Текст
                    f.l ШШ1И1
дктивно-
ГРЛВШЛЦИОННЫЕ
МАНЕВРЫ
КОШИЧЕСШ
ДППДРДТОВ

Г.3. ДАВЛЕТШИН АКТИВНО- ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЕВРЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Москва «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1980
ББК 39.59 Д12 УДК 629.192 Рецензент А. А. Дашков Давлетшин Г. 3. Д12 Активно-гравитационные маневры космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1980. — 256 с., ил. В пер.: 95 коп. Книга знакомит читателей со способами использования гравита- ционного поля для маневра космических аппаратов. Рассмотрены теоретические основы эффекта скорости, используемого для оптималь- ного сочетания активного и гравитационного ускорений, способы меж- планетных маневров с ускорением в гравитационном поле промежуточ- ной планеты и их спутников и способы маневра КА в гравитационном поле несферической планеты. Изложен принцип создания гравитацион- ной тяги. Книга рассчитана на инженеров, работающих в области создания ракетно-космических систем. Д 31901'2.4J____341-80. 3607000000 038(01)-80 ББК 39.59 6Т6 © Издательство «Машиностроение», 1980 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ Бурное развитие космической техники и все возраста- ющие энергетические затраты для выполнения сложных космических полетов требуют изыскания новых направ- лений повышения эффективности космических тяговых систем. Одно из таких перспективных направлений свя- зано с использованием гравитационного поля небесных тел. В настоящее время разрабатываются и внедряются различные способы использования гравитационного поля небесных тел, таких как гравитационная стабилизация спутников, гравитационные маневры космических аппа- ратов (КА) около планет и др. Использование гравита- ционного ускорения при пролете около промежуточной планеты приводит к существенному уменьшению энер- гетических затрат, сокращению времени полетов, рас- ширяет диапазон дат старта межпланетных аппаратов, дает возможность исследовать в одном полете сразу не- сколько планет и их спутников и пр. Разработка теоретических основ и общих принципов гравитационных маневров КА и оценка их эффективно- сти для решения различных задач космических полетов представляют не только научный, но и практический ин- терес. Основное содержание предлагаемой книги составля- ет систематическое изложение проблем, касающихся способов использования некоторых свойств реальных гравитационных полей для маневра космических аппара- тов. Книга состоит из введения и четырех глав. Во введении кратко изложены те свойства реального гравитационного поля, которые могут быть положены в основу осуществления активно-гравитационного манев- ра космических аппаратов. 2801 3
В первой главе рассмотрены теоретические основы эффекта скорости, используемого для оптимального со- четания активного и гравитационного ускорений. Описание основного принципа активно-гравитацион- ного маневра межпланетных аппаратов при пролете около промежуточной планеты и изложение вопросов оп- тимизации реальных космических маршрутов содержит- ся во второй главе. В третьей главе жследуется проблема управления движением КА в гравитационном поле сжатой планеты для обеспечения оптимального перехода между плането- центрическими орбитами. Теория полета гравилета, способы создания «грави- тационной тяги» и оценка практической ценности этих способов представлены в четвертой главе. Автор весьма признателен доктору технических наук Ц. В. Соловьеву, дружеская помощь и ценные советы которого способствовали улучшению книги. Автор приносит глубокую благодарность доктору тех- нических наук И. К. Баженову и рецензенту книги кан- дидату технических наук А. А. Дашкову за ряд ценных замечаний, позволивших улучшить содержание книги.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ V— скорость полета; П— силовая функция; ДУ— импульс скорости; г — расстояние КА от центра гравитации; Е— полная энергия тела в гравитационном поле; Т — кинетическая энергия тела; F — сила; xyz— декартовы координаты материальной точки; R— радиус планеты; тт — масса рабочего тела; |1Т — относительный конечный вес аппарата; т]т — доля кинетической энергии, передаваемой ракете; ц— гравитационная постоянная; Ле— доля полной энергии, передаваемой ракете; h — высота полета КА; А — большая полуось орбиты; g— ускорение силы тяготения; I— глубина тоннеля; X — длина гравилета; G— вес (сила тяжести); п— перегрузка от тяги; (о — угловое расстояние перицентра орбиты от линии восходя- щего узла; у — угол поворота скорости при облете планеты; v — угол между радиусом-вектором точки приложения импуль- са и линией апсид облетной гиперболы; р — угол между асимптотами входящей и выходящей гипербол; 6 — наклон скорости к местному горизонту; t — время полета? i— наклонение плоскости орбиты; е— эксцентриситет орбиты; б*— истинная аномалия; £2 — долгота восходящего узла.
ВВЕДЕНИЕ В настоящее время повышение эффективности косми- ческих полетов происходит по нескольким направлениям. Первое направление — повышение эффективности двигательных систем КА предполагает разработку ,и соз- дание новых, более эффективных и экономичных типов космических энергодвигательных систем, использующих атомную энергию и внешние массово-энергетические ре- сурсы. Второе направление связано с организацией самих полетов, с выбором оптимальных маршрутов и состава оптимальных начальных параметров траекторий. Это — направление эффективного использования внешних сил (например, гравитационных и аэродинамических), дей- ствующих на космический аппарат, путем установления оптимальных соотношений между совокупностью этих внешних сил и вектором тяги. Третье направление, которое в настоящее время ус- пешно разрабатывается, связано с использованием ос- новных свойств реального гравитационного поля небес- ных тел. Это — путь создания «гравитационной тяги», которая, подобно тяге реактивного двигателя, служит для «искривления» траекторий, для изменения ее пара- метров. Систематическое изложение последнего направления на уровне современных исследований составляет основ- ное содержание предлагаемой книги. Какие же свойства гравитационного поля легли в ос- нову рассматриваемых в книге способов использования гравитационных сил? Первое свойство — отличие реальных гравитацион- ных полей от центральных ньютоновских. Идея исполь- зования этого свойства для формирования управляющей гравитационной силы заключается в следующем. 6
Известно, что под действием силы одного притягива- ющего центра, точно подчиняющейся закону притяжения Ньютона, космический аппарат движется по орбите, ко- торая описывается одним из уравнений конических сече- ний — эллипса, параболы и гиперболы. Это движение принято называть кеплеровым. Кеплерово движение можно изменить, действуя на КА только тягой двига- теля. Реальное гравитационное поле космического прост- ранства точно не подчиняется закону притяжения Нью- тона. Например, гравитационное поле Солнца отличается от центрального ньютоновского наложением локальных полей планет; гравитационное поле планет отличается от центрального наложением гравитационного поля спут- ников планет и Солнца, а также отклонениями, обус- ловленными полярным сжатием планет .и т. д. Движение КА под действием реального гравитацион- ного поля отличается от кеплерового и называется воз- мущенным движением. Возмущенное движение зависит от параметров траекторий основного движения, от марш- рутов полета, от удаления космического аппарата от «центров» локальных гравитационных полей. Отсюда вы- текает основная идея использования локальных полей для управления движением космического аппарата отно- сительно основного (центрального) тела. Она заключа- ется в выборе таких орбит (например, планетоцентриче- ских) и таких маршрутов (например, межпланетных) полетов, которые обеспечивают использование локаль- ных гравитационных полей с максимальной эффектив- ностью. Способы использования возмущающих сил ло- кальных полей в настоящее время развиваются в двух направлениях: для управления движением межпланет- ных аппаратов при пролете около промежуточных пла- нет и спутников планет (это так называемые бипланет- ные и многопланетные переходы) и для управления дви- жением околопланетных космических аппаратов, совер- шающих межорбитальные переходы с минимальными энергозатратами. Так как мы управляем основным движением с по- мощью возмущающих сил, то такое движение некоторые авторы называют пертурбационным маневром. Мы же в книге будем пользоваться термином «гравитационный маневр», вкладывая в это понятие более широкий смысл, чем в термин «пертурбационный маневр», под которым 7
подразумевается использование только пертурбационных сил и локальных гравитационных полей. Гравитационный маневр предполагает использование еще и других свойств гравитационного поля. Второе свойство — неравномерное движение тел в гравитационном поле центрального тела при сохранении постоянства полной механической энергии. Идея использования этого свойства заключается в следующем. Изменение механической энергии ракеты зависит от величины скорости полета в момент включе- ния двигателя. Причем чем больше скорость полета, тем больше это изменение. Известно, что в центральном гра- витационном поле движение КА — неравномерное и мак- симальное значение скорости его полета достигается в перицентре орбиты. Отсюда вытекает необходимость включения двигате- ля КА не в любой точке орбиты, а в области ее пери- центра, когда заданное изменение орбиты достигается минимальным расходом топлива [17, 50]. Этот эффект, называемый здесь эффектом скорости, широко используется при активно-гравитационном ма- невре космического аппарата в локальном гравитацион- ном поле планет и их спутников, а также может исполь- зоваться -при уходе с орбиты Земли к звездам [32] и при уходе с высоких орбит и возвращении на эти орбиты при межпланетных полетах. Во всех этих маневрах используется разгоняющее действие гравитационного поля с последующим сообще- нием КА импульса тяги в момент достижения макси- мальной скорости полета, что обеспечивает максималь- ное изменение механической энергии КА. этих маневрах гравитационное поле работает по- добно стартовым ускорителям, которые очень широко применяются в технике для начального разгона лета- тельных аппаратов. Третье свойство — неоднородность силы тяготения планет как по величине (зависит от координат точки), так и по направлению (ввиду центральности). На этом свойстве основана теория полета гравилетов, рассматри- ваемая в гл. 4. Большой вклад в развитие этой теории внес В. В. Белецкий [3—7]. Из курса небесной механики известно, что гравитаци- онные силы консервативны. Это означает, что полная ме- ханическая энергия абсолютно твердых тел не зависит 8
ни от их формы, ни от закона распределения в них масс, хотя при этом орбитальные вектор кинетического момен- та и вектор Лапласа могут иметь вековые изменения. Отсюда вытекает, что космический аппарат как пас- сивное тело не может изменять своего закона движения, определяемого центральным телом. А что произойдет, если отдельные элементы косми- ческого аппарата начнут двигаться относительно центра ма-сс аппарата? В силу третьего свойства гравитацион- ного поля, т. е. неоднородности гравитационного уско- рения, при изменении положения элемента космического аппарата на этот элемент будет действовать уже другая сила тяготения, отличная от прежней. В силу того, что сам КА так же сместится относи- тельно общего центра масс (который «остается на мес- те»), iHa космический аппарат также будет действовать сила, отличная от прежней. Таким образом, при изменении распределения масс на космический аппарат будет действовать дополнитель- ная сила, которая уводит его с прежней орбиты движе- ния. При однократном изменении распределения масс кос- мический аппарат переходит на новую орбиту и продол- жает двигаться по этой орбите. Для .нового изменения орбиты необходимо новое перераспределение масс. Следовательно, для непрерывного изменения орбиты необходимо непрерывное перераспределение масс кос- мического аппарата. На этом основана теория пульси- рующих систем [6]. Можно создать дополнительную силу, действующую на космический аппарат со стороны гравитационного по- ля, и в случае постоянного распределения масс КА, если он имеет гантелеобразную форму. Перемещение масс, расположенных на концах длинной штанги, относитель- но гравитационного поля центрального тела производит- ся в этом случае вращением гантели относительно попе- речной оси [8]. Сообщая гантели по определенному закону колеба- тельное движение или активно поддерживая его опреде- ленную ориентацию, можно создать гравитационную тя- гу, способную изменять движение космического аппа- рата. Итак, мы перечислили три свойства гравитационного поля, которые лежат в основе излагаемых в книге спосо- 9
бов активно-гравитационного ускорения космических ап- паратов. До сих пор остается тайной природа гравитации. Рас- крыть эту тайну — задача физической науки. Однако основные свойства гравитации, определяющие механиче- ское движение тел, установлены достаточно точно и подтверждены физическими экспериментами, .изучением движения небесных тел и практикой космических поле- тов. Поэтому использование этих свойств для космичес- ких маневров, для повышения их эффективности пред- ставляет задачу огромного научного и практического значения. Некоторые способы использования свойств гравита- ционного поля для космических маневров рассматрива- лись разными авторами на страницах различных жур- нальных статей. Поэтому назрела необходимость в обоб- щении результатов разрозненных исследований и в пред- ставлении специалистам и широкому кругу читателей систематизированного материала. Данная книга предназначена в какой-то степени ре- шить эту задачу.
Глава 1 ЭФФЕКТ СКОРОСТИ Явление, характеризующее зависимость изменения полной механической энергии ракеты от скорости ее дви- жения в момент включения и работы двигателя, назо- вем эффектом скорости. Учет этого эффекта в межорби- тальных и межпланетных маневрах приводит к весьма любопытным и полезным результатам. 1.1. КЛАССЫ КОСМИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ Оптимизации межорбитальных и межпланетных пе- реходов посвящено много работ [13—21, 28, 42, 43, 48, 52 и др.]. В этих работах оптимизировались точки при- ложения импульсов на начальной и конечной орбитах, количество и направление импульсов, параметры пере- ходных орбит и время перехода и др. Исследования показали, что оптимизация межорби- тальных и межпланетных переходов является многоэксг- ремальной задачей. Например, найдены оптимальные ускоренные и длительные межпланетные переходы, оп- тимальные переходы на первом и на втором полувитках эллиптических орбит. Установлено, что уход из поля тя- готения может быть осуществлен по различным схемам— прямой одноимпульсной схеме и двухимпульсной схеме путем сближения с центром тяготения. Известны три оптимальные схемы перехода между двумя орбитами: одна — двухимпульсная прямая и две — трехимпульс- ные с удалением от центра гравитации и со сближением к центру гравитации и т. д. Ни один из разработанных методов оптимизации, ос- нованных на малой вариации параметров (классическое вариационное исчисление Эйлера — Лагранжа, принцип максимума Л. С. Понтрягина, динамическое программи- 11
Рис. 1.2. Схемы перехода между орбитами: а—типа Хомана; б—внешний биэллиптический переход; в— внутренний биэллиптический переход Рис. 1.1. Схемы ухода из поля тяготения: а—перицентральная Ф. А. Цанде- ра; б—путем сближения к центру тяготения Оберта; в—прямого ухода рование Веллмана и др.), не в состоянии решить много- экстремальную задачу. Большинство уже известных и реализованных в нас- тоящее время оптимальных межорбитальных и межпла- нетных переходов найдено в результате параметрических исследований путем вариации параметров в широком диапазоне. Так, например, были найдены ставшие уже классическими схемы одноимпульсного перицентрально- го маневра Ф. А. Цандера (рис. 1.1, а), двухимпульспо- го мансвра ухода из поля тяготения Г. Оберта (рис. 1.1, б), двухимпульсного апсидального перехода Хомана (рис. 1.2, а), внешнего трехимпульсного биэллиптичес- кого маневра Хёлькера и Зильберга (рис. 1.2, б), внут- реннего трехимпульсного биэллиптического маневра (рис. 1.2, в), а также другие схемы межорбитальных и межпланетных перелетов. Существенное влияние на выбор оптимальных схем полетов оказывают налагаемые на фазовые параметры всевозможные ограничения [17], связанные с выполнени- ем целевой задачи, а также взаимное расположение начальной и конечной орбит. 12
Межорбитальные и межпланетные переходы могуг быть |Классифицированы по следующим характеристи- кам. 1. По числу притягивающих центров: моноцентрические переходы — переходы в поле од- ного притягивающего центра; двуцентрические переходы (планета + Солнце, плане- та + спутник планеты); трехцентрические переходы (планетаЦ-СолнцеЦ-пла- нета, планета + спутник + планета); полицентрические (или многопланетные) переходы. Сюда же относятся схемы с возвращением к исход- ному притягивающему центру. 2. По типу маневра у промежуточного притягиваю- щего центра: пролет, посадка на поверхность, выход на орбиту около притягивающего центра. 3. По типу ограничений на время перехода: с фикси- рованным временем, с временем меньше заданного, со свободным временем. 4. По типу ограничений на геометрию перехода: с учетом размера планет, границ сфер действия планет, границ атмосферной оболочки, колец Сатурна и др. 5. По характеру использования гравитационного ус- корения: использование разгоняющего действия гравита- ционного поля Солнца, планет и спутников планет, эф- фекта нецентральности гравитационных полей, связан- ной с полярным сжатием планет. 6. По величине тяги двигателя: переходы с малой тя- гой, со средней тягой, импульсные переходы. 7. По числу импульсов (активных и пассивных уча- стков): одно-, двух-, трех- и многоимпульсные переходы. 8. По месту приложения импульсов: апсидальные, ко- тангенциальные и др. 9. По взаимному расположению орбит: плоские и пространственные переходы. 10. По типу начальной и конечной орбит: переходы между гиперболическими, эллиптическими, гиперболи- ческой и эллиптической орбитами. 11. По типу переходных орбит: эллиптические, пара- болические и гиперболические. Многие классы переходов перемежаются между со- бой и рассматривать каждый класс изолированно не представляет возможности. 13
Многие классы переходов в настоящее время иссле- дованы достаточно широко и они известны. Однако есть класс маневров, который изучен еще не до конца. Это — класс активно-гравитационных маневров космических аппаратов, исследованию которого и посвящена эта книга. Эффективность активно-гравитационного маневра связана с разгоняющим действием гравитационного по- ля и с эффектом скорости. Изменение механической энергии ракеты зависит от ее скорости в момент вклю- чения и работы двигателя. Действительно, пусть V — скорость ракеты в мо- мент t, П — потенциальная функция гравитационного поля, в котором движется ракета, с — скорость истече- ния реактивной струи, т — масса ракеты в момент вре- мени t. Тогда уравнение движения будет иметь вид d\f । 1 r-r с dm —+ grad/7=---------— . dt m dt Умножая скалярно обе части равенства на V и под- ставляя W=lnm, получим = , (i.i) dt \ 2 ' ds dt где s представляет собой параметр длины дуги искомой д/7 „ траектории,--------производную от П по направлению ds » гр ж г ds ж г дП dEI движения. Так как V=—, то отсюда V-------= — и урав- dt ds dt некие (1.1) можно представить эквивалентной формой = , (1.2) dt dt где £=—-f-П является полной энергией, отнесенной к единице массы ракеты. Уравнение (1.2) можно преобра- зовать к виду [65] dE ---= Vc. dW Из этой формулы следует, что темп возрастания Е относительно W (и, следовательно, т) будет наиболь- шим, во-первых, при совпадении направлений с и V, т. е. 14
при совпадении направления тяги с касательной к тра- ектории и, во-вторых, он будет тем больше, чем больше скорость полета V. Как же получить большую скорость полета ракеты? Если мы используем для этой цели бортовой запас топ- лива, то мы ничего не выигрываем. Положительный эф- фект скорости может быть получен только в том случае, если используются для начального разгона ракеты внеш- ние силы. Одной из таких сил является гравитационная сила, которая может быть успешно использована для предварительного разгона ракеты перед включением двигателей. Из сказанного следует, что космические траектории должны быть выбраны с таким учетом, чтобы макси- мально использовать гравитационное ускорение косми- ческих аппаратов и, следовательно, выполнить космиче- ские маневры с минимальным расходом топлива. На это явление впервые обратили внимание Ф. А. Цандер [50] и Г. Оберт (31]. Цандер исследовал схему перехода кос- мического аппарата из заданной эллиптической на лю- бую другую орбиту. Он показал, что при переходе КА из эллиптической орбиты на любую другую оптимальной точкой приложения импульса является перицентр эллип- тической орбиты, в котором скорость КА достигает наи- большего значения по сравнению со значениями скоро- сти в других точках. Так как конечная орбита любая, она может быть и гиперболической, по которой КА мо- жет уйти за пределы гравитационного поля небесного тела (см. рис. 1.1, а). Оберт проводил сравнительный анализ схемы пря- мого ухода космического аппарата, находящегося н.» круговой орбите, из гравитационного поля с двухим- пульсной схемой ухода путем сближения к центру гра- витации (см. рис. 1.1, б, в). По этой схеме первым им- пульсом, направленным против движения, КА перево- дится на орбиту, по которой он движется к центру гра- витации, разгоняясь до скорости, значительно превышаю- щей скорость на исходной круговой орбите. Второй им- пульс сообщается в перицентре переходной орбиты, ког- да скорость достигает максимального значения. Как по- казал Оберт, при уходе КА, находящегося на орбите Земли, из поля тяготения Солнца сумма двух импульсов значительно меньше, чем один импульс, сообщаемый КА при прямом уходе. Это говорит о том, что темп возрас- 15
тания энергии при сообщении второго импульса не толь- ко компенсирует уменьшение темпа возрастания энергии при сообщении первого импульса, а значительно превос- ходит его, что подтверждается сравнением двухимпульс- ного маневра с прямым уходом. Кроме рассмотренных схем, эффект скорости может быть использован во многих других схемах активно-гра- витационных маневров, в частности, в схемах многопла- нетных перелетов, в которых используется разгон КА в гравитационном поле промежуточных планет. Из сказанного ясно, что изменение энергии ракеты, эффективности ее ускорения зависит от относительного движения. Рассмотрим этот вопрос подробнее. 1.2. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 1. Изменение кинетической энергии механической системы в абсолютном движении. Изменение кинетичпе- ,кой энергии материальной точки, имеющей массу m и скорость V, равно элементарной работе силы F, дейст- вующей на эту точку, при ее перемещении на расстоя- ние dr , mV^\ d\-----]=Fdr. * \ 2 / Для механической системы материальных точек из- менение кинетической энергии равно (п Т72\ п _ п (1.3) ft=l r VI mkV2k где 1 = —-----кинетическая энергия механической Й = 1 системы. Суммы dA^='^Fke^drk и = являют- ся соответственно суммой элементарных работ дсех внеш- них и внутренних сил, действующих на систему. 16
Запишем уравнение (1.3) в виде dT = dA(e}-^dAw. (1.4) Это есть изменение кинетической энергии механиче- ской системы в дифференциальной форме в абсолютном движении. Интегрируя уравнение (1.4), получим ЬТ=Т2 — Т г=А(е}А^. (1.5) Формула (1.5) выражает теорему об изменении ки- нетической энергии механической системы в интеграль- ной форме. 2. Изменение кинетической энергии механической системы в относительном движении. Предположим, что механическая система движется относительно осей «коор- динат O'x'y'z', которые имеют начало в центре масс системы и в свою очередь движутся поступательно отно- сительно неподвижных осей координат Oxyz. Используя теорему Кёнига о кинетической энергии механической системы в ее относительном движении и формулу (1.3), запишем п п d^MV^dT'=^F^d7k+^F^dZk, (1.6) где Т' — кинетическая энергия системы в ее движении относительно центра масс, т. е. осей координат O'x'y'z'. Так как г* = го' + г*, drk= dro> + dr'k, то формулу (1.6) можно переписать в виде п п dl—MV^A + dT’=R(e>dr0,4-\. F(ke)dr'k+ y'F(kl}dr'k, V (1.7) п где = — главный вектор всех внешних сил, fe=i действующих на систему. Применяя к центру масс тео- рему об изменении кинетической энергии материальной точки, уравнение (1.7) приводится к виду dT' = ^ T^dr, +2 P^dri (1. 8) Й=1 ft=l Сравнивая выражения (1.3) и (1.8), приходим к вы- воду, что когда подвижная система координат имеет на- 17
чало в центре масс и движется поступательно относи- тельно неподвижной системы координат, то кинетическая энергия как в абсолютном, так и в относительном движе- ниях изменяется на одну и ту же величину, т. е. dT = dTr. (1.9) 3. Изменение энергии механической системы при движении в поле консервативных сил. Если внешние си- лы консервативны, то - grad/7(e), где /7<е) = /7(е)(xft> yk, zft), k=\,..., n — потенциальная энергия поля внешних сил. При этом работа внешних сил будет равна (2) (2) п (2) или Д<е)=_ j* dn = nx-H2. (1) Формула (1.5) в этом случае может быть записана в виде 7'2-7'1 = /71-П2 + А(О. Если обозначить полную энергию через Е = Т-\-П, то изменение полной энергии будет равно работе внутрен- них сил А£ = Е2—ЕХ=А^\ Из условия инвариантности работы внутренних сил вытекает и инвариантность изменения полной энергии механической системы, т. е. AE = A£Z. 4. Работа внутренних сил механической системы. Рассмотрим неподвижную механическую систему, состо- ящую из двух материальных точек с массами тх и ш2, на которые действуют только внутренние силы. При дей- ствии этих сил массе т} сообщается скорость 1Л, а мас- се т2 — скорость Ё2 относительно центра масс системы. На основании закона сохранения энергии работа внут- 18
ренних сил будет равна сумме кинетических энергий то- чек m2vl дГ = Д('> = -^1-|---(1.10) Пусть теперь центр масс всей системы движется со скоростью Vo относительно неподвижной системы коор- динат. Кинетическая энергия системы относительно непод- о т\ 4- т2 т г2 вижнои системы координат составляет——------ Vo. Если массы и т2 разлетаются под действием внут- ренних сил соответственно со скоростями Vi и V2 отно- сительно центра масс системы, то изменение кинетичес- кой энергии, равное работе внутренних сил, будет ДГ = (Уо + р,)2 + (ио + У2)2 - W1+W2. Го2. Раскрывая скобки, получим ДГ'=^- + ^2- + Р0(/п1Г1 + /п2Р2). (1.11) Из сравнения уравнений (1.10) и (1.11) вследствие инвариантности работы внутренних сил (1.9) получим хорошо известную теорему об изменении количества движения (1. 12) Если обозначить скорость массы т2 относительно массы через c=V2—|/ь то с помощью выражения (1.12) работу внутренних сил (1.10) можно привести к виду Д(-)= (1 13) -ь т2 2 В случае тС^>т2 работа внутренних сил будет равна (1.14) т. е. в случае, когда первая точка обладает большой мас- сой, изменение кинетической энергии системы равно кинетической энергии тела с малой массой в движении относительно тела большой массы. 19
1.3. ЗАВИСИМОСТЬ ПРИРАЩЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ РАКЕТЫ ОТ СКОРОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Нам уже известно, что приращение энергии механи- ческой системы при действии внутренних и внешних сил не зависит от системы отсчета. Однако это положение справедливо только для всей механической системы. Из- менение энергии отдельных тел, составляющих механи- ческую систему, не подчиняется этому закону, а зависит от относительного движения системы. 1.3.1. Изменение энергии ракеты при полете в свободном пространстве Масса аппарата постоянна. Пусть масса аппарата равна /и0. Скорость его относительно инерциальной сис- темы составляет Vo- При действии на аппарат внешней силы Р в течение времени t скорость его относительно этой же системы отсчета изменяется на величину t Д1/= \— dt, вследствие чего аппарат получит при- .) о ращение кинетической энергии, равное < т/2 ДГр=^ (И0+Др)2-^-°-=^ + т0ДрГ0. (1. 15) Из этой формулы видно, что изменение кинетической энергии аппарата состоит из двух составляющих. Пер- вая составляющая дает изменение энергии аппарата, когда он относительно системы отсчета в момент вклю- чения двигателя неподвижен. Вторая составляющая по- казывает, как влияет скорость относительного движе- ния аппарата на изменение его кинетической энергии (эффект скорости). Как следует из формулы (1.15), изменение кинетиче- ской энергии аппарата зависит как от направления, так и от величины скорости аппарата относительно системы отсчета в момент включения двигателя. Причем это из- менение тем больше, чем больше скорость аппарата от- носительно системы отсчета в момент включения дви- гателя. 20
Масса аппарата переменна. Рассмотрим ракетную си- стему, состоящую из собственно ракеты и рабочего тела, находящегося на борту ракеты. Ракетная система движется со скоростью Vo относи- тельно инерциальной системы. Внешние силы, действующие на ракету, отсутствуют. Массу ракеты обозначим через т, массу рабочего тела через //zT, а суммарную массу через т0. Изменение кинетической энергии ракеты относитель- но системы отсчета будет равно ДГр = т0-т'' (У04-Др)2_^у2==-2-ОТД1/2-|- +тдГР0--^-отУо, (1.16) где AV — изменение скорости ракеты, определяемое при постоянной скорости истечения (с = const) рабочего тела относительно ракеты формулой Циолковского дИ=Нп-^. (1.17) т В уравнении (1.16) первый член от начальной скоро- сти полета не зависит; он дает величину изменения ме- ханической энергии ракеты при старте с неподвижной площадки (при Vo = 0). Второй член при росте началь- ной скорости приводит к росту при разгоне и уменьше- нию при торможении кинетической энергии ракеты и выражает эффект относительного движения (эффект ско- рости). Третий же член появляется для тел переменной массы и равен той части механической энергии ракеты, которая уносится рабочим телом при отделении от ра- кеты. Наличие в уравнении механической энергии ракеты членов с противоположными знаками, зависящих от на- чальной скорости полета, приводит при разгоне ракеты к увеличению приращения ее энергии при малых скоро- стях и к уменьшению этого приращения при больших скоростях полета. В случае торможения как второй, так и третий члены имеют отрицательные знаки, следова- тельно, большая начальная скорость ракеты при тор- можении приводит к еще большему уменьшению кине- тической энергии. Таким образом, для выполнения заданного динами- ческого маневра (заданного и заданной скорости 21
истечения реактивной струи (с) при разгоне ракеты су- ществует оптимальное значение начальной скорости по- лета в момент включения двигателя, при котором обес- печивается максимальный прирост кинетической энергии ракеты. При отсутствии внешних сил изменение механической энергии системы происходит только за счет работы внут- ренних сил, которая равна (без термодинамических по- терь) бортовой энергии ракеты, содержащейся в топли- ве. Возникает вопрос: какую часть бортовой энергии со- ставляет приращение энергии ракеты после разгона? Работа внутренних сил (бортовая энергия) при = const из уравнения (1.14) равна д(‘') = -^-. (1.18) Отношение приращения энергии ракеты ДТР (1.16) к работе внутренних сил (1.18) дает ту часть измене- ния энергии системы, которая идет на приращение кине- тической энергии ракеты ДГР +^°lnp.*)2 — xjj где обозначены p,ft = —, х0=-^2-, с°=—. то с с Оптимальное значение начальной скорости, при ко- торой происходит максимальное изменение кинетической энергии ракеты, равно 17оо11т=^^. (1.20) 1 —р-й Из этого выражения видно, что оптимальная началь- ная скорость ракеты зависит от заданного динамическо- го маневра (от заданного ць). Величина максимального прироста кинетической энергии ракеты при разгоне рав- на _ /feln2 fife I г max ,. «q (1 — (Ч)2 Найдем диапазон изменения начальных скоростей, при которых изменение кинетической энергии ракеты ‘положительно. Из условия Лт^О (1.19) получим Vна In life < Кw 1" р* Vp» +1 с Zp* —1 (1-21) 22
Рис. 1.3. Зависимость относительной кинетической энергии ракеты т]т от относительных начальной ско- рости Vq/c и конечной массы ракеты Из рис. 1.3 можно получить представление о харак- тере зависимости т].г = f Из этих графиков видно, что положительное прира- щение энергии можно получить не только при разгоне ракеты, но и в некотором диапазоне и V0/c при тор- можении. Пунктирной линией показана кривая, соответствую- щая случаю полного торможения ракеты (т. е. VK = 0). Из рисунка так же видно, что полный переход борто- вой энергии в энергию ракеты происходит только при больших и 1, т. е. в тех случаях, когда скорость истечения реактивной струи близка к скорости полета. При больших расходах рабочего тела и скоростях поле- та, далеких от скорости истечения с, энергия ракеты при разгоне не только не увеличивается, но становится отри- цательной. Причем отрицательные значения изменения энергии могут быть очень большими и достигать по аб- солютной величине нескольких бортовых энергий, т. е. hi т | 1. 23
Рис. 1.4. Зависимость отно- сительной кинетической энергии ракеты г]т от отно- сительных конечной массы p/t и начальной скорости V0/c щадки максимум только Необходимо отметить еще одну интересную особенность зависимости т]Г от р^. При раз- гоне в области Vo/c< 1 и в не- которой области торможения существует оптимальное значе- ние pji, соответствующее ус- ловию т]т = тах. Получить p/t аналитически не удается, так как условие б/т]т/^р/1 = 0 дает трансцендент- ное уравнение. Поэтому урав- пение iqr^rnax решается гра- фически (рис. 1.4). Кривая при Уо = О, т. е. при старте с непод- вижной площадки, была полу- чена Г. Обертом [31]. При по- стоянной скорости истечения с и старте с неподвижной пло- ~65% бортовой энергии идет на увеличение кинетической энергии ракеты, при этом расходуется 81,5% ее массы. Из сказанного ясно, что существует сильная зависи- мость изменения механической энергии ракеты от отно- сительного движения ракетной системы. При действии реактивной тяги энергия увеличивается только в диапазоне VOi< Ко< К02 начальных скоростей, вне этого диапазона скоростей энергия ракеты всегда уменьшается. Она уносится расходуемым рабочим телом. Причем в зависимости от скорости относительного дви- жения изменение энергии ракеты по величине может во много раз превышать эту начальную бортовую энергию, которая затрачивается ракетой для разгона -или тормо- жения. 1.3.2. Изменение энергии ракеты при полете в гравитационном поле Масса аппарата постоянна. Движение КА происходит в гравитационном поле относительно центра гравита- ции. Если на аппарат действует только сила централь- ного гравитационного поля, то полная энергия аппарата относительно центра гравитации остается постоянной и равной 24
где m0 — масса аппарата; Vo — скорость аппарата отно- сительно центра гравитации; [i=fM — гравитационная постоянная центра гравитации; г — радиус-вектор аппа- рата, проведенный от центра гравитации до аппарата. Пусть под действием большой внешней силы, отлич- ной от силы гравитации, происходит импульсное измене- ние скорости полета на величину AV. Тогда полная энер- гия аппарата изменится на величину Г 1 п / у2 \ A^p=m0U-(U0-Ay)2-^ -т0(-^--^) = и L 2 г J \ 2 г / = ^ + ОТоД^.Ро. (1>22) Из сравнения уравнений (1.15) с (1.22) видим, что Д£р = АГр и все сказанное о АТР, полностью относится и к А£р. Масса аппарата переменна. На КА действуют две си- лы: сила гравитации и тяга реактивного двигателя. Пусть происходит импульсное изменение скорости аппарата, величина которого определяется формулой (1.17). При этом полная энергия ракеты изменится на величину Af =(7П0 — /П.г) [Д (Г0+ДЙ)2--1 — /п0 (4" ---~) = L 2 г \ \ 2 г J = Д отдУ2+/пДр • Vo - m.t (Д Vo —^-) . (1. 23) Из сравнения уравнений (1.16) и (1.23) можно за- ключить, что изменение полной энергии ракеты равно сумме прироста кинетической энергии ракеты и энер- гии положения (потенциальной энергии) расходуемого рабочего тела в момент приложения импульса AF^ATp+zn^. Выше было показано, что прирост кинетической энер- гии ракеты имеет положительное значение только в том случае, если начальная относительная скорость полета _ К)1 /^0 К)2 / -I q 1 \ лежит в пределах — —— (1. Д1). с с с 25
При выполнении космических околопланетных и меж- планетных полетов с помощью двигательных систем на химическом топливе относительные начальные скоро- сти лежат за пределами скоростей VQ\/c и VQ2/c, следо- вательно, изменение кинетической знергии или близко к нулю 'или отрицательно. Поэтому прирост полной энер- гии ракеты главным образом происходит за счет энергии положения рабочего тела, которое в данный момент от- брасывается. Оценим эту энергию. Известно, что — = V2 —местная вторая косми- ческая скорость. Отношение изменения полной энергии к энергии внутренних сил А& вместе с (1.19) дает ту долю внутренней энергии, которая пошла на изменение полной энергии ракеты (с = const) Чг = П, + - Это уравнение показывает, что характер т]е(Vo, pjJ полностью определяется характером т]Т(70, ць); только линия абсцисс при полете в гравитационном поле смеще- на на величину V22/c2, вследствие чего расширяются пре- делы изменения начальной скорости, при которых 0. В этом случае / 772 2 УЬ1__ Pt lnPfe I 1 / Pt 1ч2 Pt ! pi j с 1-pt “Г V (1 - pt)2 "Г\ с г Vq2_ _ Pt <npt 1 / Pt In2 Pt . I V~2 |2 C l~Pt * (1-Pt)2 Ч С /' Пределы начальных скоростей, в которых при крайних значениях равны 24 с с с при >0 и при Нл—1. Видно, что если скорость ракеты в момент приложе- 26
ния импульса меньше второй космической, то изменение полной энергии ракеты всегда положительно. При больших эта скорость может даже несколько превышать вторую космическую скорость [2-е выраже- ние (1.24)}. Так как —— = ——то оптимальное значение на- dVQ dVQ чальной скорости, -при котором r]f; = niax, равно (1.20), а максимальное значение изменения полной энергии равно — I ( V2 \2 Л^тах Л Г max ГI I • То же самое можно сказать и относительно оптималь- ного значения р^опт (см. рис. 1.4). Оценим величину изменения полной энергии ракеты, совершающей полеты около Земли. Выше было показа- но, что изменение кинетической энергии т]ттах<1 (см. рис. 1.3). Вторая космическая скорость ракеты около Земли нс превышает 11,2 км/с. Скорость истечения реак- тивной струи ЖРД с ^4 км/с. При этих значениях и /У9 \2 с выражение 1 — 1 ^8, что 8 раз превышает максималь- ную величину изменения кинетической энергии. Это го- ворит о том, что ракеты и космические аппараты основ- ную долю своей энергии увеличивают за счет потенци- альной энергии (энергии положения) топлива в точке приложения импульса. Причем эта составляющая удель- ного изменения энергии зависит только от мощности гра- витационного поля и скорости истечения реактивной струи. 1.3.3. Эффект скорости в гравитационном поле Допустим, что начальная орбита ракетной системы фиксирована, а точка приложения импульса не фикси- рована. Она определяется, исходя из условия макси- мального изменения полной энергии ракеты относитель- но гравитирующего центра при заданной величине рас- хода рабочего тела. Так как начальная орбита ракетной системы фиксирована, то V2 —5-----— = /z0-= const. 2 г 0 27
Тогда уравнение (1.23) примет вид кЕ?= т + Д V • Ко) — mT/z0. (1. 25) Из этого выражения видно, что при фиксированной начальной орбите и заданной величине расхода рабочего тела: 1) чем больше скорость полета по модулю, тем боль- ше изменение полной энергии ракеты. Следовательно, наиболее эффективно включать двигатель в перицентре орбиты (эффект скорости); 2) для получения наибольшего изменения энергии тяга должна быть направлена по линии начальной ско- рости полета; 3) в случае, когда Ро = О или V0-LAK изменение пол- ной энергии минимально и равно кинетической энергии «чистого» разгона с вычетом полной энергии отброшен- ного рабочего тела _ гп Д 1/2 Д£р,п!П =--"--- Решим ту же задачу при заданном изменении пол- ной энергии ракеты: определим точку приложения им- пульса, исходя из условия минимума расхода рабочего тела (обратная задача). Уравнение (1.25) преобразуем следующим образом: LEp = mhk~m^ = m -|-AVZ— mThQ. (1. 26) Так'как m0—mT = m, то из (1.26) получим = + Обозначая единичный вектор приращения скорости через р°, найдем Д1/= - ± l/(Po?)2 + 2(Aft-^), (1. 27) где знак «+» соответствует случаю разгона, «—» — тор- можения. Из формулы (1.27) видно, что изменение скорости ДР зависит от начальной скорости полета, от энергии hQ и hk начальной и конечной орбит и от направления импульса р°. Наибольший эффект от действия реактив- ной тяги получается, когда вектор импульса тяги совпа- дает с направлением скорости начального движения. 28
В этом случае изменение скорости будет выражаться формулой Д1/= /1/§+2(^-Ло)- VО, являющейся решением обратной задачи. По условию задачи начальная й0 и конечная hkэнер- гии орбит заданы. Тогда, чем больше начальная ско- рость полета в момент приложения импульса, тем мень- ше расход топлива (AV = min). Так как при фиксирова- нии начальной орбиты наибольшую скорость космичес- кий аппарат имеет в перицентре, то он будет оптималь- ной высотой включения двигателя. Из дальнейшего изложения будет видно, как реа- лизуется данный эффект при осуществлении различных схем космических полетов. 1.4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА СКОРОСТИ 1.4.1. Выход на планетоцентрические орбиты При расчете межпланетных траекторий космических аппаратов обычно всю траекторию разбивают на два ха- рактерных участка: гелиоцентрические и планетоценг- рические (см. например, [34]). На гелиоцентрическом участке движение космического аппарата определяется гравитационным полем Солнца, а на планетоцентричес- ком — гравитационными полями планет. Гелиоцентрический участок траектории определяет: 1) энергетические затраты на выведение на межпланет- ные траектории; 2) продолжительность полета; 3) даты старта. При определении гелиоцентрической траектории космического аппарата предполагается, что сферы дей- ствия планеты стянуты в точки, а их гравитационные по- ля отсутствуют. В качестве двух независимых парамет- ров принимают .момент старта tCT и время полета tn. При известном положении планет на момент tCT и момент прилета к планете /цр = ^Ст“Нп определение орбиты сво- дится к известной задаче теоретической астрономии: по Двум положениям космического аппарата гх и г2 в мо- менты /ст и /цР определить его орбиту — к задаче Эйле- ра — Ламберта. 29
Определив гелиоцентрическую траекторию космичес- кого аппарата, переходят к определению планетоцентри- ческой траектории. С этой целью для заданных моментов времени старта 4т и времени прилета /Пр определяются значения векторов орбитальных скоростей планет VA и VB и космического аппарата Van- Векторы скоростей аппарата относительно планет в моменты старта и прилета получаются как разности век- торов орбитальных скоростей планеты и КА: ^1о.ги=Т1ап-Гл; Г2отн=Т2а11-Гв. (1-28) Полученные скорости принимаются за планетоцентри- ческие скорости аппарата, определенные на «бесконеч- ности» Vi опт = 1Лоо и 14 опт = V2oo. Эти скорости определя- ют энергию гиперболических траекторий КА на плането- центрических участках £’1 = Кг?00/2 и F2=Vr2oo/2. Уравнения (1.28) являются условиями перехода по скорости между гелиоцентрической и планетоцентричес- кой системами координат. Рассмотрим более подробно планетоцентрический участок межпланетной траектории, где наиболее ярко проявляется эффект скорости. Одноимпульсный переход космического аппарата между планетоцентрическими орбитами Космический аппарат относительно планеты движет- ся по гиперболической траектории. Интеграл энергии для этой гиперболы выражается формулой y2_2JL = vt. Г Рассмотрим выход космического аппарата на орбиту вокруг планеты (рис. 1.5). Космический аппарат подхо- дит к сфере действия планеты с относительной скоро- стью Коо, попав в сферу действия, разгоняется под дей- ствием гравитационного поля планеты. Сообщив КА тормозной импульс в наинизшей точке траектории (согласно эффекту скорости), можно полу- чить различные орбиты: от круговой до сильновытяну- той эллиптической. Величина импульса скорости перехо- да определяется как разность между скоростью межпла- нетного аппарата в наинизшей точке траектории и кру- 30
План скоростей / на сфере Фей ст Вия ( 6 точке А ) / _ / Удо / ОрВита к / спутника I планеты Орошпи планеты Рис. 1.5. Схема одноимпульсного перехода между эллиптической и гиперболической ор- битами говой или перицентрической скоростью на орбите вокруг планеты ду=1/-1/л==1/1/2„+2^-Ул> (1.29) где I/Z = i / — --2 , которая равна круговой при у ^*те ‘ ^"те'^а ^те=га=г; га, — радиусы апоцентра и перицентра ор- биты; V, Vk — скорости космического аппарата в пери- центре гиперболы и эллипса; ц — гравитационная кон- станта. Импульс скорости ДУ примем за критерий оптимиза- ции перехода между эллиптическими и гиперболически- ми орбитами. Разделив правую и левую части уравнения (1.29) на круговую скорость у поверхности планеты, получим урав- нение для любой планеты. При выходе на эллиптическую орбиту (1.30) 31
где ДИ==Д1/ и на круговую орбиту (1'31) На рис. 1.6 приведены кривые зависимости импульса скорости перехода от радиуса при различных скоростях подхода КА к сфере действия планеты. На этих графи- ках верхняя ветвь (сплошная линия) построена по урав- нению (1.30), т. е. соответствует выходу КА на круговую орбиту (гя = га), а нижняя ветвь (показана штрихом) по уравнению (1.29) — на эллиптическую орбиту с т\= = R. Из уравнения (1.30) ясно, что существует оптималь- ная высота круговой орбиты г0пт = 2/Коо2, соответствую- щая A V min* Видно, что оптимальная высота получается из усло- вия равенства местной параболической скорости и ско- рости подхода КА к границе сферы действия планеты. Минимальный импульс скорости при этом равен Al/min = Из этого выражения также следует, что при скоростях подхода, больших параболической скорости на поверхности планеты, I/oo > V 2, чем ниже круговая орбита, тем меньше импульс скорости перехо- да. Когда скорость подхода меньше параболической ско- рости существуют высоты круговых орбит, при которых импульс скорости перехода имеет минимум. Так, например, при Foo = 0,8 гОпт~3,13 и т. д. При очень ма- лых скоростях подхода область минимума получается' очень расплывчатой и оптимальная высота уходит в «бесконечность». На нижней ветви кривых (см. рис. 1.6) изображен импульс скорости в функции радиуса апоцентра при =7? и различных скоростях подхода к сфере действия пла- неты. Кривые показывают, что выход на эллиптическую орбиту энергетически выгоднее выхода на круговые ор- биты (при одних и тех же Коо). Эффект от выхода на эллиптические орбиты растет с увеличением скорости 32
