О. А. БЕРЕЗОВА, Г. Е. ДРУШЛЯК,
Р. В. СОЛОДОВНИКОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Под редакцией доц. П. П. Лавриненко
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования УССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
Киев
Головное издательство
издательского объединения
«Вища школа»
1980

ББК 22.21я73
531
Б48
УДК 531/534 @7)
Березова О. А., Друшляк Г. Е., Солодовников Р. В.
Теоретическая механика. Сборник задач: Учеб. пособие для
втузов. — Киев: Вшца школа. Головное изд-во, 1980.—
400с,—20302. 1703020000.
Пособие составлено в соответствии с программой для
втузов и содержит 1500 задач. Сборник, благодаря много-
многовариантности типовых задач, может быть использован при
составлении индивидуальных заданий, контрольных работ,
экзаменационных билетов, а также при проведении ауди-
аудиторных занятий со студентами стационарной, вечерьей и
заочной форм обучения.
Предназначено для студентов втузов.
Ил. 814. Список лит.: 13 назв.
Перевод с украинского издания («Вища школа», 1975)
Рецензент: доцент, кандидат технических наук А. Ф. Б а-
бен к о
Редакция литературы по математике и физике
Зав. редакцией Е. Л. Корженееич
20302~~°14 124—80 1703020000 /р\ Видавииче об'еднання
М211<04)-80 1Л ou" l'w*wuuw \}J)«Вища школа», 1975
©Перевод на русский язык,
издательское объедине-
объединение «Вища школа», 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ
Это издание (на украинском языке вышло в
1970 и 1975 годах) дополнено новыми задачами
по всем основным разделам теоретической ме-
механики: равновесию пространственной системы
сил, сложному движению точки, плоско-парал-
плоско-параллельному движению тела, общим теоремам дина-
динамики, уравнениям Лагранжа II рода, колеба-
колебаниям механической системы.
В данном издании помещены новые главы:
динамика точки переменной массы, движение
материальной точки в центральном силовом по-
поле, используется Международная система еди-
единиц (СИ).
Задачи §§2 — 5, 12, 18—20, 27, 28, 30, 32,
33, 36—38 и главы XVIII составлены Березо-
Березовой О. А., §§7, 8, 10, 11, 16, 17, 21, 29, 34,
35 и главы XII, XIII, XVII—Друшляком Г. Ем
§§1,6, 9, 13—15, 22—26, 31 и главы XVI —
Солодовниковым Р. В.
Авторы выражают искреннюю благодарность
титульному редактору сборника доценту П. П.
Лавриненко за большую работу, выполненную
им при издании книги на украинском и русском
языках.
Замечания и предложения просим направ-
направлять по адресу: 252054, Киев-54, Гоголевская, 7,
Головное издательство издательского объеди-
объединения «Вища школа», редакция литературы по
математике и физике.

Раздел I. СТАТИКА
Г л а в а I. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 1. Сходящиеся силы
1. Однородная балка АВ весом 21 кН удерживается
в горизонтальном положении невесомым тросом DCE, при-
прикрепленным в точках D и Е к балке и в точке С к потолку.
DE = DC =s СЕ; AD = fi?. Определить натяжение троса.
Ответ: Т = 12,1 кН.
2, Однородный шар радиусом 0,2 м и весом 120 Н, ка-
касающийся в точке В гладкой вертикальной стены (рис. 1),
удерживается в равновесии веревкой ОА длиной 0,8 м.
Определить натяжение веревки и давление шара на стену,
если расстояние от точки В до вертикали OD равно 0,4 м.
Ответ: Т = 150 Н; N = 90 Н.
„W лв
Рис. 1
Рис. 2
3. Фонарь М весом 72 Н (рис. 2) удерживается в равно-
равновесии проволокой АС> отклоненной от вертикали на угол
30°, и горизонтальной проволокой АВ. Определить натяже-
натяжение проволок АВиАС, пренебрегая их весом.
Ответ: Тв = 24 V3 Н;
Тс =
Н.
4. Через блок с неподвижной осью вращения О переки-
перекинута веревка, к концу А которой прикреплен груз весом
18 Н. Свисающий конец В веревки отклонен от вертикали

на угол 60° и закреплен. Пренебрегая весом блска и верев-
веревки, определить давление на ось О блока.
Ответ: N = 18^3 Н.
5. На конце А горизонтальный стержень А В имеет шар-
шарнирное крепление, а в середине С он подпирается наклон-
наклонным стержнем CD с шарнирами на концах. AD = АС и
AD _L АВ. Пренебрегая весом стержней и трением, опре-
определить реакции шарнира А и стержня CD, если к концу
В на веревке подвешен груз М весом 7 кН.
Ответ: RA = 7 V5 кН; Rc = 14 V2 кН.
6. К концу В стержня АВ, отклоненного от горизон-
горизонтальной оси Ах вверх, приложена горизонтальная сила
F = 21 Н, направленная в сторону отрицательных значе-
значений х. В точке С стержень АВ подпирается вертикальным
стержнем CD, конец D которого находится на оси Ах.
АС = СВ = 10 см, CD = 4 см. Пренебрегая весом стерж-
стержней и считая их крепления шарнирными, определить реак-
реакции шарнира А и стержня CD.
Ответ: RA = 27,87 Н; Rc = 18,33 Н.
7. Однородный стержень АВ весом 32 Н, отклоненный
от горизонтальной оси Ах вниз на угол 45°, удерживается
в равновесии шарниром А и веревкой ВС, образующей
с вертикалью угол 45°. Определить реакцию шарнира А
и натяжение веревки ВС.
Ответ: ^ = 8^10 Н; Г = 8>/ Н.
8 Однородный стержень АВ весом 16 Н удерживается
в горизонтальном положении неподвижным шарниром А и
веревкой ВС\ верхний конец С которой размещен на одной
вертикали с Л. АВ = 120 см, АС = 80 см. Определить ре-
реакцию шарнира А и натяжение веревки.
Ответ: RA = T= 14,42 Н.
9, Гру^г-весом 5 Н подвешен к концу В горизонтального
стержня АВ, который удерживается в равновесии шарни-
шарниром А и стержнем CD с шарниром D, находящимся над А
на одной вертикали. АС = С В = 12 см, AD = 5 см. Пре-
Пренебрегая весом стержней, определить реакции шарниров
А и С.
Ответ: RA = 24,52 Н; Rc = 26 Н.

10. Однородный стержень АВ весом 10 Н удерживается
над горизонтальной осью Ах под углом 30° неподвижным
шарниром А и невесомым стержнем ВС, составляющим
с осью Ах угол а =¦ 60°. Определить реакции шарнира А
и стержня ВС, крепления которого на концах шарнирные.
Ответ: RA = 5 Н; RB = 51/ H.
И. В точке О приложены 4 уравновешенные силы: Рх =
= 10 кН, Р2 = 20 кН, Р3» ^4» расположенные в плоскости
хОу и составляющие с осью Ох углы: ах = 30°, а2 = 315°,
а3 = 240°, а4 = 150°. Определить модули сил Р3 и Р4.
Om^m: Р3 = 3,48 кН; Р4 = 24,32 кН.
12. Невесомые стержни Л 5 и CD жестко скреплены под
прямым углом в точке D (рис. 3). AD = BD. Определить
реакции подвижной опоры С и шарнира А, если к концу 5
стержня под углом 60° приложена сила Р = 0,3 кН.
Ответ: RA =» 0,3 кН, Rc = 0,31/*3 кН.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
13. Однородный гладкий цилиндр весом 1,2 кН удержи-
удерживается между вертикальной плоскостью и плоскостью, от-
отклоненной от нее на угол 60° (рис. 4). Определить давления
цилиндра на эти плоскости.
Ответ: Nx « 0,693 кН; /V2 = 1,386 кН.
14. Блок С (рис. 5) удерживается двумя невесомыми
стержнями, шарнирно прикрепленными к его оси и в точ-
точках i4 иВк потолку. аг = а2 = 45°. Через блок перебро-
переброшена невесомая веревка, при помощи которой равномерно
поднимают груз весом 1,6 кН. а^ = 15°. Пренебрегая раз-
размерами и весом блока, определить реакции стержней.
Ответ: RAc = 0,331 кН; RBc = 2,517 кН.

15. Кронштейн ВАС (рис. 6), укрепленный в вертикаль-
вертикальной плоскости шарниром В, упирается концом С в гладкий
выступ. АВ = 12 см, ВС =5 см. Пренебрегая весом крон-
кронштейна, определить реакции связей, если к нему подвешен
груз весом 25 Н.
Ответ: RB = 65 Н, Rc = 60 Н.
16. Вес фермы с нагрузкой Р = 3 кН. Линия действия
силы Р проходит от опоры А на расстоянии 2 м (рис. 7).
А В =* 6 м. Определить реакции шарнирно-подвижной опо-
опоры А и шарнирно-неподвижной опоры В.
Ответ: /?л == 2,31 кН, Rb= 1,53 кН.
12см
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
17. Через неподвижные ничтожно малые блоки Л и В,
расположенные на одной горизонтали, переброшена гиб-
гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подзешены гру-
грузы весом Р1 и Р2 (рис. 8). К подвижному блоку С подвешен
груз весом Р. Пренебрегая трением, определить углы а и J3
при равновесии грузов. Чему равны эти углы, если Рг =
- Р, = Я?
Ответ: sina =
2 .
2PPt
18. Шарик А весом Я, лежащий на гладкой плоскости,
отклоненной от горизонтальной плоскости на угол а, удер-
удерживается в равновесии нитью, составляющей с вертикалью
угол р. Определить натяжение нити и давление шарика на
наклонную плоскость.
Ответ: Т = Р^па
19. Стержень ABC согнут под прямым углом в точке
В и прикреплен шарниром к стержню CD (рис. 9). АВ =?

— ВС, /_ADC = 60°. Пренебрегая весом стержней, оп-
определить реакции шарниров А и D, если вдоль ВС дейст-
действует сила Р = 60 Н.
Ответ: RA = 53,8 Н; RD = 43,9 R
20. Однородная пластинка весом 10 Н, имеющая форму
прямоугольного треугольника ABC с вертикальным кате-
катетом А В = 10 см и катетом АС = 15 см, удерживается в
равновесии неподвижным шарниром А и невесомым гори-
горизонтальным стержнем ВВХ с шарнирами на концах. Опре-
Определить реакции связей.
Ответ: RA = 11,18 Н; /?в = 5 Н.
В.
р в\
Рис. 9
Рис. 10
21. Диагональ BD однородной квадратной пластинки
ABCD весом 18Н вертикальна (D — внизу). Пластинка
удерживается в равновесии цилиндрическим шарниром А
и невесомым стержнем ЕЕЪ параллельным АВ, с шарни-
шарниром Е на стороне AD пластинки и с шарниром Ех на втором
конце стержня EEV А В = 12 см, АЕ = 9 см. Определить
реакции шарнира А и стержня ЕЕХ.
Ответ: RA= 13,42 Н; RE » 16,97 Н.
22. Однородный гладкий цилиндр радиусом 80 см и ве-
весом 7 кН расположен между вертикальной стеной ВС и вы-
выступом А (рис. 10). Определить давление цилиндра на стену
ВС и на выступ А, если расстояние от точки А до горизон-
горизонтальной касательной плоскости СХС h = 10 см.
Ответ: NA=8 кН; ND « 3,87 кН.
23. Однородный диск весом 30 Н жестко прикреплен
вдоль хорды к вертикальному стержню АВ. Пренебрегая
весом стержня, определить его давление на подпятник А и
на подшипник В, если АВ = 54 см, а расстояние от центра
С диска до стержня А В равно 9 см.
Ответ: NA =* 30,4 Н; NB « 5 Н.

24. Однородный стержень О А длиной 1,2 м и весом 36 Н
с неподвижным шарниром О на конце отклонен от горизон-
горизонтальной оси вверх и концом А опирается на гладкую вер-
вертикальную стену, отстоящую от шарнира О на 0,4 м. Опре-
Определить реакции связей.
Ответ: Ro = 36,6 Н; RA = 6,36 Н.
25. Стержневой треугольник Л ВС состоит из горизон-
горизонтального стержня АВ и стержней АС и ВСУ скрепленных
под ним шарниром С и прикрепленных к неподвижным
шарнирам А и В. ZBAC = a, ZABC = р. Определить
усилия в стержнях АС и ВС, если к гарниру С приложена
вертикальная сила Р> направленна* вниз.
Р cos a
26. Однородная гладкая труба весом Р = 10 кН сво-
свободно лежит на двух одинаковых ьевесомых тросах, плос-
плоскости которых параллельны и находятся на равных расстоя-
расстояниях от торцов трубы (рис. 11). Определить натяжения
тросов, если а = 30°.
Ответ: Тг - Т2 =- 5,77 кН.
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
27. Две одинаковые цилиндрические трубы весом 2 кН
каждая (рис. 12), опираются на гладкие наклонные плос-
плоскости, образующие прямой угол. Определить реакции на-
наклонных плоскостей и давления труб друг на друга, если
a --= 30°.
Ответ:
= 2 кН;
кН; Nd = 1 кН.
28. На трехшарнирную арку (рис. 13) действует верти*
кальная сила Р. Пренебрегая весом арки, определить реак-
реакции шарнирных опор А и В.
Ответ: Na =
4
N?
У 2

29. К точке С трехшарнирной арки ABDC (рис. 14)
приложена сила Р, направленная вдоль СВ. Пренебрегая
весом арки, определить реакции шарнирных опор А и В,
если АС = BD = a, CD = 3 а.
ЗР
ЗР
Ответ: RA= .
Рис. t4
Рис. 15
30. Ha стержневую систему с шарнирами Л, В, С дей-
действует горизонтальная сила Р = 4 кН (рис. 15). Пренебре-
Пренебрегая весом стержней, определить реакции опор.
Ответ: RA = 4 ]/ кН; #в = 4 кН.
§ 2. Параллельные силы и пары сил
31. Бетонный столб, состоящий из двух частей (рис. 16),
подвешен на вертикальных тросах ААХ и BBt так, что ось
его горизонтальна. Вес левой части Р± = 2 кН, длина /х=
Рис. 16
Рис. 17
= 1,5 м; вес правой части Р2 = 3 кН, длина /2 = 1,25 м.
Определить, на каком расстоянии х от левого конца столба
надо закрепить трос АА19 чтобы натяжения тросов были
одинаковыми.
Ответ: х = у *2 = 0,4 м.
32. В плоскости симметрии вагонетки весом Q размещена
однородная балка длиной L и весом Р (рис. 17). Определить
10

давление каждого из четырех колес вагонетки на рельсы,
если расстояние между осями вагонетки /х, высота кузова h
и длина /.
Ошет:
_±(Р + Q) + ^(р^=- 1);
j
33. Однородная прямоугольная пластинка A BCD весом
1 Н со сторонами АВ — 3 см и AD = 18 см расположена
в вертикальной плоскости над горизонтальной осью Ах так,
что ребро AD отклонено вверх от оси Ах на угол 15°. Плас-
Пластинка удерживается в равновесии неподвижным шарниром
А и вертикальным стержнем 55Х. Определить реакции свя-
связей.
Ответ: /?л = 11,7 Н; RB = 10,7 Н.
34. Однородная пластинка A BCD имеет форму прямо-
прямоугольной трапеции. АВ ± AD, АВ = а + Ъ , CD = а. На
каком расстоянии х от стороны AD нужно подвесить плас-
пластинку, чтобы меньшая боковая сторона AD была вертикаль-
вертикальной?
За2 + Заб + 6»
ЗBа + Ь) • с
Ответ: АО =
Рис. 18
35. Однородный стержень АО В со-
согнут в точке О под прямым углом и мо-
может вращаться вокруг горизонтальной
оси Оху перпендикулярной плоскости
АОВ. О А = а, ОБ = 6. Определить угол
отклонения стороны ОА от вертикали
в положении равновесия стержня.
(ъ 2
—) .
36. Однородная прямоугольная пластинка и однородный
диск радиуса R, имеющие одинаковую толщину и изготов-
изготовленные из одного материала, подвешены к горизонтальной
оси О (рис. 18). Диск подвешен на нити OD так, что сторона
ОА пластинки вертикальна. Определить длину стороны
ОА, если АВ = а.
Ответ: АО =» 2я — .
11

37. Часть однородной горизонтальной плиты весом Р2 и
длиной 1г выступает над горизонтальной плоскостью (рис.
19). На этой плите размещена другая плита весом Р2 и дли-
длиной /2. Определить, на каком расстоянии х от левого конца
нижней плиты находится левый конец верхней плиты при
равновесии, если А В = а.
Ответ: х < jL [а (Рг + Р2) — «¦ (РА + Р212)].
Рис. 19 Рис. 20
38. Однородный стержень ОА длиной 2/х и весом Р1 от
клонен от вертикали однородным горизонтальным стержнем
ВС длиной 212 и весом Р2> подвешенным при помощи неве-
невесомого стержня ОСХ (рис. 20). ВСг = CCt. Определить угол
Ф отклонения стержня ОА от вертикали в положении рав-
равновесия стержней, если ОС = АС. Трением на оси О пре-
пренебречь.
or
2М
IS
s
if
Рис. 21
39. Однородная балка А В длиной 8 м и весом 36 кН
(рис. 21) свободно лежит на двух гладких опорах Ах и В1у
расположенных на двух тележках весом 4 кН каждая. При
этом конец А балки и ось С колеса находятся на одной вер-
вертикали. ААХ = 0,8 м, ВВ± = 2,8 м. Определить давление
пар колес С, D, ?, К на рельсы.
Ответ: Nc = 7,89 кН; ND = 5,93 кН; NE = 12,47 кН;
NK = 17,71 кН.
12

40, На балках А В и DC (рис, 22), шарнирно прикреплен-
прикрепленных к опорам А и С и поддерживаемых гладкими опорами
Вг и Dt стоит ящик весом 6 кН. Определить реакции опор
балок, пренебрегая их весом и считая, что центр тяжести
ящика находится на вертикали, равноудаленной от концов
В и D балки.
Ответ: YA =—0,5 кН;
RDi = 3,6 кН.
= —0,6 кН; Яв, = 3,5кН;
f,2M
5
0.2м
4 в
ШШШ
О,8М
ш
]ЗМ ^ 1,$М
V/
ЛЬ
/у л
Рис. 22
41. Однородный гладкий стержень АВ длиной / и весом
Р зажат между опорами С и D (рис. 23). К концу А при-
прикреплена нить, переброшенная через блок К и удерживаю-
удерживающая груз весом Р. Определить реакции опор при равнове-
равновесии стержня, если часть АК нити вертикальна, CD =-j,
= а.
Ответ: Rc = RD= 1,5P sin a.
Рис. 23
Рис 24
42. К левой части трехшарнирной арки (рис. 24) при-
приложена пара сил с моментом М. Пренебрегая весом арки,
определить реакции шарнирных опор А и В.
Ответ: Ra =
м
СВ;
43. Две одинаковые прямоугольные пластинки скреп-
скреплены между собой шарниром С и шарнирно прикреплены
к опорам А и В (рис. 25). В плоскости каждой пластинки
13

действует пара сил с моментом М. Пренебрегая весом плас-
пластинок, определить реакции шарнирных опор Л и В, если
а > Ь.
)м
м
Рис. 25
Ответ: Хв = —
Ответ: RA =
Rb =— Ra.
Ra
44. К стержням АС и ВС, со-
соединенным шарниром С и шарнир-
но прикрепленным к опорам А
и В (рис. 26), приложены пары
сил с моментами Мг и М2 соответ-
соответственно. Пренебрегая весом стерж-
стержней, определить реакции опор
А и #, если АВ -= ly AC = lt.
45. К левой части конструкции, состоящей из трехшар-
нирных арок (рис. 27), приложена пара сил с моментом М.
Пренебрегая весом конструкции, определить реакции опор
Л, В, C,D.
Ответ: Ra =
2ab
Ra
M
=-t\ Rc=—Rb\ Rd^—
P.,P.P.6.b.t.
Рис. 2С
46. В гидравлическом прессе (рис. 28) отношения диа-
диаметров поршней D : d = 10 и ВС == 9 СО. Пренебрегая
трением и весом поршней П1 и Я2, определить силу, сжи-
сжимающую тело Л, если перпендикулярно к рычагу ОБ при-
приложена сила F = 120 Н.
Ответ: 120 кН.
14

47. Определить силу Т натяжения тросов, необходимую
для удержания в вертикальном положении прямоугольного
щита высотой / =* 0,8 м и шириной Ь = 2м (рис. 29), если
уровень воды h = 0,6 м.
Ответ: Т = 883 Н.
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
48. Клапанный затвор АВ, имеющий плоскую поверх-
поверхность / X b — 2,5 м X 12 м, создает напор воды h = 2 м
(рис. 30). Пренебрегая весом затвора и трением, опреде-
определить реакцию цапф А и силу Т натяжения тросов, удержи-
удерживающих затвор в данном положении.
Ответ: RA = 196,2 кН; Т = 98,1 кН.
Рис. 31
Рис. 32
49, Прямоугольный поворотный затвор высотой / =
= 1,5 м перекрывает выход воды из резервуара (рис. 31).
Определить, на каком расстоянии х от дна резервуара сле-
следует расположить его ось поворота, чтобы для открывания
затвора нужно было преодолеть только момент сил трения
в цапфах О, если уровень воды h = 4,5 м.
Ответ: х = -^
I ЗЛ —2/
= 0,7 м.
50. Прямоугольный щит АВ ирригационного канала
может поворачиваться вокруг оси О (рис. 32). Уровень
15

воды слева от щита равен ft. Пренебрегая трением и весом
щита, найти положение оси О, при котором подъем уровня
воды выше Н вызвал бы автоматическое опрокидывание
щита. Угол а считать известным.
§ 3. Силы, произвольно расположенные на плоскости
51. На консольную горизонтальную балку ВС дейст-
действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности
q = 5 — и сила Р = 20 кН (рис. 33). Пренебрегая весом
м
балки, определить реакции опор.
Ответ: RA = 16 кН; Хв = 10 кН; YB = 7,32 кН.
52. На консольную балку ВС действуют силы Рх =
= 1200 Н, Р2 = 800 Н и пара сил с моментом М = 600
Н • м (рис. 34). Пренебрегая весом балки и трением, опре-
определить реакции опор.
Ответ: ХА = 829 Н; YA = 1443 Н;
RB = 458 Н.
У
„ i
Ру
A /W
* 0.8Н Оби'
Рис. 33
Рис. 35
53. Труба весом 2 кН и радиусом R = 0,5 м удержива-
удерживается двумя канатами (рис. 35). Натяжение каждой из четы-
четырех частей канатов равно 250 Н. Определить давление тру-
трубы на горизонтальные параллельные ребра выступов, если
расстояние между стенками этих выступов / = 0,6 м.
АО= ОБ = 1,2 м.
Ответ:
= N2 •-= 673 Н.
54. К однородной плите весом 10 кН на высоте h — 1,6 м
над землей приложена горизонтальная сила F = 1 кН
(рис. 36). Пренебрегая высотой упора Л, определить угол а
16

отклонения нижней грани плиты от горизонтальной плос-
плоскости при ее равновесии, если а = 0,5 м, b = 2 м.
Ответ: а = 5°6.
55. Три стержня длиной 20 см каждый прикреплены
к вертикальному стержню ВС под прямыми углами и распо-
расположены в одной плоскости (рис. 37). Пренебрегая весом
у
Рис. 36
Рис. 37
стержней, определить реакции подшипника А и подпят-
подпятника 5, если Рг= 1,5 Н, Р2 » 2 Н, Р3 = 1 Н, АВ = 30 см.
Ответ: Хв = —ХЛ = ЗН, Кв = 4,5 Н.
56. Однородный стержень АВ весом 10 Н упирается
концом А в выступ и свободно лежит на гладкой поверх-
поверхности полуцилиндра (рис. 38). Определить реакции опор,
если а = 30° и АС == \АВ.
Ответ: ХА = —2,89 Н; КЛ = 5К; Rc = 5,77 Н.
Рис. за
57. Однородная прямоугольная плита A BCD весом 4 кН,
грань ЛВ которой отклонена от горизонтальной плоскости
на угол 30°, одним ребром опирается на горизонтальный
пол, а другим упирается в стену (рис. 39). В середине ребра
2 9-396
17

D приложена горизонтальная сила Q, линия действия ко-
которой пересекает линию действия силы тяжести плиты.
Пренебрегая трением, определить силу Q при равновесии
плиты, если а = 0,5 м, Ъ = 1,5 м..
Otneetn\ Q = 6,619 кН.
58. Однородная пластинка весом 5 Н, имеющая форму
прямоугольного треугольника, шарнирно прикреплена к
опоре О и свободно опирается на гладкую опору С (рис.
40). АВ = 10 см, ОА = 24 см, ОС = 8 см. Перпендикуляр-
Рис. 40
Рис. 41
но к стороне ОВ приложена сила Р = 10,4 Н. OD = BD.
Определить реакции опор.
Ответ: Хо = —4 Н; Yo = —12,3 Н; Rc = 26,9 Н.
59. Однородная горизонтальная балка АВ длиной / и
весом Р, шарнирно прикрепленная к опоре Л, подпирается
снизу идеальным стержнем ССи отклоненным от вертикали
АСг на угол а. АС = а. Определить реакции связей, если
к концу В балки подвешен груз весом Q.
Ответ:
2Q)tga; YA = ? [P Ba -/)+
P + 2Q
2a
cos а
60. К невесомому стержню АгА2 с неподвижной осью
вращения О прикреплены шары весом Рг = 4 Н и Р2 =
== 9 Н с центрами тяжести в точках Аг и А2 соответственно
(рис.41).ОАг = 30см,ОЛ2 = 80 см.Стержень АхА%и опор-
опорная плоскость LN отклонены от горизонтальной плоскости
на угол 30°. Пренебрегая трением, определить давление
шара Ах на плоскость LN.
Ответ: N = 17,3 Н.
18

61. Однородная балка О А весомО,8кН, отклоненная от
горизонтали Ох вверх на угол 60°, шарнирно закреплена
на конце О и подпирается гладкой опорой в точке В. О А =
== 4 м, ОВ = 2,5 м. К концу А балки подвешен груз ве-
весом 2 кН. Определить реакции связей.
Ответ: RB = 1,92 кН; Хо = 1,663 кН; Yo = 1,84 кН.
62. Вес однородной прямоугольной рамы A BCD равен
250 Н. АВ = 0,6 м, ВС = 1,8 м, а = 45° (рис. 42). Прене-
Пренебрегая трением, определить давления на опоры.
Ответ: NA = 70,7 Н; Nc = 50 Н; ND = 200H.
Рис. 42
Рис. 43
63. Вес ковша экскаватора с грузом равен Р, а их центр
тяжести, совпадает с точкой С (рис. 43), АВ = /. Размеры
a, b и углы а, |3 известны. Определить натяжение троса ВК
и реакцию шарнира Л, если в данном положении ковш не-
неподвижен.
Ответ: Т =
a cos
— Ь sin В v n a cos 6 — Ь sin В
^ р; ХА = Р fPsin«
fsin«
x
/sin a
X sin (a +
64. К концу D арки ЛШ) (рис. 44), контур которой име-
имеет форму дуги окружности, приложена сила F =~ 20 кН,
линия действия которой проходит через центр О окружнос-
окружности. Пренебрегая весом конструкции, определить реакции
шарнирной опоры А и вертикального стержня ВВг.
Ответ: ХА = 14,14 кН;
= 48,28 кН.
=—34,14 кН;
19

65. Однородная плита ABBlAl весом 2 к11, имеющая
форму трапеции (рис. 45), удерживается в равновесии шар-
шарнирной опорой А и невесомым тросом BD. AtA = 3 м,
А В = 4 м, ALBX = 6 м, AD = 2 м. Определить натяжение
троса и реакцию шарнирной опоры А.
Ответ: SB = lt789 kII; ХА - -0,80 кН; УА = 3,6 кН.
Рис. 44
Рис. 45
66. На стропила ADB, имеющие шарнирную опору А
и свободно опирающиеся концом В на гладкую опору (рис.
46), действуют: вертикальная сила Ях и сила Я2, перпенди-
перпендикулярная к BD. Ях = 4 кН, Я2 = 6 кН, AC=DC=-DE =
= BE, a = 30°. Пренебрегая весом стропил, определить
реакции опор А и В.
Ответ: ХА = 3 кН; YA = 4,732 кН; RB == 4,464 кИ.
fi J
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48
67. На стропила ABC (рис. 47), имеющие шарнирную
опору А и свободно опирающиеся концом С на гладкую
опору, действуют: сила Яь перпендикулярная к Л б, и вер-
вертикальная сила Я2. Я, = 12 кН, Я2 = 32 кН, AD =
= BD = 2 м, BE = С? = 3 м, а = 60°. Пренебрегая ве-
весом стропил, определить реакции опор А и С.
Ответ: ХА « —10,4 кН; УА = 15 кН; Rc = 23 кН.
68. На ферму (рис. 48) действуют силы Я = 3,5 кН и
Рх = 1,5 кН, направленные перпендикулярно к ВС. АВ =
20

в а, АС = За. Определить реакции шарнирно-неподвиж-
ной опоры А и идеального стержня BBV
Ответ: ХА=*
кН;
кН; SB
4 КТО кН.
69. На горизонтальную пластинку ЛВС (рис. 49), имею-
имеющую форму прямоугольного треугольника, действует пара
сил с моментом М ¦= 2 Нм и сила Р = 40 Н, направлен-
направленная перпендикулярно к ВС. АВ = 10 см, АС = 20 см,
BD = DC. Определить реакции идеальных стержней ААи
ВВХ и ССг.
Ответ: SA *= —32,36 Н; SB = 7,64 Н; Sc - 24,72 Н.
С С*
Рис. 49
Рис. 51
70. Платформа А В весом 20 кН поддерживается сим-
симметрично по бокам двумя одинаковыми параллельными
стержнями с шарнирными креплениями на концах (один
из стержней—DE) (рис. 50). а = 5 м, b = 3 м, d *= 2 м,
Л? = 6 м. Вес барьера В — 2 кН. Пренебрегая весом
стержней, определить их реакции и реакции петель Л.
Omeemi ХА = —20 кН; YA = 7 кН; fo = 12,5 кН.
71. Определить реакции опор фермы (рис. 51), если а «
= 6, Q = 30 кН. Весом конструкции пренебречь.
Ответ: RA = 90 кН; RB = 60 кН; Rc = 127 кН.
72. Плоская крыша BD весом Р поддерживается тремя
парами стержней с шарнирными креплениями на концах
(рис. 52).Плоскость крыши отклонена от горизонтальной
плоскости на угол а, стержень АВ отклонен от вертикали
также на угол a, /.BAD = 90Q, а = 30°. Пренебрегая ве-
весом стержней, определить их реакции.
Ответ: SAB = — -?-У'Ъ\
=^~^-\ Scd = 0.
21

73. Два однородных стержня А В и CD весом Р1 и Р2
соответственно (рис. 53), жестко скрепленные под прямым
углом в точке В, имеют горизонтальную ось вращения Л.
АВ = 2 tlt ВС = BD = /2. Определить угол q> отклонения
Рис. 52
Рис. 53
стержня Л В от вертикали, если к концу С приложена го-
горизонтальная сила Q. При каком значении силы Q стер-
стержень АВ занимает горизонтальное положение?
Ответ: tg ф = т^-
74. Ломаный рычаг BAD весом Рг (рис. 54) с центром
тяжести в точке С, отстоящей от оси Ау на расстоянии
ССх = я, имеет горизонтальную
ось вращения Л и подпира-
подпирается гладкой опорой /О В точке
В прикреплена веревка, пере-
Рис. 54
Рис. 55
брошенная через блок Bl9 на конце которой висит груз ве-
весом Р2. АВ = /, ВК = -j-. Угол а задан. Определить реак-
реакции опор рычага.
Ответ: ХА =/>2coscc; YA- Р±C/~4а)""PJsina -
3/

75. Автомобиль весом Р движется вверх прямолинейно
и равномерно по дороге, плоскость которой отклонена от
горизонтальной плоскости на угол а. Расстояние от центра
тяжести автомобиля до плоскости дороги равно ft, расстоя-
расстояния от осей передних и задних колес до плоскости, прохо-
проходящей через центр тяжести автомобиля перпендикулярно
направлению дороги, равны 1г и /2 соответственно. Опре-
Определить нормальное давление колес автомобиля на дорогу.
Ответ:
P(/2cosa — Л sin a)
= . , , ;
Р (lj cos a + h sin a)
Рис. 57
76. Горизонтальная балка О А весом 5 кН (рис. 55) под-
подпирается вертикальной балкой ВВг с шарнирными крепле-
креплениями на концах. О А = 10 м, ОС = 6 м (С — центр тя-
тяжести балки), b = 7 м. На конце А к балке приложена сила
F = 8 кН. Определить реакции шарнирных опор О и #,
если a == 30°.
Ответ: YB = 10 кН; Хо = —4 /3 кН; Уо = — 1 кН.
77. Конец О однородного стержня О А весом 15 Н шар-
нирно прикреплен к стене (рис. 56). На конце А закреплена
ось вращения однородного блока весом 20 Н, через который
переброшена невесомая нить с грузом весом 39 Н. Конец
В2 нити закреплен так, что В2ВХ \\ ОА.ОА = 65 см, OD =
= 20 см, ОС = 52 см. Пренебрегая трением и считая стер-
стержень CD идеальным, определить реакции опор стерж-
стержня О А.
Ответ: Хо =» 15,0 Н; Yo = 26,9 Н; Sc = 83,1 Н.
78. Однородный стержень ОА весом 6 Н (рис. 57) при-
прикреплен к стене шарниром О и удерживается в равновесии
23

идеальным стержнем ССЪ перпендикулярным к О А. Через
блоки Л и В весом 3 Н каждый переброшены невесомые
нити, к нижним концам которых прикреплены грузы ве-
весом Q = 4,5 Н каждый. ОА = 80 см, ОС *= АС, АВ =
= ВС, ССг = 30 см. Считая левые части нитей горизон-
горизонтальными и пренебрегая трением, определить реакции шар-
шарнира О и стержня ССг.
Ответ: Хо= 14,40 Н; Ко= 16,95 Н; Sc =6,75 Н.
79. На конце однородной горизонтальной балки весом
2 кН лежит однородный бетонный блок?> весом 4 кН (рис.
Рис. 58
Рис. 59
Рис- 60
58). Определить реакции жесткой заделки Л, если F =
= 6 кН, а = 60°, М = 20 кНм, с = 2м.
Ответ: ХА = 3 кН; YA = 11,2 кИ; Л*л ^= 26,39 кНм.
80. Вес однородной горизонтальной балки АО 0,6 кН
(рис. 59), вес груза М 3,4 кН, АО = 90 см, АЕ = 48 см,
О^ || D5. Пренебрегая весом блока и веревки, определить
реакции жесткого крепления Л.
Ответ: ХА = 3,0 кН; YA = 2,4 кН; Мл = 1,89 кНм.
81. На стояк А В (рис. 60) действует нагрузка, распре-
распределенная по линейному закону со средним значением ин-
интенсивности 6 кН/м, а на балку BD действует сила F =
= 10 кН, направленная перпендикулярно к балке. К точке
Е подвешен фонарь весом 0,1 кН.'ЛЯ = 5 м, ВС = CD,
BE = 4 м, DE = 2 м, BD JL ^^. Определить реакции
жесткой заделки Л, если центр тяжести конструкции ве-
весом 8 кН находится в точке К на расстоянии 1,2 м от стояка
АВ.
Ответ: ХА = —35 кН;
= 102,32 кНм.
YA = 16,76 кН; МА =.
24

82. Вес однородной горизонтальной балки АВ равен
1 кН, а груза М—8,2 кН (рис. 61). АВ = 2 м, AD = 0,4 м,
/Ф = 0,36 м. Пренебрегая трением на блоке К, его радиу-
радиусом и весом троса, определить реакции жесткого крепле-
крепления А.
Ответ: ХА = 8,0 кН; YA = 2,8 кН; МА = 4,6 кНм
у
\a_d в
]м
Рис. 61
Ж1
Рис. 62
83. Часть АВ контура ABD является четвертью окруж-
окружности радиуса 2 м, часть BD длиной 1 м горизонтальна (рис.
62). Определить реакции жесткого крепления А от действия
сил Рг = 400 Н, Р2 = 200 Н, Q = 600 Н.
Ответ: ХА = —373,2 Н;
= —1346,4 Нм.
YA = 446,4 Н; МА
Рис. 63
84. Определить реакции жесткого крепления А лома-
ломаного стержня АВ (рис. 63) от действия силы Рх = 200 Н,
направленной под углом а = 60° к горизонту, и вертикаль-
вертикальной силы Р3 = 150 Н, если а = 0,5 м.
Ответ: ХА = -100 Н; YA = 323,2 Н; МА =
= —523,2 Нм.
85. Вес однородных стержней А В и СК, жестко скреп-
скрепленных в точке С под прямым углом, равен 20. Н (рис. 64).
25

Вес груза М 40 Н, а = 30°. Определить реакции жесткого
крепления А, если АС = ВС = 0,3 м. Определить реак-
реакции этого крепления и в том случае, когда крепление верх-
верхнего конца нити перенесено из точки К в точку /Сь если пр и
этом Z.ABK = Р = 30°. Расстоянием ККи размерами
блока В и его весом пренебречь.
Ответ: 1) ХА = 20J/3 Н; YA = 40 Н; МА = 18 Нм;
2) ХА = 40^3 Н; YA = 20 Н; Мл - 6 Нм.
86- Плоский прямоугольный щит Л В, закрывающий
выпуск из открытого резервуара, наполненного водой, мо-
Рис. 65
Рис. 67
жет вращаться вокруг оси В (рис. 65). К щиту прикреплен
рычаг ВС, к которому подвешен груз М, прижимающий
щит. Пренебрегая весом щита и трением, определить вес
груза Му если-ЛВ = а, ВС = /, ширина щита Ь и удельный
вес воды у-
Ответ: Р « 2~ (ЗЛ + 2а sin a).
87. Плоский прямоугольный клапан АО может вращать-
вращаться вокруг оси О (рис. 66). К клапану прикреплен рычаг
ОВ, к концу которого подвешен груз М, удерживающий
клапан в закрытом положении. Пренебрегая весом клапана
и трением, определить, каким должен быть вес груза Р,
чтобы клапан открывался, когда вода в резервуаре подни-
поднимется выше уровня ft, если ширина клапана Ь = 0,4 м,
АО = а = 0,3 м, ОВ = / = 0,6 м, h = 2,4 м, а = 60Q.
Ответ: Р =
a sin а) = 1,463 кН.
88, Определить подъемное усилие Г, необходимое для
поворота прямоугольного щита А В шириной Ь = 2 м,
вращающегося вокруг оси В (рис. 67), если вес щита Р =
26

*= 1 кН, h = 2 м, АВ = а = 1 м, а = 606. Трением пре
небречь.
Ответ: Т = ^ (ЗА + 2а sin а) + ~ Р cos а=25,525 кН.
89. Прямоугольное отверстие высотой а = 0,6 м и ши-
шириной Ь = 1 м в вертикальной стенке резервуара закрыто
щюским щитом (рис. 68). Найти вес груза Q, достаточный
для удержания воды в резервуаре на уровне Н = 1,8 м,
если расстояние от верхней кромки отверстия до оси враще-
вращения щита h = 0,2 м и длина рычага / = 1,2 м.
Ответ: Q = 3,83 кН.
гТ
777777,
Рис. 68
Рис. 69
90. Плоский прямоугольный щит высотой / = 2 м и ши-
шириной Ь = 3 м закрывает выпускное отверстие плотины
(рис. 69). Слева от щита уровень воды Н = 4 м, а справа
fc- 1м. Пренебрегая трением, определить силу Т натяже-
натяжения тросов, необходимую для начала поворота щита вокруг
оси О, и реакцию порога Л, если а = 60°.
Ответ: Т= 171,68 кН; RA = Т cos а = ^ [3t\H—h)—
— (/—ЛK] =85,84 кН.
§ 4. Равновесие системы тел
91. Два однородных стержня весом 40 Н каждый, со-
соединенные шарниром В, подпираются в точках М hN (рис.
70). АВ = ВС *= 160 см, MN = 20 см. Пренебрегая тре-
трением, определить реакции опор и угол ABC при равнове-
равновесии стержней.
Ответ: RM = Rn = 80 Н; ^/ ABC = 60°.
27

92. Вес каждого вертикального стержня Q, а длина а
(рис. 71). Стержни, к которым приложены две силы Р и
—Р, удерживаются в равновесии шарнирными опорами А
и В и идеальными стержнями ССг и DDX. А В = /, I(D =
= КОЪ DC = OiCle Определить реакции опор А и В.
Ответ: ХА = —Хв =
Рис. 70
Рис. 71
93. Однородная балка АВУ отклоненная от горизонталь-
горизонтальной плоскости на угол а (рис. 72), упирается в выступ А и
опирается на трубу весом Р и радиусом R, расположенную
под стеной. Пренебрегая трением, определить давление
Рис. 72
Рис. 73
трубы на пол и на стену, а также давление балки на выс-
выступ, если длина балки А В = 2/, а ее вес Q.
Ответ: ND = P + ^cos2a- tg-|-; ^V? = ^
xcos2a
y —Q.
94, На трехшарнирную арку АСВ (рис. 73) действует
вертикальная сила Рк == 2 кН и сила Р2 = 4 кН, наирав-
28

ленная под углом 60° к горизонту. Пренебрегая весом арки,
определить реакции шарниров А, В> С.
Ответ: ХА= 1,5 кИ;
YB = 2,96 кН;
КЛ =2,5 кН; Хв?=0,5 кИ;
Хс = ± 1,5 кН; Ус - ±0,5 кН.
95. Бетонный блок весом 16 кН удерживается в равно-
равновесии вертикальной стеной и двумя однородными парал-
параллельными балками длиной 2,5 м и весом 4 кН каждая
(рис. 74). АВХ = 2 м, а = 1,6 м, h — 0,8 м. Определить
реакции вертикальных стержней, поддерживающих на-
I ^
Рис. 74
Рис. 75
клонные балки, если все крепления балок и стержней шар-
шарнирные. Трением пренебречь.
Ответ: RB = 8,52 кН.
96. Две гладкие трубы (рис. 75), радиусы которых гг
и г2э а вес Р1 и Р2 соответственно, расположены внутри тран-
траншеи шириной I с параллельными стенками. 2гх < / <
< 2{гх + г2). Определить давление труб друг на друга, на
стенки и на дно траншеи.
Ответ N
NA~NB
97. На взаимно перпендикулярные стержни А В и CD
(рис. 76), соединенные шарниром С, действуют три силы,
каждая из которых по модулю равна Q. Пренебрегая весом
стержней, определить реакции шарнирно-неподвижных
опор А и D.
Ответ,;
XA=—0,5Q;
Yd — 0,4Q.
YA=0,\Q; Xd=0,5A +

98. На стержни АВ и АС, соединенные под прямым уг-
углом шарниром А (рис. 77), действует пара, сила которой
Р = 2 кН и сила Q = 3 кН. Пренебрегая весом стержней,
определить реакции шарнирных опор В, С и шарнира А.
Ответ: Хв = —2,167 кН; Хс = 0,667 кН;
ХА = ±0,667 кН; YB = 1,732 кН;
Yc = 0,866 кН; YA = ±0,866 кН.
Рис. 76
Рис. 77
99, Две одинаковые квадратные пластинки соединены
шарниром К и прикреплены к опорам четырьмя стержнями
с шарнирными креплениями на концах (рис. 78). Пренеб-
Рис. 78
Рис. 79
регая весом системы, определить усилия в стержнях, если
р = 5 H, Q = 3 Н, а = 60°.
Ответ: SA = — SB = 1,83 Н;
SD = —5,50 Н.
= 4,33 Н;
100. Однородный бруе длиной / и весом Р (рис. 79)
удерживается в равновесии стержнями AAU BDy CCt с шар-
шарнирными креплениями на концах. Пренебрегая весом
30

стержней, определить реакции шарниров А, В, С, если
Ответ: Ra =
90°.
-§-; Re «-§¦¦
101. Узел В фермы свободно опирается на конец балки
АВ (рис. 80), которая прикреплена к вертикальному стерж-
стержню ААг и подпирается снизу гладкой опорой /С. Крепления
стержней ААЪ DDl9 ЕЕХ шарнирные. ВС = СЕ =
to
0*
-в
У
a
7\
/
/
A
a a
8 A
p
f^V°9
Рис. 81
= ED ~ 2a9 А В = 4 a, B/C = a. Пренебрегая весом
системы, определить реакции опор, если к узлу С фермы
приложена сила Я, направленная перпендикулярно к BE.
к)твет* Ъл == rs—, о?> = —=-1 ^e === *
102. Две фермы соединены шарниром С (рис. 81). К ле-
левой ферме приложена горизонтальная сила Q = 3 кН, а к
правой сила Р = 4 кН, направленная под углом 30° к го-
горизонтали Ах. Пренебрегая весом ферм, определить реак-
реакции шарниров Л, В, С.
Ответ: ХА= — 2,85 кН; Г
Гб = —15,39 кН;
= ±15,39 кН.
13,39 кН; Х*=-3,62кН;
Хс = ±0,617 кН; Yc ==
103. Две фермы, скрепленные в узле Е (рис. 82), при-
прикреплены к опорам четырьмя невесомыми стержнями ААи
31

BBlt ССЪ DDX с шарнирами на концах. Сила Р = 4 кН на-
направлена под углом 45° к горизонтали, сила Q = 2 кН го-
горизонтальна. Пренебрегая весом фермы, определить реак-
реакции опор.
Ответ: S = 4,83 кН; S = 3,83 кН; Sc = 5,66 кН;
SD = 1 кН.
Рис. 82
104. Труба весом 3 кН и радиусом 0,2 м удерживается в
равновесии вертикальной стеной и двумя одинаковыми
однородными параллельными балками, прикрепленными
шарнирами к стене на равных расстояниях от торцов трубы
Рис. 84
(рис. 83). AD — 1,2 м, а = 60°, вес каждой балки 0,50 кН.
Пренебрегая трением, определить реакцию шарнира Л,
натяжение троса и давление трубы на стену.
Ответ: Хл = 0,567 кН; YA = 2 кН; Т = 1,433 кН,
Ws = 1,732 кН.
105. Труба весом Р и радиусом R (рис. 84), удерживается
в равновесии четырьмя однородными стержнями, попарно
скрепленными шарнирами под углом 2а и размещенными на
одинаковых расстояниях от торцов трубы. Определить реак-
32

ции шарниров Л и В, если вес каждого из стержней Ръ а
длина /.
Ответ: ХА = -Хв
|
= Y в = Pi + -j- •
106. Трос Л1Л2Л3Л4Л5 с грузом М на конце охватывает
два блока с осями вращения Л и С (рис. 85). Эти оси укреп-
укреплены на концах взаимно перпендикулярных стержней О А и
CD, соединенных шарниром D. 0D = 2ADt BD =* ВС>
а = 60°. Определить реакции шарнирно-неподвижных
опор О и В от действия груза М весом Р = 1 кН.
Ответ: Хо = —2,732 кН; Уо = —0,25 кН; Хв =
= 1,732 кН; Ув = 1,25 кН.
107. К трехшарнирной арке АСВ, контур которой явля-
является полуокружностью (рис. 86), приложена сила PL =
= 6 кН и Я2 = 4 кН, а = 30°. Пренебрегая весом арки,
определить реакции опор.
Рис.
Ответ: Хл = —2,696 кН; Y А =2,50 кН; Хв =
= 1,50 кН; Ув = 0,50 кН.
108. Однородная прямоугольная плита весом 12,5 кН
опирается ребром К па шероховатую горизонтальную
плоскость и на конец В однородной горизонтальной балки
АВ весом 5 кЫ, которая подпирается вертикальным стерж-
стержнем DDl с шарнирами на концах (рис. 87). АВ = 6 BD, а =
= 1 м, b = 3 м, DDX = 2 м, ВХК = 1 м. Определить реак-
реакции шарнпрно-неподвижной опоры Л, стержня DD1 и ше-
шероховатой плоскости, если на конце В трение отсутствует.
Ответ: Хл = — Хк = —1,118 кН; YA = 1,888 кН;
SD = —3,671 кН; YK = 11,941 кН.
33

109. Однородная тонкостенная труба весом 60 кН и ра-
радиусом г =¦- 2,5 м (рис. 88) опирается на стену и конец Е
однородной горизонтальной балки АЕ весом 15 кН, кото-
которая прикреплена шарнирно к опоре А и подпирается глад-
гладкой опорой В. На балку действует равномерно распределен-
«ТУ
ная нагрузка интенсивности q = 7 — • А В = 6 м, BE =
м
= 2 м, / = 4 м. Пренебрегая трением, определить реакции
опор.
Ответ: ХА = 45 кН; YA = 6 кН; Д* = 111 кН;
RD = 45 кН.
Mlffil» rs
Рис. 88
Рис. 89
110« К трехшарнирной арке ABDC (рис. 89) на участке
BD приложена равномерно распределенная нагрузка ин-
кН
тенсивности 0,8 — , а на участке А В нагрузка, распреде-
м
ленная по линейному закону, с максимальным значением
интенсивности q — 1,2 кН/м. Сила F = 2 кН, О А = OD =
= ОС = г = 5 м, Z.K0C = 45°. Пренебрегая весом арки,
определить реакции шарнирных опор Л и С.
Ответ: Хл = —0,793 кН; Кл = 3,207 кН; Хс =-
_ _о,793 кН; Кс = 2,207 кН.
111. На вертикальную балку АВ действует нагрузка,
распределенная по закону треугольника, с максимальным
значением интенсивности 3 — (рис. 90), а на наклонную
балку OD с шарнирными креплениями на концах действует
сила Р = 15 кН, направленная перпендикулярно к OD.
ОС = CD = 5 м. А В = 12 м, AD = 8 м. Пренебрегая ве-
весом конструкции, определить реакции шарнирных опор
О и Л.
Ответ: Хо = —3 кН;
YA = 0,5 кН.
Yo = 8,5 кН; ХА = 9 кН;
34

112. На составную балку А В действует сила Р —
= 20 кН, пара сил с моментом М = ЗОкНм и равномерно
кН
распределенная нагрузка интенсивности q = 2 — (рис.
м
91). а = 3 м. В точке С — шарнир. Пренебрегая весом кон-
конструкции, определить реакции шариирно-неподвижной
в
М
ж а
2а
А
2а
Рис. 90
Рис. 91
опоры А, стержня ВВг и гладкой опоры Z), на которую сво-
свободно опирается балка.
Ответ: ХА = 10 кН; YA = 0,5 кН; YD = 42,16 кН;
Ув = —7,34 кН.
113. Вес части AXDBX кабеля Р = 2 кН, а вес каждого
столба Q = 1,6 кН (рис. 92). АВ =* / « 50 м,
Рис. 92
= ВВг = 15 м, стрела провисания кабеля DDX = / =
= 1,25 м. Определить реакции жесткой заделки Л. При
решении задачи считать, что вес каждой половины кабеля
A1DB1 приложен на расстоянии — от ближайшего столба.
Ответ: ХА = —10 кН; YA = 2,6 кН; МА = 150 кНм.
114. Однородная плита весом 80 Н, поставленная на
конец В балки АВ, подпирается гладкой опорой С (рис.
93). Перпендикулярно к балке АВ в ее середине приложе-
приложена сила F = 104 Н. АО = 25 см, ОВ = 60 см, ВС = 40 см,
35

CD = 10 см. Пренебрегая весом балки, определить реак-
реакции жесткой заделки Л.
Ответ: ХА =40 И; YA = 126 Н; МА =51,8 Нм.
115. В точке К стержня DE приложена сила Р =
= 3280 Н, направленная перпендикулярно kD?, а в точке
В на балку АС давит груз весом Q = 1000 Н (рис. 94).
АВ = ВС = 0,80 м, DK = КЕ = 0,82 м. Крепления в точ-
точках С и D шарнирные. Пренебрегая весом стержней и бал-
балки, определить реакции жесткой заделки Л и шарнирно-
неподвижной опоры Е.
Ответ: RA = 2681 Н; ЛГИ = 3489,6 Нм; RE = 1681 Н.
Г—Ш
Рис. 94
Рис. 95
116. К шарнирно-сочлененной системе элементов, из
которых состоит арка, приложены силы Fx = 3 кН, F% =
= 6 кН (рис. 95). ААХ = AXD = 2 м, В? = 4 м, ОС =
= OD = О? = 2 м. В точках С и D — шарниры. Пренеб-
Пренебрегая весом конструкции, определить реакции жесткой
заделки Л и шарнирно-неподвижной опоры В.
Ответ; ХА = 0,182 кН; Ки = 3,182 кН; Л1Л =
= —6,728 кН; /?Б= 1,5 кН.
117. Горизонтальная сила F = 3 кН приложена к вер-
вертикальной балке DE шарнирно-сочлененной системы эле-
элементов, образующих арочную конструкцию (рис. 96). ААХ—
= ВВУ = СЕХ = За, ЛВ = Л1Й1 = DDj = DXE = Я^ = а,
ВхС = 2а, в точках S, С, ? — шарниры. Определить реак-
реакции шарнирно-неподвижных опор Л, S, D от действия
силы F.
Ответ: ХА = —1,5 кН; Ки = —5,5 кН; Уь =, 6 кН;
Х/> == — 1,5 кИ; Yd = —0,5 кН.
36

118. На горизонтальные балки АВ и CCt шарнирно-
сочлененной системы действуют силы Fx — 4 кН, F2 =
= 6 кН (рис. 97). /4/4x = 4 м, АХВ** 1 м, ВВг = 2 м,
ВгС=1 м, CD = 3м, DC1== 2 м ,/ ББХС= 90°, в точ-
точках В и С шарниры. Пренебрегая весом конструкции,
определить реакции жесткого крепления А и шарнирно-
неподвижной опоры D.
Ответ: ХА = 0; YA = —0,536 кН; МА = —6,144 кНм;
Xd = —2 кН; KD = Ю кН.
Рис. 96
Рис. 97
119. Вес однородной балки АВ = 100 Н, вес груза Р =
== 160 Н (рис. 98), АС = J3C = 0,7 м,а= 60°. Пренебре-
Пренебрегая трением на блоках и их весом, определить реакции
жесткой заделки Л.
Ответ: ХА = —40 Н; YA = 209,3 Н; Мл = 174,5 Нм.
Рис. 98
Рис. 99
Рис. 100
120. Однородная горизонтальная балка AxBy весом
3 кН опирается на гладкие скошенные торцы вертикаль-
вертикальных балок весом 2 кН каждая (рис. 99). ААХ = ВВХ = 5 м,
а = 30р. Определить реакции жесткой заделки А.
Ответ: ХА = 2,60 кН;
= —12,99 кНм.
YA = 3,50 кН; МА
37

121. На однородную горизонтальную балку весом 1 кН
с выступом В опирается однородная прямоугольная плита
весом 3,9 кН (рис. 100). АВ = 1 м, BD = 2,6 м, DE =
= 0,8 м. Определить реакции жесткой заделки Л и гладкой
вертикальной стены.
Ответ: ХА = —0,21 кН; УА = 4,9 кН; МА = 4,4 кНм;
Rd = 0,21 кН.
122. На однородные горизонтальные балки ААхн ВВХ
весом Рх = 600 НиР2 = 400 Н соответственно давит од-
однородная гладкая труба весом Р = 800 Н и радиусом внеш-
Рис. J01
Рис. 102
Рис. 103
ней поверхности R = 0,3 м (рис. 101). ААг = 1,2 м, ВВХ =
= 0,8 м, A 1fi1= 0,2 м. Определить реакции жестких заде-
заделок А и В.
Ответ: ХА = 100]/2~Н; YA = 1000 Н; МА = 840 Нм;
Хв - —100/2 Н; Ув = 800 Н; Мв =
=- —480 Нм.
123, На горизонтальную балку AD под углом 60° дей-
действует сила Р = 4 кН, на вертикальную балку Б1) —
нагрузка, распределенная по закону треугольника, с мак-
максимальным значением интенсивности q = 1,8— (рис. 102).
AD == 4 /CD, BD = 10 м. Пренебрегая весом конструкции,
определить реакции гладкой опоры Л, поддерживающей
балку, жесткой заделки В и шарнира D.
Ответ: RA = 0,866 кН; X* = 11 кН; YB = 2,6 кН;
Мв = —50 кНм; Xd = ±2 кН; YD = ±2,6кН.
124. Перпендикулярно к балке АЕ приложена сила Р=
= 5 кН, а на вертикальную балку BD действует нагрузка,
распределенная по закону треугольника с максимальным
38

кН
значением интенсивности д = 1,5— (рис. 103). А^А =
м
= АС = 3 м, CD = 2 м, BD = 6 м. Пренебрегая весом кон-
конструкции, определить реакции гладкой опоры А, на кото-
которую свободно опирается конец балки А Е, реакции жесткой
заделки В и шарнира D.
Ответ: RA = 2 кН; Хв = —6,3 кН; F* = 2,4 кН;
Мв = 19,8 кНм; XD = ± 1,8 кН; FD =
==+2,4 кН.
125. На прямоугольную раму с шарнирами Л, Alf Вг
действует горизонтальная сила Р = 4,5 кН и нагрузка,
ш
в,
D
8
Ш 1
[f
Р
А
к*
Рис. 104
Рис. 105
распределенная по закону треугольника с максимальным
значением интенсивности q = 2,5 — (рис. 104). AD =
м
= 4 м, AXD = 2 м. Пренебрегая весом рамы, определить
реакции жесткой заделки В и шарнирной опоры А,
Ответ: ХА » 1У5 кН; YA = 0; Хв = —4,5 кН; YB =
=0; Мв = —3 кНм.
126. Вес гладкого клина равен 50 Н, а бруса ААХ —
100 Н (рис. 105). ААг = 0,8 м, 2а = 30°. Определить реак-
реакции жесткой заделки Л, если на клин действует вертикаль-
вертикальная сила Р = 150 Н.
Ответ: ХА = 373,2 Н; YA = 200 Н; МА = 120 Нм.
127. Вес платформы BD вместе с лебедкой составляет
2 кН (рис. 106), вес вагонетки с грузом — 3 кН. DC =
= 1,5 м, ВС = 0,5 м, С — центр тяжести платформы с лебед-
лебедкой. ААХ || ВВг, d == 0,3 м, а = 30°. Определить реак-
реакции жесткой заделки D при равномерном движении ваго-
вагонетки.
Ответ: XD= 1,299 кН;
= —4,95 кНм.
YD = 2,75 кН; Md
39

128. Вес груза М Р = 1 кН, вес платформы АВ Q =
= 2 кН (рис. 107). АС = 1,2 м, ВС = 0,8 м. С — центр
тяжести платформы с лебедкой. В положении равновесия
груза трос, сходящий с барабана лебедки и нижним конном
прикрепленный к оси блока/), натянут так, что а = 30°,
Рис. 106
Рис. 107
Р = 60°. Пренебрегая расстоянием между параллельными
частями тросов,определить реакции жесткой заделки А.
Ответ: ХА = —0,433 кН; YA = 2,75 кН; МА =
= 3,90 кНм.
129. На ребро В балкона АВ весом 1,2 кН опирается
лестница весом 0,5 кН и длиной 3 м (рис. 108). ВВХ —
= 2,5 м, АВ — 1,5 м, АС = 1 м. С — центр тяжести бал-
V///////////////////,
Рис. 108
кона. Определить реакции жесткой заделки А балкона,
если на верхнем конце В лестницы сюит человек весом
0,83 кН.
Ответ: ХА = 0,497 кН; YA = 1,53 кН; МА ==
= 1,695 кНм.
130. Вес груза М и блока, к которому подвешен груз,
равен 4,8 кН (рис. 109). ААх = Зьа9 ВВх = 2,1 м, АВ =
= 0,4 м, AD = 0,8 м. Пренебрегая весом консольных балок
40

и радиусом блока, определить реакции жестких заделок
А и В.
Ответ: ХА = — Хв = 1,8 кН; УА =
МА = 7,2 кНм; Мв = 5,04 кНм.
2,4 кН;
131. На горизонтальной балке Л В закреплен однород-
однородный параллелепипед М± высотой h = 0,4 м и весом Рх =
= 150 Н (рис. ПО), а к концу D наклонной балки подве-
подвешен на веревке груз М2 весом Р2 = 100 Н. а = 0,3 м,
b = 0,2 м, с = 0,1 м, в точке В — шарнир. Определить
Рис. 110
Рис. llh
реакции жесткой заделки А от действия тел Мг и М2 и дав-
давление балки BD на ребро /С.
Ответ: ХА =0; YА = 250 Н; Мд = —180 Нм;
NK = 120 Н.
132. Гладкая труба весом 1,5 кН и внешним радиусом
R = 0,26 м опирается на выступ D и вертикальную стену
АВ весом 0,4 кН (рис. 111). На стену действует нагрузка,
распределенная по линейному закону с максимальным зна-
значением интенсивности 0,60 кН/м. А В = 4 м, ADX = 0,5 м,
DZ>! = 0,14 м. Определить реакции жесткой заделки Л.
Ответ: Х^ = 2,4 кН; У^ ^0,4 кН; МА = 0,736 кНм.
133. Однородная горизонтальная балка А В весом 3 кН
шарнирно прикреплена к вертикальной балке BD весом
5 кН и свободно опирается на гладкий выступ А (рис.
112). На балке А В размещена плита М'весом 4 кН. На бал-
балку BD действует нагрузка, распределенная по закону тре-
треугольника, со средним значением интенсивности 0,8 кН/м.
BD = 9 м, /i = 3 м, /2 = 7 м, а = 2 м. Определить реак-
реакции жесткой заделки D.
Ответ; XD = —7,2 кН; YD = 8,1 кН; MD=*2lt6 кНм.
41

134. Через блок D на конце стрелы крана переброшен
трос, к одному концу которого подвешен груз М весом 6 кН
(рис. 113), а другой коней закреплен на лебедке К. Трос
DBBl9 закрепленный на лебедке В19 удерживает в равно-
равновесии стрелу DDX. Пренебрегая весом конструкции и рас-
расстоянием ADl9 определить реакции жесткого крепления
Л, если а == 60°, АВ =» DDX = 5 м.
Ответ: ХА = —Ъ кН; YA = 0,804 кН;
15 кНм.
135. На два блока радиусов г и 2г, жестко скрепленных
между собой и насаженных на общую ось вращения (рис.
Рис. 112
Рис. 113
Рис. 114
114), намотаны нити, к концам которых прикреплены груз
А весом 40 Н и груз В. Полагая, что a = 30° и пренебре-
пренебрегая трением, весом блоков и нитей, определить при равно-
равновесии системы:
I) вес груза В, 2) величину и направление давления на ось
О вращения блоков.
Ответ: 1) Q = 10 Н; 2) N = 26,5 Н. Угол между N и
вертикалью равен 40°54'.
136. Через блок А переброшен трос, к концам которого
прикреплены вагонетка М± весом 3,6 кН и вагонетка М2.
Вагонетки расположены на неподвижных плоскостях АВ и
АС, отклоненных от горизонтальной плоскости на углы
60° и 30° (рис. 115). Пренебрегая весом блока, троса и тре-
трением, определить давления вагонеток на плоскости АВ и
АС, а также величину и направление давления на ось блока
А при равновесии вагонеток.
Ответ: W, = 1,80 кН; <V2 = 5,40 кН; R = 4,41 кН.
Угол между R и вертикалью равен 15°.
42

137. Радиусы вала / и зубчатого колеса 2, которые жест-
жестко скреплены между собой и имеют общую горизонтальную
ось вращения 019 равны гх = 8 см и г2 = 20 см (рис. 116),
длина рукоятки ОЛ, жестко скрепленной с зубчатым коле-
колесом 3 радиуса г3 = 5 см, равна 40 см. Определить силу F,
которую нужно приложить к концу рукоятки перпендику-
Рис. 115
Рис. 116
Ркс. 117
лярно к О А, чтобы удержать в равновесии груз весом Р =
= 1 кН.
Ответ: F = 50 Н.
138. Между гладкой стеной и зубчатым колесом / раз-
размещена тонкая вертикальная зубчатая рейка весом Я, а к
зубчатому колесу IV приложена по касательной к ободу
Bf л
Рис. 118
Рис. 119
сила F (рис. 117). Установить зависимость между силами
F и Р при равновесии спаренных зубчатых колес /, //, ///,
IVу числа зубцов которых равны гъ г2, г3, г4 соответственно.
Ответ: F=-^-P.
139. К кривошипу О А механизма OABt расположенного
в горизонтальной плоскости (рис. 118), приложена пара
сил с моментом М = 260 Нем, а к ползуну В — сила F,
направленная, вдоль ВО. О А = ОВ == 13 см, АВ = 24 см.
Пренебрегая трением, определить силу F, давление
43

ползуна В на его направляющие и реакцию шарнира А
при равновесии механизма.
Ответ: F = 48 Н; NB = 20 Н; Хл = ±48 Н; YA =
= ±20 Н.
140. К кривошипу ОА механизма ОАВ, расположенного
в горизонтальной плоскости, приложена пара сил с момен-
моментом М = 1,4 Нм, а к ползуну В, направляющие которого
параллельны оси Ох, сила F (рис. 119). О А = 10 см, АВ =
= 15 см, ААУ = 8 см, ВВХ = 17 см. Пренебрегая трением,
определить величину силы F, давление ползуна на его на-
направляющие и реакции шарнира А при равновесии меха-
механизма.
Ответ: F = 40 Н; W* = 30 Н; ХА = ± 40 Н; К,* ==
= 4-30 Н.
§ 5. Трение скольжения
141. На верхний конец вертикального столба высотой h
над горизонтальным полом опирается наклоненная к нему
однородная тонкая балка длиной 2/, нижний конец которой
упирается в пол. Определить коэффициент трения между
балкой и полом, если наибольший угол наклона балки к
вертикали в положении равновесия равен а. Трением меж-
между балкой и столбом пренебречь.
^ г / sin a ¦ cos2 а
Ответ: t=h-U\n*a.*&a'
142. Однородная балка АВ концом А опирается на ше-
шероховатый горизонтальный пол, а концом В — на шерохо-
шероховатую плоскость, составляющую с полом угол 60°. Коэф-
Коэффициенты трения балки о пол и плоскость одинаковы и
равны 0,41. Определить минимальный угол ф между балкой
АВ и полом при равновесии балки.
Ответ: ф = 30°.
143. На шероховатой плоскости, отклоненной от гори-
горизонтальной плоскости на угол а, лежит тело А весом Ру
соединенное с грузом весом Q нерастяжимой невесомой
нитью, переброшенной через блок В (рис. 120). Пренебре-
Пренебрегая трением на блоке, определить, в каких пределах может
изменяться вес груза Q при равновесии тела А, если коэф-
44

фициенг статического трения между телом А и наклонной
плоскостью равен f.
Ответ: P(sin а — / cos а) ^ Q ^ P(sin а + f cos а).
144. Ha вал А радиуса г и шкив В радиуса R, которые
жестко скреплены между собой, действует пара сил с мо-
моментом М (рис. 121). К валу А прижаты тормозные колод-
колодки, каждая из которых давит на вал с силой Q. Определить
наименьшую силу Р, которую надо приложить к двум дру-
другим тормозным колодкам,.прижатым к шкиву В, чтобы вал
Рис. 120
Рис.
Рис. 122
находился в состоянии покоя. Коэффициент статического
трения колодок о вал равен flt а о шкив — f2.
Ответ: Р - М Z2f/Q при М > 2fxrQ.
145. Однородный стержень А В длиной 40 см опирается
концом А на шероховатую стену и удерживается в равно-
равновесии невесохмой нитью CD (рис. 122). Определить коэф-
коэффициент статического трения между концом А стержня и
стеной, если ВС = 15 см, AD = 25 см, а наименьший угол
а при равновесии стержня равен 45°.
Ответ: f = 0,646.
146. Однородная прямоугольная рама, состоящая из
четырех тонких стержней, удерживается в вертикальном
положении силами трения во втулках А и В (рис. 123).
Коэффициент статического трения рамы во втулке А равен
\, а во втулке В — /2. Определить наибольшее расстояние
между втулками А и В при равновесии рамы, если длина
горизонтального стержня равна а.
Ответ: АВ S=
/2).
45

147. Прямоугольная призма А весом Рх расположена
на горизонтальной плоскости, а прямоугольная призма В
весом Р2 (меньших размеров) — на верхней грани призмы
А. Коэффициент статического трения между призмой А и
горизонтальной плоскостью равен fx. При каком коэффици-
коэффициенте статического трения /2 нижней грани призмы В о верх-
верхнюю грань призмы А горизонтальная сила Q, приложен-
приложенная к призме Ву заставит призму А скользить по гори-
горизонтальной плоскости без изменения положения тела В
относительно тела А?
Ответ: /2>М%+Рг).
Рис. 123
Рис. 124
Рис. 125
148» На шероховатой наклонной плоскости помещено
призматическое тело с прикрепленными к нему выступами
А и В (рис. 124). Определить наибольший угол а между
наклонной и горизонтальной плоскостями при равновесии
тела, если А В = ВС = АС и коэффициенты статического
трения между наклонной плоскостью и выступами А и В
равны fx и /2 соответственно.
Ответ:
149. Вес однородного стержня CD Р = 100 Н, а коэффи-
коэффициент статического трения между стержнем CD и опорами
Аи В f = 0,5 (рис. 125). АВ = 0,8 м, CD = 1,2 м, АС =
= BD, а = 30°. Определить наименьший вес груза М при
равновесии стержня.
Ответ: 334 Н.
150. Вес однородного гладкого клина С равен 32 Н (рис.
126). Коэффициент статического трения между одинаковы-
одинаковыми призматическими телами Л и В и горизонтальными плоо
46

костями / == 0,6. 2а = 30°. Определить наименьший вес
тела А при равновесии системы.
Ответ: Q = 84 Н.
151. Вес каждого из ползунов А и В (рис. 127) равен 5 Н,
вес каждого однородного стержня равен 20 Н,коэффициент
статического трения между ползуном и горизонтальной
плоскостью/ = 0,4, AD = BD. Пренебрегая трением в шар-
шарнирах Л, В, D, определить наибольший угол ф при равно-
равновесии системы.
Ответ: ф = 90°,
Рис. 126
Рис. 127
Рис. 128
152. Считая, что кривошип О А и шатун АВ являются
однородными стержнями одинаковой длины и весом Р
каждый (рис. 128), определить наименьший угол ц>>
при котором механизм, расположенный в вертикальной
плоскости, будет в равновесии, если коэффициент статиче-
статического трения между ползуном В весом Q и его направляю-
направляющими равен /.
Ответ: tg9=
Рис. 129
Рис. ISO
Рис. 131
153. Коэффициент статического трения между грузами
Мг и М2 одинакового веса и плоскостями, на которых они
расположены, / = 0,5 (рис. 129). Пренебрегая весом нити
и трением на блоке, определить наименьший угол а при рав-
равновесии системы.
Ответ: а = arcsinO,6.
47

154. Коэффициент статического трения между телом Аг
весом Рх = ЗОН и вертикальной стенкой /х = 0,4, а между
телом А2 весом Р2 = 50 Н и горизонтальным полом/2 = 0,5
(рис. 130). Тела At и А2 соединены невесомым жестким
стержнем с шарнирами на концах. Определить наименьший
угол ос, при котором система находится в равновесии.
Ответ: tga =
26°34'.
155. Однородный гладкий шар весом Q = 25 Н, навин-
навинченный на однородный тонкий, стержень ОС весом Р =
= 40 Н, упирается в брусок М весом Рг ~ 50Н (рис. 131).
Определить коэффициент статического трения между брус-
бруском и горизонтальной плоскостью, если состояние равнове-
равновесия бруска начинает нарушаться при а = 30°, где а — угол
между вертикалью и стержнем.
Ответ: f = 0,52.
§ в. Определение усилий в стержнях
плоской шарнирной фермы
156. К узлу В фермы ABC (рис. 132) приложена верти-
вертикальная нагрузка Р = 1,2 кН. АЕ = BE = 2 м, DE =
=f 1,5 м. Определить аналитически реакции опор и усилия
в стержнях фермы1.
Ответ: ХА = 1,6 кН; Хс = —1,6 кН; Yc = 1,2 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
-1,6
2
2,0
3
0
4
—1,6
5
0
6
2,0
7
0
157. К узлу С фермы ABECD (рис. 133) приложена си-
сила Р = 9 кН, направленная перпендикулярно к СЕ. АЕ =
= ?>?, АВ = С?, Л? = 0,5 АВ. Определить аналитиче-
аналитически реакции опор и усилия в стержнях фермы.
Ответ: ХА = —14,89 кН; Хв = 10,39 кН; YB =
= 7,79 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
-15,59
2
18,0
• з
—18,0
4
25,46
5
—13,5
6
—25,79
7
20,78
* В задачах 156—170 ось х нчправнть горизонтально впрчво, ось
у вертикально вверх, вес фермы не учитывать.
48

158. К узлу D фермы ABC (рис. 134) приложена сила Ях=
= 3 кН, направленная перпендикулярно к АС, а к узлу
С — вертикальная сила Р2 = 1 кН. Определить аналитиче-
аналитически реакции опор и усилия в стержнях фермы, если а=30°.
Ответ: ХА = —1,5 кН; YA = 0,366 кН; YB =
= 3,232 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
2,134
2
—0,732
3
0
4
2,134
5
—3,464
6
1,00
7
0
8
—1,732
9
1
Рис. 132
Рис. 133
159. К узлу С фермы ABC (рис. 135) приложена верти-
вертикальная сила Рг = 2 кН, а к узлу Е — горизонтальная
сила Р2 = 1 кН. АС = AD = CD = BD, DE || АС. Оп-
Определить аналитически реакции опор и усилия в стержнях
фермы.
Рис. 135
Ответ: Ха = 1 кН;
Рис. 136
= 1,72 кН; YB = 0,28 kR
Номер стержня
Усилия, кН
1
-0,01
2
—1,98
3
0,50
4
-1,43
5
—0,50
6
0,49
7
—0,57
3 9-396
49

160. К узлу Е фермы ABDC (рис. 136) приложена вер-
вертикальная сила Рг = 20 кН, а к узлу D — сила Р2 =
= 10 кН, направленная под углом 45° к CD. Определить ана-
аналитически реакции опор и усилия в стержнях фермы.
Ответ: ХА = 7,07 кН; YA = 15,30 кН; YB = 11,77кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
0,58
2
—17,07
3
17,07
4
-15,30
5
5,26
6
5,89
7
—13,16
Рис. 137
Рис. 138
161. К узлу Е фермы ABC (рис. 137) приложена сила
Рх = 10 кН, направленная перпендикулярно к ВС, а к уз-
узлам С и D — вертикальные силы Р2 = 10 кН, Ps = 20 кН.
AD = BD = CD, DE \_ ВС, DK JL Л С. Определить ана-
аналитически реакции опор и усилия в стержнях фермы.
Ответ: ХА = 7,07 кН;
= YA = 18,5 кН.
Номер
стержня
Усилий,
кН
1
11,5
2
-26,2
3
0
4
-26,2
5
27,1
6
-26,2
7
—10,0
8
—26,2
9
18,5
162. К узлу С фермы A BCD (рис. 138) приложена верти-
вертикальная сила Pi = 3 кН, а к узлу Е —сила Р2 = 2 кН,
направленная под углом 45° к DC AF = FB = 5? = С?.
Определить аналитически реакции опор и усилия в стерж-
стержнях фермы, если Z.AFG = 45°.
Ответ: Хл = —9 кН; Кл ==—6 кН; RF = 14,73 кН.
Номер
стержня
Усилия, кН
J
3
2
8,48
3
—10,41
4
—7,41
5
6,24
6
1,59
7
— 1,41
8
3
9
—4,24
50

163. К узлу Е фермы ABCD (рис. 139) приложена вер-
вертикальная сила Ри к узлу С — горизонтальная сила Р2, а к
узлу D — сила Р3, направленная под углом 60° к DC. Рг —
= Р2 = Р3 = 20'кН, ЛО = Л? = BE = ВС. Определить
аналитически реакции опор и усилия в стержнях фермы.
Ответ: ХА = 30 кН; Г„ - 42,32 кН; YB » —5 кН.
Номер
стержня
Усилия, кН
1
-30,0
2
^42,32
3
35,3
4
-15,0
5
0
6
—15,0
7
-7,07
8
0
9
5,0
6 С
ю
Рис. 139
Рис. 140
164. К узлу F фермы ABCDE (рис. 140) приложена вер-
тикалвная сила Plt к узлу Е— горизонтальная сила Р2,
рг = р2 == 20 кН. Определить аналитически реакции
опор и усилия в стержнях 7, <5, 9, 10, если АЕ = EG ==
'в
Ответ: ХА = —20 кН; YA = 5 кН; YB - 15 кН;
S7 = 20 кН; S6 = 30 кН; S9 = 0; Sw =
= —33,54 кН.
'К& 2а \ff ?a
165. К узлу Е фермы ABCD
(рис. 141) приложена вертикаль-
вертикальная сила Рь а к узлу D — сила
Р2, направленная вдоль DE. Рг =
= Р2 = 40 кН. Определить ана-
аналитически реакции опор и усилия
в стержнях фермы.
Рис. 141
Ответ: Хв = —28,28 кН;
= 5,86 кН.
YB = 5,86 кН; YA =
Номер стержня
Усилия, кН
1
8,28
2
—5,86
3
-48,28
4
11,72
5
—8,28
6
—34,14
7
8,28

166. Определить аналитически реакции опор и усилия
в стержнях /, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 фермы, если сила Р = 4 кН,
направлена под углом 45° к горизонту (рис. 142).
Ответ: ХА = 8,48 кН; YA = —0,85 кН; RB = 9,33 кН.
Номер
стержня
Усилия,кП
1
17,39
2
—12
3
-8,06
4
14,85
5
5,2
6
—12,87
7
—5,22
8
-5,22
Рис. 142
Рис. 143
167. Определить аналитически реакции опор и усилия
в стержнях /, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9 фермы, если горизон-
горизонтальная сила Р = 3 кН, вертикальная Pt = 7 кН (рис. 143).
Ответ: Хл = —12 кН; YA = —10 кН; RB = 17 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
—42,5
2
8,08
3
45,89
4 1 5
17,32 | 34,64
6
—40
7
0
8
0
9
—17
Рис. 144
168. Определить аналитически реакции опор и усилия
в стержнях /, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 фермы, если вертикальная
сила Р = 2 кН (рис. 144).
Ответ: ХА
Номер стержня
Усилия, кН
-0;
1
6,32
Ya
2
0
= — 1 кН
3
—6
4
0
; Rb =
5
-4,24
= 9 кН.
6
3
7
—6,32
8
6

