Автор: Кондратьев А.С. Бордовский Г.А. Борисенок С.В. Гороховатский Ю.А. Суханов А.Д.
ISBN: 5-06-004295-2
Год: 2004
Текст
Министерство образования Российской Федерации
Всероссийский конкурс учебников нового поколения
по общим математическим и естественнонаучным
дисциплинам для направлений высшего образования
Уважаемый читатель!
Перед Вами один из учебников нового поколения по дисциплине
«Физика» для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
педагогическим направлениям и специальностям профессионального
образования. Он написан известными специалистами в области физи¬
ки, основ естествознания и теории высшего образования и прошел
сложный и длительный путь конкурсного отбора.
Данный учебник является одним из трех учебников-лауреатов по
номинации «Физика для естественнонаучных специальностей» Всерос¬
сийского конкурса учебников нового поколения по общим математиче¬
ским и естественнонаучным дисциплинам. В связи с реформированием
структуры и содержания высшего образования этот конкурс впервые в
истории России был инициирован Госкомвузом России (в дальней¬
шем — Минобразования России) и проведен в течение 1994—1999 гг. на
базе Российского университета дружбы народов.
В конкурсе приняли участие свыше 350 авторских коллективов
практически из всех регионов России, заявки представлялись по один¬
надцати номинациям, а в их оценке участвовало более ста высококвали¬
фицированных экспертов.
В результате двух туров конкурса был отобран 31 авторский коллек¬
тив, чьи заявки, а затем и рукописи более всего соответствовали как но¬
вым примерным учебным программам, так и Государственным образо¬
вательным стандартам по каждой дисциплине.
Конкурсная комиссия выражает надежду, что данный учебник вне¬
сет свой полезный вклад в дело дальнейшего совершенствования рос¬
сийского высшего профессионального образования и желает всем чита¬
телям — студентам и преподавателям — больших творческих успехов.
Председатель конкурсной комиссии
Министерства образования РФ,
академик Российской академии
образования, профессор
В.Д. Шадриков
ЛАУРЕАТ
l^TTy] J КОНКУРСА
убу/ УЧЕБНИКОВ РФ
КУРС ФИЗИКИ
В ТРЕХ КНИГАХ
Под редакцией академика Г.А. Бордовского
КНИГА ПЕРВАЯ
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
МЕХАНИКИ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям “Естественнонаучное образование',
“Физико-математическое образование"
Москва
“Высшая школа"
2004
УДК 53
ББК 22.3
К93
Авторы:
Г.А. Бордовский, С.В. Борисенок, Ю.А. Гороховатский,
А.С. Кондратьев, А.Д. Суханов
Рецензенты:
кафедра «Общей физики» Российского университета дружбы народов
(зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Гордеев)',
д-р физ.-мат. наук, проф. П.К. Кашкаров (МГУ им. М.В. Ломоносова)
Курс физики: В 3 кн. Кн. 1. Физические основы механики:
К93 Учебник / Г.А. Бордовский, С.В. Борисенок, Ю.А. Гороховатский
и др.; Под ред. Г.А. Бордовского. — М.: Высш. шк., 2004. — 423 с.:
ил.
ISBN 5-06-004295-2
Последовательность изложения материала в учебнике соответствует логиче¬
ской структуре физики как науки и отражает современные тенденции ее препода¬
вания. Особое внимание в книге уделяется таким разделам, как законы сохранения
в механике, основы релятивистской^механики, механика сплошных сред, механи¬
ческие колебания и волны.
Д/1Я студентов педагогических вузов.
УДК 53
ББК 22.3
ISBN 5-06-004295-2 (кн. 1)
ISBN 5-06-004712-1 © ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2004
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая
школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издате¬
льства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый курс «Физики» состоит из трех книг, каждая из ко¬
торых предназначена, как правило, для изучения в течение одного се¬
местра.
Книга 1. Физические основы механики.
Книга 2. Физические основы электромагнитных явлений.
Книга 3. Физические основы строения вещества.
Особенностью содержания курса является фундаментальное и цело¬
стное изложение принципиальных экспериментов, данное с позиций
логики современной физики как науки.
Изложение материала строится не по принципу историзма (т. е. в
исторически сложившейся последовательности различных разделов —
механика, физика тепловых явлений, электромагнетизм и т. д.), а опи¬
рается на внутреннюю логику и методологию физики как науки. При
таком подходе многие открытия современной физики в идейном плане
оказываются более простыми, чем ряд уже давно обсуждаемых тради¬
ционных вопросов, получивших удовлетворительное решение только в
самое последнее время (например, проблема обоснования термодина¬
мики).
Именно поэтому представляется более правильным рассматривать
физику тепловых явлений после освоения не только механических, но и
электромагнитных явлений, а также после получения необходимых све¬
дений о строении вещества на микроуровне. Следует отметить, что ука¬
занная последовательность в изложении курса физики соответствует со¬
временным типовым программам, а также нашла отражение в
учебниках по физике для средней школы (Бутиков Е.И., Кондратьев
А.С., Уздин В.М. Физика: В 3 кн. М.: Физматлит, 2001).
В данном курсе физика излагается как развивающаяся наука, в ко¬
торой непрерывно расширяется и круг изучаемых явлений, и спектр ис¬
следовательских методов. Характер изложения материала направлен на
выработку качественно нового уровня физического понимания, ориен¬
тированного не только на объяснение наблюдаемых фактов, но и на
возможность предсказания результатов эксперимента. Главной целью
изучения физики является формирование современного физического
мышления и представления о целостности физики как науки.
Книга 1 посвящена изложению основ нерелятивистской и реляти¬
вистской механики. Изложение механики, как и всех последующих раз¬
делов, строится на основе общих методологических принципов физики.
Большое внимание уделяется -соображениям симметрии, в частности,
физическому подобию. Значительно шире, чем обычно, представлены
элементы физики нелинейных явлений.
Содержание книги 2, посвященной физическим основам электро¬
магнитных явлений, охватывает электростатику, магнитостатику, квази-
3
стационарное электромагнитное поле, электромагнитные колебания и
волны произвольного диапазона частот. Таким образом, несмотря на
то, что в курс включены все основные явления и закономерности, кото¬
рые традиционно излагаются в разделе «Оптика», он вместе с тем сво¬
боден от необоснованной абсолютизации электромагнитных волн опти¬
ческого диапазона.
Книга 3 отличается целостным изложением в одном томе микроско¬
пического и макроскопического уровней описания строения материи.
Подробно дается экспериментальное обоснование основных идей кван¬
товой физики на основе обсуждения неклассических свойств как элек¬
тромагнитного излучения, так и структурных элементов вещества. На
основе изложенного экспериментального материала дается более глубо¬
кая интерпретация квантовых состояний и их взаимосвязи с наблюдае¬
мыми физическими величинами. Весьма нетрадиционным является
описание ядер и элементарных частиц на основе единого подхода, бази¬
рующегося на фундаментальных положениях квантовой и релятивист¬
ской динамики.
При описании вещества на макроуровне вначале излагаются основ¬
ные идеи статистической механики и ее приложение к истолкованию
начал термодинамики, а затем полученные законы применяются к опи¬
санию конденсированного вещества. При рассмотрении свойств твер¬
дых тел используются законы квантовой динамики с привлечением эле¬
ментов статистического описания.
В заключение дается обобщающий взгляд на современную физиче¬
скую картину мира, включая обсуждение принципиальных вопросов
методологии физики.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам данного
курса физики заместителю декана физического факультета МГУ про¬
фессору П.К. Кашкарову и заведующему кафедрой общей физики
РУДН профессору А.Н. Гордееву за внимательное отношение к руко¬
писи и благожелательную критику. Мы также благодарны нашим кол¬
легам О.В. Чистяковой, А.Д. Темновой и М.Г. Нечипоренко за по¬
мощь в подготовке рукописи к печати.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Физика — наука о природе, которая изучает наиболее общие, уни¬
версальные закономерности взаимодействия материальных объектов —
частиц и полей, лежащие в основе описания все* других явлений, та¬
ких, как химические, биологические и т. д. Одна из основных задач фи¬
зики — установление наиболее фундаментальных законов, описываю¬
щих природу. Знание и понимание этих законов позволяет объяснять
наблюдаемые явления и предсказывать новые, которые протекают при
наличии определенных условий.
Отличительная черта физики, делающая ее лидером современного
естествознания, — это исключительная сбалансированность качествен¬
ного и количественного аспектов в описании явлений природы. Стиль
научного мышления в физике основывается на ее общих методологиче¬
ских принципах: относительности, симметрии и т. д. Из всех методоло¬
гических принципов физики принцип относительности в наибольшей
степени близок к физическому закону и может быть сформулирован
именно как физический закон. Идея симметрии играет исключительно
важную роль в физике, позволяя в конечном счете свести все многооб¬
разие физического мира к относительно небольшому числу фундамен¬
тальных физических законов — законов сохранения. Существование ка¬
ждого фундаментального закона сохранения связано с определенной
симметрией. Обычно использование того или иного закона сохранения
(энергии, импульса, электрического заряда и т. д.) не требует явного об¬
ращения к соответствующей симметрии пространства, времени или
рассматриваемой физической системы. Однако в ряде случаев исполь¬
зование соображений симметрии позволяет существенно упростить
рассмотрение, очистить физические рассуждения от излишних матема¬
тических нагромождений и из общих соображений получить правиль¬
ную качественную, а иногда и количественную картину изучаемого
явления.
Язык, на котором обычно формулируются основные физические за¬
коны, — это математика. При этом молчаливо, а иногда и открыто при¬
знается, что содержание физических законов сводится к определенным
математическим формулам или уравнениям. В действительности мате¬
матические формулировки отражают только количественный аспект ис¬
следуемого физического вопроса и не раскрывают всей глубины его
физического содержания. В частности, математическое выражение,
описывающее физический закон, не содержит границ применимости
этого закона, которые устанавливаются независимым путем из физиче¬
ских соображений.
Любая развитая математическая схема может соответствовать только
какому-то определенному уровню знаний о физическом мире, что не
5
исключает возможности исчерпывающего описания явлений на этом
уровне. Многообразие свойств физического мира приводит к тому, что
любая, даже самая абстрактная математическая схема или конструкция
рано или поздно находит адекватное применение в каком-либо разделе
физики.
Наряду со строгими математическими методами в физике широко
используются так называемые качественные методы, под которыми по¬
нимают огромный спектр различных подходов, не связанных с последо¬
вательными математическими преобразованиями и вычислениями — от
использования общих методологических принципов физики до простых
размерных оценок. Даже в теоретической физике решение большинства
задач начинается с качественных методов, которые составляют наибо¬
лее привлекательную особенность этой науки.
По мнению выдающегося физика Н. Бора, физическая картина яв¬
ления и его математическое описание дополнительны: понятию истин¬
ности дополнительно понятие ясности. Это означает, что создание яс¬
ной физической картины явления требует пренебрежения деталями и
уводит от математической точности. Наоборот, попытка точного мате¬
матического описания требует учета всех деталей, что делает общую
картину более громоздкой и затрудняет ясное понимание.
История науки дает немало примеров, когда с помощью одних лишь
математических рассуждений и вычислений удавалось описать новые
явления или предсказать существование новых физических объектов,
что впоследствии блестяще подтверждалось на опыте. Здесь можно
указать на вычисления Дж.К. Адамса и Ж. Леверье положения новой
планеты Нептун, открытой затем астрономом И.Г. Галле, предсказание
Дж. Максвеллом существования электромагнитных волн на основе ана¬
лиза предложенных им уравнений для описания электромагнитных
процессов, предсказания П. Дираком существования античастиц на ос¬
нове анализа написанного им релятивистского уравнения для электро¬
на, вычисление С. Вайнбергом, Ш. Глэшоу и А. Саламом масс-век-
торных бозонов — носителей электрослабого взаимодействия, которые
в 1983 г. были экспериментально зарегистрированы на ускорителе. И во
всех этих случаях успех определялся правильной исходной физической
идеей. А эксперимент (и наблюдения) выступал как высший критерий
истинности развитых физических представлений.
Создавая экспериментальную установку и проводя на ней измере¬
ния, физик задает вопрос самой природе о-том, что будет происходить
в данных конкретных условиях, и получает ответ в виде результатов из¬
мерений, которые подлежат обработке и осмыслению. В теоретической
физике вопрос задается не природе, а математическим уравнениям, от¬
ражающим совокупность наших знаний и представлений об изучаемом
явлении, т. е. физическую модель явления.
На протяжении всей истории своего развития физика накопила ог¬
ромный арсенал средств и методов моделирования. Представления о ре¬
альном мире — это представления о свойствах физических моделей, ко¬
6
торыми описываем происходящие процессы и явления. Формулы или
уравнения, описывающие физическую.модель изучаемого процесса или
явления, образуют его математическую модель.
Исторически сложилось деление физики на классическую, создание
которой завершилось в начале минувшего века формулировкой теории
относительности, и неклассическую, прежде всего квантовую, физи¬
ку — детище XX в., которая продолжает бурно развиваться и в настоя¬
щее время. Такое резкое деление отражает принципиальную разницу
основных физических представлений старой (классической) и новой
(неклассической) физики, т. е. различие физических моделей мира. Фи¬
зические модели классической физики характеризуются рядом абстрак¬
ций, которые очень хорошо соответствовали реальным свойствам физи¬
ческого мира в условиях (или, как говорят, при значениях параметров
системы), характерных для классических систем, но оказались совер¬
шенно несовместимыми со свойствами неклассических систем.
Какие же абстракции, характерные для классического способа опи¬
сания физических систем, делают его непригодным для объяснения
свойств неклассических, например, квантовых объектов? Прежде всего
это абсолютизация понятия физического процесса, заключающаяся в
предположении о независимости протекания явлений от условий их на¬
блюдения. Другими словами, в классической физике было принято счи¬
тать, что измерения над протекающими процессами можно проводить,
не возмущая само протекание процесса, или вносимое им возмущение
можно аккуратно учесть. Классическая физика имела дело с объектами
крупного масштаба, по отношению к которым воздействие, связанное с
измерением, играет совершенно ничтожную роль. В тех случаях, когда
оно было заметным, его можно было учесть и внести соответствующие
поправки. Принципиальная возможность этого не вызывала сомнений.
Единственным обстоятельством, связанным с условиями наблюдения,
которое учитывалось в классической физике, был выбор системы отсче¬
та: по отношению к двум произвольно движущимся друг относительно
друга системам отсчета одно и то же физическое явление будет иметь
различный вид.
Физический процесс в инерциальной системе отсчета рассматривал¬
ся как нечто, происходящее независимо от наблюдателя за этим про¬
цессом, а не как явление, конкретно познаваемое при помощи опреде¬
ленных средств исследования. Позднейшее развитие физики показало,
что такая абсолютизация физических процессов не является логически
необходимой, а представляет собой допущение, которое прекрасно оп¬
равдывалось при изучении макроскопических явлений, но которое ока¬
залось совершенно непригодным в микромире. Более того, указанное
допущение не применимо и к макрообъектам в условиях, когда необхо¬
димо учитывать флуктуации их характеристик (яркий пример — бро¬
уновское движение).
Вторая абстракция, допускавшаяся в классической физике, была
тесно связана с первой и заключалась в том, что при изучении физиче¬
7
ских явлений считалась возможной сколь угодно полная и подробная
детализация описания этих явлений. Другими словами, считалось, что
можно неограниченно уточнять наблюдение и одновременно наблюдать
разные стороны одного и того же физического процесса, не нарушая са¬
мого явления.
С этими двумя абстракциями, используемыми в классической физи¬
ке, т. е. с предположением об абсолютном характере физических про¬
цессов (в смысле их независимости от условий наблюдения) и о воз¬
можности детального их описания (в пределе — исчерпывающе точного
и всестороннего), связано представление о лапласовском механическом
детерминизме, согласно которому можно строго определить состояние
и любые характеристики изучаемой системы в любой момент времени,
раз известно ее начальное состояние и характер взаимодействия с окру¬
жающими объектами.
Вопрос о применимости классических физических моделей (или то
же о применении классического способа описания) — эго вопрос о воз¬
можности использования перечисленных абстракций при анализе кон¬
кретного явления. Если в каком-либо конкретном случае установлено,
что эти абстракции неприменимы, то классическое описание невозмож¬
но. В частности, бессмысленны классические представления о свойст¬
вах изучаемого объекта, например о его движении по определенной
траектории. Пределы применимости представлений классической фи¬
зики устанавливаются так называемыми соотношениями неопределен¬
ностей Гейзенберга, которые позволяют практически определить эти
пределы.
Построение физической и математической моделей изучаемого яв¬
ления начинается с выбора языка, на котором проводится описание.
Здесь всегда следует помнить, что совпадение многих терминов, ис¬
пользуемых в физике и математике, не означает совпадения смысла
понятий. В этом отношении очень характерны слова знаменитого анг¬
лийского физика А. Эддингтона, впервые получившего эксперимен¬
тальные подтверждения общей теории относительности (теории тяготе¬
ния) А. Эйнштейна: «Словарь физики содержит ряд таких слов, как
длина, угол, скорость, сила, работа, потенциал, ток и т. д. Мы их будем
называть физическими величинами. Некоторые из этих величин встре¬
чаются в чистой математике. Они могут в этом случае иметь более об¬
щее значение, которое, однако, нас здесь не интересует. Чистый мате¬
матик имеет дело с идеальными величинами, обладающими, по
определению, теми свойствами, которые он им произвольно приписы¬
вает. Но в экспериментальной науке мы должны не приписывать, а от¬
крывать отдельные свойства. Физические величины и определяются,
прежде всего, по тем признакам, по которым мы распознаем их, стал¬
киваясь с ними при наших наблюдениях окружающего мира» (Эддинг¬
тон А. Теория относительности. М., 1925).
Выбор математического аппарата для создания математической мо¬
дели явления на основе развитой физической модели начинается с уста¬
новления раздела математики, в котором используется совпадающая
или сходная терминология по сравнению с изучаемым физическим во¬
просом. В достаточно сложных случаях математический аппарат для
описания определенного физического вопроса представляет собой
смесь различных математических представлений и понятий, относя¬
щихся иногда к разным разделам математики. Такое положение нахо¬
дится в полном соответствии с тенденцией развития самой математики,
в которой происходит стирание граней между чистой и прикладной ма¬
тематикой — они снова сливаются в единую науку. Более того, в самой
чистой математике стирается традиционное деление на алгебру, геомет¬
рию и анализ, возникают промежуточные разделы — дифференциаль¬
ная геометрия, алгебраическая геометрия, алгебраическая топология
и т. д. По мнению П. Дирака, прогресс физики требует для ее теорети¬
ческой формулировки все более высокой математики.
РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Глава 1. ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, ДВИЖЕНИЕ
§ 1.1. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
Все без исключения физические явления происходят в пространстве
и во времени. Поэтому, приступая к изучению любого явления, необхо¬
димо прежде всего составить представление о содержании этих поня¬
тий. Фундаментальность понятий пространства и времени заключается
в том, что их невозможно выразить, объяснить через какие-либо более
простые понятия.
Для изучения законов природы необходимо знать свойства про¬
странства и времени, которые должны познаваться на опыте. Опыт го¬
ворит о том, что физическое пространство трехмерно, однородно и изо¬
тропно, а время одномерно и однородно.
Одномерность времени означает, что для указания момента наступ¬
ления какого-либо события или длительности какого-либо процесса
достаточно одного числа. Однородность времени проявляется в неизме¬
няемости физических законов с течением времени. Опыт, поставлен¬
ный в одинаковых физических условиях в разные моменты времени,
дает одинаковые результаты.
Трехмерность физического пространства означает, что для указа¬
ния места, где происходит какое-либо событие, достаточно трех чи¬
сел, например, трех пространственных координат. Однородность фи¬
зического пространства проявляется в независимости физических
законов от положения в пространстве — одни и те же законы дейст¬
вуют во всех уголках Вселенной. Опыт, поставленный в одинаковых
физических условиях в различных местах, дает одинаковый резуль¬
тат. Изотропность физического пространства проявляется в незави¬
симости физических законов от ориентации физической системы в
пространстве.
Все физические объекты обладают определенной пространствен¬
ной протяженностью. Все физические процессы характеризуются оп¬
ределенной временной протяженностью — длительностью (рис. 1.1,
1.2).
Введем понятие события: под физическим событием будем пони¬
мать нечто, характеризуемое пространственным положением и момен¬
том времени, когда это нечто произошло. Любой физический про¬
цесс — это некоторая последовательность или совокупность отдельных
10
10
10
10 размер бактерии
10"
10‘
10”
10"
10е
10'
10
10
10
,20
10
,26
- диаметр атома
- диаметр вируса
- - размер пылинки
-- размер ореха
- человек
- кит
10 диаметр Московской области
107 диаметр Земли
- расстояние до Луны
10 диаметр Солнца
■ - диаметр земной орбиты
- диаметр Солнечной системы
- расстояние до ближайшей звезды
- типичный диаметр галактики
- край видимой Вселенной
Рис. 1.1. Характерные пространственные масштабы физических процессов (м)
событий. Физическое событие — это некоторая абстракция, модель.
Событие по определению не обладает ни пространственной, ни времен¬
ной протяженностью. В качестве примеров того, что может рассматри¬
ваться в модели физического события, можно указать мгновенную
вспышку света в определенной точке, столкновение двух элементарных
частиц и т. д. Понятие физического события подобно геометрическому
понятию точки как объекта, не имеющего пространственной протяжен¬
ности. Физическими событиями являются начало и конец любого фи¬
зического процесса.
11
10
10
10“
10“
10"
10"
10
10
lCf
ю1
10
ю1
-15
-- период вну триядерных колебаний
- - период видимого света
-- период микроволнового диапазона
- - период амплитудных модуляций
- - период переменного тока
- - период сердцебиения человека
- продолжительность суток
-- 1 год
- человеческая жизнь
- существование человечества
- возраст Земли
- возраст Вселенной
Рис. 1.2. Характерные временные масштабы физических процессов (с)
§ 1.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. СИСТЕМА ОТСЧЕТА
Раздел физики, в котором изучается движение тел, называется меха¬
никой. Механическое движение заключается в изменении пространст¬
венного положения тела с течением времени. Однако опыт показывает,
что не существует физического способа указать положение тела в пус¬
том пространстве, где нет никаких других тел. Поэтому определить по¬
ложение тела в пространстве можно, указав его положение относитель¬
но каких-либо других тел. Нельзя говорить и об изменении положения
тела в пустом пространстве. Это означает, что механическое движение
может происходить только относительно других тел. В этом заключается
относительность механического движения. Для изучения механического
движения вводится система отсчета — тело (или совокупность тел),
принимаемое за неподвижное, вместе с совокупностью приборов для
измерения времени и расстояний.
Любое механическое движение рассматривается в какой-либо систе¬
ме отсчета. Относительность движения проявляется в том, что одно и то
12
же движение происходит по-разному в разных системах отсчета. Напри¬
мер, движение Луны относительно Земли (в геоцентрической системе
отсчета) происходит по замкнутой почти круговой орбите. Относитель¬
но Солнца (в гелиоцентрической системе отсчета) Луна движется по
сложной незамкнутой орбите.
Задача любой науки, в том числе физики, изучать объективные за¬
кономерности окружающего мира, не зависящие от того, кто именно их
изучает. Однако вследствие относительности механического движения
каждый исследователь может выбирать систему отсчета по-своему. Этот
произвол в действительности ограничивается соображениями целесооб¬
разности и удобства — систему отсчета следует выбирать так, чтобы
изучаемое движение и описывающие его законы выглядели как можно
проще. Например, в системе Коперника закономерности движения пла¬
нет Солнечной системы оказываются значительно проще, чем в системе
Птолемея, хотя для земного наблюдателя (в геоцентрической системе
отсчета) движение планет выглядит именно так, как оно описывается в
системе Птолемея.
При рассмотрении механического движения в разных системах от¬
счета необходимо знать, какие характеристики движения остаются не¬
изменными, а какие меняются при переходе от одной системы отсчета к
другой и каким именно образом. Прежде всего интересно, каким обра¬
зом изменяются пространственные и временные характеристики.
Начнем с времени. Опыт показывает, что пока речь идет о движе¬
ниях, медленных по сравнению с распространением света в вакууме,
время течет одинаково во всех системах отсчета и в этом смысле являет¬
ся абсолютным. Это означает, что промежуток времени между двумя со¬
бытиями одинаков при его измерении в любой системе отсчета.
Теперь рассмотрим пространственные характеристики. Положение
изучаемого объекта изменяется при переходе от одной системы отсчета
к другой. Однако относительное пространственное расположение двух
событий при этом не меняется и в этом смысле является абсолютным.
Например, от выбора системы отсчета не зависит относительное поло¬
жение концов тонкого твердого стержня, т. е. его пространственный
размер.
Таким образом, классическая нерелятивистская физика основывает¬
ся на предположении об абсолютном характере пространства и време¬
ни, которые считаются независимыми друг от друга. Это означает, что
согласно представлениям классической нерелятивистской физики про¬
межутки времени и пространственные расстояния между любыми двумя
событиями инвариантны, т. е. одинаковы в любой системе отсчета. Эти
представления соответствуют определенной модели реального про¬
странства и времени, созданной на основе экспериментальных фактов,
характерных для сравнительно медленных движений. В релятивистской
физике эти представления о пространстве и времени претерпели суще¬
ственные изменения. Однако новые релятивистские представления,
пришедшие на смену представлениям нерелятивистской физики, пере¬
13
ходят в них в предельном случае медленных движений. Таким образом,
модель абсолютного пространства и времени адекватна при рассмотре¬
нии медленных механических движений. Такое движение можно рас¬
сматривать в разных системах отсчета. Конкретный выбор системы от¬
счета диктуется соображениями удобства: ее следует выбирать так,
чтобы изучаемое движение и его закономерности выглядели как можно
проше.
§ 1.3. МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ (ЧАСТИЦЫ).
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ
Кинематика описывает механическое движение, не выясняя при¬
чин, вызывающих это движение. В кинематике вводятся основные ха¬
рактеристики — физические величины, на языке которых описывается
движение, такие, как радиус-вектор, перемещение, пройденный путь, вре¬
мя движения, скорость, ускорение и т. д., и устанавливаются связи между
ними, т. е. рассматривается геометрия движения без выяснения его
причин.
Любое тело имеет конечные размеры, и разные его части занимают
различное положение в пространстве. Рассмотрим простейший случай,
когда достаточно указать положение лишь одной точки тела. В этом
случае можно прийти к понятию материальной точки, понимая под
этим тело, размеры и форма которого в рассматриваемом явлении несу¬
щественны. Модель материальной точки для реального объекта приме¬
нима тогда, когда размеры этого объекта малы по сравнению с другими
характерными размерами, которые фигурируют в изучаемом движении.
Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точ¬
кой, а в других — нельзя. Например, при расчете движения космиче¬
ского корабля по орбите его можно считать материальной точкой, но
при расчете стыковки этого корабля с орбитальной станцией модель
материальной точки уже неприменима. Тяжелый шар, подвешенный на
упругой проволоке, можно считать материальной точкой при изучении
вертикальных колебаний (рис. 1.3, а) и нельзя — при изучении крутиль-,
ных колебаний вокруг вертикальной оси (рис. 1.3, б). Таким образом,
используя модель материальной точки, идеализируются не столько
свойства самого тела, сколько условия его движения.
Особый случай, когда тело можно рассматривать как материальную
точку и при этом его размеры вовсе не малы по сравнению с другими
характерными размерами, — это случай так называемого поступатель¬
ного движения, при котором все точки тела движутся одинаково и его
пространственная ориентация остается неизменной. Например, при
операции стыковки космического корабля с орбитальной станцией,
когда корабль уже сориентирован относительно нее и его пространст¬
венная ориентация остается неизменной, все точки корабля движутся
одинаково. Причаливающий корабль можно рассматривать как матери¬
альную точку, хотя его размеры сравнимы и могут быть даже больше
14
/////у у
О
а)
б)
Рис. 1.3. Вертикальные колебания (а) и
крутильные колебания вокруг вертикаль¬
ной оси (б) тяжелого шара, подвешенного
на упругой проволоке
Рис. 1.4. Перемещение Дг и путь AS час¬
тицы за промежуток времени At
других характерных размеров — расстояния до станции, се габаритов
и т. д.
В выбранной системе отсчета положение тела, рассматриваемого
как материальная точка, можно задать направленным отрезком, прове¬
денным из начала отсчета в ту точку пространства, где находится эта
материальная точка. Такой направленный отрезок называется радиус-
вектором материальной точки, которую в дальнейшем будем для крат¬
кости называть частицей. За начальную точку можно принять любую
фиксированную точку системы отсчета, выбор которой произволен и
определяется исключительно из соображений удобства.
При движении частицы конец радиус-вектора перемещается в про¬
странстве вместе с частицей. Вычерчиваемая при этом воображаемая
линия называется траекторией частицы. Отметим, что в выбранной
системе отсчета радиус-вектор движущейся частицы изменится, если
изменить начало отсчета. Однако траектория частицы при этом не из¬
менится.
Пусть в некоторый момент времени t0 положение частицы задается
радиус-вектором г0, а в более поздний момент времени t — радиус-
вектором г (рис. 1.4). Направленный отрезок, проведенный из конца
радиус-вектора г0 в конец радиуса-вектора г, называется перемещением
частицы Дг за промежуток времени At = t - /0. Видно, что величины г(„ г
и Дг связаны векторным равенством
г = г0 + Дг. (1.1)
Таким образом, перемещение частицы за некоторый промежуток
времени равно изменению ее'радиус-вектора.
Пройденным частицей путем As за промежуток времени At называ¬
ется длина отрезка траектории между двумя ее положениями, характе¬
ризуемыми радиусами-векторами г0 и г. По определению, путь — это
скалярная положительная величина. В случае криволинейной траекто¬
рии путь больше модуля соответствующего перемещения, так как длина
15
дуги всегда больше длины стягивающей
ее хорды. Путь и модуль перемещения
совпадают только при прямолинейном
движении в одном направлении.
Перемещение частицы, как следует
из формулы (1.1), — это векторная вели¬
чина. Действительно, рассмотрев харак¬
теризуемое радиус-вектором г, положе¬
ние частицы в еще более поздний
момент времени /, (рис. 1.5), увидим, что
перемещение частицы за промежуток
времени (/, — /0) равно векторной сумме
перемещений за промежутки времени
О {t — /0) и (г, — /). Итак, два последова-
Рис. 1.5. Векторное сложение тельных перемещения частицы эквива-
перемещений лентны одному перемещению, равному
их векторной сумме.
А как складываются перемещения,
когда частица участвует в нескольких движениях? Например, паром пе¬
ресекает залив, а человек, находящийся на палубе парома, переходит с
его кормы на нос. Каким окажется результирующее движение человека
относительно неподвижного берега? Опыт показывает, что результи¬
рующее перемещение человека равно векторной сумме перемещений
парома относительно берега и человека относительно парома, и этот ре¬
зультат не зависит от последовательности выполнения отдельных со¬
ставляющих перемещений. В физике это утверждение называется прин¬
ципом независимости перемещении.
Описанный случай с человеком на пароме в действительности слу¬
жит проверкой того, что геометрия реального физического пространст¬
ва является евклидовой. В математике правильность геометрии Евклида
определяется ее внутренней непротиворечивостью. Однако в физике,
как было отмечено, необходимо не приписывать, а экспериментально
открывать объективно существующие свойства пространства.
Геометрические представления о свойствах пространства играют в
физике очень важную роль — с ними связан вопрос о физических свой¬
ствах реального мира. В частности, можно ли считать при проведении
физических измерений, что справедливы аксиомы и теоремы евклидо¬
вой геометрии? Чтобы понять, к чему могут привести отличия геомет¬
рии физического пространства от евклидовой геометрии, вообразим
себе мир гипотетических двумерных существ, живущих на поверхности
шара. В геометрии искривленного двумерного пространства аналогом
прямых линий служат дуги больших кругов (вдоль них реализуются
кратчайшие расстояния между двумя точками). В треугольнике, состав¬
ленном из таких линий, сумма углов всегда больше к. Поэтому, проводя
измерения углов какого-либо треугольника, воображаемые двумерные
существа могли бы обнаружить, что живут в искривленном мире.
В геометрий искривленного двумерного мира сумма двух последо¬
вательных перемещений зависит от порядка слагаемых. Например,
16
можно попасть в разные точки, если в первый раз, выйдя из некоторой
точки экватора на глобусе, пройти определенное расстояние на север,
а потом на восток, а в другой раз — сначала на восток, а затем на
север.
Наше трехмерное физическое пространство также в принципе мо¬
жет быть искривленным (и строго говоря, таким и является). Только на
опыте может быть решен вопрос, какова в действительности геометрия
пространства. Первым это осознал великий немецкий ученый К.Ф. Га¬
усс, который еще в 1821 —1823 гг. предпринял попытки с помощью гео¬
дезических приборов найти сумму углов треугольника, образованного
удаленными вершинами трех гор.
Таким образом, ссылка на опыт при формулировке принципа неза¬
висимости перемещений означает экспериментальную констатацию
правильности используемой в нерелятивистской физике модели трех¬
мерного физического пространства, описываемого евклидовой геомет¬
рией.
Быстрота движения частицы в выбранной системе отсчета характе¬
ризуется физической величиной, называемой скоростью. Средняя ско¬
рость определяется как отношение перемещения к промежутку време¬
ни Д t= (t — tQ)
Вектор vcp направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения Аг,
так как At > 0: момент времени t по определению более поздний, чем
/0. Средняя скорость движения относится к определенному промежут¬
ку времени и может быть совершенно различной для разных проме¬
жутков. Уменьшая величину промежутка At, будем получать разные
значения vcp.
Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движения v называет¬
ся предел отношения Дг к At при At -> 0. В математике такой предел на¬
зывается производной:
' = (1.3)
Следует помнить, что в физике при реальных измерениях времени At не
может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому в физике реально
всегда измеряется средняя скорость на определенном промежутке вре¬
мени. При вычислении vcp убедимся, что уменьшение промежутка вре¬
мени At приводит к тому, что на некотором этапе получаемые значения
средней скорости будут все меньше отличаться друг от друга. Это делает
возможным и разумным использование определения (1.3) мгновенной
скорости, для вычисления которой можно использовать развитый в ма¬
тематике аппарат дифференциального исчисления.
Вектор перемещения Дг направлен по хорде, соединяющей две точ¬
ки траектории. Поэтому при сближении этих точек, происходящем при
At -> 0, он принимает положение, соответствующее касательной к тра¬
2 - 3840
17
ектории в данной точке. Это означает, что вектор скорости направлен
по касательной к траектории.
Наряду со скоростями vcp и v можно определить среднюю скорость
прохождения пути (у,.)ср:
(v ) =^- (1.4)
' * ,СР м
и мгновенную скорость у, прохождения пути:
vs =limx^o^=-f’ <L5>
которые являются положительными скалярными величинами.
Для плавной кривой, каковой является траектория любого непре¬
рывного механического движения, длина дуги тем меньше отличается
от длины стягивающей ее хорды, чем короче эта дуга. В пределе эти
длины совпадают. Поэтому при At -» 0 справедливо Лт -> |Аг|. Это озна¬
чает, что скорость у, прохождения пути равна модулю мгновенной ско¬
рости v: у, = |v| = v.
Если частица одновременно участвует в нескольких движениях, то
результирующее перемещение равно векторной сумме составляющих
перемещений, например:
Дг = Аг1+Дг2. (1.6)
Отсюда немедленно следует, что скорость результирующего движения
равна векторной сумме скоростей каждого из этих движений:
V = V, + v2. (1.7)
Правило сложения скоростей (1.7) одновременно является и правилом
разложения скорости на составляющие, когда какое-либо движение
удобно представить как суперпозицию, т. е. наложение двух движений.
§ 1.4. УСКОРЕНИЕ
В общем случае неравномерного криволинейного движения изме¬
няется и модуль, и направление скорости. Физическая величина, кото¬
рая характеризует быстроту изменения скорости, называется ускорени¬
ем. Среднее ускорение аср на промежутке времени At определяется
выражением
где Av — изменение скорости за этот промежуток. Среднее ускорение
представляет собой вектор, направленный вдоль Av.
18
Неограниченно уменьшая промежуток времени At, приходим к фи¬
зической величине, характеризующей быстроту изменения скорости в
данный момент времени. Она называется ускорением:
а=НшЛ(_>0^- = ^-. (1.9)
Сравнивая формулы (1.3) и (1.9), можно отметить некоторую фор¬
мальную аналогию между выражениями для скорости и ускорения. Рас¬
смотрим эту аналогию подробнее. При движении частицы конец
радиус-вектора прочерчивает ее траекторию (рис. 1.6, а). В каждый мо¬
мент времени скорость направлена по касательной к траектории. Изо¬
бразим все векторы скорости v,, v2 и т.д. так, чтобы они начинались в
одной фиксированной т. А (рис. 1.6, б). При движении частицы по тра¬
ектории конец вектора скорости на таком рисунке описывает некото¬
рую кривую MN, которая называется годографом вектора скорости (при
таком определении траектория частицы является годографом ее ра¬
диус-вектора). Теперь нетрудно сообразить, что вектор ускорения на
рис. 1.6, б будет в каждой точке направлен по касательной к годографу
вектора скорости — кривой MN, подобно тому как вектор скорости на¬
правлен по касательной к траектории на рис. 1.6, а.
Описанная аналогия может быть использована, например, для нахо¬
ждения ускорения частицы, равномерно движущейся по окружности
(рис. 1.7, а). Годограф скорости такого движения показан на рис. 1.7, б.
Пока частица совершает один оборот по траектории, конец вектора
скорости совершает один оборот по годографу. Модуль скорости части¬
цы связан с радиусом окружности R и периодом обращения Т соотно¬
шением v = 2nR/T. Аналогичное соотношение связывает модуль ускоре¬
ния а с радиусом годографа скорости v: а = 2nv/T. Сопоставляя эти
формулы и исключая Т, получаем а = v2/R.
Сравнивая рис. 1.7, а и 1.7, б, убеждаемся, что вектор ускорения а в
каждый момент времени направлен противоположно радиус-вектору
2*
Рис. 1.6. Аналогия между изменением вектора скорости (а)
и изменением вектора ускорения (б)
19
Рис. 1.7. Нахождение ускорения частицы, равномерно движущейся по окружности
частицы в этот же момент. Это означает, что ускорение направлено к
центру окружности, по которой движется частица, т. е. по нормали к
траектории.
В произвольном случае в отличие от скорости, которая всегда на¬
правлена по касательной к траектории, ускорение может иметь состав¬
ляющие, направленные как по нормали к траектории (нормальное уско¬
рение), так и по касательной к ней (тангенциальное ускорение).
Получим выражения для тангенциального и нормального ускорений.
Запишем выражение для вектора скорости v в определенной точке
криволинейной траектории в виде:
v = ут, (1.10)
где v — модуль вектора скорости; х — единичный вектор, направлен¬
ный по касательной к траектории в ту сторону, куда движется частица.
При движении частицы по криволинейной траектории изменяется не
только направление вектора т, но и его модуль. Используя определе¬
ние (1.9) и правило дифференцирования произведения двух функций,
имеем
<UI>
Первое слагаемое в правой части — это тангенциальное ускорение.
Оно направлено по касательной к траектории в направлении движения
частицы, когда модуль скорости увеличивается (dv/dt > 0), и в противо¬
положную сторону, когда модуль скорости убывает (dv/dt < 0).
Второе слагаемое в правой части (1.11) — это нормальное ускоре¬
ние, направленное перпендикулярно касательной к траектории. Чтобы
увидеть это, преобразуем производную dx/dt. Направление единичного
вектора т зависит от положения частицы на траектории, которое опре¬
деляется длиной дуги s, считая от некоторого начального положения.
Поэтому зависимость т(t) можно определить через зависимость t(s(/)).
Дифференцируя x(t) как сложную функцию времени, получим
dx_ ~ dx_ds, (\
dt ds df К ’
20
Поскольку = v, то выражение (1.12) принимает вид:
,dx
dx
dt
ds '
(1.13)
Для вычисления производной ^ воспользуемся рис. 1.8: изменение
единичного вектора т при переходе частицы из т. А в близкую т. В сво¬
дится к повороту на некоторый малый угол da. Поэтому для модуля dx
вектора dx справедтиво dx = da, а сам вектор dx можно представить как
dx = nda,
(1-14)
где п — единичный вектор нормали к траектории, направленный в сто¬
рону вогнутости траектории.
Производная da/ds, вычисленная в какой-либо точке кривой, носит
название кривизны кривой в этой точке, а обратная величина ds/da на¬
зывается радиусом кривизны. Это радиус окружности, дуга которой наи¬
лучшим образом аппроксимирует элемент ds нашей кривой. Малый
участок ds любой плавной кривой можно представить как дугу некото¬
рой окружности, радиус которой R дается выражением
da
(1.15)
В результате производную dx/ds можно представить следующим об¬
разом:
dx _ nda _ n_
ds Rda R'
Теперь выражение (1.13) принимает вид
dx __и,
ds R
n,
(1.16)
(1.17)
Рис. 1.8. К вычислению производной
Рис. 1.9. Направление вектора ускорения
а при криволинейном движении
21
и приходим к следующему окончательному выражению для ускорения а:
а=^т+^п. (1.18)
Единичный вектор нормали п направлен в сторону вогнутости тра¬
ектории. Поэтому из формулы (1.18) следует, что вектор ускорения а
также направлен в сторону вогнутости (рис. 1.9). Разложение вектора а
на две составляющие замечательно тем, что две взаимно перпендику¬
лярные составляющие а имеют ясный физический смысл: одна из них
характеризует изменение скорости по модулю, а вторая j^n'j —
по направлению. Для модуля полного ускорения а при этом справедли¬
во выражение
(1J9)
Простейший случай неравномерного движения — это движение с
постоянным ускорением. Такое движение происходит в постоянном во
времени однородном силовом поле. Примером такого поля может слу¬
жить поле тяготения вблизи поверхности Земли. Если движение тела
происходит в области, линейные размеры которой малы по сравнению с
радиусом Земли, и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то дви¬
жение тела происходит с постоянным ускорением.
При постоянном ускорении а в формуле (1.9) промежуток времени
At может быть любым. Поэтому изменение скорости Дг за этот проме¬
жуток можно записать в виде
Ду = аД/. (1.20)
Выбирая в качестве At промежуток времени от 0 до /, для значения
скорости v(0 в момент времени t находим
v(r) = v0 + af, (1.21)
где v0 — скорость при t = 0: v„ = v(0).
Формулу (1.21) можно интерпретировать как результат сложения
скоростей двух независимых прямолинейных движений, в которых уча¬
ствует частица, — равномерного движения со скоростью v0 и равноуско¬
ренного движения с ускорением а без начальной "скорости.
Легко написать выражения для перемещений при каждом из этих
движений. В первом случае это вектор, равный v01, во втором случае —
вектор, равный а/2/2, где t — время движения. В соответствии с прин¬
ципом независимости перемещений при одновременном участии части¬
цы в этих двух движениях ее перемещение Дг равно векторной сумме v0/
и af2/2.
22
Если поместить начало отсчета в точку, где находилась частица при
t = 0, то вектор перемещения Дг за промежуток времени от 0 до / совпа¬
дает с ее радиус-вектором г(г) в момент времени t. Поэтому справедливо
уравнение
ji
2 '
r(0 = V(/ + —
(1.22)
В частном случае, когда движение частицы происходит в поле тяже¬
сти Земли, имеем
r(0 = vof + gy,
(1.23)
где g — вектор ускорения свободного падения.
Используя формулу (1.3) для мгновенной скорости V, можно с помо¬
щью (1.22) убедиться, что эта скорость совпадает с выражением, давае¬
мым формулой (1.21).
Движение, описываемое уравнениями (1.22) или (1.23), происходит
в одной плоскости, проходящей через векторы начальной скорости v(1 и
ускорения а. Это движение происходит по криволинейной траектории,
называемой параболой, если, разумеется, направления векторов v0 и а
не совпадают. Для нахождения уравнения траектории удобно использо¬
вать аппарат, связанный с проецированием векторного уравнения (1.22)
на оси системы координат.
Наиболее простой и распространенной является декартова система
координат, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями.
В такой системе положение точки в пространстве задается тремя ее ко¬
ординатами (рис. 1.10). Для нахождения декартовых координат х, у, z т.
А следует опустить из т. А перпендикуляр на оси х, у и z- Поскольку на¬
чало радиус-вектора частицы по определению всегда находится в начале
координат, проекции радиус-вектора совпадают с координатами х, у и z
частицы. Проекция вектора Лг, соединяющего две точки пространства,
на определенную ось равна разности
координат точек конца и начала
вектора на этой оси (рис. 1.11).
Таким образом, для описания
движения частицы можно задавать
либо одну векторную функцию вре¬
мени г(t), либо три скалярных функ¬
ции x(t), y{t), z{t). При этом любое
векторное равенство, например,
Г —Гп +yJ + %-
<1.24)
эквивалентно трем скалярным, по¬
лучаемым путем почленного про¬
ецирования его на оси выбранной
системы координат:
Рис. 1.10. Декартова система
координат
23
Рис. 1.11. Проекции вектора перемещения Дг в декартовой системе координат
„ ал2 , avt2 _ a.t2 ,, ~,ч
* = + voJ + -f~, У = Уо + уоу{ + ^> Z = Z„+v0zt + ^r, (1.25)
где буквами с индексами х, у, z обозначены проекции векторов на соот¬
ветствующие оси системы координат.
Одному и тому же векторному равенству (1.24) могут соответство¬
вать различные системы равенств (1.25), потому что с одной и той же
физической системой отсчета можно связать различные системы коор¬
динат.
Для описания движения, происходящего в одной плоскости, можно
выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение
(1.24) сводилось к двум скалярным уравнениям. Для этого систему ко¬
ординат нужно ориентировать так, чтобы плоскость, в которой проис¬
ходит движение, совпадала с одной из координатных плоскостей, на¬
пример, с плоскостью ху. При этом еще остается произвол в выборе
ориентации осей х и у, от которого зависит конкретный вид двух ска¬
лярных уравнений. Исключая из этих уравнений время t, получаем
уравнение траектории, связывающее между собой одновременные зна¬
чения координат х и у частицы.
В качестве примера рассмотрим движение тела, брошенного с неко¬
торой начальной скоростью v0 вблизи поверхности Земли. Это движе¬
ние описывается уравнением (1.23), если начало отсчета совпадает с на¬
чальным положением тела. Направим ось х по горизонтали, а ось у —
вертикально вверх. Плоскость ху расположим таким образом, чтобы
вектор начальной скорости v„ лежал в этой плоскости.
Тогда проекции v„ на оси х и у будут равны соответственно v0cosa и
v()sina, где a — угол, образованный вектором v0 с осью х . Проекции ус¬
корения g на оси х и у равны соответственно 0 и —g. Поэтому вместо
векторного уравнения (1.23) при таком выборе системы координат по¬
лучаем следующие два скалярных уравнения:
24
х = r(v0cosa), у = r(vosina) — gfi/2.
главе 1
ет отвесно без начально
но угол а с горизонтол
[ним / вдоль наклонной
>ится о наклонную плос
прошел расстояние hi
1арик отражается от пло
оей скорости (рис. 1.12)
соты И:
gh.
лонной плоскости, шар
\
Рис. 1.12
метрический образ этого уравнения. Этот треугольник показан на
рис. 1.12: вектор г, очевидно, направлен вдоль наклонной плоскости,
вектор \0t направлен вдоль вектора v0 и оканчивается в точке, где начи¬
нается вектор (g/2/2), который направлен вертикально вниз и оканчива¬
ется в той же точке, что и вектор г. Вследствие равенства двух углов в
этом треугольнике, которое очевидно из геометрических соображений,
треугольник оказывается равнобедренным. Поэтому
V=^- (1.31)
Из этого равенства немедленно следует, что время полета шарика между
двумя ударами о наклонную плоскость
/ = ^ (1-32)
не зависит от угла а, образованного наклонной плоскостью с горизон¬
том. С помощью соотношения (1.32) находим для длины вектора v0?:
= (1.33)
Теперь для длины / вектора г получаем с учетом равенств (1.29) и (1.33):
/ = 2v0fsina = 8//sina.
Проведение вычислений путем проецирования уравнения (1,30) на
оси координат сопряжено с более громоздкими математическими вы¬
кладками.
26
Задача 1.2. Между целью и минометом, находящимися на одной
горизонтали, расположена стена высотой h . Расстояние от миномета
до стены равно /, , а от стены до цели — /2 . Определить минимальную
начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под ка¬
ким углом а при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пре¬
небречь.
Решение. Движение мины до цели описывается тем же уравне¬
нием (1.30), только в рассматриваемом случае вектор г интересующего
нас перемещения мины направлен горизонтально. Однако теперь не
обойтись без исследования траектории полета мины, потому что на
пути полета находится стена, на которую может налететь мина при
слишком низкой траектории (рис. 1.13). Среди всех возможных траек¬
торий полета мины выделена траектория, соответствующая наименьше¬
му значению начальной скорости мины в отсутствие стены. Очевидно,
что этой траектории соответствует угол а = л / 4, образуемый вектором
начальной скорости мины с горизонтом. Легко убедиться, что началь¬
ные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно воз¬
растают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и
вниз. Поэтому результат можно сформулировать следующим образом:
если стена окажется ниже выделенной траектории, то именно выделен¬
ная траектория соответствует минимальной начальной скорости; если
стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний
край стены.
Уравнение семейства траекторий, выходящих из начала координат,
дается формулой (1.28). Потребуем, чтобы эта траектория проходила че¬
рез цель. Для этого положим в (1.28) у = 0 при х = /, + /2:
Выражая начальную скорость v0 из (1.34) и подставляя в (1.28), получим
уравнение семейства траекторий, выходящих из начала координат и
проходящих через цель в отсутствие стены:
0 — (/, +/2)tga-*(/'+'гУ (1 + tg2a).
Z Vf.
(1.34)
(1.35)
Придавая a разные значения в пределах
от 0 до л/2, получаем все траектории, у
изображенные на рис. 1.13. Выделенная
траектория получается при a = л/4:
Выясним, при каком условии эта
траектория проходит над стеной. Для
этого найдем высоту А, точки траекто¬
рии, соответствующей х = /,:
Рис. 1.13
X
27
Если /г, > h, то искомая траектория определяется выражением (1.35), а
соответствующая ей начальная скорость v0 находится из уравнения
(1.34) при а = л/4:
Vo2™, =*(/,+/2)- (1-38)
Это обычное соотношение между начальной скоростью и максималь¬
ной дальностью полета по горизонтали.
Если /г, < h , то нужно найти траекторию, проходящую через верх¬
ний край стены, т. е. положить в (1.35) у = И при х = /, :
Л=М1-т^т:)18а1>
(1.39)
откуда
tea
tga, ,, •
(1.40)
Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное зна¬
чение tga, в формулу (1.35):
^h.
(1.41)
Для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение не нуж¬
но, но оно дает возможность проследить, через какие точки мина летит
к дели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной
скорости нужно подставить значение tga, из (1.40) в уравнение (1.34):
0 min
1+ h
hh
(1.42)
Задача 1.3. Велосипедист движется по холмистой дороге. На подъе¬
мах скорость его велосипеда равна v,, а на спусках v2. Общая длина пути
/, причем подъемы и спуски имеют одинаковые длины. Какова средняя
скорость велосипедиста?
Решение. Пусть /, — полное время подъема на холмы, а t2 — пол¬
ное время спуска. Тогда tx = (//2)/v, и t2 = (//2)/v2. В результате находим
среднюю скорость
_у,/, + у2/2 _2у,у2
ср /, + г2 v,^v2'
Подумайте, как изменится решение, если подъемы и спуски будут
иметь разные длины — /, и /2 соответственно.
28
Задача 1.4. Камень бросают под углом а к горизонту с начальной
скоростью v0. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Найти радиус
кривизны траектории в верхней точке.
Решение. В верхней точке траектории (параболы) проекции ско¬
рости Vo* = v„cosa и v0y = 0, а ускорения — а0х = 0 и а0у = -g. Таким об¬
разом, в этот момент via, и, следовательно, движение камня в этот
момент времени можно представить как вращение по окружности, ра¬
диус которой получается из формулы для центростремительного уско¬
рения:
„ _ VL _ vocos'а
Подумайте, при каких условиях центр этой окружности будет ле¬
жать на уровне Земли?
Задача 1.5. Движение частицы задается уравнением
х = b cos со/;
■ У = сг2;
Z -bsmcat,
где Ь, с и со — константы.
По какой траектории движется частица?
Решение. В плоскости xz движение представляет собой равномер¬
ное вращение по окружности радиуса Ь с угловой скоростью со. Вдоль
оси у движение равноускоренное, с ускорением ау — 2с. Таким образом,
композицией этих двух движений является траектория в виде спирали с
возрастающим шагом (расстоянием между соседними витками) вдоль
оси у. Подумайте, в каких внешних полях можно наблюдать такого
рода движение?
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.6. Оценить, за какое время свет пройдет расстояние от Солнца до Земли
(150 млн км). [Около 500 с (8,3 мин)]
Задача 1.7. Оценить модуль линейной скорости движения Земли вокруг Солнца в ге¬
лиоцентрической системе отсчета. (30 км/с)
Задача 1.8. При взгляде из окна движущегося поезда капли дождя кажутся падающи¬
ми косо под углом 0 к вертикали. Если скорость поезда v, то чему равна скорость и дожде¬
вых капель в системе отсчета, связанной с Землей (в которой они, как считается, надают
вертикально)? (и = vctgO)
Задача 1.9. Положение частицы как функция времени задается выражением
г - 2/х + Зу — t2z. Какую форму имеет траектория частицы? (Парабола в плоскости xz при
у = 3)
Задача 1.10. Положение частицы изменяется по закону г = 6cosrx ) 6sin/y (время
измеряется в секундах, расстояние — в метрах). Найти: 1) вектор скорости; 2) вектор
ускорения; 3) какую траекторию имеет частица? (1) v = 18(-sin3fx + cos3o0;
2) а = -54(sin3/x -I cos3/y); 3) окружность радиуса(6 м)
Задача 1.11. Леопард прыгает горизонтально со скоростью 7 м/с с отвесной скалы
высотой 16 м. На каком расстоянии от основания скалы он приземлится? (13 м)
29
Задача 1.12. Из самолета, движущегося со скоростью 150 км/ч, сбрасывают груз для
экспедиции, находящейся на островке на 250 м ниже самолета. За сколько секунд до про¬
лета над островом должен быть сброшен груз? (За 7,1 с)
Задача 1.13. Вывести формулу для дальности полета R снаряда, если он падает на
высоте Л над исходной точкой. (При h < 0 он падает на расстоянии —Л ниже исходной
точки.) Считать, что снаряд вылетает под углом 90 с начальной скоростью v0.
(-- К sin во ± д/vq sin 90 -2gh))
Задача 1.14. Человек стоит у основания холма, склон которого образует угол <р с гори¬
зонтом. При данной начальной скорости v0 под каким углом 9 к горизонту следует бро¬
сать камешки, чтобы при падении на склон холма они достигали максимального расстоя¬
ния? (9 = ip/2 + л/4)
Задача 1.15. Из-за вращения Земли ускорение свободного падения на экваторе не¬
сколько меньше, чем оно было бы, если бы планета не вращалась. Оценить величину это¬
го эффекта. Какую долю он составляет от величины g? (3,36-10“2 м/с; 3,410-3g)
Глава 2. СИЛЫ В ПРИРОДЕ. ДВИЖЕНИЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ
§ 2.1. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
Кинематика дает математическое описание механического движе¬
ния, не останавливаясь на физических причинах того, почему движение
происходит именно таким образом. В динамике вскрываются причины,
придающие движению тот или иной характер. Основу классической ди¬
намики составляют три закона Ньютона, которые основаны на обобще¬
нии большого числа опытных фактов и наблюдений.
В кинематике все системы отсчета одинаково допустимы. В дина¬
мике при объяснении причин, определяющих характер движения, есте¬
ственно выбирать систему отсчета таким образом, чтобы законы движе¬
ния выглядели наиболее просто.
Наиболее просто законы динамики выглядят в так называемых
шерциальных системах отсчета. Инерциальными системами отсчета на¬
зываются системы, в которых тело, не взаимодействующее с другими
телами, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения. Движение тела, происходящее без внешних воздействий, на¬
зывается движением по инерции. Таким образом, для практического
нахождения инерциальной системы отсчета нужно выбрать такую сис¬
тему, в которой движение по инерции представляло бы собой равно¬
мерное прямолинейное движение или покой. Но как можно убедиться в
том, что тело свободно, т.е. не взаимодействует ни с какими другими
телами? Все известные в физике взаимодействия между макроскопиче¬
скими телами, например, такие, как силы тяготения или электромаг¬
нитного взаимодействия, убывают с увеличением расстояния между
взаимодействующими между собой объектами. Поэтому принимается,
что достаточно удаленное от всех других тел тело является свободным,
т.е. практически не испытывает воздействия с их стороны.
30
Реально условия свободного движения, т. е. движения по инерции,
могут выполняться лишь приближенно, с большей или меньшей точно¬
стью. Отсюда следует, что невозможно осуществить такой опыт, кото¬
рый можно было бы считать строгим прямым доказательством сущест¬
вования инерциальных систем отсчета.
Но опыт показывает, что во многих практически важных случаях
инерциальной можно считать систему отсчета, связанную с Землей, —
геоцентрическую систему отсчета. Конечно, строго инерциальной она
не является, о чем свидетельствуют известные опыты с маятником Фуко
и с отклонением падающих в поле тяжести Земли тел от вертикали. Не-
инерциальность геоцентрической системы отсчета связана, главным об¬
разом, с суточным вращением Земли вокруг своей оси. С гораздо боль¬
шей степенью точности можно считать инерциальной систему отсчета,
связанную с Солнцем и неподвижными звездами — гелиоцентрическую
систему отсчета.
Опыт показывает, что любая система отсчета, которая движется от¬
носительно выбранной инерциальной системы отсчета равномерно и
прямолинейно, также является инерциальной.
Приведенные выше положения позволяют сформулировать прин¬
цип инерции или первый закон Ньютона в форме, соответствующей со¬
временному пониманию его смысла: существуют такие системы отсче¬
та, в которых тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такие
системы отсчета называются инерциальными.
Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета пред¬
ставляет собой экстраполяцию результатов реальных опытов на идеа¬
лизированный случай полного отсутствия взаимодействия рассматри¬
ваемого тела с другими объектами. Следует отметить, что первый
закон Ньютона, постулируя существование инерциальных систем от¬
счета, ничего не говорит о физических причинах, выделяющих инер-
циальные системы отсчета среди всех других систем.
Вдумавшись в приведенные выше рассуждения, можно заметить оп¬
ределенные логические трудности, на которые наталкивается введение
понятия инерциальной системы отсчета. В чем суть этих трудностей?
Что такое инерциальная система отсчета? Это система, относительно
которой исследуемое тело движется равномерно и прямолинейно или
покоится, если оно не взаимодействует с другими телами. Но что это
значит: тело не взаимодействует ни с какими другими телами? Как
практически исключить это взаимодействие? Это можно сделать только
с определенной степенью точности, удалив взаимодействующие тела
на большое расстояние друг от друга. Фактически на этот вопрос ответ
выглядит так: тело не взаимодействует с другими телами, если оно дви¬
жется равномерно и прямолинейно в инерциальной системе отсчета.
Налицо порочный круг, вырваться из которого можно, если иметь не¬
зависимую возможность убедиться в отсутствие взаимодействия иссле¬
дуемого тела с другими телами. Но такой независимой возможности
нет. Хотя на практике всегда можно установить существование свобод¬
ных тел и инерциальных систем отсчета с любой требуемой точностью,
31
в принципиальном плане вопрос остается открытым. Не существует ре¬
шающего опыта, который можно рассматривать как экспериментальное
доказательство справедливости первого закона Ньютона. Поэтому су¬
ществование инерциальной системы отсчета, т.е. принцип инерции, —
это важнейшее допущение, на котором основана динамика Ньютона и
вообще вся физика.
Второй и третий законы Ньютона составляют основу динамики в
инерциальных системах отсчета. В современной физике используются
разные способы формулировки основ динамики в инерциальных систе¬
мах, при которых во второй и третий законы Ньютона вкладывается
различное содержание. Однако в каждом из этих подходов законы Нью¬
тона в своей совокупности образуют эквивалентные, логически непро¬
тиворечивые схемы, позволяющие давать адекватное описание любых
нерелятивистских механических движений макроскопических тел. Рас¬
смотрим поочередно возможные схемы построения динамики Ньютона.
В инерциальной системе отсчета изменение скорости тела, которое
будем рассматривать как материальную точку, может быть обусловлено
только его взаимодействием с другими телами. Для описания взаимо¬
действия с самого начала вводится физическая величина — сила, даю¬
щая количественную меру этого взаимодействия. Физическая природа
взаимодействия может быть различной. Но для всех видов взаимодейст¬
вий количественная мера может быть выбрана единым образом — изме¬
рять силы различной природы можно в одних и тех же единицах с по¬
мощью одних и тех же измерительных приборов. Благодаря такой
универсальности механика успешно описывает движение под действием
сил любой природы. При этом вопрос о причине происхождения взаи¬
модействий тел в механике не рассматривается — определение силы в
механике отвечает только на вопрос, как сила может быть измерена.
Один из наиболее распространенных способов измерения сил осно¬
ван на использовании свойств упругих деформаций твердых тел. Дефор¬
мация называется упругой, если тело достаточно быстро принимает
первоначальную форму и размеры после снятия усилия, вызывающего
эту деформацию. Прибор для измерения сил, основанный на использо¬
вании упругой деформации, называется динамометром. Определенные
варианты этого прибора, например крутильные весы, обладающие ис¬
ключительно высокой чувствительностью, представляют собой один из
самых совершенных физических приборов. С помощью крутильных ве¬
сов равенство инертной и гравитационной масс было установлено экс¬
периментально с относительной погрешностью, равной 10-12.
Создание динамометра и установление правил измерения сил с по¬
мощью этого прибора проводится следующим образом. Выбирается не¬
которая пружина в качестве эталона и по определению считается, что
эта пружина, растянутая на некоторую фиксированную длину, действу¬
ет на прикрепленное к ее концу тело с силой F0, направленной вдоль
оси пружины. Также по определению принимается, что две силы равны
и противоположно направлены, если при одновременном действии
только этих двух сил тело в инерциальной системе отсчета находится в
покое или движется равномерно и прямолинейно. Принятые правила
32
б)
Рис. 2.1. Равновесие при действии трех одинаковых сил
позволяют: 1) воспроизвести эталон силы в любом числе экземпляров,
2) установить на опыте, имеет ли измеряемая сила значение F0 или нет.
Чтобы можно было измерять любые силы, создаваемый прибор не¬
обходимо проградуировать. Идея, позволяющая предложить способ
такой градуировки, основана на экспериментальном факте: тело в инер¬
циальной системе отсчета остается в покое при одновременном дейст¬
вии на него трех одинаковых эталонных сил F0 только в том случае,
если оси пружин лежат в одной плоскости, образуя углы 2я/3 друг с
другом (рис. 2.1, а). Отсюда можно сделать вывод, что действие двух
эталонных сил F0 под углом 2л/3 друг к другу эквивалентно действию
одной силы F0, направленной по диагонали ромба, построенного на
этих силах (рис. 2.1, б). Дальше этот результат обобщается и по опреде¬
лению принимается, что действие на тело двух эталонных сил Fn, на¬
правленных под произвольным углом друг к другу, эквивалентно дейст¬
вию одной силы, численное значение и направление которой задаются
диагональю параллелограмма, построенного на действующих силах как
на сторонах (рис. 2.2). Другими словам, принимается, что две эталон¬
ные силы складываются как векторы (закон независимости действия сил:
Теперь можно проградуировать прибор для измерения сил — дина¬
мометр. Силе F, уравновешивающей совместное действие двух эталон¬
ных сил F0, направленных под
углом а друг к другу, приписы- р
вается модуль 2F0cos(a/2) и на- „
правление, соответствующее на- —лгС^“
правлению диагонали параллело-
грамма (см. рис. 2.2).
Имея проградуированный ди¬
намометр, МОЖНО на опыте убе- Рис. 2.2. Сложение сил и градуировка
литься, что все силы, независимо динамометра
1 - 3840
33
от их физической природы, скла¬
дываются как векторы. На рис.
2.3 представлена схема соответст¬
вующего опыта. Изучая на опыте
свойства сил разной физической
природы, можно убедиться, что
некоторые виды сил зависят от
взаимного расположения взаимо¬
действующих между собой тел —
это гравитационные силы, си¬
лы взаимодействия неподвижных
электрических зарядов и т. д.
Другие виды сил зависят от ско¬
рости взаимодействующих тел —
силы трения скольжения, силы,
действующие со стороны магнита
на движущиеся электрические
заряды, и др.
Имея возможность независимо измерять ускорение и действующую
силу, можно на опыте установить связь между ними. Возможная схема
такого опыта показана на рис. 2.4. Для любых видов действующих сил
эта связь оказывается очень простой — ускорение тела в инерциальной
системе отсчета пропорционально действующей силе:
а ~ F. (2.1)
Направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением
силы.
Опыт показывает, что коэффициент пропорциональности между си¬
лой и ускорением оказывается постоянным для данного тела, не завися¬
щим от направления действия силы. Для разных тел коэффициенты
пропорциональности оказываются различными. Коэффициент пропор¬
циональности между силой и ускорением описывает определенное фи¬
зическое свойство тела. Это свойство называется инертностью. Физиче¬
ская величина, количественно характеризующая свойство инертности,
D
34
Рис. 2.4. Опыт на воздушной подушке
называется массой тела, или его инертной массой. Обозначая массу тела
через т, записывают связь между силой и ускорением в виде
(2.2)
На опыте могут быть установлены следующие свойства массы. При
малых скоростях масса — это аддитивная скалярная величина, не зави¬
сящая от положения тела. Свойство аддитивности означает, что масса
составного тела равна сумме масс его составных частей. Масса тела не
зависит и от скорости тела. Тот факт, что масса — скаляр, означает, что
инертные свойства тела одинаковы во всех направлениях.
В соответствии с законом независимости действия сил при одновре¬
менном действии на тело нескольких сил F,, F2, ..., F„ его ускорение
пропорционально векторной сумме этих сил:
Соотношение (2.3) выражает содержание второго закона Ньютона: в
инерциальной системе отсчета ускорение тела пропорционально век¬
торной сумме всех действующих на него сил и обратно пропорциональ¬
но массе тела.
Отметим, что по существу второй закон Ньютона в приведенной
формулировке содержит экспериментально проверяемое на опыте ут¬
верждение о пропорциональности ускорения тела векторной сумме дей¬
ствующих на него сил и определение массы. Приведенную формулиров¬
ку можно понимать следующим образом: если однажды произвести
одновременное измерение действующей на тело силы и приобретенного
им ускорения, то тем самым будет найдена его масса т, и в дальнейшем
можно будет рассчитывать ускорение этого тела по известной силе F,
или, наоборот, рассчитывать действующую силу F по известному уско¬
рению а.
Действующие на тело силы всегда обусловлены его взаимодействи¬
ем с другими телами или полями. Третий закон Ньютона количественно
характеризует взаимодействие тел между собой и может быть сформули¬
рован так: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по
модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой,
соединяющей эти тела:
Третий закон Ньютона применительно к взаимодействию движу¬
щихся удаленных тел имеет приближенный характер, так как он пред¬
полагает мгновенное распространение взаимодействия, утверждая ра¬
венство сил в один и тот же момент времени. Для движущихся
удаленных тел, взаимодействующих посредством создаваемых ими но¬
лей, этот закон выполняется лишь приближенно, в то время как при
контактном взаимодействии, т. е. при непосредственном соприкоснове¬
нии тел, он может рассматриваться как точный закон. Условие выпол-
3* 35
a=i(F1+F2+...+FJ.
(2.3)
F,2 = -F21
(2.4)
нения третьего закона Ньютона при полевом взаимодействии движу¬
щихся друг относительно друга со скоростью vOT„ двух тел может быть
сформулировано в виде vOTII << уюаим, где увзаим — скорость распростране¬
ния взаимодействия (например, с — скорость света, если речь идет об
электромагнитном взаимодействии).
В третьем законе Ньютона [см. (2.4)] в каждом конкретном случае
обе фигурирующие силы имеют одну и ту же физическую природу, хотя
и приложены к разным телам. Этот закон является обобщением экспе¬
риментальных фактов, а его справедливость можно проиллюстрировать
на ряде простых опытов.
Для неподвижных друг относительно друга взаимодействующих тел
можно непосредственно измерить силы взаимодействия с помощью ди¬
намометров. Возможная схема такого опыта показана на рис. 2.5. В тех
случаях, когда взаимодействующие тела движутся и сообщают друг дру¬
гу ускорения, определить силы, с которыми они действуют друг на
друга, можно с помощью второго закона Ньютона. Действительно, на
опыте видно, что независимо от способа взаимодействия тел, т. е. физи¬
ческой природы действующих сил, взаимодействующие тела сообщают
друг другу противоположные по направлению ускорения а.\ и а2, причем
модули ускорений в любой момент времени обратно пропорциональны
массам тел:
В соответствии со вторым законом Ньютона это означает, что силы
взаимодействия тел равны по модулю и противоположны по направле¬
нию.
Таким образом, в изложенной схеме формулировки законов дина¬
мики второй закон Ньютона выражается соотношением (2.3) и содер¬
жит в себе определение массы, а третий закон Ньютона выражается со¬
отношением (2.4).
Законы динамики можно сформулировать таким образом, чтобы
масса определялась независимо от второго закона. Не опирающееся на
второй закон Ньютона определение массы может быть основано на оп¬
ределении третьего закона. При таком подходе третий закон динамики
формулируется как утверждение, что при любом взаимодействии двух
тел отношение модулей их ускорений, направленных в противополож¬
ные стороны, есть постоянная для этих тел величина, которая по опре¬
делению принимается равной обратному отношению их масс:
36
Это соотношение совпадает с равенством (2.5), но теперь в него
вкладывается другой смысл. Если раньше оно выражало проверяемое на
опыте соотношение между массами и ускорениями тел, причем массы
измерялись независимо и порознь в опытах на основе второго закона
Ньютона, то теперь это соотношение по определению позволяет выра¬
зить массы всех тел через массу некоторого тела, принятого за эталон.
Причем делается это без помощи второго закона динамики. В данном
случае, имея независимые способы измерения силы и массы, можно
экспериментально установить зависимость ускорения от каждой из этих
величин.
Содержание второго закона Ньютона в этой схеме построения дина¬
мики сводится к экспериментально проверенным утверждениям о про¬
порциональности ускорения силе и обратной пропорциональности мас¬
се. Равенство (2.4) в этой схеме уже не является самостоятельным
независимым физическим законом, и представляет собой следствие за¬
конов динамики: оно получается с помощью второго и третьего законов
в форме, соответствующей данной схеме.
Возможен еще один способ построения динамики, в котором не ис¬
пользуется предварительное введение понятия силы как меры взаимо¬
действия тел. Вместо использования эталонной пружины в этом спосо¬
бе по определению принимается, что действующая на тело сила,
сообщающая ему ускорение а, равна произведению массы тела т на это
ускорение:
При этом предполагается, что масса тела т измеряется сравнением с
массой эталона с помощью соотношения (2.3). В рамках такого подхода
содержание второго закона Ньютона не сводится только к определению
силы. Измерив данную действующую на тело силу по сообщаемому ею
ускорению в каком-либо конкретном движении, можно на опыте убе¬
диться, что ускорение тела будет пропорционально силе и обратно про¬
порционально массе для всех других возможных движений.
Формулировки второго и третьего законов динамики, данные самим
Ньютоном, отличаются от тех, которые приняты в настоящее время.
Второй закон был сформулирован в виде
При постоянной массе т соотношение (2.8) эквивалентно (2.7)
вследствие кинематической формулы
F = /иа.
(2.7)
(2.8)
где импульс тела р определен равенством
р = mv.
(2.9)
37
Как оказалось, формулировка второго закона динамики в виде
соотношения (2.8) остается справедливой и в случае релятивистских
движений со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме, в
то время как соотношение (2.7) справедливо (причем, строго говоря,
приближенно) только для сравнительно медленных движений.
В формулировке самого Ньютона третий закон динамики содержит
утверждение о том, что действию всегда есть равное и противоположное
противодействие, иначе говоря, воздействия двух тел друг на друга меж¬
ду собой равны и направлены в противоположные стороны. По совре¬
менным взглядам, такая формулировка отражает определенные черты
развития физики, и сегодня известны типы сил, которые не подчиняют¬
ся третьему закону Ньютона.
Наибольшее отличие формулировок Ньютона от современных пред¬
ставлений связано с первым законом динамики. Сам Ньютон формули¬
ровал принцип инерции, используя представление об абсолютном про¬
странстве, в котором происходит движение. Подробнее этот вопрос
будет рассмотрен при изучении теории относительности.
Законы Ньютона в механике играют такую же роль, что и аксиомы
при построении математических теорий, например евклидовой геомет¬
рии. Все положения динамики могут быть получены дедуктивным пу¬
тем как следствие этих законов. Сами эти законы сформулированы на
основе обобщения экспериментальных фактов и наблюдений. Они со¬
держат настолько сильные и общие утверждения, что их эксперимен¬
тальная проверка не сводится к каким-то отдельным решающим опы¬
там. Убеждение в справедливости законов Ньютона основывается на
совпадении с опытом всех теоретических предсказаний относительно
конкретных механических движений, сделанных с помощью этих за¬
конов.
Подлинным триумфом классической механики стало открытие в се¬
редине XIX в. неизвестной до тех пор планеты Нептун. Анализируя на¬
блюдавшиеся аномалии в движении наиболее удаленной из известных в
то время планеты Уран, Ж. Леверье во Франции и Дж. Адамс в Англии
независимо друг от друга пришли к выводу о том, что причиной этих
аномалий могло быть влияние на движение Урана еще одной неизвест¬
ной пока планеты, обладающей определенной массой и орбитой, внеш¬
ней по отношению к орбите Урана. Они рассчитали параметры этой не¬
известной планеты, используя законы динамики Ньютона. Всего лишь
после получасового поиска берлинский астроном Галле обнаружил эту
планету в предсказанном месте.
§ 2.2. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Как и всякая физическая теория, динамика Ньютона имеет опреде¬
ленную область применимости. Она становится неприменимой, как уже
отмечалось выше, при переходе к рассмотрению быстрых движений, где
38
действуют представления и законы специальной теории относительно¬
сти. Другое ограничение области справедливости классической динами¬
ки связано со свойствами микрообъектов, которые не всегда могут быть
описаны на языке понятий, используемых в классической физике. Как
указывалось выше, эта граница применимости классической динамики
устанавливается соотношениями неопределенностей Гейзенберга.
Рассматривая различные способы измерения положения и импульса
частицы, В.К. Гейзенберг пришел к выводу, что условия, благоприят¬
ные для точного измерения положения частицы, неблагоприятны для
точного измерения ее импульса и наоборот. Подчеркнем, что речь идет
о независимых измерениях положения частицы и ее динамической ха¬
рактеристики — импульса, например, в опытах со столкновениями, а не
о вычислении импульса по формуле р = тх в соответствии с его опреде¬
лением в классической механике.
Одно из соотношений Гейзенберга связывает между собой неопре¬
деленности в значениях координаты частицы х и соответствующей ком¬
поненты импульса рх в один и тот же момент времени:
АхАрх > h/4л, (2.10)
где h — постоянная Планка, входящая в выражение для энергии фотона
Е = hv.
Проанализировав смысл этого ограничения, В.К. Гейзенберг сумел
дать его правильную трактовку, связанную с обобщением наших пред¬
ставлений о характере физических величин, на языке которых описыва¬
ется то или иное явление. Оказалось, что величины Ах и Арх неправиль¬
но было бы понимать только как неточности одновременного
измерения величин х и рх, поскольку сам термин «неточность» как бы
предполагает, что существуют и точные значения х и рх, но только
почему-то они не могут быть измерены. В действительности невозмож¬
ность их точного измерения есть следствие того, что частица по своей
физической природе не имеет одновременно точного значения коорди¬
наты и соответствующей проекции импульса. Эта невозможность связа¬
на с проявлением корпускулярно-волновой природы материальных
микрообъектов.
Аналогичные соотношения справедливы и для других координат и
компонент импульса:
AyApy>h/4n, (2.11)
AzApz>h/4n. (2.12)
Кроме указанных соотношений справедливо соотношение Бора-
Гейзенберга, связывающее неопределенность в измерении энергии
частицы и неопределенность в моменте времени, когда это измерение
произошло:
AEAt > Л/4л.
(2.13)
39
Это условие фактически означает, что определение энергии с точно¬
стью АЕ должно занять промежуток времени, равный по меньшей мере
At» h/АпАЕ. Таким образом, если изучаемая система находится в неко¬
тором состоянии в течение времени At, то ее энергия имеет неопреде¬
ленность не менее АЕ, поскольку At в этом случае есть наибольший
промежуток времени, в течение которого можно измерять энергию.
Соотношения неопределенностей являются одним из фундамен¬
тальных законов природы. Они справедливы для любых материальных
объектов — элементарных частиц, квантов света, атомов, молекул, мак¬
роскопических объектов. Справедливость соотношений неопределенно¬
стей, как и всех других фундаментальных законов природы, подтвер¬
ждается всей совокупностью имеющихся экспериментальных фактов.
Используя эти соотношения, можно установить принципиальную гра¬
ницу применимости законов классической физики при рассмотрении
конкретного явления, т. е. выяснить, можно ли ими пользоваться для
описания этого явления.
Легко убедиться, что для макроскопических объектов, даже мелких,
классическое описание является правильным и точным — при любой
достигаемой точности измерения координат и импульсов этих объектов
соотношения неопределенностей выполняются с огромным запасом, и,
следовательно, квантовые эффекты никак не проявляются.
Рассмотрим, например, металлический шарик массой 0,01 г. Если
определим его положение с точностью Ах = 0,001 см, доступной нашему
зрению в поле микроскопа, то, согласно соотношению неопределенно¬
сти, неопределенность импульса такого шарика равна
Арх = h/4nAx ~ 5,3 ■ 10-25 г-см/с. (2.14)
Эта точность лежит далеко за пределами возможностей измерений.
Указанная неопределенность в значении импульса шарика никак не
сказывается на его движении по определенной траектории, ибо неопре¬
деленность в значении классической скорости шарика, обусловленная
квантовыми эффектами, составляет всего
Av^ = Арх/т « 5,3 • 10~23 см/с . (2.15)
Заметить такую величину в эксперименте невозможно.
В случае микрообъектов, например электронов, универсального
однозначного ответа на вопрос, применимы ли представления класси¬
ческой физики, дать нельзя — все зависит от конкретных условий. На¬
пример, для электронов, движущихся в пучке в кинескопе телевизора,
классическое описание справедливо. Действительно, при ускоряющем
напряжении порядка U = 20 кВ электрон приобретает импульс
р=ы2те(1, направленный вдоль оси пучка. Используя значение мас¬
сы электрона т к 10~27 г и его заряда е = 4,8 -К)-10 г1/2см3/2с-1, получа¬
ем р » 8 ■ 10~18 г см/с. Диаметр пучка электронов в телевизоре не быва¬
ет меньше d = 10~3 см. Формируя пучок, фиксируем координату
электрона в перпендикулярном оси пучка направлении с точностью,
40
определяемой диаметром пучка. В силу соотношения неопределенно¬
стей при этом электрону сообщается неконтролируемый импульс Ар,
перпендикулярный оси пучка
Ар »^ «6-1(Г24 г см/с. (2.16)
Связанная с этим неопределенность в направлении движения элек¬
трона А0 определяется отношением
де = ^=1(Г6 рад. (2.17)
Длина пути электрона в кинескопе не превышает / ~ 1 м, поэтому
неконтролируемое смещение As электрона на экране, вызываемое кван¬
товыми эффектами, не превосходит As < /Д0 и Ю~4 см, т. е. существенно
меньше диаметра пучка. Квантовыми эффектами здесь можно пренеб¬
речь.
Для электрона в атоме водорода классическое описание неприме¬
нимо. Используя известное из эксперимента значение размера атома
10~8 см и предполагая, что электрон движется по окружности вокруг
ядра, подчиняясь второму закону Ньютона, убеждаемся, что неопреде¬
ленности значений используемых для описания физических величин
оказываются того же порядка, что и сами эти величины. Поэтому для
описания атома водорода необходимо использовать квантовые пред¬
ставления.
§ 2.3. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Любое измерение в физике заключается в сравнении значения изме¬
ряемой величины со значением другой, однородной с ней величины,
принятым за единицу, т. е. в сравнении измеряемой величины с этало¬
ном. Эталоном называется средство измерений, обеспечивающее хране¬
ние и воспроизведение выбранной единицы физической величины, а
также передачу размера единицы другим средствам измерений — вто¬
ричным эталонам и измерительным приборам.
Единицы физических величин можно выбирать совершенно незави¬
симо друг от друга. Практически это очень неудобно, так как тогда во
всех уравнениях физических законов, выражающих связь между различ¬
ными величинами, появляются числовые коэффициенты. Кроме того, в
этом случае пришлось бы для каждой физической величины вводить
свой эталон. Поэтому основной особенностью современных единиц яв¬
ляется то, что между единицами различных величин имеются опреде¬
ленные соотношения. Эти соотношения устанавливаются теми физиче¬
скими законами или определениями, которыми связаны между собой
измеряемые величины. Например, единицу скорости выбирают так, что
она выражается через единицы длины и времени. При таком выборе
единицы скорости используется определение скорости. Напротив, еди¬
ницу силы устанавливают с использованием физического закона — вто¬
41
рого закона Ньютона — и выражают через единицы ускорения и массы,
хотя ее можно установить независимо по растяжению пружины, приня¬
той за эталонную.
При построении определенной системы единиц для нескольких
произвольно выбираемых физических величин единицы устанавлива¬
ются независимо друг от друга. Эти единицы называются основными.
Единицы для остальных величин выражают через основные и называют
производными.
Число основных единиц и сам их выбор в разных системах единиц
могут быть различными. В системе единиц СГС (от первых букв наиме¬
нований основных единиц — сантиметр, грамм, секунда) в качестве ос¬
новных выбирают три единицы — длины (L), массы (М) и времени (7).
В международной системе единиц СИ (SI — System International) в ка¬
честве основных выбирают семь единиц: длины (£), массы (Л/), време¬
ни (7), температуры (0), количества вещества (N), силы электрического
тока (/) и силы света (J).
Кроме произвола в выборе физических величин, единицы которых
принимаются за основные, и произвола в выборе масштаба этих еди¬
ниц, имеется еще произвол в выборе коэффициентов пропорциональ¬
ности в формулах, которыми вводятся производные единицы. Покажем
это на примере единиц площади.
Выбрав в качестве единицы длины метр, можно в качестве единицы
площади выбрать либо квадратный метр — площадь квадрата, сторона
которого равна одному метру, либо круглый метр — площадь круга,
диаметр которого равен одному метру. В первом случае площадь S квад¬
рата со стороной / выражается формулой S= Р, а площадь круга 5' диа¬
метром d — формулой S' = ксР/4. Во втором случае для площади круга
получается более простая формула S' = сР, но зато для площади квадра¬
та получим 5 = 4Р/п.
В обоих рассмотренных случаях использовалась одна и та же гео¬
метрическая закономерность, связывающая площади подобных фигур с
их линейными размерами: S~ Р.
На практике приходится считаться с рядом требований, которые су¬
щественно ограничивают указанный произвол. Слишком большое чис¬
ло основных единиц было бы неудобно из-за появления размерных ко¬
эффициентов во многих формулах физики и из-за необходимости
установления большого числа эталонов. Слишком малое число основ¬
ных единиц приводит к тому, что некоторые построенные на их основе
производные единицы оказываются неудобными для использования. На
практике используются системы единиц, в которых число основных
единиц варьируется от трех до семи.
При установлении основных единиц весьма важной является воз¬
можность создания таких эталонов, которые обеспечивали бы постоян¬
ство единицы и возможность ее воспроизведения, а также восстановле¬
ние эталона в случае его утраты. Самый надежный способ решения
этой задачи — поручить хранение эталона самой природе. В частности,
принятый в настоящее время эталон времени основан на периоде коле¬
баний, происходящих в атоме изотопа цезия (Cs-133) при его переходе
42
между двумя определенными энергетическими подуровнями основного
состояния. По определению, единица времени — секунда — содержит
9 192 631 770 периодов таких колебаний. Такое на первый взгляд стран¬
ное число периодов в определении единицы времени связано с необхо¬
димостью обеспечить преемственность со старым эталоном секунды,
основанным на суточном вращении Земли.
При современном выборе эталона времени природа предоставляет в
наше распоряжение практически неограниченное число совершенно
идентичных часов, поскольку атомы одного и того же изотопа тождест¬
венны, т. е. неразличимы по физическим свойствам.
Установление основной единицы длины в настоящее время произ¬
водится с помощью того же самого эталона. По определению, метр —
это длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с. Воз¬
можность использования одного эталона для времени и длины обуслов¬
лена тем, что скорость света в вакууме представляет собой универсаль¬
ную мировую постоянную.
До недавнего времени существовал независимый эталон для опреде¬
ления единицы длины: один метр равнялся расстоянию, содержащему
1650763,73 длин волн излучения оранжевой спектральной линии изото¬
па криптона (Кг-86). Отказ от этого эталона был обусловлен тем, что
современные экспериментальные методы позволяют выполнить изме¬
рение расстояний на основе цезиевого эталона времени с большей точ¬
ностью, чем с помощью криптонового эталона длины.
Для эталона массы, который был бы пригоден для измерения масс
макроскопических тел, пока не удается использовать массу какой-либо
атомной или элементарной частицы, так как точность определения чис¬
ла атомов в макроскопическом теле уступает точности, с которой мож¬
но выполнить сравнение масс макроскопических тел взвешиванием.
Поэтому в качестве эталона массы служит определенное макроскопиче¬
ское тело — плати ново-иридиевая гиря — килограмм, хранящаяся в
Международном бюро мер и весов в Севре под Парижем, где хранится и
первый эталон метра в виде металлического стержня, расстояние между
двумя метками на котором — метр — составляет одну десятимиллион¬
ную часть длины четверти земного меридиана.
Ситуация, сложившаяся в научной и учебной литературе, характе¬
ризуется тем, что наряду с Международной системой единиц СИ широ¬
ко используется система единиц Гаусса (симметричная система СГС).
Это требует понимания принципов построения каждой из этих систем.
Однако единицы механических величин в этих двух системах отличают¬
ся только масштабом, так как основные единицы в них выбраны на базе
одних и тех же физических величин — длины, массы, времени, а произ¬
водные единицы вводятся с помощью одних и тех же соотношений. По¬
этому все уравнения и формулы, выражающие физические законы и
определения, в механике одинаковы в обеих системах единиц.
43
§ 2.4. ДВИЖЕНИЕ СО СВЯЗЯМИ. СИЛА СУХОГО ТРЕНИЯ
Законы динамики дают возможность описывать механическое дви¬
жение, т. е. находить действующую на тело силу, когда известно (из
опыта), как оно движется под действием этой силы, и наоборот, рассчи¬
тывать движение тела, когда известна действующая на него сила. В пер¬
вом случае известна зависимость г (Г), поэтому можно рассчитать уско¬
рение как вторую производную радиус-вектора по времени и с
помощью второго закона Ньютона в виде F = та рассчитать действую¬
щую на тело силу. Во втором случае, когда известна действующая сила
F, можно определить сообщаемое этой силой ускорение а = ¥/т и с
помощью формул кинематики найти скорость тела и его положение в
произвольный момент времени. Для этого, разумеется, нужно знать по¬
ложение тела и его скорость в начальный момент времени.
В динамике встречаются и такие задачи, когда задана только часть
сил, действующих на рассматриваемое тело. Именно такая ситуация
возникает, когда движение происходит по заданной траектории при на¬
ложенных связях. Примерами механических систем, совершающих та¬
кие движения, могут служить грузик на нити или стержне в поле тяже¬
сти Земли, грузы, соединенные перекинутой через блок нитью, брусок
на наклонной плоскости и т. д. Наличие связи приводит к тому, что
движение груза на стержне ограничено сферической поверхностью с
центром в точке подвеса. При движении соединенных нитью грузов
расстояние между ними, измеренное вдоль натянутой нити, остается
неизменным и т. д.
При изучении механического движения таких систем возникает за¬
дача не только расчета их движения, но и определения сил реакции свя¬
зей. В уравнениях, выражающих второй закон Ньютона, число неиз¬
вестных возрастает, так как помимо ускорений подлежат определению
и некоторые из действующих сил. Однако теперь к уравнениям второго
закона динамики добавляются условия, выражающие влияние наложен¬
ных связей на движение исследуемых тел, примеры которого рассмот¬
рены в конце главы.
Реальное движение макроскопических тел при наличии связей все¬
гда сопровождается трением. Описание трения осуществляется на фе¬
номенологическом уровне, когда на опыте устанавливаются его основ¬
ные закономерности.
Сухое трение возникает на поверхностях соприкосновения твердых
тел. Сила трения при этом направлена вдоль поверхности соприкосно¬
вения. Различают три вида трения при контакте твердых тел: трение по¬
коя, трение скольжения и трение качения. Трение качения будет рас¬
смотрено ниже при изучении динамики твердого тела. Здесь, в рамках
динамики материальной точки, рассмотрим трение покоя и трение
скольжения.
Трение покоя возникает между поверхностями покоящихся тел при
попытке сдвинуть одно из них относительно другого. Подействуем неко¬
торой горизонтальной силой F на брусок, лежащий на горизонтальной
поверхности (рис. 2.6). Опыт показывает, что пока эта сила меньше не¬
44
которого значения FKp, брусок не приходит в движение. В соответствии
со вторым законом Ньютона это может означать только одно: одновре¬
менно с приложенной силой F на брусок со стороны поверхности под¬
ставки начинает действовать равная ей противоположно направленная
сила F,p , которую называют силой трения покоя. Опыт показывает, что
для модуля максимальной силы трения покоя справедливо выражение
Ftp = щМ, (2.1-8)
где N — модуль нормальной (перпендикулярной поверхности соприкос¬
новения) силы реакции опоры, р„ — коэффициент трения покоя, значе¬
ние которого не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей, а
определяется только сочетанием материалов, из которых сделаны со¬
прикасающиеся тела.
Сила трения покоя приводит в движение все движущиеся по по¬
верхности земли транспортные средства (рис. 2.7) и нас самих при ходь¬
бе и беге.
Когда приложенная внешняя сила достигает критического значения
FKp и становится больше него, начинается проскальзывание поверхно¬
стей соприкосновения. Действующая на движущееся тело сила трения
направлена противоположно его скорости и называется силой трения
скольжения. Модуль FTp силы трения скольжения, как и максимальной
силы трения покоя, также пропорционален нормальной силе реакции
опоры N:
FTp = pJV. (2.19)
Коэффициент трения скольжения ц, как и при трении покоя, не за¬
висит от площади соприкосновения, а определяется характером поверх¬
ностей, их обработки и степени чистоты. Вообще говоря, коэффициент
трения скольжения зависит от скорости, однако эта зависимость слабая.
Обычно сила трения скольжения вначале уменьшается с увеличением
скорости, а затем начинает постепенно возрастать. В большинстве
практических расчетов коэффициент трения скольжения считают по¬
стоянным в широком интервале изменения скорости и равным коэф¬
фициенту трения покоя (р = р0).
Q N
нэ
Рис. 2.6. Измерение минимальной силы,
сдвигающей брусок
Рис. 2.7. Сила трения скольжения F1p, сила
реакции опоры N и их векторная сумма Q.
действующие на тело, движущееся со ско¬
ростью v
45
Во многих случаях удобно не рассматривать порознь нормальную
силу реакции опоры N и силу трения скольжения F^, а заменять их од¬
ной силой Q, равной их векторной сумме (см. рис. 2.7):
Q = N + FTp. (2.20)
Из соотношения (2.19) и рис. 2.7 следует, что угол <р, образуемый
пблной силой реакции опоры Q с нормалью к поверхности, для каждой
пары поверхностей всегда имеет одно и то же значение, определяемое
коэффициентом трения скольжения:
tgcp = ^L=p. (2.21)
Удобство такого представления ясно видно на примере приведенной в
конце главы задачи.
При рассмотрении движения тел при наличии трения может встре¬
титься ситуация, когда наперед неизвестно направление действия силы
трения. Трудности, которые могут возникнуть в подобной ситуации,
проиллюстрированы в задаче 2.3.
Физический механизм возникновения сил сухого трения различен
при разной степени обработки соприкасающихся поверхностей. Так,
при очень грубой обработке поверхностей деревянных брусков сила
трения между ними будет большой. Она начнет убывать при шлифовке
поверхностей, что ясно указывает на роль зацепления выпуклостей и
шероховатостей друг за друга. Однако при дальнейшей шлифовке по¬
верхностей сила трения начнет возрастать, что свидетельствует о взаи¬
модействии тел в точках соприкосновения на молекулярном уровне.
Между очень гладкими поверхностями существуют очень большие силы
трения. Например, используемые в машиностроении стальные измери¬
тельные калибры с тщательно отполированными торцами (плитки Ио-
гатсона) настолько сильно слипаются друг с другом, что для их разделе¬
ния приходится прилагать значительные усилия.
В ряде случаев трение играет полезную роль, и его стараются сде¬
лать как можно большим, например, трение между шинами ведущих
колес автомобиля и дорогой. В других случаях трение стараются умень¬
шить, чтобы избежать износа трущихся поверхностей и ненужных энер¬
гетических потерь. Один из наиболее распространенных способов
уменьшения трения скольжения — применение смазки. При этом сухое
трение между скользящими поверхностями заменяется вязким трением
между взаимно движущимися тонкими слоями жидкости. Одним из яр¬
ких примеров уменьшения силы трения, реализованным самой приро¬
дой, является конструкция сочленения человеческих костей (рис. 2.8).
При движении костей площадь соприкосновения перемещается, выдав¬
ливая жидкость из пористого хряща. В результате коэффициент трения
составляет всего 0,0003.
Величиной силы трения скольжения можно управлять. Рассмотрим
опыт, схематически показанный на рис. 2.9. Брусок лежит на движу¬
46
sSS&Sgl—Synovia) fluid
Г дУ Cartilage
[Bone В
Рис. 2.8. Сочленение человеческих
костей
Рис. 2.9. Брусок на движущейся лепте
транспортера
щейся горизонтальной ленте транспортера, а пружина удерживает его от
перемещения вместе с лентой. Опыт показывает, что сила F, необходи¬
мая для того, чтобы перемещать брусок поперек ленты транспортера,
будет гораздо меньше при движущейся ленте, чем при неподвижной,
причем тем меньше, чем быстрее движется лента. Эти результаты легко
объясняются закономерностями сухого трения.
Величина силы трения скольжения не зависит от скорости бруска.
Направлена эта сила трения противоположно скорости бруска относи¬
тельно ленты. При неподвижной ленте транспортера скольжение бруска
массы т будет происходить только тогда, когда действующая сила F бу¬
дет не меньше \xrng.
Если лента движется со скоростью и направо, то брусок имеет отно¬
сительно ленты скорость -и, направленную влево (рис. 2.10, а). Если
брусок при этом под действием силы F перемещается поперек ленты со
скоростью v, то его полная скорость V относительно ленты составляет
угол а с направлением вектора и, так что tga = v/u. Сила трения сколь¬
жения и в этом случае равна \xrng, но теперь она направлена противопо¬
ложно вектору V. Векторная сумма силы Fnp, действующей на брусок со
стороны пружины, силы F и силы трения FTp равна нулю, так как брусок
движется без ускорения (рис. 2.10, б). При этом, как видно из рисунка,
F = Еф sina = pwgsina.
(2.22)
u
а)
Рис. 2.10. Скорость бруска V относительно ленты транспортера (а)
и направление силы трения (б)
47
Если скорость бокового смещения бруска много меньше скорости
ленты, т. е. v/и << 1, то формула (2.22) принимает вид
f -mgl-
(2.23)
Видно, что F ~ v, если лента движется гораздо быстрее бруска.
§ 2.5. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
Гравитационное взаимодействие — это самое универсальное из из¬
вестных взаимодействий. Ему подвержены все без исключения матери¬
альные объекты. Но даже об этом взаимодействии наши знания еще
далеко не полны. В нерелятивистской физике гравитационное взаимо¬
действие описывается законом всемирного тяготения, открытым Нью¬
тоном. В рамках этого закона гравитационные силы описываются очень
простыми количественными закономерностями. Ньютонова теория тя¬
готения точна, надежна и достаточна для всех практических приложе¬
ний. Именно ею руководствуются при расчете траекторий космических
кораблей. И все-таки она неадекватна природе. В рамках общей теории
относительности тяготение связывается с геометрическими свойствами
пространства. Эта теория получила экспериментальное подтверждение,
она позволяет анализировать явления космического масштаба. Однако
и она не ставит точку в данном вопросе. По современным представле¬
ниям все взаимодействия имеют квантовую природу, связанную с обме¬
ном частицами — носителями данного взаимодействия. Такие части¬
цы — посредники гравитационного взаимодействия в настоящее время
экспериментально не обнаружены, поэтому последнее слово в создании
теории тяготения еще не сказано.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, материальные
точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их
масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной
постоянной. Эта величина характеризует интенсивность гравитацион¬
ного взаимодействия и является одной из основных физических кон¬
стант. Ее численное значение в единицах СИ 6,673 -10-11 м3/(кг-с2).
Формула (2.24) дает только модуль силы взаимодействия притяги¬
вающихся точечных тел. Векторное выражение для силы F12, с которой
тело массы т2 притягивает тело массы т1 (рис. 2.11), имеет вид
Гравитационная постоянная G не может быть определена из астро¬
номических наблюдений. Из наблюдения за движением планет можно
найти только произведение гравитационной постоянной на массу
48
F=GМ.
г1
Г
(2.24)
(2.25)
Солнца. Из наблюдений за движением Луны,
искусственных спутников Земли или за сво¬
бодным падением тел вблизи земной поверх¬
ности можно найти только произведение
гравитационной постоянной на массу Зем¬
ли. Определить значение G можно только в
опыте, производимом в лабораторных усло¬
виях.
Такой опыт был впервые выполнен
Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью сконст¬
руированных им крутильных весов, к концам
коромысла которых были прикреплены не- Рис- 21L Гравитационное
большие свинцовые шары (рис. 2.12). Вблизи воздействие
от них закреплялись большие тяжелые шары.
Сила взаимодействия малых и больших шаров измерялась по углу за¬
кручивания нити подвеса. В своих опытах Г. Кавендиш получил значе¬
ние гравитационной постоянной G, всего на 1 % отличающееся от при¬
нятого в настоящее время.
Отметим, что в выражение (2.24) закона всемирного тяготения вхо¬
дит инертная масса, фигурирующая во втором законе Ньютона и опи¬
сывающая инертные свойства тел. Но инертность и способность к гра¬
витационному взаимодействию представляют собой разные свойства
материи. В принципе в формуле (2.24) могли бы фигурировать другие
характеристики тел, которые получили название гравитационных или
тяжелых масс. Если инертная масса тела определяется в динамическом
эксперименте (прикладывается известная сила и измеряется ускоре¬
ние), то измерение гравитационной массы производится в статическом
эксперименте — взвешиванием. Тело располагается неподвижно в гра¬
витационном поле (поле Земли) и определяется действующая на него
сила тяжести:
4 - 3840 49
(2.26)
где через g обозначено произведение множителей, состоящих при тгр.
Если тело сбросить без начальной скорости с небольшой высоты, то в
соответствии со вторым законом Ньютона справедливо
Опыт показывает, что ускорение всех тел, падающих в поле тяжести
Земли, одинаково. Поэтому из (2.28) следует, что одинаковым для всех
тел будет и отношение тгр/ти„. Итак, гравитационная масса тела про¬
порциональна его инертной массе. Надлежащим выбором единиц изме¬
рения их можно сделать равными.
Равенство значений гравитационной и инертной масс в настоящее
время установлено экспериментально с относительной погрешностью
измерений, равной 10-12.
В механике Ньютона совпадение значений инертной и тяжелой
масс не обусловлено какой-либо физической причиной. В релятивист¬
ской теории тяготения Эйнштейна это равенство положено в основу
теории. По предположению А. Эйнштейна, инертная и тяжелая мас¬
сы — это разные грани одной и той же физической величины, о чем
подробнее будет сказано в § 11.3.
Гравитационное взаимодействие можно описывать, используя поня¬
тие гравитационного поля. Ньютоновская формулировка закона все¬
мирного тяготения соответствует представлению о непосредственном
действии тел друг на друга на расстоянии, т. е. основана на концепции
дальнодействия без какой-либо роли промежуточной среды. В совре¬
менной физике утвердилась концепция близкодействия, согласно кото¬
рой считается, что передача любых взаимодействий между телами осу¬
ществляется посредством создаваемых этими телами полей.
Понятие физического поля относится к числу основных понятий, ко¬
торые не определяются через какие-либо другие, более простые поня¬
тия. Любое тело наделяет окружающее его пространство особыми свой¬
ствами — создает гравитационное поле. Описать гравитационное
поле — означает установить его физические характеристики.
Силовой характеристикой поля является его напряженность g, изме¬
ряемая отношением силы, действующей на материальную точку массы
т, к этой массе:
п^ниа gy
(2.27)
где /иИ|| — инертная масса тела.
Отсюда получаем
(2.28)
(2.29)
50
Гравитационное поле, создаваемое точечной массой М, обладает
сферической симметрией. Вследствие этого вектор напряженности поля
g в любой точке пространства направлен к массе М. Для модуля вектора
g, как следует из (2.24), справедливо
g{r)=G& (2.30)
Опыт показывает, что гравитационное поле удовлетворяет принци¬
пу суперпозиции. Согласно этому принципу, гравитационное поле, соз¬
даваемое какой-либо массой, не зависит от присутствия других масс.
Напряженность поля, создаваемого несколькими (л) телами, равна век¬
торной'сумме напряженностей полей, создаваемых каждым телом:
g = gi + g2 + g3 + -- + g„- (2.31)
Принцип суперпозиции характерен для так называемых линейных
явлений, когда результирующий эффект сложного процесса представля¬
ет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдель¬
ности — сумма причин приводит к сумме следствий.
Использование принципа суперпозиции позволяет рассчитывать
гравитационные поля, создаваемые протяженными телами. При этом
тело мысленно разбивается на отдельные точечные элементы и опреде¬
ляется векторная сумма напряженностей полей, создаваемых этими то¬
чечными элементами. При выполнении соответствующих расчетов вы¬
кладки существенно упрощаются при использовании соображений
симметрии.
В рамках механики Ньютона оба представления — о дальнодействии
и о близкодействии, т. е. взаимодействии через гравитационное поле, —
приводят к одинаковым результатам и в равной мере допустимы, по¬
скольку речь идет о взаимодействии с бесконечной скоростью распро¬
странения. Однако уже в ньютоновской механике концепция поля ока¬
зывается очень полезной не только в принципиальном, но и в
практическом плане, позволяя кардинально упростить многие расчеты.
Концепция поля становится доминирующей и, по существу, единствен¬
но приемлемой при рассмотрении физики электромагнитных явлений,
с чем познакомимся во второй части курса.
В нерелятивистской физике закон всемирного тяготения Ньютона
является точным законом. Вся совокупность астрономических наблюде¬
ний свидетельствует о том, что значение показателя степени в формуле
(2.24) у расстояния г в знаменателе равно двум с очень высокой точно¬
стью. Этот факт имеет принципиальное значение, ибо он отражает евк-
лидовость трехмерного физического пространства — положение тел и
расстояние между ними в пространстве, сложение перемещений и т. д.
описываются геометрией Евклида. Фактически точное равенство двум
показателя степени отражает то обстоятельство, что в трехмерном евк¬
лидовом мире площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату
ее радиуса.
4*
51
Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньютоном в результате
анализа законов Кеплера — законов движения планет Солнечной систе¬
мы, установленных И. Кеплером на основе астрономических наблюде¬
ний Т. Браге. Три закона Кеплера гласят.
1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого
находится Солнце (рис. 2.13).
2. Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, описывает в
равные времена равные площади (рис. 2.14).
3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы боль¬
ших полуосей, их орбит.
Из первых двух законов следует, что сила взаимодействия Солнца и
планеты — центральная — направлена по прямой, соединяющей Солнце
и планету, а движение каждой планеты плоское. Это будет показано
ниже в разделе, посвященном моменту импульса. Из третьего закона Ке¬
плера непосредственно следует выражение для силы взаимного притяже¬
ния Солнца и планеты, соответствующее закону всемирного тяготения.
