуцированное представление
111
инъективная абелева группа 83
ИП 219
истинная подгруппа 21
исчисление предикатов 219
— — узкое 220
Картерова подгруппа 177
квазиуниверсальная формула
221 *1;«
квазициклическая группа 18
квантор 220
кватернионов группа 147
класс нильпотентности 139
— смежный левый 27

234 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
класс смежный правый 27
— сопряженных элементов 30
классы Куроша — Черникова
199
Клейна группа четверная 36
ковер идеалов 137, 138
кольцо групповое 110
— целых р-адических чисел 58
крммутант 35
— взаимный 35
коммутативная группа 16
коммутатор 35, 210
— простой 127
комплексный изоморфизм 228
компонента 19
конгруенция 43
конгруенц-подгруппа 47, 138
— — главная 47
конгруенц-проблема 47
конечная группа 16
конечно определенная группа
119
— порожденная группа 22
координатный набор функций
151
координаты 152
копия пассивной группы 69
корень 158
кратно транзитивная группа 112
кручение 16
Куроша — Черникова классы
199
Левая смежность 27
левое частное 14
левый смежный класс 27
Ли алгебра 209
лиева алгебра 209
линейная алгебра 209
— зависимость 75
линейное отображение 151
— представление 179
линейный порядок 220
логарифм слова по букве 128
локальная теорема 205
локально 161, 204
— нормальная группа 50
локальное покрытие 204, 219
— свойство 204
Максимальная подгруппа 25
— — с данным свойством 25
максимальности проблема 171
— условие 170
максимальный фильтр 219
мальцевская база 152
матрица унипотентная 153
матричное представление 179
метод расщепляемых координат
156
минимальности проблема 174
— условие 172
многообразие 129
многочлен однородный 213
множество дискретное 228
— операторов 62
— порождающее 22
— свободное порождающее 71,
118, 130
— соотношений определяющее
119
множитель 19
модуль 212
моном 155
мономиальная подгруппа 111
мономиальное представление
111
мультипликативная группа
кольца 17
Набор функций координатный
151
непорождающий элемент 25
неприводимая группа 179
неприводимое действие 179
— представление 179
нижний центральный ряд 127,
137
нильалгебра 213
нильпотентная алгебра 210
— группа 136
нильпотентное пополнение 158
нильпотентный элемент 210
нормализатор 31
норма лизаторное условие 163
нормальная подгруппа 29
— система 199
нормальный делитель 30
— ряд 51
носитель 20
TV-группа 200
TV-группа 200

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 235
Обертывающая алгебра 210
обратный элемент 14
общая линейная группа 18
— матричная группа 18
ограниченно энгелева группа
166
однородный идеал 213
— многочлен 213
операторов множество 62
операция алгебраическая 13,218
— ассоциативная 14
— индуцированная 20
описание группы в терминах
соотношений 119
— Дика 119
определитель в смысле Дьёдон-
не 24
определяющее множество
соотношений 119
орбита 90
ортогональная группа 21
отображение гомоморфное 41
— изоморфное 14
— линейное 151
— полиномиальное 151
Пассивная группа сплетения
68
первая копия пассивной
группы 69
период группы 16
— элемента 15
периодическая группа 16
— часть 83, 142
периодический элемент 142
подгруппа 20
— автоморфно допустимая 60
— вербальная 129
— вполне характеристическая
60
— допустимая 60
— достижимая 54
— инвариантная 30
— истинная 21
— картерова 177
— максимальная 25
— — с данным свойством 25
— мономиальная 111
— нормальная 29
— порожденная множеством
22
сервантная 86
подгруппа собственная 21
— субнормальная 51
— Фраттини 25
— Ф-допустимая 60
— характеристическая 60
— холлова 175
— циклическая 26
— эндоморфно допустимая 60
поддекартово произведение 50
подмножество выпуклое 200
— сопряженное 30
подобие 113
подпрямое произведение 49
подсистема 218
показатель группы 16
покрытие локальное 204, 219
поле р-адических чисел 58
полиномиальное отображение
151
полициклическая группа 51
полициклический ранг 54
— ряд 51
полная группа 79, 157
полугруппа 39
полупрямое произведение 66
пополнение 82, 158
порождающее множество 22
порождающие элементы 22
порядок группы 16
— линейный 220
— частичный 220
— элемента 15
почти 150
правая смежность 27
правое частное 14
правый смежный класс 27
предваренная формула 221
предикат 218
предметно-универсальная
формула 221
представитель смежного
класса 27
представление вполне привода-
мое 179
— индуцированное 111
— линейное 179
— матричное 179
— мономиа льнов 1Ц
— неприводимое 179
— приводимое 179
— регулярное 107
преобразование в&вментарно^
24, 78 *

