/
Текст
Е. Н. РОЗЕНВАССЕР, Р. М. ЮСУПОВ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
„ЭНЕРГИЯ"
Ленинградское отделение
1969
УДК 62-503.4
Е. Н. Розенвассер, Р. М. Юсупов
Р64 Чувствительность систем автоматического упра-
вления. Л., «Энергия», 1969.
208 с. с рис.
В настоящей книге сделана попытка систематического изложения
теории чувствительности систем автоматического управления — важ-
ного направления технической кибернетики.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, зна-
комых с основными понятиями и методами теории автоматического
управления. Она может быть использована студентами старших кур-
сов вузов соответствующих специальностей.
3-3-13
274-69
6Ф6.5
Розенвассер Ефим Натанович
Юсупов Рафаэль Мидхатович
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Редактор Л. М. Пархоменко
Художественный редактор Г. А. Гудков
Технический редактор О. С. Житникова
Корректор М. Э. Орешенкова
Сдано в производство 10/Ш 1969 г. Подписано к печати 5/VIII 1969 г. М-11156
Печ. л. 13. Уч.-изд. л. 12,23 Бум. л. 6,5. Бумага типографская № 2. Формат €0х90‘/1в
Тираж 10 000 экз. Заказ 112. Цена 76 коп.
Ленинградское отделение издательства «Энергия», Марсово поле, 1.
Ленинградская типография № 6, Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР, Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Аппарат теории чувствительности является сильным средством
анализа и синтеза систем автоматического управления и теорети-
ческой основой построения новых классов оптимальных и само-
настраивающихся систем.
Теоретический фундамент методов теории чувствительности
составляют классические методы теории малых возмущений,
однако соответствующим образом дополненные и интерпретиро-
ванные. Обстоятельный обзор различных работ, предшествовав-
ших современной теории чувствительности, приведен в [14], где
дана литература до начала 1965 г.
Основными задачами, рассматриваемыми в теории чувстви-
тельности, являются анализ влияния малых изменений конструк-
тивных параметров и внешних условий работы на динамику си-
стемы. а также синтез систем, малочувствительных к изменениям
этих факторов. Таким образом, если в классической постановке
задач регулирования основными требованиями являются устой-
чивость и качество регулирования системы на заданном режиме,
то применение методов теории чувствительности позволяет соз-
давать системы, обладающие еще одним важным свойством — ма-
лым реагированием на неизбежные флуктуации конструктивных
параметров и внешней обстановки функционирования системы.
Существенный вклад в формирование и развитие теории чув-
ствительности как особого направления технической кибернетики
внесли советские ученые М. Л. Быховский [8, 9, 10], Я. 3. Цып-
кин, югославские Р. Томович [52], П. Кокотович [14, 15, 16] и др.,
американские Г. Боде [7], И. М. Горовиц [49, 50], Ш. Л. Чанг
[41 ] и многие другие.
В основе разнообразных методов теории чувствительности
лежит использование функций чувствительности, по существу
представляющих собой градиенты интересующих исследователя
показателей качества системы по некоторым совокупностям пара-
метров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Поэтому
в теории чувствительности важное место занимают различные
способы математического и экспериментального нахождения функ-
ций чувствительности для типовых классов автоматических
систем.
Имея функции чувствительности, можно решать ряд задач
анализа систем регулирования, подверженных влиянию пара-
метрических возмущений. Кроме того, использование аппарата
функций чувствительности делает возможной постановку неко-
торых задач синтеза систем управления, когда критерий опти-
мальности формулируется с учетом требований к нечувствитель-
ности системы. Одновременно использование информации о функ-
циях чувствительности является теоретической основой построе-
ния различных беспоисковых самонастраивающихся систем.
Содержание настоящей работы и посвящено изложению неко-
торых методов решения сформулированных выше проблем.
Несмотря на то, что важные работы по чувствительности опу-
бликованы сравнительно давно [8, 14], литература, содержащая
систематическое изложение вопроса, пока еще незначительна и
в основном ограничивается журнальными статьями. Единственная
известная авторам специальная монография [52] не содержит
многих важных результатов, полученных к настоящему времени.
Книг, посвященных данному направлению, в отечественной лите-
ратуре пока нет.
При написании настоящей книги авторы стремились хотя бы
в некоторой степени заполнить этот пробел и дать инженерам и
научным работникам изложение основных положений теории
чувствительности.
К сожалению, ограниченный объем книги не позволил включить
в нее ряд важных и интересных приложений теории чувствитель-
ности к задачам устойчивости движения, построения адаптивных
систем и другим задачам.
Содержание книги носит в значительной мере оригинальный
характер, и известные ранее результаты изложены в ней сжато.
Тем не менее авторы надеются, что читатель сможет почерпнуть из
нее общее представление о методах теории чувствительности и
их возможных приложениях.
Авторы благодарят Р. С. Рутмана за полезные замечания, спо-
собствовавшие улучшению содержания книги.
Все замечания и пожелания просьба посылать по адресу:
Ленинград, Д-41, Марсово поле, д. 1, Ленинградское отделение
издательства «Энергия».
Авторы
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
1-1. Функции чувствительности и их
основные свойства
В настоящей главе преимущественно рассматриваются си-
стемы, описываемые дифференциальными уравнениями в форме
Коши:
dx,
-^Г = /л(-Ч, . хп, t, a), k= 1, 2, .... /г, (1-1)
где xk — фазовые координаты системы; fk — нелинейные функ-
ции, свойства которых будут уточнены ниже; а — некоторый
параметр.
Если ввести в рассмотрение векторы
(Ь2)
то систему (1-1) можно записать в виде
~=F(X. t. а).
(1-3)
Параметр а, входящий в систему (1-1), может иметь различные
физические значения. Он может характеризовать как собствен-
ные свойства изучаемой системы, так и действующие на нее внеш-
ние возмущения. При этом будем предполагать, что параметр а
может принимать значения из некоторого интервала
^мин < & < О’макс»
(1-4)
где амин < «„экс — некоторые постоянные. В частности, если
амин — —о°» «макс — °°> то параметр а может принимать любые
значения. Значения а, удовлетворяющие (1-4), будем называть
допустимыми. В дальнейшем всегда будем предполагать, что
для системы (1-1) выполнены требования существования и един-
ственности решения при всех значениях а, удовлетворяющих
(1-4). Говоря точнее, будем считать, что существует такая об-
ласть Н в пространстве переменных хх, . . ., xn, /, когда для
любых начальных условий
М(/,) = Х,НЯ (1-5)
существует единственное решение системы (1-3)
Х(0 = Х(/, Х0) /0, а) (1-6)
при всех допустимых значениях а.
Введем теперь являющееся основным понятие однопараметри-
ческого семейства решений. Пусть
/о (а). Х0(а) (1-7)
— некоторые однозначные функции параметра а, такие, что при
всех допустимых значениях а
[/0(а), Х0(а)]еЯ. (1-8)
Тогда, выбирая величины (1-7) в качестве начальных условий,
получаем для каждого допустимого значения а вполне определен-
ное решение:
Х(/, а) = Х[/, Х0(а), /0(а), а]. (1-9)
При фиксированных функциях (1-7) имеем множество решений
(1-9), причем каждому значению а соответствует одно и только
одно решение из этого множества. Построенное таким образом
семейство решений и будем называть однопараметрическим. В прин-
ципе однопараметрическое семейство решений вполне определяется
видом функций (1-7). Изучение однопараметрических семейств
решений необходимо для решения многих практических задач.
Пример 1-1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
•• • dx
х + k2x — a sin со/, со =/= k, х = -^. (1-10)
Будем рассматривать семейство периодических решений уравнения (1-10),
принимая за параметр одну из величин k\ а, со. Периодическое решение уравне-
ния (1-10) имеет вид:
Х W Sil1 Ot-
Оно удовлетворяет начальным условиям
W. хв = 0, = (1-12)
Поэтому при всех со =/= k семейство периодических решений (1-11), соответствую-
щих различным значениям параметров /?2, а, со, является однопараметрическим
семейством решений. В данном случае /()— const, т. е. функция /0 не зависигога.
Пример 1-2. Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами
Хвых 4" а1хвых ^ + • • • + аПХвых — ^Охвх^ 4" ’ *‘ 4" ^/пхвх» т < Л» 0’13)
которое эквивалентно операторному уравнению
*вых — W (р) Хвх,
где
пу /п\ _ ЬрРт 4~ • • 4- ^/п _ (р)
W Рп + а1Р^+--+ап d(p)
(Ь14)
(1-15)
— передаточная функция системы (1-13).
Если рассматривать передаточную функцию как изображение по Лапласу,
то соответствующий ей оригинал является весовой функцией системы h (/). Если
имеет место разложение на простые дроби
l vi
'Пр)=УУ—С-^> (1-16)
где р1э . . . , pz — различные корни уравнения
(р) = 0; (1-17)
vz — их кратности, то, как известно, получим
й(0=£ S cikeP‘‘tk-\ (1’18)
i=\ k=l
Весовая функция (1-18) является решением однородного уравнения, соот-
ветствующего (1-13),
d (р) k = 0 (1-19)
с начальными условиями:
<о = О; й</>(0) = 0, t=0, 1..п —/п —2; kn-m~x (0) = b0,
k<n~m' (0) =г)1_а1йо(а-т-1)(
fe(n_m_2) (()) = ...................................
(0) =bm- a^n~^ (0)-------------t^k (0). (1-20)
Таким образом, если рассматривать коэффициенты bi как параметры, то
имеем однопараметрическое семейство весовых функций, причем, как и в пре-
дыдущем примере, /0 = const.
В частном случае, когда
= = • • = Ьщ~1 = 0, Ьщ = 1, (1 -21)
из (1-20) получаем
<0 = 0, Ло=. -й0... =V',-2) =0, =
и начальные условия вообще не зависят от параметра.
Пример 1-3. Пусть имеем уравнение Эйлера для некоторой вариационной
задачи
ду dt д'у
(1-22)
где /=/(/, уг у’) — в общем случае нелинейная функция своих аргументов.
7
Если на плоскости /, у через Каждую точку некоторой области Ь проходит
одна и только одна кривая некоторого одно пар а метр и чес ко го семейства экстре-
малей у = у (t, а), то говорят, что это семейство экстремалей образует собствен-
ное поле в области D [43 ]. Поэтому понятие поля экстремалей является и частным
случаем одно параметр и чес ко го семейства решений.
Пример 1-4. Если снова рассматривать периодические решения уравнения
(1-10), полагая, что /0 = t0 (а), то будем иметь начальные условия:
to = to (а), ХО = fe2 м2- sin [cof0 (а)], х0 = cos [<о/о (а)].
В дальнейшем нас будут интересовать свойства однопара-
метрических семейств решений (1-9) в зависимости от параметра а,
в частности производные
и(/>а) = ^Ц^). (1.23)
Вектор и, определенный соотношением (1-23), будем называть
вектором чувствительности по параметру а на заданном однопара-
метрическом семействе решений, составляющие вектора чувстви-
тельности, т. е. функции —— функциями чувствитель-
ности. Нашей ближайшей задачей является рассмотрение различ-
ных способов вычисления вектора чувствительности (1-23).
Учитывая, что в соответствии с (1-9) вектор X (/, а) представ-
ляет собой сложную функцию от а, можно также написать
и(/, с0 = ^-^ + 1Г'-Й- + #- (1-24)
УЛд ДОС </*q С/ОС (УСС
Таким образом, вычисление вектора чувствительности связано
с вычислением производных от решения по начальным условиям,
начальному моменту и параметру а. Условия, при которых такие
производные заведомо существуют, рассматриваются в кур-
сах дифференциальных уравнений [36]. Сформулируем следую-
щую теорему 1.
Пусть правые части уравнений (1-1) непрерывны по t и до-
пускают непрерывные частные производные по х, . . ., хп, а.
Пусть также функции /0 (а), Хо (а) непрерывно дифференци-
руемы по а. Тогда вектор чувствительности и (/, а) является ре-
шением дифференциального уравнения
с начальными условиями
(1-26)
dF dF
Матрица и вектор вычисляются на рассматриваемом
однопараметрическом семействе решений. При выполнении усло-
вий теоремы вектор и (/, а) является непрерывной функцией обоих
аргументов. Опуская подробности доказательства сформулирован-
8
ной теоремы, приведем только общие соображения, связанные
с таким доказательством.
Из (1-3), очевидно, следует
t
Х(/) = J F(X, t, а)Л + Х0. (1-27)
В частности, на рассматриваемом однопараметрическом семей-
стве решений, когда выполнены соотношения (1-7), имеем
t
X(t, а) = J F (X, t, a) dt + Хо (а).
(а)
Дифференцируя (1-27) по а, получаем
t
u(ta) = ^-F(X0,l„a)^ + J ^F(X,/,a)d/. (1-28)
(а)
При / —> /0 из (1-28) сразу получаем соотношения (1-26).
Далее, учитывая, что
dF _ ^F dX dF dF dF
da ~ дХ da да ~ дХ U да ’
и дифференцируя (1-28) по /, сразу приходим к уравнению (1-25).
Приведенный вывод является нестрогим, так как при получе-
нии соотношения (1-28) мы поменяли порядок интегрирования по t
и дифференцирования по а, не доказывая законности такой опе-
рации. Относящиеся сюда подробности читатель может найти
в работе [36].
Таким образом, при известном рассматриваемом однопара-
метрическом семействе решений вычисление вектора чувстви-
тельности может быть сведено к решению системы линейных диф-
ференциальных уравнений с переменными коэффициентами (1-25).
В дальнейшем будем называть эти уравнения уравнениями чув-
ствительности.
Следует подчеркнуть, что практически при сформулированных
требованиях уравнения (1-25) могут быть получены формальным
дифференцированием по а исходных уравнений (1-3). Используя
это обстоятельство, можно сразу составлять уравнения, опреде-
ляющие функции чувствительности, не приводя предварительно
уравнений рассматриваемой системы к нормальной форме Коши.
Пример 1-5. Найдем уравнение чувствительности по k2 на семействе периоди-
ческих решений (1-11). Дифференцируя уравнение (1-10) по k2 и полагая uk2 =
dx
= -^2 > получаем
«*•+*’«*» = — х (О, (1-29)
причем х (/) определяется формулой (1-11). При этом из (1-12) и (1-26) имеем на-
чальные условия
<о = о, uA2(0) = 0, Uft2(0) = -A.(F^). (1-30)
Аналогично, взяв за параметр со и обозначив
получим
+ &2uw = at cos co/;
to = о, иш (0) = 0, (0) = -j—
(1-31)
Пример 1-6. Построим функцию чувствительности для семейства весовых
функций, соответствующих системе (1-13), по параметру а/. Дифференцируя (1-19)
по а/, имеем
d(p)uai = -k^‘\ (1-32)
где
и -dk^
ai dai
и весовая функция k (t) определяется по (1-18). При интегрировании уравнения
(1-32) следует использовать начальные условия, вычисляемые по (1-20) и (1-26):
/0 -0, ^(0) = ^. (1-33)
I UUl
В частном случае, когда выполнены соотношения (1-21), получаем
duai
/о = О, -^- = 0, s^°> 1.....П —1. (1-34)
Пример 1-7. Рассмотрим семейство решений уравнения Эйлера (1-22) при на-
чальных условиях
tQ = const, у0 = const, 'у0 = а. (1-35)
Дифференцируя (1-22) по а, имеем
d2f I d2f * d { d2f , Л _ n /1
“-j-’jr “I- "4—s ~r --77 I —5__Г ^ct H—(1-36)
di/2 u 1 dy dy dt \dy dy 1 dy 2 J 1
где
_ dy(t, a)
Ua~ fa—'
Кроме того, учитывая (1-35), определяем начальные условия
/0 = const, Иа(/о) = О, aa(U = l- (1-37)
Уравнение чувствительности (1-36) в данном случае совпадает с уравнением
Якоби [43].
Пример 1-8. Пусть имеем некоторое частное решение уравнений (1-3):
X == X (/, Хо, /0) (1-38)
при фиксированном а и пусть /0, X (/0) = Хо — начальные условия, соответ-
ствующие этому решению. Включим решение (1-38) в однопараметрическое се-
мейство решений, считая параметром начальное условие по координате Х[ и фик-
сируя остальные начальные условия. Пусть ut- — соответствующий вектор чув-
ствительности. Тогда по (1-25) и (1-3) находим
diii _ д?
dt ~ дХ Ui'
(1-39)
При этом имеем следующие начальные условия:
ад (*о) = 0 при k i, ии (/о) = 1 • (1 -40)
Матрица в (1-39) вычисляется на исходном решении (1-38).
В данном случае уравнения чувствительности (1-39) совпадают с уравнениями
в вариациях [36] относительно рассматриваемого решения. Отметим также, что
матрица U, составленная из векторов uz-, т. е.
Z7 — IIUiU-2 . . . u„||, (1-41)
будет удовлетворять дифференциальному уравнению, аналогичному (1-39):
Начальные условия в этом случае записываются особенно просто:
U(tc,)=E, (1-43)
где Е — единичная матрица.
Аналогично тому, как было введено понятие вектора чув-
ствительности и, можно ввести понятие функций чувствительности
высших порядков. Положим
Ц(0 = dlX(t, а) (144)
da
В соответствии с этим определением введенные выше функции
чувствительности являются функциями чувствительности первого
порядка.
Очевидно, что функции чувствительности высших порядков
могут быть получены на основании уравнений функций чувстви-
тельности низших порядков при выполнении соответствующих
условий дифференцируемости. Например, дифференцируя урав-
нение (1-25) по а, получаем уравнение для функций чувствитель-
ности второго порядка. В развернутой форме эти уравнения имеют
вид
V dfi ..(2) 1 V V d'2fi .. .. 1
dt ~ 2j dxj Ui + I L dxjdxk UiUk +
/-1 / k=\
n
+ 2у^Л + (1.45)
1 dk ; da 7 1 da2 ' '
/=1
Начальные условия для уравнений (1-45) получим, применив
дважды формулу (1-26). По (1-26) имеем
( 2) _ du0 • dt0 zi дг.4
Uo “°&Г’ (14b>
так как вектор и2 является вектором чувствительности для век-
тора и. Но, очевидно, по (1-26)
du0 _ d2X<, dX0 dtp < d2ta
da da2 da ' da 0 da2
Так как
dXp = dX0 dX0 dXp dtp . dXp
da dX0 da dtp da da ’
из последнего выражения (1-46) имеем
u<2)==^4-2u0-^-X04%-|-X0^. (1-47)
u da2 0 da 0 da2 1 0 da ' '
Входящий в (1-47) вектор u0 определяется из уравнений чув-
ствительности (1-25):
/ dF \ . / dF \ /1
и« = ЫЬ+(4’ (М8)
где индекс 0 после скобок означает, что матрица и вектор -^-
вычисляются при t = t0.
Совершенно аналогично можно при выполнении необходимых
условий дифференцируемости составить дифференциальные урав-
нения и начальные условия для функций чувствительности выс-
ших порядков.
В общем случае имеем
"_£„<>+ R,W, (1-49)
где вектор'7?/зависит от векторов X, и, . . ., us-1, а матрица
вычисляется на исходном однопараметрическом семействе реше-
ний. При этом соответствующие начальные условия определяются
соотношениями
i4s) =
ри<«-г)
\ da
(s-1) dtp
° -fa-
(1-50)
Таким образом, для вектора функций чувствительности любого
порядка имеем линейное дифференциальное уравнение.
Пусть ф (/, т) — фундаментальная матрица однородной си-
стемы относительно вектора Y:
dY __ dF у
dt “ дХ Y’
нормированная в точке t = т, т. е.
Ф (/, /) = Е.
Тогда получаем формулу, определяющую вектор чувствитель-
ности любого порядка:
t
u<s> (/) = ф (/, /0) U<s> + J ф (t, т) Rs (т) dr. (1-51)
^0
Как видно из примера 1-2, в некоторых задачах начальные
условия, соответствующие однопараметрическому семейству ре-
шений, не зависят от параметра. В этом случае будем иметь вместо
(1-51) более простые соотношения:
t
u(s) (0 = J ф (t, т) Rs (т) dx. (1-52)
Из формул (1-52) и (1-51) следует, что при известной фундамен-
тальной матрице ф (/, т) все векторы чувствительности могут быть
вычислены последовательным интегрированием. Действительно,
если векторы X, и, . . ., u(s-1) известны, то, составляя вектор-
функцию Rs, по (1-51) находим вектор u<s> (/). Эти соображения
могут быть использованы при практическом вычислении функций
ч увствител ьности.
Изложенный путь связан с последовательным вычислением
функций чувствительности возрастающих порядков. Возможно
также одновременное определение функций чувствительности
путем совместного решения соответствующих систем дифферен-
циальных уравнений. Например, решая систему дифференциаль-
ных уравнений порядка Зп
du _ dF . dF
dt ~ dX U *" da ’
rfu<2) _ 2L u<2) _i_ p (t\
dt ~ dX U +
(1-53)
с соответствующими начальными условиями (1-7), (1-26), (1-47),
сразу получаем исходные решения, а также вычисленные вдоль
них функции чувствительности первого и второго порядков.
Вернемся теперь к рассмотрению некоторого однопараметри-
ческого семейства решений (1-9). Предположим, что вектор X (/, а)
имеет производные по а до (s + 1)-го порядка включительно при
всех допустимых значениях а (1-4). Пусть а0 — фиксированное
допустимое значение параметра а. Тогда получаем разложение
в ряд
Х(/, а) = Х(/, а0)+ dX(jaao) (а-а0)+ ••• +
1 dsX (/, а0) , 4s ,
s! ’ da (а а°) + Ps+1’
(1-54)
где Ps+i — остаточный член, имеющий порядок s + 1 относи-
тельно разности а — а0.
Выбранное решение X (/, а0) назовем базовым. Из (1-44) сле-
dX(f, а0)
dak
дует, что производные
представляют собой векторы
чувствительности &-го порядка, вычисленные вдоль базового
решения. Поэтому соотношение (1-54) можно переписать в виде
X (t, а) = Хб (t) + иб (а — а0) + • • • +
+ -A-i4s)(a-ao)s + ps+1, (1-55)
где индексом «б» отмечены величины, вычисленные на базовом ре-
шении. Из формулы (1-55) следует, что, отбрасывая остаток ps+1,
получаем приближенное равенство
Х(/, а)^хб(0 + иб(0(а-ао)+--- +
+ 4«6S,(0(a-ao)S- (1-56)
Таким образом, знание одного базового решения и вычислен-
ных вдоль него функций чувствительности позволяет приближенно
исследовать все однопараметрическое семейство решений в каждый
момент времени. Если величина Да = а — а0 достаточно мала, то
получим особенно простое соотношение
Х(/, а) = Хб (/) + иб (/) Да (1-57)
с точностью до малых высшего порядка относительно Да. Из (1-57)
следует, что вектор чувствительности и (/, а) является градиентом
по а рассматриваемого однопараметрического семейства решений.
При этом вектор
Ди = иб(/)Да (1-58)
представляет собой вариацию базового решения при малых изме-
нениях параметра а. Следует отметить, что из формулы (1-58)
можно получить вариацию некоторого базового решения в функ-
циональном пространстве. Пусть, например, вместо (1-3) имеем
уравнение
^- = F[X, t, г (/)], (1-59)
где г (t) — скалярная функция (управление).
Рассмотрим наряду с (1-59) систему
^ = F[X, t, г(0 +aS(01. (1-60)
где a — параметр; 6 (/) — фиксированная функция. Назовем
производной от решения X (0 по функции 6 (/) вектор чувстви-
тельности по а, вычисленный при а = 0. При этом для конкрет-
ности будем считать, что начальные условия от параметра
не зависят. По (1-25) для уравнений (1-60) получаем уравнение
чувствительности
du = u + г> 6(0 (1-61)
и нулевые начальные условия.
Введем обозначения:
ua = uAa = 6X, 8(t)a = 8r. (1-62)
Вектор 6Х является вариацией решения X (0, а функция 6г —
вариацией управления. Используя (1-62), из (1-61) получаем
дифференциальные уравнения, определяющие вариацию решения:
~dT= dX6xbl76r- О-63)
Все сказанное выше легко обобщить на тот случай, когда пра-
вые части уравнений (1-1) зависият от т скалярных параметров
аъ . . ., а,„, т. е. вместо уравнений (1-1) имеем
^T = fi(*i> • • •> z> ai> • • • aJ> 1 = 1 • 2> •••>«• (I’64)
Если ввести в рассмотрение вектор параметров а, то вместо
(1-3) получим
J=F(X, t, а), (1-65)
при этом имеем начальные условия
Хо(«). (1-66)
В данном, более общем случае вводим в рассмотрение матрицу
чувствительности U = . Матрица чувствительности имеет tn
столбцов и п строк. Столбец матрицы U с номером k является
вектором чувствительности по параметру аЛ.
Нетрудно видеть, что матрица чувствительности при выпол-
нении соответствующих условий дифференцируемости удовлет-
воряет матричному дифференциальному уравнению
dV d? J J i_ dF /1 A7\
'~dT = ix u + ^ U‘67)
при начальных условиях
('•) = акт - F' x«' “) > - ТГ - *• -я- • -68>
Производная представляет собой вектор, имеющий tn состав-
ляющих. Поэтому произведение F-^- является матрицей, имею-
щей п строк и tn столбцов.
Аналогично предыдущему можно ввести матрицы чувстви-
тельности высших порядков. Отметим также, что можно рас-
сматривать чувствительность некоторых функционалов, определен-
ных на однопараметрических и многопараметрических семействах
решений, определяемых уравнениями (1-65) и (1-66). Пусть, на-
пример, имеем некоторую скалярную функцию
|л = р (X, /, а),
определенную на семействе решений (1-65) и (1-66). Матрицей чув-
ствительности t/ц будем в этом случае называть матрицу
и _ ар _ ар .. dp . RQ
и»~ ах дх t/+diF- (Ь69)
Если имеем функционал
tt (а)
/ = J |А(Х, t, a)dt, (1-70)
to (а)
ТО
h (а)
+ р(Х1, /х, а)-^-+ f U^dt. (1-71)
/о (а)
Используя понятие матрицы чувствительности, можно написать
при малых Да = а — а0 формулу, аналогичную (1-57):
Х(/, а) = Хб(0 + 1/б(0Д«> (1-72)
поэтому вектор i/sAa представляет собой вариацию базового реше-
ния при малых изменениях вектора параметров а.
1-2. Функции чувствительности для разрывных систем
Все изложенное в предыдущем параграфе относилось к диф-
ференциальным уравнениям вида (1-3) или (1-65) в предположении
о достаточной гладкости правых частей этих уравнений. Однако
в задачах автоматического управления часто приходится стал-
киваться с системами, описываемыми дифференциальными урав-
нениями с разрывными правыми частями и имеющими разрывные
решения. В таких случаях все изложенное в § 1-1 неприменимо.
В настоящем параграфе понятие функции чувствительности пере-
носится на широкий класс разрывных систем.
Прежде всего рассмотрим более подробно класс изучаемых раз-
рывных систем. Будем предполагать, что в фазовом пространстве
п + 1 переменных х19 . . ., хП9 t существует конечное или беско-
нечное количество областей Mi9 в которых движение изучаемой
системы описывается различными системами дифференциальных
уравнений вида
# = F<(X> a). (1-73)
где X — вектор неизвестных; F/ — вектор нелинейных функций;
a — скалярный параметр. Функции F,- будем считать непрерывно
дифференцируемыми по всем аргументам. Предполагаем, что гра-
16
ницами областей Л4(- являются некоторые поверхности, описывае-
мые уравнениями вида
gi(X, t, а) = О, (1-74)
где gi — некоторые скалярные функции. Поверхности” (1-74)
будем называть поверхностями переключения.
Рассмотрим процесс построения решений разрывной системы
дифференциальных уравнений (1-73), (1-74) при некотором фикси-
рованном значении параметра а. Пусть t0, Хо = X (t0) — точка,
принадлежащая некоторой области Ms. Тогда, интегрируя соот-
ветствующее уравнение (1-73), получаем решение
X(O=XS(Z, Хо, /0), (1-75)
где Xs (/, Хо, t0) — общее решение уравнения (1-73) с номером s,
такое, что
Xs(/0, Хо, /0) = Х0.
Решение (1-75) будет описывать движение исследуемой системы,
пока оно находится в области Ms. Пусть — момент, когда реше-
ние (1-75) приходит на границу области Ms. Момент tr опреде-
ляется уравнением
gs[X(Q, tlt а] = 0.
Найденный таким путем момент времени будем называть
моментом переключения. После момента движение продол-
жается в некоторой области Mt. При этом в общем случае иссле-
дуемое решение в момент tr претерпевает разрыв, определяемый
соотношением
Xf = Ф1 (ХГ, Л, а), (1-76)
где ХГ и Xi" — соответственно значения вектора X до переклю-
чения и после переключения, т. е. х+ = X (ix + 0), ХГ = X (/х —
— 0); Фх— вектор нелинейных функций. Принимая величины tr
и Х1+за начальные условия, соответствующие следующему этапу
движения, и интегрируя соответствующее уравнение (1-73) с но-
мером /1( получаем
Х(/) = ХД/, ХЛ А). (1-77)
Далее решение продолжается до следующего момента пере-
ключения и т. п. Если указанный процесс продолжения дей-
ствительно возможен, то в принципе можно построить решение
X = X (/, Хо, /0), справедливое для любого момента времени t.
В моменты переключения tt построенное решение будет претер-
певать разрыв при переходе из одной области A4S в другую. По-
строенное таким образом решение и соответствующие ему пере-
ключения, когда решение переходит из одной области Ms в дру-
гую, будем называть нормальными.
2 Е, Н. Розенвассер 17
Следует, однако, отметить, что описанный процесс нормального
продолжения решения на практике не всегда возможен. Может,
например, оказаться, что решение (1-75), попав на поверхность
переключения (1-74), не перейдет ни в какую из областей
а будет двигаться по поверхности переключения. Такие движения
разрывных систем называют скользящими. Для того чтобы иссле-
довать движение системы в таких случаях, следует дополнительно
задать уравнения движения в скользящем режиме, а также допол-
нительные условия, в соответствии с которыми система от нор-
мального режима переходит к скользящему и наоборот. Такие
условия называют условями нормальности переключения. Обычно
условия нормальности переключений носят характер некоторых
неравенств.
В дальнейшем будем предполагать, что все необходимые усло-
вия заданы таким образом, что для любых начальных условий t0,
Хо можно получить, применяя процесс продолжения, единствен-
ное решение, которое будет в общем случае содержать участки
нормальных и скользящих движений. В дальнейшем можно урав-
нения скользящих режимов присоединить к уравнениям (1-73),
а поверхности переключения включить в число областей
Тогда при сделанных предположениях любым начальным усло-
виям Хо будет соответствовать решение, описываемое вполне
определенной последовательностью уравнений вида (1-73).
Пусть Т > to — некоторый момент времени и ir, i2, . . ., ip —
последовательность номеров уравнений (1-73), описывающих реше-
ние с начальными условиями /0, Хо на интервале времени (Zo, 7).
Последовательность (1-77) будем называть типом рассматриваемого
решения на интервале (/0, Т). Используя сказанное, можно ввести
понятие однопараметрического семейства решений разрывной
системы.
Пусть нам заданы начальные условия (1-7) и пусть
X (/, а) = X [t, Хо (а), tQ (а), а] (1-78)
— совокупность решений, соответствующих различным допусти-
мым значениям параметра а (1-4). Будем считать, что решения
(1-78) образуют однопараметрическое семейство решений на ин-
тервале (tQ, Т), если при всех а, удовлетворяющих условию (1-4),
на этом интервале они имеют одинаковый тип. Тогда при рас-
смотрении некоторого фиксированного однопараметрического
семейства решений имеем на интервале (Zo, Т) фиксированную
последовательность систем дифференциальных уравнений
4г = F/(X, t, a), <t<th (1 -79)
где, как и ранее, X — вектор неизвестных; Fz — вектор нелиней-
ных функций. Моменты переключения tit определяющие смену
одного уравнения (1-79) другим, находятся из условий переклю-
чения (1-74):
gi (X, th а) = 0.
(1-80)
При этом векторы
х+ = X (/, + 0), ХГ = X (/,• - 0) (1-81)
связаны уравнениями вида (1-76):
Х+ = Ф, (Х- tit а). (1-82)
В дальнейшем величины, вычисленные в моменты tt + 0 и tt —
— 0, будем обозначать знаками «+» и «—» сверху. Соотношения
(1-82) будем называть условиями скачков.
В дополнение к соотношениям (1-79)—(1-82) предполагаем
известными начальные условия
/0=/0(а), Х„=Х0(а). (1-83)
Тогда имеем решения рассматриваемого семейства (1-78), пред-
ставляющие собой разрывные функции t и а.
Нашей ближайшей задачей является вычисление производной
и(/, а)=^-^, (1-84)
т. е. вектора чувствительности.
В (1-84) подразумевается обычная производная от разрывной
функции, равная обычной производной в точках дифференцируе-
мости по а и неопределенная в точках разрыва вектора X. В даль-
нейшем будем предполагать, что функции Fz, git Ф,- имеют непре-
рывные частные производные по всем аргументам. Тогда можно
утверждать, что вектор чувствительности (1-84) существует при
всех /, кроме моментов переключения. При этом существуют также
соответствующие производные и слева и справа:
и+ = u (ti + 0), uf = u (/z — 0).
Сформулируем следующую теорему 2 при сделанных выше пред-
положениях. Вектор чувствительности и (?, а) удовлетворяет урав-
нениям
4т = + ti (1-85)
dt дХ 1 да ’ 1 ' '
при начальных условиях
и+ = Fi(X^, t0, = (1-86)
da 1 \ u / da da "da ' 7
При этом переход от одного уравнения (1-85) к другому осуще-
ствляется с помощью условий скачков:
4u,= u+-u7= + + +
+(t--£R+<‘-87>
2* 19
где
AF(- = Fi1" — Ff = F1+i (X^, ti, a) — F,- (X~ th a) (1-88)
— вектор, определяющий разрывы правых частей уравнений
(1-79) в момент переключения Производные , входящие
в (1-87), определяются соотношениями
dk = \ ) и‘ 1 да = {дХ ) ‘ да
d<l I д8^ У₽- . f^ГУх-д. dST ’
у дХ ) ‘ + dt дХ } I + dt
где штрих — знак транспонирования. При этом предполагается,
что знаменатель выражения (1-89) не обращается в нуль. Перейдем
к доказательству теоремы 2.
Соотношения (1-85) и (1-86) непосредственно вытекают из содер-
жания § 1-1. Действительно, в силу дифференцируемости векто-
ров F/ по всем аргументам можно продифференцировать правые
части уравнений (1-79) по а при любом t, отличном от моментов
переключения. Тогда, меняя порядок дифференцирования по t и а,
что законно, сразу получаем (1-85). Формула (1-86) совпадает
с (1-26) и получается таким же образом.
Докажем теперь соотношение (1-87).
Рассмотрим решение X (/) на интервале < t <
t
X (t, a) = J F( (X, t, a) dt + x+_,. (1 -90)
4-i <«>
В момент переключения
h («)
XF(a)= J FZ(X, t, a)d/ + xti. (1-91)
4-i <“>
Дифференцируя (1-91) no a, получаем
= F, (ХГ. a) - F, (x+„ a) +
+ + (1-92)
4-i
С другой стороны, дифференцируя (1-90) по а, имеем
u (I, <x) = - F, (Xt,. a) +
+ j F,(X, + ^, d-93)
4-i
откуда следует
иГ = - Ft (Х+ь /,_ь а) +
+ “).д + 4г- <‘-94>
*1-1
Сравнивая это выражение и (1-92), получаем
^=Г<(ХГ,
т. е.
u- = -F,(X- /„ (1-95)
Выражение (1-95) определяет значение вектора чувствитель-
ности в момент tt — 0.
С другой стороны, при t tt (а) + 0
^=FZ+1(X, t, а). (1-96)
Начальные условия для уравнения (1-96) определяются
по (1-82):
t0 = tt (а), Хо = Х+ = Ф, (ХГ, fit а). (1-97)
Поэтому по (1-86) получаем
л. /4- \ dt, dxf
u,+ =-F,+.(Xf. (, «) + (1-98)
Но, дифференцируя второе соотношение (1-97) по а, имеем
dx+ дФТ dX~ ОФТ dt. дФ~
= ---+ + (1-99)
da дХ da 1 dt da 1 да ' '
Из (1-95), (1-98) и (1-99) после несложных преобразований
получаем (1-87). Остается найти (1-89). Для вывода этого соотно-
шения заметим, что уравнение (1-80)
g, (ХГ, th а) = 0
в силу сделанных ранее предположений определяет /,• как неявную
функцию параметра а. Дифференцируя (1-80) по а, имеем
( V dX~ д£-_ . dt^_ dg~ _
у дХ у da ""г dt da ' да
Подставляя сюда (1-95), находим выражение
7 р- , , PgrY- , д«7 п
У dX / F< dt J da г дХ ) U(' + да ~ °’
откуда при условии
dsT
dt
&gi I P-_1_ dgi U-0
лН F‘ +’aF*°
и вытекает (1-89). Таким образом, теорема 2 доказана.
Сделаем дополнительно ряд замечаний.
1. Как следует из (1-87)—(1-89), условия скачков носят ло-
кальный характер. Они зависят только от значений соответствую-
щих параметров в моменты tt 4 0 и — 0 и не зависят от харак-
тера предыдущего движения.
2. Условия скачков (1-87) фактически представляют собой
линейные соотношения, связывающие между собой векторы
U/ и 11~.
Действительно, подставляя (1-89) в (1-87), получаем
u+=P/ur + Q/, (1-100)
где квадратная матрица Pt и вектор Qf определяются соотноше-
ниями:
-AFZ +
Q,=
dSi
da
dSi
dt
-AFZ +
дФ7
~дГ
дФ~
+ “55_-
(1-101)
(1-102)
Таким образом, по (1-100) векторы uf и и,- связаны в общем
случае неоднородными линейными соотношениями. Однако, если
Qt = 0,
(1-103)
то имеем однородные соотношения
ut = PiU~. (1-103')
Соотношения (1-103) и (1-103') заведомо будут иметь место, если
= 0, = 0, (1-104)
да ’ да ’ ' ’
т. е. если условия скачков и условия переключения не зависят
от параметра.
Приведенные выше соотношения остаются справедливыми и
в том случае, когда последовательные системы (1-79) имеют раз-
личный порядок. При этом производные будут не квадрат-
ными, а прямоугольными матрицами.
22
Рассмотрим теперь ряд частных случаев доказанной теоремы.
В практических задачах особенно часто решения, составляющие
рассматриваемые однопараметрические семейства, непрерывны.
В этом случае имеет место теорема 3.
Если в дополнение к условиям теоремы 2 решения исходной
разрывной системы непрерывны, то справедливы уравнения чув-
ствительности (1-85) при начальных условиях (1-86), при этом
переход от одного уравнения (1-85) к другому осуществляется
с помощью условий скачков
Auz = -AFz-^-, (1-105)
причем получаем соотношения
(1-106)
Перейдем к доказательству сформулированных утверждений.
Прежде всего отметим, что условием непрерывности рассматри-
ваемых решений является
х+=ХГ. (1-107)
Поэтому, сравнивая (2-45) и (2-13), видим, что в данном случае
Подставляя (1-108) в (1-87), сразу приходим к соотношению
(1-105). Остается доказать справедливость формул (1-106). В случае
непрерывных исходных решений имеем
dg~ _ dg+ __ dgz dgf _ d&t _ dSi
dX dX dX ’ da da da ’
d&t
dt
d§i
dt ~ dt '
(1-109)
Кроме того, в силу (1-107) можно написать
Х+ = X? = X.-,
поэтому условие переключения (1-80) может быть представлено
в виде
gt (Xf, th а) = 0.
(1-110)
Дифференцируя (1-100) по а и учитывая (1-109), можно написать
dgt rfX, dgj dtj , dgj _ n
dX ‘ da ' dt ' da ‘ da ~
С другой стороны, из соотношений (1-95) и (1-97) в силу равен-
ства (1-107) следует
T="“ + F“^-=“*+F^- <'-П2)
Подставляя каждое из соотношений (1-112) в (1-111), находим
dtj _ \д* ) 1 да
da /dgj\' + , dgz ’
к <эх ) ‘ dt
(1-113)
что эквивалентно (1-89). Это и завершает доказательство теоремы 3.
Из (1-88) следует, что при непрерывности исходного решения
будем иметь
Ди, = 0 (1-114)
в одном из двух случаев:
ДР, = 0, (1-115)
т. е. когда правая часть системы (1-73) непрерывна на рассматри-
ваемом семействе решений, и
dtj
da
= 0.
(1-116)
Соотношение (1-116), в частности, имеет место, когда моменты
переключения не зависят от параметра. Соотношения (1-114) и
(1-115) позволяют обобщить теорему, изложенную в § 1-1. Из
этих соотношений вытекает, что уравнения чувствительности (1-25)
и (1-26) остаются справедливыми, если правая часть уравнения
(1-3) является кусочно-дифференцируемой функцией параметра а.
При этом условие (1-114) означает непрерывность вектора чув-
ствительности как функции t.
Из сказанного следует также, что если некоторые из составляю-
щих вектора ДБ/ обращаются в нуль, то соответствующие состав-
ляющие вектора и непрерывны.
Рассмотрим еще ряд частных случаев соотношений (1-87) и
(1-89), не предполагая непрерывности исходного решения.
1. Условия скачков и условия переключения стационарны, т. е.
-^=0, # = 0. (1-117)
dt ’ dt v '
При ЭТОМ
/ дФ~ \ 1 dt,
. ( дф~ p\ , дФ{.
+ дХ E)Ui + да ’
pgrYu-i д8~
dtt \dX да.
da pgrYP_
\ dX / F/
(1-118)
2. В случае, когда моменты переключения не зависят от па-
раметра, т. е. имеем равенство (1-116), из (1-87) получаем
/ дФ. X дФ,
Д“/=(^ £)Uz + ~доГ' (1-Н9)
Если в дополнение к этому условия скачков (1-82) имеют вид:
XIh = xr+R/(a, tt), (1-120)
где R/ (a, tt) — некоторый вектор, зависящий от a, t, то
__ р .. <*R(a, t{)
дХ ~ ’ да ~ da
и из (1-119) получаем
Auz =
rfRz (a, tj)
da
(1-121)
Если к тому же
R(a, 4)= R(//),^- = 0,
то из (1-121) следует
Auz = 0.