Рис. 2.13. К первому закону Кеплера: Рис. 2.14. Ко второму закону Кеплера
Г, и Р2 — фокусы эллипса
52
Орбиты большинства планет Солнечной системы мало отличаются
от круговых. Для простоты будем считать их точно круговыми. Это не
противоречит первому закону Кеплера, так как окружность есть част¬
ный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают (см. рис. 2.13).
В соответствии со вторым законом Кеплера движение планеты по кру¬
говой траектории происходит с постоянной скоростью. При этом из
третьего закона Кеплера следует, что для всех планет отношение квад¬
рата периода обращения Т к радиусу круговой орбиты R одинаково дня
всех планет:
Движущаяся по окружности с постоянной скоростью планета обла¬
дает центростремительным ускорением, равным
Согласно второму закону Ньютона ускорение планеты равно отно¬
шению действующей на нее силы F к массе m:
Из выражения (2.34) следует, что для выполнения условия (2.32) не¬
обходимо, чтобы F ~ m/Rг.
Таким образом, сила притяжения Солнца и планеты должна быть
пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между Солнцем и планетой. Но в гравитационном взаимо¬
действии Солнце и планета выступают как равные партнеры, они отли¬
чаются друг от друга только массой. Так как сила притяжения пропор¬
циональна массе планеты, она должна быть пропорциональна и массе
Солнца М. Вводя коэффициент пропорциональности G, зависящий от
выбора единиц измерения всех величин, приходим к выражению:
При этом для постоянной, входящей в соотношение (2.32), получа¬
ем выражение, зависящее только от массы Солнца:
Соотношение (2.36) позволяет определить массу Солнца по извест¬
ным характеристикам земной орбиты (радиусу R и периоду обращения
Т) и гравитационной постоянной G.
В дальнейшем И. Ньютон понял, что законы Кеплера могут быть
верны только приближенно. Чтобы планеты обращались строго вокруг
(2.32)
(2.33)
(2.35)
53
Рис. 2.15. Движение центра масс системы Земля—Луна по эллиптической орбите
Солнца, его масса должна быть бесконечно большой. В реальном случае
под действием сил взаимного притяжения планета и Солнце обращают¬
ся вокруг их общего центра масс. Точно так же как планета, обращаю¬
щаяся вокруг Солнца, возмущает его движение, Луна заставляет Землю
рыскать по своей эллиптической орбите обращения вокруг Солнца.
И только общий центр масс Земли и Луны движется строго По эллипти¬
ческой траектории в пренебрежении влияншм других небесных тел
(рис. 2.15).
Из астрономических наблюдений известно, что Луна обращается
по окружности вокруг точки, отстоящей от центра Земли на 4672 км.
Это означает, что центр масс Земли и Луны находится на расстоя¬
нии 4672 км от центра Земли (для сравнения: средний радиус Земли —
6370 км). Эти данные позволяют сравнить массы Земли и Луны. Дей¬
ствительно при обращении Земли и Луны вокруг их общего центра
масс Земля и Луна все время находятся на противоположных концах
одной прямой, проходящей через их общий центр масс О (рис. 2.16).
Учитывая выражение для центростремительного ускорения а = со2г че¬
рез угловую скорость обращения со и радиус круговой орбиты г, видим,
что отношение ускорений Земли и Луны равно отношению радиусов г3
и гп окружностей, по которым обращаются вокруг т. О их центры масс
03 и Ол:
«з__2з. (2 371
ал г л ’
Но по третьему закону Ньютона отношение модулей ускорений
взаимодействующих тел равно обратному отношению их масс. По¬
скольку радиус лунной орбиты составляет гл = 380000 км, то из (2.37)
получаем
(2 38)
т3 гя 81' V '
54
Рис. 2.16. Центры Земли и Луны движутся по окружностям радиусов г3 и гп
с общим центром в т .А
Массу Земли можно оценить непосредственно с помощью соотно¬
шения (2.36), если в качестве R и Т, фигурирующих в этой формуле,
взять радиус лунной орбиты и период ее обращения вокруг Земли.
По современным представлениям Солнце — это одна из многочис¬
ленных звезд, составляющих нашу Галактику, называемую Млечным
путем. Солнце расположено на окраине Галактики на расстоянии 3 -104
световых лет или примерно 3 -1020 м от ее центра, и совершает полный
оборот вокруг него за 250 млн лет.
Используя закон всемирного тяготения, можно оценить массу га¬
лактики М, считая для простоты, что действующая на Солнце масса
сосредоточена в центре Галактики. Тогда, используя формулу (2.36) и
подставляя в нее приведенные значения R и Т, найдем М ~ Ъ -Ю41 кг,
что составляет примерно 10п масс Солнца. Этот результат согласует¬
ся с оценкой числа звезд в Галактике, равного 10". Интересно, что
по современным оценкам число галактик во Вселенной также состав¬
ляет 10”.
В заключение данного раздела остановимся кратко на анализе орбит
искусственных спутников Земли. Проще всего рассчитывается скорость
v0, соответствующая круговой орбите радиуса г. Используя закон все¬
мирного тяготения и второй закон Ньютона, имеем
(2.39)
откуда
(2.40)
55
Выражению (2.40) можно придать несколько иной вид, если ввести
напряженность поля тяготения g(r) в точке, отстоящей на расстоянии г
от центра Земли:
g{r)=G^ = g$r, (2.41)
где R — радиус Земли; g — ускорение свободного падения у ее поверх¬
ности.
Теперь вместо (2.40) получим
v02 (2.42)
Для орбиты, стелющейся непосредственно у земной поверхно¬
сти, получаем v0 = 8 км/с. При значениях скорости в интервале от 8 до
11,2 км/с орбиты будут эллиптическими. При v0 = 11,2 км/с орбита бу¬
дет параболической, а при более высоких скоростях гиперболической.
Параболическая траектория отделяет замкнутые орбиты от незамкну¬
тых, при которых космический аппарат уже никогда не возвращается к
Земле.
§ 2.6. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ
Законы динамики Ньютона выполняются в инерциальной системе
отсчета. Для земного наблюдателя инерциальной является гелиоцентри¬
ческая система с точностью, обеспечивающей возможность рассмотрения
любых, сколь угодно тонких эффектов. Однако часто практически оказы¬
вается более удобно пользоваться системами отсчета, которые имеют ус¬
корение относительно Солнца и звезд. Например, часто удобно исполь¬
зовать геоцентрическую систему и рассматривать механическое движение
изучаемого тела относительно Земли. В такой неинерциальной системе
отсчета механика Ньютона уже не справедлива. Возникает вопрос: как
нужно изменить и дополнить законы динамики Ньютона, чтобы их мож¬
но было применять в неинерциальной системе отсчета?
При переходе к системе отсчета, обладающей ускорением относи¬
тельно гелиоцентрической системы, ускорения движущихся тел, как
видно из предыдущего раздела, изменяются, а конфигурация и относи¬
тельные скорости тел, а, следовательно, и действующие силы, остаются
неизменными. Это означает, что нужно отказаться от положения, со¬
гласно которому ускорение тела определяется действующими на него
силами, либо обобщить понятие силы и считать, что необязательно обу¬
словлены действием тел друг на друга.
В неинерциальных системах отсчета вводят в рассмотрение силы,
возникновение которых обусловлено тем, что данная система отсчета
движется с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.
Эти силы называются силами инерции. Вводят эти силы таким образом,
чтобы второй закон Ньютона, а следовательно, и уравнения движения
имели такой же вид, как и в инерциальной системе отсчета:
56
"»* = £р* +ZFr0’ (2-43)
к к
где а — ускорение частицы в неинерциальной системе отсчета; а-
к
векторная сумма действующих на частицу сил, обусловленных ее взаи¬
модействием с другими телами и полями; — векторная сумма
к
действующих на частицу сил, обусловленных наличием ускорения у
данной неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной
системы.
Чтобы сформулировать правило, по которому можно определить
силы инерции, действующие на исследуемое тело в той или иной не¬
инерциальной системе отсчета, сопоставим уравнение движения тела в
неинерциальной системе отсчета (2.43) с уравнением движения этого же
тела в инерциальной системе:
тл0=^к, (2-44)
к
где а0 — ускорение тела в инерциальной системе отсчета.
Вычитая почленно (2.44) из (2.43), получим
/и(а-а()) = ХРГ")- <2-45>
к
Но (а — а0) — это дополнительное ускорение тела в данной неинерци¬
альной системе отсчета, которое оно приобретает за счет движения
неинерциальной системы относительно инерциальной системы. Обо¬
значая это ускорение через адоп, получим
ХР‘ИН) =тЛаоп • (2.46)
к
Итак, задача нахождения сил инерции, с помощью которых мож¬
но записывать уравнение движения тела (2.43) в неинерциальной си¬
стеме отсчета, сводится к определению дополнительного ускорения
адоп = (а — а0), которое имеет тело в неинерциальной системе отсчета по
сравнению с его ускорением в инерциальной системе.
При взгляде на уравнения (2.43)—(2.46) может возникнуть вопрос:
почему все время говорится о векторной сумме действующих сил инер¬
ции, а не об одной силе? Особенно четко этот вопрос возникает при
взгляде на уравнение (2.46). Ответ заключается в том, что если бы было
в общем виде заранее известно выражение для адоп, то немедленно пре¬
вращали бы уравнение движения в неинерциальной системе (2.43) в
уравнение в инерциальной системе (2.44). Но адоп заранее неизвестно,
поэтому, разбирая отдельные возможные случаи (поступательное дви¬
жение одной системы отсчета относительно другой, вращение неинер¬
циальной системы отсчета относительно инерциальной и т. д.), можно
получить выражения для сил инерции в каждом из этих случаев и тем
самым возможность последовательного анализа уравнения движения
тела в неинерциальной системе отсчета в более сложных случаях.
57
Рис. 2.17. Опыт с движущейся тележкой на воздушной подушке
Рассмотрим вначале случай, когда неинерциальная система отсчета
движется относительно инерциальной с некоторым ускорением, но
прямолинейно. Пусть, например, подставка с дорожкой на воздушной
подушке, обеспечивающей движение с очень малым трением, помеще¬
на на неподвижную тележку. Приведем тележку в движение в аудито¬
рии с некоторым ускорением а, (рис. 2.17). Тогда брусок на дорожке с
воздушной подушкой придет относительно нее в движение в противо¬
положном направлении. Для неподвижного наблюдателя в аудитории
брусок на дорожке остается в покое, в полном соответствии со вторым
законом Ньютона, так как на него не действует никакая горизонтальная
сила. Но для движущегося вместе с тележкой наблюдателя брусок имеет
ускорение адоп = -а,. Очевидно, что это ускорение определяется дейст¬
вием силы инерции, обусловленной ускоренным движением системы
отсчета, связанной с тележкой.
Легко найти значение этой силы. Для наблюдателя в аудитории бру¬
сок покоится, следовательно, для движущегося вместе с тележкой на¬
блюдателя, как указывалось, адоп = —а,. Чтобы брусок приобрел ускоре¬
ние адоп, на него должна действовать сила инерции F(1,ll) = тадоп = -та,,
где т — масса бруска.
Итак, если система отсчета движется с ускорением а, относительно
инерциальной системы, но прямолинейно по отношению к ней, в не¬
инерциальной системе действует сила инерции
F<™> = —та,, (2.47)
где т — масса тела, на которое действует эта сила инерции.
58
Зная это выражение для силы инерции, можно, не рассматривая
предварительно движение тела в инерциальной системе отсчета, соста¬
вить уравнение (2.43) для его движения в неинерциальной системе.
В качестве примера рассмотрим движение маятника, подвешенного
на падающей рамке (рис. 2.18). Если масса рамки велика по сравнению
с массой маятника, то его движение никак не сказывается на движении
рамки, и она падает с ускорением свободного падения g. Рассматривая
движение маятника с точки зрения неподвижного относительно Земли
наблюдателя, довольно трудно в общем виде описать движение маятни¬
ка. Однако для наблюдателя, неподвижного относительно падающей
рамки, это не представит затруднений.
Рамка падает с ускорением g относительно геоцентрической систе¬
мы, которая в рассматриваемом случае может считаться инерциальной.
Поэтому кроме обычных действующих на маятник сил (силы тяжести
mg и силы натяжения нити Т) на него в рассматриваемой неинерциаль¬
ной системе отсчета действует еще и сила инерции F(HM) = — mg. Видно,
что векторная сумма этих трех сил равна Т, поэтому в неинерциальной
системе отсчета, связанной с рамкой, уравнение движения маятника
(2.43) имеет вид:
та = Т, (2.48)
причем сила Т перпендикулярна скорости маятника v. Это означает, что
маятник будет равномерно вращаться вокруг точки подвеса с той же
скоростью, которую он имел в момент начала падения рамки.
Рассмотрим теперь движение тела в неинерциальной системе отсче¬
та, равномерно вращающейся относительно инерциальной системы.
Пусть брусок массы т лежит на полу вращающейся карусели на рас-
59
Рис. 2.19. Брусок на полу вращающейся карусели:
Fm — сила инериии
стоянии R от оси вращения. Чтобы он двигался вместе с каруселью, т. е.
описывал в инерциальной системе окружность радиуса R, бруску необ¬
ходимо сообщить центростремительное ускорение а„ = at2R, где со — уг¬
ловая скорость вращения карусели. Для этого на брусок должна дейст¬
вовать центростремительная сила F = ma>2R, которую можно обеспечить
трением или привязав брусок нитью (рис. 2.19). В отсутствие этой силы
при ничтожном трении брусок будет двигаться по касательной. Однако
с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с каруселью, необ¬
ходимость прилагать к бруску центростремительную силу F можно ис¬
толковать как результат того, что к бруску оказалась приложена сила
F(w0, направленная по радиусу от оси вращения, модуль которой равен
модулю силы F.
Силу инерции, действующую на неподвижное относительно вра¬
щающейся системы отсчета тело, часто называют центробежной силой
инерции. Как и в рассмотренном выше случае, для нее справедливо вы¬
ражение
р<ию = ~тя„, (2.49)
где а„ — нормальное ускорение той точки вращающейся системы, где
находится тело массы т.
Во вращающейся системе отсчета на тело, перемещающееся относи¬
тельно этой системы, действует кроме центробежной силы инерции
еще одна сила инерции, называемая кориолисовой силой, в честь фран¬
цузского математика Г. Кориолиса. Эта сила зависит от скорости тела v
относительно вращающейся системы отсчета и от угловой скорости
вращения системы со.
Рассмотрим сначала частные случаи. Пусть тело движется по радиу¬
су во вращающейся системе (рис. 2.20). За время dt тело пройдет отре¬
зок АВ = vdt, а вращающаяся система повернется на угол d<$ = mdt. В ре¬
зультате тело переместится из т. А в т. D. В исходной инерциальной
системе отсчета тело принимает участие в двух движениях — движении
относительно диска со скоростью v и в движении вместе с вращающим¬
ся диском. Однако линейная скорость вращения диска различна в раз¬
ных его местах. Если в т. А эта скорость есть vr, то, двигаясь с этой ско¬
60
ростью, тело попало бы в т. В', а не в т. D.
В т. D тело попадает за счет того, что ли¬
нейная скорость вращения возрастает по
мере удаления от оси вращения. Значит,
двигаясь равномерно относительно диска
по его радиусу, тело непрерывно изменяет
свою скорость в инерциальной системе от¬
счета, т. е. движется ускоренно. Величину
ускорения легко найти по добавочному
пути B'D, который тело проходит за время
dt:
B'D = A'B’dip. (2.50)
Поскольку А'В' = vdt и dtp = со dt, то выра¬
жение (2.50) принимает вид
B'D = сov(dt)2.
Добавочный путь зависит от времени движения квадратично, это
означает, что движение происходит с постоянным ускорением
B'D = ja(dt)2, (2.52)
где ускорение а направлено по нормали к радиусу, т. е. перпендикуляр¬
но скорости V.
Сравнивая (2.51) и (2.52), имеем
а = 2vco. (2.53)
Чтобы сообщить телу массы т такое ускорение, на него должна дей¬
ствовать направленная направо сила F, равная
F= та — 2mva>. (2.54)
Однако в неинерциальной вращающейся системе отсчета такое ус¬
корение отсутствует. Поэтому с точки зрения наблюдателя вращаю¬
щейся системы отсчета необходимость прилагать силу F может быть
истолкована тем, что на тело в этой системе отсчета уже действует
сила инерции Fm), направленная влево, модуль которой также дается
выражением (2.54). Это и есть кориолисова сила инерции. Как и сила
F, эта сила перпендикулярна скорости тела v во вращающейся системе
отсчета и угловой скорости о вращения этой неинерциальной системы
(рис. 2.21).
Нетрудно убедиться в том, что кориолисова сила инерции существу¬
ет и в том случае, когда тело движется по вращающемуся телу по ок¬
ружности с центром на оси вращения (рис. 2.22). Если скорость тела от¬
носительно диска равна v, а линейная скорость вращения диска в том
Рис. 2.20. Движение тела
по радиусу во вращающейся
системе
(2.51)
61
.в)
F„,
—m
Рис. 2.21. Кориолисова
сила инерции
Рис. 2.22. Движение по
окружности на вращаю¬
щемся теле
же месте, где находится тело, равна v„ то в инерциальной системе от¬
счета скорость тела равна (v + vr). Поэтому в этой системе отсчета на
тело действует центростремительная сила
1 (2.55)
где R — расстояние от тела до оси вращения.
Раскрывая квадрат суммы двух чисел, имеем
F = r^- + ^+2m^. (2.56)
В системе отсчета, связанной с диском, равнодействующая всех дей¬
ствующих сил, включая силы инерции, должна быть равна центростре¬
мительной силе mv2/R, поскольку в этой неинерциальной системе тело
движется по окружности радиуса R со скоростью v. Это означает, что во
вращающейся системе должны фигурировать две силы инерции, кото¬
рые компенсируют первое и третье слагаемые в правой части выраже¬
ния (2.56). Слагаемое (mv^/R) определяет центробежную силу инерции,
появление которой обусловлено вращением диска. Эта сила, как всегда,
направлена по радиусу от оси вращения. Слагаемое 2mvvr/R = 2mvm со¬
ответствует кориолисовой силе инерции, которая в данном случае также
направлена по радиусу от центра, перпендикулярно скорости тела v во
вращающейся системе отсчета и угловой скорости со вращения системы
отсчета.
Теперь несложно получить и выражение для кориолисовой силы
инерции и в общем случае, когда скорость v тела во вращающейся сис¬
теме образует произвольный угол с угловой скоростью со вращения сис¬
темы отсчета. (Строгое определение вектора со дано в § 13.2.)
В случае, когда скорость движения относительно вращающегося
диска v перпендикулярна угловой скорости вращения о, ее можно раз¬
ложить на две составляющие — v', направленную вдоль радиуса, и v",
направленную перпендикулярно радиусу (рис. 2.23):
62
v = v' + v".
(2.57)
Благодаря наличию этих составляющих v' и v" на движущееся отно¬
сительно диска тело будут действовать две кориолисовы силы инерции,
перпендикулярные друг другу, модули которых будут равны соответст¬
венно 2mv'm и 2mv"(x>. Равнодействующая F этих сил инерции будет
равна
и направлена перпендикулярно угловой скорости со и скорос ти тела v во
вращающейся системе отсчета.
Если скорость v направлена под произвольным углом к угловой ско¬
рости вращения со, то v можно разложить на две составляющие: v,, на¬
правленную вдоль (о, и v2 — перпендикулярную со (рис. 2.24). Наличие
первой из составляющих не приводит к появлению какой-либо допол¬
нительной силы инерции, а для второй составляющей справедливо все,
написанное выше. Поэтому в данном случае полная кориолисова сила
инерции будет направлена перпендикулярно со и v2, а ее модуль будет
даваться выражением
где угол а показан на рис. 2.24.
Используя понятие векторного произведения, выражение для ко-
риолисовой силы инерции можно записать в виде
причем правильное направление этой силы обеспечивается, как легко
проверить, именно указанным в (2.60) порядком сомножителей в век¬
торном произведении.
F( ин 1 = 2morJv'2 + v"2 = 2mwv
(2.58)
Яи,1) = 2wv2co = 2wvcosina,
(2.59)
F(l,n) = 2m[\ x со],
(2.60)
Рис. 2.24. К формуле (2.59)
Рис. 2.25. Шайба, скользящая но внутрен¬
ней поверхности вращающегося сосуда
63
С проявлением кориолисовых сил инерции люди сталкиваются в
естественной системе отсчета, связанной с вращающейся вокруг сво¬
ей оси Землей: отклонение от вертикали тел, падающих в глубокий
колодец, поворот плоскости качания маятника (маятник Фуко), под¬
мывание правого берега реки в северном полушарии и левого в юж¬
ном и т. д.
Еще одна, четвертая, разновидность сил инерции появляется в слу¬
чае неравномерного вращения неинерциальной системы отсчета, когда
изменяется вектор ее угловой скорости, т. е. отлична от нуля производ¬
ная (Ь. Происхождение этой силы инерции полностью эквивалентно по¬
явлению силы инерции в случае прямолинейного ускоренного движе¬
ния системы отсчета. Выражение для нее имеет вид:
Отметим, что выражение для центробежной силы инерции также
можно записать в векторном виде с помощью понятия двойного вектор¬
ного произведения
Приведем пример, когда рассмотрение движения в неинерциальной
системе отсчета на основе сформулированных выше правил сопряжено
с гораздо меньшими трудностями, чем в случае использования инерци¬
альной системы отсчета.
Рассмотрим поведение небольшой шайбы, которая может скользить
по внутренней поверхности вращающегося с угловой скоростью <о во¬
круг вертикальной оси сферического сосуда (рис. 2.25). Во вращающей¬
ся системе отсчета легко найти положение равновесия для шайбы, в ко¬
тором она будет находиться в покое относительно сосуда. В этом
положении векторная сумма силы тяжести mg, центробежной силы
инерции F(HII) и силы реакции опоры N равна нулю (рис. 2.26). Отсюда
вытекает, что положение равновесия определяется условием
F<™> = т[г х о].
(2.61)
/Тин) = X [Г X О)]].
(2.62)
тш2Яя\па = mg tga (2.63)
или
Из формулы (2.64) следует, что одно поло¬
жение равновесия соответствует условию
sina = 0, т. е. a = 0, а второе определяется
соотношением
(2.64)
FT = OTg
(2.65)
Рис. 2.26. Сложение сил
для шайбы на рис. 2.25
Первое положение равновесия неустой¬
чиво, а второе, существующее при доста-
64
точно большой угловой скорости вращения, когда м2>#/Л, устойчиво.
Устойчивость этого равновесного положения становится очевидной,
если выписать условие уравновешивания моментов сил в положении
равновесия относительно центра сосуда О:
mgRs'ma = m(a2R2smacosa. (2.66)
Поскольку в этом положении sina * 0, то формула (2.66) эквивалентна
условию
g = o)27?cosa. (2.67)
Видно, что при смещении шайбы вверх или вниз из положения рав¬
новесия в меридианальной плоскости появляется момент, возвращаю¬
щий ее к положению равновесия. Поэтому положение равновесия ус¬
тойчиво.
Итак, в неинерциальной системе отсчета нам пришлось исследовать
устойчивость равновесного положения. Если эта задача решалась в инер¬
циальной системе отсчета, пришлось бы исследовать вопрос об устойчи¬
вости движения, а не об устойчивости равновесия, что гораздо труднее.
Задачи к главе 2
Задача 2.1. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов в систе¬
ме, показанной на рис. 2.27. Считать, что массы грузов тх и т7 много
больше масс блоков и нити. Трением пренебречь.
Решение. Составим уравнения второго закона Ньютона для каж¬
дого груза. В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, учи¬
тывая действующие на грузы силы, показанные на рис. 2.27, имеем:
«,g +Т, = т,а,; m2g + Т2 = т2л2.
Эти уравнения справедливы без каких-либо упрощаю¬
щих предположений о соотношениях между массами
грузов, нити, блоков, о наличии трения в блоке и т. д.
Сформулированные в условии задачи идеализации
приводят к простейшей модели рассматриваемого про¬
цесса, в которой модуль силы натяжения нити, переки¬
нутой через блоки, одинаков по всей ее длине. Обозна¬
чим его через Т: Т2 — Т. Пренебрежение массой левого
блока приводит к условию ТХ~2Т. Теперь в проекции
на ось, направленную вертикально вниз, уравнения
(2.68) перепишутся в виде:
Щ&- 27’= mxa]x\ m2g-T=m2a2x. (2.69)
Система двух уравнений (2.69) содержит три неизвест¬
ных величины — проекции а1х и аъ ускорений грузов на
5 - 3840
(2.68)
65
выбранную ось и силу натяжения нити Т. Установим связь между про¬
екциями ускорений, считая нить нерастяжимой. Если, например, левый
груз опустится вниз на dx, то, как следует из рис. 2.27, правый груз за то
же время поднимется на вдвое большее расстояние, поэтому dx2 = 2dx{.
Таким же соотношением будут связаны и проекции скоростей и ускоре¬
ний:
аъ = -2 а1х. (2.70)
Теперь из системы уравнений (2.69) и (2.70) находим
«2.--2-L, (2.71)
r=_3m1mI_ 7-=27-. (2.72)
т,+4т2 1
Очевидно, что ускорение левого груза направлено вниз, если
т\ > 2т2, в противном случае — вверх.
Задача 2.2. Под каким углом а к горизонту нужно тянуть тяжелый
ящик массы т для того, чтобы передвигать его волоком по горизонталь¬
ной поверхности с наименьшим усилием, если коэффициент трения ра¬
вен р? Найти значение этой минимальной силы.
Решение. На рис. 2.28 показаны дейст¬
вующие на ящик силы, причем нормальная
сила реакции опоры N и сила трения скольже¬
ния FTP заменены одной равнодействующей Q.
Условие равномерного движения ящика по го¬
ризонтальной поверхности (именно при равно¬
мерном движении искомая сила будет мини¬
мальной) в соответствии со вторым законом
Ньютона записывается в виде:
F + Q + mg = 0. (2.73)
Изобразим геометрический образ этого уравне¬
ния. Сила mg известна по модулю и направле¬
нию (рис. 2.29). Для силы Q известно лишь
направление действия, которое в соответствии
с формулой (2.72) образует угол <р = arctg р с
вертикалью. Сила F в соответствии с уравнением (2.73) должна замы¬
кать треугольник сил, т. е. соединять конец вектора Q с началом векто¬
ра mg. Как видно из рис. 2.29, модуль силы F будет наименьшим, когда
ее направление перпендикулярно направлению Q, т.е. образует угол ср с
горизонтом. Ее значение при этом, как видно из того же рисунка, есть
= /щгьшф.
Задача 2.3. Найти ускорение грузов в системе, показанной на
рис. 2.30, если известны массы грузов /я, и т2 и угол а, образуемый на¬
клонной плоскостью с горизонтом. Рассмотреть задачу в отсутствие и
при наличии трения.
Рис. 2.28
66
Q
m
2
Рис. 2.29
Рис. 2.30
Решение. В данной задаче нам наперед не известно направление
действия силы трения. В системе, показанной на рис. 2.30, направление
силы трения, действующей на брусок массы /и,, зависит от направления
движения бруска. При решении задачи возникает порочный круг: чтобы
найти ускорение бруска, нужно знать направление действия силы тре¬
ния, а чтобы найти это направление, надо знать, в какую сторону будет
двигаться неподвижный вначале брусок.
Чтобы избежать перебора всех различных вариантов, при решении
подобных задач следует рассмотреть движение в отсутствие трения. То¬
гда при наличии трения покоившиеся вначале бруски либо придут в
движение в ту же сторону, что и в отсутствие трения, либо будут про¬
должать покоиться. В частности, в рассматриваемом примере в отсутст¬
вие трения брусок массы т2 будет опускаться при /w,sina < т2. При вы¬
полнении этого условия сила трения, действующая на брусок массы ть
будет направлена вдоль наклонной плоскости влево. Теперь не пред¬
ставляет труда написать уравнения второго закона Ньютона для каждо¬
го из брусков. В простейшем приближении, когда массой нити и блока
и трением в блоке пренебрегается, придем к уравнениям:
Сила трения не может превышать значения F< \\N — \xmg cosa, ко¬
торое достигается, когда брусок движется. Отсюда следует, что при на¬
личии трения бруски будут покоиться, если mg- mg sina < \xmg cosa.
Если же mg > w,g(sina + pcosa), то бруски будут двигаться вправо с ус¬
корением
Т -m} g sin a — F =m^a\
N-mj gcosa =0;
m2g-T =m2a,
(2.74)
где a > 0.
a
Wj + m2
(2.75)
Аналогично может быть рассмотрен и противоположный случай
/«(Sina > т2.
5* 67
Задача 2.4. На каждое колесо автомобиля приходится 25 % его веса.
Пусть коэффициент трения между колесом и дорогой равен 0,8. Тормо¬
за действуют на все четыре колеса. Чему равно минимальное время пол¬
ного торможения при исходной скорости 60 км/ч? Чему равно мини¬
мальное время разгона с места до такой скорости?
Решение. Если торможение происходит без проскальзывания, то
результирующая сила торможения равна FmpM — \mg= 0,8mg. Поэтому
тормозящее ускорение а = 0,8#, а время полного торможения
<г76)
У автомобиля с одной парой ведущих колес двигатель вращает толь¬
ко задние колеса. При разгоне максимальная сила ограничивается сцеп¬
лением задних колес с дорогой, поэтому для оценки будем считать, что
она не превышает половины найденной выше тормозящей силы, т. е.
0,4#. Поэтому время разгона можно оценить как в два раза превышаю¬
щее время полного торможения, т. е. 4,26 с. Этот показатель можно
улучшить, используя более крупные мягкие шины и перемещая на зад¬
ние колеса большую часть веса автомобиля.
Задача 2.5. Гонки мотоциклистов проводятся по узкой круговой
трассе. Трогаясь с места, мотоциклист стремится как можно быстрее
набрать скорость. Какую часть круга он пройдет к моменту достижения
максимально возможной для этой трассы скорости?
Решение. Будем считать, что мощность мотора мотоцикла такова,
что его максимальная скорость при движении по прямой больше воз¬
можной скорости на данной круговой трассе. Минимальная скорость на
данной трассе ограничена тем, что центростремительное ускорение vl/R
мотоциклу сообщает сила трения колес о дорогу, максимальное значе¬
ние которой равно yung. Поэтому максимальная скорость на трассе оп¬
ределяется условием
mv,
-jf-=\ung
и равна vт =yfcgR.
В процессе разгона мотоцикла эта максимальная сила трения кото¬
рую в дальнейшем будем обозначать через F, имеет составляющую, на¬
правленную по касательной к траектории, чтобы обеспечить возраста¬
ние скорости. В произвольной точке участка разгона положение
мотоциклиста определяется углом <р. Направление действующей на мо¬
тоцикл силы трения F составляет некоторый острый угол а с направле¬
нием скорости V. Поэтому уравнение второго закона Ньютона в проек¬
циях на касательное и нормальное к траектории направления имеет вид
~ ^cosa> (2.77)
= /rsina. (2.78)
68
Продифференцируем уравнение (2.78) по времени, учитывая, что
при разгоне изменяется не только скорость мотоцикла v, но и угол а, в
то время как F и R остаются неизменными:
Подставляя в правую часть этого выражения /-cosa из уравнения
(2.77), получаем связь между скоростью изменения угла а и скоростью
мотоцикла:
При движении по окружности линейная скорость связана с угловой
о = d(p/dt соотношением v = Rd<p/dt. Поэтому 2dy/dt — da/dt — при оп¬
тимальном разгоне, использующем всю возможную силу сцепления ко¬
лес с дорогой, скорость изменения угла а в каждый момент времени
вдвое больше скорости изменения угла ср. В начальный момент оба угла
равны нулю (при трогании с места вся сила сцепления колес с дорогой
направлена вперед). Поэтому в любой точке разгона a = 2ф. В конце
разгона a = п/2, так как вся сила сцепления идет на сообщение центро¬
стремительного ускорения. Таким образом, разгон заканчивается при
Ф = п/4: участок разгона составляет всего 1/8 трассы.
В отличие от максимальной скорости vm, значение которой опреде¬
ляется коэффициентом трения ц и радиусом R круговой трассы, ответ
на поставленный в задаче вопрос не зависит от этих параметров — для
всех круговых трасс при любом типе покрытия он один и тот же. От мо¬
тоциклиста требуется лишь умение обеспечить выполнение условий оп¬
тимального разгона. А это совсем не просто: нужно выдерживать пра¬
вильный угол между скоростью и силой сцепления ведущего колеса с
дорогой, добиваясь, чтобы в каждый момент она имела максимально
возможное значение.
Задача 2.6. Если тело движется со скоростью г, которая не слишком
велика, то сила сопротивления воздуха Fc, действующая на тело, при¬
близительно пропорциональна скорости: Fc = kv. Найти зависимость
v(t) для тела, начинающего падение из состояния покоя. Какова будет
предельная скорость падения?
Решение. Для вертикально падающего тела второй закон Ньюто¬
на можно записать как m^-^mg-kv (почему в уравнении стоит знак
at
«минус»?). Это дифференциальное уравнение первого порядка на не¬
известную функцию v(/), которое может быть представлено в виде
постоянная С находится из условия v -> оо. В самом деле, на больших
временах скорость устанавливается постоянной, ее производная равна
Rdt °h x df
_ da
R~ df
Решение этого уравнения: v(t) = ^~-Ce k,/m, в котором неизвестная
69
нулю, откуда получаем mg = kv. Таким образом, предельная скорость
1-прСд = а с другой стороны упред = С. Окончательный ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.7. Согласно упрощенной модели сердца млекопитающего, при каждом со¬
кращении около 20 г крови ускоряется от скорости 0,25 м/с до 0,35 м/с за время 0,10 с.
Какова при этом величина силы, развиваемой сердечной мышцей? (975 Н)
Задача 2.8. При автомобильной катастрофе человек имеет реальные шансы выжить,
если величина тормозящего ускорения не превышает 30g. Вычислите силу, которая дейст¬
вует на человека массой 70 кг и создает такое ускорение. Какое расстояние проходит авто¬
мобиль до полной остановки, если его начальная скорость была 80 км/ч. (21 кН; 8,2 м)
Задача 2.9. С вершины Пизанской башни (высота 55 м) Галилей уронил кошелек с
монетами массой 3 кг, который достиг земли при скорости 29 м/с. Оценить среднюю силу
сопротивления воздуха. (6,5 Н)
Задача 2.10. Локомотив тянет за собой состав из двух вагонов одинаковой массы. Ус¬
корение поезда не равно нулю. Во сколько раз натяжение в сцепке между локомотивом и
первым вагоном больше, чем между первым и вторым вагонами? (В 2 раза)
Задача 2.11. Тяжелый стальной трос массой М и длиной L проходит через неболь¬
шой блок, не имеющий ни массы, ни трения в оси. Длина троса по одну сторону блока у
(т. е. по другую — L — у) и первоначально равна у0. Трос начинает движение из состоя¬
ния покоя. Найти: 1) ускорение троса как функцию у; 2) скорость троса V в момент,
когда он целиком пройдет через блок и упадет с него; 3) V при у = (2/3)1. (1) -;
2) J2gy°1_J£ ; 3) 1^)
Задача 2.12. Мотоциклист, движущийся с постоянной скоростью 12 м/с, въезжает на
участок дороги, покрытый песком, где коэффициент трения скольжения равен 0,80. Про¬
тяженность участка равна 15 м. Проскочит ли мотоциклист песчаный участок, и если да,
то какова будет его скорость в конце участка? (Не проскочит)
Задача 2.13. Велосипедист может катиться с холма, имеющего наклон 4,5°, с постоян¬
ной скоростью 8,5 км/ч. Если общая сила трения и сопротивления воздуха пропорцио¬
нальна скорости v (F — kv), то чему будут равны: 1) постоянная к\ 2) средняя сила, кото¬
рую нужно прикладывать, чтобы спускаться с холма со скоростью 25 км/ч? Масса
велосипедиста вместе с велосипедом равна 80 кг. (1) 26 Н с/см; 2) 120 Н)
Задача 2.14. В парке аттракционов можно увидеть карусель, на которой люди прижи¬
маются к внутренней стенке вертикального цилиндра радиусом 2,9 м, вращающегося с
частотой 0,92 об/с (при этом у него убирается дно). Каков должен быть коэффициент тре¬
ния, чтобы человек, катающийся на такой карусели, не выпал из нее? (0,10)
Задача 2.15. Вывести формулу изменения ускорения свободного падения Ag на высо¬
те Дг« г., (где гг — радиус Земли). (Ag a-2g~)
Задача 2.16. Судно идет вдоль экватора со скоростью v. Вес тела, взвешенного на ко¬
рабле, равен w, тогда как вес того же тела, измеренный на берегу, равен w0. Считая, что
4 я/v
частота вращения Земли равна/(об/с), найти формулу для w. (w = wQ 1 х — -
1±-
g
Задача 2.17. Какими могли быть земные сутки, если бы Земля вращалась так быстро,
что тела на экваторе были бы невесомы? (1,4 ч)
Задача 2.18. Венера находится на среднем расстоянии от Солнца, равном 1,08 • 10s км,
а Земля — 1,49 108 км. Какова длительность венецианского года? (225 сут)
70
Глава 3. СОСТОЯНИЕ ЧАСТИЦЫ И ЕГО
ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ
§ 3.1. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
Механическое состояние материальной точки в классической физи¬
ке определяется заданием ее радиус-вектора и скорости в определенный
момент времени. Если известно механическое состояние в какой-либо
момент времени и действующие на материальную точку силы, то с по¬
мощью второго закона Ньютона можно определить ее механическое со¬
стояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать
ее движение. По этой причине уравнение, соответствующее второму за¬
кону Ньютона, называют уравнением движения, ибо оно описывает
эволюцию начального состояния механической системы во времени.
Алгоритм действий по нахождению закона эволюции во времени
определенного начального состояния системы состоит в следующем.
Второй закон Ньютона а = F/т позволяет при заданных силах найти ус¬
корение частицы. Знание ускорения дает возможность определить из¬
менение скорости за некоторый промежуток времени. Чтобы найти
само значение скорости к концу этого промежутка, надо знать ее значе¬
ние в начальный момент времени. Аналогично, знание скорости позво¬
ляет найти изменение положения частицы за некоторое время. Чтобы
найти сам радиус-вектор в момент времени Г, нужно знать его значение
в начальный момент времени. Например, при движении под действием
постоянной силы, когда ускорение также постоянно, скорость и пере¬
мещение частицы в момент времени t определяются выражениями
v(0 = v„ + a/, r(/)=r0 +v0/ + ^-, (3.1)
где v„ — скорость частицы в начальный момент времени t = 0 (т. е. ее
начальная скорость); г0 — радиус-вектор частицы в начальный момент
времени t = 0, который характеризует ее начальное положение.
Вместе v0 и г0 характеризуют начальное механическое состояние ма¬
териальной точки. При заданных г0 и v0 говорят, что заданы начальные
условия.
Если действующие на частицу силы непостоянны, то для нахожде¬
ния закона эволюции начального состояния во времени можно исполь¬
зовать формулы интегрального исчисления. При этом соотношения
(3.1) принимают вид:
I t
v(O=v0+|а(Г')Л'; r(0=r0+Jv(0<fr', (3.2)
О О
или
t /'
г (о =r0 + V 0t + J dt' J a {t")dt".
о о
71
В случаях, когда уравнение движения не удается решить аналитиче¬
ски, его можно решать численно. В этом случае в современной физике
говорят, что проводится вычислительный эксперимент. Появление это¬
го термина связано с тем обстоятельством, что стремительное развитие
вычислительной техники необычайно расширило вычислительные воз¬
можности: стало возможным проводить численный расчет в очень
сложных ситуациях, когда нам неизвестны все действующие силы. Сна¬
чала выбирается более или менее простая физическая модель изучаемо¬
го явления, составляется уравнение движения и выполняется расчет в
рамках какого-либо численного метода. После сравнения результатов
расчета с исходными экспериментальными данными исходная физиче¬
ская модель может быть уточнена (как правило, при этом она усложня¬
ется). Возникает новая математическая модель — новые, уточненные
уравнения движения, опять проводится численный расчет, его результа¬
ты снова сравниваются с экспериментом. При необходимости указан¬
ная процедура повторяется несколько раз, до получения удовлетворяю¬
щих исследователя результатов. Описанная схема действий и составляет
содержание вычислительного эксперимента в физике. При проведении
любого вычислительного эксперимента, кроме уравнений движения,
необходимо задание начальных условий. Как видно ниже, начальные
условия играют исключительно важную роль в механическом поведе¬
нии физических систем.
Опишем простейший алгоритм численного решения уравнений
движения. Действующая на частицу сила может зависеть явно от вре¬
мени, от положения частицы и от ее скорости: F = ¥(t, г, v). Будем
считать, что нам известны начальные положение и скорость частицы,
т. е. г0 и v0. Используя уравнение движения а = F/т, определяем уско¬
рение а0 частицы в тот же момент времени t = 0: а0 = F(0, г0, \0)/т. Те¬
перь можно приближенно найти изменение скорости за малый проме¬
жуток времени At: Av = а0Д/. Отсюда для скорости в конце этого
промежутка находим
V, = v0 + а0Л/. (3.3)
Для изменения радиуса-вектора за этот же промежуток At прибли¬
женно справедливо Дг s \0At.
Более точное значение Дг можно получить, если взять вместо v0
среднее значение скорости на этом промежутке, считая ускорение по¬
стоянным в течение At: Дг = ^-(у0 + у,)ДГ.
Для радиуса-вектора г к концу промежутка времени At справедливы
выражения:
г, = г0 + у0Д/ или г, =r0 +l(v0 +\l)At, (3.4)
в зависимости от того, какой из приведенных формул для Дг воспользо¬
ваться.
72
Выбор промежутка времени At определяется той точностью, кото¬
рую хотим получить при таком приближенном вычислении. Чем мень¬
ше At, тем ближе будут к истинным значениям V, и г„ вычисляемые с
помощью формул (3.3) и (3.4).
Найденные значения v, и г, и выбранное At подставляем в выраже¬
ние для силы F(r, г, v), и с помощью уравнения движения находим уско¬
рение at в конце промежутка времени At: а, = F(Ar, г,, v,)//m.
Повторим описанную процедуру для следующего промежутка вре¬
мени, причем роль начальных условий теперь будут играть найденные
значения г, и v,:
v2 = v1 + a,A/, r2 = г, + v,А/ или r2 =r,+J-(v,+v2)A7. (3.5)
Затем описанная процедура повторяется еще раз и т. д. Если требу¬
ется найти изменение механического состояния частицы за большой
промежуток времени, то придется разбить его на большое число шагов.
Практически такие работы выполняются на компьютере.
Если требуется рассматривать механическую систему, состоящую из
нескольких взаимодействующих тел, то приходится решать систему
уравнений, состоящую из уравнений движения для каждого тела. Меха¬
ническое состояние системы частиц в какой-либо момент времени оп¬
ределяется заданием положений и скоростей всех частиц в этот момент.
Система уравнений движения позволяет найти изменение этого состоя¬
ния во времени.
Аналитическое решение задачи о механическом движении системы
взаимодействующих тел наталкивается в общем случае на огромные ма¬
тематические трудггости. Так, до сих пор не решена в общем виде даже
задача о движении трех взаимодействующих между собой частиц при
произвольных начальных условиях. Однако принципиально численный
расчет механического движения системы не слишком большого числа
взаимодействующих частиц не содержит ничего нового по сравнению с
расчетом движения одной частицы. Принципиальные трудности появ¬
ляются только при попытке расчета движения очень большого числа
частиц — порядка числа атомов или молекул в макроскопических телах,
причем помимо чисто вычислительных трудностей присутствуют еще и
трудности, связанные с невозможностью задать начальные условия для
входящих в рассматриваемую механическую систему частиц.
В механике бывает и обратная ситуация, когда задано уравнение
движения частицы и требуется определить, под действием каких сил
происходит данное движение. Примером такой задачи может служить
проделанное И. Ньютоном определение силы ггритяжения планеты к
Солнцу по известному из астрономических наблюдений закону обраще¬
ния этой планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца.
В качестве другого примера определения действующих на частицу
сил по известному движению частицы рассмотрим движение матери¬
альной точки по эллипсу, описываемое уравнением
х = /fcoscor, у = .Bsincor, z = 0.
(3.6)
73
Траектория движения действительно представляет собой эллипс, в
чем легко убедиться, исключая время из соотношения (3.6):
4 + 21 = 1. (3.7)
А2 В2
Материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против
часовой стрелки, причем так, что ее радиус-вектор поворачивается с по¬
стоянной угловой скоростью со.
Для определения силы, вызывающей такое движение, нужно с по¬
мощью соотношений (3.6) определить ускорение частицы. Дифферен¬
цируя (3.6) по времени, находим проекции скорости на оси координат:
vx — —ylcosincj/, vy = jSmcosoo/, vz = 0. (3.8)
Дифференцируя по времени соотношения (3.8), получаем проекции
ускорения:
ах = —/lco2coscor, ау = — i?coJsinw/, а, = 0. (3.9)
С помощью второго закона Ньютона получаем значения проекций
силы, действующей на материальную точку массы т:
Fx = — m&2AcosK>t, Fy = — /wco2Z?sinco/, Fz = 0. (3.10)
Сравнивая соотношения (3.10) и (3.6), видим, что выражения для
проекций силы можно записать в виде:
Fx = —тоз2х, Fy — —тоз2у, Fz = 0. (3.11)
Соотношения (3.10) дают искомую зависимость действующей на
частицу силы от ее координат. В векторном виде соответствующее ра¬
венство записывается следующим образом:
F=—/исо2г, (3.12)
где г — радиус-вектор частицы.
Сила F в каждой точке направлена к началу координат и пропор¬
циональна расстоянию г до находящегося там центра силового поля
(рис. 3.1).
Такую зависимость силы от положения частицы можно осущест¬
вить, например, с помощью двух пар одинаковых- пружин (рис. 3.2).
Чтобы движение тела происходило именно таким образом, как описы¬
вается уравнениями (3.6), начальные условия должны быть вполне оп¬
ределенными: из формулы (3.6) следует, что при t — О должно быть:
*о ~ Л, Л = 0. г0 = 0, а из уравнений (3.8) — = 0, = Воз, = 0. Та¬
кие начальные условия можно осуществить, оттянув шарик в направле¬
нии х на расстояние А и толчком мгновенно сообщив ему начальную
скорость Воз в направлении у. При этом оси х и у направлены вдоль не-
74
У
В yV
'А х
V,
Рис. 3.1. Движение по эллипсу
Рис. 3.2. Шарик в положении
равновесия. Действующая
сила направлена к этому
положению
деформированных взаимно перпендикулярных пружин, а ось z — пер¬
пендикулярно плоскости, в которой они расположены.
Подчеркнем, что рассмотренное движение по эллиптической орбите
принципиально отличается от движения по эллипсу под действием
силы тяготения, обратно пропорциональной квадрату расстояния до си¬
лового центра. В последнем случае силовой центр располагается в од¬
ном из фокусов эллипса, в то время как в рассмотренном случае сило¬
вой центр совпадает с центром эллипса.
§ 3.2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО ДЕТЕРМИНИЗМА
Вернемся к обсуждению алгоритма определения механического дви¬
жения частицы, выражаемого соотношениями (3.5). Формально говоря,
этот алгоритм позволяет с любой заданной точностью однозначно пред¬
сказать механическое движение, если известны начальное состояние
частицы и все действующие на нее силы. Механическое движение в
этом смысле оказывается полностью предопределенным. В развитии
науки такое положение получило название механического, или лапла-
совского детерминизма. Однако в действительности дело обстоит гораздо
сложнее. Лапласовский детерминизм выступает как естественное обоб¬
щение обсуждавшихся выше особенностей способа описания явлений
природы, принятого в классической физике. Это описание основывает¬
ся на признании возможности абсолютизации физического процесса и
возможности полной детализации его описания. Как уже отмечалось
выше, соотношения неопределенностей Гейзенберга не позволяют од¬
новременно задать сколько угодно точные значения координат и соот¬
ветствующих проекций импульса (или скорости) частицы, т. е. ее меха¬
ническое состояние, определенное в классической физике. Поэтому
квантовая физика изначально отвергает и лапласовский детерминизм.
Однако и в рамках самой классической физики лапласовский детер¬
минизм не адекватен реально существующей ситуации. Во-первых,
75
даже в классической физике значения физических величин, в том числе
и координат и импульсов, не могут быть заданы точно — всегда сущест¬
вует определенная погрешность их экспериментального определения.
Если, например, рассматривается даже равномерное вращение тела во¬
круг какой-то оси, и значение угловой скорости задается с определен¬
ной точностью Дсо, то можно указать промежуток времени At = 2я/Дсо,
по истечении которого число совершенных оборотов может отличаться
на единицу от вычисленного, причем как в ту, так и в другую сторону.
Поэтому представление о справедливости лапласовского детерминизма
всегда ограничено определенным промежутком времени, по истечении
которого механическое движение не может дальше рассчитываться без
задания нового начального состояния.
Во-вторых, никогда не может быть известна заранее вся совокуп¬
ность условий движения тела, т. е. все действующие на него силы, на не¬
ограниченное время вперед. Это обстоятельство также ограничивает
справедливость лапласовского детерминизма определенным промежут¬
ком времени.
И, наконец, третье обстоятельство, показавшее ограниченность лап¬
ласовского детерминизма, связано с нелинейными физическими явлениями
и связанными с ними нелинейными законами движения частиц. Это
отчетливо проявилось уже на примере задачи Кеплера, которая при уче¬
те взаимодействия планет друг с другом, а не только взаимодействия с
Солнцем содержит типичные свойства нелинейных систем — периоди¬
ческие орбиты с большим числом гармоник, зависимость периода коле¬
баний от амплитуды и т. д. Стало ясно, что для типичных нелинейных
ситуаций нельзя предсказать на большое время динамические свойства
даже слабо возмущенных систем. В современной физике выяснилось,
что отступление от лапласовского детерминизма, заключающееся в по¬
явлении перемешивания, или хаоса, может возникать даже в механиче¬
ской системе с двумя степенями свободы (т. е. системе, механическое
состояние которой задается двумя координатами и двумя проекциями
импульса). Появление или отсутствие хаоса зависит лишь от значений
параметров системы или начальных условий задачи. В нелинейную ди¬
намику вошел качественно новый элемент движения, потребовавший
пересмотра ряда более ранних приближенных результатов, которые
были получены при явном или неявном условии, что объектом исследо¬
вания является линейная система.
Развитию новых идей в понимании нелинейной динамики в значи¬
тельной степени способствовало появление компьютеров. Их использо¬
вание для анализа нелинейных систем было начато работами Э. Ферми
и С. Улама и в настоящее время достигло такого уровня, что характер
процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его на
дисплее даже в тех случаях, когда могут быть получены строгие анали¬
тические результаты.
Таким образом, можно сделать вывод, что представление о лапла-
совском детерминизме характеризует определенный этап в развитии ме¬
ханики, отвечающий физике линейных систем.
76
§ 3.3. МЕТОД ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ. АДИАБАТИЧЕСКИЕ
ИНВАРИАНТЫ
В нелинейной динамике получили развитие качественные методы
исследования, центральное место в которых занимает так называемый
метод фазовых траекторий и фазовых диаграмм, дающий наглядное
представление об эволюции начального состояния механической систе¬
мы. Рассмотрим сначала механическую систему с одной степенью сво¬
боды, пространственное положение которой полностью определяется
заданием одной координаты. Механическое состояние такой системы
определяется заданием двух величин — координаты и импульса (или
скорости). Для иллюстрации описания движения такой системы ис¬
пользуются графики, изображающие зависимость координаты от време¬
ни и скорости от времени, которые можно построить по найденному за¬
кону движения частицы, т.е. зависимостям х(/) и v(t). Наряду с ними
можно рассматривать график зависимости импульса (или скорости) от
координаты, который легко построить, отталкиваясь от графиков x(t) и
v(t), т. е. исключая параметр t.
Как видно в дальнейшем, график зависимости импульса от коорди¬
наты можно построить, не решая уравнения движения и не находя за¬
висимостей x(t) и v(/).
Познакомимся с основами метода фазовых траекторий. Введем на
плоскости систему координат и будем откладывать координату х по оси
абсцисс и импульс р по оси ординат. Механическое состояние системы
в каждый момент времени изображается точкой на этой плоскости, со¬
ответствующей значениям х и р в рассматриваемый момент времени.
При изменении механического состояния изображающая его точка бу¬
дет двигаться по некоторой линии в этой плоскости. Плоскость (х, р)
или (х, v) называется фазовой плоскостью, а кривая, по которой дви¬
жется изображающая точка при изменении механического состояния
системы, — фазовой траекторией. Если рассматриваемая механическая
система возвращается в исходное состояние, то соответствующая фазо¬
вая траектория замыкается.
Построим фазовые траектории для простейших систем. Рассмот¬
рим движущийся по горизонтали упругий шарик, поочередно отра¬
жающийся от двух вертикальных стенок (рис. 3.3). При абсолютно уп¬
ругом ударе о стенку неизменная по модулю скорость шарика
практически мгновенно меняет направление на противоположное. Фа¬
зовая траектория шарика радиуса г показана на нижней части рис. 3.3.
Она представляет собой прямоугольник, верхняя горизонтальная сто¬
рона которого соответствует движению шарика с постоянной скоро¬
стью от левой стенки до правой, а нижняя — обратному движению от
правой стенки до левой. Вертикальные стороны фазовой траектории
соответствуют изменению проекции скорости при неизменном значе¬
нии координаты от v до —v у правой стенки и от —v до v у левой. Изо¬
бражающая механическое состояние шарика точка обходит фазовую
траекторию в направлении по часовой стрелке. По горизонтальным
участкам фазовой траектории эта точка движется равномерно, а верти-
77
Рис. 3.3. Шарик, упруго
отражающийся от стенок,
и его фазовая траектория
Рис. 3.4. Фазовая траектория
шарика, отскакивающего от
горизонтальной упругой плиты
в поле тяжести
кальные участки проскакивает мгновенно в соответствии с выбранной
моделью упругого удара о стенки.
В качестве второго примера рассмотрим шарик, свободно падаю¬
щий в поле тяжести Земли и упруго отражающийся от горизонтальной
плиты. В такой модели шарик будет совершать периодическое движе¬
ние, поднимаясь до первоначальной высоты h и свободно падая обрат¬
но. Период движения зависит от высоты h и равен суммарному времени
падения и подъема, т. е. 2^2h / g. Зависимость скорости шарика от его
высоты z в данный момент может быть непосредственно получена с по¬
мощью закона сохранения энергии без обращения к формулам кинема¬
тики:
v(z) = ±^j2g(h-z).
(3.13)
Два знака перед квадратным корнем соответствуют движению шарика
вверх.и вниз. Фазовая траектория, изображенная на рис. 3.4, состоит из
вертикального участка, соответствующего мгновенному изменению на¬
правления скорости шарика при ударе о плиту, и куска параболы с го¬
ризонтальной осью симметрии, определяемой уравнением (3.13). Для
простоты радиус шарика принят равным нулю.
Использование метода фазовых траекторий позволяет очень нагляд¬
но представить особенности механического поведения тех или иных
физических систем. Продемонстрируем это на примере рассмотрения
так называемых адиабатических инвариантов. Адиабатическими инва¬
риантами называются величины, которые остаются почти постоянными
при медленном (адиабатическом) изменении параметров системы. Ус¬
ловие адиабатичности изменения параметров можно записать в виде
TJTj <<1, где Г, — характерный для рассматриваемой системы период
движения, а Т2 — характерное время изменения параметров системы.
В существовании адиабатических инвариантов легко убедиться, об¬
ратившись к рассмотренному выше примеру упругого шарика, пооче¬
редно отражающегося от двух вертикальных стенок. Предположим, что
одна из стенок, например правая, медленно движется вправо или влево
78
с некоторой скоростью и, малой по сравнению со скоростью шарика v:
u/v« 1. При каждом отражении шарика от этой стенки будет изме¬
няться на противоположное направление скорость шарика и будет из¬
меняться модуль скорости. Для нахождения изменения скорости шари¬
ка при упругом отражении от движущейся стенки перейдем из системы
отсчета, в которой левая стенка покоится (так называемой лаборатор¬
ной системы отсчета), в систему отсчета, связанную с движущейся стен¬
кой. Эта система отсчета также будет инерциальной, поэтому законы
механики будут иметь в ней такой же вид, как и в исходной системе.
Во вновь введенной системе отсчета правая стенка неподвижна, поэто¬
му при упругом ударе проекция скорости шарика только меняет знак.
Следовательно, если до удара о стенку проекция скорости шарика в ла¬
бораторной системе отсчета была vx, а в системе, связанной с правой
стенкой она была vx — их, то после удара в этой системе она становится
равной — (у* — их) = их — vx. Соответственно в лабораторной системе от¬
счета после удара имеем
К =(«х-vx)+wx= 2их-ух. (3.14)
Так будет повторяться при каждом соударении шарика со стенкой.
Поэтому шарик будет постоянно разгоняться, если стенки сближаются
(их < 0), и замедляться, если стенки раздвигаются (их > 0). Пусть для оп¬
ределенности расстояние между стенками уменьшается. Тогда при каж¬
дом отражении от движущейся ему навстречу стенки шарик, в соответ¬
ствии с уравнением (3.14), увеличивает свою скорость на 2м, где м —
модуль скорости движения стенок относительно друг друга. После N та¬
ких столкновений скорость шарика станет равной
v' = v+2m7V. (3.15)
Если эти N соударений произошли за время At, то расстояние Г
между стенками за этот же промежуток времени станет равным
/' = / — uAt. (3.16)
Если за время At расстояние между стенками / изменилось незначи¬
тельно т. е. /—/'<</, то N и At связаны приближенным соотношением
A t=%N, (3.17)
поскольку 2l/v равно времени между двумя последовательными столк¬
новениями шарика с движущейся стенкой. Подставляя из (3.17) At в
(3.16) и перемножая почленно равенства выражений (3.15) и (3.16), при¬
ходим к соотношению
IV =/v
1-1 2f iV
(3.18)
79
В то же время соотношения (3.15) и (3.16) можно записать в виде
v' = vfl+2*jv), /'=/fl-2fyv\ (3.19)
Отсюда следует, что относительное уменьшение расстояния между
стенками сопровождается таким же относительным увеличением скоро¬
сти шарика. При этом, как видно из (3.18), произведение скорости ша¬
рика на расстояние между стенками остается практически постоянным
(с точностью до квадрата величины 2^N):
/V = /v. (3.20)
Это и есть адиабатический инвариант
рассматриваемой системы. Ему можно при¬
дать наглядный геометрический смысл. Легко
видеть, что произведение 2/v равно площади
на фазовой плоскости, ограниченной замкну¬
той фазовой траекторией рассматриваемого
движения. При сближении стенок прямо¬
угольник на рис. 3.5 меняет свои пропорции,
но его площадь остается приблизительно по¬
стоянной.
Для произвольной механической системы
с одной степенью свободы, фазовая траекто¬
рия которой представляет собой замкнутую
кривую, ограниченная этой траекторией пло¬
щадь на фазовой плоскости будет адиабатиче¬
ским инвариантом, если будет выполнено указанное выше условие
TJT2 << 1, обеспечивающее адиабатичность изменения параметров сис¬
темы: параметры должны изменяться медленно в масштабе характерно¬
го для системы времени Г,, например, периода движения. Если медлен¬
но движущуюся стенку в рассматриваемой системе перед каждым
столкновением с шариком останавливать на короткое время, то никако¬
го адиабатического инварианта уже не будет. Здесь характерное время
изменения параметра системы оказывается таким же, как и период дви¬
жения шарика.
Вопрос оценки точности, с которой сохраняется адиабатический
инвариант, например формула (3.20), не так прост, как может показать¬
ся на первый взгляд. Пока второе слагаемое в скобках в выражении
(3.18) много меньше единицы, точность инварианта определяется от¬
брасываемыми квадратичными членами, которые не учитывались уже в
соотношении (3.17). Но даже тогда, когда j^2^yvj уже нельзя считать
малым по сравнению с единицей, адиабатический инвариант lv сохра¬
няется с точностью, значительно превышающей ту, которую можно
ожидать на основании формулы (3.18).
Рис. 3.5. Неизменность пло¬
щади, охватываемой фазовой
траекторией, при медленном
изменении расстояния между
стенками
80
Как находить адиабатические инварианты в общем случае и как оп¬
ределять точность, с которой они сохраняются, — эти вопросы относят¬
ся к одной из красивейших и еще далеко незавершенных областей фи¬
зики — физике нелинейных явлений. С адиабатическими инвариантами
связано очень много важных результатов как в классической, так и в
квантовой физике.
§ 3.4. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Относительный характер механического движения проявляется в за¬
висимости его характера от выбора системы отсчета. Конкретный выбор
системы отсчета определяется соображениями удобства: ее следует вы¬
бирать так, чтобы изучаемое движение и его закономерности выглядели
как можно проще. Наиболее простой вид законы движения имеют в
инерциальных системах отсчета.
На практике часто приходится переходить от одной системы отсчета
к другой. Для этого необходимо знать, какие характеристики движения
при этом остаются неизменными, а какие при таком переходе изменя¬
ются и каким именно образом.
Рассмотрим временные характеристики движения. Опыт показыва¬
ет, что для нерелятивистских движений, происходящих со скоростями,
малыми по сравнению со скоростью света в вакууме, время течет оди¬
наково во всех системах отсчета, как инерциальных, так и неинерциаль-
ных. В этом смысле время может считаться абсолютным: промежуток
времени между двумя данными событиями одинаков при его измерении в
любой системе отсчета.
Перейдем к пространственным характеристикам движения. Поло¬
жение частицы, задаваемое ее радиус-вектором г, изменяется при пере¬
ходе от одной системы отсчета к другой. Однако относительное про¬
странственное расположение двух событий при этом не изменяется и в
этом смысле является абсолютным. В частности, от выбора системы от¬
счета не зависит относительное расположение двух частиц в какой-либо
один момент времени, задаваемое разностью радиус-векторов частиц
r2(t) — г,(0- Не зависят от выбора системы отсчета пространственные
размеры твердых тел и т. п.
Итак, согласно представлениям нерелятивистской физики проме¬
жутки времени и пространственные расстояния между одновременны¬
ми событиями абсолютны.
Как видно в гл. 4, при рассмотрении основ специальной теории от¬
носительности эти представления справедливы лишь для сравнительно
медленных движений. При движении со скоростями, сравнимыми со
скоростью света, эти представления претерпевают существенные изме¬
нения.
Продолжим рассмотрение для нерелятивистского случая и выясним,
как изменяется скорость движения частицы при переходе от одной сис¬
темы отсчета к другой, движущейся относительно первой и не обяза¬
тельно являющейся инерциальной. Этот вопрос тесно связан с принци¬
6 - 3840
81
пом независимости перемещений, согласно которому результирующее
перемещение тела в какой-либо системе отсчета Дг равно векторной
сумме его перемещения в другой системе отсчета Дг' и перемещения
второй системы отсчета AR относительно первой. Например, Дг — пере¬
мещение пассажира, находящегося на палубе парома, относительно бе¬
рега, Дг' — перемещение пассажира по палубе, а ДЛ — перемещение па¬
рома относительно берега за то же время Д/. Итак,
Разделив равенство (2.63) почленно на время At и перейдя к пределу
при At -э 0, получим соотношение для скоростей:
где v = dr/dt — скорость пассажира относительно берега; v' = dr1/dt —
скорость пассажира относительно парома; V = dR/dt — скорость парома
относительно Земли.
Равенство (3.22) — это правило сложения скоростей при одновремен¬
ном участии тела в двух движениях. Как ясно из приведенных рассужде¬
ний, это равенство можно трактовать как закон преобразования скоро¬
сти тела при переходе от одной системы отсчета к другой. Выражаемый
формулой (3.22) закон преобразования скорости справедлив только в
нерелятивистском случае, поскольку при его выводе промежуток време¬
ни At считался одинаковым во всех системах отсчета.
Из выражения (3.22) следует, что относительная скорость двух час¬
тиц одинакова во всех системах отсчета. Действительно при переходе к
новой системе отсчета к скорости каждой из частиц прибавляется один
и тот же вектор V скорости системы отсчета, поэтому разность v2 — v,
векторов скоростей частиц при этом не изменяется:
Равенство (3.23) означает, что относительная скорость частиц абсо¬
лютна.
Ускорение частицы в общем случае зависит от системы отсчета, в
которой рассматривается ее движение. Однако в случае, когда одна сис¬
тема отсчета движется равномерно и прямолинейно относительно другой,
ускорение частицы одинаково в обеих системах отсчета. Этот вывод
сразу следует из формулы (3.22) при V = const. Одинаковыми будут в
таких системах отсчета и значения действующих сил.
Во всех рассуждениях этого раздела не предполагалась инерциаль-
ность систем отсчета. Поэтому и приведенные выше выражения и пра¬
вила справедливы во всех системах отсчета. Теперь остановимся под¬
робнее на случае, когда используются инерциальные системы отсчета,
в которых выполняются законы динамики Ньютона.
Прежде всего отметим, что инерциальных систем отсчета много.
Если найдена хоть одна инерциальная система отсчета, то любая другая
Дг = AR + Дг'.
(3.21)
v = V + v',
(3.22)
(3.23)
82
система, движущаяся относительно первой равномерно и прямолиней¬
но, также будет инерциальной. Впервые это обстоятельство было осоз¬
нано Г. Галилеем еще до открытия законов динамики И. Ньютоном.
В своей книге «Диалоги о двух системах мира — птолемеевой и копер¬
никовой» Г. Галилей описывает различные механические опыты, про¬
водимые в закрытой каюте корабля, из которых следует вывод о том,
что все явления происходят одинаково, независимо от того, покоится
корабль или движется равномерно и прямолинейно. Ни по одному из
происходящих механических явлений не удастся установить, не выгля¬
дывая наружу из корабля, движется ли корабль с постоянной скоростью
v или по-прежнему стоит на месте. Итак, находясь в закрытой каюте, с
помощью механических опытов, даже производимых с точнейшими
приборами, невозможно определить, стоит ли корабль или движется с
постоянной скоростью. Иначе говоря, все механические явления проте¬
кают одинаково во всех инерциальных системах отсчета в том смысле,
что одинаковы описывающие их законы движения. Поэтому все инер-
циальные системы отсчета эквивалентны, т. е. равноправны. Утвержде¬
ние об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в механике
составляет содержание принципа относительности Галилея.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что явления могут выгля¬
деть по-разному в различных инерциальных системах отсчета. Напри¬
мер, траектория мячика, который подбрасывает вверх и ловит находя¬
щийся в движущемся вагоне мальчик, представляется ему отрезком
прямой линии, в то время как для наблюдателя на платформе станции
этот мячик движется по параболе. Слова, что движение мячика проте¬
кает одинаково в разных инерциальных системах отсчета, означают, что
уравнения второго закона Ньютона в обеих описанных системах отсчета
имеют одинаковый вид
Получающееся из (3.24) выражение для скорости мячика имеет
один и тот же вид в обеих системах:
В выражениях (3.24)—(3.26) некоторые из входящих величин абсо¬
лютны, т. е. имеют одинаковые значения во всех инерциальных систе¬
мах отсчета, а другие — изменяются при переходе от одной системы от¬
счета к другой. К неизменным величинам относятся время движения /,
масса т, действующая сила тяжести mg, ускорение g. Величины, имею¬
щие разные значения в зависимости от используемой системы отсче¬
та, — это г, r0, v и v0. При переходе от одной системы отсчета к другой
они преобразуются по формулам (3.21), (3.22).
(3.24)
v = v0 + g t.
Одинаковое выражение получается и для радиуса-вектора:
г = r„ + V + g?2/2.
(3.25)
(3.26)
б*
83
Итак, мячик движется с одинаковым ускорением g в обеих системах
отсчета. Начальная скорость мячика v0 будет разной: в системе отсчета,
связанной с двигающимся вагоном, вектор v„ направлен вертикально
вверх. Из формулы (3.25) следует, что в любой момент времени t ско¬
рость v также направлена по вертикали. Из выражения (3.26) при этом
следует, что относительно вагона траектория мячика представляет со¬
бой отрезок прямой. В этой системе отсчета, движущейся относительно
поверхности Земли, движение мячика описывается уравнениями, в ко¬
торые скорость вагона вообще не входит. Поэтому мячик будет двигать¬
ся одинаково как в неподвижном, так и в движущемся с постоянной
скоростью вагоне.
С точки зрения наблюдателя, стоящего на платформе, начальная
скорость подбрасываемого мячика уже не направлена вертикально —
она равна векторной сумме вертикальной начальной скорости мячика
относительно вагона и горизонтальной скорости вагона. Начальная ско¬
рость направлена под углом к горизонту, и мячик летит по параболе.
В этой системе отсчета мальчик также движется горизонтально со ско¬
ростью вагона, поэтому, проделав путь по параболе, мячик опускается в
руки мальчика.
Подведем итоги. В разных инерциальных системах отсчета эволюция
начального механического состояния происходит по одним и тем же за¬
конам. И только различие начальных условий приводит к тому, что одно
и го же механическое движение выглядит по-разному в различных инер¬
циальных системах отсчета. В случаях, когда начальные условия совпада¬
ют, вся картина движения выглядит совершенно одинаково.
Правила перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой
получили название преобразований Галилея. Фактически они были уста¬
новлены и уже использованы выше. Сформулируем их теперь в приня¬
том стандартном виде, наиболее удобном для сравнения с соответст¬
вующими преобразованиями в специальной теории относительности.
Рассмотрим инерциальную систему отсчета и введем связанную с
ней систему координат х, у, z■ Например, это может быть система отсче¬
та, связанная с Землей, как показано на рис. 3.6. Введем другую инер-
84
циальную систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно
относительно первой со скоростью V, направленной вдоль оси х, и свя¬
жем с этой системой отсчета систему координат х', у', t с осями, парал¬
лельными соответствующим осям системы х, у, z■ На рис. 3.6 эта сис¬
тема связана с кораблем, движущимся с постоянной скоростью.
Предположим, что наблюдатели, находящиеся на Земле и на ко¬
рабле, следят за движением яхты. Координаты и время, измеренные
наблюдателем, находящимся на Земле, будем обозначать как х, у, z, t,
а соответствующие величины, измеренные наблюдателем, находящим¬
ся на корабле, — х\ у', z', f. Как будут связаны между собой эти вели¬
чины?
Учитывая абсолютный характер времени в нерелятивистской физи¬
ке, а также предполагая, что часы в системе отсчета, связанной с бере¬
гом, и в системе отсчета, связанной с кораблем, синхронизированы в
начальный момент времени, получим
Теперь рассмотрим преобразование пространственных координат.
Как видно из рис. 3.6, г — радиус-вектор яхты в системе отсчета, свя¬
занной с землей; г' — ее радиус-вектор в системе, связанной с кораб¬
лем; R — радиус-вектор корабля в системе, связанной с землей, удовле¬
творяют соотношению
Радиус-вектор корабля R совпадает с перемещением корабля отно¬
сительно берега, если в начальный момент времени t = 0 совпадают на¬
чала О и О' обеих систем координат (рис. 3.7):
Подчеркнем, что в выражении (3.29) V — это скорость корабля относи¬
тельно берега, направленная вдоль оси х, и в то же время — это ско¬
рость движения системы отсчета, связанной с кораблем, относительно
системы отсчета, связанной с берегом.
Объединяя выражения (3.28) и (3.29), получаем
Г = t.
(3.27)
г = г' + R.
(3.28)
(3.29)
г = г' + V/. (3.30)
Переписав это равенство в виде
г' = г — \t, запишем его в виде проекций
(3.31)
х
X'
Совокупность равенств (3.27) и
(3.31) носит название преобразований
Рис. 3.7. К формуле (3.29)
85
Галилея. Эти преобразования отражают абсолютный характер проме¬
жутков времени и расстояний между заданными событиями в классиче¬
ской нерелятивистской физике. Из преобразований Галилея следует
уже известное нам соотношение (3.22) преобразования скорости:
»'=$=$=-S<r-V/) = $-V=v-V, т.е. v' = v — V. (3.32)
В проекциях это равенство с учетом того, что скорость V направлена
по оси х, выглядит так:
v'x=vx-V,
v;=V (3.33)
Из соотношений (2.74) и (2.75) следует уже известный факт относи¬
тельно ускорений:
г _ Ат _ rfvj __4_/v _ya _ 4v _ rfV _ _ _ 4V n эдл
3 " dt'~ dt ~ dt(y y)~ dt dt -a dt ‘ . .
Из формулы (3.34) видно, что ускорения а' и а одинаковы в инерциаль¬
ных системах отсчета, поскольку в этом случае dV/dt = 0. Ускорения в
системах отсчета, движущихся ускоренно друг относительно друга, от¬
личаются на dV/dt.
Относительный характер механического движения можно очень эф¬
фективно использовать при решении задач (см. задачи к гл. 2). В кине¬
матике, где движение задано, можно использовать различные как инер-
циальные, так и неинерциальные системы отсчета.
§ 3.5. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
В физике получил развитие и широкое применение метод анализа
явлений природы на основе использования размерностей физических
величин — метод анализа размерностей. Познакомимся с основами это¬
го метода.
Физические величины, численное значение которых не зависит от
выбранного масштаба единиц, называются безразмерными. Примерами
безразмерных величин являются угол — отношение длины дуги к радиу¬
су, показатель преломления вещества — отношение скорости света в ва¬
кууме к скорости света в веществе и т. д. Физические величины, изме¬
няющие свое численное значение при изменении масштаба единиц,
называются размерными. Примеры размерных величин — длина, время,
сила и т. д. Размерностью физической величины (или формулой размер¬
ности) называется выражение единицы этой величины через основные
единицы. Например, размерность силы в системах СИ и СГС выража¬
ется формулой
dim F^[F\ = MLT-1. (3.35)
86
Соображения размерности — одинаковость размерностей левых и
правых частей любых формул и уравнений, как и одинаковость размер¬
ностей отдельных слагаемых в этих уравнениях, — можно использовать
для вывода формул и уравнений, когда известно, от каких физичес¬
ких параметров может зависеть искомая величина. Рассмотрим кон¬
кретные примеры использования метода анализа размерностей. Начнем
с очень простой задачи, ответ для которой очень хорошо известен: с ка¬
кой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной
скорости с высоты И, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?
Очевидно, что она должна зависеть от высоты Л и от ускорения свобод¬
ного падения g. Следуя Аристотелю, можно предположить, что она за¬
висит и от массы т. Складывать можно только величины одинаковой
размерности, поэтому для искомой скорости можно предложить такую
формулу:
v = Ch*gymz, (3.36)
где С — некоторый численный, т. е. безразмерный, коэффициент; х, у и
Z — неизвестные числа, подлежащие определению.
Размерности левой и правой частей равенства (3.36) должны быть
одинаковыми. Поэтому, учитывая явные выражения для размерностей
всех фигурирующих в выражении (3.26) физических величин, приходим
к следующему равенству размерностей:
LT-1 = Lx(LT~2y.Mz. (3.37)
Это равенство должно выполняться тождественно, независимо от
численных значений h,gvim. Этого можно добиться приравнивая пока¬
затели степеней при L, М, Т в левой и правой частях равенства (3.37).
В результате приходим к системе уравнений
L: 1 = х + у\
Т:-1=-2у, (3.38)
M:0 = z-
Решая эту систему, находим х = 1/2, у = 1/2, z — 0, после чего фор¬
мула переписывается в виде
v=Chu2g],2m° = Cjgh.
Как известно, истинное значение скорости равно ^2gh, поэтому
С = л/2. Итак, использованный, подход не дал возможности найти чис¬
ленный коэффициент, но позволил найти вид функциональной зависи¬
мости скорости v от я, Л и т.
Использование метода анализа размерностей подразумевает в пер¬
вую очередь выявление всех параметров, от которых может зависеть
изучаемое явление. В целом ряде случаев, опираясь на данные экспери¬
мента или определенные аналогии и эвристические соображения, мож¬
87
но указать определяющие явление параметры даже тогда, когда неиз¬
вестны описывающие это явление законы природы.
Если число параметров, определяющих изучаемое явление или про¬
цесс, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная
система единиц, то все показатели степеней в формуле для искомой ве¬
личины, которая имеет структуру, аналогичную формуле (3.37), не мо¬
гут быть определены. В этом случае целесообразно прежде всего опре¬
делить все независимые безразмерные комбинации из фигурирующих
параметров. Тогда искомая величина будет определяться не формулой
типа (3.37), а произведением какой-либо комбинации параметров,
имеющих размерность искомой величины, на некоторую функцию най¬
денных безразмерных параметров.
Рассмотрим соответствующий пример. Требуется определить даль¬
ность горизонтального полета снаряда, выпущенного в горизонтальном
направлении с начальной скоростью v из орудия, находящегося на горе
высотой А.
В пренебрежении сопротивлением воздуха параметрами, от кото¬
рых может зависеть искомая дальность, будут h, v и g. Найдем все
независимые безразмерные параметры у, которые можно составить из
Л, v и я:
у = hxv?gl. (3.39)
Этому выражению соответствует равенство размерностей:
1 = Lx(LT-'y(LT~2y,
с помощью которого приходим к системе уравнений для х, у и z-
L:0 = x + y + z,
* (3.40)
T:0 = -y-2z.
Из (3.40) следует, что у = —2z, х — z- Теперь (3.39) переписывается в
виде
у = (gh/v2)z.
Видно, что единственный независимый безразмерный параметр в
рассматриваемой системе — это
у = hg/v2. (3.41)
Теперь для дальности полета S можно записать такую формулу:
S = h<p(v2/hg), (3.42)
где ф — некоторая неизвестная пока функция параметра у.
В изложенном варианте метод анализа размерностей не позволяет
найти эту функцию. Однако если из опыта или из каких-либо сообра¬
88
жений известно, что искомая дальность пропорциональна горизонталь¬
ной скорости снаряда, то функция ср немедленно определяется (разуме¬
ется, с точностью до численного множителя): скорость v должна
входить в нее множителем первой степени. Итак, в этом случае
4>(v2/gh)=c(v/Jgh). (3.43)
Теперь с помощью формулы (3.42) для дальности полета S получаем
S = c{hv/B[gh)=cvJh/g, (3.44)
причем при с = л/2 формула (3.44) совпадает с точным результатом.
Итак, изложенный способ использования метода анализа размерно¬
стей позволяет устанавливать на опыте зависимость искомой физиче¬
ской величины (дальности полета) только от одного из фигурирующих
исходных параметров, после чего функция <р определяется с точностью
до численного множителя и устанавливать на опыте зависимость S от
двух оставшихся параметров нет необходимости.
Но можно видоизменить рассуждения таким образом, чтобы опре¬
делить дальность полета исключительно из соображений размерности,
без обращения к эксперименту. Для этого нужно увеличить число ос¬
новных единиц, через которые выражается размерность фигурирующих
параметров. Здесь при записи формул размерностей не делали различия
между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направле¬
ниях. Однако такое различие можно ввести, основываясь на неэквива¬
лентности вертикального и горизонтального направлений — сила тяже¬
сти действует только по вертикали.
Обозначив размерность длины по горизонтали через L„ а по верти¬
кали — через £„, получим, что размерность S есть Ln размерность высо¬
ты h есть L„ размерность горизонтальной скорости есть L<T~\ а размер¬
ность ускорения свободного падения g, есть LBT~2. Теперь формула
S~ cvxgyhl приводит к равенству размерностей
Lr=(LrT-'r(LBT-2VLzB. (3.45)
Теперь, даже не выписывая системы уравнений, видно, что х = 1,
у = —1/2, z = 1/2. Первое равенство следует из того факта, что Lr встре¬
чается в правой части выражения (3.45) только один раз; второе равен¬
ство есть условие сокращения Т в правой части выражения (3.45), ибо
его нет в левой части. Третье равенство соответствует сокращению
С учетом найденных значений х, у и z формула для дальности полета S
принимает вид S = cvjh/g, что. совпадает с (3.44).
Использование разных единиц длины во взаимно перпендикуляр¬
ных направлениях, различающихся по своим физическим свойствам,
соответствует так называемому методу векторных единиц длины. Как
будет видно при изучении гидродинамики, этот метод оказывается
очень эффективным при исследовании весьма сложных физических яв¬
лений.
89
При использовании метода анализа размерностей полезно развить
навыки определения неизвестных показателей степеней до такого уров¬
ня, чтобы не выписывать в явном виде соответствующую систему урав¬
нений, а подбирать их непосредственно, как это было сделано при ис¬
следовании соотношения (3.45).
Рассмотрим еще один пример. Под каким углом к горизонту следует
бросать камень, чтобы дальность полета по горизонтали была макси¬
мальной? На первый взгляд может показаться, что метод анализа раз¬
мерностей в задачах подобного типа не эффективен, ибо в ответ должна
входить какая-то тригонометрическая функция угла бросания. Однако
использование векторных единиц длины позволяет провести необходи¬
мое исследование.
Дальность полета камня по горизонтали зависит от горизонтальной
составляющей начальной скорости vr, размерность которой есть LrT~\
вертикальной составляющей vB с размерностью LBT~X, ускорения сво¬
бодного падения g с размерностью LBT~2. Размерность искомой дально¬
сти S — это Lr, поэтому сразу ясно, что масса т в ответ входить не мо¬
жет, так как М отсутствует в размерностях всех остальных параметров.
Ясно, что скорость vr должна входить в ответ в первой степени, так как
Lr присутствует только в размерностях S и vr. Но теперь в размерности
получающегося выражения для S появилось время Г, которое можно
сократить только введением в это выражение или vr, или g, или их ком¬
бинации. Это должна быть непременно комбинация vjg, так как имен¬
но в этом случае сократится не только Т, но и LB, которая отсутствует в
размерности S. Таким образом, приходим к выражению
S = cV'Vjg. (3.46)
Поскольку vr = v0cosa, а v„ = v„sina, то соотношение (3.46) приводит
к следующей зависимости дальности полета S от угла бросания а:
S=c?lg2a. (3 47)
Отсюда следует, что максимальная дальность полета при задан¬
ном значении начальной скорости v0 получается при sin2a = 1, т. е. при
a = тт/4.
Метод анализа размерностей является очень эффективным мето¬
дом исследования физических явлений, причем его эффективность
сильно зависит от общей физической эрудиции исследователя. Вели¬
кий Э. Ферми утверждал, что действительно понимающие природу
того или иного явления должны уметь получать основные соотноше¬
ния из соображений размерности. Особенно полезен этот метод тогда,
когда требуется установить характер зависимости интересующей физи¬
ческой величины от какого-либо из параметров, например выяснить,
во сколько раз она изменится, если этот параметр изменить в заданное
число раз.
90
Задачи к главе 3
Задача 3.1. Две автомобильные дороги пересекаются под прямым
углом (рис. 3.8). Движущийся по одной из них со скоростью V, автомо¬
биль А находится на расстоянии d от перекрестка в тот момент, когда
перекресток пересекает автомобиль В, движущийся со скоростью v2 по
другой дороге. В какой момент времени расстояние между автомобиля¬
ми по прямой будет минимальным? Чему равно это минимальное рас¬
стояние? Где в этот момент времени находятся автомобили?
Решение. Решение этой задачи в исходной системе отсчета, свя¬
занной с Землей, связано с необходимостью проведения аналитических
преобразований. Действительно, расстояние /(/) между автомобилями в
момент времени t (см. рис. 3.8) дается выражением
I (0 = >/(у2 О2 +(/-v,/)2.
Теперь следует найти минимум этого выражения как функции вре¬
мени /, для этого следует приравнять нулю производную dl(t)/dt. Решив
получившееся уравнение, найдем момент времени соответствующий
минимальному расстоянию между автомобилями. Дальнейшие вычис¬
ления искомых величин уже не составят труда.
Задача решается значительно проще, если ввести систему отсчета,
связанную с одним из автомобилей, например со вторым (рис. 3.9).
В этой системе второй автомобиль неподвижен (v2 = 0), а скорость пер¬
вого vj равна его скорости относительно второго, т. е. разности V, и v2 :
v; =v, -v2.
В новой системе отсчета движение первого автомобиля относитель¬
но второго происходит по прямой АС, направленной вдоль вектора v'.
Рис. 3.8
41
Поэтому кратчайшее расстояние между автомобилями /min равно длине
перпендикуляра BD, опущенного из т. В на прямую АС. С помощью по¬
добных треугольников на рис. 3.9 имеем
Время сближения автомобилей до этого расстояния можно найти,
разделив длину катета AD на скорость v',:
Для нахождения положения автомобилей в момент их наибольшего
сближения нужно вернуться в исходную систему отсчета и найти пере¬
мещения автомобилей, движущихся со скоростями г, и v2, за время t.
Задача 3.2. При стрельбе по горизонтально движущейся цели необ¬
ходимо вводить некоторое боковое «упреждение», поскольку за время
полета пули цель успевает переместиться на некоторое расстояние.
Куда следует целиться при стрельбе по свободно падающей мишени,
если выстрел производится одновременно с началом ее падения?
Решение. Введем систему отсчета, связанную со свободно падаю¬
щей мишенью. В этой системе отсчета мишень неподвижна, а пуля ле¬
тит равномерно и прямолинейно со скоростью v0, приобретаемой в мо¬
мент выстрела. Сразу ясно, что целиться нужно точно в мишень,
причем этот факт не зависит от начальной скорости пули. Просто при
слишком малой скорости пули она может просто не успеть долететь до
мишени, пока последняя находится в свободном падении. Поэтому,
если мишень падает с высоты А, а начальное расстояние до нее по пря¬
мой равно /, то должно быть выполнено неравенство
откуда получается наименьшая допустимая начальная скорость пули
Задача 3.3. Лента горизонтально расположенного транспортера дви¬
жется со скоростью У. На ленту попадает кирпич, движущийся со ско¬
ростью v относительно Земли поперек ленты транспортера. При какой
ширине ленты кирпич достигнет ее противоположного края, если коэф¬
фициент трения скольжения кирпича по поверхности ленты равен ц?
Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, скорость кир¬
пича не остается постоянной ни по модулю, ни по направлению. Сила
трения скольжения направлена противоположно скорости кирпича от¬
носительно ленты. Это обстоятельство подсказывает идею перейти в
систему отсчета, связанную с движущейся лентой. Эта система отсчета
92
также будет инерциальной, так как скорость ленты относительно Земли
постоянна по условию задачи.
В системе отсчета, связанной с движущейся лентой, начальная ско
рость кирпича v'0 направлена под углом а к краю ленты, причем, как
видно из рис. 3.10,
tga = v/V, v'0 =Vv2+K2.
Сила трения в начальный момент направлена противоположно vj,.
Поскольку эта сила постоянна по модулю и направлению, то она может
привести только к уменьшению скорости v' кирпича относительно лен¬
ты и не будет менять ее направление. Итак, в этой системе отсчета кир¬
пич движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которо¬
го равен \ig. Пройденный кирпичом до остановки путь (относительно
ленты) дается выражением
< _ у2+У2
2 Hg 2|Д£
При этом поперек ленты кирпич переместится на расстояние
I = s sina.
Учитывая, что
sina - . ., = -r-^L=,
•/l+tg2a -jv2+y2
получаем
/ _ vJv2 + V2
2|Л?
Если ширина ленты транспортера больше найденного значения /, то
кирпич остановится, не дойдя до противоположного края ленты.
Траектория кирпича относительно Земли представляет собой отре¬
зок параболы, ось которой составляет угол а с краем ленты (рис. 3.11).
В начальной точке касательная к параболе направлена поперек ленты, а
Рис. 3.10. Система отсчета Рис. 3.11. Траектория кирпича
движущейся ленты относительно Земли
ЧЯ
в точке остановки — вдоль ленты. Дальше кирпич движется вместе с
лентой по прямой относительно Земли.
Задача 3.4. С какой силой давит на Землю кобра, когда она, гото¬
вясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоро¬
стью v? Масса змеи т, ее длина /.
Решение. В ответ могут входить величины т, /, v и постоянная g.
Составляя необходимые комбинации размерностей, получаем безраз¬
мерный параметр задачи Размерность силы составляется произведе¬
нием mg, поэтому
где безразмерная функция fix), очевидно, возрастающая (так как чем
больше скорость поднятия кобры, тем больше сила давления). С другой
стороны, в состоянии покоя F = mg, поэтому ДО) = 1. Точное решение:
fix) = 1 + х.
Задача 3.5. Найти частоту колебаний тонкого обруча массой т и ра¬
диуса R, подвешенного на гвозде. Колебания совершаются в плоскости
обруча без проскальзывания.
Решение. Из анализа размерностей очевидно, что в ответ войдут
только R и g, масса т должна быть исключена. Поэтому единственно
возможная комбинация
Отметим, что в большинстве физических задач на колебания безраз¬
мерные константы С довольно просты (несложные степени чисел 2 или
Зит. п.). Так, в нашей задаче С= 1/2.
Задача 3.6. Нарисовать фазовые кривые для частицы: 1) движущейся равномерно и
прямолинейно; 2) движущейся с постоянной угловой скоростью по окружности; 3) дви¬
жущейся равноускоренно вдоль прямой; 4) брошенной с начальной скоростью v0 под уг¬
лом а к горизонту (рассмотрите два случая — отсутствие сопротивление воздуха и силу
сопротивления, пропорциональную скорости движения тела).
Задача 3.7. Неподвижное ядро распалось на три осколка, разлетающихся в разные
стороны с одинаковыми скоростями. Угол между каждой парой скоростей 120°. Нарисо¬
вать скорости двух остальных осколков в системе отсчета, в которой один из осколков не¬
подвижен.
Задача 3.8. Шестеренка радиуса R помешена между двумя параллельными зубчатыми
рейками. Рейки движутся со скоростями v, и v2 навстречу друг другу. Какова частота вра¬
щения шестеренки? (и = (v, + у2)/2R)
Задача 3.9. Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка.
Определите максимально возможный угол а между скоростями одного из осколков и век¬
тором v, если при распаде покоящегося ядра осколки имели скорость и < v.
(а = arcsin(w/v))
Задачи для самостоятельного решения
94
Во всех задачах на метод анализа размерностей С полагается постоянной, не опреде¬
ляемой из метода анализа размерностей; в скобках для справки приводится ее точное зна¬
чение.
Задача 3.10. С какой скоростью (называемой первой космической) должен двигаться
по круговой орбите радиуса R спутник, если ускорение свободного падения составляет,??
lv = c*JgR (С= 1)]
Задача 3.11. Электроны, движущиеся по окружности любого радиуса вокруг заря¬
женной нити, имеют одну и ту же скорость v. Масса электрона те. Как зависит сила,
действующая на электрон со стороны нити, от расстояния г между электроном и нитью?
т у-
\F=C=f-{C= 1)]
Задача 3.12. Два шарика массы т каждый, связанные нитью длины /, движутся со
скоростью v по горизонтальному столу. Нить не провисает, направление скорости пер¬
пендикулярно нити. Середина нити налетает на гвоздь. Найти силу натяжения нити в по¬
следующий момент. [Г = С (С = 2)]
Задача 3.13. Три звезды массы т каждая расположены в вершинах равностороннего
треугольника со стороной I и вращаются вокруг их общего центра симметрии. Найти уг¬
ловую скорость вращения. [» = CJyy- (С = л/3)]
Задача 3.14. Груз массы т, подвешенный на нити длины /, отклонили на расстояние г
от точкидзавновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? [Масса т не входит.
v = -y/g7/^yj, где/ — возрастающая функция (точное решение v-r^yj)]
Задача 3.15. Определить зависимость потенциальной энергии математического маят¬
ника длины I и массы т (нить подвеса невесома и нерастяжима) от малого отклонения от
tt1S£X~
положения равновесия х (х « /). Используйте векторные размерности. [г = С ——
(C = J-)I
Задача 3.16. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепили груз
массы т. Радиус колеса R, а масса колеса М однородно распределена по ободу. Найти час¬
тоту колебаний <о. [со - J4/ ~ (точное решение /(х) = 1 + *)]
' R \М ) х
Задача 3.17. Стержень массы т, длины I и сечения 5 тянут за один конец в продоль¬
ном направлении с ускорением а. Модуль Юнга материала, из которого изготовлен стер¬
жень, равен Е, колебаний в стержне нет. Насколько удлинится стержень? Используйте
векторные размерности. [Д/ = С (С - зг)1
ES 2
Задача 3.18. Определить скорость волн, длина которых много больше глубины водо¬
ема h (волны на мелкой воде). Амплитуды волн малы по сравнению с И. (v=C'Jgh. где
С- 1).
Задача 3.19. В жидкости плотностью р образовалась сферическая полость радиуса R.
Давление в жидкости р. Определите скорость изменения границы полости в момент, ко¬
гда ее радиус уменьшился до г. [v= /—/f — \ точное решение /(x) = ,l-(x3 - 1)]
VP \г ) V3
Задача 3.20. Найти давление на расстоянии г от центра жидкой планеты радиуса R и
плотности р (г < R). \р = ур2Л2/1 у I, точное решение /(х) = -у( 1-х2)]
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое физическая модель? Чем на Ваш взгляд методы построения моделей в
физике отличаются от таковых в математике, химии, биологии?
2. Как доказать, что результат векторного сложения перемещений не зависит от по¬
следовательности сложения?
3. Почему при равномерном криволинейном движении вектор ускорения в каждой
точке направлен перпендикулярно траектории?
4. Докажите, что при наличии трения обратимость движения отсутствует,
5. Является ли инерциальной (и с какой точностью) геоцентрическая система отсче¬
та? Гелиоцентрическая система отсчета? Как оценить эту точность?
6. Возможна ли экспериментальная проверка ньютоновских законов классической
динамики?
7. Водитель, желая срочно затормозить автомобиль, блокирует колеса и резко нажи¬
мает педаль тормоза. Уменьшает ли он этим тормозной путь?
8. Справедливы ли законы Кеплера для планеты, движущейся в неевклидовом про¬
странстве?
9. Как найти массу планеты по наблюдениям за движением ее спутников?
10. Почему в набор величин, определяющих собственное состояние частицы, не вхо¬
дит ее ускорение?
11. Каково минимальное число независимых основных единиц измерения, необходи¬
мых для построения системы единиц?
12. Вообразите мир, в котором сила, действующая на тело, была бы пропорциональна
его скорости, а не ускорению. Как изменились бы тогда законы динамики?
13. Зависит ли результат метода анализа размерностей от выбора системы единиц
(СИ, СГС)?
14. В физике иногда используется система единиц, в которой скорость света , посто¬
янная Планка h = 1 и постоянная Больцмана к = 1. Можно ли использовать в ней метод
анализа размерностей?
15. Какие величины, по вашему мнению, удобней использовать при численном реше¬
нии задач на компьютерах — размерные или безразмерные?
Описание программного обеспечения по теме
«Основы классической механики»
Виртуальный практикум по физике
(Ю.В. Тихомиров)
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/ME/2000;
• ПЭВМ типа IBM PC 386SX;
• 4МВ ОЗУ;
• наличие CD-ROM;
• 5МВ жесткого диска;
• звуковая карта, SVGA 800x600;
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
2. Назначение программы и ее возможности
Виртуальный практикум по физике — новейший способ проведения лабораторных ра¬
бот по курсу «Общая физика» для вузов и втузов. Он расположен на сайте:
http://www.physicon.ru/products/products 12.html
96
Состоит из методического пособия и сетевой версии образовательной программы
«Открытая Физика 1.1». Виртуальный практикум может использоваться для проведения
лабораторных работ. Так, первый раздел (механика) включает пять лабораторных работ.
Среди них:
Лабораторная работа 1.1. Движение с постоянным ускорением.
Цель работы:
• знакомство с физической моделью МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА (КОРПУСКУЛА);
• исследование движения МТ с постоянным ускорением;
• экспериментальное определение ускорения свободного падения на поверхности
Земли.
Лабораторная работа 1.2. Движение под действием постоянной силы.
Цель работы:
• выбор физической модели для анализа движения тела;
• исследование движения тела под действием постоянной силы;
• определение массы тела.
Компьютерные модели, входящие в программу «Открытая Физика 1.1», являются на¬
глядным представлением численных экспериментов, прекрасно дополняют реальные фи¬
зические эксперименты и помогают более глубоко усвоить суть физических процессов.
В некоторых случаях виртуальный практикум по физике — единственная возможность
проведения лабораторных работ.
7 - 3840
РАЗДЕЛ II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Глава 4. ИМПУЛЬС ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ
ЧАСТИЦ
/////////л
Рис. 4Л. Опыт,
и лл юстри ру ю щи й
инертность
§ 4.1. ИМПУЛЬС. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Во втором законе Ньютона фигурирует ускоре¬
ние, сообщаемое частице действующими на нее си¬
лами. Между тем механическое движение наглядно
воспринимается через скорость. Именно на языке
этой физической характеристики движения естест¬
венно объясняются результаты некоторых опытов.
Например, подвесив на тонкой нити массивное
тело и привязав снизу еще одну такую же нить,
можно оборвать именно нижнюю нить, если резко
дернем ее вниз. Если же медленно потянуть ее
вниз, постепенно увеличивая усилие, то оборвется
верхняя нить, что естественно, так как ее сила на¬
тяжения обусловлена как приложенной внешней
силой, так и весом подвешенного тела (рис. 4.1).
Обрыв верхней нити происходит только тогда,
когда ее удлинение достигает определенной вели¬
чины. Чтобы верхняя нить растянулась, груз дол¬
жен переместиться вниз на такое же расстояние.
Но это не может произойти мгновенно, для изме¬
нения скорости массивного тела требуется некоторое время, которого
как раз и не хватает при резком рывке за нижнюю нить.
Физическая характеристика движения, зависящая от скорости тела,
а не от его ускорения, естественно возникает при интегрировании по
времени второго закона Ньютона, записанного в виде
F.
(4.1)
Обозначая через v0 скорость частицы в момент времени t0, а через v —
ее скорость в момент времени /, получим с помощью выражения (4.1)
т\ -ту г
(4.2)
98
Величина р = т\ называется импульсом частицы. Стоящий в правой
части уравнения (4.2) интеграл получил название импульса силы. На
этом языке соотношение (4.2) означает, что изменение импульса части¬
цы за промежуток времени t — /„ равно импульсу равнодействующей
всех действующих на частицу сил за это же время. По существу, равен¬
ство (4.2) представляет собой другую интегральную формулировку вто¬
рого закона Ньютона. Однако фигурирующая здесь физическая величи¬
на, характеризующая механическое движение частицы, выражается
через ее скорость, а не через ускорение, которое в явном виде уже не
фигурирует в выражаемом соотношением (4.2) физическом законе.
Этот закон называется законом изменения импульса материальной
точки. Если импульс силы равен нулю, то импульс материальной точ¬
ки сохраняется. В этом случае закон называется законом сохранения
импульса.
В применении к одной частице закон изменения импульса не со¬
держит новых физических результатов, позволяя только проводить
рассуждения на несколько ином языке. Понятие импульса становится
особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимо¬
действующих между собой и с другими окружающими телами частиц.
Полным импульсом Р системы N частиц называется векторная сум¬
ма импульсов всех отдельных частиц в один и тот же момент времени:
Для нахождения полного импульса рассматриваемой системы час¬
тиц разобьем силы, действующие на каждую из N частиц, на две груп¬
пы — внутренние и внешние. Внутренняя сила — это сила, с кото¬
рой i-я частица действует на к-ю. Внешняя сила Fi — это сила, с
которой действуют на /-ю частицу все другие тела, не входящие в рас¬
сматриваемую систему.
Для каждой из частиц системы справедливо
Сложим почленно уравнения, входящие в систему (4.4). В левой части
получившегося равенства вследствие уравнения (4.3) стоит скорость
изменения полного импульса рассматриваемой системы частиц dP/dt.
В правой части обратится в нуль сумма всех слагаемых, содержащих
внутренние силы. Действительно, вследствие третьего закона Ньютона
справедливо
§ 4.2. ИМПУЛЬС СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
(4.3)
(4.4)
к = \
k*i
7*
99
F« F*,.
(4.5)
При сложении уравнений (4.4) в правой части будут присутствовать
только пары внутренних сил вида Flk + Fw, сумма которых обратится в
нуль в силу (4.5). В результате приходим к равенству
Скорость изменения полного импульса системы частиц равна сумме
внешних сил, действующих на все частицы. Уравнение (4.6) относится к
определенному моменту времени. Интегрируя это равенство по времени
от t0 = 0 до t и обозначая импульс системы при t0 = 0 через Р0, а импульс
в момент времени / — через Р, приходим к равенству
Это равенство означает, что изменение полного импульса системы
взаимодействующих частиц за некоторый промежуток времени равно
векторной сумме импульсов внешних сил за этот промежуток.
Рассмотрим сначала конкретный пример использования понятия
импульса при рассмотрении механических явлений, сравнивая этот
подход с подходом, основанным на непосредственном использовании
уравнений динамики. Выясним, с какой скоростью будут двигаться сце¬
пившиеся вагоны, если один из них, массы ти движущийся со скоро¬
стью v0, сталкивается с неподвижным вагоном массы тг, в результате
чего происходит их сцепка.
При динамическом подходе к решению этой задачи необходимо за¬
даваться какой-то конкретной моделью взаимодействия вагонов при их
столкновении. В простейшем, совершенно искусственном предположе¬
нии о постоянстве силы взаимодействия вагонов в процессе сцепки с
помощью второго закона Ньютона получаем следующие выражения
для скоростей каждого из вагонов v, и v2 после сцепки:
Сцепка заканчивается спустя время т, когда скорости вагонов ста¬
новятся одинаковыми
Выражая отсюда т и подставляя полученное выражение в любую из
формул (4.8), получаем для скорости v вагонов после сцепки:
(4.6)
(4.7)
(4.10)
100
Использование более реалистических моделей взаимодействия ваго¬
нов при сцепке приводит в рамках динамического подхода к более гро¬
моздким расчетам. В действительности скорость вагонов после сцепки
не зависит от характера их взаимодействия в процессе сцепки. Именно
к этому результату приводит использование закона изменения импульса
системы тел в формуле (4.7).
Поскольку по предположению внешние силы в горизонтальном на¬
правлении не действуют, то сумма внешних сил вдоль горизонтального
направления в формуле (4.7) равна нулю. Хотя рассматриваемая систе¬
ма не является замкнутой, составляющая полного импульса вагонов
вдоль этого направления, как следует из (4.7), остается неизменной. До
столкновения и сцепки она равна импульсу первого вагона m,v0. После
сцепки система обладает в горизонтальном направлении импульсом
(т, + т2)у. Приравнивая эти величины, приходим к равенству (4.10).
Итак, использование закона изменения импульса рассматриваемой
системы, который свелся к утверждению о сохранении импульса в гори¬
зонтальном направлении, позволило получить ответ более коротким пу¬
тем, причем полученный ответ обладает большей общностью, так как
не зависит от конкретной модели взаимодействия вагонов при сцепке.
Импульс — это одна из самых важных фундаментальных характери¬
стик физической системы. Покажем, как может использоваться закон
изменения импульса в случаях, когда уже сам выбор динамической мо¬
дели рассматриваемого процесса или явления затруднителен.
Снаряд разрывается в верхней точке траектории, находящейся на
высоте h над поверхностью земли, на два одинаковых осколка. Один из
них падает на землю точно под точкой разрыва спустя время г,. Во
сколько раз изменится расстояние от этой точки по горизонтали, на ко¬
торое улетит второй осколок, по сравнению с расстоянием, на котором
упал бы неразорвавшийся снаряд?
Не представляет труда выписать выражение для расстояния S, на
которое улетел бы от указанной точки неразорвавшийся снаряд. Ско¬
рость снаряда в верхней точке траектории v направлена горизонтально,
поэтому это расстояние равно произведению v на время падения t с вы¬
соты И без начальной вертикальной скорости:
S = vj2h/]>. (4.11)
Однако дальнейшее решение задачи в рамках динамического подхода
требует ответа на вопрос о характере действия внутренних сил, благода¬
ря которым снаряд разрывается на два осколка. Единственное разумное
предположение, которое можно сделать, о том, что разрыв снаряда про¬
исходит за очень короткий промежуток времени, так что изменением
скоростей осколков под действием силы тяжести за этот промежуток
времени можно пренебречь по сравнению с изменением их скорости
под действием внутренних сил.
Это обстоятельство позволяет считать, что полный импульс при
разрыве снаряда остается неизменным, несмотря на то, что рассматри¬
ваемая система, строго говоря, не является замкнутой. В результате по¬
101
является возможность выявить некоторые характерные особенности
движения осколков снаряда.
До разрыва снаряда вектор импульса лежал в плоскости траектории
движения. Скорость одного из осколков по условию направлена по вер¬
тикали, т. е. его импульс лежит в той же плоскости. Но тогда и импульс
второго осколка также остался в плоскости траектории снаряда до
взрыва. Это означает, что и траектория второго осколка лежит в той же
плоскости.