Рис. 1.6. Зависимость относительно- го импульса скорости одноимпульс- ного перехода от высоты апоцентра и скорости подхода к планете: ~ выход на круговую орбиту; ~~ — выход на эллиптическую орбиту ЛЦ КМ[С‘ г,Ъ}км Рис. 1.7. Зависимость импуль- са скорости одноимпульсного перехода от высот перицентра и апоцентра; выход на орбиту вокруг Марса по маршруту Земля — Марс; скорость под- хода к сфере действия Марса Voo = 4,78 км/с подхода 7оо. При Voo = const величина необходимого им- пульса скорости Д7 сильно падает в пределах высоты от 1/? до 107?; при га >107? уменьшение ДУ незначительно. Для иллюстрации на этих же графиках нанесены жирными линиями кривые для случая полетов Земля — 2 2801 ,,
Меркурий, Земля — Марс, Земля — Венера и Земля — Юпитер. Аналогично подобные кривые можно получить для любого варианта межпланетных полетов, если известны скорости подхода ракеты к сфере действия планеты. На рис. 1.7—1.10 изображены абсолютные значения импульсов скоростей перехода в функции высот апоцент- ра и перицентра для схем полетов Земля — Марс и .Земля — Венера, Марс — Земля и Венера — Земля. На этих графиках верхняя кривая (гп = га) соответ- ствует случаю выхода КА на круговые орбиты вокруг планеты, а нижние кривые, построенные при различных высотах перицентра, — случаю выхода на эллиптические орбиты. При полете к Марсу энергетически выгоден выход на низкую круговую или эллиптическую орбиту. При выхо- де на круговую орбиту величина импульса скорости меньше, чем скорости подхода ракеты к Марсу. Напри- мер, если выйти на орбиту /гкр= 1000 км, импульс ско- рости меньше, чем скорость подхода на 1400 м/с. Из нижних кривых (см. рис. 1.7) видно, что при вы- ходе на эллиптическую орбиту с гте=4400 км (hn = = 1000 км) и га =50000 км получаем выигрыш в импуль- се скорости 1100 м/с по сравнению с выходом на круго- вую орбиту йкр=1000 км. Если же сравнить со случаем выхода на круговую орбиту высотой га =50000 км, то выигрыш составит 1800 м/с. Основной выигрыш получа- ется при увеличении высоты апоцентра до 50000 км (вы- ше уменьшение импульса скорости незначительно). Из этих же кривых видно, что чем ниже высота перицент- ра, тем меньше импульс скорости. На рис. 1.8—1.10 построены кривые для полета к Ве- нере и Земле. Для них скорость подхода меньше парабо- лической, поэтому видим экстремальное значение им- пульса скорости при выходе на круговые орбиты вокруг планет. При полете к Венере импульс скорости AVmin~ ^2400 м/с на Гв опт = 70000 км, при возвращении от Марса AVmin~3100 м/с на гЗОпт = 45000 кв, при возвра- щении от Венеры AVmin=2300 м/с на гЗОпт = 90000 км л выигрыш по сравнению с выходом на низкую круговую орбиту соответственно 1100, 1000 и 1400 м/с. Выход на эллиптические орбиты вокруг Земли и Ве- неры аналогичен выходу на эллиптические орбиты во- круг Марса, с тем только различием, что благодаря 34
Рис. 1.8. Зависимость импуль- са скорости одноимпульсного перехода от высот перицентра и апоцентра; выход на орбиту вокруг Венеры по маршруту Земля — Венера; скорость под- хода к сфере действия Венеры 1/00 = 3,32 км/с Рис. 1.9. Зави- симость им- пульса скорос- ти одноим- пульсного пе- рехода от вы- сот перицентра и апоцентра; выход на ор- биту вокруг Земли по мар- шруту Марс — Земля; ско- рость подхода к сфере дейст- вия Земли /о? = 4,4 км/с 8
Д V. км/с 50000 100000 Г,Г^.КМ Рис. 1.10. За- висимость им- пульса скорос- ти одноимпуль- сного перехода от высот пе- рицентра и апо- центра; выход на орбиту во- круг Земли по маршруту Ве- нера — Земля; скорость под- хода к сфере действия Зем- ли Уоо =» = 3Г2 км/с мощному гравитационному полю Земли и Венеры по сравнению с гравитационным полем Марса основной эффект от выхода на эллиптические орбиты оказывается до га = 100000 км, выше этот эффект незначителен. Здесь по сравнению с Марсом получается и больший выигрыш в импульсе скорости. Так, при = 1000 км и га =100000 км имеем выигрыш МУ=2600 м/с (Земля—Венера), 6ДУ=3000 м/с (Марс— Земля) и 6ДУ=28ОО м/с (Венера — Земля). Двухимпульсный переход на круговые орбиты вокруг планет Маневр двухимпульсного выхода на круговую орбиту заключается в гашении скорости корабля до эллиптиче- ской перицентрической, выходе на промежуточную эл- липтическую траекторию и сообщении импульса в апо- центре этого эллипса до скорости на круговой орбите (рис. 1.11). Эта схема напоминает схему полета Оберта к звездам (см. рис. 1.1, б, а также [28]) с тем лишь от - 36
Рис. 1.11. Схема двухимпульсного перехода между гипербо- лой подхода и круговой орбитой личием, что импульсы сообщаются в обратной последо- вательности. Суммарный импульс скорости перехода определяется по формуле или ДК= Разделив все выражение на скорость круговой орбиты, соответствующую условию /г = 0, и положив га = гк после преобразований находим 37
Рис. 1.12. Сравнение двух- и одноим- пульсного переходов на круговые ор- биты по относительному импульсу ско- ростей: -----одноимпульсный переход;-------двух- импульсный переход На рис. 1.12 приведены кривые зависимости относи- тельного импульса скорости от высот круговых орбит и скорости подхода к планете при выходе на круговые ор- биты с двумя импульсами (показано штрихом) и с од- ним импульсом (показано сплошной линией), при Гк=/?. Как видно из рисунка, двухимпульсный переход на круговые орбиты по более сложной траектории энергети- чески выгоднее, чем одноимпульсный, когда скорость подхода к планете больше параболической у поверхно- сти планеты, Уоо>]/2. Однако при Уоо<^}/Г2 существует диапазон малых высот, где затраты энергии для выхода на круговую орбиту с одним импульсом меньше, чем за- 38
эффекта при выходе на круговые орбиты с двумя импульсами по сравнению с одноимпульсным вы- ходом на те же орбиты траты при_ выходе по сложной траектории. Так, напри- мер, при Уоо = 0,6 этот диапазон занимает величину от 1/? до 6/?. На рис. 1.13 построены кривые разности между энер- гозатратами одноимпульсного и двухимпульсного пере- ходов в функции высот круговых орбит и скоростей под- хода при Гк=К, которые показывают, что чем больше Voo, т. е. чем дальше находится планета от Земли и чем она меньше, тем меньше затраты импульса скорости при выходе с двумя импульсами. Для близких и больших планет этот эффект незначителен и может быть даже от- рицательным. Например, при полете к Юпитеру (Гоо = = 0,133) на всем диапазоне высот энергетически более выгоден прямой выход на круговые орбиты. На этом же рисунке нанесены точки, соответствую- щие полетам Земля — Меркурий, Земля — Марс, Зем- ля — Луна, Земля — Венера и Земля — Юпитер. Практически нас интересуют низкие орбиты. Поэтому при полете к нашим ближайшим планетам (Венере Марсу) выход на круговые орбиты должен быть совер- шен с помощью одного импульса. Итак, при полете от одной планеты к другой КА дол- жен преодолеть, во-первых, гравитационное поле плане- ты, во-вторых, гравитационное поле Солнца. Вследствие 39
этого при выходе на круговые орбиты с помощью одного импульса со скоростью подхода, меньшей местной пара- болической, существуют оптимальные высоты круговых орбит, при выходе на которые расход топлива будет ми- нимальным. Когда же скорость подхода ракеты больше параболической, расход топлива тем меньше, чем мень- ше высота круговой орбиты, по которой должен обра- щаться КА вокруг планеты. Существует класс межпланетных траекторий, для которых выход на круговые орбиты более экономичен по сложной траектории с помощью двух импульсов, чем одноимпульсный выход. Энергетически более выгоден выход на сильно вытя- нутые эллиптические орбиты. При этом импульс скоро- сти должен быть сообщен в перицентре эллиптической орбиты, по которой должен обращаться космический ап- парат. Эффект от выхода на эллиптические орбиты тем больше, чем больше скорость подхода к планете и чем ниже высота перицентра. Импульс скорости резко падает при увеличении вы- соты апоцентра только до га ~ (15ч-20)/?. Выше, этой высоты уменьшение импульса скорости незначительно. При выборе схемы полета можно рекомендовать в качестве расчетных параметров эллиптической орбиты = 1,1/? и га 20/?. 1.4.2. Уход с планетоцентрических орбит Как было уже показано, при выходе на сильновы- тянутые эллиптические орбиты вокруг планет дости- гается наибольшая экономия топлива. При этом пред- полагалось, что нет никаких ограничений по условиям посадки космического аппарата на поверхность планеты или ориентацию орбиты КА относительно планеты. Решим теперь задачу ухода с вытянутых эллиптиче- ских орбит при условии, что задан вектор скорости от- лета У2оо. Известно, что в центральном поле гравитации орби- та сохраняет свое положение относительно планеты не- изменным. Ее положение определяется векторами ско- рости подхода Vioo и прицельной дальности Аь Вектор скорости отлета У2оо определяется условиями оптимиза- ции гелиоцентрической траектории возвращения и в 40
Рис. 1.14. Схема одноимпульсного ухода с планетоцентрической орбиты большинстве случаев он не совпадает с вектором Vloo. Поэтому импульс скорости, сообщаемый для получения V2oo, •прикладывается не в перицентре эллиптической орбиты, а в другой точке (рис. 1.14), положение которой определяется вектором V2oo. В предположении, что совершается плоский маневр перехода между орбитами, импульс разгонной скорости в этом случае будет равен V г V а гт. rTz г где а=(га + гтс)/2. На основании эффекта скорости можно утверждать, что при И2оо> Vioo импульс скорости разгона AVZ будет больше импульса скорости торможения. При некоторых направлениях векторов Vloo и V2x> можно значительно уменьшить энергозатраты на раз- гон по сравнению с энергозатратами одноимпульсного маневра, если уйти с планетоцентрической орбиты с по- мощью трехимпульсного маневра, схема которого изо- бражена на рис. 1.15. Согласно схеме первый импульс AVi сообщается в апоцентре планетоцентрической орби- ты, после чего космический аппарат переходит на круго- 41
Рис. 1.15. Схема маневра у планеты цели и отлета к Земле вую орбиту С ВЫСОТОЙ Га. В точке В круговой орбиты, положение которой определяется вектором V2oo, сообща- ется второй импульс скорости ДУ2, который переводит космический аппарат на вытянутую эллиптическую ор- биту. В перицентре этой орбиты сообщается третий им- пульс скорости AV3, который обеспечивает космическому аппарату выход из сферы действия планеты со скоро- стью И2оо. Пр-и расчете энергозатрат предполагается, что совер- шается только плоский маневр. Такая идеализация дей- ствительных схем полета делается с единственной целью — показать роль эффекта скорости. Реальная схема полета с учетом некомпланарносгл траекторий подлета и отлета будет рассматриваться в гл. 3, где будет показано, что, используя возмущающие силы от нецентральное™ поля тяготения планет для по- 42
ворота планетоцентрической орбиты можно исключить совсем или частично импульсы A Vi и A У3. При условии AVi = AV2 будем иметь ду',=2д^1+ду3, где Из условия AVZZ<AVZ можно получить значения ра- диуса г* (Vioo, У2оо), выше которого более выгоден трех- импульсный маневр ухода с вытянутой эллиптической орбиты, чем одноимпульсный .*____ +~Г — -2)-(ДГ')2 ' тс \ а ’ 8р.(ДУ")2 2 /г т-2 'тс \ а . 1.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭФФЕКТА СКОРОСТИ ПРИ ПОСАДКЕ НА ПОВЕРХНОСТЬ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ И ВЫХОДЕ НА СПУТНИКОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И СТАРТЕ С НИХ Посадка на поверхности больших планет, в частно- сти, Юпитеровой группы, представляет большие труд- ности как технического, так и биологического характе- ра. Поэтому с научной точки зрения представляет ин- терес изучение планет и их спутников путем выхода на спутникоцентрические орбиты и посадки на поверхность спутников указанных планет. Кроме того, в будущем Лу- на может служить промежуточной базой при межпланет- ных и межзвездных сообщениях. Для уменьшения энергозатрат таких полетов может успешно использоваться эффект скорости. Схемы ухода с околоспутниковой орбиты и с поверх- ности спутки.. близким пролетом около планеты пока- заны на рис. 1.16. По этой схеме уход из сферы действия планеты осу- ществляется с помощью двух импульсов. Первый им- пульс скорости АУ] сообщается на околоспутниковой ор- бите или вблизи поверхности спутника. Величина этого импульса определяется из условия выхода из сферы дей- 43
Рис. 1.16. Схемы близкого пролета около планеты: а—уход с околоспутниковой орбиты; б—уход с поверхности спутника ствия спутника и близкого пролета около планеты. При уходе с околоспутниковой орбиты этот импульс равен (1.32) а при уходе с поверхности спутника (1.33) где Woo — скорость выхода из сферы действия спутника, определяемая как разность между апоцентрической ско- ростью планетоцентрической орбиты космического аппа- рата и орбитальной скоростью спутника где цп, Цс — гравитационные постоянные планеты и ее спутника соответственно. Обозначения радиусов-векто- ров показаны на рис. 1.16. Здесь и в дальнейшем при выведении формул предполагается, что орбиты спутни- ка и околоспутниковая — круговые и компланарные. При подсчете скоростей применяется упрощенный метод сфер действия. Второй импульс AV2 сообщается космическому аппа- рату в момент пролета перицентра промежуточной орби- 44
О ° Ч 6 8 10 12 14 16 О 2 4 6 8 Ю " 14 16 Ц^км/g ъ,км/с Рис. 1.17. Энергетика ухода со спутникоцентрической орбитыi ----уход «через планету»;----прямой уход ты. Величина его определяется из условия выхода косми- ческого аппарата из сферы действия планеты со скоро- стью У»,. Она равна разности между перицентрическими скоростями гиперболической и эллиптической плането- центрических орбит: Общие энергозатраты определяются как сумма AV— = Д Vi + Д Vg. Для оценки влияния эффекта скорости рассчитаем величину импульса скорости при прямом уходе с поверх- ности спутника и с околоспутниковой орбиты с помощью одного импульса Д!^ без близкого пролета около пла- неты. При этом величины импульсов скоростей вычисля- ются по формулам (1.32) и (1.33), куда вместо под- ставляется выражение Здесь рассматривается посадка только на большие спутники планет: спутник Земли — Луну; спутники Юпитера — Ио, Европу, Ганимед и Каллисто; спутник Сатурна — Титан и спутник Нептуна — Тритон (см. табл. 2.7 и 2.8). Остальные спутники настолько малы, что влияние их гравитационного поля ка энергозатраты не- значительно. Энергозатраты для ухода с этих спутников 45
Рис. 1.18. Энергетика ухода с поверхности спутника: -----уход «через планету»;----прямой уход можно оценить по графикам, приведенным на рис. 1.12 и 1.13. На pine. 1.17 и 1.18 приведена энергетика ухода ДГ со спутникоцентрической орбиты и с поверхности спут- ников четырех вышеуказанных планет. Анализ графиков показывает, что уход с близким пролетом около планет выгоднее по сравнению с прямым уходом при Гоо>2км/с для Луны, при Voo>9 км/с для Титана, при Ко >8 км/с д^я Тритона и при Гоо>12 км/с для Каллиста. Для спут- ников Юпитера Ио, Европа и Ганимед в рассматривае- мом диапазоне скоростей Гоо более выгодным является прямой уход. Сказанное справедливо как для ухода с •околоспутниковой орбиты, так и с его поверхности. Из графиков также видно, что при больших Voo вы- игрыш в импульсе скорости при уходе с близким проле- том около планеты может быть значительным. 1.6. СХЕМЫ СТАРТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Идея предварительного разгона КА перед включением двига- телей может- быть использована и при старте ракет с поверхности планет. Рассмотрим несколько схем старта ракет, основанных на эф- фекте скорости. Несмотря на кажущуюся экзотичность, некоторые из этих схем могут быть реализованы практически и дать поло- жительный экономический эффект, другие помогут лучше понять механизм эффекта скорости и поэтому интересны в теоретическом и эвристическом отношении. Схема 1. Старт с падением в шахту. Пусть ракете, стартующей вертикально вверх с поверхности планеты (или спутника планеты, 46
или астероида), сообщается импульс скорости AV. Гравитационное поле — плоскопараллельное, т. е. g = const, атмосфера отсутствует. Высота подъема этой ракеты определяется по известной формуле t AV2 *, = V Допустим та же ракета сначала свободно падает в шахту с глу- биной I и после «идеального» отражения ей сообщается импульс скорости Л У той же величины. При этом высота подъема ракеты от поверхности планеты равна AV2 /”2Г Л2=—+ дгр/_. Сравнивая эти выражения, обнаружим, что высота подъема ра- кеты во втором случае больше, чем в первом. Причем она тем боль- ше, чем глубже шахта. Аналогичные результаты получим и в том случае, если ускоре- ние силы тяготения подчиняется законам #2 g = go^> (1.34> Г2 g = go 0 • 35) А соответственно вне и внутри планеты с однородным распределени- ем массы. Интегралы энергии, соответствующие этим законам тяготения, равны V2 R2 9 — So — = V2 + ёо ~ = ^2- £ Г /\ Используя эти интегралы, найдем высоту вертикального подъема ракеты при прямом старте с поверхности планеты по формуле /?2 ДУ2 go — = go* - z а при сообщении импульса скорости после «идеального» отражения от дна шахты со скоростью падения высоту подъема ракеты по сле- дующей формуле: - Разность между ними равна Итг-т;)""' Так как правая часть этого уравнения положительна, то г2>П, т. е. при приложении импульса на дне шахты после «идеального» отра- жения ракета набирает большую высоту, чем при старте с поверх- ности планеты. 47
Теперь ту же задачу поставим по другому. Сравним высоты подъема двух ракет, одна из которых стартует с поверхности пла- неты, а другая — со дна шахты. Высоты подъема этих ракет опре- деляются формулами /?2 ДУ2 go — ri z «2 г. д^2 ,A z \ So — = ^-—+ So/(l-^j. Разность этих выражений равна Так как правая часть этого уравнения отрицательна, то r2<ri, т. е. при приложении импульса на дне шахты ракета набирает меньшую высоту, чем при старте с поверхности планеты. Схема старта с падением в шахту хорошо иллюстрирует поло- жительную роль эффекта скорости в маневрах летательных аппара- тов. Эта схема напоминает полеты космических аппаратов по вытя- нутым эллиптическим орбитам, полеты внутри сферы действия пла- нет при межпланетных перелетах и т. п. При этих полетах косми- ческий аппарат, находящийся на самой высокой точке орбиты или залетающий в сферу действия извне, падает вниз к центру грави- тации. При падении он сильно разгоняется и, обойдя планету, снова поднимается вверх, т. е. осуществляется «идеальное отражение». О том, какой эффект дает сообщение импульса КА в точке наиболь- шей скорости, т. е. в перицентре, уже говорилось выше. Схема 2. Старт с пролетом через центр гравитации. Рассмотрим, как зависит величина импульса скорости от глубины шахты при условии, что ракета «отрывается» от планеты. Из уравнения (1.36) при г2—^°° получим . _______ ДИ - I где Д1/ = —, /= — Иг = У —вторая космическая скорость на поверхности планеты. Из этого уравнения видно, что импульс максимален (АКтах = = V2) при / = 0 и минимален (АVmin = 0,52 К2) при l=R, т. е. если дно шахты находится в центре планеты. Выигрыш в импульсе ско- рости при этом в два раза больше по сравнению со стартом с по- верхности планеты. Когда глубина шахты достигает центра планеты, появляется воз- можность построения сквозной шахты — шахты без дна, исключаю- щей необходимость «отражения» ракеты. Пусть имеется шарообразное тело искусственного или естествен- ного происхождения с радиусом R. Это может быть и астероид, и спутник планет и т. д. Для краткости далее назовем это тело асте- роидом. В астероиде — сквозное отверстие — шахта без дна. В это отверстие помещается космический аппарат, которому представляет- ся свободное падение к центру астероида. При достижении макси- 48
мальнои скорости в центре астероида космическому аппарату сооб- щается импульс скорости ЛК При этом КА вылетает с другого кон- ца отверстия со скоростью, достаточной для удаления с астероида. Найдем зависимость между импульсом скорости ЛК и скоро- стью КА на «бесконечности» Коо. Для этого предположим, что уско- рение силы тяготения подчиняется закону (1.34) вне астероида и закону (1.35) внутри астероида. В этом случае скорость космического аппарата в момент при- ложения импульса в центре астероида будет равна первой космичес- кой скорости на поверхности астероида у0 = (1.37) После приложения импульса интегралы энергии движения внут- ри астероида и вне его запишем в следующем виде: + + AV)2- (1-38) Vi vi (1.39) где Vi — скорость КА в момент вылета из отверстия. Используя выражения (1.37) — (1.39), получим w = + w - гда При прямом старте с поверхности астероида импульс скорости равен AV1 = ]/VL+2£otf- Разность 6 = ДК1—ЛК — есть выигрыш схемы с пролетом через центр астероида по сравнению с прямым стартом с его поверхности. Если отнести импульс скорости к первой космической скоро- сти на поверхности У 2 = то будем иметь s = ’|A~ + 2“K's * 7~ + 3 + 1- Оценим, как зависит величина выигрыша в импульсе скорости от Коо. При Коо = 0 б = 0,68, а при Коо—б—>1. Таким обра- зом, выигрыш от применения схемы 2 увеличивается с ростом ско- рости удаления Коо. Схема 3. Трамплинный старт JIA. Идея способа заключается в следующем. Вблизи поверхности планеты «прорыт» тоннель, как показано на рис. 1.19. При старте с планеты летательный аппарат сначала движется по тоннелю, разгоняясь под действием гравита- ционной силы. После достижения максимальной скорости ему сооб- щается импульс скорости АК, который обеспечивает получение стартовой скорости Кг. Оценим эффективность тоннельного способа старта летательных аппаратов. Мы не ставим перед собой задачу строгой оптимизации всех параметров тоннельного сооружения. Наша цель — показать энер- гетическую целесообразность тоннельного способа старта ЛА. Пусть тоннель проложен по окружности с радиусом I и цент- ром окружности на уровне поверхности планеты. На летательный 49
Рис. 1.19. Схема трамплинного старта ЛА аппарат при движении по тоннелю действуют сила тяготения G, сила сопротивления (или трения) F, направленная по касательной к траектории, и сила реакции опоры N, направленная к центру окруж- ности. В качестве опоры могут служить рельсы, магнитные подуш- ки и т. д. Глубина тоннеля по сравнению с размерами планеты мала. Поэтому гравитационная сила принимается плоскопараллель- ной. Так же принимается отсутствие атмосферы внутри тоннеля. Силу сопротивления (трения) можно принять пропорциональ- ной F~G sin ф. Это можно показать следующим образом. Известно, что сила трения равна F =z fN — f —-— 4- G sin <pj, (1.40) где f — коэффициент трения; V — скорость движения, соответст- вующая углу ф; g — ускорение от гравитационной силы. В первом приближении выражение для скорости движения можно найти, если предположить, что трение отсутствует. Действительно, например, для стальных железнодорожных колес коэффициент трения качения по рельсам равен & = 0,05 см [44]. Если принять, что радиус колес /?=1 м, то коэффициент трения f=k/R = — 0,0005, т. е. достаточно мал. Относительно нижней точки тоннеля кинетическая и потенциаль- ная энергии летательного аппарата с платформой равны mV? Т= 2 ' (1.41) П = mgl (1 — sin ср). При отсутствии трения их сумма сохраняется постоянной. Из- этого условия имеем V2 — 2gl sin <р. Подставляя это выражение в (1.40), получим F = 3fmg sin ср, (1-42) г. е. пропорциональна F~G sin ф. При действии этой силы полная энергия летательного аппарата изменится на величину d(T + П)= — Fldy. (1.43) 50
Подставляя (1.41) и (1.42) в (1.43), найдем V2 + 2gl (1 — siп ср — 3/ cos <р) = с. (1.44) Распишем интеграл (1.44) для двух участков: 0—1 и 1—2, т. е. до и после приложения импульса &V, причем точка 1 — произ- вольна У? + 2gl (1 - sin Т1 - 3/cos ?1) = 2gl (1 - 3/), (V-! + ДУ)2 + 2gl (1 — sin ?l - 3/cos ?1) = V22 + 2gl (1+3/). Отсюда можно найти V22 = 2 ДУУ! + ДУ2 — 12 fgl, т. е. при заданном импульсе скорости А У чем больше скорость дви- жения тела lzi в момент приложения импульса, тем больше ско- рость выхода из тоннеля V2. Из (1.44) можно определить, что значение угла ср, соответст- вующее максимальному значению скорости Vi max, равно ?*= arctg —. Как было показано, значение f мало. Поэтому ф*~л/2. Значе- ние потребного импульса AV в зависимости от скорости выхода из тоннеля V2 равно ДУ = |/ У|+2^/(1 +3/) - /2^/(1-3/). На рис. 1.20 и 1.21 показана энергетическая эффективность тон- нельного способа ускорения летательного аппарата при старте с Земли и Луны, где по оси абсцисс отложена скорость выхода из тоннеля V2, а по оси ординат — импульс скорости А У для получе- ния заданной начальной скорости V2. Кривые построены для зна- чений глубины тоннеля 1 = 5, 10, 50, 100, 200 км и коэффициентов трения f= 10-6, 10~4, IO-3, 10-2. Из графиков видно, что тоннельный способ разгона ракет дает большой выигрыш в импульсе скорости. Так, например, при старте со скоростью У2 = 400 м/с необходимый импульс скорости АУ= = 200 м/с при глубине тоннеля 1 = 5 км. Получаемый выигрыш сос- тавляет V2—АУ=200 м/с, т. е. в 2 раза при старте с Земли и 172 = 400 м/с, АУ=300 м/с, V2—АУ=100 м/с при старте с Луны. При скорости отрыва от Луны Котр = 2400 м/с выигрыш составляет V2—АУ=120 м/с при 1=5 км. С увеличением глубины тоннеля вы- игрыш растет. Относительный выигрыш особенно велик при малых скоростях отрыва (V2 = 0,1 н-0,5 км/с). Из графиков так же следует, что существует оптимальное зна- чение скорости выхода V2, при котором относительная эффектив- ность тоннельного способа Э=У2/АУ максимальна (рис. 1.22). Оптимальное значение V2, отвечающее условию Э = тах, равно У2опт=| Y2glf\^f, I 1—VJ т- е. растет с увеличением глубины тоннеля и коэффициента тре- ния. 51
ZJ и, км! с Рис. 1.20. Зависимость импульса скорости AV от скорости метания V2 при различных глубинах тоннеля / и коэффициента трения f (трамплин на Земле): J—6; 2-/-=10~4; 5-/=10“3; 4-/=10~2 Максимальное значение относительной эффективности выража- ется формулой 1 1 6/ + 2 ’ Она зависит только от коэффициента трения и увеличивается с его уменьшением, по не зависит ни от планеты (т. е. g), ни от глу- бины тоннеля Z. Оптимизация формы тоннельного канала. Форма тоннельного канала влияет на величину поперечных перегрузок, действующих на летательный аппарат, и на длину капала, которые, в конечном сче- те, определяют стоимость летательного аппарата, тоннельного канала и его эксплуатацию. Это хорошо видно из рис. 1.23, где изображены три формы канала: внутренний — состоит из вертикальных стволов и сопря- женной с ними полуокружности, средний — из полуокружности с 52
Z) V} KMjc Рис. 1.21. Зависимость импульса ско- рости ДУ от скорости метания У2 при различных глубинах тоннеля I и коэффициента трения f (трамплин на Луне) Центром па уровне поверхности планеты и внешний состоит из трех - сопряженных дуг окружностей. Все три формы канала обеспечива- ют вертикальный старт летательного аппарата. При одной и той же глубине скорость ракеты в нижней точке тоннеля остается постоянной (если пренебречь сопротивлением). Поэтому максимальная поперечная перегрузка после дачи импульса определяется радиусом кривизны канала в нижней точке Ri и ско- ростью вылета ЛА из тоннеля У2 I ^2 nL = \ +2 — . Rt gRi 53
Рис. 1.22. Зависимость относительной эффективности трамплин- ной схемы Э от скорости метания V2 при различных коэффици- ентах трения / и при старте с Земли Чем меньше радиус канала, тем больше поперечная перегрузка, следовательно, тем дороже летательный аппарат и стартовое соору- жение, но, с другой стороны, с уменьшением радиуса Ri уменьша- ется длина канала, что приводит к удешевлению комплекса. Оптимизируем форму канала при условии, что стоимость комп- лекса «летательный аппарат + тоннельное устройство» прямо пропор- циональна максимальной поперечной перегрузке и длине канала С = k1L + k2n. (1.45) Для этого вычислим поперечную перегрузку и длину каналов (см. рис. 1.23). Рассмотрим сначала форму канала, состоящую из трех дуг окружности. На рис. 1.24 изображена только половина тоннеля. Точка Г — точка сопряжения окружностей. Длина тоннеля равна L = 2 R — <pij или ^=2 Г ——~)| = | \ 2 I \ sin ср! /1 = d-46) L 2 sin <pi ] Здесь R — радиус средней окружности; Ц — радиус боковых ок- ружностей; I — глубина тоннеля 54
Рис. 1.23. Формы каналов Рис. 1.24. Внешний ка- нал Вычислим перегрузку. Она разная для участков 1—Г и Г—2. На участке Г—2 максимальная поперечная перегрузка равна ^2 И1 = 3 sin ?! + , (1.47) gh а на участке 1—Г I ^2 Я2=1 + 27‘+7я- При оценке стоимости комплекса будем исходить из условия равенства максимальных перегрузок на обоих участках: п^ = п2. Откуда получим соотношение, связывающее <pi и R при заданных I и У2 3 sin +-------- g sin ср! I— /?(1 — sin epi) I ^2 = 1+2T+^-(L48) Подставляя (1.46) и (1.47) в (1.45), получим С = 2^ — (/?—/) ?1 sin ср! + ^2 3 Sin ср! + - g sin cpi I — Я(1 — sin cpi) Определим оптимальное значение угла <p± SC = 2*! [у- 8Я —^—bR sin ср! R—l sin ср! &cpi + (7? —Z)cpi cos срj sin2 <P! 8T1 + ^2 4-й2 3cos'pi§'pi+ — L g cos cpidcpi I — /?(1 — sin <Pi) ^2 — (1— sin Cp!) 57? 4- R cos <P1&<P1 --- sin cpi---------------------------- g [l-R(l- Sin ?1)]2 55
Отсюда получим л ЬС = т/2 ?1 \ , 2 sin (1 — sin <|>i) , ------ 4“ «2---------------------------------------+ 2 sin <f>i / 2 g [Z— /?(! —sin fi)]2 ] , Л , v2 (Z —/?) cos <f>i 4- «21 3 cos 91 4----------------- Это выражение равно нулю при нения (1.48), R = l. Это значит, что полуокружности с центром на уровне бых и k2. При этом минимальная стоимость В<Р1. ф1 = л/2. Как видно из урав- оптимальной является форма поверхности планеты при лю- (1.49) комплекса равна И Cl min = 4“ ^2 I 3 4“ Г I • \ gl / Перейдем к рассмотрению второй схемы тоннеля, состоящего из полуокружности и двух сопряженных с нею вертикальных труб (рис. 1.25). Длина тоннеля равна £ = 2Z^ 4~ ftZ2 — (ft — 2) Z2 4“ 2Z, где Z — глубина тоннеля; Zi /2 — радиус полуокружности; перегрузки — глубина вертикальных каналов; а максимальное значение поперечной п = 1 о 1 + 2 4- . h gh Составим уравнение стоимости комплекса / Z \ С2 = ^1£ + й2п = *1[(л — 2)Z2+2Z]+*2 1 +2— 4-—— . (1.50) \ Z2 gl2 / Из этого выражения определим 1 f k2 u+vlig r ki л—2 (1-51) т. e. форма второй схемы тоннеля зависит от коэффициентов стои- мости ki и /?2. Из физических соображений Z2 < I. При этом отношение £2/£j должно удовлетворять условию ^2 ft — 2 < о V2 1' 2 + ~7 (1.52) Подставляя (1.51) имости комплекса в (1.50), получим минимальное значение сто- 56
V2)m/c Рис. 1.25. Внутренний канал Рис. 1.26. Зависимость скорости вы- хода V2 от глубины тоннеля I и мак- симальных поперечных перегрузок ^тах- 1—шкала для Земли; 2—шкала для Луны £2 mln ~ 2^11 + ^2 + 2 (1.53) Покажем, ЧТО С2 min min при любых &1>0 и k2 > 0. Выражение С = CY min—С2 min можно представить в виде Так как правая часть уравнения является полным квадратом, то при любых kY и k2 справедливо неравенство С>0. Последнее не- равенство эквивалентно одному из двух условий: л— 2 ^2 V1 gl I, k<2 *1 (1.55) -----й— I >0. V 2 + — gl *1 л— 2 57
Первое выражение совпадает с условием (1.52), справедливым только для схемы с вертикальными каналами. Отсюда вытекает, что, если соотношение /г2/^1 отвечает условию (1.52), то тоннельный канал должен состоять из двух вертикальных труб и одной трубы, выполненной в форме сопряженной с ними по- луокружности. В противном случае тоннельная труба должна иметь форму полуокружности с центром на уровне поверхности планеты. Оценим, как отличаются эти две схемы тоннеля по стоимости комплексов. Для этого составим отношение С2 / т/2 \ k2 а , Ko v2 | 21+-г+2 / (л—2)Z-гЦ 2 + — *1 ' ki \ gl / которое удовлетворяет неравенству если и равенству если k2 л — 2 к!1 2+ gi Определим оптимальную глубину тоннеля, выполненного в фор- ме полуокружности. Она равна из (1.49) _ У2_ /юит= ygn кч к\ При этом величина максимальных поперечных перегрузок будет , 21 nmax-3+ . Эта зависимость показана на рис. 1.26. Мы довольно подробно рассмотрели трамплин типа подземного тоннельного сооружения. Однако трамплинная схема старта может иметь различные варианты. Например, в качестве трамплина может служить специальные сооружение, построенное на поверхности Зем- ли и планеты, естественная гора с проложенными Нс1правляюш>имк. При старте ЛА в атмосфере для изменения направления полета вверх после разгона в гравитационном поле может быть использо- вано крыло самолета. При этом самолеты могут разгоняться, стар- 58
Рис. 1.27. Схема параметрического старта ЛА туя с вершины горы, с воздушного шара, дирижабля или других носителей. В Англии, например, проводился опыт по использованию корабельного трамплина при старте самолетов с авианосцев [51]. Схема 4. Параметрический старт ЛА. В рассмотренных схемах активное ускорение летательных аппаратов осуществлялось за счет внутренних сил. Однако ЛА может ускоряться и благодаря внешним активным силам. Одним из таких способов является параметриче- ский способ ускорения. Идея этой схемы основана на принципе параметрического коле- бания. Известно, что колебание маятника можно поддержать двумя способами: делая толчки в направлении движения маятника или изменяя его длину. Последний способ поддержания колебания на- зывается параметрическим. Он основан на законе сохранения мо- мента количества движения. При сокращении длины маятника уменьшается его момент инер- ции. В силу того, что момент количества движения сохраняется, из- менение момента инерции приводит к изменению угловой скорости , Л ш = — (01 или скорости движения Г=7р (1.56) где I — расстояние-центра тяжести от оси вращения. Рассмотрим схему параметрического старта (рис. 1.27). Лета- тельный аппарат т сначала движется по тоннелю с радиусом I, за- тем в точке, где достигается максимальная скорость движения, с помощью вертикально движущейся платформы переводится в другой тоннель с радиусом Согласно уравнению (1.56) происходит из- менение скорости тела, что приводит к изменению скорости выхода из тоннеля Для определения величины необходимого изменения радиуса тоннеля в зависимости от V2 воспользуемся формулой (1.44). Для Участков 0—1 и Г—2 имеем: У2 = 2^/(1-3/), V22 + 2gl' (1+3/) = V2,. 59.
Используя выражение (1.56), получим V22 = 2gl -р-(1-3/)-2^/'(1 Ч-З/). Из практических соображений желательно, чтобы было В этом случае получим ^2 - 2^4 Оценим величину скорости выхода тела из тоннеля. Так как f мал, то для оценки можно принять V22^6gkl, откуда видно, что при малых Л/ и f скорость выхода зависит только от изменения ра- диуса тоннеля, а от его глубины не зависит. Для значений g’=10 м/с, AZ= 15 м получим V2 = 30 м/с. Таким образом, при реальных значениях Л/ скорость выхода из тоннеля получается небольшой. 1.7. ОБЪЯСНЕНИЕ МЕХАНИЗМА ЭФФЕКТА СКОРОСТИ При исследовании внешних проявлений эффекта ско- рости ничего не было сказано о причинах возникновения эффекта, о внутреннем механизме передачи энергии от одного тела к другому или, вернее сказать, о влиянии начальной скорости движения на распределение внут- ренней энергии 'Системы между ее элементами при их разделении. Для выяснения этого механизма рассмотрим сначала более подробно схему 1 из разд. 1.6. 1.7.1. Эффект скорости При рассмотрении этой схемы было сделано предпо- ложение (тело, падающее в шахту, «идеально» отража- ется от дна шахты), при котором скорость тела после отражения равна скорости в момент удара о дно шахты. Однако не было сказано, каким образом обеспечивается это отражение. И поэтому остался невыясненным вопрос, каким образом осуществляется передача энергии меж- ду притягивающимися телами (например, между Зем- лей и падающим телом). Прежде чем приступить к выяснению механизма пе- редачи энергии, предварительно рассмотрим известную схему. Пусть два тела с массами тх и т2 составляют замкнутую систему и притягиваются друг к другу с по- 60
стоянной силой F, которая является внутренней шению к данной системе. Уравнения движения этих тел в абсолютной координат имеют вид по отно- с.истеме, (1.57) m2y2=F. Интегрируя их, получим mtV? —+^‘=с- m2Vl Fy2=c2. 2 Обозначим относительное расстояние между телами через ~г=Ух— ~У2- (1-58) Тогда суммарная энергия системы будет равна /П1У1 ( m2V% 2 2~ \-Fr=c. (1.59) Рассмотрим систему в двух состояниях. В первом сос- тоянии тела удалены друг от друга на расстояние г0, и относительная начальная скорость между ними равна нулю. Система при этом обладает только внутренней по- тенциальной энергией. После этого система переходит в другое состояние, при котором расстояние между телами равно г, и система обладает не только потенциальной, но и кинетической энергией Здесь F(r$—r)=AW равна работе внутренней силы сис- темы. Она равна изменению ее кинетической энергии Л"' = ^ +^, (1.60) 2’2 k ' выражение которой совпадает с известным выражением (1. Ю). Для дальнейшего изложения удобно перейти к отно- сительной системе координат. 61
Из (1.58) имеем [?==V?1_y2) (1-61) r=rx — r2. Подставляя (1.57) в (1.61), найдем г=------—F, (1.62) 7П17П2 где т--=тх-\-т2. После скалярного умножения обеих частей этого уравнения слева и справа на г и интегрирования полу- чим (1.63) т 2 Это есть обобщенное выражение известного интегра- ла энергии для плоскопараллельного поля тяготения. Пусть т2^>тогда т2^т и (1.63) принимает вид 2 И если F = mxg, то это выражение превращается в при- вычный интеграл энергии для плоскопараллельного по- ля тяготения. Если интеграл (1.63) написать для двух состояний, причем для первого состояния г = г0 и 7=70 = 0, то по- лучим известное выражение работы внутренних сил т 2 совпадающее с (1.13). В случае, если сила взаимодействия между телами выражается формулой р = тхт2 - J г* то из уравнения (1.62) получим известный интеграл энергии для центрального ньютоновского поля тяготения У2 т ----f—=с. 2 J г Покажем, каким образом в замкнутой системе из притягивающихся тел возникает эффект скорости. Для этого разберем следующую ситуацию. 62
Пусть два тела с массами 1щ и т2, находящиеся не- подвижно друг относительно друга на расстоянии R, от- талкиваются с относительной скоростью AV с помощью внутренних сил. При этом они удаляются друг от друга на расстояние h, где относительная скорость становится равной нулю. Для указанных условий интеграл (1.63) примет следующий вид: 2П1/П2 ^^FR=F (R+h). т 2 Отсюда гп^тъ (1.64) т 2 А теперь пусть сообщается телам та же относитель- ная скорость AV, но после свободного сближения на расстояние I и упругого удара. Скорость после удара определяется из (1.63): V2 т 2 V2 ИЛИ _0_=/7/, (Е65) т 2 Сообщив телу дополнительную скорость AV после упругого удара, получим _(Ко_+ДЮ1 + F (fl _ /)=F (R + А') т 2 или ад(!1+д|/1/0+^]=Г(/+А'). (1-66) Из (1.64) — (1.66) следует F(h'-h) = -?^- дуу т Это и есть эффект скорости. Дополнительная кине- тическая энергия равна работе внутренней силы на от- резке пути h'—h. Отсюда видно, что при сообщении им- пульса телам, находящимся в относительном движении, кинетическая энергия системы увеличится дополнительно на в случае т\<^т2 она равна iti^Wq и т почти полостью передается телу с меньшей массой. При* Чные рассуждения помогают раскрыть сущ ность механизма (способа) увеличенного превращения внутренней энергии системы в ее кинетическую энергию. 63
Чтобы сказанное стало более ясным, проанализируем подробнее процесс упругого удара или, другими слова- ми, процесс отражения и сообщения импульса. Допустим упругий удар и сообщение импульса обес- печиваются сжатой пружиной. Сравним два случая: 1) скорость сообщается телам, относительно неподвиж- ным; 2) скорость сообщается телам после упругого удара. В первом случае притягивающиеся тела отталкива- ются от действия сжатой пружины, энергия которой обеспечивает относительную скорость ДV. Тогда кинети- ческая энергия .системы тел будет равна энергии сжатой пружины Eq: (1.69) Во втором случае для сообщения телам дополнитель- ной относительной скорости ДУ пружина предваритель- но должна быть сжата до энергии Eq'. Тогда энергия пружины после удара тел будет равна сумме энергии Eq' и кинетической энергии тел, сближающихся со ско- ростью Уо: V2 (1.68) т 2 При обратном движении после удара освобождается вся энергия пружины, которая превращается в кинети- ческую энергию системы F rnYni2 (У) + ДЮ2 т 2 Из (1.67) — (1.69) получим £’о-£’о=^^ Д1/1/о. т Отсюда следует, что пружина во втором случае долж- на быть заряжена энергией, в точности большей на ве- личину энергии, возникающей от действия эффекта ско- рости, чем в первОлМ случае. Это говорит о том, что вели- чина потенциальной энергии системы, превращаемой в кинетическую, зависит от относительной скорости между элементами системы и тем больше, чем больше эта ско- рость. Из сказанного также следует, что превращение внут- ренней энергии в кинетическую производится через упру- 64
гую систему, которая предварительно должна быть за- ряжена энергией из этого же внутреннего источника. 1.7.2. Объяснение механизма эффекта скорости для аппарата с постоянной массой Пусть масса аппарата равна т0, На него действует постоянная внешняя сила F в течение времени t. Ско- рость аппарата в момент начала действия силы F рав- на Vo относительно внешнего, источника силы. Уравнение движения аппарата запишем в виде р=—. /По Интегрируя это уравнение, получим приращение ско- рости и пути, пройденного аппаратом за время др=_^_, т0 (1-70) 2/п0 Vvj. Умножим левую и правую части последнего уравне- ния скалярно на силу F\ (1.71) 2т0 Исключая импульс силы Ft из уравнений (1.70) п (1.71), получим /?5 = ^^ + т0Д17Р0, (1.72) выражение которого в точности совпадает с (1.15). Из сравнения видно, что \T^ = FS, т. е. приращение кинетической энергии аппарата равно работе си- лы F внешнего источника, совершаемой на пути S. Так как длина пути тем больше, чем больше скорость поле- та, то отсюда ясно, почему приращение кинетической энергии больше при налипни начальной скорости. Следовательно, чем больше скорость полета, тем больше энергии внешнего источника переходит в кине- тическую энергию аппарата. Интересно посмотреть на эту проблему и с другой стороны. Пусть аппарат с массой т\ и внешний источник 3 2801 65
с массой т2 составляют замкнутую систему. Между ними действует постоянная отталкивающая сила F. До нача- ла действия этой силы относительная скорость между телами равна Уо- За время действия силы F относитель- ная скорость между телами увеличивается на Д1Л Так как эта система отличается от рассмотренной вы- ше только направлением силы, то для анализа можем использовать интеграл энергии (1.63), откуда получаем Г(г0-г)=^=М(-^- + дГГ0) . (1.73) При т2^>т{ (1.73) совпадает с выражением (1.72). Это значит, что вся потенциальная энергия системы пе- реходит в кинетическую энергию аппарата, причем пре- вращаемая энергия тем больше, чем больше начальная относительная скорость между телами системы. Промежуточный механизм, осуществляющий упругую связь между телами и превращающий потенциальную энергию в кинетическую, должен быть заряжен в этом случае энергией, большей на — AW0, чем в случае Vo = O. 1.7.3. Объяснение механизма эффекта скорости для аппарата с переменной массой При рассмотрении аппарата переменной массы (ра- кеты) необходимо учитывать следующие обстоятельст- ва. Во-первых, напрашивается аналогия системы «ра- кета — рабочее тело» с системой «аппарат — внешний источник», рассмотренной -в разд. 1.7.2. И в этом и в дру- гом случае мы имеем дело с замкнутой системой, обла- дающей внутренней потенциальной энергией. Однако на- лицо и различие: если в системе «аппарат—внешний ис- точник» предполагалось наличие начальной относитель- ной скорости, то в системе «ракета — рабочее тело» на- чальная скорость между ракетой и рабочим телом перед включением двигателя равна нулю. Во-вторых, при анализе системы «аппарат—внешний источник» хотя и предполагалось наличие начальной от- носительной скорости между элементами, однако ниче- го не говорилось, откуда берется эта относительная ско- рость. Наличие этой скорости нам подсказывает, что 66
должна существовать другая сила; которая и осущест- вляет начальный разгон аппарата. Из сказанного ясно, что, исходя только из системы «ракета—рабочее тело», нельзя объяснить эффект ско- рости для аппаратов переменной массы. Он может быть объяснен только путем привлечения третьего, внешнего по отношению к ракетной системе, элемента. Итак, рассмотрим систему, состоящую из ракеты (куда включено и рабочее тело) с массой т0 и притяги- вающего тела (например, Земли) с массой М, которые притягиваются силой F = const. Тогда, согласно интегра- лу энергии (1.63), ракета разгоняется относительно те- ла М до скорости Vq при достижении высоты г0: 2(Л4 4- tnQ) Т/2 ЛЪтг0 ] На этой высоте происходит отделение рабочего тела от ракеты. В момент отделения на ракету действует на- ряду с силой Fp, также сила Р — тяга двигателя, а на рабочее тело — FT и Р. Это позволяет нам разбить пер- воначальную замкнутую систему на две самостоятельные системы: «ракета — притягивающее тело» и «рабочее те- ло — притягивающее тело». В первой системе действует суммарная сила Fp + P, а во второй FT—Р. Эти системы отличаются от ранее рассмотренных только величиной силы и поэтому для их анализа можно воспользоваться интегралом энергии (1.63): тМ т 4- М тгЛ4 т г 4- М ,v“+ №,) + (Л,+р) Р„ = 2 1 V Р 1 ’ ₽ т + М 2 1 ' т ’ 1 тс+ М ^+(?Р+Р)70, ^+(7р-?)4 Раскрывая эти выражения, найдем (Л>+?)Зр (Xr-p)s:r= тМ / АУ’р т 4- М \ 2 Ь Al/pVo) . тгМ / ттг г 4- М \ 2 Ж17о) Эти уравнения по структуре такие же, как и выраже- ния для аппаратов с постоянной массой (1.73). Путь Sp, 3* 67
пройденный ракетой за время действия тяги, зависит от начальной скорости Vo. Он тем больше, чем больше начальная скорость. Поэтому энергия ракеты тем боль- ше, чем больше начальная скорость (без учета энергии, уносимой рабочим телом). В аппаратах переменной массы роль упругой связи между аппаратом и притягивающим центром, аккумули- рующей энергию гравитации, выполняет рабочее тело. В процессе разгона в гравитационном поле рабочее тело приобретает дополнительную энергию, которую оно от- дает ракете во время работы двигателя. В этом заклю- чается механизм эффекта скорости для аппаратов пере- менной массы.