Таким образом, если моменты переключения не зависят от пара-
метра и в эти моменты решение претерпевает постоянные скачки,
не зависящие от параметра, то вектор чувствительности является
непрерывным по t.
Перенесем полученные соотношения на тот случай, когда исход-
ная система зависит от векторного параметра а. При этом, повто-
ряя рассуждения, приведенные в начале настоящего параграфа,
можно полагать, что при заданном типе исходного многопараме-
трического семейства решений имеем фиксированную последова-
тельность дифференциальных уравнений:
-g-=FHX, /, a), (1-122)
причем времена переключения lt (а) определяются из условий
переключения
gi(X, tt, а) = 0. (1-123)
Условия скачков вместо (2-13) имеют вид:
Х+ = ФДХГ, iit а). (1-124)
Кроме того, считаем заданными начальные условия
/0=М«)> Х0=Х0(а). (Ы25)
Если вектор параметров а имеет т составляющих, то вводим
в рассмотрение прямоугольную матрицу чувствительности U с п
строками и т столбцами. Тогда матрица чувствительности будет
удовлетворять уравнениям
с-126»
при начальных условиях
- (1-127)
Переход от одного уравнения (1-26) к другому осуществляется
с помощью условий скачков
(1-128)
При этом вектор производных от момента переключения опре-
деляется формулой
dtj
da
(1-129)
Если исходные решения непрерывны, то из (1-128) получаем
AC/f = (1-130)
причем имеют место соотношения, аналогичные (1-89):
dtj
da
1 1 да
F 1--^-
‘ 1 dt
Ut + “ТТ"
‘ ' да
1 dt
dX J 1 ‘ + да
дХ ) 1 r dt
Условия скачков (1-128) можно записать также в виде
Ut = PiUT + Qi, (1-131)
где Р[ — квадратная матрица (1-101), равная
1 Г / дФТ \
= -AFi + Hx---------------Е F" +
dgj L \ /
dt
, афГ 1 ( dsT Y , .
dt j \ dX / “*' dX ’
Qi — матрица размера tt X tn, которая определяется следую-
щим образом:
i Г /
Qi = —~^= -AFZ+ ------------Е FF +
dgi L \ /
~dT
дФ^ 1 ( дёГ V дФ~
* dt \ да / ' да ‘
1-3. Функции чувствительности высших
порядков для разрывных систем
Используя изложенное в § 1-2, нетрудно получить способ вы-
числения функций чувствительности высшего порядка для раз-
рывных систем, т. е. производных
U<s> = ^Х(<’а) -. (1-132)
das
При этом, как и ранее, рассматриваем производные (1-132) только
при тех /, при которых они существуют в обычном смысле. Пред-
положим, что имеем разрывную систему уравнений (1-79)—(1-82)
и систему уравнений, определяющую вектор чувствительности
(1-85)—(1-89). Упомянутые две системы дифференциальных урав-
нений, дополненных соответствующими условиями переключений,
условиями скачков и начальными условиями, можно рассматри-
вать как одну разрывную систему порядка 2п.
Пусть V — вектор с 2п составляющими:
V=|*|. (1-133)
Тогда систему дифференциальных уравнений (1-79) и (1-85) сов-
местно можно записать в виде
-^ = F*(V,/,a), (1-134)
где F* — вектор, имеющий 2п составляющих:
F* =
F (X, t, а)
dF _ dF . dF
da ~ dX U ‘ da
(1-135)
(1-136)
(1-137)
(1-138)
(1-139)
Вектор V, являющийся решением уравнений (1-134), в мо-
менты переключения претерпевает разрывы, определяемые
соотношениями (1-82) и (1-100). Для удобства выпишем эти соот-
ношения снова:
х+ = Ф. (ХГ, t, а);
u+ = Pt (ХГ, th а) иГ + Q.- (ХГ, tt, а).
Эти два соотношения можно объединить в одно:
v+ = o;(vr,/z, а).
Кроме того, имеем условия переключения (1-80):
gi (ХГ, th а) — 0
и начальные условия t0, VJ-, причем
, Х^(а)|
/о=4(а), Vt= , •
“o’ (а) II
Следует, однако, отметить, что соотношения (1-135)—(1-138)
еще не полностью определяют разрывную систему (1-134). Дело
в том, что в общем случае правые части уравнений (1-85) могут
претерпевать разрывы и в некоторые моменты t', отличающиеся
от величин /г, определенных условиями переключения (1-137).
Поскольку правые части уравнений (1-85) по и непрерывны, то
будем предполагать, что моменты f{ определяются из некоторых
дополнительных условий переключения:
<71(ХГ,<,а)=0. (1-140)
При этом само решение X (/) и вектор чувствительности u (t)
в моменты /' остаются непрерывными, т. е.
х+ (<•) = х- (Q = xi; U+ (<) = и- (<) = щ;
v+(Q = v~(<r) = v^.
Моменты переключения назовем дополнительными, а исход-
ные моменты переключения t( — основными.
Поставим теперь задачу отыскания вектора чувствительности
для решения V (/, а) построенной разрывной системы. Пусть
и* (0 • Тогда, очевидно, по построению первые п
составляющих вектора и* (/) дают вектор чувствительности и (/),
а последующие составляющие — вектор чувствительности второго
порядка и<2> (/).
(Ы41)
Перейдем теперь к фактическим вычислениям, применяя для
построения общие соотношения § 1-2. Пронумеруем заново все
моменты переключения (как основные, так и дополнительные):
t0, 1п. Тогда по (1-85) имеем
d\!
dt
da ’
где
£1
da
dX да
d Г dFj dF, 1
da L dX u -г da J
Начальные условия для вектора u * определяем по (1-86):
U(T
dv+
da
c+* dtp
F° da
d4 r+ dta
da ro da
du^ _ (dF0~\ dt0
da \ da ) da
(1-142)
Остается найти соответствующие условия скачков. Эти усло-
вия имеют существенно различный вид в основные и дополнитель-
ные моменты переключения.
Пусть ti — основной момент переключения. Тогда, исполь-
зуя (1-87), имеем
Ли*
AFi + (“av"
дФ“
~~di~
dtt
da
l Д _♦ дФ-
I —л\7-----|----------ч—
1 \ dN 1 1 да
(1-143)
Развернем более подробно полученное выражение. Прежде
всего по (1-135) получаем
AF*
AF,
dF? dF~
da da
AX,
Au,
(1-144)
Развернем теперь выражение . Учитывая (1-136) и (1-137),
легко убедиться, что представляет собой квадратную ма-
трицу размера 2n х 2л, имеющую следующую структуру:
дФТ
~dV
<?Ф7“
-ft- 1 О
дХ ।
4-Tp,uF + Q,]'P,
(1-145)
Кроме того, очевидны равенства:
дФ~
~~dt~
дФт
~дГ
dt Uz + dt
d<b~
да
дФ~
да
dPi , dQj
да * i- да
(1-146)
Подставляя (1-144)—(1-146) в (1-143), убеждаемся, что первые п
скалярных соотношений из (1-143) совпадают с (1-87). Последую-
щие п соотношений дают нам условия скачков для функции и(2) (/).
В развернутом виде эти условия имеют вид:
Ди<-2) = [- Ди, + -A. (PiU- + Q,) ХГ + (Л —Е) иГ 4-
+и~+>] >+4- +Q‘) и~+to -£) и‘2,_+
+ 4^ + 4- (1-147)
Рассмотрим теперь некоторый дополнительный момент пере-
ключения ti = tL. Учитывая (1-141), видим, что в этом случае
можно воспользоваться соотношением (1-105):
au;=-af;^-. (Ы48)
Так как первые п строк вектора ДР* в момент t'. равны нулю,
из (1-148) получаем следующие условия скачков:
Ди (О = О,
Ди<2> = - Дй (О(1-149)
Кроме того, по (1-140) и (1-106) имеем
Полученные соотношения полностью решают задачу построе-
ния системы уравнений, определяющей вектор чувствительности
второго порядка. Рассуждая аналогично, можно найти и системы
уравнений для функций чувствительности высших порядков.
В ряде практических задач эти соотношения существенно упро-
щаются.
Рассмотрим, например, случай непрерывных решений, состав-
ляющих исходное однопараметрическое семейство. Кроме того,
будем предполагать, что дополнительные моменты переключения
отсутствуют, т. е. разрывы производных правых частей исходных
30
дифференциальных уравнений имеются только на поверхностях
переключений (1-138).
В этом последнем случае по (1-104) имеем вместо (1-101) и
(1-102) выражения:
dgj
(->)'+£ о-=
dt dt
и формула (1-145) приобретает вид:
дФт*
~д\Г~
Кроме того,
дФ~*
dt
0
dt Uz + dt
d&7
да
0
dPt - ,
da 1 ' da
поэтому условия (1-147) упрощаются.
1-4. Уравнения чувствительности систем
с распределенными параметрами
На практике нередко приходится иметь дело с системами, ко-
торые не сводятся к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений в нормальной форме Коши (1-2). В других случаях
принципиально такое сведение возможно, однако оно требует
значительного объема предварительных преобразований. В ряде
задач эти трудности можно обойти, используя уравнения движе-
ния системы в интегральной форме. Такой подход позволяет
охватить многочисленные классы систем, в том числе многие
нестационарные системы и системы с распределенными пара-
метрами.
Предположим, что движение системы описывается на различ-
ных интервалах времени уравнениями вида
t
X (t, а)= $ Ki (t, а, т) Fz (X, t, a) di +
4-1
+ R£ (Х“ 1Л-ь а,/), ti.^KJi, (1-151)
где X — вектор неизвестных; Ki (t, т, а) — матрица; F (X, /,
а) —- вектор нелинейных функций; Rz = Rf (а, t) — вектор, из-
вестным образом зависящий от начальных условий, соответствую-
щий интервалу времени A/z, характеризуемому тем, что <
Переход от одного уравнения (1-151) к другому в общем
случае осуществляется с помощью условий скачков
Xt = Ф£ (ХГ, ti, а), (1-152)
а моменты переключения определяются из условий переключения
gi (ХГ, th а) = 0. (1-153)
В дальнейшем предполагаем, что матрицы /Q, векторы Fz,
R,, Ф<. а также функции непрерывно дифференцируемы по всем
аргументам.
Для разрывной системы (1-151)—(1-53) можно так же, как
в § 1-2, ввести понятие однопараметрического семейства решений,
характеризуемого начальными условиями
(а)> X (*о) = Хо (ot). (1-154)
Нашей задачей, как и ранее, является вычисление вектора
чувствительности
= JX(/,g)
da
при каждом фиксированном I.
Прежде всего из сделанных предположений следует, что на
интервалах A/z вектор чувствительности может быть получен фор-
мальным дифференцированием уравнений (1-151) по параметру а:
t
«(0 = J Kt (t, Т, а) (-^- и + -ф-) 4/т Н-
t
+ 1 -S MX. а) dx-Kt (t, ti_v a) x
+ (1-155)
Из (1-155) при i = 1, t—> t0 + 0 получаем начальные условия
для вектора чувствительности:
" Л) - к, V.. I., a) F,,1 % + %1 . (1 -156)
В большинстве практических случаев матрица К (I, т) норми-
руется таким образом, что
K(t,t,a) = E. (1-157)
Тогда из (1-156) имеем
+ (1-158)
Вычислим теперь условия скачков вектора чувствительности
при переходе от одного уравнения (1-155) к другому. Для этого
необходимо получить ряд вспомогательных соотношений.
Из (1-151) при t = tt (а) следует
ХГ (tt, a) = J Ki (th T, a) F, (X, t, a) dx + R, (a, /,-). (1-159)
Вычисляя полную производную от левой и правой частей (1-159)
по а, имеем
dXj"
da
J М(,т,а) (-g-u
/г-1
f dKi (tb т, g) , dKj (tb t, g) dtj \
\ da da da ) Г1
+ Kt (ih tb a) Ff-g—-tf, (tbt^ Fti +
1 da I t=ii 1 dt da \ t=tt ' 7
Сравнивая это выражение с (1-155) и учитывая (1-157), полу-
чаем
+ J Т, a)Fzdx
h-i
(1-161)
С другой стороны, дифференцируя (1-151) по t, имеем
AD-
dX I f dKi „ /v
~dT |/=<z-o = J ~dT Fz (X> T’ “)dx + F‘+J + ~dT
Поэтому выражение (1-161) приобретает простой вид:
dXz _ ati
da ““ Uz + dt 'da '
(1-162)
Рассмотрим теперь интервал A/z+1. При этом по (1-151) полу-
чаем
t
X (t, a) = J (t, T, a) Fz+1 (X, t, a) di + Rz+1 (a, t), (1-163)
ti+19
откуда
t
u a)= I [t T> a> F<« + T> “) -т] X
4
X di— f+-^- —
da da
3 E. H. Розенвассер
33
При t—» t{ + 0 имеем
“+=Г«-Й- + ^М.,,- d-164)
С другой стороны,
Х^=Я,+1(/„а) ;(1-165)
И
d*t _ d^i I dh dRz+1 I 1fi .
Т--ЙГН, лг + “лг||=/<- О’166)
Дифференцирование (1-163) no t и переход к пределу дает
также
Xt = -Ft + -^|(=v (1-167)
Подставляя (1-167) в (1-164), имеем
,,+ ( dfy+x I _у+\ Ali- i dRf+i I
Uf — \ dt A< ) da + da |<=V
откуда с учетом (1-167) находим соотношение, аналогичное (1-162):
# = + П-168)
Сопоставляя (1-162) и (1-168), получаем условия скачков:
, dXf dX~ • dt,
и+—и- = __1----' -Дх,-^-. (1-169)
1 1 da da 1 da 4 '
В частности, если исходное решение непрерывно, то
dX+ dX~
da da
Au^-AJQ-g-. (1-170)
Развернем подробнее выражение (1-169). Для этого учтем, что
по (1-16) (
dX? = ЭФ~ d\- dOf dtl ЭФ7~
da дХ * da dt da ' да '
Подставляя это выражение в (1-169) и учитывая (1-162), полу-
чаем
М(т-#+^-дк']т+
+ (^-*)т + ^- (1-171)
Формула (1-171) аналогична (1-87) и переходит в нее в том
частном случае, когда X/ = F/, ДХ/ = Др/.
Существенно отметить, что условия скачков вектора чувстви-
тельности в форме (1-171) вообще не зависят от вида уравнений,
которыми описывается движение исходной системы. Используя
соотношения вида (1-164)—(1-166), формулу (1-159), определяю-
щую начальные условия для вектора чувствительности, можно
записать в виде
u+(f0) =
rfX0
da
(1-172)
0 da ’
Соотношение (1-172) аналогично (1-86), однако оно доказано
нами для гораздо более общего случая.
ГЛАВА ВТОРАЯ
УРАВНЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
2-1. Уравнения чувствительности простейшей
релейной системы
В настоящем параграфе изложенные выше результаты прила-
гаются к простейшей релейной системе.
Мы будем рассматривать систему дифференциальных уравне-
ний вида «системы^ прямого регулирования» [191:
xk = S + hkf (ст);
(2-1)
о = S J'pXp,
где aks, hk, /р — постоянные; f (ст) — характеристика реле,
изображенная на рис. 2-1. Если ввести в рассмотрение матрицу
А = | aks | и векторы Н и I, составленные соответственно из чисел
й* и/р, то в матричной форме система (2-1) может быть представ-
лена так:
Х = ЛХ + Н/(ст);
о = IX,
(2-2)
где X — вектор неизвестных, штрих — знак транспонирования.
Система дифференциальных уравнений (2-1) является автоном-
ной, и ее можно рассматривать в фазовом пространстве перемен-
ных хъ . . ., хп. В зависимости от того, происходит движение на
верхней или нижней полке зависимости f (ст), имеем соответственно
одну из двух систем дифференциальных уравнений:
Х = ЛХ + йрН;
ст= IX
(2-3)
или
X = ЛХ —йрН; 1
ст=ГХ. /
Переход от уравнений (2-3) к уравнениям (2-4) и обратно про-
исходит при переходе координатой ст значения 0, т. е. при
о = 0. (2-5)
Соотношение (2-5) представляет собой уравнение поверхности
переключения. В развернутой форме оно имеет вид:
g(X) = I'X = O. (2-6)
Рассмотрим подробней процесс построения решений системы
(2-2), предполагая их непрерывными.
Допустим, что при t = t0 имеем начальные условия
X (Q = Хо, ст (/0) = о0 < 0, ст0 > 0, (2-7)
соответствующие некоторой точке а на рис. 2-1, так что движение
при t > t0 описывается уравнениями (2-4). Тогда при t0
движение системы (2-2) определяется
X (0 = еА <'-'«>Х0 — Д’1 (еА «-**> —
Г(в)
кр
-£)Н£р, (2-8)
причем
ст (0 = 1'еА — 1'Д"1 (еА <*—*•> —
— £)Н£Р. (2-9)
Следует подчеркнуть, что соотноше-
ния (2-8) и (2-9) имеют смысл и в том
случае, когда матрица А—особая, так
как, учитывая, что [81
О б
Рис. 2-1. Идеальная релей-
ная характеристика.
еА (/—/,) = £ _|_ ~ , (2-10)
k=l
имеем
Л-1 (еА <'-'•) — Е) = 2 fe|~<о)* • (2-11)
А=1
Движение системы (2-2) описывается соотношениями (2-8) и
(2-9) до тех пор, пока фазовая траектория, соответствующая по-
строенному решению, не попадет снова на поверхность переклю-
чения (2-5). Момент переключения определится из уравнения,
вытекающего из (2-5),
1'еЛ.дцх + рл-1 (еА д'« — £) HJL = 0; 1
=I (212>
При этом, очевидно, имеем
о(0 — 0)>0. (2-13)
Но по (2-8) и (2-4) получаем
X (/х — 0) = АХ (/,) — Н£р = еА ('«-'•> (ЛХ0 — £,Н),
и, следовательно, условие (2-13) может быть записано в виде
VeA ('«-'»> (ЛХ0 — АРН) = ГЛХ (tj — kpr > 0, (2-14)
где положено
г=1'Н=|/Л. (2-15)
Если момент из (2-12) определен, то из (2-8) можно найти
значение вектора неизвестных в момент /х:
X (/х) = еА <<«-‘.>Х0 — Л’1 (ел <*«—*•> — Е) Н£р. (2-16)
Продолжим теперь полученное решение на последующий интер-
вал времени, предполагая, что выполнены условия по непрерыв-
ности
Xi1' = X (/х + 0) = X — 0) = ХГ = X (4). (2-17)
Если считать, что после момента tx движение происходит по
верхней полке зависимости f (о), то, интегрируя уравнения (2-3),
получаем
X (/) = еА ^~»Х'Щ) + Л’1 (еА — Е) Н£р. (2-18)
Решение (2-18) справедливо до следующего момента переклю-
чения, когда соответствующая фазовая кривая не попадет на
поверхность переключения (2-5).
Следует отметить, однако, что выражение (2-18) не всегда опи-
сывает движение изучаемой системы при t > /х. При выводе соот-
ношения (2-18) мы предположили, что непосредственно после пере-
ключения о (/) > 0 и движение происходит по правой ветви гра-
фика функции f (о). Для того чтобы это было фактически, необ-
ходимо и достаточно, кроме условия (2-13), выполнить также
условие
о(/х4-0)>0, (2-19)
что с учетом уравнений (2-3) дает
1'ДХ(/х) + V>°- (2-2°)
Неравенство (2-20) является условием нормальности переклю-
чения. Если г 0, то из (2-14) следует, что (2-20) выполняется
и переключение будет нормальным. Если же г <0, то для выпол-
нения (2-20) должно быть
1'ЛХ(/х)>|г^р|. (2-21)
Допустим теперь, что г <0 и условие (2-21) не выполнено.
Тогда, очевидно, будет
6(/х + 0)<0,
(2-22)
и движение в области о > 0 невозможно. Поэтому при выполнении
(2-22) соотношением (2-18) пользоваться нельзя. В этом случае
предполагаем, что система (2-2) при t > совершает скользящее
движение в плоскости переключения а = 0. В скользящем режиме
уравнения (2-3) и (2-4) несправедливы, и поэтому систему (2-2)
в этом случае необходимо доопределить.
Так как в скользящем режиме а = 0, то и
а = 0.
(2-23)
С учетом (2-2) это соотношение приобретает вид:
1'ЛХ + г/(<т) = 0,
откуда
/<сг)=—:-j- 1'лх.
(2-24)
Подставляя (2-24) в (2-2),получаем уравнение движения системы
в скользящем режиме
Хс = ЛСХС, (2-25)
где
ЛС = Л-----J- НГ Л. (2-26)
Взяв за начальные условия для решения уравнения (2-25)
вектор (2-16), найдем из (2-26) решение, соответствующее участку
скользящего движения:
хс (0 = ел<= (tj. (2-27)
Скользящий режим (2-28) продолжается до момента переклю-
чения t2, когда будет выполнено одно из двух равенств:
1'ЛХс(/2)= ± Арг. (2-28)
после чего движение будет происходить в области о > 0 в случае
знака минус и в области о < 0 в противоположном случае, и можно
снова воспользоваться уравнениями (2-3) или (2-4).
Повторяя приведенные выше рассуждения, можно продолжить
построенное решение на любой конечный промежуток времени.
При этом построенное решение будет состоять в общем случае
из отрезков нормальных и скользящих движений, т. е. будет
поочередно описываться уравнениями вида (2-3), (2-4) и (2-26).
Каждому типу решений уравнений (2-2) соответствует вполне опре-
деленная последовательность этих уравнений. Таким образом,
релейная система (2-2) является частным случаем разрывной си-
стемы, рассмотренной в § 1-2, и для составления уравнений чув-
ствительности всех порядков можно воспользоваться результа-
тами § 1-2 и 1-3.
Пусть матрица А, векторы Н и I и коэффициент kp зависят от
параметра а, т. е.
А = А (а), Н = Н (а), I = I (а), /гр = /гр(а). (2-29)
На интервалах времени, где исходные решения удовлетворяют
уравнениям (2-3) и (2-4), имеем по (1-85) соответственно
^ = Ли + -Е-Х+4<нЧ' ’>0; <М0)
£=л“+-Й-*-4<Ч). -’<» (2-зо
Составим теперь условия скачков вектора чувствительности,
используя (1-105) и (1-106). Пусть в момент tt происходит нор-
мальное переключение от уравнений (2-4) к уравнениям (2-3).
Тогда
AF, = 2£рН (2-32)
и, следовательно,
Auz = — 2£рН-^-. (2-33)
Найдем теперь производную . По (2-6) имеем
-^- = 1, -^- = -^-Х, -^=0 (2-34)
дХ ’ да da * dt 4 7
И
(-Й-)' Fr= Гхг = а(/г—0);
-^Ft = IXt = J(// + 0). (2’35)
С учетом (2-35) и (2-34) из (1-106) получаем
., 1'иГ + X, l'u+ + X,
4^- =-----------—--- =------------—-----. (2-36)
da a(/z — 0) a(/z + 0) '
При этом из (2-33) следует
uf — uf = — ( Н1 и? + Н хЛ =
a(t( — 0) \ 1 da lJ
=—2fep (Hl'ut + H-^-хЛ. (2-37)
a(/z-f-O) \ da l) 7
При обратном переходе от уравнений (2-3) к уравнениям (2-4)
имеем
AF, = —2£РН,
а все остальные соотношения (2-35)—(2-37) не меняются. Поэтому
сразу получаем
ut— U~ ~----— (HI u? + н хЛ =
o(/z-0) \ da 1)
=----2feP fHlW+Н-^ХЛ. (2-39)
o(/z4-0) \ 1 1 da '
Если учесть условия нормальности переключения, то легко
убедиться, что в формуле (2-37) о (// — 0) > 0, о + 0) > 0,
а в формуле (2-39) a (ti — 0) <0, о (4 + 0) <0. Поэтому соот-
ношения (2-37) и (2-39) объединяются в одно, справедливое при
любом нормальном переключении:
+ — 2&п
и/ — щ = -р-----Н—г
I <*(0 — 0)1
(hiV + h^x,)-
=. 2fep—f hi W + н-^-хЛ
|a(/z+O)| \ da 4
Из (2-40) следует также, что
= PiuT + Qz,
где
Pi=E+-r-r 2kp—r HI';
|a(0-0)|
Qf =
2Zsp
|a(0-0)|
dl v
~fa
(2-40)
(2-41)
(2-42)
Рассмотрим теперь движение в скользящем режиме и переход
на скользящий режим. Из (2-25) непосредственным дифференци-
рованием по а получаем
4г=+т х= <2-43>
Найдем теперь условие скачков при переходе от уравнений
(2-4) к уравнениям скользящего режима (2-26). В данном случае
из (2-4) и (2-26) имеем
AFZ = А?рН — — HV AXZ. (2-44)
Величина с силу (2-23) дается первым соотношением
(2-36). Поэтому условия скачков имеют вид:
(— ( ГиГ + -^- хЛ
Auz = Az--------1 / Л ‘^da J
a(/z-0) V '
Аналогичным путем легко найти условия скачков при пере-
ходе из скользящего режима к нормальному.
Составим теперь уравнения для функций чувствительности
второго порядка. При этом для конкретности рассмотрим только
нормальные движения. Предполагая, что правые части уравнений
(2-30) и (2-31) дифференцируемы по а, получаем
du(2) л 2 > л dA . <РА v . (Р . Л
T = Xu +2-STu+^X + ^W- а>0’
^L = Au2 + 2-^-u + ^X- -А-(Н£), <т<0.
dt 1 da 1 da2 da2 4 P/J
(2-46)
Остается вычислить условия скачков для u<2> (t), учитывая,
что скачки функции чувствительности и (0 определяются соот-
ношениями (2-41). В данном случае имеются только основные мо-
Г(б)
б
менты переключения. Воспользуемся
условиями скачков функции чувстви-
тельности второго порядка (1-147). В
рассматриваемом случае имеется допол-
нительное упрощение,
(2-42) следует
поскольку из
d(PlUl) _А
ах “и*
Рис. 2-2. Релейная характе-
ристика с гистерезисной пет-
лей.
ао, __
ах ~
2k р
dPj
dt
I о (</-0)|
°, -^- = °
и dl'
Н da 9
(2-47)
0)| ’
И
W2))+-W2))- = -Au^-4
2М (^хг + 1иг)^- +
|ст(/< —0)| \ da ‘ / da
+ 2fePH u? + uf. (2-48)
| ст (it — 0) | \ da J da da v ’
Соотношения настоящего параграфа легко распространяются
на более сложные случаи. Например, можно рассмотреть систему
(2-2), предполагая, что характеристика реле f (о) имеет вид, изо-
браженный на рис. 2-2. При этом вместо (2-5) получаем две поверх-
ности переключения:
а = ГХ = ал; 1
о = ГХ = — ал. J
(2-49)
Если рассматривать нормальные переключения при смене
уравнений (2-3) или (2-4), снова получим соотношения (2-32) и
42
(2-38). По аналогии с (2-40) приходим к условиям скачков для
функции чувствительности:
“+~ - |7^о)Т (н1'“г + Н Х"т Н =
- i^Ut(h,^+htx‘±h^)- (2-50i
Все полученные выше соотношения не зависят от конкретного
вида рассматриваемого однопараметрического семейства решений.
2-2. Чувствительность периодических режимов
релейных систем
В настоящем параграфе исследуется чувствительность сим-
метричного периодического движения релейной системы. Мы будем
рассматривать систему дифференциальных уравнений, более
общую, чем (2-2):
X =лх +Н[/(а) + <р (0В | (2.51)
где в дополнение к сделанным выше обозначениям <р (/) — перио-
дическая симметричная функция периода Т:
ф(о=ф(/+п. <р(о=-ф(/+4)- <2-52)
Для простоты изложения функцию ф (/) будем полагать непре-
рывной. Функция f (о) в системе (2-51) — характеристика реле,
изображенная на рис. 2-2. Нашей первоочередной задачей яв-
ляется отыскание симметричных периодических решений урав-
нений (2-51). Иными словами, будем искать такое решение урав-
нений (2-51), при котором
Х(О = Х(/+Т), х(0 = -х(/+4);
а(/) = о(/ + Т), а(0 = _о(/+4)-
(2-53)
Для простоты изложения ограничимся рассмотрением перио-
дического решения простейшего типа, когда петля нелинейной
характеристики обходится за период только один раз. При этом
будем предполагать, что все переключения — нормальные, т. е.
периодический режим описывается поочередно уравнениями:
х = лх + н[Ф(о + М; 1
х = л х + н [ф (0- £₽]. / ' ’
За начальный момент возьмем момент перехода от второго
уравнения (2-54) к первому, т. е. момент перехода с нижней полки
нелинейной характеристики на верхнюю. Пусть
/0, Х0=Х(/0)
(2-55)
— неизвестные начальные условия, соответствующие искомому
периодическому режиму. При выбранном моменте t0
<ЛА>) = *л- (2-56)
Так как по предположению движение системы (2-51) описы-
вается при t > t0 первым уравнением (2-54), то, интегрируя его,
имеем
X (0 = еА + Л"1 (еА Е) Н£р +
t
+ рл«-’>ф(т)</тН. (2-57)
* О
т
При t = t0 + -у из (2-57) получаем
х(<о + 4) = еЛ^’Хо + л“1 (еА~^-Е) Н*р +
+ f ел ( 2+<в Т)ф(т)^тн. (2-58)
to
Но если начальные условия (2-55) соответствуют симметричному
периодическому режиму, так что выполнены условия (2-53) и, сле-
довательно,
Х(/<’ + 4)==-Х(/о) = -Хо> (2-59)
из (2-58) и (2-59) находим
— (е + еА Хо = Л-1 (/ -е) НА?р +
т
. ( л(4+«.-т) (2-60)
+ J е ' 2 ф(т)</тН. v ’
to
В дальнейшем будем предполагать, что определитель
|е + /^|^0. (2-61)
Тогда из (2-60) получаем выражение для начальных условий,
соответствующих периодическому режиму:
Хо = —Л-1 —е) (/^4-е) Н£р —
<»
Соотношение (2-62) можно записать в более простом виде.
Для этого учтем скалярное соотношение
т
а-Г 1 т
е-т~ -- (2-63)
а —
е 2 +1
Поэтому, переходя от (2-63) к функции от матрицы А, имеем
( А-£- А 1
V? 2 —Е)[е 2 +Е) =th^-. (2-64)
С учетом (2-64) выражение (2-62) приобретает более простой
вид:
Хо = — Л-ЧЬ^рНбр — (еА^~+Е) f <p(T)rfTH.
(2-65)
Если использовать условие (2-56), то придем к скалярному
уравнению, определяющему величину
м-4-
ГЛ-ЧЬ-^р- HJfep + I' (еА 4-е) J /^+'°_^<p(T)dTH = —(Гл.
*' (2-66)
Уравнение (2-66) определяет начальный момент tQ как функцию
параметров системы. Тогда по соотношению (2-65) можно найти
начальные условия как функцию параметров системы. Пусть tQ —
фиксированное решение уравнения периодов (2-66). Для того
чтобы это решение действительно соответствовало периодическому
режиму рассматриваемого типа, необходимо выполнение условия
нормальности переключения
а(/о-О) = -б(^-4-4-О)>О, о(/04-0)>0. (2-67)
Выпишем условия (2-67) в явной форме. Из первого уравнения
(2-54) имеем
а (/0 + 0) = IX (f0 4- 0) = ГЯХ0 4- г [<p (Q 4- £р], (2-68)
где число г определяется по (2-15). Кроме того, аналогично полу-
чаем
a (t0 - 0) = 1'ДХ0 4- г [<р (Q - £р]. (2-69)
С учетом (2-68) и (2-69) условия нормальности переключения
(2-67) записываются в следующем виде:
1'ЛХо4-г<рОо)>1^|. (2-70)
45
Подставляя сюда (2-65), окончательно имеем
2 +Е)1 J eA^+t° ’\(т)4тН +
+ ''ф(4))>1'А>1-
(2-71)
Приведенные соотношения существенно упрощаются в авто-
колебательном режиме, когда
Ф(0 = о.
При этом можно считать, что tQ = 0, а период Т не известен.
Тогда уравнение (2-66), которое при отсутствии внешнего возбуж-
дения имеет вид:
1'Л-ЧЬ-^-Н^р + ол = 0,
(2-72)
определяет период автоколебаний Т, а условие нормальности пере-
ключения
-I' th^H>|r|
(2-73)
не зависит от величины k*.
Перейдем теперь непосредственно к исследованию чувствитель-
ности построенного периодического режима.
Предположим, что имеем общий случай, когда матрица А,
векторы Н и 1, а также параметры нелинейности kp и ол являются
функциями параметра а. Функцию <р ( t) для простоты изложения
будем сначала считать не зависящей от а. Пусть t0 (а) — решение
уравнения периодов (2-66), определенное в некотором интервале
значений а (1-4). Зная функцию t0 (а), по (2-65) можно найти на-
чальные условия Хо = Хо (а). Таким образом, если предположить,
что в рассматриваемом интервале значений а выполнены условия
нормальности переключения (2-77), получим однопараметрическое
семейство периодических решений с начальными условиями,
неявно заданными соотношениями (2-65) и (2-66). В силу незави-
симости функции <р (/) от а, на каждом из интервалов времени,
когда выполняются уравнения (2-54), имеем соответственно равен-
ства, определяемые по (1-85):
и = Ли 4- X + 4^- ф(0 + 4- (Н£в);
1 da 1 da Y 4 7 * da v
(2-74)
“ = '’“ + ^-Х+^7«-4''НМ-
Условия скачков для функций чувствительности вычисляем по
(1-105). При этом, согласно сделанному выше предположению о не-
прерывности функции <р (/), условия скачков совпадут с получен-
46
ними ранее соотношениями (2-50). Действительно, в данном случае
справедливы формулы (2-32), (2-33) и (2-38), из которых и вытекает
(2-50).
Определим теперь начальные условия для уравнений (2-74),
для чего воспользуемся (1-86). Для вычисления производной
воспользуемся уравнением (2-66), определяющим t0 как неявную
функцию параметра а.
Общие формулы для вычисления , получающиеся из (2-66)
по правилу дифференцирования неявных функций, весьма гро-
моздки, хотя вычисление в каждом конкретном случае не состав-
ляет труда. Мы ограничимся здесь вычислением начальных усло-
вий для двух случаев, когда за параметры берутся параметры
нелинейности kp и ал. Если считать все параметры системы, кроме
kp, фиксированными, то уравнение (2-66) будет определять неяв-
ную функцию t0 (kj.
Дифференцируя (2-66) по kp, получаем
1Д-1 th + I' (/ 2 4-д)1-^- f еА(Л+‘° T)<p(T)dTH=0.
Р to
(2-75)
Вычислим производную от интеграла, входящего в это соотно-
шение. Используя правило дифференцирования интеграла, зави-
сящего от параметра, имеем
dk^ J е 2 ф(т)Л =
t0
£ф(4+ 2 ) е Ч>(4)
d л(-^+
dkp е
<р (т) dx.
(2-76)
Но по (2-52)
ф(4 + ^-) = — <p(Q-
(2-77)
Кроме того, согласно определению экспоненциальной функции
от матрицы,
еА (-t-H»-"1) = д/ (-т+<•-’) dtp
dkp dkp
(2-78)
Поэтому с учетом (2-77) и (2-78) соотношение (2-76) приобретает
вид:
0 '—2
d f / (4-+<о~т) / х а
-d% J е <p(T)dT =
«о+ 4-
+ е)ф(/0) + л J /(-г+*•-*)
(2-79)
Подставляя (2-79) в (2-75), получаем
ГЛ"1 th
4
*°+"2~
Ф (т)7/тН
_Ё^р_ = о
dkp
Но из (2-65) и первого уравнения (2-54) следует, что
т
z“+v
е
Ф (т) dxH =
= -X+-th^H«p + H*p.
(2-80)
Подставляя (2-80) в предыдущее соотношение, после несложных
преобразований получаем
dt0 ___
dkp ~
АТ
4
АТ
а (tQ + 0) + I' th Н/?р - rkp
(2-81)
Имея (2-81), можно вычислить, используя (2-65), производную
. Дифференцируя (2-65) по kp и учитывая (2-79) и (2-80), полу-
чаем
«I = -ЛЧЬ4 Н + (Ч-+ th^- Н*р + Hfep) (2-82)
Учитывая, что по (1-86)
,,+____________________ у+ dtp
U° — dkp А° dkp ’
из (2-82) находим начальное значение вектора чувствительности:
rf = _4-'th^H + (th4L_£)H^.
(2-83)
Следует также отметить, что при выборе kp в качестве параметра
условия скачков вектора чувствительности упрощаются и из (2-40)
имеем
11+ — 117" =
i I
2kp
W(/o —0)1
НГц- =
2Лр
1^ Go+ 0)1
HI'u+
(2-84)
а из (2-30) и (2-31) при а = kp — соответственно
-J- = Ли ± Н. (2-85)
Если взять за параметр величину ол, то, рассуждая совершенно
аналогично, можно прийти к уравнениям чувствительности, не за-
висящим от времени:
du л
тг = А“-
(2-86)
При этом в моменты переключения условия скачков для функции
будут иметь вид
Ди, = — (НГи- + Н) = ---(НГи+ + Н). (2-87)
|сг(/0 —0)| ‘ ' |а(/о + О)Г ‘ 7 V
Производные и определяем из выражений:
uCfjl авл
> = ---------------Т5=---------- <2'88>
а (/0 + 0) + I'thНйр - Hfep
= (х«+ + th 4^ Н4,-Н*в) (2-89)
Используя выражения для производных (2-88) и (2-89), можно
по (1-86) составить начальные условия для вектора чувствитель-
ности в данном случае.
Рассмотрим задачу построения функций чувствительности по
амплитуде внешнего воздействия. Пусть в уравнениях (2-51)
<р(/) = а<р (/). (2-90)
Тогда уравнение периодов (2-66) примет вид:
1'Л-ЧЬ^-Н^ + 1'(/+ + е) *х
т
М--у
Ха J ( 2 +*° т)ф(т)йтНа=—ол. (2-91)
fo
4 Е. н. Розенвассер 49
Дифференцирование (2-91) по а после преобразований дает
„ , т т
I -Hq>(4) + I4e
ср (?) dxHa
dt,
da
т
2
. А
е
ф(т)ЛН=0, (2-92)
откуда с учетом (2-80) и (2-91) получаем простое выражение
d(<> j Ол + I'A-Jth-^-Hfep
da “ a(t0 + O) + l'th-^- Hfep — rkp
(2-93)
При этом
Т? = (xj- + th4- Н*р-Н*р) +
(2-94)
Уравнение чувствительности при выполнении равенства (2-90)
и сделанном выборе параметра имеет вид:
-£- = Ли + Нф(0. (2-95)
С помощью общих соображений, изложенных ранее, находим
условия скачков вектора чувствительности:
u+ — ur = — НГ и- = -т—^2— НГи+.
‘ 1 |0(<о-0)1 1 1<т(/о + О)|
(2-96)
Остановимся также на случае автоколебаний, когда уравнение
периодов имеет вид (2-72). При этом, не ограничивая общности,
можно полагать, что t0 = 0. Тогда для функции чувствительности
получим начальные условия
'« = ». (2-97)
где по (2-65) при <р ( /) = 0 определяем
Хо = — Л-1 th-j-Н£р. (2-98)
Вычислим начальные условия (2-97), приняв за параметры
соответственно kp и ол. В первом случае из (2-72) находим
ГЛ’1 th Н + ГЛ’1-^- th ~ Н£р = 0. (2-99)
AT
Учитывая, что матрица th-^— зависит от kp только через вели-
чину Т, аналогично скалярному случаю можно написать [11]
^-th4=4(ch’4r-f-
dkp 4 4 \ 4 / акр
(2-100)
Подставляя (2-100) в (2-99) и учитывая вытекающее из (2-72)
соотношение
гл-чь^-н =—%-,
4 лр
получаем
dT = _ 4ал____________________1_________
dfep kp j, /h2 нЛр
(2-101)
Дифференцируя (2-98), находим
^ = — Л-1 th-4^ Н — Л'1th Н£р,
da 4 dkp 4
откуда с учетом (2-101), (2-97) и (2-98) определяем начальные усло-
вия для вектора чувствительности:
4(d44'Hi44 (2-102>
Вычислим теперь начальные условия для вектора чувствитель-
ности по параметру ол. Дифференцируя (2-72) по ол и учитывая,
что аналогично (2-100)
d ..АТ А ( .» AT \-i dT
-j— th -т- = -г- ( ch2 —j— I -з—,
</ал 4 4 \ 4 / don
(2-103)
имеем
dT
da„
(2-104)
При этом после дифференцирования (2-98) по ол получаем
dX0
</ал
Н*Р-?-
ра<тл
Условия скачков для автоколебательного случая при сделан-
ном выборе параметров имеют вид (2-84) и (2-87).
2-3. Чувствительность импульсных систем
автоматического управления
Характерным представителем класса разрывных систем, имею-
щих большое практическое значение, являются импульсные си-
стемы. В настоящем параграфе приведены способы составления
уравнений чувствительности для различных видов импульсных
систем.
Рассмотрим импульсные системы, которые могут быть описаны
уравнениями, аналогичными (2-2) [7]:
^- = ах + н/(о, 0;
а = IX,
(2-105)
где, как и ранее, X — вектор неизвестных; А — постоянная ма-
трица; Н, I — постоянные векторы; f (a, t) — характеристика
импульсного элемента, определяющая тип импульсной системы.
Простейшими для анализа являются системы с амплитудно-им-
пульсной модуляцией (АИМ). В системе с АИМ управляющий
сигнал f (о, 0 определяется соотношениями:
( о (пТ) <р (t — пТ), пТ < п/ + Т,
/(<*. 0 = | 0 Тх</<(п+1)Т, (2’106>
где ф (/) — некоторая произвольная функция, характеризующая
форму немодулированных импульсов; Т и 7\ < Т — постоян-
ные интервалы времени, характеризующие период дискретности
и длительность импульса; о (пТ) — значение управляющего
сигнала в момент t = пТ. На практике чаще всего встречается
случай, когда ф (/) = const, т. е. имеется последовательность
прямоугольных импульсов. В дальнейшем для простоты изложе-
ния будем рассматривать именно этот случай, полагая, что
ф(/)=1. (2-107)
Таким образом, исходя из (2-106)—(2-107) видим, что на раз-
личных интервалах времени система с АИМ описывается диффе-
ренциальными уравнениями:
= АХ + НсфТ’), о(/) = IX, nT<t<nT+ 7\; (2-108)
-§- = АХ, пТ+^<«(«4-1)7. (2-109)
При этом предположим, что решения системы уравнений (2-108) и
(2-109) непрерывны, а от параметра а зависят только матрица А
и векторы Н, I.