Из закона сохранения полного импульса следует, что горизонталь¬
ная составляющая скорости второго осколка равна 2v, поскольку его
масса равна половине массы снаряда, а импульс первого осколка на¬
правлен по вертикали. Поэтому дальность полета по горизонтали второ¬
го осколка S2 от места разрыва снаряда равна произведению 2v на время
t2 его полета. Итак, для ответа на вопрос задачи осталось найти только
это время.
Поскольку разрыв снаряда происходит в верхней точке траектории,
то вертикальные составляющие импульсов, а значит, и скоростей ос¬
колков должны быть равны по модулю и направлены в противополож¬
ные стороны. Время полета второго осколка до падения на Землю зави¬
сит от того, вверх или вниз направлена вертикальная составляющая его
скорости после разрыва снаряда. В первом случае t2 >^2h/g, во вто¬
ром — t2 < sjlh/g, поскольку t = T]2h/g есть время падения с высоты h
без начальной вертикальной скорости. При этом, очевидно, в первом
случае Г, <^2 h/g, а во втором — Г, > yjlh/g. Запишем уравнения движе¬
ния осколков по вертикали. Если скорость первого осколка направлена
вверх, то
Если скорость второго осколка направлена вниз, то его движение
будет описываться вторым из уравнений (4.12) при замене /2 -» tx,& дви¬
жение второго осколка — первым из уравнений (4.12) при замене tx -»t2.
Уравнения (4.12) — это квадратные уравнения относительно г, и t2. Вы¬
бирая решения, имеющие физический смысл для рассматриваемой за¬
дачи, убеждаемся, что время движения первого и второго осколков /, и
t2 связаны соотношением
Это означает, что в обоих из рассмотренных случаев время движе¬
ния второго осколка t2 выражается через заданное по условию время
движения первого осколка Г, одинаково:
2t
h + vxtx-2L=0,
h-vxt2&= 0.
(4.12)
(4.13)
(4.14)
102
Теперь дальность полета второго осколка по горизонтали определя¬
ется выражением
S2=4^. (4.15)
Искомое отношение дальностей полета второго осколка и неразо-
рвавшегося снаряда есть
ф=2^£=1г. (4.16)
Интересно отметить некоторые частные случаи. Если заданное вре¬
мя падения первого осколка Г, равно времени свободного падения с вы¬
соты А, то Sj/S = 2. Здесь ответ очевиден, ибо в этом случае после раз¬
рыва снаряда первый осколок просто останавливается, а второй
продолжает движение по горизонтали с удвоенной скоростью. Если
6 < t, то S2/S > 2 — в этом случае начальная скорость второго осколка
отклонена вверх, в то время как ее горизонтальная составляющая
по-прежнему равна 2v. При г, > 1 скорость второго осколка отклонена
вниз и S2/S < 2.
§ 4.3. ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
Уравнение = ^Tf, [см. формулу (4.6)], определяющее закон изме-
нения полного импульса системы материальных точек, имеет такой же
вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, при¬
чем в правую часть этого равенства входят только внешние силы, дейст¬
вующие на частицы рассматриваемой механической системы. Как
оказывается, это обстоятельство не случайно, в системе существует оп¬
ределенная точка, не обязательно совпадающая с одной из частиц сис¬
темы, которая движется именно так, как это предписывается уравнени¬
ем (4.6). Эта точка носит название центра масс (центра инерции)
системы. Ее радиус-вектор гс определяется выражением
N
2>/г,
, (4.17)
2>,
/=|
где г,, г2, ... , rN — радиусы-вектбры частиц системы с массами ть тъ ...,
mN соответственно. Центр масс характеризует не только положение
системы частиц как целого, но и ее движение. Скорость vc центра масс,
определяемая равенством
(4.18)
103
с помощью (4.17) выражается через скорости v, = dr/dt образующих сис¬
тему частиц:
N
I>fv,
Vc =^г—. (4.19)
2>,
При получении выражения (4.19) массы ш, всех частиц системы счита¬
ются постоянными.
В числителе выражения (4.19), как следует из формулы (4.3), стоит
полный импульс системы Р, а в знаменателе стоит полная масса М рас¬
сматриваемой системы материальных точек:
М = fjn,. (4.20)
/=1
Поэтому полный импульс системы Р равен произведению ее полной
массы на скорость центра масс vc:
P = l>,v, =М\С. (4.21)
1 = 1
Из выражения (4.21) следует, что полный импульс системы Р связан со
скоростью ее центра масс М точно так же, как импульс отдельной час¬
тицы связан со скоростью этой частицы. Именно в этом смысле движе¬
ние центра масс характеризует движение системы как целого.
Закон движения центра масс получается дифференцированием со¬
отношения (4.21) по времени, при выполнении которого масса системы
считается неизменной:
f = (4.22)
Равенство (4.22) означает, что скорость изменения импульса систе¬
мы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая
(4.22) с уравнением (4.6), получаем закон движения центра масс:
(4'23)
/=1
Уравнение (4.23) показывает, что ускорение центра масс — это ускоре¬
ние, с которым двигалась бы одна материальная точка массы М под
действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действую¬
щих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкну¬
той физической системы, на которую внешние силы вообще не
действуют, движется в инерциальной системе отсчета равномерно и
прямолинейно, либо покоится.
104
В уравнение (4.23), определяющее ускорение центра масс системы
частиц, внутренние силы, действующие между частицами системы, не
входят. Это означает, что в каждый момент времени ускорение центра
масс определяется только значениями внешних сил в этот же момент
времени. Но внешние силы приложены не к центру масс, а к отдельным
частицам рассматриваемой системы. Поэтому их значения зависят не от
положения центра масс, а от радиусов-векторов соответствующих час¬
тиц. Значение радиуса-вектора й частицы в общем случае зависит от
всех сил, действующих на эту частицу как внешних, так и внутренних
[см. (4.4)]. Поэтому действие внутренних сил может привести к измене¬
нию ускорения, с которым будет двигаться центр масс в более поздние
моменты времени.
Поясним сказанное на рассмотренном выше примере снаряда, раз¬
рывающегося в полете на осколки под действием внутренних сил. Пока
все осколки в полете в однородном гравитационном поле, центр масс
продолжает движение по той же параболе. Однако как только один из ос¬
колков коснется Земли и его движение прекратится, добавится новая
внешняя сила — сила реакции опоры, действующая на упавший осколок.
В результате изменится ускорение центра масс, и, как следствие, его тра¬
ектория: он уже не будет двигаться по прежней параболе. Само появле¬
ние новой внешней силы — силы реакции опоры — является в данном
случае следствием действия внутренних сил, разрывающих снаряд.
Использование понятия центра масс и закона его движения, экви¬
валентного закону изменения полного импульса системы, позволяет в
некоторых случаях получить ответы на интересующие нас вопросы еще
проще, чем при непосредственном использовании закона сохранения
импульса.
Рассмотрим пример. Космонавт массы /и,, привязанный страхо¬
вочным фалом пренебрежимо малой массы к космическому кораблю
массы т2 с выключенным двигателем, начинает подтягиваться к ко¬
раблю. Какие расстояния преодолеют космонавт и космический ко¬
рабль до встречи, если первоначальное расстояние космонавта от ко¬
рабля равно /,?
Центр масс системы находится на прямой, соединяющей корабль и
космонавта, причем соответствующие расстояния /, и /2 обратно про¬
порциональны массам /я, и тг. Так как /, + /2 = /, /,//2 = тг/т[, то немед¬
ленно получаем
=/т^г> h ~пГ±пГ- (4.24)
* т1+Ш2 1 mi+nt2
В далеком космосе, где внешние силы отсутствуют или пренебрежи¬
мо малы, центр масс этой замкнутой системы покоится или движется с
постоянной скоростью. В системе отсчета, где он покоится, космонавт
и корабль преодолеют до встречи расстояния /, и /2, даваемые соотноше¬
нием (4.24).
Обратим внимание на то, что если бы связали систему отсчета с
космическим кораблем, которая не является инерциальной, то пришли
105
бы к неверному выводу о том, что центр масс системы приходит в дви¬
жение при подтягивании космонавта в отсутствие внешних сил — он
приближается к кораблю. Центр масс сохраняет свою скорость в отсут¬
ствие внешних сил только в инерциальной системе отсчета.
Закон сохранения импульса замкнутой системы позволяет объяс¬
нить принцип реактивного движения, происходящего при вырывании
из сопла двигателя ракеты газов. В отсутствие внешних силовых полей
полный импульс ракеты и вылетающих газов остается неизменным, по¬
этому при истечении газов ракета приобретает скорость в противопо¬
ложном направлении. При наличии силовых полей все выглядит почти
так же, если изменением импульса, вызываемым действием поля, мож¬
но пренебречь по сравнению с импульсами, приобретаемыми ракетой и
вырывающимися газами за то же время. В противном случае необходи¬
мо учитывать импульс внешних сил.
Для вывода уравнения, описывающего движение ракеты, можно
было бы попробовать сформулировать закон движения тел переменной
массы. Основой здесь является закон изменения импульса (4.1) в усло¬
виях, когда масса уже не может считаться постоянной. В этом случае
имеем:
Однако это уравнение описывает ситуацию, когда при скорости
движения v тело по каким-то причинам изменяет свою массу, и не учи¬
тывает того факта, что в ракете вырывающиеся из сопла газы имеют не¬
которую скорость и относительно ракеты. Поэтому, пренебрегая внача¬
ле внешними действующими силами, будем исходить непосредственно
из закона сохранения импульса.
Рассмотрим инерциальную систему отсчета, в которой в данный мо¬
мент времени ракета неподвижна. Если работающий двигатель ракеты
за промежуток времени dt выбрасывает со скоростью и относительно
ракеты газы массой dmr, то спустя этот промежуток времени скорость
ракеты станет равной civ.
На основании закона сохранения импульса для замкнутой физиче¬
ской системы можно утверждать, что
Масса выбрасываемых газов dmn очевидно, равна убыли массы ра¬
кеты, т. е.
Подставляя dm из (4.27) в уравнение (4.26), приходим к равенству
§ 4.4. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
mdv + udmr = 0.
(4.26)
dm, + dm = 0.
(4.27)
(4.28)
106
Соотношение (4.28) имеет вид второго закона Ньютона, если стоя¬
щее в его правой части выражение u(dm/dt) рассматривать как реактив¬
ную силу — силу, с которой действуют на ракету вылетающие из сопла
двигателя газы. Масса ракеты со временем убывает (dm/dt < 0), поэтому
реактивная сила направлена в сторону, противоположную скорости и
вылетающих газов относительно ракеты.
Вследствие принципа относительности уравнение (4.28), получен¬
ное в инерциальной системе отсчета, где ракета в рассматриваемый мо¬
мент времени покоится, справедливо и в любой другой инерциальной
системе отсчета.
Если кроме реактивной силы на ракету действует еще какая-нибудь
внешняя сила F, то уравнение (4.28) переписывается в виде
W^.=u^ + F. (4.29)
Уравнение (4.29) носит название уравнения Мещерского по имени
получившего его впервые исследователя.
К.Э. Циолковский рассмотрел случай, когда разгон ракеты происхо¬
дит в свободном пространстве, где на нее не действуют никакие внеш¬
ние силы, а скорость истечения газов и из сопла ракеты постоянна.
В этих условиях, считая, что при включении двигателя покоившаяся ра¬
кета начинает набирать скорость, двигаясь по прямой линии, получим
из уравнения (4.28):
(4-30)
Если рассматривать убывающую со временем массу ракеты т как
функцию скорости v, то можно записать
dm _dmdy_ /ДТП
dt dv dt' K 4
Подстановка соотношения (4.31) в уравнение (4.30) приводит к ра¬
венству
dm -_т tл -гтч
dv и■
При постоянной относительной скорости и уравнение (4.32) легко
интегрируется, так как переменные разделяются:
^ = (4.33)
Дифференциальному равенству (4.33) соответствует соотношение
т v
№ = -iK' <4-34)
т0 О
где щ — начальная масса неподвижной ракеты; т и v — ее масса и ско¬
рость в рассматриваемый момент времени.
107
Из формулы (4.34) следует, что
.V.
m=mQe “. (4.35)
Соотношение (4.35) называется формулой Циолковского.
Формула Циолковского позволяет качественно оценить запас топ¬
лива, необходимый для реализации различных космических полетов на
ракетах, использующих двигатели с истечением газов. В современных
ракетах на химическом топливе скорость газовой струи составляет вели¬
чину до 5 км/с. Поэтому, например, для достижения первой космиче¬
ской скорости (« 8 км/с) при и = 4 км/с отношение т0/т * 7,4. Основ¬
ную часть массы стартующей с Земли ракеты составляет топливо.
Циолковскому принадлежит идея использования многоступенчатых ра¬
кет: когда массивная первая ступень ракеты — бустер — исчерпает запас
топлива, она отделяется и падает на землю. Это делается для того, что¬
бы не приходилось разгонять дальше уже ненужные пустые баки из-под
горючего и отработавшие массивные двигатели. Вторая ступень ракеты
добавляет к ранее достигнутой скорости еще некоторую скорость, а за¬
тем также отделяется и т. д. При запусках искусственных спутников
Земли обычно используются двух и трехступенчатые ракеты.
Для межзвездных полетов необходимы значительно более высокие
скорости. Ближайшие звезды находятся на расстоянии около четырех
световых лет. Поэтому для экспедиций приемлемой продолжительности
необходимы скорости не меньше 0,1 скорости света, а желательны и бо¬
лее высокие.
Ракеты на химическом топливе оказываются здесь абсолютно не¬
пригодными. Если даже считать и = 10 км/с, то при v = 0,1 с отношение
та/т составит е3,т ~ 101300. Такая величина стартовой массы ракеты
тп ~ 101300 тонн (при полезной массе т всего одну тонну!) не сравнима
со всей массой нашей Галактики, равной всего 3 1038 тонн.
Задачи к главе 4
Задача 4.1. Определить положение центра масс однородного конуса
высотой h и радиусом основания R.
Решение. Выберем цилиндрическую систему координат с цен¬
тром в вершине конуса, ось z направлена вдоль оси симметрии фигуры.
Конус можно представить как совокупность бесконечно тонких цилин¬
дров высотой dz и радиусом г, который находится из соображений подо¬
бия
1-А
Г~ R-
По соображениям симметрии центр масс лежит на оси z■ Учитывая,
что масса конуса т = р V, где р — плотность материала, из которого из¬
готовлен конус, получаем для координаты центра масс
108
Поскольку объем конуса V -^R2h, окончательно получаем
=\h.
Задача 4.2. Как меняется импульс тела массой т, двигающегося
вдоль оси х с начальной скоростью v0, если оно ускоряется по закону
ах = ct\ где с — постоянная?
Решение. В соответствии с формулой (4.2) имеем
где р0 = mv0 — начальный импульс вдоль оси х. Начальный момент вре¬
мени t0 выбран нулем. Поскольку Fx(t) = max(t) - cmfi, получаем
Задача 4.3. Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет постоянную
скорость и относительно нее и составляет подавляющую часть ее на¬
чальной массы т0. Чему равен максимально возможный импульс р = mv
ракеты?
Решение. Согласно формуле Циолковского [см. (4.35)] без воз¬
действия внешней силы:
Иными словами, импульс равен нулю вначале (v(0) = 0), нарастает
почти линейно для малых скоростей, а на больших скоростях быстро
убывает по экспоненциальному закону. Для нахождения максимума
найдем его производную:
Масса ракеТы при этом т = mje — в 2,7 раза меньше исходной.
I
о
о
р = mv = m0ve-',/u.
которая принимает экстремальное значение при v — и.
Тогда
109
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.4. Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость и относительно нее.
Определить изменения скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа
уменьшилась в N раз. (v = u\nN)
Задача 4.5. Первоначально неподвижное тело, находящееся на горизонтальной плос¬
кости, начали тянуть за привязанную к нему веревку с постоянной горизонтальной силой
F. Через время х действие этой силы прекратилось, а через время Зт после начала движе¬
ния тело остановилось. Какая сила трения действовала на тело во время движения? (F/3).
Задача 4.6. Протон массы тр с начальной скоростью v налетает на покоящееся ядро
гелия (скорость протона направлена вдоль центров масс частиц). Какова скорость частиц
при наибольшем их сближении, если тИс = 4тр? (vp = vHe = v/2)
Задача 4.7. Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии L по
горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся к пушке но пер¬
воначальной траектории снаряда. На каком расстоянии от пушки упал второй осколок?
(41)
Задача 4.8. Воздушный шар, наполненный гелием, вместе с кабиной имеет массу М и
покоится относительно Земли. Пассажир вылезает из кабины и начинает спускаться по
веревке, свешивающейся с шара, со скоростью v относительно шара. С какой скоростью и
mv
и в каком направлении (относительно Земли) будет двигаться шар? (и = — )
(т + М)
Задача 4.9. На чаше весов упруго прыгает N шариков массы т каждый. Какова сред¬
няя сила, действующая на чашу весов? (F= Nmg)
Задача 4.10. Внутри сферы радиуса R со скоростью v движется частица массы т,
упруго ударяясь о ее стенки. Частица движется не по диаметру окружности. Определить:
1) какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок на частицу; 2) какова
средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если концентрация частиц равна
л, и частицы не сталкиваются между собой? (I) F=mv /R; 2) F/S = nmv /5)
Задача. 4.11. Вывести дискретное уравнение Мещерского, в котором ракета выбрасы¬
вает топливо не непрерывно, а порциями Дт через каждый временной интервал Дt. Как
изменится скорость ракеты после N выбросов?
Задача. 4.12. Написать на одном из доступных Вам языков программирования (Бей¬
сик, Паскаль) программу для вывода графика зависимости скорости от времени в уравне¬
нии Мещерского и дискретном уравнении Мещерского из предыдущей задачи. Сравнить
полученные графики. Какой из способов испускания топлива кажется Вам более эффек¬
тивным?
Глава 5. ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ
ЧАСТИЦ
§ 5.1. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА
Импульс силы, рассмотренный в гл. 4, является временной характе¬
ристикой действия силы. Наряду с временной характеристикой силы —
ее импульсом, можно рассмотреть ее пространственную характеристику.
Эта пространственная характеристика называется механической работой.
Работа dA силы F при перемещении dr тела, к которому она прило¬
жена, определяется как скалярное произведение F на dr:
dA = Ydr = Fdrcosa, (5.1)
где a — угол между направлениями векторов F и dr.
> ю
dr Fr
dr
6)
Рис. 5.1. К вычислению работы по формуле (5.3)
Из определения (5.1) и свойств скалярного произведения следует,
что работу dA можно представить как сумму произведений проекций
силы F на соответствующие проекции перемещения dr.
Из формулы (5.1) следует также, что работа силы F на перемещении dr
равна произведению проекции силы Fr на направление перемещения
dr и модуля этого перемещения dr, или наоборот — произведению мо¬
дуля силы F на проекцию перемещения drh на направление действия
силы F (рис. 5.1, а, б)\
Обратим внимание на то, что импульс силы — это абсолютная вели¬
чина в нерелятивистской физике, ибо как действующая сила, так и про¬
межуток времени между двумя событиями одинаковы в различных
инерциальных системах отсчета. Напротив, работа — это относительная
величина, поскольку перемещение тела может быть различным в раз¬
ных инерциальных системах. Значение работы в разных системах отсче¬
та будет различным.
Если на тело одновременно действуют несколько сил, то можно го¬
ворить о работе каждой из них в отдельности. В то же время можно го¬
ворить и о работе равнодействующей силы F, равной векторной сумме
действующих сил. Если на тело действуют п сил F,, F2, ... , F„, то
Умножая обе части равенства (5.4) скалярно на перемещение dr, по¬
лучим
dA = F/lx + Fydy + F7dz.
(5.2)
dA = F/tr = Fdrf.
(5.3)
(5-4)
dA = Fdr = £f, dr = ]Г Д4,.,
/=] /
(5.5)
где dA, = F,r/r — работа силы F, на перемещении dr.
Работа силы — это скалярная алгебраическая величина. Знак работы
определяется значением угла а между направлением силы F и направле¬
нием перемещения dr. Работа положительна, если а < к/2, отрицатель¬
на, если л > а > я/2, и равна нулю, если а = я/2, даже если отличны от
нуля и сила, и перемещение тела.
Если при перемещении тела действующая на него сила изменяется,
то Для вычисления работы такой силы нужно разбить траекторию дви¬
жения на такие участки, где сила может считаться постоянной. Полная
работа рассматриваемой силы на всем перемещении тела определяется
как алгебраическая сумма работ на отдельных участках. Таким образом,
приходим к выражению для работы А переменной силы F(r), содержа¬
щему интеграл, вычисляемый вдоль траектории движения
2
A =|F(r)rfr. (5.6)
I
где 1 и 2 — начальная и конечная точки траектории движения.
Используя соотношения (5.2) и (5.3), можно представить выражение
для работы (5.6) в следующем виде:
2 2
A=l&xdx + ¥ydy + Ftdz) = j¥,dl, (5.7)
1 1
где F, — проекция силы на направление, касательное к траектории дви¬
жения в данной точка; dl — элемент траектории.
Для вычисления интегралов в уравнениях (5.6) или (5.7) необходимо
знать зависимость силы F(r) от положения тела, характеризуемого ра¬
диус-вектором г.
§ 5.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Импульс силы определяет изменение импульса тела, на которое
действует сила. Работа силы определяет изменение физической величи¬
ны, называемой кинетической энергией.
Кинетической энергией материальной точки массой т называется
скалярная величина, пропорциональная массе и квадрату скорости v
движения:
Ек (5.8)
Изменение кинетической энергии при движении тела равно работе
равнодействующей силы F, или, что то же самое, алгебраической сумме
112
работ всех действующих на тело сил. Действительно, рассмотрев пере¬
мещение dr частицы за промежуток времени dt, в течение которого ско¬
рость изменяется на d'v, имеем на основании второго закона Ньютона:
F =т%. (5.9)
Для перемещения dr справедливо
dr = vdt, (5.10)
поэтому с помощью уравнений (5.9) и (5.10) получаем для работы dA
выражение:
dA-¥dr =m~-\dt =m\dv =dm^. (5.11)
Из соотношения (5.11) непосредственно следует приведенное выше ут¬
верждение, которое называется теоремой о кинетической энергии, или
законом изменения кинетической энергии:
2 2
mi-!^ = A=fF(r)dr. (5.12)
1
Здесь А — работа равнодействующей силы на рассматриваемом переме¬
щении тела; v0 — начальная скорость тела; v — конечная скорость.
Обратим внимание на то, что при получении соотношения (5.12)
фактически нет необходимости явно интегрировать дифференциальное
равенство (5.11). Разбив произвольное перемещение частицы на сумму
малых перемещений Дг, для которых справедливы равенства
АА =FAr =тяАг - ~ v At =-g~-~L, (5.13)
получим после их почленного сложения слева сумму работ на отдель¬
ных участках, которая по определению равна полной работе. При сло¬
жении правых частей следует учесть, что конечная скорость на каждом
участке совпадает с начальной скоростью на следующем. В результате в
правой части останутся только два слагаемых, соответствующих конеч¬
ной скорости v и начальной скорости v0 на всем перемещении.
Использование теоремы о кинетической энергии облегчает решение
многих задач по механике.
Обратим внимание на то, что в соотношении (5.11) фигурирует пе¬
ремещение тела, рассматриваемого как материальная точка, т. е. пере¬
мещение центра масс, а не перемещение точки приложения силы. Эти
величины могут существенно различаться. Это отчетливо видно на сле¬
дующем примере.
На конце доски длиной L и массы М находится маленький брусок
массы т (рис. 5.2). Доска может скользить без трения по горизонталь-
8 - 3840
м ™ ной поверхности. Коэффициент тре-
I Ц v» | ния скольжения бруска о доску ра-
/\////// вен р. Какую горизонтальную ско¬
рость v0 нужно толчком сообщить
Рис. 5.2. Пример применения теоремы ДОСКе, Чтобы она ВЫСКОЛЬЗНула
о кинетической энергии ИЗ-ПОД бруска?
ния брусок не получает скорости относительно Земли в начальный мо¬
мент, ибо действующая на него со стороны доски сила трения (прибли¬
зительно равная |iimg) за короткое время удара не может сообщить
бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчета, связанной
с Землей, брусок движется равноускоренно, а доска — равнозамедлен¬
но. В какой-то момент времени их скорости станут одинаковыми, и да¬
лее брусок и доска движутся вместе, как одно тело, если, разумеется, к
этому моменту доска еще не выскользнет из-под бруска. При / > L бру¬
сок свалится с противоположного края доски.
Определим значение /. Так как между доской и горизонтальной по¬
верхностью трение отсутствует, то направленный горизонтально пол¬
ный импульс системы «доска + брусок» после толчка остается без изме¬
нения. Поэтому
Теперь применим теорему о кинетической энергии для каждого из
тел, учитывая, что при горизонтальном перемещении отличную от нуля
работу совершает только сила трения между бруском и доской. Переме¬
щения доски / и бруска /0 относительно Земли показаны на рис. 5.3.
Они различны, и именно эти величины входят в выражения для работ
сил трения, действующих соответственно на доску и на брусок, хотя пе¬
ремещения точек приложения этих сил одинаковы и равны 12.
Для разгоняющегося с нулевой начальной скоростью бруска имеем
В рассматриваемой модели явле-
Mv0 - (М + m)v.
(5.14)
(5.15)
Для тормозящейся доски справедливо
(5.16)
>)УУУУУУУУУУ7УУУ?У, 7УУУ7УУУУУУУУУУУУУУ7ГУ77; У
114
Рис. 5.3. К решению примера на рис. 5.2
Складывая почленно формулы (5.15) и (5.16) и подставляя в получаю¬
щееся равенство значение v из (5.14), получим для / = /, — /2 следующее
выражение:
(=711г—%- (5.17)
2 М+т 4
С помощью формулы (5.17) получаем условие для значений начальной
скорости доски v0, при которых она выскользнет из-под бруска. Так как
это произойдет при I > L, то
vn>j2pg/|l+^-j. (5.18)
§ 5.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Энергия как физическая величина характеризует способность тела
или системы тел к совершению работы. Такой способностью обладают
не только движущиеся тела, обладающие кинетической энергией, —
тело, поднятое над Землей на некоторую высоту, сжатая или растянутая
упругая пружина или вообще любое упруго деформированное тело —
вот примеры, когда неподвижное в данной системе отсчета тело также
обладает способностью к совершению работы. В таких случаях говорят,
что тело обладает потенциальной энергией. Основанием для использова¬
ния здесь термина «энергия» является способность называемой этим
термином физической величины к превращению из одного вида в дру¬
гой, причем в строго эквивалентных количествах. Потенциальная энер¬
гия связана с взаимодействием тел или частей одного тела между собой
или с внешним полем. В первом случае говорят о потенциальной энер¬
гии взаимодействия тел (или частей тела), во втором — о потенциаль¬
ной энергии тела во внешнем поле.
По особенностям производимой работы все силы можно разделить
на две группы. В первую группу отнесем силы, работа которых при из¬
менении взаимных положений частиц не зависит от способа изменения
конфигурации системы, т. е. от того, по каким траекториям и в какой
последовательности частицы системы перемещаются из своих началь¬
ных положений в конечные. Более коротко об этом говорят как о неза¬
висимости работы от формы пути при заданных перемещениях тел.
Силы, обладающие указанными свойствами, называют потенциальными.
К ним относятся силы тяготения, упругие силы, кулоновские силы
электростатического взаимодействия заряженных частиц.
Ко второй группе относятся силы, работа которых зависит от фор¬
мы пути. Эти силы называются непотенциальными. Пример непотенци¬
альной силы — сила трения скольжения, направление действия которой
противоположно направлению относительной скорости тела.
Потенциальная энергия связана с работой только потенциальных
сил. Приведем выражения для потенциальной энергии в различных
случаях.
8*
115
В однородном поле тяжести Земли в приближении, когда вследст¬
вие ее большой массы Земля считается неподвижной, работа действую¬
щей на тело массы т силы тяжести mg не зависит от формы пути и
определяется разностью высот /г, и И2 в начальном и конечном положе¬
ниях (рис. 5.4):
Л,2 = mg(ht - й2), (5.19)
в чем легко убедиться непосредственным вычислением.
Эта работа характеризует свойства силового поля. Примем
какую-либо точку поля, например ту, от которой отсчитаны высоты h] и
И2 в формуле (5.19), за начало отсчета и будем рассматривать работу, со¬
вершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из
другой произвольной точки, находящейся на высоте h. Эта работа, как
следует из (5.19), равна mgh. Она называется потенциальной энергией
частицы на высоте И:
Еп = mgh. (5.20)
Теперь работу силы тяжести при перемещении тела из точки 1 в
точку 2, даваемую выражением (5.19), можно представить как разность
потенциальных энергий в начальной и конечной точках:
Ап = Еп] - Еп2. (5.21)
Отметим, что выбор уровня (высоты), на котором потенциальная
энергия принимается равной нулю, произволен и определяется только
соображениями удобства. В однородном поле силы тяжести Земли от¬
счет высоты и потенциальной энергии удобно вести от поверхности
Земли. Физический смысл имеет только изменение потенциальной
энергии, через которую выражается работа сил гравитационного поля
при перемещении тела из одной точки в другую.
Устанавливая выражение для потенциальной энергии тела в грави¬
тационном поле в общем случае, отметим, что гравитационное поле
относится к классу центральных полей, где сила зависит только от рас-
Рис. 5.5. Работа сил центрального поля
стояния до силового центра и направлена по радиусу. Покажем потен¬
циальный характер любого центрального силового поля. Пусть тело, на
которое действует центральная сила Е, перемещается из точки / в точку
2 по некоторой кривой (рис. 5.5). Работа силы на малом участке ей, где
силу можно считать постоянной, есть
dA = Ftfl. (5.22)
Здесь перемещение тела обозначено как ей для того, чтобы сохра¬
нить обозначение dr для проекции ей на направление радиус-вектора г,
проведенного из силового центра, равной изменению расстояния от
тела до силового центра. Поскольку сила направлена по радиусу, то вы¬
ражение (5.22) для работы dA переписывается в виде
dA = Fr dr. (5.23)
Суммируя работы на всех элементарных участках, на которые мож¬
но разбить весь путь тела из точки / в точку 2, видим, что работа силы
поля равна работе по перемещению вдоль радиуса из точки 1 в точку 3
(при перемещении тела из точки 3 в точку 2 работа не совершается, так
как сила перпендикулярна перемещению).
Итак, работа потенциальной силы определяется только начальным
и конечным расстоянием тела от силового центра и не зависит от фор¬
мы пути. Потенциальная энергия тела в произвольной точке определя¬
ется как работа, совершаемая силами поля при перемещении тела из
этой точки в определенную точку, потенциальная энергия в которой
принята равной нулю.
Обычно (но не обязательно!) для гравитационного взаимодействия
потенциальная энергия считается равной нулю при бесконечно боль¬
шом расстоянии между взаимодействующими телами: £„ = 0 при г-* со.
Чтобы получить выражение для потенциальной энергии в центральном
поле тяготения, нужно вычислить работу при перемещении тела массы
т из данной точки, находящейся на расстоянии г от силового центра, в
бесконечно удаленную точку.
Работа в соответствии с формулой (5.23) равна интегралу от проек¬
ции силы Fn взятому вдоль радиуса-вектора, проходящего через интере¬
сующую нас точку:
оо
E„(r)=jFr(r)dr. (5.24)
Г
Учитывая, что гравитационная сила направлена по радиусу к силовому
центру, получим с помощью формулы (5.24):
оо
En(r)=jG^fdr = -G^-. (5.25)
117
Для потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения Земли
удобно видоизменить формулу (5.25) и выразить потенциальную энер¬
гию через ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ради¬
ус Земли R. Учитывая, что
g=Gf,, (5.26)
получим с помощью формул (5.25) и (5.26) удобное для вычислений вы¬
ражение
Ea(r)=-mg£-. (5.27)
Если высота тела над поверхностью Земли h мала по сравнению с
радиусом Земли R{h « R), то, подставляя в выражение (5.27) г — R + И
и используя приближенную формулу 1/(1 + х) « 1 — х(х<< 1), получим
Еп =-mg-^jj»-mgR+mgh. (5.28)
Опустив в правой части выражения (5.28) первое постоянное слагаемое
—mgR (что соответствует изменению начала отсчета энергии), получим
выражение, совпадающее с формулой (5.20), справедливой для одно¬
родного поля тяжести.
Отметим еще раз, что в формуле (5.20) в отличие от (5.27) или (5.28)
потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли.
Силы, возникающие при упругой деформации тел, также являются
потенциальными. Например, при растяжении или сжатии на величину х
упругой пружины жесткости к проекция действующей силы равна
Fx = -кх, а потенциальная энергия дается выражением
Еп =*f. (5.29)
В положении равновесия потенциальная энергия считается равной
нулю.
§ 5.4. СВЯЗЬ СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Потенциальная энергия имеет определенное значение в каждой точ¬
ке силового поля и может служить характеристикой этого поля. Как го¬
ворят, потенциальная энергия тела в силовом поле является функцией
положения тела. Таким образом, силовое поле можно описать, задавая
либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Уста¬
новим связь этих двух эквивалентных способов описания, т.е. общее со¬
отношение между силой и потенциальной энергией. Рассмотрим пере¬
мещение Дг тела между двумя близкими точками поля. Работа сил поля
при таком перемещении равна Fdr. С другой стороны, эта работа равна
разности значений потенциальной энергии в начальной (Е„) и конечной
(Еа + dEn) точках перемещения dr, т. е. взятому со знаком минус изме¬
нению dEn потенциальной энергии:
118
F* = Ea - (Ea + dEJ = -dEn.
(5.30)
Левую часть выражения (5.30) можно записать в виде произведения
проекции F силы F на направление перемещения с1т и модуля этого пе¬
ремещения dr : Fdr = F4r. Поэтому, сравнивая с формулой (5.30), имеем
77=-^. (5.31)
Можно непосредственно записать выражение для вектора F, воспользо¬
вавшись понятием градиента скалярной функции:
F=-^. (5.32)
Выражение dEJdr означает вектор, проекции которого на оси х, у, z
равны соответственно частным производным функции £„(0 по проек¬
циям вектора г на эти оси, т. е.
F=J^l F р=-Щр-. (5.33)
х дх у оу ’ z oz
Равенство (5.32) означает, что сила, действующая в потенциальном
поле, равна взятому со знаком минус градиенту функции Е„. Вектор
градиента dEJdr направлен в сторону наиболее быстрого возрастания
функции Е„(х, у, z) при изменении координат. Поэтому сила направле¬
на в сторону наиболее быстрого убывания потенциальной энергии.
Указанным способам описания потенциального поля можно со¬
поставить наглядную геометрическую картину силовых линий или эк¬
випотенциальных поверхностей. Приравнивая потенциальную энер¬
гию Еп(х, у, z) константе, получаем уравнение поверхности, во всех
точках которой потенциальная энергия имеет одинаковое значение.
Такие поверхности называются эквипотенциальными. Сила в каждой
точке поля направлена перпендикулярно проходящей через эту точку
эквипотенциальной поверхности, что непосредственно следует из вы¬
ражения (5.32): проекция силы на любую ось, лежащую на эквипотен¬
циальной поверхности Е= const, должна быть равна нулю. Силовые
линии проводятся таким образом, чтобы направление касательной к
ним в любой точке совпадало с направлением силы. Например, в грави¬
тационном поле, создаваемом телом со сферически-симметричным рас¬
пределением массы, поверхности постоянной энергии представляют со¬
бой сферы, центры которых совпадают с силовым центром.
§ 5.5. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Обсуждение понятия механической энергии начнем с обращения к
теореме о кинетической энергии, согласно которой изменение кинети¬
ческой энергии системы частиц при переходе из состояния 1 в состоя¬
ние 2 равно сумме работ всех действующих сил — внешних и внутрен¬
119
них, потенциальных и непотенциальных. Разделив все действующие
силы на потенциальные и непотенциальные, имеем
^к2 Апот ^непот • (^*^4)
Работу потенциальных сил можно представить как разность значе¬
ний потенциальной энергии системы в начальном и конечном состоя¬
ниях:
Алт = Еп1 - Епг. (5.35)
Подставляя соотношение (5.35) в теорему о кинетической энергии
(5.34), приходим к равенству
Е\а + Еп1 — (Ек 1 + Е„,) = Лнепот, (5.36)
которое допускает иную трактовку.
Назвав сумму кинетической и потенциальной энергии частиц в оп¬
ределенном состоянии ее полной механической энергией
£=£к + £„, (5.37)
переписываем соотношение (5.36) следующим образом:
Ег — Е] = Атпат. (5.38)
Равенство (5.38) означает, что изменение полной механической энер¬
гии системы равно работе всех действующих непотенциальных сил, как
внешних, так и внутренних. Это утверждение выражает закон измене¬
ния механической энергии. Подчеркнем, что идейной основой введе¬
ния понятия механической энергии как суммы кинетической и
потенциальной энергий системы является способность энергии превра¬
щаться из одного вида в другой в строго эквивалентных количествах.
Если непотенциальных сил нет, или их работа равна нулю, полная ме¬
ханическая энергия системы сохраняется, хотя может меняться ее рас¬
пределение между потенциальной и кинетической энергиями системы.
Обладающие таким свойством механические системы называются кон¬
сервативными.
Потенциальная энергия системы в общем случае включает в себя
потенциальную энергию взаимодействия отдельных тел системы между
собой и потенциальную энергию этих тел во внешнем поле, если оно
есть. Такое деление определяется соображениями удобства. Например,
можно говорить о потенциальной энергии тела во внешнем поле тяже¬
сти Земли, если не включать Землю в состав рассматриваемой механи¬
ческой системы. Но можно включить Землю в состав системы, и тогда
следует говорить об энергии взаимодействия тела и Земли. Очевидно,
что первый вариант удобнее в случае, когда исследуемое тело мало и не
влияет заметным образом на движение Земли. Второй вариант умест¬
нее, когда налицо такое влияние.
120
В случае замкнутых, т. е. не взаимодействующих с окружающим ми¬
ром, механических систем удобно переходить в систему отсчета, в кото¬
рой центр масс механической системы неподвижен. Очевидно, что та¬
кая система отсчета будет инерциальной, поскольку внутренние силы
не могут сообщить центру масс ускорения в исходной инерциальной
системе отсчета.
Рассмотрим систему N частиц и обозначим радиусы-векторы частиц
в исходной системе отсчета через rt (/' = 1, 2, ..., N). Тогда выражение
для радиуса-вектора центра масс R дается формулой:
Введем систему отсчета, связанную с центром масс, и будем обозна¬
чать радиус-векторы частиц системы в этой системе отсчета через г,'
(/= 1, 2, ..., N). Очевидно, что радиусы-векторы г, в исходной системе
отсчета и г,' в системе центра масс связаны соотношением (рис. 5.6):
Вводя скорости: V,- = drjdt — /-й
частицы в исходной системе отсче¬
та; у = dR/dt — центра масс в исход¬
ной системе отсчета и v' = dr-/dt —
/-Й частицы в системе центра масс,
получим с помощью соотношения
Теперь запишем выражение для полной кинетической энергии сис¬
темы частиц в исходной системе отсчета:
и подставим в него соотношение (5.42) для скорости v,:
N
1>,г
(5.39)
где М — сумма масс всех частиц системы:
(5.40)
/=1
г,- =R+r'. (5.41)
(5.41) равенство
V,. =v + v'. (5.42)
Рис. 5.6. К формуле (5.42)
(5.43)
1 = 1
(5.44)
121
Первое слагаемое в правой части выражения (5.44) представляет собой
сумму кинетических энергий всех частиц рассматриваемой системы в
системе отсчета, связанной с центром масс системы. Второе слагаемое в
правой части формулы (5.44) равно нулю. Действительно, сумма
представляет собой числитель выражения (5.39) для радиуса-вектора
центра масс в системе отсчета с началом в центре масс. Поэтому
Дифференцируя (5.45) по времени, убеждаемся в справедливости при¬
веденного утверждения. Наконец, третье слагаемое в правой части
формулы (5.44) равно половине произведения полной массы М системы
на квадрат скорости центра масс в исходной системе отсчета.
Таким образом, кинетическая энергия системы в произвольной сис¬
теме отсчета Ек равна сумме кинетической энергии частиц системы в
системе центра масс и половине произведения полной массы системы
на квадрат скорости центра масс:
Равенство (5.46) составляет содержание теоремы Кенига. В замкнутой
системе скорость центра масс не изменяется, поэтому изменение кине¬
тической энергии системы в произвольной системе отсчета равно ее из¬
менению в системе центра масс. Учет этого обстоятельства может
облегчить решение многих задач.
§ 5.6. ЭНЕРГИЯ И ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ. ТЕОРЕМА ВИРИАЛА
Используя энергетические соображения, можно существенно раз¬
вить и конкретизировать описание механического поведения рассмат¬
риваемой физической системы с помощью фазовых траекторий. Рас¬
смотрим систему с одной степенью свободы, механическое состояние
которой задается точкой на фазовой плоскости. В качестве примера
рассмотрим математический маятник — материальную точку массы т,
которая прикреплена к концу легкого жесткого стержня длины I, кото¬
рый может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей че¬
рез другой его конец. Потенциальная энергия такой системы в поле
земного тяготения зависит от угла ср отклонения стержня от вертикаль¬
ного равновесного положения и может быть записана в виде
График ДДф) показан на верхней части рис. 5.7. Минимум потенци¬
альной энергии соответствует устойчивому равновесию при ср = 0. Мак-
(5.45)
(5.46)
;=1
£п(<р) = mgl{ 1 - соБф).
(5.47)
122
Рис. 5.7. Потенциальная энергия £п(ф) математического маятника
в зависимости от угла отклонения <р (верх).
Внизу представлена соответствующая фазовая плоскость
симумы в точках ф = я и ф = — п соответствуют одному и тому же верти¬
кальному перевернутому неустойчивому равновесию маятника. Точка
массы т может двигаться только по дуге радиуса /. Поэтому ее скорость
может быть представлена как v = /со, где со = dy/dt, а кинетическая
энергия — как ml2со2/2. В отсутствие трения и сопротивления воздуха
механическая энергия маятника Е сохраняется. Уравнение закона со¬
хранения энергии записывается в виде
а^£+л«/(1-со5ф) = £. (5.48)
Значение полной энергии Е определяется начальными условиями.
Характер движения маятника зависит от значения этой полной энергии.
Если Е превышает максимально возможное значение потенциальной
энергии Е„ тах = 2mgl, то маятник совершает непрерывное неравномер¬
ное вращение в одну сторону с периодически изменяющейся угловой
скоростью. Если Е < 2mgl, маятник совершает колебания около положе¬
ния устойчивого равновесия, отклоняясь от него влево и вправо на оди¬
наковые углы.
123
Фазовая плоскость дает наглядную картину возможных движений
маятника, которая показана в нижней части рис. 5.7, где по оси абс¬
цисс отложен угол ср, а по оси ординат — угловая скорость со. Уравнение
фазовой траектории представляет собой уравнение закона сохранения
энергии. Непрерывному вращению маятника соответствуют незамкну¬
тые фазовые траектории: верхняя траектория относится к вращению
против часовой стрелки, т. е. в положительном направлении отсчета
угла ф, а нижняя — к вращению по часовой стрелке. Видно, что при
прохождении нижней точки (ф = 0, ±2п, ±4п, ...) маятник движется бы¬
стрее, а в верхней точке (ф = ±л, ±3тс, ...) — медленнее.
Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим ко¬
лебаниям около положения устойчивого равновесия. Изображающая
механическое состояние маятника точка обходит эти траектории по
часовой стрелке вокруг т. О, соответствующей состоянию покоя в по¬
ложении устойчивого равновесия. Эта точка на фазовой плоскости на¬
зывается центром. В положении устойчивого равновесия скорость ма¬
ятника максимальна. Она убывает по модулю по мере приближения к
точке поворота ф = ±ф„„ в которой потенциальная энергия сравнивает¬
ся с полной. В этих точках скорость обращается в нуль, а направление
движения маятника изменяется на противоположное.
Фазовые траектории, которые отделяет замкнутые фазовые траекто¬
рии от разомкнутых, называются сепаратрисами. Они проходят через
точки ф = ±7t, которые соответствуют положению неустойчивого равно¬
весия и называются седловыми точками. Уравнения сепаратрис получа¬
ются из (5.48), если положить Е= 2mgl, и имеют вид
Точка, изображающая механическое состояние маятника с полной
энергией Е — 2mgl, движется по фазовой плоскости по сепаратрисе.
Подходя к седловой точке (например, к т. А), она постепенно замедля¬
ется и в т. А застревает — останавливается в положении неустойчивого
равновесия. Формально приближение к этому положению в отсутствие
трения продолжается бесконечно долго. Седловые точки — это единст¬
венные точки, через которые проходят две фазовые траектории в соот¬
ветствии с тем, что застывший в положении неустойчивого равновесия
маятник может свалиться в любую сторону. Через остальные точки фа¬
зовой плоскости проходит только по одной фазовой траектории, что
соответствует механическому детерминизму — задание состояния в
какой-либо момент времени однозначно определяет дальнейшее движе¬
ние системы.
Таким образом, использование фазового портрета системы, кото¬
рый может быть найден с помощью закона сохранения энергии без яв¬
ного решения динамических уравнений, позволяет наглядно предста¬
вить общую картину механического движения системы и убедиться, что
представление о лапласовском механическом детерминизме не всегда
справедливо. Однозначно предсказать будущее системы, начальное со¬
стояние которой соответствует седловой точке, невозможно. Этот под¬
124
(5.49)
ход оказывается весьма эффективным при рассмотрении сложных не¬
линейных задач, что будет продемонстрировано ниже.
Энергетические соображения позволяют вскрыть еще один смысл
адиабатических инвариантов. Например, в случае шарика, движущегося
между сближающимися стенками, можно перейти от скорости v к им¬
пульсу шарика р = mv и подставить в инвариантное произведение
Ip = Imv расстояние /, выразив его через скорость v и период Т (при за¬
данной скорости) движения шарика: / = vT/2. В результате получим
lmv=mv>f=^T = EKT, (5.50)
где Ек = mv2/2 — кинетическая энергия шарика.
Если рассматриваемая система обладает не только кинетической, но
и потенциальной энергией, как в случае качающегося около положения
равновесия маятника, то адиабатический инвариант представляет собой
произведение полной механической энергии Е системы на период Т.
При медленном изменении параметров системы, когда выполнены ус¬
ловия существования адиабатических инвариантов, энергия системы и
период изменяются так, что их произведение остается приблизительно
постоянным: ЕТ= const.
На основе энергетических соображений можно развить подход, по¬
зволяющий анализировать механическое поведение рассматриваемой
системы в целом, не претендуя на выявление слишком конкретных де¬
талей соответствующей картины. Этот подход имеет общие черты с ме¬
тодами статистической физики, в которой фигурируют средние значе¬
ния физических величин, однако он является чисто механическим, в
нем не фигурирует такая характерная для статистической физики вели¬
чина, как температура.
В механике можно ввести представление о средних значениях инте¬
ресующих нас физических величин, с помощью которых удается судить
о некоторых чертах движения рассматриваемой системы в целом, не со¬
ставляя уравнений, описывающих изменение физических величин во
времени.
Средним по времени значением (Ф) физической величины Ф(0 бу¬
дем называть выражение
т
(Ф) = Игп-1|Ф(Г)Ф. (5.51)
->СС ^
Рассмотрим механическую систему, состоящую из N взаимодейст¬
вующих частиц, и введем понятие вириала сил W(t):
W(t) = f^(Fkrk), (5.52)
k = 1
где F* — равнодействующая всех сил, действующих на k-ю частицу; гк —
радиус-вектор к-й частицы.
125
Учитывая, что вследствие второго закона Ньютона
(5.53)
выражение (5.53) можно переписать следующим образом:
(5.54)
Поскольку р* = ткук, то второе слагаемое в первой части выражения
(5.54) равно взятой со знаком минус удвоенной кинетической энергии
рассматриваемой системы ЕК:
Вычислим среднее по времени значение в смысле определения
(5.51) от обеих частей соотношения (5.54). С учетом (5.55) получим:
Если механическое движение рассматриваемой системы таково, что
ни импульсы, ни радиусы-векторы частиц не принимают бесконечно
больших значений (как говорят, движение финитно), то первое слагае¬
мое в правой части соотношения (5.56) обращается в нуль, благодаря
чему это соотношение приобретает вид
Соотношение (5.57) выражает так называемую теорему вириала: для
финитного движения среднее значение вириала сил равно взятому со
знаком минус удвоенному среднему значению кинетической энергии
системы.
Теорема вириала оказывается наиболее полезной, когда действую¬
щие в системе силы потенциальны. В этом случае выражение для силы
Fa может быть представлено в виде
где, как и раньше, под операцией д/дгк подразумевается вычисление
градиента потенциальной энергии Еп по координатам &-й частицы.
Предположим, что функция £п(г,, г2, ... , r,v) является однородной
функцией порядка п своих аргументов. Это, по определению, означает,
что справедливо равенство
(5.55)
(5.56)
(Г) = -2(£к).
(5.57)
£„(аг,, аг2, ... , аг*) = а^г,, г2, ... , г„),
(5.59)
где а — произвольный численный коэффициент.
126
Продифференцируем соотношение (5.59) по а и положим а = 1. То¬
гда получим
1 = пЕп (г,, г2 , , Гуу). (5.60)
*=iv * '
Подставим выражение (5.58) в определение вириала сил (5.52):
W),-f'(SE'U>% г“)г,) (5.61)
к 7
Теперь с учетом выражения (5.60) для среднего значения (W) полу¬
чим
(I'¥) = -п{Еп}. (5.62)
Подставляя соотношение (5.62) в теорему вириала (5.57), придем к
равенству
2<£к > = «(£„). (5.63)
Соотношение (5.63) связывает средние значения кинетической и потен¬
циальной энергии системы для финитного движения. Показатель одно¬
родности п потенциальной энергии системы зависит от характера
взаимодействия. При движении в однородном поле (например,
E„ — mgh) п — ]. При учете зависимости силы тяготения от расстояния
(Еп = —G(mM/r)) п — -1. При упругой деформации (Еп = кх2/2) п = 2.
Рассмотрим пример использования теоремы вириала. Предполо¬
жим, что некоторая туманность состоит из частиц, между которыми
действуют силы тяготения, а всеми остальными взаимодействиями
можно пренебречь. При каких условиях эта туманность будет расши¬
ряться, сжиматься или сохранять те же средние размеры?
При указанном взаимодействии частиц туманности ее полная меха¬
ническая энергия будет сохраняться:
ЕК + Еп = Е = const. (5.64)
Оказывается, что характер изменения размеров туманности зависит
от значения полной механической энергии системы Е, т. е. от соотно¬
шения начального значения кинетической энергии и модуля значения
потенциальной энергии (которая отрицательна). Если Еу > |£п|, то пол¬
ная энергия Е> 0. Туманность в среднем должна расширяться. Дейст¬
вительно, если бы туманность оставалась внутри некоторого ограничен¬
ного объема, то по теореме вириала должно было бы выполняться
соотношение (£п) =-2(Ек) Пак как п — — 1) и, следовательно, было бы
справедливо неравенство (Е1) =(ЕК)+(ЕП) =-(Ек) <0, что противоречит
сделанному предположению Е > 0.
127
Если Ey < |£„|, то Е < 0 и туманность не может неограниченно рас¬
ширяться: при бесконечно больших расстояниях между частицами ту¬
манности потенциальная энергия обращается в нуль и полная энергия
не может быть отрицательной. Скопление тел с отрицательной полной
энергией должно сохранять определенную компактность, так как для
средних значений энергии должна выполняться теорема вириала.
Теорема вириала находит широкое применение при рассмотрении
механического движения в системах многих частиц, причем не только в
классической, но и в квантовой механике.
Задача 5.1. Частица массой т влетает в область, где на нее действует
тормозящая сила, зависящая только от расстояния между частицей и
границей области. Глубина проникновения частицы в область торможе¬
ния пропорциональна квадратному корню из начального импульса час¬
тицы: / =Cfp. Найти зависимость Е(р).
Решение. Представим формулу для работы силы торможения в
виде
где изменение кинетической энергии равно
Знак минус означает, что сила тормозящая, т. е. Fx < 0.
Восстанавливаем по изменению кинетической энергии силу:
Задача 5.2. Энергия связи■ Есв системы из двух частиц определяется
как энергия, необходимая для разделения обеих частиц из состояния,
соответствующего минимуму энергии их взаимодействия, в состояние,
соответствующее их бесконечной удаленности друг от друга (г = со).
Найти энергию связи двухатомной молекулы, у которой потенциальная
энергия
где г — расстояние между атомами; аиЬ — положительные постоянные.
Решение. Найдем производную
Задачи к главе 5
A = ^Fxdx = AEy.,
о
128
Ее экстремуму соответствует значение =
2 6
1/6
. (Доказать, что эго
минимум!) Подставляя его в выражение для энергии U(r), получаем
U^) = ~W
По определению энергии связи
Есв =t/(oo)-t/(r) =0-
/ 2 Л
£_
V 46 у
поэтому
F - а
46-
Задача 5.3. Чему равно изменение потенциальной энергии тела A£j„
перемещаемого с поверхности Земли на высоту h над ней (величина h
не обязательно много меньше радиуса Земли Л)?
Решение. Для изменения потенциальной энергии в центральном
поле тяжести получаем
АЕ„ =En(R+h)-ElI(R) = -Gf^+G-^f,
где М — масса Земли.
Приводя подобные члены, получаем
д f —П Mmh CM mhR
" R(R+h) R’ (R+hy
Окончательно, вводя g, ответ удобно представить в виде
ДА'.,
mgh
1+6/Л'
Из полученной формулы хорошо видно, что формула для потенциаль¬
ной энергии АЕ„ = mgh есть не что иное, как приближенное значение
полученного нами ответа при h « R. Если же разложить результат по
малому параметру h/R, сохраняя линейные члены, то более точная фор¬
мула будет выглядеть как
АЕп ~mgh\ 1
Таким образом, при перемещении тела на одну и ту же высоту И
доля потенциальной энергии AEJEn » 1 — h/R будет тем меньше, чем на
большую высоту поднимается тело.
9 — 3840
129
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.4. Бусинка массой т скользит по вертикальной гладкой и твердой спирали ра¬
диуса R. Шаг спирали, т. е. расстояние между соседними витками, равен А. Начальная ско¬
рость бусинки равна нулю. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда
она опустилась по вертикали на расстояние Ю (F = , V4 n2R2 + А2 + 16 к2Н2)
4n2R2+h2
Задача 5.5. Масса одного автомобиля в два раза больше другого, а его кинетическая
энергия равна половине кинетической энергии второго автомобиля. Когда оба автомоби¬
ля увеличили свои скорости на 3 м/с, их кинетические энергии стали одинаковыми. Ка¬
ковы были начальные скорости каждого из автомобилей? (4,2 м/с и 2,1 м/с)
Задача 5.6. Сила упругости некоторой пружины записывается в виде
Fx = -kx + ах2 + bx\
1) Является ли эта сила консервативной? 2) Если она консервативная, как записать функ¬
цию потенциальной энергии? (1) является; 2) U х =
Задача 5.7. Силу сопротивления воздуха можно считать пропорциональной скорости
тела у. Консервативна ли она? (Нет)
Задача 5.8. Тело массой т подвешено снизу к вертикальной пружине с коэффициен¬
том упругости к. Найти расстояние, на которое тело опускается сразу после его прикреп¬
ления к пружине, если оно движется медленно и останавливается в положении равнове¬
сия? Если дать телу возможность свободно падать после закрепления, то каково будет
максимальное растяжение пружины? (mg/k\ 2mg/к)
Задача 5.9. В боровской модели атома водорода электрон удерживается на круговой
орбите радиусом г силой Fr * - С/r, где С — константа. Если электрон переходит с одной
круговой орбиты радиусом г = г0 на другую радиусом г = п2г0 (л — целое положитель¬
ное число, большее единицы), то чему будет равно изменение его механической энер-
Задача 5.10. Лыжник скатывается с холма с нулевой начальной скоростью и проезжа¬
ет 30 м вниз по склону, составляющему 18’ с горизонтом. Коэффициент трения равен
0,08. Чему равна скорость лыжника у подножья холма? Если у подножья холма имеется
горизонтальная площадка, покрытая снегом с тем же коэффициентом трения, то на какое
расстояние по ней укатится лыжник? (12 м/с; 87 м)
Задача 5.11. На какую максимальную высоту И поднимется ракета, если запустить ее
вертикально вверх с поверхности Земли с начальной скоростью v0, которая меньше вто-
R2v2
рой космической? Радиус и масса Земли равны R, и М, соответственно. (А = ——г)
2GM г - R%v£
Задача 5.12. Нарисовать фазовые траектории для одномерного негармонического ос¬
циллятора, у которого возвращающая сила пропорциональна кубу смещения из положе¬
ния равновесия: Fx = —Ах3. Выполняется ли для него теорема вириала?
Глава 6. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
§ 6.1. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. МОМЕНТ СИЛЫ
Кинетическим моментом, или моментом импульса L частицы, назы¬
вается векторное произведение радиуса-вектора частицы г на ее им¬
пульс р = т\\
L=rxp=rx ту. (6.1)
Направление вектора L перпендикулярно плоскости, в которой ле¬
жат векторы г и v, и определяется по правилу правого буравчика: вектор
г поворачивается к вектору v через наименьший угол, при этом L на¬
правлен в ту же сторону, куда при этом перемещается винт с правой
резьбой (рис. 6.1). Модуль вектора L равен произведению модулей век¬
торов г и v и синуса угла между ними (а < к):
L = wvsina. (6.2)
Легко установить закон изменения момента импульса. Дифферен¬
цируя обе части равенства (6.1) по времени, получим
^ =^Lxmy +rxm^-. (6.3)
Производная dr/dt = y, поэтому первое слагаемое в правой части (6.3)
обращается в нуль: v х v = 0, так как sina = 0. Во втором слагаемом в
правой части (6.3) выражение m(dv/dt) на основании второго закона
Ньютона равно равнодействующей всех сил F, действующих на рас¬
сматриваемую частицу. Поэтому равенство (6.3) переписывается в виде
^=rxF. (6.4)
Рис. 6.1. Определение направления векто¬
ра момента импульса (кинетического мо¬
мента) L по правилу правого буравчика
Рис. 6.2. К определению момента им
пульса (кинетического момента) системы
N частиц
9*
131
Векторное произведение rxF называется моментом силы F и обо¬
значается буквой N:
г х F = N. (6.5)
Теперь закон изменения момента импульса частицы окончательно
записывается в виде
§- = N. (6.6)
Обратим внимание на то, что центральное силовое поле, где г || F, не
меняет момента импульса движущейся в этом поле частицы, поскольку
в этом случае N = г х F = 0.
Кинетический момент, или момент импульса системы N частиц
(материальных точек), определяется как векторная сумма кинетических
моментов всех частиц системы при условии, что радиусы-векторы всех
частиц имеют общее начало О (рис. 6.2):
L=&< "fji xw<v<- (6-7)
/=i i=i
Все действующие на частицы системы силы разобьем на две груп¬
пы — внешние и внутренние. Внешние силы, как и раньше, имеют
один индекс: F, — равнодействующая всех внешних сил, действующих
на /-ю частицу системы. Внутренние силы имеют два индекса: ¥ik —
сила, с которой к-я частица рассматриваемой системы действует на /-ю
частицу.
На основании соотношения (6.4) для каждой частицы системы
справедливо:
^=r/xFI+^r/xF(, (/= 1, 2, ... ,N). (6.8)
к = 1
k*i
Для получения закона изменения момента импульса L всей системы
продифференцируем соотношение (6.7) по времени. Учитывая соотно¬
шение (6.8), имеем
<б-9>
/ = 1 /*1 i,k = 1
i*k
При выполнении третьего закона Ньютона F,* = —Fw и второй член в
правой части равенства (6.9) состоит из пар вида:
г, х F,* + г* х Ffe, (6.10)
для которых справедливо равенство:
132
Г/ * Fft + г* X Fa = (г,- - г*) х F,* = О,
(6.11)
так как сила F* действует вдоль прямой, соединяющей частицы / и к,
которая параллельна вектору т,к = г,■ — гк (см. рис. 6.2). В результате, с
учетом определения (6.5), закон изменения момента импульса системы
частиц (6.9) перепишется в виде
Скорость изменения кинетического момента системы равна сумме мо¬
ментов всех внешних сил.
В отсутствие внешних сил и в случае, когда векторная сумма их мо¬
ментов равна нулю, полный момент импульса системы частиц сохраня¬
ется.
Эффектные и поучительные опыты на закон сохранения момента
импульса можно проделать с помощью так называемой скамьи Жуков¬
ского. Она представляет собой диск, который может свободно вращать¬
ся вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках. Во время
опытов демонстратор садится или становится на диск и может привести
его во вращение, отталкиваясь от пола. После прекращения толчков
единственными внешними силами являются силы трения в подшипни¬
ках и силы сопротивления воздуха. Они очень малы, и вся система, со¬
стоящая из диска и демонстратора, обладает постоянным моментом им¬
пульса. С помощью скамьи Жуковского можно демонстрировать
векторный характер момента импульса. Для этой цели демонстратор бе¬
рет в руки ось вращающегося велосипедного колеса. Меняя ориента¬
цию оси колеса, демонстратор может добиваться изменения характера
вращения диска скамьи Жуковского как величины угловой скорости,
так и направления вращения.
§ 6.2. ОРБИТАЛЬНЫЙ И СОБСТВЕННЫЙ МОМЕНТЫ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
Перейдя в систему отсчета, связанную с центром масс рассматри¬
ваемой системы частиц, преобразуем обычным образом радиусы-век¬
торы г и скорости v, частиц:
где / = 1, 2, ..., (V; R — радиус-вектор центра масс в исходной лабора¬
торной системе отсчета; v = dRfdt — скорость центра масс в этой сис¬
теме; г,' и \) — радиус-вектор и скорость /-й частицы в системе центра
масс.
Подставляя соотношения (6.13) и (6.14) в определение кинетическо¬
го момента частиц (6.7), получим
(6.12)
(6.13)
(6.14)
133
L = ^(R + r') x mj (v, + v').
/ = 1
(6.15)
Раскрываем скобки в выражении (6.15) и учитываем, что
^m,r; =0, =0, (6.16)
1=1 i=i
поскольку первое из этих выражений дает числитель формулы для
радиуса-вектора центра масс в системе отсчета, связанной с центром
масс, а второе — числитель формулы для скорости центра масс в этой
системе отсчета. Поэтому формула (6.15) переписывается в виде
L=RxMv + ^(r,'xw2,v'), (6.17)
/ = 1
где М =
/=1
Первое слагаемое в правой части (6.17) есть орбитальный момент
системы частиц, равный произведению радиуса-вектора центра масс R
на импульс Р = Мус системы частиц. Второе слагаемое есть кинетиче¬
ский момент L' системы в системе отсчета, связанной с центром масс,
или собственный (внутренний) момент системы частиц:
L'=Xr;x^v;. (6.18)
Окончательно выражение для момента импульса рассматриваемой
системы частиц в исходной лабораторной системе отсчета записывается
в виде
L = R х Р + L'. (6.19)
Продифференцируем обе части равенства (6.19) по времени:
^=R*f + #■ <6-20>
В соотношении (6.20) учтено, что dR/dt = v, а вектор v коллинеарен
вектору Р, и их векторное произведение равно нулю. Далее, на основа¬
нии закона изменения импульса системы частиц имеем
f-fo. (6.21)
i= 1
Поэтому (6.20) можно переписать следующим образом:
^=Rx£f(. + (6.22)
/«I
134
С другой стороны, используя формулу (6.12) и подставляя в нес
г, = R+r,', получим
есть момент равнодействующей всех внешних сил, действующих на /-ю
частицу рассматриваемой системы в системе центра масс.
Сравнивая соотношения (6.22) и (6.23), приходим к равенству
Скорость изменения собственного момента системы частиц равна сум¬
ме моментов всех внешних сил в этой системе отсчета. Равенство (6.25)
формально имеет такой же вид, как и равенство (6.12). Однако по¬
следнее справедливо в инерциальной системе отсчета, в то время как
система центра масс, в которой справедливо равенство (6.25), может
двигаться с ускорением. Таким образом, даже в тех случаях, когда центр
масс системы частиц движется ускоренно, закон изменения момента
импульса в связанной с центром масс системе отсчета имеет такой же
вид, как и в инерциальной системе.
Использование закона изменения момента импульса рассматривае¬
мой механической системы позволяет в общем виде, не выписывая
уравнений динамики, анализировать характер движения составляющих
систему частиц. При этом использование закона сохранения энергии
позволяет в значительной степени детализировать картину движения.
Рассмотрим несколько примеров.
Предположим, что две проекции момента импульса — Lx и Ly мате¬
риальной точки массы т постоянны. Что можно сказать о третьей про¬
екции Lz и соответственно обо всем векторе момента L?
Составим скалярное произведение вектора L и радиуса-вектора час¬
тицы г. Учитывая определение (6.1), имеем
Аналогично, вследствие ортогональности векторов L и v имеем
(6.23)
где
n;. =г; xf.
(6.24)
(6.25)
Lr = (г х т\)т - О,
поскольку векторы L и г ортогональны.
(6.26)
Из выражения (6.26) следует равенство
Срс + L,y + = 0.
(6.27)
Lv = 0,
(6.28)
или
V, + Lyvy + L.vz = 0.
(6.29)
135
Соотношение (6.27) выполняется тождественно, поэтому его можно
продифференцировать по времени. Учитывая, что dLJdt = 0 и dLy/dt = О
по условию, а производные от координат дают соответствующие проек¬
ции скорости, получим
Lxvx + V, + *<Л = °. (6.30)
Вычитая почленно (6.29) из (6.30), приходим к равенству
Z^= 0. (6.31)
Здесь возможны два случая.
1. Координата z тождественно равна нулю: z — 0. Это означает, что
траектория движения лежит в плоскости лсу. При этом, вообще говоря,
Lz не константа. Однако, используя правило нахождения проекций век¬
торного произведения, с помощью определения (6.1) легко убедиться,
что в этом случае должны быть равны нулю проекции момента импуль¬
са Lx и Ly :
Lx - m(yvz - zvy) = 0, Ly- m(zvx - zvj = 0. (6.32)
2. Координата z не равна нулю тождественно: z * 0. Тогда из соотно¬
шения (6.31) следует, что dLJdt — 0, т. е. проекция Lz постоянна. В этом
случае поле центрально, поскольку из соотношения (6.4) следует, что
действующая на частицу сила направлена вдоль ее радиуса-вектора:
<&.=rxF=0. (6.33)
Итак, окончательный ответ таков. Если постоянные по условию
проекции момента импульса Lx и Ly имеют нулевые значения, то проек¬
ция Lz не обязана быть константой. Если же хоть одна из величин Lx и
Ly отлична от нуля, то проекция Lz постоянна и поле центрально.
Задачи к главе 6
Задача 6.1. Частица массой т закреплена на нити и вращается в го¬
ризонтальной плоскости с начальной скоростью v0. Нить, наматываясь
на стержень, уменьшает радиус вращения от /•„ до г Как меняется ско¬
рость частицы v?
Решение. Сила натяжения нити действует вдоль радиуса, поэтому
момент вращения равен нулю, а момент импульса сохраняется:
mvnr0 = mvr,
поэтому изменение скорости
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.2. Чему равен относительно центра орбиты момент импульса спутника Зем¬
ли массой т, который движется по круговой орбите радиусом г? Радиус Земли R, ускоре¬
ние свободного падения g. (mR-Jgr)
Задача 6.3. Как трение в верхних слоях атмосферы влияет на скорость спутника, дви¬
гающегося по круговой орбите? (Скорость увеличивается)
Задача 6.4. Две частицы массой т каждая находятся на краю стола на расстоянии d
друг от друга. Одна из частиц соскальзывает и падает вертикально вниз. Найти в системе
отсчета оставшейся частицы момент силы, действующий на падающую. (mgd)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Входят ли внутренние силы в закон изменения импульса системы?
2. Верно ли утверждение, что закон изменения импульса справедлив только для
инерциальных систем отсчета?
3. Влияют ли внутренние силы на ускорение центра масс?
4. В процессе разгона ракеты ее двигатель работает в постоянном режиме, так что от¬
носительная скорость истечения газов и расход топлива в единицу времени неизменны.
Будет ли при этом ускорение ракеты постоянным?
5. Выведите уравнение Мещерского, используя инерциальную систему отсчета, в ко¬
торой ракета уже имеет скорость v.
6. На тело действует сразу несколько сил. Какая работа фигурирует при этом в теоре¬
ме о кинетической энергии?
7. Какая формула является определением потенциальной энергии?
8. Может ли быть разрывным одномерный график зависимости потенциальной силы
от координаты? График потенциальной энергии? Если нет, то почему?
9. Почему нельзя ввести понятие потенциальной энергии для непотенпиалыюй
силы?
10. При каких условиях механическую систему можно считать консервативной?
11. Вам продемонстрировали фазовый портрет одномерного финитного движения
частицы. Какую информацию об энергии частицы Вы можете получить из него?
12. При каких условиях выполняется теорема вириала?
13. Приведите пример экспериментального доказательства векторного характера мо¬
мента импульса.
14. Взрослая Алиса, став физиком, отправилась в Зазеркалье изучать движение час¬
тиц под действием моментов сил. Нужно ли ей переопределять векторное произведение
при отражении движения в зеркале, чтобы формулы шестой главы оставались по-преж¬
нему справедливыми?
15. Какую новую информацию можно извлечь из закона изменения собственного мо¬
мента частиц в дополнение к законам изменения механической энергии и импульса''
Описание программного обеспечения по теме
«Фундаментальные динамические величины в классической
механике»
Crocodile Physics
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/MЕ/2000 или Макинтош;
• ПЭВМ типа IBM PC 386SX;
• 4МВ ОЗУ;
• подключение к Интернету;
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
137
Параметры загрузки:
• файл: 5,3 Мб (Windows) или 8,7 МБ (Мае);
• примерное время загрузки: 20 мин (Windows), 35 мин (Мае).
2. Назначение программы и ее возможности
Внимание: программа англоязычная.
Сборник симуляционных программ, запускаемых непосредственно из Интернета,
расположен по адресу.
http://www.crocodile-clips.com/phys.htm
Программа, которую можно использовать и для демонстрации, и как тестовую про¬
грамму по всему курсу физики. Демо-версия работает в течение 2 ч. Меню содержит за¬
пуск программы-гида, знакомящего новичка с особенностями работы пакета. Ознакоми¬
тельный тур запускается в режиме on-line.
Демо-версия программы предлагает примеры по оптике, электричеству и механике,
включая описание экспериментов. Они запускаются из меню программы, находящегося в
левой части экрана, командами Open в меню File.
Программа имеет дружественный интерфейс и доступна студентам, минимально вла¬
деющим английским языком.
РАЗДЕЛ III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В МЕХАНИКЕ
Глава 7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И ИМПУЛЬСА
§ 7.1. РОЛЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Законы динамики позволяют полностью описать механическое пове¬
дение изучаемой системы и получить полную детальную информацию об
изменении механического состояния системы во времени. Однако фак¬
тическое получение этой информации на основе законов Ньютона часто
сопряжено с большими математическими трудностями. Кроме того, час¬
то бывает не нужна столь детальная информация. Например, может ин¬
тересовать только конечное состояние системы, реализующееся спустя
определенный промежуток времени после начала движения. Между тем
использование законов динамики подразумевает последовательное про¬
слеживание механического движения всех образующих систему частиц.
Такое положение естественным образом заставляет задуматься над
вопросом, нельзя ли найти какой-либо другой подход к изучению
механического поведения физических систем, основанный на учете глу¬
бинных свойств пространства и времени, симметрии физической систе¬
мы, каких-то общих принципов. Такой подход приводит к установ¬
лению факта существования сохраняющихся физических величин,
которые не меняют своего значения при всех происходящих в замкну¬
той системе изменениях. К таким сохраняющимся величинам прежде
всего относятся импульс, момент импульса, энергия. Самое сущест¬
венное в законах сохранения заключается в том, что одна и та же
сохраняющаяся физическая величина, например энергия, фигурирует в
явлениях разной физической природы, изучаемых в разных разделах
физики. Использование фундаментальных законов сохранения позво¬
ляет взглянуть на изучаемые явления с более общих позиций и часто
дает возможность получить ответы на вопросы относительно тех явле¬
ний и процессов, для Которых неизвестны описывающие их физические
законы. Кроме того, на таком пути удается проследить взаимосвязь ме¬
жду свойствами физических систем и пространства и времени.
Законы сохранения энергии и импульса позволяют проще находить
ответы на вопросы, связанные с движением тел, чем непосредственное
применение законов динамики. Более того, эти законы в ряде случаев
позволяют получить информацию о движении тел даже тогда, когда не¬
известны действующие силы. Именно так обстоит дело в физике эле¬
ментарных частиц.
139
Законы сохранения энергии и импульса являются единственным
средством теоретического изучения процессов столкновения тел, когда
неизвестны действующие при столкновении силы. Под столкновениями
в физике понимают самые разнообразные процессы взаимодействия тел
при условии, что на бесконечно большом расстоянии друг от друга тела
являются свободными. При сближении тела взаимодействуют между со¬
бой, и результат этого взаимодействия может быть разнообразным —
тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут
образоваться новые тела, наконец, сталкивающиеся тела могут снова
разойтись без изменения своего внутреннего состояния (абсолютно уп¬
ругий удар). Столкновения макроскопических тел всегда в той или иной
степени неупруги, однако часто при решении задач используется мо¬
дель абсолютно упругого удара, хорошо описывающая некоторые реаль¬
ные процессы. В физике атомных явлений и в физике элементарных
частиц модель упругого удара адекватно описывает происходящие про¬
цессы в случаях, когда внутреннее состояние сталкивающихся частиц
не изменяется вовсе.
Используя законы сохранения для рассмотрения процессов столк¬
новения тел, следует помнить, что уравнения, соответствующие зако¬
нам сохранения, описывают не сами происходящие процессы (как это
имеет место при использовании уравнений динамики), а только баланс
сохраняющихся физических величин. Поэтому при интерпретации по¬
лученных из законов сохранения результатов необходим тщательный
отбор решений, имеющих физический смысл, т. е. соответствующих
именно тем процессам, которые фигурируют в условии задачи. Лишние
корни появляются потому, что одни и те же уравнения законов сохра¬
нения могут соответствовать разным физическим процессам.
Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Горизонталь¬
но летящая пуля массы т насквозь пробивает первоначально покоив¬
шийся шар массы М и вылетает из него со скоростью, вдвое меньшей
первоначальной. Какая доля кинетической энергии пули превратилась в
тепло, т. е. во внутреннюю энергию? Для ответа на этот вопрос можно
воспользоваться законом сохранения импульса, который запишется в
виде
где V — скорость шара после взаимодействия с пулей, и законом сохра¬
нения энергии, учитывая, что часть первоначальной кинетической
энергии превратится в тепло:
mv = MV+Jf-,
(7.1)
(7.2)
Выражая из формулы (7.1) приобретаемую шаром скорость V
(7.3)
и подставляя это значение в формулу (7.2), получим
140
Теперь для а — искомого отношения Q к первоначальной энергии
mv2/2 — получаем
Однако формула (7.5) еще не дает ответа на поставленный вопрос, по¬
скольку те же самые уравнения (7.1) и (7.2) будут справедливы и в слу¬
чае, когда пуля только толкнет шар и будет лететь позади него со
скоростью v/2.
Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда пуля пробивает шар
насквозь, выполняется условие V< v/2. При этом из выражения (7.3)
следует, что
Только в совокупности с условием (7.6) формула (7.5) дает ответ на
поставленный вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от значения от¬
ношения масс т/М во внутреннюю энергию может превратиться от по¬
ловины (при т -» М) до трех четвертей (при т 0) первоначальной ки¬
нетической энергии:
Обратим внимание на то, что при т/М = 3, как следует из (7.5), теп¬
ло вообще не выделяется — механическая энергия при ударе сохраняет¬
ся, что соответствует абсолютно упругому удару. Легко видеть, что это
происходит в случае, когда пуля только толкает шар.
Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары могут быть рас¬
смотрены в общем виде, независимо от природы сталкивающихся объ¬
ектов. При абсолютно неупругом ударе двух тел они соединяются вме¬
сте и движутся дальше как одно тело. Примеры таких процессов —
застревание пули в деревянном бруске, захват нейтрона атомным ядром
и т. д. Если сталкивающиеся тела образуют замкнутую систему, в кото¬
рой действуют только внутренние силы, то полный импульс системы
остается постоянным. Это позволяет найти скорость тела, образовавше¬
гося при неупрутом соударении тел.
Обозначив скорости тел с массами тх и т2 до удара через v, и v2, а
скорость образовавшегося при неупругом ударе тела массы (/я, + тг) че¬
рез v, получим на основании закона сохранения импульса
(7.5)
(7.7)
§ 7.2. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
141
/H,V, + тгуг = (w, + m2)v,
(7.8)
откуда
m,vi+m2v,
тх + тг '
Легко видеть, что определяемая формулой (7.9) скорость v есть ско¬
рость движения центра масс сталкивающихся тел, которая, естественно,
в замкнутой системе остается неизменной.
Теперь из теоремы Кенига [см. § 5.5, формула (5.47)] следует, что
часть первоначальной кинетической энергии системы, соответствовав¬
шая движению сталкивающихся частиц относительно их центра масс,
превращается во внутреннюю энергию. Кинетическая энергия частиц
после неупругого соударения есть
к (? Ш)
Подставляя в формулу (7.10) v из соотношения (7.9) и составляя раз¬
ность кинетических энергий до и после удара, получим
£к-£; =^ + ^-iM^l = lp(v,-v2)2, (7.11)
где величина
ц = т-,т2~- (7.12)
р тх + т2 v '
называется приведенной массой двух тел.
В отличие от неупругого удара, при абсолютно упругом ударе сохра¬
няется не только импульс, но и механическая энергия, так как внутрен¬
нее состояние сталкивающихся частиц не меняется.
Будем для простоты считать, что одна из частиц (массы тг) до
столкновения покоится. По существу это означает переход в другую
систему отсчета, которая является инерциальной, поскольку до столк¬
новения частицы являются свободными и, следовательно, движутся
равномерно и прямолинейно в исходной инерциальной системе отсче¬
та. Назовем неподвижную частицу мишенью, а налетающую на нее час¬
тицу с массой /и, и скоростью v, — снарядом. Скорости частиц, разле¬
тающихся после упругого столкновения, обозначим через v'h v'2
соответственно. На основании законов сохранения импульса и энергии
имеем
/7ij v, =тх\\ +т2\'2, (7.13)
(7.14)
142
Рассмотрим некоторые простые частные случаи. При лобовом или
центральном столкновении, когда скорость v, направлена вдоль линии,
соединяющей центры сталкивающихся частиц, например шаров, скоро¬
сти шаров после удара будут направлены по этой же линии. Записав ра¬
венство (7.13) в проекции на это направление и решая получившееся
уравнение совместно с (7.14), получим для проекций у[и v'2 скоростей
шаров после удара выражения:
, т,-тг , 2т, , ,ч
v. =^7vi’ v2=7^v>- <7Л5)
При одинаковых массах шаров (/и, = т2) налетающий шар при ударе ос¬
танавливается, а второй шар после удара движется с такой же скоро¬
стью, как и первый шар до удара. Если снаряд легче мишени (/я, < т2),
то vf < 0, т. е. снаряд при ударе отскакивает назад. Если при этом
/и, « т2 (неподвижная массивная преграда), то скорость снаряда про¬
сто меняет направление на противоположное, оставаясь неизменной по
модулю. Если снаряд тяжелее мишени, то после удара он продолжает
двигаться в том же направлении с меньшей скоростью. Все эти законо¬
мерности, следующие из соотношения (7.15), легко наблюдать на опы¬
те, изучая столкновения подвешенных на нитях упругих шаров или
столкновения движущихся на воздушной подушке тележек с упругими
пружинными бамперами.
Рассмотрим передачу энергии между сталкивающимися телами при
абсолютно упругом ударе. Нетрудно убедиться, что при равных массах
происходит полный обмен кинетическими энергиями, в то время как
при большой разнице в массах снаряд при столкновении передает ми¬
шени лишь малую часть своей энергии. Действительно, если т, << т2,
то из второй формулы (7.15) получаем
vi*2^vlf (7.16)
откуда для кинетической энергии мишени после удара имеем
£к2 - 2 ~ Щ 2 2 •
Если, наоборот, /я, >> т2, то из второй формулы (7.15) имеем
v' *2v, (7.18)
и соответственно
Е'к2=^ = (7.19)
В общем случае, когда скорость налетающей частицы не направлена
по линии, соединяющей центры шаров, удар называется нецентраль¬
ным. Для его изучения следует использовать систему уравнений (7.13) и
143
(7.14), учитывая векторный характер импульса. В случае равных масс
неподвижной и налетающей частиц при нецентральном упругом ударе
снаряд и мишень разлетаются под прямым углом друг к другу. В самом
деле, при т, = т2 (7.13) и (7.14) записываются в виде
vi =v'i +v2- v,2 + vj2 + v'2 . (7.20)
Первое из этих равенств означает, что векторы v,, у\ и \'2 образуют
треугольник, а второе — что для этого треугольника справедлива теоре¬
ма Пифагора.
Но законов сохранения недостаточно для определения направления
векторов v j и v'2 относительно направления движения налетающей час¬
тицы. Необходимо знать закон взаимодействия между частицами и их
взаимное расположение при столкновении.
В общем случае частиц с различными массами и нецентрального
удара удобно использовать геометрическое представление законов со¬
хранения. Для этого из исходной лабораторной системы отсчета следует
перейти в систему центра масс сталкивающихся частиц. Эта система,
очевидно, также является инерциальной, но в ней неподвижен центр
масс как до, так и после столкновения, а обе частицы — снаряд и ми¬
шень — движутся. Система центра масс движется относительно исход¬
ной лабораторной системы отсчета с такой же скоростью v, как и центр
масс:
m,v ]+тг\2 _ т1
ml + m2 т] + тг 1’
у,, (7.21)
так как частица-мишень в лабораторной системе до столкновения по¬
коилась, т. е. v2 = 0.
В системе центра масс импульсы снаряда и мишени равны по мо¬
дулю и противоположны по направлению, ибо суммарный импульс в
этой системе отсчета равен нулю. В силу закона сохранения импульса
импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по мо¬
дулю и противоположными по направлению, а в силу закона сохране¬
ния энергии остаются неизменными и их модули. Таким образом, в
системе центра масс результат столкновения сводится к повороту ско¬
ростей обеих частиц, остающихся противоположно направленными и
неизменными по модулю (рис. 7.1). Угол поворота 0 не может быть оп¬
ределен только из законов сохранения. С помощью рис. 7.1 скорости
частиц в исходной лабораторной системе отсчета можно получить та¬
ким геометрическим построением (рис. 7.2). Отложим вектор ОА, рав¬
ный скорости снаряда в системе центра масс до удара v10. Скорость
снаряда в лабораторной системе v, равна векторной сумме v10 и ско¬
рости центра масс v, т. е. изображается вектором ВА на рис. 7.2, так
как v и vl0 параллельны. Модуль вектора ВА равен v,, а модуль вектора
ВО равен v = m]v[/(ml + т2). Поэтому модуль вектора ОА равен
v„, = V, - v = m2vl/(m[ + т2). Это означает, что рис. 7.2 соответствует
случаю т] < т2 — снаряд легче мишени. После столкновения модуль
144
Рис. 7.1. Столкновение частиц в системе Рис. 7.2. Столкновение частиц в лабора-
центра масс торной системе (случай тх < т2 — снаряд
легче мишени)
скорости снаряда в системе центра масс v']0 равен модулю скорости v,0
и поэтому изображается некоторым вектором ОС, конец которого ле¬
жит на окружности радиусом v1Q с центром в т. О. Скорость частицы
после столкновения v, равна векторной сумме v'0 и скорости центра
масс V. Поэтому на рис. 7.2 эта скорость изображается вектором ВС.
Угол ф характеризует изменение направления скорости снаряда в ре¬
зультате упругого столкновения. Этот угол называется углом рассеяния.
Поскольку в рассматриваемом случае (тх < т2) т. В лежит внутри
окружности, угол рассеяния снаряда ф может принимать любые значе¬
ния. Если снаряд тяжелее мишени (от, > т2), то т. В будет находиться
вне окружности (рис. 7.3). В этом случае угол рассеяния частицы-
снаряда ф не может превышать некоторого максимального значения
Фтах, синус которого равен отношению vKI/v:
мпФтах=^ = ^. (7.22)
Кроме угла рассеяния ф, характеризующего отклонение направле¬
ния скорости снаряда после соударения v' от направления vh представ¬
ляет интерес также и угол а, под которым
разлетаются частицы после столкновения.
Этот угол называется углом разлета. В систе¬
ме центра масс он равен тс, так как частицы
разлетаются в противоположные стороны.
Для нахождения этого утла в лабораторной
системе отсчета вернемся к рис. 7.1, с помо¬
щью которого можно построить и вектор ско¬
рости v'2 частицы-мишени после столкнове¬
ния в лабораторной системе. На рис. 7.4
такое построение выполнено для случая
тх < т2. Из рис. 7.4 видно, что в зависимости
от угла 0, характеризующего поворот векто-
10-3840
Рис. 7.3. Столкновение час¬
тиц в лабораторной системе
(случай тх> т2 — снаряд
тяжелее мишени)
145
Рис. 7.4. Нахождение угла разлета в лабо- Рис. 7.5. Импульсы сталкивающихся час-
раториой системе (случай т1 < т2) тиц в лабораторной системе
(случай т, <т2)
ров скоростей частиц в системе центра масс, угол разлета а может при¬
нимать различные значения. Но эти значения всегда превышают тс/2,
так как образующие его векторы v', и v'2 опираются на отрезок |v'10 -v'20|,
который больше диаметра окружности радиуса v20. В случае, когда сна¬
ряд тяжелее мишени {т] > т2), частицы после упругого столкновения
разлетаются под острым углом.
Описанные закономерности еще проще увидеть с помощью геомет¬
рических построений, в которых фигурируют не скорости, а импульсы
сталкивающихся частиц. Если все векторы на рис. 7.2 умножить на массу
налетающей частицы ть то вектору ВА будет соответствовать импульс
снаряда до столкновения р, в лабораторной системе отсчета, равный
полному импульсу сталкивающихся частиц, поскольку мишень поко¬
ится (рис. 7.5). Радиус окружности ОА = т,уш = (m,w2/('”i + w2))v, = pv,.
Вектор ВС будет соответствовать импульсу р' снаряда после столкнове¬
ния. В силу уравнения (7.13) импульсу р'2 мишени после столкновения
будет соответствовать вектор СА. Сумма углов 0, и 02 будет давать угол
разлета а, который в рассматриваемом случае (т] < т2) будет больше
я/2, так как угол в вершине С острый. На рис. 7.6 показана аналогичная
диаграмма для случая т, > т2. Видно, что в этом случае сумма
0! + 02 < я/2.
Отметим, что описанные закономерности упругих столкновений ос¬
таются справедливыми и для незамкнутых систем, если импульс внеш¬
них сил за время столкновения мал по сравнению с импульсами внут¬
ренних сил. Так, например, магнитное поле в камере Вильсона
искривляет траектории заряженных частиц до и после их столкновений
друг с другом, однако во время столкновения действием магнитного
поля можно пренебречь.
Аналогичные выкладки и построения можно провести для случая,
когда в лабораторной системе отсчета обе частицы до столкновения
146
Рис. 7.6. Импульсы сталкивающихся частиц в лабораторной системе (случай т1 > т2)
движутся. Однако практически в этом нет необходимости, потому что,
как уже отмечалось, ответ в этом случае может быть получен просто пе¬
реходом в новую инерциальную систему отсчета.
Обратим внимание на пример рассмотрения упругого столкновения
двух движущихся частиц. В момент наибольшего сближения частиц при
упругом лобовом столкновении их скорости оказались одинаковыми и
равными v. Какими будут скорости этих частиц после разлета, если до
столкновения они двигались со скоростями V, и v2? Чему равно отноше¬
ние масс этих частиц?
Поскольку по условию удар лобовой, векторы v, v, и v2 в лаборатор¬
ной системе отсчета направлены вдоль одной прямой. Их проекции на
эту прямую будем обозначать соответствующими буквами без стрелок.
Приступая к записи законов сохранения импульса и энергии, учтем, что
закон сохранения импульса справедлив для всех этапов процесса столк¬
новения, поэтому
Уравнение (7,23) означает, что скорость v представляет собой ско¬
рость центра масс сталкивающихся частиц в лабораторной системе от¬
счета, а уравнение (7.24) — что эта скорость не изменяется в результате
происшедшего столкновения. Очевидно, что скорости частиц в системе
центра масс до столкновения равны v, — v и v2 — v. В системе центра
масс при лобовом упругом столкновении скорости частиц просто меня¬
ют свои направления на противоположные, поэтому после столкнове¬
ния они будут равны v — v, и v - v2 соответственно. Чтобы найти их
значения в лабораторной системе отсчета, к каждой из них нужно при¬
бавить скорость центра масс v. Итак,
т,у, + m2v2 = (л7| + m2)v,
(т] +m2)v =ml v{ +m2v'2.
(7.23)
(7.24)
v]'=2v-vl, v2 =2v-v2.
(7.25)
10*
147
Обратим внимание на то, что при проведении рассуждений в систе¬
ме центра масс не пришлось ни явно использовать значение отношения
масс частиц у = тх/тъ ни выписывать уравнение закона сохранения
энергии. Значение у можно найти из уравнения (7.23), что дает
у = (v - v2)/(v, - v).
Если пытаться получить ответы на сформулированные вопросы не¬
посредственно в исходной лабораторной системе отсчета, то к уравне¬
ниям (7.23) и (7.24) придется добавить уравнение закона сохранения
энергии. При сближении частиц их кинетическая энергия частично
превращается в потенциальную энергию их взаимодействия, которая
при упругом столкновении затем снова превращается в кинетическую.
Поэтому справедливо
В систему уравнений (7.23), (7.24) и (7.26) фактически входит только
отношение масс частиц у, поэтому из нее можно найти все три неиз¬
вестные величины — у, v[ и v'2.
Рассмотрим процесс рассеяния а-частиц на неподвижных атомных
ядрах: а-частица, летевшая со скоростью v,, упруго рассеивается на не¬
подвижном ядре и изменяет направление движения на п/2. Требуется
определить скорость ядра после столкновения с а-частицей.
В условии ничего не сказано о соотношении масс а-частицы и атом¬
ного ядра. Поэтому здесь удобнее не обращаться к выявленным выше за¬
кономерностям, а непосредственно обратиться к законам сохранения.
Если внутреннее состояние атомного ядра при столкновении не из¬
меняется, то столкновение можно рассматривать как абсолютно упру¬
гий удар, при котором выполняются законы сохранения импульса и
энергии. Пусть т, и т2 — массы а-частицы и ядра, a v' и \'2 — их ско¬
рости после столкновения. Тогда уравнения законов сохранения им¬
пульса и энергии запишутся в виде
Уравнению (7.27) соответствует треугольник импульсов, который
является прямоугольным благодаря заданному условию (рис. 7.7). На¬
правление движения ядра после удара составляет некоторый угол е с
первоначальным направлением движения а-частицы. Из рис. 7.7 следу¬
ет, что
§ 7.3. РАССЕЯНИЕ а-ЧАСГИЦ
т] V, =т1\] +т2\2,
(7.27)
mxv] _ mtv'/ i m2v'/
2 2“ + _Г~
(7.28)
(7.29)
148
На основании теоремы Пи¬
фагора из (7.27) или из рис. 7.7
следует равенство
от2 v22 =от,2 (v,2 + v[2). (7.30)
Подставляя сюда v'22 из
уравнения (7.28), находим
да v
I I
после чего из (7.30) имеем
Рис. 7.7. Рассеяние а-частиц:
к законам сохранения (7.27) и (7.28)
2 да,2
(7.32)
у . . .-L
1 (да2+да, )да2‘
С учетом формулы (7.31) из (7.29) получим выражение для tge:
Из выражения (7.31) или (7.33) следует, что рассеяние а-частицы на
тг/2 при столкновении с неподвижным атомным ядром возможно толь¬
ко в том случае, когда ее масса меньше массы ядра: от, < от2. Поэтому
сформулированное условие не может быть выполнено, если а-частицы
рассеиваются на ядрах водорода, дейтерия, трития или гелия.
Интересно оценить условия, при которых для столкновения а-
частиц с атомными ядрами будет справедлива рассмотренная выше мо¬
дель абсолютно упругого удара. В действительности а-частица может не
приходить в непосредственное соприкосновение с ядром. Между нале¬
тающей частицей и ядром действует кулоновская сила отталкивания.
Ближе всего а-частица подходит к ядру при центральном (лобовом)
ударе, в результате которого она либо рассеивается назад (при от, < от2),
либо продолжает движение в том же направлении (при от, > от2). Чтобы
оценить по порядку величины наименьшее расстояние г0, на которое
а-частица может приблизиться к ядру, будем считать, что ядро остает¬
ся неподвижным (закреплено), и приравняем первоначальную кинети¬
ческую энергию а-частицы потенциальной энергии системы «а-
частица плюс ядро» в момент остановки а-частицы:
где Ze — заряд ядра.
Если скорость налетающей а-частицы такова, что вычисленное по
формуле (7.34) значение га окажется больше размера ядра R ~ 1(Н3 см,
то в процессе столкновения на а-частицу и на ядро действуют только
(7.33)
149
кулоновские силы, а короткодействующие ядерные силы не играют ни¬
какой роли. Очевидно, что модель упругого удара при этом применима.
Положив в (7.34) га равным радиусу действия ядерных сил R ~
= 10-13 см, можно оценить максимальную скорость а-частицы, при ко¬
торой она еще будет упруго рассеиваться на ядре, не изменяя его внут¬
реннего состояния. Так, при Z= 79 (как у ядра золота, использовавше¬
гося в опытах Резерфорда) эта скорость v, « 106 м/с. При больших
скоростях налетающих а-частиц возможно изменение внутреннего со¬
стояния ядра, и модель абсолютно упругого удара уже не годится.
§ 7.4. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛИ УПРУГОГО
СТОЛКНОВЕНИЯ
При рассмотрении столкновений реальных макроскопических тел
(шаров, стержней, брусков и т. д.) вопрос об упругом или неупругом ха¬
рактере удара требует специального исследования даже в тех случаях,
когда сталкиваются тела, сделанные из упругих материалов. Формаль¬
ное применение законов сохранения энергии и импульса может приво¬
дить в таких случаях к заведомо неверным результатам. При любом уда¬
ре происходит быстрое (почти мгновенное) введение новой связи в
систему, которая изменяет условия возможных перемещений тел. На¬
пример, струя воды встречает плоскую лопатку ab, заставляющую ее
растекаться по сторонам (рис. 7.8). Это новая связь в системе, которая
остается постоянной, приводя к неупругому удару, хотя происходит
столкновение двух упругих тел — воды и твердой лопатки. С такой по¬
зиции упругий удар — это совокупность быстрого введения связи (неуп¬
ругий удар или первая фаза упругого удара) и быстрого уничтожения
связи (вторая фаза упругого удара, называемая иногда взрывом). Дейст¬
вительно при столкновении двух одинаковых шаров они сначала дефор¬
мируют друг друга до тех пор, пока их скорости не станут одинаковыми.
Если шары сделаны из неупругого материала, то на этом процесс столк¬
новения заканчивается. Это — неупругий удар. Если шары сделаны из
упругого материала, то начинается восстановление их формы — вторая
фаза соударения, которая делает его упругим. Легко видеть, что первая
фаза соответствует быстрому введению новой связи (каждый шар меша-
ет другому свободно двигаться), а вто-
I рая фаза — быстрому удалению связи
(восстанавливающие свою форму шары
разлетаются друг от друга).
Невозможность непосредственного
использования законов сохранения им¬
пульса и кинетической энергии связа¬
ны с конечностью времени столкнове¬
ния реальных протяженных тел, в тече-
> ние которого в сталкивающихся телах
происходят другие процессы (распро-
Рис. 7.8. Растекание струи волы страняется волна деформации), КОТО-
по плоской лопатке рые приводят к превращению кинети-
150
Рис. 7.9. Столкновение двух стержней v
разной длины
ческой энергии сталкивающихся тел в другие виды энергии (энергию
волны деформации в теле). Для примера рассмотрим процесс столкнове¬
ния двух стержней разной длины, сделанных из одинакового упругого
материала.
Пусть один из стержней вдвое длиннее другого, и они движутся с
одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу (рис. 7.9).
В момент соприкосновения торцов стержней в каждом из них начинает
распространяться волна упругой деформации. Те точки стержней, до
которых фронт волны деформации еще не дошел, ничего «не знают» о
том, что уже началось столкновение, и продолжают двигаться так же,
как и до начала столкновения (рис. 7.10). Поэтому различие в длинах
стержней начнет проявляться только тогда, когда волна сжатия достиг¬
нет конца короткого стержня (см. рис. 7.10, б). В длинном стержне вол¬
на сжатия успеет дойти при этом только до его середины.
Начиная с этого момента, процессы в стержнях будут различаться.
Так как при распространении упругих волн взаимодействуют между со¬
бой только соседние участки среды, то в длинном стержне волна сжатия
будет и дальше продолжать распространяться в том же направлении, а
короткий стержень начинает возвращаться в недеформированное состоя-
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
1 V"
1
и t
lill'ly^PlilTlllllv
=ШИ -г 1
и
и 1
1 -v Э1И!11!11
|vfri!l!!lillll! "VI
1 -v |
: v=fl i !
1 ~’v"’ I~v°!
il iilFi) 'llill°ir|
| -у- I -
v~° | ° v" |
« U
и л
1 1 "V
1 -V-
—и ■ и
^ v 0 11 °Т
rlyiffii. T „I
Рис. 7.10. Последовательность процесса столкновения двух стрежней разной длины
151
ние (см. рис. 7.10, в). Этот процесс начинается у левого свободного конца
короткого стержня и постепенно приближается к месту контакта стерж¬
ней. Все частицы в освободившемся от деформации участке короткого
стержня движутся влево с одинаковой скоростью v. Глядя на рис. 7.10,
легко убедиться, что описываемая картина происходящих процессов пол¬
ностью согласуется с законами сохранения импульса и энергии.
В тот момент, когда волна сжатия достигнет правого свободного
конца длинного стержня, короткий стержень оказывается полностью
недеформированным (см. рис. 7.10, г). При этом скорость всех точек
длинного стержня равна нулю, а скорость всех точек короткого стержня
равна v и направлена влево. В этот момент все упругие процессы в ко¬
ротком стержне заканчиваются, а в длинном начинается процесс воз¬
вращения в недеформированное состояние. Этот процесс развивается с
обоих концов стержня, так как взаимодействие между длинным стерж¬
нем и коротким, освободившимся от деформации, отсутствует. Частицы
длинного стержня в освобождающихся от деформации участках вблизи
его краев имеют скорости v, направленные так, как показано на рис.
7.10, д. Стержни все еще находятся в контакте, но уже не действуют
друг на друга. Силы взаимодействия между стержнями отсутствуют, по¬
тому что соприкасающиеся участки стержней уже не деформированы,
но стержни еще не разъединяются, так как эти их участки имеют одина¬
ковые скорости.
В тот момент времени, когда длинный стержень полностью освобо¬
дится от деформации, скорости всех его частиц слева от середины
стержня будут направлены влево, а скорости всех частиц правой по¬
ловины стержня — вправо (см. рис. 7.10, ё). Поэтому в обе стороны
от середины стержня начнет распространяться волна растяжения
(см. рис. 7.10, ж). В растянутой части стержня, заштрихованной на
этом рисунке, скорости частиц стержня равны нулю, а вне этой части
по-прежнему равны v.
Когда волна растяжения достигнет концов стержня, скорости всех
его частиц обратятся в нуль (см. рис. 7.10, з). С этого момента корот¬
кий стержень перестанет касаться левого конца длинного стержня.
Процесс столкновения стержней на этом заканчивается. Дальше рас¬
тянутый длинный стержень опять начнет освобождаться от деформа¬
ции (см. рис. 7.10, и) и т. д. После столкновения кинетическая энергия
короткого стержня такая же, как и до столкновения, а кинетическая
энергия поступательного движения длинного стержня равна нулю, так
как он как целое покоится. Запасенная энергия возникших в нем ко¬
лебаний равна его первоначальной кинетической энергии. Отсюда
следует, что модель абсолютно упругого удара, в которой принимает¬
ся, что кинетическая энергия сталкивающихся тел сохраняется, в рас¬
сматриваемом случае оказывается совершенно неприменимой.
Такого же аккуратного анализа заслуживают и столкновения не¬
скольких тел. Здесь возникает новый вопрос, суть которого ясна из
следующего примера. На длинных нитях одинаковой длины подвешены
три одинаковых костяных шара, соприкасающихся друг с другом.
Один из крайних шаров отклоняют на некоторый угол и отпускают
152
а) б)
Рис. 7.11. Пример столкновения нескольких тел
(рис. 7.11). Опыт показывает, что после удара отскакивает только
один шар, висящий с другого края, а средний шар остается на месте.
Поэтому происходящее столкновение нельзя рассматривать как один
удар отклоненного шара с системой двух неподвижно висящих шаров —
необходимо рассматривать два последовательно происходящих упругих
соударения — отклоненного шара с центральным, а затем центрального
шара со вторым крайним, хотя шары и висят вплотную друг к другу.
Задачи к главе 7
Задача 7.1. На покоящуюся частицу налетает частица такой же мас¬
сы. Найдите угол разлета частиц после нецентрального удара.
Решение. Запишем закон сохранения импульса т\ = ти1 + ти2 и
mv2 mu1 mul .
энергии + (первый из них можно сократить на т, а вто¬
рой — на т/2). Здесь v — скорость налетающей частицы, а и, и и2 — ско¬
рости частиц после разлета. Возводя в квадрат закон сохранения импуль¬
са, получаем v2 =«,2 +2u,u2 +и\. Вычитая из полученного выражения
закон сохранения энергии, получаем 2u,u3 =0. Поскольку скорости раз¬
летающихся частиц ненулевые по условию задачи, для равенства нулю их
скалярного произведения необходимо, чтобы угол между ними был пря¬
мой: п/2.
Задача 7.2. Во сколько раз уменьшается скорость а-частицы после
центрального упругого удара о неподвижный протон, масса которого т2
в 4 раза меньше массы /и, а-частицы?
Решение. Запишем закон сохранения импульса и энергии:
т{\ = m,v, + т2 v2;
m]v2 _m\V2l miv\
~г 2~ + ~T~''
Введем переменную х = v/v, и учтем, что mjm2 = 4. После этого, ском¬
бинировав законы сохранения, получим квадратное уравнение
Зх2 - 8х + 5 = 0.
Оно имеет два корня. Первый корень х — 1 соответствует случаю,
когда а-частица просто пролетает далеко от неподвижного протона, не
1ST
взаимодействуя с ним. Лобовому соударению, таким образом, отвечает
лишь второй корень со значением х — 5/3.
Задача 7.3. Показать, что в лабораторной системе отсчета при боль¬
шой разнице масс упруго сталкивающихся частиц покоящейся частице
передается только малая часть кинетической энергии налетающей час¬
тицы.
Решение. Воспользуемся системой уравнений для законов сохра¬
нения из предыдущей задачи. При соотношении тх « т2 для кинетиче¬
ской энергии, приобретаемой покоящейся до столкновения частицей,
имеем:
miv\ _ Шг 4wi ,,2 „л тх ту ^ W|V2
2 2 (w,+w2)2 2 2 '
При обратном соотношении тх » т2:
ттУ\ _ тг f -2 _лГПг тУх т,у2
2 2 (ml + m2 )2 ~ т\ 2^2’
В обоих случаях пренебрегаем малым слагаемым в сумме (тх + т2),
стоящей в знаменателе промежуточных выражений.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.4. Шар массой т испытывает лобовое упругое соударение с другим шаром
(покоившимся до удара) и отлетает от него в противоположном первоначальному движе¬
нию направлении со скоростью втрое меньше начальной. Чему равна масса второго шара?
(2т)
Задача 7.5. Тяжелая частица массы тх сталкивается с покоящейся легкой частицей
массы т2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая частица в результате
упругого удара? (amax =arcsin — К
Кт\ )
Задача 7.6. Частица массы тх налетела со скоростью v на неподвижную частицу мас¬
сы т2, которая после упругого удара полетела под углом а к первоначальному направле¬
нию движения налетающей частицы. Определить скорость частицы массы т2 после удара.
2 ЯП V COS а
(v2 = —— )
От] + т2
В следующих задачах используйте всю совокупность материала гл. 1—7.