169. Определить аналитически реакции опор и усилия в
стержнях /, 2, 5, 49 5, 6, 7, 8 фермы, если горизонтальная
сила Р = 2 кН, вертикальная Pt =¦ 5 кН (рис. 145).
Ответ: RA = 25 кН; ХБ = —10 кИ; Г в = 35 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
—5,59
2
-2,5
3
5
4
—2,828
5
—7
6
7
7
—8,485
8
— 11
Рис. 145
Рис. 146
170. Определить аналитически реакции опор и усилия в
стержнях /, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 5 крановой фермы, если вес
груза Р = 8 кН (рис. 146).
Ответ: ХА = —6 кН; YA = 8 кН; Я* = 6 кН.
Номер стержня
Усилия, кН
1
-24
2
-32
3
33,94
4
—32
5
0
6
24,74
7
25,'3
8
—24
Глава П. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 7. Сходящиеся силы
171. Однородная горизонтальная плита весом Р подве-
подвешена к крюку подъемного крана с помощью трех невесомых
веревок, составляющих с плоскостью плиты углы в 45°. Оп-
Определить натяжения веревок, если основание плиты —
равносторонний треугольник и веревки прикреплены к его
вершинам.
Ответ: Т = 0?471 Р,
63

172. Однородная правильная треугольная призма ве-
весом Р поддерживается тремя одинаковыми невесомыми
стержнями, составляющими с основанием призмы углы в
120° (рис. 147). Считая крепления стержней шарнирными,
определить усилия в стержнях.
Ответ: S = —0,385 Р.
173. Три невесомых стержня АВ,
AC, AD шарнирно скреплены в точке
А и шарнирно прикреплены к горизон-
горизонтальной подставке (рис. 148). Плоскос-
Плоскости треугольников ABC и AOD верти-
вертикальны и взаимно перпендикулярны.
К узлу А параллельно OD приложена
сила Р = 0,60 кН. Определить уси-
усилия в стержнях, если ZABO = ZACO = 45°, /.ADO =
= 60°.
Ответ: SB=SC = 0,735 кН; SD = —1,20 кН.
174. К узлу А подвешен груз Р весом 2,4 кН (рис. 149).
Плоскость ABC горизонтальна, а плоскость KADE верти-
вертикальна. Стержень AD наклонен к вертикали под углом 30°,
Рис. 147
Рис. 148
Рис. 149
/АВК = /АСК =45°. Пренебрегая весом стержней и
считая крепления стержней в точках А, В, С uD шарнир-
шарнирными, определить усилия в стержнях ABf AC, AD.
Ответ: SB = SC = —0,980 кН; SD = —2,771 кН.
175. Груз весом Р висит на тросе, перекинутом через
блок В и идущем к вороту Е (рис. 150). Пренебрегая тре-
трением на блоке и весом стержней, определить усилия в
64

стержнях АВ, ВС и BD, поддерживающих блок В> считая
крепления стержней шарнирными.
Ответ: SA=SC= 1,577P; SD = —3,732 Р.
176. Груз Р весом 1,8 кН поддерживается тремя неве-
невесомыми стержнями АВ. АС и ЛО, прикрепленными к го-
горизонтальной подставке (рис.
151). Плоскость ABE вер-
вертикальна, z BE А = 30%
= лАСЕ=
Рис. 150
Рис. 151
= 60°. Считая крепления стержней в точках Л, Б, С и D
шарнирными, определить усилия в стержнях.
1,559 кН;
=SD=* —0,520 кН.
Рис 152
Рис 153
177. Фонарь весом Р подвешен в точке Л с помощью трех
тросов (рис. 152). Определить натяжение тросов, если АВ =
- ВС - АС.
Ответ: ТВ = ТС = Р ^¦ Td==P-
178. Груз Р весом 4,8 кН поддерживается тремя неве-
невесомыми стержнями АВ, АС и AD длиной 130 см, 40 см и

30 см соответственно (рис. 153), /.CAD = 90°. Считая креп-
крепления стержней шарнирными, определить усилия в стерж-
стержнях.
Ответ: SB = 5,2 кН; Sc = —1,6 кН; SD= — 1,2 кН.
179. Найти усилия, возникающие в стержнях АВ9 АС и
AD под действием силы Р, лежащей в вертикальной плос-
плоскости (рис. 154). Плоскость прямоугольника АВОС гори-
горизонтальна, а крепления стержней в точках Л, ByCnD шар-
шарнирные.
Ответ: SB = Р т/1; S с = Р; Sd = — Р /3.
Рис. 154
Рис. 155
Рис. 156
180. Невесомые стержни АВУ АС и AD скреплены шар-
нирно в точке А и шарнирно прикреплены к вертикальной
стене (рис. 155). Плоскость ADK перпендикулярна к плос-
плоскости BCD, плоскость ABC отклонена от стены на угол 30Q.
^АВК = /АСК = 45°, /ADK = 120°. Определить уси-
усилия в стержнях, если вес груза Р = 2,00 кН.
Ответ: SB =SC =—/б~кН; SD-2,00 кН.
181. На рис. 156 изображен переносной кран. АВ =
= BC=AD=AE. Груз весом Р висит на тросе, перекинутом
через блок С. Второй конец троса закреплен на лебедке /(.
Пренебрегая трением на блоках и весом стержней, опреде-
определить усилия в стержнях и натяжение Т троса CBL> если
крепления стержней шарнирные и ВС || FA.
Ответ: SCA = SBA = —2,414Р; SBD = SBE = Р; Г = Р.
182. Три гладких однородных шара весом Р каждый
подвешены в точке О на трех веревках одинаковой длины*
56

Определить натяжение Т веревок и давление N шаров друг
на друга, если каждая веревка составляет с вертикалью
угол 30°.
Ответ: Г=уРуЛ3; Лг = -1р.
183. К вершинам Л, В и С стержневого тетраэдра A BCD
прикреплены три груза весом Р каждый (рис. 157). Пренеб-
Пренебрегая весом стержней и считая их крепления шарнирными,
найти усилия в стержнях и натяжение Т нити DE.
Рис. 159
Ответ: Sx = S2 = S3 ==-~
184- К стержневой конструкции (рис. 158), состоящей
из девяти одинаковых невесомых стержней, подвешен груз
весом Р. Считая крепления стержней шарнирными, опре-
определить усилия в стержнях и натяжение Т нити А В,
Ответ: Усилия в горизонтальных стержнях Sr =
— l_ ъ в остальных S ¦¦
рУь . т__
= Р.
185. Конструкция состоит из девяти шарнирно соеди-
соединенных между собой невесомых стержней, расположен-
расположенных по ребрам и диагоналям граней куба (рис. 159). Опре-
Определить усилия в стержнях, если к узлу А подвешен груз
весом Р9 а узлы В и С опираются на катки.
Ответ:
57

§ 8. Произвольная система сил
186. Два диска с радиусами гх = 0,25 м и г2 == 0,3 м,
расположенные в плоскостях, параллельных плоскости
хОгу прикреплены к горизонтальному стержню ВСУ жестко
скрепленному с вертикальным стояком О А (рис. 1^60). В
плоскости каждого диска действует пара сил, а силы пар
/71 = ЗНи/72=-5Н направлены по касательным к их обо-
дам. Пренебрегая весом конструкции, определить реакцию
подпятника О, если расстояние между ним и подшипником
А равно 0,75 м.
Ответ: Хо = —2 Н; Yo = Zo = 0.
Рис. 160
Рис. 161
187. Вдоль ребер прямоугольного параллелепипеда,
жестко прикрепленного к вертикальному валу, действуют
две пары сил (Fl9 —Fi) и (F2, —F2), плоскости которых па-
параллельны плоскостям xOz и yOz соответственно (рис. 161).
Пренебрегая весом конструкции, определить реакцию под-
подпятника О, если расстояние между ним и подшипником А
равно h.
Ответ: Ко = — jFx\ Y0 = — ~F2\ Zo = 0.
188. Призма (рис. 162) прикреплена к неподвижным опо-
опорам сферическим шарниром О и двумя невесомыми стерж-
стержнями ААХ и ССи параллельными осям Ох и Oz соответст-
соответственно. В плоскости грани ABDC действует пара сил, вели-
величина силы которой равна F. Пренебрегая весом призмы, оп-
определить реакцию сферического шарнира.
Ответ:
58

Г89. Вдоль ребер невесомого прямоугольного паралле-
параллелепипеда (рис, 163) действуют две силы, величина каждой
из которых равна F. Параллелепипед прикреплен к опорам
сферическим шарниром О и тремя идеальными стержнями,
параллельными координатным осям. Определить реакцию
сферического шарнира.
Ответ: Хо = 0; Yo = — F\ Zo = F.
190. Прямоугольный параллелепипед (рис.164) прикреп-
прикреплен к опорам сферическим шарниром О и тремя идеальными
стержнями, параллельными координатным осям. В плос-
плосРис. 163
Рис. 164
костях граней параллелепипеда действуют три пары сил
с моментами М1у М2 и М3. Пренебрегая весом параллеле-
параллелепипеда, определить реакции сферического шарнира.
0=_; Zo= — .
Ответ: X0 = 'f
191. Однородная плита, основанием которой является
треугольник ЛВС, удерживается в горизонтальном положе-
положении тремя вертикальными веревками,закрепленными в его
вершинах. Определить натяжение веревок, если вес плиты
равен Р.
Ответ: Тд = Тв =ТС= -— •
192. Столик весом 90 Н состоит из горизонтальной дос-
доски в форме равностороннего треугольника ABC и трех вер-
вертикальных ножек, прикрепленных к его вершинам. К сере-
середине стороны А В приложили вертикальную силу Q =
= 120 Н, направленную вниз. Определить давление каж-
каждой ножки на пол.
Ответ: NA = NB = 90 Н; Nc - 30 Н.
59

193. Однородный прямоугольный клин весом Р стоит
на подставках А, В, С (рис. 165). Определить давление кли-
клина на подставки.
Р . ХГ Р . ,7 ^
Ответ: NA=-^
'В = -«Г 1
Рис. 166
194. Однородная прямоугольная плита весом 1,8-кН
удерживается в горизонтальном положении тремя невесо-
невесомыми вертикальными стержнями с шарнирами на концах
(рис. 166). Определить усилия в стержнях.
Omeem: SA =* -+SB = 0,9 кН; Sc = 1,8 кН.
Рис. 167
Рис. 168
195. Однородная плита, основанием которой является
фигура, состоящая из трех равных прямоугольников (рис.
167), удерживается в горизонтальном положении тремя
вертикальными веревками. Определить натяжения вере-
веревок, если вес плиты 9,6 кН.
Ответ: ТА = ТС = 4,0 кН, Тв = 1,6 кН.
196. На платформе трехколесной тележки лежит груз
весом 1,8 кН (рис. 168). Центр тяжести груза находится
60

на вертикали, проходящей через точку D, координаты ко-
которой х =- 10 см, у = 40 см. Определить давление каждого
колеса тележки на пол, пренебрегая ее весом, если АО =
= ОВ = 40 см и ОС = 90 см.
Олюею: ЛГА = 725 Н; NB = 275 Н; Nc = 800 Н.
197. Стержень А В жестко прикреплен к горизонталь-
горизонтальному валу, вложенному во втулки D и Е (рис. 169). К кон-
концу А стержня подвешен груз Р весом 3,9 кН, а в точке С
стержень А В подпирается вертикальным стержнем ССг.
V
л
f]
^k E 1
\
V-
~^\ У
Рис. 169
Рис. 170
Пренебрегая весом стержней, найти реакции втулок и
стержня СС1у если BD = BE, ВС = ЗАС и АВ ± DE.
Ответ: RD = Re == 0,65 кН; /?с = 5,2 кН.
198. Однородная крышка ящика весом 100 Н удержива-
удерживается в равновесии при помощи вертикальной веревки EF
(рис. 170). Определить реакции петель А и В, если СЕ ==
= 20 см, ED = 80 см.
Оа/266/п: /?л - 40 Н, RB = ЮН.
199. Груз весом Q = 1000 Н равномерно поднимается
с помощью ворота (рис. 171). Пренебрегая весом ворота,
определить реакции подшипников А и В и силу Я, которую
надо приложить перпендикулярно к рукоятке CD длиной
50 см при ер горизонтальном положении. Радиус вала г =
= 11 см.
Ответ: Р = 220 Н; RA = 800 Н, RB = 420 Н.
61

200. К горизонтальному валу АВ жестко прикреплены
барабаны С, D, Е (рис. 172). Пренебрегая весом барабанов,
определить вес груза Р при равновесии системы барабанов и
реакции подшипников А и В, если веса грузов: Рх = 1 кН,
Р2 = 2 кН, радиусы барабанов rD = 2rc = 2гЕ.
Ответ: Р = 1,5 кН; /?Л = 2,0 кН; RB = 2,5 кН.
/tow,
40см
50см
30
В
201. Однородный прямоугольный клин весом 30 Н под-
подвешен к стене на гвозде С и упирается подставками А и В
в эту стену (рис. 173). Определить реакции опор, если AF =
= 12 см, AD = 15 см и CD = СЕ.
Ответ: YA = У в = 4Н;
Zc = 30 Н.
Рис. 174
202. Горизонтальная полочка жестко прикреплена к вер-
вертикальной стойке АВ длиной 100 см (рис. 174). В точке С,
координаты которой х = —60 см, у = 50 см, на полочку
действует вертикальная сила Р = 100 Н. Определить реак-
реакции подпятника Л и подшипника В, обусловленные силой Р.
Ответ: ХА=—ХВ = —60 Н; YA = — YB = 50 Н;
ZA = 100 Н.
62

203. Две однородные прямоугольные пласгинки, скреп-
скрепленные под прямым углом, могут вращаться вокруг оси
А В (рис. 175). Вес пластинки A BCD равен 0,9 Н, а вес
пластинки ABEF — 1,40 Н. Определить давление на под-
подпятник А и подшипник В, если А В = 20 см, AD = 8 см и
AF = 12 см.
Ответ: Хл = — Хв = —0,42 Н; 7Л = — У в - — 0,18 Н;
ZA = —2,30 Н.
204. Горизонтальные диски радиуса 40 см жестко при-
прикреплены к вертикальному стержню А В длиной 80 см (рис.
i
Рис. 175
Л У
'М
Рис. 177
176). Определить реакции подпятника А и подшипника В,
возникающие при действии вертикальных сил Рг = 8 Н
и Я2= 12Н.
Ответ: ХА = — Хв = 4 Н; YA « — Г* = 6 Н; ZA =
= 20 Н.
205. Из колодца с помощью ворота (рис. 177) равномер-
равномерно поднимают груз Q весом 90 Н. Пренебрегая весом воро-
ворота, определить давление на подшипники Л и В и величину
силы Я, которую необходимо приложить перпендикуляр-
перпендикулярно к рукоятке CD длиной 54 см при ее вертикальном поло-
положении. Радиус барабана г = 12 см.
Ответ: Я= 20 Н; Л^=2Н; NAz = — 54 Н; NBx =
= -22Н; #вг=-ЗбН.
206. Однородные горизонтальные блоки В и С прикреп-
прикреплены к вертикальному валу О А (рис. 178). На блоки намо-
намотаны веревки, переброшенные через малые блоки D и Е% К
концам веревок прикреплены грузы весом Р и Q. Общий
вес вала и горизонтальных блоков равен 60 Н. Пренебре-
63

гая трением на блоках D и Е, определить вес груза Q при
равновесии системы и реакции подшипника А и подпятника
О, если Р = 100 Н, АВ = 30 см, ВС = 55 см, СО = 45 см
и радиусы блоков гв = 10 см, гс = 50 см.
Q = 20 Н; Хл = Хо = 0; Ул = 70 Н; Yo =
= 10 Н; Zo = 60 Н.
Z]
Рис. 179
207. Однородная горизонтальная полка CDEF весом 50 Н
жестко прикреплена к прямоугольной раме весом 40 Н
(рис. 179). Определить реакции подпятника Л и подшипни-
подшипника Я, если Л В = 90 см, CD = FE = 60 см, CF = DE =
= 40 см и веса грузов /^ = 80 Н,
Р2 = 120 Н.
Ответ:. ХА = —Хб = 100 Н;
Кл=—ГБ= НО Н;
гл = 290 Н.
208. Однородный брус А В дли-
длиной 298 см и весом 280 Н концом А
опирается на гладкий пол, а кон-
концом В — на две гладкие стены и
удерживается в равновесии верев-
веревками АС и AD (рис. 180). Пренеб-
Пренебрегая толщиной бруса, определить давление бруса на стены
и натяжение веревок, если АС = 90 см, AD = 48 см
и AC JL AD.
Ответ: TD = —NBx = 24 Н; Гс= —Л^=45 Н; Л^и« =
= —280 Н.
209. Через шкив переброшена веревка, конец С которой
закреплен, а к другому концу прикреплен груз D весом
64

10 кН (рис. 181). АО = 90 см, ОВ = 60 см, а = 30°. Опре-
Определить реакции подшипников.Л и В при действии груза/?.
Ответ: YA = 2 УЗ кН; ZA = 6 кН; FB = 3]/3" кН;
ZB = 9 кН.
210. Однородная плита ЛВС весом 180 Н удерживается
в горизонтальном положении петлями Л и В и веревкой CD
(рис. 182). АС = ВС = 75 см, АВ = 90 см, CD = 156 см.
Определить реакции связей.
Ответ: Т = 65 Н;
= 12,5 Н; ZA = ZB = 60 Н.
211. Оконная фрамуга весом 160 Н удерживается под
углом а = 30° к вертикальной плоскости xOz с помощью
веревки DE (рис. 183). О А = ВС = 25 см, Л В = 1 м,
OD = 0,5 м, /JDED = 60°. Определить натяжение веревки
и реакции петель А и В.
Ответ: Т = 40 Н; Гл = 25 /3 Н; ZA = 55 Н; FB =
= _5|/3 H; ZB = 85 Н.
212. Веревка сходит со шкива С по касательной, образую-
образующей с вертикалью угол а = arcsin 0,6 (рис. 184), Радиус
шкива равен 20 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см, CD = 50 см,
АЕ = 60 см. Пренебрегая трением^ определить вес груза
Рг и реакции подшипников В и D при действии груза Р2
весом 270 Н при равновесии системы.
Ответ: Рх = 90 Н; YB = 90 Н; ZB == 0; Yd = 72 Н;
ZD = —126 Н.
65

213. Трос, намотанный на шкив С (рис. 185), натянули
так, что стержень BE отклонился от вертикали на угол
а — 30°, после чего конец Н закрепили. Определить на-
натяжение троса и реакции подшипников А и D при действии
шара Е весом 420 Н, если радиус шкива равен 0,4 м, диа-
диаметр шара равен 0,4 м, АВ = 0,4 м, ВС = 0,5 м, CD =¦¦
== 0,6 м, BE = 0,6 м, BE jl AD и НК \\ Dy.
Ответ: Т = 420 Н; YA « 168 Н; ZA = 308 Н; YD =
-252 Н; ZD = }12 H.
Рис. 184
Рис. 185
Рис. 186
214, На трехгранник (рис. 186) действуют три пары сил
с моментами Ml9 M2 и М3. Пренебрегая весом конструкции,
определить реакции подшипников Л, В и С, если О А =а,
ОВ = 6, ОС = с
Ответ: Хв = — Хс = ^ (—Мга + Мф +М3с)\
YC = -YA=± {Мха - Мф + Mzc)\
ZA == -ZB = JL (Мга + Мф - М3с).
215. Полочка (рис. 187), сделанная из трех однородных
пластинок: двух прямоугольных весом 8 Н каждая и одной
треугольной весом 3 Н, свободно висит на гвоздях А и В
и упирается в гладкую стену выступом D. На полочке лежит
груз весом 30 Н, координаты центра тяжести которого х ==
= У = ^ = 8 см. Определить реакции связей, если АС =
== ВС = CD «= ОЕ = 24 см.
Ответ: YD = — 2YA == — 2YB = 15 Н; Z,, = 29,5 Н;
Zb = 19,5 Н.
66

216. Три невесомых сгержня Л С, BD и BE шарнирно
скреплены в точке В и шарнирно прикреплены к горизон-
горизонтальной подставке (рис. 188). К концу С стержня АС под-
подвешен груз Р весом 80 Н. Определить усилия в стержнях
BD и BE и реакцию сферического шарнира Л, если плос-
плоскость BDE вертикальна, А В = 2 ВС и BD = BE =r D?.
0/иютп: SD = 5 р - - 69,3 Н; ХА = 0; Г„ = 0;
2л = _40 Н .
Рис. 187
Рис. 188
217. Однородная треугольная пластинка (рис. 189)
удерживается в равновесии подшипниками С, D и идеаль-
идеальным стержнем АВУ перпендикулярным к плоскости плас-
пластинки. ВС = BD, Z.AOB = 30°. Определить реакции свя-
связей, если вес пластинки Р = 48 Н.
Ответ: RB = 8/3 Н; Yc = YD == 2/3 Н; Zc =.
==ZD= 18 Н.
Рис.
Рис
218. Три невесомых стержня АВ, CD и С? скреплены
шарнирно в точке С (рис. 190). К концу В стержня АВ при-
прикреплен груз Р весом 60 Н. Определить реакции шарни-
шарниров Л,Ои?, если АС = ВС = 60 см, CD = 40 см, С? =
67

= 20 см и плоскость прямоугольника OECD горизон-
горизонтальна.
Ответ: ХЕ = — ХА = 60 Н; YD = — YA = 120 Н;
ZA = 60 Н.
219. Полка удерживается в горизонтальном положении
при помощи петель ЛиОи цепи BE (рис. 191). Вес полки
и лежащего на ней груза равен 900 Н, центр тяжести в точ-
точке М, координаты которой х = 0,8 м, у = 0,3 м. Опреде-
Рис. 191
лить реакции связей, если АВ
ZABE = 30°.
Рис. 192
0,6 м, AD = 1,8 м и
ZA = 50 Н;
Ответ: Т = 900 Н; YA = 450 /3 Н;
Yd = 0; ZD = 400 Н.
220. Однородная плита весом Р удерживается в горизон-
горизонтальном положении сферическим шарниром О и невесомыми
тросами АС и ВС (рис. 192). Определить реакции связей,
если ОА = ОБ = ОС.
Ответ: ТА =ТВ =
221. Однородная прямоугольная плита весом 1,6 кН
удерживается в горизонтальном положении сферическим
шарниром О, петлей А и невесомым тросом BD (рис. 193).
Определить реакции связей, если ОС = 100 см и ВС =
= CD = 80 см.
Ответ: Т = 1,131 кН; Хо = —ХА - 1,0 кН; Yo =
= Z0 = 0,8 кН; ZA = 0.
222, Стержень OB длиной 1,5 м удерживается в равно-
равновесии сферическим шарниром О и горизонтальными стерж-
68

нями АС и AD (рис. 194). К концу В стержня ОВ подвешен
груз Р весом 2,5 кН. Пренебрегая весом стержней и считая
их крепления шарнирными, определить реакции связей,
если ОА = 75 см, АС = 40 см, AD = 30 см и AC JL AD.
Ответ: Хо =SC = 3,578 кН; Y0 = SD = 2,683 кН;
Zo = 2,5 кН.
Рис. 193
Рис. 194
223. Однородная прямоугольная плита весом 240 Н
удерживается в горизонтальном положении петлей О и ве-
веревками AD и BD (рис. 195). АС = ВС = 80 см, ОС =
« 90 см, OD = 120 см. Определить реакции связей.
Ответ: ТА=ТВ = 85 Н, Yo = 90 Н, Zo = 120 Н.
Рис. 195
224. Перпендикулярно к рукоятке CD дифференциаль-
дифференциального ворота приложена сила F в плоскости, параллельной
плоскости xAz (рис. 196). Радиусы барабанов R = 15 см,
г = 10 см, CD ==* 50 см. Пренебрегая весом ворота, опреде-
определить реакции подшипников А и В и величину силы F9 удер-
удерживающей груз Р весом 6 кН при вертикальном положении
рукоятки.
Omeern: F = 300 Н, ХА - —30 Н, Хв - 330 Н, ZA =
= 3300 Н, ZB - 2700 Н.
69

225, Пренебрегая весом ворота (рис. 197), определить
реакции подшипников А и В и величину вертикальной силы
F, удерживающей вагонетку весом 2890 Н в равновесии,
если радиус барабана равен 0,12 м, АС = 0,6 м и а =
= arcsin т^.
Ответ: F = 272 Н, YA = —480 Н, ZA = —16 Н, YB =
= —720 Н, 1В = 384 Н.
226. К двери, приоткрытой на угол а = 60°, привязали
веревку ВЕМ с гирей М весом 44 Н (рис. 198). Дверь весом
'В QM
Рис. 197
D
Рис. 198
264 Н удерживается в равновесии силой F, приложенной к
ручке С и направленной параллельно оси Оу. А В = АЕ —
= 0,9 м, ОА = 2,2 м, CD = 1 м. Пренебрегая трением,
определить величину силы F и реакции подшипника А и
подпятника О.
Ответ: F = 44 Н; _ХА =
Хо = 27 ]/3 Н;
—5 КЗ Н;
Yo - 51 Н;
= —29 Н;
Zo = 264 Н.
227. Лестница весом 140 Н и длиной 3,6 м опирается на
гладкую стену и гладкий пол, составляя с полом угол в 60°,
и концом А упирается в выступ (рис. 199). В точке Е стоит
человек весом 750 Н. Найти давления на опоры, если АЕ =
= 2,4 м и центр тяжесги дестницы находится в ее середине.
Ответ: NAlJ = — NCy - 190 ]/3 Н; NAz = —820 Н;
NB2 = —70 Н; ND = 0.
228. Однородная прямоугольная полочка весом 100 Н
удерживается в горизонтальном положении сферическим
70

шарниром Л, петлей D и невесомой веревкой С?, составляю-
составляющей с вертикалью BE угол в 60° (рис. 200). Определить реак-
реакции связей, если АВ = 120 см, AD = 100 см.
Ответ: Т = 100Н; ХА = 50 J/3"Н; УА = — Yd =
= 60 КЗ Н; Z^ = 50 Н; ZD = 0.
Рис. 200
Рис. 201
229. Однородная прямоугольная плита весом 300 Н
удерживается в горизонтальном положении сферическим
шарниром А, петлей D и невесомой веревкой СЕ длиной 1 м
(рис. 201). ВС = 30 см, CD = 40 см. Определить реакции
связей.
Ответ: Т = 100j/3 H;
= 30]/]* Н;
ХА =
г\
230. Однородная прямоуголь-
прямоугольная полка весом 260 Н удержи-
удерживается в горизонтальном поло-
положении сферическим шарниром Л,
петлей В и подперта невесомым
стержнем СЕ с шарнирами на кон-
концах (рис. 202). Определить реакции связей, если АВ =
= 120 см, AD = 50 см, АЕ = 65 см.
Рис. 202
Ответ: Rc - 130 Vb Н; ХА = —100 Н; YA = —240 Н;
ZA = 130 Н; Хв = ZB = 0.
231. На коленчатый вал (рис. 203) давит шатун с силой
Р = 12 кН, направленной перпендикулярно к шейке вала
под углом 75° к вертикали. Пренебрегая весом вала, опре-
определить реакции подшипников А и В и момент М пары сил,
71

которую необходимо приложить к маховику С весом Q =
= 4,2 кН, чтобы вал был в равновесии.
Ответ: YA = 4,97 кН; 1А = — 2,53 кН; Ув = 6,63кН;
ZB = 3,62 кН; М = 1,16 кНм.
Рис. 203
232. Горизонтальный коленчатый стержень ОАВ (рис.
204) нагружен вертикальной силой Р. О А ± А В. Пренебре-
Пренебрегая весом стержня, определить реакции жесткой заделки О.
Ответ: Хо = 0; Yo = 0; Zo = Р; мОх =*= РЬ\ МОу =
= — Ра\ Мог = 0.
Рис. 206
233. На консольную балку АВ весом Рг и длиной 21
(рис. 205) действует горизонтальная сила Я2 и пара сил
с моментом М. Определить реакции жесткой заделки А.
Ответ: ХА = 0; YA = —Я2; 1А = Л; Мл^ = М\
МАу = —Рг1\ МАг = -2Р21.
234. К вертикальному столбу О А (рис. 206) высотой 4 м
и весом 1,5 кН прикреплены горизонтальные тросы, натя-
72

жение которых 7\ = 390 Ни712 = 260 Н. Определить ре-
акции жесткой заделки О, если Tt JL Т
и а =
Ответ: Хо = 90 Н; Го = —460 Н; Zo = 1,5 кН;
= 18,4 Нм; Моу = 3,6 Нм; МОг = 0.
235. Плоскость диска (рис. 207) отклонена от горизон-
горизонтальной плоскости хОу на угол а = 30°. В центре О диск
жестко прикреплен к вертикальному стержню ОА длиной
0,5 м. Определить реакции жесткой заделки А при действии
динамического винта, сила которого F = 100 Н и направ-
направлена перпендикулярно к плоскости диска, а величина мо-
момента пары сил Мо= 20 Нм.
Ответ: ХА = 0; YA = 50 Н; ZA = 50 V3 Н; М_ах =
= —25 Нм; МАу = 10 Нм; МАг = 10 V3 Нм.
236. Коленчатый стержень ОАВ (рис. 208) нагружен
силой Р == 58 Н, направленной по диагонали ВС прямо-
прямоугольного параллелепипеда. ОЛ = 12 см, АВ = 16 см,
Рис. 208
Рис. 209
ОС = 21 см. Пренебрегая весом стержня, определить реак-
реакции жесткой заделки О.
Ответ: Хо = 24 Н; Yo = 32 Н; Zo = —42 Н; МОх -
= —672 Нем; Моу = 504 Нем; МОг = 0.
237. На коленчатый стержень ЛВС действует сила Р =
= 68 Н, направленная по диагонали СО прямоугольного
параллелепипеда (рис. 209). ОА = 16 см, АВ = 24 см,
ВС = 18 см. Пренебрегая весом стержня, определить реак-
реакции жесткой заделки Л.
Ответ: ХА = 36 Н; Гл = 48 Н; ZA = 32 Н; МАх =
.= 7,68 Нм; Муц, = —5,76 Нм; МАг = 0.
73

238. На коленчатый стержень ABCD (рис. 210) действу-
действует сила Р = 8,5 Н, направленная по диагонали DE боковой
грани прямой призмы. АВ = 9 см, ВС -= 8 см, CD = 16 см,
АЕ = 4 см. Пренебрегая весом стержня, определить реак-
реакции жесткой заделки А.
= —4,5 Н; МАх =
^г = —16 Н см.
Ответ: ХА = 4 Н; КЛ = 6 Н;
= —18 Нем; М л^ - 0;
239. К концу В горизонтального невесомого стержня
ОАВ (рис. 211), изогнутого под прямым углом, прикреплен
блок, плоскость которого перпендикулярна А В. Вес груза
Р = 1.02 кН. 04 = ВС = 45 см, АВ = ОС = 20 см, CD ~
Рис. 210
Рис. 211
= 24см. Пренебрегая размерами и весом блока, опреде-
определить реакции жесткой заделки О.
Ответ: Хо =0, Yo - 900 Н, Zo = 540 Н; МОл =
= 243 Нм, Моу = —108 Нм, МОг = 180 Нм.
240. Горизонтальные стержни АО и ВС скреплены под
прямым углом в точке О (рис. 212). Определить реакции
жесткой заделки А при действии сходящихся сил /^=100 Н,
F2 = 80 Н, F3 = 50 Н, если АО = 2 м, ВО = ОС = ОЕ =
= 1,2 м, OD = 1,6 м.
Ome^m: ХА = —60 Н, Кл = —18 Н, ZA = 184 Н,
МАх = 28,8 Нм, МАу = 272 Нм, МАг = 36 Нм.
241. К концу В горизонтального невесомого ломаного
стержня ОАВ прикреплен блок, ось которого перпендику-
перпендикулярна ОВ (рис. 213). Вес груза Р = 530 Н. ОС = 54 см,
ВС = 72 см, OD = 56 см; ВС ± СО и ОЛ || ВС. Пренеб-
Пренебрегая размерами и весом блока, определить реакции жест-
жесткой заделки О.
Ответ: Хо = 270 Н, Yo = 360 Н, Zo - 250 Н, МОх =
= 180 Нм, Моу - — 135 Нм, Мог = 0.
74

242. Горизонтальная квадратная плита жестко прикре-
прикреплена к вертикальному стояку ОА (рис. 214). Определить
реакции жесткой заделки А при действии сил Fx = 260 Н
и F2 = 200 Н, если сторона квадратной плиты 30 см, О А =»
=» 1 м, ООХ = 36 см, ОО% = 20 см и О — центр плиты.
Ответ: ХА = —100 Н, YA = —120 Н, ZA = 400 Hf
Af^== 144 Нм. ЛГуц, - —136 Нм, МАг = 0.
Рис. 212
Рис. 213
Рис. 214
243. Вертикальный стержень О А и горизонтальные
стержни ВС и DE расположены взаимно перпендикулярно
друг к другу и жестко скреплены между собой (рис. 215).
В точках С и Е т стержни действуют силы Рг = 300 Н и
Р2 = 400 Н, составляющие со стерж-
стержнем ОА углы в 30° и 60°. Пренебрегая
весом стержней, определить давления
стержня ОА на подшипник А и подпят-
подпятник О, если ВС = 16 см и AD = 20 см.
ОВ = 18 см, BD = 22 см, DE = 20 см.
Ответ: NAx = 114,3 Н; NAy = 297,6 Н;
NOx = 35,7 Н; Noy = 48,8 Н;
= _459,8 Н.
Рис. 215
244. Пренебрегая весом стержней
и считая их крепления шарнирными,
определить усилия в шести опорных
стержнях, поддерживающих квадрат-
квадратную плиту (рис. 216), при действии силы Я, лежащей в плос-
плоскости BDEF и составляющей с диагональю BD угол в 45°,
если ОА = AD.
Ответ: S, = - -?-A +
S2 = 55 = 0; 53 =
5
6 =

245. Конструкция состоит из 9 шарнирно соединенных
между собой стержней, расположенных по ребрам и диаго-
диагоналям граней куба (рис. 217). Узлы А и В опираются на
катки, а узел С на сферический шарнир. Определить давле-
давление на опоры от действия силы Р, приложенной к узлу Е и
направленной перпендикулярно плоскости ABE.
Ответ: NA = NB = ~
Рис. 216 Рис. 217
§ 9. Приведение системы сил к простейшему виду
246. К чему приводятся силы, направленные вдоль ре-
ребер параллелепипеда (рис. 218), если ОА = 30 см, ОВ =
= 40 см?
Ответ:
/
А
Ш
Силы
С 2*Н
\ я2'
\о
Н/
Рис.
уравновешиваются.
218
Н АХ
4
*
Рис
С
0
—/
:. 219
в
'у
247, Вдоль ребер трехгранника (рис. 219) направлены
шесть сил Рг = Р2 = Р3 = Р4 = ръ = Рв = Р- ОА = ОВ =
= ОС= а. Привести эту систему сил к простейшему виду.
Ответ: Пара сил с моментом М = 2Paj/3. M составляет
одинаковые углы с осями координат.
76

248. Привести к простейшему виду силы, направлен-
направленные вдоль ребер прямой призмы (рис. 220). F2 = F2 = F3 =
= fa = Fy OA = a, ZCOQ = 60°.
Ответ: Пара сил с моментом М = Fa У39
249. Привести к простейшему виду силы, направленные
вдоль ребер правильной треугольной пркзмы (рис. 221),
если высота призмы равна а, Рг = Р4 = Р, Р2 = Р3=
- Рб - Р6 = 2Р.
Рис. 220 Рис. 221 Рис. 222
Ответ: Пара сил с моментом М = Pa,
250. Привести к простейшему виду систему сил:
Fi(Q>P, —Р), Р2(~Р>0>Р), Рз (P>—Pfi), приложенных в точ-
точках Лх@, a, 0), Л2@, 6, 0), А3 @,с, 0) соответственно.
Ответ: Пара сил с моментом М = Р V{b — аJ+(Ь—сJ.
251. Вдоль ребер призмы (рис. 222) направлены пять
сил. При этом Р1 = Р3 = Р± = Р5 = Р, Р2 = РУ29 О А =
= ОС = а, ОВ = 2а. Привести эту систему сил к простей-
простейшему виду.
Ответ: Пара сил с моментом М = Ра У19,
Гх) = cos (М Гг) = — т^=-; cs (мГ)
cos
cos
252. На тело действуют три силы: Рх = РА, Я2 =
= Р/, Я3 = ^У» приложенные в точках Лх(а, 0, 0),
А% @, 6, 0), Ля@,0, с) соответственно. Какой должна быть
77

зависимость между а, Ь, с, чтобы система сил приводилась
к равнодействующей?
Ответ: а + Ь + с = 0.
253. Вдоль ребра куба длиной а (рис. 223) направлены
силы Рх = А> = Р3 = Р4 = Ръ = Рв = Р. Привести эту
систему сил к простейшему виду.
Ответ: Равнодействующая R = 2Р 1^2, уравнения
линии действия:] _
Рис. 224
Рис. 225
254. На тело действуют три силы: Рг = Pjf P2 =
= —PJ, Р3 = Р?, приложенные в точках Лх(а, 0, 0),
Л2(а, а, а), Л3@, а, 0) соответственно. Привести эту систему
сил к простейшему виду.
Ответ: Равнодействующая R — P, уравнения линии
действия:
255. К вершинам Л и В куба (рис. 224), длина ребра
которого равна а, приложены шесть сил: Рг = А2 = Р3 =
— Qi» ^4 =* ^б ^ ^в = Сг- Привести систему сил к прос-
простейшему виду.
Ответ: Равнодействующая R = (Q2 — Qi)V^3, уравне-
уравнения линии действия
Г* — z = 0,
\а: + у == а.
78

256. Привести к простейшему виду систему сил:
Ft(P90t 0), fa(O, Р, 0), f3@, О, Р), приложенных в точках
4(а, Ьу с), А2 (b, с, d), А3 (ct d, e) соответственно.
Ответ: Равнодействующая R = Р^З, уравнения ли-
линии действия jf = у = z.
257. Привести к простейшему виду систему сил:
FX(P9 0, 0), fa@,2P, 0), f3@,0,2P), приложенных в точках
Ау (О, а, а), А2(а, 0, а), А3(а, а, 0) соответственно.
Ответ: Равнодействующая R = ЗР, уравнения линии
действия
2х — а = у = г.
258. Вдоль ребер прямоугольного параллелепипеда дей-
действуют три силы (рис. 225). При этом Рг = ЮН, Р2 = 15Н,
Р3 = 30 Н; ОВ = 10 см. Чему должна быть равна длина
ребер ОА и ОС, чтобы центральная винтовая ось системы
проходила через начало координат?
Ответ: О А = 7 4- см, ОС = 14 см.
259. К телу приложены две силы: Р, ~ Pi9 направ-
направленная вдоль оси Олг, иР2 = Pky расположенная в плоскос-
плоскости yOz на расстоянии / от оси Oz. Написать уравнения цент-
центральной винтовой оси.
Ответ: \ сг
I у = 0,5/.
260. Определить статические инварианты системы сил:
0, Р, 2Р), 7^2B^, 0, Р), Т^зСЯ, 2Р, 0), приложенных в точ-
точках Аг(а> 0,0), Л2@, а, 0), Л 3@, 0, а) соответственно.
Ответ: R = 31/зР, Мх = —аР\Гъ.
261. Вдоль двух непересекающихся ребер тетраэдра дли-
длиной а действуют равные по величине силы Р. Определить
статические инварианты этой системы сил.
Ответ: R = Р1/; Мг = —-\ра.
262. Определить статические инварианты системы, сос-
состоящей из сил Fx и F2i направленных вдоль скрещиваю-
скрещивающихся диагоналей Оснований прямоугольного параллеле-
79

пипеда высотой h. Острый угол между диагоналями осно-
основания равен 2а.
Ответ: R = y/ Ff + F% ± 2FX • F2cos2ct;
cos 2a
263. Привести к простейшему виду силы Ft = F2 = Z7,
направленные вдоль непараллельных диагоналей противо-
противоположных граней куба с ребром а.
Ответ: Динама R = F ]/, М = -^L .
Рис. 226
Рис. 227
Рис. 228
264. Привести к простейшему виду систему, состоящую
из силы F и пары сил с моментом Мо (рис. 226), если О А =
= ОБ = ОС = а.
Ответ: Динама R=F, М = -к-
уравнения цен-
тральной оси
2F #
265. Привести к простейшему виду систему сил Ft и F2
(рис. 227). F± = F2 == F, ОЛ = OD = a, OB = 0С = 2а.
Ответ: Динама /? =
; Л1 = *-Q-
уравнения
центральной оси
80

266, Привести к простейшему виду систему сил /^(Р,
2Р, ЗР), /УЗЯ, 2Р, Р), приложенных в точках Ах(ау О, 0),
Л2@, а, 0) соответственно.
Ответ: Динама R = 4Р [/3, М =аР l/З, уравнения
центральной оси х = # = z + -^ .
267. Вдоль ребер куба длиной а (рис. 228) направлены
силы Рх = Р2 = Р3 = Р± = Р. Привести эту систему сил
к простейшему виду.
Ответ: Динама R = Р}/^, Л4 — Ра |/2, уравнения
/
центральной оси <
( JC -р 2 =
268. На тело действуют три силы: 52 = S/, направ-
направленная вдоль оси Оя, 52 = —Sj, направленная вдоль
оси Оу> и S:i = Sj — Sky направленная в плоскости уОг
вдоль прямой у + z •= а. Привести эту систему сил к прос-
простейшему виду.
Ответ: Динама /?= S ]/*§", уИ = Sa-=j- , уравнения
центральной оси \ п
269. На тело действуют две силы: Pt = Ру, направ-
ленная вдоль оси О(/, и Р2==.^^-Р(—/ + Л), направ-
направленная вдоль прямой х + z = а, расположенной в плос-
плоскости xOz. Привести эти силы к простейшему виду.
Ответ: Динама R = Р У2, М = -^- Ра, уравнения
х+уУ2 — 2 = 0,
центральной оси ,
I V2 + 3z=a.
270. На тело действуют три силы: Рг = Pi,P2 = —Р/,
Р3 =* —Pk> приложенные к точках Лх@, 0, а), Л2@, а, а),
Л3(а,0,<2)соответственно. Привести эти силы к простейшему
виду.
Ответ: Динама R == Р |/, М = Ра~ 9 уравнения
центральной оси {
I ^ + 2^ — z = —а.
4 9-396 81

Глава III. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 10. Координаты центра тяжести
271. Однородная тонкая проволока изогнута под прямы-
прямыми углами (рис. 229). Найти положение ее центра тяжести.
ЬфА- 2с) a2 -f с3
272. Определить положение центра тяжести однород-
однородной тонкой проволоки, изогнутой под прямыми углами
(рис. 230).
Ответ: хс = 10,4 см, ус = 7,4 см.
Рис. 229
J1
У
0
f6CM
12сн
л
У
Рис. 230
Рис. 231
273. Определить положение центра тяжести контура
треугольника, координаты вершин которого 0@,0), А F,0),
?F,8) даны в сантиметрах.
Ответ: хс = 4 см, ус = 3 см.
274. Определить положение центра тяжести фермы (рис.
231), состоящей из девяти однородных стержней.
Ответ: хс = 1,414а, ус = 0,443а.
275. Определить положение центра тяжести фермы (рис.
232), состоящей из одиннадцати однородных стержней дли-
длиной а каждый.
Ответ: хс— 1,5а,
0,394а.
276. Определить положение центра тяжести С кольца
радиуса г, составленного из двух проволочных полуокруж-
полуокружностей одного и того же сечения с плотностями Yi и Тг-
Ответ: ОС = 2~ ¦ У,17 ъ .
82

277. Определить положение центра тяжести С прово-
проволочного контура ОАВ, состоящего из радиусов О А и ОВ и
дуги А В — четверти окружности радиуса г.
3/2
Ответ: 0С = -
: г = 0,594г.
278. Определить положение центра тяжести С проволоч-
проволочного серповидного контура AFBD, состоящего из четвер-
четверти окружности ADB радиуса г и полуокружности AFB.
Ответ: ОС = 0,344г, где О — середина диаметра АВ.
Рис. 232
Рис. 233
Рис. 234
279. Найти координаты центра тяжести С проволочного
контура (рис. 233), состоящего из двух дуг радиуса г.
Откт: хс =0; #с=
г = 0,182 г.
280. Определить положение центра тяжести С площади
фигуры (рис. 234), состоящей из квадрата и равностороннего
треугольника со стороной а.
Ответ: хс = 0,5а, ус = 0,738а.
281. Найти положение центра тяжести площади фигуры
(рис. 235), размеры которой даны в сантиметрах.
Ответ: хс = 5,6 см.
282. Определить положение центра тяжести однородной
пластинки, имеющей форму трапеции, координаты вершин
которой 0@,0), ЛA8,0), ВA2,6), С@,6) даны в сантиметрах.
Ответ: хс = 7,6 см, ^с = 2,8 см.
283. Найти координаты центра тяжести пластинки (рис.
236), размеры которой даны в сантиметрах.
Ответ: хс = 3,7 см, ус = 7,7 см.
4* 83

284. Из однородного диска радиуса г вырезано круглое
отверстие радиуса 0,5г с центром в середине радиуса
диска. Определить положение центра тяжести С полученной
фигуры.
Ответ: ОС = ~ , где О— центр диска.
Ю
I
Рис. 235
Рис. 237
285. Найти координаты центра тяжести площади чет-
четверти круга ОАВ радиуса г, если радиусы О А и ОВ направ-
направлены вдоль координатных осей Ох и Оу в сторону положи-
положительных х и у.
Ответ: хс = ус = g^ •
286. Из квадратной пластинки со стороной а (рис. 237)
вырезали четверть круга радиуса а. Найти координаты
центра тяжести оставшейся части.
Ответ: хс = Ус = п<7~ ^ а = 0,223а.
О V* — Щ
Яш
ш
ш
X
Рис. 238
Рис. 239
Рис. 240
287. Из однородной пластинки, имеющей форму равно-
равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 238), выре-
вырезали четверть круга радиуса г. Определить положение цент-
центра тяжести С полученной фигуры, если катет треугольника
равен Зг.
Ответ: хс = ус= зA8 —я) ^ 1'12г*
84

288. Найти,при каком / центр тяжести площади фигуры
(рис. 239), состоящей из полукольца и двух равных прямо-
прямоугольников, совпадает с центром С окружности, если R =
= 2г.
Ответ: I = R 1/ -=- =
289, Определить положение центра тяжести транспорти-
транспортира (рис. 240), размеры которого а = 14 см, b = 3 см, R =
= 6 см, г = 4 см.
Ответ: хс = 0,
0,522 см.
290. Найти координаты центра тяжести площади фигуры
(рис. 241), состоящей из сегмента круга радиуса г = 10 см
и двутаврового профиля площадью 40 см2. Центр круга
совпадает с центром двутаврового профиля.
Ответ: хс = 0, ус = 1,70 см.
291. Из пластинки, имеющей форму трапеции, вырезали
полукруг (рис. 242). Найти координаты центра тяжести ос-
оставшейся части, размеры которой даны в сантиметрах.
«л
Ответ: хс = 6 ^ см = 7,11 см; ус =
= 2
20 —Зл
14 — п
см
14-я
1,95 см.
Рис. 241
Рис. 242
292. Найти координаты центра тяжести параболического
сегмента высотой h (рис. 243).
Ответ: хс =0, ус = 0,6ft.
293. Из прямоугольника вырезан параболический сег-
сегмент высотой h (рис. 244). Определить положение центра
тяжести полученной фигуры.
Ответ: хс = 0, ус = 0,3ft.
85

294. Найти координаты центра тяжести площади фигуры
(рис. 245), состоящей из прямоугольника и параболического
сегмента. Высота прямоугольника ft равна высоте сегмента.
Ответ: хс = О, ус = 0,14ft.
Рис. 245
Рис. 246
295. Найти координаты центра тяжести параболического
треугольника (рис. 246). Вершина параболы в точке О.
Ответ: *с =
= 0,3ft.
0
i r
e
296. Найти координаты центров тяжести площадей фи-
фигур, ограниченных прямыми и параболой с вершиной в точ-
точке О (рис. 247).
Ответ: а) хс = 0,5625/,
Ус = —0,ЗЛ;
б) хс - 0,7/,
Ус= -0,08ft;
в) хс = 0,5/,
Ус =— 0,08ft.
297. Определить положение цент-
центра тяжести молотка (рис. 248), со-
состоящего из однородной цилиндрической головки весом
6 II и однородного тонкого стержня весом 1 Н.
Ответ: хс = 0, ус = 2 см, zc = 4 см,
86

298. Определить положение центра тяжести прямо-
прямоугольного столика (рис. 249). Вес каждой ножки равен
10 Н, вес доски — 40Н.
Ответ: Хс = 0,3 м, #? = 0,4 м, Zc =—0,125 м.
299. Определить положение центра тяжести объема пря-
прямоугольной усеченной призмы (рис. 250). Размеры даны
в сантиметрах.
Ответ: хс = 6 см, ус = 6,923 см, zc = 6,615 см.
2
Рис. 249
Рис. 250
Рис. 251
300. Найти положение центра тяжести симметричного
относительно оси z однородного тела (рис. 251), состоящего
из двух цилиндров радиусов гх и г2 и высотой h± и ft2 соответ-
соответственно.
Ответ: хс = ус =0; zc =
+
§ 11. Статические моменты
301. Определить статические моменты относительно осей
х и у площади треугольника с вершинами @, 0), (9,0) и
C,6). Размеры даны в сантиметрах.
Ответ: Sx = 54 см3, Sy = 108 см3.
302. Определить статические моменты относительно осей
х и у площади равностороннего треугольника со стороной а
(рис. 252).
Ответ: a) Sx = -^ ,
6)S,-?; в) 5, = -
Sn. о а
и — и» ^и л" •
87

303. Определить статические моменты относительно осей
х и у площади фигуры (рис. 253), размеры которой даны
в сантиметрах.
Ответ: Sx = 168 см3, Sy = 232 см8.
304, Определить статические моменты относительно осей
х и у площади половины правильного шестиугольника со
стороной а (рис. 254).
Ответ; a) S,= ~as; Sy = \
Рис. 253
Рис. 254
305. Определить размер а фигуры (рис. 255), при кото-
котором статический момент её площади относительно оси х
равен нулю.
Ответ: а = 8&.
306. Найти статические момен-
моменты относительно осей х и у пло-
площадей фигур, изображенных на
рис. 256.
Ответ:
I 2
х 2 -1 '
- ~[b2h - Bb -bx) &Л1".
88

3. Sx = 8as; 4. Sx = 5M2; 5. Sx = 45a3; 6. Sx = 40a3;
10
с == g~s. 5 =: -— b2h* S = 28л3* S = 32л3*
7. Sx = 2la3; 8. S,, = 26a3; 9. S,, - —5a3;
Sj, = —a3; S^ = 46a3; 5^ = 19a3;
10. Sx = 20a3;
/. s
Рис. 256
307. Определить статические моменты относительно осей
х и у частей круга радиуса г (рис. 257).
; б) SX = Sy = ^; в)
Рис. 257
308. Найти статический момент площади сегмента круга
радиуса г относительно оси х, совпадающей с диаметром,
параллельным хорде. Центральный угол равен 2а.
2
Ответ: Sx = -^r3sin3a.
о

309. Or полукруга радиуса г отрезали сегмент по хорде,
параллельной диаметру длиной г. Определить статический
момент площади оставшейся части относительно оси х> сов-
совпадающей с диаметром.
Ответ: Sx = j^r*.
310. Найти статические моменты относительно осей х и
у площадей фигур (рис. 258), ограниченных прямыми и ду-
дугами окружностей.
У
с
а а а а
ш
)
у\а 2а а
Ш
СзГ" Г '' ¦
х о
а , 2а
»7*
l_zf
Z f1
^V^
L. А >,.'/.
<2
в i
V^i /^^S
0\d\
Рис. 258
Ответ: 1. Sx = 4A8 — я) я3; 2. S* = 2 C6 — я) я3;
5^ = 2 B4 — п) a3; Sy = 2 B4 — л) а3;
5. 5* = B7 — 2л)а3; 6. S* = ^A6 + Зл),
7. S* = ^a3; 8.
Sl/ = A2 —л)а3;
9. Sx = ^{R +
-у3;
10. Sx = (^-
90

311. Кольцо ограничено концентрическими окружное-
тями радиусов R и -н. Через наинизшую точку внутрен-
внутренней окружности проведена касательная, делящая кольцо
на две части. Определить статические моменты площадей
каждой части относительно оси х> совпадающей с касатель-
касательной.
Ответ: Slx «= 1 Eя + 9]/3) R*; S2x =~Dя —
312. Определить статический момент относительно оси
х площади фигуры, ограниченной дугами парабол: х2 =
= а2 — ау и х2 = а2 — 2ау.
Ответ: Sx = 0,4а3.
313. Определить статический момент относительно оси х
площади фигуры, ограниченной дугами парабол у =
= -!*» +5, y^ltf — i
даны в сантиметрах.
Ответ: Sx= 16 см3.
314. Определить статический
момент относительно оси х площа-
площади фигуры (рис. 259), состоящей
из параболического сегмента и тре-
треугольника.
Ответ: Sx = ™ Eа2 —
и отрезками оси х. Размеры
Рис. 259
315. Найти статические моменты относительно осей
х и у площадей фигур, ограниченных прямыми и парабола-
параболами с вершиной в точке О (рис. 260).
У
•с:
«Л
-С:!
V
1
1
1НI
II
? /Г
-^1 Ю
г
Рис. 260
91

Ответ:
1. S* = -|/ft2; 2. S, = ?ft«; 3.
5. S,-
{g»i«; 6. S, = l/ft2; 7.
l±lh?; 4. S, = ^
= ±Ph, S, = ¦§•
= -f/A2; 8. Sx = ±
9.
1В
I
w
юУ\, ;p
0 *
Рис. 261
Рис. 262
316. Найти статические моменты относительно осей х и
у площадей фигур, ограниченных прямыми и параболами
с вершиной в точке О (рис. 261). Размеры даны в сантимет-
сантиметрах.
Ответ: а) Sx= 4615,8 см3, S^= 441 см3,
б) Sx - 5175 см3, Sy = 1125 см3.
317. Определить статические моменты относительно
осей х и у площади фигуры, ограниченной осями коор-
координат и дугой эллипса ^ + ^г= ^расположенной в пер-
первом квадранте.
Ответ:
= ^ <№\ Sy = -J- a2b.
318. Определить статические моменты относительно осей
х и у площади частей прямоугольника ОАВС (рис. 262),
разделенного дугой синусоиды: у = a sin &#, 0 ^ х ^ ~.
па*,
Ответ: Su=~
92

319. Определить статический момент относительно
оси х площади фигуры, ограниченной осью Ох и циклон-
циклонах =/? (со/ — sincoi) ojt
дой: _Л Л приО</<-.
((/ = ^A—COS О)/) ^ CD
Ornee/n: S* = 2y5nR3.
320. Считая, что давление воды через обшивку прямо-
прямоугольного щита высотой Н = 4 м передается на 4 горизон-
горизонтальные двутавровые балки (рис. 263),
h
определить, на каких расстояниях ht от ,
свободной поверхности воды следует их ~=z_
расположить, чтобы они были нагруже- ^
ны одинаково.
Otneetn: hx = 1,33 м; Л2 = 2,44 м;
h3 = 3,16 м; Л4 = 3,74 м. Рис. 263

Раздел П. КИНЕМАТИКА
Глава IV. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 12. Равнопеременное движение точки по прямой
321. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла путь s =
= 200 см за 10 с с постоянным ускорением 1 см/с2.
Определить скорости точки: начальную, конечную, сред-
среднюю.
Ответ: оо = 15 см/с, vK = 25 см/с, иср — 20 см/с.
322. Санки съезжают с горы прямолинейно без началь-
начальной скорости и проходят за 0,5 минуты путь, равный 200 м.
Определить ускорение санок, считая его постоянным,
и скорость в конце пути.
Ответ: w = -^^ ; v = 13-^— .
323. В момент выключения двигателя скорость аэроса-
аэросаней, движущихся по прямолинейному пути, была равна
15 м/с. Пройдя расстояние 300 м, аэросани остановились.
Определить величину замедления, считая его постоянным,
и время, прошедшее до остановки аэросаней.
Ответ: ш = ^-^; Т = 40 с.
324. Два автомобиля, поравнявшись, движутся с по-
постоянным замедлением. Первый, начав движение со ско-
скоростью 36 км/ч, остановился через 20 с, а второй, начав
движение со скоростью 42 км/ч, остановился через 18 с.
Какой из автомобилей проехал дальше и насколько?
Ответ: Второй, на 5 м.
325. Камень падаег с башни отвесно без начальной ско-
скорости, а через 2 с падает без начальной скорости второй. Че-
Чему равно расстояние между камнями через 5 с после начала
падения первого камня?
Ответ: s = 78,4 м.
326. Поезд отходит от станции равноускоренно по пря-
прямолинейному пути. Пассажир смотрит в окно и считает
94

столбы, расстояние между которыми 50 м. Увидев первый
столб и зафиксировав время, пассажир через 10 с увидел
второй, а еще через 10 с четвертый столб. Определить ус-
ускорение поезда и его скорость в тот момент, когда пасса-
пассажир увидел первый столб, а также определить, через сколь-
сколько секунд он увидел одиннадцатый столб.
Ответ: w = 0,5 м/с2; v0 = 2,5 м/с; / = 40 с.
327. Автомобиль проходит путь 20 км за 22 мин. Пер-
Первый километр он движется с постоянным ускорением, по-
потом равномерно, а последний километр с постоянным замед-
замедлением, по модулю таким же, каким было ускорение. Оп-
Определить скорость автомобиля на участке равномерного
движения.
Ответ: v = 60 км/ч.
328. Самолет, коснувшись посадочной полосы, за пер-
первые 20 с прошел 1100 м, а в течение следующих 10 с 325 м.
Определить, с какой скоростью началось торможение на
полосе, чему равно замедление самолета, если оно было
постоянным, сколько метров самолет прошел до остановки
и за какое время.
Otneem: v0 = 70 м/с; го = 1,5 м/с2; s = 1633 м; / =
« 46,67 с.
329. Шарик упал с высоты // = 245 м без начальной
скорости. За сколько секунд он прошел вторую половину
пути?
Ответ: t = ]/^ (|^2 — 1) = 2,07 с.
330. Тело падает с высоты Н = 40 м без начальной ско-
скорости. Определить путь, пройденный телом за последнюю
секунду движения.
Ответ: s±= V2gH — f = 23yl м.
§ 13. Произвольное движение точки
331. Найти уравнение траектории точки, начертить ее,
указать на траектории начальное положение точки и направ-
направление ее движения, если точка движется согласно уравне-
уравнениям,
1) х = 2t\ Ответ: Зх — 2у = 0; Мо @; 0).
95

2) х=Ы + 2,5\ Ответ: 2x—5y=0\ MoB,5; 1).
у=»Я+1.
3) х = 4/ + 3; Ответ: х — 2у — 13 = 0; Мо C;
у = 2/-5. -5).
4) х = 2* + 3; Ответ: у = 1 (х — 3)г; М „ C; 0).
У = * • 4
5) л: = * + 2; Ответ: у = Зк2 — 8* + 9; Мо B;5).
у = 3/2+4/+5.
6) х = Ы2\ Ответ: Ах — 5t/2 = 0; Мо @; 0).
У = 2*.
7) * = /2 + 2; Ответ: х—у + 1 = 0; Мо B; 3).
у = /2 + 3.
8) * = 4*; Ответ: у (х + 8) = 4; Мо /О; i-].
9) д: =-1 + 1ЛГ+7; Ответ: у — 1 = In {х — 1); Af 0B; 1).
у = 1-НпКН-<"
10) л; = V~t\ Ответ: у = е"*1; Af0 @; 1).
11) х = 3cos ^ i\ Ответ: ж2 + «/2 = 9; Мо C; 0).
у = 3sin-g-f.
12) х= 1-2ccs?/; Ответ: (дс- IJ + (у-3J = 4;
4 Мо(—1; 3).
y=3+2sin~<.
13) л: = sin <; /1 \а
. 2 If/—21
у = cos2T. Ответ: ^ + t < = 1; Мо @;1).
Т
14) х=5-2cosП<; Ответ: ^^ + Ц^! = 1;
у--2+ МоC; —2).
96

15) х =т(е* + О; Ответ: х2 — у2 = а2; М0(а; 0).
332. Найти уравнение траектории и закон движения
точки по траектории, отсчитывая дуговую координату от
начального положения точки, если ее координаты изменя-
изменяются согласно уравнениям:
Ответ: \2х — Ъу — 9 = 0;
Ответ: х = arccos A — у) —
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
х =
</ =
X =
У =
У =
* =
У =
ж =
Х =
5/+ 2;
12/ + 3.
t — sin /;
1 —cos t.
7 cos 2t;
7 sin 2/.
2 + Ae^
a cos3 /;
a sin3 /.
t?
at;
Ответ: х2 + у2 = 49; s = I At.
Ответ: Ах + Зу — 10 = 0;
Ответ: *2'3 + У2/3 = я2/3;
Ответ: 8л? — 9у2-=0;
о
Ответ: y = ach-j\ s=asbt.
8) * = 8 sin2 я*; Omeew: (д: — 4J +-(f/ — 5J = 16;
у = 5+4 sin 2nt. s = 8nt.
9) at = 20 cos2n* — Ответ: 21* + 20y — 114 = 0;
— 6; s=29sin2«*.
у = 21 ш2я/-
— 9.
10) x = З/2 + 1; Ответ: g2= 12 (* — 1);
/у = «. s = 3 [/ КГ+15 + In (/+ 1/TM")I
11) jc = cos2 /; Ответ: у2= 16A—А:);
у = 4 sin/. s = sin / VA + sin2 / + 4 In (sin / 4
+ 1/4 4 sin21) — In 16.
7 9-396 97

Ответ: у^
+ 9—-§¦ + -!¦ x
13) x = a A+ Omeem: (x2 + #2J — 2ax (x2
+ cos 0 cos /; = a2«/2;
у — ail + . . t
+ cos 0 sin*. 5 = 4a sin T.
= 3t+l.
z = 20/2 + 3. s = 25/2.
333. Точка движется по прямой согласно уравнению
s = 4/3 см (/, с).
Определить среднюю скорость и среднее ускорение точки
за время от tL = 1 с до /2 = 3 с.
Ответ: vcp — 52 см/с; wcp = 48 см/с2.
334. Точка движется прямолинейно без начальной ско-
скорости с ускорением, пропорциональным времени. За две
секунды точка прошла расстояние 16 см. Определить сред-
среднюю скорость и среднее ускорение точки за время от вось-
восьмой до десятой секунды движения.
Ответ: vcp == 488 см/с; wcp = 108 см/с2.
335. Точка движется по прямой согласно уравнению:
х=* I5sinw,lnt +-~) см (t, с).
Определить максимальные по модулю скорость и ускоре-
ускорение точки и ближайшие моменты времени, когда точка их
достигает.
2
Ответ: vmax~l,5n см/с при / = 6-^- с;
2
wmax = 0,15я2 см/с2 при / = 1 то- с.
96

336. Точка движется согласно уравнениям:
х = 15/2, у = 20/2, г = 60/2 (х, у, z, cm; U с).
Определить уравнение траектории точки, ее скорость и ус-
ускорение в момент t.
Ответ* ¦? = i = ±; v=l30t™; о> = 130~.
337. Точка движется согласно уравнениям:
х = 20 cos2/, у = 30 sin2* (jc, #, см; *, с).
Определить уравнение траектории точки, ее скорость и ус-
ускорение в момент / = 0,5я с.
:± + ± = \\ v = 0; ш = 72,1^.
338. Точка движется по винтовой линии согласно урав-
уравнениям:
х = г cos Ш, у = г sin со/, z = vot (х, у, z, см; /, с).
Определить радиус кривизны траектории точки. Положить
г = 25 см, v0 = 15 см/с, со = 2 с.
Ответ: р = г + JJ: = 27-- см.
339. Точка движется согласно уравнениям:
х = З/2;
|/ = 6/ (х, |/, см; U с).
Найти скорость и ускорение точки.
; у = 6
cos
cos (w,
340. Концы кривошипов ОХА и 02В
длиной г каждый шарннрно соединены
со стержнем А В, причем А В = ОХО2
(рис. 264). Найти траекторию, ско-
скорость и ускорение точки М стержня,
если AM = а и кривошип OtA де-
делает один оборот ча каждые 4 с
(а, г, см).
Рис. 264
99

Ответ: (х-аJ+у2 = г*; vM = % ™; »*=2f ?;
341. Точка описывает фигуру Лнссажу согласно урав-
уравнениям:
х = 8 cos 2л/,
у = 8 sin я/ (х, у, см; /, с).
Определить уравнение траектории, а также скорость и ус-
ускорение точки в момент /= 4 с.
Ответ: у2 = 4(8 — я).
у = 8я ™; cos (г>,~/) = 0, cos (v,~J) = 1,
w = 32 я2 g; cos (w~i) = — 1, cos (*г>,7) = 0.
342. Точка описывает эвольвенту окружности согласно
уравнениям:
х = a (cos соо/ + <*H/ sin <oo/);
i/ = а (sin coot — <оо/ cos cc^/)»
где а, соо — заданные постоянные. Найти скорость, уско-
ускорение точки и радиус кривизны ее траектории как функ-
функцию расстояния г = У^х2 -f уг.
Ответ: v = <оо У г2 —a2; w = со^г; р — |/"г2 — а2.
343. Движение точки задано уравнениями:
х = 7*3*;
у = 24^-3^ (х, у, см; ^, с).
Определить траекторию, а также начальную скорость и
начальное ускорение точки.
Ответ: ху = 168; v0 = 75 см/с; &у0 = 225 см/с2.
344. Точка движется согласно уравнениям:
0
е-*) {х, у, см; /, с).
Найти скорость и ускорение этой точки в момент времени,
когда она находилась на расстоянии 10 см от начала коор-
координат.
Ответ: v = 30 см/с; w = 90 см/с2,
100

345. Камень брошен со скоростью и0 под углом а к го-
горизонту. Ускорение свободного падения g. Считая, что на-
начальное положение камня совпадает с началом координат
О, ось Ох направлена горизонтально в сторону движения
камня, ось Оу направлена вертикально вверх, определить:
1) уравнения движения камня; 2) уравнение его траектории;
3) максимальную высоту ft; 4) дальность полета /; 5) угол
аь при котором дальность наибольшая.
Ответ: х — vot cos а; у = — ^- + vo( sin а;
gx*
Мб. Точка движется согласно уравнениям:
х = 6 sin ^ ft
^^ (л:, у, см; *, с).
Определить радиус кривизны ее траектории в момент
/ = 5с.
о
Ответ: р = 10-^- см.
347. Точка движется по прямой с замедлением, пропор-
пропорциональным квадрату скорости и равным 1 -^- при скорости
5 м/с. Начальная скорость точки v0 — 20 м/с. Найти время,
прошедшее к моменту, когда скорость точки уменьшилась
до 4 м/с, и путь, пройденный точкой за это время.
Ответ: / = 5 с; s = 40,2 м.
348. Движение точки задано уравнениями:
х = 7 cos я/2;
у = 7 sin я/2 (#, у, см; f, с).
Определить касательное, нормальное и полное ускорения
точки.
Ответ: wx= 14л см/с2; шЛ = 28л2/2 см/с2; а;= 14 я х
+ 4л2/4 см/с2.
101

349. Точка движется согласно уравнениям:
х = a ch kt\
у == a sh &/," где а, & —заданные постоянные.
Определить радиус кривизны ее траектории в начальный
момент времени.
Ответ: р = а.
350. Точка движется без начальной скорости по плос-
плоской кривой так, что в каждый момент времени касательное
ускорение равно 2/ см/с2, а нормальное у см/с2. Опреде-
Определить, по какой кривой движется эта точка.
Ответ: по окружности радиуса 3 см.
351. Точка А движется по окружности радиуса 6 см
согласно уравнению s = Злэшу/ см (/, с). Определить
скорость и ускорение точки А в момент времени / = 4 с.
3 3
Ответ: v^-^n2 см/с; w = -g- л4 см/с2.
352. Точка Л, выйдя из положения ЛоA2; 0), движется
против вращения стрелки часов по окружности радиуса
12 см с центром в начале координат согласно у-равнению
s = Зл/см (/, с). Определить проекции скорости и уско-
ускорения точки А на координатные оси.
Ответ: vx = — Зл sin^- / —; vy = Зл cos^- / см/с
Зя2 л , ш. __ Зя2 . я , см
353. Радиус окружности ОА = 18 см вращается вокруг
точки О против движения стрелки часов, делая один оборот
за 6 с. В начальный момент точка А находилась в положе-
положении Ао A8; 0). Определить уравнение движения точки
М — проекции точки А на диаметр А0В окружности,
а также скорость и ускорение точки М в положениях
О и В.
Ответ: х = 18 cos \ t см; v0 = 6л —; w0 = 0;
и С
рв = 0; wB = 2л2 ~ •
102

354. Колесо радиуса R = 0,5 м катится по прямолиней-
прямолинейному рельсу без скольжения равномерно со скоростью цент-
центра колеса Vc = 6 м/с. Найти уравнения движения точки М
обода колеса, если в начальный момент она находилась в
наинизшем положении и совпадала с началом координат О.
Ось Ох направить в сторону движения колеса, ось Оу вверх.
Определить также скорость и ускорение этой точки.
Ответ: х = 0,5 A2/ — sin 12/) м;
у = 0,5 A — cos 12/) м;
v= 12 j sin 6/1 -; ш = 72^.
1 'с с2
Скорость направлена перпендикулярно к МК, где К —
точка касания колеса и рельса, ускорение — от М к цент-
центру С.
355. Движение точки, описывающей клотоиду, задано
уравнениями:
_. л ят2
х = а у п \ cos — ах\
о
t
(Эти интегралы в элементарных функциях не берутся).
Найти скорость точки, ее ускорение и радиус кривизны
как функции длины дуги s, отсчитываемой от начального
положения точки.
Ответ: v = а]/"п; w = ns; p = ~
S
356. Ускорение точки, движущейся по прямой замедлен-
замедленно, обратно пропорционально квадрату расстояния s точки
от центра на этой прямой и равно 1 м/с2, когда s = 3 м.
8 начальный момент s = 2 м, a v = 3 м/с. Найти скорость
точки в момент, когда ее расстояние от центра равнялось
9 м, и время, прошедшее до этого момента.
Ответ: v = ]/2 м/с, Т = 3,79 с.
357. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма
вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угло-
угловой скоростью со = 2л с (см. рис. 128), ОА = АВ = 12 см.
Определить траекторию точки М шатуна АВ, ее ско-
скорость и ускорение в момент времени / == 5 с, если AM =
103

= 9 см и в начальный момент времени ползун В занимал
крайнее правое положение.
Ответ: ^р +1^ = *'• v = 6я ^г "» ^ = 84 д2 ^5 •
358. К шатуну ЛВ жестко прикреплен прямоугольный
треугольник ABC с катетами Л В = а, Л С = Ь (рис. 265).
Кривошип ОА длиной а вращается с постоянной угловой
скоростью со. Найти уравнение траектории вершины С
треугольника, а также ее ускорение как функцию расстоя-
расстояния ОС = г = Ух2 + у2.
Ответ: (а2 + Ь2){х2 + у2) — Aabxy = (а2 — б2J;
w = ©V и направлено от точки С к точке О.
У
Рис. 265
Рис. 266
359. К линейке А В эллипсографа прикреплен равно-
равносторонний треугольник ABD (рис. 266). Его вершины А и В
движутся вдоль двух взаимно перпендикулярных осей Ох
и Оу. ОС = АС = ВС = а. Кривошип ОС вращается рав-
равномерно с угловой скоростью о и в начальный момент дви-
движения точка С занимала крайнее правое положение. Найти
уравнения движения и траекторию точки D, ее скорость
и ускорение.
/ я \ / л\
Ответ: х = 2а sin I ©/ + -g-j» у = 2а sin lot + -§-);
х2 — У3ху + у2 = а2\ v = ao)j/ — 2|/3sin2©*;
ш = aoJ|/4+2]/3sin2©/.
360. Вдоль полупрямых, образующих между собой угол
а = 120°, скользят ползуны Л и В, шарнирно соединен-
соединенные с линейкой А В длины / (рис. 267). Ползун В вышел из
точки О и движется вверх с постоянной скоростью v0. Най-
Найти уравнение движения ползуна А и его скорость в мо-
момент, когда ОВ = 0,5/.
Ответ: х--=~ (V412 — 3v20t2 — vot); v = J(З/ТЗ + 13).
104

361. Тягач движется с постоянной скоростью v0 от пунк-
пункта В, расположенного на одной вертикали с осью А блока,
и с помощью каната, переброшенного через блок ^подни-
^поднимает груз М (рис. 268). Определить скорость груза в зави-
зависимости от пути s, пройденного тягачом, если А В = а.
Ответ: vM = v0-jz
362. Точка движется равноускоренно по окружности
радиуса 20 см с начальной скоростью 3 см/с и касательным
ускорением 19 см/с2. Определить путь, пройденный точкой
к концу третьей секунды, и полное ускорение точки в этот
момент.
Ответ: s = 94,5 см; w =
= 181 см/с2.
шяшш
Рис. 267
Рис. 268
363. Автомобиль, двигаясь равноускоренно по кольце-
кольцевому участку дороги радиуса 200 м, через 2 мин развил ско-
скорость 108 км/ч. Определить скорость автомобиля через ми-
минуту после начала движения и его полное ускорение в этот
момент.
Ответ: v = 15 м/с; w = 1,15 м/с2.
364. Автомобиль, въезжающий на мост равнозамедленно
с начальной скоростью 36 км/ч, к моменту уменьшения ско-
скорости в два раза прошел по мосту путь 37,5 м. Считая ра-
радиус кривизны моста в рассматриваемом положении авто-
автомобиля равным 100 м, определить полное ускорение авто-
автомобиля.
Ответ: w = 1,03 м/с2.
365. Точка движется по окружности радиуса R с на-
начальной скоростью Vq таким образом, что — = —k9 где
k — заданная постоянная. Найти уравнение движения точ-
точки, отсчитывая дуги от ее начального положения, и время,
105

прошедшее к моменту, когда скорость точки уменьшилась
в два раза.
Ответ:
366. Кривошип ОХА длиной а вращается вокруг оси Ох
(рис. 269) с постоянной угловой скоростью со. Расстояние
О01 = h. Найги уравнение движения середины С шатуна
А В длиной 2Ь и ее скорость в моменты, когда точка А за-
занимает начальное положение AL(at h) и верхнее положение
Аж (О, h + a).
Рис. 269
Рис. 270
Ответ: х = a cos со/ + -g-
1 „ .
— (h+ a sin oofJ;
367. Стержень ОС, вращаясь вокруг оси О с постоянной
угловой скоростью соо, перемещает вдоль прямой А В ко-
колечко М, соединяющее стержень ОС и изогнутый под
прямым углом неподвижный стержень ОАВ (рис. 270),
ОА=а. Определить уравнение движения колечка Му а так-
также его скорость и ускорение в момент, когда ОМ = /, если
в начальный момент стержень ОС был направлен вдоль Оу.
/2 2/'2 2 /—;
Ответ: х = a tgcoo/; у = а; у = — соо; до =— соо]/ /2—а2.
368. Точка движется в плоскости хОу так, что проекции
ее ускорения wx = 0, kl^ =asinoH/. Определить уравне-
уравнения движения точки и уравнение ее траектории, если
она вышла из начала координат со скоростью, проекции
которой vx = v0, Vn~ — — .
Ответ: x = vot\ у = — —,ksin<o0/; y = ^2sin^'A:.
106

369. Кривошип ОА, вращаясь с постоянной угловой ско-
скоростью ю0 вокруг оси О (рис. 271), перемещает стержень
АС9 с которым он соединен шарнирно в точке А и который
во время движения проходит через поворотную трубку В,
имеющую неподвижную ось вращения. ОА = а, ОВ = Ь,
АС = /.Определить уравнения движения точки С, если в
начальный момент кривошип ОА был направлен вдоль
оси Ох,
Ответ: хс = a cos соо* +
- « cos о>0/)
X
Рис. 271
Рис. 272
Рис. 273
370. Колечко М соединяет неподвижную проволочную
окружность радиуса г (рис. 272), расположенную в верти-
вертикальной плоскости, со стержнем ОА, который вращается
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости окружности
и проходящей через ее наинизшую точку О, согласно урав-
уравнению ф = 0,5 t2 рад, где ср отсчитывается от оси Оху на-
направленной по касательной к окружности в точке О. Опре-
Определить уравнения движения колечка, а также его скорость
и ускорение.
Ответ: х = г sin /2; у = 2г sin2
w — 2r x
37!. По условию предыдущей задачи найти скорость и
ускорение колечка М, определив сначала зависимость ду-
дуговой координаты s = ОМ от времени Л
372. Кулак ABC радиуса г, двигаясь вдоль оси Ох
вправо с постоянной скоростью vo> перемещает в вертикаль-
вертикальных направляющих стержень MN с роликом М на конце
(рис. 273). Пренебрегая радиусом ролика, определить урав-
107

нение движения стержня MN, его скорость и ускорение,
если в начальный момент точка А находилась на оси Оу,
а точка М совпадала с точкой В.
Ответ: х = 2г, у = \гг2 — (г — v0tJ;
2
- vot) _ v20r*
373. Прямоугольная пластинка О А ВС вращается во-
вокруг стороны 0Ау совпадающей с вертикальной осью Oz
с постоянной угловой скоростью соо. Вдоль ВС вниз движет-
движется равномерно точка М со скоростью v0 относительно плас-
пластинки. А В = а, ВС = Ь. Определить уравнения движения
точки М, ее скорость, ускорение и радиус кривизны траек-
траектории, если в начальный момент пластинка находилась в
плоскости xOzf а точка М совпадала с В.
Ответ: х = a cos щг\ у = a sin ооо?; z = Ь — vot\
1 Г~г Г~2 2 »п + а2с°о
I I 2 • • 0 "
374. Прямоугольный треугольник ЛОВ, у которого ОЛ =
= ОВ = а, равномерно вращается с угловой скоростью
соо вокруг вертикального катета ОВ, совпадающего с осью
Ог. Вдоль гипотенузы от В к Л движется точка М с посто-
постоянной скоростью v0 относительно треугольника. Определить
уравнение движения точки М, ее скорость и ускорение,
если в начальный момент треугольник АОВ находился в
плоскости xOz9 а точка М совпадала с точкой В.
Ответ: х = -^~ vot cos соо/; у = -—-1;0^ sin щг\
v = o0 ^ 1 + 0, ^
375. Полудиск радиуса г вращается вокруг своего диа-
диаметра О А, направленного вдоль оси Oz, с постоянной уг-
угловой скоростью соо. По его ободу от Л к О движется точка
М равномерно со скоростью v0 относительно полудиска.
Определить уравнения движения точки М и ее скорость,
если в начальный момент полудиск находился в плоскости
xOzy а точка М совпадала с точкой Л.
108