Перейдем к составлению уравнений чувствительности для урав-
нений (2-108) и (2-109) по параметру а. Прежде всего следует под-
черкнуть, что выражение (1-85) нужно применять с осторожностью,
так как заранее нам не известны свойства функции о (пТ), которая
фактически зависит от а.
В рассматриваемом случае имеем времена переключения
t„ = nT, tn = nT+ Ti, (2-110)
по предположению не зависящие от параметра. Так как и исход-
ные решения непрерывны, то имеем случай (1-116), откуда выте-
кает, что функции чувствительности непрерывны, т. е.
и+(4)=и"(/Д u+(O=u'(O. (2-111)
Из (2-111) следует, что
I'u+ (tk) = l'u+ (t'k) = l'u“(Q• (2-112)
Поэтому производная
rfa(nT,o0 = ^Х(пГ) + Ги(пГ) (2-113)
непрерывна при всех t.
Следовательно, правые части уравнений (2-108) и (2-109) не-
прерывно дифференцируемы по а и можно применить (1-85). Диф-
ференцируя уравнения (2-108) и (2-109) по а, получаем уравнения
чувствител ьности:
^- = Ли+-^-Х + -^-[На(пТ)], nT<t<nT+T1;
du dA (2-114)
*L = Au+^-X, nT+T\<t<(n + \)T.
С учетом (2-113) вместо (2-114) можно написать также
тг = А “ + -ж-х + ° ("П + н -ж-х (пГ> + Н1'“ (»Л.
nT<t<nT+ 7\. (2-115)
С помощью уравнений (2-114) и (2-115), используя известные
начальные условия и условия непрерывности (2-111), нетрудно
построить вектор чувствительности.
Рассмотрим теперь в качестве параметра период квантования Т.
В этом случае времена переключения tn и in (2-110) зависят от
параметра, так как
= = (2-116)
В момент tn происходит переключение от уравнений (2-109)
к уравнениям (2-108). При этом из условия непрерывности реше-
ния следует, что разрыв производной ДХ равен
Др^Но^Т1). (2-117)
Поэтому по (1-105) имеем
Ди„ = и+ (/„) — и- (tn) = — Но (пТ) п. (2-118)
Совершенно аналогично в момент tn получаем
ди; = 11+ «,) — и- «) = Но (пТ) п. (2-119)
Перейдем к непосредственному составлению уравнений чув-
ствительности, дифференцируя уравнения (2-108) и (2-109) по Т.
При этом следует иметь в виду, что функция о (пТ) зависит от Т
двояко: как функция текущего момента t = пТ и параметра Т
за все предыдущие этапы движения. Поэтому, строго говоря,
в уравнениях (2-108) должна быть записана функция
о (пТ) = о (пТ, Т).
Следовательно, фактически нам необходимо вычислить произ-
водную
da(nT, Т) __ да dnT . да _ dX(nT, Т) (oioni
dT ~ дпТ "~dT~' дТ ~ 1 df '
В силу того, что исходные решения в моменты tn и tn непре-
рывны, для вычисления производной можно воспользо-
ваться соотношениями (1-95) и (1-98), которые с учетом (2-120)
дают
dX(;pr) = (U + F7n = u+ (/„) + f+п, (2-121)
где
F7 = AX (пТ); 1
1 (2-1221
Ft= ЛХ(пТ)+Но(пТ). J (
Отметим, что из (2-121) и (2-122) снова следует (2-118), а из
(2-120)—(2-122) — равенство
= I'll" (пТ) + п!'ЛХ (пТ) = I'u+ (пТ) + 1'ЛХ (пТ) +
+ 1'Но (пТ). (2-123)
Используя (2-123), из (2-108) после дифференцирования по Т
имеем
и = Ли-f-Н1'и-(пТ)-|-пНГЛХ(пТ); пТ<1<пТ + 7\ (2-124)
или
и = Ли + Н1'и+(пТ) -ь пНГ ЛХ(пТ) + пНго(пТ),
nT<t<nT + Т, (2-124')
где г = 1'Н — скалярная величина. Если г = 0, то из (2-123)
следует
l'u- (пТ) = I'u+ (пТ),
и оба уравнения (2-124) и (2-124') совпадают.
После дифференцирования (2-109) получаем
-^- = Ли, пТ + T1<t<(n + l)T. (2-125)
При известных начальных условиях для вектора и, которые
по-прежнему вычисляются по (1-86), можно последовательно ре-
шить уравнения (2-124) и (2-125) и построить вектор чувствитель-
ности
„ _ <«(/, Г)
dT
Используя изложенные выше соображения, нетрудно получить
уравнения чувствительности по параметру Т1( характеризующему
время действия импульса. В данном случае
-^- = 0, 4^=1, (2-126)
а?! 4 1
поэтому в моменты tn — Тп функция чувствительности остается
непрерывной. В моменты tn аналогично (2-119) имеем
ДИ; = u+(Q- u-^) = Но(пТ). (2-127)
В силу непрерывности функции чувствительности в моменты tn
можно написать
= i'u („Г). (2-128)
Поэтому, дифференцируя (2-108) и (2-109) по 7\, имеем
~ = Аи + Ш'и(пТ), nT<t<nT + T\-, (2-129)
-J- = Ли, пТ + Т;< t<(n + \)T. (2-130)
Интересно, что уравнения (2-129) и (2-130) отличаются по виду
от соответствующих уравнений (2-108) и (2-109) только обозна-
чениями переменных. Однако в отличие от исходных уравнений
решение уравнений чувствительности в моменты tn продолжается
с помощью условий скачков (2-127).
Перейдем теперь к системам с широтно-импульсной модуля-
цией, которые представляют собой разновидность релейных систем.
Как и везде, в настоящем параграфе будем рассматривать системы,
описываемые уравнениями вида (2-105), предполагая, что управля-
ющая функция f (a, t) определяется соотношениями:
sign a (пТ) при пТ < t < Т1п
0 при пТ Ч-Тщ < / <(п + 1)Т, 124 61 ’
где Т — фиксированный период квантования, а продолжитель-
ность импульса Tln < Т является функцией величины ап =
= а (пТ):
= (2-132)
где ф(о) — некоторая дифференцируемая функция.
f(o, 0 =
В силу (2-105) и (2-131) убеждаемся, что уравнения движения
исходной* системы на различных интервалах времени имеют вид:
X = ЛХ + Н sign ап, о = ГХ, пТ < t < пТ + Т1п; (2-133)
X = ЛХ, о = IX, пТ + Т1п < t < (п + 1) Т. (2-134)
Предполагаем, что решения уравнений (2-133) и (2-134) соеди-
няются из условия непрерывности. При этом, как и в рассмотрен-
ных выше случаях, имеем две последовательности времен переклю-
чения:
tn = nT, tn = nT + Tin. (2-135)
В моменты tn происходит переход от уравнений (2-134) к урав-
нениям (2-133), поэтому скачок производной равен
AF„ = Н sign <зп. (2-136)
Аналогично, в моменты t'n имеем
АЕ, = — Н sign и„. (2-137)
Предположим, что Л, Н, I зависят от параметра а, а величина
Т от параметра не зависит. Тогда, как и ранее,
= °
da
и вектор чувствительности в моменты tn остается непрерывным.
Отсюда вытекает, что функция
а (пТ) = а (пТ, а)
непрерывно дифференцируема по а. Поэтому можно написать
= <ty (an) . d^n_ = Щъ) х (/„) + I'u J . (2-138)
da d(jn da dan [_ da 4 n} 1 4 4 7
Следовательно, в моменты tn вектор чувствительности имеет
скачок, определяемый формулой
и+ (О - u- (Q = - Н sign о„ [£ X (пТ) + I'u- (пТ)] •
(2-139)
Используя приведенные соотношения, после дифференциро-
вания уравнений (2-133) и (2-134) по а находим уравнения чувстви-
тельности:
^-=Аи + ^ГХ+^Гsi§nG(пГ>> nT<t<nt +
4г=Ли + ^Х' nT + Tln<t<(n + \)T.
(2-140)
Если за параметр взять период квантования Т, то
= (2-141)
Поэтому в моменты tn по (2-136) и (2-141) имеем условия скачков
вектора чувствительности:
и* (U — и" (U = пН sign а.
Найдем теперь производные по параметру Т от моментов пере-
ключения.
В рассматриваемом случае длительность импульса Т1п зави-
сит от параметра Т через величину а (пТ). В силу непрерывности
исходного решения производная дается по-прежнему соотно-
шением (2-123). Поэтому, дифференцируя второе соотношение
(2-135) с учетом (2-132) и (2-123), получаем
dtn _ । dty (ап) dan .
dt dan * dT ’
= I'u (nT) + nV AX (nT) = I'u+ (nT) + nV AX (nT) + ron,
(2-142)
и, следовательно, условия скачков вектора чувствительности в мо-
менты t'n имеют вид:
u+ (Q - и" (4) = Н sign оя (п + . (2-143)
Уравнения чувствительности, получаемые из (2-133) и (2-134),
особенно просты:
^- = Аи. (2-144)
Если предположить, что параметр а в системе с широтно-
импульсной модуляцией входит только в функцию ф (а), т. е.
— Ф (<*> а)> Т1Л = Т1Л (°>i, а)> (2-145)
то = 0 и, как и ранее, вектор чувствительности в моменты
tn = пТ сохраняет непрерывность. Поэтому можно написать
^=VU(nT), (2-146)
отсюда следует, что
dtn _ дф (gn, q) dan дф (ап, а) _ дф(стп, а) дф(ап, а)
da дап da ' да да ' доп и\п1 )•
(2-147)
При этом уравнения чувствительности снова совпадают с (2-144).
57
Рассмотрим чувствительность систем с частотно-импульсной
модуляцией, когда выражение для управляющего сигнала в си-
стеме (2-105) имеет вид:
f (a, t) = sign a (tn) при tn < t < tn+1.1 (2-148)
Длительность действия импульса определяется соотношением
/я+1 tn = Тп = ф (<тя), <тя = о (/я), (2-149)
где -ф (ая) — ограниченная четная положительная функция, кото-
рую будем считать непрерывно дифференцируемой по о.
Таким образом, рассматриваемая система описывается после-
довательностью уравнений вида
-f- = ДХ + Н sign оя, tn < t < (2-150)
причем исходные решения X (/) предполагаются непрерывными.
Скачок производной X при смене одного уравнения (2-150) другим
равен
Д F„ = Н (sign <г„ — sign ая_х). (2-151)
Таким образом, если величины оя и о„_х имеют одинаковый
знак, то AF„ = 0, и по (1-115) заключаем, что
Дия = и+ (/„)— и” (/„) = 0.
Если же знаки величин о„ и <тя_х различны:
sign <j„_x =—sign <тя,
то
Дря = 2Н sign о„. (2-152)
Моменты переключения tn по (2-149) определяются рекуррент-
ным соотношением
in = ta-i + Ф (°л-1)- (2-153)
Будем рассматривать общую задачу, когда А, Н, I, а также
функция ф зависят от параметра а, т. е.
А = А (а), Н = Н (а), I = I(а), ф = ф(о, а).
Как и выше, в моменты переключения /„ в силу непрерывности
исходных решений функция
ая = о [/„ (а), а]
непрерывно дифференцируема по а, несмотря на то, что вектор
чувствительности разрывен. При этом имеет место соотношение
(1-112):
dX (/Л, а) — , р dtn 4- , dtn /9-1 ЧД')
--- и„ + г„ -3- - и„ + гя -3- . (2-104)
1 Для простоты изложения в выражении (2-148) не учтена зона нечувстви-
тельности импульсного элемента.
Так как
a(tn, а) = Г(а)Х(/„, а),
то по (2-154) получаем
da(tn, ®) di v , р — । р— dtn \ d\ ~ ।
fa - -fa +1 kUrt + Fn ~fa~) = ЛГ °я +
+ l-(u++Ft^-).
(2-155)
Используя соотношения (2-153) и (2-155), получаем производ-
ную которая необходима для нахождения условия скачков
вектора чувствительности. Дифференцируя (2-153) по а, имеем
dtn+i _ dtn . д$ (ап, а) dan f dip (а„. a) zo ,
fa ~ da дсп ’ da “Г да ’ ^‘1О '
где в качестве можно взять любое из соотношений (2-155).
Отметим, что в рассматриваемом случае вместо конечных фор-
мул, определяющих производные от моментов переключения,
имеем рекуррентные соотношения (2-156). Однако при известных
начальных условиях последовательное использование соотноше-
ний (2-156) и уравнений чувствительности позволяет определить
все необходимые величины. Уравнения чувствительности, полу-
чаемые из (2-156) дифференцированием по а, имеют вид:
dt — -^u + ~da~ X + -fa- Sign O„, tn<Zt <^n+i-
Покажем теперь, как, используя приведенные соотношения,
можно вычислять функции чувствительности для рассматриваемой
частотно-импульсной системы.
Пусть имеем начальные условия
t0 = t0 (а), Хо = Хо (а), а0 = ГХ0. (2-157)
Тогда, интегрируя последовательно уравнения (2-150), находим
исходное однопараметрическое семейство решений X (/, а). На-
чальные условия для функций чувствительности определяются,
как обычно, по (2-17):
Хо-ЛХе + HsignJa,
Момент переключения tr определяется из уравнения
= to + Ф'(<*0- а).
откуда получаем
dti _ dt0 . Г^(а0, а) . дф(д0, а) . fap
fa da ' да да9 ’ da
(2-158)
(2-159)
(2-160)
Имея решение X (/, а) и решение уравнений чувствительности
на интервале /0 < < /х, можно, используя известную произ-
водную
т=-ж-х" + ''^. (2-1«)
найти производную . После этого вычисляется скачок вектора
ч увствител ьности:
Д“1 = u+ (ti) — iT (ZJ = H [sign о (/x) — sign a0] . (2-162)
Далее процесс решения продолжается, так как, имея производ-
ную и решение уравнений чувствительности, по (2-155)
dt.
можно вычислить производную и т. п.
(2-163)
2-4. Упрощение уравнений чувствительности
для системы с одним управляющим органом
В настоящем параграфе продолжим изучение системы диффе-
ренциальных уравнений вида
Х = ЛХ + Н/(а, 0;
<т = ГХ,
не оговаривая предварительно свойств функции f (о, /). Система
(2-163) зависит в общем случае от п2 + 2п коэффициентов (компо»
нентов матрицы А и векторов Н и I). Для решения прикладных
задач бывает удобно перейти от системы (2-163) к некоторой экви-
валентной ей системе, зависящей всего от 2п коэффициентов. Для
этого можно воспользоваться линейным преобразованием, пред-
ложенным в работе [26]. Приведем без доказательства некоторые
свойства этого преобразования.
При отсутствии управления характеристическое уравнение
системы (2-163) имеет вид:
d (р) = \Ер — А | = рп + Ьгрп~1 +-F Ьп = 0. (2-164)
Введем также п определителей hs (р), 8=1, . . ., п, получаю-
щихся заменой s-ro столбца определителя (2-164) векторомН.
Развертывая определитель hs (р) по степеням р, находим
hs(p) = S s = 1, 2...............n. (2-165)
*+i
Далее обозначим также
т (р) = S (р) = S msp"-s. (2-166)
S=1 $=1
Рассмотрим теперь систему уравнений
d (р) У = f (<Л 0» <* = т (Р) У> (2-1 67)
где d (р) и т (р) — полиномы (2-164) и (2-166); р — оператор диф-
ференцирования. Тогда имеют место соотношения
п
xs (0 = S hsky(^\ s = 1, 2, ..., п, (2-168)
Л=1
где xs (i) — составляющие вектора X (/)» или, что то же самое,
xs(0 = MP)P- (2-168')
Соотношения (2-168) можно рассматривать как линейную за-
мену переменных, связывающую между собой системы (2-163) и
(2-167). Можно показать, что линейное преобразование (2-168) яв-
ляется неособым в том случае, когда определитель, составленный
из столбцов Н, ЛН, . . ., Ап~1 + 1, не равен нулю, т. е.
|Н, ЛН.....ЛП-1Н|=£О. (2-169)
Условие (2-169) называется условием полной управляемости
системы (2-163) [12]. В дальнейшем будем предполагать, что
условие полной управляемости выполнено. От свойств вектора I
рассматриваемое преобразование (2-168) не зависит.
Уравнения (2-167) значительно проще, чем (2-163). Соответ-
ственно составление уравнений чувствительности для уравнений
(2-167) также проще. Поэтому целесообразно использовать сле-
дующий путь: составить уравнения чувствительности для системы
(2-167), а затем, пользуясь (2-168) или (2-168'), перейти к исход-
нкм неизвестным х{. Следует отметить, что уравнения (2-167) могут
быть составлены весьма просто. Предположим, что в системе
(2-163)
f(a, t) = ka, k = const. (2-170)
Тогда уравнения (2-167) приводятся к виду
[d(p) — km(p}\y = b,
отсюда следует, что полином
А (р) = d (р) — km (р) (2-171)
является характеристическим полиномом системы (2-163) при ус-
ловии (2-170). Вычисляя этот полином известными способами,
найдем d (р) и т (р) и по ним сразу построим уравнения (2-167).
Отметим также, что полиномы т (р) и d (р) можно рассматривать
как числитель и знаменатель передаточной функции одноконтур-
ной системы управления, соответствующей уравнениям (2-163).
Действительно, полагая формально = р, из (2-163) имеем
(Ер—Л)Х = Hfjo, /);
IX.
(2-172)
61
Из первого уравнения (2-172) находим
Х — (Ер — Л)-хН/(о, /).
Умножая это соотношение слева на I' и учитывая второе уравне-
ние (2-172), получаем
ст = Я7(р)/(сг, /), (2-173)
где
W(р) = Г (Ер—АГ1 Н. (2-174)
Если учесть, что
где (Ер — Л)п — матрица, присоединенная к матрице Ер — А, то
с учетом последнего равенства из (2-174) имеем
Ц7 (р) == ^Ер ~ Н
W W d(p)
Но непосредственно легко проверить, что числитель в этом выра-
жении равен многочлену (2-166), поэтому окончательно можно на-
писать
что и требовалось показать.
Перейдем теперь к составлению уравнений чувствительности
для системы (2-167). Для простоты изложения будем полагать, что
решения исходной системы (2-163) непрерывны, тогда по (2-168)
непрерывными являются и решения системы (2-167). Для того
чтобы применить к рассматриваемому случаю изложенный выше
подход, приведем уравнения (2-167) к нормальной форме Коши.
Для этого обозначим:
р(п-п = 21, t/<n-s> = zs, .... p=z„. (2-175)
Тогда, вводя в рассмотрение вектор неизвестных Z, уравнения
(2-167) можно записать в виде, аналогичном (2-163):
-^ = BZ + Gf(o, 0;
о = MZ,
(2-176)
где
т2
. (2-177)
Существенно, что в системе (2-176) вектор G постоянный.
Пусть функция f (ох + 1) является разрывной, и на различных
интервалах времени имеем
f (о, 0 = Л (о, а), < t < tt, (2-178)
причем времена переключения tt определяются из условий пере-
ключения
th а) = 0, №-179)
а функции fh gi предполагаются непрерывно дифференцируемыми
по всем аргументам. В моменты переключения tt разрывы правых
частей уравнений (2-176) равны
АР; = ОА/(, (2-180)
где
ДА = А«& + 0)-М-0). (2-181)
Учитывая (2-177), из (2-180) получаем
Azu = Ду’"-1* = A/1,, &zsi — = 0, s = 2, 3, ..., п — 1.
Так как
Ди/ = -ОДА-^-, (2-182)
все составляющие вектора чувствительности решения Z (/), кроме
Ui (/), непрерывны.
Уравнения чувствительности для вектора Z имеют вид:
^ = Bu‘ + ^rz + G‘"‘^'^ '
С учетом (2-177) эта система эквивалентна одному дифферен-
циальному уравнению
d(p)u + ^y = W^L.
1 da da ’
(2-184)
da / \ > dmtp)
-7— = tn (p) u 4-y.
da । da v
В выражениях (2-183) и (2-174) предполагается, что коэффи-
циенты полиномов d (р) и т (р) зависят от параметра а. Легко
проверить, что уравнения (2-184) можно получить непосредствен-
ным дифференцированием уравнений (2-167) по параметру.
Если переписать соотношения (2-168) в матричной форме
X(0 = HZ(0, (2-185)
где И — матрица с составляющими hsk, то, дифференцируя (2-185)
по а, сразу получаем
= (2-186)
Приведенные соотношения носят общий характер. Во многих
конкретных задачах они существенно упрощаются.
Наибольшую вычислительную трудность представляет при при-
менении рассматриваемого способа учет начальных условий. Дей-
ствительно, если исходное однопараметрическое семейство реше-
ний системы (2-163) определяется начальными условиями
Х0(а), (2-187)
то соответствующее однопараметрическое семейство решений для
уравнений будет удовлетворять начальным условиям
(a), Zo = Я-1Х0. (2-188)
Поэтому начальные условия для уравнений чувствительности
(2-182) имеют вид
“/ = -^-—Zo-^-. (2-189)
z. da 0 da ' '
Следовательно, для определения начальных условий uZo необ-
ходимо вычисление обратной матрицы Я-1. Некоторые приемы,
облегчающие такое вычисление, даны в работе [11].
Отметим теперь, что если t0 = const, Хо = const, то из (2-188)
и (2-189) следует
В то же время для исходных уравнений (2-163) имеем
и„ = 0.
Ло
Таким образом, из того, что иХо = 0, не следует равенства
uz =0. Однако, если Хо = О, t0= const, то ux (t0) = uz (/0) =
= 0.
Выведем уравнения чувствительности для системы (2-163) из-
ложенным способом, предполагая, что f (ст, t) — характеристика
реле, изображенная на рис. 2-2. За параметр возьмем величины kp
и стл, считая, что остальные параметры системы от kp и стл не
зависят.
В данном случае на различных интервалах времени уравнения
(2-167) имеют вид
d(p)y=±kp, <j — m(p)y, tl_i< + <tl (2-190)
и условия переключения соответственно записываются в форме
ст±стл = 0. (2-191)
Дифференцируя (2-190) по kp, имеем
d(p)u~±\. (2-192)
Условия скачков функции чувствительности получаем по
(2-180) и (2-40):
Ди(П-1) = rkpm(p)u- = rkpm(p)u+ ^(s) = Q
' |й(/, — 0)| |а(/, + 0)| ’
s = 0, 1, .... п — 2. (2-193)
Если продифференцировать (2-190) по стл, то получим
d(p)u = 0. (2-194)
Условия скачков функции чувствительности находим по (2-180)
и (2-50):
ды(п-1) = Г*Р ± !] = rfep[m(p)u+±l]
1° (0 0)| |о (ti + 0|) (2-195)
Au-s) = 0, s = 0, 1, ..., п — 2.
Если соответствующие функции чувствительности для у (/) и
его производных вычислены, то по (2-186) имеем
Их = Ниу.
2-5. Уравнения чувствительности систем,
заданных операторными уравнениями
Во многих задачах автоматического управления исходная си-
стема задается не дифференциальными уравнениями, а передаточ-
ными функциями. Составление уравнений чувствительности в та-
ких случаях требует учета ряда особенностей, которые и изла-
гаются в настоящем параграфе.
Пусть уравнения одноконтурной системы автоматического
управления заданы в виде
a = W(p)x, x=f(o, t), (2-196)
где
IV/ / „ч _ т(р) _ mop24jnip2zl±j__+_^n /о i п7\
(Р)“ d(p)~ pn+bipn-4...+bn (2' У7)
— передаточная функция линейной части системы; f (ст, t) — не-
которая нелинейная функция, которая может быть разрывной.
С учетом (2-197) уравнения (2-196) формально можно переписать
в виде
d (р) ст = т (р) f (ст, /).
5 Е. Н. Розенвассер
(2-198)
65
Если функция / (ст, I) имеет производные по обоим аргументам
до (п — 1)-й включительно, то (2-198) представляет собой обыкно-
венное дифференциальное уравнение и под р в (2-198) можно по-
нимать символ дифференцирования р = . Иначе обстоит дело,
если функция f (ст, t) или ее производные по ст или t некоторого
порядка, меньшего п — 1, разрывны. В этом случае запись (2-198)
не имеет смысла, если понимать под р символ обыкновенного диффе-
ренцирования. В таких случаях следует полагать, что р в (2-198)
— символ обобщенного дифференцирования, т. е. для любой функ-
ции g (/)
Pg Ч) = + S &gfi V ~ h), (2-199)
где -----обычная производная от g (t), определенная во всех
точках ее существования; tt — значения t, при которых g (О
терпит разрывы;
> = g(tt + O)-g (h - 0), (2-200)
6 (t) — функция Дирака.
Применяя последовательно операцию обобщенного дифферен-
цирования, получаем формулы, определяющие старшие обобщен-
ные производные:
p2g (О = + S &gfi Ч - Ч) + S &gfi <ч - <•);
где /*s) — моменты разрыва s-й производной функции g(/);
_ --4^+0) (2.202)
и, кроме того,
g(S) (/) = dst>(t) (2 203)
В общем случае моменты при фиксированном i и различ-
ных k могут не совпадать. Однако для простоты записи можно счи-
тать, что последовательность моментов разрыва tu . . ^вклю-
чает в себя все моменты При этом можно написать
Pns (0 = + 2 2 (' - М, (2-204)
dr k=\ i
где индекс i пробегает все точки разрыва функции g (/) или ее про-
изводных до (п — 1)-й включительно.
Вернемся теперь к уравнению (2-198),которое перепишем в виде
S bspn~sG= £ mspn~sf (о, 0. = 1- (2-205)
s=0 s=l
Пусть t{ — моменты разрывов функций а (/), f (о (/), и их
производных до n-й включительно. Тогда, используя выражения
для обобщенной производной (2-204) и (2-205), получаем
п п S—1 ____
Ё6-^ ’+Ёл Ё Е -
s=0 s=0 k=\ i
n n s—1
= У »= jjS-1 <”«+У. У 'у™6'”*-1’ v -
s=0 s=0 k=\ i
(2-206)
где Ag<s) = + .
dts dts
Д№) = ds/(/,- + 0) _ d7(/,-0)
1 dts dts
Из равенства двух обобщенных функций (2-206) следует, что
члены, не содержащие 6-функций, а также коэффициенты при
функциях 6<s) (/ — ti) в левой и правой частях (2-206) равны.
Поэтому для любых последовательных моментов и tt имеем из
(2-206) обыкновенное дифференциальное уравнение
d(4) о=т(±)!(р, t), (2-207)
Приравнивание коэффициентов при функциях 6<s> (t — tt)
в левой и правой частях (2-206) дает соотношения, связывающие
между собой разрывы функции у (1) и ее производных с разры-
вами функции f (у, t) и ее производных в моменты t(:
b0 Аа, = т0 &f;
b0 Аа + Ьг Аа, = ml А/, + m0 А/,;
(2-208)
60 Аа," • • • + Ьп_г Аа, = т„_х А/, + • • • + т0&f\n 1>.
Соотношения (2-208) называются условиями скачков. Они
впервые из несколько других соображений получены в работах
[1, 2].
Если zn0 = 0, что часто встречается на практике, то Ау{ = О,
т. е. функция у (/) непрерывна. Если ввести в рассмотрение век-
торы
st = S (ti ± 0), Ft = F (t ± 0)
и треугольные матрицы
В =
0 0 ... О ь0
0 0... ьо
ЬйЬ1 ... Ъп_фп_х
0 0 ... О т0
0 0 ... т0 т1
тйт.1 ... тп_гтп_1
(2-210)
условия скачков можно переписать в виде
B(St-SF) = A4(Ft -F7),
откуда следует, что
BSt — MFt = BS“ — MF~. (2-211)
Компоненты векторов Ft и F(- известным образом зависят со-
ответственно от составляющих St и S~. Поэтому, если ввести в рас-
смотрение вектор-функцию
K(S) = BS-MF(S), (2-212)
условия скачков превратятся в условие непрерывности К (S):
К (St) = К (SF). (2-213)
Таким образом, исходное операторное уравнение (2-196) экви-
валентно разрывной системе дифференциальных уравнений (2-207)
и (2-213). Для полного задания этой системы необходимо доба-
вить условия переключения, которые определяются видом функ-
ции / (ст, f):
gl(S, t, а) = 0.
Полученная разрывная система является частным случаем раз-
рывных систем, рассмотренных в § 1-2. Поэтому, используя соот-
ношения этого параграфа, сразу можно получить уравнения
чувствительности функции ст (t) и ее производных. Небольшое от-
личие заключается в том, что в данном случае условия скачков
вместо (1-100) имеют вид (2-211) и определяют S+ как неявную
функцию S".
Предположим, что коэффициенты передаточной функции W (р)
и нелинейная функция зависят от параметра а, т. е.
d(p) = d(p, а), /п(р) = т(р, а), f (о, /) = f (а, t, а). (2-214)
Тогда, дифференцируя (2-207) по а, получаем уравнения чувстви-
тельности:
d(р> а)и + а = т{р> а) +
’ 1 da 1 da 1 da 11
P = ^t , (2-215)
причем
= (2-216)
da do 1 da x '
И
_ do (t, a)
u ~ ' da
Для составления условий скачков вектора чувствительности
можно воспользоваться результатами § 1-2. Для простоты поло-
жим mQ = 0, тогда в матричной форме уравнение (2-207) примет
вид:
-^- = BS + GM'F,
dt
(2-217)
где матрица В и векторы G иМ' определяются из (2-177), а век-
торы S и F — из (2-209). Разрыв правой части уравнения (2-217)
в момент tt равен
ASZ = В ASZ + GM'AFZ.
Далее отметим, что из формул (1-95) и (1-98) следует
я/. ds+ dS~
Aut- = — AFz-^- + -^----
1 ' da 1 da da
(2-218)
(2-219)
Таким образом, чтобы воспользоваться (2-219), необходимо
ds+
вычислить-^-. Для этого дифференцируем (2-211) по а. Имеем
S. + F+_ М . 4S . dt<_ \
da 1 da da 1 \ dS da dt da ' da /
- dS dFr dt‘ ।
da ; ° da da r‘ m \ dS ' da dt ' da da
(2-220)
отсюда, предполагая, что
dft
+o,
dS
имеем
ds+ / dft \-1
da \ dS
dB c+ . dM
da 1 ' da
/ dFt dt. dF+
4. м —‘-------ELl. _i____L_
m \ dt da ' da
(2-221)
Подставляя в (2-219) соотношение (2-221) и учитывая (1-95),
получаем искомые условия скачков функции чувствительности.
При этом производные вычисляются способами, изложенными
выше. Полученные формулы весьма громоздки. Кроме функции
чувствительности и = , они определяют и функции чувстви-
тельности высших порядков.
В практических задачах, однако, часто бывает достаточно
ограничиться вычислением функции чувствительности первого
порядка. В этом случае можно воспользоваться другим способом
вычисления функции чувствительности, связанным с преобразова-
нием уравнений (2-217) в некоторую эквивалентную форму.
Рассмотрим дифференциальные уравнения (2-167) и (2-207)
и соответствующие им системы (2-176) и (2-217), предполагая сна-
чала, что функция f (о, /) непрерывно дифференцируема (п — 1)
раз по всем аргументам. В этом случае условия скачков (2-208)
превращаются в условия непрерывности функций о (/), ст' (/), . . .
. . ., ст*"-1) (/). Кроме того, считаем, что полиномы d (р) и т (р),
входящие в уравнения (2-167) и (2-207), равны.
Покажем, что при этих предположениях системы (2-176) и
(2-217) связаны между собой неособым линейным преобразованием,
если только строки М', М'В, . . ., М'В"-1 линейно независимы,
т. е. если
|М, В!Л'....(В’-Ч'М^О. . (2-222)
При этом уравнения (2-167) и (2-107) определяют одну и ту же функ-
цию ст (t). Для доказательства перейдем от системы (2-176) к диф-
ференциальному уравнению относительно величины о (/). Для
этого будем последовательно п. раз дифференцировать выражение
для ст (/).
В результате придем к системе соотношений:
ст = MZ;
ст = M'BZ 4- M'Gf;
ст(п) = M'BnZ + M'B"-1G + • • • +
которые перепишем в виде
M'Z = о;
M'BZ = о—M'Gf;
(2-223)
Nl'BnZ = о<”> — Nl'B'^Gf------M'Gf^.
Соотношения (2-223) можно рассматривать как систему п + 1
линейных уравнений с п неизвестными zlt . . zn, являющимися
компонентами вектора Z. Как известно из теории линейных алге-
браических уравнений [11], для совместности уравнений (2-223)
при условии (2-222) необходимо и достаточно, чтобы равнялся
нулю следующий определитель (и + 1)-го порядка:
М' j о
М'В | о—M'G/
• • • I.............................
М'В""1 ! ст<"> — M'B^Gf--------M'G/f"-1)
(2-224)
Развертывая этот определитель по элементам последнего столбца,
получаем дифференциальное уравнение относительно величины а
вида
qdx (р) о = (р) f, q = | М, В'М, . . ., (В"-1)' М |, (2-225)
где di и nti — полиномы, причем коэффициент при старшей степени
р в dr (р) равен единице. Покажем теперь, что имеют место равен-
ства:
di (Р) = d (р), т1 (р) = qm (р).
(2-226)
Действительно, если в исходном уравнении (2-167)
f (о, t) = k<J,
то уравнение (2-225) превращается в следующее дифференциаль-
ное уравнение с постоянными коэффициентами:
’“°- (2‘227>
При этом соотношения (2-223) представляют собой неособую ли-
нейную замену переменных. Характеристическое уравнение для
уравнения (2-227) имеет вид
d1(p)-^-ml(p) = 0, (2-228)
но характеристическое уравнение линейной системы не зависит
от выбора базиса. Поэтому, учитывая, что коэффициент при стар-
шей степени р в dr(p) равен единице, и сравнивая (2-228) и (2-171),
71
сразу получаем соотношения (2-226). Принимая во внимание
(2-226), окончательно получаем из (2-225) уравнение
d (р) о = т (р) f.
которое при выполнении указанных выше требований о дифферен-
цируемости функции f совпадает с (2-207).
Предположим теперь, что функция f (ст, /) разрывна. Тогда при-
веденные выкладки теряют силу, так как соответствующих произ-
водных в (2-223) не существует. Однако эту трудность легко
обойти, если понимать в (2-223) дифференцирование в обобщен-
ном смысле (2-199). Тогда вместо (2-233) будет
MZ = ст;
M'BZ =рст—MGf;
M'B"Z = р”ст — WBn-lGf-------Ni'Gp^f.
Далее, исключая из (2-229) вектор Z и повторяя приведенные
выше рассуждения, снова приходим к уравнению в обобщенных
функциях (2-198). Отметим теперь, что условие (2-222), которое
является необходимым и достаточным условием справедливости
сделанных выкладок, называется условием полной наблюдаемо-
сти систем (2-167) и (2-176) [12].
Резюмируя все сказанное, можно утверждать, что если для ис-
ходного операторного уравнения (2-198) выполнены условия
полной наблюдаемости, то функция у (/), связанная с ст (f) ра-
венством
ст (/) = т (р) у (/), (2-230)
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида (2-167):
d(p)y = f(p, t), о = т(р)у.
Следует отметить, что формально переход от уравнения (2-198)
к уравнению (2-167) может быть выполнен весьма просто. Действи-
тельно, подставляя (2-230) в (2-198) и сокращая на т (р), сразу
получаем (2-167). Однако такой путь не позволяет увязать закон-
ность производимых действий со свойством полной наблюдаемости
системы.
Система (2-167), как показано в предыдущем параграфе, яв-
ляется обыкновенным дифференциальным уравнением, и поэтому
вычисление функции чувствительности иу = dy--jaa'^ выполняется
без труда. Если функция иу построена, то, используя (2-230),
сразу можно найти функцию чувствительности величины ст:
Ыо= da^o0=/n(p) a)Uy+dm^y (2-231)
При этом в общем случае при переходе от уравнения (2-198) к урав-
нению (2-167) необходимо произвести соответствующий пересчет
начальных условий, который может быть выполнен с помощью
соотношений (2-229).
В качестве примера составим уравнения чувствительности для
одноконтурной релейной системы вида (2-196), где
Г (р) = + тз —, (2-232)
р3 + О1Р2 + а2р + bj ' ’
a / (ст, f) = / (ст) — характеристика реле, изображенная на рис. 2-2.
Уравнения соответствующей системы (2-167) при выполнении
условия полной наблюдаемости, что и предполагается, имеют вид:
У 4- аху + а2у + а3у = f(a); 1
о = mty + т2у. J
Если взять за параметр величину kp, то по (2-192) и (2-193)
для функции и„ = получаем уравнения чувствительности:
UrZp
иу + a^Uy + a2Uy + а2иу = ± 1, <^t<^tt (2-234)
и условия скачков:
Д% = \uyi = 0;
л" 2ЛР . • , . (2-235)
ЛЫ/// = Т^Т +т^'
Тогда функция чувствительности иа принимает вид
иа = mjiiy 4- m2Uy.
Из (2-235) следует, что функция иа непрерывна. Аналогично
вычисляется производная иа = Используя (2-194) и (2-193),
видим, что при выборе в качестве параметра величины ол имеем
уравнения чувствительности:
и'у 4- atUy 4- а2йу + ауг = 0, tt_t < t < /,•;
&Uyi — — 0;
AU4"- = + ± 1 )•
В качестве другого примера рассмотрим одноконтурную им-
пульсную систему вида (2-196), где передаточная функция W (р)
по-прежнему определяется (2-232), а функция f (ст, f) — одним из
соотношений (2-107), (2-131) или (2-148). Во всех этих случаях
переход к уравнению вида (2-167) дает
У + Щ 4- а2у 4- а^у = f (ст, ty,
о = 4- т2у,
после чего уравнения чувствительности составляются на основа-
нии общих способов, изложенных в § 2-3, так как уравнения
(2-236) являются частным случаем (2-106).
Рассмотрим подробнее случай системы с амплитудно-импульс-
ной модуляцией, когда имеют место соотношения (2-107) и (2-108).
В этом случае уравнения (2-236) принимают вид
У + (ЧУ + а2у + a3y = (j (иТ)-,
а = тАу + /п2у,
иТ < t<ZuT + 7\;
(2-237)
У + а\У + + азУ — 0, иТ T\<Zt <Z(n + 1) Т.
Если предположить, что числа ait /п( зависят от параметра,
а числа Т, 7\ не зависят от него, имеем уравнения чувствитель-
ности:
"и + а^и + а^ + а3и + -^'у + -^У + ^У =
= +
uT<t<uT + 7\;
I . . da, ** । da9 * । das л
и 4- ауг 4- а2« + а3и + у + у + у = 0.
иТ 4- 7\ < t < (п + 1) Т,
при этом координата и непрерывна со своими производными до
включительно. Совершенно аналогично можно рассмотреть
и другие случаи импульсных систем.
Изложенное выше можно распространить на более сложные
нелинейные системы, заданные операторными уравнениями, на-
пример на систему вида
Y = W (р) F (Y, t),
(2-238)
где Y — вектор; W (р) — передаточная матрица системы, предпо-
лагаемая дробно-рациональной; F (Y, /) — вектор нелинейных
функций.
Систему (2-235) можно привести к виду [10]
D(p)Y = M(p)F(Y, t),
(2-239)
где D (р), М (р) — полиномиальные матрицы от оператора обоб-
щенного дифференцирования р.
Применяя соображения, приведенные в начале настоящего
параграфа, всегда можно от матричного уравнения в обобщенных
функциях (2-238) перейти к системе разрывных дифференциаль-
74
ных уравнений, дополненных условиями скачков, аналогичными
(2-208). После такого перехода применение общих соотношений
гл. 1 позволяет вычислить требуемые функции чувствительности.
Правда, такой подход обычно связан с громоздкими вычисле-
ниями. В ряде случаев удается упростить процедуру построения
уравнений чувствительности для системы (2-238), используя пред-
варительно некоторые приведенные выше специальные преобра-
зования.
Пусть, например, имеем систему вида
0л = 2^(р)Л(а,),
i
(2-240)
где
^«(Р) =
ты (р)
d(p) ’
(2-241)
mki (р)> d (р) — полиномы, причем степени ты (р) не превышают
степени d (р).
Уравнения (2-240) можно записать в виде эквивалентной си-
стемы дифференциальных уравнений в обобщенных функциях:
</(р)аА=Е^(р)Ш)- (2-242)
Наряду с (2-242) рассмотрим систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:
d(p)yk = fk^k\<
Ok = S тМУ1-
(2-243)
Формальными преобразованиями из (2-243) легко получить
уравнения (2-242). Действительно, из первого соотношения (2-243)
имеем формулу
__ fk (gfe) ь — \ 2
d(p) ’ А? - 1, 2, . . .,
подставляя которую в выражение для (Ть приходим к (2-242). Для
того чтобы получить строгие условия законности такого преобразо-
вания, следует исключить величины yL из системы дифференциаль-
ных уравнений (2-243) так, как это сделано выше для однокон-
турной системы. На подробностях этого вывода останавливаться
не будем.
Составление уравнений чувствительности для системы (2-243)
значительно проще, чем для (2-42).
Отметим, что при составлении уравнений чувствительности для
системы в операторной форме можно также использовать общий
способ, изложенный в § 2-4.
Действительно, если k (/) — весовая функция, соответствую-
щая передаточной функции W (р) в системе (2-196), то можно
написать
t
a(Z)= j & (/—- т) f (ст, т) dx 4- ^<7( (ст0) . . ., ст^п-1),
to i
(2-244)
где Xz — корни уравнения d (X) = 0, предполагаемые простыми;
qL — рациональные функции от начальных условий.
Уравнение (2-244) представляет собой частный случай системы
(1-168), и к нему можно непосредственно приложить изложенные
в этом параграфе соображения.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ С ПОМОЩЬЮ
МОДЕЛЕЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
3-1. Общая модель чувствительности
нелинейных разрывных систем
автоматического управления
Функции чувствительности в принципе могут быть определены
дифференцированием по интересующему нас параметру решения
неварьированной исходной системы. Но в общем случае аналити-
ческие выражения для решений исходной системы не могут быть
получены. Поэтому для определения функций чувствительности
приходится интегрировать уравнения чувствительности совместно
с уравнениями исходной системы. В настоящее время для этих
целей широко используются цифровые вычислительные машины
(ЦВМ) и вычислительные машины непрерывного действия (ВМНД).