Задача 7.7. В результате распада движущегося ядра появились два осколка массы тх и
т2 с импульсами р{ и р2, разлетающиеся под углом 6. Определить энергию Е, выделив-
p.2 m I + р2т? - 2р\р2тхт2 cos 0
шуюся при распаде ядра. (£ = — 1 )
2тхт2(тх + т2)
Задача 7.8. Частица массы т с импульсом р распадается на две одинаковые частицы.
Каков минимальный угол разлета а вторичных частиц, если при распаде выделяется энер¬
гия £? (а^р = arccos
р2 -2тЕ
р2+2тЕ
Задача 7.9. Тело налетает на неподвижную стенку под углом а к нормали. Коэф¬
фициент трения о стенку р. Под каким углом тело отлетит от этой стенки?
farctg(tga-2p),tga >2ц;
(a'=< )
{б, tga <2р.
154
Глава 8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
§ 8.1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Описание механического движения час¬
тицы в центральном поле сил можно сделать
особенно наглядным, если развить геометри¬
ческую интерпретацию уравнений, связанных
с моментом импульса системы. Рассмотрим
одну частицу, движущуюся в центральном
силовом поле. Момент импульса такой части¬
цы сохраняется. В силу определения (6.1)
вектор момента импульса L, как уже отмеча¬
лось, ортогонален радиусу-вектору г и скоро¬
сти v. Поскольку вектор L в рассматриваемом
случае постоянен, векторы г и v все время
лежат в одной плоскости, которая ортого¬
нальна L (рис. 8.1). Таким образом, траекто¬
рия движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной
плоскости.
Закон сохранения момента импульса для рассматриваемого случая
имеет следующую геометрическую интерпретацию (см. рис. 8.1). Про¬
изведение ^-rxv по модулю равно отношению площади, описываемой
радиусом-вектором частицы за время dt, к величине промежутка време¬
ни dt. Это произведение по определению называется секторной ско¬
ростью а:
Рис. 8.1. Геометрическая
интерпретация закона со¬
хранения момента импульса
a = J-rv.
(8.1)
С помощью формулы (8.1) выражение для момента импульса L
можно записать в виде
L = 2та. (8.2)
Если момент импульса постоянен, то постоянна и секторная ско¬
рость. Таким образом, из закона сохранения момента импульса части¬
цы, движущейся в произвольном центральном поле, следует постоянст¬
во ее секторной скорости. Этот вывод, как и следовало ожидать,
согласуется с одним из законов И. Кеплера, описывающих движение
планет Солнечной системы.
Законы сохранения момента импульса и энергии при движении час¬
тицы в центральном поле позволяют получить полную картину движе¬
ния, не выписывая в явном виде уравнений динамики.
155
Будем считать, что момент импульса L направлен по оси z. Тогда
траектория движения частицы лежит в плоскости ху, в которой удобно
ввести полярные координаты:
х = n:os<p, у - rsincp. (8.3)
Проекции скорости частицы на оси хиус помощью формулы (8.3)
записываются в виде
vx zzrcoscp-rsiiKpq), vy = г5тф + /-со8фф, (8.4)
где использованы обозначения: ф = dy/dt, r = dr/dt.
Вычисляя с помощью формулы (8.4) квадрат полной скорости час¬
тицы, получим
v2 = vl + v2 = г2 + г2ф2. (8.5)
Для проекции момента импульса L на ось z, значение которой сов¬
падает с модулем L, с помощью определения (6.1) и соотношений (8.3)
и (8.4) получим
Lz = L=m(xvy-yvx)=mr2(p. (8.6)
Отметим, что это выражение может быть написано непосредственно,
если учесть, что vsina дает перпендикулярную г компоненту скорости,
равную пр (см. рис. 8.1).
Поскольку момент импульса сохраняется, из уравнения (8.6) следует
соотношение
L=mr2q> = const. (8.7)
С помощью уравнения (8.5) можно записать уравнение закона со¬
хранения энергии в виде
Е = + E„(r) = f(r2 + г2ф2)+£„(/•). (8.8)
С помощью соотношения (8.7) это равенство можно переписать сле¬
дующим образом:
Е=ЩГ + 2^+Е»{г)- (8'9)
Соотношение (8.9), в свою очередь, можно представить в виде
r=i=&E~En ('»-;&■ <810>
156
Интегрируя это равенство методом разделения переменных, нахо¬
дим
где С, — произвольная постоянная интегрирования, определяемая на¬
чальным условием
подставляя сюда dt из соотношения (8.10) и интегрируя, находим
Формулы (8.11) и (8.14) совместно с начальными условиями
выражений (8.12) и (8.15) дают решение рассматриваемой задачи, а
именно, соотношение (8.11) определяет в неявном виде расстояние г
движущейся частицы от силового центра как функцию времени. Соот¬
ношение (8.14) задает связь между гиф, т. е. определяет уравнение тра¬
ектории. Отметим, что, как видно из формулы (8.7), ф никогда не меня¬
ет знака, т. е. угол <р меняется со временем монотонно. Для вычисления
интегралов в уравнениях (8.11) и (8.14) необходимо в явном виде задать
выражение для потенциальной энергии частицы Е„(г) в центральном
поле сил.
Обратим внимание на то, что уравнение закона сохранения энергии
(8.9) допускает оригинальную интерпретацию. Радиальную часть движе¬
ния (т. е. определяемую значением модуля радиуса-вектора г) можно
рассматривать как одномерное движение в поле с эффективной потен¬
циальной энергией
(8.11)
KO) = KOU0 = Го-
Св. 12)
Записав соотношение (8.7) в виде
(8.13)
(8.14)
Значение постоянной С2 определяется начальным условием
ф(0) = ф(Г)|,=0 =ф0.
(8.15)
(8.16)
Величину L2/(2mr2) называют центробежной энергией.
При выполнении условия
(8.17)
157
т,
Рис. 8.2. Система частиц в центральном
силовом поле
Рис. 8.3. Графики зависимости потенци¬
альной энергии Еп(г) для ньютоновского
поля тяготения и центробежной потенци-
I2
альнои энергии - от радиуса г
2тг
радиальная скорость г обращается в нуль, но это не означает остановки
частицы, как это было бы при истинно одномерном движении, по¬
скольку угловая скорость ф не обращается в нуль.
Рассмотрим теперь систему частиц, находящихся в центральном си¬
ловом поле. Все внешние силы, действующие на частицы системы, на¬
правлены вдоль их радиусов-векторов, если, разумеется, начало отсчета
О помещено в центр поля (рис. 8.2). Поэтому моменты этих сил относи¬
тельно центра О равны нулю, а в силу соотношения (6.12) полный мо¬
мент импульса системы L остается постоянным независимо от того, ка¬
ким образом взаимодействуют между собой частицы системы. Важно
только, чтобы для этого взаимодействия был справедлив третий закон
Ньютона.
Теперь, не выписывая уравнений динамики, не удастся восста¬
новить полную картину механического движения, как в случае од¬
ной частицы. Однако многие ее характерные черты могут быть уста¬
новлены.
В качестве примера рассмотрим типичную галактику, типа Млечно¬
го пути, в которой находится наша Солнечная система, или Андроме¬
ды, которая обладает результирующим моментом импульса и имеет
сплющенную форму. Вопрос о причине возникновения момента им¬
пульса рассматривать не будем. Такие галактики содержат порядка 10"
звезд и имеют диаметр порядка 1011 световых лет. Многие черты их
строения и некоторые свойства могут быть объяснены на основе зако¬
нов сохранения.
Соображения, основанные на законе сохранения момента импульса,
позволяют понять, почему галактики имеют характерную сплющенную
форму. Рассмотрим очень большую массу М газа, обладающую некото¬
рым моментом импульса. Газ сжимается в результате гравитационного
158
взаимодействия. При этом момент импульса системы сохраняется. Лег¬
ко видеть, что сжатие галактики в плоскости, перпендикулярной мо¬
менту импульса, ограничено, поскольку оно должно приводить к увели¬
чению кинетической энергии за счет роста скорости частиц при их
приближении к центру галактики. На языке эффективной потенциаль¬
ной энергии об этом эффекте можно говорить как о росте центробеж¬
ной энергии. Такой рост может происходить только за счет уменьшения
истинной потенциальной энергии взаимного притяжения частиц при их
сближении друг с другом.
На рис. 8.3 представлены графики зависимости Еп(г) для ньютонов¬
ского поля тяготения и центробежной потенциальной энергии. Сумма
этих энергий имеет минимум при конкретном значении г0. Положение
минимума определяется условием обращения в нуль производной по г
от выражения (8.16):
откуда, после выполнения дифференцирования, найдем
При значениях г, меньших чем /•„, определяемого соотношением
(8.19), гравитационной энергии уже недостаточно для того, чтобы про¬
должалось сжатие.
Однако облако газа или звезд может сжиматься в направлении, па¬
раллельном полному моменту импульса L, без изменения значения мо¬
мента импульса, что и объясняет сплющенную форму галактики. Такая
модель эволюции галактик была предложена Хабблом. Объясняя харак¬
терную сплющенность формы галактик в направлении момента импуль¬
са L, эта модель по современным представлениям является все же
слишком грубой, хотя и позволяет правильно оценить массу нашей Га¬
лактики.
Гравитационное поле Ньютона представляет собой частный случай
центрального поля. Поэтому для движения в гравитационном поле
справедливы все установленные в § 8.1 закономерности. В частности,
соотношения (8.11) и (8.14) позволяют установить точную механиче¬
скую картину движения и подтвердить все полученные и приведенные
без доказательства результаты.
Рассмотрим вопрос о движении двух притягивающихся друг к другу
тел с массами /и, и т2. Известно, что в системе из центра масс закон из¬
менения импульса имеет такой же вид, как и в нейнерциальной системе
отсчета. Продвинемся немного дальше и покажем, что так называемая
(8.18)
§ 8.2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
И ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
159
задача двух тел приводится к задаче о движении одного тела в заданном
центральном поле тяготения.
Введем вектор взаимного положения тел
г = г, - г2 (8.20)
и поместим начало отсчета в центр масс системы.
Это приводит к условию
/и,г, +/и2г2 = 0. (8.21)
Из соотношений (8.20) и (8.21) можно выразить радиусы-векторы г, и г2
через вектор относительного положения г:
«г_г, г2=--^-г. (8.22)
1 /Я|+от2 ’ 2 т1+т2
Выражение для механической энергии
E = ^l + Hlf + Enir) (8.23)
принимает вид
E = i^ + En(r), (8.24)
где v — относительная скорость тел
v = v, - v2, (8.25)
а р —- их приведенная масса
(82б)
^ m, + w2 ' '
Сохраняющийся в отсутствие внешних сил полный момент импуль¬
са системы двух тел в системе их центра масс с помощью выражения
(6.18) и соотношений (8.22) записывается в виде
L = г, х m,V| + г2 х т2\2 — г х т\. (8.27)
Таким образом, соотношения (8.24) и (8.27) имеют такой же вид,
как и при движении одной частицы массы р в потенциальном поле с
энергией Ел(г). Решив эту задачу, т. е. найдя г(/), можно с помощью со¬
отношений (8.22) определить функции г,^) и г2(0- Если тх « т2, то из
выражения (8.26) следует, что р « тх, а из соотношений (8.22), что г, « г,
г2 » 0, и возвращаемся к исходной задаче И. Кеплера о движении одного
тела (планеты) в поле тяготения другого тела (Солнца). Отметим, что
приведенное доказательство справедливо при любом типе взаимодейст-
160
вия двух рассматриваемых тел, поскольку нигде не использовался яв¬
ный вид функции Е„(г).
Применим соотношения (8.11) и (8.14) для нахождения закона дви¬
жения тела массы р, находящегося в поле тяготения тела массы М. Вы¬
ражение для эффективной потенциальной энергии £'“|)ф (г) запишется в
виде
£,^(r)=-G^ + _li_ (8.28)
Как видно из разд. 11, Е^ф(г) имеет минимум при
_ 12 _ l2
~ Gii2М ~ ац’
(8.29)
где а = GM\i, причем значение этой функции в точке минимума равно
—G2M2\i3/(2L2) = —a2n/(2L2).
Из показанного на рис. 8.3 графика Е'2фф (г) немедленно следует,
что при Е> 0 движение частицы будет инфинитным, т. е. она будет ухо¬
дить от силового центра на бесконечно большое расстояние, а при
Е < 0 — финитным. Действительно, из закона сохранения энергии сле¬
дует, что движение возможно лишь в области, где значение эффектив¬
ной потенциальной энергии Е*'м' превосходит значения полной энергии
системы.
Форму траектории движения можно получить, подставляя выраже¬
ние для Е„(г) в формулу (8.14) и выполняя интегрирование. Получим
I _СМц2 i_ ра
Ф = arccos , r A.... +C=arccos-7 L . ^ + С. (8.30)
2pg+ y i2ixE+
Выберем начало отсчета угла таким образом, чтобы постоянная ин¬
тегрирования С в правой части равенства (8.30) равнялась нулю. Введем
обозначения
•-FM’-FW- <8-31)
Беря косинусы от обеих частей формулы (8.30), получим уравнение
траектории
£=1 + есо$ф. (8.32)
Уравнение (8.32) — это уравнение так называемого конического се¬
чения с фокусом в начале координат. Величины р и е называются пара¬
метром и эксцентриситетом орбиты тела.
11 -3840 161
Сделанный выбор значения постоянной С в (8.30), как следует из
(8.32), соответствует тому, что точка орбиты с <р = 0 является ближай¬
шей к началу координат.
В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону
всемирного тяготения, орбита каждой из частиц также представляет со¬
бой коническое сечение с фокусом в их центре инерции.
Рассмотрим по отдельности случаи с£<0и£>0, отвечающие раз¬
ному характеру движения. При Е < 0 из (8.31) следует, что эксцентриси¬
тет е < 1. Это означает, что орбита представляет собой эллипс, показан¬
ный на рис. 8.4. В аналитической геометрии показывается, что большая
(а) и малая (b) полуоси эллипса выражаются через параметр р и эксцен¬
триситет е следующим образом:
Используя определения р и е, даваемые формулами (8.31), можно
переписать соотношение формулы (8.32) в виде
При е = 0 эллипс обращается в окружность, так как при этом, как
следует из формулы (8.33), а = Ь. При этом энергия частицы, как видно
из второй формулы (8.31), имеет наименьшее допустимое значение,
равное значению £^фф в точке минимума этой функции, т. е. при г = г0.
Наибольшее (апогей) и наименьшее (перигей) расстояния частицы
от силового центра, расположенного в фокусе эллипса (см. рис. 8.4), да¬
ются выражениями
(8.33)
rmaX = jre = «о + е), rmin =j^ = a(l -е),
(8.35)
Рис. 8.4. Коническое сечение с эксцен¬
триситетом е < 1: эллипс (а и b — боль¬
шая и малая полуоси)
Рис. 8.5. Голограф вектора скорости
для эллиптического движения
162
которые легко устанавливаются с помощью уравнения (8.32) и первого
из соотношений (8.33).
Время обращения по эллиптической орбите, т. е. период обращения
Г, проще всего определить с помощью закона сохранения момента им¬
пульса, записанного в виде соотношения (8.2), вообще не обращаясь к
соотношению (8.11):
L — 2 цст. (8.36)
Умножив это равенство на период обращения Т и учитывая, что
произведение секторной скорости а на период Т равно площади эллип¬
са nab, приходим к равенству
LT = 2\inab, (8.37)
которое после подстановки в него формул (8.34) для а и b дает
Т
п GM\i
3/2
<8 38)
Видно, что период обращения зависит от полной энергии частицы и не
зависит от ее момента импульса. При этом, как следует из (8.38) и пер¬
вой из формул (8.34), квадрат периода пропорционален кубу большой
полуоси эллипса. Это утверждение составляет содержание третьего за¬
кона Кеплера:
Тг _ 4тс2
a3 GM'
(8.39)
Если масса обращающегося тела р сравнима с массой М, то выраже¬
ние (8.39) запишется в виде
Тг _ 4тс2
'G{M+nY
,з (8-40)
поскольку ц во всех выражениях, кроме выражения для а, следует счи¬
тать эффективной массой.
Второй закон Кеплера, утверждающий постоянство секторной ско¬
рости, справедлив для движения в любом центральном поле. Однако
первый закон Кеплера (о том, что каждая планета движется по эллипсу,
в одном из фокусов которого находится Солнце) и его третий закон
справедливы только для тех центральных сил, которые обратно пропор¬
циональны квадрату расстояния.
В заключение отметим, что годограф вектора скорости при кеплеро-
вом движении по любой эллиптической траектории представляет собой
окружность (рис. 8.5). Данное свойство позволяет просто находить зна¬
чение скорости в любой точке траектории, если известны скорости в
перигее v и апогее va.
п*
163
Рис. 8.6. Коническое сечение с эксцен- Рис. 8.7. Семейство кривых — кониче-
триситетом е > 1: гипербола. Центр сило- ских сечений — с разными значениями
вого поля находится в фокусе эксцентриситета е
Теперь рассмотрим случай Е> О, когда движение инфинитно. Если
Е > 0, то, как видно из формулы (8.31), эксцентриситет е > 1. При этом
траектория является гиперболой, огибающей центр силового поля, на¬
ходящийся в фокусе, как показано на рис. 8.6. Ближайшее расстояние
частицы до силового центра дается выражением
rmin=^ = a(e-1), (8.41)
где величина
„ - Р - GMv
1Е (8.42)
называется полуосью гиперболы.
Если Е = 0, то эксцентриситет е = 1, и частица движется по парабо¬
ле с минимальным расстоянием от силового центра, равным rmjn = р/2.
Полученные выше результаты можно наглядно представить на
рис. 8.7. В т. F расположено притягивающее тело, массу которого М
считаем много большей массы т тела, которому в т. А, отстоящей от F
на расстоянии г, сообщается некоторая скорость v (т. е. кинетическая
энергия mv1/2) в направлении, перпендикулярном радиусу-вектору FA.
В соответствии с величиной сообщаемой скорости могут получиться
следующие орбиты.
1. Если v » 0, то тело массы т будет падать на притягивающее тело
по прямой линии.
2. Если сообщить телу скорость, меньшую той, которая необходима
для круговой орбиты
164
то тело будет двигаться по эллипсу, только начальная т. А будет являть¬
ся не перигеем, а апогеем. Другими словами, т. F будет не ближним, а
дальним фокусом эллипса. Формально это обстоятельство можно отра¬
зить, считая е отрицательным (е < 0). Тогда уравнение (8.32) означает,
что точка ф = 0 является наиболее удаленной от F, так как в этом случае
его можно записать в виде
£=l-|e|cos9. (8.44)
3. Если начальная скорость v = -JGM / г, то е = 0 и тело движется по
круговой орбите с центром в т. F.
4. При v < -yjGM / г эксцентриситет е положителен, и тело снова дви¬
жется по эллиптической орбите, пока е < 1, но теперь т. А является пе¬
ригеем, a F — ближним фокусом.
5. При v = -у]2GM / г (при этом полная энергия Е= 0 и е= 1) тело
движется по параболе.
6. При v >-p-GM / г эксцентриситет е > 1, и тело движется по гипер¬
боле. Если бы могли сообщить телу бесконечно большую скорость, то
оно, несмотря на притяжение к центральному телу, полетело бы по пря¬
мой линии.
§ 8.3. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
В случае задачи двух тел получаем в аналитическом виде исчерпы¬
вающую картину механического движения под действием сил тяготе¬
ния, а вот точное решение задачи трех тел, движущихся под действием
сил взаимного притяжения, возможно лишь в некоторых частных слу¬
чаях, хотя численное решение подобных задач не содержит никаких
принципиальных отличий.
При решении практических задач космической динамики обычно
используется приближенный подход, основанный на разбиении про¬
странства на так называемые сферы действия отдельных небесных тел.
Так, например, при рассмотрении движения космического корабля от
Земли до выхода из пределов Солнечной системы сначала рассматрива¬
ется его движение только под действием притяжения к Земле. После
выхода корабля из сферы действия Земли рассматривается его движе¬
ние в поле тяготения Солнца, если траектория пролегает вдали от дру¬
гих планет. Размер сферы действия Земли при этом определяется тем
расстоянием, на котором разность ускорений, сообщаемых Солнцем
Земле и космическому кораблю, становится сравнимой с ускорением,
сообщаемым кораблю Землей.
В качестве примера рассмотрим третью космическую скорость гш,
т. е. минимальную скорость, которую нужно сообщить телу вблизи зем¬
ной поверхности для того, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнеч¬
165
ной системы. Будем проводить рассуждения в гелиоцентрической сис¬
теме отсчета, считая Солнце неподвижным благодаря его огромной
массе Мс. Земля движется вокруг Солнца почти по круговой орбите ра¬
диуса г со скоростью v, определяемой соотношением
v = ^G^£- =29,8 км/с. (8.45)
Обозначим массу Земли через М и будем считать, что в результате
запуска космического корабля массы т скорость Земли изменится от
значения v до некоторого v2. При запуске космического корабля будем
использовать орбитальное движение Земли и направим его в ту же сто¬
рону, куда движется Земля по орбите. В этом случае закон сохранения
энергии для всей системы запишется в виде
+ ML -mgR-G = (8.46)
В левой части равенства (8.46) стоят: кинетическая энергия косми¬
ческого корабля после срабатывания его двигателей, сообщивших ему
третью космическую скорость v,,, относительно Земли, кинетическая
энергия Земли, движущейся по орбите вокруг Солнца, потенциальная
энергия космического корабля в поле тяжести Земли вблизи ее поверх¬
ности, и, наконец, потенциальная энергия космического корабля в поле
тяжести Солнца. В правой части равенства (8.46) стоит кинетическая
энергия Земли после удаления космического корабля на бесконечность,
где обращаются в нуль его потенциальные энергии в полях Земли и
Солнца и где можно считать равной нулю кинетическую энергию кос¬
мического корабля.
Третье и четвертое слагаемые в левой части удобно выразить соот¬
ветственно через вторую космическую скорость v„ и скорость Земли на
ее круговой орбите:
mgR = ^, (8.47)
дтМс_-mv2 (8.48)
Далее, перенесем второе слагаемое из левой части равенства (8.46) в
правую. Тогда в правой части будет стоять изменение кинетической
энергии Земли, которое приближенно запишем в виде
=p(vj - v2) &Mv(v2 -v), (8.49)
поскольку масса космического корабля много меньше массы Земли.
Для нахождения изменения скорости Земли Av = v2 — v воспользуемся
законом сохранения импульса и пренебрежем влиянием Солнца на дви¬
жение Земли и космического корабля в течение того времени, которое
он затрачивает на выход из зоны действия земного тяготения. Имеем
166
m(v — viii) + Mv + mv | +• Mv2,
(8.50)
где v1 — скорость космического корабля после его удаления из зоны
действия земного тяготения в гелиоцентрической системе отсчета. Это
скорость, которой должно обладать тело, находящееся от Солнца на
расстоянии г, равном радиусу земной орбиты, чтобы оно (уже освобож¬
денное из поля тяготения Земли) могло преодолеть притяжение Солн¬
ца. Очевидно, что v, = V2 v, поэтому из формулы (8.50) находим
Умножая формулу (8.51) на v, получаем, согласно выражению (8.49),
изменение кинетической энергии Земли. Подстановка полученных вы¬
ражений в уравнение (8.46) приводит к следующему выражению для
Подставляя сюда значение орбитальной скорости Земли v = 29,8 км/с
и второй космической скорости v„ я 11,2 км/с, получаем vMI = 16,7 км/с.
Задача 8.1. Исследовать движение груза массой т на пружине жест¬
костью к с потенциальной энергией
как задачу о движении в центральном поле. На постоянные наложено
условие
M(v2 -v) =/?2(v-V||| -v,) =m(v-vul -V2v).
(8.51)
v,2,, = v |2 +(V2-1)V.
(8.52)
Задачи к главе 8
En(r)=!f
где cos
cos Vi — круговая частота. Является ли движение финитным?
Решение. Запишем уравнения для времени и угла в зависимости
от г :
и
167
Выразим первый из интегралов через со:
dr
+с,.
Удобно перейти к безразмерным переменным — переменной интегри¬
рования х = г/г0 и константе
Тогда интеграл
берется в элементарных функциях с помощью замены переменных
у = х2:
где модуль отражает два различных варианта: а < 1 и а > 1. Возвращаясь
к размерному г, получаем
Из полученной формулы видно, что при а = 1 движение может проис¬
ходить только на окружности радиуса г = г0. При произвольном а дви¬
жение финитно, оно происходит внутри кольца rmm <r< rmax, причем гтт
называется перицентром, а гтт — апоцентром (в случае движения вокруг
Земли они назывались бы соответственно перигеем и апогеем, вокруг
Солнца — перигелием и апогелием, а вокруг Луны — периселением и
апоселением). Подставляя минимальное и максимальное значения си¬
нуса, можно найти, что для а > 1 перицентр гтт — г0 и апоцентр
Лпах = а/о, тогда как для а < 1 наоборот: rmin = аг„ и rmax = г0.
Найдем теперь постоянную интегрирования С, из начального усло¬
вия г- г0 при t- 0. При а > 1 оно приводит к соотношению
sin(-2coC,) = -1, откуда 2шС, = п/2. Подставляя найденное значение С,
в формулу для г и используя формулы приведения тригонометрических
функций, получаем окончательно
г = -^г^(a2 +l) + ja2 -l|sin2co (/-С,).
г = г0 Vcos2 со? + a2 sin2 со?.
Случай a < 1 предлагается разобрать самостоятельно.
168
Аналогично можно представить в безразмерных переменных инте¬
грал для угла:
(p = gf^ 1 +с2.
•* х'т]( 1 + а2)х2 -х4 - а2
Второй интеграл определяет, является ли финитное движение регуляр¬
ным, с замкнутой траекторией, или же кольцо rmin <г< гтъх всюду плот¬
но заполняется траекторией (см. задачу 8.2).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.2. В общем случае финитного движения в центральном поле орбита не
замкнута. Угол между последовательными перицентром /-min и апоцентром rmax дается
интегралом
И;
max
L dr
2т(Е -Еп(г))~
2
N
Орбита замкнута, если угол © соизмерим с 2гс, т. е. 0 = 2 к—-, где N, и N2 — целые
N2
числа. При каких значениях а из задачи 8.1 финитные орбиты в центральном поле
hr ^
Еп(г) = будут замкнуты? (При любых)
Задача 8.3. Выразите апогей rmax и перигей rmjn расстояния частицы, движущейся
по законам Кеплера, от силового центра: 1) через эксцентриситет е и малую полуось эл-
11 + е 11 — е
линса Ь\ 2) через большую а и малую Ь полуоси эллипса. (1) rmax = 6J- , rmin = bJ——;
2) 'max =а+ т1а2-Ь2, rmin = а - л1а2-Ь2)
Задача 8.4. Доказать, что годограф вектора скорости при кенлеровом движении по
любой эллиптической траектории представляет собой окружность.
Глава 9. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ
ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
§ 9.1. ПРИНЦИП НЕТЕР
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса спра¬
ведливы для замкнутых (или изолированных) физических систем, не
взаимодействующих с окружающими объектами. Однако замкнутых
систем в строгом смысле этого слова не бывает: во Вселенной не суще¬
ствует областей, свободных от внешних воздействий. И, тем не менее,
как только нам удается с какой-то точностью установить отсутствие
взаимодействия изучаемого объекта с окружением, так немедленно экс¬
169
перимент в пределах доступной точности подтверждает справедливость
законов сохранения.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса были по¬
лучены как следствие законов динамики Ньютона. В действительности
они представляют собой более общие принципы, область их справедли¬
вости шире и не ограничивается ньютоновой динамикой. Причина этого
заключается в том, что указанные выше законы сохранения тесно связа¬
ны с определенными свойствами симметрии пространства и времени.
В последнюю четверть XX в. в физике получила законченное выра¬
жение замечательная идея: в природе наблюдается ряд внутренних сим¬
метрий, которые оказываются связанными с наиболее общими, фунда¬
ментальными законами сохранения. Кроме определенных свойств
симметрии пространства и времени, были обнаружены так называемые
локальные симметрии, которые приводили к инвариантности физиче¬
ской теории, называемой калибровочной, и установлению соответст¬
вующих сохраняющихся физических величин. С подобной инвариант¬
ностью уравнений электромагнитного поля связан закон сохранения
электрического заряда. Разработка этого направления исследований
увенчалась созданием единой теории электрослабого взаимодействия,
причем теоретическое предсказание существования трех новых весьма
тяжелых частиц — векторных бозонов получило блестящее эксперимен¬
тальное подтверждение в 1983 г. Это привело к торжеству нового уровня
физического понимания свойств природы, основанного на последова¬
тельном использовании идей симметрии.
Существует много типов симметрии, простейшая Из них — геомет¬
рическая. Пусть диск идеально правильной формы насажен на ось вра¬
щения (рис. 9.1). Вы закрываете глаза, и кто-то поворачивает диск во¬
круг этой оси. Открыв глаза, вы не обнаруживаете никаких перемен —
все осталось таким же, как и было. Когда изменение в физической сис¬
теме оставляет какие-то свойства без изменения, говорят, что система
обладает определенной симметрией. Существование симметрии означа¬
ет, что определенная черта системы не изменяется, или остается инвари¬
антной. В приведенном примере диск обладает вращательной симмет¬
рией. Это же можно выразить и иначе — свойства системы инвариант¬
ны относительно ее вращения вокруг указанной оси.
Первым человеком, обратившим внимание на связь симметрии с
законами сохранения соответствующих физических величин, была не-
Рис. 9.1. Диск идеально правильной формы на закрепленной оси вращения
170
СИММЕТРИЯ :
однородность пространства
изотропность пространства
однородность времени
калибровочная симметрия
\Г
принцип
Нетер
-Л
1/
калибровочная
теория
СОХРАНЕНИЕ
- импульса
- момента импульса
- энергии
- электрического заряда
Рис. 9.2. Связь симметрии и законов сохранения
мецкий математик Э. Нетер. Она сформулировала и доказала две тео¬
ремы о связи симметрии и законов сохранения, на основе которых в
физике утвердился принцип — каждой симметрии соответствует опре¬
деленный закон сохранения и наоборот, с каждым законом сохране¬
ния связана определенная симметрия. Принцип Э. Нетер обладает
большой общностью, поскольку он справедлив не только для свойств
симметрии пространства и времени, но и для калибровочной симмет¬
рии. На рис. 9.2 схематически представлена связь свойств симметрии и
сохранения.
Предположим, что диск на рис.
9.1 закрашен наполовину в красный,
наполовину в зеленый цвет. Если на¬
блюдатель не различает цвета, то для
него при этом ничего не меняется.
Но если он различает цвета, то
симметрия оказывается нарушенной.
В природе также часто наблюдается
спонтанное нарушение симметрии.
Например, шарик, находящийся на
вершине обладающей круговой сим¬
метрией горки, образует физическую
систему с высокой симметрией. Од¬
нако он не может находиться там
долго и обязательно скатится в лож¬
бину по одному из возможных на¬
правлений. Симметрия системы при Рис 9 3 Нарушение симметрии при
ЭТОМ нарушается (рис. 9.3). Другой скатывании шарика с горки, обладаю-
пример — нарушение симметрии иде- шей круговой симметрией
171
н
(
Суперобъединение
10'
10
10
19
Е, Гэв
Рис. 9.4. Расщепление супервзаимодействия на четыре типа:
сильное, электромагнитное, слабое и тяготения
ального кристалла в результате появления примесных атомов другого
сорта.
В настоящее время в физике очень популярна идея о том, что на
раннем этапе эволюции Вселенной она обладала очень высокой сим¬
метрией. Свойства Вселенной при этом определялись единым супер¬
взаимодействием. Затем, в результате спонтанного нарушения симмет¬
рии Вселенной при ее расширении и охлаждении, это супервзаимодей¬
ствие расщепилось на четыре типа (рис. 9.4), причем расщепление элек-
трослабого взаимодействия на слабое и электромагнитное полностью
понято современной физикой.
§ 9.2. ОДНОРОДНОСТЬ И ИЗОТРОПНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА.
ОДНОРОДНОСТЬ ВРЕМЕНИ
Сохранение импульса в замкнутой физической системе связано с
однородностью пространства. Однородность пространства означает, что
все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить па¬
раллельный перенос системы из одного места в другое таким образом,
чтобы все тела в ней оказались в тех же условиях, в каких они находи¬
лись в первоначальном положении системы. При таком переносе по¬
тенциальная энергия взаимодействия тел, которая в однородном про¬
странстве зависит только от их взаимного расположения, останется
неизменной. Но это означает, что при перемещении всех тел замкнутой
системы на один и тот же вектор г равна нулю суммарная работа всех
внугренних сил F,*:
Так как г — произвольный вектор, то из формулы (9.1) следует, что
(9.1)
/,*=1
if к
(9.2)
i,k = l
ifk
172
т. е. сумма всех внутренних сил равна нулю. Но это и есть условие, при
выполнении которого оказывается справедливым закон сохранения им¬
пульса, причем в проведенных рассуждениях оно получено без обраще¬
ния к третьему закону Ньютона. Вместо него использовано одно из
свойств симметрии пространства — его однородность.
Из приведенных рассуждений следует не только закон сохранения
полного импульса системы, но и сам третий закон Ньютона для любого
мгновенно распространяющегося взаимодействия двух тел: в частном
случае системы, состоящей только из двух тел, равенство (9.2) принима¬
ет вид F,2 + F21 = 0, т. е. F,2 = -F2I.
С изотропией пространства связан закон сохранения момента им¬
пульса. Изотропия пространства означает, что все явления в замкнутой
системе не изменятся, если осуществить поворот всей системы как це¬
лого, не изменяя взаимного расположения входящих в нее тел, на неко¬
торый угол вокруг определенной оси.
Рассмотрим малый поворот системы на угол с1ц> вокруг оси, прохо¬
дящей через начало отсчета О. Введем вектор dtp, модуль которого равен
углу поворота d(р, а направление совпадает с осью поворота, так что на¬
правление поворота соответствует правилу правого винта по отноше¬
нию к направлению dtp (рис. 9.5). Изменение dr радиуса-вектора г при
таком повороте связано с углом dtp соотношением
dr = dipx г, (9.3)
Действительно, вектор dr перпендикулярен плоскости, проходящей
через векторы г и dip, а его модуль dr выражается с помощью (9.3) соот¬
ношением
dr = ашп0й(ф, (9.4)
справедливость которого непосредственно видна из рис. 9.5.
При описанном повороте рассматриваемой системы потенциальная
энергия взаимодействия тел, зависящая только от их взаимного распо¬
ложения, не изменяется. Это означает, что равна нулю суммарная рабо¬
та всех внутренних сил F,*:
£ел*,=0. (9.5)
/,*=1
i*k
Здесь dr, — изменение радиуса-вектора /-го
тела, т. е. его перемещение при повороте всей
системы на угол р. Для каждого dr, справедли¬
во соотношение (9.3)
drt - dipx r„ (9.6)
поэтому формула (9.5) переписывается в виде
Рис. 9.5. Малый поворот
системы па угол Лр вокруг
оси, проходящей через на¬
чато отсчета О
173
jS., [c/<pxr,l=0.
/',*» 1
/ tk
(9.7)
В смешанном произведении трех векторов, фигурирующем в соот¬
ношении (9.7), можно осуществить циклическую перестановку сомно¬
жителей, не меняя значения произведения. Поэтому соотношение (9.7)
можно записать следующим образом:
jw/q>[r,.xF,.J=0. (9.8)
i,k=\
i*k
В силу произвольности угла поворота </<р должно выполняться ра¬
венство
i>,xF„]=0. (9-9)
/,*=1
irk
Стоящее в формуле (9.9) векторное произведение г, х F* представля¬
ет собой момент силы F,*, действующей на /-е тело со стороны к-то. По¬
этому условие формулы (9.9) соответствует обращению в нуль вектор¬
ной суммы моментов всех внутренних сил Fft, действующих в
рассматриваемой системе. Это и есть условие, при котором в отсутствие
внешних сил в системе сохраняется суммарный момент импульса.
Однородность времени заключается в том, что все явления в замк¬
нутой системе при одинаковых начальных условиях будут протекать со¬
вершенно одинаково, независимо от того, в какой момент времени эти
начальные условия созданы. Это означает, что энергия системы опреде¬
ляется только ее механическим состоянием, т. е. зависит только от по¬
ложений и скоростей образующих ее частиц. С течением времени меха¬
ническое состояние системы изменяется — радиусы-векторы частиц и
их скорости являются функциями времени. Однако энергия системы
явно от времени не зависит, вся зависимость энергии замкнутой систе¬
мы от времени может происходить только из-за зависимости г,(/) и v,(f).
Однородность времени связана с сохранением энергии замкнутой
системы, которая представляет собой сумму кинетической энергии
Ек(р,), зависящей от импульсов частиц, и потенциальной энергии £„(г,),
зависящей от их взаимного расположения:
£(г„ р,) = £к(р,) + £п(г,). (9.10)
Продифференцируем выражение для энергии (9.10) по времени,
учитывая, что г, и р, меняются со временем. Имеем
to m
dt j-J^dг,- dt др, dt J' ^ и
174
Далее учтем, что по определению
&-=v.
dt V/-
В соответствии со вторым законом Ньютона
(9.12)
^T=F/. (9-13)
где F; — равнодействующая всех сил, потенциальных и непотенциаль¬
ных, действующих на /-ю частицу:
р. _р(пот) +р(.|елот)_ (9.14)
Взятый со знаком минус градиент потенциальной энергии по про¬
странственным переменным /-й частицы определяет действующую на
эту частицу потенциальную силу:
р<пот) (9.! 5)
Градиент кинетической энергии по импульсным переменным /-й
частицы дает ее скорость. Так как
£.<р <916>
/ = ]
ТО
Пл. = JLl -у . (9 17)
dp, т, v--
Подставляя соотношения (9.12) — (9.15) и (9.17) в равенство (9.11), при¬
ходим к результату
dE
dt
= v,^F,!Heno,). (9.18)
Согласно формуле (9.18), скорость изменения механической энер¬
гии замкнутой системы равна мощности действующих в системе непо¬
тенциальных сил. При отсутствии таких сил система консервативна и ее
механическая энергия сохраняется: ^-=0, т. е. Е= const.
В проведенном рассуждении однородность времени проявляется в
том, что энергия системы не „зависела от времени явно. В противном
случае в правой части выражения (9.11) фигурировало бы еще одно сла¬
гаемое dE/dt, учитывающее эту зависимость. Получили бы соотношение
f =§*0, (9.19)
и энергия системы не была бы постоянной.
175
В классической нерелятивистской физике пространство и время не¬
зависимы друг от друга, что проявляется в преобразованиях Галилея.
Однако законы сохранения устанавливают определенную связь между
этими понятиями. Свойство симметрии пространства — его однород¬
ность — связано с сохранением импульса замкнутой системы. Однако
изменение импульса в результате внешних воздействий определяется
временной (а не пространственной!) характеристикой действия силы —
ее импульсом Fdt. И наоборот, свойство симметрии времени — его од¬
нородность — связано с сохранением энергии замкнутой системы, в то
время как ее изменение определяется пространственной (а не времен¬
ной!) характеристикой действия силы — работой Fc/r.
В релятивистской физике эта связь становится еще более тесной —
понятия пространства и времени переплетаются настолько тесно, что
можно говорить только о едином физическом пространстве-времени,
или о едином четырехмерном пространственно-временном континууме.
§ 9.3. СИММЕТРИЯ ПРИ МАСШТАБНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ.
ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
Свойства симметрии не всегда проявляются так просто и наглядно,
как в разобранных случаях. Проявления симметрии могут обнаруживать
себя в завуалированной форме.
Рассмотрим симметрию физических законов, заключающуюся в ин¬
вариантности выражающих их уравнений при определенных преобразо¬
ваниях, которым могут быть подвергнуты физические системы. Одним
из таких преобразований является масштабное преобразование, при ко¬
тором пространственные координаты и время изменяются в определен¬
ное число раз:
где аир — некоторые числовые множители.
Выясним, как при таких преобразованиях координат и времени пре¬
образуется механическая энергия системы, равная сумме кинетической
и потенциальной энергии. При неизменной массе кинетическая энер¬
гия, пропорциональная квадрату скорости, преобразуется как
Чтобы выяснить, как преобразуется потенциальная энергия, нужно
знать ее зависимость от координат. Были рассмотрены потенциальные
энергии тела в однородном поле тяжести, в ньютоновом поле тяготения
и потенциальная энергия упругой деформации пружины. Если для каж¬
дой из этих энергий выбрать начало отсчета соответствующим образом,
то их можно записать как
г г' = ar, t -> f - р/,
(9.20)
Ег ->Е'„ =
К
К
(9.21)
E„=mgh, Еп G^jr-, Еп=\кхг.
(9.22)
176
Из формулы (9.22) видно, что зависимость каждой из них от соот¬
ветствующей координаты г (где г = Н, г, х) имеет степенной характер
Еп(г) ~ г\ (9.23)
где n = 1 для однородного поля тяжести, п = — 1 для ньютонова поля тя¬
готения и п = 2 для упругой пружины.
Из формулы (9.23) следует, что каждая из приведенных потенциаль¬
ных энергий преобразуется как
Еп -*Е'„ =а"£„. (9.24)
Если выбрать а и (3 так, чтобы выполнялось равенство (а/Р)2 = а", т. е.
р = а'-”/2, (9.25)
то полная механическая энергия преобразуется следующим образом:
Е-*Е' = а"Е. (9.26)
Соотношение (9.26) допускает различные трактовки. Во-первых,
описываемое ими преобразование энергии при преобразовании коорди¬
нат и времени по формулам (9.20) можно трактовать просто как измене¬
ние масштабов используемых единиц длины и времени в заданной фи¬
зической системе, параметры которой остаются неизменными. Во-
вторых, это преобразование можно рассматривать и как преобразование
энергии при изменении параметров самой физической системы, считая
единицы измерения прежними. Например, можно мысленно увеличить
все расстояния в несколько раз — увеличить вдвое радиус орбиты, по
которой планета обращается вокруг Солнца, или втрое увеличить высо¬
ту, с которой свободно падает тело в однородном поле тяжести Земли,
и т. д. Если при этом изменить также и время согласно второй из
формул (9.20), причем коэффициент р выбрать в соответствии с
выражением (9.25), то по виду преобразования энергии формулы (9.26)
не сможем определить, какая именно из двух описанных возможностей
была реализована.
Указанная симметрия по отношению к этим возможностям трактов¬
ки формулы (9.26) означает, что при реальном изменении линейных
размеров физической системы в а раз все характерные времена в ней
изменятся в р раз, где р должно удовлетворять соотношению (9.25). От¬
сюда получаем
Соотношение (9.27) означает, что при п — 1 отношение (f/t) = (r'/r)l/2 —
в однородном силовом поле время падения с вдвое большей высоты
будет больше в -Jl раз. При л = — 1 получаем (f/t) = (f /г)1/2, что соответ-
12 -3840
177
ствует третьему закону Кеплера. При п = 2 получаем (f/t) = 1 — харак¬
терное время (период) при колебаниях груза на упругой пружине не
зависит от амплитуды этих колебаний.
Таким образом, использование симметрии физических законов по
отношению к определенным масштабным преобразованиям, т. е. инва¬
риантности определенных соотношений относительно таких преобразо¬
ваний, позволяет установить связь между пространственными и времен¬
ными характеристиками движения без явного обращения к уравнениям
движения.
При наличии такой симметрии говорят о физическом подобии раз¬
личных систем. Впервые соображения подобия при изучении механиче¬
ских свойств физических систем использовались И. Ньютоном в его
«Математических началах натуральной философии» в главе, посвящен¬
ной изучению сопротивления жидкостей движению. Использование
физического подобия облегчает решение многих задач механики.
Приведем характерный пример. Требуется определить, как изменит¬
ся время пролета ионов в некотором устройстве, содержащем ионную
пушку, ускоряющие электроды и приемник образующегося ионного
пучка, если заряд иона е изменить в а раз, его массу — в р раз, уско¬
ряющую разность потенциалов — в у раз и геометрические размеры уст¬
ройства в е раз.
Выражение для энергии иона, движущегося в ускоряющем электри¬
ческом поле, записывается в виде
где ф — потенциал электрического поля.
По условию проведено следующее изменение параметров системы:
Проведем изменение времени по правилу t -» t = ту. Тогда соотно¬
шение (9.28) преобразуется следующим образом:
у- + «Р,
(9.28)
е -»е' =ае,
т-+т' =(3 т,
ф-»ф' — уф,
г -»/*' = гг.
(9.29)
(9.30)
Видно, что при выполнении условия
(9.31)
178
энергия Е' будет отличаться от Е численным множителем, и приходим к
физически подобным системам, для которых справедливо описанное
выше рассуждение. Итак, из соотношения (9.31) находим
§ 9.4. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Ранее были рассмотрены масштабные преобразования пространства
и времени, которые соответствовали рассмотрению свойств системы в
одной и той же определенной инерциальной системе отсчета и отража¬
ли определенную симметрию, заключающуюся в инвариантности урав¬
нений относительно этих преобразований.
Преобразования Галилея, описывающие правила перехода от одной
инерциальной системы отсчета к другой, также соответствуют опреде¬
ленным свойствам симметрии пространства и времени, которые прояв¬
ляются в одинаковости физических законов во всех инерциальных сис¬
темах отсчета.
В главе, посвященной принципу относительности, уже приводились
примеры эффективного использования этого принципа для рассмотре¬
ния конкретных явлений в рамках динамического подхода. Здесь приве¬
дем пример использования принципа относительности совместно с
фундаментальными законами сохранения.
Рассмотрим гантель, представляющую собой два одинаковых шара
массы т, соединенных стержнем длины / и пренебрежимо малой массы,
которая вертикально стоит на идеально гладкой горизонтальной по¬
верхности. Нижнему шару мгновенно сообщают скорость v0 в горизон¬
тальном направлении (рис. 9.6). Выясним, при каких значениях v„ шар
будет скользить, не отрываясь от горизонтальной плоскости, и какова
будет скорость верхнего шара в момент удара о горизонтальную поверх¬
ность.
Ответы на эти вопросы получаются совершенно элементарно, если
перейти в систему отсчета, где центр масс шаров движется по вертика¬
ли. В исходной лабораторной системе отсчета такая новая система дви-
(9.32)
О
/
/
7777777777777"
Рис. 9.6. Гантель из двух одинаковых
шаров
Рис. 9.7. Движение гантели в системе
центра масс
12*
179
жется но горизонтали с постоянной скоростью v0/2 и поэтому тоже яв¬
ляется инерциальной. В этой системе отсчета скорости шаров в
началь71ый момент времени равны Vq/2 и направлены горизонтально в
противополож71ые стороны (рис. 9.7).
Выясним, при каком условии нижний шар в начальный момент
оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае он двигался бы с
ускорением свободного падения. Поскольку в начальный момент ган¬
тель вращается вокруг центра масс, то нижний шар имеет связанное с
этим вращением центростремительное ускорение, направленное верти¬
кально вверх:
„ _К/2)г _К
им
1/2
2 Г
(9.33)
Очевидно, что шар оторвется от поверхности, если ап > g. В противном
случае при аи< g шар не отрывается от горизонтальной поверхности.
При этом его скорость удовлетворяет условию
<2 gl.
(9.34)
Определить скорость верхнего шара в момент удара о горизонталь¬
ную поверхность можно с помощью законов сохранения энергии и им¬
пульса. Во введенной системе отсчета центр масс шаров движется по
вертикали, поскольку горизонтальная составляющая импульса системы,
равная нулю в начальный момент, сохраняется. В момент падения ган¬
тели на поверхность стержень, соединяющий шары, расположен гори¬
зонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его
точек, в том числе середины и концов (т. е. шаров), в момент падения
равны нулю. Поэтому скорость верхнего шара в момент падения на по¬
верхность v, направлена вертикально вниз (рис. 9.8).
Таким образом, закон сохранения энергии во введенной системе от¬
счета записывается в виде
откуда
=mgl +2
m(vJ2f
V,2 =2gl + Vg/2.
(9.35)
(9.36)
V,
V
) !/\//,/f) > 7
ТТТ7ТГ^ГТ7
V„/2
Рис. 9.8. Падение гантели на поверхность Рис. 9.9. Падение гантели на поверхность
в системе центра масс в лабораторной системе
180
В исходной лабораторной системе отсчета скорость v падающего
шара в момент удара дается выражением
v2=v2+(v0/2)2=2*/+3v2/4.
(9.37)
Направление этой скорости составляет угол а с вертикалью, определяе¬
мый соотношением (рис. 9.9)
Удачный выбор используемой инерциальной системы отсчета может
существенно облегчить составление уравнений и в тех случаях, когда
энергия и импульс не сохраняются, поскольку физические законы, оп¬
ределяющие изменение этих величин, формулируются одинаково во
всех инерциальных системах отсчета.
§ 9.5. ОБРАТИМОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
При формальной замене t ->f — —t обнаружим, что скорость части¬
цы v = dr/dt изменяет свое направление на противоположное:
в то время как ускорение а = ch/dt остается при этом без изменения:
Если действующие на частицу силы не зависят от скорости и явля¬
ются только функцией координат, то при описанной замене ?->/' = -/
их значения не изменяются, и второй закон Ньютона
сохраняет свой вид. Об этом свойстве говорят как об обратимости дви¬
жения в классической механике.
Действительно, если в какой-то момент времени изменить направ¬
ление скорости частицы на противоположное, то частица будет двигать¬
ся вспять по той же самой траектории, ибо в уравнение траектории
время не входит вовсе. Более того, промежутки времени между прохож¬
дением двух любых заданных точек траектории будут одинаковы как
при прямом, так и при обратном движении, так как каждой точке тра¬
ектории соответствует определенное значение модуля скорости частицы
независимо от направления ее движения по данной траектории.
(9.38)
(9.39)
181
Указанные свойства механиче¬
ского движения особенно наглядно
проявляются при колебаниях маят¬
ника, упругих столкновениях биль¬
ярдных шаров и т. д. Засняв на
пленку столкновение двух бильярд¬
ных шаров, можно при просмотре
фильма пускать ее в любом направ¬
лении. По наблюдаемой картине
невозможно определить, движется
ли пленка в том же направлении,
что и при съемке фильма, или в
противоположном. В обращенном
во времени движении никакие за¬
коны механики не нарушаются.
Все это справедливо тогда, когда можно пренебречь трением. Дру¬
гими словами, обратимость механического движения имеет место тогда,
когда выполняется закон сохранения механической энергии. Обратим
внимание на то, что в уравнения (7.14) и (7.26), отражающие законы со¬
хранения механической энергии, время вообще не входит. Из закона
сохранения энергии для упругого столкновения шаров действительно
нельзя увидеть, в каком направлении развивается картина столкнове¬
ния, ибо эти уравнения не изменяются при замене направлений всех
скоростей на противоположные. Таким образом, уравнения закона со¬
хранения энергии инвариантны относительно преобразования t ->
Использование обратимости механического движения позволяет
сводить решение одних задач к решению других, гораздо более простых,
избегая громоздких математических преобразований.
Рассмотрим пример. Стальной упругий шарик свободно падает без
начальной скорости с некоторой высоты Н. На какой высоте h и под ка¬
ким углом а к горизонту следует расположить мраморную плиту, чтобы
упруго отскочивший от нее шарик (рис. 9.10) улетел как можно дальше
по горизонтали? Какова эта максимальная дальность?
При формальном решении этой задачи придется исследовать даль¬
ность полета шарика по горизонтали S на экстемум как функцию двух
переменных — h и а. Однако задачу можно решить вообще без подоб¬
ных расчетов, воспользовавшись обратимостью механического движе¬
ния. При любом расположении мраморной плиты шарик упадет на зем¬
лю со скоростью v = yJ2gH. Решим вспомогательную задачу и найдем
максимальную дальность полета по горизонтали тела, брошенного с та¬
кой начальной скоростью. Очевидно, для этого тело нужно бросить под
углом л/4 к горизонту, и дальность полета составит v2/g = 2Н, причем в
конце полета скорость составит угол л/4 с горизонтом. В этой конечной
точке расположим мраморную плиту так, чтобы шарик после отскока
изменил направление скорости на вертикальное, т. е. плита должна об¬
разовывать угол л/8 с горизонтом. При этом он поднимется на высоту Н
(рис. 9.11). Но в исходной задаче фигурирует обращенное движение по
Рис. 9.10. Свободное падение стального
упругого шарика без начальной скорости с
высоты Н на мраморную плиту, располо¬
женную под углом а к горизонту
182
v-\/2 gH
H
'<a
Г s =йн cA
Рис. 9.11. Бросание шарика на наклонную плиту
сравнению с движением в этой вспомогательной задаче. Если бы при
каком-либо ином расположении плиты была возможна большая даль¬
ность полета по горизонтали, чем S = 2Я, то она была бы возможна и во
вспомогательной задаче.
Итак, для получения максимальной дальности полета по горизонта¬
ли мраморную плиту следует расположить при h = 0 и наклонить к го¬
ризонту на л/8 (см. рис. 9.11).
Задачи к главе 9
Задача 9.1. Как зависит период колебаний от амплитуды для негар¬
монического осциллятора с потенциальной энергией Еп = ^р?
Решение. Поскольку Еп к х4, п = 4 и
£ =23
t Г' ■
Таким образом, масштабно инвариантным является произведение
rt = /Y. В этом случае период колебаний обратно пропорционален ам¬
плитуде. Обратите внимание, что и при любой другой степени я * 2 пе¬
риод колебаний зависит от амплитуды.
Задача 9.2. Оцените, как зависит от размеров животного I высота
прыжка.
Решение. Этот пример иллюстрирует, как масштабные преобра¬
зования позволяют сделать оценку в случае трудно формализуемой за¬
дачи. Нужная для прыжка на высоту h энергия пропорциональна массе
и высоте. Масса пропорциональна объему животного, поэтому энергия
Е <х Ph. С другой стороны, совершаемая силой мышц /"работа оценива¬
ется как FI. Сила пропорциональна прочности костей, т. е. площади их
сечения, так что Fк Р. Итак, Е-ссА * /7, т. е.
l3h ос PI.
Таким образом, в первом приближении высота прыжка И не зависит
от размеров животного. И тушканчик, и кенгуру прыгают примерно на
одинаковую высоту.
183
Многие аналогичные задачи, иллюстрирующие применение мето¬
да масштабных преобразований в биофизике, приведены в книге
Дж. Смита «Математические идеи в биологии» (М., Мир, 1970).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.3. Радиус планеты в я раз меньше радиуса Земли, а масса в к раз больше.
Найти: 1) во сколько раз ускорение свободного падения на ней меньше, чем на Земле:
2) во сколько раз первая космическая скорость меньше, чем на Земле. (1) к/п2\ 2) -Jk/n)
Задача 9.4. Выполнить масштабные преобразования для закона сохранения момента
импульса из § 8.2. Какую информацию можно извлечь из них?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. При применении законов сохранения часто получаются лишние математические
корни. Какой физический смысл они имеют?
2. Выполняются ли законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в не-
инерциальных системах отсчета? Почему?
3. Какие ограничения накладывают законы сохранения на угол рассеяния и на угол
разлета при упругом столкновении движущейся частицы с неподвижной?
4. Вещество для замедления нейтронов в ядерных реакторах должно быть таким, что¬
бы его ядра не поглощали нейтронов. В частности, свинец и тяжелая вода почти не погло¬
щают нейтроны. Почему же для замедления быстрых нейтронов используют дорогую тя¬
желую воду и не используют гораздо более дешевый свинец?
5. Сформулируйте, каковы границы применимости модели абсолютно упругого удара.
6. Чем выделены перигей и апогей среди других точек эллиптической орбиты?
7. При каких условиях прилетевший из бесконечности метеорит может стать искусст¬
венным спутником Земли?
8. При каких условиях периоды обращения спутника по круговой и эллиптической
орбитам будут одинаковы?
9. Почему в геоцентрической системе отсчета можно не учитывать влияние спутника
на движение Земли, а в гелиоцентрической системе такой учет необходим?
10. Почему галактики имеют сплющенную форму?
11. С какими свойствами симметрии пространства и времени связаны законы сохра¬
нения энергии, импульса и момента импульса?
12. В чем проявляется симметрия физических законов по отношению к масштабным
преобразованиям?
13. Кинооператор снимает сцену взрыва моста на модели в 1/10 натуральной величи¬
ны. Как следует изменить частоту кадров при съемке, чтобы в кинофильме сцена выгля¬
дела правдоподобно?
14. Допустим, что некоторое физическое уравнение обладает симметрией по отноше¬
нию к масштабным преобразованиям. Сохранится ли эта симметрия при изменении сис¬
темы единиц?
15. Существуют ли ограничения на применимость принципа обратимости времени в
классической механике?
Описание программного обеспечения по теме
«Законы сохранения в механике»
Программно-методический комплекс
«Законы сохранения в механике»
(Д. В. Баяндин, Д. Г. Казенкин, А. А. Рябуха)
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/ME/2000,
• ПЭВМ типа IBM PC 386SX,
• 4МВ ОЗУ,
• подключение к Интернету,
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
Stratum:
• Stratum Computer версия 1.3 (на платформе MS-DOS)
• Stratum 2000 (на платформе WINDOWS)
2. Назначение программы и ее возможности
Stratum — инструментальное программное средство для моделирования элементов,
сложных систем, конструкций, процессов из различных областей естествознания (физика,
математика, биология, экология, экономика, электроника и др.). Данное средство позво¬
ляет на основе простейших функциональных элементов создавать и исследовать модели
сложных систем без знания языков программирования. Более подробная информация на
сайте:
http://stratum.pstu.ac.ru/PRODUCTS/Physicis
Программно-методический комплекс «Законы сохранения в механике» включает.
• Движение в поле тяжести Земли (закон сохранения энергии и работа): закон со¬
хранения энергии для тела, движущегося в поле тяжести Земли, вертикальное дви¬
жение шара в вязкой среде, движение тела, брошенного под углом к горизонту,
при наличии трения.
• Движение тела иод действием нескольких сил (законы сохранения импульса и
энергии): движение тела на упругом подвесе, движение тела по наклонной плос¬
кости, определение скорости полета пули методом баллистического маятника.
• Соударения (законы сохранения импульса и энергии): отражение шара от гладкой
стенки, неупругие центральные соударения шаров, упругие центральные соударе¬
ния шаров, нецентральные упругие соударения шаров.
• Реактивное движение (закон сохранения импульса): движение тележки с импульс¬
ным движителем, реактивное движение в отсутствие внешних сил, реактивное
движение в поле внешних сил.
• Движение небесных тел (законы сохранения энергии и момента импульса, законы
Кеплера): движение планет, комет и искусственных спутников Земли, системы
двойных звезд.
РАЗДЕЛ IV. ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
МЕХАНИКИ
Глава 10. ЕДИНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
§ 10.1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ранее неоднократно сталкивались с тем обстоятельством, что свой¬
ства симметрии пространства и времени определяют устройства нашего
мира. В частности, физические законы оказываются независящими от
положения в пространстве и от выбора момента времени. Независи¬
мость явлений в замкнутой системе от места и момента времени являет¬
ся следствием однородности пространства и времени. Наряду с такой
независимостью, как показывает опыт, существует независимость фи¬
зических явлений от состояния движения, которая проявляется в рав¬
ноправии всех инерциальных систем отсчета. Утверждение об эквива¬
лентности всех инерциальных систем отсчета при рассмотрении
механических явлений составляет содержание механического принципа
относительности Галилея. Дальнейшее развитие физики показало, что
не только механические, но и любые другие физические явления —
электромагнитные, оптические и т. д. — удовлетворяют принципу отно¬
сительности: описывающие их физические законы одинаковы во всех
инерциальных системах отсчета.
Законы классической механики не меняют своего вида при перехо¬
де от одной инерциальной системы отсчета к другой, если справедливы
преобразования Галилея, рассмотренные в § 3.4. Однако, как оказалось,
основные законы электродинамики не остаются неизменными, если
при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой исполь¬
зовать преобразования Галилея. В самом деле, согласно уравнениям
Максвелла, выражающим законы электродинамики, скорость света в
вакууме с одинакова по всем направлениям. С другой стороны, в соот¬
ветствии с законом преобразования скорости, даваемым соотношением
(3.23) § 3.4, вытекающим из преобразований Галилея, скорость света
может быть одинакова по всем направлениям только в одной инерци¬
альной системе отсчета, где источник света неподвижен. В другой сис¬
теме отсчета, движущейся по отношению к данной с некоторой скоро¬
стью V, скорость света будет равна с — V в направлении движения
системы отсчета и с + V в противоположном направлении.
Таким образом, между классической электродинамикой и классиче¬
ской механикой имеют место определенные противоречия. Опытные
данные свидетельствуют о том, что принцип относительности распро¬
страняется на все без исключения физические явления. В то же время
законы механики Ньютона не меняются при преобразованиях Галилея,
186
а законы электродинамики Максвелла меняются. Такова была истинная
историческая канва глубокого кризиса, поразившего физику на рубеже
XIX и XX вв.
Даже если предположить, что электродинамика не была бы развита
в достаточной степени, чтобы поставить в повестку дня описанный во¬
прос, то все равно развитие одной лишь механики привело бы к его
возникновению. При изучении быстрых движений со скоростями срав¬
нимыми со скоростью света в вакууме выяснилось бы, что законы дина¬
мики Ньютона уже неверны. Были бы найдены новые законы, соответ¬
ствующие экспериментальным данным, и тут оказалось бы, что эти
новые законы изменяют свой вид при использовании преобразований
Галилея.
Выход из кризиса был найден в 1905 г. А. Эйнштейном путем отказа
от нерелятивистских представлений о пространстве и времени и от ос¬
нованных на них взглядах Ньютона. Решающим шагом на этом пути
оказался критический подход к используемому в нерелятивистской фи¬
зике понятию абсолютного времени. Это представление, почерпнутое
из повседневного опыта и кажущееся наглядным и очевидным, в дейст¬
вительности оказалось несостоятельным и неадекватным природе.
Созданная Эйнштейном теория, получившая название специальной
теории относительности, перевела многие физические понятия и вели¬
чины, которые в нерелятивистской механике считались абсолютными,
т. е. не зависящими от выбора системы отсчета, в разряд относитель¬
ных. В частности, считавшееся абсолютным понятие одновременности
двух событий в действительности оказалось относительным: два собы¬
тия, происходящие в разных точках пространства, одновременные в не¬
которой системе отсчета, не являются одновременными в другой систе¬
ме, движущейся относительно первой. Промежуток времени между
событиями и расстояние между точками в пространстве, где они про¬
изошли, — эти величины также являются относительными, т. е. их зна¬
чения разные в различных системах отсчета.
Поскольку все физические явления происходят в пространстве и
во времени, то пересмотр и уточнение основных понятий, в особенно¬
сти пространственно-временных соотношений, затронули в конечном
счете всю физику. При этом представления и законы нерелятивист¬
ской механики Ньютона вошли в новую теорию в качестве предельно¬
го случая.
Специальная теория относительности Эйнштейна, т. е. релятивист¬
ская теория классической физики в целом, основана на двух постулатах:
1) принцип относительности, т. е. принцип равноправия всех инер-
циальных систем отсчета;
2) принцип существования предельной скорости движения матери¬
альных объектов и распространения взаимодействий.
Первый постулат подробно обсуждался ранее. Второй постулат ут¬
верждает, что любые взаимодействия между реальными объектами
распространяются в пустоте с универсальной конечной скоростью, не
зависящей от движения тел и равной скорости света в вакууме
с = 3 -10* м/с. Эта скорость определяет тот промежуток времени, по ис¬
187
течении которого до тела может дойти сигнал, несущий информацию
об изменении, происшедшем с другим телом.
Значение второго постулата определяется тем, что в определении
понятий, относящихся к свойствам пространства и времени, фундамен¬
тальную роль играет передача сигналов с определенной скоростью.
Подчеркнем, что второй постулат находится в противоречии с приня¬
тым в нерелятивистской механике способом описания взаимодействия
частиц, включающим в себя предположение о мгновенности распро¬
странения взаимодействий. Действительно, силы, действующие на
какую-либо частицу со стороны остальных, считаются в нерелятивист¬
ской механике зависящими от положения частиц в этот же момент вре¬
мени. Изменение положения какой-либо частицы мгновенно отражает¬
ся на остальных. Итак, конечность скорости света неизбежно приводит
к необходимости уточнения законов механики.
Передача сигнала в принципе возможна не только с помощью
каких-либо физических полей. Можно представить себе передачу сиг¬
налов при помощи очень быстрых частиц. Однако принцип существо¬
вания универсальной определенной скорости распространения взаимо¬
действий утверждает существование общего верхнего предела для
скорости передачи сигналов и придает скорости, совпадающей со ско¬
ростью света в вакууме, универсальное значение, не связанное с приро¬
дой взаимодействия, а отражающее некоторое объективное свойство
пространства и времени.
В то время, когда была создана специальная теория относительно¬
сти, ее экспериментальное подтверждение можно было найти лишь в
исключительно тонких электродинамических и оптических опытах.
В настоящее время в ускорителях заряженные частицы разгоняются
вплоть до скоростей, составляющих 99 % и более от скорости света. Для
расчета движения столь быстрых частиц пользоваться динамикой Нью¬
тона уже нельзя.
§ 10.2. ОДНОВРЕМЕННОСТЬ УДАЛЕННЫХ СОБЫТИЙ
Остановимся подробнее на анализе тех изменений в основных фи¬
зических понятиях, связанных с пространством и временем, которые
внесла специальная теория относительности. Прежде всего проанализи¬
руем основные измерительные операции, определяющие простран¬
ственно-временные отношения между событиями.
Главное, что внесла теория относительности в постановку вопроса
об измерительных операциях, состоит в том, что любое физическое по¬
нятие (например, понятие одновременности событий) и любая измери¬
тельная процедура (например, измерение расстояний и промежутков
времени) нуждаются в определении.
Измерение времени может производиться при помощи любого пе¬
риодического процесса. Наибольшей точностью обладают часы, осно¬
ванные на использовании колебаний молекул аммиака (молекулярные
часы) или переходов электронов в атомах цезия (атомные часы). Ис¬
188
пользование таких часов особенно удобно, ибо они являются совершен¬
но одинаковыми, поскольку атомы одного и того же изотопа тождест¬
венны.
Измерить промежуток времени между двумя событиями — это зна¬
чит сравнить между собой показания выбранных часов в моменты
наступления этих событий. Для этого нужно определить понятие одно¬
временности рассматриваемого события с другим событием — прохож¬
дением стрелки часов через определенное деление. Понятие одно¬
временности событий, происходящих в одном и том же месте, не
нуждается в определении. Поэтому для измерения промежутка време¬
ни между двумя событиями, происходящими в одном и том же месте
(т.е. в одной и той же точке пространства), достаточно иметь часы в
этом месте.
Иначе обстоит дело с измерением промежутка времени между собы¬
тиями, происходящими в разных точках пространства. Очевидно, что
для такого измерения нужно иметь в тех точках, где происходят собы¬
тия, синхронно идущие часы. В нерелятивистской физике, использо¬
вавшей представление о мгновенно распространяющихся сигналах,
процедура синхронизации часов не требовала специального обсужде¬
ния. Поскольку там принималось как нечто само собой разумеющееся
существование единого времени, не зависящего от системы отсчета, то
без специальных оговорок допускалось, что понятие одновременности
событий в разных точках пространства не нуждается в определении, а
любой способ синхронизации часов (путем световых сигналов или пу¬
тем перевозки часов) должен дать одно и то же.
В рамках специальной теории относительности необходимо дать
определение, что такое одновременные события, происходящие в про¬
странственно разделенных точках. Эйнштейн дал определение одновре¬
менности, основанное на независимости скорости сигнала, распростра¬
няющегося с предельной скоростью, от направления распространения.
Пусть из т. А в момент времени /, по часам в т. А отправляется сиг¬
нал (рис. 10.1). Время прихода сигнала в т. В по часам точки В равно f.
Пусть отраженный в В сигнал приходит обратно в т. Л в момент (2 по ча¬
сам А. Тогда по определению часы в т. А и В идут синхронно, если
t’=±(tl+t2). (10.1)
Имея синхронизированные часы, можно определить промежуток време¬
ни между пространственно удаленными
событиями и одновременность этих со¬
бытий по разности показаний синхрони- -
зированных часов.
Операцию измерения расстояний с
точки зрения постулатов специальной
теории относительности можно опреде¬
лить на основе радиолокационного ПОД- Рис. )0.|. Определение одновре-
ХОДа: ИЗ некоторой Т. Л В момент Време- менности по Эйнштейну
г
189
ни t] по часам т. А посылают световые или радиосигналы, которые
после отражения из некоторой т. В возвращаются в точку отправления в
момент времени 12. Измеряется время прохождения сигнала туда и об¬
ратно по часам т. А. Расстояние между т. А и В равно по определению
произведению скорости сигнала с на половину времени прохождения:
Рассуждения относились к какой-либо определенной инерциальной
системе отсчета. Будем теперь рассматривать события, промежутки вре¬
мени и расстояния с точки зрения разных систем отсчета. В нереляти¬
вистской механике понятие одновременности носило абсолютный ха¬
рактер: если два события одновременны в какой-либо системе отсчета,
то они одновременны и в любой другой системе. Покажем, что второй
постулат теории относительности приводит к относительному характеру
одновременности. Утверждение, что два пространственно разделенных
события происходят одновременно, имеет смысл только тогда, когда
указано, к какой системе отсчета относится это утверждение. Рассмот¬
рим две инерциальные системы отсчета К я К, причем система А7 дви¬
жется относительно К с постоянной скоростью V. Направление одно¬
именных осей в Кя К' выберем одинаковым, а оси х их'направим вдоль
вектора V (рис. 10.2). Будем считать, что в каждой из систем отсчета
имеются наборы неподвижных синхронизированных между собой ча¬
сов, расположенных соответственно вдоль осей х и х', с помощью кото¬
рых можно измерять время в любой точке.
Пусть из некоторой т. А, расположенной на оси х', отправляются
сигналы во взаимно противоположных направлениях (рис. 10.3). Рас¬
смотрим приход сигналов в т. В и С системы К, равноудаленные от т. А.
Очевидно, что сигналы достигнут т. В я С одновременно по часам сис¬
темы К'. Легко, однако, видеть, что эти же два события — приход сигна¬
лов в т. В я С — не будут одновременными для наблюдателя в системе
отсчета К (т. е. по часам этой системы). В самом деле, согласно принци¬
пу относительности скорость сигналов в системе К также не зависит от
направления распространения и равна с. Но в системе отсчета К г. В
движется навстречу посланному сигналу, в то время как т. С — по на¬
правлению от посланного к ней сигнала. Поэтому с точки зрения на-
I =\c(t2 -Г,).
(10.2)
У1 у\ V ©
П1
О О О О
Xх
Рис. 10.2. К доказательству относитель¬
ного характера одновременности: син¬
хронизация часов в двух различных
инерциальных системах отсчета
190
Рис. 10.3. К доказательству относи¬
тельного характера одновременно¬
сти: распространение сигнала во
взаимно противоположных направ¬
лениях
Ук У
в
А
С
/,7
о'
X
X
Z
Z
блюдателя в системе К, сигналу приходится на пути к В преодолеть
меньшее расстояние, чем на пути к С. Следовательно в системе К сиг¬
нал в т. В придет раньше, чем в С. Это означает, что в системе К эти со¬
бытия не являются одновременными: итак понятие одновременности
событий является относительным.
§ 10.3. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ И РАССТОЯНИЙ
Теперь нетрудно показать относительный характер промежутков
времени между двумя заданными событиями. Пусть два события в сис¬
теме отсчета 1C происходят в одной и той же т. А, и промежуток време¬
ни между ними равен т0 по часам системы К': ти равно разности показа¬
ний одних и тех же часов, расположенных в т. А. Этот промежуток
времени называется собственным временем между двумя событиями.
Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его
измерить по часам системы А?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим мысленный опыт, показан¬
ный на рис. 10.4, а. На концах стержня длиной / закреплены два парал¬
лельных между собой зеркала. Между зеркалами движется короткий
световой импульс, поочередно отражающийся от зеркал. Весь прибор
неподвижен в системе отсчета К, и его стержень расположен перпенди¬
Рис. 10.4. Мысленный эксперимент с коротким световым импульсом, движущимся ме¬
жду двумя закрепленными параллельными зеркалами, в системах отсчета К' (а) и К (б)
X
191
кулярно оси х', т. е. перпендикулярно скорости системы К' относитель¬
но К.
Рассмотрим один цикл таких часов, т. е. выход светового импульса
из нижнего зеркала до его возвращения обратно после отражения от
верхнего зеркала, с точки зрения наблюдателя в каждой системе отсче¬
та. В системе К оба события (выход и обратный приход сигнала) проис¬
ходят в одной и той же точке, и промежуток времени между ними (соб¬
ственное время) равен т0 = 21/с. Но в системе отсчета К часы находятся
в движении, и световой импульс движется между зеркалами зигзагооб¬
разно (см. рис. 10.4, б). Свет при этом проходит за один цикл больший
путь и, следовательно, промежуток времени т между этими же события¬
ми, измеренный по часам системы К, будет больше, так как скорость
света с одинакова в обеих системах отсчета. Нетрудно найти связь меж¬
ду Тд и т. Как следует из рис. 10.5. в системе К, пройденный светом за
один цикл, путь равен 2yjl1 +(vx/2)2, поэтому
Отсюда получаем
cx = 2y]l2 +(vt/2)2 . (10.3)
т = Ц 1 (10.4)
д/l-v2/c2
Учитывая, что 21/с = т0, промежутку времени между событиями в К
(т. е. собственному времени), окончательно придем к
х = -, . (10.5)
д/l-у2/сг
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зави¬
сит от системы отсчета, т. е. является относительным.
Из соотношения (10.5) следует, что при любой v 0 имеет место не¬
равенство т > т0, т. е. собственное время меньше, чем промежуток вре¬
мени между этими же событиями, измеренными в любой другой инер-
циальной системе отсчета. Этот эффект называется релятивистским
замедлением хода времени или его растяжением. С точки зрения на¬
блюдателя в системе отсчета К идентичные по устройству движущиеся
часы (т. е. часы в системе отсчета К) идут медленнее, чем его собствен¬
ные, неподвижные в системе К. Из приведенного рассуждения следует,
что причина замедления хода времени — одинаковость скорости света
во всех инерциальных системах отсчета.
В приведенных рассуждениях длину стержня / с прикрепленными
зеркалами считали одинаковой в обеих системах отсчета, причем стер¬
жень располагался перпендикулярно относительной скорости систем К
и К. Если бы это было не так, то можно было бы сразу прийти к проти¬
воречию с равноправием систем отсчета Kvi К. Действительно, распо¬
ложив вдоль оси у' стержень, длина которого в К равна /, а вдоль у стер-
192
Рис. 10.5. К вычислению временных и пространственных интервалов для светового им¬
пульса в системах отсчета К (а) к К (б)
жень, длина которого в К равна /, можно было бы непосредственно
сравнить их длины в момент, когда оси у и у' совпадают.
Рассмотренный релятивистский эффект замедления хода времени
является взаимным, как того требует принцип относительности, прояв¬
ляющийся в равноправии всех инерциальных систем отсчета. С точки
зрения наблюдателя системы отсчета К медленнее идут часы в К', с точ¬
ки зрения наблюдателя в К медленнее идут часы в системе отсчета К.
Никакого парадокса в этом нет, ибо такой вывод делается в результате
сравнения показаний одних и тех же часов, считаемых неподвижными,
с разными движущимися часами (т. е. часами, расположенными в сис¬
теме отсчета, которая движется относительно данной системы).
Покажем теперь, что в специальной теории относительности стано¬
вится относительным понятие длины твердого стержня в направлении
его движения. Это означает, что длина такого стержня, расположенного
вдоль направления относительной скорости систем отсчета Ка К', будет
различной в этих системах (см. рис. 10.5).
Пусть стержень покоится в системе отсчета К'. Его длину /0, изме¬
ренную в этой системе отсчета, называют собственной длиной. Длину
стержня в системе отсчета К, относительно которой стержень движется
со скоростью v, обозначим через /. Найдем связь между /0 и /. Рассмот¬
рим два события: а) прохождение начала стержня мимо определенной
т. А на оси х системы К (рис. 10.5, а), б) прохождение конца стержня
мимо этой же т. А (рис. 10.5, б). В системе отсчета К эти события проис¬
ходят в одной и той же т. А, поэтому промежуток времени между ними в
системе К является собственным временем т0. Так как стержень движет¬
ся мимо А со скоростью v, то для его длины в системе отсчета К спра¬
ведливо
./ = vt0. (10.6)
С точки зрения наблюдателя в системе отсчета К' т. А движется
вдоль неподвижного стержня налево с такой же по величине скоростью.
Поэтому для собственной длины стержня /0 в системе К' справедливо
13-3840
/о = vr,
(Ю.7)
193
где т — промежуток времени между событиями а) и б), т. е. промежуток
времени между прохождениями т. А начала и конца стержня, измерен¬
ный по часам системы К. Учитывая связь между т0 и т, даваемую соот¬
ношением (10.5), получим с помощью (10.6) и (10.7):
I =ljl-v2/c2. (10.8)
Итак, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она из¬
меряется. При любой v*0 из формулы (10.8) следует, что /< /0: длина
стержня наибольшая в той системе отсчета, где стержень покоится. Эф¬
фект сокращения длины тела, движущегося относительно наблюдателя,
в направлении его движения называется лоренцевым сокращением, в
честь голландского физика X. Лоренца, прославившегося своими иссле¬
дованиями в области электродинамики. Релятивистский эффект сокра¬
щения длины движущегося стержня отражает относительный характер
расстояния между пространственными точками или, другими словами,
зависимость расстояния от выбора системы отсчета. Этот эффект не
связан с какими-либо процессами в самом стержне.
В соответствии с принципом относитель¬
ности эффект сокращения длины стержня яв¬
ляется взаимным: если такой же стержень по¬
коится в системе отсчета К, то его длина в этой
системе равна /0, а в системе JC длина будет
меньше в соответствии с выражением (10.8).
Эффект сокращения длины зависит от относи¬
тельной скорости систем отсчета и становится
особенно заметным для скоростей, сравнимых
со скоростью света. Зависимость лоренцева со¬
кращения от скорости показана на рис. 10.6.
Отметим, что при малых скоростях v « с
из формул (10.5) и (10.6) следует, что т = т0,
/ = /„. Это означает, что в нерелятивистском пределе понятие промежут¬
ка времени между двумя событиями и расстояния между точками при¬
обретают практически абсолютный смысл в соответствии с представле¬
ниями о пространстве и времени, сформировавшимися на основе
многовекового наблюдения и изучения сравнительно медленных дви¬
жений со скоростями v << с.
§ 10.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Соотношения (10.5) и (10.8), полученные на основе постулатов спе¬
циальной теории относительности, которые связывают промежуток вре¬
мени между событиями и расстояния между точками, измеренные в
разных системах отсчета, позволяют получить в явном виде релятивист¬
ский закон преобразования координат и времени при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой. Для получения этого закона
нужно рассмотреть описание некоторого события, характеризуемого
местом и моментом времени, когда оно произошло, в двух инерциаль-
Рис. 10.6. Зависимость ло¬
ренцева сокращения длины
от скорости
194
Рис. 10.7. К выводу преобразований Лоренца (10.10) и (10.12)
для систем отсчета К (о) и К (б)
ных системах отсчета К и 1C. Обозначим координаты и время этого со¬
бытия в системе К через х, у, z и (, а в системе 1C — через х', у', z! и f.
Будем также считать, что в начальный момент времени f = t — 0 т. О и
О' совпадают. Расстояния в направлении, перпендикулярном относи¬
тельной скорости v системы отсчета, как уже было показано, одинаковы
в К к К, поэтому у' = у, z! — Z-
Рассмотрим отрезок ОВ, неподвижный в системе отсчета К
(рис. 10.7, а). Координата х т. В есть собственная длина /0 этого отрезка.
Длина / этого отрезка в системе К, где измерение производится в мо¬
мент времени f (при f = 0 т. О и О' совпадают), есть х' + vf. Учтем соот¬
ношение (10.8) между собственной длиной отрезка /„ и его длиной I в
системе отсчета, в которой он движется со скоростью V. I =10tJ\-V2/c2 .
Теперь в соответствии с изложенным имеем
Легко сообразить, что в этой формуле можно заменить х, г «• х' f с
одновременной заменой К на -У, опираясь на принцип относительно¬
сти. Но можно получить соответствующую формулу независимо. Дейст¬
вительно координата х' т. В в системе К есть собственная длина отрезка
(УВ, неподвижного в К (см. рис. 10.7, б). Длина этого отрезка в К, изме¬
ренная в момент времени t по часам в К, равна х — Vt. Учитывая соотно¬
шение между собственной длиной отрезка /и и его длиной / в другой
системе отсчета, имеем
x' + Vt' =xA/l-K2/c2,
(Ю.9)
откуда
г _ x'+Vt'
Jl-V2/c2'
(10.10)
(10.11)
откуда
r< _ x^Vi
" ”7с2'
(10.12)
С помощью соотношений (10.10) и (10.12) можно найти связь между
временами t и f одного и того же события в разных системах отсчета.
Исключая из (10.10) и (10.12) поочередно х и х', придем к выражениям
tJU г+Кх.
t' = , у , t = , - -. (Ю.13)
д/1 -V2/c2 Jl-V2/c2
Таким образом, релятивистские формулы преобразования простран¬
ственных и временных координат некоторого события при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой имеют вид:
х'+Уг у—у' 7 = 7' t - /'+^/c2)JC' (10 14)
Формулы для обратного перехода получаются из выражения (10.14)
заменой х,/ ох7и К на —К.
Полученные соотношения называются преобразованиями Лоренца.
Они заменяют преобразования Галилея, справедливые в предельном
случае малых по сравнению со скоростью света относительных скоро¬
стей. При v << с преобразования Лоренца (10.14) переходят в преобра¬
зования Галилея. Таким образом, специальная теория относительности,
установив новые представления о пространстве и времени, не отвергает
полностью старые нерелятивистские представления, а включает их как
предельный случай, справедливый для медленных движений.
В нерелятивистской физике пространство и время были независимы
друг от друга. В специальной теории относительности пространство и
время образуют единый пространственно-временной континуум. И хотя
полной эквивалентности между пространственными и временной коор¬
динатами нет, они оказываются связанными между собой. Преобразо¬
вание пространственной координаты в направлении движения обяза¬
тельно сопровождается преобразованием временной и обратно.
Преобразования Лоренца выражают относительный характер про¬
межутков времени между событиями и расстоянием в пространстве
между ними. При этом в специальной теории относительности устанав¬
ливаются абсолютные, т. е. не зависящие от конкретного выбора инер¬
циальной системы отсчета, законы. Задача нахождения абсолютного
выражения законов природы связана с отысканием абсолютных, инва¬
риантных величин.
§ 10.5. ИНТЕРВАЛ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ
В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Одна из инвариантных величин фигурирует уже в основных посту¬
латах теории относительности — это максимальная скорость распро¬
странения взаимодействий, численно равная скорости света в вакууме.
Другой важной инвариантной величиной является так называемый
196
пространственно-временной интервал между событиями, определяемый
соотношением:
S12 = ^2t22 ~1п ’ (10.15)
где — промежуток времени между двумя событиями, измеренный по
часам в какой-либо одной инерциальной системе отсчета; /12 — про¬
странственное расстояние между точками, в которых произошли эти со¬
бытия, измеренное в той же системе отсчета.
Релятивистское понятие интервала обобщает использовавшиеся в
нерелятивистской физике понятия временного интервала между собы¬
тиями и пространственного расстояния между ними. Каждая из этих ве¬
личин была инвариантной в нерелятивистской физике и стала относи¬
тельной при рассмотрении быстрых движений. В специальной теории
относительности инвариантной является определенная комбинация
этих величин, даваемая выражением (10.15).
Пусть одно из событий происходит в начале координат х, = у, = zt =
= 0 в момент времени /, = 0, а второе в точке с координатами х, у, z в
момент времени t в системе отсчета К. Тогда выражение для интервала
между ними в соответствии с (10.15) запишется в виде
s=-Jc2t2 -(х2 +у2 +Z2)- (10.16)
Значение интервала зависит от того, какие события рассматривают¬
ся. Пусть, например, первое событие, происходящее в начале координат
в момент времени / = 0, представляет собой вспышку света, а второе со¬
бытие, происходящее в точке с координатами х, у, z в момент времени
/, — это приход световой волны в указанную пространственно-вре¬
менную точку. Тогда очевидно, что
х2 + у1 + z2 = c2t2, (10.17)
и интервал для такой пары событий в системе К равен нулю 5 = 0.
Координаты и время второго события в системе К будут другими,
но вследствие инвариантности скорости света будет выполняться соот¬
ношение
x'2 + y’2 + z'2 = c2f2, (10.18)
и, следовательно, интервал для этой пары событий равен нулю и в сис¬
теме К': s' = 0. Таким образом, если два события связаны между собой
световым сигналом, то интервал между ними равен нулю во всех инер-
циальных системах отсчета.
Для любой другой пары событий, не связанных световым сигналом,
интервал отличен от нуля, но величина его во всех инерциальных систе¬
мах отсчета одинакова:
с2х2 — (х2 + у2 + z2) ~ c2f2 — (х'2 + у'2 + г'2).
(10.19)
197
В справедливости соотношения (10.19) можно убедиться с помощью
преобразований Лоренца, подставив в левую часть выражения для х, у,
z, t из (10.14). Инвариантность интервала означает, что утверждение
«два события разделены пространственно-временным интервалом s'»
имеет абсолютный характер, т. е. оно справедливо во всех инерциаль¬
ных системах отсчета.
В зависимости от того, какая составляющая — временная или про¬
странственная - преобладает в интервале между двумя данными собы¬
тиями, возникает деление интервалов на времениподобные и простран¬
ственноподобные. Для времениподобного интервала с2/,2 >/,2, т. е.
S|2 >0. В этом случае можно найти такую систему отсчета К', в которой
рассматриваемые события происходят в одной точке, т. е. 1[2 =0. Проме¬
жуток времени в этой системе отсчета К является собственным време¬
нем: t'n =т0. Итак, в этом случае
4 =^.2-/>2=^4 (10.20)
Из формулы (10.20) видно, что для событий, разделенных временипо-
добным интервалом, существует такая система отсчета, в которой этот
интервал с точностью до постоянного множителя с равен промежутку
времени т0 между этими событиями. В этой системе отсчета события
происходят в одной точке пространства. Для этих событий понятия
«раньше» и «позже» имеют абсолютный характер. Очевидно, что между
такими событиями может существовать причинно-следственная связь.
Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом,
с 112 <4> т- е- 4 <0- Интервал в этом случае является мнимым числом,
и можно найти такую систему отсчета К', в которой рассматриваемые
события происходят одновременно, т. е. t\2 =0. Итак, для пространст¬
венноподобного интервала
4 =с24 -4 =-/и- (Ю.21)
Из формулы (10.21) следует, что для событий, разделенных пространст¬
венноподобным интервалом, существует система отсчета, в которой мо¬
дуль интервала равен пространственному расстоянию между событиями
в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновре¬
менно.
Понятия «раньше», «одновременно» и «позже» для таких событий
относительны. Можно указать такие системы отсчета, в которых первое
событие происходит раньше второго, одну такую систему отсчета, где
события одновременны, и, наконец, такие системы отсчета, где второе
событие происходит раньше первого. Для таких событий не существует
понятия причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, ника¬
кое взаимодействие не могут распространяться со скоростью, превы¬
шающей скорость света в вакууме.
Преобразования Лоренца для координат и времени события при пе¬
реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой позволяют
198
найти закон преобразования скорости при таком переходе. Пусть части¬
ца за промежуток времени dt по часам в системе отсчета К перемести¬
лась из точки с радиусом-вектором г в точку с радиусом-вектором
г + dr. Тогда скорость v частицы в К равна dr/dt. В системе отсчета 1C,
движущейся со скоростью V, направленной вдоль х, относительно сис¬
темы К, скорость v' частицы дается выражением dr /dt'. С помощью со¬
отношения (10.14) получаем
dx= ?х'+т' dy = dy', dz = dz', dt = dt'^V/P~. (10.22)
V\-vy? /1 -Уг/с2
Из соотношений (10.22) следуют выражения для преобразования ком¬
понент скорости v = dr/dt и v' = dr'/dt:
V = v-*+V- v = v = - V (10 23)
x l+(K/c>;’ y l+(K/c2)v; ’ г 1+(V/c2M '
Формулы, выражающие v', v'y и v' через vx, vy и vz, получаются
из (10.23) заменой vx, vy, vz <=> v'x, v'y, v' с одновременной заменой
V—К Отметим, что поперечные к направлению относительной ско¬
рости систем отсчета компоненты скорости частицы vy и vz в отличие от
поперечных координат у и г не остаются неизменными. Это связано с
преобразованием времени при переходе от одной инерциальной систе¬
мы отсчета к другой.
В предельном случае медленных движений со скоростями v << с ре¬
лятивистские формулы (10.23) переходят в обычные формулы нереляти¬
вистской механики:
Vx=v'x+V> Vy=K’ Уг =VZ- (10.24)
При изучении оптики с помощью соотношений (10.23) объясняется
явление звездной аберрации, заключающейся в искажении картины
звездного неба для движущегося наблюдателя по сравнению с непод¬
вижным.
Релятивистский закон преобразования скорости согласуется с по¬
стулатом о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах
отсчета. Рассмотрим, например, световой пучок, распространяющийся
в системе отсчета К со скоростью с вдоль оси х'. Для такого светового
пучка vx = с, v'y = v' =0. Согласно формулам (10.23) получим выражения
для компонент vx, vy и уг скорости этого светового пучка:
Vx = uTfi = c’ Vy = 0' Vj = 0- (10,25)
Видно, что и в системе отсчета К этот пучок распространяется со скоро¬
стью С ВДОЛЬ ОСИ X.
199
Задачи к главе 10
Задача 10.1. Показать, что преобразования Лоренца (10Л4) можно
представить как «гиперболический поворот» в плоскости (г, х):
ct = ch0 cf + sh0x', x = sh0c/ + ch0x',
с гиперболическими косинусом и синусом
ch0 = еВ~е - и sh0 - g-89.
Решение. Нетрудно убедиться, что гиперболическое преобразова¬
ние с углом 0 отвечает преобразованиям Лоренца при условии выполне¬
ния равенств
ch0 = -T=J== и sh0 - ,ИС ^.
ф-vW V-у2/с2
При этом справедливо соотношение на гиперболические функции
ch20 - sh20 = 1
(гиперболический аналог тригонометрического тождества cos20 + sin20 =
= 1), обеспечивающее инвариантность релятивистского интервала
(ct)2 — х2 = (сЬ0сГ/ + sh0x')2 — (sh0cr' + ch0x')2 =
= (ch20 - sh2©)^)2 - (x')2].
(Воспользуемся тем, что у = у' и z — z'-)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10.2. За какое время свет проходит расстояние от Солнца до Земли? (Пример¬
но за 8 мин)
Задача 10.3. В новой системе отсчета, движущейся со скоростью V относительно
старой вдоль оси х, проекция скорости = 0. Выразите новый модуль скорости
V'= J(v'y)2 + (V' )2 через старый v = ^Jv2 + v2 + v2. Выполняется ли для них теорема Пи-
iv2-V2 , , ,
фагора? (v'= J —-. Из формулы видно, что теорема Пифагора v = (у') + V , спра-
VI -V2/c2
ведливая лишь для евклидовой геометрии, выполняется лишь при V/c «1)
Глава И. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
§ 11.1. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС
Специальная теория относительности потребовала пересмотра и
уточнения законов динамики, поскольку ее основные законы удовле¬
творяют принципу относительности в отношении преобразований Га¬
лилея, но не преобразований Лоренца. Уравнения динамики нужно из¬
менить таким образом, чтобы они оставались неизменными при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой в соответст¬
вии с преобразованиями Лоренца.
Эту процедуру можно выполнить различными путями. Один из наи¬
более простых заключается в подборе новых, релятивистских выражений
для импульса и энергии, которые обеспечивают выполнение фундамен¬
тальных законов сохранения импульса и энергии во всех инерциальных
системах отсчета. Кроме того, согласно принципу соответствия, сформу¬
лированному Н. Бором, новое релятивистское выражение для импульса
должно переходить в обычное нерелятивистское выражение в условиях
его применимости, т. е. при v << с. Оказывается, что релятивистское вы¬
ражение для импульса частицы р записывается в виде
Здесь т называется массой частицы. Из сравнения выражения (11.1) с
нерелятивистским выражением р = ту следует, что т — это масса час¬
тицы в той системе отсчета, где частица покоится.
Иногда т называют массой покоя, а выражение w/yl-v2/c2 — ре¬
лятивистской массой частицы. Эта терминология господствовала на
заре создания специальной теории относительности, когда было модно
говорить о зависимости массы от скорости в противоположность нере¬
лятивистскому случаю, где масса была постоянной. До сих пор эта тер¬
минология встречается в научной и учебной литературе. Сейчас все
чаще используется терминология, в которой фигурирует только одна
масса — константа т (для данного тела) в выражении для релятивист¬
ского импульса.
Чтобы убедиться, что релятивистское выражение для импульса дей¬
ствительно дается формулой (11.1), рассмотрим картину абсолютно уп¬
ругого столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс Kit
это столкновение имеет вид, показанный на рис. 11.1, а\ до столкнове¬
ния частицы 1 и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по мо¬
дулю скоростями. После столкновения частицы разлетаются в противо¬
положные стороны с такими' же по модулю скоростями, как и до
столкновения. В этой системе отсчета происходит только поворот век¬
торов скоростей каждой из частиц на один и тот же угол 0, вдоль бис¬
сектрисы которого направлена ось х0.
Как выглядит это столкновение в других системах отсчета? Вве¬
дем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси хй относительно систе-
201
Рис. 11.1. Абсолютно упругое столкновение двух одинаковых частиц в системе центра масс
Кй (а) и в системе отсчета К, движущейся вдоль оси х0 относительно нее со скоростью,
равной х-составляющей скорости частицы 1 (б). Здесь введена новая система отсчета К,
движущаяся относительно системы Кп со скоростью, равной х-составляющей скорости
частицы 2
мы К0 центра масс со скоростью, равной ^-составляющей скорости
частицы 1.
В этой системе отсчета картина столкновения выглядит так, как по¬
казано на рис. 11.1, б: частица I движется параллельно оси у, изменив
при столкновении направление скорости и импульса на противополож¬
ное. Сохранение у-составляющей полного импульса системы частиц
при столкновении выражается соотношением
Р\у+Ргу=Рху+Р2у, (П.2)
где р1у и р2у — импульсы частиц вдоль оси у до столкновения; рХу и
р2у — после столкновения.
Поскольку рХу — ~Р\У и р2у =~Р2у (см- Рис- 11-1» 5), требование со¬
хранения импульса означает равенство у-составляющих импульсов час¬
тиц 1 и 2 в системе отсчета К:
Piy ~Ргу (11-3)
Теперь введем систему отсчета К, которая движется относительно
системы А";, со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.
В этой системе отсчета К частица 2 до и после столкновения движется
параллельно оси / (рис. 11.1, в). Используя закон сохранения импульса,
приходим таким же путем, как и при рассмотрении системы отсчета К,
к равенству у'-составляющих импульсов частиц / и 2:
Р\у=р'гу (П-4)
Из симметрии картины столкновения на рис. 11.1, б, в следует, что
модуль импульса частицы 1 в системе отсчета К равен модулю импульса
частицы 2 в системе отсчета К:
Р1У=Ргу (П-5)
202
Сравнивая два последних равенства, убеждаемся в том, что
Р\у=Р\у (П-6)
Соотношение (11.5) означает, что у-компонента импульса любой части¬
цы, перпендикулярная направлению относительной скорости системы
отсчета, одинакова в обеих системах.
Однако в соответствии с формулой (10.23) ^-составляющие скорости
в системах К и К различны, а именно:
V.', =v„V \-V2/c\ (11.7)
где V — скорость системы отсчета К относительно К.
Таким образом, в К /-составляющая скорости частицы 7 меньше,
чем у-составляющая в К. Это уменьшение составляющей скорости час¬
тицы 7 при переходе от К к К связано с релятивистским преобразова¬
нием времени: одинаковое в системах К к К' расстояние частица 7 в
системе fC проходит за большее время, чем в К. Если в К это время рав¬
но т0 — собственному времени, так как оба события пересечения штри¬
хов А и В происходят в К при одном и том же значении координаты
х, то в системе отсчета К это время больше и равно т = т0-Jl ~V2/c2.
Будем считать, что в рассматриваемом столкновении скорость v]y
частицы 7 в системе К много меньше скорости света. Тогда в этой сис¬
теме отсчета справедливо
ply = mviy. (11.8)
В системе К запишем для р[ :
Р'\у=аУ'\У
Очевидно, что равенство р1у =р'Ху будет выполнено, если коэффи¬
циенту а в формуле (11.9) придать такое значение, что
(1L10)
Таким образом, для обеспечения сохранения импульса уменьшение
поперечной составляющей скорости частицы при переходе от системы
К к К должно компенсироваться возрастанием коэффициента пропор¬
циональности а между импульсом и скоростью. Оно связано с реляти¬
вистским эффектом замедления времени, вызванным движением систе¬
мы отсчета.
В случае скользящего столкновения составляющая скорости частицы
вдоль оси у много меньше ее составляющей вдоль оси х. В этом предель¬
ном случае входящая в формулу (11.10) относительная скорость систем
отсчета практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе К1. По¬
этому полученное значение (11.10) коэффициента пропорциональности
между у-составляющими векторов импульса и скорости справедливо и
для самих векторов. Таким образом, приходим к выражению (11.1).
203
Если релятивистской частице сообщить дополнительную энергию,
чтобы увеличить ее импульс, то скорость частицы увеличится при этом
очень незначительно — она уже и так близка к максимально возможно¬
му значению — скорости света. Тем не менее в этих условиях кинети¬
ческая энергия частицы и ее импульс растут за счет увеличения роли
релятивистских эффектов, в основе которых — замедление времени.
Эти эффекты наблюдаются при работе ускорителей заряженных частиц
высоких энергий и служат лучшей экспериментальной проверкой спе¬
циальной теории относительности.
§ 11.2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ЭНЕРГИЯ ПОКОЯ
Выясним, к каким изменениям в выражении для энергии частицы
приводит использование формулы (11.1) для релятивистского импульса.
В релятивистской динамике сила F вводится таким образом, чтобы со¬
отношение между изменением импульса частицы dp и импульсом силы
Fdt было таким же, как в нерелятивистской физике (именно в таком
виде записал это соотношение И. Ньютон):
Кинетическую энергию частицы Ек в релятивистской механике, как
и в нерелятивистской, также введем как величину, изменение которой
на перемещении dr равно работе силы F:
dEK =Fdr = Fvdt=\dp = vd-rJSL==. (11-12)
Д-V/c2
Тогда непосредственным вычислением можно убедиться в справед¬
ливости равенства
которое при учете формулы (4.37) означает, что
Как с помощью формулы (11.14) получить выражение для самой ре¬
лятивистской кинетической энергии? Если потребовать выполнения
принципа соответствия Н. Бора, то искомое выражение для кинетиче¬
ской энергии должно переходить при v << с в обычное выражение mv2/2
и, в частности, обращаться в нуль при v = 0. Нетрудно видеть, что этим
требованиям удовлетворяет выражение
F = dp/dt.
(11.11)
(11.14)
(11.15)
где величина тс2 под знаком дифференциала в выражении (11.14) вкла¬
да не дает.
204
Действительно, при v = О, Ек = 0 и, учитывая формулу для разложе¬
ния в ряд Тейлора выражения
... 1 - ] + *2 у
1+2+--
х < 1,
(11.16)
получим с точностью до членов порядка v2/c2
Ек vmc2(\+-^—)-mc2 = \mv2.
* 1C1 I
(11.17)
Различие между релятивистским и нереля¬
тивистским выражениями для кинетической
энергии становится особенно существенным,
когда скорость частицы приближается к скоро¬
сти света. При v -э с релятивистская кинетиче¬
ская энергия (11.16) неограниченно возрастает.
Зависимость кинетической энергии от скоро¬
сти частицы показана на рис. 11.2. Отметим,
что на Стэнфордовском линейном ускорителе в
США электроны разгоняются до скоростей, со¬
ставляющих 0,99999999967 от скорости света.
Соответствующая такой скорости релятивист¬
ская кинетическая энергия электрона с т =
= 9,110~31 кг составляет 3,2-10-9 Дж, в то время
как нерелятивистское выражение дало бы вели¬
чину всего 4, МО-14 Дж. Как видно, отличие со¬
ставляет пять порядков.
Одно из важнейших свойств энергии связано с ее способностью
превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах
при различных физических процессах. В нерелятивистском случае вид¬
но, что кинетическая энергия может превращаться в потенциальную и
обратно. Поэтому можно ожидать, что полная энергия тела Е определя¬
ется не только кинетической энергией Ек. Как впервые предположил
Эйнштейн, для полной энергии свободного тела массой т следует взять
выражение
Е= Ек + тс2 (11.18)
Рис. 11.2. Зависимость
кинетической энергии К
от квадрата скорости час¬
тицы V1
или, учитывая формулу (11.16),
Е =
-v2/c2
(11.19)
Применение формулы (11.19) к покоящемуся телу приводит к знамени¬
той формуле Эйнштейна'.
Е0 = тс2. (11.20)
Из нее следует, что покоящееся тело обладает энергией Е„. Эту энергию
называют энергией покоя.
205
т
U
После
столкновения
т
До
столкновения
После
столкновения
До
столкновения
а)
б)
Рис. 11.3. Неупругое столкновение двух одинаковых тел массой т, движущихся навстречу
друг другу со скоростями V, в результате которого образуется одно тело масой М.
В системе отсчета: а — оно покоится; 6 — движется с нерелятивистской скоростью V
Поясним смысл формулы (11.19) на простом примере. Рассмотрим
неупругое столкновение двух одинаковых тел массой т, движущихся
навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v. В результате столк¬
новения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11.3, а). Массу
этого тела обозначим через М. Рассмотрим теперь это же столкновение
в другой системе отсчета К', движущейся относительно исходной систе¬
мы К налево с малой (нерелятивистской) скоростью -V (рис. 11.3, 6).
Так как V « с, то для преобразования скорости при переходе от А" к А*
можно использовать нерелятивистский закон сложения скоростей.
Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до
столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкнове¬
ния полный импульс р' системы тел в системе отсчета К был равен
-'*2vi5w- <"-21)
После столкновения этот же импульс вследствие условия V «с ра¬
вен Д/V. Поэтому
М - -=£31== >2т. (11.22)
Vi -v2/c2
Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса
образовавшегося в результате неупругого столкновения тела больше,
чем сумма масс исходных частиц.
206
§ 11.3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОЛНОЙ
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ И РЕЛЯТИВИСТСКИМ ИМПУЛЬСОМ
Основные соотношения динамики специальной теории относитель¬
ности — это выражения (11.1) для релятивистского импульса и (11.19)
для полной релятивистской энергии:
Е = - тс'г- . (11.23)
д/1 — V2/с2 ’ -f\-Г2/с
Эти выражения содержат величину (l-v2/c2)_1/2 и теряют смысл при
v -»с. Поэтому они непригодны для описания ультрарелятивистских
объектов, движущихся со скоростью света, таких как фотоны.
Вместо соотношений (11.23) можно получить другую пару соотно¬
шений, содержащих импульс и энергию и пригодных для описания лю¬
бых объектов. Так, разделив почленно соотношения (11.23), приходим к
выражению
p=4v- (П-24)
Возводя вторую из формул (11.23) в квадрат и подставляя в получив¬
шееся выражение v2 из соотношения (11.24), получаем
Е2 -р2с2 =£2 sm2cA. (11.25)
Соотношения (11.24) и (11.25), связывающие полную релятивист¬
скую энергию и релятивистский импульс частицы, являются важней¬
шими соотношениями релятивистской физики, будучи более уни¬
версальными, чем соотношения (11.23). Применяя преобразования
Лоренца для энергии Е и импульса р, можно показать, что выражение,
входящее в левую часть соотношения (11.25), не зависит от выбора сис¬
темы отсчета, т. е. является релятивистским инвариантом. Тем самым
энергия покоя Е0 и масса т также являются релятивистскими инвари¬
антами.
Применим эти формулы к объектам, движущимся со скоростью с,
например, к самому свету. Из формулы (11.24) получаем, что модуль
импульса света
/>св=% (11.26)
Подставляя это выражение в .формулу (11.25) получим, что инертная
масса света тсв — 0. Это означает, что (£'0)св = 0, так что полная реляти¬
вистская энергия света совпадает с его кинетической энергией. По¬
скольку для всех объектов гравитационная и инертная массы
пропорциональны друг другу с одним и тем же коэффициентом пропор¬
циональности -JG, где G — постоянная тяготения, отсюда следует, что и
гравитационная масса света также равна нулю.