Глава 2 АКТИВНО-ГРАВИТАЦИОННОЕ УСКОРЕНИЕ ОКОЛО ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ПЛАНЕТЫ Возможности научных исследований космоса с по- мощью ракетно-космических комплексов при использова- нии гравитационного маневра облета планет и их спут- ников значительно возрастают. Многие районы Солнеч- ной системы, фактически недоступные для прямой бал- листической схемы полета, оказываются сравнительно легко достижимыми при использовании гравитационного поля промежуточных планет. Рассмотрим энергетические и баллистические исследования космического простран- ства при использовании таких траекторий. 2 1 КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ Идея использования гравитационного поля планеты для «искривления» траектории космического аппарата была впервые развита Хоманом в его работе, посвящен- ной анализу траектории полета по маршруту Земля — Марс — Венера — Земля в 1925 г. [58]. В 1963 г. Мино- вич представил детальный анализ траектории облета планеты Марс с использованием ее гравитационного по-, ля и показал возможность улучшения энергетических характеристик при полете к внутренним планетам Сол- нечной системы — Венере и Меркурию [79] по сравне- нию с обычными схемами полета. В работе [60] было предложено использовать грави- тационное поле Юпитера для уменьшения продолжи- тельности полетов к внешним планетам Солнечной сис- темы. Автор работы [56] обнаружил, что в 70-е годы произойдет довольно редкое астрономическое явление, когда планеты Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун в своем движении по орбите вокруг Солнца займут положение, которое позволит облететь одному космическому аппа- рату все четыре планеты (операция «Большой тур»), за- 69
тратив па такой полет значительно меньше времени,чем в другие периоды полетов. Прямой перелет, например, к Нептуну по баллисти- ческой траектории потребует 30 лет, а операция «Боль- шой тур» займет лишь 9 лет. В работе [62] выполнен детальный анализ траекторий облета четырех планет по программе «Большой тур», причем исследованы две схемы полета при запуске в 1977 г.: одна схема с проле- том по внутренней стороне колец Сатурна и другая -- с пролетом по внешней стороне колец. Численный анализ траекторий облета внешних планет с использованием гравитационных полей промежуточных планет выполнен также в [79]. Обнаружено преимущест- во схем облета двух или трех планет (а не четырех) при запуске космического аппарата во второй половине 70-х годов. Это — схемы с облетом планет Юпитер — Уран — Нептун при запуске космического аппарата в 1978 и 1979 гг. и облет планет Юпитер — Сатурн — Плутон при запуске космического аппарата в 1977 г. Траектории полета к Марсу по маршрутам Земля — Марс — Венера — Земля и Земля — Венера — Марс — Земля с ускорением в гравитационном поле Венеры бы- ли рассмотрены в работах [76, 79] с целью снижения скорости входа в атмосферу Земли. Анализ проводился для траекторий полетов со стартом в период 1971 — 1999 гг. В работе [59] были рассмотрены полеты по маршрутам Земля — Марс и Марс — Земля с активно- гравитационным маневром у Венеры и с аэродинамиче- ским торможением у Земли и Марса. Для таких одно- сторонних полетов было показано, что небольшой актив- ный маневр у Венеры (порядка сотен м/с) в некоторых случаях позволяет снизить энергозатраты и расширить «окно» дат старта по сравнению со случаем пассив- ного маневра. В работах [69, 79, 80] показана большая эффектив- ность гравитационного ускорения у Венеры при по- лете к Меркурию по сравнению с прямым полетом (сни- жение импульса скорости с 5 ... 7 км/с до ~4 км/с). Ин- тересные результаты получены в работах [20, 48, 54, 68] по использованию гравитационного поля Юпитера для ускорения солнечного зонда и для выхода из плос- кости эклиптики. Авторы работ [13—15, 17—19] ис- следовали ускорение космического аппарата Луной для выхода на стационарную орбиту вокруг Земли и возвра- 7о
щения КА на Землю после облета Луны, а в работе [71] рассмотрена возможность осуществления захвата косми- ческого аппарата Юпитером путем облета его спутников. В монографии [42] дано достаточно полное изложение схем полетов и фактического материала по активно-гра- витационным маневрам около промежуточных планет. Во всех перечисленных работах четко показано, что гравитационный (или, как говорят некоторые авторы, «пертурбационный») маневр приводит или к существен- ному уменьшению энергетических затрат, или к сокраще- нию времени выполнения космических полетов или к совместному улучшению обоих факторов по сравнению с обычными схемами полетов. 2.2. ПРИНЦИП АКТИВНО-ГРАВИТАЦИОННОГО УСКОРЕНИЯ ПРИ ПРОЛЕТЕ ОКОЛО ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ПЛАНЕТЫ Полет в заданную точку космического пространства (например, к Солнцу или к другой планете) может быть осуществлен двумя способами: по прямой одноимпульс- ной траектории и по траектории, проходящей через про- межуточную планету (спутник планеты). Преимущество второго способа заключается в том, что при выполнении некоторых космических полетов гравитационное поле промежуточной планеты помогает «искривлять» траек- торию полета таким образом, что при движении по этой траектории космический аппарат достигает назначен- ного пункта и быстрее, и с меньшими затратами топли- ва, чем по прямой траектории. Рассмотрим, как происходит ускорение космического аппарата при пролете через гравитационное поле проме- жуточной планеты. На рис. 2.1 изображена геометрия облета промежуточной планеты. Из этого рисунка отчет- ливо видно, как происходит воздействие гравитационно- го поля планеты на космический аппарат. Скорость про- межуточной планеты в момент входа КА в ее сферу дей- ствия равна КПр. Аппарат в момент входа в сферу дей- ствия планеты имеет гелиоцентрическую скорость Увх. Значит, планетоцентрическая скорость его на границе сферы действия будет равна uBX=VBX—1%. Облетев промежуточную планету по гиперболе, аппа- рат в момент выхода из сферы действия будет иметь скорость t/вых относительно планеты. Эта скорость по величине равна ] ивх |, а по направлению повернута отно- 71
Рис. 2.1. Геометрия облета промежуточной планеты: /—пассивный облет; 2—облет с приложением импульса скорости сительно u]iX на угол у. Складывая ивых со скоростью Упр в момент выхода КА из сферы действия планеты, получим гелиоцентрическую скорость аппарата, равную ^вых ^вых “I- К.р- Скорость 1/вых отличается от VBX по величине и на- правлению. Вычитая эти два вектора, получим величину изменения гелиоцентрической скорости аппарата Д^=^вых-^вх. Таким образом, гравитационное поле действует на аппарат подобно двигателю-ускорителю. Поэтому этот процесс будем называть гравитационным ускорением. Импульс скорости AV, который сообщается КА, по суще- ству, без расхода топлива, позволяет состыковать вы- годные гелиоцентрические (планетоцентрические) тра- ектории полета от Земли до промежуточной планеты и от нее до цели. 72
Если в какой-то точке облетной гиперболы прило- жить импульс скорости ДЕа (активное ускорение) (см. рис. 2.1), то получим активно-гравитационное ускорение аппарата. В этом случае планетоцентрические скорости ивх и «вых будут отличаться не только по направлению, но и по величине. В результате количество стыкующих- ся выгодных траекторий возрастет. Величина приращения скорости AV и его направление зависят от величины скорости wBX и расстояния наиболь- шего сближения космического аппарата с промежуточной планетой. Расстояние наибольшего сближения с плане- той может регулироваться либо за счет надлежащего выбора времени прохождения сферы действия планеты, либо за счет приложения небольших корректирующих импульсов в то время, когда приближающийся аппарат находится относительно планеты, по существу, еще на «бесконечности». Результирующее действие такой кор- рекции состоит в параллельном переносе вектора ив^. Производя эту операцию, аппарат может подойти к сфе- ре влияния с любой стороны от планеты.' В результате получится поворот скорости иВых как по часовой, так и против часовой стрелки. При фиксированной величине вектора ивх расстояние наибольшего сближения может изменяться только в не- которых пределах, поскольку планета имеет конечные размеры. Таким образом, отклонение вектора VBbIX изме- няется от нуля, когда аппарат не проходит через сферу влияния планеты и планетоцентрическая гипербола вырождается в прямую линию, до некоторого максималь- ного значения, когда аппарат «скользит» по поверхности планеты. Рассмотрим теперь случай, когда векторы VBX и VBbIX являются фиксированными, например, при требовании, чтобы траектория перелета начиналась у Земли и воз- вращалась к Земле или соединялась с третьей планетой. Из-за ограниченных возможностей чисто гравитацион- ного ускорения переход от VBX и Увых будет невозмож- ным без тяги ракетных двигателей. Поскольку скорость аппарата увеличивается во время сближения с планетой, приложение этой тяги будет наиболее эффективным при движении по гиперболической траектории вблизи плане- ты (сказывается эффект скорости) и не будет эффек- 73
В) Рис. 2.2. Схемы плоских переходов тивным, пока движение является гелиоцентрическим. При заданных УПр, Увх и Увых задача перехода от Увх К Увых становится задачей преобразования вектора wBX в вектор скорости иВЬ1Х, причем эти векторы в общем случае не равны по величине. Переход происходит пол- ностью в пределах сферы влияния планеты и является фактически переходом между асимптотами двух плането- центрических гипербол. В общем случае переход между гиперболами может быть одноимпульсным и многоимпульсным, плоским (компланарным) и пространственным [59]. Примеры од- но,импульсных плоских переходов показаны на рис. 2.2. Суммарный угол поворота от wBX к wBbiX никогда не должен превышать 180°, поскольку в противном случае переход м-ожно выполнить более удобным способом с противоположной стороны планеты, как показано на рис. 2.2. На этом рисунке фактическая траектория аппа- 74
6) Рис. 2.3. Векторные диаграммы для пространствен- ного перехода рата изображена сплошной кривой, а продолжение каж- дой гиперболы указано пунктирной линией. При первом способе перехода от ивх к ивых (рис. 2.2, а) требуется поворот вектора скорости против часовой стрелки на угол, больший 180°. Во втором случае (см. рис. 2.2, б) асимптота входящей гиперболической траектории пере- несена параллельно самой себе посредством предвари- тельной коррекции таким образом, чтобы получить в ре- зультате поворот вектора скорости по часовой стрелке, что является, несомненно, более выгодным по сравнению с первым случаем. Аналогичные соображения примени- мы и к рис. 2.2, виг. Таким образом, гиперболы всегда можно выбрать так, чтобы угол перехода не превышал 180°. В этом случае существует всего лишь одна точка пересечения, в которой можно выполнить переход. При повороте на 180°, входящая и выходящая асимптоты яв- ляются параллельными, однако и в этом случае имеется всего лишь одно пересечение. Что изменится, если векторы гелиоцентрических ско- ростей VBX, 1/Вых и 1/пр являются некомпланарными. В этом случае результирующая векторная диаграмма име- ет вид, показанный на рис. 2.3, т. е. переход является пространственным. Однако, если даже в гелиоцентричес- ком пространстве задача является трехмерной, то в сис- теме координат, связанной с планетой, ее всегда можно свести к плоской задаче. Это преобразование поясняется на рис. 2.3, б. Векторы ивх и цВых представляют гиперболические избыточные скорости, необходимые для выполнения пе- рехода от VBX к 1/Вых (см. рис. 2.3, а). Точка F является центром притяжения и поэтому должна совпасть с фоку- 75
сом гипербол. С помощью предварительной коррекции вектор ивх может переноситься в пространстве произ- вольно, поскольку его новая линия действия параллель- на первоначальной. То же самое относится и к вектору ^вых, хотя его коррекция должна производиться уже после облета. Следовательно, плоскость, проходящую через эти два вектора, можно переносить параллельно самой себе, пока в нее не попадет точка F. Переход те- перь будет компланарным. Маневры перехода могут совершаться, разумеется, в нескольких плоскостях, но в этом случае обязательно потребуются более высокие импульсы скорости, что де- лает такие переходы нецелесообразными. 2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСА СКОРОСТИ АКТИВНО-ГРАВИТАЦИОННОГО МАНЕВРА Методика определения импульса скорости активно- гравитационного маневра изложена в работах [15, 42, 48 и др.]. Геометрия одноимпульсного перехода между асимп- тотами гиперболических орбит иллюстрируется рис. 2.4. Гиперболическая избыточная скорость ивх гиперболы сближения S—В—S' направлена вдоль входящей асимп- тоты S—B. В точке Т выполняется компланарный пере- ход к гиперболе Р—С—Р', определяющей суммарный угол поворота у между ивх и ^Вых- В рассматриваемом примере аппарат переходит с входящей ветви первой гиперболы на входящую ветвь второй гиперболы. Переход может иметь место также между входящей и выходящей ветвями, между выходя- щей и входящей ветвями и между выходящей и выходя- щей ветвями гипербол. Полный угол поворота при маневре перехода у пред- ставляет собой сумму угла £ между двумя входящими асимптотами и угла разворота 2гр2 второй гиперболы yM + 2-Ь (2.1) Исходя из геометрических соотношений рис. 2.4, мож- но показать, что для переходов каждого типа существу- ет равенство: 3 = ф1 — — (2. 2) Истинные аномалии и $2 являются, по определе- нию, положительными при повороте от оси симметрии по 76
Рис. 2.4. Геометрия маневра перехода между гипер- болическими орбитами часовой стрелке и отрицательными при повороте против часовой стрелки. Объединяя уравнения (2.1) и (2.2), не- зависимо от типа перехода получим 7=Ф1 +Ф2 + ^2 — ^1- (2. 3) Если уравнение (2.3), выведенное на основе геомет- рических соотношений задачи перехода, использовать совместно с нормальными выражениями для угла накло- на траектории, скорости и истинной аномалии коническо- го сечения, то в результате можно получить выражение для импульса скорости от тяги двигателя AVa в функции от двух независимых переменных ф! и ф2. Из рис. 2.5 можно видеть, что после приложения им- пульса ДЕа вектор скорости соответствующий гипер- боле сближения, преобразуется в вектор V2, соответст- вующий гиперболе удаления. Угол а между и V2 пред- 77
Рис. 2.5. Векторная диаграмма перехода ставляет собой разность углов на- клона траектории 0! и 02, откуда можно легко определить величину Л Га ДИа=(И-|-И2-21^2 cos а)1/2, (2.4) где сс = 02—(2.5) Оставшиеся выражения можно существенно упростить, если в каче- стве независимых переменных вы- брать углы гр! и i|)2. Если большую ось гиперболы выразить соотноше- нием a=\x/V2oo, то углы 0 и О можно записать как cos 0 =--------------------- и cos & = sin Ф | -—s-U-11 , Ц^/^Ф ) где Гос — {iZjjy, ^вых} • Скорость V на траектории зависит от г и а щим образом: (2.6) (2.7) следую- (2. 8) перемен- Исключая из уравнений (2.3) — (2.8) все ные, кроме tpi и гр2, получим в результате с. уравнения: ДVa = (У/2 Г1 Ч-—+ -_________2(й1М>1/2— X \ «1 / L «2 rlax (r/atf tg Ф1 tg ф2 x(l+[[^(2+^tg2^1-ll[-C.(2+^)tg2<p2-ll]I/2'|l1/2, \ (L«l \ «1/ J L «2 \ «2/ JJ /J (2.9) Atr/arf + Btf/aJ+C^O, (2.10) где коэффициенты А, В и С квадратного (относительно rx/tz) уравнения (2.10) имеют вид А = [cos (у — ф; — ф2) — sin Фх sin ф2]2 — cos2 Фх cos2 ф2, В = [cos (у - W tg’ + tg’ fe) - L tgфltgф2 \«1 / 78
— ( — COS2 <|»2 + COS2 Ф1И ’ \ el ) J . Q COS Ф1 COS ф2 pin Ф1 / cos Ф2 \2_|_ sin 4*2 /CQS Ф1 \2 tg Ф1 tg Ф2 I sin ф2 \ Л1 cos фх J sin ф! \Cos Ф2 / — 2 — cos (у — Ф1 — ф2)1 • Л1 J Если решить уравнение (2.10) отно-сительно г/аь то задача сводится к решению одного уравнения с двумя независимыми переменными ф1 и *ф2. Кроме того, выра- жая с помощью уравнения (2.9) зависимости дуа /g1MZa2V''2 ГМ2Х г ^ВХ \ И / И решение можно выразить только через два исходных па- раметра: а2/Л1 [или (г/вхМвых)]2 и у. Таким образом, за- дача оптимизации становится независимой от гравитаци- онной постоянной планеты и начальной планетоцентриче- ской скорости ивх. Если импульс тяги прикладывается в перицентре ги- перболы по касательной к траектории, то уравнения для вычисления импульса скорости ДЕа можно существенно упростить. В этом случае #1 = 02 = 0, следовательно, Г _ (Л2М1) (sin ф2/з{п Ф1) (tg2 ф2^2 Ф1) — 1 tg2 Ф1 [(sin ф2/з1п фО — 1] У = Ф1 + Ф2. sin 4»! (----i--------Й= 1. \ (Г/Л1) tg2 ) Исключая г/ах из уравнений (2.11) и (2.12), получить выражение, связывающее ф1 и ф2: sin ф2 (2.Н) (2. 12) МОЖНО (2. 13) sin Ф1 (^1М2) + [1 — (M^i)] sin ф2 Наконец, требование тангенциальности импульса тяги выражается как cos 0i = cos 02 и формула ДЕа/цвх приво- дится к виду Из уравнений (2.12) и (2.13) находим уравнение связи • / , \ sin ф2 sin (у — ф2) =--------------—-----------: (аъ[ах) + [1— (^2/^1)] sin ф2 79
Рис. 2.6. Схема одноимпульсных переходов: /—оптимальные; 2— перицентральные Типичные зависимости импульса скорости АУа от па- раметров г, ивх, z/вых, Y показаны на рис. 2.6, 2.7, 2.8. Одноимпульсный переход дает приемлемое решение задачи только в том случае, если расстояние наиболь- шего сближения с планетой больше радиуса промежу- точной планеты или верхней границы атмосферы. Если это условие не соблюдается, то необходимо искать огра- ниченное оптимальное решение. Следует иметь в виду также такую постановку задачи, когда для конкретного перелета заданное расстояние наибольшего сближения с планетой само по себе является одним из пунктов про- граммы полета. Графики на рис. 2.6—2.8 дают хорошее представление об оптимальных переходах и о переходах с ограничением расстояния наибольшего сближения с планетой. Анализ этих кривых показывает, что каждая сплош- ная кривая, соответствующая постоянному значению отношения цВых/^вх, имеет горизонтальную асимптоту при стремлении параметра к бесконечности. Эти асимптоты определяются уравнением АГа ___Г/Цзых\2 | 1 ^вых ^вх L\ ^вх / ^вх J Таким образом, условия перехода приближаются к таким, при которых импульс тяги прикладывается на 80
Рис. 2.7. Схема одноимпульсных переходов: /—оптимальные; 2—перицентральные бесконечности (за пределами сферы влияния) и встречи с промежуточной планетой не происходит. При более близком подходе к планете импульс скорости AVa/^nx сначала уменьшается до минимума, а затем снова начи- нает увеличиваться. Но прежде чем достигается мини- мум, кривые проходят через точки, соответствующие пе- рицентральным переходам, геометрическое место кото- рых обозначено пунктирной линией. Если требуются еще большие сближения, импульс скорости AVa/wBX нужно снова увеличивать до тех пор, пока при rKti2ax/^ = 0 кри- вые не приблизятся к горизонтальной асимптоте. Эта асимптота соответствует гиперболе с единичным эксцент- риситетом, проходящей через фокус, с последующим (или предшествующим) приложением импульса на бесконеч- ности для выполнения требуемого поворота вектора ги- перболической скорости. Величина импульса скорости при /'^вх/н,=® выражается формулой _^а. = Г/ИЛ1«')2+1-|-2^“-х COSyT/2. ^вх L \ ^вх / ^вх J Интересная особенность этих решений заключается в том, что область, лежащая справа от линии перицент- ральных переходов при у = 90°, содержит только перехо- ды на: выходящих ветвях обеих гипербол. Таким обра- зом, аппарат приближается к планете по входящей вет- ви гиперболы и не совершает перехода на вторую гипер- 81
Рис. 2.8. Схема одноимпульсных переходов: /—оптимальные; 2—перицентральные болу до тех пор, пока не пройдет через перицентр пер- вой. Слева от линии перицентральных переходов лежит область, соответствующая области на входящих ветвях гипербол, которая включает в себя и линию оптималь- ных переходов. Это свидетельствует о том, что все опти- мальные переходы являются переходами на входящих ветвях, если отношение иВых/иВх>1- При цВыхМвх<1 эти области меняются местами. Кривая, соответствующая цВыхМвх=1, представляет особый интерес, поскольку в качестве предельной точки она содержит точку, характеризующую облет промежу- точной планеты по гиперболической траектории без при- ложения тяги, т. е. ДКа/цвх = 0. Существенно, что геомет- рические места точек, соответствующих как оптималь- ным, так и перицентральным переходам, при ^ВыхМвх~>1 в качестве предельной, имеют ту же самую точку. Когда это отношение равно единице, то приложение импульса тяги во время облета теряет смысл, поскольку изменять гиперболическую скорость не требуется. Тем не менее и в этом случае происходит облет планеты, который удов- летворяет по крайней мере требованию изменения на- правления движения от цвх к ЦВых- Так как импульс мо- жет прикладываться как до, так и после облета, то это решение не нарушает правила, по которому определяют- ся области перехода на входящих или выходящих ветвях обеих гипербол. 82
Анализ влияния угла поворота скорости ивх показы- вает, что при углах у<90° происходит равномерное воз- растание параметра, характеризующего расстояние наи- большего сближения, при стремлении у к нулю. Отме- тим также, что геометрическое место точек перицент- ральных переходов постепенно сдвигается вправо до тех пор, пока при у = 0 такие переходы не станут соот- ветствовать rKzzBx/p- = сю. Для углов поворота у>90° имеет место обратная тенденция, т. е. параметр гкивхцх уменьшается, а линии перицентральных переходов сдви- гаются влево. При у=180° этот процесс достигает предела, когда точка <ДУаМвх = 0 доходит до точки Гк«вх/р- = 0, причем геометрические места точек оптимальных, а также пери- центральных переходов также стягиваются в эту точку. Кривые при всех отношениях ивых/ивх выходят из начала координат, а импульс скорости монотонно возрастает с увеличением расстояния сближения. 2.4. ФОРМИРОВАНИЕ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ Гелиоцентрический участок траекторий определяет энергетические затраты на выведение космического ап- парата на межпланетные траектории, продолжитель- ность полета и даты старта. На практике при определении гелиоцентрической тра- ектории КА принимают следующие допущения, упроща- ющие процесс оптимизации схемных решений и основных параметров траекторий: 1) предполагается, что сферы действия планет стяну- ты в точки, а их гравитационные поля отсутствуют; 2) траектория разбивается на участки конических се- чений сферами действия планет; участки траекторий от Земли к планете-ускорителю и от планеты-ускорителя к планете назначения — эллиптические; 3) элементы орбит на гелиоцентрических участках считаются постоянными; 4) активно-гравитационное ускорение эквивалентно импульсному приращению вектора гелиоцентрической скорости аппарата; 5) стыковка гелиоцентрических и припланетных уча- стков осуществляется по векторам скоростей из условия равенства относительной гелиоцентрической скорости ап- 83
парата и скорости его «на бесконечности» (вне сферы действия) у планеты, т. е. ^отн.а== == а• Эти допущения при облете планет земной группы являются вполне приемлемыми и не приводят к большим ошибкам в определении энергетических затрат полета. Для схем, предназначенных для облета Юпитера, .весьма существенным допущением является четвертое, ввиду значительной протяженности его сферы действия. По- этому при более тщательных расчетах отдельных траек- торий космических аппаратов, предназначенных для об- лета Юпитера, необходимо учесть конечность сферы действия и длительность активно-гравитационного ма- невра. Обозначим планету старта Рст, планету цели >РЦ и промежуточную планету Рпр, маршрут Рст——Рц- Около планеты Рст аппарату сообщается импульс ' ско- рости AVCT, около промежуточной планеты — импульс ДVa и около Рц происходит либо пассивный пролет, либо импульсный переход на другую траекторию. Будем выбирать из всех возможных такие траекто- рии для каждой схемы, которые обеспечивают минимум энергозатрат, т. е. суммы разгонного импульса с орбиты искусственного спутника Земли ДУСт, импульса при обле- те промежуточной планеты ДУа и импульса около пла- неты цели ДУЦ: ДУ = ДУст + АУа + ДУц=тт. (2. 14) При определении оптимальных траекторий наиболее удобно за независимые параметры принять набор астро- номических дат старта, облета и финиша, т. е. вектор дат T(T\, Т2, Т3). Задание произвольного Т(Т3>Т2>1\) поз- волит вычислять координаты планет и, решив последова- тельно уравнения Ламберта — Эйлера [34], определить затем элементы орбит перелета от планеты к планете. Далее можно найти относительные (планетоцентричес- кие) скорости аппарата ивх и ивых и перейти к решению задачи оптимизации активно-гравитационного ускорения (см. разд. 2.3). В результате расчетов определится зна- чение критерия (2.14). Оптимизация траектории состоит в варьировании век- тором Т с целью получения минимума ДУ (2.14)? с уче- том ограничений, накладываемых как на Т, так ина ус- 84
ловия проведения активно-гравитационного маневра. Выбор вектора Т в качестве управляющего обеспечивает минимальную размерность задачи. Положение космического аппарата или планеты в пространстве в любой момент времени можно определить, если известны шесть элементов: 1) долгота восходящего узла орбиты Q; 2) наклонение плоскости орбиты к плос- кости эклиптики г, 3) долгота перицентра л; 4) большая полуось орбиты а\ 5) эксцентриситет орбиты е; 6) время прохождения через перицентр т. Элементы Q и i определяют положение плоскости ор- биты в пространстве относительно выбранной системы координат. Элемент, л определяет положение в плоскос- ти фокальной оси. Элементы а и е характеризуют энер- гетику орбиты и ее форму. Элемент т позволяет опреде- лить положение космического аппарата или планеты на орбите в любой момент времени. Определение этих элементов связано с решением трансцендентных уравнений и, как правило, решаются подобного класса задачи с применением численных ме- тодов на быстродействующих ЦВМ. (Основные методы решения изложены в книгах по небесной механике и кос- мической баллистике). 2.5. ПОЛЕТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ВЕНЕРЫ Гравитационное поле планеты Венера может быть использовано для ускорения космических аппаратов при полете к другим планетам Солнечной системы и для ус- корения различных зондов для исследования околосол- нечного и внеэклиптического пространства. Рассмотрим особенности полета к планетам Марс и Меркурий с использованием гравитационного поля Ве- неры. 2.5.1. Полет к Марсу На мысль о возможности использовать гравитацион- ное поле Венеры при полете к Марсу наталкивают сле- дующие соображения: 1) в схемах ускоренного полета КА обычно или захо- дит внутрь орбиты Венеры, или проходит близко от Ве- неры либо на участке полета к Марсу, либо на участке возвращения к Земле; 85
Рис. 2.9. Схемы маршрутов полета к Марсу через Венеру: а—маршрут Земля — Марс — Венера — Земля; б—мар- шрут Земля — Венера — Марс — Земля 8G
2) гравитационное поле Вене- ры достаточно мощное, чтобы зна- чительно ускорить или замедлить космический аппарат; 3) угловая скорость движения Венеры больше, чем угловая ско- рость движения Марса, поэтому, используя гравитационное поле Венеры, можно получать траек- тории с большей или меньшей энергией; 4) в трехимпульсной схеме ус- коренного полета к Марсу второй реактивный импульс дается, как правило, вблизи орбиты Венеры, это наталкивает на мысль заме- Рис. 2.10. Зависимость суммарного импульса скорости A Vs от даты старта Рст для различ- ных продолжительностей полетов Т% нить второй реактивный маневр ускорением космического аппара- та от гравитационной норы. Рассмотрим (рис. 2.9) при орбиты ИСЗ с ного импульса КА тормозным импульсом скорости АУтм переводится на орбиту искусственного спутника Марса (ИСМ). На этой орбите он находится определенное время /Ож, затем с по- мощью разгонного импульса скорости АКСтм уходит с орбиты ИСМ. При возвращении к Земле осуществляет атмосферный спуск, если скорость перед входом в атмо- сферу Земли меньше предельно допустимой УПред- силы Ве- полета круговой схему старте с помощью разгон- скорости АУстз- По достижении Марса Если 'скорость аппарата больше Упред, то ему сообща- ется тормозной импульс скорости АУт.вх, который гасит ее до Упред. Полет осуществляется так, что аппарат либо на участке Земля — Марс, либо на участке Марс — Зем- ля проходит через гравитационное поле Венеры, т. е. ап- парат летит либо по маршруту Земля — Венера — Марс — Земля, либо Земля — Марс — Венера — Зем- ля. Около Венеры в перицентре облетной гиперболы КА сообщается активный импульс скорости ДУа- (Будем для краткости называть описанный маршрут полетом «через Венеру»). Таким образом, во время полета к Марсу через Вене- ру космическому аппарату в общем случае сообщается 87
Z , км/с Рис. 2.11. Зависимость суммарного импульса скорости AVE от продолжительности полета Тъ пять импульсов: один на орбите ИСЗ, два на орбите ИСМ, один при облете Венеры и один — перед входом в атмосферу Земли. При оптимизации траекторий полета в качестве кри- терия принята сумма указанных импульсов скорости. Ес- ли траектории полета разбить на участки сферами дей- ствия планет, временами движения в них пренебречь и предположить, что импульсы сообщаются в перицентрах планетоцентрических гипербол, то суммарный импульс скорости в полете к Марсу через Венеру будет зависеть от четырех свободных параметров: даты старта DCT, пол- ной продолжительности полета ТЕ, времени перелета на участке Земля — Марс /3-м и на участке Земля — Ве- нера (либо Марс — Венера) /з-в. Эти параметры одно- значно определяют величины требуемых импульсов ско- рости и характеристик траектории полета. На рис. 2.10 приведены зависимости ДУЕ от даты старта DCT при фиксированных ТЕ для полета по марш- руту Земля — Венера — Марс — Земля в период 1978— 1979 гг. Как видно, существует оптимальная продолжитель- ность полета Т^, при которой ДЕе =min. По этим минимальным значениям на рис. 2.11 пост- роены зависимости ДУЕ от полной продолжительности полета 7\. Здесь же приведены аналогично полученные зависимости ДКВ(7\) для других периодов полетов. На рис. 2.12 для каждого оптимального полета к Марсу через Венеру в период 1975—1986 гг. нанесена за- висимость ДЕе (Dct), соответствующая оптимальным да- там старта. Для сравнения даны аналогичные кривые для прямых полетов по маршруту Земля — Марс — Земля. 88
км/с Рис. 2.12. Зависимость суммарного импульса ско- рости AVe от даты старта полета к Марсу для оптимальных продолжительностей полетов в ин- тервале 1975—1986 гг. [42]: -----прямой полет; ---полет через Венеру При расчетах приняты: начальная высота круговой орбиты ИСЗ — 300 км, высота перицентра орбиты ИСМ — 1000 км, высота апоцентра — 20000 км, время ожидания на орбите ИСМ — 30 сут, предельная скорость входа в атмосферу Земли — 15,5 км/с. Из графиков видно, что полет через Венеру требует меньшего суммарного импульса скорости, чем прямой полег по маршруту Земля — Марс — Земля. В небла- гоприятный для прямых полетов период 1975—1984 гг. полет через Венеру позволяет снизить суммарный им- пульс скорости AVS в среднем на 40%. Недостаток прямого полета — сильная зависимость суммарных импульсов скорости от даты старта. Так, в интервале 1975—1986 гг. суммарный импульс скорости принимает значения от 17,8 км/с (дата старта — конец 1977 г.) до 9,6 км/с (дата старта — начало 1986 г.), т. е. разница в значениях AVS равна ~ 8,2 км/с. Иначе обс- тоит дело при полете через Венеру. Здесь разница в значениях AVS незначительна (~2.3 км/с), суммарный импульс скорости изменяется от 11 км/с (дата старта — начало 1977 г.) до 8,7 км/с (дата старта — начало 1985 г.). Причем, если исключить полет 1977—1978 гг., уровень суммарного импульса скорости равен 9 ... ... 10 км/с, т. е. почти одинаков для всех дат старта. Это — еще одно преимущество полета через Венеру, ко- 89
Рис. 2.13. Скорость входа в атмосферу Земли при полете по оптимальным траекториям (1975—1986 гг.): |^|—полет через Венеру; [] —прямой полет торое позволяет создать межпланетный корабль, универ- сальный для значительного диапазона дат старта. При полете к Марсу через Венеру около Венеры со- вершается активно-гравитационный маневр. Импульс скорости, сообщаемый в общем перицентре облетных гипербол, невелик (не превышает 250 м/с) и может быть отнесен к разряду корректирующих. Несмотря на это, роль импульса очень велика. Во-первых, благодаря ему возрастает число возмож- ных выгодных межпланетных траекторий и, во-вторых, он обеспечивает приемлемое «окно» дат старта. Отклонение от номинальной даты старта в полете через Венеру на ±15 ... 20 суток увеличивает суммарный импульс скоро- сти не более чем 'на 0,5 км/с. Значительное сокращение суммарного импульса ско- рости при полете через Венеру происходит в основном за счет уменьшения скорости входа в атмосферу Земли. На рис. 2.13 показаны величины скоростей КА перед входом в атмосферу Земли для полетов через Венеру и для пря- мых полетов. Как видно, во всех прямых полетах эта скорость равна 15,6 ... 21,6 км/с, т. е. превышает Кпред^ = 15,5 км/с, а в полете через Венеру эта скорость :в сред- нем равна 12 ... 13,6 км/с (только в полете 1978 и 1997 гг. Квх~ 15,4 км/с), что позволяет отказаться от торможе- ния перед входом в атмосферу Земли. На рис. 2.14 изображены величины импульсов скоро- стей для обоих маршрутов. Сравнение показывает, что разгонные импульсы скорости у Земли и тормозные у Марса для того и для другого маршрута лежат в пре- 90
Рис. 2.14. Зависимость составляющих от даты старта: а—прямой полет; б—полет через Венеру; Г]—уход с ор- биты ИСЗ; |^| —выход на орбиту ИС Марса; |Н| —уход с орбиты ИС Марса; |—торможение перед входом в ат- мосферу Земли делах 3,6 ... 4,7 и 2 ... 3,5 км/с соответственно. Разгонный же импульс скорости у Марса в полете через Венеру в среднем на 1,5 ... 2,0 км/с меньше, чем пр>и полете по прямой схеме. Основной недостаток полетов к Марсу через Венеру— увеличение их продолжительности. Наибольший про- игрыш во времени в полетах 1977—1978 гг. равен 120 суткам, наименьший проигрыш в полетах 1984—1985 гг.— 20 суткам. Основные характеристики выделенных оптимальных полетов по прямому маршруту и через Венеру приведе- ны в табл. 2.1. Преимущество схем полета через Венеру появляется не только при полетах к Марсу с выходом на орбиту ИСМ, но также и при безостановочных у Марса полетах. Для иллюстрации сказанного на рис. 2.15 приведены им- пульс скорости ДИ (а) и 'скорость входа (б) в атмосфе- ру Земли при совместном облете Венеры и Марса с воз- вращением к Земле. Видно, что использование гравита- 91
g Таблица 2,1 Характеристики оптимальных полетов к Марсу Дата старта Маршрут я <1 m я (Я <1 00 О S св CJ S х 2 св £ О S V вх. без торм g оз о и. 29.08.75 г. 3—М—В—3 9,62 13,35 530 0,01 I860 4,03 2,46 3,12 0 13,35 6,83 0,54 18.08.75 г. 3—М—3 17,00 15,50 450 — — 4,61 3,51 4,33 4,55 20,05 7,83 0,53 26.02.77 г. 3—В—М—3 11,04 15,38 570 0,21 1240 4,74 2,88 3,22 0 15,38 7,23 0,70 14.10.77 г. 3—М-3 17,80 15,50 450 — — 3,98 2,95 4,73 6,14 21,64 7,30 0,44 22.11.78 г. 3—В—М—3 9,93 13,64 510 0,05 1610 4,20 3,36 2,32 0 13,64 7,69 0,57 08.11.79 г. 3—М—3 15,87 15,50 470 — — 3,74 2,34 4,79 5,00 20,50 6,75 0,45 15.01.82 г. 3-М—В-3 8,99 12,90 550 0,05 5950 3,75 1,47 3,72 0 12,90 5,90 0,60 31.12.81 г. 3—М—3 13,24 15,50 450 — — 3,65 2,37 4,52 2,70 18,20 6,74 0,54 22.02.84 г. 3—М—В—3 10,24 13,70 450 0,17 8050 3,57 2,27 4,23 0 13,70 6,70 0,60 02.03.84 г. з-м-з 10,88 15,50 430 — — 3,80 2,55 3,93 0,60 16,10 6,90 0,61 27.03.85 г. 3-В—М—3 8,74 11,97 530 0,82 4950 3,91 2,99 1,84 0 11,97 7,34 0,60 11.04.86 г. 3—М—3 9,57 15,50 450 — — 3,56 2,11 3,76 0,10 15,60 6,50 0,65 Примечание. В таблицах приняты следующие сокращения: 3—Земля, В—Венера, М—Марс, Me—Меркурий, Ю—Юпитер, С—Сатурн, У—Уран, Н—Нептун, П—Плутон. Обозначения: ДУ а~суммарный импульс скорости, км/с; Увх—скорость входа в атмосферу Земли (торможение до 15,5 км/с), км/с; Т^—продолжительность полета, сутки; ДУа— импульс скорости у Венеры, км/с; /г—высота пролета у Венеры, км; ДУИСЗ~разгонный импульс скорости у Земли, км/с; Д^ИСМ вх—ТОРМОЗНОЙ импульс скорости у Марса, км/с; Д^ИСМ вых-разгонный импульс скорости у Марса, км/с; ДУТ—тормозной импульс скорости перед входом в атмосферу Земли, км/с; Увх без торм—скорость входа в атмосферу Земли перед’ торможением, км/с; Уатм—возможная скорость в атмосфере Марса, км/с; г0—наименьшее расстояние от Солнца, а. е.
