■. -
КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

КОСМИЧЕСКАЯ
ТЕХНИКА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. СЕЙФЕРТА
Перевод с английского
А. А. КАРЫМОВА, А. Н. РАДЧЕНКО,
В. Л, СМОЛЬНИКОВА, Т. В. ХАРИТОНОВОЙ
Под редакцией
А. И. ЛУРЬЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «II А У К А»
МОСКВА 1964

6Т5.2
К71
УДК 629.19
SPACE TECHNOLOGY
Edited by
HOWARD S. SEIFERT
Special Assistant for Professional Development
Space Technology Laboratories
Visiting Prrfessor of Engineering
University of California
Los Angeles, California
i
NEW YORK-JOHN WILEY AND SONS, INC
London- Chapman and^Hall Limited
ГЛАВНАЯ PE ДА К ЦИ Я
ФИ 3 И К О-МАТЕМАТИ Ч Е С К О Й Л ИТЕРАТУРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства	 8
Из предисловия редактора американского издания 	  ,	.	.	10
Таблица перевода американских мер в метрические и	в единицы СИ	12
ЧАСТЬ I
ДИНАМИКА ПОЛЕТА
Глава 1. Летные характеристики ракеты в прямолинейном движении’
(М. Саммерфилд, Г. С. Сейферт)	 15
§	1.1.	Предмет главы	 15
§	1.2.	Основное уравнение движения ракеты 	 15
§	1.3.	Аэродинамическое сопротивление	 16
§	1.4.	Тяга ракеты . . . .	 18
§	1.5.	Секундный расход топлива	 19
§	1.6.	Скорость ракеты в конце активного участка и дальность полета . .	19
§	1.7.	Зависимость характеристик ракеты от отношения масс, удельного
импульса и тяговооружеиности . •	 23
§	1.8.	Анализ характеристик ракеты при наличии	аэродинамического
сопротивления. Оптимизация программы	тяги	 26
§	1.9.	Характеристики одноступенчатых ракет	 30
§ 1.10.	Многоступенчатые ракеты 	 32
§ 1.11.	Оптимизация многоступенчатых ракет	 34
Литература	 35
Глава 2. Оптимизация активного участка траектории полета ракеты
(Б. Д.	Фрид)	 37
§ 2.1.	Введение	 37
§ 2.2.	Оптимизация траекторий баллистических	снарядов	 39
§ 2.3.	Общая задача оптимизации траектории	 49
§ 2.4.	Оптимизация конструкции ракеты	 60
§ 2.5.	Выводы 	 63
Г л а в а	3. Спутники Земли и их орбиты. Теория возмущений (С. Геррик) . .	65
§ 3.1.	Астродинамика	 65
§ 3.2.	Законы Кеплера и их ньютоновская модификация	 66
§ 3.3.	Основные соотношения задачи двух тел	 71
§ 3.4.	Теория возмущений	 73
§ 3.5.	Методы теории возмущений	 77
§ 3.6.	Наблюдение и коррекция		 80
§ 3.7.	Постоянная тяготения 	 81
§ 3.8.	Сравнение качественных и количественных	методов 	 81
Литература	 84
Глава 4. Траектории запуска и орбиты геофизических спутников «Авангард»
(Дэ1е. У. Сири)	 85
§ 4.1.	Проблема запуска геофизического спутника	 85
§ 4.2.	Траектории ракеты-носителя спутника	 88
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.3. Проблемы оптимизации	  94
§ 4.4. Время и место запуска и их влияние на орбиту спутника 	 107
Приложение 4А. Системы координат, служащие для определения положения
спутника	   116
Литература	 121
Глава 5. Траектории полетов к Луне (Р. Бух гейм)	 123
§ 5.1. Система Земля — Луна	 123
§ 5.2. Траектории движения в системе Земля — Луна	 133
§ 5.3. Типы полетов к Луне 	 136
§ 5.4. Научные цели полетов к Луне	 143
Литература	 144
Глава 6. Межпланетные полеты (К. А. Эрике)	 145
§ 6.1. Солнечная система и фундаментальные астрономические постоянные	145
§ 6.2. Определение районов космического пространства и основная терми¬
нология  	 160
§ 6.3. Солнечная система как поле центральной силы	 161
§ 6.4. Суперпозиция гравитационных полей планет	 184
§ 6.5. Анализ ошибок в межпланетных перелетах	 202
§ 6.6. Межпланетные полеты 	 209
Приложение 6А.	Переход между компланарными круговыми орбитами	.	.	242
Приложение 6Б. Гиперболические орбиты	 246
Приложение 6В.	Переход между гиперболической и прочими орбитами	.	.	249
Приложение 6Г.	Уход и захват	  .	.	251
Приложение 6Д. Анализ ошибок	   254
Литература	   265
Глава 7. Полеты с малой тягой при отсутствии сил тяготения и при
постоянной скорости истечения (Д. Б. Лэнгмюр)	 267
§ 7.1. Введение	 267
§ 7.2. Ракета с разделенными рабочим телом и источником энергии .	.	.	268
§ 7.3. Достижение крайне высоких скоростей 	 276
§ 7.4. Электрические методы создания тяги. Ионный двигатель	 277
Литература	 284
Глава 8. Полеты с малой тягой в гравитационных полях при переменной
скорости истечения (Дж. Ирвинг)	 286
§ 8.1. Введение	 286
§ 8.2. Общая теория	 286
§ 8.3. Движение при отсутствии поля тяготения	 293
§ 8.4. Движение в поле центральной силы	 297
§ 8.5. Грузоподъемность ракеты при облетной экспедиции к Марсу ...	312
Литература	 324
Глава 9. Эффекты растяжения времени в космическом путешествии
(Г. Корбен)	  325
§ 9.1. Парадоксы близнецов	 325
§ 9.2. Соотношения между элементами времени в специальной теории
относительности 	 329
§ 9.3. Расхождение времени в прямолинейном движении с возвращением	331
§ 9.4. Пример со спутником	 335
.§ 9.5. Возможные эксперименты	 337
Литература	 339
Глава 10. Процессы теплообмена при гиперзвуковых скоростях входа в атмо¬
сферу {Л. Лиз)	 341
§ 10.1.	Введение 	 341
§ 10.2.	Конвективный теплообмен	 342
§ 10.3.	Лучистый теплообмен 	 350
Литература	 354
Глава И. Возможность безопасной посадки	(А. Эггерс)	 357
§ 11.1.	Реактивное торможение	 357
§ 11.2.	Аэродинамическое торможение	 358
§ 11.3.	Характер конструкции корпуса	 381

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Приложение НА. Вычисление коэффициента Са	 386
Приложение И Б. Уравнения реактивного торможения	  387
Приложение ИВ. Движение и нагрев баллистических снарядов переменной
конфигурации в полете с постоянным замедлением	 390
Приложение ИГ. Движение и нагрев в режиме равновесного планирова¬
ния с боковым маневрированием	 393
Литература	 396
ЧАСТЬ И
ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
Глава 12. Основные сведения о химических ракетах (Г. С. Сейферт) . . .	399
§	12.1.	Введение	   399
§	12.2.	Величина тяги ракеты	 400
§	12.3.	Определениескорости струи			403
§	12.4.	Истечение из сопла Лаваля	  407
§	12.5.	Секундный массовый расход через сопло	 412
§	12.6.	Расширение сопла е как функция отношения	давлений	.	.	. .	414
§	12.7.	Коэффициент тяги Ср	 415
§	12.8.	Ускоряемый поток в камере сгорания	 420
§	12.9.	Критерии проектирования и исполнения	ракетного	двигателя	426
§	12.10.	Ударные волны вне и внутри сопла	 430
§	12.11.	Срыв потока в соплах	 435-
Литература 	 438
Глава 13. Жидкостные ракетные двигатели (Дж. Р. Саттон)	 439
§ 13.1.	Применение жидкостных двигателей	 439
§	13.2.	Основные системы и их составляющие	 441
§ 13.3.	Топлива	 464
§ 13.4.	Оптимизация и выбор характеристик двигателя 	 466
§	13.5.	Испытания 	 469
§	13.6.	Заключение	 472
Литература	■	  .	.	472
Глава 14. Ракетные двигатели на твердом топливе {Дж. Шафер)	473
§ 14.1.	Введение 	 473-
§ 14.2.	Исторический очерк	 475
§ 14.3.	Твердые топлива	 479
§ 14.4.	Внутренняя баллистика	 484
§ 14.5.	Требования к силовым установкам и их характеристики	 490
§ 14.6.	Сравнение твердотопливных и жидкостных	ракетных систем . . .	495
§ 14.7.	Будущее твердотопливных двигателей	 500
§ 14.8.	Применение твердотопливных двигателей	в	условиях космических
полетов	 501
Литература	 503
Г лава 15. Возможности ядерных ракетных двигателей (Р. У. Бассард)	504
§ 15.1.	Введение 	 504
§ 15.2.	Потенциальные возможности	 505
§ 15.3.	Материалы и проблемы проектирования	ракетных	реакторов . .	514
§ 15.4.	Нейтронная физика реактора	 520
§ 15.5.	Ядерные реакторы специальных типов	 526
§ 15.6.	Другие источники ядерной энергии	 532
§ 15.7.	Статические испытания ядерных ракетных	двигателей 	 535
§ 15.8.	Летные испытания	 540
§ 15.9.	Выводы	  543
Литература	 544
Глава 16. Магнитогидродинамика (М. У. Клаузер)	540
§	16.1.	Введение	 546
§	16.2.	Наш полувольтовый мир	 546
§	16.3.	Электрическая проводимость воздуха	 547
§	16.4.	Взаимодействие проводящего газа с магнитным полем	.	.	.	547

о
ОГЛАВЛЕНИЕ
'§	16.5.	Основные уравнения	 548
§	16.6.	Некоторые фундаментальные принципы	 549
§	16.7.	Магнитное управление пограничным слоем	 55]
§	16.8.	Управление термоядерной реакцией	 552
§	16.9.	Пинч-эффект	 553
§	16.10.	Применение термоядерных реакций в ракетных силовых установ¬
ках 	 557
Литература	 560
Глава 17. Конструктивные формы, структурный анализ и материалы кос¬
мических летательных аппаратов (Э.	Е.	ехлер)	 562
§	17.1.	Происхождение проблемы	 562
§	17.2.	Конфигурация летательного аппарата	 564
§	17.3.	Расчет топливных	контейнеров, находящихся иод давлением . . .	565
§	17.4.	Тонкие оболочки,	несущие осевые нагрузки	 568
§	17.5.	Стабилизация цилиндрических оболочек	давлением	 571
§	17.6.	Контейнеры для	твердых топлив	 572
§	17.7.	Другие проблемы	топливных контейнеров	 573
§	17.8.	Эффективность детального расчета	 574
§	17.9. Проблема усталости материала конструкции	 576
§ 17.10. Проблемы проектирования твердых топлив	 576
§ 17.11. Выводы 	 577
Литература	  578
Глава 18. Общий анализ	ракетного летательного аппарата {М. В. Бартон) 579
§ 18.1. Необходимость систематического подхода к проектированию ракет¬
ного летательного аппарата	 579
§ 18.2. Расчетные условия окружающей среды	 581
.§ 18.3. Внешние формы	 583
§ 18.4. Общий анализ расчетных режимов полета и	параметров	 584
§ 18.5. Общий динамический анализ	 592
5 18.6. Выводы	 599
Литература	 600
част ъ III
СВЯЗЬ И УПРАВЛЕНИЕ
Глава 19. Возможность космической	связи (Э.	Речтип)	 603
§ 19.1.	Связь в пределах прямой видимости	 603
§ 19.2.	Проблема помех	 605
§ 19.3.	Различимость сигналов и априорная информация	 607
§ 19.4.	Преобразование энергии	 609
§ 19.5.	Выбор частоты радиопередатчика	 611
§ 19.6.	Взгляд в далекое будущее	 614
Литература	 615
Глава 20. Проблемы осуществления	космической связи	(Ф. А . Л сан)	616
§ 20.1.	Введение 	 616
§ 20.2.	Основные принципы	 619
.§ 20.3.	Анализ системы телеметрии	 622
5 20.4.	Возможные улучшения системы телеметрии	 624
§ 20.5.	Выводы	 632
Литература	 633
Глава 21. Проблемы радиоуправления (В. X.	11 инке ринг)	 634
§ 21.1.	Введение 	  634
§ 21.2.	Радионавигационные измерения  	 635
§ 21.3.	Требования к точности управления	 637
§ 21.4.	Источники ошибок в системах радиоуправления	 638
§ 21.5.	Допплеровские измерения	 643
§ 21.6.	Пример системы радиоуправления	 645
Литература	 046

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
Глава 22. Инерциальная система управления баллистических снарядов
(В. Т. Рассел)	  647
§ 22.1. Введение 	 647
§ 22.2. Гироскопы 	 648
§ 22.3. Акселерометры 	 657
§ 22.4. Стабилизированные платформы	 661
§ 22.5. Исполнительные органы системы управления положением	 664
§ 22.6. Сила тяготения	 666
§ 22.7. Схемы управления	 669
§ 22.8. Пример системы управления для баллистического	снаряда ....	671
Литература	 675
Г лава 23. Радиоинерциальная система управления (Д. J1. Пинг) ....	676
§ 23.1. Интуитивная оценка принципа радиоинерциального метода .	.	676
§ 23.2. Предварительный анализ точности . .  	 681
§ 23.3. Помеха как случайный процесс. Сглаживание	 683
§ 23.4. Комбинированный радиоинерциальный метод	 689
§ 23.5. Пример управления процессом выведения спутника	на орбиту . .	.	691
Литература	 694
Г лава 24. Управление на промежуточном и конечном участках траектории
полета снаряда (А. Д. Уилон)	 695
§ 24.1. Введение 	 695
§ 24.2. Снижение спутника с круговой орбиты	 697
§ 24.3. Коррекция межпланетных траекторий		 .	.	705
§ 24.4. Конечное притяжение планетой 	 712
§ 24.5. Встреча со спутником	 717
§ 24.6. Выводы	 720
Литература	 720
Предметный указатель	 721

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая книга представляет собой перевод коллективного труда
группы американских ученых, в число которых входят такие известные
специалисты в области ракетной техники и астронавтики, как К. Эрике,
Дж. Ирвинг, Дж. Саттон, Р. Бассард и др.
Книга основана на материале курса лекций, прочитанных авторами
летом 1957 года в Калифорнийском университете, и освещает ряд
проблем, связанных с конструированием космических летательных
аппаратов, анализом их движения и с задачами управления движением.
В переводе книга состоит из трех частей.
Первая часть, озаглавленная «Динамика полета», является самой
большой по объему и наиболее значительной по содержанию частью книги.
Здесь рассматриваются различные вопросы механики траекторного дви¬
жения космических аппаратов при выходе их на орбиту, при движении
в межпланетном пространстве, а также при входе в атмосферу. Несмотря
на некоторую неровность изложения и отдельные повторения, охватывае¬
мый круг вопросов дает достаточно полное представление о задачах и мето¬
дах нового раздела механики — астродинамики. Затрагиваются проблемы
оптимального программирования тяги ракет, динамики полета космиче¬
ских аппаратов с малой тягой, перехода между орбитами, особенности
расчета траекторий полета к Луне и даже дается оценка релятивистских
эффектов, имеющих место в космических путешествиях. Несколько выпа¬
дает из общего плана I части глава 10, посвященная термодинамике тор¬
можения космического аппарата в атмосфере, где изложение имеет, пожа¬
луй, слишком специальный характер.
Вторая часть книги, посвященная конструкциям и двигательным
системам ракет, носит более технический характер. Достоинством этой
части книги является то, что здесь рассмотрены различные принципы
создания реактивной тяги и возможные пути их технического осуществле¬
ния. Хотя при современных стремительных темпах развития ракетной
техники некоторые из приведенных материалов и могут оказаться уста¬
ревшими, намеченные технические и конструктивные решения все же отра¬
жают общее направление развития ракетного двигателестроения. Извест¬
ное внимание уделяется также основам прочностного расчета и принци¬
пам оптимального конструирования ракет. Наконец, в последней, третьей

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
9
части книги рассматриваются проблемы космической связи, телеуправле¬
ния и контроля. Обсуждение здесь носит обзорный характер и представ¬
ляет интерес главным образом для неспециалистов в области радиосвязи
и управления, желающих ознакомиться с этими бурно развивающимися
разделами астронавтики.
При переводе книги были опущены некоторые ее разделы, которые
либо не представляли прямого интереса (например, элементарные сведе¬
ния из астрономии), либо оказались явно устаревшими (главы, посвящен¬
ные прогнозам относительно полета человека в космическое пространство).
Следует заметить также, что ввиду большого количества небрежностей
и опечаток в математических выражениях и формулах оригинала потре¬
бовалась кропотливая работа по их выявлению и исправлению.
В целом предлагаемая книга освещает широкий круг проблем косми¬
ческой техники, хотя далеко не все из них получили равноценное рас¬
смотрение. Ввиду особенностей построения книги отдельные главы ее
могут читаться почти совершенно независимо от других.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ РЕДАКТОРА АМЕРИКАНСКОГО
ИЗДАНИЯ
Весной 1957 года группа ученых и инженеров Лаборатории косми¬
ческой техники и Калифорнийского университета в Лос-Анжелосе решила,
что систематическое описание физических принципов, относящихся к иссле¬
дованию космического пространства, было бы полезно для большого числа
инженеров, заинтересованных в скорейшем приобретении знаний по бал¬
листике и проектированию космических снарядов. Так было решено
создать исчерпывающий и последовательно изложенный курс под назва¬
нием «Космическая техника», предназначенный для лиц, закончивших
высшие учебные заведения. К участию в работе были привлечены веду¬
щие специалисты из числа наиболее известных творческих работников
страны. Содержание работы было организовано так, чтобы охватить
почти все проблемы космических полетов. В группу 38 лекторов вошли
многие руководители исследовательских лабораторий, сотрудники уни
верситета и люди, несущие основную ответственность за достижения
Соединенных Штатов в освоении космоса. Каждый из них сделал вклад
в космическую технику. Для многих лекций были использованы совер¬
шенно новые материалы. Реакция на эту серию лекций превзошла все
ожидания. Несмотря на высокий математический уровень серии лекций,
рассчитанных на окончивших высшие учебные заведения, 4500 слуша¬
телей поступили на курсы различных отделений Калифорнийского
университета, расположенных по всему штату. Кроме того, по телевидению
были организованы лекции в районе JIoc-Анжелоса и выпущен фильм,
который, будучи распределен между 60 организациями по всем Соеди¬
ненным Штатам, охватил аудиторию приблизительно в 100 000 человек.
Такой сильный интерес к теме был связан с тем, что за несколько
месяцев до появления курса был запущен первый спутник.
Проектирование космических кораблей представляет комплекс проб¬
лем большой трудности, требующий объединения многих научных дисцип¬
лин, таких, как астрономия, аэродинамика, электроника, химия, механика
п биология. Цель этой книги — дать полное описание основных физиче¬
ских принципов проектирования баллистических снарядов большого
радиуса действия; особое значение придается тем количественным соот¬
ношениям, которые представляют наибольший интерес для теории космн-

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ РЕДАКТОРА АМЕРИКАНСКОГО ИЗДАНИЯ
11
ческого полета. Коллективные усилия группы высококвалифицирован¬
ных авторов были направлены главным образом на систематизацию основ¬
ных законов и выделение важнейших проблем, связанных с бурным разви¬
тием космической техники. В ряде случаев одна и та же область разрабаты¬
валась несколькими авторами с различных точек зрения, обеспечивая тем
самым более широкую перспективу, чем это можно было бы получить
из одного источника. Мне доставила большое удовольствие практическая
деятельность совместно с выдающейся группой лиц в тот исторический
момент, когда исследование космического пространства и разработка
связанных с этим проблем находятся в центре внимания политических
и профессиональных кругов. Я хочу выразить искреннюю благодарность
всем соавторам,, которые, будучи обременены множеством профессио¬
нальных обязанностей, нашли время, чтобы сделать достойный вклад
в эту книгу.
Лаборатории космической техники.
Июнь 1959 г.
Говард С. Сейферт

ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА АМЕРИКАНСКИХ МЕР
В МЕТРИЧЕСКИЕ И В ЕДИНИЦЫ СИ
Единицы длины
1 уставная миля = 1,60934 км	1	дюйм	= 2,54 см
1 морская миля = 1,852 км	1	фут	= 12 дюймов = 30,48	см
Единицы площади
1 дюйм2 = 6,4516 см2
1 фут2 = 0,092903 м2
Единицы объема
1 дюйм* = 16,3871 см* 1 фут% = 0,0283168 м$
Единицы массы
1 фунт = 0,4535924 кг 1 слэг = 14,5939 «г 1 унция = 28,3495 г
Единицы силы (веса)
1 фунт = 0,4535924 «Г = 4,4482 и
Единицы плотности
1 фунт/фут'3 = 16,0185 кг/ms 1 фунт!дюйм*— 27,680 т/ле3
1 фунт/фут2 = 0,00048824 кГ / с м2 = £1,8803 н/м2
1 фунт/дюйм2 =0,070307 кГ/см2 =-6894,76 w/.w2
Тепловые единицы
1 Британская тепловая единица (Б??ге) = 0,25198 ккал = 1,05506-103 да*с
Формулы перехода от температур в шкалах Фаренгейта (£F) и Ренкина (/р)
к температурам в шкале Цельсия (*с) и в абсолютной шкале Кельвина (£к):
(температура в шкале Ренкина есть абсолютная температура, выраженная в граду¬
сах Фаренгейта).
Единицы давления
1С ~0~ (^f 3‘2!), tK — -g tR

ЧАСТЬ I
ДИНАМИКА ПОЛЕТА

Г Л А В А 1
ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ
ДВИЖЕНИИ
Мартин Саммерфилд (Martin Summerfield)
Говард С. Сейферт {Howard, S. Seifert)
§ 1.1. Предмет главы
Теория движения ракеты представляет собой частный случай общей
теории динамики твердых тел в пространстве [1]. В этой теории обычно
принято рассматривать движение центра масс тела отдельно от его движе¬
ния вокруг центра масс. Применительно к движению ракет и самолетов
первое относится к теории летных характеристик летательного аппарата,
второе — к теории его управления и устойчивости [2]. В настоящей главе
ракета рассматривается как материальная точка, находящаяся под дей¬
ствием ряда сил. Предполагается, что активный участок траектории бал¬
листической ракеты лежит в вертикальной плоскости (как это и бывает
на практике), и поэтому при анализе можно ограничиться изучением
плоского движения. Еще большее упрощение задачи достигается, если
ограничиться изучением прямолинейного движения ракеты (движение
в одном измерении), причем такое рассмотрение при минимальной слож¬
ности выкладок позволяет характеризовать значимость ряда параметров,
важных при проектировании ракеты. Теория прямолинейного движения
вместе с тем допускает быструю оценку скорости ракеты в конце активного
участка и дальности ее полета, если даже в действительности траектория
активного участка криволинейна.
Основная цель настоящей главы заключается в выяснении влияния
таких параметров, как отношение начальной и конечной масс, удельный
импульс и отношение тяги к начальному весу (тяговооруженность),
на летные характеристики одноступенчатой ракеты; здесь также будут
кратко освещены основные особенности многоступенчатых ракет. В заклю¬
чение обсуждаются некоторые вопросы оптимизации конструкции ракеты
(т. е. вопросы, связанные с минимизацией общей массы ракеты при задан¬
ной величине полезного груза).
§ 1.2. Основное уравнение движения ракеты
Как говорилось в предыдущем параграфе, ракету при ее движении
можно рассматривать как материальную точку переменной массы, на кото¬
рую действуют силы тяги, тяжести, сила аэродинамического сопротивле¬
ния и подъемная сила. Общее уравнение движения ракеты на активном

16 ^ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
участке можно записать в векторном виде следующим образом:
M^- = F+Fa + Fg.	(1.1)
Полное ускорение	ракеты с мгновенной массой М определяется
векторным сложением силы тяги F, аэродинамической силы Fa и силы
тяжести Fg. При наличии еще каких-либо сил они
также могут быть введены в это уравнение. В общем
случае векторное уравнение (1.1) распадается на
систему трех скалярных уравнений, соответствую¬
щих трем компонентам ускорения. В частном случае
прямолинейного полета ракеты в поле тяжести
Земли под действием силы тяги F, направленной
вдоль траектории (рис. 1.1), наклоненной под
углом 0 к направлению силы тяжести, уравнение
движения примет вид
M-^-^F-D + Mg cos0,	(1.2)
Рис.	l.i.	силы	дей-	гДе s ~ расстояние вдоль траектории	от	некото-
ствующие	на	ракету	в	рого начала отсчета, D —сила аэродинамического
прямолинейном полете.
сопротивления, g — ускорение силы тяжести в точ¬
ке, где находится ракета.
Прежде чем начать интегрирование этого уравнения с целью полу¬
чения скорости и координат ракеты в функции времени, необходимо изу¬
чить отдельные входящие в него слагаемые.
§ 1.3. Аэродинамическое сопротивление
Силу аэродинамического сопротивления ракеты принято обычно
выражать с помощью коэффициента аэродинамического сопротивления
СD через значение максимальной площади лобового сечения корпуса Ас
(куда не включаются такие части, как рули, крылья и т. п.) следующим
образом:
D=CdAc-\qV\	(1.3)
где q — местная плотность воздуха, а V — величина скорости ракеты.
Коэффициент аэродинамического сопротивления зависит от формы
корпуса, угла атаки, угла скольжения и, что особенно важно для сверх¬
звуковых ракет, от числа Маха М. График коэффициента сопротивления
ракеты V-2 («Фау-2») показан на рис. 1.2, где видна его зависимость от числа
Маха и угла атаки а.
Наличие члена, соответствующего аэродинамическому сопротивле¬
нию, в уравнении (1.2) делает невозможным точное интегрирование этого
уравнения, даже если бы коэффициент Св не зависел от скорости. Только
в некоторых искусственных случаях точное интегрирование оказывается
возможным. Например, если пренебречь силой тяжести (при горизонталь¬
ном полете или при очень высокой тяговооруженности), то уравнение
можно проинтегрировать при условии, что произведение qCd задано
как простая функция скорости [3]. Если же можно полагать величину
qCd/F постоянной, то уравнение можно проинтегрировать, не пренебре¬
гая и силой тяжести [5]. Лишь непосредственное интегрирование уравне¬

§ 1.3]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
17
ния численными методами позволяет обойтись без каких-либо ограничи¬
тельных предположений [6]. Наиболее простым и в то же время практически
интересным случаем интегрируемости уравнения (1.2) является случай
Цв
I
|
I-
0	1	Z	3	4	5
Числя Маха М
Рис. 1.2. Коэффициент аэродинамического сопротивления ракеты V-2 в
зависимости от числа Маха и угла атаки а.
нулевого аэродинамического сопротивления, когда величиной D /Mg мож¬
но пренебречь. Это соответствует полету ракеты за пределами атмосферы,
например движению второй и
третьей ступени трехступенча-
той] ракеты-носителя спутника
Земли, или же полету ракеты,
запущенной с аэростата на боль¬
шой высоте. Следует заметить,
что пренебрежение силой со¬
противления вполне допустимо
даже в плотных слоях атмо¬
сферы для любого реактивного
летательного аппарата, если
геометрические размеры его
достаточно велики. Действи¬
тельно, для аппаратов, имею¬
щих различные размеры, но
подобных по форме и обладаю¬
щих одинаковыми аэродинами¬
ческими качествами, величина D
пропорциональна квадрату ха¬
рактерной длины, а масса М
пропорциональна кубу этой длины, отчего отношение D /Mg оказывается
обратно пропорциональным линейным размерам аппарата. Поэтому влия¬
ние аэродинамического сопротивления на летные характеристики ракеты
достаточно больших размеров оказывается малым. При проведении
прикид очных расчетов, где можно ограничиться лишь приближенной
оценкой скорости в конце активного участка, для ракет таких размеров,
2 Космическая техника
Рис. 1.3. Отношение силы сопротивления к силе
тяги для большой ракеты с поперечной нагруз¬
кой 2500 фуит/дюйм2.

18 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. I
как V-2, сопротивлением атмосферы можно пренебрегать. Это ясно видно
из графика отношения D /F в функции времени на активном участке
траектории полета большой баллистической ракеты (рис. 1.3).
Наконец, знание интеграла уравнения движения (1.2) при отсутствии
сопротивления полезно еще тем, что дает способ определения потерь ско¬
рости, вызванных сопротивлением, как это будет сделано в § 1.8.
§ 1.4. Тяга ракеты
Величина тяги ракеты тесно связана с секундным расходом (т. е.
скоростью расхода) топлива в ее двигателе, а следовательно, и со скоро¬
стью изменения массы самой ракеты. Как будет показано в § 12.2, приме¬
нение теоремы количеств движения в интегральной форме к случаю одно¬
мерного установившегося истечения
из сопла двигателя ракеты приводит
к следующему выражению для силы
тяги:
/’=■• mve+ (ре-р0)Ае. О-4)
В общем случае при сверхзву¬
ковом истечении газа из сопла давле¬
ние на его выходе ре отличается от
внешнего атмосферного давления р0.
В написанном уравнении тп —
скорость расхода массы (секундный
газов и Ае — площадь выходного
сечения сопла. Та доля силы тяги, которая обусловлена перепадом давле¬
ния, т. е. статическая составляющая тяги (второй член уравнения (1.4)),
может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того,
меньше или больше наружное
атмосферное давление, чем давле¬
ние на выходе сопла ракеты
(рис. 1.4). В условиях постоян¬
ного режима работы двигателя
(когда геометрия сопла, давление
в камере сгорания и соотношение
топливной смеси остаются неиз¬
менными) величины 772, ve и ре не
меняются при подъеме ракеты в
атмосфере. Поэтому, если тягу
двигателя в пустоте за пределами
атмосферы обозначить как Foo, то
тяга в пределах атмосферы будет (при отсутствии срыва потока в сопле)
F=Fao - р0Ае.	(1.5)
Таким образом, тяга ракеты на уровне моря меньше, чем на большой
высоте, причем величина этой разницы зависит от того, насколько кон¬
струкция сопла соответствует рабочему режиму [9]. Принимая во внима¬
ние, что в существующих конструкциях эта разница, как правило, состав¬
ляет менее 20% от величины полной тяги (рис. 1.5), величину F в уравне¬
нии (1.2) допустимо считать постоянной, если при этом и секундный рас¬
ход топлива на активном участке остается постоянным.
то
к
^а4*/04
>5 2*10*
О	Z5	50	75	100
Высота В, тыс. фут
Рис. 1.5. Изменение величины тяги ракетного
двигателя с высотой.
Рис. 1.4. Возникновение статической со¬
ставляющей тяги ракетного двигателя.
расход), ие — скорость истечения

§ 1.0]
СКОРОСТЬ РАКЕТЫ И ДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА
19
Следует заметить, что тяга F в уравнении (1.4) является «чистой»
тягой, полученной путем вычитания силы полного внешнего давления
из величины тяги двигателя. Эта сила внешнего давления, являющаяся
равнодействующей сил давления атмосферы на корпус ракеты и направлен¬
ная против ее движения, вычисляется как произведение «местного» внеш¬
него давления на осевую проекцию выходного сечения сопла, т. е. равна
РоАе. Разность между силой фактического давления на корпус при полете
ракеты и равнодействующей сил статического внешнего давления р0
и представляет собой силу аэродинамического сопротивления.
§ 1.5. Секундный расход топлива
Ввиду того, что второй член в уравнении для тяги (1.4) обычно состав¬
ляет весьма малую часть всей тяги двигателя и исчезает вообще, если
давление на выходе сопла точно равно местному внешнему атмосферному
давлению, оказывается удобным объединить оба члена данного уравне¬
ния, используя понятие эффективной скорости истечения сеff (см. § 12.9):
Cctt = — •	(1-6)
т
Очевидно, что сец равна ve на той высоте, где р0 равно ре. Для ракеты
с постоянным секундным расходом топлива увеличение тяги F с высотой
можно объяснить ростом с высотой скорости cCff. Величина, обратная
эффективной скорости истечения, представляет собой секундный расход
топлива на единицу силы тяги и является параметром, характеризующим
топливо и рабочий режим.
Аналогичным параметром для оценки характеристик двигателя ракеты
служит удельный импульс /sp, т. е. импульс, приходящийся на единицу
веса топлива (вес берется в условиях нормальной силы тяжести). Таким
образом, если двигатель создает тягу F и при этом нормальный вес секунд¬
ного расхода топлива есть mg0, то удельный импульс будет (см. § 12.9)
I = F	(\ 7)
isp— • Sn •	(i-O
mg о
Здесь go — нормальное ускорение силы тяжести, служащее для пересчета
массового расхода в весовой. Если секундный расход поддерживается
постоянным, то увеличение тяги F по мере подъема ракеты в атмосфере
соответствует увеличению удельного импульса /8р. Так как прирост
импульса с высотой обычно не превышает 20%, то в тех случаях, когда
не требуется особой точности расчета летных характеристик, при интегри¬
ровании уравнения (1.2) принято считать/sp постоянной величиной, рав¬
ной ее среднему значению. Численные значения удельного импульса
(теоретические) и эффективной скорости истечения для ряда жидких
топлив, часть из которых являются высококалорийными [10], даны в таб¬
лице 1.1 (см. также гл. 12, 13 и 14).
§ 1.6. Скорость ракеты в конце активного участка и дальность полета
Предшествующее рассмотрение входящих в уравнение (1.2) сил —
тяги, аэродинамического сопротивления и тяжести — позволяет присту¬
пить к интегрированию этого уравнения. При этом будем полагать, что
сопротивлением атмосферы можно пренебречь, а удельный импульс будем

20 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
Таблица 1.1
Энергетические характеристики жидких топливных смесей
(рассчитанные для расширения от 21 атм до 1 атпм)
Топливная смесь
Весовое
отноше¬
ние
окисли¬
телей
к горю¬
чему
Скорость
истече¬
ния,
м/сек
Удель¬
ный
импульс,
сек
Жидкий кислород О2 и 75%-ный
этиловый спирт (25% Н20) —
топливо ракеты V-2
1,3
2350
239
Жидкий кислород и жидкий водо¬
род Н2
5,33
3290
335
Жидкий кислород и керосин . . .
2,2
2430
248
Фтор и гидразин
1,9
2930
299
Перекись водорода Н202 87%-ная
(13% Н20)

1240
126
Красная дымящая азотная кисло¬
та и анилин
3,0
2160
221
Нитрометан
2140
218
рассматривать как постоянную величину, равную ее среднему значению
/8р на активном участке полета. Ускорение силы тяжести g0 также будем
считать постоянным.
Разделив обе части уравнения (1.2) на М и подставляя в него mgoIsl)
„	dM
вместо г и — — вместо га, получим
dV Т d (In М) ,	q	//I	о\
sp Jt geos 8.	(1.8)
Это уравнение может быть проинтегрировано при любом законе изменения
массы М со временем, т. е. при любом законе изменения тяги:
Vbo-V0 = g0Is р In+ giv cos 0,	(1.9)
где Mf — полная масса ракеты (full) при взлете или при включении тяги,
Ме — масса «пустой» (empty) ракеты (после выгорания топлива), tp —
продолжительность активного участка, Vb0 — скорость в конце активного
участка и, наконец, при вертикальном полете cos 0 = —1.
Обычно в установившемся режиме работы двигателя секундный рас¬
ход топлива остается постоянным и тяга двигателя изменяется лишь
в результате изменения внешнего атмосферного давления. Продолжитель¬
ность активного участка определится тогда как
g0/sp _
Введем следующие безразмерные параметры, характеризующие рас¬
сматриваемую ракету:
отношение тяги к начальному весу (тяговооруженность)
F
goMf ;
(1.11)

§ 1.6]
СКОРОСТЬ РАКЕТЫ И ДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА
21
доля «сухого веса» ракеты
* = (1.12)
относительная полезная нагрузка
1 =
М±
(1.13)
где Ms — масса
Мг — заданная
лезного груза.
Подставляя значения
г, s и I
находим
Ьо-^0
конструкции
масса по-
в уравнение (1.9),
go*sy
In
1 — s — l
s —f— I ;
g cos 0
go
(1.14)
2,5-
При вертикальном поле¬
те вблизи земной поверхно¬
сти имеем
= 1п
1 -(S + 1)
sp
S + 1
ракеты без полезного груза и топлива и
Сумма ел7#оси/пелмш велим//
сулого веса и полез#его груза
s + l=7/P
df~ У У V &W „
20000 Ь *
ш * |
I §
Р
10000 * N,
А &
I
is
|Г
II
I4
I
I
II
Я®*||
/7	^
5	10	15
Стлешепие масс С
20
Зависимость скорости Vbo °т
параметров s, Z, г и 7sp пока- ^
зана на рис. 1.6.	§	'
Пройденный путь в
функции времени можно най¬
ти, интегрируя вторично
уравнение (1.8). Однако для
этого уже нужно задать за¬
кон изменения массы М ВО конце активного
времени Z, или, что то же са¬
мое, задать закон изменения
тяги. Наиболее простым и часто встречающимся случаем является
случай постоянного секундного расхода топлива, т. е. случай прибли¬
зительно постоянной тяги [3]. Тогда высота конца активного участка
при вертикальном полете ракеты в пустоте будет
Ри . 1.
лияние тяговооруженности на скорость в
участка
ракеты
при вертикальном подъеме
пустоте.
I
^bo — go^sp^p]
In
1-
Ме
Mf
Me
— 1
— <У t2
2 Soh-
■V0tp + h0J
(1.16)
где g0 — ускорение силы тяжести на земной поверхности и ho — началь¬
ная высота при включении тяги. При вертикальном движении ракета
после выгорания топлива будет по инерции подниматься вверх вплоть
до высшей точки траектории на высоте hm. При учете переменности вели¬
чины g с высотой и при отсутствии сопротивления атмосферы протяженность

22 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
участка свободного полета определится как
V?
г Ьо
2^о
(Д+^ьо)2
(1.17)
№-
So
где R — радиус Земли, a hc — длина участка свободного полета ракеты.
Для одноступенчатой ракеты, поднимающейся обычно не более чем
на несколько сотен километров, hc гораздо меньше R и уравнение (1.17)
сводится к известному результату:
Ш
1гс
7 2
Ьо
2*.
So
(1 18)
Максимальная высота вертикального
подъема будет
hm — ^Ьо + he
(1.19)
На рис. 1.7 представлен график зави¬
симости высоты hm от параметров ра¬
кеты S, I И /8р.
Дальность полета баллистической
ракеты вдоль земной поверхности мож¬
но вычислить с достаточной точностью,
рассматривая активный участок траек¬
тории как вертикальный, а участок
свободного полета — как дугу эллипса.
При таком рассмотрении в горизонталь¬
ную дальность, разумеется, не входит
дальность, пройденная на активном
участке траектории, которая у одно¬
ступенчатых ракет довольно мала, и,
кроме того, не учитывается влияние
наклона траектории активного участка
на величину скорости в конце участка.
Оба этих фактора ведут к увеличению дальности по сравнению с расчетной.
Максимальную дальность свободного полета sc вдоль поверхности
невращающейся Земли можно найти, пользуясь формулами эллиптической
теории движения точки в центральном ньютоновом поле тяготения (см.
гл. 3 и работы [11] и [12]):
ЦО Ц7 'Цё 0,0	1,0
' ОщлосшеллнШ залас талллва
. мрг .=7 -
S-V
Рис. 1.7. Высота максимального подъема
ракеты при отсутствии сопротивления.
Sr — 2R a resin
Ьо
^•оЯ-Но
(1.20)
Для малых значений V^0 это выражение приводится к известной фор¬
муле дальности полета над плоской Землей по оптимальной параболиче¬
ской траектории:
По
(1.21)
Для больших значений Fb0, но меньших, чем У g0R, аргумент аркси¬
нуса в уравнении (1.20) становится близким к единице и дальность sc
приближается к kR; иначе говоря, скорость V\j0 = ]/g$R как раз доста¬
точна для выхода на круговую орбиту спутника Земли. Оптимальный

§ 1.7]
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ
23
угол наклона траектории к горизонту в конце активного участка Ф зави¬
сит от требуемой дальности полета следующим образом (см. гл. 2):
sr
1 —sin
tgi|)=
2 R
(1.22)
COS
2R
Дальность sc 1
по. большому кругу Л
ть/с. миль 1
Угол /
7
7 (р
N
/
\
\
74 \
%
k
72 \
%
•\
1
0
0	7,0	2,0	3,0	4,0	5,0
Скорость в конце активного участка,
миль/сок
ч
Для малых дальностей угол ф примерно равен 45°, что является извест
ным результатом теории парабо¬
лического движения над плоской
Землей. Для больших дальностей
правая часть уравнения (1.22)
всегда меньше единицы и, следо¬
вательно, угол ф меньше 45°.
В предельном случае, при выходе
на спутниковую орбиту, угол ф
становится равным нулю. На
рис. 1.8 показана зависимость
максимальной дальности и опти¬
мального угла наклона от скоро¬
сти в конце активного участка,
найденная при помощи уравнений
(1.20) и (1.22).
Вращение Земли при расчете
дальности полета баллистической
ракеты можно учесть, если счи¬
тать, что скорость Fbо, входящая
в уравнения (1.20) и (1.21), есть
векторная . сумма относительной
скорости в конце активного уча¬
стка и линейной скорости вра¬
щения точки старта. К получен¬
ной таким образом дальности
необходимо добавить векторно то
расстояние, на которое переместится точка приземления за время полета
ракеты. Для баллистических ракет малой дальности эти поправки несу¬
щественны.
§ 1.7. Зависимость характеристик ракеты от отношения масс,
удельного импульса и тяговооруженности
Из соотношений, полученных в предыдущем параграфе, видно, что
скорость в конце активного участка и дальность (вертикальная или гори¬
зонтальная) полета ракеты зависят от 1) удельного импульса, или эффек¬
тивной скорости истечения; 2) от отношения начальной и конечной масс
ракеты и 3) от времени выгорания топлива, или от тяговооруженности.
На основе уравнений (1.15), (1.16) и (1.17), а также при помощи графиков,
представленных на рис. 1.6 и 1.7, можно сделать ряд важных выводов
относительно влияния этих параметров на летные характеристики ракеты.
Скорость ракеты в конце активного участка прямо пропорциональна
величине удельного импульса. С этой точки зрения предпочтительно при¬
менять топлива с высоким удельным импульсом. В то же время эта ско¬
рость уменьшается с увеличением доли «сухого веса» ракеты, и решение
вопроса о том, следует ли предпочесть топливо с крайне высоким удельным
Рис. 1.8. Зависимость максимальной дальности
полета над сферической невращающейся Зем¬
лей sc и оптимального угла наклона траекто¬
рии ф от величины скорости в конце активного
участка V\)0.

24 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
импульсом менее калорийному топливу, отнюдь не является столь
простым. Дело в том, что топлива с очень высоким значением /8р могут
иметь весьма низкую плотность, что поведет к увеличению топливных
баков, а значит, и к увеличению параметра s, т. е. «сухого веса» ракеты.
Результирующий эффект этих противоположных факторов на конструк¬
цию ракеты далеко не всегда оказывается в пользу высоких значе¬
ний /8 р.
Заметим, что, за исключением самых крайних значений, величина
максимальной скорости ракеты теоретически ничем не ограничена [13].
Некоторое увеличение этой скорости можно получить заменой обычных
топлив высококалорийными. Однако значительного увеличения скорости
можно достигнуть также путем уменьшения доли «сухого веса» ракеты;
теоретически величина скорости Fb0 стремится к бесконечности, если
сумма s + I стремится к нулю. Поэтому иногда конструктор может добить¬
ся большего положительного эффекта в отношении летных характеристик
ракеты, чем инженер, связанный с разработкой двигательной системы.
Значительное увеличение дальности полета одноступенчатых баллисти¬
ческих ракет с 320 км у V-2 до 1600 км у современных баллистических
ракет средней дальности действия (БРСД), достигнутое за последние годы,
объясняется в большей степени улучшениями конструкции, чем прогрес¬
сом в области топлив.
Влияние времени выгорания топлива сказывается в последнем члене
правой части уравнения (1.15) через коэффициент тяговооруженности г.
Большое время выгорания, т. е. малое значение тяговооруженности,
Mf
при фиксированном отношении масс -^2 ведет к уменьшению скорости
JVl Q
в конце активного участка. Это в свою очередь ведет к уменьшению даль¬
ности полета, так как, хотя увеличение времени выгорания может увели¬
чить дальность, пройденную на активном участке, дальность пассивного
участка при этом уменьшится на гораздо большую величину. Поэтому для
получения максимальной дальности следует по возможности уменьшать
время выгорания, стремясь к режиму импульсной программы тяги. Здесь,
однако, необходимо учитывать еще ряд дополнительных факторов, кото¬
рые могут играть существенную роль.
Один из них — это влияние сопротивления атмосферы. При импульс¬
ной программе тяги длина активного участка траектории оказывается
малой и высокая скорость полета достигается на малом расстоянии
от точки старта. Если старт происходит в плотных слоях атмосферы,
уменьшение дальности за счет сопротивления воздуха может оказаться
более значительным, чем выигрыш, полученный вследствие краткости
времени выгорания. Расчет скорости ракеты в конце активного участка
при учете сил аэродинамического сопротивления приводится в следую¬
щем параграфе.
Другой фактор — это влияние времени выгорания на такую важную
характеристику, как отношение масс. При малом времени выгорания
ракета движется с большим ускорением и, следовательно, возникают
высокие перегрузки, что вызывает необходимость противостоять аэроди¬
намическому давлению и нагреву, а это также ведет к утяжелению кон¬
струкции.
Очевидным следствием выбора малого времени выгорания топлива
при заданной полной массе ракеты является то, что двигательная система
должна быть более тяжелой и громоздкой за счет уменьшения количества
топлива; это снова ведет к уменьшению дальности.

§ 1.7]
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ
25’
Если пренебречь силами сопротивления, то выбор оптимального зна¬
чения времени выгорания определяется влиянием параметров г и s + I
на Fbo согласно формуле (1.15); оптимальная двигательная система ракеты
или требуемое топливо выбираются из учета влияния на Fbo величин
Isр и s + Z. Математически влияние указанных параметров на скорость
Fb0 можно найти дифференцированием выражения (1.15):
<‘-23а>
Частные производные, входящие в это выражение, могут быть легко
найдены [см. уравнение (1.236)].
Основная проблема, стоящая перед конструктором при выборе опти¬
мальных значений параметров ракеты, заключается в следующем. Пусть
ракета, аналогичная проектируемой, уже существует или уже спроектиро¬
вана; требуется выяснить, будет ли предлагаемое изменение в двигательной
системе или в составе топлива способствовать увеличению максималь¬
ной скорости ракеты или нет. В общем случае всякое изменение оказы¬
вается выгодным в одном отношении и невыгодным в другом. Так, напри¬
мер, при замене двигателя другим, рассчитанным на большее давление
в камере сгорания, что означает увеличение /зр, величина s также возра¬
стает. Поэтому в данном случае вносимые в конструкцию модификации
можно считать целесообразными только в том случае, если положитель¬
ный эффект от увеличения /&р оказывается большим, чем отрицательное
влияние роста s.
Для облегчения поисков оптимальных значений параметров ракеты
строятся так называемые «диаграммы компенсируемых изменений». Так,
из уравнения (1.23а) можно найти те значения As, которые в точности
компенсируют эффект приращений A/sp вблизи некоторых заданных зна¬
чений этих параметров. Упростим уравнение (1.15) для скорости Fb0,
полагая, что поле тяжести отсутствует (т. е. г = сю), и затем с его помощью
из уравнения (1.23а) найдем соотношение между такими значениями при¬
ращений удельного импульса /sp и параметра s, при которых результи¬
рующее изменение скорости Fb0 равно нулю. Дифференцируя уравне¬
ние (1.15) при г = оо, получаем
A/sp   Т ln(s-)-Z)	//|
—д7" ---'sp s+i •	(1.АЮ)
На рис. 1.9 приведены графики величины , соответствующие усло¬
вию 6Fbo = 0 во всем диапазоне допустимых значений Jsp и s + I- Из
диаграммы видно, что при высоком совершенстве конструкции ракеты
(s -г ^ мало) даже незначительное приращение величины As может ней¬
трализовать большое увеличение A/sp. Диаграммы компенсируемых изме¬
нений используются в работах [14] и [15]. Такого рода диаграммы дают
конструктору весьма удобный и практичный метод отыскания и выбора
оптимальных конструкций.
Проблема определения оптимального времени выгорания топлива
зачастую оказывается весьма специфичной. Пусть имеется достаточно
надежный двигатель на жидком топливе и требуется выбрать такое время
выгорания (или начальный вес ракеты), которое обеспечило бы максималь¬
ную дальность полета. Результат такого анализа может показать, что
полный вес ракеты будет составлять значительную часть от силы тяги
взятого двигателя, возможно, 3/4 или более. В то же время оптимальное-

26 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
значение тяговооруженности для ракеты заданной полной массы примерно
равно V2. Таким образом, оптимальное время выгорания зависит от того,
какая из величин—полный вес ракеты или тяга двигателя—считается за¬
данной в рассматриваемой вариационной задаче. Учитывая, что в настоящее
время «на полке» имеется лишь несколько больших ракетных двигателей,
20000
Д2	Ц4	0,6
Сумма^/ллссительлага сухбго беса
а отласа/лел&лаи л слез лей лагруз к и &+1
Рис. 1.9. Диаграмма компенсируемых изменений для
A L
sp
при
полете ракеты в пустоте при отсутствии сил тяжести.
работающих на жидком топливе, целесообразно при выборе опти¬
мального времени выгорания исходить из заданного двигателя, а полную
массу ракеты определять в процессе анализа.
В заключение заметим, что при оптимизации полного веса ракеты
и (или) времени выгорания следует учитывать и характер траектории
полета. В окончательной конструкции ракеты должны быть учтены аэро¬
динамические нагрузки, аэродинамический нагрев корпуса, воздействие
сил от регулирующих органов, компонент ускорения вдоль траектории
и т. д. Все эти величины зависят от характера траектории.
§ 1.8. Анализ характеристик ракеты при наличии
аэродинамического сопротивления. Оптимизация программы тяги
В § 1.3 было показано, что влияние аэродинамического сопротивле¬
ния на летные характеристики ракеты ослабевает при увеличении размеров
ракеты, так что, чем больше ракета, тем меньше потери скорости в конце
активного участка, вызванные сопротивлением.

§ 1.8] ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ ПРИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ 27
Из уравнений (1.15) и (1.16) можно видеть, что если пренебречь сопро¬
тивлением, то такие характеристики ракеты, как скорость в конце актив¬
ного участка и высота полета, не будут зависеть от размеров ракеты. Един¬
ственными определяющими параметрами явятся безразмерные отношения
2, 6* и г, а также удельный импульс 7sp. Малая ракета, имеющая то же отно¬
шение масс и тяговооруженность, что и большая, будет иметь одинаковую
с ней максимальную скорость.
Однако этот вывод верен лишь при полете на очень больших высотах
или за пределами атмосферы, где и для больших и для малых ракет допу¬
стимо пренебрежение силами сопротивления. В пределах же достаточно
плотной атмосферы существует масштабный эффект, т. е. потери скорости
из-за трения о воздух для малых ракет оказываются тем больше, чем
меньше сама ракета. Целью настоящего параграфа является анализ этих
потерь.
Рассмотрим ракету, движущуюся вертикально вверх в атмосфере.
Дифференциальное уравнение движения (1.8) в этом случае, при учете
сил сопротивления, будет
dV „ т d (\п М)	CnAc^faQaV2	/	I	о/.\
~dF~ “ §oysp Jt	go	Л •
Как указывалось в § 1.3, наличие последнего члена в этом уравнении
не допускает точного интегрирования. Для удобства дальнейших рассуж¬
дений можно проделать формальное интегрирование в виде
1р
Гьо = (Гьо)т.с Д C,,Ac'^2QaV2dt.	(1.25)
О
Последний член написанного выражения представляет собой величину
потери скорости, обусловленную трением о воздух. Его можно приближенно
оценить, если подставить значения С&, Qa, V и М, найденные как функции
времени в предположении отсутствия силы сопротивления, и по ним
численно определить величину интеграла. Такая оценка вполне допустима,
если сам поправочный член мал. При большом сопротивлении уравне¬
ние (1.24) нужно интегрировать численно.
Поправку на сопротивление можно записать в следующем виде:
П. - (Fbo)rac - -	■£.)' d(J-y (1.26)
В такой записи ясно видна зависимость величины поправки от программы
изменения скорости ракеты. Интеграл теперь является безразмерной
величиной, сравнительно мало зависящей от характера программы скоро¬
сти, если только сама поправка остается небольшой. Множитель, стоящий
перед интегралом, показывает, что пстеря в скорости обратно пропор¬
циональна величине ^ , т. е. для малых ракет она больше, чем для боль¬
ше
ших, и для удлиненных меньше, чем для укороченных. Будучи пропор¬
циональной Fbo, эта потеря также более значительна для ракет, обладаю¬
щих высокими летными характеристиками. Кроме того, она пропорцио¬
нальна плотности атмосферы, усредненной вдоль активного участка по¬
лета, что позволяет свести ее к минимуму, если производить запуск ракеты
на большой высоте с аэростата или же предварительно поднимать ее с по¬
мощью стартовой ракеты. Видно также, что потеря скбрости исчезает при
уменьшении времени выгорания до нуля, т. е. при импульсной программе

28 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
тяги. С другой стороны, при увеличении времени выгорания увеличение
потерь при вертикальном взлете несколько смягчается уменьшением
(Qa)avg из-за большей длины активного участка в верхних слоях атмо¬
сферы.
Аналогичные поправки, учитывающие силу сопротивления, можно
получить и для высоты конца активного участка /гЬо, а также и для про¬
тяженности пассивного участка hc (§ 1.6):
[^bo (^bo)vac —
(^c)vac —
(QcOavg^ьо
1 t/tp
Mf!Ac
t2o (Qa)cVlo
0 0
1 t/tc
Me/Ac
ИЧМ'
(1.28)
0 0
где (pa)c — средняя плотность атмосферы на пассивном участке.
Из уравнения (1.28) видно, что при импульсной программе тяги (tp
мало), когда потери скорости на активном участке малы, на пассивном
участке они возрастают вследствие уве¬
личения средней плотности атмосферы
(Qa)c- Поэтому, если требуется достичь
максимально возможной высоты подъе¬
ма, импульсная программа тяги нежела¬
тельна.
8
|
1
!
§
/о
2000	3000
/7оперечяая нагрузт, фуш/рут2
Рис. l.ib. Влияние силы сопротивления на
величину скорости в конце активного уча¬
стка при вертикальном полете.
^		 0
V
00 \
'тмсеителмА/й
чапас /яоолива
ч лроцеига* or И£)
\
<
20


/Т
/
it
ЧО сея
-—1		 .
Отяви/вяис тяги
я науалмиму вису F/%
Рис. 1.11. Определение оптимально¬
го значения тяговооруженности при
вертикальном полете в атмосфере.
Длина ракеты 10 футов, площадь
поперечного сечения 1 фут2, попереч¬
ная нагрузка — = 300 фунт/фут2.
Сказанное поясняется графиками на рис. 1.10 и 1.11. На первом пока-
Mf
зано влияние поперечной нагрузки на величину потери скорости
Aq
согласно уравнению (1.26). Величина поперечной нагрузки для современ¬
ных хорошо сконструированных ракет большой дальности действия, таких,,
как «Атлас» или «Титан», равна примерно 2500 фунт/фут2 (~120 кг/м2)-
Потеря в скорости при этом составляет около 2%.

s 1.8] ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ ПРИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ 29
I
о	sorno
дь/сота точки старта, футы
Рис. 1.12. Уменьшение эффекта сил сопротивления
при старте ракеты на большой высоте.
На втором графике (рис. 1.11) показано влияние тяговооруженности
на высоту подъема ракеты. Как уже говорилось выше, при большом зна¬
чении тяговооруженности (коротком времени выгорания) потери от сопро¬
тивления атмосферы сказываются в основном при движении на пассивном
участке. Это и объясняет спад кривых, показанных на графике, справа
от точки максимума. Спад кривых слева от точки максимума объясняется
наличием силы тяжести согласно уравнениям (1.15) и (1.16). Столь явное
влияние сил аэродинамического сопротивления, какое видно на дан¬
ном графике, обусловлено сравнительно малыми размерами ракеты,
для которой он построен; по-
Mf	без	сояротиолояия
перечная нагрузка равна
с
примерно 300 фунт/фут2
{-14,5 кг/м2).
Как видно из рис. 1.11, лет¬
ные качества малой ракеты
сильно ухудшаются из-за нали¬
чия сопротивления воздуха.
Интересной иллюстрацией этого
утверждения служат данные о
запусках зондирующих авиа¬
ционных и аэростатных ракет,
приведенные в работе [16].
В этих запусках авиационные
ракеты диаметром 2,75 дюйма
(70 мм) предназначались для
подъема счетчиков космических лучей на большие высоты. Было вычисле¬
но, что при подъеме с Земли в пустоте ракета могла бы достичь высоты
200 000 футов (61 км), в атмосфере же она могла достичь лишь 50 000 футов
(15 км). При запуске с аэростата на высоте 80 000 футов (24,5 км) ракета
поднималась еще на 190 000 футов (85 км), т. е. высотный запуск позволил
уменьшить потерю высоты со 150 000 футов (46 км) до 10 000 футов (3 км).
На рис. 1.12 показано, насколько высота подъема ракеты при запуске ее
с аэростата близка к теоретически возможной при подъеме в пустоте.
Там же показана высота, достигнутая при пуске той же ракеты с самолета
на высоте 40 000 футов (12 км). Даже в этом случае потеря высоты состав¬
ляет лишь 30 000 футов (9 км) вместо первоначальных 150 000 футов
(46 км).
Все предыдущие рассуждения относились к тому случаю, когда вели¬
чина тяги ракеты считалась постоянной и единственным изменяемым пара¬
метром было время выгорания топлива. Однако большие потери в ско¬
рости и дальности при полете малых ракет в атмосфере, иллюстрацией
чего служат рис. 1.11 и 1.12, наводят на мысль, что более выгодным
в отношении минимизации потерь от трения о воздух и от силы тяжести
будет режим переменной тяги. Для строгого определения оптимальной
программы тяги необходимо пользоваться методами вариационного исчис¬
ления, как, например, в работе [17].
В общем случае для достижения максимально возможной высоты
подъема ракета после пуска должна быстро (почти импульсно) набрать
скорость, необходимую для прохождения плотных слоев атмосферы,
далее двигаться с умеренным ускорением и затем, по выходе из плотных
слоев атмосферы, снова развить высокое ускорение, чтобы свести к мини¬
муму потери от сил тяжести.

30 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. i
§ 1.9. Характеристики одноступенчатых ракет
Проведенный в предыдущих параграфах анализ позволяет произвести
оценку возможностей одноступенчатой ракеты в отношении подъема полез¬
ного груза в космическое пространство. Правда, при выводе груза на орби¬
ту спутника Земли или на траекторию полета к Луне участок активного
полета не будет прямолинейным, однако при соответствующем усредне¬
нии величины cos 0 для приближенного определения конструктивных
параметров ракеты, позволяющих достигнуть требуемой скорости, все же
можно воспользоваться уравнением (1.14). Оценим сначала требуемое
значение скорости ракеты в конце активного участка. Согласно работе
[18] для вывода искусственного спутника Земли на круговую орбиту
высотой 200 миль (322 км) — минимальная высота, на которой еще воз¬
можно достаточно длительное существование спутника без чрезмерных
потерь энергии от трения о воздух,— необходима конечная скорость
25 400 фут/сек (~7,8 км/сек). При запуске ракеты с экватора в восточ¬
ном направлении за счет вращения Земли можно получить «даром» ско¬
рость около 1 500 фут/сек (~460 м/сек), так что сама ракета должна будет
развить скорость лишь около 24 000 фут/сек (7,35 км/сек). Для полета
к Луне минимальная потребная скорость ракеты при использовании ско¬
рости вращения Земли составит около 34 000 фут/сек (10,4 км/сек).
В табл. 1.2 приведены теоретические значения достижимых скоростей
для четырех типов одноступенчатых ракет. Значения скоростей указаны
Таблица 1.2
Значения скорости в конце активного участка для четырех типов
одноступенчатых ракет (на различных топливах) при вертикальном
и горизонтальном движении (тяговооруженность=2, угол 0 = 180°)
Типы ракет
Доля
«сухого
веса» s
Доля
полезной
нагрузки
Отноше¬
ние масс
к- 1
Среднее
значение
уд. им¬
пульса
Скорость
в гори¬
зонталь¬
ном
движе¬
1
Скорость
в верти- |
кальпом '
движе-
1
S+1
Js р.егк
нии,
фут/ сек
(м/сек)
фут/сек ;
(м/сек) I
1
Жидкий кислород II
\
1
! |
5860
(1790) :
спирт (V-2)
0,233
0,077
I
3,23 I
220
8300
(2530)
Жидкий кислород и ке¬
1
I
j
;
росин
0,12
0,08
1
5,00
300
15 450
(4710) |
11 586 ;
(3530)
Фтор и гидразин . . .
0,12
0,08
5,00 |
350
1.8 000 !
(5490)
13 500 1
(4120) j
Ядерное горючее . . .
0,24
0,06
1
3,33
800
i
31 000
(9450)
20 970 ;
(6400) i
1
i
для случая вертикального полета и, для сравнения, для горизонтального
полета. Соответствующие этим режимам значения конечных скоростей
указаны в двух последних столбцах таблицы. При движении ракеты
по оптимальной траектории ее конечная скорость будет лежать всегда
между указанными величинами. Например, конечная скорость балли¬
стической ракеты малой дальности будет близка к скорости при вертикаль¬

§ 1.9]
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОСТУПЕНЧАТЫХ РАКЕТ
31
ном полете, так как угол между траекторией и направлением силы тяжести
всегда будет более 135°; для ракеты большой дальности (носитель спут¬
ника или космическая ракета) траектория полета после выгорания топлива
будет почти горизонтальной (0 « 90°) и среднее по времени значение^
cos 0 в уравнении (1.14) будет
около 0,5; для ракет, запускае¬
мых горизонтально с самолета
или с другой ракеты, скорость
определяется значением в графе
для горизонтальной скорости.
Первый тип ракеты в таб¬
лице аналогичен по конструк¬
ции известной немецкой ракете
V-2: умеренная величина удель¬
ного импульса, громоздкие
конструкция и силовая уста¬
новка и вместе с тем довольно
значительная полезная нагруз¬
ка. Второй тип представляет
собой пример значительно улуч¬
шенной конструкции, где до¬
стигнут более высокий удель¬
ный импульс при использова¬
нии обычного топлива; даль¬
ность полета ракеты этого типа
достигает 1000 миль. В ракете
третьего типа более высокое
значение удельного импульса
получено путем перехода к вы¬
сококачественному топливу
(фтор и гидразин), и, наконец,
четвертая ракета представляет
собой одноступенчатую ракету
с ядерной силовой установкой,
у которой величина s выбрана
вдвое большей, чем у химической ракеты, ввиду наличия у нее реактора
и системы экранировки; удельный импульс соответствует удельному
импульсу водорода, нагретого до температуры 2500°С. Из таблицы вид¬
но, что одноступенчатая ракета, использующая фтор в качестве окисли¬
теля, могла бы достигнуть скорости, соответствующей скорости баллисти¬
ческой ракеты средней дальности, а ракета с ядерной силовой установкой
могла бы даже развить скорость, равную скорости движения спутника
по орбите.
На рис. 1.13 приведены графики приростов скорости AF, развивае¬
мой одноступенчатой ракетой при ее движении в пустоте и отсутствии сил
тяготения, для широкого диапазона значений отностельной полезной
нагрузки I и показателя качества конструкции б, который определяется
следу тощим в ы р а же ние м:
g	вес	конструкции	Мя
вес конструкции А-вес топлива	MR-j- М {)
В эту зависимость не входит величина полезного груза, так что б
характеризует качество конструкции ракеты независимо от той нагрузки,
Понаватель качества ступени 3
■	I	|	1	|	i	1	1
О 0,31	0,62 0,93 1,24	1,55 1,06	2,17
AV/ceff на ступень
i	j	i	i	i	i	i	i
О 3000 6000 9000 12000 15000 13000 21000'
А V fфут/сен] на ступень при ceff =9560рут/сен
Рис. 1.13. Величина скорости ракеты при полете
в пустоте при отсутствии силы тяжести в зави¬
симости от показателя качества конструкции 6 и
относительной полезной нагрузки I.

32 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
для которой она предназначена. Показатель качества б связан с ранее
введенными параметрами уравнением
Ь =	[(1.29)
На рис. 1.13 скорость AF представлена в виде частного от деления ее
на величину удельного импульса /8р или на скорость истечения ссff.
На самой нижней шкале абсцисс указаны абсолютные значения скорости
для случая, когда /8р = 300 сек. На диаграмме указаны точки, соответ¬
ствующие ракете типа V-2, а также ракете с высокими характеристиками,
которая может быть создана в ближайшем будущем.
§ 1.10. Многоступенчатые ракеты
Предельная скорость, которую может развить одноступенчатая ракета,
сильно ограничена тем, что энергия топлива постоянно должна расходо¬
ваться на ускорение всей массы ракеты, даже когда большая часть ее
(топливные баки) уже оказывается бесполезной. Уже ранние исследова¬
тели предложили для устранения этого недостатка использовать состав¬
ную ракету, состоящую из нескольких ступеней, каждая из которых имеет
свой двигатель и топливо. После выгорания отдельной ступени она отбра¬
сывается от основной ракеты и включается двигатель следующей ступени.
Полезная нагрузка помещается в последней ступени ракеты. Как видно
из табл. 1.2, одноступенчатые химические ракеты не могут достичь ско¬
ростей, требуемых для ухода в бесконечность или для выхода на орбиту
спутника Земли, и поэтому для этих наиболее интересных запусков необ¬
ходимо использовать составные ракеты.
Для определения скорости полета многоступенчатой ракеты в верти¬
кальном движении можно последовательно применять уравнение (1.15).
Первая (и обычно самая большая) ступень взлетает, как правило, при
начальной скорости F01, равной нулю; следующая ступень начинает рабо¬
тать при начальной скорости F02, равной конечной скорости предыдущей
ступени, и т. д. Если все ступени составной ракеты обладают одинаковыми
-значениями удельного импульса /8р, относительной величины «сухого
веса» относительной полезной нагрузки/и тяговооруженности г, то каж¬
дая из них будет увеличивать общую скорость ракеты (т. е. и полезного
груза) на одинаковую величину. В § 1.11 будет показано, что такое равен¬
ство параметров обеспечивает минимальный вес всей ракеты, предназначен¬
ной для выполнения конкретного задания.
Увеличение скорости, создаваемое п-й ступенью составной ракеты,
будет
V„-Fn-i = go/Jln-4i .	(1.30)
Так как каждая следующая ступень ракеты является полезной нагруз¬
кой предыдущей ступени, относительная полезная нагрузка G для после¬
довательности баллистически подобных ракет равна
Если же ступени не подобны, то, например, для случая вертикального
подъема в пустоте двухступенчатой ракеты полное увеличение скорости
будет
(Уьо)2-У0 = /1 Г ln 1	+/о Г in i_ _i-(sz+h) 1 _ (1 32)
8	L	si~Mi	ri	J	L	s2t^2	r2	-I

§ 1.10]
МНОГОСТУПЕНЧАТЫЕ РАКЕТЫ
33
Аналогичные формулы можно написать и для любого иного количе¬
ства ступеней.
Вообще говоря, конечная скорость ракеты будет тем больше, чем
раньше отбрасывается бесполезный груз. Из этого, казалось бы, следует,
то
к
I'*» 1500
I I 1000
уз ООО
I 600
\ ппп
иии
^ 700
^ ООО
Щ ООО
« 400
ООО
ООО
100
о
1
1
1
1
1
I
1
1
/
/су
1 1
4 h>
n; / и
* h
s 1 I
/ H
1
bs|
II II
* *
4 -■
>\
1
II
III
ICS 1 1 /
1 $! h k
i у s R
i <* k i
)N
1
	1
1
i
rj 7
1
1
/ /.
7 / /
1 ,
-■■{ft-/—
-
^ /
Ч Ч?"
II 1
II Г II

ъгг
v' /
/ /
Sp duU ОиЛ
/
и //.
1
—1
- /
/
/ ,
—/—-J-
ОООО 70000
ООООО 30000	40000	00000
Коночная онороо/нн V, фут/сох
60000	70000
Рис. 1.14. Конечная скорость многоступенчатой ракеты в зависимости от количества
ступеней и относительной полезной нагрузки G. Удельный импульс задан и равен
300 сек.
что выгодно иметь в ракете большое количество ступеней. Однако выте¬
кающая отсюда необходимость иметь много двигателей, а также необходи¬
мость точного отделения ступеней приводит к тому, что обычно предпо¬
читают небольшое количество ступеней, например две или три.
ООООг
to!
1
^ 1500
?!
| | 1000
%%
||
I?
ООО
400
300
200
Щ
6L
i
I
I
1
I
1 1
4
/ "1
v *
h
1II
4
1 /
4^'/
II1 II1
Ы Ы
1 1
к.
н
"i
i
V
4
1/ г f
/ У
/сv /
/
1 1
1 /
/ /
f /
/
6=0,70
1
*
ч<§4
i
//
\i
iM
J\¥ i
7 У/4*
#/
H / //
\bV \$
/ /
#/
/
/
н
ii
/
/ i
/ /
J /;
/ /
/ /
>
'i i
/ sS
/ .✓
/
—
-
ОООО 70000	20000	30000	40000	ООООО
Конечная схорость У, фут/сек
60000	70000
Рис. 1.15. Конечная скорость многоступенчатой ракеты в зависимости от коли¬
чества ступеней и относительной полезной нагрузки G Задан показатель
качества конструкции 6 =0,1.
Ряд интересных вопросов возникает в отношении распределения
массы ракеты по ступеням. Если исходить из того, что относительная
полезная нагрузка G задана, то, разбивая массу ракеты на одну, две,
три и четыре подобные ступени, можно последовательно добиваться
3 Космическая техника

34 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
увеличения конечной скорости, значение которой асимптотически стре¬
мится к пределу, определяемому показателем качества б. На рис. 1.14 пред¬
ставлен ряд кривых, показывающих характер изменения полной скоро¬
сти ракеты при изменении относительной полезной нагрузки G; удельный
импульс ISp равен 300 сек, число ступеней изменяется от 1 до 4, и пара¬
метр б принимает два значения. На рис. 1.15 представлены те же кривые
при 6 = 0,1 и Isр, равном 300 и 400 сек. Из обеих диаграмм видно, что
у одноступенчатых ракет увеличение G (а значит, и полного веса) свыше
100 не дает почти никакого увеличения конечной скорости, тогда как
при использовании двух-, трех- и четырехступенчатых ракет увеличение
размеров ракет на порядок (при G ж 1000) позволяет достичь огромного
выигрыша в скорости.
§ 1.11. Оптимизация многоступенчатых ракет
Так как создание нового типа ракеты представляет собой длительный
и сложный процесс, иногда приходится изготовлять многоступенчатую
ракету из ряда существующих ракет, отличающихся между собой по своим
характеристикам. Представляет интерес изучить, при каких конструк¬
тивных пропорциях между ступенями, например, двухступенчатой ракеты
можно при заданной величине G достигнуть максимальной скорости или,
наоборот, достичь заданной скорости при минимальной G.
Пусть величина относительной полезной нагрузки G, которая для
двухступенчатой ракеты представляет собой произведение относительных
полезных нагрузок каждой ступени, остается постоянной. Тогда имеем
G =	(i-зз)
Для дальнейшего удобно в уравнение (1.32) для скорости двухсту¬
пенчатой ракеты ввести параметр б, а также положить время выгорания
равным нулю (т. е. г=оо). Согласно уравнению (1.29) имеем
5 = 6(1 — /),	(1.34)
что позволяет из уравнения (1.32) получить
+	=3^.	(1.35)
Если из этого уравнения исключим с помощью соотношения (1.33) вели¬
чину /2 и затем полученное выражение продифференцируем по /4 и резуль¬
тат приравняем нулю, то получим
/i/i(l-6i)	/2/2(1-б2)
61 (1 — /1) —f- ^1	62(1	—	h)~\~h
:0.	(1.36)
Естественно, что это выражение симметрично относительно /* и /2.Теперь
использовав формулу (1.34) и обозначение R = jq—^ для отношения масс,
придем к следующему условию максимальности Fb0*
М (1 - 60	= /2/2 (1 - б2) R2.	(1.37)
Отсюда следует, что ступень с большим значением удельного импульса
должна иметь меньшее значение отношения масс. Если же обе ступени
имеют одно и то же значение /sp и один и тот же показатель качества б,

§ 1.11]
ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ РАКЕТ
35
то, согласно полученному условию (1.37), для достижения максимальной
о 1
конечной скорости они должны иметь одинаковые отношения масс п =	.
Поэтому, если хотя бы один
из параметров у ступеней не
совпадает, то по крайней мере
еще один должен быть из¬
менен так, чтобы выполнялось
условие (1.37). На рис. 1.16
показано изменение FPo в функ¬
ции для двухступенчатой
ракеты, у которой 6± = б2 =
= 0,12 и G=100. При откло¬
нении от оптимального зна¬
чения на + Ь0% отклонения
конечной скорости не превы¬
шают 5%. Видно также, что
при сравнительно невысоком
значении /8р у первой ступени
(/4 = 250 сек), но высоком /8р у
второй ступени (/2 '= 350 сек)
оптимальное значение скорости
Fb0> будучи тем же по величине,
в меньшей степени зависит от
колебаний величины чем в
обратном случае, когда /4 =
- - 350 сек и /2 = 250 сек.
С некоторым усложнением выкладок аналогичный анализ может быть
проведен и для количества ступеней больше двух.
ЛИТЕРАТУРА
1. Whittaker Е. Т., Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, New
York, Dover Publications, 4-е изд., гл. 1, 1944. [Русский перевод: Уитта¬
кер Е. Т., Аналитическая динамика, ОНТИ, 1937.]
2. Perkins С. D. and Н age R. Е., Airplane Performance, Stability and Control,
New York, John Wiley & Sons, 1949; см. также Davis L., F о 1 1 i n J. W.
and В 1 i t z e r L., The Exterior Ballistics of Rockets, Princeton, N. J., Van Nost¬
rand D., 1958. [Русский перевод: Дэвис JT., Фоллин Д., Б литцер Л.,
Внешняя баллистика ракет, Воениздат, 1961.]
3. Seifert Н. S., М i 1 1 s М. М. and Summerfield М., Physics of Rockets:
Dynamics of Long Range Rockets, Am. J. Phys. 15, 255—272 (1947).
4. Struble R.A. and Black H. D.,A Generalized Closed Form for Burnt Velo¬
city, Jet Propulsion 27, 151 (1957).
5. В 1 a t z P. H., Kinematics of a Vertical Booster, Jet Propulsion 24, 37 (1954).
6. West C. D., Boost Phase Trajectory Analysis Techniques, Jet Propulsion 27, 527
(1957); см. также Ivey H. R., Bowen E. N. and О b о r n e у L. F., Intro¬
duction to the Problem of Rocket-Powered Aircraft Performance, NACA TN 1401,
1947.
7. Malina F. J. and Summerfield М., The Problem of Escape from tha
Earth by Rocket, J. Aeronaut. Sci 14, 471 (1947).
8. Shapiro A. H., Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow,.
Vol. I, Ronald Press, гл. 4, 1953.
9. Sutton G. P., Rocket Propulsion Elements, New York, John Wiley & Sons,,
2-е изд., гл. 3,	1956. [Русский перевод: Саттон Д., Ракетные двигатели,,
ИЛ, 1952.]
10. Bell Aircraft Corporation, Pocket Data Book for Rocket Engines, 1954; cm.
также [9] к гл. 2.
Ш000 Q05 0,1	0,2	ЦЗ	0,4	0,5
Относительная полезная нагрузна первой ступени:
« 0,2 0,1 Щ	7Щ	Щ
Относительная полезная нагрузна 12 второй ступени
Рис. 1.16. Зависимость конечной скоРости!
Vjjq двухступенчатой Ракеты от соотношении
ступеней пРи постоянном значении относи¬
тельной полезной нагРузки G = 100.
3*

36 ЛЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ В ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. 1
И. К о о у J. М. J. and Uytenbogaart J. W. H., Ballistics of the Future,
Netherlands, Technical Publishing Company, гл. 15, 1947. [Русский перевод:
Коой И. и Ютенбогарт И., Динамика ракет, Оборонгиз, 1950.]
12. Ivey H.R.,Bowen E.N. and Oborney L. F., Introduction to the Problem
of Rocket-Powered Aircraft Performance, NACA TN 1401, 1947; см. также Moul¬
ton F. R., An Introduction to Celestial Mechanics New York, Macmillan, 2-е изд.,
1928. [Русский перевод:	Мультон	Ф.,	Введение	в небесную механику,
ОНТИ, 1935.]
13. Rubin S., General Equation for Rocket Velocity, J. Am. Rocket Soc. 29, 219
(1959).
d 4. Tsien H. S., A Method for Comparing the Performance of Power Plants for Verti¬
cal Flight, J. Am. Rocket Soc. 22, 200 (1952).
15. Feldman A. L., Evaluation of Competing Rocket Power Plant Components for
Two-Stage Long Range Vehicles, Jet Propulsion 23, 297 (1953).
16. Ross M. D. and Masterson J. E., Rockair — A Promising New Tool for
Specialized High Altitude Research, Jet Propulsion 27, 276 (1957).
17. T s i e n H. S. and Evans R. C., Optimum Thrust Programming for a Sounding
Rocket, J. Am. Rocket Soc. 21, 99 (1951). [Русский перевод: Тзян С. и Эванс Р.,
Оптимальное программирование тяги высотной ракеты-зонда. Сб. «Исследование
оптимальных режимов движения ракет» под ред. Садовского И. Н., Оборонгиз,
1959, стр. 16—34.]
18. Summerfield М., Problems of Launching an Earth Satellite, Astronautics,
часть I, 18 (1957); часть II, 34 (1957).

ГЛАВА 2
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
ПОЛЕТА РАКЕТЫ
Бертон Д. Фрид (Burton D. Fried)
§ 2.1. Введение
При анализе характеристик реактивных управляемых снарядов воз¬
никающие задачи удобно разделить на две категории. К первой можно
отнести те задачи, где параметры снаряда заданы и требуется изучить его
летные характеристики. Во вторую категорию войдут те задачи, в которых
заданы требования к траектории, т. е. к летным характеристикам снаряда;
подбирается конструкция, которая удовлетворяет поставленным требо¬
ваниям.
Для возможности проведения анализа обычно рассматривают неко¬
торую упрощенную модель изучаемого объекта. При изучении динамики
полета снаряда такой простейшей моделью будет материальная точка,
движущаяся в одном измерении под действием сил тяги, тяжести и, воз¬
можно, аэродинамического сопротивления. Как показано в гл. 1, такая
модель вполне удовлетворительна во многих отношениях и позволяет
изучить роль таких факторов, как отношение масс, скорость истечения,
время выгорания топлива, программа изменения тяги, количество сту¬
пеней составной ракеты и т. д. Разумеется, эта модель по самой своей
природе не подходит для изучения пространственных траекторий полета
снаряда (за исключением вертикального полета зондирующих ракет).
Поэтому ее необходимо обобщить так, чтобы возможно было рассматривать
движение снаряда хотя бы в двух измерениях, ибо такие основные задачи,
как вывод спутника на орбиту или переброска заданного груза на большое
расстояние вдоль поверхности Земли, требуют изучения движения снаряда
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях. Настоящая
глава в основном посвящена изучению движения снаряда, рассматривае¬
мого как материальная точка, в двух или трех измерениях.
При более глубоком изучении траекторий движения снаряда следует
рассматривать усложненные модели, более полно описывающие реальный
объект.
Одним из основных вопросов, который необходимо исследовать с по¬
мощью введенной модели, является следующий: по какой траектории
должен двигаться снаряд, т. е. как должен он управляться в процессе
полета? Строгое рассмотрение этой проблемы приводит к задачам на опти¬
мум, т. е. к задачам, где требуется определить такие траектории, при дви¬
жении по которым некоторый критерий оптимальности W достигает своего

38
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
максимального или минимального значения. Таким критерием в различ¬
ных частных случаях может быть дальность полета, высота орбиты спут¬
ника, величина полезной нагрузки и т. д. В соответствии со сказанным
выше здесь следует различать два класса задач. К задачам выбора траек¬
торий относятся те задачи, где заданы все параметры снаряда (например,
масса и тяга в функции времени при движении в пустоте) и ищется траек¬
тория, которая оптимизирует некоторый критерий W. Те задачи, в кото¬
рых задано назначение, а следовательно, и летные характеристики сна¬
ряда и где оптимизируются такие величины, как вес полезной нагрузки,
стартовый вес снаряда и т. д., являются, по существу, задачами опти¬
мального конструирования. Тем не менее задачи этого типа также будут
кратко рассмотрены в настоящей главе, так как они часто бывают связаны
с задачами выбора траекторий; характер выбранной траектории, определяе¬
мый решениями задач первого класса, играет важную роль в решении
задач второго класса. Задачи оптимального конструирования являются,
кроме того, интересным примером, иллюстрирующим применение боль¬
ших вычислительных машин в проблемах расчета параметров и характе¬
ристик снарядов. Будут также рассмотрены задачи, промежуточные между
двумя названными классами, в которых переменным является не только
направление тяги, но и ее величина, причем критерием оптимальности
может быть, например, вес снаряда после выгорания топлива при заданном
начальном весе и летных характеристиках снаряда. Задачи такого рода
являются более общими, чем те «траекторные» задачи, где масса снаряда
и тяга суть заданные функции времени. Однако ввиду того, что чаще стре¬
мятся добиться максимальной величины полезного груза, а не общего
веса снаряда после выгорания топлива, указанного'рода задачи еще не дают
критериев для решения вопроса о выборе оптимальной конструкции,
хотя и позволяют оценить предельные значения полезной нагрузки.
Во многих инженерных задачах рабочие характеристики объекта
мало зависят от точности выбора параметров конструкции, и поэтому
при наличии достаточного опыта интуитивное решение вполне заменяет
строгое решение задачи на оптимум. Однако в отношении больших балли¬
стических снарядов дело обстоит совершенно иначе, так как: а) их летные
характеристики очень сильно зависят от параметров конструкции; б) они
представляют собой огромные и чрезвычайно сложные системы, где очень
велика взаимосвязь между отдельными узлами и элементами конструкции;
в) количество переменных, от которых зависит любой параметр снаряда
или его летные характеристики, столь велико, что интуитивный выбор
нужной комбинации оказывается крайне трудным или вообще невозмож¬
ным. Опыт конструирования таких снарядов говорит, что здесь решение
задач на оптимум представляет собой не академический интерес, а часто
является жизненно важной необходимостью и поэтому заслуживает самого
серьезного внимания.
Следует сделать некоторые замечания о возможности применения
методов численного расчета при анализе траекторий. Разумеется, всегда
можно написать полную систему уравнений движения для весьма сложной
модели снаряда, включив туда движение корпуса вокруг центра инер¬
ции, аэродинамические силы и моменты, усилия от регулирующих орга¬
нов и т. д., и современная большая цифровая вычислительная машина
решит их в несколько минут. Спрашивается, нужно ли вообще изучать
упрощенную модель. Оказывается, да, нужно, и вот почему. Дело в том,
что непосредственное численное решение уравнений движения снаряда
еще не дает решения проблемы оптимизации, где необходимо исследовать

§ 2.2]	ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ	39
семейство всех возможных траекторий снаряда. Например, в задачах
выбора оптимальных траекторий при заданных условиях на концах
и известных параметрах снаряда, при нахождении оптимума путем срав¬
нения численных решений возможности даже самой большой вычислитель¬
ной машины могут оказаться недостаточными. Кроме того, машинные реше¬
ния, как правило, содержат огромное количество ненужных подробностей,
полезных лишь при составлении стартовых таблиц. Для получения общих
сведений о характере траектории и выяснения зависимости ее от летных
характеристик снаряда простые аналитические соотношения, пусть даже
приближенные, могут оказаться гораздо более ценными, нежели длинные
таблицы машинных решений.
Основная мысль принятого здесь подхода к проблеме сводится к тому,
что использование упрощенных моделей, допускающих получение простых
аналитических решений, позволяет избежать применения счетной тех¬
ники при нахождении оптимальных траекторий. Вводить более сложные
модели, а значит, и использовать вычислительную технику целесообразно
лишь в тех задачах, где это действительно необходимо, например при
расчете движения снаряда в заданном режиме.
Круг задач исследования траекторий очень велик и обычно требует
использования целого ряда методов для решения различных частных
проблем. В настоящей главе основное внимание уделяется изучению дви¬
жения баллистических снарядов, характеризующихся коротким активным
участком и длительным участком свободного полета, хотя общие методы,
развитые в § 2.3, вполне приложимы к исследованию тех траекторий,
где тяга действует во все время полета. Во всех случаях будет рассматри¬
ваться лишь активный участок траектории, так как именно он характери¬
зует всю траекторию движения снаряда. Что касается траекторий свобод¬
ного полета, то они изучаются обычными методами аналитической меха¬
ники в главах 3—6.
Основным методом изучения задач на оптимизацию траекторий являет¬
ся непосредственное использование хорошо известных методов вариацион¬
ного исчисления, хотя в ряде случаев можно получить важные результаты
и без привлечения этих методов. Примером такого рода является задача
о полете баллистического снаряда на химическом топливе вблизи Земли
(когда длина активного участка невелика по сравнению с земным радиусом),
где можно с достаточной точностью считать, что на протяжении активного
участка полета поле силы тяжести однородно. Эта задача рассмотрена
в § 2.2, и там с помощью несложных выводов найдена траектория, близ¬
кая к оптимальной, при полете снаряда на большое расстояние близ Земли
или при выходе его на орбиту спутника Земли. В § 2.3 развита более общая
теория, учитывающая влияние переменности поля сил тяжести при полете
на активном участке, а также рассматривающая задачи, где величина тяги
и масса снаряда являются переменными. Там же приведено несколько
иллюстрирующих примеров. В § 2.4 рассматриваются вопросы, связан¬
ные с оптимизацией конструкции снаряда.
§ 2.2. Оптимизация траекторий баллистических снарядов
Траектория полета баллистического снаряда состоит из двух участ¬
ков — активного участка продолжительностью 0 < t < Т и последую¬
щего пассивного участка, т. е. участка полета без тяги. Пусть и vi —
векторы положения и скорости снаряда в конце активного участка
(t = 7'), a Wбудет величиной, которую требуется оптимизировать, например

40
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
дальностью полета снаряда, высотой орбиты или высотой перигея
орбиты спутника и т. д. Пользуясь известными методами механики,
можно установить зависимость W от введенных переменных и vi в виде
W (ru Vi).
Как указывалось выше, простейшей моделью снаряда является мате¬
риальная точка, причем ее масса и сила тяги суть функции времени Л/ (t)
и F (t). При расчете траектории движения снаряда или определении опти¬
мальных траекторий полета эти функции будут рассматриваться как задан¬
ные, произвольно изменяющиеся функции времени *). Траектория полета
будет зависеть от направления вектора силы тяги снаряда, и в случае
плоской траектории (когда вектор тяги все время остается в вертикаль¬
ной плоскости, проходящей через вектор начальной скорости снаряда) она
будет зависеть от характера изменения во времени угла ф (t) между век¬
тором тяги и стартовым горизонтом. Для любой заданной функции ф (/)
можно вычислить параметры конца активного участка и гц, а следова¬
тельно, и величину W; таким образом, W, и гц представляют собой функ¬
ционалы от ф (t).
Задача теперь закл ючается в том, чтобы найти такую функцию ф (/),
при которой величина W достигает максимума (или минимума). Необхо¬
димым условием экстремальности является то, чтобы при бесконечно
.малом изменении функции ф(2), т. е. при ф (I) —>ф (£) + 6ф (t), величина
W не получала приращения первого порядка малости относительно в
в разложении выражения W (ф + ец) в ряд по степеням в [для любой
функции т] (/)]. Функция ф (t), удовлетворяющая такому условию, назы¬
вается стационарным решением **), а коэффициент при вг) в разложении
называют иногда функциональной производной от W по ф. Эта производная
6 W
является функцией времени и может быть обозначена как	•	Если
ан шогично определить функциональные производные и ~ , то между
введенными величинами будет существовать следующая связь:
Ш =V W —6- -	'-V W ^V[	(?. I)
yryy xlh m ' ' vyy Alh (t\ ■	V-- 4
6ф (t) Vr 6ф (t)	1 >urr 6ф(t)
о T- TJ7	dw dW	D
Здесь \rW —вектор с компонентами — , — в точке /ц, ил. Вектор
ОХ 1 Ol/i
VyB7 определяется аналогичным образом.
Произведения, стоящие в правой части уравнения (2.1), состоят
из двух сомножителей, первый из которых определяется из анализа
участка свободного полета (V7.VB и VyB7), второй — из анализа участка
полета с тягой и • Разумеется, векторы У TW и VvW также зависят
от характера активного участка через посредство величин /ц и гц.
*) «Произвольно изменяющиеся функции» следует здесь и в дальнейшем
понимать не в математическом, а скорее в физическом смысле, т. е. они могут
быть произвольными, оставаясь непрерывными, дифференцируемыми и конечными
функциями времени. Это ограничение следует из самого физического смысла рас¬
сматриваемых функций, хотя иногда М и F могут претерпевать разрывы, как,
например, в многоступенчатых ракетах при отделении ступеней.
**) Здесь и в следующем параграфе будут рассматриваться в основном лишь
стационарные решения. Однако далее будет показано, что в задачах нахождения
оптимальных траекторий могут встретиться такие стационарные решения, которые
не соответствуют максимуму (или минимуму) W, пли же, наоборот, максимум
(пли минимум) не будет стационарным решением.

§ 2.2]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ
41
В общем случае функциональные производные, стоящие в правой
части уравнения (2.1), нельзя выразить в замкнутой форме, так как связь
между г и г|)(£) выражается дифференциальными уравнениями. Как пока¬
зано в § 2.3, это затруднение можно преодолеть, используя множители
Лагранжа. Однако если пренебречь силами аэродинамического сопротив¬
ления и предположить, что сообщаемое снаряду ускорение обусловлено
6/д
лишь действием тяги и однородного поля силы тяжести, то величины ~
и —могут быть найдены непосредственно. Действительно, если величина
тяги должна оставаться постоянной, то любое малое изменение вектора
тяги F должно быть направлено перпендикулярно к этому вектору. Такой
импульс тяги вызовет приращение скорости в единицу времени, равное
МО- РШ1Тт ■	<2'2>
где 2V0 — единичный вектор, нормальный к вектору F. Ввиду того, что
поле силы тяжести однородно,
J^=n(t)N0(t),	(2.3)
F
где п = ~2д — величина ускорения от силы тяги снаряда.
Приращение вектора положения г4 в момент окончания активного
участка, очевидно, будет равно приращению вектора скорости, умножен¬
ному на время, остающееся до конца активного участка:
_^_Т_ = (Т — t) —(2 4)
6i|> (О к 4 6яр (0 ’	1	'
где Т — полное время полета на активном участке.
Из условия обращения в нуль левой части уравнения (2.1) и из полу¬
ченных выражений (2.3) и (2.4) следует, что направление силы тяги в момент
времени t должно совпадать с направлением вектора:
f(t) = VvW+(T-t)VrW	(2.5)
(этот вектор можно не нормировать, так как достаточно знать лишь его
направление). Полученный вектор является линейной функцией времени,
так как градиенты W хотя и неизвестны (потому что сами и Vi суть функ¬
ционалы от ф(£)), однако от времени не зависят. Отсюда мы в неявном
виде получаем результат (полученный также еще Лоуденом) *)
0W ( л dW
/*\ dvu	0	ду	а-4-bt	/0
tg'KO — -Jfp	jfy = c^_dt >	(—О
причем неявность здесь заключается в том, что градиенты величины W
являются функциями пи I?!, которые сами зависят от ф. Следует заметить,
*) D. F. L a w d е п, Jet Propulsion 27, 1263 (1957).

42
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
что полученные соотношения (2.5) или (2.6) остаются пригодными для
любого закона изменения функций F (t) и М (t) (см. примечание на стр. 40)*).
Рассмотрим применение полученных выражений на простейшем при¬
мере, где в качестве критерия W взята дальность полета баллистического
снаряда класса поверхность — поверхность. Если считать, что величина
этой дальности мала по сравнению с радиусом Земли Re, так что поле
силы тяжести можно считать однородным на протяжении всей траектории
полета снаряда, то оба градиента величины W будут параллельны друг
другу:
где т — время движения на участке свободного полета. (В однородном
поле тяжести дальность полета, изменяется одинаково при вариации ско¬
рости 6vi или при вариации расстояния 6ri = rdvi.) Согласно уравнению
(2.6) в этом случае направление вектора / не зависит от времени, т. е. опти¬
мальной программой направления тяги будет \р = const **).
*) Сказанное в тексте представляется весьма неясным, однако результат,
выражаемый формулой (2.5), остается верным. Действительно, записав уравнения
движения снаряда в виде
I , F(t)
v = Sk +Ше, r = D,
где к — единичный вектор восходящей вертикали, е — единичный вектор направ¬
ления тяги, имеем:
t
v=—gkt-h (	edt-!-p0,
0
t
1	С	F	(T)
г^ — ~2 $kt'2J~ vol + '’о -r \ (l —t)	e	(t)	г/т,
о
так что вариации 6щ и 6/д векторов v и г в момент Т, о бус ловлепные измене¬
нием в процессе движения только направления тяги, будут
т	т
С	F (t)	С	F	(I)
bvi= ) nr(tT6edt' (Vi= \ {T~l) Mjt)6e(IL
и	0
Теперь, учитывая, что
6TT (>|, щ) = V^PF-6/’i ~f-	6v[	=	0
n что векторы V7.tr, не зависят от /, имеем
т
\ ЖЩ \yvWA-{T-t) V,.W] 6edt=().
0
Мо вектор е единичный, так что
6-6=1, е-6е = 0,
и, вводя в рассмотрение множитель Лагранжа р, получаем
т
S ■£w'IVbW + (T-/) W + M bedl = 0.
0
Теперь, повторив известное рассуждение, легко заключить, что должен быть нулем
вектор в квадратных скобках, что и приводит к формуле (2.5) текста. (Прим. ред.)
**) В. Fried and J. Richardson, J. Appl. Phys. 27, 955 (1956).

'§ 2.2]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ
43
Эта программа тяги весьма близка к оптимальной и в случае, когда
свободный полет происходит в центральном поле Земли. За исключением
тех случаев, когда дальность полета соизмерима с окружностью Земли
(выход на орбиту спутника) или когда снаряд движется вертикально вверх,
изменение дальности полета, вызванное приращением скорости 6сj
в момент прекращения горения, будет примерно равно ее изменению
от приращения 6/д = — вектора /д в этот момент. Это значит, что
vi
I | ^ | V,-W i .	(2.7)
L 1
Если — > Т, что справедливо, когда длина активного участка мала
vi
по сравнению с Rc, то из (2.5) видно, что оптимальное направление тяги
почти параллельно фиксированному направлению вектора VvW. (Разумеет¬
ся, если V]T сравнимо с Re, то можно вернуться к полному выраже¬
нию (2.6), однако если длина активного участка такова, что и{Т Д> Rc,
то предположение об однородности поля силы тяжести отпадает и фор¬
мулы (2.5) и (2.6) будут, вообще говоря, неприемлемы.) Точные уравнения
для нахождения оптимального ф по данным F (I) и М (t) можно получить
из (2.5) и (2.6), однако для нас здесь важен лишь тот вывод, что макси¬
мальное значение дальности достигается при постоянной или почти
постоянной ориентации тяги.
Другими интересными примерами задач оптимизации траектории
являются задачи вывода спутника на орбиту. Если считать, что основные
параметры и летные характеристики ракеты-носителя заданы, то, напри¬
мер, представляет интерес осуществить такой вывод спутника на орбиту,
чтобы высота перигея была наибольшей, с целью предотвратить снижение,
вызываемое аэродинамическим сопротивлением. В других случаях может
потребоваться минимизировать высоту апогея, максимизировать среднее
арифметическое апогея и перигея и т. д. В любой из этих задач W будет
зависеть лишь от у и v, так что из уравнения (2.6) следует, что tg ф будет
линейной функцией времени *). Для определения коэффициентов этой
линейной функции приходится использовать тот пли иной прием прибли¬
жения, однако здесь, как и в задаче о максимальной дальности полета,
главная ценность результата заключается в том, что он подсказывает
характер функциональной зависимости ф от I.
Таким образом, найдены два семейства траекторий: первое, ф = ф0 =
= const, соответствует задаче о достижении максимальной дальности
и второе, tg ф = а — bt, соответствует задаче о выходе па орбиту спут¬
ника. Эти траектории характерны тем, что они определяются всего одним
или двумя параметрами (ф0 или а и 6), которые могут быть найдены чис¬
ленно. Эта задача уже несравненно проще, чем нахождение функции ф (/)
из всего класса допустимых функций.
Рассмотрим теперь, ‘насколько приемлемы те допущения, которые
были приняты при выводе соотношений (2.5) н (2.6). Как указывалось
выше, ошибка, вызванная предположением об однородности поля сил
тяжести на протяжении активного участка полета, будет малой, если
протяженность этого участка мала по сравнению с Re. Чтобы убедиться
в справедливости этого предположения, воспользуемся выводом (приво¬
димым в § 2.3), что в произвольном поле сил тяжести оптимальное направ¬
ление силы тяги должно совпадать с вектором %, удовлетворяющим
*) В. Fried, Jet Propulsion 27, 641 (1957).

44
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
следующему дифференциальному уравнению:
'i + WU-X = 0	(2.8)
при граничных условиях
l(T)= — 'W i (Т) = ¥rW,	(2.9)
где U — потенциал гравитационного поля, т. е.
и =	(2.10)
Выражение для тензора VVU приведено ниже. Если поле однородно, то
Wf/ = 0 и из уравнений (2.8) и (2.9) следует
k=-[^vW + (T-t) VrWl	(2.11)
что согласуется с	уравнением (2.5). Этот результат можно	уточнить, вос¬
пользовавшись	разложением потенциала в ряд по степеням	где
q — вектор положения снаряда относительно точки старта:
Q = r — г(0).
Так как в кеплеровом поле
we/ - г а;	,
где I — единичная диада, то с точностью до величин первого порядка
по | q | !Re имеем
jj-
Подставляя это в (2.8) и учитывая граничные условия (2.9), находим:
л	сW	.	,	dw	sin	cov	(/	—	Т)	\
х~ dv^ °0S	(	~	)	сйГ	^	 ’
1	dW	и	ц	т\	■	0W	sh	со„	(I	—	Т)	(2.12)
Х»=—^	^	,	J
где
О	W/y	£
Так как при сoyt < 1 уравнения (2.12) дают (2.11), то вполне допустимо
считать поле Земли однородным, если длина активного участка мала
по сравнению с Re, а время выгорания топлива мало по сравнению с вели¬
чиной
у -4^-= 9,5 мин.
Если же эти условия не выполняются, то не остается ничего другого,
как решать вариационную задачу, т. е. уравнения (2.8) совместно с урав¬
нением движения снаряда
r = nN — VU,
где п (t) — величина силы тяги. Такая задача рассматривается в § 2.3.
До сих пор в рассуждениях не учитывались силы аэродинамического
сопротивления, которые оказывают двойственное влияние на движение
снаряда. С одной стороны, эти силы изменяют на несколько процентов

§ 2.2|	ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ	45
конечную скорость снаряда. Однако гораздо более важным является то,
что для выполнения программы тяги типа (2.5) или (2.6) требуются в общем
случае весьма большие углы атаки (под углом атаки здесь понимается
угол между вектором скорости и осыо симметрии снаряда). В свою очередь
большие углы атаки вызовут большие изгибающие моменты на корпусе
и высокие нагрузки в конструкции снаряда. Разумеется, можно учесть эти
эффекты в постановке вариационной задачи, добавив к уравнениям дви¬
жения центра инерции снаряда уравнения движения корпуса вокруг
центра инерции, однако задача при этом настолько усложнится, что поте¬
ряет практическую ценность. Поэтому целесообразнее поступить здесь
следующим образом.
Так как при полете снаряда в атмосфере (когда аэродинамические
силы и моменты велики) большие углы атаки ведут к значительному
утяжелению конструкции, нужно, чтобы угол атаки оставался все время
близким к нулю. Для этого снаряд должен двигаться по так называемой
траектории «гравитационного разворота» (ее также называют траекто¬
рией нулевого угла атаки или нулевой подъемной силы), которая харак¬
терна тем, что на ней сила тяги всегда ориентируется вдоль вектора ско¬
рости, причем начальная скорость v0 имеет ненулевую горизонтальную
составляющую *); при заданной программе п (t) траектория полностью
определяется вектором начальной скорости v0. При полете снаряда по
такой траектории большие изгибающие моменты на корпусе не возникают
и тем самым основное влияние аэродинамических сил исключается.
Разумеется, полный эффект сил аэродинамического сопротивления при
этом не исчезает, однако он достаточно мал для того, чтобы в первом при¬
ближении его не учитывать, а принять во внимание лишь в последующих
приближениях.
К сожалению, уравнения, определяющие траекторию гравитацион¬
ного разворота, нелинейны и не допускают получения решения в замкну¬
той форме даже в том случае, если силой сопротивления пренебречь, а поле
силы тяжести считать однородным (что, как отмечалось выше, является
хорошим приближением, если длина активного участка мала по сравне¬
нию с радиусом Земли) и рассматривать одноступенчатую ракету с постоян¬
ной величиной тяги и постоянным секундным расходом. С другой стороны,
весьма неудобно и невыгодно интегрировать эти уравнения на вычислитель¬
ной машине всякий раз заново для каждой новой задачи, тем более, что
при таких расчетах большей частью не требуется высокой точности
результатов. Поэтохиу очень желательно было бы проинтегрировать их раз
и навсегда и представить решение в простой и ясной форме. Одна из имею¬
щихся здесь трудностей заключается в том, что даже для случая плоского
движения возможные траектории образуют семейство кривых, зависящих
от трех параметров: величины начальной скорости v0, угла (30 между век¬
тором с0и вертикалью (часто называемого углом начального опрокидыва¬
ния) и начального отношения тяги к весу (тяговооруженности) п (считая,
что тяга и секундный расход постоянны). Достаточно же удобное пред¬
ставление семейства траекторий, зависящих от трех параметров, которые
сами меняются в некоторых пределах, затруднительно. Количество пара¬
метров можно свести к двум, если принять во внимание, что обычно гра¬
витационный разворот начинается вскоре после старта, когда величины
*) Термин «гравитационный разворот» объясняется тем, что при тяге/1, направ¬
ленной всегда параллельно v, поворот вектора скорости обусловлен лишь сршой
тяжести. (Прим. ред.)

46
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2.
v0 и р0 еще малы. Учтя это, можно уравнения траекторий гравитацион¬
ного разворота
v=zn — g cos Р,	(2.13а)
1ф = g sin р	(2.136)
рассмотреть для предельного случая, когда Ро —^ 0. Численное интегри¬
рование	этих	уравнений	в	предельном случае	осложняется	тем, что урав¬
нение (2.136)	имеет	особенность в точке v —	0.	Однако	соответствующее
этому уравнению интегральное уравнение *)
1
ур (т) = th
ds
х rj In ( I —s) — J яр (s') ds'
0
• к
(2.14)
которое уже содержит в себе начальные данные у0 = р0 = 0, таких осо¬
бенностей не имеет. Здесь
= th In tg ,
а к — постоянная интегрирования, равная
к ■ — arth ур (1),
т — время, выраженное в единицах М (0)/[ М | (начальная масса, деленная
р
па массовый расход), и ц = —— тяговооруженность. Параметр к
играет в уравнении (2.14) ту же роль, что и угол начального опрокидыва¬
ния в несингулярном случае. Уравнение (2.14) весьма удобно для числен¬
ного решения методом итераций, начиная со значения ф=—1. Отсюда,
далее, можно найти z = tg-y как функцию т и скорость и в единицах
с/г) (где c = F/\M\ — скорость истечения) в виде **)
и (т) — — Г| ill (1 — т)
ур (s) ds.
(2.15а)
*) В. Fried and G. Culler, J. Appl. Pliys. 28, 672 (1957).
**) При оговоренных в тексте обозначениях
М I
Л = -
;М(0) ’
уравнения движения (2.13) принимают вид
Л
_ Iм I ,
х~ мЩ ’
и = ТЧ
du
dx
1 — т
— cos р,
и *-=sini
Из них находим
I 111 (1 — т)-- \ cos р dx
откуда
In tg Р-
dx
dx • о
: —- Sill 6,
df> ‘
1н tg

§ 2.2]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ
47
Графики зависимостей z = z(т) и и = и (z) показаны на рис. 2.1
и 2.2. С помощью линий постоянных т, начерченных на рис. 2.2, видно,
к =0,223
О 0,7 0,2 0,3 0,4 0,0 0,6 0,7• 0,6 0,0 7,0
бремя т=/Й/7/М(0)
Рис. 2.1. Ориентация вектора скорости в зависимости от времени при тяго¬
вооруженности т]= 1,5 и ряда значений параметра k= — (in tg	^
Ориентация скорости определяется величиной z, равной тангенсу поло¬
вины угла R между вектором скорости и вертикалью. Время выражено
М( 0)
в единицах —-— .
I м I
что и как функция т почти не зависит от к. Ввиду этого удобно разбить
Теперь, воспользовавшись тождеством
Р Р
tg 2 ctg к
— соя р ■
tg
ctg -
получаем формулу (2.14) текста
г 1
ф(т)= th
ft — tli In tg i = ф (T)
cIt
t r| In (1 — t)— J ф (t) dx
0
Вышеприведенное выражение и представляется теперь формулой (2.15а) текста.
(Прим. ред.)

48
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
и (т) на два слагаемых:
где
и(х)= us (т) -'-и(т),
us( т) = — ц 1п(1 —т) —т
(2.156)
есть скорость полета в вертикальном движении (z = 0) и не зависит
от /с, тогда как
т
и(т) = jj Гф($) + 1
(2.15в)
как и полная величина скорости и, зависит и от к и от г). Поскольку почти
во всех рассмотренных примерах | и (т) | С | и8 (т) |, то уже сама величина
к-7,5 к=7,2	к=0,0	к=0,7	к=Ц5	к	=0,22374
I Г" I 1 II I II 1 г и	1 ■ "	г* -,	■ -	-I I -п ■ ч
к=0
0,7	0,2	' 0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,0 \ 1,0
Величина z=tgff}/2) определяющая ориентацию с нора cm и
Рис. 2.2. Зависимость величины скорости от ее ориентации при тяговоору-
женности г| = 1,5 и ряде значений h. Показаны линии равных времен. Вели¬
чина скорости выражена в единицах — , где с — скорость истечения. Осталь¬
ные обозначения те же, что и на рис. 2.1.
us (т) дает хорошее первое приближение, которое при необходимости
может быть улучшено добавлением и (т). На рис. 2.3 и 2.4 представлены
графики us (т) и и (т) для ряда типичных случаев.
С помощью уравнений (2.14) и (2.15а) можно построить семейство
аналогичных кривых для ряда значений параметра т]. Достигаемая точ¬
ность вполне достаточна для большинства задач вычисления траекторий,
особенно если учесть поправки, обусловленные силами сопротивления
и изменениями величины тяги и секундного расхода.
Проведенное обсуждение показывает, что, используя ряд упрощений
и предположений, можно построить траекторию, близкую к оптимальной;
она будет состоять из участка гравитационного разворота при полете
в атмосфере и далее, на остальном протяжении активного участка, будет
определяться дробно-линейной программой для tg ф согласно уравне¬

* 2.3]
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ
49
нию (2.6). Указанная траектория характеризуется следующими парамет¬
рами: углом начального опрокидывания, или величиной к на участке
гравитационного разворота, и коэф¬
фициентами, входящими в выражение
программы (2.6). Величины этих ко¬
эффициентов могут быть найдены либо
путем численной оптимизации, либо
из соотношений связи их с пара¬
метрами конца активного участка,
причем в первом случае проблема
нахождения оптимальной траектории
в пространстве возможных функций
к=ШЗ
к=1,г
к=1,0
Время T=/M/t/M(0)
О 0,1 0,г 0,3 0,4 0,0 0,0 0,7 0,0 0,0 1,0
Время z=/M/£/M(0)
Рис. 2.3. Зависимость вертикальной ско¬
рости w.s [определяемой уравнением (2.156)]
от времени для ряда значений тяговоору-
женности “П.
Рис. 2.4. Зависимость «добавочной скорости»
и [см. уравнение (2.15в)] от времени при
т]= 1,5 для ряда значений k. Масштаб по
оси ординат отличается от масштаба на
рис. 2.3.
сводится к отысканию параметров этой траектории в алгебраическом про¬
странстве не более чем пяти измерений. Это обстоятельство оказывается
особенно ценным при решении задач, обсуждаемых в § 2.4, в которых
вместе с оптимизацией траектории оптимизируются и параметры конструк¬
ции снаряда.
§ 2.3. Общая задача оптимизации траектории
Простейшая форма постановки задачи оптимизации траектории, дан¬
ная в § 2.2, может быть обобщена несколькими путями:
1. Вместо однородного поля тяжести можно рассматривать неодно¬
родное поле или даже поле сил, зависящих от скорости.
2. В дополнение к программе оптимального направления силы тяги
можно искать оптимальную программу и для величины тяги.
^ Космическая техника

50
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ.
3. В тех задачах, куда входит требование пункта 2, в качестве кри¬
терия оптимальности можно вместо упоминавшейся выше функции
W (г4, выбирать, например, величину начальной или конечной массы
снаряда.
В вариационном исчислении существуют методы, позволяющие дать
общую формулировку вариационной задачи, отвечающей всем этим пунк¬
там (задача Вольца) *). Однако в целях большей простоты и ясности
изложения целесообразнее сначала изучить пункты 1, 2 и 3 по отдельно¬
сти и лишь затем собрать результаты вместе и дать общую постановку
задачи в целом.
Рассмотрим сначала обобщение задачи, разобранной в § 2.2, на тот
случай, когда внешнее силовое поле неоднородно. Можно также не огра¬
ничиваться изучением плоских траекторий, так как формально исследова¬
ние трехмерных задач не сложнее двумерных. Уравнение движения
снаряда, рассматриваемого как материальная точка, будет следующим:
r = n(t)N(t) + a(r, г, М),	(2.16)
где п — отношение силы тяги к массе снаряда, N — единичный вектор.,
определяющий направление силы тяги, а — ускорение, обусловленное
всеми силами, за исключением силы тяги (т. е. силами тяжести или сопро¬
тивления). При движении в поле тяжести Земли величина а будет
ag=—^-г,	(2.17)
а при наличии силы сопротивления еще добавится член
1 п / \ Aqvv
ad = ^CD
Как и ранее в § 2.2, требуется найти такую программу управления
IV (I), при которой некоторая функция параметров конца активного уча¬
стка W (гь v^ будет стационарной. При этом будем считать, что масса
снаряда и сила тяги известны в любой момент времени, т. е. известна
функция n(t). Вследствие того, что а зависит от г и г, явные выражения
для функциональных производных по г! и Vi получить нельзя. Для учета
связи между г и N, выражаемой уравнением (2.16), удобно восполь¬
зоваться методом множителей Лагранжа. Чтобы функция W удовлетво¬
ряла условию стационарности при вариациях направления тяги 67V
8W = VvW• 6i?i + VrW• бг4 - 0,	(2.18)
а также уравнению
б г — n8N — 8а = 0	(2.19)
при выполнении условия **)
ба = бг • V7.a +	• Vva,	(2.20)
*) G. A. Bliss, Lectures on the Calculus of Variations, Chicago, University
of Chicago Press, 1946.
**) В диадном представлении в декартовых координатах тензор V7.a имеет вид
™
vra = 2j islk » так ЧТ()
s, k
8r-VT a = ^ 'lh	&xs Ф Vra-Sr.
8, k S
(Прим. ред.)

§ 2.3]	общая	задача	оптимизации траектории	51
умножим уравнение (2.19) на произвольную векторную функцию времени
X (t), проинтегрируем по времени и, сложив с (2.18), получим
т
бW + jj X (бг — nbN — 6а) dt = 0.	(2.21)
о
Если начальная скорость и координаты известны, то обычное инте¬
грирование по частям дает
б*;, [X (Т) + VvW] + б г, [VrW - Х(Т) - Vva • X (Т)] +
г
+ J {&■ ['i-Vra-l-l-— (Vva-k) ] — пЯ,.бЛг)-Л = 0.	(2.22)
о
Вариации бг и б N связаны уравнением (2.19) и, вообще говоря, не могут
рассматриваться как независимые. Уравнение (2.22) должно удовлетво¬
ряться для любого бг; поэтому, если X (Т) выбрано так, чтобы коэффициент
в (2.22) при бг	обращался при всех значениях t в нуль,	а	X	{Т)	и	X	(Т) так,
чтобы выражения при	и бг4 также были бы нулями,	то	для	всех	t долж¬
но выполняться равенство
X-8N= 0.	(2.23)
Так как N — единичный вектор, то
N2 = 1,	N-8N=0,
и из уравнения (2.23) следует, что если X ф 0, то направление тяги N
должно быть параллельно X*):
X=XN.	[(2.24)
Таким образом, оптимальное направление тяги определяется вектором
X, который удовлетворяет дифференциальному уравнению
'^+~Ж (V„a-b)-Vra-X = °	(2.25)
при следующих граничных условиях:
%(T)=-VvW,
(2.26)
?,(7’) = VrW+V0a-VDPF.
В уравнении (2.25) а есть функция от г, г и M(t), причем М (I) — задан¬
ная функция времени, а г (t) определяется следующим уравнением:
r — пф а = 0	(2.27)
и начальными условиями
г (0) = г0	и v (0)	=	v0.	(2.28)
В выражении	(2.26)	величина Vya	берется в	момент окончания выгорания
топлива,	т.	е.	при	t	= Т.
Уравнения (2.25)—(2.28) образуют систему двух векторных дифферен¬
циальных уравнений второго порядка с двумя векторными граничными
*) Из сказанного в тексте следует лишь, что ^=;t|A,liV; к заключению
>- =! X, 17V можно прийти, используя необходимое условие минимума в форме
Вейерштрасса. См., например, G. Leitmann, J. of the Aero-Space Sci., Sept.
1959, pp. 586 — 591. (Прим. ред.)
4*

52
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
['ГЛ. 2
условиями для каждого уравнения. Эта система в принципе имеет
решения, хотя их получение в замкнутой форме, как правило, невозмож¬
но. Тем не менее интересно рассмотреть некоторые частные случаи.
1.	В однородном поле тяжести
что совпадает с результатом (2.5), полученным ранее.
2. Если силовое поле не зависит от скорости и зависит линейно
от г, так что Vva 0 и V7a const, то к выражается через тригонометри¬
ческие и гиперболические функции, представляющие собой первые
поправки на неоднородность внешнего поля, как об этом упоминалось
в § 2.2. В частности, если матрица V,a диагональна, то результат будет
аналогичен (2.12).
3. Согласно С. Портеру (частное сообщение), в том случае, когда
Vva = const и Vra = const, для к также оказывается возможным полу¬
чить решение в замкнутой форме, выраженное через показательные
функции.
Дальнейшим обобщением задачи будет тот случай, когда программа
расхода массы снаряда и, следовательно, тяга заранее не предписываются.
Если при этом на изменение массы и тяги или массы и скорости истече¬
ния не накладывать никаких ограничений, то задача теряет практический
интерес, поскольку в общем случае величина конечной массы снаряда,
дальность полета и т. д. монотонно возрастают с ростом скорости истече¬
ния. Поэтому для отыскания оптимума, представляющего определен¬
ный практический интерес, необходимо ввести ряд добавочных требова¬
ний, например, считать, что скорость истечения с должна быть заданной
функцией времени, или установить некоторую функциональную связь
между с (t) и М (t). В дальнейшем будем считать, что с есть заданная
функция от М и t. Практически подобный случай реализуется, например,
в такой двигательной системе, где рабочее тело (газ) нагревается при
прохождении через нагреватель. Здесь расход газа будет влиять на теп¬
ловой режим нагревателя, т. е. температура газа, а значит, и скорость его
истечения будут зависеть от М. Если нагревателем служит ядерный
реактор, то само рабочее тело — газ — может служить в какой-то степени
замедлителем нейтронов, что также ведет к зависимости температуры
от М. Так как связь с = с (М, I) в достаточной степени соответствует
тем простейшим задачам, где скорость истечения, тяга или мощность
двигателя являются заданными функциями времени, то можно не рас¬
сматривать более общих функциональных зависимостей между М и с,
хотя в принципе это не представляло бы каких-либо особых трудностей.
Ряд интересных задач возникает, если массу снаряда М (L) считать
не заданной, а искомой функцией времени. В качестве первого примера
рассмотрим задачу, в которой время выгорания топлива считается задан¬
ным и ищется стационарное значение величины W (r4, Ui). Уравнение (2.19)
здесь будет заменено следующим:
и (2.25) дает
Vra = V„a = О
к= —[VvW+ (T — t) VTW],
б г - n8N — N8n - 6a = О,
(2.29)
где
дм

§ 2.3]
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ
53
а величина 8а содержит дополнительное слагаемое
да
8 а = 6rVra -)- 8v • Vva + 8М
дМ
(2.31)
Дальнейшие выкладки остаются теми же, что и прежде: вводится
множитель Лагранжа X, и затем производится интегрирование по частям.
Результат оказывается таким же, как и (2.22), но с добавлением некото¬
рых дополнительных слагаемых. Учитывая соотношение (2.24), находим
их в виде
т
Мс. j _d_
dt
\m
О
М. 2
Хс . М да
1хГ v ' <м7
+ 1- ■%\dt-\
1 дМ
с
, м
дс
m
~М
г ~м
(2.32)
Поэтому к уравнениям (2*25)— (2.28) следует добавить дифференциаль¬
ное уравнение
. да , « Мс
~дМ '1_ ~Ш
d
dt
X
м
* М дс
W ~
М дм
= 0
со следующими граничными условиями:
к (с + М~) = О
дМ I
при £ = 0; Г,
(2.33)
(2.34)
которое определяет М через X. В результате имеем снова замкнутую
систему уравнений для нахождения М\ N ж г *).
Теперь предположим, что при заданной величине W (г1? ьд) и началь¬
ной массе М0 масса снаряда М\ после выгорания топлива должна быть
сделана стационарной. К уравнениям (2.18) и (2.29) надо присоединить
8Mi = 0 и рассматривать равенство М (0) М0 как уравнение связи.
Если ввести множители Лагранжа X (t), iц и р2> то вместо уравне¬
ния (2.21) получим
т
8Мх -f- pi8W + \х28М0 + [б г — 8 (nN) — бос] Xdt = 0.	(2.35)
о
Интегрр1рование по частям приводит далее к тем же дифференциаль¬
ным уравнениям, что и ранее (2.25), (2.27) и (2.33). В граничных усло¬
виях для X нужно заменить W на \i)W, а условия для М будут
Х__
м
х_
м
с + М
дс \
дМ) о
м-^А
дМ )т
— р2 = 0,
+ 1 = 0.
(2.36)
Как и в ранее рассмотренных примерах, здесь количество условий и урав¬
нений как раз достаточно для нахождения всех неизвестных. Для опре¬
деления ju! и jll2 служат условия равенства М0 и W заданным значениям.
*) Условия (2.34) и (2.26), вообще говоря, противоречивы. Об этом говорится
ниже. (Прим. ред.)

54
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
Все другие модификации задачи приводят снова к тем же др1фферен-
циальным уравнениям, но с различными граничными условиями. Полу¬
чающаяся система уравнений включает в себя уравнение (2.33) для М (t)
и оказывается еще более сложной, чем в случае, когда функция М (t)
задана, а поэтому еще реже допускает нахождение решения в замкну¬
той форме. Тем не менее ряд частных задач оказывается доступным для
анализа:
дс
1.	Если с есть заданная функция времени, причем -7- = 0, а также
дМ
если = 0 (сопротивление отсутствует), то из (2.33) имеем:
i-Щ.- = 0’	<2-37)
или
Хс = const.	(2.38)
В общем случае этому уравнению удовлетворить нельзя, так как
заданная функция с (t) может вовсе не соответствовать функции 1А (t),
определяемой из уравнений (2.25) — (2.28). Например, в однородном поле
тяжести имеем:
к = О,
к-	At г В,	(2.39)
к - улн2 + 2ABt + в2,	(2.40)
где А и В — постоянные векторы. Поэтому, если величина 1/с не соот¬
ветствует выражению (2.40), то уравнения (2.38) и (2.40) оказываются
несовместимыми. И даже в том случае, когда уравнение (2.38) удовлетво¬
ряется, это еще ничего не говорит об оптимальности функции М (I).
Этот пример наглядно иллюстрирует тот факт, что приведенный здесь
формализм обеспечивает лишь необходимые условия стационарности
решения. Полученные уравнения могут иметь такие решения, которые,
будучи стационарными, не соответствуют максимуму или минимуму;
с другой стороны, может существовать некоторое оптимальное решение,
не вытекающее из рассмотренных уравнений. Для пояснения можно
привести следующий пример: найти такую функцию М (г), при которой
Mi достигает максимума в случае, если движение одномерное, тяжесть
отсутствует, функция с (t) задана и заданы граничные значения М0, Т,
я (0), х (0), х (Г), х (Г), причем 0 <Zt<^T. Интуитивно совершенно
очевидно, что такая задача должна иметь решение, однако из развитого
выше формализма находим:
3^ = 0,
% = At+B
(аналогично выражению (2.39)) и также
а с = const.	(2.41)
Если окажется, что 1/с представляет собой линейную функцию
времени, то уравнение (2.38) может быть удовлетворено, однако это еще
ничего не говорит относительно характера функции М (I); если же 1/с

§ 2.3]
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ
55
существенно отличается от линейной функции, то уравнению (2.38) удов¬
летворить нельзя и вопрос о нахождении стационарного решения остается
открытым.
Чтобы разобраться в этом вопросе, обратимся к уравнению движения
Мс
М
(2.42)
Разделив обе части на с и интегрируя, найдем
In
М0
Ml
£(7)*-
Так как начальное и конечное положения и скорость заданы, то макси¬
мум Му соответствует минимуму интеграла
о
Отсюда видно, что если 1 !с есть линейная функция времени, то / = О
и любая функция М (£), удовлетворяющая граничным условиям, будет
давать одно и то же значение Му (это является обобщением известного
результата о том, что при постоянной с величина Му зависит только от
величины конечной скорости). Таким образом, условие (2.38) стационар¬
ности решения в рассмотренном примере выполнено; оно будет выпол¬
няться также и для любой другой функции М (t). Если же
№
dt2
т)>® при всех значениях t,
(2.43)
то, чем меньше значение х, тем меньше будет и J, а так как х может при¬
нимать какие угодно отрицательные значения, то интеграл J не будет
иметь минимума. Здесь возникает явное
противоречие между интуицией и формаль¬
ным результатом, которое объясняется
тем, что в анализе не было учтено одно
весьма важное условие, а именно, что
величина М не может быть положитель¬
ной. Это условие сразу же налагает опре¬
деленные ограничения на х, что легче всего
увидеть из рис. 2.5. Согласно (2.42) при
М < 0 ускорение х > 0 и любая кривая
х (t), связывающая начальную и конечную
точки (точки О и В на рис. 2.5) и имеющая
заданные производные х (0) и х (Т) в этих
точках, а также подчиненная условию
х > 0 вдоль всей кривой, должна целиком
лежать внутри треугольника ОАВ. Поэто¬
му при выполнении условия (2.43) «траек¬
тория» ОАВ будет минимизировать /, т.
значит, что вплоть до некоторого момента
Рис. 2.5. График одномерного дви¬
жения в функции времени при задан¬
ных начальных и конечных значе¬
ниях координат (точки О и В) и ско¬
ростей (равных наклону прямых 00'
и В'В соответственно).
е.
t'
максимизировать Му, Это
снаряд должен двигаться

56
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
с выключенным двигателем, в момент t' посредством импульса тяги он
должен мгновенно изменить свою скорость на величину Av= х (Т) —
—х (0), а затем вновь двигаться по инерции, пока в момент Т не достигнет
координаты х (Т). Аналогичным образом можно показать, что если
d2 / 1 \
< 0 при всех значениях t, то оптимальной будет линия ОВ, для
dt2 V с
движения по которой нужно в начальный момент приложить импульс
тяги и изменить скорость от начального значения х (0) до величины
х (Т) — х (0)
т
и с этой скоростью двигаться по инерции вплоть до момента t = Т, когда
снова с помощью импульса тяги сделать скорость равной заданному
значению х (Т). В общем случае, когда выражение (у) может менять
свой знак, моменты приложения импульсной тяги могут также отли¬
чаться от моментов t — 0, t — tr и t = Т.
Аналогичные случаи могут встретиться и в более сложных задачах,
например при изучении пространственного движения в силовом поле*
и т. д. Может оказаться, что интересующая нас величина не имеет опти¬
мума, т. е. фактически не зависит от вида функции М (t), или же может
существовать оптимум такого типа, который не следует из общего фор¬
мализма, как в приведенном выше примере.
2.	В том случае, когда сесть постоянная величина, из уравнения (2.38)
следует, что если стационарное решение существует (как это может быть
в задачах гораздо более сложных, чем рассмотренная здесь), то модуль
соответствующего множителя X (t) будет также постоянным. Из (2.25)
тогда имеем
N + -^(VvaN) — VTaN = 0.	(2.441
Это уравнение позволяет сделать некоторые выводы непосредственно,
не решая его. Например, при движении снаряда в ньютоновом поле, когда
Кг
а=
гЗ
уравнение (2.44) дает
АТ. АТ
7*3
где 0 — угол между векторами Жиг. Так как N — единичный вектор, то
N-N+N* = 0
N-N— 4-(3eos20 — 1) = 0,	(2.45
и согласно (2.45)
cos2 0<|,
т. е. оптимальное направление тяги образует с местной вертикалью
угол 0, лежащий в пределах
125°16' > 0 > 54°44'.
Этот результат был впервые указан Корбеном *).
*) II. С. С о г b е n, A Note on the Optimization of Powered Trajectories, The
Ramo-Wooldridge Corporation, FRL-LM-150, December 4, 1957.

§ 2.3]	ОБЩАЯ	ЗАДАЧА	ОПТИМИЗАЦИИ	ТРАЕКТОРИИ	О/
3.	Если связь между с и М задана в виде
c = T(t)\M?,	(2.46)
где Г (г) — заданная функция времени, а р — действительное число,
да
ш
то можно найти первый интеграл уравнения (2.33) в случае, когда ^ — 0:
у
XT = К Л*м при РФ 0 или р Ф — 1,	(2.47)
где К — постоянная интегрирования. Условие р = 0 соответствует уже
рассмотренному выше случаю заданного с (г),-тогда как условие р = —1,
эквивалентное заданию зависимости силы тяги от времени, приводит,
с учетом (2.33), к выражению
AL = o
м* ’
т. е. в этом случае стационарное решение также отсутствует. Особого
внимания заслуживает случай р = —1/2, так как он соответствует зада¬
нию зависимости мощности двигателя от времени. Уравнение (2.47) дает
и, если мощность не зависит от времени,
X(t)=-K'^ = K'n(l).	(2.48)
причем К' — новая неизвестная постоянная.
С помощью (2.48) можно исключить К из (2.25) и (2.27) и получить
для г одно уравнение четвертого порядка *):
'г —a + V,a(r-a) + (-iL V„a-Vra/ (r*-a)=0.	(2.49)
В заключение настоящего пункта заметим, что уравнение (2.47) мож¬
но проинтегрировать и получить явное выражение для М через к:
t
Му (t) = Му (0) + К" J (XT)~llPdl,	(2.50)
0
где
Р (р + 1) ’
а КК — постоянная интегрирования.
Теперь можно дать общую формулировку проблемы, объединяющую
все рассмотренные выше примеры и задачи, а также включающую и ряд
других, например те задачи, где время выгорания топлива не задано.
При проведении анализа будут рассматриваться семь скалярных функ¬
ций времени г (t), N (t), причем N2 = 1, М (t) и с (t), связанных между
*) Оно является некоторым обобщением результата, полученного первоначаль¬
но Ирвингом в работе «Optimum Program for Single-Stage Rockets», The Ramo-
Wooldridge Corporation, October 7, 1956.

58
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
ГГ Л. 2
собой четырьмя соотношениями, а именно уравнением движения
г = — cN ^ + а (г, г, М) = а
(2.51)
■и функциональным соотношением: между с (t) и М (t), которое прини¬
мается здесь в виде
Пусть (£г) обозначает совокупность граничных значений следующих
функций:
причем t0 и ti — моменты начала и конца активного участка. Задача опти¬
мизации заключается в том, чтобы некоторую функцию W, зависящую
от сделать стационарной при условии, что другие функции Wu W2, . . .
. . ., Wm, зависящие от остаются постоянными. Используя соотноше¬
ние (2.52), исключим с из всех уравнений. К оставшейся системе шести
функций, связанных тремя скалярными уравнениями (2.51), добавим
переменные множители Лагранжа % (t), а также т постоянных множите¬
лей Лагранжа \xG (cr = 1, 2, . . ., т), соответствующих граничным зна¬
чениям величин WG. Тогда величина
Выполнив варьирование под знаком интеграла и произведя, как
и прежде, интегрирование по частям, получим
Благодаря наличию множителей Лагранжа выражения, стоящие
перед вариациями, можно сделать равными нулю. При этом нужно пом¬
нить, что вариации Д£г в первом члене выражения (2.54) являются пол¬
ными вариациями. Например, приращение Дг (t0) обусловлено как вариа¬
цией функции г (t):
(2.52)
г (t0); г(*4); г (t0); г (tj; М (to); М (tt); t0; tu
где jlxо == 11 должна быть стационарной, т. е.
(2.53)
2А^+[Г(г-в)8<-8г (VD«Л+к) + %-8г +
(2.54)
где
а
г (t)—>r(t) + 8r (t),

2.3]
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ
59
так и вариацией момента времени г0-
^0 ^ ^0 6^0,
гак что
Дг (t0) = 8r (t0)+r (to) бt0.	(2.55)
То же самое относится к остальным В результате получаем систему
семи скалярных дифференциальных уравнений
Мс X
М X
а,
X — Vra • X + -j- (Vvа -Х) — 0,
(2.56)
для определения семи функций г, X и М при следующих граничных усло¬
виях: при t = to
dt,
д +rVro+rV. +М д
Г О
« / с - М дс
( ~Ж^м :
дМ о
] W = Q,
дМ
9W
дМ0
-о,
% — v. TF = О,
ГО
Х + Vv<t-X+ VroW = 0
(2.57)
и с подобной же системой условий при t =
Количество граничных условий вполне достаточно для полного
нахождения решений (если они, разумеется, существуют), так как мы
имеем систему семи дифференциальных уравнений второго порядка (2.56)
и к ней восемь граничных условий (2.57), относящихся к моментам вре¬
мени t0 и что позволяет определить семь искомых функций г (t), X (t),
М (t), а также и сами моменты времени t0 и tt (которые в общем случае
считаются незаданными). Неизвестные постоянные р,1? \х2, . . цт, содер¬
жащиеся в граничных условиях, определяются по заданным уравнениям
W*	W
уу 1?	•	•	• 1 VV ТП’
Из приведенной общей постановки задачи следует, что различным зада¬
чам оптимизации траектории, некоторые из которых были разобраны
выше, соответствует одна и та же система основных уравнений (2.56),
но разные системы граничных условий в зависимости от конкретного
выбора величин Wa. Разумеется, из семи неизвестных функций, опреде¬
ляющих оптимальную траекторию, одну или несколько можно полагать
заданными, и тогда соответствующие уравнения и граничные условия
просто выпадут из систем (2.56) и (2.57). Так, например, в задаче, рассмот¬
ренной в § 2.2, функции М (t) и с (t) были заданы и поэтому третье из урав¬
нений (2.56) и второе из уравнений (2.57) не использовались. Величиной
W0 служила некоторая заданная функция от и v± (например, даль¬
ность полета или высота орбиты). В настоящем параграфе изучена зада¬
ча, где функция М (t) не задана, а в качестве W0 в одном случае

60	ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ	[ГЛ.	£
была Wо (г 1, Vi), а в другом случае W0 -- Л/19 причем —■ М0
и W2 = W2 (г1? i?i). В этих примерах моменты времени t0 и (или) ti
можно считать заданными, и тогда первое из уравнений (2.57), получен¬
ное приравниванием нулю выражения при б/0 и (или) при 6^, нужно
опустить.
Приведенный в настоящем параграфе формализм охватывает и такие
задачи, как задача о сообщении единице массы снаряда максимальной
кинетической энергии при заданной высоте конца активного участка.
В этой задаче нужно принять W0 = v\ и Wt = h.
§ 2.4. Оптимизация конструкции ракеты
Как уже говорилось, существует целый ряд проблем оптимизации,
которые имеют большое практическое значение и которые не уклады¬
ваются в рамки формализма, развитого в § 2.3. Например, обычно тре¬
буется оптимизировать не массу всего снаряда Мх после выгорания топ¬
лива, а массу полезного груза или же полагать ее постоянной, оптимизи¬
руя другие величины. Кроме того, реализация оптимальной программы
М (t), определяемой уравнениями (2.56), требует от двигательной системы,
работающей на химическом топливе, гораздо большей гибкости управле¬
ния, чем это возможно в настоящее время. Более обнадеживающими в этом
отношении будут, видимо, двигательные системы на основе электромаг¬
нитных принципов, где возможна более простая регулировка скорости
истечения и секундного расхода.
В существующих ЖРД наиболее реалистично, по-видимому, счи¬
тать скорость истечения известной функцией времени. Оптимальная же
программа М (t) обычно требует (как показывает пример одномерного
движения на стр. 55) импульсного расхода массы за один или несколько
приемов; при этом скорость истечения с велика и масса расходуется
на сравнительно небольшой высоте. Поэтому учет реальных возможностей
двигателя и решение вопроса о наиболее рациональном выборе количества
ступеней, секундных расходов, времен выгорания топлива для каждой
ступени и т. п. является весьма важной, хотя, может быть, и несколько
менее изящной задачей, чем изученная ранее чисто «траекторная» задача.
Такие задачи, строго говоря, уже выходят за пределы чисто траекторных
проблем, однако конкретный выбор траекторий существенно зависит
от указанных факторов, и поэтому уместно сказать о них несколько слов.
Более подробно эти вопросы будут обсуждаться в гл. 18.
В нервом приближении снаряд можно представить в виде некоторой
системы, состоящей из топлива, баков, двигателя и полезной нагрузки.
Если предположить, что к нему применимы такие масштабные закономер¬
ности, как пропорциональность веса баков весу топлива, веса двигателя
силе тяги и т. п., то проблему оптимизации конструкции можно свести
к тому, что к системе уравнений, определяющих траекторию, добавится
еще система алгебраических соотношений. Однако даже ценой введения
таких довольно сомнительных предположений не удается получить
достаточно простых и ясных результатов. Даже для двухступенчатого сна¬
ряда окончательная система уравнений столь сложна, что не позволя
ет получить аналитически какие-либо существенные выводы о характе¬
ре взаимосвязи параметров конструкции и может быть решена только
численно.
Более целесообразным оказывается проведение обобщенного ана¬
лиза, суть которого заключается в следующем. Проводится инженерный

2.4]
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ РАКЕТЫ
61
анализ отдельных элементов снаряда: веса топливных баков, характе¬
ристик двигательной системы, термодинамических и теплообменных
процессов, системы управления и контроля и т. д. — с учетом уравнений
движения снаряда по траектории.
Нетрудно написать уравнения, соответствующие такому исследо¬
ванию отдельных элементов, однако при этом надо отметить следующее:
1. Каждая группа таких уравнений настолько сложна, что не допу¬
скает получения решения в замкнутой форме.
2. Между различными элементами и характеристиками конструкции
существует очень тесная взаимосвязь. Например, изменение характера
траектории вызывает изменение программы ускорений, вследствие чего
изменяются силы внутреннего давления в баках. Это требует изменения
их веса, что в свою очередь ведет к изменению траектории и т. д.
3. Проведение каждого частного анализа заключается в том, чтобы
по некоторым входным переменным (под переменными здесь могут пони¬
маться и функции, например давление в баках как функция времени, допу¬
стимые напряжения как функции температуры поверхности и т. д.) полу¬
чить определенные выходные величины.
4. Указанная взаимосвязь между отдельными группами уравнений
обусловлена тем, что выходные переменные одной группы являются вход¬
ными переменными других. Полную схему обобщенного анализа можно
представить в виде некоторой блок-схемы, два типичных блока которой
приведены в табл. 2.1. Составление такой блок-схемы в виде последователь¬
ного сочленения входных и выходных переменных позволяет не только
получить картину взаимодействия различных групп уравнений, но также
и наметить в общих чертах схему проведения вычислений на большой циф¬
ровой вычислительной машине. Некоторые из величии, входящих в эту
схему, такие, например, как высота в функции времени, являются «про¬
межуточными» переменными, возникая в одних группах уравнений
и переходя затем в следующие. Другие, называемые далее основными
переменными, должны вводиться извне. Сюда относятся, с одной сто¬
роны, такие величины, как параметры, определяющие свойства матери¬
алов конструкции, характеристики атмосферы, и, с другой стороны, зада¬
ваемые параметры конструкции — количество ступеней, давление в камере
сгорания и т. д.
Пусть система основных переменных выбрана. Тогда вычислитель¬
ная машина методом итераций найдет решение, удовлетворяющее всем
труппам уравнений. Таким путем для каждой выбранной системы основ¬
ных переменных можно найти соответствующие значения полного веса
снаряда и дальности полета, а также и промежуточные переменные: дав¬
ление в баках, размеры баков, вес двигательной системы, температуру
поверхностей и т. д. Эту схему расчета можно использовать для решения
различных частных задач оптимизации. Например, можно подбирать
основные переменные таким образом, чтобы критерием оптимальности
служила величина полного веса снаряда, сухого веса, стоимость снаряда
при заданной дальности или величине полезного груза и т. д. Можно также
установить ограничения на размеры двигателя, выяснить влияние замены
материала корпуса другим и т. д. Наконец, можно для любой заданной
точки в пространстве основных переменных определить влияние малых
изменений этих переменных, т. е. найти соответствующие частные произ¬
водные по этим переменным.
Несмотря на большую сложность, проведение указанного анализа
оказывается возможным благодаря наличию быстродействующих цифровых

62
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ.
Таблица 2.1
Пример двух блоков из общей блок-схемы обобщенного анализа
(«входные» переменные, т. е. переменные, поступающие из других блоков
общей схемы, показаны слева, «выходные» — справа)
Анализ неса топливных баков
I	Удлиненность
nif	Секундный расход для	каждой сту¬
пени
ti	Время выгорания и отделения сту¬
пеней
хт	Минимальная толщина	стенки бака
кт	Соотношение топливной смеси (оки¬
слителя и горючего)
о (Т)	Допустимые напряжения в матери¬
але стенки в функции темпера¬
туры
Qm> Qo> Qf Плотности материала стенок, оки¬
слителя и горючего
W (t)	Полный вес в функции времени
F (t)	Тяга
Ро (t)> Pf W Давление в баках
То (t), Tf (t) Температура наружных стенок бака
Вес бака
Радиус бака
Длина бака
Wr
R
Толщина стенки ба¬
ка на различных
Ступенях	Т|о,	Xif
Уравнения траектории
F(h)
Тяга в функции высоты
Дальность
91
R
Радиус бака
Высота
h{t)
Ро
Угол начального- опрокидывания
Скорость
v(t)
при гравитационном развороте
171
Секундные расходы
Плотность воздуха
Q(0
ч
Время выгорания и отделения сту¬
Коэффициенты сопро¬
CD(t),
пеней
тивления и подъем¬
ной силы
Cl (0
гё
Момент конца участка гравитаци¬
онного разворота
wi0
Начальный вес й ступени
Ускорение, обусловлен-
Сц(М, а), Коэффициенты сопротивления и
^х(М, а) подъемной силы в зависимости от
числа Маха и угла атаки
иое тягой
п (t)
вычислительных машин. Фактически именно такие задачи позволяют
эффективно использовать вычислительную технику при создании и проек¬
тировании снарядов. Однако для того, чтобы задача не была чересчур
сложной даже для большой ЦВМ, необходимо заранее предопределить
характер траектории снаряда, ибо именно траектория, будучи тесно
связана со всеми частными группами уравнений (см. табл. 2.1), играет
центральную роль в проведении общего анализа. Если бы при каждой
итерации необходимо было просматривать большую часть пространства
возможных траекторий, то вычисления зашли бы в тупик. К счастью,
согласно результатам, полученным в § 2.2, траекторию, близкую к опти-

S 2.5]
ВЫВОДЫ
мальвой, можно описать с помощью всего лишь нескольких параметров.
В виде примера можно указать траекторию, состоящую из участка грави¬
тационного разворота (который определяется параметром /с, характери¬
зующим угол начального опрокидывания) и последующего участка, где
направление тяги определяется уравнением (2.6). Четыре параметра а, Ь,
с и d (число их в некоторых частных случаях может свестись к одному
или двум, как, например, в задачах на стр. 42—43) вместе с к можно
рассматривать как систему основных переменных, численные значения
которых, так же как и всех остальных величин, найдутся в процессе
анализа.
§ 2.5. Выводы
В настоящей главе изучение движения простейшей модели снаряда
в виде одномерного движения материальной точки обобщено на случай
двух- и трехмерного движения. Отсюда естественно возникает проблема
оптимизации траектории, которая оказывается тесно связанной с целым
рядом смежных проблем. Простейшей задачей из этого круга проблем
является задача определения оптимального управления, когда динамиче¬
ские характеристики снаряда заданы и требуется найти такую траекто¬
рию, которая оптимизирует некоторую заданную величину. Для случаев,
когда поле сил зависит от скорости и координат снаряда, дана общая
постановка задачи оптимизации траектории, а в случаях, когда силовое
поле однородно или когда сила зависит от расстояния линейно, оказы¬
вается возможным получить решение в замкнутой форме. Это особенно
важно в применении к баллистическим снарядам (например, снарядам
дальнего радиуса действия класса земля — земля или носителям спут¬
ников), где расстояние, проходимое за время выгорания топлива, мало
по сравнению с земным радиусом. Простой и в то же время почти опти¬
мальной траекторией в этих случаях оказывается траектория гравита¬
ционного разворота при движении снаряда в плотной атмосфере и затем
переход на траекторию, определяемую соотношением (2.6). Хотя точного
решения уравнений движения по траектории гравитационного разворота
не существует, все же можно построить ряд графиков, позволяющих во
многих случаях подбирать требуемые значения параметров. Если огра¬
ничиться лишь получением решений, удовлетворяющих условию стацио¬
нарности, то обычными методами вариационного исчисления можно
исследовать те задачи оптимизации, в которых масса снаряда, программа
скорости истечения и время выгорания, так же как и программа управле¬
ния, являются варьируемыми функциями. Для того чтобы найти решения,
являющиеся действительно максимальными или минимальными в опре¬
деленном смысле, нужно проводить специальное исследование каждого
отдельного случая, так как не всегда решение, удовлетворяющее требо¬
ванию стационарности, является оптимальным, и наоборот. В тех* зада¬
чах, где скорость истечения есть известная функция времени, как, напри¬
мер, это имеет место в жидкостных ракетных двигателях, из анализа сле¬
дует лишь то, что оптимальной программой для М (t) будет, как правило,
программа импульсного сжигания топлива. Поэтому для получения прак¬
тически интересных результатов необходимо проводить более глубокий
анализ, с учетом таких факторов, как параметры двигателя, топливных
баков и т. д., при одновременном учете характера траектории полета сна¬
ряда. Для выполнения такого рода анализа используется схема расчета,
где анализ различных элементов конструкции и групп уравнений (одной

64
ОПТИМИЗАЦИЯ АКТИВНОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 2
из них является система уравнений движения) объединяется воедино и
с помощью быстр оде йствующей вычислительной машины находится
решение, удовлетворяющее всей связанной системе уравнений, отобра¬
жающих поведение реального снаряда. Меняя входные переменные,
можно изучить целый ряд задач оптимизации.
Изучение различных вопросов расчета и проектирования снарядов
требует рассмотрения как весьма сложных моделей — например, при
оптимизации конструкции снаряда, — так и упрощенных моделей, кото¬
рые фактически дополняют друг друга. Упрощенные модели делают воз¬
можным аналитическое изучение задачи и позволяют получать решение
в замкнутой форме, что позволяет сделать важные выводы относительно
характера траектории полета. Это оказывается весьма ценным при
проведении обобщенного анализа на оптимум с учетом параметров конст¬
рукции и характера траектории. В свою очередь усложненные модели
позволяют учесть многие эффекты, которые в силу необходимости не
учитывались в упрощенной модели; тем самым они открывают большие
возможности для использования современных быстродействующих вычи¬
слительных машин в практике расчета и проектирования снарядов.

ГЛАВА 3
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
С. Геррик ($. Herrick)
§ 3.1. Астродинамика
В основе методов определения орбит и эфемерид (представляющих
собой таблицы координат в функции времени) космических летательных
аппаратов лежит теория, уходящая корнями к работам Ньютона, Лап¬
ласа и Гаусса. Эти работы создали базу для всей современной небесной
механики, и многие полученные в них уравнения и разложения до сих
пор применяются без изменений. В современной теории возмущений под
видом гармонических составляющих в рядах Фурье вновь появились
деференты и эпициклы, введенные еще в далеком прошлом Аполлонием,
Гиппархом и Птолемеем и долгое время предававшиеся забвению благо¬
даря успеху теории Коперника и Кеплера.
Нужды космической навигации в настоящее время требуют создания
новой дисциплины, которая, с одной стороны, была бы несколько уже,
а с другой стороны, несколько шире, чем классическая небесная меха¬
ника; уже в том отношении, что она не должна включать в себя такие
вопросы, как динамика звездных систем и галактик, и шире в том, что
она должна рассматривать новые силы, новые задачи и новые факты.
Соответственно этому астродинамика должна включать в себя определен¬
ные разделы небесной механики, геофизики, аэродинамики, внешней
баллистики ракет, электромагнитной теории, теории наблюдения траекто¬
рий небесных тел и космических ракет. Для удовлетворения требований
космической навигации астродинамика должна изучать также вопросы
управления и связи в космическом пространстве.
С самого начала в астродинамике необходимо четко различать два
типа орбит: орбиты приближенные, служащие для грубых расчетов эфе¬
мерид и для получения общих результатов и оценок, а также орбиты точ¬
ные, требующиеся для целей навигации в космосе, получения улучшенных
значений геофизических величин и т. д. К настоящему времени прибли¬
женные орбиты исследованы весьма подробно, причем учитывается влия¬
ние и таких возмущающих факторов, как сплюснутость Земли. Однако
при этом вводится целый ряд упрощающих предположений: что орбита
Луны круговая, что Землю можно представить в виде некоторой идеали¬
зированной модели, что все возмущающие силы лежат в плоскости орбиты
летательного аппарата и т. д. При расчете же точных орбит от этих упро¬
щений нужно отказаться. Землю следует считать отличной и от сферы, и
от эллипсоида, и коэффициенты, характеризующие это отличие, равно как
и гравитационная постоянная, должны вычисляться с максимально и
*3 Космическая техника

СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 3
точностью. Орбита Лутты также отличается от круговой, причем это
отличие столь сложно, что никакие упрощенные выражения не позволяют
прогнозировать ее движение на сколько-нибудь длительный срок. Еще
одна трудность возникает из того факта, что обычно все координаты (точки
старта, цели, наблюдателя и даже Луны) относятся к системе осей, кото¬
рая сама прецессирует и совершает нутационные движения и поэтому лишь
с некоторым приближением может рассматриваться как инерциальная
система отсчета. Изучение возмущающих факторов ставит перед иссле¬
дователем большой круг вопросов, из которых надлежит выбрать наи¬
более важные и существенные. Поэтому установление связи между факти¬
ческой и наблюдаемой траекториями приобретает здесь очень важное
значение, так как только эта взаимосвязь делает возможным точное про¬
гнозирование и коррекцию орбиты.
, Даже при изучении приближен¬
ных орбит часто возникают различ¬
ные альтернативы. Например, прежде
чем начать вычисления на быстродей¬
ствующей вычислительной машине,
необходимо выяснить, нужно ли ис¬
пользовать в расчете уже известные
интегралы задачи двух, трех и п тел.
Применение маши иных выч и еле ни i i
уже позволило получить ряд ясных
и полезных результатов, а также
помогло выяснить после проведения
обширной программы расчетов, что
использование имеющихся аналити¬
ческих соотношений не дает сущест¬
венных преимуществ.
§ 3.2. Законы Кеплера и их
ньютоновская модификация
а-оредлее рооеп7оллие; или долшол полуооо	Для	общего понимания задач,
связанных с изучением орбит, фунда-
Рис. з.1. законы Кеплера.	ментальное	значение	имеют	три за¬
кона Кеплера. Вот они (рис. 3.1):
1. Орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты, проведенный от Солнца, за равные про¬
межутки времени о метает равные площади (так называемый закон пло¬
щадей).
3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу ее сред¬
него расстояния от Солнца. Этот закон можно записать в виде еле,дую¬
щей формулы *):
где Р — период обращения, пг — масса Солнца, а — среднее расстояние
планеты от Солнца **)и2л/А: — коэффициент пропорциональности, напи¬
*) В оригинале в этой формуле отсутствует величина т в знаменателе, что
ведет к противоречию с дальнейшими обозначениями. Поэтому здесь формула
дается в исправленном виде. (Прим, ред.)
**) То есть большая полуось ее орбиты. (Прим. ред.)
1 далол
оллипеое \Релритягиеа/о- Соллце у
sMUU фолу о
2. За лол
площадей
д.„Гартлиое-
слии<сзалол
Р-период

§ 3-2]
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ИХ НЬЮТОНОВСКАЯ МОДИФИКАЦИЯ
67
санный в такой форме ради удобства сравнения с дальнейшими выраже¬
ниями. В то время, когда Кеплер своими законами закладывал основы
будущей небесной механики, Галилей, его современник, устанавливал
столь же важные основы общей механики. Галилей и Кеплер относились
с уважением друг к другу и даже переписывались между собой, однако
эта связь, по-видимому, не была столь тесной, чтобы они могли по-настоя¬
щему ознакомиться с работами друг друга. Поэтому только Ыыотои
сумел, объединив основные результаты их работ, установить закон, изве¬
стный под названием закона всемирного тяготения и являющийся крае¬
угольным камнем всей небесной механики. Сформулируем этот закон:
Любая материальная частица вселенной притягивается к любой
другой частице с силой, прямо пропорциональной произведению их масс
и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Математически этот закон выражается следующей формулой:
f	к-т{1ПоГ\ч
Т12	/21 --	’
' 12
где m-i и пи — массы частиц, г12 — радиус-вектор частицы т2 относи¬
тельно частицы mi, ri2 — его величина, f\2 — сила, действующая на части¬
цу ту в направлении к частице т2, и f21 — равная по величине и про¬
тивоположно направленная сила, действующая на частицу т2; наконец,
к2 —коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяго¬
тения, которая иногда обозна¬
чается G. С помощью закона
всемирного тяготения и уста¬
новленных на основе работ Га¬
лилея трех законов движения
тел Ныотоиу удалось обоб¬
щить законы Кеплера. При
этом он обнаружил пять важ¬
ных дополнений к кеплеровым
закономерностям:
1.	Движение каждой пла¬
неты возмущается притяжением
других планет, поэтому ее фак¬
тическая орбита отличается от
той, по какой она двигалась бы
при наличии только солнечного
притяжения. На рис. 3.2 пока¬
зан пример такого возмущения, пусть комета движется по кеплеро-
вой орбите А, в одном из фокусов которой находится Солнце. Если однаж¬
ды, когда эта комета пересекает орбиту Юпитера, сам Юпитер окажется
в непосредственной близости от нее, то, в соответствии с законом всемир¬
ного тяготения, его притяжение станет на какое-то время очень сильным
и оно отклонит комету с ее прежней орбиты А в направлении к Солнцу.
Через некоторое время они разойдутся, и снова движение кометы будет
определяться лишь притяжением Солнца. Комета будет снова двигаться
по кеплерову эллипсу с Солнцем в его фокусе, но уже по другому эллип¬
су — эллипсу В. Конечно, такое сильное взаимодействие случается крайне
редко, однако в слабой форме этот эффект всегда существует. Силы при¬
тяжения Юпитера и прочих планет непрерывно изменяют орбиты комет,
астероидов и даже больших планет. Кеплеровы орбиты, по которым они
двигалпсь бы при отсутствии таких возмущений, представляют собой
5*
Рис. 3.2. Задача двух п трех тел (возмущение).

68.
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 3
в лучшем случае лишь первое приближение к действительной траектории.
Отсюда и происходит различие между «задачей двух тел», к которой отно¬
сятся законы Кеплера, и «теорией возмущений», включающей задачи трех
й более тел. Задача двух тел обычно, но не всегда, служит первым прибли¬
жением задачи многих тел.
О 2. Закон всемирного тяготения, а следовательно, и законы Кеплера
в той степени, в которой Ньютон подтвердил их, применимы лишь к мате¬
риальным точкам. Ныотону, однако, удалось показать, что сила притяже¬
ния, оказываемая материальной сферой со сферически однородным рас¬
пределением массы на внешнюю частицу, прямо пропорциональна полной
Рис. 3.3. Возмущение, вызываемое экваториальной выпуклостью.
массе сферы и обратно пропорциональна квадрату расстояния частицы
от центра сферы. Этот результат был особенно важен для проверки Нью¬
тоном закона всемирного тяготения на примерах движения Луны и зна¬
менитого падения яблока.
Как выяснилось, распределение масс внутри Солнца, Земли и других
планет весьма близко к сферически симметричному, и поэтому при взаимо¬
действии с отдельными объектами их можно рассматривать как точечные
массы. Вследствие вращения эти небесные тела слегка сплюснуты, т. е.
имеют экваториальную выпуклость, которая оказывает заметное влия¬
ние на движение близких тел, таких, как спутники. Так, например,
сплюснутость Земли заметно возмущает движение Луны; в свою очередь
земная ось вследствие этого совершает прецессионное и нутационное
движения *). Экваториальная выпуклость Земли вызывает в движении
Луны меньшие возмущения, чем Солнце, однако для близкого искусствен¬
ного спутника эти возмущения значительно сильнее (рис. 3.3).
3.	Орбитой тела, движущегося под влиянием притяжения одного
Солнца, может быть любое коническое сечение (рис. 3.4). Так, например,
кометы, многие из которых движутся по параболическим орбитам, под¬
чиняются, как показал Ньютон, тем же законам движения, что и планеты.
Орбиты, гиперболические относительно Солнца, встречаются редко, однако
примерами почти гиперболических относительно Земли орбит могут слу¬
жить орбиты метеоров, бороздящих ее атмосферу, или участки орбит
космических ракет, уходящих из поля тяжести Земли. Поэтому гипер¬
*) Эти движения представляют собой соответственно вращение оси Земли по
конусу и ее качание в направлешш к оси этого конуса.

§ 3.2]
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ИХ НЬЮТОНОВСКАЯ МОДИФИКАЦИЯ
69
Р2:
болические орбиты будут приобретать со временем все большее значение
для астронавтики.
4. Ныотон показал, что второй закон Кеплера сформулирован точно,
однако в выражении для третьего закона в коэффициент пропорциональ¬
ности между квадратом периода и кубом среднего расстояния должна
быть включена сумма масс двух тел тх и т2,
чего не заметил Кеплер:
2л у	фi
к J т\-1-т2 *
В применении к движению планет солнеч¬
ной системы масса есть масса Солнца, а
масса т2 — масса планеты, которая обычно
пренебрежимо мала по сравнению с т±. Поэтому
ньютоновское уточнение третьего закона Кеп¬
лера в применении к планетам оказывается
несущественным. Важно отметить, что это же
замечание остается справедливым и при изуче¬
нии движения спутников планет. Здесь
представляет собой массу планеты, а т2 —мас¬
су спутника, которая обычно столь же мала по
отношению к массе планеты, как масса послед¬
ней по отношению к массе Солнца. Множи¬
тель mi + т2 входит в уравнения задачи
двух тел. Эти уравнения используются при
изучении планетоцентрических орбит, когда
возмущения не слишком велики.
5. Законы Кеплера представляют собой
интегралы задачи двух тел. Кроме них суще¬
ствуют еще и другие интегралы, которые ока¬
зываются весьма полезными для расчета точных
орбит. Некоторые из них столь же просты и
почти столь же полезны в таких расчетах, как
и законы Кеплера. Наиболее важным является
интеграл «живых сил», или интеграл энергии:
V2 = к2 (mi + т2) (у — —
где V — скорость движения массы ттг2, г — расстояние между /?г± и т2
(ранее обозначавшееся г12), а к, т2 и а обозначают те же величины,
что и ранее. Написанная формула выражает тот факт, что сумма кинети¬
ческой и потенциальной энергий остается постоянной: член V2 пропорцио¬
нален кинетической энергии, а член 2/г — потенциальной энергии.
Использование интеграла живых сил иллюстрируется на рис. 3.5,
где показаны орбиты нескольких частиц, вылетающих из одной точки
с одинаковыми скоростями. Так как V и г одинаковы, то, следовательно,
п большие полуоси их орбит а будут также одинаковы *). Пусть круговая
орбита будет орбитой спутника, движущегося непосредственно над
поверхностью Земли со скоростью около 5 миль/сек (8 км/сек). Если угол
*) А значит, будут одинаковы и периоды их обращения по орбите, т. е. пос¬
ле каждого оборота все частицы будут вновь собираться в исходной точке.
(Прим. пер ев.)

70
спутники: земли и их орбиты, теория возмущений
[ГЛ. 3
бросания над горизонтом несколько увеличить, то брошенное тело под¬
нимется сперва на некоторую высоту над поверхностью и затем упадет
на нее; несуществующая часть орбиты
окажется проходящей внутри тела Земли.
При большем угле бросания тело подни¬
мется на большую высоту, но упадет на
меньшем расстоянии от точки выброса, и,
наконец, при угле бросания, равном 90°,
тело взлетит вертикально и затем упадет
в исходную точку. Здесь, разумеется, не
учитывается влияние вращения Земли и
сопротивления атмосферы. Интересно
отметить, что высота подъема тела при
вертикальном бросании с указанной ско¬
ростью точно равна радиусу Земли.
На рис. 3.6 демонстрируется другое
семейство конических сечений —орбит,
полученных при бросании тела из одной
точки в одном и том же направлении, но
с различными скоростями *). Предполо¬
жим, что круговая орбита, показанная на
рисунке, представляет собой орбиту Земли
вокруг Солнца, которая и в самом деле очень близка к круговой. Тогда
вектор скорости орбитального движения Земли, равной 18,5 миль!сек
Рис. 3.5.
Орбиты равной начальной
скорости.
Рис. 3.0. Соприкасающиеся орбиты.
(29,8 км/сек), будет перпендикулярен к направлению на Солнце. Сила
солнечного притяжения заставляет Землю «падать» в направлении к
Солнцу на г/9 дюйма в секунду. За эту же секунду Земля успевает пройти
*) Приводимое далее (до конца § 3.2) рассмотрение имеет чисто качественный
характер; оно небесполезно, хоти вряд ли достаточно убедительно (Прим. ред.).

§ 3.3]
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
71
18,5 мили в перпендикулярном направлении и в результате сложения
этих двух перемещений оказывается на том же расстоянии от Солнца,
что и прежде. Так секунда за секундой Земля непрерывно «падает» на
Солнце, никогда не становясь ближе к нему ни на дюйм.
Предположим теперь, что скорость движения Земли уменьшилась
до 11 миль!сек (18 км/сек). Так как скорость «падения» 1/9 дюйма в секун¬
ду в начале этого процесса не изменится, то Земля станет приближаться
к Солнцу по малому эллипсу, показанному на рис. 3.6. При дальнейшем
приближении к Солнцу скорость ее будет возрастать до тех пор, пока в точ¬
ке, прямо противоположной начальной, центробежная сила не превысит
силу притяжения Солнца, несмотря на то что последняя здесь также будет
больше. После этого Земля начнет удаляться от Солнца, постепенно замед¬
ляя свое движение, пока не вернется опять к начальной точке с той
же по величине и так же направленной скоростью, что и раньше.
Если бы мы могли совсем остановить Землю, она начала бы падать
на Солнце, пройдя в первую секунду V9 дюйма и все больше и больше
в последующие, и падала бы так с возрастающей скоростью до тех пор,
пока примерно через 2 месяца не достигла бы поверхности Солнца. К сча¬
стью, это один из самых невероятных исходов, каким Земля может окончить
свое существование. Другие причины могут привести к этому скорее.
Если бы удалось увеличить скорость Земли до 24 миль!сек (38 км/сек),
то Земля начала бы удаляться от Солнца по большому эллипсу, показан¬
ному на рис. 3.6. Постепенно замедляя свое движение, Земля пришла
бы в точку, противоположную начальной, с такой скоростью, что центро¬
бежная сила оказалась бы недостаточной для уравновешивания притяже¬
ния Солнца, хотя последнее там также слабее. Поэтому после прохождения
этой точки Земля стала бы снова увеличивать свою скорость, приближаясь
к Солнцу, и вернулась бы к исходной точке с исходной скоростью.
Если увеличить скорость Земли до 26 миль /сек (42 км/сек), то она
начнет двигаться относительно Солнца по параболе, показанной на
рис. 3.6. При еще большем увеличении скорости Земля будет уже дви¬
гаться по гиперболической орбите, аналогичной показанной на рисунке.
В этом случае притяжение Солнца будет уже недостаточным для такого
замедления скорости, при котором Земля вернулась бы обратно.
§ 3.3. Основные соотношения задачи двух тел
Элементами орбиты в задаче двух тел являются шесть независимых
постоянных величин, определяющих ориентацию плоскости орбиты в про¬
странстве, ее размеры и форму, а также либо положение некоторой точки
на орбите, через которую проходит тело в заданный момент времени,
либо момент времени прохождения тела через заданную точку. При рас¬
смотрении геоцентрических орбит в эту систему величин входят следую¬
щие три элемента «ориентации» (рис. 3.7):
— долгота восходящего угла, т. е. угол, лежащий в экваториаль¬
ной плоскости и отсчитываемый от направления на точку весеннего равно¬
денствия до линии узлов, т. е. линии пересечения плоскости орбиты
с плоскостью экватора (для гелиоцентрических орбит — с плоскостью
эклиптики);
i — наклонение орбиты, или угол наклона плоскости орбиты к пло¬
скости экватора;
со — аргумент перигея, или угловое расстояние перигея от восходя¬
щего узла (для гелиоцентрических орбит — аргумент перигелия).

72
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 3
Остальные три элемента определяют «размеры»:
а — большая полуось, или среднее расстояние;
е — эксцентриситет, или отношение расстояния между центром
орбиты и ее фокусом к большой полуоси;
Т — момент прохождения через перигей.
Эти шесть	параметров часто заменяются	полностью	или	частично
другими величинами. Например, вместо элементов <Г£, i и	со	часто	поль¬
зуются единичными векторами:
Р — направление на перигей;
Q — направление вектора скорости в перигее;
W — перпендикуляр к плоскости орбиты, образующий с векторами
Р и Q правую систему осей.
Иногда вместо элементов а и е используются (рис. 3.8)
q = а (1 —	ё) — расстояние перигея;
р = а (1 —	е2) — параметр, или хордовое	расстояние;
кру т*Л-т<у
/г = ——~—- — средняя угловая скорость, или среднее движение,
а '2
где ке — гравитационная постоянная, а и т2 — массы Земли и спут¬
ника соответственно.
Указанные элементы служат для выражения следующих величин
(рис. 3.7, 3.8):
х, у, z — прямоугольные координаты спутника в системе осей, свя¬
занной с плоскостью экватора и линией весеннего равноденствия;
У<о,	— прямоугольные координаты спутника в системе осей7
связанной с плоскостью орбиты и направлением на перигей;
г — радиус-вектор спутника,
а также трех углов, или «аномалий»:
v — истинная аномалия;
Е — эксцентрическая аномалия;
М — средняя аномалия.
В виде примера приведем некоторые формулы, используемые для вы¬
числения координат х, у, z по известным элементам а, е и Т и компонент
векторов Р и Q. Считаем также заданными п и t:
М = п (t — Т);

§ 3.4]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
73
Е — esin Е = М — известное уравнение Кеплера. Его следует ре¬
шать методом последовательных приближений.
х-а = a (cos Е — е),
Гл 5	„	Ъ	(см.	рис.	3.8);
У со = а У 1 — е2 sm Е	j
х Х(^Ех —j—	|
у = Х^Ру + Уа()у>	[	(см.	рис.	3.7).
z X($PZ -j- yj)z	)
Аналогичную систему формул можно написать и для гиперболического
движения. Для определения прямоугольных координат х, у, 2, величины
полной скорости, угла наклона ее к горизонту и пр. можно использовать
также иные зависимости, которые могут служить и в качестве контроль¬
ных. Конкретный выбор системы расчетных формул обычно определяется
из соображений упрощения вычислений рядом обстоятельств, как, напри¬
мер, малостью угла наклона орбиты, малостью эксцентриситета, регрес¬
сией линии узлов, вызванной возмущениями или характером начальных
данных. Указанные выше обозначения различных астрономических вели¬
чин помогут читателю разобраться в языке астрономических формул. Для
детального ознакомления с методами расчета орбит рекомендуем обра¬
титься к источникам, указанным в конце настоящей главы.
§ 3.4. Теория возмущений
Под возмущениями обычно понимают те ускорения, действующие
на тело, которые не могут быть обусловлены полем центральной силы,
изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния. При отсут¬
ствии возмущений тело двигалось бы по некоторому коническому сечению
и его орбита определялась бы элементами, свойственными задаче двух

74	СПУТНИКИ	ЗЕМЛИ	II	ИХ	ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	[ГЛ.	3
тел. При определении влияния возмущений и нахождении действитель¬
ной траектории эту орбиту можно принять за невозмущеиную, или опор¬
ную. Вместо этой орбиты за опорную можно принять, если это удобно,
и иную орбиту, определяемую, например, не интегралами задачи двух тел,
а интегралами задачи трех тел или специальными интегралами, учитываю¬
щими некоторые возмущения, такие, как возмущения от сжатия Земли
пли возмущения от атмосферы. Основным условием, которому должна
удовлетворять выбранная опорная орбита независимо от продолжитель-
ности срока ее использования, должно быть условие минимума вели¬
чины ускорений, отличающих возмущенную орбиту от невозмущенной
(опорной).
Часто удачным выбором расчетной схемы можно значительно умень¬
шить величину возмущающих сил. Например, известно, что сила пря¬
мого притяжения Со липа, действующая на Луну, почти вдвое больше,
чем сила притяжения со сторо¬
ны Земли, так что если бы Луна
была неподвижна, то сила сол¬
нечного притяжения уже давно
бы вырвала ее из сферы земного
притяжения. В действительно¬
сти же сила солнечного притя¬
жения лишь вынуждает Луну
и Землю двигаться по некото¬
рым криволинейным траекто¬
риям (рис. 3.9), а не вдоль ка¬
сательных к ним. Возмущаю¬
щий эффект Солнца при этом создается разницей силы притяжения им Луны
в месте ее расположения и Луны, если бы она была в той точке, где нахо¬
дится в этот момент Земля, и если рассматривать движение Луны как гео¬
центрическое *), то возмущающая сила солнечного притяжения окажется
равной примерно 1/100 от силы притяжения Земли; эта величина сравни¬
тельно мала, но влияние ее как возмущающей силы тем не менее значи¬
тельно. В результате действия этого возмущения Луна движется вокруг
Земли достаточно сложным образом, как об этом упоминалось в § 3.1.
Для близких спутников Земли разница сил притяжения Солнцем (спут¬
ника на орбите и спутника, мысленно помещенного в центре Земли) будет
гораздо меньше, чем для Луны, а следовательно, и соответствующие воз¬
мущения орбиты будут гораздо меньше, чем у Луны. Однако здесь будет
сильнее сказываться влияние сжатия Земли, что поведет к новому иска¬
жению орбиты. Кроме указанных возмущений, может существовать
целый ряд других, как, например, возмущения от силы тяги, сопротивле¬
ния атмосферы, электромагнитных эффектов, светового давления, реляти¬
вистских эффектов и т. д.
Основной эффект возмущений, вызываемых притяжением Земли, Луны,
Солнца и планет, можно учесть, если рассматривать их как точечные
массы, сила притяжения которых подчиняется закону Ныотона. Для
каждого из этих тел требуется найти наилучшие значения гравитацион¬
ного параметра, представляющего собой произведение массы небесного
тела на постоянную тяготения. Если же притягивающее тело располо¬
жено очень близко (как Земля по отношению к спутнику), то его необхо¬
димо рассматривать уже не как сферу, массу которой можно считать
Ново
лунне Первая^	—'
четверть
Полно¬
луние
Последняя лунне
четверть
Рис. 3.9. Гелиоцентрическое движение Луны.
*) То есть в системе координат, движущихся вместе с Землей. (Прим. pet).)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
75
Рис. 3.10. Экваториальная выпуклость
Земли и направление силы тяжести.
Каждая из поправок
сосредоточенной в ее центре, а как эллипсоид вращения с массой, распреде¬
ленной равномерно по эллипсоидальным слоям. Поле притяжения Земли,
рассматриваемой как эллипсоид вращения, математически может быть
представлено в виде ряда, для которого
наряду с первым членом, соответствую¬
щим притяжению сферической Землей,
нужно найти и коэффициент при вто¬
ром члене. Этот коэффициент харак¬
теризует собой сжатие, или сплюсну¬
тость (эллиптичность) Земли, и он тесно
связан с членом, зависящим от широты,
в выражении для ускорения силы тя¬
жести на уровне моря. Если высота
орбиты спутника над поверхностью
планеты очень мала и необходима мак¬
симальная точность расчета его орби¬
ты, то следует учесть также четвертую
гармонику в разложении для поля сил
тяжести эллипсоида вращения и, мо¬
жет быть, ввести поправки, обуслов¬
ленные местными аномалиями силы
тяжести, т. е. неоднородностями земной коры
будет выражаться некоторым добавочным членом, для которого нужно
численно определять соответствующий коэффициент. Также путем вве¬
дения математических выражений для каждого из добавочно учитывае¬
мых ускорений следует учесть
влияние сил тяги, сопротивления
и прочих.
Иногда для уменьшения вели¬
чины возмущений при рассмотре¬
нии задачи двух тел следует счи¬
тать притягивающий центр распо¬
ложенным не в геометрическом
центре планеты, а в другой точке.
Например, известно, что при сво¬
бодном падении какого-либо тела
на Землю оно движется не в на¬
правлении центра Земли, а в на¬
правлении силы тяжести, которые
вблизи поверхности Земли не сов¬
падают друг с другом (рис. 3.10).
Поэтому в этом случае можно
уменьшить величину возмущения, если предположить, что центр притяже¬
ния лежит на направлении местной вертикали. Эта схема оказывается по¬
лезной при расчете траекторий баллистических ракет дальнего действия.
Одним из наиболее важных возмущений орбиты спутника Земли
является прецессия линии узлов этой орбиты, вызываемая сжатием
Земли. Это значит, что если спутник движется в направлении с юго-
запада на северо-восток (рис. 3.11), то каждое последующее прохождение
его через экватор будет отмечаться несколько западнее предыдущего.
Это движение линии узлов происходит независимо от суточного вращения
Земли и накладывается на него. Поясним этот эффект с помощью рис. 3.12.
Предположим, что при отсутствии возмущений спутник двигался бы вдоль

76	СПУТНИКИ	ЗЕМЛИ	И	ИХ	ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	[ГЛ.	з.
траектории АВ и пересек бы экватор в точке Положим, далее, что воз¬
мущающее ускорение от сжатия прикладывается мгновенно в тот момент,
когда спутник достиг точки Е. В результате этого он пересечет экватор
в точке <0,2 11 будет двигаться вдоль прямой EF. В точке F на него опять
мгновенно воздействует возмущающее ускорение, обратное по знаку
и равное по величине ускорению в точке Е, после чего он начинает дви¬
гаться по прямой CD, пересекающей экватор в точке Оз- Так действие воз¬
мущающего ускорения от сжатия вызывает прецессию узла от f£i к f£3*
Действие возмущения от сопротивления атмосферы иллюстрируется
рис. 3.13. Пусть траектория АА2 представляет собой орбиту спутника,
и пусть сила сопротивления
О	прикладывается к нему в малом
районе вблизи перигея А. В ре¬
зультате этого скорость спутни-
\ ка в точке А уменьшится, и он
\ после полуоборота окажется не
\ в точке А2, а в точке Л' (как
\ это следует из интеграла живых
\ сил, см. § 3.2). Так как большая
1 полуось орбиты при этом умень-
^ j шится, то согласно третьему
/ закону Ныотона уменьшится и
/ период обращения, и спутник
/ вернется в точку А раньше,
/ нежели при отсутствии возму-
/ тцения. Значит, если скорость
в точке А уменьшилась, сред-
нее значение скорости орбиталь-
ного движения возросло.
Покажем также с помощью
Рис. 3.13. Возмущающее действие тяги пли со-	о ло	гт,^чтттт.тт.^^гт,г
противления на эксцентриситет е, большую по- рИС. 3.13 ОСНОВНУЮ ТРУДНОСТЬ,
луось а и период обращения Р.	возникающую При ВЫВОДе СПут-
ника-ретранслятора на стацио¬
нарную орбиту с периодом обращения 24 часа. Пусть АА2 представляет
собой первоначально достигнутую орбиту. Вследствие неточности вывода
как по величине скорости, так и по ее направлению эта орбита будет
отличаться от желаемой стационарной орбиты в основном в двух отноше¬
ниях: а) она не будет круговой, и б) ее период не будет равен 24 часам.
Влияние небольшого эксцентриситета орбиты не столь уж страшно, так

S 3.5]
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
77
как оно вызовет лишь небольшие колебания спутника относительно той
точки экватора, над которой он должен был бы «висеть» неподвижно.
Такого рода колебания все равно неизбежны из-за наличия прочих воз¬
мущений. Однако ошибка в периоде поведет к тому, что спутник начнет
постепенно удаляться от желаемого поло¬
жения над экватором, так что в конце
концов он станет непригодным для исполь¬
зования его в качестве ретранслятора
радио- и телевизионных сигналов или
в других целях.
Для коррекции периода необходимо
приложение тяги, которую можно исполь¬
зовать одновременно и для уменьшения
эксцентриситета орбиты. Если начальный
период слишком велик, то корректирую¬
щий тормозящий импульс тяги должен
быть приложен в точке А, так как при
этом уменьшится и скорость и эксцентри¬
ситет. Если же начальный период меньше
требуемого, то импульс тяги должен быть
приложен в точке А2 так, чтобы скорость
возросла, в результате чего спутник вый¬
дет на более высокую круговую орбиту с
большим периодом обращения.
На рис. 3.14 показан еще один тип
возмущений орбиты спутника — движение
перигея (при изучении гелиоцентрических
орбит такое возмущение, называемое дви¬
жением перигелия, хорошо известно и объ¬
ясняется отчасти релятивистскими эффектами). Действительная траектория
движения тела обозначена цифрами 0, 7, 2, 3, 4. Рассчитаем для спут¬
ника, находящегося в положении 7, оскулирующую эллиптическую
орбиту, т. е. такую эллиптическую орбиту, на которой он имел бы те же
координаты и те же скорости, что и в действительном движении. По этой
орбите он продолжал бы двигаться и дальше, если бы все возмущения вне¬
запно исчезли. Перигей и апогей этой орбиты лежат на линии РХА^.
Двигаясь по действительной траектории, спутник через некоторое время
достигнет апогея в положении 2. Соответствующая оскулирующая орбита
будет иметь перигей и апогей на линии Р2А2. Наконец, когда спутник ока¬
жется в точке 3, перигей и апогей оскулирующей орбиты будут лежать
на прямой Р3А3. Таким образом, за все рассмотренное время движения
спутника перигей его оскулирующей орбиты переместится на дугу Р\Р3.
Рис. 3.14. Смещение перигея или
перигелия (вращение линии апсид).
§ 3.5. Методы теории возмущений
Действие возмущающих ускорений можно определить либо путем
численного интегрирования, либо путем разложения в ряд и почленного
интегрирования этого ряда. В первом случае можно учесть лишь кон¬
кретно заданные возмущения, во втором же случае учет возмущений
носит более общий характер. Метод разложений возмущений в ряд с после¬
дующим интегрированием является, по существу, методом последователь¬
ных приближений, так как для выполнения операции интегрирования
необходимо задаться некоторым начальным (нулевым) приближением.

78
спутники земли и их орбиты, теория .возм уздени й
[ГЛ.
В результате интегрирования будут найдены так называемые «возмуще¬
ния первого порядка»; подставляя их вновь в основные уравнения, можно
найти возмущения второго порядка и т. д. Аналогичные величины можно
получить и при численном интегрировании, если задаться начальными
значениями возмущений, т. е. нулевым приближением. Далее, в процессе
численного интегрирования можно на любом шаге прервать этот процесс
и использовать вычисленные величины в качестве нулевого приближения.
Такой процесс последовательных приближений позволял бы в принципе
получить точные результаты, если бы не было накопления ошибок,
свойственного операции интегрирования. Например, при расчете движе¬
ния спутника Земли, совершающего большое число оборотов за сравни¬
тельно небольшой промежуток времени, такое накопление погрешностей
оказывается весьма значительным. Аналитическое определение возмуще¬
ний затрудняется тем, что для получения достаточной степени точности
нужно в разложениях в ряды удерживать при расчетах большое количе¬
ство членов ряда. Поэтому нанлучшим компромиссом при расчете орбит
спутников будет, по-видимому, некоторая комбинация указанных двух
методов, где в качестве опорной орбиты берется тте коническое сечение,
а иная траектория, более близкая к реальной.
Независимо от используемого метода интегрирования возмущений
важно решить, какие именно величины следует интегрировать. Здесь
представляются в основном три возможности:
1. Можно интегрировать сумму всех ускорений, действующих на
тело, не прибегая к понятию опорной или оскулирующей орбиты. В этом
случае, по существу, нельзя говорить об использовании метода возмуще¬
ний, так как здесь не делается никаких различий .между основными и воз¬
мущающими ускорениями. Тем не менее этот способ принято рассматри¬
вать в теории возмущений, где он известен как метод Кауэлла (Cowell).
Впервые он был использован Кауэллом и Кроммелином (Crommelin)
в 1909 г. для предвычисления возвращения кометы Галлея. С помощью
этого метода рассчитано большое количество лунных траекторий, хотя,
как можно показать, другие .методы были бы здесь предпочтительнее.
Естественно, что этот метод является численным методом расчета, та);
как он не использует понятия опорной орбиты. Показанная на рис. 3.14
действительная траектория тела (она проведена сплошной линией) опреде¬
лена методом Кауэлла без использования понятия оскулирующей орбиты
(которые показаны пунктирными линиями).
2. Другим методом учета возмущений является интегрирование
отклонений от оскулирующей опорной орбиты, известный в небесноii
механике как метод Энке. В примере, показанном на рис. 3.14, начиная
от точки 7, можно вычислить по формулам задачи двух тел последующие
положения спутника, например, через равные интервалы времени вдоль
опорного эллипса, большая ось которого совпадает с линией Р^А{. Инте¬
грируя затем возмущающие относительно этого эллипса ускорения, можно
найти действительную траекторию спутника. Однако к тому времени,
когда спутник достигнет точки 3, может оказаться, что его действитель¬
ные координаты настолько отличаются от опорных координат, что возму¬
щающие ускорения будут почти такими же большими, как и основные
ускорения. В этом случае метод Энке теряет своп преимущества перед
методом Кауэлла, и для возможности его дальнейшего успешного при¬
менения нужно определить новую оскулирующую опорную орбиту,
ось которой совпадает с линией P3A 3. После этого величина возмущений
резко уменьшится и расчет может быть легко продолжен.

§ 3.5]
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
79
3.	Использование метода вариации параметров позволяет избавиться
от постоянного роста возмущающих ускорений по мере все большего
отклонения спутника от опорной траектории, т. е. позволяет обойтись
без периодической коррекции опорной орбиты. Это достигается тем,
что сама опорная орбита принимается «переменной», причем она изменяет¬
ся таким образом, что положение и скорость спутника на опорной и дей¬
ствительной траекториях оказываются одинаковыми. Иными словами,
эта «переменная» опорная орбита непрерывно оскулирует, и ее элементы,
являющиеся постоянными величинами в задаче двух тел, становятся мед¬
ленно меняющимися функциями времени. Характер изменения элементов
(т. е. параметров орбиты) определяется непосредственно лишь действую¬
щими на спутник возмущениями.
В тех случаях, когда возмущения очень велики, ни метод Энке, ни
метод вариации элементов не дают каких-либо преимуществ перед мето¬
дом Кауэлла, который целесообразнее всего тогда и применять. Однако
при малых возмущениях и особенно при большой угловой скорости орби¬
тального движения метод Кауэлла неудобен и даже может оказаться
совершенно неприемлемым для расчета. Такой случай имеет место при
расчете эфемерид малой планеты Икарус. Этот астероид приближается
Таблица 3.1
Сравнение данных, полученных методом Кауэлла н методом
ос к ули р ующп х э лемен тов
М е т о д К а у э л л а:
!
X
6 У
X
бзУ
13 июня
1
-1,00539
i
i
-0,27914
j -0,56978
-0,54620
i 23 июня
- 1,57517
i
-0,82534
|
- 1,39512
-2,21389
| 3 июля
-2,97029
-3,03923
1
-4,43435
34,74936
13 июля
-7,40464
31,71013
27,27578
j
— 75,06246 ;
23 июля
19,87114
-43,35233
!
М етод о с к у л и р у ю щ и х
э л е м е н т о в:
а
У
6а
У
62ау
бз0у
13 июня
-0,000 0023
- 7
1 :
1 !
I 1
-f'l
' 1 ;
23 июня
-0,000 0022
— 5
16 !
3 июля
-0,000 0027
10 ;
5
15
13 июля
-0,000 0022
25
30
— 58
| 23 июля
0,000 0008
-33 |
	 . J
к Солнцу больше, чем любая другая из планет, проходя почти половину
своей траектории внутри орбиты Меркурия. Движение его на этом участке
столь быстро и ускорения столь велики, что расчет траектории методом
Кауэлла становится затруднительным. В табл. 3.1 дана сводка данных,

80
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 3
используемых при вычислении его орбиты, причем величина шага инте¬
грирования (10 дней) взята такой же, какая берется обычно в районе
афелия. Из приведенной таблицы ясно, что вследствие накопления
ошибок интегрирования такой интервал оказывается совершенно непригод¬
ным, и для получения приемлемых результатов он должен быть умень¬
шен до нескольких часов. С другой стороны, элементы орбиты за указан¬
ные интервалы времени изменяются весьма слабо, как это видно из таб¬
лицы, несмотря на то что число десятичных знаков увеличено здесь на
два. Цравда, и в этом случае, как можно видеть, появляются колебания
знака у разностей и для получения достаточно высокой точности расчета
интервал интегрирования должен быть сокращен.
Указанный недостаток метода Кауэлла сказывается и при расчете
траекторий полета к Луне. В первой фазе полета, когда влиянием лунного
притяжения вполне можно пренебречь, удобнее всего пользоваться либо
методом Энке, либо методом оскулирующих элементов. Применение же
для этой цели метода Кауэлла требует очень малых шагов интегрирования
вдоль всей траектории, так как скорость движения и действующие уско¬
рения будут весьма значительными.
§ 3.6. Наблюдение и коррекция
Баллистические траектории полета могут приводить к весьма большим
ошибкам из-за неточностей параметров конца активного участка — коор¬
динат и компонент скоростей тела в момент начала свободного движе¬
ния по траектории. Поэтому проблема точного слежения за траекторией
и определения ее параметров приобретает важнейшее значение для выпол¬
нения корректирующих маневров.
Точность слеяшния для этих целей должна приближаться к астроно¬
мической, т. е. до 0",1 вместо принятой в обычной навигации 1',0.
Чтобы добиться такой высокой точности, необходима последовательная
фиксация положения космического летательного аппарата на фоне звезд.
До сих пор, однако, все попытки достичь такой точности оканчивались
полностью или частично неудачами. Большего успеха удалось добиться
с помощью баллистических камер в системе наблюдательных станций поли¬
гона Кейп-Канаверал, где была достигнута точность около 2". Ясно, что
в^такие наблюдения должна быть внесена поправка на рефракцию, разно¬
стную дифракцию лучей, аберрацию и прочие внешние или приборные
погрешности.
Достигнутая в оптических наблюдениях точность 2", т. е. 1 : 105,
ставит перед службой наблюдения важную задачу — достичь этой же
точности в определении дальности и скорости средствами технической
электроники. Однако пока еще нельзя считаться с возмояшостью достиже¬
ния астрономической точности этими средствами. Использование электрон¬
ного оборудования во многом упрощает определение приближенных
орбит и позволяет снизить погрешности определения точных орбит. Для
получения точности, близкой к астрономической, наиболее перспектив¬
ным является помещение на орбиту космического летательного аппарата
радиоответчика.
Следует заметить, что необходимость проведения точных наблюдений
диктуется в основном требованиями определения точных орбит. Сравнивая
полученные данные наблюдений с расчетными координатами, можно
методом внесения поправок улучшить орбиту. Теория улучшения орбит
по данным наблюдений позволяет оценить максимально достижимую точ¬

§ 3.S]	СРАВНЕНИЕ КАЧЕСТВЕННЫХ И КОЛИЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ	81
ность определения орбиты. Это в свою очередь тесно связано с возмож¬
ностью успешного осуществления космических полетов, так как многие
из них, например полеты к Луне, могут быть успешно выполнены лишь
при наличии системы наблюдения высокой точности.
§ 3.7. Постоянная тяготения
При точном расчете планетных орбит используется значение постоян¬
ной тяготения, вычисленное Гауссом. Это значение определяется на основе
третьего закона Кеплера по данным, характеризующим орбитальное
движение Земли, т. с. по сидерическому периоду орбиты, выраженному
в средних солнечных сутках, причем за единицу массы принимается масса
Солнца, а масса Земли выражается в долях массы Солнца; среднее расстоя¬
ние Земли от Солнца принимается за астрономическую единицу длины.
По этим данным Гаусс определил постоянную тяготения с точностью до
восьми-девяти значащих десятичных цифр. Эта постоянная известна,
по-видимому, с наиболее высокой точностью из всех прочих физических
постоянных. Однако если постоянную тяготения G выражать в системе
CGS или иной другой системе единиц, принятой в лабораторных расче¬
тах, то количество верных значащих цифр будет равно всего лишь трем.
Из этого можно сделать два важных вывода. Первый заключается в том,
что при расчете гелиоцентрических орбит нельзя пользоваться лаборатор¬
ным значением постоянной G. Во-вторых, при расчетах нельзя в качестве
меры расстояния использовать сантиметры или связанные с ними еди¬
ницы длины. Даже если взять точное значение гауссовой постоянной
и преобразовать единицу длины из астрономических единиц в сантиметры,
то точность сразу снизится до трех-четырех значащих цифр. Это объясняет¬
ся той неточностью, с которой известна величина солнечного парал¬
лакса, представляющего собой отношение экваториального радиуса
Земли к астрономической единице.
При расчете точных геоцентрических орбит для определения постоян¬
ной тяготения служат другие величины, причем значение ее в лаборатор¬
ных единицах здесь также не представляет интереса. Наибольшую точ¬
ность можно получить, если в качестве единицы длины выбрать величину
экваториального радиуса Земли (играющего здесь роль своего рода «астро¬
номической единицы»). Несоответствие этого радиуса лабораторной еди¬
нице длины уже не столь существенно, как в предыдущем случае. Грави¬
тационный параметр Земли может быть найден непосредственно из изме¬
рений ускорения силы тяжести, что позволяет добиться большей точности,
чем из данных об орбитальном движении Луны. При этом только следует
очень точно учитывать эффект вращения Земли и влияние ее сжатия *).
§ 3.8. Сравнение качественных и количественных методов
Многие результаты, получение которых, казалось бы, должно быть
связанным с проведением больших по объему вычислений, получаются
непосредственно путем использования известных интегралов задач двух
и трех тел. Примером может служить понятие о так называемом «эффек-
*) S. Herrick, R. М. L. Backer, Jr., and С. G. Hilton, Gravitatio¬
nal and Related Constants for Accurate Space Navigation, Proceedings of the Eigth
International Astronautical Congress, Barcelona, 1957, Vienna, Springer-Verlag,
pp. 197—235, 1958; American Rocket Society Preprint, № 497-57; U. C. L. A. Ast-
ron. Papers 1, № 24, 297 — 338 (1958).
6 Космическая техника

82
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. з
Рис. ИЛ Г). Эффективный радиус столкновения.
тпвном радиусе» (рис. 3.15), который определяется следующим образом.
Пусть летательный аппарат движется в направлении к Луне, причем
если бы притяжение Лупы отсутствовало, то он прошел бы мимо нее
на кратчайшем расстоянии b от
ее центра. Ввиду наличия лун¬
ного притяжения траектория
аппарата относительно Луны
будет близкой к гиперболе,
асимптота которой проходит па
расстоянии Ъ от центра Лупы.
Тогда, если минимальное рас¬
стояние г гиперболы от центра
Луны совпадет с действитель¬
ным радиусом Луны, величина
b будет представлять собой ее
эффективный радиус. Таким об¬
разом, наличие поля тяготения
Луны увеличивает ее размеры
как цели, так как эффективный радиус обычно превышает ее действител ь-
иый радиус в 13 раза в зависимости от скорости движения аппарата.
Разумеется, если производить точный расчет с учетом ноля тяготения
Луны, то целесообразнее сравнивать
с радиусом Луны не эффективный
радиус, а наименьшее расстояние
траектории от центра Луны *).
Применение вычислительной тех¬
ники в исследованиях в свою очередь
позволило обнаружить ряд интерес¬
ных, не известных ранее фактов. Один
из них проиллюстрирован рис. 3.16.
Пусть в качестве расчетной орбиты
для полета к Луне выбрана средняя
из трех орбит, показанных на рисун¬
ке, и точка Тъ есть расчетная точка
встречи. Если окажется, что факти¬
ческая скорость летательного аппа¬
рата превышает расчетную, он пойдет
по внешней орбите и, несколько рань¬
ше достигнув лунной орбиты, встре¬
тится с Луной в точке Т2. Точно так
же, если скорость аппарата будет
ниже расчетной и он пойдет по мень¬
шей эллиптической орбите, он достиг¬
нет орбиты Луны позже назначенного срока и встретится с Луной в точке Т4.
Таким образом, диапазон скоростей летательного аппарата, при которых
осуществляется встреча с Луной, расширяется благодаря наличию орби-
А/асштаб
ее выдержан
Рис. 3. I (Г Геометрия встречи с Луной при
колете к плоскости ее орбиты.
*) величина кратчайшего расстоянии несложным образом выражается через
известные интегралы задачи двух тел:
h 2
(.1 -j~ ГУ-|-2М2 ’
ГдС ]?—константа энергии, /г—константа момента количества движения и, наконец,
\1 = к-т. (Прим. ред.)

§ 3.8]
СРАВНЕНИЕ КАЧЕСТВЕННЫХ И КОЛИЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ
83
тальиого движения Луны. Этот факт был обнаружен впервые Г. Лиски
(Н. Lieske), а затем и рядом других исследователей. Чертеж1, показан¬
ный па рис. 3.16, выполнен Л. Ж. Уолтерсом (L. G. Walters). На чер¬
теже участок, где возможна встреча с Луной, не¬
сколько преувеличен.
Иногда качественные методы оказываются
более эффективными, чем точные расчеты, избав¬
ляя от необходимости проведения большой вычис¬
лительной работы. Пример такого случая приведен
на рис. 3.17. Некоторыми исследователями пред¬
лагается выводить летательный аппарат па меж¬
планетную орбиту, используя лунный разгон.
Действительно, если аппарат будет проходить близ
Луньг, то Луна «увлечет» его за собой, искривив
его траекторию и увеличив при этом его скорость.
Максимально возможное приращение скорости при
таком маневре вдвое превышает орбитальную
скорость Луны, т. е. равно 1,2 миль/сек*). К со¬
жалению, осуществление такого маневра требует
очень тщательного управления движением лета¬
тельного аппарата, так как, если он пройдет чуть
дальше или чуть ближе от Луны, чем это нужно,
его траектория резко отклонится от расчетного
направления. Такое управление потребует доба¬
вочных топливных затрат, и они, по-видимому, бу¬
дут больше, чем затраты па увеличение стартовой
скорости летательного аппарата на 0,1 миль/сек,
которое на расстоянии лунной орбиты дает такое же приращение скорости.
Иногда, однако, качественные методы могут привести к поверхност¬
ным выводам или даже к неверным результатам. Такой случай имеет
Рис. 3.17. Траектория дви¬
жения тела, увеличиваю¬
щего свою орбитальную
анергию за счет прохож¬
дения близ Лупы.
\Луна
О
Земля
б)
Рис. 3.18. а) Гипотетическая «впадина потенциала» в статической
модели поля Земля —Лупа, б) Действительное влияние движения
Луны па приближающийся к пей снаряд.
место в отношении той точки пространства, где силы притяжения Земли
II Луны взаимно уравновешиваются, или, говоря более строгим языком,
*) По расчетам В. А. Егорова см. «Успехи физических паук», т. LXIII
А2 1, 1957) максимальная величина разгона снаряда Луной составляет приблизи¬
тельно 1.5 км/сек. (Прим. ред.)
6*

84
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ И ИХ ОРБИТЫ. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 3
гравитационный потенциал системы Земля — Луна имеет седловую точку
(рис. 3.18). Понятие эквипотенциальной поверхности, сечение которой
показано на рисунке, часто оказывается весьма полезным, однако не
следует думать, что для сближения с Луной достаточно достичь «седла»
и затем можно просто «падать» на Луну. То, что могло бы произойти
в этом случае в действительности, изображено снизу на рис. 3.18.
Пусть ракета, стартовавшая с Земли, входит в сферу преобладающего
лунного притяжения с нулевой скоростью относительно Земли; вслед¬
ствие орбитального движения Луны скорость ракеты относительно нее
будет гиперболической. Поэтому ракета быстро «проскочит» район пре¬
обладающего притяжения Луны и, описав некоторую петлю или иную
фигуру, начнет падать к Земле. Если же ракета подходит с нулевой ско¬
ростью к седловой точке, в которой притяжения Земли и Луны взаимно
уравновешены, то влияние Луны на нее никак не скажется и она начнет
падать обратно на Землю, тогда как Луна пройдет мимо. Единственным
местом, где ракета может войти в сферу лунного притяжения при нулевой
относительно Земли скорости, является «окно» с радиусом, равным эффек¬
тивному радиусу Луны, находящееся прямо впереди Луны по ее орбите.
В этом случае гиперболическая по отношению к Луне траектория ракеты
встретится с лунной поверхностью.
ЛИТЕРАТУРА
Существует много превосходных книг по ракетной технике, где рассматривают¬
ся задачи, связанные с определением траекторий движения. Расчету «точных»
орбит посвящена книга Herrick S., Astrodynamics, Princeton, N. J., D. Van Nost¬
rand, 1959.
Различные вопросы небесной механики и определения орбит небесных тел осве¬
щены в следующих работах:-
1. Moulton F. R., An Introduction to Celestial Mechanics, New York, Macmillan,
2-е изд., 1914. [Русский перевод: M у л ь т о и Ф., Введение в небесную механику,
ОНТИ, 1935.]
2. Smart W. М., Celestial Mechanics, London, New York, Toronto, Longmans,
Green, 1953.
3. T i s s e r a n d E. F., Trait e de Meeanique Celeste, Paris, Gauthier-Villars, 1889 —
1896.
4. Oppolzer T. R., Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten,
Leipzig, Vol. 1, 1870-1882, Vol. 2, 1882.
5. В a u s с h i n g e r J., Die Bahnbestimmung der llimmelskorper, Leipzig, Engel-
mann, 1-е изд., 1906, 2-е изд., 1928.
6. S t г a с k e G., Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin, Springer, 1929.
7. С r a w f о r d R. Т., Determination of Orbits of Comets and Asteroids, New York,
McGraw-Hill, 1930.

ГЛАВА 4
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ
СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
Джозеф У. Сири (Joseph W. Sir у)
§ 4.1. Проблема запуска геофизического спутника
Искусственные спутники Земли, которые будут запущены в течение
Международного Геофизического Года, позволят расширить наши знания
об окружающем мире *). Выбор орбит этих спутников диктуется целым
рядом соображений, одни из которых связаны с возможностями совре¬
менных ракет-носителей, служащих для вывода на орбиту, другие опре¬
деляются требованиями программы наблюдений за спутниками. Большую
роль здесь играет также и характер тех научных экспериментов, которые
должны быть выполнены с помощью запускаемых спутников.
Остановимся сначала на характеристиках ракеты-носителя спутника,
ее траектории и влиянии этих факторов на выбор орбиты геофизического
спутника.
Ракета-носитель «Авангард» должна в течение Международного
Геофизического Года вывести па орбиту искусственный спутник Земли.
Основные требования к характеристикам ракеты-носителя опреде¬
ляются гравитационным полем; Земли и ее атмосферой. Для того чтобы
спутник двигался по круговой или почти круговой орбите, высота которой
составляет малую долю от земного радиуса, необходимо, чтобы он имел
скорость около 8 км/сек. Поэтому ракета-носитель должна быть способна
сообщить спутнику такую скорость.
Сила аэродинамического сопротивления, действующая на спутник
при его движении по орбите, лгала, однако, действуя в течение длительного
времени, она оказывает заметное влияние, уменьшая орбитальную энер¬
гию спутника и сокращая тем самым большую полуось его орбиты. Когда
спутник войдет в нижние, плотные слои атмосферы, аэродинамический
нагрев станет столь большим, что спутник станет чем-то вроде искусствен¬
ного метеора. Чем меньше плотность воздуха в окрестности начальной
орбиты спутника, те л г больше время его существования. Плотность же
воздуха убывает примерно по экспоненте при росте высоты орбиты.
Для возможности проведения серьезных геофизических и астрофизи¬
ческих исследований время пребывания геофизического спутника на орби¬
те должно быть не менее двух недель. Больший срок жизни спутника,
скажем, 1 год, позволил бы провести еще более глубокое изучение геофи¬
зических проблем.
*) Эти строки писались в 1958 г. {Прим. ред.)

86
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
Выбор орбиты определяется также и другими факторами. Так, напри¬
мер, из анализа движения спутника, в частности из закона уменьшения
высоты перигея орбиты вследствие аэродинамического сопротивления,
можно найти плотность воздуха вблизи перигея. Плотность атмосферы
в более высоких точках орбиты найти труднее, так как ее влияние на орби¬
тальное движение сказывается там слабее. До высот 135 миль уже произ¬
водились в течение ряда лет измерения плотности с помощью зондирую¬
щих ракет. Поэтому измерения на больших высотах, например на высотах
до 200 миль, представляют сейчас особый интерес и важность. Отсюда
следует, что начальная высота перигея орбит спутников «Авангард»
должна равняться примерно 200 милям. Эта высота и была выбрана в каче¬
стве минимальной начальной высоты перигея.
А-бросание снизу от горизонта
В - бросание сверху от горизонта
Рис. У I.Орбиты спутника при мсгорнзоиталыюм бросашш.
Орбита спутника полностью определяется векторами его положения
и скорости в конце участка вывода, т. е. в момент, когда он получает
последний импульс от последней ступени ракеты-носителя. Если эта
скорость в точности равна круговой скорости для данной высоты точки
выхода и направлена строго горизонтально, то орбита спутника будет
круговой. Если же какое-нибудь из этих условий не выполнено, то орбита
будет эллиптической. Практически очень лгало вероятно, что эти усло¬
вия будут выполнены. Например, если эта скорость будет меньше круго¬
вой, то орбитой будет эллипс, перигей которого (т. е. точка наибольшего
приближения к земной поверхности) будет лежать ниже точки выхода
на орбиту. Во избежание этого нужно, чтобы ракета-носитель обладала
некоторым запасом располагаемой характеристической скорости для
компенсации накапливающихся ошибок вывода и могла сообщить спут¬
нику в конце концов требуемую скорость. В тех случаях, когда горизон¬
тальная скорость спутника при выходе на орбиту превышает круговую,
орбита будет также эллиптической, но с высотой апогея (точки наиболь¬
шего удаления от поверхности Земли) больше высоты точки выхода.
Если вектор начальной скорости направлен несколько вниз, то спут¬
ник будет периодически слегка погружаться в атмосферу и высота перигея
будет ниже высоты начальной точки. Преднамеренное направление век¬
тора скорости несколько кверху также не позволяет избежать этого.
Так, например, если запустить два спутника из одной точки под одинако¬
выми малыми углами один кверху, другой книзу от линии местного гори¬
зонта, то их орбиты будут подобными и симметрично расположенными
относительно начальной точки. Это схематически показано на рис. 4.1.

§ 4.1]
ПРОБЛЕМА ЗАПУСКА ГЕОФИЗИЧЕСКОГО СПУТНИКА
87
В обоих случаях начальная высота перигея оказывается примерно одина¬
ковой, моменты же прохождения спутников через перигей будут различ¬
ными. Поэтому любое отклонение вектора начальной скорости от расчет¬
ного направления является, как правило, одинаково нежелательным.
Из этого видно, как важно иметь на борту точную систему управления для
ориентации вектора скорости третьей ступени ракеты-носителя. Учиты¬
вая, что фактически вектор начальной скорости все же не будет строго
горизонтальным, следует выбрать начальную высоту больше 200 миль.
Можно, по-видимому, считать, что высота начально]! точки в 300 миль
удовлетворяет всем требованиям, связанным с характеристиками ракеты-
носителя спутника «Авангард».
В соответствии с расчетными характеристиками ракеты-носителя
и весом приборов, необходимых для проведения геофизических и астро¬
физических исследований, вес спутника был оценен в 21,5 фунта (9,7 кг).
Таким образом, ракета-носитель спутника «Авангард» должна быть спо¬
собна вывести спутник весом 21,5 фунта на высоту около 300 миль так,
чтобы он двигался по орбите с начальной высотой перигея около
200 миль.
Ракета-носитель «Авангард», показанная на рис. 4.2, представляет
собой трехступенчатую ракету обще]’! длиной 70 футов и стартовым весом
свыше 11 т. Длина первой ступени 40 футов, диаметр — около 45 дюймов.
Топливные компоненты этой ступени — жидкий кислород и керосин —
подаются в камеру сгорания турбонасосной системой. Топливо хранится
в цилиндрических баках под давлением: инертного газа — гелия; стенки
баков фактически составляют часть корпуса ракеты. От обычных ракет
настоящий вариант отличается отсутствием знакомой системы рулей.
Взамен их управляющие силы по крену создаются посредством исполь¬
зования малых добавочных двигателей, а по тангажу и рысканью соответ¬
ствующие моменты создаются путем поворота маршевого двигателя, укреп¬
ленного на шарнирном подвесе, как это делается в гироскопических
устройствах.
Диаметр второй ступени 32 дюйма, длина 30 футов. Укрепляется она
на верхнем конце первой ступени. В свою очередь она несет третью сту¬
пень, работающую на твердом топливе, в носовом отсеке которой: помещен
сам спутник. Как и в первой ступени, баки второй ступени явля ются частью
корпуса, а двигатель шарнирно подвешен. Топливо подается в двигатель
непосредственно пз баков, где оно находится под высоким давлением гелия.
В качестве топливных компонент используются азотная кислота и несим¬
метричный ди метилгидразин.
Спутних
Рис. 4.2. Ракета-носитель спутника «Авангард».

88	ТРАЕКТОРИИ	ЗАПУСКА	И	ОРБИТЫ	СПУТНИКОВ	«АВАНГАРД»	[ГЛ.	4
§ 4.2. Траектории ракеты-носителя спутника
4.2.1.	Характеристики трехступенчатой ракеты-носителя. На рис. 4.3
схематически изображена типичная траектория ракеты, выводящей спут¬
ник на орбиту. Здесь показаны основные участки такой траектории. Стар¬
тует ракета-носитель вертикально, поэтому траектория начинается с корот¬
кого вертикального участка. Когда этот участок благополучно пройден,
ракета выходит на криволинейную траекторию, приближающуюся к гори¬
зонтальному направлению, вдоль которого в конце пути ракета сообщает
спутнику орбитальную скорость. Для уменьшения потерь от аэродина¬
мического сопротивления желательно, чтобы ракета быстро прошла сквозь
Ашизти yvecma/f
Рис 4.3. Типичная траектория вывода спутника па орбиту.
плотную нижнюю атмосферу и траектория ее стала приближаться к гори¬
зонтальному направлению только после выхода из тех слоев, где сопротив¬
ление атмосферы еще значительно. Орбита спутника по этой причине
должна иметь высоту 100 или более миль. Что же касается ракеты-носи¬
теля «Авангард», то для нее влиянием атмосферы на траекторию можно
пренебречь уже на высотах около 40 миль. В пределах плотной атмосферы
ракета-носитель движется по траектории, близкой к траектории нулевой
подъемной силы, что позволяет свести к минимуму перенапряжения
в конструкции ракеты, вызываемые аэродинамическими силами на боль¬
ших углах атаки. После прохождения плотных слоев атмосферы первая
ступень трехступенчатой ракеты полностью выгорает и отбрасывается.
Это происходит на высоте примерно 35 миль через 2 минуты после старта.
Скорость ракеты-носителя при этом равна приблизительно 1 миль!сек.
После этого начинает работать двигатель второй ступени, продолжаю¬
щий поднимать и разгонять всю оставшуюся часть ракеты-носителя спут¬
ника. Влияние аэродинамических сил здесь уже сказывается сравнительно
слабо, однако именно тут встает проблема аэродинамического нагрева.
Носовой: конус ракеты-носителя оказывается полезным не только тем, что
уменьшает потери от сопротивления во время работы первой ступени,
но и тем, что воспринимает на себя основную часть «теплового удара»
при работе второй ступени. Еще до окончания работы двигателя второй
ступени конус отбрасывается и спутник остается открытым в носовой
части ракеты. Однако теперь аэродинамический нагрев уже не опасен,
атмосфера достаточно разрежена.
После окончания работы второй ступени ракета-носитель по инерции
движется вверх к апогею своей траектории. Момент выгорания второй:
ступени наступает через 4 минуты после старта, причем она находится
в этот момент на высоте, равной половине заданной орбитальной высотыг

§ 4.2]
ТРАЕКТОРИИ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ СПУТНИКА
89
и имеет скорость, равную половине орбитальной. Горизонтальная даль¬
ность ракеты в этой точке равна 200 милям. Вектор скорости наклонен
к горизонту под углом около 20°.
На участке полета по инерции после прекращения работы маршевого
двигателя вторая ступень должна поддерживать определенную ориента¬
цию и, следовательно, для этой цели должна иметь систему реактивных
сопел. Вся система управления ракеты-носителя сосредоточена на второй
ступени. Здесь помещаются трехгироскопная опорная система осей, про¬
граммирующее устройство угла тангажа, датчики рассогласований, инте¬
грирующие акселерометры и управляющее устройство, задающее в полете
последовательность во времени основных операций, как, напримерг
моменты включения и отсечки двигателей ступеней, отделение ступеней
и т. д. При приближении к заданной орбитальной высоте ракета-носитель,
состоящая из второй и третьей ступеней, ориентируется в горизонтальном
направлении. Третья ступень не имеет системы управления, и ее стабили¬
зация обеспечивается вращением ее вокруг продольной оси. Это враще¬
ние придается ей тогда, когда ее торец еще скреплен с поворотной плитой
на переднем конце второй ступени. Маленькие ракетные двигатели при¬
водят во вращение эту плиту, а вместе с ней и всю третью ступень. По
достижении требуемой скорости вращения вторая ступень отделяется
от третьей при помощи малых ракетных двигателей. Сразу же после
отделения второй ступени автоматически включается двигатель третьей
ступени, которая разгоняет спутник, сообщая ему остающуюся половину
орбитальной скорости.
Важной целью теоретического изучения характеристик ракеты-носи¬
теля спутника является выяснение того, насколько они удовлетворяют
поставленным требованиям. Для изучения этих характеристик необходимо
знать траекторию полета, которая определяется основными законами
механики. Определение траектории заключается в решении системы диф¬
ференциальных уравнений, описывающих движение ракеты-носителя.
Система основных уравнений может принимать различную форму
в зависимости от количества и характера тех эффектов, которые счи¬
таются пренебрежимо малыми или же могут быть учтены в виде малых
поправок, сравнительно не сложно вычисляемых.
В начальной стадии изучения для уменьшения затрат времени на
программирование уравнений при решении их на быстродействующей
автоматической цифровой вычислительной машине типа «Нарек» («Narec»}
использовались упрощенные варианты уравнений.
4.2.2.	Вертикальное движение ракеты-носителя. Для более деталь¬
ного изучения движения ракеты удобно сначала рассмотреть ее верти¬
кальный полет в пустоте, считая, что ускорение силы тяжести не зави¬
сит от высоты. Это дает хорошее приближение к действительному движе¬
нию ракеты-носителя спутника «Авангард» на первом участке ее полета.
Ракета движется под действием силы тяги реактивного двигателя F,
которая пропорциональна т — скорости убывания массы ракеты со вре¬
менем. Коэффициент пропорциональности с, имеющий размерность ско¬
рости, можно физически интерпретировать как эффективную скорость
движения газов на срезе сопла двигателя в момент их выхода из сопла.
Большинство ракет конструируется таким образом, чтобы скорость рас¬
хода массы у них была постоянной; масса ракеты в любой момент времени t
тогда будет
т (t) = т (t0) — т (t — t0).	(4.1)

90
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
Обозначая ускорение силы тяжести g, а ускорение ракеты v(t), имеем
т (t) v (t) г.. тс — т (t) g.
(4.2)
Пусть время работы двигателя есть 1Ъ — 10, а иь будет обозначать ско¬
рость ракеты по окончании работы двигателя. Тогда мы получим
В действительности траектория ракеты-носителя спутника не верти¬
кальна, а искривлена. Тем не менее полученные выражения отражают
некоторые ее важные черты. Основной прирост скорости ракеты опреде¬
ляется членом с In Ж в уравнении (4.3). Величину с часто записывают
в виде произведения Ig, где / — удельный импульс, имеющий размер¬
ность времени. Удельный импульс / зависит от эффективности преобразо¬
вания химической энергии топлива в двигателе ракеты в кинетическую
энергию вытекающих газов, а отношение масс зависит от качества
конструкции ракеты. Стремление к максимальному уменьшению веса
конструкции является здесь главнейшей целью. Удельный импульс /
и отношение масс 9i — это две основные величины, характеризующие
качество ракеты. Как можно видеть, к моменту выгорания топлива соста¬
вляющая скорости, обусловленная основным членом с In 91, прямо про¬
порциональна удельному импульсу и логарифму отношения масс. Из
уравнения (4.3) видно также, что скорость ракеты будет тем больше, чем
скорее будет израсходовано топливо. Это происходит из-за наличия члена
g(lb — /0). Удельные импульсы современных ракет имеют величину 200 сек
и более. В ближайшем будущем благодаря разработке новых химических
топлив можно надеяться лишь па умеренное увеличение этой цифры. Суще¬
ствуют также практические пределы и для безопасного снижения веса
конструкции ракеты-носителя. Можно добиться значительного увеличе¬
ния эффективного отношения масс, делая ракету составной, т. е. состоя¬
щей из ряда ступеней, каждая из которых представляет, собой самостоя¬
тельную ракету. Эффективность многоступенчатой ракеты возрастает
с увеличением количества ступеней. Однако из практических соображе¬
ний в качестве оптимального варианта для ракеты-носителя спутника
«Авангард» была выбрана трехступенчатая конструкция.
Прямолинейный вертикальный полет одноступенчатых и многосту¬
пенчатых ракет подробно рассмотрен в гл. 1, куда мы и отсылаем читателя
за п о д р о б н о ст я ми.
4.2.3.	Движение ракеты-носителя в вертикальной плоскости. После
короткого начального вертикального участка траектория ракеты начи¬
нает отклоняться от вертикального направления. При полете сквозь
плотные слои атмосферы целесообразно направлять ракету вдоль траек¬
тории нулевой: подъемной силы , так как в этом случае снижаются напряже¬
ния в конструкции, вызываемые действием аэродинамических сил. Урав¬
нения этой траектории, лежащей в вертикальной плоскости, следующие:
v (tb) v (tu) -г С ill SR — о- (tb —10),
(4.3)
где 9i — отношение масс, равное
т (*о)
"" т (tb) •
(4.4)
у W у siu Y (*) - G (У) - sin у (t).
(4.5)

§ 4.2j
ТРАЕКТОРИИ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ СПУТНИКА
91
Здесь v — скорость ракеты:
v|	- !Г ,	(4.0)
а у — угол между касательной к траектории и горизонталью:
у	arctg —-.	(4.7)
X
Земля считается плоской и невращагощейся. Горизонтальные и верти¬
кальные координаты ракеты обозначаются как ./■ и у соответственно.
В качестве начальных условий для урав¬
нений (4.4) и (4.5) берутся значения вы¬
соты и скорости г/j (/1) и гц(К) в конце
начального участка вертикального движе¬
ния. Например, естественно принять, что
'■(/О- о, (/(A '/iCA (М
- Vy (li) cos у (1Л) и у (li) Vi. (li) sin y Cl),
где параметр у (tL) выбирается из сообра¬
жений, которые будут изложены ниже
(стр. 94, рис. 4.10). Ради удобства этот
параметр у (К), который можно рассмат¬
ривать как угол начального наклона
(см. рис. 4.10), будем в дальнейшем обо¬
значать	буквой Г.	Задание	этой величины определяет	характер траек¬
тории нулевой	подъемной	силы. Силы, действующие на центр масс ра¬
кеты при движении но такой траектории, показаны схематически на
рис. 4.4. Эту траекторию называют часто
также траекторией гравитационного раз¬
ворота*).
Если продольная ось ракеты не сов¬
падает с касательной к ее траектории, то
аэродинамические силы,	помимо состав¬
ляющей, направленной	против вектора
относительной скорости ракеты, будут соз¬
давать и подъемную силу, действующую
по нормали к силе сопротивления в пло¬
скости, определяемой осыо ракеты и век¬
тором относительной скорости. В каче¬
стве системы координат примем систему,
неподвижную относительной атмосферы,
а направление вектора относительной скорости потока будем считать про¬
тивоположным направлению вектора абсол ютной скорости ракеты. Угол
между осыо ракеты и набегающим потоком, известный как угол атаки,
обозначим буквой а, как это показано на рис. 4.5. Определил! угол 0
с л еду ющи м образом:
0 - у г CL	(/к8)
Как сила сопротивления, так и подъемная сила зависят от угла атаки.
В интересующей нас области значений сила сопротивления возрастает
Ос/7 ра/ге/77&/
Рис. Д. 5. Подъемная сила об¬
условленная углом атаки а.
Рпс. Д Л. Силы, действующие на центр
масс ракеты на траектории нулевой
подъемной силы.
*) См. примечание на стр. 45.

92
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
с ростом угла атаки. Подъемная сила выражается формулой
1
L(y, v, а) = т Q(y)v2 AC La(M)sm а.
(4.9)
Типичная кривая зависимости коэффициента подъемной силы
CLa (М) от числа М показана на рис. 4.6. Полный вектор аэродинамиче¬
ской силы А:
A = D + L,	(4.10)
приложен в центре давления и в общем случае не параллелей оси ракеты.
Центр давления также не обязательно совпадает с центром масс ракеты.
Ось ра/геш/
М
Рис. 4.6. Типичная кривая зависи¬
мости коэффициента подъемной силы
Сьа от числа Маха М.
Рис. 4.7. Схема моментов от аэродина¬
мических сил и сил тяги.
Поэтому на ракету действует опрокидывающий момент, что показано
на рис. 4.7. Этот момент уравновешивается моментом от двигателя ракеты,
направление тяги которого ради этого отклоняется от осевого направле¬
ния на малый угол 6, равный
я	У’	v)lD(y’ у) sin a (l) + .L(y, р) cos а (0]	Ut	А	л	ч
О = aicsm	/..	„)	/.•	(;/)	•	(4-11>
Этот угол также показан на рис. 4.7. В написанной формуле Zp и lF обозна¬
чают соответственно расстояние центра давления и точки приложения
силы тяги от центра масс ракеты.
С учетом подъемной силы уравнения (4.4) и (4.5) можно записать
в следующем более общем виде:
’’/л F (У) cos [0 (l)J\--b (0] D(y, v, а)	L	(?/,	v,	a)	.	/	4
• * (0 = —	1 l>\	 т(Г)	C0S	У	^	by-' Sln Y (0.	(4-12>
У (*) =
m (I)
F (y) sin [0(0+6 (01
m (t)
n , v	D(y, v,	a) .	, v , L(ij,v,a)
G(V)	/л SU1Y	(0 + -Ьтт— cos Y (0-
m (t)	'	m	(I)	r ; 1 m (i)
(4.13)-
Для вычисления траектории, описываемой этими уравнениями, необ¬
ходимо задать угол, скажем 0Ц), как функцию времени I. На начальном
участке полета это делается обычно исходя из технических данных ракеты.
Так, например, при движении ее в плотной атмосфере нужно, чтобы угол
атаки был малым. Ниже будут приведены соображения, определяющие
выбор функций 0(Z) при движении ракеты за пределами плотной атмосферы
(см. также гл. 2). Когда траектория ракеты охватывает значительную

§ 4.2]
ТРАЕКТОРИИ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ СПУТНИКА
93
дугу над земной поверхностью, для увеличения точности следует учиты¬
вать шарообразность Земли. В этом случае удобно изучать движение
в системе координат с началом в точке старта, оси х и у которой совпа¬
дают с направлениями местной горизонтали и вертикали. Предположим,
что направление оси х совпадает с начальным азимутом криволинейного
участка траектории. Уравнения движения в этих осях будут
*; F (/г) cos [0 (0 + 6 (0]
т (t)
F(h) sin [0 (0-!--б (01
т (/)
Здесь jli - arctg
	JV
■ G (h) sin |x —
D (h, v, a)	,	,	L (h, v, a) .	,
 ~in(i) cos Y (*) - -^y-^-sm Y it), (4.14)
— G (h) cos \i —
D (h, v, a) .	. v ,	]и (h, v, a)	. .
 »Г(7Г" SU1 Y (0 -f —ЛГЩ—	cos Y (0-	(Y-'lb)
A h = r — R, г = Уx2 -j- г/2, R — радиус Земли.
Некоторые	из	этих	величин показаны на	рис. 4.8.	Влияние	враще¬
ния	Земли	можно	учесть	в виде поправок к	решениям	уравнений	(4.14)
и (4.15). Например, линейную скорость
вращения Земли можно разложить на две
составляющие, одна из которых лежит в
рассматриваемой плоскости вдоль оси х
(рис. 4.8), а другая направлена перпен¬
дикулярно к этой плоскости. Для учета
этих поправок следует соответственно из¬
менить компоненты векторов положения
и скорости ракеты. Иногда даже бывает
удобно перейти от системы координат,
связанной с Землей, к инерциальной систе¬
ме с началом отсчета в точке выгорания*
второй ступени.
Конечные значения величин при вы¬
горании какой-либо ступени, полученные
численным интегрированием уравнений типа (4.14) и (4.15), образуют
систему начальных условий для аналогичных уравнений, описывающих
движение последующей ступени. Траекторию свободного полета в вакууме,
по которой будет двигаться ракета после выгорания второй ступени, мож¬
но найти либо интегрируя уравнения (4.14) и (4.15) численно при F —
= D = L = 0, либо используя теорию кеплерова движения (см. § 3.2).
Незадолго до достижения апогея эллипса, по которому движется ракета
после выгорания второй ступени, начинает работать двигатель третьей
ступени. Так как эта ступень стабилизирована вращением, ее вектор тяги
имеет фиксированное направление относительно инерциальной системы
координат. Выбор направления тяги и времени зажигания третьей сту¬
пени можно качественно обосновать следующим образом. В момент выхода
спутника на орбиту, т. е. после выгорания третьей ступени, вектор ско¬
рости спутника должен быть направлен по местной горизонтали. В про¬
тивном случае высота перигея (точки наибольшего приближения к поверх¬
ности Земли) будет ниже высоты точки выхода на орбиту и, значит, время
жизни спутника сократится. Отсюда вытекает необходимость направить
спутник при выводе на орбиту строго горизонтально. Из соображений
экономии энергии желательно, чтобы вектор тяги третьей ступени был
параллелен вектору скорости выхода спутника на орбиту. Указанные
Рис; 4.8. Координаты на траектории
над сферической Землей.