207
Инвариантность выражения (11.25) позволяет вновь проанализиро¬
вать такое фундаментальное понятие, как масса. Фактически уже из¬
вестны три грани этого понятия. Прежде всего масса — характеристика
инертности, т. е. способности объекта сопротивляться изменению его
скорости. Далее масса характеризует способность тел к взаимному при¬
тяжению по закону всемирного тяготения. В этом качестве по аналогии
с электрическим зарядом она играет роль гравитационного заряда
mrp =m-4G. Наконец, еще одно свойство массы следует из того, что она
определяет инвариантную величину — энергию покоя тела Е0 = тс2, ко¬
торая в процессах взаимопревращения частиц может переходить в кине¬
тическую энергию других тел.
Упомянутые три грани понятия массы, т. е. инертная масса, грави¬
тационный заряд и энергия покоя, эквивалентны, что отражается в то¬
ждественности их взаимосвязей для одного и того же объекта
(11.27)
Эквивалентность в данном случае означает, что каждое из свойств мас¬
сы (т, /и1р, Е0) внутренне содержит в себе два других ее свойства.
Взаимосвязь между массой т (или энергией покоя Ей) и полной ре¬
лятивистской энергией Е носит более сложный характер. Прежде всего
для изолированной системы вследствие сохранения полной релятивист¬
ской энергии вполне возможны процессы взаимопревращения частиц, в
которых энергия меняет свою форму, переходя из кинетической энер¬
гии исходно входящих в систему объектов в энергию покоя объектов,
возникающих в результате их взаимодействия, и наоборот. Однако сле¬
дует заметить, что переход одной формы энергии в другую в изолиро¬
ванной системе происходит иначе, чем, например, переход кинетиче¬
ской энергии гармонического осциллятора в его потенциальную
энергию, когда энергия из одной формы полностью переходит в другую.
Дело в том, что для изолированной системы одновременно выполняют¬
ся законы сохранения энергии и импульса. В некоторых случаях это на¬
кладывает ограничения на возможность полного перехода кинетической
энергии в энергию покоя.
В частности, если в начале процесса изолированный объект покоит¬
ся, т. е. полный импульс системы равен нулю, то превращение всей
энергии покоя исходного объекта в сумму кинетических энергий конеч¬
ных объектов в принципе возможно. Подобный процесс происходит,
например, тогда, когда первоначально покоящиеся частицы пары (элек¬
трон плюс позитрон) или нейтральный пион превращаются в два фото¬
на, движущиеся в противоположные стороны, чем обеспечивается ра¬
венство нулю их суммарного импульса.
Противоположный по характеру превращения энергии процесс в
изолированной системе частиц также возможен, если он происходит в
системе центра инерции, в которой полный импульс системы до и по¬
сле процесса равен нулю. Именно подобная постановка опыта достига¬
ется на ускорителях со встречными пучками, о чем пойдет речь далее.
т s
__ '"гр _ *>()
Я
208
В этом случае сумма кинетических энергий исходных частиц, т. е. внут¬
ренняя энергия изолированной системы, может полностью перейти в
энергию покоя конечных частиц. Примером такого процесса служит ро¬
ждение нейтрального пиона при столкновении двух протонов во
встречных пучках, когда при пороговом значении начальных кинетиче¬
ских энергий протонов в конце процесса оба протона и пион оказыва¬
ются покоящимися,
Если же объект исходно обладает кинетической энергией поступа¬
тельного движения, а следовательно, и импульсом, то превращение
этой энергии целиком в энергию покоя каких-либо новых объектов не¬
возможно. В частности, один фотон не может превратиться в покоя¬
щуюся пару (электрон плюс позитрон) или в покоящийся нейтральный
пион, ибо в этом случае произошло бы нарушение закона сохранения
импульса для изолированной системы. Поскольку фотон всегда движет¬
ся со скоростью с, в данном случае рассмотрение процесса в системе
центра инерции невозможно. Рождение пары (электрон плюс позитрон)
эа счет энергии одного фотона возможно лишь в случае столкновения
фотона с массивным ядром, которому фотон может передать свой им¬
пульс, а значит, и часть своей кинетической энергии. Тем самым в
энергию покоя пары частиц в таком процессе переходит лишь часть ки¬
нетической энергии фотона.
Таким образом, по отношении к взаимным превращениям энергия
покоя и кинетическая энергия не полностью равноправны. Энергия по¬
коя может целиком перейти в кинетическую энергию. Поскольку про¬
тивоположный процесс в некоторых случаях ограничен законом сохра¬
нения импульса, кинетическая энергия не всегда способна целиком
перейти в энергию покоя.
§ 11.4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ
Рассмотрим примеры использования основных положений реляти¬
вистской динамики.
Пусть частица с электрическим зарядом q и массой т первоначаль¬
но покоится в однородном электрическом поле напряженности Е. По¬
скольку действующая на частицу сила F = qE постоянна, из закона из¬
менения импульса (11.11) при заданном начальном условии немедленно
следует, что
р = F/. (11.28)
Подставляя это выражение, для импульса частицы в соотношение
(11.25), получим
Е2 = (Ft)2c2 + т2с*. (11.29)
Выражение (11.28) дает зависимость энергии первоначально поко¬
ившейся частицы от времени. С помощью соотношений (11.24), (11.26)
14 -ЗК40
209
и (11.28) можно получить значение скорости частицы v спустя промежу¬
ток времени t после начала ее движения:
v =-
F/
т, 1+
[Л-
(тс)
(11.30)
Если (Ft/тс) « 1, т. е. электрическое поле слабое или мало время
движения, то в подкоренном выражении в (11.30) можно пренебречь
вторым слагаемым. В этом случае получается обычное нерелятивист¬
ское выражение для скорости частицы:
(11.31)
Если (Ft/mc) >> 1, т. е. очень сильное электрическое поле или очень
велико время движения, то под корнем в (11.31) можно пренебречь еди¬
ницей по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом ско¬
рость v стремится к с. На рис. 11.4 показана зависимость скорости v от
времени движения.
В качестве следующего примера рассмотрим ускоритель заряженных
частиц на встречных пучках и выясним преимущества такого ускорите¬
ля перед обычным ускорителем с неподвижной мишенью. Эффектив¬
ность ускорителя определяется долей кинетической энергии разогнан¬
ных частиц, которая может быть использована для образования новых
частиц. В обычном ускорителе требование сохранения импульса рас¬
сматриваемой системы «снаряд-мишень» исключает возможность пре¬
вращения всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергети¬
ческий эквивалент массы образующихся при столкновении частиц.
Однако если сталкивающиеся частицы летят навстречу друг другу с оди¬
наковыми но модулю импульсами, то в результате неупругого столкно¬
вения вся кинетическая энергия налетающих частиц может быть ис¬
пользована в реакции рождения новых частиц.
Легко убедиться, что эффективность ускорителя в случае столкно¬
вения двух одинаковых нерелятивистских частиц увеличивается в че-
Рис. 11.4. Зависимость скорости v от вре¬
мени I для релятивистской заряженной
частицы, движущейся в однородном элек¬
трическом поле. (Первоначально частица
покоилась)
Рис. 11.5. Накопительные кольца для по¬
лучения встречных пучков частиц:
А и В — отклоняющиеся магниты; CD — участок,
на котором происходят столкновения движущих¬
ся навстречу друг другу частиц
210
тыре раза. Действительно, в случае неподвижной мишени согласно за¬
кону сохранения импульса для реакции образования новых частиц
может быть использована только половина кинетической энергии на¬
летающей частицы EJ2. В случае столкновения движущихся навстречу
друг другу частиц может использоваться вся их кинетическая энергия
2Ек. Для получения встречных пучков используются накопительные
кольца (рис. 11.5). Пучок частиц из ускорителя с помощью магнита-
переключателя А разделяется на два пучка, каждый из которых с помо¬
щью отклоняющих магнитов А и В направляется в свое кольцо, где
обращается по орбите благодаря удерживающему магнитному полю,
перпендикулярному плоскости рисунка. На участке CD происходят
столкновения движущихся навстречу друг другу частиц.
Рассмотрим теперь неупругое столкновение релятивистской части¬
цы с массой т с такой же покоящейся частицей. Обозначим через М
полную массу системы после столкновения. Тогда энергия АЕ, которая
может быть использована для создания новых частиц, дается равенст¬
вом
АЕ= Мс2-2тсг. (11.32)
Применим к столкновению ч&стиц законы сохранения энергии и им¬
пульса. С помощью соотношения (11.25) выразим квадрат импульса на¬
летающей частицы р2 через ее полную энергию Е\
р2 -Щ--т2с2. (11.33)
Полная энергия Е есть сумма энергии покоя и кинетической энергии
Ек, которой характеризуется ускоритель:
Е = тс2 + Ек.
Теперь формула (11.33) перепишется в виде
/>2 =
/2 г
тс + £■
-т2с2.
(11.34)
(11.35)
Полная энергия системы Е' при столкновении не изменяется, она
равна сумме энергий покоя обеих частиц и кинетической энергии нале¬
тающей частицы:
Е' = 2тс2 + Ек. (11.36)
Полный импульс системы при столкновении также не изменяется.
Поэтому с помощью формулы (11.25) можно записать такое выражение:
р2 =£L-M2c2 (11.37)
С С
14*
211
Приравнивая правые части выражений (11.35) и (11.37), получаем
(11.38)
Теперь с помощью (11.32) находим
V 2 тс
J
\
(11.39)
Легко видеть, что для нерелятивистских частиц, когда Ек« тс2,
выражение (11.39) приводит к прежнему результату АЕ = EJ2. В проти¬
воположном ультрарелятивистском случае, когда Ек» тс2, в (11.39)
можно пренебречь единицей по сравнению с EJ(2mc2). В результате по¬
лучаем
Если, например, необходимо иметь АЕ = 20 ГэВ при столкновении
протонов (тс2 х 1 ГэВ), то из формулы (11.40) следует, что необходим
ускоритель, разгоняющий протоны до энергии Ек» 200 ГэВ. Для реак¬
ции использована может быть только десятая часть кинетической
энергии, а не половина, как в нерелятивистском случае. В ускорителе
же на встречных пучках и в релятивистском случае вся кинетическая
энергия сталкивающихся частиц может быть использована для рожде¬
ния новых частиц.
Изложение основ специальной теории относительности закончим
кратким обсуждением двух из многочисленных парадоксов, связанных с
необычными свойствами пространства и времени. Начнем с парадокса,
связанного с сокращением линейных размеров движущегося тела в на¬
правлении движения.
Предположим, что в космосе встречаются два одинаковых косми¬
ческих корабля. Наблюдатели на одном из них, считая свой корабль
неподвижным, могут поставить опыт по измерению длины второго ко¬
рабля и убедиться, что он короче их собственного, в соответствии с
указанным релятивистским эффектом. Но такой же опыт могут поста¬
вить и наблюдатели, находящиеся на встречном корабле, считая свой
корабль неподвижным. И у них получится, что их корабль длиннее,
так как релятивистскому эффекту сокращения подвержен движущийся
объект. Как разрешить данный парадокс? Какой корабль на самом
деле короче другого? Ясно, что с точки зрения теории относительно¬
сти второй вопрос лишен физического смысла, ибо линейные размеры
больше не имеют абсолютного смысла, а зависят от системы отсчета, в
212
(11.40)
§11.5. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Рис. 11.6. К парадоксу сокращения линейных
размеров двух одинаковых космических кораб¬
лей, проходящих мимо друг друга со встречны¬
ми скоростями. Изображена система отсчета, в
которой нижний корабль неподвижен
<
V
-
А
А
А
с
с
U2
h
которой они измеряются. Но первый вопрос смысл имеет, ибо наблю¬
датели каждого корабля должны понимать, почему у наблюдателей
другого корабля получается результат, противоположный их собствен¬
ному.
Рассмотрим возможную простую процедуру сравнения длин своего
и встречного корабля наблюдателями, которые считают свой корабль
неподвижным (рис. 11.6). Наблюдатель в т. А, находящейся строго посе¬
редине неподвижного корабля, увидев прямо против себя заранее на¬
меченную точку А0 встречного корабля, посылает световые сигналы в
т. А1 и Аъ находящиеся на корме и на носу своего корабля. Точка А„ вы¬
бирается заранее таким образом, чтобы, получив эти сигналы одновре¬
менно (по часам неподвижного корабля), наблюдатели, находящиеся в
этих точках, зафиксировали следующее: корма встречного корабля уже
прошла т. А2, а нос встречного корабля еще не дошел до т. А,. Из этих
фактов вполне обоснованно наблюдателями неподвижного корабля бу¬
дет сделан вывод о том, что встречный корабль короче их собственного.
Но наблюдатели встречного корабля с этим выводом не согласятся.
Считая свой корабль неподвижным, они будут утверждать, что сигналы
в т. А, и А2 пришли не одновременно (по их часам), ибо т. А{ двигалась
навстречу сигналу, а т. А2 убегала от него. Поэтому по их часам сначала
наблюдатель в А, обнаружил, что нос второго корабля еще не дошел до
т. Аъ и только затем спустя некоторое время наблюдатель в Аг обнару¬
жил, что корма второго корабля уже прошла мимо этой точки. Но в та¬
ких условиях по результатам проведенных наблюдений с их точки зре¬
ния нельзя судить о соотношении длин кораблей.
Второй парадокс — это знаменитый парадокс близнецов, связанный
с замедлением хода времени в движущихся системах отсчета. Суть пара¬
докса заключается в том, что, отправив одного из близнецов в космиче¬
ское путешествие с большой скоростью, можно по возвращении кораб¬
ля на Землю сравнить его возраст с возрастом второго из близнецов,
оставшегося на Земле. Какой из них окажется старше, если механиче¬
ское движение относительно, й любого из них можно считать непод¬
вижным по своему желанию?
Прежде всего здесь следует отметить, что результаты специальной
теории относительности относятся к инерциальным системам отсчета.
При разборе предыдущего парадокса системы отсчета, связанные с кос¬
мическими кораблями, можно было считать инерциальными, ибо до¬
пустимо предположение, что корабли двигались с постоянными скоро¬
213
стями в какой-либо третьей инерциальной системе отсчета. В данном
случае ситуация принципиально иная.
Приближенно инерциальной будет только система отсчета, связан¬
ная с Землей. Поэтому медленнее будут идти часы на космическом ко¬
рабле, причем тогда, когда он, разогнавшись, движется равномерно.
Система отсчета, связанная с космическим кораблем, неинерциальная,
так как корабль приходится разгонять и тормозить, т. е. двигаться с ус¬
корением. Поэтому с точки зрения системы отсчета, связанной с кораб¬
лем, нельзя судить о ходе часов на Земле в соответствии с формулами
специальной теории относительности. Аккуратный анализ ситуации
может быть выполнен в рамках общей теории относительности, и ре¬
зультат состоит в том, что при встрече моложе окажется близнец, совер¬
шивший космическое путешествие.
Убедительное экспериментальное подтверждение правильности рас¬
четов изменения хода времени на основе общей теории относительно¬
сти было получено в 1971 г. Четверо исключительно точных атомных
цезиевых часов дважды обернулись вокруг Земли, один раз в направле¬
нии вращения Земли (т. е. с запада на восток), а в другой в противопо¬
ложном направлении (т. е. с востока на запад). До и после полета их по¬
казания сравнивались с показаниями таких же часов, остававшихся на
Земле. Аккуратный расчет, учитывающий как движение часов и Земли,
так и наличие земного поля тяготения, показал, что первые часы долж¬
ны были отстать на 40 ± 23 не, а вторые убежать вперед на 275 ± 21 не.
Эксперимент показал, что первые часы действительно отстали на
59 ± 10 не, в то время как вторые убежали вперед на 273 + 7 не, в весьма
впечатляющем согласии с предсказаниями теории.
Задачи к главе 11
Задача 11.1. Пусть в направлении оси х на частицу с массой т дей¬
ствует сила величиной F= та, где а = Ы имеет смысл ускорения, изме¬
ряемого наблюдателем, который имеет такую же мгновенную скорость,
как и частица. Коэффициент Ъ постоянный. Первоначально частица по¬
коилась. Найти зависимость скорости частицы от времени.
Решение. Исходя из динамического закона &-=та, получаем
дифференциальное уравнение
Его решением с начальным условием v(0) = 0 является зависимость
у(Г) = j— bt\
т/4 +b2t*/c2
Обратите внимание, что в асимптотике / -> оо получаем v -» с.
214
Задача 11.2. Найти поправку порядка И/с4 в формуле для кинетиче¬
ской энергии.
Решение. Разложим формулу (11.16) в ряд Тейлора с точностью
до членов порядка х4, поскольку
(1 + е)“ =1 + ае+сс^~1)£2 + ...,
то для е = —хг и а = —1/2:
-7=J== =1 +J-jc2 +|x4....
Vi1** 2 8
Аналогично формуле (11.17) получаем
Задачи для самостоятельного решения
Г = (1 — vVc2)-1 » 1. (р*
Задача 11.3. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Ка¬
кова скорость частицы? (v/c = 0,866)
Задача 11.4. Вывести формулу зависимости импульса от энергии р(Е) для
■ 1—т]~>
I 2у2)с
Задача 11.5. Электрон имеет р = v/c = 0,99. Какова его кинетическая энергия в МэВ?
(3,1 МэВ)
Задача 11.6. Фотон с энергией Е попадает в протон массы тр, который покоится в
лабораторной системе отсчета. Найти скорость V центра масс относительно лаборатории.
*- )
с Е + трс2
Задача 11.7. Вывести формулы преобразований Лоренца для импульса и энергии од¬
номерного релятивистского движения в виде «гиперболического поворота» аналогично
задаче 10.1. (Е = ch9F + shOcp', ср = sh0F + chOср')
Задача 11.8. Полный импульс и энергия системы из двух частиц равны соответствен¬
но р = р, + р2 и Е = + Е2. Показать в явном виде, что преобразование Лоренца для р и
Е согласуется с инвариантностью величины Е2 - р с2
Задача 11.9. Покажите, что свободный электрон, движущийся в вакууме со скоро¬
стью V, не может излучить один фотон.
Указание: воспользуйтесь законами сохранения.
Задача 11.10. Две частицы, имеющие одинаковую массу т, сталкиваются в лабора¬
торной системе отсчета. Одна из частиц покоится, а другая имеет энергию Е. После
столкновения энергии частиц в той же системе отсчета становятся одинаковыми. Считая
движение релятивистским, найти угол разлета 0 частиц. (0 = jarcsin
2тс
iU + 3/яс2
Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ
ТЯГОТЕНИЯ
§ 12.1. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Заканчивая изучение основ релятивистской физики, остановимся
кратко на релятивистской теории тяготения, которая была названа ее
создателем А. Эйнштейном общей теорией относительности. Математи¬
ческая сторона этой теории очень сложна, однако физические идеи, ле¬
жащие в ее основе, очень просты и могут быть изложены в доступной
форме.
Несмотря на исключительную точность предсказаний, сделанных
на основе теории тяготения Ньютона, есть некоторые тонкие экспери¬
ментальные факты, которые не получают объяснения в рамках этой
теории. Здесь прежде всего следует указать на прецессию перигелия
орбиты Меркурия, которая составляет 43 угловых секунды за столетие
(рис. 12.1). Провал всех многочисленных попыток объяснить такую
прецессию невольно порождал у астрономов сомнение в справедливо¬
сти теории Ньютона: согласно этой теории такой прецессии быть не
должно.
Серьезный дефект в теории Ньютона содержался и с точки зрения
релятивистской физики. Согласно закону всемирного тяготения Нью¬
тона, всякое гравитационное взаимодействие распространяется с беско¬
нечной скоростью. Но это противоречит принципу существования мак¬
симальной скорости распространения любых сигналов.
А. Эйнштейн начал разработку новой теории гравитации после соз¬
дания специальной теории относительности и завершил эту работу в
1915 г. Согласно специальной теории относительности, пространство
и время потеряли свой абсолютный характер при описании механиче¬
ского движения. Согласно общей теории относительности, вблизи гра¬
витирующего тела пространство и время деформируются. Движение
планет по орбитам происходит не благодаря
действию силы тяготения, а из-за искривле¬
ния пространства-времени: гравитация воз¬
никает благодаря существованию кривизны
пространства и времени.
Релятивистская теория тяготения основа¬
на на экспериментальном факте равенства
инертной и гравитационной масс, который
установлен с исключительно высокой степе¬
нью точности. В нерелятивистской физике
это равенство носило случайный характер.
В релятивистской физике этот факт кладется
в основу теории. Отправляясь от этого факта,
Рис. 12.1. Прецессия пери- д Эйнштейн сформулировал так называемый
гелия орбиты Меркурия в 'v v j г
сильном гравитационном принцип эквивалентности. Остановимся на
поле Солнца нем несколько подробнее.
216
Пусть в однородном поле тяжести напряженности g неподвижно ви¬
сит лифт. Все тела в лифте подвергаются действию земного поля тяготе¬
ния и, предоставленные сами себе, свободно падают относительно лиф¬
та с одним и тем же ускорением g. Вообразим теперь, что лифт удалили
настолько далеко от Земли и прочих небесных тел, что он практически
не подвергается никаким гравитационным воздействиям. Но зато те¬
перь кто-то тянет за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение
а = —g, направленное вверх. Вместо лифта, разумеется, можно рассмат¬
ривать космический корабль, который перед стартом стоял на поверх¬
ности Земли, а затем улетел в космическое пространство, где продолжа¬
ет благодаря работе двигателей двигаться с постоянным ускорением
а = -g.
Что будет происходить с незакрепленными телами в таком движу¬
щемся с ускорением относительно некоторой инерциальной системы
отсчета корабле? Так как гравитационное поле отсутствует (корабль в
космосе далеко от всех других тел!), то в инерциальной системе отсчета
первоначально покоившиеся тела будут продолжать покоиться. Однако
относительно ускоренно движущегося лифта все эти тела будут двигать¬
ся с одинаковым ускорением g. Наблюдатель, находящийся в закрытом
корабле (или лифте) и не имеющий возможности выглянуть наружу, по
поведению этих тел не сможет решить, покоится ли корабль в однород¬
ном поле тяжести напряженности g или движется с ускорением а = —g в
отсутствие гравитационного поля. Такая эквивалентность поля тяжести
и ускоренного движения системы отсчета в отсутствие поля тяжести
имеет место для любых механических явлений: все механические явле¬
ния в движущемся с ускорением лифте (но в отсутствие поля тяжести!)
будут в точности такими же, как и в неподвижном лифте, но висящем в
поле тяжести.
Теперь рассмотрим, что будет происходить в лифте, свободно па¬
дающем в однородном поле тяжести, т. е. движущемся с ускорением
а = g. Очевидно, что все неподвижные вначале друг относительно друга
тела будут оставаться неподвижными, так как ускорение всех тел и са¬
мого лифта в инерциальной системе отсчета будут одинаковыми. Любое
тело, брошенное с некоторой начальной скоростью, будет продолжать
двигаться с этой скоростью по прямой линии и т. д. Другими словами,
относительно свободно падающего в поле тяжести лифта все тела будут
вести себя, как в инерциальной системе отсчета. Поэтому свободно
падающая в поле тяжести система отсчета называется локальной инер¬
циальной системой отсчета. Конечно, эта система отсчета мала по
размерам, ибо невозможно осуществить однородное гравитационное
поле огромных размеров и она будет оставаться инерциальной в те¬
чение ограниченного промежутка времени, пока лифт движется в
поле тяготения. Поэтому она и называется локальной. Но в каждый
момент времени в данном месте эта система отсчета будет обладать все¬
ми свойствами инерциальной системы: в свободно падающем в поле тя¬
жести лифте законы физики такие же, как и в инерциальной системе
отсчета.
217
К этому выводу можно было прийти и рассматривая предыдущий
пример с ускоренно движущимся кораблем, полагая, что в какой-то
момент двигатели выключаются. Таким образом, существует относи¬
тельность не только равномерного прямолинейного движения в смысле
равноправия всех истинно инерциальных систем отсчета, но и относи¬
тельность ускоренного движения (например, космонавты в кабине сво¬
бодно падающего космического корабля, не выглядывая наружу, не мо¬
гут отличить этого падения от случая, когда просто отсутствует поле
тяжести).
В 1911 г. А. Эйнштейн распространил этот общий принцип относи¬
тельности на все без исключения, а не только на механические явления,
сформулировав принцип эквивалентности: в локальной инерциальной
системе отсчета эффекты гравитации отсутствуют. В такой системе от¬
счета все законы физики такие же, как в истинно инерциальной систе¬
ме отсчета в открытом космосе, далеко от любых гравитирующих тел.
Наоборот, в ускоренно движущейся системе отсчета в открытом космо¬
се появляется искусственная тяжесть. В этой системе отсчета законы
физики такие же, как и в неподвижной системе отсчета, связанной с
гравитирующим телом.
§ 12.2. СЛЕДСТВИЯ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Рассмотрим некоторые следствия принципа
эквивалентности. Одно из наиболее очевидных за¬
ключений, которые следуют из этого принципа,
состоит в том, что скорость света по абсолютной
величине должна быть постоянной повсюду в гра¬
витационном поле. Это обстоятельство немедлен¬
но следует из того факта, что свободно падающая
в гравитационном поле система отсчета является
локально инерциальной. Отсюда, однако, вовсе не
вытекает, что лучи света в гравитационном поле
распространяются по прямым линиям.
Рассмотрим небольшой свободно падающий в
гравитационном поле Солнца космический ко¬
рабль. Поскольку в системе отсчета, связанной с
падением, поле тяжести отсутствует, луч света дол¬
жен распространяться поперек корабля по пря¬
мой. Но если луч распространяется по прямой от¬
носительно свободно падающего космического
корабля, то относительно Солнца он будет дви¬
гаться по криволинейной траектории (рис. 12.2).
Если, например, свет выходит от далекой звезды,
то астроном на Земле увидит звезду смещенной
относительно ее постоянного положения, если
Солнце окажется близко к линии наблюдения
(рис. 12.3, а).
Рис. 12.2. Космический
корабль, свободно па¬
дающий в гравитаци¬
онном поле Солнца
218
Рис. 12.3. Отклонение света в гравитационном поле тяжести Солнца
Отклонение света в поле тяжести Солнца можно объяснить, если
предположить, что свет способен притягиваться к Солнцу, хотя его масса
равна нулю. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в § 12.3.
Вследствие сделанного предположения свет должен распространяться по
гиперболической траектории (рис. 12.3, б), как и любой объект, скорость
которого превышает вторую космическую для Солнца. Впервые возмож¬
ность такого эффекта осознал еще П.-С. Лаплас более чем на столетие
раньше А. Эйнштейна. Но этот эффект очень мал: луч, проходящий
вплотную к Солнцу, отклоняется им всего на несколько угловых секунд.
Попытки наблюдения этого эффекта не предпринимались до 1919 г.,
так как эффект очень трудно наблюдать: необходимо зафиксировать луч
света, приходящий от звезды, проходящий мимо Солнца и попадающий
на Землю. Ясно, что это можно сделать только во время солнечного за¬
тмения. В 1919 г. состоялись первые измерения, и хотя они зафиксирова¬
ли отклонение лучей света на углы в пределах 1,5—2,0 угловых секунд,
разброс между результатами различных измерений оказался слишком
большим.
Более точные измерения выполнены сравнительно недавно с помо¬
щью радиоволн, источниками (причем практически точечными) кото¬
рых являются квазары. Каждый год 8 октября квазар ЗС279 и Солнце
находятся почти на одной прямой для земного наблюдателя. Наилуч¬
шие радиоастрономические наблюдения дали для величины отклонения
значения 1,7—1,8 угловых секунд.
219
Рис. 12.4. Движение фронта световой Рис. 12.5. Радиолокация Венеры. (Экспери-
волны в гравитационном поле Солнца мент подтверждает криволинейное распро¬
странение радиолуча в гравитационном
поле Солнца.)
Эффект отклонения света и радиоволн эффективно приводит к за¬
паздыванию времени их распространения по мере приближения к
Солнцу. Это легко понять, анализируя картину движения фронта волны
(рис. 12.4). Для того чтобы фронт волны мог повернуться в нужную сто¬
рону, части этого фронта, более близкие к притягивающему телу, долж¬
ны двигаться с меньшей скоростью. Этот эффект также был подтвер¬
жден экспериментально радиоастрономами путем локации Венеры
(рис. 12.5). Оказалось, что радиоэхо от Венеры запаздывает на 200 мик¬
росекунд в ситуации, показанной на рис. 12.5, по сравнению с эхо, ко¬
гда радиоимпульс не проходит вблизи Солнца.
Итак, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что свет
отклоняется от прямого пути и замедляется вблизи Солнца, хотя соглас¬
но принципу эквивалентности этого не должно быть. Парадокс получа¬
ет разрешение в предположении, что гравитирующее тело, т. е. любое
тело, обладающее массой, искривляет пространство вблизи себя (рис.
12.6, а, б). В этом случае, двигаясь по кратчайшему пути между двумя
заданными точками, свету приходится проходить большее расстояние,
чем в неискривленном евклидовом пространстве. Поэтому запаздыва¬
ние времени в описанных выше ситуациях объясняется не замедлением
света, а необходимостью, двигаясь с той же скоростью, пройти большее
расстояние. Насколько сильно это искривление пространства? Оказы¬
вается, что лучу света, идущему от Земли к Венере и задевающему
Солнце, приходится пройти лишние 30 км.
Таким образом, если справедлив принцип эквивалентности, то тела,
обладающие массой, искривляют пространство вокруг себя, и это ис¬
кривление проявляет себя как сила притяжения, действующая со сторо¬
ны данного тела на другие. Представление об искривленном простран¬
стве является отправным пунктом общей теории относительности.
Искривленное трехмерное пространство невозможно представить
себе наглядно: для этого нужно было бы сначала представить себе неис-
220
а)
Рис. 12.6. Искривление пространства вблизи гравитируюшего тела. Малые массы прак¬
тически не искривляют пространство (о), в поле больших масс это искривление стано¬
вится заметным (б)
кривленное четырехмерное пространство. Однако, как уже видели в
разделе «Динамика», обнаружить кривизну данного пространства мож¬
но не выходя в не искривленное пространство более высокой размерно¬
сти. Наглядно можно представить себе искривленное двумерное про¬
странство, которое может обладать разными свойствами (рис. 12.7, а, б).
На рис. 12.7, а на поверхности сферы сумма углов треугольника больше
2л, а периметр окружности меньше 2кг. На рис. 12.7, б на поверхности
гиперболоида сумма углов треугольника меньше 2л, а периметр окруж¬
ности — больше 2кг. Воображаемые двумерные существа, живущие на
этих поверхностях и не имеющие возможности выглянуть в трехмерное
пространство, могли бы обнаружить кривизну этих поверхностей по
указанным свойствам.
В уравнениях теории тяготения Эйнштейна отклонения от евклидо¬
вой геометрии пространства, т. е. его кривизна, связываются с массами
221
Рис. 12.7. Примеры искривленных двумерных пространств:
сферическая поверхность (а) и поверхность гиперболоида (б)
тел, искривляющих пространство. Эти уравнения весьма сложны в об¬
щем виде, однако для сферического тела постоянной плотности откло¬
нения от евклидовой геометрии могут быть выражены следующим обра¬
зом. Слишком малый периметр окружности (по сравнению с его
значением в евклидовой геометрии) эквивалентен в том же смысле
слишком большому радиусу. Обозначим этот избыток радиуса через AR,
так что связь радиуса R с периметром Р дается выражением
AR = R-P/2n. (12.1)
Аналогично можно определить избыток радиуса через площадь по¬
верхности S, ограниченной окружностью
AR = R~^S/4n. (12.2)
Уравнения Эйнштейна устанавливают, что избыток радиуса пропор¬
ционален массе гравитирующего тела М:
(12.3)
3 с1
Применение соотношения (12.3) к Земле в модели однородного
шара показывает, что периметр Земли короче 2тсR всего на 5,9 мм, а
площадь ее поверхности меньше 4nR2 на 0,95 км5. Соответствующие
значения для Солнца (вычисленные по более точным формулам) оказы¬
ваются равными 23 км и 5,4-107 км5. Эти отклонения от евклидовой гео¬
метрии слишком малы для прямого экспериментального обнаружения.
Кривизна пространства проявляется только при распространении света
и в прецессии перигелия орбиты Меркурия. В плоском евклидовом
пространстве планеты движутся по эллипсам вокруг Солнца. Когда та-
222
кие эллиптические орбиты вкладывают¬
ся в искривленное пространство, они
прецессируют, т. е. немного меняют
свою ориентацию при каждом повороте
(см. рис. 12.1). Как это происходит, по¬
казано на рис. 12.8, а—в, где плоскость,
в которой лежит орбита в теории Ньюто¬
на, превращается в коническую поверх¬
ность.
До сих пор было рассмотрено только
искривление пространства. Однако уже
в специальной теории относительности
пространство и время выступают как
единый континуум, поэтому в действи¬
тельности в общей теории относитель¬
ности речь идет об искривленном четы¬
рехмерном пространственно-временном
континууме. Представить такое искрив¬
ление наглядно еще труднее, чем ис¬
кривление только самого пространства.
Искривление (кривизна) единого
пространства-времени проявляется в
том, что время вблизи массивного тела
течет медленнее, чем вдали от него.
Этот эффект называется гравитацион¬
ным замедлением времени или гравита¬
ционным красным смещением. Он яв¬
ляется прямым следствием принципа
эквивалентности. Подчеркнем, что речь
идет не о замедлении хода времени в движущихся инерциальных сис¬
темах отсчета, как в специальной теории относительности, а новом,
дополнительном эффекте, связанном с гравитацией. Рассмотрим его
подробнее.
Гравитационное смещение спектральных линий было эксперимен¬
тально зарегистрировано в лабораторных условиях на Земле в начале
шестидесятых годов. Источник монохроматического у-излучения распо¬
лагался на поверхности Земли, а приемник — на высоте Н = 22 м над
источником. Частота регистрируемого приемником излучения была
сдвинута в красную сторону, т. е. в сторону меньших частот по сравне¬
нию с частотой источника. Как объяснить такое смещение?
Воспользуемся принципом эквивалентности: законы физики одина¬
ковы в неподвижной системе отсчета, связанной с гравитирующим те¬
лом, и в ускоренно движущейся системе отсчета в отсутствие тяготения.
Это означает, что можно забыть о поле тяготения, но считать, что ис¬
точник и приемник движутся с ускорением а = —g, которое направлено
вверх. Поэтому вместо исходной лабораторной системы отсчета, свя¬
занной с Землей (рис. 12.9, а), рассмотрим систему отсчета, движущую¬
ся с ускорением а = —g (рис. 12.9, 6) в отсутствие поля тяжести. Пусть
о7
а)
б)
«)
Рис. 12.8. Прецессия в сильном гра¬
витационном поле вследствие ис¬
кривления пространства. Демонст¬
рируется возникновение прецессии
по мере превращения плоскости в
коническую поверхность
223
/ч
0
О
Рис.
а)
12.9. К обсуждению принципа
эквивалентности
излучение волны с частотой v0 происхо¬
дит в тот момент времени, когда ско¬
рость системы отсчета равна нулю.
Спустя время At = Н/с, когда волна
достигнет приемника излучения, его
скорость будет равна gAt = gH/c. Оче¬
видно, что в результате эффекта Допле¬
ра произойдет сдвиг частоты, опреде¬
ляемый соотношением
Ау
То
V_
С •
(12.4)
При вычислении относительной
скорости v, входящей в формулу (12.4),
скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость при¬
емника — в момент прихода волны, поэтому получаем
Ау
Vo
.SH
(12.5)
Используя значения g= 10 м/с2, Н = 22 м, с= 3 108 м/с, получим
Ду/у() ж -2,4 10“15. Знак минус означает, что частота у-излучения умень¬
шается. Если поменять местами источник и приемник, то частота уве¬
личится. Несмотря на столь малую величину эффекта, его удалось не
только обнаружить на опыте, но и выполнить измерения с точностью до
нескольких процентов. Экспериментальный метод был основан на ис¬
пользовании так называемого эффекта Мессбауэра.
Почему по результату этого опыта можно судить об изменении хода
времени в гравитационном поле? Дело в том, что, выбрав надлежащим
образом частоту излучаемой волны, можно использовать ее для сравне¬
ния частот тиканья одинаковых часов, расположенных на разной высо¬
те, как показано на рис. 12.9.
В 1976 г. в опытах по сравнению хода идентичных часов на Земле и
в ракете, поднятой на высоту 10000 км над поверхностью Земли, эф¬
фект гравитационного замедления хода времени был подтвержден с ог¬
ромной точностью. Результаты теоретического расчета и эксперимента
совпали с точностью до 0,01 %.
В рамках солнечной системы эффекты общей теории относительно¬
сти могут быть обнаружены только в результате очень тщательных и
точных экспериментов. Заметных отклонений от предсказаний ньюто¬
новой теории тяготения следует искать в далеком космосе в областях
существования сильных гравитационных полей. Один из наиболее яр¬
ких примеров проявления релятивистских эффектов тяготения — это
существование черных дыр. Они представляют собой остатки звезд,
коллапсировавших под действием собственной тяжести, раздавливая
образующее их вещество и переводя его в состояние с чрезвычайно
большой плотностью. Свое название эти космические объекты получи¬
ли благодаря тому обстоятельству, что ни свет, ни что-либо другое не
224
может вырваться наружу, преодолев их чудовищное поле тяготения.
В черную дыру можно попасть, но вырваться из нее невозможно.
Можно составить определенное представление о свойствах черных
дыр, используя понятие скорости освобождения (т. е. второй космиче¬
ской скорости) для данного объекта, введенное в нерелятивистской ме¬
ханике. Для Земли эта скорость составляет величину порядка 11 км/с.
Для звезды или подобного сферического тела массы М и радиуса R ско¬
рость освобождения V дается выражением
Если масса велика настолько (или радиус настолько мал), что значение
Vпревосходит с = 3 -108 м/с, то никакой объект не сможет покинуть эту
звезду при любой начальной скорости. На это обстоятельство указывал
еще П.-С. Лаплас два века назад. Полагая, что V— с, получаем значение
радиуса R сферы, внутри которой должно умещаться тело массы М, что¬
бы от него нельзя было улететь:
Этот критический радиус называется радиусом Шварцшильда. Для кос¬
мического объекта с массой, равной массе Солнца, он составляет 3 км.
Если радиус тела меньше этого значения, то любое тело, приблизившее¬
ся к Солнцу ближе чем на 3 км, окажется в связанном состоянии, т. е.
будет захвачено полем тяготения. Граница области, из которой уже
нельзя вырваться, получила название горизонта.
Общая теория относительности внесла существенные поправки в
представления о черной дыре, основанные на ньютоновой теории тя¬
готения. Однако выражение (12.7) оказывается справедливым и в
этой теории. Согласно общей теории относительности пространство
и время вблизи гравитирующего тела сильно искривляются. Вблизи
черной дыры кривизна достигает исключительно большого значения.
На двумерной поверхности искривление, вызываемое черной дырой,
выглядит не так, как на рис. 12.6, б, а как на рис. 12.10. Яма, харак¬
терная для обычного гравитирующего тела, приближающегося к син¬
гулярности, обладает бесконечной кривизной. Время здесь полно¬
стью останавливается. Внешнему наблюдателю, находящемуся за
пределами горизонта, все внутри черной дыры представляется ста¬
тичным.
В космосе имеется несколько объектов, которые, как подозревают
астрофизики, содержат черные’дыры. В частности, это могут быть двой¬
ные звезды, одной из компонент которых является черная дыра. Такая
система излучает мощное рентгеновское излучение, возникающее бла¬
годаря аккреции: черная дыра находится настолько близко к поверхно¬
сти обычной звезды, что создает на ней приливную грушу и притягива¬
ет к себе частицы с поверхности звезды. Эти частицы, ускоряясь в
чудовищном по силе гравитационном поле черной дыры, становятся
15-3840 225
(12.6)
(12.7)
singularity
Рис. 12.10. Искривление пространства вблизи черной дыры
источником мощного рентгеновского излучения. Изучая характеристи¬
ки наблюдаемого потока рентгеновских лучей, можно прийти к выводу
о справедливости описанной структуры некоторых двойных звезд, со¬
держащих черные дыры.
§ 12.3. ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ОБЪЕКТОВ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Поведение пучка света или пучка релятивистских частиц с т * 0 в
поле тяготения можно описать, произведя простейшее обобщение зако¬
на всемирного тяготения. В нерелятивистском случае его можно запи¬
сать в виде F = mg. Здесь g — нерелятивистское поле тяготения
g = -Gfn, (12.8)
где G — гравитационная постоянная; М — масса массивного тела; г —
расстояние от его центра до объекта массы т, п = у — единичный век¬
тор вдоль радиуса-вектора г.
Обобщение закона тяготения массивного тела на случай движения
вблизи него релятивистских объектов, включая свет, состоит из двух
этапов. Во-первых, вместо массы т необходимо ввести величину той же
размерности, но удовлетворяющую следующим условиям. Она должна
иметь смысл как для частиц с т * 0, так и для света, быть присущей
всем объектам при любой скорости, играть роль своеобразного «грави¬
тационного заряда», эквивалентную роли электрического заряда q в вы¬
ражении для кулоновской силы F3J] = qE, где Е — электрическое поле.
На эту роль пригодна величина входящая в релятивистском случае
вместо массы т в соотношение между импульсом и скоростью р = ^v.
226
Во-вторых, для обобщения закона тяготения на релятивистский
случай нерелятивистское гравитационное поле g вида (12.8) следует за¬
менить соответствующим выражением gpW] для поля тяготения, которое
действует на объект, движущийся с произвольной скоростью v. В общем
случае формула для релятивистской силы тяготения Fpcil = -~г gрел имеет
довольно сложный вид, однако для ее анализа существенны следующие
особенности. Во-первых, она зависит от отношения (3 = ^ и от направле¬
ния скорости V. Во-вторых, при р 0 она переходит в привычное нью¬
тоновское выражение, так что в этом пределе /’рел —» F.
Кроме того, она существенно упрощается в двух интересных част¬
ных случаях. Так, при р ТТ g, т. е. при движении объекта вдоль радиуса-
вектора г поле gpwi = g. В этом случае все изменения в релятивистской
силе тяготения F,^ связаны только с отличием гравитационного заряда
Дг от массы т. Оно особенно существенно, когда т = 0.
с
Еще более интересная ситуация возникает при р _L g, т. е. при дви¬
жении по касательной к поверхности массивного тела. В этом случае
Ррел =^d+P2)g-
При р -> 1, т. е. при околосветовых скоростях, получаем
Ррел = (12.9)
Иными словами, в этом случае зависимость Fpcl от расстояния пол¬
ностью определяется зависимостью g(г), т. е. имеет тот же вид, что и в
нерелятивистском пределе. Однако в роли «гравитационного заряда»
вместо массы т выступает уже не а величина 2
Из проведенного анализа следует, что в соответствии с опытом свет
(Р = 1), как и любые релятивистские объекты, обладает способностью
притягиваться к массивным телам, т. е. участвовать в гравитационном
взаимодействии, хотя гравитационная масса света, как и его инертная
масса, равна нулю. Это связано с тем, что согласно общей теории отно¬
сительности характеристикой способности к гравитационному притя¬
жению служит не масса, а более общая характеристика — тензор
энергии-импульса, объединяющий в себе энергию, импульс и давление.
Проведенное обобщение силы тяготения позволяет рассмотреть за¬
дачу о движении релятивистской частицы или света в поле тяготения
массивного тела в случае, когда-либо Р || g, либо Р -L g. При движении по
направлению радиуса массивного тела уравнение движения можно
спроецировать на него и рассматривать только его радиальную компо¬
ненту. Тогда, учитывая, что pr при р -»■ 1 получим
15*
227
Поместим начало отсчета в центр массивного тела, так что r= R + z,
где R — его радиус, z ~ текущее расстояние от его поверхности до точки
наблюдения, и заменим cdt — dz.
Кроме того, ограничимся движением вблизи поверхности массивно¬
го тела, когда g(r) ~g(R) = g. После интегрирования получим выражение
для релятивистской энергии объекта Е на расстоянии z от поверхности
массивного тела
Е = Er exp
Z
г
, 1
"Lh
&
® Er exp
gz
с2
0
(12.11)
где Er — энергия объекта при r — R.
Таким образом, релятивистская энергия объекта, т. е. сумма его
энергии покоя и кинетической энергии, при z « R убывает с высотой.
Поскольку вблизи поверхности gz « с2, экспоненту можно разложить в
ряд, так что
Ez=ER-^gz. (12.12)
Если учесть, что монохроматический свет частоты со — это пучок
фотонов с энергией йш, то для света формула (12.12) примет вид
и называется гравитационным красным смещением частоты света, попав¬
шего в более слабое поле тяготения.
При движении по касательной, когда р 1 g, необходимо исходить из
уравнения движения в векторной форме, которое при р —> 0 имеет вид
Ф _ Е dv _2Е
или после сокращения
dt с2 dt с2 8’ (12.14)
=2g, (12.15)
dt
где |v| = с.
Поскольку при р JL g модуль скорости не меняется, это уравнение
описывает только изменение направления скорости объекта (касатель¬
ной к траектории) под воздействием поля тяготения.
Интересно отметить, что аналогичное уравнение в нерелятивист¬
ском случае имеет вид
m^=mg, (12.16)
или
f=g (12.17)
228
и отличается от релятивистского уравнения только множителем «два».
Результат решения обоих уравнений не зависит от величины массы т
или энергии Е движущегося объекта и определяет угол отклонения от
касательной. Для света, разумеется, справедливо только релятивистское
уравнение (12.15). На опыте было установлено, что свет отклоняется на
удвоенный угол, что подтвердило правильность обобщения (12.9) зако¬
на тяготения в данном частном случае.
Задача 12.1. Найти, как зависит релятивистская энергия частицы Е,
движущейся радиально на расстоянии z, отсчитываемом от поверхности
сферически симметричного массивного тела массой М и радиусом R,
если g(r) = Щр.
Решение. Записываем, аналогично формуле (12.10), уравнение
для энергии
Переходя к отсчету координаты г = R + z, переписываем уравнение
в виде
При взятии интеграла удобно ввести ускорение свободного падения
на поверхности gR Уравнение легко интегрируется с начальными
условиями Е= Er при г = R (т. е. z — 0):
Задачи к главе 12
Е
Z
В результате
/ \
_ , SrR 1 1г gKR(z-R)
' •» V Л — V ■> / _ . »\
с2 (Л+г)|0 °г
и окончательный ответ:
При z — 0 (поверхность массивного тела) получается ДО) = Е„, как и
должно быть, а при z« R имеем формулу (12.11).
229
Задачи для самостоятельного решения
Задача 12.2. Найти ускорение свободного падения вблизи черной дыры на расстоя¬
нии, равном радиусу Шварцшильда R. (g = c2/2R)
Задача 12.3. Найти радиус Шварцшильда для Земли. (Около 9 мм)
Задача 12.4. Показать, что описание движения частицы в поле тяжести массивного
тела в соответствии с уравнениями релятивистской динамики не согласуется с введением
единой для любого типа движения «массы движения» частицы
^ДВИЖ “ I - » Р = у/С у
V1-P2
где т з EJc2 — ее масса.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему для специальной теории относительности недостаточно одного первого
постулата Эйнштейна?
2. Как экспериментально подтверждаются постулаты специальной теории относи¬
тельности?
3. Докажите, что существование одновременности удаленных событий в различных
системах отсчета противоречит постулатам Эйнштейна.
4. Какие системы отсчета рассматриваются в специальной теории относительности?
5. Почему вместо двух интервалов классической механики (временного и пространст¬
венного) в теории относительности используется единый интервал?
6. Почему, по вашему мнению, в современной формулировке релятивистской теории
стараются избегать понятий «массы покоя» и «массы движения»?
7. Пусть Е — полная энергия тела, а Ек — его кинетическая энергия. Какой физиче¬
ский смысл имеет их разность Е — Ек? Какой энергии она соответствует?
8. Почему в реакциях превращения элементарных частиц невозможен полный пере¬
ход кинетической энергии одной частицы в энергию покоя другой?
9. Фотоны — безмассовые частицы. Почему же свет отклоняется в гравитационном
поле?
10. Может ли свет распространяться в поле тяготения по траекториям, отличным от
гиперболических?
1!. Какие постулаты, дополнительные к двум постулатам Эйнштейна для специаль¬
ной теории относительности, лежат в основе релятивистской теории тяготения?
12. Сформулируйте принцип эквивалентности, лежащий в основе релятивистской
теории тяготения. К каким следствиям он приводит?
13. Как можно опытным путем обнаружить и измерить кривизну пространства?
14. Каким образом можно в принципе обнаружить черную дыру в ходе астрономиче¬
ских наблюдений?
15. Как экспериментально подтверждается релятивистская теория тяготения?
РАЗДЕЛ V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава 13. КИНЕМАТИКА И ИНЕРТНЫЕ СВОЙСТВА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 13.1. МОДЕЛЬ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Описание движения системы взаимодействующих частиц даже при
отсутствии внешнего воздействия носит довольно сложный характер.
Однако его можно значительно упростить для таких систем, в которых
каждая частица в течение всего времени будет по каким-либо причинам
находиться вблизи положения равновесия. В этом случае все расстоя¬
ния между частицами останутся неизменными, так что каждая из час¬
тиц способна участвовать лишь в движениях системы как целого. По¬
добной системой частиц является модель абсолютно твердого тела.
Не нужно думать, что такая модель применима лишь к реальным
твердым телам. На самом деле и двухатомная молекула типа NaCI, и
система, состоящая из Земли и спутника, совершающего движение по
окружности, и сама планета Земля со всеми ее океанами, материками,
горными системами и всем находящимся на ее поверхности в опреде¬
ленных условиях могут рассматриваться как абсолютно твердые тела.
С каждым абсолютно твердым телом можно связать собственную де¬
картову систему отсчета. Относительно любой другой инерциальной сис¬
темы отсчета для этого тела возможны только шесть элементарных дви¬
жений: сдвиг начала отсчета вдоль трех осей и повороты в плоскостях
вокруг каждой из трех плоскостей. Соответствующие типы движений аб¬
солютно твердого тела сводятся к двум простым — к поступательному
движению его центра инерции со скоростью Усист и вращательному с уг¬
ловой скоростью о)сист. Для отдельных частиц, составляющих абсолютно
твердое тело, эти типы движений являются коллективными. При посту¬
пательном движении все частицы движутся с одинаковыми скоростями
v, = Усист, а при вращении все частицы движутся с одинаковыми угловы¬
ми скоростями (О , = (1>сист.
Поступательное движение можно моделировать движением одной
частицы и исключить его из рассмотрения, перейдя в систему отсчета,
связанную с центром инерций, когда Рсист = А/Усист = 0. В этой системе
отсчета все движение абсолютно твердого тела сводится к его враще¬
нию.
В качестве простейшего примера вращения абсолютно твердого тела
рассмотрим равномерное вращение однородного тонкого обруча вокруг
оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости
(рис. 13.1) . Примем направление этой оси за ось г. Тогда, мысленно
231
Рис. 13Д. Равномерное враще¬
ние однородного тонкого обруча
вокруг оси z
разделив обруч на малые элементы массы
A/н„ получим, что момент импульса по¬
добного элемента относительно оси z в
случае его движения в плоскости (х, у)
против часовой стрелки равен
1, = r,(Am,v,)n,
(13.1)
где п
единичный вектор вдоль оси z-
В данном случае v, = со/, — линейная
_ «рг
скорость;
dt
угловая скорость
элемента массы Д/я, при равномерном
движении по окружности, общая для всех
элементов обруча. Заменяя в (13.1) ско¬
рость v, и переходя к собственному мо¬
менту обруча в целом, получим
/-сов =Х(Лт-б2Кп = /Шг
(13.2)
Здесь шг — вектор угловой скорости обруча в целом, а величину
/ =]Гд/я,./-,2 (13.3)
i
называют моментом инерции обруча относительно оси z■ В данном слу¬
чае г, = р — радиус обруча; У', Л/я, = М — масса обруча, так что
1 = Мр2.
(13.4)
Аналогичный расчет можно провести для кинетической энергии об¬
руча:
> Am, vf _ у Дт, (со/, )2 _ /ш|
у дт, v* _ у /
(13.5)
Таким образом, вращение обруча вокруг оси z при отсутствии внеш¬
них воздействий можно охарактеризовать двумя фундаментальными ве¬
личинами — собственным моментом Lco6 и кинетической энергией Евр.
Они зависят от двух характеристик, специфичных для вращательного
движения — угловой скорости ог и момента инерции / относительно
оси z, являющегося мерой инертности по отношению к вращению.
Интересно сравнить поступательное и вращательное движение в
модели абсолютно твердого тела. В случае поступательного движения
также имеются две фундаментальные характеристики — импульс и ки¬
нетическая энергия:
232
зависящие от скорости системы Усист и ее массы Мтхя.
Нетрудно видеть, что между двумя группами формул — для Lco6, £|ф
и Рсист, ЕЛОС1 есть значительное сходство. Но есть и существенные разли¬
чия. Формулы для Lco6 и Е„р в таком виде справедливы лишь в частном
случае. Более того, в случае вращения связь векторов Lco6 и (о является
более сложной, чем описано выше, поскольку они не всегда совпадают
по направлению. Наконец, момент инерции зависит не только от массы
системы, но и от ее распределения внутри системы. Все эти обстоятель¬
ства проявляются в весьма необычных свойствах абсолютно твердого
тела, о которых пойдет речь в этом разделе.
§ 13.2. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Твердое тело в механике определяется как система материальных
точек, расстояния между которыми остаются неизменными. Реальные
тела удовлетворяют этому условию лишь приближенно, но в обычных
условиях твердые тела так мало изменяют свою форму и размеры, что,
рассматривая твердое тело как целое, можно пренебречь этими измене¬
ниями. Подчеркнем, что представление о твердом теле с неизменными
расстояниями между отдельными материальными точками — это ти¬
пичная модель нерелятивистской физики.
Для твердого тела, разумеется, справедливы все результаты, которые
были получены ранее для произвольных систем материальных точек.
Однако некоторые из этих результатов допускают дальнейшее развитие,
специфическое именно для твердого тела. Иногда твердое тело рассмат¬
ривают как дискретную совокупность материальных точек. Переход от
выражений, содержащих суммирование по дискретным точкам, к выра¬
жениям для сплошного тела осуществляют заменой масс отдельных час¬
тиц на массу pdV, заключенную в элементе объема dV, и интегрирова¬
нием по всему объему тела.
Введем две системы отсчета: одну лабораторную, т. е. инерциальную
систему, с которой свяжем неподвижную систему координат х, у, z, а
другую — связанную с центром инерции твердого тела. Начало этой
системы отсчета помещено в центр инерции, а оси х', у’, £ считаем же¬
стко связанными с твердым телом. В этом случае положение твердого
тела относительно неподвижной системы х, у, z определяется положе¬
нием движущейся системы координат. Радиус-вектор R центра твердого
тела указывает положение О', начала движущейся системы (рис. 13.2).
Ориентация этой системы относительно неподвижной задается тремя
независимыми углами, так что вместе с тремя компонентами вектора R
имеется шесть координат, определяющих положение твердого тела. По¬
этому твердое тело представляет собой механическую систему с шестью
степенями свободы.
Произвольное малое перемещение твердого тела можно представить
в виде суммы двух движений. Одно из них — это малый параллельный
233
Рис. 13.2. Произвольное движение твердого Рис. 13.3. К выводу соотношений
тела. Система координат х, у, z связана с (13.13) и (13.14)
лабораторной системой, ах’, у', i — с сис¬
темой центра масс
перенос тела, в результате которого центр переходит в новое положение
при неизменной ориентации осей х', у’, z! системы координат, связан¬
ной с твердым телом, а другое — это поворот вокруг центра, в результа¬
те которого твердое тело переходит в конечное положение.
Обозначив через гиг' радиусы-векторы произвольной точки тела в
неподвижной и движущейся системах координат, имеем
dr = dR + [d<p х г'], (13.7)
где dtp — угол, на который произошел поворот вокруг оси, проходящей
через центр инерции.
Введем скорости:
у - dr v _ rfR Q-i^P (13 8)
v‘~ dt' df
Здесь v — скорость произвольной точки твердого тела в неподвижной
системе; \с — скорость центра масс твердого тела, называемая также
скоростью его поступательного движения; £2 — угловая скорость враще¬
ния твердого тела. Ее направление, как и направление dtp, совпадает с
направлением оси вращения, определяемым по правилу винта с правой
резьбой.
Из соотношения (13.7) и определений (13.8) следует равенство
v = vc+[Qxr']. (13.9)
Предположим, что начало О, жестко связанной с твердым телом
системы координат находится не в центре твердого тела, а в некоторой
точке, радиус-вектор которой относительно центра О' есть ^ (рис. 13.3).
Скорость перемещения начала О, этой системы обозначим через v,, а
угловую скорость ее вращения через £2,. Радиус-вектор рассматривае¬
мой точки твердого тела относительно Ot обозначим через г". Тогда
234
Г' = Г, + Г",
(13.10)
а подстановка этого соотношения в (13.9) дает
v = vc + [Я х г,] + [Я х г"].
(13.11)
С другой стороны, из указанного определения величин v, и Я, следует,
что
В силу произвольности выбора г, из (13.11) и (13.12) следуют условия
Равенство (13.14) означает, что угловая скорость, с которой вращается в
данный момент времени жестко связанная с телом система координат,
не зависит от выбора этой системы. Таким образом, угловая скорость
вращения твердого тела имеет абсолютный характер. Можно говорить
об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая оси, относи¬
тельно которой рассматривается вращение.
Из соотношения (13.13) следует, что скорость поступательного
движения жестко связанной с телом системы координат зависит от
выбора этой системы. Из формулы (13.13) также следует, что если vt и
Я взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала О', то они
(т. е. v, и Я,) взаимно перпендикулярны и при любом другом выборе
начала О,. Из соотношения (13.9) при этом следует, что скорости всех
точек тела лежат в параллельных между собой плоскостях, перпенди¬
кулярных вектору Я. В этом случае всегда можно выбрать такое начало
О,, скорость v, которого равна нулю, так что движение твердого тела в
данный момент времени будет представлять собой чистое вращение
вокруг оси, проходящей через О,. Эту ось называют мгновенной осью
вращения.
В качестве примера рассмотрим качение колеса без проскальзыва¬
ния, что означает, что точка колеса А, которой оно касается поверхно¬
сти, в рассматриваемый момент времени неподвижна. При таком дви¬
жении скорость vc центра масс и угловая скорость вращения Я
перпендикулярны друг другу. Движение колеса можно рассматривать
либо как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей пер¬
пендикулярно плоскости колеса через точку касания (рис. 13.4, а),
либо как сумму вращения вокруг какой-либо параллельной ей оси и
поступательного движения со скоростью, равной скорости точек коле¬
са, лежащих на этой оси. В качестве оси вращения удобно выбирать
ось колеса, проходящую через его центр инерции (рис. 13.4, б). Угло¬
вая скорость вращения вокруг любой из этих осей одинакова. На рис.
13.4, а и б показано распределение скорости вращения точек колеса,
лежащих в данный момент на его вертикальном диаметре. Точки на
оси колеса движутся прямолинейно, точки обода — по циклоидам,
v = v, + [Я, х г"].
(13.12)
V, = vc + [Я х г,],
Я, = Я
(13.14)
(13.13)
235
Рис. 13.4. Качение колеса без проскальзывания
точки, находящиеся между осью и ободом, — по трахоидам. На рис.
13.4, в показаны результирующие скорости различных точек обода ко¬
леса.
§ 13.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для твердого тела, как и для любой системы материальных точек,
справедлива теорема Кёнига:
+ (13.15)
Здесь твердое тело рассматривается как дискретная система матери¬
альных точек, суммирование производится по всем точкам, составляю¬
щим тело, индекс суммирования для простоты записи не указывается, а
V представляет собой скорость движения точки с массой т вокруг оси,
проходящей через центр инерции.
В соответствии с (13.9)
v' = [Й х г']. (13.16)
Поэтому для энергии вращения твердого тела, описываемой вторым
слагаемым в правой части (13.15), справедливо
£вр = Xf[ftxrf. (13.17)
В дальнейшем, рассматривая только энергию вращения, будем
опускать штрих у радиуса-вектора материальной точки в системе коор¬
динат, жестко связанной с твердым телом, поскольку это не может при¬
вести к недоразумению, и записывать (13.17) в виде
=Zf[fi*r]2. (13.18)
В силу соотношения Q?r2 = (Q х г) + [£2 х г]г формулу (13.18) можно пе¬
реписать следующим образом:
236
Евр =J-Ym{Q2г2 ~{£l*r)2}.
(13.19)
Перепишем формулу (13.19), используя тензорные обозначения, т. е.
вводя явно компоненты векторов Я и г. При этом удобно ввести обо¬
значения х = х,, у = х2, z = хг. Имеем
Евр =15>{Q?xi?-Q/xi. Qk хк}, (13.20)
где по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирова¬
ние. Используя тождество Q, - 5ikQk, где 81к — символ Кронекера, или
единичный тензор, компоненты которого равны единице при i - к и
нулю при i * к, перепишем формулу (13.20) так:
£ВР =yQ/ QkY,m(x?bik ~х,хк). (13.21)
Поскольку Евр —- скаляр, то величина
л* “Е'**?8/*-*/**> <13-22)
представляет собой тензор второго ранга.
С помощью формулы (13.22) выражение для кинетической энергии
вращения окончательно запишется в виде:
Ейр =i/a Q,ЯЛ. (13.23)
Тензор /,к называют тензором моментов инерции, или просто тензо¬
ром инерции твердого тела. Как ясно из определения (13.22), он симмет¬
ричен, т. е. llk = lki. Его можно представить в виде таблицы:
и =
Em(y2+z2) Y/nxy -T/nxz
-Ymyx 1/n(x2+z2) -Imyz
-Tjnzx -Urnzy T/n(x2
У2)
(13.24)
Компоненты тензора 1Ы, Iyy, Ia иногда называют моментами инер¬
ции относительно соответствующих осей. Тензор инерции аддитивен —
моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей.
Если твердое тело рассматривать как сплошное с плотностью р, то в
определении (13.22) сумма по отдельным точкам заменяется интегралом
по объему тела:
Л* =|р(*1>*2’*з)(*/2§,* -x,xk)dV. (13.25)
Симметричный тензор второго ранга может быть приведен к диаго¬
нальному виду путем соответствующего выбора направлений осей х], х2,
х3. Эти направления называют главными осями инерции, а соответствую¬
237
щие значения компонент тензора инерции — главными моментами инер¬
ции и обозначают как /,, /2, /3. Математически эта процедура эквива¬
лентна диагонализации матрицы, задаваемой соотношением (13.24).
В главных осях инерции кинетическая энергия вращения записыва¬
ется особенно просто:
£вр =1(/, Q?+/2Q2+/3Q2). (13.26)
Тело, у которого /, = /2 = /3, называется шаровым волчком, а тело, у
которого все /, различны, — асимметрическим волчком. Если /, = /2 * /3,
то тело называется симметрическим волчком.
Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если тело об¬
ладает определенной симметрией: в этом случае положение центра масс
и направления главных осей инерции обладают той же симметрией. На¬
пример, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр масс ле¬
жит в этой плоскости. В этой же плоскости лежат две главные оси инер¬
ции, а третья — перпендикулярна этой плоскости. Частным случаем
здесь является система частиц, расположенных на одной плоскости.
Выбирая ее в качестве плоскости х,х2, имеем х3 = 0 и
/, -1/пх2, /2 = 1/лх2, /3 =Zm(x2+х2) = /,+/2. (13.27)
Если частицы расположены на одной прямой, то х, = х2 = 0 и
/, =/2 = 2>их32, /3 =0. (13.28)
Такая система называется ротатором. Ротатор имеет всего две, а не
три вращательные степени свободы, так как говорить о вращении во¬
круг оси х3 (т. е. о вращении прямой вокруг самой себя) не имеет
смысла.
§ 13.4. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Из выражения (13.24) следует, что главные моменты инерции твер¬
дого тела относительно осей х, у и z равны сумме произведений масс от¬
дельных материальных точек на квадраты их расстояний от соответст¬
вующей оси. Поэтому главные моменты инерции легко вычисляются
для симметричных твердых тел. Так, момент инерции кольца радиуса R
относительно его оси есть (рис. 13.5)
/ = £дт, R2 = R2 £дw,. = MR2, (13.29)
/ i
где М — масса всего кольца.
Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно
его оси легко вычисляется с помощью (13.25). Момент инерции цилин¬
дрического кольца радиуса г толщиной dr в соответствии с (13.29) равен
238
Рис. 13.5. К вычислению момента инер- Рис. 13.6. К вычислению момента инер¬
ции тонкостенного цилиндра радиуса R иии сплошного однородного цилиндра
относительно его оси радиуса R относительно его оси
mr2, где т — масса этого кольца, равная (M/nR2)2nrdr, а М и R — масса
и радиус всего цилиндра (рис. 13.6). Теперь для момента инерции ци¬
линдра имеем:
/ =mjr^r = JML_ (13.30)
о
Момент полого толстостенного цилиндра с внешним радиусом Rt и
внутренним R2 можно представить в виде интеграла такого же типа, как
и в (13.30), только для массы кольца радиуса г и толщиной dr теперь
следует использовать выражение а пределы интегрирования
7Ц Л| — )
считать равными R2 и Л, (рис. 13.7). Имеем
к,
I=-^\r2dr^f{R2 +R22). (13.31)
Аналогично можно вычислить и моменты инерции других симмет¬
ричных тел. Для момента инерции однородного стержня массой т дли¬
ной / относительно оси, проходящей через середину стержня перпенди¬
кулярно его длине, имеем
(13.32)
а для того же стержня относительно оси, проходящей через его конец
перпендикулярно длине:
I =^. (13.33)
Момент инерции однородного шара массы т и радиуса R относи¬
тельно оси, проходящей через его центр, есть
239
Рис. 13.7. К вычислению момента
•инерции толстостенного цилиндра
с внешним радиусом Л, и внутрен¬
ним ралиусом относительно его
оси
Рис. 13.8. К доказательству теоремы Штейнера
(13.35)
1 =ZmR2.
(13.34)
Если известен момент инерции / твердого тела массы М относитель¬
но какой-либо оси, проходящей через его центр, то момент инерции от¬
носительно любой параллельной ей оси, отстоящей на расстояние d, да¬
ется выражением, называемым теоремой Штейнера:
1=1. + МсР.
(13.35)
Для доказательства этого утверждения достаточно представить
квадрат расстояния R материальной точки от оси вращения О как квад¬
рат суммы двух векторов, один из которых (d) определяет расстояние
между параллельными осями, а другой (R') — расстояние материальной
точки от второй оси Опроходящей через центр инерции (рис. 13.8):
Теперь имеем
R2 = R2 = (d + R')2 = d2 + R'2 + 2dR'.
/ =XmR2 = Yjmd2 + YjnR'1 +2AY/nR'.
(13.36)
(13.37)
Третья сумма по всем материальным точкам с массами т в правой части
равна нулю, так как DwR’ = MR'C =0, где R'c — радиус-вектор центра
инерции в системе центра инерции. В результате в формуле (13.37) ос¬
тается выражение, соответствующее теореме Штейнера (13.35).
Задачи к главе 13
Задача 13.1. Найти момент инерции гантели, состоящей из двух
одинаковых шариков радиусами г, соединенных тонким однородным
стержнем длиной / и диаметром d, причем г, d « I. Плотность вещест¬
ва, из которого изготовлена гантель, равна р. Ось вращения прохо-
240
дит через центр симметрии гантели перпендикулярно соединяющему
стержню.
Решение. Суммарный момент инерции
1=21г + 1,
равен сумме двух моментов инерции шариков 1Г и моменту инерции
стержня ld. Для последнего из (13.32) получаем
Т _ 1 ж / 2 - 1 о nd1!, 2 _ npd2P
Ч - I2mil 12 4 48 •
Для каждого из шариков центр масс отстоит от оси вращения на г + 1/2,
так что по теореме Штейнера (13.35):
Ч =(Л)щ, +*,[ г+4 •
Поскольку, согласно формуле (13.34),
) =2
'им 5
(Ч) им =\mrr2,
то
Ч -\mrrl +mr\ Г+2] ='J7tA‘3p
|г2+[г+Л
В итоге
/ = |яг3р
lr2+\r + -L
+ *</2г3р.
48
При малых г, d « I можно приближенно записать ответ в виде
I Цлг3р
9 2 2
у +г
. 56 —,,,5
15
лрг
Задачи для самостоятельного решения
Задача 13.2. Доказать соотношение QV = (й х г)2 + [й х г]2.
Задача 13.3. Определить момент инерции тонкого кольца массы т с радиусом г и ши¬
риной d относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной плоско-
2 2
,mr md \
сти кольца. (— 1- )
2 12
16-3840 241
Задана 13.4. Определить момент инерции однородного куба массы т с ребром / отно¬
сительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной одной из его граней.
Задача 13.5. Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы т с
размерами а ж b относительно оси, проходящей через ее центр масс и перпендикулярной
т(а2 + Ь2)
плоскости пластины. ( ).
Глава 14. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 14.1. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА
В механике твердого тела наиболее удобно рассматривать момент
импульса относительно начала системы координат, помещенного в
центр тела. В этом случае он совпадает с собственным моментом L',
связанным лишь с вращением тела относительно центра. Заменяя в оп¬
ределении момента импульса
L' = Sw[r'xv'] (14.1)
v' на {£2 х г'] и опуская штрихи у радиуса-вектора v' и момента L', имеем
Ь=1/иНЙхг]] = 1/и{£2г2 -г(йхг)}. (14.2)
В тензорных обозначениях (14.2) принимает вид
L, =Ъп{х2&1 -х,С1к хк} =Пк lm{xfblk -xixk}. (14.3)
Используя определение тензора инерции (13.23), получаем для L
(И.4)
Видно, что в общем случае направление L не совпадает с направле¬
нием угловой скорости £2. Если оси зс,, х2 и х3 направлены вдоль главных
осей инерции, то вместо формулы (14.3) имеем
^ = /,£2,. Ь2 = 12П2, /,3 = /А. (14.5)
Для шарового волчка /, = /2 = /3 з I, поэтому
L = /£2. (14.6)
Вектор момента импульса пропорционален вектору угловой скорости и
направлен в ту же сторону, что и £2.
В общем случае произвольного тела вектор L совпадает по направ¬
лению с £2 лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных
осей инерции.
242
§ 14.2. ТИПЫ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ
МГНОВЕННОЙ ОСИ
Движение твердого тела в общем случае является довольно слож¬
ным. Однако в ряде случаев его описание можно свести к описанию
вращения вокруг одной оси, различной для разных моментов времени.
К их числу относятся плоское движение и движение твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку.
При плоском движении все точки твердого тела движутся парал¬
лельно одной плоскости. Поэтому без потери общности можно считать
само твердое тело плоским, а движение происходящим в плоскости
тела. Положение плоского тела однозначно определяется положением
двух любых его точек. При плоском движении твердое тело может быть
переведено из любого положения в другое произвольное положение пу¬
тем поворота вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости дви¬
жения. Поэтому произвольное плоское движение твердого тела может
рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, меняющей свое
положение как в теле, так и в пространстве. Пример плоского движения
твердого тела — качение колеса.
Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть пере¬
ведено из одного произвольного положения в другое путем поворота во¬
круг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку. Любое
движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно
рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через
эту неподвижную точку. В общем случае эта мгновенная ось непрерыв¬
но перемещается как в твердом теле, так и в пространстве.
Пример вращения вокруг неподвижной точки — качение без про¬
скальзывания конуса В по поверхности неподвижного конуса А, имею¬
щего с ним общую вершину О (рис. 14.1). Такое движение можно пред¬
ставить либо как чистое вращение конуса В с угловой скоростью w
вокруг мгновенной оси, проходящей по линии касания, либо как сумму
Рис. 14.1. Качение конуса R по поверхности конуса Л
16*
243
двух вращений: с угловой скоростью <о0 вокруг собственной оси и с уг¬
ловой скоростью й вокруг оси неподвижного конуса А:
ш = to0 + й. (14.7)
Это означает, что скорость любой точки катящегося конуса определяет¬
ся по формуле Y = to х г, в которую можно подставить <о из формулы
(14.7). Точки оси подвижного конуса движутся по окружностям, а не
лежащие на оси точки описывают сложные волнообразные траектории.
§ 14.3. СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ. СОХРАНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного
действию каких-либо внешних сил. Исключим поступательное равно¬
мерное движение и будем рассматривать чистое вращение твердого
тела. Как и у всякой замкнутой механической системы, момент импуль¬
са свободно вращающегося тела постоянен. Кроме того, в отсутствие
внешних сил будет сохраняться кинетическая энергия вращения. Не¬
сколько сложнее обстоит дело с угловой скоростью вращения й.
Для шарового волчка (/, = /2 = /3) условие L = const приводит к
Й = const. Это означает, что свободное вращение шарового волчка все¬
гда представляет собой равномерное вращение вокруг постоянной
оси. Столь же прост и случай ротатора (/, = /2, /3 = 0). Здесь тоже спра¬
ведливо соотношение L = /й, причем вектор Й перпендикулярен оси
ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора представляет собой
равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, пер¬
пендикулярного этой плоскости.
Для описания более сложного свободного вращения симметриче¬
ского волчка (/, = /2 * /3), кроме закона сохранения момента импульса
удобно (но не обязательно!) воспользоваться законом сохранения кине¬
тической энергии.
Кинетическая энергия вращения симметрического волчка может
быть записана в виде
Ev=±(l}x + l?y) + £-L\, (14.8)
где I = Ix~ 1у, а ось z называется осью волчка.
Это выражение можно переписать и в таком виде:
<|4'9)
где L2 = L]+ L\ + L) .
В силу выполнения законов сохранения энергии и импульса из (14.9)
следует, что Ll = const. В силу соотношения Lz = l,Qz будет сохраняться и
Ц — проекция вектора й на ось волчка: йг = const. Таким образом, вол¬
чок равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью й,.
244
Теперь выразим кинетическую энергию вращения волчка через
компоненты угловой скорости £2:
Евр =\т\ +£22,) + 1/г £22 =1/ Q2 +1(/г -/)£22, (14.10)
где Q2 =Q2 +Q2 +Q2.
Из формулы (14.10) в силу сохранения £2г и Евр следует, что
£22 = const. Наконец, записав кинетическую энергию вращения в виде
Евр =±Iik £2, Qk =±Lt £2, =£(LQ), (14.11)
видим, что не меняется угол между векторами L и £2.
Таким образом, приходим к следующей картине свободного враще¬
ния симметрического волчка. Волчок равномерно вращается вокруг
своей оси, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг на¬
правления неизменного момента импульса L, описывая круговой конус
(рис. 14.2). Это свободное вращение называется регулярной прецессией
волчка. Вектор угловой скорости £2, оставаясь неизменным по модулю,
также равномерно вращается вокруг направления L. Картина движения
волчка показана на рис. 14.2, плоскость которого проходит через посто¬
янный вектор момента импульса L и мгновенное положение оси волчка
z. В этой же плоскости лежит и вектор £2.
Угловые скорости вращения волчка вокруг своей оси и прецессии
можно выразить через значение момента импульса L и угол наклона 0
оси волчка к направлению L. Чтобы найти угловую скорость вращения
волчка вокруг своей оси, равную £2г, следует разложить вектор £2 на две
взаимно перпендикулярные составляющие — £2. и £2i (см. рис. 14.2):
£2? =b- = ^cos0, £2± =^=|sin0, (14.12)
где Li — проекция L на направление, перпендикулярное оси z и лежа¬
щее в указанной плоскости.
Рис. 14.2. Свободное равномерное вращение симметрического волчка вокруг своей
оси, которая сама равномерно вращается вокруг направления неизменного момента
импульса L = /й
245
В свою очередь, чтобы найти угловую скорость прецессии волчка,
нужно разложить вектор £2 по правилу параллелограмма на составляю¬
щие вдоль оси волчка z и вдоль неизменного вектора момента импульса
L. Первая из этих составляющих не вызывает вращения оси волчка, а
вторая описывает именно это вращение и представляет собой угловую
скорость прецессии Япр. Как следует из рис. 14.2, Qnpsin9 = Я1. Поэтому
с помощью второй из формул (14.12) находим
«nP=f (14.13)
Получение картины свободного движения симметрического волчка
без использования закона сохранения энергии сопряжено с проведени¬
ем более элегантных рассуждений. Поскольку выбор главных осей
инерции симметрического волчка, перпендикулярных оси волчка х3,
произволен, то направим ось х2 перпендикулярно плоскости, опреде¬
ляемой постоянным вектором L и мгновенным положением оси х3. То¬
гда Л = 0 и, следовательно, f\ = 0. Это значит, что вектор Я в каждый
момент времени лежит в одной плоскости с вектором L и осью волчка
(х3) (см. рис. 14.2). Отсюда следует, что скорость V = [Я х г] всех точек
на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярна указанной
плоскости. Другими словами, ось волчка равномерно вращается вокруг
направления L, описывая круговой конус — совершает регулярную пре¬
цессию. Одновременно с прецессией волчок равномерно вращается во¬
круг собственной оси. Далее с помощью тех же рассуждений, что и
раньше, получаются соотношения (14.12) и (14.13).
При свободном вращении асимметрического волчка также выпол¬
няются законы сохранения кинетической энергии и момента импульса
системы, однако исследование характера вращения твердого тела в этом
случае представляет собой гораздо более сложную задачу. Весьма трудо¬
емкое кропотливое исследование показывает, что в общем случае сво¬
бодно вращающийся асимметрический волчок никогда не возвращается
в свое первоначальное положение.
Задачи к главе 14
Задача 14.1. Концы земной оси описывают в районах полюсов
конусы вокруг фиксированного направления в пространстве с периодом
420 суток. Основываясь на этом, докажите, что Земля — не шар.
Решение. Земная ось проходит через центр инерции Земли. Во-
первых, Земля вращается вокруг своей собственной оси симметрии z с
угловой скоростью сособ. Во-вторых, сама ось z равномерно вращается с
угловой скоростью со,|ут = L/I вокруг вектора собственного момента
L = const, описывая круговой конус с постоянным углом раствора,
значение которого определяется собственным моментом L и кинетиче¬
ской энергией вращения Еър. Такой тип движения называется нутаци¬
ей. С той же угловой скоростью оопут равномерно вращается (прецесси-
246
рует) и сам вектор а), оставаясь постоянным по величине, но меняя
направление.
Для шара должна сохраняться параллельность векторов L || ш, так
что было бы о = const. Поскольку в рассматриваемом случае этот век¬
тор непостоянен, Земля по форме не является шаром. Приближенно ее
можно считать свободно прецессирующим гироскопом (подробнее о ги¬
роскопах будет рассказано в § 15.5).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 14.2. Молекулярная масса ДНК составляет 1,2 10*. Молекула представляет со¬
бой двойную спираль, в которой содержится 1,2 -I О4 витков, радиус которых — 6,7 ангст¬
рем. Приравняйте кинетическую энергию вращательного движения —1в>2 относительно
спирали энергии теплового движения jkT при температуре 300 К и оцените угловую ско¬
рость вращательного движения молекулы. (<о = 3 10* рад/с)
Задача 14.3. Два подобных маховика изготовлены из одного металла, причем ли
нейные размеры второго вдвое больше линейных размеров первого. Как относятся ки¬
нетические энергии маховиков при одной и той же угловой скорости вращения вокруг
ОСИ? (Iй-= 32)
£х1
Глава 15. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНИХ СИЛ
§ 15.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Твердое тело обладает шестью степенями свободы, если на него не
наложены дополнительные связи. Поэтому для описания его движения
требуется в общем случае шесть независимых уравнений. В качестве та¬
ких уравнений можно взять векторное уравнение движения центра масс
^=Г»неш (15.1)
и векторное уравнение моментов
— м П5 2)
ф * внеш' ' '
Уравнение моментов можно брать относительно начала лаборатор¬
ной инерциальной системы отсчета или относительно центра инерции
твердого тела, так как закон изменения момента импульса системы ма¬
териальных точек в этих системах отсчета формулируется одинаково.
При наличии связей (например, движение твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку, или фиксированную ось вращения) количест¬
247
во независимых уравнений движения твердого тела уменьшается. Во
всех случаях оно равно числу степеней свободы системы.
Изучением динамики твердого тела занимались многие выдающиеся
физики и математики, от Эйлера и Лагранжа до Ковалевской и Пуанка¬
ре. Тем не менее в общем виде она еще далека от завершения. Сравни¬
тельно просто могут быть исследованы только определенные частные
случаи, некоторые из которых и будут рассмотрены.
§ 15.2. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если твердое тело покоится, то уравнения (15.1) и (15.2) дают
F„„cm = 0, Мвнеш = 0. (15.3)
Это является необходимыми условиями равновесия твердого тела,
но они не достаточные. При их выполнении центр масс твердого тела
может двигаться с произвольной постоянной скоростью v, а само твер¬
дое тело может вращаться таким образом, чтобы оставался неизменным
момент импульса L. Поскольку в равновесии результирующая всех
внешних сил F0UCIU = 0, то результирующий момент этих сил не зависит
от положения начала отсчета О, относительно которого он берется. По¬
этому при решении любой задачи на определение равновесия твердого
тела начало О можно выбирать произвольно.
Если имеется система соприкасающихся тел, то в равновесии усло¬
вия (15.1) и (15.2) должны выполняться для каждого из тел в отдельно¬
сти. При этом фигурируют силы, действующие на данное тело со сторо¬
ны остальных соприкасающихся с ним тел. Эти силы приложены в
точках соприкосновения тел и называются силами реакции. В общем
случае и модули, и направления сил реакции определяются при совме¬
стном решении уравнений равновесия всех тел. Однако в некоторых
случаях направления сил реакции задаются уже условиями задачи. Так,
если два тела могут свободно (без трения) скользить по поверхности
друг друга, то силы реакции между ними направлены по нормалям к
поверхностям.
При соприкосновении тел возможно существование сил трения.
Возможны два типа движения соприкасающихся тел — скольжение и
качение. При скольжении силы трения направлены по касательным к
соприкасающимся поверхностям. При качении в точках соприкоснове¬
ния тел нет относительного движения. В отсутствие трения поверхности
тела называют абсолютно гладкими. Если свойства поверхности допус¬
кают лишь чистое качение без проскальзывания, а трением при каче¬
нии можно пренебречь, то поверхности называются абсолютно шерохо¬
ватыми.
Для иллюстрации применения условия равновесия твердого тела
рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из
двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных
веревкой у основания (рис. 15.1). Определим, какова сила натяжения
веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в
248
шарнире и с какими силами они давят на пол, если
па середине одной из них стоит человек весом Р.
Рассматриваемая система состоит из двух твердых
тел — половинок лестницы, и условия равновесия
можно применять как для системы в целом, так и
для ее частей. Применяя условия равновесия ко
всей системе в целом, можно найти силы реакции
пола N, и N2. При отсутствии трения эти силы на¬
правлены вертикально вверх, и условие равенства
нулю векторной суммы внешних сил [см. формулу
(15.1)] принимает вид
N, + N2 = P. (15.4)
Условие равновесия для моментов внешних сил от¬
носительно т. А записывается следующим образом:
УУ, 21 cosa = Pycosa,
где I — длина лестницы; а — угол, образованный лестницей с полом.
Решая систему уравнений (15.4) и (15.5), находим TV, = Р/4,
N2 = ЗР/4.
Разумеется, вместо уравнения моментов (15.5) относительно т. А
можно было бы написать уравнение моментов относительно т. В (или
любой другой точки). При этом получилась бы система уравнений, эк¬
вивалентная использованной системе уравнений (15.4) и (15.5).
Сила натяжения веревки и сила взаимодействия в шарнире для рас¬
сматриваемой физической системы являются внутренними и поэтому
не могут быть определены из условия равновесия всей системы как це¬
лого. Для определения этих сил необходимо рассматривать условия рав¬
новесия отдельных частей системы. При этом удачным выбором точки,
относительно которой составляется уравнение моментов сил, можно
добиться упрощения алгебраической системы уравнений. Так, напри¬
мер, в данной системе можно рассмотреть условие равновесия момен¬
тов сил, действующих на левую половинку лестницы, относительно
т. С, в которой находится шарнир.
При таком выборе т. С силы, действующие в шарнире, не войдут в
это условие, и сразу находим силу натяжения веревки Т:
УУ,/ cosa = 77 sin a, (15.6)
откуда, учитывая, что yV, = Р/4, получаем
Г = -£ ctga. (15.7)
Условие формулы (15.6) означает, что равнодействующая сил Т и N,
проходит через т. С, т. е. направлена вдоль лестницы. Поэтому рав¬
новесие этой половинки лестницы возможно только, если сила Q,,
Рис. 15.1. Равновесие
легкой лестнииы-
стремянки
(15.5)
249
Рис. 15.2. К определению направления Рис. 15.3. Стержень, опирающийся в т. А
силы Q, для системы на рис. 15.1 о гладкую вогнутую поверхность чашки
и в т. В на острый край чашки
действующая на нее в шарнире, также направлена вдоль лестницы
(рис. 15.2), а ее модуль равен модулю равнодействующей сил Т и N,:
QI =-*-£—• (15.8)
4sma
Модуль силы Q2, действующей на шарнире на другую половинку ле¬
стницы, на основании третьего закона Ньютона равен |Q,|, а ее направ¬
ление противоположно направлению вектора Q,. Направление силы Q,
можно определить непосредственно из рис. 15.2, учитывая, что при рав¬
новесии тела под действием трех сил линии, по которым действуют эти
силы, пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим точку
пересечения линий действия двух из этих трех сил и составим уравне¬
ние моментов относительно этой точки. Моменты первых двух сил от¬
носительно этой точки равны нулю, значит должен равняться нулю и
момент третьей силы, что возможно, только если линия ее действия
также проходит через эту точку.
Отметим, что в случаях, когда возникают сомнения в определении
направления силы реакции связи, как, например, на рис. 15.3, где изо¬
бражен стержень, опирающийся в т. А о гладкую вогнутую поверхность
чашки и в т. £ на острый край чашки, то можно мысленно немного
подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции
будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит
точка контакта. Так, в т. А действующая на стержень сила реакции
перпендикулярна поверхности чашки, а в т. В — перпендикулярна
стержню.
Модель абсолютно твердого тела подразумевает малость деформа¬
ций. Однако не всегда малость деформаций является достаточным усло¬
вием для того, чтобы тело можно было считать абсолютно твердым.
Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример. Доска, лежащая
на двух опорах (рис. 15.4), может рассматриваться как абсолютно твер¬
дое тело, несмотря на то, что она легко прогибается под действием силы
тяжести. Действительно, в этом случае условия механического равнове¬
сия позволяют определить силы реакции опор N, и N2, не учитывая де¬
формации доски.
250
Рис. 15.4. Доска, лежащая на двух опорах. Рис. 15.5. Доска, лежащая на трех опорах.
(Модель абсолютно твердого тела приме- (Модель абсолютно твердого тела непри-
нима) менима)
Но если та же доска лежит на трех опорах (рис. 15.5), то представле¬
ние об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле,
пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя — чуть
ниже. Если доска абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то
она совсем не давит на среднюю опору (N3 = 0). Если же доска прогиба¬
ется, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше
деформация. Условия равновесия абсолютно твердого тела в этом слу¬
чае не позволяют определить силы реакции опор N,, N2 и N3, так как
приводят к двум уравнениям для трех неизвестных величин. Такие сис¬
темы носят название статически неопределимых. Для их расчета необ¬
ходимо учитывать упругие свойства тел.
Приведенный пример показывает, что применимость модели абсо¬
лютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами са¬
мого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Так, в рас¬
смотренном примере даже тонкую соломинку можно считать абсолютно
твердым телом, если она лежит на двух опорах. Но даже очень жесткую
балку нельзя считать абсолютно твердым телом, если она лежит на трех
опорах.
§ 15.3. ПРИМЕР ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ
Рассмотрим скатывание колеса массы т и радиуса г с наклонной
плоскости, происходящее без проскальзывания (рис. 15.6). Скорость ко¬
леса в точке касания А равна нулю- Отсутствие проскальзывания обеспе¬
чивается действием сил со стороны наклонной плоскости — нормальной
силы реакции N и силы трения покоя F^, которая может принимать зна¬
чения от 0 до p.N. При качении эта сила как раз такова, чтобы не было
скольжения. Если касательная сила, необходимая для этого, превышает
значение pTV, то качение будет сопровождаться проскальзыванием.
Запишем уравнение моментов в лабораторной инерциальной систе¬
ме отсчета относительно мгновенной оси вращения, проходящей через
251
Рис. 15.6. Скатывание без про¬
скальзывания колеса массы т и
радиуса г с наклонной плоско¬
сти
точку касания колеса и наклонной плоско¬
сти. Так как мгновенная ось вращения и
главная ось колеса движутся параллельно
друг другу, то уравнение моментов записы¬
вается в виде
l da
* dt
■mgr sin а,
(15.9)
тельно мгновенной оси.
Моменты остальных действующих сил
относительно т. А равны нулю. Скорость
центра масс колеса О равна со г, поэтому для
линейного ускорения т. О имеем
п — dv _ г da
dt df
(15.10)
С помощью уравнения (15.9) получаем
а =22- sina. (15.11)
* Л
По теореме Штейнера момент инерции 1Л можно выразить через
главный момент инерции колеса / относительно его оси:
JA = I + тг2. (15.12)
С помощью формулы (15.12) выражение для линейного ускорения
центра масс колеса (15.11) переписывается в виде
a=g-sina (15.13)
Найти ускорение центра масс можно иначе, рассматривая уравне¬
ние моментов относительно оси колеса. В этом случае отличным от
нуля будет только момент силы трения Fw, поэтому
I^ = rFw. (15.14)
Поскольку это уравнение содержит две неизвестные величины — уг¬
ловое ускорение dto/dt и силу трения F^, то к нему следует добавить
уравнение движения центра масс колеса:
m^i^sma-Zv (15.15)
С помощью уравнений (15.14), (15.15) и (15.10) получаем прежний
результат (15.13) относительно линейного ускорения центра масс и вы¬
ражение для силы трения покоя:
252
F = 1 mg sin a.
^ I + mr2
(15.16)
К такому же результату можно прийти, используя закон сохранения
механической энергии, поскольку при отсутствии проскальзывания
сила трения покоя работы не совершает. Рассматривая движение как
чистое качение относительно т. А (см. рис. 15.6), имеем
jIAa>2 =j^fv2 =mgx sina, (15.17)
где пройденный колесом вдоль наклонной плоскости путь х связан с из¬
менением высоты И, на которой находится колесо, соотношением
h = xsina. Дифференцируя соотношение (15.17) по времени и учитывая,
что dx/dt = v, приходим к выражению (15.11).
Отметим, что в отсутствие проскальзывания уменьшение потенци¬
альной энергии колеса при спуске сопровождается эквивалентным уве¬
личением кинетической энергии поступательного и вращательного дви¬
жения. Ускорение колеса и приобретаемая скорость поступательного
движения зависят от момента инерции колеса /. Из выражения (15.13)
следует, что ускорение а при скатывании колеса всегда меньше ускоре¬
ния а = g sina соскальзывания без трения. Чем большая доля кинетиче¬
ской энергии приходится на вращение колеса, тем медленнее скатыва¬
ется оно с наклонной плоскости.
Когда угол наклона а равен нулю, ускорение колеса а обращается в
нуль. Из выражения (15.16) следует, что при этом обращается в нуль и
действующая на колесо сила трения покоя. Таким образом, колесо по
горизонтальной поверхности в отсутствие внешних сил катится равно¬
мерно, не испытывая силы сопротивления. Этот результат справедлив
для идеализированной модели рассматриваемой системы, когда и коле¬
со, и поверхность, по которой оно движется, считаются идеально твер¬
дыми и гладкими.
§ 15.4. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ. ОГРАНИЧЕННОСТЬ МОДЕЛИ АБСОЛЮТНО
ТВЕРДОГО ТЕЛА И МОДЕЛИ ТРЕНИЯ
Для реальных тел рассмотренная выше модель справедлива лишь
приближенно. В действительности и колесо, и поверхность, по которой
оно катится, деформируются. На поверхности
возникает углубление, и колесо соприкасается
с ней не в одной точке, а на некотором участке
конечной площади (рис. 15.7).. В результате
при качении по горизонтальной поверхности
возникает сила, замедляющая движение коле¬
са. Это сила трения качения.
Нетрудно убедиться, что опыт подтвер¬
ждает описанную выше простую модель воз¬
никновения трения качения. Действительно,
опыт показывает, что при свободном качении
Рис. 15.7. Соприкосновение
колеса с поверхностью на
некотором участке конеч¬
ной площади
253
Рис. 15.8. Направление силы опоры N Рис. 15.9. Направление силы реакции опо-
при соприкосновении колеса и поверхно- ры N при соприкосновении колеса и по¬
сти в одной точке при качении верхности на некотором участке вследствие
продавливания поверхности колесом при
качении
по горизонтальной поверхности колесо постепенно замедляется и ос-
танавливается. Следовательно, нужно предположить наличие силы
трения (рис. 15.8). Однако легко видеть, что сила трения F^, действуя
в точке касания А, вызывает торможение центра масс колеса. В то же
время она должна раскручивать колесо в направлении по часовой
стрелке, увеличивая угловую скорость его вращения вокруг центра
масс. В результате, замедляя свое поступательное движение, колесо
должно начать проскальзывать относительно поверхности, по которой
оно катится. Но на опыте этого не происходит — колесо останавлива¬
ется, так и не начав проскальзывать. Чтобы объяснить этот результат,
приходится считать, что нормальная сила реакции опоры N в действи¬
тельности действует не по радиусу, как показано на рис. 15.8, а не¬
сколько смещена вперед по направлению движения колеса (рис. 15.9),
так что ее момент уменьшает угловую скорость вращения, не допуская
проскальзывания колеса. Такое смещение точки приложения силы N
объясняется продавливанием поверхности колесом при его качении
(см. рис. 15.7). Коэффициент трения качения имеет размерность дли¬
ны и измеряется величиной смещения d точки приложения нормаль¬
ной силы реакции опоры N.
Запишем уравнения движения колеса при наличии трения каче¬
ния. Центр инерции колеса тормозится под действием силы трения,
поэтому
ma = Fw, mg — N= 0. (15.18)
Уравнение моментов относительно оси колеса записывается в виде
[M^Nd-F^r. (15.19)
В отсутствие проскальзывания справедливо равенство а = r(du)/dt), по¬
этому с помощью формул (15.18) и (15.19) находим
a^g—гт,—(15.20)
й г+1/(тг) 4 '
254
////////
d
F
Рис. 15.10. Торможение колеса В, вращающегося против часовой стрелки вокруг
неподвижной оси О, тормозной колодкой А прямоугольной формы:
а — общая схема; б — к уравнению (15.22); в — к уравнениям (15.23), (15.24)
К этому результату, разумеется, можно прийти и рассматривая дви¬
жение колеса как вращение вокруг т. А:
Отсюда, учитывая теорему Штейнера, немедленно приходим к выраже¬
нию (15.20).
Наличие трения приводит к парадоксам даже при рассмотрении не¬
которых простых, на первый взгляд, случаев плоского движения твердо¬
го тела. Это указывает на ограниченность простой механической моде¬
ли трения, рассмотренной выше. В качестве примера рассмотрим
тормозную колодку А прямоугольной формы, которая может поворачи¬
ваться вокруг неподвижной оси Ох. Колесо В вращается вокруг непод¬
вижной оси О против часовой стрелки, в т. С оба тела касаются друг
друга (рис. 15.10, а).
Предположим, что оси О, и О направлены вертикально, а к колодке
приложена горизонтальная сила F, прижимающая колодку к колесу.
В этом случае между колесом и колодкой существует трение скольже¬
ния; обозначим коэффициент трения через р. Составим уравнение дви¬
жения колеса (см. рис. 15.10, б):
где /иг— момент инерции колеса относительно оси и радиус колеса.
Колодка А находится в покое. Поэтому равна нулю векторная сумма
действующих на нее внешних сил F^, F, N' и силы реакции в оси О,
(см. рис. 15.10, в), а также моментов этих сил. Имеем:
где последнее равенство (15.24) соответствует уравновешиванию момен¬
тов сил относительно О,.
Nd=mgd = 1л^ = 1лв.
(15.21)
(15.22)
FTp =FT'p =рЛ/, N=N\
FL + \iNd = N'l,
(15.23)
(15.24)
255
Из формулы (15.24) находим
ЛГ-7^. (15.25)
Видно, что при / > \xd можно подставить значение FTр = цУУ в уравне¬
ние (15.22) и определить характер движения колеса. Однако при / < |id,
чего всегда можно добиться, подобрав нужным образом геометрические
размеры колодки, приходим к парадоксу. Во-первых, получается отри¬
цательное значение для модуля N, что не имеет смысла, во-вторых, из
уравнения (15.24) при этом следует, что колодка А должна начать вра¬
щаться по часовой стрелке. Но этого быть не может, так как вращению
колодки А препятствует колесо В.
Для того чтобы понять, как происходит движение колеса в рассмат¬
риваемом случае при / < \±d, рассмотрим характер его движения при
/ > щ/, когда парадокса нет. С помощью уравнений (15.23) и (15.25) по¬
лучаем для модуля силы трения
К 05.26)
Подставляя это значение в уравнение движения колеса (15.22), имеем:
<15'27>
Это уравнение равнозамедленного вращения. Его решение записывает¬
ся в виде
ш=а>0-^/, (15.28)
где со,, — угловая скорость вращения при t — 0.
Из формулы (15.28) следует, что при t - колесо остановит¬
ся. Видно, что время торможения колеса пропорционально величине
/ — \xd. При / = pt/ время торможения равно нулю — колесо останавлива¬
ется мгновенно. Для этого необходимо, чтобы сила трения могла при¬
нимать бесконечно большое значение. Именно здесь четко проявляет
себя ограниченность рассматриваемой модели явления. Интуитивно
можно ожидать, что при / < \xd также должна происходить мгновенная
остановка колеса.
Попробуем определить максимально возможное значение силы тре¬
ния. Для этого возьмем неподвижное колесо и попробуем раскрутить
его против часовой стрелки, прикладывая пару сил с моментом М, по-
прежнему прижимая к колесу колодку А с силой F. Запишем условия
равновесия колеса и колодки:
rF-M, (15.29)
256
FL — Fw = N1.
(15.30)
Отсюда получаем
FTP = M/r, N=£± + m
(15.31)
Теперь легко убедиться, что разность F = ц/дг отрицательна при
/ — y.d < 0:
Дтр (15.32)
Но это означает, что вывести колесо из состояния покоя и заставить
его вращаться против часовой стрелки нельзя. Можно прикладывать к
колесу сколь угодно большой вращающий момент, это приведет лишь
к одновременному увеличению силы трения, момент которой всегда
сможет уравновесить вращающий момент при выполнении условия
/ - iid < 0.
Итак, с одной стороны, при / — \xd < 0 сила трения может принимать
такие большие значения, что колесо нельзя вывести из состояния по¬
коя. С другой стороны, если оно уже вращалось до приложения силы F,
то при l-\id< 0 уравнения движения, составленные на основе модели
абсолютно твердого тела, не имеют решения.
Что же произойдет в действительности, когда тормозная колодка
коснется колеса? Выяснилось, что колесо не будет продолжать вращать¬
ся в прежнем направлении, соприкасаясь с колодкой. Его угловая ско¬
рость в момент контакта с колодкой изменится скачком, как будто ко¬
лесо столкнулось с другим телом. Что будет происходить потом? Чтобы
ответить на этот вопрос, следует отказаться от модели твердого тела и
задаться другой определенной моделью, или провести эксперимент. Ка¬
кие при этом могут возникнуть возможности? Во-первых, колесо мо¬
жет мгновенно остановиться. Во-вторых, колодка может отскочить от
колеса. В-третьих, колесо может начать вращаться в противоположном
направлении. Во всех этих случаях можно
составить уравнения движения колеса и ко¬
лодки. Но лишь эксперимент способен ука¬
зать, какая из возможностей реализуется в
действительности.
Изложенное выше не исчерпывает весь
парадокс, связанный с движением рассмот¬
ренной системы тел. Самое неожиданное
произойдет тогда, когда попытаемся повер¬
нуть колодку против часовой стрелки силой
F и одновременно раскрутить колесо в том
же направлении парой сил с моментом М
(рис. 15.11). Оказывается, что при выполне¬
нии условия I — \xd < 0 раскручивание колеса
парой сил с достаточно большим моментом
М будет препятствовать отрыву тормозной
колодки от колеса. Причина этого — дейст¬
вие силы трения скольжения.
Рис. 15.11. Поворот колодки
против часовой стрелки силой
F с одновременной раскруткой
колеса в том же направлении
парой сил с моментом М
17-3840
257
§ 15.5. ГИРОСКОП
Гироскопом или волчком называется
быстро вращающееся твердое тело, ось
которого может изменять свое положе¬
ние в пространстве. Под действием
внешних сил гироскоп может совер¬
шать удивительные движения, кажу¬
щиеся на первый взгляд совершенно
неожиданными. Явления, обусловлен¬
ные быстрым вращением гироскопа,
называют гироскопическими. Они нашли
самое широкое применение в технике.
Чтобы ось гироскопа могла повора¬
чиваться в пространстве, используется
_ устройство, называемое кардановым
Рис. 15.12. Карданов вал подвесом (рис. 15.12). Карданов подвес
состоит из двух колец, внешнее из ко¬
торых может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси, прохо¬
дящей через неподвижные подшипники подставки, и внутреннее — во¬
круг горизонтальной оси, проходящей через подшипники на концах
диаметра наружного кольца. Маховик гироскопа закрепляется на оси,
которая может вращаться почти без трения в подшипниках, укреплен¬
ных на концах диаметра внутреннего кольца. Две последние оси распо¬
ложены в плоскости внутреннего кольца перпендикулярно друг другу.
Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром кардано-
ва подвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы
и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра под¬
веса. Если центр карданова подвеса совпадает с центром масс гироско¬
па, то гироскоп называется уравновешенным.
Если привести гироскоп в кардановом подвесе в быстрое вращение,
то при любом повороте подставки ось его вращения сохраняет неизмен¬
ным свое направление в инерциальной системе отсчета. Гироскоп как
бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление
его момента импульса.
Если взять гироскоп конусообразной формы, в который может
ввинчиваться стержень, выполняющий роль оси вращения, и добиться
того, чтобы точка опоры совпадала с центром масс гироскопа, то при
любом наклоне его фигуры гироскоп будет находиться в безразличном
равновесии (рис. 15.13). Приведем гироскоп в быстрое вращение вокруг
его оси. Если палкой нанести сильный удар по стержню, то направле¬
ние стержня в пространстве (его наклон к вертикали) почти не изме¬
нится. Стержень начнет лишь совершать свободную регулярную пре¬
цессию, т. е. вращаться по поверхности конуса малого угла раствора,
причем осью конуса будет служить направление момента импульса ги¬
роскопа, которое он примет при нанесении улара.
Гироскоп может совершать вынужденную прецессию. Подвесив ве¬
лосипедное колесо за конец его оси и приведя его в быстрое вращение,
258
Ш///Ш
L
Рис. 15.13. Безразличное равно¬
весие гироскопа. Точка опоры
совпадает с его центром
Рис. 15.14. Быстрое вращение подвешенного за
один конец оси велосипедного колеса вокруг го¬
ризонтальной оси
придадим его оси горизонтальное положение (рис. 15.14). Колесо не
опускается вниз под воздействием собственного веса, а нрецессирует
вокруг вертикальной оси.
Теория гироскопа основана на последовательном использовании
уравнения моментов и является весьма сложной. Основные закономер¬
ности его механического движения можно понять, рассматривая более
простые случаи движения вращающихся волчков.
Рассмотрим влияние внешних сил на вращающееся твердое тело и
выясним, какие силы нужно приложить к быстро вращающемуся телу,
чтобы изменить направление оси его вращения. Пусть колесо вращает¬
ся вокруг своей оси, направленной вдоль оси z (рис. 15.15). Предполо¬
жим, что ось вращения поворачивается в плоскости xz по направлению
к оси х. Такой поворот соответствует добавочному вращению колеса во¬
круг оси у. Угловую скорость этого вращения со будем считать малой по
сравнению с угловой скоростью Q0 вращения колеса вокруг своей оси:
о << Q0. Тогда приближенно можно считать, что момент импульса ко¬
леса L, равный до приложения поворачивающих ось сил величине
L0 = /£20 (где I — главный момент инерции колеса относительно его
оси) и направленный по оси z, как и вектор £20, не изменяя своего моду¬
ля будет поворачиваться в плоскости xz по направлению к оси х. В этом
случае
где с/ф = <i)dt — угол поворота оси колеса за время dt.