Ответ: х = г sin —' / • cos со0?; у = г sin ~ t -sin o>0/;
= г
376. Гладкий шарик М движется равноускоренно без
начальной скорости по винтоеой линии, расположенной
на поверхности кругового цилиндра, поставленного вер-
вертикально, под действием собственного веса. Определить
путь, пройденный шариком М за время /, и его скорость
в этот момент, если радиус цилиндра /?, а шаг винта ft.
Ответ: s = ^ • •¦ ^-
Рис. 274
Рис. 275
377. Кривошип АО механизма (рис. 274) вращается
вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со =
= 2 с • О А = АВ = 30 см, /Ш = 10 см. Найти траек-
траекторию точки М шатуна АВ, ее скорость и ускорение в мо-
момент / = х с» если в начальный момент ползун В занимал
крайнее правое положение.
Ответ: ^ + -^ = 1; а = 40 см/с; w = 160 см/с2.
378. Эксцентрик Л, вращаясь с постоянной угловой
скоростью о = я с вокруг оси, проходящей через точку
О перпендикулярно к его плоскости (рис. 275), приводит
в движение штангу SC, на одном конце которой находится
ролик, а на другом — поршень, упирающийся в пружину.
Радиус эксцентрика г = 8 см, эксцентриситет ООХ = 4 см,
длина штанги ВС = 20 см. Радиусом ролика пренебречь.
Найти уравнение движения поршня В, его скорость и ус-
ускорение в момент t = 7,5 с, если в начальный момент отре-
отрезок ООХ был направлен вдоль оси Ох.
109

Ответ: х = B0 + 4 (cos nt + V4 — sin2 nt)) см;
и = 4л см/с; w = -2-см/с2.
379, На вертикальный неподвижный винт АВ (рис. 276)
надета втулка С с винтовой нарезкой, шаг винта которой
равен h. Втулка жестко скреплена с рукояткой CD длиной
/, вращающейся вокруг оси Az с постоянной угловой ско-
скоростью <оо. Найти уравнения движения конца D рукоятки,
его скорость и ускорение, если в начальный момент времени
рукоятка находилась в плоскости xAzt а рас-
\д стояние АС было равно а.
Ответ: х = I cos (o0t\
Щ V Р + гч » w = /©ot
у = I sin ю0/; v
Рис 276
1) г = 2а sin со/;
Ф = <ot.
2)
;
Ф = Ы.
380. Определить траекторию, скорость
и ускорение точки, движение которой задано
уравнениями в полярных координатах:
Ответ: г = 2а sin ф — окружность;
v = 2gco; w = 4aco2 — направлено
по радиусу к центру окружности.
Ответ: г = -g- ф— архимедова спи-
спираль;
3) r = atf;
; tg(wf г) = —|-
Ответ: г = —*— гиперболическая
спираль;
4) г =
•-Т
Ответ: г =
спираль;
логарифмическая
, г)
" k
2k
ПО

5) г = aer**;
ф = tot -|- а.
6) r = asmt\
4
7) г = a cos f;
8) г = аA +
+ cos o>0;
Ответ: г — ае ю —логарифми-
—логарифмическая спираль;
\ tg(«, r) = -j;
Ответ: г — a sin Зф — трехлепе-
стковая роза;
t/ = -j Kl+ecos2/; tg(о, г) =
а» = ^ aV9 + 16 sin2/; tg (w, r)
Ответ: г = a ccs 2<p — четырехле-
пестковая роза;
f = -|Kl + 3sina^; tg(», r) =
Ответ: r = a A + cos ф) — карди-
кардиоида;
у = 2ao) cos ~ ; tg (v, r) = —ctg |-;
ш = aco2]/5 + 4coso)/; tg (w> r) =
2sin ф
1 + 2 cos ф *
9) г = fc — a cos /; Ответ: r = b — а cos Ф — улитка
Ф =s /. Паскаля.
с/ = "l/a2 + Ь2 — 2ab cos ^; tg (v, r)=
г
a sin ф '
w = Vr4a2 — 4ab cos / + fe2;
10) r =
Ответ: r = a sec2 ^ — парабола.

o = 2asec3/;
w= 2asec4/ - j/1 + 8sin2/;
v 2 sin cp
11) r = a 1/2 cos /; Ответ: r2 = 2a2 cos 2cp — лемни-
, * ската.
2tg/
+g
12) r = a sec /+ b\ Ответ: r = a sec ф + b — конхоида
<p = t. Никомеда.
v= sec2 tVa2+ 2ab cos31 +b2 cos4 /;
= sec3/ •
Xcos3/+fe2cos6/;
te(w r)- asin2fp
^l» '7 2a sin2 cp —6 cos3 ф "
TTF; Omeem: Г^Щ~циссоида-
14)r = a^=; Ответ: г = -"-^~строфо-
q> = arctg*. иДа- а
V = ¦
4а
г = 2а • Ответ: r = a{\ + cosф) — кардио-
1 + /2 ' ида.
112

Глава V. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 14. Вращение тела вокруг неподвижной оси
381. Скорость точки А шкива, который вращается рав-
равномерно вокруг неподвижной оси О, равна 18 см/с, а ее
расстояние от оси вращения ОА = 3 см. Определить угол,
на который повернется шкив за одну минуту, а также вы-
вычислить скорость и ускорение точки В шкива, если ОБ =
= 12 см.
Ответ: <р = 360 рад; vB = 0,72 -~; wB = 4,32 ~ .
382. Электрический вентилятор, который вращался с
угловой скоростью 20 я с, после отключения тока совер-
совершил 60 оборотов и остановился. Сколько секунд прошло до
остановки вентилятора и чему равно угловое ускорение,
если оно было постоянным?
Ответ: /==12 с; е = уяс~2, вращение замедленное.
383. Вал вращается с постоянным угловым ускорением
е = ~ с. За первые 12 с он сделал 39 оборогов. Наши уг-
угловые скорости вала в начальный момент и в конце 20-й с.
Ответ: соо = 5яс~*; о> — 10 л с.
384. Маховик при пуске в ход вращается равноускорен-
равноускоренно, с угловым ускорением е — 5п с. Определить угло-
угловую скорость маховика в конце 10-й с после начала движе-
движения и число оборотов, которое сделал маховик за это время.
Ответ: со = 50л с; N = 125 оборотов.
385. Чему равны начальная угловая скорость шкива и
его угловое ускорение, если, вращаясь равнозамедленно,
он остановился через 8 с, совершив 24 оборота?
Ответ: соо = 12яс~1; е = у я с~2.
386. Найти начальную угловую скорость шкива и время,
которое прошло до остановки, если, вращаясь с постоян-
постоянным угловым ускорением е = — лс~2, шкив сделал до оста-
остановки J6 оборотов.
Ответ: соо = 8яс~ь, / = 8с.
387. Тело начинает вращаться равноускоренно из сос-
состояния покоя. В тот момент, когда его угловая скорость
5 9-396 113

численно равна углу поворота, оно делает 120 об/мин. Чему
равно угловое ускорение тела и сколько оборотов оно сде-
сделало за первые 18 с?
Ответ: е = 2л с; N = 162 оборота.
388. Диск вращается равноускоренно из состояния по-
покоя. В момент ti = 8 с его угловая скорость щ = 4 зт с4.
Сколько оборотов сделал диск от момента tx = 8 с до момен-
момента /2 = 12 с?
Ответ: N = 10 оборотов.
389. Тело, вращаясь равноускоренно, в момент tx =
= 10 с имело угловую скорость сох = л с, а в момент
t2 = 20 с со2 = 1,5л с. Чему равны угловое ускорение
тела и его начальная угловая скорость? На какой угол
повернулось тело от момента tx до момента /2?
Ответ: 8==^с'2» ©о = -тг0**' Ф = *^>5 л рад.
390. Стержень ОА вращается вокруг неподвижной оси
Ozy проходящей через конец О стержня перпендикулярно
к ОА. В данный момент касательное ускорение точки В
стержня равно 5 см/с2, а нормальное —12 см/с2. Определить
скорости точек А и В и полное ускорение точки А, если
OB = 2AB = 6 см.
Ответ: vA f B ,^
391. Диск вращается вокруг неподвижной оси, про-
проходящей перпендикулярно к его плоскости через центр дис-
диска. Определить касательное и полное ускорение точки В
на ободе диска, если нормальное ускорение середины радиу-
радиуса диска равно 9 см/с2 и составляет с полным ускорением
угол 30°.
Ответ: wb = Ь\ГЩ ; wB = ^
392, Равносторонняя треугольная пластинка ABC со
стороной а = 10|/3 см начинает вращаться из состояния
покоя вокруг неподвижной стороны АС так, что угол по-
поворота возрастает пропорционально кубу времени. В мо-
момент t = 1 с ее угловая скорость w = 12 с. Найти ско-
114

рость и ускорение центра тяжести пластинки в момент /
= 2 с.
Ответ: v = 2,4 —; w =¦=--115 ,2 ^.
393. Изогнутый стержень ЛВС (рис 277) начинает вра-
вращаться из состояния покоя вокруг неподвижной оси ОХО2 с
постоянным угловым ускорением е =
= 3 с~2. АВ = 10 см, ВС=4 см и
ВС ± 0|Р2. Найти касательное и нор-
нормальное ускорения точки С в конце
шестого оборота стержня.
~;
Ответ: wc = 2T-k\ дос=648л~.
Рис. 277
394. Диск радиуса 8 см вращается
вокруг оси Ог, перпендикулярной к его
плоскости и отстоящей от центра С дис-
диска на расстоянии ОС = 4 см, согласно
уравнению: <р = -g-. Определить скорос-
скорости и ускорения концов М и N диаметра, проходящего
через точку О диска в момент / — 2с, если ON > ОМ.
_, 1Ссм .о см
Ответ: vM = 16 —; vN = 48 ~;
395. Радиусы О А и 0/3 полудиска, вращающегося равно-
равноускоренно из состояния покоя вокруг диаметра, составляют
с этим диаметром углы 60° и 30° соответст-
соответственно. ОА = 10 см. В некоторый момент
времени касательное ускорение точки Л
равно 2пУ 3 см/с2, а нормальное ускорение
точки В — 80л2 см/с2. Определить время,
прошедшее от начала движения до этого
момента и угол поворота полудиска.
Ответ: t = 10 с; ф = 20 л рад.
Рис. 278 396. Изогнутый под прямыми углами
стержень О ABC (рис. 278) вращается во-
вокруг конца О в плоскости рисунка с угловым ускорением
е = At с. ОА = 15 см, АВ = 10 см, ВС = 5 см. Найти
скорость и ускорение точки С стержня в момент/ = 1 с,
5* И5

если его движение началось без начальной угловой ско-
скорости.
Ответ: vc = 20^5 ™; wc = 40)^16 ^ .
397. Стержень ОА, проходящий через колечко М, наде-
надетое на неподвижную проволочную окружность радиуса
18 см (см. рис. 272), колеблется вокруг точки О этой окруж-
окружности так, что угол ф между касательной Ох и стержнем
изменяется по закону ф — у sin yf.
Определить скорость и ускорение колечка М в момент
*=6 с.
Ответ: у = 6я2-; w = 2n*^.
с с2
398. Тело вращается с постоянной угловой скоростью
со = 2с~х вокруг неподвижной оси ОЛ, образующей с ося-
осями Ох и Оу углы а и Р, для которых cos а = cos P = 3~ .
Определить скорость и ускорение точки Л1A, 2, 3) тела,
координаты которой даны в сантиметрах.
2
Ответ: v = 2]/2 ™; w = 4^2 ~ •
399. Шкив колеблется вокруг своей оси согласно урав-
3
нению ф^-^-этл^ (/, с). Определить минимальную вели-
величину полного ускорения точки шкива, отстоящей от оси
вращения на расстоянии 16 см.
Ответ: wmin = 4[/5я2^ .
400. Груз М, прикрепленный к концу веревки, намо-
намотанной на барабан радиуса 15 см с горизонтальной осью
вращения, поднимается без начальной скорости с постоян-
постоянным ускорением w = 0t3-j, Определить угловое ускоре-
ускорение барабана и нормальное ускорение точки на его поверх-
поверхности через 5 с после начала движения.
Ответ: е = 2 с; шл = 15 м/с2.
116

§ 15. Преобразование простейших движений
твердого тела
401. Шкив В и вал С жестко скреплены между собой и
насажены на общую ось (рис. 279). Через шкивы В и Л пе-
переброшен бесконечный ремень, а на вал С намотана веревка,
к концу которой прикреплен груз М. Шкив А вращается
с постоянным угловым ускорением 8 = 2с ~2 из состояния
покоя. Радиусы шкивов Л, В и вала С соответственно рав-
равны 10 см, 20 см и 5 см. Найти уравнение движения груза
Л/, если ремень движется без проскальзывания.
Ответ: h = 2,5 t? см.
Рис. 279
402. Шестерни (рис. 280) сцеплены между собой и вра-
вращаются вокруг неподвижных параллельных осей. Ведущая
шестерня вращается с угловой скоростью 0^= -с. Най-
Найти угловую скорость со4 ведомой шестерни и передаточное
число & механизма, если числа зубцов шестерен равны:
гх = 30, z2 = 20, z3 = 25, г4 = 60.
Ответ: со4 — yg яс; k = у .
403. Эксцентрик / радиуса R (рис. 281) вращается во-
вокруг оси О, перпендикулярной к его плоскости, с угловой
скоростью соо и приводит в движение диск И радиуса г,
который может вращаться вокруг оси А на стержне А В с
вертикальными направляющими. Найти наибольшую и наи-
наименьшую угловые скорости диска, если эксцентриситет
Ответ: @//тах =
О)// min =
R — a
¦0H.
117

404. На шкивы / и 4, спаренные со шкивами 2 и 3 соот-
соответственно, намотаны веревки, к концам которых прикреп-
прикреплены грузы А и В (рис. 282). Шкивы 2 и 3 соединены беско-
бесконечным ремнем, движущимся без проскальзывания. Ра-
Радиусы шкивов: гх == 25 см, г2 = 15 см, г3 = 30 см, г4 =
= 10 см. В каком направлении и с каким ускорением бу-
будет двигаться груз В при опускании груза А с ускорением
0,5 g?
Ответ: Вниз с ускорением wB = 0,1 g.
Рис. 281
Рис. 282
Рис. 283
405. Две шестерни радиусов Rx и R2 (рис. 283) имеют
внешнее зацепление. Шестерня // жестко связана с валом
радиуса R3, на который намотана веревка, охватывающая
блок и закрепленная в точке А. К оси блока прикреплен
груз М. Шестерня / вращается с угловым ускорением г
и приводит в движение всю систему. Найти ускорение гру-
груза М.
Ответ: wK
2R2
406. Ведущий вал / редуктора (рис. 284) вращается
об
с угловой скоростью, соответствующей пг = 4800 —. Най-
мин
ти число оборотов в минуту ведомого вала //,если числа
зубцов: гх = 14, z2 == 84; z3 = 16, z4 = 64.
об
Ответ: пц — 200 — .
мин
118

407. Коническое зубчатое колесо / радиуса г, вращаясь
с постоянным угловым ускорением elf приводит во враще-
вращение колесо // радиуса R (рис. 285). Определить уравнение
вращения колеса //, если начальная угловая скорость*ко-
скорость*колеса / равна соО1.
Ответ: ^ = ~ (<©01/ + ^j .
ч
Рис. 284
Рис. 285
408. В фрикционной передаче (рис. 286) ведущее коле-
колесо / радиуса г, равномерно вращаясь вокруг горизонталь-
горизонтальной оси, делает пх оборотов в мл нуту и одновременно пере-
перемещается влево с постоянной скоростью v±. Определить
I I
и ,.¦¦¦.„-
4^tl ,1»^ 1
Рис. 286
Рис. 287
Рис. 288
угловое ускорение г2 колеса II в момент, когда расстояние
колеса / от оси вращения колеса // равно d.
Ответ: е2 = ^
»
409. При вращении рукоятки ОХА домкрата (рис. 287)
зубчатая рейка ВС перемещается по вертикали. С какой
угловой скоростью нужно вращать рукоятку домкрата, что-
чтобы скорость рейки ВС была равна 0,5 см/с, если числа
119

зубцов шестерен: гг = 18, z2 = 72, гъ = 25, г4 = 125,
а радиус пятой шестерни гь = 3 см.
О/гае/и: о) = 3,33 с.
410. Шестерня / (рис. 288), вращаясь из состояния по-
покоя с постоянным угловым ускорением е1э посредством дру-
других шестерен приводит в движение зубчатую рейку ВС.
Найти скорость и ускорение рейки ВС, если радиусы шес-
шестерен /?!, /?2, R3.
Ответ: v = ^eLt; ш-^ех.
Глава VI. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 16. Сложение скоростей точки
411. Пассажир, едущий в поезде со скоростью 140 км/ч,
видел в течение 6 с встречный поезд длиной 400 м. Опреде-
Определить скорость встречного поезда.
Ответ: 100 км/ч.
412. Моторная лодка переплывает реку шириной 480 м
с относительной скоростью 3,6 м/с, направленной перпен-
перпендикулярно к ее берегам. Течение реки сносит лодку и она
проходит путь, равный 500 м. Определить скорость течения,
считая ее постоянной по всей ширине реки.
Ответ: 1,05 м/с.
413. Лодка переплывает реку шириной 234 м, держа
курс под углом а к берегу, за 2,5 мин и пристает в точке В,
лежащей на прямой А В, перпендикулярной к берегу (рис.
289). Определить угол а и скорость лодки относительно
воды, если скорость течения и = 3,24 км/ч постоянна по
всей ширине реки.
Ответ: а = 60°, vr = 1,8 м/с.
414. От пристани одновременно отошли две лодки с от-
относительными скоростями vl = 100 м/мин и v2 = 75 м/мин,
направленными перпендикулярно к берегам. К противо-
противоположному берегу реки вторая лодка пристала через 1,5
мин после первой. Определить время движения лодок и ши-
120

рину реки, считая скорость течения постоянной по всей
ширине реки.
Ответ: tx = 4,5 мин, t2 = 6 мин, / = 450 м.
415. Эскалатор, имеющий 150 ступенек, движется вниз
со скоростью v = 1 м/с. С какой скоростью относительно
эскалатора движется человек, если он насчитал 100 сту-
ступенек?
Ответ: vr = 2 м/с.
416. Два человека, идущие вниз с относительными ско-
скоростями vx = 1,6 м/с и у2 = 0,8 м/с по лестнице движущего-
I"
I.
У/////////////////////////////////.
У///////////////////////////////////.
Рис. 289
Рис. 290
У/////////////////////////'
Рис. 291
ся эскалатора, опускаются за время tt = 1,5 мин и /2 =
= 2 мин соответственно. За сколько минут опустится че-
человек, стоящий на ступеньке эскалатора?
Ответ: t3 = 3 мин.
417. Девушка, спускаясь по ступенькам эскалатора
с относительной скоростью vx = 1 м/с, насчитала ях = 60
ступенек, а юноша, идущий с относительной скоростью v2 =
= 2 м/с, насчитал /г2 = 80 ступенек. Сколько ступенек име-
имеет эскалатор и чему равна его скорость?
Ответ: п = nvn2
—
418. Корабль движется прямолинейно со скоростью vi9
Тем же курсом на высоте Я летит самолет. С какой скоро-
скоростью v2 должен лететь самолет, чтобы вымпел, сброшенный
с него без начальной относительной скорости, упал на па-
палубу корабля, если в момент сбрасывания вымпела корабль
Г21

был впереди самолета на расстоянии /, отсчитываемом по
горизонтали. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: v2 = vx + ly
2Н'
419. Колечко К соединяет неподвижный стержень О А
и проволочную полуокружность радиуса г = 85 см, дви-
движущуюся вдоль оси Ох со скоростью 30 см/с (рис. 290).
Определить относительную и абсолютную скорости колечка
в момент, когда ОВ = 45 см.
Ответ: vr — 34 см/с, va= 16 см/с.
420. Колечко К соединяет неподвижную проволочную
полуокружность OD радиуса ОС = г = 12 см и стержень
АВ, который движется поступательно со скоростью 3 см/с
(рис. 291). Определить относительную и абсолютную ско-
скорости колечка в момент, когда ОВ = ВС = 6 см.
Ответ: vr = ]/3 см'с; va « 2"|/^3 см/с.
421. Диск радиуса г = 8 см равномерно вращается с уг-
угловой скоростью о) = 4 с вокруг центральной оси, пер-
перпендикулярной к плоскости диска. По ободу диска движет-
движется точка М с постоянной относительной скоростью vr =
= 12 см/с. Найти абсолютную скорость точки М.
Ответ: va = 44 см/с при движении точки в направлении
вращения диска; va = 20 см/с при движении точки в про-
противоположном направлении.
422.- Брус А движется поступательно со скоростью v0,
а цилиндр В катится без скольжения по прямолинейному
пути в том же направлении. Скорость оси цилиндра равна
vc. Определить скорость конца К горизонтального радиуса
цилиндра относительно бруса Л.
Ответ: vr = V&c + (vc — v0J-
423. Кривошип ОА длиной 12 см вращается по закону
Ф = у fi (t — в секундах) и приводит в возвратно-поступа-
возвратно-поступательное движение кулису (рис. 292). Определить скорости
кулисы и ползуна А относительно кулисы, в момент времени
t = 5 с.
Ответ: ve = 20я]/3 см/с, vr = 20 л см/с.
122

424. Точка М движется по закону х = 2/2 -f- / (л:, см;
/, с) вдоль полупрямой Ох, вращающейся вокруг перпен-
перпендикулярной к ней оси Оу с угловой скоростью со = 4 с.
Определить абсолютную скорость точки М в момент време-
времени /== 0,5 с.
Ответ: va = 5 см/с.
425. Прямолинейная горизонтальная трубка вращается
вокруг вертикальной оси Оу с угловой скоростью, соответ-
соответствующей 90 об/мин. Внутри трубки движется шарик М по
Рис. 292
Рис. 293
Рис. 294
закону ОМ = х = 8 + 6 sin—/ (л:, см; /, с). Найти абсо-
абсолютную скорость шарика в момент времени / = 3,5 с.
Ответ: va = 54,5 см/с.
426. Точка М движется против вращения часовой стрел-
стрелки согласно уравнению s = 5 /2 см по окружности радиуса
г = 20 см, расположенной на боковой стенке прибора,.дви-
прибора,.движущегося равномерно вправо со скоростью 10 см/с. Опре-
Определить абсолютную скорость точки М в момент времени
/ = 2с, если при / = 0 она занимала наинизшее положе-
положение.
Ответ: va = 26,76 см/с.
427. Колечко К соединяет проволоку, изогнутую по па-
параболе #2 = 18л:, и вертикальный Стержень АВ (рис. 293),
который движется вдоль оси Ох с постоянной скоростью г=
= 4 см/с. Определить относительную и абсолютную ско-
скорости колечка в момент, когда стержень А В удален от вер-
вершины О параболы на расстояние 8 см.
Ответ: vr = 3 см/с; va = 5 см/с.
123

428. Колечко К соединяет проволоку, изогнутую по
циклоиде х = /?(со/ — sin otf), у = R(l — coscoO (со =
= const; /, с), и стержень АВ, который движется вдоль
оси Ох со скоростью v (рис. 294). Определить относитель-
относительную и абсолютную скорости колечка в момент, когда А К ==
Ответ: vr = vу 3; va = 2t>.
429. Колечко К соединяет проволоку, изогнутую по
цепной линии y=i%{ea + е "*") f и стержень АВУ дви-
z
жущийся вдоль оси Ох со скоростью v (рис. 295). Опре-
Определить относительную и абсолютную скорости колечка
в зависимости от высоты Л/С — h.
Ответ: vr = —
430. Определить абсолютную скорость шаров А и В
регулятора (рис. 296), если в данный момент АВ = 40 см,
угловая скорость вращения регулятора вокруг вертикаль-
вертикальной оси Oz o)t = 4c, угловая скорость вращения стержней
ОХА и 02В вокруг горизонтальных осей О, и Ov <ot = 1,5 с,
ОХА = О2В = 26 см.
Ответ: va = 89 см/с.
431. Стержень О А колеблется в вертикальной плоскос-
плоскости вокруг точки О по закону <р = g^. sin Зл^ (t, с), где <р —
угол отклонения стержня от вертикали. Вдоль стержня дви-
движется точка М согласно уравнению ОМ = s = 2л/2 см.
Определить абсолютную скорость точки М в момент време-
времени t = 3 с.
Ответ: va = 15 л см/с.
124

432. Круговой конус с углом при вершине, равным 60°
(рис. 297), вращается с угловой скоростью, со = 3 с во-
вокруг вертикальной оси, перемещающейся вдоль оси Оу со
скоростью v = 15 см/с. Вдоль образующей конуса от вер-
вершины к основанию движется точка М со скоростью v, =
= 6 см/с. Определить величину абсолютной скорости точки
М, если в данный момент она находится в плоскости гОу
на расстоянии ft = 5 см от оси конуса.
Ответ: va=24 см'с.
433, Крановая тележка (рис. 298) движется по стре-
стреле крана согласно уравнению x = 20sin2^t(x9 м; /, с).
Рис 297
Рис. 298
Определить абсолютную скорость тележки в момент вре-
времени / = 10 с, если стрела крана поворачивается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью со = ^ с.
Ответ: va = ^- V5 ~ .
434. Вдоль гипотенузы А В прямоугольного треуголь-
треугольника ABCу вращающегося вокруг катета АС с угловой ско-
скоростью со = B/ + 4) с, движется точка М по закону
AM == s = Bt2 + t) см. Определить абсолютную скорость
точки М в момент времени / = 2с, если Z.BAC == 30°.
Ответ: ад = 41 см'с.
435. Диск радиуса г = 18 см вращается вокруг своего
диаметра согласно уравнению <p=~cosy. По ободу
диска движется точка М по закону ОМ = s = 6jtsin-g-1 см,
где О — конец диаметра, перпендикулярного к оси
125

вращения. Определить абсолютную скорость точки М в
момент времени / = 5 с.
Ответ: va = л2 см/с.
436. Диск радиуса г = 12 см вращается в своей плос-
плоскости вокруг точки О, лежащей на его ободе, в направлении
противоположном вращению часовой стрелки, согласно
уравнению <р = ~ /2. По ободу диска движется точка М в том
же направлении по закону ОМ = s = 4 л/ см. Определить
абсолютную скорость точки М в моменты времени tx =
= 1 с и /2 = 3 с.
Ответ: vt = 4л^/ см/с, и2 = 28 л см/с.
437. Колечко М соединяет неподвижную проволочную
окружность радиуса г = 6 см и стержень О А (рис. 299),
вращающийся вокруг точки О по закону <р = ^- /. Опреде-
Определить абсолютную, переносную и относительную скорости
колечка М в момент времени / == 2 с.
Ответ: va = 2л см/с; ve — л]/3 см/с; t/r == л см/с.
Рис. 299
Рис. 300
438. Колечко М соединяет неподвижный стержень АВ
и стержень OD (рис. 300), вращающийся вокруг точки О
по закону <p = -g-sin-7r/. Определить абсолютную и отно-
относительную скорости колечка М в момент времени /=1 с,
если СО = 54 см.
Ответ: va = 2л2]/*3 см/с; iv = л2]/3 см/с.
439. Кривошип ОЛ длиной 25 см равномерно вращается
вокруг точки О с угловой скоростью (о — 2,6 с и приво-
приводит в движение кулису ОХВ (рис. 301). Определить ско-
126

рость точки В, если 00 L = 60 см, 0LB = 104 см и в данный
момент OLA = 65 см.
Ответ: vB = 40 см/с.
440. В механизме (рис. 302) камень В качает кулигу
^С. Определить скорость точки С в момент времени t =
= 7 с, если <р = у/,
ОХС = 5Э см.
Ответ: vc = 43,53 см/с.
= АВ = 15 см, 00! = 20 см и
Рис. 301
Рис. 302
§ 17. Сложение ускорений точки
441. Тело А (рис. 303) спускается с относительным
ускорением 18 cw^c2 вдоль наклонной грани призмы, дви-
движущейся вправо по закону х = 6 t2 cm (t, с). Определить
У)
Рис. 303
Рис. 304
абсолютное ускорение тела Л, если ВС = 160 см, CD =
= 120 см.
Ответ:
28,5 см/с2.
442. Найти абсолюгные скорость и ускорение, с какими
тело А в предыдущей задаче покинет призму, если х =
= 25/2 см и AD = s = 10^2 см (/, с).
Ответ: va = 300 см/с, ша = 30J/5 см/с2.
127

443. В вагоне, движущемся по прямолинейному пути
с ускорением 4 м/с2, стоит вентилятор, лопасти которого
делают 600 об/мин. Определить абсолютное ускорение точки
лопасти вентилятора, отстоящей от оси вращения на рас-
расстоянии 8 см, если ось вращения вентилятора параллельна
направлению движения вагона.
Ответ: wa = 316 м/с2.
444. Самолет движется прямолинейно с ускорением
аш/с2. Определить абсолютное ускорение точки пропеллера,
отстоящей от оси вращения на h м, если в данный момент
угловая скорость пропеллера о с и угловое ускорение
е с.
Ответ: wa = V®2 + h2 (г2 -f о4) м/с2.
445. Два поезда одновременно отходят от станции в про-
противоположных направлениях. Через 2 мин скорость пер-
первого поезда равна 129,6 км/ч, а второго 108 км/ч. Считая
движение поездов равноускоренным, найти скорость и уско-
ускорение первого поезда относительно второго и расстояние
между ними через 1,5 мин после отхода от станции.
Ответ: iv= 178,2 км/ч, шг = 0,55 м/с2, s = 2227,5 м.
446. Велосипедист, двигаясь равноускоренно, через 10 с
после начала движения развил скорость 36 км/ч. Чему
раьны в этот момент абсолютные ускорения концов верти-
вертикального и горизонтального диаметров колеса велосипеда
радиуса 0,35 м, катящегося без скольжения по прямо-
прямолинейному пути.
Ответ: wx = 286 м/с2; w2 = 285 м/с2; w3 = 286 м/с2,
ау4 =*= 287 м/с2.
447. Кривошип О А длиной 54 см# шарнирного паралле-
параллелограмма ОАВОХ (рис.304) вращается вокруг неподвижной
оси О по закону ф — у* (t, с). Вдоль стороны А В этого
параллелограмма перемещается ползун С, жестко скреплен-
скрепленный со стержнем CD, движущимся в направляющих, пер-
перпендикулярных А В. Определить скорость и ускорение
стержня CD, а также ускорение точки С относительно
стержня А В в момент времени t = 12,5 с.
Ответ: v==9nV3 см/с; w = Зл2 см'с2; wr = Зя2КЗсм/с2.
128

448. Кривошип О А длиной 25 см вращается равномерно
с угловой скоростью со = 2,5 с и приводит в возвратно-
поступательное движение кулису вдоль ее оси симметрии
(см. рис. 292). Определить ускорение кулисы и ускорение
ползуна А относительно кулисы в момент, когда расстояние
ООХ = 7 см.
Ответ: we= 43,75 см/с2; wr = 150 см/с2.
449. Кривошип О А длиной 36 см вращается по закону
ф = ?L/2 (/f с). Определить ускорение кулисы и ускорение
ползуна А относительно кулисы в момент времени / == 2 с
(см. рис. 292).
Ответ: we = 36,06 см'с2; wr = 24,76 см/с2.
450. Решить предыдущую задачу, если <р = ^-
= 1 с.
Ответ: we = 53,04 см'с2; wr= 12,91 см/с2.
в
К
Рис. 305
Рис. 306
Рис. 307
451. Крестообразный ползун К соединяет неподвижный
горизонтальный стержень АВ и вертикальный стержень
CD, движущийся поступательно согласно уравнению: AD~
= s = 5/2 см (рис. 305). А В = 96 см, CD = 28 см. Опре-
Определить абсолютные и относительные скорости и ускорения
ползуна при / = 4с.
Ответ: va = 38,4 см/с; iv = 11,2 см/с; ша = 9,6 см'с2;
av-=2,8 см/с2.
452. Крестообразный ползун К соединяет неподвижный
стержень АВ и перпендикулярный к нему стержень CD с
ползуном ?>, движущимся согласно уравнению: AD = s =
= 8| 5 + 4 sin у j см (рис. 306). Определить относительные
129

и абсолютные скорости и ускорения ползуна при t = у етс,
если а = 60°.
Ответ: tv=12 см/с; уа = 4]/*3 см/с; шг = 2]/3 см/с2;
w<, = 2 см/с2.
453. Крестообразный ползун /С соединяет неподвиж-
неподвижный стержень ОА и перпендикулярный к нему стержень
ВС с ползуном 5, движущимся согласно уравнению х =
= (90 + 85cos-g-J см (рис. 307). Определить относитель-
относительные и абсолютные скорости и ускорения ползуна К при
,35 ,8
2 = -?-лс, если tga^jg.
Ответ: vr = 8]/*3 см'с; afl = 151^3 см/с; ~шг =3,2 см/с2;
ю<, = б см/с2.
454. Колечко /( соединяет неподвижный стержень ОА
длиной 117 см и стержень ВС, движущийся поступательно
согласно уравнению #— 54[l+sin^ П см. ВС ~ 45 см
В х
Рис. 308
Рис. 309
Рис. 310
(рис. 308). Определить относительные и абсолютные ско-
скорости и ускорения колечка при / = —яс.
Отчет: vr = 7,5l/ см/с; яв = 19,5]/3 см/с; шг = 5 см/с2;
шд = 13 см/с2.
455. Колечко К соединяет неподвижный стержень АВ
длиной 180 см и стержень CD, движущийся поступатель-
поступательно согласно уравнению у = 144cos2-^- см, CD = 108 см
(рис. 309). Определить относительные и абсолютные ско-
скорости и ускорения колечка К при ? = 5яс.
Ответ: vr = 9]/*3 см/с; va = 15J/3 см/с; шг = 3 см/с2;
о;в = 5 см/с2.
130

456. Крестообразный ползун К соединяет неподвижный
вертикальный стержень CD с горизонтальным стержнем
АВ. Кривошип О^А длиной 65 см шарнирного параллело-
параллелограмма О±АВО2 равномерно вращается вокруг оси Оъ де-
делая 30 об/мин (рис. 310). Определить переносные, относи-
относительные и абсолютные скорости и ускорения ползуна К в
момент, когда ОК = 56 см.
Ответ: ve = 65 я см/с; vr = 56 я см/с; va = 33 я см/с;
we = 65 я2 см/с2; av= 33 л2 см/с2; о;д = 5бл2см/с2.
457. Крестообразный ползун К соединяет неподвижный
стержень А В с перпендикулярным к нему стержнем CD.
Кривошип ОС длиной 32 см вращается согласно уравнению
Ф = -j- и соббщает стержню CD возвратно-поступательное
движение (рис. 311). Определить относительные и абсолют-
абсолютные скорости и ускорения ползуна К при / = яс.
Ответ: vr = va = АУ см/с; wr = wa= V~2 см/с2.
t
Рис. 311
°A
к л
и
Рис. 312
0 АХ \д
Рис. 313
458. Крестообразный ползун К соединяет неподвижный
стержень АВ с перпендикулярным к н^му стержнем CD
(рис. 312). Кривошип ОС длиной 36 см вращается согласно
уравнению Ф = -^ и сообщает возвратно-поступательное
движение стержню CD. Определить относительные и аб-
абсолютные скорости и ускорения ползуна К в момент вре-
времени / = я с.
— т/"з
Ответ: vr = 3 см/с; va = 3)^3 см/с; ov = ^- см/с2;
We = у СМ/С2.
131

459. Решить задачу 457, если <р = ^ги t = 2 с.
Ответ: vr = va = 4л1/2 см/с = 17,772 см/с,
оуг = (я — 2) л 1/2 см/с2= 5,072 см/с2; оул =
= (я +2) я^г см/с2= 22,843 см/с2.
460. Решить задачу 458, если ф = ^-и / = 2 с.
Ответ: vr = 6л"|/3 см/с; ул == 6л см/с;
av = 36,063 см/с2; we = 24,764 см/с2.
461. Колечко /С, соединяющее неподвижную проволоч-
проволочную полуокружность радиуса г = 72 см и подвижный
стержень АВ (рис. 313), движется вдоль полуокружности
по закону DK = s = 72 л sin2 -^- см. Определить абсолют-
абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения
колечка при / = 2л с.
Ответ: vn = 6
We
+ 4) л & = 14,911 зг.
Рис. 314
Рис. 315
Рис. 316
462. Колечко К соединяет неподвижный стержень О А и
проволочную полуокружность BD радиуса 36 см (рис. 314),
движущуюся согласно уравнению OD = 36 A + sin -g-J см.
Определить относительные и абсолютные скорости и уско-
ускорения колечка К в момент времени / = 5я с.
л ? СМ о СМ л СМ УЗ СМ
Ответ: vr = 6 — ; va = 3 — ; w, = 1 -^ ; wa = Y cT.
132

463. Стержни OtA и 02С длиной 16 см каждый (рис.
315), вращаются вокруг неподвижных осей 0х и О2 с
постоянной угловой скоростью (о = 0,5 с и приводят в
движение ромбическую пластинку ABCD, вдоль диагонали
которой движется точка М согласно уравнению ОМ =
= s = 5/2 см, АС = ОХО2. Определить абсолютные ско-
скорость и ускорение точки М в момент времени t = 1,5 с,
если при этом AC ± A0t.
Ответ: ид = 17см/с; wa = 6см/с2.
464. Решить предыдущую задачу при условии: s =
= I2sin?/CM, co^^c и f = 5с.
о о
г\ л ГЪ СМ 5 о СМ
Ответ: va = n\/7—; ™а = \2п-&'
465. Стержни ОХА и 02S, длиной 72 см каждый (рис.
316) вращаются вокруг осей Ог и 02 по закону ф = ^-/ и
приводят в движение квадратную пластинку. Вдоль диаго-
диагонали CD пластинки движется точка М согласно уравнению
ОМ = s = 81 sin-Q-л/ см. Определить fbft
абсолютные скорость и ускорение точ-
точки М в момент времени / = 1,5 с.
Ответ: va = 21л см/с, &уа = 4л2 см/с2.
466. Решить предыдущую задачу при
/ = 3 с.
0/иеюп: иа = 26J1 см/с; wa =
= 50,13 см/с2. Рис 317
467. Стержни 0LA и 02? длиной 48 см каждый вращают-
вращаются вокруг осей Oi и 02 (рис. 317) по закону ф == ~ / и сооб-
сообщают движение кольцевой трубке радиуса г = 24 см. Внут-
Внутри трубки движется шарик М согласно уравнению ОМ =
== s = Зя/2 см. Определить абсолютные скорость и уско-
ускорение шарика в момент времени / = 2 с.
Ответ: va = 24я ~; wa = Зя ]/4+9я2 ^ = 90,804 ^.
468. Решить предыдущую задачу при / = 4 с.
Ответ: va == 12я ~-; oyfl = Зя]/*4 + 49л2 = 207,262 2~.
133

469. Точка А привеса математического маятника, длина
нити которого AM = 30 см, перемещается вдоль горизон-
горизонтальной оси Ох (расположенной в плоскости колебаний
маятника) согласно уравнению: Ха = 12 sin 3/ см, а угол
отклонения нити от вертикали изменяется по закону <р =
= -g-(sin 6/ — 2sin3/). Определить абсолютные скорость и
ускорение точки М при / = у лс.
Ответ: va = 24 см/с, wa = 120 см/с3.
470. Решить предыдущую задачу при условии: AM =
= 36 см, хА =—9 sin ф см, где cp = ysin6/, ? = лс.
Ответ: va = 54 см/с, wa = 144 см/с2.
471. Частица жидкости движется с относительной ско-
скоростью 8 см/с внутри кольцевой трубки, вращающейся с
угловой скоростью 3 с" вокруг неподвижной оси Оу, ле-
лежащей в плоскости трубки. Определить кориолисово уско-
ускорение частицы жидкости в момент, когда угол между осью
Оу и vr равен 30°.
Ответ: wK = 24 см/с2.
472. Точка М движется со скоростью 10 см/с по винтовой
линии, расположенной на поверхности кругового цилиндра
радиусом 12 см, вращающегося вокруг своей оси с угловой
скоростью 5 с. Найти ускорение Кориолиса точки М9
если шаг винта h == 7л см.
Ответ: wK = 96 см/с2.
473. Поезд движется вдоль меридиана на юг со скоро-
скоростью 144 км/ч. Определить кориолисово ускорение поезда
на широте <р = 60°.
Ответ: wK = 0,5 см/с2.
474. Точка М движется по закону ОМ = s = 4л/ см но
ободу диска радиусом 8 см, который вращается ^огласно
уравнению <р = nt вокруг оси, направленной по касатель-
касательной в точке О к ободу диска. Найти абсолютное ускорение
точки М в момент времени / = 2 с.
Ответ: wa = 18л2 см/с2.
134

475. Точка М движется по закону ОМ = s = 5/ см
вдоль горизонтального стержня, вращающегося с постоян-
постоянным угловым ускорением е = 1 с вокруг вертикальной
оси, проходящей через конец О стержня. Определить
абсолютное ускорение точки М в момент времени / = 2 с,
если при t = 0 угловая скорость стержня со = 0.
Ответ: wa = 50 см/с2.
476. Точка М движется равномерно со скоростью v по
окружности радиуса г, расположенной на прямоугольной
пластинке A BCD так, что центры окружности и пластин-
пластинки совпадают. Пластинка вращается вокруг вертикальной
стороны А В с постоянной угловой скоростью со. ВС =
= 4 г. Определить абсолютное ускорение точки М в мо-
моменты, когда она:
1) проходит через наинизшее положение на окружности,
2) максимально удалена от стороны АВ.
Ответ: w1 = — + 2co2r; w2 = — + Зсо2г.
477. Стержень О А колеблется вокруг горизонтальной
оси Ох, перпендикулярной к стержню, по закону <р =
= g^ sin я/, где ф— угол отклонения стержня от вертика-
вертикали. Вдоль стержня движется точка М согласно уравнению
ОМ = s = 2/2 см. Определить абсолютное ускорение точ-
точки М в момент времени / = 6 с.
Ответ: wa = 4Y"l7 см/с2.
478. Диск радиуса г = 20 см равномерно вращается в
своей плоскости с угловой скоростью со = -г- с вокруг
точки О, лежащей на его ободе. По ободу диска в направ-
направлении, противоположном его вращению, движется точка
М по закону ОМ = s = 2nt см. Определить абсолютное
ускорение точки М в момент времени t == 10 с.
Ответ: wa = л2 см/с2.
479. Точка М согласно уравнению ОМ = г = яе~^
(а, & — const) движется по горизонтальной прямой, кото-
которая равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг
вертикальной оси, проходящей через точку О. Определить
абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Ответ: va = a j/^2 + oy2e~ki; wa = a(k?+ со2)егы.
135

480. Прямолинейная горизонтальная трубка ОА враща-
вращается вокруг вертикальной оси Оу с угловой скоростью со =
= const. Внутри трубки движется шарик М по закону
ОМ = х = achcot см (а — const, tf с). Найти абсолютную
скорость и абсолютное ускорение шарика.
Ответ: va = асо J/*ch 2(ot —; wa == 2со2д sh otf ^-.
481. Прямоугольная пластинка ABCD вращается во-
вокруг стороны AD с постоянной угловой скоростью со =
==2 с". АВ = 16 см, ВС = 12 см. Вдоль диагонали АС
движется точка М согласно уравнению AM = s = Ы см (/,
с). Определить абсолютное ускорение точки М в момент,
когда она находится на расстоянии 3 см от оси вращения.
Ответ: хюа = 20 см/с2.
482. Круглая горизонтальная платформа вращается во-
вокруг вертикальной центральной оси. По диаметру плат-
платформы движется точка М с постоянной скоростью v =
= 10 см/с относительно платформы. Определить абсолют-
абсолютное ускорение точки М, если в данный момент угловая ско-
скорость платформы со = 2 с~\ угловое ускорение е =
= —1 с и точка М удалилась от оси вращения на 40 см.
Ответ: wa~ 160 см/с2.
483. Цилиндр радиуса 6 см вращается вокруг своей оси,
имея в данный момент угловую скорость 2 с"*1 и угловое
ускорение 8 с. Вдоль образующей цилиндра движется
точка М с ускорением 48 см/с2 относительно цилиндра.
Определить абсолютное ускорение точки М.
Ответ: wa = 72 ем/с2.
484. По условию задачи 432 найти абсолютное ускоре-
ускорение точки М.
Ответ: wa = 9]/29 см/с2.
485. Квадратная пластинка со стороной 24 см вращается
в своей плоскости вокруг центра С по закону <р == nt2.
Вдоль стороны пластинки около ее середины О согласно
уравнению ОМ =s = 12 sin nt см колеблется точка М.
Приняв положительное направление отсчета s в сторону
вращения пластинки, определить абсолютное ускорение
точки М в момент времени t = 1 с.
Ответ: wa = 24 л см/с2.
136

486. Точка М колеблется согласно уравнению ОМ =
= s = 36 sin -%- см вдоль стороны АВ горизонтальной пря-
о
моугольной пластинки A BCD, равномерно вращающейся
вокруг центральной вертикальной оси с угловой скоростью
со —-jT с, АО = ОВ = ВС = 36 см. Определить абсолют-
абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент
времени t = яс, если положительное направление отсчета
координаты s совпадает с направлением вращения пла-
пластинки.
Otneem: va = 61^3 см/с; wa = 5 см/с2.
487. Точка М движется согласно уравнению s = у/2 см
по ободу горизонтального диска радиуса г— 12 см, вра-
вращающегося вокруг центральной вертикальной оси по зако-
закону ф = —/2 в направлении, противоположном направле-
направлению движения точки М. Определить абсолютные скорость
и ускорение точки М в момент времени t = 2,4 с.
Ответ: va = 12 см/с; &Уа = 13 см/с2.
488. Точка М колеблется согласно уравнению ОМ =
= s = R sin <ot вдоль диаметра диска радиуса R, равно-
равномерно вращающегося с угловой скоростью <о вокруг оси
Oz, проходящей через центр О диска, перпендикулярно к его
плоскости. Определить траекторию.абсолютного движения
точки М и ее абсолютные скорость и ускорение.
Ответ: х2 + (у — ~J = j- \ va = со/?; ^а = 2ю2#.
489. Диск радиуса г = 10 см равномерно вращается
вокруг оси, проходящей через центре диска перпендикуляр-
перпендикулярно к его плоскости (рис. 318), с угловой скоростью (йх =
= 3 с, а рама, к которой прикреплена ось вращения
диска, вращается вокруг оси Oz с постоянной угловой
скоростью со2 = 2 с. А В = DE = 20 см. Рама и диск
расположены в одной плоскости. Определить абсолютные
скорости и ускорения точек Мг и Мг диска.
Ответ: vL = 30^5 см/с; v2 = 50 см/с; wl = 210 см/с2;
w2 = 170 см/с2.
490. Диск радиуса г = 9 см вращается вокруг оси Cziy
проходящей через центр диска перпендикулярно к его плос-
плоскости, согласно уравнению ф = 2/ (рис. 319). Вместе с
137

осью Czi диск вращается вокруг параллельной оси Dzb том
же направлении с постоянной угловой скоростью о =
= 3 с. Определить абсолютные скорости и ускорения то-
точек А и В диска, если DE = 25 см.
Ответ: vA = 30 см/с, vB = 120 см/с, wA =0, wB =
= 450 см/с2.
491. Диск радиуса г = 6 см вращается вокруг горизон-
горизонтальной оси О#, проходящей через центр С диска перпен-
перпендикулярно к его плоскости, с постоянной угловой ско-
скоростью со, = 4 с (рис. 320). Вместе с осью Оу диск вра-
Рис. 318
Рис. 319
щается вокруг вертикальной оси Ог с постоянной угло-
угловой скоростью w2 = 3 с; ОС = 16 см. Определить абсо-
абсолютные скорости и ускорения концов А и В вертикального
диаметра диска.
Ответ: vA = 72 см/с, vB = 24 см/с, тд = 96 j/TO см/с2,
йу^ = 96 см/с2.
492. Крановая тележка движется по стреле крана сог-
согласно уравнению х = 20 sin2 ^t (x, м; /, с). Определить
абсолютное ускорение тележки в момент времени t = 5 с,
если стрела крана поворачивается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью ю = «г Г1 (см. рис. 298).
Ответ: wa =:
40
20
-1,02 м/с2.
493. Колечке М соединяет неподвижный стержень ВС
и стержень ОА, вращающийся вокруг неподвижной оси О,
удаленной от стержня ВС на а см (рис. 321). Колечко М дви-
движется равномерно со скоростью v см/с вдоль стержня ОА.
138

Определить абсолютное ускорение колечка М и угловое
ускорение стержня О А в момент, когда угол ф = 45°.
Ответ: wa=— см/с2; е = ^™ с-з#
п At (X
494. По условию задачи 493 определить скорость и ус-
ускорение колечка М относительно стержня ОА> если ско-
скорость колечка М относительно стержня ВС v = const.
^ Vu см v2 V% см
Ответ: vr^=v^—\ wr = - -^ ^ .
495. По прямой LW, равноудаленной от неподвижных
точек А и В (рис. 322), с постоянной скоростью v см/с дви-
Рис. 321 Рис. 322
жется колечко М, соединяющее стержни ЛС и BD, вращаю-
вращающиеся вокруг точек А и В соответственно. Определить ско-
скорость и ускорение колечка М относительно стержня АС в
момент, когда AM == А В = а см.
^ 0 ]/3 СМ V2 СМ
Ответ: иг = -L- T , w, = ^ ? .
496. Колечко Af соединяет неподвижную проволочную
окружность радиуса г = 18 см и стержень О А (см. рис.
299), который вращается вокруг точки О по закону ф = -^ .
Определить абсолютное, относительное и кориолисово уско-
рения колечка при t = лс.
Ответ: wa=2 см/с2, куг = 0,5 см/с2, кук =. УЪ см/с2.
497. Частица М жидкости движется согласно уравнению
AM = s = 12 / см внутри кольцевой трубки радиуса R =
= 16 см (рис. 323), равномерно вращающейся в том же
направлении в своей плоскости с угловой скоростью
со = 0,5 с вокруг точки О. ОС = 30 см. Определить
139

абсолютные скорость и ускорение частицы жидкости при
;=-§-лс.
Ответ: va = 25 см/с, wa = 26,1 см/с2.
498. При качании кулисы ОБ вокруг оси О (рис, 324)
ползун А скользит вдоль кулисы и приводит в движение
горизонтальный стержень АС. а = 16 см. Определить от-
относительное ускорение ползуна А и угловое ускорение ку-
кулисы ОБ в момент, когда ОА = 20 см, если при этом ско-
скорость и ускорение стержня АС равны соответственно 5 см/с
и 3 см/с2 и направлены вправо.
Ответ: wr— 1 см/с2, еов = 0,18с.
Рис. 323
Рис. 324
Рис 325
499. Угол ф между кулисой ОБ и осью Ог (рис. 324) из-
изменяется по закону ф = -«- sin t. В момент времени t =
= -g- с определить скорость и ускорение стержня АСУ а так-
также относительное ускорение ползуна Ау если а = 18 см.
Ответ: va = 21,766 см/с, куа = 10,226 см/с2, о;, =
= 22,208 см/с2.
500. Стержень АС приводит в движение ползун А и ку-
кулису ОБ (рис. 324), а = 24 см. Определить относительное
ускорение ползуна и угловое ускорение кулисы в момент,
когда О А = 40 см, если при этом скорость стержня АС рав-
равна 10 см/с, а ускорение его равно 4 сы/с2 и направлено влево.
Ответ: wf =4,1 см/с2; гов = 0.
501. Кривошип ОЛ кулисного механизма равномерно
вращается с угловой скоростью со = 2 с и приводит в
движение ползун А и кулису OtB (рис. 325). ОА = 50 см,
ООА = 30 см. Определить относительное ускорение пол-
140

зуна А и угловое ускорение кулисы 0хВ в момент, когда
0гВ ± ООХ.
Ответ: wr = 0; гов = 3 с~2.
502. Решить предыдущую задачу при условии: со =
3 Х
Ответ: ww
14 см.
Рис. 326
503. Кривошип ОА кулисного
механизма вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью со = 3,38 с
и приводит в движение ползун А
и кулису ОХВ (рис. 326). О А =
= 10 см, ООХ = 24 см. Определить
относительное ускорение ползуна
А и угловое ускорение кулисы ОгВ в момент, когда
ОА ± ООХ.
Ответ: w, = 37,44см/с2, гов = 2,856 с~2.
504. Решить предыдущую задачу при условии: со =
= 2,5 с, О А = 14 см, ООХ = 25 см и в рассматриваемый
момент времени AOL == 25 см.
Ответ: йу, = 20,658 см/с2; еОБ = 2,306 с
Рис. 327
Рис. 328
505. Колечко М (рис. 327) соединяет неподвижный стер-
стержень ОС и изогнутый под прямым углом стержень ОАВУ
вращающийся вокруг точки О по закону <р ~ ~ sin2 (^ t +
+ j2J(r> c)- 0A=^ 27 см. Определить кориолисово и отно-
относительное ускорение колечка М в момент времени t = -у с.
Ответ: wK = n*^ = 97,41 ~; wr = (зг — 2)
= 35,40
см
141

506. Колечко М (рис. 328) соединяет неподвижную про-
проволочную окружность радиуса 32 см и стержень ОА, колеб-
колеблющийся вокруг конца О по закону ср = у cosy/. Опреде-
Определить скорость и ускорение колечка М относительно стерж-
стержня ОА при t = Зя с, если ОС = 48 см.
Ответ: vr = 0; w, = 7,5 см/с2.
507. Точка движется согласно уравнениям: х = it см,
у = B — 2/2) см в плоскости хО#, вращающейся вокруг
оси Oz с угловой скоростью со == * с~х. Найти абсолютные
скорость и ускорение точки в момент времени t = 1с.
Ответ: va = 4 j/5 см/с; доя = 20 см/с2 при вращении
плоскости в направлении движения стрелки часов; иа =
= 4 см/с; ша = 4 ]/5 см/с2 при вращении плоскости в про-
противоположном направлении.
508. Решить предыдущую задачу при условиях: х =
24
= 6/ см, у = -г см, со = 1 с == const, ? = 2 с.
Ответ: va = 18 V^2 см/с; доа = 30 см/с2 при вращении
плоскости в направлении движения стрелки часов; va =
= 6 У 2 см/с; wa = 6 см/с2 при вращении плоскости в про-
противоположном направлении.
509. Плоскость хОу, в которой точка М описывает аст-
астроиду согласно уравнениям: х — 8 cos31 см, # = 8 sin31 см,
равномерно вращается в направлении движения часовой
стрелки вокруг оси Oz с угловой скоростью со == Зс~*.
Найти абсолютные скорость и ускорение точки М в момент
времени t = -j- зтс.
Ответ: va = 0; ша == 48 см/с2.
510. Точка Л/ движется согласно уравнению (Ж = s =
= 4/2 см вдоль диагонали ОВ ромба ОАВС, который вра-
вращается вокруг стороны ОА по закону <р = 2/. Определить
величину абсолютного ускорения точки М в момент време-
времени /= 1 с, если ОА = АС.
Ответ: wa = 8 У Ъ см/с2.
511. Решить предыдущую задачу при условии: ф —
— — i2
Ответ: тп = 2 j/8 см/с2,
142

512. Точка М движется согласно уравнению СМ =
= s = 36 sin -о- см вдоль диагонали А В прямоугольной плас-
пластинки, вращающейся вокруг оси Oz с постоянной угловой
скоростью со = 4" с~* (Рис- 329)- АС = СВ = BD. Опре-
о
делить абсолютные скорость и ускорение точки М в момент
времени / = ~ с-
Ответ: va = 31/15 см/с, wa =
7
Рис. 329
Рис. 330
Рис. 331
513. Точка М движется согласно уравнению ОМ =
= s = 2,5 /2 см вдоль образующей усеченного конуса (рис.
330), который вращается вокруг своей оси с постоянной
угловой скоростью со = 0,5 с. Радиусы оснований усе-
усеченного конуса R •-= 50 см, г = 20 см, длина образующей
/ = 60 см. Определить абсолютные скорость и ускорение
точки М в момент времени ; = 4с,
Otneem: va = 20 j/2 см/с, оуд = 5 j/7 см/Л
514. Точка Л1 движется вниз с постоянной относитель-
относительной скоростью 20,5 см/с по винтовой линии, расположен-
расположенной на поверхности цилиндра радиуса 20 см, равномерно
вращающегося вокруг своей оси. При каком значении уг-
угловой скорости цилиндра абсолютное ускорение точки М
равно 20 см/с2, если шаг винта h = 9л; см?
Ответ: со == 2 с.
515. Прямоугольный равнобедренный треугольник
ОАВ вращается вокруг катета ОВ с постоянной угловой
скоростью 2с. Вдоль гипотенузы О А движется точка М
по закону ОМ = s = 10 t2 см. Определить величину абсо-
абсолютного ускорения точки М в момент времени / = 1 с.
Ответ: wa = 60 см/с2.
143

516. Точка М движется по закону ОМ = s = 2/2 вдоль
образующей кругового конуса, вращающегося вокруг своей
о
оси с постоянной угловой скоростью со — — с. Угол при
вершине конуса равен 60°. Определить величину абсолют-
абсолютного ускорения точки М в момент времени / = 3 с.
Ответ: wa = 4J/1> см/с2.
517. Кольцевая трубка радиуса 32 см равномерно вра-
вращается вокруг диаметра О А с угловой скоростью со =
= -j с". Внутри трубки движется жидкость по закону
ОМ = s = 8л/ см. Определить величину абсолютного ус-
ускорения частицы М жидкости в момент времени / = 3 с.
Ответ: дой = 41,87 см/с2.
518. Частица М жидкости движется согласно уравне-
уравнению AM = s = 6/ см внутри кольцевой трубки радиу-
радиуса /?= 18 см (рис. 331), равномерно вращающейся с угло-
угловой скоростью со = -g-c вокруг неподвижной оси Ог, ле-
лежащей в плоскости трубки на расстоянии ОС =- 27 см.
Определить абсолютные скорость и ускорение частицы М
жидкости в момент времени / = яс.
Ответ: va = 6yl> см/с; wa = 2|/^1б см/с2.
519. По условию задачи 439 найти ускорение точки В.
Ответ: wB= 176,43 см/с2.
520. По условию задачи 440 найти ускорение точки В
относительно кулисы.
Ответ: wr = 9,08 см/с?.
Глава VII. ПЛОСКО ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
§ 18. Скорости точек тела
521. Колесо катится без скольжения по плоскости, от-
отклоненной от горизонтальной плоскости на угол а = 30°.
Определить скорости концов горизонтального диаметра,
если скорость центра О колеса vo = 2 м/с.
Ответ: vx = 3,46 м/с; у2 = 2 м/с.
144

522. К шатуну А В кривошипно-шатунного механизма
с ползуном В на конце (рис. 332) прикреплен диск радиу-
радиуса 15 см, центр С которого находится на АВ. А В = 60 см,
АС = 24 см. Кривошип О А длиной 12 см вращается вок-
вокруг оси О с угловой скоростью о)о = 8 с. Определить
угловую скорость шатуна АВ и скорость точки D на ободе
диска в момент, когда кривошип О А и шатун АВ находятся
на одной прямой. CD ± АВ.
Ответ: Vd = 62,4 см/с; олв = 1,6 с.
523. Ромбическая
пластинка (рис. 333)
шарнирно прикрепле-
прикреплена к стержням ААХ
и BBU которые могут
Рис. 332
Рис. 334
вращаться вокруг неподвижных осей Ах и BL. А В = BD =
= 20 см.
Определить скорости вершин пластинки в момент, когда
ААХ ± ВВУу если угловая скорость пластинки при этом
равна 1,5я с'1.
Ответ: vA = 15 я см/с; иБ= 15]/Зя см/с;
vc = 15|/^ГЗ я см/с; vD = 15~|/7я см/с.
524. Через блоки А и В переброшена веревка (рис. 334),
конец Л л которой перемещается со скоростью 20 см/с. Оп-
Определить угловые скорости блоков Л и В, если радиус каж-
каждого блока равен 8 см.
Ответ: ыА = 2,5 с, сов == 1,25 с.
525. Стержень А В, к концу которого прикреплен шар-
шарнирно ползун А (рис. 335), проходит через поворотную
трубку CD с неподвижной осью вращения О. ОЕ = 30 см,
скорость ползуна А равна 80 см/с. Определить угловую
скорость трубки CD в момент, когда а = 60°.
Ответ: <дсо = 2 с.
6 9-396
145

526. Радиус неподвижного зубчатого колеса 1 равен
30 см, а подвижного зубчатого колеса 2—20 см (рис.
336). Кривошип О А, вращаясь вокруг неподвижной оси О,
делает 60 об/мин. Определить скорости точек В, С, D, ?,
если AD является продолжением ОА, EC±AD. AB =
ЛС Л = 15 см.
Ответ:
= 175 л см/с.
ufi = 25 л см/с; t;c = vE = 125 л см/с; vD =
Рис. 335
Рис. 336
Рис. 337
527. Зубчатое колесо 1 неподвижно (рис. 337). Криво-
Кривошип О А длиной 24 см, колеблясь в вертикальной плоскости
согласно уравнению <р = ysiny, передает движение зуб-
зубчатому колесу 2 радиуса г = 6 см. Определить скорость
точки В обода колеса 2, которая диаметрально противопо-
Рис. 338
Рис. 339
ложна точке К касания колес, а также скорости точек С и
D обода колеса в момент / = лс, если CD JL BK.
Ответ: vb = 4 см/с; vc~vd = 2]/2 см/с.
528. Диск радиуса 10 см катится вдоль наклонной плос-
плоскости со скольжением (рис, 338). Определить скорости
концов А, В, С, D взаимно перпендикулярных диаметров
диска, если диаметр АС перпендикулярен наклонной
146

плоскости, скорость центра О равна 1,2 м/с, а угловая
скорость диска 5 с.
Ответ: vA = 1,7 м/с; vB = vD= 1У3 м/с; vc = 0,7 м/с.
529. Стержень ЛВ скользит по неподвижному полуци-
полуцилиндру радиуса 25 см (рис. 339), а его конец Л при этом
перемещается по горизонтальной плоскости со скоростью
20 см/с. Определить скорость точки касания С стержня и
его угловую скорость в момент, когда О А = 50 см.
Ответ: vc= 10^3 см/с; юдв =
Рис. 340 Рис. 341 Рис. 342
530. Кривошип ОС длиной 10 см (рис. 340), вращаясь
с угловой скоростью 3 с, сообщает движение линейке
эллипсографа АВ. АС = ВС = 10 см. Определить положе-
положение точки К линейки, скорость которой минимальна, и вели-
величину этой скорости, если ср = 30°.
Ответ: А К = 5 см; vK = 26 см/с.
531. Две параллельные зубчатые рейки (рис. 341), дви-
двигаясь в противоположных направлениях со скоростями
vt = 40 см/с и v2 = 10 см/с, перемещают зубчатое колесо.
Определить скорости концов диаметра CD> параллельного
рейкам.
Ответ: vc = vd= 29,2 см/с.
532. У четырехзвенника ОАВС (рис. 342) ОА -= 16 см,
ВС = 34 см, АВ = ОС = 15 см. Определить скорость точ-
точки В и угловые скорости звеньев АВ и ВС в момент, когда
ОА JL ОС, если при этом угловая скорость звена ОА равна
2л с.
Ответ: vB = 68n см/с; а>АВ =4 яс; (овс = 2ЯС.
147

533. Кривошип ОА, делая 60 об/мин (рис. 343), переда-
передает движение треугольной пластинке АВС^ и ползуну В.
ОА = 12|^2 см, АС = 24 см, АВ = 12]/ см. Определить
скорости вершин В и С пластинки и ее угловую скорость
в момент, когда а = 45°, если в этот момент АС ± ОВ.
Ответ: vB = 36n см/с; vc = 24 л см/с;
534. Два стержня АС и ВС шарнирно соединены между
собой в точке Сие ползунами А и В, движущимися по од-
одной прямой со скоростями Va = 30 см/с и vb = Ю см/с,
направленными в противоположные стороны. ЛС = 10 см.
Рис. 343
Рис. 344
Определить скорость точки С и угловые скорости стержней
АС и ВС в положении механизма, когда ZCAB= 60°,
ZCBA = 30°.
Ответ: vc= 101/^3 см/с и направлена перпендикуляр-
перпендикулярно АВ\ о).г =
с;
0)
рг
вс
= -7= С
535. Кривошип ОА (рис. 344), вращаясь с угловой ско-
скоростью 6 с, передает движение пластинке ABC и коро-
коромыслу BD. ОА = 10 см, АС = 15 см, ВС = 45 см, BD =
= 40 см, ZACB = 90°.
Определить скорости точек Л, Ву С, угловые скорости
пластинки ЛВС и коромысла BD, в момент, когда О A JL
± ЛС, если при этом ОА ± BD.
Ответ: vA = 60 см/с; i>B = 20 см/с; vc = 20^16 см/с;
О)
}BD
= 0,5 с-1.
536. Длина балансира О А равна 50 см (рис. 345). АС =
= СВ = 20 см, О2В = 15 см, CD = 12 см, O2D = 16 см.
Определить угловые скорости звеньев ОХВ, CD и O2D в
148

момент, когда А В ± ОО1У если при этом точка В находится
на прямой OOly ZACD = ZCD02
рость балансира О А равна 2 с.
90°, а угловая ско-
Ответ: со
охв
4 с; еогп = 5 с г\ со,
O2D
2,5 c~J.
537. Длина кривошипа ОА равна 20 см (рис. 346). О3В =
= 40 см, АВ = 30 см, АС = 10 см, BD = 20 см. Опреде-
Определить скорости точек В, С, D механизма и угловые скорости
звеньев ОгВ и CD в момент, когда CD J_ CM, если при этом
а = 30°, а угловая скорость кривошипа ОЛ равна 3 c"J.
С A
Рис. 345
В В
Рис. 346
Рис. 347
Ответ: tifl == 120—; ^ = 401/3-;v
401/21 2-1;
"охв
538. Длина кривошипа О А равна 15 см (рис. 347). А В ==
= 20 см, BD = 30 см. Определить скорости точек В и D
механизма и угловые скорости звеньев АВ> OtB и BD в мо-
момент, когда О А ± OOj, если при этом АВ ± ОА и а =
¦= 60°, а угловая скорость кривошипа ОА равна 4 с.
л _le ^ -1
ОХВ ' ®BD *з" ^ "
539. Зубчатые колеса 1 и 3 радиусов г3 = 15 см и г3 =
= 65 см насажены на общую ось вращения О (рис. 348).
Вращаясь в противоположных направлениях с угловыми
скоростями (Oj = 7 c~J и (о3 = 3 с, они сообщают дви-
движение зубчатому колесу 2 радиуса 25 см. Определить уг-
угловую скорость колеса 2 и положение его мгновенного
центра скоростей.
Ответ: со2 = 6 с; СР = 7,5 см на отрезке СО.
149

540. Звенья АС и ВС пятизвенника (рис. 349) соедине-
соединены на концах шарнирами. Звенья ОА и ОгВ имеют непод-
неподвижные оси вращения О и Ov ОА = 30 см, ОгВ = 20 см,
OOL = 40 см. Определить скорость точки С в момент, когда
ОА и OLB перпендикулярны ООи если при этом СОг явля-
является продолжением АСУ ВС || ОгО9 а угловые скорости
звеньев О А и ОХВ равны 2,5 с и 3 с соответственно.
Ответ: vr = 20]/"l0 см/с.
Рис. 3^8
Рис. 349
Рис. 350
, д
должением О А ,
541. Звенья АС и ВС пятизвенника (рис. 350) соединены
на концах шарнирами, звенья ОА и ОгВ имеют неподвиж-
неподвижные оси вращения О и Ог. О А = 30 см, ОгВ = 15 см, АС =
= 14 см, ВС = 48 см. Определить скорость точки С в мо-
момент, когда О A jl OiB, если при этом Л В является про-
проB 90°, а угловые скорости звеньев
О А и OiB равны 2 с и 3 с"*1 соот-
соответственно.
Ответ: vc = 72 см/с.
542. Длина балансира ОА =
= 10 см (рис. 351), Л В = 30 см,
СВ = 15 см, СОг= 15 см, 00! =
= 40 см, </ООгС = 90°. Опреде-
Определить скорости точки В и середины
D звена Л В, а также угловые скорости звеньев Л В и ВС
в момент, когда Z.ABC = 90°, если при этом О А находится
на OOlf а угловая скорость балансира ОА равна 2я с.
Рис. 351
= 17,1 л^?;
=0,4 я с;
со
'ВС
= 1,07 я <Г
543. Клин К7 двигаясь вправо со скоростью v = 12 см/с,
сообщает движение диску, ось О которого леремеща-
150

ется по вертикали (рис. 352). Определить угловую скорость
диска, скорости его оси О и точки В — диаметрально про-
противоположной точке касания Л, если а = 30°, радиус дис-
диска 4 см и между клином и диском скольжение отсутствует.
Ответ: со =
;
Рис. 352
Рис. 353
544. Кривошип ОА четырехзвенного механизма делает
150 оборотов в минуту (рис. 353). О А = 7 см, А В = 15 см,
ВОХ = 20 см, ООХ = 24 см. Определить угловые скорости
звеньев АВ и ВОХ в момент, когда кривошип ОА перпен-
перпендикулярен OOt.
Ответ: ыАВ = 1,4 я с; о>о в =
Рис. 356
545. Стержни АС и ВС (рис. 354) соединены в точке С
шарнирно и проходит через поворотные трубки Аг и Вх
с неподвижными осями вращения. АС = ВС = 1 м; /}ХВ! ==
= 0,25^2 м. Определить скорости концов Л и В и угловые
скорости стержней АС и ВС в момент, когда АгС = ВХС =
= 0,25 м, если точка С движется по вертикали со скоростью
Vc = 2 A^G.
Ответ: vд = t>R = 4,47 — ; о -г = *
= 5,66 с.
151

546. К ободу колеса радиуса г = 0,5 м (рис. 355) шар-
нирно прикреплен стержень АВ длиной 1,5 м. Скорость
центра О колеса, катящегося по прямолинейному пути без
скольжения, равна 2 м/с. Определить скорость конца В
стержня и угловые скорости колеса и стержня в момент,
когда радиус О А горизонтален.
Ответ: vB= 1,29 м/с; сокол = 4 с; <*>АВ= 1,41 с.
547. Стержень ОА, поворачиваясь вокруг неподвижной
оси О (рис. 356), сообщает движение стержню А В, ползуну
ВС с шарнирами Л, Б, С и стержню С/С, проходящему через
поворотную трубку D с неподвижной осью вращения.
ОА = 16 см, КС = 56. см, DOX= 16 см, СОХ± OJD. Опре-
Определить угловую скорость стержня СК и скорость конца
К в момент, когда ОА ± АВ, если при этом АВ и СОХ
направлены по одной прямой, CD = 20 см, а угловая ско-
скорость балансира О А равна 5 с.
Ответ: ыск = 3,2 с; vK = 124,8 см/с.
Рис. 357
Рис. 358
548. Радиус неподвижного зубчатого колеса 3 R = 55
см, радиусы зубчатых колес 1 и 2 равны гг = 15 см, г2=
=¦ 5 см (рис. 357). ОХО% = 30 см. Скорость центра Ог коле-
колеса / равна 1,2 м/с. Определить угловые скорости колес / и 2
и стержня ОгО29 а также скорости точек А и В ободов, диа-
диаметрально противоположных точкам касания колес.
Ответ: щ = 8 с"; со2 = 30 с; со0 0 = 3 с"";
vA =2,4 м/с; vB = 3 м/с.
549. Зубчатое колесо / неподвижно (рис. 358). Радиусы
зубчатых колес А и В равны соответственно 18 см и 30 см;
О А = 24 см, А В = 1м. Определить угловые скорости зуб-
зубчатых колес и звена АВ в момент, когда ф = 30°, если при
этом угловая скорость кривошипа О А равна 5с.
Ответ: со. = 6,67 с;
соБ = 2 с";
со
}лв
= 1,04 с".
152

550. Ползун С может перемещаться вдоль прямой, про-
проходящей через ось вращения О1 звена BD (рис. 359). О А =
= 24 см, А В = 50 см, ОгВ = 20 см, OXD = 30 см, DC =
= 60 см. Определить угловые скорости звеньев АВ, BD,
DC и скорость ползуна С в момент, когда а = 90°, если
при этом р = 60°, у = 90° и угловая скорость балансира
ОЛ равна 3 с.
Ответ:
"АВ
=»0,831с-1;©яп = 4>16с-1;
BD
1.04 с-1;
.= 139,4 см/с.
551. Треугольная пластинка ABC (рис. 360) шарнирно
соединена со стержнями, имеющими неподвижные оси вра-
А
Рис. 359
Рис. 360
Рис. 361
щения О, Ои О2, перпендикулярные к плоскости пластинки.
АВ = ВС = АС = 10 см, ОА = 15 см, ОХВ = 20 см,
O2D = 30 см, CD = 12 см. Определить угловые скорости
пластинки ABC и стержней ОХВ, CD, DO2 в момент, когда
ВС и OtB находятся на одной прямой, если при этом
CD ± DO<>, CD |! ОА, О А ± АС, а угловая скорость стер-
стержня О А равна 2 с.
Ответ: <с„о/,= ГЗс; со0 ^ = 0,5 l/Зс; coCZ)=2,5c;
552. Кривошип ОА (рис. 361), делая 300 об/мии вокруг
неподвижной оси О, сообщает движение звену АВ, прохо-
проходящему через поворотную трубку с неподвижной осью вра-
вращения Ov и стержню ВС с ползуном С на конце. ОА =
= 0,14 м, АВ = 1 м, ВС = 0,5 м, ООг = 0,48 м. Опреде-
Определить скорость ползуна С в момент, когда ОА JL OOV
Ответ: 0,96 л м/с.
153

5531. Стержень OtB проходит через трубку А (рис. 362),
ось вращения которой прикреплена к концу кривошипа
ОА длиной 10 см, делающего 90 об/мин. ООг = 20 см, ОгВ =
== 50 см, BD = 25 см. Определить скорость ползуна D в
момент, когда кривошип ОА JL 00^ Определить также
угловые скорости звеньев Оф и BD в этот момент.
Ответ: vD= 30]/5л см/с; а>о^в=0,6яс~1; соВ?>=2,4дс*.
554. Трубка Л (рис. 363) прикреплена шарнирно к кон-
концу балансира ОА и может двигаться вдоль стержня СС1 с
неподвижной осью вращения 0^ Через поворотную трубку
6
Рис. 362
Рис. 363
с неподвижной осью вращения В проходит стержень СС2.
ОА =10 см, OOL = OtB = 10 см, OB =¦ 16 см, ОХС =
= 9 см. Определить скорости точек С и В звена СС2 в мо-
момент, когда стержень ССХ делит отрезок ОВ пополам, если
в этот момент угловая скорость балансира ОА равна 2 с.
Ответ: Vc = 9 см/с; Ув = 4,24 см/с.
555. Кривошип ОЛ (рис. 364), вращаясь вокруг непод-
неподвижной оси О, делает 240 об/мин и перемещает вдоль, звена
ОгВ ползун Л, шарнирно арикрепленный к нему на конце.
ОА =* 30 см, OtB -= ВС = 70 см, ООг = 10J/3 см. Опреде-
Определить скорости точек ВиСв момент, когда а = 30°.
Ответ: vB = 8,4л м/с; ус = 8,
м/с.
556. К концу С звена АС, проходящего через поворотную
трубку с неподвижной осью вращения В (рис. 365), при-
прикреплена шарнирно в точке С трубка, через которую про-
проходит балансир DE. АС = 24 см, DE = 20 см, ОВ = 12 см,
1 При решении задач 553—560 следует пользоваться также теоре-
теоремой сложения скоростей в сложном движении.
154

BD = 61^3 см. Определить угловые скорости звеньев АС и
DE и скорости точек Е и К в момент, когда а = 60°, если
АК = 15 см и угловая скорость кривошипа ОА длиной
12 см равна 4 с.
Ответ: солс=2с"; g>de=8c'1; vE= 160 см/с; рк=42 см/с.
Рис. 364
557. Ползун D, который шарнир но прикреплен к балан-
балансиру OjDy может перемещаться вдоль звена О А (рис. 366).
О А = А В = 120 см. OXD = 80 см. Определить скорости
ползунов В и D и угловые скорости звеньев OJ} и Л В в
Рис. 366
Рис. 367
момент, когда OXD \_ ОВ9 если при этом а = 60°, OD =
= 90 см, а угловая скорость звена ОА равна 2 с.
: Уд = 240 V3 см/с; t>D = 120 V% см/с;
со„
558. Ползун А, шарнирно прикрепленный к звену ОА,
может перемещаться вдоль звена ОЛВ (рис. 367). О А =
= 45 см, ООг = 15 см, ОАВ = 70 см, а = 25 см. Опреде-
Определить скорости точек В и D механизма в момент, когда
155