94
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
1.1 VI. 4
два условия могут быть удовлетворены соответствующим выбором двух
параметров — времени зажигания третьей ступени и направления ее
тяги. Оптимальное решение этой задачи может быть выполнено численно.
Например, задавшись некоторым направлением тяги и меняя время зажи¬
гания, можно добиться того, что вектор скорости выхода спутника на орби¬
ту будет параллелен местной горизонтали. Повторяя такой процесс для
v
t ^	^	  Местная
-—горизишалд
Рис. 4.9. Схематическое представлен не параметров, подлежащих
регулировке дли обеспечения тангенциального выхода на орбиту:
/ -- момент зажигания третьей ступени, т— ориентация тяги третьей
ступени п г скорость при выходе на орбиту.
нескольких направлений тяги, можно в конце концов методом интерполя¬
ций подобрать такую комбинацию направления тяги и времени зажигания,
при которой удовлетворяются оба поставленных условия, а именно, век¬
тор выводной скорости спутника будет параллелен как местной горизон¬
тали в точке вывода, так и направлению вектора тяги третьей ступени.
Сказанное поясняется рис. 4.9.
4.2.4.	Движение ракеты-носителя по пространственной траектории.
Действительное движение ракеты, выводящей спутник «Авангард», будет
происходить в трех измерениях. Для изучения таких траекторий и орбит
спутников вводятся специальные системы координат, описываемые в при¬
ложении 4А к настоящей главе. Эта проблема, а также и ряд других,
рассматриваемых здесь, изложены более подробно в работе [8].
§ 4.3. Проблемы оптимизации
4.3.1.	Оптимизация веса ступеней ракеты. В настоящее время затра¬
чиваются и будут затрачиваться в дальнейшем значительные усилия для
улучшения характеристик ракеты-носителя спутника «Авангард». Эти
характеристики можно выра¬
зить величиной скорости, кото¬
рую ракета может сообщить
спутнику весом 21,5 фунта на вы¬
соте 300 миль. Меняя параметр
Г — угол начального наклона,
можно найти такую траекторию
нулевой подъемной силы, кото¬
рая заканчивается на высоте
300 миль. Это иллюстрируется
рис. 4.10. После этого основ¬
ным параметром, характери¬
зующим ракету, будет получае¬
мая в этих условиях выводная
скорость.
Одной из важнейших задач на первых этапах осуществления всего
проекта была задача определения размеров и весов всех трех ступеней
ракеты-носителя спутника «Авангард». Как уже говорилось выше, эф¬
Рпс. 4.10. Схема интерполяции для определения
угла начального найлона Г, при котором до¬
стигается вывод па орбиту заданной высоты
/, = ООО миль с соответствующей скоростью г.

§ 4.3]
II Р О Б Л Е МЫ О П Т11М11.3 А I [ IT II
95
фективное отношение масс может быть улучшено, если обратиться к много¬
ступенчатым конструкциям. Характеристики многоступенчатой ракеты
зависят от относительных размеров ее ступеней. Оптимальные значения
этих относительных размеров могут быть выражены в замкнутой форме,
если ввести /достаточное количество ограничивающих предположении,
касающихся аэродинамических и гравитаци¬
онных сил. Действительную траекторию
выводящей ракеты можно найти тогда, решая
численными методами систему дифферен¬
циальных уравнении, таких, как (4,4) и (4.5).
Для решения задачи об оптимальном распре¬
делении веса среди трех ступеней ракеты-но¬
сителя необходимо соответствующим образом
учесть все эффекты. В применении к ракете-
носителю спутника «Авангард» это делалось
следующим путем.
Целью проводимой оптимизации было
определение такого распределения масс трех
ступеней, которое обеспечило бы достижение
ракетой максимальной выводной скорости
при заданной системе начальных условий и
значений параметров, характеризующн х
двигательную систему и аэродинамику раке¬
ты. Полный вес ракеты считался заданным,
поэтому массы только двух из трех ступе¬
ней были независимыми переменными. Ко¬
нечная скорость являлась, таким образом,
функцией двух переменных — весов первой
и второй ступеней!, т. е. и = /(ид, w2). Для
любой пары значений ид и w2 скорость и может оыть найдена в результате
вычисления семейства траекторий, аналогичных показанным на рис. 4.10.
Рассматривая вес ступени как переменную величину, отметим сле¬
дующее. Полный вес ступени складывается из постоянной составляющей
(как, например, вес силовой установки) и переменной составляющей.
Последняя в свою очередь состоит из двух частей, одна из которых есть
вес топлива, а другая — вес топливных баков и прочего оборудования.
Вес этих элементов в общем пропорционален весу топлива, причем коэф¬
фициент пропорциональности выражается через отношение веса топлива
ко всему переменному весу ступени. Ради удобства указанные две части
переменного веса ступени будем называть весом топлива и весом баков,
хотя в состав последней части будет включаться также и вес вспомогатель¬
ного оборудования. На рис. 4.11 дано схематическое изображение трех¬
ступенчатой ракеты. При расчете конкретной траектории полета заданной
ракеты последнюю можно охарактеризовать стандартной системой па¬
раметров: отношением масс, удельным импульсом и программой изме¬
нения сил тяги и сопротивления. При расчете же семейства траекторий,
зависящих от весов ступеней ракеты, важно ввести еще один допол¬
нительный параметр — долю веса топлива в общем переменном весе
ступени.
Задачу оптимизации можно истолковать как задачу отыскания
такой точки, т. е. такой пары значений ид и w2, в которой функция v
-- /(ид, w2) достигает своего максимального значения (рис. 4/12). Это
делается следующим образом. При заданном значении, например, ид
__ Фиксирован¬
ный вес
— Вес топлива
- Вес Вико в
Рис. 4.11. Схематическое изобра¬
жение переменных »г, н харак¬
теризующих нес ступеней и исполь¬
зуемых при оптимизации трех-
ступ е и ч а т о и ракеты.

96
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА PI ОРБР1ТЫ СПУТНР1КОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
величина и вычисляется для ряда значении w2l в результате чего находится
точка, в которой и как функция w2 имеет максимум. В этой точке выпол¬
няется условрхе
v
^ = о.
dw 2
(4.16)
Такой расчет повторяется для нескольких
значений гщ; для них строятся кривые, на ко¬
торых выполняется условие (4.16) (рис. 4.13).
После этого строится кривая (рис. 4.14), на
которой удовлетворяется условие
— = 0.
dw±
(4/17)
Рис. 4.12. Выводная скорость v
как функция веса первой и вто¬
рой ступеней W! и w%.
Условия	(4.16) и	(4.17) выполняются
одновременно в точке пересечения двух ука¬
занных кривых. В этой точке скорость и
достигает максимума. Величина wz опреде¬
ляется по заданному весу всей ракеты. В це¬
лях скорейшей разработки элементов и узлов
ракеты-носителя спутника «Авангард» общая
схема конструкции	ее	была	принята	еще	на первых	стадиях проектиро¬
вания;	что	касается	относительных	размеров трех	ступеней составной
ракеты «Авангард», то они были определены способом, аналогичным
описанному выше.
du=	dw7 + -^-dw2=d
V	dwr 7 dw2 *
Рис. 4.13. Оптимизация скорости v по от¬
ношению к переменной для нескольких
дискретных значений wx.
Рис. 4.14. Комбинирование оптимумов отно¬
сительно одной переменной (см. рис. 4.13)
с целью получения одного оптимума по двум
переменным.
4.3.2.	Задачи оптимизации формы траектории. Одним из важнейших
моментов в изучении траекторий является задача их оптимизации. Тре¬
бования, связанные с прочностью конструкции ракеты, делают желатель¬
ным, чтобы ракета следовала по траектории нулевой подъемной силы,

§ 4.3]
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
97
поскольку аэродинамические силы, входящие в уравнения (4.14) и (4.15),
достаточно велики. Угол начального наклона у(^), определяемый урав¬
нением (4.7), является переменной величиной, которая должна быть
найдена в процессе оптимизации. На активном участке второй ступени
аэродинамические силы становятся пренебрежимо малыми с точки зрения
возникающих в конструкции перенапряжений. Момент времени, начиная
с которого полет ракеты можно считать происходящим в пустоте, обозна¬
чим tv. Для разных траекторий это время будет различным. С момента
начала полета в пустоте важное значение приобретает оптимизация формы
траектории. Задача определения оптимальной траектории на этом участке
сводится к нахождению оптимальной функции 0(£) при выполнении таких
требований, как упоминавшееся выше условие равенства нулю подъемной
силы (см. также § 2.2). Иногда накладываются и другие требования.
Например, может быть желательным, чтобы отделение первой и второй сту¬
пеней производилось в пустоте. В общем случае, однако, количество и при¬
рода накладываемых ограничений таковы, что для определения оптималь¬
ной траектории необходимо решать вариационную задачу. С помощью
классических методов можно получить решения в замкнутой форме при
определенных ограничивающих предположениях относительно сил
сопротивления и тяжести. При учете влияния всех факторов задача
становится намного сложнее. Поэтому, когда получение решения в замкну¬
той форме невозможно, приходится процессы предельных бесконечно
малых приращений заменять процессами конечных приращений, которые
с требуемой степенью точности аппроксимируют реальные явления.
Так, например, строились решения уравнений (4.14) и (4.15).
По своему физическому смыслу функция 0(£) должна быть непрерыв¬
ной. Ее можно приближенно представить в рассматриваемом интервале
значений в виде некоторой заданной функции, зависящей от конечного
числа переменных параметров. Например, ее можно выразить в виде
степенного ряда по L. Можно также разбить весь рассматриваемый интер¬
вал на ряд примыкающих друг к другу подынтервалов и в каждом из них
представить функцию 0(£) с помощью системы простых функций. Эти про¬
стые функции могут быть линейными, квадратичными или более высокого
порядка функциями времени. Мы можем также задать и 0 на каждом из ин¬
тервалов. Практически функцию 0(£) можно, по-видимому, с достаточной
степенью точности представить с помощью одного или двух параметров.
Например, функция 0(£) может быть принята постоянной на каждом интер¬
вале. Тогда при конечной высоте вывода 300 миль количество параметров,
определяющих траекторию, будет равно двум: угол начального наклона
у(^) на траектории нулевой подъемной силы и угол наклона оси ракеты
к горизонту в момент tv и после него. Для поворота оси ракеты в новое
положение требуется некоторое время. Это время, однако, относительно
невелико и не сказывается заметно на характере траектории. Фактически,
если максимальная скорость вращения задана исходя из технических усло¬
вий, то этот малый эффект не делает необходимым введение нового неза¬
висимого параметра. Так, например, мы можем прямо задать интервал
времени, в течение которого ось ракеты будет поворачиваться с макси¬
мальной угловой скоростью 07?г. Этот интервал начинается с момента tv
и заканчивается в момент ti. Направление оси ракеты в конце этого интер¬
вала будет поддерживаться неизменным в течение всего последующего
периода активного полета. Таким образом, 0(£) на участке свободного поле¬
та можно представить функцией следующего вида, зависящей от двух
7 Космическая техника

98	ТРАЕКТОРИИ	ЗАПУСКА	И	ОРБИТЫ	СПУТНИКОВ	«АВАНГАРД»	[ГЛ.	4
параметров:
0 (t) = е (О + 0m (h-Q + е (t- tt).	(4.18)
Здесь угол 6(tv) следует понимать в указанном выше смысле. Остаются
•
еще три переменных параметра: y(ti), ti и 0. Если высота вывода на орбиту
задана, то независимыми из них будут только два. Зависимой переменной
снова будет скорость при выходе на орбиту. Далее можно отыскивать опти¬
мальные значения этих параметров, пользуясь описанным выше методом
оптимизации весов трех ступеней ракеты-носителя спутника «Авангард».
Конкретная роль отдельных параметров определяется соображениями
удобства проведения численных расчетов. Для того чтобы убедиться, что
найденные экстремальные значения являются действительно оптималь¬
ными, можно прибегнуть к методам, аналогичным методам вариационного
исчисления.
Этот метод можно применять и при большем количестве параметров.
Число вводимых переменных параметров зависит от требуемой точности
и практического удобства представления функции. Математические методы
оптимизации при наличии п независимых переменных приводятся в
работе [8].
Применение численных методов при оптимизации траектории ракеты-
носителя спутника «Авангард» позволило получить ряд интересных
результатов. В качестве основных условий были взяты условия, упоми¬
навшиеся ранее, т. е. ракета должна сообщить спутнику максимальную
горизонтальную скорость на высоте 300 миль. При этом скорость на опти¬
мальной траектории оказывается примерно на 200 фут/сек большей, чем
на траектории нулевой подъемной силы. Хотя эта величина составляет
менее 1 % от полной скорости, она все же весьма ощутима с технической
точки зрения. Как и следовало ожидать, траектория нулевой подъемной
силы не является оптимальной. Поэтому лишь на начальном участке
полета большинство реальных ракет движется по траекториям нулевой
подъемной силы. Такая траектория может служить в качестве «опорной»
траектории, так как ее основные физические особенности просты и понятны.
К тому же она зависит всего лишь от одного параметра в том смысле, что
выбор начального угла наклона y^i), или Г, определяет всю траекторию.
Поэтому для любой дайной ракеты существует единственная траектория
нулевой подъемной силы, соответствующая требуемой высоте вывода.
Другим типом траектории, обладающей теми же особенностями и в то
же время весьма близкой к оптимальной, является такая траектория, кото¬
рая в определенной своей части является траекторией нулевой подъемной
силы, а на остальном протяжении активного участка — траекторией по¬
стоянного угла 0 (см. гл. 2). Например, движение на активном участке
первой ступени может совершаться вдоль траектории нулевой подъемной
силы, а на активном участке второй ступени — вдоль траектории постоян¬
ной ориентации оси, т. е. при постоянном 0. Эта траектория также зави¬
сит только от одного параметра, и поэтому при оптимизации высоты вывода
удобно воспользоваться методикой, обсуждаемой далее. При этом дости¬
гается выигрыш в скорости почти 200 фут!сек по сравнению с программой
нулевой подъемной силы. Получаемая траектория близка к оптимальной,
и ее простота является важным преимуществом с точки зрения техниче¬
ской реализации.
Для проведения более тонкого анализа предположим, что на активном
участке первой ступени выполняется программа нулевой подъемной силы;

§ 4.3]
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
99
в начале активного участка второй ступени 0 имеет одно значение, а в кон¬
це этого участка — другое значение. В этом случае переменных парамет¬
ров будет три-два значения 0 и продолжительность интервала движения
при одном из этих значений (продолжительность второго интервала опре¬
делится по полному времени горения второй ступени). По техническим
причинам может, например, потребоваться, чтобы скорость 0 имела макси¬
мально допустимое значение. При этих условиях оптимальный режим
реализуется, если в начале активного участка второй ступени ось ракеты
за сравнительно короткий интервал времени (порядка 10 сек) поворачи¬
вается с максимальной скоростью кверху, а затем на остающемся участке
горения ступени начинает поворачиваться с умеренной скоростью (около
0,1 град/сек) обратно. Получаемая при этом траектория более выгодна,
нежели обсуждавшаяся выше составная траектория, состоящая из участ¬
ка нулевой подъемной силы и последующего участка нулевой скорости
вращения оси ракеты, и дает выигрыш в скорости более 200 фут /сек
сравнительно с траекторией нулевой подъемной силы. Указанная траек¬
тория характерна тем, что между участком нулевой подъемной силы
и конечным активным участком, где выпуклость ее обращена кверху, нахо¬
дится короткий участок с явно выраженной выпуклостью, направлен¬
ной вниз. Это вначале может показаться удивительным. Из диаграммы
сил, показанной на рис. 4.4, видно, что в конце активного участка первой
ступени ускорение ракеты изменяется весьма существенно. Непосред¬
ственно перед этим моментом ускорение, направленное вдоль траектории,
имеет сравнительно большую величину, обычно около og. Сразу же после
этого момента, в начале работы двигателя второй ступени, величина уско¬
рения становится гораздо меньше, что характерно для начальной стадии
работы двигателя ступени. В то же время гравитационное ускорение прак¬
тически не меняется. Поэтому векторы результирующей силы, а значит,
и ускорения в момент выгорания первой ступени и зажигания второй
претерпевают резкий поворот вниз. Содержащееся в оптимальной програм¬
ме требование поворота оси ракеты вверх можно истолковать физически
как средство нейтрализации или компенсации этого неожиданного наклона
вниз векторов силы и ускорения.
Проведенное обсуждение касалось методов оптимизации траектории.
Величиной, максимума которой стремились при этом достигнуть, была
скорость в конце вывода при выполнении ряда условий. Эта скорость
рассматривалась как функция определенного числа независимых пара¬
метров, таких, как угол начального наклона траектории и программа
изменения этого угла.
4.3.3.	Оптимизация срока жизни спутника на орбите в зависимости
от ее формы и размеров. В качестве критериев оптимальности иногда
используется не только выводная скорость спутника, а и иные вели¬
чины, такие, как вероятность успешного запуска или время жизни
спутника, которые в этих случаях рассматриваются как зависимые
переменные.
Независимыми переменными остаются, как и прежде, параметры тра¬
ектории, например параметры, определяющие функцию 0(£). В целях упро¬
щения задачи будем предполагать, что зависимые параметры являются
функциями лишь одного регулируемого параметра. Однако принципы
подхода к задаче, будучи совершенно общими, могут быть легко распро¬
странены на рассмотренные выше траектории и в случае, когда вводятся
несколько независимых переменных одновременно.

100
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
717/7
240/7/7
25(7/7/7	2505/7
Up, фу/77/CGK
27000
Ряд важных характеристик орбиты, например время существования
спутника на ней, зависит от начальных высот перигея и апогея. Последние
в свою очередь зависят от условий в момент вывода спутника на орбиту,
которые в основном определяются высотой точки вывода спутника hpy
его скоростью ир и углом ур между вектором выводной скорости и мест¬
ным горизонтом. У ракеты-носителя спутника «Авангард» первые две
величины тесно связаны между собой, так как, например, увеличение
скорости в конце активного участка второй ступени ведет к соответствую¬
щему возрастанию как скорости в апогее, так и высоты самого апогея
траектории полета после выго-
4/7/7\	^	|	|	рання этой ступени. Таким об¬
разом, здесь лишь два независи¬
мых параметра влияют на началь¬
ную высоту перигея и апогея, а
значит, и па время жизни спут¬
ника. Будем называть их пара¬
метром величины скорости ир и
параметром угла наклона ско¬
рости ур (угол между вектором
скорости и горизонтом). Значе¬
ния их, как основных величин,
предвычисляются заранее до на¬
чала полета ракеты-носителя.
Вследствие статистического раз¬
броса параметров эти значения
в действительности не будут точ¬
но достигнуты. Предположим по¬
ка, что ожидаемые отклонения
наклона вектора скорости ур бу¬
дут распределены приблизитель¬
но по нормальному закону относительно наиболее вероятного нуле¬
вого значения. Ввиду упоминавшейся ранее симметрии орбит достаточно
ограничиться рассмотрением лишь половины этого распределения.
Поэтому бу/щм считать в дальнейшем, что параметр ур принимает только
положительные значения. Значения скорости также распределены прибли¬
зительно нормально относительно ее наиболее вероятной величины.
Существует, однако, определенный верхний предел и>ъ параметра w,
характеризующего двигательную систему ракеты и определяемого пол¬
ной энергией, содержащейся в топливе ракеты-носителя. Будем считать,
что нулевое значение параметра w соответствует минимальным характе¬
ристикам ракеты, т. е. нулевой высоте и скорости по выгорании последней
ступени. Законы распределения w и ур обозначим как P(w) и Р(ур).
По известному разбросу характеристик ракет-носителей можно опреде¬
лить наиболее вероятные значения параметров, стандартные отклонения
и прочие характеристики вероятностных законов распределения.
Вариации двух основных параметров ир и ур сильно сказываются на
возможности достижения требуемых конечных условий, таких, как мини¬
мальная начальная высота перигея 200 миль. Это видно из рис. 4.15. Поло¬
жим, например, что средняя величина отклонения ур равна 1°. Кривая,
отвечающая ур= 1°, дает пары значений скорости и высоты выхода
на орбиту, при которых начальная высота перигея будет равна 200 милям
при угле наклона скорости к горизонту 1°. Кривая эта полностью опре¬
деляется величиной поля тяготения Земли, принятой начальной высотой
Рис. 4.15. Совокупности ВЫВОДНОЙ скорости г/),
высоты hp и угла ур, при которых начальная
высота перигея составляет 200 миль.

§ 4.3]
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
101
перигея и углом ур. Аналогичные кривые для значений ур = 2° и ур = 3°
также приведены на этом рисунке.
Семейство кривых для случая ур= 1° при ^начальных высотах пери¬
гея 150, 200 и 250 миль показано на рис. 4.1б5*Кривая u?i на рис. 4.17
устанавливает связь между вывод¬
ной скоростью и высотой подъема
ракеты, характеризуемыми пара¬
метром Wi, при варьировании,
vp,
Рис. 4.16. Кривые зависимости выводная вы¬
сота — скорость для: ряда значений высот апо¬
гея и перигея при фиксированном значении угла
бросания ур = 1°.
ир, фут/сех
Рис. 4.17. Геометрическое место
точек зависимости выводная высота—
скорость, реализуемых снарядами с
различными «характеристиками» w\,
W2, ггз (не путать с весами ступеней,
показанными па рис. 4.13).
например, угла начального наклона Г, как это показано на рис. 4.10.
Кривые w2 и w3 получены аналогичным образом для ракет с более высокими
характеристиками. Кривая Г4 на рис. 4.18 также связывает выводную
скорость и высоту полета ракеты-носителя при фиксированном значении
угла Г, но при переменной величине параметра w. Кривые Г2и Г3 подобны
ей, но соответствуют большим значениям угла Г и, следовательно,
более высоким траекториям.
Займемся теперь рассмотрением вероятности успешного запуска при
заданном значении угла начального наклона Г. Как видно из рис. 4.18,
кая^дой величине w соответствует пара значений выводной скорости ир
и высоты hp. Принятой величине w соответствует такое значение уp(w, Г),
при котором начальная высота перигея равна 200 милям. Этот угол зависит
от Г, как это можно видеть из рис. 4.15 и 4.18.
Исходя из сказанного, вероятность того, что запуск будет успешным,
дается следующим выражением:
wb
/»(Г)=	(4.19)
о
где
Ур (». Г)
Pi[yP(w, Г)]=	^ P(yp)dyp.	(4.20)
о

102	ТРАЕКТОРИИ	ЗАПУСКА	И	ОРБИТЫ	СПУТНИКОВ	«АВАНГАРД»	[ГЛ	4.
Значение w, при котором yp(w, Г) = 0, обозначим как ^о(Г). Тогда вероят¬
ность успешного запуска будет
щ
Р (Г) = ^ Р (w) Pi [Yp (w, Г)] dw.
(4.21)
WO (Г)
Up, фут/сен
Рис. 4.18
наклона на
Влияние увеличения угла начального
выводную высоту и скорость;
Pi< Г2 < Г3.
В зависимости от технических данных ракеты функции распределения
P(w) и Р(ур) могут принимать различный вид. Для большинства законов
распределения, однако, функ¬
ция Р (Г) оказывается весьма
близкой к своему максимально¬
му значению, если Г соответст¬
вует точке, в которой кривая
ур(д), отвечающая начальной
высоте перигея q, касается ми¬
нимальной кривой wm(q) из
семейства кривых wu как это
показано на рис. 4.19.
Кривая Q на рис. 4.20
есть геометрическое место таких
точек касания, соответствую¬
щих выбору основного крите¬
рия — начальной высоты пери¬
гея q. Как видно из рисунка,
эта кривая в данном случае не
совпадает с кривой, для кото¬
рой угол начального наклона Г
постоянен, а параметр w — пе¬
ременная величина (высота пе¬
ригея 200 миль). Эта последняя кривая Г(200) соответствует оптималь¬
ной величине вероятности успешного запуска для начальной высоты
перигея, равной по крайней мере 200 милям. Отсюда следует необходи¬
мость выбрать некоторое интересующее нас значение минимальной
начальной высоты перигея в
качестве основного критерия	300
оптимизации.
Переменные w и ур могут
быть коррелированы. Кроме
того, функция распределения
для ур может быть несиммет¬
ричной относительно нулевого
значения. Обе указанные воз¬
можности могут иметь место в
результате технических особен¬
ностей конструкции ракеты-
носителя. Однако и в ряде таких
случаев сделанные выводы не
меняются.
Выбор минимальной на¬
чальной высоты перигея произ¬
водится обычно на основе ряда
соображений, которые были указаны во вводном разделе. В качестве кри¬
терия при выборе оптимальной траектории могут служить и иные величи¬
200
700
24000
7р*(<?) Ч
1 1
Начальная вь/еогпа
ч перигея 200миль
j	 	1
25000	25000
Vp, фум/сек
27000
Рис. 4.19. Диаграмма, показывающая точку каса¬
ния, в которой снаряд может достигнуть перигея
высотой 200 миль при минимальных затратах
энергии.

■S 4.3]
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
103
ны. Одной весьма важной из них является время существования спутни¬
ка на орбите.
Если бы на орбите отсутствовало сопротивление остатков атмосферы
и прочих частиц материи, то время существования спутника было бы бес¬
конечным. Однако в действительности время существования геофизиче¬
ского спутника ограничено. Из всех параметров, определяющих силу
сопротивления на орбите геофизического спутника, наиболее резко
меняется с высотой плотность воздуха. Грубо говоря, плотность с высо¬
той меняется экспоненциально. Поэтому испытываемое спутником тормо¬
жение, пропорциональное этой
плотности, меняется вдоль ор¬
биты в широких пределах, даже
когда эксцентриситет сравни¬
тельно мал. В основном тормо¬
жение заметно при прохожде¬
нии спутником района перигея,
где происходит главная потеря
энергии орбитального движе¬
ния. Поэтому высота перигея
есть основной фактор, опреде¬
ляющий время жизни спутника.
Однако этот фактор не единст¬
венный. Время нахождения
спутника в районе перигея за¬
висит от эксцентриситета орби¬
ты. Поэтому важную роль в
определении срока существова¬
ния спутника играет и высота
апогея, что будет обсуждаться
далее. Торможение спутника
вблизи перигея вызывает соот¬
ветствующее уменьшение большой полуоси его орбиты, а значит, и умень¬
шение высоты апогея. Это можно видеть, например, из соотношения
(см. § 3.2)
0*=G(M+m)(-=—i) ,	(4.22)
с учетом того, что большая полуось а равна земному радиусу плюс сред¬
нее арифметическое высоты перигея и апогея. Здесь v — скорость, г —
радиальное расстояние и т — масса спутника, абиМ обозначают постоян¬
ную тяготения и массу Земли. Благодаря торможению спутника в районе
апогея высота перигея также уменьшается, однако вследствие того, что
плотность воздуха, а значит, и торможение спутника в апогее гораздо
меньше, этот эффект выражен значительно слабее. В действительности
изменение высот перигея и апогея происходит вследствие торможения
спутника вдоль всей орбиты; тем не менее та картина, которую мы только
что описали, качественно отражает основные черты явления. Возникаю¬
щие изменения в высоте перигея q и высоте апогея s объясняют ход кри¬
вых, показанных на рис. 4.21 и представляющих собой «траектории»
спутника в пространстве q — s. Ряд математических методов построения
таких «траекторий» указан в работе [8].
Время жизни спутника примерно пропорционально величине отно¬
шения его массы к площади миделевого сечения. На рис. 4.22 приведены
Рис. 4.20. Геометрическое место точек касания
линий полной энергии снаряда wx и кривых,
отвечающих различным значениям высоты пери¬
гея Qi, при угле бросания ур = 1°.

104
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. 4
типичные кривые для времени жизни спутника, приолизительно отвечаю¬
щие проектным данным спутника «Авангард». Из них видно, что срок
жизни определяется не одной лишь высотой перигея, а комбинацией высот
перигея и апогея. Видно также, что спутники с одинаковой величи¬
ной полной энергии, т. е. с одинаковой большой полуосью, а значит,
и одинаковой величиной суммы # + s, могут иметь разное время жиз¬
ни в зависимости от частных значений q и s, характеризующих их
орбиты.
Расстояние перигея р, мили
Расстояние перигея # мили
Рис. 4.21. Изображение спутни¬
ковых орбит в осях перигей —
апогей.
Рис. 4.22. Влияние расстояний апогея
s и перигея q на время жизни спут¬
ника типа «Авангард».
На рис. 4.23 графики зависимостей, показанные на рис. 4.21 в про¬
странстве q — s, перестроены в обозначениях пространства а — е и разме¬
чены соответствующими числами. Здесь а ие — большая полуось и эксцент¬
риситет орбиты.
Биссектриса координатного угла между осями q и s отвечает семей¬
ству круговых орбит. Линии с отметками 1°, 2° и т. д. на рис. 4.24 отве¬
чают предельным орбитам, соответствующим определенной величине
угла бросания при выходе на орбиту, т. е. угла между вектором выводной
скорости и местным горизонтом.
Эти кривые являются предельными для данных значений угла бро¬
сания, так как указанный угол представляет собой максимальное значе¬
ние угла между вектором скорости и местной горизонталью вдоль всей
этой орбиты, т. е. для пары значений q и s, соответствующих данной,

мили
§ 4.3]
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
105
1
1 1
900
- а=1,121 Од
е=0,002
300
-а=1,00б/>>
\е=0ОО47~
| 700
— V
УЧ ~
%
^ 600
-а=7,077П\
/
§
\с=0,020
§ 500
- yS
х
| 400
1
-a=7,045RLЪ
I 300
- Y
/ —
200
о
700
_ у/

I. .
1 1 -
О 100	200	ООО 400
Расстояние перигея р, мили
Рис. 4.23. Выражение расстояний
апогея и перигея через значения
большой полуоси и эксцентри¬
ситета.
Рисстсяпие перигея р мили
Рис. 4.24. Предельные орбиты в
осях q—s, пересекающиеся с
Землей при заданных значениях
угла бросания.
ООО
400
т
Г Перигеи=722мили ~
- ч Апогей=ООО миле
I Срок жизни=75 сутек
300 -
200-
700
Перигей =746мил5
Апогей=ЗООмило
Срок жизни =70оуг..
Перигей=707миль	J
Апогей=707мило	У
Срок жизни=75су/пек)
J	I
24000	25000	26000
vp, фут/сек
25000
ир, фут/сек
27000
Рис. 4.25. Геометрическое место возможных	Рис. 4.26. Зависимость времени жизни спут-
начальных условий для орбит с заданными	ника от высоты и скорости вывода при го-
эначениями перигея и апогея.	ризонтальном	бросании.

106
ТРАЕКТОРИИ 'ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД» [ГЛ. 4
кривой. Это значит, что, например, при угле бросания 1° соответствую¬
щие кривые будут лежать на или
выше прямой с отметкой 1° на
рис. ,4.24. То же самое относится
и к остальным кривым рассматри¬
ваемого семейства.
Каждой точке, лежащей выше
предельной линии для круговых
орбит, на рис. 4.24 соответствует
некоторая кривая на рис. 4.25.
Так, например, точке орбиты, для
которой высота перигея 122 мили,
а апогея 500 миль, отвечает соот¬
ветственно помеченная кривая на
рис. 4.25. Орбита, характеризуе¬
мая одной точкой на рис. 4.24,
может быть образована при на¬
чальных условиях, соответствую¬
щих любой точке этой орбиты.
Поэтому все точки орбиты, имею¬
щей перигей 122 мили и апогей
500 миль, соответствуют системе
начальных условий, т. е. комби¬
наций угла бросания и высоты
вывода, для этой орбиты. Ска¬
занное относится и к орбите с перигеем 146 миль и апогеем 300 миль, а
ОООг
Vp, фу/77/Ge/f
Рис. 4.27. Кривые постоянного 15-суточного
времени жизни спутника (изохроньт) как функ¬
ции высоты, скорости и угла бросания.
т
500
т
300
200
100
Панеимальнь/й угол
бросания
ГПеригей=722мили
—< Апогей=300миль
\0ронятизни=75еуш
Перигей =/46миль\
Апогей^300миль к
Сронжизни=75сут.)
Перигей=/07миль
Апогей = 107миль г
Срок жизни=76су тон)
7РЛ°
300-
Печальная
бь/сап/а перигея
=200миль
24000
2S000
ир, фу/п/сен
26000
О
25000
26000
vp, фуп7/еен
27000
Рис. 4.28. Комбинация графиков, приведен¬
ных на рис. 4.25 и 4.27, для фиксирован¬
ного времени жизни спутника.
Рис. 4.29. Кривые, показывающие
возможность различного времени
жизни при одинаковой начальной
высоте перигея.
также и к круговой орбите высотой 200 миль. Время жизни на этих
орбитах равно 15 суткам. Траекторию ракеты-носителя спутника можно

< 4.4] ВРЕМЯ И МЕСТО ЗАПУСКА И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ОРБИТУ СПУТНИКА 107
оптимизировать относительно времени существования спутника как
основного критерия оптимальности.
Если угол бросания равен нулю, то изохронам (линиям постоянного
времени существования) в q — 5-пространстве, приведенным на рис. 4.22,
соответствуют изохроны в ир— /^-пространстве на рис. 4.26, где ир—
выводная скорость, a hp—выводная высота спутника. Как видно из
рис. 4.27, при заданной величине времени жизни спутника изохроны за¬
висят от угла бросания. Процесс оптимизации в отношении времени
жизни как критерия аналогичен процессу оптимизации в отношении та¬
кого критерия, как начальная высота перигея.
Вследствие вариаций величины ур критерий «время жизни на орбите»,
вообще говоря, не эквивалентен критерию «начальная высота перигея»,
как это следует из графиков на рис. 4.22и 4.29. Из замечаний на стр. 104
к рис. 4.22 и 4.23 следует также, что критерий «время жизни» не экви¬
валентен и критерию орбитальной энергии спутника.
Связь между кривыми на рис. 4.25 и 4.27 указана на рис. 4.28. Ма¬
ксимальным углам бросания для кривых, аналогичных показанным на
рис. 4.27, соответствуют пунктирные линии на рис. 4.28.
§ 4.4. Время и место запуска и их влияние на орбиту спутника
Элементы орбиты спутника обычно обозначаются-как «Q,, г, со, а, е и Т
(см. § 3.3). Пара величин а же в некотором смысле эквивалентна парамет¬
рам q и 5, рассматривав¬
шимся выше. Связь между
ними указывалась на
рис. 4.23. Выбор значений а
н е для геофизического спут¬
ника производился на основе
обсуждений в разделе 4.2.3.
В целом ряде научных
экспериментов желательно,
чтобы орбита спутника охва¬
тывала как можно больший
диапазон широт, для чего ее
наклон к экватору должен
быть по возможности наи¬
большим. По соображениям
безопасности запуски ракет-
носителей спутников с испы¬
тательного полигона Воен¬
но-воздушных сил ограниче¬
ны в этом отношении распо¬
ложением Антильских остро¬
вов (рис. 4.30). Поэтому
азимуты запусков должны ле¬
жать в определенных преде¬
лах и наклон орбиты не дол¬
жен превосходить максимального значения, равного приблизительно 35°.
Получаемое «покрытие» земной поверхности показано на рис. 4.31. Там
же изображены проекции траектории спутника на земную поверхность.
При нулевом угле бросания перигей орбиты будет находиться в точке
вывода или, во всяком случае, вблизи нее. Поэтому аргумент перигея
Рис. 4.30. Рисунок, иллюстрирующий предельный
35°-й наклон орбиты, обусловленный расположением
Антильских островов.

108
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД» [ГЛ.
Рис. 4.31. «Покрытие» земной поверхности при использовании орбит умеренного наклона.

4.4]
ВРЕМЯ И МЕСТО ЗАПУСКА И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ОРБИТУ СПУТНИКА
109
орбиты (о определяется положением точки запуска и траекторией ракеты-
носителя (рис. 4.31).
Долгота узла орбиты в системе координат, связанной с Землей,
также зависит от условий и положения точки запуска (рис. 4.31). Долгота
N
\ /S/j UI/B*
я см с0/7
5	У Воя с вссети
А
w\ \
>	 ч'
\ \
\ \
;>	А \
у
>	X.
м
я
111
\ 070//1/
\ г
ПвЯС 0001/Ц
места h
В
Рис. 4.82. Для наилучших условий видимости спутник должен пе¬
ресекать зону сумерек в тот же момент, что п наблюдатель.
узла Д в инерциальной системе координат зависит, кроме того, еще и от
времени запуска. Время запуска определяет также и начальное значение
Т — момента прохождения спутника через перигей. Время запуска спут¬
ника зависит от многих факторов. Часть из них связана с характеристи¬
ками системы запуска. Так как метеорологические условия могут в течение
Солнечный свет
Рис. 4.88. Диаграмма, показывающая наиболее благоприятные пе¬
риоды наблюдаемости спутника.
дня изменяться, то может меняться и эффективность системы наблюдения
за полетом ракеты-носителя. Возможность слежения за самим спутником
играет важную роль в выборе момента запуска. Оптическими средствами
спутник можно наблюдать только в сумерки. Расположение зоны сумерек

110
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ. &
РЖ
"1 I I 1	'	Г7	'	'	С"1	1	1	1	1	1	Г
//аз длил залуал;
паРлл7раамаа/пъ пра зала с/е Сашу а
Ранний залусл;
ларлл7раамаал7з при залас/е Саллца
Раздала залусл;
' //а/?л/ас/аеллаал7з лрл аааладе Саллца
относительно орбиты спутника определяется положением орбиты относи¬
тельно терминатора, т. е. линии раздела освещенной и затемненной сто¬
рон земного шара. Это иллюстрируется рис. 4.32 и 4.33. Как следует из
рис. 4.32, положение орбиты относительно терминатора определяется
во многом временем запуска. Согласно существующим планам наблюдение
спутника будет производиться в юго-западной части Соединенных Штатов.
Здесь, например, находятся некоторые наблюдательные станции системы
«Оперэйшн Мунуотч» (Operation
Moonwatch), так как условия ви¬
димости здесь наиболее благо¬
приятны. Желательно поэтому,
чтобы зона видимости спутника
при запуске располагалась на ши¬
ротах юго-западной части Соеди¬
ненных Штатов. На рис. 4.34 пока¬
заны вытекающие отсюда ограни¬
чения на время запуска. В тече¬
ние суток существуют лишь два
интервала времени, запуск в пре¬
делах которых удовлетворяет ука¬
занным требованиям возможности
оптического слежения.
Ряд факторов, определяющих
момент запуска спутника, свя¬
зан с самим спутником. Напри¬
мер, температурный режим спут¬
ника зависит от процента времени
пребывания его в солнечных лучах
(рис. 4.35). Даже при умеренных
значениях наклона орбиты к эква¬
тору и высоты апогея геофизиче¬
ского спутника он может все
время быть освещен Солнцем,
если запуск произведен в опреде¬
ленное время дня и года. С дру¬
гой стороны, при движении по
круговой орбите высотой 200 миль
спутник будет освещаться Солнцем
лишь 60% времени. Доля времени
пребывания на Солнце зависит
как от времени суток, так и времени года, когда произведен запуск. Каче¬
ственные результаты расчетов таких зависимостей приведены на
рис. 4.36 — 4.39.
На выбор времени запуска влияют также и иные факторы. В целях
стабилизации спутника ему на последнем участке вывода на орбиту при¬
дается вращение вокруг оси, которая тем самым стабилизируется относи¬
тельно инерциального пространства. Для наблюдения со спутника явле¬
ний, происходящих на Солнце, важную роль играет угол между направле¬
нием осп спутника и направлением на Солнце, например, при проведении
измерений линии а серии Лаймана в солнечном излучении. Угол между
осью вращения спутника и направлением на Солнце также зависит от вре¬
мени суток и времени года, когда был произведен запуск. Качественно
эта зависимость иллюстрируется рис. 4.40.
0400-
от-
рорр-
Ралллл залуал;
ладл/аРаемаатз при ааеладе Раллца-
J L_JL.
! I I I
I I I I I
Рис. 4.34. Допустимые периоды запуска спут¬
ника
сотой
с базы Кейп-Канаверал на орбиту вы-
от 200 до 1500 миль для возможности
оптического слежения за ним из Уайт Сэнда,
шт. Нью-Мексико. (По оси ординат указано
европейское стандартное время.)

4.4] ВРЕМЯ И МЕСТО ЗАПУСКА И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ОРБИТУ СПУТНИКА 111:
Область нагреба. Область асть/бания
Рис. 4.35. Тепловой баланс спутника. В области нагрева Еа-f- ERa -f Jee =
= Js = saT4; T — f , где E, ER — компоненты падающей энергии, a — погло¬
щательная способность спутника по отношению к солнечному излучению, Je,
.Тя — компоненты лучистой теплоотдачи при низкой температуре, е — коэффи¬
циент излучательной способности спутника при низкой температуре. В области
остывания Je-e = J.s = есгТ4. Здесь Т не зависит от а и е.
§ I 1 1111
§ 1
I 41 I §	«
*-ч Ч. >4.
Рис. 4.36. Области моментов старта, соответствующие 75%-пому времени пребы¬
вания спутника в лучах Солнца (апогей орбиты направлен в сторону Солнца)*

0010
112
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВДНГАРД»
[ГЛ. 4
*3
iiiim
wz/twe
IIIIIII
^ ^ ^ ^ ^ ^
II
Рис. 4 37. Процент времени пребывания в лучах Солнца; обла-	Рис. 4.38. Процент времени пребывания в лучах Солнца- вы-
сти 7г»%-ного времени пребывания (апогей орбиты направлен	сота орбиты 200 — 800 миль, апогей направлен в сторону мпотп-
в сторону, противоположную Солнцу). воположную Солнцу.

0010
§ 4.4] ВРЕМЯ И МЕСТО ВЛНУСКЛ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ОРБИТУ СПУТНИКА 113
iiiiiiiiiinuiiin
утч /
7?X3/(lW£ ШХШОМ
I I II
^ ^ ^
I111!!!!!!!
'Ш//£3 I
К ос м и ч ес к а я т е х и и к а
Рис. 4.39. Процент времени пребывания в лучах Солнца;	Рис. 4.40. Условия для измерения линии а — Лаймана сол-
высота орбиты 200 —1500 миль; апогеи направлен в сторону,	вечного излучения; 8 — наклон траектории ракеты к терми-
противоположпую Солнцу. иатору в момент выгорания третьей ступени.

1 14-
траектории ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ «АВАНГАРД»
[ГЛ.
В свою очередь параметры орбиты оказывают влияние на расположе¬
ние наземных станций наблюдения и связи. Размещение станций радио-
и оптических наблюдений должно обеспечить наилучшие условия слежения
за орбитой. Основная задача этих станций состоит в том, чтобы засечь
и определить орбиту спутника. Этим объясняется их преимущественное
размещение в виде «забора» в западном полушарии (рис. 4.41). Спутник
должен наблюдаться при каждом прохождении по крайней мере одной
Рис. 4.4 1. Система наблюдательных станций «Минитрак* для слежения за
спутником в западном полушарии.
станцией системы «М'инптрэк», образующей такой «забор». На проведении
подобных радионаблюдений метеорологические и оптические условия
не сказываются. Станции, расположенные в Южной Африке, обеспечивают
возможность наблюдения спутника сразу же после его выхода на орбиту.
Система станций «Мииитрэк» («Minitrack») дополняется еще одной станцией,
находящейся в Австралии.
Пять станций из системы «Мииитрэк» сейчас (1958 г.) оборудованы
для слежения за советскими спутниками на частоте 40 Мгц. Они нахо¬
дятся в Блоссоме, Сан-Диего, Лиме (Перу), Сант-Яго (Чили) и Австралии.
Их расположение видно на рис. 4.42.
Удобно расположены вдоль орбиты станции точных оптических наблю¬
дений Смитсоииаиской астрофизической обсерватории (рис. 4.42). Эта систе¬
ма станций позволит связать воедино ряд отдельных геофизических сетей.
В получении приведенных в настоящей главе количественных резуль¬
татов и применении описанных методов принимал участие ряд сотрудников
лабораторий Национального управления по аэронавтике и космическим

Гит/чио/е орбиты амори/гаио/п/х и русо/ги* ис/гусол700//ио/л' спутиииоо
§ 4.4] ВРЕМЯ И МЕСТО ЗАПУСКА 11 ИХ ВЛИЯНИЕ НА ОРБИТУ СПУТНИКА
115
111
111
=§ ^ i
III
|||
'I'l I
§
111
III
II
ЧЧ1
III
^ ^
111
M
ill
® • <
8’
Рис. 4.42. Расположение станций системы «Минитрэк» в 1958 г.

IK)
ТРЛККТ0Р1Н1 .4 ли У СКА И ОРБИТЫ СПУТНИК О Б. ПРПЛОЖКНЛК
ИМ. 4
полетам (NASA). Снодграсс (R. В. Snodgrass) и Лекар (M.Lecar) внесли
свой вклад в изучение задач оптимизации выводящей ракеты. Д-р Лепсон
(В. Lepson) и Хаммерсмит (J. Hammersmith) совместно со своими сотруд¬
никами произвели программирование и расчет на быстродействующей
электронной вычислительно]! машине «Нарек» траекторий ракеты-
носителя спутника. Программирование и расчет на машине «Нарек»
траекторий спутника в осях q — s и вычисление соответствующих кривых
для времени существования было выполнено Гаикоком (Н. Hancock).
Преобразование этих кривых в оси ир— hp было сделано Вайраухом
(R. Weirauch) и мисс Эккельс (A. Eckels). Рис. 4.34 и 4.36 — 4.40 заимство¬
ваны из работы [7].
Приложение 4А
Системы координат, служащие для определения положения спутника
4А.1. Принятые обозначения. При изучении движения спутника
ii трех измерениях удобно с момента старта ракеты рассматривать движе¬
ние в прямоугольной системе координат. Мы будем использовать правую
систему декартовых координат .х, г/, z, начало которой помещено в центре
Земли. Ось ^ этой системы будет направлена по оси вращения Земли,
плоскость ху лежит в плоскости экватора, а плоскость xz проходит через
точку старта ракеты. Выбранная пиерцнальная система координат остается
неподвижной по отношению к экваториальной системе координат, упо¬
требляемой в астрономии и отнесенной к определенному моменту времени.
Прямое восхождение оси х, т. е. угловое расстояние ее от направления
на точку весеннего равноденствия, остается постоянным. Так как рассмат¬
риваемые здесь интервалы времени достаточно коротки, влиянием прецес¬
сии линии равноденствий можно пренебречь. Обозначим орты осей выбран¬
ной инерциальиой системы как /, j, к. В общем случае координаты интере¬
сующей нас точки (центра инерции спутника) будут функциями времени /.
Если это не будет оговорено особо, время будет отсчитываться от момента
взлета, т. е. при взлете t -= 0. Координаты в этой системе будут обозна¬
чаться как .х(/), z(t) и соответственно компоненты скорости и уско¬
рения как х(/), y(t), z(t) и x(t), y(t), z(t). С их помощью можно выразит!»
следующие важные величины: радиальное расстояние от центра Земли
Г (t) = |/V2 (t) ^ у2 (t) + z2 (t) .
вел ичи ну скорости
v (t) V .'■{!)-- у2 (t) -i-z2(*) ,
величипу ус кореиия
a (t) -= V х2 (t) -f у2 (t) -f- z2 (f) .
Введем также величину
Гг С) = V *2(t) +У2 (t) .
Сделаем замечание относительно индексации. Отсутствие индексов
у переменных величии указывает на то, что они относятся к произвольной
небесной точке или точке, расположенной над земной поверхностью в при¬
нятой нами инерциальиой системе осей. Наличие индекса означает сле¬
дующее:
и — координата спутника или ракеты;
е — координата, связанная (и вращающаяся) с Землей;

СII ОТ Е МЫ К О О Р Д11И АТ
117
s — координата на (эллипсоидальной) земной поверхности;
и — подспутниковая точка;
г — на радиусе-векторе из центра Земли;
с — геоцентрическая (широта);
# — географическая (широта);
а — координата, связанная с (вращающейся) невозмущенпой атмо¬
сферой.
Обозначим через г вектор положения, через ю — вектор скорости
и через а —вектор ускорения спутника. Тогда имеем: г ~ xi -! yj 4- zk.
г xi г yj -i zk, a j i -|- yjzk.
Единичный вектор, направленный вдоль данного вектора, будем обоз¬
начать как этот же вектор со звездочкой. Например, г* обозначает единич¬
ны]! вектор, направленный вдоль вектора г. Очевидно, г гг*. Звездочка
может не ставиться при тех векторах, которые по определению являются
единичными. Если не будет оговорено противное, величины /*, v и т. д.
будут относиться к центру масс спутника. Индекс и будет ставиться при
переменных, относящихся к спутнику, когда это желательно подчеркнуть.
Например,
!'о 0) — \ xr (t)-\~yv (0 + zv (t)
п аналогично для vD(l), av(l) и т. д. Зависимость указанных величин от ряда
переменных будет видна из контекста или специально оговорена.
4А.2. Координаты, связанные с Землей. Система координат, связан¬
ная с Землей (или атмосферой), определяется аналогично инерциалы-юй
системе, с тем единственным разл ичием, что плоскость xz все время остается
проходящей через точку старта. Координаты в этой системе обозначаются
как xe(t), ye(t), ze(t), компоненты скорости — как xe(t), yc(t), ze(t) и ком¬
поненты ускорения — как xe(i),yc(t), ze(t). Так же, как и ранее, опреде¬
ляются величины re(t), ve(t) и ac(t). Так как обе указанные системы имеют
общую ось г., то имеем
Ге{1)- r(t),	(4Л.1)
(/ Xjt) + yf. (t) = у х2	(t) + у1 (I) .	(4А.2)
Левую и правую части выражения (4А.2) можно обозначить как гг:(1)
и rz(t) соответственно.
Между декартовыми координатами в инерцмальных осях и осях,
связанных с Землей, существуют соотношения:
хе (t) =■-х (t) cos ой у	(t) sin ой,	(4-А.З)
ye (t) ----- x (t) sin ой -f-	у (t) cos ой,	(4A.4)
ze(t)---z(t),	(4 A. 5}
a следовательно, .rt>(0)	:г(0) и ye(0)	y(0).
'Ал,
В уравнениях (4A.4) и (4A.4) со = 4^4*4 lm(^ сек — угловая скорость
вращения Земли. Компоненты скорости невозмущенной атмосферы в
инерциальных осях есть ха ——Уа — о).г(/), za 0.
Можно ввести связанную с Землей сферическую систему координат,
определяемую геоцентрической широтой фс, долготой X и расстоянием
от центра Земли г. Эти величины можно определить посредством связи

118
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ. ПРИЛОЖЕНИЕ [ГЛ. 4
их с декартовыми координатами. При этом геоцентрическая широта,
которую не следует смешивать с географической широтой, определяе¬
мой ниже [уравнение (4А.16)], выразится следующим образом:
а гс	--7=^=:— .
] х2-\-у2
или иначе:
arctg
Долгота выражается в виде
I (t) = х0
arctg
Уе (О
хе О
(4А.6)
(4А.7)
(4А.8)
где	Х0—	долгота	точки старта в рассматриваемой системе. Например,
это	может	быть	обычная долгота относительно гринвичского меридиана.
Радиальное расстояние r(t) определено выше.
4А.З. Географические и геоцентрические координаты. Если эквато¬
риальный радиус Земли равен R0, а эллиптичность е, то ее полярный радиус
будет 7?о(1 — е). Обычно употреб-
//ебемаяmv/ra (с/7у//м1/х) ляемые географические коорди-
^ У'паты не совпадают с геоцентри¬
ческими координатами. Положе¬
ние точки на или над земной
поверхностью определяется ее гео¬
графической широтой, долготой и
высотой. Первые две величины
представляют собой хорошо изве¬
стные картографические коорди¬
наты.	В случае расположения
точки	над поверхностью может
быть использована третья коорди¬
ната,	высота. Эта высота h
(рис. 4А.1) есть расстояние между
небесной точкой и земной поверх¬
ностью, измеренное вдоль некото¬
рой опорной линии [см. также
уравнение (4А.24)]. Так как эти измерения обычно производятся вблизи
поверхности или непосредственно с нее, естественно в качестве такой
опорной линии принять местную вертикаль. Эта вертикаль должна про¬
ходить через рассматриваемую небесную точку над поверхностью Земли.
Если этой точкой является спутник, то та точка земной поверхности,
куда падает вертикаль (т. е. нормаль к земному эллипсоиду, проходящая
через спутник), называется подспутниковой точкой (рис. 4А.1). При наблю¬
дении из этой точки спутник находится прямо над головой, в зените.
Однако эта точка и направление вертикали не обязательно соответствуют
положению надира данной небесной точки.
Подспутниковую точку можно определить следующим образом.
Пусть х, у, z обозначают координаты небесной точки, т. е. точки, нахо¬
дящейся над поверхностью Земли. Проведем меридиональную плоскость
через эту точку. Координата точки в этой плоскости будет z и расстояние
от полярной ociirz = }/гх2+у2. Поэтому ее можно обозначить как (,х, у, z),
или (rz, z). Радиус-вектор, проведенный из центра Земли в данную точку
Рис. 4А.1. Рисунок, показывающий высоту
спутника, а также его географическую и гео¬
центрическую широту.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
119
(х, у, 2), или (i'z, 2), пересечет контур эллипса, представляющего собой
меридиональное сечение земной поверхности, в точке, которую можно
обозначить как (xrs, yrs, zrs), или (rzrs, zrs) (рис. 4A.1). Расстояние d от
точки (х, г/, 2), или (rz, 2), до нормали к эллипсу в точке (r2S, 2S) будет
/см. рис. 4А.1)
-	е)	rZS	I „ г/ |	л "2 II
2 Уд2 г2 Г^Л(1	0	1]
d(i-„,) = v У 28	=-	.	(4А.9)
Г	'	Д*—г*.
Здесь расстояние d считается функцией rzs и поэтому^обозначается
как d(rz8). Пусть (хи8, yus,zus), или (rzus, zus) обозначают такую	точку поверх¬
ности, в которой нормаль к земному сфероиду	проходит	через	небесную
точку (х, у, 2), или (rz, z). Для этой точ¬
ки (xU8, уиа, zu8) небесная точка (ж, у, z)
находится в зените, т. е. на вертикали,
проходящей через нее вверх. Если небес¬
ная точка (х, у, z) есть спутник, то соот¬
ветствующую ей точку (xus, yus, zus) на
поверхности будем называть подспутнико¬
вой точкой. Как показано на рис. 4А.2,
координаты этой точки следующие:
rz
У
(4А.10)
Рис. 4А.2. Координаты подспутни¬
ковой точки Р.
У us — r zus
' Z
Zus = (1 — е) VK —	,
где х, у и 2 относятся к небесной точке,
агш определяется далее. Рассматривае¬
мая точка поверхности (xus, yus, zus), или (r2US, zus), удовлетворяет
тому условию, что для нее d(rzu8) = 0 [см. уравнение (4А.9)]. Значение
rzu, удовлетворяющее этому условию, может быть найдено методом проб,
начиная, например, со значения rzrs < r2US. Можно также производить
оценку d(r2S) при
г.*
r zrs " I"
■-^11-(!-«)•]
1 1 7,
(4А.11)
Затем методом последовательных проб можно определить величину
rzs, при которой d(rzb) = 0, с любой степенью точности. Точка (xus, yus,
zu .) не обязательно расположена в направлении к надиру от точки (х, г/, 2).
Направление вертикали в подспутниковой точке можно определить
следующим образом. Нормаль к земному сфероиду в точке (х8, у8, z8)
на его поверхности имеет направление единичного вектора
и — Цц]~т~ uzk^	(4А.12)
где
(4А.13)
u r - г-
(1—е)4

120
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ. ПРИЛОЖЕНИЕ
—	у«—-	^	,	(4	А.	14)
l/r2_Lv2J ?!
К 4 1 Js 1 (1 — е)*
(4А.15)
а орты /, j, к определены выше.
Географическая широта точки па поверхности земного эллипсоида
выражается через направление нормали в этой точке. Географическую
широту спутника можно определить как широту подспутниковой точки.
Для точки (.xs, ys, zs), пли (rz, zs), имеем
ф ;arctg ГД7™-? 1 •	ГеА.П'о
Из уравнения (4А.15) также находим
ф {/ — arcsi 11 uz.	(4 А. 17)
Используя уравнение (4А.15), широту ф^ небесной точки (х, у, z) можно
выразить через координаты подспутниковой точки (а;м.я, za.s). Обозна¬
чим геоцентрическую долготу точки как фг. Тогда
Ц'Фс'=.	(1А.18)
tg фг -- ; (1 — е)2 tg ф(.,	(4А. 19)
t,gФ -	^—_г .... „	(4А.20)
(1_е)2-Гг F К
Контур эллипса в меридиональной плоскости дается уравнением
 ?!	 |	С4А 21)
щ ' ли 1—в)*	1-	( • }
Отсюда с помощью уравнения (4А.20) можно найти
гг - _g°(1-g) _	.	(4л .22)
/ /,2- !-(1-в)2
Полученные формулы позволяют определить координаты (г2. z)
любой точки на земной поверхности по известному значению ее географи¬
ческой широты. Например, можно найти координаты (rz, z) точки старта
по широте этой точки. Их можно обозначить соответственно как (г. , z0)
и <*V
4А.4. Приближенное значение высоты над земной поверхностью.
Пусть небесной точке (.г, у, z) соответствует точка на поверхности (r,/s,
У us? zus)' Долгота небесной точки будет
Ks = К~ avctg^’ .	(4А.23)
■t use
где Я0—долгота точки старта, а xusc и yuse— координаты точки (хп<(,,.
У use? zuse) в системе осей, связанных с Землей.

ЛИТКРАТУРА
121
Расстояние
Ks = V (х — Tuse)2 + (у — У use)2 + (z ~ ZUSe)-	(4А . 24)
есть высота спутника над земной поверхностью. Вместо величины h может
быть использована ti (которая будет определена далее), когда это будет
удобно и когда h' известна с большей точностью (рис. 4А.1). Расстояние
от центра Земли до ее поверхности вдоль радиальной линии, соединяющей
центр Земли с точкой (.т, z/, z), равно
г У’ '■)-	-У1"•	(4А.25)
V (*2+y2)-rz2 (I— <J)~-
Тогда высота спутника над земной поверхностью приблизительно будет
равна
h' (.г, у, z) = r(x, у, z) г$ (.т, у, z),
где г, г/, 2 — функции времени. Также имеем
//	(г) - /• (/) I 1.- —	/|'"	I	.	(4А.26)
W	1 /ЖО + гЧОО-')-2-'
4А.5. Гравитационное	поле сфероида. На спутник	или	ракету-носи¬
тель действует в полете ряд сил. Сила тяжести, например, действует
па протяжении всего времени движения. Обозначим силу притяжения,
действующую на единичную массу, находящуюся в точке [x(t), y(t), z(t)]
ил и просто (х, г/, z), в поле эллипсоидальной Земли, как
GO’,	//•	z)	Gx (ад	у, z)i. + Gu(.r1 у, z)j + Gz(x,	у,	z)k,	(4А.27)
причем
Ох (х. у. z) —	[	4	—	(5z3 — /•-)	(63г4	—	42z2/-2	+ З/-4) J .
(4 А. 28)
Выражение для Gy (х, г/, z) получается подстановкой у вместо х в выра¬
жение (4А.28).
<:л*, У- *>“ -^г [ 1 - Ж (5г2 -Зг2) + ^ (63z4 - 70z2r2 + 15г4) ] .
(4А.29)
Направление местной вертикали в точке нахождения спутника (х, y*z)
противоположно направлению G(x, г/, z). Это направление не следует
смешивать с направлением местной вертикали, проходящей через подспут¬
никовую точку, т. е. точку земной поверхности, из которой спутник виден
в зените.
ЛИТЕРА Т У Р А
1.	1) a	vis	L.,	F о 1 1 i n U. and В 1 i t z е г L., Exterior Ballistics of	Rockets,
Princeton, N.	.)Van Nostrand, 1958. [Русскийперевод: Д э в и с Л., Ф о л	л и и Д.
и Б	л и т	ц е	р Л., Внешняя баллистика ракет, Воетгиздат, 1961.|
2.	II a	g е n	J.	P., The Exploration of Outer Space with an Earth Satellite,	Institute
of Radio Engineers Symposium on the U. S. Earth Satellite Program Vanguard of
Outer Space, часть 1, стр. 99 —102, 1956.

122
ТРАЕКТОРИИ ЗАПУСКА И ОРБИТЫ СПУТНИКОВ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 4
3. К о о е у J . М. j. and U у t enbogaar t J. W. II., Ballistics of the Future,
New York, McGraw-Hill, 1946. [Русский перевод:	К о о й И. и 10 т е н б о-
г а р т И., Динамика ракет, Обороигиз, 1950.]
4. М о u 1 t о и F. R., Celestial Mechanics, New York, МсGraw-11 ill, 1935.
5. R osser J. B., Newton R. R. and Gross G. L., Mathematical Theory
of Rocket Flight, New York, McGraw-Hill, 1947. [Русский перевод: Россер Д.,
F1 ь ю т о и Р., Г р о с с Г., Математическая теория полета неуправляемых ракет,
ИЛ, 1950.]
6. Seifert Н. S., М ills М. М. and Summerfield М., Physics of Rockets,
Am. J. Phys. 15, 1—21, 121 — 140, 255—272 (1947).
7. S i г у J. W., Wilson R. PL, Jr., de N о v e n s М., II a n n M. P. and Lady E.,
Firing Time of Satellite Launching Vehicle from Cape Canaveral, Florida, as Related
to Solar Illumination and Satellite Visibility, Project Vanguard Report No. 25,
NRL Report 5066, March 5, 1958.
8. S i г у J. W., Satellite Launching Vehicle Trajectories, Proceedings of the American
Mathematical Society Symposium on Orbit Theory held in April 1957.
9. S u t t о n G. P., Rocket Propulsion Elements, New* York, John Wiley & Sons,
2-е изд., 1956. [Русский перевод: Саттон Д., Ракетные двигатели, ИЛ, 1952.]
10. V a n Allen J. A., Scientific Uses of Earth Satellites, New York, McGraw-Hill,
1956. [Русский перевод: Сборник под ред. Ван-Аллена «Научное1 использование
искусственных спутников Земли», ИЛ, I960.]

ГЛАВА 5
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
Роберт У. Бухгейм (Robert W. Buchheim)
§ 5.1. Система Земля — Луна
При изучении механики полетов к Луне космический аппарат будет
рассматриваться как материальная точка, движущаяся в пространстве
между Землей и Луной [1]. Вопросы ориентации осей аппарата будут
затронуты лишь вкратце. В первую очередь будут обсуждаться динамиче¬
ские условия полета, причем за основу будет принята идеализированная
Рис. 5.1. Модель системы Земли —Луна.
модель системы Земля — Луна, где оба этих небесных тела предполагаются
сферическими, а их гравитационные поля — центральными ньютонов
скими. Будем считать также, что сферические массы разнесены на некото¬
рое расстояние и движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра
масс. Схема этой системы показана на рис. 5.1. Характеризующие ее
параметры приводятся ниже.
5.1.1.	Параметры системы *).
R — средний радиус сферической Земли—равен 6,371221*108 с.м,
или 3958,885 уст. мили;
со — угловая скорость вращения линии Земля — Луна — равна
.2,6616995• 1СГ6 рад/сек;
К — произведение постоянной тяготения G на общую массу Земли
и Луны М0— равно 4,035187 • 1020 см3/сек2;
D — расстояние между центрами Земли и Луны — равно 3,847527 х
X 1010 см, или 239073,7 уст. мили;
*) Краткий перечень обозначений приведен на стр. \АА.

124
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ.
и — отношение массы луны Мт к общей массе Земли и Луны М0 —
равно 1/82,45 (массу Земли будем обозначать Ме);
\Xi | — расстояние от центра Земли до центра масс системы — равно
Dii = 2899,622 уст. мили;
! х21 — расстояние от центра Луны до центра масс системы —
равно D( 1 — и) ^ 236 174,2 уст. мили.
В качестве системы единиц удобно выбрать такую систему, в которой
переменные выражаются не слитком большими или слишком малыми
числами. Поэтому большинство числовых величин будет выражаться
в системе, где время измеряется в сутках, а расстояние — в «лунных еди¬
ницах», равных расстоянию между центрами Земли и Луны. Величина
лунной единицы принимается здесь равной 239073,7 уст. мили. Осталь¬
ные параметры в принятой системе единиц выразятся следующим образом:
со 0,22997084 рад/сут;
D 1 луп. ед.\
К 0,052886587 лун. ed.Vcym*:
R - 0,01655926 лун. ед.\
\ Xi ! ■-- 0,012128563 луп. ед.\
\х2\ — 0,98787144 луп. ед.
Указанные значения параметров получены па основе обработки мно¬
жества отдельных измерении и вычислений.
Величина среднего радиуса Земли найдена из обработки геофизиче¬
ских данных и согласуется с размерами международного референц-эллип-
соида [2].
Произведение постоянной тяготения на массу Землп подсчитано
но величине среднего радиуса и уточненному значению среднего ускоре¬
ния силы тяжести на земной поверхности, из которого вычтено центробеж¬
ное ускорение, вызванное суточным: вращением Земли. Средняя величина g
найдена на основе усреднения данных точных маятниковых измерений
во многих районах земного шара.
Значение угловой скорости вращения линии Земля — Луна получено
из астрономических измерений средней продолжительности месяца [2].
Масса Луны в единицах массы Земли найдена по расположению цент¬
ра масс системы Земля — Луна; положение последнего определено из
наблюдений флуктуаций кажущихся орбит астероидов по отношению
к центру Земли. Принятое здесь значение этой величины взято из «Аме¬
риканского морского ежегодника» [2].
Расстояние между центрами Земли и Луны найдено по упомянутым
выгтте величинам из соотношения
fj-‘ - -		 (Г)	Г)
( I {X) С0'2 ’	1	1
которое непосредственно вытекает из формул для угловой скорости Луны
и для ускорения силы тяжести Земли:
«г = ^о	(5.2)
_ G'M(,  GM0(l-u)	,	ч
* R2	“ R2	’
Величина D определяется здесь из вычислений, а не берется из наблю¬
дений для того, чтобы принятая система численных значений параметров
была внутренне согласованной. Такое несколько искусственное согла¬
сование параметров необходимо для построения достаточно простой, по
вполне удовлетворительной модели изучаемой системы Земля — Луна.

I]
СИСТЕМА СЕМ Л Я ЛУНА
Вычисленное значение D равно 239073,7 уст. мили, тогда как наблюдае¬
мое среднее расстояние есть 238857 уст. миль, т. е. отличается примерно
на 0,09%. Параметры принятой модели, естественно, не могут абсолютно
точно соответствовать реальным величинам, так как в нее не включены
все факторы, имеющие место в реальной системе. Параметры, включенные
в модель, известны с точностью, вполне достаточной для большинства тех
задач, которые мы собираемся рассмотреть.
5.1.2.	Неучитываемые факторы. В рассматриваемую модель системы
Земля — Луна не включены следующие второстепенные факторы: возму¬
щения от притяжения Солнца, от сжатия Земли, эксцентриситет лунной
орбиты и наклон ее к плоскости земного экватора.
Кроме этих влияний, исключенных из модели, мы будем пренебре¬
гать также еще двумя классами сил, действующих на космический лета¬
тельный аппарат,— давлением солнечного излучения и матеорнымн воз¬
мущениями .
Наблюдатель, находящийся в центре масс системы Земля — Луна,
с помощью динамических измерений не сумеет «почувствовать» присутствие'
гравитационного поля Солнца, так как в этой точке сила солнечного при¬
тяжения в точности компенсируется центробежной силой, вызванной
орбитальным движением системы вокруг Солнца. Если же наблю¬
датель станет удаляться от центра масс системы, то он измерит гра¬
диент гравитационного поля Солнца, а значит, и возмущающее уско¬
рение солнечного поля. Однако даже на расстоянии, равном расстоянию
Лупы от Земли, возмущающее ускорение солнечного притяжения, дейст¬
вующее на космический аппарат, не превзойдет 10“4 фут!сек2 (3-10 5 м/сек1).
Интегральных! эффект воздействия Солнца на типичную траекторию движе¬
ния к Луне соответствует изменению начальной скорости аппарата в райо¬
не Земли, равному приблизительно 10 фут/сек (3 м/сек) при полной вели
чине скорости около 35 ООО фут/сек (10 700 м/сек).
Сжатие фигуры Земли сказывается в том, что ее гравитационное поле
не подчиняется закону убывания обратно пропорционально квадрату рас¬
стояния, как это принято в нашей модели. Это искажение поля наиболее
сильно сказывается непосредственно на земной поверхности и быстро исче¬
зает с ростом расстояния от центра Земли. На расстоянии Луны возму¬
щающие ускорения от сжатия Земли имеют порядок 10“11 фут/сек2. Инте¬
гральное влияние этого возмущения на типичную траекторию полета
к Луне примерно сравнимо с действием возмущающего поля Солнца.
Вследствие эксцентриситета лунной орбиты фактическое расстояние
между Луной и Землей меняется в пределах около 30 000 миль относитель¬
но его среднего значения. Произведенная грубая оценка влияния изме¬
нения расстояния и сопутствующего ему изменения угловой скорости вра¬
щения системы выражается в пересчете на отклонение от начальной ско¬
рости величиной ЬОфут/сек (15 mi'сек) (при полной скорости 35 000 фут/сек).
Влияние наклона плоскости лунной орбиты к плоскости земного
экватора сказывается лишь вследствие наличия сжатия фигуры Земли;
величина возмущений от этого эффекта не должна поэтому значительно
превышать возмущений от сжатия, приведенных выше.
Любая поверхность, облучаемая солнечным светом, воспринимает
некоторое количество движения от падающих на нее фотонов. Если излу¬
чение полностью поглощается этой поверхностью, то результирующее дав¬
ление солнечного излучения на расстоянии Земли от Солнца будет
р — 4,5 • 10 5 дин /см2.

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5
На идеально отражающую поверхность давление будет вдвое больше.
Таким образом, на космический аппарат с отражающей поверхностью,
вес которого в земных условиях равен W фунтам, а эффективная облу¬
чаемая площадь А кв. футов, будет действовать ускорение
аг 6 • 10"6 ~ фут/сек1.
Для аппаратов, средняя плотность которых мало отличается от средней
плотности обычных машин, это ускорение пренебрежимо мало. Оно, однако,
может оказаться весьма значительным для космических объектов баллон¬
ного типа, обладающих очень низкой средней плотностью. В этом случае
ускорение может быть сравнимо по величине с ускорением, создаваемым
ионным двигателем малой мощности (см. гл. 7).
Рис. 5.2. Системы координат.
Вели космический аппарат массы Mv столкнется с метеором массы т
при относительной скорости V и все количество движения метеора пере¬
дастся аппарату, то его скорость изменится на величину
Используя данные метеорной статистики, можно найти, что столкно¬
вение, при котором 6 г будет равно 0,1 фут!сек, есть событие чрезвычайно
маловероятное; его вероятность примерно равна 10"6.
Ни один из перечисленных факторов в большинстве случаев, по-ви¬
димому, не может изменить характера движения космического аппарата.
Однако некоторые из них могут влиять на численные результаты в такой
степени, что может потребоваться их учет при расчете конкретной траек¬
тории и программы полета.
Ценность применения упрощенной модели заключается в возможно¬
сти аналитического изучения характера траекторий движения и предва¬
рительного составления программ полета. Реальные программы должны
быть основаны на машинных расчетах с учетом всех заметных эффектов.
Ввиду того, что движение самой системы Земля — Луна не является
строго периодическим, каждый расчет программы отвечает только одной

Si 5-1]
С ИСТЕМА ЗЕМ Л Я—Л У НА
127
дате полета; проведение же каждого расчета само по себе является серьез¬
ной задачей..
5.1.3. Системы координат. Основные употребляемые нами системы
координат показаны па рис. 5.2. Система координат (х 0, у0, z0) есть инер-
циальная опорная система координат с началом в центре масс системы
Земля — Луна. Система координат (.г, у, z) имеет начало также в этой
точке и вращается вместе с линией Земля — Луна, причем в начальный
момент Земля и Луна лежат на оси х. В центре Луны	помещается система
координат	(х т, ут, zm), движущаяся поступательно	вместе	с	Луной
и испытывающая вследствие этого ускорение, направленное вдоль оси —х
к началу системы (х0, уо, z0). Система невращающихся осей (хе, уе, ze)
имеет начало в центре Земли и движется поступательно вместе с ней отно¬
сительно системы (х0, у о, 20), испытывая центростремительное ускорение,
направленное вдоль оси -\-х к началу системы осей (х0, у о, z0). Полярные
координаты (г, ф), (г, 0) и (г1? у) относятся к осям (х0, у о, z0), (х’ Уч z)
vl (xei Уеч ze) соответственно. Центр Земли находится в точке /д ~ —Dр ==
—2899,622 уст. мили —0,012128563 лун. ед., а центр Луны —
в точке х2= D{ 1—р) — 236174,2 уст. мили ~ 0,98787144 лун. ед., где
D — расстояние между центрами Земли и Луны, ар — доля массы Луны
в общей массе системы.
Если координаты и скорости заданы в осях (.г, у, z), то в осях
(То. у0, 20), (хт, ут, Zm) И (хе, lje, Ze) ОНИ будут:
х0 = х cos со/ — у sin о)/,
у0 = х sin со/ + у cos со/,
х0 -• (х — со у) cos со/— (у -(- сох) sin со/,
У о ~ (х — щ) sin со/ + (у -f- сох) cos со/,
хт~ Iх — D (1 — р)] cos со/—у sin со/,
ут г=[х— D (1 — р)] sin со/ + у cos со/,
хт = (х — со у) cos со/ — [у Л- ©х — сoD (1 — р)] sin со/,
ytn = (.х — ay) sin at -f- [y-\- cox — aD (1 — p)] cos со/,
xe = (x -f- 2)p) cos со if — у sin со/,
Уе — (x + D\l) sin со/ + у cos со/,
xe -- (x — coy) cos со/— (у + cox -j- coVJp) sin at,
He (x — coy) sin at + (y + cox + оьОр) cos at,
z0 " Zm == ze == Zy
Z(> ~ z m ~ Ze = Z.
5.1.4. Уравнения движения. Задача механики, к которой мы сейчас
переходим,— движение материальной точки (космического аппарата)
пренебрежимо малой массы в условиях принятой идеальной модели систе¬
мы Земля — Луна — представляет собой классическую ограниченную
задачу трех тел.

12cS
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУЛЕ
гГЛ.
Наиболее просто уравнения движения материальной точки в прост¬
ранстве системы	Земля—Луна	могут быть	записаны в осях	(л0. t/n, z0):
А (1 — И) Со — :ro I)	Ар (*о — -г02)	/ “ / \

;;	а (; —м) (.у,,—?/,ц) Ац (i/„—1/„2)	/,-п
!/»	—;.з	,.гг	’	• > >
1 ' 2
V,-	-А>«.	(5.4в)
Ц	7	2
где	К	-	GM о—	произведение	постоянной	тяготения	на пол ну jo массу
Земли и Луны. Координаты Земли и Луны (л 0 j, IJou -T02i У о 2) в написанных
уравнениях являются функциями времени.
Далее, переходя к координатам (л, у, z), получаем следующую систему:
о *	9	/х	(1—и) (х — .Г])	Ар (х—.Го)	г	\
л	— 2со// • а) л	v - ч_\	 		 - ,	(л.За)
г\	г.,
п * о А'(1 —р) ?/ Ар?/	-
У 2о)Л (0-// —	>	(л.оо)
А' (1—р) г Арз
1-3
(5.5в)
Слагаемые 2 со г/ п 2 со л суть ускорения Кор полиса, а со2 л и to -у—
центробежные ускорения. В этой системе осей координаты Земли и Луны
./1 и л2 — постоянные величины.
Интеграл Якоби. Интеграл Якоби полученной системы уравнений
движения (единственный известный интеграл этих уравнений) строится
следующим образом. Если ввести функцию
ТТ//	\	1 0/ 9	94	,	А	(1 — и)	А и
W (/, z) - - -у со- (;<■“	У1)	-.	;	-	.
то уравнения движения - можно переписать в таком виде [5J:
“*	„	•	8W
л	2со 7/	. -,
ох
•• .	f) •	d\v
•; (>\ Г
2 : : ,)z	■ I
Умножая их на 2л, 2у и 2z соответственно и затем складывая вместе
и интегрируя, получаем интеграл Якоби:
(,>■! ((/')-	•• (=>	с- 21» - г.
11.I II
, 9 . „ч ,	2А (1 —р) .	2Ар	,,	^ Гч
-О-	О)2 (:( 4- У ) -I г	~ - ( .	(О.Ь)
где г; — величина скорости аппарата относительно вращающейся системы
осей (л, у, z), а. С — постоянная Якоби.
Этот единственный интеграл оказывается весьма полезным для выяс¬
нения характера движения материальной точки в пространстве Земля —
Луна.
5.1.5.	Области возможных движений в пространстве Земля — Луна.
К р	и в ы е	нулевой от н о с	и т е л ь н	ой с	к о	р о	с	т	и. Следуя
рассуждениям	Хилла	(G. W. Hill),	развитым	в его	теории	Луны	[5, 6].

§ 5.1]
СИСТЕМА ЗЕМЛЯ—ЛУНА
129
мы можем утверждать, что величина v2 в интеграле Якоби (уравнение
{5.6)) в реальном движении не должна принимать отрицательных значе¬
ний. Отсюда следует, что при заданной константе С координаты движу¬
щейся материальной точки будут лежать в районе возможных движений
лишь в том случае, если при подстановке их в уравнение (5.6) величина v2
будет положительной; если же и'2 окажется отрицательной, то движение
У
точки в выбранном районе и при заданной величине С невозможно. Гра¬
ницей между районами возможного движения и районами, где движение
невозможно, служит кривая, на которой и = 0. Эти кривые называются
кривыми нулевой относительной скорости. Реальная траектория движе¬
ния материальной точки не может пересекаться с какой-либо из этих
кривых.
На рис. 5.3 изображен ряд таких кривых в плоскости ху (они показы¬
вают лишь форму соответствующих районов; масштабы при этом не выдер¬
жаны). Численные значения константы С на рис. 5.3 таковы, что
> С2 > Cz > С4 > Съ. При начальных условиях, соответствующих
С = С1, материальная точка будет двигаться лишь в замкнутом районе
около Земли или около Луны и никогда не сможет покинуть свою область
9 Космическая техника

130
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5-
и перейти от одного тела к другому (например, от Земли к Луне).
Именно в таком «режиме» находятся спутники Земли, запущенные1
по программе Международного Геофизического Года. Обычные балли¬
стические снаряды также относятся к данному классу тел.
Если начальные условия удовлетворяют соотношению С ^ С3, то
движение материальной точки будет также ограничено замкнутым конту¬
ром, охватывающим Землю и Луну, однако в этом случае становится воз¬
можным перемещение от одного тела к другому. Предельный случай С =
язляется граничным режимом между тем движением, когда перелет между
телами возможен, и движением, когда он невозможен.
При С — С5 контур, ограничивающий область возможных движений,,
оказывается открытым с задней стороны Луны. Это означает, что точка
может совсем покинуть систему Земля — Луна и уйти в бесконечность.
Случай С = С4 является пограничным, означающим возникновение воз¬
можности такого режима движения.
Кроме показанных контуров, ограничивающих области возможным
движений частицы, существуют для тех же значений константы С и иные,
внешние по отношению к системе Земля — Луна области; они также по¬
казаны на рис. 5.3. Частица, начинающая свое движение на значитель¬
ном расстоянии от системы Земля — Луна при С > С4, не сможет при¬
близиться к этим телам ближе, чем это позволит внешний контур
С = Cik на рис. 5.3.
Когда С = С4, внутренняя и внешняя ветви контурной кривой нуле¬
вой относительной скорости имеют общую точку; далее, когда С < С\г
частица, начав движение от одного из небесных тел, может покинуть
систему. Аналогично, начав движение из какой-либо отдаленной точкиг
она может приблизиться к любому из двух тел.
При уменьшении константы С от значения С\ до Съ и далее ширина
«горловины» контура позади Луны возрастает. При С ~ С6 контур начи¬
нает «открываться» и позади Земли, а когда С = С7, контурная кривая-
в плоскости ху распадается на два изолированных почкообразных контура,,
расположенных над и под осыо х. Внутренние области этих контуров
являются единственными участками плоскости, где движение при С ^ С7
будет невозможно.
При убывании величины С от С7 до С8 эти участки стягиваются в
две точки, каждая из которых совместно с Землей и Луной образу¬
ет равносторонний треугольник. Когда значение С < С8, область воз¬
можных движений распространяется на всю плоскость ху без исклю¬
чения.
Контур, охватывающий Землю и Луну при С С2, имеет двойную
точку, лежащую на оси х в точке xci. Двойные точки при С = С4 и С = С&
имеют координаты х = хст и х = хсе соответственно. Можно показать
(см. работу [7], стр. 290) *),что координаты xci, хст и хсе являются корнями
следующего уравнения **):
(npir 2 — 0), где v2 определено по (5.6). Из второго соотношения следует, что г/ = 0.
(Прим. ред.)
**) В этом уравнении =	j3,	г\	=	\х	—	(Прим-,	ред.)
К (1 — р) (х — х{)
Л
Кр (х — х2) q
(5.7)

§ 5.1]
СИСТЕМА ЗЕМЛЯ-ЛУНА
131
Действительные корни этого уравнения равны:
xci — 0,8370235445 лун. ед.,
хст = 1,155597403 лун. ед.,
.гсв=—1,00505347015 лун. ед.
Используя эти значения с помощью интеграла Якоби (5.6), находим сле¬
дующие критические значения константы С:
С2 = 0,168609735 (лун. ед./сут)2,
(\ — 0,167755543 (лун. ед./сут)2,
С6 = 0,159301018 (лун. ед./сут)2.
Соответствующие начальные условия. Для
более наглядного представления этих величин вычислим скорости движе¬
ния аппарата вблизи Земли, соответствующие найденным значениям С2, С4
и CG. В качестве номинального исходного положения выберем произвольно
точку, лежащую на оси х иа расстоянии 4300 уст. миль от центра Земли
с той ее стороны, которая обращена к Луне. В лунных единицах
(D = 239073,7 уст. мили) это расстояние будет равно xs = 0,00585752 лун. ед.
Подставляя эту величину в уравнение (5.6), а также последовательные
значения С = С2, С4 и С6, легко находим соответствующие скорости v2,
vk .и v6:
и2--2,375333 лун. ед./сут = 34703,76 фут/сек,
и4= 2,375513 лун. ед./сут = 34706,39 фут/сек,
vQ= 2,377292 лун. ед./сут = 34732,38 фут/сек.
Как видим, меньше, чем у6, поэтому легче уйти от Земли, имея
скорость, направленную в сторону Луны, чем при противоположном
направлении скорости.
То большое качественное различие, которое существует между кри¬
выми нулевых относительных скоростей при С = С2 и С = С4, вытекает
из разницы в начальных скоростях, равной всего 2,63 фут/сек при пол¬
ной величине скорости около 34700 фут/сек, т. е. при разнице всего
в 0,0074%. Это говорит о крайне высокой чувствительности траекторий
к начальным условиям.
Точки на плоскости ху, соответствующие значению С — С8, нахо¬
дятся на равном расстоянии от Земли и Луны. Отсюда следует, что их
координаты равны х -	— и ^ 0,487871437, у = + в лунных еди¬
ницах. Значение константы С8 равно
С8 = 0,1580261 (лун. ед./сут)2,
а соответствующая этому значению скорость v8 в исходной точке будет
v8 = 2,377560 лун. ед./сут = 34 736,30 фут/сек.
Таким образом, если скорость космического аппарата превышает
34 736,3 фут/сек, то, стартуя с выбранной исходной позиции, он может
достигнуть любой точки в системе Земля — Луна (разумеется, при соот¬
ветствующем направлении вектора начальной скорости).
Все эти скорости довольно мало отличаются от скорости освобожде¬
ния, равной для выбранной исходной позиции Ve = 35 214,52 фут/сек
9*

132
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5
(в случае изолированной Земли). Объясняется такое близкое совпадение
тем фактом, что расстояние между Луной и Землей достаточно велико и
его можно считать почти бесконечным с точки зрения величины энергии,
требуемой для ухода от Земли. Поэтому гравитационное поле Луны
оказывает лишь незначительное влияние на начальный участок движе¬
ния материальной точки.
5.1.6. Точка нулевой силы притяжения. Прежде чем идти дальше,
остановимся на широко распространенном мнении о том, что для дости¬
жения Луны достаточно, чтобы космический аппарат прошел точку «нуле¬
вой силы тяжести», т. е. точку, где силы притяжения Земли и Луны взаим¬
но уравновешены. Согласно этому мнению, мы должны сообщить аппарату
на Земле такую начальную скорость, чтобы он пролетел за эту точку,
расстояние которой от Земли составляет 90% расстояния от Земли до Луны.
Точная величина этого расстояния Р определяется приравниванием сил
притяжения Земли и Луны в этой точке:
Me   Мт	Я.\
Р-	(D—P)2 ’	[	}
Согласно же проведенному выше обсуждению кривых относительных
скоростей, основанному на использовании интеграла Якоби, критиче¬
ская точка, означающая возникновение «горловины», сквозь которую воз¬
можен полет к Луне, лежит от Земли на расстоянии, составляющем 84,9%
лунной единицы*). Противоречие этих двух результатов объясняется тем,
что в упрощенной схеме, основанной на использовании уравнения (5.8),
не учтен один весьма важный эффект — эффект вращения Земли и Луны
вокруг их общего центра масс. В рассматриваемой системе тел различие
сравнительно невелико, и его можно отнести в ряде случаев ко второ¬
степенным деталям; одиако при переходе к системам других небесных тел
получаемое расхождение результатов может быть очень значительным.
В масштабах планетной системы простое приравнивание сил притяжения
друг к другу может привести к серьезным ошибкам. Например, прирав¬
нивая силы притяжения Земли и Солнца, мы получили бы, что для ухода
от Земли достаточно удалиться от нее чуть дальше, чем на 165 ООО миль.
Луна же находится от Земли на расстоянии 240 ООО миль; это свидетель¬
ствует о явной ошибочности такой теории. С помощью интеграла Якоби
в этом случае можно показать, что для возможности ухода из окрестности
Земли необходимо удалиться от нее на расстояние около 1000 000 миль.
5.1.7.	Закон сохранения в системе Земля— Луна. Уравнения движе¬
ния материальной точки вокруг одного центра притяжения решаются
обычно с помощью законов сохранения энергии и момента количества
движения. Эти же законы сохранения имеют место и при движении точки
в суммарном гравитационном поле двух или более массивных тел в том
случае, если эти тела неподвижны относительно инерциального простран¬
ства; уравнения движения точки относительно двух неподвижных точеч¬
ных масс могут быть даже полностью проинтегрированы [1, 8].
Однако, если источники поля не неподвижны относительно инерциаль¬
ного пространства, указанные законы сохранения ие имеют места и до
настоящего времени не удалось найти других интегралов уравнений дви¬
жения, кроме интеграла Якоби.
*) Это следует из соотношения
{%ci ~I-ц) Р 0,849/),
где Dp,—расстояние от центра Земли до центра масс системы. (Прим. ред.)

S 5.2]
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ — ЛУНА
133
При движении материальной точки в пределах системы Земля —
Луна не сохраняются ни ее полная энергия, ни ее количество движения;
интеграл Якоби выражает закон комбинированного сохранения в такой
системе [1]:
2 (С/ — (oHz) = — С,
где U — полная энергия, а Нх — момент количества движения точки
относительно оси вращения системы Земля — Луна. Таким образом, здесь
на траектории движения материальной точки остается постоянной неко¬
торая линейная комбинация полной энергии и момента количества движе¬
ния этой точки.
§ 5.2. Траектории движения в системе Земля — Луна
Ввиду невозможности полного решения уравнений движения расчет
траекторий точки аналитическими методами оказывается невыполнимым.
Поэтому, хотя качественное изучение характера движения и позволяет
получить ряд важных результатов, для вычисления конкретных траекто¬
рий полета космического аппарата необходимо прибегнуть к методам чис¬
ленного интегрирования (см. гл. 3). Такое интегрирование можно выпол¬
нять, разумеется, и посредством ручного счета, как оно в действительно¬
сти и делалось в ранних работах, посвященных задачам такого рода.
Наиболее значительной в этом отношении была работа Дарвина (Darwin),
доложенная им в 1897 г. и до сих пор сохранившая свое первостепенное
значение в этой области [6].
В настоящее время численное интегрирование, как правило, выпол¬
няется на цифровых вычислительных машинах.
5.2.1.	Качественное описание траектории. Типичная траектория
перелета от Земли к Луне, вычисленная на автоматической машине, пока¬
зана на рис. 5.4. Расчет произведен в системе координат, вращающейся
Ц5су/77
7 О Су/77	15	СУ/77
Z,Ocy/c
Земля
2,3 су/77
Лут
Рис. 5.4. Траектория полета к Луне во вращающейся системе отсчета.
вместе с линией Земля — Луна. Так как период собственного вращения
Луны совпадает с периодом ее орбитального движения, то наблюдатель,
находящийся на Луне, будет видеть траекторию именно в том виде, как
она показана на рисунке. Эта же траектория в инерциальных осях
показана на рис. 5.5. Здесь форма траектории в окрестности' Зем¬
ли представляет собой коническое сечение, причем это свойство сохра¬
няется вплоть до входа траектории в район непосредственной близос¬
ти к Луне.
Как видно из рис. 5.5, аппарат при своем движении по траектории
в начальных фазах полет а движется в направлении против часовой стрелки,
т. е. в том же направлении, в котором движутся Земля и Луна по своим
орбитам. Орбиты такого рода называются прямыми орбитами. Достоинст¬
во их заключается в том, что они позволяют использовать эффект

134
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5
орбитального движения Земли (в системе Земля — Луна) и эффект суточ¬
ного вращения Земли при сообщении аппарату его начальной скорости.
На рис. 5.5 видно влияние притяжения Луны на конечный участок
траектории. Линия приближения аппарата к Луне становится почти
прямой.
\
Рис. 5.5. Траектория полета к Луне в ннсрцпалы-юй системе отсчета.
На рис. 5.6 приведена траектория, проходящая близ Луны, но не
попадающая в нее. В начальной стадии полета аппарат движется по пря¬
мой орбите, однако при приближении к Луие орбита искривляется и на¬
правление движения аппарата становится противоположным орбиталь¬
ному движению Луны.
Рис. 5.6. Переходная траектория в ннерциалышх координатах
хо, У о, zo-
5.2.2.	Время перелета. Время перелета аппарата от Земли к Луне
очень сильно зависит от его начальной скорости. График такой зависимо¬
сти показан на рис. 5.7. Начальная точка траектории расположена на
расстоянии 4300 миль от центра Земли. Строго говоря, график зависимости
времени перелета от начальной скорости включает в себя также зависи¬
мость и от направления вектора этой скорости, однако степень последней
зависимости сравнительно невелика.

S 5.2]
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ — ЛУНА
135
Время перелета резко возрастает при начальных скоростях, меньших
34 800 фут/сек; при скоростях, лежащих ниже скорости v2, действитель¬
ного времени перелета не существует, т. е. сам перелет оказывается
невозможным. Возрастание начальной скорости от 34 800 фут/сек
до 35 150 фут/сек, т. е. увеличение на 350 фут/сек, или на 1%, дает
уменьшение времени полета с пяти суток до двух суток. Дальнейшее
увеличение скорости еще на 1850 фут/сек сводит время полета к одним
суткам.
Такое резкое уменьшение времени движения при умеренном увели¬
чении начальной скорости вблизи ее минимальных значений наводит
на мысль о целесообразности в некоторых конкретных полетах жертвовать
небольшой частью полезной нагрузки
ради увеличения начальной скоро¬
сти. Это, например, могло бы пона¬
добиться в тех рейсах, где в течение
полета расходуется большое коли¬
чество электроэнергии, или в полетах
с человеком, где на протяжении
всего полета необходимо непрерыв¬
ное поддержание жизненных усло¬
вий и обеспечение человека питанием.
В предельном случае, когда на¬
чальная скорость стремится к беско¬
нечности, влияние гравитационных
полей Земли и Луны становится не¬
существенным и время перелета при¬
ближается к частному от деления
расстояния от Земли до Луны на эту
скорость.
При известных обстоятельствах,
однако, переход к высоким скоро¬
стям движения оказывается нецеле¬
сообразным. Так, если желательно,
чтобы Луна соответствующим обра¬
зом оказывала влияние на характер траектории аппарата, необходимо
выбирать начальную скорость в районе ее малых значений. Прекрасным
примером такого полета аппарата без добавочного включения тяги,
когда его начальная скорость должна лежать как раз в области мини¬
мальных значений, служит полет к Луне с облетом ее задней (невиди¬
мой) стороны и последующим возвращением к Земле. В этом случае общая
длительность полета составит неделю или более.
Необходимость сравнительно низких начальных скоростей представ¬
ляет существенную особенность облетных экспедиций без дополнитель¬
ного включения тяги. Низкие же начальные скорости приводят к сильной
зависимости времени полета от малых ошибок скорости. В то же время,
•если желательно, чтобы аппарат, вернувшись к Земле, оказался в задан¬
ной точке над ее поверхностью, нужно, чтобы полное время его движения
близко совпадало с расчетным, так как вследствие суточного вращения
-Земли заданная точка непрерывно меняет свое положение в пространстве.
Поэтому для выполнения облетной экспедиции к Луне по баллистиче¬
ской траектории с возвращением в заданную точку на Землю необходим
•очень точный контроль начальной скорости аппарата. Ниже будут указа¬
ны конкретные значения допустимых отклонений.
Рис. 5.7. Время перелета от Земли к Луне.

136
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5.
§ 5.3. Типы полетов к Луне
Под различного рода полетами к Луие мы будем понимать следующие:
1. Столкновение с поверхностью Луны.
2. Безударная посадка на Луну.
3. Выход на орбиту спутника Луны.
4. Полет вокруг Луны с возвратом к Земле.
5. Пролет мимо Луны и уход в бесконечность.
6. Установление «буйков» в точках либрации.
Займемся обсуждением этих видов полетов по порядку.
5.3.1.	Столкновение с поверхностью Луны. Если аппарату сооб¬
щить на Земле необходимую начальную скорость и при приближении
к Луне не тормозить его движение, то он столкнется с ее поверхностью
и разобьется. Типичная траектория такого!
полета показана на рис. 5.4 и 5.5.
Скорость аппарата относительно лунной
поверхности в момент удара будет больше
или равна скорости освобождения от лунного
j? притяжения и обычно будет составлять око¬
ло 10 ООО фут!сек. Мыслимо представить,
что при принятии ряда мер некоторые клас-
Рис. 5.8. Величины, используемые СЫ приборов МОГЛИ бы СОХранИТЬСЯ При та-
для задания начальных условий.	КОМ ударе, ОДГШКО ВОЗМОЖНОСТЬ таКОГО ИСХОДЯ
остается пока сугубо умозрительной [10].
Особый интерес представляет использование в качестве полезного
груза в таком полете источника видимого света, сигнализирующего о по¬
падании. Было подсчитано, что вспышка 10 фунтов пороха на неосвещен¬
ной поверхности Луны была бы видима в рефлектор диаметром 21 дюйм
[И]. Значительно более грандиозным предприятием был бы взрыв на
поверхности Луны атомной бомбы. Грубые оценки показывают, что при
взрыве бомбы типа той, которая была взорвана в Хиросиме, освещенность
наблюдателя на Земле на короткий период времени была бы такой же,,
как и освещенность от полной Луны [12].
Точность сообщения начальной скорости, необходимая для попада¬
ния в видимую часть Луны, определяется по методу последовательных,
приближений, т. е. непосредственным расчетом большого количества
траекторий с учетом положения точек столкновения или величины про¬
махов. Допустимые значения ошибок в начальной скорости и ее направле¬
нии зависят от положения начальной точки баллистической траектории
и вектора скорости в этой точке. Положение координатных осей для
выбора начальных данных показано на рис. 5.8. На рис. 5.9 даны те-
комбинации начальных данных, которые обеспечивают попадание в центр*
лунного диска. При номинальных значениях начальных данных
Ге= 35 000 фут/сек,	у — 14,2°,	ф=108°,	г	--=4300	уст. миль,
указанных на рис. 5.9, допустимые ошибки в скорости или ее направле¬
нии, при которых еще имеет место попадание в лунный диск, будут
8V = ± 40 фут/сек, 6у = + 0,25°.
Точная «полоса» допустимого разброса начальных условий относи¬
тельно номинальных значений показана на рис. 5.10. В общем случае.'
большим значениям Ve соответствует больший допустимый разброс 6F,.
тогда как меньшим Ve соответствует больший разброс по углу бу.

§ 5.3]
ТИПЫ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
137
Влияние ошибок в величине скорости на траекторию видно из-
рис. 5.11.
Допуски на время старта. Необходимо ввести в рас¬
смотрение еще один источник возможных ошибок, который не фигурирует
в задачах полетов вблизи Земли,— это ошибки во времени старта. В состав.
Рис. 5.9. Комбинации Уе и у, обеспечиваю-	Рис.	5.10.	Область	начальных	условий,
щне попадание в лунный диск из различ-	обеспечивающих	встречу	с	Луной,
ных начальных положений.
начальных параметров лунной траектории должен входить геоцентриче¬
ский угол ф между направлением к Луне и точкой старта на Земле. Так
как Земля вращается вокруг своей оси, а Луна движется по своей орбите,,
этот угол является явной функцией времени. Поэтому старт при заданном
значении угла эквивалентен
заданию времени] старта.
Практически старт произой¬
дет лишь где-то в окрестности
заданного значения, и откло¬
нение этого угла от номи¬
нальной величины приводит
к изменению всей системы
начальных данных. Это затем
скажется в изменении режима
активного полета, а любое
такое изменение означает от¬
клонение режима от оптималь¬
ного расчетного со всеми вы¬
текающими последствиями.
Отсюда следует вывод, что
старт должен совершаться с
отклонением не более несколь¬
ких минут от оптимального момента, так как в противном 'случае для
достижения цели потребуется существенно уменьшить величину полез¬
ного груза.
Кроме указанных требований к точности’7выдержки момента старта
добавим, что точное значение даты старта зависит также от широты точки
старта, диапазона возможных азимутов запуска и наклона лунной орбиты
к плоскости земного экватора.
Рис. 5.11. Влияние изменения Уе на точность
попадания.

■138
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5
При веденные здесь общие соображения о допустимых отклонениях
в .моменте старта в большей или меньшей мере относятся ко всем перечис¬
ленным выше типам полетов.
5.3.2.	Безударная посадка на Луну. Для того чтобы аппарат при по¬
садке на твердую поверхность не разрушился, его скорость в момент кон¬
такта должна быть весьма небольшой, гораздо меньше, чем 10 ООО фут/сек.
Если требуется осуществить мягкую посадку на поверхность Лупы,
то необходимо любыми средствами существенно уменьшить посадочную
•скорость аппарата [10].
Из-за отсутствия на Луне атмосферы аэродинамического сопротивле¬
ния не будет, и торможение должно производиться на последней фазе
посадки посредством включения тяги ракетного двигателя в направле¬
нии, обратном движению.
Требования к характеру траектории в рассматриваемом полете, по
существу, остаются теми же, что и в полете с ударным столкновением,
на исключением, быть может, того, что здесь ввиду необходимости перпен¬
дикулярного приближения к поверхности, обусловленной конструкцией
применяемого посадочного устройства, будет нужна большая точность.
Посадка приводит к новым проблемам сравнительно с задачей про¬
стого попадания. Они возникают из того, что для направления тяги реак¬
тивного двигателя против вектора скорости приближения аппарата к Луне
необходимо соответствующим образом ориентирвсать аппарат в про¬
странстве.
3 а а ч а о р и е н т а ц и и. Основными источниками возмуще¬
ний 113], оказывающих влияние на ориентацию аппарата при его свобод¬
ном полете к Луне, являются начальные рассогласования углов и угловых
скоростей, моменты от внутренних движущихся частей и от вытекающих
газов, а также давление солнечного света, излучение бортовых источ¬
ников, градиенты внешнего гравитационного поля и метеорные столкно¬
вения. Что касается начальных рассогласований, то угловые ошибки
не должны превосходить определенных пределов, а угловые скорости
должны компенсироваться либо путем приложения управляющих момен¬
тов, либо путем передачи момента количества движения (кинетического
момента) аппарата на вращающиеся массы.
По закону сохранения момента количества движения (здесь аппарат
рассматривается как твердое тело, и его вращательный момент количе¬
ства движения не следует путать с моментом количества движения в орби¬
тальном движении) любое перемещение масс внутри аппарата при отсут¬
ствии специальной компенсации вызывает ответное вращательное движе¬
ние его корпуса. Поэтому движущиеся массы должны перемещаться так,
чтобы вращение, вызываемое любой из них, компенсировалось соответст¬
вующим перемещением другой массы. Если моменты инерции аппарата
достаточно велики, то эти возмущения не вызовут чрезмерных отклонений.
Силы реакции выхлопных газов создают вращающие моменты,
ислп линия действия их равнодействующей не проходит через центр масс
аппарата. Аналогично, если равнодействующая сил давления солнечного
излучения на облучаемую поверхность аппарата не совпадает с его центром
масс, это вызовет также вращающий момент на корпусе. Такие же моменты
будут возникать и при излучении энергии с борта аппарата, например
при радиопередаче или тепловом излучении радиаторов системы контроля
температуры.
Возмущающие моменты могут возникать и от градиентов гравитацион¬
ного поля, в котором находится аппарат. Так, части корпуса, находя-

'§ э.З]
ТИПЫ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
139
лщеся ближе к Земле, притягиваются к ней с большей силой, чем части,
находящиеся дальше; из-за этой разницы сил притяжения может воз¬
никнуть пара сил.
При столкновении корпуса с метеором, когда вектор относительной
скорости не проходит через центр масс аппарата, корпус получит некото¬
рое приращение момента количества движения, что поведет к изменению
ориентации аппарата.
Рассмотренные источники возмущений либо малы, либо могут быть
сделаны малыми, однако все они достаточно важны и заслуживают вни¬
мания .
При полетах без человека наиболее удобным методом стабилизации
аппарата является стабилизация вращением. Если же этот способ оказы¬
вается неприемлемым — например, в полете с человеком,— то необхо¬
димо использовать активную систему ориентации с применением неболь¬
ших реактивных двигателей или иных устройств. В качестве управляю¬
щих моментов можно использовать и некоторые из перечисленных выше
возмущений, такие, например, как выхлоп газов и давление излучения.
5.3.3.	Лунные спутники. Выход аппарата на орбиту спутника Луны
[14] также требует реактивного торможения, а следовательно, и стабили¬
зации аппарата. В таком полете траектория должна проходить мимо Луны
так, чтобы расстояние ее наибольшего приближения было равно желае¬
мой высоте орбиты спутника.
/LU	 11	111	 L	L	L1.LL.LL
т	/ж	room
3.'&/.С.V/77*а ар/71//77Ы Н, у с/п. мили
Рис. 5Л2. Период обращения и скорость на круговой орбите.
Зависимость периода обращения и орбитальной скорости лунного
спутника от высоты орбиты представлена на рис. 5.12. Как видим, для
умеренно близких спутников орбитальная скорость лежит в окрестно¬
сти 5000 фут/сек (1500 м/сек). Поскольку скорость аппарата на траекто¬
рии перелета к Луне вблизи нее имеет величину порядка 10 000 фут/сек
(3050 м/сек), для выхода на спутниковую орбиту необходимо погасить
примерно 5000 фут/сек этой скорости.
Точность сообщения начальной скорости в такой операции не отли¬
чается существенно от точности, требуемой для попадания в Луну.

140
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. {у
Интересно, каковы должны быть размеры спутника Луны для тогог
чтобы он мог быть наблюдаем с Земли? Оказывается, что для видимости
белого спутника невооруженным глазом его диаметр должен быть около
1 мили. В 40-дюймовый телескоп можно наблюдать спутник диаметром.
10 футов (3 м) на расстоянии 3/4° от лунного диска.
Лунный спутник явился бы идеальным средством для более точного
определения массы Луны.
5.3.4. Полет вокруг Луны. Если желательно совершить облет Луны
и вернуться к Земле, двигаясь все время по баллистической траектории,
то необходимо выбрать начальную скорость полета в районе самых низких
допустимых ее значений. Фактически этот район простирается лишь от
34 800 фут/сек (10 600 м/сек) до 35 100 фут/сек (10 700 м/сек) (для точки
старта, находящейся на расстоянии 4300 уст. миль от центра Земли).
Более высокие значения начальной скорости приведут к тому, что скорость
аппарата в окрестности Луны будет слишком большой и лунное притяже¬
ние не сможет в достаточной степени искривить его траекторию.
Если ограничиться требованием простого возвращения аппарата
к Земле, то требования к точности начальных данных в диапазоне возмож¬
ных начальных скоростей будут весьма умеренными, а именно: ±75 фут/сек-
(± 23 м/сек) по величине скорости и ±5° по ее направлению. Такие боль¬
шие допуски связаны, однако, с довольно большими изменениями расстоя¬
ния наибольшего приближения и полного времени полета. Так, при откло¬
нении начальной скорости на 10 фут/сек расстояние наибольшего при¬
ближения изменится примерно на 1000 миль, а полное время полета —
примерно на 25 часов.
Ввиду столь высокой чувствительности полного времени полета к на¬
чальной скорости, последняя должна выдерживаться с точностью
±0,5 фут/сек, чтобы аппарат при своем возвращении после облета
Луны мог оказаться в пределах континентальной части США [15].
Указанные степени чувствительности относятся к траектории, для
которой номинальная начальная скорость равна 34 900 фут/сек, а рас¬
стояние наибольшего приближения к Лупе — 4000 миль. Для иных номи¬
нальных траекторий указанные чувствительности могут отличаться от при¬
веденной на порядок, в зависимости от конкретных начальных условий.
II р о х о ж д е п и е м и м о Лун ы и уход. Как уже упо¬
миналось в связи с изучением кривых пулевых относительных скоростей,
уход за пределы системы Земля — Луна легче осуществляется при дви¬
жении аппарата мимо Луны, чем при движении его в каком-либо другом
направлении. Поэтому полеты с прохождением вблизи Луны представляют
интерес в качестве начального этапа в осуществлении межпланетных
путешествий *).
5.3.5. «Буйки» в центрах либрации. В системе Земля — Луна суще¬
ствуют пять особых точек, называемых центрами либрации, находясь,
в которых космический аппарат может как бы «стоять на якоре» наподобие
космического буйка.
Обратимся к уравнениям движения (5.5), которые представим в виде*
*) О практической нецелесообразности такого маневра справедливо говорилось,
па стр. 83 настоящей книги. {Прим. ред.)
2(0//	у,	z),
у -\- 2ш; - - g (х, у, z),
z = h (х, у, z).
(5.9а)'
(5.96)
(5.9в)

5.3]	ТИПЫ	ПОЛЕТОВ	К	ЛУНЕ	141
/У
¥
В	плоскости ху существуют пять	точек, в которых
f(x, у, z) = g{x, у,	2) = /г(х, у, z)= О
и	в которых уравнения движения	(5.5) допускают	особое	решение:
х= const, у = const, z = const.
В классической задаче о трех телах эти решения представляют собой
«прямолинейные решения», т. е. точки, лежащие на прямой Земля —
Луна,	и «правильные треугольные	решения», т. е.	точки,	лежащие
в вершинах равносторонних тре¬
угольников, в которых Земля и
Луна —две другие вершины. Такие
точки называются центрами либра¬
ции. «Прямолинейные решения»
представляют собой точки, лежащие
на оси ж, и их координаты, опре¬
деляемые решениями уравнения
(5.7), суть xci, хст и хсе и обозна¬
чены на рис. 5.13 как/,// и III
соответственно. «Треугольным ре¬
шениям» соответствуют точки IV
и V, лежащие на плоскости ху над
и под осыо х таким образом, что
линии, соединяющие их с центрами
Земли и Луны, образуют равносто¬
ронний треугольник. В окрестности
центров либрации могут быть по¬
строены приближенные решения
уравнений движения (5.9) [7,16,17].
Пусть координаты рассматриваемого центра либрации есть х = хСУ
у = ус и 2 = zc. Чтобы изучить малые движения около центра (хс, ус,
2с), заменим в уравнениях движения переменные (х, г/, z) на (хс + и),
(ус + v) и (zc + id) и разложим функции / (ж, у, z), g (ж, у, z) и h (ж, г/, z)
в ряды Тейлора в окрестности точки (жс, г/с, 2С). Тогда получим:
///
#—
Зел/ля
ч
• Центры масс
* Цвитри/ либрации
//
-¥
/Луш
\ /
н
V
Рис. 5.13. Относительное расположение цент¬
ров либрации.
U — 2(OV -f ]\U -f- j2V = 0,
v + 2ош ~f i3u -L j\v = 0,
w-Vj-0w = 0.
(5.10a)
(5.106)
(5.10b)
Центры л и б p а ц и и на оси ж. Для трех центров либра¬
ции /, II и III, лежащих на оси ж, коэффициенты / в уравнениях (5.10)
равны:
]\= — (со2+2Л) = — а;/2 = 0; /3= 0;/4= — (со2— А)= — р;/5=Л,
причем
А =
К (1-р.)
Кр
I ^с — I3	I ^с —I3
Компонента движения по оси z может быть написана сразу:
(5.11)
w (t) = £5sin"|/^i + £6cos У At.
(5-12)

142
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[ГЛ. 5»
Решения 2-го и 3-го уравнений системы (5.10) при указанных значениях
суть
и — Eeinl, v^Deml,
где т — решения биквадратного уравнения.
7/г4+ (4со2 — а— Р) т2 + ар ^ 0.	(5.13)
Корня этого уравнения 77ii,2 равны
-	= — (4со2 — а — Р) ± у (4со2 — а — Р)2 — 4ар.
Можно показать, что одно значение т'2 всегда действительно и положи¬
тельно, тогда как другое действительно и отрицательно [16, 17]. Поэтому
общее решение для и и v будет
и (t) = Ei sin Qt -f E2 cos Qt -j- E3 sh pt JrE^ ch pt,	(5.14a)
и (t) = Di sin Qt -j- D2 cos Qt + D3 sh pt + Dik ch pt,	(5.146)
где Ei и D( — независимые постоянные *).
Из этих решений можно видеть, что движение вблизи центров либра¬
ции неустойчиво: вследствие наличия в решениях гиперболических функ¬
ций при ненулевых значениях величин Е3, Z?4, D3 и Z)4 частица, находя¬
щаяся первоначально возле центра либрации, начнет с течением времени
неуклонно удаляться от него. В идеальном же случае нулевых значений
указанных постоянных частица будет двигаться по эллиптической траек-
п -Л
тории с периодом р = — .
Для трех рассматриваемых центров либрации, лежащих на оси х,.
периоды эллиптического движения будут
РТ = 11,704866 сут,
Рп = 14,667275 сут,
Рш = 27,040404 сут.
Если аргумент гиперболических функций pt записать в виде , то*
для этих же трех центров значения постоянной времени т будут
т/~ 1,483185 сут,
Xu — 2,014187 сут,
Т///— 24,468220 сут.
Для «треугольных» центров либрации IV и V коэффициенты j в урав¬
нениях (5.10) будут
“2>	/2=	-(-+)	(1 — 2р.) со2, /,= -(±)^^--(1-2ц)со2,
Д=—-|со2, /V = о)2.
Знак (±) перед /2 и /з следует понимать как знак «плюс» для точки IV,
находящейся над осыо х, и как знак «минус» для точки V, расположенной
под осыо х.
*) D и Е здесь обозначают постоянные интегрирования; не следует смешивать,
это D с тем, которое использовалось в тексте ранее и приведено в перечне обо¬
значений.

§ 5.4]
НАУЧНЫЕ ЦЕЛИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
143
Очевидно, что z-я компонента движения есть
w (t) —E'l sin (titЕs cos (tit.	(5.15)
Если в уравнениях (5.10) произвести преобразование времени путем
замены Т = со0 то характеристическое уравнение системы будет одина¬
ковым для обеих точек либрации, а именно:
тпх -г тп2 + A-L ц (1 — ц) — 0,	(5.16)
откуда
(/«1.2)2 = у [ -1 ± V I — 27|*(1-ц)].
Учитывая, что ц ^ 1/80, находим, что т\ и т\ оба отрицательны. Поэтому
движение устойчиво и представляет собой наложение колебаний двух,
типов. Периоды этих типов колебаний равны
Ра = 28,622126 суш,
Рь = 91,71042 су?п,
а сами решения уравнений движения (5.10) для рассматриваемых «тре¬
угольных» точек либрации суть
и (t) = sin Qat -j- Вi cos Qat + (\ sin Qbt -j- Dv cos Qbt,	(5.17a)
v (t) A2 sin Qnt -f- В2 cos Qat -j- С2 sin Qbt + B2 cos i2bt.	(5.176)*
Наличие в этих решениях только колебательных членов делает воз¬
можным установить в «треугольных» точках либрации космические буи,,
которые и будут там оставаться в течение неопределенно долгого времени,,
пока они не будут выведены оттуда какими-нибудь внешними воздейст¬
виями.
§ 5.4. Научные цели полетов к Луне
Коротко можно указать следующие научные области, в которых экспе¬
рименты, связанные с полетами к Луне, могут помочь расширить наши
знания [12]:
1. Определение массы Луны с большой точностью. В настоящее время
ошибка в знании этой массы составляет почти 0,3% и существует замет¬
ное расхождение между оценками, основанными на наблюдениях астерои¬
дов, и оценками, основанными на данных о движении полярной оси
Земли [4].
2. Измерение магнитного поля Луны [18]. Данные об этом поле
позволили бы сделать ряд важных выводов об истории Луны, ее образо¬
вании и т. д.
3. Определение состава и физических свойств лунной атмосферы.
4. Определение состава и физических свойств лунной коры.
5. Измерение температуры лунной поверхности и ее изменений
во времени и по глубине.
6. Измерение радиоактивности поверхности и электризации атмо¬
сферы.
7. Измерение сейсмических свойств лунных недр.

144
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ К ЛУНЕ
[1 Л. 5
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
С — постоянная Якоби;
D — расстояние между центрами Земли и Луны;
G — постоянная тяготения;
g— ускорение силы тяжести;
А"— произведение постоянной тяготения на суммарную массу Земли и Луны М0;
Ме — масса 3емли;
Мт — масса Луны;
т—корень характеристического уравнения;
R — средний радиус сферической Земли;
Р—период колебаний;
£7 — полная энергия на единицу массы;
V — скорость;
xi — расстояние от центра Земли до центра масс системы Земля — Луна;
х2 — расстояние от центра Луны до центра масс системы Земля — Луна;
ц— отношение массы Луны Мт к общей массе Земли и Луны М0;
р—величина, обратная постоянной времени;
со — угловая скорость вращения системы Земля — Луна;
Q— круговая частота.
ЛИТЕРАТУРА
1. Buchheim R. W., Motion of a Small Body in Earth-Moon Space, The RAND
Corporation, Research Memorandum RM-1726, June 4, 1956.
2. The American Ephemeris and Nautical Almanac for the	Year	1957,	Washington,
D. C., U. S.	Government Printing Office, стр. xvi,	1955.
-3. J e f f г e у s	II., On the Figure of the Earth and	Moon,	Monthly Notices	Roy.
Astron. Soc.	101 (No. 1), 34 (1941).
4. Jones II. S., The Solar Parallax and the Mass of the Moon from Observations of
Eros at the Opposition of 1931, Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 101 (No. 8), 356
(1942).
h. Hill G. W., Researches in the Lunar Theory, Am. J. Math. 1, 5, 129, 245 (1878).
6. D a r w i n G. Id., Periodic Orbits, Acta Math. 21, 99 (1897).
7. M oulton F. R., An Introduction to Celestial Mechanics, New York, Macmil¬
lan, 1914. [Русский перевод: Мультон Ф., Введение в небесную механику,
ОИТИ, 1935.]
8. Hiltebeitel А. М., On the Problem of Two Fixed Centres and Certain of Its
Generalizations, Am. J. Mathematics 33, 337 (1911).
9. Lieske H. A., Lunar Instrument Carrier — Trajectory Studies, The RAND
Corporation, Research Memorandum RM-1728, June 4, 1956.
10. Lang Ii. A., Lunar Instrument Carrier — Landing Factors, The RAND Corpora¬
tion, Research Memorandum RM-1725, June 4, 1956.
11. Dole S. II., Visual Detection of Light Sources On or Near the Moon, The RAND
Corporation, Research Memorandum RM-1900, May 27, 1957.
12. Kellogg W. W., Observations of the Moon from the Moon’s Surface, The RAND
Corporation, Research Memorandum RM-1764, July 27, 1956.
13. Buchheim R. W., Lunar Instrument Carrier — Attitude Stabilization, The
RAND Corporation, Research Memorandum RM-1730, June 4, 1956.
14. Buchheim R. W., Artificial Satellites of the Moon, Proceedings of the Seventh
International Astronautical Congress, Rome, 1956, Rome, Associazione Italiana Razzi,
1956.
15. G a z 1 e у С., Ir., Recovery of a Circumlunar Vehicle, Proceedings of the Eighth
International Astronautical Congress, Barcelona, 1957, Vienna, Springer Publishing
Company, 1957.
16. II ough S. S., On CertainVDiscontinuities Connected with Periodic Orbits, Acta
Math. 24, 247 (1901).
17. Plummer FI. C., On Periodic Orbits in the Neighborhood of Centres of Libra-
tion, Monthly Notices Roy. Astronomical Society 62 (No. 1), 6 (1901).
18. V e s t i n e E. FI., Utilization of a Moon-Rocket System for Measurement of the
Lunar Magnetic Field, The RAND Corporation, Research Memorandum RM-1933,
July 9, 1957.

ГЛАВА 6
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
Краффт\ А. Эрике (Krafft A. Ehricke)*)
§ 6Л. Солнечная система и фундаментальные астрономические
постоянные
Солнечная система представляет собой группу или семейство небес¬
ных тел, состоящее из центрального тела — Солнца — и огромного коли¬
чества меньших тел, вращающихся вокруг него. Масса Солнца составля¬
ет около 99,2% всей массы солнечной системы. Плоскость солнечного
экватора почти совпадает с плоскостями орбит планет солнечной
системы.
Все тела, образующие солнечную систему (за исключением самого
Солнца), можно разбить на следующие группы:
1. Планеты (относящиеся к земной группе и к юпитеровой группе
больших планет) и их естественные спутники.
2. Малые планеты (астероиды, или планетоиды).
3. Кометы.
4. Метеоры и межпланетная пыль.
5. Межпланетный газ.
Помимо Солнца в состав солнечной системы входят, согласно совре¬
менному уровню знаний, 9 планет, более 1500 зарегистрированных асте¬
роидов, 31 естественный спутник планет и очень большое количество комет
и метеоров. Среднюю плотность космической пыли в окрестностях Земли
можно сейчас оценить не точнее, чем с ошибкой в 1000 раз. Межплаиет-
ный газ, состоящий главным образом из ионизированного водорода, гелия
и свободных электронов, распределен в очень разреженном состоянии
по всей солнечной системе.
Все планеты солнечной системы обращаются вокруг Солнца в том
же направлении, что и Земля (т. е. по часовой стрелке, если смотреть на
плоскость эклиптики, совпадающую с плоскостью земной орбиты, со сто¬
роны северного полюса Земли). За исключением Плутона и Меркурия —
самой далекой и самой близкой к Солнцу планет,— все остальные планеты
движутся очень близко к плоскости эклиптики, т. е. к плоскости земной
*) Материал настоящей главы в значительной степени заимствован из книг
автора [1, 2]. В частности, ряд пунктов в §§ 6.1, 6.3, 6.4 и 6.6 взят прямо из
текстов этих книг.
Автор многим обязан редактору д-ру Сейферту за помощь и сотрудничество,
которые позволили улучшить изложение этого материала.
Ю Космическая техники

146	МЕЖПЛАНЕТНЫЕ	ПОЛЕТЫ
&
1
I
1
I
[ГЛ. 6
I

§ 0.1 j
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
147
орбиты (рис. 6.1). Оба этих обстоятельства делают возможным полностью
использовать орбитальные скорости планет для осуществления перелетов
с орбиты на орбиту по касательным к ним траекториям. Заметим, однакот
что орбиты большинства естественных спутников планет сильно накло¬
нены к плоскости эклиптики. Это является одной из причин: того, что, во¬
преки существующему мнению, первые исследователи планет солнеч¬
ной системы будут, по всей вероятности, наблюдать эти планеты не со
I—I—I—j j j 11	I 1 1_1.11111 I I I 1 I 1111
0,0	10	10	700	.
Рооо/77ояя//о о/я 0оя//ца, а. о.
Рис. 6.2. Гравитационное поле Солнца и планет.
скалистых поверхностей их «лун», а с борта космического корабля, дви¬
жущегося вокруг планеты по орбите, близкой к плоскости переходной
траектории.
За исключением орбиты Плутона и в несколько меньшей степени
орбиты Меркурия, орбиты прочих планет очень близки к круговым. С точки
зрения астронавтики это счастливое совпадение. Действительно, для того
чтобы космический корабль и планета-цель могли встретиться в точке
соприкасания или пересечения их траекторий, необходимо, чтобы в момент
отправления корабля Земля и планета назначения были расположены
в пространстве некоторым строго определенным образом. Если орбиты
планет представляют собой концентрические окружности, то энергия,
требуемая для перелета, не зависит от даты достижения нужного располо¬
жения. Если же орбиты эллиптические, то это уже не имеет места. Факти¬
чески у реальных планет орбиты близки к круговым, однако их большие
оси не совпадают и направлены в различные стороны.
Главный фактор, определяющий движение планет, астероидов, комет
и метеоров,— это гравитационное поле Солнца (рис. 6.2). Расстояния пла¬
нет от Солнца различаются между собой весьма сильно; так, Плутон нахо¬
дится почти в 100 раз дальше, чем Меркурий. Орбиты многих комет про¬
стираются далеко в заплутониевую область пространства*). Большая часть
*) То есть в область, лежащую за пределами орбиты Плутона. Однако эту
область еще нельзя называть межзвездным пространством, так как здесь еще доми¬
нирует гравитационное поле Солнца. Солнце способно удерживать тела вплоть до
расстояний порядка 2 — 3 световых лет.
10*'

Данные об орбитах планет
148	МЕЖПЛАНЕТНЫЕ	ПОЛЕТЫ	[ГЛ.	6
се
Я"
Ч
as
иЗ
ни®
О О
се £> ^
с ~ "
с я
к
lie?
о'Й
E-c (V,
£ «
(U о
tr £
x «
л
2
Я
a
я
К
CO sf LO ^ 00 см ^ CD
^СОтчОЮООСО
ihcvlOlt^CDt^t^C'-b
СО -Ч-Н <H CM	CO 00
(MOlCOCOCO^sfOOO
CM^LOCMxfLOCMCMCO
ooooooooo
^O0 05^00 00 000t^
LO^OS^CO^CM^CO
СМ	тн	CM	CM	тн
гн o.m oi ю s? a; cm
^Ht^cocq^o^^iO
^-h lo	si^	cm	st1	ю	со
C^t^CMCOt^CMI>-vfO
УГЮгНгнсОгчЮтН'г!
ooooooooo
CDOCMiOCOCMCTis^CO
СО О CO ^ Ct CD Sf< CM
CO	th	CM
CO	CM	t-	CO	CM	CM
CO Q см тн чг О
CO ^ LO Ю CM
CO - CO CO 00 00
тн о sr ^ CO
OOCOCOthq
n^O^D-COO
L— CD l> n’ N CM >0> vf ч-н
05vflCMLOI>*oOOOt>-00
CCMt^OJt^OCOCOLO
CCOOLOsfOt^iDCO
OCMrHOLOt^OOrH^
^1>СФ^ООСОСО
ООчЧчньООООСО
гнсмсоч!1
^ООСО'НФ^НОО
C^I>COCMO0^O
LD^CMst'OOCDiCOOO
r-OCCD«HO^COO^
O^OOOOLOONOO
COt^OCOOlOMOOCD
COOH^OoOOO
^ CM CM
05 lo
LO CO
CM 05
со t"
lo CO
о о
CM О
CM LO
to- LO О
CM CO CO
i>co^
CO CO 00
чН 05 vtf
ООО
CM CM s? 00
CM ТЧ CM CO
OOI>\+
CO CM LO CO
lo 00 00
iDsJiO^
О О О CM
ooooooooo
OCMOrHCOCOCOt^
05C00050"Cf<l>-0
OCOOCOOOOOOSO-
t"- СО О CO CM 00 rH l>-
on см о см о CO 00 LO
С0 1>ОЮСМЮ-НО
О О ч-Ч чН LO О С
Ю
5 оГ
э со
< СМ СМ 05 LO СМ
+ О-f® *о с^—с^чэгки
£g,e |а ■&§
g,8§S.g*SS&
СЗ .
К Е £	—
S й оД"
а«а и п
аё°» ф
о LO - ^ —
£
lsgg«
°о«|
о «
СО
о О
о £
сС Д
И &
к °
СО V.
lo а
&Р5
СМ
2
о
и
се
о о
се се
2	Н >> >5
>5 О О
5	°	СО t-
СМ со
см СО чЧ
н н	со	се t£	н
>s >»	El	н	ft 0	о
О	О	Ч	Ч	h
00 Сн Рн	f-
оо см	-чч	оэ	-ер со
СМ чЧ	-чЧ	ч-ч	СМ	00 чч см
чЧ СО СМ
4LO см
vf чч 00 со со
CMCDCOOOOsrOOOt^
o' o' чД ^ ч-Г o' v-f vjT t>r
-ТЧ CM 00 со
СО 05 CO 05 00
^ М4	vf	О чч	00 LO
05	LO	ЧН 00	CM	05 t^
CM l>	00	sf	СО	СО o
lo	со	oo со	oo	cm ce
О If-	о	CO CM	CM	00 LO
СС'ЧООО^СОМ'Г'Ч
< чч О о о с
: О О
oocoooololocmco
CM t— 05 чч CM LO СО СО ОО
V^CO^LO'TH^CMLOCM
СМ Г— 00 СО 05 о см тч Nj<
COCO^OOCOCMN^CM^-!
I>* LO 00 СМ гч
Vf lo CO rH
as
'Ч CO
" CO
О CM
00 CO CM 05 LO
О 05 CM CM Os*'
lo чч	Ntfi	CM	CM	00
-	-	-	^	-	CO
О 00	05	со	CO	-
LO чЧ	cm	*<JH	vf	00
С СО гЧ r4 CM С -H
fi M
ce
£2 И
4- Of© «О c^i~-JCN<-©g-Qj
= K
а
ft ►
Q
К Щ
- 11 о. И u a >-i о
* 2 s s.S ks a s.
CtK
О ro
Сн m

§ G.l]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
143
орбит астероидов расположена на расстоянии около 2,8 а. е. (астрономи¬
ческой единицы) от Солнца, т. е. в астероидном поясе между орбитами
Марса и Юпитера. У большинства метеоров, состоящих либо из пористого
кремния (метеороиды), либо из железоникелевых сплавов (метеориты).,
скорость движения по отношению к Солнцу меньше параболической. Это
значит, что они также принадлежат к солнечной системе. В соответствии
с характером планетных орбит солнечную систему можно разделить на
внутреннюю солнечную систему, куда
входят плотные планеты земной груп¬
пы — Меркурий, Венера, Земля и
Марс,— и внешнюю солнечную систе¬
му, куда входят менее плотные боль¬
шие планеты юпитеровой группы —
Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и, воз¬
можно, Плутон. О Плутоне известно
пока лишь очень немногое. Размеры
его, видимо, близки к размерам планет
земной группы, а плотность ближе к
плотности больших планет.
Внутренняя и внешняя области
солнечной системы показаны на рис. 6.3
и 6.4. Физические параметры планет и
некоторые другие сведения, необходи¬
мые для астронавтики, собраны в
табл. 6.1 и 6.2. В табл. 6.3 помещены
данные о спутниках планет.
На движение мелких частиц и меж¬
планетной пыли существенное влияние
оказывает не только солнечное притя¬
жение, НО также солнечное излучение Рис. 6.3. Райопы космического простран-
II сооственное излучение частиц (эф- ства (внутренняя область солнечной
фект Пойнтинга — Роберсона (Роуп-	системы),
ting — Roberson). Если частицы иони¬
зированы, то они могут подвергаться в межпланетном пространстве
влиянию магнитных полей. Однако об электрическом состоянии меж¬
планетной пыли сейчас еще ничего не известно.
Наклоны орбит планет и их спутников на рис. 6.1 показаны в пред¬
положении, что линии узлов *) всех планетных орбит совпадают, что
линии узлов орбит спутников планет также совпадают и что линии узлов
всех этих систем параллельны друг другу. В действительности это не так,
и поэтому нельзя произвести сравнения наклонов орбит в одной плоскости.
Наклоны орбит планет даны по отношению к эклиптике, а наклоны орбит
спутников — по отношению к некоторой опорной орбите.
При обзоре литературных данных оказалось, что значения масс
планет, ускорения силы тяжести на их поверхности и т. д., приведенные
во многих таблицах, не полностью соответствуют друг другу. Это вызвано,
конечно, тем фактом, что фундаментальные астрономические постоянные
известны не точно и расчет указанных величин производился с использо¬
ванием различных значений для этих постоянных. Здесь сделана попытка
привести все данные в соответствие друг с другом и создать по возможно¬
сти более твердую основу для выбора основных величин.
I I Околосолнечное пространство
¥ 111 Околомеркурианское пространство
ч ёш Околовенераанское пространство
© Н Околоземное - пространство
к И Околомарсианское пространство
*) Линия узлов есть линия пересечения плоскости орбиты планеты с эклип¬
тикой (см. рис. 6.5).

Физические характеристики Солнца и планет
150
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. (>
О
СО
со"
со
со
г-
vt1
СО
ю
о
U0
со
00'
о
*ч-1
со
o'
сГ
о"
00
00
о"
о
о
о
СО
-н
=>. О
00
я
-н
ю
о
ю
V*
со
о
00
00
см
со
о
о
§5
+1
со
о
о
00
00
о
со
сГ
-н
т
о
СМ
o'
+J
со
О
-н
о
§5
-н
о
о
-н
о
О к
og
со
СО
о
■чН
со.
см
о
о
СМ
о
o'
o'
СО
ч
с
п
о
PQ
"ЧН
о
о
см
о
со
тН
со
со
о
Ю
см
СО
см
со
тН
ю
Ю
VF
о"
^■г
•ЧН
00
ю
о
о
о
о
со
со
t'-
о
о
00
00
со
СМ
см
о
СМ
тгЧ
см
см
о
о
о
о
о
э
3 о
g&
gS
CJ
о н S ~
a^,5sgr
g*g S|g
>>«s rn
4
К
05
СО
о
о
о
00
о
о
о
о
о
о
о
о
00
ю
о
о
о
ю
см
со
СО
оо
)jO
ю
со
см
со
со
со
05
LO
ю
о
со
LO
см
см
СО'
СО
05
см
г-
СО
см
со
05
о
ю
05
о
о
05
о
о"
сГ
^7
сГ
о
05
Vj7
СО
о
t>-
ио
со
со
см
0-.
CO
см
ю
о"
о
со
см"
СО
см
ю
СМ
CM
0
осГ
чгН
05
•тгн
1
г—
1
05
1
ю
1
ОС
1
1
vf
1
CM
1
05"
со
о
vf
со"
см"
со
NF
0"
В"
s
о
и
Рн
>>
в
р<
сб
Рн
Рн
ф
н
К
О
а
Рч
OS
и
Рч
>»
н
В
о
н
>>
в
с

§ 6.1]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
151
ю
1
ю
1
io
1
ю
1
-f
1
1
-*
1
1
1
О
1
о
1
о
1
о
1
о
1
О
1
о
1
о
те-Н
СО
со
00
—
СО
LO
СО
—н
Ю
см
vf
ю
о
со
СО
О
СВ
00
со
СВ
о
vi<
ОО
СО
гн
00
tr*
СО
тч
о
ев
СВ
СО
О
СО
—!
-ч-Г
tr¬
1>
-Н
-ЧН
-ч^
Й К
_ с
. о
а |
со С]
Ч
Ч
R Я
03 Ч
« С
PC о
^ г
о 2
Ч •
с
Ч
с
ft
С
3" с
,	4LO
ОС
• IT-
со
СП
и и
о
СО
V-O
X II
СВ •<
{£
Й
в
й
£
со
Р-
о
g
00
00
см ю
ю
СО
LO
СМ
vi¬
VF
Вт. Гг
СО
vr-
СВ
о
ce
ю
см со
СМ
см
0-0
И-
ю
ч
я ,ч
“S
° ч
О о
г-
И 2
5 2
Я Й
О
О
о
ГО
о
о
ю
о
00
со
со
см
= I
X о
в §
ю
3 5
к
Й
Й ST Я
: о и
=5 о [
« Я. -
03 о
5
о
о
о
г-
г-
оо
ОС
о
-гг /<~ч
ю
о
с
т
(М
1
см
1
Т
см
1
т
т
гч
1
гЧ
1
см
1
тсъ
3
о
о
О
О
о
о
О
О
О
О
Ю W
ч
С
о
в
ОО
to
00
tr¬
00
Vj<
vf
-Г-1
СО
ев
ю ^
в
ев
ОО
о
ee
СО
vf
О
■чН
СО
СО
ч ^
г?
см
см
vf
со
о
00
tr¬
св.
О
СМ
с С
3
LQ
ев
СО
см
vi<
LO
ee
СО
СО
со
i— о
со
о
св
ОО
00
ОО
СО
LO
° в
о
ев
V*
t'—
Ч-*
см
tr-
-гЧ
tr-
О
се
о
СО
со
ев*'
CO
чН
см
СВ
0 гЛ
3
г -< о
«
Ь'
+
0
о я =
Й=5 С
Й о ч
BR ?
я ® ^
со о X
К 3
О О ;
h-г 03 1
*-* \о I
о
о
ю
ю
Tf<
00
О
г-
о
ZD
О
«5
О
»я
О
О
О
о
со
vi¬
vf
СО
00
чгЧ
v^
VH
tr¬
ce
ев
00
со
СВ
-7-1
СО
О
ee
vi*
vf
СМ
Ю
о
00
СО
о
см
Cl
со
vf
00
ев
со
00
СВ
со
со
-г-1
см
СВ
см
см
tr¬
tr¬
ОО
со
СМ
СО
со
vi1
ee
ue
СО
СО
ft
>*
ч
Б
ч
о
о
се
ft
ft щ
.2 ©
^ CQ
к
о
ft
>>
fc-
ей
ft
>й
>>
н
о
н
K^i
ч
Е
я'©
Н R 0
ьс?
|с
? т
Зй
a
CJ В :
о аз :
ч в :
§ :
3
3	О !
га о !
4	3 I
О
4
>*
5
сг а
о с
ч

152
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ
ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
Данные о спутниках пла
Планета
Спутник
Видимая
звездная
величина
Угловое
расстояние
от планеты
при наблю¬
дении
с Земли,
сек дуги
Расстояние от планеты
радиус
планеты=1
км
1
2
3
4
5
6
Земля
Луна
-12,5
529,75
60,267
334 400
Марс
I Фобос
11,5
8,46
2,79
9 350
II Деймос
13
21,25
6,93
23 500
- Юпитер
V
13
48,06
2,540
181 500
I Ио
5,5
111,78
5,905
422 000
II Европа
5,7
177,86
9,401"
671 400
III Ганимед
5,1
283,7
14,995
1 071 000
IV Каллисто
6,3
498,99
26,379
1 884 000
VI
13,7
3037
161
И 500 000
VII
16
3113
165
11 750 000
X
17,8
3116
165
И 750 000
XI
16
5990
315
22 500 000
VIII
17,6
6240
330
23 500 000
IX
17,4
6360
332
23 700 000
XII
Сатурн
I Мимас
12,1
26,83
3,11
185 700
II Энцелад
11,6
34,42
3,99
238 200
III Тефия
10,5
42,6
4,94
294 800
IV Диона
10,7
54,57
6,33
337 700
V Рея
10
76,20
8,84
527 500
VI Титан
8,3
176,67
20,48
1 223 000
VII Гиперион
13
214,13
24,82
1 484 000
VIII Япет
10,1—11,9
514,73
59,68
3 563 000
IX Феба
14,5
1870,4
216,8
12 950 000
Уран
I Ариэль
15,2
13,78
7,35
191 800
II Умбриэль
15,8
19,2
10,2
267 300
III Титания
1,4
31,5
16,8
438 700
IV Оберон
14,2
42,12
22,4
586 600
V
Нептун
Тритон
13,6
16,23
14,2
354 000
Нереида
1

§ 6.1] СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ	153
Таблица 6.3
нет солнечной системы
Период обращения
Угол наклона
дни, часы,
минуты
сутки
Эксцент¬
риситет
орбиты
спутника
к опорной
плоскости
(или к
плоскости
экватора
планеты)
опорной
плоскости
к плоско¬
сти
орбиты
планеты
орбиты
спутника
к плоскости
орбиты
планеты
7
8
9
ю
11
12
27d7ft43m, 19
27,321661
0,05490
28° 35' —
5°8',55
18°19'
O'* 7''39,п,23
0,3189103
0,021
1°8'
25°11'
26°19'
Id 6*47m,92
1,2631354
0,003
1°46'
24°16'
26°2'
0dll,l57m,33
0,49817938
0,0028
27',3
3° 6',9
3°34',2
ld18h27m,56
1,76913783
0,0
1',6
3° 6',7
3° 8',3
3d13h13m,70
3,55188113
0,0003
28', 1
3° 5',8
3°33',9
7<* 3'“42m,56
7,15455265
0,0015
И',0
со
СМ
о
СО
3°13',3
16‘*16ft32m,19
16,68901862
0,0075
15',2
3°42',7
3°57',9
250*,7
250,7
0,155
♦
28°45'
260<*
260
0,207
27°58'
260d
260
0,08
28°
692d
692
0,21
148°1'
739й
713—768
0,29—0,45
157°
758d
758
0,1-0,4
163°
0*22л37т,09
0,9424219
0,019
1°31'
26D44',7
26°25',4
Id 8,l53’n, 11
1,3702178
0,0001
1' ,4
26°44',7
27° 2',4
ld21h18m,44
1,8878025
0,0
1°5' ,6
26э44',7
30° 9',9
2d17'l41m,16
2,7369159
0,002
0°0'
26°44',7
26°44',7
4d12h25m,20
4,5175026
0,0009
20',5
26°41',9
27°50',3,
15d22"41”\41
15,9454201
0,0289
18',3
26° 7',1
26°46',1
21d 6'l33m,40
21,2766667
0,1043
1°,31'
26°44',7
28°15',7
79d 7'!55,n,54
79,330234
0,0284
13°51',8
16°18',1
26°17'—26°56'
550d10m,06
550,4416
0,1659
(148,9°)
(174,7°)
175°18',7
2d12,l29m,35
2,5203796
0,007
(0°)
97°59'
4d 3'*27m,61
4,1441748
0,008
(0°)
97°59'
8d16h56"\45
8,705865
0,023
(0°)
97°59'
13dllh 7m,06
13,463235
0,01
(0°)
97°59'
5d21/l 2m,66
5,8768437
0,0
(160°)
140°

154
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
Планета
Спутник
Долгота
восходя¬
щего узла
Направле¬
ние
обращения
вокруг
планеты
Диаметр
нм
1
2
13
14
15
Земля
Луна
прямое
3476
Марс
I Фобос
прямое
— 15
II Деймос
прямое
-8
Юпитер
V
прямое
75—150
I По
прямое
3730
II Европа
прямое
3150
III Ганимед
прямое
5150
IV Каллисто
прямое
5180
VI
181°
прямое
120 (?)
VII
о
СО
см
прямое
50 (?)
1
X
см
00
прямое
20 (?) |
XI
208°
обратное
25 (?)
VIII
61°
обратное
50 (?) j
IX
232°
обратное
22 (?) j
XII
!
Сатурн
I Мима с •
прямое
450 (?)
i
II Энцелад
прямое
500 (?) 1
III Тефия
прямое
1100 (?)
IV Диона
прямое
1100 (?)
V Рея
прямое
1600 (?)
VI Титан
прямое
4200 (?)
i
VII Гипериои
прямое
400 (?) ;
VIII Япет
прямое
1300 (?)
IX Феба
обратное
300 (?)
Уран
I Ариэль
обратное
500 (?)
II Умбриэль
обратное
400 (?)
III Титания
обратное
1000 (?) i
IV Оберон
V
обратное
900 (?)
Нептун
Тритон
обратное
4500 (?)
Нереида
Примечание. Таблица взята из [1]. Данные столбцов 3—7, 9 — 13, 15 и 17 взяты из рабо
I W, Т. Skilling, R, S. Richardson, Astronomy 3 (1945) величины эксцентриситетов для
ков Юпитера от I до V эксцентриситеты даны как переменные величины; для X спутника Юни
то
для —— = 4,427. Данные столбца 18 получены на основе данных столбца 17 и массы Луны,
т ^
столбца 19 и 20 найдены по данным столбца 18. Данные столбца 21 заимствованы из книги [28].

§ 6.1]	СОЛНЕЧНАЯ	СИСТЕМА	И	АСТРОНОМИЧЕСКИЕ	ПОСТОЯННЫЕ	155
Продолжение табл. 6.3
Ма
Меркурнй=1
сса
Луна=1
Гравитаци¬
онный
параметр,
кмЪ/ccv.z
Скорость
освобожде¬
ния,
КМ/ССК
Ускорение
силы
тяжести
(на поверх¬
ности
Земли—1)
Состав атмосферы
i
16
17
18
19
20
21
0,2259
1
4 890
2,372
0,1650
SO, «0,0003)
03 «0,005); Кг (?)
0,2236
• мл
4 841
2,279
0,1337
СН4 «200); NH3«40)
0,1416
; . Г-
3 130
1,994
0,1286 •
СН4 «200); NH3«40)
0,47 «
2,11
10 319
2,831
0,1586
СН4 «200); NH3«40)
1
1
i
0,2 1 2
1
1
1,
6 455
2,233
0,0981
i
СН4 «200); NH3«40)
1
i
0,000117
0,090516
2,523
* 0,1493
0,00503
0,000264
0,00117
5,722
0,2139
0,00933
1
0,00206
0,0038
О
СО
0,3956
0,01450
0,00316
0,014
68,465
0,4990
0,02306
0,00678
0,03?
146,67
0,6055
0,02335
0,4337
1,92
9 390
2,990
0,21694
! С Н4 (20 000); N Н3«300)
<0,000136
<6-10-4
<21 934
<0,1713
<0,0075
0,00429
0,019
92,17
0,5325
0,02223
0,4066
1,8
8,803
2,7972
0,1772
ты Н. N. Russell, R. S. Dugan and J. P. Stewart, Astronomy 1 (1945). В книге
некоторых спутникоз даны со значительными отличиями: для Фобоса е=0,017; для спутни-
тера е= 0,1 4051; для Энцелада е=:0,0046; для Гипериона е=0,119. Данные столбца 16 вычислены
которая была определена по известной массе Земли и оказалась равной 7,32859 • 1025 г. Данные
стр. 308, столбцы 19 и 20.

156
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
Одной из важнейших постоянных астрономии является гравитацион¬
ный параметр Солнца *):
Kq = A2m0>	(6.1)
где к — гауссова постоянная, равная
к = 0,01720209895 рад/сут.
Величину гравитационного параметра Солнца можно найти из третьего
закона Кеплера по известным данным, характеризующим орбиту Земли:
4л 2 Л
к2 (niQ-r тф) = -	„ " ,	(6.2)
Ф
где Яф —среднее расстояние Земли от Солнца, Тф— сидерический период
обращения Земли по орбите (индекс @ обозначает Землю). Среднее
Рис. G.4. Районы космического пространства (впепшнн область солнечной
системы).
значение расстояния до Солнца определяется из наблюдений солнечного
параллакса и величины экваториального диаметра Земли. На основе раз¬
личных измерений солнечного параллакса и земного диаметра получен
ряд различных значений этого расстояния:
Яф = 1,4953-1013 см — по данным Рабп (Rabe), 1950;
Яф = 1,4968-1013 см — по данным Спенсера Джонса (Spencer Jones),
1941;
Яф — (1,4960 ± 0,0007)-1013 см — среднее значение между резуль¬
татами Раби и Спенсера Джонса;
Яф = 1,495-1013 см — по данным Американского астрономического
и морского ежегодника, 1957.
*) Перечень обозначений к настоящей главе приведен на стр. 264.

s 0.1]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
157
Таким образом, грубо говоря, среднее расстояние от Земли до Солнца
лежит в пределах от 149,5 • 106 » до 149,6-106 км. Продолжительность
сидерического года равна
Тф = 365,2563835 ср. соли, суток.
Средние солнечные сутки делятся на 24 средних солнечных часа,
или 86 400 средних солнечных секунд. Пренебрегая массой Земли, равной
?Пф = 3-10"6 77Zq, найдем
А® = (365,2563835)2-(86 400)2 •
При а.ф = 149,5-106 км получим
^ = 1,32453-Ю11 км3/сек2	(I)
и при Я0 — 149,6-106 км получим
Kq = 1,32719-1011 км3/сек2.	(II)
Орбитальная скорость движения тела по круговой орбите радиуса а
может быть найдена по формуле
<И)
откуда для обоих указанных значений параметра Kq имеем:
vl 29,7654 км/сек,
С	1	/7
v^1 = 29,7854 км/сек,
что дает разницу в 20 м/сек, или 65,6 фут/сек. В теоретической астроно¬
мии такая погрешность считается не очень высокой. В астронавтике же
такая ошибка в скорости полета может привести при отсутствии коррек¬
ции к огромному промаху при подходе к цели; введение коррекции в свою
очередь затрудняется неточным знанием основных постоянных. Эти сооб¬
ражения представляются достаточно вескими для того, чтобы перед
посылкой в путешествие космического корабля с человеком на борту про¬
вести эксперименты с запусками искусственных комет.
Если воспользоваться часто употребляемым средним значением
скорости
vlcu — 29,77 км/сек,
а так же п р и ня т ь
<20 = 149,5 • 106 км/сек,
то, вычисляя гравитационный параметр по формуле
^0=^аф(С’сИ1)2.
найдем
A'q1 = 1,324 948 • 1011 кмУсек2.
Это значение использовалось для получения последовательной системы
величин К для планет (табл. 6.2). Для вычислений применялась формула
К = Gin,	(6.4)
где G = (6,668 ± 0,005)-10"8 смъ/г-сек2— постоянная тяготения. С по-
Кх>\
мощыо этой формулы можно получить уравнение для отношения ,
л0

158
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
где Kv\ — гравитационны]'! параметр планеты. Для этого исключим из
(6.4) постоянную G, которая также известна с недостаточной точностью,
и получим
Kpl = KQ^,	(G.5)
9
где ттгр 1 — масса планеты. Отношение массы Солнца к массе планет дано
в табл. 6.2. Погрешность этого отношения в ряде случаев очень велика,
особенно там, где отсутствие у планеты естественных спутников не дает
возможности уточнить ее массу. Из других двух уравнений для К найти
его более точную величину не удается, так как, например, в формулу К =
" Gm также входит масса планеты. Использование данных наблюдений
за спутниками планеты, если они имеются, также не обеспечивает высокой
точности ввиду трудностей измерения элементов орбит этих малых тел.
Поэтому получить точные и надежные значения параметра К не удается,
и мы будем определять его величину по формуле (6.5). Для более точного
определения масс планет, особенно массы Венеры, которая не имеет есте¬
ственных спутников, очень удобным явится использование искусствен¬
ных комет.
Другой фундаментальной постоянной астронавтики является грави¬
тационный параметр Земли, определение которого специально рассма¬
тривается в работе [1]. Принятое на основании имеющихся данных значе¬
ние К<£ равно
7v0 = 3,9858-105 км3/сек2.
Отсюда для ускорения силы тяжести на поверхности Земли на широте 45°
находим g = 983,051 см!сек2. В табл. 6.2 даны значения параметра К<$
в различных системах единиц. Коэффициенты преобразования опреде¬
ляются соотношениями: ’
К (морск. миль3!сек2) = 0,157 426 К (кл13;сек2);
К (фут3!сек2) ~ 3,5314437 • 1010 К (км3/сек2);
К (а.е3/сек2) ----- 3,3413624-10 24 К (км3/сек2).
В последнем случае принимается, что 1 а.с. =-■■- 149,5 106 км.
Подробное обсуждение астрономических констант и точностей, с кото¬
рыми они известны, приведено в работе [3].
Обычно в качестве опорного направления в космическом пространстве
служит направление линии Солнце — Земля в день 21 марта, т. е. линия
весеннего равноденствия. Эта линия направлена в некоторую точку
созвездия Овна, обозначаемую символом у (рис. 6.5). Направление дви¬
жения или обращения небесных тел обычно определяется с точки зрения
наблюдателя, смотрящего со стороны северного полюса небесной сферы,
который представляет собой проекцию на небесную сферу северного
полюса Земли. При наблюдении из этой точки все планеты и большая
часть их спутников, а также и других тел солнечной системы будут казать¬
ся движущимися против часовой стрелки (т. е. по так называемым пря¬
мым орбитам). Если же при наблюдении из северного полюса тело дви¬
жется по часовой стрелке, его орбита называется обратной. Наклон
орбит i измеряется относительно плоскости эклиптики, и угол наклона
представляет собой угол между этой плоскостью и положительным
направлением движения тела по орбите в точке, где оно пересекает пло¬
скость эклиптики, переходя из южной полусферы в северную (т. с. в вое-

§ 6.1]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
159
ходящем узле орбиты). Отсюда следует, что если наклон превышает 90°,
то орбита будет обратной.
Для определения орбиты и положения тела на ней служат так назы¬
ваемые элементы орбиты (рис. 6.5). Для лучшего понимания всех дальней¬
ших описаний, таблиц и рисунков настоящей главы остановимся кратко
на этих элементах. Помимо уже упомянутого элемента — наклона орбиты —
важным углом, определяющим положение орбиты, является долгота вос¬
ходящего узла <0,, т. е. угол в плоскости эклиптики между линией весен¬
него равноденствия и линией восходящего узла. Таким образом, пуле¬
вое значение долготы восходящего узла означает, что точка, в которой
орбита переходит из южной небесной полусферы в северную, лежит па
опорной линии, т. е. на линии весеннего равноденствия.
Другой элемент орбиты — эксцентриситет — характеризует отличие
орбиты от круговой. Эксцентриситет круговой орбиты равен 0, а парабо¬
лической — равен 1. Эксцентри¬
ситеты эллиптических орбит пла¬
нет солнечной системы лежат в
пределах от 0 до 1. Если же
эксцентриситет больше 1, то орби¬
та тела будет гиперболической
и оно должно покинуть пределы
солнечной системы. Если тело дви¬
жется по эллиптической около¬
солнечной орбите, то точка наи¬
большего приближения тела к
Солнцу называется перигелием, а
точка наибольшего удаления —
афелием орбиты. Линия, соеди¬
няющая эти точки, называется
большой осью эллипса, а поло¬
вина этого расстояния — большая
полуось эллипса — является еще
одним элементом орбиты. При отсутствии каких-либо возмущений периге¬
лий орбиты не меняет своего положения в пространстве. Однако планеты
обычно влияют друг на друга, и поэтому их перигелии не остаются неиз¬
менными. Положение перигелия задается либо аргументом перигелия
о для орбит комет, либо долготой перигелия к = со -f- <Г£ для ороит
планет и астероидов. Угол со измеряется между восходящим узлом и поло¬
жением перигелия (рис. 6.5). Время, к которому относится измерение
этого угла, называется эпохой.
Последним элементом орбиты является момент прохождения тела
через перигелий. Как видим, общее число элементов равно шести, что
соответствует шести постоянным интегрирования, появляющимся при
интегрировании трех дифференциальных уравнений пространственного
движения тела в поле центральной силы. Перечислил! снова эти шесть
элементов (вместе с некоторыми их возможными разновидностями):
(I) Q __ д0Лг0та восходящего узла, определяющая положение пло¬
скости орбиты относительно некоторого направления в пространстве
(обычно относительно линии весеннего равноденствия);
(II) i _ наклон плоскости орбиты относительно опорной плоскости
ху (обычно относительно эклиптики);
(111а) со — аргумент перигелия (в более общем смысле — перицентра),
измеряемый от восходящего узла орбиты;
z
Рис. 6.5. Ориентация плоскости орбиты.

160
М Е Ж П Л А Н Е Т Н Ы Е ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
(ПК) я — долгота перигелия (перицентра), измеряемая от некоторого
опорного направления в пространстве (от линии весеннего равноденствия);
(IVa) е — линейный эксцентриситет орбиты;
()К
(IV6) h — и2 —  константа энергии орбиты;
(Ya) а — большая полуось орбиты (только для эллипса и гиперболы);
(Уб) р — а (1 — е2) — фокальный параметр или фокальная полу-
хорда орбиты (т. е. расстояние от тела до центра притяжения при истин¬
ной аномалии 90°);
(VI) ТР — момент прохождения через перигелий (перицентр).
Величины (1) п (II) в совокупности определяют ориентацию пло¬
скости орбиты в пространстве, а угол (II 1а) или (II16) задает ориентацию
орбиты в ее плоскости. Элементы (IVa) и (IV6) характеризуют форму орби¬
ты (окружность, эллипс, парабола, гипербола). При вертикальном подъеме
или падении (эллипс вырождается в прямую) е = 1. Элементы (Va) или
(Уб) характеризуют размеры орбиты и период обращения тела по орбите,
так как среднее суточное движение дается формулой
где Т — период обращения. Наконец, величина (VI) совместно с другими
элементами определяет положение тела на его орбите в инерциальиом про¬
странстве.
Элементы орбиты, определяющие ее плоскость и ориентацию в этой
плоскости, а также положение тела на орбите, играют важную роль в зада¬
чах космической навигации и в задачах вычисления возмущений орбиты.
В таких расчетах удобно задавать положение тела относительно пери¬
центра его полярными координатами 2 (радиальное расстояние) и ц (истин¬
ная аномалия, т. е. угол между направлением из притягивающего центра
на перицентр и текущим радиусом-вектором тела при его движении по
орбите).
Во время межпланетного рейса космический корабль проходит через
различные районы космического пространства. В целях большей ясности
изложения определим эти районы следующим образом.
Межпланетное, или околосолнечное, пространство — область грави¬
тационного поля Солнца, где корабль движется по гелиоцентрическому
коническому сечению, имеющему постоянные элементы.
Околопланетное пространство — область вокруг планеты, в пределах
которой возможны захват космического корабля планетой и превращение
его в спутника планеты.
Сфера действия— та область пространства, в которой при движении
тела с гиперболической скоростью в качестве основного центра притя¬
жения следует считать планету (илиее спутник), а не Солнце (или планету).
В пределах этой области, которая по размерам меньше, нежели вся около¬
планетная область, отношение величины центральной силы к возмущаю¬
щей силе в плаиетоцентрической системе координат оказывается большим,
чем в гелиоцентрической системе координат. Это обстоятельство очень
важно сточки зрения космической навигации. Радиус сферы действия опре¬
(6.6)
§ 6.2. Определение районов космического пространства
и основная терминология

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
161
деляется формулой [4]
7'act=jR(ij)2/5-	(°-7>
где R — расстояние планеты с массой т от Солнца, а М — масса Солнца.
Окололунное пространство — сравнительно небольшой район окре¬
стностей Луны, где возможно существование спутника Луны на селеноцен¬
трической орбите.
Земля п Луна образуют систему, у которой соотношение размеров
обоих тел приближается к соотношению размеров двойных звезд. Поэтому
здесь целесообразно выделить район непосредственной близости к Земле,
где основные возмущения определяются действием внешней атмосферы,
магнитным и электрическим полем Земли, а также сжатием земного сферои¬
да (околоземное пространство); область, расположенную между Землей
и Луной, где возмущения от притяжения Луны становятся сравнимыми
с возмущениями от сжатия Земли (промежуточная область) или превосхо¬
дящими их; окололунное пространство, где возможно существование спут¬
ника Луны, и, наконец, залунную область, где поле притяжения системы
Земля — Луна становится все более и более близким к полю центральной
силы.
Механика космических полетов в значительной степени представляет
собой приложение методов небесной механики. Так, между тремя основ¬
ными разделами небесной механики и механикой космических поле¬
тов существует определенная связь, которая выражается следующим
образом:
Небесная механика:	Механика космических полетов:
1. Теория движения в поле централь- 1. Анализ траекторий полета,
noii силы.
2. Определение орбит.	2.	Слежение за траекторией с Земли н
автономное определение координат.
3. Теория возмущений.	3.	Навигация и маневрирование в кос¬
мосе.
В настоящей главе будут рассматриваться в основном лишь первый
и третий пункты.
Орбита, по которой движется космический корабль, совершающий
межпланетный перелет от планеты старта до целевой планеты, называется
переходной орбитой. В той степени, в которой эта гелиоцентрическая
орбита является кеплеровой (т. е. «пассивной»), ее элементы остаются
постоянными величинами. Однако при прохождении корабля через раз¬
личные области космического пространства элементы его орбиты претер¬
певают возмущения и вследствие этого изменяются. Элементы орбиты
изменяются также и при включении тяги (импульсной или непрерывной).
В этом случае происходит изменение орбиты в отличие от пассивного
движения по переходной орбите.
§	6.3. Солнечная система как поле центральной силы
6.3.1.	Введение. Во многих случаях при анализе гелиоцентрических
траекторий межпланетных перелетов вполне достаточно рассматривать
упрощенную модель солнечной системы, считая массы планет бесконечно
малыми. Кроме того, в первом приближении можно пренебречь наклонами
планетных орбит к плоскости эклиптики. Если же еще пренебрегать и
эллиптичностью орбит, то мы получим простейший случай задачи— перелет
И Космическая техника

162
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
между компланарными круговыми орбитами. Когда переходная орбита
касателъна как к начальной, так и к конечной круговой орбите, для
полета по ней требуется очень небольшая (в некоторых случаях наимень¬
шая возможная) затрата энергии, однако время перелета при этом будет
сравнительно велико. Такие орбиты называют часто эллипсами Гомана [5].
Ниже дается обзор переходных орбит ко всем планетам, представляющих
собой эллипсы Гомана, а также приводятся необходимые фактические дан¬
ные. Эти данные сравниваются с аналогичными данными для переходных
траекторий между эллиптическими планетными орбитами (в случае, когда
последние лежат в одной плоскости и их большие оси совпадают).
Помимо гомановских эллипсов дается систематический обзор и других
межпланетных траекторий простейших типов и указываются их основ¬
ные характеристики (время перелета, время выжидания, потребная
Рис. • 6.0. Видимый диаметр Солнца.
энергия). Указываются обладающие определенными преимуществами
траектории импульсного режима тяги.
Необходимо проводить четкое различие между рейсами односторон¬
ними (без возвращения), которые, видимо, должны предназначаться
для полетов автоматических ракет, и рейсами с возвращением, пред¬
назначенными для полетов ракет с человеком на борту. В первом случае
путем небольшого увеличения начальной скорости можно значительно
уменьшить время перелета и этим сэкономить на энергии, необходимой
для поддержания связи с Землей в те периоды, когда ракета будет, напри¬
мер, вблизи Марса. Если же ракета должна быть захвачена планетой или
выведена на траекторию возвращения по «быстрой» орбите, то потребная
энергия резко возрастет. Поэтому проблема выбора оптимальной траекто¬
рии играет очень важную роль в анализе и разработке'космических
летательных аппаратов.
6.3.2.	Солнце — центральное тело. Солнце представляет собой гигант¬
ский термоядерный реактор, находящийся в центре планетной системы,
Его сила притяжения прочно удерживает все тела солнечной системы на их
орбитах, а его лучистая энергия, излучаемая в пространство, столь вели¬
ка, что ничтожная ее доля, составляющая лишь 10“6% от всей энергии,
которая падает на поверхность тел солнечной системы, оказывается доста¬
точной для поддержания всех химических и физических процессов на пла¬
нетах, включая поддержание жизни на Земле и, возможно, на Марсе
и Венере.

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
163
При наблюдении с Земли солнечный диск виден под углом около 0,5 :
среднее значение этого угла равно 31'59". Угловой диаметр солнечного
диска как функция расстояния от Солн¬
ца показан на рис. 6.6. Для Земли это
расстояние в среднем равно 149,5 • 106 км,
или 8,32 световой минуты. Следова¬
тельно, истинный диаметр Солнца рав¬
няется 1, 39-106 км (870 ООО миль), или
109 земным диаметрам.
Масса Земли равна примерно
6 • 1021 771, а масса Солнца превосходит
ее в 332 500 раз. Ускорение силы тяже¬
сти на поверхности Солнца превышает
ускорение на поверхности Земли в
27,9 раза. На рис. 6.7 показан ход убы¬
вания напряженности гравитационного
поля Солнца с увеличением расстояния
до его центра. Зависимость круговой
и параболической скорости от расстоя¬
ния представлена на рис.. 6.8.
Постоянная солнечного излучения
определяется как количество лучистой
энергии, падающей за одну секунду на
единичную площадку, перпендикуляр¬
ную к солнечным лучам и находящую¬
ся в космическом пространстве на рас¬
стоянии от Солнца, равном среднему
расстоянию Земли от Солнца. Она равна
Расстояние от Солнца,
морслие мили
Рис. 6.7. Гравитационное поле Солнца.
S - • 1,36 эрг/(см2 - сек) = 1,94 кал/(см2 • мин) ^ 1/30 кал/(см2 • сек) —
= 0,136 вт/см2 — 1,36 квт/м2 = 92 фут • фунт/(фут2 • сек).
Используя это значение, из закона Стефана — Больцмана находим,
что эффективная температура на поверхности Солнца равна 5750° К.
Рис. 6.8. Круговая и параболическая скорости в поле притяжения'Солнца.
Мощное излучение энергии с поверхности Солнца открывает заманчи¬
вые возможности использования этой энергии для нужд космического
И*

164
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
корабля, например для питания аппаратуры или для создания тяги. На
рис. 6.9 показана зависимость изменения энергии солнечного излучения
(отнесенной к солнечной постоянной
Sq) от расстояния R космического
корабля от Солнца. Эта зависимость
найдена из соотношений:
10е 10s
Расе/паяние т Салща1
марсхае мала
рис. 6.9. Поле "лучистой энергии Солнца.
S-.
9,05-1023
(6.8)
(6.9)
4яД2 ’
SQ V R ) '
где 9,05 -1025 кал! сек — болометриче¬
ская мощность солнечного излучения,
R — расстояние корабля от Солнца и
R$ — расстояние Земли от Солнца.
Как известно, излучение, падаю¬
щее на поверхность, оказывает на нее
определенное давление. Согласно тео¬
рии Эйнштейна из соотношения экви¬
валентности массы и энергии Е = тс2
следует, что масса фотонов *) солнеч¬
ного излучения, падающих на единич¬
ную поверхность в единицу времени,
есть
т — -
S
cos а [сила • время/длина3]. (6.10)
Количество движения, сообщаемое при этом единичной площадке,
будет **)
M = mtc——cos а [сила • время],	(6.11)
где а — угол между направлением нормали к площадке и падающими
лучами. Согласно второму закону Ныотона сила, действующая иа еди¬
ничную площадку, равна изменению количества движения во времени,
т. е. производной
= М= _^_cosa [сила/длина2]
(6.12)
Если отражательная способность поверхности равна /?, то полная сила
светового давления на единицу площади будет ***)
Pr = — cos a Vi+ R2 + 27? cos 2a.
(6.13)
На рис. 6.10 дан график уменьшения давления солнечного излучения
с ростом расстояния от Солнца при нормальном падении лучей на пло-
*) Фотон есть квант (порция) электромагнитной энергии Е, величина кото¬
рого равна произведению частоты этого излучения v на универсальную постоян¬
ную /г, называемую постоянной Планка; E — vh. Согласно законам квантовой меха¬
ники электромагнитная энергия может поглощаться или излучаться только в виде
групп фотонов.
**) В случае полного поглощения энергии.
***) В оригинале эта формула приведена неверно. {Прим. перев.)

§ G.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
165
щадку, т. е. при а = 0, в случае идеально отражающей поверхности^
когда R = 1. Для тел очень малых размеров сила этого давления стано¬
вится соизмеримой с силой гравитационного притяжения. Рассмотрим
тело шарообразной формы. Грави¬
тационная сила, действующая на
него, пропорциональна массе те¬
ла, т. е. кубу его радиуса. Сила
же светового давления пропор¬
циональна площади его попереч¬
ного сечения, т. е. квадрату радиу¬
са. Отношение силы светового дав¬
ления на тело, направленной от
Солнца, к силе солнечного притя¬
жения, направленной к Солнцу,
оказывается поэтому пропорцио¬
нальным 1 /г, где г — радиус тела.
Следовательно, при некотором
значении радиуса г это отношение
должно стать равным . единице,
т. е. обе силы уравновесят друг
друга. Для тел с плотностью
нещества, равной единице, этот
критический радиус равняется
1,5 микрона.
Более мелкие частицы такой
плотности будут поэтому «вытал¬
киваться» из солнечной системы
действием солнечного излучения.
6.3.3.	Тангенциальный пере¬
лет между компланарными кру¬
говыми орбитами. Если пренебречь массами планет и в первом прибли¬
жении считать их орбиты круговыми и лежащими в одной плоскости,
то для расчета траекторий полета и их основных параметров можно
воспользоваться простой моделью пере¬
лета между компланарными круговыми
орбитами. Будем сначала предполагать,
что переходная орбита (эллипс Гомана)
тангенциальна к начальной и конечной
круговым орбитам. Будем полагать так¬
же, что операция преобразования орбиты
(которая осуществляется посредством
включения импульсной тяги, а не с по¬
мощью малой тяги, действующей в тече¬
ние большого промежутка времени) про¬
изводится на линии апсид переходного
гомановского эллипса.
Рассмотрим две круговые концентри¬
ческие орбиты, помеченные на рис. 6.11
одним и тремя штрихами, между которыми
должен быть осуществлен перелет. Пере¬
ходная гомановская орбита (она поме¬
чена двумя штрихами), требующая минимальных затрат энергии, пред¬
ставляет собой эллипс, который в точках апсид касается двух заданных
Рис. 0.11. Переход с минимальной
затратой энергии между концентри¬
ческими круговыми орбитами.
Расстояние от Солнца,
70 6 морских миля
Рис. 6.10. Поле давления солнечного излуче¬
ния (при нормальном падении на идеально
отражающую поверхность).

166
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
круговых орбит. Подробный анализ переходной эллиптической орбиты
дан в приложении 6А. Можно показать, что если 15,6 (рис. 6.11),
Рис. 6.12. Обобщенная диаграмма переходов между круговыми орбитами (ско¬
рости выражены в единицах круговой скорости на начальной орбите).
то требуемый прирост скорости для
24
22
20
176
к/4
^ 72
%10
^	/7
перелета со внутренней кру¬
говой орбиты на внешнюю ока¬
зывается максимальным. Этот
максимум виден на рис. 6.12,
где приведены обобщенные гра¬
фики требуемых приростов ско¬
рости для перелетов между
круговыми орбитами. Как ви¬
дим, требуемая скорость в этом
случае даже превышает прирост
скорости, необходимый для
ухода по параболе со внутрен¬
ней орбиты в бесконечность.
Будем считать, что орбита 2
является начальной. Тогда тре¬
буемый для перелета прирост
скорости будет равен приросту,
необходимому для достижения
параболической скорости (ско¬
рости освобождения) при усло-
^ 3,4 или - = 0,5. По-
2 г2
этому перелет на такую круго¬
вую орбиту, радиус которой
более чем в 3,4 раза или менее
чем в 0,5 раза превышает ра¬
диус начальной круговой орби¬
ты, требует больших затрат
энергии, нежели уход с этой
начальной орбиты в бесконечность. Основные графики, характеризующие
\
\
\
V
\
I
\
S
L s
S
?
Ъо ■
п
\
и
-V
/
\
S
Дин+Дц,.
7
*1-
-У,
V
<
\
Ат,
1
/
л
И/
/
/
<
I/
Ai
У///
L
✓
к
К
1
V
3 4 50 в /О 20 304050 00700	200 300
Расстояние от центра Земли г, /О3морения миле
Рис. 6.13. Зависимость круговой скорости, скоро¬
сти в апогее и приростов А г
орбиты спутника
II
(У1 = 425 ООО
А Г111 от высоты
футов). Здесь А г
II
г3
ВИИ —
1' 9
представляет собой импульсный прирост скорости
при уходе с орбиты радиуса г (перигейный им¬
пульс), aAr^j—импульс при выходе
ного эллипса на круговую
(апогейный импульс); г и 1
с переход-
орбиту радиуса г
суть соответствен¬
но круговая скорость^и скорость в апогее на рас¬
стоянии г от центра притяжения.

§ 6.£]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
167
гз/г2
Рис. 6.14. Обобщенная зависимость между скоростью и радиальным
расстоянием для эллиптических орбит перехода в центральном поле
от внутренней к внешней круговой орбите (—>l). Скорости выражены
в единицах круговой скорости на начальной орбите (радиуса г2).
г/гр
Рис. 6.15. Обобщенная зависимость между временем полета и радиальным
расстоянием для эллиптических орбит в центральном поле. Время выражено
в единицах периода обращения по эллиптической орбите, характеризуемой
? А го
отношением 	= — .
гр г2

168
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
потреоные скорости и времена полета по эллиптической ороите, представ¬
лены в обобщенном виде на рисунках 6.12 —6.15. Из выражения
у2 = о* + 2К (-	-
2	V Г	Го
(6.14)
нетрудно получить уравнение для определения зависимости расстояния
от времени и найти величину мгновенной скорости (в единицах круговой
скорости в перицентре) в любой точке эллиптической орбиты, задаваемой
отношением ^ (рис. 6.11) (приложение 6А). Рис. 6.12 иллюстрирует тре¬
буемые для перелета на внешнюю или внутреннюю орбиты приросты ско¬
рости в единицах скорости движения по круговой орбите радиуса г2
На рис. 6.14 представлены зависимости требуемых приростов скорости
от соотношения радиусов — . Нижняя штриховая линия на этом рисунке
г2
показывает значения скорости в апоцентре, верхняя штриховая линия —
значения скорости в перицентре. На рис. 6.15 дана зависимость между
временем полета и соотношением радиусов орбит.
6.3.4.	Перелет между компланарными круговыми орбитами по пере¬
секающейся с ними траектории. Вместо полета по переходному эллипсу,
касательному к начальной и конечной орбитам, можно выбрать для
перелета такую эллиптическую орбиту, которая либо касательна только
к одной из заданных круговых орбит и пересекает другую, либо
пересекается с ними обеими. Пример первого из этих случаев показан
на рис. 6.16. Перелет по такой траек¬
тории совершается значительно быстрее, так
как здесь не используется участок переход¬
ного эллипса, расположенный вблизи его афе¬
лия. Как можно заключить из рис. 6.15,
именно наличие этого участка является глав¬
ной причиной большой продолжительности
полета, характерной для непересекающихся
переходных эллипсов. Полет по пересекающе¬
муся эллипсу требует, однако, больших энер¬
гетических затрат не только потому, что апо¬
гей такого эллипса находится дальше, но
еще и потому, что здесь необходимо по
достижении целевой орбиты изменять направ¬
ление движения.
Переходные орбиты, которые пересе¬
каются с одной или с обеими орбитами, между
которыми осуществляется перелет, называют
также эллипсами быстрого перелета. К сожалению, нельзя рассчитать
переходный эллипс непосредственно по задаваемому времени перелета.
Фактически необходимо либо сперва задать обе точки апсид, если они
обе неизвестны, либо задать истинную аномалию точки пересечения пе
реходного эллипса с целевой орбитой. В любом случае время перелета
будет функцией, а ие независимой переменной задачи.
Как будет видно далее, в отношении сокращения времени полета
к внешним планетам гиперболические переходные траектории менее
выгодны, чем секущие эллипсы. Основная экономия полетного времени
достигается в том случае, если перелет осуществляется по траектории,
промежуточной между эллипсом минимальной энергии и параболой.
Рис. G. 16. Переходный эллипс,
пересекающийся с конечной
(целевой) орбитой.

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
169
Поэтому гиперболические перелетные орбиты, по всей вероятности,
будут использоваться редко, даже если в распоряжении будут иметься
достаточно мощные двигательные системы, позволяющие в импульсном
режиме осуществлять перелеты по быстрым орбитам к внешним планетам
солнечной системы.
На этом можно закончить обсуждение перелетов между круговыми
орбитами. В трех последующих разделах упрощающее предположение
о том, что орбиты планет круговые, вводиться уже не будет и будет рас¬
смотрен случай эллиптических орбит. Однако предположение о компланар¬
ности орбит пока сохранится. При рассмотрении эллиптических орбит
в двух следующих разделах будем пред¬
полагать, что эти эллипсы соосны, т. е.
их большие оси совпадают. В последнем,
третьем разделе это ограничение будет
опущено.
6.3.5.	Тангенциальный апсидальный
перелет между соосными эллиптическими
орбитами. В самом простом случае пе¬
релета между эллиптическими орбитами
эти орбиты должны быть соосны, а
эллиптическая переходная орбита каса-
тельна к ним в точках апсид (рис. 6.17).
Ниже будут обсуждаться траектории
перелета от перигея одной из исходных
орбит к апогею другой (от точки 7', к
точке 2"'), а также траектории перелета
от апогея одной из орбит к перигею другой (от точки 3' к точке 4"').
Величины, относящиеся к переходной орбите, обозначены на рисунке дву¬
мя штрихами. Процесс перелета состоит из следующих двух этапов: пере¬
хода из состояния 1' в состояние 1" и затем из состояния 2" в состояние 2Ш
или же перехода из состояния 3' в состояние
г» состояние 4м*).
Рис. 6.17. Тангенциальный апсидаль¬
ный перелет между соосными эллипти¬
ческими орбитами.
Переход из 1’ в 1".
Скорость в Г:
Скорость
Г:
i-ь*',	*;	=	i/fv1
(6.15а)
(6.156)
(6.16)
*) Приводимые в тексте формулы легко получить из соотношении vi =
_ъ/К 1 + е	,/#	1
V ~а '1 — е ’ У2_ V а ' 1
-.а( 1 — е), r2 = a(l-j-e)f в которых щ, и2-
величины скорости в перигее и апогее, ?д, г2—расстояния перигея и апогея
от фокуса (притягивающего центра), 2а = г1-|~/*2—большая ось эллиптической орбиты.
Напомним, что v обозначает скорость, выраженную в единицах местной круговой
скорости: V —	т=-	•	{Прим,	ред.)
V
К

170
М КЖПЛАНЕТНЫЕ П ОЛ ЕТЫ
ГГЛ. 6
Переход из 2' в 2"'
Скорость в 2т:
х'Р = 1 _ еп
v"2 = A.
2	г.,
*+г
7 9
:= i/ —V т-ея,
Г Г 2
^ г2 |/ г2
- 1/ —
Переход из 3' в 3”.
V
21
7*9
J2J
= 1-е',
"2	'*1
v4-	—
3	7-Q
1/1 — t
Переход из 4" в 4"\
v;"2- 1 + ew,
1 i 13
7*4
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Из этих выражении следует, что минимальным затратам энергии соответ¬
ствует перелет из перигея внутренней ор¬
биты в апогей внешней орбиты пли на¬
оборот.
6.3.6.	Перелет между соосными эллип¬
тическими орбитами по секущей орбите.
В качестве примера «быстрого» эллипса для
перелета между двумя соосными эллипти¬
ческими орбитами рассмотрим траекторию,
показанную на рис. 6.18. «Быстрые» пере¬
летные орбиты могут понадобиться в тех
случаях, когда промежутки времени между
благоприятным расположением планет, при
котором возможен перелет по траекториям,
показанным на рис. 6.17, слишком велики
и желательно иметь большую свободу вы¬
бора момента старта. При этом продолжи¬
тельность перелета также существенно со¬
кращается. Если задан радиус г2 точки
встречи, то величину ц!" можно найти из
уравнения целевой эллиптической орбиты в полярных координатах.
Из условия соосности вытекает, что ц" = Л 2 • Поэтому величины v"', v'2',
Рпс. 6.18. Переходный эллине,
пересекающийся с целевой орбитой.

§ 6.8]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
171
а также 0" и б"7 могут быть выражены следующим образом*):
*Г = 2-ч^Ьй’	(6-23>
v"2^2-	1	—	е"2
v2	^	cos	1]'з	’	(6.24)
0"' =arccos V1 + e'"cosr]"^) ,	(6.25)
0" = arccos (4- У l-j-e"cos r]jQ .	(6.26)
Прирост скорости, требуемый для осуществления перехода 2”—>2"’, равен
Д»»= |/^ [1 + (^-)!-2^-о«(Ч-е.-),	(6.27)
тогда как для перехода 1' —у 1” требуемое изменение скорости равно
просто разности скоростей в перигее.
Время перелета можно найти из выражения **)
.„ _	_	у	р”/к	f р"е" sin г)! р”е" sin ,
^1^2	1— е"2 \ 1 —(— е" cos TjJ 1-j-e" cos ц* 1
H—. Р Г arcsin (‘„C°---V — О — arcsin Г- eJ ,,CQS 112„ — 1^) 11 ,
У1 — e"2 L	V 1-r^ cos Til /	V 1 + e COST); / J J
(6.28)
где считается, что rji =	=	0,a	т]2	—	истинная	аномалия	точки	пересе¬
чения переходной орбиты с целевой орбитой. Если желательно выразить
время перелета как функцию величины 7Д = гр и радиуса точки пересече¬
ния г2, то для этого можно воспользоваться уравнением
t" = tnr2 =	{V2P"ri — rl (1 — e"2) — P"2 — V2p">-2 — r\ (1 — e"2) — p"2 -!-
p" Г • ;,o (1 — e"2)—p"	.	(1—e"2)—p"	"П
Tt=Pf [.arcsnl -^7?	arcsin	c„pJ	J	|	.	(6.29)
Положение цели в момент старта должно быть задано величинами
р/", е"\ а"’, т]"7; следовательно, Е™ и М'” также известны. Величину М'[
можно найти по формуле М777 = р£7'***), откуда затем, пользуясь
*) Формулы (6.23) — (6.26) можно получить из выражений радиальной (vr)
и трапсверсальпой (у^) составляющих вектора скорости:
/К	с	sin rj	,	/	К г-.—;
— •—==!=-, УЛ== у — 1/1 +С COST).
г у 1 -f- е cos г)	г	1
(Прим. ред.)
**) Время определяется по уравнению Кеплера
Е—esin£,=:p (t—10),
где р — среднее движение, Е—эксцентрическая аномалия:
/К	„	е-l-cos и	.	„ У1 — е2 sin и
—-,	cos Е = -—р	—	, sinE = -L-r~.	 •
а3	1-\-е cos г|	1	—f— е cos rj
Формулы в тексте получены преобразованием выражения
*ti г =^-[E''-esinE''-(E'-esmE')].
4 *2 И"
(Прим. ред.)
***) Через М обозначена средняя аномалия, Mi" = p£"— средняя аномалия цели
в момент выхода аппарата на орбиту цели. (Прим. ред.)

172
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. в
приближенным методом Энке, можно найти Е
ст * hi М?
1 —е'" cos М'"	"	tg
sin у ~ z,
х = z —g- ctg M"'z4
E'l [рад] = M'" [pad] -f- x.
. . . [pad],
(6.30)
Следует помнить, что при Е = 0 и г] — 0 величина М = 0. Следова¬
тельно, если I" столь велико, что Л/'"< 0 (т. е., например, равно 350°),
то в момент начала перелета планета-цель должна находиться на своей
орбите перед перигеем. Отсюда 7?'"< 0 (это относится к перелету от внеш¬
ней орбиты к внутренней). Если Щ известно, то полярные координаты
планеты-цели г"' и г]'" легко определяются по формулам
r” = ci"'(i — emcosEZ),	(6.31)
arccos
/ а"'	7-1	w	aw
—^ cos Е.	—
V г"	1	г'{
(6.32)
Если эфемерида целевой планеты известна, то ее координаты в момент
старта ракеты из состояния 1 могут быть взяты прямо из таблиц эфемерид.
6.3.7.	Перелет между несоосными эллиптическими орбитами по секу¬
щей орбите. Более важным в практическом отношении является перелет
между иесоосными эллиптическими орбитам]!
(рис. 6.19), каковыми в действительности и
являются орбиты планет. Этот случай можно
анализировать аналогично рассмотренному
случаю перелета между соосными эллипсами,
с той разницей, что здесь ц" = ц'" ±у* Поэто¬
му случай несоосных эллипсов будет лишь не¬
которой модификацией задачи о соосных эл¬
липсах.
6.3.8.	Тангенциальный перелет между
несоосными эллиптическими орбитами. Про¬
веденный анализ касался лишь двух типов
эллиптических переходных траекторий между
двумя эллиптическими орбитами: тангенциаль¬
ные апсидальные и секущие переходные орби¬
ты между двумя соосными эллипсами, а также
секущие переходные орбиты между не соос¬
ными эллипсами. В последнем случае апсп-
дальный перелет неосуществим, однако танген¬
циальный вполне возможен. Здесь уже не
приходится говорить о минимизации энергии,
—хх	необходимой	для	осуществления перелета,
так как все секущие орбиты требуют больших затрат топлива, чем танген¬
циальные апсидальные переходные орбиты, хотя время перелета на них
получается пропорционально меньшим. Кроме того, преимуществом секу¬
щих орбит является гораздо большая свобода выбора момента старта.
Однако ввиду того, что тангенциальные неапсидальиые переходные
орбиты также обеспечивают достаточную гибкость выбора момента старта
и в то же время требуют, по-видимому, меньших затрат энергии, чем секу¬
щие орбиты, они представляют значительный практический интерес.
Рис. 6.19. Переход между нссо-
оснымп эллиптическими орбита¬
ми по эллипсу, пересекающемуся
с конечной орбитой.

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
173
Кроме того, следует заметить, что тангенциальные апсидальные эллипти¬
ческие переходные орбиты между несоосными эллипсами невозможны;
поэтому одна из возможных тангенциальных эллиптических переходных
орбит между несоосными эллипсами будет орбитой минимальной энергии.
Впервые основные свойства тангенциальных переходных орбит
между компланарными и ие обязательно соосными эллипсами были рас¬
смотрены в работе Лоудена (D. F. Lawden) [6].
6.3.9. Тангенциальный перелет между несоосными эллиптическими
орбитами с малыми эксцентриситетами. Переходные орбиты для этого
случая, представляющие большой практический интерес для межпланет¬
ных полетов, были изучены Лоуденом [6], который получил упрощенное
выражение, воспользовавшись тем, что при малых значениях эксцентри¬
ситета с величины в =-^ в степени выше единицы могут быть отброшены.
6.3.10. Изменение элементов орбиты посредством приложения им¬
пульсов тяги. Случай ортогональных импульсов. После того как космиче¬
ский летательный аппарат выведен на
орбиту, может понадобиться изменить
элементы этой орбиты посредством кор¬
ректирующего маневра. Подробно этот
вопрос применительно к орбитам, пред¬
ставляющим собой конические сечения,
обсуждается в [1]. Для эллиптической
орбиты наиболее интересные результаты
суммированы в табл. 6.4; схематически
импульсы и их положительные направ¬
ления показаны на рис. 6.20.
Особый интерес представляют орто¬
гональные импульсы (направленные по
бинормали, т. е. перпендикулярно к.
плоскости траектории), так как орбиты
планет наклонены друг к другу под раз¬
личными углами и для осуществления
перехода необходимо изменять плоскость
движения. Ортогональный импульс не
изменяет большую полуось орбиты, экс¬
центриситет, среднесуточное движение
и долготу перигея относительно линии
весеннего равноденствия или какого-либо иного фиксированного направ¬
ления * ), так как он не изменяет мгновенного вектора скорости в плоско¬
сти орбиты. Поэтому изменяется только наклон орбиты и положение ли¬
нии узлов, которые определяют ориентацию орбиты по отношению к неко¬
торой опорной орбите. В астрономии в качестве такой опорной орбиты
в солнечной системе берется земная орбита. В астронавтике же в качестве
опорной может служить плоскость любой орбиты, относительно которой
определяется и измеряется ориентация орбиты движения космического
корабля. Ввиду того, что импульсы, направленные по бинормали, изме¬
няют только два упомянутых параметра, их можно применять для поворота
плоскости орбиты вокруг двух осей (вместе или по отдельности), а именно
вокруг линии узлов и перпендикулярной к ней линии, лежащей в плоскости
Рис. 6.20. Взаимосвязь между орто¬
гональной, трансверсальной и радиаль¬
ной компонентами скорости.
*) Перигей в этом случае не должен отсчитываться от восходящего узла
орбиты, так как последний изменяет свое положение.

Влияние импульсов тяги на элементы эллиптической и гиперболической орбит
174
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
ZD
а
ft
VO
оЗ
Н
Cf
ft
I
ft
С?
ft
^ft
Й
*sLe
< I ь
о <
G
а
а
в
в
<м
<3
<3
-о
о 1.
3|
а к,
в
а
(N .
в №
<м Ifcd
<
СМ 1
см 1
в
а
<3
й
а
<
о
ft
Й
а
<]
О
^3
а
<1
I (. »
«ЗГ
-н
о |
I
ft
1'
sin г\
.Й й> -
со <] а
^ еГ
<3 §н
ч 1 1
^ h 1
1Н 1
СО
!§•
<!
I
Й
а
<1
■ |«
+
<11
+
>*
I
о?
ft
иг
а
V
V
5 а
§ •§
5Г f
6 «
О <
1<1в
>»
с 5
е то
Ка
о
и
а
ей 11
3 II
Л СЗ
§<
W
ft
I II
ft <43
Ъ<
С^)
ft II
ft
g<3
ft a
О» H
ft *
О
ft
<
A
H
a
VO
ft
о
R
£<
g II
О /-О
M Оо
о<
КС
«
а
К

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
175
орбиты. На рис. 6.21 видно, что. ни одна из этих линий не совпадает
с линией апсид. Концевые точки линии, перпендикулярной к линии узлов,
обозначены на рисунке буквами L и Н, поэтому в дальнейшем будем назы¬
вать ее просто линией LH. Поворот плоскости орбиты вокруг линии
узлов будем называть изменением наклона орбиты или изменением тан¬
гажа орбиты. Поворот вокруг линии LH будем определять как изменение
долготы узла или изменение крепа орбиты. Если в какой-либо точке
орбиты телу сообщается импульс, направленный по бинормали к орбите,
то вектор орбитальной скорости отклонится от первоначальной плоскости
на угол а, определяемый следующими соотношениями:
а = 2 arcsin>	(6.33)
cosa=l —	(6-34)
192	shia=	i/(^)2-{(4r94’	<6-35)
где Avw — импульс скорости по бинормали. Влияние угла а будет раз¬
личным образом проявляться в виде изменения наклона Дi и изменения
долготы ДГ£ в зависимости от того, в какой точке орбиты прикладывается
импульс. Геометрические соотношения видны из рис. 6.22. Скорость
орбитального движения можно разложить в четырех граничных точках
Г£,	,	L и Н на радиальную и трансверсальную компоненты. Радиальная
компонента не изменяется при приложении ортогонального импульса. При
повороте вектора v на угол а трансверсальная компонента скорости пово¬
рачивается вокруг радиуса-вектора SB. Поэтому только изменение транс-
версальной компоненты скорости, перпендикулярной к радиусу-вектору,
приводит к изменениям Дi и Д££, т. е. к повороту плоскости орбиты отно¬
сительно одной или двух осей — линии узлов и линии LH.
На рис. 6.22.показано положение перицентра Р, определяемого дол¬
готой I относительно линии весеннего равноденствия. Угол между направ¬
лением на перицентр Р и текущим радиусом-вектором тела, движущегося
по орбите, есть истинная аномалия, обозначенная, как и ранее, буквой rj.
Предположим теперь, что ортогональный импульс сообщается телу в точке
орбиты, лежащей на оси <Q,. В этой точке компонента скорости va= (vo)q
направлена под прямым углом к радиусу-вектору. Ортогональный импульс
Auw поворачивает вектор скорости на угол, определяемый соотношением
a 1 Avjn	/о	ос\

176
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
причем наклон ороиты при этом изменяется на угол
A i	1 Avw
sm-
2 (va)
(6.37)
Если тот же импульс сообщается в точке Н или L, где трансверсаль-
ная компонента скорости параллельна линии узлов, то поворот компо¬
нент (иа)н или (иа)ь не будет вызывать поворота плоскости вокруг линии
узлов. Таким образом, в точках Д и I] угол между местной компонентой va
и линией узлов достигает максимального значения, а именно равен 90°,
Рис. 6.22. К анализу влияния ортогонального импульса на элементы
орбиты.
и поэтому приращение Ai при заданном Avw оказывается здесь наиболь¬
шим. В точках L и Н угол между местной компонентой va и линией узлов
становится равным нулю, и приложение импульса в этих точках не приво¬
дит к повороту плоскости орбиты вокруг линии узлов *). Проекция мест¬
ной компоненты va, перпендикулярная к линии узлов, равна (va)n и дается
следующей формулой:
(va)n = Va COS (Г|—Т^).	(6.38)
Очевидно, что если г) = т]^,то(уа)п = va = (уа)д,иесли т} =	90°,
то (va)n = 0, т. е. момент количества движения относительно линии узлов
равен нулю. Поэтому изменение наклона Ai, вызванное приложением орто¬
гонального импульса в некоторой точке В орбиты, пропорционально из¬
менению угла <0, при том же значении импульса Avw, причем коэффициент
пропорциональности равен (va)n/va, где va— трансверсальная компонента
скорости в точке В и (va)n — ее проекция на перпендикуляр к линии узлов.
Отсюда в общем случае находим
81и“Г=т^7-^=т^соз(т1-т1д)	(6-39)
*) Этот вывод ие является абсолютно строгим. При очень малых импульсах,
когда Avw->dww, или при t = 90° приложение импульса действительно ие приво¬
дит к изменению угла i (Ai = 0). Однако во всех прочих случаях некоторое (прав¬
да, по большей части очень незначительное) изменение наклона имеет место, даже
если поворот вокруг линии узлов отсутствует. Это будет пояснено ниже.

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
177
л л и при очень малых изменениях A i (что практически и имеет место)
Ai = ^L 008(4-4^).	(6.40)
Таким образом, Ai становится максимальным не только когда rj =	,
но также и когда иа минимально, т. е. когда линия апсид совпадает с ли¬
нией узлов и ортогональный импульс сообщается в апоцентре при г = га.
Если указанные линии не совпадают, то при сообщении импульса Аг;^
в точках Q или Ъ °рбиты прира¬
щение Ai имело бы лишь относи¬
тельный максимум. Если же сооб¬
щение импульса производится в
точках L или /7, то никакого по¬
ворота плоскости орбиты вокруг
линии узлов не будет и	—>	0.
Напротив, приращение АЦ
при сообщении импульса Avw в
точках L или Я становится мак¬
симальным, тогда как при прило¬
жении импульса в точках Д или
оно равно нулю. Поэтому ве¬
личина A.Q, должна быть пропор¬
циональна -^psin-(r) — 'Пд)- ^Д-
нако величина приращения Af£
зависит также от угла наклона ор¬
биты. Обратимся к рис. 6.23, где
показаны проекции на небесную сферу двух орбит — опорной орбиты 01 и
наклонной орбиты 011. Предположим, что ортогональный импульс при¬
ложен в точке Я, отчего орбита поворачивается на угол а#. Из сфериче¬
ского треугольника £IQH можно тогда получить следующее выражение
для (ASl)H:
sin I
Рис. 6.23. Поворот орбиты и изменение ее на¬
клона вследствие приложения ортогонального
импульса.
sin (д Шн =	sin а„ = ^ / Г ]2 _ | Г 12, (6.41)
v	sini	"	sin	I	V	l(va)HJ	4	L(va)HJ
откуда
т	•	• sm д£?.	,л /0,
sin I — sm i :	— .	(6.42)
sin ан	v	’
Эти	два	уравнения	должны	решаться совместно.	Величина	sin /
тесно связана с упомянутым выше	изменением угла i	при приложении им¬
пульса в точке L или Я, даже если поворот плоскости вокруг линии узлов
отсутствует. Новое значение угла V будет
sin i = •
sin l
(6.43)
sm я sin/ ’
так как угол IiH'Q равен 90°. Угол I определяется из соотношения
cos I = sin Acos г,	(6.44)
откуда получаем
(6.45)
1
Y 1—sin2Aricos2i
12 Космическая техника

178
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. б
Последнее выражение показывает, что если приращение АД очень
мало или если cos i -> 0 (i -> 90°), то if ^ i. Если же это так, то и
cos 7-ч>0, т. е. 7-^90° = /у Д5Я. В этом случае, если выполняется также
условие —— < 1, то вместо формулы (6.41) для приращения АД под дей-
va
ствием ортогонального импульса, приложенного в точке L или 77, можно
написать упрощенное выражение в виде
sin А Дь, н ^ АДь, II = г;, V Wsini *	(6.46)
(vcl)l,
н
sin
Если импульс прикладывается к телу в какой-либо другой точке его
орбиты, то, повторяя ход рассуждений, проведенных при определении
приращения Ai, получим:
= зй /(д?Т sin2	(л	-	т,д), (6.47)
sin 7 = sin i --?1	,	(6.48)
sin ая
где ая есть угол поворота линии 7J7, который отличен от угла а, опреде¬
ляемого уравнением (6.33). Аналогично предыдущему, если cos I =
Д1)
= sin АД cos i -> 0, т. е. sin 7-^1 и выполняется условие —- < 1
va
(что в большинстве случаев соответствует действительности), то для при¬
ращения, вызванного приложением ортогонального импульса в любой
точке орбиты, можно найти следующее упрощенное выражение:
Avw sinOi-Ло)
sin Д Д ъ АД = —		 .	(6.49)
При выводе этого выражения предполагалось, что если импульс приложен
в точке L или Я, то Ai = 0. Это предположение довольно близко к исти¬
не, хотя, говоря более строго, следовало бы считать, что здесь дД" ^ 0.
Подставляя найденные из упрощенных выражений значения £и А Д в урав¬
нение (6.45), можно сразу найти, будет ли в каждом отдельном частном
случае приращение угла i пренебрежимо малым или нет.
Таким образом, для того чтобы изменение наклона орбиты было как
можно большим, необходимо прикладывать ортогональный импульс в од¬
ной из узловых точек орбиты. Для максимального изменения долготы узла
орбиты (максимального поворота орбиты) необходимо прикладывать им¬
пульс в точке L или Я, в зависимости от того, в какую сторону должно
произойти желаемое изменение * ).
*) При сообщении ортогонального импульса Avw вектор скорости
v = vTer + vne^
станет равным
и* = D • т
где ег, е-ц и т = еТХец — единичные векторы, направленные вдоль радиуса-вектора,
по перпендикуляру к нему в плоскости первоначальной траектории (трансвер-
сали) и по нормали к этой плоскости. Угол а между векторами v и г* опреде¬
ляется равенством
v*v v	1	1	/'Av,n\2
cos а= —х— = —— —г	— -	^	1—	тг f
/*+(*

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
179
6.3.11.	Перелет между орбитами, лежащими в разных плоскостях.
Изучив влияние приложения ортогонального импульса на наклон орбиты
и положение линии узлов, мы теперь обобщим проведенный анализ пере¬
летов между компланарными орбитами, включив в рассмотрение случай
перелета между орбитами, лежащими в разных плоскостях. Исходим из
предположения, что перелет совершается в центральном силовом поле
без учета влияния второстепенных (например, планетных) силовых полей.
Поэтому настоящее рассмотрение будет относиться в основном к задачам
перелета между орбитами спутников или к задачам изменения орбиты.
Практические приложения таких задач перечисляются ниже.
1.	Перелет космического летательного аппарата с некоторой началь¬
ной орбиты на некомпланарную с ней конечную (целевую) орбиту — орбиту
спутника.
[см. формулу (6.34)]. В плоскости исходной орбиты определим единичные векторы
линии узлов п и перпендикуляра к пей п' (направленного по линии L1I, рис. 6.22)
и введем триэдр неподвижных осей £г]£, определяемых единичными векторами г,
j, к; при этом плоскость if совпадает с опорной плоскостью, а вектор к на¬
правлен по перпендикуляру к пей. Тогда, направив i по линии узлов, получим
n = i, п'— j cos i-\-k sin i, m=—j sin i-[-к cos i,
где i — угол наклона исходной орбиты; отметим также соотношения
ет = п cos (ri — Ti^)-fn' sin (r\ — т] ^),
er\ — —n sin СП — т|лН-я' cos (л—11^).
следующие из рис. 6.22. Единичный вектор нормали возмущенной орбиты (после
сообщения ортогонального импульса) будет
Поэтому, использовав приведенные выше соотношения, найдем
1
mi= ,—~~ ~	{i	sin	(ri—Л	n ) A»u>—У [On sin i + Avw cos i cos ("n—Л n )] +
V (Оп)2+(Дош)2	Jb
-\-k [z^ cos i— Доц, sin i cos (r|—r| _ ))}.
d L
Уравнение плоскости возмущенной орбиты имеет вид
mlr = ml (t£+/n-j-ft£) =0.
Положив в нем £ = 0, определим уравнение прямой, по которой направлена линия
узлов возмущенной орбиты:
I Avw sin (т|—Л ^) — Л lvr) sin i + At;u;cos 1 cos (Л —Л^)]^0*
или
Т| = |18ДД,	tgA^ = ^L	-Sm	(T1	11	й)	.
Vf] .	.	,	'
sini-j-——cos i cos (Tj—r) ^ )
UT]	Ob
где АД — искомый угол поворота лщши узлов. Угол V наклона плоскости возму¬
щенной орбиты определяется равенством
cos i' —пц-к= 1	]	2	[C0S	i	~	sin	г	cos	11	^
Формулы (*) и (**) дают точное решение задачи, рассмотренной автором
в этом параграфе. Из них, пренебрегая степенями малой величины Avwjv^ можно
получить приближенные выражения, приведенные в тексте. (Прим. ред.)
12*

180
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
2. Изменение наклона орбиты и положения линии узлов орбиты косми¬
ческого летательного аппарата, являющегося временным спутником пла¬
неты, или ее естественного спутника относительно некоторой опорной
плоскости, в которой должен произойти уход от планеты по гиперболе.
3. Сближение снаряда-перехватчика, стартующего с некоторой началь¬
ной орбиты, со спутником, находящимся на другой орбите. Разница
между этой задачей и задачей пункта 1 состоит в том, что летательный
аппарат в задаче 1 должен выйти точно на целевую орбиту. Для сближе¬
ния и попадания снаряда в спутник это требование излишне, так как сна¬
ряд может приблизиться к спутнику с любой скоростью, не выходя точно
на его орбиту.
Если целевая орбита компланарна с начальной орбитой, то весь
вопрос заключается в выборе наилучшей точки приложения тангенциаль¬
ного импульса, увеличивающего или уменьшающего орбитальную
скорость. Эта задача, как указывалось ранее, имеет довольно простое
решение:
1. Если требуется перейти на более высокую орбиту, то импульсное
приращение скорости должно быть сообщено телу в перигее первоначаль¬
ной орбиты. Это, дает максимальное приращение высоты апогея при дан¬
ной величине импульса, т. е. позволяет при минимальных затратах энер¬
гии осуществить перелет на более высокую орбиту.
2. Если требуется перейти на менее высокую орбиту, то тормозной
импульс скорости должен быть сообщен в апогее первоначальной орбиты.
Это дает максимальное снижение высоты перигея при данной величине им¬
пульса, т. е. позволяет при минимальных затратах энергии осуществить
перелет на более низкую орбиту.
Перелет между орбитами, лежащими в разных плоскостях, отличает¬
ся от перелета между компланарными орбитами тем, что здесь необхо¬
димо изменять наклон переходной орбиты относительно начальной орбиты.
Для этой цели необходимо приложение импульсов, направленных ортого¬
нально к плоскости орбиты в какой-либо точке переходной орбиты, на¬
пример в ее начальной точке.
Если обе заданные орбиты наклонены одна по отношению к другой
и одна из них (например, ОН) является целевой орбитой и поэтому строго
фиксирована и не может быть изменена (т. е. может служить опорной
орбитой), то необходимо изменять либо наклон переходной орбиты, либо
положение ее линии узлов, либо то и другое. Когда ортогональный им¬
пульс сообщается в одной из узловых точек орбиты (рис. 6.22), она повора¬
чивается вокруг линии узлов и изменяется только ее наклон. Когда орто¬
гональный импульс сообщается в одной из точек L или //, лежащих
на перпендикуляре к линии узлов в плоскости орбиты (рис. 6.22), то орбита
поворачивается только вокруг линии апсид и изменяется в основном лишь
положение линии узлов (при малых импульсах, см., например, раздел
6.3.10). Когда же ортогональный импульс сообщается в некоторой про¬
межуточной точке орбиты, то последняя претерпевает как изменение на¬
клона, так и изменение положения линии узлов. Какой путь из указан¬
ных трех возможных является более выгодным, сказать в общем случае
нельзя.
Согласно уравнениям (6.40) и (6.42) требуемая величина ортогональ¬
ного импульса зависит от трех факторов:
1.	От величины трансверсальной компоненты скорости va, которая
по возможности должна быть малой. Это означает, что наиболее жела¬
тельной точкой сообщения импульса является апоцентр.

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
181
2. От требуемого изменения Ai и (или) АД. Чем оно должно быть
больше, тем большими должны быть топливные затраты на выполнение
соответствующего маневра.
3. От угла т] — т]^,где rj — истинная аномалия космического аппа¬
рата в момент приложения импульса, а т)^— истинная аномалия
восходящего узла (линии пересечения начальной и целевой орбит).
Последний фактор становится несущественным в том случае, когда
начальная орбита близка к круговой. Если же орбита не круговая, то апо¬
гей, где компонента va мини¬
мальна, может не совпадать или
не быть близким к точкам, в
которых приложение ортого¬
нального импульса желательно
по другим причинам, а именно
с целью получения максималь¬
ного изменения Ai или A Д.
Если начальная орбита сильно
вытянута, то весьма желательно
прикладывать ортогональные
импульсы в апогее. Результат
приложения этих импульсов
должен быть выражен в виде
приращений Ai и АД в соот¬
ветствен! с задачей маневра.
В зависимости от того, относит¬
ся ли данный маневр к типу
1 или 2 (стр. 179—180), резуль¬
тат может оказаться разл ичным.
Энергетические затраты на про¬
ведение такого маневра в апогее следует затем сравнивать с расходом
топлива при других маневрах, имеющих ту же цель. Например, если
линия апсид орбиты не совпадает с линией узлов или с линией LH, то
указанный маневр в апогее скажется в одновременном изменении как А i,
так и АД. Поэтому интересно сравнить его с таким маневром, где меняет¬
ся только Дг или АД.
Чтобы сказанное стало более ясным, рассмотрим три основных метода
импульсного перехода в поле центральной силы. Схематически они изо¬
бражены на рис. 6.24, где 01— начальная орбита, OII—целевая орбита,
наклоненная к начальной под углом i. Там же показаны линия узлов Д^ ,
линия LH и линии апсид РА начальной орбиты. Линия 1—2 есть проек¬
ция линии LH на плоскость начальной орбиты; если считать целевую ор¬
биту 011 опорной, то, наоборот, эта линия представляет собой линию LH.
Возможны три основных маневра перехода с орбиты на орбиту:
1.	Переход путем изменения только наклона орбиты. Такой пере¬
ход из точки 1 в точку Н может быть осуществлен таким- образом, что
тело, двигаясь в плоскости начальной орбиты, в точке Д мгновенно изме¬
няет наклон орбиты на величину Ai — i и затем, продолжая двигаться
в плоскости 01, достигает точки II. Указанный маневр не обязательно
должен быть «привязан» к линии LII. Например, стартуя из точки Р и дви¬
гаясь вдоль орбиты 01 через точку 2, тело может достигнуть точки у. При¬
ложив здесь импульс, направленный «вниз» и поворачивающий орбиту
тела на угол Ai — i, можно перевести тело на орбиту ОН, вдоль которой
Рис. 6.24. Схематическое изображение трех основ¬
ных импульсных методов перехода между j орби¬
тами в центральном поле.

182
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
оно и будет двигаться до встречи с целыо в точке R или в какой-либо другой
точке. В любом случае переходная орбита охватывает центральный угол
(^/1C II или PCR), равный 180° (в проекции). Однако это условие не
обязательное. Так, если тело движется от точки 3 в плоскости 01 до точки Д,
затем его орбита приобретает наклон Ai = i и далее тело движется по
орбите ОН до целевой точки //, то результирующий центральный угол
ЗСН будет меньше 180° и, следовательно, сам перелет будет более быстрым.
2. Переход по промежуточной орбите. Вместо указанного метода
перехода из точки 3 в точку II можно осуществить непосредственный
перелет по промежуточной орбите. В этом случае в точке 3 к телу прикла¬
дывается ортогональный импульс, который поворачивает плоскость орбиты
на угол Aг4. Тогда в точке Н угол между плоскостью движения и пло¬
скостью орбиты ОН будет равен Ai2. Если стоит задача перехвата спутни¬
ка снарядом-перехватчиком (т. е. задача пункта 3 приведенной выше клас¬
сификации), то никаких маневров по ликвидации этого угла ие нужно.
Если же задача заключается в точном сближении и «сцеплении» со спут¬
ником (например, транспортная ракета, сближающаяся с космической
станцией), то необходимо совершить маневр по ликвидации угла Ai2
посредством приложения в точке II или вблизи от нее ортогонального им¬
пульса тяги. Суммарный угол Д<ц + Ai2 оказывается больше С так что
общее изменение наклона в этом случае будет большим, чем в первом слу¬
чае. Однако что касается затрат энергии, то они могут оказаться здесь
заметно меньшими. Пусть, например, орбита 01 внутренняя и орбитальная
скорость в точке 3 наибольшая, в точке <0, несколько меньше, а в точке Н
еще меньше. Тогда маневр с приложением ортогонального импульса
в точке 3 требует большего расхода топлива, чем маневр в точке Д, однако
в точке Д требуется изменить угол набольшую величину (£> А^). В то
ню время компенсация угла Ai2 требует меньшего расхода топлива. Вывод
о том, будет ли суммарный расход на маневр Дгц + Дг2, больше или мень¬
ше, чем на маневр Ai = i в точке Д, зависит от ряда факторов, а именно:
а) от величины центрального угла /1 ЗСН; б) от расстояния между орби¬
тами; в) от величины отношения Ai±/i сравнительно с отношением Ai2/i;
г) от величины скорости отправления из точки 3. Величина этой скорости
в свою очередь зависит от того, будет ли промежуточная орбита «быстрой»,
т. е. охватывает ли она угол ЗСН, или «очень быстрой», т. е. охватывает
ли она угол Z_3C4.
3. «Узловой» перелет. Наименьшие расходы топлива получаются
при перелете из узла Д одной орбиты через точку 2 в узел ^ другой орбиты
(центральный угол, охватываемый переходной орбитой, равен при этом
180°). Другим возможным перелетом такого типа, когда движение совер¬
шается в одной плоскости, является перелет из точки Р в узел ^ через точ¬
ку 2 или перелет из точки А в узел Д. При таких перелетах не требуется
приложения ортогонального импульса в начальной точке. Если при суще¬
ствующем расположении тел такой перелет невозможен, а начальная
точка находится вблизи точек 1 или 2, то может оказаться полезным осу¬
ществить поворот орбиты на угол а с помощью приложения ортогональ¬
ного импульса в точках 1 или 2. Тем самым узел Д сместится на угол АД
и займет положение Д'; аналогично сместится и узел Далее, когда лета¬
тельный аппарат, двигаясь из точки 2, достигнет точки у', может быть
осуществлен узловой перелет из точки в точку Д' через А' и 1.
Очевидно, что узловой перелет, связанный со смещением узла на
угол АД, удобен для задач пункта 1 только в случае перелета со внутрен¬
ней на внешнюю орбиту, когда скорость прибытия к точке Д' сравнительно

§ 6.3]
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА КАК ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
183
невелика, так что маневр изменения наклона на угол Ai = V требует
небольшого расхода топлива. Суммарный расход (т. е. расход на этот
маневр и маневр поворота орбиты на угол а) при этом будет также сравни¬
тельно невелик. В случае перелета со внутренней орбиты на внешнюю
из узла <0, в узел через точку 2, где необходимо приложение ортогональ¬
ного импульса тяги для смещения линии узлов, всегда предпочтительнее
проводить маневр поворота плоскости движения на угол Ai = i уже на
целевой орбите вблизи точки Напротив, при перелете с внешней орбиты
на [внутреннюю целесообразнее
проводить аналогичный маневр
в начальной точке переходной
траектории. Разумеется, при
перелетах типа 3 узловые траек¬
тории перехода позволяют
сэкономить значительное коли¬
чество топлива, так как здесь
нет необходимости совершать
маневр по изменению угла Ai=i
при подходе к цели. Аналогич¬
ная экономия может быть полу¬
чена и при полете к Луне, хотя
здесь резко возрастает «чувст¬
вительность» траектории к
ошибкам в моменте старта.
На рис. 6.25 показана пере¬
ходная орбита в случае, когда
ортогональный импульс при¬
кладывается в некоторой про¬
извольной точке начальной ор¬
биты. Такой случай отвечает
«быстрым» переходным орбитам,
когда эта орбита пересекается
под некоторым углом с началь¬
ной и (или) конечной орбитами.
Проектируя соответствующие участки начальной, конечной и переход¬
ной орбит на небесную сферу, получим сферический треугольник со сто¬
ронами I?!, S2 и S3 и противолежащими им углами Д£1? Ai2 и (180° — г),
где i — известный угол между плоскостями начальной и конечной орбит.
Обозначая буквой I долготу, измеренную от линии весеннего равноден¬
ствия, можем выразить три стороны треугольника следующим образом:
.Si .Q, — li, S2 = l2 — <0, и S3 ■= Z2 — l±. Далее, имеем
sin A^ = sinf2 sin i (S3 < 180°),	(6.50)
Sill о з
откуда
(AiOi = —•	(6.51)
v W/1 COS (Ц — Т]д)	4	7
Учитывая, что приложение ортогонального импульса тяги не влияет
на элементы орбиты, за исключением i и можно найти полную энергию,
требующуюся для осуществления перелета на целевую орбиту, путем
определения необходимого изменения компланарной составляющей ско¬
рости Az;cop и по углу гц величины ортогонального импульса. Сложив
затем обе компоненты векторно, можно найти полное изменение скорости
Рис. 6.25. Некомпланарный переход с приложе¬
нием ортогонального импульса в точке старта.

184
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
Г гл. &
Aytot» а значит, и требуемые затраты энергии. В случае < 1, что спра¬
ведливо в большей части рассматриваемых задач, находим
A^tot = У (А^сор)2 + (AWic)f»	(6-52>
где Аг^сор аналогична гиперболическому избытку скорости Voo в случае
совершения маневра ухода (см. раздел 6.4.4). В этом случае, если орто¬
гональный импульс прикладывается в процессе выполнения маневра ухода,
то прирост Aytot должен быть геометрически сложен с местной скоростью
освобождения У2К/ги где гу — радиус начальной спутниковой орбиты.
В результате получим
si= ]/^ + Ao?0t .	(6.53)
Наклон целевой орбиты к переходной орбите равен А£2-
Эту величину можно найти из соотношения
sin Ai2 —	sin i.	(6.54)
sin 03
Величина ортогонального импульса, сообщаемого в конечной точке
перехода, может быть найдена аналогичным путем из уравнения (6.51),
а полный прирост скорости — из уравнения (6.52). Если же встреча с пла-
нетой-целыо произойдет путем прямого столкновения или путем захвата
аппарата атмосферой, то приложения конечного ортогонального импульса
тяги не потребуется.
6.3.12.	Требуемые приросты скорости при пространственном орби¬
тальном движении. В том случае, когда тело движется по известной орбите,
представляющей собой коническое сечение, и должно изменить свою ско¬
рость так, чтобы перейти- на другую орбиту с заданными элементами,
требуемые значения импульсов тяги, направленных по касательной, по
нормали или по бинормали к траектории, а также по радиусу или по траи-
сверсали, могут быть определены тем же методом, как это делалось выше.
При рассмотрении пространственного движения тела удобнее всего поль¬
зоваться прямоугольными декартовыми координатами в трех измерениях.
Силу тяги (импульсную или непрерывную) можно рассматривать как неко¬
торое управляемое возмущение. Анализ такого движения приведен в ра¬
ботах [7] и [2].
§ 6.4. Суперпозиция гравитационных полей планет
6.4.1.	Введение. Вследствие того, что в межпланетном перелете
космический корабль проходит близко от планеты старта и планеты назна¬
чения, их гравитационные поля оказывают на него основные возмущения.
Маневр перехода корабля с планетоцентрической спутниковой орбиты на ге¬
лиоцентрическую (кометную) орбиту называется маневром ухода. В систе¬
ме координат, связанной с планетой, траектории ухода корабля от пла¬
неты и траектории захвата его планетой очень близки к гиперболическим.
Ниже выводятся уравнения, описывающие такие траектории, и далее они
используются для анализа гиперболического сближения. Проведение тако¬
го анализа позволяет оптимизировать радиус планетоцентрической спут¬
никовой орбиты, с которой производится взлет (или прибытие) космиче¬
ского корабля, таким образом, что затраты топлива на уход от планеты
и движение по гелиоцентрической переходной орбите будут минималь¬

§ 6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
185
ными. В случае одноимпульсного маневра ухода этот анализ определяет
одну и только одну спутниковую орбиту для каждой заданной гелиоцен¬
трической переходной траектории. Радиус этой орбиты уменьшается при
возрастании величины энергии движения по гелиоцентрической переход¬
ной орбите, так как из условия минимума расхода топлива следует,
что энергия ухода должна быть равной энергии перехода.
Рассматривается также маневр ухода или захвата посредством прило¬
жения двух импульсов тяги. Показано, что практические соображения
зачастую ограничивают возможность следования по оптимальным орбитам,
особенно в случае старта с Земли. Движение по гиперболической траекто¬
рии в гравитационном поле планеты-цели (без маневра захвата) будем
называть гиперболическим прохождением. Ниже будет рассмотрено влия¬
ние гиперболического прохождения на траекторию космического корабля,
особенно на изменение энергии его орбитального движения, эксцентри¬
ситета и ориентации большой оси орбиты. Гиперболическое прохождение
можно использовать для увеличения или уменьшения скорости движения
корабля, а также для изменения направления его движения, что позво¬
лило бы уменьшить затраты топлива на необходимые преобразования
гелиоцентрической траектории.
6.4.2.	Гиперболические орбиты *). В пределах солнечной системы
гиперболические орбиты наблюдаются очень редко; по ним движутся
кометы, которые покидают солнечную систему, чтобы никогда в нее не
вернуться.
В теории космических полетов гиперболические орбиты являются
весьма важным объектом изучения, так как они встречаются всякий раз,
когда космический корабль уходит из гравитационного поля одной пла¬
неты и входит в гравитационное поле другой планеты. Согласно рис. 6.2
можно фигурально сказать, что корабль «выбрасывается» из одной грави¬
тационной «ямы» и попадает в другую. .Это значит, что, в отличие от дви¬
жения по параболической орбите, полная величина энергии корабля
на орбите вокруг Солнца меняется. После выхода из гравитационного
поля Земли корабль движется по эллиптической орбите вокруг Солнца.
Константа энергии h для этой гелиоцентрической орбиты отличается от
константы энергии для геоцентрической орбиты. Поэтому после ухода
от Земли корабль должен иметь некоторую остаточную энергию, т. е.
его скорость должна превышать параболическую. В результате он будет
двигаться относительно Земли по гиперболической орбите. По мере удале¬
ния от Земли гиперболическая геоцентрическая траектория постепенно
переходит в эллиптическую гелиоцентрическую орбиту (рис. 6.26).
Эта гипербола располагается между двумя прямыми, исходящими из
центра О (рис. 6.27). Прямые эти, называемые асимптотами гиперболы,
определяются следующими уравнениями:
х	а
Гипербола касается этих прямых лишь на бесконечно большом расстоя¬
нии от центра О. Уравнение самой гиперболы можно представить в виде
или
(6.55)
Ъ
(6.56)
*) Более полное математическое изложение этого вопроса дается в приложе¬
нии 6В к настоящей главе.