Практика показывает, что определение функций чувствитель-
ности на основании совместного решения дифференциальных урав-
нений исходной системы и уравнений чувствительности удобнее
всего производить с помощью цифровых вычислительных машин
(ЦВМ). В первую очередь это касается решения задач анализа.
Но имеется ряд задач, причем задач довольно общего харак-
тера, при решении которых ВМНД обладают неоспоримыми пре-
имуществами по сравнению с ЦВМ. К этим задачам прежде всего
необходимо отнести задачу построения систем беспоисковой гра-
диентной оптимизации [9, 16]. В этих системах функции чувстви-
тельности используются для формирования компонентов градиента
минимизируемой или максимизируемой целевой функции, харак-
теризующей критерий качества работы системы.
При использовании ВМНД на вычислительной машине
набираются модели уравнений исходной неварьируемой системы
и уравнения чувствительности. Вторую модель принято называть
моделью чувствительности.
Общие уравнения чувствительности, полученные в § 2-1, позво-
ляют построить общую модель чувствительности нелинейных
разрывных систем автоматического управления. Принципиальная
блок-схема общей модели представлена на рис. 3-1.
Модель включает в себя динамический блок, блок для вычисле-
ния величин скачков Ди,- и управляющий блок для перестройки
структуры динамического блока в моменты переключения и
ввода скачков в те же моменты времени.
В динамическом блоке моделируются линейные дифферен-
циальные уравнения (1-85) с начальными условиями (1-86), а в бло-
ке определения скачков величины Ди,- вычисляются в соответствии
с выражениями (1-87).
Блок управления в моменты /,- вырабатывает сигналы %, на
перестройку структуры динамического блока модели чувстви-
I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
Рис. 3-1. Блок-схема общей модели чувствительности.
тельности. В эти же моменты времени через управляющий блок
в динамический блок вводятся скачки Aut. Кроме того, через
управляющий блок в обратном направлении (из динамического
блока в блок вычисления величин скачков) проходит сигнал,
пропорциональный величине — 0). Этот сигнал необ-
ходим для вычисления производной от момента переключения по
параметру а.
В принципе в блоке вычисления скачков могут вычисляться
не величины скачков Auz, а непосредственно начальные условия
функций чувствительности на последующих интервалах <
< t < ti в соответствии с формулой (1-100):
u+ = Ptur + Q,.
В модель чувствительности с модели исходной системы вво-
дится решение X (/) уравнений (1-79). Кроме того, в модель чув-
ствительности вводится информация о моментах переключения
78
Эти моменты, являющиеся решениями скалярных уравнений
(1-80), определяют смену одного уравнения (1-79) другим. Поэтому
в модели основной системы моменты tt должны фиксироваться.
Фиксация этих моментов в модели системы производится автома-
тически при переходе от одного уравнения (1-79) к другому.
В случае кусочно-линейной системы в моменты /, изображающая
точка переходит с одного линейного участка нелинейной характе-
ристики на другой.
В случае реальной исходной системы может оказаться необхо-
димым специально вычислять моменты переключения. Для этого
в модель чувствительности включается дополнительный блок.
В этом блоке решаются уравнения (1-80). Соответствующие сиг-
налы на выходе блока появляются в моменты, определяемые усло-
вием
&(Х, tlt а) = 0. (3-1)
Заметим, что моменты tit помимо условия (3-1), которое при-
нято называть условием надлежащих моментов переключений,
должны еще удовлетворять условию надлежащих направлений
переключений. Так, для идеальной релейной характеристики
f (х) = kp sign х
первое условие принимает вид:
x(Q = 0,
а второе:
х«) (—1)‘+1-sign х(/о> > 0.
Условие надлежащих направлений переключения позволяет
фиксировать соответствующие коэффициенты уравнений, модели-
руемых в динамическом блоке. Поясним это на конкретном при-
мере. Для этого будем рассматривать релейную систему, описы-
ваемую уравнениями:
~dT = Л-S,gn(-X2);
dx» kn 1
~зг~ 17 X1 лХ2'
Напишем уравнения чувствительности на интервалах <
< t < tt по параметру k^.
diin kn 1
~dT = ~7\U1 T\U2’
где ut (t) = =
Второе слагаемое в правой части первого из последних уравне-
ний написано с двойным знаком. Выбор того или иного знака опре-
деляется направлением переключения реле. Если при переключе-
нии изображающая точка вдоль оси х2 переходит с положительной
на отрицательную полуось, то слагаемое 1/7\ имеет знак плюс,
если наоборот, то — минус. Движение изображающей точки в пер-
вом случае осуществляется при отрицательной производной х (/J,
во втором — при положительной. Поэтому учет знака производ-
ной входного сигнала нелинейного элемента, т. е. слежение за
условиями надлежащих направлений переключения, позволяет
автоматически перестраивать в моменты tt коэффициенты динами-
ческого блока.
Таким образом, в блоке вычисления моментов переключений,
кроме условий (3-1), должно проверяться условие надлежащих
направлений переключений.
Опыт построения моделей чувствительности разрывных систем
показывает, что возникающие при этом основные затруднения свя-
заны с моделированием блока вычисления величин скачков. Это
в основном вызвано необходимостью реализации операции деле-
ния для вычисления Auz.
В большинстве отечественных штатных вычислительных ма-
шин непрерывного действия блоки деления отсутствуют. В прин-
ципе деление можно заменить умножением на обратную величину,
которую можно получить с помощью блоков нелинейностей (функ-
циональных преобразователей). Но даже при этом приходится
дополнительно усложнять блок определения скачков для обеспе-
чения его работоспособности при изменении значений числителя
и знаменателя (1-89) в широком диапазоне.
Указанный недостаток не принципиален. С появлением каче-
ственных делительных устройств в комплекте вычислительных
машин непрерывного действия исследование чувствительности
практически любых разрывных систем с сосредоточенными пара-
метрами не будет отличаться по трудности и объему от работ по
исследованию устойчивости, точности и других характеристик
этих же систем.
В настоящее время в связи с развитием цифровых систем управ-
ления наметилась тенденция к использованию для проведения
исследовательских работ аналого-цифровых комплексов. Наличие
такого комплекса может существенно упростить и построение мо-
делей чувствительности разрывных систем. Действительно, все
логические и арифметические операции, связанные с вычислением
величины скачков Auz и с определением моментов переключения,
а также функции управляющего блока можно возложить на циф-
ровую часть комплекса. В аналоговой машине будут моделиро-
ваться только уравнения (1-85).
Одна из возможных структурных схем аналого-цифровой мо-
дели чувствительности представлена на рис. 3-2. Сигналы о мо-
ментах переключения /z, о величине функции чувствительности
80
в моменты tL—0 и решение уравнений исходной системы X (/), мо-
делируемой в машине непрерывного действия, подаются через
преобразователи непрерывных величин в числовые эквиваленты
/*, X* в цифровую машину. На рис. 3-2 эти преобразователи обо-
значены Лх. ЦВМ вычисляет величины скачков Auz и вырабаты-
вает управляющие сигналы xz на перестройку структуры и ввод
скачков в динамический блок модели чувствительности. Сигналы
Рис. 3-2. Аналого-цифровая модель чувствительности.
Xt и Auz претерпевают обратное преобразование в преобразова-
теле П2.
Вполне естественным является использование аналого-цифро-
вого комплекса при исследовании чувствительности импульсных
систем и систем с цифровой вычислительной машиной в контуре
3-2. Упрощение моделей чувствительности
разрывных систем
В предыдущем параграфе была рассмотрена структура модели
чувствительности, построенной на базе общих уравнений чувстви-
тельности (1-85), (1-86) и (1-87). Более детальный анализ конкрет-
ных моделей чувствительности показывает, что на современном
уровне развития непрерывной вычислительной техники наладка
и эксплуатация этих моделей представляют относительно трудоем-
кий и длительный процесс. Это, как уже было отмечено выше,
связано в основном с необходимостью учета разрывов как функ-
ций чувствительности, так и решений исходной системы.
В данном параграфе излагается способ упрощения модели
чувствительности систем автоматического управления с одной
6 Е. Н. Розенвассер 81
нелинейностью. Эти системы могут быть заданы как уравнениями
в нормальной форме (2-163), так и одним уравнением n-го по-
рядка (2-196). Оба этих представления автоматической системы
путем линейного преобразования, описанного в § 2-4, могут быть
сведены к виду
о = М(р)ц. I
При этом новая переменная у (I) и все ее производные до (п — 1)
включительно являются непрерывными функциями времени,
включая и точки t = /z.
Связь переменной у (t) с переменными исходных систем (2-163)
и (2-196) выражается зависимостями:
= S hkf уп+1_р k = 1, 2, . . /г, (3-3)
= S b} yn+1_h (3-4)
/=1
где yn+1_f = y{n~i}.
Начальные условия для переменной у и ее производных опре-
деляются с помощью соотношений (3-3) и (3-4) по начальным усло-
виям исходных систем.
Соответственно для функций чувствительности получаем
п
= + '»»...,) <3-5)
/=1
п
U° ~ ~да ~ Vn+i-i + vn+i-i^ > (3'6)
/=1
При использовании выражений (3-5) и (3-6) для определения
функций чувствительности приходится оперировать только с од-
ной разрывной функцией. Как показано в § 2-4, такой функцией
является функция vn (t) = —. Естественно, что это
обстоятельство приведет к существенному упрощению модели
чувствительности. При этом модель чувствительности должна
включать в себя модель чувствительности для получения функций
(/), k = 1, . . ., п, и суммирующее устройство.
Принципиальная схема упрощенной модели чувствительности
представлена на рис. 3-3.
Модель состоит из динамического блока, блока вычисления
скачков функции vn (t), управляющего блока и сумматора. Пер-
82
вые три блока составляют модель чувствительности преобразован-
ной системы (3-2).
При рассматриваемом способе построения модели чувстви-
тельности существенно упрощается и модель исходной системы.
Это, как уже отмечалось, является следствием замены условий
скачков решений систем (2-163) и (2-196) условиями непрерыв-
ности функций ук (t), k = 0, 1, ..., п — 1, в точках t = /(.
Рис. 3-3. Блок-схема упрощенной модели чувствительности.
Структурная схема модели для интегрирования уравнений
(3-2) изображена на рис. 3-4.
Рассмотрим теперь более подробно структуру каждого из бло-
ков модели чувствительности применительно к системе с кусочно-
линейной характеристикой f (о), т. е.
/:(ог) = <ог + ^. (3-7)
В динамическом блоке моделируется система уравнений
+ + (3-8)
где
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... о
А,= ................
0 0 0 ... 1
Нм Рп-1 Р/1-2 • • • Р1
6*
83
dAj
да
о о ... о
о о ... о
дцп dfi.n-1 dpi
да да ''' да
О
О
dZj
да
Нл — d(bk Qk.
О
да
Рис. 3-4. Структурная схема модели для интегрирования преобра
зованных уравнений системы.
Для моделирования систему (3-8) удобно представлять в виде
d ь,
-dr = v^
dv2
~зг
(3-9)
^3»
dVn--.
n n
т=S {d‘b> - °J °-*'+S "V »-*•>+£
k=\ k=\
(3-9)
Структурная схема модели для интегрирования системы (3-9)
в интервале < t < tt представлена на рис. 3-5. Данная модель
отличается от модели исходной системы только входными сигна-
Рис. 3-5. Структурная схема динамического блока модели чув-
ствительности.
лами. При переходе от одного интервала интегрирования Zz)
к другому в динамическом блоке производится перестройка коэф-
фициентов dt, —,
Обратимся к блоку вычисления скачков. Выше (см. §2-4) было
показано, что в рассматриваемом случае разрыв претерпевает
только функция vn (/). Величина скачка этой функции в момент
разрыва определяется выражением
=
(d/+i dj) bkyM_k £t+1 £z .
k=\ j
(3-10)
Пусть моменты /z находятся из условий
r'Y(/z)=pz
при удовлетворении условиям надлежащих моментов переключе-
ний. Тогда для в предположении о независимости pz от а
получим
Рис. 3-6. Структурная схема блока вычисления скачков.
ИЛИ
dtj
da
k=\
п
(3-11)
S + Vn S Wn-k+i ('<) + Vi-1
k=2
k=l
п
где ^k = d._xbk
Структурная схема блока, реализующего выражение (3-11),
представлена на рис. 3-6. Схема включает в себя два суммирующих
устройства и делитель. Кроме того, схема предусматривает умно-
жение соответствующих сигналов на постоянные коэффициенты
71, . . Сигналы vk — 0) подаются с динамического блока
модели чувствительности, сигналы у2 (ti), . . ., уп (t{) и 0 (/,) —
с модели исходной системы (см. рис. 3-4).
Управляющий блок в зависимости от сложности исходной
системы представляет собой одно или несколько реле, через кон-
такты которых в моменты связываются между собой блоки мо-
дели чувствительности.
Таким образом, для построения модели чувствительности си-
стемы автоматического управления с одной нелинейностью целе-
сообразно выполнить следующие операции.
1. Привести уравнения системы, заданные в форме (2-163)
или (2-196), к форме (3-2).
2. Вычислить значения частных производных:
d(dibk-ak) k=i 2, . . . , n; i = 1, 2, . ..
да ’ да ’ ’ ’ 99
3. Получить выражения для определения величины скачка
(6)-
4. Произвести масштабирование и составить машинные урав-
нения.
5. Собрать модель преобразованной системы в соответствии
с машинными аналогами уравнений (3-2) и структурной схемой,
изображенной на рис. 3-4.
6. Собрать динамический блок модели чувствительности в со-
ответствии с рис. 3-5.
7. Собрать блок вычисления величины \vn (ti).
8. Собрать управляющий блок и скоммутировать между собой
все блоки модели чувствительности и модель исходной системы.
3-3. Модели чувствительности линейных систем
Модели чувствительности, рассмотренные в двух предыдущих
параграфах, являются наиболее общими. Все известные к настоя-
щему моменту в литературе по чувствительности модели представ-
ляют собой частные случаи моделей, изображенных на рис. 3-1 —
3-3. Это утверждение касается только схемы модели, но не метода ее
получения и построения.
Приведенные выше модели чувствительности нелинейных раз-
рывных систем были построены на базе уравнений чувствитель-
ности. Использование уравнений чувствительности является пока
еще единственным путем решения задачи.
Для линейных систем, кроме использования дифференциаль-
ных уравнений, можно предложить и ряд других методов построе-
ния моделей чувствительности. Наибольшего внимания заслу-
живают структурный метод и метод графов чувствительности.
В основе первого метода лежат структурные представления
дополнительного движения [8, 9] и функции чувствительности
[14, 31]. Особенностью структурных методов является то, что
для получения функции чувствительности этими методами не тре-
буется знать зависимости характеристик системы в целом от харак-
теристики варьируемого звена, а нужно лишь располагать вход-
ными и выходными сигналами системы и варьируемого звена
и иметь модель зависимости характеристик звена от варьируе-
мых параметров.
В соответствии со вторым методом, методом графов чувстви-
тельности, по данному графу [5, 16] исходной системы строится
такой новый граф, что его вершинам будут соответствовать функции
чувствительности переменных, определяющих вершины первого
графа по отношению к параметру а. Второй граф при этом назы-
вается графом чувствительности исходной системы.
Метод графов чувствительности в отличие от структурного
метода позволяет строить модели чувствительности систем, со-
держащих нелинейные и нестационарные звенья. Но метод графов
допускает только нелинейные характеристики, являющиеся не-
прерывными функциями своих аргументов.
Кроме того, при использовании обоих методов затрудняется
учет начальных условий. Последнее, как уже было отмечено в пер-
вой главе, в ряде случаев имеет принципиальное значение для
определения функций чувствительности.
Применение структурных методов и метода графов для по-
строения моделей чувствительности довольно подробно описано
в литературе [14, 16]. В данной книге основное внимание уделяется
рассмотрению уравнений чувствительности различных классов
автоматических систем, в том числе и линейных. На базе этих
уравнений, как уже было отмечено выше, могут быть построены
и модели чувствительности.
Рассмотрим несколько способов построения моделей чувстви-
тельности непосредственно по уравнениям линейных систем.
Пусть система описывается уравнением
А(р)х=В(р)у, (3-12)
р‘х = р1х0 при t = О,
где
А (р) = рп + ал_х (ах, ... , а,) р”-1 Н-F а0 (ах, ... , а,);
В (р)=^т (ап • •а,) рт Н-----h Ьх (ах, . .. , ач) р + Ьо (ах> .... а,),
d _
р = -тг, п^пг.
г at
Предполагаем, что начальные условия от параметров ап. . ., aq
не зависят. Тогда уравнения чувствительности для этой си-
стемы принимают вид:
Д (р) ик = Ск (р) у— Dk (р) X, (3-13)
р‘ик = 0, k = 1, 2, ... , q при t = 0,
Рис. 3-7. Структурная схема модели
для получения одной функции чув-
ствительности.
р /п\__ ^(Р) . г) in\ _дЛ (р)
даГ’ и^Р>~ да/,
Структурная схема модели чувствительности для определения
функции uk представлена на рис. 3-7, где А'1 (р)—оператор,
обратный к оператору А (р). При таком подходе для определения q
функций чувствительности необходимо иметь q моделей, изобра-
женных на рис. 3-7.
Упростим построение модели и соответственно процесс нахожде-
ния функций чувствительности, воспользовавшись следующим
приемом.
Найдем общую часть операторов (р),. . ., Cq (р). Математи-
чески это сводится к нахождению наибольшего общего делителя
функций (р),. . ., Cq (р). Обозначим наибольший общий дели-
тель через Со (р). Тогда рассмат-
риваемые операторы можно запи-
сать в виде
С* (р) = Со (р) Ck (р),
k= 1, 2, ... , q. (3-14)
Аналогично для операторов
Dk (р)> k = 1, 2,. . ., q имеем
Dk(p) =D0(p)D*k(p), (3-15)
где Do (р) — общая часть (наи-
больший общий делитель) операторов Dk (р).
С учетом (3-14) и (3-15) уравнения чувствительности (3-13)
примут вид:
А (р) uk = Со (р) Ck (р) у — Do (р) D*k (р) х, (3-16)
k= 1, 2, . .. , q.
Структурная схема модели чувствительности для определения
функций uk (/), k = 1,2,. . ., (/представлена на рис. 3-8.
Модель имеет часть, общую для определения всех функций uk (f),
и дополнительные блоки, реализующие операторы Dk (р) и С* (р),
k = 1,. . ., q. Общая часть на рис. 3-8 очерчена пунктиром.
Блоки, реализующие операторы D*k (р) и С* (р), подключаются
к общей части переключателем П.
С помощью рассмотренной модели функции чувствительности
переменной х(/) по различным параметрам определяются последо-
вательно во времени. При нулевых начальных условиях исходной
системы имеется возможность для одновременного определения
всех функций чувствительности по одной модели, аналогичной
модели на рис. 3-8. Заметим, что задача одновременного опреде-
ления функций чувствительности по нескольким параметрам
была впервые поставлена и решена для ряда случаев П. В. Kokotg*
вичем [15, 52).
Действительно, в этом случае можно записать
x(p) = W(p)y(p), (3-17)
где W (р) = j ------передаточная функция системы. Здесь р —
А (Р)
переменная преобразования Лапласа.
Рис. 3-8. Структурная схема модели для последовательного опре
деления нескольких функций чувствительности.
Рассмотрим изображения функций чувствительности:
uk\P)~ da,k У\Р)~ dWk(p) 'P’ дак ’
где [Wk (p) — передаточная функция звена, параметром которого
является ак.
Выделим общую часть изображений
д In W (р)
dWk(p)
, k= 1, 2.q.
Обозначим ее через Но (р). Тогда для функций ик (р) получим
ик(р)=х(р)Н0(р)Нк(р)д-^
или
ик (р) = Яо(р)/7*(р),
где Но (р) = х (р) Но (р) — общий оператор для всех функций
ч увствител ьности;
Н^ = Нк(р)д-^.
Блок-схема модели для одновременного определения функций
чувствительности по параметрам aj,..., aq представлена на рис. 3-9.
В качестве примера рассмотрим систему, структурная схема
которой изображена на рис. 3-10. Передаточная функция замкну-
той системы имеет вид:
w//nx______________W,(p)W2(p)W3(p)___________
W (P) ~ 1 + Wt (p) W2 (p) W3 (p) + (p) W2 (p) W3 (p)
^(р)Г2(р)Г8(р)
Ир)
Предположим, что передаточная функция каждого из звеньев
зависит от одного параметра, соответственно: а1( а2, а3, а4, а5.
Тогда получим
«1 (Р) =
дх(р)
дах
\ + W2(p)W3(p)W4(p) dW, (р)_
Wt(p)L(p) ' да, ’
,l + wt (р) W2 (р) W* (р) дУ3(р) .
' W3(p)L(p) да3 ’
Рис. 3-9. Структурная схема
модели для одновременного оп-
ределения нескольких функций
чувствительности.
„ /пч_ дх(р) _ ytn,W2(p) W9(p) dWt(p) .
Ui (P> ~ ~d^~ -~X(-P>---Щ-----------da^~ ’
„ ln} _ (P) _ x ln} (P) W2 (p) <Ж5 (p)
“5 w - - - MP) lW)----------d^T •
Наибольшим общим делителем функций и, (р), и2 (р), и3 (р),
и4 (р) и иъ (р) является функция Структурная схема для
одновременного определения этих функций чувствительности
представлена на рис. 3-11.
Рассмотренный метод, который можно назвать методом наи-
большего общего делителя [29], позволяет иногда существенно
упростить модель чувствительности. Это достигается за счет
упрощения общей части модели чувствительности. В пределе общую
часть можно заменить усилительным звеном. Такое упрощение
особенно важно при использовании моделей чувствительности
в беспоисковых системах автоматической оптимизации.
Простая модель чувствительности может быть использована
для одновременного получения функций чувствительности си-
стем, описываемых одним дифференциальным уравнением п-го
Рис. 3-10. Структурная схема системы управления.
порядка. Данная модель чувствительности различными путями
получена в работах [29, 10, 44, 52]. Авторский приоритет следует,
по всей вероятности, отдать работе [52].
Получение этой модели проиллюстрируем на примере опреде-
Рис. 3-11. Структурная схема модели для одновременного
определения функций чувствительности конкретной системы.
ления функций чувствительности системы, описываемой урав-
нением
Л(р)х = /(0; (3-18)
р‘х = 0, I = 0, 1, ...» п— 1 при t = 0.
Для решения уравнения (3-18) имеем
X = х(/, ACq» dp • .. , (3-19)
Предположим, что от параметров а1г . aq зависят все коэф-
фициенты а0, аг.....ап_г, т. е. at = а{ (а,, . . . , аД Тогда
выражение (3-19) можно записать как сложнуо функцию:
x=x[t, а0 (04.....а9), , an_x (ар ..., а )] (3-20)
При этом для функций чувствительности имеем
п—1
и (/)= *L= У(3-21)
*' 7 dak {-I dai dak ' 7
i=0
dx
Сомножители определяются видом уравнения (3-18),
в то время как сомножители зависят от вида коэффициентов
ah т. е. от внутренней структуры системы. В случае стационарных
да:
систем сомножители являются постоянными величинами.
dak
Если для указанных сомножителей ввести обозначения
Atj = В{ =
tJ daj ’ 1 v ’ daL ’
то выражение (3-21) можно записать в виде
п—1
М0 = 2 (3-22)
4=0
Для каждой конкретной системы величины Aik могут быть
вычислены заранее. Тогда задача определения функций чувстви-
тельности сведется к получению функций Bt (/), которые характе-
ризуют чувствительность переменной х (t) к вариациям коэф-
фициентов ah i = 0, I,. . ., п — 1.
Продифференцируем уравнение (3-18) по коэффициентам at-.
В результате получим уравнения чувствительности для опреде-
ления функций Bi (/):
(рп + а.-.р'*-1 Н-F aYp + а0) Bt = — 1
В<*>(0) = 0, i, k = 0, 1, ... , п — 1. j
На рис. 3-12 представлена модель чувствительности, построен-
ная на основе уравнений (3-23), для определения функции Bt (t).
Так как начальные условия уравнений (3-18) и (3-23) являются
нулевыми, то символ р можно рассматривать как комплексную
переменную преобразования Лапласа. Последнее позволяет утвер-
ждать, что на рис. 3-12 по существу изображена приведенная
структурная схема системы.
В соответствии с правилами структурных преобразований
схему, изображенную на рис. 3-12, можно привести к виду,
93
представленному на рис. 3-13. Из рассмотрения структурной
схемы на рис. 3-13 нетрудно видеть, что
= 1 = 0, 1, ... , п— 1,
(3-24)
т. е. эта модель позволяет одновременно определять все функции
В[ (0, i = 0,1....п — 1. По аналогии с работой [15] точки О,
1,. . ., п — 1 будем называть точками чувствительности.
Искомые функции чувствительности uk (/) получаются в ре-
зультате суммирования соответствующих произведений (/).
Рис. 3-12. Структурная схема модели для одновременного
определения функций чувствительности по коэффициентам
дифференциального уравнения.
Структурная схема модели чувствительности изображена на
рис. 3-14.
В качестве примера рассмотрим модель чувствительности
для системы, описываемой уравнением колебательного звена вто-
рого порядка:
d2x , dx . £/,ч
~dt^ + 01 ~dT “I” —
где «1 = 2|(оо; «о = wo; £ — относительный коэффициент зату-
хания; со о — частота свободных колебаний.
Построим модель чувствительности для получения функций
дх Г/,ч дх
иъ (О — ; и®».(0 — эШо •
В соответствии с выражением (3-22) имеем
«6(П = Ло6Во(0 + Л16В1(0; )
(0 = л0(оов0 (О "I" ^1(00^1 (О» I
где
B0(t)=-^~, 8^) = -^-
0 ' ' да0 ’ 1 v 7 да} ’
(3-25)
— 2о)0, Доо)0 — 2<оо, Д10Ь 2£.
Рис. 3-13. Преобразованная структурная схема для опреде-
ления функций чувствительности по коэффициентам диффе-
ренциального уравнения.
В соответствии с зависимостями (3-25) структурная схема
модели чувствительности для определения (/) и u(1)o (t) прини-
мает вид, изображенный на рис. 3-15.
Указанные выше методы определения функций чувствитель-
ности, несмотря на универсальность, довольно громоздки. Эта
громоздкость выражается в необходимости моделирования двух
или даже более исходных систем для получения одной или не-
скольких функций чувствительности. Поэтому естественно стрем-
ление упростить методы определения функций чувствительности.
Такого упрощения, в частности, удалось добиться благодаря
тому, что были обнаружены определенные аналитические зависи-
мости между сигналами основной (исходной) системы и сигналами
модели чувствительности.1 С учетом обозначений, принятых
на рис. 3-16, где показана блок-схема получения функций чув-
ствительности, справедливо следующее соотношение в изображе-
ниях:
(3-26)
где Zi (р), i = 1, 2, . . k — изображения сигналов, снимаемых
с точек системы или ее модели, соответствующих точкам чувстви-
Рис. 3-14. Структурная схема модели чувствительности, по-
строенная в соответствии с коэффициентным методом.
тельности модели чувствительности; х (р) — изображение сигнала,
поступающего на вход модели чувствительности.
Из полученного соотношения имеем
„ _ x(p)Zi(p)
f(p)..-
1 П. В. К о к о т о в и ч, Р. С. Р у т м а н. Выступление в дискуссии.
Труды III Всесоюзного совещания по автоматическому управлению, т. 1. «Наука»,
1968.
или
и, (t\ - L'1
| /(p) J.
Проверим соотношение (3-26) для структурной схемы коэф-
фициентного метода (см. рис. 3-13). Имеем
(Р) = Bt (р) = - —--------Й--------—;
рn + an-iP Ч-------Ьа»
х(р) = ——х(р), Zt(p) = plx.
Рис. 3-15. Модель чувствительности колебательного звена
второго порядка.
Подстановка выражений щ (р), х (р), zt (р) в (3-26) дает тождество.
Соотношению (3-26) в оригиналах отвечает равенство интегралов
сверток:
t t
J f(t — т) Ui (т) dx = J x (t — t) Zi (t) dx. (3-27)
о о
В уравнении (3-27) функции f (/), x (t) и zt (/) известны. По-
этому можно определить функцию чувствительности Ui (/). При
этом отпадает необходимость в модели чувствительности. Инте-
гральные уравнения вида (3-27) можно решать на универсальных
или специализированных вычислительных машинах.
Для примера рассмотрим решение этих уравнений с помощью
цифровой вычислительной машины. Сведем решение интегрального
7 Е. Н. Розенвассер 97
уравнения к решению системы линейных алгебраических урав-
нений. С этой целью представим уравнение (3-27) в виде
N N
S ut (jT) f (t - jT) T = ^Zi (jT)x (t - jT) T, (3-28)
/=0 /=0
t = 0, T, 2T, , NT.
Алгебраическая система (3-28) в матричной форме с учетом
того, что Uj (0) = 0, имеет вид:
CXU = С2,
где
/(О) 0 ... 0
f(T) f(0) ... о
/[(ЛГ-1)ТЦ[(ЛГ-2) Т]...[(0)
zz(T)x(0) + zt.(0)(T)
С2 —
zt(0)x(WT) +(NT)x(O)
Видно, что алгебраическая система (3-28) имеет треугольную
матрицу Af-ro порядка. Решение такой системы не встретит затруд-
Рис. 3-16. Блок-схема получения функций
чувствительности без модели чувствитель-
ности.
Ui Uk
нений. Значения (71), . . .
Ui (NT) определяются после-
довательно, начиная с перво-
го уравнения системы.
Рассмотрим решение ин-
тегрального уравнения (3-27)
в случае возбуждения исход-
ной системы 6 (/)-функций,
т. е. при f (/) = S (/). При
этом имеем
t t
J 6 (t — т) vz (т) dx = J k (/— t) Zi (t) dx,
6 о
где k (t) — импульсная переходная функция системы (весовая
функция); vt- (/) — функция чувствительности функции веса.
В данном случае, если (t) является непрерывной функцией
при / = т, справедливо выражение
t
Vi (0 = f k (t— т) Zi (t) dx. (3-29)
6
Выражение (3-29) интересно еще и тем, что оно указывает на сле-
дующее свойство взаимности структурных методов определения
функции чувствительности: функция чувствительности функции
98
веса может быть получена на выходе модели чувствительности, пол-
ностью идентичной модели исходной системы, при подаче на ее вход
сигнала, снимаемого с соответствующей «точки чувствительно-
сти» исходной системы. Схема получения функции чувствитель-
ности функции веса таким способом изображена на рис. 3-17, а.
Для сравнения на рис. 3-17, б показана схема получения функции
а) 6)
Рис. 3-17. Блок-схема модели для получения функции чувствительности функции
веса.
чувствительности функции веса (/) обычным способом. Определе-
ние функции чувствительности функции веса по выражению (3-29)
с помощью цифрового вычислителя сводится к нахождению
сумм вида
М0 =
i=o
t = О, T, 2Т......NT.
3-4. Примеры моделей чувствительности разрывных систем
Пример 3-1. Модель чувствительности релейной системы первого порядка.
В качестве примера рассмотрим систему, описываемую уравнением
dx
— = /гр sign х + с (3-30)
с начальным условием х (0) = х0 > 0.
Пусть нас интересует функция чувствительности переменной х (/) по пара-
метру /гр:
Моменты переключения tt определяются из соотношений
х (4) = 0.
На первом интервале 0< t<Z для решения уравнения (3-30) имеем
X (0 = (kp С) I 4“ x(h
откуда
Из выражения (3-31) вытекает, что переключение возможно лишь при выпол-
нении условий
с < 0, [ с | > kp. (3-32)
На втором интервале tY < t t2 для решения х (t) получаем
х (О ~ 4~с) t,
откуда видно, что /2 °°> т- е- функция х (/) только один раз пересекает ось
абсцисс. При этом уравнения чувствительности на интервалах времени 0^ t<Z
< tY и t^> tY соответственно имеют вид:
^- = 1,Ио = О; = +
Соотношения (1-89) в данном случае дают следующие равенства:
dtl _
dkp kp 4“ с — ~F c 9
(3-33)
Для интервала 0 t < tY функции чувствительности определяются равен-
ством
«(0 = t,
откуда с учетом зависимости (3-31) получаем
«(/1-0)
*0
При этом для и^~ имеем
»+ — с Y
В результате функция чувствительности принимает вид:
t при 0^ t < /ь
«(/) =
kp — C
(*р + <02
х при t > /р
(3-34)
На рис. 3-18 представлена структурная схема модели чувствительности для
системы, описываемой уравнением (3-30), и для функции чувствительности и (/) =
— дх
— dkp
Схема включает в себя модель исходной системы, образованную усилителем
и нелинейным элементом НЭ. Нелинейный элемент реализован на решающем уси-
лителе, в обратную связь которого включен диодный ограничитель. Уравнения
(3-30) моделируются в динамическом блоке, состоящем из интеграторов У2, Ув и
суммирующего усилителя Уб. Уравнение поверхности переключения х (/J = 0
решается схемой сравнения. В момент прохождения сигнала х (t) через нулевой
уровень схема сравнения подает сигнал на блок управления, функции которого
в данной схеме выполняет реле Рг. В момент tY реле Рг нормально замкнутыми
контактами разрывает цепь интегратора У2, а нормально разомкнутыми контак-
тами замыкает цепь интегратора У6. Таким образом в динамическом блоке произ-
водится переход с моделирования первого уравнения (3-30) на моделирование
второго. При размыкании цепи интегратора У2 на его выходе запоминается напря-
жение = и (tx — 0). Это значение в соответствии с (3-33) умножается в блоке
вычисления скачка на коэффициент “ПБ“- Блок вычисления собран на уси-
лителях У3 и У4. Выход блока подключается в момент tr нормально разомкнутыми
контактами Р± ко входу суммирующего усилителя Уй.
Рис. 3-18. Структурная схема модели чувствительности нелинейной
системы первого порядка.
На рис. 3-19 приведены осциллограммы функций чувствительности и (/) =
дх
= . На осциллограммах с, бив изображены функции х (/) и и (/) для случая
</Г?Р
—с^> kp, на осциллограмме г — для случая —с — kp и на осциллограммах д
и е—для случая —kp. Анализ осциллограмм показывает, что результаты
моделирования полностью совпадают с данными, полученными аналитическим
a)
г)
d)
e) e)
Рис. 3-19. Осциллограммы функций чувствительности нелинейной системы первого порядка.
путем. В частности, как уже было указано, из выражения для момента переклю-
чения (3-31) очевидно, что переключение возможно лишь при выполнении нера-
венств (3-32).
Осциллограммы г, д и е отражают варианты, в которых эти неравенства не
выполняются.
Пример 3-2. Модель чувствительности релейной системы второго порядка.
Исходная система имеет структурную схему, показанную на рис. 3-20. Уравне-
ния системы, приведенные к нормальной форме, можно записать в виде
-^- = --77x1+T-s|gn(-x2);
^*2 _ ^2 __ 1_
dt т2 Х1 т2 2<
(3-35)
Пусть начальные условия не зависят от параметров klt k2, 7\, Т2 и равны
*1 (*о) = *10, *2 W = *20 > 0-
(3-36)
Допустим, что нас интересует чувствительность координат хг и х2 к вариациям
коэффициента усиления k2. Уравне-
ния чувствительности в этом случае
на интервалах (//_!< tj) име-
ют вид:
Рис. 3-20. Блок-схема нелинейной систе-
мы второго порядка.
^2 _ ^2 ,,
dt Т2 1
т2 “2 + Т2 Xl
(3-37)
при нулевых начальных условиях. В уравнениях (3-37)
W1
дх2
dk2 ’
Величины скачков при этом подсчитываются с помощью соотношений:
Д“и =
Т'1Л2Х| (/,)
А«24 = 0.
(3-38)
Структурная схема модели чувствительности для рассматриваемой системы,
реализованная на вычислительной машине непрерывного действия типа «Элек-
трон», представлена на рис. 3-21.
На рис. 3-21, а показана модель исходной системы. Она собрана на усили-
телях — Уб. На рис. 3-21, б изображена структурная схема динамического
блока модели чувствительности, собранная на усилителях У7 — У10, причем на
усилителях У7, У8 моделируется первое уравнение системы (3-37), на усилителях
Ув, Ую — второе уравнение системы (3-37).
Структурная схема блока определения моментов переключения представлена
на рис. 3-21, в. Схема собрана на нелинейном блоке И Б машины «Электрон»,
усилителях Уп и У]2, диодах Дг и Д2 и реле и Р2. Схема является относительно
сложной. Последнее вызвано необходимостью четкой фиксации моментов переклю-
чения t{, которые определяются в момент равенства переменной х2 (/) нулю.
Сигнал, пропорциональный переменной х2 (/), проходит через нулевой уро-
вень с различными скоростями. Моменты прохождения этого сигнала через нуле-
вой уровень фиксируются в данной модели чувствительности с помощью электро-
магнитных реле, которые обладают определенной инерционностью. Поэтому при
больших значениях | х2 | реле могут не срабатывать. Естественно, что при этом
модель чувствительности будет выдавать искаженные^функции чувствительности.
В схеме блока определения моментов переключения, изображенной на рис. 3-21, а,
указанный недостаток преодолевается следующим образом.
Сигнал х2 (0 подвергается в окрестности моментов 4 нелинейному преобра-
зованию. Последнее приводит к уменьшению угла наклона касательной к кривой
х2 (0 в моменты т. е- к умень-
шению величины | х2 (0)|. Реле PY
срабатывает в интервале (—8, 4-8).
Этот интервал указан на рис. 3-22,
где рассматривается один из момен-
тов прохождения сигнала х2 (0 че-
рез нуль. На рис. 3-22 через х2
обозначен сигнал на выходе нели-
нейного преобразователя. Без пре-
образования х2 (0 сигнал на сраба-
тывание реле Pi подается на интер-
вале ^2)> которого может ока-
заться недостаточно. При включе-
нии в схему блока определения мо-
ментов переключения нелинейного
преобразователя НБ сигнал на сра-
батывание реле подается на боль-
шем интервале ^еле
своими контактами на этом интер-
вале включает цепь срабатывания
реле Р2. Усилитель Уи в схеме бло-
ка определения моментов переклю-
чения работает в режиме ограни-
чителя, причем на линейном участ-
ке, т. е. в окрестности момента 0,
он имеет большой коэффициент уси-
ления. Диоды Д1 и Д2 совместно с
усилителем У12 реализуют двухпо-
лупериодный выпрямитель.
Величины скачков Awx (0) оп-
ределяются в соответствии с выра-
жением (3-38). Из рассмотрения это-
го выражения видно, что для на-
хождения Awx (/£) необходимо де-
лить величины, которые могут иметь
различные значения как по моду-
лю, так и по знаку. В большинстве
современных отечественных вычи-
слительных машин непрерывного
действия, в том числе и в машине
«Электрон», отсутствуют делитель-
ные устройства, работающие в ука-
занных условиях. Ввиду этого опе-
рацию деления при разработке дан-
ной модели чувствительности пришлось выполнять по специально разрабо-
танному алгоритму и схеме. Непосредственно на блоке деления машины
«Электрон» осуществлялось деление величины числителя дроби (3-38) на мо-
дуль знаменателя.
Выделение модуля знаменателя производится схемой, изображенной на
рис. 3-21, г. Контакт реле Р2 в этой схеме замыкается в момент прохождения си-
гнала х2 (0 через нуль. Благодаря большому коэффициенту усиления в цепи уси-
лителей У14, У15 и У1б на выходе интегратора У1б практически мгновенно устанав-
ливается напряжение, пропорциональное величине
— 2 (4)-----Тi^2xi (4)>
которое запоминается до следующего срабатывания реле Р2.
ствительности нелинейной системы второго порядка.
На рис. 3-21, е представлена схема запоминания величины и2 — 0), кото-
рая является слагаемым числителя выражения (3-38). Суммирование этих вели-
чин производится схемой, показанной на рис. 3-21, ж. В соответствии с выраже-
нием (3-38) знак числителя также определяется номером интервала непрерывности
правой части исходной системы (3-35). Необходимый знак числителя обеспечи-
вается с помощью соответствующей коммутации контактов реле Р3. На рис. 3-21, ж
в виде усилителя У24 и делителя RQ условно изображен блок деления машины
Рис. 3-22. Нелинейное преобразование функции х2 (/).
а)
Рис. 3-23. Осциллограммы функций чувствительности нелинейной
системы второго порядка.
«Электрон». На выходе этого блока
’Ь‘ I 7 ал I
В дальнейшем на усилителе У25 с помощью контактов схемы сравнения 1 по-
лучаем Д“п = Assign? (/,).
Найденная таким образом величина скачка Дип- подается на вход усилите-
лей У7 и У8 схемы интегрирования уравнений чувствительности на соответствую-
щем интервале /г_1 < t < 4.
На рис. 3-23, а, б, в приведены осциллограммы, иллюстрирующие работу
модели чувствительности системы второго порядка для трех совокупностей пара-
метров исходной системы.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ОБОБЩЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
4-1. Функции чувствительности динамических
характеристик и показателей качества
в области комплексной переменной р
В предыдущих главах основное внимание уделялось чувстви-
тельности переходных процессов. Функции чувствительности
определялись именно применительно к этим временным функциям.
Переходный процесс дает обычно наиболее полное представление
о работе системы автоматического управления. Кроме того, в общем
случае для нелинейных систем переходный процесс является
практически единственным показателем качества работы си-
стемы.
Но при анализе и синтезе удобно косвенно оценивать качество
работы автоматических систем по определенным показателям,
которые могут быть зафиксированы при возмущении систем не-
которыми типовыми воздействиями. Эти показатели характери-
зуют так называемые косвенные критерии качества систем управ-
ления и являются обычно числами. Последние находятся неслож-
ным путем без построения переходного процесса.
При исследовании автоматических систем с помощью косвен-
ных критериев качества вполне естественно стремление оценить
чувствительность этих критериев и показателей.
