И.Н.БРОНШТЕЙН
К.А.СЕМЕНДЯЕВ
СПРАВОЧНИК
по
МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И УЧАЩИХСЯ ВТУЗОВ
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
SmmeebyUo

ББК 22.11
Б68
УДК 51
Авторы из ГДР, принимавшие участие в подготовке справочника:
P. BECKMANN, M. BELGER, H. BENKER, M. DEWEB,
Н. ERFURTH, H. GENTEMANN, S. GOTTWALD, P. GUTHNER,
G. GROSCHE, H. HILBIG, R. HOFMANN, H. KASTNER,
W. PURKERT, J. von SCHEIDT, TH. VETTERMANN,
V. WUNSCH, E. ZEIDLER
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике
для инженеров и учащихся втузов.—13-е изд., исправленное. — М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 544 с.
Предыдущее, 12-е издание A980 г.) вышло с коренной переработкой,
произведенной большим коллективом авторов из ГДР, под редакцией
Г. Гроше и В. Циглера. В настоящее издание внесены многочисленные
исправления.
Для студентов, инженеров, научных работников, преподавателей.
Илья Николаевич Бронштейн
Константин Адольфович Семендяев
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ
для инженеров и учащихся втузов
Редактор А И. Штерн
Художественный редактор Т. Н Кольченко
Технические редакторы В Н. Кондакова, С. Я. Шклнр
Корректоры Т С Вайсберг, Л С Сомова
И Б 12490
Сдано в набор 27.08.85. Подписано к печати 27.05.86 Формат
70 х 100/16. Бумага книжно-журнальная для офсетной печати.
Гарнитура тайме. Печать офсетная. Усл. п л. 44,2 Уел кр -отт 88.4.
Уч.-изд. л 72,22. Тираж 250000 экз. Заказ 60. Цена 4 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение
«Печатный Двор» имени А М Горького Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
1702000000 - 106
053@2)-86
4
© Издательство «Teubner»,
ГДР, 1979
© Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980,
с изменениями, 1986

СОДЕРЖАНИЕ
От редакции 10
1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
1.1. ТАБЛИЦЫ
1.1.1 Таблицы элементарных функций 11
1. Некоторые часто встречающиеся постоянные A1) 2. Квадраты, кубы, корни A2). 3. Степени целых
чисел от 1 до 100 B9). 4. Обратные величины C1). 5. Факториалы и обратные им величины C2).
6 Некоторые степени чисел 2, 3 и 5 C3). 7. Десятичные логарифмы C3). 8. Антилогарифмы C6) 9.
Натуральные значения тригонометрических функций C8) 10. Показательные, гиперболические и тригонометрические
функции (для х от 0 до 1,6) D6). 11. Показательные функции (для х от 1,6 до 10,0) D9). 12.
Натуральные логарифмы E1). 13. Длина окружности E3). 14. Площадь круга E5). 15. Элементы сегмента круга
E7). 16. Перевод градусной меры в радианную F1). 17. Пропорциональные части F1). 18. Таблица для
квадратичного интерполирования F3)
1 1.2. Таблицы специальных функций 64
1. Гамма-функция F4). 2 Бесселевы (цилиндрические) функции F5). 3. Полиномы Лежандра (шаровые
функции) F7). 4. Эллиптические интегралы F7). 5 Распределение Пуассона F9). 6 Нормальное распределение
G1). 7. Х2-распределение G4). 8. /-распределение Стьюдента G6). 9. z-распределение G7). 10. F-распределение
(распределение v2) G8). 11. Критические числа для испытания Уилкоксона (84). 12. Х-распределение
Колмогорова—Смирнова (85).
1.1.3. Интегралы и суммы рядов 86
1 Таблица сумм некоторых числовых рядов (86). 2. Таблица разложения элементарных функций в степенные
ряды (87). 3 Таблица неопределенных интегралов (91). 4 Таблица некоторых определенных
интегралов (ПО).
1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.2.1 Алгебраические функции ИЗ
1 Целые рациональные функции A13). 2. Дробно-рациональные функции A14). 3. Иррациональные
функции A16).
1.2.2. Трансцендентные функции 117
1. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции A17). 2. Показательные и логарифмические
функции A19) 3. Гиперболические функции A21).
1.3. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
1.3.1. Алгебраические кривые 123
1 Кривые 3-го порядка A23). 2. Кривые 4-го порядка A24).
1 3.2. Циклоиды 125
1.3.3. Спирали 128
1.3.4. Цепная линия и трактриса 129
2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
2.1.1. Общие сведения 130
1. Представление чисел в позиционной системе счисления A30). 2. Погрешности и правила округления
чисел A31)
1*

СОДЕРЖАНИЕ
2 1 2 Элемешарная теория погрешностей 131
1 Абсолютные и относительные погрешности A31) 2. Приближенные границы погрешности функции A32)
3 Приближенные формулы A32)
2 1.3. Элементарные приближенные графические методы. 1. Нахождение нулей функции /(х) A32). 2 Графическое
дифференцирование A33) 3 Графическое интегрирование A33)
2.2. КОМБИНАТОРИКА
2 2 1 Основные комбинаторные функции 134
1 Факториал и гамма-функция A34) 2 Биномиальные коэффициенты A34). 3 Полиномиальный
коэффициент A35)
2 2 2. Формулы бинома и полинома 135
1 Формула бинома Ньютона A35) 2 Формула полинома A35)
2 2.3 Постановка задач комбинаторики 135
2 24 Подстановки 136
1. Подстановки A36). 2. Группа подстановок к элементов A36). 3. Подстановки с неподвижной точкой
A36). 4 Подстановки с заданным числом циклов A37) 5 Перестановки с повторениями A37)
2 2 5. Размещения 137
1 Размещения A37) 2 Размещения с повторениями A37).
2 2 6 Сочетания 138
1 Сочетания A38). 2 Сочетания с повторениями A38).
2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2 3 1 Обозначение сумм и произведений 138
2 3.2 Конечные последовательности 138
1 Арифметическая прогрессия A39) ^2 Геометрическая прогрессия A39)
2 3 3 Некоторые конечные суммы 139
2 3 4 Средние значения 139
2.4. АЛГЕБРА
2 4 1. Общие понятия 140
1 Алгебраические выражения A40) 2 Значения алгебраических выражений A40) 3 Многочлены A41)
4 Иррациональные выражения A41). 5 Неравенства A42) 6. Элементы теории групп A43)
2 4.2 Алгебраические уравнения 143
1 Уравнения A43) 2 Эквивалентные преобразования A44) 3 Алгебраические уравнения A45) 4. Общие
теоремы A48). 5 Система алгебраических уравнений A50)
24 3 Трансцендентные уравнения 150
2.4 4 Линейная алгебра 151
1. Векторные пространства A51) 2. Матрицы и определители A56). 3. Сиаемы линейных уравнений A61)
4 Линейные преобразования A64). 5 Собственные значения и собственные векторы A66)
2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2 5 1. Алгебраические функции 169
1 Целые рациональные функции A69) 2 Дробно-рациональные функции A70) 3 Иррациональные
алгебраические функции A74)
2 52 Трансцендентные функции 174
1. Тригонометрические функции и обратные к ним A74). 2 Показательная и логарифмическая функции
A79). 3 Гиперболические функции и обратные к ним A80).
2.6. ГЕОМЕТРИЯ
2 6 1. Планимефия 183
26 2 Стереометрия 185
1 Прямые и плоскости в пространстве A85) 2 Двугранные, многогранные и телесные углы A86) 3
Многогранники A86) 4 Тела, образованные перемещением линий A88)

СОДЕРЖАНИЕ
2.6.3. Прямолинейная тригонометрия 189
1. Решение треугольников A90) 2. Применение в элементарной геодезии A91)
2 6 4. Сферическая тригонометрия 192
1. Геометрия на сфере A92). 2. Сферический треугольник A92) 3 Решение сферических треугольников
A92).
2.6.5. Системы координат 194
1. Системы координат на плоскости A95). 2 Координатные системы в пространстве A97)
2.6.6. Аналитическая геометрия 199
1. Аналитическая геометрия на плоскости A99) 2 Аналитическая геометрия в просфанствс B04)
3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ .
ФУНКЦИЙ ОДНОГО И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.1.1. Действительные числа 210
1. Система аксиом действительных чисел B10) 2. Натуральные, целые и рациональные чиспа B11) 3 Абеолкн-
ная величина числа B12). 4. Элементарные неравенства B12)
3.1.2. Точечные множества в R" 212
3.1 3. Последовательности 214
1. Числовые последовательности B14) 2 Последовательности точек B15)
3.1.4. Функции действительного переменного 216
1. Функция одного действительного переменного B16) 2 Функции нескольких дейспепельных переменных
B23).
3.1 5. Дифференцирование функций одного действительного переменного 225
1. Определение и геометрическая интерпретация первой производной Примеры B25) 2 Прошводные
высших порядков B26). 3. Свойства дифференцируемых функций B27) 4 Монотонность и выпукюоь
функций B28). 5. Экстремумы и точки перегиба B29) 6 Элементарное исследование ^функции
B30).
3.1.6. Дифференцирование функций многих переменных . N 2М
1. Частные производные, геометрическая интерпретация B30) 2. Полный дифференциал, проишодиая по
направлению, градиент B31) 3. Теоремы о дифференцируемых функциях многих переменных B32)
4. Дифференцируемое отображение пространства Rn в Rm, функциональные определи i ел и. неявные
функции; теоремы о существовании решения B33) 5 Замена переменных в дифференциальных выражениях
B35). 6. Экстремумы функций многих переменных B36)
3.1 7. Интегральное исчисление функций одного переменною 238
1. Определенные интегралы B38) 2 Свойства определенных интефалов B39) 3 Неопределенные
интегралы B39). 4. Свойства неопределенных интегралов B41) 5 Интегрирование рациональных функций B42)
6. Интегрирование других классов функций B44) 7 Несобственные ин тралы B47) 8 Геомефичеекие и
физические приложения определенных интегралов .B51)
3.1.8. Криволинейные интегралы 253
1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы но длине кривой) B53) 2 Сущее 1вование и
вычисление криволинейных интегралов 1-го рода B53) 3 Криволинейные иитралы 2-ю рода (ишегралы
по проекции и интегралы общего вида) B54) 4. Свойства и вычисление криволинейных интефалов 2-ю
рода B54). 5. Независимость криволинейных интегралов oi пути интегрирования B56) 6. Геомефичеекие
и физические приложения криволинейных инте1 ралов B57)
3.1.9. Интегралы, зависящие от параметра , 257
1. Определение интеграла, зависящего от параметра B57) 2 Свойства интегралов, зависящих oi
параметра B57). 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра B58) 4 Примеры интралов,
зависящих от параметра B60)
3.1.10. Двойные интегралы 2ъ0
1. Определение двойного интеграла и элементарные свойства B60) 2 Вычисление двойных интефалов
B61). 3. Замена переменных в двойных интегралах B62) 4 Геометрические и физические приложения
двойных интегралов B63)
3.1.11. Тройные интегралы 263
1. Определение тройного интеграла и простейшие свойства B63) 2 Вычисление г ройных hhici ралов
B64). 3. Замена переменных в тройных интегралах B65). 4 Геометрические и физические приложения
тройных интегралов B65).

СОДЕРЖАНИЕ
3.1.12. Поверхностные интегралы 266
1. Площадь гладкой поверхности B66). 2. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода B66). 3. Геометрические
и физические приложения поверхностного интеграла B69).
3.1.13. Интегральные формулы 270
1. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Грина B70). 2 Формулы Грина B70). 3 Формула
Стокса B70). 4. Несобственные криволинейные,- двойные, поверхностные и тройные интегралы B70)
5. Многомерные интегралы, зависящие от параметра B72).
3.1.14. Бесконечные ряды 273
1. Основные понятия B73). 2. Признаки сходимости или расходимости рядов с неотрицательными членами
B74). 3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость B76). 4 Функциональные
последовательности. Функциональные ряды B77). 5. Степенные ряды B79). 6. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
Разложение элементарных функций в степенной ряд B82).
3.1.15. Бесконечные произведения 285
3.2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
3.2.1. Вариационное исчисление 287
1. Постановка задачи, примеры и основные понятия B87). 2. Теория Эйлера — Лагранжа B88). 3.
Теория Гамильтона — Якоби B94). 4. Обратная задача вариационного исчисления B95). 5. Численные методы
B95).
3.2.2. Оптимальное управление 298
1. Основные понятия B98) 2. Принцип максимума Понтрягина B98). 3. Дискретные системы C03) 4.
Численные методы C04).
3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 305
1 Общие понятия. Теоремы существования и единственности C05) 2. Дифференциальные уравнения 1-го
порядка C06). 3. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы C13). 4. Общие
нелинейные дифференциальные уравнения C25). 5. Устойчивость C25) 6. Операторный метод решения
обыкновенных дифференциальных уравнений C26) 7. Краевые задачи и задачи о собственных значениях C27).
3.3.2. Дифференциальные уравнения в частных производных 331
1. Основные понятия и специальные методы решения C31) 2. Уравнения в частных производных 1-го
порядка C33). 3. Уравнения в частных производных 2-го порядка C39).
3.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.1. Общие замечания 357
3.4 2. Комплексные числа. Сфера Римана. Области 357
1. Определение комплексных чисел Поле комплексных чисел C57). 2. Сопряженные комплексные числа
Модуль комплексного числа C58). 3. Геометрическая интерпретация C58). 4. Тригонометрическая и
показательная формы комплексных чисел C58). 5 Степени, корни C59). 6. Сфера Римана. Кривые Жордана.
Области C59).
3 4.3. Функции комплексного переменного 360
3.4.4. Важнейшие элементарные функции 361
1. Рациональные функции C61) 2 Показательная и логарифмическая функции C61) 3
Тригонометрические и гиперболические функции C64).
3.4.5. Аналитические функции 365
i. Производная C65) 2 Условия дифференцируемости Коши —Римана C65) 3 Аналитические функции
C65).
3.4.6. Криволинейные интегралы в комплексной области 366
1. Интеграл функции комплексного переменного C66). 2. Независимость от пути интегрирования C66).
3. Неопределенные интегралы C66) 4 Основная формула интегрального исчисления C66). 5.
Интегральные формулы Коши C66)
3.4.7. Разложение аналитических функций в ряд 367
1. Последовательности и ряды C67). 2 Функциональные ряды. Степенные ряды C68). 3. Ряд Тейлора
C69). 4 Ряд Лорана C69). 5. Классификация особых точек C69). 6. Поведение аналитических функций на
бесконечности C70).
3.4.8. Вычеты и их применение 370
1. Вычеты C70). 2. Теорема вычетов C70). 3. Применение к вычислению определенных интегралов C71).

СОДЕРЖАНИЕ
3 49 Аналитическое продолжение 371
1 Принцип аналитического продолжения C71). 2 Принцип симметрии (Шварца) C71)
3 4.10 Обратные функции Римановы поверхности 372
1 Однолистные функции, обратные функции C72) 2. Риманова поверхность функции z = |/w C72). 3. Рима-
нова поверхность функции z — Ln w C73).
3 4 11 Конформные отображения 373
1 Понятие конформного отображения C73) 2. Некоторые простые конформные отображения C74).
4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
4.1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
4 1 1 Основные понятия математической логики 376
1 Алгебра логики (алгебра высказываний, логика высказываний) C76) 2 Предикаты C79)
4 1 2. Основные понятия теории множеств 380
1. Множества, элементы C80). 2 Подмножества C80)
4 1 3 Операции над множествами 381
1 Объединение и пересечение множеств C81). 2. Разность, симметрическая разность, дополнение
множеств C81) 3 Диаграммы Эйлера-Венна C81) 4. Декартово произведение множеств C82) 5. Обобщенные
объединение и пересечение C82)
4.1.4 Отношения и отображения 382
1. Отношения C82) 2 Отношение эквивалентности C83) 3 Отношение порядка C83). 4. Отображения C84).
5. Последовательности и семейства множеств C85) 6 Операции и алгебры C85).
4.1 5 Мощность множеств 386
1. Равномощность C86). 2 Счетные и несчетные множества C86)
4.2. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 2 1 Векторная алгебра 386
1 Основные понятия C86). 2. Умножение на скаляр и сложение C86). 3. Умножение векторов C88).
4 Геометрические приложения векторной алгебры C89).
4 2 2. Векторный анализ 390
1 Векторные функции скалярного аргумента C90) 2. Поля (скалярные и векторные) C91). 3. Градиент
скалярного поля C93). 4. Криволинейный интеграл и потенциал в векторном поле C94). 5 Поверхностные
интегралы в векторных полях C95). 6. Дивергенция векторного поля C97). 7. Ротор векторного поля C98).
8. Оператор Лапласа и градиент векторного поля C99). 9. Вычисление сложных выражений (оператор
Гамильтона) C99). 10. Интегральные формулы D00) 11 Определение векторного поля по его источникам
и вихрям D01) 12. Диады (тензоры II ранга) D02)
4.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4 3.1 Плоские кривые 405
1 Способы задания плоских кривых. Уравнение плоской кривой D05). 2 Локальные элементы плоской
кривой D06) 3 Точки специального типа D07). 4 Асимптоты D09) 5 Эволюта и эвольвента
D10). 6 Огибающая семейства кривых D10).
4 3 2 Пространственные кривые 410
1 Способы задания кривых в пространстве D10). 2 Локальные элементы кривой в пространстве D10)
3 Основная теорема теории кривых D11).
4.3.3. Поверхности 412
1. Способы задания поверхностей D12) 2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности D12).
3. Метрические свойства поверхностей D13). 4 Свойства кривизны поверхности D14). 5. Основная теорема
теории поверхностей D16). 6 Геодезические линии на поверхности D17).
4.4. РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
4 4.1. Ряды Фурье 418
1 Общие понятия D18). 2. Таблица некоторых разложений в ряд Фурье D19) 3 Численный гармонический
анализ D23).
4 4 2. Интегралы Фурье 425
1 Общие понятия D25). 2 Таблицы трансформант Фурье D26).

СОДЕРЖАНИЕ
4.4 3 Преобразование Лапласа 437
1 Общие понятия D37) 2 Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных
дифференциальных уравнений с начальными условиями D38) 3 Таблица обратного преобразования Лапласа
дробно-рациональных функций D38)
5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5 1 1 Случайные события и их верояхносчи 441
1 Случайные события D41) 2 Аксиомы 1еории вероятностей D42). 3 Классическое определение вероя!-
ности события D43) 4 Условные вероятности D43) 5. Полная вероятность Формула Байеса D43)
5 1 2 Случайные величины 444
1 Дискретные случайные величины D44) 2 Непрерывные случайные величины D45)
5 1 3 Моменты распределения 446
1 Дискретный случай D46) 2 Непрерывный случай D47)
5 1 4 Случайные век юры (многомерные случайные величины) 448
1 Дискретные случайные векторы D48) 2 Непрерывные случайные векторы D49) 3 Граничные
распределения D49) 4 Моменты многомерной случайной величины D49) 5. Условные распределения D50)
6 Независимоеib случайных величин D50) 7 Регрессионная зависимость D50) 8 Функции oi случайных
величин D51)
5 1 5 Характеристические функции 451
1 Свойства характеристических функций D52). 2 Формула обращения и теорема единственности
D52) 3 Предельная теорема д 1Я характеристических функций D52) 4 Производящие функции D53)
5 Характеристические функции мноюмерных случайных величин D53).
5 1 6 Предельные теоремы 453
1 Закон больших чисел D53) 2 Предельная 1еорема Муавра —Лапласа D54) 3 Центральная предельная
теорема D54)
5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5 2 1 Выборки 455
1 Гистограмма и эмпирическая функция распределения D55). 2 Функция выборок D56) 3 Некоюрые
важные распределения D57)
5 2 2 Оценка параметров .• 457
1 Свойства точечных оценок D57) 2 Методы получения оценок D58). 3 Доверительные оценки D59)
5 2 3 Проверка гипотез (тесты) 460
1 Постановка задачи D60) 2 Общая теория D60) 3 г-критерий D61) 4 /-критерий D61) 5 Критерий
Уилкоксона D61). 6 Х—критерий D62) 7. Случай дополнительных параметров D63) 8 Критерий согласия
Колмогорова —Смирнова D63)
5 2 4 Корреляция и регрессия 464
1 Оценка корреляционных и pei рессионных характеристик по выборкам D64) 2 Проверка innoiejbi р = 0
в сиучае нормально распределенной 1енеральной совокупности D64) 3 Общая задача рефессии D65)
6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
,6 11 Постановка задачи линейного npoiраммирования и симплекс-метод 466
1 Общая постановка тдачи, i еомс! рическая интерпретация и решение за щч с шумя переменными D66)
2 Канонический вид ЗЛП, изображение вершины в симплекс-таблице D68) 3 Симплекс-метод при
заданной начальной таблице D69) 4 Получение начальной вершины D71). 5 Вырожденный случай и его
рассмотрение при помощи симплекс-метода D73) 6 Двойственность в линейном программировании D73).
7 Модифицированные методы, дополнительное изменение задачи D75)
6.2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
6 2 1 Линейная транспортная задача 477
62 2 Опускание начального решения * 478
62 3 Транспоржый метод 479

СОДЕРЖАНИЕ
6.3. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
6.3.1 Использование производственных мощностей . . . . к 481
6.3.2. Задача о смесях 481
6.3.3. Распределение, составление плана, сопоставление 482
6.3.4. Раскрой, планирование смен, покрытие 482
6.4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.4 1 Постановка задачи 483
6 4.2. Метод решения для случая однопараметрической целевой функции 483
6.5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6 5 1. Постановка задачи, геометрическая интерпретация 486
6.5.2. Метод сечения Гомори 487
1. Чисто целочисленные задачи линейного программирования D87). 2. Смешанно-целочисленные задачи
линейного программирования D88).
6.5.3 Метод разветвления 488
6.5 4. Сравнение методов ' 489
7. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
7.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
7.1.1. Погрешности и их учет 490
7.1.2. Вычислительные методы 491
1. Решение линейных систем уравнений D91). 2. Линейные задачи о собственных значениях D95).
3. Нелинейные уравнения D96) 4. Системы нелинейных уравнений D98) 5 Аппроксимация D99) 6
Интерполяция E02) 7 Приближенное вычисление интегралов E06) 8 Приближенное дифференцирование E10).
9 Дифференциальные уравнения E10).
7 1.3 Реализация численной модели в электронных вычислительных машинах 516
I. Критерии для выбора метода E16). 2. Методы управления E16). 3. Вычисление функций E17).
7.1 4 Номография и логарифмическая линейка 518
1 Соотношения между двумя переменными - функциональные шкалы E18) 2. Логарифмическая (счег-
ная) линейка E19). 3. Номограммы точек на прямых и сетчатые номограммы E19).
7.1 5 Обработка эмпирического числового материала 520
1. Метод наименьших квадратов E21). 2. Другие способы выравнивания E22).
7.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
7.2.1. Электронные вычислительные машины (ЭВМ) 523
1. Вводные замечания E23) 2. Представление информации и память ЭВМ E23) 3 Каналы обмена
E24). 4 Программа E24). 5. Программирование E24). 6. Управление ЭВМ E26). 7. Математическое
(программное) обеспечение E26). 8. Выполнение работ на ЭВМ E26)
7.2.2 Аналоговые вычислительные машины 527
1. Принцип устройства аналоговой вычислительной техники E27). 2 Вычислительные элементы аналоговой
вычислительной машины E27). 3. Принцип программирования при решении систем обыкновенных
дифференциальных уравнений E29). 4 Качественное программирование E30)
Список литературы 532
Предметный указатель 534

ОТ РЕДАКЦИИ
Справочник И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева по математике для инженеров и студентов втузов
прочно завоевал популярность не только в нашей стране, но и за рубежом. Одиннадцатое издание
вышло в свет в 1967 г. Дальнейшее издание справочника было приостановлено, так как он уже не
отвечал современным требованиям.
Переработка справочника была осуществлена по инициативе издательства «Teubner» с согласия
авторов большим коллективом специалистов в ГДР (где до этого справочник выдержал 16 изданий).
Было принято обоюдное решение выпустить этот переработанный вариант совместным изданием:
в ГДР - издательством «Teubner» - на немецком языке;
в СССР — Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука» — на
русском языке.
В результате переработки справочник не только обогатился новыми сведениями по тем разделам
математики, которые были представлены ранее, но и был дополнен новыми разделами: «Вариационное
исчисление и оптимальное управление» (гл. 3.2), «Математическая логика и теория множеств» (гл. 4.1),
«Вычислительная математика» (гл. 7.1), и основными сведениями по вычислительной технике (гл. 7.2).
При этом был сохранен общий методический стиль справочника, позволяющий и получить фактическую
справку по отысканию формул или табличных данных, и ознакомиться с основными понятиями (или
восстановить их в памяти); для лучшего усвоения понятий приводится большое количество примеров.
В связи со столь основательным пересмотром справочника в ГДР весь текст был заново переведен с
немецкого языка.
При подготовке русского издания была произведена некоторая переработка, с тем чтобы по
возможности учесть требования программ отечественных вузов. Эта переработка в основном связана
с изменением обозначений и терминологии, которые у нас и в ГДР не всегда совпадают. Некоторые
разделы для русского издания были переписаны заново — это первые разделы из глав, посвященных
алгебре (гл. 2.4), математической логике и теории множеств (гл. 4.1). Менее значительной переделке
подверглись разделы, посвященные комплексным переменным (гл. 3.4), вариационному исчислению и
оптимальному управлению (гл. 3.2), вычислительной математике (гл. 7.1).
В таком виде справочник вышел в 1980 и в 1981 г.
В настоящем, 13-м (или 2-м переработанном) издании в справочник внесены многочисленные
исправления.
Редакция благодарит всех читателей, приславших свои замечания и исправления. С сожалением
отмечаем, что таких писем было немного. Основные исправления были внесены по результатам
рецензирования и дополнительного редактирования предыдущего издания.
Мы'повторяем свою просьбу к читателям присылать замечания в адрес редакции: 117071, Москва,
Ленинский проспект, 15, Физматлит, Редакция математических справочников.

1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
1.1. ТАБЛИЦЫ
1.1.1. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1.1.1. Некоторые часто встречающиеся постоянные.
Величина
я
2л
Зя
4л
я.2
я-3
я:4
я.6
я:180(=Г)
я-10800 (= Г)
я:648000 (=Г)
я2
У'п
/2я
]/^~2
е
е2
V"e
(/е
Л2
ек
е2п
п
g**)
fa
п
3,141593
6,283185
9,424778
12,566371
1,570796
1,047198
0,785398
0,523599
0,017453
0,000291
0,000005
9,869604
1,772454
2,506628
1,253314
1,464592
1,611992
2,718282
7,389056
1,648721
1,395612
4,810477
23,140693
535,491656
0,577216
0,434294
9,81
96,2361
3,13209
4,42945
*) С—постоянная Эйлера.
**) g — ускорение свободного падения
lgH
0,49715
0,79818
0,97427
1,09921
0,19612
0,02003
1,89509
1,71900
2,24188
4,46373
6,68557
0,99430
0,24857
0,39909
0,09806
0,16572
0,20736
0,43429
0,86859
0,21715
0,14476
0,68219
1,36438
2,72875
1,76134
1,63778
0,99167
1,98334
0,49583
0,64635
м/с2); здесь дане
Величина
1 я
1 2л
1.3л
1:4л
2:я
3-я
4 я
6л
180°:я
1О8ОО':л
648000":л
1-я2
/Гл
/ТТгл"
)/—*
f/ЗАп:
1:е
1:е2
\/пе
У'Т:е
г*2
е-п
1пя
1 Л/= In 10
1:*
1:2*
n]/~g
n\/~2g
п
0,318310
0,159155
0,106103
0,079577
0,636620
0,954930
1,273240
1,909859
57 ,295780
3437', 7468
206264",81
0,101321
0,564190
0,398942
0,797885
0,682784
0,620350
0,367879
0,135335
0,606531
0,716532
0,207880
0,043214
0,001867
1,144730
2,302585
0,10194
0,050968
9,83976
13,91552
) округленное значение g на уровне моря
lgn
1,50285
1,20182
1,02573
2,90079
1,80388
1,97997
0,10491
0,28100
1,75812
3,53627
5,31443
1,00570
1,75143
1,60091
1,90194
1,83428
1,79264
1,56571
1,13141
1,78285
1,85524
1,31781
2,63562
3,27125
0,05870
0,36222
1,00833
2,70730
0,99298
1,14350
на широте 45—50°.

12
ТАБЛИЦЫ
Интерполяция. Большинство помещенных ниже
таблиц даег значения функций с четырьмя
значащими цифрами для трехзначных аргументов.
Когда аргумент задан с большей точностью и,
следовательно, искомое значение функции не может
быть найдено непосредственно в таблицах,
необходимо прибегать к интерполяции. Наиболее
простой является линейная интерполяция, при
которой допускают, что приращение функции
пропорционально приращению аргумента. Если
заданное значение х лежит между приведенными в
таблице значениями х0 и хх = х0 + К которым
соответствуют значения функции v0 = f(xo) и
>'i = f(xi) = >'о + Ai то принимают
Интерполяционная поправка А легко
вычисляется с помощью таблицы
пропорциональных частей 1.1.1.17.
Примеры. 1) Найти 1,67542. В таблицах находим:
1,672= 2,789 и 1,682= 2,822; тогда Л = 33*). Из таблицы
пропорциональных частей получаем: 0,5-33 = 16,5; 0,04-33 =
= 1,3; -——Д = 16,5 + 1,3 * 18; 1,67542 = 2,807.
h
2) Найти tg79°24\ В таблицах находим: tg79°20' =
= 5,309 и tg79°30' = 5,396; тогда Л = 87; 0,4-87% 35;
tg79°24' = 5,344.
Погрешность линейной интерполяции не
превышает единицы последней значащей цифры,
если только две соседние разности Ао и Аг **)
различаются не больше чем на 4 единицы
(последнего знака). Если это условие не выполнено,
необходимо пользоваться более сложными
интерполяционными формулами. В большинстве
случаев достаточной является квадратичная
интерполяция по Бесселю:
к =
х — х0
h ;
/с A — Ас)
ki находится из габл. 1.1.1.18.
Пример. Требуется найти tg85°33'. По таблице
находим (И = 10'): к = 0,3, кх = 0,052; поправка равна 0,3-491 -
- 0,052 - 75 % 143; tg 85°33' = 12,849.
1.1.1.2. Квадраты, кубы, корни.
Объяснения к таблице. Таблица
позволяет находить квадраты, кубы, квадратные и
кубические корни с четырьмя значащими цифрами.
Для аргументов п, заключенных между 1 и 10,
величины и2, л3 находятся непосредственно из
таблицы, если значение аргумента дано с тремя
значащими цифрами. Например, 1,792 = 3,204. Если
же значение аргумента задано более чем тремя
значащими цифрами, необходимо прибегнуть к
интерполяции. Для этой таблицы погрешность
линейной интерполяции нигде не превышает
единицы последнего знака.
Для нахождения и2, и3 при п > 10 и п < 1
принимают во внимание, что при увеличении п в 10к
раз п2 увеличивается в 102* раз, и3 — в 103к
раз, т. е. перенос запятых у п на к разрядов
вправо вызывает перенос запятых у п2 на 2/с
разрядов вправо. При этом по мере надобности
к взятому из таблиц числу приписываются нули
справа' или слева. Например, 0Д792 = 0,03204;
1793 = 5735000*).
Корни квадратные для и, заключенных
между 1 и 100, могут быть найдены непосредственно
из таблицы (с применением линейной
интерполяции), а для любых п — по следующим
правилам.
1) Подкоренное число разбивают в обе стороны
от запятой на грани, содержащие по две цифры.
2) В зависимости от того, содержит ли первая
слева, не состоящая из нулей грань одну или
две значащие цифры, значение корня находят
в таблице соответственно в графе ]/п или J/10n.
3) В найденном значении корня запятую ставят,
исходя из того, что каждая грань подкоренного
числа, стоящая до запятой, дает для корня одну
цифру до запятой, а для чисел, меньших 1, каждая
состоящая из нулей грань после запятой дает для
корня один нуль после запятой.
Прим еры. 1) ]/гу9 = 4,889; 2) /23WO0 = 488,9; 3)
l/0,00'02'39 = 0,01546; 4) |/0,00'3 = 0,05477. (В последнем
примере под знаком корня на конце нужно мысленно добавить
один нуль, т. е. дополнить последнюю грань, и корень
следует искать в графе |/10и.)
Корни кубические для п, заключенных
между 1 и 1000, могут быть найдены
непосредственно из таблицы (с применением линейной
интерполяции), а для любых и - по следующим
правилам.
1) Подкоренное число разбивают в обе стороны
от запятой на грани, содержащие по три цифры.
2) В зависимости от того, содержит ли первая
слева, не состоящая из нулей грань одну, две
или три значащие цифры, значение корня находят
в таблице соответственно в графе ]/п, J/lOn или
j/lOOn. 3) В найденном значении корня запятую
ставят по тому же правилу, что и для квадратных
корней.
Примеры. 1) few - 2,880»»); 2) ]/39'000 = 62,06;
3) |^О,0ОО'О02'39 = 0,01337; 4) ^О.ООО'З - 0,06694; 5) |/^03 -
= 0,3107. (В последних двух примерах под знаком корня на
конце нужно мысленно добавить соответственно два нуля
и один нуль, т. е. дополнить соответствующую грань.)
*) Разность А и поправку обычно выражают в едини-
*) Лучше записать 1793 = 5,735- 106, избегая употребле-
цах разряда последней значащей цифры, не выписывая ния нулей для замены неизвестных цифр (точно: 1793 =
нулей и запятой впереди =5735 339)
**) Здесь подразумеваются обозначения- Xi = х0 + К **) Нуль на конце нужно сохранить, так как здесь он яв-
х2 = л0 + 2/?, х , -— х0 — /», ук = f{xk) (к — — 1, 0, 1, 2), Ао = ляется значащей цифрой и характеризует точность полу-
= Vi - Vo, At - r2 v'i, A_j — v0 — v-i ченного значения корня.

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
13
I
Квадраты, к
п
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
,30
,31
,32
,33
,34
,35
,36
,37
,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
'бы, квадратные и кубические корни
Л2
1,000
,020
,040
,061
,082
,102
,124
,145
,166
,188
,210
,232
,254
,277
,300
,322
,346
,369
,392
1,416
1,440
1,464
,488
,513
,538
,562
,588
,613
,638
,664
1,690
,716
1,742
,769
,796
1,822
1,850
1,877
1,904
1,932
1,960
1,988
2,016
2,045
2,074
2,102
2,132
2,161
2,190
2,220
2,250
2,280
2,310
2,341
2,372
2,402
л*
1,000
1,030
1,061
1,093
1,125
,158
1,191
,225
,260
,295
,331
,368
,405
,443
,482
,521
1,561
1,602
,643
,685
,728
1,772
,816
,861
1,907
1,953
2,000
2,048
2,097
2,147
2,197
2,248
2,300
2,353
2,406
2,460
2,515
2,571
2,628
2,686
2,744
2,803
2,863
2,924
2,986
3 049
3,112
3,177
3,242
3,308
3,375
3,443
3,512
3,582
3,652
3,724
1,000
1,005
1,010
1,015
1,020
1,025
1,030
1,034
1,039
1,044
1,049
1,054
1,058
1,063
1,068
1,072
1,077
1,082
1,086
1,091
1,095
,100
,105
,109
,114
,118
,122
,127
,131
,136
,140
,145
,149
,153
,158
,162
,166
,170
,175
,179
,183
,187
,192
,196
,200
,204
,208
,212
,217
,221
,225
,229
,233
,237
,241
1,245
|/Юл
3,162
3,178
3,194
3,209
3,225
3,240
3,256
3,271
3,286
3,302
3,317
3,332
3,347
3,362
3,376
3,391
3,406
3,421
3,435
3,450
3,464
3,479
3,493
3,507
3,521
3,536
3,550
3,564
3,578
3,592
3,606
3,619
3,633
3,647
3,661
3,674
3,688
3,701
3,715
3,728
3,742
3,755
3,768
3,782
3,795
3,808
3,821
3,834
3,847
3,860
3,873
3,886
3,899
3,912
3,924
3,937
(/п
1,000
1,003
1,007
1,010
1,013
,016
,020
,023
,026
,029
,032
,035
,038
,042
,045
,048
,051
,054
,057
1,060
1,063
1,066
1,069
1,071
1,074
1,077
1,080
1,083
1,086
1,089
,091
,094
,097
,100
,102
,105
,108
,111
,113
,116
,119
,121
,124
,127
,129
,132
1,134
1,137
1,140
,142
.145
,147
1,150
1,152
1,155
1,157
f/10w
2,154
2,162
2,169
2,176
2,183
2,190
2,197
2,204
2,210
2,217
2,224
2,231
2,237
2,244
2,251
2,257
2,264
2,270
2,277
2,283
2,289
2,296
2,302
2,308
2,315
2,321
2,327
2,333
2,339
2,345
2,351
2,357
2,363
2,369
2,375^
2,381
2,387
2,393
2,399
2,404
2,410
2,416
2,422
2,427
2,433
2,438
2,444
2,450
2,455
2,461
2,466
2,472
2,477
2,483
2,488
2,493
4,642
4,657
4,672
4,688
4,703
4,718
4,733
4,747
4,762
4,777
4,791
4,806
4,820
4,835
. 4,849
4,863
4,877
4,891
4,905
4,919
4,932
4,946
4,960
4,973
4,987
5,000
5,013
5,027
5,040
5,053
5,066
5,079
5,092
5,104
5,117
5,130
5,143
5,155
5,168
5,180
5,192
5,205
5,217
5,229
5,241
5,254
5,266
5,278
5,290
5,301
5,313
5,325
5,337
5,348
5,360
5,372

14
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
,70
,71
,72
,73
,74
,75
,76
,77
,78
,79
,80
,81
,82
,83
,84
,85
,86
,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
л2
2,402
2,434
2,465
2,496
2,528
2,560
2,592
" 2,624
2,657
2,690
2,722
2,756
2,789
2,822
2,856
2,890
2,924
2,958
2,993
3,028
3,062
3,098
3,133
3,168
3,204
3,240
3,276
3,312
3,349
3,386
3,422
3,460
3,497
3,534
3,572
3,610
3,648
3,686
3,725
3,764
3.802
3,842
3,881
3,920
3,960 . .
4,000
4,040
4,080
4,121
4,162
4,202
4,244
4,285
4,326
4,368
4,410
3,724
3,796
3,870
3,944
4,020
4,096
4,173
4,252
4,331
4,411
4,492
4,574
4,657
4,742
4,827
4,913
5,000
5,088
5,178
5,268
5,359
5,452
5,545
5,640
5,735
5,832
5,930
6,029
6,128
6,230
' 6,332
6,435
6,539
6,645
6,751
6,859
6,968
7,078
7,189
7,301
7,415
7,530
7,645
7,762
7,881
8,000
8,121
8,242
8,365
8,490
8,615
8,742
8,870
8,999
9,129
9,261
1,245
1,249
1,253
1,257
1,261
1,265
1,269
1,273
1,277
1,281
1,285
1,288
1,292
1,296
1,300
1,304
1,308
1,311
1,315
1,319
1,323
1,327
1,330
1,334
1,338
1,342
1,345
1,349
1,353
1,356
1,360
1,364
1,367
1,371
1,375
1,378
1,382
1,386
1,389
1,393
1,396
1,400
1,404
1,407
1,411
1,414
1,418
1,421
1,425
1,428
1,432
1,435
1,439
J,442
1,446
1,449
\'Ш
3,937
3,950
3,962
3,975
3,987
4,000
4,012
4,025
4,037
4,050
4,062
4,074
4,087
4,099
4,111
4,123
4,135
4,147
4,159
4,171
4,183
4,195
4,207
4,219
4,231
4,243
4,254
4,266
4,278
4,290
4,301
4,313
4,324
4,336
4,347
4,359
4,370
4,382
4,393
4,405
4,416
4,427
4,438
4,450
4,461
4,472
4,483
4,494
4,506
4,517
4,528
4,539
4,550
4,561
4,572
4,583
1,157
1,160
1,162
1,165
1,167
1,170
1,172
1,174
1,177
1,179
1,182
1,184
1,186
1,189
1,191
1,193
1,196
1,198
1,200
1,203
1,205
1,207
1,210
1,212
1,214
1,216
1,219
1,221
1,223
1,225
1,228
1,230
1,232
1,234
1,236
1,239
1,241
1,243
1,245
1,247
1,249
1,251
1,254
1,256
1,258
1,260
1,262
1,264
1,266
1,268
1,270
1,272
1,274
1,277
1,279
1,281
fV I o/i
2,493
2,499
2,504
2,509
2,515
2,520,
2,525
2,530
2,535
2,541
2,546
2,551
2,556
2,561
2,566
2,571
2,576
2,581
2,586
2,591
2,596
2,601
2,606
2,611
2,616
2,621
2,626
2,630
2,635
2,640
2,645
2,650
2,654
2,659
2,664
2,668
2,673
2,678
2,682
2,687
2,692
2,696
2,701
2,705
2,710
2,714
2,719
2,723
2,728
2,732
2,737
2,741
2,746
2,750
2,755
2,759
р 100/1
5,372
5,383
5,395
5,406
5,418
5,429
5,440
5,451
5,463
5,474
5,485
5,496
5,507
5,518
5,529
5,540
5,550
5,561
5,572
5,583
5,593
5,604
5,615
5,625
5,636
5,646
5,657
5,667
5,677
5,688
5,698
5,708
5,718
5,729
5,739
5,749
5,759
5,769
5,779
5,789
5,799
5,809
5,819
5,828
5,838
5,848
5,858
5,867
5,877
5,887
5,896
5,906
5,915
5,925
5,934
5,944

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
15
Продолжение
п
2,10 '
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
4,410
4,452
4,494
4,537
4,580
4,622
4,666
4,709
4,752
4,796
4,840
4,884
4,928
4,973
5,018
5,062
5,108-
5,153
5,198
5,244
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
5,522
5,570
5,617
5,664
5,712
5,760
5,808
5,856
5,905
5,954
6,002
6,052
6,101
6,150
6,200
6,250
6,300
6,350
6,401
6,452
6,502
6,554
6,605
6,656
6,708
6,760
6,812
6,864
6,917
6,970
7,022
и*
9,261
9,394
9,528
9,664
9,800
9,938
10,08
10,22
10,36
10,50
10,65
10,79
10,94
11,09
11,24
11,39
11,54
11,70
11,85
12,01
12,17
12,33
12,49
12,65
12,81
12,98
13,14
13,31
13,48
13,65
13,82
14,00
14,17
14,35
14,53
14,71
14,89
15,07
15,25
15,44
15,62
15,81
16,00
16,19
16,39
16,58
16,78
16,97
17,17
17,37
17,58
17,78
17,98
18,19
18,40
18,61
\~п
,449
,453
,456
,459
,463
,466
,470
,473
,476
,480
,483
,487
,490
,493
,497
,500
,503
,507
,510
,513
,517
,520
,523
,526
,530
,533
,536
,539
,543
,546
,549
,552
,556
,559
,562
,565
,568
,572
,575
,578
,581
,584
,587
,591
,594
,597
,600
,603
,606
,609
,612
,616
,619
,622
1,625
1,628
|/10и
4,583
4,593
4,604
4,615
4,626
4,637
4,648
4,658
4,669
4,680
4,690
4,701
4,712
4,722
4,733
4,743
4,754
4,764
4,775
4,785
4,796
4,806
4,817
4,827
4,837
4,848
4,858
4,868
4,879
4,889
4,899
4,909
4,919
4,930
4,940
4,950
4,960
4,970
4,980
4,990
5,000
5,010
5,020
5,030
5,040
5,050
5,060
5,070
5,079
5,089
5,099
5,109
5,119
5,128
5,138
5,148
1,281
,283
,285
,287
,289
,291
,293
,295
,297
,299
,301
,303
,305
,306
,308
,310
,312
,314
,316
,318
,320
,322
,324
,326
,328
,330
,331
,333
,335
,337
,339
,341
,343
,344
,346
,348
,350
,352
,354
,355
,357
,359
,361
,363
,364
1,366
1,368
1,370
1,372
1,373 -
1,375
1,377
1,379
1,380
1,382
1,384
2,759
2f763
2,768
2,772
2,776
2,781
2,785
2,789
2,794
2,798
2,802
2,806
-2,811
2,815
2,819
2,823
2,827
2,831
2,836
2,840
2,844
2,848
2,852
2,856
2,860
2,864
2,868
2,872
2,876
2,880
2,884
2,888
2,892
2,896
2,900
2,904
2,908
2,912
2,916
2,920
2,924
2,928
2,932
2,936
2,940
2,943
2,947
2,951
2,955
2,959
2,962
2,966
2,970
2,974
2,978
2,981
f/ 100л
5,944
5,953
5,963
5,972
5,981
5,991
6,000
6,009
6,018
6,028
6,037
6,046
6,055
6.064
6,073
6,082
6,091
6,100
6,109
6,118
6,127
6,136
6,145
6,153
6,162
6,171
6,180
6,188
6,197
6,206
6,214
6,223
6,232
6,240
6,249
6,257
6,266
6,274
6,283
6,291
6,300
6,308
6,316
6,325
6,333
6,341
6,350
6,358
6,366
6,374
6,383
6,391
6,399
6,407
6,415
6,423

16
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
«2
7,022
7,076
7,129
7,182
7,236
7,290
7,344
7,398
7,453
7,508
7,562
7,618
7,673
7,728
7,784
7,840
7,896
7,952
8,009
8,066
8,122
8,180
8,237
8,294
8,352
8,410
8,468
8,526
8,585
8,644
8,702
8,762
8,821
8,880
8,940
9,000
9,060
9,120
9,181
9,242
9,302
9,364
9,425
9,486
9,548
9,610
9,672
9,734
9,797
9,860
9,922
9,986
10,05
10,11
10,18
10,24
л*
18,61
18,82
19,03
19,25
19,47
19,68
19,90
20,12
20,35
20,57
20,80
21,02
21,25
21,48
21,72
21,95
22,19
22,43
22,67
22,91
23,15
23,39
23,64
23,89
24,14
24,39
24,64
24.90
'25,15
25,41
25,67
25,93
26,20
26,46
26,73
27,00
27,27
27,54
27,82
28,09
28,37
28,65
28,93
29,22
29,50
29,79
30,08
30,37
30,66
30,96
31,26
31,55
31,86
32,16
32,46
32,77
1,628
1,631
1,634
1,637
1,640
1,643
1,646
1,649
1,652
1,655
1,658
1,661
1,664
1,667
1,670
1,673
1,676
1,679
1,682
1,685
1,688
,691
1,694
1,697
1,700
1,703
1,706
1,709
1,712
1,715
,718
,720
,723
,726
,729
,732
,735
,738
,741
1,744
,746
,749
,752
,755
,758
1,761
,764
,766
,769
,772
,775
,778
,780
,783
,786
1,789
\/\0п
5,148
5,158
5,167
5,177
5,187
5,196
5,206
5,215
5,225
5,235
5,244
5,254
5,263
5,273
5,282
5,292
5,301
5,310
5,320
5,329
5,339
5,348
5,357
5,367
5,376
5,385
5,394
5,404
5,413
5,422
5,431
5,441
5,450
5,459
5,468
5,477
5,486
5,495
5,505
5,514
5,523
5,532
5,541
5,550
5,559
5,568
5,577
5,586
5,595
5,604
5,612
5,621
5,630
5,639
5,648
5,657
Г»
1,384
,386
1,387
,389
,391
,392
,394
,396
,398
,399
1,401
1,403
1,404
1,406
1,408
1,409
1,411
1,413
1,414
1,416
1,418
1,419
1,421
1,423
1,424
1,426
1,428
1,429
1,431
1,433
1,434
1,436
1,437
1,439
1,441
1,442
1,444
1,445
1,447
1,449
1,450
1,452
1,453
1,455
1,457
1,458
1,460
1,461
1,463
1,464
1,466
1,467
1,469
1,471
1,472
1,474
1^1 Он
2,981
2,985
2,989
2,993
2,996
3,000
3,004
3,007
3,011
3,015
3,018
3,022
3,026
3,029
3,033
3,037
3,040
3,044
3,047
3,051
3,055
3,058
3,062
3,065
3,069
3,072
3,076
3,079
3,083
3,086
3,090
3,093
3,097
3,100
3,104
3,107
3,111
3,114
3,118
3,121
3,124
3,128
3,131
3,135
3,138
3,141
3,145
3,148
3,151
' 3,155
3,158
3,162
3,165
3,168
3,171
3,175
{Лоои
6,423
6,431
6,439
6,447
6,455
6,463
6,471
6,479
6,487
6,495
6,503
6,511
6,519
6,527
6,534
6,542
6,550
6,558
6,565
6,573
6,581
6,589
6,596
6,604
6,611
6,619
6,627
6,634
6,642
6,649
6,657
6,664
6,672
6,679
6,687
6,694
6,702
6,709
6,717
6,724
6,731
6,739
6,746
6,753
6,761
6,768
6,775
6,782
6,790
6,797
6,804
6,811
6,818
6,826
6,833
6,840

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
17
Продолжение
п
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
10,24
10,30
10,37
10,43
10,50
10,56
10,63
10,69
10,76
10,82
10,89
10,96
11,02
11,09
11,16
11,22
11,29
11,36
11,42
11,49
11,56
11,63
11,70
11,76
11,83
11,90
11,97
12,04
12,11
12,18
12,25
12,32
12,39
12,46
12,53
12,60
12,67
12,74
12,82
12,89
12,96
13,03
13,10
13,18
13,25
13,32
13,40
13,47
13,54
13,62
13,69
13,76
13,84
13,91
13,99
14,06
32,77
33,08
33,39
33,70
34,01
34,33
34,65
34,97
35,29
35,61
35,94
36,26
36,59
36,93
37,26
37,60
37,93
38,27
38,61
38,96
39,30
39,65
40,00
40,35
40,71
41.06
41,42
41,78
42,14
42,51
42,88
43,24
43,61
43,99
44,36
44,74
45,12
45,50
45,88
46,27
46,66
47,05
47,44
47,83
48,23
48,63
49,03
49,43
49,84 '
50,24
50,65
51,06
51,48
51,90
52,31
52,73
1,789
1,792
1,794
1,797
1,800
1,803
1,806
1,808
,811
,814
,817
1,819
1,822
,825
1,828
1,830
1,833
1,836
1,838
1,841
1,844
1,847
1,849
1,852
1,855
1,857
1,860
1,863
1,865
1,868
1,871
1,873
1,876
1,879
1,881
1,884
1,887
1,889
1,892
1,895
1,897
1,900
1,903
1,905
1,908
1,910
1,913
1,916
1,918
1,921
1,924
1,926
1,929
1,931
1,934
1,936
\/\0п
5,657
5,666
5,675
5,683
5,692
5,701
5,710
5,718
5,727
5,736
5,745
5,753
5,762
5,771
5,779
5,788
5,797
5,805
5,814
5,822
5,831
5,840
5,848
5,857
5,865
5,874
5,882
5,891
5,899
5,908
5,916
5,925
5,933
5,941
5,950
5,958
5,967
5,975
5,983
5,992
6,000
6,008
6,017
6,025
6,033
6,042
6,050
6,058
6,066
6,075
6,083
6,091
6,099
6,107
6,116
6,124
1,474
1,475
1,477
1,478
1,480
1,481
1,483
1,484
1,486
1,487
1,489
1,490
1,492
1,493
1,495
1,496
1,498
1,499
1,501
1,502
1,504
1,505
1,507
1,508
1,510
1,511
1,512
1,514
1,515
1,517
1,518
1,520
1,521
1,523
1,524
1,525
1,527
1,528
1,530
1,531
1,533
1,534
1,535
1,537
1,538
1,540
1,541
1,542
1,544
1,545
1,547
1,548
1,549
1,551
1,552
1,554
(УТой
3,175
3,178
3,181
3,185
3,188
3,191
3,195
3,198
3,201
3,204
3,208
3,211
3,214
3,217
3,220
3,224
3,227
3,230
3,233
3,236
3,240
3,243
3,246
3,249
3,252
3,255
3,259
3,262
3,265
3,268
3,271
3,274
3,277
3,280
3,283
3,287
3,290
3,293
' 3,296
3,299
3,302
3,305
3,308
3,311
3,314
3,317
3,320
3,323
3,326
3,329
3,332
3,335
3,338
3,341
3,344
3,347
J^lOOw
6,840
6,847
6,854
6,861
6,868
6,875
6,882
6,889
6,896
6,903
6,910
6,917
6,924
6,931
6,938
6,945
6,952
6,959
6,966
6,973
6,980
6,986
6,993
7,000
7,007*
7,014
7,020
7,027
7,034
7,041
7,047
7,054
7,061
7,067
7,074
7,081
7,087
7,094
7,101
7,107
7,114
7,120
7,127
7,133
7,140
7,147
7,153
7,160
7,166
7,173
7,179
7,186
7,192
7,198
7,205
7,211

18
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4,00
4,01
4,02
4,03
4,04
4,05
4,06
4,07
4,08
4,09
4,10
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
4,20
4,21
4,22
4,23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4,29
4,30
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
14,44
14,52
14,59
14,67
14,75
14,82
14,90
14?8
15,05
15,13
15,21
15,29
15,37
15,44
15,52
15,60
15,68
15,76
15,84
15,92
16,00
16,08
16,16
16,24
16,32
16,40
16,48
16,56
16,65
16,73
16,81
16,89
16,97
17,06
17,14
17,22
17,31
17,39
17,47
17,56
17,64
17,72
17,81
17,89
17,98
18,06
18,15
18,23
18,32
18,40
18,49
52,73
53,16
53,58
54J01
54,44
54,87
5531
55,74
56,18
56,62
57,07
57,51
57,96
58,41
58,86
59,32
59,78
60,24
60,70
61,16
61,63
62,10
62,57
63,04
63,52
64,00
64,48
64,96
65,45
65,94
66,43
66,92
67,42
67,92
68,42
68,92
69,43
69,93
70,44
70,96
71,47
71,99
72,51
73,03
73,56
7409
74,62
75,15
75,69
76,23
16,11
77,31
77,85
78,40
78,95
79,51
1,936
1,939
1,942
1,944
1,947
1,949
1,952
1,954
1,957
1,960
1,962
1,965
1,967
1,970
1,972
1,975
1,977
1280
1,982
1,985
1,987
1,990
1,992
1,995
1,997
2,000
2,002
2,005
2,007
2,010
2,012
2,015
2,017
2,020
2,022
2,025
2,027
2,030
2,032
2,035
2,037
2,040
2,042
2,045
2,047
2,049
2,052
2,054
2,057
2,059
2,062
2,064
2,066
2,069
2,071
2,074
/10Й
6,124
6,132
6,140
6,148
6,156
6,164
6,173
6,181
6,189
6,197
6,205
6,213
6,221
6,229
6,237
6,245
6,253
6,261
6,269
6,277
6,285
6,293
6,301
6,309
6,317
6,325
6,332
6,340
6,348
6,356
6,364
6,372
6,380
6,387
6,395
6,403
6,411
6,419
6,427
6,434
6,442
6,450
6,458
6,465
6,473
6,481
6,488
6,496
6,504
6,512
6,519
6,527
6,535
6,542
6,550
6,557
Г*
1,554
1,555
1,556
1,558
1,559
1,560
1,562
1,563
1,565
1,566
1,567
1,569
1,570
1,571
1,573
1,574
1,575
1,577
1,578
1,579
1,581
1,582
1,583
1,585
1,586
1,587
1,589
1,590
1,591
1,593
1,594
1,595
1,597
1,598
1,599
1,601
1,602
1,603
1,604
1,606
1,607
1,608
1,610
1,611
1,612
1,613
1,615
1,616
1,617
1,619
1,620
1,621
1,622
1,624
1,625
1,626
Р Ю/7
3,347
3,350
3,353
3,356
3,359
3,362
3,365
3,368
3,371
3,374
3,377
3,380
3,382
3,385
3,388
3,391
3,394
3,397
3,400
3,403
3,406
3,409
3,411
3,414
3,417
3,420
3,423
3,426
3,428
3,431
3,434
3,437
3,440
3,443
3,445
3,448
3,451
3,454
3,457
3,459
3,462
3,465
3,468
3,471
3,473
3,476
3,479
3,482
3,484
3,487
3,490
3,493
3,495
3,498
3,501
3,503
7,211
7,218
7,224
7,230
7,237
7,243
7,250
7,256
7,262
7,268
7,275
7,281
7,287
7,294
7,300
7,306
7,312
7,319
7,325
7,331
7,337
7,343
7,350
7,356
7,362
7,368
7,374
7,380
7,386
7,393
7,399
7,405
7,411
7,417
7,423
7,429
7,435
7,441
7,447
7,453
7,459
7,465
7,471
7,477
7,483
7,489
7,495
7,501
7,507
7,513
7,518
7,524
7,530
7,536
7,542
7,548

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
19
Продолжение
п
4,30
4,31
4,32
4,33
4,34
4,35
4,36
4,37
4,38
4,39
4,40
4,41
4,42
4,43
4,44
4,45
4,46
4,47
4,48
4,49
4,50
4,51
4,52
4,53
4,54
4,55
4,56
4,57
4,58
4,59
4,60
4,61
4,62
4,63
4,64
4,65
4,66
4,67
4,68
4,69
4,70
4,71
4,72
4,73
4,74
4,75
4,76
4,77
4,78
4,79
4,80
4,81
4,82
4,83
4,84
4,85
л2
18,49
18,58
18,66
18,75
18,84
18,92
19,01
19,10
19,18
19,27
19,36
19,45
19,54
19,62
19,71
19,80
19,89
19,98
20,07
20,16
20,25
20,34
20,43
20,52
20,61
20,70
20,79
20,88
20,98
21,07
21,16
21,25
21,34
21,44
21,53
21,62
21,72
21,81
21,90
22,00
22,09
22,18
22,28
22,37
22,47
22,56
22,66
22,75
22,85
22,94
23,04
23,14
23,23
23,33
23,43
23,52
79,51
80,06
80,62
81,18
81,75
82,31
82,88
83,45
84,03
84,60
85,18
85,77
86,35
86,94 '
87,53
88,12
88,72
89,31
89,92
90,52
91,12
91,73
92,35
92,96
93,58
94,20
94,82
95,44
96,07
96,70
97,34
97,97
98,61
99,25
99,90
100,5
101,2
101,8
102,5
103,2
103,8
104,5
105,2
105,8
106,5
107,2
107,9
108,5
109,2
109,9
110,6
111,3
112,0
112,7
113,4
114,1
fn
2,074
2,076
2,078
2,081
2,083
2,086
2,088
2,090
2,093
2,095
2,098
2,100
2,102
2,105
2,107
2,110
2,112
2,114
2,117
2,119
2,121
2,124
2,126
2,128
2,131
2,133
2,135
2,138
2,140
2,142
2,145
2,147
2,149
2,152
2,154
2,156
2,159
2,161
2,163
2,166
2,168
2,170
2,173
2,175
2,177
2,179
2,182
2,184
2,186
2,189
2,191
2,193
2,195
2,198
2,200
2,202
j/lO/i
6,557
6,565
6,573
6,580
6,588
6,595
6,603
6,611
6,618
6,626
6,633
6,641
6,648
6,656
6,663
6,671
6,678
6,686
6,693
6,701
6,708
6,716
6,723
6,731
6,738
6,745
6,753
6,760
6,768
6,775
6,782
6,790
6,797
6,804
6,812
6,819
6,826
6,834
6,841
6,848
6,856
6,863
6,870
6,877
6,885
6,892
6,899
6,907
6,914
6,921
6,928
6,935
6,943
6,950
6,957
6,964
fn
1,626
1,627
1,629
1,630
1,631
1,632
1,634
1,635
1,636
1,637
1,639
1,640
1,641
1,642
1,644
1,645
1,646
1,647
1,649
1,650
1,651
1,652 .
1,653
1,655
1,656
1,657
1.658
1,659
1,661
1,662
1,663
1,664
1,666
1,667
1,668
1,669
1,670
1,671
1,673
1,674
1,675
1,676
1,677
1,679
1,680
1,681
1,682
1,683
1,685
1,686
1,687
1,688
1,689
1,690
1,692
1,693
3,503
3,506
3,509
3,512
3,514
3,517
3,520
3,522
3,525
3,528
3,530
3,533
3,536
3,538
3,541
3,544
3,546
3,549
3,552
3,554
3,557
3,560
3,562
3,565
3,567
3,570
3,573
3,575
3,578
3,580
3,583
3,586
3,588
3,591
3,593
3,596
3,599
3,601
3,604
3,606
3,609
3,611
3,614
3,616
3,619
3,622
3,624
3,627
3,629
3,632
3,634
3,637
3,639
3,642
3,644
3,647
{hoon
7,548
7,554
7,560
7,565
7,571
7,577
7,583
7,589
7,594
7,600
7,606
7,612
7,617
7,623
7,629
7,635
7,640
7,646
7,652
7,657
7,663
7,669
7,674
7,680
7,686
7,691
7,697
7,703
7,708
7,714
7,719
7,725
7,731
7,736
7,742
7,747
7.753
7,758
7,764
7.769
7,775
7,780
7,786
7,791
7,797
7,802
7,808
7,813
7,819
7,824
7,830
7,835
7,841
7,846
7,851
7,857

20
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
4,85
4,86
4,87
4,88
4,89
4,90
4,91
4,92
4,93
4,94
4,95
4,96
4,97
4,98
4,99
5,00
5,01
5,02
5,03
5,04
5,05
5,06
5,07
5,08
5,09
5,10
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
5,16
5,17
5,18
5,19
5,20
5,21
5,22
5,23
5,24
5,25
5,26
5,27
5,28
5,29
5,30
5,31
5,32
5,33
5,34
5,35
5,36
5,37
5,38
5,39
5,40
23,52
23,62
23,72
23,81
23,91
24,01
24,11
24,21
24,30
24,40
24,50
24,60
24,70
24,80
24,90
25,00
25,10
25,20
25,30
25,40
25,50
25,60
25,70
25,81
25,91
26,01
26,11
26,21
26,32
26,42
26,52
26,63
26,73
26,83
26,94
27,04
27,14
27,25
27,35
27,46
27,56
27,67
27,77
27,88
27,98
28,09
28,20
28,30
28,41
28,52
28,62
28,73
28,84
28,94
29,05
29,16
114,1
114,8
115,5
116,2
116,9
117,6
118,4
119,1
119,8
120,6
121,3
122,0
122,8
123,5
124,3
125,0
125,8
126,5
127,3
128,0
128,8
129,6
130,3
131,1
131,9
132,7
133,4
134,2
135,0
135,8
136,6
137,4
138,2
139,0
139,8
140,6
141,4
142,2
143,1
143,9
144,7
145,5
146,4
147,2
148,0
148,9
149,7
150,6
151,4
152,3
153,1
154,0
154,9
155,7
156,6
157,5
fn
2,202
2,205
2,207
2,209
2,211
2,214
2,216
2,218
2,220
2,223
2,225
2,227
2,229
2,232
2,234
2,236
2,238
2,241
2,243
2,245
2,247
2,249
2,252
2,254
2,256
2,258
2,261
2,263
2,265
2,267
2,269
2,272
2,274
2,276
2,278
2,280
2,283
2,285
2,287
2,289
2,291
2,293
2,296
2,298
2,300
2,302
2,304
2,307
2,309
2,31.1
2,313
2,315
2,317
2,319
2,322
2,324
l/Юи
6,964
6,971
6,979
6,986
6,993
7,000
7,007
7,014
7,021
7,029
7,036
7,043
7,050
7,057
7,064
7,071
7,078
7,085
7,092
7,099
7,106
7,113
7,120
7,127
7,134
7,141
7,148
7,155
7,162
7,169
7,176
7,183
7,190
7,197
7,204
7,211
7,218
7,225
7,232
7,239
7,246
7,253
7,259
7,266
7,273
7,280
7,287
7,294
7,301
7,308
7,314
7,321
7,328
7,335
7,342
7,348
fn
1,693
1,694
1,695
1,696
1,697
1,698
1,700
1,701
,702
,703
,704
,705
,707
,708
1,709
1,710
,711
1,712
1,713
1,715
1,716
1,717
1,718
1,719
1,720
1,721
1,722
1,724
1,725
1,726
1,727
1,728
1,729
1,730
1,731
1,732
1,734
1,735
1,736
1,737
1,738
1,739
1,740
1,741
1,742
1,744
1,745
1,746
1,747
1,748
1,749
1,750
1,751
1,752
1,753
1,754
3,647
3,649
3,652
3,654
3,657
3,659
3,662
3,664
3,667
3,669
3,672
3,674
3,677
3,679
3,682
3,684
3,686
3,689
3,691
3,694
3,696
3,699
3,701
3,704
3,706
3,708
3,711
3,713
3,716
3,718
3,721
3,723
3,725
3,728
3,730
3,733
3,735
3,737
3,740
3,742
3,744
3,747
3,749
3,752
3,754
3,756
3,759
3,761
3,763
3,766
3,768
3,770
3,773
3,775
3,777
3,780
jhoo/i
7,857
7,862
7,868
7,873
7,878
7,884
7,889
7,894
7,900
7,905
7,910
7,916
7,921
7,926
7,932
7,937
7,942
7,948
7,953
7,958
7,963
7,969
7,974
7,979
7,984
7,990
7,995
8,000
8,005
8,010
8,016
8,021
8,026
8,031
8,036
8,041
8,047
8,052
8,057
8,062
8,067
8,072
8,077
8,082
8,088
8,093
8,098
8,103
8,108
8,113
8,118
8,123
8,128
8,133
8,138
8,143

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
21
Продолжение
п
5,40
5,41
5,42
5,43
5,44
5,45
5,46
5,47
5,48
5,49
5,50
5,51
5,52
5,53
5,54
5,55
5,56
5,57
5,58
5,59
5,60
5,61
5,62
5,63
5,64
5,65
5,66
5,67
5,68
5,69
5,70
5,71
5,72
5,73
5,74
5,75
5,76
5,77
5,78
5,79
5,80
5,81
5,82
5,83
5,84
5,85
5,86
5,87
5,88
5,89
5,90
5,91
5,92
5,93
5,94
5,95
л2
29,16
29,27
29,38
29,48
29,59
29,70
29,81
29,92
30,03
30,14
30,25
30,36
30,47
30,58
30,69
30,80
30,91
31,02
31,14
31,25
31,36
31,47
31,58
31,70
31,81
31,92
32,04
32,15
32,26
32,38
32,49
32,60
32,72
32,83
32,95
33,06
33,18
33,29
33,41
33,52
33,64
33,76
33,87
33,99
34,11
34,22
34,34
34,46
34,57
34,69
34,81
34,93
35,05
35,16
35,28
35,40
и?
157,5
158,3
159,2
160,1
161,0
161,9
162,8
163,7
164,6
165,5
166,4
167,3
168,2
169,1
170,0
171,0
171,9
172,8
173,7
174,7
175,6
176,6
177,5
178,5
179,4
180,4
181,3
182,3
183,3
184,2
185,2
186,2
187,1
188,1
189,1
190,1
191,1
192,1
193,1
194,1
195,1
196,1
197,1
198,2
199.2
200,2
201,2
202,3
203,3
204,3
205,4
206,4
207,5
208,5
209,6
210,6
2,324
2,326
2,328
2,330
2,332
2,335
2,337
2,339
2,341
2,343
2,345
2,347
2,349
2,352
2,354
2,356
2,358
2,360
2,362
2,364
2,366
2,369
2,371
2,373
2,375
2,377
2,379
2,381
2,383
2,385
2,387
2,390
2,392
2,394
2,396
2,398
2,400
2,402
2,404
2,406
2,408
2,410
2,412
2,415
2,417
2,419
2,421
2,423
2,425
2,427
2,429
2,431
2,433
2,435
2,437
2,439
/Той
7,348
7,355
7,362
7,369
7,376
7,382
7,389
7,396
7,403
7,409
7,416
7,423
7,430
7,436
7,443
7,450
7,457
7,463
7,470
7,477
7,483
7,490
7,497
7,503
7,510
7,517
7,523
7,530
7,537
7,543
7,550
7,556
7,563
7,570
7,576
7,583
7,589
7,596
7,603
7,609
7,616
7,622
7,629
7,635
7,642
7,649
7,655
7,662
7,668
7,675
7,681
7,688
7,694
7,701
7,707
7,714
fn
1,754
,755
1,757
,758
,759
,760
,761
,762
1,763
1,764
1,765
1,766
1,767
,768
,769
,771
,772
1,773
1,774
1,775
1,776
1,777
1,778
1,779
1,780
1,781
1,782
1,783
,784
1,785
1,786
1,787
,788
1,789
1,790
1,792
1,793
1,794
1,795
1,796
1,797
1,798
1,799
1,800
1,801
1,802
,803
,804
,805
1,806
1,807
1,808
1,809
1,810
1,811
1,812
jXlO/i
3,780
3,782
3,784
3,787
3,789
3,791
3,794
3,796
3,798
3,801
3,803
3,805
3,808
3,810
3,812
3,814
3,817
3,819
3,821
3,824
3,826
3,828
3,830
3,833
3,835
3,837
3,839
3,842
3,844
3,846
3,849
3,851
3,853
3,855
3,857
3,860
3,862
3,864
3,866
3,869
3,871
3,873
3,875
3,878
3,880
3,882
3,884
3,886
3,889
3,891
3,893
3,895
3,897
3,900
3,90*2
3,904
j/ЛоОл
8,143
8,148
8,153
8,158
8,163
8,168
8,173
8,178
8,183
8,188
8,193
8,198
8,203
8,208
8,213
8,218
8,223
8,228
8,233
8,238
8,243
8,247
8,252
8,257
8,262
8,267
8,272
8,277
8,282
8,286
8,291
8,296
8,301
8,306
8,311
8,316
8,320
8,325
8,330
8,335
8,340
8,344
8,349
8,354
8,359
8,363
8,368
8,373
8,378
8,382
8,387
8,392
8,397
8,401
8,406
8,411

22
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
5,95
5,96
5,97
5,98
5,99
6,00
6,01
6,02
6,03
6,04
6,05
6,06
6,07
6,08
6,09
6,10
6,11
6,12
6,13
6,14
6,15
6,16
6,17
6,18
6,19
6,20
6,21
6,22
6,23
6,24
6,25
6,26
6,27
6,28
6,29
6,30
6,31
6,32
6,33
6,34
6,35
6,36
6,37
6,38
6,39
6,40
6,41
6,42
6,43
6,44
6,45
6,46
6,47
6,48
6,49
6,50
35,40
35,52
35,64
35,76
35,88
36,00
36,12
36,24
36,36
36,48
36,60
36,72
36,84
36,97
37,09
37,21
37,33
37,45
37,58
3'7,70
37,82
37,95
38,07
38,19
38,32
38,44
38,56
38,69
38,81
38,94
39,06
39,19
39,31
39,44
39,56
39,69
39,82
39,94
40,07
40,20
40,32
40,45
40,58
40,70
40,83
40,96
41,09
41,22
41,34
41,47
41,60
41,73
41,86
41,99
42,12
42,25
210,6
211,7
212,8
213,8
214,9
216,0
217,1
218,2
219,3
220,3
221,4
222,5
223,6
224,8
225,9
227,0
228,1
229,2
230,3
231,5
232,6
233,7
234,9
236,0
237,2
238,3
239,5
240,6
241,8
243,0
244,1
245,3
246,5
247,7
248,9
250,0
251,2
252,4
253,6
254,8
256,0
257,3
258,5
259,7
260,9
262,1
263,4
264,6
265,8
267,1
268,3
269,6
270,8
272,1
273,4
274,6
Уп
2,439
2,441
2,443
2,445
2,447
2,449
2,452
2,454
2,456
2,458
2,460
2,462
2,464
2,466
2,468
2,470
2,472
2,474
2,476
2,478
2,480
2,482
2,484
2,486
2,488
2,490
2,492
2,494
2,496
2,498
2,500
2,502
2.504
2,506
2,508
2,510
2,512
2,514
2,516
2,518
2,520
2,522
2,524
2,526
2,528
2,530
2,532
2,534
2,536
2,538
2,540
2,542
2,544
2,546
2,548
2,550
[/Юл
7,714
7,720
7,727
7,733
7,740
7,746
7,752
7,759
7,765
7,772
7,778
7,785
7,791
7,797
7,804
7,810
7,817
7,823
7,829
7,836
7,842
7,849
7,855
7,861
7,868
7,874
7,880
7,887
7,893
7,899
7,906
7,912
7,918
7,925
7,931
7,937
7,944
7,950
7,956
7,962
7,969
7,975
\ 7,981
7,987
7,994
8,000
8,006
8,012
8,019
8,025
8,031
8,037
8,044
8,050
8,056 •
8,062
1,812
1,813
1,814
1,815
1,816
1,817
1,818
1,819
1,820
1,821
1,822
1,823
1,824
1,825
1,826
1,827
1,828
1,829
1,830
1,831
1,832
1,833
1,834
1,835
1,836
1,837
1,838
1,839
1,840
1,841
1,842
1,843
1,844
1,845
1,846
1,847
1,848
1,849
1,850
1,851"
1,852
1,853
1,854
1,855
1,856
1,857
1,858
1,859
1,860
1,860
1,861
1,862
1,863
1,864
1,865
1,866
f/\0n
3,904
3,906
3,908
3,911
3,913
3,915
3,917
3,919
3,921
3,924
3,926
3,928'
3,930
3,932
3,934
3,936
3,939
3,941
3,943
3,945
3,947
3,949
3,951
3,954
3,956
3,958
3,960
3,962
3,964
3,966
3,969
3,971
3,973
3,975
3,977
3,979
3,981
3,983
3,985
3,987
3,990
3,992
3,994
3,996
3,998
4,-000
4,002
4,004
4,006
4,008
4,010
4,012
4,015
4,017
4,019
4,021
f/lOOn
8,411
8,416
8,420
8,425
8,430
8,434
8,439
8,444
8,448
8,453
8,458
8,462
8,467
8,472
8,476
8,481
8,486
8,490
8,495
8,499
8,504
8,509
8,513
8,518
8,522
8,527
8,532
8,536
8,541
8,545
8,550
8,554
8,559
8,564
8,568
8,573
8,577
8,582
8,586
8,591
8,595
8,600
8,604
8,609
8,613
8,618
8,622
8,627
8,631
8,636
8,640
8,645
8,649
8,653
8,658
8,662

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
23
Продолжение
п
6,50
6,51
6,52
6,53
6,54
6,55
6,56
6,57
6,58
6,59
6,60
6,61
6,62
6,63
6,64
6,65
6,66
6,67
6,68
6,69
6,70
6,71
6,72
6,73
6,74
6,75
6,76
6,77
6,78
6,79
6,80
6,81
6,82
6,83
6,84
6,85
6,86
6,87
6,88
6,89
6,90
6,91
6,92
6,93
6,94
6,95
6,96
6,97
6,98
6,99
7,00
7,01
7,02
7,03
7,04
7,05
42,25
42,38
42,51
42,64
42,77
42,90
43,03
43,16
43,30
43,43
43,56
43,69
43,82
43,96
44,09
44,22
44,36
44,49
44,62
44,76
44,89
45,02
45,16
45,29
45,43
45,56
45,70
45,83
45,97
46,10
46,24
46,38
46,51
46,65
46,79
46,92
47,06
47,20
47,33
47,47
47,61
47,75
47,89
48,02
48,16
48,30
48,44
48,58
48,72
48,86
49,00
49,14
49,28
49,42
49,56
49,70
274,6
275,9
277,2
278,4
279,7
281,0
282,3
283,6
284,9
286,2
287,5
288,8
290,1
291,4
292,8
294,1
295,4
296,7
298,1
299,4
300,8
302,1
303,5
304,8
306,2
307,5
308,9
310,3
311,7
313,0
314,4
315,8
317,2
318,6
320,0
321,4
322,8
324,2
325,7
327,1
328,5
329,9
331,4
332,8
334,3
335,7
337,2
338,6
340,1
341,5
343,0
344,5
345,9
347,4
348,9
350,4
\Г«
2,550
2,551
2,553
2,555
2,557
2,559
2,561
2,563
2,565
2,567
2,569
2,571
2,573
2,575
2,577
2,579
2,581
2,583
2,585
2,587
2,588
2,590
2,592
2,594
2,596
2,598
2,600
2,602
2,604
2,606
2,608
2,610
2,612
2,613
2,615
2,617
2,619
2,621
2,623
2,625
2,627
2,629
2,631
2,632
2,634
2,636
2,638
2,640
2,642
2,644
2,646
2,648
2,650
2,651
2,653
2,655
|/Шй
8,062
8,068
8,075
8,081
8,087
8,093
8,099
8,106
8,112
8,118
8,124
8,130
8,136
8,142
8,149
8,155
8,161
8,167
8,173
8,179
8,185
8,191
8,198
8,204
8,210
8,216
8,222
8,228
8,234
8,240
8,246
8,252
8,258
8,264
8,270
8,276
8,283
8,289
8,295
8,301
8,307
8,313
8,319
8,325
8,331
8,337
8,343
8,349
8,355
8,361
8,367
8,373
8,379
8,385
8,390
8,396
1,866
1,867
1,868
1,869
1,870
1,871
1,872
1,873
1,874
1,875
1,876
1,877
1,878
1,879
1,880
1,881
1,881
1,882
1,883
1,884
1,885
1,886
1,887
1,888
1,889
1,890
1,891
1,892
1,893
1,894
1,895
1,895
1,896
1,897
1,898
1,899
1,900
1,901
1,902
1,903
1,904
1,905
1,906
1,907
1,907
1,908
1,909
1,910
1,911
1,912
1,913
1,914
1,915
1,916
1,917
1,917
4,021
4,023
4,025
4,027
4,029
4,031
4,033
4,035
4,037
4,039
4,041
4,043
4,045
4,047
4,049
4,051
4,053
4,055
4,058
4,060
4,062
4,064
4,066
4,068
4,070
4,072
4,074
4,076
4,078
4,080
4,082
4,084
4,086
4,088
4,090
4,092
4,094
4,096
4,098
4,100
4,102
4,104
4,106
4,108
4,109
4,111
4,113
4,115
4,117
4,119
4,121
4,123
4,125
4,127
4,129
4,131
]^100/i
8.662
8,667
8,671
8,676
8,680
8,685
8,689
8,693
8,698
8,702
8,707
8,711
8,715
8,720
8,724
8,729
8,733
8,737
8,742
8,746
8,750
8,755
8,759
8,763
8,768
8,772
8,776
8,781
8,785
8,789
8,794
8,798
8,802
8,807
8,811
8,815
8,819
8,824
8,828
8,832
8,837
8,841
8,845
8,849
8,854
8,858
8,862
8,866
8,871
8,875
8,879
8,883
8,887
8,892
8,896
8,900

24
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
7,05
7,06
7,07
7,08
7,09
7,10
7,11
7,12
7,13
7,14
7,15
7,16
7,17
7,18
7,19
7,20
7,21
7,22
7,23
7,24
7,25
7,26
7,27
7,28
7,29
7,30
7,31
7,32
7,33
7,34
7,35
7,36
7,37
7,38
7,39
7,40
7,41
7,42
7,43
7,44
7,45
7,46
7,47
7,48
7,49
7,50
7,51
7,52
7,53
7,54
7,55
7,56
7,57
7,58
7,59
7,60
49,70
49,84
49,98
50,13
50,27
50,41
50,55
50,69
50,84
50,98
51,12
51,27
51,41
51,55
51,70
51,84
51,98
52,13
52,27
52,42
52,56
52,71
52,85
53,00
53,14
53,29
53,44
53,58
53,73
53,88
54,02
54,17
54,32
54,46
54,61
54,76
54,91
55,06
55,20
55,35
55,50
55,65
55,80
55,95
56,10
56,25
56,40
56,55
56,70
56,85
57,00
57,15
57,30
57,46
57,61
57,76
350,4
351,9
353,4
354,9
356,4
357,9
359,4
360,9
362,5
364,0
365,5
367,1
368,6
370,1
371,7
373,2
374,8
376,4
377,9
379,5
381,1
382,7
384,2
385,8
387,4
389,0
390,6
392,2
393,8
395,4
397,1
398,7
400,3
401,9
403,6
405,2
406,9
408,5
410,2
411,8
413,5
415,2
416,8
418,5
420,2
421,9
423,6
425,3
427,0
428,7
430,4
432,1
433,8
435,5
437,2
439,0
2,655
2,657
2,659
2,661
2,663
2,665
2,666
2,668
2,670
2,672
2,674
2,676
2,678
2,680
2,681
2,683
2,685
2,687
2,689
2,691
2,693
2,694
2,696
2,698
2,700
2,702
2,704
2,706
2,707
2,709
2,711
2,713
2,715
2,717
2,718
2,720
2,722
2,724
2,726
2,728
. 2,729
2,731
2,733
2,735
2,737
2,739
2,740
2,742
2,744
2,746
2,748
2,750
2,751
2,753
2,755
2,757
/Юл
8,396
8,402
8,408
8,414
8,420
8,426
8,432
8,438
8,444
8,450
8,456
8,462
8,468
8,473
8,479
8,485
8,491
8,497
8,503
8,509
8,515
8,521
8,526
8,532
8,538
8,544
8,550
8,556
8,562
8,567
8,573
8,579
8,585
8,591
8,597
8,602
8,608
8,614
8,620
8,626
8,631
8,637
8,643
8,649
8,654
8,660
8,666
8,672
8,678
8,683
8,689
8,695
8,701
8,706
8,712
8,718
Г»
1,917
1,918
1,919
1,920
1,921
1,922
1,923
1,924
1,925
1,926
1,926
1,927
1,928
1,929
1,930
1,931
1,932
1,933
1,934
1,935
1,935
1,936
1,937
1,938
1,939
1,940
1,941
1,942
1,943
1,943
1,944
1,945
1,946
1,947
1,948
1,949
1,950
1,950
1,951
1,952
1,953
1,954
1,955
1,956
1,957
1,957
1,958
1,959
1,960
1,961
1,962
1,963
1,964
1,964
1,965
1,966
j/Ufo
4,131
4,133
4,135
4,137
4,139
4,141
4,143
4,145
4,147
4,149
4,151
4,152
4,154
4,156
4,158
4,160
4,162
4,164
4,166
4,168
4,170
4,172
4,174
4,176
4,177
4,179
4,181
4,183
4,185
4,187
4,189
4,191
4,193
4,195
4,196
4,198
4,200
4,202
4,204
4,206
4,208
4,210
4,212
4,213
4,215
4,217
4,219
4,221
4,223
4,225
4,227
4,228
4,230
4,232
4,234
4,236
f/\00n
8,900
8,904
8,909
8,913
8,917
8,921
8,925
8,929
8,934
8,938
8,942
8,946
8,950
8,955
8,959
8,963
8,967
8,971
8,975
8,979
8,984
8,988
8,992
8,996
9,000
9,004
9,008
9,012
9,016
9,021
9,025
9,029
9,033
9,037
9,041
9,045
9,049
9,053
9,057
9,061
9,065
9,069
9,073
9,078
9,082
9,086
9,090
9,094
9,098
9,102
9,106
9,110
9,114
9,118
9,122
9,126