186
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
Сравнение уравнений (6.55) и (6.56) показывает, что при х > а зна¬
чение координаты у для асимптоты всегда будет большим, чем для гипер¬
болы. С ростом х эта разница уменьшается и становится равной нулю,
Орбита
Рис. 6.26. Использование гиперболической траек¬
тории в межпланетном перелете (кривизна траек¬
тории преувеличена).
когда х устремляется в бесконечность. Поэтому гипербола целиком лежит
внутри области, ограниченной двумя асимптотами, и ось х (главная ось
гиперболы) является линией симметрии. Координаты обеих вершин
гиперболы в принятых осях бу¬
дут х = а, у — 0 и х = — а,
у = о.
Фокальный параметр гипер¬
болы определяется следующим
образом:
Р = ~Г =а(1 — е2),
Рис. 6.27. Гиперболическая орбита.
т. е. формально так же, как и па¬
раметр эллипса, с тем, однако,
отличием, что здесь е > 1 и по¬
этому нужно считать а отрица¬
тельным:
р= —а( 1 —е2).	(6.57)
Фокальная хорда гиперболы
равна 2р. Величина а есть рас¬
стояние	между центром гиперболы и одной из ее вершин Р. Обозначая ради
удобства —	а	=	| а |	через	а,	запишем формулу для параметра в виде
р	= а (е2-1),	(6.58)
а уравнение самой гиперболы в полярных координатах — в виде
Р _ а О2—В _ гР(1 + е)
1-\-е cos г]	1 -f- е	cos т] [1 -f- е cos г\
(6.59)

3 6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
187
Уравнение закона площадей можно представить следующим образом:
(6.60)
Г"Т| = С = У Кр = У Ка (е2 - 1),
а мгновенная скорость движения по гиперболической орбите будет
= (6.61)
Уравнения (6.59), (6.60) и (6.61) пригодны только для гиперболиче¬
ских траекторий.
Эксцентриситет гиперболы выразится как
/#+*.
или
e = yj^+Jl>h
(6.62)
(6.63)
Линейный эксцентриситет определяется формулой
(6.64)
с = ае = У а2 + Ь2
и представляет расстояние OF на рис. 6.27.
6.4.3.	Переход между компланарными эллиптической (или круговой)
и гиперболической орбитами *). Если космический корабль уходит в бес¬
конечность или приближается из бесконечности к небесному телу, то ско¬
рость его движения относительно тела будет гиперболической От)-
Спутниковая орбита, с которой начинается гиперболическое движение
(или на которой оно заканчивается, в зависи¬
мости от того, рассматривается ли уход
с орбиты или прибытие на орбиту), может
быть либо круговой, либо эллиптической.
Эллиптическая и гиперболическая орбиты
имеют общий фокус, и практически их соче¬
тание может иметь место лишь в операциях
перехода из гравитационного поля одного
притягивающего центра в поле другого, свя¬
занных с осуществлением межпланетных
перелетов. Механика таких маневров будет
обсуждаться в разделе 6.4.4. Здесь же будет
рассмотрена динамика переходов с круговой
орбиты на гиперболическую и с эллиптиче¬
ской на гиперболическую.
Маневр с приложением и м-
пульса тяги в вершине г и -
и е р б о л ы. Если космический корабль,
движущийся по эллиптической орбите, выхо¬
дит на гиперболическую орбиту (или наобо¬
рот) посредством кратковременного включе¬
ния тяги, мы будем говорить об одноим-
пулъсном маневре. Такой маневр наиболее типичен в задачах ухода
космического корабля от планеты или подхода к ней. По сути дела, здесь
имеет место не переход с орбиты на орбиту, а преобразование орбиты.
У/ад
да/вал/
Рис. 6.28. Одноимпульсный ма¬
невр соосного апсидального ухода
и захвата.
*) Подробный математический анализ такого
6Н к настоящей главе.
движения дай в приложении

188
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. С
Предпочтительнее производить это преобразование в перицентре (вер¬
шине) гиперболической орбиты (рис. 6.28). Тогда эллиптическая орбита
будет соосна гиперболической, а требуемые затраты топлива на маневр
окажутся минимальными. Пусть расстояние от центра притяжения
до вершины гиперболы равно rv\ тогда из условия ее соосности со спут¬
никовой орбитой вытекает, что радиус последней (если она круговая)
г = Гу] если же она эллиптическая, то либо гу = га, либо rv = rp. Напра¬
вление ухода определяется углом ф, дающим направление асимптоты,
а гиперболический избыток скорости у*, может быть найден из уравнений
(6Б.26) и (6Б.27):
1 /"К +	К/r	£-	v
V =	= tgcp>
откуда с помощью (6Б.16) имеем
vv= ^~Л- г&> ,	(6.66)
где индекс V означает величину, относящуюся к вершине гиперболы.
С помощью приведенных соотношений можно полностью определить
гиперболическую орбиту, как это показано в разделе 6.4.2.
Маневр соосного перехода с помощью двух
импульсов тяг и В разделе 6.4.4 будет показано, что одноимпуль-
сные переходы с гиперболы на кру¬
говую орбиту и обратно не всегда
являются наиболее экономичными.
В ряде случаев двухимпульсные ма¬
невры ухода от планеты или подхода
к ней и захвата требуют меньшего
расхода энергии. В таком маневре
первый импульс переводит корабль с
начальной спутниковой орбиты на
некоторый переходный эллипс, а вто¬
рой — переводит его с этого эллипса
на требуемую гиперболическую тра¬
екторию, или наоборот. Переходный
эллипс позволяет либо уменьшить
расстояние до центрального тела в
момент приложения импульса, либо
увеличить его. Если импульсы сооб¬
щаются кораблю на линии апсид,
то в первом случае вершина гипер¬
болы совпадает с перигеем пере¬
ходного эллипса, во втором —
она совпадает с апогеем эллип¬
са. На рис. 6.29 показан случай
rv = г а, на рис. 6.30 — случай
Гу — Гр. Последний более пред¬
почтителен с точки зрения экономии энергии (см. приложение 6Б).
6.4.4.	Уход и захват *). Понятия уход и захват относятся обычно
к операциям перехода из гравитационного поля одного тела в гравита¬
ционное поле другого. Для выхода из поля какого-либо небесного тела
Рис. 6.29. Двухимпульсный апсидальный
маневр перехода между соосными орбитами
с использованием промежуточного соосного
с ними эллипса. Вершина гиперболической
траектории совпадает с апогеем промежу¬
точного эллипса.
*) Подробное - математическое изложение дано в приложении 6Г [уравнения
(6Г.1) и (6Г.14)]. """

*6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
189
(т. е. для ухода от него) требуется развить по крайней мере параболиче¬
скую скорость движения *).
Вся вселенная заполнена бесконечным количеством гравитационных
нолей различных небесных тел, которые накладываются друг на друга,
причем, согласно ньютоновскому закону всемирного тяготения, поле
каждого тела теоретически простирается в бесконечность. Однако полная
энергия каждого такого поля ограничена, и поэтому корабль всегда может
выйти из гравитационного поля тела, если его кинетическая энергия
по крайней мере равна энергии поля и скорость имеет соответствующее
направление. Параболическая скорость точно характеризует это мини¬
мальное количество энергии, требуемой для ухода.
Уход из поля планеты в поле Солнца с помощью приложения импуль¬
сов тяги может быть осуществлен тремя способами: а) непосредственно
Рис. 6.30. Двухимпульсный апсидальный маневр перехода между соосными
орбитами с использованием промежуточного соосного с ними эллипса. Вершина
гиперболы совпадает с перигеем промежуточного эллипса.
г* круговой на гиперболическую орбиту (одноимпульсный маневр на кру¬
говой орбите [8, 9]); б) с круговой на эллиптическую орбиту и затем на
гиперболическую (двухимпульсный метод [8]); в) с эллиптической орбиты
на гиперболическую (одноимпульсный маневр на эллиптической орбите).
Ниже будет показано, что в первом случае существует строго опре¬
деленный энергетический минимум. Во втором случае такого явного
минимума практически нет. При осуществлении одного и того же меж¬
планетного рейса с помощью одноимпульсного и двухимпульсного методов
потребная энергия в первом случае будет больше, если энергия гелио¬
центрического перехода **) меньше энергии параболического ухода от пла¬
неты (при старте с заданной спутниковой планетоцентрической орбиты).
Напротив, если энергия гелиоцентрического перехода превосходит энер¬
гию параболического планетоцентрического ухода, то двухимпульсный
метод ухода с круговой орбиты оказывается энергетически более выгод-
2 К
ным, чем одноимпульсный. Иначе говоря, так как = —	v2^,	одно-
2 К
импульсный маневр на круговой орбите выгоден, если — >	;	двух¬
импульсный оказывается более выгодным, когда < via. В случае
*) Иначе называемую также скоростью освобождения. (Прим. перев.)
**) Под этим понимается максимальная разница в потенциальной энергии на
начальной гелиоцентрической орбите и переходной орбите, измеряемая гиперболи¬
ческим избытком скорости.

190
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. е
г= ulo оба этих метода равноценны. Ввиду того, что в приведенные
соотношения входит расстояние г от центра планеты до корабля, ясно,
что выбор метода зависит от
радиуса спутниковой орбиты г,
как это будет показано ниже.
Одноимпульсный маневр на эл¬
липтической орбите всегда тре¬
бует меньших затрат энергии,
чем двухимпульсный маневр
(полагая, что оба они соответ¬
ствуют одной и той же круго¬
вой орбите), при условии, что
энергия на планетоцентриче¬
ском эллипсе, с которого про¬
изводится уход, больше энер¬
гии на начальной круговой
орбите, так как маневр ухода
требует затраты энергии, рав¬
ной разности между энергией
на гиперболической орбите и
энергией на орбите, с которой
производится уход.
Прежде чем перейти к ана¬
лизу указанных маневров, заме¬
тим, что все сказанное о мето¬
дах и маневрах ухода в рав¬
ной степени относится и к маневрам захвата, которые с точки зрения
механики являются процессами, обратными уходу.
О д н о и м п у л ь с н ы й маневр на к р у г о в о й о р б и-
т е. Схема ухода корабля от планеты показана (в гелиоцентрических
координатах) на рис. 6.26. Анализ гиперболической траектории дан в раз¬
деле 6.4.2, а обсуждение одиоимпульсного маневра приведено в разделе
6.4.3 и проиллюстрировано на рис. 6.31. На основе этих данных можно про¬
извести математический анализ такого маневра, что сделано в приложе¬
нии 6Б.
На рис. 6.32 показана зависимость оптимального радиуса орбиты
отправления при полете с Земли от величины афелия целевой гелиоцент¬
рической орбиты [9]. Как видим, величина г при полете к Веиере равна
примерно 69 ООО морских миль, при полете к Марсу — 94 500 морских
миль. Из графиков на рис. 6.33 видно, что при полете к планетам, осо¬
бенно к Венере и Марсу, можно выбором радиуса орбиты при отлете от
планеты или при подлете к ней добиться значительной экономии энергии.
Для Венеры и Марса минимумы этих кривых имеют довольно плоские
вершины, так что если поместить начальные орбиты для полета к Венере
на расстоянии, скажем, 30 ООО морских миль от центра Земли и для полета
к Марсу на расстоянии 20 000 миль, то это не повлечет значительных пере¬
расходов энергии. Расхождение между теоретическим радиусом круговой
начальной орбиты при использовании одиоимпульсного маневра ухода
или захвата и практически допустимым значением радиуса такой орбиты
показано на рис. 6.52 в зависимости от высоты афелия переходной гелио¬
центрической орбиты, расстояние перигея которой равно 1 а. е. (радиусу
орбиты Земли). При расстоянии афелия 1,52 а.е. его положение совпадает
-<х=90°
'[Зшадт
vh геюшцеш/п'-
ушую орУшу
-Асшлтша
Ме1МЛс/;//?300а////ая	/
яешй гилербяш /
/	 Орбша
t шуш/
Рис. 6.31. К расчету траектории перехода с плаие-
тоцстггрической па гелиоцентрическую орбиту
(тангенциальный уход с орбиты планеты).

§ 6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
191
Т/уловоя высота	h
3435 моролая л/ало \ Х.
^ттшттммм////тш/т
1111 I 1111 I L
4 В 818е 2	4 68103 2	4	8
ЦвЛОООй /7Ла//£Ш/ Л/77 ЗвЛЛЦа 3, МОрОЛЛЛ МОЛЛ
Рис. 6.32. Теоретическое значение расстояния
ухода от плагтеты или прибытия к планете с
помощью минимального одноимпульсного ма¬
невра в зависимости от радиуса целевой гелио¬
центрической орбиты.
со средним расстоянием Марса от Солнца. Переходные орбиты, которым
соответствуют графики на рис. 6.52, относятся поэтому к разряду «быст¬
рых» орбит перелета от Земли
к Марсу. Из графиков видно,
что особенно в случае не слиш¬
ком быстрых переходных орбит
(/?а < 1,8 а. е.) практически до¬
пустимые значения радиусов спут¬
никовых геоцентрических орбит
оказываются значительно мень¬
шими, чем теоретически опти¬
мальные величины. Этот вывод
одинаково справедлив как для
задач ухода, так и для задач за¬
хвата.
Однако в случае полетов с
Земли он может оказаться спра¬
ведливым только в задачах захва¬
та, если учесть, что уход требует
предварительной сборки корабля
на орбите, а также системы снаб¬
жения топливом с поверхности
Земли. На рис. 6.34а приведены
графики, характеризующие усло¬
вия ухода при полете к Марсу.
Принятые обозначения показаны
па рис. 6.346. При сравнении
потребных значений энергии,
необходимой для вывода иа орбиту
аппаратов системы снабжения,
основным критерием служит сум¬
ма импульсных приращений ско¬
рости в перигее Дуц ив апо¬
гее Дщц. Верхняя кривая на
рис. 6.34а показывает сумму Дуц,
Душ и Дyst (при полете к Марсу),
из чего видно, что с ростом ра¬
диуса орбиты экономия энергии
при уходе не может компенсиро¬
вать затрат, связанных с достав¬
кой грузов на орбиту. Таким
образом, при отлете с Земли и
учете операций сборки и снабже¬
ния на спутниковой геоцентриче¬
ской орбите расстояние г уже не
является оптимальным. Орбита,
на которой производится сборка,
должна располагаться так близко
к поверхности, как это позволяют
прочие условия (например, сопро¬
тивление атмосферы). Что я^е ка¬
сается задач подлета к планете (захват), то здесь орбита радиуса г эко¬
номически весьма выгодна в отношении количества топлива, которое
6 373	20	30	40 50 30700	200
Расо/лоялио от цвлтра Зето Ff 703моро/го/ м/то
Рис. 6.33. Приросты скорости при уходе от
Земли к различным планетам в зависимости от
радиуса начальной орбиты.

192
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
приходится нести с собой от Земли к целевой планете и обратно, для
последующего использования *).
Рис. 6.34а. Влияние энергетических затрат, связанных со снабже¬
нием и сборкой на орбите, на выбор траектории полета межпланет¬
ной экспедиции к Марсу.
Алогсш/ое
расстояние
(целееая
орбита)
Вспоминая, что в основе настоящих рассуждений лежит предположе¬
ние о том, что уход или захват осуществляется посредством использования
одноимпульсного маневра по
схеме, показанной на рис. 6.28,
мы видим из графиков на
рис. 6.33, что г представляет
собой единственный радиус ор¬
биты, уход с которой или при¬
ход на которую в конкретном
межпланетном рейсе требует
минимальных затрат энергии.
Поэтому решение уравнения
(6Г.10) неприменимо к одноим-
пульсному маневру, так как
оно фактически соответствует
предельному случаю двухим-
пульсного маневра.
Д в у х и м п у л ь с н ы й
метод. Схема двухимпульс-
ного маневра показана на
рис. 6.29 и 6.30. На первом из
них вершина гиперболы совпадает с апогеем переходного эллипса (rv — г^),
на втором она совпадает с его перигеем (г0 = иР).
/7ерехсбнш аллил с
(алсибалонш /
тангенциалоял/Д /
лерелглб) у
Рис. 6.346.
Эллиптический
спутниковую
подъем
орбиту.
на круговую
*) Это относится в особенности к химическим двигательным системам. Суще¬
ствует, однако, ряд причин, по которым использование химических двигательных
систем для быстрых межпланетных перелетов нецелесообразно (см. разделы 6.6.5
и 6.6.9).

§ n.4|
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ	193
Когда Гу - />, полная величина потребной скорости оАр =	+
+ AvP согласно уравнению (6В.8) есть
оАР=	[l	- <1 I /ifг) ("- I) \/^rj — у^] •	(6.07)
Когда же Гу = г.ь полная потребная скорость оРА A vp -j- A va согласно
уравнению (6В.13) будет
[V* (• + 4) + /i-О + ») V.	{*■**>
где
8 = -
I 2К/г
Ер —	V°°
V ZK/rp
r\
п — — .
rp
Если п = 1, то вся операция сводится к одноимпульсному маневру
Av= |/^(l + e2) — )/(rA = rP = i•).	(6.69)
Если г = г, то 8 = 1, как это следует из уравнений (6В.2) и (6Г.12),
а (6.69) становится идентичным (6Г.14), как и следовало ожидать. Хотя
этот случай соответствует минимуму расхода энергии при одноимпульс-
ном маневре на круговой орбите, он не оптимален в случае двухимпульс-
ного маневра. В двухимпульсном маневре при гу— гА минимуму, оче¬
видно, соответствует тА = оо, так как в этом-случае правая часть уравне¬
ния (6.67) становится равной нулю. В двухимпульсном маневре при гу = гр
величина Орл, определяемая уравнением (6.68), равна нулю, если гР = О
(так как в этом случае имеем также гР = 0). Таким образом, эти решения
совпадают с решением (6Г.10), которое определяет оба этих предельных
случая двухимпульсного метода в наиболее общем виде.
С помощью выражений (6.67) и (6.68) можно сравнить оба рассмотрен¬
ных двухимпульсных метода следующим образом:
1
> ге(1 + 8р)+--г= Yl + n
а-РА = а* = ———	У-	  —	.	(6.70)
К(1+П8^)+(П_1)	|/А
Предельными случаями являются а -> 1 при п-+ 1 и сг —> — [ср. урав¬
нение (6Г.10)].
Во всех случаях маневр при гу = гр выгоднее прочих, поэтому именно
этот метод будет рассматриваться подробно. Лоуден (Lawden) нашел [8],
что, когда энергия на гелиоцентрической переходной орбите больше, чем
энергия на планетоцентрической орбите ухода, выгоднее использовать
двухимпульсный метод, тогда как в противном случае меньший расход
топлива потребуется при одноимпульсном методе. Когда обе энергии рав¬
ны, то оба этих метода одинаково эффектны. Это означает, что если радиус
спутниковой орбиты г меньше, чем г, то корабль должен осуществлять
13 Космическая техника

194
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ IIОЛЕТЫ
[ГЛ. О
уход с орбиты или прибытие на орбиту с помощью одного импульса тяги
(см. рис. 6.28). Если же радиус спутниковой орбиты г >> г, то целесообразно
использовать двухимпульсный метод. В этом случае корабль сначала дол¬
жен выйти на промежуточный эллипс, перигей которого расположен как
можно ближе к поверхности планеты. IIо достижении перигея кораблю
сообщается второй импульс, который превращает его орбиту в гиперболи¬
ческую траекторию ухода. В задаче захвата, когда г > г, для корабля,
Рис. 6.35. "Требуемый прирост скорости в манснре ухода или аахната
близ Земли (при полете к Марсу) в зависимости от* радиуса геоцентриче¬
ской орбиты.
приближающегося к планете, нужно выбрать такую гиперболу сближе¬
ния, вершина которой расположена как можно ближе к поверхности
планеты. Далее из этой вершины корабль должен перейти иа[промежуточ-
пый эллипс, двигаясь по которому он сможет подняться на расстояние г
от центра планеты и затем с помощью второго импульса удержаться на
круговой спутниковой орбите (рис. 6.30).
На рис. 6.35 для обоих маневров дано сравнение потребных приростов
скорости при уходе космического корабля от Земли к Марсу (или прибы¬
тии его с Марса). Для двухимпульсного метода для сравнения рассмотрены
два примера условий: в нервом случае корабль «касается» верхних слоев
атмосферы (гР ^ 3474 морские мили, г00 :	3440 морских миль); во вто¬
ром случае взята более безопасная траектория сближения (/> ^ 4342 мор¬
ские мили). Из сравнения видно, что обе кривые пересекаются в точке г,
соответствующей минимуму расхода в одноймпулиспом методе. Так как
кривые пересекаются под очень малым углом, можно заключить, что
в некотором диапазоне разница между обеими кривыми, соответствующими
двухимпульсному методу, мала. Видно, что кривая, характеризуемая
меньшей величиной гР, опускается на графике ниже. Из рис. 6.35 сле¬
дует, что если корабль, возвращающийся к Земле с Марса, поднимается
с минимального расстояния гР на высоту лунной орбиты, то потребная
характеристическая скорость для такого маневра захвата составит лишь
около 4500 фут/сек, тогда как при одиоимпульсиом пли двухимпульсном

§ 6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
195
маневре захвата с выходом на орбиту радиуса г потребная характеристи¬
ческая скорость составит почти 7000 фут/сек.
Расход топлива при подъеме с Земли в первом случае также оказы¬
вается несколько меньшим, так как потребная скорость Дуц + Лщп
для выхода на орбиту высотой 200 000 морских миль составит
13 000 фут /сек, а для выхода на орбиту высотой 50 000 морских миль
13 800 фут/сек. Поэтому указанный маневр представляется весьма выгод¬
ным. Недостатком его является то, что он требует большего времени (дни
вместо часов) и большей точности управления не только в отношении
выдерживания расстояния но также и в проведении операции спуска
команды и необходимых материалов с корабля, находящегося на лунной
орбите. Очевидно также, что если корабль, достигнув апогея промежу¬
точного эллипса, не будет выходить на круговую орбиту, а останется на
эллиптической спутниковой орбите, т. е. если ему сообщается лишь один
импульс в процессе маневра, то затраты топлива на операцию захвата
будут еще меньшими, чем при двухимпульсном методе. Правда, слишком
вытянутая эллиптическая орбита, на которой расстояние корабля от
планеты меняется в пределах нескольких диаметров планеты, может не
всегда быть желательна в качестве конечной орбиты.
В табл. 6.5 приведены радиальные расстояния г и высоты у над поверх¬
ностью планет, при которых одно и мну л ьсиы й и двухимпульсиый методы
эквивалентны в задачах захвата при прибытии с Земли или в задачах
Т а в л и ц а 6.5
Расстояния от центра планет и высоты над поверхностью,
на которых одноимпульсиый и двухимпульсиый методы
эквивалентны при полете от планеты к Земле
или от Земли к планете
Планеты
Меркурий
Веиера .
Марс . .
Юпитер
Сатурн .
Уран . .
Нептун
Плутон
морские мили (км)
I
!1>
морские мили (>.'.н)
I
208
■48 100
3 525
4 265 000
1 291 000
280 000
433 000
~ 3 000
(385)
(89 000)
(6 530)
(7 900 000)
(2 390 000)
(519 000)
(802 ООО)
(- 5 560)
— I 184
44 700
1 695
4 425 000
1 260 000
268 000
418 000
~ О
(-2 193)
(82 800)
(3 140)
(8 200 000)
(2 334 000)
(496 000)
(775 000)
(~0)
ухода при полете к Земле по переходным эллипсам с минимальной затра¬
той энергии. Как можно видеть, желаемые конечные орбиты, особенно
в случае Венеры и Марса, обычно имеют такие высоты, где одноимпульс-
ный метод более экономичен, чем двухимпульсиый.
6.4.5.	Гиперболическое прохождение. Гиперболическим прохождением
будем называть движение космического корабля в гравитационном поле
небесного тела (планеты или ее спутника) по гиперболической траектории
относительно этого центрального тела. Например, космический корабль,
отправляющийся с Земли в межпланетный рейс, может совершить гипер¬
болическое прохождение близ Лутты; корабль, движущийся к Юпитеру,
может совершить гиперболическое прохождение близ Марса. Гиперболи¬
ческое прохождение может значительно изменить не только направление
полета, но и эксцентриситет орбиты и скорость движения корабля в его
13*

196
;\ [ Е Ж1I Л АIIЕ Т Л Ы Е I IО Л Е ТЫ
[ГЛ. 6
движении после прохождения по сравнению с этими же величинами до
прохождения. Например, известно, что Юпитер своим притяжением
«выбросил» по крайней мере одну комету за пределы солнечной системы
при ее гиперболическом прохождении в его окрестностях, а также «захва¬
тил» целое семейство других комет. Аналогичные захваты известны и у дру¬
гих больших планет.
В общем случае в зависимости от конкретных условий возмущающие
гравитационные поля могут увеличивать или уменьшать энергию движе¬
ния и изменять эксцентриситеты орбит космического корабля. Если
точно выполнить необходимые условия, то эти возмущающие силы можно
использовать для получения определенных выгод, например для увеличе¬
ния скорости движения корабля при его уходе или для ее уменьшения
при возвращении [10, 11].
Такой эффект гиперболического прохождения, разумеется, не нару¬
шает закона сохранения энергии, так как орбита возмущающего тела
при этом также изменяется от воздействия массы корабля. Однако изме¬
нение элементов орбиты и энергии движения корабля и небесного тела
обратно пропорционально массам этих тел. Ясно поэтому, что возмуще¬
ние, испытываемое Луной или планетой из-за влияния массы корабля,
совершенно ничтожно.
Таким образом, если после маневра гиперболического прохождения
скорость движения и эксцентриситет возросли и если первоначальная
траектория была близка к параболической, то после прохождения траекто¬
рия может стать гиперболической по отношению к основному центру
притяжения.
Нетрудно определить величину изменения орбитальной энергии
в процессе гиперболического прохождения. Энергия движения по перво¬
начальной орбите относительно центрального тела М равна
где г; и г — скорость и расстояние корабля относительно центрального
тела, Км — гравитационный параметр этого тела и а — большая полу¬
ось орбиты корабля. Дифференцируя по времени, получаем [10]
где г — расстояние от центра, а Кт — гравитационный параметр возму¬
щающего тела т. Из уравнений (6.72), (6.73) и (6.74) окончательно находим
Компонента силы —— sin 0 направлена перпендикулярно к направле-
Г‘Л
иию движения и поэтому не вызывает изменения энергии орбитального
движения.
(6.71)
а
dh _ К м da
dt а2 dt
(6.72)
Переписав соотношение (6.71) в виде и2 -
цируя его по времени, найдем
Км (т — г) и ДиФФеРеи“
da _2a2 du
dt	К м	d t
На рис. 6.36 имеем
(6.73)
(6.74)
(6.75)
К,

§ С.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
197
В зависимости от направления действия возмущающей силы по отно¬
шению к направлению движения корабля изменение энергии движения,
определяемое формулой (6.75), может быть как положительным, так
и отрицательным, т. е. энергия может либо возрасти, либо уменьшиться.
Величина изменения энергии движения не зависит от Км или от а, но зави¬
сит от скорости орбитального движения относительно центрального тела,
а также от гравитационного пара¬
метра Кт возмущающего тела и	^/^=^//7
от расстояния до него. Если© =
90°, то изменение энергии орби-
тального движения равно нулю.
(Угол 0 отсчитывается в направ-	^	1
лении от радиуса-вектора г к век- с^~ 	 ‘	►	У
тору скорости v.) Косинус угла 0
Следует считать отрицательным в Рис. 6.36. Изменение энергии в маневре ги-
тех случаях, когда возмущающая	перболического прохождения.
сила Кт/г2 стремится вызвать
обратное вращение большой оси (т. е. вращение, направление которого
противоположно направлению обращения тела).
Для того чтобы определить характер изменения эксцентриситета еу
необходимо принять во внимание как тангенциальную компоненту воз¬
мущающей силы К~- cos 0, так и ее нормальную компоненту sin 0.
Действительно, можно показать, что
от действия тангенциальной и нормальной компонент возмущающей
силы соответственно. Нормальная компонента считается положительной,
если она направлена к большой оси орбиты. Поэтому согласно уравнению
(6.77)	эксцентриситет будет уменьшаться, если компонента sin ©
направлена «внутрь» орбиты. Отсюда нетрудно видеть, что энергия орби¬
тального движения может возрастать, в то время как эксцентриситет
будет убывать. Пример условий такого рода будет рассмотрен позднее,
при расчете гиперболического прохождения близ Марса.
Введение понятия гиперболического прохождения подразумевает,
что в течение короткого периода времени прохождения корабля в непо¬
средственной близости от возмущающего тела действием сил солнечного
притяжения можно пренебречь и относительную траекторию движения
можно считать точно гиперболической. Пусть М — центральное тело,
т — возмущающее тело, V — скорость космического корабля относи¬
тельно М, U — скорость тела т и Voo — скорость корабля относительно
т. Схема гиперболического прохождения с целыо увеличения скоро¬
сти движения космического корабля изображена на рис. 6.37, где пара¬
метры движения до прохождения помечены индексом 1, а после про-
хождения — индексом 2. Тело т движется со скоростью U по орбите,
пересекающейся под углом р! с орбитой космического корабля, который
движется со скоростью V. Зная величины 7/, V и [3, нетрудно построить
(6.76)
(6.77)
характеризуют собой приращение эксцентриситета

198
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
графически или вычислить аналитически относительную скорость движе¬
ния Voo> Угол между Voc и U обозначим буквой После прохождения
скорость Voо, оставаясь прежней по величине, будет повернута на угол
Д£ и получит направление тогда как U практически останется неиз¬
менной и по величине и по направлению. Зная снова величины U, z4, • -
= Voo (по величине) и угол 180° —	+ Д£, можно построить или вычис¬
лить скорость V2 и определить новый угол пересечения (32.
В схеме построений гиперболической орбиты, приведенной на рис. 6.37,
тело т следует считать неподвижным. Тогда векторы Voo и vi, совпадут
с асимптотами гиперболы и,
следовательно, будут харак¬
теризовать собой изменение на¬
правления полета после гипер¬
болического прохождения. Ги¬
перболическая траектория дви¬
жения относительно тела т и
соответствующие обозначения
видны из рис. 6.38. Основные
параметры движения могут
быть вычислены следующим
образом. Скорость относитель¬
ного движения перед прохож¬
дением есть
z& = U2 + Vl — 2UVlcos$i.
(6.78)
Большая ось гиперболы равна
- Кт
h ' h *4	(i/^2	’
(6.79)
тогда как энергия орбитально¬
го движения по гиперболе рав-
на h = Q^ + vl)-
где выражение в скобках пред¬
ставляет собой гиперболиче¬
скую скорость ухода от тела т
по траектории, пересекающейся
с орбитой самого тела т под
углом pi. Таким образом, ско¬
рость Voo представляет собой гиперболический избыток; учитывая, что
на параболической орбите h — 0, заключаем, что величина vlo характе¬
ризует энергию движения на гиперболической траектории. Эксцентри¬
ситет гиперболы равен
/I I *Р	180°	—	Д£	1 д у	Q(\\
е = 1 -|-	= sec ф = sec ^—- = cosec -j Д£,	(6.80)
т. е. эксцентриситет гиперболической траектории определяется углом
между ее асимптотами. С учетом соотношений (6.79) из (6.80) получаем
е = 1 + £>оо У ■	(6.81)
л т
Траешлрая
уялба као-
маоео/гаго
корабля
обложек а я 4 \ брбал/а
коемаоеокоео возму-
корабля с	що/ощезо
ллаяел7оа	тела л/
До лрокожбелая
/7ооле лрохожбеяая
у Ррбота
возмуща/ощего
]£/7ервола1/ало - V тела /л
// лая траеятороя
/ лраблажолая
коомаоеокого
корабля
Рис. 6.37. Схема гиперболического прохождениях,
связанного с увеличением скорости космического
корабли.

■S 6.4]
СУПЕРПОЗИЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
199
Таким образом, если возмущающее тело известно (т. е. известен его
параметр К т), расстояние гР задано и по известным величинам, входящим
в уравнение (6.78), вычисле¬
на скорость Гоо, то из уравне¬
ний (6.81) и(6.82) можно най¬
ти е и угол Д£ соответст¬
венно. Величина опреде¬
ляется непосредственно по
формуле
sin =
Следует
^sinp,.
иоо
(6.82)
заметить при
вычислении	что	угол
> 90°, если Vt cos рА < U,
так как при этих условиях
скорость Voо имеет компонен¬
ту, направленную противо¬
положно U. Поэтому в дан¬
ном случае, если уравнение
(6.82) имеет решением, на¬
пример, = 40°, то следует
выбрать угол	= 180°—
— 40° = 140°. Зная угол £1?
мы знаем и угол 180°—
+ Д£ = 180° — £2 и, зна¬
чит, можем найти новые
значения скорости и угла
-|- Рис. 6.38. Гиперболическая траектория, соответ¬
ствующая прохождению, показанному на рис. 6.37.
пересечения, пользуясь соотношениями
V\ = TJ- + v%> + 2С/йоо cos £2,
sin = sin £2.
(6.83)
(6.84)
Наконец, параметр гиперболы, т. е. расстояние от траектории до тела т
при у] = 90°, равен
Кт	(6.85)
p = a(ea-l) = ^ctga^ =
или, учитывая, что tg
Д£ __ sin Д£
р
-cos Д£ ’
Кт
имеем
(1 + COS Д£)а.
(6.86)
иоэ sin2 A£
Таким образом, по заданным значениям величин U, рА и гР можно
вычислить величины а, е,	Д£,	F2,	р2 и Р* Параболическая ско¬
рость относительно центрального тела М на расстоянии тела тп дается
формулой
V% = ^.	(6.87)
Наибольший интерес представляют величины Д£, V2 — Vi и новое
значение гиперболического избытка по отношению к цент¬
ральному телу М:
2КМ
vl = vi-v2p = vi-
R
(6.88)

200
МЕЖПЛЛНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. G
Вместо того чтобы считать гр независимой переменной, представляет
интерес определить это расстояние так, чтобы V2 (а следовательно, и Foe)
была максимальна. Из уравнения (6.83) вытекает, что V2 достигает макси¬
мума тогда, когда А£ ^ т. е. когда £2	9.	В этом случае
(И2)тах — U -j- Vo*.	(6.89)
Иначе говоря, вектор относительной скорости после прохождения
должен быть направлен так же, как и вектор орбитальной скорости тела т.
Таким образом, пользуясь значениями U, Vt и из уравнения (6.89)
сразу находим (F2)max, из уравнения (6.82) — угол ^ и из (6.80) —
соответствующее значение Гр:
7> = ^(е-1).	(0.90)
со
Использование эффекта гиперболического прохождения близ Луны
для увеличения	энергии	корабля, выходящего	на	межпланетную	пере¬
ходную	орбиту,	малоэффективно как вследствие	слабости	лунного	поля,
так и в особенности из-за очень высокой чувствительности такого маневра
ко всякого рода начальным ошибкам и неточностям.
На рис. 6.39 иллюстрируется эффект близкого гиперболического про¬
хождения космического корабля около Луны на геоцентрической траек¬
тории. Три нижние кривые характеризуют гиперболический избыток
Uoo в единицах параболической скорости на расстоянии Луны от Земли,
равной Л/ —7^= л/= 0>778 морск. милъ/сек — 0,895 миль!сек
V г с	т
— 1,41 км!сек -- 4625 фут/сек. Самая нижняя из этих кривых дает
величину требуемого избытка при уходе без использования эффекта гипер¬
болического прохождения около Луны. Следующая кривая соответствует
прохождению корабля на минимально возможном расстоянии от Луны,
когда его траектория касается ее поверхности. Верхняя из этих трех кри¬
вых характеризует наибольшее возможное значение прироста скорости,
т. е. (F2)max, какое может быть достигнуто в маневре прохождения близ
Луны. Однако практически этот случай нереализуем, так как орбита
корабля в этом случае должна пересекаться с лунной поверхностью.
Верхняя кривая на рис. 6.39 показывает начальную скорость движения
корабля относительно центра Земли при старте с орбиты высотой
300 морских миль над ее поверхностью. С помощью этой кривой можно
сразу оценить ту экономию в начальной скорости, которой можно достиг¬
нуть, используя эффект прохождения близ Луны. Все указанные кривые
построены в функции от эксцентриситета геоцентрического конического
сечения, причем абсциссы охватывают эллиптические, параболические
и гиперболические околоземные орбиты.
В качестве примера рассмотрим полет на орбиту Венеры, при кото¬
ром гиперболическое прохождение близ Луны оказывало бы наиболее
заметное влияние. Из графика видно, что если не использовать прохож¬
дение близ Луны, то уход должен производиться по гиперболе с эксцен¬
триситетом е = 1,11. Необходимая стартовая скорость в этом случае
составит Fst = 5,95 морск. милъ/сек = 36 176 фут/сек. Если же восполь¬
зоваться маневром прохождения около Луны на кратчайшем расстоянии
от нее (т. е. непосредственно над ее поверхностью), то тем самым эксцен¬
триситет геоцентрической гиперболической траектории ухода уменьшится
до е = 1,055, а стартовая скорость Fst — до 5,86 морск. миль /сек --
= 35 629 фут/сек. В случае движения по траектории гиперболического
прохождения, дающей максимальную экономию топлива, мы бы имели

СУПЕР!.! О.'ПЩП Я ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ПЛАНЕТ
Э/гсцеш/7ис1//77/?т ге0це///77/7М&с/(0й орбшы

202
М Е Ж И Л А Н Е Т Н Ы Е IIО Л Е Т Ы
[Г Л
е — 1,015, Est 5,8 морек. миль!сек - - 35 264 фут/сек, однако в этом
случае траектория корабля должна была бы пройти на расстоянии от 75
до 150 морских миль от центра Луны, что не возможно. Как видим, изме¬
нения в скорости Fst не столь уж существенны. Однако если проводить
сравнение гиперболических избытков, то разница окажется более значи¬
тельной. Такое сравнение более обосновано, так как ясно, что для осуще¬
ствления гиперболического прохождения близ Луны необходимо предва¬
рительно развить скорость, близкую к параболической. Из графика
на рис. 6.39 находим, что параболическая скорость (при е 1,0) есть
Fst - ^ V — 5,78 мо рек. миль/сек ~ 35 142 фут/сек. Таким образом,
если не использовать эффект гиперболического прохождения близ Луны,
то необходимо с помощью тяги добиться гиперболического прироста ско¬
рости, равного 36 176 — 35 142 -- 1034 фут/сек\ использование же про¬
хождения непосредственно над лунной поверхностью уменьшает эту
величину до 487 фут/сек и, возможно, даже до 122 фут/сек. Поэтому
в оптимальном практически осуществимом случае достижимая экономия
составит 1034—487	547 фут/сек, т. е. более чем половину требуемого
прироста скорости. В зависимости от общей конструкции ракеты такое
уменьшение потребной скорости позволяет увеличить величину конечной
массы (т. е. веса полезного груза) в среднем на 500—1000 фунтов или
при топ же величине полезного груза уменьшить ее начальный вес на
70 000—100 000 фунтов. Абсолютная величина гиперболического избыт¬
ка скорости, необходимого для достижения Венеры, остается, разумеется,
во всех случаях одинаковой, а именно равной 1,75 от параболической
скорости на расстоянии Луны.
Использование гиперболического взаимодействия с планетами для
увеличения гелиоцентрической «дальности» полета практически весьма
ограничено, в частности, тем, что условия сближения зачастую в прин¬
ципе не позволяют достичь большого выигрыша в энергии (угол пере¬
сечения недостаточно велик), а также тем, что реальная возможность
разгона корабля с помощью одной планеты для достижения другой,
будучи зависимой от расположения планет, возникает очень редко.
По-видимому, наиболее привлекательным является использование
гиперболического прохождения близ планеты назначения для изменения
направления полета космического корабля в его гелиоцентрическом
движении. Действительно, при полете по «быстрым» переходным орбитам
наибольшие перерасходы топлива требуются для поворота вектора ско¬
рости с тем, чтобы он стал параллельным направлению движения целевой
планеты на ее орбите. Если же для выполнения такого поворота (целиком
или частично), т. е. для перехода от /_$ч к	воспользоваться	манев¬
ром гиперболического прохождения, то появляется возможность сэко¬
номить довольно значительное количество топлива, которое можно
употребить для операции захвата. Изменение направления полета следует
проводить одновременно с операцией захвата, а не заранее. Примером
такого способа экономии энергии служит полет от Земли к Юпитеру
и захват, рассмотренный в работе [17].
§ 6.5. Анализ ошибок в межпланетных перелетах
6.5.1.	Введение. Вследствие огромной величины межпланетных рас¬
стоянии и недостаточно точного знания основных астрономических постоян¬
ных большой интерес представляет выяснение чувствительности меж¬
планетных траекторий к различного рода ошибкам.

§ 6.5]
АНАЛИЗ ОШИБОК В МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТАХ
203
В общем случае ошибками можно назвать отклонения векторов поло¬
жения или скорости космического летательного аппарата от их точных
(т. е. расчетных или заданных) значении. Если система координат, относи¬
тельно которой определяются ошибки, имеет начало в центре планеты,
то указанные отклонения будем называть планетоцентрическими ошибка¬
ми. Если начало системы координат лежит в центре Солнца, то ошибки
будут называться гелиоцентрическими. Если корабль в своем движении
не выходит за пределы сферы действия поля планеты или если рассматри¬
вается только его гелиоцентрическая орбита, мы: будем называть возни¬
кающие отклонения ошибками в центральном поле. Если же изучаются
ошибки планетоцентрического движения корабля, совершающего маневр
ухода (или прибытия), то задача характеризует ошибки в поле двух сил
и становится более сложной.
Полный анализ влияния ошибок иа элементы орбит в поле одной
пли двух сил, а также на параметры траектории гиперболического про¬
хождения довольно кропотлив. Он приводится в работах [2] и [40]
поэтому здесь мы ограничимся лишь тем, что приведем окончательные
уравнения и выводы. Как и ранее, большими буквами будем обозначать
гелиоцентрические величины, а малыми — планетоцентрические. Там,
где такое разделение невозможно, будем снабжать гелиоцентрические
величины индексом Q. Такое разделение необходимо при изучении ошибок
в поле двух притягивающих центров. При изучении ошибок в центральном
поле оно не обязательно и поэтому использоваться не будет.
6.5.2. Анализ ошибок в центральном поле [10, 12]. Влияние ошибок
в положении корабля (например, в момент прекращения работы двигателя)
сравнительно невелико, если только сами эти ошибки не превосходят
определенных пределов. Поэтому ими можно пренебрегать. При анализе
ошибок в скорости введем полярную систему координат, т. е. радиус-
вектор г и истинную аномалию ц. Угол наклона орбиты относительно
некоторой фиксированной опорной плоскости равен /. Вектор скорости
разлагается на три компоненты: радиальную скорость иг — г, трансвер-
сальную скорость иа ~ гг\ и ортогональную скорость иш.
В любой точке траектории (г, ц) квадрат орбитальной скорости
v2	:	ц2	+	v]c отвечает эллиптической орбите, поскольку выпол-
^К
няется условие и2 — -- <С 0. Задача заключается в определении влияния
ошибок dvr, dva, dvw пли dv па элементы этой орбиты (см. приложе¬
ние 6Д).
6.5.3. Анализ ошибок при полете в поле двух притягивающих центров.
Пусть U обозначает скорость планеты, a — начальную гелиоцентриче¬
скую скорость корабля, т. е. скорость в момент выхода его из силового
поля планеты и начала движения в гелиоцентрическом поле. Этот момент
наступает тогда, когда сила притяжения корабля планетой становится
пренебрежимо малой по сравнению с силой притяжения Солнцем. Гео¬
метрически это означает, что гиперболическая траектория движения
относительно планеты фактически совпадает с соответствующей асимпто¬
той (т. е. практически движение происходит «в бесконечности» по отноше¬
нию к планете). Вектор разности между скоростями U и Vx представляет
гиперболический избыток скорости ц», величина которого определяет
требования к характеристикам космического корабля. Этот избыток
можно найти из уравнения (6Г.1) (см. также рис. 6.40). Он равен скоро¬
сти движения космического корабля относительно планеты к тому вре¬
мени, когда его гиперболическая траектория совпала с асимптотой. Именно

204
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. (V
такая скорость гл*, будет получена при измерении с борта корабля его
скорости по отношению к планете в этот момент.
Так как орбита планеты не точно круговая, гелиоцентрическая ско¬
рость U в момент ухода корабля может составлять некоторый малый угол
Ро с местной трансверсалыо. Влияние этого угла будет рассмотрено позднее.
Старт космического корабля производится со спутниковой орбиты
вокруг планеты. В идеальном случае, когда эта орбита круговая, а тяга
прикладывается в виде импульса силы, корабль в момент начала ухода
находится точно в вершине гиперболы, имея скорость = vy. Если
к тому же орбита планеты также строго круговая (р0 = 0) и если гелио¬
центрическая траектория ухода тангенциальна (Р = 0), то в момент
у
ухоЗ
//етангещиалм&й
yjroff
Рис. 6.40. Уход от планеты, рассматриваемый в гелиоцентрической
системе координат.
достижения кораблем скорости Vcv угол между скоростью и направле¬
нием от корабля к Солнцу равен 90°. Что касается направления скорости
vv (рис. 6.31), то оно отлично от направления скорости Voo (совпадающего
с асимптотой). Угол между vy и ц» является следствием возмущений,
оказываемых гравитационным полем планеты на траекторию космического
корабля.
Рассмотренная картина несколько упрощена предположением о том,
что в процессе ухода можно пренебречь эффектом солнечного притяже¬
ния. Если отбросить это предположение, то траекторию ухода уже нельзя
будет считать идеальной гиперболой и получение соответствующих ана¬
литических выражений в замкнутой форме оказывается невозможным.
При расчете действительной траектории влияние этих эффектов, несом¬
ненно, должно учитываться, однако в нашем анализе ошибок они намного
увеличили бы сложность выкладок, не изменив, по существу, полученных
результатов. Поэтому, хотя мы и не отрицаем необходимости введения
в рассмотрение сил притяжения как планеты, так и Солнца при точном
расчете траектории ухода с помощью электронных вычислительных машин,
мы, однако, здесь будем продолжать изучать упрощенную модель траек¬
тории ухода — гиперболическую траекторию.
Независимо от того, совпадет ли точка, в которой прекращается
работа двигателя, с вершиной гиперболы ухода или нет, положение
этой вершины полностью определяется вектором гиперболической ско¬
рости корабля Vi в момент выключения тяги. Расстояние от вершины
до фокуса гиперболы равно расстоянию перигея гр. Эксцентриситет гипер¬
болы дается уравнением (6.81), а половина угла между ее асимптотами —

* fi.5]
АНАЛИЗ ОШИБОК В МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТАХ
205
уравнением (6.80), т. е. е ----- sec ф. Угол ф определяет направление ухода
относительно планеты, как это показано на рис. 6.27. Из сопоставления
уравнений (6.81) и (6.80) видно, что ошибка в Гр, так же как и ошибка
в величине энергии движения при уходе, ведет к изменению этого направ¬
ления. Ошибка в расстоянии Гр может возникнуть либо вследствие ошибок
в координатах, если тяга прекращается точно в вершине гиперболы,
либо вследствие ошибки в векторе скорости, если тяга прекращается
в любой другой точке гиперболы ухода. Вектор скорости может быть
неточно выдержан по величине, по направлению пли по тому и по дру¬
гому. Если, кроме того, и включение тяги производится не в вершине
гиперболы, то любая из этих трех ошибок будет вызывать ошибку Дф
в направлении ухода ф.
Следствием изменения угла Ар, определяющего начальное направле¬
ние гелиоцентрического движения (ср. приложение 6Г), является изме¬
нение ориентации большой оси переходного гелиоцентрического эллип¬
са; иначе говоря, перигелий и афелий этого эллипса сместятся на неко¬
торый угол, даже если вектор гелиоцентрической начальной скорости
по величине выдержан точно (т. е. расстояния афелия и перигелия неиз¬
менны). Таким образом, даже в том случае, когда направление ухода
по гиперболе выдержано точно и погрешность содержится только в ска¬
лярной величине скорости, ориентация большой оси переходного гелио¬
центрического эллипса относительно заданного опорного направления
(например, относительно линии весеннего равноденствия) будет изменена.
В этом заключается существенное отличие данной задачи от задачи опре¬
деления ошибок при движении в поле одного притягивающего центра,
где ориентация большой оси при приложении импульса тяги в одной
из точек апсид изменяется лишь при наличии ошибки в направлении
вектора скорости, но не в его величине (табл. 6.4).
Ошибки в положении играют гораздо меньшую роль, чем ошибки в ско¬
рости, если даже последние значительно меньше по величине. Анализ
этих ошибок приводится в работе [40]. Ошибки в направлении и величине
вектора скорости, накопившиеся за время движения на активном участке,
могут быть выражены в виде эквивалентных «ошибочных» импульсов,
отнесенных к моменту прекращения тяги. Возникающим в планетоцентри¬
ческом движении ошибкам соответствуют следующие три «импульса
ошибок» в гелиоцентрическом движении:
1. Ошибка в направлении движения в плоскости гелиоцентрического
переходного эллипса, обусловленная ошибкой в направлении асимптоты
гиперболы ухода. Ошибка в направлении асимптоты может быть вызвана
либо ошибкой в направлении вектора плаиетоцентрической скорости
ухода щ, либо ошибкой в его величине, либо, наконец, комбинацией
обеих этих ошибок.
2. Ошибка в величине вектора начальной гелиоцентрической скоро¬
сти, являющаяся следствием ошибки в величине скорости щ. Учитывая,
однако, что последняя ошибка, вообще говоря, вызывает также ошибку
и в направлении асимптоты, можно заключить, что указанной ошибке
гелиоцентрического движения соответствует определенная комбинация
ошибок в величине и направлении скорости щ, при которой асимптота
при движении с новой скоростью к/г остается той же самой, что и при
движении без ошибок.
3. Ошибка в положении плоскости гелиоцентрической траектории,
обусловленная ошибкой в ортогональной компоненте скорости при гипер¬
болическом уходе. Такая ошибка здесь не будет рассматриваться, так как

206
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ
при ошибке в ортогональной компоненте скорости, ограниченной несколь¬
кими футами в секунду, ошибка в положении плоскости гелиоцентриче¬
ской траектории будет очень малой.
Перечисленные три вида ошибок приводят к смещению положения
корабля в пространстве в заданный момент времени I по сравнению с его
«точным» (расчетным) положением.
Можно вывести уравнения, определяющие влияние ошибок гипер¬
болического ухода на начальные условия гелиоцентрического движения,
а затем, пользуясь формулами теории движения в силовом поле одного
центра, определить влияние найденных изменений начальных условий
гелиоцентрического движения на конечные условия, т. е. на условия
в конечной точке переходной траектории. Это проделано в приложении
6Д. Конечная цель проводимого анализа заключается в том, чтобы уста¬
новить аналитическую связь между ошибками гиперболического ухода
и конечными условиями гелиоцентрической траектории (см. [2, 14]).
В табл. 6.6 собраны основные данные, характеризующие траектории
перехода с минимальным расходом топлива с круговой спутниковой орби¬
ты вокруг Земли (радиуса а) к планете назначения, а также приведены
данные, характеризующие чувствительность к ошибкам в соответствии
с графиком на рис. 6.41.
В табл. 6.7 резюмированы результаты расчетов, представляющие
собой значения допустимых погрешностей, при которых еще возможно
«попадание» в целевую планету. Отсчет производится от тех значений,
которым соответствует попадание в центр диска планеты. Представленные
данные, которые получены согласно данным 6-го столбца табл. 6.6, отно¬
сятся к случаю отсутствия поля притяжения у целевой планеты. Данные,
учитывающие наличие поля тяготения у целевой планеты, получе¬
ны с помощью электронной вычислительной машины для случая бал¬
листического полета в межпланетном пространстве. Чувствительность
траектории гиперболического прохождения к ошибкам не выражается

§ 6.5]
АНАЛИЗ ОШИБОК В МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТАХ
207
Таблица 6.6
Смещение точек апсид межпланетных траекторий при отлете с Земли
Планета
назначения
Большая
полуось
а, а. е.
*
иоо=
Avaps
ус,е
*
vh=
vh
ус,ф
dvft
ARaps
Avh
мореп. миль f км ^
фут/сек V м/сек)
1
2
3
4
5
6
Меркурий ....
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Примечание. Даш
и последующего двия
0,3871
0,7233
1,5237
5,2028
9,5388
19,1820
ше табл.
кения по эл
0,25291
0,08377
0,09886
0,29520
0,34514
0,3794
6.6 ОТНОСЯ'
липсу Гома
0,4401
0,3695
0,3734
0,4656
0,4988
0,5226
гея к случ
на.
47,12
27,98
26,43
78,40
214,04
802,68
аю гипербс
38 950 (236 500)
23 129 (140 500)
21847 (132 800)
64 968 (394 400)
176 925 (1 075 000)
663 512 (4 030 000)
)лического ухода от Земли
Таблица 6.7
Чувствительность к ошибкам (полет по переходным эллипсам
между круговыми орбитами планет)
При отсутствии притяжения
у целевой планеты
Венера
Марс
Юпитер
Допустимая ошибка в гелио¬
центрической скорости Ц: от¬
носительно прямого попада¬
ния) ,
фут/сек
м/сек
Соответствующая допустимая
ошибка в геоцентрической
скорости,
фут/сек
м/сек
±1,68
±0,51
±0,145
±0,044
±0,3
±0,09
: 0,08
±0,024
±1,14
±0,347
±0,51
0,16
При наличии притяжения
у целевой планеты
Венера
Марс
Юпитер
Допустимая ошибка в гелио¬
центрической скорости,
фут/сек,
м/сек
Соответствующая допустимая
ошибка в геоцентрической
скорости,
фут/сек
м/сек
~ ±5
~ ±1,5
~ ±0,5
— ±0,15
- ±1
~ ±0,30
~ ±0,27
~ ±0,082
> ±100
> ±30
>±50
>±15
посредством одного дифференциального уравнения; для этого необходи¬
ма система уравнений (см., например, [1]).
6.5.4.	Изменение времени перелета вследствие ошибок в начальной
скорости. Любая ошибка в скорости, по величине или по направлению,

208
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
ведет к ошибке во времени перелета. Если космический корабль должен
в определенной точке встретиться с заданной планетой, то такая ошибка
во времени перелета приобретает весьма важное значение, так как она
влечет за собой ошибку в пространственном положении корабля в ожидае¬
мый момент встречи, не говоря уже об ошибке, обусловленной собствен¬
ным движением целевой планеты. Пусть точный (расчетный) период
перелета есть At. Тогда, как можно показать [1], при перелете между
круговыми орбитами изменение этого периода при единичной ошибке
в скорости выразится следующим образом:
тг = /? {“2 <‘ ■-'' с“	^ С - '	Е<>	+
ту7	l(Ez — е sin Et) — (Et — e sin £,)] + ^ (sin Е2 - sin Е 4)|	,	(6.91)
где
Да = Аи,	(6.92)
Ае = -^— Av,	(6.93)
1	Аа	1	Ае \	1	Аа
А 7 ^	\	7		.  ) COS h I		—
Ahi   V a	Av	e	Av J	ae	Ad
Ad	sinhi
cos E9	—
- J	2	ae
f 1	A a	,	1 Ae \	1	A a
A/A, V a	Ad	1	e Ad J C°^	'2 ae	Ae
Ad	sin	ho
(0.94)
(6.95)
причем v — скорость движения на расчетной траектории, а А г; — ошибка
в этой скорости; а и- е — соответствующие элементы расчетной орбиты,
Г! и г2 — радиальные расстояния от центрального тела до точек, между
которыми совершается перелет, и Е2 — расчетные значения эксцен¬
трических аномалий точек и г2 и, наконец, At — время перелета по рас¬
четной орбите между точками гх и т2. Если начальная точка переходной
траектории или точка, в которой задается ошибка в скорости Av, совпа¬
дает с одной из точек апсид переходной орбиты и если это только ошибка
в величине, а не в направлении скорости, то эта ошибка не повлияет на Е±,
т. е. A Ei будет равно нулю, и, следовательно, sin Е^ также будет равен
нулю и Ei = 0 или Е{ = 180°. Уравнение (6.91) при этом принимает
упрощенный вид:
АЕ2	3	1 Аа	.	Ае	.
л / \ . \	(1	— cos h2)A~— — ——(h9 — е sm h9)	^	si	who
A (At)  Ad v	2'	1	2	a Ad v 2	2'	Ad	1	“	(.,,v
At~ “	f	K	’
V «3
Например, при полете к Марсу продолжительностью 160 дней
приращение скорости в перигелии переходной орбиты (т. е. па расстоя¬
нии орбиты Земли) на 1 фут /сек приводит к уменьшению времени пере¬
лета примерно на 23 минуты. Учитывая, что Марс движется со скоростью
около 48 ООО узлов, находим, что такая ошибка во времени прибытия
соответствует смещению планеты относительно первоначальной точки
встречи на 18 ООО морских миль, не говоря уже о том, что из-за указан¬
ной ошибки в скорости 1 фут/сек сама эта точка несколько сдвинется
относительно расчетного положения (ср. уравнения (6Д.19) и (6Д.20)).

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
209
Из сравнения уравнений (6Д.19) и (6Д.20) можно видеть, что в приме¬
нении к «быстрым» переходным орбитам ошибка во времени прибытия
почти компенсируется смещением точки встречи вследствие ошибки
в самой скорости. Применительно же к тангенциальным («медленным»)
переходным орбитам это не имеет места.
§ 6.6. Межпланетные полеты
6.6.1. Введение. На основе всестороннего изучения проблемы меж¬
планетных операций можно предложить следующее разделение их на
классы в зависимости от целей и назначения полетов:
1. Посылка с поверхности Земли к Венере и Марсу небольших авто¬
матизированных зондирующих ракет (искусственных комет).
2. Запуск спутников планет, а также автоматических ракет со спус¬
ком на поверхность планет.
3. Разведывательные полеты с человеком на борту к Марсу и Венере
без посадки на их поверхность. Время пребывания на спутниковой орбите
выбирается малым с тем, чтобы можно было ограничиться минимальными
требованиями к конструкции космического корабля.
4. Запуск автоматических искусственных комет по гелиоцентриче¬
ским эллиптическим, параболическим или гиперболическим траекториям
к Юпитеру, Сатурну и далее, если это будет представлять интерес. Для
увеличения грузоподъемности этих ракет их можно запускать с обитае¬
мой космической станции, находящейся на околоземной орбите. Такого
рода полеты технически близки к полетам пункта 2 и поэтому могут быть
осуществлены в одно время с ними.
5. Высадка человека на Марс и изучение его поверхности. Вопрос
о возможности посадки на Венеру с помощью тех же технических средств
может быть решен с помощью полетов, указанных в пункте 3.
В соответствии с назначением указанные полеты могут выполняться
следующим образом:
1. Полеты по переходным орбитам минимального расхода топлива или
по орбитам быстрого одностороннего перелета с последующим гипер¬
болическим прохождением близ целевой планеты соответствуют задачам
пунктов 1 и 4.
2. Полеты по переходным орбитам минимального расхода топлива
пли по орбитам быстрого одностороннего перелета с последующим захва¬
том у целевой планеты и выходом на спутниковую орбиту соответствуют
задачам пункта 2. Если имеется в виду спуск на планету, то сам процесс
перелета остается прежним; если же ракета не предназначена для прямого
нхода в атмосферу с гиперболической скоростью, может потребоваться
маневр предварительного торможения. В последнем случае затраты
топлива несколько возрастут.
3. Быстрые перелеты с маневром захвата и ухода у целевой планеты,
нозвращснием к Земле и захватом Землей соответствуют задачам пункта 3.
4. Полеты с малой тягой (ПМТ), действующей на протяжении всего
перелета, когда корабль движется между планетами по спиральной тра¬
ектории и вблизи них выполняет маневры захвата и ухода, соответствуют
задачам пункта 5.
6.6.2. Перелеты между планетами при минимальном расходе энергии.
В табл. 6.8 дается обзор некоторых переходных траекторий минимального
расхода топлива, предназначенных для посылки искусственных комет
и спутников к планетам. В первых двух колонках таблицы дается
'И Космическая техника

Траектории автоматических исследовательских космических ракет (орбиты минимального расхода топлива)
210
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
211
14*
*) Эта скорость эквивалентна изменению потенциальной и кинетической энергии ракеты при старте се с земной поверхности.
*) Параметры заданной околоземной орбиты: высота 300 миль (550 км), круговая скорость 24 896 фут/сек(1Ь§В м/сск).
*) В оригинале указаны неверные значения орбитальных спутниковых скоростей. (Прим, персе.).

212
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
определение типа и назначения космического корабля. В третьем столб¬
це изображены соответствующие орбиты в гелиоцентрической системе коор¬
динат. Несимметрия формы орбит искусственных комет обусловлена
возмущениями со стороны целевой планеты. В четвертом столбце указа¬
ны некоторые дополнительные особенности орбиты. Ремарка «без возвра¬
щения», относящаяся к орбитам искусственных комет, означает, что здесь
не выполняется маневр захвата Землей.
В пятом столбце даны значения скоростей движения спутника по
орбите (относительно Венеры и Марса). Для переходных орбит указаны
скорости ухода с заданной орбиты вокруг Земли.
В столбце «Характеристическая скорость» приведены минимальные
значения характеристических скоростей, требуемых при запуске с поверх¬
ности Земли для выполнения каких-либо частных задач *). Практически,
учитывая неизбежные потери, величина скорости, которую должна раз¬
вить ракета, должна быть несколько больше. Например, скорость на
заданной орбите равна 24 900 фут/сек, а выводная характеристическая
скорость примерно равна 27 ООО фут/сек. Разница в 2100 фут/сек при¬
ходится на долю потенциальной энергии. Фактически гравитационные
потери скорости при подъеме крупной ракеты на заданную орбиту состав¬
ляют около 4000 фут/сек, из которых лишь половина приходится на
изменение потенциальной энергии ракеты, другие же 2000 фут/сек пред¬
ставляют собой безвозвратные потери. Кроме того, необходимо учесть
потери на аэродинамическое сопротивление, составляющие около
500 фут/сек. Таким образом, для реалистической оценки параметров
ракеты, требуемых для подъема на заданную орбиту, следует к величине
характеристической скорости добавить еще около 2500 фут/сек. Заметим,
что можно несколько уменьшить требуемую скорость, если использовать
линейную скорость суточного вращения Земли и производить запуск
в направлении к востоку. Получаемое в этом случае уменьшение скорости
зависит от широты точки старта.
При полете в космическом пространстве приращение характеристи¬
ческой скорости равно приращению измеряемой скорости, так как пред¬
полагается, что ускорение при старте поддерживается достаточно высоким
(> 0,25g), и поэтому гравитационными потерями скорости можно пре¬
небречь.
Седьмой столбец характеризует энергетические затраты для полетов
за пределы заданной орбиты, т. е. помимо энергии, необходимой для
выхода на эту орбиту. Применительно к спутникам Марса и Венеры эта
энергия определяется в основном высотой захвата. Если не учитывать
фокусирующего эффекта планеты-цели, то величина смещения высоты
над планетой из-за ошибки 1 фут/сек в начальной скорости составит
около 6000 морских миль для Марса и 2000 морских миль для Венеры.
Как видим, необходимо уменьшить эти величины, особенно в случае
полета к Марсу.
Все приведенные скорости даны с точностью до 1 фут/сек. Это сде¬
лано с целыо согласованности всех данных и чтобы дать возможность
читателю произвести при желании любое округление рассматриваемых
lie личин.
На рис, 6.42 показаны энергетические потребности полетов к Луне
и односторонних полетов в различные районы солнечной системы. Вели-
*) Эта скорость соответствует сумме кинетической и потенциальной энергии
тела на орбите относительно земной поверхности.

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
213
чипа A и, отложенная вдоль оси ординат, представляет собой характери¬
стическую скорость, т. е. сумму всех изменений скорости при старте
со спутниковой орбиты на высоте 300 морских миль над поверхностью
Земли. Круговая скорость на этой высоте равна 24 900 фут/сек, характе¬
ристическая же скорость, требуемая для выхода на эту орбиту, для круп¬
ных ракет, стартующих с земной поверхности с начальным ускорением
около 1,5 g, составляет примерно 29 500 фут/сек. Если взлет происходит
в направлении к востоку, а широта точки запуска лежит в пределах
40
35
30
| 25
% ZO
U
' т
5
О
Ооллеулз/з золОл?/
\'
h- \
/5с/гусшззлшз
аЯЛ73рЯ1ЛОз/
^	/(ругозая
\ за/за/ллзя
ГллерОлллузлллз
лрлтлгОзллз
ч ЗЛ/ЗЗЛ7ЛЗЯ	/Ц	/фу 20003
р / лрОл/ла
п '
ОЛЛЛЛЛ/ЛУЗЗЛЛЗ
за/залллз/з
лрОлл/л/
I !
Олллллллузсллз
ЛрОЛЛ73/
о Олуллллл цзлзззО ллалзш
Злу ял л а ллалзллу
^ лазл/лузлля
Слуял л а пяззрлляяглз
и лоОъем ла ялулллл/лл-
зу/я ярОиллу
J ! I
o'
24000фулл/язл=лруёявяя ялялляллл?
Рис. 6.42. Энергетические требования к запуску автоматизированных спут¬
ников планет и искусственных комет при старте с геоцентрической спутни¬
ковой орбиты высотой 300 морских миль.
± 23,5°, то благодаря эффекту вращения Земли эту скорость можно умень¬
шить по крайней мере на 1300 фут/сек. Поэтому для точек старта, лежа¬
щих на земной поверхности в полосе широт ± 23,5°, характеристическая
скорость, необходимая для выхода на круговую орбиту высотой 300 мор¬
ских миль, равна примерно 28 000 фут/сек. Добавляя эту величину к ско¬
рости A v, указанной на графике рис. 6.42, получаем полное значение
характеристической скорости, которую необходимо развить для выпол¬
нения заданного полета при старте ракеты непосредственно с земной
поверхности. Кривая, показанная на. рисунке, характеризует эффект
гиперболического прохождения близ различных планет солнечной си¬
стемы. Для Венеры и Марса указаны максимальные значения характери¬
стической скорости, требуемой для осуществления захвата, т. е. для
выхода на круговую спутниковую орбиту (дистанции захвата даны
в табл. 6.8). Ниже указанных значений вплоть до точки, соответствующей
достижению параболической планетоцентрической скорости, располагается
район эллиптических захватных орбит. Следует заметить, что односто¬
ронний полет на Луну с высадкой на ней требует больших расходов энер¬
гии, чем односторонний перелет к внутренним планетам солнечной си¬
стемы (по минимальным траекториям) и даже, в большинстве случаев,
выход на спутниковые орбиты без посадки на поверхность планеты.
При располагаемой скорости А и = 28 000 фут/сек можно посетить
все планеты солнечной системы (без возвращения), если старт про¬

214
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
изводится со спутниковой геоцентрической орбиты. Величина А г; =
= 28 ООО фут /сек соответствует приблизительно характеристической скоро¬
сти МКБР *) с дальностью действия 5500 морских миль. Таким образом,
если бы удалось вывести на спут¬
никовую орбиту высотой 300—400
морских миль над поверхностью
Земли одну из современных МКБР,
заправить ее там топливом и про¬
извести запуск, то она смогла бы
доставить груз, равный по край¬
ней мере весу своей боевой голов¬
ки, в окрестность любой из планет
солнечной системы или же вывес¬
ти его на спутниковую орбиту
вокруг Венеры или Марса (задачи
пункта 2 и отчасти 4). Практиче¬
ски, однако, время, требуемое для
перелета по минимальным траек¬
ториям (рис. 6.43), будет ограни¬
чивать дальность полета автомати¬
зированных зондирующих ракет
орбитой Юпитера, и даже полеты
к этой планете будут, по-види¬
мому, совершаться уже по быст¬
рым орбитам.
На рис. 6.44 дается сравнение параметров двустороннего полета
по минимальным траекториям к Венере и Марсу. Ввиду большей массы
Венеры маневры захват.а и ухода требуют здесь большего расхода энергии.
0,4	1	4	10.	40
Расстояние от Солнца, а. с.
Рис. 6.43. Время одностороннего перелета к
планетам по орбитам минимального расхода
энергии.
70*
1
!
~ 162
1
1
№ 33
= 1
Е | я
а
: 1 6
1
%
L %2,ез
Е 1 2
Z
: 1
...11 1
^СОСЗна
10 позер*/
на ООЗ
1
003
YOOH7U
1/
4.'
/
4
/
/
•
'
</
ч
	 »ч.
о
/
/
S
/
(1
~1
20 ОО 70	700	720	700
ООщая нотреОная снораа/ло, 70дфу/л/сен
770
Рис. 6.44. Продолжительность к общий потребный прирост скорости
в двусторонних межпланетных рейсах.
Из двух нижних кривых, изображенных на рис. 6.4.4, левая (штриховая)
соответствует старту с орбиты спутника Земли (OG3) высотой 300 мор¬
ских миль над поверхностью, правая же относится к полету со стартом
па земной поверхности. Требуемое расположение Земли и планет, т. е.
*) МКБР — межконтинентальная баллистическая ракета.

0.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
215
даты старта, указаны в табл. 6.9. Эти данные объясняют необходимость
продолжительного времени пребывания ракеты на спутниковой орбите
около планеты-цели. Это время сравнимо со временем самого перелета
к Марсу или Венере. В результате полное время путешествия к Венере
Т а б л п ц а 6.9
Программа возможных дат старта к Венере и Марсу
на 1959—1971 гг.
Планета
Год
1959
3/VI—17/VI
19 60
1961
1962
1963
Венера
Марс
IX—X
11/1—25/1
8/VIII—22/VIII
X —XI
Пла¬
нета
1964
Год
L
1 9 6 5
1966
1967
19 68
1969
1970
1971
Вене¬
ра
Марс
18/111—1 /IV
XI—XII
27/Х-10/Х I
7/VI—21/VI
XII—I
—
I
1-П
VIII
II —III
составляет 2 года, к Марсу 2,66 года и еще больше при полете к внешним
планетам солнечной системы. Такие времена перелета обусловлены исполь¬
зованием химических двигательных систем. Поэтому химические двига¬
тельные системы для межпланетных перелетов представляются мало
удобными, за исключением, быть может, тех полетов на небольшие рас¬
стояния и без посадки, где можно увеличить запас топлива за счет умень¬
шения полезного груза и тем самым увеличить скорость движения и умень¬
шить время полета.
6.6.3.	Влияние эллиптичности и наклона планетных орбит. Более
строгий анализ характера полета и расчет переходных орбит должен
учитывать влияние эллиптичности планетных орбит и их наклон к пло¬
скости эклиптики. Можно показать [1], что при тех эксцентриситетах,
какие имеются у орбит Венеры, Земли и Марса, переходные траектории
з виде эллипсов Гомана обеспечивают достаточно хорошее приближение
к орбитам минимального расхода энергии. Вследствие несоосности элли¬
птических планетных орбит величина центрального угла, охватываемого
переходной траекторией тангенциального перелета, в большинстве слу¬
чаев будет менее 180°. Из-за наклона планетных орбит наклон переходной
орбиты в процессе полета также необходимо изменять. По этой причине
быстрые орбиты иногда оказываются энергетически более выгодными, чем
медленные тангенциальные переходные эллипсы. Для правильного упра¬
жнения переходом необходимо знать как положение Земли и целевой
планеты относительно их линий апсид, так и ориентацию линий узлов
их орбит. Использование быстрых орбит увеличивает промежутки вре¬
мени возможного старта космического корабля, не ограничивая их столь

216
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. Г»
узкими пределами, как в случае полетов по гомановским орбитам. Так,
для одностороннего полета к Марсу (без маневра захвата) возможный
стартовый период расширяется до двух месяцев при весьма умеренном
изменении требований к характеристикам ракеты. В табл. 6.9 даны возмож¬
ные периоды старта для полетов к Венере и Марсу на срок от 1959 г.
до 1971 г. Как видно, стартовые периоды для полета к Венере короче,
чем для полета к Марсу, отчего и отличие характеристик такого полета
к Венере от соответствующих характеристик тангенциального перелета
будет также меньшим. Из соображений удобства проведения наблюде¬
ний (оптическими или радиотехническими средствами) за зондирующей
ракетой в момент ее наибольшего сближения с Венерой желательно, чтобы
Венера находилась в этот момент в элонгации (если не предъявлять этого
требования, то диапазон стартовых дат для полетов к Венере может быть
расширен).
Возвращаясь к результатам, изложенным в разделе 6.3.10, заключаем,
что, определив соответствующую переходную орбиту, а следовательно,
и Уоо, можно найти и требуемый угол поворота плоскости орбиты Ai.{.
После этого требуемая величина ортогонального импульса выразится
формулой
Аиш = 2V sin ~ ,
а планетоцентрическая скорость, необходимая для ныиолнения маневра
ухода, будет
t’st = У -у- -Ь % + (At>№)'2.
Часто для уменьшения требуемого угла поворота плоскости орбиты может
оказаться целесообразным использовать быстрые перелетные орбиты.
При этом скорость Voo становится довольно большой. В этом случае
затраты энергии на уход по планетоцентрической траектории и поворот
орбиты будут сравнимы с затратами на уход в плоскости эклиптики и изме¬
нение наклона переходной гелиоцентрической орбиты в некоторой ее
точке. Это относится в особенности к полету к Марсу, орбита которого
имеет наклон 1° 51'. Если желательно осуществить захват у планеты-цели,
то полеты по быстрым орбитам оказываются весьма расточительными
и в отношении расхода энергии они становятся сравнимыми с полетами,
требующими приложения ортогональных импульсов тяги.
6.6.4.	Уход от планеты. Если ракета стартует с земной поверхности
(рис. 6.45), причем широта точки старта не превосходит наибольшего
склонения е т околоземной орбиты, расположенной в плоскости гипер¬
болического ухода и наклоненной под углом i — g + Н к экватору,
то момент старта определится моментом прохождения точки старта 1
через эту плоскость. При старте ракета будет двигаться в направлении,
составляющем угол i с направлением линейной скорости суточного враще¬
ния Земли.
Может оказаться, что в момент прохождения точки старта через
заданную орбитальную плоскость азимут возможного направления взлета
будет отличаться от требуемого направления. В этом случае следует
дождаться, пока точка старта, пройдя некоторый путь вместе с вращаю¬
щейся Землей, вновь не окажется в точке, откуда возможен уход по задан¬
ной гиперболической орбите. Так как точка старта в своем суточном
движении дважды пересекает плоскость орбиты ухода, второй старт будет

М ЕЖИЛ А И Е Т Ы Ы Е J J О J1К ТЫ
217
возможен в точке 1'. В последнем случае в условиях, показанных на
рис. 6.45, время движения ракеты на пассивном участке было бы короче.
Иногда может случиться, что широта точки старта и угол ет оди¬
наковы. Ракета, запущенная из этой точки, должна стартовать в напра¬
влении точно на восток, и тем самым она максимально использует эффект
суточного вращения Земли. Однако ввиду возможных ошибок в "азимуте
старта для выхода на нужную орбиту может потребоваться дополнительный
маневр с включением тяги, как показано на рис. 6.45. Если же направле¬
ние полета при старте с поверхности Земли параллельно плоскости гипер¬
болического ухода и ошибка в азимуте отсутствует, то и подъем ракеты
и ее уход могут быть выполнены без прекращения работы двигателя,
как это показано на рис. 6.46.
Однако такие идеальные условия встречаются редко и в задачах
ухода от планеты не имеют практически важного значения. Если они
еще возможны теоретически в тех случаях, когда широта точки старта л
равна или меньше максимального наклона орбитальной плоскости гт
(рис. 6.47), то они вообще невозможны в случае, когда X > гт. В этом

218
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
случае для выхода в заданную плоскость орбиты и в заданное положение
по азимуту приходится прибегнуть к маневру прерывного приложения
тяги, а подъем должен производиться в направлении, резко отличающемся
от восточного. Если перед стартом со спутниковой орбиты на ней должна
Рис. 6.46. Условия для возможности использования непрерывной тяги
при подъеме и уходе от планеты.
производиться сборка корабля и заправка его топливом, то наклон
этой орбиты к плоскости эклиптики в момент начала сборки (т. е. началь¬
ная ориентация этой орбиты) должен выбираться с учетом скорости
регрессии линии узлов при заданной высоте и наклоне орбиты к плоскости
Рис. 6.47. Уход от планеты при старте из точки, широта кото¬
рой больше максимального склонения е?п плоскости орбиты
ухода.
экватора или, говоря иначе, с учетом времени, требуемого для сборки
корабля и подготовки его к старту. Таким образом, заданная ориентация
спутниковой орбиты, к которой производится уход, определяет и началь¬
ную ориентацию этой орбиты.

5 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
219
6.6.5.	Траектории быстрых разведывательных перелетов во внутрен¬
ние области солнечной системы. Естественно, что для полетов любого
назначения всегда может оказаться необходимым или желательным совер¬
шить перелет по быстрой переходной траектории. Так, при полете к Марсу
(рис. 6.48) быстрые переходные ор¬
биты позволяют свести к минимуму
расстояние от Земли до Марса в мо¬
мент прибытия к нему ракеты-зонда.
И отличие от случая полета к Венере
(рис. 6.49), здесь это расстояние
будет очень большим, если в качест¬
ве переходной орбиты выбрать гома-
повский эллипс. В то же время, если
афелий переходной орбиты к Марсу
будет лишь немного выходить за
пределы его орбиты, то расстояние
Земля — Марс в момент гиперболи¬
ческого сближения ракеты с планетой
может быть сильно уменьшено
(рис. 6.44). В соответствии с этим рез¬
ко уменьшатся требования к потреб¬
ляемой мощности и прочие труднос¬
ти, связанные с радиопередачей дан¬
ных и изображений с борта ракеты на
Землю. Например, если ЯА = 1,7
а.	с., то потребная мощность умень¬
шится примерно па 25% по сравнению с тем случаем, когда переходная
орбита представляет собой эллипс минимального расхода топлива. Сущест¬
венно облегчается также и задача слежения за ракетой-зондом с Земли.
Можно даже сказать, что использование быстрых орбит для решения задач
1-й группы обусловливается не столько
сокращением длительности перелета,
сколько более выгодными условиями пе¬
редачи данных с ракеты и слежения за
ней. Что касается экспедиций, связан¬
ных со спуском на планеты (задачи
2-й группы), то и здесь быстрые орбиты
также являются более желательными.
Однако использование перелетов по
быстрым орбитам для создания спутни¬
ков планет оказывается весьма расточи¬
тельным и непрактичным, но крайней
мере в той начальной стадии развития
межпланетных полетов, когда зонди¬
рующие ракеты выводятся на траек¬
торию ускорителями типа современ¬
ных МКБР, стартующими с земной
поверхности.
Для задач 3-й группы, помимо использования быстрых переходных
орбит, необходимо также добиваться сокращения времени пребывания
в окрестности планеты назначения. Основная цель здесь заключается
в том, чтобы не только осуществить перелет от планеты к планете как
можно быстрее, но и чтобы минимизировать полную длительность
Рис. 6.49. Расположение планет в мо¬
мент прибытия ракеты-зонда к Венере.
tP/(d) ЯА,а.е.
Рис. 6.48. Расположение планет в момент
прибытия зондирующей ракеты к Марсу.

220
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. (?.
путешествия. Особую важность это обстоятельство будет иметь в первых
межпланетных полетах с человеком, так как огромные сроки путешествия,
связанные с полетами по переходным эллипсам минимального расхода
энергии, предъявляют высокие требования психологического характера
к экипажу корабля, а также требования к выносливости и надежности
длительной работы оборудования и приборов корабля. Поэтому умень¬
шение продолжительности путешествия к Марсу, например на срок
от 1 до 2 лет, имело бы огромную важность и могло бы на многие годы,
ускорить осуществление первых межпланетных полетов человека.
Рис. 6.50. Возможные кенлеровы переходные орбиты для полетов во внутрен¬
ние и внешние области солнечной системы.
На рис. 6.50 сделана попытка классифицировать возможные кепле-
ровы (т. е. баллистические) межпланетные переходные орбиты [14]. Про¬
филь с номером 0 представляет собой хорошо известную орбиту мини¬
мального расхода энергии. Профили 7 и 2 обычно рассматриваются как ор¬
биты быстрых перелетов соответственно к внешним и к внутренним (по
отношению к исходной) гелиоцентрическим орбитам. Однако профиль 2 мо¬
жет быть использован для полета от Земли к Венере, а профиль — 2 для
полета от Земли к Марсу. Профиль 3 представляет быструю переходную
орбиту, которая не тангенциальна ни к начальной, ни к конечной орбитам'.
Профили 2, 2 и 3 представляют собой основные эллиптические орбиты
межпланетных перелетов, а профиль 0 является предельным случаем
каждой из них. Как вытекает из анализа процесса изменения направления
полета, это изменение всегда должно производиться при минимальной
скорости движения корабля, поэтому для полета от Земли к Марсу пред¬
почтительнее выбрать профиль 2, а для полета от Земли к Венере —
профиль 2. Для обсуждения характеристик этих профилей рассмотрим
один из них (2), изображенный на рис. 6.51. Кривые скоростей на гра¬
фике характеризуют следующие приросты: ДуаГг,® — тормозной импульс
скорости, прикладываемый по прибытии к планете (Земле) для перехода
с гиперболической на круговую геоцентрическую орбиту, радиус которой
дается нижней кривой на графике (оптимальная орбита одноимпульсиого

> 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
221
захвата; см. раздел 6.4.4 и рис. 6.52). Импульс скорости Avst> @ характе¬
ризует маневр ухода. Так как на спутниковой орбите, с которой совер¬
шается уход, должна производиться сборка корабля и заправка его
топливом, ее высота должна быть как можно меньшей (см. рис. 6.53).
В качестве такой орбиты здесь принята круговая орбита высотой 300 мор¬
ских миль над поверхностью. Ввиду того, что стартовая орбита считается
неизменной, а высота орбиты при¬
бытия может быть различной, им¬
пульс A y3t, 0 отличается по вели¬
чине от Дг;агг?0. С ростом Ra раз-
гшца между этими двумя кривыми
уменьшается, так как с увеличе¬
нием энергии переходной орбиты
оптимальная высота одноимпуль-
сного маневра захвата приближа¬
ется к 300 морским милям (см.
раз/щл 6.4.4). Для Марса орбита
16,
I
ч
1
t
$
\
\
\-
\ Те,
\ Р*
\ её.
—\ щ
\лл
оре/лит
’Pi/yca лр
'лаш/лул,
7е0у/сще
'сргста^
?лая зел,
’и в/ялол
ъслсгс а
зсмлллу,
ШйУ/ 3(
’//слал
г,алеера,
нале///?/*
7/лрал/
\
\
\
N
ч
ч
/7раши
СЛИШОб
PL
/есла Ралу^.
’ зла/елас ^
70иуса
14	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4
Расстояние афетя РА, а. е.
Рис. 6.51. Переходный профиль типа 1
для полетов Земля — Марс.
Рис. 6.52. Геоцентрический радиус
захвата, при котором затраты энер¬
гии на одноимпульсный маневр ока¬
зываются минимальными (при полете
Земля — Марс по быстрой переход¬
ной орбите с тангенциальным уходом
с земной орбиты).
захвата и орбита ухода полагались совпадающими (высотой 1000 мор¬
ских миль), вследствие чего имеем Дг;агг, в = Дум, в- Полное приращение
скорости в полете по переходной траектории Земля — Марс дается кри¬
вой Дур,ц = Дг^г,0 + Д^апчс? и для возвращения к Земле — кривой
Аи1}р = Avst'tf + Дуагг, е- Таким образом, полное приращение потреб¬
ной характеристической скорости на все путешествие составит Агщп —
— A vp, п ~Ь Д^i, р-
Кривые, характеризующие времена, показывают время перелета
но переходной орбите AtPi п = Д^Р = At; время пребывания на спутни¬
ковой орбите около планеты до наступления момента, удобного для

•>29.
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
возвращения, t и полное время путешествия Г = AtPin	t -j- A titP. Как
можно видеть, с ростом дистанции Ra время перелета At вначале заметно
уменьшается, хотя скорость увеличивается очень лгало. Более отчет¬
ливо это видно из рис. 6.53. Здесь кривая, характеризующая время пере-
лета при уходе от Земли посредством импуль-
^	сного	прироста скорости, показывает, что
увеличение скорости всего на 300 фут/сек
приводит к изменению времени перелета с
252 дней (профиль типа 0) до 186 дней (быст¬
рая орбита). Таким образом, если цель полета
зондирующей ракеты к Марсу заключается
лишь в прохождении в непосредственной бли¬
зости от него (гиперболическое прохождение,
задача 1-й группы), то время' перелета может
2^
40
35
%32
X
^26
1»
!
Ч20
I
^ 76
72
- ЗрОрОЛО /7772/767 3
33/рОО Л0Л7реЗл/;/0 77/77//?ОО/Л ОЛОрООЛ7Л
ЗЛЛ 03лОСЛ7ОрОЛЛегО ЛОЛ О/ЛО ЛрО ОЛ/ОРЛ/О
СО 0/7/777//////770/7/7 ееОрОЛ/ЛрО/еСЛОО ОрЗоЛ7М
(7/=ЗЗЗморСЛОТ/ 71/7/777?) :
/f ААорсу С//а /гругооу/о о/7у/77//т///ооу/о
ор 3/7777/ 07;/00/77О 77 р = /333 МОрОЛОЛ
МОЛО)
3 А/ОРО/ (77/7 07777/7/7/7777YOO/fy/O 077/.'/777/77-
7/ООу/О ОрЗ/7/77/ 7/р = /333Л/Орс//77/ МОЛЬ,
рА = 7333 морс////* МОЛ/;)
77733 фу/л/оол
73733 /ру/77/cc/z
Змлулоо 77р/7 /ЛОЗо 0/77 ЗСМЛТ/
L-(СО СЛу/ЛЛОЛООО/2 ОрЗт/7777;/ 00/00/770/7
р= 333морс////// МОЛ/;)
Змлулес лро лроЗм/лоо //Земле (сешо-
Зом ла ол./омалолу/о оЗлоомлулослу/о
лругооу/о олул7лолооу/о орЗо/лу)
Зругооол орЗо/7/а Л ..
I Имлулос 77ДО за-
Зллолл7О0еел/7Я (/оо тле у Afopoа
орЗо/ла )
_L
I
~700	200	333	373
Дложрарозл7£ лерелша, су/я/ш
Рис. 6.53. Характеристики профилей типа о и 1 (полет к Марсу).
быть сделано довольно малым. Если же целью является захват ракеты
Марсом (задачи групп 2 или 3), то сложность проблемы резко возрастает.
Например, в случае уменьшения времени перелета с 252 диен до 186 дней
требуемая'характеристическая скорость возрастает с 17 786 фут/сек до
22 500 фут /сек (при круговой захватной орбите высотой у = 1000 морских
миль) или до 20 500 фут/сек, если захватная орбита представляет-собой
сильно вытянутый эллипс (у,. = 1000 морских миль, у а = 7500 морских

§ 6.6]	МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ	223
миль). Как видим, здесь требуемый прирост гораздо больше, чем при¬
рост в 300 фут/сек в случае полета по быстрой орбите, и о без захвата.
Как показано на рис. 6.51, при путешествии к Марсу с последующим
возвращением величина потребной характеристической скорости рейса
Az>tot возрастет с 31 ООО фут/сек (профиль типа 0 при RA = 1,52 а. е.)
до 74 ООО фут/сек (RA = 2,2) при сопутствующем уменьшении времени
полета до 128 дней. Однако время вынужденного пребывания на спутнико¬
вой орбите с ростом RA также возрастет и полностью нейтрализует
выигрыш во времени перелета. Так, при RA = 2,2 а. е. время t увеличи¬
вается до 700 дней и полное время путешествия будет около Т = 956 дней,
тогда как при полете по траектории профиля 0 время путешествия соста¬
вляет 980 дней. Поэтому профиль 1 более удобен для быстрых перелетов
без захвата и, если позволяют энергетические ресурсы, то и для односто¬
роннего рейса с торможением близ планеты или даже с захватом ею
и выходом иа эллиптическую захватную орбиту, а также для облетных
траекторий вокруг Марса (задачи 2-й группы). Однако использование
профилей типа 1 не позволяет достичь существенного сокращения полного
времени экспедиции, что желательно для выполнения задач 3-й группы.
То же относится и к профилям типа 2.
Профили типа 3 также малопригодны для обеспечения короткого
времени путешествия. Однако среди них существует возможность выбора
некоторой оптимальной комбинации расхода энергии и времени полета,
соответствующей заданной величине располагаемых энергетических ре¬
сурсов. Это было впервые показано Престон-Томасом (Preston-Thomas)
[15], и рис. 6.54, взятый из работы [15], иллюстрирует такую траекторию
(здесь, однако, изменены единицы измерения и приняты иные обозначе¬
ния). Верхняя кривая на графике характеризует требуемое увеличение
энергии движения в поле притяжения Солнца при полете с орбиты Земли
к орбите Марса (которые предполагаются круговыми) при уменьшении
времени перелета, соответствующее траектории профиля 2\ вторая кривая
сверху выражает аналогичную зависимость для профиля 1. Как и следо¬
вало ожидать, профиль 2 оказывается менее выго/цтым для полета от Земли
к Марсу, чем профиль 1. При полете по траектории типа 3, пересекающейся
как с начальной, так и с конечной планетными орбитами, и при условии,
что величина начального импульса Ащ (рис. 6.54) задана, можно различ¬
ным образом изменять расстояние перигея этой траектории от Солнца,
меняя угол между круговой орбитой Земли и переходной орбитой кораб¬
ля. В результате требуемый импульс при подходе к орбите Марса, а также
и время перелета будут изменяться в зависимости от угла Соответ¬
ствующая этому случаю кривая на графике пересекается с обеими пер¬
выми кривыми. В данном примере величина начального импульса равня¬
лась A vi = 16 400 фут/сек (5 км/сек). При этом время перелета, как
видим, становится минимальным при |3q « 5°, однако этого нельзя
сказать об общем требуемом приросте скорости Дщ + А иц. Оптимальное
компромиссное решение достигается при рф ^ 7°, и его можно считать
наилучшим для орбит профиля 3 при величине начального импульса
Ащ = 16 400 фут/сек. При иной величине Дщ оптимальному решению
соответствует другая точка на плоскости «потребная характеристическая
скорость — время перелета». Геометрическое место этих точек есть оги¬
бающая, представленная третьей (нижией) кривой на графике рис. 6.54.
Таким образом, можно подобрать оптимальную траекторию профиля 3,
соответствующую заданной комбинации ступеней ракеты, каждая из кото¬
рых сообщает определенное приращение скорости. При этом, разумеется.

224
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ, t>
необходимо учитывать и силы притяжения планет, между которыми осу¬
ществляется перелет. Что касается полного времени путешествия при
полете по рассмотренным траекториям, то анализ показывает [16,17],
что время выжидания у планеты-цели оказывается очень большим.
Профили 2, 2 и 3 характерны симметрией траекторий перелета туда
и обратно. Ввиду такой связи между обоими переходами время выжидания
для 0Р0/70030 тила с?
0/3003/000070/077 0000/У/000
/Г0Л/0/70Л/000 А/370// 30/0/70-
070Л/0300/7300 0 3007/70070Л/00/70-
Л/000 0а р000 0р0 00007000000
00/006000 000Р00070
/7р0тр00б 0700а <3
(000 7/0/006000 000Р00070
Avf = 7,ЩW fly07/330)
/7р0/р00б 0700а /
/7р0/7006 07000 /
■/7р0/7006 07000 /
50	700	750	200	250
/7ррО(//7М(///7РР/7//РРШ /5///77ШД///7¥/г/ /7////77/
(7/0707/
Рис. 6.54. Оптимизация профиля типа 3 для полета к Марсу в отношении потреб¬
ных затрат энергии и времени перелета при уходе с орбиты Земли с заданным
начальным приростом скорости	(учитывается	только гравитационное поле
Солнца).
/ при путешествии к Марсу и Венере всегда будет гораздо больше вре
мсни самого перелета. Поэтому выгоднее «развязать» переходные орбиты
[14, 17] и исследовать такие профили полета, где прямая и обратная
траектории не симметричны. Эта задача подробно рассматривается в1работе
[2], а также в упомянутых выше работах. Используя различные типы
переходных орбит, можно уменьшить время выжидания от значений,
кратных периодам обращения планет, до величин, определяемых дробными
значениями этих периодов. Это позволяет выбирать даты отлета в более
широких пределах в зависимости от конкретных параметров переходной
орбиты заданного типа. Получаемые таким путем времена выжидания
будем обозначать буквой х. 1
На рис. 6.55 и 6.56 даны примеры профилей 10 и 12, а также их основ¬
ные характеристики, выраженные как функции R& (в первом случае для

$ с 6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
225
постоянного RP = 0,9 а. е. и во втором случае для двух значений Rp).
Приведенные графики характеризуют операции ухода и захвата корабля
у Земли и Марса. На рис. 6.57 проводится сравнение этих двух профилей
и профиля 8 с точки зрения полного времени путешествия (т. е. времени
отсутствия на Земле) и потребных значений характеристических скоро¬
стей. Интеюесно отметить, что профиль 8, как видно из графика, отличается
Л/ \
Гпс. 0.55. Характеристики профиля типа
10 при полете Земля — Марс.
IS 18	2,0	2,2
РвссянШбе афелия РАг а. е.
Рис. G.5G. Характеристики профиля
типа 12 при полете Земля! — Марс.
крайне высокой чувствительностью времени т к величине характеристи¬
ческой скорости. Этот профиль интересен тем, что он позволяет обойтись
очень малым временем выжидания, а значит, и сравнительно небольшой
длительностью всего путешествия при весьма умеренной величине потреб¬
ной характеристической скорости. Так, при х — 10 дней получим
Т = 475 дней (что составляет лишь около половины длительности путе¬
шествия по орбите профиля 0), а Ду1о1 = 58 500 фуш/сек\ при т =
= 30 дней Т = 478 дней, a Ащо1 = 62 500 фут/сек и, наконец, при
т = 100 дней Т — 515 дней и Az;lot — 66 000 фут/сек. Основной недоста¬
ток профиля 8 связан со слишком большим временем движения корабля
по переходной орбите, когда экипаж корабля в течение долгих периодов
времени не имеет такой защиты от космической радиации, как близлежащая
планета (при т = 4-м- 108 дней это время составит 292 -— 280 дней).
Кроме того, малая величина перигелия (т. е. близкое прохождение ко¬
рабля около Солнца) требует такой надежной защиты марсианской
15 Кхмпческая техника

226
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. (>
экспедиции от лучистого нагрева и корпускулярного излучения Солнца,
какая необходима, например, для экспедиции к Венере, что ведет
к излишнему усложнению технических проблем. Осуществление комби¬
нированной экспедиции к Марсу и затем к Венере, как это впервые пред¬
лагалось Гоманом [5], также нецелесообразно при использовании данного
профиля, так как величина х рассчитана лишь для такого расположения
планет, когда производится полет к Марсу с возвращением к Земле.
При полете по маршруту Земля — Марс — Венера — Земля время т ^
должно быть найдено, исходя из расположения Марса и Венеры, а время
m3
Гил ЛрСр1//7Я песета
	б
 //
 f0
/
ш40	00	00	'700
Xapamepacmuvec/ra# страсть рейса, 70sрут/сея
Рис. 6.57. Сравнение продолжительностей полета Т для трех типов
профилей полета, для которых периоды выжидания т составляют некото¬
рую целую долю.
должно определиться в соответствии с расположением Венеры и Земли,
необходимым для возвращения. Полет к Марсу с поел еду тощим гипербо¬
лическим прохождением близ Венеры «на обратном пути» возможен лишь
при особом расположении трех тел (@ — $ — Q), которое случается
столь редко, что практического интереса не представляет. С другой сто¬
роны, такие комбинированные полеты с облетом как Марса, так и Венеры,
на наш взгляд, не имеют особых преимуществ перед отдельными самостоя¬
тельными полетами к этим планетам и обладают рядом недостатков,
связанных с резким различием физических условий вблизи Марса и Венеры
ввиду значительной разницы в их расстоянии от Солнца. Более удобными
для быстрых полетов автоматических ракет к Марсу являются профили 10
и 12. Из них профиль 12 при одинаковом значении времени т требует
меньших затрат энергии, причем такой профиль с Rр = 0,9 а. е. оказы¬
вается выгоднее, чем профиль с Rр = 0,8 а. е., так как ему соответствует
значительно меньшее время полета Т. Если время пребывания на спутнико¬
вой орбите вокруг Марса равно 1 месяцу, что вполне достаточно для прове¬
дения квалифицированных исследований поверхности планеты, то полное
время путешествия составит всего Т = 320 дней, а потребная харак¬
теристическая скорость будет 76 ООО фут!сек. Таким образом, при затра¬
тах энергии примерно вдвое больших, чем в полете по профилю 0, можно
уменьшить длительность путешествия на 2/3. Вообще говоря, этот частный
профиль не следует рассматривать как некоторое оптимальное решение
задачи быстрого разведывательного полета корабля с человеком на борту

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
227
к Марсу, однако приведенные примеры показывают всю важность соот¬
ветствующего выбора и «развязки» переходных орбит для быстрых разве¬
дывательных перелетов к Венере и Марсу (задачи 3-й группы), когда
время выжидания т определяется некоторыми дробными значениями
периодов обращения планет.
6.6.6.	Быстрые перелеты во внешние области солнечной системы.
Из всех профилей, изображенных на рис. 6.50, последние два (14 и 15),
представляющие собой траекто¬
рии кеплерова движения, в ос¬
новном предназначены для поле¬
тов во внешние районы солнечной
системы. По всей вероятности,
такие баллистические траекто¬
рии больше подходят для поле¬
тов автоматизированных зонди¬
рующих ракет к Юпитеру и Са-
ТУРИУ (задачи 4-й группы), чем
для полетов человека в необъят¬
ные глубины внешней части сол¬
нечной системы. Так как полет
по траекториям профиля 0 тре¬
бует колоссальных затрат вре¬
мени, как это видно из рис. 6.43,
в данном случае желательно,
чтобы переходная гелиоцентри¬
ческая траектория была почти
параболической или даже гипер¬
болической. На рис. 6.58 пред¬
ставлена зависимость времени
перелета от начальной гелиоцен¬
трической скорости (взятой по
отношению к величине круговой
скорости на орбите Земли) при
одностороннем полете к плане¬
там юпитеровой группы. Круж¬
ки с точками в центре, находя¬
щиеся в левой части графика,
соответствуют полетам к Юпите¬
ру, Сатурну и Урану по минимальным траекториям. Наиболее характер¬
ной особенностью этих графиков является резкое уменьшение времени
перелета при возрастании начальной скорости до параболической. Выход
па параболическую траекторию требует добавления к круговой орбиталь¬
ной скорости на орбите Земли, равной 97 700 фут/сек, еще около
40 ООО фут/сек; это значит, что скорость после выхода с заданной спутни¬
ковой орбиты высотой 300 морских миль должна быть равной примерно
53 100 фут/сек, т. е. требуемое приращение скорости должно составить
53 100—24 900 = 28 200 фут/сек. Из графика на рис. 6.42 видно, что для
профиля 0 начальный прирост скорости при полете к Юпитеру равен
примерно 21 500 фут/сек, при полете к Сатурну —27 000 фут/сек и
к Урану — 25 000 фут/сек. Поэтому добавочная ступень, обеспечиваю¬
щая прирост А г; = 6700 фут/сек, могла бы уменьшить время перелета
к Юпитеру с 2,9 года до 2,1 года; при приросте Аи = 3200 фут/сек —
время перелета к Сатурну с 6 лет до 2,7 года; при приросте
15*
Рис. 6.58. Взаимосвязь между скоростью и
временем при полете от Земли к большим
планетам по эллиптической, параболической и
гиперболической переходным орбитам.

228
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
А и = 1500 фут/сек — время перелета к Урану с 16,1 года до 6,9 года.
Современная МКБР, заправленная топливом и запущенная со спут¬
никовой	геоцентрической	орбиты,	могла бы достичь параболической ге¬
лиоцентрической	скорости	при	достаточной величине полезного груза.
При	полете	по	гиперболической	относительно Солнца траектории
высокая скорость движения препятствует осуществлению возврата, хотя
время перелета даже при полете по слабогиперболической траектории
значительно сокращается, особенно в полетах к Сатурну и более дальним
планетам. Для уменьшения вре¬
мени перелета до 1 года началь¬
ная гелиоцентрическая ско¬
рость на орбите Земли должна
равняться 1,456 УСф для по¬
лета к Юпитеру, 1,9716 КСф
для полета к Сатурну и
3,335 FC0 для полета к Урану.
Эти траектории пересека¬
ются с целевыми орбитами под
весьма большими углами. В сле¬
дующем разделе будет обсуж¬
даться влияние этого факта на
маневр захвата.
6.6.7.	Операции захвата.
Для тех, кто незнаком с меха¬
никой космического полета, ча¬
сто бывает трудно наглядно себе
представить тот маневр, кото¬
рый должен совершить косми¬
ческий корабль, чтобы оказать¬
ся захваченным заданным при¬
тягивающим телом. Например,
если корабль приближается к
Марсу по переходной орбите
минимальной энергии, то спра¬
шивается, как	должен прохо¬
дить его путь	— внутри пли
вне орбиты Марса? Правиль¬
ный ответ на этот вопрос та¬
ков: если предполагается спуск
и посадка, то корабль должен начинать маневр захвата, будучи
внутри марсианской орбиты; если же посадка не предусматривается,
то с точки зрения механики полета это не играет роли. Сказанное пояс¬
няется рис. 6.59. Скорость корабля в афелии его орбиты Va примерно
на 8000 фут /сек меньше, чем орбитальная скорость Марса поэтому
в момент подхода к афелию корабль должен находиться впереди Марса.
В этом случае Марс будет «догонять» корабль и невозмущенная скорость
последнего	относительно	планеты	составит ?Лх, = —8000	фут /сек. Кар¬
тина будет такая	же,	как	если	бы корабль приближался к	планете с этой
скоростью, имея целью выход на спутниковую орбиту, на которой он дви¬
гался бы в направлении против часовой стрелки. Это показано снизу
на рис. 6.59, где изображена схема сближения в планетоцентрической
системе координат (в которой Марс неподвижен). Корабль приближается
к Марсу, имея скорость на бесконечности ц*, = 8000 фут/сек и двигаясь
ГеШ0Це//Л7рЯУ&С/ГОЯ
£/Г0/70£/яб Afapea
/	Аешще//л7/?иужтя сщгасш
Рис. 6.59. Захват космического корабля, при¬
ближающегося к Марсу по переходному эллипсу
минимального расхода энергии.

§ G.GJ
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
229
относительно него против часовой стрелки. Притяжение Марса изменит
направление вектора этой скорости Voo на угол Д£, как это было показано
в разделе 6.4.5. Не следует путать это направление с гелиоцентриче¬
ским направлением движения после прохождения планеты, которое обра¬
зует с вектором Utf угол р2, определяемый выражением sin |32 = -^sin£2,
V 2
где
1
s2 = Ci —= 2 arcsin —
V2
2
■ U
"Г Voo
2 U £ V*
COS £2
В рассматриваемом случае корабль не выходит на уходящую ветвь гипер¬
болы, так как по достижении
ее вершины гР он импульсом	fy)
тяги уменьшает свою скорость
2Кл
на величину ДУап- — —	+
гр
хКг?
-Г vL — , где 1 < х < 1/2,
причем х =1, если захватная
орбита круговая радиуса тР
х — 1,2, если эта орбита эллип¬
тическая и га/гр = 6; я —1,3,
если орбита эллиптическая
и гА/гР = 30, и т. д. Из
рис. 6.59 ясно, что если гелио¬
центрическая орбита корабля
выходит за орбиту Марса и
планета догоняет корабль, то
последний выйдет на обрат¬
ную спутниковую орбиту во¬
круг Марса. Такая орбита
крайне нежелательна, если
предполагаются спуск и по¬
садка на поверхность плане¬
ты, а также подъем обратно,
так как всем этим операциям
будет препятствовать эффект вращения планеты. Если же посадка не преду¬
сматривается, то направление движения по спутниковой орбите особого
значения с точки зрения механики полета не имеет. Отличие обратной
орбиты от прямой будет заключаться лишь в том, что точка отрыва при
маневре ухода в первом случае будет смещена на 180° относительно точки
отрыва во втором случае.
Рассмотрим теперь быструю переходную орбиту, например профиль
12. Если время выжидания равно 30 дням, а перигелий эллипса возвраще¬
ния находится на расстоянии 0,9 а. е. от Солнца, то афелий орбит полета
туда и обратно должен находиться на расстоянии 1,95 а. е. На рис. 6.60а
показан переходный эллипс полета к Марсу, пересекающийся с мар¬
сианской орбитой при г)0 — 105,5°. Средняя орбитальная скорость Марса
и$ = 18 890 фут /сек. Скорость корабля в точке встречи (гелиоцентриче¬
ская скорость перед сближением с планетой) есть V']-- К (  	^	^^ ^ =
= 77 000 фут/сек. Угол пересечения орбит будет 19°53\ и поэтому
относительная скорость составит Voo = 26 800 фут/сек *).
Рис. 6.60а. Гиперболическое прохождение близ
Марса при подходе к нему по быстрому переход¬
ному эллипсу.
*) Обозначения здесь те же, что п в разделах 6.4.4 и 6.4.5.

230
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
Необходимо заметить, что если при проведении вычислений выпол¬
няется условие Fi cos Pi < С/pi, то
sin ( — 180° - £,) = П sin р,
и оо
тогда как при выполнении условия Vv cos р4 > i7pi в левой части этого
соотношения должен стоять sin В большинстве случаев необходимо
пользоваться этим соображением. В настоящем примере получаем =
= 102,6°. Большая полуось гиперболы оказывается равной а = 346
морским милям.
Далее уже необходимо фиксировать расстояние вершины гР от по¬
верхности планеты или задать иной эквивалентный параметр. Рассматри¬
вая маневр гиперболического прохождения, можно остановиться на вы¬
боре одной из следующих трех альтернатив:
1. Выбор некоторой дистанции от планеты, благоприятной для
выполнения конкретного задания (например, максимально возможное
приближение к поверхности планеты или выход на дистанцию, наиболее
удобную для ухода в заданном направлении относительно Солнца посред¬
ством маневра гиперболического прохождения близ планеты).
2. Выбор дистанции для оптимального маневра одноимпульсного
захвата.
3. Выбор дистанции гР из условия получения максимального при¬
ращения скорости при гиперболическом прохождении близ планеты.
В нашем случае, когда предполагается осуществить захват корабля
Марсом, мы выбираем 2-ю альтернативу. Согласно результатам разде¬
ла 6.4.4 требуемая дистанция г определится как
9 К
г = 2а = 692 морские мили.
Vco
Вообще говоря, выбор 2-й альтернативы приводит к соотношениям
г = 2а и е = 1 -|- — = 3, при этом половина угла между асимптотами
ф = arccos — = 70°31' и угол планетоцентрического отклонения Д£4
I	_
= arcsin —	-	38°58' я^ 39°. Эти величины при заданном г характери¬
зуют любую гиперболическую траекторию для любой планеты. В настоя¬
щем случае г < г00 (г0о = 1787 морских миль — радиус Марса), что
объясняется высокой скоростью сближения. Поэтому такой маневр
реально неосуществим. Величины в скобках на рис. 6.60а представляют
для сравнения теоретические значения тех отклонений параметров траек¬
тории Д£, р! — р2 и V2 — Vi = 15 ООО фут/сек, которые могли бы быть
достигнуты, если бы такое гиперболическое прохождение корабля близ
Марса было возможно.
Выберем за основу первую альтернативу и зададим гР = 2800 мор¬
ских миль, т. е. уж 1000 морских миль — высота, гарантирующая воз¬
можность 30-дневного пребывания на спутниковой орбите, так как атмо¬
сфера Марса гораздо более разрежена, чем земная. В этом случае (ему
соответствуют величины без скобок на рис. 6.60а) эффект гиперболиче¬
ского прохождения будет: е = 9,1, Д£ = 11°34',	— р2 ~ 1>5° и V2 ~
ж 83 000 фут/сек, т. е. V2 — ж 6000 фут/сек. Планетоцентрическая
скорость в вершине гиперболы гР составит 30 000 фут/сек\ круговая же
скорость на высоте гР = 2800 морских миль равна 9450 фут/сек. Поэтому

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
231
для захвата корабля и выхода его на круговую орбиту необходимо при¬
ложить тормозной импульс тяги, снижающий скорость на 30 ООО—9450=
= 20 550 фут!сек. Захват на эллиптическую орбиту требует торможения
на 18 660 фут/сек (при = 6) или на 17 710 фут/сек (при ~ = 30).
Хотя экономия топлива при эллиптическом захвате и не пренебре¬
жимо мала, она все же не столь значительна, чтобы сделать перелеты
кораблей на химической тяге по профилю 12 выгодными и целесообраз¬
ными. Что же касается ядерных двигательных систем и систем электро¬
ду гового нагрева с использованием водорода в качестве рабочего тела,
то их удельные импульсы настолько высоки (от 800 до 2000 сек:), что эта
экономия решающей роли не играет, если только не имеется в виду про¬
извести вход в атмосферу и посадку на поверхность планеты некоторого
устройства, составляющего по весу заметную часть полного веса корабля.
Не лишено интереса провести сравнение расходов энергии, требуемых
для захвата при выполнении задач 3-й и 4-й групп. Оптимизация одно-
пмпульсиого метода захвата с выходом на круговую орбиту требует
импульсного уменьшения скорости на 18 000 фут/сек. При захвате
на эллиптическую орбиту — = 6 разница между этими задачами будет
гр
почти неощутима; если же — = 30, то задачи 3-й группы требуют мень-
гр
ппIX расходов топлива.
В заключение можно заметить, что маневр гиперболического про¬
хождения может быть использован также для уменьшения энергии дви¬
жения корабля по гелиоцентрической орбите. Для этого путь корабля
должен пересечься с траекторией планеты впереди нее по ее движению.
При прохождении близ Юпитера мощное гравитационное поле этой пла¬
неты может буквально «повернуть вспять» движение корабля и заставить
его вернуться обратно во внутренние районы солнечной системы при очень
малом расходе топлива или вообще без какого бы то ни было расхода.
6.6.8.	Операции с малой тягой. Энергетические потребности для
осуществления быстрых перелетов человека в пределах внутренней обла¬
сти солнечной системы и возвращения на Землю (характеризуемые при¬
ростами A Vi = 60 000 -г- 90 000 фут/сек) не могут быть обеспечены хими¬
ческими двигательными системами, максимальный удельный импульс
которых заключается в пределах от 370 до 420 сек (рис. 6.606). При уве¬
личении удельного импульса до значений, достижимых с помощью исполь¬
зования солнечной энергии (удельный импульс от 600 до 750 сек) [18] или
систем ядериого нагрева (удельный импульс от 800 до 1200 сек), отноше¬
ние масс космического корабля может быть снижено до 10—15. Исполь¬
зуя системы дугового нагрева (питаемые, например, солнечной или ядер-
ной энергией), можно получить удельные импульсы порядка 1400—2000 сек
[18]. Применение магнитогидродинамических дуговых систем (плазмен¬
ные двигатели) позволяет еще больше расширить область достижимых
удельных импульсов в сторону их увеличения. Бостик (Bostik) [19]
и Колб (Kolb) [20] в экспериментах с многократными разрядами большой
энергии добивались ускорения плазмы до скорости 7 000 000 фут/сек
(удельный импульс > 22 000 сек). Разумеется, современные технические
средства еще не позволяют создавать такие системы, однако эти лабора¬
торные опыты демонстрируют возможные перспективы. Такого же поряд¬
ка удельные импульсы (а именно от 7000 до 25 000 сек) могут быть достиг¬
нуты с помощью электростатических двигательных систем, где про из во¬

232
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. О
дится ускорение заряженных частиц в электростатическом поле до очень
высоких скоростей истечения [21, 22]. Эти системы также еще требуют
проведения широких исследований и совершенствования, прежде чем
они станут пригодными для практического использования в качестве
двигательных систем космических летательных аппаратов. Указанные
значения удельного импульса позволяют снизить отношения масс до вели¬
чин, близких к единице, даже в случае наиболее энергоемких маршру¬
тов в пределах солнечной системы (рис. 6.606).
Проблема, однако, не решается одним увеличением удельного импуль¬
са. Другим не менее важным параметром является ускорение корабля*
Рис. G.606. Отношения масс ракеты, требуемые для решения астропавтпческих задач.
т. е. отношение силы тяги к весу (массе), так как именно оно определяет
характер и профиль траектории перелета, а значит, и время путешествия.
В табл. 6.10 указываются три основных параметра, оказывающие влия¬
ние на характер профиля траекторий межорбиталытых и особенно меж¬
планетных перелетов.
Оптимизация двигательной системы или комбинации нескольких
двигательных систем заключается в выборе наиболее приемлемого ком¬
промисса между этими тремя параметрами, а не просто в стремлении
достигнуть максимально возможного значения удельного импульса.
На рпс. 6.61 представлена для различного рода межпланетных полетов
взаимосвязь между величиной удельного импульса, количеством энер¬
гии, потребляемым на разгон рабочего тела, и приближенным значением
отношения масс.
Выход на начальную спутниковую орбиту требует использования
двигательной системы, позволяющей осуществить старт с поверхности.
Дальнейшие же операции в окололунном пространстве могут выполняться
при более низком уровне активных ускорений. Здесь, однако, существует
предел, определяемый двумя причинами. С одной стороны, операции
в окололунном пространстве не требуют больших затрат энергии и поэтому
/о5
Хамауссяае f000^/sp^400сел) ла^77^л
(в с/я0ел/?я/>/л' mffv/гал: 77)
Вас/леА/е/ с яОеряеш яазреасл/
7000 ^/$р ^7000сея) по^70°р
(в аЛ70еЛСЯ/?/Я /77CVXt7Я: О)
Осся/ел/е/, ислслсзу/ащае ссляе/яу/с зяееза/а
7$7777 ^/Sp^000сея) яр =^70~3p
(в СЯ70еЯ/?ЯШ /ЯСУЯСЯ: 77)
Олазмеяяе/е и асяяе/е оеага/яела
70000 ^/sp^ 777777777 сея)
РаОаааяя/авяе/а раслаО (Isp ^000077 сея)
с /7слея7я/ я 77уяе
7 ООлтяая зясяеРлцал я Afcpcy ] 77 зеяз/шем,
Все псястз/ осу/цеся7вляя/л7Ся сс слуляа-
А'сас/2 алалазел/яаа ор0ая7/?/
Мля яслея/а я У7уяе ло=70~2/у
У села в сяоОяая выражая/тл Ола/лелуясся/е
лу/лс/яссл7сал
Тш /, г77е яе уяазаяс я ала лая pafip
/7ре77лслазаел7ся> v/лс лсле/л в с0е с/лссяяя/
ссссря/асл7сл лс замаясеслал/ зллалехя
О 20	40	00	00	700	720	740
Хсраллерас/яааесяал слсрссл/с реаса, 703ру/я/сся

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
233
необходимость в очень высоких значениях удельного импульса здесь
не столь настоятельна, как для межпланетных операции. С другой сто¬
роны, при полетах человека от Земли к Луне желательно, чтобы время
перелета было равно 2 суткам или менее. Для этого удельный импульс
должен быть достаточно высоким (но не слишком высоким), а начальное
Таблица 6.10
Три основных параметра двигательных систем
п зависящие от них характеристики движения
Удельный импульс
Начальное ускорение
(тяговооруженность)
1
Количество этапов '
преобразования
энергии j
Профиль перелета между
орбитами
Профиль перелета между
орбитами
1
Коэффициент полезного
действия системы !
i
!
! Снабжение с поверхности
j Земли
Взлетно-посадочные
характеристики
Надежность системы
_
Гр а в и т а ц и о пи ые потер и
Сухой вес системы |
Маневренность
значение отношения тяги к весу (тяговооруженность) должно быть по край¬
ней мере 10“2. Вполне удовлетворительными для быстрых полетов в район
Луны являются удельные импульсы порядка 1000 сек. Значительно боль¬
шие удельные импульсы, сопровождающиеся очень низким значением
тяговооруженности, целесообразно применять в грузовых или автомати¬
ческих ракетах, так как малые расходы рабочего тела облегчают задачу
их дозаправки.
Для взлета и посадки на лунную поверхность тяговооруженность
корабля должна составлять около 0,2 (принимая за единицу измерения
нормальное ускорение земной силы тяжести g@).
На рис. 6.62 приведены графики, характеризующие время полета
на активном участке (в часах, сутках и месяцах в качестве единиц изме¬
рения) и дистанцию отрыва (в земных радиусах) корабля, стартующего
с круговой околоземной орбиты высотой 300 морских миль и развивающего
параболическую скорость, в зависимости от величины активного ускоре¬
ния корабля. Графики построены для случая постоянного тангенциального
ускорения. Подробный анализ механики полетов с малой тягой дается
в работах [23, 24, 25, 26, 27 и 41], к которым мы и отсылаем читателя.
Общие данные об орбитах полетов с малой тягой для широкого диапазона
значений 7sp и 7г0 приведены в работе [1]. В задаче ухода от Земли пред¬
положение о постоянстве активного ускорения для систем с очень высоким
удельным импульсом (7sp;>6000 сек при 5 • 10“ 5g С п < 5 • 10“ 4g) является
достаточно хорошим приближением. Для систем с 7sp< 1500 сек возмож¬
ны активные ускорения в диапазоне от 10'4g до 10-1g, ввиду чего отношение
масс увеличивается и ускорение уже нельзя считать постоянным. Для слу¬
чая совсем низкого удельного импульса (450 сек) и начального ускорения

fine/imp яя/лребммг &мергг/й
234
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
г ГЛ. 6
дпшЖюл
Г’чс. G.G1. Двигательные системы и назначение полетов.

§ с.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
235
F
П° = Wq (ГДе F ~ ТЯГа
11 вменение а кти вно г о
W0— начальный вес)
ускорения за время работы двигателя показано на рис. 6.62 горизонталь¬
ным отрезком по — щ, где пх — конечное ускорение, равное F/Wi. Можно
видеть, что если полет к Луне совершается с активным ускорением п <С
< 10 2 g, то время перелета станет столь значительным, что перелет уже
лт
140
Г М
120
- 12
100
- 10
1®г |#
14 J'
40^ 4
20^ 2
О
К!
\
Зремл1
ЖСЩЬ/
л V
\ \\
л
С- 1 Л/
\ V
с
\
)	+—о
nS п2 \
//аулльлсе л лслесясе \
УСЛСЛеЛЛЛ ОЛЯ СЛСЛ7СЛ/ \
\\
\\
\
\
с /зр =400
'сел \
\
\
V'
время, чаш
\ V
\ \ \
\ \ S
госв \
Г00 \
ПГ
%
юо\
1
60^
I
§
I
40
20
10-■
10-
10'■
/0~‘
ю~‘
Иссшлллсе ол/ллслсс услорелис ,
Рис. 6.62. Полеты с малой тягой. Продолжительность активного участка полета
и расстояние от Земли, на котором достигается местная параболическая скорость
(при уходе с круговой орбиты высотой ?у= 300 морских миль; активное ускорение
направлено вдоль текущего вектора скорости).
нельзя будет назвать быстрым по сравнению с перелетом по баллисти¬
ческой траектории минимального расхода топлива. При полетах во внут¬
ренней области солнечной системы положение, однако, меняется Длитель¬
ности перелетов здесь достигают сотен суток, поэтому сокращение их, ска¬
жем, до 40 суток путем использования двигательной системы, создающей
активное ускорение 2-10“4 g, вполне оправдано. Правда, при постоянной
(пли средней) величине ускорения порядка Ю'4^ только на операцию ухода
от Земли потребуется около 90 суток, что примерно равно длительности
быстрого перелета к Марсу или Венере. В общем, мы можем сказать, что
при ?г> 10 4 g полет к Марсу можно считать быстрым, а полет к Венере
довольно близок по длительности к полету по минимальной баллистиче¬
ской траектории (рис. 6.43). Если начальное ускорение ниже 10“4 g, то
двигательная система должна работать непрерывно на протяжении всего
полета к ближним планетам солнечной системы. Как показал Штулингер
(Stuhlinger) [25], при активном ускорении гг0 = 6,7 • 10“5g время перелета со¬
ставляет около 400 суток, т. е. значительно больше, чем наибольшее время
перелета, осуществляемого с помощью химической двигательной системы.
Как было показано ранее, полеты во внешнюю область солнечной
системы по траекториям минимального расхода топлива характеризуются
крайне продолжительными временами перелета, особенно при полетах
за орбиту Юпитера. Здесь даже такие малые начальные ускорения, как
по <С 10“4g, могут помочь в убыстрении этих перелетов. На рис. 6.63 даны
два примера траекторий перелетов с малой тягой к Юпитеру и Сатурну.

236
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 1з.
Основные параметры активного участка и оскулирующей параболы
представлены в табл. 6.11. На рисунке показаны гелиоцентрические траек¬
тории движения на активном участке, причем выключение тяги произ¬
водится в момент достижения параболической скорости. Такой режим
полета выбран для того, чтобы можно было сравнить его с полетом к Юпи¬
теру по параболической орбите при использовании высокой тяги, рассма¬
тривавшимся в разделе 6.6.7. Можно рассматривать также и гиперболи¬
ческую оскулирующую орбиту в качестве конечного участка траектории
перелета. На рис. 6.63 оскулирующие параболы, начерченные штриховыми
линиями, продолжены в обратном направлении до их перигелиев. Из дан¬
ных табл. 6.11 следует, что при п0 = 6-10-5 g космический корабль с малой
тягой может совершить быстрый перелет к Юпитеру, включая сюда же
и операцию ухода от Земли. Время такого перелета значительно меньше
времени полета но минимальной баллистической траектории, хотя эта
разница уменьшилась бы, если бы корабль должен был осуществить с помо¬
щью малой тяги маневр захвата близ Юпитера. В этом случае время пере¬
лета оказывается большим, чем при полете по баллистической параболе.
При некотором увеличении продолжительности работы двигателя корабль
вышел бы на оскулирующую гиперболическую переходную орбиту, что
привело бы, как видно из рис. 6.58, к дальнейшему сокращению времени
движения по переходной орбите. Исключение маневра ухода от Земли
с малой тягой из общей переходной траектории приводит к незначитель¬
ному сокращению длительности полета, которое не оправдывает установку
на корабле двух различных двигательных систем. Указанные перелеты
могут быть названы быстрыми лишь при полетах к Юпитеру и в еще боль¬
шей степени при полетах к более далеким планетам.

$ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
237
Т а б л и ц a G. 11
Параметры траекторий полета с малой тягой к Юпитеру и Сатурну
и соответствующих параболических участков (приближенные данные)
Планета-цель
Ориентация тяги
Начальное ускорение п0 (g,^)
Ускорение в момент выключения тяги nx(g^)
Начальное расстояние от Солнца, а. е
Расстояние от Солнца в момент выключения
тяги, а. с
Продолжительность ухода от Земли,
сутки
годы
Продолжительность активного участка гелиоцен¬
трического полета,
сутки
j годы
j Время с момента ухода с заданной геоцелтриче-
j	ской орбиты (высотой у = 300 морских миль)
!	до начала параболического движения,
!	СуТКИ
|	ГОДЫ
j Свободный полет по параболе к планете-цели,
| сутки
I	годы
Полное время перелета с гиперболическим про-
; хождением близ планеты-цели без захвата ею:
j	(а) геоцентрическое и гелиоцентрическое дви-
;	жение,
сутки
годы
(б) только гелиоцентрическое движение,
сутки .
годы
Время перелета по минимальной баллистической
| переходной орбите, годы
| Время полета по параболической баллистической
j орбите, годы
i
|	Элементы	оспу ликующей параболы
Расстояние перигелия, а. е
0,878
3,03
j Теоретическая скорость в перигелии,
1 фут) сек
147 ООО
79 000
1 м/сек
44 800
24 100
Истинная аномалия в момент выключения тяги
89°26'
72°32'
Истинная аномалия точки пересечения с круго¬
вой орбитой планеты-цели
131°28'
10Э°19/
Угол пересечения параболы с орбитой планеты-
цели
65°39'
54°39'
Положение, однако, совершенно меняется, если п0 = 6 -10~6 g. Исполь¬
зование столь малых ускорений нецелесообразно ввиду того, что они тре¬
буют применения дополнительных двигательных систем для сокращения
времени ухода корабля от Земли и, кроме того, длительность полета по ге¬
лиоцентрической переходной траектории с этим ускорением оказывается
большей, чем время полета, например, к Сатурну по баллистической траек¬
тории минимального расхода топлива. Такие системы малой тяги в лучшем
Юпитер
Сатурн
тангенциальная
6-10-5'
6-10~G
1,32-10-4
1,92-10-э
1,0
1,0
1,74
4,66
131
1310
0,358
3,58
176
2230
0,48
6,15
307
3540
0,84
9,73
305
210,5
0,83
0,58
612
3750
1,67
10,31
481
2440,5
1,31
6,73
2,8
6,1
1,15
2,6

238
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
[ГЛ. 6
случае могут ускорить полеты лишь к таким планетам, как Уран (без
маневра захвата) или Нептун и Плутон (с захватом). Этот пример показы¬
вает всю ошибочность восхваления фотонных двигательных систем или
термоядерных систем с непосредственным использованием импульса про¬
дуктов реакции для создания тяги в качестве наиболее перспективных
и многообещающих систем, обеспечивающих отношение масс, близкое
к 1, так как никакими известными средствами ускорение, создаваемое
с их помощью, не может быть увеличено до или более чем 10-5 g, и то лишь
в случае, если бы удалось решить все прочие проблемы. Црпутно следует
отметить и иные недостатки систем с ускорением 6-1СГ6 g (рис. 6.63).
Космический корабль в этом случае крейсирует в поясе астероидов
около 3,8 года. В этой области, однако, плотность межпланетной пыли
и осколков заметно повышена, и продолжительное пребывание в этом
поясе увеличивает вероятность столкновений, а следовательно, и вероят¬
ность повреждения или даже разрушения корабля.
Напротив, примеры, представленные на рис. 6.63, подчеркивают важ¬
ность использования плазменных и ионных двигателей для быстрых раз¬
ведывательных полетов во внешнюю область солнечной системы, так как
они позволяют достигнуть начальных ускорений порядка 6- 1СГ5 g и более.
Использование таких систем для полетов во внутренней области солнечной
системы представляется целесообразным лишь для малоскоростных грузо¬
вых ракет, служащих для доставки полезных грузов большой величины
к планетам назначения (задачи 5-й группы). Быстрые пассажирские пере¬
леты, по-видимому, удобнее осуществлять с помощью двигательных систем
с ядерным нагревом. Наряду с системами непосредственного ядерного
нагрева существуют промежуточные системы с дуговым нагревом (низко-
проводящая плазма), позволяющие достигнуть ускорений до 1СГ4 g, доста¬
точных для осуществления быстрых перелетов во внутренней области
солнечной системы (по крайней мере, например, к Марсу); удельный
импульс таких систем может, в принципе, превзойти удельный импульс
систем с непосредственным ядерным нагревом. Реализация этих возмож¬
ностей существенно зависит от дальнейшего улучшения элементов кон¬
струкции таких систем, а также от усовершенствования методов превра¬
щения энергии и создания легковесного и высокоэффективного электро¬
оборудования. Обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящего
изложения.
6.6.9.	Межпланетные операции и двигательные системы. С точки
зрения астронавтических задач различные двигательные системы можно
разделить на четыре класса в соответствии с величинами ускорений, кото¬
рые они могут сообщить космическому кораблю. Ниже приводится эта
классификация в порядке убывания сообщаемого ускорения:
1. Системы, предназначенные для взлета и посадки (~0,2gQ для Лу¬
ны; ~O,5g0 для Марса и ~1,2для Венеры).
2. Системы для быстрых межорбитальных полетов в район Луны
( I" V.:)-
3. Системы для быстрых межорбитальных полетов во внутренней
области солнечной системы (>10"4#ф).
4. Системы для быстрых межорбитальных полетов во внешние области
солнечной системы (> ю~5Ы-
Известные в настоящее время двигательные системы в соответствии
с этим разделяются не следующие четыре класса:	•
1. Химические системы и системы с ядерным нагревом.
2. Системы с ядерным нагревом (химические системы с высоким /8р).

§ 6.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
239
3. Системы с ядерным нагревом; системы с солнечным нагревом
(системы с дуговым нагревом).
4. Магнитогидродинамические (плазменные) системы и ионные
системы.
Ионные системы, естественно, вошли в 4-й класс, однако со временем
они могут войти также и в 3-й класс. Для выполнения целого ряда задач
весьма привлекательным кажется комбинирование систем высокой и малой
тяги на одном объекте. Во многих случаях для полетов автоматических
или грузовых ракет могут оказаться пригодными системы с высоким
удельным импульсом и малой тягой, предназначенные для низкоскорост¬
ных межорбитальиых перелетов. Оптимальное значение удельного импуль¬
са, обеспечивающее максимальное отношение полезного груза к полному
весу корабля в заданном рейсе, зависит от веса двигательной системы
и эффективности преобразования энергии, которая может быть различной
для различных значений удельного импульса. Достижение наибольшего
удельного импульса, например, с помощью электрореактивной двигатель¬
ной системы, не обязательно является наилучшим вариантом, так как сила
тяги растет пропорционально тп/8р, а потребляемая энергия пропорцио¬
нально 1/2 m/gp. Для полетов к Луне наилучшие значения удельного им¬
пульса лежат в пределах от 1000 до 4000 сек, а для межпланетных пере¬
летов — в пределах 6000 -г- 16 000 сек в зависимости от веса системы пита¬
ния, двигательной установки и преобразовательного оборудования.
6.6.10.	Посадка на планеты и их спутники. Посадка представляет
собой заключительный этап межпланетного полета, хотя, вообще говоря,
он не всегда имеет место (как, например, в задачах 5-й группы). Возмож¬
ность осуществления успешной посадки субракеты и ее возвращения
на корабль-носитель в сильной степени зависят от характеристик самой
планеты. По-видимому, сравнительно наиболее просто можно сделать
посадку на Марс. После выхода корабля на захватную орбиту, где допустим
значительный разброс в высоте и эксцентриситете, выбирается более точ¬
ная орбита, после чего с помощью включения тяги соответствующим обра¬
зом изменяются высота и эксцентриситет захватной орбиты. В предшествую¬
щих разведывательных полетах должны быть собраны данные о харак¬
тере поверхности планеты и о местах, наиболее удобных для «приземления»,
с тем чтобы выяснить, следует ли перед спуском субракеты изменять пло¬
скость орбиты корабля-носителя. Наибольшие затраты топлива потре¬
буются для осуществления посадки в полярных районах планеты (так как
захватная орбита, грубо говоря, лежит в плоскости эклиптики). Поэтому
мы здесь обсудим возможность посадки в тропические или субтропические
области Марса. Целый ряд сведений об атмосферной оболочке планеты
и о характере ее сезонных изменений, а также о сезонных изменениях
на поверхности может быть получен с помощью посылки зондирующих
ракет и спутников, которые могут быть оставлены возле планеты преды¬
дущими э кспед ициями.
Атмосфера Марса, по-видимому, состоит в основном из азота [28, 29],
наличие которого, однако, нельзя установить спектроскопическими мето¬
дами из-за влияния земной атмосферы. Купер (Kuiper) обнаружил, что
в марсианской атмосфере содержание двуокиси углерода вдвое выше, чем
в атмосфере Земли. Обнаружены также следы Н20. Вокулер (G. de Vau-
couleurs [29]) предполагает наличие в атмосфере Марса 1,2% аргона при
содержании С02 всего 0,25%. Пытаясь с помощью эффекта Допплера —
9)пзо выделить линии кислорода, обусловленные атмосферой Марса,

240
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ полеты
L Г Л. G
на фоне кислородных линий земной атмосферы, Адамс (Adams) и Дангэм
(Dunham) [30] пришли к заключению, что «количество кислорода в атмо¬
сфере Марса, по-видимому, составляет менее одной десятой процента
кислорода в атмосфере Земли над равными участками поверхности».
Однако более глубокое изучение физики поглощения кислородных линий
позволило несколько увеличить величину верхнего предела отношения
Давление,	Температура,	°F	(7)	Зева/т/м	Зел/лера	[23]
(2) /7о валтм Даула [вв]
(3) /.7о валлым Мелзела а Улллла [32]
Рис. G.G4. Атмосферы Марса и Венеры [29, 33, 34].
содержания кислорода в марсианской атмосфере к содержанию его в атмо¬
сфере Земли с 0,001 до 0,0015. В общих чертах атмосферу Марса можно
представить в виде следующей схемы (рис. 6.64). Более подробное обсулл-
денне этого вопроса дается в работах [28, 29, 31 и 32]. Давление атмо¬
сферы у поверхности Марса составляет около 0,085 атм (64 мм рт. ст.)
[33], что соответствует давлению земной атмосферы на высоте 56 000 футов
(17 000 м). Вследствие меньшей силы тяжести атмосфера планеты оказы¬
вается более «рыхлой» и скорость убывания давления с высотой здесь
меньше, чем в земной атмосфере (плотность уменьшается в 10 раз на калл-
дые 40 км высоты, тогда как на Земле она уменьшается в 10 раз на калщые
17 —18 км подъема). На высоте около 30 км плотности земной и марсиан¬
ской атмосфер оказываются равными [29]. На больших высотах давление
марсианской атмосферы превосходит давление земной.
В атмосфере Марса молшо наблюдать облака трех типов: люлтъте,
белые и голубые. Желтые облака, видимые в желтых и красных лучах,
локализуются в нилчних слоях марсианской атмосферы и состоят, по-види¬
мому, из мелкой лю л т о в ат о - к о р ич не в о й пыли, покрывающей пустыни
планеты. Ветры и бури поднимают эту пыль в атмосферу, и одналлды далю
наблюдался такой случай, когда эта пыль была перенесена атмосферными
течениями на тысячи миль вдоль поверхности планеты.
Белые облака, появляющиеся на различных высотах вплоть до высоты
20 км, по-видимому, состоят из ледяных кристаллов. Средний диаметр
этих кристаллов, согласно измерениям Дольфуса (Dolll'us) в поляризо¬
ванных лучах, равен 1 микрону ([28], стр. 393). Голубые облака, видимые
в голубых и фиолетовых лучах, ташке состоят, вероятно, из ледяных
кристаллов, но еще меныних размеров, которые селективно рассеивают

§ 0.6]
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ
241
голубые лучи и потому кажутся голубоватого оттенка. Эти облака,
вероятно, как-то связаны с «фиолетовым слоем», который полностью скры¬
вает все детали марсианской поверхности при фотографировании ее в фио¬
летовых лучах. Этот слой, возможно, содержит еще более мелкие частицы,
диаметром до 0,3 микрона, которые в течение долгого времени остаются
па высоте 10—15 км или более. Природа и образование этой дымки еще
не полностью выяснены. Плотность этого фиолетового слоя изменяется
со временем и бывает различна в разных местах. Иногда даже атмосфера
оказывается совсем прозрачной для голубых лучей.
Атмосфера Венеры имеет достаточно большую плотность. С помощью
спектроскопических методов были получены явные доказательства высо¬
кого содержания С02 в ее составе (около 100 ООО см при 1 атм и 293° К
сравнительно с 220 см в земной атмосфере) [28], однако таким способом
не удалось получить доказательств наличия там водяных паров или кисло¬
рода. В атмосфере Венеры наблюдаются утренние сияния, а сама атмосфера,
судя по данным наблюдений, находится в крайне возбужденном турбулент¬
ном состоянии, что объясняется, по-видимому, воздействием интенсивного
солнечного излучения. Что касается характера поверхности Венеры, то
здесь высказываются различные предположения, начиная от гипотезы
о том, что она представляет собой высушенную и выжженную пустыню [32],
и кончая гипотезой о том, что вся она покрыта водой [34]. Не так давно
Доул [35] выдвинул дополнительные доказательства того, что поверхность
Венеры безводна, а в атмосфере плавает пыль различных окисей. На основе
учета высокого содержания С02 и наличия больших количеств пыли в мар¬
сианской атмосфере Доул заключил, что барометрическое давление у по¬
верхности планеты близко к 10 атм, а средняя температура выше 150° F
(65° С). Эти условия схематически представлены на рис. 6.64.
Анализ процесса посадки на поверхность Марса можно в настоящее
время провести с достаточно большой степенью определенности [36, 37].
Спуск в марсианской атмосфере значительно более прост, чем в земной,
ввиду меньшей величины ускорения силы тяжести, менее резкого изме¬
нения плотности атмосферы, отсутствия свободного кислорода и сравни¬
тельно небольшого количества (хотя и вдвое большего, чем в земной атмо¬
сфере) С02, что обусловливает лишь очень небольшую степень окисления
обшивки корпуса спускающегося аппарата при диссоциации двуокиси
углерода в пограничном слое. Если на поверхности Марса будут образо¬
ваны постоянные базы, то снабжение их с Земли значительно упрощается
тем, что необходимые грузы можно просто «сбрасывать» в атмосферу.
Анализ спуска и посадки на Венеру в настоящее время не может
не носить спекулятивного характера. Прежде всего для этого нужно
собрать необходимое количество информации относительно атмосферы
Венеры, движения и характера поверхности планеты. Наиболее подходя¬
щим способом для этой цели явился бы запуск зондирующих ракет со спус¬
ком их на поверхность планеты, а также сателлоидов с высокоразрешаю¬
щей радарной аппаратурой для исследования поверхности.
Посадка на спутники других планет связана с проблемой программи¬
рования такой встречи со спутником, что делает задачу более сложной.
Прибывающий к планете корабль должен сначала выйти на захватную
орбиту, после чего определить оптимальную траекторию перехода с нее
к естественному спутнику планеты. Как видно из рис. 6.1, для этого может
потребоваться значительное изменение плоскости орбиты. Для посадки
на спутники Марса не требуется проведения иных маневров, кроме выхода
корабля на соответствующую спутниковую орбиту.
16 Космическая техника

242
М КЖПЛЛНЕТИЫК ПОДЕТЫ. ПРП/10Жниин
[Г/1 . С'
Приложение 6А
Переход между компланарными круговыми орбитами
6А.1. Тангенциальный переход между компланарными круговыми
орбитами. Переход между орбитами, изображенный на рис. 6.11 и обсу¬
ждавшийся в разделе 6.3.3, может совершаться либо при перелете с внут¬
ренней орбиты на внешнюю (г2<г3), либо, наоборот, с внешней на внут¬
реннюю (г2> п). В первом случае скорость в точке 2 переходной орбиты
будет *)
- V vc J , , r2
а скорость в точке 3
1 - • -
r3
V	I
'	'*3
,2 К	2	К
где ur -■ и uc	,	так	что
r‘2	r3
? -(ДГ	С‘Л.2)
f r2	2К	/	2KJ/'3 _	/	I	2K/r2	7>
V Гя Го + Гя " V 2-i-ra/r2 r 7-3/>2 1 — j— 7*3/7*2 ’	(	*	}
причем 7*2+ Гг== За" — большая ось переходного эллипса. Отсюда нахо¬
дим, что приращения скорости в точках 2 и 3 соответственно равны:
д„г _	/|	(	_.)-|/|(	-1),	(«Д.	г.)
А° V- (*- /н^)=
=	<6А-в>
При перелете от точки 2 к точке 1 (гг2) имеем:
v:*^4y	(«а.7)
V ^	+;,2/Г1 ’
(6А-8>
V
• <6A-S>
(6А.10)
7 [	Г	7*	|	7*2	7*1	Г	1	—	7*|	/7*2 г /']/ Т*2 1 -|- 7*|/ 7*2
*) Для эллипса Гомана 2а = 7*2 —7*3, а (1 —)— е) = 7*3, я (1—е) = г2, поэтому, вспом¬
нив выражение для величины скорости в перигелии
-■= /т ■
легко прийти к формуле (6А. 1); аналогично получаем формулу (6А.2). (Прим. ред.)

ОА]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРГ.ИТАМИ
243
4!.,= lC-iv .j/* (|- /гг.;-;,;)
/I (гк“АУьШ- ‘6лЛ2)
Ирм перелете на более лысо кую орбиту (г3 Д> г2) общий необходимый
прирост скоросп 1 составит
А)- гк""1]-^'13’
2 ' ^
3
Дифференцируя сумму Е Д е но otjtoiiic и ню /а /г2 и приравнивая резулъ-
2
тат нулю, получил! уравнение 3-й степени для определения экстремальных
значений. Единственный положительный корень этого уравнения равен
г3/г2 ~ 15,6. При такой величине отношения радиуса конечной орбиты
к радиусу начальной орбиты сумма Ду2-г Л и3 достигает максимума
(рис. 6.12). При г3/г2 ^ 3,4 суммарный прирост скорости становится рав¬
ным приросту скорости, необходимому для параболического ухода
с орбиты г2.
В перицентре и апоцентре переходной орбиты, служащей для перелета
с начальной орбиты 2 на внешнюю орбиту 5, скорости, выраженные через
отношение г3/г2, соответственно будут равны:
ui
л/ 2'^
у К/г., У i + rs/r2
Vо
V.y
(6А.14;
у К/r3	г3/г2 ук/г2
При переходе с начальной орбиты 2 на внутреннюю орбиту 1 значения
скорости в перицентре и апоцентре соответственно будут
Vo
= =1/rrV •	(6А.15)
■ К/Г., У 1-Г''2/'Ч	V	’
У К/тг УК/Го'	У К/г
Зависимость между временем движения по эллиптической переходной ор¬
бите и радиальным расстоянием при старте в перицентре дается выражением
Vр/К Г р	.	Г	г	(!■—^2) — р 1
t,. - -	\	У	arcsin  		—-
L <■/> J
я
Учитывая, что р = а(1 — е2), можно выразить врелш перелета в долях
периода обращения по данной эллиптической орбите:
Л ГагссЧ^0	.	(6А.17)
Здесь 2я ^ — период обращения Т по эллиптической орбите с боль-
1'р
шои полуосью а =	  г-	,	где г а и гр — расстояния апогея и перигея
ч,+г)
16*

244
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
соответственно. Эта формула без всяких видоизменений пригодна как
для переходов г2 г3, так и для переходов г2->- ri (рис. 6.11). Вводя индек¬
сы А и Р и заменяя а его выражением через гА и гР, получим окончательно
хг-
1
2я
= т,— < a rc cos
г
ГР
1 Л
~2 \
га
Гр
— 2
1-!--
V
г
Гр
I + IA-
г
Гр
1— е2
1-^
(6 А. 18)
1-^
где е = -
Г А
1+ГР
г А
На рис. 6.15 это соотношение представлено в графиче¬
ской форме для ряда значений гА/гР. Из графика видно, что большую часть
времени корабль движется в области апоцентра переходного эллипса. Этот
вывод весьма важен с точки зрения астронавтики, где, как правило,
представляют интерес быстрые переходные орбиты, т. е. орбиты с воз¬
можно меньшим временем полета.
6А.2. Перелет между компланарными круговыми орбитами по пересе¬
кающейся с ними траектории. Будем считать, что расстояние перигея
Гр известно. Тогда, если г" — расстояние точки пересечения переход¬
ной траектории с целевой орбитой от центра притяжения, то для произ¬
вольной величины расстояния апогея т"А > г" большая полуось переход¬
ного эллипса будет а
а эксцентрическая аномалия точки пере¬
сечения Eg определится соотношением
cos Eg =
Кроме того, имеем:
е"=1	„	,
а"
М" = Е" — е" sin Е",
(BA. 19)
Здесь, как и ранее, элементы переходного эллипса помечены двойным
штрихом; р — среднее суточное движение, М— средняя аномалия и L" —
время перелета (в данном случае из точки г',, в точку г'). Истинную анома¬
лию ri" па переходном эллипсе можно найти по формуле
cos р = -- cos Е —— .	(()А	.20)
Определив rj"„ можно затем из ранее написанных уравнений най¬
ти требуемое изменение скорости А у, в точке пересечения. Постоянная

6А]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
245
энергии переходного эллипса дается формулой
(6А.21)
откуда для скорости в точке пересечения получаем
(6А.22)
Наконец, изменение угла 0 можно найти из соотношения
(6А.23)
Если задано не г", а ц", то эксцентрическая аномалия определится сле¬
дующим выражением:
причем здесь а", а следовательно, и е считаются известными. Весь даль¬
нейший расчет проводится аналогично предыдущему.
Можно видеть, что время перелета //' является функцией величины
большой оси переходного эллипса или же функцией расстояния апогея
(или перигея). Если получившееся время окажется неудовлетворительным,
то его можно изменить в нужную сторону, меняя величину большой оси.
В большинстве случаев для этого достаточно иметь график зависимости
t" (Е") или t” (а).
Более быстрыми (но зато и менее выгодными в энергетическом отно¬
шении) будут полеты по параболическим и гиперболическим переходным
орбитам. Случай полета по параболе особенно прост. Скорость в точке
пересечения с целевой орбитой v" -- ]/2, эксцентриситет е = 1,0, рас¬
стояние перигея р = 2гР. Считая, что расстояние точки пересечения с целе¬
вой орбитой известно, для определения ц" можно воспользоваться урав¬
нением
(6 А. 24)
COSTL = 2—а 1,
3	Го
з
(6 А. 25)
после чего Av3 находится следующим образом:
(6А.26)
а б" — из формулы
I
cos 0" = — У 1 —е" cos г)",
причем е" = 1,0. Время перелета I" дается выражением
(6А.27)
(6А.28)
где можно положить ТР= 0, так как т|^ = 0.

246
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
При расчете гиперболической переходной орбиты можно начать
Vp откуда сразу следует е” = vP — 1, и далее:
с выоора скорости vP —
V К !гр
( гр
d-О 1
COS Лз — —"
. Щ	,	Т)2
1- 'Т " V 2 ’
" _ к
а ~ (ЛIV)2 ’
(6 А. 29)
где (At;P)2 - (у\У — 1) j К гi>. Время перелета I" - t—Tv будет
t-rp = |/е tg//;;- ь» tg (45°+^-)],	(6А-3())
где а — большая полуось гиперболы, а Н — дополнительный угол,
эквивалентный эксцентрической аномалии в теории эллиптических орбит.
11 рил о ж г н ие 6 В
Гиперболические орбиты
При анализе гиперболической орбиты удобно ввести в рассмотрение
угол //, соответствующий эксцентрической аномалии Е в теории эллип¬
тических орбит (рис. 6.27). Этот угол Н следующим образом связан с по¬
ложением тела В на гиперболе. Из точки В на гиперболе опустим перпен¬
дикуляр на главную ось и точку пересечения обозначим В". Из этой точ¬
ки затем проводим касательную к окружности радиуса а с центром в точ¬
ке О. Точку касания обозначим буквой Q. Угол QOB" и есть угол В.
В отличие от эллиптических и параболических орбит, здесь существует
некоторый точный верхний предел истинной аномалии тела, движущегося
но гиперболе. Это предельное значение гц можно найти из уравнения
(6.59), разрешив его относител ьно cos ц и полагая г -> оо:
'•"S >|/	--	•	(0Г>.1)
Так как расстояние ОВ" при этом также становится бесконечным,
то линия QB” должна стать параллельной линии ОВ". Другими словами,
предельное значение угла И есть Нг ----- 90°. Поэтому угол // может изме¬
няться в пределах от 0 до 90°, тогда как предельное значение угла ц зависит
от эксцентриситета гиперболической орбиты. Ясно, однако, что 90° < г)/ ■<..
< 180°, причем угол 180° соответствует вырождению гиперболы в пара¬
болу, а 90°— случаю бесконечного эксцентриситета, когда асимптоты сли¬
ваются с осыо у. Поэтому величина г sin ц всегда должна оставаться дейст¬
вительной и положительной, а так как г sin rj Ъ sin Е, то и b sin Е также
должно быть действительным. Однако из-за того, что выражение Ь2
= а2(1 —е2) = —а2(е2— 1) отрицательно, sin Е и сам угол Е должны
быть мнимыми. Использование угла Н позволяет, таким образом, избежать
появления мнимых величин.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
247
Пусть Е — х У —Г = ix, Ei = —х. Тогда имеем (считая, что е —
основание натуральных логарифмов):
е~х = eiE -- cos К -J- i sin Е = tg ( 45° -j-	,	|
>	н\ J	(6Б-2>
Е — i sin Е = ctg ^ 45° + -у- ), J
cos.
где
Н
г и \
tg(45e + -2-)-	л
1~Ъ~2
dg (45°-! 4)
II
ctg "2	1
II , ,
ctg : 1
Складывая оба уравнения (6Б.2) вместе, получаем:
1 1
2 cos Е — -
или
in ^43°-[-^ cos^45°+ ~ Е^)	sin	(90°~\-Н)
cosE = ^rrr-	(6Б-3)
COS 11
С другой стороны, имеем:
i sin Е — tg Н.	(6Б.4)
Извлекая квадратный корень из уравнений (6Б.2) и разрешая их
относительно Е, находим:
\/tg 45
о , Н \	.	Е	...	Е
-г “2“ ) = cos ~Y ~i~1 Sin T
откуда
2
II
v	cos —
cos ~ r	,	(6Б. 5)
2	Y cos II
II
F	sin —
smT^ ■ 	7-,	(6Б.6)
z i у cos 11
tg4=Ttgx-	(6Б-7)
С помощью соотношений (6Б.З) — (6Б.6) можно установить взаимо¬
связь между истинной и эксцентрической аномалиями в гиперболиче¬
ском движении, пользуясь соответствующими выражениями теории эл¬
липтических орбит. Мы имеем:
II
| 7 sin Л_.	| (1{\-г) ^	-	,	(6Б.8)
z	у	cos Я
II
COS^-
) г cos И = У а (е— 1) -7-_Л_ •	(6Б.9)
2	у	cos	11

248	МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ	[ГЛ.	6
Разделив первое из этих уравнений на второе, получим важную
связь между ц и Н:
^/йт^т-	(6БЛ0>
Учитывая, что 2 sin2^= 1 — cos х, из уравнения (6Б.8) находим:
г cos л = а (лУ	(6БЛ1>
cos II
Перемножая почленно обе части уравнений (6Б.8) и (6Б.9), получаем:
г sin г] = а У е2 — 1 tg Н.	(6Б. 12)
Наконец, используя (6Б.З), можно установить связь между величиной
радиуса-вектора и углом Н:
г = а{-^н~1)-	(6БЛЗ>
Рассматриваемая гиперболическая орбита изображена на рис. 6.27.
Из построения этой орбиты видно, что линейный эксцентриситет ее может
быть выражен как
С = Q, -J- 7'р,	(6Б. 14)
причем с = у а2+ b2, что было указано ранее.
Выразим теперь основные геометрические параметры гиперболиче¬
ской орбиты через значения гравитационного параметра К, угла наклона
траектории 0 и скорости и. Для этого из уравнения (6.57) находим, что
« = !И=Т-	(6БЛ5>
Учитывая, что для гиперболы h > 0, имеем:
7 о	2К К (е2—1)	2	/РГ
/г = v	— = —'	= via,	(6Б. 16)
где Voo — остаточная скорость движения на	бесконечности. Далее, имеем:
К	К	К	/птл
а ~ h ~	2К ~ v* ■	(0Ь.17).
у2 	 00
Г
Из (6.56) следует, что
Ь = Уар.	(6Б.18)
jr.2^2 COS-0
Так как р=—т?	, то, используя (6Б.18), находим:
г
или
k  rv 0	_	rvvv	  г2й	С	/Н Г \
у/*-™	(6ЬЛ9/
b — rv cos 0 J/^-J- .	(6Б.20)'
Эксцентриситет гиперболы равен
а+Гп i+-~	(6Б.21)

6В]
ПЕРЕХОД МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ И ПРОЧИМИ ОРБИТАМИ
249
cos 9= Vtgm = г— 	(6Б.25)
rv /л	rh	Y	л	'	"	’
или, в другой форме,
-вд-1-	(№'22)
Для произвольной точки на гиперболе связь между эксцентрисите¬
том, радиусом-вектором, скоростью и углом наклона приобретает вид
е =	,	(6Б.23)
Из первого уравнения (6.55) следует простое соотношение между ей ф.
Замечая, что — — у — = \/'е2 — 1, имеем:
а V а г
е — У1 -j- tg29 = sec ф.	(6Б.24)
Аналогично с помощью (6.55) можно установить зависимость между ф
и 0. Пользуясь уравнениями (6Б.21) и (6Б.18), находим, что угол 0 на рас¬
стоянии г от центра притяжения при скорости движения и равен
К	К	tg	ср
'T+2I~i/rK
причем tg ф можно также выразить через скорость движения с помощью
уравнения Пирке (Pirquet)*):
,	Ъ	vоо	2vii—kKjr	/пр	г)г\
tg ф ^= HJb = 2К/Ь ’	<6Б-26>
которое получается путем умножения числителя и знаменателя дроби
2 к
Ь/а на величину 2К и последующей замены а на К/и^. Формула — = (vp)b
определяет величину параболической скорости на расстоянии Ъ от фокуса.
С помощью уравнения (6Б.26) Пирке методом проб и ошибок определял
расстояние Ъ для асимптоты гиперболической орбиты, двигаясь по которой
космический корабль в вершине гиперболы оказывается точно на рас¬
стоянии гу от центра притяжения. Величину Ъ можно, однако, вычислить
непосредственно из уравнения (6Б.21), причем для этого достаточно
иметь те же начальные данные. Тем не менее уравнение Пирке весьма
полезно для быстрого нахождения угла ф по величине гиперболического
избытка скорости, являющегося очень важной переменной в задачах аст¬
ронавтики. Из уравнений (6Б.26) и (6Б.19) находим:
<6Б-27>
Соотношения связи между временем и положением тела на гипербо¬
лической орбите рассматриваются в работе [1].
Приложение 6В
Переход между гиперболической и прочими орбитами
При гу = гА (т. е., следовательно, и при vv = vA) получаем следую¬
щие соотношения. Из (6Б.16) находим:
vv^l/’~ +	V1	+	е-4	>	(6В-1)
г г А	г	’	А
*) Это соотношение было впервые установлено Гвидо фон Пирке (см. журнал»
«Die Rakete», № 12, 1928).

250
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. С
где е — ооозначение гиперболического избытка, выраженного в единицах
местной параболической скорости:
Уо°	(6В.2)
У 2К/г
в частности, еа = —^===-. Обозначая, далее, отношение апсидальных рас¬
стояний переходного эллипса как п = ^, можем выразить скорость в
гр
апогее следующим образом:
-..“/Зггрг-	(«•»
Изменение скорости в апогее при превращении гиперболической орбиты
в эллиптическую (или наоборот) равно
Ни л = i vv — vA	1	+	е	л	-	'у^з=й") ‘	(6В.4)
Скорость в перигее переходного эллипса есть
Vj, = П1'л = П jX•	(6В-5)
Если спутниковая орбита (начальная или конечная) круговая, то
г,с=/А==	(бв.б)
и изменение скорости в перигее при переходе с эллиптической орбиты
на круговую (или наоборот) будет
AvP =
<6В-7>
Полное изменение скорости, необходимое для осуществления пере¬
хода гипербола эллипс —^круговая орбита или наоборот, согласно
рис. 6.28, будет
О АР — AUa +	---	j/^	l/1 + 8 А + "|АуХ7г — j/ "2^) •	(618.8)
Очевидно, переход на круговую орбиту требует большего расхода
топлива, чем в случае, когда конечной (или начальной) орбитой является
эллиптическая спутниковая орбита. В этом последнем случае потребная
характеристическая скорость составит
1/ 1+еА— .
Ai; '  	1	' ' "	.	(6В.9)
аАР	■	I	I п~1	,/ п
1	1 1	г I 1	■„	V 2
При прямом переходе с гиперболы на круговую орбиту (или обратно),
когда п = 1, находим, что Аил== оЛР. Напротив, чем более вытянута
эллиптическая спутниковая	орбита	(т. е.	чем	больше	п),	тем	меньше	ста¬
новится отношение	т.	е. тем	более	выгодно оставаться	на	эллипти-
<*АР
ческой орбите, не переходя на круговую.

6Г]
УХОД И ЗАХВАТ
251
При rv— Г[ (vv~ иР) имеем (рис. 6.30):
и^ъ/'ЖуТ+Я,	(6В.10)
Г / р
где гР = —1°°—~ . При переходе с гиперболы на эллипс в его перигее
У 2К/Гр
(или обратно), когда vP nvA	^	” - Д-- , имеем:
AVp ■■■-- ! tv - Vp i -= Щу ч У 1 к е*' ~ ]/" | " ) - (вв. 11)
а при переходе с эллипса на круговую орбиту в апогее эллипса (где ис =
— ж/	“ - v - ■/	,	ч	I	имеем:
г А	У J,p	1	Г	/г	(1	—|— /г) J
/f-	[ /1-рЧтЬ:--f]	'	,,iB■12,
Полное изменение скорости в этом случае составит (рис. 6.30)
OpA = Avp-\	Ava^	l/---	Г | I	р. |/" -	,	,	1 •	ЮЫЗ)
Г fp	I.	Г Л	| /г (1	n)	.J
Экономия при переходе	с	гиперболы	на эллипс (или	наоборот)	будет выра-
v к а т ь ся фо рм у .тг о й
1	1	+	ер-
„ ' г. ..Г.-Л- ”	.	(6ВЛ4)
““ уг-нЧнУ" ■ '-1"
/А
Сравнение переходов с гиперболы на эллипс (или обратно) в его перигее
и апогее дает
Vi+Щ— л/-уп
\Vp	Гт Vp .	f	V	1-1-7?	r.	,_v
 — — |/ ri	.	(GB.	IO)
дг,А n Va	   /	i
V11 nE* V i - n
Здесь в знаменателе e\ было заменено эквивалентной величиной пг\>.
Соотношение (6В.15) показывает, что, как правило, предпочтительнее
делать переход в перигее, так как АиР <С АиА. При п —>* оо оба способа
перехода становятся равноценными и г —]/3.
Приложе/сие 6Г
Уход и захват
Будем обозначать, как и ранее, скорости и расстояния относительно
Солнца большими буквами, а относительно планеты — малыми. Индексы
с и р будут характеризовать условия, соответствующие круговому и пара¬
болическому движению, а индексы А и Р будут означать расстояния апо¬
центра и перицентра. Гравитационные параметры Солнца и планеты

252
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[гл.
будем обозначать как Kq и К соответственно. Далее, в проводимом ана¬
лизе мы будем рассматривать задачу перехода с орбиты, близкой к Солнцу
(перигелийная орбита), на орбиту, удаленную от Солнца (афелийная орби¬
та). Однако можно было бы принять за основу для анализа и процесс
обратного перехода.
Гелиоцентрическая скорость отрыва от планеты равна Vlf а началь¬
ная гелиоцентрическая скорость движения корабля равна орбитальной
скорости планеты U. При нетангенциальном гелиоцентрическом уходе
угол между векторами U и Vi есть р. Та компонента гелиоцентрической)
скорости, которую нужно прибавить к U, чтобы получить Fi, представляет
собой гиперболический избыток скорости , остающийся после выхода
корабля из поля притяжения планеты (рис. 6.40 и 6.33):
Ооо = уи* + V\ - 2UV1 cos Р.	(6Г.1>.
При тангенциальном отрыве вместо этого имеем просто
vm = Vi-U.	(6Г.2),
Еслп отрыв имеет место в перигелии переходного эллипса, то
Яр Ял + Яр
(6Г.З)
Относительно планеты (Земли) скорость гиперболического ухода выразится,
формулой
=	+	(6Г.2
Если корабль находится на круговой спутниковой орбите радиуса г
и если сама планета движется по круговой орбите вокруг Солнца, имея
скорость U —	(где R — liP для переходной орбиты), то двигатель¬
ная система корабля должна сообщить ему начальный импульс скоростиг
равный всего
/4-= [!L+% (/^=- ОТ - /?■ (Т.Ч
так как корабль, будучи спутником планеты, уже имеет круговую ско¬
рость |/^. Добавочная энергия, которая должна быть сообщена
кораблю, должна быть достаточной как для преодоления притяжения
планеты [9]:
Е dr = ASpi,	(6Г.6)/
так и для преодоления притяжения Солнца:
ijEdR = AEQ.	(6Г.7)
RP
При заданной величине AEq, т. е. при заданных расстояниях пери¬
гелия и афелия, может изменяться только АЕР\ в зависимости от радиуса г.

УХОД И ЗАХВАТ
253
Интересно определить такое значение г, при котором функция
p—--f(r)	(6Г.8)
оказывается минимальной, так как при этом значении г энергия, необ¬
ходимая для перехода с орбиты г на гелиоцентрическую орбиту RА, будет
минимальна. Разумеется, энергия, необходимая для перехода со спутни¬
ковой орбиты г в точку ЯР, равна энергии параболического ухода от пла¬
неты и все траектории гиперболического ухода требуют больших расходов
топлива. Однако среди них существует по крайней мере одна, иа которой
потребная энергия перехода оказывается минимальной. Необходимо под¬
черкнуть, что указанная минимизация относится только к маневрам им¬
пульсного перелета и может не иметь места применительно к маневрам
ухода с малой тягой.
Чтобы определить искомый радиус г, возьмем частную производную
по г от выражения (6Г.5):
д(^у)		1<_ Г	2	 L	-	\	(6Г	9)
* №
Приравнивая правую часть этого уравнения нулю, получим два решения,
а именно:
Гр ^ 0 или гА= ОО	(6Г.10)
.и
V—
V Яп -
Яп V V Яр А-Я
-1
(6Г.11)
Обсудим здесь решение (6Г.11). Это решение означает, что радиус г
должен определяться из того уело пня, что энергия ухода от планеты
равна разности потенциальной энергии относительно Солнца между пери¬
гелием и афелием орбиты. Действительно, уравнение (6Г.11) можно
представить в виде
4%г-«.	«ЗГЛ2,
я,, V У /?,. нл 1
так что функция f(r) в уравнении (6Г.8) оказывается равной 0,5. В этом
.случае скорость при отрыве будет
v = | 2“ ]/-25- ----- I 2 (vp)- = 2 |/4- = 2 (VC)T,	(6Г.13)
а импульсный прирост скорости при отрыве
Ди
= ]/К .	(6Г.14)
Г Г
Интересно отметить внешнее сходство формулы v ) 2vp с формулой
для параболической скорости vp~ y2vc. Это значит, что чем больше
разность в потенциальной энергии относительно Солнца, тем больше долж¬
на быть скорость ир, а сле/довательно, тем меньше должен быть радиус

254
а Г К Ж11Л АIIЕ ТI IЫ Е IIО Л Е ТЫ. ] I Р ] Г Л ОЖ ЕН И Е
[ГЛ. G
начальной спутниковой орбиты вокруг планеты. При полете с Земли
с увеличением гелиоцентрической дальности полета высота спутниковой
орбиты снижается и, например, при полетах к Урану и далее радиус спут¬
никовой орбиты оказывается меньше радиуса Земли. Изменение начальной
скорости при изменении г показано на рис. 6.35 [9]. Решение (6Г.10) соот¬
ветствует случаю, описываемому уравнением (6.70).
Г1 риложеиие 6Д
Анализ ошибок
6ДЛ. Анализ ошибок в поле центральной силы. Если тяга действует
сравните.’!ьно короткий промежуток времени полета, то параметры дви¬
жения в момент выключения тяги играют особенно важную роль. В даль¬
нейшем эти величины будут помечаться индексом 1.
Можно показать, что ортогональный импульс скорости dvw воздей¬
ствует только на наклон орбиты и долготу ее узлов, не влияя на четыре
других элемента, а именно: на величину большой оси. эксцентриситет,
ориентацию большой оси (т. е. на положение точек апсид) и на среднее
суточное движение. Влияние ортогонального импульса скорости на наклон
орбиты и долготу узлов характеризуется следующими уравнениями (см.
раздел 6.3.10):
<н
()VU
COS (Г| — Г| ^),	(6Д.1)
,о I sin(T|—110)
f А  	(6Д.2)
0vw Va	Sill I	v	'
Зависимость частных производных di/dvw и ОД ;'dvw от величин г], ц д,
и i рассмотрена в работе [1J и не входит в рамки настоящего обсуждения.
Для численной оценки влияния ошибок в ортогональном импульсе ско¬
рости величины ц, т]д и i должны быть известными (см. раздел 6.3.10).
Обратимся теперь к ошибкам в плоскости орбиты. Влияние ошибок
в радиальной компоненте скорости на величину большой полуоси дается
выражением
do	la2 Vy .	/г* тт о\
-С,. зг-smti.	(6Д.З)
Строго говоря, если 0, то будет существовать и некоторая ненулевая
радиальная компонента скорости vT. Влияние диг на другие элементы орби¬
ты выражается соотношениями:
де	С	.	,/ 1-f-ecosr) .	/ртт	/ч
,(1,	К.	SIM	Г,	V - А >	ЯИИ'-
; SLn т1’	(6Д-5)
()иг а 1 —е2
 cos 11 —	(ОД.6)
dvr е//г(1 — е°-)
Здесь ,ч = — — средняя угловая скорость движения, Т — период
обращения по орбите. Как видим, ошибка в радиальном импульсе скоро¬
сти, приложенном в точке апсид (sin г| = 0), не оказывает влияния на дру¬
гие элементы, кроме положения самой точки апсид, так как угол г| изме¬
нится согласно уравнению (6Д.6). Указанный эффект достигает максимума:

АНАЛИЗ ОШИБОК
255
при приложении импульса, содержащего ошиоку, в точке первоначаль¬
ного перицентра пли апоцентра. При приложении импульса в точках пере¬
сечения фокальной хорды с орбитой, т. е. при ц 90° и т\ 270°, этот
эффект равен нулю. Смещение перигея возрастает при стремлении орбиты
к круговой (е -*0) или параболической (h ->-0).
Влияние ошибок в трансверсальном импульсе скорости па элементы
орбиты определяется уравнениями:
да 2а2	/Г1]
»а>	(М-0
</va	К
де	С
— I Пш 	 /•“	I	-—:
*:- & <(■*—■")= ttttw О-л-Л.	(«Д.»)
причем va~- , где С — постоянная площадей во втором законе Кеплера;
^=|/EE^silMV	(«д. к»
Остается еще выяснить влияние произвольной комбинации радиаль¬
ных и трансверсальных ошибок в скорости на радиальное расстояние тела
в любой точке орбиты. Помимо компонент скорости vr и va, введете в рас¬
смотрение скорость vv тела в момент прекращения действия тяги на рас¬
стоянии г1 от центра притяжения при наклоне траектории 0! относительно
местного горизонта. Далее, напишем уравнение конического сечения
в полярных координатах г — i_i_^cos ^ ’ гДе V — фока.тьная полухорда,
в виде
v =	\ ,	(6Д. 11)
К (1-j-e cos г|)	v	/
где /'.и г] относятся к произвольной точке орбиты. Вспоминая, что К ?\vf:
(vc — местная круговая скорость на расстоянии /д), имеем также
=	+	(бд.12)
и, кроме того, tg01 ~ --- и i^cos©^ va; теперь можем переписать урав-
иа
пение (6Д. 11) в виде
i =	(6Д'13)
*<">=/(М¥ТГЧ¥7(¥)!-	<вдл4)
Уравнение (6Д.13) определяет радиальное расстояние в функции истин¬
ной аномалии	ц после выключения	тяги при скорости	к?,-]-	и;.. Если
интересоваться	лишь положением	точек апсид г — Гр	или	г	г А, то
cos т] должен быть взят равным ±1. Если vT~- 0, то точка выключения
тяги /д совпадет с одной из точек апсид.
На рис. 6Д.1 дан обобщенный график уравнения (6Д.13), показываю¬
щий изменение расстояний апогея и перигея (гА/г^ и гр/тд ) в зависимо¬
сти от трансверсальной компоненты скорости в момент выключения тяги va

256
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
(в единицах местной круговой скорости) при различных значениях отно¬
шения ur/vc, рассматриваемого как параметр. В таком виде данный гра¬
фик пригоден для произвольного поля центральной силы. При vjvc = 1
и vr/uc= 0 имеем круговую орбиту. В этом случае ошибка в радиальной
компоненте скорости оказывает наибольшее влияние. Однако уже при
Рис. 6Д.1. Спектр ошибок при выходе на орбиту и липни постоннных
радиальных скоростей (ошибка в расстоянии д?-=0).
«сравнительно небольшом отклонении иа/ ис от единицы это влияние замет¬
но уменьшается, как можно видеть из рис. 6Д.1. На рис. 6Д.2 уравнение
(6Д.13) представлено в более широком диапазоне изменения переменных
[40]. Здесь в обобщенном виде приведен ряд примеров различных поле¬
тов как в гравитационном поле Земли, так и в гравитационном поле Солнца
(последним соответствуют прописные буквы). Наклоны кривых, показан¬
ных на рис. 6Д.1 и 6Д.2, характеризуют чувствительность орбит к ошиб¬
кам в va и vr. Очевидно, что если касательная к кривой горизонтальна,
d(r/ri) а
т. е.	у	= то указанная чувствительность равна нулю и равна
бесконечности, если касательная вертикальна. Общее уравнение, харак¬
теризующее чувствительность траекторий к начальным ошибкам в

АНАЛИЗ ОШИБОК
257.
скорости, получено в работе [11]:
, 0 7*
1 -f X (v) cos Т] — —--- ^ COS
^ 2   х.__^)	2
[1-f-X (v) COS Г]]2
(6Д.15)
Это уравнение в самом общем виде выражает ошибки движения в цент¬
ральном поле для любо!] комбинации ошибок иг и иа. При прекращении
/Ж
т
73
Ъ/П; Яа/Я7
Гр/Г7 ; fip/ft7
0,7
II
’3 0 Л70
ШХ // L
§ $5
4лог&
лла ер
У7уям
\зол7е .
)
— 4р
т
Зем,
елее ot
го оллй
гл-Мер
^ % А
игелш /
Зе
1
4
7e/7eS06
4/ЛЯ-А
оогеа /
I L
Уллглол
tope
vo 34-
9рЗо/Л6
яолса
ллеоео.
УЛ0/70Л,
Зел
а/
Зерегел
оЗлогос
ля-Ш
1
71/3
ШШ7
о/лер
•^^лрелеё лер
ОЛЛ1/Л(.
Земля—Зе.
	1
гхеЗяог
?а
лере
7
1
|
Va/Vc
V7
Рис. 6Д.2. Ошибки и расстоянии как функция ошибок в начальной скорости
при полетах в системе Земля — Луна и в солнечной системе.
тяги в одной из точек апсид = 0^ это уравнение сводится к
Уд \
Vn )
[Kt)7
(6Д.16)
Данное соотношение представлено	графически на рис. 6Д.З	[2]. Если
ошибка А и мала	по сравнению с	v	(что обычно и имеет место),	то можно
использовать уравнение (6Д.15) или (6Д.16) в дифференциальной форме.
Тогда, если — ф	0, то величина	!\1\ при заданном и может	быть иай-
Vc	д(иа!»с)	1
дела из уравнения (6Д.15) и искомая ошибка в расстоянии для данного
vr!vc выразится в виде
(А/ )yj> Vr/Vc
Г] )
Д vn
(6Д.17)
где Ауа — абсолютная ошибка в трансверсальной компоненте скорости,
выраженная в соответствующих единицах (например, в фут!сек). В случае,
17 Космическая техника

258
МЕЖИ Л ЛНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. II РИЛ ОЖЕН ИII
[ГЛ. н
когда — = 0, ошибка в расстоянии точки апсид, противоположной
точке прекращения тяги, согласно (6Д.16) будет
Агар* =■• —
(ОД. 18)
С помощью уравнений (6Д.16) и (6Д.18) находим, что смещение точки афе¬
лия апсидалыюи переходной орби¬
ты Земля — Марс равно примерно
6000 морских миль на каждый
1 (рут!сек ошибки в скорости в пе¬
ригелии. Для переходной орбиты
па Венеру смещение ее перигелия
составляет около 2000 морских миль
на каждый 1 фут/сек ошибки в ско¬
рости в афелии (т. е. на орбите
Земли).
Более важным, чем изменение1
апсидалытого расстояния вследствне
ошибок в величине начальной скоро¬
сти движения по переходной орбите,
является изменение истинной ано¬
малии точки пересечения переход¬
ной траектории с целевой орбитой.
Истинная аномалия точки пересе¬
чения уменьшается при завышении
этой скорости и увеличивается при
ее занижении. Зная величину ошиб¬
ки в скорости А к, можно вычисл ить
обусловленное этой ошибкой. Как можно
Рис. 6Д.З. Скорость изменения апсидаль-
ного расстояния с изменением величины
апсидальной скорости.
смещение точки пересечения
показать [1],
2v / о,
Дг| К/а \ г
J
г в
Av
sin TJ
(6Д.И))
гается, что 1), v
V
где sin ц соответствует истинной аномалии первоначальной (расчетной)
точки пересечения переходной орбиты с целевой, г — радиальное расстоя¬
ние точки пересечения от центра притяжения (которое примерно постоянно,
если целевая орбита близка к круговой), v — скорость движения по расчет¬
ной (точной) траектории в точке, где возникает ошибка А и (предпола-
Av\\^ v	элементы	а и е характеризуют точную пере¬
ходную орбиту. Найдя Ар для заданной ошибки А к, тем самым находим
и смещение точки пересечения. Например, при перелете к Марсу по быст¬
рой переходной гелиоцентрической орбите (рис. 6Д.4) смещение точки
пере сече ния р а в но
Агб =/?2Дг|,	(6Д.20)
где Дг) измеряется в радианах.
Указанное смещение будет тем меньше, чем более быстрой является
переходная орбита. Так, при тангенциальном полете к Марсу ошибка

ОД I	АНАЛИЗ ОШИБОК	2Г>Й
и скорости на 1 фут!сек вызывает смещение А/> около миллиона миль,
тогда как при полете продолжительностью в 160 суток смещение Агс-
па 1 фут/сек ошибки в скорости
составляет около 10 ООО мор¬
ских миль.
6Д.2. Анализ ошибок при
движении в поле двух притяги¬
вающих центров. Вектор разно¬
сти между орбитальной скоро¬
стью планеты U и начальной
ге л и о це нтрич е с ко й с к о р о ст ыо
космического корабля F* оп¬
ределяет	величину	гипербо-
л иче с к о г о	и з быт к а	с коро сти
^оо, для обеспечения которо¬
го корабль должен обладать
соответствующими характери¬
стиками:
(J- sin2 Р	(Д17|)2 ^	(6Д.21)
где A Vi V1— U cos р, а |3 —
угол между векторами Г и V
В случае тангенциального гелиоцентрического перелета (3 —- 0, откуда
\Vi-U\ = voom	(6Д.22)
В любом случае результирующая гиперболическая скорость ухода от пла¬
неты будет
-г At’w-	(6Д.23)
Здесь |/ 2А г1— местная параболическая скорость на спутниковой илане-
тоцентрической орбите радиуса rl5 A vw— ортогональная компонента ско¬
рости, которая отлична от нуля лишь в том случае, когда предусматри¬
вается придание некоторого наклона переходной гелиоцентрической орби¬
те. Будем здесь полагать, что Avw равно нулю. Тогда гиперболический
избыток скорости выразится как
Voo = У U- + V\ — 2U V\ cos (3.	(ОД. 24)
Положение вершины гиперболической траектории ухода корабля полно¬
стью определяется вектором скорости щ в момент отключения тяги неза¬
висимо от того, имеет это место в вершине гиперболы или нет. Расстояние
этой вершины от центра планеты совпадает с расстоянием перигея г7>.
Эксцентриситет гиперболы равен
е = 1 + vt0,	(6/ 1.2л)
а половина угла между асимптотами (рис. 6.33)
se.c(p = e.	v	(6Д.26)
Как видим, ошибка в расстоянии гР, так же как п ошибка в величине или
направлении скорости щ (в соответствии с уравнением (6Д.23)), будет
вызывать ошибку Аф в направлении гиперболического ухода от планеты.
В свою очередь это повлечет ошибку в направлении гелиоцентрического
Рис. 6Д.4. К вопросу об определении ошибки к
местоположении, вызванной ошибкой в начальной
гелиоцентрической скорости, при полете к Марсу
по быстрой переходной орбите.
17*

260
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
ухода, вследствие чего изменится и ориентация в пространстве оолыиой
оси переходного гелиоцентрического эллипса. В этом заключается сущест¬
венное отличие от движения в поле одног.о притягивающего центра, где
‘ориентация большой осп зависит только от ошибок в направлении скоро¬
сти в точке апсид, а не в ее величине. Рассматривая только малые ошибки,
можем приближенно написать (рис. 6Д.5):
Ар
cos Ар ^ П ,
Г, — U + ь\,
V' = U + у*, cos Дер,
Д V7-	«	д	Р cv ,\ Рос
тг= sin Аср _^Дф_
где
2Г1-
а "ос.
A V7,.: Vco sin Аф - vx sin
К/п
(6Д.27)
(6Д.28)
(6Д.29)
(6Д.30)
(6Д.31)
аос ф
В пределах предполагаемой точности управления ошибка Др будет
очень малой. При полетах к Венере и Марсу ошибка AVr ограничивается
пределами 5<ДРГ<15 фут /сек. При скорости Vy порядка 80 000-:-
115 000 фут!сек отношение AVv/Vy, а следовательно и Др, будет очень
малым.
Коэффициенты ошибок для гиперболической траектории ухода выра¬
жаются следующими уравнениями:
да	2а2
dv, ~ К Vu
4^- = --(e + cosr|1),
dvy Vy 4	,A/
(6Д.32)
(6Д.ЗЗ)

ОД]	АНАЛИЗ	ОШИБОК	2(51
где е — эксцентриситет расчетной гиперболы, а г]х— истинная аномалия
точки выключения тяги на расчетной орбите;
2 ( 1+	)	cos	0	j
 	(6Д.34)
dvy	Voo	see2	cp	' °	'
n	j	i-\-e	cos	ri.
где =: arccos  J угол наклона расчетной траектории к мест¬
ному горизонту в момент выключения тяги. Для ошибки от радиальной
компоненты скорости при отключении тяги имеем:
(6 Д. 35);
Ое vr С2
l)vT	'
е1
где С = г2\) =	• К sin ц — постоянная закона площадей;
vr
sin Ti (sin ф — cosec ф)	(6Д.36)
и для ошибок от трансверсалыюй компоненты скорости
АД "ЖагТ (/;2 f3) (cosec Ф - sin ф)>	(6Д.37)
/ , , 1
2М v^dVa-j-- vav,.dvr
d'\    	 л- 	  •	(6Д.38)
— J l,g cp see2 cp
Для ошибки в величине скорости в перигее иР имеем:
d с,;	/У(р “V ‘
1-
(6Д.39)
(6Д.40)
(<■>; ь 41)
dvp c)vP	Vrx'	sec2	cp	’
_ _Vp_
dvp vx,
и аналогично для ошибки в любой другой точке орбиты г у
civ со   Vy
dl'y	Voo	’
dv^ = ^^vVlv': .	(6Д.42)
Voo
Определив из написанных уравнений Дер и Ду*, можно с помощью выраже¬
ний (6Д.27) — (6Д.31) вычислить F', AVr и Д|3. При этом нужно прини¬
мать во внимание, что сначала необходимо найти скалярную величину zv,
моспользовавшись для этого уравнениями (6Д.40), (6Д.41) или (6Д.42).
Затем это значение подставляется в уравнения (6Д.27) — (6Д.31). Найдя
отклонение начальных условий гелиоцентрического движения от расчет¬
ных условий, можно определить элементы новой гелиоцентрической пере¬
ходной орбиты и оценить, насколько изменится время полета сравнитель¬
но с расчетом его по уравнениям движения в поле одного притягивающего
центра (разделы 6.5.2 и 6.5.4).
Пренебрегая ошибками в радиальной компоненте скорости, что, как
указано выше, вполне допустимо, мы можем выразить гелиоцентрическое
расстояние Я (отнесенное к начальному гелиоцентрическому расстоянию
By) в функции истинной аномалии t)q в зависимости от величины:

262
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛ ЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
начальной скорости VL ( в единицах местной круговой гелиоцентрической
~v%
(6Д.43)
скорости Vc= у д J в виде
1 *2
В__ _Ff
Я ]	1	_j_	(1 — у*2) cos г|^
где V*----- J При тангенциальном перелете между круговыми пла-
V
иетными орбитами можем написать [см. уравнение (6Д.22)]:
Л ^ '{i-cYvt-—vf)1	,
R,	1+cos г|0 [1 —(i_: yv*i-_v™y] ’	(
V,	*	I 2 K/r.,	*2	,2
где v\ —	,	v;,	—	— F, а разность у; —у:, можно записать как
1	у*0/д,	у%/Д)
у*о- Найдя для данного г)0 две величины iFAftj и R" /Ri, соответствующие
двум значениям у:^ и у*^, мы можем построить соотношение
д, _ ^ 1+^у 1+С03.Т|э[1-(1 + ОЧ
Л' “ V	Д 1 —{— cos r|j, [l_(i+0^)2j ’	(ОЛ--Ш
где, считая, что |3 =- 0 и U ус, выразим скорость у.*-, через гелпоцентрп-
чес к не величины:
»”=|Дт|1!Д'40)
причем Яр а обозначает либо ЯР, либо Ял, смотря гю тому, лежит ли целе¬
вая орбита вне или внутри орбиты планеты старта.
Как и в случае движения в поле одного центра притяжения, чувстви¬
тельность к ошибкам в начальной скорости (для малых значений этих отпп-
бок) характеризуется градиентом d -j^-J/du*. Дифференцирование выра¬
жения (6Д.45) дает
/ Я \
t ч и] )	1	;г	С,, '1 — cos 1.1 — (I С )-| i + (t -г СА
clvf	t&,	ll-i-cosri^ll — (1-f-^)2]!2	’	1
Если интересоваться только изменением расстояний точек апсид, то
cos г)^ — 1 и уравнение (6Д.47) сводится к
R, ) H-f*
rfi ‘'"’i
(6Д.48)
dv\	vу	•
В случае, когда Р 0, то (I = Vc и уравнение (6Д.47) .может быть упро-
rL
Vo
щено, так как i>:XJ ■	—	Vc,V*	—	~~-	и,	значит,
,./ ( RaPs ^
V Я-i У F" /lVr	/ с j г /со
dv{ ■" Vf — i (2 — у*2)2	^
причем при переходе по орбите минимальной энергии V\ — j/"	• Если
ошибка Ду4 мала по сравнению с Fc (что практически всегда имеет место),

ад
АНАЛИЗ ОШИБОК
263
то изменение AR при заданном t)q определяется уравнением (6Д.47). Сред¬
нее расстояние Земли от Солнца В = Вф, из чего заключаем, что
(«Д.гч»
Для смещения точки апсид получаем
С1 ^ ^a]JS 3
лдаР8 =	% ):•.	(6Д.51)
При движении по тангенциальной апсидальной переходной гелиоцентри¬
ческой орбите смещение точки апсид при ошибке в 1 фут/сек в начальной
скорости гиперболического ухода, ВФ = 80,8184-106 морских миль и
Vc=-~- 97 770 фу т/сек будет
cl ( PS
ДД,р« = 826,0179	“ .	(6Д.52)
dvl	фут/сек	х ^	7
Уравнение (6Д.48) в графическом виде представлено на рис. 6.41 [4].
Этот рисунок представляет комбинацию двух графиков типа тех, которые
показаны на рис. 6Д.З и иллюстрируют чувствительность к ошибкам
в поле одного притягивающего центра. При V*-- 1 производная (т. е. чув¬
ствительность к ошибке) обращается в бесконечность. Это согласуется
и с результатами анализа ошибок в центральном поле, где также имеет
место обращение чувствительности в бесконечность при уходе по параболе.
9 К’
Таким образом, случаи Г* ■ 1 и — ~ оказываются аналогичными в обе¬
их задачах. Это означает крайне высокую чувствительность к ошибкам ор¬
биты корабля, мало отличающейся от орбиты Земли. Эта чувствительность,
одиако, резко падает при небольшом изменении расстояния от Солнца —
как при увеличении его, так и при уменьшении. Интересно отметить, что
обе ближайшие к Земле планеты лежат вблизи точек минимума при новом
подъеме обеих ветвей кривой чувствительности. Правая ветвь уходит
в бесконечность при V* ~= j/2, тогда как левая проходит через максимум
(ие показанный на рисунке) и затем убывает до нуля (вертикальное паде¬
ние на Солнце), так как из уравнения (6Д.49) следует, что npnF*— 0
градиент обращается в нуль. Разумеется, все это будет справедливо,
только если |3	^ 0. График на рис. 6.41 соответствует именно такому
случаю.
Что касается влияния ошибок в начальной скорости на период пере¬
ходной орбиты, то оно выражается формулой
% =Пдг' "к V "к -	(ад-53)
Эта формула относится к случаю движения в поле одного притягиваю¬
щего центра. Для использования ее при расчете ошибок движения косми¬
ческого корабля, совершающего межпланетный перелет в поле Солнца,
нужно сперва вычислить начальную гелиоцентрическую скорость. В этом
случае под величиной а следует понимать, разумеется, большую ось пере¬
ходной гелиоцентрической орбиты.

264
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. б
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
а — большая полуось орбиты;
Ъ — малая полуось;
С — константа в кеплеровом законе площадей;
с — скорость света; линейный эксцентриситет орбиты;
Е—эксцентрическая аномалия;
е — эксцентриситет (безразмерный);
G — постоянная тяготения;
g — ускорение силы тяжести;
Н — дополнительный угол гиперболической орбиты;
h — постоянная энергии орбитального движения;
L — наклон орбиты;
К — гравитационный параметр;
к — гауссова постоянная;
М — масса центрального тела; средняя аномалия;
иг —масса;
п — отношение расстояния апогея к расстоянию перигея;
р — параметр орбиты (фокальная нолухорда);
рг—давление излучения;
R — расстояние от Солнца или расстояние от основной массы; отражатель¬
ная способность;
г — расстояние от планеты (в общем случае — радиус-вектор);
/•—оптимальное расстояние от планеты для осуществления однонмпульс-
иого маневра захвата или ухода;
S — солнечная постоянная;
Т — период обращения; время путешествия:
Тр — эпоха прохождения через перигелий;
t — время;
t — время выжидания;
U -орбитальная скорость планеты;
У —скорость корабля относительно Солнца или иного центра притяжения;
и — скорость относительно планеты; скорость вообще;
и — скорость ухода или прибытия на орбите радиуса г;
v% — скорость гиперболического ухода, выраженная в единицах круговой
скорости на орбите Земли У
уоо—гиперболический избыток скорости после ухода;
.г, у, z — система координат;
у — высота;
а — изменение направления скорости, вызванное приложением ортогональ¬
ного импульса;
Р — угол пересечения между компланарными траекториями;
е — сжатие планеты;
8 — гиперболический избыток скорости в единицах местной параболическом
скорости;
е
г --	,	где р — параметр орбиты;
£ — угол между векторами скоростей иа0 и U\
г] — истинная аномалия;
у}'—истинная аномалия наиболее низкой точки переходной орбиты под
плоскостью орбиты планеты-цели;
0 — угол наклона траектории к местному горизонту;
©-—угол между вектором скорости космического корабля и направлением
на возмущающее тело;
н — среднее движение:
н — отношение масс:
v — скорость в единицах местной круговой скорости;
я—долгота перицентра, измеряемая относительно фиксированного в про¬
странстве направления;
o' —сумма двух приростов скорости, необходимых для перехода с гипер¬
болической на круговую орбиту через дугу эллипса или наоборот;
т — дробное время выжидания;
хг — время перелета, выраженное в единицах периода обращения;
ер — половина угла между асимптотами гиперболы:

ЛИТЕРАТУРА
265
\[ =	,	где	р — параметр орбиты;
со —долгота перицентра, измеряемая от восходящего узла;
О -восходящий узел; угол между линией весеннего равноденствия и вос¬
ходящим узлом.
Индексы
Л — апоцентр;
а — трансверсальпый (азпмутальный);
с - - круговой;
h — гиперболический;
I — характеристическая скорость, т. е. сумма приращений скорости и раз¬
личного рода потерь;
/7 -нормаль к направлению движения;
/> — перицентр;
Р — па раболический;
pi — планетный;
/■ — на расстоянии /■; радиально направленный;
st—старт;
V - вершина:
w — ортогональный;
г, у, z — компоненты направлений вдоль координатных oceii:
/--■ условия при выключении тяги или условия в пол ожегши У;
2---условия в положении 2;
3 -условия в положении 3;
со — на бесконечности относительно рассматриваемого небесного тела (т. е.
за пределами ощутимого воздействия его поля притяжения);
0 — гелиоцентрическая величина;
— геоцентрическая величина или параметр;
9--величина, относящаяся к Венере;
о —величина, относящаяся к Марсу.
Ли Т ЕРА Т УРА
К h v i с к	е	К. Л., Space Flight,	Vol.	1, Environment and	Celestial	Mechanics,
Princeton,	N. J., J). Van Nostrand. [Русский перевод: К. Э	р и к е, Космический
полет, т.	I,	Физматгиз, 1963.]
Е h г i с к	е	К. Л., Space Flight,	Vol.	2, Dynamics, Princeton, N. J.,	D. Van No¬
strand .
IT e r r i с к S., В а к e г R. М., Jr., and Hilton C. G., Gravitational and Rela¬
ted Constants for Accurate Space Navigation, paper presented at the Eighth Interna¬
tional Astronautical Congress, Barcelona, Spain, October 1957.
T i s s e r a n d F., Traite cle Mecanique Celeste, Tome IV, стр. 198, 1889.
II о h m a n n W., Die Erreichbarkeit der Himmelskoerper (Accessibility of Cele¬
stial Bodies), Munich, Oldenburg Publishing Corporation, 1925.
L a av den D. F., Orbital Transfer via Tangential Ellipses, J. Brit. Interplanet.
Soc. 11 (No. 6), 278—289 (1952).
L a \v d e n D. F., Minimal Rocket Trajectories, J. Brit. Interplanet. Soc. 23 (No. 6),
360—367, 382 (1953).
L a w d e n D. F., Entry into Circular Orbits — 2, I. Brit. Interplanet. Soc. 13
(No. 1), 27—32 (1954).
E li r i с к e К. A., A New Supply System for Satellite Vehicles, Pt. 1, Jet Propul¬
sion 24 (No. 5), 302—309 (1954).
E b r i с к e К. A., Instrumented Comets, Astronautics of Solar and Planetary
Probes, Proceedings of the Eighth International Astronautical Congress, Barcelona,
October 1957, Vienna, Springer Publishing Company, 1957; American Rocket Society
Paper 493-57.
Lawden D. F., Perturbation Maneuvers, J. Brit. Interplanet. Soc. 13 (No. 6),
329—334 (1954).
E h r i с к e К. A., Basic Aspects of Operations in Cisluiiar and Lunar Space, Ame¬
rican Rocket Society Paper 235 A-55, November 1955.
E h r i с к e К. A., Error Analysis of Keplerian Flights Involving a Single Central
Force Field and Transfer Between Two Central Force Fields, Convair Report ZM-7-551 v
January 1958.

266
МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. Г,
14. Е h г i с к е К. A., Interplanetary Mission Profiles, Gonvair Report AZM-023, April
30, 1958.
15. Presto n-T h о m a s LL, Generalized Interplanetary Orbits, ,1. Brit. Interplanet.
Soc. 11 (No. 2), 77, 78 (1952).
16. Presto n-T h о m a s H., Two Aspects of the Time Element in Interplanetary
Flight, доклад па V Международном астронавтическом конгрессе, Инсбрук,
5 — 7 августа 1954, Springer Publishing Co., 1955.
17. E hr i eke K. A., W h i t 1 о с k С. М., Chapman R.L. and P u r d у С. П.,
Calculations on a Manned Nuclear Propelled Space Ship, American Rocket Society
Paper 532-57. December 1957.
18. E hr i eke lv. A., Comparison of Advanced Propulsion Systems: Solar-Heating,
Arc-Thermodynamic and Magnetohydrodynamic Systems, Convair Report AZK-002,
December 1957.
19. В о s t i с k W. H., Experimental Study of Ionized Matter Projected across a Mag¬
netic Field, Phys. Rev. 104 (No. 2), 292—299 (1956).
20. К о 1 b A. C., Shock Tube with Coupled External Field, paper presented to the
American Nuclear Society, Washington, D. C., December 10—12, 1956.
21. S t u hlinge r E., Possibilities of Electric Space Ship Propulsion, доклад
на V Международном астронавтическом конгрессе, Инсбрук, август 1954, Sprin¬
ger Publishing Co., 1955.
22. Stuhlinger E., Electrical Propulsion for Space Ships with Nuclear Power
Source, J. Astronaut. 2 (No. 4), 149 — 152 (1955).
23. Forbes G. F.. The Trajectory of a Powered Rocket in Space, J. Brit. Interplanet.
. Soc. 9 (No. 2), 75—79 (1950)/
24. E h r i с k e K. A., On the Application of Solar Power in Space Flight, Proceedings
of the Seventh International Astronaut!cal Congress, September 1956, Associazione
Italiana Razzi, Roma, 1957.
25. Stuhlinger E., The Flight Path of Electrically Propelled Space Ship, Jet
Propulsion 27 (No. 4), 410 (1957).
26. M ichielsen II. F., The Case for the Low Acceleration Space Ship, Astronautica
Acta, Vol.	3, Fasc. 2, Vienna, Springer Publishing	Co., 1957.
27. P e r k j ]i	s F., Flight Mechanics of Low Thrust Spacecraft, paper	presented	at	tlie
AFOSR Symposium, Denver, Colorado, April 1958.
28. К u i p e r G. P., The Atmospheres of the Earth and the Planets, Chicago, Univer¬
sity of Chicago Press, 2-е изд., 1952.
29. В о к у л ё р Ж., Физика планеты Марс, перев. с франц., ИЛ, 1956.
30. Adams	W. S. and Dunham Т., Astrophys. J.	79, 308—316	(1938).
31. T i k h о v	G. A., Is Life Possible on Other Planets?	J. Brit. Astronaut. Assoc.	65,
193 (1955).
32. S t r u g h о 1 d H., The Green and the Red Planet, Albuquerque, University of
New Mexico Press, 1953.
33. Urey II. C., The Planets, Their Origin and Development, New Haven, Conn.
Yale University Press, 1952.
34. M e n z e 1 D. H. and W hippie F. L., The Case for IIoO Clouds on Venus, Pubis.
Astron. Soc. Pacific 67 (No. 396). 1955.
35. Dole IT. S.. The Atmosphere of Venus, The	RAND Corporation,	Paper P-978,
October 12, 1956.
36. Von В r a u n W., The Mars Project, Urbana, University of Illinois Press, 1953.
37. Gazley C., Jr., Deceleration and Heating	of Body	Entering	a Planetary
Atmosphere from Space, Vistas in Astronautics,	New York,	Pergamon	Press, 1958.
38. D о 1 1 f u s A., Compt. rend. 232, 467—469	(1951).
39. Ehricke K. A., Astronautical and Space Medical Research with Automatic
Satellites, in «Earth Satellites as Research Vehicles», Franklin Institute Monograph 2.
June 1956.
10.	E h r i с k e K. A., Error Analysis of Single and Two-Force Field Spacecraft Orbits,
in «Ten Steps Into Space», Franklin Institute Monograph 6, December 1958.
41. Copeland J., Interplanetary Trajectories under Low-Thrust Radial Accelera¬
tion, American Rocket Society Paper 648-58, June 1958.

Г .1 Л Н А 7
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРЙ ОТСУТСТВИИ
СИЛ ТЯГОТЕНИЯ И ПРИ ПОСТОЯННОЙ
СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ
Дэвид Б. . /энгмюр (David В. Langmuir)*)
§ 7.1. Введение
В предыдущих главах (особенно это касается гл. 1) было показано,
что преобладающее влияние на характеристики ракеты оказывает величина
удельного импульса и что возможные значения параметров ракеты жестко
ограничены величиной энергии, содержащейся в единице массы топлив¬
ной смеси.
Высокая плотность содержания энергии в ядерном горючем и прак¬
тически неограниченные скорости истечения, достижимые при использо¬
вании методов электрического ускорения, представляют собой крайне
заманчивую комбинацию для будущего ракетной техники; эти средства
н представляют собой предмет обсуждения настоящей главы. Как будет
иоказано, здесь важную роль начинает играть ряд факторов, несуществен¬
ных при изучении химических ракет; удельный вес силовой установки ста¬
новится основным параметром конструкции; продолжительность актив¬
ного ускорения, или «время выгорания», существенно влияет на такой
параметр, как отношение масс; слишком высокое значение удельного им¬
пульса отрицательно сказывается на характеристиках ракеты. Основные
технические проблемы заключаются в том, чтобы создать источник
мощности, обладающий небольшим весом, и разработать методы отбрасы¬
вания расходуемой массы (рабочего тела) с оптимальными скоростями,
которые оказываются значительно выше скоростей истечения, получаемых
в химических ракетах.
Ниже будет показано, что при существующем уровне техники ракета,
предназначенная для космических полетов и использующая электро¬
энергию для создания тяги, способна развивать активное ускорение, во
иного раз меньшее нормального ускорения силы тяжести. Несмотря на
это, такие ракеты обладают качествами, заслуживающими внимания при
изучении проблемы длительных космических перелетов.
В заключение будет рассмотрена система создания реактивной тяги
путем электростатического ускорения щелочных ионов.
.*) Автор признателен Корбену, Фриду, Ирвингу, Мэррисону. Шелтону.
Сейферту и Уэркеру за оказанную помощь.

268
ПОЛЕТЫ С МАЛОМ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ.
§ 7.2. Ракета с разделенными рабочим телом
и источником энергии
Рассмотрим космическую ракету типа показанной схематически
па рис. 7.1, которую можно назвать ракетой с разделенными рабочим
телом и источником энергии, так как у нее расходуемая масса не является
источником энергии, как в хими¬
ческих ракетах. Такие ракеты уже
/7//00мжшдиг изучались рядом авторов [1, 2,3].
- мшгг ус/юре-
шя =
/70лезнь/и груз
//cmowu/f
зяергии
М
Pafovee
mew
Мр
Ущ//0ст
W=A/c2/2
4
Mt0=Afp
Тяга=Р
Уе/гяршет
гт
fimpocm ишегешя = е
Шщая масса=Mg=ML +Мр +МШ
Рис. 7.1. Функциональная схема ракеты с
разделенными рабочим телом п источником
анергии.
Рабочее тело здесь — это та масса,
которая ускоряется и отбрасывает¬
ся для создания реактивной тяги.
Важным параметром ракеты
является вес силовой установки*)
Mw, тогда как массу расходуемого
«горючего» можно считать равной
пулю. При получении энергии в
процессе ядерной реакции деле¬
ния урана-235 или плутония участ¬
вовать в процессе фактически бу¬
дет лишь малая доля всей массы
ядериого реактора; даже в случае
полного использования делящего¬
ся вещества в цепной реакции
99,9% начальной его массы сохра¬
нится в реакторе в виде продуктов
деления. Поэтому вполне допусти¬
мо массу «горючего» включать в
общую массу реактора и считать
последнюю постоянной. Очевидно, что тот же вывод, хотя и по другим
причинам, можно сделать и в отношении силовой установки, использую¬
щей энергию солнечного излучения. Только когда-нибудь в далеком бу¬
дущем при использовании принципиально новых типов двигательных
систем на ядерном горючем вес расходуемого горючего может оказаться
значительным и его нужно будет учитывать (см. § 7.3).
В настоящем изложении будут изучаться характеристики ракеты
с разделенными рабочим телом и источником энергии при ее движении вне
поля тяжести в зависимости от отношения начальной массы к массе полез¬
ного груза (M0/ML), продолжительности активного ускорения t0 и при¬
ращения скорости AF, сообщенного конечной массе ракеты ML-\- Mw.
Другими важными параметрами являются удельный вес источника энер¬
гии а и скорость истечения с. Правда, указанные параметры не являются
единственно возможными или наилучшими для описания ракеты. Так,
вес источника энергии можно считать входящим в вес полезного груза.
Тогда, например, если сам источник энергии является полезным грузом
(к примеру, он должен быть доставлен на космическую станцию), то фор¬
мально величина ML может быть равной нулю. Точно так же и время t0
не обязательно должно представлять собой полное время полета.
Следует соблюдать большую осторожность, оценивая возможности
ракеты в конкретных условиях иа основании величины скорости ЛV.
*) Сюда входят вес источника энергии: и вес двигательной системы. (Прим.
порке.)

7.2] РАКЕТА С РАЗДЕЛЕННЫМИ РАБОЧИМИ ТЕЛОМ И ИСТОМ НИКОМ ЭНЕРГИИ 209
развиваемой ею в свободном от тяжести пространстве. Так, при уходе
ракеты с малой тягой от притягивающего центра по спиралевидной траек¬
тории необходимое приращение скорости AV в 2,4 раза превышает
прирост скорости, требуемый при импульсной тяге [4]. Однако изу¬
чение таких	вопросов выходит за рамки	настоящей главы.	Выбор	ука¬
занных	выше	параметров в качестве	основных	определяется	со¬
ображениями удобства исследования, а также простоты и ясности ре¬
зультатов.
7.2.1.	Анализ характеристик. Пользуясь обозначениями, приведен¬
ными на рис. 7.1, напишем основные соотношения, определяющие харак¬
теристики рассматриваемой ракеты. Из закона сохранения массы имеем
М0 — Ml -- Mw -\- Мр,.	(7.1)
где отбрасываемая масса равна
Mp = Mt о.	(7.2)
Но закону сохранения количества движения
F = Me = (Mw + Мр + ML - Mt)4V.	(7.2)
К с л и закон сохранения энергии записать в виде
Мс-
■ = W,	(7.4)
то из выражений (7.3) и (7.4) найдем
2	•	(7-Г»
Принимая во внимание, что удельный вес источника энергии равен а,
получим
Mw = aW.	(7.6)
Величину а следует рассматривать как эффективный удельный вес, рав¬
ный сумме веса источника энергии и двигательной системы, деленной
на кинетическую энергию, сообщаемую рабочему телу за 1 сек. Как пра¬
вило, а изменяется очень слабо с изменением W.
Рассмотрим сначала ракету с разделенными рабочим телом и источ¬
ником энергии в случае, когда величина полезного груза равна нулю.
Этот случай интересен тем, что, с одной стороны, он характеризует пре¬
дельные возможности ракеты, а с другой — он может представлять и само¬
стоятельный интерес, как об этом упоминалось выше. Полагая ML= 0,
пз уравнений (7.1) и (7.3) получим:
M0 = MW+MP;	(7.7)
Me = (Mw 4-Mp-Mt) Т>,	(7.8)
или
Мс = 2- = 2^.	(7 9)
с	ас	\ ‘ >

270	ПОЛЕТЫ	С	МАЛОЙ	ТЯГОЙ	ПРИ	ОТСУТСТВИИ	СИЛ	ТЯГОТЕНИЯ	[ГЛ
Здесь использованы выражения (7.5) и (7.6). Подставив (7.9) в (7.8)
и проинтегрировав, найдем:	'
AV =
Л1
Uw ,
—— In
1/
м р
1
м„
Ill Г
л г ,
— = III
1 Т
где
/2 Y
(7.10)
(7.1J)
(7.12)
(7.13)
Скорость Vc определяется как «характеризующая скорость»*); подробнее
о ней будет сказано в разделе 7.2.2.
Независимой переменной в уравнении (7.10) является отношение мас¬
сы источника энергии к массе рабочего тела, т. е. Mw/Mv. Величина этого
отношения определяет скорость истечения с согласно уравнениям (7.2),
(7:4) и (7.6), откуда имеем
Ми:	_	^
1/2
(7.14)
На рис. 7.2 отношение Mw/Mp отложено по верхней оси абсцисс. На этом
рисунке верхняя кривая, построенная согласно уравнениям (7.10) и (7.12).
to
AV
0,1
Wr
i 11 iifni ' i i mill
I'c = >
/оо
/ X/
I I IIIIIII I I I Mill
Ля /Л
I I IIIIII I I I Mill
У/
o,oi
Oil
c/Ис
1.0
10
Рис. 7.2. Характеристики ракеты с разделенными компонентами.
Величину (х следует рассматривать как эффективный удельный вес
источника анергии, согласно определению, данному в разделе 7.2.1.
соответствует ракете с разделенными рабочим телом и источником .энер¬
гии при нулевой полезной нагрузке. Как видим, при возрастании скоро¬
сти истечения приращение скорости ракеты AV достигает максимального
значения, а затем уменьшается, т. е. существует некоторое оптимальное
Л тот термин предложен Ирвингом.

§ 7.2] ПАКЕТА С РАЗДЕЛЕННЫМИ РА БОИ ИМ ТЕЛОМ И ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ 271
значение скорости истечения с. Поэтому в таких ракетах слишком высокое
значение удельного импульса не всегда оказывается желательным.
В данном случае, когда полезный груз равен нулю, оптимальные
параметры определяются следующими соотношениями:
I[осле интегрирования' и соответствующего преобразования отсюда находим
Семейство кривых, представляющих это уравнение, показано на рис. 7.2.
Заметим, что при МL ^ 0 формула (7.18) сводится к (7.12).
7.2.2.	Характеризующая скорость. Характеризующая скорость Vс -
■■ ■ | 2/о/а, введенная в предыдущем разделе, обладает двумя положи¬
тельными: свойствами.
1. Она приближенно равна той максимальной скорости, которую мо¬
жет развить ракета с разделенными рабочим телом и источником энергии.
Так, если полезная нагрузка отсутствует, а скорость истечения оптималь¬
на, то AF-- 0,805 Vc, как было указано выше. Этот результат можно объяс¬
нить, если учесть, что величина t0/a равна энергии, выделяемой единицей
массы источника энергии. Если бы эта энергия полностью превращалась
в кинетическую энергию одного только источника питания, то мы бы имели
-- —^ , пли AV -- Vс. То, что в действительности наибольшее дости¬
жимое значение AV составляет лишь около 80% от VCJ говорит о том, что
указанный процесс не является идеальным *), так как часть энергии источ¬
ника питания превращается в кинетическую энергию расходуемой массы.
При ненулевой полезной нагрузке доля энергии, уносимой вытекающим по¬
током, возрастает, и приращение скорости AV составляет все меньшую
часть Vс.
2. Скорость Vc приближенно равна оптимальной скорости истече¬
ния copt. Точнее, с01)(	0,505 Vс при пулевой полезной нагрузке и
AV = 0,805 Vc;
с = 0,505 У*. = 0,627 AV;
(7.15)
При наличии полезного груза Мт уравнение (7.8) выглядит так:
Мс = (Mw +МР + МL - МЛ) V.
(7.16)
(7.17)
или, и и нои форме,
(7.18)
В гл. 8, написанной Ирвингом, будет показало, что при соответствующем
программировании скорости истечения можно добиться, чтобы AV было равно Vc
при нулевой полезной нагрузке.

272
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ тягой при отсутствии сил тяготения [ГЛ
увеличивается до 1,0 Vс при наличии полезного груза. В табл. 7.1 пред¬
ставлены значения cupt IVс для различных отношений масс.
Таблица 7.1
Характеристики оптимальной ракеты с разделенными
рабочим телом н источником энергии
1 "ь
! лГ!
с 1
op I j
M ir !
1 -r
! Д \'
ropt
! M ,r ■
\i n
M
\ v/()
! v. I
i <■ j
"v. j
■w„ |
M„
1 M,»
\"r i
vr
1 i
■9 и '
w ,7 j
i 0,9J
; 0,047
|
0,08
0,045
0,047
0,96 !
;; o.n
0.64
0,64
! 0,258 i
0,63 i
0.41
! 0,83
0,087
0,02
0.074
0,087
0.85 j
: o,ooi
0,66
; o,6i
|0,250
0,65
0,3,8 ;
i 0,67
i 0,183
0.00
0,150
0,183
0,82 ;
i 0,032
; 0,71
1 0,53
!0,248 i
0,73,
0,35
1 0,60
. 0,20
0,85
0,210
0,20
0,60
1 0,001)0
i 0, 70
i 0,51
!o,2oo:
0,78
0.27
I 0,26
1
! 0,49 :
0,735
0.262
0.40
i
0.53
i о
i 0,805'
i
I 0.50;
)| 0,204 |
i !
0,706
0.256.
Формулу для Vc .можно написать в таком виде:
И= Vm&KMlceK'
(7.19)
где t0 выражено в сек, а а — в кг!кет. Графически эта формула пред¬
ставлена на рис. 7.3.
700
I
70
II
|
I
/
У
/ ’
/
/
7
/
тШШ:
/ / /
/ .
SSS
/V
/
/
<: {С sjrwf/емумм
J
С 0/7#///776/
/ 7L
А<\/ Л0/7дЯ/£/е
ой/ ус/юрем*
у
/
т4
/о*
70?
/7/?0О0ЛЖ{//77ел&//0Шб ус/гаре//;/# 4, сел
Г 2Ы
Рис. 7.3. Зависимость величины скорости V ,=1/	0	от	при	])яде	значении
с У а
параметра а. Область значений, представляющих не посредственный прак¬
тический интерес для электрических двигательных систем космических
аппаратов, показана на рисунке затемненной. На пунктирных линиях отпо-
Vc
шепне — постоянно. Действительное среднее ускорение ракеты с разде-
'°	V.
Так как величина c()pt/Fc зависит только от отношения масс, то при
с = ^opt правая часть уравнения (7.18) зависит лишь от ML/M0. Поэто¬
му для оптимальной ракеты с разделенными рабочим телом и источником

§ 7.2] РАКЕТА С РАЗДЕЛЕННЫМИ РАБОЧИМ ТЕЛОМ И ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ 273
энергии можно написать
<7-20>
[дуьР ■=/!"/(SO-	<7-2»
Значения функции /	даны	во	втором	столбце	табл. 7.1.
Зависимость характеризующей скорости Vс как от «траекториого»
параметра %, так и от конструктивного параметра а иллюстрирует тесную
взаимосвязь между техническими характеристиками и назначением ракеты.
Предположим, что ракета с полезным грузом, составляющим 25%
начальной массы	^	4 ^ , должна достигнуть некоторой точки, для чего
необходимо приращение скорости AF — 20 км/сек. По данным табл. 7.1
находим, что при указанном отношении масс и при оптимальной скорости
истечения AV/VC будет равно 0,5, т. е. скорость Fc должна равняться
40 км/сек. Если к тому же задано, что из условий полета время t0 должно
быть равным 91//! суток (800 000 сек), то тем самым на параметра наклады¬
ваются определенные требования, а именно, он должен быть равным
1,0 кг/кет согласно уравнению (7.19). При менее жестких требованиях
к длительности активного ускорения % менее жесткие ограничения будут
накладываться и на конструктивный параметр а. Если окажется, что
источник питания тяжелее, чем предполагалось, или обладает меньшей
мощностью, то требуемую скорость AF можно получить простым увеличе¬
нием времени работы двигателя. Это время и удельная мощность являются
определяющими величинами при космических полетах ракет с разделен¬
ными рабочим телом и источником энергии. При полетах вне полей сил
тяготения эти величины в определенном смысле эквивалентны -и могут
быть взаимозаменяемы. В поле же сил тяготения иногда малое ускорение
влечет за собой такую потерю в конечной скорости, которую нельзя ком¬
пенсировать простым увеличением длительности ускорения [4].
7.2.3.	Ускорение и удельная мощность. С помощью графиков на
рис. 7.3 можно приближенно оценить величину активного ускорения ракеты
с разделенным рабочим телом и источником энергии в разных условиях.
Пунктиром проведены линии, вдоль которых величина Vc/t0 остается
постоянной. Так как скорость Vc всегда больше, чем AF, то средняя вели¬
чина ускорения A V/t0 всегда будет меньше тех значений, которые указаны
иа штриховых линиях. Область значений параметров, представляющая
наибольший интерес применительно к космическим полетам, показана
на рисунке затененной. Эта область, границы которой довольно нечетки,
определяется из тех соображений, что для большинства интересующих
нас космических траекторий необходимый прирост скорости AF лежит
в диапазоне от 10 /до 50 км/сек и, кроме того, удельный вес системы электро¬
снабжения, работающей многие месяцы, должен находиться в пределах
1 < а < 100 кг /кет. Как видно из пересечения штриховых л иний с зате¬
ненной областью, ускорения ракеты всегда оказываются значительно
меньше ускорения нормальной силы тяжести.
Точные значения ускорения определяются следующими формулами:
среднее ускорение
а=-102-^-=»	(7.22)
= 0,204%Ы1;	,7.23)
18 Космическая техника

274
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ сил ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. т
и ач аль но е ус ко ре ние
a-i
В формулах (7.23) и (7.25) ускорение выражено в долях нормального
ускорения силы тяжести (g = 981 см/сек2) \ прочие величины выражены
в км/сек и кг /кет соответственно.
В табл. 7.2 указаны значения параметра а, при которых начальное
ускорение ракеты будет равно 1 g в различных условиях. Эти значения,
которые в сотни и тысячи раз ниже значений, принятых ранее, оказы¬
ваются недостижимыми для современной техники.
Ж
0,204
_ XX
е с —
ML \
М0 Г
(7.24)
(7.25)
Таблица 7.2
Значения удельного веса источника энергии а,
обеспечивающие начальное ускорение 1 g
при оптимальной скорости истечении
(а в кг!квт)
\ AV,
км /сек
Ml \
М о \
10
20
но
50
j
1
0,5
0,0014
0,00072
0,00048
0,00031
0,25
0,0036
0,0018
0,0012
0,00072
0,11
0,0052
0,0026
0,0017
0,0011
0,01
1
0,0064
0,0032
0,0021
0,0013
Отсюда следует, что космический корабль с электрической силовой
установкой не сможет взлететь с поверхности Земли, если только не будут
найдены принципиально новые методы получения энергии с высокой удель¬
ной мощностью. Поэтому эффективное применение рассматриваемых ракет¬
ных систем с разделенными рабочим телом и источником энергии возможно
лишь с момента вывода ракеты на орбиту.
Указанные ограничения не распространяются на ракеты с ядерными
силовыми установками. В ядерном ракетном двигателе рабочее тело — газ —
нагревается в теплообменнике ядерного реактора (см. гл. 15) и затем уско¬
ряется в процессе адиабатического расширения, причем здесь отпадают
те жесткие весовые нормы, которые связаны с получением электроэнергии.
Плотность выделения энергии в реакторе может быть очень высокой. При¬
мером может служить ядерный реактор для испытания материалов Аме¬
риканской комиссии по атомной энергии, который хотя и предназначен
для иных целей, но тем не менее показывает те высокие значения плотно¬
сти выделения энергии, какие могут быть достигнуты практически [5].
Объем рабочей зоны этого реактора равен примерно 1/6 ж3, плотность
вещества 2 г/см? и выделяемая мощность около 40 ООО кет. Отсюда удель¬
ный вес реактора (без учета системы экранировки) будет а ^ 0,01 кг/квту
что уже не так сильно отличается от данных табл. 7.2.
Огромные преимущества столь низкого удельного веса нейтрализуют¬
ся, по крайней мере частично, тем фактом, что величина скорости истече-

§ 7.2] РАКЕТА С РАЗДЕЛЕННЫМИ РАБОЧИМ ТЕЛОМ И ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ 275
ния газа ограничена определенным температурным пределом, причем
этот предел оказывается ниже оптимальных значений скорости исте¬
чения в тех случаях, когда А V должно быть значительным и полезный груз
велик.
В табл. 7.3, составленной доктором Мэррисоном (W. A. Marrison),
даны значения удельного веса источников энергии, использующих мощ¬
ность солнечного излучения. Данные относятся к имеющимся в настоящее
время кремниевым солнечным батареям.
Таблица 7.3
Данные о существующих солнечных батареях
из 100 элементов
с коэффициентом полезного действия 8,7%
Мощ¬
Масса,
г
Стои¬
Стоимость
Тип
ность,
вт
мость.
доллары
1 ватта,
доллары
а, кг/пет
2А
4,4
80
370
84
18,2
220С
■ М-
64
360
106
18,8
7.2.4. Примеры. В табл. 7.4 приведены основные параметры двух кос¬
мических ракет, характеристики первой из которых соответствуют опти¬
мальной точке на средней кривой рис. 7.4, а вторая представляет собой
Таблиц а 7.4
Расчетные характеристики двух космических ракет
Характери¬
стики ракеты
Данные
рис. 7
Данные
Штулингера [3]
Характери¬
стики ракеты
Данные
рис. 7.4
Данные
Штулингера [3]
A V
^0
с
м0
М,.
1.0 км/сек
10" сек
10 кг/кет
44,7 км/сек
36 км/сек
1Д
58 км/сек
6,3- Ю7 сея
10,4 кг/кет
121 км/сек
84 км/сек
4,9
М0
ML
Mw
мр
W
м
Тяга
Ускорение
1
500 кг
294 кг
85 кг
120 кг
8,5 кет
0,012 г/сек
44 Г
10-4 g
730 т
150 т
215 т
365 т
20 600 кет
5,7 г/сек
49 500 Г
10-4 g
проект космического корабля Штулингера [3], с той разницей, что в отли¬
чие от его проекта здесь оптимизировано не среднее, а начальное ускоре-
-47 х> i d
ние, что ведет к равенству = 1. В целом, однако, различие в характерн¬
ою
стпках невелико [6].
Заметим, что для выполнения тех заданий, которые указаны в первом
примере табл. 7.1, расход делящегося вещества не превышает 5 г. Дей¬
ствительное же уменьшение массы продуктов деления составляет всего
18*

276 ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ	[ГЛ.	7
около 0,005 г. Для получения такого же количества энергии при сжигании
углеводорода с окислителем потребовалось бы примерно 40 ООО кг топ-
Рис. 7.4. Отношение масс ракеты с разделенными компонентами как функция
скорости истечения для различных значений удельного веса источника оперши.
Показанные кривые соответствуют продолжительности действия активного уско¬
рения /о= 10" сек и приросту скорости АУ=10 км/сек. См. также табл. 7.3.
ливной смеси. Отсюда видно, какие огромные потенциальные возможности
сулит применение атомной энергии в космической технике.
§ 7.3. Достижение крайне высоких скоростей
Существует одна область ракетной техники, представляющая боль¬
шой научный интерес (см. гл. 9), где даже энергия ядерного распада ока¬
зывается недостаточной для достижения желаемых результатов. Это дости¬
жение скоростей движения ракеты, приближающихся к скорости света.
Для иллюстрации рассмотрим идеальный случай, когда полезная нагруз¬
ка ракеты равна нулю, а силовая установка целиком состоит из урана-235,
который полностью превращается в продукты деления. Выделение
энергии на единицу массы, равное tQ/a, будет равно содержанию энергии
в делящемся веществе, т. е. 1 Мет- сут/г. Это приводит к характеризую¬
щей скорости Vc=y~2t0/a, равной примерно 105 км/сек, что составляет х/з
от скорости света. Такой же скоростью обладают и делящиеся частицы,
если пренебречь потерей энергии на у- и р-излучепке.
Поэтому даже при принятых идеальных условиях ракета с разделен¬
ными рабочим телом и источником энергии может достигнуть скорости,
равной лишь V4 скорости света (7.2.2). Пожалуй, наиболее оптимистиче¬
ским вариантом, какой можно себе представить, явилась бы такая ракета,
у которой тяга создавалась бы вследствие непосредственного вылета деля¬
щихся частиц в одном направлении с огромными скоростями. Тогда ско¬
рость истечения равнялась бы скорости деляпщхся частиц и изменением
массы ракеты уже нельзя было бы пренебрегать. Как и у обычных ракет, от¬
ношение масс было бы связано с приростом скорости формулой = е^у/Ур *

§ 7.4] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ТЯГИ. ИОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ 277
Из этого соотношения следует, что для достижения прироста ско¬
рости AF = !/3 от скорости света (при которой релятивистское сокращение
длины составляет менее 3%) требуемое отношение масс будет е10, т. е.
около 20 ООО. Ввиду того, что удельное выделение энергии как в реакциях
деления, так и в термоядерных реакциях примерно одинаково, сделанные
выводы в равной степени относятся к обоим случаям. Поэтому для дости¬
жения релятивистских скоростей движения при достаточно большой полез¬
ной нагрузке необходимо обратиться к источникам энергии с еще большей
степенью концентрации.
§ 7.4. Электрические методы создания тяги. Ионный двигатель
Во всех дальнейших рассуждениях будем полагать, что преобразова¬
ние энергии источника мощности в кинетическую энергию вытекающего
потока осуществляется достаточно эффективно при любых желаемых зна¬
чениях скорости истечения. Используемые для этих целей устройства
часто называют «ионными двигателями»*), которые в свою очередь делятся
на две категории. К первой относятся системы, ускоряющие плазму,
т. е. ионизированную материю, которая электрически нейтральна из-за
присутствия в ней в равных количествах положительных и отрицатель¬
ных зарядов. Подробнее эта система обсуждается в гл. 16. Ко второй кате¬
гории относятся системы, ускоряющие заряженные частицы в электриче¬
ских полях подобно тому, как это делается в многочисленных раз¬
нообразных электронных устройствах, служащих для создания элек¬
тронных и ионных пучков. Далее будут кратко обсуждаться именно такие
системы, называемые «электростатическими двигателями».
7.4.1.	Электростатические двигатели. Скорость ионов, ускоренных
в электростатическом поле, выражается формулой
с = |/ 2VS ~ см/сек,	(7.26)
где Vs— ускоряющий потенциал, е/т — отношение заряда нона к его массе.
В практической системе единиц имеем
с= 13,8 j/"км/сек,	(7.27)
где V — потенциал в	вольтах и А — атомный вес иона (для	протона А	= 1).
Секундный расход вещества будет пропорционален	силе тока	и	атом¬
ному весу ионов А . Предельное значение секундного расхода определяется
законами движения пространственного заряда в вакууме между ускоряю¬
щими электродами. В случае плоских электродов имеем [8]:
<7-28>
где /' — максимальная плотность пространственного тока, с — отношение
электростатической и электромагнитной единиц, d — расстояние между
электродами; остальные переменные те же, что и ранее. В практических
единицах плотность тока будет
Т/3/2
/ = 5,44.1C)-*JL_a/CM?	(7.29)
*) Правильнее назвать их «электрореактивыыми двигателями», так как терми¬
ном «ионные» принято именовать лишь электростатические двигатели. {Прим. перев.).

278
ПОЛЕТЫ с МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 7
и, следовательно, секундный расход
(7.3(0
= 5,71 • 10~13 —	— г/см2сек\	(7.31)
Величина тяги определится как
F = Ю5 —	(7.32)
ё	v
= 102 Мс г/см2,	(7.33)
если с выражено в км/сек и М — в г /см2 -сек. В уравнении (7.32) £ обо¬
значает нормальное ускорение силы тяжести.
Мощность в пучке будет
W = jV вт/см2.	(7.34)
После некоторых алгебраических преобразований выражение для
тяги можно представить в виде
F=a дин/см°-=	(7.35)
= 8,01 • 10“10 // Г/см*.	(7.3G)
Может показаться странным, что величина тяги зависит лишь от градиента
потенциала V Id в ускоряющей зоне. При заданной величине этого градиен¬
та и при соблюдении ограничений, налагаемых законами движения про¬
странственного заряда, тяга не зависит от массы ионов, их скорости, секунд¬
ного расхода	и	мощности	пучка, хотя все эти величины	тесно	взаимосвя¬
заны между	собой.	Из	уравнений (7.35) и (7.36) можно сделать	вывод, что
сила тяги F есть по существу электростатическая сила. Известно, что
на проводящую поверхность, помещенную в электростатическое поле,
действует сила
F ---- ~ дин/см2,	(7.37)
где Е — напряженность поля. Эта формула совпадает с формулой (7.35),
4
если Е принять равным — V& Id. Дальнейшие рассуждения подтверждают
правильность такого допущения, которое к тому же дает ясную физиче¬
скую интерпретацию возникающей силы.
Распределение потенциала в промежутке между пластинами, находя¬
щимися на расстоянии с? друг от/друга, при отсутствии пространственного
заряда будет:
-тН~>
что показано на рис. 7.5 штриховой линией. Поле у эмиттера будет
+ V0/d, а у ускоряющей пластины — V0Id. Поэтому из уравнения (7.37)
следует, что силы, действующие на электроды, будут равны по величине
и противоположны по направлению. Это значит, что при отсутствии про¬
странственного заряда результирующая тяга будет равна нулю.
При наличии пространственного заряда распределение потенциала

$ 7.4] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ТЯГИ. ИОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ 279
что показано на рис. 7.5 сплошной линией. Поле у эмиттера здесь будет рав¬
но нулю (что следует из законов движения пространственного заряда), тог¬
да как у ускоряющего электрода оно будет 4/з Vo/d в соответствии со ска¬
занным выше. Так как сила, действующая на эмиттер, равна нулю, то ве¬
личина тяги будет определяться силой, действующей на ускоряющий элек¬
трод,и величина ее выразится урав¬
нением (/.35). Силовые линии, ис- дмшшду/ощаа Уа/гаря/ощаа
ходящие из этого электрода, окан¬
чиваются на зарядах, находящихся
в межэлектродном пространстве,
сообщая им ускорение.
На рис. 7.6 показана состав¬
ленная доктором Шелтоном
(Н. Shelton) номограмма, служа¬
щая для графического представ¬
ления уравнений (7.26)— (7.36).
Для создания тяги необходимо,-
чтобы ускоренные ионы могли
проходить сквозь ускоряющий
электрод через специальные от¬
верстия. Наиболее удобной схемой
для этого является так называе¬
мая пушка Пирса (Pierce).
Пирс показал [9], что взаим¬
ное отталкивание заряженных
частиц при их движении между
электродами можно предотвратить
путем придания электродам опре¬
деленной формы (рис. 7.7). Тогда
но всей зоне ускорения будет су¬
ществовать четкая граница между
ионным потоком и прилегающим
свободным пространством. После
прохождения ионов сквозь уско¬
ряющий электрод возникают новые условия движения пучка и новые
задачи, которые требуют специального изучения.
7.4.2. Нейтрализация заряда. Скорость движения ионов после про¬
хождения ускоряющего электрода дается уравнением (7.26). Конечная
же скорость пучка зависит от потенциала внешнего пространства (па не¬
котором расстоянии от ракеты) по отношению к потенциалу ускоряющего
электрода. Если этот потенциал будет существенно положительным
сравнител ьно с потенциалом ускоряющего электрода, то скорость движения
попов будет падать и эффективная скорость истечения также снизится.
Из соображений большей общности будем предполагать, что за ускоряю¬
щим электродом существует некоторое электрическое поле. Если это
наружное поле равно нулю, то величина тяги будет определяться фор¬
мулой (7.35). Практически достаточно, чтобы наружное поле было весьма
малым по сравнению с полем перед электродом.
Появление пространственных токов в областях пространства, ограни¬
ченных эквипотенциальными поверхностями, влечет за собой резкое изме¬
нение распределения потенциала. В качестве простого примера можно ука¬
зать, что распределение потенциала, показанное на рис. 7.5, не зависит
от направления движения ионов. Если бы впуск ионов при нулевой
:+ +
+
+
+ t +
!«•
яясшроа
d -
To# —►
= J а/см2
Тяга —
Рассшаяпас а Роя/? пума
Рис. 7.5. Распределение потенциала между дву¬
мя параллельными пластинами при наличии
пространственного заряда и без него. Наличие
пространственного заряда вызывает ослабление
электрического поля у эмиттера до нуля п
усиление ноля- у ускоряющего электрода в
4/3 раза. Величина силы тяги, развиваемой
такой системой, равна силе действия электро¬
статического поля на ускоряющий электрод.
Реакция этой силы определяется силовыми
линиями поля, которые оканчиваются па час¬
тицах пространственного заряда, сообщая им
ускорение.

mm
280
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 7
Рис. 7.6. Гра нческос представление свойств электростатической двигательной системы в условиях ограниченной
величины пространственного заряда.