ОгВ JL ООЪ если в этот момент центр ползуна D находится
на прямой 00Ь а угловая скорость звена О А равна 5 с".
Ответ: vB = 3,5 м/с; vD = 1,25 м/с.
559. Ползун Л, шарнирно прикрепленный к балансиру
ОА, может перемещаться вдоль звена ОХВ (рис. 368). О А =
= 20 см, OiB » 60 см, BD = 30 см. Определить скорость
ползуна D и угловые скорости звеньев BD и ОХВ в момент,
когда О A JL ООй, если при этом ОХЛ = 30 см, а угловая
скорость балансира О Л равна 4,5 е~х.
Ответ: vn
см/с; »соял=
Рис. 368
Рис. 369
560. Ползун Л, шарнирно прикрепленный к балансиру
О А, может перемещаться вдоль звена OLB (рис. 369). ООХ «=
= 20 см, ОХВ « 90 см. Определить угловые скорости зве-
звеньев ОХВ и ВС в момент, когда ОА ± OOLt если при этом
ОХА =- 40 см, ОХС *» 90 см, а угловая скорость звена ОА
равна 4 с.
Ответ: (оп
Зс
-1.
(йвс = 1
§ 19. Ускорения точек тела
561. Ускорение груза М, движущегося по вертикали
вниз, равно 12 см/с2 (рис. 370). Определить угловые скорос-
скорости и угловые ускорения блоков Л и В в момент, когда ско-
скорость груза М равна 18 см/с, если радиус каждого блока
равен 3 см.
Ответ: (оА = 3 е^1; сов
1,5 с; еА = 2 с"
ев = 1 с™2
562. Ускорения точек Л и В плоской фигуры, движущей-
движущейся в своей плоскости, равны соответственно 20]/3 см/с2 и
20 см/с2. Ускорение точки А направлено под углом а =
= 30° к отрезку А В длиной 50 см, а ускорение точки В —
156

на продолжении АВ. Найти угловую скорость и угловое
ускорение плоской фигуры.
Ответ: со = -g- с; е = -т- с~2.
563. Ускорение центра О колеса (рис. 371), катящегося
по горизонтальному пути без скольжения, равно 1 м/с2,
длина стержня О А равна 2 м. Определить ускорение конца
Л, движущегося по наклонной плоскости, в момент, когда
стержень О А горизонтален, если при этом скорость центра
О колеса равна 2 м/с. Определить также угловую скорость
и угловое ускорение стержня.
Ответ: wA=3 У 2 м/с2;со0л =
Рис. 370
Рис. 371
564. Уравнение движения центра О колеса радиуса /?,
катящегося без скольжения по прямолинейному пути, s~
at2. ~
= -у. Определить ускорение мгновенного центра скорос-
скоростей Р колеса в момент времени t.
аЧ2
Ответ: wp = -^- и направлено к центру О колеса.
565. Кривошип ОА длиной 10 см (рис. 372), вращаясь
вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью
4л С1, сообщает движение шатуну А В длиной 40 см и пол-
ползуну В. Определить ускорение ползуна В в момент, когда
он занимает крайнее правое положение.
Ответ: wB = 200 п2 см/с2.
566. Ускорение центраСколеса радиуса0,4 м, катящего-
катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу вправо, рав-
равно 2 м/с2, а его скорость s этот момент 1 м/с. Определить
скорость и ускорение точки М горизонтального радиуса
колеса, лежащей правее С на расстоянии СМ = 0,2 м.
Ответ: vM= 1,12 м/с; wM= 1,25 м/с2.
157

567. Стержень ОА, шарнирно соединенный в точке А
со стержнем А В, имеет неподвижную горизонтальную ось
вращения О (рис. 373). ОА = АВ = 15 см. Определить уг-
угловую скорость, угловое ускорение стержня А В и ускоре-
ускорение точки В в момент, когда а •= 30°, если при этом Р =
= 30°, угловая скорость стержня О А равна нулю, а его
угловое ускорение 2 С.
Ответ: а>дв = 0; едв = 1,15 с"; wB = 17,3 см/с2.
568. Треугольная пластинка ABC, где Z>4BC = 90°,
АВ = 24 см, ЛС = 25 см, движется в своей плоскости. Ус-
Ускорение точки В равно 35 см/с2 и направлено к вершине С,
где в данный момент находится
мгновенный центр ускорения
пластинки.
Рис. 372 Рис. 373
Определить ускорения вершины А и точки D катета Л В,
если AD = 10 см, а также угловую скорость и угловое ус-
ускорение пластинки.
Ответ: wA = 125 см/с2; wD =? 35 К5 см/с2;
со = 1/5 с"**1; е = 0.
569. Ускорение центра колеса, катящегося без сколь-
скольжения по прямолинейному рельсу, равно 1,2 м/с2, а его ско-
скорость в данный момент 0,8 м/с. Радиус колеса 0,4 м. Опре-
Определить ускорение мгновенного центра скоростей и скорость
мгновенного центра ускорений колеса.
Ответ: wP = 1,6 м/с2; vQ = 0,64 м/с.
570. Кривошип ОЛ (рис. 374), вращающийся равномер-
равномерно с угловой скоростью, соответствующей 30 об/мин, сооб-
сообщает движение пластинке ABC. О А = 8 см, АС = 5 см,
ВС = 10 см, Z.ACB = 90°. Определить положение мгновен-
мгновенного центра ускорений пластинки и ускорение ползуна В в
момент, когда ВС \\ О А.
158

Ответ: Мгновенный центр ускорений совпадает с точ-
точкой С.
wb = 16 я2см/с2.
571. Зубчатое колесо / радиуса гх = 15 см (рис. 375)
передает движение зубчатому колесу 2 радиуса г2 = 25 см,
шатуну АВ длиной 65 см и ползуну В. Определить ускоре-
ускорение ползуна В и угловое ускорение стержня АВ в момент,
когда 0tA _L 00L, если угловая скорость колеса / в этот
момент равна нулю, а его угловое ускорение равно 5 с.
Ответ: ш^=31,25 см/с2; елв = 1,25 с.
Рис. 374
Рис. 375
Рис 376
572. Лестница-стремянка состоит из двух одинаковых
частей АС и ВС длиной 2 м каждая, соединенных шарнир-
но в точке С над горизонтальным полом и горизонтальной
стяжкой АХВХ. Z.ACB = 30°. После разрыва стяжки части
лестницы АС и ВС начинают падать, а нижние концы Аи В
скользить по горизонтальному полу. Определить ускоре-
ускорения точек Л и В в начале движения, когда ускорение we =
== 2 м/с2 и направлено вниз, a vc = 0.
Ответ: wA = wB = 7,46 м/с2; гАС = гвс = 3,86 с.
573. Кривошип О А длиной 10 см (см. рис. 265), делая
150 об/мин, сообщает движение шатуну АВ, к которому
жестко прикреплена пластинка ABC, имеющая форму пря-
прямоугольного треугольника. АВ = 25 см, АС = 14 см. Оп-
Определить угловую скорость и угловое ускорение пластинки
ABC и ускорение точки С в момент, когда Z.BOA = 0.
Ответ: соАп — 2я с; е-R = 0; wr — 256я2 см/с2.
574. Стержень АВ длиной 26 см (см. рис. 355) шарнирно
прикреплен к ободу диска радиуса 5 см, катящегося без
159

скольжения по прямолинейному пути. Определить угло-
угловую скорость, угловое ускорение стержня и ускорение кон-
конца В в момент, когда конец А находится на одной вертикали
с центром О диска (вверху), если скорость центра диска
15 / t
р (
v0 = 15 см/с = const.
Ответ:
= 0; гАВ = 1,88 с; wB = 18,75 Ыс2.
575. Балансир О А с неподвижной осью вращения О
передает движение звеньям А В и ВС четырехзвенного ме-
механизма (рис. 376). О А = 20 ]/2 -см, ОС = 30 см, С В =
= 20 см. Определить ускорение точки В, угловые ускорения
звеньев А В к ВС, а также положение мгновенного центра
ускорений звена АВ в момент, когда а = 45°, если в этот
момент Л б || ОС, угловая скорость балансира О А равна
нулю, а его угловое ускорение 0,75 л2с~2.
Ответ: о/в=15л2 см/с2; гАВ = 0,3 л2 с; еяг =
= 0,75л2 с 2. Мгновенный центр ускорений стержня АВ
находится в точке пересечения прямых О А и ВС.
Рис. 377
А
Рис. 379
576. При движении плоской фигуры в ее плоскости уско-
ускорения Wa hWb образуют основания трапеции высотой 12 см
(рис. 377). АВ = 15 см, wA = 35- см/с2 и wB = 60 см/с2.
Определить положение мгновенного центра ускорений Q
фигуры, а также ее угловую скорость и угловое ускорение.
Ответ: AQ = 21 см на прямой В А; со = 1с~х,е =* у с~2.
577. Колесо катится по прямолинейному рельсу без
скольжения. Доказать, что если скорость и ускорение цент-
центра колеса не равны нулю, то отрезки прямых, соединяю-
соединяющих три точки: мгновенный центр ускорений, мгновенный
центр скоростей и центр колеса, образуют прямоугольный
треугольник.
160

578. Конец В стержня АВ (рис. 378) длиной 0,4 м дви-
движется вдоль плоскости, отклоненной от горизонтальной на
угол а = 30°, а конец Л по дуге окружности радиуса О А =
= 0,6 м. Определить скорость и ускорение конца В в мо-
момент, когда стержень А В горизонтален, если при этом
О A JL АВ, угловая скорость стержня ОА равна п с, а
его угловое ускорение равно нулю.
Ответ: vB = 2,18 м/с; wB = 3,42 м/с2.
579. Конец А стержня АВ длиной 15 см (рис. 379) дви-
движется с постоянной скоростью 10 см/с по дуге окружности
радиуса 5 см, конец В — по прямой CDr перпендикулярной
к диаметру KD. Определить скоростей ускорение конца В
в момент, когда О А \\ CD.
Ответ: Vb = 3,54 см/с; тв = 12,05 см/с2.
580. Конец Л стержня АВ длиной 10 см движется вдоль
горизонтали с ускорением 4 см/с2, конец В вдоль верти-
вертикальной стены вверх. Определить ускорение конца В, уг-
угловую скорость и угловое ускорение стержня А В в момент,
когда расстояние от конца В до горизонтали равно 5 см,
если при этом скорость конца А равна 7,5 см/с.
Ответ: wB = 38,l см/с2; (оАВ = 1,5 с; еАВ = 3,1 с.
581. В момент, когда угол ОАВ = 60° (см. рис. 358),
ускорение точки А направлено вдоль АО и равно 150 см/с2,
а ускорение точки В направлено вдоль А В вправо и равно
50 см/с2. Определить ускорение середины звена АВ в этот
момент.
Ответ: wc = 25 l/ТЗ см/с2.
582. Кривошип ОА (рис. 380) вращается согласно
уравнению: ф = —-. Определить угловую скорость и угло-
угловое ускорение диска в момент t = 2 с, если диск катится
без скольжения и ОЛ = ЛВ = 6 г, где г — радиус диска.
Ответ: со = п с~2; е = ~ (я ]/3 + 3) с".
583. По условию задачи 546 определить ускорение кон-
конца В и угловое ускорение стержня АВ, считая скорость
центра О колеса постоянной.
Ответ: wB=4,82 м/с2; елв = ^ с.
161

584. Стержни АС и ВС шарнирно прикреплены к пол-
ползунам А, В, С (рис. 381). Направляющие ползунов А и В
взаимно перпендикулярны, направляющая ползуна С от-
отклонена от направляющей ползуна А на угол а, АС = а,
ВС = Ь. Определить угловые ускорения стержней АС и БС
в момент, когда они взаимно перпендикулярны, если при
этом скорость ползуна А равна va> а его ускорение равно
нулю.
Ответ: гАС = ^ tg3 a; efiC = ^ tg2 а.
Рис. 380
Рис. 381
ш% 3%ш
Рис. 382
585. Кривошип О А вращается с достоянной угловой ско-
скоростью ©о = 6,8 с~х (рис, 382). ОА = 10 см, АВ = 30 см,
Oifi = 16 см, ООх = 24 см. Определить угловые ускорения
стержней А В и ОХБ в момент, когда Л находится на пря-
прямой ООХ слева от О.
Ответ: гАR = 5,12 с
-2.
eOiB = 18 с-».
Рис. 384
586. Радиус каждого блока R = 2,5 см (рис. 383), а
ускорение груза Afx, движущегося по вертикали вниз, рав-
равно 20 см/с2. Определить скорость и ускорение точки Л, от-
отстоящей от оси О на расстоянии 0,5 R> и положение мгновен-
мгновенного центра ускорений блока // в момент, когда скорость
груза Мх равна 10 см/с.
Ответ: vA == 7,5 см/с; ссл = 5 1^10 см/с2. Мгновенный
центр ускорений находится посередине хорды ВС.
162

587. К торцу вала радиуса 0,3 м (рис. 384) прикреплен
диск радиуса 0,5 м с центром на оси вала, катящегося вдоль
наклонной плоскости без скольжения. Определить ускоре-
ускорения точек А у В, С диаметра, перпендикулярного наклон-
наклонной плоскости, если ускорение оси О вала равно 1,2 м/с2,
а ее скорость в данный момент 0,9 м/с.
Ответ: wA = 5,52 м/с2; wB = 2,7 м/с2; we = 4,57 м/с2.
588. Кривошип ОА вращаясь вокруг неподвижной оси
О, перемещает шатун АВ и ползун В (рис. 385). ОА =
= 40 см, АВ = 90 см. Определить ускорение ползуна В,
угловую скорость и угловое ускорение шатуна А В в мо-
в А в
А, 4=tf^
Рис. 385
Рис. 386
мент, когда он параллелен направляющим ползуна В, если
при этом а = 60°, угловое ускорение кривошипа О А равно
6 с, а его угловая скорость в данный момент 3 с.
Ответ: тв = 427,8 см/с2; (оАВ = 0,667 с; гАВ =
= 2,13 с.
589. Шкив Ох радиуса г = 6 см (рис. 386) при вращении
с угловым ускорением 1 с передвигает влево без скольже-
скольжения рейку АВ, которая заставляет катиться без скольже-
скольжения по горизонтальной плоскости цилиндр радиуса 10 см.
Определить скорости и ускорения концов С и D горизон-
горизонтального диаметра цилиндра в момент, когда угловая ско-
скорость шкива Ог равна 2 с^1.
Ответ: v
= 7,25 см/с2.
= vD = 8,48 см/с; wc = 3,06 см/с2;
wD =
590. Спаренный каток (рис. 387), движущийся по пря-
прямолинейному участку дороги с ускорением 0,5 м/с2, имеет
в данный момент скорость 1 м/с. Определить скорости и ус-
ускорения концов А и В вертикального диаметра цилиндра
//, если радиус цилиндра // равен 0,5 м.
Ответ: vA = 0; vB = 2 м/с; wA = 2 м/с2;
wB =
м/с2
163

591. Кривошип О А вращается с постоянной угловой
скоростью 5 с (рис. 388). О А = 15 см, АВ = 25 см, ОВг =
= 5]/2 см. Определить угловую скорость и угловое уско-
ускорение шатуна АВ и ускорение ползуна В в момент, когда
а = 45°.
Ответ: со
АВ
3 с~ь» глв = 6 с. w» = 225 V2 см/с2.
чщ,
Рис. 387
Рис. 388
592. Ускорение центра О колеса, катящегося по пря-
прямолинейному рельсу без скольжения, равно — 1 м/с2, а его
скорость в данный момент 0,8 м/с. Определить ускорения
концов М и N диаметра колеса, если нижний радиус ON
и скорость центра колеса составляют угол 45°. Радиус ко-
колеса равен 0,4 м.
Ответ: wM=* 1,93 м/с2; wN= 2,326 м/с2.
к
Рис. 389
Рис. 390
593. Два цилиндра радиусов 5 см и 15 см, жестко скреп-
скрепленные между собой, имеют общую ось симметрии С (рис.
389). Нить, намотанная на меньший цилиндр, переброше-
переброшена через блок /С, а к ее концу прикреплен груз М, который
движется вертикально вниз с ускорением 10 см/с2. Опре-
Определить угловую скорость и угловое ускорение цилиндров и
ускорения точек С, Р, А в момент, когда скорость груза М
равна 40 ем/с. Качение цилиндра происходит без скольже-
скольжения.
Ответ: со == 2 с; г == 0,5 с
==60 см/с2 —вдоль РС\ шл = 68 см/с2
2-; wc = 7,5 см/с2; wp
164

594. Зубчатое колесо А радиуса 5 см (рис. 390), имею-
имеющее внутреннее зацепление с неподвижным зубчатым ко-
колесом В радиуса 30 см, приводится во вращение криво-
кривошипом ОА, угловое ускорение которого равно 0,8 с. Оп-
Определить ускорение мгновенного центра скоростей Р колеса
и положение мгновенного центра ускорений Q в момент,
когда угловая скорость кривошипа О А равна 0,4 с.
Ответ: wP = 24 см/с2 и направлено вдоль РА; угол
между ускорением Wp и отрезком PQ равен 45°. PQ —
= 31/2" см.
Рис. 391
Рис. 392
595. Звенья ОА и О±В четырехзвенника имеют непо-
неподвижные оси вращения О и Ох (рис. 391). О А = 20 см, О±В =
= 30 см, А В = 20 см. Определить угловые ускорения зве-
звеньев А В и О±В и ускорение точки В в момент, когда звенья
О А и ОХВ параллельны, если при этом О A JL OOlt угловое
ускорение звена ОА равно нулю, а его угловая скорость в
этот момент 6 с.
Ответ: вдв •¦
80^39 см/с2.
с;
596. Звенья ОА и СВ четырехзвенника (рис. 392) имеют
неподвижные оси вращения О и С. О А = 6 см, А В =*
= 5УТ см, ОС = 5^2 см, ВС = 16 см. Определить угло-
угловые скорости и угловые ускорения звеньев А В и ВС и
ускорение точки В в момент, когда С В \\ ОА, если при этом
угловая скорость звена О А равна Зя с, а его угловое
ускорение равно нулю.
Ответ: (оАВ = 0; (овс = 1,13л с'1; гАВ -= 6,75л2 с;
гвс = 2,11л2 с; wB = 39,4л2 см/с2.
165

597. Кривошип ОА шарнирного четырехзвенника (рис.
393) вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной
угловой скоростью со = 4 с'1. О А = 10 см, ААХ = 30 см,
ОХАХ = 26 см, ООг = 18 см. Определить угловые скорости
и угловые ускорения звеньев АЛХ и ОХАХ в момент, когда
О А ± ААг.
с; е = 133 с; ©^ = 1 с;
Ответ: со0 д = 1,92 с"
208 Ч1
е0 А = 1,33 с;
598. Стержень АВ длиной 20 см (рис. 394) шарнирно
прикреплен к ободу диска радиуса 8 см, катящегося без
скольжения вдоль прямолинейного участка пути. Уско-
Рис. 394
Рис. 395
рение центра О диска 18 см/с2. Определить скорость и
ускорение конца В стержня в момент, когда а = 45°, если
при этом скорость центра О диска равна 12 см/с.
Ответ: Vb = 24 см/с; wB = 74,4 см/с2.
599. Кривошип ОА, вращаясь с постоянной угловой
скоростью о) = зтс, передает движение звеньям АВ и
ВС механизма (рис. 395). ОА = 61/2 см, АВ = 18 см, ОС =
= 30 см, ВС = 24|/ см. Определить скорость и ускоре-
ускорение точки В, а также угловые ускорения звеньев А В и ВС
в момент, когда а = 45°.
Ответ: vB= 8,48л см/с; wB= 17,8л2
см/с;
е.я=0,28л2с-2;
см/с2;
.- 0,25л с;
<»АВ =
= 0,67л с;
= 0,52л2 с.
600. Диск радиуса 12 см (рис. 396) шарнионо прикреп-
прикреплен к стержням ОА и ВС. имеющим неподвижные оси вра-
вращения О иС.ОА =36 см, ВС = 30 см. Определить ускоре-
ускорение точки В диска и положение его мгновенного центра
166

ускорений в момент, когда О А X ВС, если при этом угло-
вая скорость звена О А соод= -о-л с, а его угловое ускоре-
ускорение еол = 0.
Ответ: wB = 63,8л;2 см/с2. Мгновенный центр ускоре-
ускорений Q находится в правой верхней четверти диска.
AQ = 3,43 см, ZOAQ = 31°.
Глава УП1. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
§ 20. Сложение вращений твердого тела
вокруг параллельных осей
601. Кривошип О А делает 140 об/мин, а зубчатое коле-
колесо /, вращаясь в том же направлении,— 100 об/мин (рис.
397). Определить число оборотов в минуту зубчатого колеса
//, если число зубцов колеса / равно 60, а колеса // — 20.
Ответ: пц = 20 об/мин.
Рис. 398
602. Кривошип О А делает 110 об/мин, а зубчатое колесо
/, вращаясь в противоположном направлении,— 100
об/мин (рис. 398). Определить число оборотов в минуту зуб-
зубчатого колеса //, если число зубцов колеса / равно 70,
а колеса // — 30.
Ответ: пц = 600 об/мин.
603. Угловые скорости цилиндра А радиуса 12 см
и рамы С равны 7зх с" и 4я с соответственно (рис. 399).
Цилиндр Л и рама С сообщают движение цилиндру В
радиуса 9 см. Доказать, что при одинаковых направле-
направлениях вращения рамы и цилиндра А и отсутствии про-
167

скальзывания цилиндр В движется поступательно. Опре-
Определить скорость этого движения.
Ответ: 84я см/с.
604. Колесо / неподвижно (рис. 400). Кривошип ОВ,
делая 60 об/мин, приводит в движение колеса // и ///.
Определить угловые скорости этих колес, если радиусы ко-
колес г/ = 10 см, Гц = 20 см, гщ = 30 см.
Ответ: со/7=3я с; <оИ1^-^л с.
605. Пользуясь условием предыдущей задачи и считая,
что колесо /, вращаясь в направлении, противоположном
Рис. 400
Рис. 401
Рис. 402
вращению кривошипа ОВ, делает 30 об/мин, определить
угловые скорости зубчатых колес // и ///.
Ответ: со// =» 3,5яс~ь
СО///
яс
-1
606. Угловая скорость вращения диска // вокруг оси Ок
перпендикулярной к его плоскости, равна яс (рис. 401),'
а относительная угловая скорость диска / радиуса 6 см при
вращении вокруг оси Ol9 скрепленной с диском // и прохо-
проходящей через центр диска / перпендикулярно к его плос-
плоскости, равна 2яс~х. Оси О и Ох параллельны, расстояние
между ними ООх = 18 см, направления вращений одина-
одинаковы. Определить угловую скорость абсолютного движения
диска / и положение его мгновенной оси вращения.
Ответ: соа = Зяс. Мгновенная ось вращения диска /
проходит через точку на его ободе между осями вращения
дисков.
607. Угловая скорость диска / равна Зяс (рис. 402),
а зубчатого колеса //, вращающегося вокруг той же оси
в том же направлении равна блс. Определить движение
зубчатого колеса ///, ось вращения которого закреплена
168

на ободе диска /, если радиусы зубчатых колес // и 1П
равны 9 см и 6 см соответственно.
Ответ: Зубчатое колесо /// движется поступательно
со скоростью 45я см/с.
608. На раму 3 (рис. 403) свободно насажены шестерен-
шестеренки 1 и 2У числа зубцов которых равны 65 и 45 соответствен-
соответственно. Рама 3 делает 142 об/мин, а шестерня 2 в относительном
вращении вокруг своей оси в том же направлении делает
78 об/мин. Определить число оборотов в минуту шестерен-
шестеренки 1.
Otneem: nx = 88 об/мин.
е
ш
ж
//
: п
: L
j
'¦г
Г
Рис. 403
Рис. 404
Рис. 405
609. Диск /, ось которого прикреплена к ободу диска
//, вращается вокруг своей оси с относительной угловой
скоростью 4я с" (рис. 404). Диск // вращается в противо-
противоположном направлении с угловой скоростью я с. Радиус
диска / равен 10 см, а диска // — 15 см. Определить угло-
угловую скорость абсолютного движения диска / и положение
его мгновенной оси вращения.
Ответ: а>а = Зя с. Мгновенная ось вращения диска /
делит его вертикальный нижний радиус пополам.
610. Диск радиуса 4 см (рис. 405) вращается в своей
плоскости вокруг оси KL с относительной угловой ско-
скоростью я с", а рама A BCD вращается в том же направле-
направлении с угловой скоростью 1,5я с". AL = В К ^ 5 см.
Определить угловую скорость абсолютного движения диска
и положение его мгновенной оси вращения.
Otneem: cofl = 2,5я с. Мгновенная ось вращения дис-
диска лежит в плоскости рамы слева от оси KL на расстоянии
ОР = 3 см.
169

611. Зубчатое колесо IV неподвижно (рис. 406). Опре-
Определить число оборотов в минуту каждого из колес /, //,
///, если их радиусы одинаковы и кривошип ОА, вращаясь
вокруг оси О, делает 100 об/мин.
Ответ: щ = —400 об/мин; Пц = 600 об/мин; пщ =
= —400 об/мин.
612. Зубчатое колесо IV неподвижно (рис. 406), а зуб-
зубчатое колесо /, вращаясь по часовой стрелке, делает 140
об/мин. Определить число оборотов в минуту кривошипа
ОС, если радиусы зубчатых колес гх = 10 см, г2 = 15 см,
г3 = 20 см.
Ответ: пос = 20 об/мин.
Рис. 406
Рис. 407
Рис. 408
613. Радиусы неподвижного зубчатого колеса / и по-
подвижного /// одинаковы (рис. 407). Радиус зубчатого ко-
колеса // произволен. Доказать, что при вращении криво-
кривошипа ОБ вокруг оси О колесо /// движется поступательно.
614. Угловая скорость зубчатого колеса / радиуса
40 см равна 4,5я с~\ а зубчатого колеса ///, вращающегося
в противоположном направлении, равна 2я с (рис. 408).
Определить угловые скорости зубчатого колеса // радиуса
5 см и кривошипа ОА.
12
Ответ: со/7= 24л с; (йол=гуя с 1-
615. Кривошип ОС делает 60 об/мин, а зубчатое колесо
IV, вращаясь в противоположном направлении, 40 об/мин
(ри?. 409). Определить число оборотов в минуту зубчатых
колес /, //, ///, радиусы которых равны 20 см, 10 см, 5 см
соответственно.
Ответ: nt = —190 об/мин; пи = 560 об/мин; пщ =
= —940 об/мин.
170

616. Зубчатые колеса /, IV и кривошип ОС свободно
насажены на ось вращения О (рис. 409). Радиусы зубчатых
колес /, //, /// равны соответственно 32 см, 16 см, 8 см.
Определить число оборотов в минуту кривошипа ОС, если
зубчатое колесо /, вращаясь по часовой стрелке, делает
300 об/мин, а зубчатое колесо IV, вращающееся в том же
направлении, 90 об/мин.
Ответ: пос = 50 об/мин.
617. Кольцеобразное зубчатое колесо /// (рис. 410) де-
делает вокруг оси О 100 об/мин, а кривошип ОВ, вращаясь в
противоположном направлении, 70 об/мин. Радиусы внут-
п
Рис. 409
Рис. 410
Рис. 411
реннего обода колеса 6 см, внешнего 10 см, каждого из зуб-
зубчатых колес / и //— 2 см. Определить число оборотов в ми-
минуту зубчатых колес / и // и скорость точки D колеса //
(D — на продолжении ОБ).
Ответ: ,nj = —440 об/мин; пГ1 = 920 об/мин; vD =
= 89,3л см/с.
618. К концам Л, В, С стержней ОА, ОВ, ОС (рис. 411),
жестко скрепленных между собой и вращающихся вокруг
оси О с угловой скоростью, соответствующей 115 об/мин,
прикреплены оси вращения шестеренок /, //, ///, числа
зубцов которых zi = 25, zn = 40, гщ = 18. Зубчатое ко-
колесо IV, вращающееся в противоположном направлении,
делает 155 об/мин. Определить число оборотов в минуту зуб-
зубчатых колес /, //, ///, если число зубцов колеса IV zIV =
= 100.
Ответ: щ = —965 об/мин; Пц = —560 об/мнн; пш =
= —1385 об/мин.
619. Зубчатое колесо / радиуса R неподвижно (рис. 412).
В точках Л и С кривошипа ОС на оси свободно насажены
171

зубчатые колеса II и IV радиуса г каждое, а в точке В зуб-
зубчатое колесо /// радиуса R. Определить угловые скорости
колес //, ///, IV и скорость точки D колеса IV, если угло-
угловая скорость кривошипа ОС равна соо и CD _L ОС.
Ответ: (о/7= —jr^<oo; <«>„,= 0; ©/f,
620. Числа зубцов колес /, //, /// (рис. 413) равны 20,
30, 45 соответственно, число оборотов в минуту кривошипа
АВ—170, а зубчатого колеса ///— 130. Определить число
оборотов в минуту зубчатых колес /, // в двух случаях:
Рис. 412
1) направления вращений кривошипа А В к зубчатого ко-
колеса /// одинаковы; 2) направления их вращений противо-
противоположны.
Ответ: 1) /г;= 80 об/мин; /г/7= 230 об/мин,
2) /г/= —505 об/мин; nf/-= 620 об/мин.
621. Диск А вращается вокруг оси zx (рис. 414) со-
гласно уравнению <$х = ~- , а ось zx вращается вокруг не-
подвижной оси z в соответствии с уравнением Фг^-тг»
где 8j и е2 — заданные постоянные. Определить расстоя-
расстояние d от мгновенной оси вращения диска до неподвижной
оси г. BDBD
Ответ: d =
622. Зубчатое колесо / (рис. 415) делает 180 об/мин и
приводит в движение зубчатое колесо // и кривошип ОЛ.
Зубчатое колесо /// неподвижно. Определить число обо-
оборотов в минуту колеса // и кривошипа ОА> если число зуб-
зубцов колеса / равно 120, а колеса // — 45.
Ответ: пц = 240 об/мин; пол = 144 об/мин.
172

623. Зубчатое колесо /// (рис. 416), вращаясь вокруг
оси О, делает 125 об/мин, а кривошип ОВ, несущий оси вра-
вращения зубчатых колес / и // и вращающийся в том же нап-
направлении,— 150 об/мин. Определить число оборотов в ми-
Рис. 414
Рис. 415
Рис. 416
нуту зубчатых колес / и //, если числа зубцов Z/ = 18,
*// = 54, zm = 108.
Ответ: tij = 0; пц = 100 об/мин.
624. Зубчатое колесо / редуктора скоростей неподвиж-
неподвижно (рис. 417). Спаренные зубчатые колеса // и ///, свобод-
свободно насаженные на ось, приво-
приводятся в движение валом А, де-
делающим 80 об/мин.. Определить
число оборотов в минуту вала В,
Рис. 417
Рис. 418
скрепленного с зубчатым колесом IV, если числа зубцов
z1 = 120, z2 = 20, г3 = 60, z4 =-40.
Ответ: 800 об/мин.
173

625. Кривошип ОА, несущий ось вращения спаренных
зубчатых колес // и /// (рис. 418), делает 30 об/мин, а зуб-
зубчатое колесо IVt вращаясь в противоположном направле-
направлении,— 20 об/мин. Определить число оборотов в минуту
зубчатого колеса /, если числа зубцов zl = 30, z2 = 100,
z3 = 50.
Ответ: ni = 630 об/мин.
626. Зубчатые колеса /, IV и кривошип О А, несущий
ось вращения спаренных зубчатых колес // и ///, сво-
свободно насажены на ось О (рис. 418). Колесо /, вращаясь
против часовой стрелки, делает 90 об/мин, а колесо IV,
вращаясь в противоположном направлении, 50 об/мин.
Определить число оборотов в минуту кривошипа О А, если
радиусы зубчатых колес г1 ~ 10 см, г2 = 20 см, г3 = 15 см.
Ответ: п0А = —30 об/мин.
IV
/
/
/
и
й
?3
WM
Ш/А
\
1
Рис. 419
Рис. 420
Рис. 421
627. Число зубцов неподвижного зубчатого колеса / с
внутренним зацеплением равно 80 (рис. 419). Числа зуб-
зубцов спаренных шестерен // и /// равны 25 и 45 соответствен-
соответственно, число зубцов колеса IV с внутренним зацеплением —
100. Определить число оборотов в минуту ведомого вала В,
скрепленного с колесом /I/, если ведущий вал А делает
1000 об/мин.
Ответ: пв = —440 об/мин.
628. Кривошип ОА, несущий ось вращения спаренных
зубчатых колес /// и IV, делает 450 об/мин (рис. 420),
174

а зубчатое колесо //, вращаясь в том же направлении,—
150 об/мин. Определить число оборотов в минуту зубчато-
зубчатого колеса /, если радиусы зубчатых колес п = 20 см, г и =
= 25 см, пи = 10 см, nv = 15 см.
Ответ: щ = —112,5 об/мин.
629. Зубчатые колеса /, // и кривошип ОА, несущий
ось вращения спаренных зубчатых колес /// и IV, свобод-
свободно насажены на ось вращения О (рис. 420). Числа зубцов
колес: zf = 75, Zu = 100, 2щ = 25, Z/v =50. Определить
число оборотов в минуту кривошипа ОА, если зубчатые
колеса / и //, вращаясь против часовой стрелки, делают
п/ = 120 об/мин и пц = 90 об/мин.
Ответ: пол = 72 об/мин.
630. Шестерня / и спаренные шестерни // и ///редук-
///редуктора скоростей (рис. 421) свободно насажены на оси, шес-
шестерня /// имеет внутреннее зацепление с зубчатым колесом
IV, которое жестко скреплено с валом В. Число оборотов
в минуту ведущего вала А с рамой равно 600, а шестерни /,
вращающейся в противоположном направлении, — 300.
Определить число оборотов в минуту ведомого вала В,
если числа зубцов Z/ = 40, z// = 20, гщ = 30, Zw = 90.
Ответ: пв =* 1200 об/мин. Положительным считать на-
направление вращения рамы.
§ 21. Вращение твердого тела
вокруг неподвижной точки
и сложение вращений твердого тела
вокруг пересекающихся осей
631. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точ-
точки. Проекции вектора угловой скорости со* = 3 с, со^ =
= 4 с, сог = 12 с. Найти уравнения мгновенной оси и
скорость точки тела, координаты которой в данный момент
времени х = 3 см, у ¦= 7 см, z = 24 см, а также расстояние
h этой точки от мгновенной оси.
Ответ: Ах — Зу = 0, 4х — z = 0; v = 39 см/с; h =
== 3 см.
632. Проекции угловой скорости твердого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной точки, на неподвижные оси
координат выражаются уравнениями: со* == 2/, ыу = /2,
175

со* = 2Р. В момент времени / = 2с определить уравнение
мгновенной оси и скорость точки тела, координаты которой
х = 4 см, у = 6 см, z = 8 см, а также расстояние h этой
точки от мгновенной оси.
Ответ: х — у = 0; 4# — z = 0;i> = 72 см/с; ft = 3]/2" см.
633. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точ-
точки. В рассматриваемый момент времени мгновенная ось
проходит через точку М @, 5, 12) и угловая скорость тела
со = 26 с. Определить скорость точки N @, 7, 9) тела и
расстояние h этой точки от мгновенной оси; координаты
точек даны в сантиметрах.
Ответ: v = 78 см/с; h = 3 см.
634. Найти величину скорости и ускорения точки М
тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, если
ОМ = г = 5 см, угловая скорость тела со = 4 с, угло-
угловое ускорение тела е — 12 с~2 и векторы г, о и в взаимно
перпендикулярны.
Ответ: v == 20 см/с; ш = 100 см/с2.
Рис. 422
635. Шар, жестко скрепленный со стержнем OD (рис.
422), имеющим в точке О сферический шарнир, катится без
скольжения по неподвижной плоскости. Центр С шара дви-
движется равномерно и возвращается в первоначальное поло-
положение через-о- с. Определить скорости и ускорения концов
диаметра АВ шара, если АВ = 12 см и ОС = 10 см.
Ответ: vA =0; vB = 24 я см/с; wA = 24 я2 см/с2;
^В=12я2]/Г3 см/с2.
636. Шар, жестко скрепленный со стержнем, катится
без скольжения внутри неподвижной полусферы радиуса
i? =я АВ = 16 см (рис. 423). Конец О стержня неподвижен,
176

а скорость центра С шара vc = 24 см/с. Определить угло-
угловое ускорение шара и ускорение его точки касания Л, а
также скорость и ускорение точки В, если ОС _L АВ.
Ответ: е = 6|/ с~2 и направлено перпендикулярно
к О А и Об; оул = 96]/3 см/с2, «>л _L ОЛ и лежит в плос-
плоскости ОАВ\ vB = 48 см/с; о>в = 96(/3 см/с2, ге>в || СО и
лежит в плоскости ОАВ.
637, Считая, что центр шара, описанного в предыдущей
задаче, движется со скоростью vc = 12 / см/с, найти ско-
скорость и ускорение точки В при / = 1 с.
Ответ: vR = 24 см/с; oys = 48 см/с2.
в
Рис. 424
Рис. 425
Рис. 426
638. Шар, жестко скрепленный со стержнем (рис. 424),
катится без скольжения по внутренней поверхности непод-
неподвижного конуса с углом при вершине, равным 120°, так,
что точка О остается неподвижной, а его центр С движется
равномерно со скоростью Vc = 16 см/с. Определить скорос-
скорости и ускорения концов диаметра Л В, если АВ = ОС = 8 см.
Ответ: vA = 0; vB =* 32 см/с; wA ~ 96 см/с2; оуб =
= 32]/Т3 см/с2.
639. Прямой круговой конус с углом при вершине 2а =
= 60° и высотой ОС = 20 см (рис. 425) катится без скольже-
скольжения по горизонтальной плоскости так, что скорость цент-
центра С основания постоянна и равна 30 см/с. Определить
скорости и ускорения концов диаметра Л и В.
Ответ: vA =0; vB = 60 см/с; wA = 120 см/с2; шв =
-60J/7 см/с2.
640. Прямой круговой конус ОАВ с углом при вершине
2а = 60° (рис. 426) катится без скольжения по неподвиж-
неподвижному конусу OAD так, что его вершина О остается
7 9-396
177

неподвижной, а центр основания С движется со скоростью
DC = 6 / см/с. Определить скорости и ускорения концов
вертикального диаметра АВ в момент времени / = 2с,
если ОС = 6 см.
Ответ: vA = 0, vB
= 84 ем/с2.
24 см/с, ш - = 48 см/с2, шд =
641. Шар, жестко скрепленный со стержнем (рис. 427),
катится без скольжения внутри неподвижного параболои-
параболоида вращения так, что точка О остается неподвижной, а
центр С шара движется равномерно со скоростью vc =
= 15 см/с, ОС = ЗЛС = 15 см, AD = DE = 0D, ОС ±
JL АВ, АЕ JL 0D. Определить угловое ускорение шара и
ускорение его точки касания А.
Ответ: г = 5 сГ2 и направлено перпендикулярно к О А
и ОС, wA == 25J/10 см/с2, ze^ _|_ ОЛ и лежит в плоскос-
плоскости ОАВ.
642. Считая, что центр шара, описанного в предыдущей
задаче, движется со скоростью vc = Ы см/с, найти ско-
скорость и ускорение точки В при t = 3 с.
Ответ; i>B = 30 см/с, ш^ = 5]/Т34 см/с2.
643. Движение волчка вокруг неподвижной точки задано
углами Эйлера: ср = 6/; ф == -г— /; 8 = — (/, с). Определить
величину угловой скорости со и углового ускорения е
волчка.
Ответ: со =1^31" с, г - 3)/3 с.
178

644. Вращение тела 'вокруг неподвижной точки зада-
задано углами Эйлера: ф=10/, \р==~ — 2/, Q = ~(t9 с).
Определить угловое ускорение тела, а также величину
скорости и ускорения точки А (О, 0, 8), координаты
которой даны в сантиметрах в системе отсчета, жестко
связанной с телом.
Ответ: е = 10^3 с" и направлено вдоль лиции уз-
узлов, vA = 8]/3 см/с, wA = 16]/3 см/с2.
645. По условию предыдущей задачи найти величи-
величину наибольшей скорости и наибольшего ускорения точ-
точки В (8, 0, 8).
Ответ: vB = 85,9 см/с, wB = 703,8 см/с2 при t =
*= ¦ 2q яс> гДе ^—положительное целое число.
646. Колесо радиуса г вращается согласно уравнению
Ф = Ш вокруг оси ОС (рис. 428), жестко скрепленной под
углом 60° с верти кал ьнььм валом DE, вращающимся с пос-
постоянной угловой скоростью со. ОС = rj/З. Определить
скорости и ускорения верхней и нижней точек колеса, если
вал DE вращается против часовой стрелки.
Ответ: vA = 0; vB = Зсог; wA = co2rl/*3; wB = co2aV2I.
647. Решить предыдущую задачу при условии, что вал
вращается по часовой стрелке.
Ответ: vA = 2cor; fB = or; wA = co2r]/7; шв = (o2r.
648. Круглый диск с центром С вращается по закону
Ф = 8t2 вокруг горизонтальной оси ОС, которая сама вра-
вращается вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью
сое = 12/ с. Плоскость диска перпендикулярна к оси ОС,
Определить абсолютные угловую скорость и угловое
ускорение диска в момент времени t = 0,5 с.
Ответ: соа =10 с, еа = 52 с~2.
649. Полагая в предыдущей задаче <р == 4/, со* = 2 с =
= const, радиус диска г = 10 см и ОС = 10 см, найти ско-
скорости и ускорения концов вертикального диаметра А В
диска.
Ответ: vA = 60 см/с; vB = 20 см/с; &ул = 40]/41 см/с2;
шБ = 200 см/с2.
7* 179

650. Квадратная рама ABCD (рис. 429) вращается во-
вокруг горизонтальной оси Л С по закону ф = 5/ (/, с). Во-
Вокруг оси BD по закону <р = 12/ вращается диск радиуса
г = 6 см. Плоскость диска перпендикулярна к BD. Опре-
Определить скорости и ускорения точек Ми М2, Мя и МА диска,
когда точки Мх и М3 лежат на оси АС и М2М4 ± МХМ3.
Ответ: vx = v3 = 72 см/с; у2 -= v4 = 78 см/с;
^ = w3 = 1124,64 см/с2; тг = t<y4 = 1014 см/с2.
651. Коническая шестерня //, находящаяся в зацепле-
зацеплении с неподвижной шестерней, приводится в движение кри-
кривошипом О А, делающим 90 об/мин вокруг вертикальной оси
Рис. 429
Рис. 431
(рис. 430). ОА = АС = 5 см. Определить скорости и уско-
ускорения концов вертикального диаметра ВС.
Ответ: vB = 30n см/с, vc = 0, wB = 1404,4 см/с2, адв
лежит в плоскости ОС В и направлено к О? под углом*
а = arctg 0,5; wc = 628 см/с2, zoc лежит в плоскости ОСВ
и направлено перпендикулярно к ОС.
652. Определить величины угловой скорости со и угло-
углового ускорения е шестерни // в предыдущей задаче, если
кривошип О А вращается по закону я|) = 3t2.
Ответ: со = 6/]/2 с~\ е = 6]/2 + 36/4 с~2.
653. Вал / (рис. 430), вращающийся вокруг вертикаль-
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со =s 3 с*, при-
приводит в движение коническую шестерню радиуса г2 = 6 см,
находящуюся в зацеплении с неподвижной шестерней ра-
радиуса гх = 8 см. Определить скорости и ускорения точек
Л, В, С вертикального диаметра шестерни //.
Ответ: vA = 24 см/с, ов = 48 см/с, vc = 0, а^ =
= 72 см/с2, оув = 236,4 см/с2, о>с == 120 см/с2.
180

654, Считая, что вал / в предыдущей задаче вращается
с угловой скоростью о> = 3/ с, определить величину уг-
углового ускорения е шестерни // в момент времени t = 1 с.
Ответ: г = 13 с~2.
655. Шар радиуса г = 4 см, свободно надетый на ось
0D, проходящую через центр С шара и вращающуюся во-
вокруг вертикальной оси Oz (рис. 431), катится без скольже-
скольжения по неподвижному конусу с углом при вершине 2а =
= 120° так, что центр шара движется равномерно со ско-
скоростью Vc = 8 см/с. Определить скорости и ускорения кон-
концов диаметра А В, если ОС = 8 см.
= 12 см/с2, wB =
Ответ: vA = 0, vB = 16 см/с, wA
= 4/37 см/с2.
656. Решить предыдущую задачу при условии, что vc =
= 8/ см/с и / = 2 с.
Ответ: vA = О, vB = 32 см/с, te^ = 48 см/с2, ^Б =
= 16/38 см/с2.
/V
Рис. 432
Рис. 433
шв ==
657. Решить задачу 655 при условии, что ось OD —
горизонтальна, / = 3 см, 2а = 90°, vc = 2t см/с и / = 3 с.
Ответ: vA=09 vB = 12 см/с, wA = 6 см/с2
= 22 см/с2.
658. В дифференциале зуборезного станка (рис, 432)
зубчатое колесо IV свободно насажено на ведущий вал /.
На конце ведущего вала находится головка, несущая ось
А В сателлитов // радиуса г, сцепленных с колесами /// и
IV радиуса R = 2г. Определить угловую скорость ведомого
вала V, жестко скрепленного с колесом ///, и угловую ско-
скорость о)г сателлита относительно кривошипа, если угловая
18Г

скорость ведущего вала равна coj и колесо IV вращается с
угловой скоростью щ в направлении вращения вала /.
Ответ: со5 = 2cot — со4 ; сог = 2(оL — о^).
659. Решить предыдущую задачу, если cot = 6 с, со4 =
= 8 с и колесо IV вращается в направлении, противо-
противоположном вращению вала /.
Ответ: со5 = 20 с, сог = 28 с.
660. Груз А падает из состояния покоя с постоянным
ускорением, равным 8 см/с2 и приводит во вращение барабан
В диаметром 8 см и ось сателлитов III — /// (рис. 433). В
момент времени /= 1 с определить угловое ускорение ко-
конической шестерни /, угловое ускорение сателлита и уско-
ускорения его точек С и D, если шестерня // неподвижна и
ОС = CD = OD = 10 см.
Ответ: ех = 4 с; е/7/ = 8 с*; wc = 40(^3 см/с2; wD =
= 20]/9 см/с2.

Раздел IIL ДИНАМИКА
Глава IX. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 22. Первая задача динамики точки
661. Материальная точка весом 49 Н движется по пря-
прямой согласно уравнению х = 8sin2/ см (/, с). Найти силу,
действующую на точку в моменты времени, когда ее коор-
координата х = —5 см.
Otneem: I H и направлена к началу координат.
662. Материальная точка весом 19,6 Н движется по
прямой согласно уравнению* = A0/2 + 2/ + 3) см. Найти
силу, действующую на точку.
Ответ: 0,4 Н.
663. Материальная точка весом 14,7 Н, движется по го-
горизонтальной прямой, согласно уравнению х = (ae3t + be-3t)
см (/, с). Определить силу, действующую на точку
в момент, когда х = 20 см.
Ответ: 2,7 Н.
664. Груз весом 1,2 кН, подвешенный к свободному
концу намотанной на блок веревки, движется с ускорени-
ускорением, равным yg. Определить натяжение веревки, когда груз:
а) поднимается; б) опускается.
Ответ: а) 1,8 кН; б) 0,6 кН.
665. На вал диаметром 20 см намотана веревка, к сво-
свободному концу которой подвешен груз весом 800 Н. Угло-
Угловая скорость вращения вала со = 30/ с. Определить натя-
натяжение веревки, когда груз: а) поднимается; б) опускается.
Ответ: а) 1045 Н; б) 555 Н.
666. Определить давление человека весом 0,85 кН на пло-
площадку скоростного лифта в начале подъема и перед оста-
остановкой, считая, что ускорение (замедление) равно 0,4 g.
Ответ: 1,19 кН; 0,51 кН.
183

667. Уравнение движения материальной точки весом
Р Н, падающей в среде, сопротивляющейся движению,
* = [¦§¦* —^A—г-*)] см, /e = const.
Определить силу сопротивления R как функцию скорости.
Ответ: R = —vH.
8
668. Материальная точка весом 49 Н движется по го-
горизонтальной окружности радиуса 9 см согласно уравнению
s = 8t* см. Определить величину и направление силы F,
действующей на эту точку в момент / = 1 с.
Ответ: F = 4 Н; а = arctg -p где а — угол между си-
силой и соответствующим радиусом.
669. Длина s дуги окружности радиуса 15 см, описывае-
описываемой материальной точкой весом 12 Н на гладкой горизон-
горизонтальной плоскости, изменяется согласно уравнению s=»
= 10 sin~/ см (/, с). Определить величину и направление
силы F, действующей на эту точку в момент / = 4 с.
Ответ: F = 0,2 Н и направлена к центру окружности.
670. Автомобиль весом 20 кН движется равномерно по
выпуклому мосту. На расстоянии 31,4 м от середины моста
радиус кривизны его траектории был равен 60 м, а нормаль-
нормальное давление на мост равнялось нулю. Чему равно давле-
давление автомобиля на мост в момент прохождения через его
середину, если радиус кривизны траектории автомобиля
не изменился?
Ответ: 2,68 кН.
671. Материальная точка весом 39,2 Н движется по го-
горизонтальной прямой согласно уравнению s = 25 sin2/ см
(/, с). Определить максимальное значение силы, действую-
действующей на точку,ее направление и положение точки, в котором
сила достигает максимальной величины.
Ответ: Fmax = 2Ни направлена к началу отсчета рас-
расстояний при sx = 25 см и в противоположную сторону при
% = о.
672. Материальная точка массой 300 г движется соглас-
согласно уравнениям: х = 3 cosjt/ cm, у == 3 sinn/ см, z — Ы см
(/, с). Определять силу, действующую на эту точку.
181

Ответ: F = 0,089 Н; cos(F, х) = — cos л/;
cos (/V#) = — sin л/; cos (/V*) = 0.
673. Точка весом 100 H движется в плоскости хОу
согласно уравнениям: A; = 20sin2~ см, у = 20 cos2 ^- см.
Определить силу, под действие?.! которой точка движется.
Ответ: F = 14,2 cos nt H и направлена вдоль прямой
х + у = 20.
674. Точка весом 196 Н движется согласно уравнениям
х = 75 cos 4/2 см, у = 75 sin 4/2 см.
Определить силу, действующую на точку, как функцию Л
Ответ: F = 120]/1 +64/4Н; tga = 8/2, где а —угол
между касательной к окружности х2 -f #2 = 752 и силой /ч
675. Точка весом Р движется согласно уравнениям:
х = a(ekt + e~ki)\ у = а{е* — е-**)9
где a, k — заданные постоянные. Определить силу, под
действием которой точка движется.
Ответ: F = -1 k2r, где г = |/ д:2 + J/2 — расстояние от
точки до начала координат.
676. Тела Ми Л12, М3 весом Plt P2, Рд соответственно
размещены в один ряд на гладкой горизонтальной плоскос-
плоскости и соединены между собой невесомыми нерастяжимыми
нитями. Определить натяжение нитей, если к телу Мг при-
приложена горизонтальная сила F, линия действия которой
проходит через центры тяжести тел и вдоль нитей.
Општ: Tl -
677. Определить максимальную скорость велосипедиста
на закруглении дороги радиуса 50 м, если коэффициент
поперечного трения между шинами велосипеда и асфаль-
асфальтом/ = 0,4. Определить, на какой угол отклонилась плос-
плоскость велосипеда от вертикальной плоскости. Полотно до-
дороги расположено в горизонтальной плоскости.
Ответ: v = 14 м/с; а = arctg / = 2Г50\
185

678. Вдоль шероховатой плоскости, отклоненной от го-
горизонта на угол 30°, тело движется вниз равномерно. Опре-
Определить ускорение тела, если плоскость отклонена от гори-
горизонта на угол 45°.
Ответ: 2,93 м/с3.
679. Ракета, запущенная вертикально вверх, подняв-
поднявшись от поверхности Земли на высоту Н = R, где R — ра-
радиус Земли, начала падать на Землю. Определить ускоре-
ускорение ракеты в начальный момент падения под действием
силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от
центра Земли.
Ответ: w — ^~.
680. Искусственный спутник Земли вращается по круго-
Г)
вой орбите вокруг Земли на высоте Н = у, где R =
= 6378 км — радиус Земли. Определить период обращения
спутника.
Ответ: т = 2я^±^ V^T = 2 ч 35 мин-
§ 23. Вторая задача динамики точки
681. На материальную точку массой 200 г, движущуюся
вдоль горизонтальной оси Ох, действует постоянная сила
F = 2 Н. В начальный момент л:0 = 3 м, и0 = 4 м/с. Найти
уравнение движения точки.
Ответ: х = E/2 + 4/ + 3) м.
682. На материальную точку массой 100 г, движущуюся
по горизонтальной прямой со скоростью 5 м/с, с некоторого
момента начала действовать постоянная сила сопротивле-
сопротивления F. Чему равна эта сила, если точка прошла до останов-
остановки 1 м от того места, где начала действовать сила?
Ответ: F = 1,25 Н.
683. Из кабины вертолета во время его вертикального
движения вверх со скоростью 10 м/с на высоте 200 м от по-
поверхности Земли выброшен груз без начальной относитель-
относительной скорости. Определить закон движения груза вдоль оси,
проведенной вертикально вниз из положения, где груз
находился в момент отделения от вертолета. Определить
186

также скорость груза у поверхности Земли и время его па-
падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: х = D,9/2 — 10/) м; v = 63,4 м/с; t = 7,5. с.
684. Шарик, удельный вес которого в два раза меньше
удельного веса воды, погрузили в воду на два метра и от-
отпустили без начальной скорости.Считая, что действие воды
сводится только к архимедовой выталкивающей силе, оп-
определить, через сколько секунд шарик йоявится на поверх-
поверхности воды и какой будет его скорость в этот момент.
Ответ: t = 0,64 с; v = 6,26 м/с.
685. Дрезина движется по горизонтальному прямоли-
прямолинейному участку дороги со скоростью 90 км/ч. В некоторый
момент времени двигатель выключают. Считая сопротив-
сопротивление движению постоянным и равным 0,2 веса дрезины,
определить время и путь, пройденный дрезиной от момента
выключения двигателя до остановки.
Ответ, i = 12,7 с; s = 159 м.
686. На материальную точку массой 2 кг действует си-
сила, пропорциональная времени и при г = 1 с равная 12 Н.
В начальный момент точка находилась в начале координат,
ее начальная скорость, равная 1 м/с, была направлена в
сторону действия силы. Определить уравнение движения
точки.
Ответ: х =» (t8 -f ?)м.
687. На материальную точку массой 3 кг действует
сила, проекции которой на координатные оси: Fx = 9t2H,
Fy= 12 Н, Fz = 0. Определить уравнение движения точ-
точки, если она вышла из начала координат со скоростью,
проекции которой на координатные оси равны: vOx = 0,
VOy = 6 М/С» VOz == 5 М/С'
Ответ: х = -j м; у = B/2 + 6/) м; z = Ы м.
688. На материальную точку массой т кг действует
сила, изменяющаяся по гармоническому закону: F =
= acos kt H. Определить уравнение движения точки, если
эта точка вышла из начала координат без начальной ско-
скорости.
Ответ: х = —^ A — zoskf) м.
187

689. На материальную точку массой 100 г действует
сила, проекции которой на координатные оси: Fx =
= —ЗпЧт у t мН, Fy = — Зл2соб~1 мН. Точка вышла из
начала координат со скоростью, равной 12л см/с и на-
направленной в сторону положительных значений х. Опре-
Определить уравнения движения точки.
Ответ: х = (l2 sin ^ t + 6ntJ см;
cosy*— 12)
см.
690. Однородный шарик весом 0,3 Н поднимается со дна
сосуда с жидкостью, плотность которой в 2,5 раза больше
плотности материала, из которого изготовлен шарик. Сила
сопротивления жидкости движению шарика постоянна и
равна 0,45Н, его начальная скорость v0. Определить дви-
движение шарика в жидкости.
Ответ: равномерное со скоростью v0.
691. Хоккеист сообщает шайбе прямолинейное движе-
движение по ледяному полю. Чему была равна начальная ско-
скорость шайбы, если она прошла до остановки расстояние
50 м? За какое время шайба прошла это расстояние, если
коэффициент трения шайбы о лед / = 0,05? Сопротивлени-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: v0 = 7 м/с; / = 14,3 с.
692. Пуля вылетела из вертикального ствола винтовки со
скоростью vQ = 880 м/с и попала в самолет, летевший по
горизонтали со скоростью vx = 720 км/ч на высоте h =
= 400 м. На каком расстоянии от места попадания пули
был самолет в момент выстрела? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Ответ: s = ^ (vQ — ]/ vl — 2gh) = 91,2 м.
693. Коэффициент трения лыж о снег при движении
лыжника по склону горы вниз / = 0,1. Угол склона 60°, а
его длина 100 м. Определить время спуска и скорость лыж-
лыжника в конце склона, если в начале спуска она была равна
нулю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: t = 5 с; v =- 40 м/с.
188

694. В горизонтальной плоскости хОу движется точка
массой т под действием силы, проекции которой Fx =
= 8/л, Fу = 0. В начальный момент х = 0, у = 0, о* = 0,
i^ = 3. Найти траекторию точки.
Q
Ответ: y2 = -jx.
695. Управляемый снаряд, поднявшись на высоту 20 км,
движется дальше как свободное тело в безвоздушном про-
пространстве с начальной скоростью v0 = 1700 м/с, составляю-
составляющей с горизонтом угол а = 50°. Определить время, даль-
дальность полета и высоту траектории снаряда.
Ответ: t = 280 с; s = 306 км; Н = 106,4 км.
696. После вертикального запуска управляемый снаряд
движется по траектории с начальной скоростью v0 = 1700
м/с, наклоненной под углом 45° к горизонту. Определить
высоту подъема снаряда перед выходом на траекторию,
если дальность его полета / = 300 км. Сопротивление воз-
воздуха не учитывать.
Ответ: Н = l{4— 1) = 5,5 км.
697. Какую начальную скорость v0 легкоатлет должен
сообщить ядру, брошенному с высоты 2 м над землей под
углом 45° к горизонту, чтобы оно пролетело расстояние
18 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: v0 = 12,6 м/с.
698. Из орудия, установленного на горе, вылетает сна-
снаряд в горизонтальном направлении с начальной скоростью
800 м/с Определить высоту горы, если цель находилась на
расстоянии 8 км по горизонтали. Сопротивление воздуха не
учитывать, g = 9,8 м/с2.
Ответ: h = 490 м.
699. Под каким углом а к горизонту надо выстрелить из
орудия, поставленного в начале координат, чтобы попасть
в цель, координаты которой х = 1 км, у = 0,5 км, если на-
начальная скорость снаряда v0 = 1000 м/с? Сопротивлением
воздуха пренебречь. Ось Оу направлена вверх.
Ответ: а = 26°50\
189

700. Доказать, что дальность полета^камня, брошенного
к горизонту под углом D5° + а) и D5° — а) с одинаковой
по модулю начальной скоростью vOi будет одной и той же,
если не учитывать сопротивления воздуха.
701. Определить высоту траектории снаряда, вылетев-
вылетевшего с начальной скоростью v0, если его дальность полета
оказалась при этом максимальной. Сопротивление воздуха
не учитывать.
2
Ответ: Н = ^ .
702. Максимальная дальность полета снаряда равна /.
Под каким углом к горизонту надо поставить ствол ору-
орудия, чтобы попасть в цель, расположенную от орудия на
расстоянии 0,8 /? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: ах = 26°34'; а2 = 63°26'.
703. Под каким углом а к горизонту надо поставить
ствол орудия, чтобы высота траектории была в/два раза
меньше максимально возможной при той же по модулю на-
начальной скорости снаряда? Чему при этом равна дальность
полета снаряда? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: а = 45°; / = -± = lmax.
704. Человек, стоящий на расстоянии / от основания
башни, стреляет в тело, которое начинает падать с башни
из состояния покоя. Доказать, что при отсутствии сопро-
сопротивления пуля попадает в падающее тело при любой на-
начальной скорости пули v0 > у 5|п^2а * где а — Угол междУ
скоростью v0 и плоскостью горизонта.
705. Натяжение каната, соединяющего буксир с бар-
баржей, которые движутся равномерне против течения реки,
равно 20 кН, скорость буксира относительно берегов 14 км/ч,
вес баржи 100 кН. Считая, что сила сопротивления воды
пропорциональна относительной скорости баржи, опреде-
определить скорость баржи, когда ее одну несет течение реки. Ско-
Скорость течения 1,8 км/ч, уклон реки составляет2,5 м на 1 км.
Отшп: 2 км/ч.
706. Длина ледяной горки 25 м, ее высота 7 м. Чтобы
тянуть сани с грузом весом 500 Н вверх равномерно, надо
190

приложить силу 160 Н. Чему равно ускорение саней, если
подтолкнув вниз, предоставить их самим себе? Чему равен
коэффициент трения саней о лед во время движения?
Ответ: w = 0,24 g; / = gi.
707. На материальную точку весом 19,6 Н, движущую-
движущуюся вдоль горизонтальной оси Ох, действует сила F =
= 0,5 C — л:)Н (х, см). Определить уравнение движения
точки и ее скорость в момент, когда сила уменьшится до
нуля, если в начальный момент х = 0, v = 0.
СМ
Ответ: х = 6 sin2 2,5 t см; v = 15
с
708. Материальная точка М весом 4Н движется вдоль
горизонтальной оси Ох, отталкиваясь от неподвижного
центра О силой, пропорциональной расстоянию х от центра
и равной 2Н на расстоянии 10 см от пего. Определить урав-
уравнение движения точки М, если в начальный момент она
находилась в центре О и имела скорость v0 = 0,7 м/с, на-
направленную в сторону действия силы.
Ответ: х = lOsh It см.
709. В трубке А В (рис. 434), на-
наклоненной под углом а к вертикали,
помещен шарик весом Р, опираю-
щийся на пружину длиной 2/ с коэф-
фициентом жесткости с. Нажатием
на шарик длину пружины уменьшили
в два раза и отпустили. Пренебрегая Рис. 434
трением, определить уравнение даль-
дальнейшего движения шарика внутри трубки вдоль оси хл про-
проведенной из начального положения шарика.
Ответ: x = ll — — cos a) A — cos ]/ ~ /).
710. Цилиндр высотой h = 10 см, удельный вес которого
в два раза больше удельного веса воды, ставят основанием
на поверхность воды и отпускают из состояния покоя. Оп-
Определить уравнение движения цилиндра, время, прошед-
прошедшее до его полного погружения и скорость, с которой он
коснется дна, если глубина водоема равна высоте цилинд-
цилиндра, g = 9,8 м/с2.
Ответ: х = 20A — cos It) см; t == 0,15 с; v = 1,21 м/с.
191

711. На каждый из трех гладких стержней, образующих
прямоугольный треугольник, гипотенуза которого верти-
вертикальна, надето по малому тяжелому колечку. Доказать,
что колечки, отпущенные одновременно без начальных ско-
скоростей из наивысших положений, пройдут вдоль соответст-
соответствующих стержней за одно и то же время.
712. Материальная точка, удаленная от центра Земли
на расстояние 3 R, где R = 6370 км — радиус Земли, начи-
начинает падать без начальной скорости под действием силы
притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстоя-
расстояния этой точки от центра Земли. Определить скорость
точки в момент ее встречи с поверхностью Земли, не учиты-
учитывая сопротивления воздуха и вращения Земли.
Ответ: v = 2 у ^ « 9,13 км/с.
713. Материальная точка М массой т движется в
горизонтальной плоскости хОу под действием силы притя-
притяжения к неподвижному центру О, равной F -= сг9 где с —
заданная постоянная, г = ОМ. Написать уравнение тра-
траектории точки М9 если в начальный момент х = х09 у = О,
714. Материальная точка М массой 8 г движется в го-
горизонтальной плоскости хОу под действием силы притяже-
притяжения к неподвижному центру О, пропорциональной расстоя-
расстоянию точки от центра. На расстоянии 1 м эта сила равна
9 мН. Определить траекторию точки М9 если в начальный
момент координаты точки х = у = 2 см, а ее скорость равна
3 см/с и направлена перпендикулярно к радиусу-вектору в
сторону положительных у.
Ответ: х2 + у2 = 82.
715. Материальная точка массой 8 г движется в гори-
горизонтальной плоскости хОу под действием силы отталкивания
от неподвижного центра О, пропорциональной расстоянию
точки от центра. На расстоянии 1 м эта сила равна 9 мН.
Определить уравнение траектории точки, если в начальный
о о
момент х = 2 см, у = 2 см, tk = yj/2 см/с, vp = — yX
X К2 см/с.
Ответ: ху = 4.
192

716. Электропоезд двигался по прямолинейному гори-
горизонтальному участку дороги со скоростью 126 км/ч. Уви-
Увидев неподвижный трактор на полотне железной дороги,
машинист начал тормозить с силой, равной 0,05 веса поез-
поезда. На каком расстоянии машинист включил тормоза, если
поезд остановился за 5 м от трактора?
Ответ: 1255 м.
717. Парусная лодка весом 2000 Н движется со ско-
скоростью 1,5 м/с. После снятия паруса лодка движется, пре-
преодолевая сопротивление воды R = 50 vH (v — скорость
лодки, м/с). Определить время, в течение которого скорость
лодки уменьшилась в четыре раза, и расстояние, которое
она прошла за это время.
Ответ: 5,66 с; 4,6 м.
718. На материальную точку массой /я, движущуюся
в горизонтальной плоскости хОуу действует сила, проекции
которой на оси координат Fx = am sin Ш9 Fy = 0 (а, со —
заданные постоянные). Определить уравнение движения
точки, если в начальный момент х0 = yQ = 0; vx = — ~->
Ответ: х — — -^ sin coft у = 0.
719. На тело весом 50 Н, движущееся по горизонталь-
горизонтальной прямой Ох, действуют горизонтальная сила, которая,
начиная от нуля, увеличивается пропорционально времени
на 0,1 Н каждую секунду и постоянная сила трения, рав-
равная во время движения 0,5 Н. Определить момент времени,
когда началось движение тела и составить уравнение этого
движения.
Ответ: t = 5 с; х = 0,327 (t ~ 5K см.
720. Автомобиль весом 9,81 кН движется со скоростью
72 км/ч по горизонтальной прямолинейной дороге. Затем
сила тяги двигателя непрерывно увеличивается пропорцио-
пропорционально времени на 180 Н каждую секунду. Найти ско-
скорость автомобиля через 10 с и расстояние, которое он про-
пройдет за это время.
Ответ: v = 29 м/с; s = 230 м.
193

721. Точка массой 60 г движется в горизонтальной плос-
плоскости под действием силы, проекции которой во все время
движения на касательную Fx = 0 и на главную нормаль
Fn = 5 мН. Определить траекторию точки и написать урав-
уравнение ее движения по этой траектории, если точка вышла из
начала отсчета ее дуговой координаты со скоростью 10 см/с.
Ответ: окружность радиуса 12 см; уравнение движения:
s = 10/ см.
722. Точка массой 10 г движется без начальной скорости
в горизонтальной плоскости под действием силы, проекции
которой на касательную и на главную нормаль: Fx =
= 1,8 / мН, Fn = 2,7/4 мН. Определить, по какой траекто-
траектории движется точка и написать уравнение ее движения по
этой траектории, если в начальный момент точка находи-
находилась в начале отсчета ее дуговой координаты.
Ответ: по окружности радиуса 3 см; уравнение движе-
движения: s = З/3 см.
723. На гладкой плоскости, отклоненной от горизонта
на угол а, телу сообщили начальную скорость и0, направ-
направленную перпендикулярно к линии наибольшего ската плос-
плоскости. Определить уравнения движения тела, которое
скользит по плоскости, и уравнение его траектории, напра-
направив ось Ох из начального положения тела вдоль линии
наибольшего ската плоскости вниз, а ось Оу вдоль началь-
начальной скорости. Размерами тела пренебречь.
1 2v2
Ответ: x^-^gt2 sin а; у = vot\ ф = —[^х
724. Человек делает выстрел с берега в сторону моря,
стоя на горе высотой 396,9 м. Определить, на каком рас-
расстоянии от подножия горы пуля упала в воду, если она
вылетела из винтовки в горизонтальном направлении со
скоростью 800 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
g = 9,8 м/с2.
Ответ: 7200 м.
725. В момент, когда гоночный автомобиль весом 8 кН
пересекает финиш со скоростью 360 км/ч, водитель выклю-
выключает двигатель. Учитывая силу сопротивления воздуха #=
= av2f где а = 0,075 Н с2/м2, определить время /lf прошед-
прошедшее к моменту, когда скорость автомобиля уменьшилась в
194

два раза, и расстояние s, которое автомобиль прошел за
это время.
Ответ: tt = 109 с; s = 7537 м.
726. На точку весом 49 Н, которая двигалась по горизон-
горизонтальной прямой, действовала постоянная сила 100 Н. В
момент, когда скорость точки достигла 20 м/с, на нее начала
действовать еще одна сила противоположного направле-
направления, увеличивающаяся пропорционально времени от нуля
на 10 Н ежесекундно. Какое расстояние пройдет точка за
первые 6 с? Сколько времени должна действовать эта сила,
чтобы скорость точки уменьшилась до нуля? g = 9,8 м/с2.
Ответ: 408 м, 21 с.
727. На материальную точку массой т, движущуюся в
горизонтальной плоскости хОу, действует сила, проекции
которой на координатные оси равны: Fx = —2mcos/; Fy =
= —2/nsin /. Определить уравнение траектории точки,
если в начальный момент х = 4; у = 3, vx = 0; vy = 2.
Ответ: (х — 2J + (у — ЗJ = 4.
728. На материальную точку массой /и, движущуюся
в горизонтальной плоскости хО#, действует сила, проекции
которой на координатные оси равны: Fx = 9 msin3/, Fy =
= 9/ftcos3/. Определить уравнения движения точки, если
в начальный момент х = 0; у; = 0; vx = 0; t^ = 0.
Ответ: х = 3/ — sin 3/; // = 1 — cos 3/.
729. Лодка с человеком общим весом 1,47 кН двига-
двигалась в спокойной воде. Когда человек перестал грести,
скорость лодки была равна 2 м/с. Определить расстояние,
которое пройдет лодка к моменту, когда ее скорость умень-
уменьшится в три раза, если сопротивление воды ее движению,
пропорциональное первой степени скорости, прии= 1 м/с
равно 40 Н.
Ответ: s = 5 м.
730. Шарик весом 0,05 Н вылетает вертикально вверх из
пружинного пистолета со скоростью 10 м/с. Считая, что
сопротивление воздуха пропорционально первой степени
скорости и равно 1 мН при скорости v = 1 м/с, определить
максимальную высоту, на которую поднимется шарик, и
время движения до этой высоты. На сколько увеличится

максимальная высота подъема, если не учитывать сопротив-
сопротивления воздуха?
О/пвет: hmax — 4,5 м; t = 0,93 с. Максимальная высота
увеличится на 0,6 м.
731. Тело падает вдоль ствола воображаемой шахты с
поверхности Земли в направлении к ее центру без началь-
начальной скорости. Учитывая только силу притяжения к Земле,
которая в этом случае прямо пропорциональна расстоя-
расстоянию тела от центра Земли, определить глубину //шахты
такую, чтобы в конце её ствола скорость тела была равна:
а) половине первой космической скорости, т. е. -oVgtC,
где R — радиус Земли; б) первой космической скорости.
Ответ: а) Нх = 2-^~ R\ б) Я2 = R.
732. Неподвижное в начальный момент тело весом 80 Н
падает в некоторой среде по вертикали. Считая, что сопро-
сопротивление среды пропорционально скорости тела и равно
20 Н при скорости d=1 м/с, определить максимальное зна-
значение скорости падения и время, прошедшее к моменту,
когда скорость тела достигнет 0,99 ее максимального зна-
значения.
Ответ: vmax = 4м/с; t = 1,88 с.
733. Шарик весом Р падает без начальной скорости с вы-
высоты Н на поверхность жидкости, которая оказывает со-
сопротивление, пропорциональное скорости v тела: R =
— av (a — заданная постоянная). Определить уравнение
движения шарика в жидкости, если его удельный вес
больше удельного веса жидкости в 5 раз.
Ответ: в-?* + ?
734. К моменту прекращения работы двигателя аэросани
весом Р = 5,00 кН приобрели скорость v0 = 144 км/ч. Си-
Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату ско-
скорости саней и равна а = 2Н при v = 1 м/с, а коэффициент
трения лыж о снег / = 0,1. Какое расстояние s пройдут
аэросани по горизонтальной поверхности до остановки и за
какое время Г?
196

p f CCV \
: s = ^— In A + j^J = 255 м;
Ответ:
735. Автомобиль весом 9,81 кН движется под уклон 30°
к горизонту с выключенным сцеплением. Сопротивление
воздуха R =* фот2, где с — коэффициент формы, р — плот-
плотность воздуха, а— площадь миделева сечения. Не учитывая
силы трения, определить: максимал^ну о скорость, которую
может развить автомобиль; время, которое пройдет к мо-
моменту, когда его скорость будет равна 0,5 0гаах, и расстоя-
расстояние s, пройденное автомобилем за это время, если движение
автомобиля началось из состояния покоя: с = 0,06; р =
= 1,25 Н • с2/м4; а = 2 м2.
Ответ: vmax = 180,75 м/с; t = 20,26 с; 5 = 959 м.
736. Парашютист весом 800 Н после отделения от само-
самолета падал в течение 10 с не раскрывая парашюта. Чему
равна его скорость в конце десятой секунды и насколько
она отличается от предельной в этом прыжке? Чему равна
скорость установившегося движения с раскрытым парашю-
парашютом, если сопротивление воздуха R = срои2, где р =
= 1,25 Н • cVm4? На участке затяжного прыжка с =
= 0,5, а = 0,4 м2; на участке движения с раскрытым
парашютом с = 0,7, а =* 36 м2.
Ответ: v = 53 м/с, на 6% меньше предельной; vnp =
= 5м/с.
737. По условию предыдущей задачи определить время
затяжного прыжка парашютиста и пройденное им расстоя-
расстояние к тому моменту, когда скорость парашютиста отлича-
отличалась от предельной скорости на 0,5%.
Ответ: t = 17,3 с; Я = 752 м.
738. Вертикальное падение шарика весом Р в воздухе
происходит при сопротивлении, пропорциональном квад-
квадрату скорости: R = аи2, где а — заданная постоянная.
Определить зависимость скорости шарика от пройденного
им пути 5, если в начальный момент она равна и0.
р /р Л -*2Ё1
Ответ: v2 = -— I -— v01 e p ¦
197

739. На точку массой т, движущуюся по горизонталь-
горизонтальной прямой, действует сила F = kt в направлении движе-
движения и сила сопротивления R = —av, где а и k — заданные
постоянные. Определить закон движения точки, если ее
начальная скорость v0 = 0.
Ответ: s = ±\^-^t + $(l -е~
740. По дуге нижней полуокружности внутри непод-
неподвижной цилиндрической трубы радиуса г = 20 см из поло-
положения А на горизонтальном диаметре отпускают тело М
без начальной скорости. Пренебрегая размерами тела, оп-
определить его скорость в наинизшем положении Ву если
коэффициент трения тела М о поверхность цилиндра во
время движения / == 0,5. Определить также скорость тела
в предположении, что трение отсутствует.
Ответ: vx = /j^O -2/2- Sfe1^) = 0,607 ±;
t>2 = 2--.
ГлаваХ. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ1
§ 24. Свободные колебания точки
741. Материальная точка массой 200 г притягивается
к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоя-
расстоянию точки от этого центра. Коэффициент пропорциональ-
пропорциональности с = 0,18 Н/см. Найти уравнение движения точки,
если в начальный момент она отстояла от центра на расстоя-
расстоянии^ см, а ее скорость, направленная к центру, была равна
6/10 см/с.
Ответ: х = D cos 3 V ИМ — 2 sin 3 Т/ТШ) см.
742. На материальную точку массой 25 кг действует сила
притяжения к неподвижному центру, пропорциональная
расстоянию точки от данного центра и равная 4 Н на рас-
расстоянии 1 см. Определить амплитуду, начальную фазу и
период колебаний точки, если в начальный момент расстоя-
расстояние точки от центра равно 3 см, а ее скорость равна 16 см/с
* В задачах этого раздела весом пружины (или троса) пренебречь.
198

и направлена от центра вдоль прямой, соединяющей центр
и точку.
Отвгт: а = Ь см; а = arctg7-; Г = 1,57 с.
743. Верхний конец вертикальной пружины закреплен
неподвижно, а к нижнему подвешен груз М весом 2Н. Ка-
Какую вертикальную скорость следует сообщить грузу в по-
положении равновесия, чтобы амплитуда колебаний была рав-
равна 2 см, если пружина растягивается на 1 см под действием
силы 0,5 Н.
Ответ: v0 = 31,3 см/с.
744. Период колебаний груза весом 4,9 Н, подвешен-
подвешенного к нижнему концу пружины, равен ~ с. Определить си-
силу, пэд действием которой пружина растягивается на 1 см.
Ответ: 0,32 Н.
745. Груз подвешен к потолку при помощи упругого
троса, длина которого в положении равновесия груза 1,05
м. Определить период вертикальных колебаний груза на
конце троса и число его колебаний в минуту, если длина
ненагруженного троса 1 м.
Ответ: т = 0,45 с; п = 134 кол/мин.
746. На неподвижный горизонтальный стержень А В
надеты пружина AD, конец А которой закреплен, и шарик
весом 1 Н, прикрепленный к концу D пружины, коэффи-
коэффициент жесткости которой 5 Н/м. Длину пружины увеличи-
увеличили на 2 см, и шарик отпустили без начальной скорости.
Пренебрегая трением, определить уравнение движения ша-
шарика, если начало координат совпадает с положением рав-
равновесия шарика.
Ответ: х = 2 cos It см.
747. Верхний конбц вертикальной пружины закреплен
неподвижно, а нижний с прикрепленным к нему грузом,
колеблется согласно уравнению: х = 10 sin It см. Опре-
Определить статическую деформацию пружины.
Ответ: бст = 20 см.
748. Верхний конец вертикальной пружины с коэффи-
коэффициентом жесткости с === 2 Н/см закреплен неподвижно, а к
199