В области комплексной переменной р = Р + гу обычно рас-
сматриваются передаточные функции разомкнутой и замкнутой
систем. Коэффициенты передаточной функции зависят от пара-
метров объекта и регулятора. Поэтому можно рассмотреть произ-
водную
„(р)=«^>, (4.1)
где W (р, а) — передаточная функция.
Соотношение (4-1) используется для оценки чувствительности
передаточной функции. Иногда применяют логарифмическую
«1(р)=
din W(p, а)
д Ina
и полулогарифмическую
«2 (р) =
dW (р, а)
д Ina
оценки чувствительности.
Разложение в ряд Тейлора передаточной функции W* (р)
по ошибке дает так называемые коэффициенты ошибок:
dkW* (р)
dpk
, k = 0, 1, .. .
р=0
Функции чувствительности коэффициентов ошибок опреде-
ляются следующим образом:
dCft d [dkW* (р)
да да apk
dk , ,
~Ти(Р)
dP Р=о
(4-2)
При исследовании автоматических систем методом корневого
годографа и при анализе работы некоторых типов самонастраиваю-
щихся систем полезно знать чувствительность нулей и полюсов
передаточной функции к изменениям параметров объекта и регу-
лятора.
Передаточные функции разомкнутой Wp (р) и замкнутой W3 (р)
систем через нули и полюсы выражаются так:
k П (Р — qi)
(р) = m-S «; (4-3)
П (р — pi)
/=1
k П (р — qi)
w (п) =____^e1£L- = <=1__________ /4.4)
ИМР1 1 + Й7р(р) п • V**/
П (p — zi)
Чувствительности нулей и полюсов будем оценивать с помощью
функций:
. <г _ дР‘ <г _ dzi
11 ~ да ’ ~ da ’ °31' ~ da '
Функции S/i, j = 1, 2, 3 могут быть выражены через соответ-
ствующие передаточные функции. Рассмотрим, например, чув-
ствительность нулей и полюсов разомкнутой системы [41].
Для нахождения функции S1Z прологарифмируем соотношение
(4-3):
lg^p(p) = lg^ + S lg(p— <7/)— S lg(p —Pi)- (4-5)
i=l i=l
Продифференцировав (4-5) по параметру а, получим
VI dqi VI dpi
dWp(p) = dlnfe _ > da . > da (4-6)
UZp (p) da da jtaJ p — qt p — pi *
i=l i=i
Умножая последнее соотношение на (р — д;), при р = qj
получаем следующее выражение для оценки чувствительности
нуля передаточной функции разомкнутой системы:
51/=-й-=-{[(₽-«/) '(р) 1 <4.7)
Для нахождения функции S2Z прологарифмируем выражение
для обратной передаточной функции (4-3):
п т
ig№71= S ig(р — pt)— ig^— 2 ig(p —<?/)•
i =1 i =1
Дифференцируя это соотношение no a и умножая на (р — ру),
при р = р/ имеем
= — ([(₽ — Pl) Г, (р)1 (4-8)
Аналогично могут быть оценены чувствительности нулей
и полюсов замкнутой системы:
= -1г = -- {[(р - «/) W71 (Р)1 т-},..,; <4-9)
= -Й- = - {«Р - г>) <Р)1 ТГ-|, • <4-1 °)
Заметим, что выражение (4-6), использованное для получения
функции 51У, связывает чувствительность передаточной функции
с чувствительностью нулей и полюсов. Оно может быть исполь-
зовано для оценки приращения передаточной функции через
оценки чувствительности нулей и полюсов:
AUZp(p) = U7p(p)
Соответственно для передаточной функции замкнутой системы
имеем
п
ДН73(р) = ^э(Р)
т
d Infe _ Зц
da t^P — Qi
+ S А“-
£=1 Р ~Zl
Оценим чувствительность полюсов замкнутой системы через
оценки чувствительности нулей и полюсов разомкнутой системы.
Из выражений (4-3) и (4-4) имеем
п т п
п (Р — Pi) + k П (р — <7(.) = П (р — Zi),
Z=1 Z = 1 Z=1
откуда находим искомое соотношение
т
7^-- > П (г,-
I =1
Для практических расчетов целесообразно использовать оценки
чувствительности нулей передаточной функции, получаемые из
следующих соображений.
Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы,
определяемое выражением
IVp(p) + l = 0
или
D (р) = рп + an-iPn~x +-----р ахр + а0 = 0.
При подстановке в характеристическое уравнение вместо р
любого из полюсов уравнение превращается в тождество
Z? “F ап— 1 + • • • + ЕЕ 0
или
D (zh а0, alf . . . , an_j) = 0.
Пусть все полюсы являются вещественными.
Рассмотрим левую часть тождества как сложную функцию
£>[гДа), я0(а), аДа), . . . , аЛ_Да)] = 0.
Продифференцируем последнее соотношение по а:
п—1
dD dzj . V\ дР daj _ q
dzi да *" daj da ’
/=0
откуда получаем искомое выражение для чувствительности по-
люсов:
л—1
VI dD daj
Л Zj daj da
dZj _____ j=Q___________
da dD ’
dzi
где
-J^- = z*, k = 0, 1, ... , n — 1;
dak l’
1
3D V Azw ^—1 I
~^~ = 2j kakZi + nZ[
ozi k=l
Допустим теперь, что среди полюсов имеются комплексные
например:
Ч = Мл + /V. гА+1 = — /Ч-
При подстановке одного из этих корней, например zk> в харак-
теристическое уравнение получаем следующее тождество:
(М-л. v4) а0, ах, . . ., а^) + jD2([ik, vk, а0, . . ап_1) = О
ИЛИ
(Mft. V*. а0, av .... ап_!) = 0;
D2 (Мь *4. «о> ai> •• an-i) = 0-
Дифференцируя последние выражения по а, получаем алгеб-
дц,ь дхь
раическую систему для определения производных
п—1
дРг дрц, . дРг dvk ________ V d£\ ^ai •
дць ’ да ' да дц да ’
1=0
п—1
дР2 дць , дР2 dvk = __ у дР2 дщ
дщ. да * dvk да дсц да В 9
z=o
откуда находим искомые соотношения:
. dvk Av^
да Д ’ да Д’
где
дРг дР2 дР± дР2
dyLk "dv~k ~dvk d\tk '
n—1 n—1
д ____ дРг VI dP2 daL дР2 VI dPx daj ,
dvk dai ’ da dvk jLJ дсц ’ да ’
z=0 z=o
n—1 n—1
д _ ^2 у dPr daj _________ дРг у дР2 дсц
du.k dai da dai da
z=o z=o
В заключение параграфа заметим, что аналогичные же формулы
нетрудно получить для оценки чувствительности нулей переда-
точных функций.
4-2. Функции чувствительности частотных
характеристик и показателей
Частотные методы являются основным инструментом при ин-
женерном синтезе систем автоматического управления. Из частот-
ных характеристик наиболее широко используются веществен-
ная Р (<о), мнимая Q (<о), амплитудная А (<о) и фазовая <р (<о)
характеристики. С передаточной функцией и между собой эти
характеристики связаны соотношениями:
W = Р (<о) + IQ (<о) = А (©) е‘ч> <“>;
А (®) = ]/Р2(со) + Q2(co);
<p(to) = arctg-ш-.
Чувствительность этих характеристик можно оценивать про-
изводными
дР (со) dQ (со) ф дЛ(со) дер (со)
да ’ да ’ да ’ да *
Эти функции могут быть использованы для косвенных оценок
временных функций чувствительности. При этом целесообразно
воспользоваться точными или приближенными зависимостями,
аналогичными зависимостям, устанавливающим связь между
свойствами переходной функции (или весовой функции) и частот-
ными характеристиками [6, 38].
Кроме того, во многих случаях частотные функции чувстви-
тельности непосредственно могут быть использованы для оценки
качества работы систем или отдельных их звеньев. Характерными
в этом отношении являются корректирующие устройства и узко-
полосные фильтры. Обычно эти звенья2должны в довольно узком
диапазоне частот (в идеале на фиксированной частоте) иметь ста-
бильные амплитудные или фазовые характеристики. О стабиль-
ности этих характеристик можно судить по величине функций
дА (со) дер (со)
—да" и ~ ^а ~ на соответствУЮ1Цих частотах.
При исследовании автоматических систем частотными методами
в качестве показателей, характеризующих критерии качества,
используют запас устойчивости по амплитуде /, запас устойчивости
по фазе р, показатель колебательности М, эквивалентную полосу
пропускания замкнутой системы <оэ и основные частоты амплитуд-
ной частотной характеристики разомкнутой системы: резонансную
частоту <0р, соответствующую пику амплитудно-частотной харак-
теристики; частоту (оп, соответствующую полосе пропускания
замкнутой системы и определяемую из условия А ((оп) = 1;
частоту среза <ос, для которой А (<ос) = 0,707.
В общем случае, когда амплитудно-фазовая частотная ха-
рактеристика разомкнутой системы несколько раз пересекает
8 Е. Н. Розенвассер 113
вещественную ось (рис. 4-1), запас устойчивости по амплитуде
можно оценивать величиной
I = max [№р (wi), 1 (ы2)] •
(4-Н)
Для оценки чувствительности этого показателя к вариациям
параметра а нельзя ограничиться сравнением обычных производ-
Wp (“>!.«) (“2, “) Q
ных и —- . Здесь существенную роль играет
удаление точек (Oj и <о2 расчетной (неварьированной) характери-
стики от критической точки с координатами (—1, /0). Неустойчи-
Рис. 4-1. Амплитудно-фазовая частотная ха-
рактеристика.
вость, т. е. потеря запаса
по амплитуде, наступает
в момент перехода одной
из точек (Oi или со2 через
точку (—1, Ю). При изме-
нении величины парамет-
ра а опасной может ока-
заться любая из этих то-
чек. Возможны ситуации,
когда первой критическую
точку перейдет точка с
меньшей скоростью изме-
нения ее положения от-
носительно точки (—1, /0).
Поэтому для оценки чув-
ствительности запаса ус-
тойчивости по амплитуде целесообразно сравнивать относитель-
ные величины:
max
(ИпГр^) д 1п Г-1 (со2)
dlna ’ dlna
В случае, когда годограф (/со) пересекает вещественную
ось только один раз, IFp ((oj —> оо. Тогда запас по амплитуде
определяется величиной 1Гр (со2), а чувствительность запаса по
амплитуде можно оценивать числом
dWp (со2) д In Fp (со2)
да dlna
Запас устойчивости по фазе (см. рис. 4-1) определяется соот-
ношением
ц = л+ фр(®„), (4-12)
где фр (<о) — фазовая частотная характеристика разомкнутой
системы.
Чувствительность запаса по фазе будем оценивать с помощью
соотношения
_ дфр (<оп)
да да '
Величина^ — чувствительность фазовой частотной характе-
ристики на частоте, соответствующей полосе пропускания зам-
кнутой системы.
Показателем колебательности называется максимальное зна-
чение ординаты М амплитудной частотной характеристики замкну-
той системы при начальной ординате, равной единице:
I (ио)
= Л (<о)макс = J t + /со)
макс
Чувствительность показателя колебательности будем оценивать
с помощью соотношения
дМ ____ дЛ (ф)макс
да да
(4-13)
Из (4-13) видно, что есть чувствительность амплитудной
характеристики разомкнутой системы на резонансной частоте <ор.
Приведенные выше показатели для систем любого порядка
принципиально могут быть выражены как функции параметров
объекта и регулятора. Поэтому имеется возможность для анали-
тической оценки их чувствительностей к вариациям указанных
параметров. Несколько сложнее обстоит дело с характерными
частотами функции А (со). Только частота <оэ, соответствующая
эквивалентной полосе пропускания замкнутой системы, выра-
жается в общем случае через параметры системы зависимостью
(0э= j Л2(<0)^<0. (4-14)
О
При этом чувствительность частоты <оэ оценивается следующим
образом:
(4-15)
О
Остальные характерные частоты практически в конечном виде
могут быть выражены через параметры системы или другие пока-
затели качества только для систем первого и второго порядка.
В частности, для трех типов систем выражения для частот <ор,
(оп и <ос приведены в табл. 4-1.
Для примера в табл. 4-2 и 4-3 даны выражения для функций
чувствительности характерных частот апериодического и коле-
бательного звеньев.
Таблица 4-1
Таблица 4-2
k
(Ос (0,707т)2
Функция чувствитель- ности “р п °C
д(й dk 0 k k Т22сос (0,707)2 х
2tonTz /(1 — 2£2)2 4~£2 — i Х-|/ (1-2^2+( /707 )2 1
дсо дТ з°^ 1 _^п Т 3> 1
ды д*> V 2| ( К (1—2%2)2 + - 1 + 1 _ 2g2) 26 (|Л (1 2У)’ + ( /707 ) 2 1 + 1 2V)
®ПГ2 /(1—2g2)2 + fe2-l (1 2^) + ( 0tfe707 )2 1
4-3. Способы получения функций чувствительности
частотных характеристик
Из предыдущего видно, что при оценке чувствительности частот-
ных характеристик и ряда показателей (запасы устойчивости по
амплитуде и фазе, показатель колебательности, эквивалентная
полоса пропускания) необходимо вычислять частные произвол-
дЛ(со) дер (со) .
ные вида —и , т. е. функции чувствительности частот-
ных характеристик.
Функции чувствительности частотных характеристик могут
быть найдены как расчетным путем при использовании соответ-
ствующих аналитических зависимостей, так и сняты эксперимен-
тально.
Рассмотрим возможные алгоритмы для расчета функций чув-
ствительности.
1. Численное дифференцирование. В этом случае вместо ам-
плитудной А (со, az) и фазовой ср (со, az) частотных характеристик
рассматривают соответствующие интерполяционные функции
А (со, az) и ф (со, az) и считают производные от А (со, az) и ср (со,
az) приближенно равными производным от А (со, az) и ф (со, az).
Очевидно, что при этом производные от амплитудной и фазовой
характеристик будут найдены с некоторыми погрешностями.
Представим функции А (со, az) и ф (со, az) в виде:
А (со, az) = А (со, az) + Rx (со, az);
ф(со, az) = ф(со, az) + R2(a, az),
(4-16)
где /?2 — остаточные члены интерполяционных формул.
На основании (4-16) имеем
дА (со, az)____дА (со, az) . dRx . dcp (со, az)
daz — dai "* daY ’ daz
__ дср(со, ах) . dR2 (4-17)
daz "г daz ’ ' '
Вследствие того, что за приближенные значения искомых
< » дА (со, az) dcp (со, az)
функции чувствительности принимаются —и и
dR± dR2
погрешности соответственно равны и
В вычислительной математике для приближенного дифферен-
цирования в основном используются алгоритмы, основанные на
интерполяционных формулах Лагранжа, Ньютона и Стирлинга [4].
В соответствии с этими алгоритмами функции А (со, az) и ф (со, az)
приближенно заменяются соответствующими интерполяционными
полиномами. Для этого необходимо найти значения частотной
и фазовой характеристик при определенном числе неравных зна-
чений каждого из параметров а(. Естественно, что это произво-
дится при фиксированных значениях частоты <о. Число узлов ин-
терполирования определяет точность дифференцирования.
Так, выражения для чувствительности, основанные на первой
интерполяционной формуле Ньютона [4], имеют вид:
dA(tok, __ 1 да[ h t (<oA, a,) + £ (- I)’"1 s=2
<?<p(<Qfe, az) _ 1
да[ h
N
Д<р(®ь «О + 2 (- О5"1
s=2
где h = —a!'—1); — равноотстоящие узлы интерполи-
рования.
При малых h точность дифференцирования оценивается выра-
жениями:
о _ (-1)Л' Д"+1Л(аг) _ (-1)" АУ+1Ф<Ч)
h ’ N + 1 ’ h N + 1
Очевидно, что простейшие расчетные формулы численного
дифференцирования имеют вид:
дА (сод,«,) _ A (cafe,a, + Да,) — А (<Qfe. «0. '
<?az Да,- ’
g(p(<Ofe, at) <р (<Qfe, а, + Да/) — <р (cot, а/) (4'18)
да,- ~ Да,-
Погрешности в определении функций чувствительности по этим
соотношениям достигают величин
п ____ Aaz / д2А \ d — _ / д2(р \
; 2 wk1
где |1Х- , |2Х- — некоторые числа в интервале (ax-, + Aaz).
Таким образом, погрешность определения функций чувстви-
тельности по формулам (4-18) зависит как от величины вариа-
ции Дах, так и от значений функций чувствительности второго
порядка в точках и |2Х-. Очевидно, стремление получить как
можно более точное значение функций чувствительности может
привести к тому, что необходимые величины Дс^ будут соизмеримы
с погрешностями вычислительной машины. Вследствие этого при-
дется переходить к использованию более сложных формул числен-
ного дифференцирования. В результате при значительном числе
параметров ах- и при большом числе значений частот (&k объем
вычислений может превзойти практически допустимые пределы.
Поэтому численное дифференцирование целесообразно применять
только для грубых оценок функций чувствительности частотных
характеристик. В других случаях целесообразно использовать
формулы, полученные в результате точного (аналитического)
дифференцирования выражений для амплитудных и фазовых
частотных характеристик.
2. Использование формул, получаемых на основе представления
передаточной функции в виде дробно-линейной функции относи-
тельно параметра. Во многих случаях параметры системы входят
в коэффициенты передаточной функции линейно. Поэтому пере-
даточную функцию можно записать в виде:
W7 (п\ _ R (₽) _ (р) + а1^2 (р) /Д 1 Q\
(Р)~ ЛЧр) “ В1(р)+а£В2(р) ’ 1 ;
где Сх (р), С2 (р), Вх (р), В2 (р) — полиномы от р, коэффициенты
которых от az не зависят.
В соответствии с выражением (4-19) для амплитудной и фазовой
частотной характеристик получаем
Л / 4,<-> + »Уе, <"> + Ч](»> = |R«M)I . (4.20)
|/ (“) + а^в2 («) + 2аг6 (<о) 1Л,(/“)1
со (со аЛ — arete? ^2 (ю) + а/^22 (ю) мои
<р (со, а,) - arctg (ш) + аА1 (ш) arctg (щ) + (ш) ,(4 21)
где
с (<о)=си(со) с21(со)+q,((D) c22((d); 6(w)=6п((о) д21(<о)+612(ю) Ь22((о);
Ас, Н = С11 (®) + ci2 (®)‘- Ав> (<*>) = (®) + ь\ч (®);
АС2 (<*>) = С21 (®) + С22 (®)> АВг (“) = 621 (®) + 622 (®)l
cu (tt>) = Re Ci (/(d); bn (®) = Re (/co);
ci2 (®) = Im Cx (/(d); b12 ((d) = Im Bx (/©);
C21 (®) = Re Ci b21 (®) = Re B2
c22 (®) = Im C2 (jay, b22 ((d) = Im B2 (».
(4-22)
В результате дифференцирования соотношений (4-20) и (4-21)
по параметру az с учетом зависимостей (4-22) получим выражения
для функций чувствительности частотных характеристик:
дА (и, a() _ az [4. (®) — А2 <“) Ав, ] + с(®) — д2 (“) b (и)
dat ~ А ((о) | N (/со) |« ’
д(р (и, а() _ сп (и) с22 (и) — с21 (и) с12 (w) 6U ((d) Ь22 ((о) — 621 (со) 612 ((d)
да, ~ |Я(>)|2 |W(/(D)|2
(4-24)
При расчете функций чувствительности амплитудной и фазовой
частотных характеристик по формулам (4-23) и (4-24) необходимо
иметь выражения для амплитудной характеристики, для квадрата
модулей числителя R (р) и знаменателя N (р) передаточной функ-
ции и для величин c[s (wA) и b[s (®А), l,"s =1,2...
Если значения амплитудной характеристики на интересующих
нас частотах заранее не заданы, то они могут быть определены
по соотношению (4-20). Из этого же соотношения нетрудно полу-
чить зависимости для нахождения | R (/со)|2 и | N (/со)|2. Так
как эти величины аналитически связаны с амплитудной характе-
ристикой, то по известной величине амплитудной характеристики
на фиксированной частоте и величине одной из этих характеристик
может быть однозначно найдена величина другой.
Допустим, например, что мы нашли Л2(<о*) и | R I2-
Тогда имеем
IA4/W— 1 лз(ЙР ' (4'25)
Заметим, что с вычислительной точки зрения целесообразно
вначале находить именно | R (/со*) |. Это связано с тем, что порядок
числителя передаточной функции реальной системы обычно меньше
порядка знаменателя.
Величины A (со*) и | N (/со*) | для всех at- имеют одни и те же
значения. Поэтому они вычисляются всего один раз и запоми-
наются в соответствующих ячейках памяти ЦВМ. Величины же
Cis (со*) и bts (со*) для каждого параметра at- определяются в об-
щем случае по различным формулам и имеют различные значения.
Расчетные формулы выводятся отдельно для каждой конкретной
системы. Заметим, что в этом заключается основная трудоемкость
метода. Общее число таких формул
= 4р, (4-26)
где р — число параметров at-.
Таким образом, в данном алгоритме определения функций
чувствительности частотных характеристик универсальными яв-
ляются основные расчетные формулы и индивидуальными — вы-
ражения для определения величин cts (со*) и bts (со*).
В заключение данного пункта заметим, что использование (4-19)
в общем случае допустимо только тогда, когда в качестве пара-
метров а£ рассматриваются коэффициенты системы дифферен-
циальных уравнений, которой задаются объект и регулятор. В ча-
стном случае это справедливо для передаточных функций пассив-
ных электрических цепей.
В общем же случае при исследовании чувствительности ча-
стотных характеристик к первичным параметрам системы, особенно
объекта, непосредственное применение (4-19) невозможно. Харак-
терными в этом отношении являются передаточные функции управ-
ляемых и неуправляемых летательных аппаратов, если нас инте-
ресуют, например, такие параметры, как плотность атмосферы,
аэродинамические коэффициенты и т. д. В этом случае более
универсальной является методика, изложенная в следующем
пункте.
3. Использование формул, получаемых в результате рассмо-
трения амплитудной и фазовой частотных характеристик, как
сложных функций. Пусть имеем передаточную функцию системы
Г(р) =
Ьтрт + Ьт-Гр^-1 + • • • +
Рп + Н--------------+ а0
(4-27)
Представим амплитудную и фазовую частотные характеристики
системы как функции коэффициентов (i = 0, 1, . . п — 1)
и bi (i = 0, 1, . . tri):
А (со*) = А (со*, а0, а1г . . an_v Ьй, blt . . bm); 1
ф(©л) = ф(со*, а0, аъ . . а„_1( b0, blt . . bm). J
Так как коэффициенты передаточной функции определяются
параметрами аь то зависимости (4-28) характеризуют сложные
функции:
Л (со*) = А [со*, aQ (а,)...ап_г (az), b0 (а,), . . bm (а,)];)
Ф (со*) = ф [со*, a0(az)....Мас)...................(«/)!• / ’
Тогда в соответствии с правилом дифференцирования сложных
функций получаем следующие соотношения для значений функ-
ции чувствительности частотных характеристик:
п—1 т
ЭА (<>*) _ дА (<о*) _ das VI дА (ык) . dbs /4 ол\
да/ £-1 das da, ' dbs da£- ’ ' '
s=o s=o
n—1 m
дф (co*) _ y, dq> (a>k) . das V* дф (ak) . dbs (4-31)
да/ 4Ш das * дац dbs ’ да* * ' '
s=o s=o
dA dA дф дф
Сомножители-^-, определяются только струк-
турой (видом) передаточной функции и значениями коэффициентов
as и bs. Выражения для вычисления величин этих сомножителей
для фиксированных частот являются универсальными и могут быть
составлены заранее. В частности, они могут быть получены для
передаточной функции самого общего вида (4-27).
Действительно, известно, что амплитудная и фазовая характе-
ристики для такой передаточной функции могут быть представ-
лены в виде
А (а) - 1/ °2 (<й) + 62 (<0) •
л (СО) - у С-2 (<о) + (<о) .
<d Гпй = arcta М<0) с (со) ~ a (со) d (со)
ё а (<о) с (<о) + b (<о) d (<о) ’
где
а (со) = bQ — Ь2а>2 + d4co4 — • • •;
b (co) = &j(o— 63co3 + 65co5 — • • •;
c (co) = a0 — a2(a2 + a4co4 — • • •;
d (co) = (ZjCo — a3co3 a5co5 — • • •.
Тогда нетрудно показать, что
дА (со)
дЬ3
s
(—1)2 <0® > если s — четное,
v ' IR (/«) |2
s—1
(—1) 2 <os > если s — нечетное;
дА (co)
das
s+2
l“<o®
c (co) Л3 (co)
IR (/<>) |2
s+l
> 2 (0s
d (co) A3 (co)
|R(/®) I2
если s — четное,
если s— нечетное;
s±_2
(—1) 2 > если s — четное,
dtp (co) _ 1K ua>) ।
dbs -| *±1
(—1) 2 (os । > если s—нечетное;
dcp (co)
das
(—1)2 cos | R (/co) | 2 A2 (co) d (co), если s — четное,
s~H
(—1) 2 <os | R (/co) |-2 Л2(<о) c(w), если s — нечетное.
По этим формулам нетрудно составить таблицы для типовых
передаточных функций.
Сомножители и определяются внутренней структурой
системы. Выражения для их определения для каждой конкретной
системы находятся отдельно (индивидуально). Таким образом,
основная подготовительная работа при использовании данной
методики вычисления функций чувствительности частотных ха-
рактеристик сводится к нахождению выражений производных
и . Количество этих выражений равно
Ь2 = р (т 4- п + 2).
Обычно нахождение этих зависимостей требует значительно
меньших затрат времени, чем составление выражений для вычис-
ления значений функций qs (<о) и Ьи (со) в предыдущей методике.
4. Рационализация амплитудной и фазовой частотных харак-
теристик.
В соответствии с этим подходом предлагается так видоизменять
амплитудные и фазовые характеристики, чтобы значения соответ-
ствующих функций чувствительности или пропорциональные им
величины получались с помощью менее сложных выкладок и
формул. Таких искусственных приемов можно предложить не-
сколько. Перечислим только некоторые из них.
Вычисление функций чувствительности амплитудной харак-
теристики может быть значительно упрощено, если использовать
не саму амплитудную характеристику, а ее квадрат. При этом
получаем
S1 =2А S1 (“)’ (4-32)
где
5,(0)) =
М(со)
да
Для логарифмических функций чувствительности соответ-
ственно
«2 = 2S2 (<*>)> <4'33)
где
Таким образом, функции чувствительности Si (со) и Sg (со)
пропорциональны функциям Sx (со) и S2 (со), причем в первом
случае коэффициент пропорциональности является функцией
частоты со.
Аналогично на фиксированных частотах можно оценивать
функции чувствительности фазовых характеристик. Действи-
тельно, представим фазовую характеристику в виде:
ср (со) = arctg ф(со).
Тогда
о /Г|й _ д<Р(<о) _ 1 .дф(со)
3' ' да 1 4- 'Ф2 (со) да
Очевидно, что чувствительность фазовой характеристики мо-
жет оцениваться с помощью выражения
5зИ = Т’ (4-34)
Существенный выигрыш в вычислениях может быть получен
и при использовании обратных передаточных функций.
Пусть имеем передаточную функцию
IW / ч _ Ьтрт • • • + frlP + frp _ R (Р)
(Р) ~ Рп + ап.1Р^ 4- ... + а1Р + а0 “ N (р) ’
Рассмотрим обратную передаточную функцию
V(p) = W-^p) =
рп 4- ап.1рп 1 -I-+ д,р + g0 = N (р) .
Ьтрт 4- • • • 4- friP + fro
(4-35)
(4-36)
Для передаточных функций (4-35) и (4-36) находим соответ-
ственно следующие амплитудные и фазовые характеристики:
4(со) =
а2 (со) 4- Ь2 (со)
с2 (а) 4- d2 (а) ’
m —_________^fr (со) с (со)—а (со) 4 (со).
<Pi (®) — arct§ a ((0) с (и) 4- j (<») d (co) ’
A2 (co) = ЛГ1 (co); q>2 (<o) = — q>i (co),
где
a (co) = Re R (ico); c (co) = Re N (ico);
b (co) = Im R (ico); d (co) = Im N (ico).
С помощью приведенных выражений легко получить следующие
соотношения между функциями чувствительности обратных и
прямых характеристик:
= _ lo (co). da A2 (co) 1' f (4-37)
^=-S3(co). (4-38)
Для логарифмических характеристик имеем
д I?,4*(<й) = — S2 (со); dlna 2V р (4-39)
Э1пф2(ш)=5 dlna 3V 1 (4-40)
Определенные упрощения возможны при рассмотрении мини-
мально-фазовых систем.
Известно [38], что между амплитудной и фазовой частотными
характеристиками минимально-фазовых систем существует связь,
выраженная зависимостями:
In А (со) = — — 1 ^-dk,
' } Л J Л — (0 ’
--ОО
v v 1 л J % —co
—co
(4-41)
Нетрудно показать, что аналогичные же связи существуют
и между соответствующими функциями чувствительности. Основ-
ные связи имеют вид:
р dtp (%)
дА (со) ____ А (со) I да
да ~~ л J % — со *
--ОО
д 1 п А (со) 1 f d In ф (%) dh
dlna nJ dlna % — co’
--00
JdA (X)
da .
A (%) (% — co)
--00
dlncp(co) _ 1 rd In 4 (%) dk
dlna лф (co) J dlna X—co *
(4-42)
Таким образом, по известным характеристикам или
din А (со) dtp (со) dlnф(co)
—ч-, можно определить или - .7 и, соответственно,
д In a r da d In a
наоборот. На практике для нахождения и д по
известной функции д удобно пользоваться выражениями:
= 7 d г<цпл<чъ„с1 иь
da ла J dy L dlna J ь | 2 | r
------------00
7 d Гд-lnAW Incth| у Ь
d Ina л j dy L d Ina | 2 | ' ’
----------------00
1 *
где у = In — .
5. Определение функций чувствительности амплитудной и
фазовой частотных характеристик через переходные процессы.
« дА (си) din А (со) dcp(co)
Определение функции чувствительности , --з 1Пц • > да
и д ) путем непосредственного дифференцирования частот-
ных характеристик А (со) и ср (со), даже с учетом предложенных
выше приемов, представляет собой чрезвычайно трудоемкую
операцию. Эта операция значительно усложняется, когда иссле-
дователь не имеет выражения для передаточной функции. Полу-
чение передаточной функции является иногда, в свою очередь,
отдельной, не менее сложной задачей. В качестве примера можно
126
сослаться на получение передаточных функций сложных активных
и пассивных корректирующих цепей.
Указанный недостаток частично устраняется при определении
функций чувствительности частотных характеристик через пере-
ходные процессы системы. Идея метода, который в дальнейшем
будем называть методом временных характеристик, заключается
в следующем.
Как известно, амплитудная характеристика А (со) связана
с вещественной Р (со) и мнимой Q (со) частотными характеристиками
соотношением
Л2(со) = Р2(со) + Q2(co).
В свою очередь, для частотных характеристик Р (со) и Q (со)
имеем [38]
ОО
р (со) = j k (t) cos со/ dt\
о
ОО
Q (со) = — J k (/) sin co/ dt,
о
где k (/) — импульсная переходная функция системы. Тогда для
функции чувствительности амплитудной характеристики полу-
чаем
дА (со)
да
1_
оо \2/оо \ 21 2
J k (/) cos tot dt I + I J k (/) sin tot dt I
о 7 \o 7 .
j k (/) cos tot dt J v (t) cos totdt + J k (t) sin tot dt J v (/) sin tot dt
0 0 0 0
или
<M2(co)
da
J k (/) COS (dt dt J V (/) COS (dt dt +
О о
OO 00
+ J k (t) sin totdt f v (Z) sin totdt
о 6
dk (t)
где
Для устойчивых систем приведенные выше формулы имеют вид:
дА ((d)
да
т \2 /т \2
J k (/) cos (dt dt I + I J k (/) sin (dt dt j
о /Vo /
T
J k(f)Q.GS(dtdt Jv(/)cos(D/df + J k (f) sin (dtdt J v (/) sin (dtdt ;
_o о о о
(4-43)
(со) 9
да ~
- т т
J k (t) cos atdt v (t) cos o>/ dt +
.0 6
т т
+ J k (t) sin at dt J v (t) sin at dt
о о
(4-44)
где T — время действия импульсной переходной функции.
Для фазовой характеристики
<Р (ю) = arctg-^-
аналогично получаем следующие выражения для функций чув-
ствительности:
dtp (со)
да
- т т
J k (/) sin со/ dt J v (/) cos (dt dt —
.0 0
T T
— [ k(t) cos (dt dt j v (/) sin (dt dt
6 0
т T
= J k (t) sin (dt dt J v (/) cos (dt dt —
a о 0
T T
— j* k (/) cos (dt dt J v (/) sin (dt dt.
о 0
(4-45)
(4-46)
Выражения (4-43)—(4-46) легко поддаются реализации на
элементах непрерывных вычислительных машин. Так, на рис. 4-2
изображена структурная схема, реализующая выражения (4-44)
и (4-46). На схеме обозначены: блоки произведений 5/7, интегри-
рующие устройства ИУ, суммирующие устройства СУ.
В этой схеме можно использовать реальные системы или их
элементы, например корректирующие цепи, и реальные модели
чувствительности, например, для корректирующих /?£С-цепей.
Рассматриваемый в данном пункте метод временных характе-
ристик дает возможность составить универсальную (пригодную
для любых линейных систем) программу для определения функ-
ций чувствительности на УЦВМ.
Для составления такой программы необходимо только иметь
дифференциальное уравнение системы в виде:
(р) 4- аВ2 (р)] х = 0; 1
t = 0, рП-1Х = Хо'1-1), . . • , рх = Хо, X = Хо, I
d
где р = ; п — порядок уравнения.
Если величина времени переходного процесса Т заранее не
известна, то она может определяться в машине по условию
| k (/) | Ло Для
где До — заданное положительное число.
Довольно просто амплитудная и фазовая характеристики функ-
ции чувствительности могут быть оценены по известной весовой
функции чувствительности, если воспользоваться приближенным
Рис. 4-2. Структурная схема устройства для определения
функций чувствительности частотных характеристик по ве-
совым функциям.
графоаналитическим методом определения амплитудно-фазовых
характеристик систем по переходным функциям, предложенным
в работе [35].
Применительно к рассматриваемой задаче идея метода заклю-
чается в следующем.
Функция чувствительности передаточной функции v (р) свя-
зана с функцией чувствительности функции веса v (t) преобразо-
ванием Лапласа
ОО
v (р) = J v (/) e~pt dt.
о
9 Е. Н. Розенвассер
(4-48)
129
Пусть функция v (t) известна. Аппроксимируем график этой
функции отрезками прямых, сдвинутых относительно начала коор-
динат по оси времени на интервалы тг и расположенных под раз-
личными углами по отношению к оси времени. При этом вместо
непрерывной кривой v (/) получаем ломаную v* (/):
v (0 v* (0 = kot + (/- Т1) + • • • + kn (t - т„). (4-49)
Подставляя (4-49) в выражение (4-48), получаем
v (Р) = (k0 + kte~x,p ++ kj-V), (4-50)
откуда легко найти выражения для вещественной Pv (и) и мнимой
Qv (со) частей функции v (р):
Pv (ш) = _ _L cos Tjw -J----1- kn cos тп<о);
Qv (®) = (feisin 4® +------h kn sin t„co).
По Pv (и) и Qv (<a) нетрудно определить искомые значения
Av (<») и <pv (со).
Заметим, что для повышения точности в принципе кусочную
аппроксимацию функции v (/) можно осуществлять не только
линейно, но и с помощью полиномов более высоких порядков.
В частности, при параболической аппроксимации
v* (/) = k01t + k02t2 + ku (t — тх) -f- £12 (t—xj2 H-h
+ knl (t — x„) + kn2 (t — x„)2
получаем
Pv (co) = A- (—£O1(O — £n(0 COS (OTX + 2&12 Sin (OTj + • • • +
+ £nl(o cos (отп + 2£n2 sin сотд);
Qv (co) = -^-(2£02 + An(o sin (отх + 2&12 cos cdtx + • • • +
+ Artl(o sin (отЛ + 2£n2 cos (отЛ).
6. Экспериментальное снятие функций чувствительности ам-
плитудной и фазовой частотных характеристик [48]. При нуле-
вых начальных условиях изображения выходного х и входного у
сигналов линейной стационарной системы связаны зависимостью
х(р) = Г(р)р(р),
где W (р) — передаточная функция системы.
Для изображения функции чувствительности при этом полу-
чаем
и(Р) = ^И =
да да у
Для частотной передаточной функции справедливо соотношение
fl7(t®) = Л(со)е'<₽(ю).
Соответственно
где
ф2 (со) = ф (со) + (со);
4,1W = arrfg^[A!^W]-'.
(4-52)
Рис. 4-3. Блок-схема установки для экспериментального снятия функ-
ций чувствительности частотных характеристик.
При известных А (со), ср (со), В (со) и фх (со) соотношения (4-52)
могут быть использованы для определения и • Рас-
четные формулы, полученные на основе (4-51), имеют вид:
= В (со) cosipj (со);
Ят( , (4-53)
= В (со) А 1 (со) sin (со).
Таким образом, схема установки для снятия функций чувстви-
тельности амплитудных и фазовых частотных характеристик при-
нимает вид, изображенный на рис. 4-3.
В модели исходной системы реализуется передаточная функ-
ция W (р), а в модели чувствительности — функция •
Счетно-решающее устройство предназначено для вычисления
я п0 выРажениям (4-53). В лабораторных условиях
при отсутствии такого вычислительного устройства расчеты
по соотношениям (4-53) можно выполнять вручную.
Естественно, что измерения амплитуд Л и В и фаз <р иф2
должны на каждой частоте производиться в режиме вынужденных
9* 131
колебаний, т. е. по истечении времени, достаточного для зату-
хания свободных колебаний как в модели исходной системы,
так и в модели чувствительности. В принципе можно на выходах
моделей иметь в любой момент времени после включения установки
на снятие частотных характеристик только вынужденные коле-
бания. Это достигается за счет установки в модели исходной си-
стемы и в модели чувствительности соответствующих начальных
условий.
Для автоматической оценки чувствительности показателя ко-
лебательности установка, изображенная на рис. 4-4, должна иметь
устройство для определения максимума амплитудной характери-
Рис. 4-4. Блок-схема установки для оценки чувствительности показа-
теля колебательности.
стики А («). На рис. 4-4 это устройство реализуется с помощью
измерителя амплитуд и логического устройства. При включении
установка работает в режиме поиска пика (максимального значе-
ния) амплитудной характеристики. В этом режиме рабочий сиг-
нал в модель чувствительности и далее на регистрирующую
аппаратуру не проходит. Поиск максимума амплитудной харак-
теристики может осуществляться как последовательным просмот-
ром всего частотного диапазона (слепой поиск), так и с исполь-
зованием градиентных методов. После нахождения максимума
логическое устройство включает в работу модель чувствитель-
ности, регистрирующую аппаратуру и счетно-решающее устрой-
ство. Последнее при оценке чувствительности показателя колеба-
тельности предназначается только для реализации первого соот-
ношения (4-53).
4-4. Чувствительность классических интегральных
оценок
Рассмотрим обобщенную интегральную оценку [38]
со
Iv = ^Vdt,
О
где
п
V (/) = 2
/. *=1
a/k — постоянные величины; xt, xk — координаты системы.
В силу коммутативности интегрирования по времени t и диф-
ференцирования по параметру а для чувствительности интеграль-
ных оценок можем записать выражение
dlv
да
со п
= f S a,k (да Xk да Xl) dt =
О /, k=l
П Г ОО
= 2 a’k I (u,xk + dt
i, fe=i Lo
(4-54)
Как и интегральные оценки, выражения типа (4-54) могут быть
вычислены без нахождения функций времени х{ (/) и и{ (/). В ча-
стности, для этой цели можно воспользоваться следующим прие-
мом.
Нахождение оценки (4-54) сводится по существу к нахождению
несобственных интегралов от произведений оригиналов двух
функций:
со
Ilk = (4-55)
о
Для изображения по Лапласу произведения х{ (/) uk (/) находим
со
L [х7 (0 uk (01 = J Xj (t) uk (0 e~ptdt. (4-56)
о
Сравнивая выражения (4-55) и (4-56), получаем
Iik=L[xt(t)uk(f)]p=,. (4-57)
В то же время по теореме комплексного свертывания опреде-
ляем
c-j-ioo
L[Xj{t)uk(t)} = J х;(а)ыА(р —<j)d<j =
C—I co
C-f-Zoo
== 2ЙГ J XAP~cr)ut(a)da,
C—foo
откуда для случая, когда X/ (р) является дробно-рациональной
функцией, имеющей р различных полюсов р1г . . ., рр кратно-
о
сти тг.....ffip, причем S = п, получаем
Р ms
L[x/(/)u*(0] = SS
s=l q=\
(-if5 %(p~9s) Г dms-^(p)
(ms — q)l dpms~4
(4-58)
где
^sq = (9—1)! — sxl
Из выражения (4-58) на основании (4-57) находим
<7 ms
hk=
s=l q=l
(—1)____Gs? ( Pt) 4_______(P)
(rns — 9) L dpms~4
P=PS
(4-59)
В случае, когда xz = является дробно-рациональной
функцией с простыми полюсами, выражение для Ijk упрощается:
S=1
Ajtps)
tyPs)
(4-60)
Для этого случая оценку (4-54) можно записать в виде:
п
П Aj (Ps)
д/у V
да
uk(—ps) +
I. *=1
S=1
Bi(Ps)
п
(Ps)
«/(— Ps) .
(4-61)
S=1
В качестве примера определим чувствительность интегральной
квадратичной оценки
/0 = J х2 (0 dt при х(р) = + j
о
по отношению к коэффициенту затухания
Получаем
-%r = 2fx(0-S-dt
dg J '' dg
Изображение х (р) имеет два полюса:
Pi=-l + V^T; p2 = -I-VF=T. (4-62)
Для данного примера находим
Х^ = 4$Г' Л(р) = р; B(p) = p2 + 2gp+l;
В'(р) = 2(р + Ю;
и (п) - _________________
иУР>~ dl (р2-|-2|р-|-1 )2
Тогда в соответствии с выражением (4-61) получаем
д10 ____________Рч_____________________4_______
(Pi-H)(p?-2gP1 + l)2 (p2 + g)(p^-2gp2 + l)2’
откуда с учетом (4-62) имеем
д1л _ JL
Ъ 4^ ’
4-5.. Чувствительность критериев оптимальности
Одним из основных направлений современной технической
кибернетики является развитие теории и практики оптимального
управления. Обычно задача об оптимальном управлении разби-
вается на две задачи [24]: задачу об оптимальной программе
управления и задачу об оптимальном законе управления. Как
программа, так и закон управления синтезируются при мини-
мизации или максимизации соответствующего функционала —
критерия оптимальности — с учетом определенных ограничений.