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
25
Продолжение
п
7,60
7,61
7,62
7,63
7,64
7,65
7,66
7,67
7,68
7,69
7,70
7,71
7,72
7,73
7,74
7,75
7,76
7,77
7,78
7,79
7,80
7,81
7,82
7,83
7,84
7,85
7,86
7,87
7,88
7,89
7,90
7,91
7,92
7,93
7,94
7,95
7,96
7,97
7,98
7,99
8,00
8,01
8,02
8,03
8,04
8,05
8,06
8,07
8,08
8,09
8,10
8,11
8,12
8,13
8,14
8,15
57,76
57,91
58,06
58,22
58,37
58,52
58,68
58,83
58,98
59,14
59,29
59,44
59,60
59,75
59,91
60,06
60,22
60,37
60,53
60,68
60,84
61,00
61,15
61,31
61,47
61,62
61,78
61,94
62,09
62,25
62,41
62,57
62,73
62,88
63,04
63,20
63,36
63,52
63,68
63,84
64,00
64,16
64,32
64,48
64,64
64,80
64,96
65,12
65,29
65,45
65,61
65,77
65,93
66,10
66,26
66,42
л-1
439,0
440,7
442,5
444,2
445,9
447,7
449,5
451,2
453,0
454,8
456,5
458,3
460,1
461,9
463,7
465,5
467,3
469,1
470,9
472,7
474^6
476,4
478,2
480,0
481,9
483,7
485,6
487,4
489,3
491,2
493,0
494,9
496,8
498,7
500,6
502,5
504,4
506,3
508,2
510,1
512,0
513,9
515,8
517,8
519,7
521,7
523,6
525,6
527,5
529,5
531,4
533,4
535,4
537,4
539,4
541,3
V»
2,757
2,759
2,760
2,762
2,764
2,766
2,768
2,769
2,771
2,773
2,775
2,777
2,778
2,780
2,782
2,784
2,786
2,787
2,789
2,791
2,793
2,795
2,796
2,798
2,800
2,802
2,804
2,805
2,807
2,809
2,811
2,812
2,814
2,816
2,818
2,820
2,821
2,823
2,825
2,827
2,828
2,830
2,832
2,834
2,835
2,837
2,839
2,841
2,843
2,844
2,846
2,848
2,850
2,851
2,853
2,855
\/\0п
8,718
8,724
8,729
8,735
8,741
8,746
8,752
8,758
8,764
8,769
8,775
8,781
8,786
8,792
8,798
8,803
8,809
8,815
8,820
8,826
8,832
8,837
8,843
8,849
8,854
8,860
8,866
8,871
8,877
8,883
8,888
8,894
8,899
8,905
8,911
8,916
8,922
8,927
8,933
8,939
8,944
8,950
8,955
8,961
8,967
8,972
8,978
8,983
8,989
8,994
9,000
9,009
9,011
9,017
9,022
9,028
1,966
1,967
1,968
1,969
1,970
1,970
1,971
1,972
1,973
1,974
1,975
1,976
1,976
1,977
1,978
1,979
1,980
1,981
1,981
1,982
1,983
1,984
1,985
1,986
t,987
1,987
1,988
1,989
1,990
1,991
1,992
1,992
1,993
1,994
1,995
1,996
1,997
1,997
1,998
1,999
2,000
2,001
2,002
2,002
2,003
2,004
2,005
2,006
2,007
2,007
2,008
2,009
2,010
2,011
2,012
2,012
J^10«
4,236
4,238
4,240
4,241
4,243
4,245
4,247
4,249
4,251
4,252
4,254
4,256
4,258
4,260
4,262
4,264
4,265
4,267
4,269
4,271
4,273
4,274
4,276
4,278
4,280
4,282
4,284
4,285
4,287
4,289
4,291
4,293
4,294
4,296
4,298
4,300
4,302
4,303
4,305
4,307
4,309
4,311
4,312
4,314
4,316
4,318
4,320
4,321
4,323
4,325
4,327
4,329
4,330
4,332
4,334
4,336
1^100/7
9,126
9,130
9,134
9,138
9,142
9,146
9,150
9,154
9,158
9,162
9,166
9,170
9,174
9,178
9,182
9,185
9,189
9,193
9,197
9,201
9,205
9,209
9,213
9,217
9,221
9,225
9,229
9,233
9,237
9,240
9,244
9,248
9,252
9,256
9,260
9,264
9,268
9,272
9,275
9,279
9,283
9,287
9,291
9,295
9,299
9,302
9,306
9,310
9,314
9,318
9,322
9,326
9,329
9,333
9,337
9,341

26
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
8,15
8,16
8,17
8,18
8,19
8,20
8,21
8,22
8,23
8,24
8,25
8,26
8,27
8,28
8,29
8,30
8,31
8,32
8,33
8,34
8,35
8,36
8,37
8.38
8,39
8,40
8,41
8,42
8,43
8,44
8,45
8,46
8,47
8,48
8,49
8,50
8,51
8,52
8,53
8,54
8,55
8,56
8,57
8,58
8,59
8,60
8,61
8,62
8,63
8,64
8,65
8,66
8,67
8,68
8,69
8,70
66,42
66,59
66,75
66,91
67,08
67,24
67,40
67,57
67,73
67,90
68,06
68,23
68,39
68,56
68,72
68,89
69,06
69,22
69,39
69,56
69,72
69,89
70,06
70,22
70,39
70,56
70,73
70,90
71,06
71,23
71,40
71,57
71,74
71,91
72,08
72,25
72,42
72,59
72,76
72,93
73,10
73,27
73,44
73,62
73,79
73,96
74,13
74,30
74,48
74,65
74,82
75,00
75,17
75,34
75,52
75,69
и*
541,3
543,3
545,3
547,3
549,4
551,4
553,4
555,4
557,4
559,5
561,5
563,6
565,6
567,7
569,7
571,8
573,9
575,9
578,0
580,1
582,2
584,3
586,4
588,5
590,6
592,7
594,8
596,9
599,1
601,2
603,4
605,5
607,6
609,8
612,0
614,1
616,3
618,5
620,7
622,8
625,0
627,2
629,4
631,6
633,8
636,1
638,3
640,5
642,7
645,-0
647,2
649,5
651,7
654,0
656,2
658,5
V»
2,855
2,857
2,858
2,860
2,862
2,864
2,865
2,867
2,869
2,871
2,872
2,874
2,876
2,877
2,879
2,881
2,883
2,884
2,886
2,888
2,890
2,891
2,893
2,895
2,897
2,898
2,900
2,902
2,903
2,905
2,907
2,909
2,910
2,912
2,914
2,915
2,917
2,919
2,921
2,922
2,924
2,926
2,927
2,929
2.931
2,933
2,934
2,936
2,938
2,939
2,941
2,943
2,944
2,946
2,948
2,950
|/lO/i
9,028
9,033
9,039
9,044
9,050
9,055
9,061
9,066
9,072
9,077
9,083
9,088
9,094
9,099
9,105
9,110
9,116
9,121
9,127
9,132
9,138
9,143
9,149
9,154
9,160
9,165
9,171
9,176
9,182
9,187
9,192
9,198
9,203
9,209
9,214
9,220
9,225
9,230
9,236
9,241
9,247
9,252
9,257
9,263
9,268
9,274
9,279
9,284
9,290
9,295
9,301
9,306
9,311
9,317
9,322
9,327
2,012
2,013
2,014
2,015
2,016
2,017
2,017
2,018
2,019
2,020
2,021
2,021
2,022
2,023
2,024
2,025
2,026
2,026
2,027
2,028
2,029
2,030
2,030
2,031
2,032
2,033
2,034
2,034
2,035
2,036
2,037
2,038
2,038
2,039
2,040
2,041
2,042
2,042
2,043
2,044
2,045
2,046
2,046
2,047
2,048
2,049
2,050
2,050
2,051
2,052
2,053
2,054
2,054
2,055
2,056
2,057
4,336
4,337
4,339
4,341
4,343
4,344
4,346
4,348
4,350
4,352
4,353
4,355
4,357
4,359
4,360
4,362
4,364
4,366
4,367
4,369
4,371
4,373
4,374
4,376
4,378
4,380
4,381
4,383
4,385
4,386
4,388
4,390
4,392
4,393
4,395
4,397
4,399
4,400
4,402
4,404
4,405
4,407
4,409
4,411
4,412
4,414
4,416
4,417
4,419
4,421
4,423
4,424
4,426
4,428
4,429
4,431
[V100/1
9,341
9,345
9,348
9,352
9,356
9,360
9,364
9,368
9,371
9,375
9,379
9,383
9,386
9,390
9,394
9,398
.9,402
9,405
9,409
9,413
9,417
9,420
9,424
9,428
9,432
9,435
9,439
9,443
9,447
9,450
9,454
9,458
9,462
9,465
9,469
9,473
9,476
9,480
9,484
9,488
9,491
9,495
9,499
9,502
9,506
9,510
9,513
9,517
9,521
9,524
9,528
9,532
9,535
9,539
9,543
9,546

КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
27
Продолжение
п
8,70
8,71
8,72
8,73
8,74
8,75
8,76
8,77
8,78
8,79
8,80
8,81
8,82
8,83
8,84
8,85
8,86
8,87
8,88
8,89
8,90
8,91
8,92
8,93
8,94
8,95
8,96
8,97
8,98
8,99
9,00
9,01
9,02
9,03
9,04
9,05
9,06
9,07
9,08
9,09
9,10
9,11
9,12
9,13
9,14
9,15
9,16
9,17
9,18
9,19
9,20
9,21
9,22
9,23
9,24
9,25
75,69
75,86
76,04
76,21
76,39
76,56
76,74
76,91
77,09
77,26
77,44
77,62
77,79
77,97
78,15
78,32
78,50
78,68
78,85
79,03
79,21
79,39
79,57
79,74
79,92
80,10
80,28
80,46
80,64
80,82
81,00
81,18
81,36
81,54
81,72
81,90
82,08
82,26
82,45
82,63
82,81
82,99
83,17
83,36
83,54
83,72
83,91
84,09
84,27
84,46
84,64
84,82
85,01
85,19
85,38
85,56
658,5
660,8
663,1
665,3
667,6
669,9
672,2
674,5
676,8
679,2
681,5
683,8
686,1
688,5
690,8
693,2
695,5
697,9
700,2
702,6
705,0
707,3
709,7
712,1
714,5
716,9
719,3
721,7
724,2
726,6
729,0
731,4
733,9
736,3
738,8
741,2
743,7
746,1
748,6
751,1
753,6
756,1
758,6
761,0
763,6
766,1
768,6
771,1
773,6
776,2
778,7
781,2
783,8
786,3
788,9
791,5
|/«
2,950
2,951
2,953
2,955
2,956
2,958
2,960
2,961
2,963
2,965
2,966
2,968
2,970
2,972
2,973
2,975
2,977
2,978
2,980
2,982
2,983
2,985
2,987
2,988
2,990
2,992
2,993
2,995
2,997
2,998
3,000
3,002
3,003
3,005
3,007
3,008
3,010
3,012
3,013
3,015
3,017
3,018
3,020
3,022
3,023
3,025
3,027
3,028
3,030
3,032
3,033
3,035
3,036
3,038
3,040
3,041
j/lOn
9,327
9,333
9,338
9,343
9,349
9,354
9,359
9,365
9,370
9,375
9,381
. 9,386
9,391
9,397
9,402
9,407
9,413
9,418
9,423
9,429
9,434
9,439
9,445
9,450
9,455
9,460
9,466
9,471
9,476
9,482
9,487
9,492
9,497
9,503
9,508
9,513
9,518
9,524
9,529
9,534
9,539
9,545
9,550
9,555
9,560
9,566
9,571
9,576
9,581
9,586
9,592
9,597
9,602
9,607
9,612
9,618
2,057
2,057
2,058
2,059
2,060
2,061
2,061
2,062
2,063
2,064
2,065
2,065
2,066
2,067
2,068
2,068
2,069
2,070
2,071
2,072
2,072
2,073
2,074
2,075
2,075
2,076
2,077
2,078
2,079
2,079
2,080
2,081
2,082
2,082
2,083
2,084
2,085
2,085
2,086
2,087
2,088
2,089
2,089
2,090
2,091
2,092
2,092
2,093
2,094
2,095
2,095
2,096
2,097
2,098
2,098
2,099
4,431
4,433
4,434
4,436
4,438
4,440
4,441
4,443
4,445
4,446
4,448
4,450
4,451
4,453
4,455
4,456
4,458
4,460
4,461
4,463
4,465
4,466
4,468
4,470
4,471
4,473
4,475
4,476
4,478
4,480
4,481
4,483
4,485
4,486
4,488
4,490
4,491
4,493
4,495
4,496
4,498
4,500
4,501
4,503
4,505
4,506
4,508
4,509
4,511
4,513
4,514
4,516
4,518
4,519
4,521
4,523
\/100п
9,546
9,550
9,554
9,557
9,561
9,565
9,568
9,572
9,576
9,579
9,583
9,586
9,590
9,594
9,597
9,601
9,605
9,608
9,612
9,615
9,619
9,623
9,626
9,630
9,633
9,637
9,641
9,644
9,648
9,651
9,655
9,658
9,662
9,666
9,669
9,673
9,676
9,680
9,683
9,687
9,691
9,694
9,698
9,701
9,705
9,708
9,712
9,715
9,719
9,722
9,726
9,729
9,733
9,736
9,740
9,743

28
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
9,25
9,26
9,27
9,28
9,29
9,30
9,31
9,32
9,33
9,34
9,35
9,36
9,37
9,38
9,39
9,40
9,41
9,42
9,43
9,44
9,45
9,46
9,47
9,48
9,49
9,50
9,51
9,52
9,53
9,54
9,55
9,56
9,57 '
9,58
9,59
9,60
9,61
9,62
9,63
9,64
9,65
9,66
9,67
9,68
9,69
9,70
9,71
9,72
9,73
9,74
9,75
9,76
9,77
9,78
9,79
9,80
«2
85,56
85,75
85,93
86,12
86,30
86,49
86,68
86,86
87,05
87,24
87,42
87,61
87,80
87,98
88,17
88,36
88,55
88,74
88,92
89,11
89,30
89,49
89,68
89,87
90,06
90,25
90,44
90,63
90,82
91,01
91,20
91,39
91,58
91,78
91,97
92,16
92,35
92,54
92,74
92,93
93,12
93,32
93,51
93,70
93,90
94,09
94,28
94,48
94,67
94,87
95,06
95,26
95,45
95,65
95,84
96,04
791,5
794,0
796,6
799,2
801,8
804,4
807,0
809,6
812,2
814,8
817,4
820,0
822,7
825,3
827,9
830,6
833,2
835,9
838,6
841,2
843,9
846,6
849,3
852,0
854,7
857,4
860,1
862,8
865,5
868,3
871,0
873,7
876,5
879,2
882,0
884,7
887,5
890,3
893,1
895,8
898,6
901,4
904,2
907,0
909,9
912,7
915,5
918,3
921,2
924,0
926,9
929,7
932,6
935,4
938,3
941,2
3,041
3,043
3,045
3,046
3,048
3,050
3,051
3,053
3,055
3,056
3,058
3,059
3,061
3,063
3,064
3,066
3,068
3,069
3,071
3,072
3,074
3,076
3,077
3,079
3,081
3,082
3,084
3,085
3,087
3,089
3,090
3,092
3,094
3,095
3,097
3,098
3,100
3,102
3,103
3,105
3,106
3,108
3,110
3,111
3,113
3,114
3,116
3,118
3,119
3,121
3,122
3,124
3,126
3,127
3,129
3,130
l/lOn
9,618
9,623
9,628
9,633
9,638
9,644
9,649
9,654
9,659
9,664
9,670
9,675
9,680
9,685
9,690
9,695
9,701
9,706
9,711
9,716
9,721
9,726
9,731
9,737
9,742
9,747
9,752
9,757
9,762
9,767
9,772
9,778
9,783
9,788
9,793
9,798
9,803
9,808
9,813
9,818
9,823
9,829
9,834
9,839
9,844
9,849
9,854
9,859
9,864
9,869
9,874
9,879
9,884
9,889
9,894
9,899
2,099
2,100
2,101
2,101
2,102
2,103
2,104
2,104
2,105
2,106
2,107 •
2,107
2,108
2,109
2,110
2,110
2,111
2,112
2,113
2,113
2,114
2,115
2,116
2,116
2,117
2,118
2,119
2,119
2,120
2,121
2,122
2,122
2,123
2,124
2,125
2,125
2,126
2,127
2,128
2,128
2,129
2,130
2,130
2,131
2,132
2,133
2,133
2,134
2,135
2,136
2,136
2,137
2,138
2,139
2,139
2,140
4,523
4,524
4,526
4,527
4,529
4,531
4,532
4,534
4,536
4,537
4,539
4,540
4,542
4,544
4,545
4,547
4,548
4,550
4,552
4,553
4,555
4,556
4,558
4,560
4,561
4,563
4,565
4,566
4,568
4,569
4,571
4,572
4,574
4,576
4,577
4,579
4,580
4,582
4,584
4,585
4,587
4,588
4,590
4,592 '
4,593
4,595
4,596
4,598
4,599
4,601
4,603
4,604
4,606
4,607
4,609
4,610
j^lOOn
9,743
9,747
9,750
9,754
9,758
9,761
9,764
9,768
9,771
9,775
9,778
9,782
9,785
9,789
9,792
.9,796
9,799
9,803
9,806
9,810
9,813
9,817
9,820
9,824
9,827
9,830
9,834
9,837
9,841
9,844
9,848
9,851
9,855
9,858
9,861
9,865
9,868
9,872
9,875
9,879
9,882
9,885
9,889
9,892
9,896
9,899
9,902
9,906
9,909
9,913
9,916
9,919
9,923
9,926
9,930
9,933

СТЕПЕНИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 100
29
Продолжение
п
9,80
9,81
9,82
9,83
9,84
9,85
9,86
9,87
9,88
9,89
9,90
9,91
9,92
9,93
9,94
9,95
9,96
9,97
9,98
9,99
10,00
96,04
96,24
96,43
96,63
96,83
97,02
97,22
97,42
97,61
97,81
98,01
98,21
98,41
98,60
98,80
99,00
99,20
99,40
99,60
99,80
100,00
«з
941,2
944,1
947,0
949,9
952,8
955,7
958,6
961,5
964,4
967,4
970,3
973,2
976,2
979,1
982,1
985,1
988,0
991,0
994,0
997,0
1000,0
]/п
3,130
3,132
3,134
3,135
3,137
3,138
3,140
3,142
3,143
3,145
3,146
3,148
3,150
3,151
3,153
3,154
3,156
3,158
3,159
3,161
3,162
j/Юл
9,899
9,905
9,910
9,915
9,920
9,925
9,930
9,935
9,940
9,945
9,950
9,955
9,960
9,965
9,970
9,975
9,980
9,985
9,990
9,995
10,000
2,140
2,141
2,141
2,142
2,143
2,144
2,144
2,145
2,146
2,147
2,147
2,148
2,149
2,149
2,150
2,151
2,152
2,152
2,153
2,154
2,154
3,
yiOn
4,610
4,612
4,614
4,615
4,617
4,618
4,620
4,621
4,623
4,625
4,626
4,628
4,629
4,631
4,632
4,634
4,635
4,637
4,638
4,640
4,642
9,933
9,936
9,940
9,943
9,946
9,950
9,953
9,956
9,960
9,963
9,967
9,970
9,973
9,977
9,980
9,983
9,987
9,990
9,993
9,997
10,000
1.1.1.3. Степени целых чисел от
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
961
1024
1089
1156
1 до 100.
/|3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
9261
10648
12167
13 824
15625
17576
19683
21952
24389
27000
29791
32768
35937
39 304
1
16
81
256
625
1296
2401
4096
6 561
10000
14641
20736
28 561
38416
50625
65 536
83521
104976
130321
160000
194481
234256
279841
331 776
390625
456976
531441
614656
707281
810000
923521
1048 576
1185921
1336336
1
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
100000
161051
248832
371 293
537824
750 375
1 048 576
1419857
1889 568
2476099
3200000
4084101
5153632
6436343
7962624
9765625
11881376
14348907
17210368
20511149
24300000
28629151
33 554432
39135393
45435424

30
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
и2
1225
1296
1369
1444
1521
1600
1681
1764
1849
1936
2 025
2116
2209
2 304
2401
2 500
2 601
2 704
2 809
2916
3025
3136
3 249
3 364
3481
3 600
3 721
ЗМ4
; чич
4 0%
4 225
4 356
4489
4624
4761
4900
5041
5184
5 329
5476
5625
5 776
5929
6084
6241
6400
6 561
6724
6889
7056
7 225
7 396
7 569
7 744
7921
8100
8281
8464
8649
8 836
9025
9216
9409
9604
9 801
10000
л*
42875
46656
50653
54872
59319
64000
68 921
74088
79 507
85 184
91 125
97 336
103 823
110 592
117649
125000
132651
140608
148 877
157464
166375
175616
185193
195112
205 379
216000
226981
238 328
250047
262 144
274625
287496
300763
314432
328 509
343000
357911
373248
389017
405224
421875
438 976
456 533
474 552
493 039
512000
531441
551368
571787
592 704
614125
636056
658 503
681472
704969
729000
753 571
778 688
804 357
830 584
857 375
884736
912673
941 192
970299
1000000
1500625
1679616
1874161
2085136
2313441
2 560000
2 825 761
3 111 696
3418801
3 748096
4100625
4477456
4879681
5 308416
5 764801
6250000
6765201
7311616
7 890481
8 503056
9150625
9834496
10 556001
11316496
12117361
12960000
13 845 841
14776 336
15 752961
16777216
17 850625
18974736
20151 121
21381376
22 667121
24010000
, 25411681
26873 856
28 398241
29986 576
31640625
33 362176
35153041
37015056
38950081
40960000
43046721
45212176
47458 321
49 787136
52200625
54700816
57289 761
59969 536
62742241
65 610000
68 574961
71639296
74805201
78074896
81450625
84934656
88 529281
92236816
96059601
100000000
52 521875
60466176
69 343957
79235168
90224199
102400000
115 856201
130691232
147008443
164916224
184528125
205 962976
229 345007
254803968
282475249
312 500000
345025251
380204032
418195493
459165024
503284375
550731776
601692057
656 356768
714924299
777 600000
844 596301
916132832
992436543
1073 741824
1 160290625
1252 332 576
1 350 125 107
1453 933 568
1564031349
1680700000
1804229 351
1934917632
2073071593
2219006624
2 373046875
2 535 525 376
2 706784157
2887174368
3077056 399
3 276800000
3486784401
3 707 398432
3939040643
4182 119424
4437053125
4704270176
4984209207
5277319168
5 584059449
5904900000
6240 321451
6590815232
6956883693
7 339040224
7 737 809 375
8153 726976
8 587 340257
9039207968
9 509900499
10000000000

ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
31
1.1.1.4.
п
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
Обратные
0
10000
9091
8333
7692
7143
6667
6250
5882
5556
5263
5000
4762
4545
4348
4167
4000
3846
3704
3571
3448
3333
3226
3125
3030
2941
2857
2778
2703
2632
2564
2500
2439
2381
2326
2273
2222
2174
2128
2083
2041
2000
1961
1923
1887
1852
1818
1786
1754
1724
1695
1667
1639
1613
1587
1562
1538
1515
1493
1471
1449
величины.
1
9901
9009
8264
7634
7092
6623
6211
5848
5525
5236
4975
4739
4525
4329
4149
3984
3831
3690
3559
3436
3322
3215
3115
3021
2933
2849
2770
2695
2625
2558
2494
2433
2375
2320
2268
2217
2169
2123
2079
2037
1996
1957
1919
1883
1848
1815
1783
1751
1721
1692
1664
1637
1610
1585
1560
1536
1513
1490
1468
1447
2
9804
8929
8197
7576
7042
6579
6173
5814
5495
5208
4950
4717
4505
4310
4132
3968
3817
3676
3546
3425
3311
3205
3106
3012
2924
2841
2762
2688
2618
2551
2488
2427
2370
2315
2262
2212
2165
2119
2075
2033
1992
1953
1916
1880
1845
1812
1779
1748
1718
1689
1661
1634
1608
1582
1558
1534
1511
1488
1466
1445
3
9709
8850
8130
7519
6993
6536
6135
5780
5464
5181
4926
4695
4484
4292
4115
3953
3802
3663
3534
3413
3300
3195
3096
3003
2915
2833
2755
2681
2611
2545
2481
2421
2364
2309
2257
2208
2160
2114
2070
2028
1988
1949
1912
1876
1842
1808
1776
1745
1715
1686
1658
1631
1605
1580
1555
1531
1508
1486
1464
1443
4
9615
8772
8065
7463
6944
6494
6098
5747
5435
5155
4902
4673
4464
4274
4098
3937
3788
3650
3521
3401
3289
3185
3086
2994
2907
2825
2747
2674
2604
2538
2475
2415
2358
2304
2252
2203
2155
2110
2066
2024
1984
1946
1908
1873
1838
1805
1773
1742
1712
1684
1656
1629
1603
1577
1553
1529
1506
1484
1462
1441
5
9524
8696
8000
7407
6897
6452
6061
5714
5405
5128
4878
4651
4444
4255
4082
3922
3774
3636
3509
3390
3279
3175
3077
2985
2899
2817
2740
2667
2597
2532
2469
2410
2353
2299
2247
2198
2151
2105
2062
2020
1980
1942
1905
1869
1835
1802
1770
1739
1709
1681
1653
1626
1600
1575
1550
1527
1504
1481
1460
1439
6
9434
8621
7937
7353
6849
6410
6024
5682
5376
5102
4854
4630
4425
4237
4065
3906
3759
3623
3497
3378
3268
3165
3067
2976
2890
2809
2732
2660
2591
2525
2463
2404
2347
2294
2242
2193
2146
2101
2058
2016
1976
1938
1901
1866
1832
1799
1767
1736
1706
1678
1650
1623
1597
1572
1548
1524
1502
1479
1458
1437
7
9346
8547
7874
7299
6803
6369
5988
5650
5348
5076
4831
4608
4405
4219
4049
3891
3745
3610
3484
3367
3257
3155
3058
2967
2882
2801
2725
2653
2584
2519
2457
2398
2342
2288
2237
2188
2141
2096
2053
2012
1972
1934
1898
1862
1828
1795
1764
1733
1704
1675
1647
1621
1595
1570
1546
1522
1499
1477
1456
1435
8
9259
8475
7812
7246
6757
6329
5952
5618
5319
5051
4808
4587
4386
4202
4032
3876
3731
3597
3472
3356
3247
3145
3049
2959
2874
2793
2717
2646
2577
2513
2451
2392
2336
2283
2232
2183
2137
2092
2049
2008
1969
1931
1894
1859
1825
1792
1761
1730
1701
1672
1645
1618
1592
1567
1543
1520
1497
1475
1453
1433
9
9174
8403
7752
7194
6711
6289
5917
5587
5291
5025
4785
4566
4367
4184
4016
3861
3717
3584
3460
3344
3236
3135
3040
2950
2865
2786
2710
2639
2571
2506
2445
2387
2331
2278
2227
2179
2132
2088
2045
2004
1965
1927
1890
1855
1821
1789
1757
1727
1698
1669
1642
1616
1590
1565
1541
1517
1495
1473
1451
1431

32
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
0
1429
1408
1389
1370
1351
1333
1316
1299
1282
1266
1250
1235
1220
1205
1190
1176
1163
1149
1136
1124
1111
1099
1087
1075
1064
1053
1042
1031
1020
1010
1
1427
1406
1387
1368
1350
1332
1314
1297
1280
1264
1248
1233
1218
1203
1189
1175
1161
1148
1135
1122
1110
1098
1086
1074
1063
1052
1041
1030
1019
1009
2
1425
1404
1385
1366
1348
1330
1312
1295
1279
1263
1247
1232
1217
1202
1188
1174
1160
1147
1134
1121
1109
1096
1085
1073
1062
1050
1040
1029
1018
1008
3
1422
1403
1383
1364
1346
1328
1311
1294
1277
1261
1245
1230
1215
1200
1186
1172
1159
1145
1133
1120
1107
1095
1083
1072
1060
1049
1038
1028
1017
1007
4
1420
1401
1381
1362
1344
1326
1309
1292
1276
1259
1244
1229
1214
1199
1185
1171
1157
1144
1131
1119
1106
1094
1082
1071
1059
1048
1037
1027
1016
1006
5
1418
1399
1379
1361
1342
1325
1307
1290
1274
1258
1242
1227
1212
1198
1183
1170
1156
1143
ИЗО
1117
1105
1093
1081
1070
1058
1047
1036
1026
1015
1005
6
1416
1397
1377
1359
1340
1323
1305
1289
1272
1256
1241
1225
1211
1196
1182
1168
1155
1142
1129
1116
1104
1092
1080
1068
1057
1046
1035
1025
1014
1004
7
1414
1395
1376
1357
1339
1321
1304
1287
1271
1255
1239
1224
1209
1195
1181
1167
1153
1140
1127
1115
1103
1091
1079
1067
1056
1045
1034
1024
1013
1003
8
1412
1393
1374
1355
1337
1319
1302
1285
1269
1253
1238
1222
1208
1193
1179
1166
1152
1139
1126
1114
1101
1089
1078
1066
1055
1044
1033
1022
1012
1002
9
1410
1391
1372
1353
1335
1318
1300
1284
1267
1252
1236
1221
1206
1192
1178
1164
1151
1138
1125
1112
1100
1088
1076
1065
1054
1043
1032
1021
1011
1001
Объяснения к таблице обратных
величин. В таблице 1.1.1.4 даны с четырьмя
знаками значения величин 10000: и для
трехзначных аргументов, заключенных между 1 и 10.
Каждое число в таблице помещено в строке,
соответствующей первым двум значащим цифрам
аргумента (указанным в столбце и), и в столбце,
соответствующем третьей цифре аргумента.
Например, 10000: 2,26 = 4425. Если аргумент дан с
четырьмя знаками, то необходимо прибегнуть
к линейной интерполяции. Следует обратить
внимание на то, что здесь интерполяционные
поправки не прибавляются, а вычитаются.
Помещенные в таблице числа можно
рассматривать как десятичные знаки, следующие за
запятой в дроби 1: п; например, 1: 2,26 = 0,4425.
Для нахождения 1: п при и > 10 и п < 1
принимают во внимание, что при умножении п на 10*
величина 1:и умножается на 10~\ т.е. перенос
запятой у п на. к разрядов вправо вызывает
перенос запятой у 1: п на к разрядов влево и наоборот.
Например, 1: 22,6 = 0,04425 и 1:0,0226 = 44,25.
1.1.1.5. Факториалы и обратные им величины.
Факториалы.
п
х
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п\
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
п\
39916800
479001600
6227020800
87178291200
1307674368000
20922789888000
355687428096000
6402373705728000
121645100408832000
2432902008176640000

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
33
Величины, о б р а 1 н ы е факториалам*)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*) Для
0,0<»24802.
1 п\
1,000000
0,500000
0,166667
0,041667
0,0283333
0,0213889
0,0319841
0,0*24802
0,0527557
0,0627557
п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
\:п\ применена сокращенная запись нулей
1 :я'
0,0725052
0,0820877
0,0916059
0,0^11471
0,01276472
0,01347795
0,01428115
0,0»515619
0,01782206
0,01841103
после запятой. Так, для 1
п
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
:8! вместо 0,000024802
0,01919573
0,02188968
0,02238682
0,02316117
0,02564470
0,02624796
0,02891837
0,02932799
0,03011310
0,03237700
написано
1.1.1.6. Некоторые степени чисел 2, 3 и 5.
/7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2"
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8 192
16 384
32768
65 536
131072
262 144
524288
1 048 576
3я
3
9
27
81
243
729
2187
6 561
19683
59049
177147
531441
1 594 323
4782969
14348907
43046721
129 140163
387420489
1 162261467
3486 784401
5"
5
25
125
625
3125
15625
78125
390625
1 953125
9765625
48 828125
244140625
1220703 125
6103 515625
30517578125
152 587 890625
762939453125
3 814697 265625 ,
19073486 328125
95 367431640625
1.1.1.7. Десятичные логарифмы.
Объяснения к таблицам
логарифмов и антилогарифмов. Таблица 1.1.1.7
служит для нахождения десятичных логарифмов
чисел. Сначала для данною числа находится
характеристика ei о логарифма, а затем мантисса
из таблицы. Для трехзначных чисел мантисса
находится на пересечении строки, в начале которой
(графа N) стоят две первые цифры данного числа,
и столбца, соответствующего третьей цифре
нашего числа. Если заданное число имеет больше
трех значащих цифр, необходимо применить
линейную интерполяцию. При этом
интерполяционная поправка находится только на четвертую
значащую цифру числа; поправку на пятую цифру
имеет смысл делать только тогда, когда первая
значащая цифра данного числа равна 1 или 2.
Пример lg 254,3 = 2,4053 (к 4048 нужно прибавить
0,3 17 = 5,1)
Для нахождения числа по его десятичному
логарифму служит таблица 1.1.1.8 (таблица анти-
2 И Н. Ьронилейн, К А Семендяев
логарифмов)*). Аргументом в этой таблице является
мантисса заданного логарифма. На пересечении
строки, которая определяется первыми двумя
цифрами мантиссы (графа т), и столбца,
соответствующего третьей цифре мантиссы, в таблице
антилогарифмов находится цифровой состав искомого
числа. На четвертую цифру мантиссы должна быть
внесена интерполяционная поправка.
Характеристика логарифма позволяет поставить в
полученном результате запятую.
Примеры. lgx= 1,2763; х = 18,89 (к найденному в
таблице значению 1888 прибавляется 0,3 • 4 = 1,2; в
полученном результате отделяются запятой два знака, так как
характеристика равна единице). Если \gx = 2,2763, то х = 0,01889.
Эти результаты могут быть записаны также следующим
образом: Ю1-2763 = 18,89; 10-7237 = 0,01889 (так как
2,2763=-1,7237).
*) Число у, десятичный логарифм которого равен х,
называют антилогарифмом х Со1ласно определению
логарифма, эта функция совпадает с показательной функцией
у = 10х

34
ТАБЛИЦЫ
Десятичные логарифмы
N
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
0
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
ЗОЮ
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
6990
7076
7160
7243
7324
1
0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
2330
2577
2810
3032
3243
3444
3636
3820
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
6138
6243
6345
6444
6542
6637
6730
6821
6911
6998
7084
7168
7251
7332
2
0086
0492
0864
1206
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
6149
6253
6355
6454
6551
6646
6739
6830
6920
7007
7093
7177
7259
7340
3
0128
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
6561
6656
6749
6839
6928
7016
7101
7185
7267
7348
4
0170
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
6571
6665
6758
6848
6937
7024
7110
7193
7275
7356
5
0212
0607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6580
6675
6767
6857
6946
7033
7118
7202
7284
7364
6
0253
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564
4713
4857
4997
5112
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6294
6395
6493
6590
6684
6776
6866
6955
" 7042
7126
7210
7292
7372
7
0294
0682
1038
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6201
6304
6405
6503
6599
6693
6785
6875
6964
7050
7135
7218
7300
7380
8
0334
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107
6212
6314
6415
6513
6609
6702
6794
6884
6972
7059
7143
7226
7308
7388
9
0374
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
6618
6712
6803
6893
6981
7067
7152
7235
7316
7396

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
35
Продолжение
N
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
' 77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
1
7412
7490
7566
7642
7716 '
7789
7860
7931
8000
8069
8136
8202
8267
8331
8395
8457
8519
8579
8639
8698
8756
8814
8871
8927
8982
9036
9090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
9689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
2
7419
7497
7574
7649
7723
7796
7868
7938
8007
8075
8142
8209
8274
8338
8401
8463
8525
8585
8645
8704
8762
8820
8876
8932
8987
9042
9096
9149
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
3
7427
7505
7582
7657
7731
7803
7875
7945
8014
8082
8149
8215
8280
8344
8407
8470
8531
8591
8651
8710
8768
8825
8882
8938
8993
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
4
7435
7513
7589
7664
7738
7810
7882
7952
8021
8089
8156
8222
8287
8351
8414
8476
8537
8597
8657
8716
8774
8831
8887
8943
8998
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
9841
9886
9930
9974
5
7443
7520
7597
7672
7745
7818
7889
7959
8028
8096
8162
8228
8293
8357
8420
8482
8543
8603
8663
8722
8779
8837
8893
8949
9004
9058
9112
9165
9217
9269
9320
9370
9420
9469
9518
9566
9614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
6
7451
7528
7604
7679
7752
7825
7896
7966
8035
8102
8169
8235
8299
8363
8426
8488
8549
8609
8669
8727
8785
8842
8899
8954
9009
9063
9117
9170
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
9571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
7
7459
7536
7612
7686
7760
7832
7903
7973
8041
8109
8176
8241
8306
8370
8432
8494
8555
8615
8675
8733
8791
8848
8904
8960
9015
9069
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9523
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
8
7466
7543
7619
7694
7767
7839
7910
7980
8048
8116
8182
8248
8312
8376
8439
8500
8561
8621
8681
8739
8797
8854
8910
8965
9020
9074
9128
9180
9232
9284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
9
7474
7551
7627
7701
7774
7846
7917
- 7987
8055
8122
8189
8254
8319
8382
8445
8506
8567
8627
8686
8745
8802
8859
8915
8971
9025
9079
9133
9186
9238
9289
9340
9390
9440
9489
9538
9586
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9952
9996

36
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.8.
т
00
01
02
03 '
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Антило! арифмы.
0
1000
1023
1047
1072
1096
1122
1148
1175
1202
1230
1259
1288
1318
1349
1380
1413
1445
1479
1514
1549
1585
1622
1660
1698
1738
1778
1820
1862
1905
1950
1995
2042
2089
2138
2188
2239
2291
2344
2399
2455
2512
2570
2630
2692
2754
2818
2884
2951
3020
3090
1
1002
1026
1050
1074
1099
1125
1151
1178
1205
1233
1262
1291
1321
1352
1384
1416
1449
1483
1517
1552
1589
1626
1663
1702
1742
1782
1824
1866
1910
1954
2000
2046
2094
2143
2193
2244
2296
2350
2404
2460
2518
2576
2636
2698
2761
2825
2891
2958
3027
3097
2
1005
1028
1052
1076
1102
1127
1153
1180
1208
1236
1265
1294
1324
1355
1387
1419
1452
1486
1521
1556
1592
1629
1667
1706
1746
1786
1828
1871
1914
1959
2004
2051
2099
2148
2198
2249
2301
2355
2410
2466
2523
2582
2642
2704
2767
2831
2897
2965
3034
3105
3
1007
1030
1054
1079
1104
ИЗО
1156
1183
1211
1239
1268
1297
1327
1358
1390
1422
1455
1489
1524
1560
1596
1633
1671
1710
1750
1791
1832
1875
1919
1963
2009
2056
2104
2153
2203
2254
2307
2360
2415
2472
2529
2588
2649
2710
2773
2838
2904
2972
3041
3112
4
1009
1033
1057
1081
1107
1132
1159
1186
1213
1242
1271
1300
1330
1361
1393
142(;
1459
1493
1528
1563
1600
1637
1675
1714
1754
1795
1837
1879
1923
1968
2014
2061
2109
2158
2208
2259
2312
2366
2421
2477
2535
2594
2655
2716
2780
2844
2911
2979
3048
3119
5
1012
1035
1059
1084
1109
1135
1161
1189
• 1216
1245
1274
1303
1334
1365
1396
1429
1462
1496
1531
1567
1603
1641
1679
1718
1758
1799
1841
1884
1928
1972
2018
2065
2113
2163
2213
2265
2317
2371
2427
2483
2541
2600
2661
2723
2786
2851
2917
2985
3055
3126
6
1014
1038
1062
1086
1112
1138
1164
1191
1219
1247
1276
1306
1337
1368
1400
1432
1466
1500
1535
1570
1607
1644
1683
1722
1762
1803
1845
1888
1932
1977
2023
2070
2118
2168
2218
2270
2323
2377
2432
2489
2547
2606
2667
2729
2793
2858
2924
2992
3062
3133
7
1016
1040
1064
1089
1114
1140
1167
1194
1222
1250
1279
1309
1340
1371
1403
1435
1469
1503
1538
1574
1611
1648
1687
1726
1766
1807
1849
1892
1936
1982
2028
2075
2123
2173
2223
2275
2328
2382
2438
2495
2553
2612
2673
2735
2799
2864
2931
2999
3069
3141
8
1019
1042
1067
1091
1117
1143
1169
1197
1225
1253
1282
1312
1343
1374
1406
1439
1472
1507
1542
1578
1614
1652
1690
1730
1770
1811
1854
1897
1941
1986
2032
2080
2128
2178
2228
2280
2333
2388
2443
2500
2559
2618
2679
2742
2805
2871
2938
3006
3076
3148
9
1021
1045
1069
1094
1119
1146
1172
1199
1227
1256
1285
1315
1346
1377
1409
1442
1476
1510
1545
1581
1618
1656
1694
1734
1774
1816
1858
1901
1945
1991
20Я7
2084
2133
2183
2234
2286
2339
2393
2449
2506
2564
2624
2685
2748
2812
2877
2944
3013
3083
3155

АНТИЛОГАРИФМЫ
37
Продолжение
т
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
3162
3236
3311
3388
3467
3548
3631
3715
3802
3890
3981
4074
4169
4266
4365
4467
4571
4677
4786
4898
5012
5129
5248
5370
5495
5623
5754
5888
6026
6166
6310
6457
6607
6761
6918
7079
7244
7413
7586
7762
7943
8128
8318
8511
8710
8913
9120
9333
9550
9772
1
3170
3243
3319
3396
3475
3556
3639
3724
3811
3899
3990
4083
4178
4276
4375
4477
4581
4688
4797
4909
5023
5140
5260
5383
5508
5636
5768
5902
6039
6180
6324
6471
6622
6776
6934
7096
7261
7430
7603
7780
7962
8147
8337
8531
8730
8933
9141
9354
9572
9795
2
3177
3251
3327
3404
3483
3565
3648
3733
3819
3908
3999
4093
4188
4285
4385
4487
4592
4699
4808
4920
5035
5152
5272
5395
5521
5649
5781
5916
6053
6194
6339
6486
6637
6792
6950
7112
7278
7447
7621
7798
7980
8166
8356
8551
8750
8954
9162
9376
9594
9817
3
3184
3258
3334
3412
3491
3573
3656
3741
3828
3917
4009
4102
4198
4295
4395
4498
4603
4710
4819
4932
5047
5164
5284
5408
5534
5662
5794
5929
6067
6209
6353
6501
6653
6808
6966
7129
7295
7464
7638
7816
7998
8185
8375
8570
8770
8974
9183
9397
9616
9840
4
3192
3266
3342
3420
3499
3581
3664
3750
3837
3926
4018
4111
4207
4305
4406
4508
4613
4721
4831
4943
5058
5176
5297
5420
5546
5675
5808
5943
6081
6223
6368
6516
6668
6823
6982
7145
7311
7482
7656
7834
8017
8204
8395
8590 '
8790
8995
9204
9419
9638
9863
5
3199
3273
3350
3428
3508
3589
3673
3758
3846
3936
4027
' 4121
4217
4315
4416
4519
4624
4732
4842
4955
5070
5188
5309
5433
5559
5689
5821
5957
6095
6237
6383
6531
6683
6839
6998
7161
7328
7499
7674
7852
8035
8222
8414
8610
8810
9016
9226
9441
9661
9886
6
3206
3281
3357
3436
3516
3597
3681
3767
3855
3945
4036
4130
4227
4325
4426
4529
4634
4742
4853
4966
5082
5200
5321
5445
5572
5702
5834
5970
6109
6252
6397
6546
6699
6855
7015
7178
7345
7516
7691
7870
8054
8241
8433
8630
8831
9036
9247
9462
9683
9908
7
3214
3289
3365
3443
3524
3606
3690
3776
3864
3954
4046
4140
4236
4335
4436
4539
4645
4753
4864
4977
5093
5212
5333
5458
5585
5715
5848
5984
6124
6266
6412
6561
6714
6871
7031
7194
7362
7534
7709
7889
8072
8260
8453
8650
8851
9057
9268
9484
9705
9931
8
3221
3296
3373
3451
3532
3614
3698
3784
3873
3963
4055
4150
4246
4345
4446
4550
4656
4764
4875
4989
5105
5224
5346
5470
5598
5728
5861
5998
6138
6281
6427
6577
6730
6887
7047
7211
7379
7551
7727
7907
8091
8279
8472
8670
8872
9078
9290
9506
9727
9954
9
3228
3304
3381
3459
3540
3622
3707
3793
3882
3972
4064
4159
4256
4355
4457
4560
4667
4775
4887
5000
5117
5236
5358
5483
5610
5741
5875
6012
6152
6295
6442
6592
6745
6902
7063
7228
7396
7568
7745
7925
8110
8299
8492
8690
8892
9099
9311
9528
9750
9977

38
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.9. Натуральные значения тригонометрических функций.
Угловой радиус разделен на шесть частей: шаг 10'.)
СИНУСЫ
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0'
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2519
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,500Q
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
60'
10'
0,0029
0,0204
0,0378
0,0552
0,0727
0,0901
0,1074
0,1248
0,1421
0,1593
0,1765
0,1937
0,2108
0,2278
0,2447
0,2616
0,2784
0,2952
0,3118
0,3283
0,3448
0,3611
0,3773
0,3934
0,4094
0,4253
0,4410
0,4566
0,4720
0,4874
0,5025
0,5175
0,5324
0,5471
0,5616
0,5760
0,5901
0,6041
0,6180
0,6316
0,6450
0,6583
0,6713
0,6841
0,6967
0,7092
50'
20'
0,0058
0,0223
0,0407
0,0581
0,0756
0,0929
0,1103
0,1276
0,1449
0,1622
0,1794
0,1965
0,2136
0,2306
0,2476
0,2644
0,2812
0,2979
0,3145
0,3311
0,3475
0,3638
0,3800
0,3961
0,4120
0,4279
0,4436
0,4592
0,4746
0,4899
0,5050
0,5200
0,5348
0,5495
0,5640
0,5783
0,5925
0,6065
0,6202
0,6338
0,6472
0,6604
0,6734
0,6862
0,6988
0,7112
40'
30'
0,0087
0,0262
0,0436
0,0610
0,0785
0,0958
0,1132
0,1305
0,1478
0,1650
0,1822
0,1994
0,2164
0,2334
0,2504
0,2672
0,2840
0,3007
0,3173
0,3338
0,3502
0,3665
0,3827
0,3987
0,4147
0,4305
0,4462
0,4617
0,4772
0,4924
0,5075
0,5225
0,5373
0,5519
0,5664
0,5807
0,5948
0,6088
0,6225
0,6361
0,6494
0,6626
0,6756
0,6884
0,7009
0,7133
30'
40'
0,0116
0,0291
0,0465
0,0640
0,0814
0,0987
0,1161
0,1334
0,1507
0,1679
0,1851
0,2022
0,2193
0,2363
0,2532
0,2700
0,2868
0,3035
0,3201
0,3365
0,3529
0,3692
0,3854
0,4014
0,4173
0,4331
0,4488
0,4643
0,4797
0,4950
0,5100
0,5250
0,5398
0,5544
0,5688
0,5831
0,5972
0,6111
0,6248
0,6383
0,6517
0,6648
0,6777
0,6905
0,7030
0,7153
20'
50'
0,0145
0,0320
0,0494
0,0669
0,0843
0,1016
0,1190
0,1363
0,1536
0,1708
0,1880
0,2051
0,2221
0,2391
0,2560
0,2728
0,2896
0,3062
0,3228
0,3393
0,3557
0,3719
0,3881
0,4041
0,4200
0,4358
0,4514
0,4669
0,4823
0,4975
0,5125
0,5275
0,5422
0,5568
0,5712
0,5854
0,5995
0,6134
0,6271
0,6406
0,6539
0,6670
0,6799
0,6926
0,7050
0,7173
10'
60'
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7193
0'
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
Градусы
КОСИНУСЫ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
39
СИНУСЫ
Градусы
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0'
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
60'
10'
0,7092
0,7214
0,7333
0,7451
0,7566
0,7679
0,7790
0,7898
0,8004
0,8107
0,8208
0,8307
0,8403
0,8496
0,8587
0,8675
0,8760
0,8843
0,8923
0,9001
0,9075
0,9147
0,9216
0,9283
0,9346
0,9407
0,9465
0,9520
0,9572
0,9621
0,966,7
0,9710
0,9750
0,9787
0,9822
0,9853
0,9881
0,9907
0,9929
0,9948
0,9964
0,9978
0,9988
0,9995
0,9999
50'
20'
0,7112
0,7234
0,7353
0,7470
0,7585
0,7698
0,7808
0,7916
0,8021
0,8124
0,8225
0,8323
0,8418
0,8511
0,8601
0,8689
0,8774
0,8857
0,8936
0,9013
0,9088
0,9159
0,9228
0,9293
0,9356
0,9417
0,9474
0,9528
0,9580
0,9628
0,9674
0,9717
0,9757
0,9793
0,9827
0,9858
0,9886
0,9911
0,9932
0,9951
0,9967
0,9980
0,9989
0,9996
0,9999
40'
30'
0,7133
0,7254
0,7373
0,7490
0,7604
0,7716
0,7826
0,7934
0,8039
0,8141
0,8241
0,8339
0,8434
0,8526
0,8616
0,8704
0,8788
0,8870
0,8936
0,9026
0,9100
0,9171
0,9239
0,9304
0,9367
0,9426
0,9483
0,9537
0,9588
0,9636
0,9681
0,9724
0,9763
0,9799
0,9833
0,9863
0,9890
0,9914
0,9936
0,9954
0,9969
0,9981
0,9990
0,9997
1,0000
30'
40'
0,7153
0,7274
0,7392
0,7509
0,7623
0,7735
0,7844
0,7951
0,8056
0,8158
0,8258
0,8355
0,8450
0,8542
0,8631
0,8718
0,8802
0,8884
0,8962
0,9038
0,9112
0,9182
0,9250
0,9315
0,9377
0,9436
0,9492
0,9546
0,9596
0,9644
0,9689
0,9730
0,9769
0,9805
0,9838
0,9868
0,9894
0,9918
0,9939
0,9957
0,9971
0,9983
0,9992
0,9997
1,0000
20'
50'
0,7173
0,7294
0,7412
0,7528
0,7642
0,7753
0,7862
0,7969
0,8073
0,8175
0,8274
0,8371
0,8465
0,8557
0,8646
0,8732
0,8816
0,8897
0,8975
0,9051
0,9124
0,9194
0,9261
0,9325
0,9387
0,9446
0,9502
0,9555
0,9605
0,9652
0,9696
0,9737
0,9775
0,9811
0,9843
0,9872
0,9899
0,9922
0,9942
0,9959
0,9974
0,9985
0,9993
0,9998
1,0000
10'
60'
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
0'
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Градусы
КОСИНУСЫ

40
ТАБЛИЦЫ
ТАНГЕНСЫ
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
J3
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0'
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
60'
10'
0,0029
0,0204
0,0378
0,0553
0,0729
0,0904
0,1080
0,1257
0,1435
0,1614
0,1793
0,1974
0,2156
0,2339
0,2524
0,2711
0,2899
0,3089
0,3281
0,3476
0,3673
0,3872
0,4074
0,4279
0,4487
0,4699
0,4913
0,5132
0,5354
0,5581
0,5812
0,6048
0,6289
0,6536
0,6787
0,7046
0,7310
0,7581
0,7860
0,8146
0,8441
0,8744
0,9057
0,9380
0,9713
1,0058
50'
20'
0,0058
0,0233
0,0407
0,0582
0,0758
0,0934
0,1110
0,1287
0,1465
0,1644
0,1823
0,2004
0,2186
0,2370
0,2555
0,2742
0,2931
0,3121
0,3314
0,3508
0,3706
0,3906
0,4108
0,4314
0,4522
0,4734
0,4950
0,5169
0,5392
0,5619
0,5851
0,6088
0,6330
0,6577
0,6830
0,7089
0,7355
0,7627
0,7907
0,8195
0,8491
0,8796
0,9110
0,9435
0,9770
1,0117
40'
30'
0,0087
0,0262
0,0437
0,0612
0,0787
0,0963
0,1139
0,1317
0,1495
0,1673
0,1853
0,2035
0,2217
0,2401
0,2586
0,2773
0,2962
0,3153
0,3346
0,3541
0,3739
0,3939
0,4142
0,4348
0,4557
0,4770
0,4986
0,5206
0,5430
0,5658 '
0,5890
0,6128
0,6371
0,6619
0,6873
0,7133
0,7400
0,7673
0,7954
0,8243
0,8541
0,8847
0,9163
0,9490
0,9827
1,0176
30'
40'
0,0116
0,0291
0,0466
0,0641
0,0816
0,0992
0,1169
0,1346
0,1524
0,1703
0,1883
0,2065
0,2247
0,2432
0,2617
0,2805
0,2994
0,3185
0,3378
0,3574
0,3772
0,3973
0,4176
0,4383
0,4592
0,4806
0,5022
0,5243
0,5467
0,5696
0,5930
0,6168
0,6412
0,6661
0,6916
0,7177
0,7445
0,7720
0,8002
0,8292
0,8591
0,8899
0,9217
0,9545
0,9884
1,0235
20'
50'
0,0145
0,0320
0,0495
0,0670
0,0846
0,1022
0,1198
0,1376
0,1554
0,1733
0,1914
0,2095
0,2278
0,2462
0,2648
0,2836
0,3026
0,3217
0,3411
0,3607
0,3805
0,4006
0,4210
0,4417
0,4628
0,4841
0,5059
0,5280
0,5505
0,5735
0,5969
0,6208
0,6453
0,6703
0,6959
0,7221
0,7490
0,7766
0,8050
0,8342
0,8642
0,8952
0,9271
0,9601
0,9942
1,0295
10'
60'
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
1,0355
0'
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
Градусы
КОТАНГЕНСЫ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
41
ТАНГЕНСЫ
Градусы
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
¦ 55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0'
,000
,036
,072
,111
,150
,192
.235
,280
,327
,376
1,428
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
14,301
19,081
28,636
57.290
60'
10'
1,006
1,042
1,079
,117
,157
,199
,242
,288
,335
,385
1,437
1,492
1,550
1,611
1,675
1,744
1,816
1,894
1,977
2,066
2,161
2,264
2,375
2,496
2,628
2,773
2,932
3,108
3,305
3,526
3,776
4,061
4,390
4,773
5,226
5,769
6,435
7,269
8,345
9,788
11,826
14,924
20,206
31,242
68,750
50'
20'
1,012
1.048
1,085
1,124
1,164
1,206
,250
.295
,343
,394
,446
,501
,560
1,621
1,686
1,756
1,829
1,907
1,991
2,081
2,177
2,282
2,394
2,517
2,651
2,798
2,960
3,140
3,340
3,566
3,821
4,113
4,449
4,843
5,309
5,871
6,561
7,429
8,556
10,078
12,251
15,605
21,470
34,368
85,940
40'
30'
,018
.054
,091
,130
,171
,213
,257
,303
,351
,402
1,455
1,511
1.570
1 6^2
1,69<S
1.767
1,842
1,921
2,006
2,097
2,194
2,300
2,414
2,539
2,675
2,824
2,989
3,172
3,376
3,606
3,867
4,165
4,511
4,915
5,396
5,976
6,691
7,596
8,777
10,385
12,706
16,350
22,904
38,188
114,59
30'
40'
1,024
1,060
1,098
1,137
1,178
1,220
1,265
1,311
1,360
1,411
1,464
1,520
1,580
1,643
1,709
1.780
1,855
1,935
2,020
2,112
2.211
2,318
2,434
2,560
2,699
2,850
3,018
3,204
3,412
3,647
3,914
4,219
4,574
4,989
5,485
6,084
6,827
7,770
9,010
10,712
13,197
17,169
24,542
42,964
171,89
20'
50'
1,030
1,066
1,104
1,144
1,185
1,228
1,272
1,319
1,368
1,419
1,473
1,530
1,590
1,653
1,720
1,792
1,868
1,949
2,035
2,128
2,229
2.337
2.455
2,583
2,723
2,877
3,047
3,237
3,450
3,689
3,962
4,275
4.638
5,066
5,576
6.197
6,968
7,953
9,255
11,059
13,727
18,075
26,432
49,104
343,77
10'
60'
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428 -
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
6.314
7,115
8,144
9,514
11,430
14,301
19,081
28,636
57,290
X
0'
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Градусы
КОТАНГЕНСЫ

42
ТАБЛИЦЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (ШАГ 0,1 °)
СИНУСЫ
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
1
Градусы
0,1
0,0017
0,0192
0,0366
0,0541
0,0715
0,0889
0,1063
0,1236
0,1409
0,1582
0,1754
0,1925
0,2096
0,2267
0,2436
0,2605
0,2773
0,2940
0,3107
0,3272
0,3437
0,3600
0,3762
0,3923
0,4083
0,4242
0,4399
0,4555
0,4710
0,4863
0,5015
0,5165
0,5314
0,5461
0,5606
0,5750
0,5892
0,6032
0,6170
0,6307
0,6441
0,6574
0,6704
0,6833
0,6959
0,7083
0,9
0,2
0,0035
0,0209
0,0384
0,0558
0,0732
0,0906
0,1080
0,1253
0,1426
0,1599
0,1771
0,1942
0,2113
0,2284
0,2453
0,2622
0,2790
0,2957
0,3123
0,3289
0,3453
0,3616
0,3778
0,3939
0,4099
0,4258
0,4415
0,4571
0,4726
0,4879
0,5030
0,5180
0,5329
0,5476
0,5621
0,5764
0,5906
0,6046
0,6184
0,6320
0,6455
0,6587
0,6717
0,6845
0,6972
0,7096
0,8
0,3
0,0052
0,0227
0,0401
0,0576
0,0750
0,0924
0,1097
0,1271
0,1444
0,1616
0,1788
0,1959
0,2130
0,2300
0,2470
0,2639
0,2807
0,2974
0,3140
0,3305
0,3469
0,3633
0,3795
0,3955
0,4115
0,4274
0,4431
0,4586
0,4741
0,4894
0,5045
0,5195
0,5344
0,5490
0,5635
0,5779
0,5920
0,6060
0,6198
0,6334
0,6468
0,6600
0,6730
0,6858
0,6984
0,7108
0,7
0,4
0,0070
0,0244
0,0419
0,0593
0,0767
0,0941
0,1115
0,1288
0,1461
0,1633
0,1805
0,1977
0,2147
0,2317
0,2487
0,2656
0,2823
0,2990
0,3156
0,3322
0,3486
0,3649
0,3811
0,3971
0,4131
0,4289
0,4446
0,4602
0,4756
0,4909
0,5060
0,5210
0,5358
0,5505
0,5650
0,5793
0,5934
0,6074
0,6211
0,6247
0,6481
0,6613
0,6743
0,6871
0,6997
0,7120
0,6
0,5
0,0087
0,0262
0,0436
0,0610
0,0785
0,0958
0,1132
0,1305
0,1478
0,1650
0,1822
0,1994
0,2164
0,2334
0,2504
0,2672
0,2840
0,3007
0,3173
0,3338
0,3502
0,3665
0,3827
0,3987
0,4147
0,4305
0,4462
0,4617
0,4772
0,4924
0,5075
0,5225
0,5373
0,5519
0,5664
0,5807
0,5948
0,6088
0,6225
0,6361
0,6494
0,6626
0,6756»
0,6884
0,7009
0,7133
0,5
0,6
0,0105
0,0279
0,0454
0,0628
0,0802
0,0976
0,1149
0,1323
0,1495
0,1668
0,1840
0,2011
0,2181
0,2351
0,2521
0,2689
0,2857
0,3024
0,3190
0,3355
0,3518
0,3681
0,3843
0,4003
0,4163
0,4321
0,4478
0,4633
0,4787
0,4939
0,5090
0,5240
0,5388
0,5534
0,5678
0,5821
0,5962
0,6101
0,6239
0,6374
0,6508
0,6639
0,6769
0,6896
0,7022
0,7145
0,4
0,7
0,0122
0,0297
0,0471
0,0645
0,0819
0,0993
0,1167
0,1340
0,1513
0,1685
0,1957
0,2028
0,2198
0,2368
0,2538
0,2706
0,2874
0,3040
0,3206
0,3371
0,3535
0,3697
0,3859
0,4019
0,4179
0,4337
0,4493
0,4648
0,4802
0,4955
0,5105
0,5255
0,5402
0,5548
0,5693
0,5835
0,5976
0,6115
0,6252
0,6388
0,6521
0,6652
0,6782
0,6909
0,7034
0,7157
0,3
0,8
0,0140
0,0314
0,0488
0,0663
0,0837
0,1011
0,1184
0,1357
0,1530
0,1702
0,1874
0,2045
0,2215
0,2385
0,2554
0,2723
0,2890
0,3057
0,3223
0,3387
0,3551
0,3714
0,3875
0,4035
0,4195
0,4352
0,4509
0,4664
0,4818
0,4970
0,5120
0,5270
0,5417
0,5563
0,5707
0,5850
0,5990
0,6129
0,6266
0,6401
0,6534
0,6665
0,6794
0,6921
0,7046
0,7169
0,2
0,9
0,0157
0,0332
0,0506
0,0680
0,0854
0,1028
0,1201
0,1374
0,1547
0,1719
0,1891
0,2062
0,2233
0,2402
0,2571
0,2740
0,2907
0,3074
0,3239
0,3404
0,3567
0,3730
0,3891
0,4051
0,4210
0,4368
0,4524
0,4679
0,4833
0,4985
0,5135
0,5284
0,5432
0,5577
0,5721
0,5864
0,6004
0,6143
0,6280
0,6414
0,6547
0,6678
0,6807
0,6934
0,7059
0,7181
, 0,1
1
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7193
0
Градусы
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
Градусы
КОСИНУСЫ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
43
СИНУСЫ
Градусы
45
46
47
48
49
50
51
52
53
.54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
' 0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1
0,1
0,7083
0,7206
0,7325
0,7443
0,7559
0,7672
0,7782
0,7891
0,7997
0,8100
0,8202
0,8300
0,8396
0,8490
0,8581
0,8669
0,8755
0,8838
0,8918
0,8996
0,9070
0,9143
0,9212
0,9278
0,9342
0,9403
0,9461
0,9516
0,9568
0,9617
0,9664
0,9707
0,9748
0,9785
0,9820
0,9851
0,9880
0,9905
0,9928
0,9947
0,9963
0,9977
0,9987
0,9995
0,9999
0,9
0,2
0,7096
0,7218
0,7337
0,7455
0,7570
0,7683
0,7793
0,7902
0,8007
0,8111
0,8211
0,8310
0,8406
0,8499
0,8590
0,8678
0,8763
0,8846
0,8926
0,9003
0,9078
0,9150
0,9219
0,9285
0,9348
0,9409
0,9466
0,9521
0,9573
0,9622
Х),9668
0,9711
0,9751
0,9789
0,9823
0,9854
0,9882
0,9907
0,9930
0,9949
0,9965
0,9978
0,9988
0,9995
0,9999
0,8
0,3
0,7108
0,7230
0,7349
0,7466
0,7581
0,7694
0,7804
0,7912
0,8018
0,8121
0,8221
0,8320
0,8415
0,8508
0,8599
0,8686
0,8771
0,8854
0,8934
0,9011
0,9085
0,9157
0,9225
0,9291
0,9354
0,9415
0,9472
0,9527
0,9578
0,9627
0,9673
0,9715
0,9755
0,9792
0,9826
0,9857
0,9885
0,9910
0,9932
0,9951
0,9966
0,9979
0,9989
0,9996
0,9999
0,7
0,4
0,7120
0,7242
0,7361
0,7478
0,7593
0,7705
0,7815
0,7923
0,8028
0,8131
0,8231
0,8329
0,8425
0,8517
0,8607
0,8695
0,8780
0,8862
0,8942
0,9018
0,9092
0,9164
0,9232
0,9298
0,9361
0,9421
0,9478
0,9532
0,9583
0,9632
0,9677
0,9720
0,9759
0,9796
0,9829
0,9860
0,9888
0,9912
0,9934
0,9952
0,9968
0,9980
0,9990
0,9996
0,9999
0,6
Градусы
0,5
0,7133
0,7254
0,7373
0,7490
0,7604
0,7716
0,7826
0,7934
0,8039
0,8141
0,8241
0,8339
0,8434
0,8526
0,8616
0,8704
0,8788
0,8870
0,8949
0,9026
0,9100
0,9171
0,9239
0,9304
0,9367
0,9426
0,9483
0,9537
0,9588
0,9636
0,9681
0,9724
0,9763
0,9799
0,9833
0,9863
0,9890
0,9914
0,9936
0,9954
0,9969
0,9981
0,9990
0,9997
1,0000
0,5
0,6
0,7145
0,7266
0,7385
0,7501
0,7615
0,7727
0,7837
0,7944
0,8049
0,8151
0,8251
0,8348
0,8443
0,8536
0,8625
0,8712
0,8796
0,8878
0,8957
0,9033
0,9107
0,9178
0,9245
0,9311
0,9373
0,9432
0,9489
0,9542
0,9593
0,9641
0,9686
0,9728
0,9767
0,9803
0,9836
0,9866
0,9893
0,9917
0,9938
0,9956
0,9971
0,9982
0,9991
0,9997
1,0000
0,4
0,7
0,7157
0,7278
0,7396
0,7513
0,7627
0,7738
0,7848
0,7955
0,8059
0,8161
0,8261
0,8358
0,8453
0,8545
0,8634
0,8721
0,8805
0,8886
0,8965
0,9041
0,9114
0,9184
0,9252
0,9317
0,9379
0,9438
0,9494
0,9548
0,9598
0,9646
0,9690
0,9732
0,9770
0,9806
0,9839
0,9869
0,9895
0,9919
0,9940
0,9957
0,9972
0,9983
0,9992
0,9997
1,0000
0,3
0,8
0,7169
0,7290
0,7408
0,7524
0,7638
0,7749
0,7859
0,7965
0,8070
0,8171
0,8271
0,8368
0,8462
0,8554
0,8643
0,8729
0,8813
0,8894
0,8972
0,9048
0,9121
0,9191
0,9259
0,9323
0,9385
0,9444
0,9500
0,9553
0,9603
0,9650
0,9694
0,9736
0,9774
0,9810
0,9842_
0,9871
0,9888
0,9921
0,9942
0,9959
0,9973
0,9984
0,9993
0,9998
1,0000
0,2
0,9
0,7181
0,7302
0,7420
0,7536
0,7649
0,7760
0,7869
0,7976
0,8080
0,8181
0,8281
0,8377
0,8471
0,8563
0,8652
0,8738
0,8821
0,8902
0,8980
0,9056
0,9128
0,9198
0,9265
0,9330
0,9391
0,9449
0,9505
0,9558
0,9608
0,9655
0,9699
0,9740
0,9778
0,9813
0,9845
0,9874
0,9900
0,9923
0,9943
0,9960
0,9974
0,9985
0,9993
0,9998
1,0000
0,1
1
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
0
Градусы
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Градусы
КОСИНУСЫ

44
ТАБЛИЦЫ
ТАНГЕНСЫ
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
1
0,1
0,0017
0,0192
0,0367
0,0542
0,0717
0,0892
0,1069
0,1246
0,1423
0,1602
0,1781
0,1962
0,2144
0,2327
0,2512
0,2698
0,2886
0,3076
0,3269
0,3463
0,3659
0,3859
0,4061
0,4265
0,4473
0,4684
0,4899
0,5117
0,5340
0,5566
0,5797
0,6032
0,6273
0,6519
0,6771
0,7028
0,7292
0,7563
0,7841
0,8127
0,8421
0,8724
0,9036
0,9358
0,9691
1,0035
0,9
0,2
0,0035
0,0209
0,0384
0,0559
0,0734
0,0910
0,1086
0,1263
0,1441
0,1620
0,1799
0,1980
0,2162
0,2345
0,2530
0,2717
0,2905
0,3096
0,3288
0,3482
0,3679
0,3879
0,4081
0,4286
0,4494
0,4706
0,4921
0,5139
0,5362
0,5589
0,5820
0,6056
0,6297
0,6544
0,6796
0,7054
0,7319
0,7590
0,7869
0,8156
0,8451
0,8754
0,9067
0,9391
0,9725
1,0070
0,8
0,3
0,0052
0,0227
0,0402
0,0577
0,0752
0,0928
0,1104
0,1281
0,1459
0,1638
0,1817
0,1998
0,2180
0,2364
0,2549
0,2736
0,2924
0,3115
0,3307
0,3502
0,3699
0,3899
0,4101
0,4307
0,4515
0,4727
0,4942
0,5161
0,5384
0,5612
0,5844
0,6080
0,6322
0,6569
0,6822
0,7080
0,7346
0,7618
0,7898
0,8185
0,8481
0,8785
0,9099
0,9424
0,9759
1,0105
0,7
0,4
0,0070
0,0244
0,0419
0,0594
0,0769
0,0945
0,1122
0,1299
0,1477
0,1655
0,1835
0,2016
0,2199
0,2382
0,2568
0,2754
0,2943
0,3134
0,3327
0,3522
0,3719
0,3919
0,4122
0,4327
0,4536
0,4748
0,4964
0,5184
0,5407
0,5635
0,5867
0,6104
0,6346
0,6594
0,6847
0,7107
0,7373
0,7646
0,7926
0,8214
0,8511
0,8816
0,9131
0,9457
0,9793
1,0141
0,6
Градусы
0,5
0,0087
0,0262
0,0437
0,0612
0,0787
0,0963
0,1139
0,1317
0,1495
0,1673
0,1853
0,2035
0,2217
0,2401
0,2586
0,2773
0,2962
0,3153
0,3346
0,3541
0,3739
0,3939
0,4142
0,4348
0,4557
0,4770
0,4986
0,5206
0,5430
0,5658
0,5890
0,6128
0,6371
0,6619
0,6873
0,7133
0,7400
0,7673
0,7954
0,8243
0,8541
0,8847
0,9163
0,9490
0,9827
1,0176
0,5
0,6
0,0105
0,0279
0,0454
0,0629
0,0805
0,0981
0,1157
0,1334
0,1512
0,1691
0,1871
0,2053
0,2235
0,2419
0,2605
0,2792
0,2981
0,3172
0,3365
0,3561
0,3759
0,3959
0,4163
0,4369
0,4578
0,4791
0,5008
0,5228
0,5452
0,5681
0,5914
0,6152
0,6395
0,6644
0,6899
0,7159
0,7427
0,7701
0,7983
0,8273
0,8571
0,8878
0,9195
0,9523
0,9861
1,0212
0,4
0,7
0,0122
0,0297
0,0472
0,0647
0,0822
0,0998
0,1175
0,1352
0,1530
0,1709
0,1890
0,2071
0,2254
0,2438
0,2623
0,2811
0,3000
0,3191
0,3385
0,3581
0,3779
0,3979
0,4183
0,4390
0,4599
0,4813
0,5029
0,5250
0,5475
0,5704
0,5938
0,6176
0,6420
0,6669
0,6924
0,7186
0,7454
0,7729
0,8012
0,8302
0,8601
0,8910
0,9228
0,9556
0,9896
1,0247
0,3
0,8
0,0140
0,0344
0,0489
0,0664
0,0840
0,1016
0,1192
0,1370
0,1548
0,1727
0,1908
0,2089
0,2272
0,2456
0,2642
0,2830
0,3010
0,3211
0,3404
0,3600
0,3799
0,4000
0,4204
0,4411
0,4621
0,4834
0,5051
0,5272
0,5498
0,5727
0,5961
0,6200
0,6445
0,6694
0,6950
0,7212
0,7481
0,7757
0,8040
0,8332
0,8632
0,8941
0,9260
0,9590
0,9930
1,0283
0,2
0,9
0,0157
0,0332
0,0507
0,0682
0,0857
0,1033
0,1210
0,1388
0,1566
0,1745
0,1926
0,2107
0,2290
0,2475
0,2661
0,2849
0,3038
0,3230
0,3424
0,3620
0,3819
0,4020
0,4224
0,4431
0,4642
0,4856
0,5073
0,5295
0,5520
0,5750
0,5985
0,6224
0,6469
0,6720
0,6976
0,7239
0,7508
0,7785
0,8069
0,8361
0,8662
0,8972
0,9293
0,9623
0,9965
1,0319
0,1
1
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
1,0355
. 0
Градусы
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
Градусы
КОТАНГЕНСЫ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
45
ТАНГЕНСЫ
Градусы
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
Градусы
0
1,0000
,0355
,0724
,1106
,1504
,1918
,2349
,2799
,3270
,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1 6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3555
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
" 3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
3,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
1
0,1
1,0035
1,0392
1,0761
1,1145
1,1544
1,1960
1,2393
1,2846
1,3319
1,3814
1,4335
1,4882
1,5458
1,6066
1,6709
1,7391
1,8115
1,8887
1,9711
2,0594
2,1543
2,2566
2,3673
2,4876
2,6187
2,7625
2,9208
3,0961
3,2914
3,5105
3,7583
4,0408
4,3662
4,7453
5,1929
5,7297
6,3859
7,2066
8,2636
9,6768
11,6645
14,6685
19,7403
30,1446
63,6567
0,9
0,2
1,0070
1,0428
1,0799
1,1184
1,1585
1,2002
1,2437
1,2892
1,3367
1,3865
1,4388
1,4938
1,5517
1,6128
1,6725
1,7461
1,8190
1,8967
1,9797
2,0686
2,1642
2,2673
2,3798
2,5002
2,6325
2,7776
2,9375
3,1146
3,3122
3,5329
3,7848
4,0713
4,4015
4,7867
5,2422
5,7894
6,4596
7,3002
8,3863
9,8448
11,9087
15,0557
20,4465
31,8205
71,6151
0,8
0,3
1,0105
1,0464
1,0637
1,1224
1,1626
1,2045
1,2483
1,2938
1,3416
1,3916
1,4442
1,4994
1,5577
1,6191
1,6842
1,7532
1,8265
1,9047
1,9883
2,0778
2,1742
2,2781
2,3906
2,5129
2,6464
2,7927
2,9544
3,1334
3,3332
3,5576
3,8118
4,1022
4,4373
4,8288
5,2924
5,8502
6,5350
7,3962
8,5126
10,0187
12,1632
15,4638
21,2049
33,6935
81,8470
0,7
0,4
1,0141
1,0501
1,0875
1,1263
1,1667
1,2088
1,2527
1,2985
1,3465
1,3968
1,4496
1,5051
1,5637
1,6255
1,6909
1,7603
1,8341
1,9128
1,9970
2,0872
2,1842
2,2889
2,4023
2,5257
2,6605
2,8083
2,9714
3,1524
3,3544
3,5816
3,8391
4,1335
4,4737
4,8716
5,3435
5,9124
6,6122
7,4947
8,6427
10.1988
12,4288
15,8945
22,0217
35,8006
95,4895
0,6
0,5
1,0176
1,0538
1,0913
1,1303
1,1708
1,2131
1,2572
1,3032
1,3514
1,4019
1,4550
1,5108
1,5697
1,6319
1.6977
¦1,7675
1,8418
1,9210
2,0057
2,0965
2,1943
2,2998
2,4142
2,5386
2,6746
2,8239
2,9887
3,1716
3.3759
3,6059
3,8667
4,1653
4,5107
4,9152
5,3955
5,9758
6,6912
7,5958
8,7769
10,3854
12,7062
16,3499
22,9038
38,1885
114,5887
0,5
Градусы
0,6
1,0212
1,0575
1,0951
1,1343
1,1750
1,2174
1,2617
1,3079
1,3564
1,4071
1,4605
1,5166
1,5757
1,6383
1,7045
1,7747
1,8495
1,9292
2,0145
2,1060
2,2045
2,3109
2,4262
2,5517
2,6889
2,8397
3,0061
3,1910
3,3977
3,6305
3,8947
4,1976
4,5483
4,9594
5,4486
6,0405
6,7720
7,6996
8,9152
10,5789
12,9962
16,8319
23,8593
40,9174
143,2371
0,4
0,7
1,0247
1,0612
1,0990
1,1383
1,1792
1,2218
1,2662
1,3127
1,3613
1,4124
1,4659
1,5224
1,5818
1,6447
1,7113
1,7820
1,8572
1,9375
2,0233
2,1155
2,2148
2,3220
2,4383
2,5649
2,7034
2,8556
3,0237
3,2106
3,4197
3,6554
3,9232
4,2303
4,5864
5,0045
5,5026
6,1066
6,8548
7,8062
9,0579
10,7797
13,2996
17,3432
24,8978
44,0661
190,9842
0,3
0,8
1,0283
1,0649
,1028
,1423
,1833
,2261
,2708
,3175
1,3663
1,4176
1,4715
1,5282
1,5880
1,6512
1,7182
1,7893
1,8650
1,9458
2,0323
2,1251
2,2251
2,3332
2,4504
2,5782
2,7179
2,8716
3,0415
3,2305
3,4420
3,6806
3.9520
4,2635
4,6252
5,0504
5,5578
6,1742
6,9395
7,9158
9,2052
10,9882
13,6174
17,8863
26,0307
47,7395
296,4777
0,2
0,9
1,0319
1,0686
1,1067
1,1463
1,1875
1,2305
1,2753
1,3222
1,3713
1,4229
1,4770
1,5340
1,5941
1,6577
1,7251
1,7966
1,8728
1,9542
2,0413
2,1348
2,2355
2,3445
2,4627
2,5916
2,7326
2,8878
3,0595
3,2506
3,4646
3,7062
3,9812
4,2972
4,6646
5,0970
5,6140
6,2432
7,0264
8,0285
9,3572
11,2048
13,9507
18,4645
27,2715
52,0807
572,9572
0,1
1
1,0355
1,0724
,1106
,1504
,1918
,2349
,2799
,3270
,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
QO
0
44
43'
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Градусы
КОТАНГЕНСЫ