нижнему прикреплен груз. Каким должен быть вес Р этого
груза, если период его колебаний равен 1 с?
Ответ: Р = 49,7 Н.
749. Груз весом Р = 0,98 Н, подвешенный к нижнему
концу вертикальной пружины, совершает гармонические
колебания с периодом 0,5 с. Определить коэффициент жест-
жесткости, статическую деформацию пружины и уравнение дви-
движения груза, если начальная деформация пружины и на-
начальная скорость груза были равны нулю. Движение груза
отнести к оси, направленной вниз из положения его стати-
статического равновесия.
Ответ: с = 0,158 Н/см; бст = 6,21 см; х =
= —6,21 cos 4л/см.
750. Статическая деформация вертикальной пружины
под действием груза, подвешенного к нижнему концу, бст =
= 10 см. Груз оттянут от положения его статического рав-
равновесия на расстояние х0 = 15 см и ему сообщена верти-
вертикальная скорость v0 = 99 см/с, направленная вниз. Опре-
Определить уравнение движения груза, проведя ось из положе-
положения его статического равновесия вниз.
Ответ: х = A5 cos 9,9/ + 10 sin 9,9/) см.
751. Период колебаний груза, подвешенного к нижнему
концу вертикальной пружины, равен 7\ Определить пе-
период его колебаний 7\ после того, как пружину разрезали
на три равные части, одну из них отбросили, а к двум при-
прикрепили тот же груз так, чтобы пружины были вертикаль-
вертикальны, а их верхние концы закреплены на одной горизонтали.
Ответ: 7\ = ^7\
752. К нижнему концу вертикальной пружины, коэф-
коэффициент жесткости которой си подвесили груз. Затем этот
же груз подвесили к нижнему концу другой вертикальной
пружины с коэффициентом жесткости с2. Определить от-
отношение периодов колебаний груза на этих пружинах.
Ответ: ^= ]/ ^
753. К нижним концам двух вертикальных пружин с
коэффициентами жесткости сг и с2, подвесили грузы Мх и
200

М2 соответственно. При этом периоды колебаний грузов
одинаковы. Определить отношение периодов колебаний,
если грузы перевесили, поменяв их местами.
Ответ: ^ = ^.
754. К нижним концам двух вертикальных пружин под-
подвесили грузы весом Qi = 10 Н и Q2 = 15 Н. Статические
деформации пружин равны 8Х == 4 см и 82 = 3 см соответ-
соответственно. Определить статические деформации этих пружин
после того, как грузы перевесили, поменяв их местами.
Ответ: 8[ = 6 см; 8'2 = 2 см.
Рис. 435
Рис. 436
755. К телу М массой т (рис. 435) прикреплены концы
трех горизонтальных пружин с коэффициентами жесткости
?ii с%* С2- Пренебрегая трением, определить период колеба-
колебаний груза.
Ответ: т =
756. Однородная горизонтальная балка АВ (рис. 436)
подвешена к потолку при помощи трех упругих тросов.
АС = СВ. Диаметр среднего троса в два раза больше диа-
диаметра каждого из крайних. Определить период вертикаль-
вертикальных колебаний балки, если в положении ее равновесия
удлинение среднего троса равно б, а крайние тросы не на-
напряжены.
Ответ: т = 2я у =- .
757. Шахтная клеть весом 20 кН, подвешенная к тросу,
намотанному на барабан, опускается вдоль вертикального
ствола шахты с постоянной скоростью 3,5 м/с. Как будет
двигаться клеть в дальнейшем, если резким торможением
остановить барабан? Определить максимальное натяжение
201

троса при дальнейшем движении клети, если коэффициент
жесткости троса с = 25 кН/см.
Ответ: х = 10 sin 35 /; Т =» 270 кН.
758. Прямая призма весом Р и высотой /i, с площадью
основания, равной s, подвешена к нижнему концу верти-
вертикальной пружины, коэффициент жесткости которой с. В
положении равновесия центр тяжести призмы находится
на поверхности жидкости, удельный вес которой у. Приз-
3
му погрузили в жидкость на -г ее высоты и отпустили из
состояния покоя. Не учитывая вязкости среды, определить
уравнение движения призмы, направив ось Ох из поло-
положения статического равновесия призмы вниз.
Ответ: х = -г- cos у с р s gt.
759. На неподвижную проволочную окружность, распо-
расположенную в вертикальной плоскости, надеты пружина АВ,
конец А которой закреплен на проволочной окружности,
и шарик, прикрепленный к концу В пружины. Радиус ок-
окружности Ry вес шарика Я, коэффициент жесткости пру-
пружины с. В положении равновесия шарик находится внизу
на одной вертикали с центром О проволочной окружности.
Пренебрегая радиусом шарика и трением, определить урав-
уравнение малых колебаний шарика, если в положении равно-
равновесия ему сообщена малая начальная скорость v0.
760. На верхнюю половину проволочной окружности
радиуса R, расположенной в вертикальной плоскости, наде-
надеты две одинаковые ненапряженные пружины с коэффициен-
коэффициентом жесткости с каждая и между ними шарик весом Р.
Концы пружины прикреплены к шарику и к концам гори-
горизонтального диаметра проволочной окружности. Пренебре-
Пренебрегая размером шарика и трением, определить условие, при
котором данное положение шарика устойчиво.
Р
Ответ: с > ^ •
761. Между призматическим телом весом Р1у поставлен-
поставленным на горизонтальную плоскость, и призматическим телом
202

весом Р2 над ним, закреплена вертикальная пружина с
коэффициентом жесткости с, ось которой проходит через
центры тяжести этих тел. Тело весом Р2 отклонили от по-
положения его статического равновесия по вертикали на х0
и сообщили ему вертикальную скорость v0. Определить мак-
максимальное и минимальное давление тел на горизонтальную
плоскость.
Ответ: Afmax = Рг + Р2 + с I/ х*0 +
D I/ * . P*Vi
r% — cy *b + —.
762. На середину горизонтальной упругой балки с за-
закрепленными концами положили груз и отпустили его без
начальной скорости. Пренебрегая массой балки и считая
упругую силу пропорциональной прогибу, определить урав-
уравнение движения груза, период его колебаний и максималь-
максимальный прогиб балки, если ее статический прогиб под действием
данного груза равен 6СТ.
Ответ: х = —бст cos \f Я- t\ т = 2я 1/ Л\ бтах =
= 2SCT.
763. Груз весом 10 Н (рис. 437) падает без начальной
скорости с высоты h =¦ 9 см на горизонтальную пластинку,
прикрепленную к пружине, коэффициент жесткости кото-
которой с = 5 Н/см. Определить уравнение движения груза,
пренебрегая массой пластинки и пружины.
Ответ: х = (esirtfj/'TO t — 2 cos 71/Тб t) см.
764. На середину упругой балки с закрепленными кон-
концами падает груз с высоты h = 10 см. Статический прогиб
балки под грузом бСт=1мм. Определить уравнение движе-
движения груза вместе с балкой, считая упругую силу балки
пропорциональной ее прогибу и пренебрегая весом балки.
Ось направить вниз из положения статического равновесия
груза.
Ответ: х = 1,42 sinG0"|/21 — 0,07) см.
765. На неподвижный стержень АВ, наклоненный к
горизонту, надеты две пружины с коэффициентами жест-
жесткости сх и с2 и шарик весом Я, размещенный между пружи-
203

нами и прикрепленный к ним. Другие концы пружины
прикреплены к концам А и В стержня. Определить урав-
уравнение движения шарика относительно оси Ох. направлен-
направленной вдоль стержня из положения статического равновесия
О, если при / = 0 х = л:0, х = 0.
Ответ: х = х0 cos у
766. Куб, длина ребра которого равна 10 см, в поло-
положении равновесия погружен в воду на глубину 5 см. По-
Погрузив его так, чтобы верхняя грань находилась на уров-
уровне воды, куб отпускают из состоя-
состояния покоя. Считая, что дейст-
действие воды сводится к архимедо-
архимедовой выталкивающей силе, опреде-
определить уравнение движения куба.
Рис. 438
Ось Ох направить из положения статического равновесия
вниз.
Ответ: х = 5 cos Ш см.
767. Решить предыдущую задачу при условии, что к
центру верхней грани куба прикреплен нижний конец вер-
вертикальной пружины с неподвижным верхним концом. Коэф-
Коэффициент жесткости пружины с = 3 Н/см и в положении
статического равновесия куба в воде пружина недеформи-
рована.
Ответ: х = 5 cos 28,2/ см.
768. Конец А недеформированного упругого стержня
АВ закреплен неподвижно, а конец В прикреплен к пру-
пружине с коэффициентом жесткости с = 6 Н/см (рис. 438).
На конец В стержня кладут груз весом ЗОН и отпускают
его без начальной скорости. Определить максимальное
сжатие пружины и период колебаний груза, если известно,
что без пружины конец В стержня опускается на 1 см под
статическим действием груза весом 12 Н.
204

Ответ: 8тах = Зу см; т = 0,26 с.
У к я з а и и е: систему балка — пружина заменить пру-
пружиной с соответствующим коэффициентом жесткости. Ве-
Весом стержня и пружины пренебречь.
769. Горизонтальный упругий стержень АВ жестко
заделан на конце А. К концу В подвешена пружина с гру-
грузом весом 20 Н. Определить период колебаний этого груза,
если коэффициент жесткости пружины 5 Н/см, а прогиб
стержня на конце В равен 1 см при статическом действии
груза весом 50 Н.
Ответ: т = 0,42 с.
(См. указание к предыдущей задаче).
770. Тяжелое колечко М надето на гладкую проволоку,
изогнутую по циклоиде, уравнения которой: х = a(q> +
+ sin ф), у = яA — coscp) (a — заданная постоянная).
Концы изогнутой проволоки, размещенной в вертикальной
плоскости, закрепили неподвижно, а колечко М вывели
из положения равновесия и отпустили колебаться. Опре-
Определить период этих колебаний. Ось Оу направлена вверх.
Ответ: т = 4я ]/ —.
§ 25. Затухающие колебания точки
771. Материальная точка весом 1 Н совершает затухаю-
затухающие колебания, период которых т = 0,102 с. Во сколько
раз уменьшится амплитуда после двух полных колебаний
точки, если сила сопротивления равна 0,02 Н при скорости
1 см/с?
Ответ: е2.
772. Амплитуда колебаний точки после трех полных ко-
колебаний уменьшилась в 10 раз. Определить логарифмиче-
логарифмический декремент колебаний.
Ответ: 0,3838.
773. На материальную точку весом 0,980 Н действует
сила притяжения к неподвижному центру, пропорциональ-
пропорциональная расстоянию точки от центра, и сила сопротивления,
пропорциональная первой степени скорости. Сила притя-
притяжения на расстоянии 1 см от центра равна 0,1 Н, а сила
205

сопротивления при скорости 1 см/с равна 0,012 Н. В на-
начальный момент расстояние точки от центра равно 3 см,
а скорость — 6 см/с и направлена от центра. Определить
уравнение движения точки.
Ответ: х =* 3e~6t (cos 8^ + sin 8/) см.
774. Груз весом 29,4 Н, подвешенный на пружине,
совершает в пустоте 150 колебаний в минуту, а под влия-
влиянием сопротивления, пропорционального первой степени
скорости,— 90. Определить уравнение движения груза и
силу сопротивления R при скорости 1 щ/с, если в началь-
начальный момент грузу, находившемуся в положении статиче-
статического равновесия, была сообщена скорость 30 см/с, направ-
направленная вниз.
Ответ: х = ~ е-4*'sin Зя* см; R = 0,75Н.
775. Тело весом 9,8Н совершает затухающие колебания
под действием сопротивления, пропорционального первой
степени скорости; период этих колебаний т = 0,25 с, а
логарифмический декремент 6 = у . Определить силу со-
сопротивления среды при v = 1 см/с.
Ответ: R = 0,08Н.
776. Период затухающих колебаний материальной точ-
точки, происходящих вдоль оси Оху х = у с, а логарифмиче-
логарифмический декремент 6 = ~. Определить уравнение движения
точки, если в начальный момент х = 3 см, v = 0.
Отпет: х = Зе~°>4' (cos 4/ + 0,1 sin 4/) см.
777. Тело весом 1,96 Н, подвешенное на пружине с коэф-
коэффициентом жесткости с = 0,512 Н/см, движется, преодоле-
преодолевая сопротивление, пропорциональное первой степени ско-
скорости и равное 0,08 Н при скорости 1 см/с. В начальный мо-
момент длина пружины на 4 см больше ее длины в положении
равновесия тела, а его скорость равна 16 см/е и направлена
вертикально вниз. Определить уравнение движения тела.
Ответ: х = (б*?-8' — 2e~32t) см.
778. Тело весом 49 Н, подвешенное на пружине, коэф-
коэффициент жесткости которой с = 1,25 Н/см, движется под
действием сопротивления среды, которое пропорционально
206

первой степени скорости и равно 0,5 Н при v = 1 см/с. В
начальный момент пружина растянута из положения равно-
равновесия на 3 см и телу сообщена скорость, равная 6 см/с и на-
направленная вниз. Определить уравнение движения тела.
Ответ: х = 3<Г5<A + 7/) см.
779. Во сколько раз период затухающих колебаний
больше периода соответствующих свободных колебаний без
сопротивления, если логарифмический декремент равен
12 П?
Ответ: гх = -^ т.
780. Материальная точка массой 0,3 кг совершает сво-
свободные колебания согласно уравнению: х = 24 cos 13/ см.
Каким было бы уравнение колебаний точки, если бы
при тех же начальных условиях движения на точку дейст-
действовала бы еще и сила сопротивления R = ЗаН (v, м/с)?
Ответ: х = e'bt B4 cos 12/ + 10 sin 12/) см.
781. На точку массой -j кг, совершающую свободные
колебания с частотой k = 9 с", начала действовать сила
сопротивления R = сдоН (vt м/с). При каком минимальном
значении а движение точки станет апериодическим?
Ответ: а = 6 Нс/м.
782. Под действием восстанавливающей силы и силы
сопротивления среды, пропорциональной первой степени
скорости, точка движется согласно уравнению: х = ae~ntx
X (л/ +Ь). Каким было бы движение точки при тех же на-
начальных условиях, но при отсутствии силы сопротивления?
Ответ: х = abcosnt + а(\ — 6)sin/z/.
783. Частота свободных колебаний груза, подвешенного
к нижнему концу вертикальной пружины, fe=31/r2c", а в
среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени
скорости, частота равна k± = 3 с. Пружину укоротили в
два раза. Чему равны частоты свободных колебаний груза
на конце укороченной пружины и затухающих в той же
среде?
Ответ: Л' = 6с~1; к[ = 3 j/Зс.
207

784. Материальная точка массой 0,25 кг движется сог-
согласно уравнению: х = 12sin(8f + -j) см. Каким было бы
движение точки, если бы при тех же начальных условиях
на точку действовала бы еще и сила сопротивления R =
= 5уН (у,м/с)?
Ответ: х = [4 A + 2 УЗ) е~* — 2 B + У~3) е-1*] см.
785. К нижнему концу пружины, коэффициент жест-
жесткости которой с = 4 Н/см, подвесили тело весом Q = 20 i
и поместили в среду, сопротивляющуюся движению тела
с силой /?, пропорциональной скорости v : /? = yt/H (у —
в см/с). Определить уравнение движения тела, если в на-
начальный момент его отпустили из положения статического
равновесия на расстояние х0 = 3 см без начальной скорос-
скорости. Ось х направлена из положения статического равнове-
равновесия вниз.
Ответ: х = C + 42t)e"ut.
786. Решить задачу 785 при условии, что вес тела, под-
подвешенного к нижнему концу пружины, Q =f= 10H.
Ответ: х = -| [A + У2) е~и <2- "*>* + A — У2) X
X ?-14B-fV2)/] CM#
787. Решить задачу 785 при ус-
ловии, что вес тела, подвешенного
к нижнему концу пружины, Q =
= 35 Н.
Рис 439
Ответ: х - e~bt C cos 4
788. К телу М весом 20 Н, лежащему на горизонталь-
горизонтальной шероховатой плоскости, прикреплены две пружины с
коэффициентами жесткости сх == 1,5 Н/см и сг = 2,5 Н/см
(рис. 439). Тело сместили на 7,5 см от положения О, в кото-
котором пружины были недеформированы, и отпустили без на-
начальной скорости. Сколько времени пройдет до остановки
тела и на каком расстоянии от точки О тело остановится,
если коэффициент трения скольжения при покое fx = 0,20,
а во время движения / ~ 0,15?
Ответ: г= 1,122 с. Тело остановится в положении рав-
равновесия.
208

789. Пользуясь схемой предыдущей задачи, определить
коэффициент трения /, если пружины одинаковы и сила на-
натяжения, равная весу тела, вызывает статическое удлине-
удлинение каждой пружины на 0.5 см. После 20 полных колебаний
смещение тела от положения равновесия уменьшилось на
0,15 начального значения, равного 12 см.
Ответ: f = 0,18.
790^ Пользуясь схемой задачи 788 и зная, что вес тела
равен 30 Н, коэффициент жесткости каждой пружины
6 Н/см, величина начального смещения тела л:0 = 12 см,
коэффициент трения скольжения в состоянии покоя /х =
=* 0,28, а при движении / = 0,24, определить: 1) сколько
размахов сделает тело до остановки; 2) чему равны вели-
величины первого и последнего размахов.
Ответ: 1) 10 размахов; 2) Ах = 22,8 см; А = 1,2 см.
§ 26. Вынужденные колебания точки
791 ¦ Груз весом 2,45 Н подвешен на пружине, коэффи-
коэффициент жесткости которой с = 1 Н/см. На него действует
вертикальная сила F = 1,8 sin 16/ Н. Определить уравне-
уравнение вынужденных колебаний груза.
Ответ: х = 5 sin 16/ см.
792. На шкив радиуса г намотана веревка, к свободному
концу А которой прикреплена пружина АВ с коэффициен-
коэффициентом жесткости с, а к концу В — груз М массой т (рис. 440).
Шкив колеблется вокруг горизонтальной оси О, перпенди-
перпендикулярной его плоскости, согласно уравнению: ф =
=* ф0 sin со/. Определить уравнение вынужденных колеба-
колебаний груза М относительно оси, проведенной вертикально
вниз из положения статического равновесия груза. Решить
задачу для двух случаев:
Ответ: 1) х=» сгфо „sinсо*; 2) х = — ^
793. Колесо катится по горизонтальному рельсу без
скольжения так, что скорость его центра постоянна и равна
30 м/с (рис. 441). Из-за неровностей рельсового пути
8 9-396 209

центр колеса совершает вертикальные колебания. Опре-
Определить амплитуду А вынужденных вертикальных колеба-
колебаний груза весом 2 кН, соединенного посредством пружины
с осью колеса, если коэффициент жесткости пружины с =*
= 40 кН/м и кривая рельса задана уравнением у =
-гх. Положить: а = 1,5 см; / = 2,5 м.
Ответ: А = 0,24 см.
794. По условию задачи 793 определить, при каком зна-
значении скорости центра колеса наступит резонанс.
Ответ: v = 11,14 м/с.
Рис. 441
795. К кронштейну (рис. 442), закрепленному на палубе
корабля, совершающего вертикальные колебания по закону
уг = 5 sin 3nt см, прикреплен верхний конец пружины,
коэффициент жесткости которой с = 20 Н/см. К нижне-
нижнему концу пружины подвешен груз весом 100Н. Определить
уравнение вынужденных колебаний груза, g =? 9,8 We2.
Ответ: у = 9,14 sin 3nt см.
796. По условию задачи 795 найти значение коэффици-
коэффициента жесткости пружины, при котором наступит резонанс.
Ответ: 9,1 Н/см.
797. Период свободных вертикальных колебаний груза,
подвешенного к нижнему концу А вертикальной пру-
пружины А В, т == 0,8 с. Определить амплитуду вынужден-
вынужденных колебаний груза, если верхний конец В пружины ко-
колеблется в вертикальном направлении с периодом %г =
=» 1,2 с и амплитудой а = 3 см.
Ответ: 5,4 см.
210

798. К нижнему концу резиновой нити прикреплен ша-
шарик весом 1Н. Верхний конец привязан к пальцу руки маль-
мальчика, который вертикальными движениями этой руки сооб-
сообщает шарику колебательное движение. Определить, какое
число колебаний в минуту должна делать рука, чтобы воз-
возник резонанс, если коэффициент жесткости нити с =*
- 0,2 Н/см.
Ответ: п zx 134.
799. Посередине упругой балки с жестко заделанными
концами прикреплен электромотор, центр тяжести ротора
которого не совпадает с его геометрическим центром. Пре-
Пренебрегая весом балки, определить критическое число обо-
оборотов в минуту ротора, если статический прогиб балки под
мотором равен бСт см.
~ 300
Ответ: пкр «
800. К концу В кулисного механизма прикреплена го-
горизонтальная пружина BD, коэффициент жесткости кото-
которой с = 5 Н/см (рис. 443). К концу D пружины прикрепле-
Рис. 443
Рис. 444
но тело М весом Q = 400 Н, которое может скользить без
трения по горизонтальной плоскости. Определить уравне-
уравнение вынужденных колебаний груза, если кривошип ОА
длиной 10 см вращается с угловой скоростью о = 2 с ~х и
при ф == 0 пружина BD не деформирована.
Ответ: х = 14,85 sin 2t см.
801. По условию задачи 800 определить уравнение дви-
движения тела М для случая, когда угловая скорость криво-
кривошипа ОА со == 3,5 с.
Ответ: х = —17,5* cos 3,5* см.
8*
211

802. Платформа ААХ совершает вертикальные гармо-
гармонические колебания, которые записываются на барабане В
(рис. 444), вращающемся вокруг оси z, прикрепленной к
основанию платформы ААХ. Уравнение вертикальных ко-
колебаний платформы zx = a sin 14 / см. Определить урав-
уравнение вынужденных колебаний относительно платформы
груза М весом Q = 100 Н, подвешенного к концу верти-
вертикальной пружины, коэффициент жесткости которой с =
= 1 Н/см, если точка подвеса пружины колеблется вместе
с платформой.
Otneem: z *= —1,05 zx.
803. Платформа совершает
горизонтальные гармонические
Рис. 445
Рис. 446
колебания, вызывающие колебания математического маят-
маятника, верхний конец которого закреплен в точке А плат-
платформы (рис. 445). Колебания записываются острием,
прикрепленным к точечному грузу В. Уравнение коле-
колебаний платформы хх = a sinpf, частота свободных коле-
колебаний математического маятника k = 0,2 р. Определить
уравнение вынужденных колебаний относительно плат-
платформы математического маятника.
Ответ: х = —1,04^.
804. Верхний конец пружины, коэффициент жесткости
которой с — 0,5 Н/см, прикреплен к ползуну В кривошип-
но-шатунного механизма, нижний — к телу М весом 1,5 Н
(рис. 446). О А = А В = 3 см. Кривошип О А вращается
вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью со = 4д с*,
а тело М при этом колеблется в среде, создающей сопро-
сопротивление, пропорциональное скорости и равное 0,02 Н при
скорости v = 1 см/с. Найти уравнение установившихся
вынужденных колебаний груза, проведя ось Охх вертикаль-
212

но вниз из положения статического равновесия груза М,
при котором кривошип ОА горизонтален.
Ответ: х = 8,32 sin Dл/ — 0,771) см.
805. Тело М весом Q = 100 Н прикреплено к концу А
пружины, коэффициент жесткости которой с = 50 Н/см
(рис. 447), Конец В пружины колеблется вдоль ее оси со-
согласно закону: хг=*2 sin 15/ см. Определить уравнение
вынужденных колебаний тела М, если его движению вдоль
оси х оказывает сопротивление сила,
пропорциональная скорости тела: R =*
= 2уН(у, см/с). Т
Ответ: х = 2,48 sinA5/ — 0,266я) см.
Рис. 447
Рис. 448
Рис. 449
806. На поршень действует вертикальная сила F =
«* 200 sin Юл/ Н (рис. 448). Поршень упирается в рези-
резиновый цилиндр,, сопротивление которого будем считать
состоящим из двух частей: упругой силы, пропорциональ-
пропорциональной деформации, и силы демпфирования, пропорциональ-
пропорциональной скорости. Определить амплитуду А вынужденных ко-
колебаний поршня, если его вес Q = 100 Н, статическая де-
деформация цилиндра под действием веса поршня бет =
= 0,5 см, а сила сопротивления равна 20 Н при скорости
v = 1 см/с.
Ответ: А =*= 3,1 мм.
807, По условию предыдущей задачи определить ампли-
амплитуду вынужденных колебаний поршня, если частота р из-
изменения вертикальной силы F = 200 sin pt H соответст-
соответствует резонансу.
Ответ: А = 2,26 мм.
213

808. Вес тела М Q = 98 Н, коэффициент жесткости
каждой пружины, прикрепленной к кулисе BD, с =
=» 6,8 Н/см (рис. 449). Демпфер К создает силу сопротив-
лелия такую, что коэффициент затухания равен частоте
свободных колебаний: п = k. Определить уравнение вы-
вынужденных колебаний тела М9 если!)А = 7,5 см, а угло-
угловая скорость равномерно вращающегося кривошипа ОА
равна 6 с.
Ответ: х = 5,93 sin F/ — 0,95) см.
809, Считать, что сила сопротивления, создаваемая демп-
демпфером К (рис. 449), R = 1,2у Н (v — в см/с). Взяв необхо-
необходимые данные из условия предыдущей задачи, определить,
при какой угловой скорости кривошипа ОА амплитуда
вынужденных колебаний будет максимальной. Определить
также амплитуду вынужденных колебаний в случае резо-
резонанса и написать уравнение этих колебаний.
Ответ: <о = 8 с", Лтах = 8,5 см; х = 8,5 sin [81 —
4 \ V
— arctg у) см; А « 7,29 см; х = —7,29cos 11,66/см.
810, На материальную точку массой 100 г, движущую-
движущуюся вдоль горизонтальной прямой Ох, действуют три силы:
восстанавливающая F = \6х мН (х9 см), сила сопротив-
сопротивления R = 6умН (у, см/с) и возмущающая сила, изменяю-
изменяющаяся по гармоническому закону. Определить частоты вы-
вынужденных колебаний материальной точки в двух случа-
случаях: когда фаза этих колебаний отстает от фазы возмущаю-
возмущающей силы на ~ и на ~ .
Ответ: ?! = 2 с; Р2 = 4 с.
Г л а в а XI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
§ 27* Теорема о движении центра масс
811. Длина кривошипа ОА равна а (см. рис. 292), а вес
Pl9 вес ползуна А — Р2, вес кулисы, совершающей возврат-
возвратно-поступательное движение,— Р3. Определить траекторию
центра масс кулисного механизма.
Ответ: эллипс с полуосями ^(P+Zlf i »
214

812. Вес клина А9 размещенного на гладкой горизон-
горизонтальной плоскости,— Ръ а тела В, которое может двигать-
двигаться по вертикали, —• Р2 (рис. 450), угол а известен. Опре-
Определить ускорение центра масс системы, если ускорение кли-
клина равно до.
Ответ: we =
-w.
813. Вес клина Л, размещенного на наклонной плоскос-
плоскости (рис. 451), равен Р19 а его ускорение wu вес призмати-
призматического тела В на горизонтальной грани клина равен Р2.
Рис. 450
Рис. 451
Рис. 452
Пренебрегая трением, определить ускорение центра масс
системы.
Ответ: wr
814. Человек, стоя в неподвижной лодке, с высоты 1,96 м
бросает в горизонтальном направлении с начальной ско-
скоростью 6 м/с камень весом 0,1 кН. Определить, на какое рас-
расстояние за время движения камня в воздухе переместится
по воде лодка, вес которой^вместе с человеком 1,2 кН. Со-
Сопротивлениями движению пренебречь.
Ответ: s = 10 "[/"Ш см.
815. В середине вертикальной прямоугольной рамы,
стоявшей неподвижно на гладкой горизонтальной плоскос-
плоскости, отпущен из состояния покоя однородный стержень А В
весом 20 Н и длиной 68 см (рис. 452). Определить, на какое
расстояние переместится рама весом 80 Н и высотой h =
= 60 см в горизонтальном направлении за время падения
стержня АВ на нижнее основание рамы.
Ответ: на 3,6 см вправо.
215

818. Вес однородного полуцилиндра В в цилиндриче-
цилиндрическом отверстии подставки равен 90 Н (рис. 453), а его диа-
диаметр DE = 60 см, вес подставки, поставленной на гладкий
пол, 110 Н. Определить перемещение подставки, если полу-
полуцилиндр повернется вокруг оси О так, что диаметр DE
перейдет из вертикального в горизонтальное положение.
Ответ: на 5,73 см влево.
817, Цилиндр D весом 8 Н и радиусом 6,5 см, скатыва-
скатываясь без скольжения вдоль наклонной грани призмы ABC,
совершил два полных оборота (рис.454). АВ = 50 см, ВС
Рис. 453
Рис. 454
*= 120 см. На какое расстояние за это время переместится
призма весом 16 Н по гладкой горизонтальной плоскости?
Ответ-, на 25,13 см влево.
818. Человек, сидящий в первоначально неподвижной
лодке, стал тянуть к себе канат, к которому прикреплен
плот весом 2 кН. Начальное расстояние между лодкой и пло-
плотом 8 м. Каким станет расстояние между ними к моменту,
когда плот пройдет по воде навстречу-лодке 3 м, если общий
вес человека и лодки 1,5 кН? Сопротивлением воды прене-
пренебречь.
Ответ. 1 м.
819. Посередине горизонтального ребра Л призматиче-
призматического тела A BCD весом Рг (рис. 455) шарнирно прикреплен
однородный стержень АЕ весом Р2 и длиной /. Пренебрегая
трением призматического тела о горизонтальную плоскость,
определить расстояние, на которое переместится тело, если
стержень АЕ повернуть из положения АЕХ в положение
АЕ2, приложив к нему пару сил.
Ответ: на s ¦
влево.
216

820. К верхней грани призматического тела А весом Р\
прикреплено шарнирно-однородное призматическое тело В
весом Р2> Длины ребер которого аи b (рис. 456). Пренебре-
Пренебрегая трением тела А о горизонтальную плоскость, опреде-
определить, на какое расстояние оно переместится, если тело В
повернуть вокруг оси О на угол 90°, приложив к нему пару
1 1
Рис. 455
Рис. 456
сил. Передние грани призматических тел А и В парал-
параллельны.
Ответ: s •
821. К подставке АВ весом Р, стоящей на гладкой гори-
горизонтальной плоскости, шарнирно прикреплен четырехзвен-
ный механизм OCDO1 (рис. 457), ОС = OXD = a, CD =
*= 0ОХ; вес каждого бокового звена равен Р19 горизонталь-
Рис. 457
Рис. 458
ного CD — Р2. Считая звенья однородными стержнями, оп-
определить перемещение подставки АВ к моменту, когда зве-
звено ОС окажется горизонтальным, если в начальный момент
оно было отклонено от вертикали на угол а и отпущено из
состояния покоя системы.
Ответ: s =
а^ *sinа)' влева
822. Два однородных стержня АС и ВС, изготовленные
из одного и того же материала, скреплены в точке С шар-
шарнирно (рис. 458). АС = 25 см, ВС=40 см. Стержни, рас-
расположенные в вертикальной плоскости, были отпущены из
217

состояния покоя, когда расстояние ССХ = 24 см. Опреде-
Определить, на какие расстояния переместится каждый из концов
А и В стержней по гладкой горизонтальной плоскости к
моменту, когда Л, 5, С окажутся на одной прямой.
Ответ: sA = 17 см, влево; sb = 9 см, вправо.
823. В лодке весом Q, стоявшей на спокойной воде, от
скамейки к корме перешли два человека весом Рх и Р2.
Пренебрегая сопротивлением воды, определить перемеще-
перемещение лодки, если расстояния, на которые перешли люди по
дну лодки, равны 1Х и /2 соответственно.
Ответ: s =
824. Через блоки Л, 5, С, прикрепленные к призмати-
призматическому телу М весом Р (рис. 459), переброшены нити, к
концам которых прикреплены грузы Мъ М2, Af3, M4 ве-
весом PLi P2, Р3> ^4 соответственно. Определить перемещение
по гладкой горизонтальной плоскости тела М, если груз Мх
переместится по наклонной плоскости вниз на расстояние /•
* л
Рис. 459
Рис. 460
Углы а, C, у считать известными; весом блоков и нитей
пренебречь.
Ответ: s = "ТИ^Т^ЛТU
призма переместится вправо.
825, К валу О мотора весом Q под прямыми углами при-
прикреплены невесомые стержни ОА и ОБ, к концам которых
прикреплены точечные грузы А и В весом Р каждый (рис.
460). О А = ОБ = /, ZAOB = 90°. Вал мотора вращается
по закону <р = (ot + ^9 где со — заданная постоянная. Оп-
Определить уравнение движения мотора, если он поставлен
218

без креплений на гладкий горизонтальный пол и при /
*« О,
Ответ: х = —
Pi
2Р4-0
s*n ®*т
826. Механизм состоит из двух однородных стержней:
О А длиной 1г и весом Plf ОгВ длиной /2 и весом Р2 и ползуна
А весом Q, шарнирно прикрепленного к концу стержня О А
(рис, 461). 1г >ООг. Механизм, размещенный в вертикаль-
вертикальной плоскости, прикреплен к подставке CD весом Р, рас-
расположенной на гладкой горизонтальной плоскости. Стер-
Стержень ОХВ переводят из одного горизонтального положения
Рис. 461
Рис. 462
в другое против движения часовой стрелки, приложив к
нему пару сил. Определить перемещение подставки CD.
Ответ: s
вправо.
827. Однородный стержень А В длиной / касается кон-
концом В гладкого горизонтального пола. Конец А, поднятый
на высоту h над полом, отпускают из состояния покоя, $
стержень падает на пол. Определить перемещение конца В,
Ответ: s =» JL (/ _ J//2 —Л2).
828. Однородная трехгранная призма, основанием ко-
которой является равносторонний треугольник со стороной а,
поставлена так, что одна из ее боковых граней вертикаль-
вертикальна, а ребро касается гладкого горизонтального пола. Приз-
Призма падает под действием собственного веса. Определить пе-
перемещение ребра, на которое опиралась призма.
Ответ: s ¦¦
829, Груз М весом 25 кН поднимают на высоту h == 5 м
поворотом стрелы вокруг оси О j(pnc. 462). Вес корпуса В
219

баржи 160 кН, стрелы О А — 15 кН, ее длина О А = 10 м.
Пренебрегая сопротивлением воды и весом троса, опреде-
определить перемещение корпуса В, если длина свисающей части
AM троса равна 1 м и при движении не изменяется.
Ответ: Вправо на 0,325 м.
830. Человек весом 600 Н, стоя на горизонтальном по-
полу, вращает в вертикальной плоскости с угловой скоростью
2я с камень весом 20 Н, привязанный к веревке длиной
1 м. Пренебрегая весом веревки, определить максималь-
максимальное и минимальное давление человека на пол.
Ответ: Л/тах = 700Н; Nmin = 540 Н.
831. Подставка весом Рх (рис. 463) поставлена без креп-
креплений на гладкой плоскости. К ней в точке О шарнирно
прикреплена однородная пластинка весом Р2, имеющая фор-
форму кругового сектора радиуса г с углом 2а при вершине.
Пластинка вращается вокруг оси О с постоянной угловой
скоростью со. Определить уравнение движения подставки.
Считая, что подставка прикреплена к основанию болтами,
Рис. 463
Рис. 464
определить максимальную величину горизонтальной реак-
реакции болтов.
X sin a.
832, К концу однородного стержня ОС длиной / и весом
Рх (рис. 464) прикреплен шарик радиусом г и весом Р2.
Стержень ОС вращается равномерно с угловой скоростью со
вокруг оси О на подставке, вес которой Q. Определить го-
горизонтальное и вертикальное давление подставки на выс-
выступы А и В и на гладкую горизонтальную плоскость.
220

Ответ: горизонтальное давление: Nx = ^
X о2 sin о/; вертикальное давление: N2 = ft + ft + Q +
833. Станину 5С весом 30 Н (рис. 465) поставили на
гладкую горизонтальную плоскость. Сжав одну пружину
и растянув другую, груз А весом 20 Н отклонили от положе-
положения равновесия вправо и отпустили без начальной скорос-
Рис. 465
Рис. 466
Ш///////У/Ш/Ш^^^
ти. Определить, на какое расстояние переместится станина,
если груз Л, двигаясь влево, пройдет относительно стани-
станины расстояние 45 см.
Ответ: на 18 см вправо.
834. Клин Мх весом 70 Н размещен на гладкой горизон-
горизонтальной плоскости (рис. 466). Пружину АВ сжали и телб
М2 весом 30 Н отпустили из состояния покоя. Определить
расстояние, на которое пере-
переместится клин, если а~ 30°
и тело М2 прошло 40 см по
наклонной грани" клина.
Ответ: на 10,4 см влево.
835. В горизонтальном
двигателе (рис. 467) вес криво-
кривошипа О А равен Ръ вес шатуна АВ — Р2, поршня BD —
Р3, О А = г, А В = 6г. Определить горизонтальное давле-
давление кожуха на упоры Ах и А2 при горизонтальных положе-
положениях кривошипа, вращающегося с угловой скоростью со.
Ответ: Nx = щ Fft + 13ft + 14Р3); N2 = g Fft +
+ 1 lft + 10ft).
836. Однородные блоки радиусов гг и r2 {rx > r2) жестко
скреплены между собой и насажены на общую ось враще-
вращения О (рис. 468). Определить давление на эту ось, если
221

общий вес блоков равен Q, веса грузов М1 и М2 равны соот-
соответственно Рг и Р2, ускорение груза Мг равно щ.
Ответ; М = Л + Р2 + Q—^Рл-Р**) #
837. Вес однородного блока А равен Q, а грузов Л^ и
М2 соответственно Рг и Р2, угол а известен (рис. 469)>
Рис. 465
Пренебрегая трением, определить давление на ось вращения
О блока, если ускорение грузов равно w.
Ответ: Nx = Рг + P2sin2a+ Q— —
Nu = -?(g sin a + ш) cos а.
P2sina)\
Рис. 470
Рис. 471
838. Кулисный механизм (рис. 470) прикреплен к под-
подставке ВС весом Q, которая стоит на гладкой горизонталь-
горизонтальной плоскости. Вес однородного кривошипа ОА равен Ръ
ползуна А — Р2, кулисы — Р39 ОА = /. 1) На какое рас-
расстояние переместится подставка ВС, если внутренние силы
переведут кривошип из одного горизонтального положения
в другое горизонтальное? 2) Считая, что подставка зажата
выступами по ее краям В и С, а кривошип ОА вращается
222

с постоянной угловой скоростью со, определить максималь-
максимальное горизонтальное давление подставки на выступы.
Ответ: s - li±Ei±E*-t p Pi + 2P, + 2Pa a.
ответ: s -p^^ + P + Q x~ 2?
839. Статический прогиб упругой горизонтальной балки
с электромотором весом Р равен 6СТ (рис. 471), вес его
ротора Q, центр тяжести С ротора смещен от оси вращения
О на расстояние г, угловая скорость вращения ротора со Ф
Ф у JL. В начальный момент статор занимал положение
равновесия, его скорость была равна нулю, радиус ОС был
горизонтален. Пренебрегая весом балки, определить урав-
уравнение движения оси вращения О ротора, отнеся движение
к оси, проведенной из его начального положения верти-
вертикально вниз.
Ответ: х = pk t^S^\ (* sin со/ — со sin kt), где k
840. Решить задачу 839 при условии, что со = i / /-.
у °ст
Ответ: х = ^р (sin со^ — со/ cos <ot).
§ 28. Теорема об изменении количества движения
841. Мальчик съезжает на санках с горки под углом
25° к горизонту без начальной скорости. Определить ско-
скорость санок через 4 с, если коэффициент трения санок о снег
при движении равен 0,04.
Ответ: 15,2 м/с.
842. Тело А спускается по плоскости, наклоненной к
горизонту под углом а. Через сколько времени скорость
тела увеличится от vx до v2f если коэффициент трения
тела о плоскость при движении равен /?
Ответ: ^Г
843. С какой начальной скоростью брошен камень под
углом 30° к горизонту, если до падения его на землю прошло
223

2,5 с? Чему равна минимальная скорость камня во время
его движения? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: v0 = 24,5 м/с; vmin = 21,2 м/с:
844. Камень брошен вертикально вверх с начальной
скоростью 29,4 м/с. Определить время, в течение которого
величина скорости камня уменьшится в два раза. Через
сколько секунд его скорость будет равна нулю? Сопротив-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: tx = 1,5 с; t2 = 4,5 с; / = 3 с.
845. Тело А (рис. 472), размерами которого можно пре-
пренебречь, в конце участка ВС приобрело скорость 15 м/с,
Рис. 472
направленную горизонтально. Участок свободного движе-
движения CD оно прошло за 2,04 с. Определить величину и на-
направление скорости тела в конце участка CD.
Ответ: v = 25 м/с; угол наклона скорости к горизонту
а = 53°10'.
846. Тело А (рис. 473) скользит вдоль плоскости, откло-
отклоненной на угол а от горизонта, затем падает с этой плоскос-
плоскости со скоростью у0 и дальшэ движется свободно. Определить
величину скорости тела в момент, когда она направлена
под углом р к горизонту, а также время, прошедшее к этому
моменту.
847. Однородная пластинка, имеющая форму прямо-
прямоугольного треугольника ABC, вращается вокруг катета АС
с угловой скоростью со = Зя с. Вес пластинки 20 Н, дли-
длина катета АВ ^ 49 см. Вычислить количество движения
пластинки.
Ответ: К** 3,142 Н • с.
224

848. Кривошип ОА весом Рх и длиной а (рис. 474) вра-
вращается с углОвой скоростью соо вокруг оси О и приводит
в движение шатун А В весом Р2 и ползун В весом Р3. Опре-
Определить количество движения механизма в случаях, когда
кривошип ОА : 1) перпендикулярен к прямой 05; 2) направ-
направлен вдоль ОВ.
Ответ: Кг = К3 - Ц° (Pi + 2Р2 + 2Р3);
849. К боковой грани призмы А весом Q, расположен-
расположенной на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 475), при-
Рис. 474
Рис. 475
Рис. 476
креплен однородный стержень ОБ весом Р и длиной /. Оп-
Определить зависимость скорости v призмы от угла поворота
<р, если стержень ОВ вращается с угловой скоростью соо.
При / = 0, <р = 0 и начальная скорость призмы v0 = 0.
850. По граням призмы М весом Р (рис. 476), поставлен-
поставленной на гладкой горизонтальной плоскости, одновременно
движутся два тела Мх и М2 весом соответственно Рг и Р2.
Считая углы аир известными, определить скорость приз-
призмы в зависимости от относительных скоростей v1 и v2 тел
Мх и М2.
Ответ* v - ^
ответ, v ____
851. Моторная лодка весом 4 кН, двигаясь по реке, при-
приобретает постоянную скорость 7 м/с. После натяжения ка-
каната вслед за лодкой из состояния покоя начал двигаться
прикрепленный к канату плот весом 7,2 кН. Считая, что
движущая сила и силы сопротивления уравновешиваются,
225

определить скорость, с которой лодка и плот продолжают
двигаться вместе.
Ответ: v = 2,5 м/с.
852. К призматическому телу М весом 15 Н (рис. 477)
прикреплены блоки Л, Б, С, через которые переброшены
нити, а к их концам подвешены грузы Mly M2J М3, М4 весом
соответственно4 Н, 3 Н, 2 Н, 1 Н. Пренебрегая трением
призмы М о горизонтальную плоскость, а также весом ни-
нитей и блоков, определить скорость призмы М в момент,
когда скорость груза Мг относительно призмы равна 5 м/с,
если система движется из состояния покоя.
Ответ: и = 1,27 м/с.
Рис. 477
Рис. 478
853. В лодке весом 900 Н, которую несет течение реки,
сидят два человека весом 500 Н и 700 Н. Чтобы поменяться
местами, человек весом 500 Н переходит по лодке в направ-
направлении течения реки со скоростью 0,6 м/с относительно лод-
лодки, а второй в это же самое время движется в противопо-
противоположном направлении с относительной скоростью 0,2 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воды, определить скорость
лодки во время перемещения людей, если скорость течения
0,4 м/с.
Ответ: v = 0,324 м/с.
854. Лодку весом 1 кН вместе с человеком, вес которого
0,6 кН, несет течение реки. С некоторого момента человек
стал переходить по дну лодки в направлении, противопо-
противоположном движению реки, со скоростью 0,8 м/с относительно
лодки. Пренебрегая сопротивлением воды, определить ско-
скорость vt лодки во время перемещения человека и скорость
v2, с которой движется человек относительно берега, если
скорость течения равна 0,5 м/с.
Ответ: v1 = 0,8 м/с; v2 = 0.
226

855. Эллипсограф жестко прикреплен к подставке DE
весом Р (рис. 478), поставленной на гладкой горизонтальной
плоскости. ОС = АС =* ВС = /. Вес кривошипа ОС равен
Р19 линейки АВ — 2РХ, каждого из ползунов А и В — Q.
Определить горизонтальную скорость подставки, если кри-
вэшип ОС вращается с постоянной угловой скоростью со и
при / = 0 ф = 0.
Ответ; v = о/п , \„ , пГк. со/ sin col.
§ 29. Теорема Эйлера
856. Определить добавочную динамическую реакцию
трубопровода (рис. 479) на участке внезапного сужения от
Dx = 300 мм до D% = 200 мм, если скорость воды vx e
= 4 м/с.
Ответ: R =* 1,414 кН.
857, Определить горизонтальную составляющую доба-
добавочной динамической реакции стенок диффузора (рис. 480),
если за 1 с вытекает 0,5 м3 воды. Диаметр входного отверс-
отверстия Dx = 25 см, а выходного D2 = 50 см.
Ответ: R = 3,820 кН.
Рис. 479 Рис. 480
858. Диаметр трубопровода на участке заделки его в
опору изменяется от Dx =» 1,5 м до D2 =» 1 м (рис. 481).
Определить горизонтальную составляющую добавочной ди-
динамической реакции, воспринимаемой опорой, если ско-
скорость воды v2 =в 2,5 м/с.
Ответ: R « 2,727 кН.
859. Определить добавочную динамическую реакцию
анкерной опоры трубопровода (рис. 482) диаметром D =
= 2,5 м, если скорость течения воды v = 8 м/с и а = 60°.
Ответ: 314,159 кН.
227

860, Трубопровод диаметром D «= 1,2 м разветвляется
на две ветви диаметром d = 0,85 м каждая (рис. 483). Оп-
Определить динамическую реакцию тройника, если а = 45° и
суммарный расход воды Q
ду отходящими ветвями.
Ответ: 12,182 кН.
6 м3/с делится поровну меж-
Рис. 481
Рис. 482
86К Предохранительный клапан (рис. 484) с диаметром
седла d = 25 мм пропускает при избыточном давлении в
седле р = 240 Н/см2 расход масла Q = 5 л/с. При этом
открытие клапана s = 5 мм. Определить, под каким углом
а вытекает струя масла удельного веса ? = 9000 Н/м3 со
Рис. 483
Рис. 484
скоростью v = 70 м/с, если упругая сила пружины F =«
= (920 + cs)H, где с = 25 ^.
Ответ: а = 56°.
862. Лафетный пожарный ствол диаметром D = 80 мм4
снабженный насадком с выходным диаметром d = 40 мм>
работая под давлением воды р = 86,5 Н/см2, выбрасывает
струю воды со скоростью v == 40 м/с (рис. 485). Пренебре-
Пренебрегая силами тяжести, определить реакцию лафета R и силу
Р, разрывающую соединение 1 насадка со стволом.
Ответ: R * 2,011 кН; Р = 2,840 кН.
228

863. Гидромонитор с входным диаметром D =¦? 250 мм
и насадком d = 100 мм (рис. 486), работая под давлением
р =з 140 Н/см2, выбрасывает струю воды со скоростью v =
« 50 м/с. Пренебрегая силами тяжести, определить реак-
реакции горизонтального шарнира / и соединения 2 ствола с
коленом, если радиус кривизны колена г = 400 мм.
Ответ: Хг «= 19,635 кН; Уг « —71,864 кН; Л^ =
= —7,854 кНм; Х2 = -52,229 кН; Г2 - 0.
V//7////////////////////,
Рис. 485
Вертикальный шарнир
Рис. 486
864. Решить задачу 863 при условии, что ствол поворо-
поворотом вокруг вертикального шарнира отклонен от горизон-
горизонтали вверх на угол 30Q.
Ответ: Хг = 17,004 кН; Yt =
—70,486 Нм; Х2 = —54,860 кН;
2,945 кНм.
62,046 :Н; Мх =
2 = 9,817 кН; М2
865. Решить задачу 863 при условии, что ствол откло-
отклонен от горизонтали вниз на угол 30°.
Ответ: Хг * 17,004 кН; Yt = —81,681 кН; Мх =
= —13,674 кНм; Х2 =- —54,860 кН; Г2 = —9,817 кН;
М2 = —2,945 кНм.
866. Из насадка гидромонитора (рис. 486), выходной
диаметр которого d == 100 мм, бьет струя воды со скоро-
скоростью v = 50 м/с. Определить давление струи на плоскую
стенку, расположенную перпендикулярно к оси струи и под
углом а = 60°, считая, что частицы жидкости после встречи
со стенкой движутся вдоль стенки.
Ответ: R2 = 19,635 кН; R2 = 17,004 кН.
867. Пластинка, введенная в свободную струю воды пер-
перпендикулярно к ее оси, отсекает часть расхода струи
229

Qi «я 7 л/с и вызывает отклонение остальной части струи на
угол а (рис. 487). Пренебрегая весом воды и трением, опре-
определить угол а и давление струи на пластинку, если скорос-
скорости струй vt = v2 = v «= 28 м/с и полный расход Q = 21 л/с.
Ответ: а = arcsin
fl.tr
2*
V2
30°
248,518 Н.
Рис. 488
868. Пластина, наклоненная к горизонту под углом
а = 30°, движется поступательно вдоль свободной поверх-
поверхности неподвижной воды со скоростью v = 10 м/с, вызывая
за собой понижение уровня на h «* Ю мм (рис. 488). Пре-
Пренебрегая сопротивлением и весом воды и рассматривая по-
поток как плоский, определить в расчете на единицу ширины
пластины реакцию потока на
пластину.
V.
Ответ:
= 3,732—.
1 м
Рис. 489
869. В активной ковшо-
ковшовой гидротурбине струя воды,
диаметр которой d = 50 мм
и скорость v = 80 м/с, нате-
натекает на ковш, выходной угол которого а « 10° (рис. 489).
Пренебрегая сопротивлениями, определить давление струи
на неподвижный ковш и на ковш, движущийся Поступа-
Поступательно с постоянной скоростью и = 40 м/с.
Ответ: Nx = 24,942 кН; ЛГа = 6,236 кН.
870. Определить величину тяговой силы, создаваемой
водометным реактивным движителем судна за счет струи
воды, забираемой центробежным насосом спереди судна
230

и выбрасываемой из кормы с относительной скоростью v =
*= 10 м/с, если скорость судна и = 5,1 м/с и производитель-
производительность насоса Q = 0,9 м3/с.
Ответ: R=-jQ(v — ti) = 4,410 кН.
§ 30. Теорема об изменении момента
количества движения
871. Однородный диск радиуса R и весом Р вращается
вокруг вертикальной оси Az, перпендикулярной к плос-
плоскости диска и проходящей через точку А на его ободе, с
угловой скоростью со. Вычислить кинетический момент
диска относительно его оси вращения.
Ответ: Ьг = ^ ~ #2со.
872. К концу однородного тонкого горизонтального
стержня О А длиной I и весом Р прикреплен диск радиуса
АС = ги весом Q, плоскость которого вертикальна, а ради-
радиус А С является продолжением О А. Тело вращается вокруг
вертикальной оси Oz с угловой скоростью со. Определить
кинетический момент тела относительно этой оси.
Ответ: Ьг = щ [4Р12 + 3Qr2 + 12Q(г + О2].
873. Однородный диск весом Р вращается вокруг вер-
вертикального диаметра А В с постоянной угловой скоростью
о)о. Из положения А начала двигаться по ободу диска точка
М весом Q. Определить угловую скорость диска в момент,
когда точка М будет на максимальном расстоянии от оси
вращения А В.
р
Ответ: со = pi 40•
874. Однородный горизонтальный диск весом Р и ра-
радиусом г (рис. 490) вращается вокруг вертикальной оси
Сг, проходящей через его центр, с постоянной угловой ско-
скоростью соо. Из точки А на ободе диска по хорде от А к В
движется без начальной относительной скорости точка М
весом Q. Определить угловую скорость диска в момент,
когда точка М находится на кратчайшем расстоянии а от
231

центра С диска, имея в этот момент относительную ско-
скорость и.
Ответ' со - (р + *®'*»* - *i°"
ответ, со /v* + 2Qa* *
875. Внутри прямолинейной горизонтальной трубки ОА
весом Р9 вращающейся с постоянной угловой скоростью
соо вокруг вертикальной оси Oz, находятся шарик Б весом Q
и невесомая нерастяжимая нить ОБ, соединяющая шарик с
концом О трубки. ОБ = 0,5 ОА. После обрыва нити ша-
шарик двигается вдоль трубки. Пренебрегая размером шари-
Рис. 490
Рис. 491
ка, весом нити и трением,* определить угловую скорость
трубки в момент, когда шарик достигает конца А.
п 4P + 3Q
Ответ: со =
876. В узкий паз ОА однородного горизонтального дис-
диска радиуса R и весом Q (рис. 491) вставлен однородный стер-
стержень длиной / и весом Р, конец В которого закреплен н
центре О диска, вращающегося с постоянной угловой ско-
скоростью соо. Затем конец В освободился от крепления и стер-
стержень стал двигаться вдоль паза ОА. Определить угловую
скорость диска в момент, когда конец В стержня отстоит
от оси Oz на расстоянии пр
Ответ: со = 2со0 Pl2 + 3P{R + i
877. По радиусу ОА однородного горизонтального диска
/ (рис. 492) сделан узкий сквозной паз, вдоль которого
может перемещаться вертикальный стержень BD весом Р,
жестко скрепленный с однородным диском // в его центре.
232

Радиусы дисков равны R и г, а веса Qt и Q2 соответственно.
Диск / вращался вокруг вертикальной оси Oz, перпенди-
перпендикулярной к его плоскости, с постоянной угловой скоростью
соо. При этом обод диска // касался оси Oz. Определить уг-
угловую скорость диска / в момент, когда центр диска // нахо-
находится на ободе диска /.
Ответ: со
BР + й
878, Через блок радиусом г = 20 см и весом Q = 100 Н
переброшена веревка, за один конец которой ухватился
человек весом Р = 600 Н, за второй — человек того же
веса. Оба, перебирая веревку, стали подниматься равно-
равномерно вверх, один со скоростью vt = 0,5 м/с, второй со ско-
скоростью v2 = 0,24 м/с относительно веревки. Считая массу
блока равномерно распределенной по ободу, определить
его угловую скорость.
Ответ: со - g^R^ e °«6с-
879. Груз Л* весом Р = 2,1 кР (рис. 493) удерживается
на наклонной плоскости человеком весом Q = 0,7 кН, ух-
ухватившимся за веревку в точке А. Затем человек стал под-
подниматься по веревке вверх со скоростью и = 0,74 м/с отно-
относительно веревки. Пренебрегая весом блока и трением,
определить скорость движения груза М9 если а = arcsin-g-,
а радиусы блоков г = 0,1 м, R = 0,25 м.
Ответ: v
880. Через неподвижный блок весом Q = 50 Н перебро-
переброшена веревка, к одному концу которой подвешен груз ве-
весом Рг = 500 Н, а за второй конец ухватился человек ве-
весом Р2 = 700 Н, который, перебирая руками веревку, стал
подниматься по ней с относительной скоростью v0 =
= 0,7 м/с. Считая блок однородным диском, определить
скорость-груза через 3 с после начала движения человека.
2 (р* - Л) g* +
Ответ- v
881. Момент инерции блоков, которые жестко скреплены
между собой и насажены на общую ось вращения О, /0 =
= 1 кгм2 (рис. 494), масса груза А равна 50 кг, масса чело-
233

века, ухватившегося за конец В веревки, — 48 кг, радиусы
блоков 0,2 м и 0,25 м. Перебирая веревку руками, человек
стал по ней подниматься с относительной скоростью
0,4 м/с. Определить уравнение движения груза Л.
Otneem: х = @,327/2 + 0,16/) м.
882. Однородный горизонтальный диск радиуса R =«
= 10 см и веса Р = 215 Н вращался с постоянной угло-
угловой скоростью соо вокруг вертикальной оси, проходящей
через его центр. Определить, через сколько времени угло-
угловая скорость диска уменьшится в 10 раз, если к нему прило-
Рис. 493
Рис. 494
Рис. 495
жить момент сопротивления, пропорциональный угловой
скорости со г М = —1,5со Нем.
Ответ: t =* 16,8 с.
883. Через блок А весом Q (рис. 495) переброшена неве-
невесомая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены
грузы Мг и М2 весом Рг и Р2 соответственно. Грузы распо-
расположены на гладких плоскостях, отклоненных от горизонта
на углы 30° и 60°. Считая блок однородным диском, опре-
определить ускорения грузов.
р T/*g р
Ответ: w = * {g
884. Грузы Мх и М2 весом PL и Р2 (рис. 496), разматывая
нити, навернутые на блоки, жестко скрепленные между со-
собой и насаженные на общую ось, приводят их во вращение.
Пренебрегая весом нитей и считая блоки однородными дис-
дисками радиусов гх и г2 (г2 > г^, весом соответственно Qx
и Q2> определить угловое ускорение блоков.
234

885. На колесо, состоящее из однородного тонкого обо-
обода весом Рх и восьми однородных тонких спиц весом Р2 каж-
каждая, намотана веревка, к концу которой прикреплен груз М
весом Р3. Падая, груз разматывает веревку и вращает коле-
колесо вокруг неподвижной горизонтальной оси. Пренебрегая
весом веревки и трением, определить ускорение груза М,
если центральные углы, образованные спицами, одинаковы.
Ответ: w~3
886. Два однородных диска весом Р и радиусом R каж-
каждый, расположенные в вертикальных плоскостях, перпенди-
Рис. 496
Рис. 497
кулярных невесомому стержню ОгО2 длиной 2а (рис. 497),
вращаются вокруг вертикальной оси z под действием вра-
вращающего момента М. Определить угловое ускорение дис-
дисков.
Ответ: в
887. Однородный диск А радиуса R и весом Q (рис. 498)
и две однородные прямоугольные пластинки В и С весом
Р и шириной а каждая приведены во вращение вокруг вер-
вертикальной оси z, проходящей через центр диска, силой г л
направленной по касательной к ободу диска. Определить
угловое ускорение тел.
egFR
Ответ: в =
Ра* + 3Q/?2'
888. Четыре однородных тонких стержня образуют тра-
трапецию ABCD, стороны которой AD и ВС вертикаль-
вертикальны, DC — горизонтальна. DC = а. Трапеция вращается
235

вокруг стороны AD под действием силы F, приложенной к
ВС перпендикулярно к плоскости трапеции. Веса стержней
А 5, ВС, CD равны Ръ Я2, Р3 соответственно. Определить
угловое ускорение трапеции.
й
Ответ: «
(J>1 + ff+Р>) д *
889. Три однородных тонких стержня образуют рав-
равнобедренный треугольник ABC (AB = АС). Вес каж-
каждого из стержней АВ и АС равен Ръ вес горизонтального
стержня ВС равен Я2, а его длина 2а. Стержневой треуголь-
треугольник вращается вокруг вертикальной высоты AD под дей-
М
Рис. 500
ствием вращающего момента М. Определить угловое ус-
ускорение стержней.
Ответ: 8^^}^,
890. К вороту весом Qx (рис. 499) жестко прикреплены по
бокам четыре одинаковых однородных стержня весом Q2
каждый. Груз М весом Я, падая, приводит во вращение
вокруг горизонтальной оси х всю систему. Считая ворот
однородным сплошным цилиндром и пренебрегая весом ве-
веревки, определить ускорение груза М.
Ответ: w =
891. Два блока весом Pt и Р2 и радиусов соответственно
гг и г/\Г2 >г^ жестко скреплены между собой и насажены
на общую ось вращения О (рис. 500). К концу одной верев-
веревки, намотанной на блок, прикреплен груз М весом Q, рас-
расположенный на плоскости, отклоненной от горизонта на
угол а, к концу другой приложена сила F. Считая блоки
однородными дисками и пренебрегая весом веревок и тре-
трением, определить угловое ускорение блоков.
23G

892. Тяжелая цепь весом Р и длиной I (рис. 501) пере-
переброшена через невесомый блок Ву радиус которого намного
меньше длины цепи. К концу А прикреплено тело весом Q,
расположенное на гладкой горизонтальной плоскости, к
к концу С — тело М такого же веса. Определить уравне-
уравнение движения тела М, если длина свисающей части цепи в
начальный момент равна s0, z начальная скорость тела рав-
равна нулю.
Ответ: х = (s0 + у- /] ch ]/
р*
P
893. Три тонких однородных стержня весом Рх и длиной
/ каждый, соединенные на концах под углами 120°, прикреп-
Рис. 501
Рис. 502
лены к плоскости блока весом Р и радиуса г с горизонталь-
горизонтальной осью вращения, на которой находится общая точка
соединенных стержней. На блок намотана невесомая нерас-
нерастяжимая нить, к свисающему концу которой прикреплен
груз М весом Q. Считая массу блока равномерно распреде-
распределенной по ободу, определить ускорение груза М.
Ответ: w ¦•
894. Ворот С весом Qt и однородный стержень DDt ве-
весом Q2 жестко скреплены с валом А В (рис. 502). DE =
= D±E = I, DDL _L AB. К концу веревки прикреплен груз
М весом Р, а к стержню DDL приложена пара, сила кото-
которой F ± DDXi а плоскость действия перпендикулярна
к АВ. Считая ворот однородным оплошным цилиндром ради-
радиуса R и пренебрегая весом вала и веревки, определить его
угловое ускорение.
Ответ: е =
237

895. Два однородных одинаковых цилиндрических тела
(рис. 503) жестко скреплены однородными горизонтальными
стержнями ААХ и ВВ1 весом Q и длиной / каждый. Система
вращается вокруг оси симметрии гпод действием пары, сила
которой горизонтальна и равна F, а плечо ААг. Определить
угловое ускорение системы, если вес каждого цилиндриче-
цилиндрического тела Я, а радиус R.
Ответ: г =
Q/2 + 6PR* +3Pfl "
Рис. 503
Рис. 504
896. Однородный горизонтальный диск весом Р и радиу-
радиусом R и четыре однородных тонких стержня жестко скреп-
скреплены между собой (рис, 604), Система вращается вокруг
вертикальной оси г под действием силы F, направленной по
касательной к ободу диска.Определить угловое ускорение
системы, если вес каждого из двух вертикальных стержней
равен Qx, а наклонных Q2.
Ответ: е = (зр
897. Однородный диск радиуса г колеблется вокруг го-
горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и
отстоящей от центра диска на расстоянии-^-. Определить
пери од малых колебаний диска и его приведенную длину.
Ответ: % = 2я у -^; /пр = -— г.
898. Маятник состоит из однородного стержня О А весом
Рх и длиной / и однородного диска весом Р2 и радиусом
238

AC = г, являющимся продолжением отрезка О А (С —
центр тяжести диска). Определить период малых колеба-
колебаний маятника вокруг горизонтальной осп Ох, перпендику-
перпендикулярной к плоскости диска
Ответх т = 2я
899. Однородная прямоугольная пластинка колеблется
вокруг горизонтальной оси АВ, разделяющей пластинку на
два прямоугольника высотой ^и j, под действием собст-
собственного веса. Определить период малых колебаний плас-
пластинки и ее приведенную длину.
26,
Ответ; т^-^п V 5Г;
900. Однородное кольцо, ограниченное двумя концент-
концентрическими окружностями радиусов г и R (R > г), колеб-
колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку
О окружности радиуса г, перпендикулярно к плоскости
кольца. Определить период малых колебаний кольца.
Ответ: т = 2я
901. Два подобных круговых сектора радиусов Rx и R2
совершают малые колебания вокруг горизонтальных осей,
проходящих через их вершины Ог и 02, перпендикулярно к
плоскостям секторов. Определить отношения периодов ко-
колебаний и приведенных длин этих тел.
Ответ: ^- |/ g; J=g.
902. Маятник состоит из невесомого вертикального
стержня АВ и точечных грузов А (внизу) и В весом соот-
соответственно Рг = 20 Н, Р2 = 5 Н на его концах. Расстоя-
Расстояния от горизонтальной оси вращения Ох, пересекающей
АВ в точке О, до точечных грузов А и В равны: О А = а^ =
= 0,6 м, ОБ = а2 = 0,4 м. Определить период малых ко-
колебаний маятника.
/
903. Вес блока равен Я, вес грузов Мг и М2 соответствен-
соответственно Qx и Q2 (рис. 505), коэффициент жесткости вертикальной
239

пружины АВ равен с. Считая блок однородным диском и
пренебрегая весом пружины и нити, определить период
вертикальных колебаний грузов.
Ответ: т
904. Качели состоят из однородной горизонтальной дос-
доски АВ длиной / и одинаковых веревок О А и ОВ, соединен-
соединенных в точке О на горизонтальной оси Ох, которая отстоит
от центра тяжести С доски АВ на расстоянии ОС = а. Пре-
Пренебрегая весом веревок, определить уравнение колебаний
качелей, если они были отклонены
от положения равновесия на ма-
малый угол ф0 и затем предоставле-
ны самим себе.
Ц
Ответ: ф = ф0 cos у Х2?+«'•
из
Рис. 505
Рис. 506
905, Однородный стержень АВ массой т (рис. 506) удер-
удерживается в вертикальном положении, а невесомый ОС в
горизонтальном при помощи спиральной пружины, коэф-
коэффициент жесткости которой t. АС = ВС = 1\ ОС = а.
Стержень ОС повернули вокруг оси О, перпендикулярной
к плоскости стержней на малый угол ф0 и отпустили из со-
состояния покоя. Определить уравнение малых колебаний
стержня, пренебрегая весом спиральной пружины.
Ответ:
ф0 cos
Зс
9Q6. Однородная прямоугольная пластинка, длина диа-
диагонали которой /, колеблется вокруг горизонтальной оси
Ох, проходящей через одну из ее вершин перпендикулярно
к плоскости пластинки. Доказать, что период малых коле-
колебаний пластинки совпадает с периодом малых колебаний
однородного тонкого стержня длиной / вокруг оси, прохо-
проходящей через его конец.
240

907. На неподвижную проволочную окружность радиуса
R, расположенную в вертикальной плоскости, надеты
пружина АВ, конец А которой закреплен на проволочной
окружности и шарик радиуса г, прикрепленный к концу В
пружины. В положении равновесия центр тяжести шарика
находился на одной вертикали с центром О проволочной
окружности (внизу). Коэффициент жесткости пружины с,
вес шарика Р. Пренебрегая весом пружины и трением, оп-
определить уравнение колебаний шарика, если в положении
равновесия ему была сообщена малая начальная скорость
Ответ: s^
Рис. 507
Рис. 508
908. Вес однородного стержня ОА равен Р, а длина /
(рис. 507), OD = а, коэффициент жесткости пружины BD,
которая при вертикальном положении стержня О А горизон-
горизонтальна и недеформирована, равен с. Пренебрегая весом пру-
пружины, определить уравнение колебаний стержня, если он
был отклонен от положения равновесия на малый угол <р0 и
отпущен без начальной угловой скорости.
Ответ: <р = ф0 cos
(Pi + 2ш*) /.
909. Вес шкива равен Q, веса грузов Мх и М2 равны
Рг и Р2 соответственно (рис. 5Q8), коэффициент жесткости
горизонтальной пружины с. Пренебрегая трением, весом
пружины и нити и считая шкив однородным цилиндром,
определить уравнение движения груза Mit если его отпус-
отпустили из положения равновесия на расстояние х0 и отпустили
без начальной скорости.
Ответ: к == х0 cos
9 9-396
t.
241

910. Шкивы А и 5, радиусы которых г и R соответствен-
соответственно, жестко скреплены между собой и насажены на горизон-
горизонтальную ось вращения О (рис. 509). Общий момент инер-
инерции шкивов относительно оси О равен /0, вес груза М ра-
равен Я, а коэффициент жесткости вертикальной пружины
DDX равен с. Пренебрегая весом пружины и нити, опреде-
определить уравнение движения груза, если ему в положении
равновесия была сообщена вертикальная скорость vo> на-
направленная вниз.
¦she*,/:
Ответ: х = —
cgr*
Jog + PR2
t.
Рис. 509
Рис. 510
Рис. 511
911 • Вес однородного стержня АВ> который в положении
равновесия горизонтален, равен Р, а однородного диска с
центром О равен Q (рис. 510). Радиус диска /?, коэффициент
жесткости пружины, которая в положении равновесия си-
системы вертикальна, равен с. ОА = ОВ= L Пренебрегая
весом пружины, определить уравнение колебаний стержня
АВ> если он был отклонен от положения равновесия в вер-
вертикальной плоскости на малый угол ср0 и отпущен из состоя-
состояния покоя.
Ответ: <р = Фо cos 2/ V21* DГ+ ?Q) + 3QR*L
912. Стержни ОАХ и ОЛ2, скрепленные жестко, имеют
горизонтальную ось вращения О (рис. 511) и подпираются
вертикальной пружиной ВС, статическая деформация ко-
которой от действия точечных грузов Ах и А2 с массами тг и
т2 соответственно равна бст • ОС = САХ = ~ ; 0А2 =
= /2. В положении равновесия стержень ОАХ горизонта-
горизонтален, ОА2 вертикален. Пренебрегая весом стержней и пру-
242

жины, определить период малых колебаний системы около
положения ее равновесия.
Ответ: т = 2л
Ч1[ + 2m2/26CT)
913, Математический маятник длиной I отклонен от по-
положения равновесия на угол 90° и отпущен без начальной
скорости. Определить зависимость между скоростью v то-
точечного груза маятника и углом ф отклонения нити от по-
положения равновесия.
Ответ: v = V2gl cos ф.
914. Физический маятник весом Р отклонили от положе-
положения равновесия на угол ф0 и сообщили ему начальную угло-
угловую скорость <оо. Установить зависимость между угловой
скоростью со маятника и углом ф отклонения его от положе-
положения равновесия, если расстояние от центра тяжести маят-
маятника до оси вращения равно я, а его момент
инерции относительно оси вращения «Л
Ответ: со2
2 . 2Ра , ч
соо + -г- (cos ф — cos Фо).
915. Упругая вертикальная проволока ОгО2
делит на два равных прямоугольника пластинку
шириной 2а и весом Q, которая жестко прикреп-
прикреплена к проволоке. Концы О2 и О2 жестко заде-
заделаны. Проволоку закрутили вокруг ее оси на
угол ф0 и отпустили из состояния покоя. Опре-
Определить уравнение движения пластинки, если мо-
момент сил упругости закрученной проволоки про-
пропорционален углу кручения ф и равен с при
закручивании проволоки на один радиан. Со-
Сопротивлением воздуха и весом проволоки пре-
пренебречь.
Рис.
Ответ: ф = ф0 cos ]/ ^ t.
916, К упругому вертикальному стержню АВ с жестко
заделанными концами жестко прикреплены три сплошных
однородных цилиндрических тела (рис. 512). Вес средне-
среднего — Q, радиус — R; вес каждого из крайних — Р9 ра-
радиус — г. Момент сил упругости стержня пропорционален
углу кручения и равен с при закручивании проволоки
9*
243

на один радиан. Определить период малых крутильных ко-
колебаний системы.
Ответ: г =
917. Однородный сплошной цилиндр радиуса R и весом
Р с горизонтальной осью CxD^ прикреплен при помощи не-
невесомых стержней ССХ и DDX к упругому горизонтальному
стержню А В с жестко заделанными концами (рис. 513).
ССг = DDj = /; при вертикальном положении стержней
ССХ и DDU стержень АВ не напряжен. Момент сил упру-
упругости закрученного стержня АВ пропорционален углу кру-
ЧАО ЪЪ\
сЛ
Рис. 513 Рис. 514
чения ф и равен с при закручивании проволоки на один ра-
радиан. Определить уравнение колебаний цилиндра, если он
был отклонен от положения равновесия на малый угол ф0 и
отпущен из состояния покоя.
Ответ: q> = Фо cos
918. К упругому горизонтальному стержню АВ с жестко
заделанными концами А и В жестко прикреплено тело весом
Р, момент инерции которого относительно оси А В равен /,
а расстояние от центра тяжести до оси АВ равно а. Момент
сил упругости стержня АВ относительно его оси пропорцио-
пропорционален углу кручения <р и равен с при закручивании стержня
на один радиан. Определить зависимость между угловой
скоростью со тела и углом поворота ф, если тело повернули
вокруг оси АВ на малый угол ф0 и сообщили ему малую
угловую скорость соо.
Ответ: со2 = со* + -у (Фо — ф2) + —р (cos ф — cos ф0).
919. На тело, вращающееся вокруг неподвижной верти-
вертикальной оси г, действуют постоянный вращающий момент
244

М и момент сил сопротивления, пропорциональный квадра-
квадрату угловой скорости: Mz = аоо2, где а — заданная пос-
постоянная. Момент инерции тела относительно оси вращения
Л, начальная угловая скорость тела оо0. Определить угло-
угловую скорость тела в зависимости от угла поворота ф.
(
м
-
2а<?
920. Однородный стержень АВ, удерживающийся в рав-
равновесии горизонтальной веревкой О В и веревкой О А, может
колебаться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной
оси О, перпендикулярной к плоскости треугольника ОАВ
(рис. 514). Z.0BA = 30°, АС = ВС = а. Пренебрегая ве-
весом веревок, определить период малых колебаний стержня
около положения его равновесия.
Ответ: t
§ 31. Элементарная теория гироскопа
921. На судно при боковой качке действует момент М.
Гироскоп успокоителя качки (рис. 515), вращаясь вокруг
оси АВ, делает 1470 об/мин. Для уравновешивания момента
Рис. 515
Рис. 516
М раму гироскопа вращают вокруг оси CD в указанном на
рисунке направлении с угловой скоростью щ = 4 с.
Найти величину момента Af, если вес гироскопа 300 Н, а
радиус инерции относительно оси вращения 0,25 м.
Ответ: М = 1,18 кНм.
922. Вес маховичка гироскопа с двумя степенями свобо-
свободы равен 40 Н (рис. 516), радиус инерции относительно оси
вращения CD равен Зсм, расстояние между подшипниками
245

Л В = 10 см. Маховичок вращается вокруг собственной
оси CD с угловой скоростью 20л с1. Определить давление
на подшипники А и В, если оси вращения CD была сообще-
сообще5 1

на угловая скорость 5 с
Ответ: RA = 8,5 Н; RB = 31,5 Н.
923. Расстояние от центра тяжести С волчка до непод-
неподвижной точки ОС = 6 см (рис. 517), радиус инерции волчка
относительно оси О? равен 4 см. Определить угловую ско-
скорость вращения волчка вокруг оси О?, если угловая ско-
^
! 1
М
t
Рис. 517
Рис 518
Рис. 519
рость прецессии такова, что ось О? вокруг оси Oz делает
один оборот за 5 с.
Ответ: 293 с-1.
924. Волчок состоит из массивного тора (рис. 518), ра-
радиус кругового поперечного сечения которого г == 2 см,
диска В и стержня О А. Пренебрегая весом диска и стержня,
определить угловую скорость прецессии волчка, если угло-
угловая скорость его вращения вокруг оси О А равна 32л с1,
ОС = 7,8 см. Момент инерции тора J< = mlR2 +-jг2),
где т — масса тора, R = 6 см — его радиус.
Ответ: 1,95 с*.
925. Винтомоторный самолет во время виража движется
по горизонтальной окружности радиуса 1000 м со скоростью
360 км/ч. Вес пропеллера 320 Н, его радиус инерции относи-
относительно оси вращения 0,5 м, число оборотов в минуту 2400.
Определить гироскопическое давление на подшипники А и
В, в которых укреплена ось винта, если расстояние между
246

ними АВ = 1 м. Определить также плоскость гироскопи-
гироскопической пары.
Ответ: Na = Nb = 205 Н. Гироскопическая пара ле-
лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось винта.
926. Прямоугольная рама весом 180 Н вращается во-
вокруг горизонтальной оси АВ с угловой скоростью 2я с~1
(рис. 519). В подшипниках С и D на раме укреплена ось
вращения маховика М весом 120 Н, делающего 1800 об/мин.
Определить гироскопическое давление на подшипники С
и D и полное давление на подшипники А и Б, а также угло-
угловую скорость собственного вращения маховика, при которой
давление на опору А в некоторый момент равно нулю.
Радиус инерции маховика относительно собственной оси
вращения 10 см, CD =30 см, АВ = 60 см.
Ответ: Nc = ND = 483,3 Н; NA = 91,6 Н — вверх,
NB =391,6 — вниз; о) = 117 с.
927. Вагон монорельсовой желез-
железной дороги весит 10 кН, а гироскоп,
установленный внутри вагона для
стабилизации,— 150 Н (рис. 520).
Гироскоп делает вокруг оси CD
1200 об/мин, его радиус инерции от-
относительно этой оси равен 0,3 м.
В некоторый момент центр тяжести
вагона отклонился от вертикали впра-
вправо на 5 см. С какой угтювой скоростью
и в каком направлении надо вращать
раму гироскопа вокруг оси А В, чтобы
уравновесить опрокидывающий мо-
момент?
Рис. 520
Ответ: 0,46 об/с; в направлении, указанном на ри-
рисунке.
928. Вес каждого из бегунов А и В равен 80 Н, а радиус
0,1 м (рис. 521), скорость конца А вала О А бегуна равна
4 м/с. Считая бегуны однородными дисками и пренебрегая
весом валов О А и ОБ, определить гироскопическое давле-
давление бегуна на опорное кольцо CD. ОЕ = 0,6 м, Z.BOE =
« ZAOE = 45°.
Ответ: N = 9,1 Н.
247

929. Конические зубчатые колеса М и N (рис. 522)
катятся по неподвижному зубчатому колесу L. Радиусы
(внешний и внутренний) каждого из зубчатых колес М
и N равны rt = 4 см, г2 = 3 см, вес Р = 5Н, момент иыер-
ции относительно оси ? Jz = tz—I 1» скорость конца
1О*Г1-Г2
А оси ОА равна 2 м/с. Определить гироскопический мо-
момент, возникающий при движении конического колеса,
если ОА = 25 см.
Ответ: 12,9 Н ¦ см.
930. Несущий винт вертолета делает 300 об/мин. Под
действием бокового ветра ось винта поворачивается в вер-
вертикальной плоскости с угловой скоростью 0,1 эх с. Оп-
Определить гироскопическое давление на подшипники Л и В,
в которых укреплена ось винта, если расстояние АВ =
= 1 м, а момент инерции винта относительно оси вращения
равен 20 кгм2.
Ошет: NA = NB = 197,39 Н.
931. Ротор электродвигателя вращается вокруг гори-
горизонтальной оси А В, перпендикулярной к продольной оси
ОХО2 корабля, делая 2400 об/мин. Под действием установив-
установившейся бортовой качки, ось рогора поворачивается вокруг
оси OLO2, совершая гармонические колебания с амплитудой
18° и периодом 10 с. Определить максимальное гироскопи-
гироскопическое давление на подшипники, если момент инерции ро-
ротора относительно собственной оси вращения J = 12 кгм2,
а расстояние между подшипниками АВ — 0,8 м.
Ответ: NA = NB = 744,15 Н.
932. Момент инерции частей вентилятора, вращающихся
вокруг оси OD, равен 0,4 кгм2, а число оборотов в минуту
600 (рис. 523). Ось OD вращается в горизонтальной плос-
плоскости вокруг неподвижной оси Вг но закону гармониче-
248