Обычно при синтезе оптимальных программ и законов исполь-
зуется априорная информация о динамических характеристиках
объекта, возможных внешних возмущающих воздействиях, на-
чальных условиях для отдельных участков процесса управления
и т. д. Но реальные характеристики систем отличаются от ожидае-
мых. Вследствие этого синтезированное управление может ока-
заться неоптимальным. Кроме того, само управление в резуль-
тате погрешностей измерительных элементов, вычислительных и
исполнительных устройств обычно отличается от. -расчетного. Это
также может привести к нарушению условий оптимальности.
Для оценки влияния указанных факторов на величину значения
критерия оптимальности целесообразно воспользоваться аппаратом
теории чувствительности.
Обозначим функционал, характеризующий качество системы
оптимальности, следующим образом:
7 = I [X (/, oCj,..., • •., &s), . •., оСж, • • *, 7*],
(4-63)
где ku . . ., ks— параметры управления.
Предполагается, что задача отыскания оптимального управле-
ния сведена к задаче на условный экстремум функции многих
переменных. Оптимальное значение функционала при расчетных
значениях параметров а1( . . ат запишем в виде:
' Iх (' .4 . 4. 4........1 < 4’- • • 4J) 1
(4-64)
Пусть’реальные значения параметров а, и kt отличаются от
расчетных на малые величины Да, и ДА,. Тогда, разлагая (4-63)
в ряд Тейлора и пренебрегая членами выше первого порядка
относительно Да, и ДА,, получаем
т т
ы <4-б5>
/=1 1=1
Предполагаем, что минимум функционала I достигается внутри
области допустимых параметров управления. Поэтому частные
di ж
производные характеризующие чувствительность функцио-
нала к вариациям параметров Аь . . ., ks, равны нулю.
Из соотношения (4-65) получаем, что чувствительность рассма-
триваемого функционала (4-63) к изменениям параметров оцени-
вается выражением
, д! дХ . д!
* дХ dai ~ да,£
В качестве показателя оптимальности во многих технических
задачах используются функционалы вида
Т (а)
Z= J Q(X, V, /, a) dt, (4-66)
^0
где V — управление.
Обычно время Т задается заранее. Но встречаются задачи,
в которых момент Т определяется скалярным условием
Q [X (Т), Т, а] = 0. (4-67)
Очевидно, что при этом момент времени Т является функцией па-
раметра а.
Функция чувствительности показателя (4-66) имеет вид:
^-=Q(X(7-), V(T). Т. «)-£ + ) [>> +
о
1 дУ да 1 да J
Производную -j- определяем с помощью соотношения (4-67):
ДОС
ай ах . ай
dT дХ ' да + да
da ~ ай ах , ай
ах ' дт + дт
или
al __ Ол /л ро\
da ^хГ) F [Х V (Г)’ Т’ “1 + ^дР’ '
ил 01
гдеи (Т) — вектор-функция чувствительности решения при. / = Т\
F [X (Т), Т, а]—правая часть дифференциального уравнения
системы при t = Т.
В принципе функцией параметра а может являться и нижний
предел интегрирования в функционале (4-66), т. е.
/ = /0(а).
При этом /0 определяется скалярным уравнением
«11Х(/0), /0(«)> а] = 0. (4-69)
Функция чувствительности функционала (4-66) при варьируе-
мом t0 определяется выражением
-g-=Q[X(T), V(T), T,a]-g—Q[X(Z0), V(/o), +
+ f + 4v--TT- +-7Г-] dt- (4-70)
1 J I. dX da 1 dV da 1 da J 4 *
^0
Производная находится по формуле (4-68), а производная
ДОС
-j-2- — по формуле
4/, _ ах да . п
ил OIq
С помощью аппарата функций чувствительности можно оценить
влияние неточности исходной информации о параметрах неизмен-
ной части системы (объекта, исполнительных устройств и измери-
телей), возмущающих воздействиях и начальных условиях на
значения параметров, определяющих оптимальность управления.
Рассмотрим для простоты функционал
/ = /0(£х, k2,...,ks, X, a), (4-72)
зависящий от одного параметра а, характеризующего объект или
внешнее воздействие, и принимающий минимальное значение
137
внутри области допустимых параметров управления klt . . ks.
Очевидно, что оптимальные коэффициенты k®....6® являются
функциями параметра а. Влияние параметра а на эти коэффициен-
ты будем оценивать производной (функцией чувствительности)
dkj
da
Известно, что при сделанном выше предположении коэффи-
циенты k°i определяются с использованием необходимых условий
наличия минимума функционала (4-72):
-#- = 0, /=1,2,...,$. (4-73)
Введем обозначения:
= Ф/ [*? (а).. («). а] > *=1,2...$.
Тогда после дифференцирования соотношений (4-73) по а получаем
4^-+У.-Э£--?£ = о> » = 1,2, .... s. (4-74)
да 1 AJ dk,- da ’ ’ 4 '
/=1
Выражения (4-74) представляют собой систему линейных неод-
нородных алгебраических уравнений относительно производ-
dkj
ных . Пусть определитель системы отличен от нуля, т. е.
dk"
Тогда искомые величины -т— находятся по формулам
= —-V, 1=1, 2, .... s, (4-75)
da Л ’ ’ ' '
где
д __________О (Ф1, Фг...Фз)_______
D (Л®, ..., а, .........й®)
При малом Аа приращения оптимальных коэффициентов могут
быть определены по соотношениям
Д6» = Аа.
« da
В случае нескольких параметров объекта и возмущающих воз-
действий имеем
Д£« = V Да,.
1 £-1 daj 1
/=1
Рассмотрим решение последней задачи при наличии ограниче-
ний в виде равенств:
v, (йр ..ks, а) = 0, i = l,2...I. (4-76)
Известно [20], что в этом случае вспомогательная функция
Я=/+Е^/ (4-77)
/=1
позволяет заменить задачу с ограничениями задачей без ограни-
чений. В выражении (4-77) величины являются множителями
Лагранжа. Необходимые условия наличия минимума функции
(4-72) с учетом условий (4-76) принимают вид:
-^ = 0, *=1, 2, .... s (4-78)
ИЛИ
I
-Ж- + У. = °. *=1,2.............s. (4-79)
aki 1 1 dki ’ » » > ' '
/=1
Переменные ku . . ., ks, . . ., X, могут быть найдены как
решение уравнений (4-76) и (4-79). Производные от выражений
(4-76) и (4-79) по параметру а можно записать в виде:
S
^+У^/=0> t=l, 2,...,/;
да 1 dkf da 9 9 9 9
/=1
где
— dkt ’
vit
dvj
dkt *
Выражения (4-80) можно рассматривать как систему (/ + s)
линейных алгебраических уравнений относительно производ-
ных-^- (j = 1, 2, . . ., s) и (j =1,2, . . ., /). Коэффициенты
этих уравнений могут быть вычислены аналитически или численно
по известным функциям vt и /. Искомые производные харак-
теризующие чувствительность оптимальных коэффициентов управ-
ления, находятся в результате решения рассматриваемой алгебраи-
ческой системы (4-80). При этом могут быть вычислены и произ-
водные по параметру а множителей Лагранжа.
В настоящее время при синтезе систем автоматического управ-
ления начинают использоваться статистические (вероятностные)
критерии оптимальности. Наиболее употребительными являются
следующие критерии [3]:
дисперсия ошибки системы в некоторый момент времени /
Dx (Т, а) = т [х2 (Т, а)]; (4-81)
второй начальный момент ошибки системы в некоторый момент
времени Т
Гх (Т, а) = Dx (Т, а) + m2x (Т, а); (4-82)
определенная функция от математического ожидания и диспер-
сии ошибки системы
<р (Т, а) = ф (tnx, Dx). (4-83)
Момент времени Т может быть заданным или же определяться
уравнением
Q[mx(T), Т, а] = 0. (4-84)
В приведенных выше выражениях х (Т) — центрированная
случайная величина, mx (Т) — математическое ожидание случай-
ной величины х (Т).
По аналогии с детерминированными критериями в качестве
оценок чувствительности будем рассматривать производные
dDx(T) drx(T) d<p(T) л
—и —При этом приходится пользоваться
операцией дифференцирования случайных функций по пара-
метру. В известной нам литературе эта операция не освещена.
По аналогии с дифференцированием случайных функций по
времени [34] будем называть производной случайной функции
,, . . dx (t, а)
х (t, а) по параметру а такую другую случайную функцию—,
которая определяется равенством
dx(t,a) _x(t, a-f-Aa)—х (t, а)
da Да-»0 Да ’
причем
lim m/Г + = 0.
Да->0 Ц da Д« -I /
Допустим, что условия существования производной вы-
n dDx (Т) п
полняются. Рассмотрим производную —* . Вначале предпо-
ложим, что момент времени Т задан, т. е. от параметра а не зави-
сит. Тогда можем записать
dDx(T)
da
= lim
Д(Х->0
m [х2 (Г, a + Aa)] — m [x2 (T, a)]
Aa
Воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий
и тем фактом, что операции предельного перехода и нахождения
математического ожидания можно менять местами. Тогда послед-
нее выражение можно представить в виде:
= т = 2т “)!• (4-85)
После соответствующего преобразования правой части соотно-
шения (4-85) получаем
-^к = 2Кхи(Т),
где Кхи (Т) — корреляционный момент случайных величин х (Т)
и и (Т).
Для критериев (4-82) и (4-83) аналогичные рассуждения и
выкладки дают
= 2Кхи (Т) + 2/их (Т) mu (Г);
= 2 у) КХ11(Т) + (Г) mu(Т).
da dDx х х ’ дтх ' 7
В случае, когда момент времени Т задается уравнением (4-84),
чувствительность критериев (4-81)—(4-83) оценивается выраже-
ниями:
= 2Кхи (Т) + 2KXZ (Т) -g-;
J^L = 2[Kxtl(T) + Kxz(T)^] +
+ 2 [mx(Т) mu (Т) + mx(Т) mz (Т) ;
d<P (Т) д<р (Т) о Г г? .г™ । к ('г\ dT 1 ।
—dT~ ~ ~дйг 2 (Г) + *хг (Г) ааг] +
д<р (Т) г (Т 1
1 дтх L v 1 v ' da J ’
дх(Т)
где z=
Производная -g- определяется соотношением
ЗЙ(Т) дтх(Т) . dQ(T)
dT дтх да ' да
~da “ dQ(T) dQ(T) дтх (Г) >
дТ дтх * дТ
полученным на основе уравнения (4-84).
В качестве примера рассмотрим чувствительность систем,
оптимальных по быстродействию. При этом будем предполагать,
что динамика объекта задается системой линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами вида
-^-=ДХ + ВХ(0 + С/(0, (4-86)
где х (0 — управление, причем
|Х(0|<1. (4-87)
В оптимальной по быстродействию системе управление X (/)
с учетом ограничения (4-87) выбирается таким, чтобы перевести
изображающую точку из заданного начального положения Хо
в конечное положение X* за минимальное время.
На основании принципа максимума оптимальное по быстро-
действию управление для объекта (4-86) оказывается релейным
1221:
Х = signa. (4-88)
В выражении (4-88) а является в общем случае функцией
составляющих вектора X, параметров объекта, внешних воздей-
ствий и времени к
a = a(X, a, 0- (4-89)
Здесь а может быть как параметром объекта, так и параметром,
характеризующим внешнее воздействие.
Моменты переключения tt реле определяются условиями
[X (t(), a, tt] = 0. (4-90)
Число переключений тесно связано с характером собственных
значений матрицы А. В частности, по теореме об п интервалах [39]
для систем, собственные значения матрицы А которых действи-
тельны (включая и нулевые значения), функция х (0 в течение
оптимального процесса управления имеет не более (п — 1) пере-
ключений, где п — порядок системы. В каждом конкретном случае
число переключений может быть определено по выражению (4-90),
если известна функция а.
В дальнейшем будем предполагать, что вид функции а из-
вестен. С учетом (4-88) уравнение (4-86) можно записать так:
-^- = ДХ + Bsigna(X, a, t) + Cf (0-
Это уравнение описывает движение оптимальной по быстро-
действию системы. Правая часть его является разрывной. Между
моментами переключения оптимальную по быстродействию си-
стему будем описывать уравнениями:
-^- = ДХ4-В(— l)' + Cf(O, f = 0, 1...N-, (4-91)
Х(/0) = Х0(а), (4-92)
где W — число переключений в течение оптимального процесса.
142
Для конкретности полагаем, что до момента первого переклю-
чения х (0 = 1.
В соответствии с подходом, изложенным в § 1-2, для системы,
заданной уравнениями (4-91), (4-92) и (4-90), можно составить
следующие уравнения чувствительности.
На интервалах < t < tt функции чувствительности будут
удовлетворять уравнениям
4?-=ли +4^-х+4^-(—iy+ а[Сд-Ю1 > » = 0, 1,N
dt 1 да 1 да к 7 1 да
с начальным условием
и(/о) = [-ЛХо-В-С/(/о)]
Значения функции и (/) в моменты переключения [управления
связываются условиями скачков:
В нашем случае
AF, = 2В (—1)ж;
dot _ . dai d°i л. да(
dt[ _ дХ 1 да ________ дХ 1 да
da dai __ daj•f+
ЭХ * дХ 1
Поэтому
„+ , дст, dot , dOi
Au, = 2 (— iy+1 в -------— = 2 (— iy+1 в .
dQl p+ d°i p-
dX 1 dX ‘
Для оптимальных систем до третьего порядка имеется возмож-
ность получить аналитические зависимости моментов переключе-
ния от начальных условий и параметров системы и внешних воз-
действий. В этих случаях производные могут быть вычислены
непосредственным дифференцированием этих зависимостей.
В качестве примера рассмотрим систему с линейной частью
из двух интегрирующих звеньев, описываемую уравнениями [221:
Т^ф = —ц+ /(/); Т,^ = kffi-, 6 = sign (—ст); x = g(t) — ф;
ст = Ф[х, х, g (0,
где ф — регулируемая координата; р — координата регулирую-
щего органа; х — ошибка; f (/) — возмущение по нагрузке; g (i) —
задающее воздействие; ст — закон регулирования (входная коор-
дината релейного элемента); /гц — высота реле; — постоянная
времени объекта; — постоянная времени серводвигателя.
Перепишем уравнения системы относительно переменных х
и р:
= ЛХ + В sign а + Cf (t), (4-93)
где
z ч /о _L\ /Ох
Х= Х ; Д = ( ^4 к ;
\р/ \0 0 / \ТИ/
т.о\ =
оо/’4' \ о Г
Так как собственные значения матрицы А нулевые, то опти-
мальный переходный процесс осуществляется за одно переклю-
чение реле. В данном примере оптимизируется время переходного
процесса переменной х (/). Систему (4-93) можно представить от-
носительно этой переменной:
ТфТи; = 6^4-С(0,
(4-94)
где
Пусть
g (0 = До + AJ + Д/; / (0 = Во + Bxt
Тогда
С (/) = Со = Т’фТ’цДз Т'цВ1.
Можно показать, что для оптимального регулирования пере-
менной х (/) закон регулирования имеет вид:
о = y^(&g + G°signx)x4-x|x|. (4-95)
При этом момент переключения управляющего реле выражается
соотношением
+ Go
/р2__l2
Q0
6 =
Xo
________TtyT IL ‘21 I
2 (dfcjx + Go) X°J J
Величина tt определяет длительность первого интервала A/x
оптимального переходного процесса. Длительность второго ин-
тервала
Л/ _ и'гр'ц
G0-d^
/?2___t»2
______jH
2 (д*ц 4-Go) X°J •
В случае свободного движения при х (0) = х0 и х (0) = 0
имеем
Ы, = Ы, »
0=
(4-96)
Соответственно для длительности всего оптимального процесса
получаем
Пусть на первом интервале 6 = 1. Тогда рассматриваемая
оптимальная система будет описываться следующими уравне-
ниями:
на интервале 0 t < ti
-^-= ЛХ + В + Cf (/);
на интервале <1 < /опт
-!£- = ЛХ — B + Cf (/).
at • \ /
Составим уравнения чувствительности по отношению к пара-
метру а. Вначале предположим для общности, что от а зависят
все составляющие правых частей предыдущих уравнений и на-
чальные условия. Тогда на двух указанных выше интервалах
будем иметь соответственно следующие уравнения чувствитель-
ности:
«(«с».
d t 1 да 'да ' да ’
I х dB a[Cf(Q]
dt * да да * да
с начальным условием
и (/-о) = - [Л Хо + В + Cf (Q) -g- +
(4-97)
Решения системы (4-93) являются непрерывными. Поэтому
величина разрыва функции и (/) в момент переключения будет
определяться соотношением
где AFx = 2В.
Величина производной момента переключения /г по параме-
тру а может быть определена с помощью двух соотношений:
путем непосредственного дифференцирования выражения для
10 Е. Н. Розенвассер 145
и по формуле (1-89) по известной зависимости для управляющей
функции (4-89).
Пусть, например, варьируемым параметром является высота
реле Тогда вместо (4-97) будем иметь
А-Лц+А. JL-Xu— -А_
dt — ди -t- dk* , dt — ли dk^ ,
<эв
где w=br
Пусть начальные условия от kp не зависят. Тогда
MQ = 0.
Скачок функции чувствительности в момент времени tv равен
Ди, = — 2В~±-.
1 dkp
При использовании зависимости для tx при Go = 0, х (/0) =
= х0 и х (t0) = 0 получаем
1 if। x I
dkp — — 2 V kp 1 X°1 •
Для определения производной -4т1- по соотношению (1-89)
1 aR>i
с учетом х — -=—р. приведем (4-89) к виду
' ф
2^ц .1 .I
Тогда
до __ , 2 ... до _l . 2
dtj _ _ ах U1 + TgT^ х (/1) = _ ах ui + ТрТ^ х
dkp ~ 90 F+
ах 1 ах 1
где
до 2&ц дх . 2]|lx| др.
ax’11 “ TpT^'~dk^+ т\ dkp •
Аналогичным же образом уравнения чувствительности могут
быть получены для функции чувствительности по отношению
к параметрам объекта Тр и Т$, параметрам внешних воздействий
Az и Вх и начальным условиям х0 и ц0 (или х0, х0).
Основным показателем оптимального управления является
длительность времени переходного процесса /опг, которая в общем
случае зависит от начальных условий, параметров системы и внеш-
них воздействий. Естественно, что изменение величин этих пара-
метров относительно номинальных (расчетных) значений будет
146
нарушать оптимальность. Степень влияния каждого из Параме-
тров можно оценивать с помощью функций чувствительности 0/
вида
р _^опт. i= J 2
да/ ’ ’ ’ ’
где под az понимаются указанные выше параметры '(начальные
условия и параметры системы и внешних воздействий).
В частности, в случае свободного движения рассмотренной
выше оптимальной системы с линейной частью из двух интегри-
рующих звеньев имеем следующие выражения для функций 0/:
о д/рпт | *р / .
Р1“ дт\р “ /опт^ц ’
о д/опт 2Т||) | х01 .
% дТц ^ОПТ ’
о __ dtonr __ уТip | *0 I
Рз“ dku “ / Sfc2 ’
и *опто/гц
о д/рпт 27*цТ-ф
д I Xq | /опт
Напомним, что величины правых частей этих выражений под-
считываются при расчетных значениях параметров и длительности
4>пт*
По выражению
w
△4тт = jZj 0/
Z=1
может быть подсчитана величина вариации длительности опти-
мального процесса.
Выше был рассмотрен пример системы второго порядка. Для
него все расчетные формулы были получены в конечной форме.
Это касалось как задачи синтеза оптимального управления, так
и задачи исследования чувствительности оптимальной системы.
Как уже было отмечено выше, для систем высокого порядка (выше
третьего) оптимальное управление может быть найдено только
с помощью численного решения на вычислительных машинах. При
этом решению подвергается в общем случае система трансцендент-
ных относительно моментов переключения tt алгебраических
уравнений вида [22]
Т/(4» а) = 0, j = 1, 2, ..п. (4-98)
В системе (4-98) моменты переключения tlt . . tn — неяв-
ные функции параметра а. Продифференцируем уравнения си-
стемы (4-98) по а:
... + M.4k = 0) / = 1, 2, ..п.(4-99)
да 1 dtL да 1 1 dtn да ’ J ’ ’ ’ ' '
Это система линейных уравнений относительно производных ,
i — 1, 2, . . п.
Пусть определитель системы не равен нулю, т. е.
D (Ух...У») + о
.....tn) ’
где
дУ1 .
dtt dtn
D (У1> • • •, Уп) _
D(tb...,tn) ;
дуп дуп
dh ' ' ‘ dtn
Отсюда
__________________о (Vi. • • •> Уп)___
dtj __________________________________ _ D (fx, . . ., //-i, <х, tj+iy . .,, tn)
да. ~ D (ух....уп)
D(/i.....tn)
где
d?i dyt ду! Ду,
Р(Т1....уп) dtl“
D (/j, ..11_j, a, /<+1, .. .ttn)
(4-100)
. dti
dtn
dyn
' ’ dtn
дуп . . . дуп _ дуп _ дуп
dtx dti_! da dtit-i
Величины функциональных определителей в соотношениях
(4-100) вычисляются при расчетных (неварьированных) значениях
моментов переключений /х, . . tn, которые могут быть найдены
из уравнений вида (4-98).
Таким образом, чувствительность моментов переключений
может быть оценена и для систем высокого порядка.
В качестве примера рассмотрим систему управления объектом
с передаточной функцией
FW-V+^-+t..+^+a„ = <4-101>
Предположим, что все полюсы передаточной функции являются
разными отрицательными вещественными числами. В соответ-
ствии с методикой, предложенной в работе [40], может быть по-
строено общее выражение для оптимального переходного процесса
системы с объектом (4-101) и задающим воздействием g (/). Взаимо-
действие отдельных блоков и сигналов системы между собой осу-
ществляется в соответствии с рис. 4-5.
Момент tn характеризует продолжительность оптимального
процесса. Пусть g (t) = А 0. При этом в момент tn имеем
8(О(/„) = 0, Z = 0, 1, ..., п—1. (4-102)
С учетом того, что 8 (/) = g (/) — х (t), для рассматриваемого
класса систем соотношения (4-102) можем записать в виде [401
п [я—1 Г п
-£- + 2 CieP‘tn+2 S(-1)S +SCiePi
x=l s=l L i=l
2 4- 2 j (—l)s 2 CiP^i (‘«"M = 0,
t=l s=l <=1
j— 1, 2, ..n — 1,
(4-103)
где
1 Q'(Pi)Pi
i=l,2,..., n;
Pt — полюсы передаточной функции.
Для упрощения предположим, что k и d0 не зависят от пара-
метра а. Тогда уравнения
(4-103) можно представить так:
Т/1Ма)> tn(a), Pita), •••»
р„ (а)] = 0,
j = 0, 1.....п— 1. (4-104)
Продифференцировав урав-
нения (4-104) по а, получим
Рис. 4-5. Структурная схема оптималь-
ной по быстродействию системы.
п п
Sfyj dtj __ _ yt dyi dpi ; _ n i
dti * da ~ dPi * da ’ 1 ~ ’ 1
i=l i=l
.,n—1, (4-105)
где
Л n /1—1 n—1
~дЦ- = 2 CtPiep^ + 2 2 (-1) 2 Cip^^-^-,
1=1 s=l Z=1
n
^-= гни'-12 PiCie^-'iX /=1,2,..., n- 1;
1 i=i
n n—1 n
^=2 C,p‘+'e^ + 2 J (-1)' £ С1Рг+,Л
" i=l S=1 1=1
k= 1, 2, ..., n— 1;
= 2 (-I)'"1 2 CiP^ /, ^ = 1, 2, ... n - 1.
/=1
Для определения производных соотношения
обходимо представить в виде
(4-103) не-
n
k
k
П (Pi—pq)Pi
<7=1
q^l
Z=1
n
ерА
s=l
epi *s)
n—1
s
k
“о
П (Pi—Pq)Pi
q=\
q*i
n
z=i
Z=1
П (Pi — Pq)
9=1
q+i
n—1
ер1*п
(4-106)
n
ьр'г'
— Pq)
epi (*п fs) = o,
q*i
j = 1, . . П— 1.
Тогда получим
п
Z=1
n
У —
Pi — Pq
<7=1
q4=i
n
,_______L
71 pi
x
k
= A
+
n
X
L Z=1
n
S Pi—Pq’'
q=l
q^i
n
n
^=SC^'"S
Z=1 <7=1
q^i
1
Pi—Pq
4- C/p^n x
<7=1
q=hi
6=1,2,..., n—1; j = 1, 2, . .., n.
Производные i = 1, 2, . . п, в уравнениях (4-105)
характеризуют чувствительность полюсов передаточной функции.
Они могут быть вычислены по формулам (4-8):
или с учетом выражения (4-130)
п-1
dpj Г/„ „ \ 1 1 dai
да Р'} Q (р) J да Р
х=о
ГЛАВА ПЯТАЯ
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
5-1. Применение метода непосредственной
линеаризации для исследования точности
разрывных стохастических систем
Рассмотрим системы, описываемые на некоторых интервалах
времени уравнениями вида
-g- = F<[X,6a,f(0L i=l,2, ... (5-1)
при начальных условиях
X(Q = X0(a), t0 = t0(a), (5-2)
где a — вектор случайных величин, характеризующих параметры
системы; f (/) — векторная случайная функция, характеризующая
внешние воздействия.
Вероятностные характеристики векторов а и f (/) предпола-
гаются известными. Начальные условия (5-2) в общем случае
являются также функциями случайных аргументов.
Моменты переключений tt находятся из скалярных соотноше-
ний
gi(X, th a) = 0, i = l,2,... (5-3)
В случае разрывных решений X (/) имеем условия скачков:
Х(^ + 0) = ^[Х(^-0), а, /=1,2, ... (5-4)
Так как решение X (/) и вектор а являются случайными,
то и выражения (5-3), (5-4) необходимо рассматривать как сто-
хастические уравнения. Вследствие этого моменты переключе-
ния t{ будут случайными величинами.
Составляющие вектор-функции f (/) заменим в уравнениях
(5-1) их каноническими разложениями, ограничившись в этих
разложениях конечным числом членов. Это позволит перейти
152
к рассмотрению уравнений с правыми частями, зависящими только
от случайных величин:
X, а, Р), (5-5)
где Р' =[||Р1, • . Ps|| — вектор случайных величин, являю-
щихся коэффициентами канонических разложений составляющих
вектор-функций f (/). В принципе ненулевые начальные условия
путем специального линейного преобразования могут быть све-
дены к нулевым [42].
В работе [421 показано, что решения системы (5-5) сходятся
в среднеквадратическом к решениям системы (5-1). Поэтому в даль-
нейшем будем рассматривать только уравнения (5-5). Для оценки
точности системы в рассматриваемом плане могут быть использо-
ваны различные критерии. Это, например, могут быть критерии
(4-81), (4-82) и (4-83). Кроме того, для оценки точности могут быть
использованы интегральные многомерные законы распределения
выходных координат, вероятность того, что определенная функ-
ция от выходных координат в течение заданного промежутка вре-
мени будет изменяться в заданной области, и т. д.
Решение системы (5-5) запишем в виде
X = X [/, Х0(а), /0(а), р, а] (5-6)
или
X = X [/, Хо (та 4- Да), t0 (та 4- Да), р, та 4* Да]» (5-7)
где та — математическое ожидание вектора а; Да — вектор
случайных центрированных величин.
Представим решение (5-7) формально в виде ряда
X = X [/, Х0(та), /в(та), та] 4- (-^)0 Да 4-
+ (т).1‘+"- <5-8)
Индекс «нуль» означает, что величины в круглых скобках рассма-
триваются при Да = 0; Р = 0.
В случае малости норм векторов Да и р для оценки реше-
ния (5-7) можно ограничиться линейными членами разложе-
ния (5-8):
X = X (t, та) 4- Ua (0 Да 4- (/) р, (5-9)
где (0 = (-g-)„; =
Такое линеаризованное представление решения X (f) может
быть использовано для оценки точности исходной системы (5-1).
Применение разложений (5-9) для исследования точности
нелинейных систем с достаточно гладкими правыми частями изу-
чено в работе [25]. Использование функций чувствительности
позволяет обобщить этот классический метод линеаризаций на
системы с разрывными правыми частями и с разрывными реше-
ниями, для которых разложение в ряд, на первый взгляд, пред-
ставляется невозможным.
В случае разрывных систем обычно прибегали к методу стати-
стических испытаний Монте-Карло, к интерполяционному ме-
тоду [42] или же к методу статистической линеаризации. Эти
методы имеют свои достоинства и недостатки. Метод Монте-Карло
и интерполяционный метод требуют значительного машинного
времени, особенно при исследовании систем с длительным време-
нем наблюдения и со значительным числом случайных пара-
метров.
Метод статистической линеаризации имеет существенное огра-
ничение, связанное с тем, что при его использовании необходимо
знать вероятностные характеристики сигналов на входах нелиней-
ных элементов, подвергающихся линеаризации. В свою очередь,
для этого надо знать вероятностные характеристики сигналов на
выходах этих нелинейных элементов. Поэтому при решении кон-
кретных задач приходится задаваться характером закона распре-
деления сигналов на входах нелинейных звеньев.
Метод непосредственной линеаризации лишен этого недостатка.
Он не требует для исследования точности нелинейных систем зна-
ния вероятностных характеристик промежуточных сигналов в си-
стеме. Для применения метода достаточно иметь дифференциаль-
ные уравнения системы и вероятностные характеристики пара-
метров системы и внешних воздействий.
Введем обозначения:
= ар ..., кт = ост; ^тп+1 ~ Pi> • • •> ^р = \n+s = Ps>
= .......М-
Тогда для компонентов вектора X (/) на основании (5-9) можем
записать
р
xb(t) = xk(t, mA) + 2 ukl{t)k=l, 2.......п, (5-10)
где «4/(О = (^)о-
Выражения (5-10) могут быть использованы для оценки мате-
матического ожидания, корреляционной функции и дисперсии
компонентов х* (t):
mxk^xk(t, mA);
Dk (/) = <4 (0 = S 4/(0 4,- + 2 S (0 Uki (/) гу/ол охр
/=1 1 i<i 1
где Гц — коэффициент корреляции параметров ДАу и ДЛу.
154
(5-11)
При отсутствии корреляционных связей между параметрами
Xj, . . имеем Гц = 0 и
mxt^sx6(t, mA);
<4(0 = S ul/(/)aL
/=1 '
(5-12)
Отметим, что в случае некоррелированных случайных величин
представление случайной функции x* (f) в виде (5-10) является
ее каноническим разложением.
Соотношения (5-11) или (5-12) могут быть использованы для
получения точностных оценок, в частности для определения
вероятности того, что переменная хк (/) системы в момент времени t
находится в допустимых пределах x*k, х~. Например, в случае
нормального распределения величин ААу имеем
Р {xk <xk< x*k, t) = 4" |Ф
— Ф
хк~тхк(()
/2 ok (О
*к-тхк^ '
1^2 ak (t) .
(5-13)
где Ф (г) — интеграл вероятности вида
Заметим, что при использовании выражений (5-11), (5-12) и
(5-13) необходимо иметь в виду, что даже в случае непрерывных
xk (0 дисперсии Dk (/) в общем случае являются разрывными
функциями вследствие разрывности функций чувствительности
ukj (0- Поэтому вероятности (5-13) в моменты tt, в которые ofe (0
претерпевают разрывы, не определены. Имеют смысл только
вероятности Р (х* < х* < х* , ti — 0) и Р (х* < х* < х* , ti + 0).
Компоненты тх* в выражениях (5-11) и (5-12) определяются
в результате решения уравнений (5-5) относительно математиче-
ских ожиданий:
= F, (/, mX, mA);
X (mtQ) = X (та), mt0 = t0 (та);
t*i—\ i=l,2,...
(5-14)
Здесь через t] обозначены математические ожидания моментов
переключения. Они определяются из уравнений
gt (тХ, та, ti) = 0, i — 1, 2, ...
(5-15)
Функции чувствительности ukJ- (/) вычисляются в
интегрирования уравнений
duj __ dFj(t, тХ, mA) . dFj(t, mX, mA)
dt dmhj dmX U/
с начальными условиями
u, (Й) = -F, [X.(mA), Й, mA] F
процессе
(5-16)
(5-17)
Значения вектор-функции чувствительности в моменты 4- — О
и ti + 0 связываются условиями скачков:
Ди/ (4) = —AmFf +
dmWj | / dnCVi
дтХ.
nA Т7- dt,
E\mFi —L_|_
/ J dtrikf
дтЪ p\ - , dmWj
дт\^ / 1 ' dmkj ‘
(5-18)
В правые части выражений (5-16) и (5-18) подставляются реше-
ния уравнений (5-14) и (5-15).
Метод непосредственной линеаризации дает возможность опре-
делить вероятностные характеристики динамической системы
с достаточной степенью точности только в случае малости отбро-
шенных при линеаризации членов разложения (5-8). Для проверки
применимости такой линеаризации или для уточнения полученных
результатов в разложении (5-9) могут быть учтены дополнитель-
ные члены. При этом появится необходимость в вычислении функ-
ций чувствительности второго и выше порядков.
Для учета дополнительных членов могут быть использованы
оценки вида
<р*=.т
Р ₽ 2 121
xk— mxk— У' -^-ДА.-— V ДА,-ДА.. к
* « /j dki 1 ffksdki 1 s
/=1 s./=i J )
Заметим, что основным достоинством метода непосредственной
линеаризации по сравнению с другими методами исследования
стохастических систем является малый объем вычислительной
работы, производимой как при подготовке задачи, так и в про-
цессе ее решения на ЦВМ.
Сравним для примера метод непосредственной линеаризации
с интерполяционным методом [42] —одним из наиболее эконо-
мичных методов исследования точности динамических систем.
!»• В интерполяционном методе общее число вариантов интегри-
рования исходной системы
Mi = ... qp, (5-19)
где р — число случайных величин; q( — число узлов для t-й
случайной величины.
В методе непосредственной линеаризации общее число вариан-
тов интегрирования = р + 1. Очевидно, что в общем случае
Ni W2. Например, при р = 5Hq = q1=---=qp = 10 имеем
= 10е, a N2 — 6. При q = 2 имеем интерполяционный поли-
ном первого порядка.
Покажем, что в случае, когда координатами одного из узлов
являются математические ожидания величин Хг, . . ., Хр, интерпо-
ляционный метод сводится к методу непосредственной линеари-
зации. Для наглядности доказательство проведем для случая,
когда выходная координата х (/) системы зависит только от одной
случайной величины X.
В качестве узлов интерполяции возьмем числа и £2. Поль-
зуясь методикой работы [42], построим интерполяционный по-
лином
xq{t) = x{t, , (5-20)
“2 (М (* - М ю2 (&) (X — М
где
<о2(Х) = (Х-у(Х-£2);
&)=& - ?2); &)=& -
Пусть 11 = /иХ; X = rnK + АХ. С учетом этого выражение (5-20)
преобразуется в равенство
хДО = x(t, тК) + х(Л gz) ДХ,
bl Ъ2
которое при близких и £2 можно записать следующим образом:
xq(t, X) = x(t, mX) + (-1-)M=O (5-21)
Получили выражение, которое используется в методе непо-
средственной линеаризации.
Вообще при малых q практически во всех случаях целесооб-
разно пользоваться методом непосредственной линеаризации (есте-
ственно, при условии, что > Af2).
Число q может определяться двумя факторами: во-первых,
ограничениями на допустимый объем вычислений и, во-вторых,
допустимой точностью. В первом случае метод непосредственной
линеаризации при малом 2V2 может дать точность, не худшую,
чем интерполяционный метод. Во втором случае число q опреде-
ляется в зависимости от величин дисперсий , . . ., , причем,
чем больше эти дисперсии, тем больше q [42].
Но точность метода непосредственной линеаризации также
определяется величинами о|, . . ., . Действительно, рассмо-
трим оценку
<р = т
Р 12
х (t) — тх (/) — 2 ukj (0 АХ/
/=1
(5-22)
которую в развернутой форме можно записать в виде
р
<р = щ [х2 (/)] + £ «2 (/) о1Х/ + 2 S Щ (О “z (0 —
р
— 2 [тх(О]2 — 2 S и,(Лт [хU) ДМ. (5-23)
/=1 ~
Из последнего выражения видно, что в смысле принятой оценки
точность метода непосредственной линеаризации повышается
. Так как малые
с уменьшением дисперсий
определенные
I
по требованиям заданной точности, связаны с малыми дисперсиями
случайных величин .......1р, точность метода непосредственной
линеаризации может оказаться достаточной.
Известно, что точность интерполяционного метода растет с уве-
личением числа узлов Естественно поэтому предположить, что
при малом Ni интерполяционный метод особых преимуществ
в смысле точности перед методом непосредственной линеаризации
не имеет. Особенно показательно это при qt = 1 и qi = 2. Дей-
ствительно, при q{ = 1 в области случайных величин . . ., %р
выбирается только одна точка. Ясно, что по одной точке можно
построить только полином нулевой степени. При произвольном
выборе этой точки нельзя гарантировать какую-либо точность по-
лучения вероятностных характеристик выходных координат си-
стемы. Это касается как математического ожидания, так и диспер-
сии. Только в единственном случае по одной выборке можно полу-
чить информацию о математическом ожидании выходных коорди-
нат, аналогичную информации о математическом ожидании при
линеаризации. Для этого необходимо в качестве узла брать точку,
координаты которой являются математическими ожиданиями слу-
чайных величин %!, . . ., Хр.
5-2. Метод частичной линеаризации
для исследования точности стохастических систем
Как уже было отмечено выше, метод непосредственной линеа-
ризации дает возможность определить вероятностные характери-
стики системы с необходимой степенью точности только в том
случае, когда отброшенные при линеаризации члены разложения
(5-8) достаточно малы. Учет дополнительных членов разложения
значительно усложняет процесс подготовки задачи к решению.
Особенно это сказывается при исследовании разрывных систем.
Кроме того, при этом требуется информация о значениях моментов
высших порядков случайных величин X/. Но даже при учете чле-
нов второго порядка метод, основанный на разложении в ряд
Тейлора, не всегда может конкурировать по точности с методом
Монте-Карло и интерполяционным методом.
Таким образом, с одной стороны, мы имеем метод непосред-
ственной линеаризации, характеризующийся малым машинным
временем, потребным для решения задачи, и в общем случае не-
удовлетворительной точностью; с другой стороны, — методы ста-
тистических испытаний и интерполяционный метод, с помощью
которых в принципе может быть достигнута любая потребная точ-
ность, но слишком дорогой ценой — затратой значительного
машинного времени.
В данном параграфе излагается комбинированный метод, ис-
пользующий достоинства двух указанных подходов. Метод назван
методом частичной линеаризации. Идею метода для наглядности
изложим на примере системы, описывамой дифференциальными
уравнениями с непрерывными правыми частями и непрерывными
решениями:
= h (XV • • хп, ..., Хр, 0, i == 1. • • п. (5-24)
Все случайные величины Хр . . ., Хр разобьем на две группы:
Хр .... Ху и Xv+1, . . ., Хр. Не останавливаясь пока подробно на
принципе этого разбиения (об этом будет сказано ниже), случай-
ные величины первой группы условно назовем «малыми», случай-
ные величины второй группы — «большими».
Введем следующие обозначения:
Х| = со*, А-2 = ц>2, ..., Xv — (ov, Xy+i = Йр ..., Хр — йц,
==1|<в1.............®у||; й'= || йр ..., йр ||.
С учетом этих обозначений систему уравнений (5-5) перепишем
в виде
-§- = Л(Х, й, 0- (5-25)
Для решений этой системы имеем
х( — Х[ (t, со, й) = Xi (t, пил -|- Д<о, /ий + Дй).
Произведем линеаризацию координаты xt (t), но не по всем
случайным величинам, как это было сделано в § 5-1, а только
по составляющим вектора ©. При этом получим
х* (0 = Xi (t, пил, й) + S utk tt, й) Д<о*, (5-26)
А=1
где ulk(t, й) = (-^-А
* v ’ \ дю* /дш=о
Проанализируем выражение (5-26). По внешнему виду оно
идентично выражению (5-9), но по своему содержанию принци-
пиально отличается от (5-9). Отличие заключается в том, что все
составляющие правой части соотношения (5-26) являются случай-
ными, в том числе и функции чувствительности uik (/). Последнее
связано с тем, что как составляющая xt (f), так и uik (f) являются
функциями «больших» случайных величин.
Вероятностные характеристики системы в предлагаемом методе
оцениваются на базе выражения (5-26). Очевидно, что для этого
необходимо иметь вероятностные характеристики случайных функ-
ций xt (/) и ulk (t). Эти характеристики можно находить одним
из известных методов, например интерполяционным методом,
в результате решения определенных стохастических систем диф-
ференциальных уравнений.
Путь получения этих уравнений очевиден. Так, уравнения
для xt (/) находятся из (5-25), если в последних вместо вектора
случайных величин <о взять вектор математических ожиданий та
этих случайных величин:
= f{ (X, та, Й, 0- (5-27)
Нетрудно показать, что уравнения для случайных функций
чувствительности ulk (Z) имеют вид:
= (5-28)
s=l
где
п . h ( dfi \
ls \ dxs /Дш=0’ lk \ ddik
Коэффициенты последней системы из vn линейных уравнений
в общем случае зависят от функции х{ (/) и случайных величин
й,, . . ., йи, т. е.
X 7 _
ais = ais(X> й); bik=bik(x, й).
Уравнения (5-27) и (5-28), как и исходные уравнения (5-25),
являются стохастическими. Но правые части двух последних
систем уравнений будут зависеть не от р случайных величин, а
только от р. = р — v случайных величин. В этом заключается
существенное отличие уравнений (5-27) и (5-28) от уравнений (5-25).
Благодаря этому объем вычислений, связанных с решением урав-
нений (5-27) и (5-28) интерполяционным методом, может быть зна-
чительно меньше объема вычислений для решения системы (5-25).