Таким образом, модуль скорости изменения момента импульса ко¬
леса пропорционален моменту импульса и угловой скорости его пово¬
рота:
dL = Ludcp = L0(x)dt,
(15.33)
17*
259
Рис. 15.15. Изменение оси вращения бы¬
стро вращающегося твердого тела под
влиянием внешней силы F
Рис. 15.16. Простейший гироскоп: сим¬
метрический волчок с закрепленной точ¬
кой С на оси волчка:
L(j — собственный момент импульса гироскопа
(15.34)
а само изменение момента импульса, как видно из рис. 15.15, направле¬
но в плоскости xz. Поэтому справедливо равенство:
С другой стороны, скорость изменения момента импульса L равна сум¬
ме моментов внешних сил М, действующих на тело. Поэтому можно
написать:
Это соотношение, справедливое при выполнении условия ш << й0, по¬
зволяет определить момент сил М, которые следует приложить к быстро
вращающемуся колесу для того, чтобы вызвать описанное медленное
вращение его оси. Чтобы вызываемое силами движение колеса своди¬
лось только к его повороту, равнодействующая этих сил должна быть
равна нулю. Поэтому можно считать, что вращение оси колеса вызыва¬
ется парой сил с моментом, равным h х F, где h — расстояние между ли¬
ниями действия антипараллельных сил F:
В рассматриваемом случае эти силы направлены вдоль оси у. Таким об¬
разом, для поворота оси быстро вращающегося колеса в плоскости xz
действующие силы должны быть направлены вдоль оси у, т. е. перпен¬
дикулярно направлению движения оси. Это свойство вращающихся тел
лежит в основе объяснения гироскопических эффектов.
Простейшим гироскопом является симметрический волчок с закре¬
пленной точкой С на оси волчка (рис. 15.16). Рассмотрим движение та¬
кого гироскопа, предполагая, что собственный момент импульса гиро¬
dg- = [о х L о |.
(15.35)
М = [<о х L 0 ].
(15.36)
[hx F] =[шх £20].
(15.37)
260
скопа Lw направлен вдоль его оси. Если бы сила тяжести mg
отсутствовала, то момент L0 сохранялся бы, и вместе с ним сохранялось
бы направление оси волчка. Но сила тяжести стремится опустить центр
масс, т. е. повернуть ось вращения гироскопа вниз. Ось при этом пово¬
рачивается, однако, не вниз, а в направлении, перпендикулярном вер¬
тикальному. Благодаря этому волчок (при достаточно большой скоро¬
сти Q0 вращения вокруг своей оси) не падает, а совершает наряду с
собственным вращением прецессионное вращение вокруг вертикально¬
го направления.
Предположим, что кинетическая энергия собственного вращения
волчка j/ Qg значительно превосходит его потенциальную энергию в
поле силы тяжести mglcosQ, где / — расстояние ОС между центром масс
и закрепленной точкой гироскопа; 0 — угол между его осью и вертика¬
лью. В этом случае угловая скорость вращения гироскопа с учетом воз¬
мущающего действия силы тяжести будет мало отличаться от Q0, поэто¬
му механическую энергию гироскопа можно приближенно записать в
виде
Из сохранения Е следует, что 0 = const.
Ось волчка, прецессируя вокруг вертикального направления, будет
описывать круговой конус. Угловая скорость прецессии со будет много
меньше Q0: со << Q0. Момент импульса волчка L, не меняя своего моду¬
ля будет прецессировать вместе с осью волчка с той же угловой ско¬
ростью со. Скорость его изменения L, определяемая соотношением
(15.35), равна моменту М силы тяжести mg относительно т. С, который
можно записать в виде
Е = £2q +mgl cos0.
(15.38)
M=f^lL0xg] = -M[gxL0].
^1) *-0
(15.39)
Итак, сравнивая уравнения (15.35) и (15.39), получаем
|(oxL0] = -f%xL0].
М)
(15.40)
Отсюда имеем для угловой скорости прецессии оси волчка со:
(15.41)
Видно, что выражение (15.41) соответствует сформулированному
выше условию, что при со << Q0 потенциальная энергия волчка в поле
тяжести мала по сравнению с энергией его вращения вокруг своей оси:
Точная теория симметрического гироскопа учитывает различие на¬
правлений мгновенной оси вращения, оси фигуры и момента импульса
гироскопа относительно его точки опоры. Она справедлива при любых
соотношениях между угловыми скоростями, с которыми гироскоп вра¬
щается вокруг своей оси и перпендикулярной к ней оси. Необходимость
создания такой теории диктуется многочисленными эксперименталь¬
ными фактами о поведении гироскопа, которые не получают объясне¬
ния в рамках изложенной выше приближенной теории. К таким фактам
относится, например, то обстоятельство, что прецессия волчка вокруг
вертикального направления не является регулярной. На прецессионное
движение вершины гироскопа накладываются мелкие вращения и дро¬
жания. Они называются нутациями. В результате наложения нутаций на
прецессионное движение вершина гироскопа описывает траектории
петлеобразного, циклоидального или синусоидального типа. Вид траек¬
тории зависит от начальной скорости, сообщенной оси фигуры гиро¬
скопа. Если наклоненную ось фигуры волчка отпустить без начального
толчка, то сначала ось начнет наклоняться вниз и только затем появит¬
ся прецессионное движение. Если подталкивать прецессирующий под
действием силы тяжести гироскоп, действуя против направления пре¬
цессионного вращения, то ось начнет опускаться. Если, наоборот, под¬
талкивать гироскоп в направлении прецессионного вращения, то ось
поднимается.
Описанные экспериментальные факты получают полное объяснение
в точной теории гироскопических явлений. Однако наиболее важные ги¬
роскопические эффекты, которым гироскопы обязаны своими научными
и техническими применениями, проявляются лишь при выполнении ус¬
ловия (15.42) быстрого вращения гироскопа вокруг своей оси.
Задачи к главе 15
Задача 15.1. Твердый шар массой т и радиусом R скатывается по
наклонной плоскости без проскальзывания. Вначале он находится в со¬
стоянии покоя на высоте Н по вертикали. Чему равна скорость шара v у
основания плоскости?
Решение. Полная энергия шара
Е = jtnv2 +jlu!d со2 +mgh
сохраняется. В начальном положении v = 0, со = 0 и А = Я, ау основа¬
ния плоскости h = 0. Приравнивая полную энергию шара в начальном и
конечном положении, получаем
mgH = ±mv2 +J-/UMco2,
причем для шара /цм -~mR2. Поскольку шар скатывается без проскаль¬
зывания, со = v/R. Таким образом, получается уравнение на скорость
262
щН =\mv2,
решение которого
*=№&Н.
Задача 15.2. Обратимся к системе «вращающееся колесо — колод¬
ка», которая описана в § 15.4. Попытаемся повернуть колодку против
часовой стрелки силой F и одновременно раскрутить колесо в том же
направлении парой сил с моментом М, как на рис. 15.11. Исследуйте
поведение системы. При каком значении момента М не может произой¬
ти отрыв колодки от колеса?
Решение. Выпишем уравнения движения (обозначения те же, что
в § 15.4). Если колодка оторвалась от колеса, они принимают вид
1^ = М\ /, ^ = FL, (15.43)
где /, — момент инерции колодки относительно оси О у, со, — ее угловая
скорость. В противном случае, если отрыв не состоялся,
/<|>=М-Ттрг; FL + F.;vl-F;vd=0,
и использовать систему (15.43) нельзя.
Проверим условие сохранения контакта между колесом и колодкой.
Положим FT'p = FTp, N' = N, Frp = p|yVj. Тогда
— FL - N1 - p|JV|d.
Учитываем возможность выбора разных знаков для N. Так, если
N > 0, то
N=-
FL
/-цйГ
если же N < 0, то
N-—
l+lid'
Вопрос в том, что получается при I — \id < 0, ведь оба равенства на N
в этом случае непротиворечивы. Нашей математической модели отвеча¬
ют различные физические реализации. В принципе, давление со сторо¬
ны колеса на колодку может быть направлено только вверх, поэтому ва¬
риант N<0 должен быть исключен. Но в случае, когда колесо и
колодка закреплены в точке контакта, т. е. связь двухсторонняя (но не
препятствующая вращению колеса), оба математических случая — N > О
и N < 0 — возможны.
263
Итак, положим TV > 0. Если колесо уже начало вращаться, то
Fw = чМ ТогДа
F - ^FL
■п> \id-r
Чтобы колесо на рис. 15.11 вращалось против часовой стрелки, рас¬
кручивающий момент пары сил должен превышать критическое значе¬
ние:
Таким образом, при наличии трения скольжения раскручивание ко¬
леса парой сил с большим моментом (М > Мкр) препятствует отрыву
тормозной колодки от колеса! Неожиданный результат, носящий назва¬
ние парадокса Пенлеве, хорошо известный, впрочем, на практике то¬
чильщикам и токарям.
Подобные свойства движения твердых тел при наличии трения
были обнаружены и проанализированы в конце XIX в. французским ме¬
хаником П. Пенлеве, а наиболее полное их исследование провел рус¬
ский ученый Е.А. Болотов.
Задачи доя самостоятельного решения
Задача 15.3. Однородная спица длины /, стоящая на гладкой горизонтальной поверх¬
ности, начинает падать из вертикального положения. Определить скорость верхнего кон¬
ца спицы перед ударом его о поверхность, (v = i/Зgl)
Задача 15.4. На горизонтальной поверхности стоит куб массы т. С какой минималь¬
ной силой и под каким углом а к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он
начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость
равен р? (F = — и а = 0, если р >—; F - 4ц + 1 и tga = -——, если р < —)
2 2 2р р 2
Задача 15.5. Однородный тонкий брусок массой т лежит на горизонтальной плоско¬
сти. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска но перпен¬
дикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и
плоскостью равен р? (F = рт£(л/2~ - ]))
Задача 15.6. Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости
со и положили плашмя на горизонтальный стол. Коэффициент трения между столом и об¬
ручем равен р. Через какое время t обруч остановится? Сколько оборотов N он сделает до
юЛ ж, со 2R,
полной остановки? (Г = и N = )
pg 4ярs
Задача 15.7. Колесо массой т и радиусом R стоит вертикально на полу перед
ступенькой высотой А, меньшей R. Найти минимальную силу в горизонтальном на¬
правлении, которую нужно приложить к оси колеса, чтобы оно вкатилось на ступеньку.
(F mg-Jh(2 R- А)
min “ R-h
Задача 15.8. Твердый шар массой т и радиусом R катится по плоской поверхности с
начальной скоростью v0 и, пройдя путь з, останавливается. Найти момент силы трения
ImvlR
тр' ' Юз }
264
Задача 15.9. Твердый цилиндр массой т скатывается без скольжения по наклонной
плоскости длиной Л, наклоненной к горизонту под углом а. Трения нет. Найти скорость
центра масс цилиндра в нижней части плоскости, (v = 2-^/3gL sin а)
Задача 15.10. Бобина большого диаметра с тросом, намотанным на нес, лежит на зем¬
ле. Конец троса находится на верхнем крае бобины. Человек берется за конец троса и,
держась за него, отходит от бобины на расстояние Л. Бобина катится за ним без проскаль¬
зывания. Какова длина троса, которая смотается с бобины? (Л/2)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему труднее подняться, держа руки за головой, чем при вытянутых перед собой
руках?
2. Всегда ли условий равновесия твердого тела достаточно для определения сил реак¬
ции опоры?
3. Может ли ось симметрии абсолютно твердого тела не проходить через его центр
инерции?
4. Как практически можно определить направление сил реакции опоры при анализе
условий равновесия?
5. При каких условиях вращение абсолютно твердого тела будет свободным?
6. Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкий шест?
7. При каких условиях направление вектора угловой скорости твердого тела сохраня¬
ется?
8. Как связана устойчивость равновесия твердого тела с его потенциальной энергией?
9. Сколько степеней свободы необходимо ввести для задания положения твердого
тела в пространстве?
10. Что такое мгновенная ось вращения? Покажите на примерах, что положение
мгновенной оси вращения изменяется как в пространстве, так и относительно самою
твердого тела.
11. По наклонной плоскости скатываются шар, цилиндр и обруч, имеющие одинако
вые диаметры. Какое тело прибудет к основанию раньше?
12. Начав вращение с расставленными в стороны руками, а затем резко прижав их к
туловищу, фигурист значительно изменяет величину своей угловой скорости. Почему?
13. Представим, что все население Земли мигрировало на экватор. Как это сказалось
бы на продолжительности суток?
14. Объясните, почему под действием опрокидывающей его силы волчок не опроки¬
дывается, а совершает прецессию.
15. Зависит ли скорость прецессии от угла наклона волчка?
16. Опишите, какие типы движения абсолютно твердого тела возможны во внешнем
однородном гравитационном поле.
Описание программного обеспечения по теме
«Механика твердого тела»
Физика в анимациях
(Компания «Силтек», Россия)
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/ME/2000;
• ПЭВМ типа IBM PC 386SX;
• 4МВ ОЗУ;
• подключение к Интернету;
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
265
2. Назначение программы и ее возможности
Программный продукт «Физика в анимациях» компании «Силтек» предоставляет
возможность наглядно продемонстрировать различные физические процессы и явления.
Коллекция примеров по механике расположена на сайте:
http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/CyriIlic/mech.htm
В числе примеров: закон сохранения импульса, центральные и нецентральные столк¬
новения шаров, эксперимент Резерфорда по рассеянию частиц.
Для нашего раздела особый интерес представляет материал, посвященный вынуж¬
денной прецессии гироскопа
Пример содержит подробное теоретическое введение со ссылками на литературу, ви¬
деофильм и анимационный ролик.
РАЗДЕЛ VI. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Глава 16. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В СПЛОШНОЙ
СРЕДЕ
§ 16.1. МОДЕЛЬ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. СИЛЫ УПРУГОСТИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Модель сплошной среды соответствует предположению о бесконечно
большом числе материальных точек, входящих в состав рассматривае¬
мой системы. В механике сплошной среды отвлекаются от атомно¬
молекулярной структуры вещества, рассматривая его как непрерывную
среду, которая может находиться в твердом, жидком или газообразном
состоянии.
Все реальные тела деформируются, т. е. под действием приложен¬
ных сил они меняют свою форму и объем. Такие изменения называются
деформациями. Возникающие в сплошной среде при ее деформации
силы называются силами упругости. В отличие от сил трения скольже¬
ния, возникающих при относительном движении тел, силы упругости
определяются только взаимным расположением взаимодействующих
тел или частей одного тела и возникают только при их деформации.
В случае твердых тел различают два предельных случая деформа¬
ций — упругие и пластические. Упругими называются деформации, ис¬
чезающие после прекращения действия приложенных сил за достаточно
короткий промежуток времени. Малость промежутка времени опреде¬
ляется соотношением импульсов сил упругости и остальных действую¬
щих сил. Для упругих деформаций характерно существование однознач¬
ной связи между величиной деформации и вызывающей ее силой.
Деформации, не исчезающие после прекращения действия сил, называ¬
ются пластическими, или остаточными.
Опыт показывает, что характер деформации зависит не только от
свойств среды, но и от величины приложенных сил. Если напряжение,
т. е. сила, отнесенная к единице площади, не превосходит определенно¬
го значения, называемого пределом упругости, то деформация будет уп¬
ругой. В противном случае она становится пластической. Предел упру¬
гости имеет различные значения для разных материалов. Строго говоря,
все деформации являются пластическими, так как полностью никогда
не исчезают. Однако в ряде случаев эти остаточные деформации бывают
пренебрежимо малы, что и оправдывает указанное деление.
Почти у всех твердых тел при малых упругих деформациях ее вели¬
чина пропорциональна вызывающей деформацию силе. Это утвержде¬
ние называется законом Гука. Закон Гука справедлив для различных ви¬
дов упругой деформации — растяжения или сжатия, сдвига, кручения,
изгиба. Деформация растяжения или сжатия характеризуется абсолют¬
267
ным удлинением А/ = |/ — /0|, где /0 — длина стержня в недеформирован-
ном состоянии, и относительным удлинением е = Л///0.
Величина упругой силы, возникающей при удлинении или сжатии
стержня, пропорциональна удлинению:
F=kAI, (16.1)
где к — коэффициент жесткости, зависящий как от упругих свойств
материала, так и от размеров деформируемого стержня.
Можно ввести постоянные, характеризующие упругие свойства ма¬
териала и не зависящие от размеров тела. Для изотропного материала,
свойства которого одинаковы по всем направлениям, существуют две
независимые характеристики упругих свойств — модуль Юнга и коэф¬
фициент Пуассона. Рассмотрим эти величины на примере деформации
растяжения.
Опыт показывает, что под действием заданной силы удлинение ДI
пропорционально первоначальной длине /0 и обратно пропорционально
площади S поперечного сечения. Поэтому можно представить относи¬
тельное удлинение е = А///„ в соответствии с выражением (16.1) в виде
е (16.2)
Коэффициент 1 /Е не зависит от размеров стержня и определяется
исключительно свойствами материала.
Величина Е называется модулем Юнга. Из формулы (16.2) следует, что
модуль Юнга равен тому механическому напряжению р = F/S, при кото¬
ром относительное удлинение равно единице. Следует отметить, однако,
что при таких напряжениях деформация уже не является упругой. Значе¬
ние модуля Юнга для стали, например, составляет F= 2,2 10м Н/м2, что
превышает не только предел упругости, но и предел прочности, при ко¬
тором происходит разрыв растягиваемого стержня.
Жесткость упругого стержня к может быть выражена через его раз¬
меры и модуль Юнга материала, из которого он изготовлен.
С помощью выражений (16.1) и (16.2) находим
к =§-Е. (16.3)
*0
Как показывает опыт, при растяжении стержня уменьшаются его
поперечные размеры. Это уменьшение можно характеризовать относи¬
тельным поперечным сжатием Дd/d0, где d0 — поперечный линейный
размер недеформированного стержня. Отношение Относительного по¬
перечного сжатия стержня к его относительному удлинению при упру¬
гой деформации не зависит ни от приложенного напряжения, ни от
размеров стержня. Это отношение называется коэффициентом Пуассо¬
на. Для многих веществ значение коэффициента Пуассона близко к 0,3.
Упругое тело можно подвергнуть не только растяжению или сжатию
в одном определенном направлении, но и всестороннему (гидростати-
268
Рис. 16.1. Деформация изгиба балки, лежащей на двух опорах
ческому) сжатию. При таком сжатии относительное уменьшение его
объема пропорционально вызывающему это сжатие давлению р.
f-=£. (16.4)
Коэффициент а не зависит от формы и размеров тела и называется
модулем всестороннего сжатия. Он связан с модулем Юнга Е и коэффи¬
циентом Пуассона ц соотношением
а =—Е—. (16.5)
3(1—2р.) v ’
Аналогично могут быть рассмотрены малые деформации других ви¬
дов. Например, при деформации изгиба балки, лежащей на двух опорах
(рис. 16.1), ее прогиб пропорционален приложенной силе. Коэффици¬
ент пропорциональности выражается через модуль Юнга материала бал¬
ки, так как при изгибе верхняя сторона балки испытывает деформацию
растяжения, а нижняя — сжатия. Эта деформация является неоднород¬
ной, поскольку разные части балки деформированы в различной степе¬
ни. В связи с этим коэффициент пропорциональности между прогибом
и силой зависит не только от размеров балки, но и от формы ее попе¬
речного сечения. В частности, жесткость трубки или двутавровой балки
на изгиб оказывается почти такой же, как и у бруска таких же габари¬
тов, хотя ее масса значительно меньше. Это обстоятельство использует¬
ся природой в трубчатом строении костей позвоночных.
При больших деформациях связь между деформациями и вызываю¬
щими их силами перестает быть линейной. В этом случае связь напря¬
жения р = F/S и относительной деформации е, даваемая в линейном
приближении соотношением (16.2), может быть записана в виде разло¬
жения по степеням е:
р — Ег + As2 + Be3 + ... , (16.6)
где коэффициенты А, В, ... , так же как и Е, зависит только от материа¬
ла стержня и его физического состояния (например, от температуры).
269
Наличие соотношения (16.6) означает, что закон Гука и все выполнен¬
ные на его основе расчеты верны с относительной ошибкой порядка е.
Это означает, что во всех расчетах следует отбрасывать слагаемые,
имеющие порядок с, е2 и т. д. по сравнению с основными членами. На¬
пример, саму относительную деформацию е можно определить как А///,
а не как Л///0. Действительно, разность между этими величинами есть
т. е. является величиной порядка е2, а потому ею следует пренебречь.
Когда упругая деформация переходит в пластическую, связь между р
и е вообще становится неоднозначной.
Деформированное тело обладает потенциальной энергией, посколь¬
ку само способно совершать работу. Энергия упругой деформации рав¬
на работе сил, совершенной при деформации тела при условии, что не
происходит изменения кинетической энергии тела как целого. Это оз¬
начает, что деформация должна совершаться квазистатически, когда в
любой момент времени каждая часть деформируемого тела практически
находится в состоянии равновесия под действием приложенных внеш¬
них сил и возникающих при деформации сил упругости.
Значение потенциальной энергии Еа упругой деформации стержня в
соответствии с рассмотренным в § 5.3 дается выражением
где V= Sln — объем недеформированного стержня.
Произведение е2Е/2 имеет смысл объемной плотности энергии де¬
формации:
Силы упругости играют важную роль в механике, определяя фигу¬
рирующие во многих задачах силы реакции опор и связей. Одна из наи¬
более важных особенностей упругих сил заключается в том, что очень
часто они являются причиной возникновения механических колебаний.
При упругой деформации возникающие силы всегда стремятся вернуть
тело в состояние равновесия. Благодаря инерции тело (или его части)
проскакивает положение равновесия, при этом возникает деформация
противоположного знака и весь процесс повторяется.
§ 16.2. СИЛЫ УПРУГОСТИ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ. ДАВЛЕНИЕ
Предметом изучения в гидростатике являются равновесие жидкости
и воздействие покоящейся жидкости на погруженные в нее тела. Жид¬
кости обладают сравнительно малой сжимаемостью, поэтому практиче¬
ски сохраняют неизменным свой объем, но не сохраняют своей формы.
(16.7)
Е„ _ z2E
у ~ 2 '
(16.8)
270
Медленное изменение формы жидкости без изменения ее объема может
происходить под действием сколько угодно малой силы. В поле тяжести
жидкость не обладает собственной формой, а принимает форму сосуда,
в который она помещается. Поверхность покоящейся жидкости перпен¬
дикулярна направлению силы тяжести независимо от формы сосуда.
В сообщающихся сосудах однородная по плотности жидкость устанав¬
ливается на одном уровне (рис. 16.2).
Давление р в неподвижной жидкости определяется отношением мо¬
дуля силы F, действующей перпендикулярно выделенной площадке, к
ее площади S:
При измерении давления чувствительный элемент манометра, вос¬
принимающий давление, должен оставаться неподвижным относитель¬
но жидкости.
Определенное соотношением (16.9) давление в жидкости — скаляр¬
ная величина. Опыт показывает, что давление в данном месте жидкости
не зависит от пространственной ориентации выделенной площадки.
Согласно закону Паскаля, оказываемое внешними силами давление пе¬
редается жидкостью одинаково по всем направлениям. На законе Пас¬
каля основано действие многих гидравлических устройств — прессов,
тормозных систем автомобиля, гидроприводов, гидроусилителей и т. п.
Во всех таких устройствах небольшая сила Fu приложенная к порш¬
ню малой площади, трансформируется в большую силу F2, действую¬
щую на большой поршень. В соответствии с (16.9) и с законом Паскаля
В жидкости, находящейся в поле тяжести, давление увеличивается с
глубиной погружения. Для несжимаемой жидкости, где плотность р по¬
стоянна, справедливо выражение (рис. 16.3)
(16.9)
(16.10)
Pi =Р\
+ рgh.
(16.11)
Рг ~Р\ + Р&Ь
Рис. 16.2. Сообщающиеся сосуды
V777777777777777777777777777,
Рис. 16.4. Гидростатический парадокс
(сила давления на дно одинакова во всех трех случаях)
Для сжимаемой жидкости или газа зависимость давления от глуби¬
ны погружения дается выражением
"2
Рг =Р\ +g\p(h)dh.
(16.12)
Суммарное давление р в жидкости складывается из давления р0,
производимого внешними силами на поверхность жидкости, и давления
И
pgh (или gjp(h')dh'), обусловленного весом столба жидкости. Это пол-
о
ное давление называется гидростатическим.
В поле тяжести сила весового давления жидкости на дно сосуда,
равная pghS (рис. 16.4), может не совпадать с весом налитой жидкости.
В расширяющихся кверху сосудах сила давления меньше веса жидкости,
в сужающихся — больше. В этом заключается так называемый гидроста¬
тический парадокс, который объясняется тем, что сила давления жид¬
кости на наклонные стенки сосуда имеет вертикальную составляющую,
направленную вниз в расширяющемся сосуде и вверх — в сужающемся.
Наличие обусловленного полем тяжести градиента гидростатическо¬
го давления приводит к существованию статической подъемной силы,
действующей на погруженное в жидкость тело. Значение выталкиваю¬
щей силы устанавливается законом Архимеда: эта сила направлена про¬
тивоположно вектору g, ее модуль равен весу жидкости, объем которой
совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела, а точка при¬
ложения этой силы совпадает с центром инерции жидкости, форма ко¬
торой совпадает с формой погруженной части тела.
В справедливости закона Архимеда можно убедиться с помощью
следующего рассуждения. Выделим в покоящейся жидкости объем про¬
извольной формы. В состоянии равновесия действующая на жидкость в
выделенном объеме сила тяжести mg уравновешивается силами гидро¬
статического давления, действующими на поверхность выделенного
объема со стороны окружающей жидкости (рис. 16.5), равнодействую¬
щая которых равна -mg. Сила тяжести mg, как и уравновешивающая ее
подъемная сила Архимеда = —mg, приложены в центре масс О выде¬
ленного объема.
Если теперь заменить выделенный объем жидкости твердым те¬
лом той же формы, то действующие на поверхность тела силы гидро-
272
"»g=FT
g
Рис. 16.6. Устойчивость плавания
корабля в вертикальном положении
Рис. 16.5. Закон Архимеда
статического давления окружающей жидкости не изменятся и, следо¬
вательно, не изменится их равнодействующая, которая по-прежнему
будет равна по модулю весу выделенного объема жидкости и направле¬
на вверх. Не изменится и положение точки приложения этой силы,
которое не зависит от того, где расположен центр инерции погружен¬
ного тела.
Если средняя плотность тела меньше плотности жидкости, то часть
погруженного в жидкость тела выступает над ее поверхностью — тело
плавает. Выступающее из воды тело плавает устойчиво: при случайных
погружениях чуть глубже оно немедленно всплывает обратно. В практи¬
ке большое значение имеет вопрос об остойчивости плавания, т. е. спо¬
собности тела вернуться в исходное положение после случайного крена.
Остойчивость определяется положением метацентра плавающего тела,
например корабля (рис. 16.6).
Пусть корабль накренило на один борт на угол а от вертикального
положения. Тогда центр инерции жидкости, соответствующей погру¬
женной части корабля, находится в некоторой т. В, смещенной из плос¬
кости симметрии корабля NN в ту же сторону, куда накренился ко¬
рабль. Линия действия выталкивающей силы — это вертикаль,
проходящая через т. В. Точка пересечения С этой вертикали с плоско¬
стью симметрии корабля называется метацентром.
Из рис. 16.6 видно, что момент выталкивающей силы относительно
центра инерции корабля стремится возвратить корабль в вертикальное
положение, если метацентр лежит выше центра инерции корабля О.
В этом случае корабль обладает остойчивостью — он выравнивается по¬
сле крена. Если метацентр окажется ниже центра масс корабля, то ко¬
рабль опрокинется. У каждого корабля существует свой предельный
угол допустимого крена, и только специально спроектированные герме¬
тичные спасательные катера возвращаются в вертикальное положение
из любого крена и даже после опрокидывания.
Большой интерес представляет вопрос и об устойчивости плавания
тела в том случае, когда оно целиком погружено в жидкость и находит¬
ся при этом в состоянии равновесия. Если бы тело, как и жидкость,
18-3840 273
было абсолютно несжимаемым, или сжимаемости тела и жидкости
были одинаковыми, то это равновесие было бы безразличным, и тело
находилось бы в равновесии при любой глубине погружения. Однако у
реальных твердых тел сжимаемость, как правило, меньше сжимаемости
жидкостей. Сплошные тела из таких материалов при равенстве их плот¬
ности и плотности жидкости должны были бы устойчиво плавать в по¬
груженном состоянии на некоторой глубине. Случайное отклонение от
положения равновесия вверх или вниз сопровождалось бы появлением
силы, возвращающей тело к положению равновесия. Практически, од¬
нако, так никогда не бывает, поскольку совпадение плотности жидко¬
сти и плотности материала твердого тела почти исключено.
Средняя плотность твердого тела тем не менее может быть сделана
равной плотности жидкости — именно гак обстоит дело у подводной
лодки в погруженном состоянии. Может ли такая лодка устойчиво
плавать, т. е. зависнуть с выключенными двигателями на некоторой
глубине? Оказывается, что это невозможно. Если на некоторой глуби¬
не средняя плотность лодки равна плотности воды, то при случайном
погружении чуть глубже средняя плотность лодки станет больше плот¬
ности воды и она начнет проваливаться вниз. Наоборот, при случай¬
ном подвсплытии средняя плотность лодки станет меньше плотности
воды, и она будет продолжать всплывать. Так происходит потому, что
сжимаемость лодки определяется не столько сжимаемостью металла,
из которого она сделана, сколько жесткостью ее конструкции, и прак¬
тически всегда оказывается существенно больше сжимаемости воды.
Подводная лодка может устойчиво плавать в
погруженном состоянии только с выставлен¬
ным из воды перископом, находясь вблизи по¬
верхности воды.
В отличие от подводной лодки дирижабль с
жесткой оболочкой может устойчиво висеть в
неподвижном воздухе. Вследствие жесткости
оболочки, сделанной из металла, средняя плот¬
ность дирижабля при изменении внешнего дав¬
ления воздуха остается практически неизменной.
Поэтому при случайном изменении высоты за¬
висания, например при ее уменьшении, подъем¬
ная сила возрастает, так как плотность наружно¬
го воздуха при этом увеличивается.
Изображенный на рис. 16.7 опыт иллюс¬
трирует условия плавания тел в погруженном
состоянии. В цилиндрическом сосуде с водой
плавает перевернутая отверстием вниз пробир¬
ка, частично заполненная воздухом. Количество
воздуха подбирается таким образом, чтобы из
//////////////. воды чуть высовывалось донышко пробирки.
Рис 16 7 Плавание Отверстие цилиндрического сосуда закрывается
тела в погруженном прочной тонкой резиновой пленкой. При на-
состоянии жатии пальцем на пленку давление воздуха над
274
поверхностью воды в цилиндре возрастает и воздух в пробирке сжима¬
ется. В результате пробирка тонет. Так происходит потому, что давле¬
ние воздуха в пробирке определяется давлением в воде цилиндрическо¬
го сосуда на глубине, совпадающей с уровнем воды в пробирке. На
пробирку в вертикальном направлении кроме силы тяжести действует
вниз сила давления воды на донышко пробирки и вверх сила давления
воздуха в ней. Векторная сумма этих сил равна нулю, когда пробирка
находится в равновесии. Направленная вверх векторная сумма сил дав¬
ления воздуха и воды определяется разностью давлений в жидкости на
глубине, совпадающей с уровнем воды в пробирке, и на глубине, совпа¬
дающей с положением донышка пробирки. При сжатии воздуха в про¬
бирке модуль этой суммы убывает и сила тяжести оказывается неурав¬
новешенной.
Если отпустить пленку, то давление примет первоначальное значе¬
ние и пробирка всплывет. Когда пробирка находится на некоторой глу¬
бине, можно, изменяя нажатие на пленку, добиться, чтобы пробирка
застыла не некоторой глубине. Но равновесие пробирки, как и в случае
подводной лодки, будет неустойчивым. Добиться того, чтобы пробирка
оставалась неподвижной на некоторой глубине, можно только динами¬
чески, периодически увеличивая и уменьшая нажатие на пленку. При
этом благодаря инерции пробирки и вязкости жидкости колебания про¬
бирки будут практически незаметными.
Отметим, что этот опыт можно объяснить, рассматривая пробирку и
воздух в ней как одно тело, на которое со стороны воды действует вы¬
талкивающая сила, определяемая с помощью закона Архимеда, хотя в
действительности пробирку поддерживает на плаву сила давления за¬
ключенного в ней воздуха. При таком подходе объяснение основывает¬
ся на сравнении плотности воды и средней плотности пробирки с воз¬
духом.
§ 16.3. СИЛА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
Целый ряд явлений в гидродинамике связан с поверхностью жидко¬
сти. Здесь будут рассмотрены волны на поверхности воды и приливы. В
некоторых из этих явлений существенную роль играет наличие в жид¬
кости так называемого поверхностного натяже¬
ния, благодаря которому жидкость в отсутствие
силы тяжести или в условиях невесомости при¬
нимает форму шара, обеспечивающую наи¬
меньшую площадь ее поверхности. Поверхно¬
стное натяжение а определяется как сила,
действующая на единицу длины поверхности
жидкости, так что сила F, действующая на про¬
волочный каркас благодаря прилипшей к ней
пленке жидкости (рис. 16.8), есть
F — 2aL.
(16.13)
Рис. 16.8. Определение
поверхностного
натяжения
275
Коэффициент 2 в формуле (16.13) появляется благодаря тому, что
пленка жидкости в каркасе имеет две поверхности.
Физическая природа поверхностного натяжения определяется моле¬
кулярным взаимодействием у поверхности жидкости. Величина натяже¬
ния зависит от типа веществ, образующих поверхность, и от температу¬
ры. Как правило, за редким исключением, повышение температуры
приводит к уменьшению поверхностного натяжения, вплоть до обраще¬
ния в нуль при температуре, когда вещество не может больше существо¬
вать в жидкой фазе.
Благодаря поверхностному натяжению существует поверхностная
потенциальная энергия, изменение которой определяется работой, со¬
вершаемой при увеличении площади поверхности на AS:
Понятие поверхностной энергии было введено Гауссом.
§ 16.4. СИЛА ВЯЗКОСТИ. НЬЮТОНОВСКАЯ И БИНГАМОВСКАЯ
ЖИДКОСТИ
Все перечисленные выше свойства характерны для так называемых
ньютоновских жидкостей, к которым относятся вода, спирт, бензин,
глицерин и др. Однако существуют жидкости, для которых не все ука¬
занные свойства справедливы. Они называются неньютоновскими и об¬
ладают рядом экзотических свойств.
Основная характеристика жидкости, определяющая ее принадлеж¬
ность к тому или иному типу, — это вязкость. Обычно вязкость рас¬
сматривают только при изучении движения жидкости, однако она влия¬
ет также и на свойства покоящейся жидкости.
Для введения количественной характеристики вязкости жидкости
рассмотрим опыт, схематически показанный на рис. 16.9. Жидкость на¬
ходится между двумя твердыми плоскими параллельными пластинами,
причем нижняя пластина закреплена, а верхняя может перемещаться
параллельно нижней с небольшой скоростью. Если к верхней пластине
А Е„ — oAS.
(16.14)
v
F
v= О
Рис. 16.9. Вязкая жидкость между двумя плоскими пластинами
’76
' ипг'ыС51Ть силУ 8 касательном направлении, то она начнет двигаться
°тм й„Г1ГеЛьно неподвижно^ Нижней пластины. При этом слои жидко-
° скользить ДРУГ относительно друга: вблизи нижней пластины
птт^Ь ЖИДК0СТИ будет мала, а вблизи верхней — почти равна скоро-
стины. При движении слоев жидкости друг относительно друга в
жидкости возникают силы внутреннего трения.
_v показывает, что для поддержания равномерного движения
uvir. т*И Пластины к не^ необходимо прикладывать силу F, направлен-
пмгтмДОЛь пластины, значение которой пропорционально скорости
Ны v и ее площади S и обратно пропорционально расстоянию А/
между пластинами:
F= (16.15)
Коэффициент пропорциональности ц называется вязкостью жидко-
с™' Лагодаря прилипанию жидкости к поверхности пластины сила F
ха£а ^еРИзуст внутреннее трение, т. е. трение между проскальзывающи-
М ~ДРУГ относительно друга слоями жидкости, а не между жидкостью и
твердым телом.
Введем понятие напряжения т в жидкости, равного отношению силы
к пощади поверхности верхней пластины S: т = F/S, и перепишем
соотношение (16.15) в виде
т=п£. (16-16)
Скорость равномерного Движения верхней пластины v определяется
Ч^=6л ?е с^шение Ах относительно нижней пластины за время At:
v ' Поэтому формулу (16.16) можно записать в виде
т-т^. (16.17)
Отношение Ах/At равно тангенсу угла Да, на который смещается за
время At выделенная т. А на верхней пластине (рис. 16.10). Для малых
углов тангенс можно заменить самим углом, выраженным в радианной
мере, поэтому вместо (16.17) имеем
т=п^а (16.18)
Величина Act/At называется скоростью сдвига.
Соотношение (16.18), устанавливающее связь между напряжением т
и скоростью сдвига, называется реологическим уравнением, а график за¬
висимости т от скорости сдвига А а/At — реологической кривой.
ньютоновских жидкостей вязкость зависит только от температуры
и Давления, но не зависит от скорости сдвига Aa/At. Их реологическая
кривая — это. прямая, проходящая через начало координат. У неньюто¬
новских жидкостей вязкость зависит от скорости сдвига. Их характер-
277
А'
д/
Рис. 16.10. К выводу реологического
уравнения (16.18)
Рис. 16.11. Характерные реологические
кривые неньютоновских жидкостей:
Кривая 1 соответствует бингамовской жидко¬
сти; tq — критическое напряжение
ные реологические кривые показаны на рис. 16.11. Реологическая кри¬
вая 1 описывается уравнением
Т=Т1р^ + Т
о >
(16.19)
которое называется уравнением Бингама—Шведова.
Коэффициент рр называется пластической вязкостью, а т0 — крити¬
ческим напряжением.
Жидкости, описываемые реологической кривой 1Г называются бин-
гамовскими жидкостями. К ним относятся масляные краски, смолы,
лаки, суспензии типа глинистых паст и некоторые типы болотных почв.
До сих пор до конца не выяснен вопрос, к какому типу жидкостей при¬
надлежит человеческая кровь.
Чтобы понять основную особенность бингамовских жидкостей, пе¬
репишем уравнение (16.19) в виде
^ = (16.20)
Отсюда видно, что при малых напряжениях бингамовские жидкости
не текут. Бингамовская жидкость начинает течь, причем как обычная
ньютоновская жидкость, только когда напряжение превысит критиче¬
ское значение. Пока сдвиговое напряжение меньше т0, бингамовская
жидкость сопротивляется сдвигу как твердое тело. Если в текущей бин¬
гамовской жидкости уменьшить напряжение и сделать его меньше, чем
т0, течение прекратится.
Одно из проявлений отличия свойств бингамовских жидкостей от
ньютоновских в гидростатике заключается в условии плавания тел.
В ньютоновской жидкости плавание выступающего из нее тела устой¬
чиво. Уровень погружения тела в жидкость определяется только соотно¬
шением плотностей и не зависит от вязкости жидкости. В бингамов¬
ской жидкости ситуация иная.
Поднесем к поверхности бингамовской жидкости тело и опустим
его. Если тело достаточно легкое, то возникающие в жидкости напряже¬
ния будут меньше т0, т. е. порога текучести, и жидкость будет вести себя
как твердое тело: предмет может стоять на поверхности жидкости, не
погружаясь в нее. Пусть теперь тело достаточно тяжелое, и оно начнет
278
погружаться. До каких пор будет происходить это погружение? При по¬
гружении тела наступит такой момент, когда сила Архимеда будет толь¬
ко частично компенсировать силу тяжести, но напряжение в жидкости
станет меньше т0. При этом бингамовская жидкость перестанет течь, и
тело остановится раньше, чем архимедова сила достигнет значения, не¬
обходимого для плавания тела в ньютоновской жидкости. Такое состоя¬
ние называется состоянием недоггогружения. По тем же самым причи¬
нам возможно и состояние перепогружения, в котором выталкивающая
сила больше действующей на тело силы тяжести, но оно не всплывает,
поскольку напряжение в жидкости меньше порога текучести.
Указанные особенности бингамовских жидкостей позволяют объяс¬
нить засасывающее действие болотной трясины. Погрузившись в перепо-
груженное состояние, тело уже не всплывет обратно, процесс утопания в
трясине оказывается необратимым. Перепогружаются в болоте именно
живые объекты, поскольку, стремясь выбраться вверх, они давят на опо¬
ру (т. е. трясину) с большей силой. Далее трясина имеет большую лип¬
кость, поэтому попытка оторвать от поверхности руку также приводит к
увеличению силы давления на поверхность. Наконец, наличие большой
вязкости требует дополнительных усилий при попытке вытащить руку и,
кроме того, грязь при движении ноги или руки течет медленно и не успе¬
вает занять пустое пространство под движущейся вверх ногой, где обра¬
зуется область пониженного давления. Это подтверждается характерным
хлюпающим звуком, с которым воздух заполняет оставляемый ногой
след. При вытаскивании ноги из грязи приходится преодолевать не толь¬
ко силы, обусловленные липкостью и вязкостью, но и силы, связанные с
атмосферным давлением. При резких движениях человека, попавшего в
трясину, под перемещающимися в трясине частями тела будут возникать
области пониженного давления, и атмосферное давление будет заталки¬
вать человека в перепогруженное состояние.
Упругость и вязкость являются характерными свойствами твердых и
жидких тел соответственно. Как видно, существуют объекты, одновре¬
менно обладающие и теми, и другими свойствами, они обычно называ¬
ются упруговязкими жидкостями.
Задачи к главе 16
Задача 16.1. На использовании закона Архимеда основан экспери¬
ментальный метод определения средней плотности различных твердых
тел, погруженных в ньютоновскую жидкость, как правило, в воДу. Он
носит название гидростатического взвешивания.
Если вес тела в воздухе равен Р, а погруженного в жидкость с из¬
вестной плотностью р, он равен Ри то плотность тела р дается выраже¬
нием
P=ir=Pi7ф (16‘21)
поскольку (Р — Р^/Pig дает объем тела V.
279
При проведении взвешивания важно, чтобы тело было целиком по¬
гружено в воду.
Описанный метод можно использовать и для определения неизвест¬
ной плотности какой-либо жидкости. Опишите необходимую процедуру
и выведите соответствующие соотношения.
Решение. Если плотность тела р известна, то из формулы (16.21)
имеем
Если плотность твердого тела неизвестна, то оно взвешивается три¬
жды — в воздухе (вес Р), в жидкости с известной плотностью р, (вес Р,)
и в жидкости с неизвестной плотностью р2 (вес Р2). В этом случае, учи¬
тывая, что выталкивающая сила Р—Р2, действующая на тело, погру¬
женное в жидкость с плотностью р2, равна произведению p^g на объем
тела V= (Р — Pi)/p,g, имеем
Для опыта можно использовать любое тело, которое тонет и не рас¬
творяется в обеих жидкостях.
Задача 16.2. Вывести формулу (16.5).
Решение. Рассмотрим малое всестороннее сжатие кубика как су¬
перпозицию одинаковых деформаций сжатия по трем взаимно перпен¬
дикулярным направлениям. Использование принципа суперпозиции за¬
конно в силу линейной зависимости деформации от приложенных сил.
Введем три декартовых оси х, у, z, причем продольное растяжение
происходит вдоль оси х: /х-> 1Х + А1Х. Поперечные сжатия /, -» 1У — А1У и
/г /г — А/г. будем считать одинаковыми. Удобно обозначить через
£,, =^£- относительное продольное расширение, а через ех = —
'X *z
относительное продольное сжатие. Тогда при растяжении объем V= lxlylt
изменяется на величину
Отбрасывая члены порядка е2 и выше, относительное изменение объема
можно представить как
Р—Р2
2 ~р1 р-р/
Ар=(1 + Е||)(1-е±)2-1*Е|| -2ех.
По определению (см. § 16.1) коэффициент Пуассона
так что ех = цЕц и
280
Подставляя это отношение в формулу (16.4) и учитывая, что в на¬
шем случае, согласно уравнению (16.2), (сжатие гидростатическое, т. е.
всестороннее!), получаем окончательно:
а =———.
3(1-2М)
Задачи дм самостоятельного решения
Задача 16.3. Доказать, что модуль Юнга не зависит от геометрической формы стерж¬
ня.
Задача 16.4. Рояльная проволока имеет диаметр d и длину /. Найти силу натяжения
проволоки при ее закреплении в инструменте, если при этом она растягивается на Л/. Мо-
in г /г nd2EAl
дуль Юнга материала Е. (F = )
4/
Задача 16.5. Пленки двух жидкостей разделены планкой длины I. Коэффициенты по¬
верхностного натяжения жидкостей равны соответственно о, и а2. Какая суммарная сила
„„ /г 2(С| - сг2)ч
действует на планку со стороны жидкостей? (F = ———)
Задача 16.6. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть жидкость объема V с
коэффициентом поверхностного растяжения о в пленку толщиной d« Uv? (А = -5—)
d
Задача 16.7. Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три
грани правильного тетраэдра, равна F. Длина ребра тетраэдра равна d. Определите давле-
4F ,
ние жидкости, (р = ■■■■■)
•Sid
Задача 16.8. Шар прикрывает отверстие радиуса г в плоской стенке, разделяющей
жидкости, давление в которых равны ЗР и Р соответственно. Радиус шара больше г. С ка¬
кой силой шар прижимается к отверстию? (F = 2лр-Р)
Задача 16.9. В полусферический колокол, края которого плотно прилегают к поверх¬
ности стола, наливают через небольшое отверстие вверху жидкость. Когда она доходит до
отверстия, то начинает, приподнимая колокол, вытекать из-под него. Плотность жидко¬
сти р, внутренний радиус колокола г. Найти его массу, (т = ург3)
Задача 16.10. С какой силой давит тяжелая тонкая палочка длиной / на дно во¬
доема, если прикрепленный к палочке пустотелый шарик радиусом г погрузился в
жидкость плотности р ровно наполовину? Длина палочки больше глубины водоема.
(F = |лг3р^1+yj)
Задача 16.11. Батискаф состоит из двух одинаковых полуцилиндров радиусами R и
длинами L, погруженных в жидкость плотности р. Погружение горизонтальное, т. е. ось
симметрии цилиндра параллельна поверхности жидкости. Найти зависимость силы, при¬
жимающей две половины друг к другу, от глубины погружения h. (F = jpgL(h + R)2)
Задача 16.12. Цилиндрический сосуд радиуса R, заполненный жидкостью плотно¬
сти р, вращается с угловой скоростью со вокруг своей оси. В сосуде находится шарик ра¬
диуса г и плотности 2р. Найти силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.
(F = ^Kri(R-r^2)
281
Глава 17. ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 17.1. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Динамика движения реальной жидкости очень сложна. До сих пор
не закончено развитие теории турбулентного движения, для которого
характерны нестабильность и хаотичность, с которой происходит сме¬
на скорости элементов жидкости, проходящих через определенную
точку в пространстве. Изучение движения жидкости начнем с про¬
стейшей модели, в которой жидкость считается абсолютно несжимае¬
мой и лишенной внутреннего трения. Такую жидкость называют иде¬
альной.
Как и в случае абсолютно твердого тела, применимость представле¬
ний об абсолютно несжимаемой жидкости определяется условиями, в
которых жидкость находится. Например, при изучении распростране¬
ния звуковых волн в жидкости всегда необходимо учитывать ее сжимае¬
мость, в то время как при изучении движения потоков не только жид¬
кость, но и газ часто можно рассматривать как несжимаемые.
При установившемся течении жидкости ее скорость в определенной
точке пространства остается неизменной. Скорость жидкости может
быть различной в разных точках, но любой элемент жидкости, приходя¬
щий в заданную фиксированную точку пространства, имеет в ней одну
и ту же скорость. Сопоставив каждой точке характерное для нее значе¬
ние скорости, получим картину распределения скоростей в движущейся
жидкости — так называемое поле скоростей (рис. 17.1). Линии, каса¬
тельные к которым во всех точках совпадают с направлениями скорости
жидкости в этих точках, называются линиями тока (рис. 17.2). При уста¬
новившемся стационарном течении жидкости поля скоростей и линий
тока не меняются со временем. Линии тока не пересекаются между со¬
бой. В этом случае линии тока совпадают с траекториями отдельных
элементов жидкости, так как каждая частица жидкости приходит в оп¬
ределенную точку с одной и той же скоростью. Такое движение жидко¬
сти называется ламинарным течением.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой
тока (рис. 17.3). Такая мысленно выделенная в потоке жидкости трубка
тока, подобно жидкости в настоящей трубе, движется, нигде не пересе-
Рис. 17.1. Поле скоростей движущейся
жидкости
Рис. 17.2. Линии тока жидкости
282
Рис. 17.3. Трубка тока движущейся Рис. 17.4. Трубки тока не смешиваются
жидкости друг с другом
кая боковой поверхности трубки и не смешиваясь с жидкостью из дру¬
гих трубок тока (рис. 17.4).
При стационарном течении, когда плотность р не зависит от вре¬
мени, количество жидкости, пересекающее в единицу времени сечение
5,, т. е. втекающей в выделенную часть трубки, равно количеству жид¬
кости, вытекающей через сечение S2 (рйс. 17.5). Внутри выделенной
части трубки нет источников, добавляющих жидкость в поток, и нет
стоков, в которые жидкость могла бы уходить из потока. Если трубка
тока выбрана с достаточно малым поперечным сечением, так чтобы
скорости жидкости во всех точках сечения были одинаковыми, причем
само сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то масса
жидкости dm, протекающей через это сечение за промежуток времени
dt, будет равна
dm=pSvdt. (17.1)
В стационарном ламинарном потоке масса dm одинакова для любо¬
го сечения, выделенного трубкой тока. Поэтому
Pi5|Vi p2iS,2,;2- (17.2)
У несжимаемой жидкости плотность постоянна, и условие (17.2)
принимает вид
5>, = S2vz
(17.3)
Соотношение (17.3) называется уравнением
неразрывности. Величина Sv носит название по¬
тока жидкости J. Его модуль Sv с учетом соот¬
ношений v = dx/dt, dV— Sdx равен
J =Sv =
dV_
dt '
(17.4)
Произведение pJ называется потоком мас¬
сы, который характеризует массу жидкости, пе¬
реносимую в единицу времени через попереч¬
ное сечение трубки тока.
Рис. 17.5. К выводу соот¬
ношения неразрывности
283
§ 17.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Впервые уравнение движения для идеальной жидкости было сфор¬
мулировано Д. Бернулли в 1734 г. Оно эквивалентно закону сохранения
энергии для движущейся жидкости.
Рассмотрим часть жидкости, заключенной между сечениями и .S',
выделенной трубки тока, расположенными на высотах А, и h2 (рис. 17.6).
За промежуток времени dt эта жидкость смещается вдоль трубки тока и
занимает новое положение между сечениями и S'2. Для малого проме¬
жутка времени dt можно пренебречь различием между площадями 5 и S'
старых и новых сечений и различием в их высотах.
Работа, совершаемая внешними силами, действующими на выде¬
ленную жидкость в трубке тока, определяется выражением
dA = PiS^idt — p2S2v2dt, (17.5)
v2 dt
Рис. 17.6. К выводу уравнения Бернулли
284
поскольку силы давления, действующие на боковую поверхность трубки
тока, перпендикулярные перемещению жидкости, работы не соверша¬
ют, а работы сил давления в сечениях 5, и б2 отличаются знаком. С уче¬
том соотношения (17.1) выражение для работы dA можно записать в
виде
dA=bl£±dm, (17.6)
где dm — масса жидкости между сечениями б, и б,' (или S2 и S2).
В силу стационарности движения жидкости ее энергия для части,
заключенной между сечениями б,' и S2, не меняется. Поэтому измене¬
ние энергии рассматриваемой жидкости равно энергии части жидкости
между сечениями S2 и S'2 минус энергия части жидкости между сече¬
ниями б, и б,'. Кинетическая энергия части жидкости между б, и б2 да¬
ется формулой
dEKl = £vfdm, (17.7)
а потенциальная — формулой
dE„t=ghldm. (17.8)
Аналогично записывается энергия жидкости, заключенной между
сечениями б и б". В результате для изменения энергии всей выделенной
части жидкости за время dt имеем
dE^ + ghj-^ + gfi^dm. (17.9)
На основании закона сохранения механической энергии работа
внешних сил (17.6) равна изменению энергии системы (17.9). В резуль¬
тате приходим к равенству
p]+pghl+t^L=p2+pgh2+?f-, (17.10)
которое называется уравнением Бернулли.
Это уравнение выведено для достаточно узкой трубки тока и, строго
говоря, справедливо, когда эта трубка тока сжимается в линию тока.
Это означает, что сумма p + pgh + ^j~ остается неизменной вдоль одной и
той же линии тока.
Каждое слагаемое в приведенном выражении имеет размерность
объемной плотности энергии: слагаемое Щ- соответствует объемной
плотности кинетической энергии движения жидкости как целого, pgh
соответствует плотности потенциальной энергии в поле тяжести, а сла¬
гаемое р — плотности потенциальной энергии, связанной с давлением в
жидкости. Эта потенциальная энергия аналогична энергии сжатой пру¬
жины. В том, что такая энергия в жидкости действительно существует,
285
легко убедиться, открыв пробку у хорошо взболтанной бутылки пива:
жидкость выплескивается наружу, демонстрируя наличие изрядного ко¬
личества кинетической энергии. Таким образом, потенциальная энер¬
гия присутствует в сжатой жидкости, и изменение давления сопровож¬
дается энергетическими превращениями.
§ 17.3. ДАВЛЕНИЕ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
Как видели ранее, в неподвижной жидкости давление не зависит от
ориентации площадки. В движущейся жидкости это уже не так. Изме¬
ряемое неподвижным манометром давление зависит от ориентации
площадки в потоке. Для стационарного течения идеальной несжимае¬
мой жидкости вопрос может быть проанализирован с помощью уравне¬
ния Бернулли.
Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть
которой, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой стенке
имеется отверстие, параллельное скорости обтекающей трубку жидко¬
сти (рис. 17.7). Такая трубка искажает течение жидкости только вблизи
ее переднего конца, а вблизи отверстия поток практически не меняется.
Соединенный с такой трубкой манометр измеряет давление жидкости р,
входящее в уравнение Бернулли. Такое же давление покажет произволь¬
но ориентированный в потоке жидкости манометр, движущийся вместе
с жидкостью.
Если взять трубку с открытым передним концом, обращенным на¬
встречу потоку (рис. 17.8), то показание соединенного с ней манометра
будет больше. Действительно, линии тока вблизи такой трубки имеют
вид, показанный на рис. 17.8, так как жидкость внутри трубки непод¬
вижна. Обозначим давление в т. А через ръ а давление и скорость вдали
от трубки — через р и v. Применяя к выделенной линии тока уравнение
Бернулли, имеем
Pl=P + BY-. (17.11)
Рис. 17.7. Манометрическая трубка
в потоке
Рис. 17.8. Манометрическая трубка
в потоке с открытым передним концом
трубка Пито
286
Рис. 17.9. Трубка Прандтля
Рис. 17.10. Трубка Вентури для измерения
разности давлений Ар в разных сечениях
трубы
Именно это давление и показывает соединенный с трубкой мано¬
метр. Такая обращенная открытым концом навстречу потоку трубка на¬
зывается трубкой Пито. На рис. 17.9 показана так называемая трубка
Прандтля. Показываемая ею разность давлений Ар связана со скоро¬
стью потока соотношением
Трубка Вентури, показанная на рис. 17.10, измеряет разность давле¬
ний Ар в разных сечениях трубы, которая связана со скоростью v,, в од¬
ном из сечений соотношением
1 Увеличение скорости жидкости в сечении S2 связано с ее несжи¬
маемостью и необходимостью выполнения уравнения неразрывности
(17.3). Увеличение плотности кинетической энергии жидкости про¬
исходит за счет уменьшения плотности потенциальной энергии, свя¬
занной с давлением — давление должно уменьшаться, что и наблюда¬
ется на опыте. Эффект Вентури проявляется при параллельном
движении двух кораблей на небольшом расстоянии друг от друга —
появляется сила, толкающая их друг к другу. Его можно ощутить
даже сидя за рулем легкового автомобиля, проносящегося на боль¬
шой скорости мимо тяжелого грузовика или автобуса, и легко наблю¬
дать, продувая воздух между Двумя свободно вертикально висящими
листами бумаги.
Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из неболь¬
шого отверстия в стенке сосуда определяется с помощью уравнения
Бернулли. Рассматривая любую линию тока, начинающуюся вблизи
свободной поверхности жидкости в сосуде и проходящую через отвер¬
стие, и учитывая, что скорость жидкости вблизи поверхности в широ-
(17.12)
(17.13)
287
г
Рис. 17.11. К выводу формулы
Торричелли
Рис. 17.12. Эффект сжатия вытекающей
струи
ком сосуде пренебрежимо мала, получаем для изображенного на рис.
17.11 случая pgh = jpv2, отсюда
Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде та¬
кая же, как и при свободном падении с высоты к. Соотношение (17.14)
называется формулой Торричелли.
Более интересным и сложным является вопрос о скорости и форме
струи вытекающей жидкости при учете особенностей устройства отвер¬
стия в стенке сосуда. Скорость и форма струи оказываются зависящими
от устройства отверстия. В случае, показанном на рис. 17.11, линии то¬
ка постепенно меняют направление на параллельное оси трубки. В ре¬
зультате сжатие струи почти не происходит и площадь сечения выте¬
кающей струи равна площади сечения трубки. В случае, показанном на
рис. 17.12, струя сжимается очень сильно. Этот эффект можно рассчи¬
тать с помощью закона сохранения импульса.
Всюду вблизи поверхности боковых стенок сосуда скорость движе¬
ния жидкости мала, и давление равно гидростатическому. Силы давле¬
ния жидкости на стенки сосуда взаимно уравновешиваются всюду, за
исключением участка, лежащего точно напротив отверстия и имеющего
ту же площадь S, что и отверстие. Импульс этой неуравновешенной
силы за время dt равен рSv2dt. На основании закона сохранения импуль¬
са точно такой же по модулю импульс должен уноситься за время dt вы¬
текающей жидкостью. Если площадь сечения струи после сжатия есть
5], то импульс, уносимый жидкостью, равен рS\V2dt. Приравнивая эти
значения и считая, что скорость истечения дается выражением (17.14),
получим
Поперечное сечение вытекающей струи оказывается вдвое меньше пло¬
щади отверстия.
Последовательное строгое рассмотрение влияния устройства отвер¬
стия на скорость истечения жидкости дает результаты, показанные на
рис. 17.13, при этом скорость выражается формулой
v=yj2gh.
(17.14)
(17.15)
(17.16)
288
а) б) в)
Рис. 17.13. Влияние устройства отверстия на скорость истечения v
Рис. 17.14. Реакция струи жидкости при течении по изогнутой трубе
постоянного сечения
Закон сохранения импульса позволяет объяснить реакцию жидко¬
сти, которая течет по изогнутой трубе постоянного сечения (рис. 17.14).
При стационарном течении импульс любого элемента жидкости в такой
трубе изменяется только по направлению, оставаясь неизменным по
модулю. Например, в трубе сечения S, изогнутой под прямым углом,
изменение импульса жидкости за время dt равно
где |v,| = |v2| = v.
Действующая на трубу сила, обусловленная движением жидкости,
показана на рис. 17.14. Для ее модуля справедливо
При движении жидкости можно наблюдать явление, называемое
гидравлическим ударом, в случаях, когда внезапно возникает преграда
на пути струи. В непрерывной струе на поставленную поперек стацио¬
нарного потока жидкости площадку действует добавочная сила, равная
произведению на площадь сечения S. Если же неподвижная прегра¬
Др = р, - р, = aSv(v2 - V\)dt,
(17.17)
F^-JlpSv2.
(17.18)
§ 17.4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
19-3840
289
да появляется в потоке внезапно, например почти мгновенно перекры¬
вается кран в водопроводной трубе, то набегающая на нее жидкость вы¬
нуждена затормозиться.
Абсолютно несжимаемая жидкость, движущаяся по трубе, при
мгновенном перекрывании крана остановилась бы вся сразу, что приве¬
ло бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому мо¬
дель абсолютно несжимаемой жидкости здесь не годится. В сжимаемой
жидкости при внезапном появлении преграды за промежуток времени
dt остановится только та часть жидкости в потоке, до которой успеет
дойти волна сжатия, распространяющаяся в жидкости от закрытого
крана навстречу потоку. Если деформациями стенок трубы при повы¬
шении давления можно пренебречь, то волна сжатия распространяется
со скоростью, равной скорости звука и в воде.
Силу F, действующую на заслонку мгновенно перекрытого крана,
можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. Если до пе¬
рекрывания крана вода имела скорость v, то импульс остановившейся
за время dt воды был равен pSuvdt. Поэтому масса остановившейся воды
Ат = pAV= p(Sudt), так что импульс силы Fdt = pSuvdt, откуда для воз¬
никающего при гидравлическом ударе дополнительного давления
Рун =у получаем
АР =Руя = P«v- (17.19)
В силу закона Паскаля такое давление действует не только на за¬
слонку крана, но и на стенки водопроводной трубы. Увеличение давле¬
ния при гидравлическом ударе может во много раз превышать величину
1у-, характеризующую дополнительное давление в потоке жидкости на
постоянно присутствующую неподвижную преграду. Скорость звука в
воде и составляет примерно 1,5 103 м/с. Поэтому в потоке, имеющем
скорость v 10 м/с, давление, развиваемое при гидравлическом ударе,
будет в 300 раз больше давления £у- постоянно действующей струи
воды. Возникшее при мгновенном перекрывании крана дополнительное
давление будет существовать до тех пор, пока распространяющаяся со
скоростью звука волна сжатия не достигнет открытого резервуара, из
которого по трубе течет вода, и от него не придет обратная волна разре¬
жения, снимающая сжатие воды в трубе.
Пусть теперь кран перекрывается не мгновенно, а в течение време¬
ни т. Добавочное давление гидравлического удара теперь возникает не
скачком, а нарастает постепенно. Получающийся результат зависит
от соотношения между временем т и временем распространения волны
сжатия по всей длине магистральной водопроводной трубы. Рассмотрим
сначала бесконечно длинную магистральную трубу, перекрывание кото¬
рой происходит за время т, и допустим для простоты, что площадь от¬
верстия крана уменьшается так, что давление нарастает со временем по
линейному закону (рис. 17.15). К концу промежутка времени т, когда
отверстие в кране окажется полностью перекрытым и скорость воды в
290
Рис. 17.15. Зависимость давления
от времени при гидравлическом ударе
Рис. 17.16. Упрощенная схема
гидротарана
трубе обратится в нуль, давление гидравлического удара достигнет мак¬
симального значения, равного риг, до которого давление подскакивает
мгновенно при т = 0. Тогда в промежутке 0 < t < т давление при гидрав¬
лическом ударе будет меняться со временем по закону
который справедлив, если расход воды за время т через закрываемый
кран будет значительно меньше объема воды в трубе, останавливаю¬
щейся за это же время. Расходом воды, как нетрудно убедиться, можно
пренебречь при v << и.
Выясним, до какого значения будет нарастать давление в трубе ко¬
нечной длины /. С начала перекрывания крана волна сжатия распро¬
страняется против потока жидкости и через время l/и достигнет резер¬
вуара. Здесь давление падает, но жидкость у крана остается сжатой,
пока до нее не дойдет от бака обратная волна, снимающая сжатие воды.
Это происходит спустя время Т— 21/и после начала закрывания крана.
Поэтому при т < Тдавление воды у крана успеет вырасти до максималь¬
ного значения риг, как и в бесконечно длинной трубе. Если т > Т, то,
как следует из (17.20), максимальное давление в трубе при гидравличе¬
ском ударе меньше рuv.
Резкое повышение давления в трубах при быстром закрывании кра¬
на может вызвать разрыв стейок труб. Уменьшать возникающее при
гидравлическом ударе давление можно, либо увеличивая время пере¬
крывания т, либо уменьшая длину трубы /, подверженную ударам. Для
этого к магистральному трубопроводу присоединяют ответвления в виде
водяных колонн.
Гидравлический удар можно использовать для подачи воды на боль¬
шую высоту. Соответствующее устройство называется гидротараном, и
19* 291
PyB.it) = puvt/x
(17.20)
Ал = риг 7/т = 2рг//т.
(17.21)
дает с осью трубы. На ее боковую поверхность действует касательная
сила внутреннего трения:
£//■„ =2nn\%dx. (18.1)
На торцы выделенного цилиндра жидкости действуют силы давле¬
ния, для равнодействующей которых справедливо
dFp = (p(x)-p(x + dx))nr2 = -nr2&dx. (18.2)
При стационарном течении равнодействующая этих сил равна
нулю, поэтому
(18-3)
При стационарном течении левая часть равенства (18.3) не зависит
от х, следовательно, остается постоянной и dp/dx, причем значение этой
производной должно быть равно (р2 - P\)/h где /?, и р2 — давление на
входе и на выходе трубы, а / — ее длина. В результате равенство (18.3)
приводится к виду
(18.4)
При интегрировании этого уравнения учтем, что на стенке трубы
(т. е. при г — R) скорость v обращается в нуль. Поэтому имеем равенство
V г
Вычисление интегралов приводит к выражению
v(r) = ^(R2-r2). (18.6)
На оси трубы (при г = 0) скорость максимальна
v(0)=£4^T/f2- (l8J)
Теперь не представляет труда подсчитать расход жидкости, т. е. ее
количество, ежесекундно протекающее через поперечное сечение тру¬
бы. Объем жидкости dV, ежесекундно протекающей через кольцевую
площадку с радиусами г и г + dr, равен
294
dV= 2пrv(r)dr.
(18.8)
Подставляя сюда значение v(r) из (18.6) и интегрируя по г от 0 до R,
находим
V -Pl)\r{R2 -г2)ёг = ^{рх -Pl)R\ (18.9)
о
Расход жидкости пропорционален изменению давления на единицу
длины трубы, четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален
вязкости жидкости. Соотношение (18.9) называется формулой Пуазейля.
Соотношение (18.9) может быть легко получено из соображений
размерности. Будем искать выражение для расхода жидкости в виде
V- {Apfr\>PR\ (18.10)
поскольку именно разность давлений на концах трубы Ар, ее длина /,
радиус R и вязкость жидкости т] являются параметрами, определяющи¬
ми характер происходящего процесса. Ламинарный характер течения
жидкости позволяет использовать векторные единицы длины — вдоль
трубы (£ц) и поперек нее (LJ. Тогда, очевидно,
[/] = /.„, [R] = L±, lV) = LllL[T-\ [Ар] = ML^L~±T~2, fo] = ML,,1 Г 1.
При записи размерностей Ар и т] учтено, что сила давления на тор¬
цы действует вдоль оси трубы перпендикулярно ее сечению, а вязкость
в соответствии с формулой (18.1), определяет силу внутреннего трения,
параллельную оси трубы. Соответствующее зависимости (18.10) равен¬
ство размерностей имеет вид
=(ML^L^T"2)x(ML^ Т~[)у Ljj L\ . (18.11)
Отсюда сразу видно, что х = —у, иначе не сокращается М. После
этого, сравнивая показатели степени у Т, находим х= 1, у = — 1. Теперь,
сравнивая показатели степени слева и справа у Ц и Lx, получаем г = — 1
и и = 4.
Итак, соотношение (18.10) дает
V=C^R\ (18.12)
При получении соотношения (18.12) методом анализа размерностей
нигде не использовалось предположение, что труба имеет круглое попе¬
речное сечение, поэтому результат справедлив для трубы с постоянным
поперечным сечением любой формы. В случае круглого сечения, как
следует из динамического рассмотрения, С = л/8. При произвольной
форме поперечного сечения величина Л4 заменяется на квадрат площа¬
ди поперечного сечения S1 и соотношение для V записывается в виде
V=C^S2. (18.13)
295
§ 18.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
В практике большое значение имеет выяснение условий движения
твердых тел в жидкости и в газе. Проблемы подобного рода возникают в
кораблестроении и в самолетостроении. Сложность, а иногда и невоз¬
можность решения или даже составления соответствующих динамиче¬
ских уравнений привели к широкому распространению метода натурно¬
го моделирования, когда вместо реальных кораблей или самолетов
испытываются их уменьшенные геометрически подобные модели, а за¬
тем путем пересчета определяется поведение реальных систем.
Соответствующий пересчет осуществляется на основании соображе¬
ний гидродинамического подобия, которое устанавливается с помощью
метода анализа размерностей. Сложность подобных задач определяется
большим числом параметров, от которых зависит картина изучаемого
явления. Прежде всего это характерный размер твердого тела /, скорость
потока жидкости v0, с которой натекающая на тело жидкость движется
вдали от него, плотность жидкости р, ее вязкость г] и ее сжимаемость,
вместо которой используют скорость распространения звука в жидкости
и. В некоторых случаях может играть роль сила тяжести, тогда среди па¬
раметров фигурирует ускорение свободного падения g. Если течение
жидкости не стационарно, то необходимо ввести некоторое характерное
время т, за которое происходит существенное для рассмотрения измене¬
ние течения жидкости.
Отметим, что некоторые из указанных параметров, например р или
г], имеют ясный и четкий смысл. Однако такие параметры, как размер
тела и скорость жидкости v вблизи тела в точке с радиусом-вектором г,
определены не четко. Если, например, размеры тела существенно раз¬
личаются в разных направлениях, то в качестве характерной длины мо¬
гут выбираться несколько параметров, значительно отличающихся друг
от друга.
Благодаря существованию уравнений движения между перечислен¬
ными параметрами v0, v, /, г, р, г|, и, g, х существует определенная функ¬
циональная связь. Из этих параметров без использования векторных
единиц длины можно составить шесть независимых безразмерных пара¬
метров. Это два отношения v0/v и гЦ и четыре безразмерных числа:
Re = ^,
(18.14)
II
'й.И,
(18.15)
н
SJ=
(18.16)
S=^.
(18.17)
Величина Re называется числом Рейнольдса', F — числом Фруда\ М —
числом Маха\ S — числом Струхаля.
296
Обсудим их физический смысл.
Наиболее сложным из всех является число Рейнольдса, которое по
порядку величины есть отношение кинетической энергии жидкости в
объеме порядка Р к ее потере, обусловленной работой сил вязкости на
характерной длине /. Действительно, кинетическая энергия есть величи¬
на порядка рVq/3. Сила вязкости — величина порядка произведения
вязкого напряжения т = r|v0// на характерную площадь S ~ Р. Работа
этой силы на пути / есть ру,,/2. Составляя отношение кинетической
энергии рVgl3 к работе получим величину pv„//r), которая и есть
число Рейнольдса. Таким образом, число Рейнольдса Re характеризует
относительную роль инерции и вязкости жидкости при ее течении. При
больших Re основную роль играет инерция, при малых Re — вязкость.
Число Фруда F по порядку величины определяет отношение кине¬
тической энергии жидкости в объеме порядка Р к ее изменению, обу¬
словленному работой силы тяжести на пути, равном характерной длине
/. Смысл чисел Маха и Струхаля очевиден.
Связь между параметрами, обусловленная уравнениями движения,
может быть записана в виде, при котором один из безразмерных пара¬
метров является функцией остальных, например:
v = vo/|7> Re, F, M,S j (18.18)
При стационарном течении жидкости характерное время т, а с ним
и число Струхаля обращаются в бесконечность. В несжимаемой жидко¬
сти обращается в нуль число Маха. Поэтому при стационарном течении
несжимаемых жидкостей вместо (18.18) имеем
v = v0/^,Re,/-J (18.19)
Течения физически подобны, если они имеют одинаковые числа
Рейнольдса и Фруда. Однако, вообще говоря, критерии подобия Рей¬
нольдса и Фруда несовместимы друг с другом. Действительно, запишем
равенства Re и F для реальной системы (18.1) и ее геометрически по¬
добной модели (18.2):
= 4-=т-- (18-2°)
*11 42 /• / 2
Перемножая почленно эти соотношения, получим
Ik Ех
Т Р2
/ ч
3
ы
ы
.4/2
(18.21)
Видно, что добиться выполнения равенства (18.21) практически
очень трудно, ибо следует применять жидкости с различными плотно¬
297
стями и вязкостями. Поэтому при испытаниях на моделях обычно вы¬
полняется только один критерий подобия — либо Рейнольдса, либо
Фруда. Если, например, Re велико, a F порядка единицы, то движение
жидкости определяется в основном инерцией и тяжестью и слабо зави¬
сит от вязкости — конкретное значение Re не играет роли. Наоборот,
при малых Re и больших F определяющую роль играют инерция и вяз¬
кость, а влияние тяжести незначительно. В первом случае гидродинами¬
ческое подобие будет иметь место при равенстве чисел Фруда, а во вто¬
ром — чисел Рейнольдса.
Реальные жидкости всегда обладают определенной сжимаемостью,
и скорость звука в них имеет конечное значение. Поэтому подобие, ос¬
нованное на равенстве чисел Рейнольдса, становится неосуществимым
при больших скоростях движения, сравнимых со скоростью распростра¬
нения звука. Среди безразмерных параметров важную роль начинает иг¬
рать число Маха, и гидродинамическое подобие требует равенства не
только чисел Рейнольдса, но и чисел Маха.
Как уже отмечалось, при возрастании скорости течения ламинарное
движение жидкости переходит в турбулентное. Скорость, при которой
это происходит, называется критической. В геометрически подобных
системах переход от ламинарного течения к турбулентному происходит
при одних и тех же значениях числа Рейнольдса. Граничное значение
числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения сменяется
турбулентным, называется критическим числом Рейнольдса ReKp. Значе¬
ние ReKp зависит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью. Так, при
течении воды по прямолинейной трубе круглого сечения значение ReKp
меняется от 1100 до 25000, если используется труба с гладкими стенка¬
ми и закругленными краями. Кроме того, труба должна быть присоеди¬
нена к большому баку со спокойной водой. Таким путем удается затяги¬
вать ламинарный режим до столь больших значений ReKp.
Переход ламинарного течения в турбулентное происходит не из-за
изменений действующих сил или внешних условий, а вследствие неус¬
тойчивости ламинарного течения относительно случайных возмущений
движения. Турбулентное течение всегда нестационарно. На регулярное
движение жидкости накладываются нерегулярные колебания и враще¬
ния — пульсации.
Неустойчивость ламинарного течения характерна и для идеальной
жидкости, в которой не могут возникать касательные силы (т. е. силы,
обусловленные внутренним трением). В результате в такой жидкости
оказываются возможными разрывные течения, при которых касатель¬
ные составляющие скорости жидкости терпят разрыв на некоторой по¬
верхности. Например, на некоторой линии обтекаемого тела происхо¬
дит отрыв течения от тела. Такие течения называются тангенциальными
разрывами. В несжимаемой жидкости они неустойчивы. При стацио¬
нарном течении поверхность тангенциального разрыва неподвижна в
пространстве, а давление по обе стороны разрыва одинаково. Пусть
АВ — одна из линий тока (рис. 18.2, а), а на ней в силу случайного воз¬
мущения возник «бугор» (см. рис. 18.2, б). Тогда со стороны I расстоя¬
ния между линиями тока уменьшатся, а скорость жидкости увеличится.
298
Рис. 18.2. Неустойчивость ламинарного течения в несжимаемой жидкости
Рис. 18.3. Последовательные стадии образования вихря
Рис. 18.4. Вихревая дорожка Кармана
Со стороны II все будет наоборот — скорость уменьшится. Согласно
уравнению Бернулли давление со стороны II возрастет, со стороны I
упадет. Под влиянием возникшей разности давлений бугор будет увели¬
чиваться — движение является гидродинамически неустойчивым.
Именно такой неустойчивостью объясняется полоскание флагов на
сильном ветру.
Учет вязкости жидкости существенно усложняет физическую карти¬
ну развития гидродинамических неустойчивостей. Наиболее характер¬
ная черта этой картины заключается в том, что время от времени на
задней части обтекаемого жидкостью тела происходит ее отрыв от
поверхности тела. Получающаяся поверхность разрыва неустойчива и
благодаря вязкости быстро свертывается в вихрь, который уносится те¬
чением. Эти стадии образования вихря видны на рис. 18.3, где представ¬
лены пять последовательных фотографий потока воды, обтекающего
неподвижный цилиндр. В первый момент вокруг цилиндра возникает
ламинарное течение, линии тока которого расходятся перед цилиндром
и смыкаются позади него. Затем за цилиндром образуются два вихря,
которые последовательно уносятся потоком жидкости. Уносимые вихри
сменяются новыми, и все повторяется снова. Такая уносимая потоком
система вихрей называется вихревой дорожкой Кармана. Она показана
на рис. 18.4, где невозмущенная жидкость неподвижна, а цилиндр дви¬
жется справа налево.
Скорость, с которой уносятся вихри, меньше скорости потока, так
как в вихри собираются частицы жидкости, которые затормозились при
обтекании тела. Поэтому импульс, уносимый потоком жидкости вместе
с вихрями, меньше импульса, который приносит поток жидкости, нате¬
кающий на тело. Это уменьшение импульса потока жидкости приводит
к появлению силы лобового сопротивления, действующей на обтекае¬
мое тело.
300
§ 18.3. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ.
ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПОДЪЕМНАЯ СИЛА
Остановимся подробнее на вопросе о силах, действующих на твер¬
дое тело, движущееся в жидкости или в газе, либо обтекаемое набегаю¬
щим потоком. В силу принципа относительности эти задачи оказыва¬
ются эквивалентными. Как указано выше, при обтекании неподвижно¬
го цилиндра на него действует сила лобового сопротивления, направ¬
ленная вдоль потока жидкости. Но на тело несимметричной формы со
стороны потока действует сила, направленная под некоторым углом к
скорости жидкости.
Разложим полную силу F, действующую на тело со стороны потока,
на две составляющие — в направлении потока F, и перпендикулярно по¬
току F±. Обычно силу F, называют лобовым сопротивлением, а силу Fj —
подъемной силой. При стационарном обтекании тела произвольной фор¬
мы потоком идеальной жидкости лобовое сопротивление должно отсут¬
ствовать. В этом заключается так называемый парадокс Даламбера. Для
тела симметричной формы этот результат довольно очевиден. Лобовое
сопротивление при обтекании цилиндра обусловлено образованием вих¬
рей позади тела и является следствием уменьшения импульса жидкости.
При стационарном обтекании симметричного тела идеальной жидко¬
стью, как ясно из картины линий тока на рис. 18.5, изменения импульса
жидкости не происходит, поэтому равна нулю и сила, действующая на
тело. Это же можно увидеть и с помощью уравнения Бернулли, из кото¬
рого следует, что давление в соответствующих точках перед и за телом
одинаково, поскольку скорости частиц жидкости в этих точках, лежащих
на одной линии тока, равны по модулю и отличаются только направле¬
нием. Лобовое сопротивление для данного тела отлично от нуля, когда
картина линий тока имеет вид, показанный на рис. 18.6, что соответству¬
ет завихрению вязкой жидкости позади тела.
В случае, когда твердое тело, а следовательно, и поток жидкости не
обладают симметрией, рассуждения усложняются. В идеальной жидко¬
сти, где нет диссипации энергии, сохраняется симметрия уравнений ди¬
намики относительно обращения времени: t -» —t. Это означает, что
при изменении направления скоростей всех частиц жидкости на проти¬
воположное они будут двигаться по тем же линиям тока в обратном
направлении. Но в уравнение Бернулли скорость входит в квадрате,
Рис. 18.5. Линии тока при стационарном
обтекании симметричного тела идеальной
жидкостью
Рис. 18.6, Образование завихрений при
обтекании симметричного тела вязкой
жидкостью
301
поэтому при такой замене давление в каждой точке остается без изме¬
нения. Как следствие, не изменится и сила F, с которой жидкость дей¬
ствует на обтекаемое тело. В частности, не изменится и лобовое сопро¬
тивление. С другой стороны, лобовое сопротивление всегда направлено
по течению. Поэтому при обращении течения оно должно изменить на¬
правление на противоположное. Отсюда следует, что эта сила равна
нулю. К подъемной силе такие рассуждения неприменимы, так как ее
направление не совпадает с направлением потока жидкости.
Возникновение подъемной силы также связано с явлением отрыва
жидкости или газа от поверхности обтекаемого тела. Теория подъемной
силы, действующей на крыло самолета, была развита Жуковским и Кут-
том, которые показали, что величина подъемной силы для крыла беско¬
нечного размаха определяется циркуляцией воздуха вокруг него.
Чтобы лучше понять причину возникновения подъемной силы, рас¬
смотрим так называемый эффект Магнуса, наблюдаемый при обтека¬
нии вращающегося цилиндра равномерным потоком воздуха. Если бы
цилиндр не вращался, то благодаря малой вязкости воздуха картина об¬
текания набегающим потоком мало бы отличалась от изображенной на
рис. 18.5. Однако вязкий воздух прилипает к поверхности цилиндра.
Поэтому при вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха,
вызывая его циркуляцию. Если бы не было набегающего потока, то
вследствие вязкости картина линий тока вокруг вращающегося цилинд¬
ра имела бы вид, показанный на рис. 18.7. Скорость увлекаемого ци¬
линдром воздуха тем меньше, чем больше расстояние от цилиндра.
При обтекании потоком воздуха вращающегося цилиндра происхо¬
дит наложение картин, показанных на рис. 18.5 и 18.7. В тех местах, где
скорость поступательного движения воздуха в потоке совпадает по на¬
правлению со скоростью точек вращающегося цилиндра, цилиндр раз¬
гоняет воздух, и в результате скорость воздуха превосходит скорость по¬
тока, набегающего на цилиндр. Там, где скорость точек вращающегося
цилиндра направлена навстречу скорости воздуха в потоке, цилиндр
тормозит воздух, и его скорость становится меньше скорости потока.
Таким образом, получается картина обтекания набегающим воздухом
вращающегося цилиндра, показанная на рис. 18.8. Скорость воздуха
Рис. 18.7. Линии тока в вязком воздухе
вокруг вращающегося цилиндра
Рис. 18.8. Обтекание вращающегося
цилиндра набегающим потоком
302
0) '
Рис. 18.9. Эффект Магнуса при скатывании легкого цилиндра с наклонной плоскости
снизу цилиндра меньше, а давление больше, чем сверху. В результате
возникает подъемная сила. Это явление называется эффектом Магнуса.
Его легко наблюдать экспериментально при скатывании с наклонной
плоскости легкого бумажного цилиндра (рис. 18.9). Направленная пер¬
пендикулярно скорости поступательного движения цилиндра подъем¬
ная сила приводит к резкому увеличению крутизны траектории — па¬
дая, цилиндр заворачивает под стол. Эффект Магнуса проявляется при
полете закрученного теннисного или футбольного мяча при резаных
ударах.
Итак, возможная причина появления подъемной силы заключается
в циркуляции воздуха вокруг твердого тела. Циркуляция может возни¬
кать не только за счет вращения тела, как в эффекте Магнуса, но и при
обтекании вязкой жидкостью или газом неподвижного несимметрично¬
го относительно потока тела. В идеальной жидкости, где вообще не су¬
•>
->■
а)
'У7777/.
б)
Рис. 18.10. Линии тока в случае прямоугольной выемки в дне русла
для невязкой (а) и вязкой (б) жидкости
303
Рис. 18.11. Обтекание воздухом
несимметричного крыла
самолета
ществует касательных напряжении между
различными слоями, циркуляция возник¬
нуть не может.
Роль вязкости в образовании циркуля¬
ции можно наблюдать в следующем опыте.
Если на дне русла, по которому движется
поток жидкости, имеется углубление, то в
отсутствие вязкости жидкость в углубле¬
нии была бы неподвижной (рис. 18.10, а):
скорость жидкости менялась бы скачком
на параллельной дну русла поверхности NN’. В вязкой жидкости при
скольжении придонного слоя над неподвижной водой в яме возникает
касательная сила внутреннего трения, которая приводит верхний слой
воды в яме в движение в направлении потока. Но из-за того, что движе¬
ние воды в яме ограничено стенками, в яме образуется система вра¬
щающихся «сцепленных» шестерен (рис. 18.10, б).
Рассмотрим обтекание воздухом крыла самолета, которое симмет¬
рично и (или) несимметрично расположено относительно горизонталь¬
ной плоскости, в которой оно движется (рис. 18.11). Скорости частиц
вязкого воздуха возрастают по мере удаления от поверхности крыла.
Благодаря этому в пограничном слое движение воздуха вихревое. Свер¬
ху крыла вращение совершается по, а снизу — против часовой стрелки,
если поток воздуха (или жидкости) набегает слева направо. Пусть в ре¬
зультате отрыва от поверхности крыла какая-то масса воздуха, находив¬
шаяся в пограничном слое снизу от крыла,уносится потоком в виде от¬
дельных вихрей. Эта масса уносит определенный момент импульса.
Если отрыва пограничного слоя воздуха от поверхности крыла под ним
не происходит, то для сохранения полного момента импульса системы
воздух во внешнем потоке должен начать циркулировать вокруг крыла
по часовой стрелке. При этом скорость воздуха под крылом уменьшает¬
ся, над крылом увеличивается и возникает подъемная сила, направлен¬
ная вверх.
Картина линий тока при несимметричном расположении крыла в
потоке имеет вид, показанный на рис. 18.12, а. Поток воздуха под кры¬
лом огибает заднюю кромку крыла и встречается вдоль линии АВ с по-
<*)
б)
Рис. 18.12. Картина линий тока при несимметричном расположении крыла самолета
в потоке (а) и образование вихря (б)
304
Рис. 18.13. Линии тока при возрастании скорости течения нал крылом
и уменьшении ее под крылом
током, огибающим крыло сверху. Здесь образуется поверхность раздела,
свертывающаяся в вихрь, в котором вращение происходит против часо¬
вой стрелки (рис. 18.12, б). Вихри уносятся потоком вместе с моментом
импульса, которым они обладают, а вокруг крыла возникает циркуля¬
ция воздуха по часовой стрелке. Возрастание скорости течения над
крылом и уменьшение ее под крылом приводит к смещению т. А, пока
она не достигнет задней кромки крыла, при этом картина линий тока
показана на рис. 18.13. В отсутствие вязкости дальнейшее образование
вихрей на этом прекратилось бы. Однако благодаря вязкости циркуля¬
ция воздуха вокруг крыла постепенно затухает. Т. А смещается от кром¬
ки крыла вверх, и вновь появляются условия для возникновения вих¬
рей. Все повторяется снова. При постоянной скорости самолета
описанный процесс носит регулярный характер — вихри периодически
отрываются от задней кромки крыла, поддерживая практически посто¬
янной величину циркуляции воздуха, а с ней и действующую на крыло
подъемную силу.
Отметим, что картина обтекания воздухом крыла самолета оказыва¬
ется принципиально различной при дозвуковых и сверхзвуковых скоро¬
стях самолета, причем при равенстве скорости самолета и скорости зву¬
ка в воздухе создается наиболее неблагоприятный режим полета.
Мощные двигатели современных самолетов обеспечивают возможность
очень быстрого по времени прохождения этого режима.
В заключение рассмотрим несколько подробнее физический меха¬
низм возникновения лобового сопротивления. Можно четко выделить
две причины этого явления. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление
дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны
набегающего потока на прилипший к поверхности тела пограничный
слой. Во-вторых, лобовое сопротивление возникает в результате разли¬
чия сил давления на переднюю и заднюю поверхности тела вследствие
несимметричности картины обтекания вязкой жидкостью даже симмет
ричного тела.
Выясним возможность использования метода анализа размерностей
для установления основных закономерностей лобового сопротивления,
зависящего от большого числа параметров, относительная роль которых
меняется в зависимости от скорости тела. При небольших скоростях ос
новной вклад в сопротивление определяется вязкостью жидкости, по
20 - 3840
мере роста скорости определяющую роль начинает играть плотность
жидкости, и, наконец, если скорость тела становится сравнимой со ско¬
ростью звука в жидкости, то необходимо учитывать сжимаемость среды.
Воспользуемся векторными единицами длины и будем считать, что тело
обладает симметрией относительно оси z, а его скорость v направлена
вдоль оси симметрии.
Вначале рассмотрим случай, когда скорость тела v много меньше
скорости звука в среде. При этом можно ограничиться пятью парамет¬
рами — скоростью v, плотностью жидкости р, ее вязкостью г| и размера¬
ми тела в продольном и поперечном направлениях / и S. Выражения для
размерностей этих величин имеют вид:
v=LlT-i, p = M(LlLily1, ц=МЦ]Т~', /=/,„, S=L[. (18.22)
Определим безразмерные параметры, которые можно составить из
этих величин:
у = v*pyr\zSulw. (18.23)
Выражение (18.23) приводит к равенству размерностей:
l=(LuT-]y(ML?qlywqlT-'y(Ll)u(Lnr. (18.24)
Не выписывая системы уравнений для определения показателей
степеней, легко видеть, что у = —z, иначе не сократится масса М. Далее,
х = —z, иначе не сокращается время Т. Для сокращения Lt необходимо,
чтобы у = и, после чего из условия сокращения Ц следует, что z = w.
Итак, х = у — и — —z — — w, а безразмерный параметр у имеет вид
А.Т
SpvJ ' <18'25>
Из выражения (18.25) следует, что в рассматриваемом приближении
остается только один безразмерный параметр j- Поэтому выраже¬
ние для лобового сопротивления F равно произведению какой-либо
комбинации величин, фигурирующих в формуле (18.22) и имеющих
размерность силы, направленной вдоль оси z, на некоторую функцию
указанного безразмерного параметра. Видно, что нужную размерность
имеет произведение 5pv2, поэтому
(18.26)
Исследуем соотношение (18.26). При очень малой скорости опреде¬
ляющую роль в сопротивлении играет вязкость ц, причем F пропорцио¬
нальна вязкости. Поэтому при малых v
306
V9
ч • /
и выражение (18.26) принимает вид
(18.27)
F = Cvlr\.
(18.28)
Постоянная С не может быть определена методом анализа размер¬
ностей. Лобовое сопротивление при малой скорости пропорционально
скорости, вязкости жидкости и линейному размеру тела в направлении
движения. Видно, что эта сила не зависит от плотности жидкости и по¬
перечных размеров тела.
При большой скорости движения определяющей величиной стано¬
вится плотность жидкости, а не ее вязкость. Для того чтобы сила со¬
противления не зависела от вязкости, нужно, чтобы функция/стреми¬
лась к постоянному значению. Соотношение (18.26) при этом примет
вид
где С, — другая постоянная.
Как и можно было ожидать из качественных соображений, лобовое
сопротивление в этом случае определяется поперечным сечением тела и
не зависит от размеров тела вдоль направления движения.
Таким образом, функция /, входящая в соотношение (18.26), имеет
вид, показанный на рис. 18.14. Напомним, что значение скорости v,
In
входящей в параметр ——, на этом рисунке все еще существенно меньше
эру
скорости звука в жидкости или газе. Видно, что существует область
промежуточных значений скорости, при которых функцию / можно ап¬
проксимировать квадратным корнем. При этом
F=CtSpv2.
(18.29)
(18.30)
tg «= CSp v2
С
Spy
Рис. 18.14. Зависимость безразмерной функции / от аргумента
20*
307
Отметим, что попытка исследовать этот вопрос без использования
векторных единиц длины не привела бы к успеху. Записав выражение
для лобового сопротивления в виде
(18.31)
в случае малых скоростей, когда F- р, пришли бы к выражению
которое дает неправильную зависимость от / и S. Так происходит потому,
что число Рейнольдса Re не является безразмерным в системе, основан¬
ной на использовании векторных единиц длины. Векторные единицы
длины позволяют придать более четкий смысл всем фигурирующим па¬
раметрам, устраняя ту неопределенность, которая обсуждалась при рас¬
смотрении гидродинамического подобия. Однако рассмотрение этих во¬
просов выходит за рамки данного курса.
Задача 18.1. Двое физиков — Бозе и Рауэрт — занимались изучением
зависимости между перепадом давления АР между концами горизон¬
тально расположенной трубки, из которой вода выливалась в сосуд
объема V, и временем т заполнения сосуда. Исследовались различные
жидкости (вода, хлороформ, бромоформ, ртуть) при различных темпе¬
ратурах Т. Полученные экспериментальные данные представляли собой
хаотически разбросанные на графике точки. Т. Карман предложил по¬
строить универсальную кривую с помощью метода анализа размерно¬
стей. Повторить его вывод.
Решение. Найдем зависимость разности давлений АР от парамет¬
ров задачи:
В рассмотрение включили плотность жидкости р и коэффициент ее вяз¬
кости р. Из размерного анализа видно, что зависимость от температуры
Т исключена. Из оставшихся параметров составляется размерность дав¬
ления ртг1 и единственный оставшийся вариант безразмерной перемен¬
ной: рЙ2/3/г|т, так что в общем виде
Экспериментальные данные удобно представлять в виде графика,
построенного в безразмерных координатах
(18.32)
Задачи к главе 18
т, V, Т, р, т|.
308
nV2/i АРт
^V; *=—■
При этом все точки для любых значений параметров и для любых
жидкостей ложатся на одну универсальную кривую у =Дх), что делает
зависимость легко проверяемой и наглядной. Безразмерная функция
f(x) называется скешинговой.
Подобный прием (анализ размерностей и переход к безразмер¬
ным величинам в зависимостях) часто используется при построении
графиков, отражающих результаты многочисленных однотипных из¬
мерений.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 18.2. Найти установившуюся скорость падения маленького шарика радиусом г
1(р“Ро)г2?
и плотностью р в вязкой среде плотностью рп и вязкостью p. (v = )
9р
Задача 18.3. Определить установившуюся скорость движения шайбы массы т и ра¬
диуса г по наклонной плоскости в зависимости от высоты А. Плоскость образует угол а с
горизонтом. Между шайбой и плоскостью имеется слой смазки толщиной Д и вязкостью р.
кг Ар
Задача 18.4. Из вертикально расположенной тонкой трубки за время т вытекла поло¬
вина жидкости. Через какое время вытечет оставшаяся часть? (г — т)
Задача 18.5. Тонкая цилиндрическая трубка длиной I и диаметром d целиком запол¬
нена жидкостью плотности р и вязкости р. Определить время вытекания жидкости из
32 р/ ,
трубки, если ее ось наклонена к горизонту под углом а. (/ = )
pgd sin а
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем принципиальное отличие модели сплошной среды от модели абсолютно
твердого тела?
2. При обсуждении энергии упругой деформации предполагали, что деформация со¬
вершается квазистатически. Почему это существенно?
3. При каких условиях остаточные деформации тела бывают пренебрежимо малы?
4. При каких условиях равновесие полностью погруженного в ’жидкость тела будет
устойчивым?
5. Почему не опрокидывается корабль, центр масс которого расположен выше ватер¬
линии?
6. Зависит ли применимость модели идеальной жидкости только от свойств самой
жидкости?
7. Почему модель несжимаемой жидкости в некоторых случаях применима и для
описания движения газов?
8. По каким причинам сужается струя воды, вытекающая из водопроводного крана?
9. Почему для объяснения гидравлического удара нельзя использовать модель несжи¬
маемой жидкости?
10. Почему иногда из отверстия прохудившегося шланга вода не вытекает, а наобо¬
рот, в отверстие засасывается воздух?
11. В каких случаях движение тела в идеальной жидкости не сопровождается лобо¬
вым сопротивлением и подъемной силой?
309
12. При каких условиях возникает эффект Магнуса?
13. Что такое пограничный слой?
14. Каковы условия возникновения турбулентного движения?
15. Объясните, как возникает боковая сила при движении закрученного теннисного
или футбольного мяча.
16. Какую роль играет циркуляция воздуха вокруг крыла самолета в возникновении
подъемной силы?
Описание программного обеспечения по теме
«Механика сплошных сред»
Java Applets on Physics
(Walter Fendt, Германия)
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/ME/2000;
• ПЭВМ типа IBM PC 386SX;
• 4МВ ОЗУ;
• подключение к Интернету;
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
2. Назначение программы и ее возможности
Внимание: программа англоязычная (возможно также переключение на немецкий,
французский, польский и иные европейские языки).
310
Сборник демонстрационных программ, запускаемых непосредственно из Интернета,
расположен по адресу:
http: //home .a-city. de/walter. fendt/phe/phe. htm
Каждая программа снабжена предисловием, излагающим краткую историю вопроса и
постановку физической задачи. Среди предлагаемых примеров приведены апплеты для
виртуальной демонстрации гидростатического давления в жидкостях.
В программах возможно интерактивно изменять параметры плотности, менять тип
жидкости и т. п. Результат выводится в виде мультфильма, допускающего регулирование
скорости анимации.
Программа имеет дружественный интерфейс и доступна студентам, минимально вла¬
деющим английским языком.
РАЗДЕЛ VII. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Глава 19. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
§ 19.1. МОДЕЛЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Любая система, способная совершать колебательное движение,
описывается некоторой физической величиной, отклонение которой
от равновесного значения зависит от времени по периодическому или
почти периодическому закону. Определение периодической функции
таково: функция f{t) называется периодической с периодом Т, если
f(t + Т) =f(t) при любом значении t. В случае механических колеба¬
тельных процессов, например колебаний груза, подвешенного на пру¬
жине, такими величинами являются смещение груза из положения
равновесия и его скорость.
Здесь познакомимся с простейшим типом колебательного движения
в линейных механических системах — гармоническими собственными ко¬
лебаниями.
Возьмем простейшую систему, в которой возможны механические
колебания. Пусть на пружине жесткости к подвешен груз массы т. Рас¬
смотрим вертикальное движение груза, которое будет происходить под
действием силы упругости пружины и силы тяжести, если вывести сис¬
тему из состояния равновесия и предоставить самой себе.
Будем считать, что масса пружины настолько мала, что ее можно не
учитывать при описании колебаний. Поместим начало отсчета на на¬
правленной вниз оси х в точку, соответст¬
вующую равновесному положению груза
(рис. 19.1). В этом положении благодаря дей¬
ствию силы тяжести пружина уже растянута
на некоторую величину х0, определяемую со¬
отношением
mg = кх0.
(19.1)
Рис. 19.1. Положение равно¬
весия и колебание груза на
пружине
При смещении х груза из положения рав¬
новесия проекция действующей на тело со
стороны пружины силы упругости равна
—к(х + х0) в соответствии с законом Гука.
Обозначим проекцию ускорения груза а,
равную второй производной смещения х по
времени, через х. Тогда второй закон Ньюто¬
на для груза запишется в виде
312
mx = -k(x + x0) +mg.
(19.2)
С учетом (19.1) это уравнение переписывается следующим образом:
тх = -кх. (19.3)
Введем обозначение
со.
2 _ к
О ~т-
(19.4)
Теперь уравнение движения (19.3) принимает окончательный вид:
х + содХ=0. (19.5)
К точно такому же уравнению можно прийти, рассматривая малые
колебания около положения равновесия самых разных физических сис¬
тем: математического маятника — материальной точки, подвешенной
на нерастяжимой невесомой нити (рис. 19.2, а), физического маятни¬
ка — любого твердого тела, которое может поворачиваться вокруг гори¬
зонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 19.2, б), крутильно¬
го маятника — диска и коромысла, подвешенного на упругой нити
(рис. 19.2, в), и т. д. При этом под х в каждом случае следует понимать
соответствующую величину, характеризующую отклонение от равнове¬
сия: угол ф отклонения от вертикали математического маятника, угол 9
закручивания упругого подвеса крутильного маятника и т. д.
Колебания в любой физической системе, описываемые уравнением
(19.5), происходят по синусоидальному закону и называются гармониче¬
скими, а любая совершающая такие колебания физическая система —
гармоническим осциллятором. Закон движения, соответствующий диф¬
ференциальному уравнению (19.5), имеет вид (рис. 19.3)
х(/) = v4cos(<D(/ + а),
(19.6)
где А и а — произвольные постоянные: при любых значениях А и а
функция (19.6) удовлетворяет уравнению (19.5). Величина А характери-
Рис. 19.2. Разные типы осцилляторов: простой (математический) маятник (а),
физический маятник (б), крутильный маятник — диск на упругой нити (в)
313
А
*\Л Л А Л .
0
т
« >
\ / V / V У *
Рис. 19.3. График гармонического колебания
зует максимальное отклонение системы от равновесия и называется ам¬
плитудой колебаний.
Отметим, что в математической теории обыкновенных дифферен¬
циальных уравнений второго порядка, к которым относится уравнение
(19.5), рассматриваются два независимых решения: е'ш°' и е~т° , так что
его общее решение записывается в виде
x(t) =С, е'"0' +С2е~'и>0'. (19.7)
Вводя обозначения
С, = ^е’а, С2=^е-'“, (19.8)
видим, что выражение (19.7) может быть записано в форме (19.6), по¬
скольку по формуле Эйлера
= cos ср. (19.9)
Выражение (19.6) более удобно с физической точки зрения, поскольку
оно обеспечивает более наглядную картину описываемого явления.
Поскольку косинус — периодическая функция, смещение х прини¬
мает одинаковые значения через определенные одинаковые промежут¬
ки времени, называемые периодом колебаний Т. Наряду с периодом Т
для характеристики колебаний используют также обратную величину
v = 1/77, называемую частотой. Частота измеряется в герцах (Гц) — час¬
тота колебания, период которого равен одной секунде. Величина ш0 на¬
зывается циклической частотой колебаний. Она связана с периодом Т и
частотой v соотношением
7 = 1 = 2* (19.10)
так как период косинуса равен 2п. Циклическая частота со0 измеряется в
радианах в секунду (рад/с).
Весь аргумент косинуса в формулах (19.6) называется фазой колеба¬
ний, а значение фазы при t — 0, т. е. постоянная а, — начальной фазой.
314
Фаза измеряется в радианах (рад). Зная фазу колебаний, можно по вы¬
ражению (19.6) определить механическое состояние системы.
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система
совершает гармоническое колебательное движение, характеризуемое
амплитудой, частотой и фазой.
Значения амплитуды А и начальной фазы а колебаний определяют¬
ся начальными условиями, т. е. способом возбуждения колебаний.
Если, например, груз на пружине отклоняют из положения равновесия
на расстояние х0 и отпускают без толчка, то начальные условия имеют
вид х(0) = х0, х(0) = v(0) = 0. Подставляя эти начальные условия в ле¬
вую часть (19.6) при t = 0 и в получаемое из (19.6) выражение для ско¬
рости v{t)\
v(r) = x(t) = >4a)0sin(co0? + a), (19.11)
приходим к системе уравнений для определения А и а:
Tcosa = ха, —/4co0sina = 0. (19.12)
Отсюда следует, что А — ха и a = 0, т. е. колебания осциллятора при та¬
ком способе возбуждения описываются функцией
Х(t) - X0COSG)n/. (19.13)
Если колебания возбуждают толчком из положения равновесия,
мгновенно сообщая грузу начальную скорость v0, что соответствует на¬
чальным условиям х(0) = 0, v(0) = х(0) = v„, то для А и а получаем сис¬
тему уравнений
/4cosa = 0, —^to0sina = v0. (19.14)
Отсюда следует, что А — v0/co0 и a = —тс/2, поскольку амплитуда А
считается положительной величиной. Колебания в этом случае описы¬
ваются функцией
x(/) = 2^sincV- (19.15)
Частота со0 собственных колебаний в отличие от амплитуды и на¬
чальной фазы не зависит от способа возбуждения, а определяется ис¬
ключительно свойствами самой системы. В независимости периода ко¬
лебаний от начальных условий, заключается так называемое свойство
изохронности гармонического осциллятора.
Колебания, происходящие в системе в результате вывода ее из поло¬
жения равновесия, после чего система предоставляется самой себе, бу¬
дем называть собственными колебаниями. В отсутствие трения собст¬
венные колебания иногда называют свободными.
Ранее было рассмотрено аналитическое решение (19.6) дифферен¬
циального уравнения (19.5) гармонических колебаний. Однако убедить-
315
V
б)
Рис. 19.4. Связь гармонических колебаний с равномерным движением по окружности
ся в том, что функция (19.6) действительно описывает гармонические
колебания, можно и иначе, рассмотрев проекцию равномерного движе¬
ния материальной точки по окружности радиуса А с угловой скоростью
©о на некоторое выделенное направление. На таком пути может быть
развит удобный и наглядный метод изображения гармонического коле¬
бательного движения.
Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса А с
угловой скоростью ю0 против часовой стрелки, так что угол ср , который
радиус-вектор г этой точки образует с осью х, линейно растет со време¬
нем: <р(/) = со(/+ а, где а — угол в момент времени t = 0 (рис. 19.4, а).