§ 7.4] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ТЯГИ. ИОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ 281
начальной скорости производился не от левого электрода направо, а от пра¬
вого налево, то токи и скорости ионов были бы противоположны показан¬
ным на рисунке, а распределение потенциала осталось прежним и урав¬
нение (7.39) осталось бы в силе. Учтя все сказанное, предположим, что
справа от ускоряющего электрода на расстоянии d помещен третий элект¬
род, потенциал которого равен нул ю. При движении заряженных частиц
слева направо в промежутке между вторым и третьим электродами, они
будут замедляться и подходить к элект¬
роду с нулевой скоростью. Распреде¬
ление потенциала в этом промежутке
будет представлять собой зеркальное
отображение потенциала между эмитте¬
ром и ускоряющим электродом.
Для того чтобы потенциал косми¬
ческого корабля при работающем дви¬
гателе оставался постоянным, необхо¬
димо, чтобы помимо потока полояш-
тельных ионов / существовал равный по
величине, но пр о ти в о п о л о ж ны й по зна¬
ку поток — /, представляющий собой,
например, поток электронов. Приведен¬
ные выше рассуждения показывают, что
такая нейтрализация заряда должна
выполняться с соблюдением определен¬
ных условий. Например, если бы элект¬
роны и ионы соединялись вместе в
районе расположения упоминавшегося
ранее третьего электрода, то далее по¬
ток был бы в целом нейтральным, а
поле отсутствовало. Однако при этом ионы замедлялись бы до нулевой
скорости и, следовательно, тяга оказалась бы также равной нулю. Поэто¬
му нейтрализацию заряда необходимо производить где-то на более близ¬
ком расстоянии от ускоряющего электрода.
В литературе имеются подробные решения [10—12], дающие распре¬
деление потенциала в пространстве между параллельными пластинами
при движении в нем пространственного заряда одного знака. Задачи такого
рода весьма сложны и решения в некоторых случаях оказываются неодно¬
значными и неустойчивыми. Тем не менее, эти решения и аналогичные им
[13, 14] создают необходимую основу для исследования проблемы нейтра¬
лизации заряда.
Следует заметить, что ускоряющий электрод, создающий силу тяги,
не захватывает зарядов из пучка, проходящего сквозь него. Этот пучок
положительных ионов после прохождения ускоряющего электрода соеди¬
няется с противоположно заряженным пучком от отрицательного полюса
источника питания, в результате чего происходит нейтрализация заряда.
Конкретные условия нейтрализации зависят от характера пространствен¬
ного заряда и от потенциала самого космического корабля.
7.4.3.	Получение ионов. Поверхностная ионизация щелочных металлов
при их контакте с нагретым вольфрамом, платиной и прочими металлами
уже давно всестороннее изучается и используется для исследователь¬
ских целей. Опубликованные в литературе данные позволяют произвести
оценку возможных характеристик электрических ионных двигательных
систем [15—22].
Рис. 7.7. Пушка Пирса, направляющая
прямолинейный пучок ионов с ограни¬
ченной плотностью пространственного■
заряда в пространство между электро¬
дами.

282
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. 7
При контакте вольфрамовой поверхности нагретого анода с парами
цезия, рубидия или калия, находящимися под низким давлением в умерен¬
ном электрическом поле, может существовать два различных устойчивых
типа условий на поверхности [15—17]. В первом случае вольфрамовая
поверхность остается почти совершенно чистой, работа выхода с поверх¬
ности превышает потенциал ионизации атомов щелочного металла и металл
испаряется почти целиком в виде ионов. Скорость испарения ионов равна
скорости накопления атомов на горячей поверхности и определяется дав¬
лением паров щелочного металла в окружающем пространстве. При возра¬
стании этого давления скорость накопления атомов и скорость испарения
ионов также увеличатся. Однако, когда это увеличение достигает некото-
торых пределов, картина явления резко меняется. Часть вольфрамовой
поверхности, покрытая адсорбированными атомами, становится уже зна¬
чительной и работа выхода с этой поверхности падает до значений
меньших, чем потенциал ионизации щелочного металла. В дальнейшем
адсорбированный слой все больше покрывает поверхность анода и все
больший процент испаряющихся частиц представляет собой атомы, а
не ионы.
Увеличивая температуру анода, можно уменьшить степень его покры¬
тия щелочными атомами pi увеличить работу выхода, в результате чего вре¬
мя пребывания адсорбированных атомов на поверхности уменьшится
настолько, что вновь станет возможна устойчивая эмиссия ионов.
Таким образом, для любой скорости накопления щелочных атомов
существует некоторая критическая температура анода, выше которой
происходит испарение ионов, а ниже начинается испарение атомов, что
является нежелательным фактором в двигательной системе. Чтобы полу¬
чить более полное представление о тех сложных процессах и явлениях,
которые были здесь лишь вкратце освещены, рекомендуем читателю обра¬
титься к оригинальным работам.
На рис. 7.8 изображены кривые Киллиана (Killian), показываю¬
щие зависимость скорости испарения ионов калия с вольфрамовой по¬
верхности от температуры этой поверхности при различном давлении
паров калия.
В качестве критической температуры Тс при данном давлении паров
практически можно принять температуру, при которой кривые испытыва¬
ют скачок вверх. Штриховая линия показывает, что при использовании
полулогарифмического масштаба изменение ионного тока в зависимости
от 1 Тс носит линейный характер. Уравнение этой линии в случае паров
калия будет следующим:
Аналогичные семейства кривых для рубидия и цезия, приведенные
в ряде работ, описываются следующими уравнениями.
Для рубидия (согласно [20]) имеем
(7.40)
(7.41)
л для цезия (согласно уравнению (6) работы [19])
1 ■ о ОО	14,350
7 = 8,99	=—
1 С
(7.42)

§ 7 /, ] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ТЯГИ. ИОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ 283
Ввиду того, что степень ионизации натрия при испарении с поверх¬
ности вольфрама не превышает 10%, он не представляет особого интереса
для использования в двигательных системах [22]. В то же время при тем¬
пературах выше критической Тс, степень ионизации калия оказывается
более 80%, рубидия — более 90% и цезия — более 99% [20, 21].
Согласно данным работ, из которых взяты приведенные уравнения,
максимальная плотность тока равна 0,00037 а /см2 для калия, 0,0041 а/см2
для рубидия и 0,0022 а/см2 для цезия. Мощности, выделяемые при этом
Рис. 7.8. Эмиссия положительных иопон калин (и амперах) с по¬
верхности вольфрамовой инти площадью 0,081 с.м2 при различных
значениях давления паров калин согласно данным Киллиана (Killian)
[20]. Напряжение на коллекторе 200 в, температура колбы в °С
указана при каждой из кривых. Уравнение (7.40) описывает
штриховую лпшпо, находящуюся в верхней части графика и слу¬
жащую основой для экстраполяции в область более высоких
температур.
па вольфрамовой поверхности, имеющей температуру 7%, равны: соот¬
ветственно 1,3 вт/см2, вт/см2 и 1,9 вт/см1. Таким образом, при потен¬
циале на ускоряющем электроде 1000 в мощность, излучаемая вольфрамо¬
вой поверхностью, будет больше, чем мощность, передаваемая ионному
пучку. Такой расход энергии требует почти двойного увеличения удель¬
ного веса источника питания, что серьезно ухудшает характеристики всей
ракеты.
На основе уравнений (7.40), (7.41) и (7.42) была произведена экстра¬
поляция величины плотности ионного тока в область больших значений
этой плотности и более высоких критических температур Тг. Полученные
результаты суммированы в табл. 7.5.
Как видно из этих данных, эффективность ионизации и величина
тяги на единицу площади оказываются гораздо более благоприятными,
однако при этом промежуток между электродами сужается до долей мил¬
лиметра.

284
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 7
Таблица 7.5
Расчетные характеристики ионной двигательной системы, использующей
ионы щелочных металлов, полученные методом экстраполяции.
(Ускоряющий потенциал 1000 в)
Цезий
с= 37,4 км/сек
Рубидий
с=47,2 км/сек
Калий
c=6lJ,8 км/сек
Критическая температура
вольфрамовой поверхности,
°К
Ионный ток /, а/см2 . . . .
Мощность, излучаемая воль¬
фрамовой поверхностью
/?, вт/см2
Энергия ионизации /?//, эв/ион
И деа льна я	эффективность
ионизации 10ОО//(/?+1000/),
°о
Секундный расход М. мг/см2х
Хсек
Тяга F, Г/см2
Промежуток между электро¬
дами d, см
Давление паров р, микроны
рт. ст
Температура насыщенных па¬
ров, °С	;
1200
0,0012
1,7
1500
40
1400
0,04
3,6
90
91
0,0016 0,055
0,006 0,21
0,35
0,04
63
0,06
1,2
113
1500! 1200
0,12 'о,0001
1,7
14 800
5,1
42,5
96
0,165j0,0001
0,66 0,0005
0,03
132
1,28
0,03
72
1400
0,0087
3,6
410
71
1600
0,2
7,6
35
96
0,008 0,19
0,037
0,15
0.6
119
1200
0,0009
1,7
1950
34
0,0003
0,93 0,002
0,03 0,6
6
152
0,02
97
1400
0,02
3,6
180
85
0,008
0,06
0,12
0,4
140
1600
0,2
7,6
38
96
0,08
0,6
0,04
175
ЛИТЕРАТУРА
1. Seifert П., М i 1 1 s М. and Summer field М., Physics of Rockets, Am.
J. Phys. 15, No. 3, 266—272 (1947).
2. S p i t z e r L., Jr., Interplanetary Travel between Satellite Orbits, APS J. Am.
Rocket Soc. 22, 92—96 (1952).
3. S t и h 1 i n g e r E., Electrical Propulsion System for Space Ships with Nuclear
Power	Source, J.	Astronaut, 149 —152 (1955); 11 —14 (1956).
4.	T s i e	n II. S.,	Take Off from Satellite Orbit, J. Am. Rocket	Soc.	23,	233—236
(1953).
5. Glass 1 о n e S., Principles of Nuclear Reactor Engineering, Princeton, N. J.,
D. Van Nostrand, p. 813, 1955.
6. S h e 1 t о n II., Commentaries on Optimization of Constant Thrust Electrical
Propulsion System, The Ramo-Wooldridge Corporation, Laboratory Memo ERL-101,
October 25, 1956.
7. L angmuir D. B., Problems of Thrust Production by Electrostatic Fields, Pro¬
ceedings of the Second Annual AFOSR-LAS Astronautics Symposium, April 1958,.
New York, Pergamon Press, 1958.
8.	С h i 1	d C. D.,	Phys. Rev. 32, 498 (1911).
9.	Pierce J. R.,	Rectilinear Flow in Electron Beams, J. Appl.	Phys.	11,	548—554
(1940).
10. Salzberg B. and H a e f f A. V., RCA Rev. 2, 336 (1938).
11. Fay С. E., Samuel A. L. and Shockley, Bell System Tech. J. 17, 49
(1938).
12. Ivey II. F., Advances in Electronics and Electron Physics 6, 170—184 (1954)-
13. L angmuir I., The Interaction of Electron and Positive Ion Space Charges in Caf-
hode Sheaths, Phys. Rev. 33, 954 (1929).

ЛИТЕРАТУРА
285
14. М ii 1 1 е r-L ii b е с к К., Uber die Ambipolare Raumladungsstrbmung bei ebenen
Elektroden, Z. angew. Phys. 3, 409 (1951).
15. Becker J. A., Thermionic and Adsorption Characteristics of Cesium on Tungsten
and Oxidized Tungsten, Phys. Rev. 28, 341—361 (1926).
16. Langmuir I. and Kingdon, Thermionic Effects Caused by Vapours of Alkali
Metals, Proc. Roy. Soc. (London), A'107, 61—79 (1924).
17. T а у 1 о r J. В. and Langmuir I., The Evaporation of Atoms, Ions and Ele¬
ctrons from Cesium Films on Tungsten, Phys. Rev. 44, 423—458 (1933).
18. Taylor J. B. and Langmuir I., Vapor Pressure of Cesium by the Positive
Ion Method, Phys. Rev. 51, 753—760 (1937).
19. Killian T. J., Thermionic Phenomena Caused by Vapors of Rubidium and Potas¬
sium, Phys. Rev. 27, 578—587 (1926).
20. D a t z S. and Taylor E. H., Ionization on Platinum and Tungsten Surfaces I.
The Alkali Metals, J. Chem. Phys. 25, 389—397 (1956).
21. Copley M. J. and Phipps Т. E., The Surface Ionization of Potassium on
Tungsten, Phys. Rev. 48, 960—968 (1935).
22. M a r g u 1 i s N. D., Physik. Z. Sowjetunion 5, 221—240 (1934).

ГЛАВА 8
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ
Джек Ирвинг*) (Jacn Н. Irving)
§ 8.1. Введение
В гл. 7 рассматривался прямолинейный полет ракеты с двигателем
ограниченной мощности при отсутствии гравитационного поля [1]. Лэнг-
мюр показал, что если на протяжении всего полета скорость истечения
должна оставаться постоянной, то существует некоторое оптимальное зна¬
чение этой скорости. Это оптимальное значение зависит от удельной мощ¬
ности силовой установки, требуемой скорости ракеты и продолжительности
активного ускорения.
Теперь мы попытаемся обобщить задачу, вводя в рассмотрение следую¬
щие пять факторов [2]:
1. Траектория в трех измерениях.
2. Переменный, зависящий от времени, вектор скорости истечения
c(t) (переменный как по величине, так и по направлению) и переменный
секундный расход — M{t).
3. Произвольное, переменное во времени гравитационное поле
— V Г (.г, у, 2, О-
4. Начальные и конечные значения скоростей и координат (или
иные параметры, определяющие движение) подчинены определенным
условиям.
5. Оптимальный выбор веса силовой установки.
§ 8.2. Общая теория
При использовании химических топлив скорость истечения газов
определяется содержанием энергии в единице массы топлива. С другой
стороны, если отбрасываемая масса (рабочее тело) не является источником
энергии, то скорость истечения с и секундный расход —М в можно в опре¬
деленных пределах произвольно изменять. В качестве иллюстрации приве¬
дем два примера. Когда нагревание рабочего тела происходит в теплообмен-
*) Автор выражает свою благодарность Лэнгмюру, Блюму и Сейферту за пло¬
дотворное обсуждение главы. Он также признателен издательству Pergamon Press
за разрешение включить в настоящую главу, особенно в § 8.4.8 и § 18.5, ряд ма¬
териалов, которые должны быть опубликованы в сборнике Vistas in Astronautics,
It [10].

§ 8.2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
287-
нике ядерного реактора, то, регулируя массовый расход, можно изменять,
температуру	рабочего	тела, а	следовательно,	и	скорость	его	истечения-
Во втором	примере	в	качестве	источника	электроэнергии	для	ускорения
ионов, представляющих собой рабочее тело, может служить либо ядерный
реактор, либо солнечные батареи. Здесь регулировка скорости истечения
в процессе полета достигается простым изменением ускоряющего напряже¬
ния в функции времени. В любом из этих примеров полная величина мощ¬
ности P(t), превращающейся в кинетическую энергию рабочего тела, долж¬
на быть всегда меньше или равна полезной располагаемой мощности
источника питания Pav:
=	(8 1)
P(t)<Pav	(8.2>
Для упрощения анализа будем предполагать, что, кроме полученного нера¬
венства, на величины М и с не накладывается никаких ограничений.
Движение ракеты, при котором выполняется только указанное нера¬
венство, мы будем называть «полетом при ограниченной мощности». В дей¬
ствительности, разумеется, величины М и с будут подчиняться и другим
ограничениям. Так, при нагревании рабочего тела (например, водорода)
в ядерном реакторе, секундный расход —М будет практически ограничи¬
ваться скоростью подачи топливных насосов, а величина скорости с — тем¬
пературой газа и еще более жестко — требованием сохранности реактора
(материал которого находится под действием более высокой температуры,,
чем рабочее тело). Аналогичные ограничения существуют и в электрических
двигательных системах. В настоящей главе при отыскании оптимальных
программ изменения —M(t) и вектора скорости истечения c(t) (по вели¬
чине и направлению) мы не будем вводить иных ограничений, кроме ука¬
занного ограничения по мощности. Затем, уже в отдельных частных зада¬
чах, можно выяснить, насколько полученные программы удовлетворитель¬
ны с точки зрения конструктивных возможностей.
8.2.1.	Уравнения движения ракеты. Будем полагать, что на ракету
при ее полете действуют две силы — сила тяги и сила тяжести. Влиянием
сил сопротивления будем пренебрегать. Это допущение вполне оправдано
тем, что ракета с рассматриваемой двигательной системой должна, как
правило, использоваться для полетов за пределами земной атмосферы, куда
она выводится с помощью обычной химической ракеты.
Напишем уравнение движения ракеты (в расчете на единицу ее массы).
Так как кинематическое ускорение равно ускорению силы тяжести плюс
ускорение от силы тяги, то
'hri ™ (г, I) а.	(8.3а)
Здесь буквой а обозначена сила тяги, действующая на единицу массы, пли
активное ускорение ракеты. Перенеся влево гравитационный член, мож¬
но записать уравнение (8.3а) в проекциях на прямоугольные оси в следую¬
щей форме:
5Н-^ = «г (* = 1,2,3).	(8.36)
В этих уравнениях потенциал гравитационного поля в некоторой фикси¬
рованной точке пространства £/(r, t) считается зависящим от времени

288
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
ввиду того, что источники поля (небесные тела) движутся в пространстве
по своим орбитам.
Активное ускорение ракеты определяется как
, V тяга	Мс	/о /\
a(t)= =“лТ ■	(°-4)
4 ' .масса	М	v '
«Заметим, что величина М отрицательна и, следовательно, вектор a(t)
по направлению противоположен вектору c(t), как это и должно быть.
Здесь следует оговорить одно важное различие, существующее между
теми двигательными системами, у которых величина с (модуль вектора с)
в полете постоянна, и теми, у которых она может изменяться. При постоян¬
ной скорости истечения с величина M(t) и вектор с полностью определяются
значением мгновенной массы ракеты M(L) и ускорением а(1). Если же с
может изменяться, то, зная вектор a(t), можно определить лишь напра¬
вление вектора с, но не его величину или величину секундного расхода.
Для определения этих величин необходимо еще знать мгновенную мощ¬
ность P(t) вытекающего потока.
Мы будем в дальнейшем полагать, что полеты при ограниченной мощ¬
ности совершаются лишь с очень малыми значениями силы тяги. Из соот¬
ношений (8.1) и (8.4) следует интересный вывод, что если на величины М
и с не наложено других ограничений, кроме неравенства (8.2), то величина
силы тяги может быть произвольно большой.
В самом деле, если при фиксированной мощности вытекающего потока
скорость с уменьшить вдвое, а расход — М вчетверо увеличить, то при
прежней мощности величина силы тяги удвоится. Следуя таким путем,
можно получить любую величину тяги. Практически, однако, создание
больших тяг требует огромных секундных расходов рабочего тела, что
ведет к совершенно неприемлемым значениям отношения масс даже для
небольшого увеличения скорости ракеты.
8.2.2.	Зависимость конечной массы ракеты от программы тяги.
Исключая с из уравнений (8.1) и (8.4), можно найти мгновенный расход,
■определяемый заданными a(t) и P(t):
[П (Q]2	jr-c2/M2	_М_=_±('±Л	/О	гл
2р(п ‘	~-Мс2	М*	~ dt \М J '	'
Интегрируя это уравнение, получим зависимость массы ракеты от времени
в виде
M(t) М0	г .\ 2P(t)	(	'
о
Это соотношение устанавливает зависимость М, а значит, и М от времени.
Подставляя затем эти функции в уравнение (8.4), можно найти c(t).
Если время полета Т задано, то с помощью уравнения (8.6) легко может
быть найдена конечная масса ракеты М{:
1	1	, } МОГ2^	/о	7Ч
о
Когда траектория ракеты и закон движения по ней заданы, то тем самым
полностью определено кинематическое ускорение d2r/dt2. При наличии
гравитационного члена Vf/(r, t) программу ускорения a(t) можно найти из

§ 8.2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
289
уравнения (8.3). Как видно из выражения (8.7), при заданной программе
ускорений a(t) конечная масса ракеты может принимать различные зна¬
чения в зависимости от программы изменения мощности P(t). Так как
подынтегральное выражение в уравнении (8.7) не может быть отрицатель¬
ным, то для максимизации конечной массы М* мощность P(t) должна всегда
выбираться как можно большей*); это значит, что на протяжении всего
полета величина мощности должна равняться
P{t)=PaB = ±Mw,	(8.8)
где Mw — масса источника мощности, а На — удельная мощность**)
(а есть удельная масса), введенная Лэнгмюром в гл. 7. Полагая, что вели¬
чина располагаемой мощности зависит от массы источника мощности, мы
тем самым исключаем возможность иметь на борту и некоторый независи¬
мый источник энергии [3].
Из уравнений (8.8) и (8.7) находим, что
<*•»>
6
Важный результат, вытекающий из уравнения (8.9), заключается
в том, что для любого значения массы источника энергии (оптимального
или нет) максимум конечной массы ракеты Ми а значит, и максимум полез-
т
ной нагрузки, достигается при минимизации интеграла ^ a2dt (разу-
о
меется, при выполнении начальных и конечных условий, наложенных
на траекторию).
т
Интеграл ^ a2dt, имеющий размерность мощности, деленной на едини-
6
цу массы (обратную размерности удельной массы а источника энергии),
будет играть важную роль в настоящей главе. Основными задачами даль¬
нейшего анализа будут определения таких траекторий полета и программ
тяги ракеты, которые минимизируют этот интеграл. По найденным вели¬
чинам затем вычисляется соответствующая величина полезной нагрузки.
т
Интегралу ^ a2dt довольно трудно дать ясную физическую интерпре-
б
тацию, знакомую для специалиста по баллистическим снарядам. При вы¬
боре оптимальной траектории химической ракеты он обычно руководствует-
т
ся стремлением минимизировать интеграл ^ adt, выражающий характе-
о
рпстическую скорость ракеты в пустом пространстве вне полей тяготения.
*) На пассивных участках траектории, если таковые имеются, а (t) равно нулю
п величина интеграла не будет зависеть от Р (/). Поэтому на этих участках тре¬
бование P(t) = Pav является излишним. Это позволяет упростить анализ. Как будет
показано далее, задачи оптимизации траектории имеют стационарные решения,
однако в этих решениях не учитывается наличие участков свободного полета. Но
можно исходить из пред положения, что такие участки входят в состав траектории
с соответствующей этому экономией энергии (см. [3]).
**) Вероятно, это неудачное обозначение, так как в ранних работах по элект¬
рической тяге удельная мощность обозначалась через а.
19 Космическая техника

290
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
Итак, в ракетах с двигательными системами ограниченной 'мощности
величина полезной нагрузки определяется не интегралом от величины
активного ускорения, а интегралом от квадрата этого ускорения.
8.2.3.	Оптимизация массы источника мощности. Другим важным
результатом, вытекающим из уравнения (8.9), является вывод о том, что
для любой программы ускорений (оптимальной пли нет), существует
некоторое наивыгоднейшее значение массы источника мощности. Чтобы
показать это, положим, что конечная масса ракеты складывается из трех
частей — массы полезного груза, массы источника мощности и массы кон¬
струкции *).
С помощью уравнения (8.9) можно найти отношение массы полезного
груза M[J плюс масса .конструкции Мs к начальной массе ракеты Л/0:
ML + MS	М ir	1	Mw	Mw	(	1
"о " MQ Щ ~	,	М{)	~ Л/() ; Щ AUv ,	,
.1/,Д	\ 1/„ : у-
Здесь введен безразмерный параметр
т
у- -1Т \ a'1 dt.	(8.11)
0
Так как отношение Mw/M0 лежит между 0 и 1, из уравнения (8.10) сле¬
дует, что при у, большем 1, отношение (ML + М$)/М0 отрицательно. Сле¬
довательно, реальными могут быть только те случаи, где у < 1.
Выше уже отмечалось, что если допустима программа с переменной
скоростью истечения, то а(1) может выбираться независимо от Р{1), т. е.
ускорение ракеты не ограничивается располагаемой мощностью, а зна¬
чит, и массой источника мощности Л/ц . Однако, если с фиксировано, то
секундный расход — М и, следовательно, ускорение а полностью опреде¬
ляется величиной располагаемой мощности. В этом случае величину у2,
содержащуюся в уравнении (8.10), следует считать функцией от М\у.
Построив график уравнения (8.10), можно определить также значение
Mw/М о, при котором отношение (Л/7 j- Ms) /М 0 достигает максимума.
В частном случае прямолинейного движения ракеты вне поля тяготения
мы таким путем придем к условиям оптимума, полученным Л эн гм юром для
программы постоянной скорости истечения. В дальнейшем изложении
будем считать, что скорость истечения не ограничивается каким-либо преде¬
лом и может быть переменной во времени, а ускорение а(1) может выби¬
раться независимо от уровня мощности, т. е. от массы М\у.
Существует, однако, и иной случай, когда у 2 может зависеть от М\у ,—
это возможная зависимость удельной массы а источника энергии от Л/и .
Если эта зависимость известна, можно также построить график уравнения
(8.10) и найти оптимальное значение М\\ .
Для иллюстрации будем рассматривать тот случай, .когда удельная
мощность не зависит от уровня мощности. Это допущение вполне справед¬
ливо для источников энергии многих типов. Например, в солнечных бата-
*) Код массой конструкции мы понимаем не только сами элементы конструк¬
ции, но также п пустые топливные баки, топливные насосы, трубопроводы, остатки
топлива, систему для создания давления в баках, ускоряющую систему (поипая
пушка). Сюда, однако, не входит сам источник мощности и устройство для преоб¬
разования энергии (например, тепловая машина и генератор).
(8.10)

§ 8.2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
291.
реях площадь полезной поверхности, а следовательно, и масса источника
энергии прямо пропорциональна уровню снимаемой мощности. Даже мас¬
са ядерных реакторов, служащих для выработки электрической энергии,
почти пропорциональна выделяемой мощности, так как вес элементов,
отводящих тепло от реактора, пропорционален величине производимой
мощности, а этот вес зачастую составляет основную часть веса всей
установки.
На рис. 8.1 приведены графики отношения (MJj + Ms)IM0 в зави¬
симости от M\V/Mо для ряда значений у, причем а, а значит, и у считаются
не зависящими от Mw /М0.
Рис. 8.1. Зависимость полезной нагрузки (плюс вес конструкции)
от массы источника мощности при различных у.
Как можно видеть, отношение (Mj,-Ms)!М0 становится отрицатель¬
ным, как только Л/и /Л/о превышает 1—■у. Поэтому отношение Л/п /Л/0
не должно превосходить 1 — у. При учете массы конструкции требование
положительности Mfj/M0 накладывает новые ограничения najЛ/п-/М0
и не может быть соблюдено, если у очень близко к 1.
В тех случаях, когда главной целыо полета является доставка на орби¬
ту источника энергии максимального веса, величина М\\ !М0 должна выбн-
ML л ^
раться из условия равенства нулю полезного груза, т. е. —- — U. Ьсли же
цель полета заключается в транспортировке полезного груза макси¬
мальной величины, то при условии, что масса конструкции пропорцио¬
нальна общей начальной массе М0 и не зависит от ее распределения сре¬
ди массы полезной нагрузки, источника мощности и топлива, максимум
19*

292
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
величины (ML + Ms)/M0 по Mw/M0 достигается при
Mw
М0 '
ML+MS
мп
Мр=л
М0
(1-Y)2;
Mw
ml+Mb.
(8.12)
М 0
мп
Y> j
где МР — масса топлива. На рис. 8.2 показаны максимальные значения
полезной нагрузки (плюс масса конструкции) в зависимости от у, а также
О 0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,6	0,0	1,0
v
Рис. 8.2. Распределение масс ракеты для получения максимальной величины
полезного груза.
те значения относительной массы источника и топлива, при которых этот
максимум достигается.
8.2.4.	Оптимальная программа ускорений при полете в поле тяготения.
Обратимся теперь к задаче минимизации интеграла
т	т
J = J J = y ^ ^afdt.	(8.13)
О	0	г
Будем искать такую программу ускорений, которая делает интеграл J
стационарным в надежде, что это стационарное решение окажется также
и решением задачи минимизации интеграла. Предположим, что время поле¬
та Т задано и что все допустимые траектории удовлетворяют определенным
начальным и конечным условиям, т. е. координаты и скорости в начальной
и конечной точках траектории равны заданным значениям. При рассмот¬
рении частных случаев движения в поле центральных сил мы будем пред¬
полагать также и другие типы граничных условий.
Вариация интеграла J будет
т
6/=	2 ai8aidt = 0.	(8.14)
Варьируя уравнение (8.36), получим
Я	d26xi	.	sry
dxidxj
(8.15)

§ 8.3]
ДВИЖЕНИЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
293
d2
После подстановки этого выражения в (8.14) член at ^ (6х{) можно про¬
интегрировать по частям:
V‘^dtAi£?t,x'i‘+a''!Tr\ -ттЧ ■	<8-16>
оо	оо
Два последних члена исчезают, так как начальные и конечные коор¬
динаты и скорости заданы. (При менее полном задании граничных условий,
например когда заданы только момент количества движения и энергия
или же задана только энергия, указанные члены не исчезают. В этих слу¬
чаях из полученного уравнения можно найти добавочные граничные усло¬
вия — так называемые условия трансверсальности. Такие условия будут
кратко рассмотрены при изучении движения ракеты в поле центральной
силы.)
Подставляя (8.15) в (8.14) и учитывая (8.16), находим, что
0 г	г, j
Меняя далее ролями индексы i и ] в двойной сумме и приравнивая нулю
коэффициенты при получим для определения at следующее дифферен¬
циальное уравнение:
S+2«/^7 = 0	(‘=1.2,3).	(8.17)
3
Для того чтобы полностью определить движение, нужно к системе
шести уравнений второго порядка (8.36) и (8.17) добавить 12 граничных
условий. Этими условиями являются заданные значения координат и ско¬
ростей в начале и конце траектории. Таким образом, мы вывели уравнения,
которые в принципе позволяют найти идеальную траекторию (и, значит,
идеальную программу ускорений) для любого полета. К сожалению, эти
уравнения столь сложны, что за исключением отдельных частных случаев
найти их решение крайне трудно даже при использовании быстродействую¬
щих вычислительных машин. Трудность применения счетной техники воз¬
никает из того факта, что здесь заданными являются и начальные и конеч¬
ные условия. Обычные численные методы расчета траектории приложимы
к тем задачам, где задаются полностью лишь начальные условия. Поэтому
для возможности численного расчета траектории необходимо задавать
начальные значения не только координат и скоростей, но и ускорений и про¬
изводных от ускорений. После этого траектория уже может быть вычисле¬
на, причем для любой полученной конечной точки эта траектория будет
оптимальной (при полученных в расчете значениях скорости в этой точке).
К сожалению, эти конечные значения координат и скоростей могут вовсе
не соответствовать значениям, требуемым при совершении заданного кос¬
мического рейса (например, полета к Марсу). Расчет такой траектории,
где в точке назначения нужно иметь заданную скорость, требует проведе¬
ния огромного количества пробных просчетов и внесения поправок.
§ 8.3. Движение при отсутствии поля тяготения
8.3.1.	Оптимальная программа ускорений. Найдем теперь оптималь¬
ную траекторию полета и соответствующую программу ускорений при
движении ракеты вне полей тяготения.

294
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
В этом случае имеем U = 0, и уравнения (8.3 G) и (8.17) сводятся
к следующим:
d2Xj	\
=	*
.	} (*’ = 1, 2, 3).	(8.18)
"""1 = О	I
dt2 W	J
Согласно этим уравнениям каждая компонента ускорения линейно
изменяется со временем, скорость является квадратичной функцией вре¬
мен! г, а перемещение — кубической функцией времени.
Будем сейчас рассматривать прямолинейное движение, интересуясь
не конечной координатой ракеты, а лишь приростом ее скорости. Это позво-
с аналогичной задачей движения ракеты
при постоянной скорости истечения с,
рассмотренной Лэпгмюром в гл. 7. На
рис. 8.3 показаны графики нескольких
программ ускорений, которые в соответ¬
ствии с уравнением (8.18) представляют
собой линейные функции времени. Все
показанные программы характерны тем,
что среднее значение ускорения у них
одинаково, а поэтому одинаковы и полу¬
чаемые приросты скорости. Напомним,
однако, что для максимизации полезного
груза необходимо, чтобы интеграл ^ a2dt
о
был минимальным. Этому условию из всех
программ, показанных на рис. 8.3, удо¬
влетворяет только одна, а именно та, где а постоянно. Заметим, что если
бы целью полета было не достижение максимального прироста скорости
за время Г, а достижение за это же время максимальной дальности поле¬
та, то ускорение должно было бы линейно уменьшаться со временем,
становясь равным нулю в момент Т.
При постоянной величине ускорения прирост скорости AV равен аТ.
Из уравнения (8.11) далее находим
*“ VWT“ VmL“К-	«>•*»>
о
где Vc = у 2Т /а — характеризующая скорость*), введенная Лэпгмюром
(гл. 7). Таким образом, при постоянном активном ускорении параметр у
представляет собой отношение прироста скорости ракеты к характе-
ризующей скорости.
8.3.2.	Оптимальная программа скорости истечения при полете вне
поля тяготения. Интересно выяснить, какова должна быть программа изме¬
нения скорости истечения для сообщения ракете постоянного активного
лит нам провести сравнение
Рис. 8.3. Программа ускорений, ли¬
нейно изменяющихся во времени,
при полете вне поля тяготения.
*) Не следует смешивать ее с характеристической скоростью ракеты (иначе
называемой скоростью Циолковского, или идеальной скоростью), представляющей!
собой интеграл от активного ускорения ракеты по времени. (Прим. персе.)

§ «-Л
ДВИЖЕНИЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
295
ускорения. Из уравнений (8.1), (8.8) и (8.4) находим
(8'20)
Так как а постоянно, величина, обратная массе ракеты, согласно уравнению
(8.6), будет
1		1	1	/о 91 \
M(t) - M0~2Pav •	^ '
Таком образом, эта величина линейно возрастает со временем. После
подстановки (8.21) в (8.20) имеем
Как видим, скорость истечения должна возрастать линейно со вре¬
менем, начиная с некоторого начального значения, причем величина этого
прироста в любой момент времени равна приросту скорости самой ракеты,
достигнутому к этому моменту. Это означает, что отброшенные массы
рабочего газа будут покоиться относительно некоторой системы отсчета
[4]. Найдем эту систему но значению скорости истечения в конечный
момент времени. Из уравнения (8.20) с учетом соотношения (8.8) имеем
с (?) „ АА — А Ае	/8 22)
1 ' ' М{а а а Мх '	К }
Если в рассматриваемой ракете масса Mw выбрана так, чтобы полез¬
ный груз ML был максимальным, то согласно уравнению (8.12) имеем
Mw
*о
а также
ж = у~Г'
^ о	м о
Деля почленно первое соотношение на второе и принимая во внима¬
ние выражение для у (8.11), находим
Подставляя это выражение в уравнение (8.22), окончательно получаем
«ОТ-
Таким образом, к концу рейса вся отброшенная масса газа движется отно¬
сительно ракеты со скоростью, равной характеризующей скорости Vc
по Лэнгмюру.
8.3.3.	Сравнение характеристик ракеты при постоянной и переменной
скорости истечения. На рис. 8.4 дается сравнение оптимальной постоян¬
ной скорости истечения по Лэнгмюру [5] с оптимальной программой пере¬
менной скорости истечения. По оси абсцисс отложено отношение скорости,
которую должна достичь ракета, к скорости Vc, а по оси ординат — отно¬
шение скорости истечения к Vc. Можно заметить, что значения наилучшей
постоянной скорости истечения лежат примерно посредине между началь¬
ным и конечным значениями переменной скорости истечения в оптимальной
программе ее изменения. Заметим также, что кривая, соответствующая

296
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
7,0
0,0
0,0
0,7
0,0
\0,0
0,4
0,3
0,2
0,7
О 0,7 0,2 0,3 0,4- 0,5 0,6 0,7 0,0 0,0 7,0
ЛУ/17С
постоянной скорости истечения, обрывается при AV/VC= 0,8. Объясняет¬
ся это тем, что в этой точке полезная нагрузка обращается в нуль (масса
конструкции при этом не учиты¬
вается). Поэтому в этом случае мак¬
симальная скорость, которую мо¬
жет развить ракета, составляет
примерно 80% от Vс. С другой сто¬
роны, мы уже отмечали ранее, что
когда масса конструкции не прини¬
мается во внимание, то при про¬
грамме переменной скорости истече¬
ния с величина полезной нагрузки
Рис. 8.4. Зависимость оптимальной скоро¬
сти истечения от требуемого прироста ско¬
рости ракеты: 1 — постоянная оптимальная
скорость истечения,2 — начальная скорость
истечения в оптимальной программе пере¬
менной скорости истечения, з — конечная
скорость истечения в оптимальной програм¬
ме переменной скорости истечения; все ско¬
рости выражены в единицах V = 1/ —,
с У а
где Т — время действия активного ускорения
и а — масса источника энергии, прихо¬
дящаяся на единицу выделяемой мощности.
Рис. 8.5. Зависимость отношения масс
ракеты от требуемого прироста ее скоро¬
сти при оптимальных скоростях истече¬
ния: 1 — отношение масс при использо¬
вании наивыгоднейшей постоянной ско¬
рости истечения, 2 — отношение масс
при использовании паивыгоднейшей про¬
граммы переменной скорости истечения;
скорость ракеты выражена в единицах
VC
-V4-
где Т — время действия
активного ускорения и а —масса источ¬
ника энергии, приходящаяся на единицу
выделяемой мощности.
может быть больше нуля всегда, когда у < 1, или, в данном случае,
когда AV < Vс. Следовательно, при переменной скорости истечения ско¬
рость ракеты может быть почти на 25% большей, чем при использовании
постоянной с [2].
На рис. 8.5 показаны графики отношения масс M0/(Ml + Ms) как
функция отношения AV/VC при постоянной и переменной скорости с.
Из сравнения графиков видно, что когда требуемая величина прироста
скорости ракеты составляет менее половины характеризующей ско¬
рости Vс, отношение масс оказывается меньше 4. Поэтому выигрыш от пере¬
менности скорости с здесь будет весьма незначительным. Разница в отно¬
шении масс в обоих случаях становится существенной только тогда, когда
прирост скорости ракеты, требующийся для определенного рейса, при¬
ближается к Vc.

§ 8.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
297
Следует заметить, однако, что более благоприятное отношение масс
может быть получено путем увеличения скорости Vc, т. е. вследствие про¬
порциональности ее корню квадратному из времени полета Т, путем увели¬
чения этого времени. Таким образом, использование переменной скорости
истечения должно рассматриваться
как средство уменьшения длитель- 35
ности рейса по сравнению с дли- | ^
тельностыо при постоянной с. Так, |
например, из графиков на рис. 8.5
видно, что при переменной с ракета ^20
с отношением масс, равным 10, мо-
жет достичь скорости, составляющей ^
0,68 Vc, тогда как ракета с постоян- | М
ной с и тем же отношением масс ^ /
может достигнуть скорости 0,65 Vc. Ь д
Если поставить условие, чтобы обе /	2	5	70	20	30 50 W
эти ракеты достигли одинаковой	масс	+MS)
абсолютной скорости, имея одинако-
л	.	лт	Рис.	8.6.	Увеличение	времени	полета при
ВОе ОТНОШеНИе масс, ТО величина Vс использовании постоянной скорости исте-
для ракеты с постоянной с должна	чения.
быть больше скорости Vc, соответ¬
ствующей ракете с переменной с в 68/65 раз, т. е. время полета должно
быть больше в (68/65)2 = 1,09 раз, или на 9%. Это видно и из графика,
показанного на рис. 8.6, на котором показана зависимость увеличения
времени полета (в процентах) от величины отношения масс.
§ 8.4. Движение в поле центральной силы
Рассмотрим теперь движение ракеты с двигательной системой ограни¬
ченной мощности в поле центральной силы, например в поле притяжения
Земли. Поскольку практически достижимая величина тяги такой системы
очень мала (ионные двигатели могут сообщать ракете активные ускорения,
равные лишь 10-5 — 10~3 g), мы будем предполагать, что ракета стартует
не с поверхности Земли, а с некоторой начальной орбиты, куда она была
предварительно выведена с помощью химической ракеты или ракеты с ядер-
ной силовой установкой, служащей для нагрева рабочего газа. Мы будем
везде в дальнейшем говорить о движении ракеты в поле Земли, хотя все
сказанное в равной степени относится и к движению в поле других планет,
Луны или Солнца. Таким образом, будет изучаться движение ракеты в гра¬
витационном поле одного тела, масса которого сосредоточена в его центре.
Кроме того, ограничимся рассмотрением лишь движения в плоскости.
8.4.1.	Уравнения движения в полярных координатах. Потенциал гра¬
витационного поля есть
(8.23>
где р = GM — произведение постоянной тяготения на массу источника
поля (например, Земли). Уравнения движения ракеты (8.3), записанные
в полярных координатах, в ее плоском движении будут:
d2r h2 и

298
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ НОЛЯХ
[ГЛ 8
где h — удвоенная секториальная скорость, или момент количества дви¬
жения ракеты на единицу ее массы, равный
*“'•5-	<8-26>
Первый член в правой части уравнения (8.24) представляет центробежную
/ cl О V
силу г ( — ) , второй — силу притяжения и третий — радиальную компо¬
ненту активного ускорения ракеты. Уравнение (8.25) выражает тот факт,
что скорость изменения момента количества движения, приходящегося на
единицу массы, равна моменту силы, действующей на единицу массы, т. е.
произведению трансверсалыюй компоненты силы тяги ракеты на плечо г.
Уравнения (8.24), (8.25) и (8.26) представляют систему дифференциаль¬
ных уравнений, определяющих движение ракеты при заданных значениях
радиальной и трансверсалыюй компонент силы тяги. Эти уравнения при¬
надлежат к числу тех, с которыми встречаются при изучении траекторий
тела, когда кроме центральной силы на тело действуют добавочные малые
возмущения. В частности, далее будет обсуждаться работа Цянь Сюэ-сэня
[6]; в ней эти уравнения исследуются при наличии постоянного ускоре¬
ния от силы тяги, действующей либо в радиальном, либо в трансверсаль-
иом направлении.
8.4.2.	Дифференциальные уравнения, определяющие оптимальную
программу активных ускорений. Обратимся теперь к определению оптималь¬
ной программы активного ускорения ракеты. Будем рассматривать сле¬
дующую задачу: найти такой режим движения, при котором ракета, несу¬
щая максимальную полезную нагрузку, в заданное время переходит из
начальной точки с заданной начальной скоростью в заданную конечную
точку с заданной скоростью. В этом случае оптимальная программа уско¬
рений должна удовлетворять уравнению (8.17). Смешанная вторая про¬
изводная в этом уравнении по x-L и Xj будет
!'ц\ = 4- 6;,- -4 Xfrj,	(8.27)
fJXjdXj Г° J	ro j	V
где б и — символы Кронекера (6i<7----0, при i ф /; 5^ = 1). Подставляя
ее значение в уравнение (8.17), получим
d-cij , р Зр
си2 Г «г	;.5	*	i	/J	«7- J
j
что можно записать в векторном виде так:
= 0.	(8.29)
В полярных координатах вектор а можно представить в виде
а arlr - а0/о»	(8.30)
где 1Г и /о — единичные векторы, соответствующие радиальному п транс-
версалыюму направлениям. При дифференцировании вектора а необхо¬
димо помнить, что единичные векторы 1Т и /0 поворачиваются. Учитывая
это, находим следующее выражение для второй производной от вектора а:
d*a j" _d_ ( dn г	М/ !

§ 8.-4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
289
После подстановки выражений (8.30) и (8.31) в уравнение (8.29) и прирав¬
нивания нулю коэффициентов при и 10, получим следующую систему
двух дифференциальных уравнений второго порядка:
тг(Ъ-±«УНЪ+4- О-*“0:	<аз2>
=°-	<8-33>
Здесь вел ичина 0 исключена с помощью уравнения (8.26). Полученные урав¬
нения (8.24), (8.25), (8.26), (8.32) и (8.33) образуют совместную систему
уравнений восьмого порядка, для решения которой нужно задаться систе¬
мой восьми граничных условий. В рассматриваемой задаче этими условия¬
ми являются четыре условия в начальной точке траектории — две коор¬
динаты ii две компоненты скорости — п четыре аналогичных условия
в конце.
8.4.3. Два интеграла уравнений оптимального движения. Написан¬
ная система уравнений движения допускает нахождение двух ее интегра¬
лов. Первый из них есть
da о	dr 21га r \ г-	/Q о/\
^_а0_ + _^ = А1.	(Ь.34)
С помощью уравнений (8.24) и (8.25) можно легко показать, что уравнение
(8.33)	удовлетворяется при подстановке в него величины da^/dL, найден¬
ной из интеграла (8.34). Поэтому вместо уравнения (8.33) можно использо¬
вать уравнение (8.34). Порядок системы при этом понижается на единицу.
Можно также использовать уравнение (8.34) совместно с уравнениями
(8.24) и (8.25) для упрощения уравнения (8.32). В результате получим
3S'1 = -г 74-	-3/л	•	(8.35)
Второй интеграл, найденный Блюмом (Е. К. Blum), есть
2 I "■> t о f	р	3	о	dr dar 2K\h	/q «п.
«>• ^«0+2"'-	ТГ 	Г2-	=	A°-	(8-3b>
Однако даже при наличии указанных интегралов до получения полного
аналитического решения задачи еще очень далеко. Для решения приведен¬
ных дифференциальных уравнений пришлось прибегнуть к численным
методам. При этом использовались уравнения (8.24), (8.25), (8.26), (8.34)
и (8.35). Интеграл (8.36) для нахождения аг не применялся вследствие того,
что для численного интегрирования этого уравнения его необходимо пред¬
варительно делить на dr/dt (коэффициент при dar/dt), а эта величина во
многих задачах проходит через нуль. Поэтому уравнение (8.36) оказалось
более полезным для контроля точности вычислений, т. е. для проверки
того, насколько левая часть его остается близкой к постоянной величине.
8.4.4. Различные системы граничных условий. Как уже упоминалось
выше, при расчете траектории движения ракеты на вычислительной маши¬
не остается открытым вопрос об удовлетворении конечных граничных
условий. Поэтому для построения определенного решения следует задать¬
ся достаточным количеством начальных условий, надеясь, что полученная
траектория будет принадлежать к числу тех, которые представляют инте¬
рес, т. е. что ракета, двигаясь по ней, в заданное время достигнет задан¬
ной конечной точки, имея заданную скорость. При численном решении
уравнений принимается, что ракета стартует с круговой начальной орбиты

300
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
близ Земли. Удобно производить расчет в таких единицах, в которых
радиус начальной круговой орбиты и скорость движения ракеты по этой
орбите равны единице. В такой системе единиц постоянная ц также будет
единицей. Будем считать, что в момент включения двигателя ракеты коор¬
дината 0 = 0. Следовательно, начальные условия запишутся в виде
0=0; r= 1,
Чтобы определить траекторию, мы должны также задать начальные усло¬
вия для аг, а©, <~ и-^у • По этим величинам можно найти К L из урав¬
нения (8.34) и затем решать систему дифференциальных уравнений.
До сих пор мы упоминали о тех задачах, в которых конечные координа¬
ты и скорости ракеты считаются заданными. Существуют, однако, pi иные
задачи, где конечные параметры движения задаются не полностью. Одной
из них, представляющей определенный интерес, является задание конеч¬
ных значений г, г и /г; угол 0 не задан. Как и прежде, здесь требуется найти
траекторию, двигаясь по которой, ракета достигает конечной точки
пути за заданное время Т с заданными конечными параметрами при мини-
т
мальной величине интеграла ^ a2dt. Начиная траекторию из точки 0 = 0,
о
можно однозначно найти конечное значение 0 из условия минимума этого
интеграла. С другой стороны, подбирая соответствующим образом началь¬
ное значение 0, можно сделать конечное значение 0 равным любой заданной
величине. Блюм показал, что эта задача описывается той же системой
дифференциальных уравнений (8.34) — (8.36), но при К и равном
нулю. С исчезновением КА для решения задачи становится достаточ¬
но семи граничных условий — четырех в начальной точке 0, г, г и h и трех
в конечной — г, г и /г. Здесь опять для решения системы численными
методами мы должны заменить три конечных условия тремя добавочными
начальными условиями, подбирая их так, чтобы по возможности удовле¬
творить заданным конечным условиям в момент времени Т. Этими тремя
добавочными начальными величинами могут быть аг, а0 и dar/dt.
Блюм рассматривал также [7] случай, когда в конечный момент вре¬
мени Т заданы лишь удельный момент количества движения /г и удельная
энергия Е. Задание /г и Е определяет форму, по не угловую ориентацию
эллиптической траектории ракеты по выключении тяги. В этом случае
при максимальной величине полезного груза снова имеем К\= 0. Семь
граничных условий здесь заключаются в задании четырех обычных началь¬
ных параметров, двух конечных условий по h и Е и одного дополнитель¬
ного конечного условия, так называемого условия трансверсальности,
которое можно записать в виде
h,(T) !■ (Г) = а, (Г) {{)§£- iT^p} ■	(8.37»)
Сравнивая это выражение с соотношением (8.36) при Ку= 0, видим, что
условие трансверсальности эквивалентно следующему:
а2 (Т) = К,.
(8.376)

§ 8.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
301
Постоянную К2 можно определить по заданным начальным условиям.
В частном случае, когда начальная орбита круговая, имеем с^= 0
и	Поэтому	постоянная К2 будет равна квадрату начального
активного ускорения [см. уравнение (8.36)]. Таким образом, при старте
с круговой орбиты, когда из конечных условий заданы только h и Е,
максимальное значение полезной нагрузки достигается при К^= 0;
найденное решение должно удовлетворять конечным условиям по h и Е,
а величина активного ускорения должна быть одинаковой в конечной
и начальной точках траектории.
Когда на конце задается только Е, необходимо найти еще одно конеч¬
ное условие. Согласно результатам Блюма [7], соответствующее условие
трансверсальности требует, чтобы в конечный момент вектор тяги был
направлен вдоль вектора скорости ракеты.
В литературе ошибочно указывалось, что при заданной величине
активного ускорения ракеты для наиболее быстрого ухода ее с началь¬
ной орбиты следует всегда направлять тягу вдоль вектора ее мгновенной
скорости. Обосновывают это обычно тем, что скорость изменения удель¬
ной энергии ракеты выражается формулой
^Г-V-a	(8.38)
и она будет наибольшей, если а сонаправлено с V. Далее утверждается,
что раз скорость изменения Е всегда максимальна, то для достижения
какого-либо заданного уровня энергии, например энергии освобождения,
потребуется минимальное время. Утверждение это неверно, потому что
на самом деле максимум скорости изменения Е не соответствует минимуму
времени, требуемого для достижения определенного прироста энергии.
Действительно, из выражения для удельной энергии
Е = ^-	(8.39)
видно, что при данном значении Е скорость V тем больше, чем меньше ра¬
диус г. Обращаясь к уравнению (8.38), замечаем, что скорость изменения
энергии при заданном активном ускорении растет вместе со скоростью V.
Поэтому в оптимальной программе для получения определенного при¬
роста энергии тяга должна направляться не совсем вдоль вектора V, а
несколько внутрь, стремясь уменьшить радиус г и этим увеличить V.
Только непосредственно перед достижением заданного уровня энергии
тягу можно направить вдоль вектора скорости, не опасаясь при этом выйти
из оптимального режима. Это позволяет выбрать в качестве недостающего
конечного условия условие параллельности векторов а и V (Блюм [7]
вывел это условие строгим путем, пользуясь методами вариационного
исчисления).
8.4.5.	Сравнение траекторий ухода, близких к оптимальным. Для
случая Кi= 0 был проведен ряд машинных расчетов траекторий, однако
при этом ни разу не удалось подобрать начальные условия так, чтобы
в некоторой точке траектории удовлетворились бы оба условия трансвер¬
сальности, т. е. векторы а и V были бы параллельны, а величина ускоре¬
ния а была бы равна своему начальному значению. Разумеется, каждая
из найденных траекторий удовлетворяет уравнениям (8.24), (8.25), (8.26),
(8.34)	и (8.35) и поэтому является оптимальной траекторией ухода для тех

302
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
конечных значений г, г и /г, которые получаются в расчете. Однако эти
значения не соответствуют оптимальной траектории ухода в том смысле*
Рис. 8.7. Уход с круговой орбиты при использовании «оптимальной» программы
ускорений; начальное ускорение равно 0,005 g и направлено трансверсально.
что из всех возможных совокупностей величин г, г и h найдена такая со¬
вокупность, при которой уход совершается с максимальной величиной
Рис. 8.8. Уход по эллиптической траектории.
полезной нагрузки. Поэтому мы в дальнейшем будем называть найденные
траектории «оптимальными» — в кавычках.

§ 8-4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
303
На рис. 8.7, 8.8 и 8.9 представлены три примера траектории ухода,
вычисленных на машине. В целях удобства радиальные расстояния на
чертеже выражены: в единицах радиуса начальной круговой орбиты,
а время — в единицах времени прохождения по этой орбите угла в 1 радиан,
что составляет около 14,5 минут при высоте орбиты 200 миль. Центральный
заштрихованный круг представ¬
ляет начальную круговую орби¬
ту, которая в рассматриваемых
примерах почти совпадает с
окружностью земного шара.
На рис. 8.8 и 8.9 (и на некото¬
рых последующих) начальные
витки располагаются столь гу¬
сто, что на чертеже показаны
лишь некоторые из них. Как
видно из рисунков 8.7 и 8.8, изо¬
браженные на них спиральные
орбиты «разворачиваются» мо¬
нотонно, медленно удаляясь
вначале и гораздо быстрее в кон¬
це, когда энергия ракеты начи¬
нает приближаться к энергии //ауамше
освобождения. Конечные точки усшмя:
траекторий обозначают отрыв,
т. е. достижение такого состоя-
ння, когда полная энергия
(кинетическая ПЛЮС потенци-	Рис. 8.9. Траектории столкновения,
а льна я) равна нулю (напомним,
что при движении по ограничен¬
ной орбите полная энергия движущегося тела отрицательна). Числа,
стоящие у этих точек, показывают время, прошедшее от начала разгона
до момента отрыва, выраженное в упомянутых 14,5-минутных единицах.
Учитывая, что в сутках содержится примерно 100 таких единиц, находим,
что в примере, показанном на рис. 8.7, время ухода составляет около
1,6 суток.
Орбиты, изображенные на рис. 8.7, 8.8 и 8.9, отличаются между собой
начальным и значениями трансверсал ыюй компоненты активного уско¬
рения а0 радиально]! компоненты аг и скорости изменения радиальной ком¬
поненты аг. Единицей измерения этих величин служит ускорение силы
тяжести на начальной орбите, равное примерно 1 g. На рис. 8.7 начальные
значения аг и аг взяты нулевыми, а тангенциальное ускорение а0 равным
0,005 в принятых единицах, что равно примерно 0,005 g.
На рис. 8.8 изображена орбита, начальные данные которой а0 0,001,
аг ~ 0 и аг^~ —0,0001. Получившаяся траектория представляет собой вы¬
тянутую эллиптическую спираль, движение по которой заканчивается в
конце концов отрывом.
На рис. 8.9 начальными данными траектории являются aQ ----- 0,001,
а г - —0,001 ий,. ^ 0. Орбита в этом случае также оказывается эксцентрич¬
ной, однако высота перигея ее уменьшается, и, как можно видеть из рисун¬
ка, ракета на такой орбите должна врезаться в Землю. Наличие поверх¬
ности Земли нигде не предусматривалось в нашей постановке задачи,

304
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ 8
и поэтому необходимо тщательно следить за тем, чтобы оптимальные траек¬
тории, полученные в результате решения, не пересекались с Землей.
Интересно отметить, что почти во всех рассчитанных траекториях
модуль полного активного ускорения ]/ а2 + остается почти постоянным
на всей траектории. Напомним, что в случае отсутствия поля тяжести
строгое решение приводит к выводу, что активное ускорение должно быть
точно постоянным. Естественно, что и в задаче ухода из поля тяжести
Рис. 8.10. Уход с круговой орбиты при действии постоянного трансвер-
салыюго активного ускорения 0,005 g.
постоянное активное ускорение также является желательным. Учитывая
это обстоятельство, наряду с изучением «оптимальных» траекторий были
исследованы трииныхтипа программ активных ускорении, близких к опти¬
мальным, а именно: а) программа постоянного активного ускорения,
направленного по трансверсали [6]; б) программа постоянного активного
ускорения, направленного тангенциально [8, 9] (т. е. параллельно век¬
тору мгновенной скорости) и в) программа постоянной скорости истечения
и постоянного секундного расхода при трансверсальном направлении тяги.
На рис. 8.10 и 8.11 изображены траектории ухода при постоянном актив¬
ном ускорении, равном 0,005 (в долях g на начальной орбите) и направлен¬
ном соответственно трансверсально и тангенциально. Как видим, обе эти
траектории очень похожи на «оптимальную» траекторию, показанную
на рис. 8.7. На рис. 8.12 и 8.13 показаны для сравнения траектории при
тангенциальном активном ускорении, равном 0,001 g и 0,0001 g соответ¬
ственно. На каждом рисунке указано время, требуемое для ухода. Видно,
что чем меньше величина ускорения, тем большее количество витков рас¬
полагается вблизи Земли и существенное увеличение радиуса г спирали
имеет место лишь на последних двух или трех оборотах.
Производя расчеты для ряда различных значений активного уско¬
рения, можно определить зависимость времени ухода ТЕ от величины этого

§ 8.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
305
ускорения. Умножая, далее, ускорение на время ухода, можно найти
величину скорости ракеты AF, которую она развила бы в прямолинейном
Рис. 8.11. Уход с круговой орбиты при действии постоянного тангенциального
активного ускорения 0,005 g.
полете вне поля тяготения. Величина этой скорости AV как функция при¬
ложенного активного ускорения представлена на рис. 8.14. Две кривые
Рис. 8.12. Уход с круговой орбиты при действии постоянного тангенциального
активного ускорения 0,001 g.
соответствуют тангенциальному и трансверсальному направлению тяги.
Нижняя кривая получена Цянь Сюэ-сэнем приближенным аналитическим
20 Космическая техника

306
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
методом [6] для случая постоянного трансверсального активного ускоре¬
ния. Как видим, она находится в хорошем согласии с данными машинных
Рис. 8.13. Уход с круговой орбиты при действии постоянного тангенциаль¬
ного активного ускорения величиной 0,0001 g.
вычислений при предельных значениях активного ускорения и лишь
удовлетворительно согласуется с этими данными в других точках.
8.4.6.	Определение величины полезного груза при уходе по траекто¬
риям, близким к оптимальным. С помощью кривых, показанных на рис.
8.14, легко определяется величина полезного груза, приобретающего
Д/г/лувмая ус/гареме
Уст/ар?////? ш/ тяжее/ш т ///zvaj7/>//fa o/7fa777?
Рис. 8.14. Характеристическая скорость, необходимая для ухода с круговой
орбиты, как функция величины активного ускорения.
скорость освобождения. Согласно уравнению (8.12), максимальная масса
полезного груза Mja плюс масса конструкции М$ определяется формулой
Ml+Ms __ ,л _ ч2
Мп	'	’

§ 8.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
307
где величина у находится из уравнения (8.11):
(8.40)
причем Те — время достижения отрыва. Если активное ускорение а по¬
стоянно, то независимо от его направления интеграл, стоящий под кор¬
нем, может быть взят, и мы получим
Y= ]/
аа2Т т.
clTe
A V
V,'
(8.41)
где снова введена скорость Vс. Формально эта формула совпадает с выра¬
жением (8.19) для случая отсутствия поля тяжести, однако здесь, помимо
788
877
88
48
88
1 Ш
^ 88
\ 28
| О
| 788
88
<х = 7
' 1
V А'г//fi
1
9/Л
II!1
Рабочее тлело ^
4кь
Ж*
\у87олёз//ол
лагрузео
~ 77/7/06’ ООО
/Г67/ТО//7Гу/!'//6/Ц
L
а= 7
1 “1
г /гг//rt
г ■ ■ ■
УТЛ
' 1 1 1
Рабочее тлело
1
е ,1*
/
Золезеол
т/агрузш
2
ол/оо оео
ЛООО/ОруЛТ/Оа
88
48
28
8
8,883 8,87 8,83 8,7	8,3	7	3	78
РдоЗоЛЖОТЛеЛМОО/ЛТ/ уГоЗа, ОУЛ/.
II
[ 1
7 /гг/е
1
007
Рабочее
тлело
\€>
Сф
Золь
еагр_
37/0/7
гз/га
ол/оо вее
лолструщоа
I
38	788
Рис. 8.15. Распределение масс ракеты для максимизации полез¬
ной нагрузки в маневре ухода в зависимости от времени ухода для
ряда значений а (удельная масса источника мощности).
прямой зависимости у от ТЕ, зависимость от ТЕ проявляется также
и через ускорение а (рис. 8.14). На рис. 8.15 показана зависимость вели¬
чины полезного груза (плюс масса конструкции) при уходе от Земли
от заданного времени ухода для трех значений параметра а. Здесь же даны
и соответствующие веса источника энергии и рабочего тела, необходимые
для осуществления ухода с максимальной полезной нагрузкой. Значения
этой нагрузки подсчитывались для случая постоянной тангенциальной
20*

308
полеты с малой тягой в гравитационных полях
[ГЛ. 8
тяги, постоянной трансверсальной тяги и случая «оптимального» дви¬
жения [с использованием формулы (8.40)]. В результате оказалось, что раз¬
ница в величине полезной нагрузки в этих примерах оказалась прене¬
брежимо малой.
При исследовании траекторий движения с постоянной скоростью
истечения с и постоянным секундным расходом — М задавалась величина
с и затем просчитывались траектории для ряда значений —М. Путем интер¬
поляции была найдена такая величина —М, при которой уход совершает¬
ся за 125 ед. времени (около 1,25 суток при уходе от Земли). Умножив это
   /7алввная нагруэна при жжш/ ант йенам
уанарении, направлением транаеараалана
Рис. 8.16. Зависимость полезной нагрузки от скорости истечения в случае посто¬
янства величины этой скорости и секундного расхода (время ухода 1,25 суток).
значение секундного расхода на время ухода (125 ед.), находим общую
массу рабочего тела, а затем по формуле M.w  и массу сило¬
вой установки. Вычтя эти массы из начальной массы ракеты, найдем массу
полезной нагрузки (плюс масса конструкции). Результаты этого расчета
приведены на рис. 8.16 в функции от с для нескольких значений а. Здесь
имеет место тот же эффект, который был описан Лэпгмюром (гл. 7), а имен¬
но, значительное уменьшение полезной нагрузки, когда значение посто¬
янной скорости с сильно отличается от оптимального постоянного значе¬
ния г. С другой стороны, как уже упоминалось в связи с рис. 8.5, величина
полезной нагрузки при оптимальном с очень близка к той, какая полу¬
чается при использовании программы постоянного активного ускорения.
Значения полезной нагрузки при постоянном активном ускорении для
ряда значений а показаны горизонтальными штриховыми линиями возле
пиков на рис. 8.16.
8.4.7.	Неэффективность радиальной тяги. Из того, что все рассмот¬
ренные до сих пор типы траекторий ухода примерно одинаковы в отноше¬
нии величины полезной нагрузки, еще не следует делать вывод, что любые
возможные программы ускорений равно хороши. Примером значительно
худшей программы по сравнению с изученными выше служит программа
радиально направленной тяги. Даже при использовании импульсной
тяги трансверсальное направление тяги гораздо выгоднее, чем радиаль¬
ное. Примем снова скорость движения по начальной круговой орбите

$ S.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
309
за единицу. Тогда, как хорошо известно, скорость освобождения (так на¬
зываемая вторая космическая скорость) на этой высоте будет равна
|/ 2	1,414.	Из рис. 8.17 видно, что в то время как для отрыва с круговой
орбиты посредством трансверсального импульса тяги необходима добавоч¬
ная скорость 0,414, уход при радиальном направлении импульса требует
импульсного прироста скорости 1,0.
При уменьшении тяги по величине характеристическая скорость
в пустом пространстве (т. е. произведение величины активного ускорения
па время его действия до момента достижения энергии освобождения),
7,474-лееблебеме_
бляулеба
0,474-емлулеслш.
Предаст СЛСраете
70 -лааелмая
If 0-амлулаелш
придаст
слереете
ербеталелея елереете
/бееерллеетг?
беМЛЛ
7,474-лееблебеме
бля у/аба
^б-лачалелая
Пр0ПП7ПЛПЛПЯ СЛарестП
Тралсеерсалелая /еяга:
требуемый емеульелш прарест
слереете рееел 0,474 *
х ербеталалут слереете
Рабеалелая тяга:
требуемые ампулеслыб прарест
елеросте рееел. 7,0 х
х ербеталелую слереете
Рис. 8.17. Действие трансверсалы-юй и радиальной импульсной тяги.
требуемая для осуществления ухода, возрастает и стремится к бесконеч¬
ности, когда аТ приближается к 1/8 ускорения силы тяжести иа начальной
орбите [6]. Это легко показать следующим образом. Так как а$ --	0,
то h будет оставаться постоянным — см. уравнение (8.25) — и равным 1,0
на всей траектории. Подставляя это значение в уравнение (8.24) и затем
умножив его на 2	,	получим
а
(it
f dr	V2 0 f 1	1	,	N	dr
V <//	v	/-•	/•••:	_i	"r ) di	'
(8.42)
Здесь учтено, что в принятых единицах ц = 1. Интегрируя (8.42) в преде¬
лах от 0 до /, находим
12а"
г ] ■
(8.43)
причем это.выражение удовлетворяет начальным условиям г :	1	и	^	•	О
при I = 0. Если аг С 1/8, то при г = 2 выражение в квадратных
скобках становится отрицательным, а поскольку	должно	всегда	быть
положительно, то г не может стать больше 2. Если же ат 7> 1/8, то правая
часть выражения (8.43) будет положительной для всех значений г, боль¬
ших единицы. При этом не только выполняется условие положительности
dr\2
Ylt ) , но величина dr/dt не меняет своего знака. Из уравнения (8.24)
видно, что когда аг положительно, радиальная скорость dr/dt становится
также положительной сразу же после начала действия радиальной тяги

310
ПОЛЕТЫ С.МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
и, как мы убедились, должна оставаться таковой вплоть до момента осво¬
бождения *).
8.4.8.	Переход между орбитами в поле центральной силы (перелет
от Земли к Марсу в поле Солнца). Задача разыскания траектории оптималь¬
ного ухода в поле центральной силы описывается системой дифферен¬
циальных уравнений (8.24), (8.25), (8.26), (8.34) и (8.35). Эти же уравнения
можно использовать и в задаче перехода между орбитами. Такие задачи
могут возникнуть при перелете с одной орбиты спутника Земли на другую,
или с одной из орбит вокруг Солнца на другую. Доктору Блюму и автору
настоящих строк удалось найти [10] ряд оптимальных траекторий пере¬
лета с орбиты Земли на орбиту Марса. Искомая траектория должна удо¬
влетворять не только условию равенства координат ракеты и Марса в мо¬
мент встречи, но и условию равенства их скоростей. Если же их скорости
при встрече будут сильно отличаться друг от друга, то может оказаться,
что за короткое время прохождения вблизи Марса ракета с двигателем
малой тяги не успеет затормозиться и не будет захвачена планетой.
Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо
задать шесть граничных условий. Тремя из них являются начальные
условия переходной траектории, а именно: радиальное расстояние ракеты
от Солнца равно радиусу земной орбиты, радиальная скорость равна
нулю**), а трансверсальная компонента скорости равна орбитальной
скорости Земли. Еще два условия, которые мы пытались удовлетворить,
заключались в том, чтобы ко времени Тт (Тт — заданное время перелета)
удельная энергия Е и удельный момент количества движения h ракеты
были равны соответствующим величинам Марса (так как задание Е и h
полностью определяет форму и размеры эллиптической орбиты Марса).
Последнее условие, которое мы стремились также выполнить, было усло¬
вие равенства величины активного ускорения ракеты в момент Тт началь¬
ному активному ускорению. Это последнее условие позволяет из всех
возможных конечных точек траектории (на орбите Марса) выбрать такую,
для которой полезный груз оказывается максимальным [см. уравнение
В процессе решения уравнений находится величина конечного рас¬
стояния ракеты от Солнца и знак радиальной скорости, определяющие
ту точку орбиты Марса, где будет иметь место встреча ракеты с планетой.
Угловое расстояние, пройденное ракетой по траектории перехода, есть
Вычитая этот угол из угловой координаты точки встречи, находим
положение точки старта с земной орбиты, т. е. начальную точку траекто¬
рии перехода.
К сожалению, для прямого численного решения описанной гранич¬
ной задачи нет соответствующих методов. Поэтому, помимо трех началь¬
ных условий по г, г и h (или по трансверсалыюй скорости, равной h/r),
необходимо задаться также начальными условиями и по ускорениям
аг, ае и аГ. Приближенное аналитическое решение линеаризованной
*) Из (8.43) следует, что t -> оо при г-> 2, если аг = 1/8. (Прим. ред.)
**) Здесь в целях упрощения считается, что орбита Земли вокруг Солнца
круговая.
(8.376)].
(8.44)
о

.§ 8.4]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
311
системы, полученной из системы уравнений (8.24), (8.25), (8.26), (8.о4)
и (8.35), позволяет приблизительно
значения ат, а© и аг*), однако для
значений по h, Е и а(Тт) необходимо
проделать на машине ряд повторных
расчетов. Точного выполнения ко¬
нечных условий добиться никогда не
удавалось, но достигалась точность,
при которой влияние ошибок на
результаты, приводимые ниже, не¬
значительно.
Рис. 8.18. Переход от Земли к Марсу (с дости¬
жением орбитальной скорости Марса) продол¬
жительностью три месяца при действии малой
тяги.
«нащупать» требуемые начальные
точного удовлетворения конечных
Рис. 8.19. Программа изменения актив¬
ного ускорения в процессе 3-месячного
полета к Марсу.
На рис. 8.18 показана вычисленная таким путем траектория перехода
€ заданным временем перелета 3 месяца. Траектория рассчитывалась при
следующих начальных данных:
аг{0) - 0,6910 X ускорение силы притяжения Солнца в районе
Земли = 0,004141 м/сек2;
ае(0) = 0,5205 X ускорение силы притяжения Солнца в районе
Земли = 0,003119 м/сек2;
^ /q\ _  о 3639 X УСК0Рение сильт притяжения Солнца в районе Земли _
г' '	’	мес
= —0,002181 .
мес
Угол, пройденный по траектории вокруг Солнца, составляет 73,6°. Пред¬
ставляет интерес найти программу активных ускорений для траектории,
показанной на рис. 8.18. Эти программы для составляющих агий0в функ¬
ции времени приведены на рис. 8.19. Напомним, что программы ускорений
выбраны не произвольно, а получены в результате расчета на оптимум.
*) Линеаризация этих уравнений казалась слишком грубой для того, чтобы
надеяться получить удовлетворительное приближенное решение. Однако, когда
с помощью этого решения были найдены начальные значения ят, а© и аг и за¬
тем по этим величинам были численно решены нелинеаризованные уравнения, ока¬
залось, что требуемые конечные условия выполняются с точностью до 1%. При¬
чину этого автор пока объяснить не может.

312
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. S
В начале пути величина aQ положительна, и ускорение ракеты направлено
вдоль	вектора	ее	скорости,	что	приводит к возрастанию	центробежной
силы.	В	результате	ракета начинает удаляться от орбиты	Земли. Этому
способствует также и то обстоя¬
тельство, что аг 0. В течение вто¬
рого месяца полета обе компоненты
активного ускорения	аг и а0 стано¬
вятся столь малыми,	что /движение
ракеты практически является дви¬
жением по инерции. Поэтому полет
ракеты с малой тягой здесь вполне
аналогичен полету баллистической
ракеты. Последний месяц пути ха¬
рактерен новым возрастанием а0,
вследствие чего ракета ускоряет свое
движение, стремясь достигнуть орби¬
тальной скорости Марса. Радиальное
ускорение ат здесь становится от¬
рицательным, это приводит к
уменьшению радиальной скорости
настолько, чтобы ракета приблизи¬
лась к Марсу по касательной к его
орбите.
На рис. 8.20 представлен еще
один график, иллюстрирующий нали¬
чие участка почти свободного полета ракеты на втором месяце пути. Здесь
показан ход возрастания интеграла с переменным верхним пределом
t
^ a2dt. Смысл его можно понять, если из соотношений (8.6) и (8.8)
о
найти выражение для мгновенной массы ракеты в следующем виде:
Рис. 8.20. Рост интеграла
-и
a2dt в про¬
цессе З-месячного полета к Марсу (опреде¬
ляемый скоростью уменьшения массы ра¬
кеты) .
М(0)
M(t)
dt
(8.45)
В течение первого и последнего месяцев полета, когда интеграл
быстро растет, величина, обратная массе и являющаяся линейной функци¬
ей этого интеграла, также растет. Здесь скорость расхода массы весьма
велика, тогда как в средней фазе полета рост интеграла почти прекра¬
щается и масса ракеты остается почти постоянной, так как величина рас¬
хода ничтожно мала. Вспомним теперь, что мощность вытекающего потока
должна все время быть равной полной располагаемой мощности; это
означает, что скорость истечения на среднем участке полета должна быть
очень высокой (по крайней мере, это относится к той оптимальной траек¬
тории, которая здесь изучается). График зависимости удельного импульса,
пропорционального скорости истечения, от времени дан на рис. 8.26.
§ 8.5. Грузоподъемность ракеты при облетной экспедиции к Марсу
8.5.1.	Описание экспедиции. Воспользуемся теперь результатами
изучения задач ухода и перехода между орбитами и выясним, какую вели¬
чину полезного груза может нести космический корабль с малой тягой
при экспедиции к Марсу и обратно [10]. Затем для сравнения найдем

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 313
величину полезной нагрузки в аналогичной экспедиции при полете бал¬
листической ракеты. В обоих случаях величину полезной нагрузки можно
увеличить за счет увеличения времени путешествия. Поэтому для правиль¬
ного сравнения будем считать время путешествия одинаковым для обоих
кораблей.
При определении «грузоподъемности» корабля с малой тягой необхо¬
димо предположить, что он уже находится на низкой круговой начальной
орбите (скажем, высотой 200 миль), куда он был предварительно выведен
ракетой-носителем. Полезная нагрузка в дальнейшем полете к Марсу бу¬
дет определяться как часть полного веса корабля на этой начальной орби¬
те. Для объективности проводимого сравнения ракеты с малой тягой и бал¬
листической ракеты будем полагать, что последняя также предварительно
выведена носителем иа круговую орбиту высотой 200 миль над поверх¬
ностью Земли.
Цель полета заключается в том, чтобы, стартовав с начальной кру¬
говой орбиты, выйти из поля Земли и, достигнув Марса, стать его спут¬
ником. Спутниковая орбита вокруг Марса должна представлять собой
очень вытянутый эллипс, перигей которого располагается как можно
ближе к поверхности планеты, а апогей — очень далеко от нее. В момент
наибольшего приближения корабля к Марсу можно производить точное
фотографирование его поверхности, причем благодаря суточному враще¬
нию планеты ее можно сфотографировать со всех сторон за ряд последо¬
вательных прохождений ракеты через перигей. Необходимость того, что¬
бы большая полуось спутниковой орбиты вокруг Марса была как можно
больше, объясняется тем, что при этом полная энергия корабля (относи¬
тельно системы осей, связанной с Марсом) будет близка к нулю и поэтому
расходы топлива как на захват, так и на уход корабля от Марса будут
наименьшими.
При возвращении корабля к Земле на него вновь будет действовать
поле притяжения Земли, в результате чего он будет приближаться: к пен
со скоростью, несколько превышающей скорость освобождения, которая
для высоты 200 миль равна 35 800 фут/сек. Точная величина скорости
подхода зависит от относительной скорости корабля и Земли до входа
корабля в сферу действия земного притяжения. Для входа в земную атмо¬
сферу и посадки необходим специальный фюзеляж, обладающий большим
аэродинамическим сопротивлением и, возможно, имеющий аблицирующнс
поверхности (т. е. поверхности, поглощающие тепло путем изменения
своего состояния, например путем испарения массы в процессе спуска).
Разумеется, полная масса, теряемая при таком поглощении тепла, зави¬
сит от скорости полета. В рассматриваемых ниже примерах эта скорость
будет различной в различных случаях, и поэтому для проведения сравне¬
ния мы будем полагать, что во всех случаях скорость ракеты снижается
до скорости освобождения, равной 35 800 фут/сек, посредством прило¬
жения тормозной тяги. Остающаяся же скорость 35 800 фут/сек гасится
а э р о ди намиче скими си л ами.
Строго говоря, для расчета траектории движения и расхода топлива
нужно решать ограниченную задачу четырех тел — Солнце, Земля.
Марс и космический корабль. Разумеется, мы не делали этого, а считали,
что всю траекторию можно разделить на участки, где корабль подвергает¬
ся воздействию лишь одного из небесных тел. Таким путем мы изучили
сначала уход от Земли, считая, что на корабль действует лишь одно ее поле.
Далее, при рассмотрении перелета с орбиты Земли на орбиту Марса мы
учитывали только силу притяжения Солнца, а затем, при приближении

314
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
корабля к Марсу, было принято во внимание лишь его гравитационное
поле. Полученные результаты хотя и не являются достаточно точными для
составления программ полета, представляются, однако, вполне приемле¬
мыми в отношении оценки величины полезной нагрузки.
8.5.2.	Расчет величины полезного груза для корабля с малой тягой.
Максимальная полезная нагрузка МЕ плюс масса конструкции опре¬
деляются из уравнения (8.12) следующим образом:
где у дается уравнением (8.11):
^ a-dl.
.> cl
У"-~ ~2~
о
Если траектория состоит из ряда отдельных участков, то у2 находится
в виде суммы интегралов:
у2 =. а (^у ^ a2dt + у	^ a2dt...	^	.	(8.46)
I уч	II уч
При полете к Марсу первый участок пути состоит в уходе от Земли
за время ТЕ. В 8.4.5 мы отметили, что траектория ухода будет почти
оптимальной, если активное ускорение постоянно и направлено по каса¬
тельной к траектории (т. е. вдоль мгновенного вектора скорости относи¬
тельно Земли). При такой программе ускорений первый из интегралов
в уравнении (8.46) будет
1 Г о , а2Тк	aAV	/7Ч
-2- \ a-dt =	=	—у- ,	(8.47)
где AV— характеристическая скорость в свободном	пространстве, которая
была представлена как функция а на рис. 8.14. Таким образом, уравнение
(8.47) выражает интеграл, соответствующий первому участку, через
величину а. Нетрудно также выразить и ТЕ как функцию а:
ТЕ = ~,	(8.48)
что позволяет графически изобразить зависимость величины интеграла
от ТЕ, как показано на рис. 8.21.
После ухода от Земли ракета, если она более не расходует топливо,
будет двигаться по инерции со скоростью относительно Земли, стремя¬
щейся к нулю по мере увеличения расстояния. В конце концов она выйдет
на орбиту Земли вокруг Солнца. Поэтому в качестве второго участка поле¬
та мы рассматриваем переход ракеты с орбиты Земли на орбиту Марса
в гравитационном поле Солнца. При этом не требуется, чтобы она встре¬
тилась с Марсом, но нужно, чтобы в конце этого пути скорость ракеты
равнялась орбитальной скорости Марса, так как в противном случае
было бы практически невозможно осуществить захват за короткое время
прохождения ракеты вблизи планеты. В 8.4.8 мы описали метод опреде¬
ления оптимальной траектории перехода и дали пример такой траектории
с длительностью полета 3 месяца. Эта траектория показана на рис. 8.18,
а соответствующая ей программа активных ускорений — на рис. 8.19.
Ордината конечной точки кривой на рис. 8.20 представляет величину
второго интеграла из уравнения (8.46). На рис. 8.22 приведены результа¬
ты оценки величины этого интеграла для ряда значений времени перелета.

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 315
В конце переходной траектории ракета начинает «падать» к Марсу,
двигаясь по параболической орбите относительно системы координат, свя¬
занной с Марсом (если скорости ракеты и Марса не были точно равными,
то траектория сближения будет гиперболической относительно указанной
Рис. 8.21. Зависимость величины интеграла
, ТЕ
_L J a2dt от времени ухода от Земли ТЕ.
О
(Этот интеграл характеризует влияние
траектории ухода от Земли на интеграл,
определяющий у, а следовательно, и ве¬
личину полезного груза.)
1 1
Рис. 8.22. Зависимость интеграла "«Г J a2dt.
О
от времени полета в одну сторону Ту
(этот интеграл характеризует влияние
траектории перехода на интеграл, опре¬
деляющий у, а следовательно и величину
полезного груза).
системы координат). Пусть параметры сближения таковы, что корабль
должен пройти непосредственно вблизи планеты. Тогда достаточно при¬
ложить в момент наибольшего приближения минимальный тормозной
импульс тяги, например, с помощью верньерной химической ракеты, чтобы
траектория превратилась из параболической (или гиперболической)
в эллиптическую с очень большим эксцентриситетом. В настоящем изло¬
жении мы будем полагать, что маневр захвата не играет существенной
роли при расчете величины полезной нагрузки.
После выхода на орбиту спутника Марса и пребывания на ней в тече¬
ние некоторого времени корабль стартует в обратный путь. Так как
по нашему предположению спутниковая орбита корабля очень вытянута,
то для приобретения скорости освобождения достаточно лишь неболь¬
шого увеличения скорости в перигее, что может быть выполнено с помо¬
щью той же верньерной химической ракеты или подобной той, какая
использовалась при маневре захвата. Ввиду малости требуемого при¬
роста скорости влияние этого маневра на величину полезной нагрузки
можно также не учитывать.
После ухода ракеты от Марса она может возвращаться на земную
орбиту по переходной траектории, представляющей собой зеркальное
отображение первоначальной траектории перехода.
Начальную скорость подхода к Земле можно считать нулевой (отно¬
сительно Земли). Тогда интеграл { a2dl на этом участке полета будет

316
ПОЛЕТЫ с МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
точно таким же, что и на первоначальной переходной траектории (см.
рис. 8.22).
В качестве последнего участка траектории может служить та же спи¬
раль, что и при уходе от Земли, а также любая другая. Мы здесь предпо¬
лагаем, что ракета движется к Земле по параболе (относительно геоцен¬
трической системы осей), достигая скорости освобождения, равной
35 800 фут /сек на высоте 200 миль.
Далее может быть осуществлено аэродинамическое торможение, как
это описано в гл. 11. Так как скорость при входе в атмосферу не превы¬
шает скорости освобождения, то согласно выводам 8.5.1, для этого
не требуется применения торможения тягой.
06
0,7
I
$
Т
\
1
$
ч
Рис. 8.23. Полная величина у2/а в облетной
экспедиции к Марсу при различных значениях
полного времени путешествия как функция
времени ухода от Земли Ту.
4 в 72	76	20	24
06щая 0У71//77ЯЛв//0Л/771?
облвтллл в/глпвблцлл вмял
Рис. 8.24. Значения у2/а в облетной экспе¬
диции к Марсу (включая уход	от Земли
и двусторонний переход между	орбитами)
как функция полного времени путешествия
(за исключением времени выжидания па
спутниковой орбите около Марса). Полное
время экспедиции распределено между вре¬
менем ухода от Земли и временем межорби-
талыюго перехода так, чтобы величина
у2/а была минимальной.
Резюмируем итоги проведенного обсуждения экспедиции к Марсу
и обратно на космическом корабле с малой тягой. Корабль, стартуя с
круговой орбиты вокруг Земли на высоте 200 миль, разгоняется по
спирали, приобретая	энергию	освобождения за время Т Е. Затем	он дви¬
жется	по	переходной	траектории	с	орбиты Земли к орбите Марса,
где скорость его становится равной скорости Марса, причем время пере¬
лета равно Тт• После этого следует маневр захвата, пребывание на
эллиптической орбите вокруг Марса и маневр ухода от планеты; ни один
из этих маневров не оказывает существенного влияния на величину
полезного груза корабля. Затем корабль возвращается с орбиты Марса
на орбиту Земли, имея в конце скорость, равную ее орбитальной
скорости. Время возвращения равно Тт. Наконец, корабль входит в

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 317
сферу притяжения Земли и затем использует аэродинамические силы для
торможения в атмосфере и посадки. Таким образом, если не учитывать
время, требуемое для осуществления маневров захвата ракеты Марсом и
ухода от него, полное время путешествия (исключая время пребывания
корабля на спутниковой орбите вокруг Марса) составит 2Тт + ТЕ.
Возникает вопрос, как лучше разделить заданное время путешествия
на время ухода от Земли ТЕ и время перелета между орбитами Тт так,
чтобы минимизировать у2/а и тем самым максимизировать полезную
нагрузку. На рис. 8.23 показан график следующего выражения:
-£=4 \аЧ1 + 2(±- jj	(8.49)
0	О
уход (см. рис. 8.21) переход (см. рис. 8.22)
в зависимости от ТЕ при различных значениях полного времени 2Т? + ТЕ.
Полученные кривые показывают, что значительная часть полного времени
должна быть отведена для движения по спирали ухода от Земли. На
рис. 8.24 представлены минимальные значения у2/ос как функции пол¬
ного времени путешествия.
Теперь мы можем найти и величину полезного груза ракеты с малой
тягой. Если удельная масса источника энергии равна а, то из рис. 8.24
можно легко найти у для любого заданного полного времени полета. Зная
у и зная массу конструкции ракеты, нетрудно по уравнению (8.12) вычис¬
лить относительную полезную нагрузку. Результаты такого расчета пред¬
ставлены на рис. 8.25, где величина MjJM0 выражена как функция от а
а, /гг//г0/77
Рис. 8.25. Зависимость относительной полезной нагрузки одноступенчатой ракеты
малой тяги от удельной массы источника мощности а при различных значениях
длительности облетной экспедиции (считая, что конструктивный фактор fe--=0,0 5).
для ряда значений полного времени полета, причем конструктивный
фактор к — мвыбран равным 0,05. Следует заметить, что у ракеты
с малой тягой веса конструкции, топливных баков, рабочего тела и дви¬
гательной системы (исключая источник питания), по-видимому, меньше,

318
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. £
чем соответствующие веса у баллистической ракеты. Такая ракета имеет
гораздо меньшее ускорение, т. е. испытывает и меньшие перегрузки,
что позволяет снизить требования к прочности. Веса рабочего тела и си¬
стемы подачи также должны быть
меньше из-за значительно меньших
скоростей расхода массы.
8.5.3.	Сравнение идеальной и
реальной программ скорости исте¬
чения. Интересно теперь найти
величину удельного импульса (т. е.
скорость истечения, деленную
на g) ракеты с малой тягой при
рассмотренном выше оптимальном
полете к Марсу и обратно. Из
уравнений (8.1) и (8.4) имеем
Др (0 —
2 Р
2 Р
8 (~М) с
2	3	4	В	В	7
Вреж, же
ВроВалжшелмееш еблешеё е/геледщее В,4Вмее
agM (t)
(8.50)
С помощью уравнений (8.6) и (8.8)
можно исключить отсюда массу
M(t) и величину Р; в результате
найдем, что
1	/	Z_Mw , С a2dt ')
а (0 £ V а Мп ' J s
hp (t) — (
(8-51),
Полагая далее, что отношение
MwIMq принимает свое оптималь¬
ное значение у—у2 [см. уравнение
(10.12)], окончательно получим
/sp (t)
1
a(t)
70 77
(8.52)
Полученное уравнение позво¬
ляет вычислить удельный импульс
как функцию времени. Если мы
зададим полное время полета, то
из рис. 8.23 можно найти опти¬
мальное время ухода ТЕ, а значит,
и время перехода от Земли к Мар¬
су Тт. Зная ТЕ и полагая, что
уход осуществляется при постоян¬
ном активном ускорении, можно
найти величину этого ускорения.
Определив далее при помощи расчетов на машине описанным выше методом
время движения по переходной траектории 7V, можно найти программу
изменения активного ускорения на этой траектории. Зная a(t), можно
затем оценить и интеграл, входящий в уравнение (8.52). Чтобы найти
/ 2 3 4 5 В 7 6
Вреж, же
ПроЗвлжшелблееш оВлешеЯ s/гсеёЗеут ЩЗ/пс
Рис. 8.26а, б. Удельный импульс в функции
времени при различных значениях длительности
облетной экспедиции и при удельной массе
источника мощности а=1 и 10 кг/квт (чему
соответствуют относительные полезные нагруз¬
ки, указанные на каждой кривой, причем
считается, что конструктивный фактор fc=0,05).

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 319
первый член в квадратных скобках в уравнении (8.52), необходимо также
определить удельную массу источника энергии а; величину у можно найти
с помощью рис. 8.24 по известным значениям а и полного времени полета.
Результаты таких расчетов приведены на рис. 8.26 для случаев, когда
яремя полета составляет 6,46 мес, 10,3 мес и 18,0 мес и значений а, равных
1 кг!кет и 10 кг!кет. Удельный импульс ракеты на спиральной траекто¬
рии ухода остается сравнительно невысоким. Небольшие разрывы кривых
в конце периода разгона пред¬
ставляют лишь кажущееся яв¬
ление и объясняются раздель¬
ным расчетом траектории ухода
от Земли и траектории перехода
на орбиту Марса, где каждый
раз учитывалось влияние лишь
одного центра притяжения.
При полете по переходной тра¬
ектории удельный импульс бы¬
стро нарастает, достигая очень
высоких значений на среднем
участке «квазисвободного» дви¬
жения, после чего снова умень¬
шается по мере возрастания
величины активного ускорения,
когда ракета начинает прибли¬
жаться к Марсу. При обратном
полете к орбите Земли характер
изменения удельного импульса
полностью подобен предыдуще¬
му с тойлишь разницей,что [как можно легко увидеть из уравнения (8.50)],
масса ракеты при возвращении несколько меньше, а ускорение остается
тем же, что и прежде, и поэтому величина удельного импульса здесь ока¬
зывается несколько выше. На приведенных графиках для каждой кривой
указаны значения относительной полезной нагрузки Ml/M0, соответствую¬
щие заданному времени полета и величине а. (Отрицательные значения это¬
го отношения для времени полета 6,46 мес и а = 10 указывают на то, что
при принятой величине конструктивного фактора к = 0,05 путешествие
оказывается невозможным).
Крайне высокие значения удельного импульса, получившиеся в рас¬
чете, могут оказаться неприемлемыми в практических конструкциях.
Так, например, для получения импульса в 300 000 сек в полете продол¬
жительностью 10,3 мес при а = 1 ускоряющее напряжение для цезиевых
ионов должно составлять примерно 5 миллионов вольт. Это соответствует
температуре водородной плазмы около 300 млн. градусов Кельвина. Учи¬
тывая, однако, что такие чрезмерно высокие удельные импульсы требуются
лишь на среднем участке траектории при квазисвободном полете, можно
думать, что квазисвободный полет может быть заменен чисто свободным
полетом по инерции без значительного ущерба для вычисленной величи¬
ны полезного груза. Проверки этого предположения, однако, мы не про¬
изводили.
Введя такие участки в состав траектории и ограничиваясь теми значе¬
ниями а, которые достижимы в ближайшем будущем, мы будем считать, что
предельные значения удельного импульса практически не должны превос¬
ходить 20 000 сек. Это требует ускоряющего напряжения 25 киловольт,
/ООО
О 2	4	6	8	JO	12 74 Iff Iff
Время, мес
/7реВалж1///7елг?//ес/77й оВлетеМ з/гслеОищш Щ О мес
Рис. 8.26в. Удельный импульс в функции времени
при различных значениях длительности облетной
экспедиции и при удельной массе источника мощ¬
ности а=1 и 10 кг (пет (чему соответствуют отно¬
сительные полезные нагрузки, указанные на каж¬
дой кривой, причем считается, что конструктив¬
ный фактор fe=0,05).

320
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
что соответствует температуре водородной плазмы 1,5 миллиона
градусов Кельвина (и, следовательно, более высокой температуре при
большем атомном весе). Из приведенных графиков следует важный вывод
о том, что даже если конструкция двигательной системы позволяет полу¬
чить удельные импульсы до 20 ООО сек, на большей части пути для обе¬
спечения требуемой величины тяги достаточны гораздо меньшие значения
импульса.
8.5.4.	Сравнение баллистической ракеты и ракеты малой тяги. В этом
разделе мы займемся сравнением грузоподъемности баллистической
ракеты и ракеты с малой тягой (см. [10] и [13—17], где рассмат¬
риваются баллистические траекто¬
рии космических полетов). Под
балл истичес к ими ракетами пони¬
маются ракеты, достигающие боль¬
ших приростов скорости за корот¬
кое время работы двигателя, как
это имеет место в обыкновенных
химических ракетах или ракетах
с ядерным теплообменником. При
облетной экспедиции к Марсу бал¬
листическая ракета должна полу¬
чить по крайней мере четыре им¬
пульсных приращения скорости,
а именно:
AV[ — приращение скорости,
выводящее ракету со спутниковой
орбиты вокруг Земли на переход¬
ную траекторию к Марсу, причем
превышение этой скорости над
скоростью освобождения опреде¬
ляет время перехода;
AF2 — прирост скорости, вы¬
водящий ракету с гиперболической
орбиты относительно Марса на
сил ьно в ытянуту ю э л л ипт и ческу ю
(этот тормозной импульс прикла¬
дывается к ракете после ее входа
в сферу действия Марса в момент
прохождения через точку наиболь¬
шего приближения к планете);
AF3 — последующий импульс
скорости, равный импульсу AF2,
прикладываемый в перигее эллиптической орбиты и переводящий ракету
снова на гиперболическую траекторию ухода так, чтобы вектор остаточной
скорости был направлен против орбитальной скорости Марса (это по¬
ведет к тому, что ракета будет двигаться к орбите Земли по траектории,
представляющей собой зеркальное отражение первоначальной траек¬
тории);
AF4 — тормозной импульс скорости, прикладываемый после входа
ракеты в сферу действия Земли непосредственно перед спуском в атмо¬
сферу. Он снижает скорость движения до 35 800 фут/сек, что в соответ¬
ствии со сказанным в § 8.5.1 позволит осуществить дальнейшее торможе¬
ние и безопасную посадку аэродинамическими методами.
730
720
770
700
00
\дО
|да
50
40
30
20
70
ЛУ={АЮ;Ол/)гОлУ)5^
d —/7/7/7//А/// //JbfnVf?*/»Z/A///
I СЩ70Ши
гщ i
И
j|
(
ill
а
щ 'рш
II iijjp^
ejjp |j| ip
и
О 2	4	6	д	70	72	74	70
/7/703оЛЖ1/Ш/?6//0£Ш оОлШШЗ д/ГС/7&31///Ш в Afffl
Рис. 8.27. Полный импульс скорости (т. е.
сумма отдельных приросток скорости) AV, не¬
обходимый для полета баллистической ракеты
к Марсу и зависимости от длительности облет¬
ной экспедиции.

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 321
Подробное обсуждение характера этих приращений скорости и свя¬
занного с этим расхода энергии дано в [10].
На рис. 8.27 показана зависимость полного прироста AV (который
является суммой указанных четырех составляющих и должен быть развит
двигателем баллистической ракеты) от полного времени облетной экспе¬
диции .
Если для достижения прироста AV используется одноступенчатая
ракета, то отношение полезного груза к начальной массе будет
где ML — масса полезного груза, М0 — начальная масса ракеты, g =
— 9,81 м/сек2, /sp — удельный импульс в вакууме в сек, к =	—
конструктивный фактор, представляющий ту часть полного веса ступени
(за исключением полезного
груза ступени), которая прихо¬
дится на конструкцию, пустые
топливные баки, остатки то¬
плива и двигательную систему.
На рис. 8.28 приведен гра¬
фик зависимости относительной
полезной нагрузки от удельного
импульса. Кривые построены
для значений полного времени
полета 9, 12 и 15 месяцев и кон¬
структивного фактора к = 0,05
и 0,1.
Указанные кривые построе¬
ны для значений удельного им¬
пульса в вакууме, доходящих
до 1000 сек, что более чем вдвое
превышает импульсы, достижи¬
мые при использовании луч¬
ших современных химических
топлив. С другой стороны, если
бы удалось создать конструк¬
ции, работающие при очень вы¬
соких температурах, то не было
бы причин считать недостижи¬
мыми удельные импульсы, доходящие до 1000 сек, при нагреве рабочего
тела с малым атомным весом (например водорода) в теплообменнике ядер-
иого реактора.
Из графика на рис. 8.28 можно видеть, что при умеренных значениях
удельного импульса уменьшение полного времени полета приводит к нуле¬
вой или даже отрицательной величине полезного груза (например, 6-ме¬
сячная экспедиция оказывается невозможной даже при /8Р = 1000 сек
и к 0,05). В этих случаях необходимо использовать ступенчатую раке¬
ту. Двухступенчатая ракета, имеющая в обеих ступенях одинаковые
значения удельного импульса и одинаковый конструктивный фактор, будет
21 Космическая техника
Рис. 8.28. Зависимость относительной полезной
нагрузки одноступенчатой баллистической ракеты
от величины удельного импульса в вакууме для
различных длительностей облетной экспедиции (кон¬
структивный фактор к — 0,05 и 0,1).

322
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[гл. s.-
наиболее эффективной при равном распределении приростов скорости
по ступеням. При этом относительная полезная нагрузка будет
f AV Л ,
ехр( ~ч7Г )~к Г
X -Ь1sp У
1—^ _ *
Здесь к есть часть полного веса ступени (исключая величину полезного
груза и другой ступени, которую может нести данная ступень), связан¬
ная с конструкцией, пустыми топливными баками, остатками топлива
и двигательной системой. На рис. 8.29 приведены графики, выражающие*
зависимость относительной по¬
лезной нагрузки двухступенча¬
той ракеты от удельного им¬
пульса. Различные кривые иа
графике соответствуют различ¬
ным временам полета при зна¬
чениях конструктивного факто¬
ра 0,05 и 0,1. Рис. 8.30 поды¬
тоживает данные, приведенные
на рисунках 8.28 и 8.29 для
баллистических ракет и на
рис. 8.25 для ракет с малой
тягой. С помощью кривых зави¬
симости ML/M0. от времени
полета (в которое не включена
время пребывания ракеты на
спутниковой орбите вокруг
Марса) можно сравнить оба рас¬
сматриваемых типа ракет. Ха¬
рактеристики ракеты с малой
тягой в основном определя¬
ются семейством кривых, соот¬
ветствующих различным значе¬
ниям удельной массы источни¬
ка энергии а, тогда как балли¬
стическая ракета характери¬
зуется главным образом величиной удельного импульса /8р в вакууме.
Для любого выбранного значения удельного импульса кривая относи¬
тельной полезной нагрузки баллистической ракеты располагается
между двумя кривыми, из которых нижняя жирная кривая соответст¬
вует одноступенчатой ракете с конструктивным параметром к = 0,1.
а верхняя пунктирная — двухступенчатой баллистической ракете с
к - 0,05.
Следует заметить, что если удельный импульс лежит между 300
и 400 сек, что можно получить, используя лучшие современные топлива.,
то экспедиция к Марсу не может длиться меньше восьми месяцев и даже
при длительности в 15 месяцев полезная нагрузка будет менее 22% общего
веса. Отметим, что переход к двухступенчатой ракете с малым к — 0,05
дает значительные преимущества.
Такую баллистическую ракету на химическом топливе можно срав¬
нивать с ракетой малой тяги, несущей равную полезную нагрузку в экспе¬
диции продолжительностью 15 месяцев. Указанную нагрузку ракета малой
Рис. 8.29. Зависимость относительной полезной
нагрузки двухступенчатой баллистической ракеты
от величины удельного импульса в вакууме для
различных длительностей облетной экспедиции
(конструктивный фактор fe==0,05 и 0,1).
мь
м0

§ 8.5] ГРУЗОПОДЪЕМНОСТЬ РАКЕТЫ ПРИ ОБЛЕТНОЙ ЭКСПЕДИЦИИ К МАРСУ 323
тяги может нести в том случае, если удельная масса источника энергии
а лежит между 30 и 70 кг /кет. Такие значения а можно получить, исполь¬
зуя в качестве источника электроэнергии либо солнечные батареи, либо
систему ядерный реактор —теплообменник — электрогенератор. Заметим,
что величина полезной нагрузки может быть значительно увеличена путем
увеличения длительности экспедиции, скажем, до двух лет или более (бал¬
листические же траектории, полет по которым длится дольше, чем по гома-
новским эллипсам, не дают
увеличения грузоподъемности
ракеты).
Можно ожидать, что ядер¬
ный реактор, использующий
водород в качестве рабочего
тела, позволит получить удель¬
ный импульс по крайней мере
600 сек, а может быть, и около
1000 сек. Ракета с такой силовой
установкой может совершить об¬
летную экспедицию к Марсу за 6
месяцев или же иметь большую
полезную нагрузку (от 30 до
50% от полного веса) при про¬
должительности экспедиции от
12 до 15 месяцев соответственно.
Однако ракеты с ядерной сило¬
вой установкой ввиду наличия
на борту ядерного реактора и
теплообменника имеют, по-ви¬
димому, большую величину
конструктивного фактора, чем
химические ракеты. В ядерной
ракете одноступенчатая кон¬
струкция кажется более выгод¬
ной, потому что, как правило,
нецелесообразно отбрасывать
силовую установку (хотя отбра¬
сывание топливных баков впол¬
не возможно). По этим причи¬
нам нижние жирные кривые
на рис. 8.30, соответствующие
одноступенчатой конструкции
при к — 0,1, представляются
более реалистичными.
Ракета малой тяги с вели¬
чиной а, лежащей в диапазоне
от 8 до 20 кг/квт, будет обладать той же грузоподъемностью, что
и ядерная баллистическая ракета на водороде. Весьма вероятно, что
в ближайшее десятилетие появятся источники питания с удельными
массами, меньшими 10 кг/квт и, возможно, даже меньшими 1 кг/квт. Как
только будет достигнута величина а = 1 кг/квт, станет возможным уве¬
личить полезную нагрузку ракеты в облетной экспедиции к Марсу до
75% при длительности полета 1 год или до 40% при длитель¬
ности 6 месяцев.
21*
Ародолжи/пелмас/лй обяешяй э/гслеЯицш 0 люк
 Двулстулеллал/л/л ларлалл7 с ллллл7рулл71/злл/м
фа/гтаром к=Ц05
  Орлосл7улел^ал7л/й варлллл? с лллструх/лхллбт*
фалл7ором k=0J
Рис. 8.30. Сравнение относительных полезных
нагрузок баллистической ракеты и ракеты малой
тяги в облетной экспедиции к Марсу в зависимо¬
сти от длительности полета. Ракета малой тяги
характеризуется различными значениями удель¬
ной массы источника мощности, а баллистиче¬
ские ракеты в первую очередь различаются вели¬
чинами удельного импульса в вакууме. Каждому
значению удельного импульса соответствуют две
кривые полезной нагрузки, одна из которых
отвечает двухступенчатому варианту с конструк¬
тивным фактором каждой ступени fe = 0,05 и дру¬
гая — одноступенчатому варианту с конструктив¬
ным фактором /i = 0,l.

324
ПОЛЕТЫ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. 8
ЛИТЕРАТУРА
1. Langmuir D. В., Optimization of Rockets in Which Fuel Is Not Used as Pro¬
pellant, September 19, 1956 (не опубликовано).
2. Irving J. H., Optimum Program for Single Stage Rockets in Which Expellant
Is Not the Source of Power, October 1956 (не опубликовано).
3. С a m a с Morton, Reduction of Flight Time and Propellant Requirements of Satel¬
lites with Electric Propulsion by the Use of Stored Electrical Energy, Thirteenth
Annual Meeting of the American Rocket Society, New York, November 1958.
4. S e i f e r t PI. S., Performance of A Rocket with Tapered Exhaust Velocity, Jet
Propulsion 27, 1264 (1957).
5. Cornog R., The Optimum Velocity of Propellant Ejection, First Annual AFOSR
Astronautics Symposium San Diego, California, February 1957; см. также: Vistas
in Astronautics, I, New York, Pergamon Press, 1958.
6. T s i e n IT. S., Take-Off from Satellite Orbit, J. Am. Rocket Soc. 23, 233 (1953).
7. В 1 u m E. K., Optimal Rocket Trajectories, June 20, 1957 (не опубликовано).
8. В e n n e у D. J., Escape from A Circular Orbit Using Tangential Thrust, Jet. Pro¬
pulsion 28, 167 (1958).
9. Perkins F. М., Flight Mechanics of Low-Thrust Space Craft, Second Annual
AFOSR Astronautics Symposium, Denver, Colorado, April 1958; см. также: Vistas
in Astronautics II, New York, Pergamon Press, 1959.
10. I r v i n g J. IT. and Blum E. K., Comparative Performance of Ballistic and
Low-Thrust Vehicles for Flight to Mars, Second Annual AFOSR Astronautics Sympo¬
sium Denver, Colorado, April 1958; см. также: Vistas in Astronautics, II, New York,
Pergamon Press, 1959.
11. Stuh linger E., Electrical Propulsion System for Space Ships with Nuclear
Power Source, Parts I, II and III, J. Astronaut. 2, 149 (1955); 3, 11 (1956); 3, 33 (1956).
12. Langmuir D. B., Problems of Thrust Production by Electrostatic Fields, Second
Annual AFOSR Astronautics Symposium, Denver, Colorado, April 1958.
13. Ley W. and von Braun W., The Exploration of Mars, New York, The Viking
Press, 1956.
14. Presto n-T h о m a s IT., Generalized Interplanetary Orbits, J. Brit. Interplanet.
Soc. 11, 76 (1952).
15. L a w d e n D. F., Minimal Rocket Trajectories, J. Am. Rocket Soc. 23, 360 (1953).
[Русский перевод: Лоуден D., Минимальные траектории ракет, Сборник
под ред. Садовского И. IT. «Исследование оптимальных режимов движения ракет»,
Оборонгиз, 1959, стр. 259—281.]
16. Lawden D. F., Transfer between Circular Orbits, Twenty-fifth Annual Meeting
of the American Rocket Society, November 1955.
17. Vertregt М., Interplanetary Orbits, J. Brit. Interplanet. Soc. 16, 326 (1958).

ГЛАВА 9
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ В КОСМИЧЕСКОМ
ПУТЕШЕСТВИИ
Герберт Корбен (Herbert С. СогЪеп)
«Время идет различным шагом с раз¬
личными людьми. Я могу сказать вам,
с кем оно идет иноходью, с кем рысью,
с кем — галопом, а с кем стоит на месте».
В. Шекспир, «Как вам это понравит¬
ся», акт 3, сцена 2.
§ 9.1. Парадоксы близнецов
Каждый раз, когда кто-либо совершает путешествие по своей стране,
например, на самолете или же просто деловую поездку, он возвращается
обратно чуточку более молодым, чем если бы он оставался это время
дома.
Настоящая книга объединяет серию лекций, каждая из которых чита¬
лась последовательно в JToc- Анжел осе, Сан-Диего, Сан-Франциско и на
базах Военно-воздушных сил США Эдвардс и Норток. Теория относитель¬
ности гласит, что к тому времени, как каждый лектор закончил свой
цикл и вернулся к себе, скажем, в Лос-Анжелос, он оказался примерно
на 1 миллнмпкросекунду моложе, чем он был бы, оставаясь дома! Тот
факт, что он после такого путешествия может чувствовать себя постарев¬
шим лет на десять, представляет уже иной эффект, который здесь обсуж¬
даться ие будет.
Для тех путешествий, которые мы совершаем в повседневной жизни,
релятивистское замедление хода часов составляет настолько малый
эффект, что во всех практических действиях им можно пренебрегать.
Результатом этого явилось то, что в своем мышлении мы привыкли счи¬
тать время чем-то абсолютным, и это заблуждение чрезвычайно крепко
укоренилось в нашем мозгу.
В действительности же обсуждаемый эффект есть логическое след¬
ствие строгой и хорошо проверенной теории — теории относительности
Эйнштейна. Поэтому он не представляет чего-либо нового и фактически
большая часть настоящей главы могла бы быть написана около 40 лет
тому назад. Если бы эффект растяжения времени не имел места в косми¬
ческом или в обычном путешествии, то должна была бы быть неверной
и сама теория относительности, и тогда длинная цепь экспериментальных
фактов, установленных на протяжении многих лет и подтверждающих
раз от раза эту теорию, должна была бы казаться совершенно необъясни¬
мой. Согласно теории относительности, скорость хода часов с точки

326
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. О
зрения какого-либо наблюдателя зависит не только от самих часов, но и от
их движения относительно этого наблюдателя, а также от присутствия или
отсутствия гравитационного поля. Это приводит к двум так называемым
«парадоксам близнецов», которые, хотя они и тесно связаны между собой,
удобнее рассмотреть отдельно.
Парадокс 1. Из специальной теории относительности следует,
что если бы человек покинул Землю, отправившись в космическое путе¬
шествие, то, возвратившись обратно, он обнаружил бы, что по его часам
путешествие заняло меньше времени, чем по часам его друзей, оставав¬
шихся на Земле. Его брат-близнец, остававшийся на Земле, оказался бы
старше, чем этот космический путешественник, возраст которого теперь
зависел бы от программы его полета.
Парадокс 2. Согласно общей теории относительности, если бы
наш космический путешественник оказался на не слишком высокой спут¬
никовой орбите вокруг Земли, то по возвращении на Землю он был бы
старше своего брата-близнеца, остававшегося на Земле (правда, в данном
случае эта разница в возрасте была бы крайне мала, примерно 1 секунда
за каждые 100 лет движения по орбите).
Другими словами, всегда будет существовать некоторая разница
в возрасте у двух близнецов, один из которых остается на месте, а второй
путешествует и возвращается, причем, если путешественник двигался
достаточно далеко недостаточной скоростью, то сказать, кто из двух близ¬
нецов путешествовал, можно просто взглянув на них!
Интерес к таким явлениям вновь возродился благодаря в основном
двум причинам. Первая из них связана с тем фактом, что рассматриваемый
эффект пропорционален квадрату отношения скорости движения к ско¬
рости света. Поэтому эффект растяжения времени можно проверить непо¬
средственно, например иа я-мезонах. Эти мезоны самопроизвольно распа¬
даются на ц-мезоны и нейтрино с периодом полураспада около 2,55 х
X Ю~8 сек при измерении в системе координат, относительно которой мезон
покоится. Когда жея-мезон движется относительно лабораторной системы
осей со скоростью, составляющей 99% скорости света, время его полурас¬
пада в этих осях будет почти 18-10'8 сек, т. е. в семь раз больше.
Такие эффекты до сих пор изучались только на элементарных части¬
цах, однако недалеко то время, когда и человек сможет двигаться относи¬
тельно Земли со скоростью, по крайней мере, нескольких миль в секунду;
хотя эта скорость еще и очень мала по сравнению со скоростью света, она
все же приближается к тем величинам, где уже возможно измерение реля¬
тивистских эффектов. Помимо возрастания скорости передвижения по
сравнению с прежними скоростями, есть и другая причина нового интереса
к проблеме, связанная с ныне происходящей революцией в наших возмож¬
ностях точного измерения временных интервалов. Как показано в табл. 9.1,
атомные часы с цезиевым пучком уже сейчас позволяют измерять интер¬
валы времени с погрешностью, не превышающей 1 единицы на 1010, т. е.
одной микросекунды за несколько часов. Точность аммиачных мазеров
превышает 1 единицу на 1010 на интервале времени в несколько часов,
при стабильности 1 единица на 1012 на интервале в несколько секунд.
Такую же точность позволяют получить газовые ячейки с использованием
щелочных металлов, и можно ожидать, что в ближайшие годы с помощью
таких высокостабильных генераторов будет достигнута долговременная
стабильность с погрешностью 1 миллимикросекуида в час. Согласно неко¬
торым заявлениям, уже сейчас достигнута еще более высокая степень
точности, а именно 1 на 1013.

39 9Л]
ПАРАДОКСЫ БЛИЗНЕЦОВ
327
Таблица 9.1
Приближенные значения достигнутой или ожидаемой точности
'высокостабильных генераторов различных типов (на июнь 1958 г.)

Тип генератора
Кратковременная
стабильность иа
интервале 5 сем
Долговременная
стабильность иа
интервале 24 часа
Клистронный ....
Кристаллический . .
С цезиевым пучком
Рубидиевый мазер с
оптической подкач¬
кой .
Аммиачный мазер . .
i
1 на 105
Псск. ед. па Ю10
5 иа Юн
Иеск. ед. на W10
1 па 1012
i
Псск. ед. на 105
1 на 109
Ожид. 1 на Юн
Ожид. 1 на 1012
Псск. ед. на 101°
Ожид. неск. ед. на 10п
При скоростях, равных орбитальной скорости спутника, возникаю¬
щий релятивистский эффект составляет несколько единиц на 1010, т. е.
уже сейчас может быть замерен с помощью имеющихся средств. Здесь,
разумеется, еще остается серьезная проблема, связанная с установкой
высокостабильного устройства на борт спутника и последующим запуском
-этого спутника. При этом должна быть обеспечена как физическая сохран¬
ность устройства, так и точность его работы в условиях сильных вибраций
и высокого нагрева. Может даже оказаться, что с увеличением лабора¬
торной точности измерений эффект растяжения времени легче будет изме¬
рить, устанавливая высокостабильный генератор иа самолете или высот¬
ном аэростате, так как можно надеяться, что в этом случае недостаток
■значительно меньшей величины измеряемого эффекта компенсируется
возможностью гораздо более легкого возвращения часов в исходную
точку.
Таким образом, релятивистские эффекты могут быть выявлены не
только с помощью гипотетических часов и абстрактного наблюдателя,
обычно фигурирующих в рассуждениях теории относительности, а также
не только путем измерения времени жизни быстрых распадающихся
частиц. В недалеком будущем с помощью экспериментов с наиболее точ¬
ными часами, какие можно взять в путешествие, можно будет наглядно
измерить эффект релятивистского растяжения времени в таком путешест¬
вии. Такая возможность переносит проблему из чисто академической
области в область, доступную нашему непосредственному восприятию.
Чтобы избежать усложнений, связанных с наличием гравитацион¬
ного поля, рассмотрим два космических корабля А и £, первоначально
неподвижных друг относительно друга и находящихся на столь большом
расстоянии от ближайших звезд, что всеми силами притяжения можно
пренебречь. Пусть теперь корабль А остается неподвижным, а корабль В
приходит в движение и в конце концов останавливается, становясь вновь
неподвижным относительно А. Тогда за время движения иа корабле В
пройдет времени меньше, чем на корабле А, т. е. путешественник, нахо¬
дящийся на корабле В, состарится меньше, чем путешественник, нахо¬
дящийся на корабле А.
Теория относительности и до некоторой степени классическая теория
Галилея и Ныотона учат, что абсолютное движение — это миф и что под¬
дается измерению, а значит, и имеет определенный физический смысл
только относительное движение одного объекта относительно другого или

328
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9
одного наблюдателя относительно другого. Так, если космический корабль
В удаляется, а затем вновь возвращается к кораблю А, то можно сказать,
что с точки зрения наблюдателя, находящегося на корабле В, двигался
корабль А. Поэтому говорить о том, что один наблюдатель движется,
а другой остается на месте, нельзя. Этот вывод действительно справедлив
и бессмысленно говорить о том, что тот или иной наблюдатель абсолютно
неподвижен, тогда как другой находится в движении.
Рассуждая так далее, можно было бы прийти к заключению, что оба
наблюдателя симметричны по отношению друг к другу, т. е. каждый из них
видит удаление и приближение другого и, следовательно, думает, что
другой за время движения состарится меньше, чем он сам. Таким образом,
если предположить симметрию обоих наблюдателей, то любой факт, гово¬
рящий о том, что наблюдатель В состарится меньше, чем наблюдатель А,
будет противоречить этому утверждению.
Таким фактом, определяющим асимметрию старения наблюдателей,
является фундаментальное различие, существующее между наблюдателем,,
находящимся в ускоренно движущемся корабле, и наблюдателем, находя¬
щимся в условиях свободного полета; первый из них испытывает силу
тяжести в процессе движения, тогда как второй находится в состоянии
невесомости (так называемый ииерциальный наблюдатель). Разница в ходе
часов объясняется различием, существующим между измерениями, проде¬
ланными инерциальным наблюдателем, таким, как А (в рамках специаль¬
ной теории относительности), и неинерциальным наблюдателем В (в рам¬
ках общей теории относительности).
Предположим, что оба наблюдателя А и В имеют при себе небольшие
шарики, не имеющие электрического заряда и иенамагкиченные, и что
время от времени каждый из наблюдателей берет один шарик и отпускает
его. Невесомый наблюдатель А, совершающий свободное движение, обна¬
ружит, что шарики либо остаются висеть неподвижно, либо движутся
относительно него с равномерной скоростью, и до тех пор, пока это будет
иметь место, он может считать себя инерциальным наблюдателем. Напро¬
тив, наблюдатель В, совершающий ускоренный полет, заметит, что отпу¬
скаемые им шарики движутся ускоренно относительно корпуса корабля,
даже если он поместит их далеко в стороне от корабля. Из этого он может
заключить, что он является неинерциальным наблюдателем.
Основное различие между наблюдателями А и В заключается в том,
что, строго говоря, ииерциальный наблюдатель может истолковывать
свои наблюдения только в рамках специальной теории относительности.
Наблюдаемые нм объекты могут быть иеинерциальными, но сам он — нет.
С другой стороны, неииерциальттый наблюдатель, такой, как В, должен
для описания наблюдаемых явлений пользоваться общей теорией относи¬
тельности. В частности, если наблюдатель А будет вычислять, насколько
он постареет за время полета наблюдателя В, он должен пользоваться
соотношениями специальной теории относительности и, таким образом,
найдет, что он состарится больше, чем наблюдатель В. Когда же в свою
очередь наблюдатель В будет определять изменение своего возраста
за время полета, он должен исходить из основных постулатов общей тео¬
рии относительности. В результате этого он найдет, что наблюдатель
А состарится больше, чем он сам, т. е. его вывод совпадет с выводом наблю¬
дателя А. Он сумеет даже убедиться, что не только сам знак этого эффекта,
но и его величина совпадает с вычислениями наблюдателя А.
Хотя такой эксперимент еще не проводился, его результат столь же
достоверен, как и постулаты самой теории относительности. Конечно,.

§ 9.2]
СООТНОШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
329
не исключена возможность того, что эти постулаты когда-нибудь будут
модифицированы, однако очень маловероятно, чтобы такая модифи¬
кация могла существенно повлиять на результаты об относительном
«старении» космических путешественников, вытекающие из современной
теории. •
Если же, например, не принимать всех постулатов общей теории
относительности, то мы будем вынуждены считать, что с точки зрения
наблюдателя, находящегося на борту ускоренно движущегося космиче¬
ского корабля, на все свободно движущиеся внешние объекты действует
сила притяжения, вызывающая их ускорение относительно корабля. Тем
или иным способом наблюдатель В должен учитывать влияние этого фак¬
тора иа характер световых сигналов, приходящих от наблюдателя А;
в частности, он должен считать, что эти световые сигналы движутся в поле
сил тяжести. Сопутствующее этому изменение частоты: световых квантов
снова приводит к выводу, что за время путешествия наблюдатель В поста¬
реет меньше, чем Д.
Прежде чем обратиться к проблеме движения двух космических
кораблей, в процессе которого они сначала удаляются друг от друга,
а затем снова сближаются, рассмотрим случай равномерного относитель¬
ного движения кораблей А и В, когда оба наблюдателя будут ииерциаль-
ными. Здесь, очевидно, налицо имеется полная симметрия обоих наблю¬
дателей. Ясно, что если А и В движутся друг относительно друга с посто¬
янной скоростью, они никогда не смогут стать неподвижными, чтобы срав¬
нить свои часы. Для этого тот пли другой из них иа какой-то части своего
пути должен был бы испытать ускорение. Забудем пока об этом и будем
считать, что А и В — инерциалъиые наблюдатели, а величины Ыл, б.тА,
бtB и 6хв представляют собой бесконечно малые интервалы времени и рас¬
стояния между двумя какими-либо событиями, измеренные соответственно
наблюдателем А и наблюдателем В. Пусть В движется относительно А
вдоль оси х, с постоянной скоростью и. Тоща связь между указанными
величинами выразится в виде следующих так называемых преобразований
Лоренца, выводимых в специальной теории относительности:
§ 9.2. Соотношения между элементами времени
в специальной теории относительности
дхв~г е,бhi .
(9.1)
V
6 tA =
(9.2)
Так как нас интересуют в основном временные интервалы, то мы, исклю¬
чая из этих уравнений величину Ьхв, находим выражение для Ы1В анало¬
гичное формуле (9.2):

330
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9
Таким же путем, исключая бtB, можно получить и выражение, ана¬
логичное (9.1):
Из формул (9.2) и (9.3) видим, что если два события происходят в одной
точке с точки зрения наблюдателя В (т. е. Ьхв = 0), в частности, если это
два удара часов наблюдателя В, то мы имеем
С другой стороны , если эти два события наблюдаются в одной точке наблю¬
дателем А, в частности, если это два удара его часов, то дхА — 0, и мы
получаем обратное соотношение
Полученные соотношения выражают факт абсолютной симметрии наблю¬
дателей А и В, ни один из которых не может заявить, что он неподвижен.
Каждый думает, что часы его партнера идут медленнее, чем его собствен¬
ные; так, при относительной скорости v = каждый наблюдатель заме¬
чает, что на 200 ударов его часов приходится 199 ударов часов его партнера.
Поэтому путешественник, возвращающийся на Землю, и его друг, оста¬
вавшийся на Земле, казалось, могли бы оба думать, что каждый из них
постарел больше, чем его товарищ. Однако на деле путешественник,
в отличие от своего земного друга, испытывал ускорения, что нарушает
их симметрию и /делает указанный вывод неправильным.
Два события в различных местах могут быть одновременными для
одного наблюдателя и неодновременными для другого. Предположим,
что иа обоих концах движущегося поезда установлены специальные
устройства, которые с точки зрения пассажира этого поезда одновременно
дают вспышки света, оставляя при этом пометки на рельсах. Пассажир,
находящийся в середине поезда, увидит эти сигналы одновременно, тогда
как наблюдатель, стоящий на Земле посредине между отметками па рель¬
сах, примет сигнал, идущий от конца поезда, раньше, чем сигнал от нача¬
ла поезда. Учитывая, что он находился на равном расстоянии от обоих
вспышек, наблюдатель заключит, что они произошли неодновременно.
Этот вывод следует из уравнений (9.1) — (9.4), где из условия б 1А ~ 0
не вытекает условие Ыв = 0, если только события не происходят в одной
и той же точке (т. е. если при этом не выполняется 6хА — Ьхв — 0).
Остановимся теперь на связи между расстояниями, измеряемыми
наблюдателями А и В. Чтобы измерить расстояние между двумя предме¬
тами или длину какого-либо стержня, когда эти предметы или стержень
движутся относительно наблюдателя, необходимо измерение проделать
сразу, за один момент времени с точки зрения наблюдателя. Даже если
скорость движения мала сравнительно со скоростью света, нельзя, напри¬
мер, измерить длину движущегося поезда, отмечая сперва положение паро¬
воза, а затем через некоторое время положение последнего вагона. Однако
мы уже убедились выше, что одновременность или неодновременность
двух измерений зависит от наблюдателя, производящего их; это означает,
что и длина измеряемого объекта в направлении его движения различна
для различных наблюдателей.
ЬхА — vbt А
(9.4)
(9.5)
(9.6)

§ 9.3]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
331
Из уравнений (9.1) — (9.4) можно получить количественную связь
между длинами, измеряемыми различными наблюдателями. Так, если.
точка покоится относительно А (бха = 0), то = —у, т. е. относитель¬
но В она движется со скоростью—и в направлении оси х. Если тело непо¬
движно относительно А и имеет длину 6ха в направлении оси .х, то наблюда¬
тель В, движущийся относительно него, должен измерить его длину, фик¬
сируя две точки одновременно, т. е. при Ыв = 0. Тогда из (9.1) находим
Ьхв = ЬхА 1 — А .
т. е. длина, измеренная подвижным наблюдателем, меньше собственной
длины объекта, т. е. длины, измеряемой наблюдателем, неподвижным
относительно этого объекта.
Это означает также следующее. Если бы каким-то образом космиче¬
ский корабль достиг скорости, близкой к скорости света, и двигался бы
•с такой постоянной скоростью от Земли к звезде, то с точки зрения наблю¬
дателя, находящегося на корабле, пройденное им расстояние было бы
гораздо меньше, чем расстояние, измеренное земным наблюдателем, а так¬
же и время путешествия было бы соответственно меньшим.
§ 9.3. Расхождение времени в прямолинейном движении
с возвращением
Пусть два космических корабля А и В сперва неподвижны друг
относительно друга, а затем корабль В включает тягу и начинает удалять¬
ся по прямой линии от А, причем в конце
концов он возвращается, становясь вновь
неподвижным по отношению к А. На
рис. 9.1 показана связь между временем и
координатой корабля В с точки зрения на¬
блюдателя А. Наблюдатель А все время
остается в точке х — 0, а В уходит от него
иа максимальное расстояние .гтах и затем
возвращается. Полное время путешествия,
измеренное наблюдателем А, есть
TA=\dtA.	(9.7)
Если бы скорость и корабля В была
постоянной, то интервалы между ударами
часов, находящихся на этом корабле, изме¬
ряемые наблюдателями А и В, были связаны
формулой (9.5). Будем считать эти удары
достаточно частыми, так что скорость v не
успевает заметно измениться за интервал 6lB.
(Если бы было возможно хотя бы в прин¬
ципе использовать для этих измерений кванты с энергией, равной кинети¬
ческой энергии наблюдаемого объекта, то сделанное предположение экви¬
валентно предположению, что здесь законы классической механики обес¬
печивают вполне достаточное приближение.) Полное время, прошедшее
на часах наблюдателя В, будет
Рис. 9.1. Положение наблюдате¬
ля В (испытывающего ускорение)
как функция времени с точки
зрения наблюдателя А (не испы¬
тывающего ускорения).
Тв =	dtB = ^ j/" 1	^2“	dtA-
(9.8)

332
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. &
Хотя точное значение этого интеграла зависит от характера зависи¬
мости и от tjv, все же ясно, что время Тв всегда будет меньше, чем ТА
при любом законе движения В.
Уравнение (9.8) можно получить и иначе. Для этого заметим, что вре¬
мя, протекшее на траектории наблюдателя В, получается интегрирова¬
нием собственного времени на этой траектории
где
или
ds'2 = c-dt\ — dx\,	(9.9)-
ds с dtA ]/ 1 — ~ ;
dx\
здесь, как и ранее, v	-jf-	— скорость движения часов относительно
at л
наблюдателя А.
Отметим, что при переходе от уравнения (9.5) к уравнению (9.8)
не была учтена возможность того, что в последнем могут оказаться доба¬
вочные члены, пропорциональные ускорению, т. е. члены, которые ие фигу¬
рировали в предыдущем рассмотрении, так как там мы ограничивались
случаем постоянной относительной скорости движения. Тем не менее нет
причин, заставляющих предполагать наличие таких членов даже при опи¬
сании движения электронов, испытывающих огромные ускорения. Во вся¬
ком случае, введение в релятивистскую кинематику членов, зависящих
от v, повлекло бы за собой необходимость введения в теорию и некоторой
характерной длины. Независимо от того, будет это сделано в будущей,
более совершенной теории или нет, трудно представить себе возмож¬
ность существенной модификации уравнения (9.8) в применении к движе¬
нию ракеты и уже совсем невозможно, чтобы в рамках этой теории удалось
добиться выполнения равенства ТА = Тв для любых траекторий двух
космических кораблей.
Для конкретного вычисления Тв по уравнению (9.8) необходимо
знать зависимость v от t. Рассмотрим пример, когда корабль с наблю¬
дателем В движется прямолинейно под действием постоянной силы F;
для простоты пренебрежем изменением массы корабля т0, связанным
с расходованием топлива. В этом случае сила F равна скорости изменения
количества движения корабля и единственным отличием от классической
теории будет возрастание массы корабля со скоростью. Введем величину
F
g — —, имеющую размерность ускорения и являющуюся действитель¬
ным ускорением корабля В относительно А при скорости, малой сравни¬
тельно со скоростью света. Тогда для скорости В относительно А в первую
четверть путешествия можно написать следующее выражение:
/
•	(9.1оу
I ,	то
Таким образом, при gt < с эта скорость равна ускорению, умно¬
женному на время движения, однако по прошествии большого промежутка
времени скорость начнет приближаться к световой, хотя и никогда ее не

■s 9.3]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
333
превысит. Расстояние х, пройденное кораблем В относительно А, будет
1 + ^-1).	(9.11)
При gt < с имеем, очевидно, х «	Можно интерпретировать gв полу¬
ченных формулах как ускорение корабля, измеренное его акселеромет¬
рами. Если корабль движется таким образом, что для последовательности
инерциальных наблюдателей, на мгновение неподвижных относительно
корабля, его ускорение равно g, то ускорение корабля относительно
наблюдателя, по отношению к которому его мгновенная скорость есть и,
/”	у2	\	3/г
равно	• Это же выражение мы получим, продифференциро¬
вав выражение для скорости (9.10).
Если через отрезок времени Т /4, за который корабль В прошел рас¬
стояние #!, сила F мгновенно изменит свое направление на противополож¬
ное, то, как можно показать, к моменту времени Т/2 корабль В, находясь
от А на расстоянии xmsLX = 2xl7 будет на мгновение неподвижен относи¬
тельно А. Если он затем будет продолжать свое движение до момента
37V4, когда сила F вновь изменит свое направление иа обратное, то к мо¬
менту Т корабль вернется к А с, нулевой относительно А скоростью.
Продолжительность каждой четверти пути корабля будет одинаковой,
так что
т'4	dt
Т:
(9.12)
С2
Результаты можно представить в следующем виде:
АГ = Тл - Тв = —. (sh 0 - 0);
8
•'%iax = ^r-(ch0—1);	(9.13)
4 с
qT
При V«1 приближенно имеем
ЛГ = -Щ-’	<9'И>
Однако уже при таких данных, как длительность путешествия 4 года
(с точки зрения А) и ускорение g, равное нормальному ускорению силы
гр
тяжести, т. е. 9,8 м/сек2, мы имеем	1	и поэтому здесь уже необхо¬
димо пользоваться более точными выражениями. При грубой оценке
по приведенным формулам полезно помнить, что значения g = 9,8 м/сек2
и Т = 1 год соответствуют приближенному равенству ^ « 1.
Исключая в формулах (9.14) g, приходим к выражению
3 3? П-| Q v
АГ = -3-^,	(9.15)
которое, разумеется, справедливо лишь при gT < 4с. На рис. 9.2 построе¬
ны по этой формуле графики, дающие зависимость разности А 7' от пол¬
ного времени путешествия, измеренного на Земле, при заданных значе¬
ниях максимального удаления хтах. Линии с положительным наклоном

334
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9'
представляют на графике первую из формул (9.14), показывая зависимость
АТ от Т при различных значениях g. Если снова обратиться к случаю,
когда приближенные формулы (9.14) и (9.15) оказываются непригоднымиг
мы получим, что при g = 9,8 ж!сек1 и длительности путешествия 1 год
(по земным часам) максимальная дальность полета будет 0,04 светового
года, а «экономия времени» составит 3,8 суток. В 10-летнем путешествии
(по земному времени) максимальное удаление будет уже 3,3 светового
года — что близко к расстоянию до ближайшей звезды,— а длительность
путешествия по часам корабля составит 7 лет. Если путешествие будет-
продолжаться 1000 лет по земным часам, то дальность его будет равна
490 св. годам, а время путешествия, измеренное на корабле, будет равно*
^7777?
I
I
1
$
I
!'
!
V
/
,/>
/
/7777777?
х^
7
К'*' ^
х^
j^ff
К
Х^
/
)
\
7 час	777vac	77777час	47,7сут	7	год
Дш/лелолос/ль лу/лол/оолуоал по оемло/м часам
777лш
Рис. 9.2. Накопление разницы в возрасте, на которую космический путе¬
шественник по возвращении оказывается моложе наблюдателя, оставав¬
шегося на Земле, выраженная как функция дальности и длительности
путешествия.
всего 22 годам. И, наконец, если за время путешествия на Земле пройдет
миллиард лет, то корабль успеет достичь дальности 500 миллионов св. лет
и вернуться обратно, и на его борту пройдет за это время лишь 70 лет.
В общем случае, если только gT > с, время, протекшее на корабле
в таком путешествии, есть —lg ^ или при ускорении g ~ 9,8 м!сек%
это будет 8 lgТ, где Т — земное время в годах.
Можно, разумеется, провести сравнение времен, протекших на кораб¬
лях А и В, и с точки зрения наблюдателя В. В таком случае, однако, необ¬
ходимо пользоваться соотношениями общей теории относительности, так
как наблюдатель В — неинерциальный. В начальной стадии полета наблю¬
датель В может считать, что ускорение отпускаемых им шариков вызы¬
вается однородным гравитационным полем, направленным вдоль оси
— г. С течением времени, когда отношение gt/c становится сравнимым
с единицей, характер движения этого шарика или, что то же самое, наблю¬
дателя А относительно В становится более сложным. По отношению к В
выражение для линейного элемента, аналогичное формуле (9.9), будет
ds%='%gikdx)idxb,	(9.16)
ik
где суммирование производится в пределах от 1 до 4, причем cLxb =

S 9.4]
ПРИМЕР СО СПУТНИКОМ
— (dxB, dyB, dzB, cdtB). Расчет теперь становится гораздо более сложным,,
так как нужно сначала определять коэффициенты gik, затем построить
закон движения А относительно В и, наконец, взять интеграл от квадрат¬
ного корня из ds2 вдоль пути корабля А. Результат расчета, представляю¬
щий полное время путешествия наблюдателя В по его часам, оказывается
тем же, что и ранее, т. е. наблюдатель В состарится за путешествие мень¬
ше, чем А.
Такой метод решения задачи, хотя и является более сложным, позво¬
ляет установить связь с парадоксом II, который будет обсуждаться в сле¬
дующем параграфе.
§ 9.4. Пример со спутником
Согласно определению, данному в § 9.2, свободно летящий спутник
(назовем его А) представляет собой инерциальную систему, тогда как
наблюдающий его с Земли наблюдатель В находится не в инерциальной
системе, так как отпускаемые им шарики стали бы двигаться ускоренно.
Предположим, что на вершине очень высокой башни, достигающей высоты
орбиты спутника, помещен наблюдатель С. Этот наблюдатель не будет
инерциальным и поэтому инерциальному наблюдателю А он будет казать¬
ся движущимся с ускорением. В самом деле, с точки зрения наблюдателя
А движение наблюдателя С на его вышке будет несколько напоминать рас¬
смотренное выше движение наблюдателя В относительно А, а именно,
сначала С и А будут рядом, затем разойдутся и наконец вновь сблизятся;
и так будет повторяться на каждом обороте спутника. Правда, их относи¬
тельная скорость никогда не обратится при этом в нуль, как в рассмот¬
ренном выше случае, однако сам эффект разницы хода времени будет тем
же. Как и наблюдатель В по возвращении к А после путешествия оказы¬
вался состарившимся меньше, чем А, так и здесь наблюдатель С будет
стареть меньше, чем инерциальный наблюдатель на спутнике.
Таким образом, оба указанных вначале главы парадокса можно
объяснить тем, что свободно движущийся инерциальный наблюдатель,
независимо от того, движется ли он вне полей тяготения или же по
инерционной орбите в гравитационных полях, стареет быстрее, нежели
любые другие наблюдатели, удаляющиеся от него и затем возвращаю¬
щиеся обратно для сравнения разницы в протекшем времени.
Поэтому вывод о том, что свободно движущиеся наблюдатели всегда
старятся быстрее, чем любые другие наблюдатели, подвергающиеся дей¬
ствию механических, электромагнитных или каких-либо иных иегравита-
ционных сил, является законом природы. Интересен сам факт, что ско¬
рость старения зависит от природы сил, сообщающих ускорение космиче¬
скому кораблю. Если мы свободно вращаемся вокруг Земли по спутнико¬
вой орбите, мы старимся при этом быстрее, чем наблюдатель, находящийся
на вершине высокой башни, мимо которого мы периодически пролетаем.
Если же, однако, мы будем двигаться в свободном от поля тяжести про¬
странстве под действием силы тяги корабля, по круговой траектории, то мы
будем стареть медленнее, чем инерциальный наблюдатель, мимо которого-
мы будем периодически пролетать.
В качестве примера предположим, что космический корабль, готовый
к отлету, стоит на старте, и мы хотим, чтобы он через определенный интер¬
вал времени по земным часам вернулся обратно с нулевой конечной ско¬
ростью. Спрашивается, как нужно программировать движение корабля,
чтобы путешественник, находящийся на его борту, состарился как можно*

-336
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9
более? Из того, что было сказано выше, вытекает ответ, что для этого
корабль должен мгновенно приобрести всю свою скорость и также мгно¬
венно ее погасить при возвращении, а в промежутке должен двигаться
по траектории свободного полета под действием сил тяжести. Может
показаться странным, что часы «знают», ускоряются ли они силой тяжести
или какой другой силой, и реагируют на это тем, что замедляют свой ход,
если эта сила имеет негравитациоиную природу.
Подобное же явление имеет место при движении заряженной частицы
под влиянием комбинации гравитационного и электромагнитного нолей,
как, например, при движении космических протонов вокруг Земли.
В общем случае такая частица вследствие изменения своего ускорения,
вызванного электромагнитными силами, будет излучать энергию, тогда
как изменение ее ускорения, обусловленное г р а в ит а ци о иными силами,
к излучению энергии не приводит. В отсутствие электромагнитного поля
частица будет представлять собой инерциальную систему и излучение
частицы определяется отклонением ее движения от иперциальпого. Сле¬
дует, однако, признать, что до создания теории, объединяющей воедино
гравитационные и электромагнитные явления, такие процессы останутся
понятыми не до конца.
Вспомним опять о наблюдателе С, который был помещен нами на вер¬
шине высокой башни, чтобы он мог сравнивать свои показания с показа¬
ниями наблюдателя на спутнике, пролетающем мимо. Башня здесь пона¬
добилась из-за того, что скорость хода часов зависит от гравитационного
потенциала в точке их местоположения.
Таким образом, здесь имеет место определенный статический эффект,
в результате которого наблюдатель С на вершине башни будет стареть
не только медленнее, чем наблюдатель А на спутнике, но и медленнее,
чем наблюдатель В на Земле. Этот статический эффект зависит, естествен¬
но, от высоты башни,, на вершине которой помещается наблюдатель С,
и если эта башня достаточно высока или, говоря более определенно, ее
вершина, а значит, и орбита спутника А находится на высоте, равной
половине земного радиуса, то разность хода между часами С и А, а также
между С и В будет одинаковой и по величине и по знаку. Поэтому ско¬
рость старения наблюдателей А и В будет в этом случае одинаковой.
Путешественник, находящийся на спутнике с высотой орбиты, меньшей
полурадиуса Земли, будет стареть быстрее, а находящийся иа спутнике
с высотой орбиты, большей полурадиуса Земли, будет стареть медленнее,
чем наблюдатель, находящийся на поверхности Земли.
Прямое отношение к задаче определения разницы в ходе времени
у~двух наблюдателей, находящихся на разных высотах над поверхностью
Земли, имеет тот факт, что световые кванты, движущиеся в гравитацион¬
ном поле Земли, обладают определенной массой ~ и поэтому испыты¬
вают земное притяжение.
Вследствие этого притяжения при движении квантов вверх против
однородного поля напряженностью g, относительное уменьшение частоты
при подъеме на высоту Н составит
Av _ gll
V с2 ’
т. е. 1 на 1016 на каждый метр подъема. Ввиду этого мы пока еще не в со¬
стоянии замерить разницу в ходе часов, одни из которых находятся
внизу, на поверхности, а другие, например, на крыше небоскреба Эмпайр
Стейт Билдинг.

§ 9.5]
ВОЗ М ОЖ НЫ ЕЭК СПЕ РИМЕ НТЫ
337
Д-р Дингль (Dingle) утверждал, что с помощью двух постулатов
можно устранить расхождение в возрасте двух близнецов, которые путе¬
шествуют врозь и затем вновь встречаются. Первый постулат заключается
в следующем: «Согласно принципу относительности, если два тела уда¬
ляются друг от друга и затем вновь сближаются, то никакие наблюдения
ие позволяют определить их абсолютного движения». Этот постулат вереи,
ибо действительно ни один из наблюдателей не может утверждать, что он
находился в абсолютном покое, тогда как другие движутся. Все, что он
может определить, это лишь кажущееся движение внешних объектов
относительно него. Правда, при работе ракетного двигателя путешест¬
венник будет испытывать такую же силу, как сила тяжести, и при расчете
движения наблюдаемых им объектов он должен принимать эту силу во вни¬
мание. Второй же постулат д-ра Дингля неверен. Он гласит: «Если по воз¬
вращении одни часы оказываются отстающими по сравнению с другими
на величину, зависящую от характера их относительного движения, то это
говорит о том, что первые часы находились в движении, а вторые нет».
На самом деле показания часов говорят не об этом. Они лишь показывают,
что между движениями обоих часов есть существенное различие, а именно,
что одни из них находились в состоянии невесомости, а другие нет. Поэто¬
му нельзя их показания понимать как то, что одни из них находились
в «абсолютном движении», а другие были неподвижны. Согласно теории
относительности абсолютное движение и абсолютное пространство есть
понятия, не имеющие физического смысла. То же относится и к абсолют¬
ному времени.
§ 9.5. Возможные эксперименты
Как мы убедились, эффекты растяжения времени можно разделить
на два класса.
(А) Эффекты, возникающие при движении часов относительно инер-
циального наблюдателя, которые могут быть выражены формулами
специальной теории относительности. Относительное расхождение во вре¬
мени между движущимися часами и часами инерциального наблюдателя
составляет , где и — скорость их относительного движения (в приме¬
нении к спутнику этот эффект имеет величину порядка 3-10"10).
(Б) Эффекты, для понимания которых требуется использование общей
теории относительности. Часы, находящиеся на высоте //, идут быстрее,
чем часы на уровне моря, в отношении, равном 1 +	, т. е. на 1 на 1016
на каждый метр высоты над Землей.
Общая теория относительности не только объясняет эффекты клас¬
са (Б), но и трактует эффекты классов (А) и (Б) как различные аспекты
одного и того же явления. Так как основные положения специальной
теории относительности уже достаточно твердо установлены, эффекты
класса (А) в меньшей степени нуждаются в экспериментальной проверке,
чем эффекты класса (Б).
Для измерения указанных эффектов можно предложить два рода
экспериментов.
I.	Э к с п е р и м е и т, посвященный проверке «па¬
радокса близнецов». Этот эксперимент заключается в следую¬
щем. Двое часов на мазерах точно настраиваются в лабораторных усло¬
виях, и затем одни из них «отправляют в путешествие», а другие оставляют
22 Космическая техника

338
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9
в лаборатории. Затем их снова собирают вместе и сравнивают прошедшее
на них время Т и Т + АТ. В табл. 9.2 приведены данные о характере
«путешествия» часов, о роде измеряемого эффекта и о порядке величины
АТ
— , получаемой в эксперименте.
Таблица 9.2
Относительная разница хода между часами на земной поверхности
и часами, совершающими «путешествие»
Тип «путешествия»
| Основной
1 измеряемый
! эффект
i
Замеренная разница
АТ
хода —
Подъем на вершину горы и спуск с
нее
(Б)
Песк.
ед.
на
1013
Полет на самолете
j (Л) 11
(Б)
Песк.
ед.
на
1013
Высотный подъем на аэростате . .
(Б)
Песк.
ед.
и а
1012
Высотный подъем на ракете . . .
(Л) 1,
(Б)
Песк.
ед.
на
юн
Полет на баллистическом снаряде
(А)
Песк.
ед.
на
10Ю
Низколетящий спутник
(Л)
Песк.
ед.
на
10Ю
Высоколетящий спутник иа круго¬
вой орбите
1
(А) и
(Б)
Песк.
ед.
на
1010
Каждому виду эксперимента соответствуют свои технические пробле¬
мы, связанные с точностью измерений и с возвращением часов в исходную
точку, и поэтому трудно сказать заранее, какой из них будет осуществлен
первым. Пока что наиболее вероятным представляется эксперимент с запу¬
ском аэростата на большую высоту, так как а) при этом можно измерить
более интересный эффект, б) в настоящее время в лабораториях уже
имеются подстроенные друг к другу мазеры с кратковременной стабиль¬
ностью до 1 на 1012, в) здесь отсутствуют трудности, связанные с пробле¬
мой возвращения.
II. Измерение г р а в и т а ц и о и ы ого к р а с и ого
смещения. Этот эксперимент не требует решения проблемы возвра¬
щения и поэтому может оказаться осуществимым даже ранее эксперимен¬
та I, при помощи высокого спутника, движущегося по сильно вытянутой
орбите. При периодическом движении такого спутника по эллипти¬
ческой орбите имеют место оба эффекта (А) и (Б), причем суммарный эф¬
фект будет:
АТа+АТе _ 1 / а2 , GM	GM \
Т “ сЧ 2 г /'	~R ) ’
где г — расстояние от спутника до центра [Земли, R — земной радиус
и GM — произведение постоянной тяготения на массу Земли. Этот резуль¬
тат вытекает также и из строгого анализа с использованием уравнений
общей теории относительности. Как и само движение спутника, этот эффект
периодичен во времени.
Для круговой орбиты имеем и2 =	,	откуда
ДГа + АГб	GM ( 3	1 N
Т ~ с'2 V 7-Г у •

ЛИТЕРАТУРА
339
з
Как видим, эффект исчезает при г = ^R- Таким образом, для того чтобы
наиболее интересный для нас эффект (Б) был преобладающим, необходимо,
чтобы высота круговой орбиты спутника была более 2000 миль над поверх¬
ностью Земли. Производить эксперимент на значительно меньшей высоте
нецелесообразно с точки зрения получаемых результатов, так как в этом
случае мы будем просто измерять поперечный эффект Допплера. Назем¬
ные эксперименты (т. е. сравнение хода часов, помещенных на вершине
горы или даже на крыше Эмпайр Стейт Билдинг, и часов на уровне моря)
обладают большим преимуществом в смысле соблюдения лабораторных
условий и поэтому сейчас делаются серьезные попытки достигнуть точно¬
сти измерений порядка нескольких единиц на 1013 или 1014.
В заключение резюмируем следующие выводы:
а) Эксперименты II рода легче выполнимы, чем эксперименты I рода
и в то же время позволяют получить столько же данных о гравитацион¬
ном поле.
б) Эксперимент I рода был бы гораздо более эффектным и убеди¬
тельным.
в) Если бы оказалось, что красное смещение отсутствует, то это озна¬
чало бы, что антиматерия ускоряется против направления гравитацион¬
ного поля, так как в противном случае, как указал Шильд (Schild), при
аннигиляции пары электрон — позитрон с образованием фотонов, дви¬
жущихся вверх против силы тяжести, и последующим образованием пары,
которая снова упала бы в исходную точку, энергия системы оказалась бы
больше первоначальной.
г) В общей теории относительности красное смещение является пря¬
мым следствием принципа эквивалентности. Любые другие теории тяго¬
тения (например, теории Биркгоффа (Birkhoff), Уайтхеда (Whitehead),
Кирквуда (Kirkwood)), не основанные на этом принципе, могут дать раз¬
личные значения для величины красного смещения.
д) Прочие следствия общей теории относительности (в особенности
эффект прецессии перигелия), не связанные непосредственно с явле¬
нием растяжения времени, могут быть измерены экспериментально
и без запуска искусственных спутников. При этом все существующие
теории тяготения дают примерно одинаковую величину указанного
эффекта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Builder G., The Resolution of the Clock Paradox, Australian J. Phys. 10, 246—
262 (1957).
2. Cochran W., A Suggested Experiment on the Clock Paradox, Nature 179, 977
(1957).
3. Crawford F. S., Jr., Experimental Verification of the Clock Paradox of Rela¬
tivity, Nature 179, 35 (1957).
4. Crawford F. S., Jr., The Clock Paradox of Relativity, Nature 179, 1071
(1957).
5. D i n g 1 e II., Clock Paradox of Relativity, Science 127, 158 (1958).
6. Einstein A., Zur Elektrodynamik Bewegter Korper, Ann. Physik 17, 891
(1905).
7. F r e m 1 i n J. H., Relativity and Space Travel, Nature 180, 499 (1957).
8. Гинзбург В. JI., Экспериментальное подтверждение общей теории
относительности и искусственные спутники Земли, «Природа», 1956, т. 45, № 9,
стр. 30—39.
9. Hill Е. L., The Relativistic Clock Problem, Phys. Rev. 72, 236 (1947).
22*

340
ЭФФЕКТЫ РАСТЯЖЕНИЯ ВРЕМЕНИ
[ГЛ. 9
10. II о i f m а п В., General Relativistic Red Shift and the Artificial Satellite, Phys.
Rev. 106, 358 (1957).
11.	M	cCre	a W.	A., Relativity and Space Travel, Nature 177, 784 (1956).
12.	M	с С r e	a W.	A., The Clock Paradox in Relativity Theory,	Nature	167,	680
(1951).
13.	M с С r e a W. A., Relativity and Space Travel, Nature 178,	680 (1956).
14.	McMillan E., The Clock Paradox and	Space Travel,	Science 126,	381
(1957).
15.	McMillan	E., Science 127, 160 (1958).
16.	M	i 1 n e	E. A.	and W h i t г о w G. .J., On the So-Called Clock	Paradox	of	Special
Relativity, Phil. Mag. 7, 40, 1244 (1949).
17. M о 1 1 e г C., Theory of Relativity, New York, Oxford University Press, стр. 48,
358, 1952.
18. Moller C., On the Possibility of Terrestrial Tests of the General Theory of Rela¬
tivity, Suppl. Nuovo cimento 4, 381 (1957).
19.	S i n g e r S. F., Application of an Artificial	Satellite to the	Measurement	of	the
General Relativistic Red Shift, Phys. Rev. 104, 11 (1956).
20. T о 1 m a n R. C., Relativity Thermodynamics and Cosmology, New York, Oxford
University Press, стр. 194, 1934.

ГЛАВА 10
ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
ВХОДА В АТМОСФЕРУ
Лестер Лиз {Lester Lees)
§ 10.1. Введение
Космический корабль, возвращающийся на Землю со спутниковой
орбиты, обладает кинетической энергией на единицу массы, эквивалент¬
ной 13 500 Бте/фунт, тогда как при возвращении непосредственно с пара¬
болической орбиты сближения кинетическая энергия единицы массы ко¬
рабля будет равна 27 ООО Бте/фунт. (При спуске на Венеру и Марс эти
цифры составят соответственно лишь 0,82 и 0,19 от указанных значений,
однако для Юпитера начальные значения этих энергий будут больше
в 29 раз!) Практически вся кинетическая энергия должна быть рассеяна
в форме тепла, однако сейчас не существует таких конструкционных
материалов для ракет, которые могли бы поглотить сколько-нибудь зна¬
чительную долю этого тепла и остаться невредимыми. Поэтому для воз¬
можности успешной посадки необходимо, чтобы большая часть энергии
шла на нагревание газа, окружающего корпус корабля, а не на нагрева¬
ние самого корпуса. Чтобы добиться этого, следует сначала разобраться

342 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
в сущности механизма процессов теплообмена при гиперзвуковых скоро¬
стях набегающего потока.
Почти во всех задачах кинетического нагрева при прохождении атмо¬
сферы имеет место режим непрерывного обтекания. При движении тела,
затуплегшого иа переднем конце (представляющего собой тело вращения
или переднюю кромку крыла), по наиболее напряженному участку траек¬
тории, на его носовой части образуется отсоединенная искривленная
ударная волна (рис. 10.1), «ударный слой» диссоциированного и ионизи¬
рованного горячего газа, находящегося между фронтом волны и поверх¬
ностью тела, и пограничный слой непосредственно иа поверхности тела,
в котором температура газа резко
падает до ее значения на поверх¬
ности. Тепловая энергия передает¬
ся телу как посредством теплопро¬
водности и диффузии в погранич¬
ном слое (рис. 10.2), так и посред¬
ством излучения нагретого газа,
находящегося в ударном слое близ
носовой части тела, главным обра¬
зом, в диапазоне ультрафиолето¬
вой и близкой инфракрасной ча¬
стей спектра. В свою очередь по¬
верхность также излучает энергию
в основном в диапазоне инфра¬
красной и далекой инфракрасной
Рис. 10.2. Измеренные значения теплового по-		•-
тока на поверхности кругового цилиндра при частей СПбКТра, ДЛЯ КОТОрЫХ УДар
М2 = 1,85, 7Д = 298° К, To = 3000°J£, K0/if02 = 0,25. HbIIVj СЛОЙ Газа ПОЧТИ ПОЛНОСТЬЮ
прозрачен (см. § 10.2). Во многих
случаях при движений тела по заданной траектории значительная часть
тепловой энергии, воспринимаемой поверхностью тела, должна погло¬
щаться либо путем сублимации, либо путем плавления (и, возможно,
испарения) материала поверхности, сопровождающегося сгоранием или
диссоциацией частиц этого материала в пограничном слое газа. Не углуб¬
ляясь в обсуждение сравнительных достоинств различных возможных
методов обеспечения успешного спуска космического корабля в атмосфере,
мы все же должны рассмотреть проблемы теплообмена в такой степени,
чтобы получить достаточную основу для анализа возникающих альтер¬
натив .
§ 10.2. Конвективный теплообмен
QD12cp
10.2.1.	Аппроксимация—^— =1. При высоких температурах теп¬
ловая энергия передается не только посредством теплопроводности,
но также и путем диффузии атомов и молекул, переносящих химическую
энтальпию. В задачах с двумерным или аксиально-симметричным лами¬
нарным пограничным слоем *) скорость передачи энергии сквозь линии
тока определяется выражением
Я	QKtViht,	(10.1)
1
ч
\
\
\
V
\
\
с
2
\
\ ,
ч
\
\
1
+ днснернменг на раландре ° ^ -
о дненера/иенг на 6-мм цинандре
		Теоретанеснае данные, у=1,3
т
д  /сиреп/ичеияие оанные, y=jt j
О 20	40	60	60	700
О
*) В тех условиях, в которых при спуске находится космический корабль,
число Рейнольдса почти всегда достаточно мало для существования ламинарного
режима обтекания.

I Ю.2]
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
343
где
г
hi = hi ^ Cjji dl,
о
причем hi — теплота образования i-ж компоненты *). В большинстве
задач, связанных с проблемой спуска, многокомпонентную газовую
смесь можно при изучении процессов диффузии рассматривать как состоя¬
щую всего из двух компонент, причем все атомы этой смеси действуют
подобно одной компоненте, а все молекулы — подобно другой [1, 2, 3].
В этом случае имеем:
QKtvl= -eA2-|i,
а также
Полная статическая энтальпия, включающая в себя как тепловую,
так и химическую энтальпию, определяется выражением h =
так что clh = cpdT + ^htdKt, где ср = ^KiCvi. Выражение для q при¬
обретает вид
»-	\(М-2 *$)+т?2*.4И-
проводимость	диффузия
QD j 9Ср
Параметр —, входящий в уравнение (10.3), представляет собой
отношение коэффициентов массовой и термической диффузии и назы-
QD\2cV
вается числом Le (числом Льюиса—Семенова). Когда —^— = 1, то
1с dh	/	л	г\ / \
Я--Т1ъ	(10.4)
вне зависимости от механизма теплообмена, от принятой модели про¬
текания химических реакций и от скорости их протекания.Таким образом,
скорость теплообмена на твердой поверхности зависит в основном от об¬
щего перепада энтальпии через поток. Для газовых смесей, подобных
тем, которые встречаются в задачах теплообмена при гиперзвуковых
скоростях полета, число Лыоиса—Семенова, согласно существующим
оценкам [3], лежит в пределах от 1,0 до 1,5, так что упрощающее прибли¬
жение Le = l оказывается весьма ценным [2, 3, 4]. Поэтому мы сейчас рас¬
смотрим его на ряде важных частных случаев.
10.2.2.	Скорость конвективного теплообмена в критической точке
затупленного тела ( с неактивной поверхностью). В передней критической
точке толщина пограничного слоя определяется кинематической вязкостью
газа и градиентом скорости (^f^Q в невязком потоке (рис. 10.1). На
поверхности тела из уравнения количеств движения имеем
£=£• <10-5,)
*) Перечень обозначений для всей главы приведен на стр. 353 —354.

344 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
ИЛИ
-**ЗЧ£0£>].-	(№-56)
Полагая, что ие =	+	. . ., а и = ueF	» из уравнения (10.56)
можно получить следующую оценку:
Qe У V ds у q
6~От) {-£). -	(W.e«)
где р, — некоторая «средняя» вязкость. Далее из уравнения (10.4) имеем
qw~	;	(Ю.бб)
учитывая, что
с помощью уравнения (10.6а) находим
{<1и,)о~У(q#)0 (S)p/2(//se-/iu,)'	(10-7)
Можно сравнить эту грубую оценку с приближенным решением при
Le = 1, полученным в работе [3], а именно:
Ыо ~ 0,5-2Й/2 (Р?)-*/я V(Q^Oi (у£У'\Ь»е-Ьи,),	(Ю.8а)
где к = 0 при плоском обтекании и к = 1 при осесимметричном обтека¬
нии. Согласно модифицированному ньютоновскому приближению имеем
/ due
)=-^l/— •	(10.86)
J о Rq у Qeo
\ ds J о R[
Путем численного интегрирования уравнений пограничного слоя Фэй
(Fay) и Риддель (Riddell) [1] получили «точное» решение при Le Ф 1
в виде
Ыо = 0,54.2ь/2(Р?)-°-6с!л Г(ёЯ (5)1/2 х
X
{l + [(Le)n— 1] ^\{hse-hw),	(10.9)
где
р 	 QtuPa;
is w —
беИ-е
hD = hch — 2 (Kj)e^Qj2-
J=0, N
В предельном случае «очень быстрых» реакций в газовой фазе п = 0,52,
тогда как в предельном случае «очень медленных» реакций в газе над
каталитической поверхностью (замороженный поток) число п, согласно
сделанным оценкам [3], равно 0,66. Численные результаты Фэя и Рид-
деля дают в этом случае п — 0,63 *).
*) Небольшая разница между обеими приведенными цифрами несущественна.

S 10.2]
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
345
Таким образом, разница в скоростях теплообмена в обоих крайних
случаях (а значит, и на всем промежуточном диапазоне этих скоростей
[1]) совершенно незначительна, даже если считать, что Le Ф 1. [Следует
заметить, что выражение в фигурных скобках в уравнении (10.9) при
Le = 1,5 дает максимальное увеличение (qw)0 на 20% по сравнению
с приближенным решением (10.8).]
Эксперименты в ударной трубе, проведенные Рабиновичем (Rabino-
wicz) [5] на круговом цилиндре в качестве образца при температурах в кри¬
тической точке, доходящих почти до 4000° К, подтвердили правильность
теоретических результатов [уравнение (10.9)] для скорости теплообмена
в этой точке с точностью +5%. Роуз [Rose] и Старк (Stark) [6] провели
в ударной трубе эксперименты на цилиндре с полусферой для значений
энтальпии, соответствующих скоростям движения спутника Земли. Хотя
здесь расхождение результатов оказалось несколько большим (около
±15%), тем не менее удовлетворительное совпадение данных измерений
и решений уравнения (10.9) подтверждает правильность теоретического
подхода к проблеме.
Результаты, полученные Фэем и Ридделем для скорости теплообмена
в критической точке, могут быть распространены и на всю остальную
поверхность тела с помощью метода «локального подобия», развитого
в работе [3]. Согласно этому методу имеем
qw (s) -	-	CPF	(s)	■	g'	(0) • (hse -K),	(10.10a)
V Ro
где
1 / _P\ /	(±±± ( ro V
#1/4	1/2	\ Po / \ J 4 uoo J \ -^0 J
* (*) = —ф	>
ГГ/ _p_\ / _Ue_\ / _СО^Л / r0 \2k ds y/2
L J V Po J V u°o J v coe0 J V R0 J Ro J
0
причем g' (0) ^ 0,5 (Рг)~2/3. Более точное выражение для g' (0) дано в при¬
ложении к работе [7]. На рис. 10.2 дается сравнение результатов, полу¬
ченных Рабиновичем [5] в экспериментах на круговом цилиндре, с теоре¬
тическими результатами, вычисленными по уравнению (10.10).
Эти выводы могут быть распространены и на случай бесконечно длин¬
ных наклоненных цилиндров, помещенных в потоке газа [8]. Упомянем
здесь один важный результат. Согласно уравнению (10.8) или (10.9)
при направлении потока перпендикулярно оси цилиндра (#ш)о ~ VРо^
где р'0 — давление в критической точке непосредственно за фронтом удар¬
ной волны; поэтому для цилиндра, наклоненного к потоку под углом А,
(qw)о ~ cos А. Как показано в работе [8] и подтверждено Эггерсом [9],
фактическое уменьшение скорости теплообмена с увеличением наклона
оказывается несколько большим, чем это дает множитель cos А, что объяс¬
няется уменьшением силы сопротивления в отношении, равном cos2 А.
Эти соображения показывают целесообразность использования сильно
отклоненных назад затупленных передних кромок, если полет осуществ¬
ляется с помощью крыльев, так как при этом обеспечивается ламинарное
обтекание.
(10.106)

346 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
Для технических расчетов уравнение (10.9) может быть значительно
упрощено. Выразим вязкость формулой Сезерленда
pt = 1,46-10“5 УТ°К г/см-сек*).
Полагаяч9Ке0 « 14 а и используя уравнение (10.86), а также замечая,
что произведение выражения в фигурных скобках в уравнении (10.9)
на коэффициент (Рг)~0,6 очень близко к единице, мы получим
  k
{Qw)q V Ro ^	ЗемлД/^Qooll^o (^1 — ТГ^у) ’
где ЛГземли = 4710, если (qw)0 выражено в вт/см2, Rо в см, Q0о в г/см3 и
itoc в км/сек. В системе англий¬
ских единиц #зсмлн= 15,5,
если Rо выражено в футах, Qoo
в слэг/фут?,	в	тысячах
фут!сек и (qw)0 в Бте/фут1 • сек.
Величина константы К для
атмосфер Венеры и Марса, под¬
считанная на основе последних
данных о составе этих атмо¬
сфер [10, 11], очень близка к
ее значению для Земли. Ско¬
рость конвективного теплооб¬
мена в атмосфере Венеры со¬
ставляет около 80% от скоро¬
сти теплообмена в земной атмо¬
сфере при спуске по аналогич¬
ным траекториям, однако для
Марса (qIL)o равна лишь 1/2ь от
значения скорости теплообмена
на Земле. Фактически макси¬
мальная скорость теплопере¬
дачи при входе с параболиче¬
ской орбиты в атмосферу Мар¬
са под углом 0 = 90° будет
несколько меньше, чем в случае касательного входа с круговой спутни¬
ковой орбиты в атмосферу Земли [10, 12].
На рис. 10.3 приведены графики зависимости скорости теплообмена
в критической точке тела вращения, движущегося в воздушном потоке,
от скорости полета для различных высот, причем < 1. На оси орди-
hse
нат отмечены также значения скорости теплоотдачи излучением с поверх¬
ности тела (имеющей излучательную способность, равную 1) при указан¬
ных температурах. Если воспользоваться анализом движения по траекто¬
рии спуска, данным Алленом — Эггерсом [13], и принять во внимание
*) Для установившегося равновесного режима течения эта полуэмпирическая
формула с точностью до 10% согласуется с результатами, полученными на основе
использования потенциала Леннарда-Джонса для поля мсжмолекулярных сил
(см. [5], рис. 21).
то
2000
1000
%
ООО
400
4
\
8;
200
-f
100
70
40
30
20
Я
I 1
Оысота
1 /. «1 в7Ш0ут
ТигУООО’Я I
1
ц
Ъулг) j
6000°/! 1
^200
1
И
1
^00^ Wdl//0£ .
ь* L
шгл/ ^
\ ^
0-^ 6 ии
s'
шо°я ^
№У°'?
У^
?£ППОП
ut/UU Л
J_
20,0
250
50,0
35,0
Онороат na/7ff/77a, 7000/ру/п/сех
Рис. 10.3. Конвективный тепловой поток в крити¬
ческой точке для воздуха; R = 1 фут.

.§ Ю.2]
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
347
-Ри>-/*+р-Я/гЩ ду]и
(pv)whw(r;
f Газ
уравнения (10.8) или (10.9), то можно видеть, что для тела, охлаждающе-
^	грЬ
гося только излучением, ~ l*w\ это показывает всю важность про¬
блемы выбора подходящих конструкционных материалов. Штриховые
линии на рис. 10.3 показывают типичный ход изменения скорости тепло¬
передачи на поверхности корпуса снаряда, входящего в земную атмосферу
(при нулевой подъемной силе) с круговой спутниковой орбиты, причем
= 10 и 100. Штрих-пунктирная линия показывает аналогичную зави-
ЦТ
симость для случая входа с параболической орбиты при ^ —sin 0^ = 1
(соотношения между скоростью движения й высотой взяты из работы
Гэзли [10]) *). Очевидно, что проблемы входа в атмосферу могут иметь
решения по крайней мере двух типов: (а) для снарядов с очень малым
отношением силы веса к силе сопротивления (т. е. с малой поперечной
нагрузкой), движущихся по пологим траекториям снижения, охлаж¬
дение в основном осуществляется
путем излучения; (б) для снаря¬
дов с большим значением попереч¬
ной нагрузки и (или) входящих
под большими углами в атмо¬
сферу охлаждение	определяется
как излучением с	поверхности,
так и потерей некоторой массы,
уносящей избыточную тепловую
энергию.
10.2.3.	Конвективныйтеплооб- Рис ,0.4а. Энергетический баланс при ко,тек-
мен при добавлении химически ак- тпвпом теплообмене между гачом и твердым
г	тт	*	телом.
тивных веществ. Чтобы выяснить
основные особенности процессов,
происходящих в пограничном слое при введении туда некоторых актив¬
ных веществ, рассмотрим частный пример взаимодействия между атомным
и молекулярным кислородом и азотом и материалом поверхности Е,
который будем считать состоящим из одного чистого элемента. На твер¬
дой поверхности (или на пленке жидкости) тепловая энергия передается
от газа к телу (или жидкости) посредством теплопроводности и диффузии
со скоростью, равной	12	S	(см*	Рис* 10-4а)* В т0 же
время энтальпия передается от поверхности к газу со скоростью
(qv)w hw(g) и от тела к поверхности со скоростью (qv)wJiew (s). [Здесь
hw (g) = 2 (Kihi)w.] Результирующая скорость поступления тепла к по¬
верхностному слою материала определяется суммой:
gs —	^li	chf	]	w	(Qv)d2w (&) _r (Qv)whEw ($)•	(10.11)
Т/
7s
' тело
fpv)w/jEjs)
II	QD i*? С Y)	ж
При ——= 1 мы имеем
к
qs=QeueCH(Ah-B'LE),	(10.12)
*) См. также работы [12] и [14].

34.8 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. IU
где
Д/г Kie (hie — hiW) +
1- 2 ht
2 1
lKie - (В' + 1) Kiw] + IB' - (ZT + 1) (KEU hEw (g),	(10.13)
1ФЕ
причем В’ —	i	Le— теплота сублимации (или парообразования)
на 1 грамм материала Е. [Заметим, что {КЕ)е (ЕЕ0)е = (КЕ-^)е — 0.]
Для упрощения полученного выражения удобнее рассматривать
не доли массы отдельных химических компонент Kt, а доли массы отдель¬
ных химических элементов Kj и КЕ, так как массы последних остаются
постоянными в любых химических реакциях [2, 15, 16]. При Le = Рг
= Sc = 1 полная энтальпия и доли массы отдельных элементов удовле¬
творяют идентичным дифференциальным уравнениям, поэтому каждое К
будет линейной функцией hs. Учитывая это и принимая во внимание гра¬
ничные условия для элемента массы потока на поверхности раздела
газа и твердого тела, можем переписать уравнение (10.13) для Ah в сле¬
дующей форме:
А/г = Б ieij^ie ^iw) Н	“Ь
-I- 2	-(Д'+1)(£л>] де*/- 2 [{кн)е-{в'+\){кни^.,г.
J=0, N	J=О, N
Первые два члена полученного выражения обусловлены явлениями
теплопроводности и диссипации энергии; последние две суммы обуслов¬
лены теплотой, высвобождающейся при химических реакциях, причем
первая из них соответствует реакциям типа Е + J = EJ, а вторая реак-
циям типа Е	-j J2	= EJ. Таким образом, эффект химического взаимо¬
действия сказывается в изменении величины энтальпии. В тех случаях,
когда в рассматриваемых реакциях участвуют лишь Е и кислород с азотом,
причем весь кислород и азот идут на образование соединений Ж) и ЕN,.
уравнение (10.12) принимает вид
г	2	_
Qs~ QeUeCН |	-K-ie {J^ie ^iw) H 2 ' {^q)6AQ Eq 4“
+ (K^Qen - (KoJebQot - (*Ns)e A(?n2 ~B'Le J *' .
В случае реакций с углеродом, например при его полном соединении
с кислородом и азотом, максимальное достижимое значение энтальпии
составит 23 950 Бте/фунт, или вдвое больше, чем величина энтальпии
при отсутствии взаимодействия, однако при этом теплоемкость углерода,
включая сюда и эффект сублимации, будет равна 28 500 Бте /фунт,,
т. е. почти в 10 раз больше. Другими словами, введение процессов сго¬
рания не только не оказывается «катастрофическим», но может давать
известные преимущества, так как теплота сублимации материала поверх¬
ности сравнима по величине с теплотой, освобождаемой в химических
реакциях.
*) Эту скобку можно также написать в виде
hse- 2 (Kj)e(hj)w+ 2 (Kj).AQej-B’Le.
J=О, N	J=О,	N

§ 10.2J
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
349
Параметр В', определяющий величину добавочной «обменной» массы,
не является произвольной величиной, так как очевидно, что скорость суб¬
лимации зависит от скорости подвода энергии изнутри. В качестве первого
приближения примем, что скорость сублимации равна ее установивше¬
муся значению для полубесконечной плиты, т. е.
Tw
qs-qR = (QV)W (cs)EdT = {qv)wLt,	(10.14)
’h
где qR — скорость излучения тепла с поверхности, а Ьт — тепловая ем¬
кость твердого тела при перепаде температуры от ее значения внутри г1\
О	7,0	2,0	2,0
в= (pv)w
Рис. 10.46. Влияние добав еыия массы иа скорость теплообмена (воздух—воздух).
до значения на поверхности тела Tw. Используя уравнения (10.12) и (10.14),
найдем
Ahnf г
где hC[{ — «эффективный» перепад энтальпии, определяемый выражением
Aheff = Ah — В, причем R = —(^— перепад энтальпии при излучении.
_	Qeue^H
Если величины KjWt (K.j )w и R известны или могут быть оценены, то ура в-
2 / \
пение (10.15) будет линейным уравнением, определяющим В' =-■ ——— .
Q(jU,jO Г1
Отношение Сн/Сп0 определенным образом зависит от параметра В,
характеризующего величину «обменной» массы. Этот хорошо известный
«блокинг-эффект», обусловленный добавлением массы, показан на
рис. 10.46 для критической точки в носовой части затупленного тела
при ламинарном режиме обтекания. Вычисления проведены Решотко
(Reshotko) и Кохеном (Cohen) [17] для специального случая нагнетания
воздуха в воздух при постоянном значении удельных теплоемкостей и при

350 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
Рг —- 1 и QjLl = (qjli)е. Однако
и пересечение прямой линии, представляемой уравнением (10.16) для дан-
[Рнс. 1U.5. Эффективная теплоемкость при
добавлении массы.
иого В', с кривой зависимости C# /Сц0
от В, показанное на рис. 10.46,
выражает нормализованную величи¬
ну скорости потери массы через
Qeue
число Стэнтона С#0 Для случая,
когда обмен массы равен нулю. [«Те¬
пловая блокада» или уменьшение С и,
вызванное наличием обменной массы,
можно интерпретировать как увели¬
чение эффективной теплоемкости,
т. е.
-^cff __ спо
Сц
Последнее отношение зависит только от параметра В', т. е. величины
—г—j—f—, как это видно из рис. 10.5.
^l-rr^T
§ 10.3. Лучистый теплообмен
10.3.1.	Физические механизмы процесса. Интерес к проблеме излуче¬
ния тепла от горячего газа в ударном слое объясняется тем фактом, что
скорость лучистой теплоотдачи «черного тела» при температуре 8000° К
равна 21 000 Бте/фут^-сек, т. е. в 20—100 раз превосходит скорость кон¬
вективной теплоотдачи в критической точке. Как оказалось, излучатель-
нал способность «воздуха», находящегося в равновесном состоянии при
такой температуре, составляет при Qe/Qo = 0,1 лишь долю процента,
однако этот факт вовсе не был очевидным сразу. Значительная ясность
в характере картины поведения «воздуха» и его излучателытых свойств
при температурах 3000° К < Т <С 12 000° К в ламинарном потоке вне¬
сена интенсивными теоретическими и экспериментальными исследованиями
Кика, Кайвеля и Уинтиика [18], Кайвеля и Бэйли [19], Мейеротта [20, 21],
а также Вурстера, Глика и Трииора [22], выполненными в последние годы .
У нижней границы указанного диапазона температур основная часть
спектра излучения воздуха обусловлена инфракрасным излучением враща¬
тельно-колебательных степеней свободы N0, однако излучательная спо¬
собность при < 1 остается очень низкой.
F Q о
При температуре Т = 6000° К большая часть излучения обусловлена
молекулярным возбуждением, однако уже начинают излучать и электрон¬
ные оболочки молекул, например уровни |3 и у в молекуле N0, уровни Шу¬
мана — Рунга в молекуле 02 в ультрафиолетовой части спектра, и уровни
первый положительный (близкое инфракрасное излучение) и второй поло¬
жительный (ультрафиолетовое излучение) в молекуле N2. Очень малую
долю здесь составляет излучение Крамера («плоский» спектр), обуслов¬
ленное ускорением (или рассеиванием) электронов атомами кислорода
и захватом электронов этими атомами (О + е -ьО” + hv).

§ 10.3]
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
351
При температуре 8000° К и-—«0,1 этот эффект составляет уже
Qo
около 15% всего излучения (см. табл. 10.1), однако полосы Шумана —
Таблица 10.1
Излучательная способность s на сантиметр слоя воздуха
в равновесном состоянии (излучение в одну сторону) [19]
-^ = 0,10
Qo
Источник (обозначения поясняются
в 10.3.1)
Т=6000°К
1
Т=8000° К
ч
1
ю
о
о
о
N2—2-й положит, уровень
2,32*10-5
6,87*10-4
5,685-10-4
No—1-й положит, уровень
1,25*10-4
7,27*10-4
1,156-10-4
°ff
1,85*10-5
6,66*10-5
5,62-10-4
Nff
3,10*10-6
7,60*10-5
•1.02-Ю-з
Ось
3,71*10-5
1,41*10-4
1,79-10"3
°2 (S-Я)
4,67*10-5
2,16*10-5
5,78-10-6
NO (Р и у)
2,36*10-4
2,59*10-4
3,34-10-4
N2+ (1 отриц.)
6,45*10-6
1,43*10-3
2,95-Ю-з
О" -4- е —> О * —f— /г v
—
2,34*10-5
5,16-Ю-з
N+-fe-*N*-h/iv
—
7,17*10-5
3,96-10-2
Общее значение е/см
5,73*10-4
3,77*10-3
5,28-10-2
Черное тело
7,35 кет/см2
23,2 }гвт/см*
118 квт/см-
Рунге вследствие диссоциации 02 пропадают. При еще более высоких тем¬
пературах (до 12 000° К) большая часть остальных молекулярных термов
также исчезает и основная доля излу¬
чения определяется процессами ре¬
комбинации типа N+ + е—> N* -j- hv,
где N* — возбужденный атом азота.
В табл. 10.1 приведены характери¬
стики лишь основных излучающих
газов. На рис. 10.6 показана излуча-
тельная способность на сантиметр
толщины оптически прозрачного слоя
при одностороннем излучении в зави¬
симости от плотности ударного слоя
для ряда температур.
10.3.2. Оценка скорости лучистой
теплоотдачи для «воздуха». Теоре¬
тический расчет излучательной спо¬
собности за пределами диапазона,
изученного экспериментально, требу¬
ет знания «вероятностей перехода»
(чисел /) для тех электронных перехо¬
дов, которые сопровождаются излу¬
чением. Некоторые из этих чисел / найдены непосредственно из измере¬
ний спектра излучения воздуха в ударной трубе при температурах, доходя¬
щих до 9000° К, другие определены путем измерения интегральной интен¬
сивности и вычитания из нее всех известных слагаемых. Хотя при этом
и имеется некоторая неточность результатов, однако согласие между
теорией и экспериментом в широком диапазоне температур оказывается
I 8г
I 6
I 4
^ Z
ч
\ш'я
I вв
1 4
£	2
I	в*
I	6
X	*
1	/
I
. . J
1
i
-А/
/
/И
А
/
у
■ — /
f
/
Г
А
К
/
/
4
А
/
А-/
V
-у
/
т
/ \
у\
V-
-А—i
у
/
/
/
/
/у
/
4
/
/
/
/
у
0,01
0,10
1,0
Р/Ро -ПЛ0/Т7//ОСШ возОу/а
ошослтелллл ллллулозтл ла урлллл моря
Рис. 10.6. Излучательная способность «воз¬
духа» в равновесном состоянии [19].

352 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
замечательным. Наиболее существенным фактором является сильная
зависимость излучательной способности от температуры. В общем случае
для молекулярного газа и при наличии свободно связанных электронных
п л
взаимодействий эта зависимость принимает вид в* ~ — Г-техр — —1,
где т = 3, 4 или 5. Если излучение вызывается ускорением электронов
(свободно-свободные взаимодействия), то излучательиая способность опре
Nff
п^пе1Т~'7^, где пр1 сильно зависит от темпе-
деляется выражением в.
ратуры.
Для условий, соответствующих спуску космического аппарата
(8000° К < Т < 12 000° К pi 10~4 < — С 10-2), можно аппроксимировать
Qo
полную излучательную способность (рис. 10.6) следующим выражением:
L [сж]
0,075
^еоУ’УУку»5
V Qo / V 8000 )
Из таблиц и диаграмм, прр!веденных в работах [23] и [25], следует,
QeO
Qo
17 И Тс 0(°К)
что в интересующем нас диапазоне значении
« 0,32 и0о фут/сек толщина ударного слоя в носовой части затупленного
тела будет равна 63 = L = R0 ( — ) . Так как grad = ваГ4, где о — по-
ч QeO У
стоянная Стефана — Больцмана, скорость лучистой теплоотдачи в крити¬
ческой точке выразится следующей зависимостью:
tfrad
Дп
1,33
Qoo
Qo
1,3
г0[фут]
(разумеется, эта формула пригодна
иоо[фут/сек~\ \
10000 у
Бте/фут7, сек
/т
700
I
ч*
I
£
I 700
70
40
30
20
70„
/Orai
i (Orad)fto=/0у
7?д фут/
/ /
/
/
/
Высота, 7000фу г/
/
/
' 750/
/
/
7
/
200/
/
/
/
У
/ /
/
250/
//
/
/
280/
20	25	30	35
Скарошь поле/7?а) 7000фут/се/г
Рис. 10.7. Расчетные значения равновесного
теплового потока излучения в воздухе для
критической точки, fi0=l фут.
где нужно использовать специальные
лишь в случае «оптически тонкого»
слоя и непригодна за точкой, где в =
= 1!). На рис. 10.7 даны графики за¬
висимости скорости лучистой теплоот¬
дачи от скорости полета на различ¬
ных высотах. На траекториях спуска
с круговой орбиты равновесная ско¬
рость лучистой теплоотдачи доволь¬
но мала, так как заметное тормо¬
жение начинается на достаточно
большой высоте (> 150 000 футов),
однако при входе в атмосферу с пара¬
болической орбиты траектория спуска
должна выбираться весьма осторож¬
но, особенно если охлаждение кон¬
струкции производится только путем
излучения. Вследствие сильной зави¬
симости излучательной способности
от температуры скорость лучистой
теплоотдачи с удалением от критиче¬
ской точки падает быстрее, чем ско¬
рость конвективной теплоотдачи.
Поэтому основное внимание следует
уделять головной «шапке» корпуса,
материалы для покрытия поверхности.

$ Ю.З]
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
353
В проведенных обсуждениях мы ограничивались рассмотрением про¬
цессов лучистой теплоотдачи применительно к воздуху в равновесном
со сто я НИИ.
Недавние эксперименты [26,	27] показали, что времена иони¬
зации и релаксации крайне быстро уменьшаются с ростом температуры.
Поэтому для спутника, движущегося по круговой орбите, эффекты релак¬
сации существенны только на высотах, превышающих 200 ООО футов
(60 км), где и сама скорость лучистой теплоотдачи от горячего газа к поверх¬
ности тела весьма мала (рис. 10.7). Однако в некоторых случаях, в част¬
ности при рекомбинации азота под действием излучения, превышение ве¬
личины {/rad над ее равновесным значением может произойти лишь, если
«избыточная» концентрация N* достаточно велика. Эта проблема заслу¬
живает дальнейшего изучения, особенно в районах низких плотностей
и температур порядка 10 000 — 12 000° К.
Так как скорость освобождения для Марса составляет 0,45 от ана¬
логичной: «земной» скорости, проблема лучистого теплообмена при дви¬
жении космического корабля по траектории спуска в марсианской атмо¬
сфере (95% N2 и 5/о С02) не столь сложна. Что касается Венеры, то ввиду
недостаточного знания точного состава ее атмосферы (10% К2 и 90% С02?)
любые прогнозы относительно порядка величины qrad при спуске в атмо¬
сфере Венеры будут носить спекулятивный характер. Однако в случае,
если реакции типа С+ + е С* будут протекать подобно реакциям кисло¬
рода и азота, скорость лучистой теплоотдачи в атмосфере Венеры не
должна существенно отличаться от скорости теплоотдачи в земной атмо¬
сфере.
Индексом w отмечены величины, относящиеся к поверхности тело; индексом
е — величины па внешней границе пограничного слоя; индекс оо относится к свойствам
среды перед ударным фронтом.
Индексы i п означают /-ю и /-ю химические компоненты; индекс 0 означает
величины в передней критической точке, а также* коэффициенты теплообмена при
отсутствии добавочных масс.
а - скорость звука;
А —максимальная площадь поперечного сечения;
са ср — удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном дав¬
лении соответственно на единицу массы; ср = 2 Кicpi\
Ci) — коэффициент аэродинамического сопротивления;
СГШСОК о БОЗНАЧЕIIИЙ
параметры, используемые при добавлении масс;
{),м,,Сц
г — излучательная способность;
h = S hiKt — статическая энтальпия
hi — энтальпия i-ii компоненты
2	}	на	единицу	массы;
=	+	d	полная энтальпия
на единицу массы;
к — коэффициент теплопроводности, а также геометрически]"! индекс;
К — доля массы химического элемента;
Ki — доля массы /-й химической компоненты;
23 Космическая техника

354 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
1_е— QD_\2cp — ЧИСЛо Льюиса — Семенова ( Le = ГГ 1 :
к	V	Sc	j
и
М = число Маха;
а
Ш — молекулярный вес;
п — концентрация частиц;
р — статическое давление;
р0 — давление в критической точке за фронтом ударной волны;
Cjjll
Pr —~j\ число Прандтля;
q — скорость передачи тепла с единицы площади;
Д() — тепло, освобождаемое в химической реакции (па единицу массы);
г0—радиус поперечного сечения тела вращения;
R0—радиус закругления пОсовой части;
m	m.	%
9?o — универсальная газовая постоянная; ™ =	\
s — расстояние вдоль поверхности тела, измеренное от передней критической
точки, а также твердый материал;
ц
SC =-т;	 —	число	Шмидта;
0^12
Т — абсолютная температура,
и, и — составляющие скорости, параллельные и перпендикулярные поверхности;
Vi —скалярная скорость диффузии г-й компоненты в направлении у\
W — полный вес;
у — координата, нормальная к поверхности;
6 — толщина пограничного слоя;
(н — абсолютная вязкость,
ц
v = ~" кинематическая вязкость, а также частота в выражении hv, где h — посто¬
янная Планка;
q — плотность газа;
а — постоянная Стефана — Больцмана = 5,672• 10—5 ,>рг/см2градхсск,
х — вязкие напряжения;
_ (L
а~ШТ ’
0 — угол между траекторией полета и местным горизонтом;
0/.; — угол входа в атмосферу.
ЛИТЕРАТУРА
1. F а у J. A. and Riddell F. R., Theory of Stagnation Point Pleat Transfer in Dis¬
sociated Air, J. Aeronaut. Sci. 25 (No. 2), 73—85, 121 (1958).
2. Lees L., Convective Heat Transfer with Mass Addition and Chemical Reactions,
Third Combustion and Propulsion Colloquium, Advisory Group for Aeronautical
Research and Development, NATO, Palermo, Italy, March 17—21, 1958.
3. Lee s L., Laminar Heat Transfer Over Blunt-Nosed Bodies at Hypersonic Flight
Speeds, Jet Propulsion 26 (No. 4), 259—269 (1956). [Русский перевод: Л и з Л.,
Ламинарный теплообмен на тупоносых телах при больших сверхзвуковых скоро¬
стях, сборник под ред. Орлова А.А. «Научные 'проблемы искусственных спут¬
ников», ИЛ, 1959, стр. 243—279.]
4. В г о m b е г g R., A Note of the Effects of Gas Dissociation on Boundary Layer
Heat Transfer, Reader’s Forum, J. Aeronaut. Sci. 23 (No. 10), 976—977 (1956).
5. Rabinowicz J., Aerodynamic Studies in the Shock Tube, Galcit Hypersonic
Research Project, Memorandum 38, June 10, 1957.
6. Rose P. PI. and Stark W. I., Stagnation Point Pleat — Transfer Measurements
in Dissociated Air, J. Aeronaut. Sci. 25 (No. 2), 86—97 (1958).
7. II art w i g F. W., Development and Application of a Technique for Steady — State
Aerodynamic Heat Transfer Measurements, Galcit Hypersonic Research Project,
Memorandum 37, June 1, 1957.
8. Reshotko E. and В e с k w i t h I. E., Compressible Laminar Boundary Layer
over a Yawed Infinite Cylinder with Heat Transfer and Arbitrary Prandtl Number,
NACA TN 3986, June 1957.

ЛИТЕРАТУРА
355
9.	Е ggers	A.	J., Jr., Performance of Long	— Range Ilypervelocity Vehicles, Jet
Propulsion	27	(No. 11), 1147 — 1151 (1957).
10.	G a z 1 e у	С.,	Deceleration and Heating of a	Body Entering a Planetary Atmosphere
from Space, The RAND Corporation, Paper P-995, February 18, 1957.
11. Dole S. H., The Atmosphere of Venus, The RAND Corporation, Paper P-978,
October 12, 1956.
12. Chapman D. R., An Approximate Analytical Method for Studying Entry into
Planetary Atmospheres, NACA TN 4276, May 1958.
12.	Allen II. J. and E g g e r s A. J., A Study of the Motion and Aerodynamic Hea¬
ting of Missiles Entering the Earth’s Atmosphere at 'High Hypersonic Speeds
NACA TN 4047, October 1957.
14.	Kemp N. 11. and Riddell	F. R., Heat Transfer to	Satellite Vechicles
Reentering the	Earth’s Atmosphere,	Jet Propulsion 27 (No. 2),	132—137, 147 (1957).
15. Denison M. R. and D о о 1 e у D. A., Combustion in the Laminar Boundary
Layer of Chemically Active Sublimators, Aeronutronics Systems, Inc., Publication
C-110, September 23, 1957.
16. Зельдович Я. Б., К теории горения первоначально несмешанных систем,
ЖТФ, том 19, № 10, 1944, стр. 1199 — 1210.
17. Reshotko Е. and С о h е и С. В., Heat Transfer at the Forward Stagnation
Point of Blunt	Bodies, NACA TN 3513, July 1955.
18.	К e с к J., К	i v e 1 B. and W e	n I i n к Т., Emissivity	of High Temperature
Air, Ileat Transfer and Fluid Mechanics Institute, Stanford, Calif., Stanford Uni¬
versity Press, стр. 279—294, 1957.
19. К i v e 1 B. and Bailey K., Tables of Radiation from High Temperature Air,
AVCO Research Laboratory, Research Report 21, December 1957.
20. Meyerott R. E., Absorption Coefficients of Air from 6000° K. to 18 000° K,
The RAND Corporation, Research Memorandum RM-1554, September 1955.
21. Meyerott R. E., Radiation Heat Transfer to Hypersonic Vehicles, Third Com¬
bustion and Propulsion Colloquium, Advisory Group for Aeronautical Research and
Development, NATO, Palermo, Italy, March 17—21, 1958.
22. W u r s t e r W. PI., G 1 i с к PI. S. and T r e a n о г С. E., Radiative Properties
of High Temperature Air, Cornell Aeronautical Laboratory, Report QM-997-A-1,
September 1957.
23. Gilmore F. R., Equilibrium Composition and Thermodynamic Properties of Air
to 24 000° K, The RAND Corporation, Research Memorandum RM-1543, August
24, 1955.
24. Feldman S., Hypersonic. Gas Dynamic Charts for Equilibrium Air, AVCO Rese¬
arch Laboratory, January 1957.
25. H о с h s t i m A. R., Gas Properties Behind Shocks at Hypersonic Velocities.
1.	Normal Shocks in Air, Convair, Physics Group Report ZPli (GP)-002, January
30, 1957.
26. Niblett B. and Blackman V. PL, An Approximate Measurement of the
Ionization Time Behind Shock Waves in Air, J. Fluid Mech. 4 (часть 2), 191 —194
(1958).
27. С a m а с М., С a m m J., К e с к J. and Petty C., Relaxation Phenomena
in Air Between 3000° K. and 8000° I\, AVCO Research Laboratory, Research Re¬
port 22, March 13, 1958.
28. L e a d о n В. M. and S с о t I C. J., Transpiration Cooling Experiments in a
Turbulent Boundary Layer at M — 3, J. Aeronaut. Sci. 23(No8), 798—799 (1956).
См. также: Mass Transfer Cooling at M—4,8, J. Aeronaut. Sci. 25 (No. 1),
67 — 68 (1958).
Д о и о л и и т о л ь и а я л и т е р а т у р а
1.	Bromberg	R.	and L i p k is R. P., Heat Transfer in	Boundary	Layers	with
Chemical Reactions Due lo Mass Addition, Jet Propulsion 28 (No. 10), 668—674
(1958).
2. С о h e n С. B., Bromberg R. and L i p k i s R. P., Boundary Layers with
Chemical Reactions Due to Mass Addition, Jet Propulsion 28 (No. 10), 459 — 558
(1958).
3. V a g 1 i o-L aurin R., Laminar Heat Transfer on Three-Dimensional Blunt-
Nosed Bodies in Hypersonic Flow, J. Am. Rocket Soc. 29 (No. 2),	123 — 129
(1958).
4.	Sutton	G.,	The Hydrodynamics and Heat Conduction of	a Melting	Surfase, J.
Aeronaut.	Sci.	25	(No. 1), 29 — 32, 36 (1958). См. также:	S с a 1 a	S. M.	and
23*

356 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВ. СКОРОСТЯХ ВХОДА [ГЛ. 10
Sutton G. М., The Two-Phase Laminar Boundary Layer — A Study of Surface
Melting, Aerophysics Laboratory, Missile and Ordnance Systems Department,
General Electric Company, Technical Memorandum 23, February 14, 1958.
5. Lees L., Similarity Parameters for Surface Melting of a Blunt — Nosed Body iu a
High Velocity Gas Stream, Space Technology Laboratories, Report GM-TM-184,
July 1957 (J. Am. Rocket Soc., 1959).
6. Roberts L., On the Melting of a Semi-Infinite Body of Ice Placed in a Hot Stream,
Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, June 1957,
ONR Contract Nonr-1841 (12). См. также: J. Fluid Mecli. 4 (Часть 5), 404—528
(1958).
7. Roberts L., Mass Transfer Near the Stagnation Point, NACA TN 4391, Septem¬
ber 1958.
8. R о b e г t s L., A Theoretical Study of Stagnation — Point Ablation, NACA TN
4392, 1958.
9. В e t h e H. A. and Adams М. C., A Theory for the Ablation of Glassy Materials,
AVGO Research Laboratory, Research Report 38, November 1958.

ГЛАВА 11
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
Альфред Эггерс (Alfred J. Eggers) *)
Процесс посадки космического корабля на планету начинается с умень¬
шения скорости его приближения к планете с помощью каких-либо мето¬
дов торможения и заканчивается при контакте корабля с поверхностью
планеты. Здесь будут рассмотрены метод реактивного торможения и метод
аэродинамического торможения, причем в первую очередь с точки зрения
общих задач движения и аэродинамического нагрева, а затем с точки
зрения особенностей конструкции корабля. В основном внимание будет
сосредоточено на возможности осуществления безударной посадки на
Землю, однако методы анализа будут развиты в форме, достаточно общей
для использования при исследовании посадки и на другие планеты.
§ 11.1. Реактивное торможение
При подходе химической ракеты к планете требуемое для торможения
количество топлива, т. е. отношение масс ракеты, можно оценить по сле¬
дующей простой формуле:
Vi-Vf
—ve	(11.1)
rtlf	V
где m обозначает массу ракеты, a F —
ее скорость; индексы i и / обозначают
соответственно начало и конец процесса
торможения. Все скорости измеряются
по отношению к данной планете, исклю¬
чая скорость истечения продуктов сго¬
рания Ve, которая измеряется относи¬
тельно корпуса ракеты. Скорости Ve,
равной 10 ООО фут/сек, соответствует
вблизи поверхности Земли удельный
импульс около 300 сек. Подставляя эту
величину в формулу (11.1), можно построить график отношения масс,
показанный иа рис. 11.1. Ясно, что для погашения высоких перепадов
скоростей требуются очень большие отношения масс и поэтому использо¬
вание химических ракетных двигателей в качестве основного органа для
этой цели весьма невыгодно. Этот вывод остается справедливым как в
*) Автор хочет особо отмстить ценную помощь Томаса Уоига (Thomas J. Wong)
и Роберта Слая (Robert Е. Slyc) в выполнении расчетов, приведенных в настоящей
главе.
\i~Vf, ШЯ фу/77/ce/f
Рис. 11.1. Отношение масс, необходимое
дли реактивного торможения.

358
ВОСМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
случае начальных скоростей ракеты относительно Земли, равных скорости
освобождения (36 ООО фут/сек), так и в случае начальных спутниковых ско¬
ростей (26 ООО фут!сек), а также в большей или меньшей степени относится
и к другим планетам солнечной системы. Поэтому приходится обратиться
к изучению возможностей аэродинамического торможения в атмосфере.
Тормозящее действие сопротивления атмосферы при спуске косми¬
ческого аппарата мы будем рассматривать главным образом с целыо выяс¬
нения основных факторов, определяющих замедление из-за сил аэроди¬
намического давления и нагревание, вызываемое силами трения *). В ос¬
новном мы будем здесь исследовать методы минимизации нагрева корпуса,
а также, имея в виду корабли с человеком иа борту, будем уделять боль¬
шое внимание минимизации перегрузок в процессе спуска в атмосфере.
11.2.1.	Общие уравнения движения и нагрева. При последующем
изучении процесса торможения в атмосфере будем полагать, что планета
и ее атмосфера неподвижны и что движение корабля на основной части
траектории спуска является плоским. При изучении этого движения будем
пользоваться обозначениями, приведенными иа рис. 11.2. На корабль,
кроме сил тяжести и инерции, действуют сила аэродинамического сопро¬
тивления и подъемная сила. Если угол 0 отрицателен, как на рис. 11.2,
то уравнения движения запишутся в следующем виде:
Первое уравнение выражает условие баланса сил и ускорений, нор¬
мальных к траектории, второе — сил, параллельных касательной к траек¬
тории полета.^Уравнения конвективного нагрева корпуса корабля при
прохождении атмосферы могут быть представлены в виде
§ 11.2. Аэродинамическое торможение
-/	•	демш
Рис. 11.2. Основные обозначения.
(11.2)
(11.3)
(11.4)
(11.5)
*) Разумеется, силы трения также вызывают замедление, однако для тел затуп¬
ленной формы, которые главным образом нас и интересуют, этой составляющей
силы торможения можно пренебречь.

§ 11.21
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОШЕНИЕ
359
Первое из этих уравнений устанавливает зависимость средней скоро¬
сти теплопередачи от плотности газа Q, скорости аппарата V и эквивалент¬
ного коэффициента поверхностного трения С'р (см. [1] и [2]), который про¬
порционален числу Стэнтона. Второе уравнение выражает зависимость
скорости теплопередачи в зоне
торможения потока от плотности
газа, скорости движения и радиу¬
са кривизны поверхностна в кри¬
тической носовой точке корпуса.
Константы, входящие в эти
уравнения, зависят от формы
корпуса и состава атмосферы.
Помимо конвективной теплопере¬
дачи, на снаряд будет воздейст¬
вовать и тепловое излучение
слоя нагретого газа, находяще¬
гося между фронтом ударной вол¬
ны и поверхностью корпуса. Од¬
нако мы здесь не будем сколько-
нибудь серьезно углубляться в
изучение этого вида теплопере¬
дачи, так как в интересующих
нас траекториях он играет срав¬
нительно небольшую роль.
11.2.2.	Траектории столкно¬
вения. Эти траектории обладают
тем свойством, что при движении
по ним космический корабль в
случае отсутствия у планеты
атмосферы неминуемо столкнется с поверхностью планеты. Это значит,
что при наличии атмосферы угол наклона такой траектории к местному
горизонту, т. е. угол входа, будет весьма заметным или даже большим.
В случае полета баллистического снаряда в атмосфере характер движе¬
ния обусловлен в основном силой аэродинамического сопротивления,
а траектория на большом протяжении приблизительно прямолинейна.
В этом случае применимы результаты исследования [1], в котором не
учтено действие силы тяжести: они приводят к следующей формуле для
скорости снаряда:
1- = exp [	ехр	<	-	ру> ],	(11.6)
а для ускорения
Л ^	(-М »*Р	(11.7)
■Здесь индекс Е обозначает условия при входе снаряда в атмосферу, при¬
чем предполагается, что плотность атмосферы изменяется с высотой у
по экспоненциальному закону (рис. 11.3):
-^- = ае-Ру,	(Ц.8)
что подразумевает изотермичность атмосферы. Если размеры аппарата
таковы, что максимальное замедление достигается в процессе полета
Зысата, W3cpym
Рис. 11.3. Изменение плотности атмосферы
с высотой.

360
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. II
в атмосфере, то величина этого замедления есть [1]
/ 1 clV \	_	?>V'e	sin	0/,
\g dt /max""	2ge
и оно будет достигнуто на высоте
при скорости, равной
у = 1 In f__£»0s*a_
J Р 1 V pm sin 0;.:
V = VE—j=r ял 0,61 VF.
У e
(11.9)
(11.10)
(11.11)
Количество тепла, воспринимаемое корпусом снаряда при таком движении,
дается выражением
Q-
1	„	/	1 CLS
1 -V3 ( ±_1_
Е ' 2 СиЛ
2
mV‘
(11.12)
которое применимо ко всем аппаратам, теряющим основную часть своей
кинетической энергии во время прохождения атмосферы. Максимальная
скорость конвективного нагрева в критической точке (точке торможения
потока) выражается формулой
/ dll s
V cl t
Ей соответствует высота
= С,
V-
- р/п :
8/-: ук
ЗеоСиА
и скорость движения
y = jln
V = VKe
SCdQqAcl
— P/72 siil 0д
0,857^.
(11.13)
(11.14)
(11.15)
Остальные уравнения, определяющие характер движения и нагрева балли¬
стического снаряда, входящего в атмосферу по траектории столкновения,
приведены в работе [1]; для наших
целей /достаточно иметь написанные
соотношения.
На рис. 11.4 показаны значения
максимальных замедлений при прохож¬
дении земной атмосферы, вычисленные
согласно уравнению (11.9) для входной
скорости Ve = 36 ООО фут/сек. Интерес¬
но отметить, что эти замедления прак¬
тически не зависят от массы и харак¬
теристик аэродинамического сопротив¬
ления баллистического снаряда.
Последние определяют высоту точки
максимального замедления, а также
входят в выражение зависимости замед¬
ления от высоты в процессе прохож¬
дения атмосферы. Из рис. 11.4 видно,
что за исключением очень малых углов
входа замедления оказываются столь велики, что они допустимы лишь
для очень прочных и хорошо укрепленных в снаряде грузов. Использова¬
ние подъемной силы при спуске снаряда в атмосфере приводит к «от¬
Рпс. 11.4. Кривая максимальных замед¬
лений.

§ 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
361
скакиванию» его от плотной атмосферы, что позволило бы уменьшить
замедления. Тем не менее, вряд ли этим путем можно снизить их до
уровня, приемлемого для человека при больших углах входа снаряда в
атмосферу [2].
С помощью уравнения (11.12) был”вычислен полный нагрев конусооб¬
разного корпуса баллистического снаряда, входящего в атмосферу, при
различных значениях угла конусности и при наличии турбулентного
пограничного слоя [1]. Результаты этих расчетов представлены на
рис. 11.5, откуда видно, что при больших значениях угла конусности
(чему соответствует повышенное аэродинамическое сопротивление) кине¬
тический нагрев резко уменьшается. Впервые этот важный эффект был
обнаружен Алленом. Физически он объясняется тем, что обладающий
высоким сопротивлением тупоносый профиль отдает в форме тепла
большую часть кинетической энергии атмосфере и лишь меньшая часть
этой энергии идет на нагревание самого корпуса, так как отношение силы
сопротивления от трения к полному аэродинамическому сопротивлению
в этом случае сравнительно невелико [см. уравнение (11.12)]. Для рассеива¬
ния больших количеств тепла при больших углах входа в атмосферу необ¬
ходимы поэтому весьма затупленные формы носового конуса. В то же время,
как можно показать с помощью уравнения (11.13), скорости нагрева в кри¬
тической точке, вычисленные согласно уравнению (11.13) при использо¬
вании величины С8 = 1,7-10“5 слэг1^ /фут, взятой из работы [3], очень
велики. Тут же дан график максимальной равновесной температуры по¬
верхности, построенный с помощью формулы:
где v — постоянная Стефана — Больцмана, а излучательная способность
поверхности е принималась равной 0,9. Из рассмотрения рис. 11.6 можно
заключить, что за исключением очень малых углов входа скорость конвек¬
тивного нагрева корпуса баллистического снаряда, как правило, выше
скорости, с которой это тепло может поглощаться или излучаться обыч¬
ными материалами. Поэтому Гэзли [4] предложил использовать метод абля¬
ции для тепловой защиты конструкции баллистического снаряда при входе
в атмосферу по траекториям столкновения, характеризующимся боль¬
шими углами входа. Такие снаряды могли бы найти применение для
2,5 *706
Q,OT6
5	70	20	SO	40	50	00
Угол ffo//yca при вер/лохе, граО
Рис. 11.5. Полный конвективный нагрев.
(11.10)

362
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
■спуска оборудования с орбиты. Однако, как уже становится ясным из
■обсуждения рассматриваемых траекторий, более общими по назначению,
Рис. 11.6. Максимальные значения теплового потока и равновесной
температуры поверхности.
я значит, и более важными для нас, являются траектории, характери¬
зуемые малыми углами входа, которые мы будем называть в дальнейшем
траекториями касания. Здесь
Внгшяя
граница
проблема нагрева может ока¬
заться гораздо более серьезной,
чем при движении по траекто¬
риям столкновения, так как
из-за наличия силы тяжести
скорость полета снаряда воз¬
растает по мере его снижения
в плотные слои атмосферы, где
весьма большую роль может
играть лучистая теплопередача
от слоя горячего воздуха, окру¬
жающего снаряд, к его поверх¬
ности [5, 6]. При спуске по
траекториям касания заметные
замедления возникают на доста¬
точно большой высоте, где плот¬
ность воздуха мала и нагрев
корпуса путем лучистой тепло¬
передачи играет сравнительно
малую роль [5].
11.2.3.	Траектории касания.
Траектории такого рода при
достаточно точном управлении
могут быть использованы для
преобразования траектории
сближения космического аппа¬
рата с планетой в спутнико¬
вую орбиту, причем космический аппарат при этом ие будет подвер¬
гаться слишком большим замедлениям или нагреву. Схематически процесс
Рис. 11.7. Преобразование траектории сближения
в низкую спутниковую орбиту.

-§ 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОШЕНИЕ
363
такого преобразования показан на рис. 11.7. Как видим, после каждого
касания атмосферы большая ось спутниковой орбиты уменьшается, а
сама орбита прецессирует в направлении по часовой стрелке. Как мы уви¬
дим далее, достаточно всего нескольких таких касаний, чтобы преобра¬
зовать траекторию сближения в низкую спутниковую орбиту, с которой
уже возможен дальнейший спуск аппарата на поверхность.
Чтобы изучить характер движения и проблему нагрева при выпол¬
нении указанного маневра, полезно несколько упростить уравне¬
ния (11.2) и (11.3). Для этого обратимся вновь к уравнению (11.8), уста¬
навливающему экспоненциальную зависимость плотности атмосферы от
высоты, и будем также полагать, что иа протяжении того небольшого
слоя атмосферы, где в основном и происходят замедление и нагрев косми¬
ческого корабля при его спуске, ускорение силы тяжести можно считать
постоянным, не зависящим от высоты. Кроме того, будем определять
траекторию касания как подчиняющуюся ограничению |0| < 1, а также
\mgQ\<^D. Последнее условие равносильно предположению о том, что
на рассматриваемом участке полета сила аэродинамического сопротивле¬
ния значительно превосходит компоненту силы тяжести в направлении
движения. Наконец, если еще предположить, что в процессе прохождения
атмосферы корабль движется при постоянной величине коэффициента
подъемной силы СЕ и коэффициента аэродинамического сопротивления СL),
то уравнения (11.2) и (11.3) примут вид:
^ Q т/9 I	rnV2 Т79 / dti 1
CL t У-Л -mg=- — = туг
г, Q Т79 t	clV	m	dV-
1,// •	-	2	,/.s	•
Комбинируя их, получим следующее простое соотношение:
л 1
dZ2 1 /
dV ' 7 (I -■ 'л ./• it.	(11.17)
где
/ = e~$v,
V
Z = In
V .
i = A ( m
го 4 Ci)Qo^a
/¥©■
(11.18)
Переменные, входящие в уравнение (11.17), тесно связаны с перемен¬
ными величинами, используемыми при анализе движения баллистиче¬
ских [1], а также планирующих и рикошетирующих снарядов [2]. Полу¬
ченное уравнение характерно своей нелинейностью, однако его можно
привести к нормальному виду, введя новую независимую переменную
/. Тем самым решение для совокупности величин I и J может быть
обобщено на другие значения параметра I при прежних начальных зна-
1_	лП£Г/Ь'
//’ VI
например, и в случае полета по траектории столкновения, форма, раз¬
меры и масса баллистического снаряда (/ = 0) определяют высоту, на
чеипях ^г-,	•	с~	=	у	^r0QE}	Z	и	]/|3г0(pj • Таким образом, как,

364
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. II
которой имеет место максимальное замедление, но не величину этого замед¬
ления.
Рассмотрим более подробно прохождение баллистического снаряда
в атмосфере по траектории касания. Запишем выражение для семейства
решений уравнения (11.17):
/ = 2 ai(Z-Z0)\	(11.19)
г=0
где индекс 0 означает условия при 0 = 0 *). Полагая, что ZE не стремит¬
ся к нулю, достаточно в разложении (11.19) оставить лишь первые члены.
В результате получим:
/ = к0	[	1 — -тщ(е2°—1) (Z — Zo)2 — -щ (Z — Z0)3 ] , (11.20)
где
fc0 = 5ii=A° [(ez„_	.	(-11.21)
В том случае, когда первое касание достаточно слабо, так что скорость
полета становится лишь немного меньше скорости освобождения, куби¬
ческим членом в разложении (11.20) можно пренебрегать. Общее выраже¬
ние для замедления снаряда
__±dV_ = CnQoaArp , z	j	22),
g cit	2m	'	''
в случае касания атмосферы принимает вид
-7 W -- ¥	(1' A (eZ• - *>(Z - г"»’ - Щ <2 - ЗД*] *
(11.23)
откуда находим, что максимальное замедление имеет место, когда Z удов¬
летворяет уравнению
(Z - Z0)3 + 3ezo (Z - Z0)2 -j- 6 (eZo - 1) (Z - Z0) - Щ = 0,	(11.24)
так что в случае слабого касания имеем просто
(11.25)
На рис. 11.8 показаны графики максимальных замедлений, построен¬
ные с помощью полученных уравнений /для ZE = In 2 и 0 < Z0 < In 2,
что соответствует значениям скорости V0 в диапазоне от круговой орбитал ь¬
ной скорости иа близкой спутниковой орбите (равной ]/ gr0) до скорости
освобождения (равной У 2gr0). Как видно из этих графиков, при слабом
касании максимальные замедления могут поддерживаться на уровне всего
нескольких g, тогда как скорость полета снижается на несколько тысяч
фут/сек и более. Два или три таких касания при достаточно точном управ¬
лении (рис. 11.9) позволили бы без появления чрезмерных перегрузок пре¬
образовать траекторию подхода космического летательного аппарата
в близкую спутниковую орбиту. При глубоком касании (Z0 близко к 0)
*) Если на траектории существует несколько точек, где 0 = 0, то индекс О
означает условия в первой из них.

§ 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
365
максимальные замедления возрастают и баллистический снаряд теряет
столько энергии, что уже оказывается не в состоянии выйти за пределы
атмосферы. Численные расчеты, вы¬
полненные с помощью уравнений
(11.17) и (11.22), показывают, что в
этом случае замедления снаряда в
конечной фазе спуска значительно
превосходят замедления в начальной
фазе входа в атмосферу (рис. 11.8).
Интересно выяснить степень на¬
грева корпуса снаряда при баллисти¬
ческом касании. Как мы увидим
далее, при движении снаряда сред¬
них размеров иа очень больших вы¬
сотах, где в процессе касательного
входа в атмосферу главным образом
п имеет место наибольший нагрев
корпуса, числа Рейнольдса оказы¬
ваются меньше миллиона. В соот¬
ветствии с этим можно полагать, что
пограничный слой на поверхности
корпуса космического снаряда будет
в основном ламинарным. Тогда из уравнений для скоростей теплопере¬
дачи (11.4) и (11.5) можно получить следующее выражение:
= (11.26)
где константа С зависит от формы корпуса и свойств газовой среды, а А" —
некоторый характерный размер. В обозначениях проведенного анализа
движения это уравнение принимает
вид
(11.27)
В критической точке затуплен¬
ной носовой части снаряда А^ — а
и С = Cs, которые определены со¬
гласно работе [3]. Значения вели¬
чин X и С на поверхности корпуса
за носовой частью зависят от формы
корпуса, которую будем полагать
конусообразной. Это предполо¬
жение упрощает расчеты, не ума¬
ляя в то же время роли основных
переменных задачи. Кроме того, мы
будем рассматривать главным обра¬
зом формы умеренной конусности,
для которых сопротивление от сил
давления превосходит сопротивление
от сил вязкости. Для таких не слиш¬
ком затупленных носовых конусов ньютоновская теория дает следующее
приближенное выражение для коэффициента сопротивления:
С1У = 2 sin2 б,	(11.28)
Гиг. 11.9. Зависимость у0 (Z0).
Рис. 11.8. Максимальные замедления в про¬
цессе касательного входа в атмосферу.

366
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. П.
где 6 — половина угла при вершине носового конуса. Предполагая
далее идеальное обтекание корпуса за пределами носовой части, полу¬
чаем (см. приложение 11 А)
Са— 1,03-10~5 sin S cos1 2 6 слэг1^1фупг,	(11.29)
что вместе с условием X = гь позволяет оценить с помощью формулы (11.26)
среднюю скорость теплопередачи. Более точную оценку этой скорости
можно произвести с помощью метода Лиза [7]; приведенное здесь упро¬
щенное выражение вполне достаточно для нашего изучения. В случае
полета по траектории со слабым касанием из уравнений (11.21) и (11.26)
для величины максимальной скорости нагрева имеем
dll
~аГ
где
. —-Ki (ZE - Z0)Va
Ki = C(grtfb
1—fi
\ 1/2
С{)АХ
и для плотности теплового потока:
Н = Ii2 (ZE — Zo)1'2
где
/\ о - - JiCgr0
Ч 4
(1 1.30)
1-
z0 J
X1/,!	/"
!/2
(11.31>
ГЛ \ '" ( -
р у \CdAXJ
С помощью этих уравнений были найдены значения скоростей нагрева
в критической точке и среднего конвективного нагрева, представленные
и а рис. 11.10 и 11.11. Из этих данных очевидно, что в случае касательного
входа нагрев корпуса баллистичес¬
кого снаряда оказывается значитель¬
но менее опасным, чем в случае дви¬
жения снаряда по траектории столк¬
новения (см. рис. 11.6). Например,
скорость нагрева может быть даже
настолько низкой, что все тепло, по¬
ступающее к поверхности корпуса в
процессе конвективного нагрева, мо¬
жет быть отдано путем излучения с
поверхности при температуре ниже
4000° R. Это позволяет придавать
снаряду форму, обладающую высоким
а э р о д и н а миче с к и м с о и р о т и в л синем.
Можно воспользоваться также и
другим методом, когда корпус по¬
глощает тепло при каждом касании
(рис. 11.11),чтобы затем излучить его
во время полета за пределами атмос¬
феры перед последующим касанием*).
Таким образом, как в смысле характера движения, так и в смысле
нагрева корпуса маневр баллистического касания атмосферы представляет
*) Интересно отметить, что ни полный нагрев, пн максимальная скорость,
нагрева при глубоком касании (когда-скорость па минимальной высоте равна мест¬
ной спутниковой скорости) не превосходят значительно эти же величины при сла¬
бом касании (когда скорость па минимальной высоте составляет 1,25 от спутнико¬
вой скорости).
г к
11.10. Максимальные значения тепло¬
вого потока при слабом касании.

§ 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
367
собой удобный способ прекращения орбиты сближения в ник кую спут¬
никовую орбиту. Прежде чем обратиться к задаче спуска со спутниковой
орбиты, уместно обсудить вкратце возможность использования подъемной
силы в процессе касательного прохождения снаряда в атмосфере. Если
подъемная сила положительна, то снаряд будет стремиться выйти из атмо¬
сферы под большим углом к горизонту, чем в случае отсутствия подъем¬
ной силы. Угол входа в атмосферу при последующем касании будет
поэтому также больше, чем в слу¬
чае чисто баллистического движения,
в результате чего замедление снаря¬
да и его нагрев в этом последующем
прохождении могут быть более высо¬
кими. С другой стороны, введение от¬
рицательной подъемной силы будет
приводить к удлинению пути снаряда
в атмосфере по сравнению с чисто
баллистическим движением. В ре¬
зультате при правильном выборе
условий входа в атмосферу количест¬
во витков с прохождением атмосферы
на отрицательных углах атаки может
быть значительно уменьшено без
существенного возрастания скорости
нагрева или замедлений снаряда.
Возможности, открываемые исполь¬
зованием отрицательной подъемной
силы, особенно заманчивы в связи с проектированием снарядов, способ¬
ных выполнять сложную операцию посадки (приземления). В настоя¬
щей главе мы обсудим их более подробно, когда речь зайдет об особен¬
ностях конструкции снарядов.
Укажем здесь два различных метода анализа касательного прохожде¬
ния атмосферы при наличии подъемной силы. Прежде всего заметим,
что уравнения (11.20) и (11.21) могут быть обобщены путем включения
в них подъемной силы:
Обобщая концепцию Зенгера о равновесном планировании [8] при
скоростях полета, превышающих спутниковые скорости, можно также
изучить и использование отрицательной подъемной силы при глубоком
касании атмосферы. В этом случае режим равновесного планирования
характеризуется тем, что подъемная сила в сумме с силой веса уравнове¬
шивает центробежную силу, действующую на снаряд. Уравнение движе¬
ния, следующее из (11.17) при условии, что не стремится к нулю,
будет
f = ~(e~z-1).	(11.33)
Pm*. 11.11. Полный нагрев при глаоом ка¬
сании.