46
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.10. Показательные, гиперболические
X
0,00
01
02
03
04
0,05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
0,55
ех
1,0000
1,0101
1,0202
1,0305
1,0408
1,0513
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
,1052
,1163
,1275
,1388
,1503
,1618
,1735
,1853
,1972
,2092
,2214
,2337
1,2461
1,2586
1,2712
1,2840
1,2969
1,3100
1,3231
1,3364
1,3499
1,3634
1,3771
1,3910
1,4049
1,4191
1,4333
1,4477
1,4623
1,4770
1,4918
,5068
,5220
1,5373
1,5527
,5683
1,5841
1,6000
1,6161
1,6323
1,6487
1,6653
1,6820
1,6989
1,7160
1,7333
е~Х
1,0000
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,9512
0,9418
0,9324
0,9231
0,9139
0,9048
0,8958
0,8869
0,8781
0,8694
0,8607
0,8521
0,8437
0,8353
0,8270
0,8187
0,8106
0.8025
0,7945
0,7866
0,7788
0,7711
0,7634
0,7558
0,7483
0,7408
0,7334
0,7261
0,7189
0,7118
0,7047
0,6977
0,6907
0,6839
0,6771
0,6703
0,6637
0,6570
0,6505
0,6440
0,6376
0,6313
0,6250
0,6188
0,6126
0,6065
0,6005
0,5945
0,5886
0,5827
0,5769
shx
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0701
0,0801
0,0901
0,1002
0,1102
0,1203
0,1304
0,1405
0,1506
0,1607
0,1708
0,1810
0,1911
0,2013
0,2115
0,2218
0,2320
0,2423
0,2526
0,2629
0,2733
0,2837
0,2941
0,3045
0,3150
0,3255
0,3360
0,3466
0,3572
0,3678
0,3785
0,3892
0,4000
0,4108
0,4216
0,4325
0,4434
0,4543
0,4653
0,4764
0,4875
0,4986
0,5098
0,5211
0,5324
0,5438
0,5552
0,5666
0,5782
и тригонометрические функции (для х от 0 до 1,6).
chx
,0000
,0001
,0002
,0005
,0008
,0013
,0018
,0025
,0032
,0041
,0050
,0061
,0072
,0085
,0098
,0113
1,0128
1,0145
1,0162
1,0181
1,0201
1,0221
1,0243
1,0266
1,0289
1,0314
1,0340
1,0367
1,0395
1,0423
1,0453
,0484
1,0516
1,0549
1,0584
1,0619
1,0655
1,0692
1,0731
1,0770
1,0811
1,0852
1,0895
1,0939
1,0984
1,1030
1,1077
1,1125
1,1174
1,1225
1,1276
1,1329
1,1383
1,1438
1,1494
1,1551
thx
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0599
0,0699
0,0798
0,0898
0,0997
0,1096
0,1194
0,1293
0,1391
0,1489
0,1586
0,1684
0,1781
0,1877
0,1974
0,2070
0,2165
0,2260
0,2355
0,2449
0,2543
0,2636
0,2729
0,2821
0,2913
0,3004
0,3095
0,3185
0,3275
0,3364
0,3452
0,3540
0,3627
' 0,3714
0,3799
0,3885
0,3969
0,4053
0,4136
0,4219
0,4301
0,4382
0,4462
0,4542
0,4621
0,4699
0,4777
0,4854
0,4930
0,5005
sinjc
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0699
0,0799
0,0899
0,0998
0,1098
0,1197
0,1296
0,1395
0,1494
0,1593
0,1692
0,1790
0,1889
0,1987
0,2085
0,2182
0,2280
0,2377
0,2474
0,2571
0,2667
0,2764
0,2860
0,2955
0,3051
0,3146
0,3240
0,3335
0,3429
0,3523
0,3616
0,3709
0,3802
0,3894
0,3986
0,4078
0,4169
0,4259
0,4350
0,4439
0,4529
0,4618
0,4706
0,4794
0,4882
0,4969
0,5055
0,5141
0,5227
COSJC
1,0000
1,0000
0,9998
0,9996
0,9992
0,9988
0,9982
0,9976
0,9968
0,9960
0,9950
0,9940
0,9928
0,9916
0,9902
0,9888
0,9872
0,9856
0,9838
0,9820
0,9801
0,9780
0,9759
0,9737
0,9713
0,9689
0,9664
0,9638
0,9611
0,9582
0,9553
0,9523
0,9492
0,9460
0,9428
0,9394
0,9359
0,9323
0,9287
0,9249
0,9211
0,9171
0,9131
0,9090
0,9048
0,9004
0,8961
0,8916
0,8870
0,8823
0,8776
0,8727
0,8678
0,8628
0,8577
0,8525
tgx
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0601
0,0701
0,0802
0,0902
0,1003
0,1104
0,1206
0,1307
0,1409
0,1511
0,1614
0,1717
0,1820
0,1923
0,2027
0,2131
0,2236
0,2341
0,2447
0,2553
0,2660
0,2768
0,2876
0,2984
0,3093
0,3203
0,3314
0,3425
0,3537
0,3650
0,3764
0,3879
0,3994
0,4111
0,4228
0,4346
0,4466
0,4586
0,4708
0,4831
0,4954
0,5080
0,5206
0,5334
0,5463
0,5594
0,5726
0*5859
0,5994
0,6131

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
47
Продолжение
X
0,55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0,95
96
97
98
99
1,00
01
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
ех
1,7333
,7507
,7683
',7860
,8040
,8221
,8404
,8589
1,8776
1,8965
1,9155
1,9348
1,9542
1,9739
1,9937
2,0138
2,0340
2,0544
2,0751
2,0959
2,1170
2,1383
2,1598
2,1815
2,2034
2,2255
2,2479
2,2705
2,2933
2,3164
2,3396
2,3632
2,3869
2,4109
2,4351
2,4596
2,4843
2,5093
2,5345
2,5600
2,5857
2,6117
2,6379
2,6645
2,6912
2,7183
ZJ456
2,7732
2,8011
2,8292
2,8577
2,8864
2,9154
2,9447
2,9743
3,0042
е~х
0,5769
0,5712
0,5655
0,5599
0,5543
0,5488
0,5434
0,5379
0,5326
0,5273
0,5220
0,5169
0,5117
0,5066
0,5016
0,4966
0,4916
0,4868
0,4819
0,4771
0,4724
0,4677
0,4630
0,4584
0,4539
0,4493
0,4449
0,4404 -
0,4360
0,4317
0,4274
0,4232
0,4190
0,4148
0,4107
0,4066
0,4025
0,3985
0,3946
0,3906
0,3867
0,3829
0,3791
0,3753
0,3716
0,3679
0,3642
0,3606
0,3570 >
0,3535
0,3499
0,3465
0,3430
0,3396
0,3362
0,3329
shx
0,5782
0,5897
0,6014
0,6131
0,6248
0,6367
0,6485
0,6605
0,6725
0,6846
0,6967
0,7090
0,7213
0,7336
0,7461
0,7586
0,7712
0,7838
0,7966
0,8094
0,8223
0,8353
0,8484
0,8615
0,8748
0,8881
0,9015
0,9150
0,9286
0,9423
0,9561
0,9700
0,9840
0,9981
1,0122
1,0265
1,0409
1,0554
1,0700
1,0847
1,0995
1,1144
1,1294
1,1446
1,1598
1,1752
1,1907
1,2063
1,2220
1,2379
1,2539
1,2700
1,2862
1,3025
1,3190
1,3356
chx
1,1551
1,1609
1,1669
1,1730
1,1792
1,1855
1,1919
1,1984
1,2051
1,2119
1,2188
1,2258
1,2330
1,2402
1,2476
1,2552
1,2628
1,2706
1,2785
1,2865
1,2947
1,3030
1,3114
1,3199
1,3286
1,3374
1,3464
1,3555
1,3647
1,3740
1,3835
1,3932
1,4029
1,4128
1,4229
1,4331
1,4434
1,4539
1,4645
1,4753
1,4862
1,4973
1,5085
1,5199
1,5314
1,5431
1,5549
1,5669
1,5790
1,5913
1,6038
1,6164
1,6292
1,6421
1,6552
1,6685
thx
0,5005
0,5080
0,5154
0,5227
0,5299
0,5370
0,5441
0,5511
0,5581
0,5649
0,5717
0,5784
0,5850
0,5915
0,5980
0,6044
0,6107
0,6169
0,6231
0,6291
0,6351
0,6411
0,6469
0,6527
0,6584
0,6640
0,6696
0,6751
0,6805
0,6858
0,6911
0,6963
0,7014
0,7064
0,7114
0,7163
0,7211
0,7259
0,7306
0,7352
0,7398
0,7443
0,7487
0,7531
0,7574
0,7616
0,7658
0,7699
0,7739
0,7779
0,7818
0,7857
0,7895
0,7932
0,7969
0,8005
sinx
0,5227
0,5312
0,5396
0,5480
0,5564
0,5646
0,5729
0,5810
0,5891
0,5972
0,6052
0,6131
0,6210
0,6288
0,6365
0,6442
0,6518
0,6594
0,6669
0,6743
0,6816
0,6889
0,6961
0,7033
0,7104
0,7174
0,7243
0,7311
0,7379
0,7446
0,7513
0,7578
0,7643
0,7707
0,7771
0,7833
0,7895
0,7956
0,8016
0,8076
0,8134
0,8192
0,8249
0,8305
0,8360
0,8415
0,8468
0,8521
0,8573
0,8624
0,8674
0,8724
0,8772
0,8820
0,8866
0,8912
COS*
0,8525
0,8473
0,8419
0,8365
0,8309
0,8253
0,8196
0,8139
0,8080
0,8021
0,7961
0,7900
0,7838
0,7776
0,7712
0,7648
0,7584
0,7518
0,7452
0,7385
0,7317
0,7248
0,7179
0,7109
0,7038
0,6967
0,6895
0,6822
0,6749
0,6675
0,6600
0,6524
0,6448
0,6372
0,6294
0,6216
0,6137
0,6058
0,5978
0,5898
0,5817
0,5735
0,5653
0,5570
0,5487
0,5403
0,5319
0,5234
0,5148
0,5062
0,4976
0,4889
0,4801
0,4713
0,4625
0,4536
tgx
0,6131
0,6269
0,6410 ,
0,6552
0,6696
0,6841
0,6989
0,7139
0,7291
0,7445
0,7602
0,7761
0,7923
0,8087
0,8253
0,8423
0,8595
0,8771
0,8949
0,9131
0,9316
0,3505
0,9697
0,9893
1,0092
1,0296
1,0505
1,0717
1,0934
1,1156
1,1383
1,1616
1,1853
1,2097
1,2346
1,2602
1,2864
1,3133
1,3409
1,3692
1,3984
1,4284
1,4592
1,4910
1,5237
1,5574
1,5922
1,6281
1,6652
1,7036
1,7433
1,7844
1,8270
1,8712
1,9171
1,9648

48
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
X
1,10
11
12
13
14
1,15
16
17
18
19
1,20
21
22
23
24
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1,50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
ех
3,0042
3,0344
3,0649
3,0957
3,1268
3,1582
3,1899
3,2220
3,2544
3,2871
3,3201
3,3535
3,3872
3,4212
3,4556
3,4903
3,5254
3,5609
3,5966
3,6328
3,6693
3,7062
3,7434
3,7810
3,8190
3,8574
3,8962
3,9354
3,9749
4,0149
4,0552
4,0960
4,1371
4,1787
4,2207
4,2631
4,3060
4,3492
4,3929
4,4371
4,4817
4,5267
4,5722
4,6182
4,6646
4,7115
4,7588
4,8066
4,8550
4,9037
4,9530
е~х
0,3329
0,3296
0,3263
0,3230
0,3198
0,3166
0,3135
0,3104
0,3073
0,3042
0,3012
0,2982
0,2952
0,2923
0,2894
0,2865
0,2837
0,2808
0,2780
0,2753
0,2725
0,2698
0,2671
0,2645
0,2618
0,2592
0,2567
0,2541
0,2516
0,2491
0,2466
0,2441
0,2417
0,2393
0,2369
0,2346
0,2322
0,2299
0,2276
0,2254
0,2231
0,2209
0,2187
0,2165
0,2144
0,2122
0,2101
0,2080
0,2060
0,2039
0,2019
shx
1,3356
1,3524
1,3693
1,3863
1,4035
1,4208
1,4382
1,4558
1,4735
1,4914
1,5095
1,5276
1,5460
1,5645
1,5831
1,6019
1,6209
1,6400
1,6593
1,6788
1,6984
1,7182
1,7381
1,7583
1,7786
1,7991
1,8198
1,8406
1,8617
1,8829
1,9043
1,9259
1,9477
1,9697
1,9919
2,0143
2,0369
2,0597
2,0827
2,1059
2,1293
2,1529
2,1768
2,2008
2,2251
2,2496
2,2743
2,2993
2,3245
2,3499
2,3756
chx
1,6685
1,6820
1,6956
1,7093
1,7233
1,7374
1,7517
1,7662
1,7808
1,7957
1,8107
1,8258
1,8412
1,8568
1,8725
1,8884
1,9045
1,9208
1,9373
1,9540
1,9709
1,9880
2,0053
2,0228
2,0404
2,0583
2,0764
2,0947
2,1132
2,1320
2,1509
2,1700
2,1894
2,2090
2,2288
2,2488
2,2691
2,2896
2,3103
2,3312
2,3524
2,3738
2,3955
, 2,4174
2,4395
2,4619
2,4845
2,5073
2,5305
2,5538
2,5775
thx
0,8005
0,8041
0,8076
0,8110
0,8144
0,8178
0,8210
0,8243
0,8275
0,8306
0,8337
0,8367
0,8397
0,8426
0,8455
0,8483
0,8511
0,8538
0,8565
0,8591
0,8617
0,8643
0,8668
0,8692
0,8717
0,8741
0,8764
0,8787
0,8810
0,8832
0,8854
0,8875
0.8896
0,8917
0,8937
0,8957
0,8977
0,8996
0,9015
0,9033
0,9051
0,9069
0,9087
0,9104
0,9121
0,9138
0,9154
0,9170
0,9186
0,9201
0,9217
sin*
0,8912
0,8957
0,9001
0,9044
0,9086
0,9128
0,9168
0,9208
0,9246
0,9284
0,9320
0,9356
0,9391
0,9425
0,9458
0,9490
0,9521
0,9551
0,9580
0,9608
0,9636
0,9662
0,9687
0,9711
0,9735
0,9757
0,9779
0,9799
0,9819
0,9837
0,9854
0,9871
0,9887
0,9901
0,9915
0,9927
0,9939
0,9949
0,9959
0,9967
0,9975
0,9982
0,9987
0,9992
0,9995
0,9998
0,9999
1,0000
1,0000
0,9998
0,9996
COS X
0,4536
0,4447
0.4357
0,4267
0,4176
0,4085
0,3993
0,3902
0,3809
0,3717
0,3624
0,3530
0,3436
0,3342
0,3248
0.3153
0,3058
0,2963
0,2867
0,2771
0,2675
0,2579
0,2482
0,2385
0,2288
0,2190
0,2092 f
0,1994 '
0,1896
0,1798
0,1700
0,1601
0,1502
0,1403
0,1304
0,1205
0,1106
0,1006
0,0907
0,0807
0,0707
0,0608
0,0508
0,0408
0,0308
0,0208
0,0108
+ 0,0008
-0,0092
-0,0192
-0,0292
tgx
1,9648
2,0143
2,0660
2,1198
2,1759
2,2345
2,2958
2,3600
2,4273
2,4979
2,5722
2,6503
2,7328
2.8198
2,9119
3,0096
3,1133
3,2236
3,3413
3,4672
3,6021
3,7471
3,9033
4,0723
4,2556
4,4552
4,6734
4,9131
5,1774
5,4707
5,7979
6,1654
6,5811
7,0555
7;6018
8,2381
8,9886
9,8874
10,983
12,350
14,101
16,428
19,670
24,498
32,461
48,078
92,620
1255,8
-108,65
-52,067
-34,233

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (ДЛЯ х ОТ 1,6 до 10,0)
49
Кратные значеныч я и к/2 dili вычис /спич тригоио метрических ф\акции при х > 1,6
п
1
2
3
4
5
// я/2
1.57080
3,14159
4,71239
6.28319
7,85398
// я
3.14159
6,28319
9.42478
12.56637
15,70796
6
7
8
9
10
п я/2
9.42478
10,99557
12,56637
14.13717
15,70796
п- я
18,84956
21,99115
25,13274
28,27433
31,41593
Примеры. 1) sin7,5 = sinEя/2-0,35398) = cos0,35398 = 0,9380 (линейная интерполяция). 2) sin29=.sin(9я+0,72567)=
-sin0,72567= -0,6637 (линейная интерполяция).
1.1.1.11. Показательные функции (для л от 1,6 до 10,0)*).
л
1.60
1.61
1,62
1.63
1.64
1,65
1,66
1.67
1.68
1.69
1,70
1,71
1,72
1.73
1,74
1,75
1,76
1.77
1,78
1.79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1.91
1,92
1,93
1,94
ех
4.9530
5,0028
5,0531
5.1039
5,1552
5,2070
5,2593
5.3122
5,3656
5,4195
5,4739
5,5290
5,5845
5,6407
5.6973
5,7546
5,8124
5,8709
5.9299
5,9895
6,0496
6,1104
6,1719
6,2339
6,2965
6,3598
6,4237
6,4883
6,5535
6,6194
6,6859
6,7531
6.8210
6,8895
6.9588
*' Для вычисления
ех - е~х
sn х = — - , сп х =
е~х
0,2019
0.1999
0,1979
0,1959
0,1940
0,1920
0,1901
0,1882
0,1864
0,1845
0,1827
0,1809
0.1791
0,1773
0,1755
0.1738
0.1720
0,1703
0,1686
0.1670
0,1653
0,1637
0.1620
0,1604
0,1588
0,1572
0.1557
0.1541
0,1526
0,1511
0,1496
0,1481
0,1466
0,1451
0,1437
X
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2.05
2.06
2,07
2,08
2,09
2,10
2.11
2,12
2,13
2,14
2.15
2.16
2,17
2.18
2,19
2.20
2,21
2,22
2,23
2,24
2.25
2,26
2,27
2,28
2,29
i иперболических функций
е*~-Х- thx =
shx 1 -
ch x 1 +
X
е
7.0287
7,0993
7.1707
7,2427
7,3155
7,3891
7,4633
7,5383
7,6141
7,6906
7,7679
7,8460
7,9248
8,0045
8.0849
8.1662
8.2482
8.3311
8,4149
8,4994
8.5849
8,6711
8,7583
8,8463
8,9352
9,0250
9,1157
9,2073
9,2999
9,3933
9,4877
9,5831
9,6794
9,7767
9,8749
при х > 1,6
е~х
0.1423
0,1409
0.1395
0,1381
0,1367
0,1353
0.1340
0.1327
0.1313
0.1300
0.1287
0,1275
0.1262
0.1249
0.1237
0.1225
0,1212
0,1200
0,1188
0,1177
0,1165
0.1153
0.1142
0.1130
0.1119
0,1108
0.1097
0.1086
0,1075
0,1065
0,1054
0,1044
0,1033
0.1023
0,1013
X
2,30
2,31
2.32
2,33
2,34
2.35
2,36
2.37
2.38
2,39
2.40
2,41
2,42
2.43
2,44
2,45 •
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2.63
2,64
ех
9,9742
10,074
10,176
10,278
10,381
10,486
10,591
10,697
10,805
10,913
11,023
11,134
11,246
11,359
11,473
11,588
11,705
11,822
11,941
12,061
12,182
12,305
12,429
12,554
12,680
12,807
12,936
13,066
13,197
13,330
13,464
13,599
13,736
13,874
14,013
е~х
0,10026
0,09926
0,09827
0,09730
0,09633
0,09537
0,09442
0,09348
0,09255
0,09163
0,09072
0,08982
0,08892
0,08804
0,08716
0,08629
0,08543
0,08458
0,08374
0,08291
0,08208
0,08127
0,08046
0,07966
0,07887
0,07808
0,07730
0,07654
0,07577
0,07502
0,07427
0,07353
0,07280
0,07208
0,07136
можно пользоваться следующими формулами:

50
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3.06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
ех
14,154
14,296
14,440
14,585
14,732
14,880
15,029
15,180
15,333
15,487
15,643
15,800
15,959
16,119
16,281
16,445
16,610
16,777
16,945
17,116
17,288
17.462
17,637
17,814
17,993
18,174
18,357
18,541
18,728
18,916
19,106
19,298
19,492
19,688
19,886
20,086
20,287
20,491
20,697
20,905
21,115
21,328
21,542
21,758
' 21,977
22,198
22,421
22,646
22,874
23,104
23,336
23,571
23,807
24,047
24,288
24,533
24,779
25,028
25,280
25,534
е~х
0,07065
0,06995
0,06925
0,06856
0,06788
0,06721
0,06654
0,06588
0,06522
0,06457
0,06393
0,06329
0,06266
0,06204
0,06142
0,06081
0,06020
0,05961
0,05901
0,05843
0,05784
0,05727
0,05670
0,05613
0,05558
0,05502
0,05448
0,05393
0,05340
0,05287
0,05234
0,05182
0,05130
0,05079
0,05029
0,04979
0,04929
0,04880
0,04832
0,04783
0,04736
0,04689
0,04642
0,04596
0,04550
0,04505
0,04460
0,04416
0,04372
0,04328
0,04285
0,04243
0,04200
0,04159
0,04117
0,04076
0,04036
0,03996
0,03956
0,03916
X
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
ех
25,790
26,050
26,311
26,576
26,843
27,113
27,385
27,660
27,938
28,219
28,503
28,789
29,079
29,371
29,666
29,964
30,265
30,569
30,877
31,187
31,500
31,817
32,137
32,460
32,786
33,115
33,448
33,784
34,124
34,467
34,813
35,163
35,517
35,874
36.234
36,598
36,966
37,338
37,713
38,092
38,475
38,861
39,252
39,646
40,045
40,447
40,854
41,264
41,679
42,098
42,521
42,948
43,380
43,816
44,256
44,701
45,150
45,604
46.063
46,525
0,03877
0,03839
0,03801
0,03763
0,03725
0,03688
0,03652
0,03615
0,03579
0,03544
0,03508
0,03474
0,03439
0,03405
0,03371
0,03337
0,03304
0,03271
0,03239
0,03206
0,03175
0,03143
0,03112
0,03081
0,03050
0,03020
0,02990
0,02960
0,02930
0,02901
0,02872
0,02844
0,02816
0,02788
0,02760
0,02732
0,02705
0,02678
0,02652
0,02625
0,02599
0,02573
0,02548
0,02522
0,02497
0,02472
0,02448
0,02423
0,02399
0,02375
0,02352
0,02328
0,02305
0,02282
0,02260
0,02237
0,02215
0,02193
0,02171
0,02149
л:
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
ех
46,993
47,465
47,942
48,424
48,911
409,402
49,899
50,400
50,907
51,419
51,935
52,457
52,985
53,517
54,055
54,598
60,340
66,686
73,700
81,451
90,017
99,484
109,95
121,51
134,29
148,41
164,02
181,27
200,34
221,41
244,69
270,43
298,87
330,30
365,04
403,43
445,86
492,75
544,57
601,85
665,14
735,10
812,41
897,85
992,27
1096,6
1212,0
1339,4
1480,3
1636,0
1808,0
1998,2
2208,3
2440,6
2697,3
2981,0
3294,5
3641,0
4023,9
4447,1
е"х
0,02128
0,02107
0,02086
0,02065
0,02045
0,02024
0,02004
0,01984
0,01964
0,01945
0,01925
0,01906
0,01887
0,01869
0,01850
0,01832
0,01657
0,01500
0,01357
0,01228
0,01111
0,01005
0,00910
0,00823
0,00745
0,00674
0,00610
0,00552
0,00499
0,00452
0,00409
0,00370
0,00335
0,00303
0,00274
0,002479
0,002243
0,002029
0,001836
0,001662
0,001503
0,001360
0,001231
0,001114
0,001008
0,000912
0,000825
0,000747
0,000676
0,000611
0,000553
0,000500
0,000453
0,000410
0,000371
0,000335
0,000304
0,000275
0,000249
0,000225

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
51
.Y
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
X
е
4914,8
5431,7
6002,9
6634,2
7332,6
— х
е
0,000203
0,000184
0,000167
0,000151
0,000136
х
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
.Y
е
8103,1
8955,3
9897,1
10938
12088
е
0,000123
0,000112
0,000101
0,000091
0,000083
X
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
X
е
13360
14765
16318
18034
19930
22026
Продолжение
— X
е
0,000075
0,000068
0,000061
0,000055
0,000050
0,000045
1.1.1.12. Натуральные логарифмы.
N
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
0
0,0000
0,0953
0,1823
0,2624
0,3365
0,4055
0,4700
0,5306
0,5878
0,6419
0,6931
0,7419
0,7885
0,8329
0,8755
0,9163
0,9555
0,9933
1,0296
1,0647
1,0986
1,1314
1,1632
1,1939
1,2238
1,2528
1,2809
1,3083
1,3350
1,3610
1,3863
1,4110
1,4351
1,4586
1,4816
1,5041
1,5261
1,5476
1,5686
1,5892
1
0,0100
0,1044
0,1906
0,2700
0,3436
0,4121
0,4762
0,5365
0,5933
0,6471
0,6981
0,7467
0,7930
0,8372
0,8796
0,9203
0,9594
0,9969
1,0332
1,0682
1,1019
1,1346
1,1663
1,1969
1,2267
1,2556
1,2837
1,3110
1,3376
1,3635
1,3888
1,4134
1,4375
1,4609
1,4839
,5063
,5282
,5497
,5707
,5913
2
0,0198
0,1133
0,1989
' 0,2776
0,3507
0,4187
0,4824
0,5423
0,5988
0,6523
0,7031
0,7514
0,7975
0,8416
0,8838
0,9243
0,9632
1,0006
1,0367
1,0716
1,1053
1,1378
1,1694
1,2000
1,2296
1,2585
1,2865
1,3137
1,3403
1,3661
1,3913
1,4159
1,4398
1,4633
1,4861
1,5085
1,5304
1,5518
1,5728
1,5933
3
0,0296
0,1222
0,2070
0,2852
0,3577
0,4253
0,4886
0,5481
(Г,6043
0,6575
0,7080
0,7561
0,8020
0,8459
0,8879
0,9282
0,9670
1,0043
1,0403
1,0750
1,1086
1,1410
1,1725
,2030
1,2326
1,2613
,2892
1,3164
,3429
1,3686
1,3938
1,4183
1,4422 г
1,4656
,4884-
1,5107
1,5326
1,5539
1,5748
1,5953
4
0,0392
0,1310
0,2151
0,2927
, 0,3646
0,4318
0,4947
0,5539
0,6098
0,6627
0,7129
0,7608
0,8065
0,8502
0,8920
0,9322
0,9708
1,0080
1,0438
1,0784
1,1119
1,1442
1,1756
1,2060
1,2355
1,2641
1,2920
1,3191
1,3455
1,3712
1,3962
1,4207
1,4446
1,4679
1,4907
1,5129
1,5347
1,5560
1,5769
1,5974
5
0,0488
0,1398
0,2231
0,3001
0,3716
0,4383
0,5008
0,5596
0,6152
0,6678
0,7178
0,7655
0,8109
0,8544
0,8961
0,9361
0,9746
1,0116
1,0473
1,0818
1,1151
1,1474
1,1787
1,2090
1,2384
1,2669
1,2947
1,3218
1,3481
1,3737
1,3987
1,4231
1,4469
1,4702
1,4929
1,5151
1,5369
1,5581
1,5790
1,5994
6
0,0583
0,1484
0,2311
0,3075
0,3784
0,4447
0,5068
0,5653
0,6206
0,6729
0,7227
0,7701
0,8154
0,8587
0,9002
0,9400
0,9783
1,0152
1,0508
1,0852
1,1184
1,1506
1,1817
1,2119
1,2413
1,2669
1,2975
1,3244
1,3507
1,3762
1,4012
1,4255
1,4493
1,4725
1,4951
1,5173
1,5390
1,5602
1,5810
1,6014
7
0,0677
0,1570
0,2390
0,3148
0,3853
0,4511
0,5128
0,5710
0,6259
0,6780
0,7275
0,7747
0,8198
0,8629
0,9042
0,9439
0,9821
1,0188
1,0543
1,0886
,1217
1,1537
1,1848
1,2149
1,2442
,2726
,3002
1,3271
1,3533
1,3788
1,4036
1,4279
1,4516
1,4748
1,4974
. 1,5195
1,5412
1,5623
1,5831
1,6034
8
0,0770
0,1655
0,2469
0,3221
0,3920
0,4574
0,5188
0,5766
0,6313
0,6831
0,7324
0,7793
0,8242
0,8671
0,9083
0,9478
0,9858
1,0225
1,0578
1,0919
1,1249
1,1569-
1,1878
1,2179
1,2470
1,2754
1,3029
1,3297
1,3558
1,3813
1,4061
1,4303
1,4540
1,4770
1,4996
1,5217
1,5433
1,5644
1,5851
1,6054
9
0,0862
0,1740
0,2546
0,3293
0,3988
0,4637
0,5247
0,5822
0,6366
0,6881
0,7372
0,7839
0,8286
0,8713
0,9123
0,9517
0,9895
1,0260
1,0613
1,0953
1,1282
1,1600
1,1909
1,2208
1,2499
1,2782
1,3056
1,3324
1,3584
1,3838
1,4085
1,4327
1,4563
1,4793
1,5019
1,5239
1,5454
1,5665
1,5872
1,6074

52
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
N
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
0
1,6094
1,6292
1,6487
1,6677
1,6864
1,7047
1,7228
1,7405
1,7579
1,7750
1,7918
1,8083
1,8245
1,8405
1,8563
1,8718
1,8871
1,9021
1,9169
1,9315
1,9459
1,9601
1,9741
1,9879
2,0015
2,0149
2,0281
2,0412
2,0541
2,0669
2,0794
2,0919
2,1041
2,1163
2,1282
2,1401
2,1518
2,1633
2,1748
2,1861
2,1972
2,2083
2,2192
2,2300
2,2407
2,2513
2,2618
2,2721
2,2824
2,2925
1
1,6114
1,6312
1,6506
1,6696
1,6882
1,7066
1,7246
1,7422
1,7596
1,7766
1,7934
1,8099
1,8262
1,8421
1,8579
1,8733
1,8886
1,9036
1,9184
1,9330
1,9473
1,9615
1,9755
1,9892
2,0028
2,0162
2,0295
2,0425
2,0554
2,0681
2,0807
2,0931
2,1054
2,1175
2,1294
2,1412
2,1529
2,1645
2,1759
2,1872
2,1983
2,2094
2,2203
2,2311
2,2418
2,2523
2,2628
2,2732
2,2834
2,2935
2
1,6134
1,6332
1,6525
1,6715
1,6901
1,7084
1,7263
1,7440
1,7613
1,7783
1,7951
1,8116
1,8278
1,8437
1,8594
1,8749
1,8901
1,9051
1,9199
1,9344
1,9488
1,9629
1,9769
1,9906
2,0042
2,0176
2,0308
2,0438
2,0567
2,0694
•2,0819
2,0943
2,1066
2,1187
2,1306
2,1424
2,1541
2,1656
2,1770
2,1883
2,1994
2,2105
2,2214
2,2322
2,2428
2,2534
2,2638
2,2742
2,2844
2,2946
3
1,6154
1,6351
1,6544
1,6734
1,6919
1,7102
1,7281
1,7457
1,7630
1,7800
1,7967
1,8132
1,8294
1,8453
1,8610
1,8764
1,8916
1,9066
1,9213
1,9359
1,9502
1,9643
1,9782
1,9920
2,0055
2,0189
2,0321
2,0451
2,0580
2,0707
2,0832
2,0956
2,1078
2,1199
2,1318
2,1436
2,1552
2,1668
2,1782
2,1894
2,2006
2,2116
2,2225
2,2332
2,2439 '
2,2544
2,2649
2,2752
2,2854
2,2956
4
1,6174
1,6371
1,6563
1,6752
1,6938
1,7120
1,7299
1,7475
1,7647
1,7817
1,7984
1,8148
1,8310
1,8469
1,8625
1,8779
1,8931
1,9081
1,9228
1,9373
1,9516
1,9657
1,9796
1,9933
2,0069
2,0202
2,0334
2,0464
2,0592
2,0719
2,0844
2,0968
2,1090
2,1211
2,1330
2,1448
2,1564
2,1679
2,1793
2,1905
2,2017
2,2127
2,2335
2,2343
2,2450
2,2555
2,2659
2,2762
2,2865
2,2966
5
,6194
,6390
,6582
,6771
,6956
,7138
,7317
,7492
,7664
,7834
1,8001
1,8165
1,8326
1,8485
1,8641
1,8785
1,8946
1,9095
1,9242
1,9387
1,9530
1,9671
1,9810
1,9947
2,0082
2,0215
2,0347
2,0477
2,0605
2,0732
2,0857
2,0980
2,1102
2,1223
2,1342
2,1459
2,1576
2,1691
2,1804
2,1917
2,2028
2,2138
2,2246
2,2354
2,2460
2,2565
2,2670
2,2773
2,2875
2,2976
6
1,6214
1,6409
1,6601
1,6790
1,6974
1,7156
1,7334
1,7509
1,7681
1,7851
1,8017
1,8181
1,8342
1,8500
1,8656
1,8810
1,8961
1,9110
1,9257
1,9402
1,9544
1,9685
1,9824
1,9961
2,0096
2,0229
2,0360
2,0490
2,0618
2,0744
2,0869
2,0992
2,1114
2,1235
2,1353
2,1471
2,1587
2,1702
2,1815
2,1928
2,2039
2,2148
2,2257
2,2364
2,2471
2,2576
2,2680
2,2783
2,2885
2,2986
7
1,6233
1,6429
1,6620
1,6808
1,6993
1,7174
1,7352
1,7527
1,7699
1,7867
1,8034
1,8197
1,8358
1,8516
1,8672
1,8825
1,8976
1,9125
1,9272
1,9416
1,9559
1,9699
1,9838
1,9974
2,0109
2,0242
2,0373
2,0503
2,0631
2,0757
2,0882
2,1005
2,1126
2,1247
2,1365
2,1483
2,1599
2,1713
2,1827
2,1939
2,2050
2,2159
2,2268
2,2375
2,2481
2,2586
2,2690
2,2793
2,2895
2,2996
8
1,6253
1,6448
1,6639
1,6827
1,7011
1,7192
1,7370
1,7544
1,7716
1,7884
1,8050
1,8213
1,8374
1,8532
1,8687
1,8840
1,8991
1,9140
1,9286
1,9430
1,9573
1,9713
1,9851
1,9988
2,0122
2,0255
2,0386
2,0516
2,0643
2,0769
2,0894
2,1017
2,1138
2,1258
2,1377
2,1494
2,1610
2,1725
2,1838
2,1950
2,2061
2,2170
2,2279
2,2386
2,2492
2,2597
2,2701
2,2803
2,2905
2,3006
9
1,6273
1,6467
1,6658
1,6845
1,7029
,7210
,7387
,7561
1,7733
1,7901
1,8066
1,8229
1,8390
1,8547
1,8703
1,8856
1,9006
1,9155
1,9301
1,9445
1,9587
1,9727
1,9865
2,0001
2,0136
2,0268
2,0399
2,0528
2,0656
2,0782
2,0906
2,1029
2,1150
2,1270
2,1389
2,1506
2,1622
2,1736
2,1849
2,1961
2,2072
2,2181
2,2289
2,2396
2,2502
2,2607
2,2711
2,2814
2,2915
2,3016

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
53
т
1
2
3
4
5
lnlOw
2,3026
4,6052
6,9078
9,2103
11,5129
.13. Длина окружности.
Объяснения к таблице 1.1.1.12
натуральных логарифмов. В отличие от таблиц
десятичных логарифмов здесь даны как мантиссы,
так и характеристики. Логарифмы чисел,
заключенных между 1 и 10, находятся непосредственно
в таблице, причем на третий и четвертый
десятичные знаки должна быть внесена
интерполяционная поправка. Для чисел, больших десяти или
меньших единицы, натуральные логарифмы
находятся с помощью помещенных в конце таблицы
значений логарифмов степеней 10.
d
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
0
3,142
3,456
3,770
4,084
4,398
4,712
5,027
5,341
5,655
5,969
6,283
6,597
6,912
7,226
7,540
7,854
8,168
8,482
8,796
9,111
9,425
9,739
10,05
10,37
10,68
11,00
11,31
11,62
11,94
12,25
12,57
12,88
13,19
13,51
13,82
14,14
14,45
14,77
15,08
15,39
15,7|
1
3,173
/3,487
3,801
4,115
4,430
4,744
1 5,058
5,372
5,686
6,000
6,315
6,629
6,943
7,257
7,571
7,885
8,200
8,514
8,828
9,142
9,456
9,770
10,08
10,40
10,71
11,03
11,34
11,66
11,97
12,28
12,60
12,91
13,23
13,54
13,85
14,17
14,48
14,80
15,11
15,43
15,74
2
3,204
3,519
3,833
4,147
4,461
4,775
5,089
5,404
5,718
6,032
6,346
6,660
6,974
7,288
7,603
7,918"
8,231
8,545
8,859
9,173
9,488
9,802
10,12
10,43
10,74
11,06
11,37
11,69
12,00
12,32
12,63
12.94
13,26
13,57
13,89
14,20
14,51
14,83
15,14
15,46
15,77
3
3,236
3,550
3,864
4,178
4,492
4,807
5,121
5,453
5,749
6,063
6,377
6,692
7,006
7,320
7,634
7,948
8,262
8,577
8,891
9,205
9,519
9,833
10,15
10,46
10,78
11,09
11,40
11,72
12,03
12,35
12,66
12,97
13,29
13,60
13,92
14,23
14,55
14,86
15,17
15,49
15.80
4
3,267
, 3,581
3,896
4,210
4,524
4,838
5,152
5,466
5,781
6,095
6,409
6,723
7,037
7,351
7,665
7,980
8,294
8,608
8,922
9,236
9,550
9,865
10,18
10,49
10,81
11,12
11,44
11,75
12,06
12,38
12,69
13,01
13,32
13,63
13,95
14,26
14,58
14,89
1.5,21
15,52
15,83
5
3,299
3,613
3,927
4,241
4,555
4,869
5,184
5,498
5,812
6,126
6,440
6,754
7,069
7,383
7,697
8,011
8,325
8,639
8,954
9,268
9,582
9,896
10,21
10,52
10,84
11,15
11,47
11,78
12,10
12,41
12,72
13,04
13,35
13,67
13,98
14,29
14,61
14,92
15,24
15,55
15,87
6
3,330
3,644
3,958
4,273
4,587
4,901
5,215
5,529
5,843
6,158
6,472
6,786
7,100
7,414
7,728
8,042
8,357
8,671
8,985
9,299
9,613
9,927
10,24
10,56
10,87
11,18
11,50
11,81
12,13
12,44
12,75
13,07
13,38
13,70
14,01
14,33
14,64
14,95
15,27
15,58
15,90
7
3,362
3,676
3,990
4,304
4,618
4,932
5,246
5,561
5,875
6,189
6,503
6,817
7,131
7,446
7,760
8,074
8,388
8,702
9,016
9,331
9,645
9,959
10,27
10,59
10,90
11,22
11,53
11,84
12,16
12,47
12,79
13,10
13,41
13,73
14,04
14,36
14,67
14,99
15,30
15,61
15,93
8
3,393
3,707
4,021
4,335
4,650
4,964
5,278
5,592
5,906
6,220
6,535
6,849
7,163
7,477
7,791
8,105
8,419
8,734
9,048
9,362
9,676
9,990
10,30
10,62
10,93
11,25
11,56
11,88
12,15
12,50
12,82
13,13
13,45
13,76
14,07
14,39
14,70-
15,02
15,33
15,65
15,96
9
3,424
3,738
4,053
4,367
4,681
4,995
5,309
5,623
5,938
6,252
6,566
6,880
7,194
7,508
7,823
8,137
8,451
8,765
9,079
9,393
9,708
10,02
10,34
10,65
10,96
11,28
11,59
11,91
12,22
12,53
12,85
13,16
13,48
13,79
14,11
14,42
14,73
15,05
15,36
15,68
15,99

54
ТАБЛИЦЫ
Продо. жжение
d
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
-&,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
0
15,71
16,02
16,34
16,65
16,96
17,28
17,59
17,91
18,22
18,54
18,85
19,16
19,48
19,79
20,11
20,42
20,73
21,05
21,36
21,68 .
21,99
22,31
22,62
22,93
23,25
23,56
23,88
24,19
24,50
24,82
25,13
25,45
25,76
26,08
26,39
26,70
27,02
27,33
27,65
27,96
28,27
28,59
28,90
29,22
29,53
29,85
30,16
30,47
30,79
31,10
31,42
1
15,74
16,05
16,37
16,68
17,00
17,31
17,62
17,94
18,25
18,57
18,88
19,20
19,51
19,82
20,14
20,45
20,77
21,08
21,39
21,71
22,02
22,34
22,65
22,97
23,28
23,59
23,91
24,22
24,54
24,85
25,16 |
25,48
25,79
26,11
26,42
26,73
27,05
27,36
27,68
27,99
28,31
28,62
28,93
29,25
29,56
29,88
30,19
30,50
30,82
31,13
2
15,77
16,08
16,40
16,71
17,03
17,34
17,66
17,97
18,28
18,60
18,91
19,23
19,54
19,85
20,17
20,48
20,80
21,11
21,43
21,74
22,05
22,37
22,68
23,00
23,31
23,62
23,94
24,25
24,57 .
24,88
25,20
25,51
25,82
26,14
26,45
26,77
27,08
27,39
27,71
28,02
28,34
28,65
28,97
29,28
29,59
29,91
30,22
30,54
30,85
31,16
3
15,80
16,12
16,43
16,74
17,06
17,37
17,69
18,00
18,32
18,63
18,94
19,26
19,57
19,89
20,20
20,51
20,83
21,14
21,46
21,77
22,09
22,40
22,71
23,03
23,34
23,66
23,97
24,28
24,60
24,91
25,23
25,54
25,86
26,17
26,48
26,80
27,11
27,43
27,74
28,05
28,37
28,68
29,00
29,31
29,63
29,94
30,25
30,57
30,88
31,20
4
15,83
16,15
16,46
16,78
17,09
17,40
17,72
18,03
18,35
18,66
18,98
19,29
19,60
19,92
20,23
20,55
20,86
21,17
21,49
21,80
22,12
22,43
22,75
23,06
23,37
23,69
24,00
24,32
24,63
24,94
25,26
25,57
25,89
26,20
26,52
26,83
27,14
27,46
27,77
28,09
. 28,40
28,71
29,tK
29,34
29,66
29,97
30,28
30,60
30,91
31,21
5
15,87
16,18
16,49
16,81
17,12
17,44
17,75
18,06
18,38
18,69
19,01
19,32
19,63
19,95
20,26
20,58
20,89
21,21
21,52
21,83
22,15
22,46
22,78
23,09
23,40
23,72
24,03
24,35
24,66
24,98
25,29
25,60
25,92
26,23
26,55
26,86
27,17
27,49
27,80
28,12
28,43
28,75
29,06
29,37
29,69
30,00
30,32
30,63
, 30,94
31,26
6
15,90
16,21
16,52
16,84
17,15
17,47
17,78
18,10
18,41
18,72
19,04
19,35
19,67
19,98
20,29
20,61
20,92
21,2.
21,55
21,87
22,18
22,49
22,81
23,12
23,44
23,75
24,06
24,38
24,69
25,01
25,32
25,64
25,95
26,26
26,58
26,89
27,21
27,52
27,83 '
28,15
28,46
28,78
29,09
29,41
29,72
30,03
30,35
30,66
30,98
31,29
7
15,93
16,24
16,56
16,87
17,18
17,50
17,81
18,13
18,44
18,76
19,07
19,38
19,70
20,01
20,33
20,64
20,95
21,27
21,58
21,90
22,21
22,53
22,84
23,15
23,47
23,78
24,10
24,41
24,72
25,04
25,35
25,67
25,98
26,30
26,61
26,92
27,24
27,55
27,87
28,18
28,49
28,81
29,12
29,44
29,75
30,07
30,38
30,69
31,01
31,32
8
15,96
16,27
16,59
16,90
17,22
17,53
17,84
18,16
18,47
18,79
19,10
19,42
19,73
20,04
20,36
20,67
20,99
21,30
21,61
21,93
22,24
22,56
22,87
23,19
23,50
23,81
24,13
24,44
24,76
25,07
25,38
25,70
26,01
26,33
26,64 .
26,95
27,27
27,58
27,90
28,21
28,53
28,84
29,15
29,47
29,78
30,10
30,41
30,72
31,04
31,35
9
15,99
16,30
16,62
16,93
17,25
17,56
17,88
18,19
18,50
18,82
19,13
19,45
19,76
20,07
20,39
20,70
21,02
21,33
21,65
21,96
22,27
22,59
22,90
23,22
23,53
23,84
24,16
24,47
24,79
25,10
25,42
25,73
26,04
26,36
26,67
26,99
27,30
27,61
27,93
28,24
28,56
28,87
29,19
29,50
29,81
30,13
30,44
30,76
31,07
31,38

ПЛОЩАДЬ КРУГА
55
1.1.1.14. Площадь круга.
d
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8 .
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
0
0,7854
0,9503
1,131
1,327
1,539
1,767
2,011
2,270
2,545
2,835
3,142
3,464
3,801
4,155
4,524
4,909
5,309
5,726
6,158
6,605
7,069
7,548
8,042
8,553
9,079
9,621
10,18
10,75
11,34
11,95
12,57
13,20
13,85
14,52
15,21
15,90
16,62
17,35
18,10*
18,86
19,63
20,43
21.24
22,06
22,90
23,76
1
0,8012
0,9677
1,150
1,348
1,561
1,791
2,036
2,297
2,573
2,865
3,173
3,497
3,836
4,191
4,562
4,948
5,350
5,768
6,202
6,651
7,116
7,596
8,093
8,605
9,133
9,676
10,24
10,81
11,40
12,01
12,63
13,27
13,92
14,59
15,27
15,98
16,69
17,42
18,17
18,93
19,71
20,51
21,32
22,15
22,99
23,84
2
0,8171
0,9852
1,169
1,368
1,584
1,815
2,061
2,324
2,602
2,895
3,205
3,530
3,871
4,227
4,600
4,988
5,391
5,811
6,246
6,697
7,163
7,645
8,143
8,657
9,186
9,731
10,29
10,87
11,46
12,07
12,69
13,33
13,99
14,66
15,34
16,05
16,76
17,50
18,25
19,01
19,79
20,59
21,40
22,23
23,07
23,93
3
0,8332
1,003
1,188
1,389
1,606
1,839
2,087
2,351
2,630
2,926
3,237
3,563
3,906
4,264
4,638
5,027
5,433
5,853
6,290
6,743
7,211
7,694
8,194
8,709
9,240
9,787
10,35
10,93
11,52
12,13
12,76
13,40
14,05
14,73
15,41
16,12
16,84
17,57
18,32
19,09
19,87
20,67
21,48
22,31
23,16
24,02
4
0,8495
1,021
1.208
1,410
1,629
1,863
2,112
2,378
2,659
2,956
3,269
3,597
3,941
4,301
4,676
5,067
5,474
5,896
6,335
6,789
7,258
7,744
8,245
8,762
9,294
9,842
10,41
10,99
11,58
12,19
12,82
13,46
14,12-
14,79
15,48
16,19
16,91
17,65
18,40
19,17
19,95
20,75
21,57
22,40
23,24
24,11
5
0,8659
1,039
1.227
1,431
1,651
1,887
2,138
2,405
2,688
2,986
3,301
3,631
3,976
4,337
4,714
5,107
5,515
5,940
6,379
6,835
7,306
7,793
8,296
8,814
9,348
9,898
10,46
11,04
11,64
12,25
12,88
13,53
14,19
14,86
15,55
16,26
16,98
17,72
18,47
19,24
20,03
20,83
21,65
22,48
23,33
24,19
6
0,8825
1,057
1,247
1,453
1,674
1,911
2,164
2,433
2,717
3,017
3,333
3,664
4,011
4,374
4,753
5,147
5,557
5,983
6,424
6,881
7,354
7,843
8,347
8,867
9,402
9,954
10,52
11,10
11,70
12,32
12,95
13,59
14,25
14,93
15,62
16,33
17,06
17,80
18,55
19,32
20,11
20,91
21,73
22,56
23,41
24,28
7
0,8992
1,075
1,267
1,474
1,697
1,936
2,190
2,461
2,746
3,048
3,365
3,698
4,047
4,412
4,792
5,187
5,599
6,026
6,469
6,928
7,402
7,892
8,398
8,920
9,457
10,01
10,58
11,16
11,76
12,38
13,01
13,66
14,32
15,00
15,69
16,40
17,13
17,87
18,63
19,40
20,19
20,99
21,81
22,65
23,50
24,37
8
0,9161
1,094
1,287
1,496
1,720
1,961
2,217
2,488
2,776
3,079
3,398
3,733
4,083
4,449
4,831
5,228
5,641
6,070
6,514
6,975
7,451
7,942
8,450
8,973
9,511
10,07
10,64
11,22
11,82
12,44
13,07
13,72
14,39
15,07
15,76
16,47
17,20
17,95
18,70
19,48
20,27
21,07
21,90
22,73
23,59
24,45
9
0,9331
1,112
1,307
1,517
1,744
1,986
2,243
2,516
2,806
3,110
3,431
3,767
4,119
4,486
4,870
5,269
5,683
6,114
6,560
7,022
7,499
7,992
8,501
9,026
9,566
10,12
10,69
11,28
11,88
12,50
13,14 ¦
13,79
14,45
15,14
15,83
16,55
17,28
18,02
18,78
19,56
20,35
21,16
21,98
22,82
23,67
24,54

56
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
d
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1 -
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6 "
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
0
23,76
24,63
25,52
26,42
27,34 '
28,27
29,22
30,19
31,17
32,17
33,18
34,21
35,26
36,32
37,39
38,48
39,59
40,72
41,85
43,01
44,18
45,36
46,57
47,78
49,02
50,27
51,53
52,81
54,11
55,42
56,75
58,09
59,45
60,82
62,21
63,62
65,04
66,48
67,93
69,40
70,88
72,38
73,90
75,43
76,98
78,54
1
23,84
24,72
25,61
26,51
27,43
28,37
29,32
30,29
31,27
32,27
33,29
34,32
35,36
36,42
37,50
38,59
39,70
40,83
41,97
43,12
44,30
45,48
46,69
47,91
49,14
50,39
51,66
52,94
54,24
55,55
56,88
58,22
59,58
60,96
62,35
63,76
65,18
66,62
68,08
69,55
71,03
72,53
74,05
75,58
77,13
2
23,93
24,81
25,70
26,60
27,53
28,46
29,42
30,39
31,37
32,37
33,39
34,42
35,47
36,53
37,61
38,70
39,82
40,94
42,08
43,24
44,41
45,60
46,81
48,03
49,27
50,52
51,78
53,07
54,37
55,68
57,01
58,36
59,72
61,10
62,49
63,90
65,33
66,77
68,22
69,69
71,18
72,68-
74,20
75,74
77;29
3
24,02
24,89
25,79
26,69
27,62
28,56
29,51
30,48
31,47
32,47
33,49
34,52
35,57
36,64
37,72
38,82
39,93
41,06
42,20
43,36
44,53
45,72
46,93
48,15
49,39
50,64
51,91
53,20
54,50
55,81
57,15
58,49
59,86
61,24
62,63
64,04
65,47
66,91
68,37
69,84
71,33
72,84
74,36
75,89
77,44
4
24,11
24,98
25,88
26,79
27,71
28,65
29,61
30,58
31,57
32,57
33,59
34,63
35,68
36,75
37,83
38,93
40,04
41,17
42,31
43,47
44,65
45,84
47,05
48,27
49,51
50,77
52,04
53,33
54,63
55,95
57,28
58,63
59,99
61,38
62,77
64,18
65,61
67,06
68,51
69,99
71,48
72,99
74,51
76,05
77,60
5
24,19
25,07
25,97
26,88
27,81
28,75
29,71
30,68
31,67
32,67
33,70
34,73
35,78
36,85
37,94
39,04
40,15
41,28
42,43
43,59
44,77
45,96
47,17
48,40
49,64
50,90
52,17
53,46
54,76
56,08
57,41
58,77
60,13
61,51
62,91
64,33
65,76
67,20
68,66
70,14
71,63
73,14
74,66
76,20
77,76
6
24,28
25,16
26,06
26,97
27,90
28,84
29,80
30,78
31,77
32,78
33,80
34,84
35,89
36,96
38,05
39,15
40,26
41,40
42,54
43,71
44,89
46,08
47,29
48,52
49,76
51,02
52,30
53,59
54,89
56,21
57,55
58,90
60,27
61,65
63,05
64,47
65,90
67,35
68,81
70,29
71,78
73,29
74,82
76,36
77,91
7
24,37
25,25
26,15
27,06
27,99
28,94
29,90
30,88
31,87
32,88
33,90
34,94
36,00
37,07
38,16
39,26
40,38
41,51
42,66
43,83
45,01
46,20 '
47,42
48,65
49,89
51,15
52,42
53,72
55,02
56,35
57,68
59,04
60,41
61,79
63,19
64,61
66,04
67,49
68,96
70,44
71,93
73,44
74,97
76,51
78,07
8
24,45
25,34
26,24
27,15
28,09
29,03
30,00
30,97
31,97
32,98
34,00
35,05
36,10
37,18
38,26
39,37
40,49
41,62
42,78
43,94
45,13
46,32
47,54
48,77
50,01
51,28
52,55
53,85
55,15
56,48
57,82
59,17
60,55
61,93
63,33
64,75
66,19
67,64
69,10
70,58
72,08
73,59
75,12
76,67
78,23
9
24,54
25,43
26,33
27,25
28,18
29,13
30,09
31,07
32,07
33,08
34,11
35,15
36,21
37,28
38,37
39,48
40,60
41,74
42,89
44,06
45,25
46,45
47,66
48,99
50,14
51,40
52,68
53,98
55,29-
56,61
57,95
59,31
60,68
62,07
63,48
64,90
66,33
67,78
69,25
70,73
72,23
73,75
75,28
76,82
78,38

ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА
57
1.1.1.15. Элементы сегмента круга.
1.1.1.15.1. Длина дуги и площадь сегмента для хорды, равной единице.
Подъем
(отношение стрелки
к хорде) И/а
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
Длина
дуги /
,0003
,0011
,0024
1,0043
,0067
1,0096
1,0130
1,0170
1,0215
1,0265
1,0320
,0380
1,0445
1,0515
1,0590
1,0669
1,0754
1,0843
1,0936
1,1035
1,1137
1,1244
1,1356
1,1471
1,1591
Площадь
сегмента
0,0067
0,0133
0,0200
0,0267
0,0334
0,0401
0,0468
0,0536
0,0604
0,0672
0,0740
0,0809
0,0878
0,0948
0,1018
0,1088
0,1159
0,1231
0,1303
0,1375
0,1448
0,1522
0,1596
0,1671
0,1747
Подъем
(отношение стрелки
к хорде) h/a
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
Длина
дуги /
1,1715
1,1843
1,1975
1,2110
1,2250
1,2393
1,2539
1,2689
1,2843
1,3000
1,3160
1,3323
1,3490
1,3660
1,3832
1,4008
1,4186
1,4367
1,4551
1,4738
1,4927
1,5118
1,5313
1,5509
1,5708
Площадь
сегмента
0,1824
0,1901
0,1979
0,2058
0,2137
0,2218
0,2299
0,2381
0,2464
0,2548
0,2633
0,2719
0,2806
0,2893
0,2982
0,3072
0,3162
0,3254
0,3347
0,3441
0,3536
0,3632
0,3729
0,3828
0,3927
1.1.1.15.2. Длина дуги, стрелка, длина хорды и площадь сегмента
для радиуса, равного единице.
Центр.
угол а°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Длина
дуги /
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
Стрелка h
0,0000
0,0002
0,0003
0,0006
0,0010
0,0014
0,0019
0,0024
0,0031
0,0038
0,0046
0,0055
0,0064
0,0075
0,0086
0,0097
0,0110
0,0123
0,0137
0,0152
0,0167
0,0184
0,0201
/
~h
458,37
229,19
152,80
114,60
91,69
76,41
65,50
57,32
50,96
45,87
41v70
38,23
35,30
32,78
30,60
28,69
27,01
25,52
24,18
22,98
21,89
20,90
20,00
Длина
хорды а
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1047
0,1221
0,1395
0,1569
0,1743
0,1917
0,2091
0,2264
0,2437
0,2611
0,2783
0,2956
0,3129
0,3301
0,3473
0,3645
0,3816
0,3987
а
~h
458,36
229,18
152,78
114,58
91,66
76,38
65,46
57,27
50,90
45,81
41,64
38,16
35,22
32,70
30,51
28,60
26,91
25,41
24,07
22,96
21,77
20,77
19,86
Площадь
сегмента
0,00000
0,00000
0,00001
0,00003
0,00006
0,00010
0,00015
0,00023
0,00032
0,00044
0,00059
0,00076
0,00097
0,00121
0,00149
0,00181
0,00217
0,00257
0,00302
0,00352
0,00408
0,00468
0,00535

58
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Центр.
угол а°
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Длина
дуги /
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
0,7330
0,7505
0,7679
0,7854
0,8029
0,8203
0,8378
0,8552
0,8727
0,8901
0,9076
0,9250
0,9425
0,9599
0,9774
0,9948
1,0123
1,0297
1,0472
1,0647
1,0821
1,0996
1,1170
1,1345
1,1519
1,1694
1,1868
1,2043
1,2217
1,2392
1,2566
1,2741
1,2915
1,3090
1,3265
1,3439
1,3614
1,3788
Стрелка h
0,0201
0,0219
0,0237
0,0256
0,0276
0,0297
0,0319
0,0341
0,0364
0,0387
0,0412
0,0437
0,0463
0,0489
0,0517
0,0545
0,0574
0,0603
0,0633
0,0664
0,0696
0,0728
0,0761
0,0795
0,0829
0,0865
0,0900
0,0937
0,0974
0,1012
0,1051
0,1090
0,1130
0,1171
0,1212
0,1254
0,1296
0,1340
0,1384
0,1428
0,1474
0,1520
0,1566
0,1613
0,1661
0,1710
0,1759
0,1808
0,1859
0,1910
0,1961
0,2014
0,2066
0,2120
0,2174
0,2229
0,2284
/
И
20,00
19,17
18,41
17,71
17,06
16,45
15,89
15,37
14,88
14,42
13,99
13,58
13,20
12,84
12,50
12,17
11,87
11,58
11,30
11,04
10,79
10,55
10,32
10,10
9,89
9,69
9,50
9,31
9,14
8,97
8,80
8,65
8,50
8,35
8,21
8,07
7,94
7,82
7,69
7,58
7,46
7,35
7,24
7,14
7,04
6,94
6,85
6,76
6,67
6,58
6,50
6,41
6,33
6,26
6,18
6,11
6,04
Длина
хорды а
0,3987
0,4158
0,4329
0,4499
0,4669
0,4838
0,5008
0,5176
0,5345
0,5513
0,5680
0,5847
0,6014
0,6180
0,6346
0,6511
0,6676
0,6840
0,7004
0,7167
0,7330
0,7492
0,7654
0,7815
0,7975
0,8135
0,8294
0,8452
0,8610
0,8767
0,8924
0,9080
0,9235
0,9389
0,9543
0,9696
0,9848
1,0000
1,0151
1,0301
1,0450
1,0598
1,0746
1,0893
1,1039
1,1184
1,1328
1,1472
1,1614
1,1756
1,1896
1,2036
1,2175
1,2313
1,2450
1,2586
1,2722
а
~h
19,86
19,03
18,26
17,55
16,90
16,29
15,72
15,19
14,70
14,23
13,79
13,38
12,99
12,63
12,28
11,95
11,64
11,34
11,06
10,79
10,53
10,29
10,05
9,83
9,62
9,41
9,21
9,02
8,84
8,66
8,49
8,33
8,17
8,02
7,88
7,73
7,60
7,46
7,34
7,21
7,09
6,97
6,86
6,75
6,65
6,54
6,44
6,34
6,25
6,16
6,07
5,98
5,89
5,81
5,73
5,65
5,57
Площадь
сегмента
0,00535
0,00607
0,00686
0,00771
0,00862
0,00961
0,01067
0,01180
0,01301
0,01429
0,01566
0,01711
0,01864
0,02027
0,02198
0,02378
0,02568
0,02767
0,02976
0,03195
0,03425
0,03664
0,03915
0,04176
0,04448
0,04731
0,05025
0,05331
0,05649
0,05978
0,06319
0,6673
0,07039
0,07417
0,07808
0,08212
0,08629
0,09d59
0,09502
0,09958
0,10428
0,10911
0,11408
0,11919
0,12443
0,12982
0,13535
0,14102
0,14683
0,15279
0,15889
0,16514
0,17154
0,17808
0,18477
0,19160
t19859

ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА
59
Продолжение
Центр.
угол ос°
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112 •
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
Длина
ДУГИ /
1,3963
1,4137 .
1,4312
1,4486
1,4661
1,4835
1,5010
1,5184
1,5359
1,5533
1,5708
1,5882
1,6057
1,6232
1,6406
1,6581
1,6755
1,6930
1,7104
1,7279
1,7453
1,7668
1,7802
1,7977
1,8151
1,8326
1,8500
1,8675
1,8850
1,9024
1,9199
1,9373
1,9548
1,9722
1,9897
2,0071
2,0246
2,0420
2,0595
2,0769
2,0944
2,1118
2,1293
2,1468
2,1642
2,1817
2,1991
2,2166
2,2340
2,2515
2,2689
2,2864
2,3038
2,3213
2,3387
2,3562
2,3736
2,3911
Стрелка h
0,2340
0,2396
0,2453
0,2510
0,2569
0,2627
0,2686
0,2746
0,2807
0,2867
0,2929
0,2991
0,3053
0,3116
0,3180
0,3244
0,3309
0,3374
0,3439
0,3506
0,3572
0,3639
0,3707
0,3775
0,3843
0,3912
0,3982
0,4052
0,4122
0,4193
0,4264
0,4336
0,4408
0,4481
0,4554
0,4627
0,4701
0,4775
0,4850
0,4925
0,5000
0,5076
0,5152
0,5228
0,5305
0,5383
0,5460
0,5538
0,5616
0,5695
0,5774
0,5853
0,5933 ~
0,6013
0,6093
0,6173
0,6254
0,6335
/
~h
5,97
5,90
5,83
5,77
5,71
5,65
5,59
5,53
5,47
5,42
5,36
5,31
5,26
5,21
5,16
5,11
5,06
5,02
4,97
4,93
4,89
4,84
4,80
4,76
4,72
4,68
4,65
4,61
4,57
4,54
4,50
4,47
4,43
4,40
4,37
4,34
4,31
4,28
4,25
4,22
4,19
4,16
4,13
4,11
4,08
4,05
4,03
4,00
3,98
3,95
3,93
3,91
3,88
3.86
3,84
3,82
3,80
3,77
Длина
хорды а
,2856
,2989
1,3121
1,3252
1,3383
1,3512
1,3640
1,3767
1,3893
1,4018
1,4142
1,4265
1,4387
1,4507
1,4627
1,4746
1,4863
1,4979
1,5094
1,5208
1,5321
1,5432
1,5543
1,5652
1,5760
1,5867
1,5973
1,6077
1,6180
1,6282
1,6383
1,6483
1,6581
1,6678
1,6773
1,6868
1,6961
1,7053
1,7143
1,7233
1,7321
1,7407
1,7492
1,7576
1,7659
1,7740
1,7820
1,7899
1,7976
1,8052
1,8126
1,8199
1,8271
1,8341
1,8410
1,8478
1,8544
1,8608
а
__ J
5,49
5,42
5,35
5,28
5,21
5,14
5,08
5,01
4,95
4,89
4,83
4,77
4,71
4,66
4,60
4,55
4,49
4,44
4,39
4,34
4,29
4,24
4,19
4,15
4,10
4,06
4,01
3,97
3,93
3,88
3,84
3,80
3,76
3,72
3,68
3,65
3,61
3,57
3,53
3,50
3,46
3,43
3,40
3,36
3,33
3,30
3,26
3,23
3,20
3,17
3,14
3,11
3,08
3,05
3,02
2,99
2,97
2,94
Площадь
сегмента
0,20573
0,21301
0,22045
0,22804
0,23578
0,24367
0,25171
0,25990
0,26825
0,27675
0,28540
0,29420
0,30316
0,31226
0,32152
0,33093
0,34050
0,35021
0,36008
0,37009
0,38026
0,39058
0,40104
0,41166
0,42242
0,43333
0,44439
0,45560
0,46695
0,47845
0,49008
0,50187
0,51379
0,52586
0,53806
0,55041
0,56289
0,57551
0,58827
0,60116
0,61418
0,62734
0,64063
0,65404
0,66759
0,68125
0,69505
0,70897
0,72301
0,73716
0,75144
0,76584
0,78034
0,79497
0,80970
0,82454
0,83949
0,85455

60
ТАБЛИЦЫ
Продо 1жение
Центр.
угол а
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
Длина
дуги /
2,3911
2,4086
2,4260
2,4435
2,4609
2,4784
2,4958
2,5133
2,5307
2,5482
2,5656
2,5831
2,6005
2,6180
2,6354
2,6529
2,6704
2,6878
2,7053
2,7227
2,7402
2,7576
2,7751
2,7925
2,8100
2,8274
2,8449
2,8623
2,8798
2,8972
2,9147
2,9322
2,9496
2,9671
2,9845
3,0020
3,0194
3,0369
3,0543
3,0718
3,0892
3,1067
3,1241
3,1416
Стрелка h
0,6335
0,6416
0,6498
0,6580
0,6662
0,6744
0,6827
0,6910
0,6993
0,7076
0,7160
0,7244
0,7328
0,7412
0,7496
0,7581
0,7666
0,7750
0,7836
0,7921
0,8006
0,8092
0,8178
0,8264
0,8350
0,8436
0,8522
0,8608
0,8695
0,8781
0,8868
0,8955
0,9042
0,9128
0,9215
0,9302
0,9390
0,9477
0,9564
0,9651
0,9738
0,9825
0,9913
1,0000
/
h
3,77
3,75
3,73
3,71
3,69
3,67
3,66
3,64
3,62
3,60
3,58
3,57
3,55
3,53
3,52
3,50
3,48
3,47
3,45
3,44
3,42
3,41
3,39
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,31
3,30
3,29
3,27
3,26
3,25
3,24
3,23
3,22
3,20
3,19
3,18
3,17
3,16
3,15
3.14
Длина
хорды а
,8608
,8672
,8733
,8794
,8853
,8910
,8966
1,9021
1.9074
1,9126
1,9176
1,9225
1,9273
1,9319
1,9363
1,9406
1,9447
1,9487
1,9526
1,9563
1.9598
1,9633
1,9665
1,9696
1,9726
1,9754
1,9780
1,9805
1,9829
1,9851
1,9871
1,9890
1,9908
1,9924
1,993.8
1,9951
1,9963
1,9973
1,9981
1,9988
1,9993
1,9997
1,9999
2,0000
а
h
2,94
2,91
2,88
2,86
2,83
2,80
2,78
2,75
2,73
2,70
2,68
2,65
2,63
2,61
2,58
2,56
2.54
2,51
2,49
2,47
2,45
2,43
2,40
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,28
2.26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,11
2г09
2,07
2,05
2,04
2,02
2,00
Площадь
сег мента
0,85455
0,86971
0,88497
0,90034
0,91580
0,93135
0,94700
0,96274
0,97858
0,99449
1,01050
1,02658
1,04275
1,05900
1,07532
1,09171
,10818
,12472
,14132
,15799
.17472
,19151
,20835
,22525
,24221
,25921
,27626
,29335
,31049
,32766
,34487
,36212
,37940
,39671
,41404
,43140
,44878
,46617
,48359
,50101
,51845
,53589
,55334
1,57080
Объяснения к таблицам 1.1.1.13,
1.1.1.14 и 1.1.1.15.
Таблицы 1.1.1.13 и 1.1.1.14 дают значения
длины окружности и площади круга диаметра d,
лежащего между d = 1,00 и d = 10,0, с четырьмя
значащими цифрами. Если диаметр круга лежит вне
этих границ, то площадь или длина окружности
определяется для диаметра \0kd или 10"kd.
Найденное число затем умножается в случае длины
окружности соответственно на 10* или 10"*, а в
случае площади круга — на 102к или 10к. Если
число значащих цифр у d больше трех, необходимо
прибегнуть к интерполяции.
Примеры. 1) Для d = 69,3 длина окружности равна
217,7, а площадь круга 3772. 2) Для d = 0,693 длина
окружности равна 2,177, а площадь круга 0,3772.
В таблицах 1.1.1.15 даны элементы сегмента
круга (рис. 1.1). Таблица 1.1.1.15.1 относится к
сегментам кругов любых
радиусов с длиной хорды, равной
единице. Если при
заданном подъеме (отношении
стрелки к хорде) длина
хорды равна а, то приведенное
в таблице значение длины
дуги должно быть умножено
на а, а площадь сегмента -
на а2.
Таблица 1.1.1.15.2 содержит данные,
относящиеся к любым сегментам одной и той же
окружности радиуса, равного единице. Если длина
радиуса равна г, то табличные значения /, h и а
Рйс 1 1

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ
61
должны быть умножены на г, а площадь сегмента -
на г2. Если задаются длина дуги / (или хорда а)
и стрелка h, то радиус сегмента г равен
отношению / (или а) к табличному значению длины дуги
(или хорды), соответствующему данному значению
l/h (или a/h).
Пример. Если длина хорды кругового сегмента а =
= 40 см, а стрелка А = 6 см, то для нахождения длины дуги
/ вычисляем величину А/а = 0,15 и умножаем
соответствующее табличное значение / (таблица 1.1.1.15.1) на 40:
/ = 40 • 1,0590 = 42,36 см. Радиус сегмента г и центральный
угол а определяются с помощью таблицы 1.1.1.15.2. Для
a/h = 6,67 табличное значение для а равно 1,1010 и а = 66,8°
(линейная интерполяция). Отсюда следует, что г = 40:1,1010 =
= 36,33 см. Теперь можно определить длину дуги / с
помощью таблицы 1.1.1.15.2: / = 36,33 • 1,1661 = 42,36 см.
Примеры использования
1) 52° 37 23"
50° = 0,872665
2° = 0,034907
30' = 0,008727
7' = 0,002036
20" = 0,000097
3" = 0,000015
0,918447
52° 37' 23" = 0,91845 рад
таблицы 1.1.1.16.
2) 5,645 рад
5,235988 = 300°
0,409012
0,401426
0,007586
0,005818 =
0,001768
0,001745 =
23°
20'
6'
Радиан — это плоский
соответствующая длина
(обозначение: рад). Дуга,
радиусу, имеет градусную
0,000023 = 5"
5,645 рад = 323° 26' 5"
угол, для которого
дуги равна радиусу
длина которой равна
меру 57°17'44,8".
1.1.1.16. Перевод
Уюл
1°
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Дуга
0,017453
0,034907
0,052360
0,069813
0,087266
0,104720
0,122173
0,139626
0,157080
0,174533
0,191986
0,209440
0,226893
0,244346
0,261799
0,279253
0,296706
0,314159
0,331613
0,349066
градусной
Угол
21°
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
меры в раднанную. (Длина дуги
Дуга
0,366519
0,383972
0,401426
0,418879
0,436332
0,453786
0,471239
0,488692
0,506145
0,523599
0,541052
0,558505
0,575959
0,593412
0,610865
0,628319
0,645772
0,663225
0,680678
0,698132
Угол
45°
50
55
60
65
70
75
80
85
90
100
120
150
180
200
250
270
300
360
400
Дуга
0,785398
0,872665
0,959931
1,047198
,134464
,221730
,308997
,396263
,483530
,570796
,745329
2,094395
2,617994
3,141593
3,490659
4,363323
4,712389
5,235988
6,283185
6,981317
окружности радиуса
Угол
1
:
з
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
Дуга
0,000291
0,000582
0,000873
0,001164
0,001454
0,001745
0,002036
0,002327
0,002618
0,002909
0,005818
0,008727
0,011636
0,014544
1)
Угол
1"
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
Дуга
0,000039
0,000044
0,000048
0,000097
0,000145
0,000194
0,000242
0,000005
0,000010
0,000015
0,000019
0,000024
0,000029
0,000034
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.1.1.17. Пропорциональные части.
11
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
6,6
7,7
8,8
9,9
21
2,1
4,2
6,3
8,4
10,5 •
12,6
14,7
16,8
18,9
12
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
10,8
22
2,2
4,4
6,6
8,8
11,0
13,2
15,4
17,6
19,8
13
1,3
2,6
3,9
5,2
6,5
7,8
9,1
10,4
11,7
23
2,3
4,6
6,9
9,2
11,5
13,8
16,1
18,4
20,7
14
1,4
2,8
4,2
5,6
7,0
8,4
9,8
11,2
12,6
24
2,4
4,8
7,2
9,6
12,0
14,4
16,8
19,2
21,6
15
1,5
3,0
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
13,5
25
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
17,5
20,0
22,5
16
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0
9,6
11,2
12,8
14,4
26
2,6
5,2
7,8
10,4
13,0
15,6
18,2
20,8
23,4
17
1,7
3,4
5,1
6,8
8,5
10,2
11,9
13,6
15,3
27
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
18,9
21,6
24,3
18
1,8
3,6
5,4
7,2
9,0
10,8
12,6
14,4
16,2
28
2,8
5,6
8,4
11,2
14,0
16,8
19,6
22,4
25,2
19
1,9
3,8
5,7
7,6
9,5
11,4
13,3
15,2
17,1
29
2,9
5,8
8,7
11,6
14,5
17,4
20,3
23,2
26,1
20
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
30
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
18,0
21,0
24,0
27,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9

62
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
31
3,1
6,2
9,3
12,4
15,5
18,6
21,7
24,8
27,9
41
4,1
8,2
12,3
16,4
20,5
24,6
28,7
32,8
36,9
51
5,1
10,2
15,3
20,4
25,5
30,6
35,7
40,8
45,9
61
6,1
12,2
18,3
24,4
30,5
36,6
42,7
48,8
54,9
32
3,2
6,4
9,6
12,8
16,0
19,2
22,4
25,6
28,8
42
4,2
8,4
12,6
16,8
21,0
-25,2
29,4
33,6
37,8
52
5,2
10,4
15,6
20,8
26,0
31,2
36,4
41,6
46,8
62
6,2
12,4
18,6
24,8
31,0
37,2
43,4
49,6
55,8
33
3,3
6,6
9,9
13,2
16,5
19,8
23,1
26,4
29,7
43
4,3
8,6
12,9
17,2
21,5
25,8
30,1
34,4
38,7
53
5,3
10,6
15,9
21,2
26,5
31,8
37,1
42,4
47,7
63
6,3
12,6
18,9
25,2
31,5
37,8
44,1
50,4
56,7
34
3,4
6,8
10,2
13,6
17,0
20,4
23,8
27,2
30,6
44
4,4
8,8
13,2
17,6
22,0
26,4
30,8
35,2
39,6
54
5,4
10,8
16,2
21,6
27,0
32,4
37,8
43,2
48,6
64
6,4
12,8
' 19,2
25,6
32,0
38,4
44,8
51,2
57,6
35
3,5
7,0
10,5
14,0
17,5
21,0
24,5
28,0
31,5
45
4,5
9,0
13,5
18,0
22,5
27,0
31,5
36,0
40,5
55
5,5
11,0
16,5
22,0
27,5
33,0
38,5
44,0
49,5
65
6,5
13,0
19,5
26,0
32,5
39,0
45,5
52,0
58,5
36
3,6
7,2
10,8
14,4
18,0
21,6
25,2
28,8
32,4
46
4,6
9,2
13,8
18,4
23,0
27,6
32,2
36,8
41,4
56
5,6
11,2
16,8
22,4
28,0
33,6
39,2
44,8
50,4
66
6,6
13,2
19,8
26,4
33,0
39,6
46,2
52,8
59,4
37
3,7
7,4
11,1
14,8
18,5
22,2
25,9
29,6
33,3
47
4,7
9,4
14,1
18,8
23,5
28,2
32,9
37,6
42,3
57
5,7
11,4
17,1
22,8
28,5
34,2
39,9
45,6
51,3
67
6,7
13,4
20,1
26,8
33,5
40,2
46,9
53,6
60,3
38
3,8
7,6
11,4
15,2
19,0
22,&
26,6
30,4
34,2
48
4,8
9,6
14,4
19,2
24,0
28,8
33,6
38,4
43,2
58
5,8
11,6
17,4
23,2
29,0
34,8
40,6
46,4
52,2
68
6,8
13,6
20,4
27,2
34,0
40,8
47,6
54,4
61,2
39
3,9
7,8
11,7
15,6
19,5
23,4'
27,3
31,2
35,1
49
4,9
9,8
14,7
19,6
24,5
29,4
34,3
39,2
44,1
59
5,9
11,8
17,7
23,6
29,5
35,4
41,3
47,2
53,1
69
6,9
13,8
20,7
27,6
34,5
41,4
48,3
55,2
62,1
40
4,0
8,0
12,0
16,0
20,0
24,0
28,0
32,0
36,0
50
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
60
6,0
12,0
18,0
24,0
30,0
36,0
42,0
48,0
54,0
70
7,0
14,0
21,0
28,0
35,0
42,0
49,0
56,0
63,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9

ТАБЛИЦА ДЛЯ КВАДРАТИЧНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
63
Продолжение
1
2
3
.4
5
6
7
8
9
,
2
3
4
5
6
7
8
9
71
7,1
14,2
21,3
28,4
35,5
42,6
49,7
56,8
63,9
81
8,1
16,2
24,3
32,4
40,5
48,6
56,7
64,8
72,9
72
7,2
14,4
21,6
28,8
36,0
43,2
50,4
57,6
64,8
82
8,2
16,4
24,6
32,8
41,0
49,2
57,4
65,6
73,8
73
7,3
14,6
21,9
29,2
36,5
43,8
51,1
58,4
65,7
83
8,3
16,6
24,9
33,2
41,5
49,8
58,1
66,4
74,7
74
7,4
14,8
22,2
29,6
37,0
44,4
51,8
59,2
66,6
84
8,4
16,8
25,2
33,6
42,0
50,4
58,8
67,2
75,6
75
7,5
15,0
22,5
30,0
37,5
45,0
52,5
60,0
67,5
85
8,5
17,0
25,5
34,0
42,5
51,0
59,5
68,0
76,5
76
7,6
15,2
22,8
30,4
38,0
45,6
53,2
60,8
68,4
86
8,6
17,2
25,8
34,4
43,0
51,6
60,2
68,8
77,4
77
7,7
15,4
23,1
30,8
38,5
46,2
53,9
61,6
69,3
87
8,7
17,4
16,1
34,8
43,5
52,2
60,9
69,6
78,3
78
7,8
15,6
23,4
31,2
39,0
46,8
54,6
62,4
70,2
88
8,8
17,6
26,4
35,2
44,0
52,8
61,6
70,4
79,2
79
7,9
15,8
23,7
31,6
39,5
47,4
55,3
63,2
71,1
89
8,9
17,8
26,7
35,6
44,5
53,4
62,3
71,2
80,1
80
8,0
• 16,0
- 24,0
32,0
40,0
48,0
56,0
64,0
72,0
90
9,0
18,0
27,0
36,0
45,0
54,0
63,0
72,0
81,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.1
к
0,000
0,002
0,006
0,010
0,014
0,018
0,022
0,026
0,030
0,035
0,039
0,043
0,048
0,052
0,057
0,061
0,066
.1.18. Таблица для
*i
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,10
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
к
1,000
0,998
0,994
0,990
0,986
0,982
0,978
0,974
0,970
0,965
0,961
0,957
0,952
0,948
0,943
0,939
0,934
квадратичного интерполирования.
к
0,066
0,071
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,100
0,105
0,110
0,115
0,120
0,125
0,131
0,136
0,142
0,147
*1
0,016
0,017
0,018
0,019
0,020
0,021
0,022
0,023
0,024
0,025
0,026
0,027
0,028
0,029
0,030
0,031
к
0,934
0,929
0,925
0,920
0,915
0,910
0,905
0,900
0,895
0,890
0,885
0,880
0,875
0,869
0,864
0,858
0,853
к
0,147
0,153
0,159
0,165
0,171
0,177
0,183
0,190
0,196
0,203
0,210
0,217
0,224
0,231
0,239
0,247
0,225
*1
0,032
0,033
0,034
0,035
0,036
0,037
0,038
0,039
0,040
0,041
0,042
0,043
0,044
0,045
0,046
0,047
к
0,853
0,847
0,841
0,835
0,829
0,823
0,817
0,810
0,804
0,797
0,790
0,783
0,776
0,769
0,761
0,753
0,745
к
0,255
0,263
0,271
0,280
0,290
0,300
0,310
0,321
0,332
0,345
0,358
0,373
0,390
0,410
0,436
0,500
*1
0,048
0,049
0,050
0,051
0,052
0,053
0,054
0,055
0,056
_А057
0,058
0,059
0,060
0,061
0,062
к
0,745
0,737
0,729
0,720
0,710
0,700
0,690
0,679
0,668
0,655
0,642
0,627
0,610
0,590
0,564
0,500