ских колебаний, амплитуда которых — , а период 10 с. Оп-
Определить максимальное гироскопическое давление на под-
подшипники А и В, если расстояние между ними 5 см.
Ответ: NA=NB = 248,05 Н.
933. Центр тяжести колесного ската (рис. 524) движется
по окружности радиуса R = 100 м. Радиус колеса а =
= 0,5 м, его радиус инерции относительно оси вращения
гш = ^0,55 я, расстояние между колесами /==1,5 м. Оп-
Рис. 523
Рис. 524
ределить минимальную скорость центра тяжести ската,
превышение которой приводит к опрокидыванию ската во-
вокруг внешнего рельса. Рельсы расположены в горизон-
горизонтальной плоскости.
Ответ: vmin - f glR = 30,8 м/с.
934. На снаряд, движущийся в воздухе, действует сила
сопротивления F = 36,8 кН, линия действия которой
параллельна касательной к траектории центра тяжести С
снаряда и пересекает его ось симметрии в точке А
(рис. 525). АС = 0,4 м. Определить время одного оборота
I
—jf-шпш—
-я в
Рис. 525
—ют \\щ -fllflillilllli—
Рис. 526
оси симметрии снаряда вокруг касательной к его траек-
траектории, если кинетический момент снаряда вокруг его оси
8,4 кНм с.
Ответ: 3,58 с*1.
249

935. Вес маховичка М автомобиля (рис. 526) вместе с
валом равен 30 Н, его радиус инерции относительно оси
вращении 15 см, расстояние между подшипниками, в кото-
которых укреплен вал с маховичком, А В = 0,8 м. Маховичок
делает 2400 оборотов в минуту, а автомобиль, двигаясь по
горизонтальному пути, имеет на повороте дороги угловую
скорость 3 с. Определить гироскопическое давление ма-
маховичка на каждый из подшипников А и В.
Ответ: N = 65 Н.
§ 32. Теорема об изменении кинетической энергии
936. Материальная точка весом 24,5 Н движется по
горизонтальной прямой вправо со скоростью 40 см/с. К ней
приложили постоянную силу 2Н, направленную влево.
Определить длину пути s, пройденного точкой от начала
действия силы до положения, в котором точка достигает
скорости 20 см/с, направленной влево. Определить также
расстояние х между начальным и конечным положениями
точки.
Ответ: s = 12,5 см; х = 7,5 см.
937. Материальная точка массой 200 г двигалась по го-
горизонтальной прямой влево со скоростью 2 см/с. К ней
прикладывают постоянную силу 0,5 мН, направленную
вправо. Определить скорость точки в момент, когда она
будет находиться на расстоянии 10 см правее места прило-
приложения силы. Определить также длину пути, пройденного
точкой за это время.
Ответ: v = 3 см/с; s =* 26 см.
938. На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту
под углом а, телу сообщена начальная скорость и0, направ-
направленная вдоль линии наибольшего ската плоскости вниз.
Определить скорость тела в зависимости от пройденного
пути s.
Ответ: v2 = v\ + 2gs sin a.
939. В положении равновесия однородный шар радиуса
# погружается в воду наполовину. Его погрузили полно-
полностью итак, чтобы он касался поверхности воды, после чего
отпустили из состояния покоя. Определить скорость шара
250

в момент появления его центра тяжести на поверхности
воды.
Ответ: v^-j
940. Однородный круговой конус, ось которого верти-
вертикальна, вершиной касается поверхности воды. Из этого по-
положения его отпускают без начальной скорости. Опреде-
Определить скорость конуса в момент его полного погружения в
воду. Высота конуса Я, его удельный вес в два раза больше
удельного веса воды.
Ответ: v = -j ]^7gtf.
941. Телу Л, положенному на шероховатую горизон-
горизонтальную плоскость, сообщили скорость v0. Определить
путь, пройденный телом до остановки, если коэффициент
трения между телом и плоскостью равен /.
Ответ: s = ~ .
942. Телу Л, положенному на шероховатую плоскость,
наклоненную к горизонту под углом а, сообщили скорость
у0, направленную вдоль линии наибольшего ската вверх.
Определить длину пути, пройденного телом до остановки,
если коэффициент трения между телом и наклонной плос-
плоскостью при движении равен /.
v2
Ответ: s = х-у. м ?
943. Тело М9 скользя без начальной скорости с высоты
Я, проходит путь длиной L по наклонной плоскости, а за-
затем движется в горизонтальном направлении. Коэффициент
трения при движении между телом М и наклонной плос-
плоскостью /ь а между телом М и горизонтальной плоскостью
f2. Определить, какой путь 5 пройдет тело по горизонталь-
горизонтальной плоскости до остановки.
Ответ: s = ~ [Я — /х VL2— Я2].
/2
944. Вдоль винтовой линии, расположенной на поверх-
поверхности кругового цилиндра радиуса R, поставленного вер-
вертикально, движется гладкий шарик, отпущенный без на-
начальной скорости. Определить его скорость в момент, когда
разность высот начального и конечного положения шарика
251

равна //, а также время движения шарика по соответствую-
соответствующему участку пути, если шаг винта равен ft.
Ответ: v = V2gH\ t=*y - A + —цг) •
945. К концу Л'горизонтального диаметра неподвижного
цилиндра (рис. 527) радиуса 20 см, ось О которого горизон-
горизонтальна, прикреплена невесомая нить длиной 68,3 см с то-
точечным грузом М на конце. Нитью охватывают четверть
дуги АВ "окружности, оставшуюся часть нити выпрямля-
выпрямляют в горизонтальном направлении и отпускают груз М из
состояния покоя. Определить скорость груза в момент,
когда а = 60°.
Ответ: v = 2,8 м/с.
946. Тонкую трубку согнули так, что ее контур имеет
форму окружности радиуса R = 20 см (рис. 528). Трубку
расположили в плоскости, со-
составляющей с горизонтом угол
45°. С наивысшего положения
Ло в трубке отпустили без на-
начальной скорости гладкий ша-
рик. Определить его скорость в
момент, когда а = 300°.
Ответ: v = 117,7 см/с.
947. Шарик, имеющий на-
начальную скорость v0 = 14 м/с, Рис 527
падает с высоты hx = 1,8 м по
вертикали на горизонтальный пол и отскакивает от него
вверх. Определить скорость шарика на высоте /i2 = 6,8 м
от пола, не учитывая сопротивления воздуха и других
потерь механической энергии.
Ответ: v = 7]/*2 м/с.
948. Ружье весом 35 Н подвесили горизонтально на двух
нерастяжимых вертикальных нитях длиной 2,55 м каждая.
После выстрела каждая нить отклонилась от вертикали
на угол 24°. Определить, с какой скоростью вылетела пуля
из ружья, если вес пули 0,09 Н.
Ответ: v = 809 м/с.
949. Шарик М, размером которого можно пренебречь
(рис. 529), движется без начальной скорости по участку
252

пути ABC, где дуга АВ — четверть окружности радиуса /?,
а дуга ВС — ее восьмая часть. Затем шарик движется сво-
свободно. Пренебрегая трением, определить, на каком рас-
расстоянии ССХ от точки С шарик коснется горизонтальной
плоскости.
Ответ:
RVU.
950. Шарик М, размером
которого можно пренебречь
(рис. 530), опустившись без на-
Рис. 528
Рис. 529
чальной скорости с высоты hl9 проходит на нижнем участ-
участке BCD шестую часть окружности, а, начиная с положения
D, движется свободно. Пренебрегая трением, определить,
с какой высоты hx надо отпустить шарик, чтобы он попал
в цель Е, расположенную на высоте А2, со скоростью, на-
направленной горизонтально. Определить также величину
скорости.
Ответ:
Рис. 530
951. Шарик М проходит путь ABCDE (рис. 531), где
дуга BCD — четверть окружности радиуса R. Пренебре-
Пренебрегая сопротивлениями, определить минимальную высоту Я,
с которой следует отпустить шарик без начальной скорости,
чтобы он перескочил через канавку DE шириной / = 40 см.
Какова высота h траектории DE шарика над канавкой?
Ответ: Н = 20 см; h « 10 см.
952. Груз М весом Р (рис. 532) может перемещаться
рдоль горизонтального стержня АВ, на который надеты
253

пружины АА± и ВВ± с коэффициентами жесткости сг и с2
соответственно и которые в положении равновесия груза
не напряжены. Пренебрегая весом пружин и трением, оп-
определить скорость груза М при прохождении положения
равновесия, если он был отклонен от этого положения на
расстояние К и отпущен без начальной скорости.
Ответ: v2 = (сг + с2)
—.
953. Груз М весом Р(рис. 533) может перемещаться
вдоль горизонтального стержня АВ, на который надета пру-
пружина АА±. В положении равновесия груза, ось пружины
DDX перпендикулярна к АВ и пружины не напряжены. Ко-
Коэффициенты жесткости пружин AAluDD1 равны сг и с% соот-
соответственно. DDX = /. Груз М отклонили от положения рав-
равновесия на расстояние х0 и отпустили без начальной ско-
скорости. Пренебрегая весом пружин и трением, определить
скорость груза М в момент прохождения положения равно-
равновесия.
Ответ: v* = f[{c1 + c2)x\-2cJ{VlTT^0- /)].
954. Вертикальная пружина состоит из двух разных
пружин с коэффициентами жесткости сх = 2 Н/см и с% «
= 4,5 Н/см. Верхний конец пружины закреплен неподвиж-
неподвижно, а к нижнему подвешивают груз М весом 9 Н и отпус
кают его без начальной скорости. Определить максималь-
максимальное перемещение груза.
Ответ: х = 13 см.
955. Камень брошен под углом к горизонту с начальной
скоростью и0 — 21 м/с. Определить: 1) скорость камня в
момент достижения высоты h = 10 м; 2) угол, под кото-
254

рым он был брошен, если эта высота оказалась в два раза
меньше максимальной.
Ответ: 1) а = 7 \ГЪ м/с; 2) а = arccos -g-.
956. Телу сообщена в вертикальном направлении пер-
первая космическая скорость ао= У gR, где g—ускорение
силы тяжести на поверхности Земли, R — радиус Земли.
Учитывая только силу притяжения Земли, которая обрат-
обратно пропорциональна квадрату расстояния тела от ее цент-
центра, определить: 1) на какую высоту hx над поверхностью
Земли поднимется тело? 2) на какую высоту h2 оно подни-
поднимется в том случае, когда ее начальная скорость будет рав-
равна 1,4 v0?
Ответ: 1) hx = R\ 2) h2 = 49/?.
957. Автомобиль движется вдоль горизонтального пря-
прямолинейного участка дороги без начальной скорости. Пер-
Первые 10 с он движется с постоянным ускорением 1,2 м/с2, а
следующие 8 с с постоянным ускорением 0,9 м/с2. На каком
участке дороги он совершает большую работу и во сколько
раз?
Ответ: На втором, в 1,56 раза.
958. Пользуясь условием предыдущей задачи, опреде-
определить, в конце какого участка дороги и во сколько раз мощ-
мощность, развиваемая автомобилем, будет большей?
Ответ: В конце второй, в 1,2 раза.
959. 1) Поезд весом 20 000 кН входит на подъем а =
= 0,007 с постоянной скоростью 45 км/ч. При этом коэф-
коэффициент суммарного сопротивления ft = 0,005. Определить
мощность, развиваемую локомотивом.
2) Через некоторое время поезд стал двигаться вдоль
прямолинейного горизонтального участка дороги, набрав
скорость 72 км/ч и уменьшив мощность до 80 % по сравнению
с предыдущей. Определить, чему равен коэффициент сум-
суммарного сопротивления движению поезда на этом участке.
Ответ: 1) N =* 3000 кВт; 2) /2 = 0,006.
960. По прямолинейному горизонтальному пути равно-
равноускоренно из состояния покоя движется мотоцикл с чело-
человеком общим весом Р = 1,5 кН. Проехав путь s = 72 м,
мотоцикл перескочил через реку шириной / == 7,2 м на
255

противоположный берег, который оказался на 0,9 м ниже.
Определить минимальную мощность, которую должен раз-
развивать мотоцикл, если коэффициент трения / = 0,1.
Ответ: Nm{n =-Pl(f + jgj) Y§k = 7'56 кВт'
961. Маховик весом 7,5 кН, вращаясь равномерно, де-
делает 900 об/мин. Определить мощность, воспринимаемую
от двигателя маховиком, если диаметр вала 20 см, а коэф-
коэффициент трения между валом и подшипниками 0,02.
Ответ: 1,414 кВт.
962. Между двумя параллельными зубчатыми рейками
весом 49 Н каждая помещено зубчатое колесо весом 29,4 Н
(см. рис. 341). Верхняя рейка движется вправо со скоростью
vx = 0,5 м/с, а нижняя влево со скоростью v2 = 1,5 м/с.
Считая колесо однородным диском, определить кинетиче-
кинетическую энергию системы.
Ответ: Т = 7,38 Нм.
963. По диаметру однородного диска радиуса R и весом
Р прикреплен тонкий однородный стержень длиной 2R и
весом Q. Диск со стержнем катится по прямолинейному пу-
пути без скольжения. Определить кинетическую энергию си-
системы, если скорость центра диска равна v0.
г
Ответ: Т = ^ (9Р + 8Q).
964. Зубчатое колесо / радиуса г неподвижно (рис. 534),
а кривошип ОА, вращаясь вокруг оси О с угловой скоро-
скоростью со, приводит в движение колесо // радиуса /?, шатун
ВС весом Р и ползун С. Считая шатун однородным стерж-
стержнем, определить его кинетическую энергию в момент, когда
направления кривошипа ОА и шатуна ВС совпадают.
Ответ: Т = у^-(/? + гJсо2.
965. Кривошип ОА длиной а и весом Р (рис. 535) вра-
вращается вокруг оси О с угловой скоростью соо. Пренебрегая
весом ползуна В, определить кинетическую энергию кри-
вошипно-шатуиного механизма в момент, когда кривошип
ОА направлен параллельно траектории ползуна В, если
256

вес шатуна АВ равен Q, А В = 2/ и 0D = ft. Кривошип и
шатун считать однородными стержнями.
/2-i
Ответ: Т •.
966. Груз М весом Q (рис. 536) соединен
с грузами Мх и М2 весом Р каждый, невесо-
невесомыми нерастяжимыми нитями, переброшен-
переброшенными через ничтожно малые блоки А и В.
Его отпустили без начальной скорости из
положения, когда точка крепления нитей
к грузу М была на одной горизонтали с ося-
Рис. 535
ми блоков А и В. АС = ВС = а. Пренебрегая трением,
весом блоков и нитей, определить скорость груза М в за-
зависимости от высоты h, на которую он опустился.
967. Вдоль наклонной гра- |
ни неподвижного клина Ах на- |
Рис. 537
Рис. 538
чал двигаться из состояния покоя клин А% (рис. 537).
aL = 60 см, кг = 15 см, аг = 20 см, h\ == 5 см. Определить
скорость клина-42 в момент, когда он, спускаясь вниз, кос-
коснется горизонтальной плоскости, если коэффициент тре-
трения при движении клина А2 равен 0,2.
Ответ: v = 0,626 м/с.
968, Клин А весом Р (рис. 538), падая отвесно, сколь-
скользит вдоль вертикальной стены и передвигает по горизон-
257

тальной плоскости призматическое тело В весом Q. Пренеб-
Пренебрегая трением, определить скорость и ускорение клина Л,
если он опустился на расстояние h без начальной скорости.
Угол а считать известным.
Ответ: *2 =
969. На тело А весом Рх (рис. 539), к которому нитью
АСВ прикреплено тело В весом Р2, действует постоянная
горизонтальная сила F. Пренебрегая трением, весом блока
и нити и считая угол а из-
вестным, определить скорость
и ускорение тела А в зави-
М*.
Рис. 539
Рис. 540
симости от пройденного пути s, если начальная скорость
тел равна нулю.
Ответ: v2 = 2gs
F-~P2 sin a.
; w==-
970. Через ничтожно малый блок О переброшена не-
нерастяжимая нить, прикрепленная концами к грузам Мх и
М2 весом соответственно Рх и Р2 (рис. 540). Груз Ml9 центр
тяжести которого в начальный момент был на одной гори-
горизонтали с осью О блока, перемещается вдоль вертикаль-
вертикального стержня АВ без начальной скорости, а груз М2 — по
горизонтальной плоскости. Пренебрегая трением, весом
блоков и нитей, определить скорость груза Мх в зависимос-
зависимости от пройденного пути ОхМг = х, если ООХ = а.
Omeem: ^
97 К Груз Мх весом Рх = 10 Н может перемещаться
вдоль вертикального стержня АВУ г груз М2 весом Р2 =
= 30 Н по плоскости, наклоненной к горизонту под углохМ
a = 30° (рис. 541). Грузы соединены невесомой нерастя-
нерастяжимой нитью, переброшенной через ничтожно малый не-
невесомый блок О. Пренебрегая трением, определить макси-
максимальное расстояние на которое опустится груз Мх> если
258

в -начальный момент его центр тяжести находился на ми-
минимальном расстоянии а = 0,6 м от оси О блока и грузы
движутся из состояния покоя.
2аРхР% sin a
Ответ: х =
1,2 м.
972. Через ничтожно малый блок В переброшена ве-
веревка, к концам которой прикреплены тела Ах и А2 весом
Рис. 541
Рис. 542
Рг и Р2 соответственно (рис. 542). К телу Аг приложена
постоянная горизонтальная сила F±. Определить его ско-
скорость в зависимости от пройденного пути CAt = sit пре-
пренебрегая трением, весом блока и веревки. Высота ВС = а.
Ответ: v* = •
973 К рукоятке>АВ на конце m0////m///»
винта BD (рис. 543) приложена
постоянная сила Т7, направленная Рис. 543
перпендикулярно к рукоятке А В
и оси винта BD. При помощи винта перемещается клин
весом Ql9 поднимающий вверх призму и груз общим вешм
Q. Пренебрегая трением, весом винта и рукоятки, опреде-
определить скорость, с которой поднимается призма с грузом, в
зависимости от угла поворота ср рукоятки, если АВ = /
шаг винта h. Угол а считать известным.
Ответ- v* -
Ответ, v
____
974. Система, состоящая из трех одинаковых зубчатых
колес, насаженных на неподвижные параллельные оси (рис.
544), приведена в движение постоянным вращающим момен-
моментом М, приложенным к колесу В. Считая колеса однород-
259

ными дисками радиуса г и весом Р каждый ш пренебрегая
трением, определить угловую скорость со вращения колес
в зависимости от угла поворота <р. Определить также угло-
угловое ускорение колес.
Ответ:
2Mg
ЗРг*
975. К невесомому вертикальному стержню ОА длиной
/ прикреплены 4 точечных груза одинакового веса. Один из
грузов закреплен на конце Л, другие на расстоянии -j- друг
Рис. 544
Рис. 645
Рис. 546
от друга. Стержень повернули вокруг горизонтальной оси
Ох на угол 90° и отпустили из состояния покоя. Пренебре-
Пренебрегая трением, определить скорость конца А в момент про-
прохождения стержня через вертикаль.
Ответ: vA = у
976. На блок радиусом г и весом Ръ масса которого
распределена по ободу равномерно, намотана веревка, к
свисающему концу которой прикреплен груз М весом Р2.
На ободе блока прикреплен точечный груз А весом Q. Си-
Систему отпустили из состояния покоя в момент, когда то-
точечный груз А занимал наивысшее положение. Определить
скорость груза М в зависимости от высоты Л, на которую
он опустился. Трением пренебречь.
Ответ: v2 =
K+KTQ
977. Через точку О однородного вертикального стержня
А В длиной / проходит горизонтальная ось вращения Qxt
260

расположенная от конца А на расстоянии-j- Стержень от-
отклоняют от положения равновесия на угол 90° и отпускают
из состояния покоя. Определить скорость конца В стержня
в момент прохождения через вертикаль.
Ответ: vB = -j у у gl.
978. Через центр С однородного горизонтального диска
проходит ось г, перпендикулярно к его плоскости. К ободу
диска, вращающегося с угловой скоростью со0, цо касатель-
касательной приложили постоянную силу F, тормозящую вращение.
В момент, когда угловая скорость равна нулю, действие
силы прекратилось. Определить число оборотов диска за
время действия силы, если его радиус равен R, а вес Q.
Ответ: N = ^-^г-.
bntg
979. Зубчатые колеса, насаженные на неподвижные
параллельные оси (рис. 545), имеют внутреннее зацепление.
Колесо / радиуса rL и весом Ри начальная угловая ско-
скорость которого равна нулю, приводится в движение по-
постоянным вращающим моментом Мг. Вес зубчатого колеса
// равен Р2, масса его распределена по ободу равномерно.
Считая колесо / однородным диском и пренебрегая трени-
трением, определить угловую скорость колеса / в зависимости
от его угла поворота <рг; определить также угловое уско-
ускорение этого колеса.
Ответ: со* =
980. На неподвижную горизонтальную ось OL свободно
насажено зубчатое колесо / радиуса R и весом Q2 (рис.
546), а на параллельную ей ось О2 насажены жестко скреп-
скрепленные между собой зубчатое колесо // такого же радиуса
и веса и вал /// радиуса г и весом Q2. На вал намотана ве-
веревка, к концу которой прикреплен груз М весом Р.
Считая зубчатые колеса однородными дисками, а вал од-
однородным сплошным цилиндром и пренебрегая трением,
определить скорость и ускорение груза М, если он опус-
опустился вниз на расстояние h без начальной скорости.
Omeenv „2 _ WPr* 2gPr*
итвепи v -B/) + ^ г2 + 2QR2, w-{2p + ад г3 +
261

981. Грузы Мъ М2, М3, Л44 весом соответственно Plf
Я2, Р3» ^4 соединены невесомыми нерастяжимыми нитями
(рис. 547), переброшенными через блоки Л, В, С весом Q
каждый. Пренебрегая трением и считая угол а известным,
определить скорость грузов в зависимости от расстояния ht
на которое опустился груз Мъ если масса каждого блока
распределена по ободу равномерно и система пришла в дви-
движение из состояния покоя. Определить также ускорение
грузов. Рл + Р2 sin а > Р4.
Omeemt v
__ Я,+ ^2 sin а — Я4
982. На неподвижную горизонтальную проволочную
окружносгь радиуса г (см. рис. 299) надето кольцо весом Q,
через которое проходит однородный стержень длиной / и
весом Р с неподвижной осью вращения О на окружности.
К стержню приложен постоянный вращающий момент Мо.
Пренебрегая размером кольца и трением, определить уг-
Рис. 547
Рис. 548
ловую скорость стержня, если он повернулся на угол 90°
без начальной угловой скорости.
Ответ: ^ ^
,983» Три блока жестко скреплены между собой и наса-
насажены на общую ось вращения О (рис. 548). Радиусы блоков
ri > Г2 > гз> а их веса равны Qu Q2t Q3 соответственно.
На каждый из блоков намотана веревка, а к их концам при-
прикреплены грузлы М1У M2t М3 весом соответственно Ри Р2,
Р3. Считая блоки однородными сплошными дисками и пре-
262

небрегая весом веревок и трением, определить ускорение
груза Мх.
Ответ: w1 = •
Ч (Р& -
VP% + <U>r\ + {2Pz + Qur\
984. Через блоки Л, В, С (рис. 549) переброшена нерас-
нерастяжимая невесомая нить, к одному концу которой при-
прикреплен груз М весом Р, а к другому приложена постоянная
сила F. Пренебрегая трением, определить скорость груза
М в зависимости от пройденного пути s> если вес каждого
блока равен Q, масса распределена по ободу равномерно
Рис 550
Рис. 551
и система движется из состояния покоя. Определить также
ускорение груза.
Ответ: v2 =
P + 3Q '
985, Колесо катится без скольжения из состояния покоя
по плоскости, составляющей с горизонтом угол а. Пренеб-
Пренебрегая трением качения, определить скорость центра колеса
в зависимости от пройденного nyras, если вес обода колеса
равен Q, а каждой из шести спиц — Р.
n a.
Ответ: v2 =
986. Через блок А весом Q (рис. 550) переброшена не-
нерастяжимая невесомая нить, к одному концу которой при-
прикреплена ось колеса В такого же радиуса и веса, а к дру-
другому концу — груз С весом Р, который, двигаясь из состоя-
состояния покоя, вращает блок А и заставляет катиться без сколь-
скольжения колесо В. Считая массы блока А и колеса В распре-
распределенными по их ободам равномерно и пренебрегая трением
на оси, определить скорость груза С в зависимости от прой-
пройденного пути h. Определить также ускорение груза.
Ответ: v = J/
Ра
263

987. Однородный цилиндрический каток весом Р (рис.
551) катится без скольжения из состояния покоя по плос-
плоскости, составляющей с горизонтом угол а. При этом рукоят-
рукоятка О А весом Q перемещается поступательно. Пренебрегая
трением на концах рукоятки, определить скорость оси О
катка в зависимости от пройденного пути s.
Ответ: v2 =
988. Однородный цилиндрический каток весом Р (рис.
552) катится без скольжения из состояния покоя по гори-
горизонтальной плоскости под
действием постоянной гори-
горизонтальной силы F, прило-
Рис. 552
Рис. 553
жендой к рукоятке А В, которая движется поступатель-
поступательно. Пренебрегая трением качения определить скорость
конца В рукоятки весом Q в зависимости от пройденного
пути s.
Ответ: v2
3P + 2Q'
989. Вес кузова вагонетки равен Р, а каждого из четы-
четырех колес — Q. Под действием собственного веса, ваго-
вагонетка начала двигаться по плоскости, составляющей с го-
горизонтом угол а. Пренебрегая трением качения и трением
на осях колес и считая колеса однородными дисками,
определить скорость вагонетки в зависимости от пройден*
ного пути s.
2\P + 4Q)
Ответ: v* =
&s sm
990. Однородный круглый диск радиуса г катится без
скольжения по горизонтальному пути. Определить путь
s, пройденный центром диска до остановки, если его началь-
264

ная скорость равна vOf а коэффициент трения качения ра-
равен k.
3rv2
Ответ: s = -ггг •
991. Однородный стержень АОВ весом 2РУ согнутый под
прямым углом (рис. 553), может вращаться вокруг непод-
неподвижной оси Oz в горизонтальной плоскости хОу. При этом
он приводит в движение шатуны ААги ВВХ с шарнирами
на концах и ползуны А1\\В1 весом Q каждый. О А = ОВ =
= AAL = BBt = a. ZAOAi = 45°. К стержню АОВ при-
приложен постоянный вращающий момент М. Считая шатуны
однородными стержнями весом Р
каждый, определить угловую ско-
скорость стержня АОВ в конце N-то
полного оборота, если его началь-
начальная угловая скорость была равна
нулю.
Omeem: ma =
992. Эллиптическое зубчатое Рис* 554
колесо / (рис. 554), вращаясь
вокруг оси, проходящей через один из фокусов Ох,
вращает эллиптическое зубчатое колесо 2, ось вращения
которого проходит через фокус О2. Большая полуось каж-
каждого эллипса а, расстояние между фокусами 2 с, момент
инерции относительно оси вращения Уо. К зубчатому коле-
колесу 1 приложен постоянный вращающий момент Мх. Опре-
Определить угловую скорость (Oj зубчатого колеса 1 в конце
первого полного оборота, если в начальный момент точка
касания зубчатых колес была на максимальном расстоянии
от оси вращения OL; механизм, размещенный в горизон-
горизонтальной плоскости, движется из состояния покоя.
2 2пМл (а — сJ
993. Вес эксцентрика /, расположенного в вертикальной
плоскости, равен Qlf а радиус г (рис. 555), вес однородного
диска 2 равен Q2, а вертикального стержня АВ — Р. ОС ==
== а, С — центр тяжести эксцентрика. Считая эксцентрик
однородным диском, определить его угловую скорость, если
он повернется из состояния покоя на угол 180° под дейст-
265

вием постоянного вращающего момента М. В начальный
момент расстояние ОА минимально.
Ответ: сох = 4g-(
994. Вес каждого из однородных стержней О А и 0^
равен Р, стержня ААг — Ръ диска — Q (рис. 556). ОА =
= ОкАк = L Система расположена в вертикальной плос-
плоскости. Определить скорость центра С диска в момент про-
прохождения системы через положение равновесия, если си-
система отпущена из состояния покоя при
tB ф = 0.
Опыт- о2 -
Ответ. ис_
__——_
Рис. 555
Рис. 556
Рис. 557
995. Груз М весом Ри падая отвесно без начальной ско-
скорости, приводит в движение блок А, весом которого можно
пренебречь, зубчатое колесо В с валом Blf имеющими не-
неподвижную горизонтальную ось вращения О и зубчатую
рейку CD весом Р2, расположенную на горизонтальной
плоскости (рис. 557). Радиус вала rlf зубчатого колеса —
г2, момент инерции вала и зубчатого колеса относительно
оси вращения О равен Jo. CD = /. В начальный момент
точка касания зубчатого колеса совпадала с точкой D рей-
рейки. Пренебрегая трением, определить скорость и ускоре-
ускорение груза М в момент, когда точка касания зубчатого
колеса совпадает с точкой С.
Ответ: v<
996. Однородное сплошное цилиндрическое тело радиу-
радиуса г (рис. 558) скатывается без скольжения по внутренней
поверхности неподвижной трубы радиуса /?, ось которой
горизонтальна. Определить скорость оси тела в положе-
266

нии В, если в положении А оно было в покое и /_АОВ
= 60°.
Ответ: v2 = -gg(R — г).
997, Механизм, расположенный в вертикальной плос-
плоскости (рис. 559), состоит из однородного кривошипа О А
весом Pt подвижной шестерни А радиуса г и весом Q, кото-
которую можно считать однородным диском, и неподвижной
шестерни радиуса R. Пренебрегая трением, определить мак-
максимальную скорость конца Л, если кривошип О А начал
Рис. 558
Рис. 559
Рис. 560
движение из верхнего вертикального положения с ничтож-
ничтожно малой угловой скоростью.
Ответ: v2 » I2g
(P + 2Q)(R +
2P + 9Q
998. Механизм, расположенный в вертикальной плос-
плоскости (рис. 560), состоит из однородного кривошипа О А
весом Р, шестерни А весом Q и радиуса г и неподвижной
шестерни радиуса R. Кривошип О А отклонен от вертикали
на угол 60° и отпущен из состояния покоя. Считая шестер-
шестерню А однородным диском и пренебрегая трением, опре-
определить максимальную скорость конца А кривошипа.
Ответ: v2 = 9g
(P+2Q)(R-r)
2P + 9Q
999, Ползун Л, шарнирно прикрепленный к концу од-
однородного стержня ОА длиной 1Х и весом Рг (рис, 561), мо-
может свободно перемещаться вдоль однородного стержня
0хВ длиной /2 и весом Р2. 00L = а < lv В момент, когда
267

ползун А занимает наивысшее положение, ему сообщают
ничтожно малую скорость. Пренебрегая весом ползуна и
трением, определить скорость ползуна А в момент прохож-
прохождения наинизшего положения.
= »<Ь ~ «>'
+
Ответ: Л =
1000. Зубчатая рейка АВ длиной / и весом Р (рис. 562)
расположена на плоскости, наклоненной к горизонту под
углом а. При скольжении рейка вращает зубчатое колесо
Рис. 561
Рис. 562
весом Q с неподвижной осью вращения О. Считая зубчатое
колесо однородным диском и пренебрегая трением, опреде-
определить скорость рейки в момент, когда в точке касания на-
находится конец В рейки, если в начальный момент в точке
касания находился конец А и скорость рейки при этом была
равна нулю.
Ответ: + =
И
Рис. 563
Рис. 564
1001. Механизм (рис. 563), расположенный в горизон-
горизонтальной плоскости, состоит из однородного стержня АВ
весом Р и длиной 2а (О А = О В = а), шатуна АС весом Q
и ползуна Сл К стержню АВ приложен постоянный вращаю-
вращающий момент М. Пренебрегая трением, определить угловую
скорость стержня АВ в момент, когда он повернется на
угол 90°, если в начальный момент она была равна нулю
268

и стержень АВ был перпендикулярен к направляющей
ползуна.
Ответ: ю =
1002. Крестообразный ползун К весом Р3 (рис. 564) со-
соединяет под прямым углом неподвижный стержень CD и стер-
стержень АВ весом Р2. В точке А стержень АВ прикреплен шар-
нирно к однородному диску весом Рг и радиуса г. К диску
приложен постоянный вращающий момент Af. Пренебрегая
трением, определить зависимость между угловой скоростью
о диска и его углом поворота <р. Механизм расположен в
горизонтальной плоскости.
Ответ: со2«
1003. Однородный стержень АВ, падающий из наклон-
наклонного положения, концом А скользит по гладкому горизон-
горизонтальному полу. Определить скорость конца В в момент
касания пола, если в начальный момент он находился над
полом на высоте ft.
Ответ: vB = V^Sgh.
1004. Механизм, расположен-
расположенный в горизонтальной плоскости
(рис. 565), состоит из однородного
диска радиусом R и весом Q и одно- Рис. 565
родного стержня А В весом Р, шар-
нирио соединенного с ободом диска в точке Л. К диску
приложен постоянный вращающий момент Му под дейст-
действием которого диск вращается вокруг неподвижной оси О,
отстоящей от центра диска на расстоянии ОС = у. Пре-
Пренебрегая трением и весом ползуна, определить угловую
скорость диска в момент, когда он повернется на угол 90°,
если его начальная угловая скорость равна нулю и в на-
начальный момент точка Л занимала крайнее левое положе-
положение на прямой ОВ.
1005. Однородный стержень А В длиной 2/х (рис. 566)
прикреплен невесомыми стержнями ОА и ОВ к неподвиж-
неподвижной горизонтальной оси О. О А = ОВ = /2. Пренебрегая
269

трением, определить скорость центра С стержня при пере-
переходе стержня А В без начальной угловой скорости из верти-
вертикального положения в горизонтальное под действием соб-
собственного веса.
Ответ: vc = со \/~& — &, где со2 == -
ЗЙ-2Й '
1006. Вес однородного кривошипа О А равен Рх (см.
рис. 292), кулисы — Р2, ползуна А — Q. К кривошипу ме-
механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, при-
ложен постоянный вращающий момент Л/. Пренебрегая
•прением, определить скорость кулисы в зависимости от угла
поворота ф. Механизм приводится в движение из состояния
покоя.
1007. Ползун А кулисного механизма (рис. 567), пере-
перемещающийся вдоль однородного балансира ОС длиной / и
весом Ръ шарнирно прикреплен к вертикальному стержню
А В весом Я2> расположенному на расстоянии а от оси враще-
вращения О балансира. Пренебрегая трением и весом ползуна Л,
определить угловую скорость балансира в момент, когда
Ф = 0, если в начале балансир был неподвижен и отклонен
от горизонтали на угол ф0.
Ответ: со* - 3g
1008. К клину весом Ръ расположенному на гладкой го-
горизонтальной плоскости (рис. 568), приложена постоянная
270

горизонтальная сила F При движении клин поднимает i
тикально вверх стержень А В весом Р2. Считая угол а из-
известным и пренебрегая весом ролика Ау определить ско-
скорость и ускорение клина в зависимости от пройденного
пути st если его начальная скорость равна нулю.
Ответ: v2 = 2gs
1009. Радиусы конических зубчатых колес I и II равны
соответственно г и R (ем. рис. 285), а моменты инерции от-
относительно осей вращения — Ух и У2. К зубчатому колесу /
приложен постоянный вра-
вращающий момент Мх. Опре-
Определить угловую скорость
колеса / в зависимости от
V/" его угла поворота <plf если
\л - ~ -М
Рис. 568
Рис. 569
в начальный момент она была равна нулю. Определить
также угловое ускорение колеса /.
Ответ: он =
1010. Вес каждого однородного шара равен Q, радиус —
R (рис. 569), вес тонкого однородного стержня А В равен
Р, а длина 2/, ОВ — ОЛ. На стержень А В действует по-
постоянный вращающий момент М. При этом каждый шар
вращается вокруг горизонтальной оси А В и катится по го-
горизонтальной плоскости без скольжения. Определить уг-
угловую скорость вращения стержня в зависимости от его
угла поворота ф, если его начальная угловая скорость
равна нулю.
Ответ: со2 =
1011. Радиус зубчатого колеса / равен /?, а вес QL (рис.
570), радиус зубчатого колеса 2 — г, а вес Q2> зубчатое ко-
колесо 3 радиуса R неподвижно. Механизм расположен в го-
горизонтальной плоскости. К кривошипу О А весом Р прило-
271

жен постоянный вращающий момент М. Пренебрегая тре-
трением, определить угловую скорость кривошипа в зависи-
зависимости от угла поворота ф, если его начальная угловая ско-
скорость равна нулю. Определить также угловое ускорение
кривошипа. Считать кривошип однородным стержнем, зуб-
зубчатые колеса — однородными дисками.
Ответ:
{Sp
J;
р
0А ~ (8Р + 24Q
¦9Q2)(tf +
1012. Числа зубцов колес /, 2,
3, 4 редуктора равны гъ г2, z3, z4
еоответственно (рис. 571), моменты
инерции валов / и // и зубчатых
колес, связанных с ними, относи-
относительно осей вращения равны J/
и /// соответственно, момент
Рис. 570
Рис. 571
инерции спаренных колес 2—3 и вала равен J2S. К валу /
приложен постоянный вращающий момент М. Определить
угловую скорость вала / в зависимости от его угла пово-
поворота фь если его начальная угловая скорость равна нулю.
Определить также угловое ускорение этого вала.
Ответ: со* =
2/Иф!
м
/. + /„ -^
1Z
1013. Вес кривошипа ОА равен Ръ а шатуна BD — Р2
(рис. 572). ОА = г, АВ = at BD = /. Кривошипу ОА,
который в начальный момент был вертикален, сообщили
ничтожно малую угловую скорость. Пренебрегая трением,
определить угловую скорость вращения кривошипа в мо-
момент, когда он повернулся на угол 90° в вертикальной плос-
272

кости под действием сил тяжести. Кривошип и шатун
считать однородными стержнями.
Ответ- о>* -
ответ, со _
1014. Вес кривошипа ОА равен Ръ шатуна АВ — Р2,
ползуна В — Q (рис. 573). АВ = /, ООХ = а. Механизм рас-
Рис. 572
Рис. 573
положен в горизонтальной плоскости. К кривошипу при-
приложен постоянный вращающий момент М. Пренебрегая
трением, определить скорость ползуна В в конце первого
оборота кривошипа, если в начальный момент кривошип
ОА параллелен направляющим ползуна и его угловая ско-
скорость равна нулю. Кривошип и шатун считать однородными
стержнями.
Ответ: * Х2т^М
Рис. 574
Рис. 575
1015. На рис. 574 изображено исходное положение пер-
первоначально неподвижного механизма, расположенного в
горизонтальной плоскости. При этом ОА \\ ОгВ, ОА ± ООг.
Веса звеньев ОЛ, А В, ОХВ, BD равны соответственно Р1у
Ръ Ръ, Р*у вес ползуна D равен Q. К кривошипу О А прило-
приложен постоянный вращающий момент М. Считая звенья ме-
механизма однородными стержнями, определить скорость пол-
ползуна D в конце первого полного оборота кривошипа.
10 9-396
273

1016. На рис. 575 изображено исходное положение пер-
первоначально неподвижного механизма, расположенного в
горизонтальной плоскости. Веса кривошипа О А и звеньев
ABt ОХВ равны Я, ЗР, ЗЯ соответственно. ООХ = 2а, ОА =
= а, АВ = ОгВ = За. К кривошипу О А приложен постоян-
постоянный вращающий момент М. Определить его угловую ско-
скорость в конце N-ro полного оборота.
Ответ: со2 = g . gL . ЛШ.
1017. Призма Л, нижняя грань которой является глад-
гладкой, и однородный сплошной цилиндр В начали одновре-
\J,,,,ZJbJLZ,~,
Рис. 576
Рис. 577
Рис. 578
менно двигаться из состояния покоя вдоль наклонной плос-
плоскости (рис. 576). Минимальное расстояние между двумя
точками тел в начале движения было равно L Какое расстоя-
расстояние должна пройти призма А, чтобы догнать цилиндр, катя-
катящийся впереди по наклонной плоскости без скольжения.
Ответ: 3/.
1018. К призматическому телу А весом Рг (рис. 577), рас-
расположенному на гладкой горизонтальной плоскости, в цент-
центре С шарнирно прикреплен невесомый стержень СВ с ша-
шариком В весом Р2 на конце. ВС = /. Пренебрегая трением
и радиусом шарика, определить его скорость и скорость
тела А в момент, когда стержень вертикален, если он был
отпущен из горизонтального положения без угловой ско-
скорости, а тело А было в покое.
Ответ- v* -
итвет. vA —
1019. Вес клина А равен Ръ а призматического тела
В — Р2, угол а известен (рис. 578). Пренебрегая трением,
274

определить скорость клина А в зависимости от расстояния
s, пройденного им по горизонтальной плоскости.
1020. Вес шарика А, помещенного внутри вертикальной
кольцевой трубки,— Q (рис. 579), вес трубки вместе с под-
подставкой, к которой она прикреплена,— Р9 радиус кольца /?,
Пренебрегая трением и радиусом ша-
шарика, определить скорость подставки,
размещенной на горизонтальной плос-
плоскости, в зависимости от угла ср, если
в начальный момент система была
в покое, а шарик А находился в по-
положении Ао на горизонтальном диа-
диаметре.
Ответ:
v2 = 2gR (/> + Q)(P + Qcos*<p) • Рис> 579
§ 33. Плоскопараллельное движение твердого тела х
1021. Однородный стержень Л В весом Р наклонен под
углом а к горизонту. Конец А опирается на гладкий гори-
горизонтальный пол, конец В отпускают без начальной ско-
скорости. Определить давление стержня на пол в этот момент,
Р
Ответ: N =
1022. Однородный горизонтальный стержень А В весом Q
и длиной / висит на двух вертикальных нитях DDX и ЕЕг.
Точки крепления D иЕ нитей находятся от центра тяжести
С стержня на расстояниях CD = СЕ = у . Определить на-
натяжения нити DDt в момент обрыва нити ЕЕг.
Л/о
Ответ: N =
За2 + /2 #
1023. Однородный горизонтальный стержень АВ весом
Р и длиной / лежит на двух гладких опорах О и В на рас-
1 При решении задач этого раздела следует пользоваться кинема-
кинематическими формулами для ускорений при плоскопараллельном движении.
10* 275

стоянии О А = -j от конца А стержня. Опору В убирают.
Определить давление стержня на опору О в этот момент.
Ответ: N = у Р.
1024. Два однородных одинаковых стержня Л В и CD,
каждый весом Р, жестко скреплены под прямым углом и
расположены в вертикальной плоскости (рис. 580). BC—BD.
Концом А горизонтальный стержень А В опирается на глад-
гладкую опору. Определить давление на эту опору, в момент,
когда стержни отпускают из состояния покоя.
Ответ: N = р= Р.
D
Рис. 580
Рис. 581
1025. Однородный стержень АВ длиной / и весом Q (рис.
581) опирается точкой/) на гладкую опору, образуя угол а
с вертикалью. Его отпускают из состояния покоя. Опре-
Определить давление стержня на опору и ускорение центра тя-
тяжести С стержня в этот момент, если CD = a.
Q/2 sin a
Ответ: N,
12gfl2 sin a
12a* + /a '
1026. Через центр однородной прямоугольной пластин-
пластинки весом Р проходит невесомый горизонтальный стержень
АВУ перпендикулярный к ее плоскости (рис. 582). Ребро
DE пластинки вертикально, его длина DE = /г, АС = а.
Определить давление стержня на гладкую опору А в мо-
момент, когда опору В мгновенно убирают.
ял2
Ответ: ^=
1027. Однородный шар весом Р и радиусом г скреплен
с горизонтальным невесомым стержнем А В, проходящим
276

через центр С шара и лежащим на опорах А и В. Опору А
мгновенно убирают. Определить давление на гладкую опору
В в этот момент, если ВС = I.
Л ,7 2/V2
Ответ: NB = 2 , 5/2 #
1028. Однородный горизонтальный стержень А В весом
Р опирается концами на две гладкие плоскости, каждая из
которых наклонена к горизонту под углом а. Одну из этих
плоскостей мгновенно убирают. Определить давление стерж-
стержня на вторую плоскость в этот момент.
Ответ: N = 1+Р^а.
1029. Вдоль диаметра однородного диска радиуса г и
весом Р прикреплен невесомый стержень АВ, концом А
опирающийся на гладкую горизонтальную плоскость и от-
отклоненный от нее на угол а. Плоскость диска вертикальна.
Определить давление конца А стержня на плоскость и уско-
ускорение центра С диска, удаленного от конца Л на расстояние
АС = / > г в момент, когда стержень отпускают из состоя-
состояния покоя.
~ .. /V2 2/2 cos2 a
Ответ: N = f2 + 2/t cos2g; a>c " ,, + 2/>а8>аg.
1030. Однородный стержень АВ весом Р согнут в точке
D под углом 90° так, что стороны угла AD и BD одинаковы.
Конец В опирается на гладкую горизонтальную плоскость,
конец Л, находящийся на одной вертикали с 5, отпускают
без начальной скорости. Определить давление стержня на
плоскость в этот момент.
Ответ: NB = -g- P.
1031. Однородный стержень А В весом Р, отклоненный
от горизонтальной плоскости на угол а, концом А касается
гладкой вертикальной стены, а концом В — гладкого гори-
горизонтального пола. Определить ускорение центра тяжести С
стержня и его давление на стену и на пол в тот момент,
когда его отпускают из состояния покоя.
3 3
Ответ: и>с = -г-ё cos а#» Nа = Т р sin 2а»
277

1032. Однородный стержень А В весом Q (рис. 583) удер-
удерживается в равновесии подвижной опорой Л, расположен-
расположенной на гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под
углом а, и неподвижной опорой В. Опору В мгновенно уби-
убирают. Определить давление подвижной опоры А на наклон-
наклонную плоскость и ускорение центра тяжести стержня в этот
момент.
WCy -
3cos2a
Ka I с
Рис. 583
Рис. 581
1033. Однородный стержень АВ весом Q (рис. 584) удер-
удерживается в горизонтальном положении невесомым стерж-
стержнем DDX и шарнирной опорой В. AD — CD. К концу А
под углом а к стержню А В приложена сила F. Опору В
мгновенно убирают. Определить реакцию стержня DDX и
ускорение центра тяжести С в этот момент.
Ответ: N = у DQ + Ю/7 sin a); wCx = ^- g cos a;
1034. Однородный вертикальный стержень А В весом Q
(рис. 585) удерживается в равновесии невесомым горизон-
горизонтальным стержнем DDX и невесомым стержнем DiD2, от-
отклоненным от горизонта на угол а. АВ = /, DC = CDA —
== y* Опору D мгновенно убирают. Определить реакцию
стержня DXD2 и ускорения центра тяжести С и точки D±
в этот момент.
У — /2 + 3a2 sin2 a J
3a2 sin2 a + I2 cos2 a .
sin 2a
^ - 2 (/2 + 3a» sin* a)
__ gl2 cos a
278

1035. Цилиндр весом Р катится б?з скольжения по го-
горизонтальной плоскости под действием горизонтальной си-
силы F, приложенной к нити, которая намотана на цилиндр
и сходит с наивысшей точки цилиндра в горизонтальном
направлении, перпендикулярном к его оси. Определить
ускорение оси цилиндра.
AF
Ответ: ^с^зрё-
1036. Однородный цилиндр весом Р и радиусом R (рис.
586) подпирается с двух сторон параллельными ребрами
Л и В, расположенными в одной горизонтальной плоскос-
плоскости. А В = /. Опору В убирают. Пренебрегая трением, оп-
Рис. 586
Рис. 587
ределить движение цилиндра и давление на гладкую опору
А в момент освобождения от опоры В.
Ответ: для любой точки цилиндра v = 0; w = |~'»
ускорение w параллельно касательной к окружности в
точке A; N l/4#2 P
точке A; NA = ^
1037. На прямоугольную пластинку весом Q, располо-
расположенную на гладкой горизонтальной плоскости хОу (рис.
587), действует постоянная сила F, параллельная неподвиж-
неподвижной оси Ох и во все время движения отстоящая от нее на
расстоянии d = const. Стороны пластинки а > 2d, b >
> 2d. Определить уравнения движения пластинки, если
в начальный момент пластинка была в покое, а ее центр тя-
тяжести С находился в начале координат.
_. и -п- ^ ш^
2Q
Ответ:
хс =
1038. Треугольник ABD состоит из трех однородных
стержней весом Р и длиной / каждый (рис 588). К стержне-
стержневому треугольнику, расположенному на гладкой горизон-
горизонтальной плоскости, приложена постоянная сила F, отстоя-
279

щая от оси Ох во все время движения на расстоянии а <
<•—-/. Определить уравнения движения треугольника,
если в начальный момент он находился в покое, а его
центр тяжести совпадал с началом координат.
Ответ: хс = -jrp-» Ус = 0; ф =
Рис. 588
Рис. 589
1039. Тонкостенный цилиндр весом Q и радиусом R
(рис. 589) скользит без трения по плоскости, составляющей
с горизонтом угол а, разматывая две нити, параллельные
наклонной плоскости и между собой. Определить ускорение
оси С цилиндра и общее натяжение нитей, если момент
инерции цилиндра относительно его оси равен Jc.
Ответ: we = g
QR* sin a
T =
gJcQ sin a
1040. Вес обода колеса Q>
вес каждой из п спиц — Р.
Определить ускорение оси С
колеса, если оно катится без
скольжения по плоскости,
составляющей с горизонтом
угол а.
Ответ:
Рис. 590
_
0Q
sin а.
1041. Вес однородного диска А равен Q (рис. 590), коэф-
коэффициент жесткости пружины OS равен с, ее ось параллель-
параллельна плоскости, отклоненной от горизонта на угол а. Опре-
Определить уравнение движения центра О диска, если его каче-
качение происходит без скольжения. Ось х направлена из цент-

pa диска в положении его равновесия вдоль оси пружины
вниз. При t = 0 х = хОу к = vv.
Ответ: х - *0 cos ]/]р / + * /g sin /§ t.
1042. Тело состоит из однородного цилиндра радиуса R
и весом Q и однородного диска радиуса г < R и весом Qx
(рис. 591). По касательной к ободу диска приложена гори-
горизонтальная сила jF, а к цилиндру пара сил с моментом М,
которая создает сопротивление качению. Определить урав-
уравнение движения оси симметрии С тела, если ее начальная
Рис. 591
Рис. 592
скорость была равна нулю, а качение тела происходит без
скольжения.
F (# _ r) — М
Ответ: хс = Qnpt\_n /OD2 ,
1043. Тело состоит из однородного диска радиуса R
и однородного цилиндра, радиус которого г < R (рис.
592). Вес тела Q, а момент инерции относительно его оси Ус-
Качение тела вдоль плоскости, наклоненной к горизонту
под углом а, тормозится силой F, направленной по каса-
касательной к ободу диска, параллельной наклонной плоскости.
Определить ускорение оси тела, если его качение по плос-
плоскости происходит без скольжения.
~ Qr sin я — F (R + г)
Ответ: wc ^ gjc+Q* &'
1044. Однородный сплошной цилиндр радиуса г = 20 см
скатывается без скольжения по плоскости, отклоненной от
горизонта на угол a «= 15°. Коэффициент трения качения
k = 0,2. Определить ускорение оси цилиндра.
Ответ: we = -jg (sin a cos a] = 1,63 ~ .
281

1045. К рукоятке А С катка, который катится без сколь-
скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом а,
приложена постоянная сила 71, направленная параллельно
наклонной плоскости (рис. 593). Пренебрегая весом рукоят-
рукоятки и считая каток однородным круглым цилиндром весом Р
и радиуса г, определить уравнение движения оси катка,
если коэффициент трения качения равен k и при / = 0
*с = 0, хс = 0.
Ответ:
= \\jr — sirm — -j
Рис. 593
Рис. 594
1046. Однородный цилиндр радиуса г (рис. 594) сначала
катится без скольжения по плоскости, отклоненной от го-
горизонта на угол а, а затем совершает свободное движение.
Определить уравнения его свободного движения относитель-
относительно осей Ох и Оу, если в начале дви-
движения цилиндр касался наклонной
плоскости в точке Л. АО = I.
Ответ: хс
+ r sin a;
rcosa;
-=• t cos a]/3g/ sin a-f
sin ся
Рис. 595
1047. Тело скользит в направлении линий наибольшего
ската по гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под
углом а (рис. 595), разматывая веревки, которые располо-
расположены над телом, параллельны между собой и параллельны
наклонной плоскости. Вес тела равен Р, момент инерции
относительно его оси А В — /, радиус валов — г. Олре-
282

делить уравнение движения этой оси, если при / = О
х = 0, х = 0.
Ответ: x = 2
1048. Однородное кольцо, ограниченное окружностями
радиусов гх и г2 (г2 > гг), катится без скольжения по дуге
неподвижной окружности радиуса /?, расположенной в
вертикальной плоскости (рис. 596). Определить уравнение
движения центра С кольца, если в начальный момент отре-
отрезок ОС отклонен от вертикали на малый угол ф0 и кольцо
отпущено из состояния покоя,
Ответ: s = (R — г2) <р0 cos
t.
1049. Центру С однородного диска радиуса г в положе-
положении / была сообщена горизонтальная скорость v0 (рис. 597),
после чего диск стал катиться без скольжения по дуге ок-
окружности радиуса /?, расположенной в вертикальной плос-
плоскости. Определить угол <р, при котором диск оторвется от
дуги LN окружности.
Ответ: cos <p = -=• •
3»!
Рис. 596
Рис. 597
Рис. 598
1050. Однородный диск катится без скольжения из со-
состояния покоя вниз по плоскости, отклоненной от горизон-
горизонта па угол а = 45°, затем катится без скольжения вверх
по плоскости, отклоненной на угол р = 30° (рис. 598). Оп-
Определить время, в течение которого диск перейдет из одного
крайнего положения в другое, если высота, с которой диск
начал катиться, Н = 327 см. Радиусом диска в сравнении с
высотой Н пренебречь.
= 3,41 с.
Ответ: t = i/gg
г g
g sin a • sin p
283

Глава XII. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ
1051. Математический маятник весом Р отклонили от
положения равновесия на 90° и отпустили без начальной
скорости. Определить наибольшее натяжение нити.
Ответ: ЗР.
1052. Колечко весом Р движется в вертикальной плос-
плоскости вдоль гладкой проволоки, изогнутой по гиперболе
JL- — ^2 = 1. Определить давление колечка на проволоку
в точке В@; Ь), если в положении Л(а]/15; Щ скорость
колечка была равна нулю. Ось Ох — горизонтальна.
Ответ: N =,
1053. Шарик весом Р падает с ничтожно малой на-
начальной скоростью из положения А @; 2Ь) внутри трубки,
изогнутой по эллипсу — + vy ¦ = 1, где ось Оу верти-
вертикальна. Пренебрегая трением, найти давление шарика на
трубку в точке В (а; Ь) и в точке О@, 0).
Ответ
: NB = 2Р ?; No = P (l + 4jj).
1054. Колечко весом Р падает без начальной скорости
с высоты а + h вдоль гладкой проволоки, согнутой по цеп-
цепной линии у = ach—. Определить давление колечка на про-
проволоку в наинизшей точке.
Ответ: N = i
1055. Шарик весом Р движется в вертикальной плос-
кости внутри трубки, изогнутой по кривой у = ~2^ -
Пренебрегая трением, найти давление шарика на трубку в
точке В \а\ ~), если в положении А\~\ 2а] скорость шарика
была равна нулю.
Ответ: N = ~ V%P-
1056. Контейнер шириной а и высотой h поставлен без
креплений на платформу, движущуюся по горизонтальной
284

дороге. Считая контейнер однородным параллелепипедом,
упирающимся нижним продольным ребром в выступ плат-
платформы, определить скорость платформы, при которой кон-
контейнер опрокинется на закруглении дороги радиуса г.
Ответ: v >
V л'
1057. Контейнер весом Р прикреплен к платформе че-
четырьмя тросами и упирается в выступ А (рис. 599). Считая
контейнер однородным параллелепипедом высотой h и дли-
длиной /, определить натяжение Т двух тросов при торможении,
Рис, 599
Рис. 600
если замедление равно w и каждый трос наклонен к гори-
горизонту под углом а.
Ответ: Г = --„ hw-ig
g h cos a -f- / sin а
1058. Груз А весом Р скользит по гладкой стороне кли-
клина, опирающегося на гладкий пол (рис. 600). Определить,
при каком угле а давление клина на стену будет максималь-
максимальным.
Ответ: а == 45Q.
1059. Однородный диск весом Р (см. рис. 341) движется
между двумя параллельными горизонтальными* рейками
весом Q каждая, которые приводятся в движение силами
Fx и F2, направленными вдоль реек в противоположные
стороны. Определить ускорение центра диска.
Ответ: wc =
р
= jq
8•
1060. По гладкой плоскости, наклоненной к горизонту
под углом а, с помощью ворота поднимают тележку с гру-
грузом весом Р. К вороту, представляющему собой однород-
однородный цилиндр весом Q и радиуса г, приложен постоянный
вращающий момент М. Определить натяжение троса,
285

пренебрегая его весом и считая, что трос параллелен на-
наклонной плоскости.
1061. Два груза А и В весом Р каждый скользят по
гладким сторонам неподвижного клина (рис. 601). Пренеб-
Пренебрегая массами нерастяжимой нити и блока С, найти натя-
натяжение нити и ускорение грузов, если а>|3.
Р 1
Ответ: Т = у (sin а + sin |3); w = у g (sin а — sin |5).
Рис. 601
i
Рис. 603
1062, Тонкий однородный стержень весом РН и дли-
длиной 49 см вращается вокруг вертикальной оси Ог, прохо-
проходящей перпендикулярно к стержню через его конец, по
о
закону ф = "о"^2- Определить главный вектор и главный
момент сил инерции стержня относительно оси вращения
в момент времени t = 4 с.
Ответ: R™ = 3,6РН; МТ =2,45РН см.
1063. Однородный диск весом Р и радиуса г вращает-
вращается с угловой скоростью со и угловым ускорением е во-
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и располо-
расположенной на расстоянии а от его центра. Определить глав-
главный вектор и главный момент сил инерции диска отно-
относительно оси вращения.
Ответ: /?™ = -
+
= §- (г2 + 2а2) е.
1064* К концу невесомого стержня длиной 60 см при-
прикреплен точечный груз весом 20 Н. Стержень, закреп-
закрепленный на горизонтальном валу, вращается в вертикальной
286

плоскости. При какой наименьшей угловой скорости стержень
разорвется, если сопротивление его разрыву равно 560 Н?
Ответ:
1065. Горизонтальная трубка равномерно вращается
вокруг вертикальной оси, делая 210 об/мин. Внутри труб-
трубки находится пружина, один конец которой прикреплен
к оси вращения, а другой к шарику весом 1Н. Найти си-
силу F, растягивающую пружину, и длину / пружины в не-
деформированном состоянии, если коэффициент жесткости
пружины с =1,41 Н/см, а ее длина в рассматриваемый
момент — 20 см.
Ответ: F = 9,87 Н; / == 13 см.
1066. Стержень АВ длиной 10 см жестко скреплен с
вертикальной осью и наклонен к ней под углом а = 60°
(рис. 602). К концу А стержня, который равномерно вра-
вращается вокруг оси ООЪ делая 300 об/мин, прикреплен
шарик весом 2Н. Найти силу, растягивающую стержень,
пренебрегая его весом.
Ответ: 14,1 Н.
1067. Кривошип ОА вращается по закону ср = 2,5л/
(см. рис. 128). Определить главные векторы сил инерции
кривошипа ОА и шатуна АВ в момент времени / = 2,5 с,
если кривошип и шатун—однородные тонкие стержни весом
ЯН и длиной / = 32 см каждый.
Ответ: jRjH = ЯН; Я2ИИ - 2,25 ЯН.
1068. Решить задачу 1067 при условии, что ср = л/2.
Ответ: R™ « 4,03 ЯН; jRf = 9,2 ЯН; Мон «
= 2,19 ЯН . см; М% = 0,55 ЯН см.
1069. Груз весом Я, опускаясь вниз, посредством неве-
невесомого нерастяжимого троса приводит во вращение вокруг
горизонтальной оси барабан весом Q. Пренебрегая трением
в подшипниках и считая, что масса барабана равномерно
распределена по его внешней поверхности, определить на-
натяжение троса и давление барабана на подшипники.
Ответ: T=
1070. Груз А весом 150 Н (рис. 603), привязанный к не-
невесомой нерастяжимой нити, переброшенной через блок В
287

весом 5Н, приводит в движение груз С весом 95 Н, который
скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Найти
давление блока на ось, считая, что масса блока равномерно
распределена по его ободу.
Ответ: 86,5 Н.
1071. Груз А весом Р опускают с помощью лебедки,
прикрепленной к консольной балке (рис. 604). При тормо-
торможении барабан С, представляющий собой однородный ци-
цилиндр весом Q и радиуса г, вращается с замедлением е.
Определить добавочные динамические реакции жесткой
заделки О, если ОБ = /.
р
Ответ: Ro = — гг\ i
Рис. 604
Рис. 605
Рис. 606
Рис. 607
1072. Электромотор прикреплен к жесткой консольной
балке. Центр тяжести ротора весом Q смещен от оси вра-
вращения на расстояние а. Определить максимальные доба-
добавочные динамические реакции жесткой заделки Л, если ро-
ротор вращается с постоянной угловой скоростью со и расстоя-
расстояние от оси вращения ротора до заделки равно /.
Ответ:
= %coV, YA = ^<
-
1073. Тело А весом Р скользит вдоль консольной балки
ОВУ наклоненной к вертикали под углом а (рис. 605). Пре-
Пренебрегая весом балки и трением, определить динамические
реакции жесткой заделки О в зависимости от расстояния
ОА =s.
Ответ:
= -сгР sin 2а; Yo = Р sin2 a\ Mo = Ps sin a.
1074. Однородный цилиндр весом Р скатывается без
скольжения по консольной балке ОВ, наклоненной к го-
горизонту под углом а (рис. 606). Пренебрегая весом балки,
288

определить динамические реакции жесткой заделки. О
в зависимости от расстояния ОА = s.
Ответ: Хо = ~ Р sin 2а; Го = Я [ 1 — -§- sin2aj;
= Ps cos a.
1075. Падая, груз А весом Р разматывает нерастяжимую
нить, намотанную на блок (рис. 607). Считая блок одно-
однородным диском весом Q и пренебрегая весом обоймы и нити,
а также трением на оси, определить реакции жесткой
заделки С, если ВС = а.
Ответ: Rc = ¦
1076. Кривошип О А длиной г и массой т кривошипно-
кулисного механизма (см. рис. 292) вращается равномерно
с угловой скоростью со. Считая кривошип однородным
стержнем и пренебрегая массой камня Л и трением, опреде-
определить добавочные динамические давления на ось О, когда
кулиса массой М занимает крайнее положение.
Ответ: No = ~ BМ + т) о2г.
1077. Кривошип О А (см. рис. 474) вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью о. Пренебрегая трением и считая
кривошип и шатун однородными
стержнями массой тх и т2 и длиной г
и / соответственно, определить доба-
добавочные динамические давления на
ось О, когда ползун В массой т3 за*
нимает крайнее правое положение.
Ответ: No = 14" ™i + Щ \ 1 + М^
2„ Рис. 608
1078. Два груза Мг и М2 весом Рг и Р2 соответственно
соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной
через идеальный блок (рис. 608). Пренебрегая весом стерж-
стержней, определить усилие в стержне CD, если АС = а, АВ =
= b и /_ACD =* a.
Ответ: S - — 4/V {/ - -i—,
Pt + Р2 a sin a
28Э

1079. Для подъема груза А весом Р к барабану весом Q
симметричной лебедки общим весом Рх приложили вращаю-
вращающий момент М (рис. 609). Считая массу барабана равномер-
равномерно распределенной по поверхности цилиндра радиуса г и
пренебрегая весом троса и трением на оси, определить на-
натяжение троса и давление на опоры В и С.
Ответ: Т = $TWr ' P> N* = N* = т[Р*
А 9
С О \ D
Рис. 609 Рис. 610 Рис. 611
1080. Кривошип ОА длиной / (см. рис. 474) вращается с
постоянной угловой скоростью со. Пренебрегая трением и
считая шатун однородным стержнем массой М и длиной 2/,
определить добавочное динамическое давление ползуна В
на его направляющие, когда О А _[_ 05.
Ответ: Nb = -g- McozL
1081. Два точечных груза Мх и М2 массой тх и т2 соот-
соответственно расположены на концах невесомого стержня,
прикрепленного под прямым углом к валу, вращающемуся
с постоянной угловой скоростью о (рис.610). Определить
добавочные динамические реакции подшипников А и By
если АС = а, ВС = Ь, МХС = ^ и С7И2 «= /2.
Ответ: RA = mi xTf22 • со2*; RB =
1082. Два невесомых стержня ААХ и 5В2 жестко скреп-
скреплены с валом, вращающимся с постоянной угловой ско-
скоростью со (рис. 611). На концах стержней расположены то-
точечные грузы А и В массой тг и т2 соответственно. Опре-
Определить добавочные динамические реакции подшипников С
290

и D, если
Ответ: Rc
я, А1В1 = с> BXD = Ъу АА±= 1г и
с) + т21ф о. D_ _
_ тг1ха + m2l2 (а + с) 2
1083. Точечный груз А весом Р расположен на конце
горизонтального однородного стержня, прикрепленного
концом В к вертикальному валу CD> равномерно вращаю-
вращающемуся с угловой скоростью со. Определить добавочные
динамические давления на подшипник С и подпятник D,
если стержень А В весит Q и А В = /, BD = а, ВС —Ь.
Ответ: Nc = BР +
; ND -= BР + Q)X
1084. Однородная тонкая пластинка массой М, имеющая
форму полукруга радиуса г, равномерно вращается вокруг
оси, совпадающей с диаметром круга. На каком расстоянии
h от центра круга необходимо присоединить точечную массу
А а
а В
Рис. 612
Рис. 613
на
т, чтобы устранить добавочные динамические давления
подшипники?
Ответ: h = —~. —.
о тс т
1085. Однородная тонкая пластинка массой М, имеющая
форму параболического сегмента высотой Я, прикреплена
к равномерно вращающемуся валу (рис. 612). На каком рас-
расстоянии от оси вращения нужно присоединить точечную
массу т9 чтобы устранить добавочные динамические дав-
лен-ия на подшипники?
Ответ: /i = |-tf^.
5 т
291

1086. Стержень А В длиной 2а вращается вокруг вер-
вертикальной оси, перпендикулярной к стержню, с постоян-
постоянной угловой скоростью со (рис. 613). К концам стержня
прикреплены шарнирами два однородных стержня длиной
/ каждый. Найти зависимость между со и углом а отклоне-
отклонения стержней от вертикали.
Ответ: со2 =
За + 2/ sin а '
1087. Тонкий однородный стержень А В весом Р и дли-
длиной / прикреплен шарниром А к вертикальной оси (рис.
614). Конец В соединен с пружиной ВС, имеющей в точке
С гладкое невесомое кольцо, скользящее вдоль оси, вокруг
которой система вращается с постоянной угловой скоростью
со. Определить зависимость между углом а и угловой ско-
скоростью со, если коэффициент жесткости пружины с и длина
нерастянутой пружины равна 0,5 /.
1088. Квадратная рамка A BCD, состоящая из тонких
однородных стержней длиной / и весом Р каждый, враща-
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикаль-
вертикальной оси, совпадающей со стороной АВ. Найти добавочные
динамические давления на подшипник Е и подпятник О,
если ОА = BE.
Ответ: NDE = N$ = - со2/.
1089. Половина однородного диска радиуса г и весом Р
вращается вокруг вертикального диаметра АВ с постоянной
угловой скоростью со. Определить добавочные динамические
реакции подшипника А и подпятника В.
Ответ: Ra = Rjb = т ~~ ^V.
3 ng
1090. Тонкий однородный стержень АВ весом Р при-
прикреплен шарниром А и невесомой нерастяжимой нитью ВС
к вертикальной оси OD (см. схему рис. 614). Нить в точке С
привязана к невесомому кольцу, скользящему без Трения
вдоль оси. Определить натяжение нити и реакцию шарнира
А, если АС — ВС = а и система вращается с постоянной
угловой скоростью со.
Р Р (о^а Р Р со^д
292

1091. В задаче 1090 определить реакции подшипника/)
и подпятника О, если О А — CD = 0,5 а.
~ п Р . 7РоJа# v P ЪР ш2а v D
0/пшп: ^ = X + 24 "  "^ ' ^"
1092. Валик ЛВ и жестко соединенный с ним однород-
однородный ломаный стержень CDEF весом 25 И (рис. 615) равно-
равномерно вращаются вокруг оси валика с угловой скоростью
о = 40 с. Определить добавочные динамические давле-
давления на подшипники А и В, если АС = ВС = CD = D? =
= 50 см.
Ответ: N% = 1122 Н; Л/g - 408 Н.
Рис. 615
Рис. 616
Рис. 617
1093. Тонкий однородный стержень АВ весом Р и дли-
длиной / (рис. 616) вращается вокруг вертикальной оси Оу с
постоянной угловой скоростью со. К концу В стержня
прикреплен точечный груз весом 2Р. Определить реакции
шарнира А.
5 Р
Ответ: XA= — ~Vl96ю4/а —
Ya = зр#
1094. Тонкий однородный стержень весом Р и длиной
21 равномерно вращается с угловой скоростью w вокруг оси,
составляющей со стержнем угол а и проходящей через его
середину. Определить добавочные динамические давления
на подшипники А и В9 если АВ = 2а.
Ответ: N% = NDB =
sin 2 а.
1095. Однородный круглый диск весом Р (рис. 617) вра-
вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к
его плоскости с постоянным угловым ускорением е. Рас-
Расстояние центра тяжести С ди ска от оси вращения равно Н.
293

Определить проекции добавочных динамических реакций
подшипников А и В на оси координат, жестко связанных
с телом, если АО = а, ОВ = Ь и при / = 0 о = 0.
Pehb - vD Peha
1096. Однородный стержень длиной /, надетый концом О
на горизонтальную ось, вокруг которой он может вращать-
вращаться, находится в положении устойчивого равновесия. Оп-
Определить, в какой точке К необходимо мгновенно прило-
приложить горизонтальную силу, чтобы ее действие не передалось
на ось вращения.
Ответ: О/( = -|- /.
о
1097, Однородная полка весом Р (см. рис. 191) удержи-
удерживается в горизонтальном положении петлями А и D и цепью
BE. Определить реакции петель А и D в момент разрыва
цепи.
Ответ: RA = RD = -^ Р.
1098. Однородный стержень А В весом Р прикреплен к
опоре шарниром А и удерживается под углом а к вертикали
нитью ВС (см. схему рис. 614). Определить реакции шар-
шарнира А в момент разрыва нити.
Ответ:
ХА - | Р sin 2 ex; YA = Р (l — «¦ sin2 a).
1099. Однородный стержень О Л весом Я может свобод-
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей че-
через его конец О. Стержень отклонили от вертикали на угол
а = 60° и отпустили без начальной угловой скорости. Най-
Найти давление стержня на ось в начале движения.
Ответ: N = 0,545 Р.
1100. Однородная крышка весом Р (см. рис. 170) при-
приоткрыта на угол а и удерживается веревкой EF. Опреде-
Определить реакции петель в момент разрыра веревки.
3 р (
Ответ: Ха = Хв •== щР sin2a; ZA = ZB = -j [* ~
cos2a J
294

1101 . Однородный стержень А В весом Р может свободно
вращаться в вертикальной плоскости хОу вокруг горизон-
горизонтальной оси Ог (рис. 618). В положении устойчивого рав-
равновесия стержня в точке D прикладывают силу F, парал-
параллельную оси Оу. Определить давление стержня на ось в на-
начале движения, если ОА = BD = -gAB.
Ответ: NX=P\ Ny = у F.
1102. Однородная прямоугольная пластинка весом Р
(рис. 619) расположена в вертикальной плоскости и при-
прикреплена шарнирами к опо-
опорам А и В. Считая а = 26,
определить давление плас-
пластинки на опору В в мо-
момент, когда опора А будет
мгновенно убрана.
Ответ: N = 0,5 Р и со-
составляет с вертикалью угол
а = arccos 0,8.
Рис. 618
Рис. 619
1103. К концу А неЕе-
сомого стержня ОА длиной
/ прикреплен шар весом Р и радиуса г. Концом О стержень
надет на горизонтальную ось, вокруг которой он может вра-
вращаться в вертикальной плоскости. В положении устойчи-
устойчивого равновесия к шару прикладывают горизонтальную
силу F, линия действия которой проходит через его центр
перпендикулярно к оси вращения. Найти реакции оси
в начале движения, если / = Зг.
Ответ:
~
= ~F\ Y0 = P.
1104. Однородный диск весом Р и радиуса г может сво-
свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси
Oz, перпендикулярной к плоскости диска и расположен-
расположенной на расстоянии а от его центра С. Диск отклонен от по-
положения устойчивого равновесия на угол а и отпущен без
начальной угловой скорости. Определить реакции оси в на-
начале движения.
Ответ:
_;
D r2
=P
295

1105. Решить предыдущую задачу при условии, что диск
заменен шайбой с внутренним радиусом г= а, внешним ра-
радиусом R = 2а и а = 45°.
Ответ: \Х0\ « у р*> уо = jP'
1106. Однородный стержень О А весом Р, надетый кон-
концом О на горизонтальную ось, отклонили от положения
устойчивого равновесия на угол ср = 120° и отпустили без
начальной угловой скорости. Найти максимальное давле-
давление стержня на ось.
Ответ: 3,25 Р.
Рис. 620
Рис. 621
1107. По условию задачи 1097 определить максималь-
максимальные реакции петель А и D после разрыва цепи.
Ответ: RA = Rd = 1,25Р.
1108. Однородный цилиндр весом Р катится без сколь-
скольжения внутри неподвижной горизонтальной трубы. Пре-
Пренебрегая трением качения, найти максимальное давление
цилиндра на трубу, если в начале движения центр тяжести
цилиндра был на одном уровне с центром тяжести трубы.
Ответ: -? Р.
1109. Математический маятник весом Р отклонили от
положения равновесия на угол ф0 = 60° и отпустили без
начальной скорости (рис. 620). Найти максимальные состав-
составляющие реакции жесткой заделки невесомого стержня ОА
длиной /.
Ответ: Хо = 0,84Р; Уо = 2Р; Мо = 2Р/.
1110. Груз М весом Р отклонили от положения раЕнове-
сия на угол ф0 — у и отпустили без начальной скорости
(рис. 621). Пренебрегая размерами груза, весом стержней
296

и троса, определить максимальные усилия в стержнях /,
2, 3 фермы, если АВ = ВС.
Ответ: 5, = J- B + Уз) Р\ 52 = 0; S3 = 6Р.
Глава XIII. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
1111. Тележка мостового крана движется в горизон-
горизонтальном направлении с постоянным ускорением w. Опре-
Определить угол а отклонения троса от вертикали в положении
относительного равновесия груза.
Ответ: tg а = —.
1112. В вагоне поезда стоит открытый прямоугольный
сосуд длиной 49 см, шириной 32 см и высотой 30 см. Опре-
Определить: 1) сколько литров воды можно налить в сосуд, что-
чтобы она не выливалась при движении поезда с ускорением
2 м/с2?
2) равнодействующие сил давления воды на переднюю
и заднюю стенки во время этого движения.
Ответ: 1) 39,2 л, 2) Pi = 62,78И, Р2 = 141,26 Н.
Рис. 622
Рис. 623
1113. Призматический сосуд длиной М = 4 м, движущий-
движущийся горизонтально, разделен на два отсека, заполненных
водой до высот^ = 1 м и А2 = 1,8 м (рис. 622). Определить
ускорение сосуда, при котором равнодействующая сил дав-
давления воды на перегородку станет равной нулю.
Ответ: w
2/
g = 0.4g.
1114. Два одинаковых шарика А и В прикреплены к
концам горизонтального стержня CD длиной 2а невесомы-
невесомыми нерастяжимыми нитями длиной I каждая. С какой
297

угловой скоростью о) должен вращаться стержень CD вокруг
центральной вертикальной оси, чтобы нити отклонились
на угол а от вертикали?
Ответ: со = ]/ *Ча с
V а + / sin a
1115. С какой угловой скоростью должна вращаться
вокруг вертикальной оси Ох гладкая проволока (рис. 623),
изогнутая по кривой ху = 25, чтобы тяжелое колечко на-
находилось в относительном равновесии в точке х = у?
Ответ: со = 14 с.
1116. С какой угловой скоростью должна вращаться
вокруг вертикальной оси Оу гладкая проволока, изогнутая
JL А JL
по астроиде л:3 + у3 = г3, чтобы тяжелое колечко нахо-
находилось в относительном равновесии в положении м\г^~
Ответ: -|l/^.
1117. Цилиндрический сосуд с жидкостью вращается
вокруг своей вертикальной оси Oz с постоянной угловой
скоростью со. Определить уравнение свободной поверхности
жидкости.
Ответ: z — z0 = g- (x2 + у7) — параболоид вращения.
1118. Цилиндрический сосуд радиуса г и высотой ft,
наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг
своей вертикальной оси. При какой угловой скорости жид-
жидкость поднимется до краев сосуда?
Ответ: <о =
1119. Колечко М весом Р надето на гладкий стержень,
согнутый по кривой ху = а2 (рис. 623). Стержень равномер-
равномерно вращается вокруг вертикальной оси Ох с угловой ско-
скоростью со. Найти положение относительного -равновесия
колечка и его давление N на стержень в этом положении.
298