368
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
Замедление в процессе такого планирования определяется формулой
Если равновесное планирование начинается при скорости, равной
скорости освобождения, то максимальная скорость нагрева достигается
при Z ----- In 2 и равна
причем в конце планирования скорость полета становится равна спут¬
никовой. На этом мы закончим обсуждение вопроса о преобразовании
орбиты сближения космического летательного аппарата в низкую спутнико¬
вую орбиту с использованием отрицательной подъемной силы. Займемся
теперь проблем oil движения и нагрева аппарата при его спуске со спут¬
никовой орбиты.
Для изучения характера движения снова воспользуемся уравне¬
нием (11.17). Если снаряд совершает баллистический спуск, то в случае,
когда наклон траектории в начале спуска стремится к нулю, можно вос¬
пользоваться численным решением этого уравнения. Если же 0# не стре¬
мится к пулю, то семейство решений уравнения (11.17) можно предста¬
вить в виде
Для большинства наших задач достаточно удержать лишь первые два
члена этого разложения, в результате чего имеем
(11.34)
Угловое расстояние ф ~ 6 , пройденное при этом, будет
гп
'о
(11.35)
а скорость нагрева дается уравнением
(11.36)
(11.37)
а тепловой поток на единицу площади будет
(11.38)
П
f-У atz\
(11.39)
(11.40)
В этом случае замедление аппарата
1 (IV  C])Q0Ar0а
fez
(11.41)
ц d I	2т
2т
будет выражаться формулой
(I 1.42)

S 11-2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
369
Отсюда получаем
(-JW ) max = - Щ ( 1 + /* + w) еХР [ Т ~ 1 - Vх + Т2- | (1 1 •«)
при
Z = L{\-k- ут+k*).
Это выражение пригодно для значений к порядка 1 и менее *). Для
значений, очень малых по сравнению с 1, имеем
1<»■<*>
что, если учесть 0# « sin 0^, совпадает с результатом, приведенным
в работе [1]. Расстояние, пройденное при спуске, можно найти с помощью
уравнения (11.41), заметив, что
_J_ zdZ
g clt	2	'	dq>	'
Таким образом,
и далее получаем
d|- = pro0£z(l-|!z)	(11.45)
Ф = — й71Г-1п
(TI.46)
В предельном случае, когда к С 1, получаем результат, подтверждаю¬
щий принятое в работе [1] допущение о линейном характере траектории,
а именно:
Ф= — 07	У)-	(11.47)
С помощью полученных уравнений мы будем изучать баллистический
спуск в атмосфере, а пока обратимся к вопросу о движении при плани¬
рующем спуске **).
Ограничимся рассмотрением полета в режиме равновесного планиро¬
вания, удовлетворяющем условию Зенгера [8] о точном балансе подъемной
и центробежной сил с силой веса летательного аппарата. Если с начала
спуска с орбиты это условие выполняется, то движение снаряда будет
описываться уравнениями (11.33)— (11.35). Максимальное замедление
наступает при максимуме силы сопротивления, а значит, и подъемной
силы, что имеет место на малых скоростях полета и малой высоте. Таким
образом, когда Z становится большим по модулю и отрицательным по зна¬
ку, из уравнения (11.34) находим
Г—1-dJ) *	(11.48)
V g dt У max Ь
Если бы мы интересовались в таком расчете полно]! величиной аэродинами¬
ческой силы, то для вызываемого ею замедления мы бы получили
*) Соответствующие значения—0/.; при входе в земную атмосферу имеют вели¬
чину порядка 2° и более.
**) Уравнение (11.40) можно, как и уравнение (11.20), обобщить, включив
в него подъемную силу. Тогда полученное соотношение можно применять
11 при 0£ ф 0.
'>Л
Космическая техника

370
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
откуда
Сп,ах= |Л+ (-£)*,	(11.50)
куда включена и величина 1 g, соответствующая установившемуся горизон¬
тальному полету с малой скоростью при высоком отношении L/D.
Обращаясь теперь к задаче нагрева в процессе спуска баллистиче¬
ского снаряда, из уравнений (11.27) и (11.40) имеем
§=jr,[_z(i-* z)]‘\„l2,
где	(11.51)
Соответственно этому максимальная скорость нагрева будет
(ИМ)
и она достигается, когда
Z = ¥[4--3—/‘+Ш1]-	(“-53)
Равновесная температура поверхности корпуса, охлаждаемого излу¬
чением, может быть найдена с помощью закона Больцмана из уравнения
(11.50)	или (11.52); таким образом, имеем
(«.54,
Чтобы оценить количество тепла, переданное корпусу снаряда в про¬
цессе спуска, удобно положить ^	^• Тогда из уравнений
(11.27), (11.40) и (11.45) получим
eZdZ	]
(_Z)V2
(11.55)
dH — —К 4			т— ЛI,
{-Z)4*(i-±ZX
где
is   Cgro /	7п'	\1/2
4~ (-т^Лс^лх) •
Замечая, что основная часть конвективного нагрева имеет место при изме¬
нении Z от 0 до примерно —1, находим
H =	—	(11.56)
В случае равновесного планирующего спуска выражение для скорости
нагрева может быть записано в форме [см. уравнение (11.36)]
dIL = Kb{\-eZyhez,	(11.57)
(It
где
Kb = Cgr0 |/ ^
СЬАХ’

S 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
371
а максимальная скорость нагрева будет
=—L-Kb,	(11.58)
V dt Ушах з /3
причем
Z=hij.	(11.59)
Если корпус снаряда охлаждается излучением, то равновесная температура
поверхности опять определится уравнением (11.54), где нужно использовать
clH
значение — , найденное по формулам (11.57) и (11.58). Общее количество
тепла, воспринятое корпусом планирующего снаряда в процессе прохож¬
дения атмосферы, вычисляется методом, полностью аналогичным методу
такого расчета в случае спуска баллистических снарядов [см. уравнения
(11.55)	и (11.56)]. Таким образом, находим
Н = К6 (1 [ A- arcsin (2ez-l)]	,	(11.60)
откуда при Z —>• — со получаем
Н = \кь,	(11.61)
где
т - С , —L , / mg
0 “ "уЧ ' gro Jj V С s.. I.V •
Для	расчета	по	этим	формулам движения	и	нагрева	баллистического
снаряда	при	его	спуске	в	атмосфере будем	считать,	что	он имеет форму
прямого кругового конуса, коэффициент аэродинамического сопротивле¬
ния которого выражается уравнением (11.28). Если теперь этот конус
рассечь вдоль оси и откинуть
верхнюю половину, то получив¬
шийся корпус планирующего
снаряда будет иметь прежний
к о э ф фи цие ит а э р о д и и а миче с к о -
го сопротивления, а коэффи¬
циент подъемной силы его вы¬
разится как
Сь = ~ sin б cos б, (11.62)
т. е. аэродинамическое качество
снаряда будет
4- = — А-	(И-ИЗ)
D я tg б	'
Графически эти уравнения
представлены на рис. 11.12,
и	мы	будем ссылаться	на не¬
го	в	дальнейшем при	изуче¬
нии общей задачи движения.
При общем исследовании
нагревом основания и верхней плоской поверхности полуконусного
корпуса планирующего снаряда. Скорости нагрева и суммарный поток
тепла на единицу площади находятся из уравнений, приведенных выше.
24*
Рттс. 11.12. Подъемная сила и сопротивление
полуконусов.
проблемы нагрева будем пренебрегать

372
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
Чтобы найти полное количество тепла, переданное корпусу баллистиче¬
ского и планирующего снарядов, необходимо знать площадь фронтальной
поверхности S. Для прямого кругового конуса эта площадь связана
с площадью основания и углом 6 формулой
sin <5 *
!олное количество тепла О выразится как
Q = H-S,
(11.64)
[11.65)
25
20
h
5
О
-2
-4	~6
вЕ, граО
-8
-70
где Н для баллистического снаряда дается уравнением (11.56), а для
планирующего снаряда — уравнением (11.61). При вычислении темпера¬
туры равновесного излучения величина излучательной способности мате-
^ риала поверхности принималась рав¬
ной е — 1,0, а константа Больцмана
v = 0,373-10"9 фут • фунт! (фут2 • сек • °R)4.
На рис. 11.13 показана расчетная
зависимость максимальных замедлений
от входного угла при баллистическом
спуске в атмосфере. Видно, что вблизи
нулевых значений этого угла замедле¬
ние равно примерно 8g. Таким образом,
при входных углах, не превышающих
примерно 1°, величина максимального
замедления лишь слабо зависит от этого
угла; однако при больших входных уг¬
лах замедления быстро возрастают.
Займемся вопросом о конвективном нагреве баллистического снаряда
в процессе его спуска в атмосфере. При анализе такого нагрева будем
предполагать ламинарное обтекание корпуса, что и имеет место в дей¬
ствительности. Чтобы показать это, заметим, что в условиях максималь¬
ной скорости нагрева [см. уравнения (11.40) и (11.53)] число Рейнольдса
на единицу длины определяется фор¬
мулой
Re _ Р VVо_
i	д
Рис. 11.13. Влияние входного угла па
максимальное замедление баллистиче¬
ского снаряда.
X
X
i-±z
PZ/2
где д — вязкость атмосферы.
2 = ННX/
сш ■
вс, гра8
Рис. 11.14. Влияние угла входа балли¬
стического снаряда на число Рейнольдса при
максимальном нагреве.
Отсюда получаем результаты, пред¬
ставленные на рис. 11.14.
Таким образом, если параметр
т/СвА имеет величину порядка 1
или меньше, а угол 0 лгал, что и представляет для нас основной интерес,
Re	dH	2dH\	5
то при -т- =	имеет величину порядка 10° пли менее. Зто
L	dt	\ dt J шах

J i.2]
АЭ P ОД11H A]\L 114 ECK ОE TОPMОЖ EH11E
373
значит, чти на снаряде не слишком оолыыих размеров получить ламинар¬
ное обтекание можно без особых трудностей *).
Иа рис. 11.15 представлены расчетные кривые, характеризующие
конвективный нагрев при ламинарном обтекании конических баллисти¬
ческих снарядов различного веса с площадью основания 25 фут2, входя¬
щих в атмосферу под пренебрежимо малыми углами к горизонту. При
расчете этих кривых начальное значение f УI принималось равным нулю,
оЕ-^о°
'й о
А =25фут*
6=1 фут
60
60
I 40
20
W=
1000 фут/об
1(000 фу//то6
фушоб
JL
_L
W=
1000 фушоб
4000 фушоб
6000 фушоб
О	1	2*!05
1/S; Оте/фут2
О
1 2
Q,6re
3*10°
Рис. 11.15. Нагрев конусообразных баллистических (‘нарядов в про¬
цессе входа в атмосферу.
что соответствует нулевому начальному значению переменной Z **). По¬
строенные кривые обладают одной особенностью, впервые подмеченной
в работе [1] в связи с исследованием нагрева баллистических снарядов:
как полный нагрев, так и нагрев в критической области существенно
уменьшаются при использовании форм корпуса с высоким аэродинамиче¬
ским сопротивлением, в данном случае формы конуса с большим углом
при вершине. Если использовать бериллий в качестве теплопоглощаю¬
щего материала и распределить его так, чтобы он поглощал 1000 Бте/фунт
[9, 10], то вес защиты составил бы лишь небольшую часть веса конусооб¬
разного корпуса, обладающего высоким аэродинамическим сопротивлением.
*) Следует заметить, что в случае слабого баллистического касании число
Рейнольдса при максимальной скорости нагрева будет несколько меньше, а именно:
^-7,6-1(Н	(ZH-Z0)	|/>2»-1).
* *) I ip 11 Z близких к нулю в качестве решении уравнения (11.17) для расчетом
использовалось /- 2	~ (— Z)3'2. Интересно, что если в разложении
 	оо
/= 2 |/ -/. (—Z)'1 2 2 «А —2 |/ 1 (—Z)3’- (Д — ~-г ■ ■ ■ ) удержать всего два
п=0
члена, то они обеспечивают достаточно хорошее приближение, пригодное дли изу¬
чении характера движении и нагрева снаряда в атмосфере.

374
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
На рис. 11.16 показаны максимальные температуры равновесного излуче¬
ния для таких конусов (см. также [11]). Видно, что для легких конусов
6£^0
А =25фу/л2
5=7 фу/77
Риг 11.16. Максимальные значения температуры равновесного излуче¬
ния для конусообразных баллистических снарядов.
с большими углами при вершине равновесная температура может рав¬
няться всего 3000° R или около того, хотя в критической области ее можно
уменьшить до такой величины толь¬
ко путем увеличения радиуса носо¬
вого закругления более чем до 1 фута.
Влияние величины входного
угла на нагрев конусообразных бал¬
листических снарядов показано на
рис. 11.17 в предположении, что на¬
чальное значение Z равно нулю *).
Из графика видно, что увеличение
входного угла ведет к заметному
уменьшению полного теплового по¬
тока, тогда как максимальная ско¬
рость нагрева, а следовательно, и
температура равновесного излучения
существенно возрастают. Таким обра¬
зом, для системы тепловой защиты,
основанной на поглощении тепла,
выгоднее оказываются более значи¬
тельные углы входа, а для систем с
лучистым охлаждением желательно, чтобы входные углы были как можно
меньше.
*)Заметим, что кривая суммарного теплового потока #/#0 _о сильно зави¬
сит от начальных условии интегрирования. Так, например, для 0^ = 0 тепловой
поток при Zi=—0,02 ^-—- = 0,99^ составляет около 60% от потока при Zt = 0
ГЪ=1,0\ тогда как для 0 /.; =—2° тепловой поток при Z* ——0,02 составляет
Ч У Е	У
около 80% от потока при Z* —0.
0£, град
Рис. 11.17. Влияние величины входного
угла иа нагрев баллистических снарядов.

§ 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
375
Рассмотрим теперь влияние подъемной силы на характер спуска, уде¬
ляя основное внимание траекториям равновесного планирования. На
такой траектории с уменьшением высоты и скорости полета замедления
стремятся к максимуму. Влияние аэродинамического качества снаряда
на максимальные замедления показано на рис. 11.18. Видно, что даже для
очень малых значений отношения подъемной силы к силе сопротивления,
величиной порядка 0,5, имеет место резкое снижение максимальных замед¬
лений по сравнению с замедлением баллистического снаряда. Когда же
аэродинамическое качество становится близким к 1 и более, замедления
Рис. 11.18. Влияние аэродинамического качества планирующего
снаряда на его максимальные замедления.
оказываются такими же, как и в обычном полете. При значениях аэроди¬
намического качества, близких к нулю, максимальные замедления, опре¬
деляемые уравнениями равновесного планирования, будут весьма высоки
(см. рис. 11.18, а также [12]). Более точная оценка траектории снижения
может быть получена путем численного интегрирования уравнения (11.17).
Проводя анализ нагрева в процессе планирования, будем, как и в слу¬
чае баллистического полета, полагать, что пограничный слой ламинар¬
ный. Это допущение оправдывается тем, что в условиях максимальной
скорости нагрева [см. уравнения (11.33) и (11.59)] число Рейнольдса
на единицу длины определяется выражением
^ = 2,83 • 103 т/гС,1’А = 2,83 • 103 ~ .
I	j	U
Сравнение чисел Рейнольдса, получаемых с помощью этой формулы, и
чисел, соответствующих баллистическому спуску, показывает, как и сле¬
довало ожидать, что при сравнимых значениях параметра тп/CdA и любых
(не малых) значениях отношения L/D эти числа в случае планирующего
полета существенно ниже. Следовательно, в планирующем спуске возмож¬
ность ламинарного обтекания еще более вероятна.
Мы здесь предполагали, что корпус планирующего снаряда представ¬
ляет собой полуконус с углом атаки на верхней плоской поверхности,
равным нулю. Выбор такой формы упрощает вычисления и облегчает
сравнение результатов, относящихся к нагреву корпуса, с аналогичными
результатами для конусообразных баллистических снарядов. Подъемная
сила и аэродинамическое сопротивление полуконусов, найденные согласно

376
возможное ТЬ Б Е 3 О И А С Н О Й НОСА Д К И
1;гл. ii
ньютоновской теории, показаны на рис. 11.12. Видно, что при возрастании
угла у вершины конуса от 20° до 70° аэродинамическое качество уменьшает¬
ся от 2 до V4. Заметим, что коэффициент подъемной силы достигает мак¬
симума при конусном угле 45°, тогда как коэффициент аэродинамического
сопротивления возрастает монотонно с увеличением этого угла. При
использовании этих приближенных аэродинамических характеристик
в предположении, что все рассматриваемые снаряды имеют одинаковую
площадь основания, равную 25 фут2, были проделаны расчеты полного
нагрева и нагрева в критической точке для ряда полуконических плани¬
рующих снарядов. Результаты вычислений приведены иа рис. 11.19.
А =25рут2
(У = 7 фут
77s, бте/фут2
Q.Bre
PlIC.
11.19. Нагрен конусообразных планирующих снарядов при входе
в атмосферу.
Можно видеть, что с увеличением конусного угла и, следовательно, с
уменьшением отношения LID, тепловой поток заметно уменьшается. Этот
результат, разумеется, тесно связан с эффектом уменьшения нагрева
баллистических снарядов при увеличении конусного угла. Зависимость
максимальной равновесной температуры конусообразного планирующего
снаряда от величины угла при вершине конуса представлена на
рис. 11.20. Изменение температуры в критической точке при измене¬
нии конусного угла есть прямое следствие зависимости коэффициента
подъемной силы от этого угла [см. уравнения (11.57) и (11.58), показы-
вающие, что d§ ~	~	- Т*1 Тенденция среднего
значения температуры к некоторому возрастанию при увеличении ко¬
нусного угла объясняется в основном ростом «нагрузки на крыло», свя¬
занным с увеличением конусного угла |см. уравнения (11.29), (11.57)
и (11.62)].
Эти результаты можно представить в обобщенном виде, что позволит
провести интересное сравнение характера нагрева конусообразных бал¬
листических и планирующих снарядов. Такое сравнение представлено

S 11.2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
377
на рис. 11.21 *), причем напомним, что при равных значениях конусного
угла все рассматриваемые снаряды имеют и равные коэффициенты аэро-
60 г-
60
20
TH£S,
°Я
А =25 фут3
б=1 фут
ц/=
250 фут.
1000 фут.
4000фунт.
I	8000	фунт.
J
W=
250 фунт.
1000 фунт.
4000 фунт.
6000 фунт.
4*103
ТН£а I
°Я
Рис. 11.20. Максимальные значения температуры равновесного излучения для
конусообразных планирующих снарядов.
динамического сопротивления. Прежде всего отметим, что если говорить
о среднем нагреве и нагреве в критической точке, то баллистические
'Ч,
I
^ 8*70*
&
- \
О
\
Планирующий
" снаряд
баллистикеснии
снаряд
W-
^ 4*70*
£
-
Ьи-
4*70°
Ч>
О 20	40	50
6, град
го*
~ 4*103
О 20	40	60
6, град
Рис. 11.21. Сравнение степени нагрева конусообразных планирующих и балли¬
стических снарядов при 0р ->0°.
снаряды в этом отношении оказываются в лучшем положении, чем пла¬
нирующие. Однако, что касается температуры равновесного излучения,
*) На этом рисунке все параметры силы сопротивления выражены в безраз-
'67 И а Л _ СиАо/т
мерном виде. Так, например,
т J L фут2/сл.)гг

378
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
|ГЛ. 11
то здесь в лучшем положении оказываются планирующие снаряды. Из
этого можно сделать общий вывод, что для баллистических снарядов,
по-видимому, наилучшей является схема защиты с поглощением тепла,
тогда как для планирующих снарядов, вероятно, более всего подходит
схема охлаждения излучением. Планирующие снаряды с большими конус¬
ными углами и низким LID не слишком сильно отличаются от баллисти¬
ческих снарядов в смысле допустимости использования на них схемы с по¬
глощением тепла и существует даже заманчивая возможность создания
на таких планирующих снарядах комбинированной системы охлаждения,
объединяющей схему с поглощением и схему с излучением, и тем самым
значительно снизить общий вес системы тепловой защиты. Защитные
системы такого рода называют иногда системами раздельного погло¬
щения. Им уделял внимание Ферри (Ferri) [13] и другие исследователи.
Высказанные соображения завершают общее изучение проблемы входа
в земную атмосферу, однако перед тем как обратиться к вопросам конст¬
рукции снаряда, сделаем несколько замечаний. Прежде всего отметим, что
весь предшествующий анализ основывался главным образом на прибли¬
женных решениях уравнения (11.17). Существует, однако, и точное част¬
ное решение этого уравнения, которое весьма полезно в задаче о спуске
спутника с орбиты. Это решение есть
/= — 2	—	е~Щ,
причем
0р=	1	L
V ?>г
D
где предполагается, что снаряд обладает очень малой величиной каче¬
ства LID и входит в атмосферу под углом около 2°. Замедление снаряда
выразится соотношением
1 dV	z
а максимальное замедление будет
Г-1-")
V g dt JГ
т. е. немного превышает lg. Угловое расстояние, пройденное в процессе
спуска, определяется выражением
1	,	f	ez/2—l	\
а максимальная скорость нагрева дается формулой
с?)--/ш/
Тепловой поток на единицу площади будет
и	Гг,	f	го	Y/4	f 171	Y/2
я=775С*Ч f) УсШ) ■
4/2
Интересной особенностью этих результатов, кроме их важности
с точки зрения математической строгости, является то, что они демонстри¬
руют влияние малой подъемной силы на характер входа в атмосферу.

§ 11-2]
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТОРМОЖЕНИЕ
379
В частности, отсюда следует, что планирующий снаряд с аэродинамиче¬
ским качеством L/D около 1/30 испытывает примерно на 20% меньшие
максимальные замедления, чем баллистический снаряд, входящий в атмо¬
сферу под тем же углом (рис. 11.13), тогда как нагрев корпуса в обоих слу¬
чаях почти одинаков [что видно из сравнения ранее полученных уравне¬
ний нагрева с уравнениями (11.52) и (11.56)].
До сих пор рикошетирующим траекториям было уделено мало вни¬
мания *), и они вовсе не затрагивались применительно к спуску спут¬
ников. Действительно, практически траектория спуска любого планирую¬
щего снаряда со спутниковой орбиты будет, по-видимому, иметь отчасти
колебательный характер, однако колебания эти должны быть сведены
к минимуму. Вопрос этот об¬
суждается В работе [2] И здесь Рм/гшетиру/ащдя	Ряшяяя -
уместно привести лишь основ¬
ные результаты. Схематически
сравнение рикошетирующей,
планирующей и баллистической
траекторий входа в атмосферу
иллюстрируется рис. 11.22. На
рикошетирующей траектории
снаряд входит в атмосферу под
большим углом, чем на плани- Рис и 22 Сравнение траекторий спуска балли-
рующей; В результате ЭТОГО стического, планирующего и рикошетирующего
снарядов.
действующая на него подъемная
сила настолько превышает вес
снаряда, что он вновь выходит из атмосферы. В зависимости от величины
отношения LID, скорости и угла входа снаряда в атмосферу такой про¬
цесс может повториться несколько раз., как показано на рис. 11.22.
В свете изложенных выше общих соображений о характере движения
и нагрева снаряда нет ничего удивительного, что замедление и равновесная
температура поверхности снаряда при полете по рикошетирующей траек¬
тории могут быть большими, чем при спуске по гладкой планирующей
траектории. Поэтому использование рикошетирующих траекторий для
спуска снарядов, обладающих подъемной силой и охлаждаемых методом
излучения, кажется менее перспективным, чем спуск по траекториям
планирования, и требует применения системы охлаждения с поглощением
тепла, уступая в этом отношении траекториям баллистического спуска [2].
Осталось еще сделать ряд комментариев относительно проблемы дви¬
жения и нагрева космических снарядов, совершающих вход в атмосферы
других планет. Если полагать атмосферы изотермическими **), то для
анализа этой проблемы можно применять методы, развитые выше. На
основе данных Доуля [15], Купера [16] и Гесса [17], Гэзли [14] полагает,
*) Рикошетирование, при котором аэродинамические силы доминируют над
силами тяжести, особенно удобно для проведения анализа (см., например, [2]),
d2f
так как в этом случае уравнение (11.17) сводится приближенно к виду	.7	—	0,
Cl/j-
допускающему нахождение общего решения.
**) В случае, когда атмосфера планеты строго изотермична, а в уравнении
(11.8) равно единице и из условия баланса сил тяжести и давления вблизи по¬
верхности планеты вытекает ^ = -~— , где R—газовая постоянная, а Т—тем-
R1
пература газа.

380
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. н
что для Венеры и Марса это требование выполняется. В табл. 11.1 собра¬
ны используемые в его работе данные, характеризующие атмосферу
и поле тяжести этих планет, и для сравнения приведены аналогичные
данные о Земле.
Т а б л и ц а II. I
Данные об атмосфере и поле тяжести внутренних планет
1
!
i Планета
/‘о- Фут (м)
я,
Qo, слог/футЗ
1
р. 1 /фут
Состав атмосферы, %
фут/сек*
(м/сок^)
(кг • т.-2/л(4)
1
а
(1 А'0
N о
0-2
С(Ь
Земля
20,94 • Ю6
(6,38-106)
32,2
(9,8)
0,00238
(0,125)
0,715
|
4,03-10-5
(13,22-10-5)
80
1 20
--
Венера
1
20,72-106
(6,32-106)
28,9
(8,8)
1
0,0311
(1,633)
1
1
1
4,88-10-5
(16,01-10-5)
10
	1
90 |
Марс
11,26-106
(3,43-106)
12,9
(3,0)
0,000103
(0,01014)
1
1
1
1,15-10-5 j
(3,77-10-5) !
95 ;
!
5 ;
Видно, что г0, g и |5 почти одинаковы у Венеры и Земли, хотя у Марса
они много меньше. Если вспомнить, что именно эти параметры главным
образом определяют замедления снаряда в процессе его спуска в атмосфере
[см. уравнения (11.9), (11.25), (11.34) и (11.43)], то станет вполне понятно,
как это и подтверждается расчетами Гэзли (Gazley) и еще более поздними
и детальными исследованиями Чепмена (Chapman) [12], что в отношении
таких замедлений задача посадки на поверхность Венеры сходна с задачей
посадки на Землю, тогда как посадка на Марс в этом смысле значительно
легче *). В большей или меньшей степени то же самое можно сказать и о
нагреве; точную оценку нагрева, связанного со входом в атмосферу Вене¬
ры и Марса (или любой другой планеты, кроме Земли), приходится отло¬
жить до получения точных сведений о свойствах этих атмосфер. Полезно
заметить, что несмотря на всю сложность проблемы входа в атмосферу
с точки зрения характера движения и нагрева снаряда, конструкции, пред¬
назначенные для входа в атмосферу Земли, могут оказаться пригодными
и для входа в атмосферы прочих планет **). К рассмотрению таких кон¬
струкций мы теперь и переходим.
*) В отношении же замедлений при контакте с поверхностью планеты поло¬
жение может быть совсем иным, если только различие в плотности о0 является
действительно таким большим, как указано в таблице. Так как скорость в момент
контакта Е[П1,)~ 1/ — , то контактные замедления будут наименьшими на Венере
* Qo
и наибольшими на Марсе, поэтому в последнем случае для снижения контактных
замедлений до приемлемого уровня могут потребоваться специальные меры с целью
увеличения в последние минуты полета аэродинамического сопротивления, подъ¬
емной силы или и того, и другого.
**) В случае входа снаряда в атмосферу Венеры, которая, как видно из табл. 11.1,
в основном состоит из углекислого газа, здесь необходимо сделать оговорку.
Дело в том, что при высокой температуре излучательная способность С02 значи¬
тельно выше, чем у воздуха, и вследствие этого лучистый теплообмен между
корпусом снаряда и атмосферой Венеры может быть гораздо более затруднен,
чем в атмосфере Земли.

§ 11.3]
ХА РАКТЕР КОНСТРУК1 [ИИ КОРПУС А
381
§ 11.3. Характер конструкции корпуса
Настоящее обсуждение удобнее всего начать с краткого рассмотрения
некоторых типов конструкций снарядов, предназначенных для входа
.в земную атмосферу со спутниковой орбиты [18, 19]. Если эта орбита
имеет значительную начальную
высоту (порядка нескольких со¬
тен миль или более), то сопротив¬
ление атмосферы будет недоста¬
точным для торможения и спуска
снаряда на Землю за требуемый
короткий промежуток времени
(см., например, [20] и [21]).
В этом случае для спуска снаряда
в плотные слои земной атмосферы
нужно использовать реактивное
торможение. Если тяга тормоз¬
ной ракеты составляет примерно
0,25/о веса снаряда, а удельный
импульс равен приблизительно
300 сек (см. приложение 11 Б), то
операция спуска с высоты 500 миль до высоты 50 миль будет завер¬
шена немного более чем за 3 оборота вокруг Земли и займет менее
5 часов времени. Затраты топлива при этом составят около 15%
веса снаряда. Ход спуска на участке активного торможения иллюстри¬
руется рис. 11.23. Движение снаряда после его входа в плотную атмосферу
характеризуется графиками на рис. 11.24, где считается, что снаряд
Полусфера,
И/= /250фу л/л. , 3=5 фут., Сд = /
Риг.
,2Н.
Золачество оЗсршоз
(’пуск при использовании
мозной ракеты.
тор-
6
nim
' ff dt)
Зал/еОлелае
Z2 1
V = //ООО фут/сел
у = /30000футаЗ
3000
Равлозеслая темлература
в лратачеслоа точле
- V=20 ООО фут/сел
_L
J L J
О
/234
Зремя, мал
200	400
Зз/сата, /ООО фут
500
Рис. 11.24. Характер движении п нагрева полусферы.
имеет форму полусферы диаметром 5 футов и весит 1250 фунтов. Мак¬
симальное замедление такого снаряда лежит между 1 g и 8g и уже через
3—4 минуты полета замедление оказывается менее 1 g. Максимальная
равновесная температура поверхности не превышает примерно 2500° F
(1400° С), а средняя температура поверхности оказывается приблизи¬
тельно на 400—500° F (200—260° С) менее этой величины. Рис. 11.25
иллюстрирует спуск в атмосфере космического снаряда такого типа.
Из рисунка видно, что снаряд движется в земной атмосфере примерно

382
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. М
в горизонтальном направлении на большой высоте и с высокой скоростью.
Для обеспечения стабилизации снаряда по крену в положении носовой
частью вперед на нем укреплены небольшие хвостовые стабилизаторы.
Снаряд замедляется до скорости нескольких сотен футов в секунду и,
пройдя около 500 миль, когда высота, становится равной 50 ООО футов,
выходит иа почти вертикальную траекторию. Поэтому на высотах ниже
50 ООО футов для дальнейшего замедления снаряда и снижения его ско¬
рости до величины, обеспечивающей безопасную посадку, можно вос¬
пользоваться парашютом. Характер сверхзвукового режима обтека¬
ния снаряда такого типа виден из снимка на рис. 11.26. Основной осо¬
бенностью здесь является ярко выраженная сильная ударная волна;
Рис. 11.25. Пример баллистического снаряда.
другой важной чертой является очень широкий след позади снаряда, при¬
сущий тупоносым формам рассматриваемого типа. Течение в этой области
в общем случае неустойчиво, и при низких скоростях полета большие флук¬
туации силы давления на основание снаряда могут повести к возникнове¬
нию динамической неустойчивости, устранение которой требует спе¬
циального изучения вопроса.
Если максимальные замедления порядка 7—8 g слишком высоки для
выполнения какой-либо операции, то для минимизации аэродинамических
перегрузок можно обратиться к конструкции баллистического снаряда,
обладающего переменной конфигурацией, пример которого показан
на рис. 11.27. Этот снаряд имеет зонтообразный «хвост», который на боль¬
ших высотах и больших скоростях полета раскрывается, увеличивая тем
самым силу аэродинамического сопротивления снаряда, а по достижении
.малых высот и скоростей складывается, позволяя уменьшить сопротивле¬
ние атмосферы. Таким образом удается сгладить кривую зависимости
замедления от времени, хотя при этом время нахождения снаряда вблизи
режима максимального замедления возрастает. С помощью переменно]!
конфигурации указанного типа представляется возможным снизить мак¬
симальные замедления примерно на 50% [1, 22] (см. приложение ИВ);
в конечной стадии полета можно снова воспользоваться парашютной
техникой.
В заключение представляет интерес рассмотреть более сложный
случай спуска с использованием подъемной силы снаряда. Предположим,

§ 11.3]
ХАРАКТЕР КОНСТРУКЦИИ КОРПУСА
383
что снаряд подходит к Земле, возвращаясь из космического рейса, и имеет
скорость, близкую к скорости освобождения. Рассмотрим спуск этого
снаряда, схематически показанный на рис. 11.28. В процессе спуска сна¬
ряд движется таким образом, чтобы достичь высоты, на которой макси¬
мальная отрицательная подъемная сила плюс вес снаряда в точности урав¬
новешивают центробежную силу, действующую на снаряд. После этого
снаряд выходит на восхо¬
дящий участок траектории
спуска, где несмотря иа
уменьшение скорости вы¬
сота полета над поверх¬
ностью возрастает (см.
анализ траектории равно¬
весного планирования).
Когда скорость полета
становится равной скоро¬
сти низколетящего спут¬
ника, высота траектории
спуска оказывается мак¬
симальной. При дальней¬
шем замедлении снаряд
выходит на нисходящий
участок своей траектории,
где он движется при мак¬
симальной величине поло¬
жительной подъемной си¬
лы. Такой спуск обладает
тем достоинством, что здесь
уменьшаются скорости на¬
грева корпуса, а следо¬
вательно, и равновесная
температура поверхности.
Вместе с тем и замедле¬
ния поддерживаются на
достаточно низком уровне
па протяжении сравни¬
тельно короткой TpaeKTO-	Рис.	11.26. Обтекание полусферы,
рин спуска. Сказанное
количественно подтверждается графиками на рис. 11.29, где показаны
кривые замедления и нагрева для случая спуска планирующего снаряда
с дельтовидным крылом и закругленным днищем. Согласно ньютонов¬
ской теории максимальная подъемная сила достигается при угле атаки
около 55° и величине аэродинамического качества на рассматриваемой
высоте около 0,75. Заметим, что максимальные замедления не превосходят
примерно l,3g, а максимальные равновесные температуры поверхности иа
восходящем участке лишь немного выше 3000° F (1650° С) и около 2000° F
(1100° С) иа нисходящем участке. Средние значения температуры поверх¬
ности будут ниже указанных величин еще, возможно, на 500° F (260° С)
в зависимости от конкретной формы корпуса снаряда. Таким образом,
с точки зрения как величины замедлений, так и степени нагрева снаряд
такого типа, обладающий подъемной силой, весьма подходит для совер¬
шения спуска в режиме равновесного планирования. Наличие подъемной
силы позволяет в общем случае осуществлять маневрирование в плоскости

384
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ
[ГЛ. 11
Рис. 11.28. Спуск в режиме равновесного планирования.

§ ii.3]
ХАРАКТЕР КОНСТРУКЦИИ КОРПУСА
385
полета и вне этой плоскости. На рис. 11.30 показан участок снижения
и входа рассматриваемого снаряда в атмосферу. Здесь мы видим снаряд
в начальной стадии участка снижения, протяженность которого составляет
LldV)
( д dt)
СнаряО о уеним Оелшаеионым телом
W=3700фунт., С#=4футоО
А =265 фут2, CL=0,37
Замедление
Снижение
hr. °F
ЗшоЗ
на л оеаОну
2000
7000
— Раеноееенан глемлерлтура
е нритичеенай /лочне
ЗшоЗ
\^^ни лооаОну
/7оЗъём
Ч
Снижение
  I
О 700	200	ООО	400	О	700
Со/сета, 7000фут
200 ООО 400
Рис. 11.29. Характер движения и нагрева планирующего снаряда.
около 3500 миль. По мере того, как скорость уменьшается и траектория
становится все круче, высота снаряда уменьшается от значения, опреде¬
ляемого величиной максимальной подъемной силы, до значения, соответ¬
ствующего максимальной величине аэродинамического качества снаряда.
Рис. 11.30. Пример планирующего снаряда.
Таким путем конечный участок планирования, завершающийся посадкой
снаряда, может быть сделан сравнительно пологим. Так как рассматри¬
ваемый снаряд по форме имеет заметное сходство с моторной лодкой, он
может быть легко приспособлен для посадки на воду, как это и показано
на рисунке.
2«) Космическая техника

386
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
Приведенные соображения завершают изучение проблем спуска в на¬
стоящей главе; необходимо, однако, признать, что многие из этих проблем
были рассмотрены здесь лишь частично или вообще не рассматривались.
Например, реактивное торможение заслуживает гораздо более подроб¬
ного изучения, особенно в связи с посадками при полном отсутствии атмо¬
сферы (например, на поверхность Луны). Также не затрагивались вопросы
управления и контроля в процессе выхода на траекторию спуска. Не
рассматривались здесь и эффекты суточного вращения Земли и ее атмо¬
сферы, которые наряду с учетом отклонения атмосферы от изотермичес¬
кой должны быть введены в рассмотрение при проведении точного анализа
операции спуска. Кроме того, изучались лишь некоторые частные случаи
входа в стационарную атмосферу, и в дальнейшем необходимо исследовать
более широкий диапазон входных углов, включая сюда и возможность
использования переменных коэффициентов подъемной силы и аэродинами¬
ческого сопротивления [23]. В связи с этим для анализа движения может
оказаться полезной общая форма уравнения (11.17):
Проблемы, связанные с боковым маневрированием, также требуют самого
внимательного изучения. Интересно отметить (см. приложение ИГ),
что маневры такого рода, осуществляемые в процессе равновесного пла¬
нирования, могут быть весьма протяженными без существенного увеличе¬
ния скоростей нагрева или замедлений снаряда и могут даже позволить
несколько снизить полный нагрев корпуса. Наконец, совершенно очевид¬
но, что хотя проблемы устойчивости полета здесь совсем не затрагивались,
им, разумеется, необходимо уделять самое серьезное внимание (см., напри¬
мер, работы [24, 25]) при детальной разработке и изучении конструк¬
ции конкретных снарядов.
Полагая число Прандтля равным единице и пользуясь аналогией Рей¬
нольдса для конусообразной стенки, имеем [2]
d*f _J_ df d (CdA)
dZ2 1 O/jjI dZ dZ
f 7 “?!®(l-e-Z) + /COs0=O,
где
Приложение 11A
Вычисление коэффициента Са
(НАЛ)
где
(НА. 2)
причем S — площадь поверхности, подвергающейся нагреву. Индекс
I (local) означает местные условия непосредственно снаружи пограничного
слоя. При MS2 > 1 и у — 1,4 имеем

11 Б]
УРАВНЕНИЯ ГЕАКТИВНОГО ТОРМОШЕНИЯ
387
Кроме того, используем приближение
[cFldS = ^V‘3CFl,	(HA.5J
— cos б.	(11А.4)
Заметим, что	для	прямого кругового конуса	справедливо следующее^
соотношение:
_1_ Г ^	_70	2
s
где С — средний	коэффициент трения на плоской пластинке	длиной,
равной длине	образующей конуса и имеющей	те же местные	условия
обтекания на внешней границе пограничного слоя. Таким образом,
CF=	/1=-.	(НА. 6)
z l/ Qivih
У Рг
Теперь, если считать, что температура возмущенного воздушного потока
столь высока, что в основном определяется ударным сжатием, то из урав¬
нения энергии получим
Тг =	■	(НА.7)
При высоких температурах из уравнения Сезерлеида для коэффициен¬
та вязкости можем написать
(11А-8>
или
f То~/1 I л п\
Объединяя эти результаты и замечая, что h	,	из уравнения (НА. 1)
найдем
(Щт1 = с	V—Д==- (") sin 6 /соГб \/-Q- F3, (НА. 10)
dt	У	2 Y2СрТ0 V То	J	у	У	>ъ	4	'
откуда следует, что
С' = с v ^^(TerrL')sinS |/cose' (1,АЛ,)
Примем по-прежнему величину с равной единице и положим Т0 =
= 500° R, чему соответствует р0 = 3,58• 10“7 слэг/(фут-сек). Тогда для
значений Тг = 216° R и Ср = 6000 фупг2/(сек2°Я) для конусообразного
снаряда, движущегося в земной атмосфере, получаем
Са — 1,03-10 5 sin б у cos б слэгЧг/фут.	(11А.12)
Приложение 11Б
Уравнения реактивного торможения
г Пусть спутник движется вокруг планеты по орбите, расположенной
на некоторой высоте над плотной атмосферой. Задача состоит в том, чтобы
с помощью приложения реактивной тяги осуществить вход спутника
в эту атмосферу. Предполагая планету и ее атмосферу невращающимися

388
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ	[ГЛ.	11
и рассматривая лишь плоское движение спутника, можно записать урав¬
нения его движения в виде
7у + т^_ = Wcos 0.	(11Б.1)
ГС
т = —P — W sin 0,	(11Б.2)
где
W = W0Q±y,	(11Б.З)
N и Р — составляющие силы реактивной тяги в направлениях нормали
к траектории спутника (положительным считается направление от центра
притяжения) и вдоль траектории соответственно. Положим теперь =
ю	г°
— ~у~— Cj~s » тогда уравнение (11Б.1) станет (при cos0 ^1 и sin 0^0):
N-mV^=-’^-rW0Qfy.	(11Б.4)
Но круговые спутниковые орбиты связаны условием rV2 = const =
= TqV\ = gr\. Так что если наложить требование, чтобы в процессе
реактивного торможения орбита оставалась в основном круговой, то
уравнение (11Б.4) можно переписать следующим образом:
=	(ИБ.5)
где
rV^=^.	(11Б.6)
С той же степенью приближения и с учетом того, что 0 = ^ , уравнение
(11 Б.2) становится
(ив.7,
Из уравнений (11 Б.5) и (11 Б.7) далее получаем
(2-£н-е)<Ю= [(l-^)--£]d(Tn	(11Б.8)
Р N
и таким образом при постоянных значениях и — имеем
( 2 £ + у) 0 = - {(1 - rV*)*~ ~ ^ + С,.	(11Б.9)
Постоянная интегрирования С4 определяется из начальных условий дви¬
жения. Если начальная орбита спутника круговая (0 = 0, rV2 = 1),
то эта постоянная есть просто N /W, и мы имеем
0= -2w+ V(2wy-^l~w^ + 2w^-w^- (11Б-10)

11Б]
УРАВНЕНИЯ РЕАКТИВНОГО ТОРМОЖЕНИЯ
389
С помощью этого выражения и уравнения (11Б.7) для углового расстояния
£
ф = — находим
ф = arcs in
(1 — rV*)-
N_
W
_YV_V ,
W
2 w
- arcsin
—N/W
,//# V f n p \2
V C'w) 1С w) -
(11Б.11)
Если торможение осуществляется тангенциально, т. е. таким обра-
N п
зом, что — = 1), то
ф
= arcsin	—	rV2)	]	,	1
_Р_
W
0 = — 2 4тт (1 — COS ф).
(11Б.12)
Соответственно этому находим
или
-у- = — 2 -£■ (1 —c°s ф) dcp,
In r = 2 (ф — sin ф) + const.
Замечая далее, что в начале тангенциального торможения при г = rt
имеем ф = sin ф = 0, и окончательно находим
г = rt exp [ — 2^(ф — sill ф) J .
(ИБ. 13)
В общем случае реактивного торможения для угла наклона траекторий
движения снаряда к местному горизонту из уравнения (11Б.9) получаем
е=-2-£-Ь|/ (2^y-(i-rVT-2^FrV* + 2C1.	(11Б.14)
Комбинируя это выражение с уравнением (11 Б.7), для углового расстоя¬
ния ф находим
Г
Ф = arcsin
+ С2.
(11Б.15)
Текущее радиальное расстояние на траектории определяется тем же спо¬
собом, как и (11Б.13); в результате получаем
?- = ггехр [ — 2ф + (?-;7| —rF2)] .
(11Б.16)
Эти уравнения равно приложимы как к движению с тягой, так и к сво¬
бодному движению в поле силы тяжести при спуске со спутниковой орби¬
ты *). Во время свободного спуска под действием сил тяжести N = P = 0; пос¬
тоянные С^11 С2 определяются из начальных условий этого участка полета.
*) В действительности они пригодны для описания как спуска, так и подъема,
если только отклонения от местных условий круговой орбиты всегда остаются
малыми.

390
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
Приложение 11В
Движение и нагрев баллистических снарядов переменной
конфигурации в полете с постоянным замедлением
Характер движения баллистического снаряда, геометрическая конфи¬
гурация которого в полете меняется таким образом, чтобы замедле¬
ние снаряда оставалось постоянным, может быть легко определен с по¬
мощью уравнения (11.2), которое в данном случае принимает вид
dQ / 1
&)dS.	(ИВ.1)
cos 0 'Wo	v2	У
Уравнение (11.3) в случае, когда | W sin 0 | < D, становится
dS=—kwdV3-	(11В-2)
Так как W/D есть константа, то отсюда сразу получаем
f = 1JT(F?-F2),	(11В.З)
' о - и
-	у	2
где V2 = — , а индекс i означает начальные условия движения. Подстав¬
ляя (ИВ.2) в уравнение (11В.1) и интегрируя, находим
_С„	(UB.4)
где постоянная интегрирования такя^е определяется из начальных
условий. При малых значениях угла 0, когда справедливы приближения
--- sin 0 » 0 и cos 0^.1, это выражение можно представить в виде
= Ci exp Г ~ у "2Г (С2 — lii F2) ]	-1.	( ИВ.5)
Из уравнений (ИВ.2) и (ИВ.5) далее находим
w
dy=It^[i-Cl(V2)lhw^ (-yW)]^2-	(11В-6)
Практический интерес представляет тот случай, когда отношение W/D
имеет величину порядка 1 или менее; тогда решение уравнения (ИВ.6)
будет
оо
■А = « {> -С, (VT-‘ »хр [ -	2 (,+1) (аТ-Н + ») ] } +с*' <1Ш'7)
П=0
где
WlT’	(11В'8)
а С2, как и Ci, определяются, исходя из начальных условий. Зачастую
для получения хорошей точности бывает достаточно ограничиться лишь
основным первым членом ряда в уравнении (ИВ.7), и тогда результат при¬
нимает следующий вид:
ЩУ-]+С,.	(11В.9)

ИВ]
ДВИЖЕНИЕ И НАГРЕВ В ПОЛЕТЕ С ЗАМЕДЛЕНИЕМ
391
Если наклон траектории к местному горизонту не очень мал, то с до¬
статочно хорошим приближением можно считать движение при спуске
в атмосфере прямолинейным [см. работу [1], а также обсуждение урав¬
нений (11.44) и (11.47)]. Для движения такого типа в уравнении (11В.З)
вместо у появляется:
= ™}®±_ .JT^f — F3).	(ИВ.10)
Скорости нагрева в полете с постоянным замедлением можно полу¬
чить с помощью этих выражений и уравнения (11.27), записанного в форме
7 п	Г	_Р?/_
-f - =	(aQ0f2 (gr0f2 е~ 2 F3,	(ИВ.	И)
где С и X зависят от характера изменения конфигурации снаряда с изме¬
нением V. Если форма носовой части неизменна, то С = Cs и X = о
постоянны. Замечая, что ^	,	где dS определяется уравнением
(11 В.2), из полученного уравнения можно найти величину теплового
потока в критической области *). В результате этого получаем
\ e^V4(V2),	(ИВ.12)
v2i
где индекс / означает конечные условия полета в режиме постоянного
замедления. Функция у = у (V2) в подынтегральном выражении этого
уравнения в некоторых случаях оказывается достаточно простой, позволяя
оценить Нs аналитически. Например, в случае полета с малым 0 из урав¬
нения (ИВ.9) при а < 1 и V2 порядка 1 или менее имеем
^aVtrt-CJ + Ci,	(11В.13)
г0
причем согласно уравнению (ИВ.5)
0 ^ Ci (F2)a — 1.	(ИВ.14)
Подставляя теперь выражение (ИВ. 13) в уравнение (ИВ.12), находим
H, = 2^(a(!o)1'"g^exp(-lfl)x
$Г0а,л Г. ч Г,2 1 Г Р
I exp [ - ^°a(l - Ci) V2 1 Г\r0a (l-Ci)V2 + l] И
х|—	1)	(11В.15)
*) Такая замена переменных удобна для вычисления II в общем случае, так
как отношение С/УX входит в подынтегральное выражение как функция V
[см. уравнение (ИВ.12)]. Интересно, что в случае прямого кругового конуса с фикси¬
рованной длиной образующей, но переменным диаметром основания имеем
Q	„
—У=г ~ у sin 6 cos б , что является слабо меняющейся функцией б в практически
У ?ъ
используемом диапазоне углов от 20 до 70°. В соответствии с этим при вычислении
IIа для такого рода снарядов с переменной конфигурацией величину С8/Уо
в уравнении (ИВ.12) можно заменить ее средним значением Са/У?'ь.

392
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
Подобным же образом можно получить аналитическое выражение
для Hs и в случае прямолинейного движения; так, подставляя (ИВ.10)
в уравнение (11В.12), найдем
Н = -I
Va
— (aQo)I/2 g exp Г — i-
ГГ	1	У
У г'
Г() sin I
X I
D
2
]r0 sin 0
X
w
-D V'2
I
w
(P sin 0i)2-^-
J v?
Эти результаты могут быть использованы, например, для изучения
входа в атмосферу баллистического снаряда, подобного показанному
на рис. 11.27. Предположим, что в процессе входа геометрическая конфи¬
гурация снаряда сохраняется неизменной до тех пор, пока замедление
не достигнет определенной величины. После этого лепестки хвостового
Рис. 11В.1. Изменение замедления и скорости снарядов постоянной
и переменной конфигурации при прохождении атмосферы.
«зонта» начинают складываться со скоростью, необходимой для поддер¬
жания замедления снаряда на этой величине, пока в конце концов при
дальнейшем спуске снаряда замедления не начнут уменьшаться. Харак¬
тер изменения замедления и скорости такого снаряда в процессе прохо¬
ждения атмосферы отличается от хода этих же величин у снаряда неизмен¬
ной конфигурации, как это видно из рис. 11В.1. Помимо управления за¬
медлением переменная конфигурация может быть использована также
и для изменения дальности полета баллистических снарядов, входящих
в атмосферу под очень малыми углами 0.
Эффект воздействия переменной конфигурации на скорость нагрева
и полный тепловой поток зависит, разумеется, от того, как именно эта
конфигурация изменяется. Так пиковая скорость нагрева может и не
увеличиться, если изменение конфигурации начинается только после того,
как пройдена точка максимальной скорости нагрева. Заметим также, что
при таком изменении конфигурации снаряда, когда большие замедления
имеют место на меньших высотах, среднее значение полетного числа
Рейнольдса стремится к возрастанию и, следовательно, нагрев умень¬
шается, а пограничный слой остается ламинарным.

11Г]
ДВИЖЕНИЕ И НАГРЕВ ПРИ РАВНОВЕСНОМ ПЛАНИРОВАНИИ
393
Приложение 11Г
Движение и нагрев в режиме равновесного планирования
с боковым маневрированием
Рассмотрим снаряд, обладающий подъемной силой и движущийся
с углом крена так, что на него действует боковая сила, определяемая
постоянным коэффициентом CY• Эта сила будет создавать ускорение
снаряда в боковом направлении I в соответствии с уравнением
(11ГЛ)
Продольное ускорение снаряда по-прежнему определяется уравнением
(ИГ .2)
Полагая отношение CY/CD постоянным, из этих уравнений, интегрируя
их и пользуясь прежними обозначениями, получаем
z = (~§r)(F*eZi/2;_(Fo)-	(11г-3)
Входящее сюда время полета в режиме равновесного планирования t
удовлетворяет соотношению
Сг
СГ)
1 + е*
ZH 2
(ИГ.4)
Кроме того, из уравнения (11.35) имеем
В пределе, когда Z —ь— оо (V -н*0) и Zt 0 (Fz- ->.]/gr0), получаем
^ со и ф -> оо, поскольку
1=г’(Ю(.Шы2'	<11Г-6>
что представляет	собой	максимально достижимое	боковое	смещение
снаряда	при	данном	Су. Учитывая, что CY	получается	путем	придания
снаряду угла крена у, имеем:
Ст=Ст cos у, 1
г г ° .	(ИГ.7)
6Y = CL()smY, J
где индекс 0 соответствует полету при у = 0. Отсюда далее имеем
-cf = tgT,	(НГ.8)
Z=£Zcos'/-	(1,r-9)
у SLXl У cos У 2	(ИГ.	10)
а также
Таким образом,

394
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
И
(УХ,^(Ю>уТ	<11гл,)
при у = 45°. Влияние бокового маневрирования на дальность полета
обусловлено в данном случае уменьшением отношения подъемной силы
к силе сопротивления, так что согласно уравнениям (ИГ.5) и (ИГ.10)
имеем
Ф = фоcos у.	(ИГ. 12)
Замедления меняются обратно пропорционально отношению подъем¬
ной силы к силе сопротивления [см. уравнение (11.34)]; поэтому можем
написать
(iir.13)
g dt \ g dt у о cosy	v
Влияние бокового маневрирования на нагрев снаряда сказывается глав¬
ным образом в виде изменения величины коэффициента подъемной силы
[см. уравнения (11.57) и (11.61)], так что имеем
™ = (dJL\ i/_L_	(lir.14)
clt	\ dt J or	cosy
И
H = H0Vc^y.	(ИГ.15)
Согласно этим соотношениям при максимальном боковом маневриро¬
вании (у = 45°) замедления возрастают на 10%, а дальность полета
уменьшается примерно на 30%. В то же время скорости нагрева возрастают
примерно на 20%, а полный нагрев на 15%. Эти и более общие выводы
предшествующего анализа остаются справедливыми в рамках предположе¬
ния о равновесном планирующем полете снаряда (см. рис. 11.18 и его
обсуждение), поскольку боковое маневрирование не приводит к силь¬
ному отклонению направления полета по сравнению с полетом при
СУ = 0. Так, если обозначить угол отклонения как ф, то необходимо,
чтобы (полагая Zt = 0)
^=~УУ2<<1’	(игле)
что обычно и имеет место, за исключением полетов с малыми скоростями,
когда Z становится большим по модулю и отрицательным, а также кроме
тех случаев, когда велико отношение ^	sin	у.	Ввиду	этого
оценка отклонения Z1? определяемая приведенными ранее выражениями,
является завышенной. Для более точной оценки заметим, что в режиме
равновесного планирования
Тогда I может быть найдено из соотношения
У =\ sin^d(p=4yyin(yyz)r£T’ <11ГЛ8)
о	о

11Г]	ДВИЖЕНИЕ	И НАГРЕВ ПРИ РАВНОВЕСНОМ ПЛАНИРОВАНИИ	395
а расстояние х, пройденное в направлении первоначального движения,
будет
V	Zf
J	^	J	cos
о	0
где принято фг* = Zi = 0. Если Z; —- — оо, то интеграл в уравнении
(ИГ. 18) с точностью до величин первого порядка по ф можно преобразо¬
вать в эйлеров интегральный логарифм, в результате чего получим
"4“= СЙ)о Siu Ycos *Y.g -	(ИГ.20)
Эта формула дает более точное значение Z, чем уравнения (ИГ. 10)
и (ИГ.И), хотя для получения абсолютно точной величины Z нужно поль¬
зоваться строгим уравнением (ИГ. 18).
Г-
су
Со
Y Z
dZ
J e-Z-1
(ИГ. 19)
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
т — масса аппарата,
V — скорость,
г—радиальное расстояние,
гь—радиус закругления,
g — ускорение силы тяжести,
А — площадь поперечного сечения,
6- — расстояние вдоль траектории,
ср — угловое расстояние,
у— высота,
W— вес,
Су — коэффициент боковой силы,
Сь, Со — коэффициенты подъемной силы и аэродинамического сопротивления,
L, D—подъемная сила и сила сопротивления,
0 — угол наклона вектора скорости к горизонту,
0Я — угол входа,
g — плотность воздуха,
а, р — параметры стандартной атмосферы,
C'f — коэффициент поверхностного трения,
С a, Cs — коэффициенты, характеризующие нагрев,
X — характерный линейный размер,
0 — радиус носового закругления,
Я —тепловой поток на единицу площади.
А —площадь поверхности нагрева,
Q = HS — полное количество тепла,
v — константа Стефана — Больцмана,
е — излучательная способность,
б — половина конусного угла при вершине,
Т — температура,
Тj^e — температура равновесного излучения,
Re — число Рейнольдса,
jii — вязкость воздуха,
1 — длина; боковое расстояние,
у— показатель политропы; угол крена,
с — коэффици ент,
N, Р — компоненты силы тяги.
Индексы
Е — условия входа,
0 —условия при 0 = 0,
1 — локальные условия,
i — начальные условия,
/—конечные условия.

396
ВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗОПАСНОЙ ПОСАДКИ. ПРИЛОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
ЛИТЕРАТУРА
1. Allen II. J. and Е g g е г s A. J., Jr., A Study of the Motion and Aerodynamic
Heating of Missiles Entering the Earth’s Atmosphere at High Supersonic Speeds,
NACA TN 4047, October 1957.
2. E g g e r s A. J., Jr., Allen EI. J. and N e i с e S. E., A Comparative Analysis
of the Performance of Long-Range Hypervelocity Vehicles, NACA TN 4046, 1957.
3. E gge rs A. J., Jr., Hansen C. F. and Cunning hamB. E., Stagnation-
Point Heat Transfer to Blunt Shapes in Elypersonic Flight, Including Effects of Yaw,
NACA TN 4229, April 1958.
4. G a z 1 e у С., Jr. and Masson D. J., A Recoverable Scientific Satellite, The
RAND Corporation, Research Memorandum RM-1844, December 21, 1956.
5. Riddell F.R., Real Gas Effects in the Re-entry Problem, Vistas in Astronautics,
New York, Pergamon Press, pp. 50—54, 1958.
6. Keck J., Kivel B. and Wentink Т., Jr., Emissivity of High Tempera¬
ture Air, AVGO Research Laboratory, Research Report 8, April 1957.
7. Lees L., Laminar Pleat Transfer Over Blunt-Nosed Bodies at Hypersonic Flight
Speeds, Jet Propulsion 26 (No. 4), 259—269 (1956). [Русский перевод: Лиз Л.,
Ламинарный теплообмен на тупоносых телах при больших сверхзвуковых скоро¬
стях, сборник «ЕГаучные проблемы искусственных спутников»под ред. Орлова А. А.,
ELJI, 1959, стр. 243-279].
8.	Sanger Е. and Bredt I., A Rocket Drive for Long-Range Bombers,	Technical
Information Branch, Navy Department, Trans. CGD-32, 1944.
9. S t a 1 d e r J. R., The Useful Heat Capacity of Several Materials for Ballistic Nose-
Cone Construction, NACA TN 4141, November 1957.
10. White D. W., Jr. and Burke J. E., editors, The Metal Beryllium, Cleveland,
Ohio, The American Society for Metals, 1955.
11.	Kemp N. II. and Riddell F.	R., Heat Transfer to Satellite Vehicles	Reente¬
ring the Atmosphere, Jet Propulsion	27 (No. 2), 132—137 (1957).
12. Chapman D. R., An Approximate Analitical Method for Studying Entry into
Planetary Atmospheres, NACA TN 4276, May 1958.
13. Ferri A., Feldman L. and D a s k i n W., The Use of Lift for Re-entry
from Satellite Trajectories, Jet Propulsion 27 (No. 11), 1184 (1957).
14. G a z 1 e у С., Jr., Deceleration and Ideating of a Body Entering a Planetary Atmo¬
sphere from Space, The RAND Corporation, Paper P-955, 1957.
15. D о 1 e S. Id., The Atmosphere of Venus, The RAND Corp., Paper P-978, 1956.
16. К u i p e r G. P., editor, The Atmosphere of the Earth and Planets, Chicago, Uni¬
versity of Chicago Press, перер. изд., 295, 1952.
17. Hess S. L., Some Aspects of the Meteorology of Mars, J. Meteorol. 7, 1 — 13 (1950).
18. S t e r n e Т. E., F о 1 k a r t В. M. and Schilling G. F., An Interim Model
Atmosphere Fitted to Preliminary Densities Inferred from U.S.S.R. Satellite,
Smithsonian Contrib. to Astrophysics 2 (No. 10); Orbital Data and Preliminary
Analyses of Satellites 1957 Alpha and 1957 Beta, 1958.
19. M i n z n e r R. A. and Ripley W. S., The ARDC Model Atmosphere, 1956,
Air Force Surveys in Geophysics 86, Geophysics Research Directorate, AFCRC,
ARDC, December 1956.
20. P e t e r s e n N. V., Lifetime of Satellites in Near-Circular and Elliptic Orbits,
Jet Propulsion 26 (No. 5), часть 1, 341—351 (1956). [Русский перевод: Петер¬
сен И., Продолжительность полета спутников по почти круговым и эллипти¬
ческим орбитам, сборник «Научные проблемы искусственных спутников» под ред.
Орлова А. А., ИЛ, 1959, стр. 126—163.]
21. Newton R. R., Lifetimes of Artificial Satellites, Jet Propulsion 28 (No. 5),
331—333 (1958).
22. R о b i n s о n A. C. and BesonisA. J., On the Problems of Re-entry into the Earth’s
Atmosphere, Proceedings of the American Astronautical Society, Western Regional
Meeting, August 1958.
23. L e e s L., II a r t w i g F. W. and Cohen С. B., The Use of Aerodynamic Lift
During Entry into the Earth’s Atmosphere, Space Technology Laboratories, GM-TR-
0165-00519, November 1958.
24. A 1 1 e n Id. J., Motion of a Ballistic Missile Angularly Misaligned with the Flight
Path upon Entering the Atmosphere and Its Effect on Aerodynamic Ideating, Aero¬
dynamic Loads, and Miss Distance, NACA TN 4048, 1957.
25. Friedrich II. R. and D ore F. J., The Dynamic Motion of a Missile Descen¬
ding through the Atmosphere, J. Aeronaut. Sci. 22 (No. 9), 628—632, 638 (1955).

ЧАСТЬ II
ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
И КОНСТРУИРОВАНИЕ

ГЛАВА 12
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
Говард С. Сейферт (Howard S. Seifert)
§ 12.1. Введение
Ракета представляет собой агрегат, в котором порции находящегося
в ней вещества приобретают кинетическую энергию и выбрасывают¬
ся наружу в виде газообразной струи в желаемом направлении с управ¬
ляемой скоростью. Следствием изменения количества движения негазо¬
образной части системы является создание реактивной силы, или полез¬
ной тяги.
Оптимальная ракета производит высокую тягу на единицу расхода
массы. При постоянной тяге скорость истечения выбрасываемой массы
меняется обратно пропорционально скорости расхода массы, или секунд¬
ному массовому расходу. Эффективная ракета должна экономно расхо¬
довать массу и поэтому интенсивно расточать энергию. Эта высокая ско¬
рость выделения энергии подразумевает, что выбрасываемое вещество
нагревается до высокой температуры. Задача ракетного двигателя
состоит в преобразовании хаотической тепловой энергии рабочего газооб¬
разного вещества в упорядоченное состояние, в котором скорости многих
молекул настолько, насколько это возможно, ориентированы в определен¬
ном направлении. В идеальных условиях полное количество движения
этих молекул в выбранном направлении будет максимальным, но их тем¬
пература и давление, измеренные наблюдателем, движущимся вместе
с потоком, будут равны нулю.
Коэффициент полезного действия 100% ие может быть достигнут
в атмосфере Земли, так как для этого требуется расширение в вакуум.
Процесс расширения должен окончиться тогда, когда давление в невозму-,
щенной струе вытекающей жидкости достигает давления окружающей
атмосферы; при этом в газе остается большое число хаотически движущихся
со случайно направленными скоростями молекул, которые не создают
полезной тяги. Так как ракетный двигатель использует рабочее вещество,
работающее при перепаде давлений между камерой сгорания и окружаю¬
щей средой, то он может рассматриваться как тепловая машина; при
анализе его действия следует принимать во внимание термодинамиче¬
ские процессы. Основным физическим явлением при таком рассмотрении
является истечение газообразного вещества через канал с одновременным
изменением формы энергии, заключенной в этом веществе. Это может
иметь место как при впрыске жидкости в камеру сгорания с последую¬
щим выхлопом через сопло для жидкостной ракеты, так и при выделении
газа с поверхности твердого вещества для твердотопливной ракеты.

400
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Будем предполагать, что процесс является установившимся; это
значит, что различные физические параметры рассматриваются как
не быстро меняющиеся функции времени. Так как установившиеся про¬
цессы обычно имеют место при постоянном местном давлении, то в сопле
предполагается наличие термодинамически равновесных состояний, даже
если химическое равновесие достигнуто не полностью.
В этой главе будут обсуждаться следующие вопросы: определение
тяги ракеты через скорость и секундный массовый расход выбрасываемого
вещества, а также определение этих величин через размеры сопла и такие
свойства газа, как давление, температура, молекулярный вес и отношение
удельных теплоемкостей.
§ 12.2. Величина тяги ракеты
12.2.1.	Реакция струи частиц. Изучение важного понятия реактив¬
ной тяги начнем с рассмотрения отдачи, производимой параллельным
потоком частиц. Чтобы найти отдачу простой струи, применим к ней
закон сохранения количества движения, который утверждает, что ско¬
рость изменения полного количества движения G определенной системы
частиц равна нулю в свободном от силовых полей пространстве.
Рассмотрим систему только из двух частиц: ракеты с массой т и ско¬
ростью и и элемента газа с массой 8т, который только что покинул сопло
с относительной скоростью ие. Величина количества движения этой
системы есть
G = mv -{-8т (v — ve).	(12.1)
Найдем теперь и приравняем эту величину нулю, имея в виду,
с/(6//г)	dm
что	=	—	—, так как увеличение массы элемента истекающего
газа означает уменьшение массы ракеты. Заметим также, что скорость
истечения ие постоянна и, следовательно, =0 и что величина 8т
мала и в пределе стремится к нулю. Упрощая при этих предположениях
уравнение = 0, получим
dt
»Г)
dt	dt
dv	dm	//lo
т-ЛГ=~^ие-	(12-2)
Левая часть уравнения (12.2) может быть интерпретирована как
реактивная сила F, действующая на ракету; такая интерпретация при¬
водит к обычному уравнению
F=-%V'.	(12.3)
Эта сила называется иногда «тягой количества движения» *) [1]. Секунд-
..	..	dm	<•	«	гр
ныл массовый расход —- считается положительной величиной. 1огда
отрицательный знак в (12.3) выражает тот факт, что F и ve направлены
в противоположные стороны.
*) Обычно эта величина называется динамической составляющей тяги. (Прим.
перев.)

§ 12.2]
ВЕЛИЧИНА ТЯГИ РАКЕТЫ
401
12.2.2.	Реакция струи жидкости. Расчет тяги, обусловленной выбро¬
сом струи сжимаемой жидкости, более сложен, чем расчет тяги, обуслов¬
ленной выбросом группы частиц, вследствие добавления сил давления
к тяге количества движения. Расчет тяги в данном случае мы начнем
с обращения к теореме о количестве движения жидкости [2], которая
утверждает, что вектор полной скорости изменения количества движения,
или производная по времени количества движения объема жидкости,
стационарно протекающего через определенную (в математическом смысле)
поверхность *), равна векторному интегралу от давления по площади
этой поверхности, или полной
силе, действующей на поверх¬
ность. Такой фиксированной зам¬
кнутой поверхностью может быть,
например, внутренняя поверх¬
ность ракетного двигателя вместе
с выходной плоскостью сопла;
эта поверхность определяется в
координатах, связанных с ракетой.
Тяга F, действующая на кор¬
пус ракеты, является суммой всех
сил давления, действующих на
внутреннюю и внешнюю поверх¬
ности ракеты (рис. 12.1). Таким
образом,
Ро
\Ро
F= ^ pds -
(*)
Pidsi+^ p0ds0,
(*i)	<*o>
(12.4)
Рис. 12.1. Силы давления, действующие на
реактивный двигатель: а) внешние силы атмо¬
сферного давления; б) внутренние силы давле¬
ния газообразных продуктов сгорания
где р есть скалярное давление на
стенку двигателя и ds — векторный
элемент (элемент, заданный ортом нормали) площади поверхности стенки.
Индексы i и 0 относятся к внутренней и внешней поверхности соответст¬
венно. Если двигатель ограничен поверхностью вращения, то ясно, что
тяга F будет направлена по оси симметрии двигателя. Чтобы оценить
интеграл по внешней поверхности в уравнении (12.4), применим теорему
о количестве движения к объему газа, ограниченному стенками ракет¬
ного двигателя и плоскостью выходного сечения сопла площадью Ае
(рис. 12.1). Осевая составляющая производной количества движения
газа, текущего через выходное сечение, равна mvxe, где vxe есть средняя
осевая составляющая скорости истечения газа относительно ракеты.
Давление, действующее на заключенный в рассматриваемом объеме газ,
равно — pi и является реакцией со стороны стенок двигателя; средним
давлением, действующим на газ в плоскости выходного сечения, является
давление ре невозмущенного потока газа в этом сечении. Это давление
вместе с р0 дает составляющую тяги, обусловленную силами давления,
которая была упомянута в начале этого раздела**). Заметим, что величина
*) Эта поверхность в механике жидкостей называется контрольной поверхно¬
стью. {Прим. перев.)
**) Эту составляющую обычно называют статической составляющей тяги.
В дальнейшем будут применяться термины статическая и динамическая составля¬
ющие тяги. {Прим. перев.)
26 Космическая техника

402
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
ре обычно не равна величине внешнего давления р0. Предполагая, что
силы давления осесимметричны, и приравнивая осевую составляющую
скорости изменения количества движения газа в объеме двигателя к пол¬
ной силе, действующей на газ, получим скалярное уравнение
[ ^ ( — Pi) dsi]xr Аере^ mvxe,
(si)
ил и
[ I Pidsi]x Aepe — mvxe.	(12.5)
(8i)
Интеграл ^ pQ ds0 по внешней поверхности s0, предполагаемой здесь
(во)
осесимметричной, так что можно написать скалярное уравнение, может
быть легко оценен следующим способом. Результирующая сил равномер¬
ного атмосферного давления на любой полностью замкнутый покоящийся
сосуд равна нулю. Если мы теперь примем во внимание форму ракеты,
то эта сила может быть разложена на, во-первых, осевую силу, действую¬
щую на площадь выходного сечения сопла Ае и, во-вторых, сумму всех
остающихся симметричных сил внешнего давления. Следовательно,
РоАе ] ^ \ А)^о^ = 0,
(so)
ИЛИ
[ ^ jM*o]x= — РоЛе.	(12.6)
(«о)
Вследствие того, что площадь Ае является открытой, появляется неуранпо-
вешенная сила — РоАе, действующая на оболочку ракеты в направлении,
противоположном тяге.
Теперь мы можем исключить из выражения для тяги (12.4) интегралы
с помощью уравнений (12.5) и (12.6). В результате этого получим
1< = Fx - mvxe + Ае{ре — р0).	(12.7)
Это уравнение показывает, что закон тяги для струи сжимаемой жидкости
отличается от уравнения (12.3), определяющего тягу для струи частиц,
наличием статической составляющей тяги Ае (ре — р0) дополнительно
к динамической составляющей — шихе. Знаки в этом выводе выбраны
так, что ихе рассматривается как отрицательная величина, тогда как
все остальные величины в (12.7) являются положительными.
Средняя составляющая скорости истечения в осевом направлении
обычно меньше истинной скорости истечения реактивной струи, которая
часто имеет составляющую, перпендикулярную к оси. Чтобы учесть это
расхождение потока, можно ввести коэффициент X таким образом, что
vxe = Xve.	(12.8)
Величина X зависит от угла раствора конуса сопла в выходном сечении
и в предположении однородного конического потока может быть хорошо
аппроксимирована выражением [3]
X =	(1	+cos	а),
(12.9)

§ 12.3]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СТРУИ
403
где а есть полуугол раствора сопла в выходном сечении. Возможно изме¬
нить направление радиальной составляющей потока посредством исполь¬
зования сопла подходящей колоколообразной формы, как это делается
в сверхзвуковых аэродинамических трубах [4]. Тогда весь поток будет
направлен приблизительно параллельно оси сопла. Таким способом'
данная степень расширения при параллельном потоке может быть дости¬
гнута в более коротком и легком сопле, чем в эквивалентном простом
коническом сопле с малым углом раствора.
12.2.3.	Условие максимальной тяги. Покажем, что при условии
Ре Ро в уравнении (12.7) тяга является максимальной. Говорят, что
сопло, для которого ре = ро, является «правильно расширяемым» *). Если
ре < ро, то газы перерасширяют-
ся и статическая составляющая
тяги будет отрицательной, хотя
эта потеря отчасти компенсирует¬
ся увеличением динамической со¬
ставляющей. Если ре> ро, то газы
недорасширяются. Хотя в этом
случае статическая составляющая
тяги будет положительной, она
не полностью компенсирует паде¬
ние скорости истечения ve вследствие недостаточного расширения. Так
как изменения статической и динамической составляющих тяги стремят¬
ся компенсировать друг друга, то полная тяга оказывается весьма
чувствительной к изменению отношения давлений ро/ре- Например, соп¬
ло, расчетный режим которого соответствует уровню моря, дает на высо¬
те 40 ООО футов (давление 2,72 фунт /дюйм2) тягу на 6% меньше, чем
сопло с расчетным режимом для такой высоты, хотя оба сопла будут
увеличивать тягу с высотой вследствие уменьшения внешнего давления р0.
Обоснование с физической точки зрения того факта, что тяга является
максимальной при ре — р0, может стать ясным из рассмотрения рис. 12.2,
где представлена эпюра давления по расходящейся конической части
сопла.
Сечение А на рис. 12.2 выбрано так, что для него ре р0. Пусть
в области недорасширенного сопла расположено некоторое начальное
сечение, в котором рс >> р0; представим себе, что мы переходим в область
перерасширения путем добавления к начальному сечению малых эле¬
ментов сопла В. Каждая такая добавка будет влиять на полную тягу
вследствие изменения давления по соплу. Пока ре >> /;0, сила, действую¬
щая на элемент приращения сопла, увеличивает полную тягу. После
того, как точка А достигнута, ре <С ро и дальнейшие приращения умень¬
шают полную тягу. Следовательно, максимальная тяга достигается
в случае, когда используется как раз такое коническое сопло, что ре~ р0.
§ 12.3. Определение скорости струи
Уравнение (12.7) для тяги несложно по форме, но записано через
переменные, которые непосредственно не могут быть измерены, а именно,
через секундный массовый расход и скорость истечения. Следовательно,
Р с. 12.2. Эшора распределения давлений по
конической части сопла.
*) В отечественной литературе такой режим работы сопла называется расчет¬
ным. СПрим. перев.)
26*

404
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
полезно эти величины выразить через давление и другие известные пара¬
метры газа.
12.3.1.	Закон сохранения энтальпии и кинетической энергии. Пред¬
положим, что поток газа через канал является параллельным, одномер¬
ным и адиабатическим. Из закона сохранения энергии может быть пока¬
зано [5], что энтальпия, или теплосодержание, газа h (определяется как
сумма и + pV, где и есть химическая внутренняя энергия, р — стати¬
ческое давление и V — удельный объем газа) и его кинетическая энергия
связаны соотношением
h + \ v2 = const,	(12.10)
где v, как и в уравнении (12.5), есть макроскопическая упорядоченная
скорость элемента газа, а не хаотичная тепловая скорость молекул.
Уравнение (12.10) действительно для адиабатических процессов, причем
могут иметь место как химические реакции, так и вязкое трение.
Удельная теплоемкость ср реального газа при постоянном давлении
определяется как
'*=(&),•	<12Л1>
где Т — абсотютная температура. Если мы предположим, что ср постоян¬
на, то
h = срТ -f const.	(12.12)
Рассмотрим поток газа через сопло, выходящий из достаточно большой
камеры сгорания, так что скорость входа газа в сопло пренебрежимо мала.
Тогда уравнение (12.12) с учетом (12.10) дает соотношение
у-0 = ср(Тс-Т),	(12.13)
в котором Тс есть температура газа в камере сгорания,	где	скорость потока
равна нулю,	и	Т	есть	статическая температура	газа	в	точке	сопла, где
скорость потока равна и. В дальнейшем, рассматривая рабочее вещество
как идеальный газ, мы можем использовать хорошо известное соотноше¬
ние для определения ср, приводящее к
(12Л4)
где у = °р— отношение удельных теплоемкостей, R'— универсальная
cv
газовая постоянная, М — молекулярный вес газообразных продуктов
сгорания.
Чтобы рассчитать скорость и, получаемую при данной химической
реакции, необходимо знать температуру сгорания Гс, а также средний
молекулярный вес М и отношение удельных теплоемкостей у продуктов
сгорания. Как Тс, так и М могут быть вычислены путем последовательного
приближения следующим методом.
1. Выбрать реагирующие вещества и их весовые пропорции.
2. Записать основные реакции.
3. Задать температуру реакции Тс.
4. Предполагая химическое равновесие, использовать законы сохра¬
нения масс и взаимодействия вещества для того, чтобы сбалансировать
записанные химические реакции.

§ 12.3]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СТРУИ
405
5. Корректировать величину Тс посредством подбора, пока уравне¬
ния химических реакций не будут удовлетворены.
6. Вычислить М и у для смеси продуктов сгорания.
12.3.2.	Скорость потока газа как функция отношения давлений.
Используя уравнение состояния газа в виде
^ = шт	(12Л5)
и предполагая, что адиабатическое расширение газа есть также изэнтро-
пическое, так что может быть использовано обычное соотношение
£-(£Г ■	<12Л6>
мы можем записать выражение для скорости в виде
(12.17)
V—1
v= у —t- - R'Tc Г л f Р Л у
у — 1 М
Сомножитель в скобках является коэффициентом полезного дейст¬
вия идеального цикла процесса расширения
у—1
„,= !-(£) ’	(12.19)
и характеризует переход энтальпии в кинетическую энергию струи.
Этот коэффициент достигает единицы при — = 0.
Рс
Полезно напомнить те предположения, при которых уравнения (12.17)
и (12.18) оказываются справедливыми. Эти предположения таковы:
а) одномерный параллельный поток; б) имеет место уравнение состояния
идеального газа; в) удельные теплоемкости постоянны; г) расширение
адиабатическое и изэнтропическое; д) отсутствие реакций в потоке;
е) нулевая скорость входа потока в сопло. Хотя может показаться, что
эти предположения ограничивают слишком многое, окончательные урав¬
нения соответствуют эксперименту с точностью до двух или трех про¬
центов при самых точных измерениях.
12.3.3.	Роль отношения удельных теплоемкостей. Безразмерное
отношение у = встречается очень часто во всех уравнениях, описываю-
cv
щих истечение газа. Следовательно, нужно изучить физическую сущность
величины у, в которой cv есть мера энергии, требуемой, чтобы повысить
температуру (т. е. кинетическую энергию поступательного движения
частиц) единицы массы газа на один градус при постоянном объеме,
а ср есть мера энергии, необходимой для того, чтобы повысить температуру
на один градус и, кроме того, выполнить работу расширения так, чтобы
сохранить постоянное давление окружающей среды независимо от того,
является ли она газообразной или жидкой. Следовательно, чем ближе
у = — к единице, тем большая величина тепловой энергии, связанной
cv
с данной массой газа, приходится на единицу механической работы при
адиабатическом процессе.

406
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Кинетическая теория газов утверждает, что внутренняя энергия
молекулы по истечении достаточно большого времени равномерно рас¬
пределяется по степеням свободы молекулы во вращательном, колебатель¬
ном и поступательном движении ее. В условиях равновесия каждая сте¬
пень свободы может обладать энергией 1/2кТ, где к — постоянная Больц¬
мана. Таким образом, простая молекула не обладает резервом энергии
и быстро тратит тепловую энергию (температуру) на работу над окружаю¬
щей средой в процессе расширения. С другой стороны, сложная молекула
со многими степенями свободы обладает большей возможностью запасать
энергию за счет иеноступательных степеней свободы при данной темпера¬
туре (у близко к единице), так что такая молекула медленно теряет тем¬
пературу (кинетическую энергию поступательного движения) в процессе
расширения. Это отмечено в уравнении адиабатического расширения
(12.16). Например, если у = 1,25, то из (12.16) следует
Тс
Ре V/e
Рс)
(1.2.20)
0о°0о
о осг
а)
и падение давления на 97% дает уменьшение температуры только на 50%.
На рис. 12.8 показана зависимость коэффициента тяги Сот у, которая
будет рассмотрена в разделе 12.7.2.
12.3.4.	Роль молекулярного веса М. Уравнение (12.18) показывает,
что для получения высокой скорости истечения нужно поддерживать
высокую температуру в камере сгорания, а про¬
дукты сгорания1 должны обладать небольшим
молекулярным весом. В общем, если рассматри¬
вать два различных газа с различными молеку¬
лярными весами при одинаковой температуре, то
каждая молекула этих газов будет обладать одной
и той же энергией поступательного движения
согласно принципу равномерного распределения
энергии. Следовательно, при расширении газов
в вакуум отношение их скоростей будет обратно
пропорционально корню квадратному из отноше¬
ния их молекулярных весов, а количество движе¬
ния каждой молекулы будет прямо пропорцио¬
нально корню квадратному из молекулярного
веса. При равных температурах, секундных мас¬
совых расходах и давлениях большая тяга может
быть обеспечена веществом с более низким моле¬
кулярным весом; это можно проиллюстрировать
следующим количественным расчетом.
Рассмотрим две камеры сгорания при одних
и тех же значениях температуры и давления
(рис. 12.3), содеря^ащие две разновидности моле¬
кул идеального газа — с молекулярным весом М и 100М. Если средняя
кинетическая энергия более легкой молекулы равна г12Ми2, то более
б)
Рис. 12.3. Дна одинаковых
реактивных двигателя, у
которых продукты сгора¬
ния отличаются молеку¬
лярными весами при одина¬
ковых значениях рс, Af,
Тс. Молекулярный вес
продуктов сгорания для
двигателя а) равен 100М,
для двигателя б) равен М\
тяжелая молекула имеет ту же самую энергию, а именно 1/2ЮОМ^10
Если теперь предположить, что газ расширяется в вакуум, то средняя
величина количества движения каждой из более легких молекул будет
Ми, а каждой из более тяжелых молекул 100М ^ или ЮМи. Однако
при равных массовых секундных расходах 100 легких молекул экви¬

§ 12.4]
ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОПЛА ЛАВАЛЯ
407
валентны одной тяжелой, так что изменение полного количества движе¬
ния, а следовательно, и тяга для камеры, содержащей более легкие моле¬
кулы, будет в 10 раз больше, чем для той, которая содержит более тяже¬
лые молекулы. Этот эффект важен при выборе ракетного топлива: пред¬
почтение отдают тем видам топлива, которые содержат больший процент
водорода. Интересно отметить, что полная мощность, обеспечиваемая
легким топливом, будет, конечно, в 100 раз больше, чем мощность, обеспе¬
чиваемая тяжелым топливом.
Наиболее подходящим рабочим веществом для ракеты с ядерным
тепловым реактором обменного типа (см. гл. 15) с этой точки зрения должен
быть водород, так как молекулярный вес топлива для такой ракеты почти
не зависит от температуры (см. табл. 12.1).
Таблица 12.1
Сравнение двух ракет с относительными молекулярными весами
продуктов сгорания М и 100 М при одной и той же температуре
Сравниваемые величины
Легкий газ
!
Тяжелый газ j
(
Молекулярный вес . .
Кинетическая энергия, приходящаяся
на частицу
Количество движения частицы . . .
Число частиц на единицу массы . .
Тяга на единицу массы
М
Ми
1
М
—г
100Ж |
WU):
iOMv '
КИШ
V
~Го
Энергия расширения на единицу массы
■100 2
j Энергия расширения на единицу тяги F
~1г2
1 1 ,
10' 2 v~
§ 12.4. Истечение из сопла Лаваля
12.4.1.	Физическое значение скорости звука. Сомножитель ^ R^с-,
присутствующий в уравнениях (12.17) и (12.18) для скорости рас¬
ширяющегося газа, пропорционален заключенной в газе до расширения
кинетической энергии хаотического поступательного движения, прихо¬
дящейся на единицу массы газа. Молекулы газа движутся с некоторой
среднеквадратичной скоростью. Так как возмущения давления распростра¬
няются по газу со скоростью, которая зависит от той же самой средней
молекулярной скорости, то мы вправе интуитивно ожидать, что темпера¬
тура, скорость звуковой волны в газе и скорость, приобретенная моле¬
кулами этого газа при свободном адиабатическом расширении, окажутся
связанными простым образом. Действительно, скорость звука в двух¬
атомных газах будет составлять от 0,60 до 0,80 среднеквадратичной моле¬
кулярной скорости [6].
Так называемая скорость звука а вычисляется по основному уравне¬
нию Лапласа [7]:

408
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
при постоянной энтропии s. Уравнение (12.21) действительно для любой
однородной упругой среды. Для адиабатических процессов в идеальных
газах уравнение (12.21) приводится к виду
a'=yi=^wT-	(12-22>
Следовательно, обозначив скорость звука в камере сгорания через аСУ
из уравнения (12.18) получим выражение для максимальной скорости
истечения газов из сопла
^шах = ае(^1)1/2,	(12.23)
а уравнение (12.17) для скорости истечения при любом давлении р дает
»=««(^)',,[1-(£)~Г-	<12-24>
Для продуктов сгорания типичного ракетного топлива у = 1,25, так
что утах = 2,8 ас. Для типичного случая расширения от 500 фу пт/дюйм2
до 15 фунт/дюйм2 местная скорость звука в выходном сечении соп¬
ла составляет около ас/2 и отношение выходной скорости истечения
к местной скорости звука и/а — число М — лежит в пределах от трех
до четырех. Такой сверхзвуковой поток может быть получен только при
соответствующим образом сформированном сопле, как будет показано
в разделе 12.4.5.
12.4.2. Выражение скорости и давления газа через число М. Часто
трудно выяснить связь между местной скоростью и давлением и местным
числом М, опираясь только на физическое рассмотрение. Уравнение (12.17)
может быть преобразовано с тем, чтобы выразить число М через давление:
4=TW"*«’=Fi[(i)V-’]•	<12'25>
Y М
Разрешив уравнение (12.25) относительно р, получим
[г+(у —1)М*]	'	(12.26)
Уравнения (12.25) и (12.26) полезны для определения критических точек,
в которых поток из дозвукового превращается в сверхзвуковой.
12.4.3. Контур сверхзвукового сопла (сопла Лаваля). Как было уста¬
новлено в разделе 12.3, при проектировании ракеты необходимо выразить
тягу, которая пропорциональна секундному массовому расходу и ско¬
рости истечения, через давление и известные свойства продуктов сгорания.
Это уже было сделано для скорости истечения и в уравнении (12.18).
Остается показать, как секундный массовый расход т может быть выражен
через эти же данные и как влияет на тягу атмосферное противодавление.
После этого тяга двигателя может быть подробно рассчитана при задан¬
ных размерах и давлениях.
Геометрическая форма сопла, через которое выбрасываются сжатые
газы, важна при определении как секундного массового расхода, так
и тяги. Не очевидно a priori, какова должна быть форма этого сопла. Напри¬
мер, скорость несжимаемой жидкости, такой, как вода, текущей через
сходящееся-расходящееся (конфузор-диффузорное) сопло, сначала увели-

§ 12.4]	ИСТЕЧЕНИЕ	ИЗ	СОПЛА	ЛАВАЛЯ	409
чивается, а затем уменьшается, причем максимум имеет место в минималь¬
ном поперечном сечении. Секундный массовый расход пропорционален
полному перепаду давления. С другой стороны, сжимаемая жидкость,
проходящая при адиабатическом расширении через такое сопло, будет
вести себя аналогичным образом только до тех пор, пока скорость во всех
точках сечения меньше местной скорости звука. Как только достигнута
звуковая скорость, что происходит прежде всего в наиболее узком попе¬
речном сечении, или горловине, режим совершенно изменяется. Секунд¬
ный массовый расход (но не скорость) теперь оказывается нечувствитель¬
ным к любым изменениям давления потока за горловиной. Более того,
скорость потока газа за горловиной будет увеличиваться (становясь
сверхзвуковой) до величины, определяемой давлением в выходном сече¬
нии сопла. Отношение давлений ре1рс, необходимое для того, чтобы вызвать
образование звукового потока, называется критическим отношением
давлений [см. уравнение (12.26)]. Отношение давлений в большинстве
ракетных двигателей значительно больше этой минимальной величины *).
Для проверки этих положений в дальнейшем будут установлены количе¬
ственные соотношения.
12.4.4. Площадь поперечного сечения сопла как функция давления.
Так как секундный массовый расход т через поперечное сечение сопла
есть величина постоянная, то мы получим условие непрерывности в виде
ш = Aqv = const,	(12.27)
где А есть площадь любого поперечного сечения сопла, a q и v — плот¬
ность и скорость потока, который считается однородным, в этом сечении.
Можно выразить как q, так и и
через отношение давлений р/рС1
что приводит к связи между
давлением р в любом попереч¬
ном сечении и площадью А в
том же самом сечении при задан¬
ном секундном массовом расходе
т. Величина q может быть вы-
ражена через давление посред¬
ством уравнения, подобного
уравнению (12.16), а именно:
Область
\ атукает
; астлчслал
Область
свсршухасага
истечет/я
ИстсУВ*
^ лас
газа
Q = QC
1
a Vy
PcJ
(12.28)
Рис. 12.4. Контур типичного сопла Лаваля, даю¬
щего тягу в 750 фунтов при заторможенном дав¬
лении 500 фунт/дюйм2	иу=1,25.	Эта	диаграмма
показывает, что площадь поперечного сечения сопла
проходит через минимум, хотя скорость газа рав¬
номерно увеличивается.
Подставляя величины q и и из уравнений (12.17) и (12.28) в уравнение
(12.27) и разрешая его относительно А, получим
1	у—	1
т f Р Л v ( 2v Рг. Г л А р \ ^	-1/2
Qc \Рс,
;ПМ‘-а)'т ]}-
(12.29)
Если площадь А рассчитывается для ряда монотонно уменьшающихся
величин р/рс, то она имеет минимум. Это означает, что для монотонного
*) Если говорить об отношении ре/рс, то для большинства ракетных двигате¬
лей это отношение меньше критического. Может быть, автор имел в виду отноше¬
ние рс/ре? {Прим. перев.)

410
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
уменьшения р и, следовательно, увеличения и согласно уравнению (12.17)
сопло должно иметь форму такую, как показано на рис. 12.4. Сопло,
имеющее такой контур, называется соплом Лаваля (по имени шведского
инженера Карла Лаваля, который первым применил его для получения
сверхзвуковых скоростей газа).
12.4.5.	Необходимость горловины сопла. Тот факт, что сверхзвуковое
сопло должно иметь сходящуюся-расходящуюся (конфузор-диффузорную)
форму, может быть показан другим путем. Уравнение непрерывности,
записанное в дифференциальной форме, имеет вид
p+f+?=0-	(12-30)
Закон Бернулли в дифференциальной форме
v dv = — —
G
может быть при помощи уравнения (12.21) записан в следующем виде:
*Е =	~vdv.	(1.2.31)
Q dQ Q	Q	V	7
Подставляя выражения для dq/q в уравнение (12.30) и вспоминая опре¬
деление числа М, получим
^=-?(1“Ма).	(12.32)
Уравнение	(12.32)	показывает, что при непрерывном увеличении	скорости
по ходу	сопла	(т.	е.	если	^ > 0 по всему соплу)	имеем	следующее:
когда скорость и меньше скорости звука, т. е. М < 1,	<0,
л
площадь А уменьшается;
dA
когда скорость v равна скорости звука, т. е. М = 1,	--	0,	вели¬
чина А минимальна;
когда скорость и больше скорости звука, т. е. М > 1,^1 > 0,
величина А увеличивается.
Точка минимальной площади поперечного сечения At соответствует
горловине. Величина отношения давлений ptIpc может быть легко найдена
приравниванием М единице в уравнении (12.26) или дифференцированием
(12.29)	по р/рс и приравниваем нулю производной *). Таким путем
мы получим
МтгО*	(ШВ)
Используя уравнения (12.33) и (12.16), мы найдем отношение температур
*) Автор не делает различия между понятиями «горловина» и «критическое
сечение», хотя, как это следует из имеющегося в тексте определения, горловиной
обладают и дозвуковые сопла. Поэтому из двух определений критического отно¬
шения давлений, данных автором, более правильным является первое. В дальней¬
шем для сверхзвуковых сопел везде употребляется термин «критическое сечение».
{Прим. перев.)

£ 12.4]
ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОПЛА ЛАВАЛЯ
411
для критического сечения в виде
Ъ.
Тп
Y+1
(12.34)
Отношение давлений, данное уравнением (12.33), называется кри¬
тическим отношением давлений; эта величина уже была введена в этом
разделе. Если величина отношения давлений для любого сечения меньше
критической *), то сопло имеет сходящуюся (конфузорную) форму;
з противном случае оно является соплом Лаваля. Подставляя величину
' 0,03 0,04- 0,050.030,7	0,2	0,3	0,4	0,5	0,8 10
Отношение давлений p/pt
Рис. 12.5. Зависимость температуры Т, скорости v, площади А, плот¬
ности р и числа М от давления р потока в сопле. Все величины отнесены
к их значениям в критическом сечении; у = 1,2.
критического отношения давлений из уравнения (12.33) в уравнение
(12.17)	и используя уравнения (12.16) и (12.22), мы найдем скорость
потока в критическом сечении vt:
РсУ/2==/ 2yR'Tc у/2 f - IV
:“4y + 1’QcJ	\M(y + i)J ~ VYM
Vf-
1/2
Tt )
(12.35)
которая является как раз местной скоростью звука. Нужно заметить,
что эти уравнения справедливы как для идеального, так и для реального
газа. Физическое рассмотрение потока через сопло Лаваля дается Ванд-
гейлером [8].
*) Так как рассматривается отношение р/рС1 то для сходящегося сопла это
отношение больше критического. {Прим. иерее.)

412
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Из уравнений (12.29) и (12.32) для площади А следует, что достиже¬
ние минимума площади необходимо, если скорость газа должна непре¬
рывно увеличиваться; уравнение (12.29) связывает давление р и пло¬
щадь А однозначно. Однако не имеется какой-либо другой информации
о действительной геометрической форме сопла. В действительности
точный контур сопла определяется другими, менее важными факторами,
такими, как вес, коэффициент теплопередачи сопла, срыв потока в сопле.
Характерный контур сопла показан на рис. 12.4.
12.4.6.	Режим работы сопла при различных противодавлениях. Рас¬
смотрим режим работы сопла при фиксированном давлении в камере сго¬
рания и изменяющемся внешнем давлении, действующем иа выходное
сечение сопла; это внешнее давление назовем противодавлением. Пусть
в начальный момент противодавление равно давлению в камере сгорания.
Теперь несколько уменьшим величину противодавления. В этом случае
поток будет везде дозвуковым и сопло в действительности является просто
трубкой Вентури. Если проследить по ходу потока, то скорость сначала
увеличивается, но за горловиной снова падает. Скорость в горловине
будет увеличиваться при непрерывном уменьшении противодавления,
а следовательно, секундный массовый расход т через сопло будет также
увеличиваться. Как только в критическом сечении (горловине) достигнута
скорость звука, дальнейшее уменьшение выходного давления не увеличи¬
вает величину т, которая будет оставаться постоянной. Однако скорость
потока в выходном сечении сопла будет увеличиваться с уменьшением
противодавления и, поскольку площадь выходного сечения имеет соот¬
ветствующие размеры [см. уравнение (12.29)], эта скорость может быть
рассчитана по уравнению (12.17). Рис. 12.5 показывает изменение вдоль
сопла параметров р, q, ил Т, отнесенных к их значениям в критическом
сечении.
§ 12.5. Секундный массовый расход через сопло
12.5.1.	Выражение секундного массового расхода через параметры
газа в камере сгорания. В уравнение для тяги (12.7) входят две важные
величины: скорость истечения и и секундный массовый расход ш. Жела¬
тельно получить соотношение, выражающее секундный массовый расход
через измеряемые величины, такие как давление в камере сгорания рс
и площадь критического сечения At подобно уравнению (12.18) для ско¬
рости истечения.
Начнем с того, что напишем уравнение непрерывности (12.27) для
критического сечения сопла, что дает
m — AtQtvt.
Теперь выразим vt и Qt через параметры газа в камере сгорания. Из урав¬
нения (12.35) мы имеем
1,' = С-+гтгУГ-	<‘2-36>
Разрешая уравнение состояния идеального газа (12.15) относительно q/t
найдем
Qt = ~Eis7-	(12.37)
Тгтог

§ 12.5]
СЕКУНДНЫЙ МАССОВЫЙ РАСХОД ЧЕРЕЗ СОПЛО
413
Вспомним, что связь между параметрами потока в камере и критическом
сечении однозначно определяется посредством «критических отношений»,
уже полученных в виде уравнений (12.33) и (12.34):
Подставляя (12.33) и (12.34) в (12.37) и в свою очередь, (12.37) и (12.36)
в (12.27), окончательно получим
Y+1
12.5.2.	Характеристическая скорость истечения с*. Знаменатель
уравнения (12.38) имеет размерность скорости; перепишем это уравне¬
ние, введя новый параметр с*, называемый «характеристической ско¬
ростью истечения»:
Так как Г'— постоянная порядка единицы, то величина с* близка
к скорости звука для газов в камере сгорания. Она может быть также
интерпретирована как характеристика давления в камере сгорания, необ¬
ходимого для прохождения единицы массы газа в единицу времени через
единицу площади критического сечения.
Характеристическая скорость легко измеряется опытным путем при
сгорании данного топлива при определенном давлении. Из уравнения
(12.41)	очевидно, что величина с* не зависит от давления и диаметра
выходного сечения сопла и может быть рассматриваема как мера эффек¬
тивности процесса образования или процесса горения газа. Параметр с*
обычно используется как мера качества топлива, хотя иа его величину
может неблагоприятно влиять плохое проектирование камеры сгорания.
Теоретическая величина с* может быть найдена при использовании физико¬
химических методов расчета Тс, у и М из уравнения (12.41). Эксперимен-
РгА+
тальные измерения величины —— для хорошо спроектированного дви-
m
гателя дают обычно значения свыше 90% от этих теоретически вычислен¬
ных значений. Такие лабораторные исследования являются часто основой
Y
И
•или
(12.38)
где
Y+1
(12.39)
(12.40)
где
с* _ Pc^t _
с
(12.41)
771
Г7
Г'

414
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
для проектирования ракетного двигателя. В гл. 13 дается таблица вели¬
чин с* для некоторых видов топлива. Некоторые авторы [9] сопоставляют
этот параметр с так называемым «коэффициентом расхода» CD -- -г .
W
Этот коэффициент имеет размерность скорости.
§ 12.6. Расширение сопла г как функция отношения давлений
Чтобы определить, насколько хорошо давление на срезе сопла соот¬
ветствует внешнему давлению и, следовательно, как близко данное сопло
Рис. 12.6. Отношение давлений Ре/рс как функция расширения сопла
для различных значений параметра у.
к работающему на расчетном режиме, полезно выразить отношение пло¬
щадей сопла в = (расширение сопла) как функцию отношения давле-

§ 12.7]
КОЭФФИЦИЕНТ тяги cF
415
ний — . (Заметим, что отношение рс/ре более удобно, чем pt/pe•) Выра-
Р е
жение для в может быть найдено путем использования уравнения
(12.29). Исключив из этого уравнения неизвестную величину секунд¬
ного массового расхода т при помощи уравнения (12.38), получим
где величина Г' уже определена по (12.39). Температура в камере сгора¬
ния (или ее эквиваленты ас и —), которая обычно недоступна измере-
Qc
нию, не фигурирует в уравнении (12.42). Величина г ^ как функция
Ре
отношения — для различных значении параметра у показана на
Рс
рис. 12.6.
По соотношению (12.42) можно вычислять площадь поперечного
сечения А, соответствующую любому значению давления невозмущен¬
ного потока сопла, а не только площадь выходного сечения сопла. В вы¬
ходном сечении А ~ Ае и р — ре.
Чтобы найти в для сопла, работающего на расчетном режиме, сле¬
дует положить ре ----- р0, где р0 — внешнее атмосферное давление.
§ 12.7. Коэффициент тяги CF
12.7.1. Эмпирическое определение коэффициента CF. Часто бывает
нужно выразить тягу F через давление, в камере сгорания рс и площадь
критического сечения At, а не через т и и, как это было сделано в уравне¬
нии (12.7), ибо рс и At могут рассматриваться как независимые пара¬
метры регулирования, от которых зависит тяга. Экспериментально най¬
дено, что величина тяги подчиняется соотношению
F = CFXPcAt,	(12.43)
где CFX — экспериментальный коэффициент тяги; величина CFX легко
определяется путем измерения остальных величин, входящих в уравне¬
ние (12.43). Эта измеренная величина CFX может быть затем использо¬
вана для определения площади критического сечения ракетного сопла
двигателя, обеспечивающей любую нужную тягу при условии, что пере¬
менные, от которых зависит CFXQ~, —, X, у и влияние трения^ ,
остаются постоянными.
12.7.2. Аналитическое определение коэффициента Cf. Получим теперь
аналитическое выражение коэффициента тяги CF как функции величии
Рс	А	р	^
Y, и е = —, предполагая изэнтропическии поток без отрыва от стенок
сопла. Затем эту величину можно сравнить с экспериментально найден¬
ной, чтобы определить величину влияния трения и срыва потока. Для
хорошо спроектированного сопла CFX на 3% меньше, чем CF.
Преобразуем основное уравнение тяги (12.7) путем подстановки в него
выражений для величины секундного массового расхода т из уравнения

416
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Рис. 12.7. Коэффициент тяги Ср как функция расширения сопла е при истече¬
нии без поТерь в вакуум; у является параметром.
Рис. 12.8. Коэффициент тяги Ср как функция расширения сопла г при работе
сопла на расчетном режиме (ре = Ро) без потерь; у является параметром.

§ 12.7]
КОЭФФИЦИЕНТ ТЯГИ Ср
417
(12.38)	и скорости v из уравнения (12.18). В результате получим
Y-1
F = Г' {4, Г 1 - (g) V ] }lh PcAt + (Ре - Ро) Ае- (12.44)
Деление этого уравнения на величину pcAt дает:
F
CF —
Pc^t
С
'“Ч
Y-1
Y— 1
Ср = Ср ( у, 8.
[‘-(Й)т ]}
)•
Х/2 , Ре~ Ра Де
Рс At
(12.45)
Рс
Ро
А
Рс
Ре,
Так как величины е = теи- однозначно связаны уравнением (12.42),
At Ре
то в действительности CF есть функция только четырех независимых пара¬
метров (у, е, рс, ро). Как было показано в разделе 12.2.3, тяга, а следова¬
тельно, и Ср имеет максимум по ре при ре = р0. Однако Ср асимптотически
стремится к верхнему пределу в том случае, когда ре и р0 вместе стре¬
мятся к нулю, т. е. при большом расширении сопла и истечении в среду,
близкую к вакууму. Например, если у = 1,25, то этот верхний предел
равен приблизительно 2,1 (см. рис. 12.9).
Рис. 12.9. Коэффициент тяги Ср как функция расширения сопла, рабо¬
тающего без срыва потока при выбранных значениях величин y и ро/рс»
которые являются параметрами.
Из уравнения (12.45) следует, что при подъеме в атмосфере ракеты
с фиксированным значением е коэффициент тяги CF монотонно увеличи¬
вается, несмотря на то, что в может быть оптимальной только для одной
определенной высоты. Изменение величины е и приведение режима сопла
к расчетному могли бы повысить.величину CF еще на несколько процеи-
тов. Например, в типичном случае при у = 1,25 Ср увеличивается на
8% при подъеме от уровня моря до высоты 40 ООО футов (х/4 высоты
27 Космическая техника

418
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ^РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
О.Ш
Ро_
Рс
ОШ7 <
Ц0Ш7
QO01
ACF = e(p0/pc)
Рис. 12.10. Номограмма для определения поправки к коэффициенту Ср
при различных атмосферных давлениях или высотах.
4,
Голуугол
растеора сопла
ёррелтиено/и
угол /глина
Граница
струи
/fpumuvecuoe
се venue
Облаете нееозл/у-
щенлего газа
Ршоднее
сенение
сопла
Рис. 12.11
Олосносте
отрта потопа
Гипотетическая структура потока в сопле при перерасширении.

§ 12.7]
КОЭФФИЦИЕНТ тяги cF
419
атмосферы) для неизменяемого сопла и на 12%, если используется
«резиновое» сопло, которое регулируется с целью работы на расчетном
режиме для любой высоты. Если
бы увеличение высоты было бес¬
конечным (нулевое атмосферное
давление), то увеличение коэффи¬
циента CF для неизменяемого
сопла составило бы 12%, в то
время как для регулируемого —
около 50%.
Кривые зависимости е от
отношения рс /ре были приведены
на рис. 12.6. Рис. 12.7 дает кри¬
вые зависимости CF = CF (е) для
идеального сопла (т. е. без потерь
на трение и расхоящение потока)
при истечении в вакуум (р0 = 0),
а на рис. 12.8 те же зависимости
для идеального сопла, для кото¬
рого р о = ре. Наконец, иа
рис. 12.9 показан ряд кривых
CF = CF (е) для нерасчетных ре¬
жимов идеальных сопел (т. е.
р0 ф ре)ч для которых параметр
Ро/рс, т. е. отношение атмосфер¬
ного давления к давлению в ка¬
мере сгорания, имеет величины
КГ1, 10"2, 10_3 и 1СГ4. Все эти
кривые построены для у =1,0;
1,2; 1,4;	1,6. Рис. 12.10 дает
номограммы для определения ве¬
личины поправки ACf = г (
2	4	6 в 70
О/яяошеяае яяащаОа сеченая ерша патана
аг плащаОа нратичеснагс сечения As /At
Рис. 12.12. Экспериментальная зависимость
отношения площади в сечении срыва потока к
площади критического сечения от отношения
давления vclvo\ Y=l,25.
к коэффициенту Съ
\Рс.
рассчитанному
Лишя ОП/771/МаЛАШХ
значений е 4
Увеличение
атнаи/ения
СРс/Ро)
для истечения в вакуум при лю¬
бом атмосферном давлении или
высоте.
12.7.3.	Влияние срыва по¬
тока на величину коэффициен¬
та CF. Саммерфилдом [10] и
другими авторами были прове¬
дены и опубликованы работы,
в которых рассматривались
физические явления, связанные
со срывом потока в сопле. На
рис. 12.11 показано, что влия¬
ние на тягу срыва потока экви¬
валентно уменьшению отноше¬
ния площадей сопла. Для любо¬
го данного отношения давлений
рс/ро «эквивалентное» значение
е может быть оценено, если ве¬
личина полуугла раствора сопла близка к 15°. На рис. 12.12 показана
эмпирическая связь между г и рс/ро-
27*
Рис. 12.13. Качественная диаграмма коэффициен¬
та CF как функции е при срыве потока.^

420
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Влияние срыва потока заключается в увеличении коэффициента CF
по сравнению с величиной его без срыва потока. Это явление вызовет
увеличение тяги высотного сопла (большое значение г) на уровне моря
выше ожидаемого значения тяги. Рис. 12.13 дает качественную оценку
величины CF при срыве и без срыва потока. Величина силы, которую дает
часть сопла за плоскостью срыва потока, трудна для аналитической оцен¬
ки. В известном отношении эта сила направлена против тяги, так как
в области сопла за срывом потока внешнее давление будет в общем выше,
чем внутреннее давление.
§ 12.8. Ускоряемый поток в камере сгорания
12.8.1.	Цилиндрический двигатель. До сих пор мы предполагали, что
газы входят в сходящуюся часть ракетного сопла с пренебрежимо малой
скоростью [см., например, уравнение (12.13)]. Однако для уменьшения
размеров и веса камеры сгорания площадь ее поперечного сечения иногда
уменьшают до величины, близкой к площади горловины (^0,3 <	1,0^ .
В результате этого продукты сгорания, которые входят в камеру с пре¬
небрежимо малой скоростью, ускоря¬
ются до значительных скоростей при
входе в сопло. Двигатель, обладающий
такими свойствами, называют иногда
цилиндрическим. Если 4^-= 1,0, то
двигатель можно определить как дви¬
гатель без горловины, или прямой,
г\
и, наконец, при —>0 двигатель мо-
с
жет быть отнесен к идеальному типу.
Рассмотрим сначала истечение газа в
цилиндрическом двигателе.
Будем предполагать, что компо¬
ненты топлива впрыскиваются в камеру
в газообразном состоянии с нулевой на¬
чальной скоростью, что средняя удель¬
ная теплоемкость и молекулярный вес
истекающих газов не изменяются во
время их пребывания в двигателе, что
действительны законы идеального газа
и что потери на турбулентность, трение
и теплоотдачу пренебрежимо малы. Как
будет показано, такой адиабатический
ламинарный поток оез трения не предполагает изэнтропического про¬
цесса расширения.
Влияние изменения отношения площадей At/Ac на распределение
давления вдоль камеры сгорания показано на рис. 12.14. Если мы опре¬
делим рс как давление в камере сгорания идеального двигателя, дающего
данную тягу, то распределение давления вдоль сопла в этом случае дается
кривой рсро- Индексы 2, 2, t, е обозначают сечения впрыска, нижнего
конца цилиндрической камеры, горловины и выходного сечения сопла
соответственно. Если представим теперь себе медленное уменьшение пло¬
щади Ас от идеальной до соответствующей цилиндрической пропорции,
I
Расстояние вдоль оси двигателя
Рис. 12.14. Распределение давлений в
двигателе с цилиндрической камерой:
а) двигатель с тягой, эквивалентной
тяге идеального двигателя; б) двигатель,
у которого давление впрыска равно
давлению впрыска идеального двигателя.

§ 12,8]
УСКОРЯЕМЫЙ ПОТОК В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ
421
как, например, от А А' до ВВ', при непрерывном увеличении давления
впрыска pi, так что тяга остается постоянной, то кривая статического
давления будет pip0; эта кривая проходит выше кривой рср0 в сечении 2,
ниже в сечении 2 и пересекается с ней на участке между сечениями 2 и 2.
Условия между сечениями 2 и 2 остаются неизменными. Величина давле¬
ния рс в камере сгорания идеального двигателя, который будет давать
ту же самую тягу, что и реальный цилиндрический двигатель с давлением
впрыска рх при одинаковых значениях площади горловины и расшире¬
ния сопла е, называется эквивалентной величиной давления в камере
сгорания. Исходя из имеющихся параметров и данных для обычных дви¬
гателей, будет дан метод расчета этой величины.
Интересно отметить, что если давление впрыска остается постоян¬
ным при сокращении площади от А А' до ВВ', то кривая давления рср'0
пройдет ниже кривой рср0. Тяга будет уменьшаться, если не увеличить
площадь горловины. Это объясняется тем, что в данном случае расширение
газов в сопле будет происходить при меньшем перепаде давлений, чем для
верхней кривой, поскольку выходное давление остается по-прежнему р0.
Следовательно, двигатель будет работать при более низкой скорости
истечения и обладать более низкой термодинамической эффективностью,
чем при увеличенном давлении впрыска.
Могут быть найдены количественные соотношения между давлением
впрыска pi, эквивалентным давлением рс и отношением площадей At/Ac.
Это более удобно сделать, выражая р\/рс и At/Ac как функции числа
Мг — значения числа М во входном сечении сопла 2. Указанная функция
— = / Г40 построена для нескольких случаев.
Рс \ ЛС У
12.8.2.	Количественная теория цилиндрической камеры. Перепад
давлений вдоль цилиндрической камеры. Чтобы
получить связь между давлением впрыска Pi и статическим давлением
на входе в сопло р2 через число М, мы используем уравнения изменения
количества движения, непрерывности, уравнение состояния и выражение
для скорости звука. Исключив из этих уравнений все переменные, кроме
р и М, окончательно получим
^ = l + YM!.	(12.46)
Р 2
Из (12.46) видно, что для прямого двигателя, у которого горловина и вход
в сопло совпадают, М2 = 1>0 и — = 1 + у. Если у = 1,25, то — = ^ =
Р2	Р2	Pt
= 2,25. Сравним это значение с величиной — = 1,8 для идеального двига-
^ £
теля при том же значении у [см. уравнение (12.33)]. Это сравнение показы¬
вает, что в экстремальном случае двигателя без горловины давление впры¬
ска должно быть повышено на 25% для получения той же самой тяги
при постоянном значении At.
Полное, и л и «з а п а с а е м о е», давление*). Выражение
для полной температуры может быть записано в виде
Т0 = Т (l-1-^-М2) .	(12.47)
*) Говоря о «полном», или «запасаемом», давлении и «полной» температуре,
автор подразумевает, как это видно из текста, параметры адиабатически и изэнт-
ропически заторможенного газа. В дальнейшем употребляется термин «параметры
заторможенного газа», как это принято в отечественной литературе. (Прим. перев.)

422
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Предположим, что поток в любой точке может быть изэнтропически при¬
веден в состояние покоя, которое характеризуется температурой Г0
и давлением р0; давление р0 может быть определено как фиктивное «запа¬
саемое» давление в любой точке газового потока, даже если истечение
в целом является неизэнтропическим или необратимым. (Индекс 0 упо¬
требляется, чтобы различить параметры заторможенного газа от статиче¬
ских величин.) При изэнтропическом торможении потока можно записать
[см. уравнение (12.16)]:
7 = (£)*•
Используя это уравнение и уравнение (12.47), получим, например для
сечения 2,
Wo = ft[l + (Y-7-)M22]V_1.	(12.48)
Из уравнений (12.46) и (12.48), замечая, что р.{ = (р4)0, так как предпо¬
лагается нулевая скорость впрыска, найдем
(Pi) О = Pi
У
Y-1
(12.49)
1+YMi
Величина (р2)о используется при определении скорости истечения при
помощи уравнения (12.17); эта величина является фактически «эквива-
Ж
Шо
1,24
1,20
V6
V2
1,00
1,04
1,00
О
У
У
У
/
У
У
А
/
У
У
—
/
У
/
А
/
1
/
У
/
!
А
у
/
л
У
А
у
у
у=1,3
у=1,2
у=1,1
01	02	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,0
Мг
1,0
Рис. 12.15. Отношение эквивалентного заторможенного давления (р2)о на входе сопла
к давлению в^плоскости впрыска как функция числа М.
лентом» давления в камере сгорания рс, которое было определено в раз¬
деле 12.8.1. В самом деле, если М2 = 0» как в случае идеального двигате¬
ля, то
(P2)o = Pl = Pc-
Соотношение (12.49) графически представлено на рис. 12.15. В случае
прямого цилиндрического двигателя М2 = 1 »0, и для у = 1,2 имеем

§ 12.8]
УСКОРЯЕМЫЙ ПОТОК В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ
423
(^2)0 = 0,81/?i, что меньше на 19% заторможенного давления в камере
сгорания идеального двигателя. Уменьшение заторможенного давления
означает уменьшение так называемой «термодинамической пригодности»,
так как циклический коэффициент полезного действия сопла [см. уравне¬
ние (12.19)] равен
у—1	у—1
Pi
|
Ч л
dduatfamuvec/fi/u
процесс
росшорепоя
Мзотерммесяпп
процесс
росо/орепоя
Следовательно, уменьшение (р2)о вызывает уменьшение скорости истечения.
На рис. 12.16 дана диаграмма температура — энтропия Т — S для идеаль¬
ного и цилиндрического дви¬
гателя.
12.8.3. Число М как функ¬
ция} площади сечения потока
при адиабатическом истечении.
При !проектировании более
удобно определять давления че¬
рез площади, чем через числа М.
Поэтому мы будем искать связь
между площадями и числами М
для различных сечений канала,
в котором происходит обрати¬
мый адиабатический процесс.
После этого можно численно
использовать уравнение (12.49)
связи числа М и давления,
чтобы получить соотношение
между давлением и площадью,
хотя явное выражение не может
быть напиЬано. Можно пока¬
зать, что отношение площадей
в двух сечениях изэнтропиче-
ского потока является функ¬
цией чисел М в этих же сечени¬
ях в соответствии с уравнением
Y+1
-1 .,2l2(Y-l)
Объём V
а)
Мь
Ма
1-
Ма
ч
у— 1
б)
(12.50)
Рис. 12.16. Диаграммы р — V и Т — S для про¬
цесса расширения в цилиндрическом и идеальном
двигателе. Пунктирные линии обозначают процес¬
сы, происходящие фактически в некоторых типах
двигателей.
Следует заметить, что это
уравнение не имеет места для
необратимых процессов между сечениями1 и 2. Отношение площадей A 2/At
для цилиндрического двигателя с учетом Mt = 1,0 получаем из (12.50) в
виде
Ч.
At
1_
М2
Y—1
"y+T
•mi
(12.51)
2

424
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Мы видим, что при М2 -*0 ф -*0 (случай идеального двигателя)
и при М2 -*• 1 ~г (случай двигателя без горловины). Соотношение
(12.51)	графически представлено на рис. 12.17. Уравнение (12.51) было
Рис. 12.17. Число М* на входе в сопло как функция отношения площадей
A ,/At.
использовано совместно с уравнением (12.49) для получения кривых
да рис. 12.18.
12.8.4.	Порядок проектирования цилиндрического двигателя. Гео¬
метрические постоянные и необходимый массовый расход для цилиндри¬
ческого двигателя заданной тяги могут быть вычислены обычными
1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	8,0	8,4	3,8	4,2	4,6	3,0
AzMt
Рис. 12.18. Отношение давлений в камере сгорания цилиндрического двигателя Pi/(p2)o
как функция отношения площадей A2jAt.
методами, используя эффективное, или эквивалентное, давление в ка¬
мере сгорания рс [т. е. заторможенное давление {р^)о\-

12.8]
УСКОРЯЕМЫЙ ПОТОК В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ
425
В типичной задаче проектирования отношение площадей ф , давление
А-1
впрыска ри внешнее давление р0 и тяга F являются заданными величи¬
нами. Неизвестны площадь критического сечения At и секундный массо¬
вый расход т. Порядок расчета площадей критического и выходного
сечения следующий:
1. Определить М2 Для заданного отношения площадей из уравнения
(12.51)	или используя кривые на рис. 12.17.
2. Определить эквивалентное, или затормошенное, давление (р2)о
в камере сгорания из уравнения (12.49) или используя кривые на рис. 12.15.
3. С другой стороны, мы можем использовать рис. 12.18 и найти
эквивалентное давление в камере сгорания непосредственно для задан¬
ной величины A2/At без предыдущего расчета М2-
4. После того, как эквивалентное давление рс найдено, проекти¬
рование ракетного цилиндрического двигателя производится точно так
же, как и для идеального двигателя (см. раздел 12.9.8). В табл. 12.2 в
Таблица 12.2
Сравнение параметров идеального, цилиндрического
и прямого двигателей
Двигатели
Параметры
Идеальный
Цилиндри¬
ческий
Прямой
Отношение площадей A2/At
оо
2,0
1,0
Число М2
0
0,3
1,0
Заторможенное давление (р2)0,
фунт/дюйм2
500
463
405
Коэффициент тяги Ср ....
1,501
1,485
1,423
Расширение сопла е
5,5
5,0
4,6
Площадь критического сечения
Af, дюйм^
1,33
1,46
1,74
Скорость истечения с, фут/сек
6760
6680
6410
Секундный массовый расход
т, фунт/сек
4,76
4,82
5,03
качестве примера применения описанной методики приведены результаты
расчета параметров идеального, цилиндрического и прямого двигателя.
Во всех трех случаях предполагалось, что тяга F = 1000 фунтов, давле¬
ние впрыска р1 = 500 фунт /дюйм2, давление в выходном сечении сопла
ре = 14,7 фунт/дюйм2 *), у = 1,20, с*= 4 500 фут/сек, потерь в сопле
нет, величина е выбрана оптимальной.	f	~'
Давление в критическом сечении можно получить, используя уравне¬
ние для критического отношения давлений (12.33) и зная величину (/По¬
следует заметить, что величина (р2)0, эквивалентная давлению в ка¬
мере сгорания идеального двигателя, уменьшается приблизительно на
20%, когда отношение площадей A2/At приближается к 1.
*) В тексте указано «давление окружающей среды». Однако индекс при обо¬
значении давления относится к выходному сечению. В данном случае, правда, это
не имеет значения, так как дальше сказано, что величина е является оптималь¬
ной, т. е. ре = р0. (Прим. перев.)

426
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
§ 12.9. Критерии проектирования и исполнения ракетного двигателя
12.9.1.	Удельный импульс. Ракета является необычным двигателем
в том смысле, что, во-первых, ее тяга не зависит от скорости движения;
во-вторых, для создания тяги не требуется окружающей среды. Этими
свойствами не обладает, например, силовая установка самолета (винто¬
вого), так как тяга ее уменьшается с увеличением относительной скоро¬
сти и уменьшением плотности атмосферы. Нормальным режимом работы
обычных двигателей является перенос нагрузки с постоянной скоростью;
ракетный двигатель обычно представляет собой ускоряющееся свободное
тело с быстро уменьшающейся массой. Цель обычного двигателя состоит
в приложении силы к нагрузке на определенном расстоянии; цель ракет¬
ного двигателя состоит в создании ускорения в течение отрезка времени,
чтобы достигнуть заданной конечной скорости. Следовательно, импульс
(или изменение количества движения) при расчете ракетных двигателей
является более существенным параметром, чем израсходованная энергия,
а отношение тяги к секундному весовому расходу, называемое обычно
удельным импульсом:
является более полезной характеристикой, чем производимая мощность.
Обычной единицей измерения /8р является сек, или фунт-сек/фунт.
Величиной, обратной удельному импульсу, является удельный расход
топлива гг8р =	.	Хотя	величина	удельного	импульса является в основ-
^sp
ном мерой качественности горючего, на нее оказывают влияние геометрия
камеры сгорания, давление в камере сгорания и внешнее атмосферное
давление. Это нужно помнить при сравнении различных топлив.
12.9.2.	Отношение импульса, создаваемого двигателем, к весу ракеты.
Мерой качества исполнения ракеты, которая несет нерасширяемую массу
т0, является отношение
Эта величина характеризует проектирование системы баков плюс топливо
как единое целое. Некоторые ракетные топлива, имеющие сравнительно
высокие удельные импульсы, могут потерять это свое преимущество при
сравнении на основе отношения импульса к полному весу вследствие
их низкой плотности. Использование этого параметра особенно полезно
при расчете двигателей твердотопливных ракет, так как для них камера
сгорания и «баки» с топливом являются единым целым. Отношение
импульса к весу I/W связано с удельным импульсом /8 р посредством «мно¬
жителя нагрузки» v. Этот множитель является отношением массы топлива
к полной массе ракеты.
Таким образом,
Другим полезным параметром, который учитывает плотность горючего,
является отношение импульса к полному объему V, которое связано
с отношением импульса к полному весу следующим образом:
Ft	полный	импульс
(12.53)
(тт~\ m0) g	полный	вес
(12.54)
(12.55)

■■§ 12.9] КРИТЕРИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ II ИСПОЛНЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ	427
12.9.3. Эффективная скорость истечения. Величины vxe и ре в урав¬
нении (12.7) экспериментально трудно измеряемы. Более того, расшире¬
ние не является строго адиабатическим, «совершенным» и происходящим
без трения. В силу этого удобно ввести эффективную скорость истече¬
ния Ceff
Се» = IW-	,	(12.56)
т
что позволяет уравнение для тяги (12.7) записать в простой форме (12.3)
F = mce ff	(12.57)
даже в том случае, когда сец не равняется истинной скорости истечения
vxe = Xve. После этого возможно сравнивать полезный с технической
точки зрения параметр сец простым измерением легко наблюдаемых вели¬
чии F и т. Эффективная скорость истечения может быть использована
для сравнения двигателей, работающих при одинаковых геометрических
параметрах, химических процессах и распределения давлений в двигателе,
даже если эти двигатели имеют различные масштабы.
12.9.4. Коэффициент тяги Cfx• Коэффициент тяги CFX определяется
из соотношения
F = CpxpcAt
и был детально изучен в разделе 12.7. Этот коэффициент служит важным
параметром при расчете двигателя и является мерой качества исполнения
сопла. Он используется для определения площади критического сечения
сопла At, так как величины F и рс часто заранее заданы.
12.9.5. Характеристическая скорость истечения с*. Величина с*,
которая определяется из соотношения'
 Pc^t PcAt g
О •—- . • ■	.	ч
т	w
имеет размерность скорости. Значение этого параметра было изучено
в разделе 12.5.2; он используется для предварительного расчета секунд¬
ного массового расхода т, если рс и At определены. Характеристическая
скорость истечения является мерой качества горючего и пропорциональна
корню квадратному из энергии, освобождающейся при горении.
12.9.6. Соотношения между сегь Cfx и с*. Эффективная скорость
истечения сец связана с величинами CFX и с* простым соотношением
CeiI=4 = ^li = C/,xc*.	(12.58)
т	т/рс At
Из уравнения (12.58) видно, что эффективная скорость истечения cctt
(или удельный импульс 7sp = -^-) пропорциональна двум сомножителям,
из которых CFX зависит от эффективности сопла, а с*—от эффективности
сгорания.
12.9.7. Характеристическая длина L*. Несколько менее важным,
но тем не менее полезным при проектировании параметров является
«характеристическая длина», которая определяется как
Т * Объем сгорания	//|0 гг.ч
L* = j-i ,	(12.59)

428
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
причем под объемом сгорания понимается объем камеры, ограниченный
плоскостью горловины сопла. Может быть показано [11], что величина L*
пропорциональна времени пребывания элемента объема горючего в камере
сгорания; следовательно, она определяется химическим составом и давле¬
нием газообразных продуктов сгорания. Характеристическая длина
используется при определении необходимого объема сгорания и таким
образом определяет размеры камеры сгорания.
Список наиболее важных для проектирования параметров дается
в табл. 12.3. Изучение этой таблицы позволит сделать определенные
выводы о характеристиках ракет.
Таблица 12.3
Сводка параметров качества исполнения ракетного двигателя
Параметр, его обозначение и размерность
Типичная
величина
Эффективная скорость истечения ceff, фут!сек
Удельный импульс /8р, сек
Коэффициент тяги Срх
Характеристическая скорость с*, фут/сек
Характеристическая длина L*, дюймы
3000—12000
100— 400
1,1-т- 2,0
2000—6000
10ч- 500
12.9.8.	Порядок упрощенного расчета жидкостной ракеты. Для рас¬
чета жидкостного ракетного двигателя необходимо количественное за¬
дание трех групп параметров, а именно: а) размеров сопла и камеры
сгорания, б) коэффициента теплопередачи и технических характеристик
системы охлаждения и в) гидравлических и геометрических параметров ин¬
жектора. Мы будем рассматривать здесь только основные размеры
двигателя.
Величинами, которые обычно заданы в начале расчета, являются
тяга F, давление в камере сгорания рс, внешнее давление р0; задают
также химические свойства топлива. Данные для определения с* и L*
для заданного топлива должны быть выбраны заранее эмпирическим
путем (см. гл. 13).
По данным условиям мы должны найти площадь критического сече¬
ния At, площадь выходного сечения Ае, объем камеры сгорания Vc
и весовой секундный расход топлива mg. Для этого может быть предложен
следующий порядок.
1. Задать величины тяги F, давления в камере сгорания рс и
внешнего давления р0; определить топливную смесь и, если топливо
является двухкомпонентным, коэффициент соотношения компонент топ¬
лива г.
2. Используя эмпирические данные, полученные при статических
испытаниях двигателей с выбранными значениями рс и г, и термохимиче¬
ские расчеты, определить отношение удельных теплоемкостей у, характе¬
ристическую длину L* и характеристическую скорость с*. Величина у
обычно лежит в пределах от 1,2 до 1,3, a L* часто заключена в диапазоне
от 40 до 100 дюймов.
3. Используя отношение удельных теплоемкостей у и отношение
давлений рс/ро, рассчитать по уравнениям (12.45) и (12.42) коэффициент
тяги CF и оптимальное расширение сопла е. Графики CF и е показаны

§ 12.9]
КРИТЕРИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ИСПОЛНЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ
429
на рис. 12.7 и рис. 12.6. Теоретическая величина CF должна быть незначи¬
тельно скорректирована, так что CFX = Xr\CF; поправка определяется
трением в потоке и конусностью сопла.
4. Используя соотношение F = CFXpcAt> найти площадь критиче¬
ского сечения At; по вычисленному значению At и известному е найти
площадь выходного сечения Ае.
5. Использовать величину с* для определения секундного массо¬
вого расхода т, так как
6. Определить объем камеры сгорания Vc по соотношению Vс =
= L*AtJ используя величину определенной опытным путем характери¬
стической длины L*.
7. Зная коэффициент теплопередачи и прочностные характеристики
камеры, определить отношение площади поперечного сечения камеры Ас
к площади критического сечения At. Теплопередача уменьшается при
малой величине 4С) а напряжение в материале уменьшается при большой
величине Ас. Типичные величины отношения Ac/At лежат в пределах
от двух до шести. Если это отношение фиксировано, то тем самым опре¬
деляется длина камеры 1С.
Таблица 12.4
Типичные параметры ракетного двигателя
Начальные данные
Тяга на уровне моря F
1500 фунтов
Давление в камере сгорания рс
300 фунт/дюйм2
Среднее внешнее давление р0
8,5 фунт/дюйм2
Топливо
Азотная кислота и ани¬
Коэффициент соотношения компонент г . .
лин
2,75
Эмпирические данные
Отношение удельных теплоемкостей у . .
1,25
Характеристическая скорость с*
4600 фут/сек
Характеристическая длина L*
о и /
73,4 дюйма
Вычисленные параметры
\
Скорректированный коэффициент тяги CFX
! 1,35
Расширение сопла е
: 5,0
Площадь критического сечения At ....
3,7 дюйм2
Площадь выходного сечения Ае
18,5 дюйм2
Полный весовой секундный расход топлива
mg 	‘
7,8 фунт/сек
Весовой секундный расход окислителя m0g
5,72 фунт/сек
Весовой секундный расход горючего mjg
2,08 фунт/сек
Объем камеры сгорания Vс
272 дюйм3
Отношение площади поперечного сечения
камеры сгорания к площади горловины
Ad At
! 5,85
Диаметр камеры сгорания dc
| 5,25 дюйма
Длина камеры сгорания 1с
j 11,0 дюйма
В табл. 12.4 даны параметры двигателя, работающего на смеси азот¬
ной кислоты с анилином и дающего тягу 1500 фунтов. Величины пара¬
метров рассчитаны согласно данному порядку.

430
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
§ 12.10. Ударные волны вне и внутри сопла
12.10.1.	Явление ударной волны в сопле. Ф и з и ч е с к о е о п п-
с а и и е ударной волны. Из уравнения (12.18) следует, что
поскольку в расширяющейся части сопла устанавливается сверхзвуко¬
вое истечение, постольку для изэнтропического потока в этой части суще¬
ствует однозначное соотношение между площадью поперечного сечения
и давлением. В этом случае предполагаемая геометрическая форма сопла
опре/щляет местное давление независимо от внешнего давления р$. Тот
факт, что явления в потоке за критическим сечением не влияют на поток
до критического сечения, является типичным для сверхзвукового потока.
Если мы обратим внимание на рис. 12.19, на котором уравнение (12.18)
представлено в графической форме, то заме¬
тим, что имеется особая область значении
давления внешней среды; величины давле¬
ния, лежащие в этой области от В до С, не
могут соответствовать давлению газа в вы¬
ходном сечении сопла при непрерывном
изэнтропическом истечении. Чего следует
ожидать, если величина внешнего давления
лежит в этой области? *). Так как поток
должен в этом случае проходить из области
более низкого давления в область более вы¬
сокого, то, очевидно, он должен тормозиться
каким-либо путем. В этом случае уравнение
изэнтропического истечения (12.18) не имеет
места.
Механизмом, который осуществляет не¬
обходимое повышение давления при соблю¬
дении уравнений количества движения,
непрерывности и энергии, является ударная
волна [12]. Ударная волна — это внезапный
разрыв параметров потока, в результате
чего повышается давление и уменьшается
скорость. Этот скачок остается фиксирован¬
ным относительно сопла и может рассматри¬
ваться как тип стоячей волны [13]. Слой,
в котором скачок имеет место, очень тонок,
порядка 10~4 см. В этом тонком слое боль¬
шую роль играют вязкость и теплопередача,
влиянием которых обычно пренебрегают при
изэнтропическом истечении. Эти факторы уменьшают энергию и повы¬
шают энтропию,	так что	конечное заторможенное давление для потока
после скачка	будет	меньше, чем для потока до скачка, хотя полная
энергия сохраняется постоянной.
Свойства прямого скачка уплотнен и я. Рас¬
смотрим сначала режим работы сопла при наличии прямого скачка уплот¬
нения (скачок перпендикулярен потоку), хотя в дальнейшем, возможно,
окажется, что такие скачки не существуют в реальных соплах. Прямой
скачок уплотнения описывают уравнения Ренкина — Гюгонио [14],
которые дают соотношение, связывающее параметры газа с двух сторон
(о)
Верхняя Критическое
честь	сечение
питона	сопла
Рис. 12.19. Изменение давления в
сопле Лаваля при различных ве¬
личинах противодавления и при
отсутствии ударных волн.
*) То есть если внешнее давление больше давления в выходном сечении сопла
для какого-либо дозвукового истечения. (Прим. перев.)

§ 12.10]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВНЕ И ВНУТРИ СОПЛА
431
этого скачка *):
V\ о2  у у—1 / Pi
^2" Ql Y+1 , Р2
Y— 1 /Ч
В этих уравнениях индексы 1 и 2 относятся к условиям до и после скачка
соответственно. Это соотношение можно сравнить с обычным соотноше¬
нием между условиями в той же самой трубке тока при изэнтропическом,
установившемся течении газа:
1
!H = Q2=fE»y. /12.61)
02 Ql \PiJ v
Совместное применение уравне¬
ний количества движения и
энергии к скачку дает следую¬
щее соотношение:
vyv2 = (а*)2,	(12.62)
где а* есть величина скорости
газа v, равная местной скорости
звука, т. е. при местном чи¬
сле М, равном единице. Это так
называемая «критическая» ско¬
рость, которая постоянна для
данного потока [12]. Из урав¬
нения (12.62) следует, что при
переходе через прямой скачок уплотнения скорость газа всегда изме¬
няется от сверхзвуковой до дозвуковой, так как скачок имеет место в
расширяющейся части сопла.
Поведение скачка уплотнен и я п р и и змеи е-
н и и внешнего д а в л е и и я. Для сопла фиксированных размеров
можно менять давление окружающей среды р0, а также давление в камере
сгорания, или заторможенное давление рс (см. раздел 12.3.2). Интересно
исследовать поведение скачка уплотнения при непрерывном изменении
отношения ро/рс от единицы до нуля. Обращаясь к рис. 12.20, который
дает график изменения давления р вдоль сопла, и к рис. 12.21, на котором
изображены различные формы скачка, мы можем исследовать следующие
режимы истечения.
1. Докритическое истечение. Внешнее давление р0 изменяется от
рА до рв и поток во всех точках является дозвуковым.
2. Критическое истечение. Отношение давлений ро/рс достигает
критического значения в горловине (критическом сечении). Внешнее
давление р0 = рв, соответствующее этому случаю, называется также
критическим. При этих условиях в критическом сечении только что
начинается сверхзвуковое истечение; поток либо будет тормозиться
с увеличением давления до величины рв, либо во всем сопле будет суще¬
ствовать сверхзвуковой поток при изэнтропическом расширении, для
чего нужно значительно уменьшить внешнее давление (до значений,
Координата я вдоль солла
Рис. 12.20. Распределение давления вдоль сопла
при различных режимах истечения.
(12.60)
*) В отечественной литературе уравнение (12.60) называется уравнением удар¬
ной адиабаты Гюгонио. {Прим. перев.)

432
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
меньших давления р0 в точке С). Каждая ветвь кривой на рис. 12.20
является изэнтропическим процессом.
3.	Слабый прямой скачек уплотнения в сопле. Если значение р0
несколько уменьшится до величины pD, то сверхзвуковое истечение в сопле
будет иметь место для незначительной части потока за критическим сече¬
нием, так как в потоке возникнет относительно слабый прямой скачок
уплотнения и обусловленное им повышение давления и падение скорости.
Дозвуковой поток затем замедляется изэнтропически, но давление будет
изменяться по кривой, идущей ниже кривой, оканчивающейся в точке В\
Рис. 12.21. Ударная волна в сопле Лаваля при различных значениях
противодавления.
эти кривые соответствуют различным величинам энтропии и заторможен¬
ного давления. Если р0 уменьшается от pD до рЕ, то скачок уплотнения
сдвигается вниз по потоку и становится напряженнее при соответствую¬
щем увеличении энтропии и уменьшении заторможенного давления.
В реальных соплах простой прямой скачок уплотнения не имеет места,
а происходит срыв потока в связи с рядом косых скачков уплотнения;
это явление протекает в сопле так, чтобы сделать давление на стенки
сопла за сечением отрыва потока приблизительно атмосферным. Конфи¬
гурация скачка для этого случая представлена на рис. 12.21, а.
4.	Сильный прямой скачок уплотнения в сопле. Если р0 уменьшится
до величины pF, то изэнтропическое сверхзвуковое истечение имеет место
почти до выходного сечения сопла. В связи с тем, что внешнее давление
все-таки не равно давлению невозмущенного потока рс, постулируется
наличие сильного прямого скачка в самом выходном сечении сопла. Такой
процесс не нарушает основных законов, но в действительности он не име¬
ет места *). Фактически устанавливается ряд косых скачков, как пока¬
зано на рис. 12.21, б.
*) Хотя сильный прямой скачок уплотнения вблизи выходного сечения сопла
удовлетворяет уравнениям одномерного потока, реальным явлением, которое про¬
исходит при такой высокой степени перерасширения в трехмерном потоке, является
срыв. Опытным путем было найдено, что для конического сопла с полу углом
раствора а = 15°, работающего на уровне моря, срыв потока наступает при ре —
= 0,4р0. Неизвестно, верно ли это соотношение для других значений а и р0.

§ 12.[0]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВНЕ II ВНУТРИ СОПЛА
433
J. Скачок уплотнения вне сопла. Если р0 опускается ниже pF, то
косой скачок, устанавливающийся на выходе сопла, имеет все меньший
и меньший угол |3 и диск Маха сужается (см. рис. 12.21, в), пока в конце
концов не превращается в слабый скачок отражения, достаточный для
перехода к атмосферному давлению (рис. 12.21, г).
б*). Крайний идеальный случай: отсутствие скачка. В случае
Ро ре поток должен выходить в атмосферу неотклоненным и невозму-
щеиным (если не учитывать влияния трения, рис. 12.21, д).
7.	Волны расширения в выходном сечении сопла. Если ре = р0,
то сверхзвуковое истечение происходит во всем сопле вплоть до выходного
сечения. Дальнейшее необходимое уменьшение давления происходит
в результате внешних волн расшире¬
ния, которые не являются скачками
уплотнения, так как при этом не про¬
исходит изменения энтропии. Поток
ускоряется вследствие наличия волн
Маха **) (рис. 12.21, е).
Подведем итог вышесказанному.
Внешнее давление на срезе сопла, не¬
сколько меньшее критического, обу¬
словливает появление прямого скачка
уплотнения и (или) срыва потока вбли¬
зи горловины. Этот скачок переме¬
щается далее по потоку при уменьшении
внешнего давления, пока не достигнет
выходного сечения сопла. Если внеш¬
нее давление становится еще менее, то
косой скачок уплотнения (или диск
Маха) перемещается в область вне соп¬
ла, ослабляется до простого отражения
it исчезает, когда внешнее давление на
срезе сопла достигает изэнтропической величины ре. Если давление на
срезе сопла еще уменьшать, то вместо косых скачков появляются волны
расширения. На рис. 12.22 показана струя газов двигателя баллисти¬
ческого снаряда, когда он летит при внешнем давлении 10"1 и
10~3 фу пт/дюйм2 соответственно.
12.10.2.	Скачок уплотнения в струе вне двигателя. Характеристики
потока газов за выходным сечением сопла зависят от температуры, давле¬
ния и скорости потока в выходном сечении относительно окружающей
среды. В предыдущем разделе было показано, как конусообразный скачок
уплотнения, при определенном давлении превращающийся в диск Маха,
сходит с края сопла. Так как продукт истечения обладает высокой темпера¬
турой и меньшей плотностью, чем окружающий воздух, то этот скачок
«отражается» от границы струи; в результате этого струя газов за выходным
сечением приобретает периодическую бусообразную структуру, которая
повторяется до тех пор, пока не будет разрушена турбулентным перемеши¬
ванием и диффузией. На рис. 12.23 показана фотография серии таких
тепловых узлов.
*) В тексте, по-видимому, неточность. Случай 6 может иметь место при
Ро = ре, а случай 7—при Ро<^Ре- {Прим. персе.)
**) В отечественной литературе волны Маха, или линии Маха, называют ли¬
ниями возмущения. {Прим. персе.)
28 Космическая техника
б)
Рис. 12.22. Вид струи газов баллисти¬
ческого снаряда при внешнем давле¬
нии (а)	0,1 фунт! дюйм2 и (б)
0,001 ф унт /дю йм2.

434
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
Можно провести качественный анализ такого периодического режима
струи; обратимся для этого к рис. 12.24. Так как расходящийся поток
Рис. 12.23. Фотографии выхлопа ракеты с ‘.тягой в 50 фунтов,
работающей на смеси пгдрааипгидрата с метиловым спиртом
и перекиси водорода 87%-иой концентрации. Ясно видны
узлы ударных волн.
газов после сопла имеет радиальную составляющую количества движения,
то он перерасшмряется и давление в основном факеле становится меньше
Рис. 12.24. Схема струп газов ракетного двигателя за соплом; на схеме
показаны области высокого и низкого давления.
атмосферного. Однако на границе струи давление должно быть равно
атмосферному; чтобы выполнить это условие, газы факела вблизи границы
должны ускоряться по направлению к оси факела. Так как поток является
сверхзвуковым, то такое ускорение ire может иметь место одновременно
но всему поперечному сечению факела, потому что давление не может
распространяться непосредственно по потоку. В результате регулирование
ж

12.11]
СРЫВ ПОТОКА В СОПЛАХ
435
ускорения и давления происходит вдоль фронта косой стоячей волны.
Этот процесс вызывает расхождение линий тока потока. Однако требова¬
ния непрерывности потока не позволяют долго продолжаться этому рас¬
хождению; возникает обратное явление очень сильного скачка сжатия,
который выпрямляет поток
и устанавливает область вы¬
сокого давления, из которой
газы снова расширяются в
направлении потока. Этот
процесс повторяется снова и
снова, в результате чего по¬
является цепочка «ромбов
скачков». Некоторые иссле¬
дования [15, 161 показывают,
что на каждой длине волны
при перемешивании тратится
около 15/0 энергии реактив¬
ной струи. Таким образом,
обычный двигатель при избы¬
точном давлении в 1 атм бу¬
дет давать 6 или 7 волн без¬
относительно к абсолютным
размерам двигателя. Поло¬
жение первого конического
скачка, или диска Маха,
определяется давлением в
камере сгорания.
§12.11. Срыв потока в соплах
12.11.1.	Перерасширсние.
При ускорении потока за
критическим сечением сопла
площадь поперечного сече¬
ния потока увеличивается,
а давление уменьшается.
Если давление иевозмущен-
ного потока в плоскости вы¬
ходного сечения сопла соот¬
ветствует атмосферному, то
тяга является максимальной
и отношение площадей Ae/At
является оптимальным. Если
давление в выходном сечении
сопла меньше атмосферного,
то сопло перерасширено (от¬
ношение Ae/At больше оптимального) и тяга меньше максимальной. Если
давление невозмущенной струи газа достаточно низко (порядка 0,4 атм),
то внезапный переход к атмосферному давлению вызовет появление у
стенки сопла косого скачка уплотнения, в результате чего струя отде¬
лится от стенки сопла. Этот срыв потока увеличит тягу на несколько
процентов по сравнению с тягой такого же перерасширенного сопла,
полностью заполненного потоком. Так как сопло, проектируемое для
28*
Рис. 12.25. Три фотографии срыла потока в сопле:
а) срыв потока в обычном сопле при малой величине
отношения Рс/Ро', о) срыв потока в сопле с иглой при
малой величине рс,/л<>; «) срыв потока в сопле с иглой
при большом значении Рс/Ро\ в последнем случае
уменьшается срыв, по уменьшается и эффективность
по отношению к случаю б).

436
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
вертикального полета, может иметь оптимальное расширение только для
единственного значения высоты и обычно является перерасширенным
на высоте взлета с последующей возможностью срыва потока, то инте¬
ресно рассмотреть более подробно явление срыва и его последствия.
12.11.2.	Экспериментальные данные. Маккенни (МсКеппеу) [17]
пропускал ненагретый азот через двумерное прозрачное сопло, чтобы
изучить разделение реактивной струи, вызываемое пикообразной нере¬
гулярностью, расположенной в сопле.
Ожидали, что это должно было бы увеличить тягу по сравнению
с режимом при отношении рс/ро, имеющемся в действительности. Однако
было найдено, что такое сопло имеет пониженную эффективность, если
О
70
20
30
Рс_ *0
р 30
00
70
80
00
700
- О 7	? 2 4 О О 7 О О 70 77 72 73 74 73 70
A/At
Рис. 12.26. Отношение давлений как функция отношения площадей для
реального высокотемпературного потока в сопле с полууглом раствора в
15°. В точке срыва потока наблюдается внезапное повышение давления.
величина рс/р0 увеличивалась выше предела, при котором наступал
срыв потока. На рис. 12.25 приведены сделанные Маккенни фотографии
срыва потока в обычном сопле и в сопле с иглой при низких и высоких
отношениях давлений.
Фостер (Foster) [18] использовал реальные ракетные жидкостные
двигатели, чтобы провести исследование давления в перерасширениых
соплах. На рис. 12.26 показана обычная кривая отношений площадей
н давлений и показаны изменения отношения площадей в плоскости
срыва при давлении в камере сгорания согласно кривой на рис. 12.3,
для сопла с полууглом раствора 15°. Абсолютная величина статического
давления в плоскости срыва была 5 фунт/дюйм2, в то время как внешнее
давление было 14 фунт/дюйм2.
Кроме степени расширения (для давлений или площадей), формы
или очертания выходного сечения сопла, важным параметром работы
двигателя является возможность управления срывом. Фостер исследовал
серию сопел [19] с полууглом раствора, лежащим в пределах от 0 до 90°.
Он нашел, что величина а вплоть до 20° не влияет на явление срыва, но
наклоны сопла в 30° и больше стремятся вызвать срыв потока. Рис. 12.27
показывает заметное увеличение диаметра диска Маха с увеличением а
после того, как срыв начался.
с
h
\
Ч
1
А/лтяфб
фЛЛб
' Зт
7ЯЛЛ6
7 рая*
У Я /4
\7фр
т/Зл
/
~7
—
\
Г
\
IN
i
1:
J
Ч
А
V
\
\
\
ч
Геадаллуеяш еьтяляляяя
/гряяля Зля г =7,23
я
\
\
\i 1 1 1 1
туляяяяляя
^ яриеая Зля у=7,23
г 1 1 1 1 1
\

§ 12.11]
СРЫВ ПОТОКА В СОПЛАХ
437
5	о	о	S	£
5	и	й	ж	S
^ л 5Г
се	Я	я	а	сг	и
х	ft	S	св	°
оС^Дс
Д. ж О 03
Я К и О) 5,
- 5 ^
05 2 2 2 □ '
ft£ rt ^ £ н
g g о.'-'Л о
§§в1°'3
§ _ ^
О >. ej «г* Я
и м 5 О.
О О £ о о {-!
Ь»5°0‘в
o-|go
?!
я в
 OS
се а*
&
о Я я о°^
св « tC О
. Рн Я -El
r-s 5^ и
NftSj -О
Н — ?; о О
О 03 ° О о
«* Н О Ч-
ЙКоь
,Г Я Я О
ft et ft я

438
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ХИМИЧЕСКИХ РАКЕТАХ
[ГЛ. 12
ЛИТЕРАТУРА
1. Sherburne R. К. and W е е к s W. L., Momentum Thrust of a Rocket, Am.
J. Pbys. 21, 139-140 (1953).
2. Durand W. F., Aerodynamic Theory. Durand Reprinting Commitee, California
Institute of Technology, том I, стр. 118, 1943;/см. также Saber sky R. II., Ele¬
ments of Engineering Thermodynamics, New York, McGraw-Hill, стр. 281, 1957.
3. Mali n a F. J., Characteristics of a Rocket Motor Unit Based on the Theory of
Perfect Gases, .1. Franklin Institute 230 (No. 4), 449 (1940).
4. R a о G. V. R., Exhaust Nozzle Contour for Optimum Thrust, Jet Propulsion 28
(No. 6), 377 (1958).
5. Saber s k v R.II., Elements of Engineering Thermodynamics, New York, McGraw-
Hill, глава 7, 1957.
6. Jeans J. II., Kinetic Theory of Gases, London, Cambridge University Press,
1940.
7. Love A. E. II., .Mathematical Theory of Elasticity, London, Cambridge Univer¬
sity Press, 1927. [Русский перевод: Лав А., Математическая теория упругости,
ОНТИ, 1935.] См. также: Lamb Н., Ilygrodynamics, 7-е изд., New York, 1945.
8. Wundheiler A. W., On Instruction in Supersonic Flow. Am. J. Phys. 15
(No. 6), 512 (1947).
9. W impress R. N., Internal Ballistics of Solid Fuel Rockets, New York, McGraw-
Hill, стр. 40, 1950. [Русский перевод: У и мире с с Р. Н., Внутренняя баллисти¬
ка пороховых ракет, IIJI, 1952.]
10. Summerfiel d М., Foster С. R. and Swan W. С., Flow Separation
in Overexpanded Supersonic Exhaust Nozzles, Jet Propulsion 24, 319 (1954).
11. Sutton G. P., Rocket Propulsion Elements, New York, John Wiley & Sons,
2-е изд., стр. 93, 1956. [Русский перевод: Саттон Д., Ракетные двигатели, ИЛ,
Москва, 1952.]
12. Liepmann II. W. and Puckett А. Е., Introduction to Aerodynamics of a
Compressible Fluid, John Wiley & Sons, 1947. [Русский перевод: Л и п м а и Г. В.
и Паккет А. Е., Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости, ИЛ, 1949.]
13. Ivey Н. R., A Mechanical Analogy for Hypersonic Flow, J. Aero. Sci. 17 (No. 8),
519-523 (1950).
14. R a n k i n e W. J. М., Theory of Waves of Finite Disturbance, Trans. Roy. Soc.
(London) 160, 277—288 (1870).
15. 13 u n d у F. P., Strong H. M. and Gregg A. B., Measurement of Velocity
and Pressure of Gases in Rocket Flames by Spectroscopic Methods, J. Appl. Phys.
22, 1069—1077 (1951).
16. Altman D., An Investigation of Shock Waves in Jets, Jet Propulsion Labora¬
tory, Progress Report 9-3, May 1947, стр. 12.
17. M с К e n n e у J. D., An Investigation of Flow Separation in a Two-Dimensional
Transparent Nozzle, Jet Propulsion Laboratory, Progress Report 20—129, April 4,
1951.
18. Foster C.R., Experimental Study of Gas Flow Separation in Overexpanded Exha¬
ust Nozzles for Rocket Motors, Jet Propulsion Laboratory, Progress Report 4-103,
May 9, 1949.
19. Foster C. R., Experimental Study of the Divergence-Angle Effect in Rocket
Motor Exhaust Nozzles, Jet Propulsion Laboratory, Progress Report 20-134, Janu¬
ary 16, 1951.

ГЛАВА 13
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
Дж. 17. Саттон (George P. Sutton)
§ 13.1. Применение жидкостных двигателей
Жидкостные ракетные двигатели уже в течение многих лет применяют¬
ся в качестве двигателей для многих типов управляемых снарядов, само¬
летов и исследовательских устройств. Наиболее полные литературные дан¬
ные по этому вопросу появились только в последнее десятилетие. Однако
технические знания в этой области довольно хорошо развиваются. Исполь¬
зование жидкостных ракетных двигателей в любом специфическом случае
основывается на отборе характеристик, как это сделано в табл. 13.1.
Таблица 13.1
Желательные характеристики жидкостных двигателей
Характеристика
Область типичного применения
Произвольно меняющаяся тяга
! Топливо с высоким энергети-
! ческим потенциалом
j Эффективное управление на-
I правлением вектора тяги
| Малый вес при трансиорти-
! ровке (без горючего)
| Безопасное хранение (взрыво-
| безопасная топливная смесь)
i Возможная пригодность топ-
| лива для снабжения войск
j Известная технология
I
Долговечность
Предварительная проверка
и калибровка
Управление парогазогенера-
тором
Широкие температурные пре¬
делы работы
Возможность повторного вклю¬
чения
Дросселируемые самолетные двига¬
тели. Управление траекторией
больших и малых снарядов
Высококачественные исследователь¬
ские снаряды. Космический полет
Камера сгорания, подвешенная иа
шарнире
Передвижные установки
Накопление снарядов
Любая ракетная система, которая
не зависит от наличия специали¬
зированного оборудования для
производства топлива.
Системы, где использование имею¬
щихся в наличии двигателей
уменьшает затраты на разработку
системы
Радиоуправляемый самолет-мишень
Испытания и повышение надежности
Относительно малые и простые дви¬
гатели
Резкие меняющиеся климатические
условия
Управление траекторией

440	ЖИДКОСТНЫЕ	РАКЕТНЫЕ	ДВИГАТЕЛИ	[ГЛ.	13
Таблица 13.2
Оценочные характеристики ракетных двигателей, применяемых
для космического полета
Применение
Типичные
величины
тяги,
фунты
Типичные
жидкие топлива
Тип
двигатели
Расши¬
рение
сопла
Примечание
Стартовые
(бу стерн ые)
двигатели
100 ООО —
3 ООО ООО
(и более)
Жидкий кисло¬
род— углево¬
дородные со¬
единения
Двигатель с
калиброван¬
ной турбопа-
сосной систе¬
мой подачи
топлива, ра¬
ботающий
при большом
давлении в
камере сго¬
рания
4-15
Весьма вероят¬
но, что бу-
стерные дви¬
гатели будут
возвращаться
для нового
использова¬
ния
Маршевые дви¬
гатели про¬
межуточных
ступеней
2000—
500 000
1.	Жидкий ки¬
слород — уг¬
леводородные
соединения.
2.	Топлива с
большим
энергетичес¬
ким потенци¬
алом, такие,
как F2— NH3,
f2-h2
То же
Свыше
15
Воспламеняют¬
ся иа задан¬
ной высоте
Двигатели ко¬
нечных сту¬
пеней
100 —
10 000
• То же
То же, а также
двигатель с
вытеснитель¬
ной системой
подачи топ¬
лива, работа¬
ющий при
низком да¬
влении в ка¬
мере сгора¬
ния
Свыше
20
Может требо¬
ваться дрос¬
селирование,
а также по¬
вторный за¬
пуск двига¬
теля
Система кор¬
рекции тра¬
ектории
спутника или
курса снаря¬
да в косми¬
ческом поле¬
те
<5, но в
тече¬
ние
дли¬
тельно¬
го вре¬
мени
1.	Выброс сжа¬
того газа.
2.	Однокомпо-
неитное топ¬
ливо
3.	Запасаемое
двухкомпо-
нентиое топ¬
ливо
Вытеснитель¬
ная система
подачи топ¬
лива
Свыше
30
Может требо¬
ваться по¬
вторное дей¬
ствие и уп¬
равление на¬
правлением
вектора тяги
в широких
пределах
Ракетный дви¬
гатель для
посадки на
Луну
юоо—
100 000
Запасы топли¬
ва
Насосная или
вытеснитель¬
ная система
подачи топ-
тива
Свыше
30
Управление
направлени¬
ем и величи¬
ной вектора
тяги

ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
441
В любом конкретном случае жидкостные системы пользуются предпоч¬
тением перед другими системами двигателей; выбор определенной топлив¬
ной смеси является обычно компромиссом с точки зрения следующих
основных факторов:
1. Летные характеристики, такие, как максимальная дальность,
минимальный вес.
2. Вопросы снабжения войск топливом, например транспортабель¬
ность топлива, пригодность в аварийном случае.
3. Условия работы, например легкость обучения войск, приспособляе¬
мость к существующим военным базам.
4. Издержки средств и времени — затраты на разработку, цена еди¬
ницы продукции.
На основе этих факторов руководители производства ракетных дви¬
гателей, корпусов ракет и снарядных систем совместно с военными делают
выбор типа жидкостного ракетного двигателя. Полеты спутников по орби¬
там, будущие полеты к Луне, планетам и вообще в космическое пространство
будут осуществляться при использовании в качестве силовых установок
только ракетных двигателей. Основные требования к силовой установке
в каждом конкретном случае космического полета изменяются в зави¬
симости от полезной нагрузки, задач полета и типов ступеней двигателя;
эти требования могут быть выполнены ракетными системами с различной,
меняющейся в широких пределах тягой, работающими на различных топ¬
ливах и с различными типами двигателей. В табл. 13.2 показаны некоторые
типичные характеристики жидкостных ракетных систем для различных
видов космического полета.
Все различные типы силовых двигательных установок (твердотоплив¬
ные ракеты, двигатели на ядерной энергии, ионные и другие электрические
силовые установки) найдут, возможно, некоторое применение в технике
космических полетов.
Однако в настоящее время, вероятно, рано определять конкретные
области их применения, так как неизвестны многие условия внешней
среды (например, влияние космических лучей или ударов метеорных
частиц на топлива).
§ 13.2. Основные системы и их составляющие
В жидкостном ракетном двигателе имеется 5 основных подсистем:
1. Система подачи топлива для транспортировки жидкостей от баков
к камере сгорания.
2. Баки с топливом (обычно составляют единое целое с корпусом).
3. Камера сгорания*), где топливо перемешивается, сгорает и выбра¬
сывается в виде газов наружу.
4. Система управления стартом, остановки и регулирования дви¬
гателя.
5. Различные дополнительные и вспомогательные устройства, такие,
как привод шарнирного подвеса двигателя и вспомогательные силовые
приводы.
13.2.1.	Системы подачи топлива. На рис. 13.1 показано большое коли¬
чество различных типов систем подачи топлива, каждая из которых
*) Под камерой сгорания понимается совокупность собственно камеры сгора¬
ния и сопла основного двигателя ракеты. (Прим. перев.)

442
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
Рис. 13.1. Классификация систем подачи топлива жидкостных ракетных двигателей.

:§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
443
пригодна для определенных целей. Далее будут рассмотрены только не¬
которые из них; более полно с этИхМ вопросом читатель может ознако¬
миться в работе Д. Саттона [1], указанной в списке литературы в конце
главы.
Газобаллонная система подачи топл и в а. Одним
из простейших и наиболее известных способов подачи компонент топлива
является их вытеснение из соответствую¬
щих топливных баков газом высокого дав-	^
леипя. Этот газ подается в топливные баки
под регулируемым давлением, чем обе¬
спечивается управляемый расход топ¬
лива.
В некоторых ракетных двигателях
газобаллонная система подачи топлива
характеризуется очень небольшим весом.
При небольшой тяге и кратковременной
работе, как, например, в уже зарекомен¬
довавших себя двигателях исследователь¬
ских снарядов и двигателях ракетных
тележек, предпочтительно использовать
систему подачи топлива именно этого ти¬
па. В этих случаях газобаллонная система
обычно имеет меньший полный вес, чем
турбонасосиая, несмотря на то, что для
выдерживания высоких внутренних дав¬
лений приходится увеличивать вес топлив¬
ных баков. В полетах на больших высо¬
тах или в условиях космического про¬
странства внешнее давление очень мало-,
и перепад давлений в сопле достаточен для
создания высокого удельного импульса
при низком давлении в камере сгорания.
В этом случае газобалонная система по¬
дачи топлива *) привлекает своей просто¬
той. Упрощенная схема системы газобал¬
лонной подачи топлива представлена на
рис. 13.2 и рис. 13.2, а.
Имеется много видоизменений основ¬
ной системы газобаллонной подачи (напри¬
мер объединение нескольких клапанов в
один или исключение и добавление некото¬
рых компонент системы), но эти видоизме¬
нения зависят в большой степени от харак¬
тера применения двигательной установки.
Если ракетная система используется многократно, как, например,
в самолетных ракетных двигателях, то она должна включать в себя неко¬
торые дополнительные детали, такие, как устройство для регулирования
Рме. 13.2. У прощенная схема газо¬
баллонной системы подачи топлива:
1 — баллон воздуха высокого да¬
вления; 2 — клапан воздуха высокого
давления (с дистанционным управ¬
лением); 3 — регулятор давления;
■/ — контрольные клапаны; л — бак
с окислителем; 6 — бак с горючим:
7 — вентиляционные	клапаны;
S — штуцеры для заливки; 9 — слив¬
ные клапаны; 10 — клапан заправки
баллона сжатого воздуха; 11 — кла¬
пан подачи топлива (с дистанционным
управлением); 12 — ограничительная
диафрагма; 13 — камера сгорания
с соплом; 14 — клапан отбора воз¬
духа. (На этом рисунке ^приведена
одна из нескольких схем, рассмо¬
тренных в [1].)
*) Здесь и в дальнейшем автор употребляет термин «вытеснительная система
иодачи?топлива», имея в виду газобаллонную спстему подачи. Понятие «вытесни¬
тельная система подачи топлива» шире, чем «газобаллонная система подачи
топлива». В настоящем переводе в дальнейшем везде употребляется термин «газо¬
баллонная система подачи топлива» там, где речь идет действительно о такой
системе. (Прим. перев.)

444
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
и а
о р»
са * ос
о ^
О к
са S о
ач л
S ч
-М Р*
2 еб к
* Л3
®1з
О 5 £
О.	ич
® I Й
<3 I я
J 05
/ОД
fH И ^
л S
^ К "
05 □ <»
X н о
Я 2 S
R ей 'З»
£ оо
а§з
я к -
%£
£«§
° г
к ~ а
:0Й
g«g
С К
Р
<S £ ю
д ЛСО
S lg
| Ч s
S QJ о
s*~
о У и
<з 5 5
20 с
« о
о О н
Н«Я
§ЧН
VO п о
м £ и
ей
tH S _Г
Й§1
s н 2
05 е ”
Зё5
•	§s
sSo
<N $ 05
*	К о
&§,
а са^
к

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
445
тяги и датчик уровня в топливных баках; наличие этих деталей в ракетных
системах одноразового, импульсного действия не обязательно. В послед¬
нем случае не обязательно даже устройство для слива топлива, а вместо
клапанов можно использовать
разрывные д и а ф р а гмы.
Турбо насосная с и-
с т е м а п о д а ч и т о п л и в а.
В турбонасосиой системе подача
топлива производится насосами,
приводимыми во вращение при
помощи турбин, в которых проис¬
ходит расширение горячих газов.
Эти газы в надлежащем количестве
при требуемой температуре гене¬
рируются обычно в специальном
газогенераторе с помощью процес¬
сов, аналогичных происходящим
в камере сгорания двигателя. Схе¬
ма турбонасосиой системы подачи
топлива изображена на рис. 13.3.
Турбонасосные системы пода¬
чи топлива применяются главным
образом в ракетных системах с
высокой тягой и большой продолжительностью работы, так как обычно
в этих случаях они оказываются легче других систем (рис. 13.4). Типич¬
ные турбонасосы показаны на рис. 13.5, 13.6, 13.7, 13.8. По сравнению
с обычными приводами, дающими
приблизительно 1 л. с. на фунт веса,
эти турбонасосы очень легки и дают
на 1 фунт полного веса мощность
на валу свыше 5 л. с.
Турбина. В ракетных двигате¬
лях применяются почти исключи¬
тельно активные турбины, главным
образом потому, что они проще по
конструкции и имеют меньший вес
на 1 л. с. по сравнению с другими
типами при мощностях от 75 до
2000 л. с. и более при больших от¬
поите i ш я х да в л е н и й.
Мощность, развиваемая турби-
~05	7	2	5	70	20	50 700	ной, должна быть равна мощности,
Тяга 703фунтов	потребляемой топливными насосами
и вспомогательными устройствами
Рис. 13.4. Значения продолжительности раио-	^	,
ты и тяги жидкостных реактивных двигателей ТурООГШСОСа (ГИДраВЛИЧеСКИе 1ШСО-
прп вытеснительной или турбонасосиой	систе-	Г] Т ^тгртстштчрртсир грттрпятптд тчхп-
ме	подачи топлива, обеспечивающей	мини-	еы, ллеырн iLCKiie 1 енерагоры, idXO
малышй вес силовой установки.	МСТрЫ ИТ. Д.), ПЛЮС ПОТерИ МОЩ¬
НОСТИ в подшипниках, зубчатых
передачах, уплотнениях и вследствие износа фланцев. Обычно эти по¬
тери малы и могут не учитываться.
Конструктор ракетного двигателя заинтересован в достижении высо¬
кого коэффициента полезного действия турбины с целью уменьшения рас¬
хода рабочего вещества через турбину, получения предельно высокого
50
v50
1
I*7
%за
1
О
1
%
*
/
ill
Fi
1
£
ОВласто применения
турВонасосноа системы
подаии тсплиза
.
V
к
ООластп приме- '<
пенал Оь/шеспи -
телдноа системы
noBavu /пеалава
3
Щл
ш
1
1
щ
Вах с охислателем
ГурВина
77аеоо поВаоа
охислателя
ВшоТ? газов
аз турВаны
5ах с горшим
Газогенератор
7/аооо ноВаии
горшего
ГурВонаеооныа
агрегат
Влапаны
Камера сгорания
Рис.
13.3. Упрощенная схема турбонасосиой
системы подачи топлива.

ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 131
удельного импульса и, следовательно, уменьшения веса топлива, необхо¬
димого для привода турбины.
Низкий коэффициент полезного действия многих турбин, применяю¬
щихся в турбонасосах ракетных двигателей (от 20% до 50%), обусловлен
Рис. 13.5. Турбонасосный агрегат, подобный агрегату системы
«Авангард».
применением центробежного насоса, смонтированного на общем валу
с турбиной. Малое число оборотов вала, а также требование минималь¬
ного веса, препятствующее применению турбинных дисков большого
Рис. 13.6. Кислородный насос в разобранном виде; показаны
корпус насоса, алюминиевая крыльчатка, круговое уплотне¬
ние в сборе, вубчатое колесо и радиатор.
диаметра, приводит к низкой окружной скорости лопаток, что, в свою
очередь, уменьшает коэффициент полезного действия турбины.
В существующих турбинах ракетных двигателей кое-что можно
выиграть, увеличивая температуру на входе в турбину; вместе с тем,.

1 3.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
447
Сне. 13.7. Разрез турбонасоспого агрегата.

448
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 1
Рис. 13.8. Разрез турбонасоспого агрегата ракеты Y-2.

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
449
в некоторых случаях низкая температура газа (400° С) допускает исполь¬
зование алюминия в конструкции турбины и тем самым приводит к значи¬
тельному снижению веса, уменьшению повреждений, коробления и трения
деталей, вызываемых сильным тепловым ударом.
Насосы. Из большого числа существующих типов насосов центробеж¬
ный насос считается наиболее подходящим для подачи топлива в мощных
ракетных двигателях, так как он экономичен и выгоден в отношении веса
и размеров при больших расходах топлива и высоком давлении подачи
(рис. 13.8). При малых расходах топлива в двигателях с тягой до 5 ООО фун¬
тов лучшими оказались другие типы насосов, такие, как насосы объемного
типа. В центробежном насосе жидкость поступает на крыльчатку, пред¬
ставляющую собой по существу колесо с лопатками, вращающееся в кор¬
пусе; эта жидкость ускоряется в каналах крыльчатки и затем с большой
скоростью вытекает с крыльчатки по ее периферии, попадая в улитку,
или коллектор, а затем в диффузор, где происходит преобразование кине¬
тической энергии (скорость) в потенциальную энергию (давление). Внут¬
ренняя утечка или циркуляция жидкости между стороной высокого давле¬
ния (нагнетания) и стороной низкого давления (всасывания) поддержи¬
вается минимальной путем создания малых зазоров между вращающейся
и неподвижной частями поверхностей трения. Наружная утечка вдоль
вала предотвращается путем применения сальникового уплотнения. Повы¬
шение давления жидкости в одноступенчатом насосе (с одной крыльчаткой)
ограничено, и для получения высоких напоров необходимо применять
многоступенчатые насосы. Через центробежный насос все время осущест¬
вляется непрерывный свободный поток жидкости; насос не имеет никаких
отсечных клапанов. Характеристики насоса, а именно: напор, расход
и коэффициент полезного действия — являются функциями числа оборотов
насоса, параметров крыльчатки, формы лопаток и конфигурации корпуса.
Параметры насоса. Потребное выходное давление насоса определяется
давлением в камере сгорания, гидравлическими потерями в клапанах,
трубопроводах и форсунках. Рис. 13.9 показывает изменение потребного
и располагаемого напора насоса в зависимости от расхода топлива, проте¬
кающего через насос. Чтобы получить расчетную производительность
насоса при расчетном давлении, обычно предусматривается дополнитель¬
ный регулируемый перепад давления на специальном клапане, или жик¬
лере, что позволяет изменять величину создаваемого напора. Этот необ¬
ходимый регулируемый перепад давления можно уменьшить посредством
изменения числа оборотов насоса. Такая регулировка напора и произво¬
дительности насоса необходима в связи с допусками на гидравлические
параметры и характеристики насосов, клапанов, форсунок и т. д.
Конструкторы насосов часто выражают давление, создаваемое насосом,
через гидростатически]! напор, который определяется высотой столба рас¬
сматриваемой жидкости, создающего такое же давление иа площадь своего
основания.
Производительность насоса ограничивается кавитацией — явлением,
возникающим в любой точке потока жидкости, где статическое давление
становится меньше упругости паров жидкости, что вызывает образование
пузырьков пара. Эти пузырьки лопаются при достижении области повы¬
шенного давления, т. е. области, в которой статическое давление Жидкости
превышает давление пара. В центробежных насосах кавитация чаще всего
происходит на передних кромках лопастей крыльчатки при входе в насос,
так как в этом месте абсолютное давление жидкости оказывается наимень¬
шим. Чрезмерное образование пузырьков пара вызывает колебания произ-
29 Космическая техника

450
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
водительиости пасоса и делает сгорание топлива в двигателе неустойчивым
и опасным; это может привести к сильным вибрациям камеры сгорания.
Чтобы избежать кавитации, делают так, чтобы располагаемый напор
жидкости на всасывании при входе в насос был всегда больше требуемого
напора, обусловленного конструкцией крыльчатки; это обеспечивает удов¬
летворительную работу без чрезмерного образования пузырьков пара.
Располагаемое давление *), или напор, называется полным нагнетательным
напором на всасывании, или NPSH (ПННВ). Этот напор представляет собой
величину, определяемую по давлению в баке (абсолютному давлению газа
в баке над поверхностью жидкости), высоте уровня топлива над входным
сечением насоса, гидравлическим потерям в магистрали между баком
и насосом и упругости паров жидкости. Если летящий снаряд испытывает
ускорение, то в величину полного напора на всасывании должна быть вне¬
сена поправка, связанная с подъемом.
Проектирование высокоскоростных, а следовательно, небольших и лег¬
ких насосов требует высокого напора на всасывании для предотвращения
кавитации. Это, в свою очередь, требует высокого давления в баках, что
вызывает их утяжеление. При очень малом числе оборотов увеличи¬
вается диаметр насоса, который становится чрезмерно тяжелым. При выбо¬
ре центробежных насосов для ракетных двигателей стремятся избрать
наибольшее число оборотов вала, при котором насос имеет низкое значение
требуемого напора на всасывании и при котором не требуется чрезмерное
повышение давления в баках или другие усложнения конструкции, что
*) Под напором насоса (часто называемым полным динамическим напором)
всегда подразумевается разность давлении па выходе и входе пасоса. Эта вели¬
чина выражается в футах. Переход от давления в фунтах на квадратный дюйм
к напору в футах производится при помощи выражения:
Яерелад
даеления
яри онрс/снс
@pacv
Яроиоеодотелбностя насоса fan а расход)
Рпс. 13.9. Зависимость располагаемого п потребного напора насоса от расхода
топлива для типичной турбопасоспой системы подачи топлива.
Р \jjyum/дюйм2] =
144Р [фут]
уд. вес [фунпг/футЦ

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
позволяет спроектировать относительно легкий насос. Преимуществами
в этом отношении обладают насосы с хорошими характеристиками всасы¬
вания. К. п. д. центробежных насосов для ракетных двигателей изменяется
от 40 до 80% в зависимости от расхода, давления, скорости вала и различ¬
ных механических потерь и потерь в уплотнениях.
Газогенераторы. Источником: энергии, необходимой для работы тур¬
бины, обычно является газогенератор, в котором газы образуются в резуль¬
тате химической реакции составляющих топлива, аналогичной реакции
в камере сгорания. По сравнению с газообразными продуктами сгорания
топлива в двигателе газы, образующиеся в газогенераторе, должны иметь
относительно низкую температуру, так как высокая температура вызывает
повреждение лопаток, соплового аппарата и иногда дисков турбины.
Компоненты топлива, используемого в газогенераторе, специально сме¬
шиваются в таких пропорциях, чтобы температура образующихся газов
была относительно низка (от 370° до 820° С).
Существует много возможных методов образования газов. Наиболее
распространены следующие методы:
а) газогенератор с собственной вытеснительной системой подачи топ¬
лива, работающий на одно- или двухкомпонентном топливе;
б) газогенератор с насосной системой подачи топлива, использующий
топливо и систему подачи основного ракетного двигателя; отдельной
является только камера сгорания;
в) отбор газов непосредственно из камеры сгорания двигателя;
г) образование газов в результате медленного горения заряда твер¬
дого топлива;
д) использование газа высокого давления.
13.2.2.	Топливные баки. В системах жидкостных ракетных двигателей
часто требуются не только большие баки для запасов топлива, но и мень¬
шие баки для жидкостей гидравлического привода (например, привод шар¬
нирного подвеса двигателя), для смазочных масел (зубчатая передача
в турбонасосе), а также для рабочего вещества стартового газогенератора.
Конструктивные и аэродинамические аспекты проектирования баков рас¬
сматриваются в гл. 17 и 18, но поскольку эти аспекты непосредственно
связаны с ракетным двигателем, то они будут кратко здесь обсуждены.
Конечно, оптимальной формой топливного бака является шаровая,
так как она обеспечивает наименьший вес бака и наилучшее распределение
напряжений в его конструкции. Использование баков сферической формы
привлекательно для космических полетов, когда нет аэродинамического
сопротивления и нагрева. Для снарядов наземного применения сфериче¬
ская форма баков не очень желательна, так как такие баки неэкономно
используют имеющийся в наличии объем снаряда. Топливные баки часто
выполняются заодно с фюзеляжем или крылом летательного аппарата
и обычно имеют неправильную форму.
Существуют в основном два типа топливных баков: баки высокого дав¬
ления п баки низкого давления. Баки высокого давления — это газовые
баллоны (от 1000 до 3000 фунт/дюйм2) и топливные баки при вытес¬
нительной системе подачи топлива (от 100 до 1500 фунт/дюйм2). Баки низ¬
кого давления обычно используются при насосной системе подачи топлива
(от 0 до 50 фунт/дюйм2 избыточного давления) или при вытеснительной
системе подачи для очень больших высот (космический полет).
Подача топлива из баков в полете при действии ускорений иногда
затруднительна. В некоторых конструкциях топливных баков при газо¬
баллонной системе подачи топливо бурно перемешивается с газом, находя¬
29*

452
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
щимся под давлением, образуя в жидкости газовые пузыри и вызывая тем
самым неустойчивую работу двигателя. Зенитные снаряды, ракетные истре¬
бители и другие летательные аппараты, испытывающие действие значитель¬
ных ускорений в полете, требуют применения специальных топливных
баков с устройствами, препятствующими обнажению выходных отверстий
топливных баков в течение маневра.
Так как действие силы тяги должно передаваться на баки и топливо,
то должна быть предусмотрена специальная конструкция для передачи
этой нагрузки. Конструкция может быть выполнена заодно с баком пли
с двигателем в зависимости от применения. Коническая форма конца бака
особенно удобна для передачи нагрузки на бак и для почти полного
опорожнения его.
При запуске жидкостных ракетных двигателей в космосе, для некото¬
рых типов траекторий полета снарядов, спутников и в случае отделения
ступеней снаряда особой проблемой является отсутствие сил тяжести.
Имеются простые способы обеспечения протекания жидкости в нужном
направлении, такие, как создание в баках устройств вытеснительной
подачи топлива (пороховые заряды, жидкостные аккумуляторы давления)
или создание небольшого искусственного ускорения.
13.2.3.	Камера сгорания ракетного двигателя. Камера сгорания *)
жидкостного ракетного двигателя есть специальная тепловая машина,
в которой жидкие составляющие топлива дозируются, впрыскиваются,
Замера сгорания -
/{ран
(для зал/ара ала
отбора бавленая)
Злобной
патрубон
Регулароеоч-
| но/а плана н „
ЛОЛЛСН070Р
онислао7еля
L Злобной нао7рубон онаслотеля
с сетчатым фильтром
\оллажба/ощай
змееван
Рис. 13.10. Сопло и камера сгорания, охлаждаемые горючим.
распыляются, перемешиваются и сжигаются при высоком давлении горе¬
ния в форме газообразных продуктов реакции, которые затем ускоряются
и выбрасываются с большой скоростью. В связи с высокой скоростью пре¬
образования энергии вопросы охлаждения, устойчивости горения, воспла¬
менения и впрыска требуют специального рассмотрения. В ракетном дви¬
гателе желательно сочетать малый вес, простоту и надежность конструкции
с высокими характеристиками.
Типичный ракетный двигатель в сборе (рис. 13.10 и рис. 13.11) состоит
зи следующих основных частей, каждая из которых в дальнейшем будет
рассмотрена подробно: сопла, камеры сгорания, форсунки, крепежных эле-
*).В некоторых публикациях вместо термина «камера сгорания в сборе» ‘при-
меняютсядермины «ракетный двигатель», «силовой цилиндр», «ракетный сжигатель».
В^этом тексте используется термин «камера сгорания», так как его предпочитают
неофициальной технической литературе.

* 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ II ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
453
ментов н системы зажигания, если применяются несамовоспламеияющиеся
топлива. Иногда в состав ракетного двигателя в сборе включают также
дшод гор/мега
Рис. 13.11. Схема немецкого жидкостного ракетного двигателя
«109-509», работающего на смеси перекиси водорода с гидразином,
спиртом и водой. Тяга может изменяться от 400 до 4000 фунтов.
смонтированные заодно с ним топливные клапаны и органы управления.
Ракетный двигатель типа «Ред стоун» во время испытаний показан и а
рис. 13.12.
Сопла. Сопло является той частью ракетного двигателя, в котором
происходит ускорение газов до высоких скоростей. При продолжительной
работе двигателя сопло должно охлаждаться. Сопло и камера сгорания
Рис. 13.12. Пневматические испытания двигателя «Рсдстоун».
обычно изготовляются как одно целое. Размер площади сопла и угол рас¬
твора сопла определяют давление сгорания, тягу, расход топлива, ско¬
рость истечения и изменение этих параметров, как было показано в гл. 12.

ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
1.1 VI. 13
Н е о х л а ж д а е м ы е р а к е т и ы е д в и г а т е л и. I ^охла¬
ждаемые жидкостные ракетные двигатели могут работать в течение проме¬
жутка времени до 1 мин, а иногда даже больше. Стенки двигателя дей¬
ствуют как «тепловая губка», т. е. поглощают тепловую энергию. Если
температура стенки приближается к точке плавления материала, из кото¬
рого она изготовлена, то дальнейшая работа двигателя становится опас¬
ной из-за возможности местного расплавления материала, высоких внут¬
ренних напряжений и уменьшения прочности. Эффективного использования
материала двигателя можно достичь путем утолщения стенок в критиче¬
ских местах, например вблизи критического сечения, и при помощи кера¬
мической изоляции для уменьшения скорости теплопередачи.
Если температура сгорания, данного жидкого топлива низка, то можно
использовать неохлаждаемьтй ракетный двигатель. Перекись водорода,
используемая как однокомпонентное горючее, имеет очень низкую тем¬
пературу сгорания и была использована в конструкциях иеохлаждаемых
ра кет пых двигателей.
Охлаждав м ы е ракет н ы е д в и г а т е л и. В охлаждае¬
мых ракетных двигателях предусматривается охлаждение некоторых или
всех металлических частей, соприкасающихся с горячими газами, напри¬
мер стенок камеры, стенок сопла, поверхности форсунок. Циркуляция
охлаждающей жидкости происходит в охлаждающей рубашке или охла¬
ждающем змеевике. Охлаждающая рубашка часто имеет внутреннюю
и наружную стенки, т. е. образует трубу. Внутренняя стенка омывается
продуктами сгорания, а пространство между стенками, служит для про¬
хода охлаждающей жидкости. Вона критического сечения обычно харак¬
теризуется наибольшей интенсивностью теплопередачи, и поэтому охлаж¬
дение этой зоны представляет наибольшие трудности. По этой причине
охл аждающая рубашка часто проектируется так, чтобы в зоне критического
сечения скорость течения охлаждающей жидкости была наибольшей,
что достигается сужением, проходного сечения рубашки. Использова¬
ние специальных форм (рис. 13.13) обеспечивает легкий вес конструкции,
эффективную теплопередачу через тонкую стенку и эффективное поддер¬
жание давления охлаждающей жидкости.
При регенеративном охлаждении стенки ракетного двигателя охла¬
ждаются окислителем или горючим, циркулирующим в охлаждающей
рубашке. При этом тепло, поглощаемое охлаждающей жидкостью, не
теряется, так как оно увеличивает начальный энергетический потенциал
топлива до его впрыска, что приводит к некоторому увеличению скорости
истечения (от 0,1 до 1,5%).
При пленочном охлаждении тонкая пленка жидкости покрывает
поверхность стенок, омываемых горячим газом, и защищает их от чрез¬
мерного перегрева. Защитная пленка образуется путем впрыска малых
количеств горючего, окислителя пли инертной жидкости с очень низкой
скоростью через большое число отверстий, расположенных вдоль омывае¬
мых газом поверхностей.
Для изготовления камер и сопел используются, вообще говоря, обыч¬
ные материалы, такие, как алюминий, сталь, нержавеющая сталь, иногда
медь и никель. В некоторых случаях приходится применять специальные
технические методы производства, например новые схемы сварки, изгото¬
вления шаблонов, новые способы сборки.
Все ракетные двигатели подвержены действию вибрации, но в разной
степени. Физический механизм всех этих вибраций не вполне выяснен.
В различных ракетных двигателях были установлены вибрации трех

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
455
типов. Предполагается, что вибрации первого типа являются колебаниями
давления в камере сгорания и топливной системе со сравнительно низкими
частотами от 1,5 до 0,1 гц. Эти пульсации давления могут самовозбуждать-
ся в результате чередующегося увеличения и уменьшения при впрыске
топлива перепада давления, вызывающего колебания расхода топлива,
что в свою очередь приводит к изменению давления в камере сгорания.
Рис. 13.13. Сборка труб для камеры сгорания с трубча¬
тыми стенками.
Вибрации второго типа обусловлены возбуждением собственной частоты
колебаний металлических частей двигателя, например камеры сгорания,
трубопроводов и элементов конструкций. Частота этих вибраций обычно
не превосходит 100 гц. Вибрации третьего типа имеют большую амплитуду,
большую энергию и связаны с процессами в камере сгорания. Эти колеба¬
ния могут стать настолько сильными, что приведут в очень короткое время,
меньше чем в 1 сек, к структурным разрушениям элементов конструкции
двигателя и присоединенного к нему оборудования. Частота этих колеба¬
ний часто связана с акустическими параметрами камеры сгорания.
Влияние вибрации можно уменьшить путем увеличения перепада
давлений на форсунке (повышение скорости впрыскиваемого топлива)
или изменения объема камеры сгорания. В некоторых случаях частота
и амплитуда вибраций зависят от метода подвески двигателя. Некоторые
конструкции головок двигателя, например головки с кольцевыми щелями,
в которых впрыск горючего и окислителя происходит через перемежаю-

456	ЖИДКОСТНЫЕ	РАКЕТНЫЕ	ДВИГАТЕЛИ	[ГЛ.	13
Рис. 13.14. Схемы нескольких тип он распылительных головок.

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
457
щиеся концентрические щели, имеют тенденцию к возбуждению высокоча¬
стотных вибраций. В деле исследования вибраций ракетного двигателя
были затрачены значительные усилия: для измерения этих колебаний были
разработаны специальные методы и приборы. Оказалось, что амплитуда
колебаний давления изменяется при переходе от точки к точке ракетного
двигателя; были зарегистрированы частоты этих колебаний до 20 000 гц.
Было исследовано несколько типов высокочастотных колебаний, одни из ко¬
торых связаны с акустическим резонансом в объеме камеры, а другие—
с явлением впрыска. Вместе с тем некоторые типы вибраций остались неис¬
следованными. Разработка методов исключения вибраций при работе
ракеты находится все еще в опытной стадии.
13.2.4.	Распылительные головки ракетных двигателей. Были испыта¬
ны многие типы распылительных головок (рис. 13.14). Функция головки
состоит в дозировании и вводе составляющих топлива в камеру сгорания,
распылении и перемешивании этих составляющих таким образом, чтобы
Рис. 13.15. Типичная головка, предназначенная для исполь¬
зования в камере сгорания ракетного двигатели исследова¬
тельской ракеты.
в результате образовалась однородная смесь горючего и окислителя задан¬
ного состава, подготовленная для испарения и сгорания (рис. 13.15, 13.16,
13.17).
Полная теория, связывающая расчетные параметры головки с харак¬
теристиками ракетного двигателя и явлениями в камере сгорания, еще не
разработана; поэтому подход к проектированию и разработке головок
жидкостных ракетных двигателей является в основном эмпирическим.
Все же имеющиеся в наличии данные позволяют выделить несколько важ¬
ных параметров, которые влияют на качество и рабочие характеристики
головок. Некоторые из них указываются в литературе.

458	ЖИДКОСТНЫЕ	РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ	[ГЛ.	13
Несамовоспламеняющиеся топлива нуждаются для воспламенения
в активизации путем подвода энергии извне. Источником этой энергии
является система зажигания. Запал должен быть расположен вблизи голов¬
ки таким образом, чтобы для зажигания использовать смесь необходимого
Рис. 13.16. Испытание головки при работе на воде
пускового состава; вместе с тем он не должен ухудшать или нарушать
установившийся процесс горения. Были успешно использованы методы
Рис. 13.17. Типичная головка с большим количеством форсунок.
зажигания при помощи запальных свечей, электрически нагреваемых
пластинок, патрона с твердым топливом и, наконец, при помощи специаль¬
ной самовоспламеняющейся жидкости или катализатора.
13.2.5.	Управление. Системы управления жидкостными ракетами
должны выполнять некоторые или все из перечисляемых далее задач:
а)	начало работы ракетного двигателя и воспламенение топлива, б) выклю¬

■S 13.2]
оси овны к системы и их составляющий
чение ракетного двигателя посредством отсечки топлива, в) повторный
пуск, г) поддержание определенных величии иа заданном уровне (пред¬
варительно рассчитанная постоянная или переменная тяга, предваритель¬
ная установка коэффициента состава*) топливной смеси) посредством
калибровки топливной системы или благодаря автоматическому управле¬
нию, д) аварийное выключение двигателя по сигналам приборов безопас¬
ности, е) заполнение баков горючим, ж) слив излишка топлива после опе¬
рации, з) проверка правильности функционирования основных составляю¬
щих двигателя.
Сложность этих задач регулирования и систем, выполняющих задачи,
зависит в очень большой степени от назначения ракеты.
В общем ракеты одноразового использования, которые заполняются
топл ивом при их производстве и которые предназначены работать в узком
диапазоне окружающих условий, должны быть проще, чем ракеты, рас¬
считанные на повторное использование в тех случаях, когда нужно убе¬
диться в удовлетворительной работе ракеты до ее старта иа большой высоте
или в случае пилотируемых снарядов. Благодаря использованию жидкого
топлива большинство функций системы управления осуществляется при
помощи клапанов, регуляторов и расходомеров. Состав топливной смеси
может значительно отклоняться от расчетного при пуске и остановке
ракетного двигателя, так как нарастание расхода от нуля до расчетной
величины происходит за очень малое время. В общем случае используются
клапаны, последовательность и скорость открытия которых управляются.
В некоторых случаях при старте двигателя используются разрывные диа¬
фрагмы.
Для получения надежных и устойчивых характеристик работы ракет¬
ного двигателя необходимо обеспечить точное управление расходом топ¬
лива, давлением и составом топливной смеси. К счастью, большинство
ракетных двигателей работает с постоянным расходом топлива и на смеси
постоянного состава, что упрощает проблему управления их работой.
Устойчивая работа жидкостного ракетного двигателя возможна вооб¬
ще без приборов автоматического регулирования, так как система расхода
жидкого топлива сама по себе устойчива. Это означает, что на любое воз¬
мущение расхода топлива (внезапное уменьшение или увеличение потока)
система реагирует таким образом, что стремится уменьшить влияние этого
возмущения.
Система защиты предназначается для защиты экипажа и оборудова¬
ния в случае аварии. Например, система управления обычно проекти¬
руется так, что в случае обрыва кабеля, питающего двигатель электриче¬
ской энергией, происходит безопасное выключение двигателя посредством
отсечки топлива, т. е. все клапаны: с электрическим приводом автоматиче¬
ски возвращаются в их нормальное положение; в результате этого непро¬
реагировавшее топливо не взрывается. Другим примером является электри¬
ческое блокировочное устройство, которое не допускает открытия глав¬
ного топливного клапана, пока не сработает запал в камере сгорания.
Система контроля работы ракетного двигателя позволяет имитировать дей¬
ствие основных составляющих двигателя, не прибегая к работе самого дви¬
гателя. Например, многие ракетные двигатели снабжаются устройствами,
обеспечивающими действие главных клапанов при отсутствии топлива или
д а 11 л е li ия в т о п л и в н о й спсте м е.
*) Под коэффициентом состава топливной смеси понимается отношение весо¬
вого расхода окислителя к весовому расходу горючего. (Прим. перев.)

460
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
Обычно ракетные двигатели проектируют так, что их тяга, удельный
импульс и состав топливной смеси находятся в определенных узких преде¬
лах. Очевидно, для предвычисления траектории необходимо контроли¬
ровать тягу и удельный импульс, так как характеристика полета снаряда
есть функция удельного импульса, логарифма отношения начального веса
к весу в момент выгорания топлива и программы тяги.
Из наличия допусков при производстве и управлении двигателем
следует ожидать, что фактические характеристики ракетного двигателя,
полученные при испытаниях, будут несколько отличаться от проектируе¬
мых значений. Если бы состав топливной смеси отличался от расчетного
значения, то одна составляющая была бы израсходована раньше другой,
в результате чего в «момент выгорания топлива» в баках оставалось бы
некоторое количество топлива (одной его составляющей) и увеличился бы
вес ракеты. Это вредно повлияло бы на конечную скорость, достижимую
дальность и траекторию снаряда. Более того, работа при нерасчетном
составе топливной смеси обычно вызывает уменьшение эффективности
турбины и насоса, изменение в перепадах давлений в топливной системе и
изменение удельного импульса. Следовательно, постоянство состава
топливной смеси должно поддерживаться в очень узких пределах.
Для точного управления тягой и составом топливной смеси пригодны
два метода. Первый использует систему автоматического регулирования
отклонений, второй основан на статической калибровке системы двига¬
теля. Последний оказывается более простым и используется чаще; кали¬
бровка жидкостного ракетного двигателя с высокой степенью точности
производится в три этапа.
Сначала производят отдельную калибровку гидравлической и пневма¬
тической систем. Для таких устройств, как регуляторы давления, пнев¬
матические линии, клапаны, расходомеры, линии подачи топлива и калиб¬
ровочные насадки, нужны кривые, показывающие перепад давления па
них как функцию характеристик потока. Такие кривые строятся обычно
в координатах напор — объемный расход; таким образом исключается
плотность жидкости как явная переменная. Характеристика всей топлив¬
ной системы получается сложением характеристик отдельных элементов
с кривой изменения давления в камере сгорания. Такой расчет должен
быть сделан как для системы подачи горючего, так и для системы подачи
о кислите ля (рис. 13.18).
Следующим шагом является калибровка тех составляющих топливной
системы, которые работают при экстремальных температурах. При исполь¬
зовании горячих газов и охлажденного топлива (например, жидкого кис¬
лорода) получаются перепады давления, несколько отличные от перепа¬
дов, получаемых при использовании воды, которая обычно употребляется
для калибровки. Таким образом, характеристики перепада давления
как функции объемного расхода для таких элементов, как главная топлив¬
ная головка, головка газогенератора, система охлаждения двигателя,
лучше всего определяются из серии огневых испытаний каждого эле¬
мента. Точно так же характеристики насоса должны быть определены
при использовании того топлива, для которого предназначен насос,
а не воды.
Третьим шагом является установка расчетного значения перепада
давления. На этой ступени расчеты проводятся для определения величин,
необходимых для доводки системы. К таким величинам относятся размер
калибровочной насадки, установка регулятора давления и подгонка регу¬
лирующего клапана. Точная доводка системы зависит от специфического

13.2]	ОСНОВНЫЕ	СИСТЕМЫ И ИХ СОСТАВЛЯЮЩИЕ	4С>1
се использования. Имеются два основных способа подачи топлива: турбо-
насосная система и система подачи топлива давлением. Процесс калибров¬
ки обычно значительно сложнее для турбонасосной системы, так как
кривая градуировки турбонасоса (зависимость напора от расхода) не
может быть оценена без хороших данных об испытаниях и не может быть
аппроксимирована простым аналитическим соотношением. В случае турбо-
яасосной системы подачи топлива вращающий момент турбины должен
Регулируема? давление, уменла/еллое
ла величину ло/лерв в лилии лодачи газа
и равное раелолагаемому давлен и/а в дане
Перепад
давлений
лри влрл/еРс
Гидравлачеелае
логера в ллалалахг\
глрудалроводах, -
системе охлаж*
делил
Давление
у в нам ере
сгорание
Расход\ фут3/сен
Рис. 13Л 8. Соотношение между напором и расходом при калибровке вытесни¬
тельной системы подачи одной из составляющих топлива.
бытг/равен моменту нагрузки, создаваемому насосом. Это условие равнове¬
сия должно быть выполнено вместе с условием работы на расчетном режиме
относительно давления и расхода каждой составляющей топлива. Часто
в жидкостных ракетных двигателях применяются автоматически управ¬
ляемые системы регулирования для выполнения одной или несколь¬
ких следующих функций.
1. Стабилизация сложной насосной системы подачи топлива, пред¬
отвращение импульсной подачи топлива.
2. Управление внутренними параметрами ракеты (например, ско¬
ростью насоса или выходным давлением газогенератора), которые служат
для поддержания на заданном постоянном уровне или изменения по про¬
грамме таких характеристик, как тяга, состав топливной смеси, требуемое
давление в камере сгорания.
3. Управление переменными начальными условиями для достижения
заданных характеристик ракетного двигателя (поправки на переменную
температуру окружающей среды, на изменяющуюся плотность топлива
и производственные допуски при сборке).

462
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
Большинство этих систем регулирования является системами непря¬
мого регулирования и состоят из трех частей: чувствительного элемента,
который измеряет переменную регулируемую величину; вычислительного
устройства или механизма, который сравнивает выходной сигнал чувстви¬
тельного элемента с заданной величиной и образует управляющие сигналы
к третьей составной части — регулирующему органу, который изменяет
р е гул и р у е му ю переменную.
Одним из простых методов регулирования тяги является программное
изменение давления в камере сгорания (а следовательно, и тяги) в тече¬
ние полета. В качестве чувствительного элемента используется датчик
давления с электрическим выходом. Специальное устройство сравнивает
выходной сигнал этого манометра с выходным сигналом эталонного мано¬
метра и образует сигнал ошибки: Последний, в свою очередь, усиливается,
.модулируется и поступает на регулирующий орган, изменяющий регули¬
руемую переменную. При вытеснительной системе подачи топлива регу¬
лирование выходного давления газогенератора осуществляется управле¬
нием расходом топлива для газогенератора так же, как это делается при
регулировании скорости насоса и главного потока топлива при насос¬
ной системе подачи. Давление в камере сгорания и тяга не являются не¬
посредственно регулируемыми параметрами. Их величины изменяют¬
ся до тех пор, пока сигнал ошибки не достигнет нуля. Описание этой
системы здесь крайне упрощено. В действительности такая система мо¬
жет быть объединена с другими системами автоматического регулиро¬
вания.
13.2.6.	Вспомогательное использование топлива. В типичном жид¬
костном ракетном двигателе топливо, содержащееся в баках снаряда,
часто используется для других целей, кроме создания тяги. Вспомогатель¬
ное использование топлива в некоторой степени влияет на все характе¬
ристики снаряда. Однако это влияние мало, так как запасы топлива,
необходимые для вспомогательных нужд, малы по сравнению с
запасами, используемыми для создания тяги. Жидкое топливо исполь¬
зуется, кроме создания тяги, в одной или нескольких из следующих
систем.
ГГ р и вод турбо и а с о с и о й с и с т е м ы подачи топ-
л и в а. Часто для привода турбонасоса небольшая порция топлива сжи¬
гается в отдельной камере сгорания газогенератора или же используются
газы, отбираемые из основной камеры сгорания. Этот вопрос уже был
рассмотрен в предыдущем разделе. В зависимости от точности двигатель¬
ной системы, требуемого давления подачи топлива и коэффициента полез¬
ного действия турбины для создания потока газа через турбину потребляет¬
ся приблизительно от 1 до 5% расхода топлива через основную камеру
сгорания, причем состав топливной смеси отличается от состава смеси,
используемой в основной камере сгорания. Часто газ низкого давления
после турбины проходит через сопло с малым расширением, что дает
небольшую величину дополнительной тяги, приблизительно 1% от пол¬
ной тяги.
П р и в о д в с и о м о г а т е л ь и о й э и е р г е т и ч е с к о й
систем ы. В некоторых двигателях вспомогательный источник энер¬
гии приводится непосредственно от турбины. В такую типичную систему
могут входить гидравлический насос, электродвигатель или оба вместе.
Для привода этих вспомогательных устройств требуется энергия. В связи
с этим необходим незначительный дополнительный расход топлива в ос¬
новном газогенераторе.

§ 13.2]
ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ II ИХ С О С Т А В Л /110 ЩII1,л.
403
Н а г и е т а и и е бак о в. В некоторых случаях для создания дав¬
ления в основных топливных баках используются незначительные объемы
одной или обеих составляющих топлива. В турбонасостюй системе подачи
топлива небольшое давление в баках (от 10 до 40 фу пт/дюйм2) также необ¬
ходимо для предотвращения кавитации. Необходимое давление может
быть получено путем отбора некоторой части топлива при высоком давле¬
нии на выходе насоса, испарения этого топлива в теплообменнике и подачи
образующихся газов снова в топливный бак ракетного двигателя. Такая
система применялась для создания давления в кислородном баке раке¬
ты V-2.
Использование топлива для иных целей, кроме создания реактивной
тяги, при помощи основной камеры сгорания, приводит к трем ослож¬
нениям.
1. Дополнительный расход топлива обычно несколько уменьша¬
ет полный удельный импульс ракетного двигателя по сравнению с тем
случаем, когда топливо расходуется исключительно в камере сго¬
рания .
2. Состав топливной смеси, подаваемой из баков, обычно несколько
отличается от состава топливной смеси, поступающей в камеру сгорания
или газогенератор.
3. Величина объема топливных баков жидкостного ракетного двига¬
теля должна быть рассчитана не только на запасы топлива для основной
камеры сгорания, но и на топливо, которое используется для других
целей.
Ниже приведены упрощенные соотношения, которые дают основной
метод определения суммарного удельного импульса /8р, суммарного весо¬
вого секундного расхода топлива W и коэффициента топливной смеси г
как функций соответствующих характеристик составляющих топлива.
В нижеследующих уравнениях индексы оа, о и / относятся ко всей систе¬
ме ракетного двигателя, к окислителю и горючему соответственно;
F обозначает тягу:
V F
{Гр)о« = ^г ;
- 2 W-,
2 wa
rm = Jwf-
Эти же самые уравнения могут быть использованы для определения общих
характеристик силовой системы снаряда, которая включает в себя более
чем одни ракетный двигатель.
У п р а в л е и и е напр а в л е и и е м в е к тора т я г п. Ракет¬
ный двигатель предоставляет конструктору снаряда удобный механизм
для создания управляющих моментов по курсу, крену и тангажу. Исполь¬
зование одностепенного шарнира, шарнира Гука, газовых рулей и не¬
сложного сопла, работающего на выходных газах турбины и прикреплен¬
ного посредством шарнира Гука, позволяет, несмотря на некоторое услож¬
нение двигателя, управлять направлением полета снаряда. Если исполь¬
зуется одностепенной шарнир, то вектор тяги может вращаться вокруг
одно]! осп. Шарнир Гука, или универсальный шарнир, выполняет те же
функции, по относительно двух осей. Газовые рули действуют благодаря

464
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
аэродинамической подъемной силе, создаваемой при погружении их
поверхностей в поток горячих газов. Более подробно эти вопросы пред¬
ставлены в табл. 13.3.
Таблица 13.3
Устройства для управления направлением полета снаряда
Потери
в удельном
импульсе
Возможность управления по
Устройства для
управления
танга¬
жу
1 КУР-
су
крену
Примечание
Тяговая камера в уни¬
версальном или одно¬
степенном шарнире
Пренебре¬
жимо
малы
1
j
Да
Да
Нет — при
одной тя¬
говой ка¬
Очень эффектив¬
но
Газовые рули
2-^-5%
Да
Да
мере, да —
при двух
или более
тяговых
камерах
Да
Ограниченный
Отбор горячих газов из
камеры сгорания и
истечение их через
отдельное сопло, под¬
вешенное в односте-
пенном шарнире
2-^6%
Да
1
Да
Да
срок жизни,
если рули не
охлаждаются
Проблема пере¬
дачи горячих
газов i
Использование газов
после турбины, исте¬
кающих через сопло
в одностепеином шар¬
нире
Менее 2%
Да
1
!
Да
Да
Максимальный
момент огра¬
ничен низким
расходом газо¬
генератора
Малая вспомогательная
камера сгорания, под¬
вешенная в односте¬
пенном или универ¬
сальном шарнире
2 ч- Ю%
Да
1
1
j
Да
1
!
Да
' i
§ 13.3. Топлива
Для космического полета представляют интерес четыре основных вида
жидких топлив. Они уже были перечислены в таблице 13.2. Некоторые
из характеристик топлив приведены в табл. 13.4. Эти четыре группы
следующие:
1. Жидкий кислород — керосин. Это топливо широко используется
во многих случаях и сравнительно широко изучено.
2. Топлива с большим энергетическим потенциалом. Они дают удель¬
ный импульс на 15% больше и позволяют уменьшить размеры и вес на
10 -у- 20 %. Этот выигрыш может быть выгодно использован во многих
случаях космических полетов. Химическая активность таких веществ,
как фтор F2, водород Н2 и гидразин N2H4, ставит дополнительные
инженерные задачи и трудности проектирования, испытания, производства
и эксплуатации двигателей.

$ 13.3]
ТОПЛИВА
405
3. Третья группа включает в себя азотную кислоту, перекись водорода
и некоторые другие жидкости, не требующие специального охлаждения.
Как окислитель, так и горючее, относящиеся к этой группе, не требуют
специальной изоляции или других специальных мер для хранения в сна¬
ряде. Эти топлива могут быть полезны в тех случаях, когда проходит
большой промежуток времени до использования двигательной системы,
например в случае посадки на планету. Для некоторых из этих задач могут
быть также пригодны твердотопливные ракетные двигатели.
4. Однокомпонентные топлива. Эти топлива допускают очень простое
проектирование двигательной системы и могут использоваться в двпгате-
Таблица 13.4
Характеристика топлив
Топливо
Применение
Теоретическая ве¬
личина удельного
импульса при да¬
влении в камере
сгорания
500 фунт/дюйм2
Плот¬
ность.
фунт/фу
Оптималь¬
ный коэф¬
фициент
состава
Темпера¬
тура сго¬
рания.
на уров¬
не моря
<е*)=8),
сок
в космосе
(е=25).
сок
топлив¬
ной смеси
°С
Жидкий кислород
и углеводород¬
ное топливо (ке¬
росин)
Стартовые (бу-
стерныс) и
маршевые
двигатели
261
324
63
2,25
1
3200
F2-NH3
—
301
368
71
2,77
3980
f2-h«
Маршевые
двигатели
364
447
19
4,0
2600
f2-n2ii4
Бустсрныс и
маршевые
двигатели
303
372
80
1,75
4040
02-н2
Маршевые
двигатели
357
441
16
3,5
2480
Азотная кисло¬
та— UDMH **)
Двигатели ко¬
нечных сту¬
пеней
246
304
76
2,4
2820
Однокомпонент¬
ное топливо,
Н202 концент¬
рации 90%
Коррекция
траектории
137
167
87
—
740
*) е — отношение площади выходного сечения сопла к площади критического сечения.
**) UDMH — Unsymmetrical dimethyl liidrazine (несимметричный диметплгндразнн).
лях малой тяги, обладающих возможностью повторного запуска; эти дви¬
гатели служат для управления снарядами.
Как оказалось, жидкий кислород с керосином (иногда со спиртом),
азотная кислота с несимметричным диметилгидразином образуют работо¬
способные, практичные топливные смеси. Другие топлива находятся
в стадии исследования. Характеристики различных топливных комбина¬
ций могут быть точно предвычислены методами термохимического анализа,
30 Космическая техника

466
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
как описано в гл. 12. Основные результаты расчета для топливной смеси
жидкий кислород — гидразин показаны на рис. 13.19, а, 13.19, б, 13.20.
о)
б).
250-
240-
230-
Процесспри р7 =
500 фунт/дюйм 2,
па уровне моря,
при оптимальном
расширении сопла
0,20	0,40	0,60	0,60	7,00
Коэффициент со от ива топливной смеси
11
tj
II
ii
1,300
7,200
& i
§i
I
7,06
704
702
i
i
-
к
\
1
у
Темп
ера тура >
/
/
Процесс при рг=
600фунт/З/ойм?,
на уровне моря,
при оптималином
раси/арснаи сопла
-
/
/
/
\
\ Объемная
плотности
0,20	0,40	0,60	0,60	7,00
/Тоофрициент состава топливной смеси
2760
2200
%
X
7660
Рис. 13.19. Теоретические зависимости характеристик продуктов сгорания
ракетного двигателя, работающего на смеси жидкого кислорода с гидра¬
зином, от коэффициента состава топливной смеси.
Характеристики топлива даны как функции давления в камере сгорания
и состава топливной смеси; эти характеристики подробнее рассматри¬
ваются в следующем разделе.
§ 13.4. Оптимизация и выбор характеристик двигателя
Топлива выбираются иа основе трех групп факторов: технического
превосходства, нужных рабочих характеристик и экономичности. Типич¬
ные критерии выбора перечислены в табл. 13.5.

§ 13.4]	ОПТИМИЗАЦИЯ И ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЯ	467
Таблица 13.5
Критерии выбора топлива
1. Технические факторы
Характеристика топлива (удельный импульс).
Характеристика снаряда (дальность полета, размеры).
Характеристики охлаждающего вещества (температура горения, удельная теп¬
лоемкость, теплопроводность, давление паров, точка кипения).
Способность топлива к коррозии и ее влияние на материалы и оборудование.
Удельный вес в жидком состоянии.
Молекулярный вес в жидком состоянии.
Молекулярный вес горячих газов и другие свойства продуктов реакции.
Характеристики топлива с точки зрения нагнетания (вязкость, давление паров,
удельный вес).
Совместимость с конструкцией снаряда.
Изменение физических свойств топлива с изменением температуры окружающей
среды.
Устойчивость горения и характеристики воспламенения топлива.
2. Экономические факторы
Стоимость разработки и планирования.
Стоимость производства.
Затраты на введение нового снаряда в действие (тренировка войск, устройство
новых стартовых площадок).
Личный состав, необходимый для обслуживания снаряда.
Требуемое и располагаемое оборудование для производства, разработки, ремонта,
испытания и хранения снарядов.
3.	Факторы, определяемые обращением с топливом
Взрывоопасность.
Токсичность.
Огнеопасность.
Сохранность без ухудшения свойств.
Совместимость с материалами резервуаров и трубопроводов.
Совместимость с существующим военным оборудованием и организацией.
Предшествующий опыт военного использования.
Яркость пламени и интенсивность образования дыма.
Наличие топлива и оборудования для его производства.
Сложность процесса производства и его контроля.
Сложность основного опорного устройства и оснащения.
Затраты на текущий ремонт, обслуживание и перевозку.
Давление в камере сгорания обычно определяется компромиссным
решением после изучения ряда характеристик. При повышении давле¬
ния в камере сгорания происходит следующее.
1. Незначительно увеличивается удельный импульс реактивного дви¬
гателя и дальность полета снаряда. Этот эффект ослабляется с ростом дав¬
ления в камере сгорания (рис. 13.20 и 13.21).
2. Увеличивается мощность, необходимая для привода насосов. Уве¬
личивается расход газогенератора, вызывая незначительное уменьшение
удельного импульса всей двигательной системы.
3. Увеличивается теплопередача через стенки сопла и камеры сгорания.
4. Размеры камеры сгорания уменьшаются, но увеличивается тол¬
щина стенок.
5. Вес камеры сгорания может увеличиваться или уменьшаться в за¬
висимости от точной конфигурации и отношения площадей.
6. Устойчивость горения может ухудшаться.
Оптимальное расширение сопла зависит от высотной характеристики
траектории снаряда. Это результат того, что удельный импульс является
30*

468
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
функцией отношения давлений, которое изменяется с окружающим давле¬
нием. В общем для снарядов, летающих вблизи уровня моря, требуются
К
II
I
к? ^
2040
2880
2820
290
§ *
280
& §
270
1
280
30
11
20
70
О
1
Температура с гор а лая
Ровфрацаелт состава топлива
равел 0,7, процесс происходил?
ла у росло моря про опт ом спе¬
лом расширении сопла
- Уделено/О ампуле с
-Н,
,0-*
■Но -
н-к
h
li U
~1 “Т~
2
О 700	200	300	400	300	600	700	800
Давление в камере сгорания, фунт/Омам2
Рис. 13.20. Теоретические зависимости характеристик продуктов сго¬
рания ракетного двигателя, работающего на смеси жидкого кислорода с
гидразином, от давления в камере сгорания.
1 w
I
^ 703
I
| 700
малые значения расширения сопла (от 3 до 10), а для высотных снарядов —
большие значения этого параметра (более 15). Влияние расширения сопла
на коэффициент тяги было рассмотре¬
но в предыдущем разделе.
Такая характеристика насоса, как
полный нагнетательный напор на вса¬
сывании (IIHHB), определяется ком¬
промиссным выбором с учетом следую¬
щих факторов. При увеличении этого
напора мы имеем следующее:
1. Размеры и вес насоса обычно
уменьшаются, так как насос может
работать с более высокой окружной
скоростью.
2. Давление в баках снаряда по¬
вышается, баки и система создания
давления в баках утяжеляются.
3. Уменьшается сопротивление
следовательно, увеличивается величина потерь
200	400	600	800	7000
Давление е камере сгоралая, рул/л/8/оам2
Рис. 13.21. Зависимость увеличения даль¬
ности полета от давления в камере сго¬
рания для баллистического снаряда V-2.
насоса кавитации, а
топлива в линии всасывания и баках.
Коэффициент состава топливной смеси определяется как отношение
весового секундного расхода окислителя к весовому секундному расходу
топлива; этот параметр обычно выбирается так, чтобы максимизировать
величину удельного импульса (рис. 13.19,а). При коэффициенте состава
топливной смеси, дающем максимум удельного импульса, не происходит
обычно полного сгорания, которому в общем соответствует смесь с более
высокой температурой сгорания. При использовании переобогащенной

§ 13.5]
ИСПЫТАНИЯ
469
смеси в истекающих газах содержится большое количество легких эле¬
ментов (т. е. водорода). Так как удельный импульс увеличивается
с уменьшением молекулярного веса продуктов сгорания, то топливная
смесь nppi максимальном удельном импульсе бывает в общем переобога-
щеиной. Состав топливной смеси обычно выбирается так, чтобы обеспе¬
чить экстремальное значение характеристики, учитывающей свойства
7000	70000	700000	7000000
Тяга, фу//т/
Рис. 13.22. Зависимость удельного веса двигателя от тяги для-различных
ракетных двигателей.
охлаждающего вещества, плотность топлива и задачу балансировки
снаряда. Эта характеристика ухудшается, когда коэффициент состава
топливной смеси отличается от значения, соответствующего максималь¬
ному удельному импульсу. Теоретическая кривая часто более крута, чем
полученная из фактических испытаний.
На рис. 13.22 показан вес двигателя для различных жидкостных ракет¬
ных систем как функция тяги. Удельный вес двигателя есть вес на единицу
тяги. При малых тягах удельный вес двигателя высок, так как ограничение
толщины стенок, минимальные размеры и т. д. не позволяют рассчитывать
металлические части на напряжения, допускаемые в обычных условиях.
При больших значениях тяги вес увеличивается в общем быстрее, чем тяга,
и, следовательно, удельный вес снова возрастает. Для каждого конкрет¬
ного типа топливной системы имеется свой уровень тяги ракетного дви¬
гателя. Хотя из этих рассуждений трудно сделать точные выводы, мы
можем сказать, что хорошо спроектированные ракетные двигатели с тягой
от 1000 до 10 ООО фунтов дают от 30 до 40 фунтов тяги на единицу веса.
§ 13.5. Испытания
Цель испытаний ракетного двигателя состоит в получении данных
о качестве его использования или надежности. Прежде чем ракетные дви¬
гатели используются по назначению, их подвергают нескольким различным
типам испытаний. Некоторые из них перечислены ниже в той последова¬
тельности, в которой эти испытания обычно проводятся.

470
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. 13
1. Испытания для проверки качества производства и сборки двигателя
(испытания под давлением, выявление утечек, проверка электромехани¬
ческих систем).
2. Испытания отдельных элементов двигателя (функциональные
и рабочие испытания запалов, клапанов, форсунок, конструкции и т. д.).
3. Статические испытания всей ракетной системы на испытательном
стенде.
а)	Имитация работы двигателя (испытания на правильность функцио¬
нирования, а также проверка правильности калибровки, режима воспла¬
менения и всей работы в целом; эти испытания обычно проводятся на ре¬
жимах меньшей интенсивности, чем расчетный).
Рис. 13.23. Испытательный полигон с тремя большими испы¬
тательными стендами, один из которых огневой.
б)	Полные испытания двигателя (нерасчетные условия работы с умыш¬
ленными изменениями параметров окружающей среды или калибровки)
на стенде (рис. 13.23 и 13.24).
4. Статические испытания снаряда (ракетный двигатель установлен
на не летящем снаряде).
5. Летные испытания:
а) летные испытания специального испытательного снаряда на спе¬
циально оборудованном полигоне;
б) летные испытания серийного снаряда.
Каждый из этих пяти типов испытаний может быть выполнен, по
крайней мере, по следующим трем основным пунктам программы:
1. Научное исследование, развитие и улучшение ракетного двигателя.
2. Оценка пригодности ракетного двигателя для конкретного приме¬
нения.
3. Контроль качества производства снаряда.
Первые два пункта касаются новых или модифицированных устройств
и часто включают в себя испытания и измерения новых явлений с исполь¬
зованием экспериментальных ракетных двигателей. При испытаниях
по третьему пункту измеряют несколько основных параметров для относи¬
тельно большого числа серийно выпускаемых ракетных систем. Не все

§ 13.5]
ИСПЫТАНИЯ
471
выпускаемые снаряды должны быть подвергнуты испытаниям по полной
программе, так как оказываются достаточными статистические данные.
К сожалению, невозможно провести летные испытания ракет так же,
как это может быть сделано в случае самолетных двигателей, когда один
и тот же двигатель и самолет используются для большого числа полетов.
Поэтому большая часть статических испытаний составляющих ракетного
двигателя и всей силовой установки в целом должна быть выполнена при
всех мыслимых условиях окружающей среды, чтобы свести к минимуму

472
ЖИДКОСТНЫЕ РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ
[ГЛ. П
количество летных испытаний. Следовательно, разработка и усовершен¬
ствование сложного ракетного двигателя, связанные обычно с необходи¬
мостью многих испытаний, являются длительным и дорого стоящим про¬
цессом. Поэтому надежность жидкостного ракетного двигателя выявляется,
как правило, при помощи серии статических испытаний, в программу кото¬
рых входит изменение окружающих условий. Для серийных двигателей
была достигнута надежность, близкая к 100%.
§ 13.6. Заключение
В настоящее время жидкостные ракетные двигатели относятся к числу
наиболее известных и наиболее интенсивно исследуемых ракетных двига¬
тельных установок. Оказывается, что эти двигатели удовлетворяют мно¬
гим требованиям космических задач, и, вероятно, такие жидкостные ракет¬
ные двигатели будут использованы для ближайших космических полетов.
Для того чтобы получить требуемые конкретные характеристики,
основные составляющие жидкостного ракетного двигателя, а именно, топ¬
ливная система, баки, камера сгорания с соплом и система управления,
могут быть спроектированы, несмотря на все многообразие систем, уст¬
ройств и размеров. Нет видимых пределов величине тяги. По-видимому,
осуществимы ракетные двигатели с тягой 3 ООО ООО фунтов.
Практичным оказался ряд различных жидких горючих и окисли¬
телей. Топлива с большим энергетическим потенциалом, такие, как фтор
и водород, имеют максимальные характеристики, которые возможны при
освобождении химической энергии. В процессе производства были ясно
выявлены относительная простота и надежность жидкостных ракетных
двигателей.
ЛИТЕРАТУРА
1. S u t t о n G. P., Rocket Propulsion Elements, New York, John Wiley and Sons,
2-е изд., 1956. [Русский перевод: Саттон Д., Ракетные двигатели, ИЛ, 1952.]
2. Burgess Е., Rocket Propulsion, London, Chapman and Hall, 2-е изд., 1954.
3. S u t t о n G. P., Rockets Behind the Iron Curtain, J. Am. Rocket Soc. 23 (No. 3),
186-191 (1953).
4. Y о u n g q u i s t R. and Layton J. P., Presentation of the Proposed American
Standard Letter Symbols for Rocket Propulsion, Jet Propulsion 25 (No. 11), 586—
645 (1955).
5. Журналы Jet Propulsion, Astronautics, Journal of the British Interplanetary Society
[в особенности Jet Propulsion 25 (No. 11), 594 (1955); 25 Years of Rocket Develop¬
ment, by Seifert H. S.].