а) Рис. 2.15. Влияние использования гравитационного поля Венеры на импульс скорости и скорость входа в атмосферу Земли при безостановочных облетах Марса: |5|—прямой полет; |^|—полет через Венеру — импульс скорости старта у Земли; J—активный поворот у Марса) ционного поля Венеры особенно выгодно в те годы, ког- да импульсы, скорости входа очень велики. 2.5.2. Полет к Меркурию Задача отыскания энергетически оптимальных тра- екторий маршрута Земля — Венера — Меркурий вклю- чает задачу о межпланетном перелете между планета- ми Земля, Венера и Меркурий (внешняя задача) и за- дачу определения импульса маневра внутри сферы дей- ствия Венеры (внутренняя задача). При решении задачи о межпланетном перелете полу- чаются векторы пла-нетоцентрических скоростей косми- ческого аппарата ивх и ивых. Эти векторы полностью определяют положение плоскости облета в сфере дейст- вия Венеры (см. разд. 2.2). Величина импульса манев- ра при заданных ивх и иВыХ и угле между ними у зави- сит, как было показано в разд. 2.3, от углов хр! и фг, ко- торые могут быть заменены перицентральными расстоя- ниями Гквх и г^вых входной и выходной гипербол облета. Задача оптимизации импульса облета сводится к оп- ределению оптимальных значений г™х и гТСВыХ» при ко- торых величина активного импульса скорости AVa мини- мальна. 93
За критерий оптимальности для траекторий пролета Меркурия с активно-гравитационным маневром у Вене- ры принята Vs = ДУст+Л^а, где AVCT — характеристи- ческая скорость старта с круговой орбиты ИСЗ; ДУа — активный импульс скорости маневра в сфере действия Венеры. Задача 'Оптимизации гелиоцентрической траектории облета двух планет является трехпараметрической: дата старта с Земли, /п~в — время полета от Земли до Венеры; /®~Ме—время полета от Венеры до Меркурия. Известно, что оптимальные даты стартов к планетам циклически повторяются. Оценку интервала цикличности (повторение относительного благоприятного расположе- ния планет) полетов по маршруту Земля — Венера — Меркурий можно провести в предположении, что орбиты планет компланарные и круговые. В этом случае циклич- ность — суммарный синодический период Тс — может быть определен лишь приближенно, как приближенное значение общего наименьшего кратного от всех взаим- ных синодических периодов [42], т. е. 7^- 1 грЗ—В г *рВ—Me __ 1 *рЗ—Me 1 с-—' с •—'tty с •—'tty с При известных значениях Гс'"в=1,59871 г.; 7"с~Ме = =0,39580 г.; 7"с~Ме=0,31726 г. можно найти Т?= 1,6 г. (&i = l, ^2 = 4, &3 = 5), примерно равное синодическому пе- риоду Земли и Венеры, т. е. цикличность полетов по маршруту Земля — Венера — Меркурий должна, при- мерно, совпадать с цикличностью полетов к Венере. В работе [43] определены основные характеристики оптимальных траекторий полета к Меркурию через Ве- неру для периода с 1970 г. по 1990 г. Результаты расче- тов приведены в табл. 2.2 и диаграмме рис. 2.16. Из таблицы видно, что даты старта /с3 для опти- мальных траекторий Земля — Венера — Меркурий чере- дуются примерно через синодический период Венеры Тс « 1,6 г. и с точностью до двух-трех недель соответст- вуют датам старта для оптимальных траекторий поле- тов к Венере. Исключением является только цикл поле- тов 1978 г., для которого tCT отличается на 75 суток от даты старта полетов к Венере. Сравнение энергозатрат полетов по маршрутам Зем- ля — Меркурий и Земля — Венера — Меркурий (см. рис. 2.16) показывает, что использование активно-гра- 94
Таблица 2.2 Характеристики оптимальных пролетных траекторий Земля — Венера — Меркурий [43] Цикл полета, годы О О I '** CQ 1 СО у* км/с AV3 , ст км/с Д1/В, а км/с гБ, СУТ гтс1» км гт:2’ км 1970 28.8.70 3,81 3,76 0,05 150 6100 8303 1972 14.4.72 6,56 3,92 2,64 142 6100 8251 1972 18.4.72 3,78 3,77 0,01 262 6100 6100 1973 23.10.73 4,08 4,06 0,02 154 11761 11761 1975 7.6.75 5,54 4,08 1,46 145 6100 9761 1975 29.5.75 4,08 4,07 0,01 172 6396 6100 1977 13.1,77 4,47 4,19 0,28 119 6100 9163 1978 9.8.78 4,54 4,47 0,07 146 12097 12097 1978 28.11.78 4,44 4,38 0,06 301 16027 16027 1980 28.4.80 5,01 4,28 0,73 136 6100 24445 1980 27.3.80 4,34 3,59 0,75 260 6100 6108 1981 6.12.81 6,15 6,08 0,07 99 6100 7176 1982 31.1.82 4,24 4,21 0,03 300 13070 13070 1983 28.5.83 5,10 4,97 0,13 129 6127 6127 1983 28.5.83 4,75 4,73 0,02 150 6320 6100 1'985 26.12.85 5,54 5,48 0,06 132 12661 12661 1985 15.5.85 4,66 4,66 0,00 277 8102 8102 1986 28.7.86 6,23 6,08 0,15 132 6334 6100 1986 16.12.86 4,60 4,52 0,08 290 8689 8689 1988 28.2.88 5,60 5,59 0,01 139 8652 8652 1988 3.3.88 4,72 3,92 0,80 264 6100 6714 1989 14.10.89 7,47 7,32 0,15 121 6100 8696 1990 8.2.90 4,40 4,24 0,16 290 7161 . 7161 95
Рис. 2.16. Сравнение импульсов скоростей при полете по маршрутам Земля — Венера — Меркурий и Земля — Мер- курий: |<| - I///I —голет по маршруту Земля — Венера — Меркурий; —импульс скорости у Венеры; —стартовый импульс скорости у Земли; ф — полет по маршруту Земля—Меркурий (из работы [42]) витационного ускорения Венеры дает существенный вы- игрыш в суммарном импульсе скорости (снижение энер- гозатрат с 5 ... 7,1 км/с до 3,8 ... 4,1 км/с для циклов по- летов первой половины 1970-х годов и до 4,4 ... 4,75 для циклов второй половины 1970-х годов и большинства 1980-х годов). На рис. 2.16 импульс скорости прямого полета Земля — Меркурий приведен только для одного периода великих противостояний Тв.п~1 год. Для дру- гих периодов кривая AV(/CT) повторяется. Величина импульса скорости AVa для большинства оптимальных траекторий практически равна нулю (АУа<Ю0 м/с). Однако следует отметить, что не всегда энергетически оптимальными оказываются те траекто- рии, для которых добавочный импульс скорости в сфере действия Венеры равен нулю (например, циклы полетов 1972 г. и 1975 г.). Несмотря на незначительность активного импульса скорости, его роль в уменьшении суммарных энергозат- рат исключительно велика. Это хорошо видно из рис. 2.17 96
Рис. 2.17. Сравнение импульсов скоростей полета к Меркурию при пассивно-гравитаци- онном и активно-гравитационном маневрах у Венеры (значение равно отношению при полете через Венеру к Р\при пря- мом полете): □ — пассивно-гравитационный маневр; |^| — ак- тивно-гравитационный маневр и 2.18, где проводится сравнение импульсов скоростей для полетов к Меркурию с баллистическим облетом Ве- неры и активно-гравитационным маневром в ее сфере действия. На рис. 2.17 показан случай пролетной схемы у Меркурия, а на рис. 2.18 — случай выхода на мерку- риецентрическую круговую орбиту высотой 1000 км. Как следует из диаграмм, во-первых, использование активного маневра у Венеры по сравнению с пассивным маневром существенно снижает энергозатраты полета к Меркурию и, во-вторых, схемы, выгодные при прямом полете по сравнению со схемами пассивного полета с использованием гравитационного поля Венеры, становят- ся более выгодными по сравнению со схемами прямого полета, когда используется активно-гравитационный ма- невр. Другими словами, при активно-гравитационном маневре схемы, находящиеся в области прямого полета, переходят в область полета через Венеру. Суммарные продолжительности полетов по опти- мальным траекториям колеблются в достаточно широ- ких пределах: от 100 до 300 суток (см. табл. 2.2). 4 2801 97
Рис. 2.18. Сравнение минимальных значений им- пульсов скорости полета с выходом на орбиту около Меркурия при пассивно-гравитаци- онном и активио-гравитациоипом маневрах у Ве- неры (Конечная _орбита — круговая, /гКр = = 1000 км. Значение равно отношению при полете через Венеру к 1Д при прямом полете): □ — пассивно-гравитационный маневр: |^| - активно-гра- витационный маневр Для оптимальных траекторий за рассматриваемый период не наблюдается какой-либо четкой периодично- сти повторения характеристик отдельных циклов. Отсутствие периодичности повторения характеристик оптимальных циклов по маршруту Земля — Венера — Меркурий связано с отсутствием повторяемости абсо- лютного положения планет, входящих в маршрут полета, на их орбитах. Анализ показывает, что для циклов полетов с мини- мальными энергозатратами Меркурий в момент прилета к нему располагается вблизи узловых точек своей орби- ты так, что перелет проходит почти в плоскости эклип- тики. Прибытие к Меркурию для большинства циклов полетов (за исключением оптимальных траекторий 1977 и 1985 гг.) происходит в районе нисходящего узла его орбиты. Как показано в работе [43], использование гравита- ционного поля Венеры при полете к Меркурию для рас- ширения окон дат старта не дает особых преимуществ перед прямыми полетами. В работе [43] приведена оцен- ка энергетических потерь при расширении окон дат стар- 98
та к Меркурию через Венеру. Показано, что отклонение от оптимальной даты старта с Земли на величину Д/ст ± ±20 сут приводит к энергетическим потерям порядка 0,2 ... 0,3 км/с, т. е. примерно так же, как и для траекто- рий полетов к Венере. 2.6. ПОЛЕТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЮПИТЕРА Одним из первых аппаратов для исследования даль- него космоса явились беспилотные зонды типа «Пио- нер», облетевшие Юпитер (являющийся важной и есте- ственной целью, которую предстоит исследовать). Во время облета Юпитера зонд изменяет свою кине- тическую энергию. Степень изменения энергии зависит от геометрии встречи с Юпитером. Эта геометрия и, сле- довательно, характеристики послеоблетной траектории, могут быть изменены в широких пределах посредством проведения незначительных коррекций перед встречей с Юпитером. Благодаря этому становится практически осуществи- мым целый ряд интересных в научном отношении схем полета: удаление на большие расстояния от Солнца, в том числе и покидание Солнечной системы; внеэклиптические полеты к высоким гелиоцентричес- ким широтам; полеты на близком расстоянии от Солнца или соуда- рение с ним; полеты в Солнечной системе с изменением направле- ния движения; полеты к планетам-гигантам за Юпитер или к Мер- курию. Значение использования гравитационного поля Юпи- тера для формирования траекторий состоит в том, что с его помощью сравнительно легко достигается нужная геометрия траектории или уменьшение времени полета по сравнению, например, с траекториями хомаповского типа. 2.6.1. Полет к внешним планетам Расстояния от Земли до Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона огромны: 9,5; 19,1; 30,0; 39,6 а. е. соответствен- но (а. е. — астрономическая единица ~ 150-106 км). 99
8 Рис. 2.19. Приближенные положения Земли и Юпитера в противостояниях 1970—1981 гг. Такие расстояния требуют, естественно, продолжитель- ного времени полета. Поэтому при оценке импульса ско- рости учет длительности полета имеет первостепенное значение. Наиболее простой маршрут полета к внешним плане- там — прямой одноимпульсный: аппарат с помощью им- пульса скорости ДУст, сообщаемого на орбите ИСЗ, вы- водится на гелиоцентрическую траекторию, по которой входит в сферу действия планеты назначения и соверша- ет пролет около нее. Величина импульса зависит от да- ты старта и продолжительности полета. Оптимальная дата старта повторяется приблизительно через 400 суток для каждой планеты. На рис. 2.19 показаны приближенные положения Зем- ли и Юпитера в противостояниях 1970—1981 гг. Благо- приятные периоды для старта, с точки зрения миниму- ма энергетики, наступают через каждые 13 месяцев, при- мерно на 100 дней раньше моментов противостояний. Энергетика старта значительно колеблется от перио- да к периоду в течение 11 благоприятных циклов (сино- 100
дический период первого порядка составляет примерно 12 лет). Эти вариации являются результатом эксцентри- ситета и наклонения орбиты. Как видно из рис. 2.19, пер- вое и двенадцатое противостояния почти совпадают, так как разница гелиоцентрических долгот в моменты 'Проти- востояний составляет всего 4°. Поэтому следующий цикл противостояний (от 12-го до 23-го) будет характеризоваться почти такими же энергетическими характеристиками, как и период, пока- занный на рис. 2.19. Зависимости импульса скорости АКСТ от продолжи- тельности полета Т изображены на рис. 2.20 пунктирной линией. Минимальные импульсы скорости для полета к наз- ванным планетам не очень велики (7,2 ... 8,2 км/с), ио оптимальные продолжительности полета к Урану, Непту- ну и Плутону фантастически велики: 16 лет, 31 год и 46 лет соответственно. С уменьшением продолжительно- сти полета Т импульс скорости АУСт возрастает. Замет- ное возрастание ДУСТ в полетах к Урану начинается с Рис. 2.20. Зависимости импульса скорости от про- должительности полета: а—полет к Сатурну; б—полет к Нептуну; в—полет к Урану; г—полет к Плутону; (-- через Юпитер;----- прямой) 101
Рис. 2.22. Схема «Большого тура» — Земля — Юпитер — Сатурн — Уран — Нептун Рис. 2.21. Схема полета по маршруту — Земля— Юпи- тер — Сатурн И лет, в полетах к Нептуну и Плутону — с 14 лет. Так что в полетах по прямому маршруту именно эти про- должительности можно считать оптимальными. Опти- мальная продолжительность к Сатурну 6 лет. Дальней- шее сокращение продолжительности полета к внешним планетам по прямому маршруту возможно лишь за счет резкого возрастания импульса скорости. Есть другой путь сокращения времени полета. Это — использование на пути к планетам назначения активно- гравитационного маневра около Юпитера. На рис. 2.21 изображен маршрут полета к Сатурну через Юпитер. Маршруты полета к другим внешним пла- нетам аналогичны. Полет по маршруту Земля — Юпитер — планета назначения будет возможен при приемлемых затратах во второй половине 70-х годов в течение нескольких лет, так как в это время планеты будут расположены наибо- лее благоприятно. Следующее такое же расположение повторится через 13 ... 20 лет. Кроме того, вторая половина 70-х годов представля- ет уникальную возможность осуществить так называе- мый «Большой тур» по маршруту Земля — Юпитер — Сатурн — Уран — Нептун. Схема его приведена на рис. 2.22. Здесь в качестве промежуточной планеты ис- пользуется не одна планета, а несколько. При пролете около каждой планеты имеет место гравитационный ма- невр с небольшим корректирующим импульсом. Для 102
«Большого тура» требуется всего один маршевой им- пульс скорости при старте с орбиты ИСЗ порядка 7 ... ...8 км/с. Продолжительность полета 10... 11 лет. Сле- дующее благоприятное для такого полета расположение планет повторится лишь через ~ 170 лет. В табл. 2.3 подытожены данные, касающиеся дат пролета планет, расстояний от поверхности планеты, ги- перболических скоростей подхода к планетам для трех вариантов «Большого тура». Рассмотрим подробнее полет через Юпитер к каждой плянете, т. о. по маршруту Земля — Юпитер — планета назначения. Осуществляется такой полет одним марше- вым импульсом скорости ДУст, так как импульс скоро- сти активного маневра около Юпитера не превышает 200 м/с и может быть обеспечен двигателями коррек- ции. Величина ДУу =ДУСт + ДКя зависит от трех парамет- ров: даты старта, продолжительности полета и времени перелета на участке Земля — Юпитер. На рис. 2.20 для дат, указанных ниже (наиболее благоприятные для по- летов к внешним планетам), сплошными линиями изо- бражены импульсы скоростей в полете через Юпитер в зависимости от продолжительности полета. Планета назначения Сатурн . Храп . Нептун . П.1 V I (711 . 1976, 1978, 1979, 1975, Год 1977, 1978, 1979 1979, 1980 1980, 1981 1976, 1977 Оптимальные годы для старта к внешним планетам: Сатурну— 1976 г.; Урану— 1978 г., Нептуну— 1979 г., Плутону — 1975 г. Импульсы скорости в полете через Юпитер достига- ют минимальных значений приблизительно при тех же продолжительностях, что и в прямом полете, но сама величина этих скоростей меньше. В табл. 2.4 показаны минимальные импульсы скорости полетов к внешним планетам. При затратах, минимальных для прямых полетов (7— 8 км/с), полет через Юпитер позволяет долететь до пла- неты назначения почти в два раза быстрее: «к Сатурну — за 3 года вместо 6 лет; к Урану — за 5 лет вместо 11 лет; к Нептуну — за 7 лет вместо 14 лет; к Плутону — за 8 лет вместо 14 лет. 103
Таблица 2.3 Характеристики траекторий «Большого тура» Характеристики Варианты колею в Облет Юпитера— Сатурна—Ура- на—Нептуна (запуск КА в 1977 г.) Облет Юпитера— Сатурна—Плутона (запуск КА в 1977 г.) Обле1 Юпшера— Урана—Нептуна (запуск КА в 1979 г.) Дата запуска 14 сентября 1977 г. 4 сентября 1977 г. 6 ноября 1979 Г. Импульс скоро- сти, км/с '11 11 /11 «Окно» запуска, сут 18 )21 21 Общая продол- жительность поле- та, годы 9,2 S,5 9,1 Дата облета Ю: 20 января Ю: 6 февраля Ю: 30 апреля планеты 1979 г. С: 3 сентября 1980 г. У: 1 февраля 1984 г. II: 8 ноября 1986 г. 1979 г. С: 12 сентября 1980 г. П: 9 марта 1986 г. 1981 г. У: 28 июля 1985 г. . II: 28 ноября 1986 г. Минимальное Ю: 217,9 (3,0) Ю: 230 (3,2) ГО: 413 (5,8) расстояние при об- лете планеты, 103 км (в радиусах планеты) С: 6,4 (0,1) У: 21,3 (0,9) С: 452 (7,5) У: 25 (1.1) Гиперболическая Ю: 11,97 Ю: 11,8 Ю: 12,2 скорость подхода, С: 16,56 С: 16,3 У: 16,3 км/с У: 21,07 II; 23,57 П: 18,5 И: 17,3 Дальнейшее уменьшение продолжительности -полетов возможно лишь при резком увеличении суммарного им- пульса скорости. Однако для каждой фиксированной! продолжительности полета суммарный ’импульс 'скорости в полетах через Юпитер меньше, чем в полете по пря- мому маршруту. Допустим, что двигательная установка может обес- печить импульс скорости у Земли порядка 10 км/с. В этом случае продолжительности полетов в земных го- 104
дах по прямому маршруту в габл. 2.5. и через Юпитер приводятся Таблица 2.4 Минимальные импульсы скорости Таблица 2.5 Продолжительность полета, голы Планета назначения (AtzQmin О С-, S о К ч , км/с ё* н m f- <L> <U S час Планета назначения Прямой полет Полет через Юпитер СХ, о Е G Сатурн Уран Нептун Плутон 7,2 8,0 8,1 8,2 6,5 6,6 6,7 6,8 Сатурн Уран Нептун Плутон 2,2 5,0 8,0 10,0 1,9 3,5 6,2 6,5 Оценивая продолжительности полетов, можно сделать вывод, что в полетах к Урану, Нептуну и Плутону вы- годнее лететь через Юпитер. В полетах к Сатурну при- емлемы оба маршрута, но следует учесть, что полет че- рез Юпитер позволяет провести за один рейс исследова- ние сразу двух планет — Юпитера и Сатурна. 2.6.2. Полет к Солнцу Рассмотрим облет Солнца на близком расстоянии (0,05 ... 0,2 а. е.) в плоскости, наклоненной к плоскости эклиптики. Этот облет можно совершить, например, по прямому одноимпульсному маршруту (рис. 2.23, а): старт происходит с помощью разгонного импульса ско- рости А Уст с орбиты ИСЗ. В результате солнечный зонд выходит на эллиптическую гелиоцентрическую траекто- рию, по которой и происходит облет Солнца. Эта орбита наклонена к плоскости эклиптики под углом i, ее пери- гелийное расстояние апогелийное расстояние га яв- ляется радиусом земной орбиты, т. е. равно 1 а. е. В этой схеме время, прошедшее с момента старта до момента наибольшего сближения с Солнцем (продолжительность полета), невелико, порядка 0,4 ... 0,5 года. Но потребные приращения скорости АУСТ весьма значительны. На рис. 2.24 для прямого маршрута пунктиром обозначены зависимости АУСТ от расстояния наибольшего сближения с Солнцем /ч и от угла наклонения плоскости орбиты I 105
Поворот плоскости. в) Рис. 2.23. Маршруты полета солнечного зонда: а—прямой одпоимпульспый; б—двухимпульсный; в—через Юпитер к плоскости эклиптики. Как видно, значения импульсов скорости охватывают огромный диапазон: 9 ... 28 км/с. Можно снизить суммарный импульс скорости, вос- пользовавшись полетом по двухимпульсному маршруту (рис. 2.23,6). Здесь первый импульс скорости сообщает- ся аппарату также на орбите ИСЗ. Этот импульс выво- дит зонд на гелиоцентрическую эллиптическую орбиту, лежащую в плоскости эклиптики. Перигелийное расстоя- ние этой орбиты равно радиусу земной орбиты (~ £ а. е.), а апогелийное расстояние га больше этого радиуса, т. е. зонд посылается сначала не к Солнцу, а, наоборот, уда- ляется от него. Когда зонд окажется в апогелии га, ему сообщается второй импульс скорости AV2, который пере- водит аппарат на другую облетную эллиптическую тра- екторию, наклоненную к плоскости эклиптики под углом z. Двигаясь по этой траектории, зонд облетает Солнце на расстоянии гк. Основное преимущество двухимпульсного маршрута перед прямым одноимпульсным заключается в том, что 106
hV^,KMlc Рис. 2.24. Зависимость ДУЕ от угла наклонения плоскости облетной траектории i и от расстояния сближения с Солнцем (1975 г.): ------одноимпульснып маршрут Т=0,4 года;--------двух- импульсный маршрут 7=2,4 года;------------------через Юпитер 7= =2,4 года для близких облетов Солнца с выходом из плоскости эк- липтики приращения скорости уменьшаются до более реальных величин (11 ... 15 км/с) для всех значений на- клонения плоскости траектории облета. Правда, при этом требуется больше времени на полет (1,5... 2,5 года). Большая часть приращения скорости для двухимпульс- ного маршрута приходится на второй импульс скорости ДУ2. Если этот импульс сообщать на все большем рас- стоянии га, то его величина будет уменьшаться, но одно- временно будет возрастать ДУСт и продолжительность полета Т, причем Д КСт возрастает слабо, а Т — сильно. Когда га достигает примерно 5 а. е., Д1/2 уменьшится до 107
5—6 км/с, AVCt станет равно ~6,5 км/с (т. е. AVS~ ^11,54-12,5 км/с), а продолжительность полета возрас- тает до 5 лет. Однако воспользовавшись тем, что на расстоянии 5,2 а. е. находится орбита Юпитера, можно направить зонд через гравитационное поле Юпитера и, благодаря гравитационным силам и активному маневру, организо- вать более выгодный полет по сравнению с прямым од- ноимпульсным и двухимпульсным полетами. В этом слу- чае второй импульс скорости для активного маневра AVa уменьшается до величины 0 ... 200 м/с (реализуемый на двигателях коррекции) и одновременно сокращается вре- мя полета приблизительно до 2,4 года. При этом первый импульс скорости AVCT возрастает до 8 ... 8,7 км/с, но теперь он будет единственным маршевым импульсом скорости и поэтому AVS = AVCT+AVa^8 ... 9 км/с, что на 40 ... 50% меньше, чем AVS для двухимпульсного полета с выходом из плоскости эклиптики той же продолжитель- ности Т = 2,4 года. Схема полета солнечного зонда через Юпитер изо- бражена на рис. 2.23, в. Аппарату сообщается на орбите ИСЗ импульс AVct- Он выводит зонд на гелиоцентриче- скую траекторию, ведущую к Юпитеру. Так как плос- кость орбиты Юпитера не совпадает с плоскостью эк- липтики, то плоскость перелетной траектории тоже не будет лежать в плоскости эклиптики. Затем зонд вхо- дит в сферу действия Юпитера и совершает облет его по гиперболической траектории, где сообщается импульс скорости AVa- Выйдя из сферы действия Юпитера, зонд летит к Солнцу по эллиптической траектории, плоскость которой наклонена к плоскости эклиптики под углом и облетает Солнце на расстоянии гте. В этом случае сум- марный импульс скорости будет зависеть от I, г*, а так- же от даты старта и времен перелета Т3_ю и Г3_с. Полет к Солнцу через Юпитер привязан к определен- ным датам старта, соответствующим благоприятному расположению Юпитера. Это расположение и, следова- тельно, оптимальная дата старта повторяются приблизи- тельно каждый год (период повторения ~400 суток). Приведенная на рис. 2.25 диаграмма минимальных им- пульсов скорости по годам старта показывает, что АИ3 практически не меняется год от года. Это обстоятельство позволяет осуществить полет солнечного зонда на унифи- цированном разгонном блоке в любом году. 108
Рис. 2.25. Зависимость минимального суммарного импульса от даты старта солнечного зонда (по- лет через Юпитер) В каждый год обеспечивается хорошее «окно» дат старта: отклонение от оптимальной даты на ±10 суток требует увеличения AVS по сравнению с (AVs)mm при- близительно на 300 м/с. На рис. 2.26 показаны зависи- мости AVS от даты старта и продолжительности полета для 1975 г. Пунктирная линия соответствует оптималь- ному полету с продолжительностью 3,2 года (оптималь- ная продолжительность велика — более трех лет). Же- лательно сокращение времени полета даже за счет уве- личения импульса скорости. Полет через Юпитер позво- ляет сократить время полета почти на год, не требуя при этом слишком большого увеличения AVE по сравнению с (AVE)min; проигрыш составляет ~600 м/с при продолжи- тельности полета 2,4 года. Это существенное сокращение продолжительности полета при незначительном увеличе- нии импульса скорости возможно благодаря сильному гравитационному полю Юпитера. На рис. 2.24 сплошными линиями -показаны зависи- мости AVS от i и Гк. Зависимости получены по точкам, соответствующим оптимальным значениям дат старта и времени перелета /3_ю при фиксированных значениях Z, Г, и Г3_с (Г3_с=2,4 года). Анализируя рис. 2.24, можно сделать следующие вы- воды. Для одноимпульсных и двухимпульсных маршру- тов суммарный импульс скорости зависит от расстояния наибольшего сближения с Солнцем г* и наклонения плоскости траекторий облета к плоскости эклиптики Z. 109
AVz,km/c Бст,годы Рис. 2.26. Зависимость от даты старта для оптимальных и ускоренных полетов солнечного зонда (1975 г.) В полете через Юпитер ДУЕ почти постоянна во всем рассматриваемом диапазоне значений i и гтс. Если в пря- мом полете выход из плоскости эклиптики связан с сильным увеличением импульса скорости, то в полете через Юпитер облетать Солнце в плоскости, перпендику- лярной к плоскости эклиптики, даже несколько выгод- нее, чем в плоскости, совпадающей с плоскостью эклип- тики. Таким образом, значительное сокращение импульса скорости (для значения Z>20° он уменьшается в три и более раз) — не единственное преимущество полета че- рез Юпитер. То, что этот импульс скорости не зависит от расстоя- ния облета г- и от угла наклонения z, так же является большим достоинством рассматриваемого маршрута, так как это позволяет разрабатывать универсальный раз- гонный блок для полета солнечного зонда в любой плос- кости и на любом расстоянии от Солнца. Безусловно, полет через Юпитер предъявляет более строгие требования к системам управления и навигации. Однако он дает возможность получить за один запуск научную информацию не только о Солнце, но и о Юпи- тере, и о внеэклиптическом пространстве. 110
2.7. ПОЛЕТЫ К ЮПИТЕРУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ МАРСА Приближенные исследования схем полета к Юпитеру с использованием гравитационного поля Марса выпол- нены в работе [20]. Задача решалась при следующих до- пущениях: 1) при пролете около Марса совершается пассивный гравитационный маневр; 2) орбиты планет Земля, Марс и Юпитер — круговые и компланарные; 3) при рассмотрении гелиоцентрического участка сферы действия всех трех планет стянуты в точки; 4) траектории перехода считаются состоящими из двух кеплеровых дуг при движении на гелиоцентричес- ком участке и дуги гиперболы — внутри сферы дейст- вия Марса; 5) не учитываются фазы орбитального движения пла- нет; такое исследование дает только верхнюю границу- для возможной экономии топлива за счет пертурбацион- ного маневра; 6) минимизируется импульс скорости старта AV’i в случае одноимпульспого полета к планете назначения и сумма модулей импульсов скоростей старта и финиша AV1 + AV2 в случае двухимпульсных перелетов. Результаты численных расчетов приведены в табл. 2.6. Таблица 2.6 Характеристики схемы полета к Юпитеру через Марс /?о, мм 3410 4000 6000 8000 10000 20000 40000 100000 Z1, сут 94,28 93,04 90,84 89,81 89,22 88,08 87,53 87,20 ^2, Сут 937,77 933,35 925,26 921,40 919,14 914,74 912.50 911,33 AV1, м/с 7785 7941 8234 8378 8465 8631 8715 8763 Здесь Rq — наименьшее расстояние космического аппарата от центра Марса; /1, /2 — время движения соответственно на гелио- центрических участках Земля — Марс и Марс — Юпитер; ДЩ — импульс скорости старта. Сравнение с импульсом'скорости прямого полета по хомановскому эллипсу 8,800 км/с) показывает, что использование гравитационного поля Марса при по- лете к Юпитеру с пролетом вблизи поверхности Марса 111
позволяет уменьшить импульс скорости старта на км/с. 2.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ ДЛЯ ПЕРТУРБАЦИОННЫХ МАНЕВРОВ Гравитационное поле спутников планет может быть использовано для: осуществления захвата космического аппарата полем тяготения планеты; уменьшения скоро- сти входа космического аппарата в атмосферу планеты (торможения); ускорения движения отлетающего косми- ческого аппарата (разгона); выведения космического ап- парата на высокие планетоцентрические орбиты. Таблица 2.7 Основные характеристики планет и элементы их орбит Параметры Земля Юпитер Сатурн Нептун Среднее расстояние от Солнца, а. е. 1,00 5,20 9,54 30,07 Большая полуось ор- биты, млн. км 149,598 778,328 1426,990 4498,510 Эксцентриситет 0,016751 0,048435 0,055682 0,008575 Сидерический период обращения, тропич. год • 1,00 11,86 29,46 164,79 Средняя орбитальная скорость, км/с 29,76 13,05 9,64 5,43 Наклонение к эклипти- ке, град — 1,306 2,491 1,774 Гравитационная по- стоянная, км3/с2 3,986-105 1,2689-108 3,799-107 6,97-106 Радиус сферы дейст- вия, тыс. км 926 50000 54500 86800 Скорость освобожде- ния, км/с 11,19 60,40 36,4 23,7 Средний диаметр, км 12742 139200 114800 49700 Примечание. Гравитационная постоянная Солнца ц0~ = 1,32712 • 1011 км3/с2; отношение массы Земли к массе Луны Рз/Рл = 81,3. Четыре планеты: Земля, Юпитер, Сатурн и Нептун— имеют большие спутники, гравитационное поле которых может быть эффективно использовано для пертурбаци- 112
онных маневров космических аппаратов. Основные ха- рактеристики этих планет и их спутников, а также эле- менты их орбит приведены в табл. 2.7 и 2.8. Как видно из табл. 2.8, указанные спутники планет имеют массу, сравнимую с массой Луны. Таблица 2.8 Основные характеристики больших спутников планет и элементы их орбит Планета Спутник Масса, в ед. массы Луны Диаметр, км Скорость освобож- дения, км/с Среднее расстоя- ние планеты, тыс. км. Эксцентриситет Наклонение пло- скости орбиты спутника к пло- скости орбиты планеты Земля Луна 1,00 3476 2,39 384,402 0,0549 5°09' Юпитер Ио 0,95 3470 2,34 421,8 0,0000 3°07' Европа 0,64 3100 2,03 671,4 0,0003 3°06' Ганимед 2,09 5000 2,92 1071,0 0,0015 3°02' Каллисто 1,18 4700 2,24 1884,0 0,0075 2°43' Сатурн Титан 1,89 4850 2,79 1222,0 0,0289 26°07' Нептун Тритон 1,88 3770 3,2 353,7 0,000 139°49' Во время облета спутника энергия системы спутник— космический аппарат относительно планеты сохраняется неизменной, а происходит только перераспределение энергии между этими объектами. Для осуществления за- хвата планетой энергия космического аппарата относи- тельно планеты после о’блета спутника планеты должна уменьшаться ниже нулевого уровня. Оценки показыва- ют, что при межпланетных полетах внутри Солнечной системы изменение энергии, полученное в результате об- лета спутников, недостаточно для перевода КА на конеч- ную круговую орбиту. В связи с этим наиболее приемле- ма сильно вытянутая эллиптическая орбита, в перицент- ре которой воз-можно наблюдение планеты без слишком больших энергетических потерь. 113
2.8.1. Использование гравитационного поля Луны для выведения космического аппарата на стационарную орбиту спутника Земли Стационарные спутники, неподвижно висящие над заданной точкой поверхности Земли, важны для обеспе- чения связи с различными пунктами Земли и для обзора ее поверхности. Стационарный спутник двигается по круговой экваториальной орбите с суточным периодом обращения. Такая орбита называется обычно стацио- нарной, ее радиус равен Я»42166 км, т. е. она значи- тельно удалена от поверхности Земли, поэтому выведе- ние КА на эту орбиту требует затраты значительного количества рабочего тела. Обычно дальние КА сначала выводятся на низкую промежуточную орбиту ИСЗ, откуда организуются раз- личные космические маршруты. Это относится и к ста- ционарной орбите. Переход с низкой промежуточной ор- биты ИСЗ на стационарную орбиту может быть осуще- ствлен по нескольким схемам (рис. 2.27). Самая простая схема — двухимпульсный хомановский переход между компланарными круговыми орбитами (см. рис. 2.27, а). Эта схема может быть реализована только в том случае, если плоскость исходной орбиты совпадает с плоскостью экватора. Суммарный импульс скорости такого перехода д= AVi + AVr2~3910 м/с. (го = 663О км). В случае, когда стационарная и промежуточная ор- биты некомпланарны, наиболее оптимальными являются двух- и трехимпульсные переходы. В случае двухимпуль- сного некомпланарного перехода (см. рис. 2.27, б) пер- вый импульс скорости ДУ1 сообщается КА в момент про- лета через первый узел исходной орбиты. Величина и направление импульса скорости Д1Л выбираются так, чтобы переходная орбита изменила свою плоскость на угол z'i и прошла бы через второй узел стационарной ор- биты. При достижении этого узла спутнику сообщается второй импульс скорости AV2, величина и направление которого должны удовлетворять условию получения круговой скорости стационарной орбиты. Разбиение пол- ного поворота плоскости исходной орбиты на два пово- рота производится оптимально из условия минимума суммарного импульса скоростей =AVi + AV2=min, причем /] + /2=/. 114

Рис. 2.27. Схемы перехода на стационар- ную орбиту: 8)
V^mIc Рис. 2.28. Характеристиче- ская скорость биэллиптиче- ских переходов [18] (/? = = 42166 км, Го = 6630 км) В случае трехимпульсного перехода М = 3 (см. рис. 2.27, в) оптимальными являются также апсидаль- ные переходы, в которых импульсы сообщаются в апси- дальных точках орбит, причем наклонение плоскости меняется при сообщении каждого импульса. Так как при трехимпульсном переходе используются две промежуточ- ные эллиптические орбиты, этот переход часто называют биэллиптическим. Особенностью этого перехода является то, что после сообщения на начальной орбите Л перво- го импульса получается промежуточная орбита Т2, апоцентрическое расстояние которой гЙ2 больше радиу- са конечной (в данном случае стационарной) орбиты R. В апоцентре орбиты Т2 прилагается второй импульс ДV2, получается орбита Т3. При сообщении этого импуль- са осуществляется большая часть суммарного изменения наклонения, перицентрическое расстояние меняется от г0 до R. В перицентре орбиты Т3 сообщается третий, по- следний импульс Д1/3:гК2 = г0, га2=7?аз>>/?, 0</3<Z2<^ Если расстояние от центра Земли до точки сооб- щения промежуточного импульса ДУ2 уменьшить до /?, то этот переход вырождается в двухимпульсный 2V = 2. При увеличении г«2 до бесконечности получим в преде- ле бипараболический переход, ДЕ2->0. На рис. 2.28 приведены зависимости суммы импуль- сов скоростей Е2 = ДЕ1 + ДУ24-ДЕ3 от величины k—RJrOi для нескольких наклонений I. При k = Q имеем бипарабо- лический переход, а при k=l — двухимпульсный, обоб- щенный хомановский переход. На рис. 2.29 (кривая 116
рис. 2.29. Сравнение энерго- затрат при переходе по пря- мому маршруту Уд и через Луну VV[18] Уз) приведена зависимость минимальной (среди двух-и трехимпульсных переходов) суммарной скорости V2 от начального-наклонения L При 0^л^38° оптимальным будет вариант N=2, £0Пт=1, при 38° £/ £ 38,6° — вари- ант N = 3, 0<£Опт<1 (по энергетике он практически сов- падает с двухимпульсным переходом), при i > 38,6° — вариант N=3, £Опт = 0, (га2)0ПТ=оо. Анализ графиков на рис. 2.28 показывает, что при f = 50° характеристическая скорость Vs монотонно умень- шается с увеличением расстояния гЯ2 соответственно, времени перехода 4. Оптимальным будет бипараболиче- ский переход (га2—>оо); для него К2 =4485 м/с. Одна- ко время перехода в этом случае бесконечно велико. При уменьшении гая до 400000 км суммарная скорость У2 возрастает на 45 м/с, а время перехода будет составлять суток. Из приведенных данных видно, что использование трехимпульсных переходов позволяет (при больших на- клонениях I) уменьшить суммарную характеристическую скорость V2 по сравнению с двухимпульсным переходом. Все же она остается значительной. Еще более уменьшить эту скорость при больших наклонениях i можно, исполь- зуя ускорение космического аппарата в поле тяготения Луны (см. рис. 2.27, г) [18]. Идея использования ускорения КА у Луны при выве- дении его на геостационарную орбиту состоит в том, что- бы при облете Луны осуществить изменение наклонения и перицентрического расстояния, выполняемое в трех- импульсном переходе при сообщении промежуточного импульса скорости AV2, и благодаря этому сократить за- траты топлива на выведение. Схема такого полета будет следующей. После сооб- щения первого импульса AVi (в плоскости начальной ор- биты 7\) КА переводится на сильно вытянутую эллип- тическую орбиту Т2, по которой он движется к Луне. 117
После облета Луны и выхода из ее сферы действия КА движется к Земле примерно в плоскости ее экватора по орбите Г3, касающейся конечной стационарной орбиты. В перицентре орбиты Т3 сообщается второй импульс ДГ2, КА переходит на конечную орбиту. На рис. 2.29 приведена зависимость суммарного им- пульса скорости Уу;1 перехода на стационарную орбиту через Луну от наклонения исходной орбиты Z. Сравнение ее с зависимостью У в (/) для оптимального биэллиптиче- ского перехода показывает, что прямой переход (в дан- ном случае — двухимпульсный обобщенный хоманов- ский) энергетически выгоднее при Z^28°. Использование Луны становится энергетически целесообразным при больших наклонениях. При 38,6°^Z^90° выигрыш в им- пульсе скорости при использовании облета Луны почти постоянен и составляет около (200 ... 280) м/с. 2.8.2. Использование гравитационного поля спутников планет для ускорения и торможения космических аппаратов Предполагается, что орбиты спутников планет круго- вые и компланарные (см. табл. 2.8), а все гравитацион- ные силы подчиняются закону обратных квадратов от расстояний. Считается, что сфера действия спутника пре- небрежимо мала по сравнению с радиусом его орбиты и бесконечно велика по сравнению с размерами самого спутника (например, радиус сферы действия Луны ра- вен ~10 радиусам Земли, в то время как радиус ее ор- биты равен ~60 радиусам Земли; радиус сферы дейст- вия Ганимеда равен 0,347 радиуса Юпитера, а радиус его орбиты—15 радиусам Юпитера). Эти допущения позволяют использовать упрощенный метод сфер дейст- вия для получения аналитических выражений, с по- мощью которых оценивается эффективность пертурбаци- онных маневров в гравитационном поле спутников пла- нет [68]. Для исследования изменения скорости и энергии КА используются векторные диаграммы скорости, показан- ные на рис. 2.30. Вектором Vi обозначена скорость отно- сительно планеты, которую имеет космический аппарат на расстоянии от планеты, равном радиусу орбиты спут- ника, в случае, если притяжение спутника не учитывает- ся. Вычитая из него вектор скорости спутника Vc отно- 118
Рис. 2.30. Векторная диаграмма скоростей до и после обле- та спутника: а—уменьшение скорости и энергии КА; б—увеличение скорости и энер гии КА сительно планеты, получим вектор ивх. В соответствии с допущениями относительно сфер действия Vi — вектор скорости космического аппарата относительно планеты при входе в сферу действия ее спутника; вектор скорости wBX направлен по асимптоте гиперболы сближения со спутником, а его величина характеризует скорость кос- мического аппарата в бесконечности относительно спут- ника. Эффект гиперболической встречи заключается в повороте вектора скорости ивх на угол v от входящей асимптоты к выходящей асимптоте, при этом величина его остается неизменной: | wBbIX | = | ивх | = и. После осуще- ствления поворота значение скорости КА относительно планеты при выходе из сферы действия спутника равно V2 = Vc + ^BbIx- Эти параметры определяют новую орбиту КА, его новую энергию и кинетический момент. Значение угла v ограничивается конечным размером спутника. Используя закон сохранения энергии и кинети- ческого момента, получим расстояние по нормали от спутника до асимптоты, так называемую прицельную дальность ^МЖ^осв/^М]1/2, где — перицентральное расстояние облетной гипербо- лы; V'ocb=1/A——скорость освобождения (параболи- F Яс ческая скорость), соответствующая радиусу спутника Ту Г .ft А^с; т =---коэффициент промаха. Яс 119
Рис. 2.31. Облет спутника в системе коорди- нат, связанной с главной осью гиперболы (компланарный случай) Из рис. 2.31 видно, что sin Ф = &/(гс—а). Энергия КЛ относительно спутника определяется по формуле ___Р-С 2 2а Отсюда cosO=l/[l-f-2/n(^/V^ocB)2]2. (2. 15) Зная Ф, получаем v = jt-2Ф. (2. 16) При сложении углов у и 0 (см. рис. 2.30, а) получа- ем уменьшение энергии в результате того, что КА пере- сечет орбиту спутника впереди него. Если .угол у вычи- тается из 0 (см. рис. 2.30, б), энергия возрастает, а КА 120
пересекает орбиту спутника позади него. Обычно выгод- но иметь максимальное значение утла v для получения максимального изменения энергии и скорости. Это дости- гается при /?г->1 (при этом орбита КА максимально близ- ко подходит к поверхно-сти спутника). Как мы уже знаем, качество гравитационного манев- ра при облете спутника будет определяться изменением скорости и энергии. Определим максимально возможное изменение этих величин. Как правило, скорость подхода КА к спутнику пла- неты Vi считается известной; она определяется из усло- вия оптимизации траектории полета между планетами у2=у2м-]-2-^, (2.17) Гс где Коо — скорость входа КА в сферу действия планеты; гс — радиус орбиты спутника. Тогда изменения скорости и энергии КА относитель- но планеты AV=Vi—V2, определяются только величиной скорости V2. Поэтому максимизация изменений скорости и энергии сводится к минимизации скорости V2. Определим, при каких условиях возможно минималь- ное значение скорости У2. Из рис. 2.30 имеем u2=Vi-j-V2c-2VlVccosA, (2.18) V2C + й2 + 21/сй cos (9 ± v). (2. 19) Между углами 0 и А существует следующая связь: V\ cos А = l/c4-«cos 9, (2. 20) V\ sin’A = ^sin 9. (2. 21) Из этих выражений видно, что скорость К2 является Функцией углов А и v: V2 = f(v, А). Угол А зависит от прицельной дальности КА относительно планеты, и вре- мени подлета к планете (положения спутника относи- тельно _планеты) (рис. 2.32). Изменяя прицельную даль- ность bi и время подлета к спутнику, можно получить такое значение угла А, которое дает V2 = min. Угол v ме- няется в пределах 0<v<vmax (см. рис. 2.31). v = 0, когда КА пролетает мимо спутника вне его сферы действия; v"vmax, когда облетная гипербола касается поверхности 121
Асимптота облета планеты ~Т / Рис. 2.32. Схема облета планеты и спутника: Л 2—два положения спутника; Ь\, Ь2— прицельные дальности отно- сительно планеты спутника. Из (2.19) видно, что чем больше v, тем меньше У2; она достигает минимального значения V2 = = V2min при v = vmax- При этом т=1. Следовательно, для максимизации изменений скорости и энергии косми- ческого аппарата относительно планеты необходимо про- лететь мимо спутника, как можно ближе к его поверхно- сти. Оптимизируем угол А. Из (2.18) — (2.21) имеем Vi = l/2 + 4I/c2 sin2 - — 4Vr1Vrc sin2-^-cos А + 21/il/c sin v sin A. (2. 22) Отсюда Лопт = 90° + (2. 23, Таким образом, между углами А и v существует связь (2.23), дающая AVmax- Диаграмма на рис. 2.33, а и б по- казывает, что условию (2.23) удовлетворяют два значе- ния V2: У2 = ОС и V2=/JC\ которые получаются путем проведения линий ВС и ВС' под углом А по обе стороны от вектора ивх (радиуса 122
рис. 2.33. Диаграмма скоростей: а~ ^опт3=90 2~» 6-X0iIf==so +у- ОВ). Как видно из прямоугольных треугольников ОКВ и ОК?В, в этом случае А -]—^-—-90°, А—^-=90°, т. е. со- гласно (2.23). Из диаграммы также следует, что V2 со- ответствует максимальному торможению, a V2—мак- симальному разгону. Подставляя (2.23) в (2.22), получим выражение для максимального изменения скорости от гравитационного ускорения спутника планеты W^ = Vi~Vz= + 2VC sin -2L (2. 24) Выражение (2.22) получено в предположении, что движение КА происходит в плоскости орбиты спутника. Однако это уравнение может быть использовано и в слу- чае, когда вектор скорости спутника Vc составляет угол т] с плоскостью траектории КА при его движении в сфе- ре действия спутника. Составляющие векторы скорости Ki, не лежащие в плоскости орбиты спутника, не будут влиять на встречу космического аппарата со спутником, а формула (2.22) будет действительна и для этого слу- чая, если Vc, Vi и А в ней заменить на проекции этих величин на плоскость ху: Vc*, Vi* и А* (рис. 2.34). Величины проекций определяются из следующих со- отношений: I/c = I/c cos П, v*= (Vi-V2e Sin2 n)I/2, cos 4*=(V! cos A — Ус sin2 t]) [cos — sin2 ri')’/2]-1. 123
Рис. 2.34. Облет спутника в случае, когда вектор ско- рости спутника составляет с плоскостью траектории КА угол Т] 2.8.3. Эффективность гравитационного маневра у спутников планет Эффективность гравитационного маневра оценим по величине скорости входа КА в атмосферу планет 14™ и энергии Е2 относительно планеты после облета спут- ника, так как условие £2<0 означает, что КА захватил- ся гравитационным полем планеты. Сравнивая (2.16) и (2.23), находим, что АОпт=Ф и Лопт=180° — Ф. Тогда выражения (2.18) и (2.24) мож- но записать в следующем виде: W2=lz? + Vrc + 21Z1^CCOS®, (2.251 Д1/тах= +2УС cos Ф. (2.26) Совместно решая уравнения (2.16) и (2.25) при за- данном т, находят cos Ф и и, а затем по (2.26) иДУщах- Далее, заменяя ло (2.17) Vi на Уоо и используя интеграл энергии относительно планеты, определяют скорость вхо- да в атмосферу Ик=(V! - Д1/тах)2 -2^4-2-^-, Г с г атм где Гатм — высота верхней границы атмосферы. 124
В случае прямого входа КА в атмосферу его ско- рость входа будет равна г атм Уменьшение скорости входа ДК'атм=КгаТМ—Кгатм примем за эффективность использования гравитационного поля спутников планет. При оценке возможности захвата КА нас будет инте- ресовать не изменение энергии, а сама энергия после об- лета спутника, равная (^-ДКпах)2-^- 2 гс Отрицательное значение этой энергии будет означать, что Космический аппарат движется относительно плане- ты по эллиптической орбите. Расчеты показывают, что при тж\ для оценки ДКтах можно воспользоваться приближенным выражением cos Ф = + r. V°':K = . V2m(y2„ +31/2) Это облегчает построение зависимостей ДКатм = /1 (Коо) и£2=/2(Коо)-. На рис. 2.35 приведена зависимость энергии Е2 кос- мического аппарата после облета спутника от скорости входа Коо в сферу действия планеты для спутников Лу- на, Тритон, Титан, Каллисто, Европа, Ганимед и Ио. Расчеты проведены в предположении, что орбиты спут- ников круговые, плоскости орбит спутников и траектории КА совпадают. Видно, что все рассматриваемые спутни- ки обеспечивают захват КА гравитационным полем планеты при скоростях входа в сферу действия планеты V<*<Voo{Ei2==G}- Для Земли Коо{£2 = 0} =2,6 км/с. При возвращении от всех планет Солнечной системы по им- пульсной схеме скорость входа в сферу действия Земли Коо>2,6 км/с. Это значит, что гравитационное ускорение Луны не может обеспечить захват КА гравитационным полем Луны. Сказанное справедливо при пассивном использовании гравитационного поля Луны. Однако, если осуществить активное торможение КА до скорости Коо<Коо{Е2 = 0} перед входом в сферу действия Земли, то условие захва- 125
виспмости от скорости входа в сфе- ру действия планеты, пг=\ та будет обеспечено, и КА перейдет на геоцентрическую эллиптическую орбиту. При полете по маршруту Земля — Юпитер скорость входа в сферу действия Юпитера Коо~6 км/с. Как видно из рис. 2.35, все четыре больших спутника Юпитера обес- печивают захват КА его гравитационным полем. При по- лете к Сатурну и Нептуну Коо ^6 км/с и Коо ~ 4 км/с со- ответственно. Сравнивая эти цифры со значениями Коо{£2=0}, можно заметить, что как Титан, так и Три- тон обеспечивают захват КА. Эти оценки сделаны в предположении, что орбиты планет круговые и компла- нарные. 126
Рис. 2.36. Влияние коэффициента прома- ха па энергию КА относительно плане- ты после облета спутника Анализируя графики на рис. 2.35, можно заметить, что чем ближе спутник к планете, тем сильнее его влия- ние на энергию КА относительно планеты. Это объясня- ется эффектом скорости. Кривые E2=f(Voo) (см. рис. 2.35) построены при уче- те, что коэффициент промаха т = 1. Однако из-за ошибок прицеливания трудно обеспечить очень близкое прохож- дение траектории КА от поверхности спутника. Влияние коэффициента промаха на энергию Е2 показано. на рис. 2.36. Видно, что неточность прицеливания траекто- рии может существенно уменьшить возможности пертур- бационных маневров около спутников планет. Для надежного захвата КА планетой необходимо су- щественно уменьшить скорость входа КА в сферу дейст- вия планеты. Эта задача сравнительно легко может быть Решена с помощью двигателей малой тяги, которые дают 127
А опт > град Рис. 2.37. Зависимость оп- тимального угла подхода к спутнику от скорости вхо- да в сферу действия плане- ты &Vex>KMfc Рис. 2.38. Уменьшение скоро- сти входа КА в атмосферу планет в зависимости от ско- рости входа в ее сферу дейст- вия выигрыш, по сравнению с двигателями большой тяги, как в расходе рабочего тела, так и во времени полета. По- следнее обстоятельство особенно важно при полете к внешним планетам, требующим большой длительности перелета. На рис. 2.37 показана зависимость оптимального значения угла подхода к спутникам планет от скорости входа в сферу действия планеты, а на рис. 2.38 —умень- шение скорости входа в атмосферу планет после облета спутников. Из графиков следует, что это уменьшение незначительно для всех планет (при значительных ско- ростях входа: 114-20 км/с для Земли, 60 ... 62 км/с для Юпитера, 36 ... 39 км/с — для Сатурна и 24 ... ... 28 км/с для Нептуна).