Очевидно, что такое утверждение справедливо при определенных
соотношениях между числом «малых» и «больших» случайных ве-
личин. Рассмотрим этот вопрос более детально.
Объем вычислений будем вначале оценивать числом интегри-
рований систем уравнений n-го порядка. Для конкретности сравне-
ние будем проводить с интерполяционным методом. При собственно
интерполяционном методе объем вычислений можно оценить вы-
ражением (5-19). Для наглядности положим, что = q2 =• • • —
= <7Р = q. Тогда вместо (5-19) получим
= qp. (5-29)
При применении метода частичной линеаризации общее число
вариантов интегрирования систем дифференциальных уравне-
ний n-го порядка складывается из чисел вариантов интегрирова-
ния систем (5-27) и (5-28) и равно
^2 = 9й 0 + v)-
(5-30)
В табл. 5-1 приведены значения и N2 для различных р,
у, |л и q. Из таблицы можно судить о соотношениях между объемами
вычислений в интерполяционном методе и предлагаемом методе
частичной линеаризации.
Таблица 5-1
Nt р V ц Номер вари- анта
q=2 q=5 <7=10 <7=2 <7=5 <7=10 <7=1
2 0 3 3 3 3 1
4 25 100 2 1 1 4 10 20 2 2
0 2 4 25 100 1 3
5 0 6 6 6 6 4
4 1 10 25 50 5 5
32 55 106 5 3 2 2 3 16 24 100 375 400 3000 4 3 6 7
1 4 25 2-54 2-10* 2 8
0 5 25 55 105 1 9
10 0 11 11 11 11 10
9 1 20 50 100 10 11
8 2 36 9-52 9 102 9 12
7 3 8-23 8-53 8-103 8 13
2ю 510 1010 6 4 7-24 7-54 7 104 7 14
10 5 5 6-25 6 55 6105 6 15
4 6 5-26 5-56 5 10е 5 16
3 7 4-27 4-57 4 107 4 17
2 8 3-28 3-58 3-108 3 18
1 9 210 3-59 ЗЮ9 2 19
0 10 2io 510 1010 1 20
При сравнении выражений (5-29) и (5-30) и рассмотрении
таблицы видно, что в некоторых случаях ЛГХ = ЛГ2. Это условие
аналитически выражается соотношением
qv_v==it (5-31)
получаемом в результате приравнивания (5-29) и (5-30). В табл. 5-1
этому соотношению удовлетворяют варианты 2, 3 и 19 при q = 2.
Н Е. Н. Розенвассер 161
Предлагаемый метод, как и вообще любой метод исследования
динамических систем, должен удовлетворять требованию полу-
чения заданной точности при минимуме объема вычислений.
Поэтому возникает задача выбора величин v, р и q при заданном р
с учетом указанных требований. В общем случае по каждой слу-
чайной величине целесообразно брать различное число точек qk.
Тогда
Л^2 = <7г<72 ... <7U(1 + v). (5-32)
Совокупность чисел v (или р) и qlf . . q^ в дальнейшем будем
называть структурой метода частичной линеаризации.
Пусть требуемая точность исследования вероятностных харак-
теристик системы оценивается величиной ф*. Тогда поставленная
выше задача формулируется следующим образом. Дана система
управления, заданная стохастическими дифференциальными урав-
нениями, правые части которых зависят от р случайных параме-
тров с известными вероятностными характеристиками. Необ-
ходимо найти такие р (или v) и qlf . . q^, чтобы достигала мини-
мума величина ЛГ2, т- е-
minJV2 (5-33)
«г....
при ограничении
(5-34)
где ф — текущая оценка точности.
Сформулированная выше задача является нелинейной задачей
целочисленного программирования. Общие методы решения ана-
логичных задач отсутствуют.
При известных точных значениях вероятностных характери-
стик выходных координат системы задачу можно решать при ис-
пользовании очевидного алгоритма, состоящего из следующих
элементов.
1. Допускаем, что р = 0, т. е. р = v. Это означает, что все
случайные величины считаются «малыми». Методом непосредствен-
ной линеаризации оцениваем величину ф. Затем проверяем усло-
вие (5-34). Если это условие выполнено, то задачу считаем решен-
ной. Если же условие не выполнено, то переходим к следующему
пункту.
2. Одну из случайных величин Х1? . . ., Хр считаем «большой»,
т. е. рассматриваем вариант р = 1, v = р — 1. Пусть это будет
При этом указанное предварительное выделение можно
производить по величине дисперсии . Данный вариант просчи-
тываем при нескольких значениях q±. Фиксируем такое практи-
чески приемлемое q19 при котором выполняется условие (5-34).
При этом получаем Nz} = Si. Очевидно, что при увеличении q^
точность решения задачи будет увеличиваться, но это не означает,
что в конце концов найдется такое = q*v что | ф (<?*) | ф*.
Поэтому процесс вычислений необходимо останавливать при вы-
полнении условия
ф W"’) - Ф И”) I < В.
где q[m) > q[n\ s — заданное положительное число.
Независимо от того, найдется или не найдется значение q19
при котором удовлетворяется условие (5-34), переходим к сле-
дующему пункту.
3. Рассматриваем случай ц = 2, т. е. группу «больших»
случайных величин увеличиваем до двух величин Qi = Ах и Q2 =
= А2. Производим перебор qt и q2 в разумных пределах. Ищем
вариант с минимальным значением Л^2) = <71?2 (р — 1), при
котором удовлетворяется условие (5-34). Допустим, что такую
величину N<P нашли. Обозначим ее S2. Сравниваем S2 с Si
и отбрасываем большую величину.
Может оказаться, что значения при котором удовлетво-
ряется (5-34), не существует. Независимо от исхода переходим
к четвертому пункту, в котором в группу «больших» переводим
три случайные величины, и ищем значение S3, сравниваем послед-
нее с S12 — min {Sb S2[ и т. д.
В результате просмотра всех возможных вариантов находим
такое Sif что
Si — min {Sx, S2, ..., Sp}.
При этом величина р совпадает с индексом f, a q19 q2, . . ., q^
определяются структурой оптимального варианта.
Заметим, что для определения величин в каждом из пунктов
изложенного алгоритма может быть использована процедура,
рассмотренная в работе [42].
Величину ср можно определять выражением
ф =/и {[х(/) — х* (/)]*}, (5-35)
где х* (/) дается соотношением (5-26).
Как уже было отмечено выше, для решения указанным путем
поставленной задачи оптимизации необходимо знать точные зна-
чения вероятностных характеристик х{ (t). Очевидно, что при
исследовании конкретных систем такой подход неприемлем, по-
тому что знание вероятностных характеристик координат xz (/)
устраняет необходимость решения задачи методом частичной линеа-
ризации.
Но определенный смысл в постановке и решении задачи (5-33),
(5-34) имеется. Дело в том, что эта задача может быть решена
применительно к определенному классу однородных объектов,
например самолетов, ракет, космических аппаратов и т. д. Такой
подробный анализ позволит выработать для данного класса объек-
тов общие рекомендации по выбору v, q19 . . ., q^ и использовать
их непосредственно при исследовании конкретных систем.
Определение структуры метода частичной линеаризации зна-
чительно упрощается, если известна величина v, т. е. выделены
группы «малых» и «больщих» случайных величин. Иногда это
удается сделать из физических соображений или на основе нако-
пленного опыта.
Указанное разделение случайных величин можно произвести
также в результате предварительного анализа исходной системы
дифференциальных уравнений и вероятностных характеристик
величин Xp . . ., Хр. Рассмотрим один из возможных алгоритмов
решения этой задачи.
Представим разложение (5-9) для координаты xk в виде
р
х* (0 = Xk (t, тЛ.) + 2 Uki (0 Ы-i + г2 (ДА),
Z=4
где
р
<=(«,) = 4-У (1+Гд'11
s, 1=4
о <е < 1.
Пусть производные в области изменения t и ДА,-
ограничены по абсолютной величине соответственно числами М^.
Тогда
о
Г2 (ДА, 01 < 4" S ’ (5-36)
s, 1=4
При выводе неравенства (5-36) предполагаем, что Д%, > 0.
Если в (5-36) перейти к математическим ожиданиям, то можно
написать
р р
Ем 2 . т {ДА, ДА,-} < V М^т {ДА, ДА,-}. (5-37)
t/Ag (7 А у
S, t = l S, 1=1
В принципе можно написать аналогичные неравенства и для
момента второго порядка остаточного члена. Но тогда мы выйдем
за рамки корреляционной теории. Поэтому для оценки точности
рассматриваемого метода будем использовать выражения (5-37).
При этом предполагаем, что моменты /п{ДХ8ДХД заданы, а по-
стоянные M{SP определяются соотношением
Msl -max | d%sd^ j.
Пусть допустимая ошибка в определении математического
ожидания координаты Xk (0 равна е. Это означает, что должно
выполняться условие
р
S M^tn\MsMi\^E. (5-38)
s, i=l
Нетрудно показать, что левую часть последнего неравенства
можно представить в виде
S, 4 = 1
Р 4 i—1
= 2 S +s Mism (Al,-A%s}
4=1 L S=1 S=1
Составим следующее неравенство:
P Г i i—1
S S (AXS AM + S AXS}
4=1 [s=l S=1
hi e,
(5-39)
, _ f 0, если случайная величина ДХ/ является «большой»,
где 1 ~~ j 1, если случайная величина ДХ/ является «малой».
В случае, когда ДХ$ и ДХ/ взаимно независимы, вместо (5-39)
получаем
(5-40)
4=1 1
Заметим, что
2 hi = н-
(5-41)
При решении проблемы «больших» и «малых» случайных вели-
чин необходимо стремиться выделить как можно меньше «боль-
ших» случайных величин, так как их количество определяет
объем вычислений в интерполяционном методе. Тогда можно
сформулировать следующую задачу целочисленного программи-
рования.
Необходимо минимизировать величину (5-41) при удовлетво-
рении условию (5-39) или (5-40).
Для взаимно независимых случайных величин можно ввести
в рассмотрение коэффициент статистической чувствительности
(?<*> =
(5-42)
14
характеризующий влияние параметра X/ (с учетом функции
чувствительности и статистических свойств параметра) на вероят-
ностные характеристики выходной координаты xk (/). Тогда отбор
случайных величин в группу «малых» (или «больших») можно
производить по величинам коэффициентов Qp\
Метод частичной линеаризации был изложен выше на примере
систем, описываемых дифференциальными уравнениями с непре-
рывными правыми частями. Заметим, что изложенные в первой
главе результаты позволяют обобщить рассматриваемый метод
и на разрывные системы. При этом уравнения (5-27) и (5-28) будут
описывать систему в интервалах < t <Ztt. Выражения,
характеризующие условия переключения и условия скачков
функции чувствительности, будут содержать р. «больших» слу-
чайных величин. Поэтому вероятностные характеристики момен-
тов переключений и величин скачков функций чувствительности
должны находиться известными методами, например методом ста-
тистических испытаний. В отличие от выражений (5-15) и (5-16),
с которыми приходится иметь дело при непосредственной линеари-
зации решений дифференциальных уравнений разрывных систем,
соответствующие выражения при частичной линеаризации зави-
сят от меньшего числа случайных величин. Последнее, как уже
отмечалось, приводит к существенному уменьшению объема
- вычислительной работы.
5-3. Применение функций чувствительности
дпя исследования точности линейных
стохастических систем
Рассмотрим одномерную линейную систему, заданную им-
пульсной переходной функцией k (t, т). Известно, что выражение
для выходной переменной системы при нулевых начальных усло-
виях имеет вид:
х (/) = k (t, т) f (т) dx, (5-43)
о
где f (/) — возмущающее воздействие.
Пусть как возмущающее воздействие, так и импульсная пере-
ходная функция являются случайными функциями. Представим
эти случайные функции каноническими разложениями:
П1 k (t, т) = mk (t, т) + 2 vi т) z=i п, i=l (5-44) (5-45)
где V/ (/, т) — весовая функция чувствительности; mk (t, т) —
импульсная переходная функция системы при номинальных
(расчетных) значениях параметров at.
Подставив значения k (/, т) и f (/), заданные соотношениями
(5-44) и (5-45), в выражение (5-43), получим
х (0 = Хг (0 + х2 (0 + х8 (t) 4- х4 (0, (5-46)
где
xi W = § mk (t, т) mf (т) dr,
о
П2 ОО
Ч (О = S Р/ f tnk (t, т) р, (т) dx;
/=1 ° } (5-47)
ч (О = S Аа/ J ч (!> т) mf (т) dr>
/=1 о
Ла П1 оо
х4(0 = S 0< S Аа/ J V/(O т) И/ СОdT-
1=1 /=1 о ’
В выражении (5-46) составляющие х3 (/) и х4 (/) характеризуют
дополнительное движение за счет нестабильности параметров
системы.
Определим вероятностные характеристики выходной пере-
менной х (/).
Для математического ожидания имеем
п2 П1 ОО
mx(t) - xi (t) + ssKp. дау f V, (t, т) p, (t) dr. (5-48)
1=1 /=1 0
Из формулы (5-48) вытекает одна интересная особенность пара-
метрически возмущаемой линейной системы, подвергаемой воздей-
ствию внешних случайных сил. Эта особенность проявляется в том,
что математическое ожидание выходной координаты системы от-
лично от нуля даже в случае, когда равны нулю математические
ожидания внешних и параметрических воздействий. Действи-
тельно, при т Acti = • • • = т АаЛ1 = mf (/) = 0, но при Кр. да/ =f=
=f= 0, из (5-48) получаем
П2 п2 ОО
тх (0 = 2 S Аа/ JV/ dT‘ (5’49)
i=i i=i $
В этом проявляется своего рода нелинейное свойство линейной
системы.
В случае, когда величины 0/ и Да,- между собой не коррелиро-
ваны, выражение (5-48) принимает вид:
тх (/) = хх (/)
или
ОО
mx(/) = j mk (t, т) mf (т) dr.
о
Для определения корреляционной функции воспользуемся
зависимостью
О
где х (t) — центрированная случайная функция.
При малых Actz и составляющей х4 в правой части выраже-
ния (5-46) можно пренебречь. Тогда для корреляционной функции
получим
Rx(ty = т\хг(fjх2(f2) + х2 (/j)х3(f2) +
4" х2 (f2) х3 (fx) 4* х3 (ft) х3 (f3)}
или после очевидных преобразований
Rx (ti, ti) = S an (t\)an (/2) op. + S S x
i=i 1 i=i /=1 ‘ '
x [a1Z (tj) a3j (f2) -J- ay (f2) a2f (^i)l H-
4- S au (fi) au (f2) ola , (5-50)
f=l 1
где
oo 00
alt (/) = j* V/ (^, t) tnf (t) dr, a2i (/) = ( mk (t, т) Ц/ (t) dx,
6 6
Если случайные величины Acq и между собой не коррели-
рованы, то для Rx (/п /2) получаем
Rx (*ъ ^2) = a^i (/2) + 2 au (^1)яц (^)0да,- (5-51)
' i=l i=l
Для определения дисперсии функции х (/) достаточно в выраже-
ниях (5-50) и (5-51) положить tr = t2 = t. В частности, из соот-
ношения (5-51) получим при этом
<?х (0 = S «21- (f) 4- S ab (f) ala,.. (5-52)
1=1 i=i
Пусть как рассматриваемая система, так и случайное воздей-
ствие f (f) являются стационарными. Тогда вместо соотношения
(5-43) при неучете х4 (f) имеем
х (t) = J f (t — т) mk (т) dx 4- J (f — t) mf (t) dx, (5-53)
о 0
где АЛ (f) = k (f) — mk (f).
168
Составим произведение:
оо оо
X (G) х (/2) = J j mk (tJ mk (x2) f (^— xj f (t2 — T2) dr1 dx2 +
0 0
oo oo
+ J J tnk (xj mf (x2) / (/, — xx) hk (t2— x2) d'c1 dr2 +
0 0
oo oo
+ j f tnf (xj mk (x2) f (t2— x2) bk (/x— xx) dxx dx2 +
0 6
oo oo
+ J J rnf Cq) tnf (r2) Afe (/] — xj \k (t2 — T2) dxr dx2.
о о
Применяя к этому произведению операцию взятия математиче-
ского ожидания, получаем
оо оо
Rx (х) = j J mk (хх) mk (x2) Rf (x + xx — х2) dxx dx2 +
о о
оо оо
+ 2 J J mf (хх) mk (х2) Rf д* (х + х2— х2) dx2 +
О о
оо оо
+ J J mf (хх) mf (х2) 7?дл (х + х^- х2) dx, dr2, (5-54)
о о
где т = /2 — Rf (т) — корреляционная функция стационар-
ного входного воздействия; Rf^ (т) — взаимная корреляционная
функция между входным воздействием и вариациями весовой
функции системы; R^ (т) — корреляционная функция вариаций
весовой функции.
Если внешние воздействия и вариации весовой функции не
коррелированы, то выражение для Rx (т) принимает вид
оо оо
Rx (т) = П lmk (Ti)mk (та) Rf (т 4- Ъ— тг) +
б б
+ mf (тх) mf (т2) /?ДА (т + — т2)] d^ dx2. (5-55)
Перейдя в выражении (5-55) к изображениям Фурье, получим
следующее соотношение, связывающее спектральные плотности
возмущающих воздействий:
sx (со) = I Г (»\* Sf (со) + I Wf (/(0) \* Sm (<о) +
+ 2W (-fa) Wf (/®) S, (со), (5-56)
где Зд. (со), Sf (со), Sf д* (со) — соответствующие спектральные
плотности..
В частном случае, когда S/д* (со) — 0, т. е. когда внешнее
воздействие и вариации весовой функции взаимно независимы
(корреляция между ними отсутствует), последнее выражение при-
нимает вид:
Sx (<о) = | W (/со) |2 Sf (со) + | W, (/со) |2 (со). (5-57)
Дисперсию х (I) в установленном режиме можно вычислить
по формуле
ОО
(£=^(0)=-^- JSx(co)dCD.
--ОО
Из приведенных выше выражений в качестве частного случая
нетрудно получить соотношения для вычисления вероятностных
характеристик координат, когда внешние воздействия являются
детерминированными. Для этого достаточно положить
Н/ (0 = 0; Rf (т) = Rf м (т) = 0; Sf (со) = 3/ д* (со) = 0.
Изложенный подход может быть распространен и на многомер-
ные системы, если выражение для выходной координаты (t)
многомерной системы с п входами записать в виде
П оо
(0 = 2 j ku (t, т) fl (т) dx, (5-58)
Z=1 о
где ku (t, т) — весовая функция многомерной системы от f-ro
входа до l-го выхода; Д (/) — возмущающее воздействие, прило-
женное к i-му входу, причем
П1
ku (Л т) = tnkii (/, т) + S vHi т) Да/’>
/=1
ft (/) = mf, (о + S н</ (0 Ро;
/=1
Vlijit, т) =
' 7 \ daj
В частности, математическое ожидание выходной координаты
xz (/) равно
П оо
тх1 (/) = 2 J mka (/, т) mfi (т) dx.
1=10
Для корреляционной функции имеем
Л1 о Ла
Лх (6, h) = 2 А™ ала/ “f" 2 ^2) “I”
Z=1 i=l
fh
+ 2 S (5-59)
1=1 i=l
где
пг пг
Аи= £ a^iQaiiit^-, Л2,= S bst Д) bti
I, S=1 /, S=1
пг пг
Ац= S MG)M^) + S aMbu(txy,
t, s=l I, s=l
oo oo
asi = f vsji (i, t) mf,- (t) dr; bsi = f mksi (t, т) p,/(- (x) dx.
б 6
При детерминированных внешних воздействиях выражение
(5-59) для корреляционной функции принимает вид:
Rx (Л, ^2) = S Ам (6, fe)<*Aaz« (5-60)
/=1 1
Выражения для определения дисперсии случайной функ-
ции Хц (/) могут быть получены из (5-59) и (5-60) при tx = /2 = /.
Получим формулы для определения вероятностных характе-
ристик выходной координаты системы, описываемой уравнением
n-го порядка:
D(p, /)х(/) = М(р, t) [f(t) + r(01, (5-61)
где
п di
Л di
ММ = р,(ф
х=0
f (t) — неслучайная составляющая входного воздействия; г (/) —
случайная составляющая входного воздействия с нулевым мате-
матическим ожиданием.
Пусть все коэффициенты уравнения претерпевают относительно
своих средних значений случайные изменения, т. е.
яг(0 = тя/(0 + Ля<1 * = 0, 1, ..и; 1
6/(0 = md/(0 + A6„ «=0, 1, .... mJ (b'b2)
где Аб,-, Да/ — случайные величины с заданными вероятностными
характеристиками:
m Да,-=/п Аб,-= 0;
т (Да*) = ola.; т (ДЬ*) — oV;
/л л«,\ 1г 1 /А, л , (5-63)
т(Дя/ Аб/) = Katbj, т ДЬ, Дяу) = Kb^f,
т (Дя,- Дя/) = Ka^f, т (Д1>1 АЬ,) = КьсьГ
Выходную координату х (0 представим приближенно в виде
п т
x(t) = x [mat (t), rrtbi (I), t] + £ uk (/) Да* + S z* (t) Д6*, (5-64)
k=Q fc=0
где
Так как уравнение (5-61) является линейным, то справедливы
следующие два уравнения:
D(p, t)x*(t) = M(p, |
D(p, f)x**(f) = M(p, )
(5-65)
причем x (0 = x* (t) + x** (t). С учетом этого соотношение (5-64)
принимает вид
х (0 = х* (mah mbt, 0 + х** [та,, mb;, 0 +
+ S [«* (0 + «Г (0]Да* + S [4 (0 + z*‘ (о] дб*. (5-66)
k=0 k=0
На основании (5-66) получаем
оценки математического ожидания
координаты х (/):
следующие выражения для
и корреляционной функции
{п tn )
S Uk (0 Да* + Z* (0 &bk\;
4=0 4=0 J
Rx (Л, 0) = ZZlHx‘‘(/i) + S [«4 (6) + «4 (6)] ДЯ4 +
I I k—Q
+ (^i) + zk (Л)] ^bk [ x
k=0 J
x I* (/2) + [uk (^2) + (^2)] +
I fe=0
+ S \zk (^2) + zk (M] .
k=Q J
(5-67)
Операция взятия математического ожидания для случая не-
коррелированных внешних и параметрических воздействий дает
172
соотношение
Rx (Л, fe) = Rx** (Л, /2) +
+ [^«**u**№’ ^2) + ^1(6)^(/2)] +
/=0 k=0
+ У^ ^ui (6) Zk (fe) + Ru**z** (^» fe) + %k (Л) Щ (£>) +
i=0 Z?=0
+ ^)] K^bk +
+ Zj 2 (/i> h} b Zi((1) Zk (/2)]Кь^ (5’68)
S k=Q
В случае, когда случайные величины Aat- и Abt- являются не-
коррелированными, выражение для корреляционной функции
упрощается:
Rx (Л, ^2) = h) +
+ У^ У^ ^«**«**Gb ^2) + Ui (/1) Uk (/2)J +
f=o fe=0
+ S S ('Чт(/b /2)+Zi (/i) Zk (/2)]Kbibk' (5’69)
f=o fc=0
Если же случайные величины Aaz, так же как и ДЬ4-, не корре-
лированы между собой, то
Rx (Л, /2) =
= К*** (Л, /2) + У^ ptw** (Л, fe) + Ui (/1) Ui (/2) j ОдД/ +
x=0
+ 2 [Кг« (Л, h) + (/1) zt (/2)] О2Д6<. (5-70)
£=0
Выражения для дисперсий можно найти из (5-68), (5-69) и
(5-70), если положить в них tx = t2 = t.
В выражениях (5-67)—(5-70) функции чувствительности (/),
wt- (/), Zi (/) и z (/) находятся как решения соответствующих
уравнений чувствительности, получаемых в результате дифферен-
173
цирования уравнений (5-65) по соответствующим коэффициентам:
D(p,
dt
D(p,
dt
л (5’71)
D(P. ог;-(/)=А
Дифференциальные уравнения (5-71) имеют детерминирован-
ные коэффициенты, равные математическим ожиданиям и mbi.
Решения второго и третьего уравнений являются случайными
функциями, так как зависят от случайного воздействия г (/).
Уравнения (5-71) замечательны тем, что различаются только
правыми частями. Этот факт можно использовать для уменьшения
объема вычислений при интегрировании этих уравнений. В част-
ности, можно найти весовую функцию для системы, описываемой
уравнением
D(p, t) k (0 = 6(0,
а затем искать функции чувствительности по формулам:
со
Udt) = -^k(t, ^Ц^-dv,
b
»;•«) = Л;
•/ at
О
ОО
Zi (0 = J k (t, r)
0
Mi;
di/
00
z** (/) = J k (/, t) dx.
0
Выше были получены соотношения для вероятностных харак-
теристик выходной координаты одномерной системы для случая,
когда вариации параметров являлись случайными величинами.
Указанная ситуация характерна для технологического разброса
174
и для малых скоростей дрейфа параметров. Аналогичные же фор-
мулы могут быть получены и для случая, когда скорости измене-
ния параметров соизмеримы со скоростью протекания переходных
процессов в системе. При этом вариации параметров необходимо
рассматривать как случайные функции. Последние можно пред-
ставить соответствующими каноническими разложениями. Это
позволит свести задачу к предыдущей, т. е. к рассмотрению слу-
чайных величин и соответствующих им функций чувствительности.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
О СИНТЕЗЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ
ТРЕБОВАНИЙ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
6-1. Возможные подходы к синтезу систем
управления с учетом требований нечувствительности
Для синтеза практически любой системы автоматического
управления, как известно, необходим определенный объем априор-
ной информации об объекте управления, о возмущающих воздей-
ствиях, о начальном состоянии объекта, о требованиях к качеству
управления, об ограничениях на фазовые координаты и управ-
ляющие воздействия и т. д. Для многих современных объектов
задача получения с требуемой точностью всей перечисленной выше
информации является или совсем практически неразрешимой,
или же может быть решена с затратой значительных материальных
средств и времени. Наибольшие трудности при этом встречаются
при получении априорной информации о динамических характе-
ристиках объекта и о внешних возмущающих воздействиях.
Но даже если система синтезирована при наличии всей необхо-
димой информации, всегда в процессе заводского изготовления и
сборки объекта и регулятора неизбежны отклонения от проекта.
Эти отклонения могут возрасти вследствие естественного старения
элементов системы.
В принципе существующие методы синтеза могут в определен-
ной степени учитывать возможную неопределенность в характере
и величине внешних возмущений.
Менее разработаны вопросы учета разброса параметров объекта
и регулятора, хотя этой проблеме в настоящее время уделяется
серьезное внимание. Эта проблема связана с синтезом систем,
сохраняющих работоспособность при неконтролируемых вариа-
циях в определенных пределах параметров объекта и регулятора.
В работах [13; 47] такие системы были названы «грубыми».
Стремление к повышению «грубости» систем управления яви-
лось одной из основных причин появления самонастраивающихся
систем. В принципе введение самонастройки уменьшает чувстви-
176
тельность системы к уходам ее параметров. Но в настоящее время
самонастраивающиеся системы являются, как правило, более
сложными и дорогостоящими, чем обычные (несамонастраиваю-
щиеся) системы. Поэтому по возможности желательно обходиться
обычными системами, достаточно нечувствительными к параме-
трическим возмущениям. Задачу построения таких грубых систем
в ряде случаев можно успешно решать при использовании аппарата
функций чувствительности.
В области синтеза грубых систем с привлечением функций
чувствительности можно выделить три подхода.
Первый подход заключается в выборе такой структуры системы,
при которой место включения объекта, являющегося в системе
наименее стабильным звеном, наиболее полно отвечает требова-
ниям уменьшения чувствительности выходной переменной или
определенного функционала от нее (показателя качества) по отно-
шению к вариациям параметров объекта. При этом используется
известный факт, заключающийся в том, что заданные требования
к качеству работы системы могут быть удовлетворены с помощью
различных структур.
Второй подход основан на использовании избыточных элемен-
тов в системе. Под избыточными элементами будем в зависимости
от конкретной ситуации понимать корректирующие устройства,
коэффициенты усиления, постоянные времени, элементы RLC-
цепей и т. д. В первом случае говорят о системах с несколькими
степенями свободы [49]. Заметим, что эти элементы названы избы-
точными вследствие того, что при обычном синтезе (без учета тре-
бований нечувствительности) они делают задачу синтеза переопре-
деленной. Поэтому величинами их параметров приходится зада-
ваться произвольно. В рассматриваемой постановке указанная
избыточность используется для удовлетворения требованиям не-
чувствительности.
Третий подход связан с синтезом оптимальных грубых систем
управления. По существу при таком подходе используются все
идеи и методы синтеза оптимального управления (классическое
и неклассическое вариационное исчисление, динамическое про-
граммирование и т. д.). Новым моментом является учет дополни-
тельного функционала — функционала грубости <7, который в за-
висимости от постановки задачи может минимизироваться или же
служить в качестве ограничения.
6-2. Выбор структуры системы управления, обеспечиваю-
щей понижение чувствительности показателя качества
к вариациям параметров объекта
Как уже было отмечено выше, заданные динамические свойства
системы могут быть реализованы с помощью различных структур.
Характерным примером в этом отношении является задача синтеза
линейных стационарных систем по желаемой передаточной функции
12 Е. Н. Розенвассер 177
системы 1г0 (р) при заданной передаточной функции объекта
lFo6 (р). Известно, что при этом задача синтеза сводится к нахо-
ждению передаточной функции корректирующего устройства.
Такая задача имеет неоднозначное решение. Конкретное реше-
ние будет определяться выбором того или иного типа корректиру-
ющего устройства. В инженерной практике находят применение
три типа корректирующих устройств [6]: последовательные кор-
Рис. 6-1. Возможные структуры
включения корректирующего уст-
ройства.
ректируклцие средства, прямые
параллельные корректирующие
связи, обратные параллельные
корректирующие связи или допол-
нительные обратные связи. Таким
образом, заданная передаточная
функция может быть реализована,
по крайней мере, с помощью трех
типов корректирующих устройств.
Сравним все три возможные
структуры, схемы которых пред-
ставлены на рис. 6-1, по функциям
чувствительности. При этом будем
учитывать только вариации пара-
метров объекта. Для рассматри-
ваемых структур получим следую-
щие передаточные функции и ло-
гарифмические функции чувстви-
тельности:
для схемы рис. 6-1, а
/п\ _ ^пс (р) ^об (Р)
^01 1 + ^пс(р)^об(р)
И
Q (п\ = <Нп Г01 (Р) _ ___________J________.
W din Wc6 (р) - 1 + Fnc (Р) №об (Р) ’
(6-1)
для схемы рис. 6-1, б
/п\ _ Wnp(p) + Ц^об(р)
1 + й7пр(р)+Ц70б(р)
И
dlnlToJp) _____________________FqcCp)_________________.
<5 1 n В7об (р) [ 1 + Гпр (р) + Гоб (р)] [ Гпр (р) + Гоб (р)] ’
для схемы рис. 6-1, в
WO3(P) =
1Гоб(р)
l + lFo.c(p) W&lp)
и
е , V _ <?lnF0S(/>)__________1________
°3W- <Э1п№об(Р) “ 1 + ^о.с(Р) ^об(Р) ‘
В приведенных выше выражениях приняты следующие обозна-
чения:
U?01 (Р)» ^02 (р). W'os (Р) — передаточные функции замкнутых
систем;
Si (р), S, (р), S3 (р) — функции чувствительности;
Гоб (р) ~ передаточная функция объекта;
Гпс (р) — передаточная функция последова-
тельного корректирующего звена;
1ГПр (р) — передаточная функция параллель-
ного корректирующего звена;
Го. с (р) — передаточная функция звена обрат-
ной связи.
Приведем вторую и третью структуры к эквивалентной струк-
туре системы с последовательным корректирующим устройством.
При этом получим:
для схемы рис. 6-1, б
^пР(р)=Гоб’(р) [Гпс(р)-1]
И
<6-2>
для схемы рис. 6-1,"в
w _ l+W'nclpHW'odlp)-!]
H'o.cW- W'oelpJW'nclP)
И
!«з (Р) = 5Х (р) 1ГПС (р). (6-3)
Для выбора той или иной структуры системы, т. е. для выбора
типа корректирующего устройства, удовлетворяющего требова-
ниям чувствительности, необходимо анализировать выражения
(6-1), (6-2) и (6-3) с учетом конкретных свойств передаточной функ-
ции И/о (р), в частности полосы пропускания, и функций (р)
И ’^пс’(р).
Известно, что с позиций чувствительности во многих случаях
более предпочтительны обратные связи. Поэтому по мере возмож-
ности все звенья с нестабильными параметрами надо стремиться
охватить обратными связями. Естественно, что в первую очередь
это касается объекта управления.
Обычно в структурных схемах объект располагается у выхода
схемы. В некоторых типовых структурах звенья, расположенные
ближе ко входу схемы и имеющие достаточно стабильные пара-
метры, охватываются большим числом обратных связей, чем объект.
Это приводит к тому, что чувствительность системы относительно
12* 179
параметров самого нестабильного звена, каким является объект,
будет наибольшая. В этом отношении характерна структура,
схема которой изображена на рис. 6-2 [15]. Допустим, что объектом
является звено с передаточной функцией (р). Это звено охва-
чено всего одной обратной связью, тогда как звено с передаточной
функцией W± (р) охвачено т/2 обратными связями. Схема модели
чувствительности системы с данной структурой полностью совпа-
Рис. 6-2. Структурная схема многоконтурной системы.
дает со схемой рис. 6-2. На модели чувствительности с точек чув-
ствительности Sx, S2, . . ., Sm снимаются функции чувствитель-
ности
5Др) =
д\пХ(р)
д In Wi (р) ‘
Сигнал, пропорциональный функции чувствительности
(р), является разностью входного сигнала модели чувстви-
тельности и сигнала обратной связи с выхода модели чувствитель-
ности. Сигнал, пропорциональный функции чувствительности
Sm_3 (р), получается как разность сигнала Sm_x (р) и следующей
обратной связи и т. д. Таким образом, для устойчивых систем и
устойчивых внутренних контуров справедливо соотношение
(6-4)
Как уже было отмечено, наиболее существенные неконтроли-
руемые вариации претерпевают параметры объекта. Поэтому
исходя из требований чувствительности нужно стремиться исполь-
зовать структуры, в которых объектом являлось бы звено с пере-
даточной функцией (р).
6-3. Использование избыточности при синтезе систем
с учетом требований нечувствительности
Синтез корректирующих устройств по заданной (желаемой)
передаточной функции замкнутой системы. Рассмотрим задачу
ограниченного синтеза линейных стационарных систем. Предполо-
жим, что задана передаточная функция объекта и исполнительного
180
органа. Необходимо выбрать вид и параметры передаточной функ-
ции корректирующего устройства так, чтобы удовлетворить желае-
мой передаточной функции W0(p) замкнутой системы и желаемой
функции чувствительности So (р). Очевидно, что при этом синтез
надо проводить с учетом условий физической реализуемости кор-
ректирующего устройства.
Зададимся одной из наиболее часто применяемых на практике
структурных схем, например схемой, представленной на рис. 6-3.
Передаточная функция замкнутой системы этой структуры имеет
вид:
F(p) =
^об(Р)ИМР)
1 + Wrflp) WK (р)
(6-5)
Наиболее существенные неконтролируемые вариации обычно
характерны для параметров объекта. Поэтому будем рассматривать
функцию чувствительности
с \In IF (р) _________________1_______ /?•.
а(Р>- <?1п1Гоб(рТ_ l + IFo6(P)W'K(p)-
Таким образом, передаточную функцию корректирующего
устройства WK (р) надо выбрать так, чтобы удовлетворить двум
следующим условиям:
IFq6 (р) Гк (Р) _Tty /п\.
1 + Wo6(p)WK(p) -
1 4- (Р) W'k (Р) = s°
Рис. 6-3. Типовая структурная схе-
ма систем автоматического управ-
Получили некорректно постав- ления.
ленную задачу, так как в общем
случае алгебраическая система (6-7) из двух линейно независимых
уравнений с одним неизвестным WK (р) не имеет решения.
Для корректности структура системы должна быть избыточной.
Последнее достигается путем усложнения структуры за счет
введения в нее дополнительных независимых корректирующих
устройств. Независимыми будем называть корректирующие
устройства, которые путем структурных преобразований не могут
быть сведены в одно эквивалентное корректирующее устройство.
В частности, корректирующие устройства, включаемые по схемам,
изображенным на рис. 6-4, а, б, в, являются зависимыми.
Некоторые структуры с независимыми корректирующими
устройствами представлены на рис. 6-5.
Наличие дополнительного (избыточного) корректирующего
устройства дает возможность удовлетворить одновременно двум
независимым требованиям к основному и дополнительному дви-
жениям. В рассматриваемом случае удовлетворяются желае-
мая передаточная функция и желаемая функция чувствитель-
ности.
Решение поставленной задачи с двумя корректирующими
устройствами проиллюстрируем на примерах систем, структурные
схемы которых изображены на рис. 6-5.
Для схемы на рис. 6-5, а имеем следующие выражения для
Г о (р) и So (р):
^о(р) =
(6-8)
SO(P) =
i + WKi(p)WKt(p)Wo6(p)
^К1(Р)^Об(Р)
1 + Гк1(р)ГК8(р)Гоб(р) ’
1
Рис. 6-4. Структурная схема зависи-
мых корректирующих устройств.
WK1(P) =
Рис. 6-5. Структуры с независимыми
корректирующими устройствами.
Wq(p) .
(Р) (р) ’
1-SO(P)
^о(Р) ’
Аналогично для структуры рис. 6-5, б имеем
^К1(Р) =
^к2(Р) =
УЛ(Р) .
^Об(Р)$0(Р)’
l-r0(p)S0(p)
(Р) ^об (р)
На рис. 6-5, в изображена структурная схема так называемой
системы с нестандартной, или условной, обратной связью [51].
Передаточная функция системы имеет вид:
_ Wo6(p)[WK1(p) + WK2(P) ^м(Р)]
W 1 + ^Об(Р)^1(Р)^К2(Р)
Системы с нестандартной обратной связью обладают следу-
ющими особенностями.
I. При W± (р) = IFK1 (р) = 1 эти системы позволяют более
удовлетворительно решать проблему выбора параметров регуля-
тора, которая в обычных системах сводится к отысканию рацио-
нального компромисса между требованиями неискаженного вос-
произведения управляющего воздействия и подавления вредных
возмущений. Действительно, при
^м(р)=^об(р) (6-9)
режимы слежения и стабилизации в системе можно рассматри-
вать независимо. Отсюда и параметры системы для этих режимов
можно выбирать независимо.
2. В системе с нестандартной обратной связью соответству-
ющим выбором передаточной функции WM (р) можно получить
желаемое качество воспроизведения управляющего сигнала, так
как при значительном коэффициенте усиления в контуре звеньев
^об (р). wi (р), №ка (р) И при Wi (р) = 1ГК1 (р) = 1 справедливо
соотношение
x(p) = Wu(p)y(p).
3. В отличие от обычных замкнутых систем в системах с не-
стандартной обратной связью влияние неконтролируемых изме-
нений параметров звена обратной связи IFk2 (р) незначительно,
а при (р) — 1 (р) — 1 и при выполнении условия (6-9)
звено U7k2 (р) вообще не влияет на качество воспроизведения
управляющего сигнала. Это очевидно из рассмотрения функции
чувствительности
S (п\ = д1пПЧр) _ ^м(р)-ЦУрбСр)
° W д 1П Гк2 (р) “ 1 + ЙГоб (р) Гк2 (р) •
4. Как видно из рис. 6-5, в, система с нестандартной обратной
связью имеет структуру с двумя степенями свободы. Это позволяет
предъявить определенные требования к чувствительности переда-
точной функции W (р) по отношению к вариациям параметров
объекта.
Для функции чувствительности системы имеем
о (п\ _ W'(p) ____________1_________
W д 1П «7об (Р) 1 + 1Гоб (Р) W'l (Р) WK2 (р) •
Передаточные функции корректирующих устройств по задан-
ным Го (р) и $о (р) определяются выражениями:
<"> = W- II - S. (р)1 ;
WO(P)W1(P) Lso(P) т
В заключение данного параграфа заметим, что нами изложены
только общие положения рассмотренного подхода к синтез}' кор-
ректирующих устройств.
Прп рассмотрении конкретных систем возникает целый ряд
дополнительных задач, без решения которых не может быть произ-
веден синтез системы. Со многими из них приходится считаться
при обычном синтезе следящих систем (например, выбор и построе-
ние характеристик желаемой передаточной функции, выбор типа
корректирующего устройства и т. д.). При учете требований чув-
ствительности появляются новые, не менее сложные задачи.
Укажем, например, на обоснованное задание желаемой функции
чувствительности So (р).
Как правило, функция чувствительности 3 (р) имеет вид:
5 (Р) (Р) j + Wp (р) •
(6-10)
Для структур, изображенных на рис. 6-5, N (р) = 1. Пусть
^р(Р) =
Ьтрт + • • + &1Р +
Рп + an-iPn 1 + • • • + aiP + аа
(6-П)
Так как Гр (р) является физически реализуемой функцией,
то обычно
п — т = 1^>0
Подставляя (6-11) в (6-10), получаем
3(р) = У(р)
Рп + Уп-1Рп 1 -I------Н Y1P + Уо
р” + Рп-1РП 1 + • + PlP + Ро
где
уг=аг, i = 0, 1, ..., п — 1;
0/ = a,, j = /и + 1, т + 2, ..., п — 1;
04 = 0* + ^, k = 0, 1, ..., т.
Таким образом, если передаточная функция разомкнутой си-
стемы имеет на I полюсов больше, чем нулей, то у функции
3 (p)/N (р) первые I коэффициентов числителя и знаменателя
равны.
Кроме указанного, при конкретных расчетах выбор 3 (р)
должен производиться с учетом требований физической реали-
184
зуемости функций FK1 (р) и 1Гк2 (р), требований к подавлению
возмущающих воздействий и шумов и т. д.
Выбор параметров электрических звеньев систем управления.
В предыдущем пункте были изложены соображения о получении
передаточных функций корректирующих устройств. Очевидно,
дальнейший этап проектирования заключается в схемной реали-
зации этой передаточной функции.
Техническая реализация заданной передаточной функции кор-
ректирующего устройства неоднозначна. Это связано с тем, что
одна и та же передаточная функция может быть реализована
с помощью различных элементов современной электроники и
автоматики. Наиболее часто корректирующие устройства выпол-
няются как пассивные или активные /?АС-контуры.