ГЛАВА 14
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
Джон Шафер {John J. Shafer)
§ 14.1. Введение
В настоящее время возрастает значение малых, не игравших до сих
пор большой роли, пороховых ракетных двигателей. Эти двигатели не ис¬
пользовались в наиболее ранних ракетных системах, для которых требо¬
вались силовые установки с высокими характеристиками; однако в настоя¬
щее время твердотопливные двигатели, обладающие высокой надежностью
и несколько необычными харак¬
теристиками, превращаются в си¬
ловые установки, которые должны
будут сыграть более значительную
роль в развитии баллистических и
космических снарядов. Уже сейчас
для изучения задач возвращения
в атмосферу дальних баллисти¬
ческих снарядов применяются
большие испытательные снаряды,
работающие частично или пол¬
ностью на твердом топливе. На
таком топливе работает последняя
ступень системы «Авангард» и все
ступени, кроме первой, армейской
ракетной системы для вывода спут¬
ников на орбиту.
Хотя твердотопливный ракет¬
ный двигатель является, в неко-
 	^Рис. 14Л. Составные части твердотопливного
ТОрЫХ ОТНОШеНИЯХ, более СЛОЖНОЙ ракетного двигателя времен второй fмировой
по сравнению с жидкостным двига-	войны,
телем химической системой, такой
двигатель относительно прост в проектировании и изготовлении. Поро¬
ховой заряд, представляющий собой твердое тело, содержащее и окисли¬
тель и горючее, находится в самой камере сгорания, а не в баках, как
для жидкостного двигателя. Не нужны — фактически невозможны — на¬
гнетание, дозировка, впрыск и атомизация топлива. На рис. 14.1 изо¬
бражен один из типов порохового снаряда времен второй мировой воины,
который состоит из пяти основных частей.
1.	Цилиндрическая камера сгорания с запрессованными днищами.
Камера сгорания не охлаждается; ее стальные стенки достаточно толсты,
(цилиндрический)
С/лержени дееллименителе
Тсллиелш sc лед
(цилиндрический)

474
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
чтобы противостоять одновременному воздействию давления и температуры
газообразных продуктов сгорания, состоящих из С02, СО, Н20, N2
и Н2; температура газов лежит в пределах от 2480° С до 2760° С, давление
от 2000 фунт/дюйм2 до 3000 фунт /дюйм2, время горения от 0,25 до 3 сек.
2. Стальное неохлаждаемое сопло. Оно служит для направления
и ускорения газообразных продуктов сгорания. Несмотря на скорости
теплопередачи от 2 до 10 Бте/(дюйм2• сек), конструкция сопла должна быть
такова, чтобы эрозия горловины сопла при расчетном давлении в камере
сгорания и деформация выходного сечения сопла при совпадении напра¬
вления вектора тяги с осью двигателя были пренебрежимо малы.
3. Стальной стержень, который поддерживает заряд внутри камеры
и предохраняет его от толчков вдоль продольной оси. Сила, действующая
на заряд и направленная назад, складывается из а) ударной силы, воз¬
никающей при воспламенении запала; б) силы аэродинамического сопро¬
тивления при высоких скоростях потока газов, отходящих к соплу, отно¬
сительно заряда; в) силы, обусловленной перепадом давления вдоль заряда;
г)	инерционной силы на активном участке полета.
4. Пороховой заряд. Пороховой заряд объединяет в себе окислитель
п сжигаемое горючее и является фактически однокомпонентным (унитар¬
ным) топливом. Этот заряд должен быстро воспламеняться при темпера¬
туре от 260° до 370° С. Заряд не взрывается; наоборот, он равномерно сго¬
рает по всей открытой поверхности, как кусок дерева в воздухе. В резуль¬
тате этого с заранее вычисленной скоростью происходит образование
горячих газообразных продуктов реакции. Механическая прочность заряда
должна быть достаточно велика; он не должен ни разрушаться, ни чрез¬
мерно деформироваться под влиянием сил, упомянутых выше.
5. Воспламенитель. Воспламенитель представляет собой маленькую
пластмассовую или металлическую коробку, в которой находится черный
порох или пиротехническая смесь и электрический запал — тонкая про¬
волока, покрытая легко воспламеняющимся и интенсивно горящим веще¬
ством. Воспламенитель обычно помещается в переднем конце камеры, так
что газы, возникающие при воспламенении, проходят вдоль всего заряда,
прежде чем они достигают сопла.
Рассмотрим работу порохового двигателя последовательно. При замы¬
кании цепи электрического запала загорается запальная смесь, что сразу
же вызывает резкое повышение давления в камере сгорания и воспламе¬
нение передней поверхности заряда. За промежуток времени от 5 до
50 миллисекунд пламя распространяется по всей поверхности заряда,
в результате чего увеличивается масса выделяемых газов и непрерывно
повышается давление. Когда вся поверхность заряда охвачена пламенем,
давление в каждой точке камеры устанавливается в равновесном положе¬
нии до тех пор, пока не выгорит весь заряд. Продукты сгорания исте¬
кают через сопло, в результате чего давление вдоль камеры сгорания падает
по экспоненциальному закону. Тяга ракеты, обусловленная реакцией мас¬
сы газов, выбрасываемых через сопло, непосредственно связана с давле¬
нием в камере сгорания. По существу, программа изменения тяги во вре¬
мени есть программа изменения давления в камере сгорания.
Прежде чем дать некоторые характеристики топлив, принципы про¬
ектирования, представить проблемы силовых установок и будущее разви¬
тие твердотопливных двигателей, желательно ввести количественный кри¬
терий, чтобы иметь возможность оценить новые разработки или сравнить
характеристики силовых систем. Нет параметра, который полностью бы
характеризовал работу двигателя; возможно, наиболее подходящим крите-

§ 14.2]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
475
piгем является скорость снаряда в вакууме, достижимая при помощи дан¬
ной силовой установки*):
где 7sp— удельный импульс топлива, сек; Wр— вес топлива, фунты,
И'мт— «сухой» вес силовой установки, фунты.
Эта скорость равна скорости снаряда в конце активного участка,
если влияние аэродинамического сопротивления и гравитационных сил
пренебрежимо мало **).
Изучение этого уравнения приводит к выводу, что конструктор сило¬
вой установки должен стремиться: а) выбирать топливо с максимальным
удельным импульсом, или характеристической скоростью; б) выбирать
топливо с максимальной плотностью, т. е. «впихивать» максимальное коли¬
чество топлива в данный объем камеры; в) свести к минимуму вес камеры,
арматуры, поддерживающей заряд, сопла и других частей снаряда. Тре¬
бования к величине введенной характеристики, или идеальной скорости
снаряда, являются одними из наиболее трудно удовлетворяемых требова¬
ний при полетах на большие расстояния; поэтому рассматриваемая харак¬
теристика снаряда является фактором, которому уделяют максимальное
внимание. Однако при окончательном выборе силовой установки возра¬
стает значение таких характеристик, как надежность, стоимость, время
разработки, безопасность и легкость применения.
Исторический обзор работ по твердотопливным двигателям полезен
для понимания того, почему твердотопливные ракетные двигатели снова
приобретают большое значение, а также для иллюстрации принципов
проектирования и установления пределов применения и потенциальных
возможностей этих двигателей. Только в результате фундаментальных
исследований и совместных усилий химиков, физиков и машиностроителей
стало возможным в наше время создание высококачественных двигателей.
Современные твердые топлива являются «потомками» наших ружейных
порохов, которые были мало пригодны для применения в ракетных сна¬
рядах и требовали решительных переделок. Во время второй мировой
войны существовали две большие группы, работавшие над применением
двух основных ружейных порохов в ракетной артиллерии: Аллеганская
лаборатория баллистики (Allegany Ballistics Laboratory) в университете
Дж. Вашингтона (George Washington University) на восточном побережье
и Калифорнийский технологический институт (California Institute of
Technology), работавший по проекту «Итонский Каньон» (Eaton Canyon
Project) и на западном побережье [1]. В этот период время горения
зарядов, идеальная скорость снарядов были малы, и все усилия в области
*) Список обозначении дан в конце главы.
**) В отечественной литературе эта скорость обычно называется идеально]!,
или характеристической, скоростью; выражение для нес имеет в введенных обозна-
, Л ,
чешгях вид и — и(Лн 1	—	),	где ve — скорость истечения газов; в свою
vac	V	WMT	У
очередь, при постоянной непрерывной тяге ve = /sp- g, где g— ускорение силы
тяжести на Земле. В дальнейшем будет применяться термин «идеальная скорость».
(Прим.. псрев.)
§ 14.2. Исторический очерк

476
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
твердых топлив были сконцентрированы на применении ракетных
снарядов в артиллерии.
Однако в Калифорнийском технологическом институте была другая
группа, работавшая под руководством доктора фон Кармана (von Karrnan).
Эта группа первая выдвинула и рассмотрела вопрос о применении твердо¬
топливных двигателей для баллистических и космических полетов.
В июне 1940 г. по контракту с Военно-Воздушными Силами США Лабо¬
ратория ракетных двигателей начала исследования, в результате кото¬
рых появился предшественник таких двигателей — ракетная система
Jato*) для авиации. Так как требовалось длительное время сгорания топ¬
лива, то исследователи вернулись сначала к модифицированному черному
пороху; заряд имел форму относительно большого, горящего с торца ци¬
линдра, который получался литьем под давлением; вес заряда был 2 фунта.
В августе 1941 г. был изготовлен первый отечественный стартовый
двигатель на основе системы Jato, состоящей из 6 ракет, каждая весом
по 12,7 фунта. Однако, несмотря на эти достижения, система Jato имела
некоторые серьезные недостатки. Производство было очень сложно; двух¬
фунтовый заряд нужно было отливать в камеру сгорания, подвергая
каждую из 22 составляющих заряда воздействию давления в
40000фунт/дюйм2. Расчетная идеальная скоростьбыла около ЮООфут/сек,
В июне 1942 г. исследователи обратились к радикально новому типу
топлива, состоявшего из смеси перхлората калия в качестве окисли¬
теля и асфальта, который использовался как связывающее вещество
и как горючее. Вместо отливки при высоком давлении заряд получался
смешиванием чистого перхлората калия с расплавленным асфальтом;
затем смесь разливалась по формам и охлаждалась, превращаясь в плот¬
ную массу, напоминавшую дорожный асфальт. Таким: образом, родилось
первое «литое» топливо, и был заложен краеугольный камень создания
больших твердотопливных двигателей. Одним этим простым усовершен¬
ствованием было получено три важных преимущества: а) процесс про¬
изводства стал прост и дешев, б) появилась возможность получения
зарядов почти любой формы и размеров, потенциально в тысячи раз
больших, чем первоначальный заряд системы Jato, в) топливо стало бо¬
лее качественным, повысилась его сохраняемость, способность работать
выше ограниченного температурного предела.
Исследователи заметили также, что горение заряда по выбранной
части поверхности может быть предотвращено, если эту часть поверхности
покрыть тонким слоем клея, пластмассы или липкого пластыря. Эта осо¬
бенность предоставила конструкторам двигателей большую возможность
регулирования скорости расхода топлива и большую свободу в задании
программы давления в камере сгорания. В результате этих исследовании
фирмой «Аэроджет Инжиниринг»**) (Aerojet Engineering Corporation)
независимо от производства двигателей Jato, были разработаны ракеты
с тягой 200, 500 и позднее 1000 фунтов. Эти ракетные двигатели обеспечи¬
вали идеальную скорость в 3—4 раза большую, чем первоначальные дви¬
гатели Jato, т. е. от 3600 до 4000 фут/сек. Особенности конструкции пока¬
заны на рис. 14.2.
Однако армия непрерывно указывала на большие недостатки разра¬
ботанных снарядов. Заряды размягчались и деформировались при тем¬
*) Jato (jet-assisted take-off) — стартовый вспомогательный ракетный двигатель.
(Прим. тге ре в.)
**) Теперь фирма «Аэроджст-дженерал» (Aerojet-General Corporation)

§ 14.2]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
477
пературе хранения выше 48° С или становились хрупкими п разрушались
при температуре ниже 0° С; в этом случае только диафрагма безопасности
могла предотвратить взрыв. Для надежной работы двигателей необходимо
было высокое давление в камере сгорания в 1500 фу пт /дюйм2; ниже этого
предела горение было неустойчивым. Кроме того, плотные белые клубы
хлорида калия в истекающих газах скрывали летное поле и затрудняли
взлет снарядов.
В январе 1944 г. Лаборатория ракетных двигателей начала по согла¬
шению с Артиллерийским управлением армии (Army Ordnance Depart¬
ment) интенсивные исследования и разработки ракетных снарядов боль¬
шой дальности. Контракт предусматривал разработку и изготовление
Обайма
/7ре£7ал'ралитгль//ая . тоализяага
Заслламени/пель Талливо -	гильза	заря&а
Рис. 14.2. Ранний образец двигатели системы Jato.
испытательных снарядов, но он допускал также фундаментальное иссле¬
дование твердых топлив в целях их улучшения.
В течение декабря 1944 г. были проведены летные испытания исследо¬
вательской ракеты с тягой в 500 фунтов и полезной нагрузкой 60 фунтов
и двигателя «Аэроджет», который давал тягу в 1000 фунтов в течение 30 сек.
Модель «Прайвит А» (Private А) пролетела 11 миль, что было очень хоро¬
шо для снаряда с твердотопливным двигателем того времени. Но сравните
эту величину с расстоянием 200 миль, которое в то время пролетала немец¬
кая ракета V-2! Как можно было рекомендовать кому-либо твердые топ¬
лива для дальних полетов! Тем не менее было положено начало большой
работе.
В начале 1945 г. под руководством К. Е. Бартлея (С. Е. Bartley) было
проведено исследование возможности повышения рабочего предела темпе¬
ратуры твердого топлива. Приблизительно через год в результате замены
асфальтового горючего-наполнителя специальным эластичным веществом
было получено плотное, упругое твердое топливо, напоминающее резину,
из которой изготовляются каблуки для обуви. Двигатели, использующие
это топливо, могли надежно работать даже при температурах —10° С
и ^72° С. Более того, горение стало возможным при давлении в камере
сгорания 100, а не 1500 фунт /дюйм2\ следовательно, стенки камеры могли
быть сделаны тоньше, двигатель легче, а идеальная скорость снаряда могла
быть повышена.
Перхлорат калия был также заменен в определенном соотношении пер¬
хлоратом аммония. В результате этого характеристическая скорость с*,
характеризующая качество топлива, была повышена приблизительно
на 13% , с 3800 фут!сек до 4300фут!сек. Так как такая замена уничтожила

478
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
также дым в истекающих газах, то пилоты самолетов-носителей не летали
больше в тумане и копоти; однако в очень влажной атмосфере за ракетой
тянулся плотный слой хлористого водорода.
Управление Артиллерии, изучая возможность применения этого клас¬
са топлив для определенных снарядов, заключило в 1947 г. контракт
с химической фирмой «Тиокол» (Thiokol Chemical Corporation) на прове¬
дение обширных исследований. Технической базой этих работ в конечном
счете был избран «Арсенал Редстоун» (Redstone Arsenal); позднее на
Топливо Толвза
Сопло
Рис. 14.3. Двигатель с горением заряда по внутренней поверхности; корпус
снаряда является бандажом для заряда.
Лонгхорнских артиллерийских заводах (Longhorn Ordnance Works) были
выделены и переданы в ведение фирмы «Тиокол» дополнительные
п р о и з в о д ств е иные мощности.
Фирма «Аэроджет», начиная с 1945 г., также применяла свои, основан¬
ные на смоляном наполнителе топлива как для больших, так и для малых
снарядов. В качестве экспериментальных были изготовлены бустериые
двигатели, развивающие тягу до 100 ООО фунтов. Аллеганская лаборатория
баллистики, которая сейчас является филиалом фирмы «Геркулес», изго¬
товляющей порох (Hercules Powder Company), разработала в конце второй
мировой войны образец топлива на двойной основе (нитроглицерин — нит¬
роцеллюлоза) для двигателей подобных размеров. Фирмы «Тиокол», «Аэро¬
джет» и Аллеганская лаборатория баллистики достойны большой похвалы
в деле преодоления трудностей разработки и производства первых больших
твердотопливных двигателе й.
Приблизительно в это же время, в марте 1947 г., в Лаборатории
ракетных двигателей были проведены эксперименты с использованием
заряда радикально новой геометрии: горение заряда происходило изнутри
по поверхности канала звездообразного сечения (рис. 14.3.) Поверхность
горения «отступает» к наружной части по мере расхода топлива. Это очень
важное усовершенствование было предложено и разработано в Англии
в 1935 г. доктором Полем (Poole) *). При такой конструкции камера сгора¬
ния была так хороню изолирована от пламени несгоревшей частью топлива,
*) В конце 1940 г. Британская научная миссия в США передала Соединенным
Штатам материалы по данному предложению и ряду других согласно совершенно
секретной военной научно-исследовательской программе. Ценность этой информа¬
ции была очень велика.

S 14.3]
ТВЕРДЫЕ ТОПЛИВА
479
что внешняя поверхность двигателя оставалась холодной даже после
относительно длительных статических испытаний, когда температура пла¬
мени достигала 2200° С. В результате этого достижения конструкции дви¬
гателя можно было рассчитывать по напряжениям для теплостойких спла¬
вов при нормальной (комнатной) температуре, и камера сгорания могла
быть облегчена. Снова существенно улучшилось качество двигателя,
и появился способ преодоления «барьера продолжительности горения»
для твердотопливных двигателей малого веса.
При отдельных испытаниях работники Лаборатории ракетных дви¬
гателей заметили также, что их новое топливо, будучи залито в камеру
сгорания, обнаруживает уникальную способность. Во время затвердева¬
ния заряд сам скрепляется с камерой сгорания при помощи гильзы.
Благодаря применению внутреннего горения и заряда, связанного
с камерой, были получены дополнительные выгоды:
1. При транспортировке и использовании в полевых условиях отно¬
сительно жесткий топливный заряд укрепляет и поддерживает тонкостен¬
ную камеру.
2. На всем протяжении полета камера полностью воспринимает дей¬
ствующие на заряд силы давления и инерции.
3. Качество двигателя еще повысилось в результате исключения из
конструкции заряда дополнительной крепежной арматуры и повышения
плотности топлива; пустая камера стала служить оболочкой для топлива.
В результате этих исследований Лаборатория ракетных двигателей
в октябре 1947 г. выпустила научный доклад [2], в котором доказывалось,
что твердые топлива применимы для высококачественных ракетных снаря¬
дов большой дальности. Позднее демонстрировалась трехдюймовая (в диа¬
метре) исследовательская ракета, которая показала предвычислеиные
характеристики. Идеальная скорость ракеты составляла приблизительно
11 ООО фут!сек, и была очевидна потенциальная возможность роста этой
характеристики. Высокую скорость во время испытательного полета
в феврале 1953 г. развила ракета RVA-10 фирмы «Тиокол» с необычно
большим твердотопливным двигателем; в последнее время большая ско¬
рость была получена при полетах баллистического снаряда ближнего
радиуса действия «Сержант» («Sergeant») и трехступенчатого испытательного
возвращаемого снаряда Х-17. Сегодня мы предполагаем, что для двигателей
ракеты «Ника Геркулес» («Nike Hercules») и даже баллистического снаряда
сре/днего радиуса действия «Поларис» («Polaris») будут использоваться твер¬
дые топлива.
§ 14.3. Твердые топлива
Главной задачей ракетного двигателя является создание импульса,
т. е. создание тяги в течение данного времени; это нужно для того, чтобы
разогнать полезную нагрузку или спутник до некоторой желаемой ско¬
рости. Твердые топлива создают требуемый импульс за счет химической
реакции горючего и окислителя, в результате которой выделяются газо¬
образные продукты и большое количество тепла. Если горючее и окисли¬
тель входят в одну и ту же молекулу, как в двуосновных порохах*),
то такое топливо называется гомогенным. Если же маленькие дискретные
частицы окислителя равномерно распределены в горючем, то такое топли¬
во называется составным.
*) Топлива на основе нитроглицерина и нитроцеллюлозы, или C3H5(]N03)3—
C6H702(N03)3.

480
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ На ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
В будущем последнее определение будет относиться к топливам, кото¬
рые, во-первых, составлены из перхлората калия, аммония пли лития
или нитрата калия в качестве окислителя и специальной смолы в качестве
горючего, во-вторых, заливаются в камеру сгорания, а не штампуются или
отливаются под давлением.
Хотя топлива на основе нитрата пли пикрата аммония желательны
для применения во многих случаях, они оказываются после вниматель¬
ного рассмотрения менее подходящими для больших высококачественных
ракет. Для упрощения из рассмотрения исключается группа топлив на
двойной основе с заливкой в камеру сгорания.
14.3.1.	Производство. На рис. 14.4 представлен один из многочислен¬
ных методов подготовки твердотопливного двигателя к работе. Число
Рис. 14.4. Схема заправки двигателя с горением топливного заряда по внутрен¬
ней поверхности; составной топливный заряд заливается в камеру сгорания.
составных частей снаряда бывает от четырех до девяти и зависит от его
назначения. Вес горючего и окислителя составляет от 93 ;д,о 97% веса
снаряда, остальное приходится иа остальные составные части.
Окислитель представляет собой белые кристаллические гранулы плот¬
ностью от 1,95 до 2,54 г/см3. Степень дробления окислителя часто исполь¬
зуется для регулировки скорости горения топлива; безусловно, для поддер¬
жания выбранной скорости горения требуется жесткий контроль размеров
частиц.
Горючее вначале представляет собой сиропообразную органическую
жидкость, способную в присутствии катализатора к полимеризации или
сгущению, в результате чего образуется вещество, похожее на пластик
или резину. Преимущества производства и хранения подготовленного
таким образом топлива сохраняются, если при затвердевании ие выделяют-

§ 14.3]
ТВЕРДЫЕ ТОПЛИВА
481
I
!i
V
II
I!
г
II то-
\ В ела/она/ те/7/70/77 образования:
\ для (СИ^х=0,0
\ (лредналомателано),
\ для N На CIO4 равна	—
\ ~дЗрнА'ал/л/ал а
О
J_
_L
Ул/шенае
/аранте-
растан
ill
W*
70
00
00
Вееоеая процентная нонцентрация NH4C104
рантнерасган
100
с я газообразные или жидкие продукты реакции, и усадка топлива пренебре¬
жимо мала. Плотность горючего ниже плотности окислителя и лежит
в пределах от 0,9 до 1,4 г/см3. Так как высокая плотность топлива способ¬
ствует увеличению идеальной скорости ракеты, то предпочтительны соста¬
вы с высокой концентрацией окислителя.
Кроме небольшого количества катализатора, который изменяет агре¬
гатное состояние топлива, могут добавляться в небольших дозах другие
компоненты; это, во-первых, катализаторы горения для изменения скоро¬
сти горения топлива или уменьшения его температурной чувствительно¬
сти, во-вторых, противоокислительные вещества для увеличения срока
сохранности приготовленного топлива, в-третьих, непрозрачные вещества,
например сажа, которая регу¬
лирует поглощение лучистой
энергии при горении полупро¬
зрачных топлив.
Рассмотрим процесс подго¬
товки к работе типичного дви¬
гателя (рис. 14.4). Сначала в
камеру сгорания вставляется
или образуется на ее внутрен¬
ней поверхности при помощи
вулканизации тонкая гильза; в
середину помещается втулка,
которая будет формировать цен¬
тральный канал в заряде. За¬
тем окислитель, жидкое горю¬
чее и добавки смешиваются и
образуют густую смесь, похо¬
жую на цементный раствор, ко¬
торую помещают в вакуум для
удаления пузырьков воздуха;
после этого смесь заливается в камеру и заполняет пространство вокруг
втулки. После желатинизации заряда, которая происходит при повышен¬
ной температуре, он охлаждается; затем удаляется втулка и излишки
топлива, после чего к нагруженной камере монтируется сопло. Хотя
некоторые этапы этого производства кажутся слишком опасными, Bu¬
reau of National Affairs считало совсем недавно производство топлив и
взрывчатых веществ вторым по безопасности производством наряду с бан¬
ковским и страховым делом.
Выбор твердого топлива с наилучшим коэффициентом топливного
состава усложняется противоречием между требованием к характеристи¬
кам топлива, с одной стороны, и практическими ограничениями, с другой.
Эта проблема иллюстрируется рис. 14.5 для гипотетического семейства
топлив на основе перхлората аммония и углеводородного горючего. Пред¬
полагается, что углеводородное горючее имеет сиропообразный вид. При
возрастании концентрации окислителя от 60 до 90% характеристическая
скорость топлива с* увеличивается. Плотность, как было замечено ранее,
также возрастает; однако резко увеличивается и температура газообраз¬
ных продуктов сгорания, что выдвигает ряд задач, относящихся к проек¬
тированию неохлаждаемых сопел. Кроме того, резко уменьшается воз¬
можность литья топлива, потому что появляется диспропорция меж¬
ду количеством жидкого горючего и увеличивающимся количеством
взвешенного твердого окислителя. Наконец, ухудшаются механические
31 Космическая техника
Рис. 14.5. Характеристики топлива как функции
концентрации окислителя.

482
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
свойства готового топлива вследствие уменьшения отношения веса упруго¬
го связывающего вещества к весу кристаллического окислителя. К счастью,
как показали химические расчеты, вся кривая зависимости с* от состава
топлива может быть сдвинута влево в сторону более практичных топлив
с пренебрежимо малыми потерями в величине с* или вовсе без потерь. Это-
достигается использованием горючих, содержащих в своей молекуле
окислитель (нитрированные пластификаторы), или уже частично окислен¬
ных (С2Н40).
Кроме того, кривые возможности литья топлива и механических
свойств могут быть сдвинуты вправо. Способность топлива к литью часто
может быть увеличена объединением жидких пластификаторов с вещест¬
вами, имеющими активную поверхность, или с окислителем, частицы кото¬
рого имеют пластинчатое строение. Механические свойства топлива
могут быть улучшены химическим изменением молекулярной структуры
горючего.
14.3.2.	Свойства. Топливо с хорошими физическими, химическими
и баллистическими свойствами, взятое само по себе, редко удовлетво¬
рит инженера-конструктора. Он требует как гибкости свойств топлив,
чтобы удовлетворить различным требованиям в различных случаях, так
и жесткости свойств любого данного топлива, чтобы уложиться в опреде¬
ленные пределы, задаваемые системой наведения и другими системами
снаряда.
Ф и з и ч е с к и е и х и м и ч е с к и е свойства. В табл. 14.1
приведены некоторые свойства топлива на основе перхлората; для срав¬
нения приведены свойства стали и натурального каучука. Топливо
Таблица 14.1
Основные физические свойства *)
I
! Свойство
i
Топливо
I иа основе
1 NH4CIO4-C2H4O
Сталь
Натураль-)
ный кау-
I чук |
1. Плотность Q, фунт/дюймз . . .
0,06
0,28
1
0,036
2. Коэффициент теплопроводности
к, Б те 1 (дюйм • сек- °F)
4-10-с
6,2-10-4
2,5-10—
3. Удельная теплоемкость сг>.
Бте/(фунт-° F)
О
со
0,11
0,46
4. Коэффициент теплопередачи а,
Бте/(дюйм'2 ■ сек)
! 2-10—1 .
2-10-2
1,5-10-г
5. Коэффициент линейного расши¬
рения, дюйм/(дюйм, • °F) ....
8-10-5
6,7-10-0
1•10-г
6. Модуль упругости при 20° С,
фук in/дюйм2
2-Ю« ;
i
по?
1
—
*) Приведенные данные дают только порядок величин.
!
является превосходным тепловым изолятором; в качестве такового оно
может предохранять камеру от воздействия горячих газов. Однако ока¬
зывается, что в результате колебаний температуры окружающей среды
во время транспортировки и хранения в заряде возникает перепад
температур и механические напряжения [3]; этот важный фактор должен
быть учтен конструктором.
Так как топливо при охлаждении сжимается гораздо больше, чем
стальная камера, то топливный заряд в камере должен иметь возможность

14.3]
ТВЕРДЫЕ ТОПЛИВА
483
при нагревании значительно удлиниться; в противном случае будут
появляться радиальные трещины, поверхность горения будет заметно
увеличиваться, и давление в камере сгорания превысит допускаемую вели¬
чину. В общем для заряда с данным внешним диаметром тенденция к раз¬
рушению возрастает при уменьшении диаметра центрального канала и при
увеличении рабочих напряжений в стенках камеры. При проектировании
заряда, связанного с корпусом, влияние таких факторов, как предел
прочности на разрыв, уменьшается.
Далее, проектирование усложняется заметной чувствительностью
механических свойств топлива к температуре и к скорости нагружения.
На рис. 14.6 показано уменьшение относительного удлинения как при
I	1	1	1	1	1
-50°F	-20	О	00	WO	7FO°F
Скорость деформации i = 7 %/мок
I	=—I	1	1	1
-50Г	-20	О	.	50	700°F
Скорость Реформации ё =0,007%о/мик
Рис. 14.6. Относительное удлинение топливного заряда как функция
температуры и скорости деформации.
высокой, так и при низкой температуре. Указанные скорости деформаций
соответствуют: а) воспламенению заряда в двигателе (изменение деформации
1000% в минуту), б) физическому испытанию в лаборатории (1% в минуту),
в)	медленному изменению температуры при хранении (0,001% в минуту).
Очевидно, что воспламенение наиболее опасно при низкой температуре
вследствие повышения хрупкости топлива. С другой стороны, при медлен¬
ном охлаждении расплавленных зарядов в них могут появиться трещины
из-за малого относительного удлинения при повышенной температуре.
X и м и ч е с к и е свойства и с о х р а и ноет ь. Большин¬
ство новых топлив могут сохраняться в течение нескольких лет при ком¬
натной температуре; однако хранение при высокой температуре иногда
требует добавки антиокислителя для предотвращения разложения.
При конструировании двигателей все больших размеров следует учи¬
тывать вязко-упругий характер топлив. При увеличении размеров дви¬
гателя заметна возрастающая тенденция заряда к деформации или ползу¬
чести, так как вес топливного заряда изменяется как куб, а поперечные
сечения критических элементов, т. е. узловых точек и т. д., изменяются
как квадрат линейной величины.
Б а л л и с т и ч е с к и е с в о й с т в а и закон с к о р о с ти
горе н и я. Скорость горения топлива определяется как скорость,
31 *

484
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
с которой поверхность горения перемещается в направлении, перпендику¬
лярном к поверхности при превращении твердого вещества в газообразное;
эта скорость измеряется в дюйм!сек. Эмпирически было найдено, что ли¬
нейная скорость горения г увеличивается с увеличением давления газа
на топливо р и с увеличением температуры топлива Гр согласно соотно¬
шениям
(14.1)
(14.2)
Постоянные а и п зависят от специфического состава топлива; коэф¬
фициент а' изменяется в пределах от 0,01 до 10, а коэффициент п обычно
меньше единицы. Введенная
в уравнение (14.1) величина
коэффициента а' соответ¬
ствует скорости горения при
давлении в 1000 фунт/дюйм2
и, так же как и п, зависит от
температуры. Из формулы
(14.2) следует, что при по¬
вышении температуры горе¬
ния топлива до определен¬
ной характеристической тем¬
пературы Т1 скорость горе¬
ния стремится к бесконеч¬
ной величине, т. е. темпера-
О	400	ООО	7000	1500	турная чувствительность
Давление газа е номере^	сгорания р, скорости горения возрастает
фунт/дюим	с П0ВЫШением температуры.
Рис. 14.7. Расчетные	кривые Скорости	горения как Этот эффект МОЖНО умвНЬ-
функции давления в камере сгорания.	ШИТЬ, Задав большую ВвЛИ-
чину IV
Если температурную чувствительность скорости горения обозна-
/v	/din г Л
чить (дг)р и определить как ( - ф— , то
V 01 р / р
Юр = —	=Т^Т^ •
Чем больше эта величина, тем больше будет отклонение давления в каме¬
ре сгорания и тяги от их номинальных значений при изменении темпера¬
туры топлива.
На рис. 14.7 показана зависимость между скоростью горения и дав¬
лением в камере сгорания для гипотетического топлива, для которого
п = 0,3, а' = 0,4 дюйм/сек при 70° F (21° С) и (яг)р= 0,15%/°F.
§ 14.4. Внутренняя баллистика
В настоящей работе может быть представлено только краткое введение
в рассмотрение очень сложных процессов, происходящих внутри двигателя;
работы [4] и [5] дают гораздо более тщательное исследование предмета.
14.4.1.	Баланс вещества и устойчивость давления в камере сгорания.
После воспламенения твердого топлива в двигателе невозможно извне

§ 14.4]
ВНУТРЕННЯЯ БАЛЛИСТИКА
485
регулировать давление или тягу; следовательно, процесс горения должен
быть устойчивым, саморегулирующимся процессом. Можно показать, что
саморегулирование обеспечивается при показателе в уравнении скорости
горения (14.1), меньшем единицы. Из закона сохранения вещества приме¬
нительно к рассматриваемому двигателю следует, что вес газа, образован¬
ного при горении топлива за единицу времени, равен весу газа, прошедшего
через сопло, плюс вес газа в объеме сгоревшего топлива, плюс вес газа,
необходимого для поддержания или изменения давления в двигателе, т. е.
= ABQ^pn = jipAt + ABQgapn + ^jjr % ,	(14.3)
где Ав — площадь поверхности горения топлива, qp ж Qg — плотность
топлива и газа соответственно, с*— характеристическая скорость, опре¬
деленная согласно уравнению (12.41) гл. 12, At — площадь критического
сечения сопла, Vс— «свободный» объем камеры, М — средний молекуляр¬
ный вес газа, R — универсальная газовая постоянная, Тс— температура
в камере сгорания и t — время.
Из уравнения (14.3) следует, что
<14-4>
Так как плотность газа Qg составляет меньше, чем 1—2% от плотности топ¬
лива при нормальном давлении в камере сгорания, то qp — Qg « Qp; тогда
первый член в квадратных скобках представляет собой секундный расход
топлива wq, а второй — секундный весовой расход газов через сопло wE.
Если эти два члена равны, то ^=0. В предположении постоянства
во времени отношения площади поверхности горения к площади критиче¬
ского сечения сопла установившееся равновесное давление peq не изме¬
няется со временем.
На рис. 14.8 величины wG и we представлены как функции давления
для топлива с показателем скорости горения п = 0,3. В этом случае,
если давление в камере превышает peq, то величина wE превосходит wG;
производная становится отрицательной, так как RTC/VCM всегда положи¬
тельная величина, и давление уменьшается до peq. Точно так же, если
давление в камере становится меньше величины peq, то wq > wE\ произ¬
водная dp/dt положительна, и давление р повышается до устойчивого
равновесного значения ред.
На рис. 14.9 те же самые соотношения представлены для гипотетиче¬
ского топлива с показателем скорости горения п = 2. Из рассмотрения этого
рисунка следует, что существует неустойчивое положение равновесия peq;
при возмущении давление либо будет уменьшаться до нуля, либо непре¬
рывно возрастать сверх допустимого давления.
Можно заметить, что для ракетных двигателей разной конструкции
величина wE как функция давления представляется семейством прямых
линий, проходящих через начало координат; функция ivG всегда задается
кривой линией, проходящей через начало координат, с вогнутостью вверх
или вниз в зависимости от величины показателя п. Таким образом, анализ
двух специальных случаев на рис. 14.8 и рис. 14.9 верен и в общем случае;

486
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
найдено, что устойчивость процесса истечения зависит от показателя ско¬
рости горения п, имеющего величину меньше единицы.
Рис. 14.8. Кривые для гопределения	Рис. 14.9. Кривые для определения устой-
устойчивости давления в камере сгора- чивостн давления в камере сгорания при
ния при п = 0,3.	п=2,0.
14.4.2.	Равновесное давление в камере сгорания. Положив в уравне¬
нии (14.4) ^ = 0, можно получить значение равновесного давления
в камере сгорания:
ре	(^-),/{1“п) = В (KN)U(1-п).	(14.5)
Следовательно, для топлива данного состава, горящего при данной
температуре, давление в камере сгорания зависит только от величины KN,
т. е. от отношения площади горения заряда Ав к площади критического
сечения сопла At.
Большее давление в камере сгорания создается при меньшей площади
«открытия» сопла и при большой площади поверхности горения топлива.
Этот факт иллюстрирован кривыми на рис. 14.10, построенными для трех
различных топлив с показателем скорости горения п, равным 0,25; 0,50
и 0,75. Следует заметить, что при возрастании показателя п давление
в камере сгорания становится слишком чувствительным к изменению вели¬
чины этого показателя; если п = 0,75, то давление изменяется пропор¬
ционально четвертой степени Кн. В этом случае допуски производства
на размеры и скорость горения топливного заряда должны быть непомер¬
но сжаты, или же уровни тяги различных двигателей будут очень сильно
различаться. В результате значительных усилий после второй мировой
войны разработаны топлива с показателем п, меньшим 0,5.
В разделе 14.3.2 было 'установлено, что скорость горения топлива
неизбежно меняется с изменением температуры топлива, даже при фикси¬
рованном давлении. При этом у работающих двигателей эти температур¬
ные вариации скорости горения увеличиваются из-за сильного изменения
давления внутри камеры сгорания двигателя. Обозначим температурную
чувствительность давления в двигателе при фиксированном отношении
площадей через (лр)к; она может быть найдена дифференцированием

§ 14.4]
ВН УТРЕИНЯЯ Б АЛЛИСТИНА
487
уравнения (14.5) по температуре; вспоминая, что а' есть температурная
чувствительность, имеем
'din Рс^	=_А
(Яр)к ■=
дТрС)к~ Ра	1—
I
|
S-tv,
mo
moo
\kOOO
§ 430
I
| 200
Ч •
О
И в этом случае величина 1/(1—п) является усиливающим фактором и,
следовательно, имеется еще одна причина, вызывающая необходимость
уменьшения п. Типичной величиной (пр)к является величина меньше чем
0,3°/o/°F. При (пр)к = 0,3%/°F и нагреве до 71° G(160°F) давление и тяга
двигателя увеличиваются на 30—40% от номинальных величин, соответ¬
ствующих комнатной температуре.
14.4.3. Эрозионное горение. Кривые, связывающие рс и Кдг, г и рс,
подобные кривым на рис. 14.7 и рис. 14.10, используются при проектиро¬
вании двигателей в том случае, когда скорость газа в центральном канале
относительно мала. Однако проектирование двигателей с высокими
характеристиками требует макси¬
мально допустимого веса топлива.
Из-за такого требования площадь
сечения центрального канала за¬
ряда часто уменьшают до площа¬
ди критического сечения сопла, в
котором скорость газа достигает
скорости звука (около 3000 —
3500 фут/сек). В любой момент,
когда газ проходит через цент¬
ральный канал и масса горящего
топлива увеличивается, скорость
газа должна возрастать, а давле¬
ние уменьшается в зависимости
от отношения Я площади попереч¬
ного сечения центрального канала
к площади поперечного сечения
сопла (рис. 14.11, а).
Было замечено, что увеличение
скорости газа вдоль поверхности
горения заряда вызывает прогрессирующее увеличение скорости горения
топлива, или так называемое эрозионное горение; предполагают, что это
явление обусловлено возрастающей скоростью передачи тепла от газа
к топливу [6, 7]. Оказывается, что эрозионное горение наиболее ярко
выражено для топлив с низкой скоростью горения и совершенно не зависит
от температуры.
Хороший конструктор стремится выбрать такие условия, чтобы заряд
горел по всей длине с одной и той же скоростью. Известно, что при пере¬
паде давления вдоль центрального канала горение топлива в области более
высокого давления вблизи головной части заряда происходит с большей
скоростью. Перепад же скорости истечения газа и эрозионное горение
благоприятствуют горению с более высокой скоростью вблизи сопла. Урав¬
новешиванием этих двух эффектов добиваются того, что факел пламени
как бы касается металла камеры и только перед окончанием горения, что
предотвращает прогар двигателя.
Так как диаметр центрального канала увеличивается со временем
из-за выгорания топлива, то скорость потока газа и перепад давлений
со временем уменьшаются (рис. 14.11, б). Таким образом, конструирова-
!
Г / /1
/7 = 070 -
/ / ~
п= ООО-
л=0,20'
Уу /
1 1
700
200 ООО
Отяои/е/и/е ллощаОе/2	/(у
Рис. 14.10. Давление в камере сгорания как
функция отношения площадей А^/А^. для трех
различных показателей скорости горения п.

488
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
ние двигателя усложняется из-за преобладания во время его работы
неустановившихся состояний. Поэтому расчетные схемы обычно имеют
вид, показанный на рис. 14.12.
Тогда максимальное давление ста¬
новится сложной функцией отно¬
шения площадей Kn, выраженной
через параметр Я, т. е. отношение
площадей поперечных сечений
центрального отверстия и горло¬
вины. Вследствие неравномерной
изменяемости параметра Н во вре¬
мени предварительное вычисление
давления как функции времени
становится слишком утомительной
операцией, выполняемой методом
последовательного приближения.
Плазеки (Plasecki) и Робиллард
(Robillard) разработали метод
предварительной оценки и расчета
зависимостей давления и тяги от
времени при этих условиях [8].
14.4.4.	Проектирование заря¬
да и программа изменения дав¬
ления во времени. Связь между
Раеешяяае едоле заряда
а)
Рг
Р/?п
Время -
б)
Рис. 14.11. Скорость и давление газа в камере
сгорания как функции времени и расстояния
вдоль заряда.
давлением рс и отношением пло¬
щадей Kn, задаваемая уравнени¬
ем (14.5), указывает на возмож¬
ность изменения давления и тяги
посредством дросселирования, или изменения площади критического сече¬
ния сопла. Из этого уравнения следует также, что возможен более простой
метод автоматического про-
!
/ООО
II
5!
I!
1
граммирования давления и
тяги с помощью управления
площадью горения заряда
по мере расходования топ¬
лива.
Таким образом, выбором
заряда соответствующей гео¬
метрии можно добиться про¬
грессивного ,	нейтрального
или регрессивного горения.
На рис. 14.13 представлены
поперечные разрезы зарядов
различной геометрии и зави¬
симости тяги от времени, со¬
ответствующие этим различ¬
ным формам зарядов. Все
заряды горят изнутри; их
боковые поверхности не вос¬
пламеняются и не горят.
В первом квадранте каждого сечения показаны направление горения
(к внешней поверхности) и форма заряда по мере его сгорания. В соот¬
ветствии с формулировкой закона скорости горения, поверхность горе-
1 1
Р=7
^ _
‘8
Температура /
таплаоа = /
70°Р=27°0 / /
1 1
1
О
т zoo зоо
Отпоа/епае площадей А3 /А^ -
400
-Л*
I//
Рис. 14.12. Расчетные кривые
зависимости давления
в камере сгорания от отношения площадей -
=К
N'

§ 14.4]
ВНУТРЕННЯЯ БАЛЛИСТИКА
489
ипя перпендикулярна направлению горения; все точки поверхности
горения находятся под одним и тем же давлением и горение в каждой
точке этой поверхности происходит с одной и той же скоростью. Зная
площадь поверхности и диаметр центрального канала заряда как функ¬
ции расстояния вдоль заряда, можно вычислить зависимость давления
от времени, считая рс функцией Kn и г функцией рс для данной площади
критического сечения сопла [8, 9].
Часто используется заряд с каналом в форме звезды, так как заряд
такой формы обладает известной «конструктивной гибкостью»; измене¬
нием его углов и радиусов можно получить прогрессивную, нейтральную
Майтрапоноа горение
(о поотояннмм
уроенем доеяения)
ЗоряЗ о форма отаржня	Время-
ЗП/три труЗм
//ейтрояоноа горение
(О ПООтОЯННММ
уроенем Зиапения)
Врогромма тяги
с деумя уроенями
Деугступенуитоя
программа тяги
Заряд в форма
дао иного оннера
Время-
Деуяномпонентнмй Время ■
горяд
Рис.
14.13. Конструкции зарядов с горением по внутренней поверхности и про¬
граммы тяги для этих зарядов.
или даже регрессивную тягу. Затушеванные участки на рис. 14.13 обозна¬
чают несжигаемые остатки топлива, появляющиеся в зарядах определен¬
ной конструкции, когда поверхность горения быстро уменьшается и дав¬
ление в камере сгорания падает ниже того’значеиия, при котором возможно
горение топлива. Очевидно, что цилиндрические заряды и конструкции
типа стержень в трубе не образуют несжигаемых остатков, так как их
начальный периметр концентричен с периметром камеры.
Конструктор заряда стремится к компромиссу между противоречи¬
выми требованиями высокой объемной нагрузки, малого объема несжигае¬
мого остатка и удовлетворительной кривой давление — время. Большой
несжигаемый остаток особенно нежелателен в высококачественных дви¬
гателях, так как такой остаток представляет собой потерю импульса,
а также увеличение инертного веса двигателя.
На рис. 14.13 приведена также конструкция заряда, состоящего из
двух частей; эта конструкция иллюстрирует тот факт, что конструктор
заряда имеет еще одну, степень свободы. Использование хорошо рассчи-

490
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
тайного составного заряда из двух топлив, имеющих различные скорости
горения, может обеспечить в случае необходимости несколько необычную
программу тяги. ,
На рис. 14.14 дано объемное изображение конструкции заряда. Пло¬
щадь центрального канала, равная в конце заряда площади критического
сечения сопла, неравномерно уменьшается на 50% к переднему концу
заряда; увеличенная объемная нагрузка обусловливает увеличение ско¬
рости снаряда на 15% по сравнению с зарядом с одинаковой площадью
Г{//763а 7770У7Щ1///0Д
сечения. Влияние эрозионного горения и падения давления сбалансиро¬
ваны, и факел пламени соприкасается с алюминиевой камерон только по
касательной, что предотвращает прогорание двигателя. В конечном
счете прогрессивный характер горения цилиндрической части заряда вбли¬
зи сопла нейтрализуется регрессивным горением звездообразной части
заряда вблизи переднего конца камеры, что обеспечивает плоскую кривую
зависимости давления от времени.
§ 14.5. Требования к силовым установкам
и их характеристики
Вследствие того, что при космических полетах вводится в рассмотре¬
ние новая окружающая среда и увеличиваются потребности в повышенных
скоростях снарядов, а также вследствие того, что существует взаимодей¬
ствие между функциями системы управления и силовой установки, нужно
сказать несколько слов о характеристиках силовой установки и требова¬
ниях, предъявляемых к ней. Этот вопрос кратко обсуждается в настоящем
разделе.
14.5.1.	Воспламенение. Говоря языком химиков, воспламенение про¬
исходит тогда, когда малый объем топлива нагревается до такой темпе¬
ратуры, при которой саморазогревание топлива, обусловленное экзотерми¬
ческими химическими реакциями в нем, превышает отвод тепла за счет
теплопроводности. Помимо нагрева топлива до температуры воспламе¬
нения воспламенитель должен также повысить давление в камере сго¬
рания выше минимального давления, при котором продолжается горение

§ 14.5] ТРЕБОВАНИЯ К СИЛОВЫМ УСТАНОВКАМ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 491
топлива, и обеспечить плавный переход давления к установившемуся состо¬
янию горения топлива, что имеет место при определенном соотношении
между скоростью повышения давления и скоростью выделения тепла при
воспламенении.
Рис. 14.15 иллюстрирует тот факт, что в результате слишком быстрого
повышения давления при зажигании могут произойти осечки; при слишком
малой скорости воспламенения материала воспламенителя могут произой¬
ти з а д е р жки з а жиг ания.
Материалом воспламенителя является обычно черный порох или
смесь металла, перхлората или нитрата металла и приготовленного спе¬
циальным образом органического связывающего вещества. Пиротехниче¬
ская смесь обычно имеет температуру пламени свыше 2760° С, а газообраз¬
ные продукты ее сгорания могут содержать горячие твердые частицы или
пары окиси или галоидного сое-
• Ocewa
Даелелое, обуслевлел-
- мое гореллем толяло
0ООЛЛОЛ/еЛЛЛ7еЛЯ
■ /7реемл/елле бавлелля
лрл еоеллал/елеллл
Время
Рис. 14.15. Влияние скорости нарастания давления
иа воспламенение.
динения металла. Высокая ско¬
рость теплопередачи обеспечи¬
вается, во-первых, радиацией от
твердых горячих частиц, во-вто¬
рых, конвекцией при омывании
заряда газами, в-третьих, те¬
пловыделением при конденса¬
ции горячих паров иа поверх¬
ности заряда.
Было найдено, что воспла¬
менители с черным порохом не
обладают надежностью при
очень низких давлениях, имею¬
щих место в моменты начала
работы второй и последующих
ступеней многоступенчатой ра¬
кеты. В качестве временного
средства используется гермети¬
зация двигателя для поддержа¬
ния атмосферного давления в области воспламенителя. К счастью, новые
исследования обещают такую систему воспламенителя, которая будет
удовлетворительно работать в вакууме.
14.5.2.	Теплопередача и проблема сопла. Проектирование сопла
усложняется тем, что сопло должно, во-первых, выдерживать воздействие
потока газообразных продуктов химических реакций при температурах
от 1900 до 2800° С; эти температуры значительно выше точки плавления
обычных материалов, таких, как сталь (приблизительно 1500° С) и медь
(1083° С). Во-вторых, сопло не охлаждается, т. е. работает в условиях
пеустановившегося теплового режима. Так как теплопередача зависит
от секундного массового расхода газов через сопло, то наиболее тяжелые
условия существуют в критическом сечении, где скорость теплопередачи
может быть в 3—5 раз выше, чем в других частях сопла.
При оценке температуры сопла как функции координаты вдоль сопла
и времени используется классическая номограмма Шмидта (Schmidt),
однако если свойства материала сопла меняются с изменением темпе¬
ратуры очень заметно или если сопло построено из разнородных материа¬
лов, то более подходящим оказывается метод Дезинберра (Dusinberre)
[10]. Сведения о коэффициенте теплопередачи могут быть получены из
работы [11]. Предположение о конвективном характере теплопередачи

492
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
является в общем хорошей аппроксимацией действительных процессовг
хотя для отдельных видов топлива может иметь некоторое значение радиа¬
ционная теплопередача в сходящейся части сопла.
Для сопел ракет с большим временем горения обычно используется
сталь, покрытая изнутри в области критического сечения слоем тугоплав¬
кого вещества, например графита или молибдена. Найдено, что вес такого
«теплозащищенного» сопла изменяется приблизительно с импульсом раке¬
ты следующим образом:
WNд* 2,5-10-Ч.
Стальные сопла с тугоплавким оксидным металлическим покрытием
применяются также при использовании твердых топлив, дающих высокую
температуру пламени и окисляющие продукты реакции. Для очень боль¬
ших твердотопливных двигателей ис¬
пользование сопел с пленочным охла¬
ждением или охлаждением выпотева-
нием открывает в некоторых случаях
возможность уменьшения веса двига¬
теля.
14.5.3.	Устойчивость горения.
Иногда при испытании новой конст¬
рукции двигателя давление в камере
сгорания сильно отклоняется от зара¬
нее вычисленной равновесной величины
(рис. 14.16). Было найдено [12], что
эти отклонения давления от среднего
значения всегда являются колебаниями
давления высокой частоты и достаточно
большой амплитуды. Частоты колеба¬
ний близки к характеристическим частотам акустических колебаний в
полости заряда. Трансверсальные, или тангенциальные, и радиальные
колебания оказываются более восприимчивыми к самовозбуждению, чем
осевые, или продольные, колебания.
Это явление слишком сложно и понятно только отчасти. Например,
оно может существовать при горении с высокой или низкой начальной
температурой топлива, но отсутствует при горении с комнатной начальной
температурой заряда. К сожалению, подобие полногабаритного двигателя
и его масштабной модели в данном случае оказывается очень ограниченным;
исследования колебаний давления должны проводиться на полногабарит¬
ных двигателях. С другой стороны, явление, один раз наблюдавшееся при
работе двигателя в данных условиях, оказывается вполне воспроизводи¬
мым и легко поддающимся изучению.
Практически неустойчивость горения проявляется в колебаниях да¬
вления, которые разрушают камеру; кроме того, высокочастотные колеба¬
ния могут вызвать вибрации конструкции снаряда, недопустимые с точки
зрения правильной работы системы наведения и навигационной аппа¬
ратуры.
Для демпфирования, или подавления, колебаний давления в полости
камеры применяются следующие средства:
1.	Введение в полость центрального канала заряда трубы непра¬
вильной формы из негорючего материала, которая служит резонансной
трубой.
О	Время
Рис. 14.16. Неустойчивое горение, про¬
являющееся в колебаниях давления.

§ 14.5] ТРЕБОВАНИЯ К СИЛОВЫМ УСТАНОВКАМ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 493
2. Сверление радиальных отверстий или полостей в топливном заряде
вдоль оси через определенные интервалы; радиальный поток газа, проходя¬
щий через полости, стремится подавить осевые колебания давления.
3. Новые секретные способы.
Хотя эти эмпирические методы применялись довольно успешно,
существует настоятельная необходимость в лучшем понимании механизма
колебаний давления.
14.5.4.	Управление тягой двигателя. Величины давления и тяги твер¬
дотопливного ракетного двигателя являются функциями температуры
окружающей среды (см. раздел 14.4.2). К сожалению, изменение величи¬
ны тяги в зависимости от температуры усложняет управление снарядом
и заметно затрудняет расчет
режима полета. В свою очередь,
это уменьшает надежность
управления и приводит к до¬
полнительным затратам време¬
ни и средств при разработке
снаряда. Для больших балли¬
стических и космических сна¬
рядов оказывается целесооб¬
разным температурное конди¬
ционирование двигателя до его
использования, что, конечно,
будет улучшать положение.
В том случае, когда снаряд
должен двигаться по програм¬
мной траектории или совершать
маневр в космическом про¬
странстве, оказывается жела¬
тельным управление вектором
тяги двигателя. Для такого управления достаточны газовые рули, подоб¬
ные рулям ракеты V-2; при удачном проектировании этих’рулей такой
метод конкурирует с методом установки двигателя в шарнире. Другие
методы, являющиеся секретными, также обещают определенные преиму¬
щества.
Если требуется изменение и к тому же точное управление дально¬
стью полета баллистического снаряда или достижение заданной скорости
с очень высокой точностью, то необходимо иметь возможность по команде
резко выключить тягу. Если отсек с полезной нагрузкой достиг заданной
скорости, то его движение не должно возмущаться бесполезным теперь
двигателем.
В жидкостных ракетных двигателях можно очень легко выключить
тягу отсечкой топлива; такой способ невозможен в твердотопливных дви¬
гателях. Однако можно указать по крайней мере три метода отсечки тяги
твердотопливного двигателя.
1.	Отсек с полезной нагрузкой помещается в центре круговой связки
двигателей и скрепляется с ней при помощи скоб или замков (рис. 14.17).
При достижении необходимой скорости по сигналу с управляющего вьг
числительного устройства замки открываются, освобождая отсек с по¬
лезной нагрузкой. Работающие двигатели увеличивают свою скорость
вследствие уменьшения нагрузки и удаляются от отсека с полезной на¬
грузкой, который продолжает двигаться по своей траектории с нужной
скоростью.
Рис. 14.17.
Отсечка тяги при использовании связ¬
ки двигателей.

494
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
2. Вокруг корпуса двигателя наматывается специальный взрывной
трос, срабатывающий от электрического запала; интенсивность взрыва
может регулироваться (рис. 14.18). По сигналу с управляющего вычисли¬
тельного устройства взрыв этого троса отделяет камеру от головки, несу¬
щей полезную нагрузку. Реверсивная тяга замедляет камеру и раздви¬
гает отделившиеся части ракеты.
3. Предположим, что можно по команде загасить пламя. В резуль¬
тате этого резко упадет давление в камере сгорания, и произойдет отсечка
полезна).
нагрузка
у'' "ч
шнур
Двигатель
Рис. 14.18. Отсечка тяги при помо¬
щи отделения отсека с полезной на¬
грузкой взрывом.
Рис. 14.19. Отсечка тяги путем пре¬
кращения горения топлива.
тяги. Известно, например, что при помощи воды можно очень легко зага¬
сить пламя в камере сгорания двигателя (рис. 14.19).
Очевидно, разработка каждого из этих методов будет являться серьез¬
ной задачей. Сейферт [13] предложил другой, интересный, хотя и секрет¬
ный, подход к проблеме.
14.5.5. Подобие при моделировании двигателя. Чем больше и слож¬
нее становятся двигатели, предназначаемые для оаллистических снарядов
дальнего действия и спутников, тем больше возрастают затраты средств
и времени на их разработку и тем важнее становится вопрос о расчете
характеристик двигателя при помощи испытаний малых, недорогостоящих
моделей. Согласно теории, твердотопливный двигатель может оыть подоб¬
но изменен при постоянном давлении и фиксированном отношении длины
к диаметру. Например, характеристики двигателя ракеты «Сержант» были
рассчитаны при помощи испытаний модели весом меньше 1/125 веса
натурального двигателя.
Если в качестве фактора подобия взято отношение диаметров двух
двигателей = = /, то импульсы и веса этих двигателей относятся как
куб*), тяги -— как квадрат, а времена горения как первая степень
*) «Теплозащищсниое» сопло при таком подобии остается неизменным, так
как теплопроводность пленки газа меняется обратно пропорционально Z)0?2.

§ 14.6] СРАВНЕНИЕ ТВЕРДОТОПЛИВНЫХ II ЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
495
/3;
фактора подобия, т. о.
У -/3.
/,	1	'	И',
jr ------ /2;	;	'	•/•
г I	Ч
Нужно заметить, что рассмотренная выше неустойчивость горения
не поддается масштабному моделированию. Ее нужно изучать только
на полноразмерном двигателе.
Наконец, в табл. 14.2 даются области значений параметров твердотоп¬
ливных двигателей, достигнутых на сегодняшний день.
Таблица 14.2
Области значений параметров твердотопливных
двигателей
Параметр
Тяга, фунты
Время действия, сек
Давление в камере сгорания,
фунт) дюйм2
Вес, фунты
Удельный импульс, сек . . .
Область значений
■1—450 ООО *)
0,03—60
115—4000
0,5—20 000
180—240
*) Потенциально—многие миллионы.
§ 14.6. Сравнение твердотопливных и жидкостных ракетных систем
Обзор главных характеристик и преимуществ твердотопливных
и жидкостных ракетных систем показывает, что каждая из этих систем
имеет свою область наилучшего применения; имеется, однако, большая
область, где эти системы оказываются конкурирующими, и выбор той или
иной системы может быть сделан только после детального изучения
конкретной задачи. .Ниже приводится сравнение некоторых характери¬
стик твердотопливных и жидкостных ракетных систем.
1. Теплопередача. Для жидкостной ракетной системы воз¬
можно регенеративное охлаждение камеры сгорания и сопла. Это является
определенным преимуществом с точки зрения требования большого вре¬
мени сгорания топлива, например для того, чтобы избежать аэродинами¬
ческого нагрева или осевых ускорений снаряда выше значений, безопас¬
ных для приборов и экипажа. С другой стороны, сейчас используются твер¬
дотопливные двигатели с теплоизолированным соплом, которые сравнимы
с жидкостными системами по суммарной длительности действия многосту¬
пенчатых ракет, когда каждое сопло используется в течение определен¬
ной части полного времени горения.
2. С о з д а и и е связок ракет и ы х д в и г а т е л е й. Для
обеспечения эффективности и надежности действия твердотопливные дви¬
гатели можно легко объединить и использовать в связке. Это делается
для большей гибкости конструкции, так как отпадает надобность в уни¬
кальном двигателе для каждого случая применения. Таким образом, очень
быстро и без больших затрат были разработаны испытательные снаряды,

496
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
например Х-17, проект «Фарсайд» и высокоскоростные ступени ракеты
«Юпитер-С» для вывода спутника.
3. Топливный остаток. Проблемы, связанные с коэффи¬
циентом состава топлива и топливным остатком, не существуют для твердо¬
топливного двигателя: коэффициент состава его топлива установлен раз
и навсегда на заводе. Расчетная дальность жидкостных баллистических
снарядов может уменьшаться примерно на 8% при ошибке в коэффициенте
топливного состава в 2%. С другой стороны, при некоторых конструкциях
твердотопливного заряда остаются несгоревшие частицы топлива, что
эквивалентно топливному остатку в жидкостном двигателе.
4. В р е м я действия и тяга двигателя. Во время
разработки жидкостного ракетного двигателя время его действия может
быть легко изменено в случае необходимости изменением длины топливных
баков; для твердотопливных двигателей это изменение ограничено рас¬
полагаемой величиной скорости горения и фиксированной геометрией
заряда. С другой стороны, очень трудно изменить номинальный уровень
тяги жидкостного двигателя, что может быть легко сделано в определен¬
ных пределах для твердотопливного двигателя изменением длины дви¬
гателя.
5. Моделирование. Конструкции твердотопливных ракетных
систем могут быть легко разработаны и просчитаны при помощи малых,
недорогих двигателей; затем при помощи масштаба переходят непосред¬
ственно к большим двигателям, которые будут иметь идентичное исполне¬
ние (исключая, конечно, те характеристики, которые не поддаются модели¬
рованию). Таким образом сокращаются затраты средств и времени.
Попытки моделирования жидкостных^ракетных двигателей не увенчались
успехом.
6. Программирование тяги двигателя. Давление
и тягу жидкостного двигателя можно легко дросселировать в ограниченной
области; это является определенным преимуществом с точки зрения
задач, требующих непредвычисленной коррекции во время полета, напри¬
мер, при маневрировании реактивного самолета или при уравнивании ско¬
рости снаряда со скоростью космической станции. Если, однако, програм¬
ма тяги предвычислена и задана каким-то шаблоном, то твердотопливный
двигатель с его индивидуальной геометрией заряда и программируемой
тягой может оказаться проще и поэтому более желательным.
7. Управление импульсом двигателя. Если бал¬
листический снаряд должен упасть точно в заданной точке, то нужен
прецизионный контроль импульса и скорости ракетного двигателя.
Управление жидкостной ракетной системой может быть просто выполнено
отсечкой топлива при помощи клапана. Возможно, некоторая аналогич¬
ная операция осуществима и в твердотопливной системе, однако нужно
еще доказать надежность и точность этих методов, как того требует
практическое применение снарядов.
8. С т о и м о с т ь. Стоимость обычных жидких топлив много ниже,
чем окончательная стоимость твердых топлив, особенно вследствие произ¬
водства последних в ограниченных количествах. Однако стоимость всей
силовой установки, включая механические части, оказывается для твердо¬
топливной системы меньше из-за простоты двигателя. Но при окончатель¬
ном сравнении относительная стоимость твердотопливных и жидкостных
систем часто определяется сложностью более дорогостоящих систем управ¬
ления. В некоторых случаях этот фактор склоняет чашу весов в пользу
жидкостных систем.

§ 14.6] СРАВНЕНИЕ ТВЕРДОТОПЛИВНЫХ II ЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ
497
9. Сложность управления. Чувствительность величины
тяги к температуре топлива, характерная только для твердотопливного
ракетного двигателя, заметно усложняет закон регулирования тяги
и вычислительное устройство управления снарядом, если не может быть
осуществлено температурное кондиционирование двигателя. Это является
проблемой твердотопливного двигателя; жидкостный ракетный двигатель
свободен от указанного недостатка.
10. Использование в полевых условиях. Жидкие
топлива обычно вызывают коррозию и бывают токсичны (например,
азотная кислота) или быстро испаряются (жидкий кислород); поэтому их
хранение затруднено или невозможно. Заправка снаряда жидким топли¬
вом перед стартом требует большого количества нестандартных грузовых
средств и оборудования, а также персонала, имеющего специальную под¬
готовку. Для снарядов весом меньше 20—25 тысяч фунтов обслуживание
жидкостных двигателей более сложно, чем твердотопливных. Возможно,
однако, что жидкостные ракетные системы некоторых типов можно было
бы консервировать и хранить; тогда их использование в полевых условиях
было бы так же просто, как и твердотопливных двигателей. Консервиро¬
вание систем, работающих на сжатом газе, кажется маловероятным. Когда
вес снаряда становится значительно больше 20—25 тысяч фунтов, то отно¬
сительно легкие пустые конструкции жидкостных систем обладают значи¬
тельным преимуществом при транспортировке и установке по сравнению
с массивными, полностью оборудованными твердотопливными системами;
это преимущество с ростом веса возрастает. Пытаясь скомпенсировать
указанный недостаток, конструкторы твердотопливных систем, возможно,
будут использовать связки двигателей или многоступенчатые снаряды с ма¬
лым весом каждой ступени; такие конструкции могут быть быстро собраны
в полевых условиях.
11. Подготовка к запуску. Твердотопливные снаряды
могут храниться «готовыми», пригодными к запуску в любой момент, что
является бесспорным преимуществом для всех задач военной обороны.
Для нации, сущность политики которой состоит в совокупности обороны
и мгновенного ответного удара, время заполнения жидкостных снарядов
топливом может оказаться гибельным промедлением, которое позволит
врагу ударить по ракетам до их запуска, особенно при неподвижных
и известных базах. Однако опять-таки консервирование жидкостных
ракетных систем может свести на нет это преимущество твердотопливных
систем.
12. Качество к о н с т р у к ц и и ракет ы. Известные сего¬
дня жидкие топлива дают характеристические скорости иа 8—20% боль¬
шие, чем твердые топлива. Однако плотность последних на 40—70% боль¬
ше, чем плотность обычных жидких топлив, что почти сводит иа нет
преимущества в характеристической скорости, особенно для высоко-
экономичных двигателей.
На рис. 14.20 приведены качественные характеристики изменения
показателя конструкции *) или дальности полета одноступенчатых сна¬
*) Под показателем конструкции в данном случае следует понимать отно¬
шение
Мк + Мт + МПтН
^к~Ь^п.н ’
где Мк—масса конструкции ракеты в момент остановки двигателя, Мх — масса
32 Космическая техника

498
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
рядов с возрастанием размера или полного веса жидкостных и твердо¬
топливных силовых установок. Так как кривые построены в предположе¬
нии постоянства отношения веса полезной нагрузки к полному весу, то уве¬
личение показателя конструкции с возрастанием размера достигается
в основном за счет увеличения показателя конструкции силовой уста¬
новки.
Для очень больших снарядов жидкостные двигатели с турбонасосной
системой подачи топлива обладают значительным превосходством в пока¬
зателе конструкции по сравнению как с жидкостными двигателями с вы¬
теснительной системой подачи топлива, так и с твердотопливными одно¬
ступенчатыми системами. Для снарядов средних размеров твердотоплив¬
ные двигатели становятся сравнимыми с жидкостными двигателями
с вытеснительной системой по¬
дачи топлива, несмотря на бо¬
лее высокое значение характе¬
ристической скорости для жид¬
костных двигателей; оба типа
двигателей равны или превос¬
ходят двигатели с турбонасос¬
ной системой подачи топлива
в смысле показателя конструк¬
ции. Быстрое падение характе¬
ристик жидкостных систем с
уменьшением размеров обуслов¬
лено скорее их применением на
практике, а не является харак¬
терной чертой, присущей самой
системе, так как стенки баков
ие	могут стать	тонкими как
папиросная бумага, а размеры
охлаждающей системы и насо¬
сов	не могут	беспредельно
уменьшаться. По показателю
конструкции твердотопливные
силовые установки для малых
снарядов	превосходят	жидкостные	системы,	причем этот	параметр для
твердотопливных	^двигателей	не	изменяется	значительно	с изменением
размеров.
Чтобы конкурировать с жидкостными двигателями с турбонасосной
подачей в области очень больших снарядов, конструкторы твердотоплив¬
ных двигателей, возможно, обратятся к многоступенчатым снарядам.
В этом случае конкурентоспособность последних должна увеличиваться
по следующим причинам: '
1) в действительности показатель конструкции всего снаряда растет
с числом ступеней (см. гл. 1);
2) при переходе от больших одноступенчатых снарядов к снарядам
с двумя или большим количеством ступеней с меньшими двигателями
уменьшение показателя конструкции для жидкостной ракетной системы
больше, чем для твердотопливной;
выгоревшего топлива, А/п. н — масса полезной нагрузки. В отечественной литера¬
туре это отношение называется числом Циолковского, а показателем конструкции —
число, обратное этому отношению. См. Федосеев В. И. и Сипярев Г. Б.,
Введение в ракетную технику, Оборопгиз, 1956 г. (Прим. персе.)
Уеелс-
ve//ue
Полшй вес своряда,. фув/вв/
Рис. 14.20. Показатель конструкции твердотоплив¬
ного и жидкостного двигателей как функция полно¬
го веса; кривые построены в предположении, что
рассматривается одноступенчатый снаряд и что
отношение веса полезной нагрузки к полному
весу снаряда постоянно.

§ 14.G]	СРАВНЕНИЕ ТВЕРДОТОПЛИВНЫХ И ЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ	499
3)	применение составных ракет более эффективно с точки зрения
показателя конструкции для ракет с принципиально малой конструктив¬
ной эффективностью, так как вес дополнительной конструкции, необ¬
ходимой для соединения ступеней, меньше влияет на отношение масс
в том случае, когда ракетные снаряды обладают более тяжелой конст¬
рукцией; именно такими и являются снаряды с твердотопливными двига¬
телями.
13.	Надежность. То, что высококачественные твердотопливные
ракетные двигатели *) имеют вероятность отказа в работе в восемь раз
меньшую, чем газогенераторный или жидкостный ракетный двигатель,
является существенным фактором. Это сравнение основано только на изу¬
чении работы двигателей, исключая нарушения в работе системы управ¬
ления, и предполагает, что осечки при воспламенении производят такие
же разрушения, как и прогорание камеры двигателя.
Важность фактора надежности будет увеличиваться с ростом числа
ступеней снаряда, так как надежность всей многоступенчатой силовой
установки будет приблизительно равна произведению надежностей каж¬
дой отдельной ступени. Этот факт можно проиллюстрировать на примере
трех- и четырехступенчатых снарядов для чисто гипотетических значений
надежностей при прочих равных условиях **).
Надеж¬
ность
отдельной
ступени
Тип двигателя
Коли¬
чество
ступе¬
ней
Полная
надеж¬
ность
0,96
Жидкостный
3
0,885
0.96
Жидкостный
4
0,849
0,99
Т вер дот оп ливный
4
0,961
Однако для очень больших баллистических снарядов и снарядов для
запуска спутника столь же важным или даже более важным является дру¬
гой фактор. При разработке любого сложного оборудования, будь то
хлопкоуборочная машина или самолет, надежность является функцией,
асимптотически возрастающей с ростом числа испытаний от относительно
малого начального значения. Результаты выполнения программы летной
доработки ракетных двигателей будут несомненно следовать кривой,
приведенной на рис. 14.21. Так как громадные затраты на испытание
очень больших снарядов будут ограничивать число возможных испыта¬
ний, то мы должны сравнивать надежности жидкостных и твердотоплив¬
ных систем в начальной области этих кривых. В этой области высокона¬
дежными оказываются твердотопливные двигатели. Мы можем снова
*) За исключением твердотопливных двигателей системы Jato для управляе¬
мых самолетов; принцип проектирования этих двигателей был слишком консер¬
вативным.
**) Возможно, что увеличение числа ступеней несколько уменьшает надеж¬
ность запуска и управления; с другой стороны, надежность отдельного уменьшен¬
ного двигателя, входящего в состав многоступенчатой установки, может быть
несколько выше надежности одного большого двигателя.
В -предположении, что эти два фактора уравновешивают друг друга, при под¬
счете надежности многоступенчатого снаряда оказывается приемлемым первое
приближение.
32*

500
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
проиллюстрировать значение этого фактора на примере трех снарядов,
предполагая некоторые гипотетические значения надежностей:
Надеж¬
ность
отдельной
ступени
Тип двигателя
Коли¬
чество
ступе¬
ней
Полная
надеж¬
ность
0,8
Жидкостный
3
0.512
0,8
Жидкостный
4
0.410
0,98
Твердотопливный
4
0,922
Теперь видно, что в результате только нарушений работы силовой
установки может быть потеряно
в смысле надежности 50 -f- 60%
для жидкостного и 8% для
твердотопливного составного
снаряда. Мы можем заключить,
кроме того, что число испы¬
таний и издержки на разра¬
ботку жидкостного двигателя
при одной и той же надежно¬
сти значительно больше, чем
для твердотопливного двига¬
теля.
К счастью, создатели жид¬
ких топлив отдают себе пол¬
ный отчет в сложившейся си¬
туации; мы можем надеяться на
быстрое улучшение этих топлив.
Однако, возможно, что твердо¬
топливные силовые установки
будут играть в ближайшем будущем более значительную роль
вследствие их рекордной надежности.
§ 14.7. Будущее твердотопливных двигателей
Можно показать, что для твердотопливного двигателя имеется верх¬
ний предел как удельного импульса, так и характеристической скорости
с*. Последняя зависит от температуры пламени сгорающего топли¬
ва Тр и среднего молекулярного веса истекающих газов М следующим
образом:
Изучение периодической таблицы элементов показывает, что любая
попытка использования более легких элементов и получения необычно
низких значений молекулярного веса приводит обычно к газообразным
или жидким, а не твердым топливным ингредиентам. Таким образом,
улучшение характеристики твердых топлив будет возможно за счет более
энергоемких топлив и более высокой температуры пламени. Таким путем
можно повысить качество топлива на 10-:-20%. Однако очевидно, что
температура пламени может быть настолько высока, насколько это позво-
1
I
1
I
Жидвостлб/и двигателя
с вя/теелителялои сис¬
темой подачи /шж
Жидлоетль/й двигателя
в туддоласоелой системой
подачи топлива
$ п
длителялоотя или число иопя/талии
Рис. 14.21. Зависимость надежности силовой
установки от длительности испытаний при летной
доработке снаряда.

§ 14.8]
ПРИМЕНЕНИЕ В УСЛОВИЯХ КОСМИЧЕСКИХ ПОЛЕТОВ
501
ляет решение очень трудной задачи проектирования неохлаждаемых
сопел. Нужно заметить также, что это улучшение меньше ожидаемого
в будущем улучшения жидкостных систем за счет применения фтор-гпдра-
зинного топлива.
Более многообещающим методом получения улучшенного показателя
конструкции твердотопливной силовой установки является сведение до ми¬
нимума инертного веса установки. Практические ограничения, такие, как
допуски производства, баллистическая воспроизводимость и непрочность
всей конструкции, возможно, поставят верхний предел величине отноше¬
ния веса топлива к инертному весу двигателя. Это отношение будет не более
ста. Если практические значе¬
ния отношения весов должны
быть высоки, то программа
тяги должна быть выполнена
так, чтобы избежать чрезмерных
пиков ускорения.
Значение высоких величии
отношения веса топлива к весу
пустого двигателя можно про¬
иллюстрировать рис.	14.22;
построение кривых, приведен¬
ных на этом рисунке, основано
па безразмерной форме уравне¬
ния идеальной скорости при¬
менительно к снарядам. Пред¬
положим, что эффективная ско¬
рость истечения ve	равна
8000 фут /сек, а отношение веса
топлива к весу пустого двига¬
теля равно 7,5; при этих усло¬
виях для того чтобы разогнать
полезную нагрузку (или систему управления, конструкцию и боевой
заряд) весом в 2000 фунтов до идеальной скорости в 16 000 фут!сек,
полный вес снаряда должен быть приблизительно 100 000 фунтов. На
самом деле фактическая скорость из-за аэродинамического сопротивления
и гравитационных потерь будет меньше 16 000 фут/сек.
Применение значительно улучшенного двигателя с отношением
WP/WMT - 100 позволило бы выполнить ту же самую задачу при помощи
снаряда, весящего приблизительно 16 000 фунтов; или же применением
прогрессивной конструкции снаряда можно было бы увеличить идеальную
скорость с 16 000 ф)ут/сек до 28 100 фут /сек. Нужно заметить, однако,
что эти улучшения отношения масс двигателя дают значительную выгоду
только для снарядов, вес которых очень велик по сравнению с весом
своей нагрузки, т. е. для больших баллистических или космических
снарядов.
§ 14.8. Применение твердотопливных двигателей
в условиях космических полетов
Если в ближайшем будущем будет разработан практически пригод¬
ный метод управления тягой твердотопливных ракетных двигателей,
то эти двигатели окажутся вполне удовлетворительными для большинства
будущих баллистических снарядов — как межконтинентальных, так
11^
4 В 810	20	40	SO	100	200	400ОО01000
дташеше веса тсашва в весу «сулаге» двигателя
Wp/Wm
Рис. 14.22. Отношение полного веса снаряда к весу
полезной нагрузки двигателя как функция отно¬
шения веса- топлива к весу «сухого» двигателя
при различных скоростях снаряда в момент окон¬
чания горения топлива.

502
РАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ
[ГЛ. 14
и ближнего радиуса действия. Высокая надежность, готовность к старту
и простота обслуживания многоступенчатых снарядов делают их весьма
пригодными для ответственных задач обороны.
Чтобы быстро создать испытательные снаряды для исследования кос¬
мического пространства на основе существующих твердотопливных дви¬
гателей, заслуживших признание в военном деле, можно использовать
связки двигателей и многоступенчатые снаряды. В качестве вспомогатель¬
ных двигателей для коррекции траектории будут также использоваться
небольшие двигатели такого типа.
Из рассмотрения применимости баллистических снарядов для вывода
спутников на орбиты и других космических задач все более очевидно, что
силовые установки, использующие химическую энергию, находятся на
грани своих возможностей. Поэтому мы должны разрабатывать двигатель¬
ные системы с более мощными источниками энергии, например ядерные
силовые установки, если мы не хотим появления гигантских и непрочных
конструкций твердотопливных и жидкостных снарядов, которые оказа¬
лись бы необходимы для управляемых полетов даже с минимальной
полезной нагрузкой к Луне или Марсу. Однако твердотопливные и жид¬
костные ракеты будут прокладывать путь в космос, пока не пройдет
их срок, и даже после этого они будут использоваться для многих «домаш¬
них» дел.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
а' —постоянная,
А;- —площадь поверхности горения топлива,
At — площадь критического сечения сопла,
с* —характеристическая скорость продуктов горения,
/ — масштабный множитель и отношение диаметров двух двигателей,
Н — отношение площади сечения центрального канала заряда к площади кри¬
тического сечения сопла,
/ — полный импульс двигателя, сек,
Igр — удельный импульс топлива, сек,
Кту — отношение площади поверхности горения заряда к площади критического
сечения сопла,
М — средний молекулярный вес газов в камере сгорания,
п — показатель в уравнении связи скорости горения и давления; постоянная,
р — давление газа, фунт/дюйм-,
рс — давление газа в камере сгорания, фунт/дюйм2,
pecj — равновесное давление, фунт/дюйм2,
г-линейная скорость горения, дюйм {сек,
R — универсальная газовая постоянная,
t — время, сек,
— температурная характеристика топлива, °R
Тс — температура в камере сгорания, °R,
Тр — изобарическая температура пламени, °R,
Тр — температура топлива, °F,
и — скорость, фут/сек,
vpv ас — идеальная скорость, развиваемая силовой установкой, фут {сек,
Vc — свободный объем камеры,
ve — эффективная скорость истекающих газов, фут {сек,
wp — секундный весовой расход газов через сопло,
wq — секундный весовой расход топлива,
*РМТ-«сухой» вес силов°й установки, фунты,
Wдт — вес сопла, фунты,
Wp — вес топлива, фунты,
Qg — плотность газа, г/см3,
qp — плотность топлива г{см3.

ЛИТЕРАТУРА
503
ЛИТЕРАТУРА
1. Burchard J.E., Rockets, Guns and Targets, Boston, Little, Brown, 1948.
2. S u m m e r f i e 1 d M., S h a f e r J. I., Thackwell H. L., Jr., and Bartley C.E.,
The Applicability of Solid Propellants to High-Performance Rocket Vehicles, Jet
Propulsion Laboratory, Memorandum 4—17, October 1, 1947 (секретно).
3. Geckler R. D., Thermal Stresses in Solid Propellant Grains, Jet Propulsion 26
(No. 2), 93—97 (1956).
4. W i mpress R. N., Internal Ballistics of Solid-Fuel Rockets, New York, McGraw-
Hill, 1950. [Русский перевод: Уимпресс P. II., Внутренняя баллистика поро¬
ховых ракет, ИЛ, 1952.]
5. Bartley С. Е. and Mills М. М., Solid Propellant Rockets, Jet Propulsion
Engines, High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion, Von Karman Series, Prin¬
ceton N. J., Princeton University Press.
6.	Green Leon, Jr., Erosive Burning of	Some Composite	Solid Propellants,	Jet
Propulsion 24 (No. 1), 9—15 (1954).
7.	Leonir J. M. and Robillard G.	A., Mathematical	Method to Predict	the
Effects of Erosive Burning in Solid Propellant Rockets, from Sixth Symposium on
Combustion, New York, Reinhold, стр. 663—667, 1957.
8. P 1 a s e с k i L. and Robillard G., Generalized Design Equations for An
Internal-Burning Star-Configuration Solid-Propellant Charge and Method of Calcu¬
lating Pressure-Time and Thrust-Time Relationships, Jet Propulsion Laboratory
Memorandum 20-135, September 18, 1956.
9. Price E. W., Charge Geometry and Ballistic Parameters for Solid Propellant
Rocket Motors, Jet Propulsion 24 (No. 1), 16—21 (1954).
10.	I) и s i n b e r r e G. М., Numerical Methods for Transient Heat Flow, Trans.
ASME 67, 703-712 (1945).
И. В a r t z D. R., A Simple Equation for Rapid Estimation of Rocket Nozzle Convec¬
tive Heat Tranfer Coefficients, Jet Propulsion 27 (No. 1), 49 — 51 (1957).
12. S m i t h R. P. and S p r e n g e r D. F., Combustion Instability in Solid — Pro¬
pellant Rockets, from Four Symposium on Combustion, Baltimore, Md., Williams
and Wilkins, стр. 893—906, 1953.
13. Seifert II. S., Jet Propulsion Laboratory Memorandum 20-75, October 1952
(секретно).

ГЛАВА 15
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Роберт У, Бассорд (.Robert W. Bussard)
§ 15.1. Введение
Основное различие между химическими и ядергшми ракетными
двигателями заключается в методе получения энергии, необходимой для
движения летательного аппарата. Химический двигатель получает энер¬
гию за счет сгорания или разложения химического топлива; рабочее
тело ядериого двигателя не нуждается в какой-либо внутренней энергии,
так как его нагрев происходит за счет кинетической энергии ядериых
осколков, получающихся в результате управляемой реакции внутри
ядерного реактора. Энергия, которую можно получить при расщеплении
одного фунта U235 или при реакции синтеза с участием одного фунта
дейтерия, в 107 раз больше энергии, получаемой при полном сгорании
одного фунта угля; очевидно, что источники ядерной энергии почти
невесомы по сравнению с источниками химической энергии.
В любой ракетной силовой установке желательно получить высокую
скорость истечения газов уеили большой удельный импульс /sp. Как было
показано в гл. 12, для двигателей, у которых тяга получается за счет рас¬
ширения нагретого рабочего тела при истечении через сверхзвуковое сопло,
удельный импульс пропорционален корню квадратному из отношения
величины максимальной температуры газа в камере сгорания Тс к моле¬
кулярному весу рабочего тела М на входе в сопло. Таким образом, высокий
удельный импульс получается за счет высокой температуры и (или) малого
молекулярного веса газообразных продуктов сгорания топлива. В ракет¬
ных ядериых двигателях максимальная температура рабочего тела огра¬
ничивается только возможностями материалов реактора; эквивалентная
кинетическая «температура» самих продуктов деления достигает величин
порядка 1012°В. В противоположность этому в химических ракетных
двигателях максимальная температура ограничена внутренней энергией
топливной смеси и сильно зависит от выбора топлива. Возможность
нагревать рабочие тела до практически неограниченных величии позво¬
ляет строить выбор ядерных ракетных двигателей на основе минимума
молекулярного веса истекающих газов, легкости обслуживания и мини¬
мальных затрат или на основе других факторов, важных для конструктора
летательного аппарата. При работе реактора при температурах, сравнимых
с температурами сгорания в камерах химических двигателей, максималь¬
ный удельный импульс получается при использовании Н2 (молекулярный
вес в и е д ис со ц и и р о в a f! по м состоянии равен 2); этот удельный импульс

§ 15.2]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
505
все же в три раза больше того удельного импульса, который может
быть получен при сгорании обычных химических топлив [1, 2].
При изучении применимости ядерной энергии для ракетных двига¬
телей главными вопросами являются те, которые связаны с возможными
величинами температуры, плотности мощности, тяги, веса ракетного
реактора и с теми ограничениями, которые налагают на ядерные реакторы
способы их использования. При проведении этих исследований будет по¬
лезно знать те минимальные требования, которые предъявляются к харак¬
теристикам снаряда. Такая основа может быть лучше всего получена при
рассмотрении в общем виде потен¬
циальных возможностей различных
ракетных летательных аппаратов.
§ 15.2. Потенциальные возможности
Рассмотрим одноступенчатый ра¬
кетный снаряд, схематически пока¬
занный на рис. 15.1. В этом снаря ¬
де рабочее тело подается в ядерный
ракетный двигатель обычным турбо¬
насосом, привод которого может
осуществляться за счет отбора нагре¬
тых газов из реактора, как показано
на рисунке. Реактор испаряет рабо¬
чее тело и нагревает полученный газ,
который, истекая назад через сверх¬
звуковое сопло, создает тягу, дви¬
жущую снаряд. Мертвый груз, пли
полезная нагрузка, помещается в но¬
совой части снаряда, чтобы макси¬
мально защитить эту нагрузку от
радиации; защита достигается мак¬
симальным удалением нагрузки от
реактора и экранирующим воздейст¬
вием баков с рабочим телом,"i поме¬
щенных между ними.
15.2.1.	Основные уравнения по¬
лета ракетного снаряда. Как показа¬
но в гл. 1 и 2, основным критерием, определяющим качество летатель¬
ного аппарата, является отношение масс. В нашем случае уравнение
отношения масс может быть записано в виде
Рис.
15.1. Схема типичной ракеты с ядер¬
ным двигателем.
т
0
»г0 . _
llljj DIq 	 flip
г Afb-rfo'c/spte sin 0/ao) (mP/ma)
:GXP L X(l-P (Pffc/sp)
H1’
(15.1)
где m0 и тпь — массы «наполненного» и «выгоревшего» снаряда соответ¬
ственно, Шр — вес рабочего тела, Avb — фактическая скорость снаряда
в конце активного участка, gc — ускорение силы тяжести на поверхности
Земли и а0 — ускорение тяги при взлете. Множитель р характеризует
ту часть рабочего тела, которая фактически проходит через реактор и со¬
здает тягу, %, К и g sin 0 — усредненные во времени величины отно¬
шения фактической скорости истечения газов к скорости истечения в ва¬
кууме, отношения силы сопротивления к тяге, произведения местного

506
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
ускорения гравитационного поля иа синус угла между касательной
к траектории полета и горизонтом соответственно. Удельный импульс
в вакууме обозначен через /sp.
Баллистическая дальность полета в вакууме над сферической невра-
щающенся Землей при любой данной скорости в конце активного участка
и оптимальном угле наклона траектории к плоскости горизонта в тот же
момент дается соотношением (см. гл. 2)
[^(»“30]+4«-53t)'Vk- (15'2>
ь
Здесь g0 есть ускорение силы тяжести на уровне моря, Re — радиус Земли,
hb — высота летательного аппарата в момент окончания горения топлива.
При орбитальном полете приближенное значение высоты круговой
орбиты или среднее значение высоты эллиптической орбиты, достижимой
ракетным снарядом, может быть найдено из простого уравнения энергети¬
ческого баланса приравниванием суммы кинетической и потенциальной
энергий снаряда в момент окончания горения полной энергии снаряда на
орбите. Таким образом, получаем формулу
К Г 4°ь~ г°я* ( n.+iH ) J	■	| г 3)
г;-Г,..	*.	л	.4„г]'	1	’
[2aA(-
tte~\-hb J j
где hb — высота в момент окончания горения топлива, которой достиг бы
снаряд, если бы он должен был достичь устойчивой орбиты со средней высо¬
той ho и иа него действовала бы постоянная, а не изменяющаяся во време¬
ни тяга.
Эти три уравнения можно использовать, чтобы получить связь между
характеристиками летательного аппарата и условиями проектирования
силовой установки, если значения масс составляющих летательного аппа¬
рата могут быть найдены как функции его массы в «наполненном» или
«выгоревшем» состоянии.
15.2.2.	Уравнения баланса масс составляющих снаряда. Полная масса
снаряда есть сумма масс всех составляющих, входящих в него. Сюда можно
отнести массу «мертвого» груза md, массу топливных баков mt, массу тур-
бонасосной установки и связанных с ней клапанов и труб тРе, массу раз¬
нообразных вспомогательных конструкций силовой установки ms, массу
собственно ядерного ракетного двигателя тг и массу топлива тр. Таким
образом,
1Щ = md + 1пр + mr + mt + ms + трв.	(15.4)
Масса «мертвого» груза включает в себя оборудование управления
и связи, вспомогательные источники энергии, полезную нагрузку, поме¬
щенье для экипажа и экипаж (если он есть) и другое бортовое оборудова¬
ние, не относящееся к силовой установке.
Масса топливных баков пропорциональна объему баков и, следова¬
тельно, отношению массы топлива к его плотности. Так как масса топлива
больших снарядов обычно составляет больше 70% от массы снаряда, то мас¬
су баков можно в первом грубом приближении предположить пропорцио¬
нальной полной массе. Конечно, такое предположение не учитывает влия¬
ния большой разницы в плотностях составляющих топлива (например,
жидкого водорода и жидкого фтора); однако оно полезно для общего ана¬
лиза. Масса турбонасосной установки приблизительно пропорциональна

§ 15.2]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
507
секундному массовому расходу топлива, следовательно тяге, следователь¬
но полной массе летательного аппарата. Масса элементов вспомогатель¬
ных конструкций также грубо пропорциональна тяге и, таким образом,
полной массе. Масса этих трех элементов может быть выражена соотно¬
шением
1Щ -г ms + ГПре =	(15.5)
В общем, Ai для хорошо спроектированных двигателей с минимальной
массой лежит в пределах от 0,05 до 0,15.
Масса самого ядерного двигателя равна полной мощности реактора
Рг, деленной на среднюю удельную выходную мощность реактора Кс.
В свою очередь мощность реактора задается половиной произведения тяги
п скорости истечения рабочего тела, деленной на коэффициент полезного
действия сопла це, а тяга пропорциональна начальному ускорению, умно¬
женному на полную массу снаряда. Используя эти соотношения, выраже¬
ние для массы ракетного дви¬
гателя можно записать в виде
тг = Bi Г)
о ^sp
7ТГ
1 sp
т0 = Л2 ^ т0,
(15.6)
где Bi — 1,356 -10~6 МвтХ
Хсек/(фунт-фут) и является
переводным множителем, Кс вы¬
ражается в Мет/фунт. Как по¬
казано в гл. 12, при адиабати¬
ческом расширении нагретых
газов коэффициент полезного
действия сопла выражается фор¬
мулой
Y-1
ч
“['-(г)1]' <15л)
Удельная мощность ранетного донга геля ХС)
Мот/фунт
Рис. 15.2. Зависимость характеристик реактора
от характеристик летательного аппарата.
где ре и рс — величины стати¬
ческого давления в выходном
сечении и на входе сопла и
у — отношение удельных теплоемкостей, усредненное для всего процесса
расширения. Для сопел с большим отношением площадей, работающих на
больших высотах, величина це может лежать в пределах от 0,7 до 0,8.
Используя уравнения (15.4), (15.6) и (15.1), можно охарактеризовать
влияние величины удельной мощности реактора на характеристики снаряда
следующим соотношением:
На рис. 15.2 этот эффект представлен графически для трех величин
При построении графиков предполагалось, что г\е = 0,75, а0 = l,3goi
Ь — 0,2. Изменения последней величины, обусловленные отклоне¬
ниями величины А у от вычисленных значений, не будут заметно изменять
характер показанных кривых. Заметим, что показатель экспоненты урав¬
нения 0Т1Р0шения масс £, быстро уменьшается с уменьшением значений
удельной мощности реактора ниже 0,3 Мет /фунт; вместе с тем существует
* sp
11Ч
тп

508
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
мало побудительных причин для увеличения Кс выше 0,7 Мет /фунт.
Величина удельной мощности 0,5 Мет /фунт является приемлемым рав¬
новесным значением с точки зрения этих двух экстремумов. Для ядерных
ракетных двигателей с полной расчетной плотностью 100 фунт /фут?,
у которых 50% объема составляет активная зона, это значение соответ¬
ствует плотности мощности 100 Мет/фут3; примерно такая же величина
получается для камер сгорания химических ракетных двигателей [3].
Из уравнения (15.6) видно, что это равновесное значение удельной мощно¬
сти реактора придает отношению тяги ракетного двигателя к его весу зна¬
чения 43; 21,5 и 10,8 при значениях удельного импульса 400 сек, 800 сек
п 1600 сек соответственно.
15.2.3.	Обобщенные характеристики снаряда. Рассмотрение величины
скорости ракетного снаряда в конце активного участка, взятой сама
по себе, в общем мало интересно. Интересно то, что можно сделать при
наличии данной скорости в конце активного участка, какой дальности пли
высоты может достичь снаряд.
Из выражения (15.8) для показателя экспоненты в уравнении отноше¬
ния масс и уравнения (15.1), в котором дано полное выражение этого пока¬
зателя, можно найти отношение полной массы снаряда к массе мертвой
нагрузки как функцию фактической скорости снаряда в конце активного
участка, если известны или каким-либо образом заданы величины %, А,
р, а0, А ь Кс и г\е. Фактический расчет отношения т0 /md как функции
иь по такому уравнению должен быть выполнен при помощи итеративного
процесса вследствие неявной зависимости этого отношения от величины
тр/т0, которая входит в выражение для £. После того, как это сделано,
можно просто определить баллистическую дальность по поверхности
Земли или высоту орбиты, достижимой при любом частном значении отно¬
шения полной массы к массе мертвой нагрузки. Чтобы иллюстрировать
влияние величины удельного импульса, был выполнен ряд расчетов для
величин/sp, лежащих в пределах от 200 сек до 1600 сек. При этих расчетах
были сделаны следующие предположения:
%	0,96 (потеря 4% полного импульса, обусловленная срывом пото¬
ка при малых высотах);
А = 0,04 (потеря 4°о полного импульса, обусловленная атмосферным
сопротивлением во время движения снаряда по активному участку);
Р = 0,95 (потеря 5% топлива на привод турбины, парообразование
в баках и запирание топливных линий);
g —- 30 фут /сек2, sin 0 = 0,6, а0 = 1,3g0 = 41,8 фут/сек2;
у]с = 0,75 (такое значение приемлемо для сопел с большим отноше¬
нием площадей при большой дальности полета);
К с	0,5 Мет/фу пт,	как было установлено в предыдущем пункте;
Иь = 100 миль для всех снарядов с дальностью полета свыше 1000 миль.
Результаты этих расчетов представлены на рис. 15.3, 15.4 и 15.5,
на которых горизонтальная дальность и орбитальная высота представ¬
лены как функции отношения полной массы к массе мертвой нагрузки для
трех произвольных величин коэффициента Аи а именно: 0,05; 0,10 и 0,15.
Кривые ясно показывают одно из преимуществ высоких значений удель¬
ного импульса — возможность осуществления одноступенчатых снарядов
дальнего радиуса действия при малом абсолютном полном весе снаряда.
Однако наиболее важной особенностью приведенных результатов является
изменение наклона кривых с увеличением удельного импульса. Практи¬
чески это означает, что для увеличения дальности полета снаряда на одну
и ту же величину требуется большое значение приращения полного веса

§ 15.2]	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ	ВОЗМОЖНОСТИ

510
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
при малых значениях удельного импульса и малое приращение при
больших значениях удельного импульса. Такое положение освобождает
от необходимости проектирования напряженных узлов с минимальным
весом для конструкций снарядов с большим значением удельного импульса
и.	следовательно, предоставляет больше свободы конструктору снаряда.
Это преимущество проявляется и другим образом. Если фактические
характеристики снаряда (вес
конструкции, действительное
значение удельного импульса
и т. д.) не соответствуют расчет¬
ным, то снаряды с малым зна¬
чением удельного импульса
много потеряют в дальности
полета и нужно будет либо при¬
мириться с ухудшенными ха¬
рактеристиками снаряда, либо
пожертвовать относительно
большой частью полезной на¬
грузки, чтобы вернуться к рас¬
четной дальности. Для снаря¬
дов с большим значением удель¬
ного импульса выход из такого
положения может быть найден
при помощи относительно ма¬
лого изменения веса полезной
нагрузки или полного веса сна¬
ряда.
Как уже указывалось, эти
кривые действительны только
для одноступенчатых	снарядов.
Основы применения	многосту¬
пенчатых снарядов обсужда¬
лись в гл. 1, где детально рас¬
смотрены преимущества, полу¬
чаемые при помощи такого
метода. Из рассмотрения этой
главы ясно, что «многоступен¬
чатость» улучшит относительное
положение всех снарядов с малым значением удельного импульса
(/sp < 600 сек), но только за счет уменьшения надежности вследствие
большой сложности	всей	системы.	Можно показать, что даже	при опти¬
мальном количестве	ступеней	для снарядов с малым значением	удельного
импульса с качественной точки зрения преимущество остается на стороне
снарядов с большим удельным импульсом (Is р > 800 сек); количественный
«коэффициент преимущества» снарядов с большим удельным импульсом
над снарядами с малым удельным импульсом в этом случае уменьшается.
Для области характеристик, охватываемой показанными кривыми, «много¬
ступенчатость» не дает реальных преимуществ для снарядов с удельным
импульсом выше 600 сек.
Из нижеследующего станет ясно, что, исходя из представленных здесь
общих положений, могут быть сделаны некоторые количественные выво¬
ды. Такой упрощенный анализ позволяет представить себе принципиаль¬
ную качественную картину возможного реяшма, показывает общие теиден-
/г весу «мершей» нагрузке m0/md
Рис. 15.5. Характеристика летательного аппарата.

§ 15.2]
IIО Т ЕI IЦ И А Л ЬIIЫ Е В О 3 М О Ж И ОСТИ
511
цитт и тем самым помогает при предварительной фазе проектирования
снаряда.
15.2.4.	Возможные рабочие тела ядерных ракетных двигателей и их
характеристики *). Значение удельного импульса как характеристики
рабочего тела было показано в гл. 1 и 2 и ранее в этой главе. Располагае¬
мый эффективный удельный импульс определяется в основном термодина¬
мическими свойствами образующихся в результате сгорания топлива газов,
геометрией сопла ракетного двигателя и рабочими условиями на входе
в сопло, т. е. на выходе реактора.
Рабочие тела для ядерных ракетных двигателей должны выбираться
среди тех элементов пли сложных веществ, которые в газообразном состоя¬
нии имеют низкий молекулярный вес при высокой температуре. Очевидно,
что выбор нужно делать среди таких элементов, как водород, гелий,
литий, бериллий и их диссоциирующих соединений — различных углеводо¬
родов и гидридов. Представляют также интерес легко диссоциирующие
соединения азота и водорода, а также некоторые из спиртов. Рассмотре¬
ние точки плавления этих материалов сразу практически исключает из их
числа литий и бериллий. Кроме того, чистый литий является сильным погло¬
тителем нейтронов, а бериллий сравнительно дорог (от 10 до 50 долларов
за фунт); таким образом, ни один из этих двух материалов не представляет
интереса, даже если они могут существовать в виде жидких соединений.
Очень трудные криогенные проблемы, связанные с получением и хране¬
нием жидкого гелия, делают нежелательным его использование в качестве
топлива. Список потенциально полезных материалов уменьшается до одного
элемента — водорода и его соединений. В широких пределах применимы
четыре жидких топлива, а именно: водород, аммиак, этиловый спирт,
пропан. Некоторые физические свойства этих веществ в жидком состоянии
даны в табл. 15.1.
Чистый водород обеспечивает наибольшее значение удельного импуль¬
са любого рабочего тела вследствие его низкого молекулярного веса.
Однако это полезное свойство водорода балансируется практическими
трудностями его хранения и использования, так как при этом требуется
температура ниже —423° F. При нагревании не происходит заметной дис¬
социации водорода при давлениях выше 10 am, пока температура не под¬
нимется выше 5500° R; однако энергия диссоциации водорода так велика,
что даже при нескольких процентах диссоциации произойдет заметное
увеличение потенциальных характеристик. Нагретый водород является
сильным восстановителем и реагирует с углеродом, некоторыми металлами
и многими углеводородами.
Спирты при среднем давлении разлагаются при температурах выше
3500° R на водород и окись углерода с выделением ацетилена, высших
углеводородов, гидроксильных радикалов и свободного кислорода. При
высоких температурах газовая смесь может быть либо восстановителем
(смесь, богатая водородом), либо окислителем (смесь, богатая углеродом)
в зависимости от соотношения водорода и углерода в первоначальном
спирте. Методы хранения и использования спиртов относительно хорошо
разработаны.
Аммиак быстро разлагается при температурах выше 3000° R на азот
и водород; таким образом, это соединение при высоких температурах
*) С разрешения авторов использованы материалы книги: R. W. Bussard
and R. D. DeLauer, Nuclear Rocket Propulsion, New York, McGraw-Hill, 1958.
[Имеется русский перевод: P. Басс ар д и Р. Де-Лауер, Ракета с атомным дви¬
гателем, ИЛ, 1960. (Прим. перее.)}

512
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
обладает многими коррозионными свойствами водорода. Задача хранения
и использования аммиака решается так же просто, как и для спиртов.
В качестве потенциальных ракетных рабочих тел возможны углеводо¬
роды от СН4 до СН27г. Эти соединения разлагаются при температуре
Таблица 15.1
Свойства некоторых жидких рабочих тел
Топливо
Водород
Аммиак
Этиловый
спирт
Пропан
Химическая формула
Н2
NH3
С2Н5ОН
с3н8
Молекулярный вес
в жидком состоя¬
нии, фупт/люлъ
2,016
17,03
46,07
44,09
Молекулярный вес
в диссоциирован¬
ном состоянии *),
фунт!моль . . .
2,0
8,5
9,5
6,3
Точка плавления,
°F
—434,5
—108
—180
—310
Точка кипения, °F
—423
—28
174
-■14 j
Удельная теплота
парообразования,
Бте/фунт . . .
197
589
367
183
Плотность в жид¬
ком состоянии,
фу пт/фут* . . .
4,3 при
■ —424° F
43 при
—30° F
55 при
60° F
36 при
—46° F
*) При температуре :
5 0 0 0 0 R и давлении 50 am.
выше 4000° R, образуя в основном водород, свободный углерод и ацети¬
лен. Присутствующий в газообразной фазе свободный углерод может
сгущаться и оседать на выводных каналах (процесс коксования), вызы¬
вая тем самым уменьшение потока или его запирание. Потенциальный
интерес представляют также многие недорогие и быстро производимые
углеводороды.
Величина удельного импульса, получаемого при использовании ука¬
занных рабочих тел, может быть определена при помощи уравнения, выве¬
денного в гл. 12, при условии, что свойства газов, образующих рабочее
тело, известны как функции температуры. На рис. 15.6 и 15.7 показаны
графики температурных изменений средней кинетической удельной тепло¬
емкости cpg и молекулярного веса для четырех рассмотренных выше рабо¬
чих тел. Эти графики позволяют оценить характеристики рабочих тел.
Удельный импульс приближенно дается выражением
/зр = j/2/ДЯ ^ ,	(15.9)
где АII есть изменение энтальпии газа, проходящего через реактор,
/ = 778 фунт-фут/Бте — механический эквивалент теплоты, другие

§ 15.2]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
Г) 13
символы были определены ранее. В свою очередь изменение энтальпии
определяется следующим образом:
АН— (Cpg ] Сра) ДTg,
(15.10)
где A Tg есть изменение температуры газа при прохождении через реактор
и сРа есть средняя удельная теплоемкость при изменении потенциальной
энергии газа в таких процессах, как диссоциация и ионизация. Для газо¬
образной смеси, состоящей из г компонент, имеем
A^ = 2/i (fdiHa + fiiHn),
где fi — весовая доля г-й составляющей газа, fdi и fn — весовые доли,
a Hdi и Нл — теплоты диссоциации и ионизации диссоциированной
I 6
I
I
§
1 7
%0,в
i
1^
I
Д
с2н5о
РОатм
то то 6000
Температура газа ТСг °Н
Рис. 15.6. Зависимость средней удельной
теплоемкости газообразных рабочих тел
Ср от температуры газа Тс при давлении
Рс = 500 атм. Значения теплоемкости усред¬
няются в пределах от 500° R до рассма¬
триваемого значения температуры.
10
го
\
I
|Г/
и
»4
^ 7
Г
1 "
С2Н50Н_
NH.i
		—■—
-
Ms
-
Н2
Рс = 6Оатм
1
1
1
гооо то вооо вооо
Температура газа Тс, °fi
Рис. 15.7. Зависимость молекулярного
веса газообразных рабочих тел от темпе¬
ратуры при постоянном давлении Рс =
= 50 олпм.
и ионизированной части г-й составляющей соответственно. Влияние тем¬
пературы и давления на эти факторы не рассматривается в данной главе;
из литературы, указанной в конце главы, этот вопрос исследуется в [4, 5, 6].
Однако для четырех ранее введенных в рассмотрение рабочих тел на
рис. 15.8 графически представлены результаты расчетов в соответствии
с этими двумя уравнениями и с учетом всех относящихся к изучаемому во¬
просу эффектов. Величина давления газа при расчетах предполагалась
равной 50 am. Вплоть до температуры 6000° R доминирующее значение
имеют кинетические эффекты (молекулярные вращения и колебания).
После достижения этой температуры быстро растет влияние диссоциации,
которое, однако, уменьшается, когда температура достигает величины
порядка 15 000° R. Энергия ионизации не играет существенной роли, пока
температура не поднимется выше 20 000° R.
33 Космическая техника

514
ВОЗМОЖНОСТИ. ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
Интересным параметром является также мощность, приходящаяся
Pr/w, так как этот пара-
необходимой для получе¬
на единицу секундного расхода раоочего тела,
метр устанавливает уровень полной мощности,
ния нужной тяги ракетного двигателя:
Рт Т. гг , гг ч г, Г (sdl
W
= B2(bH + ffv) = B2
I m
h во
где Hv есть теплота
рабочего тела (см.
ОООО
пароооразования
таблицу 15.1) и
1
| цш
ft
1^
|ж
S'S
ft
it
^ 300
Рс =00атм
У
У
У
-
У
У
У
У
У
У
У
-
У
У
У
У
уу'
у
т
Г
у?
._.j
	1—
4000 ОООО ОООО /ОООО
Температура газа Тс, °в
3000
4000 6000800010000
Температура газа Тс, °в
Рис. 15.8. Зависимость удельного импульса
газообразных рабочих тел от температуры при
постоянном давлении р = 50 атм.
Рис. 15.9. Зависимость удельной мощ¬
ности ракетного ядерного двигателя от
температуры газообразных рабочих тел
при постоянном давлении р =50 атм
В2 — 1,055-Ю-3 Мвт-секГБте — электрический эквивалент тепла; в
этом соотношении величины Н выражены в Бте/фунт, Рг — в Мет и w —
в фунт/сек. На рис. 15.9 в графическом виде представлено изменение этого
параметра, причем используются кривые, приведенные на рис. 15.8.
Заметим, что величина тяги, приходящаяся на единицу мощности, дается
F Isr>w
выражением —- =	.
Fr 1 Т
§ 15.3. Материалы и проблемы проектирования ракетных реакторов
15.3.1. Тепловыделяющие элементы *). Из рассмотрения кривых
на рис. 15.8 видно, что для получения высоких характеристик рабочего
тела требуется нагрев газа в активной зоне реактора до высоких температур.
Так как газ нагревается расщепляющимся горючим, то очевидно, что теп¬
ловыделяющие материалы должны работать при температурах выше мак¬
симальной температуры газа в системе. Для эффективного использования
твердых тепловыделяющих элементов в ядерном реакторе теплообменного
типа, схема которого приведена на рис. 15.10, рабочая температура должна
поддерживаться близкой к точке плавления лучших температуростойких
материалов.
*) См. сноску 1Г15.2.4.

§ 15.3]	МАТЕРИАЛЫ	И	ПРОБЛЕМЫ	ПРОЕКТИРОВАНИЯ	РЕАКТОРОВ
515
Представляет интерес плотность мощности порядка 100 Мвт/фут3.
Как указывалось выше, такая концентрация сравнима с величинами плот¬
ности мощности в камере сгорания химического ракетного двигателя и, гру¬
бо говоря, эквивалентна тому, чтобы упрятать мощность гидростанции
Гувер-Дам в ящик конторского стола.
Отражатель
нейтронов
/
Ошло/7
газов
А шовная зона
реантора
Отенна
деиготеля
Рис. 15.10. Схема реактора на твердом горючем.
Конечно, основной причиной, по которой можно рассматривать такие
высокие значения плотности мощности, является чрезвычайно короткое
по сравнению с другими, обычными машинами время действия ракетного
!
§
1
1
*
1
I
1
&
70'
70*
10*
70
7сек
7мин	7час	7день
7гад	700лет
-7
70
70 ~
70
^ Взрь/t
11 !
iHb/e хима
деигател,
I1 \
’чеоние
и
Т'
у ■ Г
7неделе
1 1
7С7леш
1
А
Ядернь
дб
11
Ч
ные
1 *
111
пливные
7нь/е —
дели
к
Турдореа/
деига.
/
чтивные
тела
i
Жидностные ранетнв/е двигатели
| 1 J
Оамолетнь/е поршневые двигатели ^
1 1 1
Жзлид
7U
т
|
1.
одильные
Желез
1 1
- § — § 1
t!
1 и
чела -	1
1
от ивы —|
I 1
' (Жр
1
1
_ J
1
1 1 1 У—У
/7аровв/е силовь/е уетановни —■ [
111
Гидрозлентричесние еиловь/в уетановни—
1 1 1 1 1 1 1 1 i Г
70'
т-е т-4 т-г -j 70г	104	70е
Типичные значения длительности действия, часы
Рис. 15.11. Зависимость плотности мощности гот длительности времени
действия различных энергопреобразующпх устройств.
двигателя. Это положение иллюстрируется рис. 15.11, где показан спектр
плотности мощности различных энергопреобразующих устройств. Заметим,
что плотность мощности ядерных и химических ракетных двигателей
33*

516
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
превосходит в 103 раз плотность мощности, развиваемой колибри [7] и
самолетными двигателями. При таких высоких значениях плотности мощно¬
сти теплопередача через поверхность тепловыделяющего элемента должна
быть очень велика, что обусловливает большие температурные градиенты
внутри объема тепловыделяющего элемента. Такие внутренние температур¬
ные градиенты могут вызывать значительные тепловые напряжения и де¬
формации, особенно если по условиям работы силовой установки требуется
быстрое изменение плотности мощности. Для уменьшения тепловых
напряжений часто нужно допускать ползучесть материала, пока не будет
достигнут предел прочности материала.
В качестве примера такой задачи рассмотрим плоскую пластинку
толщины t с равномерным объемным теплообразованием q и при симмет¬
ричном распространении тепла. Можно показать [8], что в области чисто
упругой деформации максимальным напряжением в такой системе являет¬
ся растягивающее напряжение на поверхности пластинки, которое дается
соотношением
<?ma X =	(15.13)
(15.14)
Здесь а, Е, v и к обозначают коэффициент линейного расширения,
модуль упругости, коэффициент Пуассона и коэффициент теплопровод¬
ности материала пластинки соответственно. При плотности мощности
100 Мет/фут? упругие напряжения в пластинке толщиной */4 дюйма,
изготовленной из материала со свойствами графита [т. е. к =
—13 Бте/(ч -фут- °R), ос = 6 • 10~6 (0R)_1, Е = 1,2 • 10° фу пт/дюйм2, v ^ 0,25
при температуре 5000° R], будут приблизительно равны 6500 фунт/дюйм1.
а внутренний перепад температур будет близок к 1000° R. Такие напряже¬
ния в пластинке будут появляться только в том случае, если повышение
мощности до данного уровня происходит мгновенно. Если материал обла¬
дает заметной ползучестью при напряжениях ниже рассчитанного значе¬
ния упругого напряжения, то влияние ползучести проявляется в умень¬
шении напряжения при нагревании материала с конечной скоростью. Так
как при одновременном воздействии нагрузки и температуры могут воз¬
никнуть напряжения, в какой-либо момент превышающие предел проч¬
ности, в результате чего наступит разрушение материала, то необходим
анализ режима работы конструкции активной зоны реактора в каждом
из ожидаемых переходных процессов работы реактора. Более подробное
рассмотрение всех относящихся к делу явлений и методов анализа этой
общей проблемы можно найти в литературе [9, 10, И].
Так как передача тепла к газу идет в основном за счет конвекции,
то тепловыделяющие элементы, кроме тепловых напряжений, должны
также противостоять установившимся нагрузкам, возникающим вследствие
разницы давлений в потоке газа. Эти нагрузки могут быть достаточно
велики, особенно для реакторов, рассчитанных на работу при больших
числах Re, так как большим числам Re соответствуют большие величины
коэффициента теплопередачи [12, 13].
Тепловыделяющий элемент должен содержать делящийся материал;
поэтому нужно, чтобы основной (конструкционный) материал тепловыде¬
ляющего элемента по сравнению с делящимся материалом не сильно погло¬
щал нейтроны. Более того, желательно, чтобы основной материал служил
для превращения быстрых нейтронов, образующихся в процессе расщеп¬
где
max - Sk

§ 15.3] МАТЕРИАЛЫ И ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕАКТОРОВ	517
ления, в тепловые, способствуя тем самым уменьшению критического раз¬
мера и веса всего реактора. Другим эффектом, подлежащим рассмотре¬
нию, является возможное влияние газообразного рабочего тела на основ¬
ной материал реактора. Все интересующие нас газообразные рабочие
тела содержат водород, а нагретый водород является химически едким
веществом и сильным восстановителем, который с некоторыми материалами
образует хрупкие гидриды, а с другими — летучие сложные вещества
на основе водорода.
Выбор конструкционных материалов для использования в тепловы¬
деляющих элементах максимально ограничен этими условиями. Из всех
элементов только углерод (графит), вольфрам, рений, тантал, молибден
и ниобий обладают достаточно высокой точкой плавления. Практически
пригодными оказываются только смеси карбидов этих отражающих эле¬
ментов и карбида циркония.
В табл. 15.2 приведены температурные, а также некоторые ядерные
характеристики этих материалов. Хотя еще мало известно о влиянии
примесей горючего к этим материалам, вероятно, что примесь горючего
в несколько процентов по объему не вызовет значительных отклонений
Таблица 15.2
Свойства некоторых материалов, образующих основу
тепловыделяющего элемента *)
Материал
Графит
Вольфрам
Рений
Тантал
Карбид
ниобия
!
Карбид |
циркония |
j
1
Точка плавления,
| °R
1
700() **)
6550
6200
5850
1 7500
6250
. Плотность при ком-
! натной темпера-
туре, фу тип/фут3
103
1190
1280
1040
!
490
425:
; Предел прочности
иа разрыв при
1 5000° R,
фунт/дюйм'1
зооо—
! 5000—
i
! 4000—
1000—
i
!
16 000 ***)
Коэффициент тсп-
! лопередачл при
; 5000° R,
! Бте/(ч’фут • R) . .
1 6000
10—20
9030
j „
6000
5000
40
’ $ ■) * ^
12****)
; Атомный нес,
i фунт/моль . . .
: 12,0
! 183,')
186,3
1 180,9
1
i 104,9
103,2
| Микроскопическое
! сечение поглоще-
: ния тепловых ней¬
тронов, бари/атом
0,0045
1!)
84
1
21
I
1,1
1
1
0.185
Макроскопическое
1 сечение поглоще¬
ния тепловых ней¬
тронов, слГ 1 . .
0,00037
1,1!)
0.56
1
1 1,16
0,049
0,0073
; Значение интеграла
! резонансного по-
! г лощения,
барн/атом . . .
0
450
|
650
i
|
i
i
| 500
i
4
3
*) См. сноску и 1 5.2. Л .
**) Возгоняется.
***) При 2700° R.
****) При 500° R

Г) 18
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
характеристик от данных величин*). При отсутствии надежной информа¬
ции по этому вопросу конструктор реактора должен делать свой выбор
на основе известных характеристик конструкционного материала и прове¬
рять этот выбор экспериментами.
Все элементы, указанные в табл. 15.2, обладают прочностью на растя¬
жение, достаточной для использования их при температуре выше 5000° R,
если деформации активной зоны реактора достаточно малы; однако сомни¬
тельно, чтобы карбиды этих элементов оказались пригодными для работы
в условиях растяжения при высоких температурах. Для конструкций
активной зоны реакторов, в которых нагрузки в основном сжимающие,
потенциально пригоден любой из этих материалов. Величина поперечного
сечения захвата тепловых нейтронов интересна при сравнении свойств
материалов, используемых преимущественно в тепловых реакторах. Важ¬
ным параметром, характеризующим замедление нейтронов до тепловых,
является также значение интеграла резонансного поглощения [14]. Пер¬
вый из этих параметров характеризует степень поглощения тепловых
нейтронов веществом тепловыделяющего элемента по сравнению с погло¬
щением веществом самого горючего; второй параметр является мерой спо¬
собности к поглощению быстрых нейтронов. Заметим, что величины макро¬
скопического сечения поглощения тепловых нейтронов вольфрама и тан¬
тала приблизительно в 3000 раз, а рения в 1500 раз больше, чем соответ¬
ствующая величина для графита. Кроме того, вольфрам, рений и тантал
имеют большое количество резонансов в области быстрых нейтронов,
в результате чего интеграл резонансного поглощения достигает таких
высоких значений, которые практически не позволяют (с течки зрения
требования критической массы) считать эти материалы пригодными для
использования их в потоке быстрых нейтронов. С точки зрения нейтронной
физики эффективное использование любого из этих металлов требует
блочной структуры замедлителя, чтобы замедление нейтронов до тепловых
энергий происходило при незначительном поглощении надтепловых
нейтронов. Таким образом, выбор конструкционного материала для
тепловыделяющих элементов и геометрия активной зоны реактора оказы¬
ваются взаимосвязанными. С этой точки зрения рений, вольфрам и тантал
являются лучшими материалами для активных зон кассетного типа с за¬
медлителем, в то время как графит, имеющий низкий атомный вес и являю¬
щийся поэтому хорошим замедлителем, может использоваться в гомоген¬
ных смесях как в тепловых реакторах, так и в реакторах на быстрых
нейтронах.
Множество химических реакций между нагретым водородом и угле¬
родом затрудняет использование графита в качестве конструкционного
материала тепловыделяющих элементов, так как никто не будет исполь¬
зовать в ядер и ом ракетном двигателе реактор, части которого подвержены
коррозии и эрозии с большой скоростью. Одним из решений этой пробле
мы является покрытие всех открытых поверхностей графита внутри актив¬
ной зоны реактора защитной пленкой. В качестве такого покрытия можно
применить один из устойчивых тугоплавких карбидов металла. Другим
возможным решением является использование рабочего тела, не реаги
рующего с графитом. Такие рабочие тела могут быть образованы добавкой
к основной составляющей веществ, реагирующих с водородом, например
*) Данные о напряжениях и характеристиках ползучести графита с добавкой
урана были даны П. Дж. Вагнером (P. J. Wagner), Е. А. Кметко (К. A. Kmetko)
п А. Л. Дрисиером (A. L. Driesner) из Лос-Аламосскоп научной лаборатории
в неопубликованной статье, представленной в 1958 г. конференции в Женеве.

§ 15.3]
МАТЕРИАЛЫ И ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕАКТОРОВ
519
кислорода или углерода. Это вызывает реакцию нейтрализации в газовой
фазе и предотвращает таким образом: реакцию между поверхностным
смоем тепловыделяющего элемента и нагретым газом. Нагретый водород
разрушает также тантал, образуя хрупкий гидрид, в диапазоне темпера
тур от 2000° F до 4000° F. Этот гидрид разлагается при температуре
4000° F, однако каждый реактор, установленный на ракете, должен пройти
через указанный диапазон температур при пуске, и поэтому неизолиро¬
ванный тантал нельзя использовать в двигателях с рабочим телом, бога¬
тым водородом. Вольфрам и рений относительно слабо реагируют с нагре¬
тым водородом; однако при высоких температурах происходит рост зерен
вольфрама, для предотвращения которого к вольфраму до формирования
тепловыделяющего элемента нужно добавить небольшое количество окиси.
15.3.2.	Элементы реактора, не содержащие горючего. Основными эле¬
ментами, не содержащими горючего, в любом ядерном ракетном двигате¬
ле являются отражатели и замедлители нейтронов, кожух реактора и про¬
межуточные конструкции, связывающие все элементы в единое целое.
Требования нейтронной физики являются определяющими при выборе
материала отражателя или замедлителя. Основным назначением этих
составляющих является замедление нейтронов до тепловых; следователь¬
но, материалы замедлителя и отражателя должны иметь низкий атомный
вес и малое значение поперечного сечения поглощения нейтронов. Для
этой цели наиболее пригодны бериллий, окись бериллия, тяжелая вода,
графит. Из этих четырех веществ только графит можно использовать
при высоких температурах активной зоны реактора, все другие нужно
изолировать от нагретой зоны реактора. В некоторых конструкциях реак¬
торов замедлитель несет часть нагрузки, возникающей вследствие пере¬
пада давлений в активной зоне реактора. В таких случаях при выборе
материала играют роль также напряжения, возникающие в нем.
Вес, приходящийся на элементы связывающей конструкции, является
непродуктивным с точки зрения .получения тяги. Поэтому для конструк¬
ционных элементов предпочтительны материалы с большим отношением
предела прочности к весу.
Хотя рассматриваемые элементы и называются не содержащими горю¬
чее, внутри их образуется тепло при поглощении нейтронов и у-излу-
чения, просачивающихся из активной зоны реактора во время его работы
[15]. В процессе расщепления около 3% энергии деления теряется в виде
кинетической энергии быстрых нейтронов, 4,5% — в форме энергии пер¬
вичного у-излучения и 3,5%—в форме энергии вторичного у-излучения,
выделяемого темн материалами цепочки распада продуктов деления,
период полураспада которых сравним с временем действия обычного
ракетного двигателя. Если пренебречь самопоглощением в активной зоне
реактора, то средняя величина мощности, теряющаяся с у-излучением
во время работы реактора, составляет около 6% его полной мощности.
Поглощение энергии этого у-излучения следует, грубо говоря, экспонен¬
циальному закону при изменении толщины материала. Плотность энергии
qy, выделяющейся на любой глубине х внутри материала т, дается соот¬
ношением
q-t = ItfCm (1 -г iw) е-»тх,	(15.15)
где /0 — интенсивность падающего на поверхность материала потока
энергии, jum и хт — коэффициенты ослабления и поглощения у-излуче-
пия для рассматриваемого материала. Для нескольких материалов в
в табл. 15.3 даны средние величины этих коэффициентов.

Г)20	ВОЗМОЖНОСТИ	ЯДЕРНЫХ	РАКЕТНЫХ	ДВИГАТЕЛЕЙ	[ГЛ.	15
Таблица 15.3
Коэффициенты ослабления и поглощения у-излучения
для некоторых материалов *)
Материал
Никель
или же¬
лезо
1
Берил¬
лий
1
Алюми¬
ний
1
Гра¬
фит
Коэффициеыт ослабле¬
ния ит, см~1 . . .
Коэффициепт поглоще¬
ния энергии хт, см~1
0,52
0,23
0,096
0,044
0,16
0,074

0,11
0,05 j
••) При средней величине энергии у-Фотона, равной 1 Мэе. |
Член 1 + \л тл: учитывает местное образование у-квантов малой энер¬
гии в результате комптоновских воздействий фотонов в первичном пучке.
Значение величины тепловыделения, обусловленного у-излучением,
может быть проиллюстрировано примером. Рассмотрим реактор, полная
мощность которого 5000 Мет. Из этой мощности около 300 Мет будет
теряться с у-излучением. При радиусе кожуха в 3 фута поток энергии
у-излучения, приходящийся на единицу внутренней поверхности кожуха
(пренебрегая поглощением у-излучения материалом между активной зоной
реактора и коячуха), будет равен 2,6 Мет /фут2. Для никелевого или же¬
лезного (стального) кожуха коэффициент поглощения равен 0,23 см'1
или 7,0 фут'1. Тогда плотность мощности в единице объема внутренней
части кожуха будет 18 Мет/футг, что составляет около одной пятой
плотности мощности в реакторе. Из этого примера ясно, что для механиче¬
ских частей ядерных ракетных двигателей желательно применять материа¬
лы с малым значением коэффициента поглощения и большим коэффици¬
ентом теплопроводности. Эта задача упрощается тем, что большинство мате¬
риалов замедлителей обладает малым коэффициентом поглощения; однако
в замедлителях большое значение имеет нагрев, обусловленный замедле¬
нием нейтронов, хотя в общем-то этот фактор незначителен для металличе¬
ских конструкций. Локальная плотность мощности, выделяемой при облу¬
чении быстрыми нейтронами, равна произведению локальной величины
потока быстрых нейтронов, умноженной на макроскопическое поперечное
сечение рассеяния нейтронов материалом и на величину средней энергии,
теряемой при одном столкновении. Нельзя дать общих данных по этому
вопросу, так как явление сильно зависит от нейтронных характеристик
материалов активной зоны и реактора в целом; однако для многих реак¬
торов на тепловых нейтронах и реакторов иа замедленных быстрых ней¬
тронах было найдено, что для тех частей замедлителя, которые располо¬
жены вблизи или внутри активной зоны, плотности мощностей, обуслов¬
ленных гамма- и нейтронным излучением, сравнимы.
§ 15.4. Нейтронная физика реактора
15.4.1.	Статика. В основе расчета любого реактора лежит определение
условий его критичности. Кроме того, для ракетных ядерных реакторов
особенно важно знать с достаточной точностью ожидаемое распределе¬
ние выделяемой мощности в стационарном режиме работы. Эти сведения

§ 15.4]
НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА РЕАКТОРА
521
получают из расчетов поведения нейтронов в реакторе в стационарном
ре яшме.
Ход реакции расщепления в реакторе определяется пространствен¬
ным распределением горючего и поглощающих и рассеивающих материа¬
лов, а также энергией и пространственным распределением плотности
нейтронов. Нейтроны, испускаемые при делении, обладают энергиями
в пределах от 0,1 до 10 Мэе. Так
как поперечные сечения расщепления
при взаимодействии этих быстрых
нейтронов с материалом активной
зоны реактора значительно меньше,
7000
800
,800
!
I
1
700
80
60
40
80
70
0,2
Материал
Плотность -
70
17м
-
7770\-
л *
С
7,67 -
г/см3
у
/
/
/ии т
У
1
500
Мольное от нон
С/{/ем =
veooe
--/ООО
1000l
Р
/_
лппп
. 1V
70000\^
.... 1
?50
1
OOL
1 1
7
0,4 0,60,8 7
2
4	6	870
Tfpoooi/ec/foo робоуо сферы, фут/
Рис.
смеси
1
15 Л 2.
С
8,5
Характеристика критической
и U235. Плотность U235 равна
г/см3, углерода —1,67 г/см*.
чем поперечные сечения при взаимо¬
действии с тепловыми нейтронами,
то быстрые нейтроны нужно замед¬
лить внутри реактора, прежде чем
они вступят в реакцию деления. Это
можно легко сделать, заставив быст¬
рые нейтроны проходить через мате¬
риал с низким атомным весом и
малым поперечным сечением погло¬
щения. Таким способом можно умень¬
шить массу расщепляемого матери¬
ала, необходимую по условию кри¬
тичности. Условие критичности
выполняется, если отношение числа
нейтронов, выделяемых при одном
акте деления, к числу нейтронов,
выделяемых при следующем акте деления, точно равно единице. При этом
условии все нейтроны одного поколения будут принимать участие в обра¬
зовании следующего поколения. При единичном акте расщепления ядра
атома U235 выделяется приблизительно 2,5 нейтрона; это означает, что
при каждом делении приблизительно 1,5 нейтрона непродуктивно захва¬
тываются или теряются через оболочку реактора.
Точный расчет критичности и нейтронного режима реактора стано¬
вится максимально сложным, если учесть все относящиеся к делу факторы.
При современном состоянии науки невозможно получить аналитические
выражения для распределения делений при любой, хотя бы и простейшей
геометрии реактора; для решения нейтронных уравнений подробной
математической модели реактора нужно использовать большие вычисли¬
тельные машины. В работах [16, 17] очень тщательно проделан вывод этих
уравнений и даны различные приближенные и точные методы их решения
применительно к обычному использованию реакторов. На рис. 15.12
показаны результаты расчетов критических масс смеси С и U235. Эти рас¬
четы основаны на многогрупповом диффузионно-возрастном приближении
и приведены в работе Дж. Сафонова [18]. Кривые характеризуют величину
массы горючего, необходимой из условий критичности простых систем.
Наличие полостей в активной зоне, необходимых для протекания охлаж¬
дающей жидкости, будет заметно увеличивать требуемую критическую
массу.
Хотя упрощенные расчеты нейтронного потока мало пригодны при
проектировании реакторов, они полезны тем, что показывают общий режим
работы реактора, ожидаемый при значительных изменениях его геометрии .
Самый простейший метод расчета основан иа применении теории диффузии

522
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
к режиму работы реактора, когда предполагается, что все нейтроны
обладают постоянной энергией и беспрепятственно диффундируют внутри
реактора, подобно тепловому потоку в окрестностях источников тепла.
Применительно к гомогенной активной зоне без отражателя такие расчеты
показывают, что для активной зоны в форме плиты прямоугольного блока
или цилиндра нейтронный поток изменяется как cos х, где х — ли¬
нейное безразмерное расстояние от
плоскости симметрии. Так же меняется
нейтронный поток вдоль оси цилиндра.
Для сферы поток изменяется как
sin г /г, а в радиальном направлении ци¬
линдра — как /о(г), где /0 — функция
Бесселя нулевого порядка. Таким образом,
плотность деления падает по направле¬
нию к границам равномерно загруженной
активной зоны реактора. При исполь¬
зовании замедляющих отражателей, поме¬
щенных вокруг активной зоны, повы¬
шается плотность деления на границе
активной зоны и отражателя. В результа¬
те этого при наличии очень толстого отра¬
жателя вокруг слабо замедляющей актив¬
ной зоны плотность деления будет дости¬
гать максимума на границе и минимума
в центре активной зоны. Эти изменения
плотности деления схематически показаны
на рис. 15.13. На каком-то участке между
двумя экстремумами с помощью надлежа¬
щим образом	выбранных внешних отража¬
телей можно	добиться хорошего прибли¬
жения к «плоскому» распределению деле¬
ний при равномерной загрузке реактора.
Дальнейшее приближение к точно пло¬
скому распределению делений может по¬
требовать	изменения распределения	го¬
рючего.
Важность управления распределением
деления проистекает из необходимости
повысить	характеристики реактора	до
максимума, чтобы получить работоспо¬
собную ракетную силовую установку. Наиболее экономичным и ком¬
пактным теплообменником является такой, в котором каждый сегмент
активной зоны реактора, перпендикулярный к омывающему потоку
рабочего тела, работает при одной и той же температуре и передает
рабочему телу столько тепла, сколько любой другой геометрически
подобный	сегмент. В	теплообменниках, где	поток рабочего тела являет¬
ся	неравномерным,	распределение деления	также должно быть нерав¬
номерным в направлении, перпендикулярном к потоку. Таким обра¬
зом, для цилиндрической активной зоны, омываемой осевым потоком
рабочего тела, плотность деления должна быть «плоской» в любом по¬
перечном	сечении.	Можно	показать, что	вес отражателя, необходимого
для получения	плоского	распределения	деления при равномерной	за¬
грузке реактора, оказывается слишком большим с точки зрения стандарт-
АктивНОЯ
Замвдля/ои/ая
активная зона,
тонкий отражатели
Активная
ШзамзЗля/ощая активная зона,
талоти/й отражатели
Рис. 15.13. Кривые распределения
потока нейтронов в поперечном раз¬
резе реактора.

§ 15.4]
НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА РЕАКТОРА
523
пых характеристик снаряда. В этом случае решением должен быть ком¬
промисс между распределением горючего и использованием отражателей.
Проблемы получения равномерного распределения деления более
сложны для гетерогенных реакторов, в которых горючее распределено
г» виде отдельных масс в узловых точках конструкции замедлителя. При
такой конструкции активной зоны каждый ее элемент (пакет горючего плюс
окружающий замедлитель) в некотором смысле является простым реакто¬
ром с отражателем; гетерогенный реактор в сборе действует как большое
число отдельных реакторов, составленных вместе. Гетерогенные реакторы
на тепловых нейтронах позволяют обойтись наименьшей критической мас¬
сой изо всех типов ракетных реакторов и могут быть выполнены в очень
маленьких размерах. В этом состоит их принципиальное отличие с точки
з ре н ия не йтр о нио й физ и ки.
Проблема согласования плотности деления и расхода охладителя
может быть также решена изменением распределения потока охладителя
в соответствии с неравномерным распределением деления. Прохождение
охлаждающе]! жидкости через активную зону можно регулировать при
помощи жиклеров в каналах равномерной ширины и распределения или
изменения размеров и расположения самих каналов. Последний способ
усложняет проектирование реактора, так как в этом случае нейтронные
расчеты должны учитывать пространственное изменение как в плотности
конструктивных материалов активной зоны реактора, так и в плотности
горючего. Ни тот, ни другой подход не позволяет получить максималь¬
ную выходную мощность реактора, которая может быть достигнута при
равномерном потоке охладителя и равномерной плотности деления, как
было описано выше.
Независимо от выбранного метода согласование расхода охладителя
л выделяемой мощности должно быть сделано с максимальной возможной
точностью, так как температурная чувствительность физических свойств
и сжимаемость охладителя могут значительно усилить любые небольшие
расхождения в тепловой нагрузке, отнесенной к каналу с единичным
расходом. В том случае, когда поток охладителя проходит через ряд
параллельных каналов, соединенных коллекторами около каждого конца
активной зоны, превышение среднего уровня тепловыделения в одном
из каналов вызовет чрезмерный нагрев газа, проходящего через этот канал,
в результате чего повысится вязкость и уменьшится расход газа, что вызо¬
вет дальнейшее повышение температуры. Поэтому уравнения, описываю¬
щие процесс теплообмена, должны давать суждение об устойчивости про¬
цесса. Было найдено, что турбулентный поток в параллельных каналах
является устойчивым относительно тепловых возмущений, в то время как
ламинарный поток идеального газа становится неустойчивым, если отно¬
шение выходной температуры к входной температуре потока становится
больше трех. Имеются три главных источника возникновения несогла¬
сованности и неравномерности расхода охладителя и плотности мощно¬
сти, выделяемой в активной зоне реактора. Это, во-первых, допуски про¬
изводства на размеры тепловыделяющих элементов, во-вторых, ошибки
при загрузке реактора горючим и, в-третьих, отклонения действительного
распределения потока нейтронов от расчетного. Отклонения в размерах
для лучших конструкций тепловыделяющих элементов можно выдержи¬
вать в пределах ±1% при тщательном их производстве. Аналогично этому
точный контроль процесса загрузки реактора должен уменьшить откло¬
нения от расчетных величин до +2°6, хотя эта задача становится гораздо
сложнее при более низких значениях средней загрузки реактора горючим.

ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
С другой стороны, ошибки в самих расчетных значениях могут до¬
стигать. ~ 4% вследствие невозможности точного макетирования высо¬
котемпературного реактора при помощи критической сборки в условиях
комнатной температуры и вследствие неточности даже наилучших методов
расчета в том случае, когда проводится нейтронный расчет активной зоны
реактора, работающего в широких температурных пределах. Таким
образом, максимальное отклонение плотности выделяемой мощности от
расчетного значения может достигать ±7%, хотя следует ожидать, что
средние отклонения лежат в пределах ±4,5%. Для реактора, активная
зона которого работает при температуре 5000° R, это соответствует мест¬
ному нагреву или охлаждению на ±350° R и ±200° R соответственно.
Значение температурных отклонений такой величины очень велико для
конструктивных элементов активной зоны реактора, работающих вблизи
точки плавления или ковкости материала.
15.4.2.	Кинетика реактора. Конструкцию ракетного ядерного реактора
с точки зрения его ядерно-физических свойств можно в основном опреде¬
лить на основе нейтронных расчетов в стационарных условиях его работы.
Однако допустимые условия устойчивой работы реактора и переходные
реяшмы во время пуска, остановки или изменения мощности реактора
могут быть рассчитаны только при исследовании его кинетики. В случае
ракетных ядерных реакторов иметь сведения о кинетических характеристи¬
ках реактора так же важно, как располагать данными о его критичности,
так как рабочие значения плотности мощности так велики, что небольшие
отклонения нейтронного баланса от проектных условий могут привести
к полному разрушению такого реактора в течение долей секунды. Как пра¬
вило, точное исследование переходного реяшма работы реального сложного
реактора в конечном счете так же сложно, как и точный расчет его стацио¬
нарного реяшма; однако погрешности знания многих инженерных пара¬
метров в переходном процессе работы реактора (скорости нарастания тем¬
пературы, скорости деформации конструкции и т. д.) так велики (в пре¬
делах ±20%), что нет смысла проводить детальные исследования. В этом
случае, как и при статических расчетах, литого может быть сделано
при помощи приближенных методов.
Изменения в геометрии и разлшрах активной зоны реактора, плотно¬
стях и распределении материалов, а также изменения средней рабочей
телшературы — все эти факторы влияют на реактивность реактора. Такие
изменения могут быть результатол! сильной деформации материала реакто¬
ра под влиянием нагрузки или телшературных градиентов, коррозии мате¬
риала, изменения агрегатного состояния охладителя, а также результа¬
том управляелюго передвижения составных частей реактора, например
сегментов отражателя или управляющих стержней. Конечным результа¬
том любого из этих эффектов является изменение реактивности всего реак¬
тора. Увеличение реактивности (т. е. величины &k/kGU) означает, что
количество нейтронов в каждом последующем поколении возрастает и что
скорость увеличения реактивности пропорциональна числу нейтронов
в предыдущелг поколении. Математически это вырая^ается простым урав¬
нением
1 dn   Ьк '
п dt	I* *
так что
(15.16)

15.4]
НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА РЕАКТОРА
525
Здесь через п обозначена нейтронная плотность, через Z* — среднее
время жизни тепловых нейтронов в реакторе конечных размеров, а через
б/v — коэффициент размножения, который определяется соотношением
Ък = кеff — 1, где	—	эффективный	коэффициент	размножения,
равный отношению нейтронного уровня в последующем поколении к ней¬
тронному уровню в предыдущем поколении. Период реактора, опреде¬
ляемый как время, за которое величина нейтронного потока изменяется
в е раз, равен, очевидно, отношению Sk/l* в уравнении (15.16). Это урав¬
нение является строго верным только для случая ступенчатого изменения
реактивности реактора, близкого к критическому состоянию, без учета
запаздывающих нейтронов. Фактически небольшая часть общего числа
нейтронов (около 0,75 °о) испускается осколками деления спустя некото¬
рые, отличные от обычных промежутки времени после деления [19].
Эти нейтроны, называемые запаздывающими, играют очень важную роль
в регулировании реактора, так как благодаря им изменение реактивности
следует с некоторым запаздыванием за изменением нейтронного уровня
реактора. Учитывая шесть наиболее важных групп запаздывающих ней¬
тронов, можно показать, что устойчивый период реактора связан с реактив¬
ностью реактора и временем жизни нейтронов приближенным уравнением
=	1*	| V
/ceff T^efr ^
г=1
Здесь Pj и — соответственно постоянные концентрации и распада
г'-й группы ядер — излучателей запаздывающих нейтронов. Это уравне¬
ние является строго справедливым также только для моноэнергетических
нейтронов и ступенчатых изменений реактивности реактора.
Хорошо известно, что при работе реактора с достаточно большим
эффективным коэффициентом размножения запаздывающие нейтроны не
участвуют в поддержании цепной реакции. Такой процесс происходит
при ке[f = 1,0075 и называется мгновенно-критическим режимом работы.
При работе реактора следует избегать такого режима; он рассматривается
для того, чтобы показать допустимый предел быстрого изменения уровня
мощности ядерного ракетного реактора. Рассмотрим, например, реактор
с хорошим замедлителем, в котором время жизни нейтронов имеет порядок
10_3 сек. При таком значении времени жизни решение уравнения (15.17)
с учетом шести'групп запаздывающих нейтронов дает мгновенно-критиче¬
ский период, равный примерно 0,68 сек. Это означает, что уровень мощ¬
ности можно повысить в 10 раз за 1,57 сек.
В процессе пуска ракетного реактора, который необходим по усло¬
виям действия ракетного снаряда, нужно свести к минимуму потери рабо¬
чего тела во время прогрева двигателя, работы на холостом ходу и повы¬
шения тяги до полного уровня. При постоянном периоде повышения мощ¬
ности до расчетного значения Рт доля потерь рабочего тела определяет¬
ся соотношением
'-—fa'i*™- w [«»(£)-* 1 •	<,5л8>
о
где Ро есть начальный уровень мощности, tb — продолжительность актив¬
ного участка полета летательного аппарата и Z* — время, за которое мощ-
ТТ	t*	Рг
ность достигнет расчетного уровня. По определению ехр—= так
Т Р о
(15.17)

526
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
что уравнение (15.18) можно записать в виде
пли
ii. ъ X при рп« р,.. I
г I)	j
(5.19)
Если потери во время старта должны быть не больше 1 %, а продол¬
жительность активного участка полета равна 200 сек, то период повышения
мощности при старте должен быть равен 2 сек, что возможно только при
работе реактора с реактивностью в пределах 30% относительно мгновен¬
но-критического значения реактивности. Для сравнения укажем, что
период повышения мощности обычных реакторов больше полученной
величины периода ракетного реактора в 10—100 раз.
В предыдущих разделах обсуждались некоторые проблемы, связан¬
ные с использованием твердых тепловыделяющих элементов для нагрева
газообразного рабочего тела. Чтобы повысить температуру нагреваемого
газа выше точки плавления материала этих тепловыделяющих элементов,
нужно использовать расщепляющееся горючее в жидкой и газообразной
форме. Кроме того, как упоминалось в гл, 7, большой потенциальный
интерес представляют методы непосредственного преобразования энергии
ядерных делений в электрическую энергию.
15.5.1.	Жидкое ядерное горючее. Выбранное жидкое горючее должно
использоваться при максимально высокой температуре; температура его
плавления должна быть ниже точки плавления конструкционных материа¬
лов, чтобы сохранить твердую структуру конструкций, содержащих
горючее. Таким образом, разница между температурами плавления горю¬
чего и конструкционного материала должна быть как можно больше. Кроме
того, жидкий материал тепловыделяющего элемента должен содержать
расщепляющийся материал в очень высокой концентрации, чтобы полу¬
чить большую степень загрузки, требуемую по условиям нейтронного
расчета реактора. Это достигается размещением горючего в виде отдель¬
ных масс, что присуще реакторам с использованием жидкостей. Краткий
обзор литературы [20, 21] по этому вопросу позволяет заключить, что
имеется несколько типов жидких тепловыделяющих элементов. Смеси
карбида урана с карбидами вольфрама или циркония могут работать при
температуре до 8000° R. При такой температуре карбид урана начинает
испаряться из смеси. Карбиды вольфрама плавятся при температурах
от 5000° R до 5500° R; таким образом, горючее иа основе этого материала
может храниться в сосудах из металлического вольфрама или графита,
если не будет происходить чрезмерной коррозии на границе твердой
и жидкой сред. Об этом мало что известно. Карбид циркония, температура
плавления которого равна 6300° R, очень трудно хранить в расплавлен¬
ном состоянии; однако, смешивая карбид циркония с карбидом урана,
можно получить более низкую температуру плавления. Температура
плавления чистого карбида урана UC2 равна 5500° R; следовательно, этот
материал можно использовать в качестве жидкого горючего, если только
достаточный объем горючего, необходимый для теплопередачи, может быть
получен без растворения материала.
Высокая плотность выделения тепловой энергии требует большого
расхода газообразного рабочего тела, проходящего через нагретое жидкое
§ 15.5. Ядерные реакторы специальных типов

§ 15.5]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТИПОВ
527
горючее. Чтобы сохранить массу тепловыделяющего элемента, нужно
предпринять меры для отделения жидкости, содержащейся в газо-жндкой
смеси, от газов, прежде чем последние пройдут через сопло двигателя.
Одним из предлагаемых методов [22] разделения является использование
центробежных сил, возникающих при вращении активной зоны цилин¬
дрической формы. Схема реактора, построенного на таком принципе, пока¬
зана на рис. 15.14. В этом случае можно охлаждать контейнер, содержа¬
щий горючее, и можно изменять радиальный перепад температур в рас¬
плавленном горючем путем изменения радиального потока газообразного
топлива. Если размеры пузырьков газа малы, то температура газа при
стенании с внутренней поверхности тепловыделяющего элемента может
быть очень близка к максимальной температуре тепловыделяющего эле¬
мента. Скорость вращения активной зоны порядка нескольких сотен обо¬
ротов в минуту достаточна, чтобы образовался тонкий (порядка нескольких
Отражателя аеатралав
дюймов) слой жидкого горючего, сохраняющий свою форму при любых
мыслимых ускорениях снаряда, причем при такой скорости не возникает
чрезмерного гидростатического давления на поверхность, ограничиваю¬
щую объем жидкого горючего извне. Ни одно из упомянутых жидких
горючих не является хорошим замедлителем нейтронов; однако условие
критичности может быть выполнено при использовании толстых внешних
отражателей из бериллия, графита или тяжелой воды. Материал рефлек¬
тора можно не вращать вместе с активной зоной. Это повысит устойчивость
зоны горючего.
При таком методе серьезные задачи возникают в период пуска реакто¬
ра, так как в начальный момент горючее представляет собой твердое тело,
если реактор находится при комнатной температуре. Другой проблемой,
требующей тщательного изучения при оценке возможностей реакторов
этого типа, является устойчивость жидкой зоны при больших радиальных
потоках газа и под воздействием волн, образующихся при движении
потока газа вдоль оси цилиндра. Ответ на эти и другие важные вопросы
сегодня еще дать нельзя.
15.5.2.	Газообразное горючее *). Другим путем получения «сверх-
характеристик» ракетного ядерного двигателя является использование
так называемого «полостного» реактора с отражателем-замедлителем
[23]. В таком реакторе большинство делений происходит в веществе,
*) Саг. сноску к § 15.2.4.

528
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
находящемся в газовой фазе; однородная смесь расщепляющегося горю¬
чего и рабочего тела поступает в большой свободный объем, окруженный
оболочкой из замедляющего нейтроны материала, например бериллия,
графита или тяжелой воды. Деления происходят внутри объема, причем
реактор работает преимущественно на тепловых нейтронах, замедленных
и отраженных замедлителем-отражателем. Температура нагрева смеси
ограничивается напряжениями в оболочке активной зоны реактора,
конструкции замедлителя или внешней оболочке реактора. Нагретый газ
истекает через сверхзвуковое сопло, помещенное на одном из концов
реактера	зет ре акт ар а
Рис. 15.15. Схема реактора на газообразном горючем [23, 24].
камеры. С точки зрения нейтронной физики предпочтение может быть
отдано кольцевому соплу, что позволяет минимизировать утечку нейтро¬
нов из активной зоны. На рис. 15.15 показана схема такого устройства,
подобного предложенному в 1949 г. [24].
Чтобы получить высокие значения удельного импульса, рабочая тем¬
пература активной зоны реактора должна быть выше рабочей температу¬
ры, получаемой обычно в камере сгорания химического ракетного дви¬
гателя (см. рис. 15.8). Так как эта температура на несколько сотен граду¬
сов выше точек кипения почти всех материалов, используемых в качестве
рабочих тел, то ясно, что реакторы, работающие так, как описано выше,
можно анализировать как простые газовые системы независимо от того,
были ли сначала рабочее тело и горючее смешаны внутри активной зоны
реактора в жидком или твердом состоянии (аналогично твердотопливным
химическим ракетам) или они впрыскивались в полость активной зоны
реактора (как в обычных жидкостных ракетных двигателях). Было пока¬
зано [25], что при радиальном входе потока рабочего тела в активную зону
реактора в центре ее может быть получена максимальная температура око¬
ло 100 000° R без чрезмерного нагрева стенок активной зоны из-за радиа¬
ционной теплоотдачи нагретого .горючего. Этот вывод справедлив только
при большом объеме горячих газов, распределенных по активной зоне,
хотя увеличенная радиационная передача тепла стенкам активной зоны
благодаря наличию источников радиации, распределенных в рассматри¬
ваемом объеме, вынудит уменьшить рабочую температуру газа. Полный
анализ этой проблемы выходит за рамки данной работы; однако можно
указать, что в таком реакторе достижима температура от 20 000° R до
30 000° R.

§ 15. Г)]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТИПОВ
529
Удельный импульс рабочего тела, нагретого в таком устройстве,
определяется согласно уравнению (15.9). Рабочее давление рс принципи¬
ально должно определяться кинетической, а не потенциальной энергией
газовой смеси. Значение этого давления приближенно определяется из
закона совершенного газа:
- 4г Тс ---- ^ J • СРЙТС,	(15.20)
Slot м	у
где Яи есть универсальная газовая постоянная, равная 1544
Фи
Х ~ф у I i,ni / гъ ЭН ’ Ч — среднее отношение удельных теплоемкостей газа в
процессе расширения газа в сопле и Qtot — объемная плотность газа в
условиях камеры сгорания. Используя уравнение (15.20) совместно с
уравнениями (15.9) и (15.10), можно связать удельный импульс и давле¬
ние в системе соотношением
Ре = /с1у-}] Qlot • 1\р,	(15.21)
<*Y(l+c) Чс
где с есть отношение потенциальной удельной теплоемкости к кинетиче¬
ской удельной теплоемкости cpa/cPq. Вспоминая определение удельного
тяга
импульса как 		—3^т	 11	умножая	числи-
*	секундный	массовый	расход	рабочего	тела	v
тель и знаменатель уравнения (15.21) на длительность времени действия
двигателя,	получаем связь между полным импульсом	(Iloi),	удельным
импульсом, давлением в камере сгорания и полным	расходом	рабочего те¬
ла (WU)l) в виде
Sc (Y 1) Qtot г г	/.I- оо\
Рс = 9- , , -—  /sp*/toi.	(10.22)
^Y (Н-с) tot
Для реактора, в котором атомы горючего отделены от атомов рабочего
тела и удерживаются в активной зоне центробежными силами плп другими
способами, полный объем газовой смеси в условиях активной зоны B^ot/piot
связан с объемом каждой из составляющих газовой смеси соотношением
где индексы р и / относятся к рабочему телу и горючему соответственно,
a S определяется как отношение массы горючего, фактически расходуемого
в системе, к массе горючего, которая расходовалась бы, если бы горючее
не было отделено от рабочего тела. С учетом уравнения (15.23) уравнение
(15.22) принимает форму
л 	 Sc	(у 1) Т Т	(\г	о/л
Рс”2у(1.-Н)ть 8Р t0t	(	}
Единственное требование, накладываемое на уравнение (15.24),
состоит в том, что плотность горючего должна быть достаточной для
выполнения условия критичности реактора. На рис. 15.1(3 приведены
зависимости критической плотности горючего от объема полости реактора,
окруженной бесконечно толстым с точки зрения нейтронных расчетов отра¬
жателем. Кривые взяты из работы Сафонова [23]. Практически для любого
34 Космическая техника

530
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
из трех материалов, указанных на рисунке, толщина отражателя в несколь¬
ко футов оказывается достаточной. Величина плотности горючего
0,1 фунт /фут3 является мыслимым нижним пределом в случае активной
зоны умеренных размеров.
Используя это значение и предполагая, что у = 1,33, це — 0,7,
и измеряя давление в фунт /фут2, получим зависимость между характе¬
ристиками реактора и летательного
аппарата в виде
Pc = i.i0-4SFIM—S-=~.	(15.25а)
Wf(i + c)
Попытка использования реактора
на газообразном горючем для ракетной
силовой установки наталкивается на
принципиальные трудности, которые
можно проиллюстрировать двумя при¬
мерами.
1.	Предположим, что в реакторе
горючее не отделяется от рабочего тела,
т. е. S = 1. Предположим, что нам
нужно получить тягу в 105 фунтов в
течение 200 сек при характеристиках
рабочего тела, сравнимых с характе¬
ристиками современных химических
ракет. Следовательно, с = 0, Itot =
= 2• 107 фунт-сек и 7sp = 300 сек. При
этих условиях М
Wfpc = 2,4-107.	(15.256)
0,01
0,4 0,60,8 7 Z 4	6	8	70
РаОиус полос/пи, футы ■
Рис. 15.16. Критическая плотность го¬
рючего U 235 в «полостных» реакторах
[23] для различных отражателей.
Следовательно, при давлении рс =
= 1000 фунт /дюйм2 потеря горючего со¬
ставит 24 000 фунта, что, несомненно,
далеко от реальности. С другой сто¬
роны, если допустить потери горючего
в 300 фунтов, то давление должно быть 80 000 фунт/дюйм2, что также
нереально.
2.	Подходя к вопросу с другой точки зрения, предположим, что допу¬
стимая (потеря горючего составляет 300 фунтов, а удельный импульс
равен 3000 сек. При этих условиях температура газа должна быть от
20 000° В7до 30 000° R, если в качестве рабочего тела используется водо¬
род; следовательно, с » 1, и уравнение связи характеристик реактора
и летательного аппарата приобретает следующий вид:
Рс
= 4-105 S.
(15.25в)
При рс = 1000 фунт /дюйм2 S должно быть равно 2,5-10'3; это означает,
что один атом горючего должен приходиться на четыреста атомов газооб¬
разного рабочего тела при нормальных условиях истечения. Таким обра¬
зом, оказывается, что для использования в ракетных силовых установках
практически пригодными реакторами на газообразном горючем являются
только те реакторы, в которых может быть достигнута величина коэффи¬
циента разделения порядка 2-10"3. Хотя сегодня еще не ясно, как это

§ 15.5]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТИПОВ
531
может быть сделано, громадные величины удельного импульса и отно¬
шения тяги к весу, которые можно потенциально обеспечить при помощи
ядерных ракетных силовых установок, побуждают разрабатывать удовлет¬
ворительные методы разделения горючего и рабочего тела в газовой фазе.
15.5.3.	Получение электрической энергии. Существует много различ¬
ных способов применения электрической энергии для получения высоких
значений удельного импульса. Главными среди этих методов являются
использование ионных ускорителей, электромагнитных ударных труб
и плазменных двигателей [26]. Все они требуют получения электрической
энергии на борту ракетного летательного аппарата. Для привода электри¬
ческого генератора можно использовать обычныйтепловойдвигатель, полу¬
чающий энергию от ядерного реактора, однако применение таких систем
сильно ограничено их высоким удельным весом *). Оказывается, что
минимальный удельный вес системы, достижимый при помощи обычного
оборудования, работающего на пределе своих возможностей, равен при¬
близительно 1000 фунтов на один мегаватт выходной электрической мощно¬
сти. Высокие характеристики, получаемые при использовании таких
систем, имеют ценность только при космических полетах с малыми ускоре¬
ниями в свободном от полей пространстве (см. гл. 7) [27].
Эту картину можно было бы изменить, исключив из двигательных уста¬
новок вращающиеся машины (турбины, компрессоры и генераторы),
необходимые для преобразования энергии; это позволило бы существенно
изменить значения полного удельного веса установки. Хорошо известно,
что прямое преобразование ядерной энергии в электрическую является
одной из целей современных исследовательских программ в области термо¬
ядерных реакций как в США, так и за границей [28, 29]. Не настолько
общеизвестно то, что потенциально это может быть сделано при использо¬
вании процессов деления.
В недавней работе Р. Аамота (R. Aamodt) и С. Колгейта (S. Col¬
gate) [30], касающейся прямого получения электрической энергии, выдви¬
нут принцип, который можно использовать в ядерных силовых уста¬
новках. Согласно предложению этих авторов электрическая энергия долж¬
на генерироваться в токонесущих катушках, намотанных вокруг большой
ударной трубы, при взаимодействии магнитного поля, образованного
током, с ионизированными газами ударных волн, движущихся в трубе туда
и обратно. На рис. 15.17 показана схема такого устройства. Концы трубы
окружены толстыми отражателями нейтронов, а сама труба наполнена
газом, содержащим уран (например, UF6); плотность газа такова, что
ни в одном из концов трубы при равномерном давлении газа не выполняется
условие критичности. Однако если заставить газ двигаться в форме удар¬
ной волны по направлению к одному из концов трубы, то в этом конце про¬
изойдет сжатие газа; условие критичности будет достигнуто, начнет выде¬
ляться энергия деления и ударная волна пойдет назад, к другому концу
трубы, где процесс повторится. Для достаточной ионизации газа в трубе
необходима максимальная температура порядка 6000—6500° R. Энергия,
теряемая фронтом ионизированной движущейся ударной волны газа,
противодействует «давлению» (рЯ2/8л) внешнего магнитного поля, пода¬
вая таким образом электрическую энергию прямо во внешнюю цепь.
Энергия также теряется за счет конвективной и радиоактивной теплоот¬
дачи стенкам, а также за счет теплового излучения. Это тепло должно
*) Под удельным весом здесь понимается величина веса двигателя, приходя¬
щаяся на единицу его выходной мощности. {Прим. перев.)
34*

532
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
быть отведено от двигателя; его можно либо использовать для предвари¬
тельного подогрева рабочего тела, либо отвести в пространство при помо¬
щи радиационных поверхностей. Предполагалось, что ударная труба,
используемая для такого устройства, должна иметь около 30 футов в диа¬
метре и свыше 100 футов в длину. Ясно, что предлагаемая схема не очень
удобна для использования на борту космического летательного аппарата.
/f внешней
злехтрш/еехой
нагрузке
Токонесущая обмотка
Рис. 15.17. Схема прямого преобразования энергии ядерпого
деления в электрическую, предложенная Аамотом и Кол гей¬
том [30].
Тем не менее основная идея — отсутствие тепловых машин — кажется
вполне здравой, хотя еще многое предстоит сделать, чтобы получить кон¬
струкции минимальных размеров и веса, которые обладали бы высоким
коэффициентом преобразования энергии.
§ 15.6. Другие источники ядерной энергии
В предыдущих параграфах были рассмотрены различные возможные
аспекты применения энергии ядерного деления. Однако в большинстве
случаев непосредственного применения процесс расщепления является
не единственным ядерным процессом, при котором могут быть получены
частицы высоких энергий. Большой потенциальный интерес представляет
также применение для ракетных силовых установок энергии, выделяемой
в процессе синтеза элементов или радиоактивного распада.
15.6.1.	Энергия реакций синтеза. Самым интересным и, несомненно,
наиболее умозрительным является вопрос о применении энергии синтеза
в ракетных силовых установках. Реакции синтеза могут происходить
в газообразном дейтерии, если может быть достигнута объемная темпе¬
ратура газа порядка 10s °R. При таких реакциях выделяются разнооб¬
разные частицы с малой массой (Т, Не3, Не4, р и п) и энергиями порядка
нескольких миллионов электронвольт. Если бы продукты этих реакций
синтеза удалось вывести с большой скоростью из ракетного летательного
аппарата, то эффективный удельный импульс достиг бы величины
3*10° сек, что в 104 раз превосходит достижимые сегодня значения удель¬
ных импульсов химических ракетных топлив. Однако так как сами про¬
дукты реакции не могут быть практически собраны в пучок для движе¬
ния в определенном направлении, то более вероятным представляется

§ 15.G]
ДРУГИЕ ИСТОЧНИКИ ЯДЕРНОЙ. ЭНЕРГИИ
533
другой путь. Можно было бы большие массы нереагирующего газа нагреть
до очень высоких температур при столкновении молекул газа с частицами
высоких энергий, образующихся в результате реакции синтеза. При этом
можно получить высокие значения удельного импульса, даже если будет
«сожжена» лишь небольшая часть горючего. Например, в газовой смеси,
в которой иа каждые 104 ядер атомов дейтерия приходится только одна
реакция синтеза D -|- D, можно достичь температуры до 7-10° °R (пре¬
небрегая всеми потерями) и получить при помощи нагретого до такой
температуры газа удельный импульс порядка 3-104 сек. При таком зна¬
чении удельного импульса 100-тонный космический корабль мог бы
стартовать с Земли, совершить посадку на Луну и вернуться обратно,
затратив при этом только 5 тонн топлива и развивая все время тягу.
Конечно, газы при температурах порядка 10° °R или 10s °R, как это
требуется при реакциях синтеза, нельзя хранить, по крайней мере при
сегодняшнем состоянии техники, в сосудах с твердыми стенками, даже
при использовании прогрессивных методов охлаждения жидкостями.
Однако в силу того, что при таких температурах газы полностью ионизи¬
рованы, теоретически возможно хранить их при помощи соответствую¬
щим образом подобранных магнитных полей. Этот метод исследуется при
разработке термоядерных источников энергии [28, 29].
Очевидно, что при использовании термоядерных реакций синтеза
можно получить температуры рабочего тела значительно выше, чем тем¬
пературы, получаемые при любом другом мыслимом сегодня способе,
если только такими реакциями можно управлять. Равным образом оче¬
видно, что делать какие-либо предположения о возможных характери¬
стиках (весе, размерах, конструкции и т. д.) термоядерных ракетных сило¬
вых установок бесполезно, пока управляемая реакция синтеза не станет
свершившимся фактом.
15.6.2.	Энергия радиоактивного распада *). Многие радиоактивные
изотопы найдены в природе, другие возникают при делении ядер урана,
а еще большее количество можно получить при помощи нейтронного облу¬
чения стабильных элементов, помещенных в ядерный реактор.
Первая трудность, возникающая при изучении возможностей примене¬
ния изотопов — продуктов деления, состоит в том, что они всегда образуют¬
ся как часть большой группы перемешанных продуктов деления. Поэтому
необходимы процессы химического разделения, чтобы выделить какой-либо
один нужный продукт из смеси. С другой стороны, при производстве радио¬
изотопа путем облучения стабильного элемента желательный изотоп
получается в смеси с материнскими ядрами. При этом можно обойтись
без химического разделения, однако необходимо использовать реакторы,
специально спроектированные для целей облучения. Некоторые харак¬
теристики потенциально пригодных изотопов приведены в табл. 15.4.
Распад радиоактивного изотопа обычно сопровождается выделением
довольно большого количества энергии, которую несут а-частпцы,
[1-частицы и у-фотоны. Фотоны большой энергии являются сильно про¬
никающими частицами и поэтому должны пройти через большую массу
материала, чтобы потерять свою энергию, а- и (3-частнцы имеют массу
покоя, заряжены и быстро теряют свою энергию благодаря процессам иони¬
зации, возникающим при их прохождении через вещество. Вследствие
этого у-нзлучателп не в такой мере пригодны в качестве радиоизото¬
пов — источников тепла, как а- и р-пзлучатели. Энергия распада потеп-
■) См. сноску к 15.2.4.

534	ВОЗМОЖНОСТИ	ЯДЕРНЫХ	РАКЕТНЫХ	ДВИГАТЕЛЕЙ	[ГЛ.	15
Таблица 15.4
Характеристики радиоизотопов — источников тепла
Искусственные радиоизотопы *)
Химически выделенные продукты деления **)
Мате¬
ринское
Дочер¬
нее
Тепловая мощность,
получаемая в начале
использования
Продукт деле¬
Скорость
накопле¬
ния,
фунт/i. 0'^Х
X Мет-лет
Тепловая мощность.
получаемая в на¬
чале использования
ядро
ядро
квт/фуит
кет/ 103Х
ХМвт ■ лет
ния
квт/фуит
квт/[ 03 х
XМвт- лет
Тт169
Cs133
Т1203
Тш170
Cs*3*
Т1204
10
6,9
0,17
1400
550
140
Смесь
Sr90 — Y90
Ru106 — Rh106
Csi3? — Ba*37
Cel44_pr144
880
25
40
93
84
0,58
0,32
4,2
0,15
2,4
510
8
19
14
200
*) Вес материала включает в себя вес материнского изотопа и вес искусственно
полученных дочерних изотопов. Радиоизотопы создаются в больших реакторах на тепловых
нейтронах путем облучения в течение двух периодов полураспада. Началом использования
считается конец периода облучения в реакторах.
’**) Вес материала включает в себя вес всех химически подобных изотопов. Продукты
деления производятся в больших реакторах на тепловых нейтронах с периодом загрузки
ядерного горючего в 180 суток. Началом использования считается время спустя 90 суток
после удаления осколков деления из реактора.
циально пригодных (3-излучателей составляет в среднем около 1 Мэе,
в то время как а-излучатели дают выход около 4 Мэе в каждом акте рас¬
пада. Предположим, что в качестве радиоактивных изотопов используют¬
ся изотопы—продукты деления. В каждом акте деления образуется два
радиоизотопа и приблизительно один избыточный нейтрон. Если избыточ¬
ный нейтрон используется для того, чтобы получить из устойчивого
материнского элемента а-излучатель, дающий выход 4 Мэе на распад
(например, при облучении висмут переходит в a-активный полоний),
и если образуются два (3-излучателя, выделяющие энергию по 1 Мэе иа
распад каждый, то это значит, что в каждом акте деления можно получить
энергию около 6 Мэе. Так как начальная кинетическая энергия двух
осколков деления составляет около 160 Мэе, то только около 4% общей
энергии процесса деления можно использовать в виде энергии радиоак¬
тивного распада. Практические соображения в большинстве случаев сни¬
жают эту величину до 0,5% и менее.
Использование радиоизотопов в качестве источников тепла затруд¬
нено тем, что невозможно контролировать скорость выделения энергии;
таким образом, необходимо предусматривать вспомогательную систему
охлаждения с целью предотвращения разрушения (плавления или испа¬
рения) источника тепла в то время, когда он не используется. Другой
недостаток связан с ограниченными возможностями производства радио¬
изотопов [31]. При таком высоком значении коэффициента полезного
действия преобразования, как 1%, потребовался бы реактор с установ¬
ленной мощностью 106 Мет, чтобы получить источники тепла для двигате¬
лей большого ракетного летательного аппарата, действующих в течение
месяца. Такая мощность на порядок выше мощности всех силовых устано¬
вок США, действующих в настоящее время. Основной недостаток рас¬
сматриваемого метода состоит в том, что удельная выходная мощность
почти любого из пригодных к использованию радиоактивных изотопов
очень низка с точки зрения стандартных характеристик ракетного дви¬

§ 15.7]	СТАТИЧЕСКИЕ	ИСПЫТАНИЯ	ЯДЕРНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ	535
гателя. Выше было показано, что для снарядов, стартующих с Земли
и снабженных ядерными ракетными двигателями, необходимы ядерные
реакторы, удельная мощность которых составляет около 0,5 Мет/фунт.
По сравнению с этим лучший из изотопов, перечисленных в табл. 15.4,
Тт170, позволяет пол учить только 0,01 Мет /фунт в начале своего исполь¬
зования. Таким образом, использование радиоизотопов как источников
тепла для ракетных силовых установок не представляется привлекатель¬
ным, хотя такие изотопы вполне могут служить в качестве источников энер¬
гии длительного действия для малых необитаемых спутников или других
космических кораблей.
Остается возможность непосредственного использования импульса
частиц, образующихся при распаде [32]. К сожалению, эти частицы
испускаются изотропно, в результате чего по крайней мере половина пол¬
ной энергии радиоактивного распада должна будет поглощаться внутри
летательного аппарата, если сделать предположение о выходе половины
энергии в сторону, противоположную движению ракеты. Последнее пред¬
положение подразумевает нанесение тонкого слоя радиоизотопа на пло¬
ский торец задней части движущегося летательного аппарата. Для такого
устройства показано [33], что на каждый фунт тяги, созданной при исполь¬
зовании a-излучения, около 100 Мет мощности должны рассеиваться
внутри летательного аппарата. Для (3-излучателей рассеяние тепла долж¬
но составлять почти 3500 Мет /фунт тяги. Ясно, что такая схема непрак¬
тична.
В общем, радиоизотопы практически непригодны для использова¬
ния в ракетных силовых установках.
§ 15.7. Статические испытания ядерных ракетных двигателей
Главная особенность, характерная для статических испытаний ядер-
ного ракетного двигателя по сравнению с химическим, заключается
в наличии ядерных излучений, которые являются результатом процессов
деления.
15.7.1.	Радиационная опасность. Уровни рабочей мощности типич¬
ных ракетных реакторов (см. рис. 15.9) так высоки, что дозы излучения
вблизи работающего реактора будут, очевидно, значительно выше биоло¬
гически допустимых величин. Поэтому испытательное оборудование
и сами испытания должны быть рассчитаны так, чтобы защитить персонал
от радиации. Одним из методов является уменьшение радиации путем
поглощения энергии излучения специально подобранными материалами,
елoii которых окружает реактор или пространство, занимаемое персона¬
лом, участвующим в испытаниях. К сожалению, полное экранирование
ядерного реактора фактически невозможно, так как при любой экрани¬
ровке должно оставаться незащищенным большое отверстие, необходимое
для выхода истекающих газов в атмосферу. С другой стороны, возможно
экранировать блокгаузы управления и другие конструкции, так что рабо¬
тающий реактор может находиться на небольшом расстоянии от испыта¬
тельных стендов. Этот метод требует большого и сложного экранирова¬
ния и является принципиально ненадежным, так как всегда существует
возможность разрушения реактора. Если не построены длинные защищен¬
ные выводные туннели, то персонал в случае аварии реактора может ока¬
заться запертым в замкнутых защищенных камерах вследствие распро¬
странения радиоактивности вокруг испытательной площадки. Незащи¬
щенные пункты управления можно использовать только в том случае,

536
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
если они помещены достаточно далеко от испытательной площадки;
в этом случае мощности доз излучения уменьшаются до допустимых зна¬
чений вследствие поглощения у-фотонов воздухом и в результате того,
что эта мощность уменьшается обратно пропорционально квадрату рас¬
стояния. Из сказанного ясно, что изучение изменения мощности дозы
излучения с расстоянием от работающего реактора представляет большой
интерес.
Поглощение у-излучения ракетного двигателя происходит, грубо
говоря, по экспоненциальному закону (см. раздел 15.3.2). Принимая это
во внимание, можно для мощности дозы у-из л учения получить уравнение,
подобное уравнению (15.15), но с учетом ослабления изучения обратно
пропорционально квадрату расстояния. Коэффициенты этого уравнения
можно получить, зная стандартные коэффициенты перехода от потока
у-излучения к мощности дозы и поглощающие свойства воздуха. Мощ¬
ность дозы в воздухе на уровне моря на любом расстоянии от работаю¬
щего реактора и при отсутствии защиты может быть найдена из урав¬
нения
3+ • 107	(1+1,7• 10~+) ехр ( — 1,7• КГ3 г) фэр/Мвт-ч, илирд/Мвт• ч,
/ Т	г-
(15.26)
где г — расстояние от реактора в футах.
Используемая здесь единица измерения поглощенной дозы рад (рд)
определяется как поглощенная доза любого ядерного излучения, которая
сопровождается высвобождением 100 эрг энергии на 1 г поглощающего
материала. При оценке биологического поражения эта единица почти
равна одному фэру (физический эквивалент рентгена), который определяет¬
ся подобным образом, но используется только при оценке поглощения
излучения мягкими тканями.
При столкновении с атомами воздуха в атмосфере быстрые нейтроны
превращаются в тепловые и поглощаются. Этот эффект можно оценить
так же, как и поглощение энергии у-лучей, предполагая, что при таком
процессе не происходит образования быстрых нейтронов. Мощность дозы
облучения быстрыми нейтронами, образующимися при работе реактора
на умеренно замедленных нейтронах, на уровне моря и при отсутствии
защиты оценивается приближенно по формуле
-- 2,4* 108 —y е~д‘ 10~4г фэр!Мвт-ч, или рд/Мвт-ч. (15.27)
рг	/—
Тепловые нейтроны во время их распространения от реактора-источ¬
ника испытывают множество столкновений с атомами воздуха. Поэтому
движение тепловых нейтронов является в основном диффузионным про¬
цессом, а не распространением по прямой линии, как в случае быстрых,
нейтронов и у-фотопов; в результате этого в закон ослабления излучения
тепловых нейтронов с расстоянием более правильно вводить г+ а не г+
как в уравнениях (15.26) и (15.27). Мощность дозы облучения тепловыми
нейтронами, образующимся при работе реактора иа умеренно замедленных
нейтронах, на уровне моря и при отсутствии защиты приближенно оце¬
нивается по формуле
Dnpi — 2,1. IО3 — ехр (— 4,8 • Ю-3/1) фэрIM-вт • ч, или рд/'Мвт • ч (15.28).
т ,■	/■
для расстояний г, больших чем 100 фут.

§ 15.7]
СТАТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ЯДЕРНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
537
Эти три уравнения графически представлены на рис. 15.18, причем
максимальное удаление от источника излучения равно 4 милям.
Рекомендации по максимально допустимым уровням радиационного
облучения были установлены Международной комиссией по радиологи¬
ческой защите (International Commission on Radiological Protection).
Эти допустимые уровни равны 0,3; 0,1 и 0,03 фор в неделю или рд
в неделю при облучении у-излучением, тепловыми нейтронами и быст¬
рыми нейтронами соответственно. Можно использовать эти величины
и кривые, показанные на рис. 15.18, для того, чтобы определить мини¬
мально необходимое расстояние персонала от реактора при любой задан¬
ной программе испытаний реактора. Из рассмотрения относительного
положения кривых и сравнения
вел ичин допустимых доз радиации
ясно, что при отсутствии защиты
главную опасность представляют
быстрые нейтроны. Например,
если во время испытаний реак¬
тор мощностью 5000 Мет рабо¬
тает на полную мощность в тече¬
ние 250 сек один раз в неделю, то
минимально допустимое расстоя¬
ние для незащищенного персо¬
нала равно приблизительно
2,2 мили. Можно достичь умень¬
шения дозы облучения быстрыми
нейтронами в 100 раз, поместив
слой борированной легкой воды
толщиной 2 фута вокруг зоны,
которая нуждается в защите.
В этом случае у-излучение ука¬
занной дозы по важности биоло¬
гических последствий почти равно
облученню быстрыми нейтронами,
так как вода не является доста¬
точно хорошим поглотителем у-фо-
тонов. Однако требуемое мини¬
мальное расстояние уменьшится до 1,4 мили. Для уменьшения мощ¬
ности дозы облучения у-фотонами в 100 раз потребуется бетонный защит
нын слой толщиной около фута; эта величина грубо эквивалентна
слою воды в один фут, который уменьшает мощность излучения быстрых
нейтронов в 10 раз. Чтобы находиться на расстоянии меньше чем
1000 футов от реактора мощностью 5000 Мет, нужно уменьшить прибли¬
зительно в 106 раз мощность у-нзлучения и в 2-106 раз мощность излу¬
чения быстрых нейтронов (тепловые нейтроны будут поглощаться слоем
защиты от быстрых нейтронов). Для этого при минимальной защите тре¬
буется около 4,1 фута воды и 2,2 фута бетона. Ясно, что большие рас¬
стояния между различными элементами оборудования всегда будут
характерны для испытаний ядерных ракетных двигателей.
Проблема радиации после остановки реактора настолько же сущест¬
венна, как п во время его работы. Распад радиоактивных продуктов
деления происходит со скоростью, определяемой в любой данный момент
значением среднего периода полураспада изотопов, остающихся в реак¬
торе, и пропорциональной мгновенной плотности активных продуктов
Расстояние г, футе/
Рис. 15.18. Зависимость мощности дозы излуче¬
ния от расстояния во время работы реактора.

538
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
деления. Так как средний период полураспада смеси продуктов деле¬
ния изменяется относительно медленно, то уровень радиации со вре¬
менем уменьшается приблизительно по экспоненциальному закону. Энер¬
гия распада равнораспределена между (3- и у-излучением и может состав¬
лять 6% от уровня рабочей мощности реактора в момент выключения.
При активности, близкой к насыщению, отношение мощности распада
Pd к рабочей мощности реактора Рг дается при t0 > 1 соотношением
£- = 0,057 [i-o>2_(fo+g-o,2]j	(15.29)
ГТ
где 10 есть время после остановки реактора (все промежутки времени
измеряются в секундах). Это соотношение графически представлено
на рис. 15.19 для трех значений времени действия реактора. За¬
метим, что выделение тепла в
результате радиоактивного ра¬
спада остается сравнительно
большим в течение сотен секунд
после остановки реактора. Это
тепло нужно отвести, если
реактор должен быть спасен
или сохранен для проведения
последующих испытаний. Это
требует установки и использо¬
вания специальных охлаждаю¬
щих систем, которые могли
бы точно работать в течение
длительного периода времени
без изменения свойств реак¬
тора.
Эта остаточная активность
максимально усложняет вопрос
опологическон радиационной защиты. Например, каждый кубичес¬
кий дюйм активной зоны реактора, работавшего 200 сек при мощности
100 Мети/фут3, в течение четырех дней после выключения реактора эквива¬
лентен источнику излучения от пяти до десяти кюри. Очевидно, что уда¬
ление «зажженного» реактора с испытательного стенда и другое его обслу¬
живание, а также хранение или возможные перемещения реактора должны
выполняться дистанционно, обычно с использованием специально скон¬
струированного надежно защищенного оборудования.
15.7.2.	Измерительная аппаратура. Главные трудности использова¬
ния измерительной аппаратуры при статических испытаниях реактора
обусловлены, очевидно, высокими температурами и уровнями потока
радиации, существующими в работающих ракетных реакторах. Многие
приборы и детали оборудования, используемые обычно при испытаниях
химических ракет, оказываются непригодными для применения в ядер¬
ных ракетах. Например, утечка у-излучения вызывает ионизацию любого
газа в окрестности реактора, что отменяет использование электрических
устройств, работающих на принципе изменения емкости. Нейтронное и
у-излучение вблизи реактора увеличивают полные местные дозы облуче¬
ния значительно выше пороговых безопасных значений для всех пласти¬
ков, масел и резин, вызывая разрушение изоляторов, закупорку линий
подачи масла под давлением, датчиков тяги и т. д. Уровень выделения
тепла в металлических конструкциях вокруг реактора вследствие нагрева
Время после оеталов/ш реашора ta> сел
Рис. 15.19. Выделение тепла вследствие радиоактив¬
ного распада после остановки реактора.

СТАТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ЯДЕРНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
539
у-излучением настолько высок (несколько Мет/фут3), что потребуется спе¬
циальное охлаждение измерительной аппаратуры, а некоторые тепловые
измерения могут оказаться совершенно бесполезными. Ионизация и элек¬
тронная эмиссия в изолированных электронных приборах, вызываемые
взаимодействием нейтронов и у-фотоиов, требуют создания специальной
защиты. Измерения тяги, скоростей потока, давлений и температур кон¬
струкции могут быть выполнены достаточно точно только в том случае,
если датчики тщательно подобраны так, чтобы минимизировать влияние
радиации. Температура газа может быть измерена при использовании
замкнутого натриевого контура или при помощи относительно простых
зондов. Значительно сложнее измерение температуры активной зоны реак¬
тора, что особенно важно при управлении реактором, основанном на регу¬
лировании максимальной температуры. В настоящее время не существует
хороших термопар, пригодных для использования в зоне деления при тем¬
пературах свыше 5000° R, поэтому упор должен быть сделан на радиа¬
ционные пирометры. К сожалению, последние подвержены воздействию
у-нагрева и поэтому либо должны быть удалены от реактора, что значи¬
тельно сужает поле зрения, либо должны быть окружены тяжелой защи¬
той. Даже при наилучшей измерительной аппаратуре большое внимание
должно уделяться послеиспытательному обследованию структуры реак¬
тора. Измерение распределения продуктов деления в тепловыделяющих
элементах после испытания реактора дает информацию о распределении
делений во время испытания, а при визуальном осмотре обнаруживаются
деформации конструкции реактора под воздействием нагрузок, или кор¬
розии конструкции газообразным рабочим телом.
15.7.3.	Испытательные устройства. Радиационная безопасность
является главным принципом при выборе и планировке участка для испы¬
таний. Изучение опасностей, принципиально присущих испытаниям
ракетных ядерных реакторов, и обеспечение надлежащих мер безопасности
существенно повлияли на выбор Комиссией по атомной энергии США
(Atomic Energy Commission) площади под испытательный полигон для
разработки ядерных ракетных двигателей в Неваде *).
Комплекс оборудования испытательного полигона состоит из трех
основных функциональных частей: испытательный стенд или ряд стен¬
дов, управляющий центр и дистанционно управляемые устройства для
разборки и контроля. Эти составные части должны быть удалены друг от
друга на большие расстояния вследствие радиационной опасности, должны
быть предусмотрены дистанционно управляемые транспортные средства
для перемещения «горячего» реактора с испытательного стенда к другим
участкам полигона. Планировка типичного испытательного стенда показа¬
на на рис. 15.20. Может также понадобиться вспомогательное оборудова¬
ние, например здание для сборки, хранения и текущего ремонта, мастер¬
ские, иногда административные здания и устройства для удаления горячих
остатков.
Испытательные стенды должны быть сконструированы из материа¬
лов, слабо активизирующихся нейтронным облучением и имеющих корот¬
кий период полураспада радиоактивных продуктов, что необходимо
для уменьшения промежутка времени «остывания» стенда после испыта-
*) Провосход кос описание оборудования испытательного полигона в Неваде
(Nevada Test Site) дано Шрайбером (R. F. Schreiber) в статье «Лос-Аламосскнн
проект Ровер», Nucleonics, июль 1958, и в «American Rocket Society Preprint
689-98», представленном па 13-м ежегодном съезде ARS в ноябре 1958 г. в Ныо-
Морке.

540
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. f 5
пия реактора. Для удаления тепла, образующегося под воздействием
у-излучения во время работы реактора, должно быть предусмотрено
достаточно хорошее охлаждение всех конструктивных элементов. Обору¬
дование для нагнетания рабочего тела и баки должны быть помещены
настолько близко к испытательному стенду, насколько это возможно,
исходя из максимально допустимой активации в каждом отдельном слу¬
чае испытаний. Для некоторых частей нагнетательной установки может
понадобиться защита. Управляющий центр должен быть наиболее выдви¬
нутым вперед обитаемым пунктом в течение испытательной работы реак¬
тора; в нем должно размещаться основное регистрирующее оборудование,
Рис. 15.20. Типичное оборудование испытательного участка.
а также оборудование, необходимое для управляемой работы ядериого
двигателя, системы подачи рабочего тела и системы охлаждения после
остановки реактора. Размещение устройств разборки и инспекции внутри
общей испытательной площадки диктуется нежелательностью транспор¬
тировки источников радиации порядка мегакюри (действующие реакторы)
на большие расстояния. Эти устройства должны быть обеспечены оборудо¬
ванием, необходимым для послеиспытательного исследования различ¬
ных частей реактора. Чтобы обеспечить радиационную безопасность в те¬
чение длительного периода работы «зажженного» реактора, .может ока¬
заться необходимой бетонная стена толщиной 5 футов.
§ 15.8. Летные испытания
При взлете ракеты с ядерным двигателем полная доза радиации
в любой данной точке пусковой площадки будет меньше, чем доза радиа¬
ции во время длительных статических испытаний реактора равной мощ¬
ности. Поэтому аварийная защита, защита испытательного оборудова¬

§ 15.8]
ЛЕТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
541
ния и расстояния между объектами, достаточные с точки зрения безопасно¬
сти при статических испытаниях, будут достаточны и при летных испыта¬
ниях. Как и при летных испытаниях химических ракет, информация о дей¬
ствии механизмов ракеты в полете должна передаваться в управляющий
центр средствами телеметрии, а не по проводам, как это можно сделать при
статических испытаниях.
15.8.1.	Телеметрическая передача данных. Телеметрическая пере¬
дача данных со снарядов, снабженных ядерными силовыми установками,
усложняется наведенной ионизацией воздуха вокруг реакторного конца
снаряда при движении его в атмосфере. Эта ионизация обусловлена столк¬
новениями быстрых нейтронов с ядрами атомов воздуха (ударная иони¬
зация), последующими столкновениями атомов, образованием вторичных
электронов при комптоновском рассеянии у-фотонов, образованием пар
электрон -р позитрон при поглощении фотона в электрическом поле ядра,
атома или электрона, а также фотоэлектронами, образующимися в процессе
атомного поглощения фотонов [34]. Орбитальные переходы электронов
при ион-электронной рекомбинации дают излучения, частоты которых
лежат в очень широких пределах; однако в плотной атмосфере, т. е.
при высотах меньше 30 миль, все возможные частоты достаточно высоки
(свыше 108 Мгц) и находятся в области видимого света. Более длинновол¬
новое излучение будет возникать при возбуждении вращательных степе¬
ней свободы молекул; для воздуха частоты такого излучения лежат выше
40 ООО Мгц. Излучение такого рода не будет являться помехой при теле¬
метрической передаче данных, так как при такой передаче используются
относительно низкие несущие частоты (от 100 до 3000 Мгц). Более серьез¬
ной проблемой является увеличение проводимости воздуха при увеличе¬
нии плотности свободных электронов, так как достаточно хорошо проводя¬
щий воздух становится плохой средой /для распространения электро¬
магнитных волн любой частоты [35]. Уровень электронной и ионной плот¬
ности определяется динамическим равновесием скоростей перечисленных
выше процессов и скорости процесса рекомбинации. При незначительной
парциальной ионизации скорость рекомбинации зависит от ионной и элек¬
тронной плотности и коэффициента рекомбинации, а следовательно, от
плотности воздуха или высоты полета снаряда.
Сложность взаимных связей механизмов ионизации делает общий
анализ очень трудным. Однако в основном скорость образования элек¬
тронов и ионов в атмосфере определяется плотностью столкновений
нейтронов и поглощения у-излучения. Как можно видеть из уравне¬
ний (15.26) и (15.27), эти величины зависят от величины утечки нейтронов
и у-излучения из реактора и коэффициентов взаимодействия и поглоще¬
ния воздуха. Важным фактором является также окончательное распре¬
деление энергии между процессами атомной и молекулярной ионизации
и молекулярной диссоциации. Очень грубая оценка основных эффектов
показывает, что равновесная плотность ионов в воздухе на уровне моря
и на расстоянии 40 футов от незащищенного реактора мощностью 5000 Мет
может составлять от 108 до 1010 частиц/см* [5, 34]. Такой уровень иони¬
зации будет вызывать значительное затухание сигналов при частотах
ниже нескольких сотен мегагерц, однако не будет значительно влиять на
передачу сигналов на частотах выше нескольких тысяч мегагерц [35].
Ионизация воздуха уменьшается с увеличением расстояния от реактора;
таким образом, электронное оборудование для связи (включая антенны) дол¬
жно быть размещено достаточно далеко от реактора, чтобы обеспечить наи¬
более широкий диапазон частот, используемых для микроволновой связи.

542
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
В условиях полета отвод тепла радиоактивного распада продуктов
деления после остановки реактора является трудным делом. Так как
фактически невозможно спасти силовую установку снаряда дальнего дей¬
ствия после полета, то нет насущной необходимости предохранять реактор
от разрушения теплом, выделяющимся при радиоактивном распаде. Пол¬
ная энергия^, выделяющаяся за любой данный отрезок времени после
остановки реактора, определяется интегрированием уравнения (15.29),
что дает
Ed = 0,071 Pr [^>8 + ty	- (t0 + *b)0’8] Mem. сея.	(15.30)
На рис. 15.21	показано	повышение со временем температуры неохлаж-
даемой активной	зоны	реактора	с	удельной мощностью 200 Мет /фут?
после работы в течение 200 сек
при данных значениях объем¬
ной удельной теплоемкости ма¬
териала реактора. Объемная
удельная теплоемкость боль¬
шинства твердых материалов
составляет приблизительно
60 Бте/(фут3-°1{). Кривые, по¬
казанные для более низких зна¬
чений удельной теплоемкости,
соответствуют активным зонам,
включающим в себя полости,
объем которых составляет при¬
близительно х/3 и 2/3 объема
активной зоны. Такая кон¬
струкция позволяет осущест¬
вить протекание газового по¬
тока через реактор. Из приве¬
денного рисунка ясно, что при
отсутствии охлаждения разру¬
шение реактора произойдет
меньше, чем за 30 сек	после	его	остановки. Так как высота полета типич¬
ного снаряда дальнего действия в момент окончания активного участка
равна приблизительно 100 миль, то при испарении ракетного реактора
во время полета не произойдет увеличения радиационной опасности.
Однако для сохранения летательного аппарата может оказаться необхо¬
димым произвести отделение реактора как можно быстрее после его
остановки.
Радиация передней части реактора во время его работы поглощается
деталями конструкции летательного аппарата (насосы, турбины, трубо¬
проводы и т. д.), размещенными между реактором и баками с рабочим
телом, и самим рабочим телом. Поглощение радиации рабочим телом обес¬
печивает почти полную теневую защиту носовой зоны летательного аппа¬
рата, но приводит к нагреву и возможному испарению некоторого коли¬
чества рабочего тела. Иногда может понадобиться плотная вспомога¬
тельная защита баков, чтобы уменьшить нагрев рабочего тела, особенно
при наличии таких легко испаряющихся веществ, как Н2 и С3Н8. Для
охлаждения материала любой такой защиты, а также наружной оболочки
снаряда и других у-поглощающих конструкций вблизи реактора должна
быть предусмотрена специальная система. Чтобы уменьшить чрезмерный
вес снаряда, рабочее тело на стороне высокого давления питательного
/	2	4	6	в	10	2	4	6	д702
Время после остаяоеяи реа/гтора t0t се/г
Рис. 15.21. Выделение тепла в результате ра¬
диоактивного распада в реакторе во время полета.

§ 15.9]
ВЫВОДЫ
турбонасоса можно использовать как поглотитель энергии излучения,
однако это требует специальных трубопроводов, вес которых входит
в «мертвый» вес летательного аппарата.
15.8.2.	Защита от излучения. Грубые оценки полной дозы облучения
носовой части летательного аппарата во время полета на активном участ¬
ке могут быть сделаны в результате интегрирования уравнений (15.26)
и (15.27), описывающих изменение мощности доз прямого излучения,
с учетом величин коэффициентов поглощения выбранного рабочего тела
и переменной во времени толщины слоя рабочего тела. Анализ структуры
снаряда с ядерной реакторной установкой в 5000 Мет показывает, что
полная интегральная доза облучения зоны, расположенной в передней
части снаряда на расстоянии 100 футов от реактора, составляет около
106 фэр или рад, если в расчетах учитываются обычные величины погло¬
щения радиации конструкцией реактора, материалом насосной установки
и остатком рабочего тела.
Эта доза примерно в 105 раз превосходит дозы при клинически наблю¬
даемых биологических повреждениях; следовательно, помещение экипажа
обитаемого космического летательного аппарата должно быть окружено
тяжелой защитой. Излучение, обусловленное рассеянием на атомах
воздуха по сторонам и впереди носовой части, составляет малую часть
полной дозы, и им можно пренебречь при простой оценке, которая только
что была проведена. Однако экспоненциальный характер закона погло¬
щения радиации материалом [см. уравнение (15.15)] требует, чтобы впереди
и по сторонам носового отсека, где размещены помещения экипажа, был
установлен защитный слой достаточной толщины сверх того, который
необходим для защиты от прямой радиации. В примере, данномвыше, необ¬
ходимое уменьшение прямой радиации в 105 раз можно обеспечить слоем
материала теневой защиты плотностью от 800 до 1000 фунт/фут2. Этот
слой располагается либо около реактора, либо около помещений экипажа.
Требуется также боковая защита плотностью от 200 до 500 фунт /фут2.
Так как любой материал можно использовать для создания защит¬
ного слоя, то этот слой не является только бесполезным мертвым грузом
на борту летательного аппарата. Например, в случае обитаемого орбиталь¬
ного летательного аппарата, который используется для вывода на орбиту
большого спутника, защитный слой может состоять из оборудования,
нужного на борту спутника, запасов воды и воздуха и регенераторного
оборудования химических ракет, возвращаемых на Землю по планирую¬
щей траектории, и необходимого для этого топлива и т. д. Фактически мате¬
риал боковой защиты можно было бы использовать в качестве ядерного
горючего после того, как летательный аппарат пройдет атмосферу, так
как вне атмосферы для защиты экипажа от ядерной радиации достаточна
только теневая защита. Для любого типа космического летательного
аппарата наибольшая величина защитного слоя потребуется для прохож¬
дения через пояс Ван-Аллена, пока не найдены средства устранить влия¬
ние зарялюнных частиц высокой энергии, содерл^ащихся в этой зоне
радиации.
§ 15.9. Выводы
Из этого краткого обзора видно, что применение ядерной энергии
в ракетных силовых установках открывает большие возможности и одно¬
временно вводит много новых проблем в области ракетостроения. Системы
ядерных силовых установок с высоким отношением тяги к весу бу¬
дут значительно превосходить по своим характеристикам сегодняшние

544
ВОЗМОЖНОСТИ ЯДЕРНЫХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
[ГЛ. 15
химические ракетные системы, причем применение достаточно хороших элек-
троядерных силовых установок (ионных или плазменных) для свободного
полета позволит еще повысить эти характеристики. В будущем ядерные
ракетные установки откроют практические возможности космических
полетов. Потенциальные возможности таких двигателей так велики, что
они заслуживают максимальных усилий в деле их быстрого развития.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература к этой главе: В ussar cl R. W. and D e Lauer R. D.,
Nuclear Rocket Propulsion, New York, McGraw-Hill, 1958.
1. Shepherd L. R. and Cleaver A. V., The Atomic Rocket, части 1 и 2,
.1. Brit. Interplanet. Soc. 7 (Nos. 5 and 6), 185—194, 234—241 (1948).
2. Sut t о n G. P., Rocket Propulsion Elements, New York, John Wiley and Sons,
2-е изд., глава 4, 1956. [Русский перевод: Саттон Д., Ракетные двигатели, ИЛ,
1952.j
3. Т s i е n Н. S., Rockets and Other Thermal Jets Using Nuclear Energie, Chapter
11 of The Science and Engineering of Nuclear Power, Vol. 2, edited by Clark Good¬
man, Cambridge, Mass., Addison-Wesley Press, 1949.
4. G u t h r i e A. and Wakerling R. K., editors, The Characteristics of Electri¬
cal Discharges in Magnetic Fields, National Nuclear Energie Series, Div. I, том 5,
New York, McGraw-Hill, 1949.
5. L о e b L. B., Basic Processes of Gaseous Electronics, Berkeley, University of Cali¬
fornia Press, 1955.
6. Hirschfelder J. О., С u r t i s s C. F. and Bird R. B., Molecular Theory
of Gases and Inquids, New York, John Wiley and Sons, 1954.
7. Pearson O. P., The Metabolism of Hummingbirds, Sci. American 188 (No. 1),
69—72 (1953).
8. Field F. A., Temperature Gradient and Thermal Stresses in Bodies with Uniformly
Distributed Volume Heat Sources, Oak Ridge National Laboratory, AECD-3650, 1955.
9. S h a n 1 e у F. R., Analisis of Stress-Strain-Time Relations from the Engineering
Viewpoint, The RAND Corporation, Report P-68, March 1949 (перепад, в сентябре
1951 г.).
10. Н i g g i n s T. P., Jr.,- Time-Dependent Stress-Strain Distributions, The RAND
Corporation, Report P-218, June 1951.
11. F r u e d e n t h a 1 A. М., Thermal-Stress Analysis and Mechanical Design,
Chapter 11 of Nuclear Engineering, edited by C. F. Bonilla, New York, McGraw-
-Tlill, 1957.
12. V a 1 e r i n о M. F., Generalized Charts for Determination of Pressure Drop of a
High-Speed Compressible Fluid in Heat Exchanger Passages, J. Aeronaut. Sci. 16
(No. 5), 311—315 (1949).
13. F о a J. V. and RudingerG., On the Addition of Heat to a Gas Flowing in a
Pipe at Subsonic Speeds, J. Aeronaut. Sci. 16 (No. 2), 84—94 (1949).
14. M а с k 1 i n R. L. and P о m e г a n с e II. S., Resonance Capture Integrals, Chap¬
ter 6 of Progress in Nuclear Energie, Physics and Mathematics, том 1, Series 1, New
York, McGraw-Hill, 1956.
15. G 1 a s s t о n e S., Principles of Nuclear Reactor Engineering, Princeton, N. J.,
D. Van Nostrand, главы 9 и 10, 1956.
16. Glass tone S. and E n d 1 u n d М. C., The Elements of Nuclear Reactor
Theory, Princeton, N. J., D. Van Nostrand, 1952.
17. Murrey R. L., Nuclear Reactor Physics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall,
1957.
18. S a f о n о v G., Survey of Reacting Mixtures Employing U235, Pu239 и U233 for Fuel
and H20, D20, C, Be and BeO for Moderator, The RAND Corporation, Report
R-259, January 1952.
19. К e e p i n G. R., Delayed Neutrons, Chapter 7 of Progress in Nuclear Energy,
Physics and Mathematics, Vol. 1, New York, McGraw-Hill, 1956.
20. The Reactor Handbook, том 3, раздел 1, Materials, U. S. Atomic Energy Comis¬
sion, AECD-3647, March 1955.
21. II о d o- m a n C. D., editor, Handbook ofJChemistry and Physics, Cleveland, Ohio,
Chemical Rubber Publishing Company, 3-е изд., 1946.
22. M с С a r t h v J., Nuclear Reactors for Rocket, J. Am. Rocket Soc. 24 (No. 1),
36 (1954).

ЛИТЕРАТУРА
545
23. Safonov G., The Criticality and Some Potentialities of Cavity Reactors (Abrid¬
ged), The RAND Corporation, Research Memorandum RM-1835, July 1955.
24. Shepherd L. R. and Cleaver A. V., The Atomic Rocket, Parts 3 and 4,
.1. Brit. Interplanet. Soc. 8 (Nos. 1 and 2), 23—37, 59—69 (1949).
25. К a e p p e 1 e r H. J., Problem of Cooling Nuclear Working Fluid Rockets Opera¬
ting at Extreme Temperature, J. Am. Rocket Soc. 24 (No. 5), 316—319 (1954).
26. 11 p а й н и н г О., Получение высоких температур (до 55 000° К) в лабораторных
условиях, Успехи физических наук 55 (No. 4), 595—608 (1955). [Впервые опубли¬
ковано в Osterreichische Chemiker Zeitung 55, No. 5/6, Marz 1954.]
27. Presto n-T h о m a s H., Interorbital Transport Techniques, in Realities of Space
Travel, edited by Carter L. J., New York, McGraw-Hill, 1957.
28. P о s t R. F., Controlled Fusion Research — An Application of the Physics of High
Temperature Plasmas, Rev. Mod. Phys. 28 (No. 3), 338—362 (1956).
29. Kurchatov I. V., Russian Thermonuclear Experiments (речь И. В. Курчатова
в Харуэлле, Англия, 16 апреля 1956 г.), Nucleonics 14 (No. 6), 36—43, 123 (1956).
30. Colgate S. A. and Aamodt R. L., Plasma Reactor Promises Direct Electric
Power, Nucleonics 15 (No. 8), 50—55 (1957).
31. Review of Fission Product Heat Sources for Power Generation in the 1—5 Kw Range,
Vitro Engineering Division, Vitro Corporation of America, KLX-1735, Office of
Technical Services, Dept, of Commerce, November 1954.
32. Seifert II. S. and Mills М. М., Problems in the Application of Nuclear Energy
to Rocket Propulsion, Jet Propulsion Laboratory, Memorandum 3—4, January 1947.
33. S e r b e r R., The Use of Atomic Power for Rocket, Douglas Aircraft Company,
Project RAND, RAD-2, July 1946.
34. E v a n s R. D., The Atomic Nucleus, New York, McGraw-Hill, главы 23 и 24,
1955.
35. A d 1 e r F. P., Measurement of the Conductivity of a Jet Flame, J. Appl. Phys*
25 (No. 7), 903—906 (1954).
35 Космическая техника

Г Л Л В Л 16
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКА
Милтон У. Клаузер {Milton U. Clauser)
§ 16.1. Введение
Течение вязкой сжимаемой жидкости представляет собой сложное
явление, которое интересует ученых в течение нескольких веков. Матема¬
тическое решение этой проблемы сложно, и поэтому все полученные точ¬
ные решения слишком немногочисленны. Несмотря на это, наши знания
в области гидродинамики довольно обширны. Мы знаем, что сложность
задачи объясняется большим многообразием возможных течений и что
многообразие в свото очередь требует применения разнообразных способов
использования теоретической гидродинамики в связи с предпосылками,
которые неизбежны при разработке инженерных приложений теории.
Если жидкость становится проводником электричества, то к слож¬
ностям гидродинамики добавляются сложности электродинамики. Много¬
образие решений, которые кажутся возможными при таком взаимодейст¬
вии, может даже расширить существующий диапазон применения гидро¬
динамики. Покажем ширину этого диапазона на нескольких примерах.
Имеются сведения, что можно управлять аэродинамическим погранич¬
ным слоем более удовлетворительным образом, чем путем его сдувания
или всасывания, используя магнитогидродинамический эффект. Уже
построены ударные трубы и плазменные генераторы, дающие потоки веще¬
ства, скорости которых в несколько раз, а температуры во много раз выше
скоростей и температур потоков, полученных при выделении химической
энергии или путем нагнетания. С применением магнитогидродинамики
становятся возможными ракетные двигатели, величины удельного
импульса которых выше величии удельного импульса любых двигателей,
даже сегодня еще только проектируемых; оказывается, что магнитогидро¬
динамика имеет непосредственное отношение к управлению колоссаль¬
ным потенциалом энергии термоядерной реакции.
§ 16.2. Наш полувольтовый мир
Максимальная температура пламени, получаемая при помощи хими¬
ческой реакции, составляет меньше 6000° К. При такой температуре
почти все материалы плавятся, испаряются или возгоняются. Интересно
выразить это значение температуры другими способами. В качестве
примера рассмотрим атом водорода или ион. Скорость его теплового
движения, соответствующая температуре 6000° К, равна 40 000 фут /сек.
Если бы скорость иона при выходе из сопла ракетного двигателя имела
тот же самый порядок, то его удельный импульс был бы равен 1200 сек.

§ 16.4] взаимодействие проводящего газа с магнитным нолем
547
Физик скажет, что этот ион обладает энергией, несколько большей
чем 1/2 электроивольта, так как эквивалентная скорость достигается
при движении под влиянием разности потенциалов в 1/2 вольта. Сегодня
существуют ускорители, сообщающие элементарным частицам энергию
порядка тысяч, миллионов и биллионов электронвольт, в то время как
лучшие ракетные двигатели, пушки и ударные трубы эквивалентны
ускорителям в доли электроивольта. Этот факт заставляет задуматься
над возможностью получения больших количеств энергии. Напри¬
мер, для управления термоядерной реакцией требуются температуры,
эквивалентные 10 кэв, и такие величины могут быть получены при псполь-
зовании магнитогидродинамики.
§ 16.3. Электрическая проводимость воздуха
Если нагреть воздух или другой газ, то в результате столкновений
молекул в тепловом движении происходит их диссоциация на атомы. Это
явление начинается при температуре 2500° К, или, другими словами,,
в ударном слое вокруг тела, движуще¬
гося со скоростью, соответствующей
числу М = 7. Пр и более высокой энер¬
гии появляются свободные электроны,
и газ становится ионизированным. Это
происходит при полете с числом М - 12,
или при температуре около 4000° К.
Свободные электроны значительно уве¬
личивают электропроводность воздуха.
На рис. 16.1 электропроводность воз¬
духа представлена как функция тем¬
пературы. Можно видеть, что проводи¬
мость воздуха возрастает очень резко с
увеличением температуры, или числа М-
При температуре около 105 °К все ато¬
мы уже теряют по одному электрону и
при дальнейшем повышении темпера¬
туры превращаются в многократно
ионизированные. При очень высоких температурах электронное попе¬
речное сечение уменьшается, и проводимость возрастает пропорционально
температуре в степени 3/2.
Если число М соответствует значению скорости баллистического сна¬
ряда пли спутника при возвращении его на Землю, то газ вокруг корпуса
снаряда пли спутника становится таким же хорошим проводником элек¬
тричества, как и графит. В известном смысле это явление будет помехой,
так как слон проводящего газа увеличивает теплопередачу, затрудняет
прохождение радиосигналов и служит косвенной причиной появления
тепловой радиации. Однако в случае достаточно высокой проводимости
можно подумать о возможностях ее полезного использования.
§ 16.4. Взаимодействие проводящего газа с магнитным полем
Если газ является хорошим проводником электричества, то его
можно заставить двигаться с помощью магнитного поля. Фактически
в основе принципа действия любого электрического мотора и генератора
лежит взаимодействие магнитного поля с проводником.
35*
Рис. J6.1. Электропроводность волдуха
как функция температуры

548
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКА
[ГЛ. 16
В электрическом двигателе движущееся магнитное поле взаимодей¬
ствует с магнитным полем проводника; в результате этого взаимодейст¬
вия проводник, а следовательно и якорь двигателя, движется. В генера¬
торе роли меняются. В области электрических машин накоплены обшир¬
ные знания, причем многие из принципов этой теории применимы в магни¬
тогидродинамике. Использование принципов магнитогидродинамики
в силовых ракетных установках может иллюстрировать рассматриваемый
вопрос. В начале развития электрических двигателей были испробованы
двигатели, использующие электростатические силы; однако эти силы
так малы, что такие двигатели оказались непрактичными. В наши дни
мы снова обращаемся к использованию электростатических сил в ионных
ускорителях, но простые расчеты показывают, что величины полученного
таким образом давления очень малы по сравнению с величинами давле¬
ния, полученного при помощи магнитных полей. Прежде чем приняться за
интенсивную разработку ракетных двигателей на заряженных частицах,
нужно более тщательно провести это сравнение.
Одно из главных различий между теорией электрических машин
и магнитогидродинамикой состоит в том, что последняя не имеет дела
с подшипниками, усталостью и деформацией металлов и т. п. Следова¬
тельно, могут быть значительно повышены допустимые скорости движения,
связанного с подвижными магнитными полями. Фактически оказывается,
что скорости, с которыми могут двигаться газы, ограничены только реля¬
тивистскими эффектами; возможно получить очень большие величины
энергии или температуры.
В основе всей теории электромагнетизма лежат уравнения Максвелла,
и можно ожидать, что эти уравнения играют важную роль и в той новой
области, какой является магнитогидродинамика. Первое из этих уравне¬
ний выражает закон Ампера, при помощи которого описывается магнит¬
ное поле, связанное с любым электрическим током:
где ^ ток смещения,1,/ — ток проводимости, Н — напряженность
магнитного поля.
Следующее уравнение описывает закон индукции Фарадея:
где В — магнитная индукция, Е — напряженность электрического поля.
Для большинства задач D = гЕ и В = \iH. Можно показать, что
§ 16.5. Основные уравнения
(16.1)
(16.2)
_ = с2, где с — скорость света. Кроме того,
V-tf = О,
V -D=qc,
(16.3)
(16.4)
(16.5)
где qc — плотность заряда.

§ 16.6]
НЕКОТОРЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
549
Для описания электрического поля в подвижной среде нужно исполь¬
зовать закон Ома:
J = e(E+UxB),	(16.6)
где о — удельная электрическая проводимость, величина, обратная
удельному электрическому сопротивлению, и U — скорость газа.
Из гидродинамики берется неизменным уравнение неразрывности
4f + V-Qt/ = 0,	(16.7)
где Q — плотность газа.
Уравнение Эйлера должно быть дополнено членом, обусловленным
силой Лоренца J X В:
Q^j-JrQ(U-\) U = JxB~Vp + [iiV2U,	(16.8)
где р — давление и щ — вязкость жидкости.
Уравнение энергии будет содержать дополнительные члены, описы¬
вающие выделение джоулева тепла:
Q	=	к\Т	+	—	.	(16.9)
4 dt	dt	1	а	v	7
Этот ряд уравнений кажется трудноразрешимым, и так оно и есть
на самом деле. Нужно затратить немало времени для того, чтобы их
решить, и еще больше времени для того, чтобы сопоставить полученные
решения и экспериментальные результаты. Решение этих уравнений предо¬
ставляет обширное поле деятельности исследователям-теоретикам и пссле-
дователям-экспериментаторам, которые -захотят работать в этой новой
области.
§ 16.6. Некоторые фундаментальные принципы
Из рассмотрения уравнений можно получить некоторые выводы, кото¬
рые помогут понять специфические особенности магнитогидродинамики.
Если ток смещения пренебрежимо мал, а проводимость равномерна
по всему потоку, то из уравнений (16.1), (16.2) и (16.3) следует, что
|-=Ух({/хг)тХгг.	(16.Ю)
Это уравнение аналогично уравнению вихревой трубки вязкой жидко¬
сти. Если проводимость газа высока, что аналогично малой вязкости
жидкости, то
^- = 4X(UxB),	(16.11)
т. е. магнитное поле, подобно вихревой трубке, «заперто» в жидкости и дви¬
жется вместе с ней. При конечном значении проводимости член-^У2#
показывает, что поле диффундирует через границу жидкости точно так
же, как	это имеет место в случае вихревой трубки	при	наличии	вязкости.
Можно	ввести	магнитное число Рейнольдса следующим	образом:
ReM = Ulpe,

550
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКА
[ГЛ. 16
где t/есть модуль U. Если ReM > 1, то первый член в правой части урав¬
нения (16.10) доминирует над остальными, и магнитные силовые линии
«заперты» в жидкости. Если ReM < 1» то преобладающее влияние на
решение уравнения оказывает второй член, и магнитные силовые линии
выходят, пли диффундируют, из жидкости.
Если возможно благодаря высокой проводимости «запереть» магнит¬
ные силовые линии внутри потока, то как же можно «выбросить» их нару¬
жу, как это делается при помощи экранов в радиотехнике? Взаимодей¬
ствие между проводником и полем вызовет появление давления по грани¬
це проводника и поля. Если в качестве проводника используется жидкость,
а напряженность магнитного поля достаточно велика, то магнитное поле
будет действовать как стенка или поршень. Чтобы определить величину
магнитного поля, необходимую для этого, предположим, что токи, ин¬
дуцируемые в жидкости, создают магнитные поля, сравнимые по
своим напряженностям с полями, индуцируемыми токами. Из уравнений
(16.1) и (16.8), пренебрегая током смещения и вязкостью жидкости,
получим
+ — (16.12)
Если градиент поля мал в направлении поля, то членом (ВЛ) В можно
пренебречь, и уравнение (16.12) принимает вид
Q^ + Q(U-V)U=-v(p + ^ .	(16.13)
Следовательно, магнитное давление равно В2 !2\х. Например, при индук¬
ции поля 5000 гс, или 0,5 вб/м2, давление составляет 1 am. Индукция
поля игрушечного магнита равна
2000 гс; с помощью больших ма¬
гнитов были получены поля со
значением индукции до миллиона
гаусс, что эквивалентно давлению
40 000 am.
При таких величинах давле¬
ния становятся очень интересны¬
ми идеи магнитной пушки для
придания движения газу и ма¬
гнитного сосуда для хранения вы¬
сокотемпературного газа. Одним
из возможных применений магни¬
тогидродинамики является удар¬
ная труба с электромагнитным
приводом. Скорость газа в удар¬
ных трубах с разрывной диа¬
фрагмой ограничена числом
М - 30 даже в случае примене¬
ния сжигаемых смесей. Простая
магнитная ударная труба позво¬
ляет получить числа М свыше
100 [1]. При использовании элек¬
трических цепей с сосредоточенными параметрами, создающих магнитное
поле, как показано на рис. 16.2,а, возможно построение более сложных
L
параметрами цепи
£хараата далш=7//ЬС> где L-andy/rmaenaeme
а С- ем/госта отделелага халтура
а)
Ударная долла
б)
Рис. 16.2. Ударная труба с магнитным при¬
водом.

§ 16.7]
МАГНИТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
551
ударных труб. В таких трубах движущееся магнитное поле могло бы
быть использовано для создания ударной волны (рис. 16.2, б). Для над¬
лежащего действия такого устройства должны быть выполнены два усло¬
вия. Первое заключается в том, что скорость движения поля должна быть
равна скорости газа сзади ударной волны. Вторым условием является
достаточно высокий потенциал конденсаторов, чтобы обеспечить ток,
достаточный для создания магнитного поля, давление которого было бы
больше, чем давление газа за ударной волной. Кроме того, число М и
электропроводность движущегося нагретого газа должны быть достаточно
высоки, чтобы предотвратить диффузию магнитного поля из газа с той
же скоростью, с какой движется поршень. К счастью, это происходит
при таких числах М, при которых трубы с разрывной диафрагмой подхо¬
дят к границе своих возможностей.
§ 16.7. Магнитное управление пограничным слоем
Силу Лоренца, введенную в уравнение гидродинамики, можно опре¬
делить числом, аналогичным числу Re,— числом Гартмана (Hartmann).
Это число, обозначаемое Н, равно корню квадратному нз отношения
скалярных величии силы Лоренца и силы вязкости, т. е.
(16.14)
Если можно добиться большого числа Н для потока в окрестности погра¬
ничного слоя, то возможно магнитное управление этим слоем. При наличии
сильного магнитного поля можно регулировать градиент скорости потока
вблизи поверхности возвращаемого носового конуса, если он (конус)
движется достаточно быстро для того, чтобы ионизировать воздух в удар¬
ном пограничном слое. Сначала полагали, что это явление можно было бы
использовать для уменьшения теплопередачи, однако дальнейшие иссле¬
дования показали, что выделение джоулева тепла за счет токов, индуци¬
руемых в воздухе, будет сводить на нет положительный эффект. Однако
все оказалось не так плохо. Если магнитное поле увеличить до такого
значения, когда силы Лоренца становятся сравнимы с инерционными
силами, что характеризуется скалярным уравнением
JBL oUB2L oB2L	,лг л ~\
то магнитное поле вызовет появление градиента плотности в пограничном
ударном слое, что вызовет полезное уменьшение нагрева [2].
Не составляет особого труда получить магнитное поле с индук¬
цией в сотни и тысячи гаусс. При возвращении спутника длительность
времени максимального нагрева составляет около 10 сек. С помощью
соленоида с воздушным сердечником диаметром 1 м, шестивольтовой
батареи емкостью 100 а-ч и 100 фунтов меди можно поддерживать поле
с индукцией 5000 гс в течение 10 сек.
При наличии таких перспектив магнитоаэродинамического управле¬
ния потоком необходимо провести экспериментальные работы, которые
должны установить соответствие между теорией и практикой, что являет¬
ся главным основанием успешного развития технологии.
Н2
JBL
pi

552
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКА
[ГЛ. 16
§ 16.8. Управление термоядерной реакцией
Если бы можно было управлять энергией взрыва водородной бомбы,
то, несомненно, это оказало бы громадное влияние на будущее цивили¬
зованного мира [3,4]. Несмотря на быстро возрастающую уверенность в том,
что энергией ядерного синтеза можно управлять и что ею будут управлять,
задача сейчас представляется очень трудной.
Ядерные аспекты являются относительно простой частью проблемы
управления термоядерной реакцией. Эксперименты на ускорителях эле¬
ментарных частиц показали, что при столкновении ядер атомов легких
элементов, в частности изотопов водорода, может произойти синтез ядра
атома более тяжелого элемента и освобождение энергии. Значения скоро¬
сти, или поперечного сечения, реакции невелики до тех пор, пока относи¬
тельные скорости реагирующих ядер не становятся достаточными для
того, чтобы преодолеть кулоновы силы отталкивания заряженных частиц
и сблизить ядра друг с другом. Величины энергии, требуемые для полу¬
чения таких скоростей, являются очень умеренными с точки зрения воз¬
можностей стандартных ускорителей, так как имеют порядок десятков
кэв; однако, будучи переведены в тепловое движение и температуру, такие
значения энергии оказываются эквивалентны сотням миллионов градусов.
Можно указать ряд ядерных реакций легких элементов, при которых
освобождается энергия. С точки зрения величины мировых запасов исход¬
ного материала наибольший интерес представляет реакция в дейтерии,
так как мировой океан является неограниченным и легко доступным источ¬
ником этого элемента. В дейтерии с почти равной вероятностью происхо¬
дят две реакции:
D — D = Не3 -|- п + 3,25 Мэе,
DtD = T3 + /H-4,0 Мэе.
При D — D-реакции нужно повысить температуру до 400-10° °К,
прежде чем реакция пойдет достаточно быстро; такое повышение темпе¬
ратуры необходимо для того, чтобы компенсировать потерю энергии за
счет тормозного излучения. Иногда эта температура называется темпера¬
турой воспламенения. Устройства, которые служат для нагревания и хра¬
нения ионизированных газов или плазмы, можно разделить на три группы.
К первой относятся магнитное «зеркало» и «stellerator» [5], в которых
плотность газа настолько низка, что ионы и электроны между двумя столк¬
новениями с другими частицами делают несколько оборотов по циклотрон¬
ной орбите вокруг магнитных линий, к которым они «привязаны». Ко вто¬
рой группе относится магнитная «бутыль» [6]; в устройствах этого типа
длина свободного пробега иона или электрона мала по сравнению с радиу¬
сом циклотронной орбиты. В этом случае магнитное поле окружает плаз¬
му и действует в качестве магнитной стенки. В устройствах обоих типов
плазма будет диффундировать наружу через магнитную стенку. Различие
устройств обеих групп заключается в основном в скорости этой диффузии.
Устройства третьей группы имеют отличную от первых двух природу.
Их действие основано на создании в какой-либо полости стоячей волны
электромагнитного радиочастотного поля [7]; при этом как электроны, так
и ионы стремятся сосредоточиться в узловых точках волны. Если геомет¬
рия устройства такова, как показано на рис. 16.3, то плазма может хра¬
ниться, не соприкасаясь с материалом стенки. Радиочастотные токи,
текущие по поверхности плазмы, будут нагревать ее. Если необходимо-
длительное удержание плазмы, то «активная» природа метода хранения

§ 16.9]
ПИНЧ-ЭФФЕКТ
553
при помощи радиочастотного поля оказывается очень полезной в противо¬
положность «пассивной» природе методов хранения при помощи магнит¬
ного поля постоянного тока или пульсирующего магнитного поля. Вторая
и третья группы представляют наибольший
интерес с точки зрения магнитогидродинамики;
более подробно будут рассмотрены устройства
второй группы.
§ 16.9. Пинч-эффект
В 1951 г. Казинс (Cousins) и Уэйр (Ware)
показали [8], что в газе, заключенном в объе¬
ме в форме тора, можно индуцировать боль¬
шой разрядный ток и что магнитное поле этого
тока может оттолкнуть газ от стенок тора и
сжать его в малом объеме. То же самое можно
сделать и в трубе, причем последний случай
легче проиллюстрировать, как это сделано
на рис. 16.4. Во время разряда тока радиус
цилиндрического магнитного поля уменьшает¬
ся, и происходит сжатие газа. Магнитное поле
в этом случае эквивалентно цилиндрической
стенке и своеобразному цилиндрическому сжи¬
мающему поршню. Тороидальная геометрия имеет то преимущество, что
нагретый газ нигде ие соприкасается с материалом стенок.
Эксперименты показали, что сжатый столбик плазмы становится
неустойчивым и разрушается. Причина этого следующая. Если на поверх¬
ности плазмы возникают волны с малой амплитудой [9], то магнитное
поле усиливается во впадине и ослабляется на гребие волны, так как
Рис. 16.3. Схематическое изоб¬
ражение полости для храпения
плазмы.
Соленоид
для создания
продольного
о/надили
зару/ощсго
магнитного
поля
донденоатор
Дуговой
вь/нл/о vа толь
Рис. 16.4. Схема прямолинейной разрядной трубы.
напряженность магнитного поля на поверхности обратно пропорциональна
расстоянию от осп сжатия. Перераспределение магнитного давления вызы¬
вает рост амплитуды волны. Одна из форм неустойчивости показана на
рис. 16.5,а. Это короткие синусоидальные симметричные волны, которые
разрушают столбик плазмы, придавая ему секционную структуру. Другой
формой (рис. 16.5,6) является спиральная, или петлевая, неустойчивость,

554
М АГН ИТ ОГИ Д Р ОД ИIIАМИК А
[ГЛ. 1G
б результате чего столбик плазмы скручивается в трубку и наталки¬
вается на стенки. Если внутри плазмы действует продольное магнитное
поле концентрического соленоида, то магнитное давление этого поля будет
выталкивать плазму из впадин и уменьшать коротковолновую неустойчи¬
вость. Если стенки разрядной трубы изготовить из проводящего материа¬
ла, то при сближении плазмы со стенкой в последней будут индуцировать¬
ся токи, которые отталкивают плазму и стабилизируют длинноволновую
форму неустойчивости. Комбинация этих стабилизирующих полей долж¬
на подчиняться определенным условиям. Сумма магнитного давления
и давления газа внутри плазмы должна быть равна внешнему сжимаю¬
щему магнитному давлению. Если внутреннее магнитное поле достаточно
для стабилизации столбика плазмы и
давление газа не может быть сведено к
нулю (невозможно достичь нулевой плот¬
ности газа), то объем газа можно умень¬
шить до одной десятой первоначальной
величины, но ие больше.
16.9.1.	Нагрев плазмы. Существуют
три способа нагрева газа в сжатом состоя¬
нии. Первым из них является обычный
омический нагрев. При повышении тем¬
пературы сопротивление плазмы умень¬
шается; в результате этого значительно
затрудняется дальнейший ввод мощности
в плазму, необходимый для того, чтобы
сохранить скорость повышения темпера¬
туры плазмы и возместить увеличиваю¬
щиеся потери на излучение. Второй метод
состоит в адиабатическом сжатии газа.
Так как условия стабилизации плазмы
накладывают ограничения на изменение
объема (объем не может быть уменьшен
больше чем в 10 раз), то температура
одноатомиого газа при таком сжатии по-
Т
высится приблизительно в П = Ю°>67= 4,6 раза. Это отношение несколь-
о
ко изменится за счет ионизации и диссоциации, но все равно этот метод
не очень пригоден для получения температуры порядка нескольких сотен
миллионов градусов.
Третий способ заключается в неадиабатическом разогреве газа при
движении стенок сосуда с конечной скоростью. Если магнитный поршень
движется достаточно быстро для того, чтобы создать сильную ударную
цилиндрическую волну со сходящимися стенками, то плазма нагреется
до полной температуры
Т=Ч*-
Ш ’
Рис. 16.5. Формы неустойчивости
плазмы в магнитном поле.
где Р — газовая постоянная и Uv — скорость движения сжимающего
цилиндрического поршня. Например, если нужно нагреть дейтерий до
температуры 4-108 °К, то скорость поршня должна быть приблизительно
равна 1,1 • 106 м/сек, что составляет 1/2so значения скорости света. Опуб¬
ликованные данные об уже испытанных разрядных устройствах с исполь¬
зованием пинч-эффекта показывают, что величины скорости поршня

§ 16.9]
ПИНЧ-ЭФФЕКТ
555
достигли приблизительно 0,1 нужной величины, в результате чего полу¬
чены температуры, приблизительно равные 0,01 нужной величины.
Измеренная величина температуры составляет около 5*106°К;
это позволяет заключить, что нагрев плазмы осуществляется частично за
счет выделения джоулева тепла, частично за счет неадиабатического удар¬
ного разогрева и только в незначительной степени за счет адиабатического
сжатия.
Необходим значительный прогресс, если мы хотим достичь стократ¬
ного повышения температуры, нужного для того, чтобы началась реак¬
ция D — D. Вследствие уменьше¬
ния проводимости плазмы с ростом
температуры омический нагрев
при высоких температурах значи¬
тельно затрудняется; поэтому
дальнейшего исследования заслу¬
живает только ударный нагрев.
16.9.2.	Ударный нагрев плаз¬
мы. Тот факт, что скорость маг¬
нитного поршня должна состав¬
лять около 1/28о скорости света
для того, чтобы нагреть плазму
до температуры 4-10s °К, накла¬
дывает ограничения на величину
электрической энергии, которую
можно использовать во время цикла нагрева, анергия, которая должна
поступать к нагревательному устройству из слишком отдаленных участков
батареи конденсаторов, будет приходить после окончания цикла нагрева.
На рис. 16.6 показана одна из схем размещения разрядной трубы вблизи
конденсатора. При таком расположении время цикла нагрева, равное
времени, необходимому для прохождения поршнем расстояния от стенки
трубы до определенного значения радиуса, равно
tp ~ Тг 7
и v
где г — радиус столбика плазмы и Uv — средняя скорость поршня. Если
выключатель замкнут, то электромагнитная волна будет распространяться
вовне по радиусу R. Энергия, запасенная вблизи периферии конденсатора,
будет перенесена к центру отраженной волной. Минимальное время, необ¬
ходимое для прохождения энергии до разрядной трубы, определяется соот¬
ношением
где с — скорость света. Так как любая порция энергии, которая дости¬
гает разрядной трубы после этого времени, не будет участвовать в нагреве,
то
или
2 R	г
С ~ир'
тт	с
и так как и р = ^ , то радиус конденсатора, внутри которого можно запа¬
сать электрическую энергию для разрядной трубы, ограничен величиной
R = 140/\
Рис. 16.6. Конструкция разрядной трубы
с конденсатором.