64
ТАБЛИЦЫ
Всем значениям к, заключенным между
смежными числами столбца к (как правого, так и
левого), соответствует одно и то же значение ки
помещенное между этими смежными значениями
к. «Критическим» (табличным) значениям к
соответствует вышележащее /с,.
Примеры. 1) Для к =0,8 находим /cj =0,040 (так же
как и для всех других к, заключенных между 0,797 и 0,804
или между 0,196 и 0,203).
2) Для к = 0,3 (или для к = 0,7) кх = 0,052.
1.1.2. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1.2.1. Гамма-функция.
X
1
1,00
01
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
1,15 '
16
17
18
19
1,20
21
22
23
24
1,25
Г(\)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
л*
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1,50
Г(у)
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0.89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88563
0,88575
0,88595
0,88623
Y
1,50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
1,65
66
67
68
69
1,70
71
72
73
74
1,75
Г(л-)
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0.89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
V
1,75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
1,85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
1,95
96
97
98
99
2,00
Г(л-)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0.95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
Значения гамма-функции для х < 1 (х Ф 0, — 1,
— 2, ...) и для х > 2> могут быть вычислены при
помощи формул
Г (х) = — ~, Г (х) = (х
Примеры. 1) Г@,7) = ГA,7)/0,7 = 0,90864/0,7 = 1,2981.
2) ГC,5) - 2,5 • ГB,5) = 2,5 • 1,5 • ГA,5) = 2,5-1,5-0,88623 =
= 3,32336.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
65
1.1.2.2.
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
Бесселевы (цилиндрические) функции.
Jo(x)
+ 1,0000
0,9975
0,9900
0,9776
0,9604
+ 0,9385
0,9120
0,8812
0,8463
0,8075
+ 0,7652
0,7196
0,6711
0,6201
0,5669
+ 0,5118
0,4554
0,3980
0,3400
0,2818
+ 0,2239
0,1666
0,1104
0,0555 '
0,0025
-0,0484
0,0968
0,1424
0,1850
0,2243
--0,2601
0,2921
0,3202
0,3443
0,3643
-0,3801
0,3918
0,3992
0,4026
0,4018
-0,3971
0,3887
0,3766
0,3610
0,3423
-0,3205
0,2961
0.2693
0,2404
0,2097
Jx(x)
+ 0,0000
0,0499
0,0995
0,1483
0,1960
+ 0,2423
0,2867
0,3290
0,3688
0,4059
+ 0,4401
0,4709
0,4983
0,5220
0,5419
+ 0,5579
0,5699
0,5778
0,5815
0,5812
+ 0,5767
0,5683
0,5560
0,5399
0,5202
+ 0,4971
0,4708
0,4416
0,4097
0,3754
+ 0,3391
0,3009
0,2613
0,2207
0,1792
+ 0,1374
0,0955
0,0538
+ 0,0128
-0,0272
-0,0660
0,1033
0,1386
0,1719
0,2028
-0,2311
0,2566
0,2791
0,2985
0,3147
Y0(x)
— х
-1,5342
1,0811
0,8073
0,6060
-0,4445
0,3085
0,1907
-0,0868
+ 0,0056
+ 0,0883
0,1622
0,2281
0,2865
0,3379
+ 0,3824
0,4204
0,4520
0,4774
0,4968
+ 0,5104
0,5183
0,5208
0,5181
0,5104
+ 0,4981
0,4813
0,4605
0,4359
0,4079
+ 0,3769
0,3431
0,3070
0,2691
0,2296
+ 0,1890
0,1477
0,1061
0,0645
+ 0,0234
-0,0169
0,0561
0,0938
0,1296
0,1633
-0,1947
0,2235
0,2494
0,2723
0,2921
Yx(x)
— ос
-6,4590
3,3238
2,2931
1,7809
-1,4715
1,2604
1,1032
0,9781
0,8731
-0,7812
0,6981
0,6211
0,5485
0,4791
-0,4123
0,3476
0,2847
0,2237
0,1644
-0,1070
-0,0517
+ 0,0015
0,0523
0,1005
+ 0,1459
0,1884
0,2276
0,2635
0,2959
+ 0,3247
0,3496
0,3707
0,3879
0,4010
+ 0,4102
0,4154
0,4167
0,4141
0,4078
+ 0,3979
0,3846
0,3680
0,3484
0,3260
+ 0,3010
0,2737
0,2445
0,2136
0,1812
/о (х)
1,000
1,003
1,010
1,023
1,040
1,063
1,092
1,126
1,167
1,213
1,266
1,326
1,394
1,469
1,553
1,647
1,750
1,864
1,990
2,128
2,280
2,446
2,629
2,830
3,049,
3,290
3,553
3,842
4,157
4,503
4,881
5,294
5,747
6,243
6,785
7,378
8,028
8,739
9,517
10,37
11,30
12,32
13,44
14,67
16,01
17,48
19,09
20,86
22,79
24,91
0,0000
0,0501
0,1005
0,1517
0,2040
0,2579
0,3137
0,3719
0,4329
0,4971
0,5652
0,6375
0,7147
0,7973
0,8861
0,9817
1,085
1,196
1,317
1,448
1,591
1,745
1,914
2,098
2,298
2,517
2,755
3,016
3,301
3,613
3,953
4,326
4,734
5,181
5,670
6,206
6,793
7,436
8,140
8,913
9,759
10,69
11,71
12,82
14,05
15,39
16;86
18,48
20,25
22,20
К0(х)
X
2,4271
1,7527
1,3725
1,1145
0,9244
0,7775
0,6605
0,5653
0,4867
0,4210
0,3656
0,3185
0,2782
0,2437
0,2138
0,1880
0,1655
0,1459
0,1288
0,1139
0,1008
0,08927
0,07914
0,07022
0,06235
0,05540
0,04926
0,04382
0,03901
0,03474
0,03095
0,02759
0,02461
0,02196
0,01960
0,01750
0,01563
0,01397
0,01248
0,01116
0,009980
0,008927
0,007988
0,007149
0,006400
0,005730
0,005132
0,004597
0,0041119
К,(х)
X
9,8538
4,7760
3,0560
2,1844
1,6564
1,3028
1,0503
0,8618
0,7165
0,6019
0,5098
0,4346
0,3725
0,3208
0,2774
0,2406
0,2094
0,1826
0,1597
0,1399
0,1227
0,1079
0,09498
0,08372
0,07389
0,06528
0,05774
0,05111
0,04529
0,04016
0,03563
0,03164
0,02812
0,02500
0,02224
0,01979
0,01763
0,01571
0,01400
0,01248
0,01114
0,009938
0,008872
0,007923
0,007078
0,006325
0,005654
0,005055
0,004521
3 И Н Бронштейн, К А Семендяе

66
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
X
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
J0(x)
-0,1776
0,1443
0,1103
0,0758
0,0412
-0,0068
+ 0,0270
0,0599
0,0917
0,1220
+ 0,1506
0,1773
0,2017
0,2238
0,2433
+ 0,2601
0,2740
0,2851
0,2931
0,2981
+ 0,3001
0,2991
0,2951
0,2882
0,2786
+ 0,2663
0,2516
0,2346
0,2154
0,1944
+ 0,1717
0,1475
0,1222
0,0960
0,0692
+ 0,0419
+ 0,0146
-0,0125
0,0392
0,0653
-0,0903
0,1142
0,1367
0,1577
0,1768
-0,1939
0,2090
0,2218
0,2323
0,2403
-0,2459
Jx(x)
-0,3276
0,3371
0,3432
0,3460
0,3453
-0,3414
0,3343
0,3241
0,3110
0,2951
-0,2767
0,2559
0,2329
0,2081
0,1816
-0,1538
0,1250
0,0953
0,0652
0,0349
-0,0047
+ 0,0252
0,0543
0,0826
0,1096
+ 0,1352
0,1592
0,1813
0,2014
0,2192
+ 0,2346
0,2476
0,2580
0,2657
0,2708
+ 0,2731
0,2728
0,2697
0,2641
0,2559
+ 0,2453
0,2324
0,2174
0,2004
0,1816
+ 0,1613
0,1395
0,1166
0,0928
0,0684
+ 0,0435
4х)
-0,3085
0,3216
0,3313
0,3374
0,3402
-0,3395
0,3354
0,3282
0,3177
0,3044
-0,2882
0,2694
0,2483
0,2251
0,1999
-0,1732
0,1452
0,1162
0,0864
0,0563
-0,0259
+ 0,0042
0,0339
0,0628
0,0907
+ 0,1173
0,1424
0,1658
0,1872
0,2065
+ 0,2235
0,2381
0,2501
0,2595
0,2662
+ 0,2702
0,2715
0,2700
0,2659
0,2592
+ 0,2499
0,2383
0,2245
0,2086
0,1907
+ 0,1712
0,1502
0,1279
0,1045
0,0804
+ 0,0557
Yx(x)
+ 0,1479
0,1137
0,0792
0,0445
+ 0,0101
-0,0238
0,0568
0,0887
0,1192
0,1481
-0,1750
0,1998
0,2223
0,2422
0,2596
-0,2741
0,2857
0,2945
0,3002
0,3029
-0,3027
0,2995
0,2934
0,2846
0,2731
-0,2591
0,2428
0,2243
0,2039
0,1817
-0,1581
0,1331
0,1072
0,0806
0,0535
-0,0262
+ 0,0011
0,0280
0,0544
0,0799
+ 0,1043
0,1275
0.1491
0,1691
0,1871
+ 0,2032
0,2171
0,2287
0,2379
0,2447
+ 0,2490
Щх)
27,24
29,79
32,58
35,65
39,01
42,69
46,74
51,17
56,04
61,38
67,23
73.66
80,72
88,46
96,96
106,3
116,5
127,8
140,1
153,7
168,6
185,0
202,9
222,7
244,3
268,2
294,3
323,1
354,7
389,4
427,6
469,5
515,6
566,3
621,9
683,2
750,5
824,4
905,8
995,2
1094
1202
1321
1451
1595
1753
1927
2119
2329
2561
2816
Ix(x)
24,34
26,68
29,25
32,08
35,18
38,59
42,33
46,44
50,95
55,90
61,34
67,32
73,89
81,10
89,03
97,74
107,3
117,8
129,4
142,1
156,0
171,4
188,3
206,8
227,2
249,6
274,2
301,3
331,1
363,9
399,9
439,5
483,0
531,0
583,7
641,6
705,4
775,5
852,7
937,5
1031
1134
1247
1371
1508
1658
1824
2006
2207
2428
2671
К0(х)
0,00
3691
3308
2966
2659
2385
2139
1918
1721
1544
1386
1244
1117
1003
09001
08083
07259
06520
05857
05262
04728
04248
03817
03431
03084
02772
02492
02240
02014
01811
01629
01465
01317
01185
01066
009588
008626
007761
006983
006283
(Ю5654
005088
004579
004121
003710
003339
003006
002706
002436
002193
001975
001778
Кг(х)
0,00
4045
3619
3239
2900
2597
2326
2083
1866
1673
1499
1344
1205
1081
09691
08693
07799
06998
06280
05636
05059
04542
04078
03662
03288
02953
02653
02383
02141
01924
01729
01554
01396
01255
01128
01014
009120
008200
007374
006631
005964
005364
004825
004340
003904
003512
003160
002843
002559
002302
002072
001865

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
67
1.1.2.3. Полиномы Лежандра
V =/>,(*)
0,0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
-0,5000
-0,4962
-0,4850
-0,4662
-0,4400
-0,4062
-0,3650
-0,3162
-0,2600
-0,1962
-0,1250
-0,0462
+ 0,0400
0,1338
0,2350
0,3438
0,4600
0,5838
0,7150
0,8538
1,0000
(шаровые функции).
0,0000
-0,0747
-0,1475
-0,2166
-0,2800
-0,3359
-0,3825
-0,4178
-0,4400
-0,4472
-0,4375
-0,4091
-0,3600
-0,2884
-0,1925
-0,0703
+ 0,0800
0,2603
0,4725
0,7184
1,0000
Р4(х)
0,3750
0,3657
0,3379
0,2928
0,2320
0,1577
+ 0,0729
-0,0187
-0,1130
-0,2050
-0,2891
-0,3590
-0,4080
-0,4284
-0,4121
-0,3501
-0,2330
-0,0506
+ 0,2079
0,5541
1,0000
Р?х)
0,0000
0,0927
0,1788
0,2523
0,3075
0,3397
0,3454
0,3225
0,2706
0,1917
+ 0,0898
-0,0282
-0,1526
-0,2705
-0,3652
-0.4164
-0,3995
-0,2857
-0,0411
+ 0,3727
1,0000
рь(х)
-0,3125
-0,2962
-0,2488
-0,1746
-0,0806
+ 0,0243
0,1292
0,2225
0,2926
0,3290
0,3232
0,2708
0.1721
+ 0.0347
-0,1253
-0,2808
-0,3918
-0,4030
-0,2412
+ 0,1875
1,0000
Р7(х)
0,0000
-0,1069
-0,1995
-0,2649
-0,2935
-0,2799
-0,2241
-0,1318
-0,0146
+ 0,1106
0,2231
0,3007
0,3226
0,2737
+ 0,1502
-0,0342
-0,2397
-0,3913
-0,3678
+ 0,0112
1,0000
Р0(х)=1,
р5 (х) = 4-F3х5 - 70х3 + 15х),
о
Р6(х) = — B31х6 - 315х4 + 105х2 - 5),
16
р7 (
D29x7 - 693х5 + 315х3 - 35х).
1.1.2.4. Эллиптические интегралы.
1.1.2.4.1. Эллиптические интегралы 1-го рода: F(k, <р), к =¦ sina.
ф
0°
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0°
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10°
0,0000
0,1746
0,3493
0,5243
0,6997
0,8756
1,0519
1,2286
1,4056
1,5828
20°
0,0000
0,1746
0,3499
0,5263
0,7043
0,8842
1,0660
1,2495
1,4344
1,6200
30°
0,0000
0,1748
0,3508
0,5294
0,7116
0,8982
1,0896
1,2853
1,4846
1,6858
40°
0,0000
0,1749
0,3520
0,5334
0,7213
0,9173
1,1226
1,3372
1,5597
1,7868
50°
0,0000
0,1751
0,3533
0,5379
0,7323
0,9401
1,1643
1,4068
1,6660
1,9356
60°
0,0000
0,1752
0,3545
0,5422
0,7436
0,9647
1,2126
1,4944
1,8125
2,1565
70°
0,0000
0,1753
0,3555
0.5459
0,7535
0,9876
1,2619
1,5959
2,0119
2,5046
80°
0,0000
0,1754
0,3561
0,5484
0,7604
1,0044
1,3014
1,6918
2,2653
3,1534
90°
0,0000
0,1754
0,3564
0,5493
0,7629
1,0107
1,3170
1,7354
2,4362
ос
3*

68
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.4.2. Эллиптические интегралы
Ф
0°
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0°
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10°
0,0000
0,1745
0,3489
0,5229
0,6966
0,8698
1,0426
1,2149
1,3870
1,5589
20°
0,0000
0,1744
0,3483
0,5209
0,6921
0,8614
1,0290
1.1949
1,3597
1,5238
30°
0,0000
0,1743
0,3473
0.5179
0,6851
0,8483
1,0076
1,1632
1,3161
1,4675
2-го рода: Е(к,
0
40°
0,0000
0,1742
0,3462
0,5141
0,6763
0,8317
0,9801
1,1221
1,2590
1,3931
i
50°
0,0000
0,1740
0,3450
0,5100
0,6667
0,8134
0,9493
1,0750
1,1926
1,3055
ф), к = sina.
60°
0,0000
0,1739
0,3438
0,5061
0,6575
0,7954
0,9184
1,0266
1,1225
1,2111
70°
0,0000
0,1738
0,3429
0,5029
0,6497
0,7801
0,8914
0,9830
1,0565
1,1184
80°
0,0000
0,1737
0,3422
0,5007
0,6446
0,7697
0,8728
0,9514
1,0054
1,0401
90°
0,0000
0,1736
0,3420
0,5000
0,6428
0,7660
0,8660
0,9397
0,9848
1,0000
1.1.2.4.3.
a°
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Полные
К
,5708
,5709
,5713
,5719
,5727
,5738
,5751
,5767
,5785
,5805
,5828
,5854
,5882
,5913
,5946
,5981
,6020
,6061
1,6105
1,6151
1,6200
1,6252
1,6307
1,6365
1,6426
1,6490
1,6557
1,6627
1.6701
1,6777
1,6858
эллиптические инте!рал!
?
1,5708
1,5707
1,5703
1,5697
1,5689
1,5678
1,5665
1,5649
1,5632
1,5611
1,5589
1,5564
1,5537
1,5507
1,5476
1,5442
1.5405
1,5367
1,5326
1,5283
1,5238
1,5191
1,5141
1,5090
1,5037
1,498!
1,4924
1,4864
1,4803
1,4740
1,4675
ос°
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
К
1,6858
,6941
,7028
,7119
,7214
,7312
,7415
,7522
,7633
,7748
,7868
,7992
,8122
,8256
,8396
,8541
1,8691
1,8848
1,9011
1,9180
1,9356
1,9539
1,9729
1,9927
2,0133
2,0347
2,0571
2,0804
2,1047
2,1300
2,1565
,i: к
' = sina
Е
1,4675
1,4608
1,4539
1,4469
1.4397
1,4323
,4248
,4171
,4092
,4013
,3931
,3849
,3765
,3680
,3594
,3506
,3418
,3329
,3238
,3147
,3055
,2963
1,2870
1,2776
1,2681
1,2587
1,2492
1,2397
1,2301
1,2206
1,2111
a°
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
К
2,1565
2,1842
2,2132
2,2435
2,2754
2,3088
2,3439
2,3809
2,4198
2,4610
2,5046
2,5507
2,5998
2,6521
2.7081
2,7681
2,8327
2,9026
2,9786
3,0617
3,1534
3,2553
3,3699
3,5004
3,6519
3,8317
4,0528
4.3387
4,7427
5,4349
ОО
Е
1,2111
,2015
,1920
,1826
,1732
,1638
,1545
,1453
,1362
,1272
1,1184
1,1096
1,1011
1,0927
1,0844
1,0764
1,0686
1,0611
1,0538
1,0468
1,0401
1,0338
1,0278
1,0223
1,0172
1,0127
1,0086
1,0053
1,0026
1,0008
1,0000
я/2 1
Л. f__*!!„ Г

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
69
1.1
г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2.5. Распределение Пуассона.
X
0,1
0,904837
0,090484
0,004524
0,000151
0,000004
-
-
-
-
0,2
0,818731
0,163746
0,016375
0,001092
0,000055
0,000002
-
-
-
0,3
0,740818
0,222245
0,033337
0,003334
0,000250
0,000015
0,000001
-
-
0,4
0,670320
0,268128
0,053626
0,007150
0,000715
0,000057
0,000004
-
-
0,5
0,606531
0,303265
0,075816
0,012636
0,001580
0,000158
0,000013
0,000001
-
0,6
0,548812
0,329287
0,098786
0,019757
0,002964
0,000356
0,000036
0,000003
-
0,7
0,496585
0,347610
0,121663
0,028388
0,004968
0,000696
0,000081
0,000008
0,000001
0,8
0,449329
0,359463
0,143785
0,038343
0,007669
0,001227
0,000164
0,000019
0,000002
}.
0,9
0,406570
0,365913
0,164661
0,049398
0,011115
0,002001
0,000300
0,000039
0,000004
-
-
-
-
-
-
-
-
—
1,0
0,367879
0,367879
0,183940
0,061313
0,015328
0,003066
0,000511
0,000073
0,000009
0,000001
-
-
-
-
-
-
-
—
1,5
0,223130
0,334695
0,251021
0,125510
0,047067
0,014120
0,003530
0,000756
0,000142
0,000024
0,000004
-
-
-
-
-
-
-
2,0
0,135335
0,270671
0,270671
0,180447
0,090224
0,036089
0,012030
0,003437
0,000859
0,000191
0,000038
0,000007
0,000001
-
-
-
-
—
2,5
0,082085
0,205212
0,256516
0,213763
0,133602
0,066801
0,027834
0,009941
0,003106
0,000863
0,000216
0,000049
0,000010
0,000002
-
-
-
—
3,0
0,049787
0,149361
0,224042
0,224042
0,168031
0,100819
0,050409
0,021604
0,008102
0,002701
0,000810
0,000221
0,000055
0,000013
0,000003
0,000001
-
—
3,5
0,030197
0,105691
0,184959
0,215785
0,188812
0,132169
0,077098
0,038549
0,016865
0,006559
0,002296
0,000730
0,000213
0,000057
0,000014
0,000003
0,000001
—
4,0
0,018316
0,073263
0,146525
0,195367
0,195367
0,156293
0,104196
0,059540
0,029770
0,013231
0,005292
0,001925
0,000642
0,000197
0,000056
0,000015
0,000004
0,000001

70
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
4,5
0,011109
0,049990
0,112479
0,168718
0,189808
0,170827
0,128120
0,082363
0,046329
0,023165
0,010424
0,004264
0,001599
0,000554
0,000178
0,000053
0,000015
0,000004
0,000001
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5,0
0,006738
0,033690
0,084224
0,140374
0,175467
0,175467
0,146223
0,104445
0,065278
0,036266
0,018133
0,008242
0,003434
0,001321
0,000472
0,000157
0,000049
0,000014
0,000004
0,000001
-
-
-
-
-
-
-
-
-
6,0
0,002479
0,014873
0,044618
0,089235
0,133853
0,160623
0,160623
0,137677
0,103258
0,068838
0,041303
0,022529
0,011264
0,005199
0,002228
0,000891
0,000334
0,000118
0,000039
0,000012
• 0,000004
0,000001
-
-
-
-
-
-
-
7,0
0,000912
0,006383
0,022341
0,052129
0,091226
0,127717
0,149003
0,149003
0,130377
0,101405
0,070983
0,045171
0,026350
0,014188
0,007094
0,003311
0,001448
0,000596
0,000232
0,000085
0,000030
0,000010
0,000003
0,000001
-
-
-
-
-
8,0
0,000335
0,002684
0,010735
0,028626
0,057252
0,091604
0,122138
0,139587
0,139587
0,124077
0,099262
0,072190
0,048127
0,029616
0,016924
0,009026
0,004513
0,002124
0,000944
0,000397
0,000159
0,000061
0,000022
0,000008
0,000003
0,000001
-
-
-
9,0
0,000123
0,001111
0,004998
0,014994
0,033737
0,060727
0,091090
0,117116
0,131756
0,131756
0,118580
0,097020
0,072765
0,050376
0,032384
0,019431
0,010930
0,005786
0,002893
0,001370
0,000617
0,000264
0,000108
0,000042
0,000016
0,000006
0,000002
0,000001
-
10,0
0,000045
0,000454
0,002270
0,007867
0,018917
0,037833
0,063055
0,090079
0,112599
0,125110
0,125110
0,113736
0,094780
0,072908
0,052077
0,034718
0,021699
0,012764
0,007091
0,003732
0,001866
0,000889
0,000404
0,000176
0,000073
0,000029
0,000011
0,000004
0,000001
0,000001

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
71
1.1.2.6. Нормальное распределение.
1.1.2.6.1. Плотность распределения вероятности ф(х) =
= —п— е х /z нормированного
нормального распределения.
центрированного
О х
Рис. 1.2
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
U
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
0
3989 
3970-4
3910~~4
3814 4
3683 
3521 4
3332 ~\
3123 4
2897 
2661 ~ 4
2420 ~\
2179
1942
1714
I497
1295 4
1109~4
9405";
7895 ~5
6562 ~5
5399 ~5
4398"^
3547 ~5
2833"^
2239 
1753"^
1358"^
1042" 5
7915~6
5953 
4432"^
3267"^
2384"°
1723 °
1232
8727"^
6119"^
4248"^
2919~^1
1987
1338~8
8926 \
5894"*
3854 ~ я
2494 -\
1598 \
1014"°
6370 I
3961"^
2439 v
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
9246
7754
6438
5292
4307
3470
2768
2186
1709
1323
1014
7697
5782
4301
3167
2309
1667
1191
8426
5902
4093
2810
1910
1286
8567
5652
3691
2387
1528
9684 ~У
6077
3775
2322
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
9089
7614
6316
5186
4217
3394
2705
2134
1667
1289
9871 ~6
7483
5616
4173
3070
2236
1612
1151
8135
5693
3944
2705
1837
1235
8222
5418
3535
2284
1461
9248
5797
3598
2211
3
^ 3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
8933
7477
6195
5082
4128
3319
2643
2083
1625
1256
9606
7274
5454
4049
2975
2165
1560
1112
7853
5490
3800
2604
1766
1186
7890
5194
3386
2185
1396
8830
5530
3428
2105
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
8780
7341
6077
4980
4041
3246
2582
2033
1585
1223
9347
7071
5296
3928
2884
2096
1508
1075
7581
5294
3661
2506
1698
1140
7570
4979
3242
2090
1334
8430
5274
3267
2003
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
ЗОН
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
8628
7206
5960
4879
3955
3174
2522
1984
1545
1191
9094
6873
5143
3810
2794
2029
1459
1038
7317
5105
3526
2411
1633
1094
7263
4772
3104
1999
1275
8047
5030
3112
1907
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2035
1804
1582
1374
1182
1006
8478
7074
5844
4780
3871
3103
2463
1936
1506
1160
8846
6679
4993
3695
2707
1961
1411
1003
7061
4921
3396
2320
1569
1051
6967
4573
2972
1912
1218
7681
4796
2965
1814
7
3980
3932
3847
3725
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
9893 ~5
8329
6943
5730
4682
3788
3034
2406
1888
1468
ИЗО
8605
6491
4847
3584
2623
1901
1364
9689 ~7
6814
4744
3271
2232
1508
1009
6683
4382
2845
1829
1164
7331
4573
2824
1727
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
9728
8183
6814
5618
4586
3706
2965
2349
1842
1431
1100
8370
6307
4705
3475
2541
1840
1319
9358
6575
4573
3149
2147
1449
9687 "8
6410
4199
2723
1749
1112
6996
4360
2690
1643
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3141
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
9566
8038
6687
5508
4491
3626
2898
2294
1797
1394
1071
8140
6127
4567
3370
2461
1780
1275
9037
6343
4408
3032
2065
1393
9299
6147
4023
2606
1672
1062
6676
4156
2561
1563
Замечание. Например, 3989 означает 3989- 10~4.

72
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.6.2. Фу н к ция распределения Фо (х) — <р (t) dt = -== le { ^dt нормированного
J ]/2n J
и центрированного нормального распределения.
О х
Рис 1 3
*
о,с
о,
о,:
о,:
0,4
0,f
\
0,6
0,'
0,i
0,9
1,0
1,
i,:
i,:
)
1,4
1,5
1,6
1,-
1
1,8
1,9
2,0
2,
2,2"
*)
2,3
0
0,0 000
398
793
0,1 179
554
915
0,2 257
580
881
0,3 159
413
643
849
0,4 032
192
332
452
554
641
713
772
821
860
966
892
759
Начиная с
892
означает
1
040
438
832
217
591
950
291
611
910
186
437
655
869
049
207
345
463
564
649
719
778
826
864
474
895
559
2
080
478
871
255
628
985
324
642
939
212
461
686
888
066
222
357
474
573
656
726
783
830
867
906
898
296
3
120
517
910
293
664
0,2 019
357
673
967
238
485
708
907
082
236
370
484
582
664
732
788
834
871
263
900
969
4
160
557
948
331
700
054
389
708
995
264
508
729
925
099
251
382
495
591
671
738
793
838
874
545
903
581
згою места, значение Ф0(х) приведено
ФоB,30) =
0,4892759.
5
199
596
987
368
736
088
422
734
0,3 023
289
531
749
944
115
265
394
505
599
678
744
798
842
877
755
906
133
6
239
636
0,1026
406
772
123
454
764
051
315
554
770
962
131
279
406
515
608
686
750
803
846
880
894
908
625
7
279
675
064
443
808
157
486
794
078
340
577
790
980
147
292
418
525
616
693
756
808
850
883
962
911
060
8
319
714
103
480
844
190
517
823
106
365
599
810
997
162
306
429
535
625
699
761
812
854
886
962
913
437
9
359
753
141
517
879
224
549
852
133
389
621
830
0,4 015
177
319
441
545
633
706
767
817
857
889
893
915
758
с семью знаками после запятой. Например, запись

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
73
Продолжение
.Y
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
5,0
0
0,4918
025
937
903
953
388
965
330
974
449
981
342
986
501
990
324
993
129
995
166
996
631
997
674
998
409
998
922
999
276
999
519
999
683
999
793
999
867
999
915
999
946
999
966
999
997
1
920
237
939
634
954
729
966
358
975
229
981
929
986
938
990
646
993
363
995
335
996
752
997
759
998
469
998
964
999
305
999
539
999
696
999
802
999
872
999
918
999
948
999
968
2
922
397
941
323
956
035
967
359
975
988
982
498
987
361
990
957
993
590
995
499
996
869
997
842
998
527
999
004
999
333
999
557
999
709
999
811
999
878
999
922
999
951
999
969
3
924
506
942
969
957
308
968
333
976
726
983
052
987
111
991
260
993
810
995
658
996
982
997
922
998
583
999
043
999
359
999
575
999
721
999
819
999
883
999
925
999
953
999
971
4
926
564
944
574
958
547
969
280
977
443
983
589
988
171
991
553
994
024
995
811
997
091
997
999
998
637
999
080
999
385
999
593
999
733
999
826
999
888
999
929
999
955
999
972
5
928
572
946
139
959
754
970
202
978
140
984
111
988
558
991
836
994
230
995
• 959
997
197
998
074
998
689
999
116
999
409
999
609
999
744
999
834
999
893
999
932
999
957
999
973
6
930
531
947
664
960
930
971
099
978
818
984
618
988
933
992
112
994
429
996
103
997
299
998
146
998
739
999
150
999
433
999
625
999
755
999
841 ¦
999
898
999
935
999
959
999
974
7
932
443
949
151
962
074
971
972
979
476
985
110
989
297
992
378
994
523
996
242
997
398
998
215
998
787
999
184
999
456
999
641
999
765
999
848
999
902
999
938
999
961
999
976
8
934
309
950
600
963
189
972
821
980
116
985
588
989
650
992
636
994
810
996
376
997
493
998
282
998
834
999
216
999
478
-999
655
999
775
999
854
999
907
999
941
999
963
999
977
9
936
128
952
012
964
274
973
646
980
738
СУ» ОС
989
992
992
886
994
991
996
505
997
585
998
347
998
879
999
247
999
499
999
670
999
784
999
861
999
911
999
943
999
964
999
978

74
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.7. х2~РаспРеДеление*
В таблице приведены значения (в процентах) квантилей х2 (т) в зависимости от числа степеней
свободы т и вероятности а.
Рис 1.4
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
0,99
0,00016
0,020
0,115
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2.09
2,56
3,1
3.6
4,1
4,7
5,2
5,8
6,4
7,0
7.6
8,3
8,9
9,5
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
0.98
0,0006
0,040
0,185
0,43
0.75
1,13
1.56
2,03
2,53
3,06
3,6
4,2
4,8
5,4
6,0
6,6
7,3
7,9
8,6
9,2
9.9
10,6
11,3
12,0
12,7
13,4
14,1
14,8
15,6
16,3
0,95
0,0039
0,103
0,352
0,71
1,14
1,63
2,17
2,73
3,32
3,94
4,6
5,2
5.9
6,6
7,3
8,0
«.7
9,4
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,90
0,0! 6
0,211
0,584
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,86
5,6
6,3
7,0
7,8
8,5
9,3
10,1
10,9
11,7
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
18,1
18,9
19,8
20,6
0,80
0,064
0,446
1,005
1,65
2,34
3,07
3,82
4,59
5,38
6,18
7,0
7,8
8,6
9,5
10,3
11,2
12,0
12,9
13,7
14,6
15,4
16,3
17,2
18,1
18,9
19,8
20,7
21,6
22,5
23,4
0,70
0,148
0,713
1,424
2,19
3,00
3,83
4,67
5,53
6,39
7,27
8,1
9,0
9,9
10,8
11,7
12,6
13,5
14,4
15,4
16,3
17,2
18,1
19,0
19,9
20,9
21,8
22,7
23,6
24,6
25,5
0,50
0,455
1,386
2,366
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
25,3
26,3
27,3
28,3
29,3
0,30
1,07
2,41
3,67
4,9
6,1
7,2
8,4
9,5
10,7
11,8
12,9
14,0
15,1
16,2
17,3
18,4
19,5
20,6
21,7
22,8
23,9
24,9
26.0
27,1
28,2
29,2
30,3
31,4
32,5
33,5

Х^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
75
Продолжение
а
0,20
1,64
3,22
4,64
6,0
7,3
8,6
9,8
11,0
12,2
13,4
14,6
15,8
17,0
18,2
19,3
20,5
21,6
22,8
23,9
25,0
26,2
27,3
28,4
29,6
30,7
31,8
32,9
34,0
35,1
36,3
0,10
2,7
4,6
6,3
7,8
9,2
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
36,7
37,9
39,1
40,3
0,05
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
2,3,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,02
5,4
7,8
9,8
11,7
13,4
15,0
16,6
18,2
19,7
21,2
22,6
24,1
25,5
26,9
28,3
29,6
31,0
32,3
33,7
35,0
36,3
37,7
39,0
40,3
41,6
42,9
44,1
45,4
46,7
48,0
0,01
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
0,005
7,9
10,6
12,8
14,9
16,8
18,5
20,3
22,0
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31,3
32,8
34,3
35,7
37,2
38,6
40,0
41,4
42,8
44,2
45,6
46,9
48,3
49,6
51,0
52,3
53,7
0,002
9,5
12,4
14,8
16,9
18,9
20,7
22,6
24,3
26,1
27,7
29,4
30,9
32,5
34,0
35,6
37,1
38,6
30,1
41,6
43,0
44,5
45,9
47,3
48,7
50,1
51,6
52,9
54,4
55,7
57,1
0,001
10,8
13,8
16,3
18,5
20,5
22,5
24,3
26,1
27,9
29,6
31,3
32,9
34,5
36,1
37,7
39,3
40,8
42,3
43,8
45,3
46,8
48,3
49,7
51,2
52,6
54,1
55,5
56,9
58,3
59,7
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

76
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.8. ^-распределение Стьюдента.
В таблице приведены значения (в процентах) квантилей
свободы т и вероятности а.
am в зависимости от числа степеней
Рис. 1.5
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
ос
а
0,10
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1.812
1,782
1.761
1,746
1,734
1,725
1,717
1,711
1,706
1,701
1,697
1,645
0,05
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2.306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,074
2,064
2,056
2,048
2,042
1,960
0,025
25,452
6,205
4,177
3,495
3,163
2,969
2,841
2,752
2,685
2,634
2,560
2.510
2,473
2.445
2,423
2,405
2,391
2,379
2,369
2,360
2,241
0,020
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2.508
2,492
2,479
2,467
2,457
2,326
0,010
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,055
2,977
2.921
2,878
2,845
2,819
2,797
2,779
2,763
2,750
2,576
0,005
127,3
14,089
7,453
5,597
4,773
4,317
4,029
3,833
3,690
3,581
3,428
3,326
3,252
3,193
3,153
3,119
3,092
3,067
3,047
3,030
2,807
0,003
212,2
18,216
8,891
6,435
5,376
4,800
4,442
4,199
4,024
3,892
3,706
3,583
3,494
3,428
3,376
3,335
3,302
3,274
3,250
3,230
2,968
0,002
318,3
22,327
10,214
7,173
5,893
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
3,930
3,787
3,686
3,610
3,552
3,505
3,467
3,435
3,408
3,386
3,090
0,001
636,6
31,598
12,941
8,610
6,859
5,959
5,405
5,041
4,781
4,587
4,318
4,140
4,015
3,922
3,849
3,792
3,745
3,707
3,674
3,646
3,291

z-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
77
1.
п
\
2
3.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
ос
1.2.9. z-распределение
(см. 5.2.1
.3).
г
1
4,1535
2,2950
1,7649
1,5270
1,3943
1,3103
1,2526
1,2106
1,1786
1,1535
1,1333
1,1166
1,1027
1,0909
1,0807
1,0719
1,0641
1,0572
1,0511
1,0457
1,0408
1,0363
1,0322
1,0285
1,0251
1,0220
1,0191
1,0164
1,0139
1,0116
0,9949
0,9784
0,9622
0,9462
2
4,2585
2,2976
1,7140
1,4452
1,2929
1,1955
1,1281
1,0787
1,0411
1,0114
0,9874
0,9677
0,9511
0,9370
0,9249
0,9144
0,9051
0,8970
0,8897
0,8831
0,8772
0,8719
0,8670
0,8626
0,8585
0,8548
0,8513
0,8481
0,8451
0,8423
0,8223
0,8025
0,7829
0,7636
3
4,2974
2,2984
1,6915
1,4075
1,2449
1,1401
1,0672
1,0135
0,9724
0,9399
0,9136
0,8919
0,8737
0,8581
0,8448
0,8331
0,8229
0,8138
0,8057
0,7985
0,7920
0,7860
0,7806
0,7757
0,7712
0,7670
0,7631
0,7595
0,7562
0,7531
0,7307
0,7086
0,6867
0,6651
4
4,3175
2,2988
1,6786
1,3856
1,2164
1,1068
1,0300
0.9734
0,9299
0,8954
0,8674
0,8443
0,8248
0,8082
0,7939
0,7814
0,7705
0,7607
0,7521
0,7443
0,7372
0,7309
0,7251
0,7197
0,7148
0,7103
0,7062
0,7023
0,6987
0,6954
0,6712
0,6472
0,6234
0,5999
5
4,3297
2,2991
1,6703
1,3711
1,1974
1,0843
1,0048
0,9459
0,9006
0,8646
0,8354
0,8111
0,7907
0,7732
0,7582
0,7450
0,7335
0,7232
0,7140
0,7058
0,6984
0,6916
0,6855
0,6799
0,6747
0,6699
0,6655
0,6614
0,6576
0,6540
0,6283
0,6028
0,5774
0,5522
6
4,3379
2,2992
1,6645
1,3609
1,1838
1,0680
0,9864
0,9259
0,8791
0,8419
0,8116
0,7864
0,7652
0,7471
0,7314
0,7177
0,7057
0,6950
0,6854
0,6768
0,6690
0,6620
0,6555
0,6496
0,6442
0,6392
0,6346
0,6303
0,6263
0,6226
0,5956
0,5687
0,5419
0,5152
8
4,3482
2,2994
1,6569
1,3473
1,1656
1,0460
0,9614
0,8983
0,8494
0,8104
0,7785
0,7520
0,7295
0,7103
0,6937
0,6791
0,6663
0,6549
0,6447
0,6355
0,6272
0,6196
0,6127
0,6064
0.6006
0,5952
0,5902
0,5856
0,5813
0,5773
0,5481
0,5189
0,4897
0,4604
12
4,3585
2,2997
1,6489
1,3327
1,1457
1,0218
0,9335
0,8673
0,8157
0.7744
0,7405
0,7122
0,6882
0,6675
0,6496
0,6339
0,6199
0,6075
0,5964
0,5864
0,5773
0,5691
0,5615
0,5545
0,5481
0,5422
0,5367
0,5316
0,5269
0,5224
0,4901
0,4574
0,4243
0,3908
24
4,3689
2,2999
1,6404
1,3170
1,1239
0,9948
0,9020
0,8319
0,7769
0,7324
0,6958
0,6649
0,6386
0,6159
0,5961
0,5786
0,5630
0,5491
0,5366
0,5253
0.5150
0,5056
0,4969
0,4890
0,4816
0,4748
0,4685
0,4626
0,4570
0,4519
0,4138
0,3746
0,3339
0,2913
00
4,3794
2,3001
1,6314
1,3000
1,0997
0,9643
0,8658
0,7904
0,7305
0,6816
0,6408
0,6061
0,5761
0,5500
0,5269
0,5064
0,4879
0,4712
0,4560
0,4421
0.4294
0,4176
0,4068
0,3967
0,3872
0,3784
0,3701
0,3624
0,3550
0,3481
0,2952
0,2352
0,1612
0,0000

78
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.10. F-распределение (распределение у2)*).
Рис 1.6
т2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
161
4052
18,51
98,50
10,13
34,12
7,71
21,20
6,61
16,26
5,99
13,74
5,59
12,25
5,32
11,26
5,12
10,56
4,96
10,04
4,84
9,65
4,75
9,33
4,67
9,07
4,60
8,86
4,54
8,68
4,49
8,53
4,45
8,40
2
200
4999
19,00
99,00
9,55
30,82
6,94
18,00
5,79
13,27
5,14
10,92
4,74
9,55
4,46
8,65
4,26
8,02
4,10
7,56
3,98
7,21
3,89
6,93
3,81
6,70
3,74
6,51
3,68
6,36
3,63
6,23
3,59
6,11
3
216
5403
19,16
99,17
9,28
29,46
6,59
16,69
5,41
12,06
4,76
9,78
4,35
8,45
4,07
7,59
3,86
6,99
3,71
6,55
3,59
6,22
3,49
5,95
3,41
5,74
3.34
5,56
3,29
5,42
3,24
5,29
3,20
5,18
*) В таблице даны значения
шрифт) в зависимости от числа
т2- число степеней свободы для
4
225
5625
19,25
99,25
9,12
28,71
6,39
15,98
5,19
11,39
4,53
9,15
4,12
7,85
3,84
7,01
3,63
6,42
3,48
5,99
3,36
5,67
3,26
5,41
3,18
5,21
3,11
5,04
3,06
4,89
3,01
4,77
2,96
4,67
квантиле*
степеней
меньшей
5
230
5764
19,30
993
9,01
28,24
6,26
15,52
5,05
10,97
4,39
8,75
3,97
7,46
3,69
6,63
3,48
6,06
3,33
5,64
3,20
5,32
3,11
5,06
3,03
4,86
2,96
4,70
2,90
4,56
2,85
4,44
2,81
4,34
6
234
5859
19,33
99,33
8,94
27,91
6,16
15,21
4,95
10,67
4,28
8,47
3,87
7,19
3,58
6,37
3,37
5,80
3,22
5,39
3,09
5,07
3,00
4,82
2,92
4,62
2,85
4,46
2,79
4,32
2,74
4,20
2,70
4,10
7
237
5928
19,35
99,36
8,89
27,67
6,09
14,98
4,88
10,46
4,21
8,26
3,79
7,00
3,50
6,18
3,29
5,61
3,14
5,20
3,01
4,89
2,91
4,64
2,83
4,44
2,76
4,28
2,71
4,14
2,66
4,03
2,61
3,93
8
239
5981
19,37
99,37
8,85
27,49
6,04
14,80
4,82
10,29
4,15
8,10
3,73
6,84
3,44
6,03
3,23
5,47
3,07
5,06
2,95
4,74
2,85
4,50
2,77
4,30
2,70
4,14
2,64
4,00
2,59
3,89
2,55
3,79
9
241
6022
19,38
99,39
8,81
27,34
6,00
14,66
4,77
10,16
4,10
7,98
3,68
6,72
3,39
5,91
3,18
5,35
3,02
4,94
2,90
4,68
2,80
4,39
2,71
4,19
2,65
4,03
2,59
3,89
2,54
3,78
2,49
3,68
10
242
6056
19,39
99,40
8,79
27,23
5,96
14,55
4,74
10,05
4,06
7,87
3,64
6,62
3,35
5,81
3,14
5,26
2,98
4,85
2,85
4,54
2,75
4,30
2,67
4,10
2,60
3,94
2,54
3,80
2,49
3,69
2,45
3,59
11
243
6082
19,40
99,41
8,76
27,13
5,94
14,45
4,70
9,96
4,03
7,79
3,60
6,54
3,31
5,73
3,10
5,18
2,94
4,77
2,82
4,46
2,72
4,22
2,63
4,02
2,57
3,86
2,51
3,78
2,46
3,62
2,41
3,52
12
244
6106
19,41
99,42
8,74
27,05
5,91
14,37
4,68
9,89
4,00
7,72
3,57
6,47
3,28
5,67
3,07
5,11
2,91
4,71
2,79
4,40
2,69
4,16
2,60
3,96
2,53
3,80
2,48
3,67
2,42
3,55
2,38
3,46
i i'| (тх, т2) для а = 0,05 (светлый шрифт) и для а = 0,01 (полужирный
свободы тх и т2 (w1 —число степеней свободы для большей дисперсии,
дисперсии).

F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
79
Продолжение
14
245
6143
19,42
99,43
8,71
26,92
5,87
14,25
4,64
9,77
3,96
7,60
3,53
6,36
3,24
5,56
3,03
5,00
2,86
4,60
2,74
4,29
2,64
4,05
2,55
3,86
2,48
3,70
2,42
3,56
2,37
3,45
2,33
3,35
16
246
6169
19,43
99,44
8,69
26,83
5,84
14,15
4,60
9,68
3,92
7,52
3,49
6,27
3,20
5,48
2,99
4,92
2,83
4,52
2,70
4,21
2,60
3,97
2,51
3,78
2,44
3,62
2,38
3,49
2,33
3,37
2,29
3,27
20
248
6209
19,44
99,45
8,66
26,69
5,80
14,02
4,56
9,55
3,87
7,39
3,44
6,16
3,15
5,36
2,93
4,81
2,77
4,41
2,65
4,10
2,54
3,86
2,46
3,66
2,39
3,51
2,33
3,37
2,28
3,26
2,23
3,16
24
249
6235
19,45
99,46
8,64
26,60
5,77
13,93
4,53
9,47
3,84
7,31
3,41
6,07
3,12
5,28
2,90
4,73
2,74
4,33
2,61
4,02
2,51
3,78
2,42
3,59
2,35
3,43
2,29
3,29
2,24
3,18
2,19
3,08
30
250
6261
19,46
99,47
8,62
26,50
5,75
13,84
4,50
9,38
3,81
7,23
3,38
5,99
3,08
5,20
2,86
4,65
2,70
4,25
2,57
3,94
2,47
3,70
2,38
3,51
2,31
3,35
2,25
3,21
2,19
3,10
2,15
3,00
40
251
6287
19,47
99,47
8,59
26,41
5,72
13,74
4,46
9,29
3,77
7,14
3,34
5,91
3,05
5,12
2,83
4,57
2,66
4,17
2,53
3,86
2,43
3,62
2,34
3,43
2,27
3,27
2,20
3,13
2,15
3,02
2,10
2,92
50
252
6302
19,48
99,48
8,58
26,35
5,70
13,69
4,44
9,24
3,75
7,09
3,32
5,86
3,02
5,07
2,80
4,52
2,64
4,12
2,51
3,81
2,40
3,57
2,31
3,38
2,24
3,22
2,18
3,08
2,12
2,97
2,08
2,87
75
253
6323
19,48
99,48
8,57
26,27
5,68
13,61
4,42
9,17
3,72
7,02
3,29
5,78
3,00
5,00
2,77
4,45
2,61
4,05
2,47
3,74
2,36
3,49
2,28
3,30
2,21
3,14
2,15
3,00
2,09
2,86
2,04
2,79
100
253
6334
19,49
99,49
8,55
26,23
5,66
13,57
4,41
9,13
3,71
6,99
3,27
5,75
2,97
4,96
2,76
4,42
2,59
4,01
2,46
3,71
2,35
3,47
2,26
3,27
2,19
3,11
2,12
2,98
2,07
2,86
2,02
2,76
200
254
6352
19,49
99,49
8,54
26,18
5,65
13,52
4,39
9,08
3,69
6,93
3,25
5,70
2,95
4,91
2,73
4,36
2,56
3,96
2,43
3,66
2,32
3,41
2,23
3,22
2,16
3,06
2,10
2,92
2,04
2,81
1,99
2,71
500
254
6361
19,50
99,50
8,53
26,14
5,64
13,48
4,37
9,04
3,68
6,90
3,24
5,67
2,94
4,88
2,72
4,33
2,55
3,93
2,42
3,62
2,31
3,38
2,22
3,19
2,14
3,03
2,08
2,89
2,02
2,78
1,97
2,68
ос
254
6366
19,50
99,50
8,53
26,12
5,63
13,46
4,36
9,02
3,67
6,88
3,23
5,65
2,93
2,71
4,31
2,54
3,91
2,40
3,60
2,30
3,36
2,21
3,17
2,13
3,00
2,07
2,87
2,01
2,75
1,96
2,65
'
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

80
ТАБЛИЦЫ
w2
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
40
42
44
46
1
4,41
8,29
4,38
8,18
4,35
8,10
4,32
8,02
4,30
7,95
4,28
7,88
4,26
7,82
4,24
7,77
4,23
7,72
4,21
7,68
4,20
7,64
4,18
7,60
4,17
7,56
4,15
7,50
4,13
7,44
4,11
7,40
4,10
7,35
4,08
7,31
4,07
7,28
4,06
7,25
4,05
7,22
2
3,55
6,01
3,52
5,93
3,49
5,85
3,47
5,78
3,44
5,72
3,42
5,66
3,40
5,61
3,39
5,57
4,37
5,53
3,35
5,49
3,34
5,45
3,33
5,42
3,32
5,39
3,29
5,34
3,28
5,29
3,26
5,25
3,24
5,21
3,23
5,18
3,22
5,15
3,21
5,12
3,20
5,10
3
3,16
5,09
3,13
5,01
3,10
4,94
3,07
4,87
3,05
4,82
3,03
4,76
3,01
4,72
2,99
4,68
2,98
4,64
2,96
4,60
2,95
4,57
2,93
4,54
2,92
4,51
2,90
4,46
2,88
4,42
2,87
4,38
2,85
4,34
2,84
4,31
2,83
4,29
2,82
4,26
2,81
4,24
4
2,93
4,58
2,90
4,50
2,87
4,43
2,84
4,37
2,82
4,81
2,80
4,26
2,78
4,22
2,76
4,18
2,74
4,14
2,73
4,11
2,71
4,07
2,70
4,04
2,69
4,02
2,67
3,97
2,65
3,93
2,63
3,89
2,62
3,86
2,61
3,83
2,59
3,80
2,58
3,78
2,57
3,76
5
2,77
4,05
2,74
4,17
2,71
4,10
2,68
4,04
2,66
3,99
2,64
3,94
2,62
3,90
2,60
3,86
2,59
3,82
2,57
3,78
2,56
3,76
2,55
3,73
2,53
3,70
2,51
3,65
2,49
3,61
2,48
3,57
2,46
3,54
2,45
3,51
2,44
3,49
2,43
3,47
2,42
3,44
6
2,66
4,01
2,63
3,94
2,60
3,87
2,57
3,81
2,55
3,76
2,53
3,71
2,51
3,67
2,49
3,63
2,47
3,59
2,46
3,56
2,45
3,53
2,43
3,50
2,42
3,47
2,40
3,43
2,38
33
2,36
3,35
2,35
3,32
2,34
3,29
2,32
3,27
2,31
3,24
2,30
3,22
7
2,58
3,84
2,54
3,77
2,51
3,70
2,49
3,64
2,46
3,59
2,44
3,54
2,42
3,50
2,40
3,46
2,39
3,42
2,37
3,39
2,36
3,36
2,35
3,33
2,33
3,30
2,31
3,25
2,29
3,22
2,28
3,18
2,26
3,15
2,25
3,12
2,24
3,10
2,23
3,08
2,22
3,06
8
2,51
3,71
2,48
3,63
2,45
3,56
2,42
3,51
2,40
3,45
2,37
3,41
2,36
3,36
2,34
3,32
2,32
3,29
2,31
3,26
2,29
3,23
2,28
3,20
2,27
3,17
2,24
3,13
2,23
3,09
2,21
3,05
2,19
3,02
2,18
2,99
2,17
2,97
2,16
2,95
2,15
2,93
9
2,46
3,60
2,42
3,52
2,39
3,46
2,37
3,40
2,34
3,35
2,32
3,30
2,30
3,26
2,28
3,22
2,27
3,18
2,25
3,15
2,24
3,12
2,22
3,09
2,21
3,07
2,19
3,02
2,17
2,98
2,15
2,95
2,14
2,91
2,12
2,89
2,11
2,86
2,10
2,84
2,09
2,82
10
2,41
3,51
2,38
3,43
2,35
3,37
2,32
3,31
2,30
3,26
2,27
3,21
2,25
3,17
2 24
3,13
2,22
3,09
2,20
3,06
2,19
3,03
2,18
3,00
2,16
2,98
2,14
2,93
2,12 /
2,89
2,11
2,86
2,09
2,82
2,08
2,80
2,06
2,78
2,05
2,75
2,04
2,73
11
2,37
3,43
2,34
3,36
2,31
3,29
2,28
3,24
2,26
3,18
2,24
3,14
2,22
3,09
2,20
3,06
2,18
3,02
2,16
2,99
2,15
2,96
2,14
2,93
2,13
2,90
2,10
2,86
2,08
2,82
2,07
2,79
2,05
2,75
2,04
2,73
2,03
2,70
2,01
2,68
2,00
2,66
12
2,34
3,37
2,31
3,30
2,28
3,23
2,25
3,17
2,23
3,12
2,20
3,07
2,18
3,03
2,16
2,99
2,15
2,96
2,13
2,83
2,12
2,90
2,10
2,87
2,09
2,84
2,07
2,80
2,05
2,76
2,03
2,72
2,02
2,69
2,00
2,66
1,99
2,64
1,98
2,62
1,97
2,60

F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
81
Продолжение
14
2,29
3,27
2,26
3,19
2,22
3,13
2,20
3,07
2,17
3,02
2,15
2,97
2,13
2,93
2,11
2,89
2,10
2,86
2,08
232
2,06
2,80
2,05
2,77
2,04
2,74
2,01
2,70
1,99
2,66
1,98
2,62
1,96
2,59
1,95
2,56
1,93
2,54
1,92
2,52
1,91
2,50
16
2,25
3,19
2,21
3,12
2,18
3,05
2,16
2,99
2,13
2,94
2,11
2,89
2,09
2,85
2,07
2,81
2,05
2,78
2,04
2,75
2,02
2,71
2,01
2,69
1,99
2,66
1,97
2,62
1,95
2,58
1,93
2,54
1,92
2,51
1,90
2,48
1,89
2,46
1,88
2,44
1,87
2,42
20
2,19
3,08
2,15
3,00
2,12
2,94
2,10
2,88
2,07
2^3
2,05
2,78
2,03
2,74
2,01
2,70
1,99
2,66
1,97
2,63
1,96
2,60
1,94
2,57
1,93
2,55
1,91
2,50
1,89
2,46
1,87
2,43
1,85
2,40
1,84
2,37
1,83
2,34
1,81
2,32
1,80
2,30
24
2,15
3,00
2,11
2,92
2,08
2,86
2,05
2,80
2,03
2,75
2,00
2,70
1,98
2,66
1,96
2,62
1,95
2,58
1,93
2,55
1,91
2,52
1,90
2,49
1,89
2,47
1,86
2,42
1,84
2,38
1,82
2,35
1,81
2,32
1,79
2,29
1,78
2,26
1,77
2,24
1,76
2,22
30
2,11
2,92
2,07
2,84
2,04
2,78
2,01
2,72
1,98
2,67
1,96
2,62
1,94
2,58
1,92
2,54
1,90
2,50
1,88
2,47
1,87
2,44
1,85
2,41
1,84
2,38
1,82
2,34
1,80
2,30
1,78
2,26
1,76
2,23
1,74
2,20
1,73
2,18
1,72
2,15
1,71
2,13
40
2,06
2,84
2,03
2,76
1,99
2,69
1,96
2,64
1,94
2,58
1,91
2,54
1,89
2,49
1,87
2,45
1,85
2,42
1,84
2,38
1,82
2,35
1,80
2,33
1,79
2,30
1,77
2,25
1,75
2,21
1,73
2,17
1,71
2,14
1,69
2,11
1,68
2,09
1,67
2,06
1,65
2,04
п\
50
2,04
2,78
2,00
2,71
1,97
2,64
1,94
2,58
1,91
2,53
1,88
2,48
1,86
2,44
1,84
2,40
1,82
2,36
1,81
2,33
1,79
2,30
1,77
2,27
1,76
2,25
1,74
2,20
1,71
2,16
1,69
2,12
1,68
2,09
1,66
2,06
1,65
2,03
1,63
2,01
1,62
1,99
75
2,00
2,71
1,96
2,63
1,92
2,56
1,89
2,51
1,87
2,46
1,84
2,41
1,82
2,36
1,80
2,32
1,78
2,28
1,76
2,25
1,75
2,22
1,73
2,19
1,72
2,16
1,69
2,12
1,67
2,08
1,65
2,04
1,63
2,00
1,61
1,97
1,60
1,94
1,58
1,92
1,57
1,90
100
1,98
2,68
1,94
2,60
1,91
2,54
1,88
2,48
1,85
2,42
1,82
2,37
1,80
2,33
1,78
2,29
1,76
2,25
1,74
2,22
1,73
2,19
1,71
2,16
1,70
2,13
1,67
2,08
1,65
2,04
1,62
2,00
1,61
1,97
1,59
1,94
1,57
1,91
1,56
1,89
1,55
1,86
200
1,95
2,62
1,91
2,55
1,88
2,48
1,84
2,42
1,81
2,36
1,79
2,32
1,77
2,27
1,75
2,23
1,73
2,19
1,71.
2,16
1,69
2,13
1,67
2,10
1,66
2,07
1,63
2,02
1,61
1,98
1,59
1,94
1,57
1,90
1,55
1,87
1,53
1,85
1,52
1,82
1,51
1,80
500
1,93
2,59
1,90
2,51
1,86
2,44
1,82
2,38
1,80
2,33
1,77
2,28
1,75
2,24
1,73
2,19
1,70
2,16
1,68
2,12
1,67
2,09
1,65
2,06
1,64
2,03
1,61
1,98
1,59
1,94
1,56
1,90
1,54
1,86
1,53
1,83
1,51
1,80
1,49
1,78
1,48
1,75
00
1,92
2,57
1,88
2,49
1,84
2,42
1,81
236
1,78
2,31
1,76
2,26
1,73
2,21
1,71
2,17
1,69
2,13
1,67
2,10
1,65
2,06
1,64
2,03
1,62
2,01
1,59
1,96
1,57
1,91
1,55
1,87
1,53
1,84
1,51
1,80
1,49
1,78
1,48
1,75
1,46
1,73
т2
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
40
42
44
46

48
СП
J\)
ее
Dj
60
65
70
sn
oil
100
125
150
200
400
1000
00
1
4,04
7,20
4,03
7,17
4,02
7,12
4,00
7,08
3,99
7,04
3,98
7,01
3,96
6,96
3,94
6,90
3,92
6,84
3,90
6,81
3,89
6,76
3,86
6,70
3,85
6,66
3,84
6,63
2
3,19
5,08
3,18
5,06
3,16
5,01
3,15
4,98
3,14
4,95
3,13
4,92
3,11
4,88
3,09
4,82
3,07
4,78
3,06
4,75
3,04
4,71
3,02
4,66
3,00
4,63
3,00
4,61
3
2,80
4,22
2,79
4,20
2,78
4,16
2,76
4,13
2,75
4,10
2,74
4,08
2,72
4,04
2,70
3,98
2,68
3,94
2,66
3,92
2,65
3,88
2,62
3,83
2,61
3,80
2,60
3,78
4
2,57
3,74
2,56
3,72
2,54
3,68
2,53
3,65
2,51
3,62
2,50
3,60
2,49
3,56
2,46
3,51
2,44
3,47
2,43
3,45
2,42
3,41
2,39
3,36
2,38
3,34
2,37
3,32
5
2,41
3,43
2,40
3,41
2,38
3,37
2,37
3,34
2,36
3,31
2,35
3,29
2,33
3,26
2,31
3,21
2,29
3,17
2,27
3,14
2,26
3,11
2,23
3,06
2,22
3,04
2,21
3,02
6
2,30
3,20
2,29
3,19
2,27
3,15
2,25
3,12
2,24
3,09
2,23
3,07
2,21
3,04
2,19
2,99
2,17
2,95
2,16
2,92
2,14
239
2,12
235
2,11
2,82
2,10
2,80
7
2,21
3,04
2,20
3,02
.2,18
2,98
2,17
2,95
2,15
2,93
2,14
2,91
2,13
2,87
2,10
2,82
2,08
2,79
2,07
2,76
2,06
2,73
2,03
2,69
2,02
2,66
2,01
2,64
8
2,14
2,91
2,13
2,89
2,11
2,85
2,10
2,82
2,08
2,80
2,07
2,78
2,06
2,74
2,03
2,69
2,01
2,66
2,00
2,63
1,98
2,60
1,96
2,55
1,95
2,53
1,94
2,51
9
2,08
2,80
2,07
2,79
2,06
2,75
2,04
2,72
2,03
2,69
2,02
2,67
2,00
2,64
1,97
2,59
1,96
2,55
1,94
2,53
1,93
2,50
1,90
2,46
1,89
2,43
1,88
2,41
10
2,03
2,72
2,03
2,70
2,01
2,66
1,99
2,63
1,98
2,61
1,97
2,59
1,95
2,55
1,93
2,50
1,91
2,47
1,89
2,44
1,88
2,41
1,85
2,37
1,84
2,34
1,83
2,32
11
1,99
2,64
1,99
2,63
1,97
2,59
1,95
2,56
1,94
2,53
1,93
2,51
1,91
2,48
1,89
2,43
1,87
2,40
1,85
2,37
1,84
2,34
1,81
2,29
1,80
2,27
1,79
2,25
12
1,96
2,58
1,95
2,56
1,93
2,53
1,92
2,50
1,90
2,47
1,89
2,45
1,88
2,42
1,85
2,37
1,83
2,33
1,82
2,31
1,80
2,27
1,78
2,23
1,76
2,20
1,75
2,18

F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
83
Продолжение
14
1,90
2,48
1,89
2,46
1,88
2,43
1,86
23
1,85
2,37
1,84
2,35
1,82
2,31
1,79
2,26
1,77
2,23
1,76
2,20
1,74
2,17
1,72
2,12
1,70
2,09
1,69
2,08
16
1,86
2,40
1,85
2,38
1,83
2,34
1,82
2,31
1,80
2,29
1,79
2,27
t
1,77
2,23
1,75
2,19
1,72
2,15
1,71
2,12
1,69
2,09
1,67
2,04
1,65
2,02
1,64
2,00
20
1,79
2,28
1,78
2,26
1,76
2,23
1,75
2,20
1,73
2,18
1,72
2,15
1,70
2,12
1,68
2,06
1,65
2,03
1,64
2,00
1,62
1,97
1,60
1,92
1,58
1,89
1,57
1,88
24
1,75
2,20
1,74
2,18
1,72
2,15
1,70
2,12
1,69
2,09
1,67
2,07
1,65
2,03
1,63
1,98
1,60
1,94
1,59
1,91
1,57
1,88
1,54
1,84
1,53
1,81
1,52
1,79
30
1,70
2,12
1,69
2,10
1,67
2,06
1,65
2,03
1,63
2,00
1,62
1,98
1,60
1,94
1,57
1,89
1,55
1,85
1,53
1,83
1,52
1,79
1,49
1,74
1,47
1,71
1,46
1,70
40
1,64
2,08
1,63
2,00
1,61
1,96
1,58
1,94
1,58
1,90
1,57
1,88
1,54
1,85
1,52
1,79
1,49
1,75
1,48
1,72
1,46
1,69
1,42
1,64
1,41
1,61
1,39
1,59
50
1,61
1,97
1,60
1,95
1,58
1,91
1,56
1,88
1,54
1,85
1,53
1,83
1,51
1,79
1,48
1,73
1,45
1,69
1,44
1,66
1,41
1,63
1,38
1,57
1,36
1,54
1,35
1,52
75
1,56
1,88
1,55
1,86
1,52
1,82
1,50
1,79
1,49
1,76
1,47
1,74
1,45
1,70
1,42
1,64
1,39
1,59
1,37
1,56
1,35
1,53
1,32
1,47
1,30
1,44
1,28
1,41
100
1,54
1,84
1,52
1,82
1,50
1,78
1,48
1,75
1,46
1,72
1,45
1,70
1,43
1,66
1,39
1,60
1,36
1,55
1,34
1,52
1,32
1,48
1,28
1,42
1,26
1,38
1,24
1,36
200
1,49
1,78
1,48
1,76
1,46
1,71
1,44
1,68
1,42
1,65
1,40
1,62
1,38
1,58
1,34
1,52
1,31
1,47
1,29
1,43
1,26
1,39
1,22
1,32
1,19
1,28
1,17
1,25
500
1,47
1,73
1,46
1,71
1,43
1,67
1,41
1,63
1,39
1,60
1,37
1,57
1,35
1,53
1,31
1,47
1,27
1,41
1,25
1,38
1,22
1,33
1,16
1,24
1,13
1,19
1,11
1,15
00
1,45
1,70
1,44
1,68
1,41
1,64
1,39
1,60
1,37
1,56
1,35
1,53
1,32
1,49
1,28
1,43
1,25
1,37
1,22
1,33
1,19
1,28
1,13
1,19
1,08
1,11
1,00
1,00
m2
48
50
55
60
65
70
80
100
125
150
200
400
1000
00

84
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.11. Критические числа для испытания Уилкоксона (см. 5.2.3.5).
а = 0,05
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
п\
4
_
-
8,0
9,0
47,5
46,0
43,5
41,0
38,5
36,0
33,5
31,0
28,5
26,0
23,5
20,0
17,5
14,0
5
_
7,5
9,0
10,5
48,0
45,0
43,0
40,0
38,0
35,0
33,0
30,0
27,0
24,0
21,0
18,0
15,0
6
_
8,0
10,0
12,0
13,0
47,5
45,0
42,5
40,0
37,5
34,0
31,5
29,0
25,5
23,0
19,5
15,0
7
_
9,5
11,0
12,5
15,0
16,5
47,0
44,0
42,0
39,0
36,0
33,0
30,0
27,0
24,0
20,0
16,0
8
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
19,0
46,5
43,0
40,5
38,0
34,5
32,0
28,5
25,0
21,5
17,0
9
9,0
11,5
13,0
15,5
17,0
19,5
21,0
22,5
45,0
42,0
39,0
36,0
33,0
30,0
26,0
22,0
18,0
10
10,0
12,0
15,0
17,0
19,0
21,0
23,0
25,0
27,0
44,5
41,0
37,5
34,0
30,5
27,0
23,5
18,0
11
10,0
13,5
16,0
18,5
20,0
22,5
25,0
26,5
29,0
30,5
42,0
39,0
36,0
32,0
28,0
24,0
19,0
12
11,0
14,0
17,0
19,0
22,0
24,0
26,0
28,0
30,0
33,0
35,0
40,5
37,0
33,5
29,0
25,5
20,0
13
12,0
15,5
18,0
20,5
23,0
25,5
28,0
30,5
32,0
34,5
37,0
38,5
38,0
35,0
30,0
26,0
21,0
14
13,0
16,0
19,0
22,0
25,0
27,0
29,0
32,0
34,0
37,0
39,0
41,0
43,0
39,0
35,5
32,0
27,5
22,0

15
16
,8
19
20
21
22
23
24
п\
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 .
а = 0,01
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
п2
4
_
-
-
61,5
59,0
55,5
53,0
49,5
46,0
42,5
40,0
36,5
33,0
29,5
25,0
20,5
~
15
5
_
-
12,5
62,0
58,0
55,0
52,0
49,0
45,0
42,0
38,0
35,0
31,0
27,0
22,0
—
16
6
_
12,0
14,0
16,0
61,5
58,0
54,5
51,0
47,5
44,0
40,5
36,0
32,5
28,0
23,5
—
17
7
_
14,0
15,5
18,0
20,5
61,0
57,0
53,0
50,0
46,0
42,0
38,0
34,0
30,0
25,0
~
18
8
_
15,0
18,0
20,0
22,0
25,0
59,5
56,0
52,5
48,0
44,5
40,0
35,5
31,0
25,5
19,0
19
9
13,5
17,0
19,5
22,0
24,5
27,0
29,5
5в\о
54,0
50,0
46,0
42,0
37,0
32,0
27,0
20,0
п2
20
10
15,0
18,0
21,0
24,0
26,0
29,0
32,0
34,0
56,5
52,0
48,5
44,0
38,5
34,0
28,5
21,0
21
11
16,5
20,0
22,5
26,0
28,5
31,0
33,5
36,0
39,5
54,0
50,0
45,0
41,0
35,0
29,0
22,0
22
12
17,0
21,0
24,0
27,0
30,0
33,0
36,0
39,0
42,0
44,0
51,5
47,0
42,5
37,0
30,5
23,0
23
13
18,5
22,0
25,5
29,0
32,5
35,0
38,5
41,0
44,5
47,0
50,5
49,0
44,0
38,0
32,0
24,0
24
14
20,0
24,0
28,0
31,0
34,0
38,0
41,0
44,0
47,0
50,0
53,0
56,0
51,0
45,5
40,0
32,5
25,С
25
п\
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
1.1.2.12. /-распределение Колмогорова — Смирнова (см. 5.2.3.8).
к
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
Q(K)
0,0000
0,0001
0,0002
0,0003
0,0005
0,0008
0,0013
0,0019
0,0028
0,0040
0,0055
0,0074
0,0097
0,0126
0,0160
0,0200
0,0247
0,0300
0,0361
0,0428
0,0503
0,0585
0,0675
0,0772
0,0876
0,0987
0,1104
0,1228
0,1357
0,1492
0,1632
0,1778
0,1927
0,2080
Я.
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
.0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,2236
0,2396
0,2558
0,2722
0,2888
0,3055
0,3223
0,3391
0,3560
0,3728
0,3896
0,4064
0,4230
0,4395
0,4559
0,4720
0,4880
0,5038
0,5194
0,5347
0,5497
0,5645
0,5791
0,5933
0,6073
0,6209
0,6343
0,6473
0,6601
0,6725
0,6846
0,6964
0,7079
0,7191
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
0,7300
0,7406
0,7508
0,7608
0,7704
0,7798
0,7889
0,7976
0,8061
0,8143
0,8223
0,8299
0,8374
0,8445
0,8514
0,8580
0,8644
0,8706
0,8765
0,8823
0,8877
0,8930
0,8981
0,9030
0,9076
0,9121
0,9164
0,9206
0,9245
0,9283
0,9319
0,9354
0,9387
0,9418
X
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
0,9449
0,9478
0,9505
0,9531
0,9556
0,9580
0,9603
0,9625
0,9646
0,9665
0,9684
0,9702
0,9718
0,9734
0,9750
0,9764
0,9778
0,9791
0,9803
0,9815
0,9826
0,9836
0,9846
0,9855
0,9864
0,9873
0,9880
0,9888
0,9895
0,9902
0,9908
0,9914
0,9919
0,9924
X
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
Q(K)
0,9929
0,9934
0,9938
0,9942
0,9946
0,9950
0,9953
0,9956
0,9959
0,9962
0,9965
0,9967
0,9969
0,9971
0,9973
0,9975
0,9977
0,9979
0,9980
0,9981
0,9983
0,9984
0,9985
0,9986
0,9987
0,9988
0,9989
0,9990
0,9991
0,9991
0,9992
0,9993
X
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
0,9993
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000

86 ТАБЛИЦЫ
1.1.3. ИНТЕГРАЛЫ И СУММЫ РЯДОВ
1.1.3.1. Таблица сумм некоторых числовых рядов.
3)
5)
7) 7 >+1) " ry+2T + Fi + '""L
8)
9)V ! = JL.
Zj("~ 1)(и+ 1) 1-3
1 }
11-13 +'"'~ 2
oo
Zl _J 1 _J_
п(и+ 1)(и + 2) ~ 1-2-3 + 2-3-4 +'" ~ 4'
12) > , ' , -^-Г**^*...-. '
1-2.../ 2-3. ..(/+1) ¦'" (/-l)-(/-l)!'
11 n2
1 1
17)
Lj n* 24 34 72°
„=1 n=l
Числа Бернулли Вк
19)
1 1 1 я2кB2к-1)
20)
oo
у, „_! i j_ j L
V 1 _ 1 11 _ к2кB2к- 1)
21) ^Bп-1Jк =1 + ^+ ^Г+ +*+•-- 2.BЛ), «*•

ТАБЛИЦА РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
87
Таблица первых чисел Бернулли
к
вк
1
1
6
2
1
30
3
1
42
4
1
30
5
5
66
6
691
2730
7
7
6
8
3617
510
9
43867
798
10
174611
330
11
854513
138
22)
Числа Эйлера Ек
Z 1 1_ _1 1_ 7t2fc+1
( ' Bn-lJfc + 1 32fc+1 + 52fc + 1 ~ 72fc+1 + "*~ 22k + 2-{2k)\ к'
Таблица первых чисел Эйлера
к
1
1
2
5
3
61
4
1385
5
50 521
6
2702765
7
199 360981
1.1.3.2. Таблица разложения элементарных функций в степенные ряды.
Функция и область
сходимости
Разложение в ряд
(а±хГ
(| х | ^ а при т > 0)
\х\^а и а + х^0
при 0 > m > — 1,
| х | < а при т < — 1
(т > 0) *)
(|х|<1)
A±х)^
(|х|<1)
A±хI/3
(М<1)
dlxI'2
(Ы<1)
A±хK/2
(|х|<1)
A±хM'2
(Их)'
(|х| < 1 при т^ 1;
I х К 1 и 1 ± х ф 0
при 0 < т < 1)
A±хГ1/4
(| х | ^ 1 и 1 ± х Ф 0)
(| х | < 1 и 1 ± х Ф 0)
A + х)-1'2
(I х | < 1 и 1 ± х Ф 0)
Биномиальный ряд
преобразованием к виду сГ ( 1 ± —) сводится к нижеследующим рядам.
Биномиальные ряды с положительным показателем
1•3 2 1-3-7
TIT* ± ~4~-
1-2
12
1-2-5
_ ЬЗ-7- 11
4-8-12-16
Ь 2 • 5 - 8 4
3-6-9-12 Х ±-
4
» 1 ' 1 ' 3 • 5 х4 +
" 2-4-6-8 *'"
Ь 2 Х+ 2-4 + 2-4-6 + 2-4-6-8 Х +>>
,5.53 ,5-3-1 , 5-3-11 А
1J- 2 ^ ' 2-4 л "" 2-4-6 л 2-4-6.8 л +
Биномиальные ряды с отрицательным показателем
15
i - Ь5'9 з 1-5-9-13 4 _
+ 4-8-12 Х 4-8-12-16 Х +"
¦ __!_ 1-4 2_1-4-7 з 1-4-7-10 4_
+ ТХ+Т^6"Х + 3-6-9 Х + 3-6-9-12Х + "
- J_ l '3 2 _ 1-35 з 1-3-5-7 4_
+ 2Х+ 2-4Х + 2-4-6Х 2-4-6-8Х +>"
*) При m натуральном разложение содержит m + 1 членов.

ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Функция
и
облас гь
сходимости
A
A
A
A
A
A
A
±
х I
±
х|
±
х|
±
A х |
A
A
A
A
A
A
±
х|
±
х|
±
х)
<
х)
<
х)
<
х)
<
х)
<
х)
<
х)
<
-1
1)
-3/2
1)
-2
1)
-5/2
1)
-3
1)
-4
1)
-5
1)
Разложение в ряд
sin х
(I х | < оо)
sin (x + а)
(| X | < 00)
COS X
(I х | < оо)
cos (x + а)
(I х | < оо)
tgx
(I х | < л/2)
Ctg X
(О < | х | < к)
sec х
([ х | < я/2)
cosec х
(О < | х | < п)
е*
(I х | < оо)
1-2 3'5 2-3-5-7 з 3-5-7-9 4_
+ 2Х+ 2-4Х + 2-4-6 Х + 2-4-6-8Х + '' '
1 + 2х + Зх2 + 4х3 + 5х4 + ...
- А 5-7 2 _ 5jJN9_ з 5-7-9- 11 4 _
+ 2Х+ 2-4Х + 2-4-6Х + -4-6-8 Х + ''
1 + j^2~B • Зх + 3 • 4х2 + 4 - 5х3 + 5 - 6х4 + ...)
1 + —-yyB • 3 • 4х + 3 • 4 • 5х2 + 4 • 5 • 6х3 + 5 • 6 • 7х4 + .. )
1 + — 2 *3 4 B • 3 * 4 • 5х + 3 • 4 • 5 ' 6х2 + 4 ' 5 ' 6 ' ?х3 + 5 • 6 - 7 • 8х4 + ...)
Тригонометрические функции
I
(-1Г
Bи- 1)!
Ex" sin (я + ля/2)
* i—L.= sin a
л!
2! 3!
х2 х4 хб
1 -L и U
1Т+ 1Г "бТ
У х" cos {a + t
La "!
2! 3!
Bи)!
с+ 3 х + 15 х + —х + 2835~Х +-"
^ =J _/^ x^ 2xl_ x^_ \
2и)! х \3 45 945 + 4725 )
Показательные функции
Zx" х
х х2 х3

ТАБЛИЦА РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
89
Продолжение
Функция и область
сходимости
д. = ^ .п а
(|х|<оо)
X
е* - 1
In х
(х>0)
In х
@ < х < 2)
In х
(х > 1/2)
In A + х)
(-1 <х< 1)
In A - х)
(-1<х<1)
In О Artk v
1 -X
(|х|>1)
In | sin х |
In cos x
(|х|<я/2)
In | tg x |
@<|х|<я/2)
arcsin x
arccos x
V (* In af _
n = O
x V
f (x-1J
n = 0
V ! +i <*-
Lj n
я=1
n=l
Z. » " V
n= 1
00
n = 0
2 /
n = 0
V 22n
Y 22n-l{22n
n=l
In I v 1 I \
1П | X | + 7
Y 1-3-5.
X ' Ij 2-4-6
я=1
я y l-
2^/2
n=l
Разложение в ряд
x In a (x In aJ (x
1! 2! '
+ i By. x BiX>
' Bn)\ 2 2 ] 2!
In аK
3!
В х4 В хб
4! ' 6!
Логарифмические функции
Гх-l (x-
- 1Jя+1 ^L х+ 1 ' 3(х +
О" , п (х-1J
(х-1) 2 1
- 1 (х - IJ (х - IK
х 2х2 Зх3
= х .—+ — — + ...
X2 X3 X4 X5
+ 2 + 3 + -J-+ -J-+
( X3 X5 X7
->(* ] J
"+1 *\х ' Зх3 ' 5х5
"^„х2" х2 х
Bи)! П|Х| 6 18
2и)! 2 12
B—-DB
пBпу.
IK + 5(x+lM +
х - IK (х - IL
3 4
¦¦¦)
¦)
h lx^+-)
4 хб
0 2835 ' *"
хб 17х8
45 2520 •¦
j 7
3 +90
Обратные тригонометрические
..B«-1)х2и + 1 х3
.. Bп) Bи + 1) 2-3
3-5.. B/1- l)x2n + 1 я
•4-6...Bи)Bи+1) 2
1-Зх5 ЬЗ
2-4-5 2-4
/ х3 1
\Х ' 2-3 ' 2 •
¦¦]•
62
2835 Х ' ¦-
функции
-5х7
-6-7 ' •••
Зх5 1 • 3 • 5х7 | \
4-5 ' 2-4-6-7 " )

90
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Функция и область
сходимости
arctg х
(|х|<1)
arctg х
arcctg x
sh x
(| х | < оо)
chx
(|х|<оо)
th x
A х | < я/2)
cth x
@ <| х | < я)
sch x
(|х|<я/2)
csch x
@ < | х | < я)
Arsh x
Archx**)
Arth x
Arcth x
V( 1Г *2п+1 х
Zj 2m+ 1
п = О
+ к V in+i
~ 2 [_j ' Bп
п = О
..о
V^ V2n-1 V3
\ х х I
Aj Bм-1)! ~ ' 3!
Y х2" х2 д
/_j {2n)\ ~ 2' <¦
n = O
V (-l)n + 122nB2n- 1)
Zj B«)!
1 7 Я 1
x ' L Bn)! "
1 i ^ ("ir Ex2" 1
n=l
1 Y 2(-iyiB2"'1 -
x ' /j Bn)!
n = l
/ j 2 4-6...
n=l
Г „ y,.3.s
/ j ^tt " 1 3
n = 0
Zj Bm + l)x2n+1 x '
n = O
*) Первый член берется со знаком + при
**) Функция двузначная (см. 1.2.2.3)
Разложение в
X3 X5 X7
3 5 7 +'"
1 +я 1 + 1
1 я / x3 x5 x7
Гиперболические
x5 x7
4 x6
1 x x3 2x5
C x ' 3 45 ' 945
_ _LX2 + 5 x4 _ 61 x6 + 1
1) D 2.-1 1 x , 7x3
BnX x . 6 ' 360
ряд
1_+ 1
+ ...J
х7 1 х9
х7
472Т+---
385 х8
31х5
15 120
Обратные гиперболические функции
•Bл-1) 2n+1 1
2пBп+\) Х Х 2 • 3 Х
-B.-1) Д 1 Г
-2П'2П X2"J ^1ПМ
5 х7
._iy_+^y.+ _iT_+...
х > 1 и со знаком — при х <
з 1-3 5 1-3-5 7
1 2-4-5 Х 2-4 6 7 Х ' •
1 1-3 1-3-5
2 • 2х2 2 • 4 • 4х4 2 • 4 • 6 • 6х6
-1.
¦¦¦¦]

_ ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 91_
1.1.3.3. Таблица неопределенных интегралов. ной функции входит выражение, содержащее
Общие у казан и я. 1. Постоянная интегриро- 1п/(х), его следует понимать как 1п|/(х)|; знак
вания опущена всюду, за исключением случаев, абсолютной величины везде для простоты опущен.
когда интеграл может быть представлен в различ- 3. В тех случаях, когда первообразная функция
ных формах с различными произвольными по- представлена в виде степенного ряда, ее нельзя
стоянными. выразить через конечное число элементарных функ-
2. Во всех формулах, где в состав первообраз- ций.
1.1.3.3.1. Интегралы от рациональных функций.
Интегралы, содержащие ах + Ъ.
Обозначение: X = ах + Ь.
1) \Xndx = 1 Хи+1 (пф -1; при п= -1 см. № 2). 2) -?- = — In X.
J a(n+ 1) . J X а
Г J +2 Ъ
3) \xXndx = -J7 ^у\Х 17—
J а2 (п + 2) а2 (п -
4) j x"Xm dx = -^tj- UX - Ь)т Xя dX
3) \^П^ = -г7--^Х^2 - -^---Х^ {пФ -X, -2;прип=-1, -2 см. №№ 5 и 6).
(применяется при т < п или при т целом и и дробном, в этих случаях (X — Ь)т раскрывается по формуле
бинома Ньютона (см. 2.2.2.1); пф —1, —2, ..., — т).
a a2 J
xdx Ъ
~ХГ=~а1~Т +
8) J "x^= ^(W-2)x-2 + (п-1)х«-;(w # ^2)-
9I^=Я^2-2ьх+ь21п410I
Х2'Х ^;Х-2ЫпХ-^).
12)
13)
Г х2</х 1 Г -1 26 Ь2 1
J -X"-= ^U-3)X«-3+ (,-2) Х-2" (,-l)X-J (" # J' 2' 3)-
X + 2Х2/
17) j?^_= -L[(w_-^_4 + (п з3^и_з- ^я_2+ ^.^ (w# !, 2, з, 4).
18) f^=_lln^.
20)
24)
26)
27)
28)
Г dx Г 1 2 1 J_ Х"|
J х2Хъ ~ a[2b2X2 +VTJt~aVx~~~br~ П~х~\
Г rfx 1 Г 2, X 2аХ X2 1
J х3Х Ьъ |_ х х 2x2J
Г ^х 1 Г 21 X а3х X2 ЗаХ1
Г dx 1 Г А" 4а3х а*х2 X2 4aXl
J ?3^- - И6" ln T+ "IT" ^+ 2^~ —1

92 ТАБЛИЦЫ
если знаменатель члена под знаком ? обращается в нуль, то такой член заменяется следующим:
Обозначение: А = bf - ад.
31) "Х+ dx = ~+ тг1п(/х + в\ 32)
ln{fx + g). 32) fj?r-WЧт
f f J (ax + b)(fx + g) A ax + b
х dx 1Ь а
33) - = — — In (ах 4- Ь) - — 1п(/х + а) (А # 0).
34) \(ах^х + д) = ~{ ^ + fin ?±|) (A * 0).
35) Г- ^-^-= » _L^n?±iL (а#Ь).
J (а 4- х) (о 4- х) (а — о) [о 4- х) (а — о) b 4- х
f x2dx 62 а2 Ь2-2ао
36) 7 Г77 о-= /^ ^ Г + 77 оп (Я + х) + Т. Т1~1п ° + х) (« ^ Ч-
J (а + х) (о 4- хJ F - а) (о 4- х) F - аJ (Ь - аJ
37) ^- г2-= ~ 2 ( + ) 4- _ з In а-~~- (а ф Ъ)'
,9Л Г xdx 1 / а Ъ \ а + Ъ а + х
38) J (а + хJ(Ь + хJ = (а^ЬJ"!, аТГ+ bTx~J + {a~=W ЬТ~ ( ^
39)
Г х2^х _ -1 / a2 b2 \ lab а + х
J (a + хJ(Ь + хJ ~ (а - ЬJ [а + х + Ь + х) + (а - ЬK П Ь + х (а * '*
Интегралы, содержащие ах2 + Ьх + с.
Обозначения: X = ах2 + Ьх + с, А = 4ас — о2.
г 2 2ах + Ь , А лч
I -^=-arctg -т=— (для А > 0),
40) J^J 1/Д ^
2 2ах + Ь 1 2ах + Ь1/
LArth ^± Lln1^ (для А < 0).
Г rfx 2ах + Ь 2а- Г dx v ллч
J х^= ~1пГ+ xj -Y (см- № 40)-
f dx 2ях + Ь / 1 За \ 6а2 Г dx
«>
Г х2 dx (b2 - lac) x + be 2c С dx
48) J IT- ¦ TEx + Tj X <CM- № 40)-
Cx2dx -x с Cdx (и-2N f xdx
49) j ^= Bл-3)а^-'+ B733Oj ^ - (krJ
fxmdx_ x"-1 (m-l)c fxw~2dx (n-m)b Гхт'^х
} J Хп ~ Bп-т- \)аХп~1 + Bл - m - 1)а J Jf" Bп - т - \)а J X"
{тф2п- 1; при т = 2м - 1 см. № 51).
Гх2п~Чх _ 1 С x2"-3dx с С x2n~3dx Ъ [x2n~2dx
J Xя a J X a J X a J X

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
93
52)
53)
55)
№40)-
f4-rx*!T-T-\ir (cM-
J хХ 2с X 2с J X
f dx _ 1 Ь Cdx I С dx
J xX" 2c(n - I)*" 2c] X" с ) хХ"-1'
J
1 Bи + m - 3)а С dx (n + m-2)b С dx
:xm-lX"-1 (m-l)c J xm'2Xn ~ (m-l)c J x^*" (W > j'
xmX" (m- l)cxm"
f ^x _ 1 Г f\ (/х + ^J~| 2gfQ - bf С dx
' J (/x + d* = 2(cf2-gbf + g2a)lJln X J + 2\cf2 - gbf + g2a) J X (CM' 9 '"
Интегралы, содержащие а2 ± x2.
Обозначения:
x
arctg —
a
. .x 1, a + x
Arth — = — In
a 2 a - x
x 1 x 4- a
Arcth — = —- In для знака — при I x I > a.
a 2 x — a
для знака +,
для знака — при \х\< а,
В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а2 -I- х2, а нижний — к X = а2 — х2.
5r±z- -v- <"''0)-
69)
72)
74)
76)
78)
80)
82)
x3dx
2X 4X2'
dx
1 1 x>
2A 2a4X T 2e6 X'
J x2A- " Л + a3 • ' J x2AT2 " a*x + 2a*X + 2a> K
f dx _ _LX ^x ^L_x JLy ™ f
J x2X3 a6x + 4a4X2 + 8«6X + 8a7 J j
Г <*x _ ! - ! i- x lnx onfA_
JxA 2a x zaA a A JxA
1
2a6v2
1
!a2x:
+
<
1
п6Х
1
2a4
+ д
lnx2
1
a*X:
Интегралы, содержащие аъ ± х3.
Обозначение: X = a3 ± x3; в случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а3 + х3,
3 3
а нижний - к
4 dx
a° - x°.
1 . (a±xJ
85)
86)
Cdx 1
j 1Г= ± б?-
f х rfx I a2 x ax + х2 1
j IT" бТ1п (а±^ ± ^Т
1
2хха
___ | _ (CM. № 83).
2х х а
xdx
ldx 1
— = ±ylnX.

94
ТАБЛИЦЫ
2dx
: 89)
90) | ^-= ^ JL± ± I ^ (см. № 83). 91) I -^ = ^з-ln ^-.
dx 1 1 . x3 л Г dx 1 1 Cxdx
92)
94)
95)
1 x3 f
з^]п1Г 93) J
1 f
(cm. № 85).
96) ^3^2-= -
Интегралы, ее
Tn- v <CM- №83»-
Интегралы, содержащие a4 + x4.
[ dx 1 х2 + ах)/2 + а2 1
1/2
99)
f x2rfx 1 x2 + ax)/2 + a2 1
Jfl4x4 4a |/2 x2 - ax ]fl + a2 2a j/2
arctg
j/2
—y
Интегралы, содержащие а4 — х4.
f dx 1 , а + х 1 х Г х dx 1 а2 + х:
101) -г т= —т-1п + —r-arctg—. 102 —. г = -^-ln —2
J а4 - х4 4а3 а - х 2а3 а J а4 - х4 4а3 а1 - х
ЮЗ) f -P^r = tUii "^ - -Larctg -. 104) Г -^^ = - 1 In (а4 - х4).
J а4 - х4 4а а - х 2а а J а* - х 4
Некоторые случаи разложения дроби на элементарные.
105)
106)
где А =
107)
где А =
108)
1
1
Y_J
(а + bx) (f + gx) fb-ag\a + bx f + ах /
1 ABC
-+ —+
(х + а)(х + b)(x + с) х + а х + fc х + с'
1
Л В С D
-+ т-+ +
1
x + а х + Ъ х + с х + d'
1
(Ь - а)(с - a)(d - а)' (а - Ъ)(с - b)(d - Ъ)
1 1/6 а
и т. д.
fb-ag \a
f + ах2 /
1.1.3.3.2. Интегралы от иррациональных функций.
Интегралы, содержащие ух и а2 ± Ь2х.
Обозначения :
Y =
arctg -
а
для знака +,
1 а + Ь]/х
— In j=r для знака —.
В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а2 + b2x, a нижний -«¦ к
f 2 1/? 2а2/^ _ 2а3 v
= а2 — Ь2х.
111)
)/х^х
_ _
Ь2Х ~ аЬъ
+ ^У- но) J
У 112)
"?^х 2)/? За2)Д За
"х2""" ±"ьуЗГ+ ь4х VY'

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
95
113)
115)
ДГ|/х" ab '
dx
—-Y. 114)
Г dx _ 2 2b
J xTx^'a^Tx^^
116I ]^W=~^n^+~^^+~^
Другие интегралы, содержащие ух.
f |/x dx 1 х + a l/
117) -Л 5-= 7=-ln 7= т^ ~7=-arctg —= .
'Ja4 + x2 2a)/2 x-al/2x4_a2 a]/2 a2 - x
Г dx 1 b^J
f l/^dx 1 e + l/x 1 /x Г dx 1
119) -^ r=T-ln -r arct% —' 120) 7-= г-5-li
J a4 - x2 2a a - j/x « « J (a4 - x2) ]/x 2a3
a]flx
V
l/x
Интегралы, содержащие ]/ах + b.
Обозначение: X = ax + b.
121) |/Xdx= —)/I3.
J 3a
123) |x2l
126)
124)
2Ca2x2-4abx + 8b2)
15?
127)
128)
129)
130)
131)
133)
135)
138)
139)
142)
143)
J X]/X
J X2/X = ~ ~b^~ 2b) x]/x
I
I
ДЛЯ Ь < 0.
а С dx
X X
dx
(см. № 127).
:=- (см. № 127).
(cm. № 127).
_ Bn-3)af dx
¦1"BH-2)bJx-il/F Ш)
xl/x
(см. № 127).
137)
(см. № 127).
J x(/x3 bj/jf |
Jx2l/X3 bxj/x Ь2]/Х 2b2 ) x]/x
.27).
ГЛГ"/2^х 2ХИ/2
J -7— "V-
х(п~2I2
С dx 2 If
J 35^" (W-2)b^-2v2+Tj
dx

96
ТАБЛИЦЫ
145)
' dx _
x2Xnl2 " bxX(n
1 па Г dx
7^2I2 ^"J xXn/2 •
Интегралы, содержащие у ах + b и |//х + g.
Обозначения: X = ax + b, Y = fx + g, A = bf - ag.
146)
147)
149)
150)
151)
152)
153)
154)
dx
arctg
У-5
для af < О,
для
dx
Y]/X
2a/
arctg
i__ (тас № 146). 148)
для Д/ < 0,
Г dx
2J/X
i ln f]/x - |/a/
k /a? n 77?T7a/
l/xy
CyXdx 2VX А С dx
для А/ > 0.
(cm № 146).
(cm. № 146).
и. № 149).
j 77
155, J^y-Ac
' +
(см. М .53).
Г
Интегралы, содержащие у.а2—х2.
Обозначение: X = а2 — х2.
157) \]/~Xdx = — ( x l/T + a2 arcsin — \ 158) \x]/rXdx=
J 2 V aJ J 3 ^_ -_
159) x2l/x^x= -—[/X3+ —xl/x +a2 arcsin— . 160) x3 l/x dx = V—-- - a2 ——..
J 4K 8\ a/__J 5 3
161) I Jl - = |/x-aln fl + ^-. 162)
- - arcsin —.
163)
[]fxdx ]fx 1 fl + l/x 1Л„ Г rfx .x _ fxrfx /-
-—r—= - -—iz--\ In . 164) -7=^= arcsin—. 165) -T=^= —VX.
J x3 2x2 ^ 2a x } ]fx a ' J \/X V
166) |
x2 dx x
~7F= ~T
а2 . x t^t
—-arcsin—. 167)
2 a ' J
a
V 2
—7=--= a2
\fx 3
168) f-iL-^- —In a+vX . 169)
J xl/x ax J
л J x
a +
l]fx
2a2 x2
171)
fl/F^-Uxl/x1* ^/X+ ^
-^-Y 172)

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
97
173)
xj/x1 ^xj/x3 a4xj/x
a6 х
i
6 24
174) \х*]ГТих=Ц- '
]/~Xldx l/x3 ,_ a + l/x
= + a2/X-a3ln - .
176)
-Vх 3a2 . x
агсяп—.
2 2a
fx 3a a- "~
178)
x Г xdx 1
- 179) J
180) f^-rAr-"«in4-. 181)
182)
184)
/X1
* dx 1
Г
J xTj
183)
Интегралы, содержащие ух2 + a2.
Обозначение: X =x2 + a2.
185) /X rfx = у ( x /X + a2 Arsh —j + С = у [x /x + a2 ln(x + /x)] + d.
186)
187) fx2
188) |x3
190)
191)
193)
195)
197)
\x]/~Xdx = — l
+ a2 Arsh—) + С = x/^1 ~ -^-[x/x+a2ln(x-H
йу4 о
x x
+Arsh —
x a
[VXdx _
J x2 -~
C]fxdx = _ /X^_ j.
J X ZX Zfl
+ln(x
192)
194)
С - f ^ - ^.
C,
f <** _ K^ 19g) f dx _ _^X_+ _l_in a + /X
J x2l/x a2x' J x3l/x 2a2x2 2a3 x
200)
201)
202)
jx
a x
——Arsh 1- С =
16
Arsh
24 16 16 a
a4xl/x a
h
4 И Н. Бронштейн, К. А. Семендяев

98
ТАБЛИЦЫ
204)
][X ) x]fx3 a2/* a3
212>
f
dx
dx
3 3 а + 1
2a2x2l/* 2а4]/* 2а5 х
Интегралы, содержащие ух2 — a2.
Обозначение: X = x2 — a2.
C]/Xdx ][X x ][X r-
K 2 -= - +Arch — + C= - + \n(x+yX)+Cl.
214)
215)
216) |х31/Л:Лх
218)
219)
221)
223)
225)
227)
213) j/X rfx = у ^x /X - a2 Arch ^ + С = у [x /^ - a2 In (x + j/x)] + Cx.
[x2 fxdx = ^/^ + -^fx V* ~ al Arch -) + С = ?-\fx* + -^-[x/x -a2\n(x + /*)]
J 4 o\ a/4 о
x3 yXdx «J-—+ —^ . 217) N^ =J/\Y-
aarccos—.
~ arccosA
f
= Arch| + С =ln(x
Jx!l/jf a2x
a2/x. 224)
226)
2a2x2 2a3
^-Arch ^-) + С
228)
+
230)
Г
\x3
232)
cldx
Зх
231)
Ъа2
\
Зх
За2

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
99
233)
235)
r\Z~X*dx ]fTb
J — 1^
* За о
— тага:05т 234)
1 .1 а
7= =-arccos —.
a2\fx a2 x
7=^ -—?=-— —-г-arccos—.
2a2x2]/J 2aA]/X 2as x
Интегралы, содержащие у ax2 + bx + с. ^а
Обозначения: X = ax2 + bx + с, A = Aac —b2, k= ——.
A
241)
242)
\w"
1
j~AnB]/a~X +2ax + b) + С для a > 0,
1 9/jv 4- h
для a > 0, A > 0,
для a > 0, A = 0,
для a < 0, A < 0.
I/A
lnBax + ft)
1 . 2ax + b
arcsin
Г dx =2t
J x"j7F
744^ Г dx _ 2Bax + b) 2fc(n-l) Г
] J л:Bи+1)/2 "Bп-1)АХBи-1)/2 + 2n - 1 J
f ^_ Bax + b)/x l Г
за|/х
dx
^r+2/cJ.
245)
246)
247)
248)
249)
251)
253)
255)
256)
257)
4*
fe 241).
J7F- « a"J
4a(n+ 1)
J
(см. № 241). 250)
{
Bb2-4ac)x-
aAj/T
dx
(см. * 241).
(см. № 241).
(см. № 246).
\xXyXdx= —j — XyXdx
Г yBn + 3)/2 l /•
xXi2n + l)l2 dx = — ХBи+1)/2 dx (см. №
J B« + 3)a 2a J
fx2 /X^x = (x - pi ^+ ^Iz^i Г
J \ 6a/ 4a 16a2 J
248).
(см. № 245).

100
ТАБЛИЦЫ
( 1 , 1]fcX 2c \
_ln — + — +ь) + С
]/c \ * x J
258)
dx
1 bx + 2c
7--Arsh ?=-—+ С i
]/ ]/X
1 bx + 2c
1 bx + 2c
arcsin —,
/
259)
260)
261)
С dx _ ]fx b Г dx_
J x2 l/x ~ ex 2c J x /X
для с > О,
для с > О, ,Д > О,
для с > О, Д = О,
для с < О, Д < О.
(см. № 258).
(см. № 241, 258).
(см. № 241, 258).
(см. № 248, 260).
f YBn+l)/2 yBn+l)/2 h Г Л уBи-1)/2
262) dx = Д- + 4- Х<2и>/2 dx + с dx
J x 2n + 1 2 J J *
Интегралы, содержащие другие иррациональные выражения.
dx
265)
f , f - ^-/ax2 + Ьх. 264) f
J x]/ax2 + bx bx v J
Г
J ]
x — a
, = arcsin .
)/lax -x2 a
]/lax-
266) Г]/lax - x2 dx = ——
, / =¦ . x — a
— — у lax — xz + a arcsin .
; - x^ 4- -z-arcsin
f
J (ax2 +
b)]/fx
xl/ag -bf
r arctg ——= {ag - bj > 0),
2]/b]/bf-ag
In
" V < 0).
x2 + g -
(и+1)а
269)
к
(n-\)a
/ax 4- b
x l/x" + a2
27.)
!-,
]/xn - a
2 а
= —arccos -—-
267)
268)
270)
272) .
J у a3 - x
Рекуррентные формулы для интеграла от дифференциального бинома.
273) хм (ахп + b)p dx = ! xm + 1 (ax* 4- Ь)р + npb хт (ах11 + b)"'1 dx
J т + ир+lL J J
= -—; — — xm+1 (axn + b)p+1 + (m 4- n + np + 1) xm (дхи 4- h)p+1 dx
bn (p 4- 1) |_ J J
= l |xw + 1 (ax" 4- b)p+1 - a (m + n 4- ир 4- 1) j xm + n (ax* 4- b)p dx
= — xm-n+l ^axn _|_ ^)P+1_ (m _ и + 1)^ ХП'~"(ДХИ + b)pdx .
a(m4-«p4-l)j_ J J
1.1.3.3.3. Интегралы от тригонометрических функций.
Интегралы, содержащие синус.
sin
274) | sin axdx = cos ax. 275)
sin2 a.
ix dx = -— x sin 2ax.
2 4a

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 101
276) sin3 ax dx ^ ~ - cos ax + —cos3 ax. 277) sin4 ax dx = — х — -—sin lax + ^— sin 4ax.
8 4а 32а
Jsin" ах cos ах п — 1 Г
sin" ах dx = — ь sin" ax dx (п > 0 — целое).
па п J
Г sin ах х cos ах Г . 2х / х2 2 \
279) х sin ах dx = = : 280) х2 sin ах dx = —=- sin ах - =- с
J a2 a J а2 \ а аъ)
Г э • , П*2 6 V [х3 6х\
х sin ах dx = —= j- sin ах — —г cos ах.
J \ a2 aAJ \а a3 J
х" sin ах dx = — -—cos ах + -- х"~l cos ах dx (п > 0).
J a a J
281)
282)
283)
284)
285) I "'~"~-dx =
Г sin ax , sin ax Г cos ax dx
- -dx = + a ¦— (cm. № 322).
J x2 x J x
Г sin ax 1 sin ax a f cos ax ,
dx- -j-+ -T-dx (cm. № 324).
J xn n - 1 x" n - 1 J x"
286) = \cosGcaxdx = —In tg =—In (cosec ах — ctg ах).
J sin ax J а 2 а
f dx 1 „ ч Г dx cos ах 1 , ах
287) -у--= ctg ах. 288) — = - ^—^^ + -—In tg -—-.
J sinz ах a J sinJ ax 2a sinz ax 2a 2
f dx I cos ax n — 2 С dx
289) - = -. -^-—-, + -r—-7 {n > 1).
J sin ax a(n — 1) sin ' ax n — 1 J sin ax
f xdx 1
----- - 2
J sin ax аг
f xdx 1 / (a
290) ----- - 2~[ax+ W
J sin ax аг \ 3-3!
1 / (axK 7 (axM 31 (axO 127 (ax)
[ax+ W+ + +
291)
292)
Г x ^/x х 1
-.- з = - — ctg ax H r In sin ax.
J sm2 ax a a2
С х dx х cos ax 1 и — 2 Г х dx
I = — — |- (п > 2).
J sin" ах (п — 1) a sin" ах (п — \)(п — 2) a2 sin" ах п — 1 J sin"" 2 ax
С dx 1 / п ах \ С dx 1 / к ах \
Ш) j гжг= -тЧ" т) Ш)) ггж-аГ-т1Чт+ т-}
295) Г **е_. = _ ?tg(« _ ef\+ 4-|„cosf^--
J 1 + sin ax a \ 4 2 / a2 \ 4
f x dx x I n ax\ 2 , . / я aj
296) r- - = ctg I -- - - — -+ — In sin — - -
J 1 — sin ax a \4 2 ] a \ 4 2
, sin ax dx 1 / n ax
297) =±x+._tg—+ —
1 1 ± sin ax a \4 2
298)
dx 1 / n _ ax \ 1 ax
sin ax(Y± sinVx) = ~a '8\T + ~2~) + ~a 'ё "Г
f _.._*___-_
J A + sin axJ
, v.v 1 / n ax \ 1 % f n ax
W I Г, -~..-.Ж = - 2aM-4 - T - ^ ( 4" " T
fsin t tit
назы
*) OiipciejiemibiH иигс!рал называется интегральным синусом.
x3 x5
+
*) В„ чисча Ьсриулпи

102 ТАБЛИЦЫ
300) J A-ш«г гг
„<4 f sin axdx 1 /я ах\ 1 3/я ах
Г sin ахdx 1
j (l-sina*J = " 27
Jl+sm2ax 2j/2a
„л/чч Г sin ахdx
302) j
dx 1
5 = — tg ax.
cos ax a
305) f sin ax sin bx dx = ^ ^X - S1" ^ + *j[ * (I a I ^ 1 fe <> ПРИ l«l = lfcl CM- № 275)-
)x
2(a-b) 2(a + b)~
306)
307)
f_*L
J b + с sin
arctg ; — (Ь2>сг),
1\/ьг-с2 УЬ1 - с2
1 -In
l/c2-ft2 btg^
Г *inaXdX -?L-!L f *^_ (см. № 306).
J Ь + с sin ах с с J b + с sin ах
308) f -, .^ . . = -i-ln tg H. _ ^ f *E ,CM. № 306).
J sin ах (Ь + с sin ax) ab 2 b J b + с sin ax
f ^x - с cos ax Ь Г dx
J (b + с sin axJ ~ a(b2 - c2) (b + с sin ax) b2 - c2 } b + с sin ax
Г sinaxdx _ b cos ax с Г dx
J (Ь + с sin axJ ~ a (c2 - b2) (b + с sin ax) c2 - b2 J b + csin ax
Г dx 1 l/b2 + c2 tg ax
311) -= ^Ц = arctg I —J? (b > 0).
J b2 + c2 sin2 ax b]/b2 2 b
Ц = arctg I —
sin2 ax ab]/b2 + c2 b
dx 1 ]/b2 - c2 tg ax
b
l/c2 - b2 tg ax + b
In V; (c2 >b\b> 0).
2ab]/c2-b2 J/c2-b2tgax-b
Интегралы, содержащие косинус.
313) | cos ax dx = ~ sin ax. 314) | cos2 ax dx = — x + ——sin 2 ax.
cos axdx = — sin ax. 314) cos2 с
J a J
315) cos3 axdx = — sin ax sin3 ax. 316) cos4 axdx = — x H sin 2 ax + ——- sin 4 ax.
J a 3a J 8 4a 32a
-,„-,4 f « , cos" ax sin ax n-1 f _,
317) cos"axdx= 1 cos" 2axdx.
J па п J
.... f , cos ax x sin ax f , 2x /x2 2 \ .
318) xcosaxdx= 5 h . 319) \x2 cos ax dx = —=- cos ax -b I r- sin ax.
J a2 a J a2 \ a a3 /
„m f 3 j {I*2 6\ /x3 6x\ .
320) x5 cos ax dx = —= j- cos ax + r sin ax.
J V e « / V « « /
321) x"cosaxdx= X SmaX -— x" sinaxdx.
J a a J

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
103
~~„ч i cos ax dx cos ax f sin ax dx
323) = = a (cm. № 283).
1 x2 x I x
(* Ф 1) (см. № 285).
324) J x15 = " (w-l)x"-1 " ^rj Xя
325) —-—= sec ax dx = — In tg ( ^-+ ~ ) = — In (sec ax + tg ax).
J cosax J a \ 2 4 / a v
„~,ч С dx 1 лл„ч С dx sin ax 1 , /я ax \
326) —= =—tgax. 327) = = = + —lntgl—+ — .
J cos2 ax a * 'J cos3 ax 2acos2ax 2a B\4 2)
dx 1 sin ax и - 2 f dx .
328) —- = —; —n 1 г ъ (n > ¦
J cos"ax a(n - 1) cos" x ax n — 1 J cos"~2ax
[ xdx = 1 Г
J cosax a2 [ 2
¦
4-2! 6-4!
¦ в1(ах)8 I 1385'ю'10 , .
86! 108!
8-6!
10-8!
Bn + 2)Bn)!
,
.,л. С xdx х 1
330) —5 =—tg ax + -=-ln cos ax.
J cos2 ax a a2
331)
332)
xdx x sin ax 1
cos" ax (n — 1) a cos""i ax (n — 1) (n — 2) a2 cos" ax
dx
1 ax
cos ax a 2 '
J;
I
f <*x 1 ax „,„ f
Jrr^x-=Ttgi- 333)Ji3
334) f —?*E -tg ^+ 4-lncos " 335) f ^
J 1 + cos ax a 2 a2 2 J 1 -
__„ f cosaxdx 1 ax _л_ч Г cosaxdx
336) =x tg—-. 337) =-
J 1 + cos ax a 2 J 1 - cos ax
«.„Лч f dx 1 , /и ax \ 1 ax
338) г- r- = — In tg — + -^r- tg ^r-.
J cos ax A + cosax) a \4 2/ a 2
лллч Г ^х 1 . /it ax\ 1 ax
J cos ax A-cosax) a \4 2/ a 2
n-2 С xdx
г s-2 in > 2).
n- 1 J cos" ax
cdx x ax 2
= ctg -r- + -г
cosax a 2 a2
1 ax
a ° 2 '
ax
dx
ax 1
344)
346)
347)
1 ax 1 з ax f rfx . 1 ax 1 3
=2a-tg^-+6a-tg T- 341)J d-cosa^'-^^T-^8
1 ax 1 , ax Г cosaxrfx 1
^'8— frT'g T- 343)J (l-cosax)^27C
. 345) f, dX2 = f ,
' J 1 - cos2 ax J si
ax 2]/la
1 + cos2 ax
f__*L
J b + с cc
Ь + с cos ax
|; при
см. № 314).
-arctg
> c2),
¦) Определенный интеграл-
(х>0) называется интегральным косинусом и обозначается Ci(x):
где С — постоянная Эйлера.
**) Е„ - числа Эйлера.

104 таблицы
f cos ax dx x b С dx
348) = - (см. № 347.
J Ь + с cos ах с с J b + с cos ax
349) f * г- -1-lntgf ^+ f) -^ Гт—^ (см. № 347).
J cos ax (b + с cos ax) ab \ 2 4 J b ] b + с cos ах
350) f '* = """" -* f *E (см. № 347).
J (b + с cos ахJ а (с2 - Ь2) (Ь + с cos ax) c2 - b2 J b +- с cos ax
Г cos axdx b sin ax с С
351) r=-= ——= =7— —— -y 5-
J (b + ccosaxJ a(b2 - с2)(Ь + с cos ax) b2 - c2 J b +
(cm № 347).
ax
353)
— с" cos ax
arctg
ab ]/b2 - с2
1 b tg ax - ]/c2 - b2
In — \ (c2 >b2, b> 0).
^ 2ab ]/c2 -b2 b tg ax + ]/c2 - b2
Интегралы, содержащие синус и косинус.
354) sin ax cos ax dx = —- sin2 ax. 355) sin2 ax cos2 ax dx = — .
J 2а J о 32а
356) sin" ax cos ax dx = —-. — sin" +1 ax (n Ф — 1).
Г 1
357) sin ax cos" axdx = -. — cos"+1 ax (и # — 1).
Г sin"~1axcosw + 1ax n — 1 Г . , .
358) sin"axcosMaxdx= - a(n + m) + ^~+~m~\ «*cosm axdx
(понижение степени л
sin"+1axcosm~ * ax m — 1 Г . „ M _,
= -. г 1 sin ax cos ax ax
a (n 4- m) n + m J
(понижение степени т
359) [-. =-lntgax. 360) f-r-j-^ = - [in tg(^ + ^-) - -Д-
J sin ax cos ax a J snraxcosax a |_ \4 2 ] sin a.
361) Jsi
4
363) Г —3 = — fin tg ax + -—\ \ 364) I . 2 dX ~2 = - -2- ctg 2ax.
J sin ax cos3 ax a \ 2 cos2 ax J J sin2 ax cos2 ax a
„^ Г dx 1 Г sin ax 1 3, fn ax\~]
365) L<*-2 = = — г : +—lntg — + •
J sin axcosJax a [_ 2 cos ax sin ax 2 \4 2 /J
„,,. f dx 1 / 1 cos ax 3, ax \
366) ^-* i = — ^—-^ + — In tg -— .
J sinJaxcoszax a \ cos ax zsm'ax 2 2 )
367) I ~ ^4 = —t ,/ n-i + I d-^i (" ^ l) (CM- № 361' 363)-
J sin ax cos ax a (w — 1) cos ax J sin ax cos ax
Г . я dX = -. *. w_1 + I — n_2dX (л Ф 1) (cm. № 360, 362).
J sin ax cos ax a(n — l)sin ax J sin ax cos ax
Г dx _ 1 1 n + m-2 С dx
J sin" ax cos ax a(n-l) shV^axcos1" ax n-\ J sin" ax cosm ax
эниже]
J sir?
368)
369)
(понижение степени и; и? > 0 и и > 1),
1 1 n + m-2f dx
a(m-l) sin"axcosWI~1ax m-1 J sin"axcosm~2ax
(понижение степени ш; я > 0 и w > 1)

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
105
sin ax dx
1 1
= — sec ах-
a cos ax a
sin ax dx
- г + с = тг" tg2ax + d.
2а cos2 ax 2а
1 „__ С sin2 ах dx 1 . 1 /тс ах \
——-~х—-. 373) = sin ах + — In tg — + — .
а (и - 1) cos" l ax J cos ах а а \ 4 2 )
1 Г sin ax 1 /n ax\l
"a"L2cos2ax ~TlntgVT+ ~Y)\
1 С dx
" 1 ax n — \ J cos" 2
a(n-l)cos"
(см № 325, 326, 328).
378)
cos" ax
379) [*^-dx-.
J cos ах
1 /sin2 ax \ f sin3 axdx 1 / 1 \
— — + in cos ax . 377) = = — cos ax + .
a \ 2 J J cos2 ax a \ cos ax J
1 Г 1 1 1
7L(n-l)cos'-ra7 " (n - 3) cos"" 3 ax J (" * *' " # 3)'
sin"~1ax f sin" ax dx
+ (n # 1}>
a(n — 1) J cos ax
380) I -
1
Г sin"
^-dx
ax
\?П tF IK
sinn+lax n-m + 2 Г sin"ax
- — _ , - I _ _ u
a(m — ljcos 'ax m—\ J cosm z ax
sin" ax n-1 Г sin" ax dx
a(n — m) cosm ~1 ax n — m J cosm ax
l axdx
a(m — l)cos'
x n — 1 Г sin" l a
^a~x ~ ^~ГJ ^os-2
381)
382)
cos axdx
Г cos
J si
siir ах
cos ах dx
Г cos
__
J si
1 1
—. _ cosec ах.
a sin ах а
1 , ctg21
—
2a sin2 ax
f c
386)
J
ax dx
387)
cos3 axdx
\( ax\ С cos2 a
— cosax + lntg-— . 385) —r~i
a\ 2 ) J sin3
С
J
. \
sin ax .
J
383)
axdx
ax
f cos a
—:
J sin"
1
1
г
n — 1 \ a sin
1 /cos2 ax . \
— — + In sin ax
a \ 2 J
384) fcos2flX^
J sin ax
Г cos2 a
J "lin7
!
f cos" ax cos"~! ax Г cos" ax dx
390) — dx = — -- + : (л Ф 1).
J sin ax a(n - 1) J sin ax
* cos" + 1ax n — m + 2 С cos" ax d.
a(w — ljsin ax m— 1 J sinm~2a.
cos""г ax n — 1 С cos"
a (n — m) sinm ~l ax n — m J si
a(« - l)sin" ! ax '
2a~Vsin2ax "" *° 2
1 / cos ax , ax\
Ilntg—-.
2 /
f cos3 axdx 1/. 1 \
388) —r-5 = sin ax + .
J sin2 ax a \ sin ax /
391)
cos" ax dx
ax dx
" 2 axdx
{m Ф n),
Г
J ^nTx
) ~ ~
092)
393) J^f—^-T
-ЗПДЧ I
J cosax(l ± cosax) a
sin ax dx
cos
a(m — l)sin'
1
\n l ax n-1 f cos" 2 ax dx
-—^п — —r—r-2 (m Ф 1).
)sm ax m— 1 J sinm ax
1 ax
2aA + cos ax) + 2a"lntg ~T
1
J
2a A ± sin ax) 2a
395)
n_ ax\
4 + 2 /
J si
cos ax dx _ 1 1 ± sin ax
sin ax A ± sin ax) a sin ax
cos axA ±sinaxj = 2a(I ± sin ax)
Г
} J
397) Г ^1аЛ.^ = _
J sin ax A ± cos ax)
1
1 / я ах \
± 2a~ " tg \T + T"/
1 1 ax
2а(Г±Гсо8 flxf ± 2я tg ~2~'

106 ТАБЛИЦЫ
398) f^-ELfi
J sin ax ±
± cos ax 2 2a
axdx x
= +
sin ax ± cos ax 2
x 1 , , .
= — + —— In (sin ax ± cos ax).
С cos axdx x 1 , .
399) = -f — + -—In (sin ax ± cos ax).
J sin L —° — ° °"
400) f_—? ',„,,(« ±JL\ 40!) f- *L- ±Jlnfl±tg^\
J sin ax ± cos ax a 1/2 \ 2 8 / J 1 + cos ax ± sin ax a \ 2 /
„ f dx 1 , ax + 0 . с с
402) — = Intg , где sin0= tg0 = —.
J 6 sin ax + с cos ax a]/b2 + c2 2 \/b2 + c2 b
*~^ f sin axdx 1 , ,, „ ,ллч Г cos axdx 1 ,
403) = ln(b + с cos ax). 404) = —ln(b + с sin ax).
J о + с cos ax ac J b + с sin ax ac
405)
d(x^)
С dx С \ V
— = , где sin 0
J Ь + с cos ax + /sin ax J b +/c2 +/2sin(ax + 0)
(см.-№ 306).
dx 1 (с \ С dx I ctgax + b
l2 2 2 - 2 = ~Г~ arctg —tgax . 407) —= 5 , . , = In .
о cos ax + с sin ax aoc уь ) J b cos ax — с sin ax 2aoc ctgax — b
408) sin ax cos bxdx= ^ t M ^—^-^ (a2 / Ь2; при a = b см. № 354).
406)
Интегралы, содержащие тангенс.
409) Г tg ax dx = - — In cos ax. 410) | tg2 ax dx =
J a J
411) tg3 axdx = — tg2ax + — lncosax. 412) tg"axdx=— —-tg" ax - tg" axdx.
J 2a a J a(n - 1) J
A ,4f J ax3 a3x5 2a5x7 17aV 22иB2и - OB.a2""^2"*1
413) jxtgaxdx =— +_г+-5Г+-1_-+...+ ____ +...•).
414) |^XA=ax + ^L+ ^L+ilg- + .,.+ ^^^ff' ' +...*)¦
416) I ,„ ^7. t = ± у + 2a"ln(sin ax ± cos ^ 41?) I /ЛГТ~ = ^ + ^rln(sin ax ± cos ax).
Интегралы, содержащие котангенс.
418) ctg ax dx = — In sin ax. 419) ctg2 axdx= -
J a J
420) fctf «Ac = - ^^- '"SinaX. 421) fctg"ax^ = - C'f"aX- f ctg-axdx (« # 1).
J 2a a J a(n - 1) J
22nBna2n~lx2n+i
—-...- g>| + ^ ...*).
Г ctg axdx _ 1 ax (axK 2 (axM 22nBn(axJ"-1
}J x " ax 3 135 4725 '" Bn - l)Bn)! "' ''
424) f?^i
1.1.3.3.4. Интегралы от других трансцендентных функций.
Интегралы от гиперболических функций.
426) sh ax dx = — ch ax. 427) ch ax dx = — sh ax.
J a } a
428) sh2 axdx = —— shaxchax - —-x. 429) ch2axdx = —shaxchaxH x.
J 2a 2 J 2a 2
f?^dx=--i—ctg-ax («#-1). 425) f —^f— = f^L (cM. № 417)
J sin2 ax a(n+l) J 1 ± ctgax J tgax ± 1
*) В„ — числа Бернулли.

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 107
—sh" l ax ch ax sh" 2 ax dx (n > 0),
430) |sh"<«<<x=< a" j " 1+2 Г
sh"+1 axchax sh"+2 axdx (n < 0; n Ф -1).
a{n + 1) n + 1 J
{1 л — 1 Г
—sh ax ch"" * ax + ch" ax dx (n > 0),
an n J
1 n + 2 f
shaxch"+1ax + ch"+2 axdx (n < 0; л # -1).
Ф + 1) и + 1 J
432) |-^-=— lnth^. 433)
J shax a ^
434) xshaxdx = —xchax 2-snax- 435) xchaxdx = —xshax ~i
' J a a2 J a a2
436) th ax dx = — In ch ax. 437) cth ax dx = — In sh ax. 438) th2 ax dx = x -
a
439) cth2axdx = x . 440) sh ax sh fex dx = —= ^(a sh fex ch ax - fe ch fex sh ax) (a2 ф b2).
J o, J a — о
441) ch ax ch fex dx = —~ -^(a sh ax ch fex - fe sh fex ch ax) (a2 Ф fe2).
J a - fe
442) ch ax sh fex dx = —^—-^-(a sh fex sh ax - fe ch fex ch ax) (a2 Ф fe2).
443) I sh ax sin ax dx = ——(ch ax sin ax — sh ax cos ax).
1 2a
444) I ch ax cos ax dx = —(sh ax cos ax + ch ax sin ax).
445) I sh ax cos ax dx = —(ch ax cos ax + sh ax sin ax).
1 2a
446) I ch ax sin ax dx = —— (sh ax sin ax — ch ax cos ax).
.j.
Интегралы от показательных функций.
447) \eaxdx = —eax. 448)
[xeaxdx = ^-(ax - 1). 449) f
JV
453) l^^-i-ln-
456>Jfe?^
yj (ac>0),
1
2a]/-bc
In \ (fee < 0).
*) Определенный интеграл —dt называется интегральной показательной функцией и обозначается Ei(x). При х>0
интеграл расходится в точке t = 0; в этом случае под Ei(x) понимается главное значение несобственного
интеграла (см. 3.1.7.7):
j ?*-с + ь.|х 1 +
где С - постоянная Эйлера.

108 ТАБЛИЦЫ
Г „«* е~ Г^пХ*-?Ш-± \™- (см. » 45,).
J A + ахJ сг{\ + ах) J а я J х
Г еах С е"х
459) ?вдс sin bx dx = —2 тт{я s^n Ьх — Ъ cos hx). 460) ?»"* cos frx dx — -j y(° cos ^x + ^ s'n
461) eax sin" x dx = — -^—х-^-(л sin x - и cos x) + —?- f ?ядс sin" x dx (см. № 447, 459).
J a2 + n2 a2 4- и J
462) ea* cos" x dx = C°S—^-{a cos x + и sin x) + , ~ , eax cos" x dx (см. № 447, 460).
J a2 + n2 a2 + n2 J
f хея* гах
463) xeflX sin fex^x = —> rr(« sin bx — b cos /?x) r ;-т^-Г(«2 — ^2)sin frx — 2аЬ cos hx].
J a2 + b2 {a2 + b2J
464) xeax cos /?x ^x = 2 2 (a cos bx + b sin bx) - —у—-^rj- [(a2 - /?2) cos />x -f 2«b sin bx].
Интегралы от логарифмических функций.
465) Jlnx^x = xlnx-x. 466) J(lnxJ^/x = x(lnxJ -2xlnx + 2x.
467) J (In xK dx = x (In xK - 3x (In xJ + 6x In x - 6x.
468) J (In x)" dx = x (In x)" - n j (In x)"-l dx (n Ф - 1).
470)
471,
472)
m+1 Г lnx 1 ~|
\_m 4- 1 (m 4- IJ J
xm (In x)" dx = ' - - xm (In xf~ l dx (m Ф - 1, л ф - 1) (см. № 470).
J m+1 m 4- 1 J
f(lnx)n (lnx)" + 1 Г lnx lnx 1
dx = —. 474) —zrdx = - j-- -= г аи Ф 1 .
J x л 4- 1 J xm {m-\)xm x (m - VJ xm x
С xm dx С е~у
476) = dy, где j; = - (m + l)ln x (см. № 451).
J lnx J )i
f ^ ... -' p-4
J х'(\пхУ х'-Чп-ЩпхУ1-1 n-\ J
(л#1).
IX) Xr {П — 1ДШЛ|" П — 1 J Xr ^111 X)"
8)J X 18 900 ---„Bn+l)! •¦ }'
483) I In cos x dx = -
484)
6 60 315 иBи + 1)!
7x5 22"B2"~1 —
+ + ^
9 450 л Bл +
485) | sin In x dx = —(sin In x - cos In x). 486) cos In x dx = —-(sin In x + cos In x).
Г-4-назы,
Jlnr
*) Определенный интеграл называется интегральным логарифмом и обозначается li х При v> 1 интеграл расходится
J 'n'
в точке /=1; в этом случае °под интегралом понимается главное значение несобственною интефала Интегральный
логарифм связан с интегральной показательной функцией1 li.v = Ei (In x).
**) В„ — числа Бернулли.

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВШ9
Г In A + х) х2 х3 к"
487) J ~——dx = х - J2 + зг- ••• + (- I)" ^ + •••
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
С х х / Г х (х2 а2 \ хх
488) arcsin — dx - х arcsin — + ]/а2 - х2. 489) хarcsin — dx - I — — 1 arcsin— + -r
J a a J я \ 2 4 / a 4V
490) x2 arcsin — dx = —arcsin—- + — (x2 + 2a2)]/a2 - x2.
J a 3 a 9
Г
J
arcsin— dx 3 5
Г a x 1 x3 1 • 3 x5 1 • 3 • 5 x
} J + + ^
x a
arcsin — dx
«arcsin — dx /~2 j
492) = arcsin In — 493) arccos — dx = x arccos ]/a2 — x2.
J x x a a x J a a r
I X ( \ CL \ XX /
494) x arccos —dx = I — I arccos у a2 — x2.
J a \ 2 Л / a 4 ?
r „3 „ <
x2arccos — dx — — arccos (x2 + 2a2)]/a2 — x2.
J a 3 a 9 y
Г-
I"
495)
J
x
, arccos — dx ,
. а _л _^ 1 x3 1-3 x5 1-3-5 x7
496) | _ __ 2 ,nx_ ^ _ _.___ _______ ______
,7^ 1 x 1 a + ^x2
497) =- arccos 1 In .
1 x2 x a a x
I x x a I x \ x cix
498) arctg — dx - xarctg -1п(я2 + х2). 499) xarctg — dx = -^(x2 + a2)arctg .
Ja a 2 J a 2 a 2
x x3 x ax2 fl3
500) I x2 arctg — dx = — arctg —- + —In (a2 + x2).
1 a 3 a 6 6
501)
1-
Г x xn + 1 x а С xn + ldx
xn arctg — dx - ——-arctg — -——T (n # - 1).
J a n + \ a n + 1 J a + xz
X
arctg—п
__.___.
X
arctg—dx Л iii
С a 1 x 1 a2 + x2
503) 2 = - - arctg —-In j—.
x ь a 2a
x
—dx
« aicig —мл С А
504) ± = - ——rarctg- + —^— * 2х (и # 1).
J х" (п - \)х" ' я и - 1 J хя *(я2 + х2)
505) arcctg — dx — xarcctg 1 In (я2 -f x2). 506) xarcctg — dx = —(x2 + я2) arcctg 1 .
Jfl я 2 Jfl2 я2
Г . x x3 x ях2 я3 , -j ~
х2 arcctg — dx = —-arcctg 1- In (я2 + x2).
J я З я 6 6
f x x"+' x а С xn+ldx
Xя arcctg— dx -arcctg— + — T (n Ф - 1 .
J я n+1 я n+ljfl2+x2
507)
508)
x
arcctg- dx
с 2 я ' 32я3 52я5 ¦ 72я
KdX 1 х 1 я2+х2
510) I — т arcctg — + --In у—.
1 "г х а 2а х

110 ТАБЛИЦЫ
. arcctg — dx
511) '
Интегралы от обратных гиперболических функций.
512) | Arsh — dx = xArsh — - l/x2 + a2. 513) | Arch — dx = x Arch— - ]/x2 - a2.
} a a J я а
514) Arth — dx = xArth — + — ln(</2 - x2). 515) Arcth — dx = x Arcth— + — ln(x2 - a2).
J a a 2 J a a 2
1.1.Э.4. Таблица некоторых определенных интегралов*).
1.1.3.4.1. Интегралы от показательных функций (в сочетании с алгебраическими,
тригонометрическими и логарифмическими).
+ 00
1) Г xne~ax
J
dx = Г(П^1} **) (а > 0, п > - 1).
В частности, при натуральном п этот интеграл равен n\/a"+l.
' п + 1 \
(а > 0, п > -1).
2) J XV"-2 dx = --^^у
\-3...Bki)]/n
В частности, при п целом и четном (п = 2/с) этот интеграл равен ~^пТ\—t+i/2—» а ПРИ и Целом
А:!
и нечетном (и = 2/с -I- 1) он равен k'+l .
3) ^"e2jc2 rfx = V_!L_ (fl > 0). 4) f x2^--2 rfx = j4- (fl > 0).
J 2л J 4aJ
2a
f x2^--2 rfx
J
6) +f 4^ = ^-. 7) f 4*L - =1.
J ex - \ 6 J г* + 1 12
8)
10)
П)
0
+ оо
J
0
т
0
I
0
e-exsinx
X
е~х lnxd
е~х ln2xi
+00
= arcctg a = arctg— (a > 0). 9) ?~x In x dx = - С « -0,5772 ***).
— rY
1.1.3.4.2. Интегралы от тригонометрических функций (в сочетании с
алгебраическими).
*) Более полные таблицы определенных интегралов см • Г р а д ш т е й н И. С.? Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений.—М : Наука, 1971; Прудников А. П, Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы
и ряды - М . Наука, 1981.
**) Г — гамма-функция
***) с — постоянная Эйлера
****) B(.v, у) = -~т-— Г~ бе1а-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода, Г (л) — гамма-функция, или эйлеров интеграл
2-го рода

ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 111
Эта формула справедлива для любых аир (последнее равенство - при аир натуральных);
к/2 п/2 л/2
сет применяться для |/sin x dx, j/sin x dx, ? и т. п.
ооо |/cosx
Г Л, 0>о,
f sin ах ) 2' ' Г sinpx , [Г(р/2)]
13) т"'*" 1 к л 14) ~r-^=2 -щ-*
-у, ж 0, о
если р — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем.
. _ч Г sin ax nas l С cos ax dx
15) —dx = ——, 0 < s < 2. 16) =оо (а # 0, а - произвольное число).
о
+ 00
Г
О
П
- —, а < 0.
Г COSflX
J
0
f sinx ^
— cos bx л
X
+ 00
С cosx
ln-
1
(а,
h
Ь>0).
20)
I
0
sin x cos ax
X
dx= -
19)
j x a j x
о о
0,
V* if*
71 .... COS ЯХ 7С
--"' '•¦""'I 23) I 7-rZ2dx=-2>
0
24) j!!^Ldx = I-|fl|. 25)
0 - oo - oo
я/2 к/2
cosxt
/l - k2 sin2 x" /c
о о •
nil
26) J 7ПГте7= 5Г1П TIT |/C|<L 2?) b, „¦, =T-arcsm/c, |/c| < 1.
28) J, ,"",;-, =^(K-E)*)
l/l - /c2 sin2 x
я/2
29)
о
nil
С
1.1.3.4.3. Интегралы от логарифмических функций (в сочетании с
алгебраическими и тригонометрическими).
• Г In In— dx= -(
31) | lnln— dx = -C » - 0,5772**). 32) | ——-dx = -— (сводится к № 6).
о
*) Е и К — полные эллиптические интегралы: Е = Е(/с, л/2), К = F(k, п/2)
**) С — постоянная Эйлера.

112
ТАБЛИЦЫ
33)
: = Г(а+ 1)*) (-1 <а < oo).
46)
я/2 я/2 я
In sin x dx = In cos x dx = In 2. 40) x In sin x dx =
oo о
я/2 +oo
sin xln sin xdx = In 2 — 1. 42) —
0 о
+ 00
f 5!
0
я
1 In (a
0
fin (a2-
о
n/2
J'
39)
43)
44)
45)
7i2ln2
2 "
\nxdx= -—(C + lna)*) (o>0).
x 2
¦-b2
2abcosx
-{
2n\na
(Ь ^ a > 0).
1.1.3.4.4. Интегралы от алгебраических функций.
48) f a(l fdx 2 Г2g+1 A Yd Г(" +
f xa(l - xfdx = 2 Гx2g+1 A - xYdx = Г(" + П^(Р ^ 1} = B(oc + 1, p + 1) (a > - 1, P> -1)**).
J J Г (a + p + 2)
(сводится к № 10).
49)
+ 00
J A + x)xe ~ sT
50)
52)
A—
dx
аГ
1±±
53)
f rfx
—
J 1 + 2x <fos a +
x2 2 sin a
л\ сич С dx a l Л
a<— . 54) =_._._ о <?i<—
2 / J 1 + 2x cos a + x2 sin cj \ 2
*) С — постоянная Эйлера.
**) B(x, у) = —^— \~ бета-функция, Г(х) — гамма-функция.

ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
113
1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Действительная функция от действительного
переменного х — это однозначное отображение /
подмножества действительных чисел во множество
действительных чисел: у =/(х). Множество точек
с координатами (х, /(х)) называется графиком
функции. Графики функций — это в общем случае
кривые, которые пересекаются с каждой прямой,
параллельной оси у, не более чем в одной точке
(см. также 2.4).
1.2.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.2.1.1. Целые рациональные функции.
Постоянные функции. Функция у = О
отображает каждое действительное число х в число
нуль. Считается, что она не является никакой
(конечной) степенью аргумента. Ее график — ось
х. Функция у = а (а ф 0) есть функция нулевой
степени от аргумента. Графиком такой функции
является прямая, параллельная оси х и
пересекающая ось у в точке @, а).
Линейные функции: у = ах + b (а ф 0).
Графиком такой функции является прямая,
проходящая через точки А( — Ь/а, 0) и В@, Ь)
(рис. 1.7, а). При Ь = 0 точки А и В совпадают
У
а)а<0 б)а>0
Рис 1.7
и прямая проходит через начало координат
(рис. 1.7,6).
Функция имеет один нуль:
х0 = - Ь/а.
Если а > 0, то функция монотонно возрастает;
если а < 0, то она монотонно убывает. Если Ъ = 0
и а > 0, то говорят, что у прямо пропорционально
х, а а называют коэффициентом
пропорциональности.
Квадратичные функции: у = ах2 + Ьх + с
(а Ф 0). График — парабола с осью симметрии,
б)а<0
Рис 1 8
параллельной оси у, и вершиной С(-Ь/Bа),
Dас - Ь2)/Dа)) (рис. 1.8). Функция имеет не больше
двух нулей. График пересекает ось у в точке
В @, с). В случае А = 4ас — Ь2 < 0 он пересекает
ось х в точках Ах ((-b - /^Д)/Bа), 0)и А2((-Ь +
+ ]/ — Д)/Bа), 0). При А = 0 кривая касается оси
х в точке {-Ь/{2а), 0) (касание 2-го порядка);
при А > 0 точек пересечения с осью х нет. Если
а > 0, то функция в точке х^ = - Ь/Bа) (абсцисса
вершины) имеет минимум, а при а < 0 —
максимум (см. 3.2.1).
Функции третьей степени:
у = ах3 + Ьх2 + сх + й(аф 0).
График этой функции может иметь различный
вид. У него имеется по крайней мере одна (а
может быть, и две, и три) точка пересечения с
осью х и ровно одна точка перегиба. У функции
либо нет экстремумов, либо их два (в последнем
случае один максимум и один минимум). Для
более точного описания кривой нужны значение
коэффициента а, значение А = Ъас — Ъ2 и значение
дискриминанта функции
D = Ъ2с2 - 4асг - 4ЬЧ - 21 a2d2 + 18 abed.
Если а > 0, то у -* — оо при х -* — оо и
У^> +ОО При Х-> +00.
Если а < 0, то у -+ + оо при х -*• — оо и
у^—оо при х-* +оо.
При А > 0 функция не имеет экстремумов,
имеется точка перегиба Е (рис. 1.9, а).
Ж ^* О
а)Л>0,а<0 5)А=0,а>0
Рис. 1.9
б)Л<0,а>0
При А = 0 функция не имеет экстремумов,
имеется точка перегиба Е. Касательная в точке
перегиба Е параллельна оси х (рис. 1.9,6).
При А < 0, а > 0 у функции имеется один
максимум в точке xmax = ( — b — ]/ — А)/(За) и один
минимум в точке xmln = ( — b + j/-A)/Ca); имеется
точка перегиба Е (рис. 1.9, в).
При D > 0 кривая пересекает ось х в трех
точках: Аи А2, А3.
При D = 0 у кривой две или одна точка
пересечения с осью х, причем ровно в одной
точке пересечения имеет место касание. При этом
точка касания в первом случае считается второго,
а во втором случае — третьего порядка.
При D < 0 имеется одна (простая) точка
пересечения с осью х.
Точка перегиба Е имеет координаты
Ь 2Ь3 - 9abc \
+ d ] и является центром сим-
За' 27а2 J
метрии кривой. Касательная в точке Е имеет
наклон tg ф = А/(За). Если А = 0, то график этой
функции называется кубической параболой
(рис. 1.9,6).

114
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Целые рациональные функции л-й
степени:
у = апх" + ап- i
+ а0, ап ф О,
и > 0 - целое. Графики этих функций - кривые без
особых точек и без асимптот, имеющие не более
п точек пересечения с осью х, не более п — 1
экстремумов и не более и - 2 точек перегиба,
Рис. 1.10
чае а > 0 получаются растяжением ординат в а раз,
а в случае а < 0 — растяжением в \а\ раз и
последующим зеркальным отображением
относительно оси х.
1.2.1.2. Дробно-рациональные функции.
Обратная пропорциональность:^
= а/х, а фО. График такой функции -
равносторонняя гипербола с действительной полуосью
J/21 а | (расстояние от вершины до центра), с
центром в начале координат и с асимптотами —
осями координат. Функция имеет один полюс
1-го порядка (см. 2.5.1.2.2) в точке х = 0.
Экстремумов нет. При а > 0 функция в интервалах
( — оо, 0) и @, +оо) монотонно убывает, график
лежит внутри первого и третьего квадрантов,
вершины гиперболы — в точках А (уа, у а) и
В(—]/а, — ]/а). Говорят, что у обратно
пропорционально х (рис. 1.12). При а < 0 функция в тех
причем в случае нескольких экстремумов
максимумы и минимумы чередуются (рис. 1.10). При
п ^ 1 графики — кривые n-го порядка (см. 1.3).
и-нечетное. Существует по меньшей мере
одно пересечение с осью х и при п ^ 3 по
меньшей мере одна точка перегиба. Число
экстремумов при п ^ 3 всегда четно, а число точек
перегиба нечетно. Если ап > 0, то при х -> - оо
имеем у-* — оо, а при х->+оо имеем _у->+оо.
Если ап < 0, то, наоборот, при х -* — оо имеем
у-* +оо, а при х-> +оо имеем у-> — оо.
п — четное. При п ^ 2 существует по меньшей
мере один экстремум функции. Число экстремумов
при п ^ 2 всегда нечетно, а число точек перегиба
четно. Если ап > 0, то при х-* —оо или х -> + оо
всегда )>->+оо. Если ап < 0, то при тех же
условиях у-* — оо.
Степенные функции:)/ = хи, и^2- целое.
Все графики этих функций проходят через точку
A, 1) и касаются оси х в точке @, 0). Их иногда
называют параболами п-го порядка. Тогда @, 0)
считается точкой и-кратного касания кривой с
осью х (ср. n-кратный нуль, см. 2.3.2). Если п
четно, то функция имеет в точке х = 0 минимум
и график симметричен относительно оси у
(рис. 1.11, а). Если п нечетно, то точка @,0)-
точка перегиба с горизонтальной касательной и
1
\
\
\\
\\
\
\
-/
У
к.
0
7 1 '
6 if *V
5 \ 1
4 I I
з II
2 1/
1 }А
1 X
У
т
1
1
/|
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
^ь
|/
/
Г
1 X
AV
~-~— х
Рис. 1 12
же интервалах монотонно возрастает, график лежит
внутри второго и четвертого квадрантов,
вершины гиперболы - в точках /1'(-|/М, \/\~а~\) и
#'(l/l«|. - l/M) (Рис- 1-12, штриховые кривые).
Дробно-линейные функции: у =?
агх + b2'
D =
Ф 0, a2 Ф 0.
Графики
функций — также равносторонние гиперболы с
действительными полуосями j/2 | D | /1 а2 |, с центрами
С( — Ь2/а2, а^/аз) и с асимптотами, параллельными
осям координат и проходящими через С. Функции
имеют один полюс 1-го порядка в точке
У
0
\
с
X
Рис 111
кривая симметрична относительно начала
координат (рис. 1.11,6). Графики функций у = ах" в слу-
Рис. 1.13
хр=—Ь2/а2. Экстремумов нет. Если D < 0, то
функции в интервалах (- оо, - Ь2/а2) и (- Ь2/а2, + оо)
монотонно убывают, вершины гипербол находятся

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
115
У\р\\
I «2 I /
2°. Функция у =
а Ф 0. График
01 ( У\Р\\
| а2 | ' а2 \ а2 | /
leal/
Если ?> > О, то функции в данных интервалах
монотонно возрастают, а вершины гипербол
находятся в точках
а2
а2
Некоторые нелинейные дробно-
рациональные функции.
1°. Функция у = а -\ 1—2*' ^ ^ 0» с # 0.
График такой функции (рис. 1.14) также
распадается (подобно графикам дробно-линейных
^1
|а2|' а2 \ а2 \
б)с<0,Ь>0
г)С<О,Ъ<0
Рис. 1.14
функций) на две ветви, так как функция имеет
полюс 2-го порядка в точке хр = 0. Ось у и
прямая, уравнение которой имеет вид х — а = О, -
асимптоты этой кривой.
Одна из двух ветвей кривой пересекает
асимптоту у — а = О в точке А (— с/Ь, а), в то время как
другая ветвь при Ъ < О монотонно возрастает, а
при Ъ > О монотонно убывает. Функции имеют один
экстремум в точке х — —2с/Ь с соответствующим
значением функции у = а — Ь2/Dс) (точка В на
рис. 1.14). Точка перегиба С имеет координаты
(-Зс/Ь, а - 2Ь2/{9с)). При Л = 4ас - Ь2 < 0 кривая
дважды пересекает ось х: в точках
При Л = 0 кривая касается оси х в точке
{-Ь/Bа), 0). Если Л > 0, то точек пересечения с
осью х нет.
ах2 + Ьх + с
этой функции симметричен относительно
вертикальной прямой, уравнение которой имеет вид
х = - Ь/Bа), а ось х является для нее
асимптотой (рис. 1.15). Вид кривой существенно
определяется значением дискриминанта Л = Лас — Ъ2.
а)А>0
Рис. 1.15
1
Так как график функции у = - 2
— ах2 — Ьх — с
ляется зеркальным отображением относительно
оси х графика данной функции, то достаточно
ограничиться случаем а > 0. Функция не имеет
нулей.
а) А > 0. Для каждого значения х функция
положительна и непрерывна; в точке хтах =
= —Ь/Bа) она имеет максимум, равный 4а/А.
В промежутке ( —оо, хтах] она монотонно
возрастает, а в промежутке [хтах, +оо) монотонно
убывает. График имеет точки перегиба
в(х j/L зл с(х
DI лтах ~~ г- » a I» I л«пах
V 2а\Гъ Л/ V
2a]/b
с наклонами касательных в этих точках
tg ф! = а2 C/ДK/2 и tg ф2 = - а2 C/ЛK/2
соответственно (рис. 1.15, а).
б) Д = 0. В точке хр = —Ь/Bа) функция имеет
полюс 2-го порядка, а для всех остальных значений
х функция положительна и непрерывна. В
интервале (-оо, хр) она монотонно возрастает, а в
интервале (хр, +оо) монотонно убывает
(рис. 1.15,6).
в) Д < 0. Функция имеет в точке хтах = - Ь/Bа)
максимум, равный 4а/Д, а в точках хр _
= Хтах + У^А/Bа) и хР2 = хтах - ]/^~Д/Bа) -
полюсы 1-го порядка. В промежутке ( — оо, хР2) она
положительна и монотонно возрастает, в
промежутке (Хр2, хтах] отрицательна и монотонно
возрастает, в промежутке [xmax, xpi) отрицательна
и монотонно убывает, в промежутке (хр , +оо)
положительна и монотонно убывает. Для всякого
значения х, за исключением х = хр и х = хр ,
функция непрерывна (рис. 1.15, в).
3°. Функция у — —5 \ > ас ?* 0. На
ах2 + Ьх + с
тех же основаниях, что и в предыдущем
примере, можно ограничиться случаем а > 0. График
этой функции пересекает ось х в начале координат
и имеет асимптотой ось х (рис. 1.16). Обозначим
Д = Аас - Ь2.

116
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
у\ в
а)А>0
фД=0,Ь>0 52)A=0,b<0
ос и/5 разных знаков
u2m-~-u, в^)А<0,
хи/3 отрицательны ее и/3 положительны
Рис. I 16
а) А > 0. Для каждого значения х функция
непрерывна и имеет в точках xmin = ус/а и
*тах = у с/а минимум и максимум со значениями
( — Ъ — 2)/ас)/А и ( — b + 2\/ас)/А соответственно.
В промежутке ( — сю, xmin] она монотонно
убывает, в промежутке [xmin, xmax] монотонно
возрастает, в промежутке [хтах, +оо) монотонно
убывает. Существуют три точки перегиба
(рис. 1.16,а): корни уравнения а2хъ — Захс — be = 0.
б) А = 0. Из того, что ас ф 0 и а > 0,
следует, что b ф 0, с > 0. Для каждого значения х
имеем ах2 + Ьх + с = а\х + Ь/Bа)J. В точке
хр = — Ь/Bа) функция имеет полюс 2-го порядка,
а при всех остальных значениях х она непрерывна.
График имеет одну точку перегиба х = Ь/а.
1) b > 0. В точке xmax = b/Ba) функция имеет
максимум со значением функции 1/B6). В
промежутке (-оо, хр) она монотонно убывает, в
промежутке (хр, хтах] монотонно возрастает, а в
промежутке [хтах, +оо) монотонно убывает
(рис. 1.16,6i). 2) b<0. В точке xmin = Ь/Bа)
функция имеет минимум со значением 1/BЬ).
В промежутке (-оо, xmin] она монотонно убывает,
а в промежутке [xmin, xp) монотонно возрастает,
в промежутке (хр, +оо) монотонно убывает
(рис. 1.16, б2).
в) А < 0. Многочлен в знаменателе имеет два
различных действительных корня в точках
а = (-Ь - /^А)/Bа) и C = (-Ь + |/^Д)Д2а), и так
как ар = с/а Ф О, то а, C ф 0. Функция имеет в
точках xpi = а и Хр2 = р полюсы 1-го порядка.
1) а < 0, р > 0. В интервалах ( — оо, а), (а, Р),
(Р, +оо) функция монотонно убывает и не имеет
экстремумов (рис. 1.16,»!). 2) а < 0, Р < 0. Функция
имеет в точке xmin = — у с/а минимум, а в точке
¦*max = У~с/а максимум. В промежутках (-оо, ос),
(а> xmin], [xmax, + оо) она монотонно убывает, в
промежутках [xmin, p), (p, xmax] монотонно
возрастает (рис. 1.16,в2). 3) а > 0, Р > 0. Функция
имеет в точке xmin = — ус/а минимум, а в точке
^max = ]/с~/а максимум; в промежутках (-оо, xmin],
[xmax, p), (p, +оо) она монотонно убывает, в
промежутках [xmin, а), (а, xmax] монотонно возрастает
(рис. 1.16, в3). Единственная точка перегиба —
корень уравнения а2х3 — Захс — be = 0.
Рис. 1 17
4°. Степенные функции у =
= ах~", а ф 0, п — целое
положительное число. У этих
функций нет экстремумов, в точке
Хр = 0 они имеют полюс
порядка п, их графики при четном
п симметричны относительно
оси у, а при нечетном п
центрально симметричны относи-
тельно начала координат.
Координатные оси — асимптоты
кривых. При а > 0 и п четном
функции в интервале @, + оо)
монотонно убывают, а в
интервале (—,оо, 0) монотонно
возрастают; при а > 0 и п нечетном
функции в обоих интервалах
монотонно убывают. При а < 0
графики функций получаются
вертикальным отражением относительно оси х
графиков у = \а\х~". Если а = 1, то графики
проходят через точку А(\, 1). На рис. 1.17
показаны графики функций у — х~2 и >' = х~3.
1.2.1.3. Иррациональные функции.
Квадратный корень из линейного
двучлена: у = ± ]/ах + Ь, а Ф 0.
Рассмотрим случай, когда перед радикалом
взят знак +. Если а > 0, то везде в области
определения —Ь/а ^ х < + оо у
функция неотрицательна и --^
монотонно возрастает. Если
а < 0, то везде в области
определения — оо < х < —Ь/а
функция неотрицательна и
монотонно убывает.
Функция равна нулю при х =
= —Ь/а, ее график
представляет собой часть параболы с вершиной { — Ь/а, 0)
и параметром р = а/2, лежащую над осью х
(рис. 1.18). Если перед радикалом взят знак —,
то график получается зеркальным отражением
относительно оси х графика у = + у ах + Ь.
Оси парабол совпадают с осью х. Ср. 2.6.6.1.2.
Квадратный корень из
квадратного трехчлена: у= + ]/ах2 + Ьх + с, а ф 0.
1) а < 0, А = 4ас — Ь2 > 0. В этом случае
выражение не определяет никакой действительной
функции с непустой областью определения.
2) а < 0, А < 0. Область определения - отрезок
[а, р], где а = (-Ь + /^А)/Bа) и р = (-Ь-
- ]/ - А)/Bа). Функция имеет в точке Ь/Bа)
максимум, равный у'А/Dа) (перед корнем знак +), и
а)а<0,Л<0 б)а>0,А>0 в)а>0,А<0
Рис 1 19

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
117
минимум, равный - |/а/Dя) (перед корнем знак
-); на концах области определения она равна нулю.
График функции представляет собой часть эллипса
с центром {-Ь/{2а), 0) и вершинами в точках
А, В, С, D, лежащую в верхней полуплоскости
(рис. 1.19,а) (перед корнем знак + ) и в нижней
полуплоскости (рис. 1.19,6) (перед корнем знак -).
3) а > 0, А > 0. Функция определена при любом
значении х, не имеет нулей, но при х = -Ь/{2а)
имеет минимум, равный |/А/Dа)^перед корнем
знак +), и максимум, равный - |/Д/Dа) (перед
корнем знак -). График состоит из ветвей
гиперболы с центром (-Ь/Bа), 0) и осью х в
качестве мнимой оси (рис. 1.19,6); при этом
верхняя ветвь соответствует знаку + перед корнем,
а нижняя — знаку — .
4) а > 0, А < 0. Область определения этой
функции распадается на промежутки ( —оо, а],
[Р, +оо), где а = (-Ь-/^А)/Bа), $ = (-Ь +
+ ]/^Д)/Bа). Функция обладает двумя нулями в
граничных точках области определения.
График состоит из двух ветвей гиперболы
с центром (-Ь/Bа), 0) и осью х в качестве
действительной оси (рис. 1.19, в); при этом части
гипербол, лежащие в верхней полуплоскости,
соответствуют знаку + перед корнем, а лежащие в
нижней полуплоскости — знаку — .
Степенная функция: у = хк, к = т/п, т,
п — взаимно простые целые числа, п^ ±1.
1) к > 0. Функция имеет один нуль при х0 = 0,
и график проходит через точку A, 1). Если и
четное, то область определения — промежуток
[0, +оо). Если п нечетное, то она определена
в)
Рис. 1 20
при любом значении х. Если п нечетное, a m
четное, то ось у - ось симметрии графика; если
пит нечетные, то график центрально
симметричен относительно начала координат. Если
п> т, то ось у — касательная к кривой в точке
@, 0); если т > п, то касательная в точке @, 0) -
ось х (рис. 1.20).
2) к < 0. При хр = 0 функция имеет полюс /с-го
порядка — точку разрыва (точка разветвления с
неограниченно возрастающим модулем значения
функции). При п четном она определена в
интервале @, +оо), а при п нечетном - для любого
У
1
0
^\
/
х-Ф
-— —
X
У
1
0
1
V
Л
/
Рис.
X
5)
1.21
У
1
0
\y=*'2/J
^^
1 X
б)
значения х ф 0. Экстремумов нет. Графики этих
функций проходят через точку A, 1) и имеют
асимптотами оси координат. Они обладают теми
же свойствами симметрии, что и кривые,
описанные в 1) (рис. 1.21).
1.2.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
1.2.2.1. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции.
Общая синусоидальная
зависимость: у = Л sin (сох + (ро), А > 0, со > 0.
1) При /4 = 1, со = 1ифо=0 имеем
обыкновенный синус: y = sinx. Это периодическая функция
с периодом Т = 2п (см. 2.5.2.1). Ее график -
синусоида (рис. 1.22, а) пересекающая ось х в
точках В„ с координатами (ия, 0) (п — любое целое
число), которые одновременно являются точками
перегиба кривой. Касательные в этих точках
образуют с положительным направлением оси х
угол либо я/4, либо -я/4. Максимумы
функции лежат в точках хтаХя = я/2 + 2пя, минимумы -
в точках xmjn = —я/2 + 2пя. Значения функции
у удовлетворяют неравенству -1 < у ^ 1.
2) График общей синусоиды с амплитудой Л,
круговой частотой со и фазой ф0 представлен
на рис. 1.22,6 (незатухающее гармоническое
колебание; о затухающем гармоническом колебании
Рис. 1.22
см. 1.2.2.2). Его получают из синусоиды аффинным
преобразованием: растяжением в А раз в
направлении оси у, растяжением в 1/со раз в
направлении оси х и последующим параллельным
переносом по оси х на -фо/со. Функция имеет
период Т = 2я/со и нули в точках (пп — фо)/со.
Максимумы расположены в точках (я/2 — ф0 +
+ 2ия)/со, минимумы — в точках (— я/2 — ф0 +
+ 2ия)/со. Все значения функции удовлетворяют
неравенству - А < у ^ А.
Косинус: у = cosx. Так как cosx = sin(x +
+ я/2) для любого х, то функция cos х представ-

118
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ляет собой частный случай общей
синусоидальной зависимости: А = со = 1, ф0 = я/2. Поэтому
ее график - сдвинутая по оси х на -я/2
синусоида (рис. 1.23). Нули — в точках я/2 + «я,
Рис. 1.23
максимумы — в точках 2ля, минимумы — в точках
Bл + 1) я. Период Т = 2я.
Тангенс: y = tgx. Область определения этой
функции представляет собой бесконечное число
открытых интервалов ( — я/2 + ля, я/2 + ля), где
л - любое целое число. В каждом из этих
интервалов функция монотонно возрастает и имеет нуль
в точке хОи — ля. Функция периодична с периодом
Т = я. В точках (я/2) + ля функция имеет полюс
Рис. 1.24
1-го порядка. Точки пересечения ее графика с
осью х - это одновременно и точки перегиба.
Касательные в этих точках составляют с
положительным направлением оси х угол я/4
(рис. 1.24).
Котангенс: y = ctgx. Область определения
этой функции представляет собой бесконечное
число открытых интервалов (пп, (п + 1)я), где п —
любое целое число. В каждом из этих
интервалов функция монотонно убывает и имеет один
нуль в точках хОи = (я/2) + пп. Функция
периодическая с периодом Т = я. В точках пп она
имеет полюс 1-го порядка. Точки пересечения
Рис. 1 25
ее графика с осью х — это одновременно и точки
перегиба. Угол, образуемый в этих точках
касательными к кривой с положительным
направлением оси х, равен —я/4 (рис. 1.25). В
области определения справедливо равенство
ctg х = — tg ((я/2) + х).
Секанс: j/ = secx. Эта функция определена в
открытых интервалах (- (я/2) + ля, (я/2) + ля)
соотношением sec х = 1/cos x и имеет в точках
хРп ~ (%№ "*" пп полюсы 1~го порядка. Функция
периодична с периодом Т = 2я (рис. 1.26). При
любом х из области определения справедливо
Рис. 1 26
Рис. 1 27
неравенство | sec х | ^ 1, минимумы функции
находятся в точках 2ля, максимумы — в точках
Bл + 1)я.
Косеканс: у = cosecx. Функция определяется
в открытых интервалах (ля, (л + 1)я) равенством
cosec х = 1/sin x; она периодична с периодом
Т = 2я и имеет в точках хрп = ля полюсы 1-го
порядка (рис. 1.27). Так как при любом х из
области определения справедливо равенство
cosec х = sec (x — я/2), то график совпадает со
сдвинутым на я/2 по оси х графиком функции
у = sec х. Функция имеет минимумы в точках
яDл + 1)/2 и максимумы в точках яDл + 3)/2.
Арксинус: y = arcsinx. Эта функция
является обратной к функции у = sin x на отрезке
— я/2 < х ^ я/2 (рис. 1.28). Таким образом, ее
область определения — 1 < х ^ 1, а область
значений - я/2 ^ у ^ я/2. Функция монотонно
возрастает и имеет нуль при х0 = 0. Ее график —
часть синусоиды, зеркально отраженной
относительно прямой х — у = 0 (биссектрисы первого и
Рис. 1.28
1.29
третьего квадрантов). График имеет в начале
координат точку перегиба; касательная в этой
точке составляет с осью х угол ср = я/4 (см.
также примечание в конце 1.2.2.1).