Глава 3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ ГРАВИТАЦИИ ПЛАНЕТ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЕРЕХОДА МЕЖДУ ОРБИТАМИ 31. ПРИНЦИПЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ сил ГРАВИТАЦИИ ПЛАНЕТ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 3.1.1. Принципы использования возмущающих сил Задача об оптимальных переходах между орбитами может быть поставлена по-разному в зависимости от характера межорбитального маневра. В общем случае возможны два типа переходов: со свободным временем и с фиксированным временем. При переходе со свободным временем конечные и начальные точки не зависят от времени. Время перехода между точ- ками не фиксировано. Это дает возможность свободного выбора оптимальных точек перехода. Этот тип перехода легко реализуется при переходе между планетоцентриче- скими орбитами. Переход с фиксированным временем предполагает наличие закона движения начальной и конечной точек перехода. Оптимизация перехода в этом случае заклю- чается в выборе оптимальных моментов старта и фини- ша. Этот тип характерен перелету от одного тела к дру- гому, .например, переходам между планетами. Методика оптимизации межорбитальных переходов с фиксированным временем в настоящее время разработа- на достаточно подробно по сравнению с методикой рас- чета переходов со свободным временем. Это и понятно, так как фиксирование времени перелета при заданных точках приложения .импульсов однозначно определяет орбиту перехода. Почти все известные задачи об оптимальных перехо- дах между орбитами как со свободным, так и с фиксиро- ванным временем ставились и решались при заданных орбитах, т. е. когда были заданы вектор интеграла пло- щади с и вектор Лапласа /. Это частные решения пере- ходов типа хом а невских и биэллиптических переходов между компланарными круговыми орбитами, хоманов- 5 2801 19Q
ских и биэллмптических переходов между некомпланар- ными круговыми орбитами, котангенциального перехода между компланарными эллиптическими орбитами, а так- же различные численные решения межпланетных пере- ходов. Известно, что импульс скорости перехода сильно за- висит от взаимного расположения орбит, т. е. от и /°. Например в [37] найдено, что при переходе между комп- ланарными непересекающим.ися эллиптическими орби- тами глобальный минимум импульса скорости получает- ся, когда векторы Лапласа совпадают по направлению, т. е. fi°=*7°, а импульсы приложены в перицентре внут- ренней и апоцентре внешней орбит. Это наталкивает на мысль о более широкой постановке задачи об оптимиза- ции межорбитальных переходов, т. е. оптимизации не только точек (или моментов) приложения импульсов, но и оптимизации взаимного расположения орбит. Известно, что вектор интеграла площади с и вектор Лапласа f остаются постоянными только в центральном поле гравитации Ньютона. Но реальное поле гравита- ции — нецентральное. Поэтому векторы с и f также не остаются постоянными. Например, планеты испытывают взаимное гравитационное возмущение, влияние различ- ных излучений Солнца и т. д. Околопланетные орби- тальные КА подвержены действию гравитационных воз- мущений, возникающих вследствие отклонения форм планет от сферической, от действия спутников планет, Солнца и других планет, космической среды и излуче- ний. Все эти отклонения гравитационных и других сил от центральных приводят к изменению векторов с и f по времени. Изменение с и f зависит, кроме возмущающих сил, также от параметров орбит космических аппаратов. А это значит, что изменением с и f планетоцентрических орбит можно управлять, и управлять так, чтобы импуль- сы скоростей перехода между орбитами были мини- мальными. Изменение векторов с и f зависит от характера и со- става возмущающих факторов. Основными возмущаю- щими силами планетоцентрических орбит являются: аэродинамические силы, гравитационные возмущающие силы от сжатия планет и естественных спутников пла- 130
нет. Причем преобладание тех или иных возмущений за- висит от высоты орбит: на низких орбитах преобладают аэродинамические силы (если есть атмосфера), на сред- них — гравитационные возмущения от сжатия планет, а на высоких — возмущения естественных спутников пла- нет. Обычно возмущающие факторы приводят к достаточ- но медленному изменению параметров реальных орбит. Быстрота изменения их зависит от параметров орбит. Наибольший практический интерес представляют пе- реходы между низкими и средними орбитами, для ко- торых преобладающей возмущающей силой является гра- витационная сила от сжатия планет. От действия этой силы модули векторов с и f вековых изменений не имеют, но их направления непрерывно меняются. Вектор с° вра- щается с постоянной средней скоростью относительно оси вращения планеты, а вектор fQ — также с постоян- ной средней скоростью относительно вектора с. Пусть имеются две орбиты, между которыми пред- стоит совершить переход, с различными векторами с и f. Эти орбиты непрерывно прецессируют относительно планеты и друг друга, и их взаимное расположение не- прерывно меняется. Среди всех взаимных расположе- ний орбит можно найти такие, которые обеспечивают оп- тимальный переход между ними. Исследованию оптимального взаимного расположе- ния орбит и оптимальных точек приложения импульсов, а также поиску оптимального управления изменением векторов си/посвящена настоящая глава. 3.1.2. Некоторые сведения из теории возмущенного движения орбитальных аппаратов Вследствие того, что планеты не обладают строго сферической формой, орбиты искусственных спутников заметно отклоняются от певозмущенных кеплеровских эллипсов. Особенно значительные возмущения в движе- нии спутников вызываются сжатием планет. Задача о движении спутника в поле тяготения сжа- той планеты рассматривается в предположении, что на- клонения плоскостей орбит спутников к плоскости эква- тора планеты могут быть любыми. Предполагается так- же, что планета имеет форму уровенного эллипсоида 5* 131
вращения и что сжатие планеты достаточно мало, вслед- ствие чего в разложении пертурбационной функции по коэффициенту сжатия можно ограничиться членом, со- держащим только первую степень коэффициента сжа- тия. Потенциал уровенного эллипсоида вращения на внеш- нюю точку с точностью до первой степени коэффициен- та сжатия, как известно, имеет вид [35, 38, 46] 1/ = —+ 4-/^-(3sin2<p- 1), (3.1) г 3 гЗ где р=/эИ — гравитационная постоянная; г — радиус точки; — экваториальный радиус эллипсоида; ср — широта точки. Коэффициент I определяется формулой где а — коэффициент сжатия эллипсоида; соэ — угловая скорость суточного вращения эллипсоида. Первое слагаемое в (3.1) соответствует невозмущен- ному движению спутника по кеплеровой эллиптической орбите, второе слагаемое представляет собой возмущаю- щий потенциал, или так называемую пертурбационную функцию, которую обозначим через R. Используя известное выражение sin ср= sin I sin (w + &), где i — наклонение орбиты; тЭ — истинная аномалия; со — аргумент перицентра, после некоторых преобразо- ваний волучаем выражение R = — /ц. — [(2-3 sin2z)f—? + 6 a2 L \ г J -1-3 sin2 i cos 2со (—У cos 2ft — 3 sin2 i sin 2<o (—У sin 2&1 , \ r ) \ r / J где a — большая полуось орбиты. Уравнения Лагранжа для определения оскулирующих эллиптических элементов имеют вид [38]: da 2 dR dt па dz de _ dR g /1 — g2 1 dR dt na2e dft 1 + У1 — e? na^ dz ’ 132
di __ cosec i dR tg (Z/2) (dR . di ~dt na^y\_ ei qq, ncflV\=l& \длГ”'~ d dQ cosec i dR dt na% 1 — e2 di du> __ ctg i dR । УI— e2 dR dt na2 У1 — e2 di ncfte de ’ dM 1 — e2 dR 2 dR dt ncfie de na da где a, e, if Q, n = (o+Q, e = Al + Q — кеплеровы элемен- ты орбиты спутника; п — среднее суточное движение; R — пертурбационная функция. Анализ этих уравнений показывает, что все элементы орбиты имеют периодические возмущения первого по- рядка, но три элемента — Q, л, & — имеют еще и веко- вые возмущения. Среди возмущений первого порядка наиболее важны- ми являются вековые возмущения, так как именно они определяют эволюцию орбиты с течением времени. Вследствие особой структуры пертурбационной функ- ции вековые возмущения первого порядка возможно по- лучить в конечном виде, не прибегая к разложению в ряд по степеням эксцентриситета = л Д(^)2(5со^/-1), (3.3) = (3.4) tfZ Т \ р J где р — фокальный параметр орбиты; Т — период обра- щения спутника. Анализ полученных уравнений показывает, что под влиянием возмущающих сил от сжатия планеты вектор интеграла площади с вращается вокруг оси вращения планеты с постоянной угловой скоростью Q, сохраняя с этой осью постоянный угол, равный 90°—i, а вектор Лап- ласа f вращается вокруг вектора с, причем с и f взаимно перпендикулярны. Направление ухода аргумента восходящего узла Q и аргумента перицентра со зависит от угла наклона плос- кости орбиты к плоскости экватора L При 0</<л/2 вос- 133
ходящий узел уходит против вращения, а при л/2</<л по вращению планеты. Вековое движение узла достига- ет максимума при Z = 0° или 180°, т. е. когда орбита ле- жит в плоскости экватора. При / = 90°, т. е. когда плос- кость орбиты проходит через полюса планеты, Q = 0. Ве- ковое движение перицентра достигает максимума при Z = 0°, 180° и обращается в нуль при /*^63c26z. При перицентр уходит в сторону движения, а при i>i* — против движения спутника по орбите. Вековое движение средней аномалии М достигает максимума при Z = 0° или 180° и обращается в нуль при z*~54°44z. При i<l* веко- вое движение М происходит по движению, а при i>i* — против движения спутника. Величины уходов Дй, Дсо, ДЛ1 зависят от р, е, I. Ме- няя эти параметры, можно управлять скоростью пре- цессии орбиты. Видно, что чем больше параметр орби- ты и период обращения спутника, тем меньше скорость прецессии орбиты, и наоборот. 3.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ОРБИТ И МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ Пусть имеются две орбиты с различными р, е, со, Q. Под действием возмущающих сил гравитации эти орби- ты будут непрерывно прецессировать друг относительно друга. Вследствие этого через некоторое время узлы этих орбит совпадут Qi = Q2. Если наклонения орбит равны (*2 = Ч), то в этот момент указанные орбиты становятся компланарными, что обеспечивает минимальные энерго- затраты для перехода между этими орбитами. Если же наклонения разные (Zji=/=Z2), т-о в момент совпадения восходящих узлов орбит (Qi = Q2) угол между плоскос- тями орбит становится минимальным, что также приво- дит к уменьшению энергетических затрат перехода. В са- мом деле, угол между плоскостями орбит А определяет- ся углами наклона и Z2 и межузловым расстоянием Дй (рис. 3.1) cos А = cos ix cos Z2 sin sin Z2 cos Д2. (3. 5) Как было сказано выше, углы наклона Z вековых воз- мущений не имеют, т. е. Zi = Z2 = const. Но межузловое рас- стояние является функцией времени Д2 = (21-22)(/-/0) + да0.
Из (3.5) видно, что при заданных наклонениях ор- бит угол А между плоско- стями орбит тем меньше, чем меньше угол между восходя- щими узлами, и он достигает минимума при ДЙ = 0. При этом Лт1п=|*2 — hl- Из сказанного ясно, что должны существовать такие взаимные расположения двух орбит, определяемые единичными векторами щ0 и с2°. что переход между эти- ми орбитами будет осущест- вляться с минимальными энергозатратами. Перейдем к исследованию оптимальных расположе- ний орбит. 3.2.1. Формулировка задачи Общая формулировка оптимизации межорбитальных переходов гласит: заданы и /=1, 2. Определить оптимальное взаимное расположение орбит Сг° и /Д оп- тимальное число импульсов и оптимальные точки их при- ложения, обеспечивающие минимум суммарного импуль- са скоростей перехода между орбитами. Поставленную задачу решим в следующей последо- вательности. Рассмотрим двухимпульсный переход со свободным временем. Будем считать, что cif fif ri} /=1,2 заданы. При этом задача сводится к определению опти- мального значения модуля Jc|onT переходной орбиты через данные параметры ft и г2-. После того как | с | опт будет заменен через cif fi п в критериальной функции т. е. va=/(7„ Z, 7Z), z=i, 2, уо ПОЯВИТСЯ ВОЗМОЖНОСТЬ оптимизировать Г{°, Ci° И fi°, '=1, 2, После этого можно будет исследовать влияние и ft (т. е. модулей векторов Ci и Д) на Vs . 135
3.2.2. Двухимпульсный переход между орбитами со свободным временем (общий случай) Критериальная функция Vs. Заданы начальная и ко- нечная орбиты, т. е. заданы векторы интеграла площа- дей орбит Ct и с2 и векторы Лапласа и f2. Кроме того, заданы радиусы-векторы точки 1 на начальной орби- те и г2 точки 2 на конечной орбите, между которыми осу- ществляется переход с начальной орбиты на конечную орбиту. Схема перехода показана на рис. 3.2. Энергети- ка перехода, выражаемая импульсом скоростей, состоит из двух составляющих: AKi — импульса скорости в 1-й точке и АУ2 — импульса скорости во 2-й точке. Цель исследования — минимизация суммы скоростей AVi-j-AVs, которая характеризует общие расходы рабо- чего тела, необходимые для перехода между орбитами 1 и П. Известно, что при заданных и г2 направление век- тора интеграла площади с переходной орбиты совпадает с направлением векторного произведения векторов ц и г2 Т х2 , (3.6) In X Г2\ а модуль его должен быть найден из условия минимума критерия IZa = AIZ J AV 2- Определим формулу суммарного «импульса скорос- ти Vs. Выразим изменение вектора интеграла площади с че- рез импульс скорости АУг*. Из рис. 3.2 видно, что Ьс1 = с — кс2 = с2 — с. Тогда A?i = ri X (Ki + AV\) — сх = т\ X А1/х, АС*2 —— С2 — Г2 X ( Ц2 — А1/2) — /*2 X А1/2. Из этих выражений видно, что изменение кинетичес- кого момента зависит только от той составляющей AV,, 136
которая перпендикулярна радиусу-вектору гг*. Обозна- чим эту составляющую через Тогда ^Ci = ri х /=1, 2. Умножая векторно Д^ на Ti и производя преобразова- ния, получим Рис. 3.2. Схема двухимпульс- ного перехода между орбита- ми: /—начальная орбита; //—конечная орбита; ///—переходная орбита однозначно. (3.7) Из этого выражения вид- но, что если известен с, то составляющая импульса ско- рости, перпендикулярная ра- диусу-вектору определится Так как Дсг- (перпендикулярно к гг-, то модули транс- версальной составляющей импульсов скоростей будут равны Д1/ z=l,2. (3.8) ri Из рис. 3.2 имеем Lc1i — c2'i-\-c2-<2cci cos Ah (3. 9) cosА/=7°-с?, Z=l,2. (3.10) Из (3.6) и (3.10) видно, что при заданных Сг и гг- угол между векторами интегралов площадей определяет- ся однозначно. Тогда, как видно из (3.8) и (3.9), транс- версальные составляющие импульсов скоростей ДР\Н> зависят только от модуля кинетического момента |с| переходной орбиты. Представим суммарный импульс скорости в виде = ^дИп + дИг+1/AVL+AVir, (3.11) где ДУйг — радикальная составляющая импульса скоро- сти. Выразим ДУг> через с. Для этого необходимо найти Радиальную составляющую скоростей переходной орби- 137
ты в точках 1 и 2\ Ay?r=-|/-!Lesi,n&.; /=1,2, (3.12) V р где ц=/Л4 — гравитационная постоянная; р, е, ft — фо- кальный параметр, эксцентриситет и истинная аномалия переходной орбиты. Используя зависимости ео.оъ§1 = щр— 1, щ = — ,/=1,2, (3.12') Г/ можно переписать (3.12) в виде VZ-=±|/^-[e2-(M^-l)]2, z = l,2. (3.13) Выражение е2 находится из зависимостей (3.12х), за- писанных для двух точек через гь г2 и угла между ни- ми ф ecos&^z^p— 1, (3. 14) ecos (d1+?)=^2P— 1- (3. 15) Исключая Oi, получим g2 = Дц2/>2 । 1 — (/z1 + tt2)/> (3 jgx sin2 ср о ’ Т C0S2 2 где А и2=я? + #2 —' 2^2 cos ср. Так как р = с2/ц, то из (3.13) и (3.16) видно, что V"r зависит при заданных /=1, 2, только от с. Подставляя все выражения в (3.11), получим Va = 4(c). Оптимизация модуля вектора интеграла площади пе- реходной орбиты. Зависимость V^(c) очень сложная. Условие ^^- = 0 не дает простого аналитического ре- dc шения Сопт- Значение сопт легче найти с помощью числен- ных методов. Для этого проведем качественный анализ характера кривой VE=/(c). Начнем с выражения (3.13). Введем обозначение Фх. = е2-(^р-1)2, i — 1, 2. (3. 17) Из (3.13) видно, что должно быть выполнено условие Фг>0, /=1,2. 138
Для проверки этого условия подставим (3.17) и после преобразований получим Д. = 2м(.— c°s2-f D=tg2-^-, 4 = 1,2. & 2 Путем подстановки можно доказать, что £2-4QzZ)=0, 4 = 1,2. (3.16) в (3. 18) (3.19) Используя это выражение, формулу (3.18) можно привести к виду ф =Q 4=1,2. ' ‘ V 2Qz / Тогда радиальная составляющая скорости орбиталь- ного аппарата будет определяться формулой К=| с +-А I 4= 1, 2. (3.20) I 20/ с . I Из (3.19) имеем Qi^O, следовательно, У?г имеет всегда действительное значение. При Вг=0 также С?г=0. В этом случае Фг=Р и iz"r=JJ-tgJL 4 = 1,2. с 6 2 Определение знака V"r, 4 = 1,2. Из (3.14) и (3.15) находим tg&i^cos?!— / sin<р, которое вместе с выражением а uiP— 1 cos = ——------ е Дает круговое значение {И-Тогда О2='О’х+ф. Если Ф2>2л, то ^2 = ^2—2л. Если Ог<ТС, ТО У"г = — еСЛИ 'О’г>Я, ТО Vn.f = = —4=1,2. с 139
Рис. 3.3. Система углов ные импульсы скоростей в Оптимизация гД fi альную функцию в виде Анализ выражений (3.8), (3.9) и (3.20) пока- зывает, что численная оп- тимизация модуля векто- ра с переходной орбиты и численное определение минимального значения не представляет осо- бого труда. После того, как будет найден Сопт, то тогда по (3.7), (3.13) и (3.16) бу- дут найдены и оптималь- ТОЧКах ДУюпт, А 1^2 опт- °, z= 1, 2. Перепишем критери- ys = l/zz?Ac? + (b/i'r-ViJ + ]/«2^22 + ^2A-^2r)2, (3. 21) где Дс2=с?+<?2 — 2cczcos Ah n=lc+^r — 1^’ I 2Qi С | Z=l,2. .(3. 22) За начало отсчета углов примем линию пересечения плоскостей начальной и конечной орбит, направление ко- торой определяется вектором уЭ ^1X^2 |ciXc2| Как видно из рис. 3.3, ф* — угол между векторами у и гг-, задает положение точки приложения импульсов; ф — угол между векторами i\ и г2, угловая дальность пе- рехода; А — угол между плоскостями начальной и ко- нечной орбит, cos А = с1°-с2°; At — угол между плоскостя- ми начальной и переходной орбит; А2 — угол между плоскостями конечной и переходной орбит; — угловое расстояние перицентра от линии пересечения орбит, т. е. между векторами у и fi. С помощью углов фг, со* можно выразить все необхо- димое для расчетов величины. 140
sin epi (3. 24) Угловая дальность перехода из точки 1 в точку 2 оп- ределяется по формуле cos? = cos?1cos?2+ sin ?т sin ?2cos A. (3.23) Угол ср может меняться в пределах 0^ф^2л. Для однозначного определения ф по (3.23) используем сле- дующие условия: _____ если cos ср>0, то ?' = arcsin ]/1 — cos2?; если cos<p<0, то ?' = л — arcsinp^ 1 — cos2?; далее, если (с°-с1°)>0, то <p = q/; если (с°*С1°) <0, то ф = 2л—q/. Условие (c°-Ci°)>0 сводится к условию cos ?i sin ?2 cos А — sin ?х cos ?2 > 0. Углы Ai также выражаются через л COS Ф COS 91 — COS Ф? cos Л1 =----------------— sin cp Л _ C0S ?! — COS <p COS <p2 CUo Zl2-----------------• sin <p sin cp2 Здесь необходимо обратить внимание на случаи, когда ф1 = 0, ИЛИ ф2 = 0, ИЛИ ф1 = 0 И ф2=0, ИЛИ ф1 = 0 и ф2=л, или ф1 = л и ф2 = 0, или ф1 = л и ф2=л одновре- менно. Из рис. 3.3 можно легко заметить, что когда ф1 = 0, Ф2=7^О, то с° = с2°, т. е. направления с и совпадают. А это значит, что А^=А, /12 = 0. Аналогично, когда ф^О, ф2 = 0, то с° = с}0. Поэтому Ai = 0, А2=А. Особым является случай, когда ф1 = 0 и ф2 = л или Ф1=л и ф2 = 0, т. е. когда импульсы приложены в проти- воположных узлах. Фокальный параметр р и эксцентриситет е переходной орбиты определяются из выражений (3.14) и (3.15) при ф = $2——л р=2-г-1Г2- , (3.25) П + Г2 е cos &i = Г2----1 . (3. 26) ^*2 + Г1 Из выражения (3.25) видно, что фокальный параметр, а следовательно, и модуль вектора |с|, однозначно опре- деляются значениями гх и г2, 'поэтому значение |с| не 141
может быть оптимизировано. В этом случае неоднознач- ным является направление вектора с°. Оно и должно быть оптимизировано (см. подразд. 3.2.3). При ф = л появляется еще один оптимизируемый па- раметр: е или Оь так как ввиду вырождения выражения (3.16) их не удается исключить. Из (3.26) видно, что меняя Оь можно получить раз- личные типы переходных орбит: Л * Го — Г1 * при &i= arccos — ---- ^2 + ^1 при |0i | <ог — эллипс (причем при 01 = 0 осущест- вляется хомановский переход с апоцентром га = г2 и пе- рицентром Гк =ri); при |0i|>0i* — гиперболу. Радиусы точек 1 и 2 и радиальные скорости движе- ния по начальной и конечной орбите в точках 1 и 2 оп- ределяются формулами с* — параболу; Н + fl c°s (<р/ — <>/) Vir = ~ sm(?z — <oz), «I f = 1,2. 3.27) Если теперь подставим (3.22), (3.23), (3.24) и (3.27) в (3.21), то получим следующую функцию: = Л). Углы <pi, ср2 показывают положения точек приложения импульсов, а озь со2, А — взаимное расположение орбит. Процедура решения и результаты расчета. Численное нахождение оптимального расположения орбит рассмат- ривается как многошаговый процесс и проводится по схеме УБ = тт [min [min [min/(A, <*>/, c)Jj], Заданы: | |, |/\|, z = l, 2. Алгоритм решения: «,•=(н+A COS (<pz — соЩ/с?, Vir = — sin (?, — «>,), ci A — arccos (c° -Сг), Z = l,2. (3.28) 142
если ?1 = 0, то {?=<р2; А = Л; А=0}; если <р2=0, то {?=2л —?х; Лх = 0; А2 = Ау, если ?х/0, ?2-#0> ?1/л, <р2/л, то {cos ?=cos <рх cos <p2 + sin <px sin ?2 cos A; ?'=arcsinУ1 — cos2?; ?=?'; если cos<p<0, to ?=« — ?'; если sin ?x cos?2 —cos?x sin ?2cos.A >0, то ?=2л —?'; rn„ A C0S f C0S 'fl — C0S ?2 • sin <p sin <pi д CGS <P1 ~ cos ? cos ?2 1 sin <p sin <p2 J Оптимизация c: Acz=C/ + c2— 2cclcosAi; hu2=til+u2 — 2мхи2 cos ?; Q.I — > Sin2 В—2Щ n = |c + -it Определение знака V"r: x=tg&i = (cos<f> — +^2 . cos2(<p/2) a2c2 — pi iZlC2— p, 1 . sin y=uxc2 — I*; &x = arctg(x,y); ^=^4-?; если &2>2л, to {>2=&2 — 2л; если > л, то Vnir=-Vnir\ Vs = Vu^c2^{y'{r-VXr}2 + V u^ + iyl-V^2. На основании численных расчетов получено следую- щее наилучшее расположение орбит, обеспечивающее наименьшие энергозатраты на межорбитальные пере- ходы; 143
1) векторы Лапласа должны совпасть по направле- нию, т. е. Л°=/2°; это значит, что линия пересечения ор- бит должна совпасть с линиями апсид обеих орбит; 2) угол между орбитами должен быть минимальным. При заданных наклонениях ц и f2 это достигается толь- ко в том случае, если восходящие узлы орбит совпадают (Qi = Q2) (3.5). На основании п. 1 это означает, что век- торы Лапласа лежат в плоскости экватора и направле- ны на восходящие (или нисходящие) узлы орбит; 3) оптимальными точками приложения импульсов яв- ляются: — перицентр внутренней и апоцентр внешней орбит, когда гг^ < гКа и га1<гйа, т. е. когда одна орбита на- ходится внутри другой орбиты (рис. 3.4, а); — высокий перицентр и высокий апоцентр, когда и га1>г,а, т. е. когда перицентр первой ор- биты ниже перицентра второй орбиты, а апоцентр пер- вой орбиты выше апоцентра второй орбиты (рис. 3.4,6). Нумерация орбит здесь условна. В случае га1 = гйа осуществляется только одноим- пульсный переход с приложением импульса в апоцентре орбит. В случае перехода с одним поворотом поворот плос- кости переходной орбиты всегда осуществляется в ее апоцентре. Более оптимальным является переход с двумя пово- ротами в указанных выше точках (этот случай рассмат- ривается ниже). Рассмотрим более подробно схемы переходов, изобра- женные на рис. 3.4, а и б. Пусть осуществляется переход с внутренней орбиты на внешнюю. Выясним зависимость суммарного импуль- са скорости от высоты апоцентра гй1 внутренней орби- ты: гЯ1 = rZa = гйа = const. Как видно из рис. 3.4, а при гТС1 = const и r„2 = const переходная орбита 3 от гй1 не зависит. Поэтому импульс ДК2 при изменении гй1 ос- тается постоянным. Импульс AVi при росте гй1 умень- шается и при rai = raa он равняется нулю (ДУ1 = 0). При дальнейшем росте гй1 импульс ДУ1 начинает снова рас- ти. Следовательно, при переходе по схеме «а» минимум суммарного импульса скорости соответствует высоте rai = raa. При росте гй1 выше гЯа схема «а» заменя- ется схемой «б». Поэтому для дальнейшего снижения энергозатрат перехода между орбитами точки приложе- 144
Рис. 3.4. Схемы оптимальных расположений орбит и межорбитальных переходов: < гк2 и ra1 < га2» ^~гп1 < гпя и Гаг > гая /—первая орбита; 2—вторая орбита; 3—переходная орбита ния импульсов (рис. 3.5) изменяются на 180° (ф1= 180' и ф2 = 0). 3.2.3. Двухимпульсный переход с двумя поворотами между соапсидальными некомпланарными орбитами Нам уже известно, что при апсидальном переходе, когда ф]=0 и (р2=180° или cpi=180o и ср2 = 0, углы и А2 являются неопределенными (3.24). Это значит, что вектор интеграла площади переходной орбиты с может занять любое направление. Величина же его определена заданием высот апсидальных точек: при переходе по схеме, изображенной на рис. 3.4, а 145
Рис. 3.5. Характеристическая скорость импульсного перехода между соосными эллиптическими орбитами: <01=0; <оа=0; ЛЯ1=200 км; йКа=2000 км; -------(^"2 пе₽еход п0 схеме •а*’ -------пеРехо11 п0 схеме 146
Направление вектора переходной орбиты долж- но быть определено, исхо- дя из условия Vs=:min. Таким образом, получаем апсидальный переход с двумя поворотами (рис. 3.6). При апсидальном пе- реходе радиальные со- ставляющие скоростей в точках 1 и 2 равны нулю, т. е. Vir=0 и V7r=0, / = = 1,2. Поэтому выраже- ние критериальной функ- ции (3.21) упрощается и принимает вид Рис. 3.6. Схема апсидального пе- рехода с двумя поворотами I/ = । _ В Г1 Г2 При заданных значениях гг-, Сь G А величины Дс4 и Д^2 зависят только от угла 4i: ДС1 = С2 + С1 — 2ссх cos А ь Дб?2 = ^2 + ^2— 2^2 соэ(Д — ДД (3. 29) (3.30) Из выражений (3.29) и (3.30) легко найти Д10Пт и и I/S=min, следовательно, ДУюпт и ДК2опт- Таким образом, апсидальный переход с двумя пово- ротами более выгоден, чем с одним поворотом. Интересно это явление проследить на плане кинети- ческих моментов, изображенном на рис. 3.7. Планы «а» и «б» соответствуют схемам «а» и «б» рис. 3.4. Векторы ei и с2 заданы. Модуль |c|=const, но его направление неизвестно. Годограф с есть окружность радиуса |с|. Как видно из рисунка, при Д1 = 0 и А{=А имеем двух- импульсные переходы с одним поворотом. При Д1 = 0 поворот осуществляется во второй точке, а при At=A — в первой точке. Когда угол Ai лежит в пределах 0<Ai< <А, происходит двухимпульсный переход с двумя пово- ротами. При росте Ai величина Д^ растет со значения Alimin до значения Джипах, а Дсг падает с Д^шах до 147
Рис. 3.7. План кинетических моментов Дс2 mm. Поэтому согласно (3.29) существует Люпт, при котором импульс скорости V2=min. 3.2.4. Переход между соапсидальными некомпланарными орбитами с помощью микроимпульсов Анализ плана вектора с дает интересный метод реше- ния задачи .перехода между соосными некомпланарны- ми орбитами с помощью микроимпульсов. Как и в случае макроимпульсов, микроимпульоы со- общаются космическому аппарату в моменты прохожде- ния через линию пересечения орбит, т. е. в узлах, Каж- 148
дый микроимпульс dVi приводит к изменению как вектора с, _так и век- тора Лапласа f переход- ной орбиты. Примем за элементар- ные изменения вектора de, вектора Лапласа df, угла dA и импульса ско- рости dV^ изменения ука- занных параметров от двух микроимпульсов, со- общаемых в апсидальных точках оскулирующей пе- реходной орбиты. Тогда согласно' двух- импульсной схеме пере- хода с двумя поворотами элементарное приращение импульса скорости будет равно (рис. 3.8) ментов, схемы микроимпульсного перехода _ dc^ . dc^ (3.31) где dc('\ dc<") — элементы годографа; r('\ r(") — радиусы апсидальных точек оскулирующей переходной орбиты. Элементы годографа с можно выразить через величи- ну и скорость изменения модуля вектора с dcW = ]f с2+'c2dAh Z = l, 2, (3.32) ^радиусы апсидальных точек через векторы с и Лапласа f оскулирующей переходной орбиты С2 •(’) -/ (3.33) Здесь М — изменение модуля вектора с. (3.34) 149
Подставляя (3.32) и (3.33) в (3.31) и обозначая dA\ Д=-----, после преобразований найдем dA = jК (и - f + ZfAj dA. о Кривые с = с(А), f=f(A), Ai=At(A) должны быть найдены из условия Vs=min при заданных начальных и конечных параметрах Д=0, Д = ДК, с = сь с—с2, (3.35) /=Л. /=Л- Найдем изменение вектора Лапласа, которое являет- ся в данном случае ограничением вариационной задачи. Воспользуемся выражениями векторов интеграла пло- щади и Лапласа c=rx V, /=—+ Как было сказано, микроимпульсы сообщаются в ап- сидальных точках. Вследствие этого происходит измене- ние с и f: dc=rxdV, (3.36) df=dV x с+Vx de. (3.37) Умножая выражение (3.36) векторно на г и учиты- вая, что dV 1.Г, найдем dV = ^L. (3.38) Подставляем (3.36) и (3.38) в (3.37) и, преобразуя, найдем » /• г-, cdc Отсюда, если сообщается импульс в перицентре, го 150
а если в апоцентре, то с8с(’> rf/2=-2-^- . Суммарное изменение df с учетом (3.34) будет равно df=d/г+d f2= 2 — (dA t - d Д2)+fd A ], c откуда получаем 7=2 JL(/_(i + 2|xA) (3.39) — уравнение связи. Таким образом, задача перехода между соосными не- компланарными орбитами с помощью микроимпульсов приводится к вариационной задаче Эйлера — Лагранжа, которая состоит в определении экстремума функционала 7 = jF(<?, с, f, f, A^dA о среди функций с(А), f(A), Ai(A), удовлетворяющих уравнению связи (3.39) и граничным соотношениям (3.35). Здесь ^=Цр^(1*-/4-2/Д1)+х[/-2-^(/-|*+2|*Д1)]. Экстремали функционала при переходе между эл- липтическими орбитами получаются сложными ив квад- ратурах не решаются. Однако в случае перехода между круговыми некомпланарными орбитами задача имеет аналитическое решение. В этом случае, так как оскулирующая переходная ор- бита остается близкой к круговой, то функционал упро- щается и имеет вид У(?2 4- с2 , - \ , dA- J С2 о Решением уравнения Эйлера является cos (Д-Дт), гДе с — Ас т . » sin Ал 151
с2 — С1 C°S Ak L.c2 = с\ + cl — 2сгс2 cos Ak. Характеристическая скорость при этом равна Т г Д С С1С2 Это уравнение после замены Ci2 = pA и с22=цг2 при- мет вид VBmln=/И + И - 2V.V, cos Ак, где Vb V2 — круговые скорости начальной и конечной орбит. Для сравнения приведем из книги [27] приближенную формулу V2 при выполнении маневра поворота плоско- сти круговой орбиты (на угол Ак) с одновременным из- менением радиуса (с ri до г2) с помощью двигателя ма- лой тяги Ка = ]/'У1 + У2- 2V'1Vr2 cos Здесь предполагалось, что двигатель включен на всей траектории. Радиальная компонента вектора тяги полагалась равной нулю, компоненты даны по вектору скорости »и по (против) 'нормали к мгновенной плоскос- ти орбиты (смена знака нормальной компоненты проис- ходит на диаметре, перпендикулярном к линии узлов). Абсолютные величины этих двух компонент вектора тяги считаются медленно меняющимися функциями времени. Из сравнения Vamm и VE видно, что в последнем слу- чае переход осуществляется как бы между орбитами, имеющими угол некомпланарности A =-~-Ak. А это зна- чит, ЧТО 7а> Va min. 3.3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ ОРБИТ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД Рассмотрим две задачи. Первая — оптимальный переход между двумя произ- вольными планетоцентрическими орбитами. Из разд. 3.2 известно, что существует оптимальное расположение двух орбит, переход между которыми осуществляется с наи- 152
меньшей затратой импульса скорости. При задании про- извольных -орбит оптимальный переход между этими ор- битами может -быть осуществлен только путем перехода на промежуточную орбиту. Задача управления движе- нием КА заключается в переходе на такую промежуточ- ную орбиту, двигаясь по которой под действием возму- щающих сил от сжатия планеты, КА переходит на орби- ту, занимающую оптимальное положение по отношению к конечной орбите. Вторая задача — переход между гиперболами приле- та и отлета при межпланетных полетах КА с выходом на орбиту искусственного спутника планеты. В гл. 1 (разд. 1.4.2) было показано, что переходы между гипер- болой прилета и эллиптической орбитой искусственного спутника планеты и обратно между эллиптической -орби- той и гиперболой отлета осуществляются с минимальной затратой импульса скорости, если плоскости и линии ап- сид этих орбит совпадают. Однако известно, что для ре- альных траекторий межпланетных перелетов плоскости и линии апсид гипербол прилета и отлета, как правило, не совпадают. Отсюда вытекает задача определения такой орбиты .искусственного спутника планеты, который, дви- гаясь под действием только возмущающих сил от сжатия планеты, переходит с оптимальной орбиты относительно гиперболы прилета на оптимальную по отношению к ги- перболе отлета. Покажем, что поставленные задачи имеют действи- тельные решения. Начнем со второй задачи, так как она более простая. 3.3.1. Переход между гиперболами прилета и отлета Определение углов со и Q. Пусть на границе сферы Действия планеты задан вектор скорости Ко, выбран- ный из условия наименьших энергетических затрат для межпланетного перелета при определенной дате стар- та ^ст. Выберем систему координат с началом в центре пла- неты. Ось Ох направим в точку весеннего равноденствия ось Oz совпадает с осью вращения планеты, Оу до- полняет систему осей Ох и Oz до правой (рис. 3.9). Перенесем направление вектора скорости Ко в нача- ло координат. Обозначим угол между вектором Ко и его 153
z (Q4K<l старта илиь прилета, Рис. 3.9. Схема старта с планетоцентрической орбиты и прилета на эту орбиту проекцией на экваториальную плоскость через q>, а угол между указанной проекцией вектора V<x> и его направле- нием в точку весеннего равноденствия через ф. Стар г происходит по касательной к стартовой орбите. Между величинами ср, ф и параметрами орбиты (дол- готой узла Q и наклонением f) существует зависимость, получаемая из сферического треугольника ВМЕ (см. рис. 3.9) 2=ф — arcsin-^- . (3.40) tg/ Из формулы (3.40) следует, что наклонение проме- жуточной орбиты может быть выбрано только в диапа- зоне |<р|</<|л — <Р|. (3.41) Формула (3.40) дает возможность определить поло- жение промежуточной орбиты при заданных <р и -ф и вы- бранном наклонении i. Пусть заданы вектор скорости прилета V,(<pt, ф1) в момент t\ на. границе сферы действия планеты-цели и 154
аналогичный вектор скорости отлета Кг(ф2, ’фа) в момент ^=^+^0® (где tom — время ожидания на промежуточ- ной орбите). рассмотрим общий случай, когда орбита ожидания у планеты — эллиптическая. Радиус перицентра г к — задан. Необходимо определить параметры орбиты ожидания (i и Га), причем направление прилета в момент t{ и на- правление отлета в момент /2 должны совпадать с за- данными направлениями Vi и Р2- Определим изменения AQ = Q2—Qi и Д(о = о)2—На основании формулы (3.40) при заданных Vi (<pi, г|а) и V2 (ф2, фг) и фиксированном наклонении i можно вычис- лить долготы восходящего узла орбиты ожидания в мо- менты ti и t2 21=(k— arcsin , tg* (3.42) Й2=ф2 _ arcsin , tg* (с точностью 2лп, /г = 0, 1, ...). Аналогично можно показать, что по вектору прилета Vi и Гк — радиусу перицентра прилетной гиперболичес- кой орбиты можно найти положение перицентра на этой орбите. Переход с прилетной гиперболической на эллип- тическую орбиту ожидания происходит в точке, являю- щейся одновременно перицентрами обеих орбит (см. гл. 1). Положение перицентра на эллиптической орбите ожидания в момент определяется углом uif отсчитыва- емым от линии узлов в направлении, противоположном движению часовой стрелки (см. рис. 3.9) их = л -ф- Ц- a rccos [ cos cos № — 2t)], где 04 = arccos —-угол между осью апсид и асимпто- *1 тои гиперболической орбиты прилета; ei — эксцентриси- тет прилетной гиперболической орбиты, вычисляемый По формуле ех— 1 + — (где ^i = p/Vi2). ах По аналогичным формулам определяется и положе- ние перицентра и2 © момент t2. Определение параметров промежуточной орбиты. Из- биения положения долготы восходящего узла орбиты и 155
угла поворота линии апсид в плоскости орбиты, возни, кающие вследствие действия сил от сжатия планеты, должны равняться разности углов Q2—Qi и и2—щ, ха’ растеризующих положение восходящего узла ипериценъ ра эллиптической орбиты ожидания в моменты времени ti и t2 Д2 = Й2 — 2i = АЙо + /г22л, (3. 43) Д(о(^) = й2 — й1 = Д(о0-|-пО)2л, (3.44) где AQo= (Q2—Qi)o, Дсоо = (о)2—coi)o — в пределах одного оборота восходящего узла и линии апсид; n$>nw — чис- ла оборотов восходящего узла и линии апсид. С другой стороны Д2(/)=2/0Ж, (3.45) Д(о(/)=^/ож, (3.46) где Q и со определяются формулами (3.2) и (3.3). Если обозначить через /2 (/) — (/)=— , 2л 2л /в(/) = — [фг— Ф1+arcsin^-^—arcsin 12И1 J У 2л L tgi tgi Jo .0 a2 — ai + arccos 1_/Яэ\2 1 A 2 ( p J T p2a3/2 ' (0</а(/)<1; 0</m(/)<l), где A=-f-VpRl, (3.47) то равенства (3.43) — (3.46) примут вид - В10Ж cos i=/2 (/) + пй=ns, Bt0K (5 cos2/ -1)=Л,(/)+л<.=^Ч-п<.. Величины ла и принимают любые допустимые ус' ловиями задачи целочисленные значения (0, ±1, ±2,...)» 156
а наклонение i, в силу неравенств (3.41) может изменять- ся в области Фо, где ф0=тах (|ф±|, |Фг|). Таким образом, получим систему (3.48) двух уравне- ний с двумя неизвестными величинами i и В, решение которой будет приведено ниже. Предположим, что нам удалось каким-то способом найти хотя бы одно решение этой системы. Зная i, можем по формуле (3.42) определить долготу восходящего узла орбиты ожидания в момент По ве- личине В (т. е. по фокальному параметру р) находим радиус в апоцентре эллиптической орбиты ожидания, ее эксцентриситет и большую полуось: = рг* е=Р-^ а—. 2^~Р ' г* ’ Аргумент перицентра в момент ti равен Ut. Систему уравнений (3.48) можно представить в удоб- ном для расчетов виде «2=f (г) [лш + Л (*)] — Л (г’)> где D л8 + Лг(0 LJ =-------------, — 2/Ож cos i .ч__ 2 cos Z 5 cos2 i — 1 ’ (3.49) (3. 50) и решить одним из аналитических методов или графи- чески. Пример решения задачи. Был проведен расчет пара- метров орбиты ожидания при полете к Марсу в 1975 г.. Оптимальная дата старта с Земли — 6 сентября 1975 г. Время перелета /п~350 дней, оптимальная дата отлета к Земле 27 июля 1977 г. Таким образом, время ожида- ния /Ож = 334 суток. Из решения гелиоцентрического уча- стка определены координаты скоростей входа в сферу и выхода из сферы действия Марса Vt = 2624,5 м/с; ф! = = 4°, 113; ф1 = 347°,145; 14=2902 м/с; ф2 = 38°,863; ф2 = = 92°,541. Высота перицентра орбиты ожидания /и =200 км. Ко- эффициент, учитывающий нецентральность поля тяготе- ния Марса, / = 0,003 [28]. При этих значениях параметров с помощью формулы (3.49) построен график зависимости i(ns, пи>), изобра- женный на рис. 3.10. Из этого графика для целочислен- ных значений ла и пю определены значения наклонений 157
с Земли 6 сентября 1975 г. i плоскости орбиты ожидания у Марса (табл. 3.1) - За- тем для найденных значений i и пд по формуле (3.50) вычислены значения В, из которых по (3.47) найдены высоты апоцентра /га (табл. 3.2). Как видно из табл. 3.2, каждой паре (па, в об- ласти существования решения соответствует единствен- ное решение i, ha, удовлетворяющее условию задачи. Для случая круговых орбит используется только урав- нение (3.50), и одному значению пд отвечает бесчислен- ное множество решений ЛКр(Д). Фиксируя I, фиксируем и /гКр для данного Пд. В гл. 1 (разд. 1.4.1) было показано, что наибольшая экономия в импульсе скорости достигается при выходе на 158
Таблица 3,1 Значения наклонений i [град] плоскости орбиты ожидания у Марса в зависимости от и2 и Число оборотов восходящего узла, пд -4 —3 -2 -1 0 1 2 3 4 — - —4 72 73,5 75,5 79 84,3 92,3 98,7 102,5 105,5 -3 70 71,5 73,5 77 83 93 101 105,5 108 —2 68 69 70,5 73,5 80,5 94,5 104 108 110,5 — 1 65,5 66 67 69 74,5 98,5 109,5 112 113,5 0 63 63 63 62,5 61,5 121,5 117,5 117 117 1 60 59,5 58 54 39 130 123,5 121 2 57 55 51,5 42,5 131 126 3 53,5 50 44 141 132 4 49,5 45 138,5 Таблица 3.2 Значения ha(nQ, при Лл=200 км Число оборотов восходящего узла, пд -4 —3 -2 -1 0 1 2 3 4 —4 420 810 1320 1230 890 480 —3 680 1120 1860 1950 1510 910 460 -2 500 1000 1740 2880 3310 2140 1230 690 —1 300 760 1350 2450 4900 6450 3230 1700 • 980 0 500 1000 1740 3390 7250 16600 4570 2240 1260 1 690 1230 2180 4360 11000 6300 2950 1620 2 850 1550 2750 5250 3540 1950 3 1050 1860 3230 4170 2340 4 1230 2090 2630 сильно вытянутые эллиптические орбиты. Как видно из *абл. 3.2, такие орбиты получаются только при (пв, М = (0, 1) и (1,0). 159
3.3.2. Переход между планетоцентрическими орбитами (общий случай) Определение параметров промежуточной орбиты. Рассмотрим общий случай, когда прецессируют обе ор- биты, т. е. cif с2, f2 — функции времени. Случай харак- терен переходу между двумя летательными аппаратами, вращающимися по разным орбитам. Из выражения критериальной функции (3.28) видно, что взаимное расположение орбит определяется углами col 0)2, ЛЙ. Исходя из разд. 3.2, оптимальные значения этих углов равны ^1опт а)2опт==0» Дйопт = 0. (3.51) Для одновременного обеспечения оптимальных зна- чений указанных углов необходимо применить управле- ние, которое бы способствовало переходу орбиты из лю- бого состояния в оптимальное. Управление основывается на изменении скорости пре- цессии восходящего узла Q и углового расстояния пери- центра от узла о) путем перехода из начальной орбиты на промежуточную. Определим параметры промежуточной орбиты, для которой справедливы следующие уравнения: соопт=(о (0)+(о/ — 2 л , Д20ПТ = Д2 (0) + (2 — а2) t — 2л«2. Время должно удовлетворять условию «2опт = W2 (0) + <°2^ — 2лПш,. Если обозначить через /В=[Д2ОПТ-Д2(0)]-У, /ш = [°)опт —w (0)] . (0 </s< 1; о__ о________ Р^2' 2~р2а^2' (3.52) (3.53) (3.54) (3. 55) 160
пя Рис. З.И. Области существования , /(„, где Л =-------, то равенства (3.52) и (3.53) примут вид 4л — 2B/co-s/= А>4-п2—- 2B2t cos Z2J /О J у 3.56) Bt (5 cos2 i — 1) = Д пш. I Величины zzg, пм принимают любые допустимые ус- ловиями задачи целочисленные значения (0, ±1, ±2,...), Систему уравнений (3.56) можно представить в удоб- ном для расчетов виде /Z2 = (/zto + f (i) — f ?-г-2B2i cos h, (3.57) B=„s + f,-2B!lmil^ ,358. — 2/ cos i Получим систему уравнений, похожую по структуре с уравнениями (3.49) и (3.50). Но уравнение (3.57) в от- личие от (3.49) имеет более простую зависимость от наклонения i и имеет аналитическое решение COS i = - + 1 ln°> + f^2 + 5 (”g + /a-2B2z cos f2)2 5 Д -r /2— 2B9Z cos Z2) (3.59) 6 2801 161
Параметры промежуточной орбиты определяются па- раметрами конечной орбиты /zaa, i2, Q2. Область су- ществования параметров ла, пш и четверти нахождения наклонений i определяются по уравнениям (3.57), гра- ницы которых соответствуют значениям /=0, arccosp/"Ь 90°, arccos^— 180°, при которых выражение f(i) принимает значения —1/2, —00, 0, 00, 1/2 соответ- ственно. Эти области (рис. 3.11) I—IV соответствуют об- ластям, изображенным на рис. 3.10. Задача решается следующим образом. При известных значениях /а, В2, i2 задаются из области существова- ния целочисленные значения ла и и по уравнению (3.59) определяется величина угла наклонения промежу- точной орбиты. Затем с помощью уравнения (3.58) вы- числяется значение B(h«., hKf t) промежуточной орбиты. Заменяя время полета по промежуточной орбите его вы- ражением из (3.54), найдем высоты апоцентра и пери- центра из формулы (3.55). Энергетика пертурбационного перехода между орби- тами состоит из двух частей: энергетики перехода меж- ду начальной и промежуточной орбитами и энергетики перехода между промежуточной и конечной орбитами. Энергетика перехода между начальной и промежу- точной орбитами. Рассмотрим две схемы такого перехо- да. Считается, что большая полуось а и эксцентриситет е промежуточной орбиты определены, исходя из условия удовлетворения (3.51): ДЙопт, 0)2опт И СОопт* Первая схема перехода. Переход из начальной орби- ты на промежуточную осуществляется двумя импульса- ми. Первым импульсом скорости AVi, сообщаемым в перицентре начальной орбиты, орбита изменяется таким образом, чтобы получилась высота апоцентра Ла = = а (1 б) — Второй импульс скорости Д1/2, сообщаемый в узле, ближайшем к апоцентру, поворачивает орбиту относи- тельно узловой линии Q—Q' на угол Д/ = /—i2 (рис. 3.12). Величины импульсов скорости определяются по фор- мулам F CL\ г CL 162