Спроецируем на ось х радиус-вектор движущейся точки г, ее скорость v и
ускорение а. Учитывая, что при равномерном движении точки по окруж¬
ности ее скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру
окружности (рис. 19.4, б), получаем
При движении по окружности модуль скорости v связан с радиусом
окружности А и угловой скоростью со0 соотношением v = <а1У4, а модуль
ускорения — соотношением a = wlA. Из формул (19.16) видно, что про¬
екция ускорения ax(t) в любой момент времени пропорциональна сме¬
щению x(t), точно так же как в уравнении (19.3) или (19.5):
Отсюда следует, что уравнение (19.5) описывает движение, происхо¬
дящее по синусоидальному закону (19.16).
В тех случаях, когда с рассматриваемыми гармоническими величи¬
нами требуется выполнять линейные операции — умножение на число,
сложение, дифференцирование, интегрирование — эти операции мож¬
но выполнять непосредственно над векторами, а в полученном резуль¬
тате взять проекцию на ось х.
x(t) = y4cos(co0r + а),
vx(t) = — ovlsin(co0/ + а),
ax(t) = — c%4cos(co0 + а).
(19.16)
ax(t) = -m20x(t).
(19.17)
316
§ 19.2. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ.
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Рассмотрим энергетические превращения, происходящие при сво¬
бодных гармонических колебаниях.
При гармонических колебаниях груза на пружине происходит пе¬
риодическое взаимное превращение кинетической энергии движущего¬
ся груза Ек и потенциальной энергии Е„ системы, которая состоит из
потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной
энергии груза в поле тяжести. Потенциальная энергия деформирован¬
ной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения (х + х0) (см. рис.
19.1) и, следовательно, равна к(х + х„)2/2. Потенциальная энергия груза
в поле тяжести равна —mgx + С.
Выберем для удобства произвольную постоянную С таким образом,
чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в поло¬
жении равновесия:
Тогда С = —АэСд /2 и потенциальная энергия системы Еи в произволь¬
ной т. х выражается формулой
Механическая энергия системы Е= ЕК + Еп при колебаниях остает¬
ся неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедить¬
ся и непосредственно, подставляя смещение х и скорость v из формулы
(19.16) в выражение для энергии:
Из этой формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е
совпадает с потенциальной энергией Е„ в точках наибольшего отклоне¬
ния от положения равновесия, т. е. при х = ±А, и совпадает с кинетиче¬
ской энергией Ек при прохождении груза через положение равновесия,
где его скорость v = ±о>(У4.
При взаимных превращениях потенциальная и кинетическая энер¬
гии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой Е/2
в противофазе друг с другом и с частотой 2со0. Чтобы убедиться в этом,
преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергии с
помощью формул для тригонометрических функций половинного аргу¬
мента:
J-Icxq +С =0.
(19.18)
Еп =jk(x+ х0)2 -mgx-jkxQ = jkx2.
(19.19)
Ек (t) =^т<а\А2 sin2(£o0r + а) = у[1 -cos2(co0/ + а)],
(19.21)
En (t)=j-kA2 cos2(co0r + a) = у [1 + cos2(co0/ + a)].
317
Рис. 19.5. Графики смешения кинетической и потенциальной энергии
при гармонических колебаниях
На рис. 19.5 приведены графики зависимости от времени смещения
груза x(t), кинетической энергии Er(t) и потенциальной энергии E„(t).
Штриховыми линиями на этих графиках показаны средние значения
кинетической и потенциальной энергий. Эти средние значения равны
друг другу и составляют половину полной Е.
Как уже отмечалось выше, метод фазовых траекторий является од-*
ним из наиболее эффективных методов исследования свойств сложных
нелинейных систем, в частности, сложных нелинейных колебаний. Рас¬
смотрим этот метод в применении к простым гармоническим колебани¬
ям, когда все результаты легко получаются аналитическим путем. Метод
фазовых траекторий уже был использован в § 5.6. при изучении движе¬
ния математического маятника, когда при малых значениях энергии,
как увидим, происходят именно гармонические колебания.
Построим фазовые траектории для гармонического осциллятора.
Уравнение фазовой траектории представляет собой уравнение закона
сохранения энергии:
±кх2 +±mv2x =Е. (19.22)
Разделив обе части уравнения (19.22) на Е, приводим его к виду
у,2 =i (19 23)
2Е/к 2Е/т
Это уравнение эллипса с полуосями ^2Е/к и -^2Е/т (рис. 19.6).
При колебаниях состояние осциллятора изменяется таким образом,
что изображающая точка движется по эллипсу по часовой стрелке и со-
318
Рис. 19.6. Фазовая траектория
гармонического осциллятора
Рис. 19.7. Потенциальная энергия
и фазовая траектория осциллятора
вершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т= 2л/со„.
В этом легко убедиться с помощью формул (19.16), дающих зависи¬
мость х и v* от времени. Из этих формул, разумеется, можно получить и
само уравнение фазовой траектории (19.23), если исключить из них вре¬
мя. Для этого нужно обе части первой из формул (19.16) разделить на А,
второй — на С0(у4, возвести получившееся в квадрат и сложить, учиты¬
вая, что cos2p + sin2P = 1. В результате получим
f + (^=1’ <19-24>
что совпадает с формулой (19.23), так как полную энергию осциллятора
Е можно записать в одном из следующих видов:
£=1/Ь42 или Е = ±та>2хА2. (19.25)
Сопоставим фазовую траекторию осциллятора с графиком потен¬
циальной энергии (рис. 19.7). На верхней части рис. 19.7 изображена
потенциальная энергия осциллятора и показаны два значения полной
энергии системы Ех и Ег. На нижней части изображены две фазовые
траектории осциллятора, соответствующие колебаниям с такими зна¬
чениями энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках, где потен¬
циальная энергия становится равной полной энергии, т. е. в точках
максимального смещения из положения равновесия. Скорость макси¬
мальна при прохождении положения равновесия х = 0, где потенци¬
альная энергия обращается в нуль.
319
Vx kOx(t)
Рис. 19.8. Связь фазовой траектории осциллятора с графиками смещения и скорости
Масштаб графика фазовой траектории по оси vx произволен и не
связан с графиком потенциальной энергии. Удобно масштаб графика
выбрать так, чтобы одинаковые отрезки соответствовали единице по
оси х и со,, по оси v*. Тогда при любой амплитуде колебаний А полуоси
эллипса на фазовой диаграмме А и со0А будут одинаковы и эллипс пре¬
вратится в окружность (рис. 19.8). Точка, изображающая состояние
осциллятора, движется по этой окружности по часовой стрелке с посто¬
янной скоростью. Из рис. 19.8 видна связь движения изображающей
точки в фазовой плоскости с временной зависимостью координаты x{t)
и скорости vx{t) осциллятора. При построении фазовых диаграмм удоб¬
но выбирать масштаб по осям именно таким образом.
§ 19.3. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Среди всех систем, в которых возможны колебания, гармонический
осциллятор выделяется рядом характерных особенностей. Прежде все¬
го, как уже отмечалось, это изохронность колебаний, т. е. независи¬
мость их периода от амплитуды (или от полной энергии). Например, на
рис. 19.7 изображающие точки обходят оба эллипса, соответствующие
разным значениям энергии осциллятора, за одинаковое время.
Чтобы собственные колебания происходили по гармоническому за¬
кону, возвращающая сила должна быть пропорциональна смещению из
положения равновесия, а потенциальная энергия — квадрату смещения:
F = —кх, Еп —кх1/2. Такие колебания системы называются линейными,
так как их поведение описывается линейным дифференциальным урав¬
нением (19.5) — в уравнении искомая функция x(t) и ее производная х
входят в первой степени.
Реальные физические системы, как правило, такими свойствами не
обладают. Например, при больших деформациях пружина уже не под¬
320
чиняется закону Гука. Однако во всех системах устойчивому положе¬
нию равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. По¬
этому поведение потенциальной энергии вблизи этого положения
можно аппроксимировать квадратичной зависимостью от смещения.
Это значит, что при малых колебаниях вблизи устойчивого равновесия
любую систему приближенно можно считать гармоническим осцилля¬
тором.
Ранее был рассмотрен маятник в виде материальной точки, подве¬
шенной на легком стержне. Потенциальная энергия маятника при про¬
извольных смещениях из положения равновесия выражалась формулой
Еп = mgl{ 1 - cosip), (! 9.26)
или, что то же самое,
£-n = 2mg/sin(ip/2). (19.27)
При малых значениях аргумента (ф << 1) косинус можно приближенно
представить в виде со5ф»1-^-ф2. Поэтому при малых ф формулы (19.26)
или (19.27) дают квадратичную зависимость потенциальной энергии от
угла отклонения:
Е„ = ~mglg>2. (19.28)
Такая аппроксимация потенциальной энергии показана штриховой
линией на рис. 19.9.
Учитывая, что скорость v материальной точки на конце стержня мо¬
жет быть записана как /ф, для полной энергии при малых смещениях
имеем
£, = 1/и/2ф2 + jmgAp2. (19.29)
Сравнивая эту формулу с (19.22), видим, что при малых отклонени¬
ях от вертикали математический маятник представляет собой гармони¬
ческий осциллятор. Период его колебаний не зависит от амплитуды.
Легко написать формулу, выражающую частоту со0 малых собствен¬
ных колебаний маятника через его параметры. Квадрат частоты собст¬
венных колебаний осциллятора, определяемый формулой (19.4), равен
отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в вы¬
ражении (19.22) для полной энергии осциллятора. Такое отношение для
математического маятника в соответствии с формулой (19.29) равно
со2 =f (19.30)
Для периода собственных колебаний Т= 2тс/со0, отсюда получаем
Т=2п^. (19.31)
21- 3840
321
Рис. 19.9. Потенциальная энергия Рис. 19.10. К уравнению (19.33)
математического маятника (сплошная линия)
и гармонического осциллятора
Уравнение колебаний системы, энергия которой дается выражением
(19.29), имеет вид (19.5), где под х следует понимать угол <р отклонения
от вертикали:
Ф + о>оФ=0. (19.32)
Обратим внимание на то, что период колебаний математического
маятника оказался независящим от его массы. Так получилось потому,
что масса входит множителем в коэффициенты как при ф2, так и при ф
в выражении (19.29) для энергии маятника и сокращается при переходе
к формуле (19.30). Следует, однако, помнить о том, что в выражение
для потенциальной энергии входит тяжелая (гравитационная) масса /иф,
а в выражение для кинетической энергии — инертная масса т. Поэтому
сокращение масс при получении формулы (19.30) для частоты возмож¬
но только при условии их пропорциональности. Таким образом, неза¬
висимость периода колебаний математического маятника от массы гру¬
за, которая с высокой точностью подтверждается на опыте, служит еще
одним экспериментальным подтверждением эквивалентности инертной
и гравитационной масс.
При больших амплитудах колебания маятника описываются нели¬
нейным уравнением, которое можно получить, рассматривая момент
инерции шарика массы т относительно горизонтальной оси, проходя¬
щей через точку подвеса, равный ml2, и момент силы тяжести, равный
mglsmq (рис. 19.10):
9 + ce>oSincp=0. (19.33)
Угол отклонения ф(г) входит в него как аргумент функции синуса. По¬
скольку при малых углах зтф » ф, то (19.33) в случае малых колебаний
переходит в уравнение гармонического осциллятора (19.32). Описывае¬
мые уравнением (19.33) колебания являются ангармоническими; их пе¬
риод зависит от амплитуды ф„. Приближенная формула для периода
ангармонических колебаний имеет вид
322
7=r«(1+ilf)
(19.34)
где T0 соответствует малым гармоническим колебаниям и дается форму¬
лой (19.31). Зависимость периода колебаний от амплитуды является об¬
щим свойством колебаний в нелинейных системах.
Иногда приходится иметь дело с движением, при котором тело уча¬
ствует в двух или нескольких колебаниях. Например, груз, подвешен¬
ный на пружине в движущемся вагоне поезда, совершает колебания
относительно точки подвеса, которая в свою очередь совершает колеба¬
ния на рессорах вагона. В этом пункте рассмотрим результирующее
движение, получающееся при сложении двух гармонических колебаний.
Начнем с рассмотрения двух колебаний, происходящих в одинако¬
вом направлении с одинаковой частотой со, различающихся амплитуда¬
ми и фазами:
Результирующее колебание будет описываться смещением x{t), рав¬
ным сумме смещений х, и хг\
Это сложение удобно выполнить с помощью метода векторных диаграмм
(рис. 19.11). Вектор А, соответствующий результирующему колебанию,
очевидно, представляет собой сумму векторов А, и А2, соответствующих
складываемым колебаниям. Поскольку частоты колебаний одинаковы,
вся изображенная на рис. 19.11 система векторов вращается как целое с
угловой скоростью со, причем проекция вектора А на ось х, определяю¬
щая смещение х в момент времени t, равна сумме проекций х, и х2 векто¬
ров А, и А2, в соответствии с выражением (19.36). Итак,
§ 19.4. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ, ПРОИСХОДЯЩИХ ВДОЛЬ
ОДНОЙ ПРЯМОЙ
X, = /l|COS(cCtf + ф,),
х2 = A2cos((ot + ф2).
(19.35)
х = Х| + х2 = /4,cos(col + ф,) + A2cos(cor + ф2).
(19.36)
А = А, + А2,
(19.37)
А
х
21»
Рис. 19.11. Метод векторных диаграмм
323
и с помощью теоремы косинусов и формул приведения имеем:
А2 =А2 + А\ +2A1A1cos((p1 -ф2). (19.38)
Непосредственно из рис. 19.12 видно, что
te(p- Ai sinУ1 t-4>sin<p2
^ Ах cos<p, + y42COS92'
Результирующее колебание описывается выражением
х = v4cos(<o/ + ф).
(19.39)
(19.40)
Из соотношения (19.38) следует, что амплитуда А зависит от разно¬
сти фаз ф, — ф2 складываемых колебаний, меняясь от значения, равного
А,+А2 при ф, — ф2 = 2ял: (п = 0, 1, 2, ...), до А = \А,— А2\ при
<Pi - Ч>2 = (2л + 1)л (л = 0, 1, 2, ...).
Пусть теперь происходящие вдоль одного направления гармониче¬
ские колебания имеют разные частоты. Векторная диаграмма в этом
случае в какой-то определенный момент имеет такой же вид, как и на
рис. 19.11. Однако теперь векторы А, и А2 вращаются с различными уг¬
ловыми скоростями со, и со2, и угол между ними не остается постоянным
(см. рис. 19.12). Другими словами, разность фаз складываемых колеба¬
ний меняется с течением времени. Поэтому, не теряя общности, мож¬
но выбрать начальные фазы ф, и ф2 одинаковыми:
х, = A,COS((0]7 + ф,),
х2 = /42cos(cd2 + ф)).
(19.41)
Разность фаз складываемых колебаний ф при этом зависит от време¬
ни по закону
Ф = (со, — со2)Л (19.42)
Именно это выражение и должно фигурировать при определении ам¬
плитуды А результирующих колебаний с помощью теоремы косинусов:
А2 =А2 + А2 +2AxA2 cos(co, -со2)t.
(19.43)
Рис. 19.12. Векторная диаграмма для гармонических колебаний разных частот
324
Видно, что амплитуда А зависит от времени по периодическому за¬
кону, а угловая скорость вращения вектора А не. постоянна. Это означа¬
ет, что результирующее колебание не является гармоническим.
Представляет интерес случай, когда амплитуды складываемых коле¬
баний одинаковы: А] = Аъ а частоты со, и со2 отличаются незначительно:
Период абсолютного значения косинуса равен к, поэтому период
изменения амплитуды т определится из условия
Это означает, что частота изменения амплитуды результирующего коле¬
бания равна разности частот складываемых колебаний. Угол а, образуе¬
мый вектором А с осью х, как следует из рис. 19.12, при А, — Аг равен
Это означает, что при равных амплитудах складываемых колебаний век¬
тор А вращается с постоянной угловой скоростью, равной полусумме
частот складываемых колебаний. Итак, в рассматриваемом случае для
смещения х справедливо
По предположению, со, и со2 близки, поэтому вследствие (19.44) ре¬
зультирующее колебание (19.51) можно рассматривать как приблизи¬
тельно гармоническое колебание с частотой (со, + со2)/2, амплитуда ко¬
торого медленно периодически меняется со временем в соответствии с
со, — со2 = Дсо, |Лсо|/со, << 1.
В этом случае из (19.43) находим
(19.44)
А2 = 2 А] (1 + cosAco?) = 4A,2 cos4рг,
(19.45)
откуда
A = 2/J,|cos4pi|.
(19.46)
(19.47)
откуда
|(0|-С02
(19.48)
Частота изменения амплитуды определится выражением
со = (со, — со2|.
(19.49)
(19.50)
т + ф, J
= 2Ах cos^y— flcos ^'^f+cp, . (19.51)
325
Рис. 19.13. Биения
соотношением (19.46). Период изменения амплитуды дается выражени¬
ем (19.48) (рис. 19.13). Такие колебания носят название биений.
Результат (19.51) можно получить непосредственно с помощью со¬
отношений (19.41) при равных амплитудах складываемых колебаний:
Обратим внимание на то, что знак абсолютного значения в соотно¬
шении (19.46) был взят с целью сделать амплитуду положительной.
§ 19.5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Предположим, что материальная точка участвует одновременно в
двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами:
Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим из уравнений
(19.53) время. Для этого перепишем их в виде
Умножая уравнения (19.54) и (19.55) на cos<p2 и cosip, соответственно
и беря разность получающихся уравнений, имеем
Аналогично, умножая уравнения (19.54) и (19.55) на sin<p2 и sincp, со¬
ответственно, приходим к уравнению
326
х =At [cos(co,/ + 91 ) + cos(co2? + ф))] =
(19.52)
х = /4,cos((or + ф,),
у = 42cos(on + ф2).
(19.53)
= cos(otcos(pl -sincorsin9I,
■i
(19.54)
= coscorcos92 -sinonsin92.
'2
(19.55)
-j-cosф2 —^-совф, =sinco/sin^2 -ф,).
(19.56)
-^-sincp2 --^-sincp! = coscofsin(92 -ф|).
(19.57)
Возводя в квадрат и складывая почленно формулы (19.56) и (19.57),
получим уравнение траектории:
^ + ^~SC0S(Cp2 —Ч>1) = cos2<V2 -Ф|)- (19.58)
Исследуем это уравнение при разных значениях разности фаз ср2 - ф,
складываемых колебаний. Пусть ф2 - ф, = 0, тогда уравнение (19.58)
принимает вид
откуда
х _ А
у А'
(19.59)
(19.60)
Это уравнение прямой, проходящей через
начало координат и / и /// квадранты и об¬
разующей с осью х угол а, тангенс которого
равен A-JA^ (рис. 19.14). Точка совершает
гармоническое колебание вдоль этой прямой с частотой со и амплитудой
A =д//4,2 + А\. Действительно в рассматриваемом случае
s =tJx2 +у2 = ^у4,2cos2(соГ + ф) + >42 cos2(oH + ф) = (1961)
= д/л,2 +А\ cos(cof + ф).
Пусть теперь разность фаз складываемых колебаний равна п:
Ф2 - Ф, =* п. (19.62)
В этом случае из уравнения (19.58) находим
»• <19№
откуда
А'
(19.64)
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и II и IV
квадранты. Материальная точка совершает гармоническое колебание
вдоль прямой с той же амплитудой и частотой, что и в предыдущем слу¬
чае (рис. 19.15).
327
Если разность фаз складываемых колебаний равна л/2 или Зя/2, то
уравнение траектории принимает вид
*1 + 21=1
А> + 4 L
(19.65)
Это уравнение эллипса (рис. 19.16). Если ср2 — (р, = я/2, то точка движет¬
ся по эллипсу по часовой стрелке. Это легко увидеть, записав уравнение
(19.53) в виде
х = ^4jCOs(co^ + ф),
у = y42cos(co/ + ф + я/2) = —/42sin(a)/‘ + ф).
(19.66)
В момент времени, когда со/ + ф = 0, колеблющаяся точка находит¬
ся в положении В. В последующие моменты времени х будет положи-
2
6 = 0
я
О <8 <2
я
6 = 2
я
2 <6<т
6 = Л
Зя
2 <6<2я
I
1
1
2.
12
1
t
1
6 = 2я
Рис. 19.17. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
и амплитуды при разных значениях разности фаз 6 = ф2 — ф(.
328
тельным, а у — отрицательным: точка пойдет по эллипсу по часовой
стрелке.
Если ф2 — ф! = Зтг/2, то аналогичными рассуждениями легко пока¬
зать, что точка будет двигаться по эллипсу против часовой стрелки. При
равенстве амплитуд Аг = А2 эллипс превращается в окружность.
Отметим, что возможность представления равномерного движения
по окружности в виде суперпозиции двух гармонических колебаний,
происходящих вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений, ле¬
жит в основе метода векторных диаграмм при изучении колебательного
движения.
При прочих значениях разности фаз ср2 — <р,, не равных приведенным
выше значениям, уравнение траектории (19.58) представляет собой эл¬
липс, не приведенный к осям х и у. На рис. 19.17 представлены результа¬
ты сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой
частоты и амплитуды при различных значениях разности фаз 8 = ф2 — ф,.
Если колебания во взаимно перпендикулярных направлениях про¬
исходят с разными частотами, то при их сложении получаются траекто¬
рии более сложной формы. Когда частоты со, и со2 относятся как целые
числа, траектория представляет собой замкнутую кривую — так назы¬
ваемую фигуру Лиссажу (рис. 19.18).
оо2 = 2 ft),
со2 = 3 <i>,
Рис. 19.18. Фигуры Лиссажу
329
Рис. 19.19. Гармонические колебания в системе с двумя степенями свободы
Системы, в которых одновременно возможны колебания во взаимно
перпендикулярных направлениях, — это системы с двумя степенями сво¬
боды. Например, это может быть груз, закрепленный на пружинах разной
жесткости, движение которого ограничено плоскостью ху (рис. 19.19).
В таких системах движение будет представлять собой простое гармониче¬
ское колебание. Таких движений, называемых нормальными колебаниями
или модами, система имеет столько, сколько у нее степеней свободы.
В примере на рис. 19.20 это колебания вдоль осей х и у. Любое свободное
движение системы может быть представлено как суперпозиция нормаль¬
ных колебаний с определенными амплитудами и фазами. Частоты этих
колебаний определяются свойствами самой системы, об их совокупности
говорят как о спектре системы.
Рассмотрим периодическую функцию времени достаточно сложного
вида
/(f) = 2(/4[CosQ|f + H2cos O2f)cos«)f. (19.67)
Используя формулу для произведения косинусов двух углов, ее
можно переписать в виде
f[t) = >4|Cos(b> - Q,)f + Л |Cos(a) + Q,)f +
(19.68)
+ y42cos(cd — n2)f + /42cos(&) + Q2)f.
Итак, весьма сложную (но периодическую!) функцию времени /(f)
можно представить как суперпозицию четырех гармонических колеба¬
ний. Возникает вопрос, может быть любую периодическую функцию
времени можно представить в виде суперпозиции некоторого чис¬
ла гармонических колебаний? Ответ на этот вопрос дается в разделе
330
математики, основы которого были за¬
ложены Ш. Фурье и который называется
фурье-анализом.
Основной результат (так называемая
теорема Фурье) состоит в следующем: пе¬
риодическую функцию J{t) при выполне¬
нии определенных условий, называемых
условиями Дирихле (связанных с ее не¬
прерывностью), можно представить в виде
ряда (бесконечной суммы):
оо
/(/) = А0 + ]Гcos(no)t + ф„), (19.69)
п = 1
где со = 2п/Т, а Т — период функции /(/): fit + 7) =fit). Отдельные сла¬
гаемые в правой части (19.69) часто называются фурье-гармон иками.
Практически любая, интересная с точки зрения физики, периодическая
функция может быть разложена в ряд Фурье.
Фурье-анализ играет исключительно важную роль в физике, позво¬
ляя теоретически исследовать самые разнообразные переменные во вре¬
мени процессы путем сведения их к суперпозиции простых гармониче¬
ских колебаний.
Результат разложения сложного колебания в ряд Фурье удобно
представлять графически, отложив по оси абсцисс шкалу частот и ука¬
зывая в соответствующих местах оси абсцисс величины амплитуд при¬
сутствующих гармоник. Такой график носит название амплитудношас-
тотного спектра данного колебания. На рис. 19.20 показан амплитуд¬
но-частотный спектр функции (19.67).
При практическом использовании разложений периодических
функций в ряды Фурье часто бывает достаточно учесть в формуле
(19.69) конечное и весьма небольшое число гармоник. Например, при
разложении в ряд Фурье ступенчатой нечетной функции, график кото¬
рой показан на рис. 19.21, уже несколько первых гармоник дают удовле¬
творительную картину. Благодаря нечетности функции разложения
(19.69) в данном случае записывается в виде
оо
+ ^Ап sin/ко/, cd=2ji (19.70)
л = 1
Рис. 19.20. Амплитудно-частот¬
ный спектр функции (19.67)
Рис. 19.21. Ступенчатая нечетная Рис. 19.22. Разложение в ряд Фурье
функция ступенчатой нечетной функции с учетом
двух гармоник
331
L
— Л
J
'0 ~ "
ТГ[_ *
Рис. 19.23. Разложение в ряд Фурье ступенча¬
той нечетной функции с учетом трех
гармоник
Далее оказывается, что в формуле (19.70) присутствуют только не¬
четные гармоники, причем коэффициенты А„ определяются соотноше¬
нием
В результате весь ряд Фурье принимает вид
f(t) = ^^sinco/ + ^sin3(o/ + ^sin5oor + ...j. (19.72)
На рис. 19.22 показан график Л?) при учете только двух гармоник в
(19.72), представленных пунктирными линиями. На рис. 19.23 показан
график, получающийся при учете трех гармоник в выражении (19.72).
Задачи к главе 19
В реальных системах гармонические колебания возможны лишь при
малых смещениях системы из равновесного положения. Рассмотрим две
задачи, иллюстрирующие сложный характер колебаний даже в тех слу¬
чаях, когда устройство системы, на первый взгляд, позволяет считать
малые колебания в ней гармоническими.
Задача 19.1. Пусть железный шарик подвешен на нити между гори¬
зонтально расположенными полосами электромагнита, и в отсутствие
тока в электромагните период колебаний маятника равен Т0 (рис. 19.24).
Исследовать характер колебаний маятника, когда через обмотку элек¬
тромагнита пропускают ток.
Решение. На первый взгляд может показаться, что этот маятник
будет совершать простые гармонические колебания около нового поло-
Рис. 19.24
332
Рис. 19.25
Рис. 19.26. Фазовый портрет маятника
с двумя устойчивыми положениями
равновесия
жения равновесия, смещенного на некоторый угол а от вертикали
(рис. 19.25). Действительно, при включении электромагнита появляется
действующая горизонтально сила FMar, которую можно при небольших
смещениях шарика считать постоянной. Шарик теперь совершает ко¬
лебания в эффективном силовом поле, напряженность #эф которого
определяется векторной суммой силы тяжести и магнитной силы и на¬
правлена под углом а к вертикали. В результате частота колебаний
«)0 = 2к/Т0 в поле тяжести Земли, определяемая соотношением
заменяется на со, для которой, как ясно из рис. 19.25, справедливо
Косинус угла а, определяющего новое положение равновесия, как
видно из рис. 19.26, равен отношению g к
Выражая отношение g к ^ из уравнений (19.73) и (19.74), получаем
Из выражения (19.76) следует, что период новых колебаний Т должен
быть меньше периода колебаний Т0 в отсутствие магнитного поля.
(19.73)
(19.74)
cosa =
g
Я эф
(19.75)
(19.76)
333
Можно ли быть уверенным в том, что, измеряя на опыте период ко¬
лебаний после включения электромагнита, действительно обнаружим,
что 'Г < Т0? Оказывается, нет. Может случиться, что шарик будет совер¬
шать явно негармонические колебания, причем его движение будет
весьма замысловатым.
Прежде всего обратим внимание на то, что при включении электро¬
магнита появляется не одно, а два новых устойчивых положения равно¬
весия, расположенных симметрично по обе стороны от старого положе¬
ния равновесия в поле тяжести Земли. Само старое положение
равновесия, когда маятник расположен отвесно посередине между по¬
люсами электромагнита, также сохраняется, что ясно из соображений
симметрии. Однако теперь это положение равновесия будет неустойчи¬
вым: если включить электромагнит, то висевший неподвижно маятник
от ничтожного случайного толчка свалится или в одну, или в другую
сторону.
Теперь ясно, что потенциальная энергия маятника как функция
угла его отклонения от вертикали будет иметь вид, схематически пока¬
занный на рис. 19.26. Среднему неустойчивому положению соответству¬
ет локальный максимум потенциальной энергии, а углам отклонения
±а, определяемым соотношением (19.76), — симметрично расположен¬
ные минимумы. Характер колебаний маятника в такой сложной потен¬
циальной яме зависит от полной энергии, которая, в свою очередь, оп¬
ределяется начальными условиями.
Если полная энергия Е маятника меньше высоты потенциального
барьера Е0, разделяющего положения устойчивого равновесия, то маят¬
ник будет совершать колебания около одного из них. Таким колебани¬
ям соответствуют замкнутые (в отсутствие трения) кривые 1 и Г на фа¬
зовой диаграмме в нижней части рис. 19.26. Эти колебания будут
гармоническими только при достаточно малых амплитудах, когда асим¬
метричную потенциальную яму около бокового положения равновесия
можно с хорошей точностью аппроксимировать параболой. Именно
этим изохронным малым колебаниям и соответствует период Т, входя¬
щий в выражение (19.76).
Если полная энергия маятника больше 'высоты потенциального
барьера Е0, то колебаниям маятника будет соответствовать фазовая тра¬
ектория 2 на рис. 19.26. Маятник проходит с некоторой скоростью через
вертикальное положение, преодолевая потенциальный барьер, разгоня¬
ется по мере приближения к одному из боковых положений равнове¬
сия, проскакивает его, останавливается в крайней точке, движется об¬
ратно, разгоняясь, к положению равновесия, опять проскакивает его,
замедляется, приближаясь к вертикальному положению, но не останав¬
ливается, а проскакивает его, и дальше все повторяется около другого
положения равновесия.
В этом случае движение маятника будет периодическим, но далеко не
изохронным: период очень сильно зависит от значения полной энергии.
В частности, когда энергия Е равна высоте Е0 потенциального барьера,
маятник медленно, с трудом взбирается на вершину, практически зами¬
рая на ней. Такому движению маятника соответствует сепаратриса 3 на
334
фазовой диаграмме, отделяющая траектории, соответствующие колеба¬
ниям около одного из положений равновесия, от траекторий, охватываю¬
щих оба положения равновесия. К таким колебаниям формула (19.76) не
имеет никакого отношения.
Задача 19.2. Исследовать вертикальные коле¬
бания груза массы т, подвешенного на двух оди¬
наковых пружинах жесткости к, образующих в
равновесии углы р с вертикалью (рис. 19.27).
Решение. Пусть груз смещен вниз на ма¬
лое расстояние х. Из рис. 19.27 видно, что до¬
полнительное удлинение А/ каждой из пружин
при этом будет связано со смещением х груза по
вертикали соотношением
А/ = xcosp.
(19.77)
Возникающая при таком растяжении допол¬
нительная сила упругости кА1 в каждой из пру¬
жин направлена вдоль ее оси, а их равнодейст¬
вующая F направлена вертикально вверх и по
модулю равна
F= 2M/cosp.
////////у
V////////,
1°
аЦ
\ '
X
Рис. 19.27
(19.78)
Подставляя сюда А/ из формулы (19.77), получаем связь возвращающей
силы со смещением х груза. Поскольку равнодействующая сила направ¬
лена противоположно смещению, эта связь имеет вид
Fx — -(2£cos2P)x. (19.79)
Видно, что при малых смещениях возвращающая сила направлена к
положению равновесия и пропорциональна смещению. Поэтому для
частоты колебаний со0 можно написать
з =2*«»г§ (,9 80)
Однако в действительности рассмотренная простейшая физическая
модель данной системы содержит ряд тонких моментов, заслуживаю¬
щих более подробного обсуждения.
Выше был рассмотрен случай малых колебаний. Выясним, в каких
пределах справедливо это приближение, или, другими словами, при ка¬
ких максимальных амплитудак колебания еще остаются гармонически¬
ми и их частота определяется формулой (19.80). Прежде всего обратим
внимание на то, что для применимости принятой модели при коле¬
баниях груза пружины должны оставаться все время в растянутом со¬
стоянии. В противном случае, когда при движении вверх от положения
равновесия растяжение пружин сменяется их сжатием, возможно откло¬
нение системы из вертикальной плоскости, сопровождающееся попе¬
335
речными раскачиваниями. Ограничения на амплитуду колебаний, на¬
кладываемые этой причиной, оценить очень просто. Очевидно, что
смещения груза вверх при колебаниях не должны превосходить перво¬
начального сдвига положения равновесия вниз под действием силы тя¬
жести. Если растяжение пружин весом груза мало по сравнению с их
длиной в недеформированном состоянии, то вызванный весом груза
сдвиг в них хтм1 можно оценить по той же формуле (19.79), подставляя в
нее mg в качестве действующей силы:
=2^- <1<Ш>
Другое ограничение на допустимую амплитуду колебаний связано с
применимостью линейного по смещению х выражения (19.79) для воз¬
вращающей силы. Для исследования этих ограничений будем считать,
что груз может скользить без трения по вертикальным направляющим
(чтобы не думать об ограничениях, накладываемых условием (19.81)), и
рассмотрим вертикальные смещения груза, не считая их малыми.
Обозначив через / длину растянутой пружины при смещении гру¬
за на расстояние х вниз, а через /0 — длину пружины, когда груз нахо¬
дится в положении равновесия. С помощью теоремы косинусов можно
написать
l={l
02 +х2 + 2/0xcos|3. (19.82)
Здесь х может быть любым. Будем, однако, считать, что смещение х все
же мало по сравнению с длиной /0 пружины в положении равновесия.
А именно, предположим, что
x<<2/0cosp. (19.83)
Тогда в уравнение (19.82) можно пренебречь в подкоренном
выражении слагаемым х2 и, используя приближенную формулу
Vl + a = \ + а/2(а «0), записать удлинение пружины в виде
А/ = / — /0 = xcosji. (19.84)
Это выражение совпадает с уравнением (19.77), записанным в предпо¬
ложении малых смещений х.
Таким образом, условие малости смещений, при которых справед¬
ливо выражение (19.77), дается формулой (19.83). При выполнении ус¬
ловия (19.83) связь между возвращающей силой и смещением можно
считать линейной, а осциллятор — гармоническим. Значения смещений
х, при которых справедливо выражение (19.83), не должны превосхо¬
дить значения хтах, даваемого формулой (19.81). В противном случае ре¬
альное поведение груза на пружинах кроме гармонических колебаний в
плоскости пружин будет включать в себя поперечное раскачивание.
336
Задача 19.3. Измерение момента инерции. Тонкий прямой однород¬
ный стержень длиной / и массой т подвешен за один из его концов.
Чему равен период его малых колебаний? Какова длина математическо¬
го маятника, имеющего такой же период?
Решение. Момент инерции тонкого стержня относительно оси,
проходящей через один из его концов, равен
Учитывая, что центр масс находится посередине стержня (И = 1/2), со¬
ставляем уравнение движения стержня:
I ^ = -mgh sin 0,
где 0 — угол отклонения от положения равновесия.
Для малых углов sin0 « 0, и уравнение движения заменяется на
<а)+МЛе=0.
Л2 I
Таким образом,
Т =2п.р-т,
у mgh
(19.85)
откуда окончательно
Т =2п
\3 g
Обратите внимание, что формула (19.85) может быть использована
для решения обратной задачи: определения момента инерции / по экс¬
периментально измеренному периоду колебаний Т.
Математический маятник с таким же периодом колебаний имеет
длину
4л2 mh
(она называется приведенной длиной).
В нашем случае L = ^l.
Примечание. Точка физического маятника, находящаяся на рас¬
стоянии L от оси вращения на линии, проходящей через центр тяжести,
называется центром качания.
Задача 19.4. Атому кислорода О в молекуле углекислого газа С02 со¬
общили небольшую скорость v в направлении к атому углерода С. Мас¬
са атома кислорода равна М, атома углерода — т, а жесткость связи ме¬
жду атомами составляет к. Определить максимальное сближение атомов
кислорода и водорода.
22 - 3840
337
Решение. Движение атомов состоит из суммы трех движений:
1) все атомы движутся с поступательной скоростью v0;
2) атом углерода С неподвижен, а скорости атомов кислорода О рав¬
ны по модулю и противоположны по направлению: = ±vx cosw/, где
3) атомы кислорода О движутся с одинаковой скоростью vj,2' =
= v2cosco2/ навстречу атому углерода С, скорость которого равна
v2^-cosco2Г, где
“2 =f[w+i 1
Максимальное смещение атома кислорода О в сторону атома угле¬
рода С составляет
Л*-У+Г1+2#)Ы
т J со, 2[ <в, со2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 19.5. Смешение гармонического осциллятора задается выражением
. {5п к
х = 2 cos — / ч—
4 6
где х измеряется в метрах, a t — в секундах.
Найти все параметры колебаний. (х0 = 2 м, ш = — с-1, v = - Гц, Т = 1,6 с, Фо = тЗ
4 8 6
Задача 19.6. Груз массой т прикреплен к стенке с помощью двух последовательно со¬
единенных пружин с коэффициентами жесткости kt и кг. Найти частоту гармонических
колебаний, (со = ,/——)
\(*1 + кг)т
Задача 19.7. Период свободных колебаний маятника равен Т0. Чему равен период ко¬
лебаний Т того же маятника в лифте, который поднимается с постоянным ускорением
(. а '
a«g? (Г = Г^1-— |)
Задача 19.8. В некоторых двухатомных молекулах сила взаимодействия между атома¬
ми может быть приближенно представлена в виде
С D
F = —т + —г (С, D = const > 0).
г г
Считая, что один из атомов закреплен неподвижно, а смешение второго из положения
равновесия мало, найти период гармонических колебаний такой системы (т — масса каж¬
дого атома). (Г = 2 xJ-~-)
т
338
С4
Задача 19.9. На конце пружины жесткости к колеблется тело массы М. Масса пружи¬
ны т << М, но пренебречь ею нельзя. Найти частоту колебаний системы. Считать, что
пружина сжимается и растягивается по всей длине; а все участки пружины колеблются в
фазе' (u> = Jm7^3)
Задача 19.10. Пусть С — центр качаний тела, закрепленного на оси в т. О. Как изме¬
нится период колебаний тела, если закрепить его на параллельной оси, проходящей через
С? Какая точка будет центром качаний? (Не изменится; т. О).
Указание. Воспользуйтесь теоремой Штейнера.
Задача 19.11. Тяжелая тележка скатывается с ускорением а по наклонной плоскости,
образующей угол ф с горизонтом. Найти период свободных колебаний маятника длины /,
Г
установленного на тележке. (Г — 2 п; 4/— )
у g + а - 2 ag sin ф
Задача 19.12. Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью
П. Маятник подвешен в нем так, что плоскость его свободных колебаний проходит через
ось вращения корабля. Длина маятника /, расстояние от точки подвеса до оси вращения
R. Найти период колебаний. (Т = —,/—-—)
П V/+ «
Задача 19.13. Тела массы т[ и т2 связаны первоначально недеформированной пру¬
жиной. Телу массы сообщают ударом скорость v, направленную вдоль пружины. Найти
зависимость скоростей этих тел от времени. Частота свободных колебаний тел на пружине
равна га. (v| = —n^-J-—I 1 + ^-cos(co/) , v2 = ————(1 - cos(<o/))
т\ + т2\ т\ ) щ, + т2
Задача 19.14. В момент времени /0 координата тела, совершающего колебания с час¬
тотой to, равна х0, а скорость равна v0. Восстановить зависимость координаты х от време-
Vn
ни. (x(/) = x0cosa>(1 - /0)+ sinco(/ - /0))
<о
Задача 19.15. Тело массы т, подвешенное на пружине, колеблется по закону
х = x(1coso)(. С момента времени ;() на тело начинает действовать вдоль пружины постоян¬
ная сила F. Определить амплитуду колебаний х0 относительно нового положения равно-
г I 2 F2 2х0F
весия. (лг0 = Jxn + —z —cos co/q )
\ к2 к
Задача 19.16. Концы пружины жесткости к перемещаются в продольном направле¬
нии по гармоническому закону:
х, = x,„cos(tot + ф,) и х, = XJ0COS(<iit + ф;),
при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Определить: 1 ^наи¬
большую энергию пружины £та>; 2) среднюю энергию пружины за большое время Е. (1)
£тах =у[*12,о + х2,0 - 2х1,0х2,0 С05(Ф2 ~ Ч>1 )1; 2) Ё = -(х^ + х|0 -2х, 0X2i0 С05(ф2 - ф, )])
Задача 19.17. Собственные частоты двойного маятника (нижний маятник прикреплен
к грузу другого) равны ю1 и ю2. Длина нити нижнего маятника равна I. В состоянии рав¬
новесия нижнему шарику сообщили небольшую горизонтальную скорость v. Определить:
1) максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия; 2) длину нити L,
г<а>, + ш2)[/(<о.2 - ачюг + “2>-S\
связывающей верхним шарик с потолком. (1) хтах = ;
coiO>2[/(fo, + со2)-2#]
Глава 20. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 20.1. ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ
Свободные колебания, рассмотренные в § 19, представляют собой
некоторую идеализацию. В реальных системах механическое движение
всегда сопровождается трением. Наличие трения всегда приводит к рас¬
сеянию, или как говорят, к диссипации механической энергии. Диссипа¬
ция энергии колебаний происходит в любых реальных колебательных
системах, вызывая затухание собственных колебаний.
Часто при движении тела в среде действующую на него силу сопро¬
тивления при малых скоростях можно считать пропорциональной ско¬
рости:
Fip = -pv. (20.1)
Эту силу следует учесть в уравнении второго закона Ньютона, описы¬
вающего движение тела. Например, уравнение, описывающее верти¬
кальные колебания груза, подвешенного на пружине, при наличии
трения будет иметь вид
тх = -&x-|ix, (20.2)
где через х обозначена производная смещения х по времени, т. е. проек¬
ция скорости тела.
Вводя обозначения
“о=£, 2у = |, (20.3)
перепишем уравнение (20.2) следующим образом:
Jc + 2yi+coox:=0. (20.4)
Такой же вид имеет уравнение, описывающее малые собственные коле¬
бания в любой физической системе, затухающие из-за силы сопротив¬
ления, пропорциональной скорости.
Решение дифференциального уравнения (20.4) имеет вид
x(t) = T0e_i"cos((B1/ + а), (20.5)
где А0 и а — произвольные постоянные, значения которых определяют¬
ся из начальных условий.
Частота со, дается выражением
340
V2 2
(о„ -у .
(20.6)
Решение (20.5) получается при рассмотрении двух независимых ре¬
шений уравнения (20.4) exp(-yr f-/д/соц -у2 /) и ехр(-уГ-/А/соо -у2 /), из
которых строится его общее решение
x{t) =С, схр(-у/ +/д/“н -У20 + С2 ехр(-у/-//ю^-у V). (20.7)
Вводя обозначения
С, = у-ехр(/а), С2 =у-ехр(-/'а), (20.8)
приходим к выражению (20.5).
Решение имеет колебательный характер при со0 > Y, в противном
случае (со0 < у) выведенный из равновесия осциллятор апериодически
возвращается к равновесному положению:
x{t) = [ехр(-у/)][С| exp(7y2 -со„ Г) + С2 exp(^y2 -«ц/)!, (20.9)
где С, и С2 — произвольные постоянные, определяемые из начальных
условий.
При выполнении точного равенства <Oq =у2 решение уравнения
(20.4) записывается в виде
x(t) = [ехр(-у/)|(С, + C2t), (20.10)
который соответствует критическому, или
наиболее быстрому затуханию. Например,
при х(0) = 0, х(0) = v0 (толчок в положении
равновесия) имеем: С, = 0, С2 = v0 (рис.
20.1).
При малом затухании, когда у«ю(),
частота колебаний со, почти не отличает¬
ся от частоты свободных колебаний со0, а
стоящий в выражении (20.5) множитель
у40ехр(—у/) можно рассматривать как мед¬
ленно меняющуюся со временем амплиту¬
ду колебаний (рис. 20.2):
А =Л„ехр(—у/). (20.11)
Для характеристики затухающих колебаний часто используется ве¬
личина, называемая логарифмическим декрементом затухания X, кото¬
рый определяется как логарифм отношения двух последовательных зна¬
чений амплитуды, отстоящих друг от друга на период колебаний Т.
Из формулы (20.11) следует, что X — у Т. Амплитуда убывает в е раз за
время т, равное 1/у, независимо от начального значения амплитуды.
Это время т носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из
Рис. 20.1. Критическое
(наиболее быстрое) затухание
341
формулы (20.11), колебания продолжаются бесконечно долго. Исполь¬
зованное предположение о малости затухания означает, что время жиз¬
ни колебаний т велико по сравнению с периодом Т: т >> Т. Другими
словами, за время т происходит большое число колебаний. Отметим,
что в данном случае движение, строго говоря, не является периодиче¬
ским. Под периодом колебаний Т здесь понимают промежуток времени
между двумя последовательными максимальными отклонениями от
равновесия.
Время жизни колебаний т можно измерять в единицах, равных пе¬
риоду колебаний Т— 2л/со,, и говорить о числе колебаний, по прошест¬
вии которых амплитуда убывает в е раз. Это число характеризуется ве¬
личиной, называемой добротностью осциллятора Q:
(20.12)
Фазовая траектория затухающего колебания при наличии трения,
пропорционального скорости, приведена на рис. 20.3. Она представля¬
ет собой незамкнутую кривую — спираль, закручивающуюся вокруг
начала координат. При малом затухании, когда осциллятор за время
жизни т успевает совершить большое число
колебаний, такое же число витков накручи¬
вает спираль на фазовой плоскости.
Как следует из формулы (20.6), затухание
колебаний влияет и на период, приводя к его
возрастанию по сравнению с периодом сво¬
бодных колебаний в той же системе. Однако
при малом затухании увеличение периода ко¬
лебаний очень мало. При сильном затухании
колебаний вообще может не быть: выведен¬
ная из равновесия система вследствие боль¬
шого трения будет апериодически, т. е. без
осцилляций, приближаться к положению
равновесия. При этом фазовая траектория бу¬
дет иметь совершенно другой вид.
Рис. 20.3. Фазовая
траектория затухающего
осциллятора
342
§ 20.2. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАНИЙ
Основные закономерности затухающих колебаний можно устано¬
вить, не решая дифференциального уравнения (20.4), а рассмотрев дис¬
сипацию механической энергии осциллятора благодаря присутствию
трения. Будем считать, что затухание мало настолько, что связанная с
ним потеря энергии системы за период колебания мала по сравнению с
энергией колебаний. Согласно закону сохранения энергии изменение
механической энергии системы равно работе силы трения:
dE=FTpdr. (20.13)
Подставляя сюда силу трения из формулы (20.1) и учитывая, что
dx = vxdt, получаем
dE = -fivxdx = -fivxdt. (20.14)
Из соотношения (20.14) видно, что скорость изменения энергии коле¬
баний dE/dt пропорциональна квадрату скорости и поэтому может быть
выражена через кинетическую энергию Ек =mv;/2\
•f=-Р^=-#^г=-#£к. <20-15)
Из формулы (20.15) видно, что диссипация энергии в течение периода
колебаний происходит неравномерно, так как кинетическая энергия Ек
осциллирует. Необходимо составить уравнение, описывающее монотон¬
ное убывание энергии за время, содержащее много периодов колеба¬
ний. Очевидно, что это уравнение будет иметь такой же вид, как и
уравнение (20.15), только в правой его части следует взять не мгновен¬
ное, а среднее за период значение кинетической энергии <£к):
#=-#(£.)■ <20|6>
Подчеркнем, что хотя в уравнении (20.16) сохранены те же обозна¬
чения для временной переменной, фактически в нем совершен переход
к другому масштабу изменения времени. Уравнение осталось диффе¬
ренциальным, но малый промежуток времени dt теперь превосходит пе¬
риод колебаний, поскольку нас интересует изменение энергии dt за
много периодов колебаний. Другими словами, уравнение (20.16) уже
нельзя применять для промежутков времени, меньших периода колеба¬
ний. Ввиду малости затухания можно считать, что среднее за период
значение кинетической энергии, как и при свободных колебаниях, рав¬
но половине полной энергии осциллятора: (Ек) = Е/2. Подставляя это
значение (£к) в формулу (20.16) и используя обозначения уравнения
(20.3), получаем
^ = -2у Е. (20.17)
343
Из формулы (20.17) следует, что скорость изменения энергии dE/dt, ко¬
гда нас не интересуют детали ее изменения на протяжении одного пе¬
риода колебаний, оказывается пропорциональной самой энергии Е.
Решение уравнения (20.17) показывает, что энергия осциллятора E(t)
убывает по экспоненциальному закону:
£(/) = £оехр(-2уО. (20.18)
Здесь Е0 — значение энергии системы в начальный момент времени.
Но энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэто¬
му изменение амплитуды действительно выражается соотношением
(20.11), полученным при решении уравнения движения для осцилля¬
тора.
Использованный прием соответствует предложенной Н. Н. Боголю¬
бовым идее перехода к сокращенному описанию системы, когда путем
отказа от выявления детальных особенностей поведения системы на ма¬
лых временах (в данном случае на временах t < Т) удается получить бо¬
лее простое описание поведения системы на больших временах (t » Т).
Эта идея лежит в основе современной статистической физики.
Рассмотрим случай сухого трения, когда
от скорости зависит только направление силы
трения, а ее модуль практически постоянен.
Пусть на горизонтальный стержень насажен
просверленный по диаметру шар массы т,
прикрепленный к пружине жесткости к (рис.
20.4). Сила трения, равная \xrng, направлена в
сторону, противоположную скорости х. По¬
этому уравнение движения шара записывает¬
ся следующим образом:
mx = -kx-\mg при х>0,
(20.19)
mx = -kx + \xmg при х<0.
Таким образом, для нахождения движения шара необходимо решать
два уравнения, которые сменяют друг друга, когда меняется направле¬
ние движения шара, т. е. знак проекции скорости х.
Пусть в начальный момент шар смещен из положения равновесия
влево на некоторое расстояние А, а скорость его равна нулю. Если при
этом упругая сила пружины меньше, чем максимально возможное зна¬
чение силы трения покоя \nmg, то шар будет оставаться в покое и даль¬
ше. Поэтому вблизи положения равновесия х = 0, соответствующего не¬
напряженной пружине, существует область застоя шириной 2\xmg/k, в
любой точке которой шар может находиться в покое.
Если начальное смещение сдвинутого влево шара А больше, чем
2\img/k, то отпущенный шар начнет двигаться направо, и его движение
будет определяться первым из уравнений (20.19). Это уравнение описы¬
вает гармонические колебания с частотой со0 = ^к/т. Наличие постоян¬
'л
т
mmmi
Рис. 20.4. Осциллятор
с сухим трением
344
ной силы в правой части этого уравнения, не меняя частоты колебаний,
приводит к сдвигу положения равновесия.
Записывая первое из уравнений (20.19) в виде
находим, что сдвиг положения равновесия дс0, относительно которого
происходят описываемые этим уравнением колебания, равен
Так как хц < 0, то положение равновесия смещено влево. Оно совпадает
с левой границей области застоя. После того как шар дойдет до крайне¬
го правого положения и его скорость обратится в нуль, он начнет дви¬
гаться налево, проекция скорости х станет меньше нуля, и движение
шара будет определяться вторым из уравнений (20.19). Это уравнение, в
свою очередь, описывает гармонические колебания с той же частотой
со0, происходящие около другого положения равновесия, сдвинутого от¬
носительно точки х = 0 на то же расстояние в противоположную сторо¬
ну. После того как шар придет в крайнее левое положение, дальнейшее
его движение будет снова описываться первым из уравнений (20.19)
и т. д.
Зависимость смещения шара от времени л:(/) показана на рис. 20.5.
Сначала шар идет слева направо, чему соответствует отрезок синусоиды
АВ, изображающий затухающие колебания около положения —\img/k.
Движение справа налево изображается отрезком синусоиды ВС, соот¬
ветствующим колебанию около положения \img/k, и т. д. В результате
чередования кусков синусоид, описывающих незатухающие колебания
около двух чередующихся положений равновесия, получается кривая,
описывающая затухающее движение.
Очевидно, что рано или поздно скорость шара обратится в нуль в
тот момент, когда он будет находиться внутри области застоя (т. Е на
тх = -к(х-х0),
(20.20)
(20.21)
А В
\Lmg/k
О
-\Lmg/k
А
-*■
t
Рис. 20.5. График затухающих колебаний при сухом трении
345
рис. 20.5), и на этом его движение долж¬
но прекратиться. В отличие от затухаю¬
щих колебаний при сопротивлении, про¬
порциональном скорости, где амплитуда
убывает экспоненциально и колебания,
строго говоря, продолжаются бесконечно
долго, здесь амплитуда убывает линейно,
и колебания полностью прекращаются за
конечное время.
Наглядное представление о рассмот¬
ренных колебаниях при наличии сухого
трения можно получить с помощью фа¬
зовой диаграммы (рис. 20.6). Начальное
состояние изображается т. А на оси х.
Движению шара слева направо соответ¬
ствует часть фазовой траектории АВ,
представляющая собой половину окружности, центр которой находится
в т. [img/k на оси х, и т. д. Вся фазовая траектория состоит из таких по¬
ловинок окружностей с чередующимися центрами. Она обрывается в
т. Е на оси х, как только достигнет области застоя.
Рассмотренные особенности затухающих колебаний позволяют по¬
нять происхождение погрешностей у стрелочных измерительных прибо¬
ров, связанных с успокоением их подвижной системы при измерениях.
Неизбежно присутствующее сухое трение приводит к существованию
области застоя около положения равновесия стрелки прибора при про¬
ведении измерений. Из рис. 20.5 и 20.6 видно, что остановка после ко¬
лебаний может произойти в любой точке области застоя в зависимости
от начальных условий. Поэтому остановка стрелки прибора происходит
не точно на том делении шкалы, которое соответствует измеряемой ве¬
личине, а в какой-либо точке области застоя вблизи этого деления.
Для уменьшения погрешности измерения сухое трение стремятся
свести к минимуму. Один из способов уменьшения сухого трения — при¬
менение смазки. При этом трение становится пропорциональным скоро¬
сти, и затухание происходит в соответствии с формулой (20.11). Стрелка
при этом должна остановиться в положении равновесия. Чтобы успокое¬
ние подвижной системы прибора не происходило слишком долго, при¬
меняются так называемые демпфирующие устройства, гасящие колеба¬
ния. Эти устройства не должны ухудшать точность прибора. Поэтому
вводимое ими трение должно быть пропорционально скорости.
§ 20.3. ИДЕАЛИЗАЦИИ В РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ
При изучении колебаний, как и любого другого физического явле¬
ния, всегда вынуждены упрощать рассматриваемую систему, стремясь,
тем не менее, сохранить в выбранной идеализированной модели наи¬
более важные черты явления. Однако никакую идеализацию нельзя
продолжать до бесконечности. Нужно всегда отдавать себе отчет, до
Рис. 20.6. Фазовая траектория
затухающих колебаний
при сухом трении
346
каких пределов остается справедливой выбранная модель. Но и в рам¬
ках выбранной модели иногда еще остаются вопросы, связанные с ус¬
ловиями применимости приближений, использованных при конкрет¬
ных расчетах.
Проанализируем с этой точки зрения те приближения, которые
были использованы выше при изучении колебаний груза, подвешенно¬
го на упругой пружине. Задумаемся над вопросом, в чем смысл сделан¬
ного там предположения о малости массы пружины по сравнению
с массой груза. Ведь при выводе уравнения движения груза (19.5)
(см. § 19.1) предположение об этом, казалось бы, нигде не использова¬
лось. Действительно, здесь воспользовались вторым законом Ньютона
для груза (20.2), в который входит масса груза т, но не входит масса
пружины. Однако уравнение колебаний груза (20.5) все-таки справедли¬
во лишь тогда, когда масса пружины достаточно мала.
На первый взгляд может показаться, что дело здесь только в том,
что массивная пружина будет растянута еще и под действием собствен¬
ной тяжести, так что действующая на груз со стороны пружины сила
уже не будет равна к(х + х0), как в уравнении (20.2). Однако это не так.
И при горизонтальном расположении пружины (см. рис. 20.4) в отсут¬
ствие трения уравнения (20.19) справедливы лишь тогда, когда масса
пружины мала по сравнению с массой груза. В противном случае нужно
учитывать движение самой пружины. В самом деле, при получении за¬
кона движения (19.5) предполагается, что если конец пружины оттянут
на расстояние х, то действующая на груз сила равна -кх. Но это верно
только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно
медленно.
При ускоренном движении груза (следовательно, и пружины) пру¬
жина в разных своих частях растянута по-разному, и ее растяжение уже
не пропорционально силе. Пружина уже не ведет себя квазистатически:
она сама может колебаться как система с распределенными параметра¬
ми. Но если масса пружины мала по сравнению с массой прикреплен¬
ного к ней груза, то можно не считаться с этими колебаниями, так как
они быстрые по сравнению с колебаниями груза на пружине и очень
быстро затухают.
В самом деле, частота колебаний груза, как видно из формулы
(19.4), пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости
пружины к массе груза. При оценке частоты собственных колебаний
пружины можно считать, что ее зависимость от жесткости пружины и
ее массы имеет такой же вид. Поэтому при малой массе пружины часто¬
та колебаний велика по сравнению с частотой колебаний груза. Если
для простоты предположить, что число колебаний за время их жизни
одинаково по порядку величины как для колебаний груза, так и для ко¬
лебаний пружины, то затухание высокочастотных колебаний пружины
происходит за значительно меньшее время, чем затухание колебаний
груза. Поэтому такие колебания пружины могли бы сыграть роль только
в первый момент, когда они еще не затухли.
Если в начальный момент пружина деформирована однородно, то
эти колебания вообще не возникают (разумеется, при условии, что мас-
347
са пружины много меньше массы груза).
Если же в начальный момент пружина
деформирована неоднородно, то такие
быстрые колебания пружины как рас¬
пределенной системы обязательно воз¬
никнут, но быстро затухнут, так что за
время существования этих колебаний
груз еще не успеет заметно сдвинуться с
места. Что же может произойти в систе¬
ме из-за этих колебаний?
Проделаем такой опыт. Захватим пру¬
жину, изображенную на рис. 20.4, за се¬
редину и растянем ее левую половину на
некоторое расстояние х{) (рис. 20.7). Вто¬
рая половина пружины остается в неде-
формированном состоянии, так что груз
в начальный момент смещен из положе¬
ния равновесия вправо на расстояние х0 и
покоится. Затем пружину отпустим. В чем будет специфика возникаю¬
щих колебаний?
Если бы при смещении груза на х0 пружина была деформирована
однородно, то движение груза в отсутствие трения представляло бы со¬
бой гармоническое колебание около положения равновесия с частотой
со0 = -Jk/ni и амплитудой х0:
x(t) = x0cosco (20.22)
Начальная фаза колебаний в формуле (20.22) равна нулю, поскольку
при / = 0 груз смещен из положения равновесия на х0, равное амплитуде
колебаний. Однако в рассматриваемом случае пружина в начальный мо¬
мент деформирована неоднородно — разные части пружины деформи¬
рованы по-разному.
При однородной начальной деформации пружины запас механиче¬
ской энергии системы равен кх\/2. При заданных начальных условиях,
когда растянута на х0 половина пружины, запас энергии равен кх],
ибо, как нетрудно сообразить,жесткость половины пружины равна 2к.
После затухания быстрых колебаний сила натяжения в пружине пере¬
распределяется, а смещение груза остается приблизительно равным х0,
так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация
пружины становится однородной, а энергия системы становится равной
kxl/2.
Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому,
что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соот¬
ветствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что даль¬
нейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной на¬
чальной деформации. Зависимость смещения груза от времени x(t)
выражается той же самой формулой (20.22). Напомним еще раз, что
Рис. 20.7. Сравнение различных
сил упругости (в начальный мо¬
мент растянута только левая поло¬
вина пружины)
348
приведенное рассуждение справедливо при условии, что время затуха¬
ния быстрых колебаний пружины много меньше периода колебаний
груза на пружине.
Можно сделать вывод, что использованная при рассмотрении коле¬
баний груза на пружине модель правильно описывает систему лишь в
отсутствие колебаний пружины как распределенной системы. Несмотря
на то, что эти колебания быстро прекращаются и не влияют на дельней-
шее движение груза, они могут сильно отразиться на энергетических
превращениях в системе.
Задачи к главе 20
Задача 20.1. Логарифмическим декрементом затухания называется ве¬
личина X = уТсн, где Т„ — период свободных колебаний осциллятора.
Вывести связь логарифмического декремента затухания с добротностью
осциллятора Q.
Решение. Период свободных колебаний выражается через часто¬
ту со„ как
т = 2-Д
С» (Во'
Отсюда, в соответствии с формулой (20.12),
Г — -гг 2l- — л.
®0 Q’
т. е. логарифмический декремент затухания выражается только через
добротность осциллятора Q.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 20.2. Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время т уменьшилась
вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время
его механическая энергия уменьшилась вдвое? (Уменьшилась вчетверо; т/2)
Задача 20.3. Нарисовать качественно фазовые траектории для осциллятора в случае,
когда сила трения пропорциональна квадрату скорости: (FTp)x = -рх2. На доступном языке
программирования (Паскаль, Бейсик) написать программу для построения фазовых тра¬
екторий подобной системы.
Задача 20.4. Затухание столь велико, что движение осциллятора перестает носить ко¬
лебательный характер. Оценить по порядку величины, при каком соотношении величин у
и со0 это произойдет. (уо>0 ~ I)
Задача 20.5. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответ¬
ствующей подвеске добротность Q= 10s. Частота колебаний монокристалла со0 = 104 с'1.
Оценить, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки. (Примерно
в 50 раз)
Глава 21. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И АВТОКОЛЕБАНИЯ
§ 21.1. ОСЦИЛЛЯТОР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ
До сих пор были рассмотрены собственные колебания, т. е. колеба¬
ния, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздей¬
ствие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния
равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференци¬
альное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов
внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в
начальных условиях.
Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые
происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии.
Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай,
когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вы¬
нужденных колебаний, происходящих под действием периодической
внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала
действия внешней силы система полностью забывает свое начальное
состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят
от начальных условий. Начальные условия проявляются только в пери¬
од установления колебаний, который обычно называют переходным
процессом.
Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колеба¬
ний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по си¬
нусоидальному закону:
F(t) = F0coscol. (21.1)
Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различ¬
ными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на
длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикре¬
пить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано
на рис. 21.1. Другой конец горизонтально расположенной пружины сле¬
дует заставить двигаться по закону В coscat с помощью кривошип¬
но-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором.
Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила бу¬
дет практически синусоидальна, если размах движения левого конца
Рис. 21.1. Возбуждение вынужденных
колебаний маятника
350
пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятни¬
ка в точке закрепления пружины С.
Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых
наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор
действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся
со временем, можно записать в виде
тх = -кх-$х + Fa cosco/. (21.2)
Здесь левая часть, в соответствии со вторым законом Ньютона, яв¬
ляется произведением массы на ускорение. Первый член в правой части
представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смеще¬
нию х из положения равновесия. Для подвешенного на пружине груза
это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа
иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила
трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления
воздуха или сила трения в оси. Амплитуду F0 и частоту со раскачиваю¬
щей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.
Разделим обе части уравнения (21.2) на массу т и введем обозна¬
чения
2r=f, /.=■§• <2|з>
Теперь уравнение (21.2) принимает вид
х + 2ух + Wo* =f(t) =/о cosco/. (21.4)
В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения (21.4) об¬
ращается в нуль, и оно сводится к уравнению собственных затухающих
колебаний.
Опыт показывает, что под действием синусоидальной внешней
силы, в конце концов, устанавливаются колебания, которые также про¬
исходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и
с постоянной амплитудой А, но с некоторым сдвигом по фазе относи¬
тельно вынуждающей силы. Такие колебания называются установивши¬
мися вынужденными колебаниями. Покажем, что именно такое поведение
системы и следует из уравнения движения (21.4).
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выраже¬
ний:
x(t) =xl(t) +x2(t), (21.5)
где х,(0 — общее решение однородного уравнения, даваемого формулой
(20.5); x2(t) — какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
Искать частное решение неоднородного уравнения (21.4) технически
проще всего, используя комплексные числа.
351
Рассмотрим наряду с формулой (21.4) уравнение
у + 2уу+ соду =/0 sinco/.
(21.6)
Умножим это уравнение на i и сложим почленно с уравнением (21.4).
Вводя по определению z = х + iy и используя формулу Эйлера
После нахождения частного решения уравнения (21.8) z(t) для нахожде¬
ния частного решения уравнения (21.4) достаточно взять x2(t) = Rez(/).
Такая процедура оказывается возможной в силу линейности рассматри¬
ваемого уравнения, когда линейная комбинация решений также являет¬
ся решением.
Будем искать решение уравнения (21.8) в виде
Возводя обе части каждого из равенств (21.13) в квадрат и складывая их
почленно, находим амплитуду В вынужденных колебаний
Разделив почленно равенства (21.13), получаем для tg© выражение
ещ = costp + i sin ф,
(21.7)
получим
z + 2yz + &lz = f^.
(21.8)
z(t) = Bei(ane),
(21.9)
где В и © — некоторые вещественные числа.
Тогда частное решение уравнения (21.4) есть
x2(t) ~ Bcos(at + 0).
(21.10)
Вычисляя с помощью уравнения (21.9) величины z и?
(21.11)
и подставляя их в уравнение (21.8), находим
со 2ВеПю'+в) +2/ую5е'(ш,+0) + со^е'<ш'+0) = /0е>'. (21.12)
Приравнивая вещественную и мнимую части, имеем
В((й1 - со2) = /0 cos©,
2усоB = -f0 sin©.
(21.13)
В= . /0
^((в^-а)г)2+4у2о)2
(21.14)
Теперь, в соответствии с изложенным выше, можно записать такое вы¬
ражение для общего решения линейного дифференциального уравне¬
ния (21.4):
х(^) = Л0е~г' cos(a),r + a) + Z?sin(cof + 0), (21.16)
где =Vwo_Y3> А и a — произвольные постоянные, определяемые
при задании начальных условий; В и © — определяются соотношения¬
ми (21.14) и (21.15).
Видно, что с течением времени первое слагаемое в правой части
уравнения (21.16) стремится к нулю, и остается только второе слагае¬
мое — частное решение неоднородного уравнения, соответствующее ус¬
тановившимся вынужденным колебаниям.
Как и в случае собственных колебаний, при рассмотрении устано¬
вившихся вынужденных колебаний можно не решать дифференциаль¬
ное уравнение движения, а воспользоваться методом векторных диа¬
грамм. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой
вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе ©, то решение
уравнения (21.4), соответствующее таким колебаниям, следует искать в
виде
х(/) = В cos(co/ "Ь ©). (21.17)
При этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со
временем по гармоническому закону:
x(O = -Bcosm((of + 0), (21.18)
*(/)=—со2 £cos(otf + ©). (21.19)
Мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому за¬
кону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое
заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно враща¬
ется в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна амплитуд¬
ному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим
сопоставим каждому слагаемому в уравнении (21.4) вращающийся с уг¬
ловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению
этого слагаемого.
Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме про¬
екций этих векторов, то уравнение (21.4) означает, что сумма векторов,
сопоставляемых со слагаемыми, стоящими в левой части, равна векто¬
ру, сопоставляемому с величиной f0coscof, стоящей в правой части. Что¬
бы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех слагае¬
мых левой части уравнения (21.4), учитывая соотношения (21.17)—
(21.19):
CDq X = -(ojjBcOS(a>t + 0),
2ух =-2 yco#sin((o/ + 0) =2ya>ficos(a>f + 0 + п/2), (21.20)
х = -co22?cos((d/ + 0) = co2Bcos(cof + 0 + тс).
23 - 3840
353
Рис. 21.2. Векторная диаграмма
вынужденных колебаний
Рис. 21.3. Вектор /0, сопоставляемый
с внешней силой
Из формул (21.20) видно, что вектор длины 2yco.fi, сопоставляемый
с величиной 2ух, опережает на угол к/2 вектор щВ, сопоставляемый с
величиной coqJc. Вектор длины со2В, сопоставляемый со слагаемым х,
опережает на к вектор длины co^fi, т. е. эти векторы направлены в про¬
тивоположные стороны.
Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента
времени показано на рис. 21.2. Вся система векторов вращается как це¬
лое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг т. О. Мгно¬
венные значения всех величин получаются проецированием соответст¬
вующих векторов на заранее выбранное направление NN. Вектор,
сопоставляемый с правой частью уравнения (21.4), равен сумме векто¬
ров, изображенных на рис. 21.2. Это сложение показано на рис. 21.3.
Применяя теорему Пифагора, получаем
откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний В,
совпадающую с формулой (21.14).
Сдвиг фазы 0 между вынуждающей силой J[t), как видно из вектор¬
ной диаграммы на рис. 21.3, отрицателен, так как вектор длины co0fi
отстает от вектора/0. Поэтому для tg© получается выражение, совпа¬
дающее с (21.15). Итак, установившиеся вынужденные колебания про¬
исходят по гармоническому закону (21.17), где Ви & определяются фор¬
мулами (21.14) и (21.15).
Вынужденные колебания осциллятора возможны при любом перио¬
дическом внешнем воздействии, а не только синусоидальном. При этом
(21.21)
Рис. 21.4. Вынужденные колебания
осциллятора под действием коротких
толчков
354
Рис. 21.5. Фазовая диаграмма колебаний Рис. 21.6. Вынужденные колебания
под действием коротких толчков под действием толчков, период которых
вдвое превосходит собственный период
осциллятора
установившиеся колебания, вообще говоря, не будут синусоидальными,
но они будут представлять собой периодическое движение с периодом,
равным периоду внешнего воздействия. Внешнее воздействие F(t) может
представлять собой, например, последовательность периодически повто¬
ряющихся толчков (рис. 21.4). Если период внешних толчков совпадает с
периодом собственных колебаний, то в системе наступает резонанс. Ко¬
лебания при этом будут почти синусоидальными. Сообщаемая системе
при каждом толчке энергия при резонансе мала по сравнению с запасом
энергии системы и равна диссипируемой за период энергии.
На рис. 21.5 показана фазовая диаграмма вынужденных колебаний
осциллятора, происходящих под действием коротких толчков. При каж¬
дом толчке осциллятор изменяет свою скорость на одну и ту же величи¬
ну . Период чередования толчков равен периоду собственных колебаний
осциллятора, т. е. имеет место резонанс. Движение осциллятора устано¬
вится таким образом, что толчки будут происходить в те моменты вре¬
мени, когда осциллятор проходит положение равновесия. Резонанс бу¬
дет иметь место и в том случае, когда период чередования толчков будет
кратен периоду собственных колебаний. Такое невозможно при сину¬
соидальном внешнем воздействии. На рис. 21.6 показана фазовая диа¬
грамма для случая, когда период толчков вдвое превышает период ос¬
циллятора.
§ 21.2. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Установившиеся вынужденные колебания под действием синусои¬
дальной силы внешне очень похожи на собственные незатухающие ко¬
лебания: они происходят по синусоидальному закону с неизменной ам¬
плитудой. Но, несмотря на внешнее сходство, это принципиально
разные колебания. При свободных колебаниях энергия колебаний, т. е.
сумма кинетической и потенциальной энергий, постоянна, а средние
значения кинетической и потенциальной энергии равны между собой.
23* 355
Рис. 21.7. Зависимость от времени ки¬
нетической, потенциальной и полной
энергии осциллятора для установив¬
шихся вынужденных колебаний (при
СО << СОд)
В случае синусоидальных вынужденных колебаний, оказывается, это
уже не так.
Запишем выражение для энергии колебаний:
Е = ^тх2 + jkx2 = jmm2a2 sin2(Ш+ &) +^ка2 cos2(со/ + 0). (21.22)
Входящая в это выражение частота со определяется внешним воз¬
действием и не зависит от характеризующих осциллятор величин к и т.
Поэтому в отличие от случая свободных колебаний, где сод = к/т и мно¬
жители перед sin2(cor + а) и cos2(co/+ ос) в формуле (19.13) оказались
одинаковыми, в формуле (21.22) это не так. Таким образом, полная
энергия при установившихся вынужденных колебаниях непостоянна.
На рис. 21.7 показана зависимость от времени кинетической, потен¬
циальной и полной энергии осциллятора при установившихся вынуж¬
денных колебаниях в случае со << со0. Все время идет переход энергии от
источника внешнего воздействия в рассматриваемую систему и обрат¬
но. Полная энергия постоянна только при со = со0.
Средние значения кинетической и потенциальной энергий при вы¬
нужденных колебаниях могут сильно отличаться друг от друга. При низ¬
ких частотах, когда со < со„, среднее значение кинетической энергии
меньше среднего значения потенциальной, а при со > со„ — наоборот.
Действительно, при вынужденных колебаниях с очень низкими часто¬
тами почти вся энергия осциллятора — это энергия деформированной
пружины, а кинетическая энергия ничтожно мала. При высоких часто¬
тах, напротив, скорость может достигать огромных значений даже при
ничтожных смещениях, когда потенциальная энергия пренебрежимо
мала.
Рассмотрим подробнее энергетические превращения при установив¬
шихся вынужденных колебаниях. Если частота внешней силы много
меньше частоты собственных колебаний системы, то, как уже отмеча¬
лось, почти вся энергия колебаний представляет собой потенциальную
энергию. Поэтому, когда осциллятор удаляется от положения равнове¬
сия, энергия системы возрастает, т. е. внешняя сила совершает положи-
356
тельную работу. На протяжении этой четверти периода энергия посту¬
пает в систему от внешнего источника. На протяжении следующей чет¬
верти периода, когда осциллятор возвращается в положение равновесия
и потенциальная энергия убывает, система отдает энергию внешнему
источнику. Затем все повторяется.
Если частота внешней силы много больше частоты собственных ко¬
лебаний, то энергия осциллятора — это в основном кинетическая энер¬
гия. Поэтому система получает энергию от внешнего источника в те
четверти периода, когда осциллятор движется к положению равновесия
и его скорость возрастает. При удалении от положения равновесия сис¬
тема отдает энергию внешнему источнику.
Ясно, что при установившихся колебаниях получаемая системой от
внешнего источника энергия превосходит отдаваемую, так как в систе¬
ме действует сила трения, работа которой определяет диссипацию меха¬
нической энергии — переход части энергии колебаний в теплоту.
Когда частота внешней силы совпадает с частотой свободных коле¬
баний, полная энергия системы постоянна, как и в случае свободных
колебаний. Дважды за период кинетическая и потенциальная энергии
целиком переходят друг в друга. Другими словами, система совершает
почти собственные колебания. Роль внешней силы сводится только к
компенсации действующей в системе силы трения.
Запишем выражение для развиваемой внешней силой мощности
Pit) при установившихся колебаниях:
P(t) = F{t)vx{t) = F(t)x{t). (21.23)
При заданной внешней силе эта мощность пропорциональна первой
степени скорости осциллятора, а тем самым и первой степени амплиту¬
ды вынужденных колебаний.
Скорость диссипации механической энергии в системе определяет¬
ся мощностью, развиваемой силой трения:
Ртр (t) = FTp v, it) = - (3v2 it) = - (3x2 it). (21.24)
Видно, что мощность пропорциональна
квадрату скорости осциллятора, т. е. про¬
порциональна квадрату амплитуды коле¬
баний.
Линейная зависимость мощности
внешней силы и квадратичная зависи¬
мость мощности силы трения позволяет
объяснить устойчивость режима вынуж¬
денных колебаний. Изобразим эту зави¬
симость графически. На рис. 21.8 прямая
линия характеризует получаемую систе¬
мой энергию, а парабола — диссипируе-
мую энергию, определяемую мощностью
силы трения. Поскольку в установившем-
Рис. 21.8. К исследованию
устойчивости режима
вынужденных колебаний
ся режиме эти энергии равны, то точка пересечения прямой и параболы
соответствует амплитуде установившихся колебаний. Представим себе,
что в силу каких-то случайных причин амплитуда колебаний немного
изменилась, например, уменьшилась при неизменной фазе. Тогда, как
видно из рис. 21.8, мощность внешней силы будет больше диссипируе-
мой мощности. Это приводит к росту энергии системы и восстановле¬
нию прежнего значения амплитуды колебаний. Аналогично можно убе¬
диться в том, что амплитуда вынужденных колебаний устойчива и по
отношению к случайным отклонениям в сторону возрастания.
§ 21.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ. УСТАНОВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
До сих пор был рассмотрен установившийся режим вынужденных
колебаний. А как происходит установление колебаний? Начнем со слу¬
чая, когда собственная частота со0 равна частоте вынуждающей силы ю.
Пусть в начальный момент осциллятор покоится в положении равнове¬
сия, т. е. начальные условия имеют вид
х(0) = 0, 40) =0. (21.25)
В этот момент на него начинает действовать внешняя синусоидальная
сила с частотой со, равной частоте со0 свободных колебаний осцил¬
лятора.
Движение осциллятора будет описываться уравнением (21.4), об¬
щим решением которого будет функция x(t), даваемая соотношением
(21.16). Будем для простоты считать затухание очень слабым. Тогда не¬
посредственной проверкой можно убедиться в том, что функция
x(t) = A0e~yl cos((o0r + a) + 5sinco0r (21.26)
действительно является решением уравнения (21.4).
Благодаря множителю ехр(—у?) первое слагаемое в формуле (21.26)
стремится к нулю при t -» оо, и остается только член ftinco„/, описываю¬
щий установившиеся вынужденные колебания. Но при малых значени¬
ях времени t первое слагаемое в уравнении (21.26) играет важную роль:
наличие двух произвольных постоянных А0 и а позволяет удовлетворить
любым начальным условиям. Полагая, что t — 0 и учитывая первое из
начальных условий уравнения (21.25), получаем
0 = /l0cosa, (21.27)
откуда a = п и cos(cof + а) в формуле (21.26) равен -sinco0f.
При нахождении скорости х из уравнения (21.26) учтем, что при ма¬
лом затухании, когда у << со0. сомножитель ехр(—у/) почти не изменяет¬
ся на протяжении периода колебаний. Поэтому при дифференцирова¬
нии x(t) его можно считать постоянным:
358
x(t) = Ba>0 cosco0/-A0e y'co0 cos(o0/.
(21.28)
Полагая здесь t — 0 и учитывая начальное условие уравнения (21.25),
получаем
О = Всо0 — А0а>0, (21.29)
откуда А0 = В. Теперь выражение (21.29) принимает вид
x(t) = Bsinco0t-Be~yr sinco0/ = 5(1 -e~yr )sincon/. (21.30)
Первое слагаемое в формуле (21.30) представляет собой гармони¬
ческое колебание постоянной амплитуды и соответствует установив¬
шимся вынужденным колебаниям. Второе слагаемое соответствует соб¬
ственным затухающим колебаниям. Поэтому процесс установления
колебаний можно представить себе таким образом: в начале процесса в
системе одновременно присутствуют и вынужденные, и собственные
колебания, причем амплитуда и фаза последних таковы, что результи¬
рующее колебание удовлетворяет начальным условиям. Графики этих
колебаний показаны на рис. 21.9.
При малом затухании результирующее колебание x(t) в формуле
(21.30) можно рассматривать как синусоидальное колебание с частотой
со0, амплитуда которого медленно нарастает со временем. Характерное
время установления амплитуды колебаний т = 1/у совпадает с временем
жизни собственных затухающих колебаний в той же системе. Итак, при
Рис. 21.9. Процесс установления вынужденных колебаний при резонансе
359
Рис. 21.10. Установление вынужденных колебаний при со < со()
о = а>„ время установления колебаний будет тем больше, чем меньше
затухание в системе. Это легко понять и с помощью энергетических со¬
ображений.
Если частота вынуждающей силы со не совпадает с частотой свобод¬
ных колебаний со0) то процесс установления колебаний также можно
представить как наложение вынужденных колебаний с частотой со и за¬
тухающих собственных колебаний с частотой со0. Картина установления
колебаний при со < со0 показана на рис. 21.10.
* § 21.4. РЕЗОНАНС
Зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний
от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое
увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении час¬
тоты со вынуждающей силы к собственной частоте со0 осциллятора на¬
зывается резонансом.
Из выражения (21.14) для амплитуды установившихся колебаний
следует, что в пренебрежении затуханием (у = 0) эта амплитуда при
со = со0 обращается в бесконечность. Реально амплитуда колебаний в
бесконечность, конечно, обращаться не может.
Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи
резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения
амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конеч¬
ной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе.
Как следует из соотношения (21.15), при малом трении установив¬
шиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей си-
360
а(ю) 4 4
Рис. 21.11. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы
лой при со < оо0 и в противофазе при со > оо0. Однако вблизи резонанса
фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпаде¬
нии частот (со = со0) смещение x(t) отстает по фазе от вынуждающей
силы на п/2 (на четверть периода). Скорость x(t) изменяется при этом в
фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные
условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей
силы с осциллятору.
Резонансные кривые, т. е. кривые, показывающие зависимость ам¬
плитуды и фазы установившихся колебаний от частоты со вынуждающей
силы, показаны на рис. 21.11.
Для нахождения частоты резонанса сорез нужно найти, при каком со
подкоренное выражение в формуле (21.14) имеет минимум. Приравни¬
вая производную этого выражения по со нулю (или дополняя ее до пол¬
ного квадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных ко¬
лебаний имеет место при
Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных коле¬
баний системы. При малых у резонансная частота практически совпада¬
ет с со0. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности,
т. е. при со >> оо0, амплитуда В, как видно из (21.14), стремится к нулю.
При со = 0, т. е. при действии постоянной внешней силы, амплитуда
В=/0/с0о. Если подставить сюда fQ = FJm и со„ = к/т, получим B„FJk.
(21.31)
361
Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия
под действием постоянной силы F0.
Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе В^ находим, под¬
ставляя сор(:;1 из формулы (21.31) в выражение (21.14):
/о
2у-/с
/о
2 усо,/
(21.32)
Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная
затухания у.
Интересно сравнить значение Bpe:i со статическим смещением В„
под действием силы F0. Составляя отношение BpcJBCT> получаем при ма¬
лом затухании
В„
_ «о
2у-
(21.33)
Подставляя сюда со0 = 2к/Т и учитывая, что 1/у = т есть время жизни
собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие
внешних сил, находим
%s- = njt. (21.34)
Но т/Тесть число колебаний, совершаемых затухающим осциллято¬
ром за время жизни колебаний т. Таким образом, резонансные свойства
системы характеризуются тем же параметром, что и собственные зату¬
хающие колебания.
Из формул (21.14) и (21.18) следует, что амплитуда колебаний ско¬
рости при установившихся вынужденных колебаниях равна со В. С по¬
мощью формулы (21.14) получаем
/р0> /о
со В =
2)2+4у2м2
(21.35)
— — м + 4у
Рис. 21.12. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях
362
Зависимость амплитуды скорости и ее фазы от частоты внешней силы
показана на рис. 21.12. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа
на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некото¬
рых отношениях. Так, при со = 0 , т. е. при действии постоянной силы,
осциллятор испытывает статическое смещение из положения равнове¬
сия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, рав¬
на нулю. Из формулы (21.35) видно, что амплитуда скорости при со = О
обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпаде¬
нии частоты внешней силы с частотой свободных колебаний со = со0.
§ 21.5. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
Возбуждать колебания в незамкнутых колебательных системах мож¬
но не прямым воздействием, как при вынужденных колебаниях, а путем
изменения со временем параметров системы. При некоторых изменени¬
ях этих параметров состояние покоя системы в положении равновесия
оказывается неустойчивым. Достаточно сколь угодно слабого отклоне¬
ния от этого состояния, чтобы появившееся смещение х стало быстро
нарастать со временем. Такое явление называется параметрическим ре¬
зонансом.
Параметрами одномерного гармонического осциллятора являются
масса т и коэффициент жесткости пружины к. Если они явно зависят
от времени, то уравнение движения имеет вид
jL(mx) + kx =0. (21.36)
Вводим вместо t новую независимую переменную т соотношением
Тогда, учитывая, что
т = *. (21.37)
4-Н- <2'-38>
перепишем уравнение (21.36) в виде
£$+ткх= 0. (21.39)
ах2
Отсюда следует, что в общем случае можно рассмотреть уравнение дви¬
жения вида
^f + co2(0*=0, (21.40)
которое получилось бы из формулы (21.36) при постоянной массе. Вид
функции со(t) задается условиями задачи.
363
Пусть, например, функция со(/) мало отличается от некоторой по¬
стоянной величины <в0, являясь простой периодической функцией вре¬
мени:
(о2 (/) = tog (1 + /i cosy/), (21.41)
где h — малая положительная постоянная: h « 1.
Параметрический резонанс возникает, когда функция сo(t) близка к
удвоенной частоте со0. Поэтому положим, что
у = 2со0 + £, (21.42)
где е «со0.
Приближенное решение возникающего в этом случае уравнения
движения
х + а>о [1 + h cos(2 со0 + z)t\x = 0 (21.43)
будем искать в виде
x(f) = /l(r)cos^w0 + |ji‘ + i(r)sin^co0 + |jr, (21.44)
где A(t) и B(t) — медленно меняющиеся по сравнению со своими сомно¬
жителями функции времени.
Подставляя формулу (21.44) в уравнение (21.43), будем пренебрегать
производными этих функций. Далее возникающие при такой подста¬
новке произведения разложим в суммы, например:
cos^o)0 +|jrcos(2<o0 + e)t = j-cosj^3co0 + + jcos^w0 + jj/. (21.45)
Пренебрегая слагаемыми с частотами 3(©0 + е/2), приходим к равен¬
ству
^e-*|^)cos(®0 +f^+^e+^jsin^co0 +|jr =0. (21.46)
Для выполнения этого условия требуется одновременное обращение
в нуль коэффициентов при каждом из сомножителей — синусе и коси¬
нусе: е = -Лсо0/2 и А = 0 или s = Лсо0/2 и В = 0. Эти значения е определя¬
ют границы области возникновения параметрического резонанса. В ре¬
зультате он возможен в интервале
Лсоо . _ . Ашо
<е<~- (21.47)
2 2
вокруг частоты 2со0.
364
Рис. 21.13. Маятник
с переменной длиной
подвеса
Пример механической системы, в которой
возможен параметрический резонанс, — это каче¬
ли, раскачиваемые человеком, регулярно присе¬
дающим и поднимающимся и тем самым перио¬
дически перемещающим положение центра масс
системы. Для выявления механизма возбуждения
колебаний в этом случае рассмотрим маятник,
длину подвеса которого можно менять, подтяги¬
вая и опуская нить (рис. 21.13).
В момент каждого прохождения через верти¬
кальное положение будем подтягивать маятник
вверх на некоторую высоту h, малую по сравнению с длиной маятника /:
h/l« 1. В каждом крайнем положении маятника будем удлинять нить,
отпуская ее на ту же длину И. При этом частота периодического измене¬
ния параметра системы — длины маятника — будет вдвое больше часто¬
ты его собственных колебаний.
При каждом укорочении нити при прохождении вертикального по¬
ложения в силу закона сохранения момента импульса скорость маятни¬
ка изменяется на величину
Av * Vy.
(21.48)
Далее, поскольку удлинение нити происходит при отклоненном по¬
ложении маятника, ускорение — при вертикальном, то за каждое подтя¬
гивание и отпускание нити потенциальная энергия маятника увеличи¬
вается на
Д£п = mgh(\-cos(p0) ~±mghg>20, (21.49)
где ф0 — угол максимального отклонения от вертикали.
В результате за один период колебаний энергия маятника увеличи¬
вается на величину
ДЕ =2(АЕК + АЕП) =2/иА| -у- +
ffPg
2
(21.50)
Увеличение энергии маятника происходит за счет работы, совер¬
шаемой внешней силой при изменении его длины. Скорость маятника
при прохождении равновесного положения v связана с максимальным
углом отклонения ф0 соотношением v2 -glg>\, поэтому (21.50) можно
переписать в виде
АЕ = 6^-^ = аЕ, (21.51)
где а = 6/?// — малая положительная величина.
365
Из формулы (21.51) следует, что энергия маятника будет системати¬
чески возрастать, причем скорость этого возрастания пропорциональна
энергии маятника. В действительности в системе всегда имеется неко¬
торое трение, которое приводит к тому, что параметрическая раскачка
колебаний становится возможной, когда поступление энергии за пери¬
од превосходит некоторое пороговое значение. Ограничение амплитуды
колебаний при параметрическом резонансе происходит за счет нели¬
нейных эффектов. Обратим внимание на то, что при строго равных
нулю начальных значениях скорости и отклонения маятника от равно¬
весия они остаются равными нулю и в дальнейшем в отличие от обыч¬
ного резонанса, при котором раскачка колебаний происходит и при
строго равной нулю начальной энергии.
В отличие от резонанса при вынужденных колебаниях параметри¬
ческий резонанс происходит при изменении параметров осциллятора с
частотой, удвоенной по сравнению с собственной частотой, а также при
частотах со„, удовлетворяющих соотношению
<о„ =^. (21.52)
Параметрический резонанс учитывается в небесной механике при
расчетах возмущений планетных орбит, вызванных влиянием других
планет.
§ 21.6. АВТОКОЛЕБАНИЯ
Наиболее интересными, хотя и очень сложными для исследования
являются системы, в которых колебания возникают не за счет началь¬
ного толчка и не за счет периодического внешнего воздействия, а в ре¬
зультате имеющейся у каждой из таких систем способности самой регу¬
лировать ‘поступление энергии от постоянного источника. Такие
системы носят название автоколебательных. Наиболее известный при¬
мер автоколебательных систем — обычный часовой механизм.
Характерные элементы автоколебательной системы, представляю¬
щей собой генератор незатухающих колебаний, — это резонатор, источ¬
ник энергии и обратная связь между резонатором и источником энер¬
гии. Резонатор представляет собой систему, в которой могут происхо¬
дить собственные затухающие колебания. Это, например, маятник на¬
стенных часов. Обратная связь представляет собой устройство, с помо¬
щью которого генератор сам регулирует поступление энергии от источ¬
ника. Это анкерный механизм в часах.
Трение в резонаторе приводит к диссипации энергии колебаний.
Обратная связь обеспечивает необходимое восполнение энергии, так
что амплитуда колебаний остается неизменной. Как и при вынужден¬
ных колебаниях под действием периодической внешней силы, при ав¬
токолебаниях, независимо от начального состояния, в конце концов,
устанавливается стационарный режим колебаний с определенной часто¬
той и амплитудой. При вынужденных колебаниях частота и амплитуда
366
определяются внешним воздействием.
При автоколебаниях как частота, так и
амплитуда определяются свойствами
самой системы.
Даже самые простые реальные ав¬
токолебательные системы описываются
сложными уравнениями. Поэтому рас¬
смотрим упрощенную модель автоколе¬
бательной системы, допускающую про¬
стое исследование. Рассмотрим брусок
на горизонтальной ленте транспортера,
прикрепленный к стене упругой пру¬
жиной (рис. 21.14). Пока лента транс¬
портера неподвижна, в системе при
наличии сухого трения возможны коле¬
бания, аналогичные незатухающим ко¬
лебаниям около смещенного положе¬
ния равновесия. При каждой перемене
направления скорости происходит из¬
менение (перескок) положения равновесия. Затухание колебаний про¬
является при переходе от одного положения равновесия к другому, хотя
диссипация энергии колебаний и выделение теплоты при наличии сухо¬
го трения происходят непрерывно.
Пусть теперь лента транспортера движется со скоростью и, большей
максимального значения скорости колебаний бруска на пружине.
В этом случае перескоков от одного положения равновесия к другому
не происходит, на брусок действует постоянная сила трения \xrng, на¬
правленная вправо, и уравнение движения бруска записывается в виде
(см. рис. 21.14):
mx = -kx + [xmg. (21.53)
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой со0 = к/т
около положения равновесия х0, в котором пружина находится в растя¬
нутом на величину х0 = \ymg/k состоянии. Перепишем уравнение (21.53)
следующим образом:
х = -Юо(х-х0). (21.54)
Выбирая начало отсчета времени в момент наибольшего смещения
бруска вправо, запишем решение уравнения (21.54) в виде
x(t) = xn +/lcoscD0f. (21.55)
Скорость движения бруска x{t) при этом дается выражением
х(г) = -Ао0 sin оо0г. (21.56)
Фазовая траектория бруска изображена на нижней части рис. 21.14.
В координатах х, х/ы0 она представляет собой окружность с центром в
Рис. 21.14. Колебания груза на дви¬
жущейся ленте транспортера мри
наличии сухого трения
367
т. х„. Радиус окружности равен амплитуде колебаний А, и он меньше ве¬
личины и/щ, поскольку, по определению, максимальная скорость бру¬
ска меньше скорости и ленты транспортера.
Рассмотрим энергетические превращения в этой системе. Фазовая
траектория свободных колебаний в отсутствие трения представляет со¬
бой окружность с центром в начале координат (см. рис. 19.8). Все точки
этой окружности соответствуют одной и той же энергии системы, кото¬
рая пропорциональна квадрату радиуса окружности. Теперь из фазовой
диаграммы на рис. 21.14 видно, что на нижней половине окружности,
соответствующей движению бруска влево, энергия системы убывает, а
на верхней полуокружности, соответствующей движению вправо, энер¬
гия возрастает. Эти изменения энергии обусловлены действием силы
трения: пока брусок движется влево, сила трения направлена против
скорости и тормозит его движение, уменьшая энергию системы. При
движении бруска вправо сила трения направлена вдоль скорости, она
подталкивает брусок и увеличивает энергию системы. Это и приводит к
возможности существования незатухающих колебаний, когда убыль
энергии системы за одну половину периода восполняется за другую его
половину.
Проиллюстрируем описанные результаты с помощью закона сохра¬
нения энергии. Для полной энергии колебаний имеем
Е = Ек + Ел = jmx2 +^kx2 =
1.
(21.57)
= j/wcoq A sin ю0/ + jk(x0 + A cos со0/)
что после перегруппировки слагаемых приводится к виду
Е = ^k{xl + Аг) +kxaAcosu>Qt. (21.58)
*
Выражение (21.58) содержит осциллирующее слагаемое, среднее значе¬
ние которого за период колебаний равно нулю. Скорость изменения
энергии системы dE/dt в соответствии с формулой (21.58) есть
= -кх0 Аа>0 sin m0t. (21.59)
В соответствии с законом сохранения энергии эта величина должна
быть равна мощности Ртр силы трения. Непосредственно вычисляя эту
величину, найдем с помощью уравнения (21.56)
Ртр =Етрх = -кх0 Лео,, sin т0/, (21.60)
что совпадает с правой частью формулы (21.59). Мощность силы трения
на протяжении периода колебаний принимает и положительные, и от¬
рицательные значения, а ее работа за период равна нулю — по истече¬
нии целого периода механическая энергия системы принимает прежнее
значение.
368
Рассмотрим особенности выделения теплоты в результате трения в
этой системе. Поскольку сила трения постоянна и равна \irng = кхп, то
приводящий ленту в движение с постоянной скоростью и мотор разви¬
вает для этого постоянную мощность, равную кх0и. В отсутствие колеба¬
ний выделяющаяся в единицу времени теплота была бы равна этой
мощности. При колебаниях бруска только среднее значение скорости
выделения теплоты равно кх0и. В различные половины периода колеба¬
ний скорость выделения теплоты больше и меньше этого среднего зна¬
чения, в зависимости от того, уменьшает или увеличивает сила трения
механическую энергию осциллятора. Это хорошо видно из выражения
для скорости выделения теплоты Р0, которая определяется относитель¬
ной скоростью ленты и бруска и-х.
PQ =7rTp(M-x) = fcc0(M + (o0^sina)0/). (21.61)
Отметим, что Р0 всегда положительна, поскольку скорость ленты и
больше амплитудного значения скорости бруска avl.
Рассмотрим процесс установления стационарного режима автоколе¬
баний и выясним, от чего зависит амплитуда А. Начнем с наиболее про¬
стого случая, когда брусок в начальный момент покоится в положении,
соответствующем недеформированной пружине. Точка, соответствую¬
щая такому начальному состоянию, находится в начале координат на
фазовой плоскости системы (рис. 21.15). Пусть скорость ленты и на¬
столько велика, что и > х0со0. Сила трения начинает разгонять брусок, и
его движение описывается уравнением (21.54), как и при гармониче¬
ском колебании около т. х0. В течение первой четверти периода с мо¬
мента начала движения скорость бруска увеличивается, но все же не
достигает значения, равного и. Фазовая траектория этого движения
представляет собой окружность с центром хп, проходящую через началь¬
ное состояние системы, т. е. через начало координат. Радиус окружно¬
сти, равный хп, равен амплитуде автоколебаний А. Все это можно непо¬
средственно увидеть с помощью соотношений (21.55) и (21.56).
Пусть теперь скорость ленты такова, что
и < х0со0. Теперь фазовая траектория на началь¬
ном участке движения бруска будет представ¬
лять собой окружность с центром в т. х0 только
до тех пор, пока скорость бруска не достигнет
верхней точки фазовой диаграммы на рис. jS
21.16. В этот момент проскальзывание бруска <*>о
прекращается, трение скольжения заменяется
трением покоя, и сила трения скачком умень- —
шается до значения кхи равного силе натяже- О
ния пружины. Брусок движется вместе с лен¬
той с постоянной скоростью и, растягивая при
этом пружину до тех пор, пока сила натяжения рис- 21-15- фазо|>а)| лиа~
t w. грамма в случае Пысгрою
пружины кх не станет равной максимальному движения ленты (или мяло-
значению СИЛЫ Трения ПОКОЯ \xmg= кх{). С ЭТО- го коэффициента трения)
24 3840 369
го момента снова начинается проскальзы¬
вание, и фазовая траектория дальнейшего
движения бруска представляет собой ок¬
ружность с центром в т. х0 с радиусом, рав¬
ным и/щ, который соответствует амплиту¬
де установившихся колебаний.
Такая сшитая из отдельных кусков фа¬
зовая траектория соответствует тому, что
движение бруска на разных участках опи¬
сывается различными уравнениями. Дейст¬
вительно, на начальном участке (от О до В)
движение бруска описывается уравнением
(21.54), на участке ВС — уравнением х=0
(с решением х =«), далее снова уравнением
(21.54). На нижней части рис. 21.16 приве¬
дена зависимость x{t) смещения бруска от
времени.
Рассмотрим другие начальные усло¬
вия. Пусть находящемуся в т. х = О бруску
мгновенно сообщается начальная скорость,
большая скорости ленты и (т. В на фазовой
диаграмме на рис. 21.17). В этом случае в
начальный момент действующая на брусок
сила трения скольжения направлена влево,
и уравнение движения имеет вид
тх = -kx-yung. (21.62)
Оно описывает гармоническое колебание с частотой со0 -Jk/m около
положения равновесия -х0, где х0 = \img/k. Начальный участок фазовой
траектории представляет собой дугу окружности с центром в т. -х0. Ко¬
гда скорость бруска уменьшится до значения, равного скорости ленты
(т. С на рис. 21.17), сила трения скачком изменит направление на про¬
тивоположное.
Дальнейшее движение бруска представляет собой колебание около
положения равновесия х0. На фазовой диаграмме ему соответствует
часть окружности с центром в т. х0. На рис. 21.17 изображен случай, ко¬
гда т. D, в которой скорость бруска снова станет равной скорости ленты
и, лежит правее точки -х0. Вт. D трение скольжения заменяется трени¬
ем покоя, и дальше все происходит так же, как на рис. 21.16. Однако во
всех случаях будут происходить перескоки между окружностями с цен¬
тром в х0 и -х0 до тех пор, пока фазовая траектория не попадет на пря¬
мую х=и в промежутке между точками х„ и -х0. После этого фазовая
траектория выходит на ту же самую предельную окружность с центром в
х„ и радиусом А = и/щ. Если начальное состояние системы изображает¬
ся точкой, лежащей внутри предельной окружности, то ее фазовая тра¬
ектория представляет собой окружность с центром в х0, проходящую че¬
рез начальное состояние.
X
Щ
«о
О
Рис. 21.16. Фазовая диаграмма
и график смещения в случае
<
370
Рис. 21.17. Фазовая диаграмма в случае,
когда начальная скорость больше
скорости ленты
Рис. 21.18. Зависимость силы сухого
трения от скорости
При экспериментальной реализации рассмотренной модели автоко¬
лебательной системы следует скомпенсировать трение, пропорциональ¬
ное скорости (например, сопротивление воздуха), всегда присутствую¬
щее в реальных системах. Это можно сделать, использовав слабо
немонотонную зависимость силы сухого трения от скорости (рис.
21.18). Если выбрать скорость ленты так, как показано на рис. 21.18, то
можно добиться компенсации трения, зависящего от скорости, и полу¬
чить практически незатухающие автоколебания.
Автоколебания могут происходить и в системах, не содержащих ре¬
зонатора. При этом колебания, как правило, уже не будут гармониче¬
скими. Типичный пример таких колебаний — колебания уровня жидко¬
сти в гидравлическом устройстве, показанном на рис. 21.19. В сосуд,
снабженный сифоном С, из крана К с постоянной скоростью натекает
вода. Пока сифон не заполнен водой, уровень воды в сосуде растет по
24*
37)
линейному закону. Как только уровень достигает высоты /г,, сифон сра¬
батывает, и уровень воды в сосуде быстро понижается до значения h7,
после чего сосуд снова наполняется водой. Скорость опорожнения со¬
суда через сифон v2 можно сделать гораздо больше скорости его напол¬
нения vb так как скорость воды в сифоне определяется разностью уров¬
ней h2 и h}. Зависимость уровня воды h и скорости v его изменения ог
времени показаны в правой части рис. 21.19. Видно, что колебания
уровня воды и скорости не являются синусоидальными.
Задача 21.1. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в
виде ряда углублений, находящихся на расстоянии I друг от друга. По
этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рес¬
соры, каждая из которых прогибается на х0 под действием груза массой
т. С какой скоростью v катили коляску, если от толчков на углублениях
она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски М.
Решение. Коляска начнет сильно раскачиваться, если промежу¬
ток времени между двумя точками на углублениях будет равен периоду
собственных колебаний коляски. Период собственных колебаний коля¬
ски находится из формулы
За коэффициент жесткости к здесь принимается величина
и, следовательно,
Время между двумя последовательными толчками t = l/v = 'Г, отсюда
для скорости получаем:
Задача 21.2. Игла звукоснимателя движется но синусоидальной бороздке грампла¬
стинки. Частота собственных колебаний иглы со0. Изгибы бороздки повторяются через
расстояние X. При какой скорости иглы относительно пластинки она начнет выскакивать
Задачи к главе 21
Задачи для самостоятельного решения
из бороздки? (V =
372
Задача 21.3. На любом из доступных Вам языков программирования (Бейсик, Пас
каль) написать программу, решающую численно систему уравнений (21.40)—(21.41), и ис¬
следовать поведение модели при различных заданных значениях параметров. Результат
должен представляться в виде графика — фазового портрета (х, х) системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Каким образом можно удвоить максимальную скорость гармонического осцилля¬
тора?
2. Тело массой т подвешено на конец пружины жесткостью к. Пружину разрезали
пополам и на одну из половин подвесили то же тело. Как изменилась частота колебания?
3. Маятниковые часы идут точно на уровне моря. Будут ли те же часы спешить или
отставать на вершине Эвереста?
4. Обращается ли в нуль в какой-либо момент времени ускорение гармонического ос¬
циллятора?
5. Как изменится период колебаний маятника, если точку его подвеса двигать верти¬
кально вверх с небольшим постоянным ускорением?
6. Как будет меняться период колебаний маятника, состоящего из сосуда, подвешен¬
ного на длинной нити, если сосуд наполнен водой, которая постепенно вытекает через
небольшое отверстие в дне сосуда?
7. Приведите несколько примеров явления резонанса из повседневной жизни.
8. Сколько мод колебаний будет иметь система с тремя степенями свободы?
9. Как добротность осциллятора связана со временем жизни колебаний?
10. В какие интервалы периода колебаний энергия диссипирует быстрее?
11. Что такое сокращенное описание системы?
12. Чем обусловлен механизм забывания начальных условий в системе, совершающей
вынужденные колебания?
13. Как можно оценить время установления гармонических колебаний в системе?
14. Качели, раскачиваемые человеком, — пример механической системы, в которой
возможен параметрический резонанс. Какие параметры при этом меняются в системе и
каким образом?