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
119
Арккосинус: >; = arccos х. Эта функция
является обратной к функции у = cos х на отрезке
О ^ х ^ я. Таким образом, ее область
определения — 1 ^ х < 1, а область значений 0 < у ^ я
(рис. 1.29). Функция монотонно убывает. Ее график -
часть косинусоиды, зеркально отраженной
относительно прямой л: — у — 0. График имеет в точке
@, я/2) точку перегиба; касательная в этой точке
составляет с осью х угол ф = Зя/4 (см. также
примечание в конце 1.2.2.1).
Арктангенс: у = arctg х. Эта функция
является обратной к функции у = tg x на интервале
— я/2 < х < я/2. Следовательно, ее область
определения — оо<х< +оо, а область значений
-я/2 < у < я/2 (рис. 1.30). Функция монотонно
Рис. 1.30
возрастает и имеет нуль при х0 = 0. Ее график
получают зеркальным отражением
соответствующей ветви графика функции у = tg x относительно
прямой х — у = 0. В начале координат функция
имеет точку перегиба; утл, образуемый
касательной в этой точке с осью х, равен ф = я/4.
Прямые у + я/2 = 0 и у - я/2 = 0 - асимптоты
при х-*— оо и х -> + х соответственно (см. также
примечание в конце 1.2.2.1).
Арккотангенс: у = arcctgx. Эта функция
является обратной к функции у = ctg x на
интервале 0 < х < я. Следовательно, ее область
определения — оо < х < 4- оо, а область значений
О < у < я (рис. 1.31). Функция монотонно убывает
У
s It
—*=^
к
0 Ч" х
Рис. 1.31
и не имеет нулей. Ее график получают
зеркальным отражением соответствующей ветви
графика функции у = ctg x относительно прямой
х - у = 0. - Этот график имеет точку перегиба
(О, я/2); угол, образуемый касательной в этой точке
и осью х, равен ф = Зл/4. Прямые у = 0 и
у — я = 0 — асимптоты при х -> + оо и х -> — оо
соответственно (см. также нижеследующее
примечание).
Примечание Если х - фиксированное действительное
число, — 1 ^ х ^ 1, то множество всех действительных чисел
у, для которых x = siny, обозначают Arcsinx;
следовательно, Arcsin х = {у | х = sin у} В каждом таком множестве
Arcsin х существует единственное действительное у0 =
= arcsin х, которое называется главным значением
Arcsinx. Отсюда следует: у ? Arcsinx тогда и только тогда,
когда имеется целое число и, при котором у =
= (— 1)"arcsinх + пп. Соответственно получают: у е Arccos x
тогда и только тогда, когда существует такое л е Z (Z —
множество целых чисел), что у = + arccos x + 2пп.
Далее, у е Arctg х при х е (— оо, + оо) тогда и только тогда,
когда существует такое neZ, что у = arctg x + пп;
у е Arcctg х тогда и только тогда, когда существует такое
и е Z, что у = arcctg x + пп
Графики многозначных функций Arcsin x, Arccos x,
Arctg х, Arcctg х изображены соответственно на рис. 1.28 —
1.31 штриховыми линиями.
1.2.2.2. Показательные и логарифмические
функции.
Показательные функции: у = еЪх =
= ехр {Ьх}, Ъ ф 0 (их называют также
экспоненциальными). Функция (рис. 1.32) определена при
всех значениях х, не имеет ни нулей, ни
экстремумов. Ее значения всегда положительны.
Обозначив а = еь, имеем еЬх = ах для всех значений х,
а > 0, а ф 1. При Ъ > 0 (т. е. а > 1) функция
монотонно возрастает, при Ъ < 0 (т. е. О < а < 1)
она монотонно убывает. Важные частные случаи:
у = ех — ехр х,
График проходит через точку @, 1) и имеет ось х
в качестве асимптоты при х -*¦ — оо.
Логарифмические функции: у = logflx,
а > 0, а ф 1. Они являются обратными функциями
Рис. 1 33
для показательных функций. Область значений:
- оо < у < +оо. Обозначая Ъ = In а, имеем в области

120
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
определения loga x = (l/fr)lnx, Ъ ф 0. При а > 1
(т. е. Ъ > 0) функция монотонно возрастает, при
0 < а < 1 (т. е. b < 0) она монотонно убывает
(рис. 1.33). Важный частный случай: а = е (т. е.
Ъ = 1), у = In х. График проходит через точку
A,0) и имеет асимптотой ось у. При каждом
отличном от нуля значении Ъ функции у — еЪх и
у = {\/Ь)\пх взаимно обратны; их графики
совмещаются друг с другом при зеркальном
отражении относительно прямой х — у = 0.
Функции у = Ье'{ах) = Ьехр{- (ахJ}, а Ф 0,
Ъ > 0. Функция (рис. 1.34) определена при всех
значениях х, ее область значений: 0 < у ^ Ъ.
д=/
В промежутке — оо < х ^ 0 она монотонно
возрастает, а в промежутке 0 ^ х < + оо монотонно
убывает и имеет при х = 0 максимум утах = Ъ.
График симметричен относительно оси у и
имеет две точки перегиба: ВA/(ау2), bye) и
С( — 1/(ау2), bye). Касательные в этих точках
имеют угловые коэффициенты tgcpj = — aby2/e и
tg Ф2 = ab \/2/е. Важный частный случай: Ь =
= 1/(а |/2тс), а = а |/2 (это гауссова кривая — кривая
нормального закона распределения ошибок,
ср. 1.1.2.6.1).
Функции у = аеь* + cedx, abed ф 0. Функции
(рис. 1.35) определены при всех значениях х.
Их рассматривают как сумму функций ух = аеЪх
и у2 — сеЛх (о частных случаях 6=1, d = — 1 и
а = с = 1/2 или а = — с = 1/2 см. 1.2.2.3). Можно
выделить четыре типа, для каждого из которых
существует четыре случая. Для каждого типа
рассматривается один случай. Графики функций в
остальных случаях получают из графика
рассмотренного случая путем зеркального отображения
относительно оси х, оси у или обеих осей.
а) ас > 0, bd>0. На рис. 1.35, а изображен
случай а > 0, с > 0 и b > 0, d > 0. Функция
монотонно возрастает; Экстремумов и нулей нет.
График не имеет точек перегиба, ось х —
асимптота.
б) ас > 0, bd<0. На рис. 1.35,6 изображен
случай а > 0, с > 0, b > 0, d < 0. Функция имеет
минимум в точке xmin, не имеет нулей. В
промежутке ( — оо, xmjn] она монотонно убывает, а в
промежутке [xmin, +oo) монотонно возрастает.
График не имеет точек перегиба и асимптот.
в) ас < 0, bd > 0. На рис. 1.35, в изображен
случай а > 0, с < 0, b > 0, г/ > 0. Функция имеет
один максимум в точке хтах, нуль при
In (-с/я)
In (с/я)
Х° = ~~ь /—' пРомежУтке ( — оо, хпах] она
монотонно возрастает, а в промежутке [хтах, + оо)
монотонно убывает. График имеет одну точку
перегиба, ось х — асимптота.
г) ас <O,hd< 0. На рис. 1 35, г изображен случай
а < 0, с > 0 и b < 0, d > 0. Функция не имеет
экстремумов, монотонно возрастает и имеет один
нуль в х0. У графика одна точка перегиба.
Асимптот нет.
Экстремальные значения (типы б) и в)) в точке С
достшаются при х = (\/(d — b))- In( — ab/(cd)), d ф b.
Нули (типы в) и г)): х0 = (i/(d - b))-\n{-a/c),
d ф b. Точка пересечения с осью у: А@, а + с),
абсцисса точки перегиба D (типы в) и г)):
х = (\/(d - b))-\n{-ab2/(cd2)), d ф b.
Функции у = aebx f сх = яехр {Ьх + сх2}, ас Ф
ф 0. Графики этих функций симметричны
относительно прямой 2сх + b = 0. У функций нет нулей,
но есть один экстремум в точке Л (— Ь/Bс),
аехр{-Ь2/Dс)}).
Различают два типа графиков функций,
которые изображены для случая а > 0 на рис. 1.36
а)С>0
б)с<0
Рис 1 36
(при я < 0 нужно зеркально отобразить кривые
относительно оси х).
а) с > 0, а > 0. Экстремум — минимум; функция
в промежутке ( — оо, xmin] монотонно убывает, а в
промежутке [xmin, + оо) монотонно возрастает.
Точек перегиба и асимптот нет (рис. 1.36, а).
б) с < 0, а > 0. Экстремум — максимум;
функция в промежутке ( — оо, хтах] монотонно
возрастает, а в промежутке [хтах, +оо) монотонно
убывает. Ось х — асимптота (рис. 1.36,6) Точки

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
121
перегиба имеют координаты
-Ь-]/2с
Функции>> = яхьесх = ахь ехр (сх), abe # 0. Если
в качестве b взягь любое отличное от нуля
действительное число, то функции при b > 0
определены в промежутке 0 ^ х < + оо, а при
b < 0 — в промежутке 0 < х < + оо. Здесь снова
достаточно рассмотреть случай а > 0 (при а < 0
графики получаются зеркальным отображением
относительно оси х).
а) с > 0, Ь> 1 (рис. 1.37, а). График касается
оси х в точке @, 0). Функция монотонно
возрастает.
б) с > 0, Ь = \ (рис. 1.37,6). График проходит
через точку @, 0) и касается в этой точке
прямой х — у — 0. Функция монотонно возрастает.
О х О
a)c>O,b>f
У
1с 0
х 0] х
в)с>0,0<Ь<1
х 01
г)с>0,Ь<0
е)с<О,Ь=1
^ х 0\
ж)с<0,0<Ь<1 з)с<0,Ь<0
Рис 1 37
в) с > 0, 0 < b < 1 (рис. 1.37, в). График касается
оси у в точке @, 0) и имеет точку перегиба С
с абсциссой (|/Ь — Ь)/с. Функция монотонно
возрастает и не имеет экстремумов.
г) с > 0, b < 0 (рис. 1.37, г). Ось у — асимптота.
Функция имеет минимум в точке х = —Ь/с и
монотонно убывает в промежутке @, —Ь/с], а в
промежутке [ — Ь/с, +оо) монотонно возрастает.
д) с < 0, Ь>\ (рис. 1.37, д). График касается
оси х в точке @, 0) и имеет две точки перегиба
С и D с абсциссами хс = (b + ]/~b)f{ -с) и
*Z) = (b - yb)/{ — c). Ось х - асимптота. Функция
имеет максимум при х = -Ь/с. В промежутке
[0, -Ь/с] монотонно возрастает, а в промежутке
[ — Ь/с, +оо) монотонно убывает.
е) с < 0, Ь=1 (рис. 1.37, е). График проходит
через точку @, 0) и касается в этой точке
прямой ах — у = 0. Существует только одна точка
перегиба С с абсциссой Х(- = — 2/с, аналогичная
рассмотренной в д), и единственный максимум
при х = — 1/с.
ж) с < 0, 0 < b < 1 (рис. 1.37, ж). График
касается оси у в точке @, 0). Существует только
одна точка перегиба С с абсциссой хс =
= (Ь + уЬ)К — с) и единственный максимум при
х = - 1/с.
з) с < 0, Ь < 0 (рис. 1.37, з). Оси координат —
асимптоты. Функция монотонно убывает в
интервале @, + оо).
Функции у = Ае~ах sin (сох + (р), А > 0, а > 0,
со > 0. Графики этих функций (рис. 1.38)
представляют собой при х ^ 0 затухающие
гармонические колебания, если интерпретировать х как
Рис. 1 38
время, а у как отклонение (при а = 0 -
незатухающие гармонические колебания, см. 1.2.2.1).
Кривая располагается в области, ограниченной
графиками функций у = Ае~ах и у=—Ае~ах
(изображены штриховыми линиями), имеющими ось
х в качестве асимптоты.
Координаты точек касания Ак рассматриваемой
кривой с графиками функций у = Ае~ах и
у = — Ае~ах равны
хк = , ук = (— 1) Ае ,
со
к — целое. Точки пересечения с осями координат:
В (О, A sin ф), Ск ((кп — ф)/со, 0); точки экстремума
(абсциссы точек Dk): (кп — ф +
+ arctg(co/a))/co; абсциссы
точек перегиба Ек: (кп - ф +
+ 2arctg(co/a))/co;
логарифмический декремент: 8 =
= In \Ук/Ук + 1 I = ап/(й.
1.2.2.3. Гиперболические
функции.
Гиперболический си- ¦
ех - е~х
ну с: у = sh х = .
Функция нечетная,
монотонно возрастающая. Ее график
(рис. 1.39) центрально
симметричен относительно начала ко- Рис 1 39
ординат Точка @, 0) является
точкой перегиба кривой. Угол наклона ф
касательной в'точке @, 0) равен я/4.
У
0
7
/
/
3
2 1
Ж
1 2*х
-1
-2
-з
-4

122
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Гиперболический косинус: у = ch x =
ех + е~х
. Эта функция в промежутке (— оо, 0]
монотонно убывает, а в
промежутке [0, + оо)
монотонно возрастает, имеет при
х0 = 0 минимум со
значением функции, равным единице.
Ее график (рис. 1.40)
симметричен относительно оси
у и является цепной
линией (см. 1.3.4). В
окрестности точки /4@, 1) он
хорошо аппроксимируется
графиком функции у = \ + х2/2
Рис !-40 (парабола на рис. 1.40
изображена штриховой линией,
касание 3-го порядка).
Гиперболический тангенс: у = th x =
— —. Функция монотонно возрастает, все
-2 -/ 0
ее значения лежат
между -1 и 1. График
(рис. 1.41) центрально
2 3 X симметРичен
относительно начала координат.
Точка @, 0) является
точкой перегиба кривой.
Угол наклона (р
касательной в точке @, 0) равен
и у + 1 = 0 - асимптоты
при х-* + ао и х -> — оо соответственно.
Гиперболический котангенс: у —
ех + е~х
= cth х = 1—. В интервалах (— оо, 0) и @, + оо)
ех - е х
функция монотонно убывает; в точке хр = 0 она
имеет полюс первого порядка. Нулей нет.
График функции (рис. 1.42) центрально
симметричен относительно точки @, 0). Прямые у - 1 = 0,
я/4. Прямые у — 1=0
Рис. 1.42
у + 1 = 0 — асимптоты при х-» + оо и х-* — оо
соответственно; прямая х = 0 — вертикальная
асимптота.
Ареасинус: y = Arshx = ln(x + J/x2 + 1). Эта
функция является обратной функцией для
> = sh х на интервале (—оо, +оо) и поэтому
монотонно возрастает. График (рис. 1.43)
получают зеркальным отражением графика у = sh x
относительно прямой х — у = 0. Точка @, 0) —
центр симметрии кривой и одновременно точка
перегиба. Угол наклона (р касательной в точке
@, 0) равен я/4.
Ареакосинус: у = Arch х = ln(x ± |/х2 — 1).
Эта функция двузначная. Она является обратной
2
функцией для у = ch х в промежутке [0, + оо)
и в промежутке ( — оо, 0]. Ее область
определения 1 ^ х < + оо. В области определения
верхняя ветвь монотонно возрастает, а нижняя
монотонно убывает. Ее график (рис. 1.44)
касается в точке ,4A, 0) прямой, параллельной оси у,
7 X
Рис 1.44
и является графиком у = ch x, зеркально
отраженным относительно прямой х — у = 0.
1 , * +х
Ареатангенс: у = Arth х = — In .
Эта
функция является обратной функцией для y = thx
на интервале ( —оо, +оо). Ее область
определения — 1 < х < 1, область значений — оо < у < + оо.
Функция нечетная, монотонно возрастающая.
График функции (рис. 1.45) центрально симметричен
-4 -3 -2 -/ 0
1 X
-1
1 2 3
-2
-3
-4
Рис. 1.46
относительно точки @, 0), причем эта точка —
одновременно и точка перегиба. Касательная в этой
точке имеет угол наклона ф = я/4, прямые
х—1=0 и х+1=0 — асимптоты. График
функции получается зеркальным отражением графика
у = th х относительно прямой х — у = 0.

КРИВЫЕ 3-ю ПОРЯДКА
123
1 х+1
Ареакотангенс: y = Arcthx = -In
Эта
2 х-1"
функция является обратной функцией для у =
= cth х в обоих интервалах монотонности
( — оо, 0) и @, + оо). Следовательно, ее область
определения распадается на интервалы (-оо, -1)
и A, +оо), в которых она монотонно убывает.
Ее график (рис. 1.46) центрально симметричен
относительно точки @, 0); он получается путем
зеркального отражения относительно прямой
х — у = 0 графика у = cth x и имеет асимптоты
у = 0, х + 1 = 0, х - 1 = 0.
1.3. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
Если F(x, у) = 0 - уравнение, имеющее решения
и не являющееся тождеством (см. 2.4.1.2), и если
Q - {(а, Ь) | F (а, Ь) = 0} - множество всех
упорядоченных пар действительных чисел а и Ь, для
которых F (а, Ь) = 0, то множество L =
= {М(а, b)\{a, b)eQ} всех точек М плоскости,
имеющих в какой-либо системе координат S
координаты а и Ь, называют плоской кривой,
определенной в S уравнением F(x, у) = 0. Если
F(x, у) представляет собой, в частности,
выражение у — /(х) и система координат декартова, то
кривая L является графиком функции у = /(х)
(см. 1.2). Таким образом, уравнение кривой зависит
не только от вида кривой, но и от системы
координат.
Кривая L называется алгебраической кривой
порядка п, если имеются декартова система
координат и многочлен F(x, у) переменных х,
у степени п такой, что F (х, у) = 0 является
уравнением кривой L в этой системе
координат.
В полярной системе координат (см. 2.6.5), как
правило, ограничиваются уравнениями вида
р = /(ф). Тогда р=/(ф) рассматривается как
уравнение кривой L в полярных координатах.
Если х = x(t) и у = y(t) — две функции,
определенные в одном и том же промежутке /, и
S - декартова система координат, то обе эти
функции называются параметрическим
представлением кривой
L={M(x(t),y(t))\teI].
1.3.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Об алгебраических кривых 1-го и 2-го
порядков см. 2.6.6.1.
1.3.1.1. Кривые 3-го порядка.
Полукубическая парабола (рис. 1.47).
Уравнение кривой: агхъ - у2 = 0, л > 0.
Параметрическое представление: х = t2,
на К кривой в точке с абсциссой
х: К = 6а/( ]/х D + 9а2хK/2).
Длина / дуги кривой от начала
координат до точки М с
абсциссой х:/ = (D + 9а2хK/2 - 8)/B7а2).
Локон Аньези (рис. 1.48).
Уравнение кривой: {х2-\-а2)у-
— а3 = 0, а > 0. Асимптота:
у = 0. Радиус кривизны в
вершине у4@, а): Яд = а/2.
Точки перегиба: В(а/уЗ, За/4),
С(-а/]/з, За/4). Угловые
коэффициенты касательных в точках
перегиба: tg ср2 = - 3 )/з/8, tg q>i = 3 |/з/8.
Площадь между кривой и асимптотой: S = па2.
Декартов лист (рис. 1.49). Уравнение
кривой: х3 -\- у3 — Ъаху = 0, а > 0. Параметрическое
представление: х = 3at/(l + t3), у = 3at2/(l + t3),
— oo<t<—l и — l<t<+oo. Если обозначить
через M(t) точку кривой, соответствующую
значению параметра t, а через (p(f) угол между
МО и положительным направлением оси х, то будет
справедливо равенство tg ф @ = t. Начало координат
О — узловая точка кривой. При — 1 < t < + оо
кривая проходит из
второго квадранта через
точку @, 0) (Г = О) и А
в точку @, 0) (t -+ + оо);
при - оо < t < - 1
кривая, начинаясь в точке
У\
-as
-а
Рис. 1.49
Рис. 1.50
Рис. 1.47
(О, 0), располагается в четвертом квадранте. Оси
координат - касательные к кривой в точке @, 0).
Радиус кривизны в точке @, 0) обеих ветвей
кривых: Ro = За/2. Уравнение асимптоты: х + у + а = 0.
Вершина: А (За/2, За/2). Площадь петли: Sx = 3a2/2;
площадь между кривой и асимптотой: S2 = 3a2/2.
Циссоида (рис. 1.50). Уравнение кривой:
х3 + (х — а) у2 = 0, а > 0. Параметрическое
представление: х = a?2/(l + t2),y = at3/(l + t2), - оо < t <
< + оо; t = tg <p (t), где ср (t) - угол между лучом
ОМ и положительным направлением оси х
(М (t) - текущая точка кривой). Уравнение в
полярных координатах: рм = a sin2 (p/cos (p.
Геометрическое определение: точка М находится на кривой,
если она лежит на луче, выходящем из начала

124
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
координат, и | МО | = | PQ |, где Р - вторая точка
пересечения луча с окружностью радиуса а/2 и
центром (а/2, 0), a Q — точка пересечения луча с
прямой х — а = 0. Точка @, 0) - точка возврата
кривой. Асимптота: х - а = 0; площадь между
кривой и асимптотой: 5 = Зпа2/4.
Строфоида (рис. 1.51). Уравнение кривой:
(х + а) а2 + {х - а) у2 = 0, а > 0. Параметрическое
представление: х = a(t2 — l)/(t2 + 1), у = at(t2 —
- l)/(t2 + 1), -оо <t < +ао; t = tg <p(t), где ф(?) -
угол между прямой МО и положительным
X
Рис. 1.51
направлением оси х (М = M(t) - текущая точка
кривой). Уравнение в полярных координатах:
р = — a cos 2<p/cos ф. Геометрическое определение:
точка М лежит на кривой, если она лежит на
луче, выходящем из А (-а, 0), и \PM\-\PO\,
где Р — точка пересечения луча с осью у, О —
начало координат (на рис. 1.51 \РМХ\=\РО\ =
= | РМ2 I). Начало координат - узловая точка
кривой, прямые х + у = 0 и х — у = 0 - касательные
к кривой в О. Асимптота: х — а = 0. Вершина:
А( — а, 0). Площадь петли: Si = 2а2 — па2/2;
площадь между кривой и асимптотой: S2 = 2а2 +
+ па2/2.
1.3.1.2. Кривые 4-го порядка.
Конхоида Никомеда (рис. 1.52).
Уравнение кривой: (х - аJ{х2 + у2) — 12х2 =0, а > 0,
Рис. 1.52
/ > 0. Параметрическое представление: х = а + /cost,
у = a tg t + I sin f, —n/2<t<n/2- правая ветвь,
n/2 < t < Зп/2 — левая ветвь. Уравнения в
полярных координатах: р = (a/cos ф) + / — правая ветвь,
р = {a/cos ф) — / — левая ветвь. Геометрическое
определение конхоиды Никомеда: конхоида*) прямой
х — а = 0 относительно О. Асимптота: х — а — 0
(для обеих ветвей). Вершины: А(а + 1, 0)—
правая ветвь, D(a — l, 0) — левая. Точки перегиба
правой ветви: В и С; их абсцисса —
наибольший корень уравнения х3 - Ъа2х + 2а(а2 - I2) = 0.
Для левой ветви следует различать три случая:
а) 1<а (рис. 1.52,а). Точка О — изолированная
точка кривой (О в этом случае в
параметрическом представлении не содержится). Левая ветвь
имеет две точки перегиба, абсцисса которых —
второй по величине корень выписанного выше
уравнения, б) 1>а (рис. 1.52,6). О — узловая
точка кривой, касательные в О имеют угловые
коэффициенты |/г — а2/а или — |//2 — а2/а, радиус
кривизны в О: Ro = l\/l2 - а2/Bа). в) I = a
(рис. 1.52, в). Точка О совпадает с вершиной D
и является точкой возврата.
Улитка Паскаля (рис. 1.53). Уравнение
кривой: (х2 4- у2 - ахJ - I2 (х2 + у2) = 0, а > 0, / > 0.
Рис 1 53
В параметрической форме (при а < I точка О не
включается): х = a cos21 + I cos t, у = a cos t sin t +
+ Isint, 0 < ? < 2л. Уравнение в полярных
координатах (при а<1 без точки О): р = асо8ф + /.
Геометрическое определение (без О как
изолированной точки): конхоида окружности с радиусом
а/2 и центром (а/2, 0) относительно О. Вершины
А (а + /, 0), В (а — I, 0). Экстремумов четыре, если
а > /, и два, если а ^ /:
С, D, E, Flcost ¦¦
/ ± ]
8а2
Dа)
/ 2а2 + /2\
Точки перегиба G, HI cos t = ——-— I
существуют, если а < I <2а. Если / < 2а, то существуют
две точки: /(-/2/Dа), \]/4а2 - 12/Dа)) и К(-12/Dа),
— IУ4а2 — /2/Dа)), обладающие общей касательной.
При а < I точка О — изолированная точка кривой,
при а > I точка О — угловая точка с двумя
касательными (угловой коэффициент касательных
*) Конхоидой данной кривой называется кривая,
получающаяся при увеличении или уменьшении радиуса-вектора
каждой точки данной кривой на постоянный отрезок /
Если уравнение кривой в полярных координатах имеет вид
р = /(ф)> то уравнением ее конхоиды будет р = / (ф) ±/.
Конхоида Никомела — конхоида прямой линии

циклоиды
125
у а2 — 12/1 и — у а2 — 12/1) и радиусом кривизны
|/а2 - /2/2, при а = I точка О — точка возврата
(см. кардиоиду).
Кардиоида (рис. 1.54). Уравнение кривой:
(х2 + у2)(х2 + у2 -2ах) - а2у2 = О, а > 0. В
параметрической форме: х = a cos t A + cos t), у =
= a sin t A + cos f), 0 < t < 2л. Уравнение в полярных
координатах: р = а(\ + cos ф). Геометрическое
определение: частный случай улитки Паскаля (см. выше)
или частный случай эпициклоиды (см. 1.3.2).
Вершина: АBа, 0); точка возврата — точка О.
Координаты экстремумов С и D: хс = xD = За/4,
УС = ~Уй = V^XO Ч>С = ~Ф?> = яДрс = Pd = За/2.
Площадь: S = Ъка2/2 (шестикратная площадь круга
с диаметром а). Длина кривой: s = 8а.
Овалы Кассини (рис. 1.55). Уравнение
кривой: (х2 + у2J - 2с2(х2 - у2) - (а4 - с4) = 0,
с > 0, а > 0.
В полярных координатах: p2=c2cos2cp±
± ус4 cos2 2ф + (а4 — с4). Геометрическое
определение: точка М плоскости лежит на кривой,
а)а ^ с|/2(рис. 1.55, а). Вершины: Л (j/fl?~+ с2, 0),
С(- )/а2 + с2, 0), Я@, j/a2^"?), D@, - /а2-с2).
Если а = с |/2, то кривизна в точках В и D
равна нулю (кривая имеет с касательными в В
и D касание 3-го порядка).
6)с<а<су2 (рис. 1.55,6). Имеются четыре
точки перегиба: Р, L, М, N. Их координаты:
хР = -xL = хм = -хдг = {/(т - л)/2, уР = yL =
= -УМ = ~ УЫ = l/(m + л)/2, где m = j/(a4 - с4)/3,
и = (д* _ с4)/C<2). Точки ? и G, а также К и I
имеют при су 2 > а общие касательные. Их
координаты: х? = -xG= - хк = х/ = ]/4с4 - а4/Bс),
УЕ = УС = - УК = ~У1 = «7Bс).
в) а = с Лемниската (см. ниже).
г)_а^< г (рис. 1.55, в). Пересечения с осью х:
А(\/аГ+72, 0), C(-l/V+c2, 0), Р()/с2-а2, 0),
Q(- \/с2 - а2, 0). Координаты точек Е, G, I, К:
хЕ = Xj = -xG = -хк = /4с4 - а4/Bс),
2/B)
= ~У1
G
-УК =«2/Bс).
уЕ = yG =
Лемниската (рис. 1.56). Уравнение кривой:
(х2 + у2J - 2а2 (х2 - у2) = 0, а > 0. В полярных
Рис 1 56
координатах: p = a]/2cos29. Геометрическое
определение: точка М плоскости лежит на
кривой, если произведение ее расстояний до
фиксированных точек Fi(a, 0) и F2(-a, 0) постоянно:
| F,M | • | F2M | = (| F,F2 |/2J. (Частный случай овала
Кассини.) Начало координат — узловая точка с
касательными у = + х, она же - точка перегиба.
Пересечение кривой с осью х: /4(а|/2, 0),
С(-ау2, 0); координаты точек Е, G, I, К:
хЕ = х7 = -xG = -хк = а|/з/2,
УЕ = Ув = ~У1 = -УК = я/2.
Радиус кривизны: г = 2а2/Cр); площадь каждой
петли: S = а2.
1.3.2. ЦИКЛОИДЫ
Циклоидой называется кривая, описываемая
точкой, отстоящей на фиксированное расстояние
от центра круга, катящегося без скольжения по
данной кривой - направляющей циклоиды.
Обыкновенная циклоида (рис. 1.57).
Направляющая кривая - прямая линия.
Уравнение в декартовых координатах: acos((x +
если произведение ее расстояний до фиксирован- + ]/у Bа - у))/а) = а - у, а > 0. В параметрической
ных точек Fx и F2 постоянно: | MF1 || MF2 \ = а2; форме: x = a(t - sin t), у = аA -cost), -oo<t<
при этом Ft и F2 имеют координаты Fx (с, 0), < +оо, а - радиус катящейся окружности,
F2(-c, 0). Форма кривой зависит от отношения t = z_ MCXB называется углом качения. Точки
Ф' возврата: OkBkna, 0). Вершины: Ak(Bk - \)па, 2а).
а<с
Рис. 1.55

126
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
Длина дуги ОМ: s = 8я sin(t/4), M(t)~ текущая
точка; длина дуги одной ветви OAxOi'. s = 8а.
Площадь между дугой OA^Oi и осью х:
S = Зпа2. Радиус кривизны: R(t) = 4asin(t/4). Радиус
У
Рис. 1 57
кривизны в вершинах: RA — 4а. Эволюта циклоиды
(см. 4.3.1.5) — такая же циклоида (на рис. 1.57
изображена штриховой линией).
Укороченная и удлиненная
циклоиды (тро-хоиды) (рис. 1.58). Уравнения в
параметрической форме: х = a(t - X.sin t), у =
= а(\ — A,cost), a — радиус окружности; t = z. MCXP
(угол качения); Ха = С^М (при X > 1 (рис. 1.58, а) -
удлиненная циклоида, при X < 1 (рис. 1.58, б) —
укороченная циклоида). Вершины Ак(Bк — 1)тсд,
Рис. 1.58
A + X) а) - максимум с радиусом кривизны
RA = аA + ХJ/Х и ВкBкпа, A - Х)а) - минимум
с радиусом кривизны Rr = аA - ХJ/Х. Длина дуги
2я
BkBk + l: a J |/l + X2 — 2Xcostdt. Площадь, заштри-
о
хованная на рис. 1.58: S = па2 B + X2). Радиус
кривизны: R(t) = . Узловые
X(cost-X)
точки Dk удлиненной циклоиды: Bкпа, а(\ —
- ]Д2 — to)), где t0 — наименьший
положительный корень уравнения t — X sin t — 0. Укороченная
циклоида имеет точки перегиба:
Е2к (а(- arccos X + 2кп - X]/\ - X2), аA - X2)),
E2k+l(a(arccosX + 2кп - Х]/\-Х\ а{\ - X2)).
Эпициклоиды (рис. 1.59). Направляющая
кривая - окружность радиуса Ь; окружность радиуса
а катится без скольжения вне ее. Уравнения
в параметрической форме:
х = (а + b) cos ф - a cos ((а + Ь) ф/а),
у = (а + b) sin ф - a sin ((a + b) ф (а),
— оо < ф < +оо, ф = z. COAi.
Вид кривых зависит от отношения т = Ь/а.
а) т — целое положительное число. Кривая
состоит из т равных друг другу дуг,
«обходящих» направляющую окружность (рис. 1.59, а).
Достаточно рассмотреть изменения ф от нуля до
2л, так как кривая далее переходит сама в себя.
При т = 1 получается кардиоида (см. 1.3.1.2).
Точки возврата Ак при 1 < к < т получаются при
значениях параметра ф^ = 2(к - \)п/т; вершины
Вк — при фВл = B/с — \)п/т.
б) т = p/q, p и q — положительные, целые,
взаимно простые числа. Кривая состоит из р
равных друг другу пересекающихся дуг (рис. 1.59,6).
Кривая замкнута. Промежуток изменения
параметра: 0 ^ ф < 2qn.
в) Если т иррациональное, то кривая состоит
из бесконечного числа равных друг другу дуг.
Кривая не замкнута. Длина дуги между двумя
точками возврата: 8(a + b)/m. Площадь между
дугой и направляющей окружностью: 5 =
= па2{2а + ЪЬ)/Ь. Радиус кривизны:
4а (а + b)sin(*Kp/Ba))
2а+ b '
4а (а + Ь)
в вершинах Вк:
Bа + Ъ)

циклоиды
127
Гипоциклоиды (рис. 1.60). Направляющая
кривая - окружность радиуса Ь; окружность
радиуса а катится без скольжения внутри нее.
Уравнения в параметрической форме:
х = (Ь — a)coscp + acos{(b — а)ц>/а),
у = (Ь - a) sin ф - a sin ((b - а) ф/а),
b > а, — оо < ф < оо.
Так как b > а, то всегда т = Ь/а> 1. При т = 2
гипоциклоида вырождается в диаметр
направляющей окружности. (О числе равных друг другу
дуг кривых и параметрических интервалов см.
эпициклоиды. Там же см. и значения
параметров точек возврата и вершин.) Длина дуги
одной ветви (между двумя точками возврата):
8(Ь — а)/т. Площадь между одной ветвью и на-
a) m=3
правляющей окружностью: S = па2{ЗЬ - 2a)/b.
Радиус кривизны:
и вершинах Вк:
Ь-2а
Ла(Ь-а)
Ь-2а '
При т — 3 гипоциклоида с тремя ветвями
(рис. 1.60,а); длина кривой: s = 16a; площадь,
ограниченная кривой: 2па2. В частном случае
т = 4 получается астроида (рис. 1.60,6).
Уравнения в параметрической форме: х = Ьсо83ф,
у = Ь8ш3ф, 0 ^ ф < 2тс; в декартовых координатах:
Х2/3 + ^2/3 = fo2/3} ШИ (х2 + у2 _ Ь2K + 21Х2у2Ь2 = О
(алгебраическая кривая 6-го порядка). Длина кривой
равна s = ЬЬ = 24а; площадь, ограниченная
кривой: S = 3nb2/S = 6ка2.
Удлиненная и укороченная эпи- и
гипоциклоиды (рис. 1.61 и 1.62). Уравнения
в параметрической форме удлиненных и
укороченных эпициклоид:
(а + Ь) ф
х = (а + b) cos ф - Ха cos
у = (a + b) sin ф - Ха sin
а
{а + Ь)ф
а > 0, b > 0,
СМ, - оо < ф < + оо
(для удлиненной эпициклоиды X, > 1, рис. 1.61, а;
для укороченной X < 1, рис. 1.61,6).
Рис. 1.61
Параметрические уравнения удлиненной и
укороченной гипоциклоид:
х = (Ь — a) cos ф + Ха cos
' = (b — a)sinq> — Xasin
a
> - а)ф
a
Ь > а > 0, Ха = СМ, — оо < ф < + оо
(для удлиненной гипоциклоиды X > 1, рис. 1.61, а;
для укороченной X < 1, рис. 1.62,6). Частные
случаи:
а) гипоциклоида b — 2а\ х = аA+ Х,)созф,
у = а(\ — A,) sin фД т* 1,0^ф< 2я. Кривая — эллипс
с полуосями аA+Х) и \а{\-Х)\ (см. 2.6.6.1);

128
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
б) эпициклоида Ь — а:
х = aBcos<p - Xcos2<p), у = aBsincp -
О ^ ф < 2п,
есть улитка Паскаля (см. 1.3.1.2; следует, однако,
/ У
/ /
[/
ч.
\ X
\ N
/
/
f
0
ч
\д
V
п *\
7 ' \
J / \
у \
< \
у
Рис. 1.62
обратить внимание на другое положение кривой
относительно координатной системы).
1.3.3. СПИРАЛИ
Архимедовы спирали (рис. 1.63). Кривая
представляет собой путь, описываемый некоторой
точкой, движущейся с постоянной скоростью v
Рис. 1.63
по лучу, вращающемуся около полюса О с
постоянной угловой скоростью со. Уравнение в полярных
координатах: р = аф, а = v/(o > 0, - оо < ф < оо.
Первая ветвь: 0 ^ ср < + ос; вторая: — аз < ф ^ О
(на рис. 1.63 изображена штриховой линией).
Каждый луч ОК пересекает кривую в точках
Аь А2,...,Лп,..., находящихся друг от друга на
расстоянии А(А( + j = 2па. Длина дуги ОМ:
s = а(ф]/ф2 + 1 + Arsh ф)/2; для больших ф имеем
lim s/ф2 = а/2. Площадь сектора МХОМ2\
ф -+ +OD
а2(фг — ф?)/6. Радиус кривизны: К(ф) = а(ф3 +
+ 1K/2/(ф2 + 2).
Гиперболические спирали (рис. 1.64).
Уравнения в параметрическом виде: х = (acost)/t,
у = (asint)/t, -oo <t < 0 и 0<f<+oo. Кривые
состоят из двух ветвей, расположенных
симметрично относительно оси у. Первая ветвь:
— оо < г < 0 (на рис. 1.64 штриховая линия);
вторая ветвь: 0<t < +oo. В полярных координатах
уравнение первой ветви: р = а/| ф - л |, - оо <ф<л;
второй ветви: р = а/ф, 0 < ф < +оо. Для обеих
ветвей прямая у — а = 0 — асимптота (ф -» — л
и ф -¦ 0), а точка О — асимптотическая точка
(ф-> — оо и ф -+ +оо). Площадь заштрихованного
сектора М^ОМ^. S = а2A/ф2 - lApi)/2. Существует
lim S = а2/Bф2). Радиус кривизны (вторая ветвь):
Ф
Ф2
Логарифмические спирали (рис. 1.65).
Уравнение в полярных координатах: р = ае*ф,
а>0, — оо < ф < +оо. Кривая пересекает все лучи,
Рис. 1 65
выходящие из точки О, под одним и тем же
углом а. При этом k = ctg а. При а = л/2,
т. е. при к — 0, кривая вырождается в окружность.
Полюс О — асимптотическая точка кривой. Длина
дуги MiM2: s = (р2 - pi)|/l + k2/k; длина дуги
ОМ от начала до точки М с полярным радиусом р:
s0 = pj/l + к2/к. Радиус кривизны: R(p) =
= j/l +k2p.
Развертка (эвольвента) окружности
(рис. 1.66; ср. также 4.3.1.5). Если А - некоторая

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ И ТРАКТРИСА
129
определенная точка на окружности радиуса а с
центром в О, а М — произвольная точка
эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка
MB. Уравнения в параметрической форме:
х = acoscp + аф sin (р, у = а sin ср — acpcoscp,
-оо<ф<+оо, (р = г! МО А.
Кривая состоит из двух ветвей, симметрично
расположенных относительно оси х (при
-оо<ф^0 и 0<ф<+оо), с общей течкой в
У
Точка О — центр симметрии кривой. Имеются
две асимптотические точки:
Рис. 1.66
точке возврата А {а, 0). Длина дуги AM:
s = аф2/2. Радиус кривизны: Я(ф) = а | ф |. Все
центры кривизны лежат на окружности радиуса
а с центром в О.
Клотоида (рис. 1.67). Кривая проходит через
точку О, причем величина, обратная радиусу
Рис. 1.67
кривизны (сама кривизна), в каждой точке М
кривой пропорциональна длине дуги кривой
s = ОМ, т. е. \/R = sa2 (множитель
пропорциональности 1/а2). Уравнения в параметрической
форме*):
х = а ]/тс f cos ——du, у = а ]/я f sin — -~-du,
о 2 о 2
- оо < t < +oo, t = s/(a\/n), s = 6ti, a > 0.
*) Эти интегралы не выражаются через элементарные
функции.
5 И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев
А(а]/п/2,
B{-a]/n/2, -a
1.3.4. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ И ТРАКТРИСА
Цепная линия (рис. 1.68). Форму цепной
линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая
нить, подвешенная в двух точках.
Уравнение в декартовых координатах:
у = ach(x/a), a > 0. Кривая подобна графику
функции y = chx (см. 1.2.2.3) (преобразование подобия:
х = ах, у — ау). Вблизи вершины А @, а) кривую
а
У
А
0
м/
кр
X
Рис. 1.68
можно приблизить параболой у = а + х2/Bа)
(на рис. 1.68 штриховая линия). Длина дуги AM:
s (х) = a sh (x/a). Величина площади
криволинейной трапеции О AMP: S (х) = as (x) = a2 sh (x/a),
где М (х) - текущая точка кривой с абсциссой х.
Радиус кривизны: R = у2/а = ach2(x/a).
Трактриса. Пусть М — произвольная точка
кривой, Р — точка пересечения касательной в М
с осью х; тогда \PM\-a, или, иными словами:
если к одному концу нерастяжимой нити длины
а прикреплена точка М, а другой конец нити
движется по оси х, то М описывает трактрису
(линию влечения, рис. 1.69). Уравнение правой
ветви в декартовых координатах:
х = aln((a + ]/а2 - у2)/у) - j/a7^/ =
= a Arch (а/у) - ]/а2 - у2, а > 0, 0 < у ^ а.
Уравнение левой ветви получается заменой х
на —х. Оба уравнения возведением обеих частей
в квадрат можно привести к одному. Точка
А @, а) — точка возврата, ось х - асимптота, ось у -
ось симметрии. Длина дуги AM: s(y) = а\п{а/у);
при этом lim | s(у) - х(у)}| = аA - In2) % 0,3069 a.
Радиус кривизны: R (у) = а]/а2 - у2/у; соответ-
ствующая кривая центров кривизны (эволюта,
см. 4.3.1.5) — цепная линия (на рис. 1.69
штриховая линия) с уравнением у = a ch (x/a).

2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
2.1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1.1.1. Представление чисел в позиционной
системе счисления. Для представления чисел
применяют цифры или, точнее говоря, цифровые ряды
или (цифровые) слова, которые образуются путем
упорядочения конечного числа знаков из
конечного множества основных знаков (алфавита
системы счисления).
Представление натуральных чисел.
Различают два типа систем счисления:
непозиционные (примером которых может служить
римская система счисления) и позиционные. В
позиционной системе счисления выбирают некоторое
натуральное число р, большее единицы, и
используют его в качестве базисного числа (р-ичная
система счисления); для р, равного единице,
позиционной системы счисления не существует.
Вводят р основных знаков, называемых цифрами.
Эти знаки используют для образования
цифровых последовательностей, которые служат для
представления натуральных чисел. (Будем
обозначать цифры так: а0, аи...,ар-1.) Каждой
цифровой последовательности, образованной только из
одной цифры, однозначно сопоставим одно из
р — 1 первых натуральных чисел или нуль. Тогда
всякое натуральное число а имеет точно одно
представление в р-ичной системе счисления:
а = bsps + bs- ^* + ... + bop°,
где s обозначает однозначно определенное
натуральное число, bo,...,bs- цифры, причем bs -
цифра, отличная от цифры, соответствующей
нулю. Ряд знаков bsbs-i...b0 является цифровым
представлением числа а. Число нуль
представляется последовательностью, состоящей из одной
цифры, соответствующей нулю. В позиционной
системе представляемое число образуется
аддитивно, причем каждая цифра bj имеет числовое
значение (число, которое соответствует цифре bj)
и позиционное значение (вес) pJ, если bj стоит
на j-м месте, считая справа (счет начинают с нуля,
а не с единицы!). Аддитивный вклад этой цифры
в значение числа равен bjpJ.
Десятичная система: р -10, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9. Например,
3-105 + 2-10* + 0-103 + 0-102 + 9-101 + 1 • 10° - 320091.
Двоичная система (бинарная, или диодная, система):
р ш 2, цифры 0, L*). Например,
*) Чаще используются цифры 0 и 1.
Записанная в двоичной системе счисления
последовательность L0L00LL обозначает число, значение которого в
десятичной системе есть 83; действительно, 64 + 16 + 2 +
+ 1-83.
Чтобы иметь возможность представлять в
позиционной системе также и некоторые
рациональные числа, позиционные значения цифр в записи
числа распространяют на степени р с
отрицательными показателями. Для выделения
позиционного значения (веса) р° необходим
дополнительный знак (знак дробности), в качестве которого
обычно берется запятая (иногда точка). Этот знак
размещается в цифровой последовательности
непосредственно справа от цифры с позиционным
значением р°. В соответствии с этим цифровая
последовательность bsfrs-i b0, b-lb-1...b-r
обозначает число, заданное р-ичным
представлением
+ Ь_2р + ... + b-rp~r.
Цифра b-r может иметь числовое значение
нуль.
Примеры. Десятичная система: 23,040 - 2 • 101 +
+ 3-10° + 0-10-* + 4- 10" а + 0- ИГ3,
Двоичная система: L0, 0LL • L «.21 + 0• 2° + 0• 2"х +
+ L-2'2 + L.2~3. Запись числа L0, 0LL в десятичной
системе есть 2,375; действительно, 2 + 0,25 + 0,125 » 2375.
Каждое число, представимое в позиционной
системе счисления последовательностью цифр
конечной длины, является рациональным числом.
Наоборот, в каждой позиционной системе можно
представить точно только некоторое
подмножество рациональных чисел (зависящее от выбора р).
Например, рациональное число 1/3 не может быть
представлено в десятичной системе счисления в
виде конечной последовательности цифр; 1/25 в
десятичной системе записывается как 0,04, а в
двоичной системе счисления 1/25 конечной
последовательностью цифр представлено быть не может.
Если а/b — рациональное число (а и b — взаимно
простые натуральные числа), то а/b может быть
точно представлено в позиционной системе с
базисом р тогда и только тогда, когда каждый
простой множитель в разложении числа b
является простым множителем в разложении р.
Таким образом, в десятичной системе пред-
ставимы только такие рациональные числа а/Ь
(a, b — взаимно простые), у которых b содержит
лишь простые множители 2 и 5.

АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
131
2.1.1.2. Погрешности и правила округления чисел.
Как было замечено в 2.1.1.1, не каждое
рациональное и тем более не каждое
действительное число можно представить в позиционной
системе в виде конечной цифровой
последовательности. Поэтому приходится применять
приближенные значения представляемого числа,
содержащие ограниченное число цифр. К этому
прибегают и тогда, когда точное число содержит
конечное, но слишком большое число цифр.
Простейшим способом получения
приближенного значения числа является отбрасывание цифр
в его точном изображении (обрыв), начиная с
некоторог о разряда. При этом погрешность
приближения, т. е. разность z - а, где z — точное число,
а — его приближение, всегда положительна и не
превосходит единицы разряда последней
сохраняемой цифры.
Примеры приближенных значений чисел,
полученных отбрасыванием разрядов:
1.570 - приближенное значение для я/2 (* 1,570796...);
1,414 — приближенное значение для |/2 (* 1,414213...);
0,210-приближенное значение для 27/128 (% 0,210875).
Отбрасывание разрядов является простейшим
способом округления чисел. Применяются и другие
способы округления, из которых наиболее
употребителен следующий-
1) Если за последней сохраняемой цифрой
следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то никаких
изменений в приближенное значение числа,
представленного последовательностью
предшествующих ей цифр, не вносится (округление с
недостатком).
2) Если за последней сохраняемой цифрой
следует 9, 8, 7, 6 или 5, то к ней
прибавляется единица. Если последняя сохраняемая
цифра 9, то она заменяется на 0 и на единицу
повышается цифровое значение предшествующей ей
цифры. Если эта цифра также 9, то действуют
таким же образом до тех пор, пока не
встретится цифра, отличная от 9 (округление с
избытком).
Иногда применяется дополнительное правило:
3) Если за последней сохраняемой цифрой
следует лишь цифра 5 или цифра 5, за которой все
остальные цифры нули, и если последняя
сохраняемая цифра имеет четное значение,
осуществляется окружение с недостатком; в противном
случае — округление с избытком.
Примеры приближенных значений чисел, полученных
таким округлением:
1.571 - приближенное значение для я/2;
1,414 - приближенное значение для ]/2;
0,211 - приближенное значение для 27/128;
10,000 - приближенное значение для 9,9995;
9,998 - приближенное-значение для 9,9985.
В то время как при отбрасывании разрядов
приближенное значение а числа z никогда не
превосходит z, при округлении приближенное
значение может быть больше или меньше числа z.
Если аг — приближенное значение z, полученное
при окружении с недостатком или избытком с г
десятичными разрядами после запятой, то
погрешность округления равна | аг — z | < 0,5 • 10~г.
Приближенные значения, полученные при
округлении, не обязательно должны иметь только
значащие цифры (ср. 10,000 и 9,9995). Цифры в
записи приближенного значения а числа z
называются верными цифрами, если | а — z | не
превосходит половины позиционного значения
последней цифры числа а. Запись приближенного
значения, полученная путем отбрасывания и округления,
состоит только из верных цифр.
Эти правила обеспечивают погрешность, не
превосходящую по абсолютной величине половины
единицы разряда последней сохраненной цифры.
Все цифры округленного числа в таком случае
оказываются верными, хотя фактически они могут
и не совпадать с соответствующими цифрами
в записи точного числа (см. примеры).
Приближенное число обычно характеризуют
количеством сохраненных разрядов после запятой
или количеством значащих цифр. К значащим
цифрам относятся все цифры, кроме нулей слева.
Так, например, числа 253; 70,2; 0,00375 имеют
по три значащие цифры. При записи
приближенных чисел все значащие цифры должны быть
верными, если погрешность числа не указывается
каким-либо другим способом.
При округлении чисел, больших 10, не следует
писать нули, не являющиеся верными цифрами,
а нужно выделять множитель вида 10й. Так,
например, число 139796,7, округленное до трех
значащих цифр, следует записывать в виде
1,40-105 или 14,0-104.
2.1.2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
2.1.2.1. Абсолютные и относительные
погрешности. Приближенные значения чисел
появляются не только в результате обрыва и
округления. Каждое измеряемое значение некоторой
величины в общем случае также есть
приближенное значение этой величины (ср. 7.1.1). Если а
обозначает приближенное значение числа z, то
а — z называется истинной погрешностью а, а
(а — z)/z — истинной относительной погрешностью
а. Но так как в большинстве случаев z
неизвестно, то неизвестны как истинная, так и
истинная относительная погрешности. Напротив,
часто можно указать граничную величину
истинной погрешности, т. е. положительное число Да,
для которого выполняется неравенство | а — z | ^
< Да, или а — Аа < z < а + Да; Да называется
пределом (границей) погрешности, или предельной
абсолютной погрешностью, или сокращенно
абсолютной погрешностью а; да = Да/а — предельной
относительной погрешностью или сокращенно
относительной погрешностью а. Относительная
погрешность а часто указывается в процентах.
Примеры. 1) Если а, - приближенное значение
числа z, полученное путем обрыва (ср. 2.1.1.2), причем
пг содержит г знаков после запятой, то в качестве
абсолютной погрешности может быть выбрано Лаг« 10~р.
Если а, получено округлением, то абсолютная
погрешность равна Даг-0,5 10~г.
2) Число 3,14 есть приближенное значение числа п.
Так как 3,14159 также является приближенным
значением тс с пятью цифрами после запятой, то 0,0016
может быть выбрано в качестве абсолютной погрешности.
Тогда относительная погрешность равна O'f^^6 * 0,00051,
или 0,051 %.

132
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
sinx з
sin x 5
COSX з
cosx я
tgx*
tgx*
\/a~2~+
ex*\
ln(l +
Формула
S X
S X - X3/6
tl
й 1 - x2/2
X
x + x3/3
x % a + x/2a
+ x % I/a - x/2a3
x) * I/a - x/a2
4-х
x)*x
0,1%
± 0,077
± 0,580
±0,045
± 0,386
± 0,054
± 0,293
-0,085^2-,0,093^
-0,05 \a2 -r 0,052a2
± 0,031a
± 0,045
± 0,002
Относительная погрешность не превышает
1%
Интервал — d < х < d обозначается ±d;
интервал а < х < b обозначается о-гЬ
±0,245
±1,005
±0,141
± 0,662
±0,172
±0,519
- 0,247д2 + 0,328а2
-0,157fl2~0,166a2
± 0,099а
-0,134^-0,148
± 0,020
10%
± 0,786
± 1,632
± 0,451
±1,036
±0,517
± 0,895
-0,607a2-rl,545a2
-0,448а2ч-0,530о2
± 0,301а
- 0,375 ч- 0,502
-0,176ч-0,230
2.1.2.2. Приближенные границы погрешности
функции. Пусть /(хь..., хк) - функция переменных
хь...,хк. Часто требуется знать предельную
абсолютную погрешность А/:
и~11
при условии, что для значений переменных
xi,..., Xfc известны предельные абсолютные
погрешности Ащ. Если/(хь ..., хк) имеет непрерывные
частные производные f'X( по переменным х(,
i — 1, ..., к, то обычно полагают (ср. 3.1.6.3)
Примеры. 1) f(xlt х2) = Xi -f x2:
А (а, + аг) = ^ax + Да2 (/^ = 1, /^ = 1);
2)У(хь x2) = Xl-x2:
Д(а, +а2) = Да1 + Да2 (Д, = 1, ГХг = -1);
3) /"(.х) = с • х {с - постоянная):
4)/(xlf
-я) = Afl-|f| (/i-0;
Д (ai • a2) « Д«1 • | a2 I + Да2
А (о
\а2.
¦flat
j*Ai
-1/х
Дс»1
ll'TalT
, f -
ь 'х2 ~
* \а2\
+ Да2.
-.xi/x
AM
\an\
Д (sin a) « Да • | cos a |
Да ,
1«1 '
cos x).
{1/2) ^ ^ Ai-
l«lA'2 I ~ l«l I I «2 I '
Если функция /(х) задана таблицей, то А/
находят посредством линейной интерполяции из
таблицы в том случае, если Аа меньше, чем
величина шага х в таблице вблизи а. Чаще всего
А/ можно найти прямо из таблицы.
Пример. Для а = 1,30 и Да = 0,01 найдем Г(л) из
табл. 1.1.2.1- ГA,30) = 0,89747 Вследствие равенств
ГA,29) = 0,89904 и Г A,31 ) = 0,89600 можно положить
Д (Г A,30)) = 0,002 и за приближенное значение Г A,30)
принять число 0,897.
2.1.2.3. Приближенные формулы. Во многих
случаях сложные функции можно приблизить
более простыми. Для этого часто используют
первые члены разложения в ряд Тейлора
(ср. 3.1.14.6). В таблице на этой странице
указаны некоторые приближенные формулы и
относительные погрешности в соответствующих
интервалах.
2.1.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
2.1.3.1. Нахождение нулей функции /(х). Для
определения приближенного значения нуля
функции/(х) может применяться график этой функции
(ср. 1.2). Иногда, как показывает следующий
пример, целесообразно представить функцию в виде
суммы двух слагаемых.
Пример. Найти приближенное значение нуля функции
/(х) = sin х — х + 3. Так как sin х — х + 3 = 0 в случае,

ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
133
когда sin х = х — 3, то абсциссы точек пересечения графиков
функций g(x) = sinx и й(х) = х-3 как раз и есть нули
f(x). Функция sinx затабулирована (ср. 1.1.1.10), ее график
легко построить. График функции h (х) = х — 3 — прямая,
которую также легко построить (ср. 1.2.1.1).
Полученные приближенные значения могут быть
улучшены посредством правила ложного
положения и методом Ньютона (ср. 7.1.2.3).
2.1.3.2. Графическое дифференцирование. Если
имеется график функции /(*), то точки графика
функции f'(x) могут быть получены следующим
способом.
1) На оси х в области задания функции
f(x) выбираем последовательность точек
хи х2,...,х„.
2) На отрицательной части оси х вне области
задания функции /(х) выбираем точку Р — полюс
построения. Длина b отрезка РО называется
полюсным расстоянием.
3) В точках кривой/(х) с абсциссами х, строим
нормали к кривой. Для этого пригодно
прямоугольное карманное зеркало (лучше всего
металлическое), которое вертикально Ставят на плоскость
чертежа. Если кривая без излома переходит в свое
зеркальное отражение, то ребро зеркала покажет
направление нормали.
4) На каждую из полученных нормалей опускаем
перпендикуляры из Р, которые пересекают ось у
в точках Qt. Эти перпендикуляры проходят
параллельно касательным в точках (xf, /(х<)).
5) Точка пересечения прямой, проходящей через
Qi параллельно оси х, с прямой х = х^ является
точкой графика/'(х) (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Масштаб/' (х) зависит от используемых
масштабов тх по оси х и ту по оси у и от
полюсного расстояния Ь. Если ^ и т] - длины
отрезков между точками с координатами
@, 0) и (х, 0) и соответственно между @, 0)
и @, у), то х = тх?, и у = туг\. Тогда, обозначив
ординаты точек построенной кривой через г\\ для
наклонов прямых, построенных параллельно
касательным, получим
2.1.3.3. Графическое интегрирование. Если
имеется график функции /(х), то график функции
х
F(x)= J f(t)dt можно приближенно заменить ло-
*о
маной следующим способом.
1) Разделим отрезок / = [х0, х]
промежуточными точками разбиения на частичные отрезки
1к. При этом следует обратить внимание на то,
чтобы относительные экстремумы функции /(х)
не лежали внутри частичных отрезков.
2) Для каждого частичного отрезка часть
плоскости между осью х и/ кривой /(х) заменим
(приблизительно) равновеликим прямоугольником,
проведя параллель к оси х так, чтобы
отброшенная часть площади была примерно равной
добавленной (заштрихованы на рис. 2.2). Пусть
b
тх dy
ту dx '
таким образом,
Рис. 2.2
xfc есть абсцисса точки пересечения, определенная
однозначно (вследствие 1) прямой, параллельной
оси х, с графиком /(х) на частичном отрезке
1к; тогда точка пересечения этой же прямой с осью
у имеет координаты @, /(хк)).
3) Выберем на отрицательной полуоси х и вне
области задания функции /(х) точку Р - полюс
построения. Пусть b обозначает длину отрезка
РО (полярное расстояние).
4) Проведем через точку Qo = (х0, 0) параллель
к прямой, проходящей через точки Р и @, /(xj).
Пусть эта параллель пересекает прямую х = хх
в точке Qi. Через Qx проведем параллель к
прямой, проходящей через точки Р и @, /(х2)).
Пусть эта параллель пересекает прямую х = х2
в точке Q2 и т.д. Ломаная QoQi-Qn есть
приближенный график функции F(x).
Пусть снова (как и в случае .графического
дифференцирования) х = тх?, у = тух) и Нк -
длины отрезков между точками (хк, 0) и Qk. Тогда
для Y = F{x) выполняется соотношение Y = myH.
Если по методу графического дифференцирования
с тем же полюсом Р в точках с абсциссами
xfc (к > 0) построить точки кривой производной
функции F(x), то получим точки (xfc,/(хк)).
Отсюда для масштабов следует, что
ту = mY/(mxb),
YYly = УПхТПуЬ.

134
КОМБИНАТОРИКА
2.2. КОМБИНАТОРИКА
2.2.1. ОСНОВНЫЕ
КОМБИНАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.2.1.1. Факториал и гамма-функция. Функция
/(и), для которой
при всех целых неотрицательных л, называется
п-факториалом и обозначается л!. Для любого
натурального л имеем л! = 1 • 2 •... • л.
Примеры. 1!-1;2!«1-2-2;6!-1-2-3-4.5-6-720.
Значения функций л! и 1/л! см. в
табл. 1.1.1.5.
Для приближенного вычисления л! в случае
очень больших чисел л пользуются формулой
Стирлинга
или
1п(л!) « ( л + у)ш" - и + у1пBя).
Определение гамма-функции Г(х) ло Эйлеру.
Для всех действительных чисел х > О
(ср. 3.1.9.4)
Определение гамма-функций Г(х) ло Гауссу.
Для всех действительных чисел х, кроме
{О, -1, -2, -3,...},
л!лх
Г(х)= lim —— .
При х > 0 оба определения дают одинаковую
функцию.
Основные свойства гамма-функции (см.
также 3.1.9.4).
ГA)= 1, Г(х+ 1) = хГ(х),
Г(х)ГA-х)=-Д—,
Г(х)Г(-х)= : .
xsinrcx
Некоторые специальные значения
гамма-функции: Г(-1/2)= —2]/те, ГA/2) = |/я.
Таблицу значений функции см. в 1.1.2.1. График
функции см. на рис. 2.3.
Полюсы Г(х): хр = 0, -1, -2, -3,...
Вследствие первых двух свойств для всех
натуральных чисел л имеем Г(л + 1) = л!. Поэтому
гамма-функция может рассматриваться как
обобщение факториала. Для приближенного вычисления
значения функции Г(х) при больших
положительных значениях х может быть использована
формула Стирлинга: Г(х + 1) « (х/е)х]/2пх.
по
-5ГЛ-3 -2-1 О i 2 3 4 х дляГ(х)
-2
-3
-4
-5
Рис. 2.3
2.2.1.2. Биномиальные коэффициенты. Для всех
целых неотрицательных чисел л, к функция
d (или (?)):
. для 0 ^ к ^ л,
С*=< к\(п-к)\ для 0 =
U
называется биномиальным коэффициентом.
Читается: С из л по к (или л над к).
Значения биномиальных коэффициентов могут
быть последовательно определены из так
называемого треугольника Паскаля:
&
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7 1
Каждый коэффициент образуется путем
сложения двух стоящих над ним (справа и слева).
Крайние значения известны для любого л:
С? = Сп„ = 1. В строке с номером л слева направо
стоят значения С?, Сп\ С%,...,Спп-
Область определения биномиальных
коэффициентов можно расширить: именно, для всех
действительных а и для всех целых /с ^ 0 функция
1 при к = 0,
B.2)
также называется биномиальным
коэффициентом.
Для целых а ^ 0 оба определения
совпадают.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ КОМБИНАТОРИКИ
135
Примеры.
3!E-3)! ~J
(-А- -2(-2-1)(-2-2)
I 3J 3!
-4,
Свойства биномиальных коэффициентов. Для
целых и ^ 0, fc ^ 0 справедливо свойство
симметрии:
С; = С;"*, или
©-(.-.)¦
B.3)
Для действительных а, Ъ
теоремы сложения:
имеют место
ситнгь-
B.4)
Если а = Ь = п, где и - целое неотрицательное,
то из B.3) и B.4) следует (ср. также 2.2.2.1),
что
2.2.1.3. Полиномиальный коэффициент.
Определенная для всех натуральных п и всех наборов
неотрицательных целых чисел [/сь /с2,...,fcr], для
которых t k, = it, функция C.(*i.*a,...,U или
п\
называется полиномиальным коэффициентом.
Примечание. Биномиальный коэффициент С* есть
частный случай полиномиального коэффициента Cn(fcb k2),
где kt = к, к2 = п — к.
= 60
Примеры. С6B, 1,3)
С12B, 3, 3, 4) -
277200.
2.2.2. ФОРМУЛЫ БИНОМА
И ПОЛИНОМА
2.2.2.1. Формула бинома Ньютона. Для всех
действительных чисел а, Ъ и для всех
натуральных чисел п
Ъ)п= ? Скпап~кЬк =
к = 0
= С°па"Ь° + С1па"
Примечание. Биномиальные коэффициенты
формулы B.6) составляют в треугольнике Паскаля строку с
номером и.
Если заменить Ъ на -Ь, то из формулы
B.6) следует
...+. Сппа%п. B.6)
П ример. (а - fcL - а* - 4а3Ь + 6а2Ьг - АаЬъ + Ь4.
Из B.6) получаем
? С; = 2я при а = Ь = 1, B.7)
л = о
f (-l)kCi| = 0 при а = 1, Ъ = -1. B.8)
fc = 0
Вычитанием или сложением B.7) и B.8) получим
равенства
при этом в первом случае т - наибольшее
нечетное число, а во втором — наибольшее четное число,
не превосходящее п.
2.2.2.2. Формула полинома. Для любых отличных
от нуля действительных чисел аь а2,...,аг и
любого натурального п
(ai + а2 + ... 4- аг)" =
2j Cn\Kit к2, ...,fcr)fljia22...д?г.
fei + /с2 + ... + /с, = и
B.9)
При этом суммирование распространяется на все
наборы неотрицательных целых чисел (ки к2,...,кг),
для которых ? /с,- = п.
i= 1
При а^ = а2 = ... = аг = 1
Пример, {а + b + сK = С3C, 0, 0)а3 + С3B, 1,
+ С3B, 0, 1)а2с + С3{1, 2, 0)аЬ2 + С3{1, 1, 1)аЬс +
+ С3A, 0, 2)ас2 + С3@, 3, 0)Ь3 + С3@, 2, 1)Ь2с +
+ С3@, 1, 2Nс2 + С3@, 0, 3)с3
+ ЪаЬг + баЬс + Зас2 + Ь3 + ЗЬ2с + ЗЬс2 + с3.
2.2.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
КОМБИНАТОРИКИ
Во многих математических исследованиях
встречаются комбинаторные задачи, своеобразие
которых целесообразно показать на примерах.
1. Сколькими способами можно расставить на
полке 10 различных книг? (Ср. 2.2.4.1.)
2. Как велико число различных отображений,
переводящих множество из п элементов в себя?
(Ср. 2.2.4.1.)
3. Сколько различных шестизначных чисел
можно составить из цифр 1, 1, 1, 5, 5, 9?
(Ср. 2.2.4.5.)

136
КОМБИНАТОРИКА
4. В турнире принимают участие восемь команд.
Сколько различных предсказаний относительно
распределения трех первых мест (по результатам
соревнований) можно сделать? (Ср. 2.2.5.1.)
5. Сколько различных трехбуквенных слов
можно составить из 32 букв алфавита, не обращая
внимания на то, имеют ли смысл составленные
из букв слова или нет? (Ср. 2.2.5.2.)
6. Сколькими способами можно из множества
к (различных) элементов выбрать г элементов?
(Ср. 2.2.6.1.)
7. Как велико число различных результатов
бросаний двух не отличимых друг от друга
кубиков? (Ср. 2.2.6.2.)
Приведенные примеры показывают, что в
задачах комбинаторики интересуются вообще числом
различных выборок определенных объектов, причем
в зависимости от вида дополнительных
требований следует различать, какие выборки считаются
одинаковыми и какие различными.
2.2.4. ПОДСТАНОВКИ
2.2.4.1. Подстановки. Каждая
последовательность к различных предметов с учетом порядка
называется перестановкой этих предметов. Если
пронумеровать места этих предметов слева
направо: 1, 2,...,/с, то можно сформулировать
следующее определение:
взаимно однозначное отображение р*
конечного упорядоченного множества М = {sb s2,...,sk] из
к элементов на себя называется подстановкой
элементов множества М.
Перестановки из к элементов множества М
отличаются друг от друга только порядком
входящих в них элементов.
Число Рк = Р{рк) всех перестановок рк из к
различных элементов равно
Рк = к\. B.10)
Примеры. Для примеров 1 и 2 п. 2.2.3 из
B.10) следует: имеется 101 = 3628 800 различных способов
расстановки на полке 10 книг и и! взаимно однозначных
отображений, переводящих множество из п элементов в себя.
2.2.4.2. Группа подстановок к элементов. Если
выбрать М = {1, 2,...,к}, то каждую подстановку
рк этих элементов можно записать как матрицу
из двух строк:
где
/1
2 3....
S2 S3 ...
B.11)
pk(i)
для всех ie{l,...,fc}.
Это делает возможным определение произведения
р\ • р\ двух подстановок к элементов как
последовательного проведения обоих преобразований:
Для этого записывают обе подстановки в виде
матриц и переставляют столбцы второго
множителя так, чтобы первая строка второго множителя
совпадала со второй строкой первого множителя.
Матрица произведения состоит из первой строки
первого множителя и преобразованной второй
строки второго множителя:
/1 2 3 ... к \ /sj s2 s3 •
\Si S2 S3 ...
Пример 1
-С
1 2 3.
Справедливы следующие утверждения.
1) Для каждых двух подстановок р* и р\
элементов множества {1, 2,...,fc} произведение
р\ • р\ есть однозначно определенная
подстановка рк.
2) Произведение есть ассоциативная (но
не коммутативная) бинарная операция:
3) Для подстановки рк = ( "' I
{тождественная подстановка) при всех р* имеет
место равенство pk-pk - pk-pk = pk.
4) Для каждой подстановки рк = ( "' ) су-
Vi «2 ... V
ществует обратная подстановка (fr)" =
(«1 «2 • • • sfc\ w
1, для - которой выполняется
соотношение (р*)~1 -рк = р* • (рк)"х = р?.
Вследствие 1)-4) и B.10) все подстановки р*
элементов множества {1, 2,...,/с} образуют
(см. 2.4.1.6) группу порядка к\.
Эта группа называется симметрической
группой Sk.
Пример 2. Элементы симметрической группы S3.
'»-(з")'*-(*"}'1"Aз"^
Если в матрице подстановки р*
элементов множества {1, 2,..., к} встречаются два столбца
для которых s4 < $j, a tt>tj
(или s( > sj, a tt < tj), то такая пара столбцов
называется инверсией подстановки рк.
Подстановка называется четной или нечетной
в зависимости от того, четно или нечетно число
встречающихся в ней инверсий.
Пример 3. Если Z(p?)-число инверсий, то для
подстановок примера 2:
Z(pe3)
i, Z(p|) = 3,
Отображение группы Sk во множество
{ —1, 1}, определенное следующим образом:
Х(рк) = 1,еслирк — четная подстановка, и х(Л — — 1»
если рк — нечетная подстановка, называется
характеристикой подстановки группы Sk. Вследствие
равенства х(р\'Л) = X(Pi)'X(P2) это отображение
гомоморфно.
Множество всех четных подстановок
множества {1,...,/с} образует подгруппу группы Sk
порядка /с!/2. Эта подгруппа называется
знакопеременной группой.
2.2.4.3. Подстановки с неподвижной точкой.
Если рк - подстановка множества М = {1, ..,к}, то

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ
137
каждый элемент i е М, для которого рк (i) = /,
называется неподвижной точкой подстановки рк.
Пример. Для подстановок примера 2 п. 2.2.4.2
справедливо следующее: р] имеет неподвижную точку 3,
р\ — точку 1, р\ — точку 2, р] имеет неподвижные точки
1, 2 и 3; pi и р\ таковых не имеют.
Число F(pk) всех подстановок множества
{1, ..., /с}, имеющих по крайней мере одну
неподвижную точку, равно
B.12)
где С{ — биномиальные коэффициенты. Число
G(p^) всех подстановок множества {1,...,&},
имеющих в точности одну неподвижную точку, равно
B.13)
Пример. Пять человек занимают места 'за столом,,
не обращая внимания на разложенные на столе именные
карточки. В общей сложности они могут разместиться
5! = 120 способами. В
F(p5) = С\А\ - С|-3! + С\2\ - d 1! + С2-0! = 76
случаях по крайней мере один человек и в
случаях в точности один человек займет отведенное ему
место.
2.2.4.4. Подстановки с заданным числом
циклов. Если матрицу подстановки рк перестановкой
столбцов можно привести к виду
/Sj S2 S3 ...Sr_! SrSr+l ...Sk\
\S2 S3S4...S, Si fr+1 ... ft/
то рк задает взаимно однозначное отображение
S|-*S|+1, i = 1, 2,...,г - 1, sr-*su множества
{sb s2,...,sr} на себя, которое называется циклом
длины г и обозначается Zr-(su s2»•••,$»•). В
соответствии с этим каждой неподвижной точке
соответствует цикл длины 1.
Каждую подстановку рк можно однозначно (с
точностью до порядка сомножителей) представить
в виде произведения циклов, не имеющих общих
элементов.
Примеры.
Л
1 2 3 4 5 б\
23 1 546Г
A, 2, 3)D, 5) F).
Для .числа Р{к, s) подстановок р*, которые могут
быть представлены в виде произведения s циклов,
имеют место рекуррентные формулы
P(fe,fe)*l, ?(*, 1)-(*-1)! при Л > 1, B.14)
P(/c,s) = P(/c- 1,5- 1) + (/с-1)-Р(/с- 1, s)
при к > s > 2.
Пример Имейся РC, 3) = 1 подстановка группы S3
(ср. пример 2 и 2 2.4.2) с тремя циклами: pl\
РC, 1) = 2 подстановки с одним циклом: р\ и р|;
РC, 2) = РB, 1) + 2РB, 2)= 1 +21 = 3 подстановки с двумя
циклами: р\, р\ и pi
2.2.4.5. Перестановки с повторениями. Если
рассматривать упорядоченные ^-наборы из множества
М, которые состоят не только из различных
элементов множества М, то получим
перестановки с повторениями.
Пусть А/ = {sb..., sp} - непустое множество из р
элементов и iu i2, ..., ip — натуральные числа та-
р
кие, что ? ij = к. Каждый упорядоченный набор к
чисел pkix i i, содержащий элемент Sj ровно ij
раз A<7<р), называется перестановкой
множества М с повторением.
Примечание. При f, = i2 ~ ... = jp = 1 получим
перестановки множества из р элементов.
Число CtO'i» hi-'-Jp) различных перестановок
множества М с повторениями равно*)
где
Пример. Имеется СбC, 2, 1) =
B15)
= 60 различных
шестизначных чисел, содержащих трижды цифру 1, дважды
цифру 5 и один раз цифру 9 (ср. пример 3 п. 2.2.3).
2.2.5. РАЗМЕЩЕНИЯ
2.2.5.1. Размещения. Любой упорядоченный
набор г различных элементов множества М,
состоящего из к элементов, называется размещением
а) из к элементов по г.
Примечание. Каждое размещение акг есть взаимно
однозначное отображение упорядоченного множества
{1, 2,...,г} во множество М. Из определения следует, что
г < к. При г-к получаем подстановки множества М.
Число А^- А (ак) различных размещений есть
/с!
(к-г)\
¦¦к{к-
1). B.16)
Примеры. 1) Имеется А\ различных взаимно
однозначных отображений множества {1, 2} во множество
{аи а2, а3, а4}, т. е. А\ = 12.
2) Имеется А\ — 336 различных способов распределения
трех первых мест при восьми командах, участвующих в
соревновании (ср. пример 4 п. 2.2.3).
2.2.5.2. Размещения с повторениями. Любой
упорядоченный набор г элементов множества М,
содержащего к элементов, называется размещением
с повторениями ак из к элементов по г.
Примечание. Каждое размещение с повторениями
# есть однозначное отображение упорядоченного множества
{1, 2,...,г} в М. При этом возможно, что г > к.
Число Л(а{) различных размещений с
повторениями есть
А(ак) = кг. B.17)
Пример. Число различных трехбуквенных слов,
которые можно составить из 32 букв алфавита, есть
(ср. пример 5 п. 2.2.3).
•) Ср. 2.2.1.3.

138
КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.2.6. СОЧЕТАНИЯ
2.2.6.1. Сочетания. Любое подмножество из г
элементов множества, содержащего к элементов,
называется сочетанием скг из к элементов по г.
Примечание. Если объединить все размещения
а* из к элементов по г, состоящие из одних и тех
же элементов (не учитывая расположения), в классы
эквивалентности, то каждому классу будет соответствовать
ровно одно сочетание dL и наоборот. ,
Примеры. I) Пары [Sl, s2}, {su s3}, {si,4
{*2, S3}, {si, «¦}, {sit s4) исчерпывают все сочетания из
четырех элементов по два.
2) Имеется одно сочетание из к элементов по О
(т.е. не содержащее ни одного элемента) - это пустое
множество.
Число Сгк = С(ск)
равно
С'к =
всех различных сочетаний
к\
г\{к-г)\ '
B.18)
Пример. В числовом лото надо выбрать 5 чисел из
90. Для этого существует С|О-43949268 способов (ср.
пример б п. 2.2.3).
2.2.6.2. Сочетания с повторениями. Объединим
все размещения а, с повторением из к
элементов по г, состоящие из одинакового количества
одних и тех же элементов (без учета
расположения), в классы эквивалентности. Каждый класс
эквивалентности называется сочетанием с
повторением скг из к элементов по г.
Примечание. Два размещения ак и а'к или йк и
а'к принадлежат одному сочетанию ск или ск
соответственно только тогда, когда существует перестановка рТ
множества {1, 2, ..., г) такая, что для всех ie{\, 2, . , г]
имеет место равенство
или я* @
#V@)-
Ср. примечания в 2.2.5.1, 2.2.5 2 и 2 2.6.1.
Число /* = С(скг) различных сочетаний с
повторением из к элементов по г равно
^-i (fc + r-1)!
fk
B.19)
'-1 K+r~l r\(k-l)\
Пример. При наличии двух неразличимых кубиков
можно получить f\ = Cf = 21 различный результат бросаний
(ср. пример 7 п. 2.2.3).
2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.3.1. ОБОЗНАЧЕНИЕ СУММ
И ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Если яь а2,... ,ап — (конечная)
последовательность действительных чисел (ср. 2.3.2), то можно
составить конечную последовательность сумм и
произведений.
Для конечных сумм и произведений чисел
приняты обозначения:
п л
? ах = ах + а2 + ... + ап, Па,- = а± -а2-...-а„.
i=l «=i
B.20)
Входящая в выражения B.20) переменная z
называется индексом суммирования (индексом
умножения), а целые числа 1 и п — пределами
суммирования (пределами умножения). Значение суммы
(произведения) не зависит от обозначения индекса
суммирования (индекса умножения) — это так
называемая немая переменная:
п п п
i=l j=l k=l
Иногда бывает необходимо перейти к новому
индексу суммирования с одновременным
изменением пределов суммирования. Так, например,
полагая в первой сумме i = k + г, где г — целое число,
а к — новый индекс, получим, что новые пределы
по индексу к равны соответственно 1 - г и п - г
и
2.3.2. КОНЕЧНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Конечная (действительная) числовая
последовательность есть однозначное отображение
множества Ап = {1, 2,...,п}, п ^ 1, во множество
действительных чисел. При этом образ натурального
числа ieAn обозначается а, и называется
членом последовательности. Последовательность
обозначается посредством [д,]".
Последовательность может быть задана прямым перечислением ее
членов или каким-нибудь алгебраическим
выражением.
Примеры. 1) Последовательность, заданная прямым
перечислением членов:
[a,]f = 4, -1,3/5,4,4.
2) Последовательность, заданная алгебраическим
выражением:
[3/-/2]?
2, 0, -4, -10, -18.
Если задана последовательность [aj" =
= йь й2,...,й„, п>1, то из нее можно образовать
другую последовательность:
= a2 - a,, a3 - a2, ..., а„ - an_,;
B.21)
она называется последовательностью первых
разностей последовательности [«,]". Если п > 2, то
из последовательности первых разностей можно
снова образовать последовательность первых
разностей, которую называют последовательностью
вторых разностей исходной последовательности.
Если продолжать так дальше, то процесс
оборвется на последовательности (и - 1)-х разностей, так
как она состоит только из одного члена.
Если [rfj 1 — последовательность первых
разностей последовательности [«J", то
а2 - аи dx + d2 = a3 - аи ..., ? dx = а„ -
B.22)

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
139
Если cii = О, то ап равно сумме п — 1 членов
последовательности первых разностей.
конечная последовательность [aj" называется
постоянной, если существует такое действительное
а, что а, = а для всех ie{l,...,n}. В
соответствии с этим конечная последовательность длины
п = 1 постоянна.
2.3.2.1. Арифметическая прогрессия. Конечная
последовательность называется арифметической
прогрессией Л-го порядка, если последовательность
ее первых разностей постоянна (а{ — a,_i = d —
разность арифметической прогрессии).
Последовательность называется арифметической прогрессией
т-го порядка, если последовательность т-х
разностей постоянна, а (т - 1)-х не постоянна.
Если [а;]" — арифметическая прогрессия 1-го
порядка и d — ее разность, то
а сумма членов равна
sn = в\ + а2 + ... + а„ =
= ? а,- = л (а! + а„)/2 = п^ + (и - 1)ш//2.
» = 1
Если [а;]" — арифметическая прогрессия
порядка т, то существует многочлен
такой, что для всех /е{1, ..., п) выполняется
равенство а, = Рт (/).
При т = 1 для последовательности [а,]" с
постоянной разностью d этот многочлен имеет
вид
д. = di + («i — d).
Пример. Последовательность [**]" ¦¦ 1, 2а, •••, n3
есть арифметическая прогрессия 2-го порядка, Pa(Q«i2.
Последовательность первых разностей имеет вид ДОГ1,
где <*, ¦« 0 + IJ - <а - 2i + 1. Последовательность вторых
разностей записывается в виде ДОГ2» где rf,-2A+1)+
+ 1-B*+1)-2.
Если рассматривать [г1]? как последовательность первых
разностей последовательности ДОГ1, то ДОГ1 есть
арифметическая прогрессия 3-го порядка. Тогда существует
многочлен третьей степени по i такой, что при всех i
выполняется равенством - с3/3 + сг\г + cxi + c0. Если выбрать
ах - О, то первые четыре члена последовательности
ДОГ1 будут равны 0, 1, 5, 14. Из системы уравнений
i*c3 + i3c2 + icx + с0 - а, при / - 1, 2, 3, 4 (или из одной
из интерполяционных формул (ср. 7.1.16.1)) для неизвестных
коэффициентов сг, са, си с0 получаем
с3 ш 1/3, с2 - -1A ci - 1/6, с0 - О
и, далее,
ш у р т 2»* + Зя» + я т Bя + 1)(я + 1)я
2.3.2.2. Геометрическая прогрессия. Каждая
последовательность [а,]", у которой частное от деления
двух соседних членов постоянно: а, + 1/я«=Я для
всех ie{l,...,w — 1}, называется геометрической
прогрессией. Число q называется знаменателем
геометрической прогрессии.
Общий вид членов геометрической прогрессии:
сумма всех членов геометрической прогрессии
{q Ф 1) равна
q"-l
2.3.3. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
2) Р + (Р + 1) + (р + 2) + ... + (р + и)
3) 1
4) 2
5) 1:
7) 1:
8) V
9) V
+ 3 + 5-
+ 4 + 6 -
1 . л2 _|_ '
> + з2 + :
v + 24 +:
f ... + Bп-1) =
f ... + 2и = п (п +
2 2 И(
и2
52 + ... + Bп- 1)
53 + ... + Bл-1)
54 + ... + «4 =
п(и + l)B/i
«2;
1);
п +
(п +
4
2 _ '
3 = i
+ 1)
\)Bп
6
'
«Dи2
3
п2Bп
(Зп2 -
2
+ 1)
-1)
2-i);
h 3« — 1)
30
2.3.4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ *)
Если заданы п (не обязательно различных)
действительных чисел аь а2,...,Дт то число
(а! + а2 + .
называется средним арифметическим чисел а?,..., л„,
a mn = / — (а2 + а\ + ... + а2) — средним
квадратичным чисел аь ..., а„. Если а и b —
неотрицательные действительные числа, то
тс = ^а~ь
называется средним геометрическим чисел а и b
или средним пропорциональным чисел а и Ь.
Из равенства m2G = ab следует, что а: mG =
= mG:b.
Для среднего арифметического тд{а, Ъ) и
среднего геометрического mG(a, b) неотрицательных
чисел а и b справедливы следующие утверждения:
1) mG(a, Ь)^тд{а, Ь);
2) а, тд (а, b), b - арифметическая прогрессия
1-го порядка; a, mG{a, b), b - геометрическая
прогрессия. Если а и b - длины отрезков, то
отрезки длин тд{а, Ь) и mG(a, b) можно
построить циркулем и линейкой (рис. 2.4 и
2.5).
*) О средних значениях см. также 3.1 14.