~ 3/ а4ш* 3 /
Ответ: х0 = |/ —; #о^= J/
©*'
1120. Шарик весом Р поместили внутрь трубки, изог-
изогнутой по эллипсу — + — = 1 и вращающейся вокруг вер-
вертикальной оси Оу с постоянной угловой скоростью со.
Пренебрегая трением, найти положение относительного
равновесия шарика и его давление N на трубку в этом по-
положении.
Ответ: xo^Ya*-?^\ ^-
1121. Жесткая проволока, изогнутая по кривой у =
^ 12 *8 ^см^' вРаи*ается вокруг вертикальной оси Оу с пос-
постоянной угловой скоростью о = 28 с1. По проволоке дви-
движется колечко М весом РН. Пренебрегая трением, опреде-
определить радиус окружности, которую описывает колечко в по-
положении относительного равновесия, и изгибающий момент
в точке О; g = 9,8 м/с2.
Ответ: г = 3,2 см, Мо = 10,19 РН см.
1122. Тяжелое тело спускается по гладкой грани клина,
наклоненной под углом а к горизонту. Клин движется пос-
поступательно по горизонтальной плоскости с постоянным ус-
ускорением w. Тело и клин движутся в одну сторону. Опре-
Определить относительное ускорение тела и условие, при кото-
котором относительное движение будет равномерным.
Ответ: wr=g sin a — шсо$а; tga
1123, Стрела башенного крана (см. рис. 298) поворачи-
поворачивается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со =
= 1 с. Тележка весом Р = 20 кН движется по стреле со
скоростью v = 2,45 м/с. Определить боковое давление те-
тележки «а рельсы.
Ответ: 10 кН.
299

1124. Поезд весом 36000 кН идет со скоростью 147 км/ч
с севера на юг. Определить боковое давление поезда на
рельсы, когда он пересекает северную широту <р = 50°.
Ответ: 16,70 кН на правый рельс.
1125. Прямолинейная гладкая трубка О А вращается в
горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси Оу с
постоянной угловой скоростью (о. Внутри трубки движется
шарик весом Р. Определить закон движения шарика отно-
относительно трубки и боковое давление шарика на стенку труб-
трубки, если при i — 0 х = а, х = 0.
Ответ: x = adio>t', N = — <о2аshсо*.
ф
о
Рис. 624
1126. Прямолинейная гладкая трубка О А (рис. 624) вра-
вращается с постоянной угловой скоростью со в горизонталь-
горизонтальной плоскости хОу вокруг вертикальной оси, проходящей
через точку В. Внутри трубки движется шарик М весом Р.
Определить относительное движение шарика и его боковое
давление на стенки трубки, если ОБ = Я и при t = 0 х =
= а, х = 0.
Ответ: х = a ch со/; N = — со2 (A -f 2а sh со/)-
о
1127. Решить задачу 1126 при условии, что шарику
в положении О сообщили скорость х0 = vQ.
Ответ: х = -^ sh cot; N = --<
1128. Стержень А В (рис. 625) вращается вокруг пер-
перпендикулярной к нему вертикальной оси OLO с постоянной
угловой скоростью со. Вдоль этого стержня может переме-
перемещаться без трения груз М массой т, прикрепленный к пру-
пружине; другой конец пружины закреплен в точке Л. Естест-
Естественная длина пружины равна ОЛ, а коэффициент жест-
300

кссти равен с. Найти уравнение движения груза М вдоль
стержня АВУ если со2 < -~ и при i = О х = О, к = vQ.
Ответ: х = vn у —-—т sin у -— со2/.
1129. Колечко М весом Р (см. рис. 299) соединяет не-
неподвижную проволочную окружность радиуса г и стержень
ОА9 вращающийся вокруг точки О по закону <р = со/ (со =
= const). Пренебрегая трением, определить добаЕочное
динамическое давление колечка на стержень.
Ответ: cos со/.
g
ИЗО. Тяжелое колечко движется вдоль жесткой глад-
?_ L -L
кой проволоки, согнутой по астроидех3 + уъ = г3 и рав-
равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси Оу с уг-
угловой скоростью со. Определить относительную скорость
колечка в положении В (г; 0), если в положении Л@; г)
скорость колечка была равна нулю.
Ответ: vr = У^Bд + coV) r.
1131. Груз массой т положили на пол вагона и прикре-
прикрепили к передней стенке упругим тросом. Пренебрегая тре-
трением, определить наибольшее натяжение троса, если вагон
начал двигаться по горизонтальному пути с постоянным
ускорением w.
Ответ: 2mw.
1132. Точка М массой т скользит вдоль гладкой полу-
полуокружности A MB (рис. 626), ограничивающей сверху вер-
вертикальную пластинку ABCD, движущуюся вдоль горизон-
горизонтальной оси Ох с постоянным ускорением w. Определить
давление на пластинку точки М, когда она занимает наи-
наинизшее положение, если в положении А относительная ско-
скорость тсГчки М была равна нулю.
Ответ: mCg — 2w).
1133. Колечко массой т движется вдаль гладкого стерж-
стержня, согнутого по кривой ху = а2 и вращающегося вокруг
вертикальной оси Оу с постоянной угловой скоростью со.
Найти давление колечка на стержень в положении В{а\ а),
301

если в положении А (—-, 4а) относительная скорость колечка
была равна нулю.
: N = тЛ/ i^
)
Ответ
1134, Шарик массой т движется без начальной ско-
скорости из положения Л@; Ь) внутри трубки, изогнутой
v*2 #/2
по эллипсу ^i + ij2==l- Трубка вращается вокруг верти-
вертикальной оси Оу с постоянной угловой скоростью со. Пре-
Рис. 628
небрегая трением, определить давление шарика на трубку
в точке В (а, 0) и в точке С@, —Ь).
Nc
Ответ: NB = m \<Zg j + яо2 (l + g)];
- m у g*(
l + 4?j + I6bgco\
1135. Шахтная клеть опускается в вертикальный ствол
с постоянной скоростью 1>0 (рис. 627). После включения
тормоза барабан радиуса г вращается с постоянным угло-
угловым замедлением е. Найти уравнение движения клети, на-
начиная с момента включения тормоза до остановки, если
статическое удлинение упругого троса под действием веса
клети равно бст.
Ответ: х = vot — -ire/2 + — (l —cos
1136. В трубку О А (рис. 628) помещен шарик М весом
Р, прикрепленный к концу пружины, второй конец кото-
которой закреплен в конце трубки А. Коэффициент жесткости
302

пружины с и при недеформированной пружине ОМ = а.
Трубка вращается в вертикальной плоскости вокруг гори-
горизонтальной оси, проходящей^ через точку О, с постоянной
угловой скоростью со< у Ц- Пренебрегая трением и ве-
весом пружины, найти уравнение вынужденных колебаний
шарика относительно трубки, если при t = 0 q> = 0.
Ответ: х =.
1137. Невесомый стержень АВ длиной / прикреплен
цилиндрическим шарниром А к тонкому вертикальному
валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью со.
К концу стержня прикреплен шарик В. Определить поло-
положение относительного равновесия и период малых колеба-
колебаний шарика около положения относительного равновесия,
пренебрегая его размерами.
а 2я/со
Ответ: а = arc cos ^л т =* у г, где а — угол
отклонения стержня АВ от оси вала.
1138. Тяжелое колечко надето на гладкий стержень,
согнутый по кривой у = |-(см). Стержень равномерно вра-
вращается вокруг вертикальной оси Оу с угловой скоростью
со = 14J/5 с". Определить период малых колебаний колеч-
колечка вблизи его положения относительного равновесия.
Ответ: т = ~ |Л + ~ = 0,635с.
1139. Круглая трубка радиуса г = 1,225 м вращается
вокруг вертикального диаметра с постоянной угловой ско-
скоростью со = 4 с. В трубке находится шарик М. Пренебре-
Пренебрегая трением и размерами шарика, найти уравнение малых
колебаний шарика около положения относительного равно-
равновесия, из которого шарик вышел с относительной скоростью
vr = 0,735 м/с, а также определить давление шарика на
боковую стенку трубки при прохождении положения отно-
относительного равновесия, если его вес 0,5 Н.
Ответ: <р = ~r- sin 21/3/; N = 0,15R
1140. Грузы А и В весом Р каждый (см. рис. 601) соеди-
соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной
303

через блок С. Ось блока укреплена на треугольной призме
весом Q, скользящей по горизонтальной плоскости. Пренеб-
Пренебрегая трением и массой блока, определить ускорение призмы
w е и ускорение грузов относительно призмы wn если а +
Q)/2.sin(a-45°)
ЗР + 2Q _ я sin 2а
Глава XIV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 34. Принцип возможных перемещений '
1141. На рис. 629 изображена схема дифференциального
рычага, применяемого в машинах для испытания образцов
на растяжение. AD =* СЕ, АО = ОС = D0x = 0х?, ОВ =
Ш
Рис. 629
Рис. 630
= a, 0xF = b. Определить величину силы Q, растягиваю-
растягивающей образец б//, если в точке В подвешен груз весом Р.
Ответ: Q = Р • |-.
1142. Перпендикулярно к рычагу Л О приложена сила F
(рис. 630). ЛО = 6ВО, С0г = 5DO,. Определить величину
силы Р, сжимающей тело М, если в данном положении ры-
рычаги горизонтальны, а стержни ВС и DE вертикальны.
Ответ: Р = 30/\
В задачах 1И1—1166, 1169—1190 весом конструкции пренебречь.
304

1143. К ползуну В кривошипно-шатунного механизма
приложена сила Я, направленная вдоль ВО (см. рис. 128).
Определить момент, который необходимо приложить к кри-
кривошипу, чтобы механизм в данном положении находился
в равновесии, если О А «= А В *= г.
Ответ: М = 2/Vsinq>.
1144. На крестообразный ползун К действует сила F,
направленная вдоль стержня АВ (см. рис. 311). Пренебре-
Пренебрегая трением, определить момент Л!, который нужно прило-
приложить к кривошипу ОС длиной /, чтобы механизм был в рав-
равновесии в данном положении.
Ответ: М «= F/sincp.
1145. На крестообразный ползун К действует сила F,
направленная вдоль стержня АВ (см. рис. 312), Пренебре-
Пренебрегая трением, определить величину уравновешивающей
силы Р, которую следует приложить в точке С перпенди-
перпендикулярно к кривошипу ОС.
Ответ: Р ~ Fcosa.
Рис. 631
Рис. 632
Рис 633
1146. К шарниру Л четырехзвенного механизма, сторона
CD которого закреплена, приложена сила Р ¦¦ 200Н (рис.
631). Определить величину силы Q, при которой механизм
в данном положении будет в равновесии.
Ответ: Q *= 60 Н.
1147. Грузы А и 5, подвешенные посредством системы
блоков и троса находятся в равновесии (рисг 632), Опре-
Определить зависимость между весами Ра и Рв грузов.
Ответ: РА = 5РВ-
11 9-396
805

1148. В точке В механизма, расположенного в горизон-
горизонтальной плоскости, приложена сила Р (рис. 633). Опреде-
Определить момент М, который следует приложить к кривошипу
ОА длиной я, чтобы механизм находился в равновесии в
положении, когда АВ ± ОА и <АВС = 2сс.
Ответ: М = у Pa sec a.
1149. К звену ОА шарнирного четырехзвенного механиз-
механизма (рис. 634) приложена сила Р. Определить момент пары
сил, которую надо приложить к звену О±В длиной г, чтобы
механизм в данном положении был в равновесии.
Ответ: М =Рг ]/2.
Рис. 634
Рис. 635
1150. На поршень В механизма (рис. 635) действует
сила Р. К звену О±С приложен момент М1 = ттРг- Пренеб-
Пренебрегая трением, определить момент М, который следует при-
приложить к кривошипу ОА, чтобы механизм был в равновесии,
когда звенья ОА = г и ОгС = Зг вертикальны.
Ответ: М = у Рг.
1151. К ползуну В дезаксиального кривошипно-шатун-
ного механизма приложена горизонтальная сила Р (см.
рис. 388). Определить момент Му который надо приложить
к кривошипу длиной г, чтобы механизм находился в равно-
равновесии б том положении, когда а = 60° и <ОАВ == 60°.
Ответ: М*=Рг}^3.
1152. К ведущему валу / редуктора приложен вращаю-
вращающий момент Мг (см. рис. 284). Пренебрегая трением, опре-
определить момент полезного сопротивления М2 на ведомом ва-
306

лу // при равномерном вращении, если числа зубцов: гх —
= 14, г2 = 84, z3 = 16, z4 = 64.
Ответ: М2 = 24 Мх.
1153. К ползуну В кривошипно-шатунного механизма
(см. рис. 474) приложена горизонтальная сила Q. Опреде-
Определить силу Р, которую надо приложить в точке А перпенди-
перпендикулярно к кривошипу, чтобы механизм в данном положе-
положении находился в равновесии. О А = 30 см, АВ = 113 см,
<АОВ = 30°.
Ответ: Р = 0,616 <>.
1154. К кривошипу О А дезаксиального кривошипно-
шатунного механизма (см. рис. 388) приложен момент М =
= 2,4 кНм. ОА = 60 см, АВ = 120 см, О^ = 30 см.
Определить горизонтальную силу Р, которую следует при-
приложить к ползуну В, чтобы механизм в данном положении
находился в равновесии, а = 30°.
Ответ: Р = 4 кН.
А о, _в.
Рис. 636
Рис. 637
1155. В механизме (рис. 636) ОХА = а, ВС = DE = Ь,
СО2 = с и BD == СЕ. Найти соотношение между силой Р,
действующей на поршень и уравновешивающим моментом
М9 если ОХА || ВО2.
Ответ: М =
ас
• Р.
1156. В рычажном механизме (рис. 637) АОХ = а,
ОхВ = СО2, OJD = Ь, 03Е = с, 03F = d. В точке F пер-
перпендикулярно к 03F приложена сила Q. Какую силу Р
необходимо приложить в точке А перпендикулярно к АВ9
чтобы механизм находился в равновесии, когда АВ, CD и
03F параллельны, /.а = 45°, a zP = 135°?
Ответ: Р = Q — —-.
307

1157. Определить уравновешивающий момент М на валу
Ох (рис. 638), если вал О2 приводится в движение электро-
электромотором мощностью N = 7,5кВт и делает л= 1500об/мин,
числа зубцов: zx = 24, г2 « 72.
Ответ: М ==» 15,915 Нм.
1158. Определить момент Мъ который нужно приложить
к валу Ох (рис. 639), для равномерного подъема груза ве-
весом Р (без учета трения в опорах), если Р = 10 кН, радиус
барабана г = 20 см, а числа зубцов: г, = 20, z2 = 80.
Ответ: Мг = 0,5 кНм.
Рис. 640
1159. На рис. 640 изображен механизм лебедки. Опре-
Определить величину силы Р, которую следует приложить пер-
перпендикулярно к рукоятке в точке А, чтобы равномерно
поднимать груз весом Qy если диаметр барабана d «= 30 см,
длина рукоятки / == 50 см, числа зубцов механизма: гг =
« 125, z2 = 25, z3 « 63, z4 = 21.
P = 0,02Q.
1160. На стержень АС кулисного механизма (см. рис.
324) действует сила Р, направленная вдоль АС. Пренебре-
Пренебрегая трением, определить величину момента М, который
необходимо приложить к кулисе ОВ, чтобы механизм в дан-
данном положении находился в равновесии.
Ответ: М = —~ .
COS2 ф
1161. На кривошип О А кулисного механизма действует
момент М (рис 641). О А =» г, ОХА = 00\ *= а. Пренебре-
Пренебрегая трением, определить величину уравновешивающего
момента Ми приложенного к кулисе ОгВ*
Ответ: Мг = 2М -j
308

1162. К кривошипу О А кулисного механизма (см. рис.
325) приложен момент М. OLB -» /. Пренебрегая трением,
определить величину силы F, которую нужно приложить в
точке В перпендикулярно к ОгВ, чтобы механизм находился
в равновесии, когда ОХВ jl ООг.
Ответ: F = -г.
Рис. 642
Рис. 643
1163. На кривошип ОА действует пара сил с моментом
М = 6 Нм (рис. 642), ОА « 15 см, OOL *= 20 см, ОгВ =
= 50 см, ВС = 78 см. Пренебрегая трением, определить ве-
величину силы Ру которую необходимо приложить к ползуну
С, чтобы механизм находился в рав-
равновесии, когда ОА X. ООг.
Ответ: Р = 125 Н.
1164. На ползун С действует
сила Р « 25 Н, направленная вдоль
ОС (рис. 643). ОА ^ П см, ООг =
= 9 см, ОгВ = ВС = 50 см. Пре-
Пренебрегая трением, определить ве-
величину момента М, который необ-
необходимо приложить к кривошипу
ОЛ, чтобы механизм находился
в равновесии, когда OLA = 10 см.
Ответ: М = 30,8 Нм.
Рис. 644
1165. На рис. 644 изображен механизм пресса, приводи-
приводимый в движение двигателем мощностью 13,5 кВт. Число
оборотов ведущего вала пг = 350 об/мин, ОА = 12 см,
АВ = 60 см. Определить силу Р давления пресса в данном
положении, если числа зубцов механизма: zx *= 16, z2 = 48,
zs = 14, z4 == 56.
Ответ: Р = 60,771 кН.
S09

1166. Определить уравновешивающий момент М на валу
О для положения механизма, показанного на рис. 645,
если OD = AD = 20 см, АВ = 2ЛС = 145 см, ft = 17 см,
Рг = 120 Н, Р2 = 400 Н, Q = 3600 Н.
Ответ: М = 27'4 Нм.
Рис. 645
Рис. 646
1167. Симметричная лестница стоит на гладком горизон-
горизонтальном полу (рис. 646). Вес каждой половины лестницы
60 Н. В точке D стоит человек весом 800 Н. Найти натяже-
натяжение веревки EF в зависимости от угла а.
Ответ: Т = 440ctgaH.
Рис. 648
Рис. 649
1168. Кран (рис. 647) состоит из неподвижной стойки
АВ и подвижной стрелы АС, удерживаемой тросом CBD.
Груз весом Р равномерно поднимается тросом, огибающим
блок С и идущим к лебедке Е. Вес стрелы Q приложен в ее
середине. АС = АВ. Пренебрегая трением, определить
натяжение троса CBD как функцию угла ос.
Ответ: Т = BР + Q) sin ¦? .
310

1169. На стержневой ромб (рис. 648) действует сила Р,
направленная по диагонали СО. Определить усилие в стерж-
стержне АВ, если угол при вершине С равен 2а.
Otneetn: S = Ptga.
1170. Зубчатые колеса /, IV и кривошип ОА свободно
насажены на ось О (см. рис. 418). На конце А кривошипа
закреплена ось спаренных колес //и ///, также свободно
насаженных. Числа зубцов: zt = 30, z2 = 100, z3 = 50. К
кривошипу О А приложен вращающий момент М, а к колесу
/ — момент полезного сопротивления Мг. Пренебрегая тре-
трением, определить величину момента М, если кривошип ОА
делает 30 об/мин, а колесо /У, вращаясь в противополож-
противоположном направлении, делает 20 об/мин.
Ответ: М = 21 Мг.
117К К линейке АВ эллипсографа прикреплен равно-
равносторонний треугольник ABD со стороной, равной 2а (рис.
649). Определить величину момента М,
который необходимо приложить к кри-
кривошипу ОС длиной а, чтобы уравнове-
уравновесить силы Ръ Р2 и силу Р3, параллель-
параллельную АВУ в положении, когда Z.COB =
= 30°.
Ответ: М =
~s) aV3 +P2
a.
Рис. 650
У/////////////
Рис. 651
1172. К ползуну D механизма (рис. 650) приложена сила
Р. Определить величину уравновешивающей силы Q, при-
приложенной перпендикулярно к рукоятке О А длиной а, если
ОБ = ОХС = &, ВС = ООХ и в данном положении механиз-
механизма CD JL СОЪ Z.COXD = a.
Ответ: Q
a sin a
1173. Перпендикулярно к рукоятке ОА длиной / при-
приложена сила Р (рис. 651). Определить величину силы Q,
311

сжимающей тело М, если ОВ
механизма Z.BOC = а,
PI cos Р
а и в данном положении
= р.
Ответ: Q =
а sin (а + Р) *
1174. Груз М весом Р поднимают с помощью домкрата,
шаг винта которого равен ft, а стержни образуют два рав-
равных ромба (рис. 652). Пренебрегая трением и считая острый
угол ромба равным 2а, определить величину силы F, кото-
Рис. 652
Рис. 653
Рис. 654
рую необходимо приложить перпендикулярно к рукоятке
длиной а.
on/.
Ответ} F = —tga.
1175. Тело М весом Р удерживается с помощью клеще-
клещевого захвата (рис. 653). АВ = ВС «=* CD «= ?)Л «= 4 см.
В нагруженном положении BD == 4 см. Пренебрегая весом
захвата, определить величину сил, сжимающих тело М.
Ответх 0,4 Р.
1176» Автомобиль с прицепом перевозит три трубы ве-
весом Р каждая (рис. 654). Определить давление труб на борт.
Ответ: -—-.
1177. На трехшарнирную арку (рис. 655) действуют си-
силы Ръ Р2 и Р3. Определить горизонтальную составляющую
давления арки на опору А.
Ответ:
==± (Л + Р2 +
J/2).
312

1178. Составная балка AD концом А жестко заделана в
стену, а в точке В опирается на подвижную опору (рис.
656). В точке С — шарнир. На балку действуют силы:
Рх = 5 кН, Р2 - 4 кН, Р3 = ЗкН
и пара сил с моментом М — 2 кНм.
Определить реакции жесткой за-
заделки.
Ответ: Ra=4 кН; Ма = 7 кНм.
1179. Составная балка АК (рис.
657), состоящая из трех балок, сое-
соединенных шарнирами D и Е, на
конце А заделана в стену и лежит
на опорах В и С. На балку действует в точке К сила
Р = 6 кН, а на участках ВС и DE — равномерно распре-
распределенная нагрузка интенсивности q = 3 кН/м. Определить
реакции опор при а =» 2 м.
2л/
/а/
Рис. 656
а
в]
¦1-1
ч
2а
ТПс
Д а
Рис. 657
Зм
Зм
Зм
Рис. 658
Ответ: МА = 6 кН • м; 7?л = 3 кН; RB = 7,5 kH; i?c —
-13,5кН.
1180. На составную балку (рис. 658) действуют: равно-
равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 1,5кН/м
313

и силы Р = 2 кН. Определить реакции жесткой заделки А
и момент пары сил, которую необходимо приложить к кон-
консоли ВС, чтобы балка находилась в равновесии.
Ответ: RA = 7 кН; МА .= 16 кНм; М = —12 кНм.
1181. Балка Л?> (рис. 659) состоит из трех балок, соеди-
соединенных шарнирами В и С. На балку действуют: равномерно
распределенная нагрузка интенсивности q = 2 кН/м, сила
„ Р
М
2а
Ё
Рис. 659
Р = 5 кН и пара сил с моментом М = —6 кНм. Считая
а = 2м, определить опорные моменты МА и MD и верти-
вертикальные составляющие реакций жестких заделок А и D.
Ответ: МА -= 12 кНм; Мо = —НкНм; YA = 7кН; УЪ=
= 6кН.
1182. На составную балку Л/С (рис. 660) действуют:
равномерно распределенная нагрузка интенсивности q =
Рис. 660
= 2 кН/м, пара сил с моментом М = 24 кНм и силы Р =
= 6 кН. Определить реакции опор, если а = 3 м.
Ответ; Ял = 3 кН; RB = 5 кН; /?с = 1 кН; RD = 15 кН;
1183. На балки Л С и ВС, соединенные между собой шар-
шарниром С (рис. 661), действуют:'равномерно распределен-
распределенная нагрузка интенсивности q = 3 кН/м, сила Р =* 4 кН
и пара сил с моментом М = —2 кНм; BD = DC. Опреде-
Определить реакции жесткой заделки А.
Ответ: ХА = —4 кН; ^Ул = 0,577 кН; МА =* —2 кНм.
314

1184. На конструкцию (рис. 662) действуют: нагрузка
интенсивности q = 2 кН/м, сила Р = 4 кН, сила Рх =
= 12 кН, направленная под углом 60° к горизонту, и пара
сил с моментом М — 18 кНм. Определить реакции опор.
Ответ: МА=— 24кНм; Хл=2кН;
= 18,588 кН.
Гл = 3,804 кН;
1
*
1 i.
г
1
Зм
Рис. 661
Рис. 662
1185. На конструкцию (рис. 663) действуют нагрузки
рг = б кН, Р2 = 6]/2 кН, Р8 = 9кН. Определить реак-
реакции жесткой заделки С, если а = 1м.
; Гс-=14кН.
Рис. 663
Рис. 664
1186. На ферму (рис. 664) действуют силы: горизонталь-
ная Рг и вертикальная Р2; AD = DC = СЕ = BE = DK =
= /(?, а = 30°. Определить усилия в трех Енутренних
стержнях.
Ответ: S± = — §; 58 - -52 =
315

1187, На ферму (рис. 665) действуют: горизонтальная
сила Рх и вертикальная сила Р2. Определить усилия в
стержнях CD и СЕ.
л/ 1
Ответ: Scd = (Рг — Pi) -V » $се = — -к- (Р\ + Я2).
^7 С
\
t.r.
Рис. 665
Рис. 666
1188. На ферму (рис. 666) действуют: горизонтальные
силы F и вертикальные силы Р. Определить усилия в стерж-
стержнях /, 2, 3 фермы.
Ответ: Sx = — 3 V2 F; S2 = —2F — 2Р; S3=*F + 2P§
1189. На ферму (рис. 667) действуют вертикальные силы
Рх и силы Р2» направленные перпендикулярно к ВС. Опре-
Рис. 667
Рис. 668
ЗЯи
делить усилия в стержнях /, 2, 3 фермы, если Рг
Р2 =» 4Р.
Ответ: S± - —15Р; S2 == ЮР; S3 = — у Я.
1190. На ферму (рис. 668) действуют горизонтальные
силы F и вертикальные Р. Определить усилия в стержнях
/, 2, 3 фермы.
Ответ: Sx
BF + ЗР); 52 = 2F + АР\
816

§ 35. Общее уравнение динамики
1101. Груз А весом Р (рис. 669) с помощью нити ABC
приводит в движение однородный цилиндр С весом Q. Пре-
Пренебрегая весом нити и блока В, определить ускорение гру-
груза, считая, что цилиндр катится без скольжения по горизон-
горизонтальной плоскости.
Ответ: w =
1102. Тяжелый полый цилиндр с внешним радиусом R
и внутренним г скатывается без скольжения по наклонной
Рис. 669 Рис. 670
плоскости, составляющей с горизонтом угол а. Определить
угловое ускорение цилиндра.
Ответ: е
1103. На испытательном стенде колесо К радиуса R при-
приводится во вращательное движение моментом М, прило-
приложенным к барабану // радиуса г (рис. 670). Пренебрегая
трением на осях и считая, что проскальзывание отсутствует,
найти угловое ускорение колеса /С, если его момент инер-
инерции равен Jf а каждого барабана равен Jx.
Ответ: в
1104. Однородный цилиндр весом Р скатывается без
скольжения по боковой грани призмы, опирающейся на
гладкий пол и стену (см. схему рис. 600). Найти давление
призмы на стену, считая угол а известным.
Ответ; N =» -тгР sin 2а.
о
317

1195. Однородный диск А весом Р (рис. 671) скатыва-
скатывается без скольжения по одной грани неподвижной призмы,
поднимая по другой грани с помощью нерастяжимой неве-
невесомой нити, переброшенной через идеальный блок С, такой
же диск В. Найти натяжение нити, если углы при основа-
основании призмы а и р.
р
Ответ: Т = у (sin а + sin P).
1196. Тонкостенную трубу весом Р (рис. 672) опускают
при помощи двух тросов, переброшенных через два непод-
неподвижных идеальных блока. К концам тросов приложены две
одинаковые силы F. Найти ускорение оси трубы.
р 4уг
Ответ: w = 2р g.
Рис. 671
Рис. 672
Рис. 673
1197. Шестерня / (см. рис. 638) приводится во вращение
парой сил с моментом М. Найти угловое ускорение гх шес-
шестерни /, если моменты сил трения на осях шестерен lull
соответственно равны Мх и М2, отношение радиусов шесте-
шестерен тх: гч = 3 и моменты инерции шестерен относительно
осей вращения Jt и J2.
М
Ответ: ех =
1198. На вертикальный барабан весом Р (рис. 673),
представляющий собой полый цилиндр с внешним радиу-
радиусом/? и внутренним г, намотан невесомый трос, приводящий
в движение однородный цилиндрический каток весом Q, ко-
который катится без скольжения по горизонтальной плос-
плоскости. Определить угловое ускорение барабана, если на
него действует пара сил с моментом М.
Ответ: г =
318

1199. Автомобиль общим весом Р движется с выклю-
выключенным сцеплением под углом а к горизонту. Вес каждого
из четырех колес равен Q, радиус равен г, радиус инер-
инерции колеса относительно оси его вращения равен р, а коэф-
коэффициент трения качения равен k. Определить ускорение
автомобиля. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: w =
1200. Горизонтальный ворот радиуса г и весом Q, масса
которого равномерно распределена по ободу, имеет 4 руко-
рукоятки, представляющие собой тонкие однородные стержни
длиной / и весом Рг каждый, прикрепленные под прямыми
углами друг к другу и к валу ворота. На ворот намотан
невесомый трос, к свисающему концу которого прикреплен
груз весом Р> приводящий систему в движение. Найти
ускорение груза.
Ответ*
3/V2
w =
Рис. 674
Рис. 675
Рис. 676
Рис. 677
1201. Клин весом Q приводит в движение вертикальный
стержень ВС весом Р (рис. 674). Пренебрегая трением, оп-
определить ускорение стержня, если на клин действует гори-
горизонтальная сила F и угол а = 45Л
Ответ:, w = ~~ -*
1202. Пренебрегая массами блоков и троса (рис. 675),
определить, с каким ускорением опускается груз А весом
Р, поднимая груз В весом Q.
Ответ: а> = ?"—""°
319

1203. Пренебрегая массами блоков и троса (рис. 676),
определить, с каким ускорением поднимается груз весом Q
при опускании груза весом Р.
Ответ: w^^
1204. Пренебрегая трением в подшипниках, определить
момент М, который нужно приложить к валу Ог (см. рис.
639), чтобы поднимать груз весом Р с ускорением w, если
радиус барабана равен г, моменты инерции барабана и шес-
шестеренок относительно осей вращения соответственно равны
/, J1 и J2, а отношение радиусов шестеренок г2: гх = 3.
, + '.)*].
Ответ: М - |[рг + (^ + J + 9J
1205. Пренебрегая массой троса и трением на осях (рис.
677), определить ускорение груза А весом Ръ если вес гру-
груза В равен Р2» момент инерции неподвижных блоков равен
У, а подвижный блок считать однородным диском весом Q и
радиуса 2г.
Ответ: w
Рис. 678
Рис. 679
Рис. 680
1206. Стержень AD длиной а равномерно вращается
вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 678).
К нему шарнирно прикреплён невесомый стержень АВ дли-
ной /, несущий на конце шарик весом Р. К шарику прикреп-
прикреплена пружина ВС, имеющая на конце С гладкое невесомое
кольцо, которое может скользить вдоль оси ОЕ. Найти за-
зависимость между угловой скоростью со и углом а отклоне-
отклонения стержня АВ от вертикали, если коэффициент жесткости
пружины равен с и при а = 0 пружина недеформирована.
820

1207. Центробежный регулятор (рис. 679) вращается
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью
со. Найти угол а отклонения его стержней от вертикали,
если длинакаждогостержня /, а вес Р±\ вес каждого шара —
Р2, а вес муфты М равен Q.
Ошсп,:
1208. Центробежный регулятор (рис. 680) вращается
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью
со. Определить угол а отклонения стержней от вертикали,
если вес каждого шара равен Р, стержня длиной / — Ръ
стержня длиной 2/ — 2РЪ а муфты М
равен Q.
Ответ: coscc = JL
1209. Центробежный регулятор
(рис. 681) вращается вокруг верти-
вертикальной оси с постоянной угловой
скоростью со. Оси подвеса стержней
длиной 21 и I отстоят от оси регуля- Рис. 681
тора на расстоянии а. Коэффициент
жесткости пружины с, вес каждого шара Р, а муфты Q.
Пренебрегая весом стержней и пружины, найти зависи-
зависимость между угловой скоростью регулятора и углом а от-
отклонения его стержней от вертикали, если при а =* 0 пру-
пружина находится в не деформирован ном состоянии.
1210. Цепь длиной / и весом Р переброшена через блок
весом Q. Определить угловое ускорение блока при движе-
движении цепи без проскальзывания в зависимости от длины х
свисающей чаети цепи. Блок считать однородным диском
радиуса г.
1211. Тонкостенная труба радиуса г скатывается без
скольжения по наклонной грани призмы, движущейся по-
поступательно вдоль горизонтальной плоскости с постоянным
ускорением w (рис. 682). Угол наклона грани призмы к го-
горизонту равен а. Пренебрегая сопротивлением качению,
321

определить: 1) угловое ускорение е трубы; 2) коэффициент
трения скольжения между трубой и призмой; 3) условие,
при котором труба будет подниматься.
Ответ: 1) е = ^- (g sin a — w cos a);
2) f^
7 '
2 (g cos a +
3) w>gtga.
7 б &
E1
JMR ¦ » '
/ /ШЖ
Рис. 682
Рис. 683
1212, На однородный цилиндр весом Pi (рис. 683) намо-
намотана веревка, конец которой прикреплен к телу А весом Р2,
расположенному на горизонтальной плоскости. Пренебрегая
весом веревки и трением между телом А и плоскостью,
определить ускорение оси О и тела Л, если к нему прило-
приложена горизонтальная сила F.
Ответ: wo~
Рис. 684
Рис. 685
Рис. 686
1213, Невесомая нить огибает подвижный блок с грузом
Л весом Q (рис. 684). К ее концам прикреплены грузы В и С
весом Рх и Р2, скользящие без трения по горизонтальной
плоскости. Найти ускорение груза Л и натяжение нити,
пренебрегая массами блоков.
Ответ: w = тт
Т =
322

1214, Доска весом Р (рис. 685) свободно расположена
на гладких опорах под углом а к горизонту. С каким уско-
ускорением относительно доски поднимается тело А весом Q,
если коэффициент трения между телом и доской равен /?
Ответ: w, = g —p~ f cos a.
1215, Сплошной цилиндр весом Р (рис. 686) обмотан
посредине нитью, переброшенной через блок О и прикреп-
прикрепленной к грузу М весом Q. Пренебрегая массами блока и
нити, найти ускорение груза М и оси С цилиндра, если
груз М поднимается.
Р _ sQ P + Q
1216. Стержень АВ (рис. 687) вращается вокруг пер-
перпендикулярной к нему вертикальной оси ООг с постоянной
угловой скоростью оз. Вдоль стержня могут перемещаться
без трения грузы МL и М2 массой т каждый, соединенные
пружиной с коэффициентом жесткости с. Естественная
длина пружины равна /. Найти уравнения движения грузов
Мг и М2 вдоль стержня А В, если со2 <— и при /=0
Ответ: Хл == -
где k* = ~ — со2.
т
1217. Груз Л весом Р с помощью невесомого упругого
троса ABC, переброшенного через идеальный блок В (см.
рис. 603), приводит в движение по гладкой горизонтальной
плоскости тело С весом Р. Определить ускорение груза А
и тела С, если коэффициент жесткости троса равен с и дви-
движение началось из состояния покоя, при этом ipoc был не-
деформирован.
Ответ: wA = ^ёA + cos A/); wc = у & (* —
A = ^ёA + cos A/); wc = у & (* —cos
где*-!».
1218, Шарик М под действием собственного веса Р дви-
движется вниз по винтовому пазу, расположенному на поверх-
323

ности однородного цилиндра радиуса г и весом Q (рис. 688).
Пренебрегая размерами паза и трением, найти угловое ус-
ускорение цилиндра, если шаг винта равен h и движение на-
началось из состояния покоя.
Ответ: е - 1^____
1219, Два шкива I и II (рис. 689) обмотаны невесомой
нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный
блок В. Шкив / скатывается по гладкой плоскости, на-
наклоненной под углом а к горизонту, а шкив // падает, раз-
Рис 688
Рис. 689
матывая нить. Считая шкивы однородными дисками весом
Pi и Р2 и радиусами гх и г2, определить их угловые ускоре-
ускорения и ускорение оси шкива //.
• X
Ответ: e^
X A + sin a); w2
1220. Груз А весом Р с помощью невесомого упругого
троса ЛВС, переброшенного через идеальный блок В (см.
рис. 669), приводит в движение из состояния покоя одно-
однородный цилиндр С весом Q. Считая, что цилиндр катится
без скольжения по горизонтальной плоскости, определить
ускорение груза А и ускорение оси цилиндра, если коэффи-
коэффициент жесткости троса равен сив начале движения трос
был недеформирован.
324

§ 36. Уравнения Лагранжа II рода
1221. Однородный полый цилиндр с радиусом внутрен-
внутренней поверхности г и внешней R скатывается без скольжения
по плоскости, отклоненной от горизонта на угол а. Опре-
Определить ускорение оси цилиндра»
Ответ: w
1222. Призма А весом Р и однородный сплошной ци-
цилиндр В весом Q (рис. 690), имеющие общие точки касания,
Рис. 690
Рис. 691
Рис. 692
движутся вместе вдоль плоскости, отклоненной от горизон-
горизонта на угол а. Определить ускорение призмы, если качение
цилиндра происходит без скольжения, а нижняя и передняя
грани призмы являются гладкими.
Ответ: w=*2
1223. На однородный цилиндр радиуса г и весом Р, ось
вращения которого вертикальна (см. рис. 673), намотана
нерастяжимая невесомая нить, конец которой закреплен
в центре С однородного диска весом Q. К цилиндру прило-
приложен вращающий момент М. Определить ускорение центра
диска, если его качение по горизонтальной плоскости про-
происходит без скольжения.
2М
Ответ: wc^
1224. Веса шкивов /и //равны Qx и Q2, а груза М ра-
равен Р (рис. 691). Падая отвесно, груз М разматывает нить
со шкива / и вращает оба шкива без проскальзывания.
325

Считая шкивы однородными сплошными цилиндрами, опре-
определить ускорение груза М.
2Р
Ответ: w g
1225. Вес клина /С, расположенного на гладкой гори-
горизонтальной плоскости, равен Pl9 вертикального стержня
OD—Р2, диска — Q (см. рис. 352). На клин действует
горизонтальная сила F, направленная вправо. Считая угол
а известным, определить ускорение клина, если между
диском и наклонной гранью клина скольжение отсутствует.
-У, + qtgal cos* a
a + P2 sin* а) + Q A + 2 sin* a) '
Ответ- w
cosz
1226. Стержень А В весом Рг (рис. 692) движется по-
поступательно вниз, вращая вокруг горизонтальных осей Ог
и О2 одинаковые валики весом Р2 каждый и заставляя
катиться без скольжения диск весом Р3> зажатый между
стержнем и неподвижной плоскостью. Определить ускоре-
ускорение центра тяжести С диска, если стержень АВ и непо-
неподвижная плоскость наклонены к горизонту под углом а.
Ответ: wc = 2g:
! ±±
±11
Рис. 694
Рис. 695
1227, Силой Q, приложенной в точке А перпендикуляр-
перпендикулярно к рукоятке ОА длиной / дифференциального ворота
(рис. 693), поднимают груз М весом Рг. Радиусы верхнего
блока равны г и R, а его момент инерции относительно оси
О равен Jx\ вес нижнего блока — Р2, его момент инерции
относительно оси С равен /2. Пренебрегая весом веревки,
рукоятки и трением, определить ускорение груза М,
Ответ: w =
326

1228. В механизме, расположенном в горизонтальной
плоскости, колесо 3 неподвижно (рис. 694). На ось О сво-
свободно насажено колесо / и кривошип 4, несущий ось вра-
вращения колеса 2. Массы движущихся колес и кривошипа
соответственно равны тъ т2, т4, радиусы колес — rl9 r2,
длина кривошипа /. К кривошипу приложен вращающий
момент М. Считая массы колес распределенными по их
ободам, определить угловые ускорения колес кривошипа.
Ответ: вх «-^- * • *2 = ~^' ~в> Ч «s.
В = Bт1 + т2) (гг + r2J + m41.
1229. К ведущему валу / редуктора (рис, 695) приложен
вращающий момент Ml9 а к ведомому валу // момент сопро-
сопротивления М2. Момент инерции вала / и жестко связанной
с ним шестеренки радиуса гх относительно его оси равен У/,
момент инерции вала // и жестко связанной с ним рамы
относительно его оси — У//, масса каждой бегающей шесте-
шестеренки 2 равна т2, ее радиус г2, а момент инерции относитель-
относительно собственной оси J2. Бегающие шестеренки находятся
во внутреннем зацеплении с неподвижной шестерней 3. Пре-
Пренебрегая трением, определить угловое ускорение ведущего
и ведомого валов.
Ответ: е7 =
р —
1230. Через блок радиуса г и весом Р3 (с горизонталь-
горизонтальной осью вращения) переброшен трос весом Р4 и длиной /,
к свисающим концам которого прикреплены грузы весом
Рг и Р2- Груз весом Ръ опускаясь без начальной скорости,
передает движение блоку, масса которого распределена
по ободу равномерно, тросу, длины свисающих частей ко-
которого в начальный момент равны 1г и 12 соответственно,
и грузу весом Р2. Определить уравнение вращения блока.
Отет: ер = -f (chl/2/-l). где А Л
327

123К Платформа весом Рх перемещается без трения по
горизонтальной плоскости под действием приложенной
к ней горизонтальной силы F. На платформе расположен
цилиндр весом Р2. Определить ускорение платформы и
ускорение оси цилиндра относительно платформы, считая,
что цилиндр катится по платформе без скольжения.
Ответ:- 3F* -~ 2F*
1232. Вес платформы АВ, расположенной на гладкой
горизонтальной плоскости равен Р19 вес кузова вагонетки
D — Р2 (рис. 696), а каждого из его четырех колес — Q.
К тележке приложена горизонтальная сила F. Определить
X
м,
Щ
Рис. 696 Рис. 697 Рис. 698
ускорение платформы АВ, если масса колес распределена
по их ободам равномерно, а качение колес происходит без
скольжения.
Ответ: w« ptp% + iQBP?+P% + 4Q) '
1233. Веса призматических тел Mlf М2У М3 равны Ри
Р2, Р3 соответственно (рис. 697). На призму Мг действует
горизонтальная сила F. Пренебрегая трением и весом блока
Q, определить ускорение призмы Мг.
Ответ: хюг
1234. Вес клина Л, скользящего по горизонтальной
плоскости равен Рг, а клина В, скользящего по его наклон-
наклонной грани — Р2 (рис. 698). Считая угол а известным и пре-
пренебрегая трением, определить ускорение клина А, если
к клину В приложена горизонтальная сила F.
Ответ: w -
1235. Вес клина А, расположенного на горизонтальной
плоскости, равен Рг, а тела В на его наклонной грани — Р2
328

(рис. 699). К блоку О радиуса г приложен момент М9 вра-
вращающий его по часовой стрелке. Пренебрегая весом блока
и трением, определить ускорение клина Л.
~ P*r sin а — М
Ответ: w *- a
1236. Вес клина Л, расположенного на горизонтальной
плоскости, равен Ръ вес тела В на его наклонной грани —
Р2, вес блока О — Q (рис. 699). Считая, что масса блока
распределена по ободу равномерно и пренебрегая трением,
определить ускорение клина Л.
Ответ: w =
sin a cos a
P*'(Pi + Р% sin* a + 2Q + Q (Px + Q) '
Рис. 699
Рис. 700
Рис. 701
1237. Механизм, расположенный в горизонтальной плос-
плоскости, состоит из двух одинаковых зубчатых колес 1 и 2,
массы которых распределены по их ободам, и кривошипа
О А (рис. 700). Момент инерции каждого колеса относитель-
относительно его оси равен У. Пренебрегая массой кривошипа и тре-
трением, определить угловые ускорения кривошипа и зубча-
зубчатых колес, если к кривошипу приложен вращающий момент
iW0, а к колесу 1 вращающий момент Мх.
Ответ: е0
¦ 82
1238. В механизме, расположенном в горизонтальной
плоскости (рис. 701), вес зубчатого колеса / равен Р, а ра-
радиус г, вес зубчатого колеса 2 — Q, радиус 2г. К криво-
кривошипу ОАУ вес которого можно не учитывать, приложен вра-
вращающий момент Мо, а к колесу 2 вращающий момент М.
Считая массу зубчатого колеса 2 распределенной по его
ободу, а зубчатое колесо / однородным диском, определить
угловое ускорение зубчатого колеса 2Щ
Ответ- е -
ответ. Ч-
329

1239. Радиус каждого из трех зубчатых колес механизма»
расположенного в горизонтальной плоскости, равен г (рис.
702). К кривошипу О А приложен вращающий момент Мо,
а к зубчатому колесу 3 вращающий момент М. Пренебрегая
весом кривошипа и трением и считая каждое зубчатое
колесо однородным диском массой т, определить угловые
ускорения зубчатых колес и кривошипа.
Отерт* р —р — ilfllLffi!!• р — М° ~~ 10Л**
2М + ЗМ0
64т/*
Рис. 703
1240. На ось О свободно насажено зубчатое колесо /
радиуса 2/* и кривошип ОЛ, несущий на себе ось зубчатого
колеса //, радиус которого г (см. рис. 398). Масса колеса /
равна 2/п, колеса //— /п, кривошипа ОА — ~. Механизм
расположен в горизонтальной плоскости. Считая криво-
кривошип однородным стержнем, а массы колес распределенны-
распределенными по их ободам, определить угловые ускорения колес и
кривошипа, если к кривошипу приложен вращающий мо-
момент М.
Л М AM 2M
Ответ: в,-^^; Ч^щг^ ез = ззт72-
1241. В механизме (см. рис. 397), расположенном в го-
горизонтальной плоскости, на ось О свободно насажены зуб-
зубчатое колесо / и кривошип О А, который на конце А несет
ось зубчатого колеса //, имеющего внутреннее зацепление
с колесом /. Радиус колеса / равен Зг, а масса 3/и, радиус
колеса // — г, а масса /п, масса кривошипа -^. Считая
массы колес распределенными по их ободам, определить
угловые ускорения колес и кривошипа, если к кривошипу
приложен вращающий момент М.
п ЗМ 27М . \8М
Ответ: е^^^шГ*' в// = -Ш^' 8о==Ш^-
330

1242. На сплошной однородный цилиндр А весом Рг
(рис. 703) намотана веревка, конец которой закреплен на
ободе шкива В весом Р2 и радиуса г с неподвижной осью
вращения О. К шкиву В приложен вращающий момент М.
Пренебрегая трением веревки о плоскость, ее весом и тре-
трением на оск? определить угловое ускорение шкива В, счи-
считая его однородным сплошным цилиндром и ускорение оси
С цилиндра, который катится, разматывая веревку, без
скольжения.
2Mg
Рис. 704
Рис. 705
1243. К телу А весом Р приложена сила F, параллель-
параллельная гладкой плоскости, составляющей с горизонтом угол а,
и прикреплена веревка, намотанная на однородный сплош-
сплошной цилиндр весом Q, который, разматывая веревку, скаты-
скатывается с плоскости (рис. 704). Определить ускорение тела
А и оси О цилиндра, а также величину силы F, при которой
абсолютное ускорение оси цилиндра равно нулю.
Ответ: w = gr (^JL-- sin a); w0 =
F = CP + Q) sin a.
1244. Платформа АВ весом Р расположена на плоскос-
плоскости, наклоненной к горизонту под углом а (рис. 705). На
платформе находится однородный сплошной цилиндр весом
Q, ось которого горизонтальна. Определить ускорение
платформы и оси цилиндра, если коэффициент трения
между платформой и наклонной плоскостью равен /. Чему
равно угловое ускорение цилиндра, если / = 0? Между
платформой и цилиндром скольжение отсутствует.
Ответ: w — ,
e = 0.
331

1245. Треугольная призма А весом Р (см. рис. 451) рас-
расположена на плоскости, отклоненной от горизонта на угол
а. На верхнюю горизонтальную грань призмы положили
призматическое тело В весом Q. Пренебрегая трением, оп-
определить ускорения призмы А и тела В, а также ускорение
тела В относительно призмы Л.
Ответ: wA=gL^U—; life - g ^ + Q dtf a *
wBr f —wA cos a.
1246. Треугольную призму А весом Р (рис. 706) поло-
положили на гладкую плоскость, отклоненную от горизонта
Рис. 706 Рис. 707
на угол а, а на верхней горизонтальной грани призмы по-
поместили однородный цилиндр весом Q. Определить ускоре-
ускорения призмы и оси О цилиндра, если между цилиндром и
призмой скольжение отсутствует.
1247. На горизонтальной плоскости расположена приз-
призма А весом Р9 вдоль грани которой, составляющей с гори-
горизонтом угол а, скользит тело Мх весом Рг (рис. 707). Вес
тела М2 равен Р2. Пренебрегая трением, массами блока и
нити, определить ускорение призмы.
г\ (Р2 — Р* sin a) P± cos a
Ответ: wA *= i-2 —^—; • g.
1248. На плоскости ААЪ отклоненной от горизонта на
угол а, расположено тело В весом Ри а на его грани —
тело С весом Р2(рис. 708). a = 30°, р = 60°. Пренебрегая
332

трением, определить ускорения тела В и тела С относитель-
относительно тела В.
Ответ: w.
1249. На двух цилиндрических шкивах одинакового
радиуса, вращающихся в противоположные стороны, ле-
лежит однородная горизонтальная плита весом Р (рис. 709),
а на ней помещен цилиндр весом Q с образующими парал-
параллельными осям шкивов. Коэффициент трения между плитой
Рис. 708
Рис. 709
и шкивами равен /. Определить уравнение движения оси
С цилиндра, если качение цилиндра по плите происходит^
без скольжения и в начальный момент плита и цилиндр
были в состоянии покоя, а их центры тяжести находились
в вертикальной плоскости, отстоящей от начала координат
О на расстоянии х0. ОХО2 ¦= 2/.
Ответ:
Рис. 710
Рис. 711
Рис. 712
1250, Вес горизонтальной платформы равен Рг (рис.
710), а однородного сплошного цилиндра — Р2. К плат-
платформе и к оси С цилиндра приложены параллельные гори-
горизонтальные силы Fx и F%. Определить ускорения платформы
и оси С цилиндра, если между цилиндром и платформой
скольжение отсутствует.
Ответ: wL = «г
C/>i+ />,)/>,
333

1251. Вес клина А, расположенного на гладкой гори-
горизонтальной плоскости, равен Рх (рис. 711), а однородного
сплошного цилиндра на грани клина, наклоненной к гори-
горизонту под углом ос,— Р2. Определить ускорения клина и
оси С цилиндра, если между клипом и цилиндром скольже-
скольжение отсутствует.
Р2 sin 2a
;
Ответ: w, =
, = 2gsina
\ + BPi + P«) P% sin2 a
VS///..MW/////A
Рис. 714
A c M
Рис. 715
1252. Вес клина А равен Ръ а тела В на его грани, на-
наклоненной к горизонту под углом а,— Р2 (рис. 712). К кли-
клину приложена горизонтальная сила F. Пренебрегая тре-
трением, определить ускорения клина и тела.
F — Р2 sin a cos a
Ответ: щ -
sin a.
1253. Веса грузов А, В, С равны Plf P2t Ps соответствен-
соответственно (рис. 713). К грузу С, расположенному на гладкой гори-
горизонтальной плоскости, приложена горизонтальная сила F.
Пренебрегая весом блоков и нитей, определить ускорения
грузов А и С.
Ответ- w ~
итвет. wA -
w _
1254. На горизонтальной доске А весом Рх расположен
брусок В весом Р2 (рис. 714). Коэффициент трения между
телами А и Ву а также между телом А и неподвижной плос-
плоскостью равен /. Пренебрегая весом блоков и нитей, опре-
определить ускорения доски, бруска и груза М весом Р3.
334

Onwenv w.-
- / DP,P2
1255. Считая углы а и Р известными и пренебрегая тре-
трением, определить ускорения призмы М и тел J\it и Мг весом
Р, Рц, Р2 соответственно (см. рис. 476).
а Р,
* = Т • р +
+ ш2 sin a; до2 = j/^g2 + w2 sin p.
1256. Решить задачу 1206, считая стержень АВ тонким
и однородным весом Q.
2 о BЯ + Q) tg a + 2cl sin a
1257. Решить задачу 1209, считая все стержни тонкими
и однородными весом Рг и 2Рг соответственно.
со2 = gr 4p(^2/s^a)Ypl(L + 6/sina) *« a'
1258. На неподвижную проволочную окружность, рас-
расположенную в горизонтальной плоскости, надета пружина
АВ и два шарика, прикрепленные к ее концам. Масса каж-
каждого шарика /и, коэффициент жесткости пружины с, ее ес-
естественная длина /. Положения шариков на проволочной
окружности определяются дуговыми координатами: ОА =
= sb OB = s2. Пренебрегая размерами шариков и трением,
определить их уравнения движения по проволочной окруж-
окружности, если в начальный момент ОА = О, ОВ = / + s0
и шарики были неподвижны.
Ответ:
Sl =* f (l — cos ]/^ /);
1259. На неподвижную проволочную окружность, рас-
расположенную в горизонтальной плоскости, надеты два ша-
шарика Л и В и пружина АВ, концы которой прикреплены
к шарикам. Масса каждого шарика /п, коэффициент жест-
жесткости пружины с. На шарик А по касательной к окружно-
окружности действует постоянная по модулю сила F. Пренебрегая
335

размерами шариков, трением и весом пружины, определить
касательные ускорения шариков, если в начальный момент
система была в покое, а пружина недеформирована.
F I
Ответ: W\ = ^ \Л \- cos
1260. Вес платформы АВ, расположенной на горизон-
горизонтальной плоскости, равен Ръ вес тела М — Р2у коэффициент
жесткости пружины — с (рис. 715). К платформе приложе-
приложена горизонтальная сила /\ Пренебрегая трением, опреде-
определить ускорение платформы и тела Мч если движение систе-
системы началось из состояния покоя, при котором пружина
была недеформирована. Силы Ръ P2l F и ось пружины
расположены в одной вертикальной плоскости.
Ответ: щ - pJfc(l + gooe kt);
Wo
1261. Вес клина Л, расположенного на гладкой гори-
горизонтальной плоскости, равен Ръ однородного сплошного
Рис. 716 Рис. 717 Рис. 718
цилиндра — Р2, коэффициент жесткости пружины — с,
угол а известен (рис. 716). Определить уравнение движе-
движения клина, если в начальный момент система была в покое,
а пружина недеформирована. Между цилиндром и клином
скольжение отсутствует.
Ответ: х == — ¦— A — cos kt) sin 2a,
где
1262. Вес клина А равен Ръ тела В — Р2У коэффициент
жесткости горизонтальной пружины — с, угол а известен
(рис. 717). Пренебрегая трением и весом пружины, опре-
определить ускорение призмы Л, если система движется из
336

состояния покоя, при котором пружина была недеформи-
рованной.
Ответ: Wi — g sin a +
где fe2 = eg p1.^2»
?8 cos W.
1263. Оси Ох и О2 однородных сплошных дисков, одина-
одинаковых радиусов и массой т каждый, соединены пружиной,
коэффициент жесткости которой равен с, естественная дли-
длина /, а ось пружины параллельна плоскости, составляющей
с горизонтом угол а (рис. 718). Определить уравнения дви-
движения центров дисков, если движение началось из состоя-
состояния покоя, когда деформация пружины была равна 60. На-
Начало координат взять в начальном положении центра тяжес-
тяжести диска 1. Качение дисков происходит без скольжения.
Ответ: хх =* ¦§-12 sin a + ~ A — cos kf)\
*2=f /2since
', где ?2 =
1
Рис. 719
Рис. 721
1264. Груз М, падая отвесно, приводит во вращение
блок, на который намотана веревка (рис. 719). Вес блока
равен Q, а груза М — Р9 коэффициент жесткости пружи-
пружины — с. Считая блок однородным диском и пренебрегая
весом веревки и пружины, определить ускорение груза,
если его отпустили из состояния покоя, когда пружина
была недеформирована.
Ответ: w = g
u
, где k =
12 9-396
337

1265, Ось О блока прикреплена к концу вертикальной
пружины с коэффициентом жесткости с (рис. 720). Падая
отвесно, груз М весом Р разматывает веревку и приводит
во вращение блок, ось О которого совершает колебательное
движение в вертикальном направлении. Считая блок одно-
однородным диском весом Q и пренебрегая весом пружины и
веревки, определить ускорение оси О блока и груза М, если
система была отпущена из состояния покоя, когда пружина
была недеформирована.
Ответ: w0 = groskt\ wM = g
1266. Вес платформы АВ равен Р, тела М — Q, коэф-
коэффициент жесткости каждой пружины — с, угол а известен
(рис. 721). В начальный момент тело М было в равновесии
относительно платформы, а платформа предоставлена сама
себе. Определить ускорение платформы А В- и тела М. Тре-
Трением и весом пружины прене-
&//////' бречь.
Ответ: wAB = i
+ -^ cos U j sin a; wM =g A
— cos kt) sin а, где k =
Рис- 722 1267. Веса грузов М1 и М2
равны Р и Q соответственно,
коэффициент жесткости пружины А В равен с, угол а из-
известен (рис. 722). Пренебрегая трением, весом блока, верев-
веревки и пружины, определить ускорения грузов Ми Ма, если
Q > Psina и система была отпущена из состояния покоя,
когда пружина А В была недеформирована.
Ответ: Wl =
sin a) g cos Ы;
338

1268. Между зубчатыми колесами / и 2, расположен-
расположенными в горизонтальной плоскости, помещена шестерня 3
(рис. 723). Радиус колеса / равен ги вес Рг\ радиус колеса
2 — г2, а вес Р2\ вес шестерни 3 равен Р3. К колесам / и 2
приложены вращающие моменты М1 и М2. Считая массы
колес 1 и 2 распределенными по их ободам, а шестерню 3
однородным диском и пренебрегая трением, определить
угловые ускорения колес / и 2.
Ответ: гг =.
l(*Pi
+ ЗР3) - Р\\ т\г2 f
>(8Р2 + ЗР3)-Рз21П'Г
1269. Через неподвижные блоки А и В и подвижный
блок С (рис. 724) переброшена нить, к концам которой
прикреплены грузы Mj и М2 весом Р, и Р2 соответствен-
соответственно, а к подвижному блоку С груз М3 весом Р3. Пренеб-
Рис. 723
регая трением, весом блоков и нитей, определить ускоре-
ускорения грузов Мг и 7W2.
Ответ: wt = 4р
Wo =
1270. Зубчатая рейка АВ весом Рг расположена на плос-
плоскости, наклоненной к горизонту под углом а (рис. 725).
Ось С зубчатого колеса весом Р2 перемещается под дейст-
действием силы Fy направленной параллельно рейке. Пренебре-
Пренебрегая трением, определить ускорение рейки АВ и оси С зуб-
зубчатого колеса.
339

.* w>ab = gUina —
Ответ
1271 ¦ На плоскости, наклоненной к горизонту под углом
а, расположена доска А весом Рь а на ней доска 5 весом
Р2 (рис. 726). Коэффициент трения между доской А и на-
наклонной плоскостью /х, а между досками /*. Определить
ускорение доски А и ускорение доски В относительно А.
Ответ:
= gjsina —/xcosa —^(Д —/2)cosaj;
Д
= g
(h — h) cos a.
1272. Веса грузов М1у М2, М3 равны соответственно
Л> ^2» ^з (Рис- 727)- Пренебрегая трением и весом непод-
неподвижных блоков А и 5, подвижного С и нитей, определить
ускорения грузов при опускании груза М2.
Ответ: wx =
81
1273. Через неподвижный блок А перекинута нить (рис.
728), к одному концу которой прикреплен груз Мх весом
Plf а к другому — ось вращения блока В. На блок В намо-
намотана нить, к свободному концу которой прикреплен груз
М2 весом Р2. Считая блоки А и В однородными дисками
одинаковых радиусов и весом Q каждый и пренебрегая ве-
весом нитей определить ускорение грузов Мх и М2 при
опускании груза Мг.
Ответ' шл - gg 2P*P*+
итвет. wx — zg 4/>
3Q) Q
340

1274. Клин С весом Q, опускаясь, раздвигает призмати-
призматические тела А и В, которые первоначально были неподвиж-
неподвижны (рис. 729). Веса тел А и В равны P}uPz соответственно.
Угол при вершине D клина равен а. Пренебрегая трением,
определить ускорения тел А и В.
Ответ: wx =
(Pi + P2 + Q)Q+ [4РЛ + (Pi + Г*) Q\ tg2 у
CC
2
(Pi + /*2 + Q) Q +
(Pi + P2) Q] tg2 \
'8-
Рис. 730
1275. Падая отвесно, груз М весом Q (рис. 730) передает
движение валу А радиуса г, скрепленному с ним зубчатому
колесу радиуса R и зубчатой рейке CD, которая скользит
по горизонтальной плоскости вправо. Вес вала и зубчатого
колеса равен Ръ их момент инерции относительно оси сим-
симметрии О равен У, вес рейки CD — P2, Пренебрегая весом
блока /С, веревки и трением, определить ускорение оси О
вала и рейки CD.
341

Ответ:
„. _
0 ~ Jg (Pi + Q)
2 Jg (Pi + Q)
1276. На однородное сплошное цилиндрическое течто А
весом Q намотана веревка, скользящая по плоскости, от-
отклоненной от горизонта на угол а (рис.731). Коэффициент
трения веревки о плоскость равен /. Считая блок В одно-
однородным диском весом Р2 и пренебрегая весом веревки, оп-
Рис. 731 Рис. 732
ределить ускорение груза М весом Р± и оси С тела А при
опускании груза М.
ЗРг — Q C/ cos a + sin a)
^ ;
Ответ: wM = 2g
off B*4 + ^2 + Q) sin a+ Qf cos a- Pt
Wc = ZS 6p1+3P2 + 2Q •
1277. Пластинка АВ весом Pj (рис. 732) прикреплена
шарнирами к невесомым стержням АО и ОгВ с неподвижными
осями вращения О и 0г. ОА = (V?, угол а известен. На
пластинку ставят груз М весом Р2 и отпускают систему из
состояния покоя, когда стержни вертикальны. Пренебрегая
трением, определить абсолютное ускорение пластинки А В
и ускорение груза М относительно пластинки в этот мо-
момент.
(Pi + РъЫ™
S Pj +/>2 sin* a '
1278. Веревка, намотанная на шкивы Л и В, охватывает
блок С, к оси которого прикреплен груз D весом Q (рис.
733). Пренебрегая весом веревки и трением, определить ус-
ускорение груза D, если веса шкивов Л, В и блока С равны
342

соответственно Pl9 P29 P39 а их массы распределены по
ободам равномерно.
Ответ: wd =
}2 + (Pl + P2 + P,
1279. Пренебрегая весом блоков, нитей и трением, оп-
определить ускорения грузов Ми М2, М3 весом Ръ Р2, Р3
соответственно (рис. 734).
Рис. 734
Рис. 735
Ответ: wx —
- *
(Р2 + Ра)
1280. Веревка, намотанная на шкивы Л и В, охваты-
охватывает блок С, к оси которого прикреплен груз D весом Р
(рис. 735). Радиус каждого шкива равен г, а вес Q, вес бло-
блока С равен Qi. К шкивам приложены вращающие моменты
Мг и М2. Считая шкивы и блок однородными дисками, оп-
определить их угловые ускорения.
Ответ:
^_sM1BP + 4Q + 3Q1) + M2BP + Q1)^(P + Q1)BQ + Q1)r^
, _„Мг BР + Qt) + М2 BР + 4Q + 3^) + \р + Q1)BQ + Qt)r

Глава XV. КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ1
§ 37. Колебания механической системы
с одной степенью свободы
1281. К нижнему концу А однородного стержня АВ
сесом Р прикреплен конец пружины AD, которая при вер-
вертикальном положении стержня А В горизонтальна и не де-
деформирована. Через точку О на стержне проходит горизон-
горизонтальная ось вращения. ОВ = 20А = -j l. Определить, при
6
Рис. 736
Ш/,
Рис. 737
Рис. 738
каких значениях коэффициента жесткости с пружины вер-
вертикальное положение стержня АВ устойчиво.
Ответ: с > -jj ¦
1282. Вес каждого однородного диска равен Q, а ра-
радиус — г (рис. 736), вес однородного стержня АВ, соеди-
соединяющего оси вращения дисков, равен Р, а длина /, радиус
неподвижной цилиндрической поверхности KL, по которой
диски катятся без скольжения, равен R. В положении рав-
равновесия стержень АВ горизонтален, пружина BD горизон-
горизонтальна и недеформирована. Определить, при каких значе-
значениях коэффициента жесткости с пружины положение рав-
равновесия механизма устойчиво.
Ответ: с>-7
ШШ
В задачах этого раздела весом пружины и нитей пренебречь.
344

1283, На горизонтальной плоскости можег качаться без
скольжения полуцилиндр радиуса /?, к которому сверху
прикреплен прямоугольный параллелепипед шириной 2/?
и длиной, равной длине полуцилиндра. В положении рав-
равновесия тел их центры тяжести расположены на одной вер-
вертикали. При каком значении высоты h параллелепипеда
это положение равновесия тел устойчиво?
Ответ: /г<
Vi*-
1284. При равновесии четырехзвенного механизма (рис.
737), состоящего из однородных стержней, пружина DDt
недеформирована и горизонтальна. 0АА = OJD = BD =
= а, веса вертикальных стержней равны Р и 2Р соответ-
соответственно, вес стержня А В равен Q. При каких значениях
коэффициента жесткости с пружины это положение равно-
равновесия устойчиво?
Ответ:
1285. Вес каждого из стержней ОА и АВ кривошипно-
шатунного механизма, расположенного в вертикальной
плоскости, равен Р, а длина — / (рис. 738), вес ползуна
В равен Q. В положении равновесия механизма пружина
DDX горизонтальна и недеформирована, а стержни верти-
вертикальны. Определить, при каких значениях коэффициента
жесткости с положение равновесия механизма устойчиво,
если 0D = а.
Ответ: с>—
1286. К однородному диску весом Q (рис. 739) жестко
прикреплен однородный стержень ОА длиной а и весом Р.
Длина пружины 0хА в ненапряженном состоянии равна /.
00г -r= a>Y- При каком значении коэффициента жесткос-
жесткости с пружины вертикальное положение стержня ОА устой-
устойчиво?
Ответ:
1287. Веса однородных стержней ОА, ВС равны Рг и Я2
соответственно (рис. 740) ОБ = А В = а. При равновесии
системы стержень ОА вертикален, ВС — горизонтален, а
345

пружина AAj горизонтальна и не напряжена. Определить,
при каком значении коэффициента жесткости с пружины это
положение равновесия системы устойчиво.
Ответ: с>~BР1 + Р2).
Рис. 739
Рис. 740
Рис. 741
1288. Кривошип О А и шатун А В механизма (рис. 741),
расположенного в вертикальной плоскости, удерживается
в равновесии под углом 120° горизонтальной пружиной
ОБ. О А = АВ. Исследовать устойчивость равновесия ме-
механизма, если статическая деформация пружины равна
1) 0,5 и 2) 0,2 ее естественной длины.
Ответ: 1) равновесие механизма неустойчиво; 2) рав-
ноЕесие механизма устойчиво.
Рис. 742
Рис. 743
1289. Вес кривошипа ОС эллипсографа равен Р, линейки
А В — 2Р (рис. 742). ОС = АС = ВС = ау деформация го-
горизонтальной пружины ОАУ при которой кривошип ОС,
отклоненный от горизонтальной плоскости на угол а, будет
в равновесии, равна бСт- Пренебрегая весом ползунов и
трением, определить устойчивость положения механизма
при а = 30° для случаев, когда статическая деформация
346

пружины равна: 1) ~ длины пружины в положении равно-
равновесия; 2) -g- этой длины.
Ответ: 1) равновесие неустойчиво; 2) равновесие ус-
устойчиво.
1290. Горизонтальная пружина DD1 (рис. 743) удержи-
удерживает стержни ОА и ОгВ весом 2Р и Р соответственно под
углом к вертикали, а стержень А В весом Q в горизонталь-
горизонтальном положении. Определить, при каких значениях коэффи-
коэффициента жесткости с пружины это положение равновесия
РОСУ
Рис. 744 Рис. 745
системы устойчиво, если OD =* AD = ВОУ и расстояние
от оси вращения О до оси пружины равно а.
Ответ:
1291. Вес горизонтальной зубчатой рейки равен Я, а
шестереяки — Q (рис. 744), коэффициенты жесткости го-
горизонтальных пружин — сг и с2. Рейку А В отклонили от
положения ее равновесия на расстояние х0 и отпустили без
начальной скорости. Пренебрегая трением и считая шесте-
шестеренку однородным диском, определить максимальную ско-
скорость рейки.
Ответ:
= х0 у 2g
1292. Вес балки А В равен Р (рис. 745), а каждого из
однородных цилиндров — Q, коэффициент жесткости го-
горизонтальной пружины, которая в положении равновесия
не напряжена, равен с. Определить период колебаний си-
системы, если скольжение между цилиндрами и балкой, а так-
также между цилиндрами и горизонтальной плоскостью от-
отсутствует.
Ответ: т — -. „ —~—
347

1293. Веса тел А и В равны Р1 и Я2 соответственно (рис.
746), деформация горизонтальной пружины при равнове-
равновесии системы 6СТ. Угол отклонения плоскости от горизонта
равен а. Пренебрегая весом блока и трением, определить
период колебаний системы около положения ее равновесия.
Ответ: т = 2л
P2g sin a
1294. Вес однородной прямоугольной рамы ABBLAlf ко-
которая может колебаться в вертикальной плоскости вокруг
горизонтальной оси О, равен Р (рис. 747), а момент инер-
инерции относительно оси О равен Jo; коэффициент жесткости
Рис. 746
/Г
Рис. 747
Рис. 748
= OB, AD = а >
ЛГР1
У Тс9
В по-
пружины — с. ААХ = 1,
ложении равновесия сторона ААХ вертикальна, а пружи-
пружина DD\ горизонтальна и не напряжена. Определить период
малых колебаний рамы около положения* ее равновесия.
Ответ: т =
— Р1
1295. Вес груза М равен Я, блок А и каток В считать
однородными дисками одинакового радиуса и веса Q (рис.
748). Плоскость ОС и ось пружины DDX отклонены от го-
горизонта на угол а, статическая деформация пружины равна
бот. Р > Qsina. Определить период колебаний системы
около положения ее равновесия, если скольжение отсутст-
отсутствует.
о т/ ^ + 2Q 6CT
г= 2л г • -—
" Р — Q sin a g
Ответ: т
1296. Вес блока А равен Рг (рис. 749), груза М — Р2.
однородного диска С — Я3, статическая деформация гори-
горизонтальной пружины — бст. Считая блок А однород-
348

ным диском и пренебрегая весом стержня ВС, который в
положении равновесия системы горизонтален, определить
период малых колебаний системы около этого положения,
если скольжение между диском С и горизонтальной плос-
плоскостью отсутствует.
Ответ: т = 2я
V]-
1297. Веса блока О, однородного стержня АВ и катка В
соответственно равны Ръ Р2 и Р3 (рис. 750). В положении
равновесия системы стержень АВ горизонтален, а пружина
DDX с коэффициентом жесткости с вертикальна и ненапря-
Рис. 749
Рис. 750
Рис. 751
Рис. 752
жена. Считая блок радиуса г и каток однородными диска-
дисками, найти период малых колебаний системы около положе-
р
ния ее равновесия, если с > -^ и каток катится без сколь-
скольжения.
Ответ: %
Г
1298. Вес однородного балансира ОА равен Р, а диска
А — Q (рис. 751). В положении равновесия системы балан-
балансир ОА горизонтален, а пружина BD вертикальна и ее ста-
статическая деформация равна 6СТ. О А = I, ОБ = а. Опре-
Определить период малых колебаний системы около положения
равновесия, если качение диска А происходит без сколь-
скольжения.
Ответ: т = _ r Sag(P + 20)
1299. Вес однородного стержня А В равен Р, а длина /
(рис. 752). АС = БС, CD = OD = |-, ЛБ ± ОС. В положе-
положении равновесия стержень ОС вертикален, а пружина DDX
349

горизонтальна и не напряжена. Определить, при каких зна-
значениях коэффициента жесткости с пружины горизонтальное
положение стержня А В устойчиво и найти период его ма-
малых колебаний около этого положения. Весом стержня ОС
пренебречь.
1300. Веса грузов Мх и Мг равны Рг и Р2 соответствен-
соответственно, статическая деформация вертикальной пружины равна
бст, вес каждого из блоков, масса которых распределена по
ободам равномерно, равен Q (рис. 753). Рг + Q > 2Р±. Счи-
Рис. 753
Рис. 754
Рис. 755
тая нити нерастяжимыми, определить период малых коле-
колебаний системы около положения ее равновесия.
Ответ:
1/26ct W1 + P2
+ Q
1301. Вес вертикального кривошипа ОА длиной I равен
Ри шатуна АВ — А2, ползуна В — Р3 (рис. 754). Пренеб-
Пренебрегая трением и считая кривошип и шатун однородными
стержнями, определить, на каком расстоянии OD = а надо
укрепить горизонтальную пружину DE, коэффициент жест-
жесткости которой равен с, чтобы это положение равновесия
было устойчивым? Определить период малых колебаний си-
системы около этого положения равновесия.
Ответ: а
т = 2л
1302. Вес ползуна Ву имеющего горизонтальные направ-
направляющие, равен Pl9 а шарика D — Р2 (рис. 755). ОА = аъ
центр тяжести шарика движется в вертикальной плоскости
350

по дуге окружности радиуса я2- Пренебрегая трением, ве-
весом стержней и размером шарика, определить период ма-
малых колебаний системы около положения равновесия.
Ответ: т =!
1303. Однородный стержень О1А1 весом Рг (рис. 756)
может поворачиваться в горизонтальной плоскости, а од-
однородный стержень О2А2 весом Р2 — в вертикальной.
Стержни проходят через малое невесомое колечко D. Веса
шариков А! и А2 равны Qt и Q2 соответственно. OtD = аи
Шв
ЪШ
¦д
О,
Рис. 756
2 = а29 О1А1 = 1и О2А2 = /2. Пренебрегая трением и
размерами шариков, определить период малых колебаний
системы около положения ее равновесия.
21{Рг
<ч
Ответ: т = —
1304. Однородный горизонтальный стержень ОЛ весом
Q со сферическим шарниром О (рис. 757) и однородная
прямоугольная пластинка весом Р с горизонтальной осью
вращения BD соединены невесомым колечком /С, прикреп-
прикрепленным к стороне BJ)^ ВВХ = /. Пренебрегая трением, оп-
определить период малых колебаний системы около положе-
положения ее равновесия, при котором О/С = Л/С,
Ответ: т =
1305. Веса блоков Л, В, D равны Ри Р2, Я3, вес груза
М — Q, коэффициент жесткости вертикальной пружины —
с (рис. 758). Считая блоки однородными дисками, опреде-
351

лить период колебаний системы около положения ее равно-
равновесия.
Ответ: т = 2;
1306. Вес балансира О А равен Ръ звена А В — Р2, тела
М — Р3 (рис. 759). ОЛ = /, OD = а. В положении равно-
равновесия ZOAB = 90°, а пружина ?)?>! горизонтальна и не-
деформирована, ее коэффициент жесткости равен с. Пре-
ПреРис. 758
Рис. 759
небрегая трением и считая, что с > * \ 2 - /, определить
период малых колебаний системы.
Г 3^ 2а2с — i
1307. К сплошному однородному диску весом ^2 и ра-
радиуса R жестко прикреплен однородный стержень АВ ве-
весом Р (рис. 760). АС — SC = -g • На конце Л закреплен
точечный груз весом Q2. Определить частоту малых коле-
колебаний системы, если качение диска происходит без сколь-
скольжения.
Ответ: k = |/
1308. Вес клина Мг равен Ръ вес призмы М2 — Р2, коэф-
коэффициент жесткости пружины АВ, ось которой горизонталь-
горизонтальна, равен с, угол а известен (рис. 761). Пренебрегая тре-
трением, определить уравнение движения призмы Ж2, если
в положении равновесия клину Мг была сообщена малая го-
горизонтальная скорость v0.
Ошет: у = ,
352

1309. Между вертикальной стенкой и зубчатым колесом
расположена зубчатая рейка АВ, совершающая вертикаль-
вертикальные колебания (рис. 762). Вес рейки Ръ зубчатого колеса Р2,
коэффициент жесткости пружины —с. Считая зубчатое ко-
колесо однородным диском, определить амплитуду колеба-
\ с В
Рис. 760
Рис. 761
ний рейки, если ее отпустили из положения равновесия на
расстояние л'о и сообщили ей вертикальную скорость v0.
Трением пренебречь.
1310. Веса зубчатых колес I n II равны Qt и Q2, их ра-
радиусы гх я г2 соответственно, коэффициент жесткости
вертикальной пружины — с (рис. 763).
Считая зубчатые колеса однородными
дисками, определить уравнение колеба-
колебательных движений колеса /, если колесо
// было повернуто из состояния покоя
на малый угол ф0 и ему сообщена малая
угловая скорость соо.
Ответ: <Pi = ^М q>0 cos kt + й? s jn Ш,
Рис. 763
1311. На нижнюю половину неподвижной проволочной
окружности радиуса /?, расположенной в вертикальной
плоскости, надеты две пружины с коэффициентами жест-
жесткости сг и c2i и однородный шарик массой т и радиуса г,
зажатый между пружинами и прикрепленный к ним так
что его центр тяжести находится на проволочной окруж-
окружности. Вторые концы пружин закреплены на концах гори-
353

зонтального диаметра. Определить амплитуду колебаний
шарика, если в положении его равновесия ему была сообще-
сообщена скорость v0.
1312. Вес однородного диска равен Рх (рис. 764), стерж-
стержня Л В — Р2, коэффициент жесткости пружины AD, парал-
параллельной наклонной плоскости, равен с • О А = ОВ. Опре-
Определить максимальную скорость центра О диска, если стер-
стержень Л В сдвинули из положения равновесия вдоль А В на
ъ в
'Ил-)
Рис. 764 Рис. 765
расстояние х0 и отпустили без начальной скорости. Каче-
Качение диска происходит без скольжения.
Ответ: vmax = хоу 3/>х +
1313. Вес рейки А В равен Р (рис. 765), однородных
сплошных цилиндров — Qi и Q2, коэффициент жесткости
горизонтальной пружины BD равен с. Определить рас-
расстояние между двумя крайними положениями рейки А В,
если в положении равновесия ей была сообщена начальная
скорость v0. Скольжение отсутствует.
Ответ: d = v0
1314. Вес кривошипа ОА равен Р19 а длина / (рис. 766),
вес шатуна А В — jP2, OD = а. Механизм удерживается
в горизонтальном положении вертикальной пружиной DDlt
коэффициент жесткости которой равен с. Пренебрегая тре-
трением, определить угол между двумя крайними положения-
положениями кривошипа ОА9 если в положении равновесия ему была
сообщена малая угловая скорость соо.
354