236
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
приводимая группа 179
приводимое представление 179
примарная р-компонента 84
примитивная группа 112
присоединенная алгебра 210
проблема максимальности 171
— минимальности 174
— Шмидта 29
проективная абелева группа
82
— специальная линейная
группа 100
проекция 19
произведение декартово 19
— поддекартово 50
— подпрямое 49
— полупрямое 66
— прямое 20, 48
простая группа 30
простой коммутатор 127
прямая сумма 20
прямое произведение 20, 48
— сплетение 68
р-адическое число 58
— — целое 58
р-группа 16
р-ичная дробь 17
р-компонента 84
р-нить 66
р-подгруппа силовская 89
Разбиение на блоки 112
разрешимая группа 169
— система 199
разрешимый ряд 169
ранг абелевой группы 75
— полициклический 54
— свободной группы 71, 118,
130
расширение 51, 66
— расщепляемое 66
расщепляемое расширение 66
регулярное представление 107
редуцированная абелева
группа 82
ряд возрастающий 72
1— инвариантный 54
.— коммутантов 36
.— нормальный 51
-— полициклический 51
-— разрешимый 169
**■ СИЛ0ВСКИ9 171
ряд субнормальный 51
— центральный 136
— — верхний 137
нижний 127, 137
/?/-группа 199
Д/*-группа 199
/?/-группа 199
/W-rpynna 199
Д7У*-группа 199
ЯЛГ-группа 199
Сверхразрешимая группа 171
свободная абелева группа 72
— группа 71, 118
— — в классе 71
— — многообразия 130
свободное порождающее
множество 71, 118, 130
связка 219
сервантная подгруппа 86
сигнатура 218
силовская база 176
— р-подгруппа 89
силовский ряд 171
симметрическая группа 18
система алгебраическая 218
— вполне упорядоченная 199
— нормальная 199
— разрешимая 199
— субнормальная 198
— центральная 199
— центрированная 219
— щрайерова 124
слагаемое 20
слово 117
— сократимое 117
слой 61
смежность левая 27
— правая 27
смежный класс 27
собственная подгруппа 21
совершенная группа 62
сократимое слово 117
соотношение 119
— тождественное 129
— тривиальное 116
сопряженность 29, 30, 177
сопряженный изоморфизм 227
специальная линейная группа
18
сплетение 68, 111

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
237
сплетение декартово 68
— прямое 68
— с группой подстановок 111
— стандартное 111
стабилизатор 114, 115, 144, 145
стандартное сплетение 111
степень 15, 61
ступень нильпотентности 136,
210
— разрешимости 169
— энгелевости 166
субнормальная подгруппа 51
— система 198
субнормальный ряд 51
сумма декартова 20
— прямая 20
суппорт 20
Теорема локальная 205
тождественное соотношение 129
тождество 129
транзитивная группа 112
трансвекция 23
треугольная группа 18
триангулируемая группа 187
тривиальное соотношение 116
Узкое исчисление предикатов
220
УИП 220
умножение 14
универсальная формула 221
унипотентная матрица 153
унитарная группа 21
унитреугольная группа 18
уплотнение 53, 199
упорядочиваемая группа 200,
220
условие максимальности 170
— минимальности 172
— нормализаторное 163
ФАВ 55
актор 51,199
актор-группа 43
ФАР 55
ФАС 55
ФАр 55
фильтр 219
— максимальный 219
финитная аппроксимируемость
55
формула ИП 220
— квазиуниверсальная 221
— предваренная 221
— предметно-универсальная
221
— универсальная 221
Фраттини подгруппа 25
Фробениуса вложение 70
фундамент сплетения 68
функция выбирающая 123
Ф-допустимая подгруппа 60
Ф-простая группа 60
Ф-сопряженность 60
Характеристика 211
характеристическая подгруппа
60
холлов делитель 175
холлова подгруппа 175
Целое алгебраическое число
192, 225
— р-адическое число 58
центр 33
централ 127, 136
централизатор 33
центральная система 199
центральный ряд 136
— — верхний 137
нижний 127, 137
центрированная система 219
циклическая группа 26
— подгруппа 26
Z-rpynna 200
Z-группа 200
ЯЛ-группа 200
ZD-rpynna 200
Частичный порядок 220
частное левое 14
— правое 14
часть периодическая 83, 142
черниковская группа 173
четверная группа Клейна 36
число алгебраическое 192, 225
целое 192, 225
— р-адическое 58
целое 58

238
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шмидта проблема 29
шрайерова система 124
Эквивалентность систем
тождеств 132
— слов 117
экстремальная группа 174
элемент непорождающий 25
— нильпотентный 210
— обратный 14
— периодический 142
элемент сопряженный 29
элементарная группа 60
элементарное преобразование
24, 78
энгелева группа 166
эндоморфизм 55
эндоморфно допустимая
подгруппа 60
Ядро гомоморфизма 42
язык исчисления предикатов 219

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
КЛАССИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Л, 21
п
Ап 100
В (m,d) 131
СП
С* 17
Сп18
С'роо 18
Dn(K),Dn(q)lS
Р(Х)1П
Fn(x),Fnm
F „{*),]?«,№
Fv(X),Fn(2)m
GF(q)il
GF (q)* 18
GLn(K),GLn(g) 18
Mn(K),MJq)l8
On(K)2l
PSLn(K), PSLn(g) 100
Q17
0*17
v7
Op» 58
В17
В* 17
S (M) 18
*„18
S,,(il/)100
SLn(K),SLn(q) 18
^„(A-j.aV.foHe
^„22
17ТЯ(ЛГ).1У1'П(^18
l7T™(JT),l7T*(ff)2J
Z17
Z*17
*„«
<18
#poo 58
Гп(т),Гп(а)47,138

Михаил Иванович Каргаполов,
Юрий Иванович Мерзляков
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
M.t 1977 г., 240 стр. с илл.
Редактор Ф. И. К и з н е р
Техн. редактор Е. В. Морозова .
Корректор Н.Б.Румянцева
Сдано в набор 03.02.1977 г. Подписано к печати 03.06. 1977 т.
Бумага 84X108V83- Физ. печ. л. 7,5. Условн. печ. л. 12,6.
Уч.-изд. л. 13,14. Тираж 15000 экз. Т-08477.
Цена книги 1 р. 10 к. Заказ № 1989
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука».
Москва, Шубинский пер., 10