140
АЛГЕБРА
Золотое сечение. Если а > 0, то разложение
этого числа на два положительных слагаемых
х и а — х называется золотым сечением числа а,
Рис. 2.4 Рис 2.5
если х является средним геометрическим чисел
а и а — х. Из равенства х = \/а(а — х) следует:
х='—(]/5- 1)а« 0,618а.
Если считать а длиной отрезка, то отрезок
длиной х определяется построением, приведенным
на рис. 2.6.
Из равенства х2 = а (а — х) = а2 — ах следует, что
а2 = х2 + ах = х(х + а), в соответствии с чем а
Рис. 2.6
есть среднее геометрическое чисел х и х + а.
Таким образом, если х делит число а в золотом
сечении, то а в свою очередь делит в золотом
сечении число х + а.
2.4. АЛГЕБРА
2.4.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
2.4.1.1. Алгебраические выражения. В
современной математике алгеброй называют науку о
системах объектов («величин»), над которыми
определены операции, аналогичные сложению и
умножению действительных чисел. Различные объекты
могут иметь различные имена, а для
обозначения операций над ними применяются различные
знаки. Существенной частью алгебры является
грамматика алгебраических выражений,
определяющая правила построения выражений из имен
объектов, знаков операций и вспомогательных
знаков (так называемых разделителей). Мы
ограничимся употреблением простейшей системы
обозначений, при которой величины обозначаются
отдельными буквами, быть может, с подстрочными
индексами (например, х, у3, «152)*). Будем
считать также определенными основные действия:
сложение (-(-), вычитание (-), умножение (• или х) ¦ *)
и деление (: или /). Умножение и деление
считаются действиями более старшими, чем
действия сложения и вычитания. В выражениях,
содержащих несколько знаков действий,
выполняются сначала все более старшие действия, а
затем младшие. Действия одинакового
старшинства выполняются по порядку, слева направо.
Для изменения порядка действий могут
применяться скобки. Правильные выражения должны
содержать одинаковое количество открывающих и
закрывающих скобок, которые всегда могут быть
объединены в систему вложенных пар. Первыми
должны выполняться действия внутри самых
внутренних скобок (не содержащих скобок внутри
себя), затем внутри скобок следующего уровня
и т. д. Для удобства иногда употребляются
скобки разного вида, как-то: ().[]>{}•
однако они должны встречаться парами и не нару-
*) В алгоритмических языках (см. 7.2.1),
допускающих только линейную запись (в одну строку),
используются имена из нескольких букв и цифр,
начинающиеся всегда с буквы, например: уЗ, abc, beta\.
**) Если употребляются только однобуквенные имена,
знак умножения может быть опущен, например, вместо
Ъ-аЬ можно писать ЗаЬ.
шать систему вложенности; например, выражение
(а • {Ь + с) - d] неправильное. Если допускается
нелинейная запись, то изменение порядка действий
при делении может быть показано записью
«в два этажа» - с горизонтальной чертой в
качестве знака деления (а также косой чертой), т. е. записи
^±АИ (а + Ь)/(с + d) - j)
(a + b):(c + d)fu
с + а
равноценны.
Возведение в целую степень определяется как
повторное умножение и обозначается знаком t или
подстрочной записью показателя степени:
а-а- ...а обозначается а ] п или а". Возведение в
л раз
степень рассматривается как действие более
старшее, чем умножение и деление. Например, а | т/п
совпадает с (а | ю)/п, а не с а | (т/п)*).
2.4.1.2. Значения алгебраических выражений.
Если не ограничиваться свойствами
алгебраических выражений самих по себе как абстрактных
выражений, то возникают вопросы, связанные с
интерпретацией этих выражений на некоторой
конкретной системе допустимых объектов, которые
могут замещать алгебраические величины. Мы
ограничимся рассмотрением алгебраических
выражений над какими-либо системами чисел,
допускающими упомянутые выше действия (см. 3.1.1
и 3.4.2). Поскольку при этом алгебраические
выражения могут быть вычисляемы, если входящим
в них величинам придавать числовые значения,
их иногда называют арифметическими
выражениями.
Следует заметить, что основными действиями^
являются сложение и умножение.
Если рассматривать только натуральные (целые
положительные) числа, то вычитание - действие,
обратное сложению, - не всегда окажется
выполнимым и потребует введения нуля и отрицательных
целых чисел; деление (на число, отличное от нуля) -
действие, обратное умножению, — окажется
выполнимым, если мы введем в рассмотрение рацио-
*) Возведение в нецелую степень определено ниже
(см. 2.4.1.4).

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
141
нальные числа. Существуют разнообразные системы
чисел, допускающих вычисление произвольных
рациональных (т. е. использующих только четыре
арифметических действия) выражений, например
числа вида а + ЪуЗ, где а и Ь - рациональные.
При рассмотрении алгебраических выражений
во многих случаях выделяют некоторые
основные величины (переменные), отличая их от других,
называемых коэффициентами или параметрами.
При этом возможно считать допустимыми для
основных величин и для параметров различные
системы чисел. Так, например, рассматривая
алгебраические уравнения (см. 2.4.2) с целыми или
действительными коэффициентами, можно искать
корни среди целых, действительных или
комплексных чисел.
Алгебраические выражения можно
преобразовывать, заменяя одно выражение другим. Такие
преобразования называются допустимыми
(тождественными), если после преобразования
выражение будет сохранять свое значение при
подстановке любых чисел допустимых систем. При
преобразованиях используются основные свойства
арифметических действий (здесь и далее в этом
пункте знак равенства употребляется в смысле
тождественности):
коммутативность (перестановочность):
а + b - Ъ + а, а-Ь — Ъ-а\
ассоциативность (сочетательность):
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, а-(Ь-с) = (а-Ь)-с\
дистрибутивность (распределительность):
а • (Ь + с) = а - b + a • с.
Из этих свойств вытекают формулы действий
над степенями:
хт • х" = хт+", (х • у)т = хт • у, (хт)п = хт ¦",
хт/х" — хт~п, (х/у)т = хт/ут.
Некоторые формулы преобразований:
(х ± уJ = х2 + 2ху + у\
(х + у + ... + t + иJ = х2 + у2 + ... + t2 + и2 +
-I- 2ху + ... + 2х* + 2хм + ... + 2уи + ... + 2tu,
(х ± уK = х3 ± Ъх2у + Зху2 ± у3,
(х±у)п (см. 2.2.2.1),
(х + у)(х - у) = х2 - у2,
хп -у" = (х- y){xn~l +xn~2y + x"-V +
ражение можно представить
(суммы одночленов):
А1Х1 + Аг-Хг Л- ..
виде многочлена
АЯ-ХЯ
где Ai — коэффициенты выражения, не содержащие
переменных, a Xt — произведения степеней
переменных. Многочлен обычно располагают в порядке
убывания или возрастания степеней какой-нибудь
переменной либо суммы степеней всех
переменных. Одночлены, в которых выражения Xt
тождественны, т. е. содержат одинаковые переменные
в одних и тех же степенях, называются
подобными и обычно приводятся — объединяются в один,
коэффициент в котором равен сумме
коэффициентов приводимых одночленов. Сумма
степеней всех переменных в одночлене называется
степенью этого одночлена. Наибольшая из
степеней одночленов называется степенью многочлена.
Сумма, разность и произведение многочленов
также являются многочленами. Степень суммы или
разности не превосходит наибольшей из степеней
слагаемых, степень произведения равна сумме
- степеней сомножителей.
Деление многочленов (с остатком). Если Р(х)
и Q (х) — многочлены по х степеней пит
соответственно, п ^ т, то всегда существуют однозначно
определенные многочлены Г(х) степени п - т и R (х)
степени, меньшей чем w, такие, что тождественно
р (х) = Q (х) • Г(х) + R (х). Для нахождения частного
Т(х) и остатка R(x) выполняют деление Р(х)
на Q(x).
3r4
Зх4
Прим
Юах3
-бах3
-4ах3
-4ох3
ер.
+ 22а2х2
+ 9а2х2
+ 13а2х2
+ 8а2х2 -
5а2х2 -
5а2х2 -
24а3х
- 24а3х
- 12а3х
12а3х +
10а3х +
+ Юа4
10а4
15а4
х2 - 2ах + За2
Зх2 - 4ах + 5а2
- 2а3х - 5а4
Таким образом, Зх4 - Юах3 + 22а2х2 - 24а3х + 10а4 =
= (х2 - 2ах + За^НЗх2 - 4ах + 5а2) + (-2а3х - 5а4).
Если Я(х) = 0 (нулевой многочлен), то
многочлен Q(x) называется делителем многочлена
Р(х). Для нахождения общего наибольшего
делителя двух многочленов Р(х) и Q(x)
применяется алгоритм Евклида. Выполняется цепочка
делений до получения остатка, равного нулю:
2у + X2
Rm-i(x) = Rm-i(x). Tm(x) + Rm(x\
-...-ху2к~1 +у2к).
2.4.1.3. Многочлены. Если в алгебраическом
выражении основные величины (переменные)
участвуют только в действиях сложения, вычитания
и умножения, включая возведение в целую степень,
то такие выражения называются целыми
рациональными (см. 2.5.1). Используя свойства
арифметических действий, любое целое рациональное
выПредшествующий ему остаток Rm(x) является
общим наибольшим делителем. Если он не
содержит х, то многочлены Р(х) и Q(x)
называются взаимно простыми.
2.4.1.4. Иррациональные выражения.
Обобщение понятия о степени.
Извлечение корня определяется как действие,
обратное возведению в степень. Корнем m-й степени

142
АЛГЕБРА
из х (обозначается ух) называется величина у, т-я
степень которой равна х: (J/x) = х. При т четном
ух существует (среди действительных чисел) только
при х ^ 0, причем допустимы два значения
корня - положительное и отрицательное. Для
определенности знак корня в этом случае будем
всегда брать положительным, так что
ухт = | х |. При т нечетном существует
единственное значение ух, знак которого совпадает со
знаком х.
Из определения следует, что
при условии, что соответствующие корни
существуют.
Выражения, содержащие знак корня (радикал),
называются иррациональными.
Примеры преобразований иррациональных выраже-
ний
1) 1/хД27) - /2ху/D/) - /2x^/B1 у |) (при у # 0, ху ^ 0);
2) )/х1(Ауг>) - \/2xy*z/(%y3z>)
(при у Ф 0, г * 0);
+ У) (при х3 + у * 0);
¦ |/(х + и)/2 + |/(х - и)/2,
где и = |/х2 - у (при у ^ 0, х2 - у > 0).
Понятие возведения в степень может быть
обобщено на нулевой, отрицательные и дробные
показатели при помощи формул (для допустимых
значений х)
Примеры. Неравенство х2 + 1 > 0 - тождественное;
х2 + у2 + 5 < 0 - невыполнимое; 2х + 4 > 0 - выполнимое
(оно справедливо при х > - 2).
Некоторые универсальные
неравенства.
1) |а + Ь|^|я| + |Ь|, | fli + a2 + ... + а„ | ^
2) \a\ + \b\^\a-b\^\\a\-\b\\.
3) I (ai + а2 + ... + а„)/п | ^
^ 1/(^1 + а2 + ... + а2)/п (равенство имеет место
только при а1 = а2 = ... = ап).
4) Неравенство Коши — Буняковского:
{афх + a2b2 + ... + а„Ь„J ^
K(al + а\ + ... + а2)(Ы + Ь§ + ... + Ь2)
(равенство имеет место тогда и только тогда,
когда aak = fibk для всех к=\,...,п и некоторых
а, р, |а| + |Р|>0).
5) Неравенство Минковского (при р^ 1):
(I fli + bj |p + | а2 + Ь2 \р + ... + | ап + Ьп \рI1р ^
Выполнимые неравенства.
„ fll + й2 + _,. йп
при а,-^ 0 (i = 1, 2,..., п)
Среднее геометрическое положительных чисел
меньше их среднего арифметического или равно
ему (см. 2.3.1). Равенство имеет место, только
если ах = а2 = ... = а„.
2) Неравенство Чебышева. При 0 < ai ^ а2 <
^ ... < ап и 0 < Ь\ ^ Ь2 ^ ... ^ Ь„
... + ап bi + b2 + ... + Ь„
a2b2 + ... + anbn
Приведенные в 2.4.1.2 формулы для действий со
степенями остаются в силе.
Пример. (|/?+ {/? + $Ф
ty?) = (х1'2 + х2/3 + х3/4 + х7'12)(х1/2 - х1/3 + х1/4 + х5/12)
2_х7/б _х
хз/4 _xi3/i2 _
2.4.1.5. Неравенства. Два алгебраических
выражения, соединенные одним из знаков <, ^, >,
^, ф, образуют неравенство. Неравенство
называется тождественным или универсальным, если
оно выполняется (в арифметическом смысле) для
любых действительных значений входящих в'
неравенство величин. Неравенство называется
выполнимым, если существует непустое множество
значений входящих в неравенство величин, при
подстановке которых неравенство оказывается
справедливым, и невыполнимым, если таких значений не
существует.
При
b2 + ... + bn
... + anbn
3) Обобщенные неравенства Чебышева. При
...<а„ и 0 < Ь\ ^ Ь2 ^ ... ^ bn, k
натуральном
к
к
При 0 «
y»«;-+<|jt±ii±i;

УРАВНЕНИЯ
143
Неравенства называются эквивалентными, если
они выполнимы для одних и тех же
значений входящих в них величин или если они
невыполнимы.
Основные свойства неравенств
(эквивалентные преобразования).
1) Если А\ < А2, то А2 > А\.
2) Если А\ ^ А2 и А2 ^ Ль то А\ = А2.
3) Если /4i < А2 и А2 ^ Аз, то Ai < Л3.
4) Если А\ < А2 и Лг ^ Лз или А\ ^ А2 и
Л2 < Аъ, то ^1 < Л3.
5) Если А\ ^ /42Иу43 ^ Л4,то ^i + Л3 ^ А2 + А*.
6) Если Л! < Л2 и Л3 > 0, „ то Л1Л3 ^ А2АЪ.
7) Если /4i ^ Л2 и Л3 < 0, то Л1Л3 ^ А2АЪ.
8) Если 0 < А\_ ^ А2 или /li ^ А2 < О, то
lMi > I/A2.
Решить неравенство, содержащее неизвестную
величину, - значит определить множество значений
неизвестного, при которых неравенство
выполнимо,— множество решений неравенства. Для
отыскания решения используются эквивалентные
преобразования.
Примеры решения неравенств.
1) 5х + 3 < 8х + 1. Используя свойство 5), прибавим
к обеим частям неравенства -8х-3; получим -3x^-2.
Используя свойства б) и 7), получим решение
х > 2/3.
2) Неравенство первой степени ах + Ь > О*). При а > О
имеем х>-Ь/а, при д<0 имеем х<-Ь/в, а при а-О
неравенство тождественно для Ь>0 и невыполнимо для
Ь<0.
3) х2 < а. При а < 0 неравенство невыполнимо, при
а «О получаем х-0, при а>0 решением является
множество значений, определяемое двойным неравенством
4)х3>о./При а<0 неравенство тождественно, при
л>0 решением является множество значений х,
определяемое следующими условиями: или х>|/а, или
х<-]/2.
5) Неравенство второй степени ах2 + Ьх + с > 0 (а * 0)
может быть преобразовано к виду я((х + р/2J + ?>) >0,
где р = Ь/а, D«Dос-Ь2)/Dа2). При D>0 неравенство
тождественно при а > 0 и невыполнимо при а < 0. При
D < 0, используя свойства неравенств и примеры 3) и 4),
получим, обозначив х% - -р/2 - j/^Б, х2 = -р/2 + /^7),
что х < xi или х > х2 при а > 0, Xi < х < ха при а < 0.
2.4.1.6. Элементы теории групп. Алгебраическая
система G, в которой определена одна операция,
ставящая в соответствие двум любым элементам
системы какой-либо третий элемент этой системы,
называется группой, если эта операция
(обозначаемая * ) обладает следующими свойствами:
1) (а * Ь) * с = а * (Ь * с) для всех a, b, ceG -
ассоциативность;
2) существует «нейтральный» элемент е такой,
что е * а = а * е = а для всех aeG;
3) для каждого aeG существует обратный
элемент х такой, что а*х = х*а = е.
Если, кроме того, для любых элементов а
и Ъ выполнено соотношение а * Ъ — Ъ * а, то
группа называется коммутативной, или абелевой.
*) Знак неравенства < можно перевести в ^
умножением неравенства на —1. Если вместо ^ стоит >, то
при решении возможность равенства должна быть
отброшена
В качестве знака операции обычно
употребляют знак + (аддитивная группа) или •
(мультипликативная группа). Для аддитивной группы
нейтральный элемент называется нулем, а обратный
к а элемент обозначается —а. Для
мультипликативной группы нейтральный элемент называется
единицей, а обратный элемент обозначается а~1.
Коммутативная аддитивная группа называется
кольцом, если в ней определена, кроме операции
сложения, вторая операция - умножение,
обладающая дистрибутивностью: a-(b + c) = a-b + ac и
{a + b)-c = a-c + b-c для любых элементов a, b и с.
Примером кольца может служить Z —
множество всех целых чисел.
Если операция умножения в кольце обладает
свойством ассоциативности a-(be) = {a-b)-c или
коммутативности ab — Ь-а, то кольцо называется
соответственно ассоциативным или
коммутативным.
Если в ассоциативном и коммутативном
кольце существует единичный элемент е, т. е.
а • е = е • а = а для любого а, и для каждого
элемента а, отличного от нуля, существует
обратный элемент а~1 (т.е. кольцо, из которого
исключен нуль, образует мультипликативную
группу), то кольцо называется полем. Примерами
полей могут служить множество всех
рациональных чисел, множество всех действительных чисел
и множество всех комплексных чисел.
Отображение алгебраической системы G в
другую систему G' называется гомоморфизмом, если
каждому элементу aeG соответствует
определенный элемент а' е G', причем если с = а * Ь, то
с' = а' *'Ь' (# - операция, определенная в G, #' -
операция, определенная в G'). Если такое
отображение взаимно однозначно, оно называется изо-
мдрфизмом.
2.4.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.4.2.1. Уравнения. Пусть G обозначает
множество чисел, так называемую основную область,
и а, Ь, с,..., х, у, z — переменные. Это знаки,
вместо которых могут стоять элементы основной
области или ее подмножества, так называемой
основной области переменных, или области
изменения. Из чисел и переменных могут быть
построены алгебраические выражения (см. 2.4.1),
например: 8, -3/5, Bх - \)/а {а Ф 0), ]/а1 - 1.
Определение выражения можно распространить на
неалгебраические выражения, к которым относятся,
например, ар (|3 действительное), ех, \ogay, sinx,
arccos z.
Под областью определения X выражения с п
переменными хь х2,..., хи и соответствующими
областями изменения Хи Х2,...,Хп понимают
множество всех последовательностей (?i, Ъ,2,-..,?„),
fyeXt (i = 1, 2,...,л), для которых данное
выражение переходит в число из области G, если
переменные х,- заменить на ^.
Если G — множество всех действительных чисел, то
выражение Bх + 1)/5 имеет, например, в качестве области
определения всю область изменения х, в то время как
область определения выражения 5/Bх + 1) содержит все числа
области изменения х, за исключением -1/2.

144
АЛГЕБРА
Два выражения 7^ (хь х2, .., х„), Т2(хи х2,..., хп)
от переменных xi, х2,..., хп называются
эквивалентными по отношению к области определения X,
если соотношение 7\ (?ь ?2, •••, U = ^2(^1, ?2, •••
..., ?„) выполняется для всех последовательностей
(^ь \ъ ••-, U^X (ср. 2.4.1.5). Переход от
выражения 7\ к эквивалентному выражению Т2
называется эквивалентным преобразованием выражений.
Это понятие зависит от областей определения
выражений; так, у а2 = а для неотрицательных
действительных чисел есть эквивалентное
преобразование, но не является таковым для
множества всех действительных чисел.
Пример. Выражения Зх/2 + 5х/2 и 4х эквивалентны
по отношению к множеству всех действительных чисел,
в то время как а + b + 1 и а + (Ь2 — \)/{Ь — 1) не
эквивалентны по отношению к этому множеству, так как
выражение а + (Ь2 — l)/(b — 1) не определено при Ь — 1.
Если два выражения Ть Т2, содержащие
переменные, связать знаком равенства: Ti = T2, то
получается уравнение; 7\ и Т2 называются
соответственно левой и правой частями уравнения.
Если выражения Ti и Т2 не содержат
переменных, то имеется высказывание о равенстве,
которое либо истинно, либо ложно. Уравнение
представляет собой высказывание, которое
переходит в истинное или ложное только после замены
переменных их значениями.
Решение. Множество решений. Пусть
Т\ (хь х2,. ..,х„) = Т2(хь х2,...,х„) есть уравнение
с п переменными, и пусть X — соответствующая
область определения. Тогда каждая
последовательность чисел (?i, ?2»•••»?«)» элементы ?* которой,
будучи подставленными вместо соответствующих
переменных х,- в уравнение, переводят его в
истинное высказывание, называется решением или
корнем этого уравнения. Решить уравнение —
значит найти все его решения, т. е. найти его
множество решений.
Пример. C, 2) есть решение уравнения Зхх — 2х2 = 5
(хь х2 действительны), множество решений есть
{(E + 2f)/3, t); t - произвольное действительное число}.
Уравнение называется разрешимым или
неразрешимым в зависимости от того, имеет оно решение
или нет. Если все последовательности чисел
(?ь ^2,...,^„)еХ являются решениями уравнения,
то оно называется тождеством относительно X.
Так, уравнение х2 = 2 для рациональных х
неразрешимо, а для действительных х разрешимо.
Уравнение |/? = а есть тождество по отношению
к множеству всех неотрицательных
действительных чисел.
Уравнения с параметрами. Иногда в уравнении
с п переменными часть переменных можно
рассматривать в качестве так называемых неизвестных
т переменных @ < т < п), а остальные — в
качестве параметров. Тогда решения уравнения
могут зависеть от параметров.
Пример. Если в уравнении 5х - 2у = z + 1 все
переменные считаются неизвестными уравнения, то это есть
уравнение относительно переменных х, у и z и, например,
тройка A, 0, 4) есть решение этого уравнения. Если же z
рассматривать как параметр, то получается уравнение
относительно х и у, решением которого является, например,
(z + 3, 2z + 7)
Эквивалентные уравнения: Два уравнения с п
переменными хь х2,.. ,х„, принадлежащими одной
и той же области изменения, называются
эквивалентными над этой областью изменения,
если их множества решений совпадают. Например,
уравнения х2 = 4 и х3 = 8 эквивалентны над
множеством натуральных чисел, но не эквивалентны
над множеством целых чисел, так как в последнем
случае множества решений суть { — 2, 2} и {2}
соответственно.
Уравнения, тождественные по отношению к
одинаковым областям изменения, всегда
эквивалентны (это справедливо и для двух неразрешимых
уравнений); если два уравнения эквивалентны
третьему, то они эквивалентны друг другу
{транзитивность эквивалентности) (ср. 2.4.1.5).
2.4.2.2. Эквивалентные преобразования.
Эквивалентное преобразование — это преобразование,
которое переводит уравнение в эквивалентное.
Преобразование, переводящее уравнение Gi в
уравнение G2, эквивалентно тогда и только тогда,
когда для множеств решений L\ и L2 уравнений
Gi и G2 выполняется равенство L\ = L2. Если,
напротив, L\ ф L2, то преобразование называется
неэквивалентным.
Примеры (областью изменения в дальнейшем всегда
будет множество действительных чисел).
1) Преобразование уравнения d: 3x-4 = 8 + 5x в
уравнение G2: 2x=-12 является эквивалентным, так как
2) Если уравнение
12 + 4х 2х - 1
переписывают в
х + 3 5-х
виде A2 + 4х)E - х) = Bх - 1)(х + 3), то производят
неэквивалентное преобразование, так как Lx = {7/2} с {7/2, -3} = L2;
в этом случае Lt a L2. Если в качестве области изменения
брать, например, множество положительных действительных
чисел, то указанное преобразование является эквивалентным,
так как в этом случае Lt = L2 = {7/2}.
3) Еще один пример неэквивалентного преобразования
подобного типа дает переход от|/х + 7 = 2х-1 кх + 7 =
= Bх - IJ, так как U = Щ с {2, -3/4} = L2.
4) При неэквивалентных преобразованиях решения могут
и теряться, т е. Lt r> L2. Например, если перейти от
уравнения d: х3 - 4х2 = 5х к уравнению G2: х2 - 4х - 5 = 0,
то получим Li = {-1, 0, 5} => L2 = { - 1, 5}.
Теоремы об эквивалентных преобразованиях
уравнений (ср. 2.4.1.5).
1. Уравнение Ti = T2 эквивалентно уравнению
Т\ = Т'2, если Ti эквивалентно Т\ и Т2
эквивалентно Т'2.
2. Уравнение Т\ = Т2 эквивалентно уравнению
Т2 = 7Y
3. Уравнение Ту = Т2 эквивалентно уравнениям
Ti + Тъ = Т2 + Т3 и Тх - Тъ = Т2 - Т3, если 7 3
есть выражение, определенное во всей области
определения уравнения Тх = Т2.
4. Уравнение 1\ = Т2 эквивалентно уравнениям
TiT3 = Т2ТЪ и Ti: Гз = Т2: 73, если Тъ
определено и отлично от нуля во всей области
определения уравнения Ti — Т2.
Чтобы решить уравнение, т е. чтобы
определить множество его решений, в общем случае
посредством эквивалентных преобразований
составляют цепочку уравнений, первое есть заданное
уравнение, а последнее — уравнение такой простой
структуры, что его решение можно найти
непосредственно. По построению каждые два соседних
уравнения цепочки эквивалентны друг другу; вслед-

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
145
ствие транзитивности эквивалентности все
уравнения цепочки эквивалентны друг другу; в частности,
исходное уравнение эквивалентно последнему
уравнению. Следовательно, найдя множество решений
последнего уравнения, мы находим также множество
решений исходного уравнения.
Примеры. 1)-^-
F v x
2-х х + 2
(х —
действительное);
2) 5(х + 2)B - х) + 2х(х + 2) = ЗхB - х);
3) -5х2 + 20 + 2х2 + 4х = 6х - Зх2;
4) 20 = 2х; 5)х = 10.
Проделанные преобразования эквивалентны для всех
х Ф -2, 0, 2. Следовательно, искомое множество решений
имеет вид L\ = L5 = {10}.
2.4.2.3. Алгебраические уравнения.
Общее понятие. Каноническая
форма. Любое уравнение Р(хи...,х„) = 0, где
P(xi,...,xn) есть многочлен (отличный от нулевого)
относительно Хь...,хи, называется алгебраическим
уравнением относительно переменных xi,...,xn.
Коэффициенты многочлена могут при этом быть
как постоянными, так и параметрами (т. е.
переменными, отличными от хь...,хп) или функциями
таких параметров.
В соответствии со сказанным, например, Зх2 — х + 5=0,
пх - 1 = 0 - алгебраические уравнения относительно х, а
х2 + 2у2 - ху - 3 = 0 - алгебраическое уравнение
относительно х l/i у. Уравнение у3 — у sin х — 2 sin2 х — 7 = 0 не
является алгебраическим относительно х и у, но если х
рассматривается как параметр, то и это уравнение будет
алгебраическим относительно у.
Неалгебраическими уравнениями являются, например,
/4х - 7 + 5 = 1 - 2х3,
г - 8х + 15 х-3'
sin х - е* + 5 = 0.
Среди неалгебраических уравнений те уравнения,
в которые переменные, рассматриваемые как
неизвестные, входят под знаками трансцендентных
функций (см. 2.5.2), называются
трансцендентными уравнениями (см. 2.4.3).
Иногда неалгебраические уравнения можно
преобразовать в алгебраические (не обязательно
эквивалентные исходным).
Примеры. Уравнение —
эквивалентно
алгебраическому уравнению 2х2 + Зх — 20 = 0.
Уравнение -j-
х-5
1
никакому алгебраиче-
х2 - 8х + 15 х-3
скому уравнению не эквивалентно; оно выполнено для
всех х, кроме х = 3 и х = 5.
Уравнение 7 — х = ух — 1 можно преобразовать в
алгебраическое уравнение х2 - 15х + 50 = 0, но это уравнение
не эквивалентно исходному. Алгебраическое уравнение
имеет множество решений {5, 10}, в то время как исходное
уравнение выполняется только при х = 5.
Всякое алгебраическое уравнение относительно х
можно записать в виде
Аохп
0;
Ао ф 0, п > 1;
Аг называются коэффициентами уравнения, п — его
степенью.
Если все коэффициенты А( являются
параметрами, то уравнение называется общим
алгебраическим уравнением относительно х степени п.
Если алгебраическое уравнение разделить на
Ао Ф 0, то, обозначая А(/Ао = д,- (/=1, 2,..., и),
получим каноническую форму алгебраического
уравнения и-й степени относительно х:
а2хп~
... -h an-i
а„ = 0.
Корни алгебраических уравнений до четвертой
степени включительно выражаются через
коэффициенты при помощи конечного числа
алгебраических операций. В этом случае каждое решение
выражается в радикалах, т. е. представляет собой
выражение, содержащее только знаки
арифметических операций и извлечения корней; показатели
этих корней — целые числа р ^ 2, а подкоренные
выражения суть рациональные функции
коэффициентов или сами содержат радикалы.
Алгоритмы решения
алгебраических уравнений с одним неизвестным.
Линейные уравнения (уравнения 1-й степени).
Каждое линейное уравнение есть алгебраическое
уравнение 1-й степени, т. е. неизвестное
встречается только в 1-й степени. Существуют также
уравнения, эквивалентные линейному.
Например, уравнение (х — 1)(х + 3) = (х -. ХЦ\ 2) над
множеством R действительных чисел эквивалентно линей-
5 ~>
ному уравнению 4х-13 = 0. Уравнение - *- , - - *"— =
= — над множеством R\{1, 3, 5} эквипален , щ-
нейному уравнению х - 13 = 0. Иррациональное
уравнение ух + 2=1 над множеством всех действительных чисел
эквивалентно уравнению х + 1 = 0.
Линейное уравнение с одним неизвестным х
и областью изменения R имеет вид ах + b = 0,
а ф 0, ах - линейный член, Ъ — свободный член.
Это уравнение имеет одно решение: х = — Ь/а.
При изменении множества, над которым
определяется решение, изменяется и разрешимость уравнения.
Так, уравнение 2х + 5 = 0 неразрешимо над
множеством натуральных чисел.
Квадратные уравнения (уравнения 2-й степени).
Каждое алгебраическое уравнение 2-й степени
называется квадратным уравнением. Квадратное
уравнение относительно х с областью изменения
R (или множеством комплексных чисел С)
имеет вид
ах2 + Ьх + с = 0, а ф 0,
где ах2 - квадратный, Ьх - линейный и с -
свободный члены. После деления на а получаем
каноническую форму: х2 + рх + q ш 0, где р = Ь/а,
q = с/а — действительные параметры.
Число действительных решений квадратного
уравнения х2 + рх + q = 0 зависит от знака
дискриминанта D — q — (р/2J:
если D < 0, то имеется два решения (два
действительных корня);
если D = 0, то имеется одно решение (два
действительных совпадающих корня);
если D > 0, то нет действительных решений
(два комплексных корня).
Если в качестве области изменения неизвес1-
ного взять множество комплексных чисел, то
квадратное уравнение всегда имеет два решения:
действительные — в случае D ^ 0 и комплексно
сопряженные - в случае D > 0.

146
АЛГЕБРА
Вследствие того, что Лас — b2 = 4a2D, в качестве
дискриминанта можно использовать выражение
А = 4ас — Ь2, знак которого определяет вид решения
квадратного уравнения ах2 4- Ьх + с = 0.
Решение квадратного уравнения.
1-й способ. Применение формулы.
а) Для уравнения вида ах2 + Ьх + с¦ = 0 имеем
а{х - а)(х - р) (или х2 4- рх + q =
уравнение ах2 + Ьх + с = 0 (или
-b + ]/b2 -Лас
Xi. 2 = V-Z •
2a
б) Для уравнения вида х2 4- рх 4- q = 0 имеем
х1>2 = -р/2±]/(р/2J - q = -р/2±\Ш.
Эти формулы справедливы всегда, если в
качестве области изменения неизвестного выбрано
множество комплексных чисел. Если область
изменения есть множество действительных чисел, то
надо потребовать еще, чтобы выполнялось
неравенство D < О (или А < 0).
2-й способ. Разложение на линейные
множители. В случае, если удается разложить
квадратный трехчлен на линейные множители:
ах2 + Ьх + с =
= (х-а)(х-
х2 4- рх 4- q = 0) имеет множество решений L =
Кубические уравнения (уравнения 3-й степени).
Уравнение 3-й степени, или кубическое уравнение,
имеет вид
ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0, а ф 0,
где а, Ь, с, d - действительные, при этом ах3 -
кубический, Ьх2 — квадратный, сх — линейный и d —
свободный члены. После деления на а уравнение
принимает канонический вид:
х3 4- гх2 4- sx 4- t = 0, (*)
где г = b/a, s = с/а, t = d/a.
Делая в уравнении (#) замену неизвестного
у = х 4- (г/3) (х = у — (г/3)), получаем так называемое
приведенное уравнение:
3s - г2
где р =
2г3
3
Число действительных решений кубического
уравнения зависит от знака дискриминанта
D = (р/3K 4- {q/2J (эта величина получается
умножением на (-1/108) дискриминанта, введенного в
1.2.1.1):
Решение кубического уравнения.
1-й способ. Разложение левой части на
линейные множители. Если удается найти
разложение ах3 + Ьх2 4- сх 4- d — а(х — а)(х — р)(х — у),
то уравнение ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0 имеет
множество решений {а, C, у}. Достаточно найти
разложение вида ах3 4- Ьх2 f сх 4- d = а(х — а)(х2 +
4- рх 4- а) (выделение линейного множителя); тогда
одно решение есть х2 = а, а два других
находятся путем решения квадратного уравнения
х2 4- рх 4- ст = 0. Очевидно, выделение линейного
множителя всегда возможно, если известно одно
решение уравнения или это решение можно
подобрать (см. 2.4.2.4).
2-й способ. Применение формулы Кардано
Формула Кардано для кубического уравнения
х3 4- гх2 4- sx 4-1 = 0 относится к его приведенному
виду у3 4- ру 4- q = 0. В этом случае
= и 4- v,
У 2 = ~
Уз = -
и 4-
2
и 4-
V
V
¦ +
и
и
—
2
-
V
V
i]/3 = etu 4- e2v,
j'j/з = 62w 4- ад
v = ]/-q/2-]/Dt
D = (p/3K + (q/2J, 81>2=(-1 :
Посредством замены xk = yk — (r/3) (k — 1, 2, 3)
из yk получим решения xk данного кубического
уравнения.
В случае D < 0 кубическое уравнение имеет
три действительных решения. Если применять
приведенные выше формулы, то корни будут
выражаться через комплексные величины. Избежать
этого можно следующим образом (см. также 3-й
способ). Положим р = j/ — р3/27, cos ф = — q/{2p).
Тогда решениями приведенного уравнения у3 +
+ РУ + Я = 0 будут
У! = 2|!/рсо8(ф/3),
у2 = 2 ]/р cos (ф/3 + 2л/3),
Уз = 2 |/р cos (ф/3 4- 4л/3),
от которых заменой хк = ук — (г/3) снова можно
перейти к решениям заданного кубического
уравнения х3 4- гх2 4- sx 4- t = 0.
D<0
D = 0
x действительное
Одно действительное решение
Три действительных решения
Одно действительное решение и одно
действительное двукратное решение или одно
действительное трехкратное решение (последнее в случае
Р = Я = 0)
х комплексное
Одно действительное и два комплексно
сопряженных решения
Три действительных решения
Одно действительное решение и одно
действительное двукратное решение или одно
действительное трехкратное решение (последнее в
случае р — q = 0)

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
147
Пример. Кубическое уравнение х3 - 6х2 4 21х - 52=0
заменой х»у + 2 преобразуем к приведенному виду
у3 4 9у - 26 - 0 (здесь р = 9, q = -26, D = 27 4 169 = 196).
Применение формулы Кардано дает ух = 2, у2 =
«-14 2<]/3, уз » -1 - 2i]/3; следовательно, xt = 4,
Решение уравнения 4-й степени.
1-й способ. Разложение на линейные
множители. Если удается произвести разложение
многочлена ах* + Ьх3 4- сх2 + dx + е = а(х — а) х
х (х — C)(х — у)(* — 5), то уравнение
3-й способ. Применение вспомогательных
величин, которые могут быть вычислены при
помощи таблиц. В приведенном уравнении
У3 + РУ + Q. — 0 положим Я = (sign q)]/\ p |/3.
Вспомогательная величина (р и при ее помощи
корни уи у2, Уз определяются в зависимости от
знаков р и D = (р/3K 4- (q/2J из таблицы:
ах4 +
+ сх2 4-
= 0
имеет множество решений {а, C, у, 8}.
Достаточно найти разложение левой части уравнения
4-й степени в произведение двух квадратных
трехчленов: тогда решение уравнения 4-й
степени сводится к решению двух квадратных
уравнений.
У\
Уг
Уъ
2/?з
Ф
- 2/?cos —
-2Rcos(-- +
/ф
-2/?cosl —4
т)
/><0
Z>>0
-2*ch
R ch -
f
4 i|/3 Л sh -*?-
-2Ksh|
Л sh ^- 4 /
/7>0
/~ Ф
Пример. y3-9y + 4-0, p- -9, « = 4, 2)= -23 <0,
- j/i - 1,7321, cos ф - -V - 0,3849, ф » 67°22'.
yi * -2|/Зсо8 22°2Г - -3,4641 0,9242 - -3,201,
у г - -2j/3 cos 142e27 = (-3,4641)-(-0,7929) = 2,747,
• уз - -2|/3cos262°27 * (-3,4641).(-0,1314) = 0,455.
Приближенное решение уравнения см. 7.1.2.3.
Уравнение 4-й степени имеет вид
ах4 4- Ьх3 4- сх2 4- dx 4- е = 0, а ^ 0,
где а, Ь, c,d,e- действительные; посредством
замены у = х 4- Ь/Dа) данное уравнение переводим в
приведенное уравнение
у* + ру2 + qy + г = 0,
где р, q и г — рациональные функции
коэффициентов a, h, с, d, e.
Вид решения этого уравнения зависит от вида
решения его кубической резольвенты
гъ 4- 2pz2 4- (р2 - 4r)z - q2 = 0.
Если область изменения неизвестного есть
множество С комплексных чисел, то имеет место
следующее:
2-й способ. Если zb
бической резольвенты, то
Уг = {]fil 4- ]fz~2 4-
z2, z3 — корни
кусуть решения приведенного уравнения у* + ру2 +
4- qy 4- г = 0 (при этом знаки перед радикалами
j/^i"» l/^г"» l/^7 выбирают так, чтобы выполнялось
равенство |/z7]/z7l/^" = —q). Далее посредством
замены х = у - Ь/Dа) находят решения исходного
уравнения 4-й степени.
Пример. Уравнение х4 — 25х2 4 60х — 36 = 0 имеет
кубическую резольвенту г3 - 50z2 4 769z - 3600 = 0 с
решениями Zi-9, z2 = 16, z3 = 25; для того чтобы
yzlyzlyzl = -60, знаки перед всеми корнями надо взять,
например, отрицательными, т.е. |/zi = — 3, |/гг = — 4,
|/z3 = -5. Отсюда получим корни исходного уравнения:
xi — 1» Х2 — 2, х3 = 3, х4 = —6.
3-й способ. Если в уравнении
ах4 4- Ьхъ + сх2 4- dx 4- е — 0
Кубическая резольвента
Все корни действительны и положительны *)
Все корни действительны, из них один положительный
и два отрицательных*)
Один действительный корень и два комплексно
сопряженных корня
*) Согласно теореме Виета, произведение корней zu z2,
Уравнение 4-й степени
Четыре действительных корня
Две пары комплексно сопряженных корней
Два действительных корня и два комплексно
сопряженных корня
г3, равное q2, должно быгь всегда положительным {q ф 0)

148
АЛГЕБРА
замены x*
выполняется равенство b = d = 0, то мы имеем так
называемое биквадратное уравнение ях4 + сх2 + е = 0.
Посредством замены переменного х2 = t это
уравнение переводится в квадратное уравнение
at2 4- ct 4- е = 0. Из решений tu t2 этого уравнения,
полагая х2 = t, получают корни исходного
уравнения 4-й степени.
Если коэффициенты уравнения х4 4- гх3 4- sx2 +
4- tx 4- и — 0 удовлетворяют соотношению г3 4- 8t =
= 4rs, то уравнение 4-й степени может быть
решено при помощи квадратного уравнения:
х4 4- гх3 4- 5Х2 4- Гх + и
х (х2 + ~ J 4- и = 0. После
заданное уравнение 4-й степени переходит в урав-
2 ( г2\
нение г 4- I s ——-If + м = 0, решая которое,
получаем затем решения исходного уравнения.
Приближенное решение уравнения см. 7.1.2.3.
Уравнения высших степеней. Уравнения 5-й и
более высоких степеней в общем случае
принципиально неразрешимы в радикалах. Чаще всего
их решают приближенными методами (см. 7.1.2.3).
Если можно подобрать решение хь то выделением
линейного множителя (х - хх) решение заданного
уравнения сводится к решению уравнения
меньшей степени.
Частные виды уравнений высших степеней,
т решений хь х2,...,хт двучленного уравнения
хт = а (т > 1 целое, а положительное) получают
при помощи формулы Муавра (см. 3.4.2.5) в виде
xk+l
«г-/ 2А
= ]/ a ( cos —
2кп . 2кп\
4- i sin ),
т
к = 0, 1, ..., т - 1.
Уравнение х2т + ахт + b = 0 заменой
переменного хт = у переводится в квадратное уравнение
у2 4- ay 4- b = 0. Если оно имеет решения уи у2, то
при помощи двучленных уравнений хт = ух или
хт = у2 находят корни исходного уравнения.
2.4.2.4. Общие теоремы. Если хг - корень
уравнения
Р„(х) = хи + аххп~х + а2хп~2 + ... + а„-хх + а„ = 0,
го многочлен Р„(х), стоящий в левой части
уравнения, делится на (х — Xi) без остатка и
получаемое частное есть многочлен Ри_! (х) степени
и- 1:
Рп(х) = (х-х1)Р„_1(х).
В общем случае остаток от деления Р„(х)
на (х - xi) равен Pn(xi):
Pn(x) = (x-x1)Pn_1(x)-f Р„(*1).
Если Р„(х) делится без остатка на (х - xt)fc, но
уже не делится на (х — х1)к+1, то Xi называется
к-кратным корнем уравнения Р„(х) = 0 (корнем
кратности к). В этом случае Xi есть общий
корень полинома Р„(х) и его производных
вплоть до (к — 1)-го порядка.
Основная теорема алгебры. Каждое
алгебраическое уравнение п-й степени
хи + а{хп~ 1 + ... + аи_ !* + а„ = 0,
коэффициенты которого at (i = 1,...,л)—
действительные или комплексные числа, имеет ровно п
корней, действительных или комплексных, если
/с-кратный корень считать за к корней.
Если корни многочлена Р„(х) равны хь х2,...,хг
и кратности их равны соответственно <хь ос2,...,аг
(? «I = п), то многочлен представим в виде
произведения:
Рп(х) = х" 4- fli
 4-... 4- an_ix 4- ап =
= (х - X!)ai (х - х2)а2... (х - хг)\
и соответствующее уравнение имеет вид
(х - xi)ai (х - х2)а2... (х - хг)"г = 0.
Решение уравнения Р„ (х) = 0 можно упростить
путем перехода к уравнению, имеющему те же
самые корни, что и Р„ (х) = 0, но уже однократные
(простые). Так как кратные корни многочлена
Ри(х) являются также корнями производной
Р^(х), то определяют наибольший общий делитель
Т{х) многочленов Р„(х) и Р'п(х). Тогда уравнение
Q(x) = 0, где Q(x) = Ри(х)/Г(х), имеет те же самые
корни, что и Р„ (х) = 0, но каждый из них имеет
кратность 1.
Уравнение с действительными коэффициентами.
Если уравнение х"Ч- flix"~1 + ... 4- я„- iX 4- ап = 0
с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень хх = a 4- ip (p ф 0), то оно имеет
также корень хх = a - ф и притом той же
кратности, что xt. Поэтому число строго комплексных
корней уравнения с действительными
коэффициентами всегда четно. Следовательно, уравнение
нечетной степени с действительными коэффициентами
имеет по крайней мере один действительный
корень.
В разложении на множители левой части
уравнения Ри(х) = 0 с действительными
коэффициентами наряду с множителем (х — xY)p, где
ху — комплексный корень, имеется также и
множитель (х - ху)р. Объединив каждую такую пару
множителей, получим разложение левой части
на действительные множители:
= (x-x1)ai(x-x2)a2...
...(х - х*)а*(х2 4- pix 4- <
и- I «, + 2
+ Чх)\
Здесь xi, x2,...,xk — действительные корни
уравнения, а / пар комплексно сопряженных
решений — корни квадратных множителей х2 4- р,х + </,
(i = 1, 2,...,/). Отсюда следует, что (р{/2J - qt < 0.
Так как каждый из квадратных множителей
х2 4- ргх 4- qt положителен при любых
действительных значениях х, то справедливо следующее
утверждение: если уравнение аохп 4- flix" +
4- ... 4- an-ix 4- а„ = 0 не имеет действительных
корней, то при любых х левая часть имеет
знак коэффициента а0. Из этого следует
утверждение: если в уравнении четной степени ап/ао<0,
то уравнение имеет по меньшей мере два
действительных корня разного знака.
Теорема Виета. Для уравнения
х" + а^хп~1 4- ... + an-ix 4- а„ = 0

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
149
имеет место следующая зависимость между
корнями уравнения (с учетом кратности) и его
коэффициентами а{ {i = 1, 2,...,и):
Х2
Х„ =
- аъ,
Таким образом, если уравнение имеет
целочисленные коэффициенты и целочисленное решение,,
то это решение является делителем свободного
члена.
Теорема Виета для квадратного и
кубического уравнений.
х2 + рх + q = 0: х3 + rx2 + sx + t = 0:
+ х2 = -р,
+ х2 + х3 = -г,
Х2Х3 = S,
Теорема Штурма. При помощи теоремы Штурма
можно определить число действительных корней
уравнения с действительными коэффициентами.
Прежде чем сформулировать теорему Штурма,
опишем используемый здесь алгоритм. Отделим
кратные корни заданного уравнения Р(х) = 0, т. е.
перейдем к уравнению Q (х) = 0, которое имеет те
же корни, что и данное, но кратности 1.
(Напомним, что Q(x) = Р(х)/Т(х), где Г(х) —
наибольший общий делитель Р(х) и Р'(х).) Затем составим
последовательность Q(x), Q'(x), Qi(x),...,Qm(x)
следующим образом (алгоритм Евклида):
R2(x)Q1(x)-Q2(x),
Qm . 2 (x) - Rm (x) Qm _! (x) - Qm (x),
(деление с остатком); Qt - остатки от деления,
взятые с противоположным знаком (см. 2.4.1.3).
Так как в последовательности Q(x\ Q'{x\
Qi(x\...,Qm(x) степени многочленов монотонно
уменьшаются, то процесс деления оборвется после
конечного числа шагов. Как известно, посредством
такого деления с остатком отыскивается
наибольший общий делитель исходных многочленов
Q{x) и Q'(x). Но так как по предположению
Q(x) имеет только простые корни, то наибольший
общий делитель Qm(x) многочленов Q(x) и Q'{x)
есть постоянная.
Положив в многочленах х = ? (? —
действительное число), получим последовательность
действительных чисел (Ш Q'&\ fi 1 (?),...,Q«(S). Если
в этой последовательности два соседних числа
имеют различные знаки, то говорят о перемене
знака. Пусть w(?) означает число перемен знака,
причем если некоторые из чисел &(?) — нули,
то при подсчете числа перемен знаков их
пропускают.
Теорема Штурма утверждает: если а и b (а < Ь)
не являются корнями Q(x), то разность w(a)-
— w(b) равна числу действительных корней Q(x)
в промежутке [а, Ь].
Чтобы найти число всех действительных
корней уравнения, нужно найти промежуток,
содержащий все корни, и применить к нему теорему
Штурма. Для этого служит
Правило Ньютона.- Пусть
Р(х) = аохп + ^х" -I-... + аи_!Х + ап = 0,
а0 > 0,
— уравнение n-й |,степени. Число g такое, что
Р(х) > 0, F(х) > 0,..., Р{п~1)(х) > 0 для всех х > д,
есть верхняя граница действительных корней
уравнения Р(х) = 0. Число h есть нижняя граница
действительных корней этого уравнения, если ( — h)
есть верхняя граница действительных корней
уравнения Р( — х) = 0.
1 них корней урапч
Пример. Найти число действи
ния х4 - 5х2 + 8х - 8 = 0. Имеем
Р(х) = х4 - 5х2 + 8х - 8, Р'(х) = 4х - 10х + 8,
Р" (х) = 12х2 - 10, F" (х) =-- 24х
Заметим, что Р"'(х)>0 для всех х>^ сети <; " 0 Дале<*
Р"(х)>0 и Р*(х)>0 для д^\% но i"(i <Л) Так к-и
Р(х)>0 при х > 2, то д = 2 есть верхняя iраним !>ч>
действительных корней этого уравнения Если irr мер.
применить к Р(—х) = х4 — 5х2 — 8х — 8, го в к-ачечве г<ор>
ней границы получим 3, т.е. /i = -3 есть нижняя ¦рани--
всех действительных корней1 заданного уравнения
Следовательно, все действительные корни данного уравнения лежат
в промежутке [ — 3, 2]; определим их число при помочи
теоремы Штурма. Прежде, всего заметим, что Р(\) не
имеет кратных корней. Вычислим многочлены
Р(х) = Q(x) = х4 - 5х2 + 8л - 8.
Р/(х) = 0'(х) = 4х3- Юх + 8
g1(x) = 5x2 - 12x+ 16.
Q2(x)= -3.x+ 284,
Так как в дальнейшем важен только -»чак тг ,>
многочленов, то для упрощения вычисления мно
Q{ делимое или делитель можно умножать ни сое я< » "К
положительный множитель. При х= — 3 полу»аг^ < ^ -^
довательность 4, -70, 97, 293, -1; при
последовательность 4, 20, 12, 278, 1 Таким >•
w( — 3) = 3, wB) = 1, и уравнение имеет и-(--З) ^
действительных корня. Если вычислить еще, на при >
w@) = 2, то мы найдем, что один корень нахоио'
интервале (-3, 0), другой - в интервале @, 2)
Правило знаков Декарта. Число положительных
корней (подсчитанное с учетом их кратности)
уравнения
0
Р(х) = аохп
ап
не больше числа перемен знака в последова-

150
АЛГЕБРА
тельности я0, аи...,ап коэффициентов Р(х) и может
отличаться от него лишь на четное число. Если
уравнение имеет только действительные корни, то
число его положительных корней равно числу
перемен знака в ряду коэффициентов.
Пример. Коэффициенты уравнения х* + 2х3 - х2 +
+ 5х-1=0 имеют знаки + + - + -, т. е. знак
изменяется трижды. Согласно правилу Декарта, это
уравнение имеет или три, или один положительный корень.
Так как при замене х на -х корни уравнения меняют
знаки, а при замене х на х + h их величины
изменяются на h, то при помощи правила Декарта можно
оценить число отрицательных корней, а также число
корней, больших И. В нашем примере заменой х на
-х получим, что х* - 2х3 - х2 - 5х - 1 = 0, т. е. уравнение
имеет один отрицательный корень. Замена х на х + 1 дает
уравнение х4 + 6х3 + 11х2 + 13х + 6 = 0, т. е. все
положительные корни нашего уравнения (число которых один или
три) меньше 1.
В частности, каждое уравнение четной степени,
первый и последний коэффициенты которого
имеют различные знаки, имеет по меньшей мере
один положительный и один отрицательный корни.
Каждое уравнение нечетной степени имеет по
меньшей мере один действительный корень того
же знака, что и {-ап/а0); число его
действительных корней другого знака — четное число
(или нуль).
Правило Декарта позволяет также оценить
число действительных корней уравнения Р{х) = 0
в промежутке [а, Ь]. Для этого надо применить
правило знаков приведенным выше способом к
уравнению Р (у) = 0, где у = (а - х)/{х - Ь).
2.4.2.5. Система алгебраических уравнений. Если
заданы т уравнений с п неизвестными и
требуется найти последовательности из п чисел,
которые одновременно удовлетворяют каждому из
т уравнений, то мы имеем систему уравнений.
Если все т уравнений линейны, то говорят о
системе линейных уравнений; такие системы могут
решаться методами линейной алгебры (см. 2.4.4.3).
Проиллюстрируем на примерах методы решения
для некоторых часто встречающихся типов
нелинейных систем уравнений.
Примеры. 1) Даны уравнение 1-й степени и
уравнение 2-й степени, каждое с двумя неизвестными:
х2 + у2 + Зх - 2у = 4,
х + 2у ш 5.
Линейное уравнение решается относительно одного из
двух неизвестных (х = 5 — 2у) и полученное выражение
подставляется в квадратное уравнение. Получаем квадратное
уравнение относительно одного неизвестного
у2 —у Л = 0, которое решается, как обычно: у\ = 2,
у2 = 18/5. Получаем множество решений заданной системы
уравнений: L= {A, 2); (-11/5, 18/5)}.
2) Даны два уравнения 2-й степени с двумя
неизвестными:
решений исходной системы уравнений:
L={A, 2);(-1, -2); B, 1); (-2, -1)}.
3) Даны два уравнения 2-й степени с двумя
неизвестными:
х2 + у2 + Зх - 2у - 17,
ха + у2 + х - у - 12.
Вычитанием уравнений получим, что 2х - у - 5. Если
от заданной системы уравнений перейти к эквивалентной,
содержащей любое из исходных уравнений и полученное
линейное уравнение, то будем иметь случай, рассмотренный
в примере 1). Для исходной системы уравнений получаем
множество решений {C, 1); F/5, 13/3)}.
4) На плоскости хОу требуется найти уравнение
окружности, проходящей через три точки, например B6, А),
(9, 21), A7, 17); получаем три уравнения 2-й степени с тремя
неизвестными:
Так как у - 2/х, то из первого уравнения получаем
биквадратное уравнение х* - 5х2 + 4 = 0, которое
посредством замены х2 = г переводим в квадратное уравнение
относительно t. Из множества решений квадратного
уравнения tt = 1, t2 = 4 находим корни биквадратного
уравнения, а затем (вспомнив, что у - 2/х) и множество
где с, d - неизвестные координаты центра, г - неизвестный
радиус. Взяв любые два из этих уравнений и вычитая
одно из другого, получим линейное уравнение с двумя
неизвестными. Вычитание второго уравнения из первого
дает -с + <* + 5«0, вычитание третьего из первого дает
-9с + Ш + 57 = 0. Полученная система имеет решение с - 2,
d ш - 3. Подставив эти значения в одно из исходных
уравнений, получим г = 25.
2.4.3. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общее понятие. Примеры. Уравнение, в
котором неизвестное входит в аргумент
трансцендентных функций, называется трансцендентным
уравнением (см. 2.4.2.3). К трансцендентным
уравнениям принадлежат показательные уравнения,
логарифмические уравнения и тригонометрические
уравнения. В общем случае трансцендентные
уравнения могут быть решены только при помощи
приближенных методов. В некоторых особых
случаях трансцендентные уравнения можно все же
свести к алгебраическим уравнениям.
Показательные уравнения
(приводимые к алгебраическим).
1. Неизвестное находится только в показателях
степеней выражений, над которыми не
производится операций сложения и вычитания. Тогда
логарифмирование общего уравнения (с
произвольным основанием) приводит к цели.
Пример. 3*«=4*-2-2х; xlog3 «(х - 2)log4 + xlog2,
откуда
х« 21og4 m log 16
log 4 - log 3 + log 2 log (8/3) •
2. Неизвестное х входит только в показатели
степени выражений, основания которых являются
целыми степенями одного и того же числа к.
Тогда заменой неизвестного у = к* можно
получить уравнение, алгебраическое
относительно у.
Пример. 2*-l = Sx-2-4'-2. Основания выражений,
содержащих х, суть целые степени 2; заменой неизвестного
у = 2* переводим исходное уравнение в уравнение
у3 - 4у* - 32у =* 0 с решениями уг - 8, у3 - -4, уэ - 0.
Отсюда получаем, что Xi = 3; других действительных
корней не существует.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
151
Трансцендентные уравнения, содержащие
неизвестное только в аргументе гиперболических
функций, можно привести к уравнениям
рассмотренного вида, если гиперболические функции выразить
через показательные.
Пример. 3 ch х = sh х + 9,
- + з,
2 2
е* + 2е~х — 9 = 0. Заменой переменного у = е* получим
уравнение у2 - 9у + 2 = 0, алгебраическое относительно у, с
решениями yit2 = 9±j 73 , откуда следует, что хх = 1пу1а&
* 2,1716 и х2 = In y2 « -1,4784.
Логарифмические уравнения
(приводимые к алгебраическим).
1. Пусть неизвестное х входит только в
аргумент логарифма или уравнение содержит
логарифмы от одного и того же выражения А(х\
где А (х) - многочлен. Тогда замена переменного
вида у = logj, А (х) приводит к алгебраическому
относительно у уравнению. Из решений этого
уравнения получаем решения исходного уравнения
при помощи таблицы логарифмов.
Пример. 4-lgf-yxj = 3 l/lgfyx\ Полагая у =
= l/lgI — х I, получаем 4 — у2 — Ъу с множеством решений
{1, -4}. Из i=mgfi-x) следует у* = 10, т.е.гх = 4;
решение у2 = —4 для исходного уравнения — постороннее.
2. Пусть неизвестное х входит только в аргумент
логарифмов одного и того же основания а,
и все уравнение есть линейная комбинация
выражений вида m,logaP,(x) (m,-- рациональные числа,
Pi — многочлены относительно х). Тогда уравнение
можно привести к виду loga Q (х) = А, где Q (х) -
многочлен, или, потенцируя, к алгебраическому
уравнению Q (х) — аА = 0.
Пример.
21og5Cx- l)-log5A2x + l) = 0,
f
Проверка показывает, что L = {2} есть множество решений
исходного уравнения.
3. Пусть неизвестное х входит только в
аргумент логарифма, и уравнение содержит только
логарифмы с одним и тем же аргументом, но с
различными основаниями. Тогда в некоторых
случаях уравнение можно решить после приведения
логарифмов к одному основанию и
использования свойств логарифмов.
Пример. Iog2(x- 1) +log3(х- l) + log4(x- 1) =
log* 2
lOg4(x - 1) =
Iog34,
= 3 + log34, Iog4(x - I)(log24 + Iog34 + 1) = 3
Iog4(x-1)= 1, x = 5.
Тригонометрические уравнения
(приводимые к алгебраическим). Пусть
неизвестное х или пх 4- а (и — целое) входит только в
аргументы тригонометрических функций. Тогда,
применяя тригонометрические формулы, приводим
уравнение к виду, содержащему лишь одну
тригонометрическую функцию аргумента х. Эту
функцию полагаем равной у и решаем
алгебраическое относительно у уравнение. Решив его,
определяем (в общем случае при помощи таблиц)
неизвестное х. При этом, ввиду периодичности
тригонометрических функций, следует принимать
во внимание многозначность решения. При
переходе от данного уравнения к уравнению,
содержащему только одну тригонометрическую
функцию относительно х, иногда бывают
необходимы неэквивалентные преобразования
(например, возведение в квадраг при наличии
радикалов). Поэтому необходимо сделать
проверку, чтобы исключить появившиеся
посторонние решения.
П ример. 4sinx = 4cos2x — l;4sinx = 4(l— sin2x) — 1;
после замены переменной у = sin х получим 4у2 + Ау - 3 = 0
с решениями уг = 1/2, у2 = - 3/2. Решение у2 не дает
действительных решений заданного уравнения (|sinx|^l);
ух дает х = я/6 + 2кп и х = 5я/6 + 2кп (к = 0, ± 1, ±2,
±3,...).
2.4.4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
2.4.4.1. Векторные пространства.
2.4.4.1.1. Понятие векторного
пространства. Непустое множество V, для
элементов которого определено сложение ( + ) и
умножение (•) на действительные числа, называется
действительным векторным пространством V = [F,
+ , •] или линейным пространством*), а элементы
V называются векторами, если выполнены
следующие аксиомы:
1) Для любых двух элементов а, ЬеУ
существует один элемент а + be V — сумма а и b
(внутренний закон композиции).
2) Ассоциативность. Для любых а, b, ceV
справедливо равенство а + (Ь 4- с) = (а + Ь) + с.
3) Коммутативность. Для любых а, ЬеУ
справедливо равенство а + b = b + а.
4) Для любых а, b е V существует х е V
такой, что а + х = Ь.
5) Для любого аеКи любого действительного
числа а имеется элемент а- ае V — произведение
элемента а на число а (внешний закон
композиции)**).
6) Ассоииативностъ. Для любого aeV н любых
действительных чисел a, p справедливо равенство
(оф)а = а(|3а).
7) Для любого аеК справедливо равенство
1а = а.
8) Дистрибутивность. Для любых а, be К и
любых действительных чисел а, C справедливы
равенства а (а + Ь) = аа + ab и (а + C) а = аа 4- (За.
Замечание. При определении умножения вместо поля
действительных чисел можно положить в основу другие
поля К. Тогда говорят о векторном пространстве над
полем К; в частности, о «действительном векторном
пространстве» или о «комплексном векторном
пространстве», если К есть соответственно поле действительных
или поле комплексных чисел.
Примеры. 1) Векторное пространство упорядоченных
пар (х, у) действительных чисел х, у с законами
композиции
(х, у) + (х', У) = (х + х',. У + /),
<х(х, у) = (ax, ay).
*) Векторными пространствами иногда называются
только линейные пространства, имеющие конечный базис
(см. 2.4.4.1.4).
**) Элемент а а обычно обозначается аа

152
АЛГЕБРА
2) Векторное пространство конечных
последовательностей (хь х2,...,х„) действительных чисел с законами
композиции
а(*ь х2,....,х,,) = (ахь ах2,...,ах,,).
3) Векторное пространство многочленов ? а^х' с за-
конами композиции
f о,х' + f ft,* = f (о, + Ь{)х1 + ? а{х> (п > т),
i
4) Векторное пространство функций, непрерывных на
замкнутом отрезке, с законами композиции [/ + д] (х) =
= /(х) + 0(х), [ое/](х) = ot/(x).
5) Векторное пространство геометрических векторов на
плоскости, причем сложение и умножение на действительное
число определены обычным образом (см. 4.2.1).
Правила действий с элементами векторных
пространств. Из аксиом 1) —8) следует, что
действия с элементами векторного пространства
производятся, в сущности, так же, как и с числами;
по отношению к сложению и умножению на
действительные числа справедливы, грубо говоря,
«обычные» правила, в частности:
1) Существует, и притом только один,
нейтральный по отношению к сложению элемент 0 такой, что
а + 0 = а для любых а е К; 0 называется
нулевым вектором.
2) Для каждого вектора ае V существует
единственный обратный по отношению к сложению
элемент (-а)еКтакой, что а + (-а) = О; вектор
( — а) называется противоположным вектору а.
3) Уравнение а + х = Ь, где a, b е V, разрешимо
единственным образом; решение хе V называется
разностью векторов b и а, пишут: х = b — а.
В частности, 0 — а = — а.
4) Законы ассоциативности и коммутативности
сложения, так же как и дистрибутивные законы,
методом полной индукции можно обобщить на
любое конечное число слагаемых.
5) Для векторов a, b е V и действительных
чисел а, C выполняются соотношения:
a) a + (-b) = a-b; б) -(-а) = а;
в) - (а + Ь) = -а - Ь; г) - (а - Ь) = -а + Ь;
д) Оа = 0; е) аО = О,
ж) (-а)а = а(-а), (-1)а= -а;
з) а (а - Ь) = аа - ab, (а - р) a - аа - (За.
2.4.4.1.2. Векторные подпространства.
Пусть К-векшрное пространство и
[/-непустое подмножество в V. Если V по отношению
к тем же операциям сложения и умножения само
является векторным пространством, то U
называется векторным подпространством (пространства)
V. Чтобы проверить, является ли V векторным
подпространством V, не требуется доказывать
истинность всех аксиом, так как имеет место
критерий: U@ Ф U Я V) есть векторное
подпространство V тогда и только тогда, когда для
любых a, bet/ и любого действительного а
справедливы включения а + be (/ и аае I/
(замкнутость U по отношению к операциям + и •).
Примеры. 1) Всякое векторное пространство имеет
два тривиальных векторных подпространства, а именно:
само себя и то, которое содержит нулевой вектор в
качестве единственного элемента.
2) В векторном пространстве конечных
последовательностей действительных чисел (х,, х2, ..., х„)
подмножество, содержащее все такие последовательности, что
ci*i + С2*2 + ... + с„хп = О (с{ — фиксированные
действительные числа), образует векторное подпространство по
отношению к операциям сложения и умножения,
определенным для последовательностей.
3) В векторном пространстве многочленов
подмножество всех многочленов степени, меньшей л, образует
векторное подпространство по отношению к операциям
сложения и умножения, определенным для многочленов.
4) Пусть S — непустое множество векторного
пространства. Всякое выражение вида Х^ + А.2а2 + ... +
+ Х,аг, где Xi, Х,2, ..., К — произвольные действительные и
аь а2, ..., areS. называется линейной комбинацией
элементов S. Множество всех линейных комбинаций векторов
из S образует векторное подпространство.
5) Если U\ и U2 — векторные подпространства
одного и того же векторного пространства V, то их
пересечение Ui f\ U2 также есть векторное подпространство
пространства V. То же самое справедливо и для пересечения
большего числа подпространств.
6) Пусть S - произвольное множество векторов
векторного пространства V. Можно рассмотреть
пересечение всех векторных подпространств пространства И
содержащих S. Это снова есть векторное подпространство, а
именно наименьшее векторное подпространство, содержащее
S. Его называют линейной оболочкой множества S и
пишут: &(S) = f){Ua: (/„-векторное подпространство V
Если S = 0, то S? (S) есть векторное подпространство
из V, содержащее только нулевой вектор.
Если S^0, то Se (S) наряду с S содержит в качестве
векторного пространства всякую линейную комбинацию
векторов из S Так как множество всех линейных
комбинаций S само образует векторное подпространство из V,
содержащее S, a JS? (S) есть наименьшее векторное
подпространство, обладающее этим свойством, то J??(S) состоит
как раз из всех линейных комбинаций векторов из S:
R; a^eS; г — натуральное число>
Из Si^S2 следует &y{S) с J^(S2). Если U есть
векторное подпространство из V, то &(U) = U, и наоборот.
Если векторное подпространство U пространства Иможно
представить как линейную оболочку множества S векторов
из V, то S называется системой, порождающей U.
7) В то время как для двух векторных подпространств
Ui и U2 пространства V их пересечение вновь является
векторным подпространством, для их объединения это в
общем случае не так. Наименьшее векторное
подпространство из К содержащее U1\JU2, т.е. Se{Ul{JU2),
называют суммой Ui + U2 (или композицией) Ul и U2. Оно
состоит из всех векторов х = Х!+х2, где XieLfb x2el/2-
2.4.4.1.3. Линейная зависимость.
Непустое конечное множество S - {аь ..., а*}
элементов векторного пространства V называется
линейно зависимым, если существуют
действительные числа Хи ..., \к, не все равные нулю и такие,
что
Х&х + ... + Х&ь = 0.
Если это соотношение имеет место только при
Хг as... = Xk = 0, то множество S называется
линейно независимым. Вектор хеК называется
линейно зависимым от S, когда он является линейной
комбинацией векторов из S, т.е. если xeif(S).
В случае, если x?i?(S), вектор х называется
линейно независимым от S.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
153
Примеры. 1) Вектор х = C, -7, 0) векторного
пространства упорядоченных троек действительных чисел
линейно зависит от множества
S = {A, -1, 0); @, 1, 1); C, 0, 5); B, -1, 3)},
так как, например, х = 2A, -1, 0) - 3C, 0, 5) + 5B, -1, 3),
S()
2) Вектор х = C, — 7, 0) не является линейно зависимым
от множества S = {@, 1, 1); @, —2, 5)}, так как каждая
линейная комбинация векторов из S дает, очевидно, вектор,
первая координата которого равна нулю, т. е. вектор х
линейно независим от S.
3) Нулевой вектор линейно зависит от каждого
множества S, так как 0e&(S) для любого S.
Множество S векторов из К называется линейно
зависимым, если существует по крайней мере один
вектор xeS, который линейно зависит от 5\{х}.
Если любой вектор xeS линейно не зависит от
5\{х}, то S называется линейно независимым.
Примечание. В случае, когда S — непустое
конечное множество, это определение эквивалентно определению,
данному в начале пункта.
Из этого следует, в частности, что пустое
множество 5 = 0 линейно независимо. Множество
S в {0}, содержащее только нулевой вектор 0,
линейно зависимо, так как
Из определения следует: каждое множество S,
содержащее линейно зависимое подмножество 5',
само линейно зависимо. Действительно, если S'
линейно зависимо, то по крайней мере для одного
х е S' справедливо х б & (S' \ {х}) и вследствие
^f(S'\{x})cif(s\{x}) также и xeX{S\{x}).
Справедливо утверждение: каждое
подмножество S' линейно независимого множества S
само является линейно независимым. Если S' = 0,
то 5' линейно независимо, а в случае S' Ф 0
утверждение следует из предыдущего утверждения.
В частности, любое конечное подмножество S'
линейно независимого множества S само линейно
независимо. И наоборот, из линейной
независимости всех конечных подмножеств 5' множества
S следует линейная независимость 5.
Примеры. 1) В векторном пространстве
упорядоченных пар действительных чисел множество {C, 0); (-1, 2);
G, 1)} является линейно зависимым, так как справедливо
равенство 5 C, 0) + (-1, 2) - 2 G, 1) = @, 0).
2) В векторном пространстве многочленов множество
S = {х3", п — натуральное} линейно независимо ввиду того,
что каждое конечное подмножество {x^vi, xrv*, ..., x^v»}
элементов из S линейно независимо, так как из
предположения XjX3vi + X2x3v2 + ... + XAx3v* = 0 (для любого х)
следует, что все коэффициенты X, (i = 1,2, ..., к) равны нулю.
3) В векторном пространстве многочленов множество
{х3 + 2х2; 2х3 + 2х2 - 6х + 4; -х2 + Зх; х2 - 1}
является линейно зависимым множеством векторов, так
как, например,
2 (х3 + 2х2) - Bх3 + 2х2 - 6х + 4) -
-2(-х2 + Зх)-4(х2- 1) = 0.
4) В векторном пространстве комплексных чисел над
полем действительных чисел множество {1, /} является
линейно независимым множеством, так как соотношение
Xi • 1 + Х2 • / = 0 выполняется с действительными X! и Х2
только при Xt = Х2 = 0. В векторном пространстве
комплексных чисел над полем комплексных чисел множество
{1, /} линейно зависимо. Xt• 1 + Х2 i = 0 при Xi = i, X2 = — 1.
Другие свойства линейной
зависимости.
1. Если 5 линейно независимо, a S(J{x}
линейно зависимо, то х есть линейная комбинация
векторов из S.
2. Если S линейно независимо, х линейно
независимо от S, то S (J {х} также линейно независимо.
3. Если 5 линейно независимо, аь ..., лкеБ, то
из соотношения
следует, что Xi = ць ..., Хк = \iki т. е. к линейно
независимому S всегда можно применить «принцип
приравнивания коэффициентов».
Если S линейно зависимо, то это уже не так;
например, для ai = C, 0), а2 = (-1, 2), а3 = G, 1)
имеем
7*l -3a2-a3 = 2a! - 4а2 +а3.
2.4.4.1.4. Базис. Размерность. Если В —
система векторов, порождающая векторное
пространство F, то каждый вектор xeV можно
представить в виде линейной комбинации векторов
из В. Если, кроме того, система В линейно
независима, то представление х в виде линейной
комбинации векторов из В определено однозначно.
Такая линейно независимая порождающая
система В называется базисом пространства V.
Итак, если К=[К + ,-] есть векторное
пространство, то каждое подмножество В я V такое,
что 1) & (В) — V и 2) В линейно независимо,
называется базисом пространства К
Примеры. 1) В векторном пространстве R" всех
упорядоченных ^-последовательностей действительных
чисел множество В = {ех = A, 0, 0, ..., 0); е2 = @, 1, 0, ..., 0);...
• ••; еи = @, 0, 0, ..., 1)} есть базис; он называется
каноническим базисом пространства R".
2) В векторном пространстве всех многочленов множество
В = {1, х, х2, ...} есть базис, так как В линейно
независимо и каждый многочлен р(х) можно записать в виде
линейной комбинации элементов из В:
р(*) =
***.
3) В векторном пространстве всех решений уравнения
Зх + 4у - z = 0, например, множество В = {A, 0, 3); @, 1, 4)}
является базисом, так как В линейно независимо и каждое
решение уравнения можно представить в виде х = (х, у, z) =
= Х.1 A, 0, 3) + Х2@, 1, 4) (см. 2.4.4.3).
4) Векторное пространство, состоящее только из
нулевого вектора 0, имеет В = 0 в качестве (единственного)
базиса вследствие того, что JSf @) = {0}, и линейной
независимости 0.
Справедливы следующие утверждения о
существовании базиса и его свойствах.
1. Каждое векторное пространство имеет (по
меньшей мере один) базис. Каждая
порождающая система векторного пространства содержит
базис. Из этого, в частности, следует: если V'—
векторное пространство, порождаемое конечной
системой, т. е. имеет место равенство V = & E),
где S - конечное множество, то V имеет конечный
базис.
2. Каждый базис В векторного пространства
V есть минимальная порождающая система V,
т. е. (a) Se (В) = V; (б) для всех В таких, что В с В,
справедливо соотношение & (В1) # V. Наоборот,

154
АЛГЕБРА
каждое подмножество В с \\ удовлетворяющее
условиям (а) и (б), является базисом V.
3. Каждый базис В векторного пространства V
есть максимальное линейно независимое
подмножество пространства V в следующем смысле:
(а) множество В линейно независимо; (б) для
всех В' таких, что множество В' => В, В' линейно
зависимо. Наоборот, каждое подмножество
В с V, удовлетворяющее условиям (а) и (б),
является базисом V.
4. Пусть В - базис векторного пространства
К и пусть S — линейно независимое подмножество,
содержащее т векторов из V. Тогда в В всегда можно
найти такое подмножество В*, также состоящее
из т векторов, что множество (B\B*)[j S, в
котором векторы из В* заменены на векторы из S,
снова будет базисом V. Другими словами, это
означает, что некоторое подмножество из т
векторов базиса можно заменить на заданное
линейно независимое подмножество, состоящее
из т векторов, без потери при этом свойства базиса.
Таким образом, всегда можно построить базис,
содержащий заданную линейно независимую
систему векторов.
При помощи утверждений 2-4 можно
построить базисы векторного пространства V,
порождаемого конечной системой. Для этого или
«сокращают» порождающую систему V последова-
1ельным отбрасыванием векторов, которые
являются линейной комбинацией остальных
векторов, до тех пор, пока «сокращенная»
порождающая система не станет линейно независимой, или
добавляют к линейно независимому множеству
V" вектор хт + ь который не является линейной
комбинацией векторов из 7™, затем к Tm+l =
— Tm{J {xm+il добавляют вектор xm+2, не
являющийся линейной комбинацией векторов 7™+1,
и т. д. до тех пор, пока «расширенное» линейно
независимое множество V (« ^ т) не станет
порождающей системой V. Предположение, что «К
порождается конечной системой», обеспечивает
обрыв обоих процессов после конечного числа
шагов. Векторное пространство, порождаемое
конечной системой, называется конечномерным.
В частности, все базисы конечномерного
векторного пространства состоят из одинакового
количества векторов; число базисных векторов,
одинаковое для всех базисов векторного
пространства, называется его размерностью и
обозначается dim V. Векторное пространство,
содержащее только нулевой вектор, имеет
размерность нуль. Если векторное пространство не
порождается конечной системой, то оно называется
бесконечномерным.
Примеры. 1) Векторное пространство R"
упорядоченных л-последовательностей действительных чисел имеет
размерность п (dim R" = и), так как канонический базис, а
следовательно, и любой базис R" содержат п векторов.
2) Векторное пространство перемещений на плоскости
двумерно, так как каждые два непараллельных вектора
образуют базис этого векторного пространства.
3) Векторное Пространство многочленов бесконечномерно.
Если векторное пространство V имеет
размерность « ^ 1, то каждый базис Fecib линейно
'независимое множество из п векторов. И наоборот,
каждое линейно независимое множество,
содержащее п векторов из К есть базис V. Это
дает удобный для практических исследований
критерий базиса, если известна размерность
векторного пространства.
Соотношение dim V= и ^ 1 выполняется тогда
и только тогда, когда в V существует по крайней
мере одно линейно независимое множество,
состоящее из « векторов, в то время как все множества,
содержащие п + 1 векторов, линейно зависимы.
Пусть V— конечномерное векторное
пространство, a U, Ui и U2 — векторные подпространства
V. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) dim U < dim V и dim U = dim V только тогда,
когда U = V;
2) из Ui Я U2 и dim V\ = dim U2 следует
Ul = U2;
3) dim {U1 П U2) + dim {Ul + U2) = dim V^ +
4- dim U2-
Координаты. Пусть V— «-мерное
пространство (п ^ 1) и В = {аь а2, ..., а„} - базис К
Вследствие 1-го свойства базиса {?? (В) — V)
каждый вектор xeVможно представить как линейную
комбинацию векторов из В: х = х^ -I- х2а2 +
+ ... + хяа„, и вследствие линейной независимости
В это представление х единственно (с точностью
до порядка слагаемых). Если базисные векторы в В
каким-нибудь образом упорядочить, то каждому
вектору х можно взаимно однозначно поставить
в соответствие упорядоченную и-последователь-
ность (хь х2, ..., х„) действительных чисел — его
координаты.
Пусть V — n-мерное векторное пространство
(п ^ 1) и В = {аь а2, ..., а„} — базис V, базисные
векторы которого а, стоят в фиксированном
порядке *). Если х е V, то однозначно определенные
коэффициенты в представлении х
х,а, в виде
линейной комбинации векторов В называют
координатами х по отношению к В и пишут: х =
= (хь х2, ..., х„)в.
Вместо векторов V можно производить
вычисления с сопоставленными им по отношению к В
упорядоченными n-последовательностями
координат в соответствии со следующими утверждениями.
Упорядоченная n-последовательность координат,
поставленная в соответствие сумме х + у векторов
х и у по отношению к В, получается как сумма
упорядоченных n-последовательностей
координат, сопоставленных по отношению к В
векторам х и у. Упорядоченная «-последовательность
координат вектора ах по отношению к В равна
упорядоченной «-последовательности координат
вектора х по отношению к В, умноженной на а.
Вследствие этого взаимно однозначное
соответствие между «-мерным векторным
пространством V и векторным пространством
упорядоченных «-последовательностей действительных чисел
является изоморфизмом. Справедливо следующее
утверждение: каждое «-мерное векторное
пространство изоморфно векторному пространству
упорядоченных «-последовательностей действительных
чисел.
Преобразование координат. При
переходе от одного базиса В = {al5 a2, ..., а„}
*) Всюду в дальнейшем будем понимать базис именно

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
155
аГ
а!
а*
= АТ
ai
а2
, то
х„
= А
"*?
х*_
векторного пространства Vk другому базису В* =
= {а^, af, ..., а*}, конечно, изменяются
координаты вектора хе V. Пусть х = (хь х2, ..., xn)g =
= (xf, xf, ..., x*)g*. Если (базисные векторы af
базиса В* связаны с базисными векторами а,
базиса В уравнениями а* = ? akiak (i = 1, 2, ..., п),
то для координат х, и xf одного и того же вектора
х имеет место следующее соотношение: хк =
= I aikxf (к = 1, 2, ..., п).
Матричный способ записи:
Если
где А есть матрица из элементов aik, а Л — матрица,
транспонированная по отношению к А. Говорят,
что координаты х преобразуются контраградиент-
но по отношению к базисным векторам.
Пример. Пусть R3 есть векторное пространство
упорядоченных троек действительных чисел, В - {еь е2, еэ} -
канонический базис R3 и В* - {«! -A, 1, 1), а2 -A, 1, 0),
а3 - A,0,0)} - другой базис R3. Тогда вектор х - C, -1, 2)в
имеет по отношению к В* координаты х«B, -3, 4Jg*,
так как at - et + е2 + еэ, а2 - et + е2, а3 * еь т. е. хх - xf +
+ *J + *f» X2 ш *f + jcJ, х3 e xf, откуда следует: xf = хэ =
«2, х| ¦ х2 - х3 - -3, х| - X! - х2 « 4.
2.4.4.1.5. Евклидовы векторные
пространства. Чтобы иметь возможность ввести
в векторном пространстве понятия «длина вектора»
и «угол между двумя векторами», его следует
снабдить дополнительной структурой — метрикой.
Это делается при помощи скалярного
произведения.
Пусть V= [V, +, •] — действительное векторное
пространство. Функция (р: Кх K-+R, которая
каждым двум векторам х и у из К ставит в
соответствие действительное число, называется скалярным
произведением в V, если она обладает следующими
свойствами:
1) дистрибутивностью: ф (хх + х2, у) = Ф (хь у) +
+ ф(х2, У);
2) коммутативностью: ф(х, у) = ф(у, х);
3) однородностью: ф(ах, у) = аф(х, у) (а-
действительное);
4) положительной определенностью: ф (х, х) > 0
для всех х Ф 0.
Действительное векторное пространство V=
= [К +, •, ф] с таким скалярным произведением ф
называется евклидовым векторным
пространством. Вместо ф (х, у) часто пишут (х, у) или х • у.
Примеры. 1) В векторном пространстве V2
упорядоченных пар чисел (х, у) скалярное произведение зададим,
например, так:
((*ь М (** Уг)) - 9*,х2 - 6х^2 - Ьуххг + 5уху2.
Выполнение свойств 1) - 3) проверяют вычислением, а
свойство 4) справедливо вследствие того, что
((хь Уг), (хь у2)) = 9х? - ^х^, + 5у\ = (Зхх - 2yxf + у\ > 0
для всех (хь ух) Ф @, 0).
2) В векторном пространстве R" упорядоченных
«-последовательностей действительных чисел скалярное
произведение определим так:
((ХЬ Х2, . .. , Хн), (уг, у2, ..., у„)) = Xrft + Х2у2 + ..'. + Х„у„.
3) В векторном пространстве всех непрерывных на
[-я, я] функций скалярное произведение определим
соотношением (f,g) = — J f(t) д (t) dt.
Модуль вектора. Пусть V — евклидово
векторное пространство. Под модулем (нормой,
длиной) || х || вектора хе К понимают
неотрицательное действительное число || х || = |/(х, х). Вектор
с модулем, равным 1, называется единичным
вектором; для каждого вектора а Ф 0 вектор
а/1| а || единичный.
Из свойств скалярного произведения вытекают
следующие свойства модуля: для всех х, yeV и
всех действительных чисел а
1) || х || ^ 0, || х || = 0 тогда и только тогда,
когда х = 0;
2) || ах || =|а|||х||г
3) II х + у || ^ || х || + || у || (неравенство
треугольника).
Если заменить в последней формуле х на х — у,
а затем у на у — х, то получим, что | || х || —
~ II У II I ^ II х — у ||. Знак равенства возможен
только тогда, когда у = 0 или х = осу, а ^ 0.
Имеет место неравенство Коши — Буняковско-
го: | (х, у) | < || х || || у ||. Знак равенства возможен
тогда и только тогда, когда множество {х, у}
линейно зависимо.
На основании неравенства Коши — Буняков-
ского величину угла между векторами х Ф 0 и
у Ф 0 можно определить как действительное
число ф, которое удовлетворяет двум условиям:
(х, У)
х II II у ||
и 0 ^ ф < п.
Ортогональность. Два вектора х, у
евклидова векторного пространства V называются
ортогональными, если (х, у) = 0. В частности,
нулевой вектор 0 ортогонален каждому вектору из
V. m-последовательность {хь х2, ..., хт} векторов
х, евклидова векторного пространства называется
ортогональной системой, если она не содержит
нулевого вектора и векторы х, попарно
ортогональны, т. е. х, # 0 и (х„ Xj) — 0 для любых i и j
(i Ф j); она называется ортонормированной
системой, если, кроме того, все векторы х, являются
единичными, т. е. если
0 при i Ф j,
1 при i = j.
Ортонормированная система, которая
одновременно является базисом векторного пространства,
называется ортонормированным базисом.
Свойства ортогональной системы.
1. Каждая ортогональная система линейно
независима.
2. Если координаты двух векторов х, у заданы
относительно ортонормированного базиса В:
х = (хь х2, ..., хп)в, у = (уг, у2, ..., уп)в, то их
скалярное произведение равно (х, у) = ххух +
+ x2j>2 + ... + хпу„.