556
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКА
[ГЛ. 16
Более точный динамический анализ [10, 11, 12], при котором учиты¬
вается распространение электромагнитных волн и магнитное давление,
действующее на плазму, дает приблизительно ту же самую величину.
Если предположить далее, что около одной четверти энергии, запасаемой
в конденсаторе, может быть передано плазме, то
(л/?2) = рсуГ (лг2) = ЗпкТ (лг2),
где г — диэлектрическая постоянная, Е — напряженность электрического
поля в конденсаторе, п — плотность частиц плазмы и к — постоянная
Больцмана. Для иллюстрации величин плотности нагретой плазмы рас¬
смотрим диэлектрик, напряженность электрического поля в котором
составляет 108 в/м. При таком предположении, используя вычисленные
выше величины R/r и Т, найдем, что плотность частиц плазмы равна
q — 7-1СГ5 кг/м3 = 2,5 • 101G частиц/см3,
что составляет около 0,001 плотности воздуха при стандартной темпера¬
туре и давлении.
Нужно подчеркнуть, что эта величина представляется верхним
пределом до тех пор, пока не созданы диэлектрики, позволяющие получить
большие напряженности электрического поля. Если бы каким-либо обра¬
зом удалось уменьшить энергию, передаваемую газу, например поместив
его в магнитное поле, обусловленное индуктивными токами включения,
то допустимая плотность частиц уменьшилась бы. Несмотря на это, плот¬
ность 2-1016 частиц/см3 достаточно высока для плазмы, нагретой до тем¬
пературы свыше ста миллионов градусов; при такой плотности выходная
мощность реакции синтеза в плазме будет очень высока.
16.9.3.	Хранение плазмы. При только что проведенном анализе пред¬
полагалось, что для ударного нагрева плазмы используется разряд тока.
Если газ нагрет до температуры, при которой начинается термоядерная
реакция, то такая температура должна поддерживаться в течение време¬
ни, достаточного для того, чтобы вернуть энергию, потраченную на нагрев,
и получить добавочную энергию, которая делала бы процесс экономиче¬
ски выгодным. Выполнение заданных условий потребует, чтобы плазма
сохранялась почти в течение секунды, в то время как для нагрева нужны
сотые доли микросекунды. Во время цикла ударного нагрева ранее упо¬
мянутой неустойчивостью плазмы можно пренебречь, так как время разви¬
тия возмущения имеет тот же порядок, что и время движения иона по
трубке туда и обратно, а это время больше длительности цикла нагрева.
Однако при хранении плазмы проблема устойчивости снова становится
очень важной. При рассмотрении цикла нагрева не налагалось каких-либо
условий, которые помешали бы использованию стабилизирующих полей.
Если главный конденсатор действует так, что магнитное поле сжимает
плазму до объема, равного 0,09 объема разрядной трубки (радиус цилин¬
дрического столбика плазмы равен 0,3 радиуса разрядной трубки), а затем
ток резко падает, то магнитный поршень остановится тоже на расстоянии
0,3 радиуса разрядной трубки. Продольное магнитное поле, с самого
начала присутствовавшее в плазме, и проводящие стенки разрядной трубки
будут стабилизировать поверхность этого объема, так что столбик плазмы
не будет разрушаться. Ток нужно поддерживать таким, чтобы предот¬
вратить отброс плазмы к стенкам трубки в ходе реакции синтеза. Энергия
продуктов реакции должна быть преобразована в полезную мощность.

§ 16.10]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
557
§ 16.10. Применение термоядерных реакций
в ракетных силовых установках
Если бы заряженные продукты реакции синтеза, которые обладают
энергией более 1 Мэе, или скоростью около 107 м/сек, могли быть выбро¬
шены наружу через магнитное сопло, то такой реактор можно было бы
использовать в качестве ракетного двигателя, удельный импульс которого
был бы порядка 106 сек. Оказывается, что существуют причины, которые
не позволяют достичь таких больших значений удельного импульса.
Если даже незначительная часть тормозного излучения или нейтрон¬
ного излучения просочится в конструкцию летательного аппарата, то тем¬
пература ее быстро повысится выше допустимого предела. К сожалению,
по-видимому, невозможно излучить эту энергию в космическое простран¬
ство при любых мыслимых размерах поверхностей излучателей. Одним
из способов отвода этого тепла является использование охладителя, кото¬
рый выбрасывается за борт корабля, когда его температура достигает ма¬
ксимально допустимой по условиям прочности конструкции. Если принять
во внимание этот дополнительный расход массы, то значение эффектив¬
ного удельного импульса быстро уменьшится до обычных величин. Одна¬
ко дело можно спасти. Если охладитель смешать с заряженными продук¬
тами реакции и смесь использовать в качестве рабочего тела, то можно
получить значения удельного импульса, хотя п значительно меньшие,
чем 106 сек, но большие, чем развиваемые химическими ракетными двига¬
телями.
Чтобы иллюстрировать возможности ядерных ракетных установок, рас¬
смотрим специфический пример. Наиболее привлекательна для примене¬
ния в ракетной силовой установке реакция дейтерий — тритий, так как
эта реакция проходит с наибольшей скоростью. Тритий радиоактивен,
и поэтому его применение в стационарных генераторах мощности возмож¬
но слишком редко; однако тритий можно получить в реакторах за счет
реакции синтеза, а для ракетного двигателя понадобится относительно
малое его количество. Реакция дейтерий — тритий происходит следую¬
щим образом:
D -г Т —> Не4 + /г + 17,6 Мэе.
Вследствие того, что нейтрон легче образующегося ядра гелия в четыре
раза, энергия, сообщаемая при реакции нейтронам, в четыре раза больше
энергии, сообщаемой заряженным частицам гелия. Это неудобно, так как
магнитное поле ие влияет иа нейтронное излучение и его энергию.
При температуре 4-108°К мощность, сосредоточенная в объеме v,
содержащем заряженные частицы, определяется соотношением
Р+ = Q,03p2v Мет,	(16.16)
где р выражается в am и и — в м3.
Тормозное излучение рассеивает около 396 этой мощности:
Р7. = 0,03Р+.
Большая часть частот этого излучения лежит в ультрафиолетовой
области спектра и в области жестких рентгеновских лучей; поэтому выбор
материала разрядной трубки, который был бы прозрачен для этого излу¬
чения, может оказаться трудным. С другой стороны, малые поперечные
сечения захвата нейтронов большой энергии позволяют нейтронному
излучению проходить через стенки трубки без значительного поглощения.

558
М АГНИТ ОГИ Д РОДИЫ А МIIК А
[ГЛ. 16
Следовательно, можно предположить, что энергия, которая должна
быть передана охладителю, составляет 3% от полной энергии, заключен¬
ной в рассматриваемом объеме плазмы. В качестве охладителя можно
выбрать литий, так как он обладает малым атомным весом, низкой темпе¬
ратурой кипения и относительно высокой теплотой парообразования,
что облегчает охлаждение.
Энтальпия Hv паров лития при температуре кипения 1640° К равна
2,8* 107 дж/кг. Удельная теплоемкость ср паров лития равна
Ср = 3,4*103 дж/(кг • ° К).
16.10.1.	Термоядерный ракетный реактор. На рис. 16.7 показано
поперечное сечение камеры термоядерного реактора. Реакция D—Т сосре¬
доточена в объеме в центре камеры при помощи магнитного поля,
Рис. 16.7. Схема термоядерного реактора для ракетной силовой установки.
/7ал?оп плазмы
создаваемого током, текущим через плазму. Большая часть нейтронов
уходит из камеры. Продукт реакции Не+ диффундирует через «стейку»
магнитного поля в зону сме¬
шивания. Радиация в основ¬
ном задерживается стенками
камеры, в которых’циркули¬
рует лит]I й. При нал пч1 ш л11-
тиевого охлаждения температу¬
ра всей конструкции поддер¬
живается вблизи г:н несколько
ниже точки кипения лития.
Следовательно, в качестве кон¬
струкционного материала мож¬
но использовать титан. После
испарения литий поступает в
зону смешивания, где нагрева¬
ется за счет теплообмена' с час¬
тицами Не+. Смесь выбрасы¬
вается через магнитное сопло
(рис. 16.8), в котором большая часть теплового движения атомов пре¬
образуется в упорядоченное движение, создающее тягу.
С алазт л ап а а

§ 16.10]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
559
Секундный массовый расход охладителя Мр должен быть достаточным
для того, чтобы отвести мощность излучения:
Pr = MpHv.
При смешивании паров лития с ионизированным гелием Не+, являю¬
щимся продуктом реакции, температура лития повышается до значения Тр,
которое определяется из уравнения
Р+ = Мрср{Тр-Т8).	(16/17)
Если температура кипения лития Ts мала по сравнению с Тр, то из послед¬
них двух уравнений следует
Т- = Т^ = .таг. - 280000°К.
Отсюда скорость истечения определяется так:
U = |/^3 ^ Тр = l/"3	•	103* 2,8* 105 — 3,4-104 м!сек = 1,05 • 105 фут!сек.
Это значение скорости соответствует величине удельного импульса
3400 сек, что в десять раз больше величины удельного импульса химиче¬
ских ракетных двигателей.
Размеры реактора и уровень его мощности определяются величиной
тяги. Если тяга выбрана так, что снаряд может стартовать с ускоре¬
нием около 1 g, то
MpU = gMT9	(16.18)
где М.? есть масса снаряда при взлете. Тогда уровень мощности реактора
равен
=	(Ю.19)
Если выбрать М? = 104 кг = 22 000 фунтов, то уровень мощности
Р+ = 1700 Мет.
Примерно такой же мощностью обладали большие ракетные химические
двигатели в 1958 г. Такое значение вполне приемлемо, так как удельный
импульс термоядерного ракетного двигателя в 10 раз больше, а тяга в 10 раз
меньше, чем значения этих параметров двигателя межконтинентального
баллистического снаряда.
16.10.2. Мощность, необходимая для поддержания реакции. Мини¬
мальный уровень электрической мощности, необходимый для поддержа¬
ния реакции, определяется омическими потерями мощности тока в плазме.
В свою очередь величина тока должна быть достаточна для создания маг¬
нитного давления, равного давлению плазмы:
P=t%S,	(16.20)
где р выражается в атмосферах. Для создания давления в 1 am необходимо
поле с индукцией 5000 гс, или 0,5 вб/м2. Связь между индукцией и током
дается уравнением
В = £,	(1(5.21)

560
МАГНИТ ОГИ Д Р ОД И Н АМИН А
[ГЛ. 16
где д — магнитная проницаемость и г — радиус цилиндрического столба
плазмы. Тогда
/2 = „2,,2JL_	(16.22.)
Известно [12], что сопротивление (в омах) столбика плазмы равно
R = ^i,
где I — длина столбика.
Если объем плазмы имеет форму тора, так что отпадает необходи¬
мость в металлическом проводнике, замыкающем цепь, и если больший
радиус тора в пять раз больше меньшего, то
I
Выражение для полного объема, в котором происходит реакция, опреде¬
ляется из уравнения (16.16)
Р,
V = кг-1 =
0,03/А
2
Из этих уравнений определяется величина мощности, необходимая для
поддержания реакции:
п 8,5-10~15 п1/ п/г
Pj =	2 Р+/зр /3 Мет.
д
Если давление р = 103 am и и = 4л-10 7 гн/м, то
^7 = 0,6 Мет.
Эта величина составляет 0,35% от полной требуемой мощности реактора.
Для получения такой относительно малой мощности можно использовать
вспомогательный ^источник энергии, однако существует другой метод,
позволяющий использовать сам процесс реакции для получения необходи¬
мой величины мощности. Уже говорилось, что одной из привлекательных
возможностей использования термоядерной реакции в стационарных гене¬
раторах мощности является преобразование энергии реакции в электри¬
ческую энергию. Такое преобразование возможно в силу того, что полез¬
ная энергия реакции связана с заряженными частицами, помещенными
в магнитное’*!поле. После того, как магнитный поршень, действующий
подобно электрическому двигателю, сожмет плазму, в результате чего повы¬
сится ее температура и начнется реакция синтеза, реагирующая и расши¬
ряющаяся плазма будет двигаться назад и отдавать полезную мощность
обратно в электрическую цепь, действуя подобно генератору.
Одной из причин того, что термоядерные источники энергии, возмож¬
но, найдут применение прежде всего в ракетных силовых установках,
является тот факт, что в этом случае только небольшая часть энергии
реакции синтеза дожна быть преобразована в электрическую, а осталь¬
ная часть используется прямо как тепловая энергия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kolb А. С., Propagation of Strong Shock Waves in Pulsed Longitudinal Magnetic
Fields, Phys. Rev. 107, 1197 (1957).
2. M e у e r R. X., Rate of Heat-Transfer Near the Stagnation Point of a Blunt Body
of Revolution in the Presence of a Magnetic Field, The Ramo-Wooldridge Corpora¬
tion, Report GM-TR-0127-00016, 1958.

ЛИТЕРАТУРА
561
3. Р о s t R. F., Controlled Fusion Research-An Application of the Physics of High
Temperature	Plasmes, Revs. Modern Phys. 28 (No. 3), 338—362 (1957).
4.	P о s t R. F., Fusion Power, Sci. American 197 (No. 6), 73—84 (1957).
5. Proceedings of the Second International Conference on the Peaceful Uses of Atomic
Energy, Geneva, September 1 —13, 1958.
6. Numerous authors, Controlled Release of Thermonuclear Energy, серия статей
в Nature 181 (No. 4604), 217—233 (1958).
7. W e i b e 1 E. S., Confinement of a Plasma Column by Radiation Pressure and Its
Application to Fusion Power Generation, The Ramo-Wooldridge Corporation, Report
ARL-57-1026, 1957.
8. С о u s i n s S. W. and Ware A. A., Pinch Effect Oscillations in a High Current
Toroidal Ring Discharge, Proc. Phys. Soc. 64, 159 (1951).
9.	К r u s к a 1	M. and Schwarzschild М., Some Instabilities of	a	Comple¬
tely Ionized	Plasma, Proc. Roy. Soc. A223, 348 (1954).
10.	F r i e d B.	D. and ITuddlestone R. IT., Analysis of the Radial	Condenser,
The Ramo-Wooldridge Corporation, Report ARL-7-39, 1957.
11. С 1 a u s e r M. U. and Heflinger L. 0., Equations for a Fast Pinch, The
Ramo-Wooldridge Corporation, Report ARL-57-1010 Rev., 1957.
12. F r i e d B. D., The Super-Fast Longitudinal Pinch, The Ramo-Wooldridge Corpo¬
ration, Report ARL-7-60, 1957.
13. С 1 a u s e r M. U., The Feasibility of Thermonuclear Propulsion, Proceedings
of Conference on Extremely High Temperatures, 18—19 March 1958, Air Force
Cambridge Research Center. .
36 Космическая техника

ГЛАВА 17
КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ
И МАТЕРИАЛЫ КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Эрнст Е. Зехлер (Ernest Е. Sechler)
§ 17.1. Происхождение проблемы
Одним из основных отличий задачи создания любого летательного
аппарата от других средств передвижения является первоочередная необ¬
ходимость экономии в весе конструкции летательного аппарата. Конструк¬
торы первых самолетов уже имели в своем распоряжении достаточно
мощные силовые установки и некоторые знания об аэродинамических
проблемах подъема, управления самолетом и сопротивления воздуха;
однако их окончательной, но никоим образом не самой легкой задачей
было создание конструкции летательного аппарата, которая была бы
достаточно легка для того, чтобы самолет вместе с основной нагрузкой
мог бы подняться с земли. На первых порах основная нагрузка состояла
из рулевых поверхностей, силовой установки и горючего, минимального
контрольного оборудования и пилота летательного аппарата. Много
позднее суммарный вес конструкции и силовой установки был уменьшен
до такой степени, что величина груза, коммерческого или военного, стала
одним из важных параметров, который определял размеры, полный вес
и назначение самолета. В настоящее время методы расчета и структурного
анализа самолетов развились до такой степени, что нужно учитывать
не только факторы безопасности, но и экономические факторы; нужно
решить, является ли экономически выгодным проделывать большую анали¬
тическую работу и использовать тщательно разработанные и дорогие
технологические методы производства или применить более прочные,
по дорогостоящие материалы для того, чтобы увеличить вес полезной
нагрузки или улучшить качество самолета за счет уменьшения веса
конструкции. Комбинирование этих факторов позволяло поддерживать вес
конструкции военных и коммерческих самолетов в пределах 25—30% от
полного веса в течение почти двух десятилетий. Те же самые факторы
помогали удерживать значение веса полезной нагрузки около 25% от
полного веса (рис. 17.1).
Конструктор ракетного снаряда дальнего действия или космического
летательного аппарата в своей работе сначала как бы возвращается назад,
интересуясь не тем, является ли экономически обоснованным использова¬
ние определенного типа конструкции, а прежде всего тем, можно ли успеш¬
но спроектировать конструкцию, которая позволит разместить требуемую
нагрузку и будет достаточно легка для того, чтобы снаряд соответствовал
заданным параметрам. Трудности, возникающие перед конструктором,

§ 17.1]
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
563;
обусловлены назначением летательного аппарата, который либо должен
перенести массу заданной величины на заданное расстояние между двумя
наземными точками в очень короткое время (задача ракетного снаряда) v
200000
I
{
I
i
I
700000
700000	mm
Лолнь/и, или стартовый вес, фунть/
Рис. 17.1. Распределение полного веса самолета.!
тт
либо пройти такое большое расстояние, которое потребует максимально
высокой скорости при приемлемой величине времени полета задача кос¬
мического летательного аппарата). Промежуточной * между этими двумя
I
!
!
s
$
Самолет, спорость которого
соотеетствует М=3
I баллиста vecnaa снаряд среднесо радиуса
действия с дальностью полета 7500 миль
1Мемнонтанентальнь/а 5алласта¥вснаа
снаряд с дальность/о полета 5500 моль
Слутнан с вь/сотой ордать/
500маль
Слутнин с вь/сотой ордать/
7000миль
Ударная лосадна на У7уну
Ударная поеадна на 77арс ала Зенеру
Мясная лосадна на Луну
Мясная лосадна на Луну а возвращение на Земл/о
  1
70000 .	20000
Лолная спорость, мала/vac
30000
Рис. 17.2. Величины полной скорости летательного аппарата, требуемые
для выполнения некоторых задач.
задачами является задача вывода на орбиту искусственных спутников
Земли для исследований и в качестве будущих стартовых площадок косми¬
ческих летательных аппаратов. На рис. 17.2 показаны порядки скоростей
36*

564 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
летательных аппаратов, необходимые для выполнения той или иной
задачи, причем расчет основан на преобразовании необходимых величин
энергии в эквивалентные величины скорости. Указанные высокие скорости
должны быть достигнуты при помощи силовых установок, использующих
горючее, которое содержит отнюдь не намного большее количество
энергии на фунт веса, чем горючее, имевшееся в распоряжении братьев
Райт. Кроме того, при космических полетах летательный аппарат должен
нести окислитель для горючего, т. е. материал, который не занимает
какой-либо части веса снаряда, использующего воздух в качестве окисли¬
теля для двигателя.
/7оллый, или стартовый бес, фулты
Рис. 17.3. Распределение полного веса снаряда дальнего действия
и космического летательного аппарата.
Если мы рассмотрим обычные, имеющиеся в распоряжении топлива
(резкие изменения качества топлив и силовых установок могут изменить
исходные предположения), то распределение полного веса снаряда даль¬
него действия или космического летательного аппарата показывает, что
вес топлива составляет около 90%, вес полезной нагрузки — от 2,5 до
3%, вес силовой установки и управляющего оборудования — от 2 до 5%
полного веса, а на вес конструкции остается только 3—6% полного веса
(рис. 17.3). Это почти на порядок меньше относительного веса конструк¬
ции обычных самолетов; такое сопоставление показывает, почему, по
крайней мере сегодня, факторы безопасности и экономичности ракетных
снарядов и космических летательных аппаратов могут быть отодвинуты
на~ второе место.
§ 17.2. Конфигурация летательного аппарата
Любой космический летательный аппарат, который снабжен какой-
либо известной в настоящее время силовой установкой, будет состоять
в основном из запасов горючего и окислителя, разделенных в жидкост¬
ной системе и соединенных вместе в твердотопливной системе; из двига¬
теля с одним или несколькими соплами, который служит для преобразо¬
вания энергии топлива в силу тяги, и из полезной нагрузки, научной,
коммерческой или военной. При сегодняшнем состоянии науки и техники
наибольшая часть веса приходится на топливо.

§ 17.3]
РАСЧЕТ ТОПЛИВНЫХ КОНТЕЙНЕРОВ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
565
Так как топливо расходуется в полете, то ясно, что вес конструкции,
необходимой для его хранения, будет становиться в течение полета все
меньше и меньше. Таким образом, идеальной конструкцией была бы
такая, в которой материал баков расходуется с той же самой скоростью,
что и топливо. Так как невозможно создать конструкцию, вес которой
уменьшался бы непрерывно, то
используется метод скачкооб¬
разного изменения веса, при
котором летательный аппарат
собирается из ступеней и дис¬
кретные массы конструкции
отбрасываются после использо¬
вания топлива, содержавшегося
в них. Таким образом, конст¬
рукция представляет собой ряд
связанных между собой конст¬
руктивных элементов, которые
могут быть отброшены после
того, как они окажутся беспо¬
лезными в качестве топливных
контейнеров; такая конструк¬
ция напоминает конструкцию
современных самолетов, несу¬
щих на концах крыльев отбрасываемые баки для горючего. Возможны
многочисленные конфигурации многоступенчатых снарядов; на рис. 17.4
изображена схема снаряда, которая обеспечивает, по-видимому, наимень¬
шую структурную сложность и, следовательно, наименьший полный вес
системы. Можно предложить большое количество комбинаций ступеней;
исследование лучших из этих комбинаций должно входить в общий
анализ системы летательного аппарата в каждом конкретном случае.
Рис. 17.4. Отделение ступеней многоступенчатого
снаряда.
§ 17.3. Расчет топливных контейнеров, находящихся под давлением
Так как топливные контейнеры по весу составляют большую часть
снаряда, то их анализ заслуживает особого внимания конструктора.
В полете внутреннее давление на стенки баков обусловлено либо гидрав¬
лическим напором топлива за счет инерционных сил при ускорении сна¬
ряда плюс давление подпора для эффективной подачи топлива к двига¬
телям в жидкостных ракетных системах, либо давлением газов горящего
топлива в твердотопливных ракетных системах. Следовательно, нужна
найти форму сосуда, имеющего наименьший вес при данном давлении,
с учетом или без учета гидростатического напора. Безотносительно к дру¬
гим факторам, наилегчайшим сосудом при данном объеме будет сферическая
оболочка, которая имеет наименьшую площадь при данном объеме и
наименьшие напряжения в стенках приданном внутреннем давлении. Эту
форму нужно незначительно изменить, если потребуется учесть гидро¬
статический напор. На рис. 17.5 показана зависимость отношения веса
цилиндрического бака к весу сферического бака и отношения радиуса
цилиндрического бака к радиусу сферического бака от удлинения *) ци¬
линдрического бака при равных значениях объемов баков и максимальных
*) Под удлинением бака понимается отношение L/D, где L—длина бака,
D—диаметр бака. {Прим. перев.)

566 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
напряжений в стенках баков и одинаковых величинах внутреннего
давления. Фактически в баке цилиндрической формы в местах соединения
цилиндра и сферической головки должны существовать местные разрывы
непрерывности напряжений, что несколько увеличит вес цилиндрического
бака по сравнению с тем, что показано на рис. 17.5. Однако основная
Рис. 17.5. Влияние величины удлинения цилиндрического резервуара,
находящегося под давлением, на его параметры.
задача этого рисунка состоит в установлении порядка величин, характери¬
зующих различие между баками сферической и цилиндрической формы,
и поэтому при расчетах пренебрегали местными концентрациями напря¬
жений в сварных швах цилиндрического бака.
Для построения кривых на рис. 17.5 были использованы следующие
уравнения:
1. Выражение для напряжений в сферической оболочке при наличии
внутреннего давления р [фунт/дюйм2]:
(17.1)
2. Выражение для растягивающих напряжений в цилиндрической
оболочке в осевом направлении при наличии внутреннего давления
р [фунт!дюйм2]:
pRc .
' 2tr ’
то же в тангенциальном направлении:
bcirc	max	t
Используя эти уравнения, получим
ас . =ос =ф-.	(17.2)
гг	тятг	'	'
а)*-К£-4).	<«•»>
(17.4)
Wc_ 4 Rc
Ws 3 '	2_
Rc 3

§ 17.3]
РАСЧЕТ ТОПЛИВНЫХ КОНТЕЙНЕРОВ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
567
-2L
где Rc — радиус цилиндрического бака, Rs — радиус сферического
бака, Wс — вес цилиндрического бака, Ws — вес сферического бака,
L — полная длина цилиндрического бака.
Хотя бак сферической формы является наиболее легким при данном
внутреннем давлении, возникают известные трудности при попытке свя¬
зать вместе ряд таких баков для созда¬
ния ступенчатого снаряда или с целью
переноса полезной нагрузки. Более того,
если снаряд при взлете и возвращении
назад должен пройти через атмосферу,
то ему необходимо придать определен¬
ную аэродинамическую форму. Предпо¬
ложим, что последовательность баков,
рассчитанных только на внутреннее дав¬
ление, связывается вместе цилиндричес¬
кими связками, как показано на рис. 17.6,
и что толщина связывающей конструк¬
ции равна толщине цилиндрической части
баков (или удвоенной толщине сфериче¬
ской части); при этих предположениях
цилиндрическая составная конструкция
будет легче, чем система связанных меж¬
ду собой сферических баков (рис. 17.7).
Учет гидростатического напора изменит вид идеальных кривых
на рис. 17.7, так как с ростом отношения L/D влияние гидростатического
напора возрастает. На рис. 17.7 приведены кривые, позволяющие срав¬
нить вес сферического бака
Рис. 17.6. Дополнительные конструк¬
ции для соединения ступеней.
/5
Щ
го
0,5
//есостооной бак
Оучетом беса соебинительной
конструкции и гидравлического напора
С учетом только веса
соевинительной конетрунции
го 2,0
3,0	4,0
L/U
30	6,0
диаметром 20 футов с весом
конструкции, состоящей из ци¬
линдрических баков. Кривые
построены при следующих пред¬
положениях:
1. Баки заполнены топли¬
вом, постоянное давление газов
в верхней части баков равно
30 фунт/дюйм2.
2. Гидростатический напор
равен 0,0723 фунт/дюйм2 на
1 дюйм высоты столба топлива,
что соответствует, грубо говоря,
величине ускорения массы го¬
рючего в 2,5g.
3. Максимально допустимое
напряжение равно 100 000
фунт/дюйм2; эта величина определяется из условий прочности свар¬
ных швов.
4. Плотность материала равна 0,28 фунт/дюйм3.
5. Концентрации напряжений не учитываются.
6. Цилиндрическая конструкция для сборки ступеней в единое целое
имеет толщину, равную средней толщине цилиндрической части бака.
7. Минимально допустимая толщина материала равна 0,010 дюйма.
Из рассмотрения кривых, построенных при этих предположениях,
следует, что в случае составной конструкции из цилиндрических баков
Рис. 17.7. Сравнение веса сферического бака и
цилиндрических баков с учетом веса дополнитель¬
ных конструкций для соединения ступеней и гид¬
равлического напора жидкого топлива.

568 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
имеется точка минимального веса; однако цилиндрическая составная
конструкция даже при крайних значениях удлинения значительно легче
сферического бака.
Вес конструкции, противостоящей только давлению (как гидроста¬
тическому, так и давлению газа), будет наименьшим в том случае, когда
конструкция изготовлена из материала с наибольшим отношением допу¬
стимого напряжения к плотности при данной температуре. Температур¬
ные условия нужно учитывать в силу того, что по крайней мере при полете
в атмосфере аэродинамический нагрев будет уменьшать допустимые
напряжения в материале. При комнатных температурах величины отно¬
шения допустимого напряжения к весу для обычных листовых материа¬
лов, таких, как алюминий, сталь
и титановые сплавы, различают¬
ся относительно мало; однако
при высоких температурах это
отношение уменьшается сначала
для алюминиевых сплавов, а за¬
тем для титановых. Даже сплавы
железа при очень высоких тем¬
пературах теряют свою проч¬
ность, и если ожидается воз¬
действие таких температур, кон¬
структор должен обратиться к
керамическим сплавам или при¬
бегнуть к охлаждению и изоля¬
ции (рис. 17.8).
В качестве примера рассмот¬
рим цилиндрический бак диамет¬
ром 100 дюймов, длиной 100 дюймов, изготовленный из нержавеющей ста¬
ли; предел прочности на растяжение равен 180 000 фунт/дюйм2, предел
текучести равен 150 000 фунт/дюйм2. Бак находится в условиях комнат¬
ной температуры, внутреннее давление равно 50 фунт/дюйм2. Произведя
расчет толщины стенок бака согласно уравнению (17.2) и исходя из задан¬
ного значения предела текучести при максимальном рабочем давлении,
находим, что
50 х 50 п	”
t= 150000" = °’0167 Дюйма.
Если бы бак был изготовлен из алюминиевого сплава с пределом теку¬
чести 65 000 фунт/дюйм2, то его толщина была бы равна
ta — 0,0385 дюйма.
Эти расчеты показывают, что очень легкие баки могут выдерживать
относительно высокие давления.
§ 17.4. Тонкие оболочки, несущие осевые нагрузки
Помимо того, что топливные баки должны противостоять внутреннему
давлению, они вынуждены нести вес вспомогательного монтажного обо¬
рудования, осевые нагрузки и изгибающие ветровые нагрузки на старто¬
вой площадке, а во время полета — осевые нагрузки, обусловленные
наличием тяги, и изгибающие нагрузки вследствие бокового ветра и работы
системы управления. Предположим, что цилиндрический бак, рассмотрен¬
Тзмлзратура, °F
Рис. 17.8. Влияние температуры на величину
отношения предела прочности к удельному весу.

§ 17.4]
ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ, НЕСУЩИЕ ОСЕВЫЕ НАГРУЗКИ
569
ный в качестве примера в предыдущем разделе, является нижним баком
жидкостной ракетной системы, установленной вертикально на стартовой
площадке; этот бак служит основанием для лежащих выше топливных
баков, дополнительных ступеней и полезной нагрузки снаряда. Пред¬
положим также, что этот нижний бак пуст и внутреннее давление в нем
равно нулю; определим величину осевой нагрузки, которую бак может
нести при этих условиях.
Уравнение для определения критической величины осевого напряже¬
ния в стенке тонкостенного цилиндра, не находящегося под давлением,
получено эмпирическим путем и имеет следующий вид:
где R, tn L — радиус, толщина стенки и длина цилиндра соответственно,
о с — критическое напряжение продольного изгиба и Е — модуль упру¬
гости материала (рис. 17.9). Так
как в нашем примере L = 100 дюй¬
мов и R =50 дюймов, то из урав¬
нения (17.5) получим
(ж) =2’74-10'5
II
О).,-”10-19-10"-
где индексы ss и al относятся
к нержавеющей стали и алюми¬
ниевому сплаву соответствен¬
но. Предположив, что Ess =
= 3 • 107 фунт/дюйм2 и Еаг =
= 107 фунт /дюйм2, получим сле¬
дующие величины напряжений:
(o'c)ss — 822 фунт/дюйм2 и (ac)ai =
= 1019 фунт /дюйм2, что соответ¬
ствует величинам полной осевой
нагрузки
Pss = 4390 фунтов
и
Ра1 = 12 500 фунтов.
Если рассматриваемая конст¬
рукция является частью одной из
первых ступеней снаряда дальнего
ного аппарата, то очевидно, что такие допустимые величины осевой на¬
грузки слишком малы и должны быть увеличены в несколько раз.
Имеется ряд очевидных методов увеличения критической сжимающей
нагрузки применительно к такой цилиндрической конструкции:
1. Применение более прочного материала.
2. Увеличение толщины стенки бака.
3. Установка дополнительных колец жесткости.
4. Установка дополнительных продольных стрингеров.
о.	Установка как стрингеров, так и колец.
6.	Изменение структуры наружной поверхности бака для создания
устойчивой конструкции (создание сотообразной структуры поверхности).
L/R
Рис. 17.9. Критические значения осевых напря¬
жений в тонкостенных цилиндрах.
действия или космического летатель-

570 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, структурный АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
7.	Использование внутреннего давления для стабилизации кон¬
струкции.
Хотя применение каждого из этих методов повышает несущую спо¬
собность цилиндрической конструкции, все они, кроме седьмого и, воз¬
можно, первого и шестого, приводят к увеличению веса конструкции. Метод
замены материала конструкции оказался бы экономически выгодным, если
бы можно	было	найти	материал	с	более высокими значениями отношения
предела	прочности	к	удельному	весу и отношения модуля упругости
к удельному весу, чем у двух выбранных материалов. Если бы удалось повы¬
сить предел текучести стали до 180 ООО фунт/дюйм2, то это позволило
бы изготовить стальной и алюми¬
ниевый цилиндры одинакового
веса, выдерживающие одно и то
же внутреннее давление. Однако
стальная конструкция в этом слу¬
чае была бы способна нести толь¬
ко 21% осевой нагрузки конст¬
рукции из алюминиевого сплава.
Ясно, что от такого увеличения
предела прочности мало толку.
Заполнение бака газом с целью
создания внутреннего давления
приводит к двум эффектам: проис¬
ходит стабилизация стенок бака и увеличивается несущая способность
бака за счет самого давления. Последнее происходит в результате того,
что в стенках бака появляются дополнительные осевые растягивающие
напряжения
— рР
°ах ~ ~2Т *
Это (означает, что конструкция может выдержать осевую нагрузку
Pax = nR2P>
прежде чем материал стенки цилиндра начнет работать на сжатие. Для
цилиндра, рассматриваемого здесь в качестве примера, эта величина осевой
нагрузки равна
Рах=7855Р ФУНТОВ,
т. е. почти 8000 фунтов на 1 фунт/дюйм2 внутреннего давления. Таким
образом, бак, давление внутри которого равно 50 фунт/дюйм2, будет
выдерживать почти 400 000 фунтов осевой нагрузки, и лишь при большей
нагрузке стенка бака начнет работать на сжатие. Трудности применения
этого метода очевидны. Если внутреннее давление резко упадет ниже
величины, необходимой при данной осевой нагрузке, то произойдет про¬
дольный изгиб бака и повреждение летательного аппарата. Те же самые
аргументы остаются в силе и при исследовании влияния тяги на активном
участке и скручивающих моментов. Давление может предотвратить раз¬
рушение снаряда при очень больших изгибающих моментах, но падение
давления может вызвать разрушение снаряда. Однако в тех случаях, когда
важно обеспечить минимальный вес системы, возможно, что примене¬
ние внутреннего давления для увеличения несущей способности конструк¬
ции обеспечит требуемый минимум веса, даже если к полному весу
снаряда прибавить вес газов, необходимых для создания давления, и их
контейнеров.
АепАгний тонний лист
тсннии
лист
заполнитель
шлеи плотности
Рис. 17.10. Многослойная конструкция.

§ 17.5] СТАБИЛИЗАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ДАВЛЕНИЕМ
571
Методы 3, 4 и 5 являются общепринятыми в авиации методами укреп¬
ления фюзеляжей, за исключением того, что при изготовлении топливных
баков клепка обычно заменяется сваркой или точечной сваркой.
Возможно, что многослойная, или пористая, конструкция, показан¬
ная на рис. 17.10, будет наиболее эффективно противостоять осевой
нагрузке, действующей на не находящийся под внутренним давлением
цилиндр. Между двумя очень тонкими листами имеется промежуток
определенной величины, который заполнен легким мелкоячеистым веще¬
ством. Листы и наполнитель должны быть связаны между собой при
помощи таких материалов, на которые не влияли бы ни содержимое бака,
которое может быть охлаждено до очень низких температур, ни аэродина¬
мический нагрев. Большие трудности при применении многослойной
конструкции возникают при попытке обеспечить малый вес и эффективное
соединение отдельных частей конструкции и при ремонте различных
повреждений.
§ 17.5. Стабилизация цилиндрических оболочек давлением
Внутреннее давление в баке служит не только для того, чтобы увели¬
чить допустимую осевую нагрузку, но и для того, чтобы стабилизировать
оболочку; этот метод позволяет получить более высокие значения критиче¬
ских сжимающих напряжений в стенках бака. Если переписать урав¬
нение (17.5) в форме
ос = К0Е±,	(17.6)
где
А:. = 9(тТ,'+°-16(т),'3(т)0'3'	<"-7>
то стабилизирующий эффект внутреннего давления выразится в измене¬
нии постоянного члена в уравнении (17.6), которое примет вид
вс=(К0 + Кр)[Е±,	(17.8)
где Кр есть функция давления; величина Кр была описана эксперимен¬
тально следующим соотношением:
/^ = 0,191^(4^,	(17.9)
которое	справедливо	до	Кр = 0,229, после чего Кр	= 0,229	= const
для всех более высоких значений величины	Графически	эта зави¬
симость представлена на рис. 17.11.
Для двух цилиндров, рассматриваемых в нашем примере, внутреннее
давление, равное 50 фунт/дюйм2, обеспечивает максимальный эффект
стабилизации и Кр = 0,229. Таким образом,
Км = 0,082 + 0,229 = 0,311
SS
И
*^ = 0,132 + 0,229 = 0,361,
что дает
(<jc)ss = 3110 фунт/дюйм2
и
(Gc)ai = 2780 фунт/дюйм1.

572 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, структурный АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
Следовательно, при помощи внутреннего давления можно повысить
критические осевые сжимающие напряжения в стенках стального бака
на 280%, а в стенках алюминиевого — на 170%.
Atot	~*~Кр
0,100	0,200	0,300	0,400	0,300	0,300
L/R
Рис. 17.11. Влияние давления на продольный изгиб цилиндрических оболочек.
§ 17.6. Контейнеры для твердых топлив
В данной главе речь идет в основном о жидкостных ракетных системах,
так как они особенно пригодны для больших снарядов и летательных аппа¬
ратов. Вплоть до последнего времени твердотопливные ракетные двигате¬
ли не применялись в больших масштабах; и даже при большом увеличении
размеров твердотопливных шашек очень большие ракетные системы будут,
возможно, по-прежнему содержать в своем составе жидкостные двигатели
в качестве по крайней мере первых ступеней, пока не появятся новые сило¬
вые установки. С другой стороны, твердотопливные двигатели имеют ряд
преимуществ и кажутся конструктивно легко выполнимыми.
В общем, величины давления, которые должны выдерживать кон¬
струкции с твердым топливом, значительно выше значений давлений
в баках жидкостных систем. Таким бразом, главным конструктивным кри¬
терием при выборе материала для твердотопливной камеры сгорания будет
обеспечение предельно высокого отношения прочности к удельному весу.
Однако материал должен быть также вязким, так как в нем возникает двух¬
осное напряженное состояние, которое опасно для хрупких материалов.
В силу того, что большое значение придается величине отношения предела
прочности на разрыв к удельному весу, серьезное внимание уделяется
не только конструкциям из высокопрочных сталей с пределом прочности
на разрыв 275—300 тыс. фунт/дюйм2, но и хорошо известным высокопроч¬
ным нитевым структурам из очень чистых в химическом отношении метал¬
лов или неметаллов. Делаются значительные усилия в области разработки

§ 17.7]
ДРУГИЕ ПРОБЛЕМЫ ТОПЛИВНЫХ КОНТЕЙНЕРОВ
573
методов применения этих материалов. Изготовлены стеклянные нити, выдер¬
живающие напряжения при растяжении до 500—750 тыс. фунт/дюйм2;
возможно, удастся получить металлическую проволоку и волокна с пре¬
делом прочности около 1 млн. фунт/дюйм2. Если бы удалось изгото¬
вить листы из этих материалов или применить их без изменения свойств
для создания упрочняющей намотки вокруг корпуса бака с твердым
топливом, то можно было бы получить предельно легкую конструкцию.
Если говорить о способности нести осевую нагрузку, то шашка из
твердого топлива, помещенная в корпус снаряда, подвержена действию
значительных сжимающих усилий и служит для стабилизации тонко¬
стенного корпуса, когда последний находится под действием осевой
нагрузки. Методы анализа напряжений в твердотопливной шашке рас¬
сматриваются в § 17.10.
§ 17.7. Другие проблемы топливных контейнеров]
Кроме только что исследованных проблем, при анализе конструкции
топливных баков нужно рассмотреть еще много других, более мелких
задач. Например, применение находящихся под давлением тонких обо¬
лочек для баков с жидким или твердым топливом выдвигает задачу пере¬
дачи сосредоточенных нагрузок этим оболочкам. В этом случае необходима
значительная техническая изобретательность для того, чтобы предот¬
вратить местные перенапряжения.
При анализе как жидкостных, так и твердотопливных систем воз¬
никают проблемы, связанные с неустановившимся температурным режи¬
мом. Горячие газы твердотопливного двигателя рано или поздно сопри¬
коснутся с внешней оболочкой ракеты; в жидкостных ракетных систе¬
мах, использующих сжиженные газы, будет возникать резкий перепад
температур между поверхностями, соприкасающимися с охлажденными
жидкими газами, и поверхностями, подверженными действию аэроди¬
намического нагрева.
В космическом пространстве могут иметь место большие термические
деформации оболочки летательного аппарата, одна сторона которого
нагревается солнцем, а другая излучает тепло в пространство. Эти дефор¬
мации, возможно, и не вызовут уменьшения прочности конструкции;
но они могут изменить установленное направление тяги относительно
линии, проходящей через центр массы летательного аппарата, и затруд¬
нить наведение и управление им.
Во время старта и полета летательного аппарата в атмосфере со сверх¬
звуковой скоростью вся конструкция, в том числе и баки, подвержена
действию акустических вибраций, обусловленных как работой силовой
установки, так и наличием пограничного слоя. Эти вибрации могут вызвать
достаточно интенсивные резонансные колебания тонкой структуры, при¬
водящие к разрушению конструкции. После того, как летательный аппа¬
рат выйдет за пределы атмосферы, вибрации работающего двигателя, пере¬
дающиеся по конструкции, могут вызвать местные резонансные колеба¬
ния, влияющие на усталостные характеристики конструкции снаряда.
Эти проблемы вибраций в общем не существенны с точки зрения прочности
конструкции для снарядов, так как полное время полета снаряда относи¬
тельно мало, и снаряд не предназначен для выполнения более чем одного
полета. Время жизни спутников и космических летательных аппаратов
значительно больше, и в этом случае нужно учитывать возможность
усталостного разрушения,

574 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ и МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
При полете летательного аппарата всегда существует опасность
местного разрушения оболочки, находящейся под давлением. Это может
быть трещина, вызванная либо усталостью материала, как только что
упоминалось, либо случайным или вынужденным повреждением оболочки
изнутри летательного аппарата, либо попаданием в оболочку небольшого
метеорита. Известно, что одни материалы чувствительнее других к кон¬
центрациям напряжений; таким образом, трещина данной длины в одном
материале вызовет только падение давления в результате утечки, в то
время как точно такая же трещина в другом материале может начать
распространяться и вызвать взрывоподобное разрушение конструкции.
Следовательно, очень желательно выбрать такие материалы, которые
при наличии относительно больших трещин выдерживали бы концентрации
напряжений без разрушения, что давало бы возможность заделать обра¬
зовавшееся отверстие.
Посадка космического летательного аппарата на Землю или другую
планету, имеющую атмосферу, выдвигает серьезные требования к кон¬
струкции корабля на участке входа в атмосферу. До тех пор, пока возвра¬
щаемый реактивный летательный аппарат не сможет нести с собой количе¬
ство горючего, достаточное для поглощения энергии летательного аппа¬
рата при посадке, большая часть этой энергии должна поглощаться
атмосферой за счет аэродинамического сопротивления, которое приводит
к сильному нагреву оболочки корабля. Методы планирующего спуска
летательного аппарата выдвигают не только задачу придания аэродина¬
мических свойств тонкостенным оболочкам, находящимся под давлением,
но и проблемы комбинации теплопередачи и передачи нагрузки, объеди¬
ненных до такой степени, которая никогда раньше не встречалась в какой-
либо самолетной конструкции.
При полете в космическом пространстве нужно учитывать влияние
космической радиации различных видов на материал корабля. Известно,
что космическая радиация приводит к нарушениям в атомной структуре
металлов; если эти нарушения достаточно велики, то усталостная проч¬
ность (а возможно, и другие свойства) материала может значительно
уменьшиться. Ультрафиолетовое излучение оказывает вредное влияние
на многие пластики, превращая их в хрупкие вещества. Следовательно,
необходимо иметь информацию о влиянии космической радиации на свой¬
ства материала, прежде чем предпринять серьезный космический полет.
Такая информация должна быть получена от спутников-лабораторий,
на борту которых образцы материалов находятся в различных условиях
нагрузки и при различных формах радиационной защиты, если это необ¬
ходимо. Проблемой является также эрозия поверхности летательного
аппарата метеоритной пылью; этот вопрос также можно изучить при
помощи спутников-лабораторий, которые должны возвращаться на Зем¬
лю, чтобы можно было подробно изучить изменение свойств материалов.
§ 17.8. Эффективность детального расчета
Хотя большие конструктивные элементы летательного аппарата,
к которым относятся топливные баки, составляют главную часть веса
снаряда или космического летательного аппарата, необходим тщательный
расчет каждой детали конструкции, если мы хотим выявить все преиму¬
щества материала для того, чтобы получить конструкцию с минимально
возможным весом. Одной из проблем, требующих детального расчета
и анализа, является проблема соединений различных частей конструкции.

§ 17.8]
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЕТАЛЬНОГО РАСЧЕТА
575
Если анализ передачи нагрузки от одной части конструкции к другой
выполнен не очень тщательно, то возможно возникновение местных кон¬
центраций напряжений, что потребует дополнительного материала для
увеличения местной прочности. Эта проблема осложняется необходимо¬
стью использовать высокопрочные материалы, которые, в общем, обла¬
дают меньшей вязкостью, чем материалы с малой прочностью. Например,
местная концентрация напряжений в малоуглеродистой стали не пред¬
ставляет большой опасности, так как эта концентрация вызывает местную
текучесть материала, что приводит к перераспределению напряжений
и эффективному уменьшению влияния концентрации. В противополож¬
ность этому концентрация напряжений в некоторых высокопрочных
сплавах с малой вязкостью может вызвать разрушение вследствие того,
что материал не течет и не происходит перераспределения нагрузки.
Источником трудностей являются также всевозможные соединения
частей конструкции; их число, а следовательно, и добавочный вес должны
быть сведены до минимума, совместимого с назначением снаряда и эконо¬
мическими возможностями производства. Идеальной была бы конструкция
вообще без соединений, с. плавными переходами от одной нагруженной
части к другой. Например, при исследовании цилиндрических и сфери¬
ческих баков, проведенном в предыдущих разделах, предполагалось, что
толщина листа бака изменяется непрерывно в соответствии с местными
концентрациями напряжений. Однако промышленность производит листо¬
вой материал одинаковой толщины по всему листу, хотя и возможно
из некоторых материалов изготовить прокатанные утончающиеся листы;
кроме того, даже очень длинный лист имеет конечную ширину. Таким
образом, помимо стягивающей конструкции между отдельными баками,
каждый топливный бак должен иметь круговые и продольные швы и швы
вверху и внизу для присоединения крышек. Все эти соединения увеличи¬
вают вес конструкции и поэтому заслуживают самого тщательного вни¬
мания конструктора.
Присоединение двигательной установки к основному телу летатель¬
ного аппарата является другим возможным источником трудностей. Тяга
воздействует фактически на сопло, причем очень сильно сосредоточена.
Эта сила должна быть воспринята конструкцией и перераспределена
таким образом, чтобы тонкой оболочке корпуса летательного аппа¬
рата она передавалась в виде существенно равномерной нагрузки. Это
можно сделать, если приложить сосредоточенную нагрузку к очень мас¬
сивной конструкции, которая либо совсем не прогибается, либо проги¬
бается очень мало. Однако этот метод приводит к чрезмерному увеличению
веса летательного аппарата. Следовательно, необходимо так рассчитать
конструкцию, чтобы обеспечить плавный переход поля больших напряже¬
ний, локализованных на малой площади, в поле малых напряжений,
распределенных по большой площади, причем вес перераспределяющей
конструкции должен быть минимальным.
Хотя обычно при проектировании максимальные напряжения являют¬
ся определяющим фактором, имеются некоторые области проектирования,
в которых более важным фактором являются деформации. Например,
в случае многоступенчатого снаряда расцепление двух соседних ступеней
должно происходить ровно, сразу по всему периметру, чтобы не возникло
асимметричных нагрузок в концевых частях конструкций ступеней.
Освобождающий механизм, который при отсутствии нагрузки действует
удовлетворительно, при высоких нагрузках имеет обыкновение работать
неравномерно или с заеданием, что обусловлено главным образом взаимо¬

576 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕРИАЛЫ [ГЛ. 17
действием деформаций частей конструкции. Этот эффект нужно учесть
при проектировании и предусмотреть меры для его исключения.
Перемещения или вибрации частей конструкции могут также влиять
па выбор расположения приборов систем наведения и управления относи¬
тельно корпуса летательного аппарата, так как прогибы конструкции
могут изменить систему отсчета системы наведения или уменьшить вели¬
чину управляющего воздействия по сравнению с тем, что имело бы место
при отсутствии прогибов. В тех случаях, когда прогибы конструкции
имеют большое значение, более предпочтителен материал с высоким
отношением модуля упругости к весу, чем материал с высоким отношением
предела прочности к удельному весу.
§ 17.9. Проблема усталости материала конструкции
Хотя время полета снаряда невелико, а сам снаряд перестает суще¬
ствовать в конце полета, имеется ряд вопросов, связанных с проблемой
усталости материала конструкции снаряда. Такие вопросы появляются
в основном в процессе производства моделей снарядов, которые исполь¬
зуются для наземных испытаний и для тренажа. При наземных испытаниях
снаряд устанавливается в вертикальное положение, заполняется топливом,
которое затем выгорает здесь же на стартовой площадке; после этого
снаряд отправляют обратно на склад. Такая операция может быть про¬
изведена несколько раз, прежде чем снаряд действительно стартует. При
таких испытаниях топливные баки определенное и ограниченное число
раз будут подвержены возлдействию теплового удара при заполнении
и сливе топлива, воздействию возрастающего до рабочего уровня давле¬
ния (без действия на топливо инерционных сил ускорения), а также воздей¬
ствию колебаний, как акустических, так и передающихся по конструк¬
ции от двигателя. Так как рабочие напряжения в материале велики, то
может оказаться необходимым учитывать при проектировании усталост¬
ные факторы даже при малом числе циклов нагрузки (от 25 до 100). При
полете снаряда его конструкция будет испытывать воздействие инерцион¬
ных нагрузок и, возможно, звуковых колебаний, обусловленных аэроди¬
намикой пограничного слоя, а также местного флаттера плоскостей при
полете в атмосфере со сверхзвуковой и суперзвуковой скоростью.
При расчете конструкции космического летательного аппарата нужно
учитывать все эти факторы; дело осложняется тем, что время полета
в данном случае больше, летательный аппарат проходит через атмосферу
ие только при взлете, но и при возвращении, и наконец, конструкция
должна быть приспособлена для выполнения более чем одной задачи.
Следовательно, необходимо по крайней мере оценить спектр повторяю¬
щихся и колебательных нагрузок всех конструктивных элементов и рас¬
считывать эти элементы на основе усталостных характеристик материала.
Для увеличения длительности работы конструкции до усталостного
разрушения очень важно, во-первых, выбрать материал с большой дли¬
тельностью работы при данных напряжениях и, во-вторых, произвести
детальный расчет, чтобы предотвратить возникновение концентрации
напряжений, которые приводят к местному усталостному разрушению.
§ 17.10. Проблемы проектирования твердых топлив
Расчет и анализ твердотопливных шашек является относительно
новой областью, по крайней мере для инженера-конструктора. Раньше,
когда размеры шашек были меньше, можно было производить их расчет

§ 17.11]
ВЫВОДЫ
577
на основе метода проб; однако такой метод неприменим для шашек боль¬
ших размеров, которые требуются сейчас и потребуются в будущем.
Твердое топливо представляет собой вязкоупругий материал; из тако¬
го материала изготовляется шашка, внутри которой для обеспечения
надлежащей скорости горения есть профилированный канал. Поперечный
разрез шашки показан иа рис. 17.12. Во время горения на шашку дей¬
ствует высокое давление и высокие температурные градиенты. Хотя
анализ шашек с таким поперечным сечением сложен и труден, особенно
Оболаwa	Материал	а/аша
Рис. 17.12. Разрез пороховой шашки.	Рис.	17.13. Распределение напряжений в по¬
роховой шашке.
и силу того, что свойства материала далеки от свойств идеально упру¬
гого тела, существуют методы быстрого получения количественных рас¬
четных величин. Это — методы фотоупругости и сведения задачи к пло¬
ской. Таким способом можно относительно просто и дешево провести
исследования шашек с различными формами поперечного сечения, и окон¬
чательные испытания требуются только для тех шашек, форма которых
оказывается наиболее пригодной (рис. 17.13).
§ 17.11. Выводы
Очевидно, что некоторые из задач, которые стоят перед конструкто¬
ром ракетных летательных аппаратов сейчас и которые встанут перед
ним в будущем, будут решены тогда, когда будут разработаны новые,
высокопрочные, температуростойкие и высокожесткие материалы. Однако
успех или неуспех космического летательного аппарата будет сильно
зависеть от степени точности структурного анализа и расчетного искус¬
ства; более точный анализ позволяет исключить весь лишний вес без
уменьшения прочности, безопасности и надежности летательного аппарата.
Наилегчайшей конструкцией всегда будет та, в которой напряжения во
всех частях будут одинаково высоки и в которой форма каждой детали
космического летательного аппарата приспособлена для увеличения
несущей способности конструкции. При космических полетах вес являет¬
ся жизненно важным фактором, по крайней мере в настоящее время,
и к этим полетам нельзя относиться легко.
37 Космическая техника

578 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ, СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ и МАТЕРИАЛЫ [1V1. 17
ЛИТЕРА Т УР А
1. II i Ь Ь а г d II. I., Structures — Theory, Materials, Methods, Aeronaut. Eng. Rev.
12, 40—133 (1953).
2. Fung Y. C. and S e с h 1 e r E. E., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders
under Axial Compression and Internal Pressure, J. Aeronaut. Sci. 24 (No. 5), 351 —
356 (1957).
3. Williams M. L., Joint Stresses for a Cylinder with Spherical Caps of Various
Convexity and Concavity, U. S. Naval Odnance Test Station, Mechanical Evaluation
Memo 52-8, December 1952.
4. Slater J. C., The Effects of Radiation on Materials, J. Appl. Phys. 22 (No. 3),
237-256 (1951).
5. S a n d о r f f P. E., Structural Considerations in Space Vehicle Design, Massachusetts
Institute of Technology (ие опубл.).
6. Peterson J. P., Weight-Strength Studies of Structures Representative of Fuse¬
lage Construction, NACA TN 4114, October 1957.
7. Harris L. A., Suer H. S., S к e n e W. T. and В e n jamin R. J., The
Stability of Thin-Walled Unstiffened Circular Cylinders under Axial Compression
Including the Effects of Internal Pressure, J. Aeronaut. Sci. 24 (No. 8), 587—596
(1957).
8. Suer H. S., Harris L. A., Skene W. T. and В e n j a m i n R. J., The
Bending Stability of Thin-Walled Unstiffened Circular Cylinders Including the Effects
of Internal Pressure, J. Aeronaut. Sci. 25 (No. 5), 281—287 (1958).
9. Williams M. L. and О r d a h 1 D. D., Some Preliminary Photoelastic Design
Data for Stresses in Rocket Grains, Jet Propulsion 27 (No. 6), 657—662 (1957).

Г .[ДВА 18
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Миллард В. Барток (Millard V . Barton)*)
§ 18.1# Необходимость систематического подхода к проектированию
ракетного летательного аппарата
Снаряд или космический летательный аппарат является сложным
конгл омератом , состоящим более чем из 300 ООО деталей, каждая из кото¬
рых должна правильно функционировать при расчетных условиях.
Достаточно разрушения одной из них, чтобы в газетах появились заго¬
ловки типа «Неудачный снаряд». Если принять во внимание сложность
полной системы снаряда, то становится удивительным, что более 30%
первых ракетных летательных аппаратов поднялись с Земли. Такой:
успех является результатом тщательного планирования, высокого уровня
технических знаний, длительных досборочных и послесборочных испы¬
таний, современного уровня производства, значительных усилий людей
и некоторого элемента удачи. Удачное проектирование конструкции лета¬
тельного аппарата является важной частью успеха всей системы.
Конструкцию летательного аппарата можно считать в некотором
отношении каркасом, к которому крепятся разнообразные составные
части аппарата, например силовая установка, гидравлическая система,
система управления, топливная система и полезная нагрузка. В роли
каркаса конструкция обеспечивает передачу нагрузки от одной части
летательного аппарата к другой, а также определяет характерную форму
снаряда. Однако в новейших проектах описание конструкции несколько
отличается от данного определения. Иногда трудно провести четкую
границу между составными частями и конструкцией. На практике
пытаются спроектировать конструкцию так, чтобы она выполняла многие
функции; это очень важно с точки зрения исключения лишнего веса,
а также простоты и надежности летательного аппарата. При таком подходе
элементы конструкции, связывающие силовую установку и отсек с полез-
*) Разработка методов общего анализа представляет собой результат кол¬
лективных усилий исследователем'! с весьма разнообразными интересами и различ¬
ной квалификации. Обсуждение различных мнений, факторов и представлений
было проведено в порядке дискуссии. Разработка §	18.4	была	начата д-ром
М . Клаузером (MiИ on Clauser); затем в пей приняли непосредственное участие
II.	Л. Андерсон (Р. N. Anderson), П. Дергарабедиап (P. Deroarabedian), Б. Д. Фрид
(В. L). Fried), X. Джонсон (II. Johnson), А. Каплан (A. Kaplan), Дж. М. Ричардсон
(J. М. Richardson) и Г. Е. Соломон (G. Е. Solomon). Большой вклад в разработку
§ 18.5 сделали Дж. Г. Берри (J. G. Berry), Дж. Р. Фаулер (J. R. Fowler), 10. Фанг
(У. С. Fung), Г. Глсгорн (G. G ley horn). Дж. В. Майлз (.1. \\. Miles), В. Т. Том
сои (\V. Т. Thomson) н Дапа Юнг (Dana Young;).

580
ОБЩИЙ АН АЛ И.I РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА	L	Г.	1. 1 8
Рис. 18.1. Снаряд с точки зрения различных специалистов: / ---специалиста по аэродинамике, 2 — специалиста по сило¬
вым установкам, а — специалиста по системам наведения, 4 -- технолога, .■> — специалиста, разрабатывающего конструк¬
цию снаряда, в — испытателя, проводящего первый полет.

§ 1-8.2]
РАСЧЕТНЫЕ УСЛОВИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
581
ной нагрузкой, могут быть использованы в качество топливных баков.
Далее, давление в баках тоже может рассматриваться как часть конструк¬
ции, так как оно помогает нести нагрузки. В любом случае предпочтение
из всех возможных элементов конструкции должно быть отдано тому
элементу, который может нести нагрузку.
Главным принципом проектирования конструкции ракетного снаряда
является принцип малого веса. Ни в каком другом типе средства пере¬
движения лишний вес не сказывается так отрицательно. Несомненно,
никто не задумывается над добавлением нескольких лишних фунтов
к весу автомобиля, и хотя стоимость одного фунта веса самолета дальнего
действия составляет 340 долларов в год, мы рассчитываем на известный
комфорт в самолете, например на обитые кресла и художественное оформ¬
ление салопа. Для снарядов и космических летательных аппаратов дело
обстоит несколько иначе. Один фунт лишнего веса снаряда дальнего
действия может уменьшить дальность полета на 5 миль или больше.
Фунт лишнего веса спутника может оказаться достаточным, чтобы при¬
вести к неудаче запуска.
Успешное проектирование летательного аппарата предполагает зна¬
ние расчетных условий, применение технических и научных методов
для решения многих сложных проблем и объединение многих взаимодей¬
ствующих между собой компонент в одну законченную систему. Расчет¬
ные условия могут включать в себя условия окружающей среды на Земле
и в полете, назначение снаряда, условия его защиты и многое ,другое.
Определение величин нагрузок, температур и давлений, а также расчет
электрической, пневматической, гидравлической систем, системы управле¬
ния, силовой установки и корпуса снаряда требуют применения знаний
из области свойств материалов, аэродинамики, теории горения, термо¬
динамики, электроники и технологии производства. Все перечисленные
вспомогательные системы должны быть соединены физически и функцио¬
нально в единое целое. Расчет каждой вспомогательной систем])! должен
проводиться на основе ее положения в полной системе и множества
сложных взаимодействий, существующих между рассматриваемой вспо¬
могательной системой и остальной частью летательного аппарата. Опти¬
мальная полная система не есть обязательно сумма оптимальных вспо¬
могательных систем, рассмотренных отдельно друг от друга. Этот факт
иллюстрируется рис. 18.1.
Ниже рассматривается природа некоторых проблем расчета кон¬
струкции летательного аппарата и взаимодействия конструкции с дру¬
гими вспомогательными системами. Особое внимание будет уделено
изучению работы конструкции при движении снаряда на активном участке
траектории.
§ 18.2. Расчетные условия окружающей среды
Условия окружающей среды, исходя из которых нужно рассчитывать
снаряд, могут быть разделены на четыре группы. Это условия предстар¬
тового режима, полета в атмосфере, космического полета и возвращения
на Землю.
В общем выполнение расчетных условий предстартового режима
не сложно, так как при транспортировке и установке снаряда в вертикаль¬
ное положение на стартовой площадке могут быть приняты максимальные
меры предосторожности. Однако после установки снаряда в стартовое
положение на него начинает влиять множество неуправляемых факторов,

ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА	[ГЛ.	18
которые нужно учитывать, а именно: ветер, дождь, песок, переносимый
ветром, солнечный нагрев, образование льда, тепловой удар при запол¬
нении охлажденным топливом, резкие нагрузки при запуске двигателя,
землетрясения, акустический шум и даже катастрофические повреждения
баков высокого давления.
Условия окружающей среды в полете в известной степени более слож¬
ны; они оказывают максимальное влияние на расчет конструкции. Пред¬
положим, что старт снаряда прошел удачно; после старта снаряд прохо¬
дит через атмосферу с увеличивающейся скоростью, в результате чего
йбрсснна/яиуесние
СИЛЛ/
Удар
о метеорита
  ^ wvav Радиация
! I
VW.VV H/ujLf
V/AVAV
Дожил
'ЖШ Снег
в6а/со1
Г/е/Лв
2^2 7'епло
Силы, оУусловленные рада/77 а и
системы управления
Сила/, псявлл/ощиеся при
отделении ступеней
Сила тяги
Сила тяжести
2^55 Тепла
ч
Узра-
динамиоеоное
сопротивление
Рремя
Рис. 18.2. Условия окружающей среды, воздействующие на летательный
аппарат,
нарастают аэродинамические силы, действующие на снаряд, и нагрев его.
На снаряд воздействует акустический шум и силы, которые создает си¬
стема управления и которые служат для изменения направления вектора
тяги или перемещения управляющих поверхностей. Кроме того, на сна¬
ряд может действовать ветер, скорость которого возрастает. До отделения
очередной ступени происходит нарастание ускорения снаряда; в момент
отделения ступени ускорение резко падает, после чего снова последова¬
тельно нарастает до момента отделения следующей ступени. Может ока¬
заться, что нужно учесть воздействие пламени стартового двигателя.
Может иметь место и такой режим, когда после окончания начального

§ 18.3]
ВНЕШНИЕ ФОРМЫ
583
активного участка траектории снаряд некоторое время движется без
воздействия тяги, а затем вступает в действие последняя ступень; этот
режим осуществляется при выводе спутников па орбиту. На рис. 18.2
приведены некоторые качественные зависимости величин аэродинамиче¬
ского давления, ускорения снаряда и скорости ветра от времени полета.
В конце активного участка траектории на снаряд действуют космическое
излучение и дифференциальный нагрев. Возможно, что влияние радиации
на конструкцию проявляется только в течение длительного периода вре¬
мени, как, например, в случае спутника.
Условия возвращения снаряда на Землю выдвигают ряд новых
проблем, связанных в основном с большими величинами ускорений, высо¬
кими уровнями аэродинамического шума и максимально большими скоро¬
стями нагрева конструкции. Условия управляемого или неуправляемого
спуска сами по себе достаточно сложны и здесь рассматриваться не будут.
Расчет большей части конструкции определяется в основном усло¬
виями на активном участке полета; поэтому эти условия и будут прини¬
маться во внимание при дальнейшем обсуждении.
§ 18.3. Внешние формы
Принимая во внимание рассмотренные выше факторы, мы можем
задать вопрос: «На что похож летательный аппарат?» Пока неизвестны
все расчетные условия и параметры, например, используется ли твердое
или жидкое топливо, является ли кон¬
струкция монококовой или полу МОНО-
КОКОВОЙ, каково число ступеней, число
двигателей и т. д., на этот вопрос,
конечно, ответить нельзя. Однако даже
если известны эти условия, то общие
размеры, форма, распределение масс
между ступенями, вес конструкции и
расположение деталей снаряда могут
быть определены только после все¬
стороннего анализа полной системы
снаряда.
Чтобы проиллюстрировать этот
факт, рассмотрим возможные конфи¬
гурации двухступенчатого жидкостного
снаряда, показанные на рис. 18.3. Одна
из этих конфигураций, б или в, ка¬
жется лучшей С ТОЧКИ зрения накоп- Рис. 18.:!. Различные конфигурации
ленного опыта И интуитивного пред-	снаряда,
ставления о правильной форме. Дру¬
гая, а, может показаться абсурдной, возможно, вследствие нашего
пристрастия к обтекаемым линиям. Было бы ошибкой исключить из рас¬
смотрения форму а из-за утверждения, что сопротивление движению
снаряда такой формы велико. Верно, что сопротивление движению
снаряда, имеющего форму а, будет больше, чем при других формах,
вследствие большей площади поперечного сечения. Однако может быть,
что сопротивление движению снаряда является второстепенным фактором.
Тогда точно так же верно, что при большем диаметре баков требуется
меньтпее давление для стабилизации конструкции, что приводит к эконо¬
мии массы газа для нагнетания и веса соответствующего оборудования.

584
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 18
Может оказаться также, что баки с малым удлинением более предпочти¬
тельны с точки зрения величины отношения предела прочности к весу.
Несомненно то, что при такой форме изгибающие моменты меньше, чем
в других случаях. Все эти преимущества не позволяла, конечно, утверж¬
дать, что наилучшей формой снаряда является форма а\ можно сказать
лишь, что выбор формы снаряда должен быть сделан только после того,
как произведены сравнительные оценки различных форм и присущих
им особенностей.
Для того чтобы попытаться учесть и рассмотреть сложные взаимодей¬
ствия между существенными параметрами системы снаряда, можно пред¬
ложить две формы анализа, которые и будут рассматриваться. Первой
из этих форм является общий анализ расчетных режимов полета и пара¬
метров снаряда, при котором снаряд рассматривается как твердое тело
и который связан с исследованием формы, прочностных характеристик,
веса, дальности полета и других общих характеристик снаряда. Вторая
форма — общий динамический анализ — касается динамических реак¬
ций, вибраций, устойчивости снаряда и тому подобных факторов. Следует
подчеркнуть, что обе эти формы по существу не заменяют изобретатель¬
ность и умение правильно разобраться в деле хорошим инженерным рас¬
четом. Однако можно полагать, что аналитическое рассмотрение имеет
большое значение для конструктора, разрабатывающего системы с много¬
численными видами взаимодействия, так что только интуиция и жизнен¬
ный опыт оказываются недостаточными.
§ 18.4. Общий анализ расчетных режимов полета и параметров
Общий анализ расчетных режимов полета и параметров летательного
аппарата включает в себя объединенное исследование согласующихся
между собой условий, при которых все составные части летательного
аппарата взаимодействуют друг с другом надлежащим образом. В этот
анализ входит определение характерных признаков всей системы, напри¬
мер распределение полного веса между конструкцией снаряда, гидравли¬
ческой системой, двигателем, системой нагнетания; исследование влияния
на снаряд атмосферных условий; изучение геометрических аспектов,
размеров, формы, числа ступеней и взаимного расположения составных
частей снаряда; учет физических свойств: значений плотностей, допусти¬
мых напряжений материалов конструкции, величии удельных теплоем¬
костей и давления паров жидкостей. Проектирование и исполнение сна¬
ряда как единого целого определяется взаимодействием между этими
факторами, а также физическими законами, определяющими траектории
полета, законами аэродинамики, термодинамики, характеристиками
разрушения материалов, уровнем радиации и т. д. и подчиняется ограни¬
чивающим условиям максимального давления насосной установки, мини¬
мальной толщины стенок конструкции, определенного коэффициента
топливного состава и т. д.
В задачу общего анализа расчетных режимов полета и параметров
снаряда входит следующее:
1. Оценка начальных размеров и характеристик летательного аппа¬
рата при различных его конфигурациях.
2. Получение общих расчетных сведений о таких величинах, как
толщина стенок бака, вариации давления, нагрев конструкции, вес кон¬
струкции и т. д., т. е. о тех величинах, которые трудно определить вслед¬
ствие сложных взаимосвязей.

$ I 8.4] ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА И ПАРАМЕТРОВ 585
3.	Выяснение влияния изменения отдельных параметров на характе¬
ристики полной системы, например влияния увеличения сопротивления
па 1% — на дальность полета, температуры поверхности бака — иа пзлу-
чательную способность этой поверхности и т. д. Говоря математическим
языком, такие «обменные соотношения» представляют собой значения
крутизны скатов многомерных параметрических поверхностей, применяе¬
мых при анализе расчетных режи мов полета и параметро в летательного
аппарата.
18.4.1.	Система составляющих частей. Основным методом анализа
системы снаряда является замена детального анализа полной сложной
системы анализом нескольких относительно простых компонент, которые
взаимодействуют друг с другом. При таком методе отдельные компоненты
функционально связываются друг с другом, «выход» одной служит «вхо¬
дом» другой так, чтобы образовать замкнутую систему.
При общем анализе вследствие его сложности требуется применение
цифровых вычислительных машин. Таким образом, вычислительное
устройство становится основным орудием исследования и получения
информации о полной системе без проведения индивидуального, повторяю¬
щегося в деталях анализа компонент системы.
Анализ полной системы проводится таким образом, что позволяет
ввести в качестве входов системы такие параметры, как допустимые напря¬
жения, удлинение снаряда, критерий минимальности и т. д. При работе
вычислительного устройства некоторые переменные, изменяющиеся при
движении снаряда, такие, как изгибающие моменты, величины давления
и т. д., вычисляются для каждого момента полета, так что летательный
аппарат как бы сам рассчитывает последовательно свое движение в соот¬
ветствии с условиями и ограничениями проводимого анализа.
При таком анализе одним из выходных параметров является полный
вес снаряда. Полный вес равен сумме весов компонент, которые иногда
могут быть выбраны произвольно; например, для летательного аппарата
с жидкостным ракетным двигателем это относится к полезной нагрузке,
оборудованию для управления, двигателям, топливу, топливной системе
(трубопроводы и т. д.), гидравлическим системам, топливным бакам, бакам
высокого давления и газу, находящемуся в них, переходным конструк¬
циям, силовой установке и обтекателям. Вес каждой из этих составных
чаете]'!, за исключением веса полезной нагрузки, выражается как функция
основных переменных. В некоторых случаях эти соотношения могут быть
достаточно сложны; в других случаях могут быть использованы простые
линейные зависимости, например предположение, что вес конструкции
силовой установки пропорционален величине тяги. Уточнение таких
соотношений является задачей и результатом отдельного подробного
анализа.
Помимо определения передаточных характеристик при весовом ана¬
лизе компонент, анализ расчетных режимов полета и параметров лета¬
тельного аппарата должен включать в себя расчет других факторов.
Среди этих факторов можно назвать параметры траектории, величины
аэродинамических сил, силовых воздействий системы управления, скру¬
чивающих моментов, а также режим изменения давления, поверхностного
нагрева и термодинамические характеристики газа в баках. Например,
анализ траектории (гл. 2) состоит из анализа уравнений движения точеч¬
ной массы под воздействием гравитационных, аэродинамических сил
и силы тяги. Написанные уравнения соответствуют движению на несколь¬
ких составных участках траектории, таких, как вертикальный взлет.

ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 18
гравитационный разворот, движение с постоянным направлением тяги
и баллистический участок при условиях иевращающейся Земли, централь¬
ного поля гравитационных сил, воздействия аэродинамической подъемной
силы и сопротивления и вариаций плотности атмосферы и величины тяги
с высотой. Другие формы анализа основаны на аналогичных инженерных
предположениях.
18.4.2. Система взаимодействий. Рассмотрим систему взаимодействий
между частями летательного аппарата с жидкостным ракетным двигателем.
Основой для вывода уравнений весового баланса летательного аппа¬
рата является утверждение, что полный вес какого-либо агрегата равен
сумме весов всех его составляющих. Полный вес летательного аппарата
может быть представлен различными способами, например как сумма
стартового веса снаряда, веса конструкции, веса топлива и т. д. В любом
случае
W У И	(18.1)
Полный вес равен сумме весов компонент.
Рассмотрим весовой баланс одной из этих составляющих, например
топливного бака с жидким кислородом для одной ступени. Этот бак может
быть сам разделен на составные части, так
что
Осязая шза
//згаОа/ащая
ШШЯ/77
Срезтаю-
щая сала
Г,
Wt = Wc+We + Wj
(18.2)
■ ЖаОлаа
шсларад
Вес бака слагается из веса его цилиндриче¬
ской части Wc, веса концевых крышек We и
веса фитинговой арматуры Wf.
Рассмотрим теперь более подробно ци¬
линдрическую часть монококового бака, для
которого вес, приходящийся на единицу
длины, определяется соотношением
Wc=2nRTQm.	(18.3)
Вес цилиндрической оболочки пропорциона¬
лен ее радиусу ./?, толщине ти плотности
материала Qm. Толщина стенок бака в любом
случае зависит от нагрузки и допустимых
напряжений в материале бака.
Обращаясь к рис. 18.4 и предполагая,
что величины напряжений в материале бака
выбраны критическими, найдем, что толщина
стенок бака зависит от давления и темпе¬
ратуры в том случае, когда толщина стенки,
требуемая по условиям прочности, больше
минимальной толщины материала по усло¬
виям его производства. Условия температуры
и давления могут изменяться со временем и стать критическими в стенке
бака выше или ниже уровня жидкого кислорода. Толщина стенки бака
может быть определена по одному из трех соотношений: над уровнем
жидкости она равна
Р и.
18А. Схематический ралрел
топливного бака.
I 0(Т0) J,
(18.4)

§ 18.4] ОБЩИЙ АН АЛ И .4 РАСЧЕТНЫХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА И ПАРАМЕТРОВ 587
и зависит от радиуса бака, давления газов в нем и допустимых напряже¬
ний; под уровнем жидкости она равна
H I	!«.«•)
L	и	U	\)	J	max
и зависит от радиуса бака, давления в нем, множителя гидравлической
нагрузки 77, уровня жидкости а и допустимых напряжений; наконец,
т |тт1„,..х,	(18.46)
где хт — минимально допустимая толщина стенки ио условиям произ¬
водства.
Следовательно, если в каждый момент полета известны величины
давления, температуры и ускорения, то может быть определена необходи¬
мая толщина каждой секции бака. Однако каждый из перечисленных
факторов зависит от большого числа взаимодействующих эффектов. Рас¬
смотрим, например, как определяются допустимые напряжения, давление
в баке и температура его поверхности.
Величина допустимого напряжения может быть выражена как функ¬
ция температуры материала. Например,
о (Т) = а0 [ 1 — h (Т — 560)] при 560° К <Г< 1460°К	(18.5)
п зависит от напряжения при комнатной температуре о0 и температурного
коэффициента Ъ\
g(T)=gq при	Т < 560°К;	(18.5а)
а (Г) —0 при	Г > 1460° К.	(18.56)
Давление газа в баке с жидким кислородом может зависеть от ряда
условий. Предположим, что давление должно быть достаточно велико
для того, чтобы, во-первых, предотвратить закипание жидкого кислорода,
во-вторых,	предотвратить кавитацию	в	топливном насосе,	в-третьих,
обеспечить	структурную устойчивость	конструкции, а	именно,	ограни¬
чить осевые сжимающие напряжения в стенках бака. Чтобы выполнит!,
первое из этих условий, абсолютное давление газа в баке должно быть
выше, чем давление насыщенных паров жидкого кислорода. Второе
требование выполняется тогда, когда давление в баке достаточно высоко,
так что давление на входе в насос, включая и гидравлический напор в напор¬
ной трубе насоса, превышает на необходимую величину давление паров
жидкости. Третье требование можно выполнить, если предположить, что
осевая нагрузка на единицу длины окружности бака, обусловленная
давлением в баке плюс допустимым сжатием бака, больше, чем нагрузка,
вызванная действием инерционных сил, сил сопротивления и изгибающих
моментов. Эти условия могут быть сформулированы следующим образом.
С точки зрения выполнения первого требования
Р -= \Pv (Т) —Ра (Л)]тах	(18.Ii)
и зависит от величин давления насыщенных паров жидкости и атмо¬
сферного давления. Исходя из второго требования,
Р ^ [Pm+ Pv (Т) —ра (1г)—Ьщ0 [Ка +KS + s (1 — 6)/0]}пиД	(18. (Г)
и зависит от коэффициента избытка давления насоса, давления паров
жидкости, атмосферного давления и гидравлического напора насоса.

Г) 88
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 1$
С точки зрения устойчивости оболочки
2 МВ
Jti?3
р--=
Г nW , .
Lj
" ^ dQ "Ь (1 — s) naQfKfL J ]
(18.6")
и зависит от инерции ускоряемой изменяющейся массы, величины изги¬
бающего момента и аэродинамического сопротивления.
Температура материала стенки бака, которая является одним из фак¬
торов, определяющих величины допускаемых напряжений, зависит от
аэродинамического нагрева поверхности, излучения тепла поверхностью
бака и теплообмена между поверхностью и газом или жидкостью в баке.
Эта зависимость выражается в форме уравнения
йТ .
~dt
А'Г1 [(Г Се,А)А'5 (Г, — 7\) - GT\e + н (Г, - Т н)\.	(18.7)
Следует обратить внимание на то, что температура стенки бака есть
функция толщины этой стенки, а также скорости летательного аппарата
и плотности материала.
Эти уравнения приведены только для того, чтобы показать один
из типов взаимодействий. Из рассмотрения этих уравнений видно, что
вес топливного бака зависит от толщины стенок бака, которая есть функ¬
ция давления газа в баке и допустимых напряжений материала стенок
бака. Давление в баке является функцией температуры бака, ускорения
снаряда, изгибающих моментов, высоты полета и аэродинамического
сопротивления; в свою очередь эти параметры зависят от толщины стенок
бака, плотности материала, веса летательного аппарата и т. д.
Т а б л и ц а 18. I
Диаграмма общего анализа расчетных параметров топливного бака
Анализ леса бака
/
/п
I ^
: к„
Qm, е„. о
W(t)
\ F(l)
I
Ti„ (/),
Ttо (0.
Удлинение бака
Секундный массовый расход
топлива для каждой ступени
Времена выгорания и отделе¬
ния каждой ступени
Минимальная толщина стенок
бака
Положение топлива в баке
Коэффициент топливного со¬
става— отношение веса го¬
рючего к весу окислителя
Плотности материала стенок,
окислителя и горючего
Полный вес снаряда как
функция време m г
Тягп (л=йг)
Величины давления в баке
с окислителем и горючим
Т1 f (7) Величины температуры откры¬
тых стенок баков с окисли¬
телем и горючим
7\>/ (/) Величины температуры защи¬
щенных стенок баков с
окислителем и горючим
Р/ (0
Вес бака
Радиус бака
Длина бака
Величины толщины стенок |
баков с окислителем и \
горючим в различных I
сечениях
W г
Я
т.
г.а

ЗыхоР
РеоР основных
переменных
Ре Я'?
Ьт
J=T,2
v=b, в
II
ввод параметров
Wns
НЛа.ЫуНХНХг
и
О]■'(/77, Ит
S
р07, б(Т)
Рг,Ро
Г, L*a, b, aVt /v, с *
ъ
Pv(T)
(н’Рн> Он, 6н> Ohs
Ы(0)М0),тш\
Р 6, Os, Gg, Gg)
Атмосферные Ранные
Ра №> Ра ft), Ta(h) Ca(h)
*0
///
Весовой баланс
и£ Ир
ЧЧ.Нну
XjrX/HX
иН
Що
WlF(t)
Що
<
w/’b
/У
Уравнения траентораи Реишния
R
v20
7,ft)
Ffh)
mt)
ffv
<7ft),v(t),cpt),m)
\Сд(т,а)
7>(t),vft),nft)
\CL(m,a)
V/
Анализ веса Ранее
l'r
w;
WJ. tj
nv
tm,Cr, S
avft),n(t),R%f/fa,Fr
ИСРо.РмРг
rv, a twJif
mt)
w*
F(t)
(r
Pv0(t),ppt)
{TjVpt),T/f(t)
Wo(t),r/g(t)
VI//
Анализ нагрева оРолонпи снаряРо
а термоРинамини Ранее
Wj.tj
Ш/ЩТМТт
\S,S:CsXo: Ff,P0,Pr
h(t),vft),n(t)
ИИЫИ
Pa ft), pi ft)
Ашшрернз/е Ренна/е
„ W/c
timm
T/o(t)Jzo(t)\
mjpt)
V
Анализ салазой установки
Pa:Pe
m
WJ
Ffh)
PaM
Fft)
%L*a,b, a.y,7ytc*
PmO>P/77f
Irft)
VII
Be/paPemm программы
Равнения e банах
Po>Pf,’Puc(0)>Pvo0')}((s
PM
qtt), Cgtt), v(t)th(t)
p?ft)
Mb с ft) (fffpft)
Pa/O’ Pa7p
aW,n(t)XLvf/<o,Kp
Toft), T/ft)
Pa ft)
Анализ сил сопротив¬
ления и лаРх/емноР силы
1т
4Ujt
Gjj(a,m)
CL(a,m)
Анализ веса Ранее
еысоного Раеления
Thsi 1н,Рн, Он, &н
"е
wv
™PR
Анализ сис/пемы
управления и изги-
Ра/ощих мамен/пев
щ,Ь,Ч
Hffg(t),
на
Mdyt)-
<7ft)
РО’Рг
F(t)
ао
Рис 18 5. Блок-диаграмма общего анализа расчетных режимов полета и параметров летательного аппарата (соединения связей показаны точками).
Космическая техника

18.4] ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА И ПАРАМЕТРОВ 589
Таблица 18.3
Разработка программы давления при общем анализе расчетных
режимов полета
Анализ программы давлении
j wn
|
I K8
s
Poo (0. Pof (0
Qo> Qf
Pmo» Pmf
Pa (h)
9(0
a (t)
n(t)
L
R
К о, Kf
Toil), 7/(0
Сц (M)
^Bo(0i Mn-j(t) Изгибающие моменты, дей-
I	ствующие на бак с окисли-
|	телом и бак с горючим, как
I	функции времени
Весьма полное описание задачи может включать в себя свыше 70 урав¬
нений и 100 переменных и параметров для каждой ступени. Взаимо¬
связи могут быть выражены в виде блок-диаграммы, показывающей поток
информации от одной части анализа расчетных режимов полета и пара¬
метров летательного аппарата к другой. Две такие блок-диаграммы, пока¬
зывающие расчет топливного бака и анализ программы давления, при¬
ведены в табл. 18.1 и 18.2, а полная диаграмма анализа всего снаряда
приведена иа рис. 18.5.
18.4.3.	Расчетные параметры и обменные соотношения. Процесс
подготовки к расчету заключается в выборе входных величин параметров
и основных переменных, например величины удлинения бака, числа сту¬
пеней, величины плотности горючего, материала бака, числа двигателей,
характеристик тяги, величины массового расхода и т. д. Расчет состоит
в определении подходящего ряда переменных, таких, как размеры бака
в каждом сечении, давление в баке и т. д., удовлетворяющих в каждый
момент полета условиям, введенным в анализ. Непосредственным выхо¬
дом вычислительного устройства является величина полного веса и даль¬
ности полета летательного аппарата; при желании можно получить вели¬
чины многих внутренних параметров, например размеры стенок бака,
Вес полезной нагрузки
Коэффициент нагнетании
Положение топлива в баке j
Давление паров окислители i
и горючего как функции j
температуры	i
П лотности окислителя и го- i
рючего	!
Коэффициенты запаса давле- j
иия насосов подачи окисли-!
теля и горючего
Атмосферное давление как
функция высоты пли вре¬
мени
Динамическое давлен не
Высота жидкости в баке	|
Тяговооружсштость снаряда i
Длина бака	j
Радиус бака	!
Топливные отношения	|
Величины температуры окне- ;
лителя и горючего	|
Коэффициент сопротивл спня
как функция числа Маха
Давление в баке с окисли- рп(1) !
телем как функция вре¬
мени	|
Давление в баке с горючим />,-(/) j
как функция времени	|

590
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. t 8'
величины изгибающих моментов, давлений и т. д. Нужно подчеркнуть,
что результат расчета представляет собой возможный и реалистичный
летательный аппарат. Ниже приведены некоторые результаты анализа
расчетных режимов полета и параметров ряда двухступенчатых снарядов
большой дальности при одном и том же
значении начальной тяги.
Д а в л е н и е в баках. На
рис. 18.6 показаны требуемые времен¬
ные зависимости внутреннего давления
в баке с жидким кислородом первой
ступени двухступенчатого снаряда; раз¬
личные кривые соответствуют различ¬
ным условиям, рассмотренным выше.
Увеличение давления около средней
части полета, необходимое с точки
зрения устойчивости конструкции, обу¬
словлено увеличением изгибающих мо¬
ментов, связанных с большим динами¬
ческим давлением на снаряд. Резкое
падение давления, необходимого для
предотвращения кавитации, вблизи момента окончания работы ступени
обусловлено уменьшением давления в напорной трубе насоса; уменьше¬
ние располагаемого напора происходит в течение короткого времени,
сравнимого с временем, необходимым для изменения напора на выходе
из бака.
Т е м и е р а т у р а с т е и о к б а к а. На рис. 18.7 показано изме¬
нение температуры стенок вблизи верхнего торца бака с жидким кисло
родом первой ступени снаряда. Приведенные кривые соответствуют раз¬
личным материалам бака: нержавеющая
сталь или алюминий. Нужно заметить,
что толщина стенок бака из стали:
меньше, чем из алюминия. Максималь¬
ное значение техмпературы для обоих
материалов наблюдается вблизи момен¬
та окончания работы ступени; затем
температура начинает уменьшаться,
так как в силу низкой плотности воз¬
духа уменьшается динамическое давле¬
ние и аэродинамический нагрев. Пред¬
полагалось, что для стали коэффициент
излучения равен 0,9, а для алюминия
равен 0,2. Окраска алюминия несколько
уменьшает максимальную температуру
стенки.
Т о л. щ и и а с т е и о к б а к а.
На рис. 18.8 приведены характери¬
стики толщины стеиок вблизи верхнего торца баков с жидким кисло¬
родом первой и второй ступени двухступенчатых снарядов одинаковой
дальности, несущих полезные нагрузки различного веса. Интересно
отметить, что требуемая толщина стенок баков первой ступени умень¬
шается с увеличением полезно]'! нагрузки, в то время как толщина стенок
баков второй ступени растет с увеличением полезной нагрузки. Этот
кажущийся' странным факт можно объяснить следующим образом. Увели-
Сержаее/сщся сталь
(тслщила стел ли г)
Старт
Время
Солец
работе/
стулели
Рис. 18.7. Температура стенок бака
с жидким кислородом.
работы
стулели
Время
Рис 18.П. Давление и баке с жидким
кислородом.

* 18.4] ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА И ПАРАМЕТРОВ 591
Первая ступень
Вторая ступень
7	2	3
Полезная на грузна
Рис.
18.8. Толщина стенок бака
с -жидким кислородом.
чение веса полезной нагрузки увеличивает полный вес снаряда. При
данной величине начальной тяги ускорение, а следовательно, и скорость
снаряда в плотных слоях атмосферы будут меньше, что повлечет за собой
уменьшение подвода тепла к стенкам бака
первой ступени, соприкасающимся с атмо¬
сферой. Вследствие более низкой температу¬
ры допустимые напряжения в материале мо¬
гут быть выбраны более высокими. Этого
увеличения допустимых напряжений более
чем достаточно для компенсации эффекта
увеличения осевой нагрузки на бак, свя¬
занного с увеличенным весом второй ступени;
в результате этого толщина стенок бака
первой ступени уменьшается. С другой сто¬
роны, баки второй ступени не получают
преимущества вследствие более низкой скоро¬
сти снаряда, так как во время нагрева¬
ния жидкий кислород соприкасается со
стенками бака. Следовательно, в этом случае изменение толщины стенок
бака обусловлено только увеличенной нагрузкой.
В е с к о и с т р у к ц и и. На рис. 18.9 полный вес и вес конструкции
различных двухступенчатых снарядов одной и той же /дальности пока¬
заны как функции веса полезной нагрузки. Из рассмотрения этих кривых
видно, что вес конструкции увеличивается с ростом полезной нагрузки
не так быстро, как стартовый!вес.fЭто дей¬
ствительно так, потому что при1*1 увеличен¬
ном весе полезной нагрузки требуется боль¬
шее количество топлива, что непосредствен¬
но сказывается на стартовом весе, в то вре¬
мя как конструктивные параметры большей
части баков не превышают минимальных
по условиям технологии значений, даже
в случае более громоздких] баков, необ¬
ходимых при наличии дополнительного
топлива. Кривые этого типа используются
при определении S’ отношения веса кон¬
струкции к полному^весу. Таким же обра¬
зом при помощи кривых, [связывающих вес
конструкции и полный вес, можно получить
обменное соотношение для веса полезной
нагрузки и полного веса, т. е. «стоимость»
фунта полезной нагрузки, выраженную в
фунтах полного веса; в нашем случае для увеличения веса полезной
нагрузки на одни фунт нужно увеличить полный вес на 200 фунтов.
Д а л ь и ост ь и л и с к о р о с ть полета с и а р я д а
в к о и ц е активного участка. Другим интересным результа¬
том является зависимость между дальностью или скоростью полета снаряда
в конце активного участка траектории и полным весом двухступенчатых
снарядов при различных значениях полезной нагрузки. Эта зависимость
графически представлена на рис. 18.10. Приведенные кривые дают непо¬
средственно обменное соотношение между дальностью полета л весом
снаряда. Например, для увеличения дальности полета па одну милю может
потребоваться дополнительно от 20 до 50 фунтов полного веса в зависи¬
Втартовь/п вес
Вес нонетрунцаа
н 1 Г
7	2	3
Полезная нагрузна
~'Т
4
Рис. 18.У. Зависимость стартового
веса и веса конструкции снаряда
от его полезной нагрузки.

592
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 18
мости от величины полезной нагрузки. Эти кривые могут быть скомбини¬
рованы с приведенными выше кривыми для того, чтобы получить допол¬
нительные обменные соотношения, например между весом конструкции
и /дальностью полета (увеличение веса кон¬
струкции на один фунт уменьшает дальность
полета на одну милю) и т. д.
§ 18.5. Общий динамический анализ
После того как и а основе заданных ха¬
рактеристик всей системы летательного аппа¬
рата, таких, как дальность полета, вид систе¬
мы наведения, величина полезной нагрузки
и т. д., произведен общий анализ расчетных
режимов полета и параметров летательного
аппарата, необходимо дальнейшее исследо¬
вание, проводимое для того, чтобы обеспе¬
чить управляемость снаряда, защиту обору¬
дования от динамических нагрузок, а также
для того, чтобы ограничить динамические
напряжения и предотвратить усталостное
разрушение материала снаряда. Такое исследование должно касаться
явлений, влияющих на динамические реакции летательного аппарата
в полете, и называется поэтому общим динамическим анализом.
Общий динамический анализ состоит в определении параметров
отдельных взаимодействующих между собой динамических факторов,
например движения снаряда как твердого тела, податливости частей
конструкции на изгиб, движения двигателя в шарнире, характеристик
системы управления, аэродинамических сил и силы тяги. Совместный
анализ этих факторов позволяет определить возмущения траектории дви¬
жения, динамические реакции различных частей несущей конструкции,
динамическую устойчивость летательного аппарата, .динамику движения
топлива в баках, углы поворота двигателя в шарнире и многие другие
величины как непрерывные функции времени в промежутке от старта
до конца активного участка.
Динамический анализ выполняется аналогично анализу расчетных
режимов полета и параметров летательного аппарата заменой анализа
полной системы анализом ряда относительно простых компонент, взаимо¬
действующих между собой.
18.5.1.	Составные части динамического анализа. Уравнения плоского
движения летательного аппарата записываются в виде уравнений Лагран¬
жа, для составления которых необходимо знать выражения кинетической
и потенциальной энергии полной системы.
Плоское движение летательного аппарата разделяется на продольное
и боковое. Изгиб конструкции выражается через нормальные формы коле¬
баний летательного аппарата, рассматриваемого как балка со свобод¬
ными концами, с учетом влияния вращения летательного аппарата и сре¬
зывающих усилий. Масса летательного аппарата предполагается постоян¬
ной, так что уравнения движения действительны на коротких участках
полной траектории полета; в течение каждого такого участка можно пре¬
небречь изменением массы летательного аппарата, частот изгибиых и про¬
дольных колебаний, форм колебаний, плотности воздуха и ускорения
силы тяжести. Таким образом, уравнения достаточны для определения
Рис. 18.10. /Дальность полета как
функция стартового веса снаряда
при различных значениях его по¬
лезной нагрузки.

§ 18.5]
ОБЩИЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
593
реакций летательного аппарата на возмущения в заданной точке траекто¬
рии. Переменные как непрерывные функции времени на всей траектории
могут быть получены интегрированием уравнений по участкам, чтобы
учесть изменение массы и других параметров летательного аппарата.
Основные исходные предположения динамического анализа можно
сформулировать в следующем виде.
1. Масса летательного аппарата постоянна.
2. Начало подвижной системы координат совпадает с центром масс
летательного аппарата, включая сюда двигатель в шарнирном под¬
весе, а также жидкое или твердое
топливо.
3. При расчете форм изгиба
учитывается влияние вращения
летательного аппарата и срезы¬
вающих усилий; предполагается,
что точка приложения силы тяги
двигателя и центр масс топливных
баков лежат на оси летательного
аппарата. Влияние инерционных
сил вращения жидкости в топлив¬
ных баках рассматривается от¬
дельным пунктом.
4. Влиянием осевых сил на
изгиб пренебрегаем.
Полная система уравнений,
описывающих динамику летатель¬
ного аппарата, состоит из уравне¬
ний движения центра масс, урав¬
нений изгибных и продольных
деформаций конструкции снаря¬
да, уравнений динамики жидкости
(жидкого топлива), уравнений
движения двигателя в шарнире и уравнений системы управления. Дви¬
жение снаряда складывается из движения центра масс системы и движе¬
ния относительно подвижной системы осей, проходящих через центр
масс, как показано на рис. 18.11.
18.5.2.	Уравнения движения. Чтобы показать природу динамических
взаимодействий при движении летательного аппарата, будут приведены
некоторые упрощенные уравнения. Упрощение было достигнуто за счет
пренебрежения некоторыми эффектами второго порядка, например корио-
лисовым ускорением, и за счет некоторых физических ограничений,
например предположения, что угол атаки мал. В выбранной координатной
системе уравнение движения центра масс может быть записано в проек¬
циях иа оси х и у. В проекции на ось х уравнение движения имеет вид
М &0- V0$x) =Th-Mgcos О + F*.	(18.8а)
Инерционная сила есть функция тяги, силы тяжести и аэродинамического
сопротивления. В проекции на ось у уравнение движения имеет вид
М (V0a + F0P) = Th8 + Thue + Mg sin О + F*y.	(18.86)
В этом случае инерционная сила есть функция эксцентриситетной состав¬
ляющей тяги, изгибающих усилий, силы тяжести и аэродинамических
38 Космическая техника
Лаеитекашк к траектории
центра м а ее
Рис. 18.11. Системы координат.

594
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 1&
сил. Наконец, уравнение вращения относительно центра масс записы¬
вается в форме:
^ (/■&) = —Th[(8 + Ue)le + Ue] + Mcg*.	(18.8в)
Здесь инерционный момент есть функция эксцентриситетной составляю¬
щей тяги, изгибающего момента и аэродинамической силы.
тг-я форма изгиба. Боковое перемещение оси летательного
аппарата относительно подвижных осей определяется уравнением:
и = С0 (t) + Ci (t) X + 2 Яг (t) Фг (х).	(18.9)
Это перемещение	есть функция расстояния вдоль оси снаряда, скорости
вращения снаряда вокруг оси и изгиба оси снаряда.
Уравнение, определяющее обобщенную координату изгиба, имеет вид
M(q + 2есoq + со2#)	— б ^ яФ dme + 2	(0	и' +
+	[СФ(*)-|яФ'	(*)] С =
= [рФ dx + Th[(8 + щ) Ф (- le) - KsMcg. (18.10)
Яявермос/пг?
' яшЯяяшя
Изгибающий момент, шарнирный момент двигателя, вращение жидкости
и изменение формы ее поверхности зависят от аэродинамических сил
и составляющих тяги.
Движение жидкости в у-м баке. Движение жидкости
со свободной поверхностью в топливном баке отчасти похоже на движение
жидкости в качающейся чайной чашке.
Это движение может оказывать значи¬
тельное влияние на летательный аппа¬
рат, несущий тысячи фунтов жидкого
топлива, во-первых, вследствие того,
что большие массы жидкости во время
полета изменяют свое положение и,
во-вторых, вследствие принципиаль¬
но низкого демпфирования этого дви¬
жения.
Уравнения движения жидкости
получены в теории гидродинамики; для
их вывода необходимо находить потен¬
циальную и кинетическую энергию
жидкости во вращающемся и переме¬
щающемся баке. Перемещение поверх¬
ности жидкости выражается через ам¬
плитуду £ для каждой формы перемещения, как это показано на рис. 18.12.
Демпфирование, обычно специально увеличиваемое установкой в баках
волногасителей или других устройств, определяется экспериментально.
Уравнение движения поверхности жидкости имеет вид
mBl + M^’bi + 2mE (а* + g cos'ft) £ +
+ т ^Gu —Du'^ = — mGay — m(pl —ft. (18.11)
Правая часть этого уравнения есть функция инерционных сил, действую¬
щих на жидкость.
Лостулателбяая
и яращатеяйше
сос/павля/ощш
схярости
снаряда
Рис. 18.12. Движение жидкости в баке.

§ 18.5]
ОБЩИЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
595
38*
Рис. 18.13. Упрощенная блок-диаграмма общего динамического анализа.

596
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 18
Взаимосвязь отдельных форм динамического анализа может быть
выражена в виде блок-диаграммы. В табл. 18.3 и 18.4 показаны две части
диаграммы, характеризующие анализ явлений изгиба и движения жидкого
топлива в баке. Полная диаграмма приведена на рис. 18.13.
Процесс подготовки к расчету заключается в выборе участков траек¬
тории полета, которые подлежат исследованию, т. е. тех участков, где
направление полета снаряда отклоняется от вертикального, или тех
случаев, когда на снаряд действует порыв ветра. Входными величинами
при аналитическом исследовании служат разнообразные параметры,
переменные и начальные условия. Напри¬
мер, в число параметров могут входить
распределение масс и жесткостей, коэффи¬
циенты системы управления, параметры
демпфирования движения топлива в баке,
геометрические характеристики бака и
аэродинамические коэффициенты. Началь¬
ные условия определяют ориентацию ле¬
тательного аппарата, составляющие его
скорости, уровень жидкости в баке и т. д.
в начальный момент периода времени, в
течение которого должны быть определены
динамические реакции летательного аппа¬
рата. Возмущениями, действующими на
летательный аппарат и определяющими
его динамические реакции, являются сиг¬
налы системы управления, порывы ветра,
внезапное изменение тяги, связанное с отделением ступени, и другие
факторы, представляющие интерес. Затем снаряд «летит» в вычисли¬
тельном устройстве, причем вычисляются величины амплитуд движе¬
ния жидкости в баках, обобщенных коэффициентов изгиба и т. д. В ка¬
честве выходных величин вычислительного устройства могут быть
выбраны столько и такие функции времени, какие нужно, например
ускорение носового конуса летательного аппарата, изгиб межступенча-
тых связей и давление в распределительном цилиндре системы управ¬
ления.
18.5.3.	Динамические реакции. В качестве примера динамического
анализа рассмотрим движение снаряда под действием бокового порыва
ветра, схематически показанного на рис. 18.2. Одним из расчетных усло¬
вий динамического анализа является обеспечение успешного прохожде¬
ния летательного аппарата через высотный ветровой поток, скорость кото¬
рого может достигать нескольких сотен футов в секунду. На больших
высотах возможен такой случай, когда скорость ветра сначала увеличи¬
вается, а затем резко падает с высотой, так что снаряд пролетает через
-«ветряной клин», как это показано на рис. 18.14. Это похоже на'то, что
происходит при высоком динамическом давлении во время полета, когда
для того, чтобы удержаться на заданной траектории, летательный
аппарат может двигаться при больших значениях угла атаки и под воз¬
действием соответственно больших аэродинамических сил.
Было изучено влияние отдельного «ветряного клина» на движение
первой ступени летательного аппарата с жидкостным ракетным двигате¬
лем. Когда на снаряд начинает действовать боковая сила ветра, система
наведения стремится поддержать заданный курс и посылает в систему
управления сигнал на изменение направления тяги. Боковой снос ветром
7/7ае/гтодал
поооомущелнозо
дог/желал ^
Эшра
сладостей
оетда
Дальность полета
Рис. 18.14. Снос снаряда ветром.

§ 18.5]
ОБЩИЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
597
Таблица 18.3
Блок общего динамического анализа изгиба оси летательного аппарата
Изгиб
М, т Массы
0	Собственные частоты колебаний
ср Амплитуды различных форм колебаний бал¬
ки со свободными концами
Л, G, D Динамические коэффициенты колебания
жидкости в баке
1	Расстояние от центра масс
2	Параметр двигателя
Ф' Величины крутизны различных форм коле¬
баний
и ' Угловое ускорение относительно координат¬
ных осей х, у
С Ускорение поверхности жидкости в баке
6 Угловое ускорение поворота двигателя
р Аэродинамическая сила на единицу длины
Те Тяга
Тс Силовое воздействие регулирующих органов
б Угол поворота двигателя
Uq Наклон изогнутой оси летательного аппа¬
рата в точке крепления двигателя
Afcg Момент трансверсальных сил относительно
центра тяжести
Выходные величины:
обобщенная коор¬
дината q
скорость q
ускорение q
j
Таблица 18.4
Блок общего динамического анализа движения жидкости
в топливном баке
Движение жидкости в топливном баке
m .
Масса жидкости в /-м бакс
Выходные величины
анализа движения
жидкости:
Р
Коэффициент демпфирования
амплитуда
G, D, Е
Динамические коэффициенты
скорость
t
ах
Проекция ускорения центра масс на ось х
ускорение
V
ау
Проекция ускорения центра масс на ось у
g
Ускорение силы тяжести
0
Угол, отсчитываемый от вертикали
к оси X
0
Угловое ускорение оси отсчета
и
Ускорение относительно оси отсчета
и '
Угловое ускорение относительно оси от¬
счета
!
j
1

598
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА	[ГЛ.	18
при анализе сначала фактически учитывается как входная величина
системы и выражается через изменение угла атаки. Это изменение угла
атаки влияет иа аэродинамические силы, которые в свою очередь изменяют
положение летательного аппарата; сигналы с чувствительных элементов
преобразуются в цепях системы управления и вызывают изменение давле¬
ния масла в цилиндре гидравлического привода поворота двигателя.
Изменение направления тяги вы¬
зовет изменение угла атаки, что
изменит аэродинамические силы,
и т. д.
Поворот двигателя
в шарнире. График враща¬
тельного движения двигателя
летательного аппарата, проле¬
тающего через «ветряной клин»,
показан на рис. 18.15. Когда лета¬
тельный аппарат входит в «ветря¬
ной клин», угол поворота двига¬
теля начинает медленно изменять¬
ся, чтобы нейтрализовать влияние
боковой силы ветра. При возрастании скорости ветра угол поворота
двигателя резко возрастает и достигает максимума несколько позже
того момента, когда скорость ветра становится максимальной. Затем
угол поворота двигателя начинает уменьшаться, чтобы противодействовать
установившемуся вращению летательного аппарата и вернуть его в
положение равновесия.
Поворот двигателя является относительно плавным, с небольшими
амплитудами нерегулярностей, обусловленных, очевидно, высокочастот¬
ными составляющими, кото¬
рые действуют иа систему.
Изгибающий м о-
м е н т и и з г и б оси
летательного аппа¬
рата. На рис. 18.16 пока¬
заны зависимости от времени
изгибающего момента и про¬
гиба оси летательного аппа¬
рата в сечении вблизи его
середины. В этом случае, ког¬
да на летательный аппарат
начинает действовать ветер,
угол атаки изменяется, вызы¬
вая возникновение подъемной силы, действующей на носовую часть
летательного аппарата. Описанное выше изменение угла поворота дви¬
гателя вызовет изменение направления тяги, так что появится боковая
сила, приложенная к хвостовой части летательного аппарата. Эти силы
вместе с силами инерции стремятся прогнуть летательный аппарат как
балку. В общем изгибающий момент и прогиб оси летательного аппарата
увеличиваются с увеличением скорости ветра. Однако на такой общий
изгиб накладываются колебания, соответствующие третьей форме изгиба.
Возможно, что третья форма изгиба возбуждается некоторыми внутрен¬
ними составляющими сил системы управления, имеющими подходящую
частоту.
Изгиба/ащиа
Прафала парша
аатра
ч \ Прага# аса
^ лататалмага
аппарата J
Рис. 18.16. Реакция изгибающего момента и про¬
гиба оси летательного аппарата на порыв ветра.
Р ' - -Щ
Угол пааарота
Увигаталл
в шар пара
Профиль
парша
аатра
\
Рис. 18.15. Реакция угла поворота двигателя
на порыв ветра.

§ 18.6]
ВЫВОДЫ
599
Колебания топ л ива в бака х. На рис. 18.17 показана
зависимость от времени амплитуды движения уровня жидкого кислорода
в баке. При входе летательного аппарата в «ветряной клин» появляются
силы, которые вызывают изгиб и вращение летательного аппарата. Жид¬
кость в баке перемещается и начинает колебаться. Возможно, что эти
колебания имеют низкую частоту, примерно 0,5 гц, в зависимости от раз¬
меров бака, плотности жидкости и величины продольного ускорения.
Внутреннее демпфирование в жидкости очень мало, что может привести
к неустойчивости при недостаточ¬
но тщательном расчете системы.
Движение жидкости относительно
стенок бака также вызовет допол¬
нительные силы, действующие на
стенки бака; эти силы могут быть
учтены.
§ 18.6. Выводы
Принимая во внимание слож¬
ность системы летательного аппа¬
рата, не приходится удивляться
большому числу аварий, которые
имели место при первых полетах.
Хотя большинство аварий случает¬
ся с небольшими деталями конструкции, например разрыв клапана диа¬
фрагмы или дребезг реле, взаимодействие множества деталей настолько
чувствительно ко всяким изменениям, что иногда трудно отделить при¬
чину от следствия. Следовательно, необходимость полного анализа, при
котором учитывается большинство взаимодействий, очень велика, особен¬
но в начальной стадии проектирования.
Опыт показал, что практически удобно так выделить большие состав¬
ные части летательного аппарата и виды взаимодействия между ними, чтобы
определить характеристики проектирования и исполнения и установить
стоимость каждой большой части расчета. Затем может быть достигнут
разумный компромисс и установлено оптимальное направление расчета.
Степень точности общего анализа будет зависеть от специфических осо¬
бенностей задачи; однако возможности современных вычислительных
машин позволяют рассматривать взаимодействия нескольких сотен
отдельных частей летательного аппарата.
Применение общего подхода ни в коей мере не уменьшает необходи¬
мости детального расчета и инженерного решения на каждой стадии раз¬
работки. Однако такой процесс детального расчета не позволяет кон¬
структору выделить те аспекты, на которые он должен обратить макси¬
мальное внимание и которые влияют на успех полной системы. Широта
исследования полезна также при установлении программы испытаний,
разработка которой должна идти рука об руку с проектированием летатель¬
ного аппарата.
Конечная оценка успеха или неуспеха усилий многих тысяч отдель¬
ных людей может быть сделана только на основе оценки работы снаряда.
И не удивительно, что, когда мы смотрим на поблескивающий металл
изделия, которое является результатом всех наших усилий, мы с боль¬
шим напряжением вслушиваемся в простые слова: «четыре, три, два,
•один...»
/7/7000/77? 770/77?700
ветра
Д00Ш000
УР007/Я
Ж0/Зт/00/00
Рис. 18.17. Перемещение уровня жидкости в
баке с жидким кислородом под влиянием по¬
рыва ветра.

600
ОБЩИЙ АНАЛИЗ РАКЕТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
[ГЛ. 18
ЛИТЕРАТУРА
1. Barton М. V. and Dergarabedian P., Generalized Missile Design and
Performance Analysis, Transactions of the First Technical Symposium on Ballistic
Missiles, том 3, Aerodynamics and Structures, The Ramo-Wooldridge Corporation,
GM01. 1-266, стр. 225—256, June 1956 (secret).
2. Fried B. D. and Dergarabedian P., Two Stage Missiles II, The Ramo-
Wooldridge Corporation, Report CMCC GM 16.1003, June 8, 1955 (confidential).
3. Dergarabedian P., et al., Two Stage Missiles III, The Ramo-Wooldridge
Corporation, Report CMCC GM 16.1014, March 3, 1955 (confidential).
4. A n d e r s о n P. N., et al., Two Stage Missiles IV, The Ramo-Wooldridge Corpora¬
tion, Report CMCC GM 16.1035, July 1, 1955 (confidential).
5. В a r t о n М. V., Generalized Missile Dynamic Analysis, I — Development and
Application, Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-7, April 7, 1958
(confidential).
6. Young D., Generalized Missile Dynamics Analysis, II — Equations of Motion,
Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-8, April 7, 1958.
7. M i 1 e s J. W. and Young D., Generalized Missile Dynamic Analysis, III —
Aerodynamics, Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-9, April 7, 1958.
8. M i 1 e s J. W. and Young D,, Generalized Missile Dynamic Analysis, IV —
Sloshing, Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-10, April 7, 1958.
9. Fowler J., Generalized Missile Dynamic Analysis, V — Calculation of Bending
Modes, Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-16, April 7, 1958.
10. Mar t i n D. C., Generalized Missile Dynamic Analysis, VI — Control System
Equations, Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-14, April 17, 1958.
11. Brooks J. A., Generalized Missile Dynamic Analysis, VII — Programming,
Space Technology Laboratories, Inc., Report EM8-15, April 7, 1958.

ЧАСТЬ III
СВЯЗЬ И УПРАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 19
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
Эберхард Речтин (Eberhardt Rechtin)
Возможность связи в космосе зависит от расстояния между передат¬
чиком и приемником, уровня помех, количества информации, подлежащей
передаче, типа системы связи и первичного источника энергии. Рассматри¬
ваются вопросы выбора частот и некоторые релятивистские эффекты.
Делается вывод, что современные средства электроники пока ограничи¬
вают возможность непосредственной связи между любыми точками сол¬
нечной системы.
§ 19.1. Связь в пределах прямой видимости
Космическая связь почти всегда осуществляется в пределах прямой
видимости, т. е. когда приемник и передатчик взаимно видимы друг другу.
В этих условиях имеют место относительно простые законы радиосвязи.
Энергия излучается передатчиком на сферическую поверхность площадью
4jtd2, где d— расстояние между передатчиком и приемником. С помощью
антенн энергия может направляться или концентрироваться в заданном
направлении. Степень концентрации называется коэффициентом направлен¬
ности, или эффективным усилением антенны G. Таким образом, если мощ¬
ность Pt излучается антенной с усилением Gt1 то мощность р, приходящаяся
на единицу площади на расстоянии d, выражается формулой
Принимаемая мощность зависит от эффективной площади приемной
антенны АТ. (Разумеется, как G, так и А зависят от угла видимости антен¬
ны, но для простоты мы предполагаем, что этот угол таков, что обеспечи¬
вает наибольшие значения G и И.) Отношение принимаемой мощности
к излучаемой равно
Рг GtAr
Pt 4я^2 *
Практически усиление антенны G определяется величиной излучаю¬
щей площади А. Связь между эффективной площадью А и эффективным
усилением антенны G выражается формулой
п „

604
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 19
где %— длина волны излучаемого сигнала. Очевидно, усиление антенны
зависит от ее размеров, определяемых в длинах волн. Таким образом,
отношение мощностей выражается формулой, которая может быть запи¬
сана в нескольких формах:
Pr  AfAr  GfGr№  GfAr  GrAf	/^q ,» v
Pt ~ (U)2 "" (4ltd)2 “ And2 “ And2 '	“	'
Применение той или иной формы уравнения (19.1) зависит от того, что
в рассматриваемом случае важнее: усиление антенны или ее площадь.
Например, изотропная антенна обладает, по определению, усилением,
равным единице, и ее эффективная площадь является функцией частоты.
Антенную систему или решетку лучше характеризовать эффективной
площадью, которая довольно точно определяется ее физической пло¬
щадью. Следовательно, ее усиление является функцией частоты. Неко¬
торые численные соотношения между эффективным усилением и эф¬
фективной площадью приведены в табл. 19.1. Эти данные относятся
Таблица 19.1
Коэффициент направленности G и эффективная площадь
различных антенн
1
Коэффициент
Антенна j направленности
Эффективная
площадь
j
Изотропная антенна 	 1
Бесконечно малый диполь .... 1,5
Полуволновый диполь	 1,64
Оптимальный рупорный излуча¬
тель 	 10,0 А/Х2
Параболическая или линзовая
антенна 	 (6,3-^-7,5) А/X2
Антенная решетка	 4яА/Х2
(максимум)
Я2/4л
1,5 Х2/4я
1,65 Х2/4л
0,81 А
((), 5-1-0,6) А
А (максимум)
к нормальным режимам работы антенн. Если режимы значительно отли¬
чаются от нормы, эти соотношения непригодны. Например, если умень¬
шать антенную решетку, оставляя неизменной передаваемую частоту, то
антенна, очевидно, в конце концов станет столь малой, что уподобится
изотропному излучателю.
С другой стороны, если площадь антенной решетки чрезмерно повы¬
шать сверх нормальных размеров, оставляя излучаемую частоту постоян¬
ной, то придем, наконец, к такому положению, когда конструктивные
погрешности не позволят достаточно эффективно использовать физическую
площадь антенны. Другими словами, если увеличивать площадь передаю¬
щей антенны все более и более, то в некоторый момент будет невозможно
дальше уменьшить ширину луча без существенного увеличения точности
конструкции. Практически наименьшая ширина луча измеряется
примерно долями градуса, т. е. коэффициент усиления антенн практиче¬
ски ограничен величинами 105-ч-106. Антенны с таким усилением назы¬
ваются предельно направленными. Можно полагать, что наземные антенны
для космической связи будут предельно направленными.
Если космический корабль не ориентирован или его антенну нельзя
ориентировать с достаточной точностью, то это также ограничивает воз¬

5 19.2]
ПРОБЛЕМА ПОМЕХ
605
можное усиление антенны. Например, если спутник беспорядочно кувыр¬
кается и вращается, то его антенна будет излучать энергию во все сто¬
роны, и, следовательно, G будет близким к единице. Первые спутники
Земли относились именно к этой категории, т. е. направленность их
антенн была весьма невысокой. Однако в ближайшее время спутники
станут в этом отношении иными. Будет достигнута точность стабилизации
до нескольких градусов, что позволит соответственно сузить ширину
луча. Такая острая направленность достижима только при использовании
антенн значительной площади. Однако собрать большую и точную антенну
трудно даже в космосе. Еще в течение ряда лет нельзя будет создать
антенны столь же большие, точные и легко управляемые, как наземные
антенны. Поэтому размеры антенны на космическом аппарате будут огра¬
ничены, т. е. будет ограничена их площадь. На первых стадиях исследова¬
ния космоса эти площади не превзойдут десятков квадратных футов.
В более отдаленном будущем достижимы площади в несколько тысяч
квадратных футов. Однако даже такие площади малы по сравнению с пло¬
щадями наземных антенн.
Система связи
Космос—Земля (первые спутники)
Космос — Земля (ближайшее будущее)
Космос—космос
§ 19.2. Проблема помех
Если бы не существовало различного рода помех, то при достаточно
большом коэффициенте усиления приемника можно было бы вести радио¬
прием на любом расстоянии. К сожалению, помехи всегда имеют место,
что серьезно ограничивает возможную дальность радиосвязи. Источники
помех сосредоточены в различных точках системы связи: а) в передатчике,
где они отрицательно влияют на стабильность и ясность сигнала, б) в ка¬
нале связи, т. е. в пространстве между передатчиком и приемником, где
действие шумов зависит от их интенсивности, направления приема и спек¬
тральных (частотных) характеристик, в) во входных цепях приемника,
где беспорядочное движение электронов создает шум, зависящий от тем¬
пературы этих цепей и полосы пропускания усилителя, г) в местных гене¬
рирующих цепях приемника, где действие шумов подобно аналогичным
помехам в передатчике. Шумы в канале связи и во входных цепях прием¬
ника являются наиболее значительными из этих возможных источников
помех.
Внешние шумы можно уменьшить путем тщательного выполнения
антенн (включая антенны, которые могут почти полностью устранить
точечные источники помех посредством наведения на них нуля диаграммы
направленности) и посредством выбора частоты и кодирования, обеспечи¬
вающих хорошую различимость полезного сигнала.
Внутренние шумы являются одним из основных ограничений во вся¬
кой измерительной системе. Согласно законам физики предельная чув¬
ствительность прибора ограничивается уровнем его внутренних шумов.
Это можно продемонстрировать на примере человеческих ощущений.
Так, даже для людей с очень хорошим слухом уровень самых слабых
Соответствующая форма зависимости
Р г С) t- А г .
Pt — And-'
Pr=^At_.
Pt And2 ’
Pt AjAr
Pt ” \M)2 '

606
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 19
звуков, которые они могут услышать, ограничен величиной шума от
циркулирующей по артериям головы крови. Самый слабый свет, который
можно видеть глазом, ограничивается наличием тусклых мерцающих пятен,
вызываемых движениями жидкости внутри глазного яблока. Как ухо,
так и глаз способны к очень большому усилению крайне слабых сигналов,
однако из-за внутренних шумов мы их не можем ни видеть, ни слышать.
Точно такое же явление наблюдается и в радиоприемниках. В обычном
приемнике главной причиной внутреннего шума является беспорядочное
движение электронов во входных цепях. Обычно усиление на радиочасто¬
тах производится с помощью электронных ламп, принцип действия кото¬
рых основан на принудительном возбуждении электронов, поэтому шум
на входе приемника может в 20 раз превышать шум от движения электро¬
нов, определяемого температурой окружающей среды.
Можно показать, что мощность шума в полосе частот А/ пропорцио¬
нальна температуре цепи и равна
Pn = kTAf,	(19.2)
где Рп — мощность шумов, вт, к — постоянная Больцмана, равная 1,38 X
X 10"23 вт-сек/°К, Т — абсолютная температура, °К, А/ — полоса
пропускания, гц.
При температуре среды 300° К Рпж 4-10"21 Д/ era. По чувствитель¬
ности лишь немногие приемники достигают этой величины. Обычно коэф¬
фициент шумов (NF) равен по крайней мере двум или больше.
Существует два очевидных пути уменьшения шумов этого рода:
уменьшение Т и уменьшение А/. Простое охлаждение входных цепей
приемника возможно лишь до определенных пределов. Появление моле¬
кулярных усилителей, где не требуется принудительного возбуждения
электронов (как это имеет место в электронных лампах), позволяет надеять¬
ся на существенное снижение уровня внутренних шумов приемника,
вплоть до уменьшения их в 100 раз. Уменьшение Рп посредством снижения
А/ ограничивается величиной желаемой скорости передачи информации.
Если полоса крайне узка, скорость передачи информации снижается.
В нормальном временном масштабе телетайп (буквопечатающий телеграф)
требует полосы примерно 100 гц; для передачи голоса необходима полоса
3000 гц и, наконец, для телевидения нужна полоса 3-106 гц.
Крайне чувствительное оборудование, которое будет применяться
в системах космической связи, должно использовать все возможные сред¬
ства для снижения шумов. Любое повышение шумов должно компенсиро¬
ваться повышением излучаемой мощности, что ведет к повышению веса
космического аппарата примерно в тех же пропорциях. Повышение шумов
вдвое, что едва ли заметно для человеческого уха, означает необходимость
такого же повышения веса передатчика, установленного на космическом
летательном аппарате. Для ракет современных размеров это соответствует
такому же различию ракет-носителей, какое существует между БРСД
и БРДД. Поэтому будут создаваться такие высокочувствительные прием¬
ники, у которых интенсивности внутренних и внешних шумов примерно
равны. Как уже говорилось, внутренний шум зависит от температуры
среды и полосы пропускания, но не зависит от абсолютного значения
частоты. Внешний шум, наоборот, в сильной степени зависит от применяе¬
мой частоты, особенно для частот ниже 1000 Мгц. Чем частота ниже, тем
внешний шум сильнее.
Заметим, однако, что внутренний шум от теплового движения эле¬
ктронов в приемнике обладает некоторыми благоприятными характери¬

*19.3]	РАЗЛИЧИМОСТЬ	СИГНАЛОВ	И	АПРИОРНАЯ	ИНФОРМАЦИЯ	607
стиками. Интенсивность его постоянна в широком диапазоне частот,
а амплитуда имеет гауссово распределение, что допускает сравнительно
простую математическую трактовку. В общем же случае интенсивность
шума изменяется с частотой и не подчиняется гауссову распределению
по амплитуде. Если бы в высокочувствительном приемнике требовалось
предусмотреть средства для борьбы со всем множеством различных видов
помех, то проблема конструирования такого приемника была бы поистине
устрашающей. Поэтому, чтобы избежать влияния множества различного
рода помех от внешних источников, следует помещать приемник, пред¬
назначенный для связи с космосом, как можно дальше от центров цивили¬
зации. Что касается шумов от отдельных источников, то борьба с ними
может производиться посредством ручной подстройки, либо оператор
должен быть подготовлен к приему данных на фоне помех. Иная проблема
встает в случае приема на космическом корабле, когда приемник, находя¬
щийся на борту, будет принимать ансамбль шумов с Земли. Для такого
большого числа интерферирующих источников результирующий шум
будет близок к гауссову шуму, т. е. внешний шум будет в значительной
мере подобен собственным внутренним шумам приемника. К тому же пере¬
дающий сигнал можно построить так, что в приемнике в пределах инфор¬
мационной полосы шум превратится в примерно однородный гауссов шум.
Первоначально космическая связь будет отличаться от обычной
в основном допустимой полосой частот А/. Следует учесть, что, несмотря
на большие скорости движения космического корабля, проходимые им
расстояния настолько велики, что события, заслуживающие быть пере¬
данными, случаются сравнительно редко. Поэтому большую часть вре¬
мени движения в космосе связь могла бы, по-видимому, осуществляться
в полосе А/=10 гц, вблизи же от места назначения мощность можно резко
увеличить, а полосу расширить до 3 кгц.
Дальность радиосвязи зависит от отношения мощности принимаемого
сигнала Рт к мощности шума в используемой полосе частот А/. Отноше¬
ние, равное единице, называется пороговым. Отношение, равное 10,
соответствует значительной величине шума, но все же приемлемо. Даль¬
ность порогового приема (она является самым слабым звеном в системе
космической связи) определяется формулой
Практически дальность связи равна примерно одной трети этого расстоя¬
ния. Вообще говоря, современная электроника позволяет осуществить
двустороннюю связь только в пределах солнечной системы (1010 миль).
Ближайшая же звезда находится на расстоянии 1014 миль.
§ 19.3. Различимость сигналов и априорная информация
Как отмечалось, космическая связь характеризуется сравнительно
узкой полосой шириной 1 —10 гц. Для эффективного использования таких
узких полос требуются методы, разработанные на основе теории инфор¬
мации. В своей простейшей форме некоторые законы теории информации
выглядят почти тривиальными, однако показательно, насколько сильно
уступают многие из обычных систем связи оптимальным при нарушении
одного или более из следующих правил этой теории.
Во-первых, передача не должна содержать информации, которая
заранее известна в месте приема. Например, в попытке нарисовать кар¬
(19.3)

608
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 19
тину обратной стороны Луны заранее ясно, что ее изображение в общем
сходно с видимой стороной: оно будет иметь тот же диаметр, большая часть
поверхности окажется светлой, на этом фоне будут расположены случай¬
ным образом темные пятна и т. д.
Во-вторых, образуют информацию события случайные и неожидан¬
ные, и в сообщении поэтому должны выделяться их ключевые, отличитель¬
ные особенности. Например, в последовательности 000000010000000
неожиданностью является 1, стоящая на восьмом месте от начала. Здесь
событие выражается числом «восемь» и может быть передано в двоичной
форме как 1000. В этом случае энергия, необходимая для передачи,
составит одну треть от топ, которая потребовалась бы для передачи перво¬
начальной последовательности.
В-третьих, каждый сигнал должен иметь по возможности более явные
индивидуальные отличительные признаки и быть легко распознаваемым,
т. е. он должен иметь минимальное сходство (корреляцию) с помехой или
другими принимаемыми сигналами. Следовательно, чем больше число
возможных сигналов, тем длиннее должен быть каждый из них.
В четвертых, нет необходимости получать по каналу связи такую
информацию, которая заранее известна или может быть получена иным
путем. Информация об абсолютном расстоянии, скорости и направлении
в большинстве случаев не нужна, если соответствующие измерения были
только что проделаны. Через приемник следует получать информацию
лишь об изменениях этих величин. Другими словами, приемник должен
только сравнивать принимаемую и предполагаемую информацию.
Эти положения можно уточнить в частном случае, когда распределе¬
ние помех равномерно по частоте и является гауссовым по амплитуде.
В этом случае в приемном устройстве должна определяться наилуч¬
шая оценка принимаемого сигнала, для чего входной сигнал (полезный
сигнал + помеха) умножается на предварительную оценку с последую¬
щим усреднением произведения и проверкой результата. Таким образом,
если принимаемый сигнал обозначить через s (/), шум —п (t) и предвари¬
тельную оценку — через я* (/), то приемник будет измерять среднее
значение *) произведения е (t), по которому необходимо корректировать
предварительную оценку.
Первый шаг состоит в образовании величины е (t), равной
е (t) = s* (t) [5 (t) -f n (£)].	(19.4)
Когда s* (t) точно равно s (£), результат будет максимальным. Следователь¬
но, контролируя е (t), можно определить, какую коррекцию следует
сделать в я* (t) для того, чтобы получить максимум. Блок-схема всего
устройства представлена на рис. 19.1. Этот приемник, называемый корре¬
ляционным, имеет несколько разновидностей, включая и схемы без обрат¬
ной связи — согласованные фильтры, но принцип всех различных схем оди¬
наков — получение и анализ усредненного произведения. Такая методика
с успехом использовалась для улучшения ЧМ-приема в системе Микролок,
осуществляющей слежение за спутниками, для создания помехоустойчи¬
вых систем и для анализа колебательных процессов. Очевидно, что система
связи должна быть построена так, чтобы s (t) п (t) было минимальным
по отношению к s*2 (t), Si (t) sj (t) было минимальным по отношению к s'z (t)
и s (t) s (t ± Дг) было достаточно удовлетворительным. Последнее тре¬
бование выражает то, что	(t)	и s (t) удовлетворяют определенным вре-
*) Обозначается чертой сверху.

§ 19.4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ
609
менньш соотношениям, т. е. что приемник соответствующим образом син¬
хронизирован с принимаемым сигналом.
Мы теперь подошли к основному условию работы любой системы
связи, условию, которое ставит предел надежности телефонной связи,
Рис. 19.1. Блок-схема корреляционного приемника.
безошибочной работе телеграфных аппаратов й точности наведения
радиоуправляемых ракет. Если бы в только что описанном корреляцион¬
ном приемнике оценка s* (I) всегда точно совпадала бы с s (t) и, следова¬
тельно, не требовалось бы исправления сигнала [или проверки е (£)],
то совершенно очевидно, что мы нарушили какие-то из фундаментальных
правил работы канала связи, ибо зачем заботиться о передаче сигнала,
если мы знаем всю информацию зара¬
нее. Поэтому в этом случае по каналу
связи не передавалось бы никакой ин¬
формации. (Максимальная же инфор¬
мация заключена в самом знании о
том, что сигнал действительно пере¬
дается.) Любая информация, следова¬
тельно, должна содержаться в откло¬
нениях s (t) от предполагаемого зна¬
чения. Эти отклонения будут прояв¬
ляться в виде вариаций функции е (t).
Как же эти вариации отделить от про¬
изведения 5* (t) n(t)? Ответ заключается в том, что в общем распределении
e(t) закон распределения мощности от частоты, соответствующий этим
вариациям, существенно отличается от закона распределения для про¬
изведения сигнала на помеху.
Методы, используемые для выделения сигнала из шума, математиче¬
ски значительно сложнее, чем может быть здесь изложено [1]. Основная
идея этих методов состоит в том, что фильтр выделяет тот частотный диапа¬
зон, где удельная мощность сигнала превышает удельную мощность
помехи, и ослабляет те частотные диапазоны, где имеет место обратное.
На рис. 19.2 показан оптимальный фильтр, который выделяет участок
между частотами и /2 и подавляет остальные частоты. Для получения
наибольшей разницы между изменениями удельной мощности сигнала
и удельной мощностью помехи без повышения мощности сигнала следо¬
вало бы возможно больше сблизить частоты ft и /2. Однако это вызовет
уменьшение скорости передачи информации. Таким образом, оптималь¬
ность конструкции приемника определяется наиболее выгодным соотноше¬
нием между скоростью передачи информации и помехоустойчивостью.
Плотность мощ¬
ности e(t)
Плотность мощ¬
ности sft) s*(t)
Частота,
Рис. 19.2. Спектр
сигнала, смешанного
■Плотность мощ¬
ности oft) s*(t)
плотности мощности
с белым шумом.
§ 19.4. Преобразование энергии
Жесткие ограничения веса космической аппаратуры требуют исполь¬
зования высоко эффективных передатчиков. С точки зрения этой проблемы
вопросы кодирования информации были обсуждены. Теперь обратимся к
проблеме преобразования первичной энергии — энергии солнечного света,
39 Космическая техника

610
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 1&
химической энергии и энергии радиоактивного распада—в соответству
ющий сигнал s (t). Каждый из этих первичных источников имеет различ¬
ные характеристики и, следовательно, различные области применения.
Преобразование солнечной энергии в электрическую с помощью
солнечных батарей, тепловых машин и т. д. позволяет получать энергию
в течение всего срока полезной жизни аппаратуры. Вес системы питания
определяется здесь весом преобразовательных устройств. Имеющиеся
в настоящее время солнечные батареи обладают удельной мощностью
1 вт/фунт [2]. Однако из-за действия микрометеоров и жесткого косми¬
ческого излучения срок службы оборудования ограничен временем не более
10 лет. Кроме того, выработка энергии зависит от расстояния до Солнца
(на расстоянии 108 миль плотность потока энергии составляет 1 квт/м2).
Мощность на единицу площади уменьшается обратно пропорционально
квадрату расстояния от Солнца. Следовательно, мощность, падающая
на единицу площади, будет уменьшаться при движении космического
корабля к Марсу и далее.
Химические источники обладают ограниченным запасом энергии
(числом ватт-часов). Применяемые в настоящее время химические бата¬
реи (ртутные элементы) обладают удельной мощностью 40 вт-ч/фуит,
однако нагрузка их должна быть в этом случае ограниченной. При работе
с большими перегрузками следует исходить из удельной мощности порядка
10 вт-ч/фунт.
В атомных батареях энергия выделяется за счет расщепления радио¬
активных материалов. В отличие от химических элементов здесь нет
способов форсировать процесс получения энергии, так как процесс не
может быть ускорен. В этом отношении атомная батарея подобна солнеч¬
ной. Срок жизни атомной батареи характеризуется периодом полураспада
данного вещества. Развитие атомных батарей находится сейчас в началь¬
ной стадии и может значительно ускориться в дальнейшем. В настоящее
время возможно получение примерно 700 вт-ч/фуит в течение примерно
трех с половиной лет. Таким образом, для получения мощности 50 вт
в течение трех лет нужна батарея весом 2500 фунтов. Более эффективен
метод «горячего кирпича» из стронция в тепловой машине, где достижима
энергоемкость 1 кет/фунт при периоде полураспада 25 лет. Однако здесь
весьма сложна проблема управления. Может также потребоваться и очень
значительная экранировка.
Другую новинку представляет так называемый топливный элемент.
В нем запасаются водород и кислород, взаимодействие которых может про¬
текать почти с любой скоростью с выработкой необходимой энергии. Подоб¬
но другим химическим элементам энергоемкость топливных элементов
ограничена определенным количеством ватт-часов. Их удельная мощ¬
ность равна 900 вт- ч/фунт.
Все указанные источники вырабатывают постоянный ток. Преобра¬
зование постоянного тока в ток высокой частоты мало эффективно, так
как обычно коэффициент полезного действия составляет 10%, в исключи¬
тельных случаях — 30%. Большие к. п. д. достижимы на низких частотах
(от 100 мгц и ниже). Кроме того, к. п. д. зависит и от мощности передатчика;
в качестве стандартной мощности принимается мощность передатчика
1 вт. Пониженный к. п. д. влечет за собой добавочный вес преобразова¬
тельной аппаратуры и дополнительный вес устройств для рассеивания
энергии. Рассеяние тепла в вакууме далеко не столь легко осуществимо,
как в атмосфере, где возможно воздушное охлаждение, здесь все
избыточное тепло должно излучаться. Для рассеивания тепла от пре¬

§ 19.5]
ВЫБОР ЧАСТОТЫ РАДИОПЕРЕДАТЧИКА
611
образователя, имеющего низкий к. п. д., может потребоваться очень
большая поверхность. По мере увеличения дальности полета космических
ракет они должны будут передавать все большие мощности, использовать
более мощные источники энергии, излучать больше тепла. Поэтому разме¬
ры ракет будут расти. Грубо говоря, размеры теплового радиатора должны
будут возрастать пропорционально расстоянию от Земли.
§ 19.5. Выбор частоты радиопередатчика
Частота радиопередатчика должна выбираться из соображений
получения максимальной дальности связи при минимальном весе аппа¬
ратуры. Максимальная дальность связи определяется формулой (19.3):
d= л/ ?tAtGr
V AnkThf (NF) ’
Это выражение выведено в предположении, что антенна ракеты ограни¬
чена по размерам, а наземная — по коэффициенту направленности.
В этих предположениях дальность порогового приема не зависит непо¬
средственно от номинальной частоты передатчика. Можно сделать два
вывода: а) для космической радиосвязи можно использовать сравни¬
тельно широкий диапазон частот и б) окончательный выбор частоты будет,
вероятно, больше зависеть от частотных характеристик шумов и техни¬
ческих средств электроники и ракетной техники, чем от величин, входя¬
щих в формулу (19.3).
В соответствии с первым выводом многочисленные исследования
подтвердили возможность использования любых частот в диапазоне
от 100 до 10 ООО Мгц. В соответствии со вторым выводом конкретный
выбор частоты зависит в основном от предпосылок и состояния средств
электроники и значительно меньше от состояния ракетной техники.
В то время, когда планировались первые запуски спутников, техни¬
ческие средства электроники ограничивали выбор частоты диапазоном,
простирающимся до 300 Мгц. Спутники должны были иметь малый вес,
располагаемая мощность была достаточной, и поэтому только передат¬
чики с высоким к. п. д. были выполнены на транзисторах. В то время еще
не были созданы передатчики на транзисторах на частоты выше 200 Мгц.
Кроме того, рабочая частота приемников с малым коэффициентом шумов
не превосходила нескольких сотен мегагерц.
С 1954 г. в электронике произошли значительные изменения. На зон¬
дирующих ракетах, предназначенных для запуска к Луне, устанавли¬
ваются эффективные радиопередатчики с рабочей частотой 1000 Мгц.
Все каскады, кроме последнего, выполняются на кристаллических трио¬
дах; последний каскад вскоре также будет изготавливаться полупровод¬
никовым. Крайне низкий коэффициент шумов различного рода квантово¬
механических усилителей делает возможным эффективный прием на час¬
тотах более 2000 Мгц. Уже разрабатываются такие преобразователи
солнечной энергии, которые позволят создавать передатчики мощностью
10—100 вт, работающие в ультра- и микроволновом диапазоне. Эти новые
достижения определяют темпы развития электроники в настоящее время.
Ко времени запусков межпланетных кораблей подобная аппаратура
станет более доступной. Другое важное достижение космической связи
состоит в использовании фазосинхронных приемников для повышения
чувствительности и узкополосности на частотах от 100 до 20 000 Мгц.
Устройства, которые использовались лабораторией реактивной техники
39*

612
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 19
в системе Микролок (108 Мгц) и системе Кодарак (10 ООО Мгц), позволили
обеспечить полосу пропускания значительно меньшую, чем ожидаемый
допплеровский сдвиг, вызываемый движением ракеты. В системе Кода¬
рак используется полоса 300 гц при допплеровском сдвиге 50 000 гц.
При современных жестких весовых и энергетических ограничениях
весьма трудно поддерживать стабильную мощность сигнала при частотах,
значительно превосходящих 1000 Мгц. На короткий промежуток времени
частотный предел может быть поднят до 2000 Мгц. Однако с появлением
более мощных ракет-носителей и усовершенствованием преобразователей
солнечной энергии эти ограничения будут постепенно ослабевать. Тогда
можно будет работать в новом классе мощностей (10—100 ватт), что
совершенно нереально для современных квантовомеханических устройств.
Здесь будут использоваться лампы с к. п. д., превышающим 10%, а частот¬
ный диапазон будет расширен до 10 000 Мгц. Таким образом, можно
заключить, что современное состояние электроники не накладывает
существенных ограничений на выбор частот для связи Земля — космос —
Земля. Более жестко выбор частот определяется затуханием сигнала
и характером шума в земной атмосфере. На частотах ниже 100 Мгц
сказываются ионосферные помехи, а на частотах выше 5000 Мгц сказы¬
вается влияние молекул водорода, кислорода и водяных паров, которые
ослабляют сигнал и генерируют шум.
Радиошумы изменяются с изменением рабочей частоты, и следова¬
тельно, это необходимо учитывать при ее выборе. Как уже упоминалось,
обычно шумы ослабевают с увеличением частоты. Индустриальные помехи
ослабевают потому, что высокие частоты используются довольно редко,
генерирование их затруднено, затухание на высоких частотах при рас¬
пространении волны за пределы прямой видимости резко возрастает,
а большая направленность при высокочастотном излучении способствует
улучшению помехоустойчивости посредством соответствующего выбора рас¬
положения станции.
Особую важность в космической связи приобретает понижение интен¬
сивности фона космических шумов с частотой. По мере все большего
использования квантовомеханических усилителей, обладающих низким
уровнем шумов, влияние внутренних шумов приемника ослабевает,
и основным ограничением становятся температурные шумы антенны,
которые в свою очередь определяются галактическими шумами и тепловым
излучением Земли, воспринимаемым боковыми лепестками антенны. Впол¬
не достижима эффективная температура приемника в 40° К при частоте
1500 Мгц. Отмеченное повышение шума на частотах ниже 500 Мгц серьез¬
но ограничивает возможности космической связи на низких частотах.
Источники галактических шумов распределены на небесной сфере
неравномерно. Несомненно, крупнейшие источники помех расположены
вдоль Млечного Пути или в центре Галактики в полосе шириной примерно
15°, расположенной вблизи возможных маршрутов космических кораблей.
Для борьбы с этими помехами возможны два пути: использование
антенн с шириной луча не более нескольких градусов и использование
возможно более высоких рабочих частот. При совмещении этих методов
можно было бы добиться минимальной ширины луча в доли градуса.
Иначе говоря, наземная антенна с предельным коэффициентом направ¬
ленности является прекрасным решением проблемы уменьшения галакти¬
ческого шума.
Рассмотрим теперь требования, предъявляемые к аппаратуре косми¬
ческих кораблей. Как было показано, площадь антенны космического

§ 19.5]
ВЫБОР ЧАСТОТЫ РАДИОПЕРЕДАТЧИКА
613
корабля является важным параметром, по крайней мере, если антенна
не имеет предельной направленности. Важно, чтобы увеличение площади
антенны корабля не сопровождалось чересчур высоким ростом рабочей
частоты, сводящим на нет это увеличение. Например, жесткая антенна
на 10 ООО Мгц будет предельной по усилению при диаметре 12 футов.
Однако возможно создание и достаточно точных (1 : 2000) надувных антенн
диаметром до 20 футов. Для того чтобы эффективно использовать 20-фу-
товую антенну, рабочая частота не должна превышать 3000 Мгц. Если
будут разработаны еще большие и достаточно точные антенны, то верхняя
частотная граница должна быть понижена.
Как указывалось выше, выбор частоты для связи Земля — космос —
Земля относительно свободен. Полагая, что ошибки соответствуют приня¬
тым допущениям, и не рассматривая экономические проблемы, связанные
с созданием такой системы, мы можем сделать вывод, что связь Земля —
космос — Земля должна осуществляться на частотах 500—5000 Мгц.
Выбор частоты для связи космос — космос может быть проведен
аналогично. Разумеется, поместить высокочувствительный приемник на
борту космического аппарата значительно сложнее, чем в наземных усло¬
виях. С другой стороны, связь космос — космос, вероятно, потребуется
позже, чем связь Земля — космос — Земля. Проблема антенн для канала
связи космос — космос до некоторой степени облегчается тем, что косми¬
ческий корабль в отличие от Земли может ие вращаться. Характеристики
шума в космосе для частот выше 300 Мгц достаточно хорошо изучены.
Для более низких частот ионосфера, окружающая Землю, не позволяет
произвести достаточно точные измерения шумов. Главным образом необ¬
ходимо исключать возможно большую часть помех от источников, распо¬
ложенных в плоскости Галактики. Поэтому желательно иметь наиболь¬
шую возможную направленность при заданной площади антенны. Отсюда
можно сделать вывод, что частоты для связи космос — космос оказы¬
ваются несколько ниже, чем частоты для связи космос — Земля — космос.
Если площадь антенны не превосходит 1000 фут2, а коэффициент направ¬
ленности 105, то рабочая частота в соответствии со сказанным в § 19.1
будет равна примерно 900 Мгц. Выбор конкретной частоты весьма сво¬
боден по тем же мотивам, что и раньше.
Недостаток наших знаний о характере шумов в космосе оставляет
открытой возможность более радикальных предположений о выборе
частот для связи космос :— космос. Если бы оказалось, что по каким-то
причинам космические шумы в некоторой полосе крайне низки, то было бы
очень заманчиво выбрать именно этот частотный диапазон для связи кос¬
мос—космос. Например, если бы шумы на низких частотах были значитель¬
но меньше, чем предполагают в настоящее время, и если бы иа этих низких
частотах концентрация помех от источников в центральных областях
Галактики была не столь значительной, то для достижения тех же отно¬
шений излучаемых и принимаемых мощностей можно было бы вместо
высоконаправленных антенн на 1000 Мгц использовать полуволновые
диполи на частотах до нескольких мегагерц. Конечно, выбор таких частот
зависит от уровня помех иа этих частотах. Можно ожидать, что здесь
помехи по крайней мере не сильнее, чем на частотах порядка 1000 Мгц.
Во всяком случае хотелось бы надеяться, что это так.
Такой же оптимальный выбор частот можно сделать и в крайнем
высокочастотном диапазоне, если допустить, что внутренние шумы
могут быть сделаны очень малыми, что полоса пропускания приемни¬
ка может быть сделана столь же узкой, как и на частоте 1000 Мгц, что

614
ВОЗМОЖНОСТЬ КОСМИЧЕСКОЙ связи
[ГЛ. 19
передача может вестись на «карандашном» луче и что могут быть изготов¬
лены антенны с крайне высокой направленностью в инфракрасном и поч¬
ти оптическом частотном диапазонах. В настоящее время реальны лишь
немногие из этих предположений. Однако, как это уже неоднократно
случалось прежде, их осуществимость может быть резко приближена
посредством применения новой техники приема (например, молекуляр¬
ных усилителей) и открытия существенно новых по сравнению с ныне
известными электромагнитных явлений в космосе (подобных тем, которые
были обнаружены с помощью первых искусственных спутников Земли).
§ 19.6. Взгляд в далекое будущее
Для полета человека к звездам необходимы такие космические кораб¬
ли, скорость которых сравнима со скоростью света. Для того чтобы дости¬
гнуть таких скоростей без использования чрезмерных ускорений, необ¬
ходимо преодолеть огромные расстоя¬
ния. Так, при ускорении в 1 g для
достижения скорости, равной одной
трети скорости света, требуется пройти
16 г
14
/7ридлижа/ощийся
корабль
МоЩНОСтЬ
Отношение х	I
- сигнала к шуму'	/	-
и
' г
Скорость движения
относительно скорости света
Рис. 19.3. Изменение принимаемой частоты,
мощности и отношении сигнала к шуму при
удалении передатчика с очень высокими
скоростями.
О 0,2	0,4	0,6	0,6	1,0
Скорость движения
относительно скорости света
Рис. 19.4. Изменение принимаемой час¬
тоты, мощности и отношения сигнала к
шуму при приближении передатчика с
очень высокими скоростями.
расстояние, равное 50 радиусам солнечной системы. Помимо того, что
с ростом расстояния будет понижаться принимаемая мощность сигнала,
будут иметь место также и некоторые необычные релятивистские эффекты
(рис. 19.3 и 19.4).
1.	Будет наблюдаться большой допплеровский сдвиг частоты. При
удалении космического корабля от наблюдателя по прямой линии отно¬
шение частот будет
/ mov
/ stat
/г
где р — отношение скорости корабля к скорости света. При приближе¬
нии корабля к наблюдателю имеем

ЛИТЕРАТУРА
615
При скорости корабля, равной одной трети от скорости света, смещение
частоты в 1000 Мгц будет составлять почти 300 Мгц. Настройка по частоте
будет очень трудной!
2. Допплеровский сдвиг несущей частоты вызовет также пропорцио¬
нальное изменение информационной полосы частот. Таким образом, для
полосы А/, пропорциональной скорости передачи информации, справедливы
формулы, приведенные выше в пункте 1.
При скорости полета, равной одной трети от скорости света, ско¬
рость перадачи информации изменится примерно на 35%. Например,
в случае удаляющегося корабля передача голоса будет звучать подобно
граммпластинке на 45 об /мин, проигрываемой со скоростью 33 об/мил;
движения, передаваемые по телевидению, будут также замедлены.
3. Изменится принимаемая энергия. Это объясняется тем, что общая
энергия, передаваемая за данный интервал времени, принимается за другой
интервал времени, энергия же фотона изменяется при изменении частоты,
а также тем, что эффект искажения длин при релятивистских скоростях
приводит к преимущественному излучению энергии в прямом направлении
за счет уменьшения излучения в обратном направлении, Для удаляющегося
корабля отношение мощностей вследствие этих причин равно
При скорости полета, равной одной трети от скорости света, принимае¬
мая мощность на одну треть уменьшается, если корабль удаляется,
и в 2,7 раза увеличивается, если корабль приближается.
4.	Имеет место аберрация, т. е. изменение угла, определяющего
направление принимаемого потока энергии. Пусть угол между вектором
скорости и направлением на корабль, когда последний неподвижен,
будет 0; тогда при движении корабля новый угол 0' будет
При скорости корабля, равнойодной трети от световой, и р = 45°, новый
угол 0' будет равен 30° (см. работу [3] относительно релятивистских
явлений).
В заключение отметим, что космическая связь вполне осуществима,
хотя ее возможности и ограничены. Поэтому радиоэлектроника имеет
по крайней мере столько же возможных приложений в создании косми¬
ческой техники, как и другие области знаний в эпоху начала космиче¬
ской эры.
1. W i е n е г N., The Extrapolation, Interpretation and Smoothing of Stationary Time
Series with Engineering Application, New York, Technology Press and John Wiley
and Sons, 1949.
2. Ziegler H. K., U. S. Army Signal Engineering Laboratories.
3. Leighton R. B., Principles of Modern Physics, New York, McGraw-Hill, 'гла¬
вы 1 и 12, 1958.
P m о v
P stat
Для приближающегося корабля
mov
(1-W2
1-f-P ' ’
(i + P)2
i-Г •
ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА 20
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Фрэнк У. Jlean {Frank W, Lehan)
§ 20.1. Введение
К настоящему времени (1958 г.) русские и американские спутники
уже положили начало космическим полетам без человека, а беспилотные
полеты к Луне и планетам начнутся через срок, измеряемый месяцами.
Рис. 20.1 иллюстрирует нарастающие темпы развития космической техни¬
ки. Эти темпы бросают невиданный вызов промышленности средств связи.
На рис. 20.1 показаны скорости, достигнутые за последние десяти¬
летия ракетами различных типов. Там же изображена несколько идеали¬
зированная кривая, показывающая, какие высоты достигнуты или могут
ГоЗь/	дьшта,	(рут
Рис. 20.1. Скорости различных ракет и высоты, достижимые при этих скоростях.
быть достигнуты с данными скоростями. Контур кривой высота — скорость
показывает тот подъем, который должна преодолеть в своем развитии
техника ракетостроения. В настоящее время она уже приблизилась
к верхнему краю этого подъема. В процессе этого развития технике связи
постоянно приходилось сталкиваться с различными проблемами: сначала
с проблемами осуществления связи на расстоянии в десятки миль, затем
в сотни и, наконец, тысячи миль. Однако максимальное расстояние между
передатчиком и приемником не превосходило какого-то конечного значения.
Когда же техника ракетостроения достигнет верхнего предела,
требуемая дальность связи быстро увеличится даже при иезначитель-

§ 20.1]
ВВЕДЕНИЕ
ном улучшении характеристик ракет. Эта дальность быстро становится
столь большой, что изменяются не только количественные аспекты про¬
блемы, но и ее качественные стороны. Техника, использовавшаяся ранее,,
оказывается здесь недостаточной, и появляется реальная опасность того,,
что ограниченные возможности средств связи могут затормозить насту¬
пление космического века. Действительно, объем сведений, который
можно получить со спутников, сейчас ограничен возможностями системы
связи между Землей и спутником.
Какие же требования предъявляются сейчас технике связи для косми¬
ческих полетов?
Во-первых, с ракеты на Землю должны быть переданы не только
данные о характеристиках и функционировании самой ракеты, но и инфор¬
мация о среде, в которой она находится. Типичным примером таких све¬
дений может быть информация о том, сработала или нет тормозная
ракета, предназначенная, например, для торможения беспилотного
корабля при снижении в облачной атмосфере Венеры, или данные
о плотности и составе атмосферы Венеры, которые могут понадобиться
при подготовке к первьш полетам человека к Венере.
Во-вторых, потребуется вести телевизионную передачу изображений
в истинном масштабе времени или фотоизображений поверхностей планет
с корабля, летящего по орбите или опустившегося на поверхность.
В-третьих, наблюдатели на Земле должны иметь возможность следить
за ракетой и на протяжении всего времени хорошо знать ее местоположе¬
ние, скорость и ускорение. Слежение за кораблем и прием с него теле¬
информации требует использования очень больших наземных антенн,
весьма сложных прецизионных измерительных приборов, а также хоро¬
шего знания особенностей распространения радиоволн в тропосфере
и ионосфере. Из-за вращения Земли потребуется комплексное слежение
с использованием сети станций, размещенных по всему земному шару.
Отсутствие такой координированной сети может задержать развитие
космических полетов.
Такая сеть, к тому же, может быть использована для выработки
необходимой навигационной информации для космической ракеты путем
выполнения расчетов на Земле и посылки на ракету команд, выводящих
ее на баллистическую траекторию движения точно к цели. Управление
движением и наведением космических ракет сначала будет выполняться
полностью наземными станциями, однако в дальнейшем, когда расстоя¬
ния увеличатся, а требования к точности возрастут, понадобятся косми¬
ческие станции, находящиеся на искусственных спутниках, Лупе и пла¬
нетах.
В настоящее время некоторые виды, систем радиоуправления меж¬
континентальными баллистическими снарядами способны обеспечить спуск
контейнера на поверхность Луны с точностью порядка 100 миль. Однако
эти же системы привели бы к промаху при полете к Венере или к Марсу
на десятки тысяч миль; поэтому здесь необходимы системы управления
на промежуточном и на конечном участках траектории полета. Весьма
возможно, что при осуществлении мягкой посадки иа Луну будут при¬
меняться некоторые модификации допплеровских радаров, которые изме¬
ряли бы скорость спуска, как это делается сейчас в некоторых автопило¬
тах вертолетов. Результат измерения скорости сближения корабля с по¬
верхностью может быть использован как сигнал обратной связи в система
управления скоростью спуска ракеты таким образом , чтобы соприкоснове¬
ние ее с поверхностью Луны произошло на очень малой скорости.

'618
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ 20
Если бы даже было возможно осуществлять точное слежение за раке¬
той с Земли или со спутников, а система управления ракеты выводила бы
ее на требуемую баллистическую траекторию, то и в этих условиях для
достижения той фантастической точности, которая требуется в космиче¬
ских перелетах, при нынешнем недостаточном знании параметров планет
необходимо использовать на ракете специальные инфракрасные или
радарные системы наведения для коррекции и управления на промежу¬
точном и конечном участках траектории полета.
Радиосигналы могут также дать один из наиболее удобных способов
определения направления в пространстве, позволяя Text самым ориенти¬
ровать спутник или космический корабль желаемым образом.
Можно ожидать, что потребуется поддерживать связь по всем напра¬
влениям: Земля — космический корабль, космический корабль — Земля,
космический корабль — планета, планета — космический корабль, пла¬
неты — Земля и Земля — планеты. Это требует значительно более слож¬
ных систем связи по сравнению с теми, которые используются сейчас.
Помимо непосредственного содействия изучению космического про¬
странства радиоэлектроника столкнется и с новыми проблемами в раз¬
личных областях космической техники. Спутники-«маяки» будут служить
в качестве навигационных точек для судов, самолетов и космических
кораблей, так как местоположение этих спутников в пространстве может
быть заранее точно вычислено и представлено в функции времени. Воз¬
можно, будущие навигаторы в дальних экспедициях будут запасаться
эфемеридами спутников и спутников-маяков. Спутники, находящиеся
на различных высотах, будут использоваться для радиовещания, радио¬
связи и ретрансляции телевидения, телефонных переговоров и радиосигна¬
лов из одной точки земного шара в другую. Если использовать спутники
как ретрансляционные станции, можно будет создать систему всемирной
телевизионной сети.
Проблема радиосвязи над изогнутой поверхностью Земли, которая
доставила столько хлопот радиоинженерам, может быть кардинально
решена при использовании спутников-ретрансляторов. Космические ко¬
рабли будут также служить для передачи на Землю таких сведений,
как результаты исследования метеорологических явлений, степени иони¬
зации в различных районах космического пространства, напряженности
магнитного поля и результатов прочих основных физических экспери¬
ментов. Все эти данные представляют непосредственный интерес для
радиоэлектроники.
Ранее указывалось, что большие количественные изменения пара¬
метров системы радиосвязи изменяют проблему не только количественно,
но и качественно. Возможно, наиболее трудной проблемой является
получение необходимой дальности действия и достаточного срока службы
передатчиков на космических объектах без чрезмерного увеличения веса
аппаратуры.
Другая проблема, которая может возникнуть, связана со временем
распространения радиосигнала. Скорость света, с которой распростра¬
няются сигналы, может показаться слишком малой для жены, беседую¬
щей со своим мужем, находящимся на Венере. От своего вопроса до его
ответа она будет вынуждена ждать несколько минут. Наконец, ввиду
необъятности пространства всегда будет существовать проблема поисков
сигналов с космического корабля.
Невозможно обсудить здесь все возможные проблемы космической
связи. Проблема передачи телеметрических сведений с космического

5 20.2]
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
619
корабля на Землю является центральной, потому что она должна быть
решена одной из первых и, по существу, является главной частью боль¬
шинства проблем.
Другие проблемы космической связи рассмотрены в гл. 19, 21 и 23.
Прежде всего кратко рассмотрим некоторые основные соотношения
в системах связи, приведем несколько определений и затем иа основе
этого рассмотрим системы космической связи. Можно надеяться, что
такой подход даст возможность читателю самостоятельно провести про¬
стые расчеты характеристик различных систем связи с космическими
объектами, а также укажет направление, в котором должны проводиться
дальнейшие исследования.
Основное уравнение радиосвязи записывается в виде
где PR — мощность на входе приемника, вт, GR — коэффициент напра¬
вленности передающей антенны, Рг — мощность передатчика, вт, Ац —
эффективная площадь приемной антенны, фут2, R — расстояние между
приемником и передатчиком, фут.
Это уравнение показывает, что мощность, принятая антенной с пло¬
щадью Ац, равна мощности передатчика (умноженной на коэффициент G.
который определяет степень концентрации излучаемой энергии в напра¬
влении на приемник), деленной на площадь сферы радиуса R. Это равен¬
ство легко понять интуитивно и также нетрудно запомнить.
В диапазоне сверхвысоких частот имеется большое количество шумов,
которые будут накладываться на принимаемые радиосигналы. Однако
если приемная антенна находится вдали от индустриальных источников
шумов и если она не направлена в ту область космоса, которая сильно
шумит на выбранной частоте, то величина шума в приемнике определяется
только шумами, возникающими в его цепях. Мощность этого шума удобно
вычислить по формуле
где Рп — шум на входе приемника, вт, к — постоянная Больцмана,
равная 1,38-10'23 дж-°К, А/ — ширина полосы частот шума в приемнике,
гц, (NF) — коэффициент шумов.
Это равенство показывает, что идеальное сопротивление при темпера¬
туре Т создает равномерно распределенный шум интенсивностью кТ ватт
на 1 герц-полосы частот.
Полагая, как обычно, что температура сопротивления примерно
равна комнатной, для величины кТ находим легко запоминающееся
значение 4-10"21 втп/гц. Эта плотность шума, умноженная на ширину
полосы А/, /дает полную мощность шума идеального сопротивления при
комнатной температуре. При подключении приемника к идеальному
сопротивлению он генерирует некоторый шум и своими собственными
цепями. Этот шум порождается флуктуациями потока электронов в
лампах входных каскадов приемника или флуктуационным током в нели¬
нейном кристаллическом детекторе смесителя иа входе приемника. До¬
полнительный шум учитывается путем умножения шума от идеального
сопротивления на коэффициент шумов (NF), соответствующий данному
§ 20.2. Основные принципы
(20.1)
Р„	кТМ (.\F).
(20.2)

620
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ. 20
приемнику. Фактическая величина активной компоненты импеданса прием¬
ной антенны обусловливается взаимосвязью антенны с наблюдаемой обла¬
стью пространства. Температура антенны может быть близка к средней
температуре той области пространства, куда антенна направлена. Эта
температура может быть очень низкой; поэтому нет теоретических
предпосылок того, что шумовая температура приемника не может
быть значительно ниже температуры, принимаемой в настоящее время.
Тот факт, что это до сих пор не достигнуто, является не результатом
какого-либо физического ограничения, а скорее показывает недостаточ¬
ность исследований в этом направлении.
Следующее равенство определяет ат:
где а т — минимально возможное отношение сигнала к шуму (которое
зависит от используемых способов модуляции и детектирования), Рртш —
минимально возможное PR, Рп — мощность шума на входе приемника, вт.
Отношение а т зависит от способа использования сигналов и от сте¬
пени сложности методов модуляции и детектирования этих сигналов.
Оно может меняться от нескольких сотен при ЧМ и телевизионных сигна¬
лах до 0,01 или меньше для некоторых широкополосных систем связи,.
которые используют относительно сложную технику модуляции и дете-4
ктирования.
Хотя настоящее рассмотрение больше относится к передаче информа¬
ции с космического корабля на Землю, отметим, что между коэффициен¬
том направленности антенны, когда она используется для передачи,
и эффективной площадью, когда эта же антенна используется для приема,
существует взаимосвязь:
где Gr — коэффициент направленности антенны, Ап — ее эффективная
площадь, фут2, X — длина волны, фут. Как видно из выражения,
где р — отношение эффективной площади к действительной площади
антенны, Aact — действительная площадь антенны, фут2\ эффективная
площадь приемной антенны ие обязательно равна ее действительной
площади. Например, большая параболическая антенна, облучаемая
центральным источником, может иметь коэффициент эффективности
Р = 0,6. Выражение (20.6) определяет другой коэффициент эффективно¬
сти, который важен при определении веса аппаратуры. Он представляет
собой отношение излучаемо]! энергии ко всей энергии, расходуемой пере¬
датчиком:
где г] — общий к. п. д. передатчика, Рт — излучаемая мощность, вт.
Рр — полная мощность, потребляемая передатчиком, вт.
Из-за необходимости подогрева катодов ламп, служащих для фор¬
мирования сигнала, и из-за того, что выходные каскады имеют к. п. д.,
меньший 100%, коэффициент ц также всегда меньше 1. Общий к. п. д.
(20.3)
(20.6)

•§ 20.2]
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
621
передатчика очень важен для подсчета веса источников питания, так
как он может доходить до 10—20%.
Обычно бывает желательно передать полезную информацию в опре¬
деленной полосе частот, так называемой полосе частот сообщения. При
проектировании цепей приемника и расчете ширины полосы частот,
в пределах которой шум на входе приемника не будет превосходить допу¬
стимого значения, могут быть использованы различные схемы для много¬
кратного расширения полосы частот сообщения в области высоких частот
радиочастотного спектра. Для обычных телеметрических систем ЧМ-ЧМ
это отношение ширины полос может доходить до нескольких сотой. Однако
при связи на одной боковой полосе оно падает до единицы.
Это важное отношение определяется выражением
y = f,	(20.7)
где у — отношение ширины полосы передаваемого сигнала к ширине
полосы частот сообщения (зависит от используемого способа модуляции),
В — ширина полосы частот сообщения.
При известной связи между этим отношением, требуемым отношением
сигнала к шуму и выражением для шума приемника можно добиться
высокой эффективности техники связи, ибо многие ныне используемые
методы модуляции развились еще до того, как была создана современная
теория связи.
Как было замечено ранее, для увеличения эффективности передающей
антенны необходимо концентрировать излучение энергии в выбранном
направлении. Выражение (20.8) приближенно определяет степень направ¬
ленности антенны, излучающей в определенном направлении (например,
параболический рефлектор):
(BW)i = 65 А,	(20.8)
где {BW)i — ширина луча по уровню половинной мощности, град, Д —
линейный	размер,	фут, X — длина	волны, фут.
Из уравнений	(20.4), (20.5) и	(20.8) можно	найти	приближенную
связь между шириной луча антенны, ее эффективной площадью, длиной
волны и коэффициентом направленности:
(BW)l{BW)2 =	502 _^ = §0000 _	(209)
Хотя	эти соотношения очень	просты, • для	правильного	выбора
рабочих частот, размеров и направленности антенны необходимо их пони¬
мать очень	хорошо.	Величина X в выражении (20.9) связана с частотой
следующим	хорошо	известным соотношением:
А, = у,	(20.10)
где с — скорость света, 0,985-109 фут/сек, /— частота, гц.
Нужно заметить, что частота радиосигнала несколько сдвигается
вследствие эффекта Допплера, который возникает из-за взаимного дви¬
жения передатчика и приемника. Если пренебречь релятивистским эффек¬
том, величина допплеровского сдвига частот дается равенством
Ь = /£ = 4.	(20.11)

622
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ; СВЯЗИ	[ГЛ.	20
где fD —допплеровский сдвиг, гц, 1{ — скорость изменения расстояния,
фут/сек. Этот сдвиг для космических объектов может быть значительным.
Например, если передатчик работает на частоте 10 ООО Мгц, то доппле¬
ровский сдвиг при второй космической скорости может быть равен
350 кгц. Это обстоятельство обязательно должно учитываться при расчете
узкополосной системы радиосвязи. При наличии соответствующей аппа¬
ратуры этот сдвиг частот можно использовать для очень точного изме¬
рения радиальной составляющей скорости космического корабля. В гл. 19
приведены примеры больших значений допплеровского сдвига частот.
§ 20.3. Анализ системы телеметрии
Уже более 10 лет для проведения телеметрических измерений на управ¬
ляемых снарядах и самолетах используется система ЧМ-ЧМ, которая
полностью удовлетворяла требованиям. В настоящее время она также
используется для получения телеметрических данных с ракет классов
БРДД и БРСД. Однако стало очевидным, что для использования этой
системы телеметрии на космических кораблях она должна быть как-то
модифицирована, так как большая величина мощности, потребляемая
этой системой на ракетах класса БРДД, начинает внушать некоторые
опасения.
Типичные характеристики системы приведены ниже:
F = 300000 гц,	ат = 16,
(NF) = 4,	&Г	=	4*10~21 вт/гц,
Ar = 48 фут2,	5	=	400	гц,
GT= 1,	Gr	=	30,
Я = 4,5 фут,	(BW) = 30°.
/=220 Мгц,
(20.12)-
Для тех читателей, которые незнакомы с принципами работы этой системы,
дадим следующее краткое описание. Каждый измеренный и передаваемый
на Землю параметр соответствующим образом изменяет частоту звукового
или ультразвукового генератора. Частота этих генераторов может изме¬
няться в пределах около ± 7,5%. Например, повороту руля снаряда
направо до упора может соответствовать частота 14 кгц, повороту руля
налево до упора — частота 16 кгц и нейтральному положению — частота
15 кгц. Для промежуточных значений должна быть построена калибро¬
вочная кривая.
Эти сигналы используются для частотной модуляции обычного ЧМ
передатчика. Сигнал принимается на Земле широконаправленной антен¬
ной и подается на вход ЧМ приемника, затем принятые гармоники раз¬
деляются посредством фильтров звуковых частот. Каждая частота изме¬
ряется и записывается на магнитную ленту, что обеспечивает непрерывную
запись данных. Запись данных на магнитную ленту является удобным
способом хранения данных.
Как указывалось выше, вследствие использования модуляции, тре¬
бующей широкой полосы частот, шум на входе обычного ЧМ приемника
действует в полосе около 300 кгц. При хорошем предварительном усиле¬
нии коэффициент шума для такого приемника может быть равен 4. Шири¬
на луча приемной антенны в двух плоскостях равна примерно 30°, что соот¬

§ 20.3]
АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ
628.
ветствует эффективной площади антенны примерно 50 фут? при стандарт¬
ной телеметрической частоте 220 Мгц или при длине волны 4,5 фута. Эти
данные могут быть получены из приведенных выше уравнений.
Телеметрические сигналы желательно принимать и с неориентиро¬
ванного в пространстве космического корабля; для этого целесообразно,
чтобы передающая антенна корабля была всенаправленной, т. е. ее
коэффициент направленности был равным 1. Для нормальной работы ЧМ
приемника в пределах его чувствительности и для предотвращения попа¬
дания ненужных сигналов на частотные дискриминаторы необходимо,
чтобы отношение мощности принимаемого сигнала к мощности принимае¬
мого шума ат было равно приблизительно 16. За исключением некото¬
рых высокочастотных каналов, используемых иногда для съема и пере¬
дачи данных о вибрациях, для передачи всех данных о функционировании,
ракеты вполне достаточна информационная полоса шириной 400 гц.
Используя приведенные выше соотношения для современной системы
ЧМ, можно рассчитать мощность передатчика в информационной полосе
400 гц для передачи данных с Марса в момент его наибольшего приближе¬
ния к Земле при расстоянии около 25-1010 фут.
Используя зависимости, определяющие интенсивность шума в прием¬
нике и требуемого отношения мощностей сигнал/шум, можно подсчитать
минимально необходимую мощность на входе приемника.
Если имеем расстояние при ближайшем прохождении (приближе¬
нии), равное
10* W4 706 708 70го 7072 70й
Рассшянщ мили
Рис. 20.2. Пространственное ослабление (в децибелах) и время запаздыва¬
ния сигнала (в секундах) в зависимости от расстояния между приемником
и передатчиком.
R = 25 • 1010 фут,
тогда
pRmin = kTAf (NF) ат = 0,077. 10"12 вт,
РТ % = 1,27 • 109 вт.
min

624	ПРОБЛЕМЫ	ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ	ГЛ.	20
Из-за громадного расстояния до Марса мощность на входе приемника
равна примерно 10“13 вт, хотя отношение передаваемой мощности к при¬
нимаемой равно ~1022.
Исходя из этих двух чисел, находим, что средняя мощность, кото¬
рая должна быть передана с Марса для получения такого сигнала иа
Земле, равна примерно 1 миллиарду ватт. Эта мощность настолько велика,
что наводит на мысль о невозможности снизить ее до приемлемых значе¬
ний никакими мерами. Однако это не так.
Огромная степень ослабления радиосигналов на межпланетных рас¬
стояниях, подобная только что вычисленной величине, объясняется нали¬
чием множителя 1 /4л/?2 в основном уравнении радиосвязи. На рис. 20.2
показана степень ослабления сигнала в децибелах в зависимости от рас¬
стояния в милях между передатчиком и приемником. Отметки на шкале
расстояний соответствуют низкому спутнику, высокому спутнику, Луне,
Венере, Марсу, Плутону и ближайшей звезде. На этом же рисунке пока¬
зана величина времени запаздывания сигнала в секундах при односторон¬
ней связи между Землей и планетами. Для тех, кто незнаком с термином
«децибел», поясним, что это есть умноженный на 10 показатель степени,
в которую должно быть возведено число 10, чтобы получить заданную
величину, в данном случае величину 4я/?2. Например, если 4лН2 = 1026,
то ослабление сигнала будет 260 дб.
Из рисунка видно, что в системе связи Земля — планета ослабление
сигнала изменяется от 140 до 270 дб. Можно также видеть, что время
запаздывания сигнала при этом изменяется от долей секунды до одного
часа.
§ 20.4. Возможные улучшения системы телеметрии
Если рассмотрим поочередно каждую из величин, входящих в выра¬
жение (20.1), можно наметить те улучшения, которые могут и должны быть
внесены в систему.
В первую очередь следует рассмотреть коэффициент направленности
G бортовой антенны. Этот коэффициент показывает степень концентрации
энергии антенной в заданном направлении по сравнению со всенаправ¬
ленным излучением. Величина этого коэффициента на практике ограни¬
чивается двумя факторами. С одной стороны, ширина луча антенны
должна быть достаточно большой для того, чтобы возможные ошибки
в ориентации антенны и в относительном расположении передатчика
и приемника не приводили к непопаданию сигнала в приемную антенну.
Разумеется, этого можно достигнуть, используя ненаправленную антенну,
однако в этом случае существенно уменьшится коэффициент G. С другой
стороны, для применения антенн с высоким коэффициентом направлен¬
ности и, следовательно, узким лучом потребуется изучение проблем
наведения и использование более или менее сложных методов и тех¬
ники слежения.
! Во-вторых, как следует из приведенных соотношений, при заданной
длине волны физические размеры антенны тем больше, чем больше ее коэф¬
фициент направленности для описанной выше телеметрической системы
космического корабля. Практическим решением этого вопроса будет, ве¬
роятно, ограничение антенны размерами, например, 3 на 3 фута и выбор
такой частоты, чтобы ширина луча была 5°. При этом подразумевается
наличие на корабле некоторой системы ориентации, однако при ширине
.луча 5° эта система может быть сравнительно несложной. Длина волны

§ 20.4]
ВОЗМОЖНЫЕ УЛУЧШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ
025
будет около четверти фута, а коэффициент направленности антенны
около 1200.
Рассмотрим теперь наземную антенну. На рис. 20.3 показана типич¬
ная спиральная антенна с круговой поляризацией, подобная тем, какие
сейчас используются в системах телеметрии. Эта антенна имеет ширину
луча около 30° и эффективную площадь примерно 50 фут2. Очевидно,
что для приема слабых сигналов из космоса должны использоваться
антенны со значительно большими физическими размерами и эффектив¬
ной нлощадыо. К счастью,
благодаря развитию радиоаст¬
рономии, в настоящее время
уже накоплен значительный
опыт работы с большими антен¬
нами. На рис. 20.4 показан
40-футовый	парабол i хчески й
рефлектор с облучателем, кото¬
рый использовался Националь¬
ным бюро стандартов в экспе¬
риментах но распространению
радиоволн. В настоящее время
па испытательном ракетном
центре Военно-воздушных сил
во Флориде для приема слабых
сигналов от системы телемет¬
рии начинают применяться ан¬
тенны с диаметром отражателя
00 футов.
На рис. 20.5 и 20.6 пока¬
зана еще большая антенна ра¬
диотелескопа в Манчестере
(Англия). Она имеет в диаметре
250 футов и поддерживается
опорами высотой в 180 футов.
В космическом веке антенны
такого типа будут украшать
ландшафты всего мира.
Увеличение физических Рис-
размеров наземной антенны, а
значит, и ее эффективной пло¬
щади, ограничивается целым рядом факторов. Во-первых, с ростом геоме¬
трических размеров антенны увеличивается ее стоимость. Далее, для
того чтобы увеличение физических размеров привело к увеличению
эффективной площади, необходимо поддерживать постоянным коэффи¬
циент использования площади антенны. Если необходимо, чтобы этот
коэффициент был достаточно высоким, тогда для точной фокусировки при¬
нимаемой энергии в облучателе допустимые погрешности поверхности
отражателя антенны не должны превосходить 1/16 длины волны. Эта про¬
блема подобна той, которая встречается в оптической астрономии, где
требуется фокусировать световую энергию с помощью больших телеско¬
пов. К счастью, рассматриваемая проблема не столь трудна, как последняя.
Однако если X = 1/10 фута, а антенна имеет 1000 футов в поперечнике,
то ее размеры должны быть выдержаны с точностью около 1-10"5. Если
ширина луча антенны очень мала, то, кроме необходимости поддержания
10 Космическая техника
20.3. Тппичнаяуспиралытя антенна с круго¬
вой поляризацией.

626
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ. 20
неизменным коэффициента использования площади антенны, требуется
решить задачу поиска и слежения за космическим кораблем. Напомним, что
для данной длины волны ширина луча и эффективная площадь антенны
находятся в обратной зависимости. Используя более низкие частоты,
т. е. более длинные волны, можно было бы уменьшить требования к точ¬
ности конструкции антенны, однако это приведет и к уменьшению ее ко¬
эффициента направленности, если размеры антенны должны остаться
прежними.
Приведенные соображения показывают существование некотором
оптимальной частоты, однако точное значение этой частоты определяется
состоянием технических возмож¬
ностей в данный момент времени.
Для рассмотренной телемет¬
рической системы выберем антен¬
ну диаметром 140 футов, которая
при длине волны V4 фута имеет
ширину луча приблизительно
0°,1. Коэффициент направлен¬
ности ее будет около 2,5 миллио¬
на, а эффективная площадь около
10 ООО футт. Такая антенна впол¬
не реальна и в настоящее время
уже проектируется в Националь¬
ной радиоастрономической об¬
серватории в Западной Виргинии.
Отношение ширины полосы
шума на входе приемника к шири¬
не информационной полосы частот,
а также минимально возможное
отношение сигнала к шуму в силь¬
ной степени зависят от исполь¬
зуемых методов модуляции и де¬
тектирования. В гл. 19 были
указаны некоторые используемые
сейчас методы корреляционного
детектирования. Типичным при¬
мером применения таких методов
является система Микролок, пред¬
назначенная для спутника «Экс¬
плорер». Способы модуляции и
детектирования могут быть раз¬
личными, но всегда эффективная полоса шумов на входе приемника должна
совпадать с полосой частот сообщения. Кроме того, желательно, чтобы
система была статистически достаточно эффективной:, когда отношение
сигнала к шуму близко к 1. Хотя здесь трудно обсудить все технические
возможности реализации отдельных методов, большинство из них осно¬
вано на принципе, подобном рассмотренному выше.
В эксперименте для моделирования внешнего сигнала были исполь¬
зованы местные генераторы в приемнике. Соответствующие комбинации
их сигналов позволяют воспроизвести все особенности, которые, как
полагают, будут свойственны принимаемому сигналу. Изменения пара¬
метров этой модели подчиняются тем же ограничениям, которые, согласно
нашему уровню знаний, имеют место и в реальных принимаемых сигналах.
Рис. 20.	h 0-футо вый параболический рефлек¬
тор с облучателем.

§ 20.4]	ВОЗМОЖНЫЕ УЛУЧШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ	627
Выходной сигнал этой модели сравнивался с внешним сигналом, и
затем различные параметры модели регулировались так, чтобы ее выходной
Рис. 20.5. 250-футовая антенна, используемая в качестве
радиотелескопа (вид сбоку).
сигнал точно соответствовал внешнему сигналу. Различные математиче¬
ские и технические трудности обычно не позволяют создать точно опти-
Pi:c. 20.6. 250-футовая антенна (вид с воздуха).
мальную модель приемника. Однако, как правило, удается подобрать
такую систему модуляции и детектирования, что оказывается возможным
создать приемник, близкий к оптимальному.
40*

628
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ. 20
Такие приемники обычно имеют местные генераторы, корреляционные
детекторы или балансные модуляторы для сравнения линейного и нели¬
нейного детектирования и многоконтурную обратную связь для коррек¬
ции модели.
В системе Микролок при частотной модуляции несущей (система ЧМ-
ЧМ) сигнал формируется и ограничивается так, что несущая частота всегда
уверенно принимается. Генератор в наземном приемнике синхронизирован
по фазе с несущей частотой сигнала при помощи очень узкополосной
системы фазоподстройки.
Этот местный генератор затем используется в качестве когерентного
детектора различных гармоник сигналов системы телеметрии. Ряд гене¬
раторов звуковых частот, соответствующих различным гармоникам вход¬
ного сигнала, оказываются фазосинхронизированными с ними.
При использовании системы Микролок возникает одна проблема,
заслуживающая внимания. Проблема состоит в том, что для надежного
слежения за любыми флуктуациями несущей частоты по сравнению
с частотой местного генератора в приемнике полоса частот, используемая
в цепи фазовой синхронизации, должна быть достаточно широкой. Эти
флуктуации могут быть вызваны нестабильностью работы задающих гене¬
раторов на борту космического корабля пли наземных генераторов,
а также наличием допплеровского сдвига частот вследствие относитель¬
ного движения двух генераторов.
Если полоса частот цепи фазовой синхронизации сделана очень узкой,
то необходимо иметь максимум информации о характере движения кос¬
мического корабля, а также использовать наиболее стабильные гене¬
раторы в наземной и бортовой аппаратуре. В настоящее время огра¬
ничивающим фактором является существующая степень стабильности
генераторов.
Проблема поиска при применении узконаправленной приемной
антенны уже упоминалась. Ниже кратко обсуждаются более общие
проблемы поиска, возникающие при попытках использовать макси¬
мально чувствительные приемные системы. Очевидно, что при использова¬
нии узконаправлениых антенн и незнании ориентировочного местополо¬
жения космического корабля поиски /должны проводиться во всех направ¬
лениях. Больше того, антенна должна оставаться направленной в опреде¬
ленную сторону в течение времени, необходимого для того, чтобы выяснить,
находится там корабль или нет. Очевидно также, что при использовании
узкополосного приемника для обнаружения искомого сигнала необходимо
настраивать приемник на все возможные частоты, оставаясь на каждой
из них достаточное время. Полное время поиска будет определяться
произведением времени обнаружения источника в одном направлении на
число испытываемых направлений.
Вообще говоря, знание таких характеристик сигнала, как направле¬
ние его прихода, частота, форма и т. д., позволяющих отличить полезный
сигнал от посторонних сигналов и шума, приводит к уменьшению числа
измерений многомерного пространства сигналов, которое должно быть
просмотрено при поиске.
Время, необходимое для просмотра одного элемента этого пространст¬
ва, определяется шириной полосы пропускания приемника и приблизитель¬
но обратно пропорционально ширине этой полосы. При очень слабом сиг¬
нале, очень узкой полосе пропускания, очень узком луче антенны и высоко¬
чувствительном приемнике время, необходимое для поиска, может ока¬
заться неприемлемо большим.

§ 20.4]
ВОЗМОЖНЫЕ УЛУЧШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ
629
Имеются различные методы уменьшения времени поиска, заключаю¬
щиеся в одновременной работе большого числа станций, уменьшении раз¬
меров области, в которой производится поиск, в лучшем использовании
предварительной информации о местоположении космического корабля,
его скорости, частоте передатчика и т. д., а также во временном расшире¬
нии луча антенны и увеличении полосы пропускания приемника, что
позволяет принять сразу большее количество сигналов. Для отдельной
системы максимальное время по¬
иска Ттах может быть приближен¬
но подсчитано при помощи соот¬
ношения
т — JL v
1 max — в V1
которое показывает, что полное
время поиска равно времени поис¬
ка в одной «ячейке» 1//?*), умно¬
женному на число исследуемых
ячеек (V — величина той области
многомерного пространства сигна¬
лов, которая должна быть про¬
смотрена, v— размер ячейки, ис¬
следуемой без изменения положе¬
ния антенны).
В качестве иллюстрации пред¬
положим, что требуется просмот¬
реть пространственный угол 30° X
X 30° в диапазоне частот 100 кгц
при помощи антенны с шириной
луча 0°,1 и приемника с полосой
пропускания 400 гц. Объем иссле¬
дуемой области определится чис¬
лом 30° X 30° X 100 000 гц, а
размер ячейки — числом 0°,1 X
X 0°.l X 0°. 1 X 400 гц. Про¬
должительность обследования
ячейки примерно равна 1/400 сек. Рис- 20'- телеметрический блок брдд
При этих данных время, необходи¬
мое для исследования заданного района, будет равно примерно 50 000 сек,
т. е. более 10 часов. Такое время, конечно, чересчур велико для подобного
рода экспериментов.
На рис. 20.7, 20.8, 20.9 и 20.10 представлены различные бортовые
устройства системы телеметрии, иллюстрирующие развитие аппаратуры
в направлении создания наиболее эффективных приемных схем. На рис. 20.7
дана фотография бортового узла, устанавливаемого в БРДД для много¬
канальной передачи телеметрических данных; передатчик имеет выход¬
ную мощность около 100 вт. На рис. 20.8 показан другой типичный бор¬
товой блок вместе с источниками питания, передатчиком и различными
телеметрическими датчиками для многоканальной связи. На рис. 20.9
показан блок значительно меньших размеров, предназначенный для мень¬
шего числа каналов и батарей меньшей мощности. На рис. 20.10 показан
*) Здесь В—ширина полосы в гц. (Прим. перев.)

630
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ. 20
Рис. 20.8. Типичный блок бортовой многоканальной телеме¬
трической системы с источником энергии, передатчиком
и датчиками.
Рис. 20.9. Малогабаритный телеметрический блок с ограни¬
ченным числом каналов, потребляющий малую мощность

$ 20.4]	ВОЗМОЖНЫЕ	УЛУЧШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ	631
блок еще меньших размеров, собранный на полупроводниковых задаю¬
щих генераторах. На рис. 20.11 показана современная приемная станция
системы ЧМ-ЧМ вместе с осциллографом и магнитофоном для записи
результатов измерений.
Рис. 20.10. Малогабаритный телеметрический блок па полу¬
проводниковых генераторах.
Итак, мы обсудили различные величины, входящие в уравнение радио¬
связи: коэффициент направленности передающей антенны, эффективную
Рис. 20.11. Типичная система ЧМ-ЧМ с осциллографом
и магнитофоном.
площадь приемной антенны, требуемое отношение сигнала к шуму и ши¬
рину полосы приемной системы. Осталось рассмотреть последний фактор —
коэффициент шумов приемника. При использовании современных кристал¬
лических смесителей лучшее значение NF, которое может быть сейчас
достигнуто, равно 4. С охлажденным смесителем можно рассчитывать

632
ПРОБЛЕМЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
[ГЛ. 20
добиться величины NF = 2,5. Как говорилось раньше, нет основании
думать, что шум приемника на современных охлажденных кристалли¬
ческих смесителях может быть сделан значительно меньше приведенных
величин. В настоящее время начинает развиваться новый класс приборов,
называемых мазерами (maser — microwave amplification by stimulated
emission of radiation, или усиление на микроволнах посредством вынуж¬
денного облучения). Принцип работы мазеров основан на нарушении
энергетического равновесия некоторых молекул или атомов, таких, как
кремний с примесями мышьяка, газообразный аммиак, пары рубидия
и т. д., и последующем облучении возбужденных молекул принимаемым
коротковолновым излучением. Частота этого принимаемого излучения
соответствует частоте перехода молекул из состояния с более высокой
энергией в состояние меньшей энергии. Облучение вызывает увеличение
скорости этого перехода, что сопровождается излучением энергии в диа¬
пазоне ультракоротких волн в форме фазо-когерентпых колебаний. При
этом входной сигнал усиливается. С помощью мазеров можно ожидать
уменьшения шума приемника в 10—100 раз.
Если столь малый уровень шумов действительно будет достигнут,
очень важной проблемой станет устранение влияния индустриальных,
атмосферных и космических шумов. Потребуется иметь на Земле такие
области, где уровень шумов был бы очень низким. Необходимо будет экра¬
нировать антенные системы от наземных шумов и делать коэффициент
направленности крайне высоким. Наконец, для того, чтобы избежать попа¬
дания космического шума в антенну, придется выбирать определенные
рабочие частоты и специальную траекторию движения космического ко¬
рабля.
§ 20.5. Выводы
Теперь, когда рассмотрены все величины, входящие в уравнение радио¬
связи, выберем из них такие, которые соответствуют оптимальной системе
телеметрии, служащей для передачи сообщений с Марса. Ширина инфор¬
мационной полосы, как и ранее, будет равна 400 гц, и эквивалентная
полоса шума на входе приемника также должна быть равна 400 гц. Предпо¬
ложим, что используется охлажденный кристаллический смеситель, обе¬
спечивающий NF = 2,5. Эффективная площадь антенны пусть будет
равна 10 000 фут2 и ширина луча 2 миллирадиана. Коэффициент направ¬
ленности передающей антенны примем равным 1200, длину волны х/4 фута
и рабочую частоту около 4300 Мгц. Тогда
А/= 400 гц,	=
NF = 2,5,	кТ	=	4*	10~21	вш/гц,
Ан = 10 000	фут2,	CR	=	2	500 000,
Gr= 1200,	BW—А,&	мрад,
X = 0,23 фут,	^min	~	kTkf	(NF) ат = 1,6-10“18 вт,
Рг ,	О
/ = 4300 Мгп,	-	Tmin	=	-gjEffl	=	0,654.1017,
PR	UtAR
Ш1П
i? = 25-1010 фут,	Pt =0,105 em.
J J	rnin
Требуемая мощность на входе приемника равна 10 18 вт, тогда как
отношение передаваемой и принимаемой мощностей равно 1017. Сопостав¬

ЛИТЕРАТУРА
633
ляя эти величины, находим, что требуемая мощность передатчика равна
не 1 миллиарду ватт, как раньше, а всего лишь 1/10 вт. Это значение
даже меньше того, какое необходимо для других нужд, поэтому можно
увеличить мощность до 1 вт или до 10 вт, что обеспечит большую надеж¬
ность связи. На частоте 4300 Мгц общий коэффициент полезного действия
передатчика лежит в пределах от 10% до 20%, поэтому при мощности
в антенне 1 вт необходимо иметь по меньшей мере 5-ваттный источник
питания. Для работы системы в течение недели необходимо 140 ватт-часов
энергии. Вес серебряно-цинковых аккумуляторов такой емкости составит
около 20 фунтов.
Таким образом, показано, что при соответствующем выборе парамет¬
ров, характеризующих систему телеметрии, и при необходимом развитии
средств космической связи передача достаточного количества сведений
с Марса вполне осуществима.
В дальнейшем развитие пойдет, вероятно, в направлении конструи¬
рования бортовых антенн с высоким коэффициентом направленности,
которые должны ориентироваться в сторону приемника. Наземные прием¬
ные антенны будут огромны. Будут использоваться совершенные корре¬
ляционные детекторы с соответствующими способами модуляции. Земля
будет покрыта сетыо приемных станций, и космический корабль сможет
связаться с Землей в любое время дня и ночи. Будут использоваться
приемники со сверхнизкими шумами и генераторы крайне высокой ста¬
бильности, что позволит очень точно знать частоту передаваемого сигнала.
Для предвычисления траектории космического корабля будут исполь¬
зоваться вычислительные машины, что позволит сократить время поисков
при временной потере сигнала. Искусственные спутники будут приме¬
няться для ретрансляции телевизионных передач и навигационной службы.
Будущее космических полетов бросает величайший вызов технике
связи и вместе с тем ставит ее на новую ступень развития.
ЛИТЕРАТУРА
1. F г i i s И. Т., Noise Figure of Radio Receivers, Proc. I. R. E. 32, 419—422 (1944).
2. H e г о 1 d E. W., Future Circuit Aspects of Solid State Physics, Proc. I. R. E. 45,
1463—1474 (1957).
3. W i t t k e J. P., Molecular Amplification and Generation of Microwaves, Proc.
I.	R. E. 45, 291—316 (1957).
4. Emberton R. M. and Ashton N. L., The Telescope Program, for the Natio¬
nal Radio Astronomy Observatory at Green Bank, West Virginia, Proc. I. R. E. 46,
23—24 (1958).
5. M с С о у С. Т., Present and Future Capabilities of Microwave Crystal Receivers,
Proc. I. R. E. 46, 61—66 (1958).
6. Bell Telephone Laboratory Staff, Radar Systems and Components, Princeton, N. J.,
D. Van Nostrand, 1949.
7. L e h a n F. W., Telemetering and Information Theory, I. R. E. Transactions on
Telemetering and Remote Control, PGTRC-2, November 1954.
8. Nichols M. N. and Rauch L. L., Radio Telemetry, New York, John Wiley
and Sons, 2-е изд., 1956.
9. L e h a n F. W. and Parks R. J., Optimum Demodulation, Convention Record
of the I. R. E. National Convention, 1953.
10. Black IT. S., Modulation Theory, Princeton, N. J., D. Van Nostrand, 1953.

Г л Л В Л 21
ПРОБЛЕМЫ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
Вильям X. Пиккеринг {William II. Pickering)
§ 21.1. Введение
Для работы системы управления объектом в пространстве и во вре¬
мени требуются соответствующие командные сигналы; эти сигналы выра¬
батывает вычислительное устройство системы управления. На вход вычис¬
лительного устройства должна поступать необходимая информация, вклю¬
чающая в себя результаты измерения положения и скорости объекта во
времени. Устройства, при помощи которых можно получать такую инфор¬
мацию, делятся на два класса:
а) устройства, служащие для измерений, производимых на самом
космическом корабле,
б) устройства, производящие измерения с удаленных от корабля
станций управления.
Системы радиоуправления относятся ко второму классу.
Такие системы удобны для решения некоторых проблем космической
навигации. В большинстве случаев космический летательный аппарат
после окончания активного участка траектории полета в течение длитель¬
ного промежутка времени должен двигаться по инерции. Это приводит
к тому, что незначительные ошибки в начале пассивного участка траекто¬
рии полета могут стать недопустимо большими при подходе к месту назна¬
чения. Поэтому нужно предусмотреть дополнительный активный участок
в средней части траектории или вблизи места назначения. Для этого допол¬
нительного активного участка должны быть выработаны надлежащие
команды. Методы радиоуправления обладают тем достоинством, что их
точность не связана с длительностью полета, а это очень ценно для реше¬
ния задачи управления в космосе. Фактически промежуток времени сво¬
бодного полета можно использовать для увеличения периода сглаживания
и, следовательно, для получения более точных данных (см. гл. 23).
При очень длительных полетах, например к Марсу, система радиоуп¬
равления с Земли не сможет обеспечить достаточной точности. Для кон¬
троля конечной фазы таких полетов потребуются либо оптические, либо
радиолокационные головки самонаведения. Однако и в этом случае основ¬
ные принципы работы систем радиоуправления будут подобны принципам
работы наземных систем.
Чтобы вырабатывать правильные командные сигналы, необходимо
знать пространственную ориентацию летательного аппарата. Наиболее
удобно определять ориентацию летательного аппарата в пространстве
непосредственно с его борта. С этой целыо на нем могут быть установлены

•S 21.2]
РАДИОНАВИГАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
635
либо соответствующая гироскопическая система, либо система для опре¬
деления направлений по крайней мере на два небесных объекта, например
на две звезды.
Измерительная станция системы радиоуправления обычно опреде¬
ляет направление и дальность до цели относительно самой станции, поэто¬
му эти данные характеризуют лишь относительное движение станции
и цели. Цель и станция сами движутся в ииерциалыюм пространстве, и для
выработки командных сигналов движение каждой из них должно быть
известно. Одно из этих движений, например движение наземной измери¬
тельной станции, известно заранее, так что другое может быть легко вычис¬
лено. Поэтому работа системы радиоуправления требует проведения допол¬
нительных вычислений по сравнению с инерциальиой системой управления.
Однако вследствие того, что интересующее нас движение является движе¬
нием некоторого небесного тела, оно точно известно и может быть пред-
вычислено, так что практически эти дополнительные вычисления не вносят
пика к их существенных осложнений.
При более серьезном рассмотрении вопросов радиоуправления
с Земли необходимо учитывать влияние атмосферы и ионосферы. В кос¬
мическом пространстве в непосредственной близости от Земли располо¬
жены области ионизированной материи, и поэтому коэффициент прелом¬
ления электромагнитных воли радиочастотной части спектра в этих обла¬
стях существенно отличен от единицы. Так как эти области расположены
вокруг Земли примерно концентрическими слоями,- то радиоволны, иду¬
щие с Земли в космическое пространство, будут в общем случае подвергать¬
ся действию рефракции. Любая другая область пространства, в которой
плотность ионизированных частиц переменна, будет также искривлять
т р а е кт о р и ю р ад и о в о л н.
Наши нынешние знания о расп ростра нении сигналов, источники кото¬
рых расположены вне земной атмосферы, почерпнуты почти полностью
из данных радиоастрономии [1, 2]. Некоторые данные получены также
и из наблюдений за искусственными спутниками Земли. Опыт, приобре¬
тенный при приеме сигналов с частотами 20, 40 и 108 Мгц, весьма ценен
для понимания процессов прохождения сигналов через ионосферу [3, 4].
§ 21.2. Радионавигационные измерения
Каждая отдельная станция радиоуправления может проделать сле¬
дующие основные измерения: измерение времени, угла сдвига фаз и на¬
правления прихода сигнала. Обычно эти измерения представляют собой
.дальность, радиальную скорость и направление на цель относительно стан¬
ции наблюдения.
Цель должна посылать соответствующий сигнал либо при помощи
бортового радиопередатчика, либо посредством отражения радарного
сигнала, пришедшего со станции наблюдения.
При использовании более чем одной принимающей станции данные
наблюдений могут быть представлены в других формах, например в виде
разности расстояний от цели до этих станций. Однако само измерение
будет, по существу, одним из трех перечисленных.
Все системы радиоуправления используют в качестве входных дан¬
ных все или некоторые из указанных величин. Возможны разнообразные
расположения передающих и приемных станций. Основные данные могут
быть получены либо иа наземной станции, либо на борту летательного

636
11Р О Б Л Е МЫ Р АД И О У П Р А В Л ЕIIИ Я
[ГЛ. 21
аппарата, причем оптимальный тип системы будет зависеть от поставлен¬
ной задачи.
Измерение времени распространения радиосигнала от цели к прием¬
нику используется для определения дальности до цели. Этот способ широко
применяется в радиолокационных системах. Космические объекты имеют
в этом отношении две особенности: дальность до цели может быть на не¬
сколько порядков больше, чем при обычных радиолокационных измере¬
ниях, но, с другой стороны, в работу вовлекается сам космический корабль,
так как на нем может быть установлен радиоответчик. Вследствие того,
что уравнение, определяющее дальность действия радиолокатора, содер¬
жит четвертую степень расстояния до цели, ясно, что к космическим лета¬
тельным аппаратам обычные радиолокационные методы почти непри¬
менимы. Возможность установки на космическом объекте радиомаяка
позволяет увеличить дальность, на которой можно произвести измерение
времени распространения сигнала.
При измерении моментов прихода радиосигнала нужно помнить, чти
ширина полосы частот приемника будет определять достижимую точность
измерений. Связь на межпланетных расстояниях требует применения
узкополосных систем, и поэтому точность измерения дальности будет
уменьшаться с ростом расстояния. Однако в пределах окололунного про¬
странства при проведении радиоизмерений дальности эти инструменталь¬
ные ограничения несущественны; действительно, радиометоды измерения
дальностей дадут, по-видимому, наиболее точные сведения о расстояниях
до Луны и планет.
Относительная радиальная скорость станции наблюдения и космиче¬
ского летательного аппарата может быть легко найдена из измерения доп¬
плеровского сдвига частоты. Для этого необходимо установить на космичес¬
ком корабле передатчик, работающий на известной частоте, а на Земле
производить измерения частот принятых сигналов или наоборот. Доппле¬
ровские системы, используемые для управления снарядами, делятся на три
категории: пассивные системы, активные системы и системы с модуляцией.
Пассивная система измеряет сдвиг частоты между отраженным и пере¬
данным сигналами. Дальность действия этой системы ограничена тем же
условием, что и дальность действия радиолокатора, такая система непри¬
годна для космической навигации.
Активные системы используют радиомаяк, находящийся на борту
летательного аппарата. Этот радиомаяк принимает сигнал, удваивает его
частоту и передает обратно на Землю, где частота пришедшего сигнала
сравнивается с удвоенной частотой посланного сигнала. Такая система
работает хорошо, радиомаяк на летательном аппарате является узкополос¬
ным устройством и может быть использован для космической навигации.
В системе с модуляцией на космический летательный аппарат пере¬
дается сигнал, модулированный сравнительно высокой частотой. Этот
сигнал затем ретранслируется на Землю иа какой-либо удобной несущей
частоте, и там они сравниваются с первоначальной модулирующей часто¬
той. Такая система имеет много общего с активной системой, однако она
широкополосная и, вероятно, неприменима для наших целей.
Для допплеровской системы можно также использовать передатчик
стабильной частоты, установленный на космическом летательном аппара¬
те. Так как скорость распространения электромагнитных волн в вакууме
составляет около 10у фут/сек, то сдвиг частоты на 10~9 будет соответство¬
вать скорости 1 фут!сек. Поэтому для систем управления требуется ста¬
бильность частоты порядка 10~10 и выше в течение длительного периода

■Я 21.3]
ТРЕБОВАНИЯ К ТОЧНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ
637
времени. Из всех известных устройств только атомные и молекулярные
генераторы обладают такой степенью стабильности. Применение таких
генераторов на космических летательных аппаратах является многообе¬
щающим; в будущем они могут быть использованы в системах управления.
Направление иа передающую станцию определяется при помощи антен¬
ной системы.
Применяемые для этих целей антенны делятся на два класса:
а) антенны, использующие отражатель для фокусировки энергии;
б) антенны, использующие разнесенные системы и работающие
на интерференционном принципе.
В любом случае при передаче радиосигналов на большие расстояния
необходимо, чтобы эффективная площадь антенны была как можно больше.
Как правило, с увеличением площади антенны уменьшается ширина луча
и увеличивается угловая точность определения направления на передат¬
чик. Таким образом, антенны для космической навигации должны быть
большими, иметь точную систему управления, а их элементы конструкции
должны быть очень тщательно выполнены.
§ 21.3. Требования к точности управления
Чтобы оценить точность, необходимую для управления движением
в пространстве, рассмотрим следующие примеры.
Пусть искусственный спутник Земли запущен горизонтально со ско¬
ростью V0 из точки с высотой /г0 над поверхностью Земли. Большая полу¬
ось его эллиптической орбиты определяется по формуле
GM(R + h0)
2 GM-Vt(R + h0)
Следовательно, можно записать
(21.1)
д 2G*M*&ho+2V0GM (R+ho)* bV0	(0,
[2аМ-ЩД+А0)]а	’	^
_ п Г 2А/г°	!_ -БрАБр *1	/г) л о\
a L (Д + А0)2 ' GM J '	^ ' ’
Для орбиты, близкой к круговой, имеем
/о , 7 \	т/2 GM
а я» (R-]-h0),	V;=*—.
Следовательно,
.Да =2 А/г0 | £ АУо	(214)
а	а . 1 V р ’	v /
Предположим, мы хотим получить круговую орбиту с радиусом а =
■■■= 5000 миль. Если ошибка по высоте при запуске равна нулю (Д/г0 = 0),
то скорость должна быть выдержана с точностью 1/10000, для того чтобы
величина А а не превышала одну милю.
Если мы хотим вывести искусственный спутник Земли на сильно
вытянутую эллиптическую орбиту, достигающую окрестностей Луны,
то большая полуось должна быть порядка 100 000 миль, т. е. а =2577.
Тогда скорость V0 ж (2GM/Т?)1^, так как h0 пренебрежимо мало по
сравнению с 7?.
Следовательно, мы имеем
= 50	- +100	(21.5)
a	R	. 1	F0	v	7

638
ПРОБЛЕМЫ Р А Д110 У П Р А В Л Е Н И Я
[ГЛ. 21
Если AFo/Fo ^ 1/10000, то ошибка в величине а составит 1%, или
1000 миль. Отсюда видно, что во многих случаях скорость в момент
запуска спутника должна быть известна с погрешностью не более 0,01%.
Подобно этому ошибка в высоте запуска в одну милю ведет к ошибке
А а — 2 мили для орбиты, близкой к круговой, и к ошибке А а = 1250 миль
для эллиптической орбиты. Таким образом, точность по высоте порядка
одной мили, возможно, окажется недостаточной.
Проблема выдерживания угловой точности в момент запуска оказы¬
вается еще более сложной. Так, если при выводе ось ракеты наклонена
под небольшим углом 0	к местному горизонту, то высота перигея	снизится
на	величину,	приблизительно определяемую следующим	соотношением:
Д/г = hg — Др = А 021L ;	(21.6)
где е — эксцентриситет орбиты [5].
Для орбит с малым эксцентриситетом 0О должен быть очень незначи¬
тельным, чтобы величина А/г оставалась, в разумных пределах. Этой фор¬
мулой следует пользоваться с осторожностью, так как если большая полу¬
ось а является функцией только скалярных величин скорости и высоты, то
эксцентриситет е зависит также и от угла наклона вектора скорости в этот
момент.
Для малых величии эксцентриситета справедливо следующее выра¬
жение :
° u '	g 0 GM GM— V% {R~rh0) '	(-1./)
где й'о — истинная аномалия *), или угловая координата от перигея
до точки запуска.
В любом случае ясно, что для вывода на заданную эллиптическую
орбиту необходимо, чтобы угол наклона траектории в момент вывода
выдерживался с точностью до долей градуса. Подобным же образом
направление траектории в горизонтальной плоскости в точке вывода опре¬
делит угол наклона плоскости орбиты к плоскости экватора.
Основываясь на сказанном выше, можно считать, что системы управ¬
ления для искусственных спутников и космических ракет должны изме¬
рять начальные данные с точностью порядка 1 фут/сек по величине ско¬
рости, долей; градуса по направлению вектора скорости и порядка одной
мили по координатам точки вывода. Даже при указанных точностях может
потребоваться последующая коррекция траектории . В таких случаях уве¬
личение времени сглаживания на участках свободного полета позволяет
значительно уменьшить ошибки радиопзмерений.
§ 21.4. Источники ошибок в системах радиоуправления
Данные радиоизмерений, подаваемые на вход системы управления,
могут иметь погрешности трех типов: инструментальные погрешности,
погрешности, обусловленные средой между передатчиком и приемником,
и, наконец, погрешности, возникающие из-за пеоптимального взаимного
расположения передатчика и приемника.
Инструментальные погрешности происходят из-за нестабильности
электрических и механических параметров антенных систем, недостаточ¬
ной стабильности радиочастотных генераторов, изменений величины отио-
*) В начальный момент, т. е. в момент запуска. (Прим. перев.)

§ 21.4]
ИСТОЧНИКИ ОШИБОК В СИСТЕМАХ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
639
шения сигнала к шуму и т. д. При тщательном выполнении конструкции
антенных систем большинство из них может быть сведено к приемлемым
значениям.
Погрешности, порождаемые средой между передатчиком и приемни¬
ком, объясняются неполным знанием параметров этой среды во время
прохождения сигнала. И тропосфера и ионосфера вызывают заметные ре¬
фракционные погрешности при прохождении радиолучей вблизи горизонта.
Запаздывание сигнала при прохождении через эту среду может быть
весьма значительным. Магнитоионные эффекты будут изменять поляри¬
зацию сигнала. Ионизация удаленных областей пространства может ока¬
зывать серьезное влияние на связь на крайне больших расстояниях.
Погрешности этого типа могут быть уменьшены, если известны параметры
среды и правильно выбрана несущая частота.
Погрешности, обусловленные неблагоприятным взаимным располо¬
жением передатчика и приемника, заслуживают упоминания, потому что
во многих схемах радиоуправления они могут вызвать значительное уве¬
личение погрешностей определяемых величии. Поэтому в некоторых точ¬
ках траектории полета вычисленные команды системы управления могут
оказаться совершенно бесполезными, хотя наблюдения и проводятся
с прежней точностью.
Очевидным решением этой проблемы является выбор таких команд
управления, которые соответствовали бы входным данным системы радио¬
управления.
21.4.1.	Инструментальные погрешности. При рассмотрении основных
ограничений точности радиоизмерения трех основных величии — времени,
радиальной скорости и направления — нашей задачей будет обсуждение
определенных физических ограничений, а не подробное изучение проблем
пр о е кти р о в а ния аппаратуры.
Задача фиксации момента прихода сигнала кажется вполне осущест¬
вимой. Известно, что можно создать высокостабнльиый генератор и под¬
счетом числа его колебаний измерять время почти с любой желаемой
точностью. Трудность точного определения момента прихода сигнала
заключается в том, что приходящий сигнал смешан с шумом и искажен:
фильтрами приемника.
С увеличением расстояния до космического летательного аппарата
ширина полосы частот системы связи должна всегда быть по возможности
наименьшей в зависимости от требуемой скорости передачи информации.
Отсюда вытекает необходимость тщательного анализа требуемой точности
измерений дальности, причем, согласно методам теории информации, сле¬
дует считать возможным максимальное использование априорных данных.
Предположим, что рассматривается задача вывода спутника на точ¬
ную орбиту. Наиболее важным моментом с точки зрения управления
является определение момента выключения двигателя последней ступени
ракеты, особенно конечный этап полета этой ступени. К этому времени
расстояние между летательным аппаратом и станцией управления может
быть порядка 1000 миль. На таких относительно небольших расстояниях
степень ослабления сигнала сравнительно невелика. Если на летательном
аппарате использовать широкополосный радиоответчик, то достаточно
использовать источники питания малого веса с небольшим сроком
службы.
Радиальную скорость можно было бы в принципе получить дифферен¬
цированием дальности. Однако такой способ почти наверняка даст значи¬
тельно меньшую точность, чем непосредственное измерение радиальной

640
ПРОБЛЕМЫ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 21
скорости с помощью эффекта Допплера. Как сказано выше, допплеровские
измерения требуют точного знания частоты сигнала, посылаемого с лета¬
тельного аппарата. Такой сигнал может быть получен с помощью высоко-
стабильного генератора, установленного на борту летательного аппарата,
или, что более удобно с практической точки зрения, при помощи приемоот-
ветчика, также установленного на борту летательного аппарата и излу¬
чающего частоту, кратную частоте принятого сигнала. Инструментальная
точность такой системы определяется фазовой стабильностью приемоот-
ветчика и той точностью, с которой можно сравнивать две частоты на назем¬
ной станции. И в этом случае шум и ширина полосы частот будут основными
факторами, ограничивающими точность измерений.
Точность измерения направления на передатчик, как и прочие радио-
измерения, ограничивается шумом. Одиако на точность измерения в этом
случае влияют и другие факторы — дифракция и отражение лучей,
обусловленные волновым характером электромагнитного излучения. Эф¬
фекты отражения радиоволн от Земли, от зданий или гор могут быть све¬
дены к минимуму правильным выбором расположения антенн, хотя их
редко удается уменьшить до нуля. Эти эффекты вызывают помехи, зави¬
сящие от характера боковых лепестков диаграммы направленности антен¬
ны, которые в свою очередь являются следствием дифракционных эффек¬
тов, возникающих из-за относительно длинных волн, используемых
в системах радиосвязи. Вследствие наличия остаточных отражений необ¬
ходимо калибровать антенные системы, служащие для очень точного опре¬
деления направлений. Для такой калибровки антенны системы управле¬
ния можно использовать, например, радиозвезды или небольшой передат¬
чик, установленный на вертолете, движущемся вокруг антенны.
Дифракционные явления в реальной антенной системе весьма значи¬
тельны. Например, параболическая антенна, направленная на бесконечно
удаленный точечный источник, будет иметь ширину луча около 2,4 %/d ра¬
диан между нулями диаграммы направленности. Боковые лепестки будут
существенно зависеть от деталей конструкции облучателя антенны.
Чтобы получить хорошую разрешающую способность параболического
зеркала, необходимо, чтобы отношение d/% было как можно больше. В су¬
ществующих системах управления величина этого отношения колеблется
в пределах от 10 до 100. В настоящее время для Национальной радиоастро¬
номической обсерватории планируется создание антенны диаметром
140 футов, предназначенной для работы на волнах длиной 3 см. Для этой
антенны отношение d/% составит около 1400.
Величина отношения d/% лимитируется механическими проблемами
создания больших конструкций, так как огромное параболическое зеркало
должно точно направляться в любую точку небесной сферы, сохраняя
при этом свою форму и размеры. Поверхность зеркала не должна откло¬
няться более чем на А,/16 от расчетной формы. Это требование очень серьез¬
но, если учесть наличие ветровой нагрузки и температурных деформа¬
ций. Другим осложнением является то, что по мере возрастания величины
отношения d/% угол зрения телескопа становится меньше, поэтому про¬
блема поиска и сопровождения затрудняется.
Важным требованием является также необходимость обеспечения жест¬
кости крепления облучателя. Смещение облучателя относительно отра¬
жателя антенны будет вызывать поворот электрической оси. Например,
линейное смещение в 0,5 дюйма, перпендикулярное к оси зеркала с фокус¬
ным расстоянием 50 футов, приведет к угловому отклонению оси в 0,001 ра¬
диана. Обычно для контроля относительного расхождения электрической

§ 21.4]
ИСТОЧНИКИ ОШИБОК В СИСТЕМАХ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
641
и оптической осей производится визирование антенны на неподвижный
передатчик.
Интерферометр, который схематически можно рассматривать как две
отдельные антенны, разнесенные на расстояние d друг от друга (рис. 21.1),
также имеет диаграмму лепестковой структуры, нули которой соответ¬
ствуют углам 0*, определяемым соотношением sin 0* = n%/2d, где п — це¬
лые числа. Ширина центрального лепестка приблизительно равна %/d,
тогда как для параболического зеркала ширина равна 2,4 Х/d. Уже соз¬
даны интерферометры с величиной отношения d/% порядка 1000. Однако
в этом случае лепестки диаграммы разделяются
углом всего в 1 миллирадиан или приблизительно	[
4". Поэтому проблема идентификации лепестков	|
очень трудна и необходимо заранее весьма точно	d
знать положение цели. Интерферометры этого
типа используют в радиоастрономии, где движе¬
ние источника излучения (радиозвезды) точно из¬
вестно. Интерферометры, используемые для сле¬
жения за целыо, обычно будут иметь d/% меньше
100, а также будут снабжаться дополнительными
1
вестно. Интерферометры, используемые для еле	.	f
жешгя за целыо, обычно будут иметь d/% меньше
Y	Рис. 21.1. Схема радиоин-
устронствами идентификации лепестков. В качест-	терферометра.
ве таких устройств могут служить дополнитель¬
ные антенны, установленные на малом расстоянии друг от друга. Полная
система будет состоять из нескольких пар антенн с различными базами.
Предположим, что интерферометр используется для сопровожде¬
ния цели. Пусть конструкция его такова, что сигналы от двух антенн
приходят в приемник при следовании от антенны с одним и тем же фазо-
in,! м сдвигом. Введем теперь в о/щу из антенн фазовую ошибку ф радиан.
Это эквивалентно изменению направления прихода фронта волны прибли¬
зительно на arcsin (	Другими	словами,	введенная	угловая	ошибка
меньше соответствующей ей электрической фазовой ошибки в Х/2zid раз.
Для очень точных измерений вопрос стабильности сдвига фазы в фидер¬
ных линиях антенн приобретает большую важность. Может оказаться
необходимым «утопить» эти линии в целях уменьшения температурного
эффекта.
При соблюдении соответствующих мер можно изготовить и откали¬
бровать интерферометр, параболическое зеркало или антенную систему,
что позволит достигнуть точность слежения по углу порядка 0,0001 радиа¬
на, или 30". Ввиду присутствия ошибок, вносимых средой, такая точность
системы, как правило, вполне удовлетворительна.
21.4.2. Погрешности, обусловленные средой. Все выходные данные
станции радиоуправления зависят от знания свойств среды, через которую
проходят сигналы при передаче. Если бы это был вакуум, то никаких
проблем не возникало бы. Однако непосредственно вблизи Земли имеется
атмосфера и ионосфера, а в дальних районах межпланетного пространства
потоки заряженных частиц от Солнца могут быть достаточно плотными
и вызывать ощутимые эффекты.
Низкие слои атмосферы прозрачны для радиоволн и имеют коэффи¬
циент преломления немного больше единицы.
Для дециметровых волн этот коэффициент определяется формулой
41 Космическая техника
и- — 1 + ~Y Р +

642
ПРОБЛЕМЫ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 2
где А и В — постоянные, Т — абсолютная температура, р — давление
атмосферы, е — парциальное давление водяных паров. Величина п у по¬
верхности Земли может быть порядка 1,0003. С увеличением высоты коэф¬
фициент п уменьшается, хотя и не обя¬
зательно монотонно, вследствие скачков
температуры и влажности.
Благодаря изменению коэффициента
преломления с высотой радиосигналы,
идущие с поверхности Земли в космичес¬
кое пространство, будут преломляться,
и их скорость распространения будет
несколько меньше скорости света.
Наибольшему влиянию рефраюцш
будут подвержены сигналы, идущие в
направлении, близком к горизонталь¬
ному. Экспериментальные данные мож¬
но почерпнуть из литературы по радио¬
астрономии. Например, рис. 8 в работе [6]
показывает рефракционное отклонение
солнечного радиолуча частоты 200 Мгц
на 0,25° при угле к горизонту 5°.
После прохождения нижних слоев сигнал попадает в ионосферу.
пР исутствие здесь свободных электронов увеличивает эффективную
д и э л е кт риче с кую постоя иную
и* = 1-81^,	(21.8)
где N — плотность электронов на кубический метр, / — частота радио¬
волны. Эта формула не учитывает наличия магнитного ноля и столкно¬
вений электронов.
Удаляясь от поверхности Земли, радиоволны проходят через области
повышенной плотности электронов (рис. 21.2).
Если N достаточно велико, тогда п может стать равным нулю или
мнимому числу. В этих случаях сигнал не пройдет через ионосферу,
и связь с межпланетным пространством окажется невозможной (рис. 21.3).
Если частота велика, то сигнал сможет пройти сквозь ионосферу
в область низкой плотности электронов,
однако при этом он может значительно
отклониться по направлению.
Предположив, что ионизированные
области располагаются концентрическими
слоями вокруг Земли, можно, используя
закон Спелля, рассчитать траекторию
сигналов по формуле
щ sin i = const,	(21.9)
где q — радиус кривизны слоя, i — угол
падения луча (рис. 21.4).
Кроме отклонений, вносимых ионо¬
сферой, отклонения радиолуча обуслов¬
ливаются также и неоднородностями поясов ионизации. Ути неод¬
нородности вызывают «блуждание» кажущегося положения источника
радиоволн [7]. По экспериментальным данным среднеквадратичная вели¬
Рис. 21.3. Трасса сигналов, имеющих
слишком низкую частоту для прохож¬
дения ионосферы.
70г
длелтрол/м3
Рис. 21.2. Типичная кривая изменения
плотности электронов с высотой.