Задача расчета параметров такой корректирующей цепи
иногда неоднозначна даже в том случае, когда по виду передаточ-
ной функции выбрана электрическая схема цепи. Последнее объяс-
няется тем, что алгебраическая система, связывающая неизвестные
параметры корректирующей цепи с заданными коэффициентами
передаточной функции, может быть избыточной, т. е. число неиз-
вестных может превышать число уравнений. Вследствие этого
для однозначного расчета параметров корректирующей цепи
данной схемы приходится задаваться (обычно без строгого обосно-
вания) значениями избыточных параметров. Но этой избыточ-
ностью можно распорядиться в целях улучшения качества работы
корректирующей цепи, если учесть при расчете параметров до-
полнительные требования, например, к чувствительности опре-
деленных динамических характеристик цепи.
Такой подход возможен вследствие того, что рассматриваемые
цепи в некотором смысле подобны системам управления с несколь-
кими независимыми корректирующими устройствами. Роль кор-
ректирующих устройств играют элементы цепи.
Рассмотрим более детально изложенную методику расчета
параметров корректирующих цепей систем автоматического управ-
ления.
Допустим, что в результате синтеза системы управления полу-
чена следующая передаточная функция корректирующей цепи:
Ц?к (р) = ЬтРт + Ьт-1рт~1 + • • • + fexp + , (6-12)
РП + an-iPn 1 + • • • + Я1Р + «о
где а0, alt . . ., b0, blt . . ., bm — заданные числа.
Пусть для реализации корректирующей цепи с данной переда-
точной функцией выбрана схема на I сопротивлениях /?х, . . ., Rt
и s емкостях Clt . . ., Cs. Между коэффициентами а( и bt и элемен-
тами Rj и Cj существуют алгебраические связи:
Ф1/(/?Р •••, %ь Cv .... Cs) = at, 4 = 0, 1, ..., n--l;
ф24 (Rv • • •» Кь Cx..Cs) = bt, 4 = 0, 1, .... tn.
(6-13)
Алгебраическая система (6-13) образована из N = т + п + 1
в общем случае нелинейных уравнений и содержит М. = I + s
неизвестных. Как уже было указано выше, во многих случаях
M>N. (6-14)
Поэтому корректирующая цепь содержит Т = М — N избыточ-
ных степеней свободы.
Для иллюстрации в табл. 6-1 приведены примеры корректиру-
ющих устройств с дополнительными степенями свободы.
Воспользуемся указанным фактом для удовлетворения требо-
ваниям к чувствительности динамических характеристик цепи.
Для этого дополним систему (6-13) Т алгебраическими уравне-
ниями:
фзДЛр ..., Rh Ср Cs)=Sz, Z = l, 2, ..., Т, (6-15)
где Si — заданное значение функции чувствительности. Тогда
система уравнений (6-13), (6-15) оказывается определенной и
может иметь, по крайней мере, конечное число решений (в силу
нелинейности алгебраической системы).
На практике вместо всех или части уравнений (6-15) могут
быть заданы алгебраические неравенства вида
Фз/ (^1» • • •> • • •» Cs) Yz
или
|Фз/(^1> • • •> Bl’ • • •>
При расчете параметров конкретных схем иногда приходится
учитывать ряд дополнительных факторов, приводящих к рассмо-
трению связей между некоторыми параметрами цепи. В частности,
учет входного и выходного сопротивлений цепи приводит к учету
дополнительных неравенств вида
.... ₽;)>₽иин; (6-16)
v2 (/?:, ..Rp) /?макс, (6-17)
где t, р < /, R\, . . Rd, R\, ., ₽р — элементы, образую-
щие входные и выходные сопротивления цепи.
Если выходное сопротивление предыдущего каскада (7?„ин = 0)
и выходное сопротивление последующего каскада (/?макс —* °°)
не учитываются, условия (6-16) и (6-17) выполняются при любых Ri
и Ri. Поэтому эти условия не накладывают дополнительных огра-
ничений на область допустимых значений искомых параметров.
Указанная ситуация возможна, например, тогда, когда коррек-
тирующая цепь является нагрузкой низкоомного генератора на-
пряжения, а выход цепи включен на сетку электронного усили-
теля.
Схема корректирующего устройства Передаточная функция
я,
\Rf П7 ( п\ = !
Г тЧ а^р2 + а,р + а0
/?4 1 ft п/ /п\ ______
0^ и Ri Н7(₽)~ а2р2 + а1Р+1
Таблица 6-1
Связь между коэффициентами передаточной функции и элементами схемы Число избыточных степеней свободы
#3 == Т\Т2 а — 7 ( 1 1 ^4 \ . Т #1 + #2 + %3 а*-гЛ1’1 л г1 * v
^2 + ^3 + ^4 а°- ' ях Л= Т2 = ^?4^2 3
fT< $1^3 Р , гр __
+ + ъ 2“ *1
Продолжение табл. 6-1
Схема корректирующего
устройства
Передаточная
функция
Связь между коэффициентами передаточной функции
и элементами схемы
Число
избыточных
степеней
свободы
&1 = Л
— Т\Т\Т з
RbRj I
R3 (Ri + tf6)J
(1 + §•) + R3(Ri + R6)
a0 = 1
Ri
R3
T^iRi + RijCf, T2 = R2C2, T^RjC!
3
Пример 6-1. Рассмотрим выбор параметров дифференцирующего звена, схема
которого представлена на рис. 6-6, а. Внутренним сопротивлением источника
пренебрегаем, а сопротивление нагрузки полагаем равным бесконечности. Пере-
даточная функция звена имеет вид:
W (р) ~k kTp + 1
гдеГ = ^С; * =
Значения k и Т заданы. Требуется определить значения параметров Rlt
R2 и С. Имеем одну избыточную степень свободы. Воспользуемся этим для учета
чувствительности звена. Потребуем,
например, чтобы параметры звена
удовлетворяли условию
Is? (®i)| Y-
где Sg(<o) = _ функция чув-
ствительности фазовой характеристики
звена к вариациям емкости С; у — по-
стоянное положительное число; ©i —
фиксированная частота.
Для функций SJ2 (со) имеем
S? (<о) =/?! v(<o),
где
V (<О) = ^2 j — j ) •
Таким образом, для определения
значений Rlt R2 и С получаем следую-
щую алгебраическую систему:
R]C = 7*; R2 (/?i R%) — k\
Ri I v (®i) I «= y.
Решая эту систему, находим
Рис. 6-6. Электрические схемы диффе
ренцирующих звеньев:
а — идеального, б — реального
R2 =
krx . r_X
1 — k ' rt •
Пример 6-2. Рассмотрим дифференцирующее звено с учетом выходного и
входного сопротивлений. Схема звена представлена на рис. 6-6, б. В общем слу-
чае можно в качестве неизвестных рассматривать и эти параметры. Но при этом
при удовлетворении требованиям чувствительности могут быть получены недо-
пустимые для сопряжения звена с предыдущим и последующим каскадами значе-
ния входного и выходного сопротивлений. Поэтому приходится учитывать огра-
ничения вида (6-16) и (6-17). В случае задания конкретных значений входного и
выходного сопротивлений возможности предлагаемой методики значительно су-
жаются.
Передаточная функция звена, схема которой изображена на рис. 6-6,6, имеет
. вид:
-‘-mi
где
k-Rl + KJ^ + R.' = +
T = + ^) (^вых ~Ь ^вх 4~ ₽3) р
2 Я1 + Rbx + RbUX + Кз
Пусть величины RBX и 7?вых заданы. Тогда задача сводится к определению
значений Rlt R2, R3 и С по заданным значениям k, 7\ и Т2. Имеется одна избы-
точная степень свободы. Используем ее, как и в предыдущем примере, для огра-
ничения чувствительности фазовой характеристики на определенной частоте:
где
5g (®i) = У.
(<0j) — dv (coj) + Ri) —C ^d2
Для определения искомых параметров получаем следующую алгебраическую
систему:
R1 + R3 = 1Rbx --------- (Rbx + Rbhx)’>
(*1 + я2) С = Л;
RrR2C -|- R2) (Rbx + Rblix + R3) С — (Rl + R3) ^2 ~ ^2 (^вх + Rbwx)’,
(Ri -j- R2) (со) — Су = d2 (со).
В частности, при со = 1/сек; k = 0,5; RBX = 100 ком; RBblx = 10 ком, Т =
= 1 сек; Т2 = 2/3 сек; у — 0,03 Ммкф получаем
Ri = 7 ком; С — 1,28 мкф; R2 — 770 ом; R3 — 83 ом.
В заключение заметим, что наличие указанной естественной
избыточности в схемах корректирующих цепей дает возможность
свести задачу определения их параметров также к задаче нели-
нейного программирования.
Задача нелинейного программирования в рассматриваемом слу-
чае формулируется следующим образом.
Требуется вычислить минимум функции
V = V(av ам) (6-18)
при ограничениях, наложенных на переменные аь . . ам, вида
i|)1Z (04, ..ам) = ah i = 0, 1, п— 1; 1
i|>2/ (ах, ..ам) = bh i = 0, 1, ..пт, J
• • •, а<) ^?мин> 1 (6-20)
v2(d'i, ар)<7?макс; |
az>0, i= 1, .... М, (6-21)
где через at- обозначены параметры корректирующей цепи (в част-
ности, это R/, Cf).
Функция V, которую назовем обобщенной функцией чувстви-
тельности, учитывает чувствительность рассматриваемой динами-
ческой или статической характеристики корректирующей цепи
к вариациям всех элементов последней. Для практических расче-
тов целесообразно использовать обобщенные функции чувстви-
тельности вида
м м
V = U I S{ | или V = S St
Х=1 /=1
Условия (6-20) учитывают соответственно требования на зна-
чения выходного и входного сопротивлений цепи. Условия (6-21)
отражают тот факт, что по своему физическому смыслу значения
параметров корректирующей цепи (сопротивлений, емкостей и
индуктивностей) не могут быть отрицательными и равными нулю
(в противном случае может измениться вид передаточной функции).
В некоторых случаях к системе (6-19), (6-20) могут быть добав-
лены также условия, учитывающие другие требования к пара-
метрам аь . . ., ам.
В настоящее время среди задач нелинейного программирова-
ния более или менее подробно исследованы только задачи квадра-
тичного программирования для случая, когда функция цепи
является вогнутой, а переменные этой функции удовлетворяют
только линейным равенствам и неравенствам.
В поставленной выше задаче нелинейного программирования как
функция V, так и функции иф2, могут иметь самый общий вид.
При этом можно говорить лишь о принадлежности этих функций
к классу гладких функций. Ввиду указанного поставленная за-
дача может быть решена методом регулярного (детерминирован-
ного) сканирования области определения переменных ах, . . ., ам
или методом статистических испытаний Монте-Карло.
В ряде случаев рассмотренная выше задача может быть аппрок-
симирована конечным числом линейных или выпуклых задач,
методы решения которых достаточно хорошо разработаны.
О синтезе систем управления на основе частотных критериев
качества. Пусть 1 = 1 (аь . . ., as, qu . . ., — показатель
качества, зависящий от s параметров объекта аь а2, ..., as и I па-
раметров регулятора q^ . . ., qt. Требуется параметры qr, . .., qt
выбрать такими, чтобы величина показателя качества I оставалась
неизменной и равной заданной величине /0 при изменении пара-
метров а19 . . ., as в определенных пределах, т. е.
I (aj + Aav .... as + Aas, qlt ..qt) = /0 (6-22)
• при
==5 Aaz pZ2, i = l, 2, s. (6-23)
где pzi, 0Z2— заданные постоянные числа.
Предположил!, что с заданной степенью точности справедливо
соотношение
I (аг 4- A«i...as + Aas, qt......qt) =
s
= I (av ..as, qlt ...» ft) + £ ut Aaz, (6-24)
Z=1
/ di \ ,
где ut = ( -4— ) — функции чувствительности перво-
\ / A0Ci=- • -=Aas=0
го порядка.
Подставляя выражения для показателя I из (6-24) в (6-23),
получаем
I (av ..as, ft, .... ft) 4- 5 «/ Да/ = Ar (6-25)
i=l
В силу заданного значения показателя качества / вместо (6-25)
имеем систему
/((ft, ag,ft, ..., ft) =/0;
s
S uzAat- = 0.
z=i
Так как в общем случае вариации Aaz являются независимыми,
то вместо (6-25) получаем
(^i> •••»?«)= /0;
«1 (<7i. ...,ft) = 0;
(6-26)
...,ft) = 0.
Соотношения (6-26) представляют собой s + 1 нелинейных
алгебраических уравнений относительно I искомых параметров
корректирующего устройства. Очевидно, что для существования
решений алгебраической системы (6-26) необходимо, чтобы выпол-
нялось условие
/^s+1, (6-27)
причем, если I > s + 1, то I — s—1 параметров могут выби-
раться из других соображений.
Заметим, что условие (6-27) налагает определенное требование
на структуру и соответственно передаточную функцию корректи-
рующего устройства. Это требование заключается в том, что кор-
ректирующее устройство должно иметь не менее s 4- 1 настраивае-
мых параметров.
Рассмотрим изложенный подход применительно к конкретным
показателям качества.
Показатель колебательности М, Для систем, амплитудная
частотная характеристика А (со) которых имеет пик А (сор) >
> А (0), показатель колебательности [18]
где
м=А
11 А (0) ’
(6-28)
Л(0) =
k
-S—T-,---для статических систем,
к -J- 1
1—для астатических систем;
(6-29)
k — коэффициент усиления разомкнутой системы; сор — резо-
нансная частота замкнутой системы.
Для составления системы (6-26) необходимо найти функции
чувствительности показателя колебательности М. С учетом того,
что резонансная частота также является функцией параметров
объекта, для функций чувствительности получаем
_ дМ д p4(<oP)] , д ГЛ(<1>р)1 а<ор
ZZ< — da.i дл( А (0) . дсор А (0) j d&i '
Так как на частоте сор амплитудная характеристика принимает
экстремальное значение, то
дА (<ор) _
д(ор — U’
вследствие чего вместо (6-30) имеем
д
Ut ~ да{
(top)
L 4(0)
ИЛИ
дА (con) 1 A ((On) dk
щ ----• -3--------для статических систем;
1 dai А (0) k2 dai ’
дА (con)
щ =—da; —для астатических систем.
В случае, когда варьируемым параметром является коэффи-
циент усиления k разомкнутой системы, функция чувствительности
для статических систем имеет вид:
_ дМ _ М (®р) 1 А ((ор)
dk ~ dk ’Л(О) fea •
Если коэффициент усиления k не зависит от варьируемых
параметров, функции чувствительности для статических и астати-
ческих систем совпадают.
В качестве конкретного примера рассмотрим систему автомати-
ческого регулирования скорости вращения электродвигателя [18],
структурная схема которой представлена на рис. 6-7. На рис. 6-7
приняты следующие обозначения: Т1г Т2— постоянные времени
усилителя; ky — коэффициент усиления усилителя; Тя, Тм —
13 Е. Н. Розенвассер 193
электромагнитная и электромеханическая постоянные времени
двигателя; &дв — коэффициент передачи двигателя; kw — крутизна
тахогенератора.
При пренебрежении электромагнитной постоянной времени Тя
и наименьшей из постоянных времени усилителя (например, Т2)
передаточная функция системы принимает вид:
ь
(р) = Т2р2 _|_ 2gTp + й + 1 (6'31)
или
г (р) = —------------------------*2-------,
ТУ + 2^эТэр+1
где
Ъ — k . т — т .
э 1+*’ э /г+* ’
? — £ = (Л + Тм) —J = kykppkn*
V 17 м
Рис. 6-7. Структурная схема системы автоматического регу-
лирования скорости вращения электродвигателя.
Нетрудно показать [18], что при 0 <
для показателя колебательности имеет вид:
выражение
М =---
2g /fc + 1-g2
(6-33)
Допустим, что неконтролируемым параметром является коэф’
фициент £дв. За счет вариаций Д£дв этого параметра показатель
колебательности получает приращение, определяемое выражением
ДМ = uk^k№,
(6-34)
где
= ( дм \
П*ДВ ~ \ ^дв/ДАдв=о‘
В соответствии с изложенной выше методикой найдем такие
значения настраиваемых параметров = kyk^ и Т1г чтобы
обеспечить, во-первых, заданное значение показателя колебатель-
ности из диапазона 1 М 1,8 [18] и, во-вторых, выполнение
условия
ДЛ4 = 0.
(6-35)
Найдем вначале выражение для АЛ1. Для этого определим
функцию чувствительности и*дв:
_ 27\TMky 2TxTMk^kx-T\-Tl
дв - Л + Г„ • [4T1TMk№kl - (Тх - ТмЯ3'* ( '
Из условия (6-35) с учетом (6-36) получаем
271 Тм^дв^х - 71 - 7м = 0. (6-37)
Таким образом, для определения kx и Тх имеем уравнения (6-33)
и (6-37). Используя соотношения (6-32), уравнение (6-33) записы-
ваем в виде
2(1 +feABfei)Ti7’M = м (6-38)
(Л + Т„)----------------------------------- (Л - гм)*
Нетрудно показать, что уравнения (6-37) и (6-38) совместны
(имеют решения) только при М = 1. Для этого достаточно подста-
вить выражение для z = 2717м/?дв£1 из уравнения (6-37) в урав-
нение (6-38). При этом в левой части последнего уравнения полу-
чаем единицу. При М = 1 для выбора параметров kx и Тх может
быть использовано любое из уравнений (6-37) и (6-38).
Воспользуемся, например, уравнением (6-37). Преобразуем его
к виду
71 — 2 TMkRB 7А + 72„ = 0. (6-39)
Уравнение (6-39) в плоскости параметров 7\ и определяет
некоторую кривую второго порядка. Каждой точке этой кривой
в первом квадранте соответствуют допустимые значения искомых
параметров 7\ и & v
Можно показать, что при М = 1 рассматриваемая система
является нечувствительной (грубой) и к вариациям параметра Tv
Действительно, равенство
ДМ = итм^Тм
приводит к уравнению (6-37), что, как уже было показано, соот-
ветствует условию грубости при М = 1.
Запас устойчивости по фазе. Запас устойчивости по фазе р
определяется на частоте среза (оср, т. е.
|Х= р(®ср. “1....а»» <h....<?/)•
Поэтому для вариации запаса устойчивости по фазе имеем
2(ы/+^Л0Лаг’ (6’40)
/=1
где
1 \dai/Да1=--=Да8=0’ 1 \ /да1=...=Да5=0
Из выражения (6-40) видно, что для определения вариации Ар
необходимо знать зависимость частоты среза соср от параметров
объекта. Такие выражения для типовых систем получены в ра-
боте [18]. В частности, для передаточной функции разомкнутой
системы
w . . _ *(Т1Р+ 1)(т2р + 1) ... (Tsp + 1)
W'» (Р) - Pv (Т1Р + 1) (Т2р + !). . . {Тпр + !)
при
7\> —, ту> —, (i=l, 2...................N, j = 1, 2, ..., г)
Wcp ' tt>cp V ' '
частота среза определяется выражением
u>cp
TiTi ...TN'
(6-41)
откуда
д(Оср
1—у—W-f-r
dk v + N — г
Г1Т2 . . , Хг 1 v+N—r
I ГГЧ ГГЧ .
11 2 • • • J N
(6-42)
deoep _
v+N—r
dti v + N — r
dO)cp
dTt v + N — r
k П Xj 1—v-w4-r
j4=i v+.v—г
T.T2 ;
___________Г—W—V—1
v-pv—г / &Т1Т2 • » ♦ Tr грv+N—r
1/ Пт,
(6-43)
(6-44)
1
1
1
В качестве конкретного примера рассмотрим систему,
которая
в разомкнутом состоянии описывается передаточной функцией
П7 ln\__^1^2 (1 TP)
W'p W - p2(1 +Tp} ’
причем объект описывается передаточной функцией
w06(p) = kl^rp},
Г
(6-45)
а корректирующее устройство — передаточной функцией
иМр) = тТ77-
Запас устойчивости по фазе определяется выражением
ц = 18О° + ф(соср), (5-46)
где ф (со) — фазовая частотная характеристика разомкнутой сис-
темы.
Для рассматриваемого примера
р = arctg тсоср — arctg Т <оср. (6-47)
Вариация запаса устойчивости по фазе за счет ухода постоянной
времени объекта т определяется выражением
(М8)
На основании (6-41) имеем
(6-49)
откуда
= т'И "7Т;
(6-50)
Др = [---+ 4" (--------Vu--------&-2-(6‘51)
[ 1+т20)2р 2 1+т2ш2р 1+Г2ш2руК Гт J
Условие Др. = 0 дает
Зт (1 + Г2©2)— Т (1 + т2©2) = 0. (6-52)
Из уравнений (6-47) и (6-52) при заданном р могут быть опре-
делены ©ср и Т. По известному на основании (6-49) вычис-
ляется kz.
Аналогично могут быть получены алгоритм синтеза грубых
систем при использовании других показателей качества (запас
устойчивости по амплитуде, частота среза, эквивалентная полоса
пропускания и т. д.).
6-4. О синтезе грубых оптимальных систем
автоматического управления
Пусть качество управляемой системы оценивается значением
функционала
/ = I (X, V, Т, а), (6-53)
вычисляемым на решениях уравнения
f = F (X, V, а, 0 (6-54)
при ограничениях на фазовые координаты и управление
Ф* (X, V, 0 0, k = 1, 2...s, (6-55)
где V — вектор управления; а — вектор параметров объекта;
Фй — скалярные функции; Т /0— фиксированный момент вре-
мени.
Задача синтеза оптимальной системы формулируется следующим
образом. Необходимо найти такое управление V (/) из области до-
пустимых управлений Qv в виде
V (0 = V (X, а), (6-56)
чтобы минимизировался функционал (6-53) при условии, что век-
торы V (0 и X (0 удовлетворяют ограничениям (6-54) и (6-55).
Как уже было отмечено выше, при учете требований нечувстви-
тельности качество работы системы оценивается также с помощью
второго функционала — функционала грубости J. При этом за-
манчивой является постановка такой задачи синтеза, в соответ-
ствии с которой отыскивается управление, минимизирующее
одновременно оба функционала I и J. Но можно показать, что
в общем случае минимизацию этих функционалов с помощью
одних и тех же параметров управления V (0 производить не
удается.
Покажем это для случая, когда управление характеризуется
параметрами kly k2, . . ., kn причем минимизация функционала
(6-53) производится внутри допустимой области пространства
параметров klt k2, . . ., kr.
Известно, что необходимое условие минимума функционала
1 = 1 (kly . . , kr) имеет вид:
^ = 0, 4=1,2,..., г. (6-57)
Рассмотрим следующий функционал грубости:
т
<М8>
1=1
где 0Х- > 0 — весовые коэффициенты.
Необходимое условие минимума функционала (6-58) в простран-
стве параметров k19 . . , kr представим в виде
^ = 0, i=l,2, ..., г (6-59)
или в развернутой форме
tn
У, 1=1,2, г. (6-60)
dai da[dki ’ > , > \ /
1=1
Выражения (6-60) можно рассмотреть как систему однородных
линейных алгебраических уравнений относительно . . ., ₽т.
Определитель этой системы при т = г имеет вид:
Д = А0Пф6 (6-61)
4=1
где
,1, _ д!_. л D Wi> • W
D(kt.....kr)'
Известно, что для существования ненулевого решения системы
(6-60) необходимо и достаточно, чтобы определитель (6-61) был
равен нулю. В соответствии с постановкой задачи гр, 0,
198
i = 1, ... ,m. Отсюда получаем, что определитель (6-61) может
быть равен нулю только при
До = 0. (6-62)
Но последнее условие в общем случае не выполняется, что под-
тверждает высказанное выше утверждение о невозможности
одновременной минимизации функционалов I и J.
Определитель Д равен нулю в единственном тривиальном
случае, когда все элементы якобиана До равны нулю. Физически
это соответствует ситуации, когда поверхность 1 = 1 (klf . . , kr)
в пространстве 7, klf . . , kr при изменении параметров ап . . ., а,п
перемещается только строго вдоль оси I. Но этот случай является
чисто экзотическим и для практики интереса не представляет.
Нетрудно показать, что аналогичные результаты получаются
и для функционала грубости более общего вида
J = J (4>i, • • •. %.)• (6-63)
Действительно, при использовании функционала (6-63) полу-
чаем следующее условие:
ГП
л, п X11’ (М4)
1=1
где
i=i
В результате снова приходим к условию (6-63), которое в общем
случае не удовлетворяется.
Таким образом, одновременная минимизация функционалов I и J
по одним и тем же параметрам невозможна. Поэтому в зависимости
от требований к процессу управления один из функционалов может
минимизироваться при ограничениях, наложенных на другой. При
этом можно сформулировать ряд возможных постановок задач
синтеза оптимального управления V.
Задача 1:
min/(X, V, Ту,
v
J(X, V,
ФА(Х, V, f)^0, k = \, 2, ..., s.
Задача 2:
imn[pi/(X, V, T) -)-|V(X, V, 7)1;
ФА(Х, V, Z)<0, k= 1, 2, ..., s.
(6-65)
(6-66)
Задача 3:
minJ(X, V, Г);
v
7(х, V, о^/о;
Ф*(Х, V, 0<О, k= 1, 2, ..., s.
(6-67)
В приведенных соотношениях величины /0, /0, ₽х и 02 являются
заданными постоянными числами.
Определенный интерес представляет и задача 4:
min / (X + АХ, V, 0;
v
ФА(Х + ДХ, V, 0<О, k = 1, 2, . . s.
Как функционал грубости </,так и дополнительное движение АХ
в задаче 4 чаще всего выражаются через функции чувствитель-
ности (/), которые определяются в результате интегрирования
соответствующих уравнений чувствительности.
Кроме того, отметим, что сформулированные выше задачи во
многих случаях могут быть сведены одна в другую.
С учетом этих фактов задачи синтеза оптимальных грубых сис-
тем можно свести к эквивалентной задаче синтеза, сформулирован-
ной в начале данного параграфа. Задача формулируется для рас-
ширенного фазового пространства размерности (т + 1) и, где
т—число варьируемых параметров ах, . . ., ат. Фазовые коорди-
наты при этом определяются в результате интегрирования
уравнений:
^- = F(X, V, а, /); '
Лц _ gF , gF
dt ~ gX Ui + g«i;
(6-68)
dum _ gF dF_
dt ~ дХ dam'
Введем в рассмотрение такой (т 4- 1) n-мерный вектор Z, что
Z = ||X', щ, ..., um||.
При этом систему (6-68) можно записать в виде одного уравнения
-^- = F*(Z, V, a, t). (6-69)
Предположим, что минимизируемый функционал в задаче
(6-66) можно преобразовать к виду
Q = Q(Z, V, Т). (6-70)
Тогда может быть поставлена следующая задача синтеза.
Необходимо найти такое управление V (/) € Qv, чтобы миними-
зировался функционал (6-70) при условии, что векторы V (/) и
200
Z (/) удовлетворяют ограничениям (6-69) и (6-55). Ограничениям
(6-55) должны удовлетворять только п первых компонентов век-
тора Z.
Рассмотрим, например, квадратичные функционалы:
т
1= J (X'DX + V'CV)dt-,
О
где D, Dki С — диагональные матрицы.
Нетрудно показать, что можно образовать новый функционал:
т
Q = J(Z'D0Z + V'CV)dt, (6-71)
О
D 0 . . . . 0
где Do= 0 wx. . . . 0 — диагональная матрица размер- ности (m + l)n x (in+ 1)и.
0 0 . • • KDm
Выражение (6-71) может использоваться как минимизируемый
функционал в задаче синтеза в расширенном фазовом пространстве.
В качестве конкретного подхода рассмотрим синтез оптимального
управления методом динамического программирования.
Пусть для процесса, описываемого уравнением (6-64), из
условия минимизации функционала
т
I =*j <р(Х, V)dt (6-72)
о
при наличии ограничения на функционал грубости
J- J(X, V, up ..., um, T) = 0 (6-73)
необходимо синтезировать управление вида (6-56).
Используя множитель ЛагранжаХ, формируем новый функцио-
нал:
т
1 = J<p*(X, V, t)dt, (6-74)
О
где
<Р*(Х, V, Z, их...иш) = ф(Х, V, t) + X±J(X, V, ux........u,„, Т),
(6-75)
причем предположим выпуклость функции <p* (X, V, t, u1( . . ., um)
в расширенном (т -j- 1) n-мерном пространстве.
Составим функциональное уравнение Беллмана для определе-
ния вектора управления V (/):
dS (X, Up , um, t) _
dt
= min |<p*(X, V, tip
tn 4
+ f x + £g * .(6-76)
£=1
Из уравнения (6-76) можно получить в общем случае систему
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных
для определения составляющих вектора управления:
(у, v dS dS dS \ n ,а __x
рг (V, X, Up ..., um, дх, 5^ > • • • > dUm ) - °> (6’77)
i= 1, 2.../,
где I — размерность вектора V (/).
Совместно с уравнением (6-76) соотношения (6-77) составляют
систему из Z + 1 дифференциальных уравнений для определе-
ния I + 1 функций: I составляющих вектора управления и
функции Беллмана S(Z).
В общем случае эти уравнения могут быть решены только чис-
ленными методами. В некоторых частных случаях решение может
быть получено и аналитически. В качестве одного из таких случаев
рассмотрим синтез управления для линейной системы
£ - А (t) X + В (О V, X (0) = Хо (6-78)
при квадратичном функционале
Р / т \
ХФХ + 2 ukNuk + VMV dt,
J \ k=\ /
0
(6-79)
где Ф, M, N — симметричные положительно-определенные мат-
рицы.
Для данного случая имеем следующее функциональное урав-
нение Беллмана:
{ т
ХФХ + V'MV +
т
+s Hx+ev)+K4
*=1
(6-80)
где ил удовлетворяют уравнениям чувствительности
T=^)u» + ^X+flM^u, + ^V. (6-81)
В уравнении (6-80) в фигурных скобках в явном виде имеем
квадратичную функцию по управлению V (/). Производя миними-
зацию этой функции путем приравнивания нулю ее производной
по V (/), с учетом (6-81) получаем следующее оптимальное управле-
ние:
V (/) =----------M~l
dS R/A_L V дВ
дХ du£ да/?
J
(6-82)
Известно [17], что при использовании квадратичного функцио-
нала функцию Беллмана мож-
но предствить в виде квад-
ратичной формы
5(Х, ир uw) = S(Z) =
=Z'K(/)Z, (6-83)
являющейся функцией Ляпу-
нова. Тогда, используя за-
висимость (6-83), управление
V (/) представим в виде
V(0= С(0Х+ £ d„(t) ufe.
Л=1
(6-84)
Элементы матриц С(/) и
Рис. 6-8. Структурная схема грубой опти-
мальной системы управления.
dk(t)f &=1, 2, . . т, опре-
деляются в результате подстановки в уравнение (6-81) соотно-
шений (6-82) и (6-83). Соотношение (6-84) определяет структуру
системы управления, отличной от структуры систем, синтезируе-
мых без учета требований грубости. Отличие заключается в том,
что управление аддитивно включает линейную комбинацию функ-
ций чувствительности. Для получения этих функций чувствитель-
ности в процессе работы системы можно использовать один из
методов, изложенных в третьей главе. Структурная схема грубой
оптимальной линейной системы представлена на рис. 6-8.
Покажем, что управление (6-84) эквивалентно управлению по
фазовым координатам X(t) и интегралам от них. Для этого подста-
вим соотношение (6-84) в уравнение чувствительности (6-81).
Получим
пг
^=И(/) + В(0С(/)]и* + ^ +
k=l
+ |т^-+С(/)]х, *-1,2..........га. (6.85)
Запишем эту систему в виде уравнения в блочных матрицах:
U = Д*и + В*Х, (6-86)
где
U1
U
т
дА
да.
в* =
А* =
I с
Л + <^2 •
Л+ВС + ^^2-
дВ
дВ //
дат 2
А + ВС + dm
1 1 дат т
Допустим, что начальные условия уравнения (6-78) от пара-
метров az не зависят. Тогда уравнение (6-86) имеет нулевые
начальные условия, притом решение его можно записать в виде
t
и (0 = J Г (/) W1 (т) В* (т) X (т) dr, (6-87)
О
где W(t) — фундаментальная матрица решений системы (6-86).
Заметим, что зависимость (6-84) можно записать следующим
образом:
V(0 = C(/)X4-D'(0U, (6-88)
где
£>'(')== К (О, d2(0, ...,dw(OI|.
Тогда с учетом (6-87) управление V (/) можно представить в виде
t
V (0 = с (/) X + D' (/) У W (О IF"1 (т) В* (т) X (т) dr, (6-89)
О
что и требовалось показать.
В заключение заметим, что синтез грубых систем может произ-
водиться и в случае статистически оптимальных систем.
Литература
1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Об определении периоди-
ческих режимов в нелинейной динамической системе с кусочно-линейной харак-
теристикой. ПММ, т. 21, вып. 5, 1956.
2. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Устойчивость по линейному
приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений
с разрывными правыми частями. ПММ, т. 21, вып. 5, 1957.
3. А н д р е е в Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных
систем. «Наука», 1966.
4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 1. Физ-
матгиз, 1959.
5. Б е р ж К. Теория графов и ее применение. Изд-во иностр, лит., 1962.
6. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматиче-
ского регулирования. «Наука», 1966.
7. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
Изд-во иностр, лит., 1948.
8. Б ы х о в с к и й М. Л. Основы динамической точности электрических
цепей. Изд-во АН СССР, 1958.
9. Б ы х о в с к и й М. Л. Чувствительность и динамическая точность систем
управления. Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1964, № 6.
10. Б ы х о в с к и й М. Л. Чувствительность динамических систем. Труды
IV Всесоюзной конференции по теории и методам математического моделирова-
ния, «Наука», 1966.
11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. «Наука», 1966.
12. К а т к о в н и к В. Я., Полуэктов Р. А. Многомерные дискрет-
ные системы управления. «Наука», 1966.
13. К о з л о в Ю. М., Юсупов Р. М. О выборе типа автоматической
системы при неполной априорной информации. Известия АН СССР, Техни-
ческая кибернетика, 1966, № 6.
14. К о к о т о в и ч П. В., Р у т м а н Р. С. Чувствительность систем
автоматического управления. «Автоматика и телемеханика», 1965, т. 26, № 4.
15. Кокотович П. В. Метод точек чувствительности в исследовании и
оптимизации линейных систем управления. «Автоматика и телемеханика», 1964,
т. 25, № 12.
16. Кокотович П. В., Р у т м а н Р. С. Матрица чувствительности и
её моделирование. «Автоматика и телемеханика», 1966, т. 27, № 6.
17. Л е т о в А. М. Теория оптимального управления. Труды 2-го Междуна-
родного конгресса ИФАК, т. 2, «Наука», 1965.
18. Литвинов А. П., Мор жако в С. П., Фабрикант Е. А.
Основы автоматики. «Машиностроение», 1967.
19. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического
регулирования. Гос. изд-во технико-теор. лит., 1951.
20. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета.
Под ред. Дж. Лейтмана. «Наука», 1965.
21. Н е й м а р к Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. Известия вузов, Радиофизика, 1958, т. 1, № 1, 2, 5, 6.
22. П а в л о в А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродей-
ствию. Физматгиз, 1966.
23. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных авто-
матических системах. Физматгиз, 1962.
24. П о н о м а р е в В. М. О синтезе оптимальной системы управления.
Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1963, № 5.
25. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к зада-
чам автоматического управления. Физматгиз, 1960.
26. Розенвассер Е. Н. О приведении уравнений нелинейной системы
регулирования к простейшему виду. «Автоматика и телемеханика», 1960, т. 21,
№ 1.
27. Розенвассер Е. Н. К теории кусочно-линейных систем с периоди-
чески изменяющимися параметрами. «Автоматика и телемеханика», 1962, т. 23, № 1.
28. Р о з е н в а с с е р Е. Н. Общие уравнения чувствительности разрыв-
ных систем. «Автоматика и телемеханика», 1967, № 3.
29. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Общие уравнения чувстви-
тельности и оценка параметрической инвариантности автоматических систем.
Труды II Всесоюзного совещания по теории инвариантности (Киев, июнь 1966).
«Наука», 1969.
30. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Модели чувствительности
нелинейных разрывных систем автоматического управления. Доклад на V Все-
союзной конференции-семинаре по теории и методам математического моделиро-
вания, Ленинград, ноябрь 1966. «Наука», 1969.
31. Р у т м а н Р. С. Статистический синтез оптимальных по нечувствитель-
ности систем управления. Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1965, № 2.
32. Р ы т о в С. М. К теории флуктуаций в автоколебательных системах
с кусочно-линейными характеристиками. Известия вузов, Радиофизика, 1959,
№ 1.
33. Са д е к о в Р. X. К вопросу о флуктуациях в кусочно-линейных авто-
колебательных системах. Известия вузов, Радиофизика, 1960, № 5.
34. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функций.
Судпромгиз, 1961.
35. С о к о л о в Н. И. Приближенный графоаналитический метод опреде-
ления амплитудно-фазовых характеристик по переходным функциям. Сб. «Неко-
торые методы расчета систем автоматического регулирования и их элементов».
Судпромгиз, 1959.
36. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз,
1959.
37. Техническая кибернетика, Теория автоматического регулирования,
книга 2. Под ред. В. В. Солодовникова. «Машиностроение», 1967.
38. Ф е л ь д б а у м А. А. Электрические системы автоматического регули-
рования. Оборонгиз, 1957.
39. Ф е л ь д б а у м А. А. Вычислительные устройства в автоматических
системах. Физматгиз, 1959.
40. Ц ы п к и н Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулиро-
вания. Гостехиздат, 1955.
41. Чанг Ш. Л. Синтез оптимальных систем автоматического управления.
«Машиностроение», 1964.
42. Чернецкий В. И. Методы вычисления вероятностных характеристик
нелинейных систем автоматического управления. Сб. «Автоматическое управле-
ние и вычислительная техника», вып. 5. Машгиз, 1962.
43. Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. «Наука», 1965.
44. Ю с у п о в Р. М. Теория чувствительности и ее применение для по-
строения самонастраивающихся систем. Труды семинара «Теория и практика
самонастраивающихся систем», ч. 1. ЛДНТП, 1966.
45. Юсупов Р. М. Использование избыточности при синтезе систем авто-
матического управления с учетом чувствительности их динамических характе-
ристик. Доклад на II Всесоюзном симпозиуме по использованию избыточности
в информационных системах, Ленинград, июнь, 1966. «Наука», 1969.
46. Ю с у п о в Р. М. Самонастраивающаяся система управления. Труды
II Всесоюзного совещания по теории инвариантности в системах автоматического
управления. «Наука», 1964.
47. Юсупов Р. М. Получение информации об управляемом процессе в са-
монастраивающихся системах. «Энергия», 1966.
48. Ю с у п о в Р. М., Ч е р в о В. Н. Способ измерения функций чувстви-
тельности амплитудных и фазовых частотных характеристик линейных систем.
Авт. свид. № 219668, Бюллетень изобретений, 1968, № 19.
49. Н о г о w i t z I. М. Fundamental theory of automatic linear feedback
control systems. «Trans. IRE», AC-4, No. 3, 1959.
50. H о г о w i t z I. M. Synthesis of feedback systems. Academic Press,
N-Y — London, 1963.
51. Lang G., H a m J. M. Conditional feedback system — a new approach
to feedback control. «Trans, of the А1ЕЕ», vol. 74, 1955, p. 11.
52. T о m о v i c R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................... 3
Глава первая. Общие уравнения чувствительности нелинейных разрыв-
ных систем............................................................... 5
1-1. Функции чувствительности и их основные свойства..... 16
1-2. Функции чувствительности для разрывных систем... —
1-3. Функции чувствительности высших порядков для разрывных
систем........................................................ 27
1-4. Уравнения чувствительности систем с распределенными пара-
метрами ...................................................... 31
Глава вторая. Уравнения чувствительности разрывных систем автомати-
ческого управления....................................... 36
2-1. Уравнения чувствительности простейшей релейной системы —
2-2. Чувствительность периодических режимов релейных систем . 43
2-3. Чувствительность импульсных систем автоматического упра-
вления ....................................................... 51
2-4. Упрощение уравнений чувствительности для системы с одним
управляющим органом........................................... 60
2-5. Уравнения чувствительности систем, заданных операторными
уравнениями................................................... 65
Глава третья. Методы определения функций чувствительности с помощью
моделей чувствительности........................................... 77
3-1. Общая модель чувствительности нелинейных разрывных систем
автоматического управления .................................... —
3-2. Упрощение моделей чувствительности разрывных систем . . 81
3-3. Модели чувствительности линейных систем ............................ 87
3-4. Примеры моделей чувствительности разрывных систем ... 99
Глава четвертая. Определение функций чувствительности обобщенных
показателей качества систем автоматического управле-
ния .................................................................. 108
4-1. Функции чувствительности динамических характеристик и по-
казателей качества в области комплексной переменной р . . . —
4-2. Функции чувствительности частотных характеристик и пока-
зателей ..................................................... 113
4-3. Способы получения функций чувствительности частотных ха-
рактеристик ........................................................ 118
4-4. Чувствительность классических интегральных оценок ... 133
4-5. Чувствительность критериев оптимальности ......................... 135
Глава пятая. Анализ точности стохастических систем с помощью функций
чувствительности ...................................................... 152
5-1. Применение метода непосредственной линеаризации для иссле-
дования точности разрывных стохастических систем............... —
5-2. Метод частичной линеаризации для исследования точности
стохастических систем ....................................... 158
5-3. Применение функций чувствительности для исследования точ-
ности линейных стохастических систем................................ 166
Глава шестая. О синтезе систем автоматического управления с учетом
требований нечувствительности......................................... 176
6-1. Возможные подходы к синтезу систем управления с учетом тре-
бований нечувствительности .................................... —
6-2. Выбор структуры системы управления, обеспечивающей пони-
жение чувствительности показателя качества к вариациям па-
раметров объекта ............................................ 177
6-3. Использование избыточности при синтезе систем с учетом тре-
бований нечувствительности ...................................... 180
6-4. О синтезе грубых оптимальных систем автоматического упра-
вления ......................................................... 197
Литература ................................................................... 205
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Е. Н. РОЗЕН ВАССЕ Р, Р. М. ЮСУПОВ