где Рис. 3.12. Первая схема перехода между начальной и промежуточной орбитами А1/2=21/ sin — , 2 П 2 После перехода имеем Q(0) =Qi, со(0) = coi. Суммарная энергетика перехода равна Vs=AVi + Н~А V2. Вторая схема перехода из начальной орбиты на про- межуточную. Переход между начальной и промежуточ- ной орбитами осуществляется одним импульсом, сообща- емым КА в одном из узлов, расположенном в об ласти апоцентра. Величина и направление импульса выбира- ются из условия обеспечения заданного изменения накло- нения орбиты A=Ai = i—ц и заданных значений высот апоцентра Ла и перицентра h* промежуточной орбиты, (Определяемых в свою очередь из условия удовлетворе- ния AQoitt, (Оп.опт и «гонт (3.51). Исходя из рис. 3.13, ве- личина импульса скорости определяется по формуле 6* 163
Рн. 3.13. Вторая схема перехода между начальной и промежуточной орбитами AC2= v2 + и - 2 Wjcosa. (3.60) Значения скоростей КА на начальной и проме- жуточной орбите равны V2i = -— (1+2^ cos^-j-^i)’ Pi где /у=-------------------- 1 4- #i cos &1 = n— (0Х при В1 = 2л--со1 при Здесь \х=]М — гравитационная постоянная планеты; /у, и. 01 — фокальный параметр, эксцентриситет, истин- ная аномалия начальной орбиты; гх — радиус точки пе- рехода; а — большая полуось промежуточной орбиты. Угол а между скоростями V и Vi определяется по формуле cos a=sin 0j sin 0-j-co-s 0! cos 0 cos AZ, (3. 61) где 6 — угол возвышения скорости полета над местным горизонтом. Из (3.60) и (3.61) видно, что существует оптималь- ное значение угла 0, удовлетворяющее условию &V = = min, равное tg • (3.62) cos Az Из этого выражения видно, что 0ОПт имеет тот же знак, что и 01, причем 10()1ГГ | 1011 • Подставляя (3.62) в (3.61), имеем sin (аОпт) = = cos 01 sin Л/. Отсюда вытекает, что | аопт | | Д*| • 'Определим аргумент перицентра со(0) и угла Q(0) промежуточной орбиты. 164
Так как переход осуществляется в одном из узлов, то fi(0)=Qi. Аргумент перицентра со(0) зависит от выбора узла, в котором сообщается импульс, и от значений -th. Как было сказано выше, для уменьшения ДУ будем сообщать импульс в том узле, для которого значение ис- тинной аномалии от узла -th лежит в пределах л/2^*&1^ <Зл/2. Пусть в этом пределе лежит восходящий узел. Тогда «ДО) =2л—-th Если же в указанном пределе лежит нисходящий узел, то со (0) = л—6. Значение угла О определяется совместно с уравнени- ем (3.62) из известного выражения tg6=— sin ft: Р • G Р tg 91 sin Я = s --- , er\ cos Az Cos &==(—---Й— . \ ri ] e Сравнение одно- и двухимпульсного переходов. Рас- смотренные две схемы перехода между начальной и про- межуточной орбитами сравниваются по импульсу скоро- сти. Для примера в качестве промежуточной орбиты при- нималась орбита с параметрами: /гк = 1000 км, йа= = 5000 км, угол некомпланарности орбит А = 40°. Высота перигея начальной орбиты 7^ = 300 км, а высота апогея и аргумент перигея изменялись в пределах: Аа1=1000-т- -<-5000 км, «I = — 90—270°. Таблица 3.3 Схемы перехода м^ежду i начальной и промежуточной орбитами, м/с со, =0 со, =30° со , = 60° со, = 90’ COJ = 120’ км . R * со S ® 3 О К i «J S ® X о 4 со 15 । R 1“ и 2 R о Л , к = 3 ® 3 W • со - « X и । к - ® X и s S о * « s S х ® х 2 X ч «В. ч >> ч Я Ч >> ч X ч >> ч о к ® Е* о х ® С* о с W е О Е* ® с О Е § в* 1000 5308 4195 5338 4325 5422 4684 5538 5172 5422 4683 2000 4770 3959 4837 4089 5024 4448 5288 4936 5026 4447 3000 4308 3759 4406 3889 4683 4248 5074 4736 4683 4247 4000 3905 3612 4030 3742 4387 4101 4892 4589 4387 4100 5000 3548 3763 3700 3893 4130 4252 4737 4740 4131 4251 165
Результаты расчета (для Земли) приведены в табл. 3.3. Из таблицы следует, что независимо от значений ар- гумента перигея о)! при малой высоте апогея начальной орбиты выгоднее двухимпульсная схема перехода по сравнению с одноимпульсной. Но при увеличении высо- ты апогея Ла1 становится выгодной одноимпульсная схема перехода. Энергетика перехода между промежуточной и конеч- ной орбитами. В конце взаимной прецессии за время t конечная и промежуточная орбиты занимают положение, отвечающее условию (3.51). Поэтому имеет место апси- дальный переход, описанный в разд. 3.2. В этом случае энергетика двухимпульсного перехода с одним поворотом между промежуточной и конечной ор- битами равна Д V2 = Vv + Vl - 21/X, cos AZ при Й« < Й«, И AVi = (у;2 + v2a _ 2I/X cos az)1/2, ПрИ ha, 4> lla2' Здесь V'a., Vtz — скорости космического аппарата в апоцентре и перицентре переходной орбиты; 14, V4 — промежуточной орбиты; V4a, — конечной орбиты, Аа, Ааа — высоты апоцентра переходной и конечной ор- бит. Алгоритмы расчета общих энергозатрат. Общая энер- гетика перехода между орбитами вычисляется для слу- чая двухимпульсной схемы перехода между начальной и промежуточной орбитами. Для этой схемы составлен сле- дующий алгоритм расчета общей энергетики. Считают- ся заданными параметры начальной и конечной орбит в начальный момент времени hr.jt ip to)р Sy (У — 1, 2). Краевые значения параметров со, AQ, со? равны (О (O) = to)lo, со (£) = 0, AS (0) = St (0) - S2 (0), AS (£) = 0, to>2 (О)=со20» со2(£) = 0. 166
Общая энергетика определяется по формулам / _ “(°) • / _ дй(0). f _ »2(0) . 2л ’ /S~ 2л ’ /ш,“ 2л ’ А = ПУ^. 4л D _ ^2— 2 3/2 ’ ”2а2 П<л2 + Лоа В2(5 cos2/2— 1) * t (^со2^ > <=._ Пш + f (л + V (Псо + f со)2 + 5(П2 + f 2—2ZB2 cos Z2)2 . 37 ~ 5 (п2 + /2 — 2ZB2 cos /2 ’ > I (/Z-2J ZZ-qj, Четверти угла i определяются согласно рис. 3.11. D nQ + /q— 2ZB2 cos z2 1d=-------------------------------------; 2Z cos i p2a?l2=—>/za, A„(ns, пш, na,y, p. ' a al т“ч / JT -x JT \ Если-------— 1 2 2) иначе (#=2л—(щ); Ai= |г\—i|; Если (й«<А«,), то(Д1/3 = К-Ил; W4= = (К2 + <-2УХ, cos Д/)1/2}. иначе {д^з = (к^- v2-2УУа cos Дг)1/2; ДУ4=У’-И,,}; Va=AVr1 + Al/2-{-Al/3 + AVr4=minVx (nQ, пШл). «а, пш% 1€7
В случае использования одноимпульсной схемы пере- хода между начальной и промежуточной орбитами про- цесс расчета общей энергетики несколько усложняется в связи с тем, что аргумент перицентра промежуточной орбиты со(0) сам является функцией параметров проме- жуточной орбиты (Ля, Поэтому алгоритм расчета приобретает следующий вид. Заданы hoj, u)y, 2;, (/=1, 2) и А2(0) = 2!(0) —22(0), А2(Л)=0, (о.дО)=(в20; w2(£)=o, СО (Л) = 0. Расчетные формулы: да (0). _ МО) . ** 2л ’ 032 2л ’ Д=М-'^; 4л о _ 2~ П2Д3/2’ / =----+ Ма-------; -> ЦпШ1). B2(5cos2Z2-1) Варьируем ®(0): <>(0) . 2л cos i - В= ("ш + /т)2 + 5 («а + /а— 2<в2 COS i2)2 . 5(па +/а —2ZB2cosi2) ’ -i(ns, пт, пш,); 4- fQ— 2/Во cos /2 2t cos i p^a31'2 = — ; hrAtia, В Q P tg 91 sin &= — 6 ; er\ cos AZ -H- / e &(«S, «ш, «»,). cos 168
(jt 3 \ — —л П то («>'(0) = 2л —&), иначе (®'(0) = л — ft). При значении |<«(0) — о/ (0)| С е считаем систему урав- нений решенной. уч / Л Если (------ \ 2 (ф 1 — .2 Л 0)1 ), yj, то (&i = n — Wi), иначе 0)1 Pi . 1 + ei cos V1 =—— (1 2^1 CO'S T^i)> Pi М = \[г~ г2|; sin a=cos 0! sin Д/; AIZt (V2 + Vi—2VV i cos a)I/2; Если A«<Aai, то {ДИ2=У«— V\; ДИ3=(1<2 + <-2ИХа cos Д/)1/2}, иначе {ДУ2=(И2 + И'2-21/аП;созДг)1/2; ^Vz=V"K-VKt\\ l/a==AI/14-Al/2-pAI/3=min Vx(n^ пШа). пц>* 3.3.3. Переход между планетоцентрическими орбитами (частные случаи) Случай c2=f2 = const. Случай характерен переходу летательного аппарата, находящегося на орбите, на дру- гую, заданную орбиту. Так как в этом случае Й2 = <02 = 0, то параметры про- межуточной орбиты определяются из системы уравнений (3.57) и (3.58) путем подстановки В2 = 0 169
__ п(л + /со + V (% + Л)2 + 5 + /а)2 COS,_ 5(ne + /s) ’ ns+fs 2 cos i Видно, что в этом 'случае параметры промежуточной орбиты зависят только от положения восходящего узла конечной орбиты й2. Переход между круговыми орбитами В этом случае (01 = со2 = 0. Управляемым параметром является только ДЙ. Уравнение относительного движения узлов запишем в следующем виде: Д2опт=Д2(0) + (22-2)/. (3.63) Имеется два случая: a) Й2=#Й1. Как видно из (3.63), взаимное изменение узлов происходит за счет разности в скоростях прецессии орбит. Время ожидания равно t= |AQonT — AQ(0)| |&2~ &1I Если необходимо ускорить или замедлить процесс сближения узлов, то это можно сделать путем перехода на промежуточную орбиту. Это потребует дополнитель- ных затрат рабочего тела. Параметры промежуточной орбиты определяются по формулам (3.58) и (3.55) при ns = 0. D /2—2B2/cosf2 D =---------------- 2t cos i 6) Й2 = Йь Свободного взаимного сближения узлов начальной и конечной орбит нет. Поэтому обеспечить ДЙопт можно только, переходя на промежуточную орби- ту. Параметры промежуточной орбиты должны отвечать условиям (3.64) и (3.55). Одноимпульсный активно-пертурбационный переход между орбитами Переход между орбитами осуществляется в точке пересечения орбит. Необходимым условием для осущест- вления этой схемы является Лк, <Лк2 или Лк, Лд2, (3. 64) 170
т. е. нахождение высоты пе- рицентра одной из орбит внутри другой орбиты. Вследствие прецессии ор- бит (изменения Q, и coj) про- исходит пересечение орбит. Условием пересечения орбит является равенство высот ор- бит по линии пересечения плоскостей орбит (рис. 3.'14) h(t)=72(d). Задача заключается в оп- ределении моментов пересе- чения th орбит, при которых Рис. 3.14. Схема активно-пер- турбационного одноимпульс- пого перехода k=\, 2, 3... Задача решается по следующему алгоритму. Заданы в момент t=0 haj, hup ij, ®Д0), 2Д0), (/=1, 2). Вычислим — 2,(O)-j-27-Z; a>/0f)=a>/(°)+(¥; c°x(/)=sin ij sin 2y (/); (/)= — sin ij cos Qj (/); c°jz (0 = cos ij\ cos Д = cos it cos^ + sinZj sin Z2 cos [2t (Z) — 22 (/)]; -n, о о m «2(OXc0(O г°(х°, у0, z°) =----------; sin A — x® sin Qj (0 + z/° cos Qj (t) sin Uj (/) =-------------------------, cos ij COS Uj (/) = X° COS Qj (/) + Z/° sin 2; (/), 7=1, 2. Так как орбиты могут пересекаться в каждом из двух Узлов, то вычисления г;- производим при двух значениях Угла Uj и'. {t') = Uj(t)\ Uj(t) = Uj(t)-\-n. 171
Вычисляем ._______________Р[_________________- . 1 + ej cos [uj (t) — u>j (if)] * (7 = 1, 2), и при гг (/*)== г2(/Д 6=1, 2, 3,... определяем импульс скорости ДУ (/А): Xj (/*)= 1 +2ey cos (/A)+^; 6i Sin (tk) m sin 6.-(/J=— * cos6.-(/ft) 1 l’ ,yk> 1 -г £j cos (tfi) V^jW) Vj(t»)= — J=l, 2; Pj cos а(/Л)= sin 6X (tk) sin 62 (/J-j-cos {tk} cos 62(60 cos A, ДИ (Zft)- min (H (tk) + Vl (Z*)-2V\ (ZA) V2 (Zft) cos a (Zft))1/2. *k Переход между свободно прецессирующими орбитами Под действием возмущающих сил от сжатия планет параметры орбит Н7 и coj, /= 1, 2, непрерывно изменяют- ся по законам тяготения (3.2) и (3.3). Это приводит к изменению относительного расположения рассматривае- мых орбит, что согласно (3.28) приводит к изменению импульсов скорости для перехода между орбитами. Стратегия перехода между свободно прецессирующи- ми орбитами такова: заданы Cj(t), /=1, 2, и промежуток времени, в течение которого должен совершаться переход между орбитами. В этом промежутке времени определяется зна- чение времени t, при котором Vs = min по многошаговой процедуре 1/б = ш1п fmin |’minl/2(Z, ?/^)jj, 7=1, 2. Найденное значение t является моментом перехода между свободно прецессирующими орбитами. 172
3.4. ОБЛЕТ СПУТНИКОВ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПУТЕМ АКТИВНО-ГРАВИТАЦИОННОГО МАНЕВРА 3.4.1. Оптимизация движения космического аппарата, обслуживающего спутниковую систему Одним из путей увеличения продолжительности функ- ционирования орбитальной системы спутников является их профилактический облет с помощью обслуживающе- го космического аппарата (ОКА). Для этой цели может быть использовано свойство орбиты изменять свое расположение под действием пер- турбационных сил, возникающих вследствие песферич- ности планет. Предполагается, что орбитальная система, состоящая из N спутников, размещена на п круговых орбитах, 2^/г^М разнесенных по узлу с интервалом AQ = 2n/z?. Орбиты всех спутников системы имеют одну и ту же высоту г и одно и то же наклонение i. В этом случае, как видно из (3.2), орбиты всех спутников (с учетом не- полного совпадения параметров) прецессируют почти с одинаковой скоростью, что обеспечивает длительную ус- тойчивость системы с небольшими энергозатратами. Облет спутников системы, размещенных на некомп- ланарных орбитах, с помощью активного маневра потре- бует больших энергетических затрат. Эти затраты мож- но уменьшить, если использовать прецессию орбит для уменьшения угла некомпланарпости между орбитами ОКА и спутников системы. Как видно из уравнения (3.2), взаимная прецессия двух орбит возможна только в том случае, если орбиты имеют разные высоты и наклонения. Отсюда следует, что орбита ОКА должна иметь высоту и наклонение, от- личные от высоты и наклонения орбит спутников систе- мы. Чем больше это отличие, тем больше скорость пре- цессии восходящего узла орбиты ОКА, тем меньше, время облета системы, но тем больше энергетика перехода между орбитами. Определим условие, при котором имеет место макси- мальная относительная прецессия узлов при затрате од- ного и того же импульса скорости бК Из (3.2) имеем cos i'r3,\ (3. 65) 173
Рис. 3.15. скоростей Треугольник Отсюда следует, что изменение скорости прецессии узла орбиты можно получить, изменяя или только на- клонение орбиты, или только высоту, или высоту и на- клонение одновременно. Учитывая, что ог =----sin р и---=— 2-------cosp V г V (рис. 3.15), &=1, 2 (двухимпульсное изменение), из (3.65) получим изменение скорости прецессии узла ор- биты -^=(tgZsin?+7cosP)— (3.66) где 8И=BIZd)+ 8У(2). Из этого выражения легко определяется оптимальное значение угла р tg?o,IT=ytg/, (3.67) которое зависит от наклонения орбиты. Кривая рОпт = =f(i) показана на рис. 3.16. Подставляя (3.67) в (3.66), получим (-у) =/tg2/ + 49 (3.68) Сравним это выражение с изменением скорости пре- цессии узла, когда изменяется или только высота, или только наклонение орбиты. Из (3.66) получим при р = 0 изменение скорости прецессии при изменении только вы- соты, а при р = 90° только наклонения I-у (3-69) \ “ /r=const У =7—. (3.70) Из сравнения (3.69) и (3.70) с (3.68) видно, что во всем диапазоне i одновременное изменение высоты и на- клонения орбпты дает наибольшее изменение скорости 174
прецессии узла орбиты. А из сравнения (3.69) с (3.70) сле- дует, что при изменении только одного параметра (г или Г) на- иболее рационально изменять наклонение орбиты, чем ее вы- соту, если |tgf| >7 или »l°51'<i<98°09'. Кривые, изображенные на рис. 3.17, показывают, во сколь- ко раз больше изменение ско- рости прецессии узла при одно- временном изменении высоты и наклонения по сравнению с из- менением скорости прецессии от I узла при изменении только высоты, или только накло- нения. Из графиков следует, что максимальная разница в изменении скорости прецессии узла орбиты между слу- чаями 'изменения сразу двух параметров и тольке одно- го параметра имеет место при |tgf| =7. С погрешностью ^3% весь диапазон (наклонений орбит можно разбить на промежутки, в пределах которых выгодно изменять или высоту, или наклонение, или оба параметра одновремен- но: при значениях наклонений 0^7^60° и 120° ^л^180° выгодно изменять высоту, при 88°^л^92° выгодно из- менять наклонение и при 60°<7<88° и 92°<д<120° выгодно изменять высоту и наклонение одновременно. 3.4.2. Энергетика активно-гравитационного маневра и сравнение ее с энергетикой активного маневра Схема и энергетика активно-гравитационного манев- ра. Рассмотрим схему облета спутниковой системы путем изменения только высоты орбиты ОКА (рис. 3.18), так как при затрате одного и того же импульса скорости это приводит только к некоторому увеличению времени облета системы по сравнению с двухпараметрическим изменением скорости прецессии узла орбиты. Для уменьшения энергозатрат при облете спутников Желательно, чтобы плоскости орбит ОКА и спутников системы имели одинаковое наклонение. В этом случае при совпадении восходящих узлов двух орбит совпадают и их плоскости. А это обеспечивает наиболее экономич- 175
ный плоский переход между орбитами ОКА и спутника системы. В соответствии со сказанным ОКА выводится на ор- биту с высотой г0 (см. рис. 3.18) и наклонением, равным наклонению орбит спутников системы. Запас энергетики достаточен для облета всех спутников системы, хотя воз- можны и другие схемы, в частности, заправка рабочим телом на космической базе, движущейся по орбите с ра- диусом Го. С помощью двух импульсов скорости AVt и ДК2 ОКА переходит к первому спутнику системы. После осмотра всех спутников на этой орбите ОКА импульсами ДК3 и ДК4 возвращается на орбиту с высотой г0 и ждет совпа- дения восходящих узлов своей орбиты с восходящим уз- лом орбиты второй серии спутников. При совпадении восходящих узлов ОКА снова переходит на орбиту с вы- сотой г для осмотра спутников, находящихся на этой ор- бите. Окончив осмотр, снова возвращается на орбиту с г0 и т. д. до полного облета всей системы. Предполагается, что время перехода между орбитами с гс> и г неограничен©. При этом до- полнительных энергозатрат на синхронизацию фаз ОКА п спутника системы не требуется. Энергетика одного цикла ма- невра равна энергетике подъе- ма (ДК1+ДК2), спуска (ДКз+ +‘ДК4) и энергетике фазирова- Рис. 3.18. Схема активно- гравитационного маневра 176
ния ОКА со спутниками, размещенными на одной ор- бите. Оценим энергетику фазирования. Пусть А — число спутников системы. Тогда, если п — число орбит, в кото- рых размещены -спутники, то на каждой орбите имеется N/n спутников. Принимаем, что фазирование движения спутников и ОКА производится путем изменения перио- да обращения ОКА в плоскости орбиты. Относительное смещение ОКА по углу на Дф (рис. 3.19) равно д®=^-д77И=6л — < (3.71) т V где М — число оборотов фазирования; V — орбиталь- ная скорость и ДУФ — энергетика фазирования. Так как, с другой стороны, (3.72) то из равенства (3.71) и (3.72) получим ^=-1 _ZL_ V 3 О ’ Тогда энергетика облета одной серии спутников равна /ДУ’фЧ _____________________2 Л л \ \ V / S max ЗЛ4 \ N/ Максимальное значение этого выражения имеет место при ——>0: н АГ _ 2 \ V / 2 шах ЗЛ4 / Д^ф =10 оборотов ОКА. Тогда! Пусть, для примера, фазирование производится за ^0,07. Это несравни- мо мало по отношению к энергетике маневра между ор- битами. Определим энергетику плоского маневра между ор- битами с Го и г. Согласно схеме облета спутников сис- темы при использовании пертурбационного маневра энер- гетика одного цикла перехода равна (см. рис. 3.18) 177
Рис. 3.19. Схема размещения спут- ников Рис. 3.20. Схема активного маневра Эта характеристическая скорость в безразмерном ви- о _ г де выражается следующей зависимостью от г = — : го (3.74) Схема и энергетика активного маневра. Обслуживаю- щий космический аппарат сначала выводится на орби- ту с высотой Го, затем с этой орбиты двумя импульсами скорости ДУ4 и ДУ2 переходит на орбиту с высотой г, где находятся спутники системы. После осмотра всех спутников, находящихся на этой орбите, ОКА в точке пересечения орбит импульсом скорости ДУ переходит на следующую орбиту, где размещена следующая серия спутников (рис. 3.20), после этого переходит на следую- щую орбиту и т. д. пока не осмотрит все спутники систе- мы. После осмотра всех спутников ОКА возвращается на орбиту г0. При этом затрачивается два импульса скоро- сти ДУ3 = ДУ2 и ДУ4=ДУ1. Согласно рис. 3.20 энергетика активного маневра со- стоит из энергетики подъема и спуска между орбитами с г и rQ, изменения плоскости орбиты на угол А и плоского фазирования ОКА и спутников, находящихся на одной орбите. Последнюю при сравнительном анализе можно не учитывать. 178
Рис. 3.21. Характеристическая ско- рость в зависимости от высоты, на клонения и числа орбит: ------4=50°;-------f=60°;----Z=70° Определим энергетику одного цикла перехода между плоскостями орбит (3.75) где Кжц — энергетика перехода между двумя плоскостя- ми, равная УХЦ=2У sin— ; п — число орбит системы; Ухп — энергетика подъема и спуска (3.74), расчлененная на число переходов между орбитами. Выразим угол А через i и п. Так как cos А = cos2 I + sin2 i cos Д2, (3. 76) Д2=2л//г, (3.77) 179
то, преобразуя (3.76), найдем sin —= sin i sin — . 2 n Окончательно энергетика активного маневра (3.75) бу- дет определяться формулой sin Z sin (3.78) Уо У г п П—1 _ На рис. 3.21 показаны зависимости 7хп=7(с) и Vx=f(r, п, i)- Кривая Vxu = f(r) делит всю плоскость на две части: первую (I), которая лежит выше этой кривой, где выгодно использовать активно-гравитационный ма- невр, и вторую (II), лежащую ниже этой кривой, где выгоден активный маневр. 3.4.3. Время облета спутников при использовании активно-гравитационного маневра Время активного маневра незначительно по сравне- нию с временем активно-гравитационного маневра. По- этому оценим время только активно-гравитационного маневра. Скорость прецессии восходящего узла круговой орби- ты равна I УfiT?? cos i О —--------—----- r3,5 Время относительного изменения восходящего орбиты ОКА на угол AQ определится по формуле да а — а0 Подставляя (3.77) и (3.79) в (3.80), получим 2лго’5 (3. 79) узла (3. 80) (3.81) 7 Уп cos i (1 — 1/r3’5) где ц, [км3/с2], г, [км], /?э, км. Оценим t для значений го = 66ОО км, ц = 4-105 км3/с2, 7 = 0,001633 и /?э = 6378,5 км. График зависимости / = =/(г, п, i) приведен на рис. 3.22. Видно, что при малых п и больших i время облета спутниковой системы доста- точно велико. 180
Рис. 3.22. Время прецессии орбиты на угол AQ = 2ft/n в зависимости от вы- соты, наклонения и числа орбит: ----Z=50°; ----i=60°; ---Z=70°; ho=23O км 3.4.4. Энергетика и время облета спутниковой системы обзора Земли и космоса В табл. 3.4—3.6 приведены значения г, п, i в зави- симости от числа спутников в системе, предназначенной для глобального непрерывного обзора Земли [29, 30] и околоземного пространства, а в табл. 3.7 приведены те Же значения системы, предназначенной для непрерывно- го обзора географического пояса Земли и космического 181
пространства между широтами срн = 30° и фв = 50°. Из таблиц видно, что наклонения орбит спутников системы Таблица 3.4 Непрерывный глобальный обзор Земли /=52° 4=65° Л, км ^опт’ град п А, км п N А-, Kivt п 5 11600 43,65 5 5 15500 5 5 20500 5 6 9900 52,5 2 6 9930 2 6 16480 2 7 6600 56 7 7 6900 7 7 7000 7 8 5400 120 8 8 5900 4 8 7450 4 9 4700 70 9 9 4950 9 9 4700 9 10 3880 47,56 10 10 4300 10 10 5500 10 11 3100 52 11 11 3000 11 11 3900 11 12 2970 52 3 12 2970 3 12 4080 3 13 2450 56 13 13 2900 13 13 2850 13 15 2200 53,6 3 15 2300 3 15 2800 3 17 1900 60 17 17 2150 17 17 2050 • 17 19 1700 58,5 19 19 2200 19 19 1980 19 23 1400 61 23 23 2000 23 23 1500 23 25 1330 118,8 25 25 2080 25 25 1450 25 27 1270 59,7 27 27 1900 27 27 1350 27 29 1180 60,5 29 29 1750 29 29 1250 29 31 1040 61 31 31 1850 31 31 1040 31 37 810 72 37 37 1380 37 37 1000 37 лежат в тех пределах, для которых наиболее выгодно со- вершать облет спутников путем изменения только высо- ты орбиты ОКА (за исключением нескольких систем). Это позволит при расчете энергетики и времени облета использовать формулы (3.74), (3.78) и (3.81). Результаты расчетов приведены на рис. 3.23—3.30. Из анализа графиков рис. 3.23—3.26 следует, что для всех типов спутниковых систем (кроме глобальной системы обзора Земли) использование пертурбационного манев- ра при облете спутников дает значительный выигрыш в энергетике (от 2 до 16 раз) по сравнению с активным 182
Таблица 3.5 Непрерывный глобальный обзор Земли и космоса /=52° i-65° Л, км ZO1IT’ град п Л, км п Л, км п 5 5330 43,65 5 5 6910 5 5 7880 5 6 4530 52,5 2 6 4810 2 6 6970 2 7 3150 56 7 7 3330 7 7 3330 7 8 2600 120 8 8 2650 4 8 2810 4 9 2320 70 9 9 2410 9 9 2270 9 10 1910 47,56 10 10 2200 10 10 2700 10 И 1410 52 И 11 1410 11 11 1880 11 12 1360 52 3 12 1400 3 12 2080 3 13 1050 56 13 13 1330 13 13 1330 13 15 1020 53,6 3 15 1050 3 15 1330 3 17 880 60 17 17 940 17 17 940 17 19 690 58,5 19 19 900 19 19 870 19 23 580 61 23 23 870 23 23 660 23 25 550 118,8 25 25 900 25 25 610 25 27 510 59,7 27 27 900 27 27 610 27 29 470 60,5 29 29 850 29 29 480 29 31 400 61 31 31 850 31 31 430 31 37 290 72 37 37 850 37 37 280 37 маневром. Этот выигрыш тем больше, чем меньше число орбит в системе. На рис. 3.27—3.30 приведены зависимости времени одного цикла прецессии на угол AQ = 2jt/n для различ- ных типов спутниковых систем обзора. Из этих графиков видно, что время одного цикла составляет значительную величину, а следовательно, активно-гравитационный ма- невр выгодно использовать только для профилактичес- кого облета системы. Определим суммарное время для облета всех орбит. Для этого надо совершить п—1 циклов. Тогда суммар- ное время будет 183
Таблица 3.6 Непрерывный глобальный обзор космоса Л, км /, грая п Л, км i, град п 5 5330 43,5 5 15 960 53,6 3 6 4530 52,5 2 17 740 60,0 17 7 3120 56,0 7 19 640 58,5 19 8 2550 120,0 8 23 540 61,0 23 9 2250 70,0 9 25 500 118,8 25 10 1850 47,6 10 27 420 59,7 27 11 1360 52,0 11 29 410 60,5 29 12 1330 52,0 3 31 380 61,0 31 13 990 56,0 13 37 270 72,0 37 1 1 г 1 1 1 г i 0< №хсть лгурбаци- оиного аневра 1 i ill пе^ м - ! I II и 1 г ~г 1 Ир7 III 4тп,т I II 1 ffn* 111 j 1 || 1 i 2 -- [7 — ’х-| J || г-1 — 1'0^ —?50 нм ||| Область актиониги маневра. J7T2 О'---------------------------------------------------------------------------- 1,0 7,4 1,8 2,2 2,6 3,0 3,0- 3,8 г 184
Таблица 3.7 Непрерывный обзор географического пояса между широтами <ри = 30° и <рв = 50°; г=52° Земли Земли и космоса Космоса Л, км п Л, км п Л, км п 11600 5 5220 5 7530 2 8180 2 3830 2 3520 2 3900 2 1860 2 2960 2 2640 2 1180 2 1390 2 2050 2 890 2 900 2 1700 2 680 2 680 2 1510 2 590 2 570 2 1380 2 510 2 500 2 1290 2 450 2 450 2 1210 2 350 3 430 2 1070 2 290 3 360 3 950 3 240 3 310 3 860 3 220 3 290 3 800 3 190 3 260 3 750 3 — — 250 3 620 3 — — 230 3 560 3 — — — — 530 3 — — — — 515 3 — — — — (3.82) п где /0 — время одного полного оборота восходящего уз- ла орбиты. Из (3.82) следует, что при n = 2 /s = —/0, а при Следовательно, суммарное время облета Рис. 3.23. Характеристическая скорость облета глобальной системы обзора Земли: ___ / •-------/=52°;-----Z - 65°; Ло=250 км ‘опт’ 185
Рис. 3.24. Характеристическая скорость об- лета глобальной системы обзора Земли и космоса: ------ZonT;-----/=52°;-----/=65°; fto=250 км (без учета времен остановок у спутников) лежит меж- ду 3.4.5. Облет системы спутников с помощью системы обслуживающих космических аппаратов Энергетика облета при ограничении времени. Нам уже известно, что время облета всей системы спутников од- ним обслуживающим космическим аппаратом очень ве- лико. Поэтому встает вопрос об уменьшении этого вре- 186

Рис. 3.27. Время одного цикла облета глобальной системы обзора Земли: 1—«=опт; 2—Z=52°; 3—1=65° 188

Рис. 3.30. Время одного цикла облета спутниковой системы обзора геогра- фического пояса (фв=506, фн = 30°) Земли (1), космоса (2), Земли и кос- моса (3) 190
мени. Одним из путей уменьшения времени облета сис- темы спутников является увеличение числа обслуживаю- щих космических аппаратов. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Предположим, что облет системы совершается в огра- ниченное время t+tp, где t — время пертурбационного маневра; /р — суммарное время осмотра и ремонта спут- ников. Тогда один ОКА не сможет контролировать всю систему, а только часть ее, заключенную в секторе, рав- ном Д2 = (2 —20) t, где Q, Qo — скорости прецессии восходящих узлов ор- бит ОКА и спутниковой системы соответственно. Количество ОКА, необходимых для контроля всей системы, можно определить по формуле т=^ . (3.83) Изменение скорости прецессии узла орбиты ОКА осу- ществляется путем изменения высоты и наклонения ор- биты. Тогда, заменяя AQ из (3.68), перепишем (3.83) в виде Qq/ДУ+49 ’ где i0 — наклонение орбит спутников обслуживаемой системы, которое одинаково для всех спутников. Отсюда, используя (3.2), получим формулу для опре- деления импульса скорости, необходимого для однократ- ного перехода между орбитами спутниковой системы Д1/=-----2 2ЯГ° --------, (3.83') mtlsiп2 /0 + 49 cos2 i0 где Го — радиус орбиты спутников системы. Из (3.83z) видно, что энергетика перехода тем мень- ше, чем меньше наклонение орбиты. Допустим, что в каждом секторе, контролируемом одним ОКА, находится по k орбит, расположенных по узлу произвольно. Тогда характеристическая скорость, приходящаяся на каждый ОКА, будет равна V\=4IZ(£-1). (3.84) Суммарная ха{)актеристическая скорость, необходи- 191
мая для облета всех спутников с помощью системы ОКА, согласно (3.83') и (3.84) равна I/ 2лго(*~ 1) у sin2 Zo 4- 49 cos2 i0 * При заданных параметрах спутниковой системы сум- марная характеристическая скорость тем меньше, чем больше время облета. При &=1, Vxs =0, т. е. если в сек- торе AQ одна орбита, где расположена вся серия спут- ников системы, то ОКА должен находиться на этой же орбите. Необходимо обратить 'внимание на то, что сум- марная характеристическая скорость всех ОКА не зави- сит от их числа. Оптимизация количества ОКА. Оптимизировать бу- дем по критерию суммарных весов, необходимых для создания системы ОКА, предназначенных для профи- лактического облета системы спутников в течение задан- ного времени. Из (3.83х) и (3.84) видно, что чем больше число ОКА, тем меньше характеристическая скорость, необходимая для одного ОКА, следовательно, тем меньше должен быть его вес. Поэтому суммарный вес, определяемый произведением числа ОКА на его начальный вес Gs = = mGQ должен иметь при некотором значении т мини- мальное значение. Определим /??Опт- Суммарный вес системы ОКА выразится следующей приближенной формулой (в предположении, что только вес топлива зависит от т): 0 ----твк-- (3.85) Wm где GK — часть веса ОКА, величина, независящая от ве- са топлива; уб — коэффициент, учитывающий вес баков; W — скорость истечения реактивной струи. Из этого уравнения найдем оптимальное число ОКА /п011Т=2уб , (3.86) прямо пропорциональное суммарной характеристической скорости Уд-у. Подставляя (3.86) в (3.85), получим GSm>n=2m0I,.rGK- (3-87) 192
Из этого выражения видно, что топливо с баками за- нимает половину от начального веса ОКА. Оценка Vvs и Л77Опт в зависимости от t и k приводится в табл. 3.8 при f0 = 65°, / = 0,001633, /?э = 6378,5 км, г0 = = 6770 км, W= 3000 м/с, уб= 1,1. Таблица 3.8 Суммарная характеристическая скорость и оптимальное число ОКА сут 60 120 180 240 300 360 ^3. м/с 3660 1830 1220 915 732 610 k = 2 3 2 1 1 1 1 /TZqiit k = 3 6 3 2 2 2 1 й = 4 8 4 3 2 2 2 k ~ 5 11 6 4 3 3 2 Из (3.87) видно, что чем меньше /?70пт, тем меньше суммарный вес системы обслуживающих космических аппаратов, а т0ПТу в свою очередь, будет тем меньше (при заданных /0 и t), чем меньше число орбит k, об- служиваемых ОКА. Следовательно, число орбит в систе- ме спутников должно быть максимально уменьшено. 3.5. СОЛНЕЧНО-СИНХРОННАЯ ОРБИТА. ОБЗОР ЗЕМЛИ, СОЛНЦА И НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ 3.5.1. Солнечно-синхронная орбита При выборе параметров орбит космических аппара- тов могут быть предъявлены различные требования, в частности: непрерывная видимость Солнца, что обеспечивает, во-первых, максимальное использование солнечной энер- гии для питания служебных и целевых систем КА элект- роэнергией и, во-вторых, непрерывное наблюдение за Солнцем для службы Солнца; обеспечение наиболее благоприятного условия наб- людения за поверхностью Земли в оптическом диапазо- не спектра в течение длительного промежутка времени. Этим требованиям можно удовлетворить, используя свойство восходящего узла орбиты изменять свое значе« 7 2801 193
Рис. 3.31. Солнечно-синхронная орбита ние под действием возмущающих сил гравитации от по- лярного сжатия планет. Причем параметры орбиты КА выбираются таким образом, чтобы плоскость орбиты не- прерывно поворачивалась за движением Солнца. Орбиты, восходящий узел которых вращается с угло- вой скоростью, равной -средней угловой скорости «пере- мещения» Солнца по экватору, называются солнечно- синхронными. В случае обзора поверхности Земли плоскость сол- нечно-синхронной орбиты должна лежать вблизи направ- ления Земля — Солнце 0, как показано на рис. 3.31. При этом космический аппарат будет «видеть» освещен- ную сторону Земли через каждый свой оборот. Для не- прерывного наблюдения за Солнцем вблизи направле- ния Земля — Солнце должен лежать вектор кинетичес- кого момента (или вектор интеграла площади с) ор- биты. Определим параметры солнечно-синхронной орбиты. Известно, что направление вращения Земли и направле- ние движения Солнца относительно Земли совпадают (рис. 3.31). Среднесолнечная угловая скорость равна Й@=2л/Гг, (3.88) где 7Г — продолжительность тропического года (Тг = = 365,2422 солнечных суток [34]). 194
Плоскость солнечно-синхронной орбиты постоянно по- ворачивается за движением Солнца. Параметры такой орбиты определяются из равенства выражений (3.2) и (3.88) / Тр2 \ z = arccos-----—у V I ITTR2 I Зависимость наклонения круговой солнечно-синхрон- ной орбиты от ее высоты приведена на рис. 3.32. Время нахождения космического аппарата в тени Земли. Исходим из условия входа и выхода КА из тени Земли (рис. 3.33): ^а+Уа=Г2, х2 и2 л а 1 ^а Д2 £2 (3. 89) Как видно из рисунка, b = R, (3.90) где R — радиус Земли; 0°— единичный вектор, на- правленный на Солнце; с° — единичный вектор кинети- ческого момента орбиты. Тогда, совместно решая (3.89) и (3.90), найдем о ’ 1 — 7Г (®° -”*°) sin₽=^=Al/ -----------. (3.91) г г f 1-(®° • с°) k Время нахождения КА в тени равно л Определим моменты входа КА в тень и выхода из тени. Из рис. 3.34 видно, что -*о_ - "с°Х®° Уа R°x ®°| ’ Х°=1/а И sin «а= — (у°а 7s), COS«a = (X° • Fs), гДе Га (cos й, sin 2, 0). 195
Рис. 3.32. Кривая за- висимости наклоне- ния круговой солнеч- но-синхронной орби- ты от ее высоты Рис. 3.33. Схема расположения Солнца и орбиты КА Рис. 3.34. Вид со стороны Северного полюса 196
Положения точек входа КА в тень Земли и выхода из тени определяются аргументами широты по формулам ^вх “I- ^вых Л* “Ь 4“ ’ а по ивх и иВых вычисляются широты, между которыми возможен обзор части Земли sin <?= sin i sin и. Условие непрерывной видимости Солнца. Предельные значения долгот восходящих узлов Q*, когда орбита КА находится вне тени Земли, определяются из условия (5 = 0 (рис. 3.33). Из (3.91) получим (ё° • с°)=± —. г Подставляя координаты 0° и с°, найдем , adh + b y~a2 + b2-d2k sin Qj= -------------------, J eft + 62 (/=1, 2, 3, 4), где a = Q°sinz; b = 0Qy sin/; dk= — 0°cosZ + — , (£=1, 2). Четверти Q/ определятся по следующим (пример- ным) значениям: при при где 21,2 ~ — 4-2q + 23,4 Q ~ —^ + 2® + Ч» X* = arccos Известно, что Земля движется относительно Солнца неравномерно вследствие эллиптичности орбиты Земли и некомпланарности плоскостей экватора и эклиптики. Поэтому /у(Т)=Й/—Й@(рис. 3.34) является функцией времени. С учетом этого обстоятельства начальное зна- чение долготы восходящего узла Qo орбиты космическо- го аппарата должно быть выбрано с таким расчетом, чтобы оно обеспечивало непрерывную видимость Солнца 197
МД с грабили ацил нН ой, GmcLffiLniLsaupLeib Рис. 3.35. Схема обзора небесной сферы в течение всего времени функционирования космическо- го аппарата. 3.5.2. Возможность использования солнечно-синхронной орбиты для обзора небесной сферы Задача обзора небесной сферы очень обширна: она связана с изучением космического фона, поиском новых небесных объектов и явлений, обнаружением и установ- лением связи с внеземными цивилизациями и т. д. По- этому организация регулярных наблюдений за небесной сферой на базе орбитальных космических аппаратов су- щественно повышает эффективность работы различных астрономических служб. Может быть предложено много способов обзора не- бесной сферы на базе орбитальных КА. Наиболее рацио- нальным с точки зрения простоты управления КА явля- ется способ, использующий гравитационные силы для ориентации КА и изменения его орбиты. Схема обзора небесной сферы с помощью космичес- кого аппарата показана на рис. 3.35. Космический аппа- рат с системой гравитационной стабилизации (см. разд. 4.3) постоянно ориентирован по радиусу-вектору. Это обеспечивает постоянную ориентацию оптической оси аппаратуры обзора также в направлении радиуса- вектора. Космический аппарат при своем орбитальном движе- нии охватывает полосу небесной сферы, угловой размер которой берется равным (с учетом перекрытия полос в 198
точности стабилизации е) смещению восходящего узла орбиты в течение одного оборота Д2= — 2л/ (—Vcos/, рад. \ Р / Значения этого угла для некоторых i и h приведены в табл. 3.9. При расчете приняты / = 0,001633; 7?э = = 6378,5 км. Значения AQ, приведенные в табл. 3.9, отражают в Таблица 3.9 Смещение восходящего узла орбиты AQ, угл. мин. к, км z=50° z = 60° z=70° i=80° 400 20,10 15,65 10,70 5,45 1000 17,05 13,25 9,10 4,62 К величине какой-то степени требования, предъявляемые поля зрения аппаратуры системы обзора небесной сфе- ры. Число оборотов для однократной съемки всей небес- ной сферы равно N= — Д2
Глава 4 ТЕОРИЯ ПОЛЕТА ГРАВИЛЕТА 4,1. ПРИНЦИП СОЗДАНИЯ ГРАВИТАЦИОННОЙ ТЯГИ Гравилет — это космический аппарат, имеющий оп- ределенную геометрию масс и совершающий управляе- мый полет под действием гравитационной тяги (без рас- хода масс). Что же такое гравитационная тяга и как она созда- ется? Рассмотрим космический аппарат, имеющий заданное распределение масс, отличное от однородного или сфери- ческого (в последнем случае КА может рассматривать- ся как материальная точка). На такой космический аппарат будет действовать до- полнительная сила, отличная от центральной гравитаци- онной силы, подчиняющейся закону Ньютона. Поэтому КА будет двигаться по орбите, отличной от кеплеровой. Такое движение в курсе небесной механики называется возмущенным, а орбита оскулирующей. Как доказывается в курсе небесной механики и в ра- боте [3], полная энергия реального космического аппара- та остается постоянной, хотя ее выражение и отличается от выражения полной энергии, когда КА рассматривает- ся как материальная точка. Это значит, что в гравитаци- онном поле не происходит ускорение реального космиче- ского аппарата. Пусть за счет внутренних сил изменится распределе- ние масс, например, какой-то элемент КА переместится на некоторое расстояние. Ввиду того, что гравитацион- ное поле планеты неоднородно, на указанный элемент будет действовать другая сила, отличная от прежней. В силу теоремы о движении центра масс системы сам КА переместится относительно гравитационного поля так же на некоторое расстояние и поэтому будет испы- 200
тывать со стороны гравитационного поля дополнитель- ную силу. Суммарная дополнительная сила, возникшая в ре- зультате изменения распределения масс, изменит орби- ту, по которой двигался общий центр масс, что равно- сильно ускорению движения КА. Эту дополнительную силу, которая возникает вслед- стие изменения распределения масс за счет внутренних сил, назовем гравитационной тягой, а космический аппа- рат — гравилетом. При однократном изменении распределения масс КА перейдет на новую орбиту и будет -продолжать двигать- ся по ней. Для тогох чтобы изменять орбиту непрерывно, требуется непрерывное изменение распределения масс, на что затрачивается внутренняя энергия КА. На этом принципе основано движение пульсирующих систем [6, 9]. Гравитационная тяга может быть создана не только за счет непрерывного изменения распределения масс, но и при постоянном распределении масс КА. В этом слу- чае накладывается определенное требование на: 1) гео- метрию распределения масс (она должна быть, напри- мер, гантелеобразной формы, т. е. в виде двух масс, сое- диненных легкой длинной штангой) и 2) изменение ори- ентации КА. Гравитационная тяга при этом создается путем изме- нения направления штанги по отношению к гравитаци- онному полю. Ввиду неоднородности гравитационного поля возникает гравитационная тяга, ускоряющая кос- мический аппарат. Величина гравитационной тяги тем больше, чем боль- ше расстояние между разнесенными массами. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном космичес- кий аппарат гантельного типа. 4.2. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ГРАВИЛЕТ 4.2.1. Силы, действующие на гравилет Имеется вытянутый космический аппарат с разме- щенными на концах массами. Моделью такого аппарата служит тело гантелеобразной формы. Тела с массами т{ и т2, жестко соединенные при помощи не имеющего массы стержня, расположены на расстояниях^! и от Центра масс (рис. 4.1). Центр масс гравилета находится 201
от центра гравитации М на расстоянии г, масса пгх на расстоянии Г1 и масса т2 на расстоянии г2. На элементы гп\ и т2 действуют силы F1 = -^- и Л=-^, (4.1) Г1 Г2 направленные соответственно по /д и г2 к центру грави- тации М. Сумма сил = отличается от централь- ной силы р. (тг + m2) 2) Г2 г действующей на материальную точку массы mi-f-^2, по- мещенную в центре масс гравилета, вследствие чего как бы возникает дополнительная сила — гравитационная тяга P = F—G, которая может быть использована для управляемого изменения орбиты гравилета. Эта сила зависит от масс и т2, расстояния между ними ^ = <Zi + <^2 ’И угла а между продольной осью гра- вилета X и радиусом-вектором г Р=Р(пг1, тъ X, а). Выразим эту зависимость. Определим радиусы г\ и г2 и углы Pi и р2 г?=г2 + (— l)z %rXi cos а-}-#2, sin pz = ^-sina, (4.3) ri COsPf=- r + C-iy^cosa , .= 1> 2. ri Тогда составляющие суммарной силы F, действующей на гравилет по радиусу г° и трансверсали п° запишем в виде — ^=^1 cos Pi + F2 cos р2, (4. 4) = sin 8i— F2 sin p2. Составляющие гравитационной тяги равны 202
Рис. 4.1. Силы, действующие на гравилет Рис. 4.2. Зависимость трансверсаль- ной перегрузки от угла ориентации продольной оси гравилета Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.4), получим 5/2 Г 2 n t 5/1 Г 2 Q 1 V- -rcos₽i+v 7^COS?2-1’ аО Г1 оС/ Г 2 (4. 6) 5/2 • □ 5/1 • О ап = —--------о Sin Pi------- Sin Р2, п X г\ П 5? г\ г2 где введены обозначения ar = PrIG, an = PnIG, являющие- ся перегрузками, и отношение масс заменены отношения- ми расстояний, так что 5?2 тх =—- tn, (4. 7) tn2=—L tn. Подставим в (4.6) значения углов рг- из (4.3) и полу- чим 5/2 ГЗ gi гз г23 2 / 1 г2 cos а / —т G2 I -3 тЧ-1' Г2 / а„ п 1_ ’ з ДД sin а. г2 У (4.8) ^1^2 Г2 Проанализируем, как зависят аг и ап от а и Характер зависимости ап от а и Xi показан на рис. 4.2. Видно, что при а = 0 и а=л трансверсальная состав- 203