§ 21.5]
ДОППЛЕРОВСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
643
чина этого блуждания при частоте 40 Мгц составляет 0°Д. Можно наблю¬
дать также амплитудное и фазовое мерцание сигналов, причем частота
мерцания достигает нескольких колебаний в минуту, в зависимости от вре¬
мени суток и времени года. Влияние неоднородностей уменьшается с уве¬
личением частоты, возможно, пропорцио¬
нально квадрату частоты. Рассмотренный
эффект также проявляется более сильно у
горизонта.
Для того чтобы избежать влияния ионо¬
сферы на передаваемые сигналы, рабочая
частота в системах радиоуправления косми¬
ческими летательными аппаратами должна
быть выбрана достаточно высокой. По-види¬
мому, удовлетворительной будет частота вы¬
ше 100 Мгц, хотя другие факторы, такие,
как космические шумы или размеры антенны,
могут привести к необходимости выбора бо¬
лее высокой частоты [8].
Если подходящая высокая частота вы¬
брана, то основным источником рефракцион¬
ных погрешностей будет тропосфера, причем этого нельзя избежать.
Практически влияние тропосферы можно уменьшить, если, во-первых,
не проводить наблюдения у горизонта и, во-вторых, использовать дан¬
ные метеосводок с целыо учета ожидаемых эффектов.
Рис. 21.4. Прохождение радиосиг¬
налов через концентрические слои.
§ 21.5. Допплеровские измерения
Благодаря точности и простоте применяемой техники метод Допплера
оказался очень полезным для наблюдения орбит спутников. Здесь будут
рассмотрены два примера применения эффекта Допплера.
Рассмотрим эффект Допплера на примере сигналов, принимаемых
на земной поверхности от передатчика, установленного на спутнике,
движущемся по орбите, близкой к круговой.
Используя обозначения гл. 19, можно записать:
(21.10)
где |3 ^ vT!c—отношение радиальной по отношению к приемнику ско¬
рости спутника к скорости света.
Для известных	скоростей спутников имеем р	<С	10”*,	следовательно,
А/ — /шоу /stat^ P/stat-	(21.11)
Величина	ошибки	в	А/ от этой аппроксимации имеет	порядок	рД/, и ею
можно пренебречь.
При иерелятивистском подходе к проблеме можно учесть влияние
среды между передатчиком и приемником следующим образом. Пусть фаза
принятого сигнала будет фг. Тогда
R
Ф/< — (ot —	^ ndsy	(21.12)
0 т
где со — круговая частота передатчика, Х0 — длина волны в вакууме,
соответствующая этой частоте. Интеграл выражает электрическую длину
пути от передатчика к приемнику.
41*

644
ПРОБЛЕМЫ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 21
Частота принятого сигнала будет
R
(21.13)
где со предполагается постоянной.
Допплеровский сдвиг частоты равен
R
(21.14)
При распространении в вакууме
(21.15)
Здесь иг — радиальная относительная скорость между передатчиком
и приемником.
Если среда между передатчиком и приемником электрически не одно¬
родна, то допплеровский сдвиг частоты будет содержать слагаемые, обу¬
словленные изменением электрических свойств среды вдоль трассы сигнала.
Например, эффект Допплера будет иметь место и в том случае, если пере¬
датчик движется на постоянном расстоянии от приемника и между ними
расположен ионизированный слой. В реальных условиях эффект Доппле¬
ра будет обусловлен как относительной скоростью движения, так и влия¬
нием среды.
Наблюдения за спутником, кроме того, осложняются еще тем, что
трасса сигнала проходит через ионизированные области, находящиеся
в магнитном поле Земли. Возникающие магнитоионные эффекты могут
значительно изменить характер поляризации принятого сигнала. Некото¬
рые антенные системы, в которых изменение поляризации воспринимается
как фазовое изменение, могут интерпретировать это как ложный доппле¬
ровский эффект.
Если пренебречь всеми этими эффектами, то простой допплеровский
сдвиг частоты для спутника, движущегося прямолинейно с постоянной
скоростью v на расстоянии d от приемника, дается соотношением
где t — время, измеренное от момента наибольшего приближения спут¬
ника к приемнику.
Частота принятого сигнала уменьшается, когда спутник проходит
мимо наблюдательной станции. При t = 0 наклон частотной кривой равен
(—/о/с) (v2/d). Следовательно, если v — известная величина, то значе¬
ние d может быть отсюда найдено. В действительности траектория спут¬
ника криволинейна, однако в момент наибольшего его приближения,
наклон частотной кривой остается равным (—f0/c) (v2/d).
На рис. 21.5 показана экспериментальная кривая допплеровского
сдвига частоты для спутника 1958 а при наибольшем приближении к при¬
емнику, равном 310 милям.
В качестве второго примера рассмотрим эффект Допплера, вызывае¬
мый вращением Земли.
Рассмотрим объект, находящийся на большом расстоянии от центра
Земли. Если наблюдаемый объект неподвижен относительно невращаю-

§ 21.6]
ПРИМЕР СИСТЕМЫ РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
645
щейся геоцентрической системы координат, то скорость изменения расстоя¬
ния от объекта до наземной станции наблюдения может быть легко найдена
по формуле
dD  corsr0 cos Xs cos A,0 sin (cp0—cps)
~dt ~	D	’
(21.17)
где D — расстояние между на¬
блюдателем и объектом, со —
угловая скорость вращения
Земли, rs, г0 — расстояние
объекта и наблюдателя от цент¬
ра Земли, Х8, Я0 — широта
объекта и наблюдателя в непо¬
движной системе координат, <ps,
фо — долгота объекта и наблю¬
дателя в неподвижной системе
координат.
Таким образом, когда объ¬
ект восходит на востоке над
горизонтом, эффект Допплера будет максимальным. Когда объект нахо¬
дится в зените, эффект Допплера равен нулю, а затем снова возрастает
при подходе к западной части горизонта.
При реальном движении объекта соответствующее уравнение будет
более сложным.
§ 21.6. Пример системы радиоуправления
Рассмотрим характер измерений, необходимых для радиоуправления,
на примере спутника, выводимого на круговую орбиту. Вывод на круго¬
вую орбиту осуществляется ракетой, которая сообщает спутнику прира¬
щение скорости Av в определенном направлении, причем величина Av
задана, и требуется вычислить направление и момент запуска.
Рассмотрим плоскую задачу, геометрия которой показана на рис. 21.6.
V
4^
\Тд
Рис. 21.6. Геометрии задачи радиоуправлении.
Можно показать, что круговая орбита будет получена в том случае,
если величина б подчинена соотношению
tg6 = —(21.18)
&	Vc V COS 8	4	7
и сигнал отделения подается тогда, когда
3700
2300
ii
ч
I*
£
I
то
-7700
-2500
40 00 720 760200 240 200 320 360 400 440
дреш, сен
Рис. 21.5. Типичная, кривая допплеровской ча¬
стоты дли спутника 1958 а.

646
ПРОБЛЕМЫ РАДИОУПРАВ Л ЕIIИ Я
[ГЛ. 21
Величины г, г, ф и ф определяются экспериментально. Величины v, е
и vc определяются соотношениями:
V2 = Г2 + (>'ф)2>
(21.20)
е = arctg Г
с
)
я
2
(
Ф + arctg
R—г cos ф
г s 1 li ф
)
(21.21)
(21.22)
где
0 = arctg
(
R — г cos ф
г sm ф
)■
Таким образом, задача может быть решена, если допустить, что v доста¬
точно близка к vc.
Другие подобные задачи обсуждаются в гл. 24.
1. Pawsey J. L. and В г а с е w е 1 1 R. N., Radio Astronomy, London, Oxford
University Press, 1955.
2. Proc. I. R. E., Radio Astronomy Issue 46 (1958).
3. Mullard Radio Astronomy Observatory, Cambridge, England, Radio Observations
of the Russian Earth Satellite, Nature 180, 879—883 (1957).
4. Royal Aircraft Establishment, Farnborough, England, Observations on the Orbit
of the First Russian Earth Satellite, Nature 180, 937—941 (1957).
5. Davis R. J., Whipple F. L. and Z i r k e r J. B., The Orbit of a Small Earth
Satellite, Scientific Uses of Earth Satellites, Brooklyn, N. Y., The Book Production
Company, 1956.
6. McCready L.L., Pawsey J.L. and Payn e-S с о t t R., Solar Radiation
at Radio Frequencies and Its Relation to Sunspots, Proc. Roy. Soc. (London) A190,
357 (1947).
7. Booker II. G., The Use of Radio Stars to Study Irregular Refraction of Radio
Waves in the Ionosphere, Proc. I. R. E. 46, 298—314 (1958).
8. В e r n i n g W. W., Earth Satellite Observations of the Ionosphere, Proc. I. R. E.
47, 280—288 (1959).
ЛИТЕРАТУРА

Г Л А В Л 22
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
БАЛЛИСТИЧЕСКИХ СНАРЯДОВ
Вильям Т. Рассел (William Т. Russell)
§ 22.1. Введение
Инерциальное управление (навигация) основывается на измерении
ускорения снаряда посредством приборов, установленных на снаряде.
Достоинством этого метода управления является его автономность. Инер-
циальное управление не привязано к определенной линии прицеливания,
не создает возмущений, обнаруживаемых при радиолокационном наведе¬
нии, не зависит от состояния погоды, как при звездном визировании.
Система не имеет необходимости в излучении к снаряду или от него.
Недостатком способа инерциальиой навигации является накопление при
продолжительном полете ошибок в скорости и положении снаряда до
довольно значительных величин. Идея метода основана на простых приме¬
нениях законов Ньютона, однако только в последние 10 лет основные
чувствительные приборы стали достаточно точными, и метод стал конку¬
рентноспособным с другими методами управления. Много усовершенство¬
ваний было сделано для систем военного вооружения, и ряд данных о кон¬
кретных системах, их характеристиках и элементах продолжает оставаться
неопубликованным. Однако основные принципы инерциального управле¬
ния не более секретны, чем принципы радиолокационной техники, теории
систем автоматического управления и классической механики.
Системы инерциального управления могут быть разделены иа два
обширных класса. К первому классу относятся системы, работающие при
полетах на постоянной высоте. Они используются на самолетах, кораблях
и подводных лодках. Такие системы в смысле инерциального управления
являются двумерными; для определения высоты, как третьего измере¬
ния, в них используются высотометры. Почти вся литература по ииерци-
альному управлению относится к этому классу систем [1, 2, 3, 4]. Второй
класс систем инерциального управления предназначен для использования
на летательных аппаратах, снабженных ракетными двигателями, когда
полет совершается на больших высотах и с большой вертикальной скоро¬
стью вне пределов земной атмосферы. Такие условия являются типичными
для космических полетов, и поэтому только этот класс систем будет
обсуждаться в настоящей главе [5].
Основными принципиальными элементами систем инерциального
управления являются: опорная система отсчета, акселерометры для изме¬
рения вектора ускорения, счетно-решающее устройство и часы. Опорная

648
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
система отсчета есть механическое устройство, которое устанавливается
внутри снаряда и реализует систему координат для определения ускоре¬
ния снаряда. Перед началом полета опорная система координат определен¬
ным образом ориентируется, и во время полета она или сохраняет неизмен¬
ной свою ориентацию, или известным образом вращается относительно нее.
В настоящее время для практической реализации опорных систем
отсчета используются гироскопы. Измеритель вектора ускорения опреде¬
ляет три компоненты ускорения снаряда. Для этой цели обычно приме¬
няются три одностепенных прибора, которые устанавливаются так, что
их входы или чувствительные оси ортогональны друг другу. Счетно-ре¬
шающее устройство используется для того, чтобы интегрировать ускорение
для получения скорости и положения снаряда, чтобы учитывать влияние
силы тяготения и вычислять сигналы для рулевого управления и управле¬
ния силой тяги. Часы дают точное время, необходимое для вычисления
движения Земли или других тел в пространстве. Эти четыре характерных
элемента систем инерциального управления не всегда разнесены по отдель¬
ным блокам. Например, интегрирование и другие расчетные задачи часто
выполняются измерителем ускорений. В дополнение к этим элементам
необходима аппаратура на Земле в точке старта, чтобы ориентировать
опорную систему координат, заложить программу в вычислительное устрой¬
ство, проверить и подготовить оборудование для запуска.
С системой инерциального управления связаны исполнительные
органы системы управления снарядом, которые физически управляют
снарядом и поддерживают определенные величины углов тангажа, крена
и рыскания при наличии внешних возмущений. Эти органы вызывают
изменение направления вектора силы тяги снаряда (обычно путем измене¬
ния положения снаряда), когда получают сигнал от системы инерциаль¬
ного управления. Функциональные элементы этих систем управления
часто бывают выполнены совместно друг с другом.
Чтобы правильно осуществить ииерциальное управление, необходимы
подробные количественные данные о форме Земли, гравитационном поле
и местоположении объектов на Земле или в пространстве. Эти вопросы
часто рассматриваются как часть проблемы инерциального управления,
но на самом деле они являются частью картографии и геофизики и здесь
обсуящаться не будут.
В этой главе рассмотрены некоторые важные характеристики гиро¬
скопов, акселерометров, стабилизированных платформ и систем автома¬
тического управления снарядами. Рассматривается влияние силы тяготе¬
ния на систему инерциального управления и обсуящается обширный круг
вопросов, относящихся к системам управления снарядами с ракетными
двигателями. В заключение представлен пример системы инерциального
управления для баллистического снаряда.
§ 22.2. Гироскопы
22.2.1.	Описание. Гироскопы неизменно используются в системах
инерциального управления для реализации на подвижных объектах опор¬
ной системы отсчета [6]. В точных системах гироскопы обычно устанавли¬
ваются на стабилизированной с помощью сервомеханизмов платформе.
Они являются точными приборами, которые реагируют на малые враще¬
ния относительно инерциального пространства, т. е. малые угловые откло¬
нения относительно своего опорного или нулевого положения. Гироскопы
для инерциальных систем средней точности или гироскопы, реализующие

§ 22.2]
ГИРОСКОПЫ
649
в системе автоматического управления снарядом опорную систему отсчета,
часто устанавливаются прямо на конструкции снаряда. Поскольку сам
снаряд управляем, он является большой стабилизированной платформой
для гироскопов, смонтированных на его корпусе. Гироскопы, рассматривае¬
мые здесь, можно противопоставить авиационным гироскопическим при¬
борам, имеющим возможность измерения больших угловых отклонений,
по с малой точностью, а также большим гироскопам, которые используются
главным образом для того, чтобы создать момент сопротивления вынуж¬
денной прецессии, а не для того, чтобы запоминать опорную ориентацию.
Гироскопы могут иметь одну или две степени свободы *). Каждый класс
гироскопов имеет своих сторонников, но соответствующие преимущества
и недостатки этих двух типов в основном определяются особенностями спе¬
циальных конструкций. Кроме того, гироскопы с одной степенью свободы
могут быть классифицированы на скоростные, интегрирующие и недемпфи¬
рованные гироскопы. В настоящее время экономичные гироскопы, приме¬
няемые в системах управления, имеют вес от 1 до 3 фунтов и максималь¬
ный линейный размер около 5 дюймов. Однако имеется большой прогресс
по пути создания более точных и малых приборов.
Действие гироскопа основано на известном физическом явлении, сущ¬
ность которого состоит в том, что при приложении момента к вращающему¬
ся ротору так, чтобы изменить направление его оси вращения (практически
совпадающей с вектором момента количества движения), последняя стре¬
мится совпасть с вектором момента. Иными словами, момент, приложен¬
ный перпендикулярно к оси вращения ротора, заставляет ее вращаться
относительно оси, перпендикулярной к осям вращения и момента. Такое
движение называется прецессией. Наоборот, когда ось вращающегося
ротора принудительно прецессирует, возникает реактивный момент отно¬
сительно оси, перпендикулярной к оси вращения и оси прецессии. При
отсутствии каких-либо моментов ось вращения ротора гироскопа не
меняет своей ориентации относительно инерциалы-юго пространства.
22.2.2.	Обозначения, относящиеся к гироскопам.
b — коэффициент линейного вязкого сопротивления,
Н — кинетический момент ротора гироскопа,
Ht — полный момент количества движения,
Ixxi 1уу — главные моменты инерции внутреннего карданова подвеса
и ротора,
Izz — главный момент инерции внутреннего карданова подвеса,
к — коэффициент жесткости упругого элемента,
s — переменная преобразования Лапласа,
Т — момент, приложенный к внутреннему карданову кольцу,
Те — внешние моменты, действующие на гироскоп с одной степенью
свободы; включают известные моменты от генератора момен¬
тов, а также непредвиденные нелинейные эффекты, вызываю¬
щие уход гироскопа,
со*, (оу, coz— составляющие вектора угловой скорости внутреннего кар¬
данова кольца по отношению к инерциальному пространству,
Р — частота нутации,
*) .В число параметров, определяющих положение ротора, не включен угол
поворота его вокруг собственной оси (собственное вращение). Гироскопы с одной
и двумя степенями свободы, по терминологии автора, следует назвать имеющими
две и три степени свободы, как принято в нашей литературе. Далее сохранена
авторская терминология. (Прим. ред.)

650
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
0/
/fopr/ус ppipfopa
0//т//ее
/Г0/7Щ0
/гарда//0&с
падежа
У
'-У
со*, cos, со0—составляющие угловой скорости внутреннего карданова
кольца по отношению к инерциальному пространству, спроек¬
тированные соответственно на входную, опорную и выход¬
ную оси,
0 — угол поворота внутреннего карданова кольца относительно
корпуса для гироскопа с одной степенью свободы,
г*
\^с0[dt—угол поворота около входной оси по отношению к инер¬
циальному пространству.
22.2.3.	Гироскопы с двумя степенями свободы *). На рис. 22.1 дана
схема гироскопа с двумя степенями свободы. Ротор гироскопа смонти¬
рован в подшипниках на внутреннем кольце карданова подвеса и при¬
водится двигателем во вращение с постоянной угловой скоростью. Под¬
шипники между внутренним и внешним кольцами карданова подвеса
и между внешним кольцом и корпу¬
сом позволяют корпусу свободно
вращаться относительно внутреннего
кольца карданова подвеса. Между
внутренним кольцом подвеса и кор¬
пусом предусмотрен датчик-измери¬
тель, реагирующий на относитель¬
ные вращения корпуса около двух
осей: чувствительности (х и у, см.
рийРЙ2.1). Генератор момента исполь¬
зуется для создания моментов, при¬
кладываемых к ротору гироскопа и
внутреннему кольцу подвеса. Перед
полетом ротор гироскопа приводится
во вращение, и к внутреннему коль¬
цу подвеса прикладываются момен¬
ты, заставляющие его прецессиро-
вать к опорному или нулевому поло¬
жению датчика. Во время полета
любое малое вращение корпуса снаряда в инерциальиом пространстве
относительно одной из осей чувствительности обнаруживается датчиком,
и этот сигнал .используется для управления серводвигателем системы,
который поворачивает корпус снаряда до его первоначального положе¬
ния относительно оси вращения.
Любые случайные или другие моменты, действующие относительно
измерительных осей, будут вызывать прецессию гироскопа и создавать его
уход. Последний изменяет положение опорной системы отсчета и является
погрешностью прибора. Моменты, которые могут вызвать уход, возникают
от неуравновешенности карданова подвеса, трения в подшипниках подвеса
и реактивных моментов датчика-измерителя, генератора момента и про¬
водов, используемых для подвода энергии к двигателю и элементам датчика,
смонтированным на внутреннем кольце карданова подвеса. Основная
проблема конструирования гироскопа состоит в том, чтобы свести к мини¬
муму влияние этих моментов.
Принцип действия всех типов гироскопов основывается на законах
классической механики твердого тела [7]. Используя обозначения, при-
/?//у///рзу//ж /гал&ра
Рис. 22.1. Гироскоп с двумя степенями
свободы.
*) С тремя степенями свободы. См. подстрочное примечание на стр. 649.
(Прим. ред.)

§ 22.2]
ГИРОСКОПЫ
651
■веденные в 22.2.2, получим следующие уравнения движения внутрен¬
него кольца карданова подвеса вместе с ротором:
Подставляя уравнение (22.2) в (22.1) и выражая все в проекциях на коор¬
динатные оси, получаем:
Эти уравнения написаны в проекциях иа оси ортогональной системы коор¬
динат (рис. 22.1), которые жестко связаны с внутренним кольцом карда¬
нова подвеса и направлены вдоль главных осей инерции. Предполагаем,
что угловая скорость вращения ротора относительно иыерциальыого про¬
странства постоянна, т. е. пренебрегаем связью между внутренним коль¬
цом подвеса и ротором через вращающийся двигатель. Так как последние
члены в правой части уравнений (22.3) и (22.4) значительно больше осталь¬
ных, то в приближенном виде уравнения гироскопа имеют вид:
Одно из интересных движений гироскопа называется нутацией. Сущест¬
венные особенности этого движения можно понять из рассмотрения реше¬
ния уравнений (22.3), (22.4) и (22.5), когда нет внешних моментов и coz
принято (или обусловлено конструкцией прибора) равным нулю:
В этих уравнениях 1ХХ включает в себя момент инерции внешнего кольца
карданова подвеса. Решение уравнений представляет собой коническое
движение оси вращения ротора, так что точка на оси вращения движется
но эллипсу:
Здесь А и ф определяются начальными условиями, а (3 называется часто¬
той нутации. В реальных приборах нутационные частоты обычно высоки,
п на внутреннее кольцо карданова подвеса действуют демпфирующие
моменты; поэтому нутация редко является существенным фактором. Пол¬
ный анализ прибора, включающий динамику карданова подвеса, является
очень сложным [8].
На рис. 22.2 представлена схема гироскопа с двумя степенями свобо¬
ды, разработанного фирмой «Арма» корпорации «Америкэн Бош Арма».
rp	dH t
1	clt	’
(22.1)
(22.2)
Ht — I xx(axi-\-1 у yd) у j + (7 z2M2 ~\- H) к ■
T x Txxd)x I ^y®z (IZZ	^yy) "T	1
Ту = Jyytiiy -j- (O^-COz (Ixx	Izz)
^ z Izz®z + ®x®y yy	Ата) •
(22.3)
(22.4)
(22.5)
Tx = сoyH,
Ту — — со XH.
(22.6)
(22.7)
6   Jxx^x I ^*/77 ’
0 = lyydiy (axH.
(22.8)
(22.9)
Wy = A sin (PH- ф)>
(22/10)
(22.11)
(22.12)

652
И Ii Е Р Ц И A JIЬ Н А Я СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
Внутреннее кольцо кардаиова подвеса состоит из сферического кожуха,
или плавающей сферы, которая содержит гироскопический агрегат. Сфе¬
рический кожух взвешен в жидкости той же плотности, что и кожух.
Сфера центрируется в корпусе посредством тонких проволок и промежу¬
точного кардаиова кольца, которое также взвешено в жидкости. При взве¬
шивании в жидкости исключается необходимость в подшипниках карда-
нова подвеса, которые могут быть источником некоторого трения; центри¬
рующие нити создают незначительный упругий момент. В устройстве
используются также двухстепенной электромагнитный датчик и генератор
момента. Гироскоп предназначается для использования на стабилизиро¬
ванных платформах и в других точных устройствах. Так как гироскоп
работает около нулевого положения, прецессия, вызываемая моментами
сопротивления жидкости, равна нулю. Как и в любом гироскопе, здесь
необходимо свести к минимуму моменты, возникающие от таких причин,
как несимметричность токов жидкости, статическая неуравновешенность
взвешенной сферы или кардаиова кольца и остаточные моменты поддержи¬
вающих нитей, когда сигнал датчика равен нулю. Температура гироскопа
должна регулироваться так, чтобы взвешивающая жидкость имела надле¬
жащий диапазон плотности для обеспечения плавучести сферы.
22.2.4.	Гироскопы с одной степенью свободы. На рис. 22.3 дана схема
гироскопа с одной степенью свободы *). Здесь имеется только одно кар-
даново кольцо, которое свободно поворачивается относительно корпуса
около выходной оси, или оси у. Ось вращения ротора гироскопа z перпен¬
дикулярна к выходной оси. Опорное направление оси ротора гироскопа
фиксировано в корпусе и определяется положением оси ротора гироскопа,
когда сигнал с датчика, или выходной сигнал, имеет нулевое или заданное
Делтрнру/ощие HU/HU
, Тснопобеобм
ffopnye прибора
Датчик
сигнала
и генератор
момента
Ртабилизируемал
осе
Рис. 22.2. Гироскоп с двумя степенями свободы фирмы «Арма».
*) См. подстрочное примечание на стр. 649. {Прим. ред.)

§ 22.2]
ГИРОСКОПЫ
653
значение. Угол между этими осями называется выходным углом 0. Входная
ось неизменно связана с корпусом гироскопа и перпендикулярна к вы¬
ходной оси и опорному положению оси ротора. Она совпадает с осыо х,
когда выходной угол равен нулю. Основной входной величиной является
поворот корпуса в инерциальном пространстве относительно входной оси.
Это вращение передается карданову подвесу и гироскопу через подшип¬
ники подвеса, вследствие чего возникает вынужденная прецессия ротора
гироскопа. Вынужденная прецессия гироскопа создает момент, называе¬
мый гироскопическим , который действует на карданов подвес относительно
выходной оси. Этот момент уравновешивается реактивным инерционным
моментом подвеса, моментом вязкого сопротивления, пропорциональным
угловой скорости подвеса относительно корпуса, и упругим моментом,
пропорциональным углу поворота карданова подвеса относительно кор¬
пуса. В зависимости от того, какой из этих моментов преобладает, гироскоп
с одной степенью свободы называется недемпфированным гироскопом,
интегрирующим (или определяющим угловое отклонение) или скоростным
гироскопом. Определенный внешний момент может быть приложен к кар-
даиову подвесу генератором момента. Как и для гироскопа с двумя сте¬
пенями свободы, существуют непредвиденные вредные моменты различного
происхождения, вызывающие уход гироскопа.
Связь между входом и выходом гироскопа может быть получена
из уравнения (22.4). В это уравнение входят проекции вектора угловой
скорости на оси, связанные с корпусом; выражая их через проекции иа
опорную (cos), входную (со*) и выходную (со0) оси, получим:
COj, = 0 + со0,
сох = <щ cos 0 — соs sin 0,
(Dz	C0S cos 0 + <щ sin 0.
(22.13)
(22.14)
(22.15)

654
11Н Е Р ЦIIА Л ЬIIА Я СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
Член Ту в уравнении (22.4) равен
Ту = —Ъв-кв + Те.
(22.16)
Подстановка этих соотношений в (22.4) дает
IIсOi cos 0 + Те = Iyyti 50 + Ш + Ясо5 sin 0 -j- Iyyco0 -
-Г (IXX —hi) [ Y sin 20 (co! — CDs)
CDsG)j COS
20] .	(22.17)
Последний член этого уравнения должен быть изменен, если главные оси
инерции карданова кольца и ротора гироскопа не совпадают с выходной
осыо и осью вращения ротора. Этот член следовало бы рассматривать при
анализе некоторых эффектов ухода гироскопа, однако в большинстве слу¬
чаев он не имеет большого значения и в дальнейшем учитываться не будет.
Таким образом, для малых выходных углов уравнение (22.17) принимает вид
Последние два слагаемых в правой части этого уравнения определяются
наличием перекрестной связи; их надлежит принимать во внимание при
проектировании стабилизированной платформы или другой системы,
использующей гироскопы. Так как гироскоп работает около нулевого
положения, то следует рассматривать (щ, cos и со0 как величины, опреде¬
ляемые действием сервосистемы платформы, на которые налагаются сину¬
соидальные и случайные колебания, возникающие от вибраций. Вынуж¬
денные колебания при надлежащем соотношении фаз, влияние перекрест¬
ной связи и некоммутативность конечных вращений могут вызвать уход
гироскопа [9, 10, 11]. Момент TQ действует на гироскоп подобно входной
угловой скорости и, следовательно, изменяет опорную ориентацию гиро¬
скопа; он определяется реактивным моментом генератора моментов и всеми
посторонними и непредвиденными моментами, которые нежелательны и
вызывают дрейф гироскопа или помехи на выходе. Момент Те преодолевает
инерцию, вязкое и упругое сопротивление внутреннего кольца, вследствие
чего создается выходной угол, или выходной сигнал. Последний приводит
в движение серводвигатель, который вращает платформу с такой угловой
скоростью, чтобы гироскопический момент #<щ полностью уравновесил
приложенный момент Те и момент упругого сопротивления.
Если в уравнении (22.18) откинуть слагаемые, определяемые пере¬
крестной связью, то передаточная функция гироскопа принимает вид
Типичный скоростной гироскоп может иметь характеристическую функцию
с частотой свободных колебаний около 25 гц и коэффициентом демпфиро¬
вания, приблизительно равным 0,5 критического. Скоростные гироскопы
часто применяются для стабилизации систем управления снарядами, но
обычно не используются в системах инерциального управления. В инте¬
грирующих гироскопах упругое сопротивление бывает незначительным,
и передаточная функция становится равной
Типичное значение постоянной времени 1УУ/Ъ приблизительно равно
1 -г- 2 мсек. В большинстве технических приложений это запаздывание
H(Dt -!- Те = 1уув + А0 + 50 Н(о8в + 1уу(о0.
(22.18)
(22.20)

л 22.21
ГИРОСКОПЫ
.655
является незначительным, и поэтому выходной сигнал по существу про¬
порционален интегралу по времени от входной угловой скорости или
малому входному углу отклонения от расчетного положения:
(22.21)
Недемпфированные гироскопы имеют обычно на выходной оси газо¬
вый или гидродинамический подшипник, демпфирующее и упругое сопро¬
тивления которого малы. В этом случае выходной сигнал от входных дви¬
жений по существу пропорционален интегралу по времени от входного
угла:
Нщ (22.22)
(22.23)
При принудительно сообщаемой угловой скорости вокруг выходной оси
создается гироскопический момент ротора относительно входной оси.
Риро/яотср
Ротор	!
гироокопа
Генератор
момента
Ворпуо
пробора
Датчик
сигнала
уО Опорное
бР'4"- капраопопио
оои оратопая
Вооои/оппи/й
кожуя
Входная
ООО
Рис. 22.4. Герметизированный интегрирующий гироскоп.
В интегрирующем гироскопе этот момент мал и его обыкновенно можно
не учитывать при анализе сервопривода платформы. Однако для недем¬
пфированного гироскопа этот момент может иметь большое значение.
В упрощенной форме этот момент будет
1 (22.24)
.7/о)7/
Я2
,//е^ т- co,-
о*-
-1
hvs
На рис. 22.4 представлена схема герметизированного интегрирую¬
щего гироскопа, разработанного доктором Дрэпером в Лаборатории при¬
боров Массачусетского технологического института [12]. Различные
варианты этого прибора принципиально повторяют друг друга и отли¬
чаются только механическим исполнением, а также используемыми типами
датчика сигнала и генератора момента. Ротор гироскопа помещается
в герметическом кожухе, взвешенном в жидкости в состоянии нейтраль¬
ной плавучести. Валики, прикрепленные к плавучему кожуху, несут

656
И Н Е Р ЦИ АЛЬ Ы АЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ 22
элементы роторов датчика сигнала и генератора момента, причем на каж¬
дом конце валика предусмотрены опоры на камнях. Так как гироскопи¬
ческий элемент находится во взвешенном состоянии, то на опоры дей¬
ствуют малые радиальные усилия и к выходной оси приложены незначи¬
тельные моменты. Предусмотрены средства для балансировки плаваю¬
щего корпуса и контроля температуры. По своей идее прибор очень прост,
но для достижения высокой точности прибора требуется тщательное кон¬
струирование и изготовление деталей.
22.2.5.	Уход гироскопа. Уход гироскопа является фактором, заслу¬
живающим особого внимания. Эффекты скоростных уходов часто класси¬
фицируются на три группы. Уходы первой группы являются независимыми
от ускорений. Они включают уходы от упругих моментов силовых и сиг¬
нальных проводов или от реактивных моментов датчиков сигнала и гене¬
ратора момента, действующих на плавающий кожух. Вторая группа
масс, вызывают смещения центра масс относительно центра опоры, про¬
порциональные податливостям в соответствующих направлениях ротора
гироскопа и конструкции карданова подвеса как единого целого. Если
податливости Сх и Сг не равны, то вектор смещения будет иметь компо¬
ненту, нормальную к вектору ускорения и создающую момент относи¬
тельно выходной оси. Используя обозначения, приведенные на рис. 22.5,
этот момент можно рассчитать так:
Момент, обусловленный неравножесткостыо конструкции, является
максимальным, когда вектор ускорения делит пополам угол между вход¬
ной осыо и осыо вращения. Следует заметить, что по этой причине может
возникнуть постоянный уход и в том случае, когда действующее ускоре¬
ние имеет колебательный характер. Каждый отдельный гироскоп обычно
имеет систематическую составляющую ухода: он может быть выверен,
и для ликвидации этой составляющей ухода может быть приложен под¬
ходящий компенсирующий момент. Другая составляющая дрейфа гиро¬
Рлс. 22.5. Геометрические соотношения,
характеризующие эффект податливости.
Центр масс
Tav/ra ааара/
включает уходы от моментов, пропор¬
циональных ускорению. Здесь главным
источником ухода является статическая
неуравновешенность конструкции внут¬
реннего кольца карданова подвеса, т. е.
смещение между его центром масс и
геометрическим центром опоры или
центром плавучести. Третья группа со¬
держит уходы, пропорциональные квад¬
рату ускорения. Обычно это объясняет¬
ся эффектом податливости, или нерав¬
ножесткостыо конструкции. Рис. 22.5
схематически поясняет это положение.
Силы инерции переносного движения,
пропорциональные ускорению центра
(22.25)
, _ т2а2 sin 2ср ,р р ,
у—	2	\(-'z~Lyx)-	j

§ 22.3]
АКСЕЛЕРОМЕТРЫ
657
скопа не является повторяющейся и ее обычно называют случайным или
непредвиденным уходом. Приведенные уравнения не учитывают влияния
на уходы гироскопов частоты действующего ускорения. На практике
внутренние резонансы гироскопа имеют место при частотах свыше несколь¬
ких сотен герц; в полном анализе все эти динамические эффекты должны
учитываться. Для прецизионного гироскопа обычная величина кинети¬
ческого момента ротора равна 106 дн-см-сек. Например, если скорость
ухода гироскопа меньше 0,2 град /ч (10_6 рад/сек), то в уравнении (22.7)
непредвиденные моменты должны быть меньше 1 дн-см.
§ 22.3. Акселерометры
Для измерения вектора ускорения ракетных снарядов обычно исполь¬
зуют три одностепенных акселерометра, смонтированных ортогонально
друг к другу. Они должны работать с высокой точностью в весьма
широком диапазоне значений входных величин и в тяжелых условиях.
На рис. 22.6 приведена схема
акселерометра, на которой по¬
казаны основные его элементы.
Принцип действия прибора за¬
ключается в том, что при при¬
ложении силы к инерционной
массе, находящейся внутри кор¬
пуса прибора, ускорение массы
должно быть равно ускорению
корпуса, если не учитывать ди¬
намику самого прибора. Сила,
ускоряющая массу вдоль вход¬
ной оси прибора, измеряется в
единицах некоторой физической
величины, пропорциональной
силе. Например, если «датчи¬
ком» силы является простая пружина, то сила измеряется деформацией
пружины. Обычным «датчиком» силы является замкнутая обмотка в ма¬
гнитном поле, через которую пропускается ток обратной связи с дат¬
чика, измеряющего относительные перемещения массы и корпуса вдоль
входной оси (рис. 22.6).
Для невращающегося прибора на основании закона Ньютона в при¬
менении к инерционной массе имеем
a==_if+£’	(22.26)
где а — «истинное» ускорение инерционной массы вдоль оси чувстви-
тельности, F — все негравитациоиные силы, действующие на массу вдоль
оси чувствительности, М — величина инерционной массы, g — составляю¬
щая ускорения силы тяготения вдоль оси чувствительности.
Важно уяснить себе смысл членов уравнения (22.26). Это уравнение,
которое назовем уравнением ускорений, показывает, что акселерометр
измеряет не «истинное» ускорение, а скорее разность между истинным
ускорением и ускорением силы тяготения. Эту разность, равную величи¬
не F/М, будем называть ускорением силы тяги. Такое название объяс¬
няется тем, что для акселерометра величина F/М равна сумме неграви¬
тационных сил, действующих на снаряд, деленной на мгновенную массу
Космическая техника
ДС/ЛУЛЛ
ЗшоУлой
СиЗЛЯЛ
лриУира
/fupr/уе
ириУира
''djroP/we
услерелие
Усилитель
\ I
/7олереулие \
уелирелие 4
Рис. 22.6. Основные элементы акселерометра.

658
ИИЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 2:
снаряда, а наибольшей негравитационной силой, действующей на снаряд
с ракетным двигателем, является сила тяги. Для получения истинного
ускорения сила .тяготения должна быть вычислена счетно-решающим
устройством и сложена с ускорением силы тяги. Ускорение силы тяго¬
тения является функцией положения в пространстве и времени в том
смысле, что учитываются относительные положения планет, изменяю¬
щиеся во времени.
Истинное ускорение определяется относительно какой-либо избран¬
ной «свободно падающей» координатной системы, т. е. системы коорди¬
нат, в которой действуют только гравитационные силы притягивающих
масс. Одной из таких систем, наиболее часто применяющейся, является
система отсчета, помещенная в центре Земли и являющаяся поэтому сво¬
бодно падающей в гравитационном поле Солнца (а также Луны и планет).
Свободно падающая координатная система, движущаяся вместе с искусст¬
венным спутником, применяется при рассмотрении полетов в районе спут¬
ника (в задаче встречи). Для баллистических снарядов удобно применять
«свободно падающую» систему координат, которая имеет скорость и поло¬
жение снаряда в момент окончания активного участка полета. Эта систе¬
ма координат называется соответственной системой отсчета, и ее скорость*).,
являющаяся функцией времени, называется соответственной скоростью.
Следует заметить, что свободно падающий акселерометр, например аксе¬
лерометр на спутнике, будет иметь нулевой выходной сигнал.
Ускорение силы тяготения в уравнении (22.26) есть разность гра¬
витационных сил, действующих на единицу массы в месте расположе¬
ния акселерометра и в соответствующем положении свободно падающей
координатной системы **). При полетах вблизи поверхности Земли в систе¬
ме координат с началом в центре Земли эта разница в ускорении силы
тяготения почти полностью обусловлена гравитационным- полем Земли;
влиянием гравитационного поля Солнца можно пренебречь. При полетах
в районе спутника молено не принимать во внимание разницу в силе
тяготения между спутником и акселерометром. В этом случае ускорение
*) Очевидно, имеются в виду поступательно движущиеся осп. (Прим. реО.)
**) Здесь, по-видимому, имеется в виду следующее: рассматривается движение
центра инерции С реального тела S (спутник, ракета) и центра инерции С{)
воображаемого «свободно падающего тела» S0. В системе инерциалышх осей
уравнения движения центров инерции С и С0 соответственно будут
ml~ Fprmgv m-<\ = Fp-mg4,	mt = Fprmgv
m|o = mgol, mr|0 = mg0,v m£0 = mg0£.
Пусть CqS'tiT—поступательно движущиеся оси, параллельные осям ппсрциаль-
Hoii системы. Координаты точки С в осях	равны
S' = S—io.	Д п — >1£' = £—to
м уравнения движения се в этой системе осей будут
Ч' = Fi rm(£5—£o|). ',!1l' = bi + "i(£r| — ?0Т))>	=	(gt — goi).
При достаточной близости тел S и S0 можно пренебречь изменением поля тяготе¬
ния; если, сверх того, предположить, что координаты и скорости точек С и С{,
в начальный момент одинаковы, т. е. что	—	«соответственная	система»,
то выходной сигнал акселерометра (после двукратного интегрирования при пуле¬
вых начальных данных) даст координаты ц', £' точки С в этой системе. Тогда
понадобится лишь добавить к ним вырабатываемые программным вычислительным'
устройством координаты £0, ц0, £о точки С0. (Прим. ред.)

§ 22.3]
АКСЕЛЕРОМЕТРЫ
659
силы тяги, измеренное акселерометром, является ио существу истин¬
ным ускорением относительно спутника. Акселерометр, установленный
вертикально к поверхности Земли, измеряет направленное «вверх» уско¬
рение, соответствующее реакции опоры на корпус прибора [11]. Ускоре¬
ние силы тяготения есть вычисляемая величина, направленная «вниз».
Разность между этими величинами есть центробежное ускорение прибо¬
ра, вызываемое вращением Земли вокруг своей оси.
Интеграл по времени от истинного ускорения есть скорость акселе¬
рометра относительно свободно падающей координатной системы. Инте¬
гралы по времени от ускорения силы тяги и ускорения силы тяготения
будут скоростями, обусловлен¬
ными соответственно действием
силы тяги и силы тяготения.
Важно заметить, что при¬
бор измеряет все силы, дей¬
ствующие на инерционную мас¬
су вдоль оси чувствительности
(исключая силы тяготения).
Например, любое статическое
трение между массой и ее опо¬
рой приведет к погрешностям.
Однако линейные вынуждаю¬
щие силы, например силы жид¬
костного сопротивления, будут
влиять только на динамику
прибора, так как интеграл по
времени от таких сил будет
равен нулю. Корпус прибора
должен быть жестким, тогда
он не будет деформироваться под действием поперечного ускорения, и
акселерометр не будет чувствителен к поперечной составляющей ус¬
корения.
На рис. 22.7 дана схема действующего прибора, подобного по
конструкции герметическому интегрирующему гироскопу, описанному
в § 22.2. Инерционной массой в данной конструкции является маятник,
а датчиком силы — электромагнитный генератор момента. Необходим
также датчик сигнала, который реагирует на отклонение кожуха с маят¬
ником от пулевого положения. Взвешивание прибора в жидкости факти¬
чески устраняет моменты трения в опорах. Ускорение, действующее
вдоль оси чувствительности прибора, вызывает отклонение маятника
с кожухом и создает момент относительно выходной оси поплавка. Этот
момент вызывает вращение поплавка и обусловленное этим вращением
напряжение в датчике сигнала, пропорциональное 0. Это напряжение
используется для получения электрического тока, подводимого к гене¬
ратору момента; генератор момента в свою очередь создает такой момент,
который «сдерживает» маятник и уменьшает угол 0. Таким образом,
ток / пропорционален проекции вектора ускорения вдоль осп чувстви¬
тельности прибора. Коэффициент усиления обратно!! связи должен быть
высоким, чтобы отклонение маятника при большом действующем ускоре¬
нии было малым. В противном случае возникает нежелательный момент,
пропорциональный произведению ускорения вдоль линии подвес — центр
масс маятника на синус угла отклонения маятника 0. Приборы этого типа,
называемые маятниковыми акселерометрами с обратной связью или
ВшоВнса
сигнал
ВшаВ-
ная ось
/Усятнапоеая
масса
' Ваясженае
опорной оса
I ВлоВная ось
v Генератор момента
Рис. 22.7. Акселерометр маятникового тина
42*

660
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
стесненными маятниковыми акселерометрами, являются практически вы¬
полнимыми. Неточности прибора могут возникнуть в том случае, если
установка нуля или коэффициент усиления контура обратной связи
отклоняются от своих установленных значений.
В пространственной навигации интересующими нас величинами
являются скорость и положение снаряда, а не ускорение. Иногда повы¬
шенную точность и надежность прибора можно получить выполнением
гироскопа
Генератор
' момента
Оенесан-датчик
ешоОного согнана
Датчан
согнана
Опорное на¬
правление осо
вращения ротора
и понижения
маятника
Рис. 22.8. Маятниковый гироакселерометр.
процесса интегрирования в самом акселерометре, результатом чего
является превращение его в измеритель скорости. По существу, это дости¬
гается при действии на инерционную массу силы, пропорциональной
некоторой функции от скорости. Например, электрический ток может быть
подан на генератор момента (см. рис. 22.7) импульсами постоянной высоты
и длительности, но переменной частоты. Тогда частота импульсов про¬
порциональна ускорению, а общее число импульсов — скорости.
Другим действующим прибором, который использовался Германией
на ракете V-2 во второй мировой войне, является гироскопический маят¬
никовый акселерометр. Этот интегрирующий акселерометр является по
существу маятниковым акселерометром с обратной связью, в котором
датчиком силы служит гироскопический элемент. На рис. 22.8 представ¬
лена схема такого прибора, основанного иа конструкции герметического
интегрирующего гироскопа. Выходная величина датчика сигнала подает¬
ся на серводвигатель, который вращает корпус прибора относительно
оси чувствительности с такой скоростью, чтобы момент, развиваемый гиро¬
скопическим элементом, точно равнялся маятниковому моменту. Условие

§ 22.4]
СТАВ И Л ИЗ ИР О В А Н НЫ Е ПЛАТФ О РМЫ
661
равновесия моментов относительно оси поплавка в установившемся состоя¬
нии есть
//со* = mlat,	(22.27)
где ml есть мая тип ко вость; другие обозначения были определены ранее.
Отсюда
t	t
0; • \ со,-	dt =	\ a, dt =-=: "}j V,.	(22.28)
О	6
Таким образом, угловая скорость вращения корпуса прибора пропор¬
циональна ускорению силы тяги, а общий угол поворота корпуса про¬
порционален величине скорости от действия силы тяги. Как и для прибора
на рис. 22.7, коэффициент усиления контура обратной связи должен
быть высоким, чтобы угол поворота маятника 0 был очень малым. Маят¬
никовый гироакселерометр имеет то преимущество, что основной масштаб¬
ный коэффициент прибора зависит только от механических параметров
и кинетического момента ротора гироскопа, а эти величины могут быть
выполнены	очень	точно. Так	как корпус вращается,	то	нежелательные
ошибки изменяют	свой знак с	каждым оборотом. Генератор момента гиро¬
скопа может быть использован для того, чтобы приложить к поплавку
дополнительный момент, складывающийся с маятниковым моментом.
Этим способом к ускорению силы тяги может быть прибавлена сила тяже¬
сти, чтобы получить на выходе истинные ускорение и скорость.
§ 22.4. Стабилизированные платформы
Стабилизированные платформы обычно применяются в системах
инерциального управления в качестве опорной системы отсчета для опре¬
деления положения в пространстве [13, 14]. Гироскопы монтируются
на платформе и служат чувствительными элементами, воспринимающими
ошибки при вращении платформы по отношению к осям, определяющим
начальную (опорную) ориентацию. Выходные сигналы гироскопов исполь¬
зуются для управления стабилизирующими двигателями, которые служат
для того, чтобы поддерживать определенную ориентацию платформы.
Акселерометры принято монтировать на платформе, чтобы они измеряли
ускорение непосредственно в той системе координат, в которой осуще¬
ствляется навигация. На рис. 22.9 представлена схема типичной стаби¬
лизированной платформы. Кольца карданова подвеса и подшипники слу¬
жат шаровым шарнирным соединением, позволяющим снаряду произ¬
вольным образом вращаться относительно платформы. На рисунке пока¬
зана общепринятая система колец карданова подвеса, в которой кольца
являются внешними по отношению к платформе. Другая конструкция
может иметь небольшие кардановы кольца, расположенные близко к цен¬
тру масс платформы. Система расположения кардановых колец, показан¬
ная на рисунке, дает возможность поворота по крену, рысканию и танга¬
жу и удобна для баллистических снарядов с вертикальным стартом,
для которых являются обычными полеты с большим углом тангажа. Воз¬
можны, конечно, и другие конструкции. Часто используется конструк¬
ция, фиксирующая поворот по тангажу наружной рамой подвеса, по
крену — промежуточной рамой, а по азимуту — стабилизированной
платформой.

662
ИII ТЕРЦ И АЛЬ И Л Я СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
На рисунке оси платформы (х, z/, z) показаны параллельными осями
карданова подвеса, а также параллельными осями тангажа, рыскания
и крена снаряда. Для дайной ориентации с выхода гироскопа г/, реаги¬
рующего на малое вращение платформы относительно оси у, должен
подаваться сигнал на стабилизирующий двигатель рыскания, чтобы
повернуть платформу относительно оси рыскания карданова подвеса и тем
самым вернуть ее в начальное положение. Если, однако, платформа
поворачивается на некоторый угол ф около оси тангажа, т. е. оси 2,
относительно положения, показанного на рисунке, то выходные сигналы
гироскопов х и у должны быть преобразованы в компоненты относитель¬
но осей рыскания и крена карданова подвеса для надлежащего действия
сервоприводов. Если соответствующее преобразование не применяется,
то уменьшаются коэффициенты усиления контуров серводвигателей для
углов рыскания и крена и вводится перекрестная связь. Во всяком слу¬
чае, из кинематических соображений будет правильнее преобразовывать
выходные сигналы трех гироскопов, которые являются компонентами
малых вращений относительно осей платформы, в составляющие вдоль
трех осей карданова подвеса. Угловые скорости (или малые вращения)
относительно осей х, у, 2 платформы, определенные относительно оси
рыскания карданова подвеса, относительно оси, нормальной к осям
рыскания и тангажа карданова подвеса, и оси тангажа карданова под¬
веса, равны:
СОО ро/СвавПЛ
вардавпва подвеса
р-гиросвоп
двеа/вее волоц с
вардавова подвеса
Среднее велоцо
вардавева подвеса
Рис. 22.9. Стабилизированная платформа.
0 = со^ cos ф + сох sin ф,
N = — соу sin ф + сох cos ф
ф! = 0)2.
(22.29)
(22.30)
(22.31)
Компоненты нормальной составляющей угловой скорости вдоль осей

■S 22.4]
СТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ПЛАТФОРМЫ
663
тангажа и крена карданова подвеса равны:
ф -- N sec 0,	(22.32)
(p2 = iVtg0.	(22.33)
Таким образом, соответствующие уравнения имеют вид:
ф = sec 0 (сох cos ф — со^ sin ф),	(22.34)
ф = ф1 + фг = tg 0 (со* cos ф — соу sin ф),	(22.35)
0 = о)у	cos	ф + сох	sin ф.	(22.36)
Из рисунка видно,	что	при	повороте снаряда по углу рыскания на 90°
оси крена и тангажа карданова подвеса становятся параллельными друг
другу и утрачивается одна степень свободы. Это явление называется
карданным замком и на снарядах, имеющих большие колебания по углу
рыскания, предупреждается добавлением четвертого карданова кольца.
Для баллистических и космических снарядов колебания по углу рыскания
малы, и угол 0 обычно не учитывается. В приведенных уравнениях это
Двзмущающие мял/е///77&/
Рис. 22.10. Схема системы стабилизации платформы.
равноценно тому, чтобы положить угол 0 равным нулю. Определение
сигналов для осей х и у по углу ф осуществляется синхронным синусно-
косинусным решающим устройством, смонтированным на оси тангажа
карданова подвеса. Для определения углов поворота карданова подвеса
могут быть применены датчики-измерители; их сигналы можно исполь¬
зовать в системе управления снарядом в качестве данных о положении
снаряда. Если снаряд имеет большие отклонения по углу крена, что
возможно, например, во время вертикального подъема, то будет необ¬
ходимо дополнительное преобразование (подобное только что описанно¬
му) между углами платформы и осями тангажа и рыскания системы управ¬
ления положением снаряда.
Конструирование сервопривода платформы является противоречивой
проблемой, так как высокое качество исполнения должно достигаться
при малом весе и потреблении энергии. Возмущающие моменты, дей¬
ствующие на платформу, создаются трением в подшипниках карданова
подвеса и неуравновешенностью самой платформы. Неуравновешенность
может возникать также от деформации вследствие неравномерной упругой
податливости элементов, как это уже указывалось в разделе о гироскопах.
При расчете конструкции сервопривода должны быть известными подат¬
ливость карданова подвеса и частота колебания опор, на которых может
быть смонтирована система карданова подвеса. На рис. 22.10 показана

664	ИНЕРЦИАЛЬНЛЯ	СИСТЕМА	УПРАВЛЕНИЯ	СНАРЯДОВ	[ГЛ.	22
упрощенная блок-схема одного из контуров трехмерного сервопривода.
Более сложная схема включила бы перекрестную связь через гироскопы
согласно уравнению (22.17) и гироскопические моменты от обратно]!
связи, вызванные вынужденной прецессией согласно уравнению (22.24).
Последнее воздействие может быть преобладающим для демпфированного
гироскопа [15]. Контур чувствителен к ошибке в положении платформы,
но корректирующий момент, обусловленный выходным сигналом конту¬
ра, приводит к движению платформы с ускорением. Поэтому требуются
некоторые формы демпфирования, которые обычно получают применением
вспомогательных контуров.
Систему, содержащую стабилизированную платформу, акселерометры
и вспомогательную электронную аппаратуру, называют иногда инер-
циальным измерительным устройством. Нет необходимости ориентировать
оси чувствительности акселерометров параллельно входным осям гиро¬
скопов, но можно их направить так, чтобы свести к минимуму влияние
различных ошибок и удовлетворить требованиям схемы управления (§22.7).
Платформа должна быть очень точно установлена на старте перед
полетом в некоторой известной внешней системе координат. Одним из
способов, которым это можно сделать, является установка требуемых
значений трех углов карданова подвеса. Таким образом, можно ориенти¬
ровать акселерометры по необходимым направлениям и относительно
корпуса снаряда, который в свою очередь должен быть ориентирован
относительно внешней системы координат. Более точным методом являет¬
ся ориентирование осей платформы с помощью уровней или по выходным
сигналам навигационных акселерометров и в азимуте при помощи оптиче¬
ской системы, состоящей из зеркала, установленного на платформе,
и внешнего по отношению к снаряду теодолита.
Земля вращается относительно инерциального пространства, и чтобы
до запуска удерживать платформу надлежащим образом ориентированной
в системе координат, связанной с Землей, на гироскопы нужно воздей¬
ствовать моментами, учитывающими скорость вращения Земли. Соответ¬
ствующие сигналы моментов могут быть получены от теодолита или уров¬
ней, которые действуют в этом случае как указатели ошибок в контурах
установки и наладки.
§ 22.5. Исполнительные органы системы управления положением
Исполнительные органы системы управления снарядом осущест¬
вляют стабилизацию положения снаряда или удержание заданного напра¬
вления вектора тяги. Здесь не имеет существенного значения, исполь¬
зуется ли радиоуправление или инерциальиая навигация. Она может
быть выполнена многими способами. На немецкой ракете V-2 применя¬
лись аэродинамические рули в воздушном потоке, а также газовые рули
в выхлопной струе ракетного двигателя. Могут применяться также
управляющие струи, тяга которых перпендикулярна к направлению
тяги основного двигателя. Если возмущающие моменты очень малы,
какими они могут быть в космическом полете, требуемые управляющие
моменты тоже являются малыми и могут быть получены от движущих¬
ся масс или даже от давления солнечной радиации. Обычными органа¬
ми управления, применяемыми на активном участке полета, являются
камеры сгорания ракетного двигателя, установленные на шарнирном
подвесе. На рис. 22.11 представлена схема канала управления углом
рыскания для снаряда, использующего эти органы управления. Конту¬

§ 22.5] ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОРГАНЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ 1)65
ры управления по крену и тангажу подобны изображенному на
рис. 22.11. Если, однако, снаряд имеет только одно основное ракетное
сопло, то для управления креном требуются вспомогательные сопла.
При угловой ошибке в положении снаряда появится выходной сиг¬
нал гироскопа, определяющий его угловое отклонение. Этот выходной
сигнал усиливается и передается на силовой сервомеханизм в качестве
команды, которая управляет положением камеры ракетного двигателя.
Сигнал сравнивается с действительным значением угла, получаемым
с датчика положения, и их разность приводит в действие гидравлический
Усилителя
Рис. 22.11. Система управления снарядом по углу рыскания.
клапан. Гидравлическое давление действует на исполнительный меха¬
низм, который поворачивает камеру до тех пор, пока сигнал, измеряе¬
мый датчиком, не станет равным командному управляющему сигналу.
Поворот вектора тяги вызывает угловое ускорение всего снаряда, след¬
ствием чего является угловая скорость и ликвидация угловой ошибки
положения. Как видно из этого описания, контур управления является
колебательным, и поэтому должны быть предусмотрены некоторые демп¬
фирующие средства. Для жесткого короткого снаряда контур опере-
жения может быть включен последовательно с гироскопом, определяю¬
щим угловое отклонение снаряда. Однако для нежесткого снаряда изгиб
конструкции является причиной серьезных затруднений, которые можно
преодолеть, применив в системе управления скоростной гироскоп. Гиро¬
скоп должен измерять лишь угловую скорость снаряда и устанавливается
так, чтобы быть нечувствительным к поворотам, возникающим от изгиба
снаряда. В контуре управления могут быть использованы и другие чув¬
ствительные элементы, такие, как измерители угла атаки или акселеро¬
метры. Сигналы от системы управления могут быть поданы на генератор
момента гироскопа положения. Управляющие органы системы управле¬
ния положением поворачивают снаряд так, чтобы скорость изменения,
положения снаряда стала равной командному значению.

666
ИIIЕ Р Ц И А Л Ъ И Л i I СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
Основные возмущающие моменты, действующие на снаряд, возни¬
кают от аэродинамических сопротивлений, от движения масс внутри
снаряда и в результате отклонения вектора силы тяги от заданного напра¬
вления. С петелы управления должна ликвидировать воздействие таких
быстро лгеняющихся параметров, как инерция снаряда, лысса, аэродина¬
мические силы и моменты. Кроме того, трение покоя в шарнирном под¬
весе сопла может быть высоким, а конструктивные опоры не вполне жест¬
кими, что еще более усложняет динамику снаряда. Важно также, чтобы
потребляемая энергия и вес системы управления были минимальными.
Необходимо также соответствующим образолт ограничивать угол
атаки и способствовать по возможности облегчению конструкции снаряда.
Все эти требования и множество взаимодействующих факторов делают
задачу конструирования оптимальной системы управления очень сложной.
На обычных самолетах в качестве чувствительного элемента системы
управления часто используется человек. Но кажется маловероятным,
что ои будет использоваться подобным образолг и на космическом снаряде
вследствие имеющих там место тяжелых условий работы.
§ 22.6. Сила тяготения
У
Для того чтобы спроектировать инерциальную навигационную систе¬
му, работающую в сфере действия полей тяготения, необходимо исполь¬
зовать какой-либо метод расчета вектора ускорения силы тяготения.
Если бы можно было точно предсказать
траекторию снаряда, то влияние силы
тяготения можно было учесть заранее.
В этол! случае управление в течение
полета зависело бы только от ускоре¬
ния силы тяги и его интеграла по вре¬
мени. Но траекторию снаряда предска¬
зать трудно (с достаточной точностью),
и становится необходимым производить
вычисление ускорения силы тяготения
в течение полета.
На рис. 22.12 показан активный
участок траектории космического сна¬
ряда. Введена система прямоуголь¬
ных координат с началом вблизи траек¬
тории снаряда и с осыо у по вертикали;
в этой системе координат выраже¬
ния	составляющих	вектора	ускорения силы тяготения относительно
свободно	падающей системы координат с началом в центре Земли опреде-
ляются фор.мул ами:
^  гг -г _____
Г не. 22.12. Ускорение силы тяготении.
ftr
Д
дН-Д,
о.
И
[x2JrZ2 + {Ro+y)2f/2 ’
	SqRq (У-у Rо) _
(Дот //о)2!3
(22.37)
(22.38)
Выражение для gz подобно выражению gx, но для простоты оно опу¬
щено; далее, х берется в номинальной плоскости, и лгы ограничиваемся
рассмотрением двумерного случая. Уравнения (22.37) и (22.38) нелиней¬
ны, и для их решения требуется довольно сложное счетно-решающее

22.6]
СИЛА ТЯГОТЕНИЯ
667
устройство. Простыми линейными аппроксимациями, которые пригодны
вблизи начала координатных осей, являются:
A'.v J	(22.39)
(22.40)
Уравнения, определяющие составляющие ускорения движения сна-
ряда, имеют вид:
х — atx + gxi	(22.41)
y = aty + gy	(22.42)
Блок-схема	для	решения	этих линейных	уравнений	показана на
рис. 22.13. Канал х	содержит	отрицательную	обратную	связь и	два инте¬
гратора и создает синусоидаль¬
ную реакцию на входное возму¬
щение. Канал у имеет положи¬
тельную обратную связь, и возму¬
щение па его входе приводит к
расхождению величины у.
Ошибка аппроксимации, ко¬
нечно, может быть учтена при
заданной траектории в счетно-ре¬
шающем устройстве, вычисляю¬
щем ускорение силы тяготения.
Можно учесть также влияние до¬
полнительных членов, определяю¬
щих несферичность гравитацион¬
ного поля Земли. Если, напри¬
мер, свободно падающая система отсчета помещена на спутнике, то раз¬
ность составляющих ускорения силы тяготения в местах расположения
акселерометра и системы отсчета, конечно, будет отличаться от тех, кото¬
рые определяются уравнениями (22.37) и (22.38). Так как спутник дви¬
жется достаточно быстро, то необходимо также учесть изменение этой
разности во времени.
Представляет значительный интерес выяснить, как влияют погреш¬
ности расчета ускорения силы тяготения на величину ошибок в поло¬
жении и скорости снаряда, вызываемых неточностью работы акселеро¬
метра или ошибками в начальных условиях [16, 17]. Это может быть
исследовано аналитически на основе уравнений возмущенного движения,
из которых сразу следует, что малое изменение истинного ускорения
равно малому изменению измеряемого ускорения от действия силы тяги,
сложенному с изменением вычисляемой величины ускорения от действия
силы тяготения. Ошибка, происходящая от погрешностей учета силы
тяготения, определяется ошибкой вычислительного устройства и ошиб¬
ками, вызванными неточностью данных при вычислении ускорения силы
тяготения. Если учесть только последние причины, то уравнения возму¬
щенного движения будут:
Дх = Д atx + Д gx = Д aix + % Д* + d§f А У,	(22.43)
Ау = Aaty + Ag„ --.Д^ + ^Дх-ь дЖ Ду.	(22.44)
Рис. 22.13. Схема счетно-решающего устройства
для вычисления ускорения силы тяготения.

668
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
Производные в этих формулах являются функциями координат и могут
быть получены на основании формул (22.37) и (22.38). Они должны быть
вычислены для невозмущенной траектории снаряда. Однако этот, метод
приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициен¬
тами, которые не могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. При
полетах	в	области	пространства шириной порядка	нескольких сотен
миль коэффициенты	могут быть вычислены в	точках	самой	траектории
с точностью, достаточной для наших целей. Это дает следующие уравне¬
ния для определения возмущений в положении снаряда, вызываемых
вариациями ускорения силы тяги и ошибками акселерометров:
Дж + -|5- Ах = Aatx,	(22.45)
пО
Дг/— 2 -щ- Дг/ = Aaty.	(22.46)
Легко установить физический смысл этих уравнений. Например,
положительная ошибка в вертикальном положении приводит к заниже¬
нию расчетной величины ускорения от действия силы тяготения и, таким
образом, к большей расчетной величине истинного ускорения. Эта ошибка
вычисления величины ускорения в свою очередь интегрируется и дает
еще большую ошибку в положении снаряда.
Решение уравнений (22.45) и (22.46) при постоянном возмущении
ускорения от действия силы тяги (смещение акселерометра или сдвиг
нуля) есть
<22'471
^ = <22-481
Вблизи поверхности Земли синусоидальные колебания имеют период
около 84 мин, так как 2яу R0/g0^ 84 мин. При возмущениях в началь¬
ных условиях выражения для ошибок аналогичны приведенным.
Ошибки определения положения, вызываемые другими погрешно¬
стями акселерометра, исключая влияние постоянного их смещения, могут
быть определены хорошо известными методами. Смещение опорной си¬
стемы отсчета вызовет ошибку перекрестной связи, т. е. Да** = $aiy, где
Р есть ошибка положения опорной системы координат. Уход гироскопа,
таким образом, дает возрастающую ошибку положения.
Указанные возмущения или уравнения ошибок иллюстрируют основ¬
ной недостаток инерциального управления при длительном полете,
а именно, тот факт, что ошибки в вертикальном направлении с течением
времени увеличиваются по экспоненциальному закону, ошибки в гори¬
зонтальном направлении, вызванные акселерометрами, являются колеба¬
тельными с периодом 84 мин. Это обстоятельство делает целесообразным
использование на самолетах и кораблях двукомпонентных инёрциаль-
ных систем и применение альтиметров для измерения высоты. Для поле¬
тов продолжительностью примерно 10 мин уравнения (22.47) и (22.48)
могут быть аппроксимированы простыми соотношениями:
t2
Ах = Aatx -j-, кх = Aatxt,
t2
Ay = Aaty — , Ay = Aatyt.
(22.49)
(22.50)

§ 22.7]
СХЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
669
Эти соотношения можно получить, не учитывая ошибки обратной связи
при вычислении ускорения силы тяготения. Они могут быть получены
также при движении в однородном поле силы тяготения.
§ 22.7. Схемы управления
Понятие «схема управления» применяется для обозначения урав¬
нений движения, координатных систем и общих методов, используемых
для расчета системы управления и команд на выключение тяги двигате¬
лей снаряда. Управление необходимо для того, чтобы компенсировать
возмущения, действующие на снаряд в течение полета. Основные обычно
встречающиеся возмущения возникают из-за изменений величины
и направления силы тяги, нестандартных атмосферных условий и дру¬
гих факторов.
Можно определить несколько видов баллистического или почти
баллистического полета. Первым, и вероятно, наиболее важным, является
запуск снаряда иа баллистическую траекторию. Простейшим примером
этого является снаряд, выбрасываемый из ствола орудия. Здесь упра¬
вление заключается в определенной установке ствола орудия, и «тяга»
прекращается, как только снаряд оставляет дуло орудия. Причины рас¬
сеивания снарядов можно разделить на две группы. К первой группе
относятся причины, возникающие при движении снаряда в стволе орудия.
Они включают разброс скорости вследствие неправильной установки
ствола по азимуту и углу возвышения, что может быть названо ошибками
наведения. Вторая группа причин характеризуется нестандартными
атмосферными условиями, которые влияют на баллистическую часть
траектории. В неуправляемой ракете процесс горения продолжается
до тех пор, пока не истощится ракетное топливо. Управление на пас¬
сивной части траектории осуществляется посредством аэродинамиче¬
ских сил, действующих на стабилизирующие рули или иа вращающееся
тело ракеты. Можно сказать, что ствол орудия представляет собой «актив¬
ный» участок траектории снаряда. В управляемой ракете скорость и поло¬
жение измеряются в течение активного участка полета, причем тяга
прекращается и управление осуществляется так, чтобы после включения
двигателя снаряд двигался по надлежащей баллистической траектории
к месту назначения. Как и для орудийных снарядов, рассеивание ракет
определяется разбросом параметров движения в конце активного участка
траектории и рассеиванием, возникающим в течение полета снаряда
с выключенным двигателем. Для космического снаряда значительная
часть полета с выключенным двигателем может происходить вне атмо¬
сферы. В этом случае аэродинамические эффекты будут давать меньшее
рассеивание, чем то, которое давала бы система управления, если бы
двигатель работал в течение этого периода.
Другими видами баллистических полетов, для которых может потре¬
боваться управление, являются вход в атмосферу и посадка космических
снарядов, полет в пространстве с очень малыми ускорениями, посадка
па Лупу или планеты без атмосферы. Может понадобиться аппаратура
управления и для того, чтобы измерять и регулировать корректирующие
импульсы тяги двигателей ракеты при космических полетах. Свободное
«падение» в пространстве является таким случаем полета, в котором
акселерометры не дают выходной величины, а положение и скорость
снаряда могут быть вычислены только по начальным условиям и изве¬
стным характеристикам гравитационного поля.

670
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
С общим представлением о схеме управления связано понятие стан¬
дартной, или расчетной, траектории. Такую траекторию имеет стандарт¬
ный (или номинальный) снаряд, движущийся при стандартных (или
номинальных) аэродинамических условиях. Траектория любого реаль¬
ного снаряда несколько отклоняется от стандартно]'! траектории. Вообще
реальные траектории статистически распределены около стандартно]!
траектории, которая в некотором смысле является усредненной траекто¬
рией. Стандартная траектория выбирается из соображений оптимиза¬
ции таких противоречивых требований, как дальность снаряда, его вес.
аэродинамический нагрев, условия входа в атмосферу, наземное об¬
служивание и точность управления. Типичная стандартная траекто¬
рия состоит из участка вертикального подъема, участка выведения сна¬
ряда на траекторию и участка полета до момента выключения дви¬
гателя.
Схема управления должна быть выбрана с учетом оптимизации ряда
таких противоречивых характеристик, как точность, возможность изме¬
нения траектории, природа и величина действующих возмущений, слож¬
ность счетно-решающего устройства, так как это определяет надежность,
вес и потребление энергии, а также сложность необходимого предвари¬
тельного расчета. Наведение снаряда основывается на измерениях, про¬
водимых внутри снаряда. Следовательно, оно представляет замкнутый
процесс, который включает в качестве подсистемы систему управления
снарядом. Контур управления должен иметь надлежащую устойчивость
и достаточно высокие коэффициенты усиления, чтобы динамические
запаздывания, имеющие место при выключении двигателя, не были боль¬
шими. Проектирование схемы управления является проблемой, при
решении которой нужно учитывать специальное назначение системы,
имеющееся в распоряжении оборудование, точные характеристики всей
системы снаряда.
Для «сферической и невращающейся» Земли траектория снаряда
лежала бы в плоскости. Гравитационное поле реальной Земли делает
траекторию снаряда несколько отличной от плоской, но этот эффект мал
и в дальнейшем не будет приниматься во внимание. При применении
инерциальной навигации для полетов вблизи вращающейся Земли удоб¬
но рассматривать траекторию снаряда в невращающихся координатах
В этом случае точки цели и запуска являются движущимися в восточном
направлении над поверхностью Земли со скоростью, равной скорости'
поверхности Земли. Когда точки запуска и цели находятся на экваторе,
то траектория снаряда является плоской. Если снаряд запущен так,
что траектория его проходит над полюсом, то точка цели движется нор¬
мально к плоскости траектории и, следовательно, снаряд должен быть
«нацелен» в ту точку поверхности Земли, где будет находиться цель
в заранее вычисленный момент времени падения снаряда. Снаряд будет
иметь начальную скорость, нормальную к плоскости траектории свобод¬
ного полета вследствие движения в восточном направлении точки запус¬
ка. Эта скорость должна быть погашена путем прицеливания снаряда
к западу от цели, так, чтобы в момент прекращения работы двигателя
вектор скорости лежал в плоскости, проходящей через точку положения
снаряда в момент выключения двигателя, центр Земли и точку цели
в момент падения. Из-за этой начальной боковой скорости траектория
снаряда не лежит в плоскости в течение всего активного полета п, сле¬
довательно, на снаряд будет действовать боковая составляющая силы
тяготения.

§ 22.8]
ПРИМЕР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
671
Для вращающейся Земли боковое смещение цели в момент падения
снаряда будет зависеть от общего времени полета, которое в свою оче¬
редь будет зависеть от его. скорости и положения в момент выключения
двигателя. Управление боковым движением должно быть осуществлено
перед выключением двигателя, а так как момент выключения двигателя
заранее не известен, то управление должно осуществляться с упрежде¬
нием так, чтобы ошибка по дальности и боковые составляющие промаха,
определяемые в момент выключения двигателя, были равны нулю.
§ 22.8. Пример системы управления для баллистического снаряда
Чтобы пояснить некоторые общие понятия и методы инерциальпого
управления, рассмотрим в качестве примера немецкую ракету V-2 вре¬
мен второй мировой войны.
Рис. 22.14. Стандартная траектория ракеты V-2.
Хотя эта ракета не может теперь
служить примером оптималь¬
ной конструкции, но она при¬
годна для того, чтобы показать
некоторые особенности выбран¬
ного способа управления. Ана¬
логичные общие соображения
и фактически тот же самый
метод можно было бы исполь¬
зовать для управления на ак¬
тивном участке траектории
полета при выведении иа орбиту спутника Земли пли запуске космиче¬
ского корабля на Луну или близле¬
жащую планету.
На рис. 22.14 показана стандарт¬
ная траектория снаряда. Горение
топлива продолжается 70 сек, после
чего снаряд летит по баллистической
траектории до точки падения. Управ¬
ление осуществляется в течение
активного полета. Малые рассеива¬
ния, н.меющие место при неуправляе¬
мом полете, не будут приниматься
во внимание. На рис. 22.15 даются
дополнительные пояснения для актив¬
ного участка траектории. Приведен¬
ная траектория вычислена для ус¬
ловий невращающейся Земли. Вид
траектории полета снаряда для вра¬
щающейся Земли зависит от взаим¬
ного расположения точек старта и
цели, по отличается от этой траекто-
^ /ли
I
« 700
%
во
1
I
60
40
20
I
6660фу т/ее а
1 70
ffce/f
/
i
4300фу
77/ее/г/
/01
/
7
/
/
67.
уа
Суя ой вес 0660фунтов
Оес топлива 70260рун тов
Общий вес 26600фунтов
Тяга 60600фунтов
Нооолвное ускорение от
бей с/лв ил тяги 2J у
/fouevHoe ускорение от
бействил тяги 6,4 у
. _L_ 1
2700J\
/4t
7
760
120
(70
О 20	40	60	60	700
х (горизонтальнее перемещение),
е то/о. фут ее
Рис.
22.15. Лктнштый участок^ стандартной
траектории ракеты V-2.
рин только в некоторых деталях.
В системе управления используется
инерцналытый измерптельньгй блок,
показанный на рис. 22.9. Платфор¬
ма до запуска снаряда точно устанавливается но вертикали посред¬
ством .маятников с обратной связью, которые используются так же, как
навигационные акселерометры. Ось тангажа платформы точно орисп-

672
ИНЕРЦИАЛЪНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
тируется по азимуту, так что при номинальных условиях полета снаряда
вектор скорости имеет надлежащее направление в момент выключения
двигателя. Снаряд запускается вертикально, а затем следует программе
изменения угла тангажа на участке выведения на траекторию нулевой
подъемной силы*). Боковое управление или управление углом рыска¬
ния осуществляется таким образом, чтобы один раз проинтегрированная
выходная величина акселерометра по боковой оси z равнялась нулю.
Рис. 22.16. Схема системы управления снарядом.
Ни само z, ни боковая составляющая силы тяготения не вычисляются,
так как вследствие их малости соответствующие им поправки можно
рассчитать заранее. Углы поворота карданова подвеса стабилизирован¬
ной платформы могут быть использованы в системе управления в каче¬
стве сигналов отклонения снаряда от опорной системы координат. На
рис. 22.16 представлена схема управляющего счетно-решающего устрой¬
ства. Программное значение угла тангажа сравнивается с углом тангажа
с карданова подвеса, и результат является сигналом управления по тан¬
гажу для исполнительных органов управления снаряда. Контур упра¬
вления всей системы снаряда представлен на рис. 22.16 с обратной связью
от органов автоматического управления через управляемый объект
(«динамику снаряда») к инерциалыюму измерительному блоку.
После выполнения бокового управления и управления по тангажу
остается задача прекращения действия тяги в соответствующий момент
времени, так, чтобы снаряд упал в намеченную точку. Если для данного
снаряда сила тяги меньше стандартной (или лобовое сопротивление
больше стандартного), то действительная траектория будет лежать ниже
траектории, показанной па рис. 22.15. В этом случае для достижения
*) Наименование объясняется тем, что на расчетной траектории ось снаряда
предполагается направленной по вектору скорости центра инерции (угол атаки
равен нулю). (Прим. ред.)

§ 22-R]
ПРИМЕР СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
673
соответствующих значений скорости и положения в момент выключения
двигателя потребуется активный участок полета длительностью несколь¬
ко более 70 сек. С другой стороны, если сила тяги больше стандартной,
действительная траектория будет лежать выше показанной на рис. 22.15,
и соответствующее значение скорости снаряда будет достигнуто раньше,
чем через 70 сек. Правильная комбинация величин, определяющих момент
выключения двигателя, может быть получена при рассмотрении влияния
на ошибку попадания в цель малых изменений горизонтальной и верти¬
кальной составляющих скорости и положения. Например, при увели¬
чении иа 1 фут/сек горизонтальной составляющей скорости в момент
выключения двигателя дальность полета будет на 300 футов больше рас¬
четной. Чтобы выразить это аналитически, дальность полета снаряда
нужно представить в виде функции отклонений составляющих скорости
и координат от их значений в расчетной точке выключения двигателя:
R~RS = § (х - х8) + д4:{у- Vs) + ™ {X - it) + д4 (у - у.) + ... (22.51)
°х	0у	дх	ду
Здесь R обозначает дальность полета, индекс s характеризует расчетные
условия в момент прекращения горения топлива, а частные производные
вычисляются в расчетной точке выключения двигателя. Эти постоянные
коэффициенты для траектории на рис. 22.14 суть
=	= 1^-'",	— = С- =300 фут ,
дх х фут	*	фут /сек
™ _ г =0,7^, Щ- — С- = 220 - фут
ду	’	фут	’	ду	У	фут/сек
(22.52)
Счетно-решающее устройство, которое непрерывно вычисляет величину
отклонения от цели, показано на рис. 22.Д7. Оно включает показанное
на рис. 22.13 счетно-решающее устройство, вводящее поправку иа дей¬
ствие силы тяготения. Перед стартом величины стандартных условий
в момент окончания горения топлива (xs и т. д.) вводятся в счетно-решаю¬
щее устройство вместе с значениями коэффициентов Сх и т. /д., вычис¬
ленных для определенной требуемой дальности. В некоторый начальный
момент времени (отличающийся не более чем на несколько секунд от
заданного времени взлета снаряда) акселерометры соединяются со счетно¬
решающим устройством и иа гироскопы перестают действовать моменты,
зависящие от скорости вращения Земли. Тогда составляющие скорости
и положения снаряда относительно точки старта поступают в счетно¬
решающее устройство, и оно вычисляет величину отклонения от цели
по дальности (дальность промаха) Mr. В начале полета вычисляемая
величина может быть ошибочной, так как в разложении силы тяготения
использовались только линейные члены. Однако вблизи точки выклю¬
чения двигателя вычисление будет довольно точным. Тяга снаряда пре¬
кращается тогда, когда вычисленная для заданной дальности полета
ошибка станет равной нулю.
Данную схему управления следует оценивать с нескольких точек
зрения. Например, должна быть исследована необходимость наличия
на борту счетно-решающего устройства, вычисляющего силу тяготения.
Если действительный полет снаряда является достаточно близким к номи¬
нальному, то влияние силы тяготения может быть вычислено заранее
с достаточной точностью и нет необходимости в соответствующем вычис¬
лительном устройстве. Но, с другой стороны, когда требуется особенно
43 Космическая техника

(>74
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СНАРЯДОВ
[ГЛ. 22
высокая точность, необходим учет дополнительных членов в разложе¬
нии силы тяготения. Если изменения силы тяги велики, то может ока
заться необходимым учет членов более высокого порядка в уравнении
выключения двигателя [уравнение (22.51)]. Усовершенствование схемы
управления должно было бы включать средства компенсации вариаций.
Рис. 22.17. Схема счетно-решающего устройстна, вычисляющего момент
выключения двигателя.
условий полета. Проектирование системы должно включать анализ оши¬
бок всех основных составляющих, чтобы можно было достигнуть над¬
лежащего сбалансирования их для системы снаряда в целом. Например,
высокая точность счетно-решающего устройства, вычисляющего момент
выключения тяги двигателя, является бесполезной, если применяются
неточные акселерометры.
В качестве примера анализа ошибок вычислим влияние ошибки
в масштабном коэффициенте акселерометра по оси у. На рис. 22.15 пока¬
зано, что вертикальная составляющая скорости в момент прекращения
горения топлива равна приблизительно 4500 фут/сек. Скорость, созда¬
ваемая действием силы тяги в вертикальном направлении, равна этой
величине за вычетом потери скорости из-за действия силы тяготения, т. е.
уг - 4500 - ( - 32,2) • 70 - 6750 фут!сек
(g == 32,2 фут/сек2). Аналогично и перемещение в направлении оси у от
действия силы тяги можно оценить по формуле
yt = 125 000 - А. • (- 32,2) ■ 702 = 204 000 фут.
Ошибка 0,1% в масштабном коэффициенте для акселерометра по оси у
приводит к ошибкам в скорости и перемещении от действия силы тяги на
Ayt = Ay^-6,75 фут!сек,
Ayt — А?/ ~ 204 фут.

ЛИТЕРАТУРА
675
Можно считать, что ошибки в истинной скорости и положении снаряда
определяются только величинами, зависящими от действия силы тяги,
так как в уравнении (22.46) можно пренебречь членом обратной связи
от ускорения силы тяжести для короткого промежутка времени актив¬
ного полета и не учитывать ошибки устройства, вычисляющего силу
тяжести. Используя полученные значения ошибок и обращаясь снова
к уравнениям выключения двигателя (22.51) и (22.52), приходим к сле¬
дующей величине ошибки в общей дальности полета, обусловленной
неточностью масштабного коэффициента:
AR = (220• 6,75) + (0,7• 204)	2160 фут.
Дополнительный анализ показывает, что акселерометр по оси х
более чувствителен к ошибкам, чем акселерометр по оси у, и что на дан¬
ном уровне развития техники акселерометры являются менее удовлет¬
ворительными приборами, чем гироскопы.
ЛИТЕРАТУР Л
1. S 1 а I е г J. М. and D u п с a n D. В., Inertial Navigation, Aeronaut. Eng. Rev.
15 (No. 1), 49—52 (1956).
2. W r i g 1 e у W., W о о d b и г у R. B. and И о v о r k a J., Inertial Guidance,
Institute of Aeronautical Sciences Preprint 698, 1957. [Русский перевод: P и г-
л е й В., В у д б е р и Р., Г о в о р к а Дж., Инерциалы-тая навигация, ИЛ,
1959.]
3. К 1 a s s Р. .1., Inertial Navigation, Aviation Week, Special Report 64 (Nos. 1—4),
Jan. 2, 32—35; Jan. 16, 94—99; Jan. 23, 76—77 (1956).
4. D u n с a n D. B., Analysis of an Inertial Guidance System, Jet Propulsion 28
(No. 2), 111 (1958).
5. Russell W. Т., Inertial Guidance for Rocket-propelled Missiles, Jet Propulsion
28 (No. 1), 17 (1958).
6. S 1 a t e r J. М., Gyroscopes for Inertial Navigators, Mech. Eng. 79 (No. 9), 832
(1957).
7. Goldstein Id., Classical Mechanics, Cambridge, Mass., Addison Wesley, 1950.
[Русский перевод:	Г о л д с т е й и Г., Классическая механика, Гостехиздат,
1957.]
8. Р 1 у m а 1 е В. Т. et al., Nutation of a Free Gyro Subjected to an Impulse. J.
Appl. Mech. 22, 365 (1955).
9. Cannon R. FI., Jr., Kinematic Drift of Single-Axis Gyroscopes, American Society
of Mechanical Engineers Paper 57-A-72.
10. S t e w art R. М., Some Effects of Vibration and Rotation on the Drift of Gyro¬
scopic Instruments, J . Am. Rocket Soc. 29 (No. 1), 22—28 (1959).
11. Good man L. E. and Robinson A. id., Effect of Finite Rotations on
Gyroscopic Sensing Devices, J. Appl. Mech. 25 (No. 2), 210 (1958).
12. Draper C.S., Wrigley W. and G г о h e L. R., The Floating Integrating
Gyro and Its Application to Geometrical Stabilization Problems on Moving Bases,
Institute of the Aeronautical Sciences Preprint 503, представлено 25 января 1955 г.
13. С a n п о п R. FI., Jr., and Chandler D. P., Stable Platforms for High-perfor¬
mance Aircraft, Aeronaut. Eng. Rev. 16 (No. 12), 42 (1957).
14. Draper C. S. and Woodbury R. B., Geometrical Stabilization Based on
Servo-Driven Gimbals and Integrating Gyro Units, Massachusetts Institute of Tech¬
nology, представлено Advisory Group for Aeronautical Research and Development,
Symposium on Guidance and Control, Venice, Italy, September 24—28, 1956.
15. J agy .1. P., Flow Industry Solved the Air-Bearing Gyro Stabilization Problem,
Missiles and Rockets 3, 84 (1958).
16. G i 1 v a г г у J. J., Browne S. II. and W i 1 1 i a m s I. K., Theory of Blind
Navigation by Dynamical Measurements, J. Appl. Phys. 21, 753—761 (1950).
17. В г о w n e S. II. and G i 1 v a г г у J. J., Theory of Errors in Automatic Naviga¬
tion with Integrating Accelerometer Systems, U. S. Air Force Project RAND, RAND
Corporation, R-154, May 5, 1952.

Г Д АБА 23
РАДИОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
Дональд 77. Лит (Donald P. Ling)
§ 23.1. Интуитивная оценка принципа радиоинерциального метода
В предшествующих главах рассматривались системы радиолока¬
ционного управления, в которых основная информация об управляю¬
щих сигналах обеспечивалась путем радиолокационного определения
дальности и допплеровскими методами. В других главах обсуждались
системы инерциального управления, в которых основной измеряемой
величиной являлось ускорение, а скорость и положение снаряда опре¬
делялись последовательным интегрированием. В настоящей главе будет
рассматриваться система, в которой положение снаряда определяется
наземным радиолокатором, а ускорение измеряется соответствующими
приборами на борту снаряда. Эти две измеренные величины, скомбини¬
рованные определенным образом, дают необходимую информацию для
системы управления. Особое' внимание нужно обратить на получение
правильной информации о скорости, так как измерения положения сна¬
ряда, осуществляемые радиолокатором, являются для большинства целей
вполне удовлетворительными.
Несомненно возникает вопрос, почему мы должны использовать
два основных измерительных прибора (радиолокатор и акселерометры),
в то время как необходимые данные могут быть получены с помощью
каждого из этих приборов в отдельности. Основной ответ на этот во¬
прос, помимо чисто логических соображений, заключается в том, что
в этом случае весьма точная информация о скорости может быть получена
с помощью основных приборов довольно умеренных уровней точности.
Это утверждение можно сформулировать в более общей форме, сказав,
что имея приборы данного типа, можно достигнуть значительно лучших
результатов при использовании их в комбинации друг с другом, чем
при использовании каждого из них в отдельности. Следует вкратце пояс¬
нить, почему это так.
Общая теория радиоинерциального метода математически достаточно
сложна, и нужно отчетливо понимать по крайней мере наиболее простые
разделы этой теории, чтобы оценить общность этого метода и приобрести
способность количественно оценить его. Однако, как обычно бывает
в таких случаях, основные идеи можно хорошо понять на основе интуи¬
ции, привлекая наиболее элементарные формы анализа. Таким образом,
в начале главы будет дано интуитивное представление о радиоинер-
циальном методе с целью показать, в чем заключается принцип совме¬
стного использования приборов измерения и на чем основаны его пре¬

§ 23.1]	ИНТУИТИВНАЯ	ОЦЕНКА	РАДИОИНЕРЦИАЛЬНОГО	МЕТОДА
677
имущества. Во второй части главы будет дан обзор основного материала
0 процессах помех и сглаживания данных измерений. Этот материал,
возможно, известен ряду читателей, но нельзя его опустить без риска
нанести ущерб пониманию материала, излагаемого в последующих раз¬
делах. В третьей части главы метод комбинирования измерений будет
обсуждаться до некоторой степени более математически. Но это не озна¬
чает, что здесь будут приводиться длинные доказательства или обсу¬
ждаться сложные теоремы. Это означает лишь, что ранее изложенные
интуитивные идеи будут надлежащим образом аналитически оформлены
и что будут даны правдоподобные аргументы
их законности. В конце главы рассматри¬
вается пример приложения радиоинерциаль-
ного метода к проблеме выведения снаряда
на круговую орбиту вокруг Земли.
При обсуждении радиоинерциального
метода очень полезно иметь ввиду некото¬
рые частные виды систем. Имеется много
возможных вариаций таких систем. На
рис. 23.1 показана система, которая допус¬
кает наиболее простое описание рассматри
ваемых принципов. Одним из основных при¬
боров является одноимпульсный радиолока¬
тор, измеряющий дальность, азимут и угол
возвышения снаряда. Его устанавливают где-
нибудь на Земле, чтобы он мог сообщать данные о частных деталях
полета. Другим основным прибором, устанавливаемым на борту снаряда,
является стабилизированная платформа с тремя акселерометрами, смон¬
тированными ортогонально друг другу. В системе управления также
неизбежно наличие большого количества' других приборов, исполни¬
тельных органов, каналов связи, приемоответчиков, вспомогательных
радиолокационных установок и т. д. Однако мы не будем здесь
останавливаться на них, так как это несущественно для основного рас¬
смотрения.
Зададимся какой-либо точностью для основных гипотетических
измерительных приборов в качестве основы для дальнейшего количе¬
ственного рассмотрения. Потребуем, чтобы радиолокатор измерял даль¬
ность в пределах среднеквадратичной ошибки с точностью в 30 футов,
а углы с точностью до 0,2 миллирадиана. Предполагается, что стабили¬
зированная платформа способна удерживать свою направленную ориен¬
тацию в течение требуемого промежутка времени в пределах 10 милли-
радиан; акселерометры должны измерять ускорения с точностью до
1 фут/сек2, что является очень умеренным требованием. Эти числа, зада¬
ваемые с помощью одной лишь цифры, заданы так по той причине, что
ими легко пользоваться для грубых прикидочных расчетов. Например,
учитывая, что радиолокационное измерение угла порождает ошибку
смещения, пропорциональную дальности, в направлении, нормальном
к радиолокационному лучу, находим, что при дальности 200 морских
миль, или 1 200 000 футов, угловое смещение в 0,2 миллирадиана вызы¬
вает ошибку в 240 футов, а для удвоенной дальности — вдвое больше,
т. е. 480 футов.
Если даны эти приборы, то что нужно с ними делать? Что от них
требуется? Прежде всего, конечно, требуется определить текущее по¬
ложение снаряда. Это достигается непосредственно применением
Стадилизированлая плат¬
форма с ансслерометрами
Импульсный радиолонатор
сопровождения цели
Рис. 23.1. Основные приборы
радиоинерциалыюй системы.

678
РАДПОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 23
радиолокатора и для большинства целей осуществляется с достаточной
точностью. Серьезная проблема заключается в определении скорости,
точнее говоря, текущего значения вектора скорости снаряда. В данном
случае целесообразно установить, как получить информацию о скорости
при использовании только данных радиолокатора, т. е. в наиболее
элементарном из возможных случаев.
Предположим, что определяется некоторая координата х. Можно
выполнить два измерения этой координаты с промежутком времени Т сек,
как показано на рис. 23.2. Используя эти два измерения, xt и х2, взяв
их разность и поделив на Г, можно вычислить производную х по вре¬
мени. Данная операция есть способ «осредне-
«Г/	х2	ния». Этот процесс также удобно называть
°	°	операцией сглаживания, выполненной по
I сек	двум данным измерений. Позже процесс сгла-
. х2~Х1	живания будет рассмотрен иа основе более
т	тонких рассуждений, однако данный метод,
# iff**	который можно назвать сглаживанием по
~ т	двум точкам, в предварительном рассмотре-
Рис. 123.2. Приближенное o.ipe- иии можно считать удовлетворительным,
деление скорости.	Величина Т может быть выбрана по усмот¬
рению и называется временем сглаживания.
Если Т мало, то говорят, что скорость мало сглажена, если Т велико,
то скорость сглаживается сильно.
Ошибка измерения скорости легко вычисляется по ошибке измере¬
ния положения. Если последняя есть сх, то среднеквадратичная ошибка
по скорости определяется соотношением*)
=	(23.'1)
Чем больше время сглаживания, тем меньше ошибка по скорости. Рас¬
смотрим, например, определение скорости изменения дальности. Даль¬
ность является наиболее точным измерением радиолокатора, и, распо¬
лагая элементами системы, мы, конечно, должны использовать этот факт
с наибольшей возможной эффективностью. Если ошибка в определении
дальности oR равна 30 футам, то при времени сглаживания, равном
10 сек, получаем по формуле (23.1) ошибку в определении скорости
4 фут/сек, а при времени сглаживания 20 сек — ошибку 2 фут/сек.
Пока все это звучит многообещающе. Однако здесь имеется одна
неприятность, и это выявляет другую сторону дела.
Весь вопрос заключается в том, какая именно скорость измеряется
и с какой точностью? Конечно, скорости в точке х2 мы вообще ие знаем;
для того чтобы получить мгновенную скорость в точке х2, необходимо
было бы взять хх бесконечно близким к х2 при времени сглаживания,
близком к нулю; из формулы для ошибки следует, что этот процесс был бы
действительно очень «шумным». Поэтому скорость должна быть некото¬
рой средней скоростью в пределах интервала от хл до х2. Конечно, если
па снаряд не действуют силы и скорость, таким образом, постоянна,
то не имеется различия между средней и мгновенной скоростями.
*) Автор предполагает, что в интервале Т скорость :г постоянна, а ошибки
измерений представляют независимые случайные величины. Описываемый процесс
не является сглаживанием в общепринятом смысле. (Прим. ред.)

§ 2;uj
ИНТУИТИВНАЯ ОЦЕНКА РАДИОИНЕРЦИАЛЬНОГО МЕТОДА
679
Однако этот случай не является нормальным, так как всегда
действует сила тяготения и двигатель обычно работает, создавая си¬
лу тяги, величина которой точно не известна, так же, как и масса
снаряда.
Если вычисленная таким образом скорость не соответствует данному
моменту времени, то возникает вопрос, какому именно моменту времени
она соответствует? Когда снаряд движется с постоянным ускорением,
иными словами, когда скорость снаряда возрастает линейно, то легко
видеть, что средняя скорость есть скорость движения снаряда в момент
времени Т /2. В случае переменного ускорения это уже не будет строго
верным; однако задержка, или «за¬
паздывание сглаживания», при полу¬
чении значения скорости имеет обыч¬
но порядок по крайней мере вели¬
чины Т /2.
Если в течение периода сглажи¬
вания Т ускорение снаряда точно
известно, то эффект запаздывания
сглаживания мы могли бы скомпен¬
сировать сравнительно простым вы¬
числением и измерение запаздываю¬
щего значения скорости было бы осу¬
ществлено с предъявляемыми требова¬
ниями к точности, конечно, в пределах
погрешности радиолокационной уста¬
новки. Однако на Земле ускорение
движения снаряда обычно не известно
достаточно точно, но на борту самого
снаряда эти ускорения могут быть
хорошо измерены. Именно в этом и состоит назначение инерциального
прибора. Ниже будет показано, что можно скомбинировать данные
радиолокатора и акселерометров таким образом, чтобы полностью
свести на нет эффект задержки, не считаясь с тем, насколько оши¬
бочным может быть знание предыстории ускорения снаряда. Поведение
системы приборов можно описать в общих чертах следующим образом.
Во-первых, оценивается величина задержки, которая фактически опре¬
деляется основными условиями, при которых происходит процесс. Затем
акселерометр интегрирует измеренные ускорения в течение периода
задержки. Наконец, полученное приращение скорости складывается
с запаздывающей оценкой скорости, полученной радиолокационной
установкой. Результатом является действительная скорость, которая
при отсутствии инструментальных погрешностей будет точной.
Радиоинерциальный принцип, рассмотренный с этой точки зрения,
показан на рис. 23.3. Данные радиолокатора х дифференцируются и сгла¬
живаются на Земле. Выходная величина х (чертой будем отмечать осред-
иениую, пли сглаженную, величину) является относительно свободной
от помех, но благодаря действию сглаживания она определяется с неко¬
торой задержкой. Это значение скорости затем передается по каналу
связи на снаряд. В то же самое время на борту снаряда выходная вели¬
чина х акселерометра интегрируется и обрабатывается надлежащим
юбразом, чтоб]»т вычислить приращение скорости Ах, необходимое для
Рис. 23.3. Схема комбинированного радио-
пнерциального метода.

Р Л Д ИОИЫЕРЦИЛЛЬНАЯ СМСТЕМА УП РА ВЛЕ Н ИЯ
[ГЛ. 23
компенсации эффекта задержки. Для получения точной скорости х вели¬
чина Ах складывается с сигналом, принимаемым с Земли.
Теперь легко понять, почему радиоинерцпальный метод может дать
хорошие оценки скорости с помощью основных измерительных приборов
умеренной точности. Во-первых, так как для вычисления требуемых
приращений скорости применены акселерометры, то может быть исполь¬
зовано	достаточно	большое	время	сглаживания. Как уже было
замечено раньше,	это	значительно снижает	помехи от дифференцирования
данных радиолокатора. Во-вторых, ошибки в приращении скорости Ах
вычисляемые акселерометром, накапливаются только в течение одного
периода сглаживания, кото¬
рый является малым по срав¬
нению с общей продолжи¬
тельностью полета. Проще
говоря, можно выбрать вре¬
мя сглаживания Т таким,
чтобы оно было большим для
процесса дифференцирования
радио л окационны х дайны х
и малым для процесса ин¬
тегрирования данных, сни¬
маемых с акселерометра.
Основные особенности
р а д но ине рци а л ьного метод а
можно охарактеризовать с
другой точки зрения. До сих
пор комбинированная систе¬
ма рассматривалась во временной области, в терминах дифференцирования
и интегрирования. Простое описание системы может быть сделано с точки
зрения частотных соображений. Для этого необходимо рассмотреть влия¬
ние на основные измерительные приборы высокочастотных и низкочастот¬
ных помех. Рассмотрим сначала радиолокатор. Низкочастотная помеха
едва ли вообще вносит ошибку в измеряемое значение скорости, так
как дифференцирование приблизительно постоянной величины дает
величину, почти равную нулю. С другой стороны, как показано на
рис. 23.4, высокочастотная помеха оказывает катастрофически большое
влияние на ошибку в скорости, получаемую от радиолокатора. Ам¬
плитуды помехи, показанной на рис. 23.4, являются довольно малыми.
Однако при дифференцировании измеряются не амплитуды, а на¬
клон кривой ошибки, который для высокочастотных сигналов является
большим.
Теперь рассмотрим акселерометр. В этом случае дело обстоит иначе.
Высокочастотная помеха, показанная на рис. 23.4, вызывает малую
ошибку определения скорости, так как при интегрировании положи¬
тельные и отрицательные составляющие помехи взаимно уничтожаются
и в результате получается небольшой суммарный эффект. С другой сто¬
роны, низкочастотная, т. е. приблизительно постоянная помеха, является
причиной большой погрешности в значении скорости. Чем дольше инте¬
грируется это постоянное ускорение, тем больше результирующая ошибка
определения скорости.
С этой частотной точки зрения «радиоинерцпальный трюк» в том
и состоит, чтобы скомбинировать два измерительных прибора таким
Помеха
Рис. 23.4. Увеличение помехи в результате дифферен¬
цирования.

8 2о.2]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ
681
образом, чтобы радиолокатор воспринимал главным: образом низкочастот¬
ные помехи, а акселерометр — только высокочастотные. Именно это
делается в системах с высокой точностью воспроизведения звука: в кото¬
рых используются воспроизводящие устройства двух типов: для низких
и высоких тонов, с соответствующими перекрестными связями между
ними. Комбинированный радиоинерциальный метод является разно-
видно ст ь ю таки х систем.
До сих пор точность р а д и о и и е р ц и а л ь йог о метода управления рас¬
сматривалась нами с качественной точки зрения. Теперь мы попытаемся
сделать это количественно; в дальнейшем надо рассмотреть возникаю¬
щие при этом трудности. В качестве первой попытки количественного
определения точности комбинированного метода целесообразно опреде¬
лить ту погрешность, которую может внести каждый из приборов в ошиб¬
ку определения скорости, и затем статистически сложить эти ошибки.
Так как эти погрешности являются практически не связанными, то такой
процесс является обоснованным.
Ошибка определения скорости радиолокатором, как и раньше, дается
формулой (23.1). Влияние погрешностей работы акселерометра можно
оценить как интеграл ошибки измерения предполагаемой постоянной,
взятой в течение половины времени сглаживания. Это приводит к урав¬
нению (23.2). Общая ошибка измерения скорости определяется как
корень квадратный из суммы квадратов этих двух погрешностей. Погреш¬
ность р ад иол о к ато р а
Из уравнения (23.3) следует, что ошибку можно минимизировать
надлежащим выбором времен Г, так как первый член этого выражения
уменьшается, а второй увеличивается с возрастанием времени Т. Выпол¬
нив легко понятное вычисление, получаем выражение оптимального
времени Т:
§ 23.2. Предварительный анализ точности
(23.2)
П о грешно сть а ксе л ер ом етр а
а. = о а -ту [фут/сек].
(23.2')
Общая погрешность
(23.3)
(23.4)
и соответствующую ему ошибку:
= уЛ V <7*0А-
(23.5)
'opt
Этот результат, вообще говоря, представляется вполне понятным.
Из (23.4) следует, что оптимальное время Г, как и следовало ожидать,
зависит от двух видов погрешностей, возрастая с увеличением ох и умень¬

682
Р АД И 011 НЕ РЦИЛ ЛЫ1А Я СИСТЕМА У IIР А В Л Е II IIЯ
[ГЛ. 23
шаясь с увеличением оА. Значительный интерес представляет формула
(23.5)	для определения оптимальной величины погрешности измерения
скорости. В частности, о’х убывает очень медленно с уменьшением основ¬
ных ошибок ох и о а- Например, чтобы уменьшить вдвое ошибку опре¬
деления скорости, нужно было бы уменьшить ошибку радиолокатора
или ошибку акселерометра в четыре раза или уменьшить в два раза
каждую из этих ошибок.
Что дают эти формулы, если по ним выполнить расчеты, задаваясь
конкретными данными? Приведем в качестве примера задачу о выве¬
дении спутника на круговую орбиту вокруг Земли (рис. 23.5). Здесь
будет рассмотрена только задача управления на конечном этапе выве¬
дения, когда можно предположить, что ускоряемая последняя ступень
ракеты перемещается приблизительно параллельно поверхности Земли.
Снаряд должен удерживаться на круговой орбите до тех пор, пока не
будет достигнута соответствующая скорость. Тогда двигатель выключает¬
ся. Ради простоты Земля предполагается сфе¬
рической и невращающейся.
Так как обсуждается проблема управле¬
ния вблизи точки выключения двигателя, то
достаточно выбрать прямоугольную систему
координат, показанную на рис. 23.5, и пред¬
положить, что снаряд управляется точно вдоль
оси х. Высота орбиты принимается равной
200 морским милям и предполагается, что
радиолокатор расположен таким образом, чтобы
в номинальный момент выключения двигателя
луч радиолокатора и траектория пересекались
под углом 30° (следует указать, что искажение
в масштабе рисунка зрительно делает этот
угол значительно большим 30°).
Здесь будет рассматриваться управление
ВД°ЛЬ направления координаты ж; момент вы-
гателя.	ключения	двигателя определяется при задавае¬
мом заранее значении составляющей вектора
скорости х. Ниже будет также рассматриваться управление по осп у.
Управление, которое определяет орбитальную плоскость, т. е. управле¬
ние по нормали к плоскости ху, рассматриваться ие будет, так как это
не дает каких-либо новых точек зрения.
Величина ох, используемая в расчете, вычисляется иа основе изве¬
стных ошибок радиолокатора как квадратный корень из суммы квадра¬
тов соответствующих составляющих. При заданном расположении радио¬
локатора величина ах оказывается равной примерно 240 футам. Если
стабилизированная платформа ориентируется так, что один из акселеро¬
метров установлен вдоль оси х, то сга, как и раньше, равно 1 фут/сек2.
Подставив эти числа в уравнения (23.4) и (23.5), найдем оптимальное
время сглаживания равным 26 сек, а оптимальную ошибку по скорости
примерно 29 фут/сек. Эти погрешности вызывают смещение апогея при¬
близительно иа 20 морских миль. В качестве сравнения заметим,
что в обычной инерциальной системе управления, работающей в те¬
чение 5 минут полета, акселерометры должны были бы для достижения
таких же результатов измерять ускорение не с точностью 1 фут/сек1,
как предполагается в комбинированной системе, а с точностью
0,1 фут/сек1.
У /

§ 23.3]
ПОМЕХА КАК СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. СГЛАЖИВАНИЕ
683
§ 23.3. Помеха как случайный процесс. Сглаживание
Только что проведенный анализ представляет собой лишь первую
попытку решения проблемы ошибок; он не является вполне удовлетво¬
рительным, так как имеются три серьезных возражения, которые следует
перечислить:
1. Простое сглаживание но двум точкам, используемое при изме¬
рении скорости радиолокатором, не является, конечно, наилучшим
способом, которым можно выполнить сглаживание. Можно предложить
способы сглаживания, которые способны дать результаты, практически
в два-три раза лучшие, чем только что упомянутый.
2. Ошибки рассматриваются просто как постоянные, в то время как
они фактически непрерывно изменяются во времени.
3. Предполагается, что ошибку измерения ускорения следует учи¬
тывать в течение половины времени сглаживания. Вообще это не является
правильным. Другими словами, нам в наших рассуждениях еще не ясен
правильный способ комбинирования информации, получаемой от радио¬
локационной и инерциальной систем.
Теперь остановимся на этих трех возражениях. Очевидно, что в таком
кратком обзоре возможно только некоторое приближение к этим пробле¬
мам. Однако возможно и нужно рассмотреть относящиеся сюда важнейшие
идеи и так математически представить их, чтобы читатель, незнакомый с
ними, мог следить за изложением и применением их в дальнейшем.
Первое возражение касается надлежащих методов обработки и «сгла¬
живания» радиолокационных данных. Типичной задачей сглаживания
является следующая. Предположим, что некоторая измеряемая вели¬
чина задается в виде функции времени хм (£); в нашем случае это выход¬
ная величина радиолокатора. Величину хм (0 можно считать состоящей
из части, определяющей истинное значение измеряемой величины х (£),
и	сигнала	ошибки	или	помехи е	(£). Таким	образом, можно написать
уравнение	для	сигнала	и	помехи	в следующем	виде:
Хм (t) =	x(t) + s(t),	(23.6)
хотя неизвестно, как велики составляющие х и е. Задача заключается
в том, чтобы найти способ математической обработки величины хм (О
с целью подавления помех, насколько это возможно, и выделения наи¬
лучшим образом действительного сигнала. Эта операция представляет
собой некоторый процесс осреднения значений функции хм (t). Среднюю
величину данного дискретного ряда чисел х2, . . хм можно опреде¬
лить, если каждое из этих чисел умножить на соответствующий «весо¬
вой коэффициент», а затем сложить их:
•<	i h' i,	(23.7)
2=1
N
У 1ч	I-	(23.8)
2=1
Второе уравнение, нормирующее выбор коэффициентов А;*, необхо¬
димо для того, чтобы составленная линейная форма (23.7) значений xt
определяла операцию, которую можно было бы назвать осреднением.
Например, в обычном способе осреднения все коэффициенты ]ц пола¬
гаются равными 1/Аг, причем условие нормирования, конечно, удовле¬
творено.

684
РАД IIОIIIIЕ Р Ц И А Л Ь Н А Я СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 23
Процесс осреднения функции хм (0 является совершенно аналогич¬
ным, причем сумма естественно заменяется интегралом. На рис. 23.6
средняя величина функции хм (0 представлена в виде
т
xM(t) = ^ /1 (т) хм (t — т)<7т.
о
Здесь величина хм, соответствующая моменту, предшествующему момен¬
ту наблюдения на т единиц времени, умножается на весовую функцию
К(т) и результаты суммируются. Функция веса К{т) может быть так
или иначе приближенно задана
и имеет вид, показанный на
рис. 23.6. Она отличается от
нуля только на конечном интер¬
вале времени от 0 до Т, которое
называется временем сглажива¬
ния. Подобно (23.8) должно
удовлетворяться нормирующее
условие:
т
J K(x)dx=i.
0
Формулировка, данная здесь,
является фактически наиболее
общей возможной линейной,
инвариантной относительно вре¬
мени операцией сглаживания.
Последующее обсуждение будет ограничиваться исключительно этим
типом процесса сглаживания- и осреднения. На самом деле имеется много
случаев, в которых могут быть с большой выгодой применены нелиней¬
ные процессы сглаживания. Однако их теория является сложной и
недостаточно полной и не будет здесь рассматриваться.
Используем уже сделанное отступление от хода изложения, чтобы
привести еще одно замечание. Можно задать вопрос, почему обсуждение
процесса сглаживания проводится исключительно в терминах «непре¬
рывный» или «аналоговый». В конце концов, цифровые вычислительные
машины являются очень популярными и распространенными, и подобные
рассмотрения вполне применимы к импульсным и дискретным процес¬
сам. Ответ на этот вопрос прост и заключается в том, что, по-видимому,
эти принципы яснее формулируются в терминах непрерывных процессов.
Кроме того, при этом избегаются некоторые трудности, по существу
к делу не относящиеся, но тем не менее отвлекающие внимание. Такими,,
например, являются дополнительные помехи, встречающиеся в импульс¬
ных системах*).	£
Возвращаемся к основному предмету изложения; часто, как было
указано ранее, оказывается более цолезным формулировать рассматри¬
ваемые идеи в частотном, чем во временном представлении. Интеграл
на рис. 23.6 является преобразованием типа свертки, так что (рис. 23.7)>
осуществляя преобразования Фурье, получаем
Х(ш) = Y(m)-XM(m),
xM(t) =f0 Tf((z)xM (t-z)dz
fTK(z)dz=7
Рис. 23.6. Линейное сглаживание во временной
области.
*) По-видимому, имеются в виду так называемые шумы квантования. (Прим. ред.},

§ 23.3]
ПОМЕХА КАК СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. СГЛАЖИВАНИЕ
685
где У есть трансформанта Фурье весовой функции К. Таким образом,
наиболее общая операция сглаживания представляется обычной «пере¬
даточной функцией» Y(iсо) или У(5), как раз в том смысле, в котором
этот термин используется применительно к простой блок-схеме, предста¬
вленной на рис. 23.7. Нормирующее условие для функции К теперь
становится условием для У, которое принимает вид Y (0) = 1.
Таким образом, механизм линейного сглаживания похож на линей¬
ный электрический фильтр н часто фактически является им. Скажем
несколько слов об обозначении частотной переменной5, или iсо. Символ s
является более подходящим, когда нас интересуют переходные процессы,
и, следовательно, соответствующим аналитическим средством является
преобразование Лапласа. Символ г со более уме¬
стен, когда рассматриваются установившиеся ре¬
жимы, тогда подходящим аналитическим средством
является преобразование Фурье. В дальнейшем
оба эти обозначения будут использоваться в
зависимости от контекста. Кроме того, в даль¬
нейшем символ хм будет использоваться и в смыс¬
ле функции времени, и частотной трансформанты
ее, причем всюду сопровождающий текст будет
пояснять применяемые обозначения.
До сих пор, рассматривая задачу сглажива¬
ния, мы говорили о получении плавной функции
х по данным измерения координаты хм- Ничего
не было сказано о получении скорости, что остается, как указывалось,
наиболее интересной частью проблемы. Однако теперь этот вопрос уже
не представляет особых трудностей. Как показано в уравнении (23.9),
хм сначала подвергается действию оператора s. Следует напомнить, что
этот оператор соответствует дифференцированию, так что произведение
sxm просто является преобразованием хм (0- Для получения сглажен¬
ной скорости х оператор сглаживания Y теперь применяется к sxm-
x = Y(s)sxM.	(23.9)
При желании Y(s) s можно обозначить одним символом Z(s), так
что последний будет обозначать последовательность операций диффе¬
ренцирования и сглаживания:
х = Z (s) хм,	(23.10)
Y(s)s = Z(s).	(23.11)
Так как Y и Z являются произвольными линейными операциями,
то их не следует отождествлять, в частности, с полными проводимостями
и сопротивлениями.
Однако	ничего	не было	сказано о том, как	должен	выбираться	опера¬
тор Y(s)	в	частных	случаях. Этот вопрос не	может	быть	решен	до тех
пор, пока мы не обсудили второго возражения. Последнее говорит о том,
что помеха не может быть истолкована в смысле просто числа, что она
является функцией времени и должна рассматриваться как таковая.
Рассмотрим кривую на рис. 23.8. Предполагается, что она является
характерным примером помехи. Она могла бы быть результатом уста¬
новки радиолокатора на неподвижную цель и слежения за ней в тече¬
ние длительного времени. Она могла бы быть результатом измерения
Вход
У (loj)
или
Y(s)
Выход
X
X
У(0)=7
Рис. 23.7. Линейное сгла¬
живание в частотной об¬
ласти:
Хм (ш) = У(ш> Хм{ш),
оо
У(гсо) = J с lWX К(х) dx.

686
РАД ИОМНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА У II РАВЛЕНИЯ
[гл. 2а-
Рис. 23.8. Стационарная помеха.
ускорения, полученного с помощью акселерометра, установленного в ноле
Земли и воспринимающего вибрации окружающей среды. Предполагается,
что помеха неограниченно простирается в прошлое и будущее. Также
можно предположить, что она является так называемой «стационарной»
помехой, что означает, что каждая ее часть статистически подобна каждой
другой ее части. Это предположение о стационарности точно никогда
на практике не выполняется;
однако в задачах рассматривае¬
мой природы оно удовлетво¬
ряется достаточно хорошо и
является полезным рабочим до¬
пущением. Несмотря на тот
факт, что данные на рис. 23.8
являются в основном случай¬
ными и беспорядочными, име¬
ется способ определенным об¬
разом характеризовать их посредством понятия спектральной плот¬
ности. Здесь невозможно дать строгого	определения	спектральной	плот¬
ности. Превосходное описание этих вопросов	можно	найти	в	[1].	Однако
основные идеи, относящиеся к этому понятию, можно изложить в гру¬
бых чертах и показать их уместность. Можно определить понятие плот¬
ности, рассматривая помеху как падение напряжения иа сопротивлении
в 1 ом: на этом сопротивлении будет рассеиваться некоторая мощность,
и хотя мгновенные ее значения будут
переменными, среднее значение мощ¬
ности за длительный период времени
будет оставаться устойчивым, так как
помеха предполагается стационарной.
Учитывая, что сигнал помехи может
быть представлен как смесь различных
частот, мы могли бы спросить, какая
часть средней мощности определяется
частотами некоторой полосы частот.
Для того чтобы ответить на этот вопрос,
требуется понятие спектральной плот¬
ности. В частности (рис. 23.9), спект¬
ральная плотность процесса стационарной помехи есть'функция N((o) час¬
тоты (причем здесь берется круговая частота). Тогда iV(co) do есть средняя
мощность, соответствующая частотам в интервале от о /до о + do. Точно
таким же образом распределяется интенсивность излучения источника
света в спектре по частотам или, вернее, по длинам волн. На основе этой
аналогии можно сказать, что спектральная плотность характеризует
«цвет» помехи.
Помеха, показанная на рис. 23.9, довольно сильно окрашена, хотя
она отнюдь не монохроматическая. Очень полезным также является
понятие так называемого «белого шума» с ограниченной полосой, спек¬
тральная плотность которого постоянна до некоторой частоты среза,
а далее равна нулю. В действительности такая спектральная плотность
не может быть реализована, но тем не менее это понятие обеспечивает
хорошее приближение, если не имеется более точных данных относительно
спектральной плотности.
При рассмотрении спектральной плотности нужно иметь в виду два
важных обстоятельства. С одной стороны, полная средняя мощность
Рис. 23.9. Спектральная плотность;
N((o)dcо есть полная средняя мощность
помехи в полосе частот от © до со + ^ш.

2 3.3]
ПОМЕХА КАК СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. СГЛ АЖИВА 11 11 Е
(587
определяется интегралом от спектральной плотности по всем частотам
и равна
со
\ iV(co) d(D.	(23.12)
j
о
С другой стороны,	общая спектральная плотность,	рассеиваемая на сопро¬
тивлении	в 1 ом,	должна	быть численно	равна	квадрату	напряжения,
усредненному в течение соответствующего интервала времени. Эта вели¬
чина в статистической терминологии является просто среднеквадратичной
ошибкой, или дисперсией, обычно обозначаемой а2:
т
Полная	средняя	мощность =	^ е2 (t)	dt = о~.	(23.13)
-Y
Корень квадратпы:й из дисперсии есть среднеквадратичная ошибка.
Фактически это та величина, с которой мы начинали рассмотрение. Она
является хорошей мерой «величины» по¬
мехи, но для выполнения процесса опти¬
мизации какого-либо вида необходимо
знать спектральную плотность как функ¬
цию со.
Второй важный вопрос, касающийся
спектральной плотности, возникает, когда
спрашивается, что произойдет в том слу¬
чае, если помеха пропускается через ли¬
нейный фильтр ранее рассмотренного
типа [уравнение (23.10)]. Предположим,
что помеха имеет спектрал иную плотность
N (со) и характеристика фильтра есть Y(iсо). Как изменится теперь
спектральная плотность помехи? Оказывается, что новое значение спек¬
тральной плотности равно старому ее значению, улнгоженпому на квад¬
рат модуля передаточной функции фильтра:
7V(co) = j Y(m) |2iV(со),	(23.14)
а новое значение среднеквадратичной ошибки определяется интегралом
со
о2 = ( | F(ico) j27V (m) dw.	(23.15)
о
Надлежащим выбором характеристики фильтра Y(/со) можно мини¬
мизировать эту ошибку, удовлетворяя при этом еще дополнительным
условиям, соответствующим задаче. Эти дополнительные условия обычно
связаны со статистическими данными самого сигнала. Здесь не может быть
проведено надлежащим образом рассмотрение сигнала как части ста¬
тистического ансамбля, хотя это и является основным вопросом теории.
Другие дополнительные	условия могут быть связаны	с	величиной запа¬
здывания	сглаживания,	которую можно допустить	из	чисто	практиче¬
ских соображений. Однако в любом случае подобные рассмотрения пред¬
ставляют необходимую математическую основу для оптимизации про¬
цесса сглаживания. Теория оптимизации была впервые дана в США
Винером [2] и ii России — Колмогоровым [3]. Однако даже комбиниро¬
ванный принцип, который сейчас будет изложен, в их работах не
/У(со)	!
сос	со —
Рис. 22.10. Белый шум с ограничен¬
ной пологой.

688
РАДИОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 23
выражен достаточно ясно. Кроме того, эти работы трудны для понимания.
Более ясное изложение теории можно найти в работах [4] и [5]. В дай¬
ной работе не представляется возможным детально рассмотреть все осо¬
бенности способов оптимизации.
Вероятно, будет достаточно рассмотреть пример и тем самым как-то
обосновать последующие рассуждения. Вернемся в качестве примера
к старой задаче сглаживания по двум точкам (рис. 23.2). Весовая функ¬
ция К(х) на основании определения может быть представлена с помощью
двух дельта-функций (рис. 23.11), каждая общей площадью 1 /Т. Первая
из них при т = 0 представляет часть х2/Т формулы на рис. 23.2. Вто¬
рая, площадь которой является отрицательной, представляет часть
—Х{!Т формулы. Условие иор-
мирования диффереицирующей
и сглаживающей весовой функ¬
ции состоит в том, чтобы инте¬
грал от нее обращался в нуль.
В данном случае это условие,
очевидно, удовлетворяется.
Далее, почему такая весо¬
вая функция в общем случае
непригодна? Во всем сказанном
нет ничего неверного, если
имеются только два данных xL
и х2 о положении. Такая весо¬
вая функция — лучшая из тех,
какие могут быть применены.
Следящий радиолокатор обычно
работает с достаточно высокой
частотой следования импуль¬
сов; ширина полосы частот
устройств, измеряющих даль¬
ность или углы, обеспечивает
достаточно большое количество
данных измерений в секунду,
а в процессе сглаживания по двум точкам большая часть этих данных
не используется.
Если бы в интервале сглаживания имелось четыре независимых
элемента данных, то наилучшим весовым коэффициентом была бы серия
четырех дельта-функций, показанная в следующем варианте для К(т)
на рис. 23.11. Что касается непрерывного случая, то можно предполо¬
жить, что наилучшим весовым коэффициентом будет тот, который пока¬
зан в третьем варианте на рис. 23.11.
Оказывается, что это предположение является правильным. Бодэ
(Bode) и Блэкман (Blackman) показали, что при измерении неизвестной,
но постоянной скорости в присутствии белого шума с ограниченной поло¬
сой частот такая функция является оптимальной в том смысле, что при
этом минимизируется среднеквадратичная ошибка. Они ввели дополни¬
тельное условие (не выполняемое в теории Винера), заключающееся
в том, что значение скорости при отсутствии инструментальных погреш¬
ностей точно известно. Этот метод называется «параболическим» сгла¬
живанием, так как весовая функция, относящаяся к х, в противополож¬
ность функции, показанной на рис. 23.11 (которая относится к х), дей¬
ствительно является параболой.
fffr)
Двух¬
точечный
вариант
Оетырех-
тачечный
вариант
7_
" Т
0,3
—	4/
 п т
нет
OJ
' Т
№
7/епрершнш jz
вариант
(«нарайаш-
чеений»)
ОД
Т
О
_0_
' Т2
Рис. 23.11. Функции дифференцировании и сгла¬
живания.

§ 23.4]
К О М Б И Н И Р О В А Н Н Ы Й РАД И О И Н Е Р Ц И А Л Ь Н Ы Й МЕТОД
689
Приближенная передаточная функция для х имеет вид
 1—f—г  .	(23-16)
1+2-Т* + 1бГ**а
а ошибка определения скорости как функция ошибки од., времени сгла¬
живания и частоты среза со с бел ого шума определяется соотношением
<23Л7>
Следует заметить, что в то время как прежняя формула давала точность
измерения скорости, обратно пропорциональную времени сглаживания Т,
в данном случае ошибка уменьшается, оказываясь обратно пропорцио¬
нальной Г/2. Этот реальный выигрыш точности обусловлен умелым при¬
ме пением теории.
§ 23.4. Комбинированный радиоинерциальный метод
Теперь обратимся к возражению 3, заключающемуся в том, что
в предварительном анализе не был надлежащим образом освещен вопрос
о правильном комбинировании информации о положении снаряда и его
ускорении. Исходя из того, что мы теперь знаем, сравнительно легко
заключить, что надлежащая комбинация должна существовать и что ее
можно выполнить оптимально. Впервые этот принцип был ясно изложен
и оптимизация выполнена до конца С. Дарлингтоном (Darlington)
в 1951 г. К сожалению, более ранние работы являются секретными,
однако в списке литературы указаны несекретная работа Дарлингтона [5]
и другие несекретные материалы [6] и [7].
При комбинированном радиоинерциальном методе данные радио¬
локационного измерения положения снаряда вводятся в некоторое диф¬
ференцирующее и сглаживающее устройство, а данные измерения аксе¬
лерометрами ускорения интегрируются и сглаживаются; результаты
этих операций складываются. Таким образом, мы имеем сумму величин,
из которых первая является значением скорости, вычисленной с неко¬
торой задержкой, а вторая — приращением скорости, являющейся
поправкой к первой. Аналитически эту комбинацию можно записать
с л е д у ющи м	о б р	а з о м:
x = Y(s)sxM + Z{s)?±t	(23.18)
где измеряемая	величина хм дифференцируется	и сглаживается, а изме¬
ряемое ускорение интегрируется и сглаживается, так что сумма (23.18)
является некоторым видом сглаженной скорости. Рассматриваемая ком¬
бинация может быть записана несколько иначе, если в правую часть
уравнения ввести значения измеряемых скоростей:
х — Y(s)xM-f Z (s) хл.	(23.19)
При отсутствии инструментальных погрешностей величины хм и хА
являются истинными значениями скорости х. Требуется, чтобы х тоже
равнялось этому истинному значению скорости.
Исходя из этого условия, получаем уравнение
х = Y(s) x + Z (,9) х,	(23.20)
44 Космическая техника

690
РАДИОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 23
что в свою очередь приводит к естественному соотношению между двумя
сглаживающими функциями У и Z:
Z(s) = l-Y(s).	(23.21)
Итак, при правильном комбинировании операторов радиолокационного
измерения и измерения акселерометра должно иметь место соотношение
х = У(5)	хА.	(23.22)
Используя это соотношение, можно провести минимизацию среднеквад¬
ратичной ошибки путем соответствующего выбора одной лишь функ¬
ции У(я). Предположим по аналогии с уравнением (23.14), что Nm (<*>)
представляет спектральную плотность измерения положения объекта х,
а Nа(ы) — спектральную плотность измерения его ускорения х-. Тогда
спектральная плотность определения скорости равна
Щсо) = | Y(m) |2со*NU (со) +11 - ¥(ш) |*	.	(23.23)
Простое суммирование допустимо, так как едва ли возможна корреляция
между ошибками основных измерительных приборов. Наконец, средне¬
квадратичная ошибка [уравнение (23.15)] есть интеграл по всем часто¬
там от этой функции плотности, определяющий величину, которую надо
минимизировать надлежащим выбором функции сглаживания У. Ока¬
зывается, что эта величина имеет точно такую же форму, как в теории
Винера [2], где NM есть спектр помехи, а N а — спектр сигнала, когда
эта величина рассматривается как статистический процесс. Здесь ие
будет сделано каких-либо попыток выполнить процесс оптимизации;
четкое описание того, как осуществляется процесс оптимизации,
можно найти в работе [5].
Следует заметить, что .для проведения процесса оптимизации тре¬
буется знание спектральной плотности инструментальных ошибок двух
измерительных приборов. Для заданного ра/диолокатора данные об этом
могут быть получены довольно легко в результате достаточно большого
числа измерений. Читатели, которые интересуются этим вопросом теории,
т. е. определением спектральной плотности, найдут много полезной инфор¬
мации в работе [8]. Для стабилизированных платформ и акселерометров
задача определения спектральной плотности является менее легкой,
так как характерную для снаряда окружающую среду в условиях испы¬
таний воспроизвести нелегко. Однако несомненно, что с течением вре¬
мени будет появляться все большее количество информации об окру¬
жающей среде, что внесет ясность в этот вопрос.
Если даже процесс оптимизации выполнен, то нет уверенности в том,
что в действительности будет в конце концов выбрана лучшая передаточ¬
ная функция У. В проблемах такого рода всегда встречаются другие
условия, среди которых немалое значение имеет сложность оборудова¬
ния или программирования, необходимые для реализации требуемого
вида сглаживания. Вероятно, в любом практическом случае экстремумы
должны быть достаточно плоскими для того, чтобы небольшое отклоне¬
ние от экстремума не оказывало существенного влияния. Возможно,
что основной вопрос проведения оптимизации заключается в том, чтобы
предусмотреть способы, при помощи которых сделанный выбор может
быть проверен с целью убедиться, что результат не слишком резко отли¬
чается от того, который может быть достигнут в идеальном случае.

§ 23.5] ПРИМЕР УПРАВЛЕНИЯ ВЫВЕДЕНИЕМ СПУТНИКА НА ОРБИТУ 691
§ 23.5. Пример управления процессом выведения спутника на орбиту
Теперь, имея в распоряжении необходимые аналитические сведения,
мы можем вернуться к проблеме управления спутником, с которой нача¬
лось рассмотрение. Предположим, что спектр Nm радиолокационного
измерения х является постоянным до частоты со с, равной 6 рад /сек,
а спектр N а измерения ускорения есть дельта-функция при нулевой
частоте, т. е. ошибка ускорения является постоянной. Допустим, что
к радиолокационным данным применяется параболическое сглаживание
и соответствующее сопряженное выражение — для данных ускорения.
Это сглаживание не является точно оптимальным, но отличается от опти¬
мума всего лишь на несколько процентов. Используя те же самые коэф¬
фициенты ошибок, что и раньше, и оптимизируя вновь время сглажи¬
вания Т, находим оптимизированное время сглаживания равным 18 сект
а соответствующую ошибку в скорости равной приблизительно 11 фут!сек.
Это практически в два-три раза меньше ошибки в скорости 29 фут!сект
полученной ранее при упрощении анализа. Для того чтобы получить
такие же результаты, прибор, измеряющий мгновенное значение ско¬
рости (например, радиолокационная система Допплера), должен был бы
измерять с относительной погрешностью порядка 1 : 2500 или нужен
был бы акселерометр, измеряющий ускорение с погрешностью, меньшей
0,04 фут/сек2.
Можно было бы предположить, что мы закончили обсуждение про¬
блемы управления. К сожалению, это не совсем правильно. До сих пор
обсуждение ограничивалось вопросом точности измерения; выясним,
от каких же еще факторов может зависеть точность управления.
Таким примером является проблема выключения ракетного двига¬
теля. Здесь мы должны беспокоиться о воспроизведении заданного про¬
цесса выключения двигателя, так как изменчивость этой функции может
вызвать ошибки не только в пределах ошибок измерения, но даже большие
ошибки. Кроме того, момент выключения двигателя должен быть пред¬
сказан несколько ранее самого события. Необходимо время и для того,
чтобы привести в действие механическую систему, которая фактически
выключает двигатель. Это предсказание тоже внесет дополнительную
погрешность. Однако различие между точностью измерения и точностью
наведения обнаруживается наиболее ясно, если рассмотреть процесс
управления.
Возвращаясь еще раз к рис. 23.5, мы не должны упускать из виду,
что задачей системы управления снарядом по оси у является поддержание
полета в направлении х настолько точно, насколько это возможно. Смысл
этой проблемы заключается не просто в точном измерении у, а скорее
в выяснении общей точности, которую можно ожидать от работы системы.
когда измерение у введено в общий контур системы управления.
Схема контура управления, которая здесь рассматривается, предста¬
влена на рис. 23.12. Следует напомнить, что задачей системы является
управление по тангажу, которое воздействует только на координату у.
Измеренное значение у передается от радиолокатора в счетно-решающее
устройство, где вычисляется сглаженная, но с некоторой задержкой ско¬
рость, передаваемая затем на борт снаряда. Здесь она суммируется с вы¬
ходной величиной акселерометра, как уже объяснялось ранее. Получен¬
ное таким образом значение у является действительно сигналом ошибки,
44*

692
РАДИОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
| ГЛ. 23
так как требуемое значение у должно равняться нулю. Чтобы напомнить,
что эта величина является действительно сигналом ошибки, который
представляет собой входной сигнал системы управления, символу у
придается индекс е. Таким образом, если уе оказывается отличным от
нуля, то процесс управления будет осуществляться так, чтобы в конце
концов свести эту величину к нулю. Такой командой является, как пока¬
зано на рис. 23.12, сигнал по скорости вращения 0о, где 0 есть угол
между осыо снаряда и осыо х (угол тангажа). Положительное значе¬
ние уе будет уменьшать угол тангажа, что в свою очередь будет вызывать
уменьшение в соответствующем направлении величины уе.
Командная величина 0О вводится затем в систему автоматического
управления как управляющее воздействие. Действие системы автомати¬
ческого управления может быть опи¬
сано передаточной функцией указан¬
ного там же вида, в которой знамена¬
тель характеризует наличие обычного
запаздывания снаряда при наборе
желаемой угловой скорости, а чи¬
слитель представляет «опережающий
член», который должен вводиться
искусственно, чтобы сделать систему
устойчивой. Сигнал по истинной
угловой скорости, воздействуя на
динамическое звено снаряда, изме¬
няет его мгновенное положение в
пространстве.
Какое соотношение должно су¬
ществовать между истинной скоро¬
стью у снаряда и двумя видами помех Nm и N л, которым подвержены
радиолокационное измерение и измерение ускорения? Это является
истинным и решающим критерием качества контура управления, осно¬
вой для оценок погрешностей, которые можно практически ожидать.
Уравнения, которые необходимы, чтобы получить эти соотношения,
кратко можно записать так:
динамическое звено снаряда у = ав,	(23.24)
управление 0 —	~ во»	(23.25)
сигнал обратной связи 0О= —Куе,	(23.26)
сигнал ошибки уе=-~ Y(s) s (у-\- еу) -(- -—(y-f еА). (23.27)
Координаты, использованные в этих уравнениях, показаны на
рис. 23.13. Ускорение в направлении оси у приблизительно равно уско¬
рению от действия силы тяги, умноженному на угол тангажа 0 [урав¬
нение (23.24)]. Читатель должен знать, что это только приближение
к истине. Направление силы тяги есть направление оси двигателя, уста¬
новленного в кардановом подвесе. Это направление, вообще говоря,
не совпадает с направлением оси снаряда. Именно в этом вопросе должны
Рис. 23.12. Схема контура управления.

§ 23.5]
ПРИМЕР УПРАВЛЕНИЯ ВЫВЕДЕНИЕМ СПУТНИКА НА ОРБИТУ
693
в конце концов столкнуться проблемы автоматического управления сна¬
рядом и наведения снарядом в целом. Однако при наличии хорошо отре¬
гулированного автопилота сделанное допущение является в рассматри¬
ваемом случае достаточным. Уравнения (23.25) и (23.26) уже были рас¬
смотрены, а последнее соотношение является уравнением радиоинер-
циальной комбинации для определения у. Чтобы в уравнения (23.27)
выделить явно выражения ошибок, сим¬
вол ум для измеряемого у заменен суммой
«истинное у плюс ошибка», а измеряемое
ускорение заменено суммой «истинное
ускорение плюс ошибка». Имеется, ко¬
нечно, много других источников ошибок,
которые в интересах простоты здесь не
рассмотрены. Примером являются неточ¬
ности установки стабилизированной плат¬
формы, другим примером — ошибки, свя¬
занные с системой автоматического управ¬
ления. Их учет не вносит особых трудностей, но делает вопрос более
запутанным.
После преобразования уравнения (23.24) с учетом уравнения (23.27)
получаем искомое соотношение между у и помехами, которое имеет вид
y = A(s)Eu + B(s)eA.	(23.28)
Выражения для А и В являются слишком сложными и поэтому здесь
не приводятся. Они содержат большое число величин, среди которых
имеются	не	только	различные постоянные, такие, как коэффициент уси¬
ления к,	но	также	функция сглаживания Y(s).	Спектральная	плотность
ошибки скорости теперь получается уже известным образом:
N.	(со) - | А (ш) |*Ny (со) + | В (т)	12NA (со),	(23.29)
и, наконец, среднеквадратичная ошибка определяется интегралом
оо
о2.	= [ N.((o)da>.	(23.30)
У о У
о
Рассмотрим численный пример, используя те же геометрические
данные и допущения об ошибках, что и раньше. Ошибки радиолокатора
должны быть определены для условий управления в направлении у7
когда преимущественное значение приобретает управление угловыми
координатами снаряда. Величина ои теперь принимается равной 416 фу¬
там, а о а составляет 1 фут/сек2. Оптимизированная ошибка измерения,
т. е. ошибка в уе, оказывается равной 15 фут/сек со временем сглажи¬
вания 23 сек; она при данных обстоятельствах, вероятно, не является
очень большой. Затем задаемся рядом приемлемых значений параметров
системы управления, например ускорения от действия силы тяги, коэф¬
фициента усиления к и т. п. Затем общая ошибка вычисляется на осно¬
вании спектрального выражения (23.30). Величина а., рассмотренная
в совокупности этих данных, оказывается немногим больше 15 фут/сек.
Небольшое увеличение помехи является результатом влияния динамики
снаряда и работы системы автоматического управления. В этом отноше¬
нии наиболее приемлем достаточно инерционный контур управления, как
Рис. 23.13. Регулируемые коорди¬
наты.

694
РАДИОИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ
[ГЛ. 23
можно было заранее предвидеть. В тех случаях, когда требуются контуры
с высокими коэффициентами усиления, должны быть приняты необходи¬
мые меры для того, чтобы усиление помехи не вышло из допустимых
пределов. При существующем положении дел ошибка в 15 фут/сек
изменит положение перигея только на 2 морских мили.
Смысл этого примера заключается, конечно, не в числах, которые
являются тривиальными и произвольными. Он заключается главным
образом в методах анализа, в описании приемлемых математических прие¬
мов и, что существенно, в изучении влияния системы управления. Не все
изложенное здесь выполнено с надлежащей строгостью, потому что про¬
ведение доказательств потребовало бы большого количества дополнитель¬
ных объяснений. Однако даже при использовании полностью этих методов
разумный конструктор захочет проверить свои решения посредством
ряда моделирований на вычислительных машинах общего или специализи¬
рованного типа, чтобы удостовериться в том, что не были упущены суще¬
ственные влияния различных неизбежных нелинейностей.
Нужно надеяться, что читатель не забыл основной вопрос настоящего
обсуждения, т. е. вопрос о смешанном классе процессов управления,
а именно, о радиоинерциальном методе управления. В этом методе ком¬
бинация приборов используется для расчета одной и той же величины
(в данном случае скорости), чтобы наилучшим образом использовать
достоинства каждого из измерительных приборов. При таком методе
могут быть получены значительно лучшие результаты, чем те, на кото¬
рые можно было рассчитывать, используя отдельно данные приборы.
Определенный таким образом принцип является по своему смыслу зна¬
чительно более общим, чем описанное здесь его частное применение.
Он находит многообразные применения в большом числе частных ситуа¬
ций. В качестве примера можно было бы напомнить системы качествен¬
ного воспроизведения звука.
ЛИТЕРАТУРА
J. L а и i л g J. II. and В a t t i n R. II., Random Processes in Automatic Control,
New York, McGraw-Hill, 1956. [Русский перевод: Л э и и и г Дж. X., Б э т-
т ип Р. Т., Случайные процессы в задачах автоматического управления, ИЛ,
1958.]
2.	Wiener N., The Extrapolation and Smoothing of Stationary Time Series, New
York, John Wiley & Sons, 1949.
8. К о л м о г о p о в А. Н., Интерполяция и экстраполяция в стационарных слу¬
чайных процессах, Бюлл. АН СССР, сер. матем., 5, 3 —14, 1941.
4. В о d е II. W. and Shannon С. Е., A Simplified Derivation of Linear Least
Squares Smoothing and Prediction Theory, Proc. I. R. E. 38, 417—425 (1950).
5. Da rlington S., Linear Least Squares Smoothing and Prediction, Bell System
Tech. J. 37, 1221 — 1294 (1958).
6. В e n d a t J. S., Optimum Filters for Independent Measurements of Two Related
Perturbed Messages, I. R. E., Trans, of the Professional Group on Circuit Theory
CT-4, 14—19 (1957).
7. S t e w a r t R. M. and Parks R. J., Degenerate Solutions and Algebraic Approach
to the Multiple Input Linear Filter Design Problem, I. R. E., Trans, of the Professio¬
nal Group on Circuit Theory CT-4, 10—14 (1957).
8. T u k e у J. W. and В 1 a с k m a n R. B., The Measurement of Power Spectra	from
the Point of View of the Communications Engineer,	часть 1, Bell System	Tech.	J.
37, 185-282 (1958); Part 2, Bell System Tech. J.	37, 435-569 (1958).

ГЛАВА 24
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА СНАРЯДА
Альберт Д. Уилон (Albert D. Wheelon)
§ 24.1. Введение
В главе «Управление на промежуточном и конечном участках траек¬
тории полета снаряда» рассматриваются главным образом вопросы кор¬
рекции баллистической траектории космического снаряда*). Интерес
к этой проблеме значительно возрастает в связи с предполагаемыми поле¬
тами иа Луну и планеты, так как по мере увеличения дальности полета
повышается чувствительность траектории свободного полета к ошибке
в момент выключения двигателя [1]. Хотя промежуточные коррекции
обычно внушают опасения, вследствие связанных с ними баллистиче¬
ских ошибок, очень немногие фундаментальные научные или система¬
тические технические работы посвящены этой задаче. Много исследований
еще потребуется выполнить, чтобы создать необходимые для решения
этой проблемы методы исследования.
В работе проводится предварительное аналитическое исследование
вопросов управления на промежуточном и иа конечном участках траек¬
тории полета применительно к четырем основным задачам: а) снижение
спутника с круговой орбиты, б) коррекция межпланетных траекторий,
в) конечное притяжение планетой, г) встреча спутников. Для решения
первых трех задач необходим только один корректирующий импульс;
для решения четвертой задачи необходима последовательность коррек¬
ций. Рассмотрение этих задач имеет целью выяснить основные особен¬
ности проблемы в целом.
Система управления на рассматриваемых участках траектории долж¬
на выполнять следующие функции: а) индикация действительного поло¬
жения или скорости снаряда, 6) определение требуемого положения или
скорости снаряда, в) определение наиболее эффективного корректирую¬
щего импульса, г) индикация и регулирование положения снаряда,
д) регулирование корректирующего импульса. Эти функции рассматри¬
ваемой системы управления, вообще говоря, эквивалентны функциям
управления моментом прекращения, горения топлива баллистического
снаряда, но значительно отличаются от последних в частностях. Снаряд,
корректирующий свою траекторию в полете, предполагается значительно
*) Проблема управления снарядом с непрерывной тягой здесь рассматриваться
не будет.

690	УПРАВЛЕНИЕ	НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ [ГЛ. 24
смещенным от места своего старта в пространстве и времени. Это оказывает
влияние на общую ошибку дрейфа элементов инерциальной системы, а также
на точность, с которой наземная система радиослежения может опреде¬
лять местоположение снаряда. Наличие указанного смещения затрудняет
также передачу необходимой для управления информации к снаряду
или от него. С другой стороны, промежуточные коррекции обычно малы,
если их измерять в значениях приращений скорости или силы тяги,
и малость этих ускорений допускает применение более простых и точных
У
Рис. 24.1. Коррекция траектории движущегося по инерции снаряда, пре¬
следующего цель.
приборов управления. Условия свободного полета, в которых снаряд дви¬
жется перед промежуточной коррекцией, также можно в некоторых
отношениях использовать.
Перед подробным рассмотрением поставленных задач полезно пояс¬
нить основной подход к проблеме на простом примере промежуточного
управления. Прежде всего заметим, что интересы конструкторов двига¬
тельных установок и конструкторов системы управления не всегда сов¬
местимы. Пример такого противоречия можно видеть на рис. 24.1, где
показан снаряд, /движущийся в свободном от действия сил тяготения
пространстве. В невозмущенном движении снаряд пройдет мимо цели на
расстоянии I. Направление импульса, определяемого углом а, и его
величина AV, требуемая для изменения направления вектора V0, связаны
со временем движения снаряда до цели Tg0 следующим образом:
AF yvoTgo .	\-1	,0/
—j—sin а—cos а )	.	(24.1)
Дифференцированием этого соотношения легко показать, что напра¬
вление минимального по величине импульса для любого положения
снаряда (т. е. 7\,0) перпендикулярно к линии прицеливания, соединяю¬
щей снаряд и цель, а именно
^ amin —
V0Tg о
I
Этот результат непосредственно следует также и из рис. 24.1. Величина
наиболее экономичного импульса находится в обратной зависимости от

§ 24.2]
СНИЖЕНИЕ СПУТНИКА С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
697
времени движения до цели:
; [ 1 + ( -j-0)2 ] ~I/S,	(24.2)
откуда следует целесообразность коррекции с упреждением*).
Зависимость ошибки А/ корректируемой дальности I от погрешностей
управления и наведения можно вычислить, составив полный дифферен¬
циал от функции, определяемой уравнением (24.1). Коэффициенты оши¬
бок но импульсу AF и скорости F0 возрастают со временем движения
до цели, вследствие чего может оказаться выгодной коррекция с запаз¬
дыванием. Количественное рассмотрение этого вопроса, очевидно, явля¬
ется необ ход и мым.
§ 24.2. Снижение спутника с круговой орбиты
В настоящее время, когда на орбиты вокруг Земли запущено уже
много искусственных спутников, большое внимание обращается на спо¬
собы снижения спутников с
орбиты. Эта проблема возника¬
ет также в связи с предпола-
г а е д I ы ми и с ел е д о в а и 11 я м и дру¬
гих планет. Она включает сле¬
дующие задачи: а) превращение
траектории снаряда в орбиту
спутника около планеты назна¬
чения, б) спуск с круговой
орбиты иа поверхность плане¬
ты. Лобовое сопротивление и
влияние подъемной силы здесь
не будет учитываться, поэтому
последующие результаты, стро¬
го говоря, применимы только
к телам, лишенным атмосферы,
таким, как Луна и Меркурий.
24.2.1.	Аналитическая формулировка задачи. На рис. 24.2 показана
плоская траектория снижения спутника с круговой орбиты. Корректи¬
рующий тормозящий импульс скорости AV направлен под углом я — а
к вектору Vs действительной скорости спутника. Получающаяся в ре¬
зультате сообщения импульса скорость движения снаряда характери¬
зуется вел ичиной
U = (VI + AF2 - 2F.SAF cos а)1/2	(24.3)
и образует угол у с направлением местной вертикали, так что
ctcrv- - AFsina -	(24.4)
Lto Y Vs — AV cos a
Эти соотношения определяют начальные условия на эллиптической
траектории спуска, вызванной торможением снаряда.
Для того чтобы снаряд достиг поверхности планеты на угловом рас¬
стоянии ф от точки торможения, должно удовлетворяться уравнение
Рис. 24.2. Геометрические соотношения, харак¬
теризующие действие корректирующего импульса
при спуске снаряда с круговой орбиты.
*) Формула (24.2) получена после подстановки найденного значения I<>' amjа
в уравнение (24.1). (Прим. ред.)

698	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
(24.5)	«попадания в цель»
a-\-h _ GM
1 — cos ф . sin (у — ф)
a (a-\-h) U2, sin2 у 1	sin у *	(24.5)
Гравитационный параметр притягивающей планеты обозначен про¬
изведением GM. Уравнение (24.5) можно получить, рассматривая эллип¬
тическую траекторию, по которой снижается снаряд, и потребовав, чтобы
г = а при 0 = ср. Подставив в уравнение (24.5) значения U и у, согласно
соотношениям (24.3) и (24.4), найдем зависимость между AF и углом а,
которая должна удовлетворяться при спуске снаряда в точку, опреде¬
ляемую углом ф:
[г(\+~  л  	  -	г-
j ч а
•	о	h	\	11/2 !
ду	1	[+4(1—coscp) I 1 + — — coscp+tga-sincp ) I J
	—- —— СПР r# .
г.
-{-^азшф — | tg2 a-sin2 ф-[-1
'Y seca-
h
(24.6)
1-f — — cos ф-j-tg a-sin ф
Скорость спутника Fs связана с высотой орбиты h соотношением
Vl = ^.	(24.7)
На рис. 24.3 построены зависимости величины требуемого импульса AF
пт угла ориентации импульса а относительно вектора скорости для не¬
скольких значений углов дально¬
сти ф при hla = 0,10. Эти сра¬
внительно пологие кривые пока¬
зывают, что оптимальный импульс
не всегда направлен навстречу
вектору скорости (а = 0). Опти¬
мальное значение импульса зави¬
сит от предполагаемой дальности.
При данном импульсе (AF,a) не
все дальности ф могут быть реа¬
лизованы на траектории спуска,
так как орбита может пересекать
поверхность Земли раньше, чем
спутник достигнет необходимой
дальности.
Дальность ф точки столкно¬
вения спутника с планетой, ве¬
роятно, определяется расположе¬
нием средств обнаружения или
желаемого района исследований. Если тормозной импульс можно создать
при нахождении спутника в произвольной точке начальной круговой
орбиты, то дальность от точки торможения до точки столкновения с пла¬
нетой можно обычно выбрать так, чтобы удовлетворить общим требова¬
ниям управления и силовой установки. Наиболее экономичный спуск
получается при ф = я и a — 0, но он не может быть осуществлен, так
как в этом случае требуется бесконечная чувствительность системы
у п р а в л е н и я с к о р о с т ь ю.
Количественная оценка задачи спуска в плоскости исходной орбиты
основывается на рассмотрении соотношений между вариациями угла
дальности ф, ошибок управления величиной импульса AF и угла а.
20	40	ОО
Ориентация импульса а,
•Рис. 24.3. Зависимости между отношением
А У /Vs, необходимым для снижения с круговой
-орбиты, и ориентацией импульса для h/a = 0,10.

§ 24.2]
СНИЖЕНИЕ СПУТНИКА С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
699
Эти соотношения, называемые коэффициентами погрешностей, опреде¬
ляются частными производными, вычисляемыми по уравнению (24.6):
6ф
6а
( Г — sin а tga—-—:CQS Ф. (cos ct*sin ф — 2a sin a) 1 +1
x < L a	&	sin ф	J	>
I	-\-x	tg a (a cos a-|-sin ф • sin a) sin a	J
'	\~h	7h	.	1 — cos ф ! VI
 x ( — cos aH г — sin a
L a \ a	1	sin	ф	у	J
(24.8)
6ф
6x
( Г h •	.	1—cos Ф /о	i	•	\	i	)
 sina4 :	—	(2a	cos	a+sin	ф	sin a)-f- I
j L a	sin	ф	(
1	1	f
: -j-x sin o£(cr cos a-f sin ф-sin a) J	J
\
-[!+
— cos a4
1 — cos ф
sin a^j J
(24.9)
Sin ф
где a = 1 — cosф 4- hla, а отношение x — AV/VS определяется урав¬
нением (24.6). Результаты расчетов по уравнениям (24.8), (24.9) пред¬
ставлены графиками на рис. 24.4 и
24.5 в функции от а для некоторых
значений ф при 1г!а = 0,10.
Погрешность в направлении им¬
пульса при торможении на угол SP
Рис. 24.4. Чувствительность угла дальности
к ошибкам ориентации импульса для
/г/а = 0,10.
Ориентация импульса а, °'
Рис. 24.5. Чувствительность угла дальности
к ошибкам в величине импульса для
IiJ а = 0,10.
к орбитальной плоскости (или плоскости спуска) вызывает смещение
снаряда, нормальное к номинальной плоскости спуска и равное
[6N = а • sin ф • бр.	(24.10)
Для данного значения SP смещение 6N является максимальным при
Ф -- 90° и равно нулю при ф = 180°.
На основании кривых для коэффициентов погрешностей, предста¬
вленных на рис. 24.4, может быть сделан следующий вывод: ошибка по
дальности при определенной ориентации импульса, называемой «мини¬
мальной», нечувствительна к рассогласованиям импульса (6ф/6а — 0)
при любой дальности. Это является обобщением положения о нечувстви¬
тельности (первого порядка) точности попадания орудийного снаряда

700
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ [ГЛ. 24
к углу стрельбы при максимальном радиусе действия установки, т. е. при
стрельбе под углом 45° к «плоской Земле» и в однородном гравитационном
поле. Возможность изменения значений коэффициентов погрешностей
соответствующим выбором траектории имеет важное практическое значе¬
ние, так как допускает использование сравнительно грубых методов инди¬
кации положения и менее сложных систем управления.
В качестве примера рассмотрим спуск искусственного спутника
Луны на поверхность Луны. Лунный радиус равен а = 1080 миль, так
что для случая h/а = 0,1, рассмотренного выше, h = 108 миль и но
(24.7) Vs = 5240 фут/сек. Если выбрана дальность ср = 90° и приме¬
няется «минимальная» ориентация импульса а = 25°, то требуемый
импульс равен AF = 225 фут/сек. Дальность нечувствительна к ошибкам
ориентации (бф/ба = 0), но изменяется на 6,5 мили при ошибке в вели¬
чине импульса на 1 фут/сек. Поперечная дальность изменяется на 1 милю
при ошибке в азимутальной ориентации импульса на 1 миллирадиан.
24.2.2. Определение положения снаряда. Положение снаряда в пе¬
риод торможения может быть определено с помощью радиоизмерений.
Радиолокационное импульсное или частотномодулированное измерение
высоты снаряда посредством радиовысотомера, установленного на сна¬
ряде, является сравнительно простым. Однако угловое положение на
орбите должно измеряться наземными станциями слежения, если они
имеются в наличии. Задача вычисления программы управления сни¬
жением спутника является сравнительно несложной. Траектория спу¬
ска, вероятно, будет выбираться заранее так, чтобы можно было
использовать лишь небольшие участки на кривых коэффициентов по¬
грешностей (см. рис. 24.4 и 24.5, допус¬
кающие небольшие регулирования комбина¬
ций величин AF; ф, а).
24.2.3. Индикация положения снаряда.
Управление положением снаряда удобно
осуществлять относительно системы коор¬
динат, связанной с притягивающей плане¬
той. Были предложены следующие способы
ориентации снаряда на круговой орбите.
Г р а в и т а ц и о н н ы й г р а д и -
е и т. Так как гравитационные силы убы¬
вают обратно пропорционально квадрату
расстояния, то сила, действующая на перед¬
нюю часть снаряда, немного больше силы,
действующей на его конец (рис. 24.6). На
тело в гравитационном поле действует малый полезный момент, кото¬
рый стремится установить тело в вертикальном положении. Величина
этого момента
Г = 1,тв[-
Рис. 24.6. Момент гравитацион¬
ных сил, действующий па снаряд
па орбите.
-GM
GM
(/•-(-ZCOS0)2 1 (г— /cos 0)2.
■ sin 0- cos (
*). (24.11)
*) Формула ошибочна. Это выражение не имеет даже размерности момента
силы (отсутствует масса снаряда). Правильная формула имеет вид
Q ЛИ
Г =	(/3-/1)	sin	20,
где /3, 11—центральные моменты инерции снаряда (осевой и экваториальный).
{Прим. ред.)

3 24.2]
СНИЖЕНИЕ СПУТНИКА С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
701
При малых угловых отклонениях оси снаряда от вертикали места
дифференциальное уравнение колебании снаряда будет
/ЬЧ -/г20^О.
1 /О
(24/12)
Движение тела является колебательным, а так как / ~ /2, то период
колебаний не зависит от размеров тела. На самом деле период колеба¬
ний точно равен времени, которое затрачивает спутник, чтобы совершить
полный оборот вокруг планеты. Это — принцип маятника Шулера,
период которого, равный 84 мин, соот¬
ветствует периоду обращения спутника
на орбите, «прижатой» к Земле*). Сле¬
дует заметить, что при значительном
гравитационном градиенте не было бы
необходимости в системе управления
положением снаряда по тангажу и
крену **).
Р а д и о в ы сото м е р. Радио¬
передатчик, установленный на снаряде,
может быть использован для измере¬
ния высоты полета снаряда путем им-
п у л ь сно г о ил и ч а стот но мо д у л и ров а нно -
го определения дальности. Если пере¬
дающая антенна является сканирую¬
щей, то можно измерить дальность до
различных отражающих точек на сфе¬
рической Земле (рис. 24.7). Местная вертикаль может быть определена
по сигналу антенной установки, соответствующему минимальному времени
прохождения посланного и отраженного импульса. Эта система не дает
информации о курсе снаряда относительно местной вертикали, но непо¬
средственно сообщает данные о высоте.
С к а и и р о 15 а и и е горизонта [1]. Электромагнитное излу¬
чение Солнца отражается и поглощается планетой. Поглощенная радиа¬
ция вызывает у черного тела излучение всех длин волн. Излучаемая
радиация вместе с отраженным солнечным светом достигает снаряда.
Можно пассивно принимать эту радиацию на снаряде и установить опор¬
ные направления на края планеты посредством поиска неоднородности
*) В устойчивом положении равновесия вытянутого снаряда (/3 < /j) его ось
располагается по вертикали места. При отклонении оси от вертикали снаряд будет
совершать маятниковые колебания, определяемые дифференциальным уравнением
0-1-3
GM
1—) 0=о
[уравнение (24.12) — грубо ошибочное]. Период колебаний равен
Г
хх = 2 я
Vi
г3
1
2 GM	1 —
h
где т = 2л
г
г3
~GM
действительно представляет период Шулера, о котором гово¬
рится в тексте. Конечно, тд зависит от формы снаряда. (Прим. ред.)
**) Вероятно, под углом крена здесь подразумевается угол поворота снаряда
с вертикальной осыо вокруг касательной к орбите. (Прим. ред).

702
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ [ГЛ. 24
в интенсивности поступающей радиации (рис. 24.8). Этот метод также
не дает информации о курсе.
Гироскопические опорные системы. Гироскопы
широко используются на самолетах и снарядах для создания на короткое
время опорных систем координат. Но ошибки ориентации оказываются
очень большими, если скорость ухода гироскопа (даже наиболее совер¬
шенного типа) умножить на время, необходимое для полного космиче¬
ского полета. Вспомним, однако, что уход гироскопа вызывается главным
образом трением в подшипниках и неуравновешенностью масс. Но на
орбите спутника и снаряд, и гироскоп находятся в состоянии свободного
полета (рис. 24.9, а). Подшипники можно было бы даже убрать, а центры
масс обоих тел продолжали бы двигаться по тем же самым траекториям
один относительно другого. Неуравновешенная масса является чувстви¬
тельной только к градиенту гравитационных сил. Такой свободный гиро¬
скоп открывает возможности для новых приборов управления, которые
будут работать в условиях свободного полета.
Рис. 24.8. Пассивное электромагнитное сканирование горизонта.
/
/
/
/
а)
Свободный гароснап
на снаряде
б)
Зращающмйся
снаряд
w
Рис. 24.9. Гироскопические опорные системы на орбите.

§ 24.2]
СНИЖЕНИЕ СПУТНИКА С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
703
От идеи использования свободного гироскопа для реализации опор¬
ной системы координат внутри снаряда естественно сделать один шаг
вперед в направлении создания опорной гироскопической системы ко¬
ординат, связанной с самим снарядом, путем придания вращения телу
снаряда.
Этот способ, показанный на рис. 24.9, б, в настоящее время приме¬
няется на американских спутниках типа «Эксплорер». Возмущения
и упругое рассеяние энергии (посредством изгиба) приводят к постепен¬
ному превращению начального вращения во вращательное движение
относительно оси наибольшего момента инерции*). Из этих соображений
идеальной формой снаряда был бы диск, вращающийся в своей плоскости.
Так как положение такого вращающегося снаряда является стабилизи¬
рованным в ииерциальном пространстве, то ракетные двигатели должны
быть шарнирно соединены со снарядом, чтобы тормозной импульс можно
было приложить в нужном направлении при произвольном положении
снаряда на орбите.
24.2.4.	Управление положением снаряда. Чувствительные элементы,
определяющие ориентацию снаряда, должны быть связаны с системой
управления, которая должна корректировать ошибки положения**).
Схема системы управления положения и стабилизации снаряда, показан¬
ная иа рис. 24.10, предусматривает сообщение снаряду управляющих
моментов посредством поворотных ракетных двигателей или вращений
маховых масс. Необходимо небольшое вычислительное устройство, кото¬
рое может учитывать динамическую реакцию твердого тела (снаряда)
на действие моментов и вычислять релейные или пропорциональные
команды на регулирующие органы. Должна использоваться также система
обратной связи, действующая от акселерометров, измеряющих угловые
ускорения снарядов, так как устройства, создающие моменты, не могут
быть заранее точно проградуированы. В контурах таких систем должна
предусматриваться зона нечувствительности, чтобы избежать непрерыв¬
ной коррекции и уменьшить расходы энергии. Значения производных
угловых отклонений требуются в периоды действия силы тяги, когда
ориентация снаряда может быстро измениться вследствие рассогласова¬
ния силы тяги. Значения производных могут быть непосредственно изме¬
рены скоростными гироскопами или вычислены дифференцированием сиг¬
налов угловой ориентации, если удовлетворены необходимые условия
для отношения сигнала к помехе и сглаживания помех.
*) При сообщении свободному твердому телу начальной угловой скорости
вокруг одной из осей эллипсоида инерции три направления — этой оси, мгно¬
венной оси вращения (вектора со) и главного момента количеств движения К
совпадают и сохраняют неизменное направление в пространстве. При малом
возмущении вектор со будет описывать конус с малым углом раствора
(конус герполодии) вокруг нового, но неизменного в пространстве направления
вектора К\ однако угол раствора конуса герполодии, описываемого вектором о>
но отношению к осям, связанным с телом, будет оставаться достаточно малым
лишь при условии, что начальное вращение происходило вокруг оси наибольшего
или наименьшего моментов инерции. В этом смысле говорят," что вращения сво¬
бодного твердого тела вокруг осей наибольшего или наименьшего моментов инерции
устойчивы, а вокруг оси среднего момента инерции неустойчивы. Вращение вокруг
осп наибольшего момента инерции «устойчивее» в том смысле, что малое возмуще¬
нно начального вращения вокруг этой оси создает конус герполодии с меньшим
углом раствора, чем возмущение вокруг оси наименьшего момента инерции.
(Прим. ред.)
**) Имеется в виду ориентация осей снаряда, а не положение его центра
инерции. (Прим. ред.)

704	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
24.2.5.	Управление импульсом скорости. Величина импульса ско¬
рости AF может быть измерена непосредственно интегрирующим акселе¬
рометром. Приборы такого типа являются усложненными вариантами
простого устройства типа груза на пружине, смещение которого
Рис. 24.10. Общая схема системы стабилизации и управления положением снаряда.
пропорционально ускорению, обусловленному действием силы тяги, как
показано на рис. 24.11. Ускорение интегрируется до тех пор, пока не
достигается требуемое значение скорости
т
bV=[a(t)dt,	(24.13)
0
и в этот момент двигатель выключается.
Ошибки управления импульсом AF появляются в том случае, если
акселерометр не отрегулирован надлежащим образом (ошибки масштаб¬
ного множителя) пли имеется погрешность установки нуля 8а0. Так как
Рис. 24.11. Схема интегрирующего акселерометра для управления
величиной импульса скорости.
двигатель не может мгновенно выключиться, имеется еще ошибка во вре¬
мени выключения двигателя бт.
Поэтому погрешность импульса скорости равна
8 (АУ) = 8та (т) + х8а0 + ^ АУ.	(24.14)
Общая ошибка импульса скорости может быть сведена к минимуму,
если выбрана надлежащая программа горения топлива. Единственное

§ 24.3]
КОРРЕКЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
705
/Урашичеехад
предел
условие в данном случае заключается в том, чтобы площадь под кривой
a(t) была равна AV и сила тяги ограничивалась некоторым предельным
значением (рис. 24.12). Правильный
выход заключается в том, чтобы
сжигать топливо за максимально ко¬
роткое время для уменьшения эффек¬
та нулевых ошибок и производить
выключение двигателя при наимень¬
шем возможном значении тяги, чтобы
свести к минимуму влияние неточ¬
ности момента выключения двигателя
(рис. 24.12). Так как системы управ¬
ления на промежуточном и конечном
участках траектории полета исполь¬
зуют относительно низкие значения
тяги, то можно уменьшить ошибки
масштабного множителя акселеро¬
метра путем использования небольшого динамического диапазона при¬
бора. Нежелательные влияния составляющих скорости, вызванных рас¬
согласованием направления тяги, можно определять поперечными аксе¬
лерометрами, связанными с системой управления двигателем.
Нежелательная
программа
Рис. 24.12. Программа изменения ускоре¬
ния для создания корректирующего им¬
пульса скорости.
§ 24.3. Коррекция межпланетных траекторий
Общая задача управления на промежуточном участке траектории
состоит в исправлении эллиптической траектории снаряда для пере¬
хвата движущейся цели. Одним
из наиболее трудных и важных
приложений этой проблемы яв¬
ляется коррекция баллистических
траекторий снаряда при подходе
к планетам солнечной системы.
Хотя особенности процесса кор¬
рекции пространственной траек¬
тории являются очень важными,
мы рассмотрим только плоскую
задачу, показанную на рис. 24.13,
так как планеты движутся вокруг
Солнца приблизительно в одной
плоскости. Система управления
должна, во-первых, предсказывать
поминальное расстояние промаха I
до цели, находящейся в точке А,
и затем решить, как приложить
один или несколько корректи¬
рующих импульсов скорости, чтобы обеспечить встречу с целыо в другой
точке В.
Проанализируем корректирующий маневр на рис. 24.13 так, как
это сделала бы сама система управления. Во-первых, мы определяем
положение снаряда и его вектор скорости с помощью радиоизмерений
или оптическим методом. Затем эта информация используется для пред¬
сказания расстояния I до движущейся цели и вычисления корректирую¬
щего импульса. Корректирующий импульс скорости и скорость снаряда
V2 45 Космическая техника
Рис. 24.13. Коррекция эллиптической межпла¬
нетной траектории одним импульсом скорости.

706
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ [ГЛ. 24
на начальной эллиптической траектории векторно складываются и вычис¬
ляется результирующее расстояние промаха для точки В. Выбор наиболее
эффективного и наименее чувствительного места сообщения импульса
должен осуществляться счетно-решающим устройством системы упра¬
вления pia Земле или на снаряде. Управление положением снаряда
и импульсом скорости является относительно простой проблемой, которая
может быть решена с помощью системы управления, описанной в 24.2.4.
24.3.1.	Определение положения и скорости снаряда. Наиболее труд¬
ной проблемой, стоящей перед системой управления на промежуточном
участке траектории для межпланетных траекторий, является определение
Рис. 24.14. Переход от оптических углов, измеряемых на снаряде,
к полярным координатам в солнечной системе координат.
положения и скорости снаряда. Для этой цели могут быть использованы
следующие методы: а) проводимые на снаряде оптические измерения углов
между направлениями на светила, б) радиолокационное или оптическое
сопровождение с Земли, в) измерения дальности на снаряде или с Земли
с помощью радиометодов или допплеровским методом. Устройства для
измерений, осуществляемых на Земле, могут быть менее экономичными
и более тяжелыми, чем подобные системы на подвижных объектах, но они
должны передавать снаряду информацию по соответствующим радио¬
линиям передачи навигационных данных.
Оптическое определение положения [2]. Опти¬
ческие приборы на снаряде могут быть использованы для установления
направлений на точечные источники света на небе. Углы между этими
направлениями на светила являются величинами, измеряемыми оптиче¬
ской системой. Пересечение трех таких направлений однозначно опре¬
деляет положение снаряда в пространстве, если известно положение све¬
тил. Это, по существу, тот способ, которым поколения астрономов опре¬
деляли орбиту Земли в ее движении вокруг Солнца. Конечно, имеется
существенная разница между количеством оборудования и времени,
имеющимся в распоряжении астрономов, находящихся на Земле, и в усло¬
виях первых межпланетных полетов.
Рассмотрим переход от данных об угловых положениях снаряда
к информации о положении снаряда для плоской задачи, показанной на
рис. 24.14. Предположим, что одно направление выбрано на Солнце,

§ 24.3]
КОРРЕКЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
707
а другими светилами являются звезды и планеты. Основная задача заклю¬
чается в том, чтобы выразить полярные координаты снаряда (г, ф) через
значения измеряемых углов а, р. Полярные координаты светил 4 и В пред¬
полагаются известными, а Солнце принимается за начало инерциальной
системы координат, в которой положение звезд является фиксированным.
Результаты тригонометрических преобразований дают следующие соот¬
ношения:
Если в качестве светила А выбрана удаленная звезда, а В представляет
собой планету, то формулы значительно упрощаются, так как можно
полагать Ыа = 0. Тогда
Мы можем проварьировать эти уравнения, чтобы оценить ошибки в опре¬
делении г и ф, обусловленные ошибками измерений (6а, 6Р) и ошибками
в определении положения источников (66, 6т] и 6£):
Суммарное влияние инструментальных погрешностей и ошибок
в данных о положении светил в уравнении (24.19) можно свести к мини¬
муму надлежащим выбором расположения светила. Совершенно ясно,
например, что во всех случаях следует избегать значений р, равных 0
или я, так как при этом планета, снаряд и Солнце лежат на одной пря¬
мой. В случае, если а — £+ ц = 0, Р = 90°, общая ошибка становится
равной бр. Теодолиты с малым полем зрения при весе менее чем 10 фун¬
тов могут измерять на Земле углы до нескольких секунд дуги, а хорошая
астрономическая видимость и превосходная оптическая контрастность
в космическом пространстве должны улучшить эти характеристики. Вели¬
чина ошибки определения радиального расстояния г не является опре¬
деленной вследствие того, что расстояние Ъ от планеты до Солнца точно
неизвестно.
В настоящее время линейные размеры нашей солнечной системы,
к сожалению, не вполне известны, хотя относительные расстояния опре¬
делены с большой точностью из соотношений периодов; астрономическая
единица, выраженная в километрах, известна с относительной точностью
порядка 10"4. Этим, по-видимому, устанавливается основной предел
определения расстояния г, тогда как углы могут быть измерены и уже
измерены с точностью до секунд дуги (4*10“6 радиана). Однако по причи¬
нам, которые не могут быть здесь удовлетворительно описаны, уравнения
попадания в цель не содержат ошибок определения величины Ъ первого
порядка малости. Поэтому эти уравнения мотут быть написаны почти
исключительно в значениях измеряемых переменных аир.
г =
a&sin (а—£—Р+Л)
(24.15)
[а2 sin2 р-(- Ь2 sin2 а—2ba sin а-sin (3-cos (а—£ — Р +Л)]1/2
  asinp*sin(a—g) — 6 sin a-sin (Р—л)
® ^ ~ 5 sin a-cos (P —л) — a-sin p*cos (a —£)
(24.16)
sin p
ф = jt — a + g.
r = b sin (a—5—Р+Л)
(24.17)
(24.18)
6r = (6a + 6r)) b
sin (a—I— p-f л)
sin p	’
6ф= —6a + 6£.
(24.19)
(24.20)
45*

708	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
Вектор скорости снаряда определяется значениями г и ф, которые
могут быть вычислены дифференцированием уравнений (24.17) и (24.18).
Если в качестве светила выбрана звезда, то g является приблизительно
постоянной величиной. Тогда
. = .sin(a Е Р_И|)	Г	•	-	coS(„	£	р+п)	8т(а-6	+	Л)	|
smp	1	1Л	snip	r	sin.2	р	J
(24.21)
Ф = — а.	(24.22)
Скорость (Ь, г|) подвижного светила (планеты) можно предварительно
программировать перед полетом при дифференцировании величин а
и р, измеряемых на снаряде; появляется интересный класс проблем, так
как оптические данные обыкновенно не дифференцируются в течение
Рис. 24.15. Интерферомстрический принцип измерения угла пеленга
объекта.
всего действительного времени полета снаряда. Обычно длительные интер¬
валы времени между измерениями используются для сглаживания погреш¬
ностей оптических измерений*). Положение и скорость снаряда могут
существенно измениться за время, необходимое обычно для выравнива¬
ния таких данных, поэтому необходимо объективное изучение возможной
точности дифференцирования результатов оптических измерений, произ
водимых легкими следящими приборами.
С л е ж е н и е с 3 е м л и. Положение снаряда может быть опре¬
делено посредством его пеленга с Земли. На рис. 24.14 Земля соответствует
источнику В, а угол в— измеряемому углу. Хотя геометрические соот¬
ношения остаются важными в получении и использовании таких данных,
в этохм случае возникают новые и очень интересные проблемы, связанные
с самими способами измерений положения снаряда. Мы остановимся на
радиоинтерферометрах, так как системы сравнения фаз с длинными
базисными линиями, использующие узкополосные маяки на снаряде,
дают возможность измерять такие углы с очень высокой точностью.
Принцип действия интерферометра показан на рис. 24.15 для про¬
извольной базисной линии D. Угол пеленга 0 рассчитывается по раз¬
ности фаз сигналов, принимаемых различными станциями:
0~2^(ф1-ф2).	(24.23)
*) Несколько сотен лет применялось оптическое сглаживание для установ¬
ления орбиты Земли.

3 24.3]
КОРРЕКЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
709
Боковое перемещение снаряда равно 07?, где/? есть расстояние до снаряда:
Ошибки положения ду, обусловленные распространением радиоволн
и ошибками синхронизации фаз, пропорциональны отношению R/D.
Если говорить о межпланетных полетах, то /? может быть равно несколь¬
ким сотням миллионов миль. Это придает большое значение длинным
базисным линиям D. Наибольшей интерферометрической базисной линией,
доступной сейчас, является диаметр Земли, равный 8000 миль, который
не слишком велик по сравнению с 108 миль (рис. 24.16, а). При этом
возникает еще проблема сравнения и синхронизации фаз сигналов от стан¬
ций, расположенных на противоположных сторонах Земли. Слежение
за космическими снарядами с поверхности Земли осложняется также
вращением ее поверхности. Поэтому должна планироваться специальная
последовательность станций, чтобы выполнить функцию слежения за
движущимся снарядом.
Полеты на Луну дадут возможность использовать в качестве базиса
расстояние между Землей и Луной (240 000 миль). При установлении
приемника на Луне его можно было бы легко синхронизировать с рядом
таких станций на вращающейся Земле посредством прямой связи. Однако
возможность попасть на Луну, вероятно, не более велика, чем попадание
в две устойчивые точки либраций системы Земля — Луна, показанные
па рис. 24.16, б. Источник или приемник радиоволн, помещенный в одну
из этих точек, устойчив по отношению к малым возмущениям. Небольшие
приемники могли бы действовать в этих точках и непрерывно поддержи¬
вать синхронную прямую связь от одной точки к другой без опасения
экранирования снаряда Землей или Луной.
Далее следует заметить, что схема интерферометра, приведенная
на рис. 24.15, может работать и в обратном направлении. В этом случае
мы используем два передатчика иа концах базисной линии D и сравни¬
ваем фазы двух сигналов, принимаемых на снаряде. Если бы каждый
снаряд мог иметь необходимое счетно-решающее оборудование, чтобы
преобразовать сигнал, и действовать в соответствии с принимаемыми
(24.24)
Рис. 24.10. Слежение с Земли за космическим снарядом.

710	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
данными о разности фаз, то от одной и той же наземной системы могло
бы одновременно прокладывать себе путь в пространстве любое число
снарядов. Эта обратная система есть не что иное, как гиперболическая
навигационная система Лоран, широко применяемая теперь для навига¬
ции самолетов и кораблей на земной поверхности. Два синхронизиро¬
ванных передатчика в точках либрации системы Земля — Луна и один
на Земле установят базис для трехмерной космической навигационной
службы, которая могла бы использоваться одновременно любым числом
космических снарядов.
Дальность и данные о скорости. Уже было отме¬
чено, что классическая астрономия основывается на оптическом измере¬
нии углов между направлениями на светила. Когерентная связь
в полосе радиочастот электромагнитного спектра представляет возмож¬
ность для осуществления двух новых видов измерений. Дальность сна¬
ряда может быть измерена посредством передачи импульсов маяку-ответ-
чику на снаряде и подсчета времени двустороннего прохождения сигнала.
Так как скорость света известна с относительной точностью порядка
1СГ6, то эта методика могла бы непосредственно дать улучшение величины
астрономической единицы на один или два порядка. Однако для того,
чтобы это сделать, снаряд следовало бы поместить на одну из планет,
положение которой уже установлено оптическим слежением.
Допплеровский сдвиг частоты источника радиоволн непосредственно
связан с радиальной скоростью снаряда относительно Земли. Если
используется двусторонняя передача сигнала, то нужно поддерживать
необходимую стабильность частоты передающего генератора во время
прохождения сигнала. Если принята односторонняя система, то должны
использоваться очень стабильные генераторы. Это гарантирует то, что
любая разность частот принимаемой волны и генератора на снаряде
обусловливается только допплеровским сдвигом частоты, а не неста¬
бильностью генератора. Должна выполняться также коррекция, учитыва¬
ющая как специальный, так и общий релятивистский эффекты, если при
измерениях используются современные точные данные о скорости света.
Помимо научного значения таких измерений, очень важно рассмо¬
треть, как траектории искусственных тел в солнечной системе могут быть
использованы для получения данных о дальности и скорости; при этом
необходимо учесть помехи и ошибки сглаживания процесса измерения.
24.3.2.	Вычисление величины промаха. Независимо от того, каким
образом определены положение и скорость снаряда, система управления
в целом должна реагировать на эту информацию. Характер вычислений,
которые должны при этом выполняться, устанавливается рассмотрением
плоской задачи (см. рис. 24.13). Если планета назначения движется
вокруг Солнца по круговой орбите радиуса Q, то снаряд пересечет эту
орбиту, когда его радиус-вектор г повернется вокруг Солнца на угол 0,
удовлетворяющий уравнению *)
*) Эта форма уравнения эллиптической траектории непосредственно получает¬
ся интегрированием уравнения Бине (см., например, JI. Г. Лойц янский,
А. И. Лурье, Теоретическая механика, т. II, стр. 49 — 53, Гостехиздат, 1955):
(24.25)

§ 24.3]
КОРРЕКЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИИ
711
где у есть измеряемый системой управления угол, который вектор V
образует с радиусом-вектором снаряда.
Так как мы стремимся попасть в движущуюся цель, то необходимо
рассмотреть проблему «синхронизации» координат в пространстве и вре¬
мени. Для того чтобы встретить планету в тот момент, когда снаряд пере¬
секает ее орбиту, траектория снаряда должна удовлетворять соотношению
0 — а + <р = соТ,	(24.26)
где а есть угол, определяющий положение планеты в момент измерения,
а Т — время движения, определяемое из вы¬
ражения
Т =	Ux Г ^ i-=^L + si_niYrrfL) 1 -2 *)
V sin у J I rV* sin2 у	sin	у	J
0
(24.27)
которое может оыть проинтегрировано в замк¬
нутой форме. Для данной системы измеренных
значений (F, у, г, ф) из уравнения (24.26)
определяем величину ошибки попадания снаря¬
да на планету:
7 = Q [Э, (F, у, г) —соГ (F, у, г) — о + ф]. (24.28)
Это предсказание, очевидно, является неточ¬
ным вследствие ошибок определения положе¬
ния и скорости снаряда. Чтобы вычислить,
насколько импульс скорости, данный в точке
(г, ф), уменьшит величину промаха, обратимся к рис. 24.17. Так как
направление на Солнце можно легко установить оптическими методами,
то положение всех векторов удобно определять по отношению к устанав¬
ливаемому направлению на Солнце. Те же уравнения (24.25) и (24.27)
могут быть использованы для предсказания эффекта корректирующего
импульса, если заменить F и у соответствующими значениями для
откорректированного вектора скорости (£/, ф):
V sin y + AV sin т
Рис. 24.17. Расположение век¬
торов корректирующего им¬
пульса скорости и скорости
снаряда на траектории.
tgi|) = ■
(24.29)
(24.30)
V cos у 4- AV cos т ’
и2 = V2 + AF2 + 2ДУ • V cos (у - т).
Чтобы уменьшить рассматриваемый промах
Z' = q [0 (U, ф, ;*)_соГ(С/, ф, г) — а4- ф],	(24.31)
нужно исследовать различные комбинации AF и т, применяя оптималь¬
ную стратегию при использовании имеющегося в распоряжении импульса.
следует из выражения начальных значении радиальной и трансверсальнои состав¬
ляющих вектора скорости
Ур = (е)о = У cos Y> Fe = r0o = F sin у.
Через GQ обозначено произведение гравитационной постоянной на массу Солнца.
(Прим. ред.)
*) Это выражение получается из теоремы площадей
q20 — ry sin у
с использованием формулы (24.25). (Прим. ред.)

712	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
Трансцендентные уравнения и соотношения (24.25)—(24.31) очень не¬
удобны для эффективных численных расчетов. Задача вычисления может
быть в значительной степени упрощена, если эффекты воздействия кор¬
ректирующих импульсов рассматривать в системе координат, перемещаю¬
щейся вместе со снарядом*). Учитывая, что относительные перемещения
в этой системе координат малы, мы можем составить первое, а возможно,
и второе приближения, которые позволяют установить связь между про¬
махом I и значениями импульса (AF, т). Так как величина импульса
AF, без сомнения, мала по сравнению с орбитальной скоростью F, можно
предполагать, что такой процесс удастся. Однако даже с такими упро¬
щениями необходимо все же проводить в автономной системе большое
количество вычислений. Если применяется слежение с Земли за положе¬
нием снаряда, то кажется целесообразным выполнять эти вычисления
на Земле, где имеются в достаточном количестве необходимое оборудова¬
ние и мощность. Управляющие команды для системы управления могут
быть тогда закодированы, переданы на снаряд и там преобразованы.
Таким образом, в ранних системах можно очень удачно разрешить
противоречие между величиной переносимого веса и потреблением энергии.
24.3.3.	Управление корректирующим импульсом. Величину коррек¬
тирующего импульса можно наиболее эффективно регулировать на сна¬
ряде применением контура обычного интегрирующего акселерометра,
показанного на рис. 24.11. Положение снаряда можно легко определить
измерением углов между направлением на светило и осыо тела снаряда;
тогда система управления положением снаряда со стандартной обратной
связью, показанная на рис. 24.10, выполнит все остальное.
§ 24.4. Конечное притяжение планетой
Задача перехвата движущейся цели значительно упрощается, когда
цель оказывает большое гравитационное притяжение на снаряд [3]. Это
притяжение очень важно в полетах, задачей которых является попа¬
дание на соседние планеты, а также для возвращения на Землю. Хотя
U
\
W
Цель
ТУ
а)
Ииерциальиая
система ессрchtuam
Движущаяся
система координат
Рис. 24.18. Геометрические соотношения, характеризующие конечное
притяжение.
и цель, и снаряд движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца,
мы рассмотрим только их движения в окрестности точки попадания, когда
притяжение планеты играет более значительную роль по сравнению
с притяжением Солнца. Геометрия такого столкновения показана на
рис. 24.18, а.
*) См. в § 24.5 пример такого преобразования.

§ 24.4]
КОНЕЧНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ ПЛАНЕТОЙ
713
Эту задачу удобно рассматривать в подвижной системе координат, ко¬
торая перемещается вместе с целью, как показано на рис. 24.18, б. При
отсутствии конечного притяжения снаряд приближался бы к цели с посто¬
янной относительной скоростью
VT — U — W по прямолиней¬
ной траектории. Эта траектория
пройдет мимо цели на расстоя¬
нии Z, которое называется «па¬
раметром попадания». Грави¬
тационное притяжение цели
отклонит снаряд в его относи¬
тельном движении около цели,
как показано на рис. 24.19. Ра¬
диальное расстояние между снарядом и целью в плоскости
является функцией угла ф, определяемой уравнением*)
I GM
Рис. 24.19 Геометрия отклонения снаряда под
действием гравитационного притяжения планеты
назначения.
полета
г (ф) ivг
(1 — cos ф) + sin ф,
(24.32)
где VT есть скорость движения снаряда по отношению к подвижной
цели, G — гравитационная постоянная, М — масса планеты.
Динамический параметр
ъ-1И
GM
(24.33)
называется «коэффициентом рассеяния энергии», он равен удвоенному
отношению кинетической энергии относительного движения к потенциаль¬
ной энергии в момент «попадания».
Го/1
10
0,8
0,6
0,4
0,2
Г0 _ Л
1 1+(1+Л2)^
/
(
О 12	3	4	5	6
Коэффициент рассеяния энергии, Л=1У7%1/0М
Рис. 24.20. Зависимость отношения расстоя¬
ния промаха г0 к параметру попадания I от
коэффициента рассеяния энергии Я.
Следствием конечного притяжения
планеты является то, что наимень¬
шее' расстояние между снарядом и
целью г0 (на рис. 24.19) меньше,
чем номинальный параметр попа¬
дания. Мы можем, продифференци¬
ровав по ф уравнение (24.32), найти
минимальное расстояние приближе¬
ния к цели:
'о
I
Ч-f (1+Х2)1/з ’
(24.34)
На рис. 24.20 представлен график
зависимости отношения rQ/Z от коэф¬
фициента рассеяния энергии X; г0 уменьшается вместе с X, так что рас¬
стояние наибольшего приближения к планете может быть уменьшено
тремя путями: а) уменьшением относительной скорости Vr столкновения,
б) уменьшением параметра попадания I и в) выбором для попадания тяже¬
лой планеты (М).
Влияние массы планеты назначения на повышение точности попа¬
дания иллюстрируется сравнением баллистических полетов на Марс
и Венеру. Траектории перехода минимальной энергии (Гомана) для
*) Это уравнение можно получить из (24.25) в предположении, что в началь¬
ный момент снаряд, находившийся на бесконечном удалении от планеты, двигался
по отстоящей от нее на расстоянии I прямой. Тогда в указанной формуле г—> оо,
у—>71, но csiny-H>1, и, учитывая показанные на рис. 24.19 изменения обозначе¬
нии, приходим к выражению (24.32). (Прим. ред.)
46 Космическая техника

714	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
каждой планеты приблизительно одинаковы. Это означает, что отно¬
сительные скорости приближения Vr = 2,65 км!сек и баллистические
ошибки (следовательно, и I) для этих полетов одинаковы. Примем произ¬
вольно номинальный промах I = 20 ООО км. Значение величины GM
может быть взято из табл. 24.1. Расстояние наибольшего приближения
Таблица 24.1
Гравитационные характеристики некоторых тел
Планеты
Гравитационный
параметр GM.
см^/сек^
Радиус, км
Скорость ос¬
вобождения,
км/сск
Солнце
1,325-1026
696000
618
Меркурий . . .
2,166-1019
2500
4,2
Венера
3,243-1020
6200
10,2
Луна
4,898-1018
1738
2,4
Земля
3,986-1020
6378
11,2
Марс
4,305-1019
3310
5,1
к планете дано в табл. 24.2 для обеих планет и может быть сравнено с ука¬
занными в ней радиусами планет. Конечное притяжение Марса уменьшает
промах до 14 800 км. Это значительно больше, чем радиус Марса, и поэтому
Таблица 24.2
Расстояния наибольшего приближения
к планетам при баллистических полетах
с минимальной энергией на Марс и Веиеру
для параметра попадания / = 20 000 км
Планета
Ошибка про¬
маха, км
1
Радиус пла¬
неты, км
Марс
Венера
14800
4090
3310
6200
снаряд в своем движении только отклонится планетой. Венера приоли-
зительно в 7,5 раза тяжелее Марса, и ее гравитационное притяжение
уменьшает расстояние промаха приблизительно до 4000 км. Это меньше,
чем радиус Венеры, и при полете на Венеру конечное притяжение пре¬
вращает номинальный промах I = 20 000 км в удачное попадание на
планету.
Если конечное притяжение цели недостаточно велико для того, чтобы
вызвать попадание в планету (г0 > а), траектория снаряда только искрив¬
ляется, как показано на рис. 24.19. Это искривление траектории изме¬
ряется углом рассеивания ф между прямолинейными (асимптотическими)
траекториями прибытия и удаления снаряда. Угол рассеивания ф может
быть вычислен из уравнения (24.32):
ф = 2 arcctg X = 2 arcctg	•	(24.35)
угол рассеивания велик для малого X] он представляет хорошую меру
конечного притяжения.

§ 24.4]
КОНЕЧНО]': ПРИТЯЖЕНИЕ ПЛАН'ЕТОЙ
715
Эффект конечного притяжения планетой можно увеличить приложе¬
нием к снаряду импульса скорости, когда он приближается к планете
назначения. Величина и направление этого импульса, а также положе¬
ние, в котором он прикладывается, должны быть соответствующим обра¬
зом выбраны на основе анализа. Направление на планету назначения
может быть установлено посредством оптического визирования, так как
планеты будут казаться очень яркими на межпланетном фоне и отноше¬
ние оптического сигнала к помехе будет увеличиваться при приближении
снаряда к планете. Направление на планету назначения является удоб¬
ным опорным направлением, относительно которого можно ориентиро¬
вать снаряд. Корректирующий
импульс может быть направлен
вдоль линии визирования плане¬
ты, причем нет необходимости в
индикации положения (угла ры¬
скания) снаряда относительно ра¬
диуса-вектора. По этой причине
мы будем рассматривать только
случай приложения импульса
вдоль линии визирования плане¬
ты. Мы не предполагаем, что этот
вариант является примером опти¬
мального управления.
Соответствующие геометричес¬
кие соотношения для анализа
влияния импульса скорости, приложенного при ф = ф0, показаны на
рис. 24.21. Согласно нашим предположениям импульс направляется
либо по направлению к планете, либо от нее. Импульс скорости, напра¬
вленный	от	планеты, стремится уменьшить мгновенную	относительную
скорость	снаряда,	но повышает соответствующий параметр	попадания.
При приложении импульса по направлению к планете имеет место обрат¬
ная зависимость.
Движение, предшествующее торможению в момент ф = ф0, описы¬
вается уравнением (24.32). Составляющие вектора скорости на этой перво¬
начальной орбите сближения могут быть представлены как функции ф0
из условий сохранения энергии и момента количества движения*):
V sin а - Vr ( 1~c°S(Po_ _|_ Sin фо ) ,	(24.36)
V cosa= —Уг (cos<p'„ + ~^") •	(24.37)
Здесь К по-прежнему определяется уравнением (24.33) и зависит только
от начальных условий для орбиты приближения (Fr, I). После приложе¬
ния импульса ДП, направленного вдоль радиуса-вектора, общая ско¬
рость определяется из соотношения
С/2 = У? + 2	+ AF2 + 2VrAV (cos Фо + Ml) ,	(24.38)
где знак минус соответствует действию импульса в направлении от пла¬
неты, а знак плюс — увеличению скорости по направлению к планете.
*) Постоянная площадей г2ф в рассматриваемом движении равна IVT; поэтому
1 гг т/	’ 1уг
\ sma = r(p =— Vr, V cos a = r = -—^- — , откуда получаем приводимые в тексте
формулы. {Прим. ред.)
46*
планетой.

716
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕЖУТОЧНОМ И КОНЕЧНОМ УЧАСТКАХ
[ГЛ. 24
Новый момент количества движения равен моменту количества движения
для орбиты приближения, так как импульс скорости не имеет составляю¬
щей, перпендикулярной к радиусу-вектору. Поэтому
rU sin у — IVг = rV sin а,
или
U sin у = V sin а =	.	(24.39)
1	г (Фо)	'
Измененное расстояние наибольшего приближения к планете может
быть вычислено из уравнения эллиптического движения, соответствующего
новым начальным условиям:
'	(“•*•+8-^)J г 124 40)
Это уравнение переходит в уравнение (24.34), когда импульс AF равен
нулю. Важной особенностью уравнения (24.40) является то, что в него
входят только параметры (X, Vr) орбиты приближения, координаты
снаряда в момент приложения импульса ф0 и величина AF. Для задан¬
ных условий приближения X наиболее желательно иметь множитель
при X2 в знаменателе уравнения (24.40) настолько большим, насколько
это возможно. Это означает, что при торможении в первом квадранте
(фо < 90°) приращение скорости AF должно быть приложено в напра¬
влении к планете. Такой результат является немного неожиданным, так
как приводит к увеличению относительной скорости снаряда. Однако
уравнение (24.40) утверждает то, что коррекция за счет увеличения отно¬
сительной скорости более важна, чем за счет уменьшения центробежной
силы по сравнению с силой гравитационного притяжения*). Поэтому
при рассмотрении простой плоской задачи управления положением сна¬
ряда мы будем использовать знак плюс в уравнении (24.40) и понимать
это так, что снаряд ускоряется в районе планеты назначения ракетным
двигателем, когда корректирующий импульс направлен по линии визи¬
рования планеты.
Оптимальное положение, в котором прикладывается корректирую¬
щий импульс AF, определяется в уравнении (24.40) членами, завися¬
щими от ф0. Для уменьшения г0 сделаем максимальной комбинацию
членов, зависящих от ф0.
Это требует, чтобы**)
tg<Po = x-	(24.41)
Дистанция промаха, оптимизированная таким приложением корректи¬
рующего импульса, определяется соотношением
 * ■	г'
*) Здесь автор, по-видимому, имеет в виду, что
* V2 GM
I * /2
определяет отношение этих сил. (Прим. ред.)
**) Заметим, что ф0 = ф/2, где ф есть угол рассеивания в уравнении (24.35).

§ 24.5]
ВСТРЕЧА СО СПУТНИКОМ
717
Последующее улучшение результата зависит от возможности создания
максимального по величине импульса AF. Это определяется величиной
ракеты, которая может быть доставлена к планете назначения, и огра¬
ничивается полезной нагрузкой ракеты.
§ 24.5. Встреча со спутником
Во всех предыдущих задачах при выведении снаряда на соответ¬
ствующую траекторию или для ее коррекции использовался один импульс
скорости. Этот метод пригоден для траекторий перехвата или траекторий
«жесткого» попадания на планету. Однако для выведения одного снаряда
на орбиту другого снаряда нужно применять более сложные методы
управления. Эту проблему лучше всего сформулировать как попытку
совмещения положения снаряда и его вектора скорости с положением
и скоростью движущегося объекта. Незначительное конечное притяже¬
ние объекта, находящегося на орбите, не учитывается*).
Рассмотрим этот вопрос иа примере конкретной задачи посещения
и заправки горючим спутников, находящихся на орбите. Чтобы догнать
спутник, движущийся по орбите, необходимо два импульса скорости,
как показано на рис. 24.22. Первый импульс скорости выводит снаряд
на эллиптическую орбиту, касательную к круговой орбите спутника в тот
момент времени, когда спутник проходит точку апогея траектории сна¬
ряда. Однако в данном случае снаряд не выйдет на нужную орбиту,
а спустится по эллиптической траектории, пройдя мимо точки встречи.
Чтобы стабилизировать снаряд на круговой орбите с требуемой на ней
орбитальной скоростью, необходимо приложить второй корректирую¬
щий импульс скорости в апогее переходного эллипса.
Вполне вероятно, что плоскости орбит спутника и обслуживающего
снаряда не будут совпадать, как показано на рис. 24.23, а. Задача кор¬
рекции плоскости орбиты была изучена Дж. Ирвингом, который показал,
что наиболее экономично реориентировать вектор скорости снаряда
в апогее переходного эллипса, как показано на рис. 24.23, б. В тот момент,
когда скорость снаряда является наименьшей, потребуется минимальный
импульс AF2, чтобы одновременно уничтожить нормальную составляю¬
щую VА и получить скорость Vs в желаемой плоскости движения.
*) Проблема «мягкой» посадки на планету подобна этой задаче, хотя в атом
случае нужно учитывать конечное притяжение планетой.

718	УПРАВЛЕНИЕ	НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
Необходимый импульс связан с углом £ между плоскостями траекторий
спутника и снаряда и скоростью в апогее VА соотношением
д^2 = (П + VI - 2VAVe cos £)V2.	(24.42)
Минимальный импульс AF2 ПРП малых углах £ приблизительно равен
Vs — VA; при такой коррекции не предвидится значительных затрат
топлива.
Снаряд и спутник все же не встретятся после действия второго кор¬
ректирующего импульса вследствие ошибок системы управления и не-
Траектория
спутиика
Вид сверлу
Плоскость
траектории
подъема
Плоскость
требуемой
траектории
б)
Вид сверлу
Перспективиос ивойрамеиие
Рис. 24.23. Пространственная коррекция плоскости орбиты.
точности момента выключения двигателя, а также вследствие ошибок
в наземном слежении за положением спутника. Тогда необходима после¬
довательность верньерных коррекций.
Этот процесс лучше всего рассматривать в прямоугольной системе
координат х, у, z, которая движется вместе со спутником (рис. 24.24).
После действия второго импульса снаряд оказывается смещенным отно¬
сительно точки встречи в движущейся координатной системе xyz, т. е.
он движется относительно точки встречи с некоторой остаточной ско¬
ростью х0, у§, zq. Последующее движение снаряда в гравитационном поле
планеты определяется линеаризованными уравнениями движения снаряда
под действием центральной силы притяжения в системе координат, дви¬
жущейся вместе со спутником. Если спутник движется с постоянной
угловой скоростью со по орбите радиуса г0, то ошибки начального поло¬
жения и скорости изменяются во времени согласно следующим соотно¬
шениям *):
х (t) = ^ж0—2	—(Зжо+бшуо) Н-2^3у0 + 2 ^ sin coi + 2^-°cos соt,
(24.43)
У (0 = (42/о + 2 ^ — ( Зу0 + 2 ^cos coi -|- sin со*,	(24.44)
z (t) = z0 ■ cos (Df + g- sin со/.	(24.45)
*) Обозначим через г радиус-вектор спутника (с началом в центре притяже¬
ния), через r1 = r-|- Q —радиус-вектор снаряда. Единичные векторы i, j, к системы
осей xyz, начало которой помещено в центре инерции спутника, направлены но ка-

§ 24.5]
ВСТРЕЧА СО СПУТНИКОМ
719
Исходная
точна
(Х0,Уо>2о)
Снаряд
Предположено, что возмущающие силы действуют одинаково иа сна¬
ряд и спутник, и поэтому при рассмотрении относительного движения их
влиянием пренебрегали.
Движение, нормальное к плоскости ху [см. уравнение (24.45)], харак¬
теризуется гармоническими колебаниями относительно плоскости ху
с периодом Т = 2я/со, равным
периоду обращения спутника.
Движение в плоскости ху состоит
из перемещения вдоль оси х и
движения по смещающемуся эл¬
липсу, большая ось которого х
вдвое больше малой оси у для
всех начальных условий. Снаряд
совершает полный оборот по этому
эллипсу за период Т обращения
спутника.
Составляющая, характеризу¬
ющая перемещение (дрейф) эллип¬
са вдоль оси х, является особо
важной в задачах о встрече спут¬
ников и должна быть уничтожена,
насколько это возможно. Это до¬
стигается приложением серии вер¬
тикальных импульсов скорости,
по мере того, как снаряд пересе¬
кает ось х в своем движении по
эллиптической спирали. Движе¬
ние, последующее за этими импуль¬
сами, описывается общими урав¬
нениями движения (24.43) и (24.44) с начальными условиями, опреде¬
ляемыми положением и вектором скорости снаряда после каждой очеред¬
ной коррекции. Член дрейфа существенно уменьшится, если подо¬
брать скорость х0 вдоль оси х так, чтобы скомпенсировать ошибку по
Рис. 24.24. Прямоугольная система координат,
движущаяся вместе со спутником.
сательной к его круговой орбите, по ее радиусу и перпендикуляру к ее плоскости;
эта система осей вращается с угловой скоростью (0=—А:со, где со =
причем М—масса в центре притяжения, G — постоянная тяготения. Уравнения
движения спутника и снаряда соответственно будут
MG
MG
w0 — г= — (02г, гс<Н-в> X (W X e)-f 2о> X Q+Q= ~г г1 = —	(г + е)-
Г'	Г	7	1
Правая часть второго уравнения представляет абсолютное ускорение снаряда.
Итак,
е+2охд+ох((охе) = -(ог [	0г^‘Ле]	'
Замечая, что с точностью до первых степеней координат х, у, z
5-(н-£+£Р~‘-Ч. (S-O'—w.
приходим к уравнениям движения
х-\-2(йу = 0, у — Зсо2?у — 2соа; = 0,	s —co2z = О,
интегрирование которых приводит к приведенным в тексте выражениям. (Прим. ред )

720	УПРАВЛЕНИЕ1НА	ПРОМЕЖУТОЧНОМ	И	КОНЕЧНОМ	УЧАСТКАХ	[ГЛ.	24
высоте у о, т.е.
х0= — 2соу0.	(24.46)
Метод Ирвинга последовательной коррекции движения снаряда
показан на рис. 24.24. Когда снаряд первый раз пересекает ось х, при¬
кладывается тормозящий импульс AF3, который уменьшает энергию
снаряда. Последующее движение осуществляется по меньшему эллипсу
с отношением осей два к одному. Надлежащим выбором ДУ3 можно сде¬
лать так, чтобы точно пройти через начало координат. Четвертый импульс
требуется для того, чтобы затормозить снаряд как раз в момент пере¬
сечения снарядом орбиты спутника.
Относительно просто указать приборы системы управления снаряда
на конечном этапе управления полетом, так как для установления поло¬
жения и скорости снаряда относительно спутника может быть использо¬
вана техника слежения и ближнего радиолокационного обзора.
§ 24.6. Выводы
Настоящее введение'в проблему управления на промежуточном и ко¬
нечном участках траектории полета снаряда рассматривалось на примере
четырех специфических задач. Всякий раз оказывалось, что необходим
тщательный анализ конкретных условий задачи, так как в каждой из них
возникали свои неожиданные трудности и благоприятные возможности.
Мы видели, что рассматриваемые системы управления не легко создать,
так как корректирование баллистических траекторий часто требует
решения совершенно новых технических вопросов и проблем приборно-
измерительного оборудования. Должны быть учтены также противоре¬
чивые требования при проектировании силовой установки и систем управ¬
ления, предназначенных для осуществления промежуточных коррекций,
и предложены удовлетворительные количественные решения.
Условия, в которых осуществляется управление на промежуточном
участке траектории, допускают новые типы устройств индикации и упра¬
вления. В условиях свободного полета до коррекции, необходимой для
обеспечения данных о положении снаряда, можно применять высоко¬
качественные свободные гироскопы. Малые значения тяги при этой кор¬
рекции дают возможность применить приборы управления с малым дина¬
мическим диапазоном и высокой точностью. С точки зрения специального
приложения к вопросам управления на промежуточном участке траек¬
тории должны быть исследованы радиометоды, а также оптические и инер-
циальные методы определения положения и скорости снаряда. Стано¬
вятся очень важными проблемы вычисления и передачи информации об
управлении. Область задач управления полетом снаряда только что
начала развиваться, и пройдет много лет, прежде чем мы сможем доста¬
точно глубоко изучить эти проблемы и благоприятные возможности их
реализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stuhlinger Е., Control and Power Supply of Instrumented Satellites, Jet
Propulsion 26, 364 (1956).
2. Atkinson R. d’E., Some Problems of Interplanetary Navigation, J. Inst. Navi¬
gation 3 (No. 4), 365—377 (1950).
3. Porter J.G., Difficulties of Space Navigation, Chapter 10 of Space Research and
Exploration, edited by D. R. Bates and Patrick Moore, London, Eyre & Spottiswoode,
стр. 151, 1957.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абляция тепловой защиты 361
«Авангард» («Vanguard») 85
Адиабата ударная Гюгонио 431
Акселерометр 657
— маятниковый гироскопический 660
— — с обратной связью 660
Аномалии силы тяжести 75
Аномалия истинная 72
— средняя 72
— эксцентрическая 72
Антенна 613, 624
— всенаправленная 623
— наземная 625
Аппаратура измерительная при стати¬
ческих испытаниях реактора 538
Аргумент перигелия 159
— перигея 72
Асимптоты гиперболы 185
Астродинамика 65
Астронавигация 706
«Атлас» («Atlas») 28
Атмосфера Венеры 241, 346, 380
— Марса 239, 346, 380
Афелий орбиты 159
Баки топливные 451
— — высокого давления 451
— — низкого давления 451
— — под давлением 565, 571
— — сферические 567
— — цилиндрические 563, 567
Баланс весовой летательного аппарата
586
— — топливного бака с жидким кисло¬
родом 586
Баллистика внутренняя ракет на твердом
топливе 484
Батареи атомные 610
Безопасность радиационная 537, 539, 543
Блок телеметрический 630, 631
Блокинг-эффект 349
Вес двигателя удельный 531
— молекулярный 406
— снаряда полный 585
— — ракеты 21
Ветер, влияние на снаряд 596
Вибрации космических аппаратов 573
Возмущения 73
— в нулевом приближении 78
— второго порядка 78
— первого порядка 78
Возмущения солнечные 125
Волна ударная в сопле 429
Волны расширения в выходном сечении
сопла 433
Воспламенение 490
Воспламенитель 491
Время в общей теории относительности
335
— выгорания топлива 24, 25
— выжидания 224
— действия ракетного двигателя твер¬
дого топлива 496
— жизни спутника 85
— запуска спутника 107
— полета, изменение вследствие оши¬
бок 207
— — к Луне 134
— сглаживания 678, 684
— существования спутника 103
Встреча на орбите 717
Вход в атмосферу 574 (см. также Спуск
в атмосфере)
— — — при гиперзвуковых скоростях
341'
Выведение спутника на орбиту 682, 691
— — — —, радиоуправление 645
Выпуклость экваториальная 68
Высота конца активного участка 21, 28
— спутника над поверхностью 120
Высотометр 647, 701
Газогенератор 451
Генератор энергии 610
— — термоядерный 560
— — ядерный 531
Гипербола 185, 246
Гироскоп 648 и д.
— интегрирующий 649, 655
— недемпфированный 649, 655
— — интегрирующий 653
— с двумя степенями свободы 652
— с тремя степенями свободы 650
— скоростной 649, 653, 654
Головка двигателя распылительная 457
Горение эрозионное 487
Горловина сопла 410
Горючее ядеряое газообразное 527
— — жидкое 526
Градиент гравитации 139, 700
Груз полезный корабля с малой тягой

722
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Давление в баках 590
— солнечного излучения 125, 164
Дальность полета баллистической ракеты
22, 23, 42
— порогового приема 607, 611
Дата старта к Венере 215
— — к Марсу 215
Двигатель ионный 277
— магнитогидродинамический 546 и д.
— на шарнирном подвесе 664
— химический 399 и д.
— —	жидкостный 439 и	д.
— —	—	неохлаждаемый	454
— — — охлаждаемый 454
— — — цилиндрический 420, 424
— — твердотопливный 473,	501,	572
— электрический 277, 531, 560
— электростатический 231, 277
— ядерный 287, 504
— —	на	радиоактивных	изотопах 533
— —	с	использованием	реакции	син¬
теза 532
— — теплообменный 268, 274, 407
Двшкение — см. также Полет
— боковое 592
— жидкости со свободной поверхностью
в топливном баке 594, 599
— перигея 77
— продольное 592
— ракеты-носителя в вертикальной
плоскости 90
— — вертикальное 89
— среднее 72
Децибел 623
Диаграмма компенсируемых изменений 25
Диметилгидразин несимметричный 466
Дифракция 640
Длина характеристическая 427
Долгота восходящего узла 71, 159, 175
— географическая 118
— геоцентрическая 120
— перигелия 159
Единица астрономическая 156, 707
Жидкость со свободной поверхностью
в топливном баке 594, 599
Задача двух тел 68
— трех тел ограниченная 127
Закон Ампера 548
— всемирного тяготения 67
— Ома 549
— площадей 187
— сохранения в системе Земля — Луна
132
— — энтальпии и кинетической энергии
404
Законы Кеплера 66
Замедление максимальное при спуске
364, 369, 372
Замедлитель нейтронов 519
Запаздывание сигнала 618, 623,	624
Запуск, подготовка 497
Заряд твердого топлива, форма 489
Захват 185, 188, 191, 251
Захват Землей при малой тяге 313
— Марсом 222,	228
— — при малой тяге 313
Защита радиационная биологическая
537, 539, 543
— тепловая комбинированным погло¬
щением 378
Змеевик охлаждающий 454
Зона реактора активная 518, 519
Изгиб оси летательного аппарата 598
Изменение долготы узла орбиты 175
— наклона орбиты 175
Импульс корректирующий 712 (см.
также Коррекция)
— ортогональный 173
— удельный 19, 231, 426, 512
— — переменный 295
Интеграл энергии 69
— Якоби 128
Интерферометр 641, 708
Информация 608
Ионизация в электрических двигателях
281
Ионосфера 641, 642
Использование топлива вспомогатель¬
ное 462
Испытания двигателя 469
— ядерных ракет летные 540
— — — статические 535
Исследования научные на спутниках 337
Источники энергии 610
Кавитация в центробежных насосах 449
Калибровка статическая системы дви¬
гателя 460
Камера сгорания 452
— — цилиндрическая 421
Качество конструкции ракеты 497
Кинетика реактора 524
Кислород — керосин, топливо 464
Кислота азотная 464
Клин ветряной 596
Кометы искусственные 209
Конструкция снаряда для входа в ат¬
мосферу 381
Контейнеры для жидкого топлива — см.
Баки топливные
— для твердого топлива 572
Конус носовой затупленный 361
Концентрация напряжений 575
Корабли грузовые с малой тягой 238
Коррекция траектории 695,	705,	712
Коэффициент аэродинамического сопро¬
тивления 16
— направленности 603
— рассеяния энергии 713
— расхода 414
— состава топливной смеси 459, 465,
468
— тяги 415, 427
Кривые нулевой относительной скорости
129
Лаваля сопло 408
Линия весеннего равноденствия 158

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
723
Линия узлов 71
Лупа, эффективный радиус 82, 84
Магнито динамик а 546 и д.
Мазер 632
Маневр захвата 185
— ухода 184
— — двухимпульсиый 188, 189
— — одиоимпульсный 187, 189, 190
Масса Земли 163
— Солнца 163
Маятник Шулера 701
Место запуска спутника 107
Метод вариации параметров 79
— Кауэлла 78
— Энке 78
Множитель нагрузки 426
Моделирование ракетного двигателя
твердого топлива 494, 496
Момент гироскопический 653
— прохождения через перигелий 159
Мощность удельная 289
Наблюдаемость спутника 109
Наблюдение космического объекта 80
Навигация астрономическая 706
— гиперболическая Лоран 710
— допплеровская — см. Эффект Допп¬
лера
— инерциальная 647
Нагнетание баков 462
Нагрев плазмы 554
— — ударный 555
— при спуске 358, 361, 370
Нагрузка полезная относительная 21, 32
Надежность двигателя жидкостного 472
— — твердотопливного 499
Наклон плоскости орбиты 71, 138, 159,
175, 215
Напор насоса 450
— полный нагнетательный иа всасыва¬
нии 450, 468
Насосы 449
Нейтрализация заряда 279
Несферичность гравитационного ноля
Земли 68, 75, 125, 667
Неустойчивость- горения в твердотоплив¬
ных двигателях 492
«Ника Геркулес» («Nike Hercules») 479
Нутация 651
Область залуядая 161
— солнечной системы внешняя 149
— — — внутренняя 149
Облет Луны 135, 140
— Марса 320
— — с малой тягой 312
Опасность радиационная в ядерных ра¬
кетах 535
Операция — см. Маневр
Оптимизация 94
— двигателя 466
— конструкции 60 и д.
— многоступенчатых ракет 34, 94
— процесса сглаживания 687
— траектории баллистического снаряда
39 и д., 49 и д.
Оптимизация траектории вывода на
орбиту 43, 96
— — полета с малой тягой 289, 292
Орбита — см. также Траектория
— гиперболическая 82, 185, 246
— Гомана 162, 165, 220, 714
— кеплерова 161
— невозмущенная (опорная) 74
— обратная 158
— оскулирующая 77
— параболическая 71
— переходная 161
— — межпланетная 220
— приближенная 65
— прямая 133, 158
— спутника Земли 75
— — — стационарная 76
— точная 65
— эллиптическая 73
Ориентация 703
— орбиты в плоскости 160
— плоскости орбиты в пространстве
160
— при полете к Луне 138
Ориентирование осей платформы 664
Ослабление радиосигналов па межпла¬
нетных расстояниях 623
Осреднение функции 683
Остаток топливный 496
Ось гиперболы главная 186
— эллипса большая 159
Отношение давлений критическое 409,
411
— импульса к весу ракеты 426
— .— к полному объему 426
— удельных теплоемкостей 405
Отражение нейтронов 519
Отсечка тяги твердотопливного двига¬
теля 493
Охлаждение двигателя 454
Ошибки 203, 205, 637, 695, 704
— в поле двух притягивающих центров
203, 259
— в системах радиоуправления 638, 639
— в центральном поле 203, 254
— гелиоцентрические 203
— планетоцептричоские 203
— при полете к Венере 260
— — — к Луне 137
		к	Марсу	258,	260
Парадоксы близнецов 325
Параметр гравитационный 714
— — Земли 158
— — планеты 158
— попадания 713
— фокальный 72, 160, 186
Параметры заторможенного газа 421
Передача телеметрическая со снарядов,
снабженных ядерными силовыми
установками 541
Перелет — см. также Полет
— быстрый 168
— гомановский 162, 165, 220, 714
— между орбитами 249
— — — круговыми 165, 168, 24 4

724
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Перелет между орбитами, лежащими в
разных плоскостях 179
— — — эллиптическими иесоосяыми
172, 173
— — — — соосными 169, 170
— — — эллиптической и гиперболи¬
ческой 187
Перекись водорода 464
Перерасширеиие 435
Переход — см. Перелет между орбитами
Перигелий орбиты 159
Период обращения 66
— Шулера 701
Пинч-эффект 553
Планирование 367, 369, 379, 393 .
Платформа стабилизированная 661, 677
Плотность атмосферы 86
— мощности	энергопреобразующих
устройств 515
— сечения потока 423
— спектральная 686
Площадь сечения сопла 409
Поверхность контрольная 401
Погрешности — см. Ошибки
Подготовка к запуску 497
Показатель скорости горения 485
«Поларис» («Polaris») 479
Поле гравитационное земного сфероида
68, 75, 121, 125, 667
— — Солнца 163
Полет — см. таюке Орбита, Перелет,
Т раектория
— во внешнюю область солнечной систе¬
мы 227
— к Венере 190, 200, 210, 220 и д.,
260, 714
— к звездам 614
— к Луне 82, 617, 697, 709
— — —, возмущения 125
— — —, научные цели 143
— к Марсу 190, 208, 210, 219, 220 и д.,
258, 260, 314, 714
— — — облетный с малой тягой 312
— — — с посадкой 239
— к Сатурну 227, 228
— — — с малой тягой 237
— к Солнцу 210
— к Урану 228
— к Юпитеру 202, 227, 228, 231
— — — с малой тягой 237
— межпланетный 145 и д.
— при ограниченной мощности 287
— с малой тягой 231, 320
—	—	—	—	в поле центральной силы	297
—	—	—	—	при отсутствии сил тяготе¬
ния и при постоянной скорости исте¬
чения 267
— — — — при переменной скорости ис¬
течения 286 и д.
—	—	—	—	радиальной 308
—	—	—	—	тангенциальной 303
—	—	—	—	трансверсалыюй 304
— со скоростью, близкой к скорости
света 276
Полоса частот сообщения 621
Полуось эллипса большая 72, 159
Полухорда орбиты фокальная — см.
Параметр орбиты фокальный
Помехи 605
— как случайные процессы 682
— стационарные 686
Поршень магнитный 560
Посадка — см. также Спуск
— безопасная 357
— — на Луну 138, 617
— на планеты 239
— — —, лишенные атмосферы 357.
386, 697
— на спутники планет 241
Постоянная солнечного излучения 163
— тяготения 67, 81, 157
— Якоби 128
Преобразования Лапласа 685
— солнечной энергии в электрическую
610
— Фурье 684
Прецессия 649
— вынужденная 653
— узлов спутника Земли 75
Прием пороговый 607
Приемник корреляционный 608
— фазосинхроиный 612
Притяжение планетой конечное 712 (см.
также Прохождение гиперболическое)
Программа скорости истечения 318
— ускорений оптимальная при полете
с малой тягой в поле тяготения 292
Программирование тяги твердотоплив¬
ного двигателя 496
Продолжительность активного участка
20
Проектирование твердых топлив 576
Производство твердых топлив 480
Пространство залунное 161
— межпланетное (околосолнечное) 160
— околоземное 161
— окололунное 161
— околопланетное 160
Противодавление 411
Протяженность участка свободного по¬
лета 22
Профили межпланетные 220 и д.
Прохождение гиперболическое 185,
195, 712 и д.
— — близ Луны 135, 140, 200
— — близ Марса 320
— — близ Юпитера 231
Прочность космических аппаратов 573
Пульсация давления в камере 455
Пушка магнитная 550
Радиация космическая, влияние на проч¬
ность 574
Радиовысотометр 647, 701
Радиоинтерферометр 641, 708
Радиолокатор	допплеровский	—	см.
Эффект Допплера
— сопровождения цели импульсный 677
Радионавигация 635
Радиотелескоп 625, 627
Радиоуправление 617, 634, 645
Радиус эффективный Луны 82, 84

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
725
Разброс начальных условий при полете
к Луне 136
Разгон Луной 83, 94
Размеры солнечной системы 707
Ракета 399
— зондирующая 209
— многоступенчатая 32, 499, 510
— одноступенчатая 22, 30
— с разделенными рабочим телом и
источником энергии 268
— химическая 399
Распад радиоактивный 533
Распределение массы ракеты по ступеням
33
Расстояние от Земли до Солнца среднее
156
— перигея 72
— среднее 72
Растяжение времени в космическом пу¬
тешествии 325
Расход массы секундный 19, 400, 411, 412
— — удельный 426
Расширение сопла 414
— — оптимальное 468
Реактор термоядерный 532, 558
— ядерный 514
— — на газообразном горючем 527, 528
— — на жидком горючем 526, 527
— — тепловой 407
Реакция струи жидкости 401
— — частиц 400
— термоядерная 532, 552, 557
Регулирование тяги 462
Режим работы сопла 403
— расчетный 403
— температурный спутника 110
Рикошетирование 379
Рубашка охлаждающая 454
Рули газовые 493
Сближение гиперболическое 184
Связка двигателей твердотопливных 495
Связь космическая 603, 616
— при межзвездных полетах 614
Сглаживание помехи 683
— — параболическое 688, 691
— — по двум точкам 678
Секунда солнечная средняя 157
Сервопривод платформы 663
«Сержант» («Sergeant») 479
Сечение сопла критическое 410
— — поперечное 409
Сила Лоренца 549
— подъемная отрицательная 367
— — положительная 367
— реактивная 399, 400
Система двигательная — см. Двигатель
— дуговая магнитогидродипамическая
— зажигания 458
— Земля — Луна 123
— координат географическая 118
— — геоцентрическая 118
— — инерцнальная 116
— — опорная 702
— — свободно падающая 658
Система координат, связанная с Зем¬
лей 117
— навигации — см. Навигация
— ориентации 624, 664
— отсчета опорная в инерциальной на¬
вигации 648
— подачи топлива вытеснительная 443
— — — газобаллонная 443
— — — турбонасосная 445
— телеметрии 541, 622, 624 и д.
— турбонасосная 462, 498
— управления — см. также Навигация
— — для баллистического снаряда 671
— — положением 664
— — радиоииерциальная 676 и д.
— энергетическая вспомогательная 462
— ядерного нагрева 231
Сканирование горизонта 701
Скачок уплотнения в сопле 430, 432, 433
— — в струе вне двигателя 433
Скорость в конце активного участка 21,
23, 27, 30, 31, 32, 34
— горения топлива твердого 483, 485
— — — характеристическая 481
— движения по круговой орбите 157
— звука 407
— Земли средняя 157
— идеальная 294
— истечения оптимальная 271
— — переменная 294, 295
— — характеристическая 413, 427
— — эффективная 427
— конвективного нагрева 360
— критическая 431
— освобождения 714
— теплопередачи 359
— угловая средняя 72
— характеризующая 270, 271, 294
— характеристическая (идеальная) раке¬
ты 294
Слежение 80, 708
Смещение красное гравитационное 338
Снаряд баллистический переменной кон¬
фигурации 384, 390
— планирующий 385, 393
— — полуконический 371
— — с дельтовидным крылом и закруг¬
ленным днищем 383
Снос снаряда ветром 596
Солнце 162 и д.
Сопло 453
— Лаваля 408, 410, 411
— перерасширениое 435
— твердотопливного двигателя 491
Сопротивление аэродинамическое 16,
24, 26, 45
Сосуд магнитный для хранения высоко¬
температурного газа 550
Сплюснутость Земли 68, 75, 125, 667
Спуск в атмосфере 341, 574
— — — баллистический 379
 — планирующий 367, 369, 379, 393
— — —, реактивное торможение 381, 387
— — — рикошетирующий 379
— с орбиты спутника Земли 368, 697
— — — — Луны 699

726
11РЕДМЕТНЫЙ УКАЗА ТЕЛ Ь
Спутник В онеры искусственный 211
— Земли геофизический 85
— — метеорологический 618
— — навигационный 618
— — связной 618
— Луны 139
— Марса искусственный 211, 222, 228
Среда окружающая 580
С,рок жизни спутника 85
Срыв потока в сопле 419, 435
Стабилизация гравитационная 700
Старт к Венере 215
— к Марсу 215
— с околоземной промежуточной орбиты
216
Статика реактора 520
Стенд испытательный 539
Стоимость топлив 496
Столкновение с метеоритом 139
— с поверхностью Луны 136
Сублимация 349
Сутки солнечные средние 157
Сфера действия 160
Схема управления 669
Тела рабочие ядерных двигателей 511
Телеметрия 541, 622, 624 и д.
Температура стенок бака 590
Теория возмущений 65, 68, 73
— информации 607 ид.
— относительности общая 325, 326, 335
— — специальная 326, 329
— улучшения: орбит по данным наблю¬
дений 80
— Хилла 129
Теплоемкость удельная реального газа
405
Теплообмен конвективный 342, 347
— лучистый 350
Теплосодержание газа 404
«Титан» («Titan») 28
Толщина стенок бака 590
Топлива жидкие 463
— однокомпонентные 464
— с большим энергетическим потенциа¬
лом 464
— твердые 473, 479, 480, 482, 572
— —, неустойчивость горения 483
— —, скорость горения 483
— —, сохранность 483
— —, устойчивость горения 491
Торможение аэродинамическое 358 (см.
также Спуск в атмосфере)
— реактивное 357, 381, 386, 387
Точка нулевой силы притяжения между
Землей и Луной 83, 132
— подспутниковая 118
Точки либрации 140, 709
Точность наведения — см. Ошибки
— слежения 80
— управления 637, 681
Траектория вывода спутника на орбиту
88
— Гомана — см. Орбита Гомана
— гравитационного разворота 91
— захвата — см. Захват
Траектория касания 362
— нулевой подъемной силы 91, 672
— полета к...— см. Полет к...
— спуска баллистическая 379
— — планирующая 379
— — рекошетирующая 379
— столкновения 359
— ухода — см. Уход с орбиты
Труба ударная с электромагнитным
приводом 550
Турбина 445
Турбонасос 408, 445, 461
Тяга 18, 399, 400, 469
— количества движения 400
— малая — см. Полет с малой т.чгий
— составляющая динамическая 400
— — статическая 401
Тяговооруженность 20
Угол рассеивания 714
Удлинение бака 565
Улучшение орбит по данным наблюде¬
ний 80
Управление вблизи планеты назначения
712
— выведением спутника иа орбиту 691
— жидкостным двигателем 458
— импульсом скорости 704
— инерциальное 647
— направлением вектора тяги 463
— площадью горения заряда 488
— положением снаряда 703
— потоком магнитоаэродинамическое 551
— при встрече на орбите 717
— радиоинерциалыгое 676 и д.
— термоядерной реакцией 552
—, точность 637, 681
— тягой твердотопливного двигателя
493, 496
Уравнение движения ракеты 16
— Кеплера 73
— неразрывности 549
— радиосвязи основное 619
— ударной адиабаты Гюгонио 431
Уравнения Максвелла 548
Уровень допустимый радиационного об¬
лучения 537
Усиление антенны эффективное 633
Ускорение возмущающее 77
— силы тяги 657
—	—	тяжести на поверхности	Земли	58-
—	—	—	— — Солнца 163
Условия окружающей среды 574, 580
Устойчивость горения в твердотопливных
двигателях 492
Уход гироскопа 653, 656, 668, 702
— с орбиты 184, 188, 251
—	—	—	при полете к Марсу 191
—	—	—	с малой тягой 235,	297	и	д.
Участок активный 39
— пассивный 39
Физика нейтронная реактора 520
Формы внешние 583
— конструктивные 562

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
727
Х-17, ракета 479
Центры либрации 141
Частота нутации 651
— радиопередатчика 611
Число Гартмана 551
— Лыоиса — Семенова 343
— М 408, 423, 550
— Рейнольдса магнитное 550
— Стэнтона 359
Широта географическая 118, 120
— геоцентрическая 117
Шум 612, 619, 632, 683
— белый 686
— внешний 605, 606
— внутренний 605, 606
— галактический 612
— идеального сопротивления 619
— космический 612
Экранирование ядерного реактора 535
Эксцентриситет 72, 159, 187
— линейный 160, 187
Электропроводность воздуха 547
Элемент тепловыделяющий в ядерном
реакторе 514
— топливный 610
— химический 610
Элементы орбиты 159
Эллипс 73
— быстрого перелета 168
— Гомана 162, 165, 220, 714
Эллиптичность планетных орбит 215
Энергия синтеза в силовых установках
532, 558
Энтальпия 404
Эпоха 159
Эрозия метеорная 574
Эффект Допплера 621,636, 640, 643, 691,
710
— —, вызываемый вращением Земли
644

Космическая техника
Под редакцией Г. Сейферта
М., 1964 г., 728 стр. с илл.
Редактор Д. А. Абашева
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Т. С. Страхова
Сдано в набор 12/II 1964 г. Подписано к печати
2/VI 1964 г. Бумага 70x1081/16. Физ. печ. л. 45,5 +
+ 1 вкл. Условн. печ. л. 62,68. Уч.-изд. л. 58,19.
Тираж 5 000 экз. Цена книги 3 р. 11 к. Заказ 71.
Издательство «Наука».
Редакция литературы по механике.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 16
«Главполиграфпрома» Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Москва, Трехпрудный пер., 9.