1315. Однородный стержень А В длиной / удерживается в
горизонтальном положении при помощи сферического шар-
шарнира А и невесомой нерастяжимой вертикальной нити CD
длиной h (рис. 767). АС = а. Определить период малых
колебаний стержня около положения его равновесия.
Ответ:
V Sag
1316. Вес однородного стержня ОА равен Ръ точечного
груза А — Р2 (рис. 768). Нить АВ длиной h нерастяжима,
в точке О сферический шарнир. Определить период коле-
колебаний стержня около положения равно-
равновесия.
Ответ: х =:
Рис. 766
Рис. 767
1317. Однородный горизонтальный стержень АВ под-
подвешен при помощи вертикальных невесомых стержней ОхСг
и О2С29 которые могут вращаться вокруг горизонтальных
осей О1 и О2, перпендикулярных к плоскости стержней. В
точках Сг и С2 на стержне АВ крепления шарнирные.
0^!= hl9 02С2 = h2f АСХ == ВС2. Стержень А В отклонили
в плоскости стержней от положения равновесия на малое
расстояние х0 и сообщили ему в этой же плоскости малую
скорость uft. Определить амплитуду колебаний стержня АВ.
Ответ:
1318. Вес однородного горизонтального стержня 02А
равен Q, а вертикального ОгВ — Р (рис. 769). В точках
Оъ 02 и А — сферические шарниры. ОХЛ = а, ОХВ = /.
Определить период малых колебаний системы около поло-
положения ее равновесия.
Ответ: т
-2„/|.
Pi* + Qa*
Pl+Qa
355

1319. Однородный шар радиуса R подвешен к потолку
на трех вертикальных нерастяжимых нитях длиной I каж-
каждая, которые равноудалены друг от друга. Радиус гори-
горизонтальной окружности, на которой лежат точки крепления
нитей,— г. Шар повернули из положения равновесия на
малый угол ср0 вокруг неподвижной вертикальной оси z,
проходящей через центр шара, и отпустили из состояния
покоя. Определить максимальную угловую скорость шара.
Ответ: <отах
= >« Утг
Рис. 769
Рис. 770
Рис. 771
1320. Зубчатое колесо / неподвижно (рис. 770). Вес
однородного стержня ОА равен Р, а длина /, вес зубчатого
колеса 2, которое можно считать однородным диском, ра-
равен Q, коэффициент жесткости пружины А В — с. Опреде-
Определить угол между двумя крайними положениями стержня
ОА, если в положении равновесия он горизонтален, пру-
пружина АВ вертикальна и оси А вращения колеса 2 была
сообщена малая начальная скорость v0.
Ответ: а =
1321. Веса однородных стержней ОА и АВ равны Рх и
Р2 соответственно (рис. 771), вес однородного диска равен
Q. О А = I. Определить максимальный угол отклонения
стержня ОА от вертикали, если в положении равновесия
стержень АВ горизонтален и центру В диска сообщена ма-
малая начальная скорость v0. Качение диска происходит без
скольжения.
Ответ: а = -? I/ 4z
1322. Вес каждого из однородных стержней О А и ОХВ
равен Р, а длина а, вес стержня АВ равен Q (рис. 772).
356

А В = ООг. Определить амплитуду колебаний стержня А В,
если стержень ОА отклонен от вертикального положения
на малый угол ф0 и ему была сообщена малая начальная
угловая скорость соо.
Ответ: А = а
1323. К концу А однородного стержня ОА длиной / и ве-
весом Р (рис. 773) прикреплена ось вращения шестерни /
весом Pi\ зубчатое колесо // неподвижно и размещено
в вертикальной плоскости. При наинизшем положении
Рис. 772
Рис. 773
Рис. 774
Рис. 775
конца Л стержню О А сообщена малая угловая скорость соо.
Считая шестерню однородным диском и пренебрегая тре-
трением, определить угол между двумя крайними положе-
положениями стержня.
Ответ: а = 2соо у ~- •
1324. Вес однородного шкива равен Q, а радиус R, вес
точечного груза М — Р, а вес груза Мх — Qb коэффициент
жесткости вертикальной пружины А В равен с (рис. 774).
ОМ = г. Из положения равновесия системы, когда точеч-
точечный груз М находился на левом горизонтальном радиусе
шкива, груз Мх отклонили по вертикали на малое расстоя-
расстояние х0 и сообщили ему малую вертикальную скорость v0.
Определить амплитуду колебаний груза М.
Ответ: А = ~
1325. Веса однородных стержней ОС и А В равны Рг и
Р2 (рис. 775). АС =* ВС. Стержень ОС длиной / отклонили
357

от вертикального положения на малый угол ср0 и сообщили
ему малую угловую скорость ш0. Определить расстояние
между двумя крайними положениями стержня АВУ если
и при движении он остается вертикальным.
a»«.:d-и/* + ?.
1326. Вес блока В равен Ръ а радиус R (рис. 776), вес
однородного сплошного цилиндра М — Р2, РаДиУС г. ААг =
= DD1 = h. Систему, находящуюся в состоянии покоя, по-
повернули вокруг неподвижной
вертикальной оси z на малый
угол ф0 и отпустили безна-
безначальной угловой скорости.
Рис. 776
Рис. 777
Рис. 778
Считая блок однородным диском, жестко скрепленным с ци-
цилиндром 7W, определить уравнение вращательного дви-
движения системы.
Ответ: <р = ф0 cos 2Я у ~ ¦
1327. Веса однородных стержней О А и ОхВ равны Р и Ри
а ползуна А — Q (рис. 777). ООг = a, OLB = lu О А =
= / > а. Стержень ОА отклонили от вертикального поло-
положения на малый угол ср0 и отпустили без начальной угло-
угловой скорости. Пренебрегая трением, определить уравнение
колебаний стержня ОгВ.
Ответ:
I — а
где k-
2/
1328. Система зубчатых колес, имеющих внешнее за-
зацепление (рис. 778), колеблется в вертикальной плоскости.
Колесо 3 радиуса R неподвижно. Веса стержня ОА и колес
358

1 \\2 радиусов R и г равны соответственно Р, Qi и Q2. О А =
= /, коэффициент жесткости пружины А В равен с. В поло-
положении равновесия системы стержень ОА горизонтален, а
пружина АВ вертикальна. Пренебрегая трением и считая
колеса однородными дисками, определить амплитуду коле-
колебаний стержня 0А9 если его отклонили от горизонтали на
малый угол ф0 и сообщили ему малую угловую скорость соо.
Ответ:
а-]/
0)л
Ф2о
[2P12+3(8QX+3Q2
1329. Вес каждого вертикального стержня длиной а ра-
равен Ръ а горизонтального AtBx — Р2, стержня DE дли-
длиной / — Р3 (рис. 779). Через колечко
ША ВШ. /(, прикрепленное к стержню АлВи
ТШ || 1ГШ проходит стержень DE. KD = ft, (Px +
Рис. 779
Рис. 780
+ ^2)>^г- Пренебрегая трением, весом и размером
колечка, определить максимальную угловую скорость рамы
АВВХАЪ если стержень DE отклонили от положения рав-
равновесия на малый угол <р0 и отпустили его из состояния
покоя.
1330. Момент инерции однородного зубчатого колеса
равен /0» а ег° радиус — г (рис. 780). Коэффициент жест-
жесткости вала при закручивании вокруг его оси равен с, вес
зубчатой рейки BD — Я. Вал О А закрутили на малый угол
Фо и отпустили без начальной угловой скорости. Пренебре-
Пренебрегая массой вала и трением, определить максимальную ско-
скорость рейки BD.
Ответ: vmax = гщ ]/:
359

1331. Вес однородного диска, прикрепленного к гори-
горизонтальному валу ОЛ, равен Я, а радиус — R (рис. 781).
Коэффициент жесткости вала при закручивании вокруг его
оси равен с. Вал О А закрутили на малый угол ср0 и сообщи-
сообщили ему малую угловую скорость о0. Пренебрегая массой
вала, определить амплитуду колебаний однородного диска
М весом Ръ если проскальзывание
между дисками отсутствует.
Ответ:
м
Рис. 781 1332. Веса тел Л, В и D рав-
равны соответственно Р, Р и 2Р
(рис. 782). При их равновесии а = 30°, статическая дефор-
деформация горизонтальной пружины Л В равна ~- ее натуральной
длины. Считая, что груз D на конце нерастяжимого троса
движется только по вертикали, и пренебрегая весом стерж-
стержней и трением, определить период малых колебаний системы
около положения ее равновесия. АС = ВС = /.
Ответ: т = л |/ —
Рис. 782
Рис. 784
1333. Вес однородной прямоугольной пластинки О ABC
(рис. 783), расположенной в вертикальной плоскости, равен
Р, ее стороны — а, Ь, коэффициент жесткости пружины DDt
равен с. В положении равновесия пластинки сторона ОС
отклонена от вертикали на угол а, а пружина DDt гори-
горизонтальна. ODl = h > у ?- (Ь cos a — а sin а). Определить
360

период малых колебаний пластинки вокруг горизонталь-
горизонтальной оси О.
Ответ: т -2я ]/Sg{ШШ + f?{+*lьcosa),.
1334. Вес груза Л, который может скользить вдоль вер-
вертикального стержня, равен Рг (рис. 784), груза В —
Р2(Р2 > Pi). В положении равновесия системы ОА =
= h. Считая нить нерастяжимой и невесомой, определить
период малых колебаний системы около положения ее рав-
равновесия. Трением, весом и радиусом блока пренебречь.
Ответ: т =
(J Q°M ?
Рис. 785
Рис. 786
Рис. 787
1335. Веса грузов Мг и Мг на концах нерастяжимых ни-
нитей одинаковы (рис. 785). В положении равновесия системы
ОС = Л, а угол отклонения каждой нити от горизонтали
ОгО2 равен а. Пренебрегая весом и радиусом блоков, оп-
определить частоту малых колебаний системы около положе-
положения ее равновесия.
Ответ: k = у ~-A—sin а).
1336. Стержни АВ и ОВ, соединенные шарниром В и из-
изготовленные из одного материала, имеют одинаковые по-
поперечные сечения (рис. 786). АВ = а> ОВ = Ь. Стержень
АВ соединен шарниром с невесомым стержнем ОгС так,
что АС = ВС. Оси вращения О и Ог перпендикулярны к
плоскости стержней. В положении равновесия стержень
АВ горизонтален, а стержни ОВ и ОХС вертикальны. При
какой длине / стержня ОгС это положение равновесия ус-
устойчиво? Найти период малых колебаний стержней около
этого положения.
Ответ: I > 2а; т = 2п
361

1337. Горизонтальный стержень А В и вертикальный
Об,соединенные шарниром В и изготовленные из одного
материала, имеют одинаковые поперечные сечения (рис.
787). АВ = а, ОВ = Ь. Ось вращения О перпендикулярна
к плоскости стержней. При какой длине / нерастяжимой
нити АОХ это положение равновесия устойчиво? Найти пе-
период малых колебаний системы около этого положения.
1338. Вес блока О равен Q (рис. 788), а грузов Мг и М2
соответственно Pv и Р*. Рх = P2sina, деформация пружины,
Рис. 788
Рис. 789
Рис. 790
ось которой параллельна линии наибольшего ската наклон-
наклонной плоскости при равновесии системы равна бст. Считая
блок однородным диском и пренебрегая трением, опреде-
определить период малых колебаний груза М% около положения
его равновесия.
Ответ: т = 2:
Pie 2РХ + 2Р2 + Q'
1339. Момент инерции шкивов, насаженных на общую
ось вращения О и жестко скрепленных между собой, равен Jo
(рис. 789), а их радиусы гх и г2(г2 > гг). Веса грузов Мг и М2
равны Pi и Р2 соответственно, причем P1r1 = P2r2t стати-
статическая деформация пружины равна бст. Определить период
малых колебаний груза М2 около положения его равно-
равновесия.
Ответ: т = 2 л
1340. Веса грузов Мъ М2 и М3 равны соответственно
Рь Р2 и Р3 = 0,5 Р2 (рис. 790), а деформация пружины АВ,
при которой система тел находится в равновесии, равна
362

6СТ. Пренебрегая весом блоков и трением, определить пе-
период колебаний груза около положения его равновесия.
Ответ: х = 2
1341. В задаче 1302 положить: Рг = 24,8 Н, Р2 = 3,6 Н,
ах = 0,5 м, аг = 1 м. Считать, что при движении ползуна
В и шарика D возникают силы сопротивления, пропорцио-
пропорциональные скорости их движения. При скорости, равной
1 см/с, сила сопротивления движению ползуна В равна
0,01 Н, а шарика D — 0,007Н. Шарику, находившемуся в
равновесии, была сообщена малая скорость v0. Определить
период колебаний системы и уравнение движения пол-
ползуна В.
Ответ: т — -^ яс; х = -^ и0е-°»6/ sin 1,8/.
1342. В задаче 1303 положить: Р1-=Р2 = 0, Q1=9H,
Q2 = 40 Н, lx = /2 = 1 м, ах = а2. Считать, что при движе-
движении шариков Аг и Л2 возникают силы сопротивления, мо-
моменты которых относительно соответствующих осей враще-
вращения пропорциональны угловым скоростям стержней. При
угловой скорости 1 с момент силы сопротивления движе-
движению шарика Аг равен 8 Нм, а шарика А2 = 12 Нм. Опре-
Определить период малых колебаний системы, а также уравне-
уравнение колебаний стержня О2А 2, если он был отклонен от поло-
положения равновесия на малый угол ф0 и ему была сообщена
малая угловая скорость о>0.
Ответ: т = яс; q> = е~2е ц>0 cos 2t + Iq>0 + ^J sin 2/1.
1343. В задаче 1304 положить / = 0,5 м, Р = 30 Н,
Q ~ 17 Н. Считать, что момент сил сопротивления движе-
движению пластинки относительно ее оси вращения пропорцио-
пропорционален угловой скорости и равен 3 Нм при угловой скорости
1 с". Определить частоту и логарифмический декремент
колебаний.
Ответ: кг = 4с"; г) = 1,413.
1344. В задаче 1305 положить массу каждого блока рав-
равной 1,2 кг, массу груза 3,2 кг. Считать, что при движении
груза М возникает сила сопротивления, пропорциональная
его скорости и равная 0,2 Н при скорости 1 см/с. В положе-
положении равновесия грузу М была сообщена вертикальная
363

скорость v0. Определить уравнение движения груза при трех
различных значениях коэффициента жесткости пружины:
сх = 2 Н/см, с2 = 0,2 Н/см, св = 0,15 Н/см.
Ответ: хх = й> е~2' sin 6/; х2 = ^е*»; *8 = §(е-' —
1345. В задаче 1306 положить Рг = 8 Н, />2 = 10 Н,
Я3 = 20 Н; / = 0,5 м, а = 0,3 м. Считать, что при дви-
движении тела М возникает сила сопротивления,пропорцио-
сопротивления,пропорциональная его скорости и равная 0,2 Н при скорости 1 см/с.
Тело М отклонили от положения равновесия на малое рас-
расстояние х0 и отпустили без начальной скорости. Определить
уравнение движения тела, если коэффициент жесткости
пружины с = 80 Н/м.
Ответ: х = ^
— е~*>4*
).
1346. Вибратор — прибор для определения собственных
частот — состоит из двух однородных дисков радиуса 10 см
каждый (рис. 791), вращаю-
вращающихся в вертикальной плос-
плоскости в противоположных на-
направлениях с постоянной уг-
Рис, 791
Рис. 792
ловой скоростью со = 12я с. Опоры дисков установлены на
раме, жестко прикрепленной к балке АВ. На ободах дисков
симметрично относительно вертикальной оси у закреплены
точечные грузы весом 1 Н каждый. Общий вес рамы, дисков
и грузов равен 300 Н, а статический прогиб середины балки
от действия этой нагрузки равен 0,5 см. Пренебрегая со-
сопротивлениями и не учитывая массу балки, определить
уравнение вынужденных колебаний рамы с дисками, если
в начальный момент точечные грузы были на одной горизон-
горизонтали. Определить также угловую скорость дисков сок, при
которой наступит резонанс.
Ответ: у = 1,75 sin 12я/ мм; сок = 44,29 с**1.
364

1347. Электромотор весом Р = 4,5 кН закреплен по-
посредине горизонтальной балки АВ с гидравлическим демп-
демпфером D (рис. 792). Статический прогиб середины балки под
действием нагрузки бст ~ 0,2 см. Ротор мотора весом Q =
= 1 кН делает 1800 об/мин, а его центр тяжести находится
на расстоянии 0,5 см от оси вращения. Сила сопротивления
демпфера пропорциональна скорости поршня, а его кон-
конструкция такова, что коэффициент сопротивления равен
частоте свободных колебаний (п = ft). Пренебрегая весом
балки, определить амплитуду вынужденных колебаний
электромотора.
Ответ: А = 0,1 см.
1348. По условию задачи 1347 определить, при каком
числе оборотов ротора в минуту амплитуда вынужденных
колебаний равна 0,05 см.
Ответ: п = 605 об/мин.
1349. Общий вес машины равен 9 кН (рис. 793), вес
частей, вращающихся с угловой скоростью, соответствую-
Рис. 793
Рис. 794
щей 3000 об/мин, равен 1,8 кН, а их центр тяжести находит-
находится на расстоянии ОС = 0,5 см от оси вращения. Статиче-
Статическая деформация пружины под действием веса машины
бст == 1 см, а сила сопротивления гидравлического демп-
демпфера D пропорциональна скорости и равна 180 Н при v =
= 1 см/с. Во сколько раз уменьшилось добавочное динами-
динамическое давление на фундамент при применении амортиза-
амортизатора?
Ответ: в 100 раз.
1350. По условию задачи 1349 найти: 1) амплитуду вы-
вынужденных колебаний машины, если сопротивление соот-
365

ветствует предельному апериодическому движению: п =
= k\ 2) угловую скорость и амплитуду вынужденных коле-
колебаний в случае резонанса.
Ответ: 1) прип = k А = 1 мм; 2) при а) = k = 31,3 с~*
А = 1,6 мм.
1351. Вибрационная машина (рис. 794) общим весом
2 кН состоит из двух дисков, эксцентрически насаженных
на оси Ох и 02 и вращающихся в противоположных направ-
направлениях с угловой скоростью, соответствующей 600 об/мин.
Машина прикреплена к середине балки АВ с гидравличе-
гидравлическим демпфером, сопротивление которого пропорционально
скорости и равно 90 Н при скорости v = 1 см/с. Вес каж-
каждого диска равен 200 Н, эксцентриситет ОхСх = О2С2 = 5 см,
статический прогиб середины балки бст = 0,2 см. Пренеб-
Пренебрегая весом балки, определить амплитуду вынужденных
колебаний машины; при / = 0 ф = 0.
Ответ: А = 1,35 см.
1352. По условию задачи 1351 найти угловую скорость
дисков и амплитуду вынужденных колебаний машины в
случае резонанса.
Ответ: о> = 70 с; А = 1,59 см.
Рис. 795
Рис. 796
1353. К фундаменту, вес которого Рг = 20 кН, при-
прикреплен электромотор весом Р2 = 4,5 кН (рис. 795). Вес
ротора мотора 490 Н, а его центр тяжести С находится на
расстоянии 0,5 см от оси вращения; угловая скорость со =
= 100 с*1. Сопротивление грунта состоит из упругой силы
и демпфирования. Упругая сила F = cS6, где коэффициент
жесткости грунта с =* 25 Н/см3, площадь подошвы S = 1 м2,
б — величина погружения фундамента в грунт. Демпфиро-
Демпфирование — сила сопротивления, пропорциональная скорости
и равная 900 Н при v = 1 см/с. Определить амплитуду
вынужденных колебаний фундамента.
Otnsetn: A = 0,28 мм.
366

1354. По условию задачи 1353 определить амплитуду
вынужденных колебаний фундамента, если ротор вращается
с угловой скоростью со = 200 с.
Ответ: А =0,13 мм.
1355. Вес прибора (рис. 796) равен 1 кН. Эксцентрик,
представляющий собой однородный диск весом 200 Н, вра-
вращается вокруг оси О, перпендикулярной к его плоскости,
с угловой скоростью, соответствующей 600 об/мин. Эксцент-
Эксцентриситет ОС = 5 см, коэффициент жесткости каждой пру-
пружины с = 500 Н/см. При горизонтальном перемещении
прибор встречает сопротивление, пропорциональное ско-
скорости, уменьшающее амплитуду свободных колебаний в от-
9 тт о
ношении tq. Найти амплитуду вынужденных горизонталь-
горизонтальных колебаний.
Ответ: А = 1,33 см.
§ 38. Колебания механической системы
с двумя степенями свободы
1356. Вагонетка А весом Р, расположенная между не-
неподвижным упором D и вагонеткой В весом Q, соединена
с каждым из них сцепкой с коэффициентом жесткости с.
Вагонетки А и В совершают колебания в горизонтальном
направлении около положения равновесия. Определить час-
частоты главных колебаний.
Ответ: k* = ?L[P+2Q± ]/P2 + 4Q2]
1357. Вес каждого из однородных стержней одинаковой
длины равен Р (рис. 797), коэффициент жесткости верхней
пружины равен с, нижней — 1,5 с. В положении равнове-
равновесия стержни горизонтальны, а пружины вертикальны. Оп-
Определить частоты главных колебаний системы.
Ответ: к1 =
1358. Однородная балка весом Р и длиной 21 прикрепле-
прикреплена к двум одинаковым вертикальным упругим тросам так,
что крепления тросов удалены от центра тяжести балки на
расстояние а. Коэффициент жесткости каждого троса равен
с, в положении равновесия балка горизонтальна, а длины
тросов одинаковы. Балке сообщают малые колебания
367

в вертикальной плоскости. Определить частоты главных
колебаний.
Ответ:
1359. Над палубой плавучего крана весом Рг на упру-
упругом вертикальном тросе подвешен груз весом Р2. В положе-
положении равновесия кран погружен а воду на глубину Л, ста-
статическая деформация троса б. Считая, что корпус крана и
груз М совершают колебательные движения только в вер-
вертикальном направлении, а сечения погружаемой части кор-
корпуса горизонтальной плоскостью на разных уровнях оди-
Рис. 797
Рис. 798
наковы, определить частоты главных колебаний около
положения равновесия.
Ответ: k* = ^ {{Р± + Р2) (А + б) ±
1360. Вес груза М равен Р, однородного стержня ОА ~
1,5 Р (рис. 798), коэффициент жесткости нижней пружины
с, а верхней — 2с. В положении равновесия, когда пру-
пружины вертикальны, а стержень ОА горизонтален, стержню
сообщена малая начальная угловая скорость соо, скорость
груза М равна нулю. Определить частоты главных колеба-
колебаний системы и уравнение движения груза М.
Ответ: *i-|/«
1361. Вес однородного диска равен Р, а однородного
стержня АВ — 4Р (рис. 799), ОА = ОБ, коэффициент жест-
жесткости каждой пружины — с. В положении равновесия
стержень вертикален, а пружины горизонтальны и ненапря-
368

жены. В начальный момент стержень отклонен от положе-
положения равновесия на малый угол <р0, угол поворота диска и уг-
угловые скорости стержня и диска при этом равны нулю. Оп-
Определить частоты главных колебаний системы и уравнение
малых колебаний стержня.
Ответ: K=
1362. К точечному грузу математического маятника
весом Р прикреплена нить подвеса еще одного математиче-
математического маятника с точечным гру-
грузом весом 0,8 Р. Длина каждой
нити I. Маятники были отклоне-
отклонены от положения равновесия
в одной и той же плоскости на
малые углы и отпущены коле-
колебаться. Определить частоты
главных колебаний системы.
I
Ответ:
к-УЦ.
f
6
Рис. 799
Рис. 800
1363. Два однородных вертикальных стержня—верх-
стержня—верхний АВ и нижний BD — одинакового веса — скреплены
шариирно в точке В. А В = BD = 2/. Через центр стержня
АВ проходит горизонтальная ось вращения О. В началь-
начальный момент стержень А В вертикален и неподвижен, стер-
стержень BD отклонен от вертикали на малый угол q>0 и отпу-
отпущен из этого положения без начальной угловой скорости.
Определить частоты главных колебаний и уравнение дви-
движения стержня АВ.
Ответ: *,
Щ; *„ = |/3; * _ Л <р,
1364. Вес шкива равен Р, а груза М — 2Р (рис. 800),
коэффициент жесткости верхней пружины с, а нижней Зс.
В положении равновесия системы, когда верхняя пружина
была iieifanряжена, грузу М сообщили начальную верти-
13 9-396
369

кальную скорость i>0, начальная угловая скорость шкива
при этом равна нулю. Считая шкив однородным цилиндром
радиуса г, определить частоты главных колебаний системы
и уравнения движения груза М и шкива.
Ответ: кг = \% К = УЩ '• * « ЧУщ Х
ф = т 1^4A/§ sin **' ~sin кЛ
1365. Масса однородного сплошного цилиндра А равна
/п, а тела В — 3 т (рис. 801). Коэффициент жесткости го-
Рис. 801 Рис. 802
ризонтальной пружины, соединяющей ось О цилиндра А
и тело Ву равен с, а горизонтальной пружины, соединяю-
соединяющей тело В и стену,— 2 с. В начальный момент смещение
оси О от положения равновесия равного, а тела В — нулю,
их начальные скорости равны нулю. Определить частоты
главных колебаний системы и уравнение движения оси
цилиндра, качение которого происходит без скольжения.
Трением между телом В и горизонтальной плоскостью пре-
пренебречь.
1366. Масса платформы BD равна т, а цилиндра А —
3 т (рис. 802), коэффициент жесткости горизонтальной
пружины DDt равен с, а пружины ОАг— 1,5 с. В началь-
начальный момент ось цилиндра была смещена от положения от-
относительного равновесия на расстояние s0, ее начальная
скорость, а также смещение платформы от положения рав-
равновесия и ее скорость были равны нулю. Определить час-
частоты главных колебаний системы и уравнение движения
платформы, которая скользит по гладкой горизонтальной
370

плоскости. Качение цилиндра по платформе происходит
без скольжения.
Општ:
X = -=-J
cos X
l'-« Vli
1367. Вес вагонетки равен 24 кН, а груза М — 2 кН
(рис. 803), коэффициент жесткости сцепки АВ с = 200 Н/см,
OAf = 1,2 м. Вагонетка и груз совершают малые колеба-
колебательные движения, параллельные боковой стене вагонетки.
WWVW
Рис. 803
L_
Рис. 804
Пренебрегая весом нерастяжимого троса ОМУ определить
частоты главных колебаний системы.
Ответ: кг = 2,48 с^1; k2 = 3,30 с".
1368. Вес тела Af, расположенного на гладком горизон-
горизонтальном полу вагонетки, равен Р (рис. 804), вес вагонетки
6Я, коэффициенты жесткости сцепок сх = с, с2= Юс. Ва-
Вагонетка и груз совершают малые колебательные движения
около положения равновесия в горизонтальном направле-
направлении параллельно боковой стенке вагонетки. Определить
частоты главных колебаний и уравнение движения тела М
около положения относительного равновесия, если коорди-
координата начального положения вагонетки, ее начальная ско-
скорость и начальная скорость тела М равны нулю, а коорди-
координата начального положения тела М относительно вагонет-
вагонетки равна х0.
Ответ: kx - УЩ; k2 = ]/^; * = ^ [б cos ktt+
1369. Вес нагруженного двухосного автомобиля равен
Р9 а его момент инерции относительно оси, проходящей
13*
371

через центр тяжести перпендикулярно к боковым бортам,
— Jc; расстояния от осей передних и задних колес до плос-
плоскости, проходящей через центр тяжести автомобиля пер-
перпендикулярно к направлению дороги, одинаковы и равны
/; коэффициент жесткости передних рессор с, задних— 2 с.
Считая, что во время равномерного движения автомобиля
вдоль прямолинейного горизонтального пути совершаются
малые колебания только в вертикальной плоскости, парал-
параллельной направлению дороги, определить частоты главных
колебаний автомобиля.
Ответ: k2 = щ; \gJc + PI2 ±
1370. Масса груза М равна 100 кг,
а однородной горизонтальной бал-
балки ОА — 300 кг (рис. 805). АВ =
Рис. 805 = -j- ОЛ, коэффициент жесткости тро-
троса А Ах равен 0,6 кН/см, троса ВВХ =
= 1,6 кН/см. В положении равновесия балка О А гори-
горизонтальна, трос BBL вертикален. Системе сообщили малые
колебания, при которых груз М движется в вертикальном
направлении, а балка ОА совершает колебательные движе-
движения вокруг горизонтальной оси О. Определить частоты
главных колебаний системы.
Ответ: kx = 10 УЪ с'1; k2 = 30 У*2 (Г1.
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
1371. На гладкую плоскость, отклоненную на угол 30°
от горизонтальной плоскости, с высоты h = 3,6 м падает
без начальной скорости шар весом Р = 20 Н. Определить
величину и направление скорости шара в конце удара,
а также величину ударного импульса, если коэффициент
восстановления k — -j.
Ответ: и = 4,850 м/с и направлена горизонтально.
S = 19,795 Не.
1372. Шарик весом Р падает на гладкую горизонтальную
плоскость под углом а к вертикали. Скорость шарика в на-
372

чале удара с, коэффициент восстановления равен k. Опре-
Определить величину ударных импульсов за время первой и вто-
второй фаз удара.
Ответ:
= — cos ос;
= k — cos a.
V////////////////M
1373. На гладкую горизонтальную плоскость под уг-
углом a = 30° к вертикали из состояния покоя падает шарик
(рис. 806). Он отскакивает под углом E = 45° и, пролетев
по параболе, снова падает и еще раз отскаки-
отскакивает от той же плоскости. Определить угол
отражения у и коэффициент восстановления ft.
Ответ: у = 60°; ft = 0,577.
1374. На глад-
гладкую горизонтальную
плоскость под углом
а к нормали падает
шарик (рис. 806). Он
отскакивает от гори-
горизонтальной плоско-
плоскости и, пролетев по
параболе, падает на эту же плоскость; второй раз отскаки-
отскакивает от плоскости, описав вторую параболу. Высота пер-
первой параболы Я, второй h. Определить коэффициент вос-
восстановления ft.
\
г
\
J/
X
Рис. 806
Рис. 807
Ответ: ft = у -тг .
1375. Два однородных шара весом 10 Н и 1,25 Н, ра-
радиусы которых гг = 10 см и г2 = 5 см соответственно
(рис. 807), подвешены к потолку нитями длиной соответст-
соответственно /i = 70 см, /2 = 75 см так, что в положении равнове-
равновесия шары касаются, а нити параллельны. Нить с меньшим
шаром отклонили от положения равновесия на угол 60° в
плоскости нитей и отпустили без начальной скорости. Оп-
Определить: 1) скорости шаров в конце удара; 2) их скорости
также и в том случае, когда нить с большим шаром откло-
отклонили от вертикали на угол 60° в противоположном направ-
направлении. Коэффициент восстановления k = 0,5.
Ответ: 1) щ =-^-см/с;
2) и;=^
280 ,
и2 = о- см/с;
373

1376. Шар /, двигаясь поступательно, ударяет в непод-
неподвижный шар 2 той же массы со скоростью vi9 направленной
под углом а к линии центров. Определить скорости шаров
после удара, если коэффициент восстановления равен k.
Ответ: ut = у \f\ sin2 а + A — kf cos2 a;
tg р = YZTk ' где Р — ^гол межДУ ei и линией центров;
г/2 = уA + ?)cosoc и направлена по линии центров.
1377. Шар массой 0,5 кг падает по вертикали из состоя-
состояния покоя с высоты hx = 9 м на горизонтальную плиту и
отскакивает от нее на высоту /г2 = 4 м. Определить коэф-
коэффициент восстановления и ударный импульс.
Ответ: k = 4; S - 11,07 Не.
о
1378. В неподвижный шар ударяет шар А со скоростью
х)ъ направленной под углом а к линии центров шаров. Счи-
Считая удар абсолютно упругим, а шары одинаковыми и глад-
гладкими, определить скорости шаров и угол |3 между их ско-
скоростями в конце удара.
Ответ: иг = ^i sin a; u2 = vx cos a; p = 90°.
1379. При ударе двух шаров, движущихся поступатель-
поступательно, скорость vx шара массы тх направлена в начале удара
перпендикулярно к линии центров, а скорость v* шара мас-
массы т2—вдоль линии центров. Определить скорости шаров в
конце удара, если коэффициент восстановления равен k.
Ответ: и^
J-_i
1380. Деревянный шарик, брошенный по вертикали на
пол с высоты ft, подскакивает на высоту 2/i. Определить, с
какой начальной скоростью бросили шарик, если коэф-
коэффициент восстановления k = 0,5.
Ответ: v0 = V^HgA.
1381. Два однородных шара движутся поступательно
навстречу друг другу так, что их центры расположены на
одной прямой. Масса первого шара в два раза больше мас-
массы второго, а скорость в два раза меньше. Чему равна ско-
скорость шаров в конце удара, если удар неупругий? Опре-
374

делить ударный импульс, если масса первого шара 30 г,
а скорость 5 м/с.
Ответ: ы = 0; 5?= 0,15 Не.
1382. Деревянный шар падает на деревянную горизон-
горизонтальную плиту под углом 30° к вертикали. Не учитывая
трения, определить, под каким углом шар отскакивает от
плиты, если коэффициент восстановления k = 0,5.
Ответ; 49° 7'.
1383. Круглая мишень радиуса г подвешена к непод-
неподвижной горизонтальной оси вращения Оь совпадающей с
касательной к ободу мишени. Определить положение цент-
центра удара.
Ответ: /СОХ = -j-r.
1384. Упругий шарик падает по вертикали с высоты h без
начальной скорости на горизонтальную плиту, отскакивает
от нее вверх, снова падает и т. д. Найти путь, пройденный
шариком, и время его движения до остановки, если коэффи-
коэффициент восстановления равен k.
Ответ; s =
1385. Деревянный шар весом 1 Н падает из состояния по-
покоя с высоты Н = 2 м. Определить скорость шара после
удара о пол и высоту, на которую он поднимается, если
коэффициент восстановления k — 0,5. Определить также
среднее значение ударной силы, если продолжительность
удара т — 0,001 с.
Ответ: и = 3,13 м/с; h = 0,5 м; Л$| = 959 Н.
1386. Два шарика из слоновой кости, массой 100 г каж-
каждый, движутся поступательно один за другим со скоростя-
скоростями^ = 5м/си1>2 = 10 м/с так, что их центры перемещают-
перемещаются по одной прямой. Чему равны скорости шаров в конце
удара и потеря их кинетической энергии, если коэффициент
о
восстановления k = ^-?
Ответ: uL = 9,72 м/с; и* = 5,28 м/с; 7\ — Т2 =
« 13,117 Нм.
375

1387. Стальные шары движутся поступательно навстречу
друг другу со скоростями v1 = 2 м/с и и2 = 6 м/с так,
что их центры перемещаются тю одной прямой. Массы ша-
шаров nti = 80 г, /п2 = 30 г; коэффициент восстановления
k = -jr. Определить скорости шаров в конце удара.
Ответ: их = —1,40 м/с; и2 = 3,05 м/с.
1388. Вес бабы ударного копра в два раза больше веса
сваи и равен 2 кН. Баба падает с высоты 1,225 м. С какой
скоростью начнется движение сваи вместе с бабой после
неупругого удара и на сколько сантиметров углубится свая,
если сопротивление грунта, равное 23 кН, можно считать
постоянным?
Ответ: и = 3,27 м/с; h = 8,2 см.
1389. По условию задачи 1388 определить потерю кине-
кинетической энергии бабы ударного копра и ее коэффициент
полезного действия.
Ответ: Тх—Т2 = 816,7 Нм; ц = 0,667.
1390. Молоток весом 5 Н ударяет но гвоздю весом 0,1 Н
со скоростью 2 м/с. На сколько сантиметров углубится
гвоздь после неупругого удара, если сопротивление доски
можно считать постоянным и равным 70 Н?
Ответ: 1,54 см.
1391. Шары движутся поступательно так, что их центры
перемещаются по одной прямой. Второй шар, масса кото-
которого в три раза меньше массы первого шара, двигается со
скоростью, в три раза большей скорости vx первого шара.
Определить скорости шаров после абсолютно упругого удара
при движении шаров друг за другом и навстречу друг другу.
Ответ: 1) их = 2vx\ и2 = 0; 2) изменяются направления
движения шаров на противоположные, а величины скоро-
скоростей остаются неизменными.
1392. Шары движутся навстречу друг другу поступа-
поступательно так, что их центры перемещаются по одной прямой,
а скорости vx и v2 обратно пропорциональны массам шаров.
Определить скорости шаров после абсолютно упругого
удара.
Ответ: их = — vx\ и2 — — v2.
376

1393. На середину горизонтальной балки весом Р =
= 200 Н, свободно опирающейся по краям, с высоты h =
== 1 м падает груз весом Q = 1 кН без начальной скорости.
Статический прогиб балки под действием этого груза бст =
= 0,01 см. Считая балку телом, масса которого сосредото-
сосредоточена в середине пролета, а удар — неупругим, определить
максимальный прогиб балки. Приведенная масса балки для
17 р
этого случая равна к* • —.
Ответ: б = бст +
+ 2&8ст утр
1 -1-
+ 35Q
= 1,36 см.
1394. Молот весом Рх = 160 Н падает на наковальню,
вес которой вместе с отковываемым куском металла Р2 =
=3,2 кН. Считая удар неупругим, определить коэффициент
полезного действия молота.
Ответ: г) = 0,952.
1395. Стрела массой /п, выпущенная из лука, попадает
с горизонтальной скоростью v в плоскую прямоугольную
однородную мишень массой М
(рис. 808) с горизонтальной осью
вращения ОгО2. Расстояние от
точки К попадания стрелы в ми-
мишень до оси вращения мишени
-с:
Рис. 808
Рис. 809
равно -g- h. Определить скорость v стрелы в момент встре-
встречи с мишенью, если угол отклонения мишени от вертика-
вертикали равен а.
4m + 3M
Ответ: v =
sin
1396. Шарик из слоновой кости, подвешенный на неве-
невесомой нити, отклонили на угол 60° от вертикали (рис. 809)
и отпустили без начальной скорости. В вертикальном поло-
положении нити шарик наталкивается на неподвижную верти-
377

кальную пластинку, изготовленную из того же материала.
На какой угол ср отклонится нить после удара, если коэф-
о
фициент восстановления к = -^ ?
Ответ: ср = 52°42'.
1397. Выступ на диске, вращающемся вокруг оси О (рис.
810), ударяет по телу массой /п, которое находилось в покое
на шероховатой горизонтальной плоскости. Угловая ско-
скорость диска в начале удара равна о. Расстояние, пройден-
пройденное телом до остановки, равно s, момент инерции диска
относительно оси вращения — /. Расстояние от оси до
Рис. 810
Рис. 811
Рис. 812
плоскости равно h. Считая удар неупругим, определить
коэффициент трения /.
Ответ: f = 2
mfc2J gs *
139S. Два одинаковых однородных шара, массой т
каждый, подвешены к потолку на нерастяжимых невесомых
нитях одинаковой длины так, что нити вертикальны, а шары
касаются. Один шар отклонили в плоскости нитей на угол
60° от вертикали и отпустили без начальной скорости. Оп-
Определить углы с&! и сс2, на которые отклонятся нити с шара-
шарами после удара, если коэффициент восстановления равен k.
\—k . а2 \ + k
Т~; Sin2"="l~-
Ответ: sin ~ =
1399. Диск массой М и радиуса г (рис. 811) подвешен на
невесомом стержне длиной / к неподвижной горизонталь-
горизонтальной оси Ох- Отклоненный на некоторый угол и предоставлен-
предоставленный самому себе, диск ударяет по неподвижному образцу,
когда стержень вертикален. Скорость центра тяжести дис-
диска в этот момент равна vc. Определить импульс динамиче-
378

ской реакции подшипников, если коэффициент восстанов-
восстановления равен к.
Ответ: S,= 2{^rJ
1400. Шарик движется по желобу А В с малой началь-
начальной скоростью (рис. 812). В точке В желоб обрывается, и
шарик, приобретя горизонтальную скорость, движется, как
свободная точка, пока не упадет на горизонтальную плиту.
Пренебрегая сопротивлениями движению, определить вели-
величину и направление скорости #, с которой шарик отскаки-
отскакивает от плиты, если заданы высоты ftj и h2 и коэффициент
восстановления к.
Ответ: и = V2g (Л2 + k2h2); p - arctgl
Глава XVII. ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
1401. Аэростат весом Р поднимается вертикально, ув-
увлекая за собой сложенный на земле канат, вес единицы дли-
длины которого равен у. Считая подъемную силу F аэростата
постоянной и пренебрегая сопротивлением воздуха, соста-
составить дифференциальное уравнение движения аэростата в за-
зависимости от высоты подъема г.
Ответ: (Р + ^z)z = g(F — Р —^z) — i'z2.
1402. Относительная скорость истечения газов из сопла
ракеты постоянна и равна 2,5 км/с, масса корпуса составля-
составляет 2% стартовой массы ракеты. Определить предельную ско-
скорость ракеты, если она движется без начальной скорости
при отсутствии силового поля и атмосферы.
Ответ: vnp = 9,78 км/с.
1403. Ракета движется прямолинейно при отсутствии
силового поля и сопротивления среды без начальной ско-
скорости. Относительная скорость истечения газов постоянна
и равна 2,5 км/с. При каком числе Циолковского скорость
ракеты равна 3 км/с?
Ответ: z = 3,32.
1404. Прямолинейное движение ракеты происходит при
отсутствии силового поля и атмосферы с начальной скоро-
379

стью 2 км/с. Относительная скорость истечения газов по-
постоянна и раЕна 2,5 км/с. При каких числах Циолковского
предельная скорость ракеты в два раза больше: 1) скорости
истечения газов? 2) начальной скорости ракеты?
Ответ: zt = 3,32; z2 = 2,23.
1405. Относительные скорости истечения газов у каж-
каждой из трех ступеней трехступенчатой ракеты раины
2,6 км/ч, а числа Циолковского одинаковы. Третья ступень
достигает скорости 7,8 км/с, а начальная скорость ракеты
раЕна нулю. Определить число Циолковского,если движение
происходит при отсутствии силового поля и атсмосферы.
Ответ: z = е — неперово число.
1406. Решить предыдущую задачу при условии, что
ракета движется вертикально вверх в однородном поле
силы тяжести и все топливо сгорает за 80 с.
Ответ: z = 3.
1407. Относительные скорости истечения газов у каждой
ступени трехступенчатой ракеты равны и= 2,5 км/с, а чис-
числа Циолковского равны z = Я. Определить предельную ско-
скорость третьей ступени, если начальная скорость ракеты
равна нулю и движение происходит при отсутствии сило-
силового поля и атмосферы.
Ответ: v3 = Zulu z = 8,240 км/с.
1408. Ракета движется под действием реактивной силы,
пропорциональной ее массе: Ф = сх/n, где а — заданная
постоянная. Определить закон изменения массы ракеты,
если относительная скорость истечения газов и постоянна,
а начальная масса ракеты равна т0.
Ответ: т = тое и .
1409. Тело переменной массы движется по горизонталь-
горизонтальным направляющим без начальной скорости с постоянным
ускорением^. Относительная скорость истечения газов и
постоянна, а коэффициент трения скольжения равен /. Пре-
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить время 7\ за
которое масса тела уменьшится в k раз.
Ответ: Г
380

1410. Ракета движется в однородном поле силы тяжести
при отсутствии атмосферы вертикально вверх с постоянным
ускорением w = 4g. Относительная скорость истечения га-
газов и = 2,5 км/с. Определить, через сколько времени мас-
масса ракеты уменьшится в три раза.
Ответ: Г = -^^ = 56 с.
1411. По условию предыдущей задачи найти закон из-
изменения массы ракеты.
Ответ: т = тое и .
1412. Изолированная точка переменной массы движется
согласно уравнениям: х = а/2, у = Ы. Считая относитель-
относительную скорость отделяющихся частиц и постоянной и направ-
направленной параллельно оси Ох, определить закон изменения
массы точки, начальное значение которой равно т0.
Ответ: т = тое и .
1413* Определить, как должна изменяться масса точки,
чтобы точка оставалась неподвижной в однородном поле
силы тяжести, если скорость отделяющихся частиц и по-
постоянна, а начальная масса точки равна т€.
Ответ: т = тое и .
1414. Относительная скорость истечения газов из сопла
ракеты равна и. Определить мощность реактивной силы,
если скорость ракеты равна v9 а масса горючего т = m(t).
Ответ: N = и • v • -^.
1415. Ракета движется в однородном поле силы тяжести
при отсутствии атмосферы согласно уравнениям: х = at,
у = bt, z = gt29 где ось Oz направлена по вертикали вверх.
Определить реактивную силу ракеты в момент, когда ее
масса равна /п.
Ответ: Ф == 3 rng.
1416. Решить предыдущую задачу, если х = 2gt29 у =
= 6g*2, z = gt\
Ответ: Ф = 13 tng.
381

14J7. Ракета, масса которой изменяется по закону т =
== т^е~аХу где т0 и а — заданные постоянные, движется в
однородном поле силы тяжести при отсутствии атмосферы
согласно уравнениям: х = 4gt2, у = 6gf2, z = 4gt2, где ось
Oz направлена вертикально вверх. Определить относитель-
относительную скорость истечения газов, считая ее постоянной.
Ответ: u = —g.
ос
1418. Ракета движется в однородном поле силы тяжести
при отсутствии атмосферы под действием реактивной силы,
проекции которой на координатные оси: Фх = 2/ng, Фу =
= Amg, Ф2 = Itngy гдет — масса ракеты в данный момент,
ось z направлена вертикально вверх. Определить уравне-
уравнение движения ракеты, если ее начальная скорость равна
нулю, а координаты начального положения х0, уо> zo-
Ответ: х = gt2 + х0; у = 2gt2 4-1/0; z = 3gt* -f г0.
1419. Масса изолированной точки изменяется по закону
т = тоA — at), где т0 и а — заданные постоянные. Отно-
Относительная скорость отделяющихся частиц и постоянна, а
начальная скорость точки равна нулю. Определить реактив-
реактивную силу и закон изменения скорости точки.
Ответ: Ф = —атои; v = и In A — atf).
1420. Масса изолированной точки изменяется по закону
т = тое~аЛу где т0 и a — заданные постоянные. Относи-
Относительная скорость отделяющихся частиц и постоянна, а на-
начальная скорость точки равна нулю. Определить реактив-
реактивное ускорение и закон изменения скорости точки.
Отвгт: wr = —сея; v = —aut.
1421. Ракета движется прямолинейно при отсутствии
тяготения и сопротивления среды без начальной скорости.
Определить мощность реактивной силь в момент /, если мас-
масса ракеты изменяется по закону т = тще"аЛу где ть и a —
заданные постоянные, а относительная скорость истечения
газов и постоянна.
Ответ: N = а2и2пф-ш.
1422. Ракета с начальной массой т0 движется вне поля
тяготения и атмосферы. Относительная скорость истечения
газов и секундный расход массы q постоянны. За какое время
382

t скорость ракеты возрастает от 0 до величины, равной от»
носительной скорости истечения газов?
Ответ: t = e-^±-™\
е q
1423. Масса точки, движущейся прямолинейно при от-
at
сутствии силового поля, изменяется по закону т = тоеи ,
где а и относительна скорость и присоединяющихся к точ-
точке частиц постоянны. Не учитывая сопротивления среды,
определить закон движения точки, если ее начальная ско-
скорость равна v0.
Ответ: s = vot — у а/2.
1424. Точка движется в однородном поле силы тяжести
при отсутствии атмосферы так, что ее масса изменяется по
закону т = тое и, где относительная скорость** отделяю-
отделяющихся частиц постоянна. Угол C между осью Ozy направлен-
направленной вертикально вверх, и относительной скоростью **
принимает значения: рх = 0, р2 = -g-, p8 = я. Определить
ускорение точки.
Ответ: wx = 2g; w2 = gY2\ w3 = 0.
1425. Точка, масса которой изменяется по закону т =
= гще-я1, где т0 и а—заданные постоянные, движется в од-
однородном поле силы тяжести при отсутствии атмосферы.
Относительная скорость и отделяющихся частиц постоян-
постоянна, параллельна горизонтальной оси Ох и направлена в сто-
сторону отрицательных значений х. Определить уравнение
траектории точки, если известны координаты х0 и г0 ее на-
начального положения, а начальная скорость точки равна
нулю. Ось Oz направлена вертикально вверх.
Ответ: z — zo = —-^-(x — xo).
1426. Ракета, масса которой изменяется по закону т ==
= тое~а/, где т0 и а — заданные постоянные, движется
вертикально вверх в однородном поле силы тяжести. На-
Начальная скорость ракеты v0 направлена вверх, а относи-
относительная скорость истечения газов и постоянна и направлена
вниз. Пренебре1ая сопротивлением атмосферы, найти закон
изменения скорости ракеты, если аи > g.
Ответ: v = (аи — g) t + v0.
383

1427. По условию предыдущей задачи определить время
движения ракеты на активном участке, если масса корпуса
ракеты равна тк.
Ответ: tt *= — In 2й.
1428. Ракета, масса которой изменяется по закону т =
= гще~°-гу где т0 и а — заданные постоянные, движется
вертикально вверх в однородном поле силы тяжести при
отсутствии атмосферы. Относительная скорость истечения
газов и постоянна, а начальная скорость ракеты v0 = 0. Оп-
Определить полную высоту подъема ракеты, если масса кор-
корпуса ракеты равна тк паи > g.
Ответ: Н = ~{-—- ln2^-.
2 \8 а1 тк
1429. По условию предыдущей задачи определить, при
каком значении удельного расхода а длина Нх активного
участка траектории ракеты максимальна, и найти эту длину.
Ответ: a = —g; HY ¦= ^ In2 —.
1430. При показательном законе изменения массы ра-
ракеты, движущейся вертикально вверх, перегрузка k = —,
где wR—ускорение ракеты. Максимальная высота подъема
ракеты при отсутствии сопротивления и мгновенном сго-
сгорании топлива равна Нтах. Определить высоту подъема
ракеты Як, которая соответствует перегрузке k. Началь-
Начальная скорость ракеты равна нулю.
Ответ: Нь = —^- Ятах.
1431. Масса точки, движущейся в однородном поле силы
тяжести вертикально вниз, изменяется по закону т =*
= /иоA + оь/), где т0 и а — заданные постоянные. Абсо-
Абсолютная скорость присоединяющихся частиц равна нулю.
Определить закон изменения скорости точки, начальное зна-
значение которой равно vQ. Сопротивлением среды пренебречь.
Ответ: v = \ Т \—— •
1432. Ракета, масса которой изменяется по закону т =
= 1000 A — at) кг, движется вертикально вверх в одно-
384

родном поле силы тяжести при отсутствии атмосферы. От-
Относительная скорость истечения газов постоянна и равна
2,4 км/с, а начальная скорость ракеты v0 = 1,5 км/с и на-
направлена вверх. Определить путь, пройденный ракетой за
10 с, и скорость ракеты в конце десятой секунды, если рас-
расход массы равен 40 кг/с.
Ответ: s = 20,120 км; v = 2,628 км/с.
1433. Точка, масса которой изменяется по закону т ~
= moe~tttt где т0 и а — заданные постоянные, движется в
однородном поле силы тяжести при отсутствии атмосферы.
Начальная скорость v0 направлена под углом |3 к горизонту
вверх. Найти уравнение траектории точки, если относи-
относительная скорость и отделяющихся частиц постоянна и на-
направлена вертикально 1) вниз и 2) вверх.
Ответ: \)у = {cV *> * + * tg P; 2) y = -
1434. Масса точки, движущейся в однородном поле силы
тяжести вертикально вниз, изменяется по закону т =
= nitf**, где т0 и а— заданные постоянные. Определить
закон изменения скорости точки и уравнение ее движения,
если ее начальная скорость v0 > ~, а абсолютная скорость
присоединяющихся частиц равна нулю. Сопротивление
среды не учитывать.
Ответ: v - jL + {v0- -f)<r«\ s = -|/-l(tre-
•4)'
1435. Масса точки, движущейся в однородном поле силы
тяжести при отсутствии атмосферы вертикально вверх, из-
изменяется по закону т =» moe~e/, где т0 и a— заданные по-
постоянные. Определить закон изменения скорости и уравне-
уравнение ее движения, если начальная скоростьvo> —, а абсо-
абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю.
Ответ: v^ ^ + (v0 — -f
385

1436. Точка, масса которой изменяется по закону т =
= moe~at, где т0 и а — заданные постоянные, движется в
однородном поле силы тяжести при отсутствии атмосферы
вдоль горизонтальной прямой. Относительная скорость
отделяющихся частиц и постоянна. Определить ускорение
точки и угол р между вертикалью и направлением реак-
реактивной силы.
Ответ: w = У а2и2—g2; cos E = -^ .
1437. Точка переменной массы движется в однородном
силовом поле при отсутствии сопротивления с начальной
скоростью v0 под углом к горизонту. Начальная масса точ-
точки т0,относительная скорость и отделяющихся частиц по-
постоянна и направлена вертикально вниз. Определить: 1) при
каком законе изменения массы движение точки инерциаль-
но; 2) на каком расстоянии sot начального положения была
точка в тот момент, когда ее масса уменьшилась в k раз.
Ответ: т — тое и\ s = — In k.
1438. Масса точки, движущейся в однородном поле
силы тяжести вертикально вверх при отсутствии атмосфе-
атмосферы, изменяется по закону т = moe~at, гдет0 и а — задан-
заданные постоянные. Определить, через сколько времени ско-
скорость точки увеличится в п раз, если ее начальное значе-
значение v0 > —, а абсолютная скорость отделяющихся частиц
равна нулю.
1439. Несвободная точка с начальной массой т0 дви-
движется при отсутствии силового поля и атмосферы по окруж-
окружности радиуса R с постоянным касательным ускорением wx.
Определить закон изменения массы точки, если относитель-
относительная скорость отделяющихся частиц я постоянна и направ-
направлена по касательной к окружности, а начальная скорость
точки равна нулю. Определить также реакцию связи.
Ответ: т = тое и ; N = ^° tdt2e u
1440. Несвободная точка переменной массы движется
при отсутствии силового поля и атмосферы согласно урав-
385

нениям: .*; = /? cos-у, y = Rs\n-^-t где R и е —заданные
постоянные. Считая относительную скорость и отделяю-
отделяющихся частиц постоянной и направленной по касательной
к траектории точки, определить закон изменения массы точки
и реакцию связи, если начальная масса равна т0.
-1*/ _!2#
Ответ: т = тое и ; N = m0s2Rt2e u .
1441. Космический корабль приближается к планете ра-
радиуса R, не имеющей атмосферы, со скоростью и0, направ-
направленной к центру планеты. На расстоянии Н от поверхности
планеты включается тормозной двигатель. Относительная
скорость истечения газов и постоянна, масса корабля из-
изменяется по закону т = moe~at, где т0 и а — постоянные,
ускорение силы тяжести на поверхности планеты равно g.
При каком значении а корабль совершит мягкую посадку,
если: 1) сила притяжения обратно пропорциональна квадра-
квадрату расстояния от центра планеты до корабля? 2) поле тяго-
тяготения однородно?
2 2
Ответ: аг = ^ + |L^ |
1442. Платформа массы т0, оторвавшись от поезда, про-
продолжает движение во время снегопада, вдоль прямолиней-
прямолинейного горизонтального участка дороги. Считая, что масса
платформы изменяется согласно уравнению т = //20+&/,
где т0 и k — постоянные, а сила сопротивления движению
равна fmg, где / — коэффициент сопротивления, опреде-
определить закон изменения скорости платформы, начальная
скорость которой равна v0.
Ответ: v =
Ы
1443. Ракета движется прямолинейно при отсутствии
силового поля и атмосферы без начальной скорости. На-
Начальная масса ракеты т0 = Ют, относительная скорость
истечения газов постоянна и равна 2,5 км/с. Определить
путь, пройденный ракетой, если секундный расход массы
постоянен и равен 100 кг/с, а конечная скорость ракеты
равна относительной скорости истечения газов.
Ответ: $ = 66 км.
387

1444. Решить предыдущую задачу при условии, что ра-
ракета движется вертикально вверх в однородном поле силы
тяжести.
Ответ: s = 66,2 км.
1415. Точка переменной массы движется в однородном
поле силы тяжести при отсутствии атмосферы согласно урав-
at2 bt* ct2 у
нениям: х = ^-, У — -^-, г==~2 (ось z напРавлена по веР"
тикали вверх). Начальная масса точки /п0, относительная
скорость отделяющихся частиц и постоянна. Определить
закон изменения массы точки.
_ ±
Ответ: т = тое и
1446. Точка переменной массы движется в однородном
поле силы тяжести при отсутсгвии атмосферы по горизон-
горизонтальной прямой с постоянным ускорением w. Начальная
масса точки /тг0, относительная скорость отделяющихся
частиц и постоянна. Определить закон изменения массы
точки и угол Р между направлением реактивной силы
и траекторией точки.
Ответ: т = тое и ; tg р = ^.
1447. Определить закон изменения массы точки, стоя-
стоящей неподвижно на высоте Я над поверхностью планеты
радиуса/?, если начальная масса точки равна /п0> отно-
относительная скорость отделяющихся частиц и постоянна и
ускорение силы тяжести на поверхности планеты равно g.
Ответ: т = тое и w+w*.
1448. Тело переменной массы движется с начальной
скоростью v0 вниз вдоль гладкой плоскости, отклоненной
на угол 30° от горизонтальной плоскости, с постоянным
ускорением, равным g. Определить закон изменения массы
тела, начальное значение которой равно т0, если абсолют-
абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю.
Ответ: m =
1449. Ракета движется вертикально вверх с поверхности
планеты радиуса R при отсутствии атмосферы с постоянной
388

скоростью и0, преодолевая силу тяготения, которая обрат-
обратно пропорциональна квадрату расстояния ракеты от центра
планеты. Найти закон изменения массы ракеты, если отно-
относительная скорость истечения газов и постоянна, а началь-
начальная масса ракеты равна т0.
Ответ: т = тое
1450- При движении космического тела к центру плане-
планеты радиуса R в поле силы тяжести к нему присоединяются
частицы, абсолютная скорость которых равна нулю. Оп-
Определить закон изменения массы космического тела, если
с высоты Н оно движется с постоянной скоростью v0; на-
начальная масса тела т0. Сопротивления среды не учитывать.
Ответ: т =
Глава XVIII. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ1
1451. Определить эксцентриситет эллиптической орби-
орбиты космического тела, если расстояние от притягивающего
центра до апоцентра равно R, а до перицентра г0.
Ответ: e =
1452. Спутник движется по эллиптической орбите во-
вокруг планеты радиуса R с высотой апоцентра А и высотой
перицентра В. Определить эксцентриситет орбиты спутника.
Ответ: e = A
1453. По условию предыдущей задачи определить полу-
полуоси орбиты спутника.
Ответ: а = R + 1(Л + В)\ b = VR2+R(A+B)+AB.
1 Во всгх задачах этого раздела считаем, что:
1) сила притяжения небесього тела направлена к его центру;
2) ускорения силы тяжести g даются без учета вращения небес-
небесных тел; / — гравитационная постоянная;
3) полюс полярной системы координат совпадает с центром при-
притяжения, а полярная ось направлена от притягивающего центра к бли-
ближайшей вершине орбиты, г — полярный радиус, <р — полярный угол;
4) сопротивлением атмосферы пренебрегаем.
389

1454. Скорость космического тела в перицентре эллип-
эллиптической орбиты равна vi9 а в апоцентре — v2. Определить
его скорость при прохождении через малую полуось орбиты.
Ответ: v =
1455. Определить скорости космического тела в пери-
перицентре и апоцентре эллиптической орбиты, если эксцентри-
эксцентриситет орбиты равен е, большая полуось а, а масса притяги-
притягивающего центра М.
п 2 l+e fM 2 1— е fM
Ответ: v^^ ¦ r- ; va = ГГе -[- .
; va
1456. Определить скорость движения по параболе кос-
космического аппарата как функцию расстояния г от центра
притягивающей планеты массой М.
Ответ: v = ~— .
1457. Космическое тело движется в гравитационном
поле, создаваемом планетой массы М по эллиптической
орбите, большая полуось которой равна а. Определить
скорость тела в зависимости от его расстояния г до центра
притягивающей планеты.
Ответ: v2 == fAlly — i-1,
1458. Космическое тело движется в гравитационном по-
поле, создаваемом планетой массы М, по гиперболической ор-
орбите, действительная полуось которой равна а. Определить
скорость тела в зависимости от его расстояния г до центра
притягивающей планеты.
Ответ: v2 = fM —I—
1459. Скорость космического тела, движущегося по эл-
эллиптической орбите с полуосями аи Ь = 0,6а, в перицент-
перицентре равна vp. Определить скорость космического тела в апо-
апоцентре.
Ответ: va = -^vp.
1460. Космическое тело движется по эллиптической ор-
орбите, эксцентриситет которой равен е. Скорость тела при
390

прохождении через перицентр равна vp. Определить его
скорость при прохождении через малую полуось орбиты.
Ответ
: v = у y
1461. Космическое тело движется по эллиптической
орбите, эксцентриситет которой равен е. Скорость тела
при прохождении через апоцентр равна va. Определить его
скорость при прохождении через малую полуось орбиты.
Ответ: v =
1462. Космическое тело движется по эллиптической
орбите, эксцентриситет которой равен et параметр р, а
удвоенная секторная скорость С Определить скорость кос-
космического тела как функцию полярного угла ф.
С
Ответ: v = — у\ + 2ecos ф + ё2.
1463. Космическое тело движется по эллиптической
орбите, эксцентриситет которой равен е, а параметр р. Ско-
Скорость тела в перицентре v. Определить угловую скорость
вращения радиуса-вектора тела как функцию полярного
угла ф.
/^ A ~\- В COS ф) ® V
Ответ: со = -—г—;—¦*—- • —.
1+е р
1464. Космическое тело движется по параболической
орбите. Скорость тела в вершине v0. Определить скорость
его движения в зависимости от полярного угла ф.
Ответ: v = v0 cos -~.
1465. Скорость космического тела, движущегося по эл-
эллиптической орбите, в апоцентре vat а в перицентре vp.
Определить эксцентриситет орбиты.
л vp ~~ Va
Ответ: е = -=4г—.
1466. Определить ускорение силы тяжести на высоте Н
над поверхностью Земли, если расстояние от центра Земли
до ее поверхности на соответствующей широте равно /?.
Ответ: gH = g (R , Л .
391

1467. Планета радиуса R движется по эллиптической
орбите параметра р с секторной скоростью С. Определить
ускорение силы тяжести на высоте Н от поверхности пла-
планеты.
лгг
Ответ: gH = яJ.
1468. Радиус планеты, движущейся по эллиптической
орбите, равен /?, а ускорение силы тяжести на ее поверх-
поверхности g. Определить малую полуось ее орбиты, если боль-
большая полуось равна а, а секторная скорость движения пла-
планеты С.
Ответ: b = -.
1469. Космическое тело, движущееся по параболической
орбите, имеет на расстоянии г от притягивающего центра
скорость v и ускорение w. Доказать, что v2 = 2wr.
1470. Космическое тело движется по эллиптической
орбите, параметр которой р, эксцентриситет е, постоянная
площадей С = г2ф. Определить ускорение тела в зависи-
зависимости от полярного угла <р.
Ответ: w9 = 0; wr = §• 0 + е cos фJ-
1471. Космическое тело движется по параболической
орбите, параметр которой /?, а постоянная площадей С =
= г2ф. Определить скорость и ускорение тела в зависи-
зависимости от полярного угла <р.
^ 2С ф 4С2 4 ф
Ответ: v = — cos -|-; w = —Т cos4 ^ .
1472. Определить работу силы потенциального поля,
создаваемого планетой массы М, при перемещении косми-
космического тела массы т из положения, определяемого рас-
расстоянием rlf на бесконечность.
Ответ: — ^—^.
1473. Определить кинетическую, потенциальную и пол-
полную энергию космического тела массы т в гравитацион-
гравитационном поле, создаваемом планетой массы М, если большая
полуось эллиптической орбиты тела равна а, а его ра-
радиус-вектор г.
~ г fmM /2 1 \ 1Т fmM c ftnM
Ответ: Т = 4_(__-); п = -'_;? = _?_ .
392

1474. Доказать, что при движении космического тела
по эллипсу, в положении, когда расстояние космического
тела от притягивающего центра равно большой полуоси
эллипса, его кинетическая энергия равна половине потен-
потенциальной.
1475. Доказать, что при движении космического тела
но круговой орбите, его кинетическая энергия в два раза
меньше потенциальной.
1476. Определить полную энергию космического тела
массы т при его движении по параболической, круговой,
эллиптической и гиперболической орбитам. Масса притя-
притягивающего центра равна М.
Ответ: Ех = О,
Е2 = —Щр . гДе г —радиус круговой орбиты;
Е3 = — —- , где а — большая полуось эллип-
эллиптической орбиты;
Ел = ^-, где а — действительная полуось ги-
гиперболической орбиты.
1477. Определить скорость, с которой метеорит войдет
в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности
уто = 15 км/с.
Ответ: v = 18,71 км/с.
1478. Определить скорость, с которой метеорит войдет
в земную атмосферу, если его скорость на расстоянии Н
от поверхности Земли равна v0 и направлена к ее центру.
Радиус Земли /?.
Ответ: v* = vl
1479. Определить зависимость между периодами тх и т2
обращения любых двух планет вокруг Солнца и большими
полуосями ах и az эллиптических орбит этих планет.
х2 а3
Ответ: -1- = -4 (третий закон Кеплера).
Ч 4
1480. Спутник движется по круговой орбите радиуса г0
со скоростью vK. В результате получения радиального им-
импульса скорости, равного и и направленного вне орбиты,
393

спутник переходит на эллиптическую орбиту. Определить
ее полуоси.
Ответ: а = 9 к ° ; Ь = \far0.
1481. По условию и ответу предыдущей задачи, опреде-
определить период обращения спутника по эллиптической орбите.
Тл 2зтг
Отпет* Т -— гле Т« = °
2 /2,
L UJ J
1482. Спутник движется по круговой орбите радиуса г0
со скоростью vK. В результате получения касательного им-
импульса скорости, равного и и направленного в сторону
движения спутника, он переходит на эллиптическую орби-
орбиту. Определить большую полуось этой орбиты.
Ответ: а = ¦
l-u*-2vKu
1483. По условию и ответу предыдущей задачи, опре-
определить период обращения спутника по эллиптической ор-
орбите.
Ответ: Т = ? , J* ,:.,т/„, где То = ^.
1484. Спутник, двигаясь по круговой орбите со скоро-
скоростью vKy делает один полный оборот за время То. Какой
радиальный импульс скорости и надо сообщить спутнику,
чтобы период его обращения по эллиптической орбите был
равен 7\? Определить полуоси новой орбиты.
Ответ: и - vK /1 - p
1485. Спутник, двигаясь по круговой орбите, делает
один оборот за время То. После получения радиального им-
импульса скорости он перешел на эллиптическую орбиту с
периодом обращения Тх. Определить эксцентриситет новой
орбиты.
Ответ: e = Yl-
394

1486. По условию задачи 1480 определить эксцентриси-
эксцентриситет новой орбиты.
Ответ: е = —.
VK
1487. Спутник, двигаясь по круговой орбите со ско-
скоростью vK, делает один полный оборот за время То. Какой
касательный импульс скорости и необходимо сообщить спут-
спутнику в сторону его движения, чтобы период обращения
спутника по эллиптической орбите был равен Т{> Опреде-
Определить большую полуось новой орбиты.
Ответ: а =
3^_ l]; a-'&
1488. Ракета двигалась под действием притягивающего
центра массы М по кривой конического сечения. Как бу-
будет двигаться ракета, если двигатель переменной тяги сооб-
сообщает ей переменное радиальное ускорение wr =Ц-, на-
направленное от центра притяжения?
Ответ: по прямой, направленной вдоль скорости ракеты
в тот момент, когда ракета начала получать ускорение'-^ .
1489. Ракета двигалась под действием притягивающего
центра массы М по круговой орбите радиуса R. Двигатель
переменной тяги, установленный на ракете, сообщает ей
радиальное ускорение wr = -—^ »направленное вне орбиты.
Определить новую орбиту ракеты.
Ответ: эллипс с полуосями а = 13/?, Ъ = 5R.
1490. Решить предыдущую задачу при условии, что
3 fM
Ответ: эллипс с полуосями я = —/?; & = у/?.
1491. Доказать, что новой орбитой ракеты в задаче
1489 будет парабола, если шг = ^.
1492. Решить задачу 1489 при условии, что wr =
— 21 Ш
~" 32 * /-2 '
Ответ: гипербола с полуосями а = 7,5/?; Ь = 4/?.
395

1493. Два космических аппарата, каждый массой /п,
движутся в одной и той же плоскости в одном направлении
по эллиптическим орбитам с одинаковыми расстояниями
перицентра г0 и расстояниями апоцентров 5г0 и 9г0. Допус-
Допуская, что в перицентре произошла стыковка аппаратов,
определить расстояние га апоцентра состыкованных аппа-
аппаратов.
Л 26 4-15/3 я „сю
Ответ: га = ———^/-0 = 6,482г0.
34 — 15 УЗ
1494. Космический аппарат массы т движется вокру!
притягивающего центра по круговой орбите радиуса г0,
а космический аппарат массы 2/п — в этой же плоскости
и в том же направлении по эллиптической с расстояниями
перигея г0 и апогея 7г0. Допуская, что в точке соприкосно-
соприкосновения орбит произошла стыковка космических аппаратов,
определить расстояние га апогея состыкованных аппаратов.
Ответ: га = * + ; Д г0 = 2,823г0.
о — |/ 7
1495. Состыкованные косми-
космические аппараты массой т каж-
каждый движутся по эллиптической
орбите с расстояниями пери-
перицентра г0 и апоцентра Зг0. Допус-
Допустим,, что после расстыковки
в перицентре один из аппара-
аппаратов стал двигаться по орбите
с расстоянием апоцентра 2г0.
Определить расстояние апоцент-
апоцентра второго аппарата.
Ответ: г2=±=^г0 =
Рис. 813 а 6 J/2 — 8
= 5,182г0.
1496. Космический аппарат запущен на высоте Н над
планетой радиуса R так, что начальная скорость v0 направ-
направлена под углом в0 к линии горизонта1 ВВХ планеты (рис.
813). Круговая скорость аппарата на высоте // равна vK.
Определить величину начальной скорости v0 аппарата, при
которой минимальное расстояние его от поверхности пла-
планеты равно /г; v0 cos 90 > vK.
2 2(R + H)(ll — h)vl
Ответ: vq = ¦
# + /УJ cos2 e0 — (R + h)*
396

1497. Космический аппарат, отделившись на высоте Н от
последней ступени ракеты, имел скоростьVq, направленную
под углом 60 к линии горизонта1 ВВ1 планеты (рис. 813).
Определить угол |5 между направлением вертикали MB,
на которой аппарат находился в начальный момент, и боль-
Рис. 814
шой осью его эллиптической орбиты. Круговая скорость
аппарата на высоте Н равна vK\ u0cos 60 > vK л
Л vl cos2 % — vl
Ответ: cos В ==
1498. Космическое тело движется под действием притя-
притягивающего центра массы М по параболической орбите, па-
параметр которой равен р. Определить время движения тела
как функцию расстояния г от притягивающего центра, если
в начальный момент тело находилось в вершине пара-
параболы.
Ответ: t = \
1499. Космический аппарат движется по эллиптической
орбите, большая полуось которой равна а, а эксцентриси-
эксцентриситет е. Определить время движения аппарата как функцию
полярного радиуса г, если масса притягивающего центра
равна М л при / = 0 г = а{\ — е).
1 Линия горизонта -- касательная ВВ± к окружноеги радиуса MB
в плоскости орбиты.
397

3_ _J_
Ответ: t = a2 (fM)~ 2 (т —esinx), где т =
1500. Стационарный спутник А «висит» неподвижно от-
относительно Земли в плоскости экватора (рис. 814). Ему
сообщена малая вертикальная скорость г>0, направленная
от центра Земли вверх. Определить (приближенно) траек-
траекторию движения спутника относительно Земли. Угловая
скорость вращения Земли со.
Ответ: эллипс -g-2 + "/ = 1.
g2
И
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоре-
Теоретическая механика в примерах и задачях, ч. 1, 2. М., Наука, 1972.
Бражниченко Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л., Мо-
Морозов В. И. Сборник задяч по теоретической механике. М., Высшяя
школа, 1967.
Бутенин II. В., Лунц Я- Л., Мер кип Д. Р. Курс теоре-
теоретической механики. М., Наука, 1971.
Б у х г о л ь ц Н. Н., В о р о н к о в И. М., М и и а к о в А. П.
Сборник задач по теоретической механике. М.—Л., Гостехтеориздят, 1949.
Л ой ц янский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической ме-
механики. М.—Л., Гостехтеориздат, 1957.
Мещерский И. В. Сборник задач но теоретической механике.
М., Наука, 1972.
Николаи Е. Л. Теоретическая механика. М.—Л., Гостехтеориз-
Гостехтеориздат, 1950.
ПутятаТ. В., Фрадлин Б. Н. Методика решения задач по
теоретической механике. К., Радянська школа, 1952.
Савин Г. II., Пут я та Т. В., Фрадлин Б. Н. Курс теоре-
теоретической механики. К., Вища школа, 1973.
Савин Г. Н., КильчевскийН. А., ПутятаТ. В. Курс
теоретической механики. К., Гостехиздат, 1957.
Т а р г С. М. Краткий курс теоретической механики. М., Госиздат
физико-математической литературы, 1972.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Госиздат
физико-математической литературы, 1959.
Яблонский А. А. Курс 1еоретической механики, ч. 2. М., Выс-
Высшая школа, 1977.
Я б л о и с к и и А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической
механики, ч. 1. М., Высшая школа, 1977.
398

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел I
СТАТИКА
Глава I. Плоская система сил 4
§ 1. Сходящиеся силы 4
§ 2. Параллельные силы и пары сил 10
§ 3. Силы, произвольно расположенные на плоскости 16
§ 4. Равновесие сисгемы тел 27
§ 5. Трение скольжения 44
§ 6. Определение усилий в стержчях плоской шарнирной фермы 48
Глава II. Пространственная система сил 53
§ 7. Сходящиеся силы 53
§ 8. Произвольная система сил 58
§ 9. Приведение системы сил к простейшему виду 76
Глава III. Центр тяжести . 82
§ 10. Координаты центра тяжести 82
§ 11. Статические моменты 87
Раздел II
КИНЕМАТИКА.
Глава IV. Движение точки . 94
§ 12. Равнопеременное движение точки по прямой 94
§ 13. Произвольное движение точки ... ........ 95
Глава V. Простейшие движения твердого тела ИЗ
§ 14. Вращение тела вокруг неподвижной оси 113
§ 15. Преобразование простейших движений твердого тела ... 117
Глава VI. Сложное движение точки 120
§ 16. Сложение скоростей точки ... 120
§ 17. Сложение ускорений точки 127
Глава VII. Плоскопараллельное движение тела 144
§ 18. Скорости точек тела 144
§ 19. Ускорения точек тела 156
Глава VIII. Сложное движение тела 167
§ 20. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей 167
§ 21. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и сло-
сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей 175
Раздел III
ДИНАМИКА
Глава IX. Две основные задачи динамики точки 183
§ 22. Первая задача динамики точки 183
§ 23. Вторая задача динамики точки ... 186
Глава X. Колебательное движение точки 198
§ 24. Свободные колебания точки 198
§ 25. Затухающие колебания точки 205
§ 26. Вынужденные колебания точки 209

Глава XI. Основные теоремы динамики 214
§ 27. Теорема о движении центра масс 214
~ 28. Теорема об изменении количества движения 223
29. Теорема Эйлера 227
30. Теорема об изменении момента количества движения .... 231
31. Элементарная теория гироскопа 245
32. Теорема об изменении кинетической энергии 250
§ 33. Плоскопараллельное движение твердого тела 275
Глава XII. Метод кинетостатики 284
Глава XIII. Относительное движение точки 297
Глава XIV. Аналитическая механика 304
§ 34. Принцип возможных перемещений 304
§ 35. Общее уравнение динамики 317
§ 36. Уравнения Лагранжа II рода 325
Глава XV. Колебания механической системы 314
§ 37. Колебания механической систомы с одкой степенью свободы 344
§ 38. Колебания механической.системы с двумя степенями сьсб^ы 367
Главй XVI. Элементарная теория удара 372
Глава XVII. Динамика точки переменной массы 379
Глава XVIII. Движение материальной точки в центральном
силовом поле, , . t 389
Список литературы 398
ОЛЬГА АНДРЕЕВНА БЕРЕЗОВА
ГРИГОРИЙ ЕФИМОВИЧ ДРУШЛЯК
РОСТИСЛАВ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ СОЛОДОВНИКОВ
Теоретическая механика
Сборник задач
Под ред. доц. П. П. ЛАВРИНЕНКО
Редактор Л. И. Ващенко
Литредактор Л. П. Никитина
Обложка художника Д. Д. Грибова
Художественный редактор Е. В. Ч у р и и
Технические редакторы Е. Л. Глейзер, С. Л. Светлова
Корректор Т. Г. Щеголь
Информ. бланк № 4231
Сдан9 в набор 15.08.79. Подп. в печать 7.02.80. Фомат 84X108V32 Бумага
типогр. № 3. Лит. глрн. Вые. печать. 21,0 усл. печ. л. 18,09 уч.-изд. л. Тираж
15000 экз. Изд. № 4522. Зак. 9-396- Цена 75 к.
Головное издательство издательского объединения «Вища школа», 252054,
Киев-54, ул. Гоголевская, 7
Книжная фабрика им. М. В. Фруизе Республиканского производственного
объединения «Полпграфкппга» Госкомиздата УССР, Харьков,
Донец-Захаржевского, 6/8»