ляющая перегрузки равна нулю. При а = л/2 величина ап = 0 только в том случае, если #i=#2=‘2/2. Существует оптимальный угол а0Пт, т. е. угол, дающий an = max. В общем случае при больших# функция ап=/(а) является очень сложной и не удается найти аналитичес- кое выражение аОпт- При #/г<^1 выражение (4.8) после отбрасывания членов порядка (S/r)2 и выше й прибли- женной замены 1 1 о # —т---г ~ о — CO'S а rl r2 г принимает следующий простой вид: а„ = у ^sin2a. (4.9) Из (4.9) видно, что максимальное значение транс- версальной гравитационной тяги имеет место при sin2ct = ±l. Отсюда di = 45° и «2=135°. Если гравилет движется против часовой стрелки, как п-оказано на рис. 4.1, то первый угол соответствует раз- гону, второй — торможению. При повороте гравилета относительно радиуса при а = const получим боковую силу тяги. Таким образом, при определенной ориентации вытя- нутого космического аппарата возникает сила, которая оказывает тормозящее или разгоняющее действие в за- висимости от направления ориентации относительно ра- диуса-вектора. Из выражения (4.9) следует, что макси- мальное действие получается при наклонении продоль- ной оси гравилета к местному горизонту под углом ±45°. Из выражения (4.9) также можно получить, что мак- симальное значение трансверсальной силы имеет место при или т\ = т2. Однако эта сила при #/г<С1 очень мала, так как она пропорциональна только (Х/г)2. Определим длину гравилета при условии, что он раз- вивает такое же ускорение, как и электрореактивные двигатели малой тяги (а?г = 10-4). При полете на около- земной орбите высотой 400 км длина гравилета будет # = 100 км. Рассмотрим, как зависит радиальная составляющая перегрузки аг от #i и а. В общем случае эта зависи- мость сложная. 204
Рис. 4.3. Зависимость радиальной пере- грузки от угла ориентации продольной оси гравилета Рис. 4.4. Зависимость радиальной перегруз- ки от длины и на- правления оси грави- лета Анализ показывает, что а,-(а) является четной. За- висимость ar = f(K, а), где К— ^-показана на рис. 4.3. Из рисунка видно, что существует угол наклона оси гра- вилета а*, при котором аг = 0. Значения аг при а = 0 и а = л/2, представляющие большой практический интерес, равны X г? X г\ Введем обозначения — Хъ = (У — Х =— . г Тогда Ю^о= +-f-------—=45- - 1, (4. 10) v r (i — Kse)2 [i +(i-к)%]2 (ar) „ = X~K_„ + 7---------—- 1. (4. 11) (1 + №S?2)3 [1+(1—K)2^2] Зависимость ar от X показана на рис. 4.4. Из (4.10) и (4.11) -видно, что-при ^=0 и /(=1 -вели- чина аг = 0. Характер зависимости аг от К показан на рис. 4.5. Из рисунка следует, что существует оптимальное в смысле ar = max значение К, т. е. оптимальное распреде- ление масс тх и т2, причем при больших X оптималь- 205
ки от соотношения масс К и направления оси гравилета а ное К отличается от 0,5. Из рисунка также видно, что при а = 0 перегрузка аг направлена к центру гравитирую- щего тела, а при а = л/2 — по направлению радиуса- вектора. Найдем выражение аг при Разлагая (4.10) и (4.11) по степеням XIС получим аг = ЗК (1-К)Х2 при а=0 (4.12) и (4.13) Из этих выражений ясно, что /СОпт= 1/2, т. е. массы должны быть одинаковы. Абсолютные значения |аг| для двух направлений оси гантели а = 0 и а = л/2 отличаются в два раза, а направления их прямо противоположны. 4.2.2. Моменты, действующие на гравилет На гравилет гантельной формы действуют силы при- тяжения Fi in F2. Кро'ме того, предполагается, что радиус- вектор центра масс обращается вокруг гравитирующего тела с постоянной угловой скоростью ш. Поэтому возни- кают еще центробежные силы Flu$ и F2ns инерции, при- ложенные к массам mi и т2 и направленные по радиу- су-вектору. Момент, действующий на гравилет, равен Л4гр=(Л — Flll6) г sin — (f2 - Лцб) г sin ₽2. 206
Рис. 4.6. Схема гравилета для опре- деления момента Подставляя выражения для сил, получим Mtf—r — <о2Г11 т1 sin р! — /— <в2г2 j т2 sin р2 или 7Игр= г \mx (-^- — а)2гЛ — — т<2 ( —а)2г2\ — \ ri , / ri \ Г2 / Г2 sin а. где Согласно формуле (4.7) имеем —1<^2 г (о)? — со2) sin а, Afrp=/n 2 (Л Z=l,2, т=т1-]-т2. Из сравнения (4.5) и ЛТгр=Р„г (4.8) с (4.14) получим, ц/п —— Л’ (4. 14) что (4. 15) т. е. момент, действующий на гравилет, равен моменту трансверсальной составляющей силы Fn относительно гравитирующего центра 0. 207
Направление этого момента совпадает с направлена- -* ~ . л ем со, если 0 < а , и противоположно ему, если ---а<^0, т. е. в обоих случаях этот момент стремит- ся совместить продольную ось гравилета с радиусом- вектором. Согласно рис. 4.6 гравилет имеет два положения рав- новесия. В работе [3] доказывается, что устойчивым рав- новесием гравилет будет обладать при а = 0 (в случае движения в плоскости, перпендикулярной оси симметрии гантели). /Максимальное значение момента соответствует мак- симальному значению трансверсальной перегрузки ап. 4.3. НЕУПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ ГРАВИЛЕТА 4.3.1. Движение центра масс гравилета Известно (см. разд. 4.2), что на гравилет гантельного типа при движении в центральном поле гравитации дей- ствует как бы дополнительная сила (в сравнении с нью- тоновой силой тяжести), называемая гравитационной тягой. Исследуем характер движения гравилета под дейст- вием этой силы. Гравилет имеет два положения относительного рав- новесия: 1) продольная ось гантели совпадает с радиу- сом-вектором (а = 0) и 2) продольная ось перпендикуляр- на радиусу-вектору fa = В обоих случаях возникает радиальная дополнительная сила Рг, ускорение от кото- рой (4.12) и (4.13) с точностью до членов порядка («27г)2 равно —4~ -“Г ПРИ а=0 (4. Zr=| 3 <5/2 fl Л /А —-----— при а = —, (4.17 8 г2 Г2 н 2 k или в общем виде Л=х , (4. 18) д-4 где х=----— для а = 0 и — «Z2 для а = —. 4 8 2 Здесь 5С — полная длина гантели; г — радиус орбиты, 208
Плоское движение гравилета под действием радиальной силы в центральном поле тяготения Уравнения движения в полярной системе координат с полюсом в центре гравитации имеют вид r-r?2 + Jy = /r> г<р + 2г<р=/л. (4.19) Здесь ф — центральный угол, отсчитываемый от задан- ного начального направления; fn — трансверсальная составляющая ускорения. Рассмотрим случай, когда fn = 0. Тогда с помощью второго уравнения (4.19) найдем интеграл площадей г2<р=г, (4.20) Подставляя в первое уравнение (4.19) выражения fr и ф из (4.18) и (4.20), найдем второй интеграл — интег- рал энергии Г2_2 + —+ —X ^-=А. (4.21) г г2 1 3 гЗ V Используя выражение 1/2=;2_|_^25 (4.22) интеграл энергии приведем к виду 1/2-2-^ + — *-£-=h. (4.23) г 3 гЗ Из этого выражения видно, что при х = 0, т. е. /г = 0, получим известный кеплеровский интеграл энергии у2_2 Л_=А. г Это означает, что при действии силы fr орбита отли- чается от кеплеровой. Интегралы (4.20) и (4.23) выразим через фокальный параметр р, эксцентриситет и радиус оскулирующей ор- биты. Известно, что с2 = цр, откуда видно, что фокальный параметр оскулирующей орбиты р = const. (4.24) Используя известные выражения га а 209
интеграл (4.23) преобразуем к виду *2+vx"t=a- (4.25) О Г6 Следовательно, эксцентриситет орбиты при движении гравилета по орбите изменяется. Исследуя зависимости (4.21) и (4.25), выясним ха- рактер траектории. Аналитическое выражение траектории r(t) получить не удается, так как выражение (4.21) приводится только к эллиптическим интегралам. Однако анализ уравнения (4.21) при г = 0 позволяет сделать ряд важных выводов относительно характера траектории. Действительно, ес- ли уравнение г = 0 имеет два действительных корня, это значит, что существует ri = min и г2 = шах, т. е. оскули- рующий ЭЛЛИПС С Г К =rmin И Га -—/'щах* Если же имеется только один корень (в случае нача- ла движения с круговой орбиты rmin = r0), то это значит, что га->оо, т. е. траектория удаляется в бесконечность. Пусть в начале «моторного» полета (т. е. когда начи- нает действовать радиальная гравитационная тяга Рг) гравилет находится в одной из ожидаемых точек орбиты. Тогда для г = 0 уравнение (4.21) перепишем в следую-- щем виде: 2(------—Ц——Ч=0’ (4-2б) \ Го г ) ' го г2 / 3 \ го г3 / Это уравнение удовлетворяется при r = ri=r0) где через Г] обозначен первый корень уравнения (4.26). Най- дем два других корня гг и г3. Из (4.26) имеем — + d ±1/ [— + 4? 4-44 (2 — d — —) ТО5) =_И_________L—_--------------------—.(4.27) Uo'2’3 2(2-4-^-) \ r0 ) 2 % где d=----г, причем 3 г0 , 1 / 5? \2 л d =-----1— , если а=0, 2 \ г0 / , 1 isew л d =— — , если а = —. 4 \г0/ 2 210
Так как по предположению г0 — апсидальный радиус начальной орбиты, то -=1±^ г0 где eQ — эксцентриситет начальной орбиты. Тогда с учетом того, что d<^\, имеем Го Как следует .из (4.27), все корни действительные, но количество реальных корней зависит от знака d. Если d>0 ^что имеет место при то г2>0, но г3<0. Поэтому реальных корней только два: (ri и г2). Если же d<0 (что имеет место при .а = 0), то оба корня по- ложительны: г2>0 и г3>0. Однако третий корень г3 Г r3 очень мал, —~|— , поэтому практического смыс- L /'о \ г0 / J ла также не имеет. При малых гравитационных возму- щениях он нереализуем. Таким образом, получаем два корня П = г0> г2 = г0 Р г0 При малом ускорении fr корень г2 может быть вы- ражен приблизительно так: r2=—P—+^d. 2-^- Го Г0 Таким образом, гравилет под действием радиального ускорения fr совершает по- лет по эллипсоидальной тра- ектории, радиус которой ос- тается в пределах гш[п^г<^ ’O'max* При этом согласно (4.25) Рис. 4.7. Зависимость квадрата эксцентриситета от параметра г/р 211
эксцентриситет меняется в пределах ет1п^е^етах, а ли- ния апсид совершает круговое движение [55, 80]. Дополнительно можно провести геометрическое ис- следование движения гравилета аналогично тому, как это сделано в [6,74]. В реальном движении е2> исходя из уравнения орбиты г= р—— , изменяется в области е2>(1—(.4.28) На плоскости е2, — реальные значения е2 будут ле- Р жать выше граничной кривой е2 = е2, определяемой из (4.28) при сохранении в нем только знака равенства. Эта граничная кривая имеет следующий характер: е2 монотонно убывает от оо до 0 при увеличении — от 0 Р до 1, а затем е2 монотонно возрастает от 0 до 1, асимп- тотически приближаясь к 1 при ——>оо (рис. 4.7). На Р V О ( Г \ этой же плоскости построим кривые е2 [— , определяе- \ Р ) мые из (4.25) при фиксированном значении he. Эта кри- вая монотонно убывает от е2 = + оо до e2 = he при увели-, чении г от Одо оо при а = 0 и она монотонно возрастает от е2 =—оо до е2 = /гв при а = л/2. Реальное движение определяется дугой кривой (4.25), лежащей в области (4.28). Пересечение кривой (4.25) с граничной кривой определяет экстремальные точки траектории: г = гш[п, при этом e = emin и r = rmax, при этом е = етах, если а = 0; г = Гпип,|пр'иэтом е = етах и г = гтах, при этом е = етт, если а = л/2. Движение тела периодично по г и е. В плоскости е2, — движение происходит по дуге кривой (4.25) внуг- Р ри области (4.28) от значения г = гтт, e = emin до значе- ний Г = ГШахл £ = £тах При Ct = 0 И ОТ Значений Г = Гт1п, <?—- = етах до значения- г=(Гтах, ^ = ^тш ’при а=л/2. Затем об- ратно вдоль тех же кривых до первоначальных значе- ний г и е. При отсутствии возмущений (рг = 0), когда вместо тела имеем материальную точку (j£ = 0), как следует из (4.25), эта точка будет двигаться по невозмущенной эл- липтической орбите с е = const (например, вдоль отрезка е = const между точками 1 и 2 на рисунке). 212
Движение гравилета под действием трансверсальной тяги В разд. 4.2 было показано, что при отклонении про- дольной оси гравилета гантельной формы от местной вертикали на угол а возникает сила, направленная по трансверсали, ускорение которой с точностью порядка (#/г)2 равно у JL sin 2а, (4. 29) J П 8 r2 г2 V 7 где X — полная длина гравилета. Рассмотрим траекторию движения под действием этой силы. Предположим, что начальная орбита круговая с радиусом г0. В этом случае ввиду малости ускорения fn оскулирующая орбита остается близкой к круговой и справедливо соотношение е^О и р~г. Тогда уравнение движения в оскулирующих элементах для р запишется следующим образом: dp dr 2г3 du du р. Здесь и — аргумент широты. Это уравнение с помощью (4.29) легко интегрируется — = 1/14-2п Ж2 sin 2а?/, r0 V \ го) где = — число оборотов гравилета по орбите. 2 тс Из последнего уравнения следует, что изменение вы- соты орбиты спутника под действием трансверсальной составляющей гравитационной тяги имеет вековой харак- тер. Чем больше N, т. е. чем больше время действия си- лы Рп, тем больше изменение высоты орбиты. Причем при а<90° происходит рост высоты, а при a>90° сниже- ние высоты. Максимальное изменение г соответствует а = 45° и а=135°. Оценим длину гравилета X при старте с круговой ор- биты го=6770 км для двухкратного изменения радиуса- вектора (г/г0=2) в течение первого месяца (М=450 обо- ротов), а = 45°. Она составляет ~ 180 км. Однако, как было показано выше, при « = 45° грави- лет не находится в положении относительного равнове- сия. Возможность использования трансверсальной сос- тавляющей гравитационной тяги для управления дви- жением центра масс гравилета см. в разд. 4.4. 213
4.3.2. Движение гравилета относительно центра масс в плоскости круговой орбиты Уравнение колебательного движения в плоскости ор- биты тела гантельного типа с равными массами на кон- цах можно, используя (4.9) и (4.15), записать в следую- щем виде: /а = —— u)2/nS2 sin 2а. 8 Так как момент инерции гантели / -----, то 4 а-[-За)2а=0. (4.30) При этом предполагалось, что линейные размеры спут- ника по сравнению с радиусом орбиты малы (#<^г) и что отклонения углов а относительно положения равно- весия также малы (sin 2а —2а). В выражении (4.30) со2 =— = const для круговой гз орбиты. Тогда это уравнение легко решается. Макси- мальный угол отклонения продольной оси спутника за- висит от положения равновесия, от начальных значений углов и угловых скоростей Л Т %ах=1/ • (4.31) г Зо>2 При заданной точности ориентации атах^схзад значе- ния начальных разбросов а0 и ао должны лежать в пре- делах эллипса, уравнение которого находится из (4.31) «20 . «о : «L т 3^ад Отсюда полуоси эллипса равны (см. рис. 4.8) ^зад> *=-|/Зшазал. (4.32) Если начальные возмущения ао, ао при отделении спутника от последней ступени ракеты-носителя окажут- ся такими, что будет атах>|ссзад, то в этом случае должна быть предусмотрена активная система, которая бы «за- гоняла» а0 и ао в заданный эллипс рассеивания. 214
Для примера оценим эллипс рас- сеивания сс0 и ссо Для метеорологи- ческого спутника, обращающегося по круговой орбите на высоте h— = 1000 км. Заданная точность ори- ентации оптической оси аЬад = =ьЗ°. Тогда а=3° и & = 0,3 град/с. Из (4.32) видно, что большая по- луось эллипса зависит только от за- данной точности ориентации, а ма- Рис. 4.8. Эллипс пара- метров колебания лая полуось еще и от высоты орбиты. Параметры эллип- са не зависят ни от массы гантели, ни от ее длины, т. е. от ее конструктивных параметров. Период колебания спутника равен Т 2л /3<о ’ который зависит только от высоты круговой орбиты (при задан- ной гравитационной постоянной ц). Мы рассмотрели случай колебательного движения гантели только в плоскости ее орбиты. Аналогичные ко- лебания происходят и в плоскости, проходящей через радиус-вектор перпендикулярно плоскости орбиты. Та- ким образом, мы имеем одноосную ориентацию спутника гантельной формы на центр гравитации. Если тело обладает трехосным эллипсоидом инер- ции, то спутник будет иметь уже трехосную ориентацию. При этом условия устойчивости записываются в виде В>А>С, где А, В, С — главные центральные моменты инерции этого тела. В работе {3] показывается, что для устойчивости относительного равновесия твердого тела на круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил достаточно, чтобы соблюдались неравенства В>А> >С, т. е. чтобы в невозмущенном движении большая ось центрального эллипсоида инерции тела была направле- на по радиусу-вектору, меньшая ось — по нормали к плоскости орбиты, а средняя — по касательной к орби- те. Тогда невозмущенное движение будет устойчивым от- носительно малых возмущений движения центра масс и движения около центра масс. 4.3.3. Пассивная гравитационная ориентация спутника Устойчивое положение относительного равновесия спутника на орбите может быть использовано для созда- 215
ния системы пассивной гравитационной ориентации. Это обстоятельство вызвало ряд теоретических исследований и технических предложений о создании системы гравита- ционной ориентации искусственных спутников [16, 33, 36, 40, 41, 45, 47]. В настоящее время принцип гравитацион- ной ориентации реализован во многих спутниках раз- личного назначения. Проведение научных исследований в околоземном пространстве с помощью искусственных спутников, на- пример, связных, метеорологических, геодезических и некоторых типов других ИСЗ, часто требует точной трех- осной или одноосной ориентации спутника на Землю в течение длительного времени. В зависимости от поставленных задач ориентация ис- кусственных спутников может быть осуществлена с ис- пользованием активных или пассивных методов. Приме- нение активных систем ориентации при значительном времени существования спутника приводит к ряду труд- ностей, связанных с большим расходом энергии или ра- бочего тела, весом и сложностью этих 'систем. Для ак- тивных методов ориентации обязательно наличие на спутнике датчиков ориентации и исполнительных эле- ментов, обеспечивающих управляющие моменты и под- держивающих заданную ориентацию спутника в прост- ранстве. Активные системы ориентации применяются, если необходимо обеспечить очень высокую точность ориентации, противодействовать большим возмущаю- щим моментам, совершать сложные программные пово- роты спутника. Активные системы ориентации рассчиты- ваются, как правило, на сравнительно короткое время работы. Для спутников без сложных программных маневров, с большим временем активного существования и точно- стью ориентации порядка 1—5° предпочтительнее при- менение пассивных методов. При разработке пассивных систем ориентации спутников можно использовать свой- ства гравитационного и магнитного полей, эффект сопро- тивления атмосферы и светового давления, гироскопиче- ские свойства вращающихся тел и др. Из систем, использующих свойства внешней среды, наибольшее распространение получили гравитационные системы ориентации спутников. Принцип ориентации в этих системах основан на хорошо известном свойстве центрального ньютоновского поля сил: спутник с нерав- 216
ними главными центральными моментами инерции име- ет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей осн эллипсоидов инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты. Важное положительное свойство пассивных систем за- ключается в том, что эти системы могут функциониро- вать продолжительное время без расходования энергии или рабочего тела. Наиболее существенный недостаток пассивных систем — сравнительно малая величина уп- равляющих моментов. Рассмотренная выше гантельная форма спутника да- ет одноосную ориентацию вдоль радиуса-вектора. На- личие трехосного эллипсоида инерции, как доказывается в работе [3], обеспечивает трехосную ориентацию. Положения устойчивого равновесия переходят одно в другое при повороте спутника на 180° вокруг радиуса- вектора и бинормали к орбите. При отсутствии внутреннего рассеивания энергии ве- личина амплитуд малых колебаний спутника относитель- но равновесного положения не меняется с течением времени. Точность стабилизации определяется началь- ными значениями углов и угловых скоростей спутника. Введение диссипативных сил в систему превращает по- ложения устойчивого относительного равновесия спутни- ка в асимптотически устойчивое. Тогда амплитуда собст- венных колебаний, обусловленных начальными значе- ниями углов и угловых скоростей, стремится к нулю. При практической реализации гравитационной сис- темы ориентации необходимо решить три основные за- дачи. Первая задача связана с необходимостью демпфи- рования собственных колебаний спутника относительно положения устойчивого равновесия. Для обеспечения демпфирования собственных колебаний спутник мон- тируется из соединенных нежесткой связью двух час- тей — собственно спутника и стабилизатора. Демпфиро- вание системы производится с использованием относи*, тельной подвижности спутника и стабилизатора. Вторая задача связана с неоднозначностью положе- ния устойчивого равновесия спутника. Если спутник пос- ле демпфирования собственных колебаний должен занять устойчивое равновесное положение, а углы и угловые ско- рости в начальный момент после отделения от последней ступени ракеты-носителя слишком велики, но их необ- 217
ходимо уменьшить с помощью системы предварительного успокоения до величин, обеспечивающих выход спутни- ка в нужное положение равновесия. Другое решение этой задачи заключается в том, чтобы успокоить спутник в любом устойчивом положении равновесия и уже после успокоения перевести его с помощью программного по- ворота в заданное положение равновесия. Третья задача связана с малой величиной гравитаци- онных восстанавливающих моментов и необходимостью в связи-с этим принимать специальные меры по умень- шению различных возмущающих воздействий с тем, что- бы обеспечить достаточно высокую точность ориентации спутника. Различные гравитационные системы ориентации от- личаются в основном методами демпфирования собст- венных колебаний. Демпфирование может быть полно- стью пассивным, полупассивным и активным. В чисто пассивных схемах с использованием относи- тельного движения нежестко соединенных частей спут- ника производится демпфирование, основанное на явле- ниях, связанных с возникновением вихревых токов, эф- фектом магнитного гистерезиса и т. д. Полупассивное демпфирование можно обеспечить, например, с помощью гиродемпфера, где сравнительно небольшое количество энергии тратится лишь на под- держание постоянной скорости вращения роторов гиро- скопов. В гравитационных системах ориентации с активным демпфированием гашение собственных колебаний спут- ника относительно орбитальной системы координат осу- ществляется с помощью системы, включающей чувстви- тельные и исполнительные элементы, и лишь восстанав- ливающие моменты обеспечиваются за счет свойств гра- витационного поля Земли. Демпферы колебаний рассеивают энергию колебаний спутника с гравитационной системой ориентации относи- тельно положения устойчивого равновесия. Геомагнит- ное поле и невесомость, тепловые условия и вакуум кос- мического пространства существенно влияют на конст- рукцию демпферов, поскольку они используются в спут- никах, которые стабилизируются очень малыми грави- тационными моментами. Демпфер должен быть доста- точно чувствительным, для того чтобы реагировать на весьма малые моменты, и в то же время достаточно 218
прочным, для того чтобы противостоять большим силам, возникающим при запуске или маневрах на орбите. Демпфирование колебаний осуществляется путем диссипации энергии относительно движения между спут- ником и либо внешним геомагнитным полем (одноком- понентные демпферы), либо некоторым компонентом спутника, который связан с внешним полем (двухкомпо- нентные демпферы). В табл. 4.1, взятой из [45], перечис- лены типы демпферов, используемые опорные поля, принципы построения каждого из четырех основных эле- ментов демпфера. Таблица 4.1 Тип демпфера Элементы демпфера колебаний Основное опорное поле или демпфиро- порресШ1 истопник Синие пиииыжи момента. ванне пружина арретарозание _______________п \0днокомтй\\ Магнштл I ненжные П нпе Вихревые ___токи ~Магнитныи гистерезис Усиленный магнитный - гистерезис Вихревые токи Диамаг- нитная \Диамагнит- Упругое закреплен} Упрйгое Пиротехни- ческое Пассивнее \граоита\. \ционное\ , Магнитный W^nntrn] закреплен. ----- 1 \з^п^^я1г,1}адляемое ная - Нет Сублимация \Структурный\ \Спиральна& Спиральная\~* гистерезис уцпрджина — пружина — Двцхком -1 понентные\ Вихре вы е\~ Диамаг- гпоки нитная _______ нитная Диамагни- тная Нет Пиостехни- ческое \магнит-. J ное | _ Магнитный. I гистерезис Упругое ___ закреплен] Упругое закрепл. Пассивное -| Вязкость\- Торсион—\__ ная Закручиваю- щаяся/шт ь Управляемое Структурный\\ Спираль- гистерезис пп"~ ная пру- жина. Спиральная пружина Нет __ Сублима- ция Ьэроди- намика Световое давление Однокомпонентные демпферы. Простейшая конст- рукция демпфера включает в себя несколько стержней, Жестко скрепленных со спутником. Такой демпфер не 219
имеет элементов подвески, так как его части не переме- щаются друг относительно друга. Стержень демпфера рассеивает энергию за счет потерь на магнитный гисте- резис, возникающих при движении стержня относитель- но магнитного поля. Энергия 'колебаний рассеивается при движении элементарных магнитных областей в ма- териале демпфера. Демпферы такого типа эффективны только на низких орбитах и обеспечивают относительно небольшую точность ориентации — обычно порядка 10 ... 20°. Были разработаны некоторые средства для улучшения демпфирующих свойств этих стержней путем усиления действия земного магнитного поля. Усиленное гистерезисное демпфирование с успехом использовалось на синхронных орбитах для достижения той же точности ориентации, что и на низких орбитах. В одном из вариантов однокомпонентных демпферов диссипация энергии вызывается вихревыми токами, воз- никающими при движении стержня в магнитном поле Земли. Недостатком такого демпфера является его слиш- ком большая масса. Двухкомпонентные демпферы. Эти демпферы состоят из элементов, скрепленных с основной конструкцией спутника, и элементов, которые взаимодействуют с внеш- ним полем. До настоящего времени для этой цели ис- пользовались геомагнитные и гравитационные поля. Идеи многих конструкций основаны на аэродинамичес- ких силах и световом давлении, но они не осуществлены. Сцепление с геомагнитным полем к настоящему вре- мени осуществлялось чаще всего в демпферах со сфери- ческой конфигурацией. Такая схема состоит из сферы, которая подвешивается диамагнитными силами внутри другой сферы. Внутренняя сфера содержит магнитный стержень, который ориентируется по геомагнитному по- лю, а внешняя сфера жестко скреплена со спутником. Относительное движение сфер, вызываемое колебания- ми ИСЗ, демпфируется либо вязким трением, либо вих- ревыми токами. Точность ориентации, которая достига- ется с помощью систем со сферическим демпфером, сос- тавляет 5 ... 10°. Существует множество конструкций двухкомпонент- ных демпферов, в которых для сцепления используется гравитационное поле Земли. Одна часть такого демпфе- ра скреплена с основным стержнем, а вторая — с демп- фирующим. Такая конструкция, однако, усложняет усг- 220
ройство подвески демпфера и защиту его от вибраций на старте. Для этого типа демпферов используются подвес- ки на закручивающейся нити, спиральной пружине, с упругим закреплением и диамагнитные в сочетании со многими принципами демпфирования и методами арре- тирования. С помощью демпфера такой системы была достигнута точность ориентации 2°. Одним из простейших демпферов является централь- ная сферическая полость, заполненная вязкой жидкостью и находящаяся внутри гравитационно устойчивого спут- ника. Колебательное движение спутника приводит к пе- ремещению вязкой жидкости относительно корпуса спут- ника и рассеиванию энергии. Сферу можно заменить полостью, образованной двумя сферическими оболочка- ми. Для заданной толщины слоя и плотности вязкой жидкости, заключенной между сферическими оболочка- ми, существует оптимальная вязкость, обеспечивающая максимальную скорость рассеивания энергии колебаний. Основной недостаток схемы демпфирования колеба- ний спутника с помощью вязкой жидкости заключается в том, что для сравнительно быстрого рассеивания энер- гии требуется большое количество жидкости, так как оказывается, что в оптимальном случае демпфирования момент инерции жидкости должен быть сравним по ве- личине с максимальным моментом инерции спутника. Эффективность этой схемы несколько повышается, если поместить жидкость в замкнутый тороидальный объем, расположенный вне спутника. Одна из первых и достаточно эффективных схем стабилизации и демпфирования была предложена Д. Е. Охоцимским еще в 1956 г. Эта схема представле- на на рис. 4.9. К телу спутника с помощью сферическо- го шарнира присоединено второе тело, которое называ- ется стабилизатором. Стабилизатор выполнен в виде двух одинаковых по длине жестко скрепленных друг с другом штанг с равными грузами , на концах. Система координат OiXif/iZi и О2х2г/2г2 — главные центральные трехгранники, связанные соответственно со спутником и стабилизатором. Положение стабилизатора относитель- но тела спутника фиксируется центрирующими пружи- нами. Параметры стабилизатора (длина штанг, вес, угол раствора между штангами) выбираются таким образом, чтобы при жестком закреплении стабилизатора относи- 221
Рис. 4.9. Система спутник — стабилизатор: /—спутник; 2—стабилизатор; 3—центрирующие пружины; р— сферический шарнир тельно спутника система спутник — стабилизатор была гравитационно устойчивой. В положении устойчивого равновесия система спутник — стабилизатор штанги расположена в плоскости орбиты О]Хх||О2Х2, и параллельна касательной к круговой орбите Oi^i||O2^2- Нежесткое фиксирование взаимного положения спутника и стабилизатора с помощью упругой связи осу- ществлено с целью ввести в систему линейные демпфи- рующие члены, используя относительную подвижность спутника и стабилизатора. Предполагаемая схема позволяет при любых инерци- онных характеристиках спутника обеспечить его стаби- лизацию относительно орбитальной системы координат. В среде без сопротивления форма спутника не имеет значения. Движение системы определяется инерционны- ми характеристиками спутника и стабилизатора и коор- динатами сферического шарнира относительно трехгран- ников и О^у^. Моменты инерции стабилизатора пропорциональны квадрату длины штанг, а максимальный размер штанг определяется лишь требованиями жесткости конструк- ции. Поэтому необходимое для удовлетворительного пе- реходного процесса соотношение между моментами инер- ции спутника и стабилизатора легко обеспечивается с 222
помощью малых масс на концах штанг за счет «увеличе- ния их длины. В конструктивном отношении удобны складные или телескопические штанги, либо штанги, вы- полненные из металлических лент, свертывающихся под действием упругих сил в трубки. Упругую связь между спутником и стабилизатором можно не вводить, если спутник без стабилизатора гра- витационно устойчив и шарнир расположен на главной оси, соответствующей среднему по величине моменту инерции спутника. Роль фиксирующих упругих связей в этом случае играют гравитационные моменты. Схема системы спутник — стабилизатор на рис. 4.9 является наиболее простой и в то же время общей, так как она решает поставленную задачу стабилизации при любых параметрах спутника. Рассмотрение более слож- ных форм стабилизатора ничего нового к этой схеме не добавляет. Предполагаемая система гравитационной стабилиза- ции может работать длительное время и не требует при этом расходования энергии на стабилизацию. Точность стабилизации спутника определяется лишь точностью изготовления системы спутник — стабилизатор и в прин- ципе может быть сколь угодно высокой. Вес стабилиза- тора, обеспечивающего оптимальный переходной про- цесс, при длине штанг, равной удвоенному максималь- ному линейному размеру спутника, не превышает не- скольких процентов от веса спутника. Подробный анализ описанной системы стабилизация дается в работах В. А. Сарычева [40, 41] и др.. 4.4. УПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ ГРАВИЛЕТА В разд. 4.3 было показано, что отличие твердого те- ла (искусственного спутника) от материальной точки практически не приводит к вековым изменениям пара- метров орбиты при полете в центральном гравитацион- ном поле. Однако еще в 1962 г. автором было обнаружено, что при постоянном наклонении тела гантельного типа к ме- стному горизонту возникает сила, способная изменять орбиту в широких пределах. Но так как эта система практически мало эффективна (о которой пойдет речь), результаты исследований ранее не публиковались. Появ- ление в период с 1968 по 1972 гг. трех статей [6, 8, 9], в которых были исследованы два новых способа создания 223
гравитационной тяги, вызвало среди специалистов по- вышенный интерес, что заставило глубже разработать теорию полета гравилетов. Принцип использования сил механической системы для управляемого перемещения центра масс этой систе- мы при наличии внешних сил широко применяется в средствах передвижения. Его можно использовать также и в космической технике. При этом внешними силами будут силы центрального гравитационного поля, а сред- ством создания управляемого главного вектора этих сил — управляемое изменение геометрии масс элементов системы или управляемое изменение положения элемен- тов аппарата по отношению к гравитационному полю. Новый способ основан на следующих соображени- ях [6]: «1) сила тяготения, действующая на тело конечных размеров, отличается от силы, действующей на матери- альную точку той же массы, помещенной в центре масс тела; 2) изменяя геометрию тела или положение КА в гра- витационном поле, можно менять величину и направле- ние действующей на него силы тяготения; 3) геометрией или положением тела можно управ- лять так, что возникающие вариации силы тяготения с течением времени приведут к существенным отклонени- ям траектории тела от первоначальной. Первое из этих утверждений очевидно. Второе явля- ется следствием первого. Третье утверждение будет до- казано ниже». Сила, развиваемая изменением геометрии и положе- ния масс, пропорциональна величине (<27г)2, где полная длина КА гантельного типа, г — радиус-вектор. Эта величина в практически реализуемых конструкциях мала. Например, в близкой окрестности Земли на тело размером в несколько сот метров действует, возмущаю- щее ускорение порядка 10-8 от основной величины гра- витационного ускорения, в то время как двигатели малой тяги могут дать возмущающее ускорение порядка (10-6— 10-4)g. Однако при размерах тела в несколько сот ки- лометров можно получить такие же ускорения, какие мо- гут дать двигатели малой тяги (см. разд. 4.2). Анализ сил, проведенный в разд. 4.2 показал, что ве- личина и направление этих сил зависят от угла накло- нения продольной оси гравилета к местному горизонту 224
и от расстояния между центрами масс элементов систе- мы: Р(а, X). Управляя параметрами а и X с помощью внутренних или внешних сил можно управлять маневром космического аппарата. Система изменяемой длины 5? рассмотрена в работах [6, 9]. Она названа авторами «пульсирующей системой». Причем в работе [6] рассмотрена пульсирующая система гантельного типа со скачкообразным изменением рас- положения масс гантелей в различных точках орбиты, а в работе [9] система с непрерывным изменением геомет- рии масс. Маневр КА путем изменения угла наклона продоль- ной оси аппарата к местному горизонту исследован М. Е. Тиверцем [8] при а = {0; -yj и автором при а- = const. 4.4.1. Движение пульсирующих систем Движение пульсирующей системы со скачкообраз- ным изменением расположения масс. Пусть гравилет за- нимает одно из положений относительного равновесия: a=|O;-yj.FIp и этом действующая на тело сила является центральной, зависит только от расстояния г от центра масс гравилета до центра притяжения и определяется силовой функцией и{г\. Движение полностью определяет- ся с помощью первых интегралов уравнений движения: интеграла площадей (4.24) и интеграла энергии (4.25). Эти интегралы преобразуются к виду, удобному для до- казательства возможности управляемого маневра гра- вилета р = const, е^-^-уХ2 — = he', (4.33) гз здесь В зависимости от длины {тт А 0; —j косми- ческий аппарат гантельной формы совершает одно из трех движений, показанных на рис. 4.7. 8 2801 225
Рис. 4.10. Изменение эксцентриситета орбиты пульсирующего гравилета Пусть рассматриваемый КА может пульсировать: в нужные моменты мгновенно сжиматься в точку (#=0) или мгновенно выпрямляться на полную длину <2. До- пустим пусть движение начинается в перигее орбиты с раскрытой гантелью и происходит на плоскости е2, г/р вдоль дуги 1—2 на рис. 4.10, а. По достижении апогея £=0тах И г=Гтах гантель мгновенно сожмется в точку, тем самым выключая «гравитационный двигатель». Тог- да дальнейшее движение будет происходить по эллипти- ческой орбите с постоянным эксцентриситетом е=етах вдоль отрезка 2—3 (см. рис. 4.10, а) до нового значе- ния перигеиного радиуса r=rmin- В этом новом перигее вновь мгновенно «включаем» гантель. Тогда дальнейшее движение будет происходить по отрезку кривой (4.33) с новым значением he (новые начальные данные) вплоть до r=rmax, е = етах (вдоль дуги кривой 3—4 на рис. 4.10, а). Очевидно, етах>втах. Далее, «выключая» ган- тель в апогее орбиты и «включая» ее в перигее, можно достичь сколь угодно больших значений е<1 и даже зна- чения е>1, т. е. достичь 'параболической скорости и уйти из поля тяготения центрального тела (кривая п—1ч-я на рис. 4.10, а). Аналогичный процесс совершается и в случае а = л/2 (рис. 4.10, б). В отличие от случая а = 0приа = л/2«вклю- 226
чать» гантель необходимо в апогее, а «выключать» .в пе- ригее. Некоторые оценки [6]. За п циклов эксцентриситет изменится примерно до значений <?б 4- ) (Д + ео), так что для достижения е 1 необходимо п \St) цик- лов (оборотов на орбите). Если исходная орбита р = = 10000 км, a <Z=1 км, то /г~108 оборотов, при X = = 10 км, п= 106, при <2= 100 км /г~ 104. Движение пульсирующей системы с плавным изме- нением расположения масс. Результаты исследований этой системы изложены в [9], где рассматривается ма- невр гравилета для случая непрерывного изменения гео- метрии масс при полете в центральном гравитационном поле. Основное внимание уделяется анализу программи- рования величины и положения элементов системы, при- водящее к получению сколь угодно больших перемеще- ний центра масс КА. Исследуется КА, который содержит п резервуаров для жидкого или газообразного рабочего вещества, сое- диненных между собой трубопроводами для перекачки рабочего вещества из одного резервуара в другой. При- нимается, что никаких других внешних сил, кроме сил центрального гравитационного поля, на космический ап- парат не действует. Приближенно резервуары считаются точечными. Их расположения обозначены (/ = 1, 2,...) (рис. 4.11). Взаимное расположение точек Ci может быть как постоянным, так и переменным. Переменную массу рабочего вещества, находящегося в резервуаре с^, обоЗЧ* начим через пц. Будем считать также, что Л п ^/7Zz = C011st = /72, (4. 34) т. е. рабочее вещество никуда не уходит из системы ре- зервуаров и извне не поступает в нее. Ясно так же, чтэ перетекание масс из одних резервуаров в другие может быть реализовано с помощью одних только внутренних сил системы. Уравнение движения центра масс рассмат- риваемой системы можно представить в виде 8* 227
Рис. 4.11. Схема многосекциопного пульсирующего гравилста где г — радиус-вектор, идущий от притягивающего цент- ра в центр масс КА; ц — гравитационная постоянная центрального поля; ц — радиусы-векторы, определяющие положение резервуаров М — полная масса КА; F — геометрическая сумма всех гравитационных сил, дейст- вующих на КА, без перемещающегося рабочего вещест- ва. Класс программ изменения масс среди которых находятся программы, приводящие к требуемой цели, бу- дем искать в форме /«/=Ф1/(^) + Ф2г(г)Ф/(?), (4.36) где ф — угол, образованный радиусом-вектором г с не- подвижной осью; Фн(г) и Фяг (ф) —ограниченные непре- рывные функции от г; ФДг) — непрерывная периодиче- ская функция с периодом 2л. Космический аппарат, ра- ботающий по такой программе, может быть назван цик- лическим гравилетом. Зададимся определенным взаимным расположением резервуаров для рабочего вещества. Возьмем пять таких резервуаров. Четыре из них расположим по углам квад- рата с диагоналями, равными «Z, а пятый поместим в центр квадрата (см. рис. 4.11). Пусть переменные мас- 228
сы, находящиеся на противоположных углах .квадрата, равны. Имея в виду это обстоятельство, обозначим мас- сы, находящиеся в резервуарах Ci и c<z через mzz, а ©ре- зервуарах с3 и с4 — через т'. Каким бы образом не из- менялись массы т! и mzz, центр масс рабочего вещест- ва, содержащегося в пяти резервуарах, всегда будет сов- падать с центром квадрата. Исключая названные массы, остальная часть КА рас- сматривается как одно твердое тело, масса которого не- изменна и симметрично расположена по отношению к диагоналям квадрата. Масса этого тела равна М—т, а его центр масс будет совпадать с центром квадрата. Рассмотрим (плоское движение взятой системы. Ее состояние можно определить следующими параметрами: массы т' и т", полярные координаты г, <р центра масс с и угол а между диагональю квадрата и полярным ра- диусом г. Эти пять параметров удовлетворяют трем дифференциальным уравнениям: двум уравнениям дви- жения центра масс, которым эквивалентно векторное уравнение (4.35) и уравнению моментов количества дви- жения системы относительно центра масс с. Два из наз- ванных параметров, в качестве которых выберем а и т', могут рассматриваться как параметры, программирую- щие движение системы, и считаться заданными. Возьмем схему КА, при которой можно считать кор- пус КА материальной точкой. Тогда в уравнении (4.35) —> F = — [л(Л4 — т)—, и уравнение для рассматриваемых /*3 пяти резервуаров можно записать в следующем виде: В качестве программы для выберем программу, обеспечивающую направление одной из диагоналей квад- рата на центр гравитации 0. Такой программой является условие а = 0. В этом случае уравнения движения цент- ра масс в полярной системе координат можно записать в виде /7 -I-JL /7 (4.37) dt4 \ dt J r2 r2 М 1 г2 м 2 k A(r2i)=0> (4.38) dt 229
где через Fi и F2 обозначены следующие функции от X /г. Л = 2------------- (1+^2/4г2)' Разложим функции /д и F2 в ряды по степени JC/r п ограничимся первыми членами разложения |4-39) Л = у. (4.40) 4 \ г ) В земных условиях, даже при значении <£, состав- ляющих несколько сот километров, относительная по- грешность от отбрасывания в рядах старших членов сос- тавляет доли процентов. Интегрируя уравнение (4.38), получим интеграл пло- щадей, где с — произвольная постоянная г2ф=с. (4.41) 1 Вводя обозначение г = ~ и используя выражения (4.39) — (4.41), уравнение (4.37) перепишем в виде d<p 1 с‘2 [ 1 4 \ г / \ Л4 Л4 /J к 7 Зададимся теперь следующей программой измене- ния т'\ т’ Пл Л q sin ? (4. 43) где т0' и г0 — значения т' и г при <р = 0; q — постоян- ный параметр, характеризующий интенсивность перекач- ки рабочего вещества. Эта программа принадлежит, оче- видно, к классу программ, определяемых формулой (4.36). С помощью программы для т' найдем программу для т" т” Пл г^ Л го — q sin 230
где /по — значение т" при <р = О, а затем, пользуясь со- отношениями (4,34), найдем и программу для резервуа- ра съ гп^__т____2 f2 / zno I т М Гд \ Л4 М / Эти программы также принадлежат к рассматриваемо- му классу программ. Подставляя в уравнение (4.42) выражения т' и т", приведем его к виду 4" sin ? + В, (4. 44) d<ft л 9р. \2 где А = —— 7, 4^2 \ г0 Р 5 = _±_, । Р Vf2 С2 ~Г4с2\ г0 / \ М М / ’ Решением уравнения (4.44) является u = (uQ — B — ^- ?)cos<p4-(-^-+-Д) sin? + 5; \ 2 / у cuq 2 у dun здесь uQ=—— . и dt Приведем это уравнение к виду где/?==Т’ г=-----------------, (4. 45) 1 + е cos (<$> + ?о) + В + —- + (^o/C£Zo + A[i)2 В ’ uq/cuI -Ь Л/2 tg cpn= --------------- . ST0 Лу/2 4-B-zzo Из анализа этих формул вытекает, что формула (4.45) является уравнением оскулирующей орбиты. Фо- кальный параметр орбиты р сохраняется в течение поле- та постоянным. Эксцентриситет е зависит от угла (рис ростом его так же растет. При угле 71 \ у \ ' эксцентриситет достигает значения е=1. Следовательно, 231