15. Чем параметрический резонанс отличается от обычного?
16. Как поведет себя автоколебательная система, если отключить в ней обратную
связь?
Описание программного обеспечения по теме
«Механические колебания»
Система компьютерной математики MathCAD
(MathSoft, Inc)
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/2000;
• ПЭВМ типа IBM PC 486DX;
• 16 Мб ОЗУ;
• свободных 80 Мб на винчестере;
• подключение к Интернету (желательно);
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
2. Назначение программы и ее возможности
MathCAD — система компьютерной математики. Содержит прекрасную графику и
визуализацию на всех этапах вычислений, включая ввод. Весьма дружественный интер¬
фейс. Ввод данных осуществляется с помощью клавиатуры, или же использованием мно¬
гочисленных и тщательно подобранных палитр математических знаков. Система полдер-
373
живается множеством примеров, электронных книг и библиотек, в том числе
специализированного математического и физического содержания. Эта система легка в
освоении, подробно описана в многочисленной литературе. Для получения справки в ре¬
жиме on-line можно порекомендовать русскоязычный сайт www.exponenta.ru.
К некоторым недостаткам системы можно отнести ограниченное применение сим¬
вольной математики и довольно примитивные средства программирования. Кроме того,
система предъявляет повышенные требования к аппаратным ресурсам.
На уже упомянутом сайте Exponenta, а также в самой справочной службе MathCAD
содержится большое количество примеров использования системы для решения диффе¬
ренциальных уравнений, в том числе тех, которые встречаются в теории линейных и не¬
линейных колебаний. Богатые средства визуализации позволяют не только проводить
численные расчеты поведения различного типа осцилляторов, но и легко строить графи¬
ки поведения функций (координат, скоростей и т. п.) в зависимости от времени, а также
рисовать фазовые портреты. Отметим, что конечный результат представляется в
MathCAD в виде, максимально близком к естественному, что делает использование сис¬
темы весьма удобным для создания электронных книг и обмена рабочими листами по
Интернету.
РАЗДЕЛ VIII. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Глава 22. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
§ 22.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Волны представляют собой процесс распространения колебаний.
Начнем систематическое изучение простейших механических волн, воз¬
буждаемых источником, совершающим гармонические колебания.
Рассмотрим простую механическую систему: два одинаковых маят¬
ника с жесткими стержнями соединены слабой пружиной ничтожной
массы, как показано на рис. 22.1, а. Устройство подвеса таково, что ма¬
ятники могут совершать колебания в плоскости чертежа. Когда они ви¬
сят вертикально, пружина не деформирована. Такие связанные маятни¬
ки представляют собой механическую систему с двумя степенями
свободы. Для задания механического состояния этой системы нужно
указать положения и скорости обоих маятников. Какие колебания воз¬
можны в такой системе?
Рассмотрим сначала собственные колебания, которые возникают,
если систему вывести из положения равновесия и предоставить самой
себе. Вид этих колебаний определяется начальными условиями. Если
а)
в)
Рис. 22.1. Система двух
одинаковых маятников с
жесткими стержнями, со¬
единенными слабой пру¬
жиной ничтожной массы
375
живается множеством примеров, электронных книг и библиотек, в том числе
специализированного математического и физического содержания. Эта система легка в
освоении, подробно описана в многочисленной литературе. Для получения справки в ре¬
жиме on-line можно порекомендовать русскоязычный сайт www.exponenta.ru.
К некоторым недостаткам системы можно отнести ограниченное применение сим¬
вольной математики и довольно примитивные средства программирования. Кроме того,
система предъявляет повышенные требования к аппаратным ресурсам.
На уже упомянутом сайте Exponenta, а также в самой справочной службе MathCAD
содержится большое количество примеров использования системы для решения диффе¬
ренциальных уравнений, в том числе тех, которые встречаются в теории линейных и не¬
линейных колебаний. Богатые средства визуализации позволяют не только проводить
численные расчеты поведения различного типа осцилляторов, но и легко строить графи¬
ки поведения функций (координат, скоростей и т. п.) в зависимости от времени, а также
рисовать фазовые портреты. Отметим, что конечный результат представляется в
MathCAD в виде, максимально близком к естественному, что делает использование сис¬
темы весьма удобным для создания электронных книг и обмена рабочими листами по
Интернету.
РАЗДЕЛ VIII. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Глава 22. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
§ 22.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Волны представляют собой процесс распространения колебаний.
Начнем систематическое изучение простейших механических волн, воз¬
буждаемых источником, совершающим гармонические колебания.
Рассмотрим простую механическую систему: два одинаковых маят¬
ника с жесткими стержнями соединены слабой пружиной ничтожной
массы, как показано на рис. 22.1, а. Устройство подвеса таково, что ма¬
ятники могут совершать колебания в плоскости чертежа. Когда они ви¬
сят вертикально, пружина не деформирована. Такие связанные маятни¬
ки представляют собой механическую систему с двумя степенями
свободы. Для задания механического состояния этой системы нужно
указать положения и скорости обоих маятников. Какие колебания воз¬
можны в такой системе?
Рассмотрим сначала собственные колебания, которые возникают,
если систему вывести из положения равновесия и предоставить самой
себе. Вид этих колебаний определяется начальными условиями. Если
в)
Рис. 22.1. Система двух
одинаковых маятников с
жесткими стержнями, со¬
единенными слабой пру¬
жиной ничтожной массы
375
отклонить оба маятника из положения равновесия в одну сторону на
один и тот же угол и отпустить (рис. 22.1, б), то маятники будут качать¬
ся синхронно, и пружина все время будет оставаться в недеформиро-
ванном состоянии — она не оказывает никакого влияния на такое дви¬
жение маятников. Каждый из маятников при малой амплитуде
совершает гармоническое колебание, и амплитуды и фазы у них одина¬
ковы. Частота колебаний со, совпадает с частотой собственных колеба¬
ний одиночного маятника. Обозначая смещение маятников через х, и
х2, а начальные отклонения через А, имеем
х,(Г) = /Icosco,/, х2(?) = ^cosco,/. (22.1)
Если отклонить маятник на одинаковый угол в противоположные
стороны и отпустить (рис. 22.1, в), то маятники будут качаться в про-
тивофазе. Колебания будут гармоническими, но частота колебаний со2
будет больше со,: при колебаниях такого вида деформированная пру¬
жина будет стремиться повернуть маятники в ту же сторону, что и сила
тяжести. Выражения для смещения маятников при начальном откло¬
нении на расстояние А навстречу друг другу могут быть записаны в
виде
x,(r) = /Jcosco2f, х2(0 = /4cos(co2/‘ + п) - -Acoso)2t■ (22.2)
Рассмотренные колебания, при которых каждый маятник совершает
гармоническое колебание,- называются нормальными колебаниями, или
нормальными модами. Число различных типов нормальных мод и соот¬
ветствующих им частот равно числу степеней свободы системы. Любое
собственное колебание двух связанных маятников (и вообще произ¬
вольной системы) можно представить как суперпозицию их нормаль¬
ных колебаний.
Какое Движение будут совершать маятники при суперпозиции нор¬
мальных колебаний (22.1) и (22.2) с одинаковыми амплитудами? Сло¬
жим между собой смещения каждого маятника при этих колебаниях.
Получим
х, (t) = /4(cosoo, Л- cosco20 =2 A cos4p/-cosco/,
(22.3)
x2(t) = /f(cosco,f-cosco20 =2 /4sin4prsin<o/,
где to = (to, + co2)/2 — средняя частота; Лео = oo2 — to, — разность частот
нормальных колебаний.
Рассмотрим случай, когда связывающая маятники пружина очень
слабая и ее влияние на маятники мало. Очевидно, при этом частота со2
мало отличается от частоты со, колебаний под действием только поля
тяжести. Поэтому Лео << со и правые части уравнений (22.3) можно рас¬
сматривать как уравнения синусоидальных колебаний с частотой со и
медленно пульсирующими амплитудами. Графики этих колебаний по-
376
казаны на рис. 22.2. Именно такое движение получается в результате
сложения гармонических колебаний с близкими частотами и называет¬
ся биениями.
Начальные условия, приводящие к такому движению, можно устано¬
вить с помощью соотношения (22.3): при t = 0 первый маятник смещен
из положения равновесия вправо на расстояние 2А, а второй маятник
удерживается в положении равновесия. Легко убедиться, что эти началь¬
ные условия представляют собой суперпозицию начальных условий для
нормальных мод [см. формулы (22.1), (22.2)], как и должно быть.
Рассмотрим подробнее, как происходят колебания, описываемые
соотношениями (22.3). В начальный момент / = 0 вся энергия колеба¬
ний сосредоточена у первого маятника. Но постепенно, как видно из
рис. 22.2, амплитуда его колебаний убывает, а амплитуда колебаний
второго маятника возрастает. Через промежуток времени t — Тп/7 —
= л/Лю, равный половине периода биений, вся энергия будет сосредо¬
точена у второго маятника. Затем энергия колебаний снова переходит к
первому маятнику и т. д. Процесс перекачки энергии от одного маятни¬
ка к другому происходит благодаря связывающей маятники упругой
пружине. Чем больше жесткость пружины, тем быстрее происходит пе¬
редача энергии. По существу биения связанных маятников определяют
собой волну в системе с двумя степенями свободы. Опыт для наблюде¬
ния нормальных колебаний и биений связанных маятников можно осу¬
ществить очень просто, подвесив два одинаковых грузика на нитях оди¬
наковой длины к горизонтальной нити или проволоке на некотором
расстоянии друг от друга. Горизонтальная нить осуществляет связь меж¬
ду маятниками, играя роль пружины в обсуждавшемся выше опыте.
377
§ 22.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Остановимся на установившихся колебаниях системы связанных
маятников под действием синусоидальной внешней силы, считая тре¬
ние малым. При установившихся вынужденных колебаниях каждый из
маятников совершает гармоническое колебание с частотой, равной час¬
тоте внешнего воздействия. Если частота внешней силы очень мала
со << со,, со2, то оба маятника качаются с малыми амплитудами в фазе
друг с другом и в фазе с вынуждающей силой. Под действием постоян¬
ной силы (со = 0) маятники просто отклоняются в одну сторону в на¬
правлении действия силы и занимают новые положения равновесия.
С увеличением частоты внешней силы со маятники продолжают ко¬
лебаться в фазе, а амплитуды растут (рис. 22.3, а), пока частота со не
достигнет значения со, — частоты первого нормального колебания свя¬
занных маятников. При малом трении на этой частоте в системе отчет¬
ливо проявляется резонанс. В этом случае вынужденные колебания
очень похожи на свободные нормальные колебания системы маятников
на частоте со, (см. рис. 22.1, б). Внешняя сила при этом лишь компенси¬
рует затухание.
При дальнейшем увеличении частоты амплитуды вынужденных ус¬
тановившихся колебаний маятников убывают, а при некоторой частоте
a) 6L
в) г)
Рис. 22.3. Вынужденные колебания системы двух связанных маятников
378
со3, лежащей в промежутке со, < со3 < со2 (где со, и со2 — частоты нормаль¬
ных мод), амплитуда колебаний первого маятника обращается в нуль.
Этот маятник стоит неподвижно, в то время как второй маятник качает¬
ся с небольшой амплитудой в противофазе с внешней силой (см. рис.
22.3, 6, в). Направление действия внешней силы показано стрелками.
Если частоту внешней силы еще увеличить, то первый маятник бу¬
дет качаться в противофазе со вторым. При со = со2 в системе снова на¬
ступает резонанс. Амплитуды резко возрастают, но в отличие от резо¬
нанса с частотой со, маятники качаются в противофазе друг с другом.
При этом резонансе вынужденные колебания маятников очень похожи
на свободные нормальные колебания на частоте оо2 (см. рис. 22.1, в).
Дальнейшее увеличение частоты вынуждающей силы со приводит к
тому, что амплитуды вынужденных колебаний маятников снова убыва¬
ют (см. рис. 22.3, г).
§ 22.3. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ЦЕПОЧКЕ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
И В НАТЯНУТОЙ СТРУНЕ
В системе связанных маятников колебательное движение не остает¬
ся локализованным на одном маятнике — наличие связи между маятни¬
ками приводит к передаче колебательного движения от одного маятни¬
ка к другому. Этот результат имеет общий характер — в системе
связанных осцилляторов колебательное движение одного из них будет
распространяться. Это распространение колебаний и представляет со¬
бой волновой процесс или волну.
Проще всего представить себе волну, распространяющуюся по бес¬
конечной цепочке связанных маятников (рис. 22.4). С бесконечной це¬
почки начинаем для того, чтобы можно было рассматривать волну, рас¬
пространяющуюся в одном направлении, и не думать о возможном ее
отражении от конца цепочки. Если маятник, находящийся в начале це¬
почки, привести в гармоническое колебательное движение с некоторой
частотой со и амплитудой А, то колебательное движение будет распро¬
страняться по цепочке.
В отсутствие затухания любой другой маятник в цепочке будет по¬
вторять вынужденные колебания первого маятника с некоторым отста-
■*.— *.
Рис. 22.4. Волна в цепочке связанных маятников
379
ванием по фазе. Это запаздывание связано с тем, что распространение
колебаний по цепочке происходит с некоторой конечной скоростью.
Скорость распространения колебаний и зависит от жесткости соеди¬
няющей маятники пружины, т. е. от того, насколько сильна связь меж¬
ду маятниками. Если первый маятник в цепочке движется по опреде¬
ленному закону, т. е. его смещение из положения равновесия есть
заданная функция времени х(/), то смещение маятника, отстоящего от
начала цепочки на расстоянии z, в любой момент времени t будет точно
таким же, как смещение первого маятника в более ранний момент вре¬
мени t ~ z/u, т. е. будет описываться функцией x(t — z/u).
Пусть при гармонических колебаниях первого маятника его смеще¬
ние из положения равновесия дается выражением
Каждый из маятников цепочки характеризуется тем расстоянием z, на
которое он отстоит от начала цепочки. Поэтому его смещение из поло¬
жения равновесия при прохождении волны естественно обозначить че¬
рез x(t, z). Тогда, в соответствии со сказанным выше, имеем
Описываемая уравнением (22.5) волна называется монохроматической.
Характерным признаком монохроматической волны является то,
что каждый из маятников совершает синусоидальное колебание опреде¬
ленной частоты.
Распространение волны по цепочке маятников сопровождается пе¬
реносом энергии и импульса. Но никакого переноса массы при этом не
происходит? каждый маятник, совершая колебания около положения
равновесия, в среднем остается на месте.
Если волна возникает в результате гармонических колебаний беско¬
нечной плоскости, то в однородной среде она распространяется в на¬
правлении, перпендикулярном этой плоскости. В такой волне смеще¬
ние всех точек среды, лежащих на любой плоскости, перпендикулярной
направлению распространения, происходит совершенно одинаково.
Если в среде не происходит поглощения энергии волны, то амплитуда
колебаний точек среды всюду одинакова, и их смещение дается форму¬
лой (22.5). Такая волна называется плоской.
Волну другого вида — сферическую — создает в однородной изотроп¬
ной упругой среде пульсирующий шар. Такая волна распространяется с
одинаковой скоростью по всем направлениям. Ее волновые поверхно¬
сти, т. е. поверхности постоянной фазы, представляют собой концен¬
трические сферы. В отсутствие поглощения энергии в среде легко опре¬
делить зависимость амплитуды сферической волны от расстояния до
центра. Поскольку поток энергии волны, пропорциональный квадрату
амплитуды, одинаков через любую сферу, амплитуда волны убывает об¬
380
x(t) — A coscot.
(22.4)
(22.5)
ратно пропорционально расстоянию г до центра: А ос 1/л Уравнение
продольной сферической волны имеет вид
где а — амплитуда колебаний на расстоянии г0 от центра волны.
В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания
маятников, говорят о волнах разной поляризации. Если колебания ма¬
ятников происходят вдоль направления распространения волны, как на
рис. 22.4, то волна называется продольной, если поперек — то попереч¬
ной. Обычно волны разной поляризации распространяются с разными
скоростями.
Рассмотренная цепочка связанных маятников представляет собой
пример механической системы с сосредоточенными параметрами. Дру¬
гой пример системы с сосредоточенными параметрами, в которой могут
распространяться волны, — это цепочка шариков, связанных легкими
пружинками (рис. 22.5). В такой системе инертные свойства сосредото¬
чены у шариков, а упругие — у пружинок. При распространении волны
кинетическая энергия локализована на шариках, а потенциальная — на
пружинках.
Легко сообразить, что такую цепочку соединенных пружинками ша¬
риков можно рассматривать как модель одномерной системы с распре¬
деленными параметрами, например упругой струны. В струне каждый
элемент длины обладает одновременно массой, т. е. инертными свойст¬
вами, и жесткостью, т. е. упругими свойствами.
Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, распростра¬
няющуюся в бесконечной натянутой струне. Предварительное натяже¬
ние струны необходимо потому, что гибкая ненатянутая струна в отли¬
чие от твердого стержня обладает упругостью только по отношению к
деформации растяжения, но не сжатия. Монохроматическая волна в
струне описывается тем же выражением (22.5), что и волна в цепочке
маятников. Однако теперь роль отдельного маятника играет каждый
элемент струны, поэтому переменная z в уравнении (22.5), характери¬
зующая равновесное положение маятника, принимает непрерывные
значения. Смещение любого элемента струны из равновесного положе¬
ния при прохождении волны x(t, z) есть функция двух переменных: вре¬
мени t и равновесного положения этого элемента z.
Если в формуле (22.5) зафиксировать z, т. е. рассматривать опреде¬
ленный элемент струны, то функция x{t, z) при фиксированном z дает
смещение выделенного элемента струны в зависимости от времени. Это
(22.6)
к т к т к т
Рис. 22.5. Цепочка шариков, соединенных пружинками
381
Рис. 22.6. Смещение разных точек стру- Рис. 22.7. Картины смещения точек струны
ны в один и тот же момент времени в момент времени t и Д?
смещение представляет собой гармоническое колебание с частотой со и
амплитудой А:
x(t, z)= A cos(cot + а). (22.7)
Начальная фаза колебаний этого элемента струны а = —(сo/u)z, т. е.
зависит от его равновесного положения z- Все элементы струны при
прохождении монохроматической волны совершают гармонические ко¬
лебания одинаковой частоты и амплитуды, но различающиеся по фазе.
Если в формуле (22.5) зафиксировать t, т. е. рассматривать всю стру¬
ну в один и тот же момент времени, то функция x(t, z) при фиксирован¬
ном t дает мгновенную картину смещений всех элементов струны — как
бы моментальную фотографию волны. На этой фотографии увидим за¬
стывшую синусоиду (рис. 22.6). Период этой синусоиды, т. е. расстоя¬
ние между соседними горбами или впадинами, называется длиной волны
X. Из формулы (22.5) можно найти, что длина волны связана с частотой
со и скоростью волны и соотношением
Х = ^и=иТ, (22.8)
где Т — период колебаний.
Картину распространения волны можно представить себе, если эту
застывшую синусоиду привести в движение вдоль оси z со скоростью и.
Две последовательные моментальные фотографии волны в моменты
времени tut + At показаны на рис. 22.7. Видно, что длина волны равна
расстоянию, проходимому любым горбом за период колебаний Т, в со¬
ответствии с формулой (22.8).
§ 22.4. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН
Рассмотрим вопрос о скорости распространения вдоль стержня упру¬
гих продольных волн, возникающих в результате действия постоянной
силы, приложенной к свободному концу. 'Будем считать возмущение в
среде малым, в этом случае скорость вещества v мала по сравнению со
скоростью распространения возмущения и. Выделим в стержне сечение
А, до которого возмущение дошло в момент времени t (рис. 22.8). В мо¬
382
мент времени t + dt возмущение доходит до
сечения В, расположенного от сечения А на
расстоянии udt. В части стержня, заклю¬
ченной между сечениями А и В, все части
стержня движутся со скоростью v, поэтому
импульс этой части стержня равен рSvudt.
Этот импульс приобретается за счет упру¬
гой силы F, действующей на выделенный
элемент стержня в сечении А, величина ко¬
торой может быть найдена с помощью за¬
кона Гука. Поскольку за время dt сечение А
стержня перемещается на расстояние vdt,
то относительная деформация выделенной
части стержня равна
с — М. —_и
k
Теперь с помощью закона Гука для силы F находим
F = ESs =■£, (22.10)
и закон изменения импульса записывается в виде
ES jjdt = pSvudt. (22.11)
Отсюда для скорости распространения продольных возмущений и
находим
и=$. (22.12)
Выражение (22.12) можно получить и с помощью закона сохранения
энергии, учитывая, что выделенный элемент стержня обладает как по¬
тенциальной энергией упругой деформации, так и кинетической энер¬
гией. Эти энергии возникают в результате работы упругой силы F, дей¬
ствующей в сечении А, совершаемой на перемещении vdt. Учитывая,
что кинетическая энергия частиц выделенного элемента стержня равна
pSv2udt/2, потенциальная энергия в соответствии с (22.8) и (22.9) равна
ESv2dt/2u, а работа силы F есть ESv2dt/u, запишем уравнение закона со¬
хранения энергии в виде
pSv2udt/2 + ESv4t/2u = ESv2dt/u. (22.13)
Отсюда для и получаем прежнее значение (22.12). Кроме того, из со¬
отношения (22.13) следует, что в распространяющемся вдоль стержня
возмущении плотности кинетической и потенциальной энергий одина¬
ковы. Как увидим в дальнейшем, этот результат имеет универсальный
характер: во всякой бегущей волне, т. е. возмущении, распространяю¬
А В
Рис. 22.8. К вычислению скоро¬
сти распространения упругих
поперечных волн
(22.9)
383
щемся в определенном направлении, полная энергия распределятся по¬
ровну между кинетической и потенциальной. Если равенство кинетиче¬
ской и потенциальной энергий в возмущении не имеет места, то
возмущение разделится на два возмущения, распространяющихся в
противоположных направлениях.
Наряду с продольными возмущениями в твердой упругой среде мо¬
гут распространяться поперечные возмущения, в которых частицы сре¬
ды смещаются перпендикулярно направлению распространения возму¬
щения. Возможность распространения поперечных возмущений в
твердых телах обусловлена присущей им поперечной упругостью, т. е.
способностью сопротивляться изменению формы, происходящему без
изменения объема. Поперечная упругость может быть создана искусст¬
венно и в случае таких тел, у которых в естественном состоянии она от¬
сутствует, например, у гибкого шнура или веревки. Если шнур не натя¬
нут, то поперечные возмущения распространяться в нем не могут.
Однако в натянутом шнуре, или шнуре, плотно уложенном на твердую
поверхность, поперечные возмущения уже возможны.
Скорость распространения поперечных возмущений может быть
найдена совершенно так же, как и скорость продольных возмущений.
Однако в случае натянутого шнура скорость распространения попе¬
речных возмущений можно легко найти, переходя в систему отсчета,
равномерно движущуюся со скоростью и вместе с возмущением. Такая
система отсчета, очевидно, будет инерциальной, и в ней возмущение
будет стоять на месте, а вещество шнура будет протекать по нему в
противоположном направлении со скоростью, равной скорости возму¬
щения в исходной лабораторной системе отсчета. Выделим мысленно
малый элемент изогнутого шнура АВ, который можно рассматривать
как малую дугу окружности определенного радиуса R. В протекающем
через дугу АВ веществе существует натяжение Т (постоянное в преде¬
лах принято^ точности), что соответствует силам Т, и Т2, действую¬
щим в каждый момент времени на концах выделенного элемента (рис.
22.9). Равнодействующая этих сил обеспечивает необходимое центро¬
стремительное ускорение u2/R у протекающего через выделенную дугу
вещества. Для модуля равнодействующей силы с помощью рис. 22.9
имеем
Учитывая, что массу вещества в дуге можно записать в виде pSRa,
где р — плотность вещества шнура; S — площадь поперечного сечения
шнура, имеем в соответствии со вторым законом Ньютона
F= 27sin(a/2) * Та.
(22.14)
(22.15)
откуда
(22.16)
384
Скорость поперечных волн
значительно меньше скорости про-
Сравнивая формулы для скоро¬
сти распространения продольных и
поперечных волн, находим, что
и, =4т. (22.17)
ДОЛЬНЫХ, так как относительное Рис. 22.9. К вычислению скорости рас-
растяжение струны е МНОГО меньше пространения упругих поперечных волн
единицы.
Если в струне одновременно распространяются, например, две мо¬
нохроматические волны с одинаковыми амплитудами и близкими час¬
тотами со, и со2. то моментальные фотографии этих монохроматических
волн и результирующей волны будут иметь вид, показанный на
рис. 22.10. Там, где горб одной волны совпадает с горбом другой, в ре¬
зультирующей волне смещение максимально. Поскольку соответствую¬
щие отдельным волнам синусоиды бегут вдоль оси z с одинаковой ско¬
ростью и, то и результирующая кривая бежит с той же самой скоростью,
не меняя своей формы. Оказывается, что это справедливо для волново¬
го возмущения любой формы: поперечные волны произвольного вида
распространяются в натянутой струне, не меняя своей формы.
Если скорость распространения монохроматических волн не зави¬
сит от длины волны (или частоты), то говорят, что отсутствует диспер¬
сия. Сохранение формы любой волны при ее распространении есть
следствие отсутствия дисперсии. Для волн любого вида, распростра¬
няющихся в сплошных упругих средах, дисперсия отсутствует.
z
Z
Z
Рис. 22.10. Сложение двух монохроматических волн
с близкими частотами
25 - 3840
385
§ 22.5. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
В жидкости и газе, обладающих только объемной упругостью, но не
упругостью формы, могут распространяться только продольные возму¬
щения. Для определения их скорости будем считать, что жидкая или га¬
зообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоян¬
ного поперечного сечения, так что труба, не мешая движению среды
вдоль нее, не допустит существования поперечного движения. Газ или
жидкость в трубе можно рассматривать как стержень, по которому рас¬
пространяется продольное возмущение. Следует помнить, что газы мо¬
гут находиться в неподвижном состоянии только под давлением, кото¬
рое обозначим через р.
В рамках чисто механического явления (когда температура не изме¬
няется) изменение давления в газе или в жидкости связано с изменени¬
ем объема. Если объем изменится на dV, то для соответствующего изме¬
нения давления имеем
dp=-&rdV. (22.18)
Это равенство можно переписать в виде
dP={~vw\-ir) <22Л9>
Рассматривая газ или жидкость в трубе неизменного сечения как
стержень, можно с помощью закона Гука записать выражение для изме¬
нения давления dp, вызывающего изменение объема dV, следующим об¬
разом:
dp = -E^f. (22.20)
Знак минус в выражении (22.20) соответствует тому, что величины dp и
dV имеют противоположные знаки: уменьшение объема (dV < 0) вызы¬
вает увеличение давления (dp > 0) и наоборот.
Сравнивая выражения (22.19) и (22.20), видим, что роль модуля
Юнга Е в жидкостях и газах играет величина
E = -Vjp, (22.21)
называемая обычно модулем упругости. Обычно удобнее иметь дело не
с объемом К, а с плотностью вещества р. С помощью соотношения
рК= const, соответствующего сохранению массы, имеем
(22.22)
и переписываем соотношение (22.21) как
386
Е = (22.23)
Подставляя это выражение в формулу (22.12) для скорости продольных
возмущений, находим
и =
При постоянной температуре газы подчиняются закону Бойля—Ма-
риотга, согласно которому
р = Ар, (22.25)
где А — некоторая постоянная. Отсюда имеем
|Н=§. (22.26)
Теперь соотношение (22.24) дает для скорости звука в газе
(22.27)
Эта формула была получена Ньютоном и носит его имя. Примене¬
ние этой формулы к атмосферному воздуху приводит к значению
и = 280 м/с, в то время как на опыте получается значение иэк = 330 м/с.
Причина такого сильного расхождения была выяснена Лапласом только
в начале XIX в. Дело в том, что звук распространяется в воздухе не в ус¬
ловиях постоянной температуры, а в условиях практического отсутствия
теплообмена сжатых и разреженных областей в звуковой волне с окру¬
жением. Другими словами, распространение звука в воздухе — это адиа¬
батический, а не изотермический процесс.
§ 22.6. ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН
При распространении волн происходит передача энергии без пере¬
носа вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической
энергии совершающих колебание частиц вещества и из потенциальной
энергии упругой деформации среды.
Рассмотрим, например, продольную волну в упругом стержне.
В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена
по объему стержня неравномерно, так как одни точки стержня в этот
момент покоятся, а другие, напротив, движутся с максимальной скоро¬
стью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в
этот момент какие-то элементы стержня не деформированы, другие же
деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии вол¬
ны естественно вводить плотность кинетической и потенциальной
энергий. Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается
(22.24)
25*
387
постоянной, а периодически изменяется при прохождении волны: энер¬
гия распространяется вместе с волной.
Кинетическая и потенциальная энергии в волне изменяются в фазе,
в противоположность локализованным колебаниям, где они изменяют¬
ся в противофазе. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Рассмотрим плотность кинетической энергии в монохроматической
упругой волне, описываемой уравнением (22.5):
Выделим в стержне малый элемент длиной между плоскостями z и
z + Az такой, что его длина Az в недеформированном состоянии много
меньше длины волны X. Тогда скорости v всех частиц стержня в этом
элементе при распространении волны можно считать одинаковыми.
С помощью формулы (22.28) находим скорость v = x, рассматривая
x(t, z) как функцию времени и считая величину z, характеризующую по¬
ложение рассматриваемого элемента стержня, фиксированной:
Масса выделенного элемента стержня Д/я = рДДг, поэтому его кине¬
тическая энергия АЕК в момент времени t есть
С помощью выражения (22.30) находим плотность кинетической
энергии wK(t, z) в т. z в момент времени t:
Перейдем к вычислению плотности потенциальной энергии волны.
Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с
длиной волны, то вызываемую волной деформацию этого элемента
можно считать однородной. Поэтому потенциальную энергию деформа¬
ции АЕ„ можно записать в виде
где А/ — удлинение рассматриваемого элемента стержня Az, вызванное
проходящей волной.
Для нахождения этого удлинения нужно рассмотреть положение
плоскостей, ограничивающих выделенный элемент, в некоторый мо-
(22.28)
(22.29)
АЕк = J-Amv2 = jpSAz<a2 А2 sin2 со
(22.30)
(22.31)
(22.32)
388
x(t,z+Az)
мент времени t. Мгновенное положение лю¬
бой плоскости, равновесное положение кото¬
рой характеризуется координатой z, опреде¬
ляется функцией x(t, z), рассматриваемой как
функция z при фиксированном t. Поэтому уд¬
линение А/ рассматриваемого элемента
стержня, как видно из рис. 22.11, равно
А/ = x(t, z + Az) — x(t, z). Относительное удли-
д/ x(t, z+&z)-x(t, z)
нение этого элемента есть -rL=-LJ т1—^J—L-
ДZ дZ
Если в этом выражении перейти к пределу
при Az -> 0, то оно превращается в производ¬
ную функции x(t, z) по переменной z при фиксированном t. С помощью
формулы (22.28) получаем
z z+Az
Рис. 22.11. К расчету отно¬
сительного удлинения
стержня
-^-rMsincofl—£
Дz
(22.33)
Теперь выражение для потенциальной энергии (22.32) принимает
вид
A£n =iSA^(Y) sin2 (22.34)
а плотность потенциальной энергии w„(t, z) в точке z в момент времени t
есть
(t,z)=^=\E^A2 sin2 j. (22.35)
Поскольку скорость распространения продольных волн и = -jE/p,
то правые части в формулах (22.35) и (22.31) совпадают. Это значит,
что в бегущей продольной упругой волне плотности кинетической и
потенциальной энергий равны в любой момент времени и в любой
точке среды. Равенство мгновенных значений плотностей кинетиче¬
ской и потенциальной энергий есть общее свойство бегущих волн, т. е.
волн, распространяющихся в определенном направлении. Можно убе¬
диться, что это справедливо и для поперечных волн в натянутой гиб¬
кой струне.
Итак, энергия бегущей волны не остается локализованной: она пе¬
ремещается вместе с волной со скоростью и. Имея выражение для объ¬
емной плотности энергии волны w:
w(t, z) = wK +wn =рсо2Л2 sin2 со t-£
(22.36)
389
легко найти поток энергии ДФ, переносимый волной за единицу време¬
ни через произвольную площадку AS, перпендикулярную направлению
распространения волны:
ДФ = wuAS
Величина
j — wu
носит название плотности потока энергии волны. Она была введена
Н. Умовым и имеет смысл энергии, переносимой волной в единицу
времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны.
Плотность потока энергии, как видно из выражения (22.36), осцил¬
лирует с удвоенной частотой 2со. Среднее по времени значение плотно¬
сти энергии в любой точке, через которую проходит волна, равно
(1/2)рсо2А2. Поэтому перенос энергии волной можно характеризовать
средним значением плотности потока энергии (/):
{У)=1рсо2Л2и. (22.39)
Отметим, что средний поток энергии волны пропорционален квад¬
рату амплитуды и квадрату частоты.
До сих пор рассматривали волны, распространяющиеся в системе,
имеющей бесконечную протяженность только по одному направлению:
в цепочке маятников, в струне, в стержне. Но волны могут распростра¬
няться и в среде, имеющей бесконечные размеры по всем направлени¬
ям. В такой сплошной среде волны бывают разного вида в зависимости
от способа их возбуждения.
Задачи к главе 22
Энергетические соображения могут быть весьма эффективными при
качественном анализе многих волновых явлений, строгая последова¬
тельная теория которых заведомо выходит за рамки общего курса физи¬
ки. Проведение аккуратных расчетов заменяется при этом оценками из
соображений размерности. Достаточно ограничиться построением про¬
стейшей, весьма грубой физической модели явления, когда из всех фак¬
торов выделяется один, самый главный, который и задает тон всей на¬
блюдаемой картины явления.
Задача 22.1. Рассмотрим сильный точечный взрыв в атмосфере, ко¬
гда в течение очень короткого промежутка времени (в первом прибли¬
жении — мгновенно) в атмосфере выделяется настолько большая энер¬
гия, что при последующем распространении возмущения в атмосфере
(вызываемого в этом случае ударной волной) можно пренебречь атмо¬
сферным давлением по сравнению с давлением за фронтом волны.
Найти закон движения ударной волны, т. е. временную зависимость
расстояния г от центра взрыва до фронта волны.
(22.37)
(22.38)
390
Решение. Подчеркнем принципиальное качественное отличие
обсуждаемой проблемы от вопросов распространения различных волн в
газах, плазме, упругих средах, которые будут рассмотрены в соответст¬
вующих местах курса. Там речь будет идти о собственных свойствах
системы, в которой при небольшом отклонении от равновесия происхо¬
дящие релаксационные процессы определяются упругими характери¬
стиками самой этой системы. В данном случае речь идет об очень силь¬
ном воздействии на атмосферу, когда именно характеристики этого
воздействия, а не самой системы, являются определяющими.
Будем считать, что отсчет времени производится от момента взрыва.
Взрыв происходит в атмосфере, а не в ограниченной по своим размерам
шахте. По предположению, давление, определяемое взрывом, намного
превосходит атмосферное давление, которым в этом случае можно пре¬
небречь. В этом случае в приближении однородной атмосферы остают¬
ся всего два параметра, определяющие картину распространения вол¬
ны — мгновенно выделяющаяся при взрыве энергия Е и плотность
атмосферы р. Размерность энергии есть ML2T'~2, а размерность плот¬
ности — ML-2. Из этих параметров, а также из интересующих нас
величин г и /, через которые выражается закон движения волны, мож¬
но составить единственную независимую безразмерную комбинацию
у = Et2/{pr&). Этот параметр, разумеется, имеет определенное численное
значение, однако для нахождения вида зависимости r(t) это значение не
важно. Поэтому, полагая у » 1, немедленно получаем
Для скорости движения фронта ударной волны с помощью (22.40)
получаем следующую оценку:
Видно, что скорость волны уменьшается с течением времени, хотя
описанный подход не дает возможности найти правильный численный
коэффициент в выражении (22.41).
Отметим, что полученные выше соотношения (22.40) и (22.41) име¬
ют ясный физический смысл. Пока волна не поглотилась, суммарная
энергия всей возбужденной области атмосферы должна равняться Е.
При распространении волна приводит возмущенную часть атмосферы в
движение со скоростью v. Умножая объемную плотность энергии взры¬
ва, которая ~pv2, на объем возмущенной области, которая ~г\ действи¬
тельно находим с помощью (22.40) и (22.41) :
(22.40)
(22.41)
В описанной модели можно грубо оценить и давление ударной вол¬
ны, считая, что на ее фронте, т. е. границе области, до которой дошел
взрыв, скорость среды скачком изменяется от нуля до v. Как и в случае
остановки потока жидкости неподвижной преградой, когда давление уве¬
личивается на величину pv2/2, в рассматриваемом примере справедливо
р ~ pv2. (22.43)
Полученные в исследованной весьма грубой модели результаты со¬
храняются и при учете более тонких особенностей распространения
ударных волн.
Задача 22.2. Предположим, что ставится следующий опыт. Берется
упругая длинная пружина, растягивается, после чего один из концов
быстро встряхивается несколько раз. По пружине будет распространять¬
ся волновой пакет. Предположим, что он упруго отражается от закреп¬
ленного конца пружины. Опишите эффекты в области, находящейся
вблизи закрепленного конца.
Решение. Волновой пакет, упруго отражаясь от закрепленного
конца, будет распространяться в обратном направлении. Рассмотрим
область вблизи закрепленного конца. Когда волновой пакет входит в
эту область, прямые и отраженные волны перекрываются так, что мож¬
но наблюдать переходную стоячую волну. Она является суперпозицией
двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, и
существует ограниченный период времени.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 22.3. На флейте можно взять очень высокий звук с частотой 2093 Гц (что на
одну октаву ниже самой высокой ноты рояля). Каждая нота при равномерной настройке
инструмента отличается от соседней в 1,06 раза (т. е. на 6 %). Оценить максимальную ско¬
рость, с которой (теоретически) можно играть на флейте в районе самой высокой ноты.
(120 нот/с).
Задача 22.4. В океане распространяются бегущие волны с амплитудой 3 м и длиной
волны 10 м. На каком расстоянии от поверхности воды нужно плыть, чтобы амплитуда
движения была равна 15 см? (Около 5 м).
Задача 22.5. Показать, что любая функция f(t - г/v) описывает распространение од-
й г2/ 2 S2/
номерной волны в соответствие с уравнением —— = v —— вдоль оси z.
dt dz
Глава 23. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН
§ 23.1. КОГЕРЕНТНЫЕ ВОЛНЫ. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННАЯ КАРТИНА
При одновременном распространении нескольких волн смещение
частиц среды представляет собой векторную сумму смещений, которые
имели бы место при распространении каждой волны в отдельности.
Иначе говоря, волны просто накладываются одна на другую, не искажая
друг друга. Этот экспериментальный факт был известен еще Леонардо
да Винчи, который заметил, что круги волн на воде от разных источни¬
ков проходят один сквозь другой и распространяются дальше, не пре¬
терпев никаких изменений. Утверждение о независимости распростра¬
нения нескольких волн носит название принципа суперпозиции для
волнового движения.
Уже было рассмотрено распространение в одном направлении двух
одинаково поляризованных монохроматических волн с близкими часто¬
тами. В данной точке пространства они приводят к сложению колеба¬
ний, происходящих вдоль одной прямой. В результате наложения таких
волн получается почти синусоидальная волна с периодически меняю¬
щейся в пространстве амплитудой. Моментальная фотография такой
волны выглядит как следующие друг за другом группы волн (см. рис.
22.10), а вызываемое волной колебание в какой-либо фиксированной
точке имеет характер биений.
Особый случай представляет сложение так называемых когерентных
волн, т. е. волн от согласованных источников. Простейшим примером
когерентных волн являются монохроматические волны одинаковой час¬
тоты с постоянной разностью фаз. Для истинно монохроматических
волн требование постоянной разности фаз будет лишним, так как они
являются бесконечно протяженными в пространстве и во времени, и
две такие волны одинаковой частоты всегда имеют постоянную раз¬
ность фаз. Но реальные волновые процессы, даже близкие к монохро¬
матическим, всегда имеют конечную протяженность. Чтобы такие
квазимонохроматические волны, представляющие собой последователь¬
ности отрезков синусоидальных волн, были когерентными, требование
постоянной разности фаз является обязательным. Строго говоря, поня¬
тие когерентности волн является более сложным, чем описано выше.
Подробнее познакомимся с ним при изучении оптики.
При сложении когерентных волн наблюдаются явления интерферен¬
ции, заключающиеся в том, что вызываемая этими волнами картина ко¬
лебаний является стационарной, т. е. в каждой точке происходят коле¬
бания с не зависящей от времени амплитудой. Разумеется, в разных
точках амплитуды будут различаться.
Пусть два когерентных источника, находящиеся на расстоянии d
друг от друга, создают сферические волны, интерференция которых на¬
блюдается в т. Р (рис. 23.1). Если расстояния /, и /2 от источников до
точки наблюдения Р велики по сравнению с расстоянием d между ис¬
точниками, то амплитуды обеих волн в точке наблюдения будут практи-
26 — 3840 393
чески одинаковыми. Одинаковыми будут
и направления смещений точек среды, вы¬
зываемых этими волнами в месте наблю¬
дения.
Результат интерференции в т. Р будет
зависеть от разности фаз между волнами,
приходящими в эту точку. Если источники
совершают колебания в одинаковой фазе,
то разность фаз волн в т. Р зависит только
от разности хода I волн от источников до
точки наблюдения: / = lY - /2. Если эта раз¬
ность хода равна целому числу длин волн:
/ = кк, то волны приходят в т. Р в фазе и,
складываясь, дают колебание с удвоенной
амплитудой. Если же разность хода равна
нечетному числу полуволн: / = (2к + 1)к/2,
то волны приходят в т. Р в противофазе и гасят друг друга: амплитуда
результирующего колебания равна нулю. При промежуточных значени¬
ях разности хода амплитуда колебаний в точке наблюдения принимает
определенное значение в промежутке между указанными предельными
случаями. Каждая точка среды характеризуется определенным значени¬
ем амплитуды колебаний, которое не меняется со временем. Распреде¬
ление этих амплитуд в пространстве называется интерференционной кар¬
тиной.
Гашение колебаний в одних местах и усиление в других при интер¬
ференции волн не связаны, вообще говоря, с какими-либо превраще¬
ниями энергии колебаний. В точках, где колебания от двух волн гасят
друг друга, энергия волн отнюдь не превращается в другие виды, напри¬
мер в теплоту. Все сводится лишь к перераспределению потока энергии
в пространстве, так что минимумы энергии колебаний в одних местах
компенсируются максимумами в других в полном соответствии с зако¬
ном сохранения энергии.
Однако в явлениях интерференции бывают случаи, когда на первый
взгляд кажется, что закон сохранения энергии нарушается. Один из
таких парадоксов возникает в случае, когда расстояние между двумя
одинаковыми .когерентными источниками монохроматических волн
значительно меньше длины волны: d « к. Если источники совершают
колебания в одинаковой фазе, то в любую точку волны от этих источни¬
ков приходят почти в фазе, так как разность хода волн / много меньше
длины волны к. Волны всюду усиливают друг друга, нигде не происхо¬
дит гашения волн. Поэтому амплитуда колебаний в любом месте оказы¬
вается почти вдвое больше амплитуды колебаний, вызываемых волной
от каждого источника, а энергия — в четыре раза больше. Полный по¬
ток энергии оказывается почти вдвое больше суммы потоков, создавае¬
мых каждым источников в отдельности. И тем не менее никакого про¬
тиворечия с законом сохранения энергии здесь нет. Оказывается, что
каждый источник при той же амплитуде колебаний действительно излу¬
чает вдвое больше энергии, когда рядом с ним находится другой такой
Рис. 23.1. К интерференции
волн от двух точечных
ИСТОЧНИКОВ
394
же источник, колеблющийся в фазе с ним. Так происходит потому, что
источники взаимодействуют через создаваемые ими волны. Работа, ко¬
торая совершается при приведении источников волн в действие, будет в
этом случае вдвое больше. Сопротивление движению каждого источни¬
ка будет обусловлено не только той волной, которую он излучает сам,
но и волной, излучаемой вторым источником. В результате при преж¬
ней амплитуде колебаний каждый источник развивает вдвое большую
мощность.
Наблюдать описанные явления особенно удобно не для упругих ме¬
ханических волн, а для электромагнитных волн, излучаемых располо¬
женными рядом антеннами. Если в этих антеннах колебания происхо¬
дят синфазно, то каждый передатчик, питающий отдельную антенну,
развивает вдвое большую мощность.
Аналогичный парадокс возникает и в случае, когда расположенные
рядом когерентные источники совершают колебания в противофазе.
Излучаемые такими источниками волны, интерферируя, всюду почти
полностью гасят друг друга, так что амплитуда результирующей волны
везде близка к нулю. Взаимодействие источников колебаний через из¬
лучаемые ими волны в этом случае приводит к тому, что энергия вооб¬
ще не излучается. Образуется замкнутая система, в которой энергия
только переходит от одной антенны к другой и обратно.
Для наблюдения устойчивой интерференционной картины не обяза¬
тельно иметь два независимых когерентных источника. Вторую, коге¬
рентную с исходной волну можно получить в результате отражения
исходной волны от границы среды, в которой происходит распростране¬
ние волн. В этом случае интерферируют падающая и отраженная волны.
Если плоская монохроматическая волна падает по нормали на пло¬
скую границу раздела двух сред, то в результате отражения от границы
возникает также плоская волна, распространяющаяся в обратном на¬
правлении. Аналогичное явление происходит при отражении распро¬
страняющейся в струне волны от закрепленного или свободного конца
струны. При равенстве амплитуд падающей и отраженной волн в ре¬
зультате интерференции образуется стоячая волна. В стоячей волне, как
и вообще при интерференции волн, каждая точка среды совершает гар¬
моническое колебание с некоторой амплитудой, которая, в отличие от
случая бегущей волны, в разных точках среды имеет разные значения.
Найдем распределение амплитуд в стоячей волне. Будем рассматри¬
вать поперечную волну в гибкой струне. Уравнение падающей волны
запишем в виде
Это уравнение описывает волну, бегущую со скоростью и в положитель¬
ном направлении оси z■ Предположим, что в точке z = 0 волна испыты¬
§ 23.2. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
(23.1)
26*
395
вает отражение. Этого можно добиться, либо закрепив струну в этой
точке, либо перерезав ее. В первом случае происходит отражение волны
от закрепленного конца струны, во втором — от свободного. Физиче¬
ские условия отражения в этих случаях разные, но амплитуда отражен¬
ной волны в обоих случаях равна амплитуде падающей, так как энергия
волны не может передаваться далее. Если обозначить изменение фазы
волны при отражении через 5, то уравнение отраженной волны записы¬
вается в виде
хг (t, z) = A cos
ш| /+|j + 8
(23.2)
Оно описывает волну, распространяющуюся в отрицательном направле¬
нии оси z, и поэтому отличается от уравнения (23.1) заменой и на -и.
Как изменяется фаза волны при отражении? Колебание любой точ¬
ки струны есть результат сложения двух гармонических колебаний, вы¬
зываемых падающей и отраженной волнами. Поэтому, если конец стру¬
ны закреплен, то складываемые колебания в этой точке в любой момент
времени должны погасить друг друга, т.е. они должны происходить в
противофазе: для закрепленного конца струны 8 = л. Напротив, если
конец струны в точке z = 0 свободен, то амплитуда результирующего
колебания в этой точке должна быть максимальной, т. е. падающая и
отраженная волна имеют здесь одинаковую фазу: 5 = 0. Теперь уравне¬
ние отраженной волны (23.2) можно записать в виде
x2(t, z) = ±/4cosco t+Y.
(23.3)
Знак «+» соответствует отражению от свободного конца, а знак «—» —
отражению от закрепленного конца. Для определенности рассмотрим
случай, когда конец струны в точке z — 0 закреплен. Сложение падаю¬
щей и отраженной волн приводит к следующему результату:
x(t, z) = х. + х2 = А
cosco f—jj
-cosco^+
= 2Лsinco^ sinco/. (23.4)
Соотношение (23.4) показывает, что каждая точка струны совершает
гармоническое колебание с частотой со. Амплитуда для разных точек
различна и зависит от координаты т. z по закону
A(z) =2/l|sinco||. (23.5)
Точки, в которых амплитуда колебаний струны максимальна, назы¬
ваются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колеба¬
ний равна нулю, называются узлами. Как видно из формулы (23.5), узлы
находятся в точках, определяемых условием
со^=я7г, п = 0, ±1, +2, ... (23.6)
396
Пучность
Рис. 23.2. Стоячая волна в струне с закрепленным концом (в т. г = 0)
Расстояние между соседними узлами равно пи/to. Так как л/ш равно по¬
ловине периода колебаний Т, то расстояние между соседними узлами
(или пучностями) стоячей волны равно половине длины бегущей вол¬
ны. График зависимости амплитуды стоячей волны в струне с закреп¬
ленным концом в точке z — 0 от координаты z показан на рис. 23.2.
Здесь же штриховой линией показано положение струны в некоторый
момент времени /.
Из формулы (23.4) видно, что колебания всех точек струны, лежа¬
щих между двумя любыми ближайшими узлами, происходят в одинако¬
вой фазе. Колебания точек струны, лежащих по разные стороны узла,
происходят в противофазе, так как при переходе через узел sinco(<:/M) ме¬
няет знак. Фазовые соотношения в стоячей волне хорошо видны из рис.
23.2. Совершенно аналогично рассматривается стоячая волна, возни¬
кающая при отражении от свободного конца струны.
Как создать в струне со свободным концом предварительное натя¬
жение, необходимое для распространения волн?
Можно, например, прикрепить к правому концу
струны легкое кольцо и надеть его на гладкий вер¬
тикальный стержень (рис. 23.3). Такое кольцо мо¬
жет скользить с пренебрежимо малым трением по
стержню, передавая горизонтальную силу натяже¬
ния струне и не препятствуя смещению конца
струны в поперечном направлении. Для отражен¬
ной от свободного конца струны волны следует
взять знак «+» в формуле (23.3). Поэтому уравне¬
ние стоячей волны принимает вид
x(t, z) .=2/4 cosco jj cos ш.
Картина распределения амплитуд в этой волне такова: узлы и пучности
здесь сдвинуты на расстояние Х./4 по отношению к картине с закреп¬
ленным концом.
Находящиеся в узлах стоячей волны частицы вообще не движутся.
Поэтому через узловые точки не происходит передачи энергии. Стоячая
волна, по существу, уже не является волновым движением, хотя и полу¬
Рис. 23.3. Легкое
кольцо на гладком
вертикальном стержне
(23.7)
397
чается в результате интерференции двух бегущих навстречу волн одина¬
ковой амплитуды. То, что стоячая волна уже фактически не волна, а
скорее просто колебания, можно увидеть и из энергетических сообра¬
жений.
В бегущей волне кинетическая и потенциальная энергии в каждой
точке колеблются в одинаковой фазе. В стоячей волне, как видно, на¬
пример, из рис. 23.2, колебания кинетической и потенциальной энер¬
гии сдвинуты по фазе так же, как и при колебаниях маятника: в тот
момент, когда все точки струны одновременно проходят через равно¬
весное положение, кинетическая энергия струны максимальна, а потен¬
циальная энергия равна нулю, ибо струна в этот момент не деформиро¬
вана.
Рассмотрим подробнее, какие колебания представляет собой стоя¬
чая волна. Предположим для определенности, что левый конец струны
закреплен и в струне установилась стоячая волна с некоторой длиной X
и с амплитудой в пучности, равной 2А. Она описывается уравнением
(23.4).
Теперь представим себе, что в некоторой т. z -1 (рис. 23.4) струну
перерезали, а освободившийся конец приводим в движение внешней
силой так, чтобы он совершал точно такие же гармонические колеба¬
ния, как и в стоячей волне до перерезания струны. Ясно, что движение
всех точек струны слева от этой точки никак не изменится. Таким обра¬
зом, стоячую волну в ограниченной струне длиной / с закрепленным ле¬
вым концом можно рассматривать как установившееся вынужденное
колебание при синусоидальном внешнем воздействии на ее левый ко¬
нец Р. Связь характеристик стоячей волны с законом движения xP(t) т. Р
дается выражением, получаемым из формулы (23.4) при подстановке в
нее значения z = !'■
xP(t) = x(t,l) =2/(sina)^ sincor. (23.8)
Эту формулу можно понимать как условие для выражения амплитуды в
пучности стоячей волны 2А через амплитуду вынужденных колебаний
левого конца струны Р. Если записать xP{t) в виде
Рис. 23.4. Струна со свободным концом, приводимым в движение
внешней гармонической силой
398
xP(t) = b sincor,
(23.9)
то из сравнения с формулой (23.8) находим
(23.10)
Как всегда, при вынужденных колебаниях нас интересует зависи¬
мость амплитуды от частоты.
Из формулы (23.10) видно, что амплитуда в пучности стоячей волны
будет огромной (в отсутствие затухания — бесконечной) даже при очень
малой амплитуде Ь колебаний правого конца, если sinco(//t<) обращается
в нуль. Но sinco(//w) обращается в нуль при такой частоте внешнего воз¬
действия, когда, как видно из рис. 23.4, на правый конец струны Р при¬
ходится узел стоячей волны. Итак, амплитуда в пучности обращается в
бесконечность, если
Это значит, что если частота внешней силы совпадает с одной из частот
то в системе наступает резонанс.
Но резонанс в любой системе в отсутствие затухания имеет место
при совпадении частоты внешнего воздействия с частотой собственных
колебаний. Поэтому набор резонансных частот (23.12) есть в то же вре¬
мя набор частот собственных поперечных колебаний струны длиной / с
закрепленными концами. Видно, что струна имеет бесконечное число
частот собственных колебаний. Это связано с тем, что струна имеет бес¬
конечное число степеней свободы.
Любое собственное колебание струны можно представить как су¬
перпозицию ее нормальных колебаний. При этом движение каждой
точки струны, как и при произвольных колебаниях связанных маятни¬
ков, уже не будет представлять собой простого гармонического коле¬
бания, а будет суммой нескольких гармонических колебаний с часто¬
тами со„.
Набор собственных частот струны длиной / со свободными концами
совпадает с набором (23.12) для такой же струны с закрепленными кон¬
цами. В этом случае при нормальном колебании на струне также укла¬
дывается целое число полуволн.
Можно рассмотреть струну длиной /, закрепленную с обоих кон¬
цов. При возбуждении колебаний в такой струне устанавливаются
стоячие волны с п + 2 узлами, считая и узлы на закрепленных концах
струны, и с частотами колебаний со„ = (п + 1)со,, где со, — основная
частота, соответствующая стоячей волне с X- 21. Струна одновремен¬
но может испускать наряду с основной частотой и обертоны, интен¬
ojj = пи, п — 1,2, ...
(23.11)
(23.12)
399
сивность которых значительно меньше интенсивности колебаний
основной частоты. От спектра обертонов зависит физическая характе¬
ристика звука, называемая тембром. Именно тембром прежде всего
отличаются одинаковые мелодии, исполняемые на разных музыкаль¬
ных инструментах.
§ 23.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ ПРЕПЯТСТВИЙ.
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
Наглядное представление о распространении монохроматических
волн в упругой среде или на поверхности воды дает картина волновых
поверхностей. Все точки среды, лежащие на одной волновой поверхно¬
сти, имеют в данный момент одну и ту же фазу колебания. Другими
словами, волновая поверхность — это поверхность постоянной фазы.
Уравнение волновой поверхности можно получить, приравнивая
фазу в уравнении волны постоянной величине. Например, для плоской
волны, описываемой уравнением
уравнение волновой поверхности получаем, приравнивая аргумент ко¬
синуса произвольной константе С:
Видно, что для фиксированного момента времени / уравнение (23.15) —
это уравнение плоскости, перпендикулярной оси z. С течением времени
эта плоскость перемещается со скоростью и вдоль оси z параллельно са¬
мой себе.
Для сферической волны, описываемой уравнением
Волновая поверхность в этом случае — это сфера, центр которой совпа¬
дает с центром волны, а радиус г растет с постоянной скоростью и.
Следует различать понятия волновой поверхности и фронта волны.
Волновая поверхность введена для монохроматической, строго говоря,
(23.13)
(23.14)
откуда
z — ut + С,.
(23.15)
(23.16)
поверхность постоянной фазы задается уравнением
г — ut + С2.
(23.17)
400
бесконечно протяженной волны, при распространении которой все точ¬
ки среды совершают гармонические колебания. Разумеется, это поня¬
тие можно применить и к более общему случаю стационарного волно¬
вого процесса, при котором все точки среды совершают периодические
(но не обязательно гармонические) колебания по закону j{t — z/u), где
f{t) — произвольная периодическая функция времени. Волновые по¬
верхности в этом случае имеют точно такой же вид (23.15), как и в мо¬
нохроматической волне.
Понятие волнового фронта относится к нестационарному волновому
процессу распространения возмущения. Пусть вся среда находится в
покое, и в некоторый момент времени включается источник колебаний,
от которого в среде начинает распространяться возмущение. Фронт вол¬
ны — это поверхность, которая отделяет точки среды, пришедшие в
движение, от тех точек, до которых возмущение еще не дошло. Очевид¬
но, в однородной изотропной среде фронт волны от плоского источни¬
ка колебаний представляет собой плоскость, а фронт волны от точечно¬
го источника — сферу.
При распространении волн в однородной среде нахождение волно¬
вых поверхностей не представляет труда. Но при наличии в среде неод¬
нородностей, преград, границ раздела и т. д. нахождение волновых по¬
верхностей усложняется.
Простой прием построения волновых поверхностей был предложен
Гюйгенсом. Принцип Гюйгенса позволяет находить волновую поверх¬
ность в некоторый момент времени, если известно ее положение в
предшествующий момент. Для этого каждую точку волновой поверхно¬
сти в момент времени t следует рассматривать как источник вторичных
волн (рис. 23.5). Волновая поверхность каждой вторичной волны спустя
промежуток времени At представляет собой в однородной среде сферу
радиуса uAt. Искомая волновая поверхность в момент времени t + At —
это геометрическая огибающая волновых поверхностей вторичных
волн. Принцип Гюйгенса можно применять и для нахождения фронта
волны в случае нестационарного волнового процесса.
В первоначальной формулировке Гюйгенса этот принцип представ¬
лял собой по существу лишь удобный рецепт для нахождения волновых
поверхностей, ибо он не объяснял, например, то, почему положение
волновой поверхности дает именно передняя огибающая вторичных
волн и каков смысл задней огибающей поверхности, показанной на
рис. 23.5 штриховой линией. Обоснование принципа Гюйгенса было
дано Кирхгофом и Френелем на основе учета интерференции вторич¬
ных волн. С применением принципа Гюйгенса—Френеля встретимся
при изучении оптики.
Легко видеть, что в простых случаях распространения плоской или
сферической волны в однородной среде принцип Гюйгенса приводит к
правильным результатам (23.15) и (23.16): плоская волна остается пло¬
ской, а сферическая — сферической. Принцип Гюйгенса позволяет
найти закон отражения и преломления плоской волны на бесконечной
плоской границе раздела двух однородных сред.
40)
Рис. 23.5. Построение волновой Рис. 23.6. Поворот волновой поверхности
поверхности по принципу Гюйгенса в неоднородной среде
С помощью принципа Гюйгенса можно объяснить, почему происхо¬
дит поворот волновой поверхности при распространении волн в неод¬
нородной среде. Пусть, например, плотность среды р возрастает в
направлении оси у (рис. 23.6) таким образом, что скорость распростра¬
нения волны и(у) уменьшается вдоль у по линейному закону. Если в
какой-то момент времени t волновая поверхность S представляет собой
плоскость z = 0, то спустя малый промежуток времени, в момент t + At,
эта волновая поверхность, как видно из рис. 23.6, поворачивается и за¬
нимает новое положение S'. Спустя следующий малый промежуток вре¬
мени она занимает положение S" и т. д. Наклоненные друг к другу вол¬
новые поверхности должны пересекаться в некоторой точке, где
скорость распространения волн обращается в нуль. Но обращение ско¬
рости в нуль соответствовало бы бесконечно большой плотности среды,
что невозможно. Это означает, что линейный закон изменения скоро¬
сти волн может быть справедлив лишь на ограниченном вдоль оси у
участке.
Описанные явления удобно наблюдать при распространении волн
на поверхности воды и звуковых волн в воздухе. Преломление звука,
вызванное неоднородностью атмосферного воздуха, приводит к ряду
интересных явлений. Жители прибрежных поселков часто слышат голо¬
са из лодок, находящихся очень далеко. Так бывает, когда температура
воздуха наверху выше, чем у поверхности воды, т. е. внизу воздух имеет
большую плотность. Это значит, что скорость звука внизу, у поверхно¬
сти воды, меньше, чем вверху. Тогда звуковая волна, которая должна
была бы под углом уходить вверх, преломляется в сторону воды и рас¬
пространяется вдоль ее поверхности. Вдоль поверхности воды образует¬
ся своего рода волновод, по которому звук может распространяться на
большие расстояния без заметного ослабления.
402
Аналогичный узкий волновод может суще¬
ствовать и в океанских глубинах при опреде¬
ленном сочетании температур и солености
воды. В результате образуется тонкий слой, в
котором скорость акустических волн меньше,
чем в слоях выше или ниже его. Звуковая энер¬
гия в таком канале распространяется, по суще¬
ству, в двух, а не в трех измерениях и поэтому
может быть обнаружена на больших расстояни¬
ях от источника.
Применение принципа Гюйгенса к распро¬
странению волн в среде при наличии преград
позволяет качественно объяснить явление ди¬
фракции — загибание волн в область геометри¬
ческой тени. Рассмотрим, например, плоскую
волну, падающую на плоскую стенку с прямыми краями (рис. 23.7). Для
простоты будем считать, что падающий на стенку участок плоской вол¬
ны полностью поглощается, так что отраженной волны нет. На рис. 23.7
показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности
позади преграды. Видно, что волны действительно загибаются в область
тени.
Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в
волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию
волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение ам¬
плитуд колебаний позади преграды называется дифракционной карти¬
ной. Непосредственно за преградой амплитуда колебаний очень мала.
Чем дальше от преграды, тем заметнее становится проникновение коле¬
баний в область геометрической тени.
Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от
соотношения между длиной волны X, размером преграды d и расстоя¬
нием L от преграды до источника наблюдения. Если длина волны X
больше размеров препятствия d, то волна его почти не замечает. Если
длина волны X одного порядка с размером преграды d, то дифракция
проявляется даже на очень малом расстоянии L, и волны за преградой
лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон.
Если, наконец, длина волны много меньше размеров препятствия, то
дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоя¬
нии от преграды, величина которого зависит от X и d.
§ 23.4. ВОЛНЫ ОТДВИЖУЩИХСЯ источников.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Принцип Гюйгенса позволяет найти вид фронта волны для неста¬
ционарного волнового процесса, возникающего при движении источ¬
ника колебаний в неподвижной среде. Здесь возможны два существенно
различных случая: скорость источника V меньше скорости распростра¬
нения волн в среде и и наоборот, V> и. Пусть источник начинает дви¬
Рис. 23.7. Дифракция
плоской волны
403
гаться из т. О по прямой с постоянной
скоростью v, постоянно возбуждая колеба¬
ния. В первом случае, когда V < и, вопрос
о форме фронта волны и его положении
решается очень просто: фронт будет сфе¬
рическим, а центр его совпадает с положе¬
нием источника в начальный момент вре¬
мени, так как след от всех последующих
возмущений окажется внутри этой сферы
(рис. 23.8).
Действительно, будем рассматривать
создаваемые движущимся источником
возмущения через равные промежутки
времени т. Точки О,, 02и Оъ дают положе¬
ния источника в моменты времени т, 2т и Зт. Каждая из точек может
рассматриваться как центр сферической волны, испущенной источни¬
ком в тот момент, когда он находился в этой точке. На рис. 23.8 изобра¬
жены положения этих волн в момент времени Зт, когда источник нахо¬
дится в т. Оу Так как и < V, то фронт каждой последующей волны
целиком лежит внутри фронта предыдущей.
Если скорость источника равна скорости распространения волн в
среде, то, как показано на рис. 23.9, фронты всех волн, испущенных в
т. О, 0} и 02 соприкасаются в т. 03, где находится в данный момент ис¬
точник. Если на фронте каждой волны возникает некоторое уплотнение
среды, то непосредственно перед движущимся источником, где фронты
всех волн соприкасаются, уплотнение может быть значительным.
Особенно интересен случай, когда скорость источника больше ско¬
рости распространения волн в среде: V> и. Источник опережает создан¬
ные им волны. Положение фронтов волн, испущенных в т. О, О, и 02
для того момента времени, когда источник находится в т. 0}, показано
Рис. 23.8. Волновые поверхности
при движении источника со ско¬
ростью, меньшей скорости волн
Рис. 23.9. Волновые поверхности
при движении источника со скоростью,
равной скорости волн
Рис. 23.10. Волновые поверхности
при движении источника со скоростью,
превышающей скорости волн
404
на рис. 23.10. Огибающая этих фронтов представляет собой поверхность
кругового конуса, ось которого совпадает с траекторией источника, вер¬
шина в каждый момент времени совпадает с источником, а угол ф меж¬
ду образующей и осью определяется, как ясно из рис. 23.10, соотно¬
шением
Такой фронт волны получил название конуса Маха.
С такой формой фронта волны приходится сталкиваться во всех
случаях движения тел со сверхзвуковой скоростью — снарядов, ра¬
кет, реактивных самолетов. В тех случаях, когда уплотнение среды на
фронте волны значительно, фронт волны можно сфотографировать. На
рис. 23.11 , сделанном по фотографии, показаны конус Маха пули, дви¬
жущейся со сверхзвуковой скоростью, и фронт звуковой волны, создан¬
ной пулей при ее движении в стволе с дозвуковой скоростью. Снимок
сделан в тот момент, когда пуля обгоняет фронт звуковой волны.
Аналогом конуса Маха в оптике является черенковское излучение,
возникающее при движении заряженных частиц в веществе со скоро¬
стью, превышающей скорость света в этой среде.
Из рис. 23.8 видно, что при движении источника монохроматиче¬
ских волн длина излучаемых по разным направлениям волн различна и
отличается от длины волны, которую испускал бы неподвижный источ¬
ник. Если считать промежуток времени т равным периоду колебаний
Т— 1/v, то сферы на рис. 23.8 можно рассматривать как последователь¬
ные гребни (или впадины) волн, а расстояние между ними — как длину
волны, излучаемой в соответствующем направлении. Видно, что длина
волны, излучаемой по направлению движения источника, уменьшается,
а в противоположном направлении — увеличивается. Понять, как это
происходит, помогает рис. 23.12: источник начинает очередной период
излучения, находясь в т. О,. В результате длина излученной волны А'
оказывается меньше, чем А = иТ, на величину VT:
(23.18)
Рис. 23.11. Конус Маха и фронт звуковой
волны при движении источника со скоро¬
стью, большей скорости волн (на примере
пули)
Рис. 23.12. К объяснению эффекта
Доплера
405
X' = X-VT=(u-V)T=^-.
(23.19)
Неподвижный приемник, регистрирующий эти волны, будет при¬
нимать колебания с частотой v', отличной от частоты колебаний источ¬
ника v:
v'=f;=-JVv. (23.20)
A. u-V
Эта формула справедлива как в случае приближения источника к непод¬
вижному приемнику, так и в случае удаления. При приближении ско¬
рость источника V берется с положительным знаком, при удалении — с
отрицательным. Если источник движется с дозвуковой скоростью, то при
приближении частота принимаемого звука выше, а при удалении —
ниже, чем при неподвижном источнике. Такое изменение высоты звука
легко заметить, слушая звук гудка проносящегося мимо поезда или авто¬
мобиля. Если скорость приближения источника звука к приемнику стре¬
мится к скорости звука, то согласно формулам (23.19) и (23.20) длина
волны X' стремится к нулю, а частота v' — к бесконечности.
Если V больше н, то сначала мимо приемника промчится источник,
и только потом придут созданные им при приближении звуковые вол¬
ны. Эти волны будут приходить в обратной последовательности по
сравнению с тем, как они излучались: волны, излученные раньше, при¬
дут позже. В этом смысл отрицательного значения частоты v', получае¬
мого из формулы (23.20) при V> и.
Изменение частоты колебаний, регистрируемых приемником, про¬
исходит и в том случае, когда источник волн неподвижен в среде, а дви¬
жется приемник. Если, например, приемник приближается к источнику
со скоростью Vnp, то его скорость относительно гребней волн равна
и + Кпр. Поэтому регистрируемая им частота колебаний равна
= (23.21)
Эта формула справедлива и при удалении приемника от неподвиж¬
ного источника, только скорость Кпр надо взять с отрицательным зна¬
ком. Если приемник удаляется от источника со сверхзвуковой скоро¬
стью, то он догоняет ранее испущенные волны и регистрирует их в
обратной последовательности.
Явления изменения частоты принимаемых волн при движении
источника или приемника относительно среды называются эффектом
Доплера.
Задачи к главе 23
Задача 23.1. Оцените поперечные размеры плоской волны, приходя¬
щей от далекого точечного источника.
Решение. Волна может считаться плоской в ограниченной облас¬
ти пространства. Оценим размеры этой области. Пусть / — расстояние
406
до источника. Рассмотрим область радиуса г. Разность фаз колебаний в
центре области и на ее периферии не должна превышать Дф радиан.
Если площадь сечения области мала по сравнению с IX, фаза почти не
меняется по всей площади. Таким образом, фаза в центре области опе¬
режает фазу на периферии на Дф = .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 23.2. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, частота тона
гудка паровоза меняется скачком. Какой процент от истинной частоты тона составляет
скачок частоты, если поезд движется со скоростью К= 60 км/ч? (10 %)
Задача 23.3. Какой поверхностью является огибающая волновых фронтов для тела,
двигающегося со скоростью, в точности равной скорости звука? (Сферой)
Задача 23.4. Как меняются со временем скорости различных точек стоячей волны, су¬
ществующей в закрепленной с обоих концов струне? (х(/, г) = 2 Лео sin со — cos со/)
и
Указание. Возьмите производную по времени от уравнения (23.4).
Глава 24. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН
§ 24.1. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Как видно из ранее сказанного, в ряде случаев (например, при рас¬
пространении волн на поверхности воды) скорость распространения
волн зависит от длины волны, т. е. имеет место дисперсия. Рассмотрим
для определенности волны на поверхности воды и предположим, что
распространяется не отдельная монохроматическая волна бесконечной
протяженности, а группа волн, представляющая собой цуг ограничен¬
ной длины. С какой скоростью будет распространяться центр такого
цуга? Представление о движении цуга волн можно получить, рассмат¬
ривая волну, образующуюся при сложении двух монохроматических
волн с близкими длинами X и X + АХ. В отсутствие дисперсии эти волны
распространялись бы с одинаковой скоростью и. При наличии диспер¬
сии они распространяются с несколько различающимися скоростями и
и и + Ди.
Как выглядит моментальная фотография результирующей волны?
Фотографии каждой из складываемых волн представляли бы собой за¬
стывшие синусоиды с разной длиной волны (см. рис. 22.10). В том мес¬
те, где горб одной из этих волн совпадает с горбом другой, результирую¬
щая волна имеет горб удвоенной высоты. Там, где горб одной волны
совпадает с впадиной другой, в результирующей волне смещение равно
нулю. Как видно из рис. 22.10, фотография результирующей иол мы
представляет собой последовательность отдельных групп волн. Как вся
эта картина меняется со временем?
407
и+йи
Рис. 24.1. К выводу формулы для групповой
скорости воли
Если скорости складываемых волн одинаковы, то результирующая
волна распространяется с той же скоростью, не изменяя своей формы.
Если же скорости складываемых волн различаются, то взаимное распо¬
ложение их горбов и впадин меняется с течением времени. Мгновенная
фотография результирующей волны будет, разумеется, иметь такой же
вид, как и раньше, но положение центров отдельных групп волн с тече¬
нием времени будет изменяться относительно горбов и впадин склады¬
ваемых волн. Поэтому центры отдельных групп волн движутся с иной
скоростью, нежели складываемые синусоидальные волны. Скорость
движения центров этих групп называют групповой скоростью. Найдем
эту скорость.
Будем для определенности считать, что скорость монохроматиче¬
ских волн растет с увеличением длины волны. Тогда нижняя волна на
рис. 24.1, имеющая длину X + АХ, обгоняет верхнюю волну с длиной X.
Пусть в какой-то момент времени горбы Р и Р] совпадают, т. е. центр
группы волн приходится на т. Р. Через некоторое время т горб Рх обго¬
нит Р, но зато совпадут горбы Q и Q,. Это значит, что центр группы
волн за это время сместился назад на одну длину волны X и совпадает с
т. Q. Поэтому скорость перемещения центра группы волн в пространст¬
ве и меньше скорости верхней волны на величину Х/х\
Время т, в течение которого горб £), догоняет Q, как легко видеть из
рис. 24.1, равно АХ/А и. Поэтому выражение для групповой скорости
(24.1) в пределе при АХ -> 0 принимает вид
Возможность распространения волн на поверхности воды обуслов¬
лена действием поля тяжести Земли и сил поверхностного натяжения в
жидкости. Роль этих сил различна для возмущений разного пространст¬
венного масштаба: для мелкомасштабных возмущений преобладающи¬
ми являются силы поверхностного натяжения, а для крупномасштаб¬
ных, наоборот, этими силами можно пренебречь. В первом случае
волны на поверхности воды называются капиллярными и представляют
(24.1)
и, =и
(24.2)
§ 24.2. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ
408
собой мелкую рябь. Во втором случае волны называются гравитацион¬
ными.
В общем случае скорость распространения поверхностных волн в
безграничной среде зависит от поверхностного натяжения а, плотности
жидкости р, ускорения свободного падения g и длины волны X, под ко¬
торой понимается минимальное расстояние между областями с одина¬
ковым возмущением среды. Имеем для размерностей указанных пара¬
метров:
[а] = МТ~\ [р] = ML~\ [g\ = LT~\ [X] = L. (24.3)
В безразмерный параметр у должно входить отношение ст/р, иначе
не сокращается М, для сокращения Т это соотношение следует разде¬
лить на g, после чего для сокращения L разделить на X2. Итак,
У = ^’ (24'4)
и выражение для скорости волны и можно записать, например, следую¬
щим образом:
(24-5)
Вид функции /легко устанавливается в указанных предельных слу¬
чаях. Для капиллярных волн скорость не должна зависеть от ускорения
свободного падения g. В этом случае
(246)
так как именно такая форма / обеспечивает независимость и от g\
<24'7)
Для гравитационных волн скорость не должна зависеть от поверхно¬
стного натяжения а, поэтому здесь
/= С, (24.8)
и выражение для скорости есть
и =С^Х. (24.9)
Видно, что как для капиллярных, так и для гравитационных волн
характерно наличие дисперсии, т. е. зависимости скорости от длины
волны, хотя вид этой зависимости в указанных предельных случаях
разный.
Другие результаты получаются в случаях, когда длина волны на¬
столько велика, что становится сравнимой с глубиной водоема h. Те¬
27 - 3840
409
перь в системе возникает еще один безразмерный параметр Х/И, так что
для скорости гравитационных волн можно записать выражение
и
(24.10)
где ф — некоторая функция.
При X « И скорость и не зависит от параметра Х/И, поэтому ф -» С.
В другом предельном случае X» И скорость распространения возмуще¬
ния не должна зависеть от длины волны, так как для всех волн усло¬
вия распространения одинаковы. Теперь для сокращения X функция ф
должна иметь вид
Скорость распространения предельно длинных (Х/И -э оо) гравита¬
ционных волн зависит от глубины водоема: чем глубже вода, тем боль¬
ше скорость распространения возмущения. Оценим их максимальную
скорость в океане, считая глубину воды И ~ 5 км. Для возмущений с
длиной волны X >> 5 км даже такая вода будет очень мелкой, и с помо¬
щью формулы (24.12), полагая С, ~ 1, находим и ~ 200 м/с ~ 700 км/ч.
Волна бежит со скоростью пассажирского самолета. Столь длинные
волны возникают при подводных землетрясениях и называются цунами.
При каком соотношении между X и И воду можно считать достаточно
глубокой для того, чтобы можно было не принимать во внимание глуби¬
ну водоема при расчете скорости волн? Оказывается, что воду можно
считать глубокой, если глубина водоема превышает половину длины вол¬
ны, и мелкой — если глубина примерно на порядок (т. е. в десять раз)
меньше длины волны. Причина этого — в очень быстром (экспоненци¬
альном) затухании волнового движения с увеличением глубины. Уже на
глубине в половину длины волны максимальное смещение частиц воды в
вертикальном направлении в 23 раза меньше, чем на поверхности, а на
глубине в целую длину волны — в 500 раз меньше. По этой причине мор¬
ское волнение, даже очень сильное, слабо ощущается на подводных ко¬
раблях уже при сравнительно неглубоком их погружении.
На мелкой воде наблюдается интересный нелинейный эффект —
возникает волна очень интересной формы — солитон, или уединенная
волна. Солитон — это одиночная волна, которая выглядит словно поло¬
винка волны: у нее есть горб, но нет впадины, так что по обе стороны
горб плавно переходит в равновесный уровень воды (рис. 24.2). Фор¬
мально можно считать, что длина волны у нее простирается до беско¬
нечности. На мелкой воде с глубиной немного более 1 см солитон со¬
ставлен из гравитационных волн и возникает при поднятии воды.
(24.11)
В результате из (24.10) получаем для и такое выражение.
и =С,
(24.12)
410
Солитоны легко образуются на мелких широких
ручьях, текущих по асфальту — такой ручеек все¬
гда покрыт сеткой из пересекающихся стоящих на
месте длинных волновых полос.
На очень мелкой воде, когда основную роль
играют капиллярные силы, солитоны приобрета¬
ют вид маленьких ложбинок, обычно неправиль¬
ной формы. В мелкой струйке, стекающей по ас¬
фальту от водосточной трубы, можно заметить
мелкие углубления в виде птичек или более слож¬
ной формы.
§ 24.3. ПРИЛИВЫ
У берегов океанов и морей дважды в сутки наблюдается поднятие
морской воды до некоторого максимального уровня — прилив. После
этого происходит опускание воды до минимального уровня — отлив.
Время между приливом и отливом составляет 12 ч 25 мин — половину
промежутка времени, в течение которого Луна совершает полный обо¬
рот вокруг Земли.
Первые попытки объяснения этого явления принадлежат Ньютону.
Приливы и отливы, согласно Ньютону, объясняются неоднородностью
поля тяготения Луны и отчасти Солнца. В результате силы тяжести,
действующие в точках, для которых Луна находится в зените, будут
больше, чем силы, действующие в точках, для которых Луна находится
в надире. По этой причине на поверхности океана образуются два диа¬
метрально противоположных горба, которые все время обращены к
Луне и от нее и бегут по поверхности океана, следуя за движением
Луны. Такое объяснение явления приливов и отливов не противоречит
наблюдаемому промежутку времени между ними, однако находится в
несоответствии, полном или частичном, со всеми остальными наблю¬
даемыми фактами. Например, согласно приведенному объяснению
прилив должен наблюдаться, когда Луна находится в зените или надире,
а отлив — когда она находится в квадратуре. В действительности прили¬
вы скорее наблюдаются в квадратурах, а отливы — в кульминациях
Луны.
В теории Ньютона рассматривались лишь силы, вызывающие при¬
ливы, но не волновое движение воды, вызываемое этими силами. Осно¬
вы более точной динамической теории приливов, учитывающей движе¬
ние воды, были заложены Лапласом, однако до сих пор не сушссгнуст
теории, которая бы не только последовательно объясняла вес наблюдас
мые экспериментальные факты, но и предсказывала бы тонкие нюансы
явлений.
Прежде всего приливы и отливы определяются совместным лейст
вием Луны и Солнца, неоднородность гравитационного ноля которою в
пределах Земли хотя и слабее неоднородност и лунного пили, мо состав-
ляет сравнимую с ним величину:
27* 411
Рис. 24.2. Уединенная
волна — солитон
gMjMcR
rc - Mc
дМ-зМл p M„
V 'c
=0,45.
(24.13)
Здесь M3, Mc и Мл — массы Земли, Солнца и Луны; гс и гл — расстоя¬
ния от Земли до Солнца и Луны; R3 — радиус Земли.
Именно таким отношением, как нетрудно убедиться, характеризует¬
ся относительная величина указанных неоднородностей. Наибольшей
величины приливы достигают, когда Луна и Солнце действуют по од¬
ной прямой, и наименьшей, когда Луна находится сбоку от Солнца на
линии, перпендикулярной направлению на Солнце. В периоды ново¬
луния и полнолуния, раз в две недели, прилив бывает наиболее высо¬
ким и он называется сизичийным приливом. В промежуточные периоды
прилив оказывается наиболее низким и называется квадратурным.
Сравнивая приливообразующие силы от Луны и Солнца, можно убе¬
диться, что сизичийный прилив должен быть примерно в три раза выше
квадратурного.
Дополнительные сложности в теорию приливов вносят как астроно¬
мические, так и земные факторы. Не остается постоянным расстояние
от Луны до Земли (расстояние от Солнца до Земли также изменяется,
хотя и в меньшей степени). Периоды вращения Земли вокруг оси и дви¬
жения Луны вокруг Земли хоть и близки, но все же не совпадают. Плос¬
кость орбиты Земли наклонена к экватору примерно на 23°, а плоскость
орбиты Луны образует с плоскостью орбиты Земли угол примерно в 5°.
Приливообразующие силы от Луны и Солнца действуют весьма несо¬
гласованно, так что помимо полусуточной и двухнедельной периодич¬
ности высоты приливов наблюдаются и более долговременные перио¬
дичности.
Приливная волна — это очень длинная волна, на экваторе ее длина
составляет около 20000 км. Мировой океан, даже имеющий участки глу¬
биной до 11 км, для такой волны — самое настоящее мелководье. Беря
правильное выражение для скорости волны u=Jgh, убеждаемся, что
даже при такой глубине скорость распространения составляет 1100 км/ч,
т. е. волна обойдет Землю за 36 часов, отстав от Луны на полсуток. В дей¬
ствительности приливная волна придет в точку наблюдения еще позже.
На характере приливов существенно сказывается сложный рельеф дна
океанов, наличие материков, островов и подводных хребтов, очертания
берегов, трение, морские течения и ветры и множество других трудно
учитываемых факторов.
На открытых островах в океане максимальная высота прилива в
полнолуние и новолуние составляет порядка 1 м, у берегов океана вы¬
сота приливов обычно около 2 м, мест с высотой приливов свыше 6 м
очень мало. Все они находятся либо в узких проливах, либо в глубине
длинных заливов. Наиболее значительные приливы наблюдаются в за¬
ливе Фунди на восточном берегу Канады. Их высота нарастает от 4 м на
входе до 12—16 м в глубине залива, а во время сизичийных приливов
наблюдалась высота свыше 20 м.
412
Подходя к берегу, любые волны, особенно образованные на поверх¬
ности моря ветром, изменяются до неузнаваемости. Волна, вошедшая
во впадающую в море реку, продлевает свою жизнь, она называется бо¬
ром. Наиболее регулярен и отчетливо выражен бор, вызываемый при¬
ливной волной. По реке вверх но течению начинает двигаться высокий
вал или группа валов, которая называется периодическим бором. Боль¬
шим бором считается вал высотой в 2 м, но встречаются и боры, дости¬
гающие высоты 6 м — на реке Янцзы в Китае. Характерный признак
бора — кипящая стена воды на его фронте, движение бора сопровожда¬
ется сильным шумом.
Бор чаще встречается на таких реках, ложе которых довольно круто
опускается в море. Нередко бор движется со скоростью, превышающей
20 км/ч. По физической природе боры — это ударные волны, которые
возникают, когда скорость движения тела превышает так называемую
фазовую скорость распространения волн.
Приливная волна на мелководье — это очень пологая волна, движу¬
щаяся со скоростью и =^Jg(h + Н), где И — глубина водоема, а Н — вы¬
сота волны. У устья реки Н становится сравнимой с И. В самой реке
скорость распространения волн до подхода бора равна и' =^[gh. Видно,
что и > и', т. е. волна из моря движется с так называемой сверхкритиче-
ской скоростью, при которой вода, находящаяся перед фронтом бора,
не успевает подготовиться к его приходу, и бор образует в ней участок
сжатия, который бежит по реке перед фронтом бора. При этом волны,
которые могут возникнуть позади бора, догоняют его фронт. Поэтому
позади бора, как и впереди него, нет никаких волн, а движется лишь
водяная стена.
Волны, подходящие к берегу моря, превращаются в кипящие буру¬
ны при выходе на мелководье. Участок фронта волны, первым высту¬
пающий на мелководье, начинает двигаться с меньшей скоростью, его
догоняют еще не замедлившиеся части волны. В результате уменьшения
длины волны увеличивается ее крутизна. Когда глубина моря прибли¬
жается к значению, примерно вдвое превышающему длину волны, гре¬
бень волны начинает заостряться. Затем волна опрокидывается, и еще
довольно далеко от берега возникает бурун. Картина изменения профи¬
ля волны при ее опрокидывании очень сложна, и ей до сих пор не
удалось дать точного математического описания. Опрокидывание и раз¬
рушение волн — это проявление их нелинейного характера. Опрокиды¬
ваясь, гребень захватывает воздух, а разбиваясь, превращается в бурля¬
щую массу пены, которая несется к берегу.
Если бурун образовался на подводном валу, по другую сторону ко
торого глубина снова увеличивается, то волна может снова восстано¬
вить свою форму, хотя часть энергии оказывается утерянной в результа¬
те сильного турбулентного движения, образования брызг и т. д
В зависимости от профиля дна у берега может возникнуть несколько
бурунных полос. У последней полосы бурунов глубины воды уже не
хватает для образования следующей волны, и набегающая волна пре¬
вращается в вал, который выбрасывается на пляж бурлящим слоем и
там исчезает. Вся энергия волны исчезает в течение нескольких секунд.
41.1
Поэтому мощность прибоя оказывается намного больше мощности вол¬
ны в штормовой зоне в открытом море, в результате чего прибойные
волны могут причинять большие разрушения. Скользящие буруны спо¬
собствовали возникновению красивого вида спорта — катания на доске
(серфинга). При катании на буруне на доску действуют сила тяжести и
архимедова сила. Последняя направлена по нормали к поверхности
воды. Если спортсмен оказывается на переднем склоне волны, возника¬
ет равнодействующая скатывающая сила. Когда эта сила сравнивается с
силой лобового сопротивления воды (и воздуха), спортсмен перемеща¬
ется со скоростью гребня.
Задачи к главе 24
Задача 24.1! Вычислить групповую скорость для волны на поверхно¬
сти воды.
Решение. Для гравитационных волн на глубокой воде получаем
(24.14)
Подставляя это значение в формулу (24.1), находим
ит =ug -±ug (24.15)
Скорость распространения центра группы гравитационных волн на
глубокой воде оказалась вдвое меньше скорости монохроматических
волн. На мелкой воде групповая скорость гравитационных волн совпа¬
дает со скоростью монохроматических волн, так как для них дисперсия
отсутствует (du/dk = 0).
Задача 24.2. Определить групповую скорость капиллярных волн.
Решение. Имеем
du* =jL(г RV С /д~__ио (24 161
dk V Рх) 2V
Теперь для групповой скорости с помощью формулы (24.2) получаем
иг=ц0+^=|И„. (24.17)
Центр группы капиллярных волн бежит в полтора раза быстрее, чем от¬
дельная монохроматическая волна.
Каждая группа волн, как видно из рис. 24.1, состоит из горбов и
впадин, которые движутся с такой же скоростью, как и монохроматиче¬
ская волна. При наличии дисперсии группа волн как целое движется с
иной скоростью, чем входящие в ее состав горбы и впадины. Так полу¬
чается потому, что в процессе распространения группа живет: на одном
конце группы возникают новые горбы, а на другом — горбы угасают.
414
Отметим, что общие выражения для фазовой и и групповой иг ско¬
ростей волн имеют вид
U=f, (24.18)
(24.19)
где со (к) — закон дисперсии волны, т. е. зависимость частоты со от вол¬
нового числа к = 2тсД. Формула (24.19) может быть записана и в вектор¬
ном виде
4ш
4k'
(24.20)
В справедливости формулы (24.18) можно убедиться, непосредст¬
венно составляя выражение
u = 2^ = 2m=uk (24.21)
Проверим Формулу (24.19) для рассмотренного выше случая
ug = С С д/2 ng/к. Имеем со=ug к =C^j2ngk. Используя формулу
(24.19) и вычисляя производную, получаем
,, _ 4со _cfing _Cyj2ngk _ m _ и„
г dk 2 ik 2к 2к 2’
что совпадает с формулой (24.15).
Задача 24.3. Средняя глубина мирового океана — 5 км. Оцените, с
какой скоростью распространяются в нем цунами.
Решение. Поскольку высота уединенной волны цунами много
меньше глубины мирового океана, а его горизонтальные размеры много
больше вертикальных, воспользуемся моделью волн на мелкой воде.
Для синусоидальных волн в мелкой воде фазовая скорость w(|) =^[gh не
зависит от длины волны, т. е. волны распространяются без дисперсии.
Таким образом,
Уцшами = Jgh = 220 м/с = 790 км/ч,
что несколько меньше обычной скорости реактивного самолета.
Задача 24.4. Дисперсионное соотношение для гравитационных
волн в воде приведено в книге Ф. Крауфорда (Крауфорд, Ф. Волны /
Берклеевский курс физики. — М.: Наука, 1984. С. 313):
<24-22>
где h — глубина воды.
415
Получите из него дисперсионные соотношения для волн в глубокой
и мелкой воде.
Решение. В глубокой воде h » l/к и, следовательно, « 0. По¬
этому
со2 =gk,
а фазовая скорость уф -^gk/ln.
Дисперсия проявляется в том, что скорость удваивается при возрас¬
тании длины волны в четыре раза.
В мелкой воде е~2М * 1 — 2hk, так что
2 _2 ngkh
ш - ^ ,
и фазовая скорость уф =^[gh. Дисперсии нет.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 24.5. Рассмотрим струну длины L, закрепленную в точке z - 0 и свободную в
точке z - L- Показать, что период первой моды равен времени прохождения импульсом
расстояния 4L со скоростью, равной фазовой.
Задача 24.6. Дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде имеет вид
(о2 = gk + —к1.
Р
Найти фазовую и групповую скорости. При каких условиях они совпадают? (уф = v , когда
gk = -k3)
Р
Задача 24.7. Показать, что для волн в глубокой воде глубина проникновения для ампли¬
туды (расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз) равна приведенной длине
волны Х/2п.
Задача 24.8. Показать, что фазовая скорость волн в пружине, состоящей из фиксиро¬
ванного числа витков, пропорциональна ее длине.
Задача 24.9. Функция f[t — z/v) описывает распространение волны в соответствии с
уравнением
dt2~ dz2'
Есть ли у таких волн дисперсия? (Нет)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие волны называются монохроматическими?
2. Как экспериментально можно измерить скорость звука? Скорость волн на поверх¬
ности воды?
3. Как изменился бы тон звука, если вместо воздуха наша атмосфера состояла бы из
гелия?
4. Зачем камертон делается с двумя ножками?
5. Где человек должен услышать более громкий звук: в пучности или в узле смещений
стоячей волны?
416
6. Почему звук в зале, заполненном публикой, звучит более глухо, чем в пустом?
7. В растянутой упругой резинке распространяются продольные и поперечные волны.
Какие из них распространяются быстрее и почему?
8. В чем различие между групповой и фазовой скоростями?
9. От каких факторов зависят акустические свойства помещения?
10. Как можно объяснить преломление волн, исходя из принципа Гюйгенса?
11. Объясните, почему каждый источник при той же амплитуде колебаний действи¬
тельно излучает вдвое больше энергии, когда рядом с ним находится другой такой же ко¬
герентный источник, колеблющийся в фазе с ним.
12. Можно ли с помощью принципа Гюйгенса количественно описать явление ди¬
фракции?
13. Диспергируют ли звуковые волны при обычных условиях?
14. Как зависит фазовая скорость волн в воде от глубины?
15. Существенно ли пренебрежение трением воды о грубую поверхность дна в модели
волн в глубокой воде? Мелкой воде?
16. Какие волны называются капиллярными?
Описание программного обеспечения по теме
«Механические волны»
Система компьютерной алгебры Maple
1. Условия применения программы
Технические средства:
• Windows 95/98/NT/MЕ/2000;
• ПЭВМ типа IBM PC 486DX;
• 8 М< ОЗУ (рекомендуется 16 Мб);
• наличие свободных 30 Мб на жестком диске;
• подключение к Интернету желательно;
• монитор 16 цветов (рекомендуется 64к цветов).
2. Назначение программы и ее возможности
Внимание: сервис программы англоязычный.
Maple — система компьютерной алгебры, восьмая версия Maple 8 выпущена 16 мая
2002 г. Эта система легка в освоении, подробно описана в многочисленной литературе,
кроме того, подробную информацию о ее использовании можно получить на русскоязыч¬
ном сайте www.exponenta.ru.
Система Maple использует вполне стандартный синтаксис, допускает интеграцию с
другими математическими системами и содержит встроенную библиотеку алгоритмов
численного счета NAG, что позволяет эффективно решать многочисленные вычислитель¬
ные задачи в рамках самой системы. Также существенно, что Maple содержит большое ко¬
личество удобных в использовании специализированных математических пакетов.
Фирма-производитель объявила о свободном распространении старой версии Maple V
R4 (см. официальный сайт фирмы Waterloo: www.maplesofl.corn). Это означает, что любой
желающий может устанавливать бесплатную (хоть и несколько устаревшую) версию Maple
совершенно легально.
В качестве примера приведем использование системы Maple для задания и визуализа¬
ции волнового уравнения. Зададим волновое уравнение:
> х := xO*cos(omega*C-k*z);
х := xOcos(cor - kz)
(строка с символом «>» содержит собственные команды системы, тогда как строчкой
ниже приведены результаты выполнения команд). Как видно из приведенной выше стро¬
ки, Maple представляет алгебраические уравнения вполне стандартным образом.
417
Теперь зададим параметры — частоту, волновое число и амплитуду:
> omega := 1 ; к := 2 ; хО := 3 ;
со := 1
к:= 2
хО := 3
и строим график гармонической волны:
> plot3a(x,t=0.. 10,z=-5..5);
В книге рисунок представлен черно-белым, тогда как на экране компьютера возмож¬
на богатая цветовая палитра.
Несмотря на то, что освоение системы Maple требует некоторого времени, овладение
основами работы с системой компьютерной алгебры совершенно необходимо для каждо¬
го, изучающего физику на современном уровне. Богатые библиотеки программ (см. вы¬
шеуказанные сайты и соответствующую литературу По Maple) позволят Вам легко и эф¬
фективно использовать математический аппарат физики, проводя численные расчеты,
визуализуя результаты и автоматизируя аналитические вычисления.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение. Предмет и методы физики 5
Раздел I. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 10
Глава 1. ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, ДВИЖЕНИЕ 10
§ 1.1. Пространство и время 10
§ 1.2. Механическое движение. Система отсчета 12
§ 1.3. Модель материальной точки (частицы). Перемещение и скорость .... 14
§ 1.4. Ускорение 18
Задачи к главе 1 25
Глава 2. СИЛЫ В ПРИРОДЕ. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ 30
§ 2.1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона 30
§ 2.2. Границы применимости классической механики 38
§ 2.3. Системы единиц 41
§ 2.4. Движение со связями. Сила сухого трения 44
§ 2.5. Гравитационное взаимодействие. Законы Кеплера 48
§ 2.6. Неинерциальныс системы отсчета. Силы инерции 56
Задачи к главе 2 65
Глава 3. СОСТОЯНИЕ ЧАСТИЦЫ И ЕГО ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ 71
§ 3.1. Механическое состояние 71
§ 3.2. Ограниченность механического детерминизма 76
§ 3.3. Метод фазовых траекторий. Адиабатические инварианты 77
§ 3.4. Принцип относительности Галилея HI
§ 3.5. Метод анализа размерностей Н6
Задачи к главе 3 41
Контрольные вопросы %
Раздел II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 4N
Глава 4. ИМПУЛЬС ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ VI
§ 4.1. Импульс чистины. Закон изменения импульса 4N
§ 4.2. Импульс системы частиц 44
§ 4.3. Центр масс системы частиц НМ
§ 4.4. Реактивное движение 1(16
Задачи к главе 4 ШИ
Глава 5. ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ I III
§ 5.1. Механический рпОота I III
§ 5.2. Кинетическая шерши III
414
§ 5.3. Потенциальная энергия 115
§ 5.4. Связь силы и потенциальной энергии 118
§ 5.5. Механическая энергия 119
§ 5.6. Энергия и фазовые траектории. Теорема вириала 122
Задачи к главе 5 128
Глава 6. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ 131
§ 6.1. Момент импульса. Момент силы 131
§ 6.2. Орбитальный и собственный моменты системы частиц 133
Задачи к главе 6 136
Контрольные вопросы 137
Раздел III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 139
Глава 7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 139
§ 7.1. Роль законов сохранения в механике 139
§ 7.2. Упругие и неупругие столкновения 141
§ 7.3. Рассеяние а-частиц 148
§ 7.4. Границы применимости модели упругого столкновения 150
Задачи к главе 7 153
Глава 8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА .... 155
§ 8.1. Законы сохранения момента импульса и энергии частицы в центральном
иоле 155
§ 8.2. Законы сохранения момента импульса и энергии частицы
в гравитационном поле 159
§ 8.3. Задача трех тел 165
Задачи к главе 8 167
Глава 9. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА
И ВРЕМЕНИ 169
§ 9.1. Принцип Нетер 169
§ 9.2. Однородность и изотропность пространства. Однородность времени ... 172
§ 9.3. Симметрия при масштабных преобразованиях. Физическое подобие ... 176
§ 9.4. Принцип относительности и законы сохранения 179
§ 9.5. Обратимость движения в классической механике 181
Задачи к главе 9 183
Контрольные вопросы 184
Раздел IV. ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 186
Глава 10. ЕДИНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ 186
§ 10.1. Фундаментальные принципы теории относительности 186
§ 10.2. Одновременность удаленных событий 188
§ 10.3. Относительность промежутков времени и расстояний 191
§ 10.4. Преобразования Лоренца 194
§ 10.5. Интервал. Преобразование скоростей в теории относительности .... 196
Задачи к главе 10 200
420
Глава 11. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 201
§ 11.1. Релятивистский импульс 201
§ 11.2. Релятивистская кинетическая энергия и энергия покоя 204
§ 11.3. Универсальные соотношения между полной релятивистской энергией
и релятивистским импульсом 207
§ 11.4. Применение релятивистской динамики 209
§ 11.5. Парадоксы теории относительности 212
Задачи к главе 11 214
Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ 216
§ 12.1. Принцип эквивалентности 216
§ 12.2. Следствия принципа эквивалентности 218
§ 12.3. Движение релятивистских объектов в гравитационном ноле 226
Задачи к главе 12 229
Контрольные вопросы 230
Раздел V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 231
Глава 13. КИНЕМАТИКА И ИНЕРТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДОГО ТЕЛА 231
§ 13.1. Модель абсолютно твердого тела. Вращательное движение 231
§ 13.2. Произвольное движение твердого тела 233
§ 13.3. Кинетическая энергия твердого тела 236
§ 13.4. Моменты инерции некоторых твердых тел. Теорема Штейнера 238
Задачи к главе 13 240
Глава 14. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 242
§ 14.1. Момент импульса твердого тела 242
§ 14.2. Типы движения твердого тела. Вращение вокруг мгновенной оси .... 243
§ 14.3. Свободное вращение. Сохранение кинетической энергии и момента
импульса 244
Задачи к главе 14 246
Глава 15. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНИХ СИЛ . 247
§ 15.1. Уравнение движения твердого тела 247
§ 15.2. Равновесие твердого тела 248
§ 15.3. Пример движения твердого тела под действием сил 251
§ 15.4. Трение качения. Ограниченность модели абсолютно твердого тела
и модели трения 253
§ 15.5. Гироскоп 258
Задачи к главе 15 262
Контрольные вопросы 265
Раздел VI. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 267
Глава 16. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 267
§ 16.1. Модель сплошной среды. Силы упругости в твердом теле 26/
§ 16.2. Силы упругости в жидкостях и газах. Давление >7(1
§ 16.3. Сила поверхностного натяжения ’Л
§ 16.4. Сила вязкости. Ньютоновская и бингамовская жидкости У1и
Задачи к главе 16 119
421
Глава 17. ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 282
§ 17.1. Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности . 282
§ 17.2. Уравнение Бернулли 284
§ 17.3. Давление в потоке жидкости 286
§ 17.4. Гидравлический удар 289
Задачи к главе 17 292
Глава 18. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 293
§ 18.1. Ламинарное течение. Формула Пуазейля 293
§ 18.2. Гидродинамическое подобие 296
§ 18.3. Обтекание тела потоком жидкости. Лобовое сопротивление
и подъемная сила 301
Задачи к главе 18 308
Контрольные вопросы 309
Раздел VII. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 312
Глава 19. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ... 312
§ 19.1. Модель гармонического осциллятора 312
§ 19.2. Превращения энергии при гармонических колебаниях.
Фазовые траектории 317
§ 19.3. Линейные и нелинейные колебательные системы 320
§ 19.4. Сложение колебаний, происходящих вдоль одной прямой 323
§ 19.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 326
Задачи к главе 19 332
Глава 20. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 340
§ 20.1. Осциллятор с затуханием 340
§ 20.2. Диссипация энергии колебаний 343
§ 20.3. Идеализации в рассматриваемой модели колебаний 346
Задачи к главе 20 349
Глава 21. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И АВТОКОЛЕБАНИЯ 350
§ 21.1. Осциллятор под действием внешней силы 350
§ 21.2. Превращения энергии в вынужденных колебаниях 355
§ 21.3. Переходные процессы. Установление гармонических колебаний 358
§ 21.4. Резонанс 360
§ 21.5. Параметрический резонанс 363
§ 21.6. Автоколебания 366
Задачи к главе 21 372
Контрольные вопросы 373
Раздел VIII. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 375
Глава 22. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ 375
§ 22.1. Свободные колебания двух связанных маятников 375
§ 22.2. Вынужденные колебания двух связанных маятников 378
§ 22.3. Бегущие волны в цепочке связанных маятников и в натянутой струне. . 379
§ 22.4. Скорость распространения упругих волн 383
§ 22.5. Скорость распространения звука в жидкостях и газах 386
422
§ 22.6. Энергия упругих волн 387
Задачи к главе 22 390
Глава 23. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН 393
§ 23.1. Когерентные волны. Интерференционная картина 393
§ 23.2. Стоячие волны 395
§ 23.3. Распространение волн при наличии препятствий. Принцип Гюйгенса . . 400
§ 23.4. Волны от движущихся источников. Эффект Доплера 403
Задачи к главе 23 406
Глава 24. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН 407
§ 24.1. Групповая скорость 407
§ 24.2. Волны на поверхности воды 408
§ 24.3. Приливы 411
Задачи к главе 24 414
Контрольные вопросы 416
Учебное издание
Бордовский Геннадий Алексеевич,
Борисенок Сергей Владимирович,
Гороховатский Юрий Андреевич,
Кондратьев Александр Сергеевич,
Суханов Александр Дмитриевич
КУРС ФИЗИКИ
В 3 кн. Кн. 1.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Редактор Т. В. Рысева
Художник А.Г. Игнатьев
Художественный редактор А.Ю. Войткевич
Технический редактор Л.А. Овчинникова
Корректоры В. В. Кожуткина, Н.Е. Жданова
Компьютерная верстка Ю.А. Кунашовой
Лицензия ИД № 06236 от 09.11.01.
Изд. № РЕНТ-24. Сдано в набор 05.09.03. Полп. в печать 31.03.04. Формат 60х88'/[б.
Бум. офсетная. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Объем 25,97+0,31 уел. печ. л. форз. 26,28 уел. кр.-отг. Тираж 5000 экз. Зак. №3840
ФГУП «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14.
Тел.: (095) 200-04-56. E-mail: info@v-shkola.ru http://www.v-shkola.ru
Отдел реализации: (095) 200-07-69, 200-59-39, факс: (095) 200-03-01. E-mail: sales@v-shkola.ru
Отдел «Книга-почтой»: (095) 200-33-36. E-mail: bookpost@v-shkola.ru
Набрано на персональном компьютере издательства.
Отпечатано на ФГУП ордена «Знак Почета» Смоленская областная
типография им. В.И. Смирнова.214000, г. Смоленск, пр-т им. Ю. Гагарина, 2.
ISBN 5-06-004-295-2
9 "785060,|042955|