программа изменения геометрии масс (4.43) обеспечива- ет сколь угодно большое изменение параметров орбиты вплоть до удаления в бесконечность. Угол фо также зависит от угла ф. Это значит, что линия апсид оскулирующего эллипса непрерывно меняет свое направление. Как видно из (4.45), при росте е высота апоцент- ра непрерывно будет расти, а высота перицентра непре- рывно снижаться. Поэтому, чтобы избежать столкнове- ния с поверхностью планеты при удалении в бесконеч- ность, должно быть выполнено условие где R — радиус планеты. Оценочные расчеты, проведенные в [9], показывают, что при достаточно большой длине трубопроводов — от нескольких десятков до нескольких сот километров — эффективность использования гравилета для получения управляемых радиальных перемещений сопоставима с эффективностью использования для той же цели КА с малой тягой при тягах, создающих ускорение 10~5 ... ... 10"3£. Например, при длине трубопроводов Ж/2 = 600 км в околоземном пространстве можно осуществить управляе- мое радиальное перемещение КА в 10000 км за 5 суток при 42 обращениях вокруг Земли. Если длину трубопро- вода уменьшить до 300 км, то же самое радиальное пе- ремещение можно осуществить за 17 суток при 155 обра- щениях. В окололунном пространстве радиальное пере- мещение в 1600 км можно осуществить за 1 сутки при длине трубопроводов в 600 км и за 2,5 суток при длине трубопроводов в 300 км. Гравилеты могут быть эффективно использованы так- же для управляемого сближения (удаления) с космиче- скими станциями. При этом потребуется создание значи- тельно менее длинного трубопровода, чем в только что рассмотренных примерах. Так, например, для создания радиальных перемещений, составляющих 0,03 радиуса круговой орбиты спутника Земли, потребуются трубо- проводы длиной 10 ... 50 км. При длине трубопровода в 50 км указанное радиальное перемещение для спутника Земли может быть осуществлено за 1 сутки, а для спут- ника Луны — за 0,2 суток. При уменьшении длины тру- бопровода до 10 км рассматриваемое время увеличится: для спутников Земли до 30 суток, а для спутников Луны до 4,’5'суток. ‘232
4.4.2. Движение поворотного гравилета, управляемого углом наклона его продольной оси к радиусу-вектору Принцип создания управляемого движения этой сис- темы аналогичен принципу, рассмотренному в разд. 4.2. Отличительной особенностью рассматриваемой системы является то, что геометрия масс сохраняется постоянной, т. е. внутреннее перемещение масс не происходит, а ва- риация силы гравитационного поля создается путем из- менения ориентации гравилета в определенных точках орбиты. Рассмотрим систему, эквивалентную гантели неиз- менной длины, наклоненную к радиусу-вектору под за- данным углом ориентации. Будем выдерживать угол ори- ентации так, чтобы гантель по желанию занимала лишь одно из двух положений на орбите: 1) ось гантели на- правлена вдоль радиуса-вектора, а = 0, 2) ось гантели нормальна к радиусу-вектору, (а = л/2). Управление системой производится следующим обра- зом. Пусть гравилет в начальный момент времени нахо- дится в перицентре орбиты. При этом ось гантели сог- ласно рис. 4.10, а должна совпасть с радиусом-вектором (а = 0). Движение в плоскости е2, г/р происходит по дуге кривой 1—2. В точке 2 достигается етах и гтах- В этой точке производится переключение угла а с а = 0 на а = = л/2. После этого гравилет будет двигаться по дуге кри- вой, изображенной па рис. 4.10,6, т. е. происходит как бы совмещение движений, графики которых изображе- ны на рис. 4.10, а и б. В ре- зультате получим график движения гравилета, пока- занный на рис. 4.12. Из гра- фиков видно, что при управ- лении углом а происходит монотонный рост эксцентри- ситета орбиты. Причем этот рост происходит более ин- тенсивно, чем у пульсирую- щей системы (для сравнения на рис. 4.12 показаны точки 3 п 5'). Соответствующим подбором программы а мо- Рис. 4.12. Изменение эксцент- риситета орбиты поворотного гравилета 233
гут быть осуществлены как разгон гравилета, так него торможение (кривые 1—2—3 ... —п) и (п— ... —3—2— —1). По оценке [8] управление гравилета углом а обес- печивает в два раза большее изменение эксцентрисите- та орбиты по сравнению с пульсирующей системой со скачкообразным изменением длины гравилета. 4.4.3. Движение гравилета при постоянном угле наклона продольной оси к радиусу-вектору Выше было показано, что при ct = const возникают как радиальная, так и трансверсальная составляющие гра- витационной тяги. Также было показано, что радиаль- ная составляющая этой тяги при S^/ro^d к вековым из- менениям параметров орбиты не приводит. Трансверсальная же составляющая гравитационной тяги может привести к существенным изменениям высо- ты орбиты (см. разд. 4.3.1). Как было показано выше, пульсирующий и поворот- ный гравилеты могут маневрировать только в плоско- сти орбиты. В отличие от них гравилет с постоянно ори- ентированной продольной осью к радиусу-вектору может маневрировать не только в плоскости орбиты, но и в бо- ковом направлении. Для этого достаточно лишь повора- чивать гравилет относительно местной вертикали, сохра- нив угол наклона а постоянным. Это — несомненное преимущество гравилета с а = const перед пульсирующим и поворотным. Однако недостатком рассматриваемого гравилета яв- ляется то, что максимальное значение гравитационной тяги имеет место при а = 45°. Но при этом, как известно, максимален и момент гравитационной силы, действую- щей на гравилет. Для обеспечения постоянной ориентации оси грави- лета под углом а = const к нему должен быть приложен другой момент Л1К, компенсирующий гравитационный Л1Гр. Ниже рассмотрено несколько способов создания ком- пенсирующего момента Л4К и проведена оценка их эффек- тивности. Создание компенсирующего момента с помощью ре- активных двигателей. Пусть реактивные двигатели, соз-. дающие пару сил, расположены на концах гантели. Тогда МК = РХ, где Р — тяга отдельного двигателя; 234
X — расстояние между двигателями. С другой стороны, гравитационный момент равен (4.15) Л4ГР = Л1Г- Из равенства этих моментов найдем тягу двигателя Напомним, что Рп — трансверсальная составляющая гравитационной тяги. Найдем отношение суммарной тяги двигателей к гравитационной тяге: —=2 —. (4.46) Рп se k Отсюда видно, что суммарная тяга реактивных дви- гателей в 2 —раз больше, чем тяга, развиваемая грави- тационным полем. Это говорит о том, что способ созда- ния компенсирующего момента с помощью реактивных двигателей с целью получения гравитационной тяги не эффективен. Лучше разгонять космический корабль с по- мощью самих реактивных двигателей. Создание компенсирующего момента с помощью ма- ховиков. Создание компенсирующего момента с помощью реактивных двигателей требует расхода рабочего тела. Компенсирующий момент с помощью маховиков может быть создан без затрат рабочего тела, а только за счет бортовой энергии, которая может быть -накоплена из внешних источников, в частности, Солнца. Из равенства гравитационного и компенсирующего моментов имеем , (4. 47) где / и со — момент инерции и угловая скорость враще- ния маховика. Отсюда видно, что за время маневра гравилета махо- вик должен непрерывно разгоняться. Но угловая ско- рость маховика ограничена условием его прочности. Оценим маневренные возможности гравилета, исходя из этого условия. Выразим со через параметры траектории и прочност- ные характеристики. Пусть начальная орбита круговая. Известно, что при старте с круговой орбиты и действии малой тангенциаль- 235
ной тяги оскулирующая орбита остается близкой к кру- говой, а скорость полета почти равной местной круговой скорости 1/2 ~ ±_ (4. 48) Используя эту зависимость, уравнения движения гра- вилета V={n—gsin'0, r=Vsin0, где g — местное гра- витационное ускорение; 0 — угол наклона скорости V к местному горизонту, можно привести к следующему виду: V=—fn или mdV = —FTldt. (4. 49) Решая совместно уравнения (4.47) и (4.49), выразим угловую скорость маховика через элементы орбиты (0=ivn_/J-----м. (4.50) I \V voj v Для того чтобы выразить угловую скорость маховика через прочностные характеристики, рассмотрим маховик кольцеобразной формы с массой тм и средним радиусом кольца q (рис. 4.13). Для такого маховика предельная угловая скорость вращения равна •-=7|/> (4-5” где п и у — напряжение и удельный вес материала, из которого сделан маховик; gQ — гравитационное ускоре- ние на поверхности Земли. Из (4.51) видно, что выражение ^пред— |у So (4- 52) есть предельная линейная скорость ободка маховика. Для стали она равна иПред~210 м/с, а для алюминиевых сплавов ипред~200 м/с. При оценке иПреД учтена знако- переменность нагрузки и запас прочности принят рав- ным 2. Приравняв (4.50) к (4.51), найдем изменение скоро- сти, а по (4.48) изменение высоты полета гравилета за время разгона маховика до предельной скорости враще- ния 1 _ 1 [ „ о tz tz “Г^пред V I/q т 236
Из этого выражения видно, что изменение скорости полета не зависит от размеров гравиле- та прямо пропорционально ста- тическому моменту маховика обратно пропорционально массе гравилета и мощности гра- витационного поля. Отсюда выте- кает, что маневр гравилета эф- фективен около слабых гравита- ционных полей. Оценка. Пусть mM/m = 0,l; = 100 м. Полет происходит на вы- соте 300 км около Земли. Тогда Рис. 4.13. Схема маховика изменение высоты полета за время разгона маховика до предельной угловой скорости составляет всего Дг^0,5 м. Для большего изменения высоты орбиты необходима многократная раскрутка маховика путем сброса его ки- нетического момента после достижения предельной угло- вой скорости сопред. Для сохранения стабилизированного положения гравилета к нему должен быть приложен ак- тивный момент, создаваемый с помощью реактивных двигателей. Уравнение моментов во время сброса кинетического момента маховика Iu = Pnr — PZ. Отсюда имеем (4.53) где /Сб — время сброса кинетического момента. Кинетический момент маховика, накопленный за вре- мя разгона /р из (4.47) равен /<ипрел=/Э«г/р- (4.54) Пусть Qa — импульс реактивной тяги одного двига- теля, a Qrp = Рп (ip-1-^сб) — импульс гравитационной тяги за время от начала раскрутки маховика до момента пол- ного сброса его кинетического момента. Тогда из (4.53) и (4.54) имеем Qa£ = Qipr- Следовательно, отношение суммарного импульса ре- активной тяги к импульсу гравитационной тяги равно ^Qa 9 г Qrp <2? т. е. в 2— раза превышает ту величину, которую может обеспечить гравитационная тяга [сравни с (4.46)]. 237
Рис. 4.14. Аэродинамическая компенсация грави- тационного момента В рассмотренных выше двух способах стабилизации гравилета компенсирующий момент создается за счет внутренней энергии гравилета. Представляет теоретичес- кий интерес исследовать возможности создания компен- сирующего момента также за счет внешних сил: аэроди- намических н светового давления. Аэродинамическая стабилизация гравилета. Этот слу- чай имеет место при полете на низких орбитах вокруг планет, имеющих атмосферу, и когда появляется потреб- ность поддержания этой орбиты в течение длительного времени. При аэродинамической стабилизации одновременно должно выполняться два условия: 1) равенства аэроди- намических и гравитационных моментов; 2) равенства аэродинамических и гравитационных сил: Ma=MTV, Fna = Pn. (4.55) Па рис. 4.14 показана схема сил и моментов, дейст- вующих на гравилет. Предполагается, что массы пг{ и т2 представляют собой сферы, на которые действуют силы аэродинамического сопротивления Fi и F2, направленные против скорости полета. Сумма этих сил должна урав- новешиваться гравитационной силой Рп = (4.56) 238
С помощью (4.15) уравнение моментов можно запи- сать так: (F2S?2 — F^cosa. (4. 57) Объединяя формулы (4.56) и (4.57), получим выра- жение /д _jg2 cos a — г F2 cos a + г ’ которое должно быть всегда положительно. Это значит, что должно быть <S?2^r/cosa. При a = 45° <5?2^> У 2г, Отсюда следует, что одновременно два условия (4.55) могут выполняться только ЛИШЬ При Ж/г2>1. Стабилизация гравилета с помощью сил светового давления. Предположим, что гравилет движется по ге- лиоцентрической орбите. На гравилет, кроме гравитаци- онной силы, действует сила светового давления, направ- ление и величина которой зависит от формы и размеров гравилета. Пусть элементы и т2 имеют сферическую форму. Тогда силы светового давления Fi и F2 направлены по радиусам-векторам гх и г2 соответственно. Кроме того, на гравилет действуют интересующие нас гравитацион- ные сила Рп и момент Afrp, направление которых показа- но на рис. 4.15. Силы Fi и F2 выбираем из условия компенсации гра- витационного момента 7Mrp = Prtr=F1r sin ₽i — F2r sin p2. Отсюда Pn = Fx sin px — F2 sin p2. (4.58) Так как Fi и F2 не равны и направлены в разные сто- роны, то их разность даст трансверсальную составляю- щую, равную ^лс=Л sin р2 — Fi sin рр (4. 59) Из сравнения (4.58) и (4.59) находим, что трансвер- сальная составляющая силы светового давления направ- лена против движения и равна по величине гравитаци- онной тяге Fnc = —Рп- Это значит, что при использовании сферических форм элементов и т2 компенсируется не только гравитационный момент, но и гравитационная тяга. Отсюда вытекает требование к выбору формы эле- ментов и т2: при полной компенсации гравитационно- 239
мента с помощью сферических отражателей света го момента она должна создавать силу, направленную в сторону движения (маневра) .или, по крайней мере, рав- ную нулю. Пусть, например, на концах космического аппарата имеются пластины, обеспечивающие зеркальное отраже- ние лучей (рис. 4.16). Подбирая определенный угол ори- ентации зеркал и т2, силы светового давления Fi и F<2 можно направить в желательную сторону. Пусть Ft и F2 направлены по радиусу-вектору г. Тог- да уравнение момента запишется Mr? = Pnr=(F1X1^-F'2X2) sin а. (4. 60) А трансверсальная составляющая Л,с=о. Таким образом, обеспечивая необходимую ориентацию гравилета a = const, можно использовать гравитационную тягу для маневра. Используя выражение (4.29), перепишем уравнение (4.60) в виде F\ — F\ = 1 ,bmg — cos a. 240
Рис. 4.16. Компенсация гравитационного момента с помощью плоских зеркал Полагая Fi—F2 = p(Si—S2), где р — световое давление; Si и S2—'площади пластин miiHm2; оценим разность пло- щадей AS=Si—S2. Для оценки приняты: т=10 (кг/м) X Хс2, г= 150-109 м, <55 = 200000 м, ро = 4,5-1О-7 кг/м2, а = 45°. При этих значениях размеры пластины элемента mi незначительны (~40Х40 м2 при S2 = 0). При этом ускорение от гравитационной тяги fn = = 0,4-10-14 м/с2. Необходимая разность площадей зависит линейно от «5? 1г и при росте высоты орбиты уменьшается. Действи- ростом высоты падает тельно, так как давление света с то площадь зеркал равна 51=S2=1,5-^ —cos а, Ро г где индексы «0» соответствуют заданной высоте, напри- мер, высоте орбиты Земли. 241
4.5. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОВОРОТНОГО ГРАВИЛЕТА 4.5.1. Энергетическая эффективность гравилета Оценим энергетику поворота гравилета. Предполо- жим, что активный момент, действующий на гравилет для перевода его из одного положения в другое, создается с помощью тяги двигателей, расположенных на концах гравилета. Так как ао=О, ал=—, а0=О, afe = 0, половине углового пути действует разго- то на первой няющий момент, а на второй половине — тормозящий. Решая уравнение вращательного движения, находим 2л/гр=7ИГ2, где /гр — момент инерции гравилета относительно попе- речной оси; М — момент тяги; Т — время поворота на угол л/2. Энергетическую эффективность оценим без учета масс штанги и других конструкций. Тогда /гр==т <22/4 и == • = РХ, а тяга одного двигателя равна Р__ — уп Приведенное ускорение, которое мог бы получить гравилет от двух двигателей с тягой Р каждый, соста- вит 2Р _ и У7 т ~ (4.61) Пусть время поворота гравилета на угол л/2 состав- ляет &-ую часть одного периода орбитального движения. Тогда для орбит, близких к круговой, имеем П=4л2Л2-у. (4.62) Подставляя (4.62) в (4.61), сравним ускорение от тя- ги гравитации (4.16) с приведенным ускорением от тяги двигателей f = 1 г fr X 242
Так как поворот гравилета с а = 0 до а = л/2 должен занимать незначительную часть орбиты (т. е. &<^1), то ускорение от тяги (даже без учета масс штанги и дру- гих конструкций) получается очень большим (~г/<Ж) , Это говорит об энергетической нецелесообразности использования гравилета, управляемого изменением уг- ла поворота продольной оси относительно радиуса-век- тора. 4.5.2. Предельная длина гравилета Как было показано выше, гравитационная тяга пря- мо пропорциональна квадрату длины гравилета (<Ж2). Поэтому конструктор вынужден стремиться увеличить эту длину. Однако это стремление ограничивается усло- виями прочности. Для определения предельной длины рассмотрим гра- вилет гантелеобразной формы. Концевые массы соедине- ны с помощью штанги, имеющей по всей длине постоян- ное сечение таврового профиля. Это объясняется тем, что основной силой, действующей на гравилет при уско- ренном повороте с а = 0 на а = л/2 является тангенци- альная вращательная сила, создающая большой изги- бающий момент Л4И3. Центробежная растягивающая си- ла оказывает незначительное по сравнению с изгибаю- щим моментом действие. Предположим, что поворот гравилета осуществляется с помощью маховика. При этом максимальный изгибающий момент приложен в се- редине гравилета и равен половине активного момента ^из=уЛ>. (4.63) Площадь сечения штанги равна (4.64) а/У где о — напряжение; Н — высота таврового профиля. Масса штанги из (4.63) и (4.64) sx , (4.65) ^0 ^"ипред где z/пред — допустимая линейная скорость вращения (4.52), а момент инерции гравилета 243
Объединяя (4.65) и (4.66) и заменяя угловое ускоре- ние со временем поворота гравилета Т (4.67) 2со 2л (0=-----—------, Т получим выражение для предельной длины гравилета £11Ред= V .12ДГ<3_ , (4.68) V л 3 + 2уш где (4.69) m — масса штанги в долях концевых масс. Оценка. уш = 0,25; //=100 м; ^пред=200 м/с; Т= 100 с; Ж11Рел^2,2 км. (4.70) Ускорение от гравитационной тяги при этой длине и г = 7000 км fr~10-7g* (на три порядка меньше ускоре- ния, создаваемого разрабатываемыми в настоящее вре- мя двигателями малой тяги). Увеличение массы штанги незначительно увеличивает предельную длину штанги. Как видно из (4.68), даже при yIU->oo получится всего ^прсд~4,2 км. Увеличение времени поворота Т ограничено тем,что повороты должны быть осуществлены только в областях апоцентра и перицентра орбиты, хотя за счет увеличе- ния времени поворота можно было бы значительно уве- личить длину штанги. 4.5.3. Параметры управляющего маховика Для оценочных расчетов примем, что маховик, слу- жащий для поворота гравилета, имеет форму, показан- ную на рис. 4.13. Из условия сохранения момента количества движе- ния /Гр(0гр=/м(0м и выражений (4.51), (4.66), (4.67), (4.69) получим радиус маховика з + 2уш 2477/пред Ум где = — масса маховика в долях концевых масс. При значениях (4.70) и ум = 0,2 имеем q^550 м. Проведенные оценки показывают, что способы созда- ния гравитационной тяги путем перемещения масс и по- ворота гравилета имеют ограниченные практические воз- 244
можности. Они получаются громоздкими, тяжелыми, с ограниченной тягой и с возможностью изменения пара- метров орбиты только в ее плоскости. Из рассмотрен- ных способов создания гравитационной тяги наиболее перспективным является только способ с а = const, в ко- тором ориентация гравилета обеспечивается с помощью сил светового давления. Он не требует большой жестко- сти гравилета, зеркала получаются незначительными, от- сутствуют ограничения на размеры гравилета, следова- тельно, и на величину ускорения. Кроме того, изменение орбиты возможно не только в ее плоскости, но и в боко- вом направлении. 4.6. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЗАКРУТКА СПУТНИКА Для решения определенного класса задач, например, создания искусственной тяжести, обеспечения необходи- мой ориентации научной аппаратуры, обеспечения более полного освещения плоскости солнечных батарей и т. д., сообщают искусственному спутнику вращательное дви- жение. Обычно это делают с помощью реактивных мо- ментов, расходуя при этом внутренний запас рабочего тела. Поскольку расход топлива, необходимого для закрут - массе космического ко- ки, возрастает пропорционально рабля ;[39], интерес представля- ет использование для закрутки внешних моментов и, в частно- сти, гравитационного момента. Задача о гравитационной закрутке двухсекционного ИСЗ решена В. И. Комаровым [25], который показал возможность закрутки ИСЗ с помощью гра- витационного момента путем двухкратного изменения его момента инерции. Изменение момента инерции спутника может осуществлять- ся разными способами, напри- мер, перекачкой жидкости (в частности, компонентов топли- ва) из одной емкости в другую [26, 49], перемещением от- дельных элементов спутника по Рис. 4.17. Схема закрут- ки спутника 245
телескопическим штангам ит. д. В работе [25] рассмот- рена двухсекционная схема спутника, в которой секции соединены с помощью гибкого троса, который дает воз- можность отвести отсек с экипажем на значительные расстояния от центра масс корабля, что позволяет обе- спечить нужную искусственную тяжесть при малых угло- вых скоростях вращения со. Примем, что ИСЗ имеет гантелеобразную форму, со- стоящую из двух точечных масс т{ и т2, соединенных невесомым натянутым тросом (рис. 4.17). Расстояние X между массами может изменяться. Увеличение его осу- ществляется при помощи двигателей с тягой Pit установ- ленных на отсеках с массой пц. Уменьшение X произво- дится путем сматывания троса, соединяющего отсеки. Пусть центр масс ИСЗ двигается по круговой орбите со средней угловой скоростью Q. В отсеке с массой т2 требуется создать искусствен- ную тяжесть с ускорением q, причем угловая скорость не должна превышать со. Легко показать, что при этих усло- виях расстояние между секциями !£q равно \ / w2 Обозначим через Н кинетический момент относитель- но центра масс, который необходимо сообщить ИСЗ для создания искусственной тяжести. Тогда Н = (\ М-3^-, М = . (4.71) \ mi ) <оЗ пц 4- т2 Для уменьшения энергетических затрат целесообраз- но использовать трос длиной <2!* ><2^. В этом случае для получения заданного значения q после закрутки секции стягиваются до расстояния Xq. Процесс закрутки с использованием гравитационного момента делится на три этапа: 1) разведение секций. Первоначально состыкованные секции удаляются друг от друга в плоскости орбиты при помощи двигателей (возможно использование для разве- дения приливных сил). Момент инерции ИСЗ возрастает на несколько порядков. Натяжение троса, соединяющего секции, должно превышать некоторую заданную величи- ну Та, обеспечивающую разматывание троса; 2) либрационное движение. Под действием гравита- ционного момента ИСЗ приобретает кинетический мо- мент. Натяжение троса должно быть больше Ть\ 246
3) стягивание секций. Расстояние между секциями уменьшается от Хъ до <2^. Уменьшение момента инерции переводит ИСЗ в ротационное движение. Приближенное уравнение движения гантели, получен- ное путем пренебрежения членами второго порядка ма- лости относительно запишется в виде 1"1 # + -^-3——4-А—^2-=о, ' R? т?5 4 v 7 1 м £ 1 «1 т2 где <S5 = /'i—г2 — разность радиусов-векторов точечных масс и т2; ц — гравитационная постоянная планеты; Л, Р2— векторы тяг двигателей; R — радиус-вектор центра масс гантели относительно центра притяжения. Скалярные уравнения движения в плоскости орбиты имеют вид £" =---+^6,2-2Ж6' + — (14-cos26)-bP1COsai - MQ2 1 1 2 V 1 1 miQ2 Р2 cos a2 т2&2 (4.72) <Z20" + 2jC^,0, + 2^j(., = —у & sin 20 + sin aj /И122 XP2 sin a2 m2Q2 (4.73) где 0 — угол между вектором <5? и местной вертикалью; штрих обозначает дифференцирование по безразмерно- му времени r = Q/; ai, a2 — углы между вектором тяги Р\ (или Р2) и вектором Ж; Т — натяжение троса. Исследуем отдельные этапы закрутки двухсекционно- го ИСЗ. Первый этап подробно рассмотрен >в работе [24],сог- ласно которой характеристическая скорость, необходи- мая для разведения секций ИСЗ, равна (Р2 = 0, Pi на- правлен вдоль троса) О) 247
X 1/ , (4.74) у m^q k— 1 где т»' k-=-^~ m2 M^bQ2 ’ Га mi + m2 ' Так как топливо расходуется лишь на этапе разведе- ния, то выражение (4.74) дает значение характеристиче- ской скорости для всего процесса закрутки. Второй этап представляет собой движение в цент- ральном поле связки, состоящей из двух материальных точек, подробно рассмотренное в [5]. На данном этапе Ж постоянно, а тяги Pi равны нулю. Примем, что кинети- ческий момент гантели 'после разведения равен нулю в абсолютной системе координат (т. е. 0OZ =— 1). Начальное положение гантели должно удовлетворять двум условиям: во-первых, при либрационном движении должно обеспечиваться натяжение троса Т>Тъ, во-вто- рых, изменение кинетического момента должно быть максимальным. С учетом (4.72) и (4.73) кинетический момент Н при либрационном движении изменяется в пределах (4.75) Начальный угол 0О при этом должен удовлетворять уравнению 80=— arc cos — X. (4. 76) 2 3 Хотя Q не превышает 10-3с-1, взяв достаточно длин- ный трос, можно получить любое заданное значение Н. Длина троса находится из (4.71) и (4.75): *,= L — 0+1/^. У1+/5/2—X \ «!/“2 V й При данной схеме закрутки величина Тъ может в со- ответствии с (4.76) задаваться в пределах MXbQ2. Третий этап начинается в момент, когда величина II достигнет максимума (угол 0 равен нулю или л). Сма- тывание троса должно осуществляться настолько быст- ро, чтобы гравитационный момент не вызвал заметного уменьшения Н. 248
В предположении, что угол 0 на рассматриваемом этапе движения остается малым (sin 0^0), оценим из- менение кинетического момента при стягивании. Примем, что скорость стягивания секций — заданная функция Ж, например, —=— Агп, dv частными случаями которого являются: 1) стягивание с постоянной скоростью (я = 0); 2) стягивание при посто- янной мощности лебедки, сматывающей трос, т. е. Т J^L=const. Если в (4.72) пренебречь центробежным, кориолисовым и приливным ускорениями по сравнению с •T/MQ2, то п = 1/3; 3) стягивание со скоростью, пропор- циональной расстоянию между секциями (п=1). При указанных предположениях (4.73) сводится к уравнению ^2 d2X \ - ! 3 ^2(1-п)_ 3 ff2(l-n)+2 dSB ‘ Л2 ЛЗ где х = Н!М с начальными условиями: dx(%b) _ dSB 0. Решением этого уравнения является отношение теку- щего значения кинетического момента к начальному x(SBb) 1 SB Г1 4~ v . < SBb I , ч \ < SBb t SB "| --- sin ix In — +(v— 1) cos uln —-H , v SBb\_ v r SB 1 k SB 1 SBb\ (X</3) vM(1+v’ll,f+v-1+fl ('4=K3) v SBb ( [it 2 \\£b) U>/3) |x L J \°&b/ b> „ev=l + /±-X, 249
Эти выражения показывают величину потери кинети- ческого момента при стягивании троса по степенному за- кону. Указанную величину следует учитывать при опре- делении длины троса !&ь- Однако для скоростей стягива- ния порядка нескольких метров в секунду потери кинети- ческого момента не превышают 3 ... 5%. Оценим эффективность гравитационной закрутки ИСЗ. При гравитационной закрутке характеристическая скорость определяется выражением (4.59). При активной закрутке с помощью двигателя сум- марная величина характеристической скорости определе- на в [25]. Для случая оптимальной длины троса она равна ухакт= з Л 1 . уЛ2 ' mi / со И mciQ 1 4- ^2/^1 k—1 Отношение характеристических скоростей, показы- вающее эффективность гравитационной закрутки, равно Кг гр 25/6 J ZjZfi i w2 у/3 ___L_y/6 Ухакт 3 v I/ 2 \ mi) \m2q k—1/ Например, для симметричной гантели и ве- личины ToJrrizq« 10-3 экономия топлива по сравнению с активной закруткой составляет 25 ... 30%. Отношение длин тросов для двух рассматриваемых схем закрутки %Ть = 1 1/~~ ( k у/з Л ! т2 у/з ^ркт v г 2 I тчЧ k — 1 ' \ «1 / Для тех же условий (гп{ = т2, TJm2q^ 10~3) использова- ние гравитационного момента для закрутки позволяет также сократить длину троса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Белецкий В. В. Либрация спутника на эллиптической орби- те. — В кп.: Искусственные спутники Земли, вып. 16. Изд. АН СССР, 1963, с. 46—56. 2. Белецкий В. В. Некоторые вопросы поступательно-вращатель- ного движения твердого тела в ньютоновском поле сил. — В кп.: Искусственные спутники Земли, вып. 16. Изд. АН СССР, 1963, с. 68—93. 3. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относи- тельно центра масс. М., Наука, 1965. 416 с. 4. Белецкий В. В. Об относительном движении связки двух тел на орбите. — Космические исследования, 1969, т. VII, вып. 6, с. 827— 840. 5. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М., На- ука, 1972. 359 с. 6. Белецкий В. В., Гиверц М. Е. О движении пульсирующей системы в гравитационном поле. — Космические исследования, 1968, т. VI, вып. 2, с. 304—305. 7. Белецкий В. В., Новикова Е. Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите. — Космические исследования, 1969, т. VII, вып. 3, с. 377—384. 8. Гиверц М. Е. Один частный случай оптимизации управления гравилетом. -- Космические исследования, 1972, т. X, вып. 2, с. 297— 298. 9. Донов А. Е. Теория полета гравилста. — Космические иссле- дования, 1971, т. IX, вып. 3, с. 392—396. 10. Дубошин Г. Н. О дифференциальных уравнениях поступа- тельно-вращательного движения взаимно притягивающихся сил. — Астрономический журнал, 1958, т. 35, вып. 2, с. 265—276. 11. Дубошин Г. Н. О периодических движениях в системе спут- ников Сатурна. — Труды ГАИШ, 1945, т. XV, вып. 1, с. 158—250. 12. Дубошин Г. Н. Небесная механика (Основные задачи и ме- тоды). М., Физматгиз, 1963. 588 с. 13. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Лу- не. — Успехи физических наук, 1957, т. 63, вып. 1а, с. 73—117. 14. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны.— М., Наука, 1965, 206 с. 15. Егоров В. А. О траекториях возвращения от Луны к Зем- ле. — Космические исследования, 1967, т. V, вып. 4, с. 483. 16. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты./В. А. Золотоустов, Д. Е. Охоцимский, В. А. Сарычев, А. Г. Торжевский. — Космические исследования, 1964, т. II, вып. 5, с. 657—666. 17. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ог- раничениях на расстояния до планет. М., Наука, 1975. 392 с. 18. Ивашкин В. В., Тупицын Н. П. Об использовании гравита- ционного поля Луны для выведения космического аппарата па ста- 251
ционарную орбиту спутника Земли. — Космические исследования, 1971, т. IX, вып. 2, с. 163—172. 19. Ильин В. А., Демешкина В. В., Истомин И. А. Исследование траекторий близкого облета Луны с возвращением в атмосферу Земли. — Космические исследования, 1970, т. VIII, вып. 1, с. 48. 20. Исакович Л. А., Кирпичников С. Н. Некоторые случаи меж- планетных переходов с использованием пертурбационного маневра.— Космические исследования, 1974, т. XII, вып. 5, с. 675—681. 21. Казакова Е., Киселев И., Платонов А. Исследование cbopicib энергетически оптимальных орбит для полета к Юпитеру. — Косми- ческие исследования, 1968, т. VI, вып. 1, с. 3—12. 22. Кондурарь В. Т. Проблема движения двух эллипсоидов под действием взаимного притяжения. — Труды ГАИШ, 1939, т. 9, вып. 2, с. 307—368. 23. Кондурарь В. Т. О возмущениях поступательно-вращатель- ного движения спутника и планеты, вызываемых их сжатием. — Аст- рономический журнал, 1962, т. 39, вып. 3, с. 516—526. 24. Комаров В. И. Исследование динамики одной схемы закрут- ки двухсекционного космического аппарата. — Космические иссле- дования, 1973, т. XI, вып. 1, с. 14—20. 25. Комаров В. И. О гравитационной закрутке двухсекционного ИСЗ. — Космические исследования, 1974, т. XII, вып. 6, с. 856—862. 26. Кларк В. Д., Янгблод Д. Управление угловым положением космического аппарата на круговой орбите с помощью активного изменения моментов инерции. — В кн.: Управление в пространстве, т. I. М., Наука, 1973, с. 44—51. 27. Лебедев В. Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, 1968. 108 с. 28. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической на- вигации. М., Мир, 1966. 152 с. 29. Можаев Г. В. Задача о непрерывном обзоре Земли п кине- матически правильные спутниковые системы. — Космические иссле- дования, 1972, т. X, вып. 6, с. 833—840. 30. Можаев Г. В. Задача о непрерывном обзоре Земли п кине- матически правильные спутниковые системы. — Космические иссле- дования, 1973, т. XI, вып. 1, с. 59—69. 31. Оберт Г. Пути осуществления космических полетов. М., Обо- ронгиз, 1948. 232 с. 32. Окунев Ю. М. О возможных движениях длинной гантели в центральном поле сил. — Космические исследования, 1969, т. VII, вып. 5, с. 637—642. 33. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях./В. И. Боевкин, Ю. Г. Гуревич, Ю. Н. Павлов, П. Н. Толстоусов. М., Наука, 1976. 303 с. 34. Основы теории полета космических аппаратов. М., Машино- строение, 1972. 608 с. 35. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М., Таратынова Г. П. Опреде- ление времени существования ИСЗ и исследование вековых измене- ний его орбиты. — Успехи физических наук, 1957, т. 63, вып. 1а, с. 33—50. 36. Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А. Система гравитационной стабилизации искусственных спутников. — В кн.: Искусственные спутники Земли, вып. 16. 1963, с. 5—9. 37. Пономарев В, М. Теория управления движением космичес- ких аппаратов. М.: Наука, 1965. 456 с. 252
38. Проскурин В. Ф., Батраков Ю. В. Возмущения первого по- рядка в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли. — В кн.: Искусственные спутники Земли, вып. 3. 1959, с. 32— 38. 39. Раушенбах Б. В. Влияние размеров космического аппарата па затраты массы и энергии при его ориентации. — Космические ис- следования, 1970, т. VIII, вып. 4, с. 483—493. 40. Сарычев В. А. Исследование динамики системы гравитацион- ной стабилизации. — В кн.: Искусственные спутники Земли, вып. 16. 1963, с. 10—33. 41. Сарычев В. А. Влияние сопротивления атмосферы на систе- му гравитационной стабилизации ИСЗ. — Космические исследова- ния, 1964, т. II, вып. 1, с. 23—32. 42. Соловьев Ц. В., Тарасов Е. В. Прогнозирование межпланет- ных полетов. М., Машиностроение, 1973. 400 с. 43. Соловьев Ц. В., Шмакова Н. Ф. Оптимизация траекторий по- лета к /Меркурию с маневром в гравитационном поле Вейеры. — Космические исследования, 1974, т. XII, вып. 6, с. 863—871. 44. Справочник по технической механике/Под ред. акад. А. II. Дипника. М.—Л., ОГИЗ, Гостехиздат, 1949. 734 с. 45. Стабилизация искусственных спутников. Сборник статей. Пер. с англ, под ред. В. А. Сарычева. М., Мир, 1974. 229 с. 46. Субботин М. Ф. Курс небесной механики, т. II. М., ОНТИ, 1937. 404 с. 47. Суханов В. М. Исследование динамики управляемой грави- тационно-устойчивой системы спутник — стабилизатор. — Космичес- кие исследования, 1968, т. VI, вып. 4, с. 524—535. 48. Хавенсон Н. Г., Эльясберг П. Е. О возможности использова- ния гравитационного поля Юпитера для пролета на заданном рас- стоянии от Солнца и выхода из плоскости эклиптики. — Космичес- кие исследования, 1972, т. X, вып. 2, с. 159—166. 49. Хиллер М., Сагиров П. Демпфирование колебаний спутника изменением распределения масс. — В кп.: Управление в космосе, т. I. М, Наука, 1972, с. 126—135. 50. Цандер Ф. А. Проблема полета при помощи реактивных ап- паратов. М., Оборонгиз, 1961, 459 с. 51. Экспериментальная проверка концепции использования трам- плина для взлета самолета с палубы авианосца. — Э.—И., Авиастро- ение, 1978, № 15, реф. 112, с. 3—4. 52. Эскобал П. Методы астродинамики. М., Мир, 1971. 344 с. 53. Bourke R. D., Beerer J. G. Mariner mission to Yenus and Mer- cury in 1973, Astronaut and Aeronaut., 1971, vol. 9, No. 1, p. 52—59. 54. Breakwell I. V. Trajectories launched normal to the ecliptic, XIV Congr. internal, astronaut., Paris, 1963, IV, p. 125—141. 55. Dobrowolski A. Satellite Orbit perturbations under a continuo- us radial thrust of small Magnitude. Jet propulsion, 1958, vol. 28, No. 10, p. 687—688. 56. FJandro G. A. Fast reconnaissance missions to the onter solar system utilizing energy derived from the gravitational field of Jupiter. Astronautica Acta, 1966, vol. 12, No. 4, p. 329—337. 57. Gillespie R. W., Roos S. I. Spacecraft and Rockets, vol. 2, No. 2, 1967, p. 170—175. 58. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelscorper, Munich, 1925. 253
59. Hollister W. M., Trussing I. E. Optimum transfer to Mars Via Venus. Astronautica Acta, 1966, vol. 12, Na. 2, p. 169—180. 60. Hunter M. W. Future unmanned exploration of the solar sys- tem. Astronautics and Aeronautics, 1964, vol. 2, No. 5, p. 16—26. 61. Kloop D. A., Niehoff J. C. Jupiter gravity-assisted trajectories. J. Spacecraft and Rockets, 1969, vol. 6, No. 4, p. 480—482. 62. Kingsland L. Trajectory analysis of a Grand Tour mission to the Outer planets. AIAA Paper 68-1055, 1968, p. 9. 63. Lascody D. N., Thorson E. D. and oth. J. Spacecraft and Ro- ckets, 1965, vol. 2, No. 5, p. 775—780. 64. Lawden D. F. Perturbation maneuvers. J. of the British In- tcrpl. Society, 1954, vol. 13, No. 6, p. 329—334. 65. Lawden D. F. Optimal programming of Rockets trust direc- tion. Astronautica Acta, 1955, vol. I, fase I, p. 41—56. 66. Lee V. A. Trajectory and mission analysis aspects of Jupiter fluby probes, 18-th Intern. Astr. Congr., Belgrade, Jugoslavia, sept. 24-30, 1967, vol. 2, p. 17—32. 67. Lee V. A., Wilson S. W., J. Spacecraft and Rockets, 1967, vol. 4, No. 2, p. 129—142. 68. Longmann R. W., Schneider A. M. Use of Inpiter’s moons for gravity assist. J. Spacecraft and Rockets, 1970, vol. 7, No. 5, p. 570—576. 69. Manning L. A. Trajectory modes for manned and unmanned missions to Mercury: 1980—2000. J. Spacecraft and Rockets, 1967, vol. 4, No. 9, p. 1128—1135. 70. Moran J. P. Effect of plan librations on the orbital motions of a Dumbbell satellite, ARS Journal, 1961, vol. 31, No. 8, p. 1089— 1095. 71. Muller W. Bedentung der Swingby — Technik am Planeten Jupiter fiir interplanetare Missionen Raumfahrtforschung, 1968, Bd. 12, Nr. 4, p. 180—191. 72. Neihoff J. C. Gravity-assisted trajectories to solarsystem tar- gets. J. Spacecraft and Rockets, 1966, vol. 3, No. 9, p. 1351 — 1356. 73. Norman S. M. A comparison of passage conditions at the outor planets for several flyby trajectory modes. AIAA Paper 1970,- No. 1071, p. 1—7. 74. Petty С. M. Interplanetary Maneuvers using Radial Thrust. J. Amer. Rock. Soc., 1961, vol. 31, No. 9, p.: 1233—1236. 75. Silver R. W. Grand Tours of the Jovian planets. J. Space- craft and Rockets, 1968, vol. 5, No. 6, p. 633—637. 76. Sohn R. L. Manned Mars Trips using Venus flyby modes. J. of spacecraft and Rockets, 1966, vol. 3, Na. 2, p. 161—169. 77. Sturms F. M., Jr. and Curring E. Trajectory analysis of a 1970 mission to Mercury Via close elcounter with Venus. AIAA Paper No. 65—90, 1965, p. 1—38. 78. Sturms F. M., Yr. Trajectory analysis of Earth — Venus — Mercury mission in 1973. Scient. and Techn. aerospace reports, 1967, vol. 5, No. 7, p. 1193. 79. Tops: Outer-planet Spacecraft. Astronaut, and Aeronaut., 1970, vol. 8, No. 9, p. 35—97. 80. Tsien H. S. Take-off from satellite orbit. J. of the American Rocket Society, 1953, vol. 23,'No. 4, p. 233—236. 81. Vickery J. D., Horse Wood J. L. Mission window definition for Jupiter swingbys to the outer planets. J. Spacecraft and Rocket \ 1969, vol. 6, No. 5, p. 525—531.
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие . . 3 Условные обозначения 5 Введение .... 6 Глава 1. Эффект скорости .... . И 1.1. Классы космических траекторий.......................11 1.2. Инвариантность изменения энергии механической системы................................................ 16 1.3. Зависимость приращения механической энергии ра- кеты от скорости относительного движения ... 2'0 1.4. Оптимизация планетоцентрических траекторий кос- мических аппаратов с учетом эффекта скорости . . 29 1.5. Использование эффекта скорости при посадке на по- верхность спутников планет и выходе на спутнико- центрические орбиты и старте с них .... 43 1.6. Схемы старта летательных аппаратов ... 46 1.7. Объяснение механизма эффекта скорости . . 60 Глава 2, Активно-гравитационное ускорение около промежу- точной планеты...............................................69 2.1. Краткий обзор работ.................................69 2.2. Принцип активно-гравитационного ускорения при пролете около промежуточной планеты .... 71 2.3. Определение импульса скорости активно-гравитацн- онного маневра . . . . . .... 76 2.4. Формирование гелиоцентрической траектории . 83 2.5. Полеты с использованием гравитационного поля Ве- неры ....................................................85 2.6. Полеты с использованием гравитационного поля Юпитера..................................................99 2.7. Полеты к Юпитеру с использованием гравитационно- го поля Марса.........................................111 2.8. Использование спутников планет для пертурбациопг ных маневров............................................112 Глава 3, Использование возмущающих сил гравитации планет для оптимального перехода между орбитами 129 3.1. Принципы использования возмущающих сил гравита- ции планет для управления движением космических аппаратов...............................................129 255
i Стр. 3.2. Оптимальные расположения орбит и межорбитальные переходы......................................, 134 3.3. Выбор параметров планетоцентрических орбит, обес- печивающих оптимальный переход.........................152 3.4. Облет спутников орбитальной системы путем актив- но-гравитационного маневра.............................173 3.5. Солнечно-синхронная орбита. Обзор Земли, Солнца и небесной сферы.........................................193 Глава 4. Теория полета гравилета ................... . 200 4.1. Принцип создания гравитационной тяги .... 200 4.2. Силы и моменты, действующие на гравилет . . . 201 4.3. Неуправляемое движение гравилета..................208 4.4. Управляемое движение гравилета ..... 223 4.5. Основные параметры поворотного гравилета . . . 242 4.6. Гравитационная закрутка спутника ..... 245 Список литературы ................................. .... 251 ИБ № 1274 Гильмутдин Загрутдинович Давлетшин АКТИВНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЕВРЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Редактор Н. А. Педченец Художественный редактор В. В. Лебедев Технический редактор В. И. Орешкина Переплет художника Л. Н. Наумова Корректоры Мишина О. Е. и Борейша И. М. Сдано в набор 11.09.79. Подписано в печать 04.01.80. Т-00707 Формат 84X108732 Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 13,44 Уч.-изд. л. 13,05 Тираж 460 экз. Заказ 2801 Цена 95 коп. Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, ГСП-6, 1-й Басманный пер., 3. Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств полиграфии и книжной торговли. Хохловский пер., 7.