156
АЛГЕБРА
3. Каждое евклидово векторное пространство
конечной размерности имеет ортонормированный
базис.
Такой ортонормнрованный базис можно
получить методом ортогонализацш (Грама —
Шмидта) из любого базиса евклидова векторного
пространства конечной размерности V путем
«последовательной ортогонализации». Если {аь а2, ...
..., аи} — базис К то из него получают
ортогональную систему {Ьь Ь2, • • •, Ь„}, где
(/с = 2, 3, .... п).
>,•> b,)
Тогда
bi
bH
-
ортонормированный базис К
П р и м е p. {(-1, 2, 3,0); @, 1, 2, 1); B, -1,-1, 1)} - базис
векторного подпространства U векторного пространства
упорядоченных четверок действительных чисел. Скалярное
произведение определено соотношением ((хь х2, х3, х4), (уи у2,
Уь У*)) — *\У\ + *гУ2 + *зУз + х^у*. Тогда методом орто-
юнализации получим ортогональную систему {bb b2, b3}:
Ь,=(-1, 2, 3, 0),
Ь2=@, 1, 2, 1)-у(-1, 2, 3, 0) = уD, -1, 2, 7),
Ь3 = B, -1, -1, l) + -i(-l, 2, 3, 0)-уD, -1, 2, 7) =
= ^G,2,1,-4).
Если перейти, наконец, от Ь; к соответствующим
единичным векторам, то получим искомый ортонормированный
базис векторного подпространства U в следующем виде:
I -!--(-1, 2, 3, 0); -L-D, -1, 2, 7); -4гG,
(у 14 у 10 у 10
\ 2, 1, -4I.
Ортогональные векторные
подпространства. Два векторных подпространства С/ь
U2 евклидова векторного пространства V
называются взаимно ортогональными (обозначается:
V11. U2), когда для любого хе 1/х и любого у е U2
справедливо равенство (х, у) = 0. Если U —
векторное подпространство пространства V, то
множество U = {х | хе V и (х, и) = 0 для всех ие U}
называется ортогональным дополнением U в V.
Ортогональное дополнение С/1 с
определенными в К операциями вновь является векторным
подпространством U1 = [С/1, +, •], при этом
выполняется соотношение U f] U1- = {0}. Если,
кроме того, V— пространство конечной
размерности, то (С/1I = U и U + U1 = V, откуда следует,
что dim U1 = dim V- dim U. Так как U + U1 = V,
то каждый вектор хеК можно представить в
виде х = u + v, где ue U, a v e VL; учитывая, что
U p| U-L = {0}, разложение вектора х в сумму такого
вида единственно. Вектор и называется
ортогональной проекцией вектора х на U, a v —
ортогональной составляющей вектора х, перпендикулярной
U. Для всех а е U справедливо соотношение || v || =
= || х — и || < || х — а ||, т. е. перпендикуляр v
имеет известное свойство «кратчайшего
расстояния».
2.4.4.1.6. Гильбертово пространство.
Многое из сказанного в 2.4.4.L5 о евклидовом
векторном пространстве остается справедливым и
в том случае, если это пространство
бесконечномерно, хотя некоторые утверждения, в которых
упоминается размерность и,.нуждаются в уточнении.
Наиболее важным обобщением понятия евклидова
пространства является гильбертово пространство Н,
определяемое следующими свойствами:
1) Н — бесконечномерное векторное
пространство.
2) Для векторов х, уеН определено скалярное
произведение (х, у), для которого справедливы
свойства 1) — 4) скалярного произведения
евклидова пространства. Величина || х || = (х, хI/2
называется нормой элемента хеЯ.
3) Для любой последовательности векторов
х„еЯ(и = 1,2,...), для которой lim || хп — хт || =
и, т -* оо
= 0, существует вектор х е Н такой, что lim || x —
И -> 00
— х„ || =0 (свойство полноты).
Бесконечная последовательность векторов в Я
называется линейно независимой, если любое
конечное подмножество этой последовательности
линейно независимо.
При помощи процесса ортогонализации для
любой линейно независимой последовательности
можно построить ортонормированную систему,
эквивалентную исходной последовательности в том
смысле, что линейные оболочки подмножеств их
первых п элементов совпадают для любого п.
Если уи у2, ... — ортонормированная система,
то ряд
сходится тогда и только тогда,
когда ]Г а? < оо. При этом
=1
(теорема Пифагора в гильбертовом
пространстве).
В любом бесконечномерном подпространстве
Hi с Я (в том числе и в самом Я) существует
ортонормированный базис В(уи у2, ...), т. е. такой
ортонормированный набор векторов, что для
произвольного элемента xeHi справедливо
разложение х = ? (х, yi)yh где ряд сходится по норме.
yteB
Хорошо известным примером гильбертова пространства
/2, элементами которого являются последовательности
действительных чисел (хи х2, ..., хт ...), для которых ряд
? | х, |2 сходится. Скалярное произведение элементов {xj и
« = 1
{у{} определяется как (х, >>) = JT х,у,. Ортонормированным
базисом в /2 может служить последовательность векторов
в! =A,0,0,. ..),<?2 = @, 1,0,...),... ,е„ = @, ..., 0, 1, 0, ...),...
2.4.4.2. Матрицы и определители.
2.4.4.2.1. Понятие матрицы. Если тп
выражений расставлены в прямоугольной таблице
из т строк и п столбцов:
"яп а12 ... aL
«21 «22 ••• «2

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
157
то говорят о матрице размера т х л, или
сокращенно об т х л-матрице; выражения aik называются
элементами матрицы. Положение элемента в
таблице характеризуется двойным индексом; первый
индекс означает номер строки, второй - номер
столбца, на пересечении которых стоит элемент
(нумерация строк производится сверху вниз, а
столбцов - слева направо). Элементами матрицы,
как правило, являются числа, но иногда и другие
математические объекты, например, векторы,
многочлены, дифференциалы и даже матрицы.
Матрица обозначается следующими способами:
«и •
«mi ¦¦¦ атн/
«mi ... ««п
а также || aik || или (а1к).
Матрица размера л х п называется
квадратной матрицей порядка п. Квадратная матрица || aik \\
порядка л называется:
верхней треугольной матрицей, если aik = О
для всех i > к;
нижней треугольной матрицей, если aik = О
для всех i <к;
диагональной матрицей, если aik — О для всех
единичной матрицей, если
ГО при i Ф к,
при i = к.
«/* = oi
ГО
ik = <
(.1
Элементы аи, т. е. элементы, стоящие в таблице
на диагонали квадрата, проходящей из левого
верхнего угла в правый нижний, — на главной диагонали
матрицы, - называются главными диагональными
элементами или просто диагональными
элементами; элементы aitn-i+1 0 = 1, ..., л), т.е.
элементы, стоящие на диагонали, которая проходит
из правого верхнего угла в левый нижний
(побочная диагональ матрицы), иногда называются
побочными диагональными элементами. В случае
т х «-матриц элементы пц (i = 1, ..., min (m, n))
также называют главными диагональными
элементами или просто диагональными элементами.
Сумма главных диагональных элементов
называется следом (Spur, Trace) матрицы и
обозначается SpA или Тг А.
Матрица размером 1 х л, состоящая из одной
строки, называется матрицей-строкой; аналогично
говорят о матрице-столбце, если речь идет о
матрице размера т х 1; т х л-матрица, все элементы
которой равны нулю, называется нулевой т х л-
матрицей и обозначается О. Каждая таблица вида
%кг %кг
%кх %кг
%К
1 < i'i < i*2 < • • • < ir < w; 1 < кх < к2 < ... < ks < п,
которая получается из т х «-матрицы || aik ||
вычеркиванием части строк и столбцов, называется
подматрицей матрицы || aik \\. По определению
матрица || aik \\ сама должна быть причислена к
своим подматрицам. Если элементы строк матрицы
А — II aik II расставлены в столбцы (при этом
одновременно элементы столбцов расставляются
в строки), то полученная матрица называется
транспонированной к Л и обозначается АТ = || aj ||,
если ajk = aki.
2.4.4.2 J. Определитель квадратной
матрицы. Каждой квадратной матрице А ~
= || aik || порядка п с действительными или
комплексными элементами можно однозначно
поставить в соответствие действительное или
комплексное число D, которое называется определителем
матрицы А:
D = det A = det
а12 ... ah
«21 «22
«11 «12 ••• «1и
«21 «22 ••• «2я
«п2
«ия
¦Z(-DZin)aua2i2...anin
причем сумма должна быть распространена на все
подстановки тг набора чисел 1, 2, ..., «. Таким
образом^ из элементов матрицы А сначала
составляют все возможные произведения
из п сомножителей каждое, содержащие по одному
элементу из каждой строки и по одному из каждого
столбца. Знак (-l)z(n) определяется числом
Z (я) — числом инверсий подстановки
Mi h ... U
(см. 2.2.4). Полученные и! слагаемых и
составляют в сумме det A.
Определитель обозначается также Л и | aik |.
Если D =* | aik | — определитель порядка п, то
минором Mik элемента aik называют
определитель порядка п - 1, получающийся из D
«вычеркиванием» 1-й строки и к-ro столбца. Под
алгебраическим дополнением Aik элемента aik понимают
минор Mtk, домноженный на (-l)i+*:
«11 «12-"«l,fc-l «1,*+1 -.«In
«21 «22"«2.k-l «2,fc+l "«2и
= (-!)<¦»
Примеры.
2)
«22 «23
«31 «32 «33
" «13«22«31 — «11«23«32 — «12«21«33
«и1 «и2 •.•«*,*-! «пД+1 •
'И «12
= «П«22 - «12«21-
«11«22«33 + «12«23«31 + «13«21«32 ~

158
АЛГЕБРА
С в о и с i в а определителей. Если рас-
смагривать строки определи 1еля D порядка и
как векторы zb z2, . , zn, го свойства определителя
D(zu z2, ..., zn) с вектор-строками zx удобно
сформулировать так:
1) Перестановка строк может изменять лишь
знак определителя D.
D(zu . , z,-, .. , zk, . . , zn) =
- -D(zb . ., zk, .., z,, . ., zj;
в общем случае
D(zb z2, .. , ги) = (--l)ZGt)D(znA), zKB)> , zn(n)),
1де я — подс1ановка чисел 1,2, ., п. a Z (к) — число
ее инверсий.
2) Общий для всех элементов строки множитель
можно выносить за знак определителя:
D (zb z2, .. , azk, ..., zn) = olD (zb z2, ..., zk, ..., zn).
3) При сложении двух определителей,
различающихся только одной строкой, соответствующие
элементы этой строки складываются:
D(zb z2, ..., zk, ..., zn) + D(zu z2, ..., zk, ..., zn) =
= D(z,, z2, .. , zfc + zfc, . ., гД
4) Прибавление кратного А.-Й строки к i-й строке
не изменяет значения определителя D(i#/c):
D(zb z2, ..., zh ..., zk, ..., zw) =
= Z)(zb z2, ..., z.-fotZfc, ..., zk, ..., zB).
5) D(zb z2, ..., zn) = 0 тогда и только тогда,
когда {zj, z2, .., zn} есть линейно зависимое
множество векторов. В частности, D — 0, если одна
строка D состоит из нулей или если две строки D
равны или пропорциональны друг другу.
6) Определитель не изменит своего значения,
если поменять в нем местами строки и столбцы,
г. е. транспонировать определитель Поэтому все
свойства, сформулированные для строк, верны
и для столбцов
Теорема разложения. Если D — | aik | —
определитель /1-го порядка, то
D = Z aikAik - Z akiAkh I < k ^ л,
т. е. сумма произведений всех элементов какой-
либо строки (или столбца) на соответствующие
им алгебраические дополнения равна значению
определителя. Сумма произведений всех элементов
какой-либо строки (или столбца) на ал1ебраические
дополнения соответствующих элементов другой
строки (или другого столбца) равна нулю:
X akiAti = X aikAu = 0, k # /.
i = 1 j = 1
Суммируя сказанное, получаем
(D, если k = I,
диагональных элемешов».
°kiAli = Z °ikAU =
0, если k Ф I
Вычисление определителей. Значение
определи геля 2-го порядка вычислявкя по
мнемоническому правилу «произведение главных
диагональных элементов минус произведение побочных
Для нахождения значения определителя 3-ю
порядка также можно указать мнемоническое
правило, так называемое правило Саррюса: приписать
к определителю справа два первых столбца,
не меняя их порядка, и составив сумму
произведений элементов главной диагонали и
элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть
сумму произведений элементов побочной
диагонали и элементов, параллельных ей.
€Ц 1 СНг & з
0>2\ &Ч2 Ф&
Определители более высоких порядков тоже
можно вычислять по определению, однако это
требует больших усилий. Чаще поступают
следующим образом: определитель л-ro порядка
сводят к определителям (п — 1)-го порядка,
последнее — к определителям (п — 2)-го порядка и т. д.
до тех пор, пока не получат определители 3-го
или 2-го порядка. В основе этого принципа
«постепенного понижения порядка» лежит теорема
разложения: определитель л-го порядка D
записывается в виде суммы определителей порядка
л — 1 («раскладывается по элементам i-й строки
или /с-го столбца»); к каждому из этих
определителей порядка л — 1 вновь может быть применена
теорема разложения. Если все элементы i-й строки
определителя Д кроме одного, равны нулю, то
сумма, полученная после применения теоремы
разложения, содержит не более одного отличного от
нуля слагаемого. Таким образом, вычисления
существенно упростятся, если перед разложением
определителя по элементам /-й строки как
можно большее их число будег превращено в нули
Это становится возможным благодаря
применению свойств определителей (особенно свойства 4)).
Пример.
2 9 9 4
2 -3 12 8
4 8 3-5
12 6 4
2 4 9 4
2 -7 12 8
4 0 3-5
10 6 4
(свойство 4))
2
4
1
4
1
2
8
-5
4
-7
2
4
1
3
1
2
4
-5
4
+ 0
= 0-21
(теорема
2
4
1
3 4
1 С
2 4
разложения)
= J-21
1
4
1
1
1
2
0
-5
4
(свойство 5)) (свойство 4))
Г 1 -51 4 -51]
-2W - = -21 {D+10)-A6 + 5)} -+147
(.2 4| 1 4IJ
(теорема разложения)

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
159
Вычисление определителя оказывается еще более
удобным, если, применяя свойства 1)- 5), его можно
преобразовать4 так, чтобы все элементы, стоящие
слева и ниже главной диагонали а1Ь Д22>--->яПл>
были равны нулю. Как легко понять на
основании теоремы разложения, значение определителя
получается тогда просто как произведение членов,
стоящих на главной диагонали.
2.4.4.2.3. Ранг матрицы. Квадратная
матрица называется невырожденной (неособенной) или
вырожденной (особенной) в зависимости от того,
отличен ее определитель от нуля или равен нулю.
Матрица А Ф О (см. О в 2.4.4.2.1) имеет
ранг rang (A) = р, если А имеет по меньшей мере
одну невырожденную (неособенную) подматрицу
порядка р, а все квадратные подматрицы А
более высоких порядков вырождены (особенные).
Если дополнительно положить rang(O) = 0, то
каждой матрице будет сопоставлено одно
неотрицательное целое число - ранг матрицы.
Пример.
rang
Г 1 -2 -3 <Л
2 3 8 7_:
L-. I i-ij
так как подматрица 2-го порядка L 3 невырождена, а
вое подматрицы 3-го порядка вырождены.
Теоремы о ранге. Если рассматривать
строки (или столбцы) матрицы А как векторы
гъ z2, ..., гт (или $ь s2, ..., sj, то теоремы о ранге
матрицы А с вектор-строками z, удобно
формулировать так:
1. Если rang A = р, то существует линейно
независимое множество из р вектор-строк матрицы А,
в то время как все множества из а вектор-
строк (а > р) матрицы А линейно зависимы. Иначе
говоря, ранг матрицы А равен максимальному
числу линейно независимых вектор-строк
матрицы А.
2. Ранг матрицы А не изменяется при
следующих преобразованиях:
а) при перемене местами двух строк;
б) при умножении одной строки на число
с^О;
в) при сложении любого кратного одной строки
с другой строкой;
г) при транспонировании А.
Так как rang A = rang (A ), то теоремы,
указанные выше для строк, справедливы и для
столбцов.
Вычисление ранга. Нахождение ранга
матрицы А = || aik \\ Ф О сводится к тому, чтобы
при помощи теоремы 2 матрицу А перевести в
трапециевидную матрицу А' того же ранга:
А'=
О 022-¦• flip «2.P+1 •••«2и
то о ...о о ...о
р столбцов п—рстолбцов
р строк
т — р строк
в которой: а) все элементы, стоящие ниже главной
диагонали, равны нулю; б) либо все элементы
последних т — р строк обращаются в нуль, либо
т = р; в) все элементы главной диагонали а'ц,
^22» •••> flpp ОТЛИЧНЫ ОТ НуЛЯ.
Если применить определение ранга к матрице
А', то получим непосредственно, что rang (Л') = р
(т. е. ранг матрицы А' равен числу главных
диагональных элементов, отличных от нуля), и
тогда rang (Л) = rang (Л') = р.
Чтобы преобразовать матрицу А ф О в
трапециевидную матрицу А' равного ранга, поступают
следующим образом:
1) Так как не все элементы А равны нулю,
то перестановкой строк и столбцов можно
добиться того, чтобы первый диагональный
элемент был отличен от нуля (а\ i ф 0).
2) Сложением первой строки, умноженной на
соответствующий множитель, с другими строками
всегда можно добиться, чтобы все элементы
первого столбца, стоящие ниже а'ц, были равны нулю.
3) Теперь или уже получена желаемая форма
матрицы, или в строках со 2-й по т-ю имеется
по крайней мере один ненулевой элемент, который
при помощи перестановки строк и столбцов может
быть поставлен на второе место в главной
диагонали. Тогда снова выполняем операции этапа
2) применительно ко 2-й строке и получаем, что
все элементы 2-го столбца, стоящие ниже 2-го
главного диагонального элемента, равны нулю
и т. д., пока через конечное число шагов не
получим трапециевидную матрицу.
Этот, метод называется алгоритмом Гаусса.
Пример.
rang
Г 1-2-3 о"|
2 3 8 7 =
L-i I i-ij
[1 -2 -3 0~1 П -2 -Зо1
О 7 14 7 I = rang I О 1 2 1 1 =
О -1 -2 -1J [_0 0 00 J
= rang
Для матриц с большими по величине
элементами можно использовать теорему 26), чтобы
получить матрицу равного ранга с элементами,
меньшими по величине.
2.4.4.2.4. Элементарная алгебра
матриц. Равенство матриц. Две матрицы
А = II я*-* II размера г х s и В = || bik || размера
р х а называют равными, если они имеют
одинаковый размер и все элементы, стоящие на одних
и тех же местах, равны между собой, т. е. если
г = р, s = о и aik = hik при всех i и к. Тогда
пишут А = В.
Сумма матриц одинакового разме-
р а. Сумма А + В двух матриц одинакового
размера А = || aik || и В = || bik || есть матрица
С = II cik || того же размера с элементами
Cik = ciik + bik при всех i и к. Таким образом,
сложение матриц одинакового размера происходит
поэлементно.
Умножение матрицы на
действительное число. Произведение матрицы
А = || aik || на действительное (комплексное) число X
есть матрица ХА = \\ Xaik \\, т. е. умножение матрицы

160
АЛГЕБРА
на действительное (комплексное) число происходит
поэлементно.
Свойства сложения и умножения
на числа.
1. Сложение матриц одинакового размера
ассоциативно, коммутативно и обратимо.
Уравнение А + X = В с матрицами одинакового
размера А = || aik || и В = || bik || имеет в качестве
единственного решения X = В — А = || bik — aik || —
разность матриц В и А.
2. Среди матриц одинаковою размера имеется
одна нейтралййая по отношению к сложению
матрица — ну.Щвая матрица» О, все элементы
которой равны нулю.
3. Для каждой матрицы А = || aik || существует
(и притом единственная) матрица, обратная по
отношению к сложению, так называемая
противоположная для А матрица — А = || —aik\\. В
соответствии с определением разности получаем
О-А = -А. Далее, имеем В-\-{-А) = В-А и
~(-А) = А.
4. Умножение матрицы А на действительные
(комплексные) числа X, \i подчиняется правилам:
(k\i)A = Цц/4), \-А = А. Далее, О А = О, X 0 = 0
и (-l)-A = -A.
5. Сложение и умножение на числа связаны
дистрибутивными законами; для матриц А и В
одинакового размера и произвольных
действительных (комплексных) чисел X, ц
(X + \i)A = ХА + \хА, Х{А + В) = ХА + ХВ.
Свойства 1 — 5, взятые вместе, показывают, что
множество всех матриц одинакового размера
образует действительное (комплексное) векторное
пространство (см. 2.4.4.1).
Умножение сцепленных матриц.
Матрицы А — || aik \\ размера т х п и В = \\ bik \\
размера г х s называются сцепленными, если
п = г, т.е. число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй матрицы. При этом матрицы
В и А могут оказаться не сцепленными,
если s ф т.
Произведение АВ двух сцепленных матриц А
и В есть матрица С = (cik) размера т х s, где
Q* = Z aijbjk> T- е- элемент, стоящий в i-й строке
и /с-м столбце матрицы произведения, получается
в виде скалярного произведения /-й вектор-строки
матрицы А на /с-м вектор-столбец матрицы В.
-3
1 4 2 I
_-3 6-5J bs ?J
Свойства умножения матриц.
1. Умножение сцепленных матриц
ассоциативно.
2. Умножение матриц, вообще говоря,
некоммутативно. Так, в приведенном примере
произведение В А не определено, так как матрицы В и А
не сцеплены. Если даже существуют оба
произведения АВ и В А, то они могут отличаться
друг от друга.
3. Существуют делители нуля, т. е. А Ф О,
В Ф О, произведение А В которых есть нулевая
2
-1
16
8
2
3
8
0
2
-5
24
16
I ГО 0 01
"LoooJ-
j
матрица; например,
Г5 2-2
L9 2 -3
Следовательно, из того, что АВ = О, А Ф О,
нельзя сделать заключение, что В — О, и аналогично
из АВ — АС, А ф О, в общем случае не следует,
что В = С.
4. Существует одна мафица, нейтральная по
отношению к умножению, —квадратная единичная
матрица п-го порядка Еп. Тогда для любой
матрицы А размера т х п
АЕ„ = ЕтА = А.
5. Сложение и умножение матриц связаны
дистрибутивными законами: еспи А и В имеют
одинаковый размер и сцеплены с С, то
(А + В) С = АС + ВС; если С сцеплена с матрицами
А и В одинакового размера, то С(А + В) =
= С А + СВ
На множестве квадратных матриц порядка п
всегда выполнимы как сложение, так и
умножение, так как каждые две п х «-матрицы имеют
одинаковый размер и сцеплены. По отношению к
сложению и умножению это множество образует
кольцо матриц.
6. Для квадратных матриц А и В равных
размеров det{AB) — det A det В
1. Если А и В — сцепленные матрицы, то для
транспонированных матриц (ср. 2.4.4.2.1) выполнено
равенство (АВI = ВГАТ.
Нахождение обратной матрицы.
Если задаться вопросом о существовании
матрицы А, обратной для квадратной матрицы. А
порядка п по отношению к умножению, т. е. такой,
что АА~х — Еп, то вследствие свойства 6
невырожденность матрицы А является необходимым
условием существования обратной матрицы, так как
в случае вырожденности А было бы dQt(AA~x) =
= det A ¦ det A " i = 0 ф 1 = det ?„.
Если А — матрица п-ю порядка, то ее
невырожденность есть необходимое и достаточное условие
существования матрицы А~х такой, что АА"Х = Еп
При этих условиях матрица А "\ обратная для А,
определена однозначно. Кроме того, А~1А = Еп.
Далее, для п х м-матриц 4 и В справедливы
формулы
(АВI =В'А\ (А~1У1 =А.
Вычисление обратной матрицы.
1-й способ Метод неопределенных
коэффициентов в применении к АХ — Еп приводит к п
линейным системам п уравнений с п неизвестными
каждая (см. 2.4.4.3.3). Решение каждой из этих
п систем уравнений дает столбец искомой матрицы
X = А *.
2-й способ.
~ det A
где Aik — алгебраическое дополнение элемсша alk
матрицы А То, что эта матрица удовлетворяет

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
161
уравнению АХ = Е„, легко установить, вычисляя
матрицу АА~1 при помощи теоремы разложения.
Пример.
[32 Л1 Г -2 -5 Л
Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение с неизвестной матрицей X,
которое приводится к виду АХ = В или ХА = В,
может быть решено методом неопределенных
коэффициентов. Использование этого метода
приводит к решению систем линейных уравнений
для столбцов или строк искомой матрицы X
(см. 2.4.4.3). Для уравнения АХ = В возможны
следующие основные случаи.
1. Уравнение не имеет решения: матрица А
имеет размер т х и, матрица В имеет размер
г х s и тф г, а также т = г, но rang (A) <
2. Уравнение имеет бесконечное множество
решений: матрица А имеет размер т х и, матрица В
имеет размер т х s и rang (A) = rang (А | В) < п *).
3. Уравнение имеет единственное решение:
матрица А имеет размер т х и, матрица В
имеет размер т х s и rang (A) = rang (Л | В) = и;
в частности, если А и В — квадратные матрицы
n-го порядка и А - невырожденная матрица;
в этом случае уравнение ЛХ = В имеет
единственное решение X = А~1В.
2.4.4.2.5. Специальные классы матриц.
Квадратная матрица А называется:
симметрической, если АТ = А;
кососимметрической, если А = — А;
ортогональной, если Л не вырождена и АТ = А~1.
Пусть А - квадратная матрица с комплексными
элементами; А — матрица, комплексно
сопряженная к А, т. е. получаемая из матрицы А
заменой ее элементов на комплексно сопряженные.
Матрица А называется:
эрмитовой, если АТ = А;
косоэрмитовой, если А = —А;
унитарной, если А не вырождена и АТ ' = А~1.
матрица,
Г2131
«мер. 10 5
I 3 5-4J
[¦"
L-3 5 Oj
симметрическая
кососимметрическая матрица,
| - ортогональная матрица.
матриц специальных
[cos <p sin <р~|
-sincpcoscpj
Свойства
классов.
1. Для каждой матрицы А матрицы ААТ и
АТА являются симметрическими.
2. Любую квадратную матрицу А можно
разложить в сумму симметрической и кососиммет-
рической матриц:
А = у(
АТ) + у (Л - Ат).
3. Если матрицы А и В ортогональны, то
ортогональны также матрицы АВ и А~К
4. Квадратная матрица А ортогональна тогда и
только тогда, когда вектор-строки (или вектор-
столбцы) матрицы А образуют ортонормирован-
ную систему.
5. Для ортогональной матрицы dot A = +1.
6. Любая ортогональная матрица 2-го порядка
имеет вид
[cos ф sin ф ~|
— е sin ф б cos cpj'
где е = ± 1 и ф е [0,2л) — некоторый угол.
2.4.4.3. Системы линейных уравнений.
2.4.4.3.1. Понятие системы линейных
уравнений. Система m линейных уравнений с
п неизвестными хь х2,...,хп (см. 2.4.2.3)
... + а2пх„ = Ъ2,
называется системой линейных уравнений или,
точнее, m х п-системой линейных уравнений', а,* —
коэффициенты, Ь, — свободные члены системы. Если
все hi = 0, то мы имеем однородную систему
линейных уравнений, в противном случае говорят
о неоднородной системе линейных уравнений.
n-последовательность чисел (с i, с2,..., сп) называется
решением т х n-системы линейных уравнений, если
ее элементы, подставленные в заданном порядке
вместо неизвестных, удовлетворяют каждому из т
уравнений и принадлежат заданной области
изменения. (Если нет специальных оговорок, то
область изменения всех неизвестных — множество
действительных чисел.) Совокупность всех
решений системы называется множеством решений.
Две системы линейных уравнений называются
эквивалентными, если они имеют одинаковые
множества решений.
2.4.4.3.2. Решения системы линейных
уравнений. Однородные системы линейных
уравнений всегда разрешимы, так как и-последо-
вательность @, 0,...,0) удовлетворяет всем
уравнениям системы. Решение @, 0,...,0) называют
тривиальным решением. Вопрос о решениях
однородной системы линейных уравнений
сводится к вопросу о том, существуют ли, кроме
тривиального, другие, нетривиальные решения
или нет.
Например, однородная 2 х 3-система линейных
уравнений
2xj + х2 - х3 = 0, х2 + х3 = О
имеет множество решений L - {k(l, - 1, 1)}; X. -
произвольное действительное число; иначе говоря, хг = Хи
Хг = — К х3 — X при любом действительном X является
решением системы. Напротив, однородная 2 х 2-система
уравнений
2хх + х2 = 0, xt - х2 = О
имеет только тривиальное решение: L = {@, 0)}.
Среди неоднородных систем линейных уравнений
существуют неразрешимые системы; например,
*) Матрица (А | В) получается путем правостороннего
присоединения матрицы В к матрице А.
xi + 2х2
х, + 2х2 = 2.
6 И. Н Бронштейн, К. А. Семендяев

162
АЛГЕБРА
Система линейных уравнений
5х! + х2 = 2,
Xi - 2х2 = 7
имеет единственное решение Х{ = 1,х2 = — 3,mraL = {A, —3)}.
Напротив, система уравнений
2хх +х2-х3= -5,
разрешима неоднозначно; при любом действительном X
значения хх = — 2 + X, х2 = — X, х3 = 1 + X дают решение
системы:
шений и получить затем решения системы в виде
линейных комбинаций этих п — р линейно
независимых решений.
2. Множество решений Lm x «-системы
линейных уравнений Ах = Ь состоит из всех
упорядоченных n-последовательностей вида х0 + х*, причем
х0 —"некоторое частное решение данной системы,
а х* пробегает значения всех решений
соответствующей однородной системы Ах = 0:
L={(-2, 0,
Теория систем линейных уравнений может быть
наглядно и просто описана при чомощи матриц:
«11 «12 ••• «1я
«21 «22 ---«гг.
_ «ml «m2 ••• «mn J
x2
Систему линейных уравнений
«11*1 + «12*2 + ... +
+ «22*2 + • • • +
{х0 4- х*, где х0 - постоянный вектор такой,
что Ах0 = Ь, а Ах* = <
«ml*l + «т2*2 + . . . + «тлХи = Ьт
можно записать в виде Ах = Ъ.
Характер множества .решений этой системы
зависит теперь только от rang (Л) (ранга матрицы
коэффициентов А системы) и от rang {А | Ъ)
(ранга так называемой расширенной матрицы
коэффициентов (А \ Ь)).
о.}
(Для иллюстрации этой теоремы следует
рассмотреть первый и последний из приведенных
выше примеров.)
2.4.4.3.3. Способы решения линейных
уравнений.
Алгоритм Гаусса. Нахождение множества
решений системы линейных уравнений основывается
на том, что от заданной системы при помощи
эквивалентных преобразований переходят к системе,
которая решается «проще», чем исходная система,
и эквивалентна заданной. Эквивалентными
преобразованиями системы линейных уравнений
являются :
1) перемена местами двух уравнений в системе;
2) умножение какого-либо уравнения системы на
действительное число с Ф 0;
3) прибавление к одному уравнению другого
уравнения, умноженного на произвольное число.
Эти эквивалентные преобразования системы
линейных уравнений Ах = Ъ вызывают в матрице
коэффициентов Лив расширенной матрице
коэффициентов (А \ В) только преобразования,
сохраняющие ранг, а именно приводят к
перестановке строк, умножению строки на число,
отличное от нуля, и прибавлению к одной строке
другой, умноженной на произвольное число.
Справедливо также обратное: если преобразовать
Ранг
1. rang (A\ Ь) Ф rang (A)
2. rang (А | b) = rang (А) = р
а) р = л
б) р < п
Ах = Ъ (т уравнений,
п неизвестных)
система неразрешима
система разрешима
решение единственно
решение не единственно
Частный случай Ь = 0,
(однородная система Ах=0)
этот случай не может иметь места при
Ь = 0, т. е. однородная система
разрешима всегда
система имеет только тривиальное
решение
система имеет нетривиальные решения
Структуру множества решений описывает
следующая теорема.
1. Множество решений L однородной т х п-
системы линейных уравнений Ах = 0 есть
векторное подпространство векторного пространства
упорядоченных ^-последовательностей
действительных чисел, т. е. любая линейная комбинация
решений системы вновь есть решение системы.
Если rang (A) = р, то
dim L = п — р.
В случае р < п можно выбрать п — р
неизвестных, построить п — р линейно независимых ре-
матрицы А и (Л j Ь) в матрицы А' и (А' \ Ь')
соответственно равных рангов, применяя к строкам
допустимые преобразования строк (см. 2.4.4.2.3),
сохраняющие ранг, то системы
Ах = Ъ и А'х = Ъ'
будут эквивалентными. Алгоритм Гаусса состоит
в том, чтобы получить матрицы А' и (А' \ Ь')
трапециевидной формы.
В случае, если исходная система Ах = Ь
разрешима (пусть rang (A) - rang (A \ b) = р),
вследствие трапециевидности матриц А' и {А' \ Ь')
эквивалентная система А'х = Ь' может быть записана

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
163
в виде
а'цхг + а\2х2 + ... + я'1рхр =
= Ь\ - a'i,p+
а'ггХг + ... + а2рхр = Ь'2 — а'2, р+ i
i - ... - а\пхп,
- ... - а2пхи,
р = Ь'р - ар>р
-...- арихи.
Эту систему называют треугольной системой.
Так как rang A = rang (A | Ь) = р, то множество
решений есть (и - р)-мерное многообразие;
следовательно, п — р неизвестных хр+1,...,х„ можно
выбрать произвольно: хр+1 = А,ь хр + 2 = А,2, ...,х„ =
= ХИ-Р; остальные неизвестные хь х2,...,хр
получаются из треугольной системы последовательно
как функции параметров X,:
Если для получения трапециевидных матриц
А' или {А'\Ь') требуется еще перестановка
столбцов, то этого достигают перенумерацией
неизвестных в системе уравнений Ах = Ь.
Примеры. 1) Xj — 4х2 + 2х3 =—1,
2xj - Зх2 - х3 - 5х4 = -7,
3xi - 7х2 + хэ-5х4=-8.
Здесь
rang
П -4 2 0 -1~|
2-3-1-5-7 =
[j -7 1 -5 -8J
= rang
1-4 2 0-1
0 5-5-5 -5
0 5 -5 -5 -5 _
1 -4 2 0 -1 ~|
0 1-1-1-1
_ о о о о о J
Из этого заключаем:
а) rang (Л) = rang (A \ b), т. е. система разрешима;
б) решение неоднозначно: 4 — 2 = 2 неизвестных могут
быть выбраны произвольно;
в) треугольная система имеет вид
xi - 4х2 = -1 -2х3, х2 * -1 + х3 + х4.
Если положить х3 = Я.1, х4 = Х2, то получим
х2 = -1 + Xi + Х2, xi = -5 + 2X.i + 4Х2» т. е. множество
решений L={(-5, -1, 0, 0) + М2, 1, 1, 0) + Х2D, 1, 0, 1); Я*
/=1,2- произвольные действительные числа}. Тогда
соответствующая однородная система Ах = 0 имеет, очевидно,
множество решений L={XlB, 1, 1, 0) + Х2D, 1, 0, 1); Х(-
произвольные действительные числа}.
2) 2х, + Зх2 - х3 = 2,
7хх + 4х2 + 2х3 » 8,
3xj - 2х2 + 4х2 = 5.
Тогда
rang
-12 3 2
2 7 4 8
4 3-25
= rang
(Здесь произведена перестановка трех первых столбцов.)
Отсюда заключаем: rang (A) = 2, rang (A | b) = ^следовательно,
система неразрешима: L = 0.
3) *i - х2 + х3 = 12,
2xj + Зх2 — х3 = 13,
Зх2 + 4х3 = 5,
— Зхх + х2 + 4х3 = —20.
Здесь
rang =
* 1 -1 1 12 Г1 -1 1 12 Т
2 3 -1 13 I I 0 5 -3 -11 I
I = rang I I =
034 5 1034 5|
_-3 1 4 -2<J Lo -2 7 16 J
1
0
0
0
-1
-2
0
0
1
7
29
0
12-1
16
58
0
= rang
1
0
0
0
-1
-2
0
0
1
7
1
0
12 -
16
2
0
= rang
Отсюда заключаем:
а) rang (Л) = rang (/4 | Ь).= 3, т. е. система уравнений
разрешима;
б) решение единственно;
в) треугольная система имеет вид
хх - х2 + х3 = 12,
- 2х2 + 7х3 - 16,
откуда найдем L = {(9, -1, 2)}. Соответствующая
однородная система Ах — 0 имеет только тривиальное решение.
Правило Крамера. Если мы имеем частный
случай и х л-системы линейных уравнений Ах = Ь
такой, что rang (A) =? rang {А | Ь) = и, то вследствие
невырожденности А единственное решение х можно
представить в виде х = А~гЬ. Воспользовавшись
формулами для обратной матрицы из 2.4.4.2.4,
получим
in A2l ... А„Г
*12 ^22 .-. Лп2
х2
1
ь2
^Ain A2n ... А,
где Aik — алгебраическое дополнение элемента aik
матрицы А. Тогда /-я координата х, находится
по формуле
1 '2 + ... + 4А.) =
Ли
«21
... Ьх .
... ь2 .
... ьп .
..аи
¦ апп
1 ... I ... И
где о*феделитель Dh стоящий в числителе,
получается из D = det А заменой i-го столбца на
столбец Ь. Следовательно, для и х и-системы
линейных уравнений Ах = Ъ такой, что D = det А Ф 0,
получим единственное решение х = (хь х2,...,хя) ,
где х,- = Dt/D (i = 1, 2,...,п).
Пример. 2х! + х2 + 3х3 = 9,
хх-2х2-1- хэ= -2,
Зх! + 2х2 + 2х3 = 7.
Здесь
2 1 3
1 -2 1
3 2 2
13,
9 1 3
-2 -2 1
7 2 2
= -13,
6*

164
АЛГЕБРА
2 9 3
1 -2 1
7 2
= 26,
2 1 9
1 -2 -2
3 2 7
с линейной оболочкой У? (фМ) образа множества М:
() (
= 39,
26_.
13"
13
2.4.4.4. Линейные преобразования.
2.4.4.4.1. Основные понятия.
2.4.4.4.1.1. Понятие линейного
преобразования. Пусть V и V - действительные
векторные пространства. Однозначное отображение
Ф пространства V в пространство V называется
линейным преобразованием V в V\ если
выполняются условия:
1) ф(х + у) = ф(х) + <р(у) для любых х, yeV;
2) ф (X, • х) = X • ф (х) для любого х е V и всех
действительных А..
(При этом операции в V могут быть
определены иначе, чем в V, хотя из соображений
простоты они обозначаются теми же знаками
« + » и «•».)
Если V=V, то ф: V-+V называют также
линейным оператором в V или линейным
преобразованием пространства V.
Если х' = фх, то х' называется образом
(изображением) х при отображении ф, х -
прообразом (или оригиналом) х' при преобразовании
Ф, а множество {хе V\ фх = х'} называется полным
прообразом (или полным оригиналом) элемента х'
при преобразовании ф. Если М есть
подмножество из К, то фМ = {х'еК'|х'= ф(х), хеМ}
называют множеством образов элементов из М
(образом множества М) мри преобразовании ф.
Если М' - подмножество \м V, то М = {хе F| фхе
еМ'} называе1ся полным прообразом множества
М' при преобразовании ф.
Примеры. 1) Преобразование q>i: R3 -> R2 такое, что
ф1 (хь х2, хз) = (xi, х2), линейно.
2) Преобразование ф2 пространства R" в векторное
пространство многочленов не выше (п — 1)-й степени такое,
что Ф2(хь х2 х„) = xt + x2t + x3t2 + ... + xHt*~l, линейно.
-3) Преобразование ф3 векторного пространства С00
бесконечно дифференцируемых функций в себя такое, что
Фз/ = /' для всех /еС°°, линейно: ф3 есть линейный
оператор в С00.
4) Преобразование ф4: V-*V такое, что ф4х = О' для
любого xeV (С есть нулевой вектор из К'), линейно;
его называют нулевым преобразованием.
5) Преобразование ф5: R3 -*¦ R2 такое, что ф5 (хь х2, х3) =
= (хь 1), не является линейным, так как
= (х, + у„ 2) Ф (х, + уи 1) - Ф5 [(хь х2, х3) + (уь у2, уз)]-
2.4.4.4.1.2. Свойства линейных
преобразований. Для каждого линейного
преобразования ф: V-+V имеем:
1. Образ нулевого вектора 0 пространства V
всегда является нулевым вектором 0' в V:
фО = О'.
2. Линейная комбинация элементов из К всегда
преобразуется в линейную комбинацию
соответствующих элементов из V с теми же
коэффициентами. Поэтому для каждого подмножества
М ^V образ линейной оболочки S? (M) совпадает
Если, в частности, В является базисом V, то
фК= ф^(В) = ^?(фВ). Отсюда следует, что
линейное преобразование ф: V-+ V однозначно
определено уже множеством образов фВ базиса В.
3. Если S — линейно зависимое множество
векторов из V, то (pS — также линейно зависимое
множество векторов пространства V. С другой
стороны, линейно независимые множества
посредством преобразования ф могут перейти в линейно
зависимые множества. Поэтому образ базиса В
пространства Vb общем случае — лишь
порождающая система пространства фК.
4. Если U - векторное подпространство из V,
то фС/ есть векторное подпространство из V.
Если V конечномерно, то размерность dim фК
пространства образов ф V называют рангом
линейного преобразования ф: гаг^ф = сНтфК.
5. Если U' - векторное подпространство
пространства фИи U - полный прообраз U' по
отношению к ф, то U является векторным
подпространством в К
Свойства 3 — 5 означают, что линейное
преобразование сохраняет свойство линейной
зависимости, а свойство быть подпространством
сохраняется как у образов, так и у прообразов.
В частности, вследствие свойства 5 множество
К9 всех тех векторов из V, образом которых при
преобразовании ф является нулевой вектор из V,
образует векторное подпространство пространства
V, называемое ядром Kv линейного
преобразования ф: Кегф = К^ где К9 = {хе V: фх = О'}.
Если Ку конечномерно, то его размерность
называют дефектом линейного преобразования ф:
Defekt ф = dim Kv. Если ф: V -> V и V —
конечномерное векторное пространство, то
rang ф + Defekt ф = dim V.
Примеры. Для примеров 1)-4) линейных
преобразований имеем (см. 2.4.4.4.1.1):
Кф1 = {@, 0, х3); х3 - любое действительное число);
Defekt Ф1 = 1; rang фх = 2.
*ф2 = {@. 0. •••¦ 0)}; Defekt ф2 = 0; гап8ф2 - п.
*Фз = U'-f = с01*1}' Dekkt Фз - 1; rang ф3 не определен
(так как С00 бесконечномерно).
Кф4 = V; если V конечномерно, то Defekt ф4 - dim V;
rang ф4 = 0.
Ядро линейного преобразования позволяет
ввести разбиение пространства V на классы
элементов, имеющих одинаковые образы: два
элемента из V принадлежат ^-одному и тому же
классу, т. е. имеют один и тот же образ при
преобразовании ф, тогда и только тогда, когда их
разность принадлежит ядру ф.
2.4.4.4.1.3. Взаимно однозначные
линейные преобразования. Линейное
преобразование ф: V-*V называется взаимно
однозначным,, если из фх = ц>у следует х = у. Взаимно
однозначный линейный оператор из К в К
называется также невырожденным оператором в
пространстве V; остальные операторы называются
вырожденными операторами.
В соответствии с этим из приведенных примеров
линейных преобразований взаимно однозначным является
лишь ф2; ф, таковым, например, не является, так как
Ф. A, 1, 1)-ф1 A, 1, 5), хотя A, 1, 1),*A, 1, 5).

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
165
Для любого линейного преобразования (р:
V-* V следующие высказывания попарно
эквивалентны :
1) ф взаимно однозначно;
2) для каждого линейно независимого
множества S пространства V множество ф5 есть
линейно независимое множество пространства У\
3) К, = {0}.
Из 2), в частности, следует, что образ базиса
V при взаимно однозначном преобразовании ф
является базисом фК Для конечномерного
векторного пространства V и взаимно однозначного
преобразования ф имеем сйтфК=сИтК
2.4.4.4.2. Представление линейных
преобразований с помощью матриц.
Пусть V и V — конечномерные векторные
пространства, dim V = п, dim V = т, В — {аь а2, ...
..., ап] - базис К, В' = {Ьь Ь2, ..., Ъп) - базис V.
Всякое линейное преобразование ф: V-+V
образами <раь фя2, • -, фяп векторов базиса В
определено однозначно, так как каждый вектор
xeV есть линейная комбинация векторов В и
вследствие этого его образ фх есть
соответствующая линейная комбинация векторов базиса фВ.
Если записать образы уа^, ц>а2, ..., <рап векторов
В в координатах базиса В', то ф будет
определяться однозначно посредством т • п координат
векторов фя, (/ = 1, 2, ..., п) относительно В',
которые можно расставить в т х «-матрице А так,
чтобы к-й столбец матрицы А состоял из
координат вектора ц>ак относительно В'. И наоборот,
каждой т х и-матрице А по отношению к
фиксированной паре базисов (В, В') можно единственным
образом сопоставить линейное преобразование ф:
К-> V, если рассматривать столбцы А как
координаты образов векторов В относительно В'.
Итак, между множествами линейных
преобразований ф: V-*V\ где dim V = п, dim V = т,
и множеством т х «-матриц существует взаимно
однозначное соответствие при фиксированных
базисах В пространства К и В' пространства V. Если
В = {аи а2, ..., а„} и <рак = (а1к, а2Ь ..., атк)в„
то ф можно записать в виде матрицы:
А =
(Так как А зависит еще и от выбранной пары
базисов (В, В'\ то точнее было бы написать
А(В, ву)
Пример. Пусть линейное преобразование <р: R4 -¦ R3
задано образами векторов базиса В пространства R4:
ФA, -2, 0, 3) = (-9, 7, 1), <р@, 0, 1, -1) = C, -3, 3),
<рA, 0, 3, 0) = D, 0, -2), фA, -1, 1, 0) = @, 1, -1).
(Координаты относятся к каноническому базису пространства
R4 и соответственно к каноническому базису пространства
R3.) Тогда, найдя ф-образы векторов еь е2, е3, еА
канонического базиса пространства R4 и записав их координаты
относительно канонического базиса пространства R3
(ср. 2.4.4.1.4), получим матрицу А, описывающую
преобразование ф по отношению к паре канонических базисов. Для
этого выразим е( в виде линейных комбинаций векторов
заданного базиса В и найдем уе( в виде соответствующих
линейных комбинаций заданных векторов фВ. Записав
координаты векторов (ре, относительно канонического базиса,
окончательно получим
А =
3 -2
«11
_ «ml
«12 ..-
«22 .-.
«m2 •••
«In
«2n
«mn
Если перейти от пары базисов (В, В') к новой
паре базисов (В, В'), то описывающая ф матрица
А,в в>, перейдет в матрицу
А ГГ- 1 Л С
Л(В, В') - 1 Л(В, В') '
причем столбцы матрицы S (соответственно Т)
будут состоять из координат векторов В
относительно В (соответственно В' относительно В').
Матрицы одинакового размера, которые получаются
одна из другой право- и левосторонним умножением на
невырожденные матрицы, называются эквивалентными.
Эквивалентность матриц есть отношение эквивалентности,
которое разбивает множество матриц одинакового размера
на классы эквивалентных матриц. Число этих классов
равно min (/и, п) + 1, где т х п — размер рассматриваемых
матриц.
Вследствие этого две матрицы, описывающие одно и то
же линейное преобразование относительно различных пар
базисов, эквивалентны. Обратно, эквивалентные матрицы
относительно соответствующих пар базисов задают одно
и то же линейное преобразование.
Линейному преобразованию ср: V-*¦ V соответствует
единственный класс эквивалентных матриц
Если V — V, т. е. если ф — линейный оператор
в V, то для двух матриц Ав и А^ описывающих
линейный оператор ф относительно различных
базисов В, В, вследствие В = В' и В = В'
выполняется равенство
Квадратные» матрицы Ах и А2, для которых
А2 = S~1AlS, где S — невырожденная матрица,
называются подобными. Подобие матриц есть также
отношение эквивалентности.
Аналогично сформулированному выше можно
утверждать: линейному оператору (р в пространстве V
соответствует единственный класс подобных матриц.
Свойства всех матриц одного и того же класса
эквивалентности или одного и того же класса
подобия тесно связаны со свойствами линейных
преобразований, описываемых этими матрицами.
Укажем некоторые из них:
1. Если ф: V-+ V — линейное преобразование
и А<в „,ч — матрица, описывающая ф относительно
пары'базисов (В, В'), то для образа фх элемента
х е V справедливо соотношение
где х# — вектор-столбец, составленный из
координат вектора х относительно В, (фх)^, — вектор-
столбец, составленный из координат вектора фх
относительно В'.
По этой формуле наряду с образом можно
определить также полные прообразы, что сводится
к отысканию решения системы линейных
уравнений (см. 2.4.4.3).
2. Все матрицы класса эквивалентности,
соответствующего линейному преобразованию ф:
V-+V (К# К'), имеют одинаковый ранг, и
rang (A) = rang ф для всех А из класса
эквивалентности, соответствующего ф.

166
АЛГЕБРА
3. Все матрицы класса подобия,
соответствующего линейному оператору ф в пространстве V,
имеют одинаковый ранг, одинаковый
определитель, одинаковый след, одинаковый
характеристический многочлен и одинаковые собственные
значения (см. 2.4.4.5).
В частности, линейный оператор невырожден
тогда и только тогда, когда матрицы
определяемого им класса подобия невырождены.
2.4.4.4.3. Операции над линейными
преобразованиями. Если ср: V-*V\ <p':
V-* V, \|/: V -*¦ V" суть линейные преобразования,
то определим
сумму ф + ф': V-*V как (ф + ф') х = фх + ф'х
для любого xeV;
произведение ф на число а, т. е. аф: V-+ V
(а - действительное), как (аф) х = а (фх) для
любого х е V;
произведение \|/ф: V-+ V" как (ij/ф) х = \|/ (фх) для
любого х е V (последовательное выполнение, или
композиция, линейных преобразований).
Преобразования ф + ф', аф и \|/ф также
являются линейными преобразованиями.
Если К, V, V" - конечномерные векторные
пространства с базисами В, В\ В" и линейные
преобразования ф, ф', \|/ заданы соответственно
матрицами Ар.ву А\в,ву С(В',В")> то:
линейное преобразование ф + ф' относительно
(В, В') задается матрицей А + А';
линейное преобразование аф относительно (В, В')
задается матрицей olA;
линейное преобразование \|/ф относительно
(В, В") задается матрицей С А.
Так как операциям над линейными
преобразованиями соответствуют аналогичные операции над
задающими их матрицами, то множество
линейных преобразований пространства V в V имеет
такую же структуру, как и множество матриц,
задающих эти преобразования. Отсюда следует:
1. Множество линейных преобразований V в V
с определенными на нем действиями сложения
и умножения на действительные числа образует
векторное пространство.
2. Множество линейных операторов
пространства V с определенными в нем действиями
сложения и умножения образует кольцо.
2.4.4.4.4. Обратный оператор. Для
невырожденных операторов ф: V -* V можно поставить
вопрос об операторе ф, обратном к ф, т.е.
таком, что фф = ф-1ф = ?, где е —
тождественный оператор, т. е. такой, что ex = x для любого
х е V. Если ф V = V, то существует обратный к ф
оператор ф, определяемый следующим образом:
(р~1х = у тогда и только тогда, когда фу = х.
Вследствие невырожденности ф оператор ф
определен однозначно, и можно показать, что
Ф вновь является линейным оператором в
пространстве V.
Предположение <pF= V необходимо для того, чтобы
каждый элемент из V можно было рассматривать как
образ при преобразовании <р некоторого элемента из V.
В случае конечномерного векторного пространства V это
предположение всегда выполнено.
Если ф, \|/ - невырожденные операторы в V
такие, что фК=\|/К= F, то
взаимно обратны;
3) если V конечномерно и преобразование ф
относительно базиса В задается матрицей А, то
преобразование ф относительно того же базиса
задается матрицей А~1;
4) если V конечномерно, то множество
невырожденных операторов пространства V по отношению
к умножению образует группу.
2.4.4.5. Собственные значения и собственные
векторы.
2.4.4.5.1. Собственные значения и
собственные векторы матриц. Пусть
А - п х «-матрица. Любой вектор xeV, x Ф О,
для которого Ах = Хх, где X — некоторое число,
называется собственным вектором А, а X —
принадлежащим или соответствующим ему
собственным значением матрицы А.
Уравнение Ах = Хх эквивалентно уравнению
(А — ХЕ) х — 0. Это однородная система линейных
уравнений, нетривиальные решения которой
являются искомыми собственными векторами. Она
имеет нетривиальные решения только тогда, когда
rang (А - ХЕ) < п, т. е. если det (А - ХЕ) = 0.
Многочлен det {A - ХЕ) называется
характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение
det (А — ХЕ) = 0 — характеристическим уравнением
матрицы А; его решения являются собственными
значениями матрицы А. Если X,- - собственные
значения А, то нетривиальные решения
однородной системы линейных уравнений (А — XtE) x = 0
суть собственные векторы Л, принадлежащие
собственному значению Х(. Множество решений этой
системы уравнений называют собственным
подпространством матрицы А, принадлежащим
собственному значению Xt; каждый вектор х # 0
собственного подпространства является
собственным вектором матрицы А (само собой разумеется,
в собственном подпространстве определены
линейные операции « + » и «•»).
Примеры. 1) Собственные значения матрицы А =
= I _4 « найдем из характеристического уравнения
det (А - ХЕ) =
3-Х -2
= X2 - 4Я. - 5 = 0, Xi - 5, Х2 =
-4 1-Х
= -1. Собственное подпространство А, принадлежащее
Хг ш 5, есть множество решений системы уравнений
¦м-
т. е. L, = {ц (-1, 1); ц - действительное число}.
Аналогично найдем собственное подпространство,
принадлежащее Х2 = -1: L2 = {й A, 2); ц - действительное
число}.
2) Матрица А
-и1,:
имеет характеристическое
уравнение X2 - ЛХ + 5 ш 0 и, следовательно, собственные
значения Xi ш 2 + i, Хг = 2 - \. Действительных собственных
векторов нет. Над комплексным полем собственному значению Хх
принадлежат собственные векторы jci = цA, i — 1), а
собственному значению Хг - собственные векторы х2 = ц(-1, i + 1);
здесь ц - произвольное комплексное число, не равное нулю.
3) Матрица А =
имеет собственные значения
\х = Х2 = 2; отсюда получаем собственное
подпространство Lx- L2 = {ц A, 1); ц - произвольное действительное
число).

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
167
2.4.4.5.2. Теоремы о собственных
значениях и собственных векторах.
1. Подобные матрицы имеют одинаковые
характеристические многочлены и, следовательно,
одинаковые собственные значения.
2. Если Хь Х2, ..., Х„- собственные значения
матрицы А, то
ли в каждом классе эквивалентности матрица
диагонального вида? Оказывается, существует:
если rang ф = г, то всегда можно построить такую
пару базисов, что матрица, задающая ср, имеет
вид
1 0 0 ... О ... О
О 1 0 ... О ... О
Это можно использовать как необходимый
критерий правильности вычисления собственных
значений. Далее, из того, что det A = [~[ Xh следует,
что матрица А невырождена только тогда, когда
нуль не является собственным значением А.
3. Если Хи Х2, • • •» К- (попарно) различные
собственные значения матрицы А и хь х2, ..., хг —
соответствующие им собственные векторы (Х(
принадлежит х(), то {хь х2, ..., хг} есть линейно
независимое множество векторов.
4. Если матрица А имеет собственное значение
X, то для любых чисел с0, си ..., ск матрица
к
В = ? сгАх (здесь А1 = А и А0 = Е) имеет соб-
1 = 0
к
ственное значение ? с {к1. Отсюда, в частности,
i = 0
следует: если А имеет собственное значение X, то
Ат (т — натуральное число) имеет собственное
значение Хт. Для невырожденной матрицы А это
высказывание справедливо и при целых
отрицательных числах т, если положить Ат = А~к =
= (А~1)к (где к= -т есть натуральное число).
5. Каждая матрица А удовлетворяет
собственному характеристическому уравнению, т. е. если
Y, с{Х1 — характеристический многочлен Л, то
? CiA1 = 0 {теорема Гамильтона — Кэли).
1 = 0
Для определенных классов матриц
справедливы частные предложения:
1. Все собственные значения симметрической
матрицы действительны.
2. Собственные пространства, принадлежащие
различным собственным значениям
симметрической матрицы, взаимно ортогональны.
3. Все собственные значения ортогональной
матрицы по модулю равны единице.
4. Собственным значением ортогональной
матрицы наряду с X является также А,.
2.4.4.5.3. Применение теории с о б-
ственных значений.
2.4.4.5.3.1. Задача о нормальной
форме для линейных операторов. Пусть (р:
V-*V (V Ф V) — линейное преобразование
конечномерных векторных пространств и А - матрица,
описывающая ср относительно пары базисов (В, В')
(см. 2.4.4.4.2). Вопрос состоит в том, можно ли
надлежащим выбором пары базисов найти
матрицу, описывающую ф и имеющую особенно простой,
а именно диагональный (отличными от нуля
могут быть только элементы главной диагонали),
вид. Так как линейному преобразованию <р
сопоставлен единственный класс эквивалентных
матриц, то вопрос можно поставить так: существует
О 0 0 ... 1 ... О
О 0 0 ... О ... О
О 0 0 ... О ... О
(здесь г элементов главной диагонали равны
единице, остальные равны нулю).
Если поставить тот же самый вопрос по
отношению к линейным операторам в пространстве
V, то ответ получить гораздо труднее, так как
в этом случае можно «варьировать» уже не два
базиса (в V и V'\ а только один (в V). В этом
случае справедливо следующее утверждение.
Линейный оператор (р: V -* V относительно базиса
{аь а2, ..., ап} описывается диагональной
матрицей тогда и только тогда, когда базисные векторы
обладают свойством фа,- = Xtah где Х{ — некоторые
действительные числа. Эти числа Х( и являются
элементами диагональной матрицы.
Всякий вектор х ф 0, для которого фх = А,х,
где X — некоторый скаляр, называется
собственным вектором линейного оператора ф, а X —
собственным значением оператора ф,
принадлежащим этому собственному вектору.
Следовательно, линейный оператор ф
относительно базиса В описывается диагональной
матрицей тогда и только тогда, когда базисными
векторами являются собственные векторы, и вся
постановка задачи сводится к вопросу о
существовании базиса из собственных векторов оператора
ф. Для того чтобы существовал базис из
собственных векторов, т. е. для того, чтобы линейный
оператор ф имел п линейно независимых
собственных векторов, необходимо и достаточно,
чтобы все собственные значения оператора ф
были действительными и для каждого
собственного значения X кратности р выполнялись
равенства
rang (ф - Xz) = rang {А — ХЕ) - п — р,
где А — какая-либо матрица, задающая ф. Это
означает, что собственное подпространство,
принадлежащее собственному значению кратности р,
должно иметь размерность р (чтобы для р
совпадающих собственных значений получить р
линейно независимых собственных векторов).
Поставленная проблема не всегда разрешима,
так как не обязательно все собственные значения
линейного оператора должны быть
действительными и может случиться, что для кратных
собственных значений нельзя получить требуемого числа
линейно независимых собственных векторов.
Однако симметрический оператор в евклидовом
векторном пространстве всегда может быть описан
диагональной матрицей относительно
подходящего ортонормированного базиса, так как всегда
можно получить ортонормированный базис,
состоящий из собственных векторов
симметрического оператора. (Линейный оператор ф в евклидо-

168
АЛГЕБРА
вом векторном пространстве V называется
симметрическим, если (фх, у) = (х, <ру) для всех х, уе V.)
Вычисление собственных значений и
собственных векторов линейного оператора ср производится
путем определения собственных значений и
собственных векторов какой-либо матрицы
оператора (р.
2.4.4.5.3.2. Приведение матрицы к
диагональному виду. Задача состоит в том,
чтобы для п х n-матрицы А подобрать такую
матрицу С, чтобы матрица А' = С~1АС имела
диагональный вид. Эта задача тесно связана с
задачей онормальной форме линейных операторов.
Если относительно базиса В линейный оператор
Ф в пространстве V описывается матрицей А&
то ищем базис В\ по отношению к которому
описывающая ф матрица Aq> имеет диагональный
вид. Так как матрицы Ag и Ав> должны быть
подобны, то эта задача сводится к отысканию
такой матрицы С, чтобы матрица А# = С~1А^С
имела диагональный вид. Если задача разрешима,
то В' должен состоять из собственных векторов
оператора ф, т. е. столбцами искомой матрицы С
должны быть координаты собственных векторов,
образующих базис В'.
Задача всегда разрешима, если матрица А
симметрическая, так как тогда все собственные
значения действительны и размерность
собственного подпространства, принадлежащего
собственному значению А,, совпадает с кратностью X.
Вследствие ортогональности собственных
подпространств, принадлежащих различным
собственным значениям, для симметрических матриц
А всегда можно найти такую ортогональную
матрицу С, что С~1АС = СТАС имеет
диагональный вид.
Пример. Для того чтобы привести к диагональному
виду матрицу
Например, Ф = х\ + 4х2 — 6xtx2 является квадратичной
формой, так как
Г2-1 2-1
¦ -1 2-2 ,
L 2 -2 5J
найдем сначала ее собственные значения: Xi = 7, Х2 = Х3 = 1;
отсюда получаются собственные пространства:
^i = {ц A. - 1, 2); ц — действительное},
^2 = {Hi A. 1, 0) + ц2 (-2, 0, 1); ць ц2 - действительные}.
Далее получаем ортонормированную систему
собственных векторов:
Г|/б 1/2 1/5 )
1 -A, -1, 2); *—{\t 1, 0); ^j-(-l, I, 1».
Таким образом, посредством С = —
матрица А преобразуется в А' -
2.4.4.5.3.3. Преобразование
квадратичных форм к главным осям. Под
квадратичной формой относительно переменных
хь х2, ..., х„ понимают выражение вида х^кх,
где х = (хь х2, ..., х„) и А = || aik || —
симметрическая матрица, aik - действительные числа.
Матрица А называется матрицей квадратичной формы.
Постановка задачи такова: найти такую
ортогональную матрицу С, чтобы после введения
новых переменных уи у2, ..., у„ при помощи
уравнения х = Су данная квадратичная форма
содержала только слагаемые с квадратами текущих
координат: хтАх _ r>Xiyl + Х2у\ + ... + Хпу1.
Такой вид квадратичной формы называют канони-.
ческим.
После замены переменных х = Су форма х Ах
переходит в форму у (С АС) у, которая должна
содержать только слагаемые с квадратами
переменных. Таким образом, задача равнозначна
следующей: найти ортогональную матрицу С такую,
чтобы матрица С АС имела диагональный вид.
Это всегда возможно для симметрической матрицы
А, если в качестве столбцов искомой матрицы С
выбрать ортонормированную систему собственных
векторов матрицы формы А. Тогда посредством
замены х = Су квадратичная форма приводится
к виду Х1у1 + Х2у\ + ... + Хпу1, где Xt —
собственные значения матрицы А с учетом кратности.
Собственные векторы матрицы А, стоящие в
столбцах С, называются главными осями
квадратичной формы, а процесс преобразования
квадратичной формы в ее каноническую форму
называется приведением к главным осям или
приведением к каноническому виду.
Каноническая форма определяется однозначно
с точностью до нумерации переменных yt.
Пример. Для того чтобы квадратичную форму
Ьх\ + 5x1 + 7х§ - 4xtx2 + 4x2x3 привести к каноническому
виду, вычислим собственные значения и соответствующие
собственные подпространства матрицы
Г 6-221
-2 5 0 . По
L 2 0 7J
лучим Я.,=3, Х2 = 6, Х3 = 9; L, = {nB, 2, -1)}, L2-
= {ц(-1, 2, 2)}, L3 = {nB, -I, 2)}. Так как собственные
значения попарно различны, то соответствующие им
векторы попарно ортогональны, и, чтобы получить
ортонормированную матрицу, их нужно только пронормировать.
• Г 2 -1 21
Заменой х = — \ 2 2 -1 \у заданная форма приводит-
L-1 2 2J
ся к каноническому виду Ъу\ + Ьу\ + 9у\.
Если все собственные значения симметрической
матрицы А положительны (все отрицательны, все
неотрицательны, все неположительны), то для всех
х#0 квадратичная форма х Ах положительна
(соответственно отрицательна, неотрицательна,
неположительна) *).
Пример. Для действительных чисел хь х2, х3 таких,
что (xi, x2, хэ)^@, 0, 0), справедливо неравенство
Зх? + 10х| - 3x1 + 4х2х3 > 4x1 - 2х? - 10х§ -I- 4ххх2, так как
в этом случае 5х\ + 6х2 + 1х\ - 4xjX2 + 4х2х3 > 0, ибо
матрица полученной квадратичной формы имеет только
положительные собственные значения: X, = 3, "Кг - 6, Х3 = 9.
Критерий положительной определенности квадратичной
формы (критерий Сильвестра) приведен в 3.1.6.6.
*) Квадратичная форма в первом и втором случаях
называется определенной (положительно определенной или
отрицательно определенной) и в двух других случаях —
положительно или отрицательно полуопределенной.

ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
169
2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
К элементарным функциям относятся
рациональные функции, степенные функции,
тригонометрические функции и обратные к ним,
показательные и логарифмические функции,
гиперболические функции и обратные к ним, а также
функции, представимые в виде суммы, разности,
произведения, отношения или суперпозиции
перечисленных функций («функции, заданные
формулами», т. е. представимые в виде аналитического
выражения, причем областью определения
элементарной функции является множество всех чисел,
для которых ее аналитическое выражение имеет
смысл).
К неэлементарным функциям относятся, например:
j 1 для рациональных х
1 0 для иррациональных х
(функция Дирихле): f функция у = [х] (целая часть от х),
т. е. у равно наибольшему целому числу, не превосходя-
щему х: функция
_ Г sin х
' = Лтоо1 + *2'
функция
-dx (интегральный синус): функция у = Г (х) =
= J е~Чх l dt (гамма-функция).
2.5.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.5.1.1. Целые рациональные функции.
2.5.1.1.1. Определение целой
рациональной функции. Функция / называется
целой рациональной функцией (или многочленом),
если она может быть представлена в виде
y=f(x)=
B.23)
для любого х (из области определения *)); числа
а0, аи ..., ап действительны (или комплексны);
а0 ф 0; п е N (или и = 0). Правая часть называется
многочленом (относительно переменного х), числа
а{ — коэффициентами многочлена, число п —
степенью целой рациональной функции (или степенью
многочлена). Представление B.23) единственно,
т. е. функции
f(x) = ? ап-кх\ д(х) = ? Ь„-*х*
*=0 *=0
равны тогда и только тогда, когда т = п и ак = Ьк
для к = 0, 1, 2, ..., п. Выражение B.23) называется
канонической формой представления целой
рациональной функции. Многочлен степени 1 называется
линейным.
Примеры. 1) /i (х) = с — постоянная функция,
степень /i равна 0.
2) h (x) ш х, степень /2 равна 1.
3) /з (х) - Gх + 1) (Зх + 5), степень /3 равна 2.
4) /4 (х) = |/7з х2 - 2 ]/1 х3 + cos 4 ' х, степень /4
равна 3. 5
*) Если для функции /, заданной аналитическим
выражением, область определения не задана явно, то под этим
всегда следует понимать множество всех действительных
чисел х0, для которых аналитическое выражение у = f (x)
дает действительное число / (х0).
Графики целых рациональных функций для
некоторых частных случаев приведены в 1.2.1.1.
2.5.1.1.2. Разложение на линейные
множители. Многочлен ? an-kxk, п ^ 1, назы-
*=о
вается приводимым, если он может быть
представлен в виде произведения многочленов низших
степеней; в противном случае он называется
неприводимым.
Многочлены нулевой степени (константы) не
являются ни приводимыми, ни неприводимыми;
многочлены первой степени всегда неприводимы.
Возможность разложения на множители
многочленов степени, большей единицы, зависит от
выбора области определения коэффициентов,
которая, в общем, не обязательно совпадает с
множеством действительных чисел.
Пример. Многочлен х4 — 7 неприводим, если
считать, что коэффициенты многочленов должны быть
рациональными числами. Если же в качестве области определения
коэффициентов взять множество действительных чисел, то
х4 - 7 = (х2 + |/7) (х2 - ]/l). Если же допустить
существование комплексных коэффициентов, то данный многочлен
может быть разложен на линейные множители:
Х4 _ 7 = (х - (рТ){х + ifyl)(x + fi)(x - ф%
Основная теорема алгебры. Любая целая
рациональная функция л-й степени с
коэффициентами из множества комплексных чисел может быть
разложена на п + 1 сомножителей, один из которых
имеет нулевую степень, а п множителей линейны
с единичными коэффициентами при переменном:
? an-kxk = ао(х - ах) (х - а2)... (х - а„).
Здесь а4 — комплексные числа. Если а0, аи ..., а„ —
действительные числа, то для каждого линейного
множителя (х — afc) с комплексным afc в
разложении содержится линейный множитель (х - ал), где
afc — число, комплексно сопряженное к afc.
Если область определения коэффициентов
сужена до множества действительных чисел, то
любая целая рациональная функция и-й степени
может быть разложена на множители первой и
второй степени:
X an-kxk = ао(х - ai)(x - a2)...
*=о
.. (х - а,) (х2 + рхх + qi)... (х2 + р,х + qt), B.24)
где 2/ + r = n, a aOi <хь ..., ar, ръ ..., ph qu ..., qt -
действительные числа.
2.5.1.1.3. Корни целых рациональных
функций. Число X; называется корнем (нулем)
целой рациональной функции / с
действительными коэффициентами, если
f(*j) = t
= 0.
Если X! является корнем целой рациональной
функции/степени п, то существует целая
рациональная функция fi степени п — 1 такая, что для
каждого х, принадлежащего множеству D области
определения /г имеет место равенство /(х) =
= (х - xx)fi (x). Если, помимо этого, корнями /
являются числа х2, х3, . • •, хг, то существует

170
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
целая рациональная функция /г степени п - г (г < и)
такая, что для всех xeD имеет место равенство
f(x) = (x-Xl)...(x-xr)fr(x).
Число Xj называется корнем кратности kj
(или корнем kj-го порядка), если существует целая
рациональная функция /^. такая, что
/(Х) = (Х-ХЩ(Х) ИА.(Х;)#О.
Учитывая кратность корней, целую
рациональную функцию / степени п можно представить
в виде
/(х) = (х - х^ (х - x2f> ...(х- xs)k* g (х), B.25)
s
где ? kj = r, g (x) - целая рациональная функция
степени п — г. Из выражения B.25) следует: целая
рациональная функция степени п имеет не более и
различных корней; если число корней равно п,
то она может быть представлена в виде
произведения и линейных множителей и одного множителя
нулевой степени. Число корней (с учетом их
кратности) является четным или нечетным в
зависимости от того, является ли степень функции /
четной или нечетной; если степень целой
рациональной функции с действительными
коэффициентами нечетна, то функция имеет по крайней мере
один действительный корень.
Примеры. 1) /(х) = х* - х3 - 5х2 - х - 6 имеет корни
Xj = — 2 и х2=3. Других действительных корней нет.
Поэтому для этой функции существует представление
/(х) = (х + 2)(х-3)(х2 + 1).
2) /(х) - х8 - х7 - Их6 + Их5 + ЗОх4 - 58х3 - 12х2 +
+ 88х — 48 имеет корень xt = 1 кратности 2, корень х2 — 3
(однократный) и корень х3 = -2 кратности 3. Отсюда
получаем разложение
f(x) = (х - IJ (х - 3) (х + 2K (х2 - 2х + 2).
Корни и графики функций. Каждому корню
функции / однозначно соответствует точка пересечения
(или точка касания, если порядок корня равен
четному числу) графика функции с осью абсцисс.
В точке, соответствующей однократному корню,
график имеет наклон, отличный от нуля; в точке,
соответствующей многократному корню, наклон
равен нулю, т. е. касательная к графику в
точках, соответствующих многократным корням,
совпадает с осью абсцисс.
Вычисление корней. Вычисление корней целых
рациональных функций сводится к решению
л
алгебраических уравнений ? яи_кхк = 0 (см. 2.4.2.3).
fc = 0
2.5.1.1.4. Поведение целых
рациональных функций на бесконечности.
Поведение целой рациональной функции / степени п
на бесконечности зависит:
1) от знака коэффициента а0 при хл;
2) от четности или нечетности п.
X
X
п
аО
lim fix)
-> +00
lim fix)
-> -00
Четное
>0
00
00
-
-
<0
00
CO
Нечетное
ao>O
-f GO
— 00
-
<0
00
00
Из того, что целые рациональные функции
непрерывны во всей своей области определения,
следует, что любая целая рациональная функция
четной степени всегда ограничена либо сверху, либо
снизу, а целая рациональная функция нечетной
степени не ограничена ни сверху, ни снизу.
2.5.1.1.5. Частные случаи. Линейные
функции - это целые рациональные функции первой
степени: /(х) = аох + аи а0 Ф 0. Они монотонно
возрастают при а0 > О и монотонно убывают при
а0 < 0. Графиками линейных функций являются
прямые, которые пересекают координатные оси в
точках Ai-ai/ao, 0) и В@, ах) (см. 1.2.1.1).
Квадратичные функции — это целые
рациональные функции второй степени: /(х) = аох2 + ахх +
+ а2, а0 Ф 0. Преобразуя, получим
Графиком квадратичной функции является пара-
( ах а\\
бола с вершиной С - -—, а2 - -—, которая
\ 2а0 4а0)
своими ветвями направлена в сторону
положительных (я0 > 0) или отрицательных (а0 < 0)
ординат (см. 1.2.1.1).
Степенные функции (с положительным
показателем степени) — это целые рациональные функции
fix) = х" (n e N). Графики этих функций
симметричны относительно оси ординат при четном и и
центрально симметричны относительно начала
координат при нечетном п; они называются
параболами п-го порядка (см. 1.2.1.1).
2.5.1.2. Дробно-рациональные функции.
2.5.1.2.1. Определение
дробно-рациональной функции. Функция / называется
рациональной функцией, если она представима в
виде отношения двух целых рациональных
функций Р (х) и Q (х), т. е. в виде
где ao Ф 0, bo Ф 0, n, m e N (или m, n = 0). При m = 0
это целая рациональная функция. При т > О
функция / называется дробно-рациональной
функцией.
Примечание. Выражение B.26) называется
канонической формой представления дробно-рациональной
функции f если функции Р(х) и Q(x) не имеют общих корней.
Если Р(х) и б(х) имеют общие корни хь ..., хк, то
/(*) =
Р(х)
где целые рациональные функции Pi(x) и Qi (х) не имеют
общих корней. Следовательно, их отношение f\ (x) =
= Piix)/Qxix) является канонической формой представ-
_Р(х)
ления функции /i. Выражение /(х) =
описывает функ^
цию/, значения которой совпадают со значениями/! во всей
области определения/i, исключая точки Xjij = 1, 2, ..., к), в
которых функция / не определена. Расширяя область опреде-

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
171
ления функции /, получим функцию /2 такую, что
{f{x), если х Ф xj,
lim Дх), если х = х} и предел конечен
х-*х;
0=1,2,..., Ас).
Функция /2 совпадает с функцией fx.
Примеры.
1) /i M = -р— (канонический вид).
-J/5
2) /г (х) = -j——(канонический вид).
2(х-3)
Дробно-рациональная функция /(х) = Р (x)/Q (х)
называется правильной дробно-рациональной
функцией, еели степень многочлена Q(x) больше, чем
степень многочлена Р(х) (примеры 2) и 3)), и
неправильной в противном случае (пример 1)).
Последнюю, разделив числитель на знаменатель
(см. 2.4.1.3), можно разложить на сумму, состоящую
из целой рациональной функции и правильной
дробно-рациональной функции.
Зх2 - 4х + 3 , 2
Пример, /(х) = = Зх -
2.5.1.2.2. Нули и полюсы
дробно-рациональных функций. Действительное
число Xj называется нулем или корнем рациональной
функции/(х) = P(x)/Q(x), представленной в
канонической форме, если Р (xj) = 0, a Q (xj) Ф 0. Если при
этом X; является корнем кратности г многочлена
Р(х), то Xj называется корнем кратности г
функции /(х). Таким образом, нахождение корней
рациональных функций сводится к нахождению
корней целых рациональных функций.
Действительное число х( называется полюсом
дробно-рациональной функции /(х) = Р (x)/Q (x),
представленной в канонической форме, если
Q (xf) = 0, а Р (х{) Ф 0. Если при этом х,- является
корнем кратности г многочлена Q(x), то х,
называется полюсом порядка г.
х2 - 1
Пример. Правильная функция Дх) = хз + Х2 _ 8х _ 12
имеет два однократных корня х, = 1 и х2 = -1, полюсы
х3 = 3 (полюс 1-го порядка) и х4=-2 (полюс 2-го
порядка).
В окрестности полюса х, значение функции
растет неограниченно, т.е. lim |/(x)|=+oo;
х-> х,
прямая х = х, является асимптотой графика этой
функции.
О поведении дробно-рациональной функции
в окрестности полюса х, можно сделать вывод по
знакам значений /(х, + е) и /(х, - е), где е -
достаточно малое положительное число.
Пример. х{ = 4 является полюсом функции /(х) =
х — 1
—5—т—; при малом е > О
х2 - 4х
4 + е- 1
= 3-fe
" D + еJ -4D + б) 4е + е2
4-e-l 3-е
! D-?J_4D-е) -4е + е3
2.5.1.2.3. Поведение
дробно-рациональных функций на бесконечности.
Если дробно-рациональная функция / задана в
виде
j = O
где а0 Ф 0 и Ьо Ф 0, то для всех х Ф О
1 я*-*
/м =
>о ,
х"м (х)
xmv (х)'
где lim u(x) = a0 и lim v(x) = b0. Таким
х-»±оо х-+±оо
образом, получаем:
а) При т = п
хпи(х) м(х)_
хт v (х) v (х)'
следовательно,
lim fix)- lim Л?> *
x -* ± oo x -> ± oo V (x) bo
т. е. прямая у = ao/bo является асимптотой
графика функции /.
б) При п < т
х»и(х) = и(х)
xmv(x) xm~nv(xY
следовательно,
lim /(x)= lim -4^-^ = 0,
х -*- ± oo х -> ± оо Xт п v (х)
т. е. асимптотой является ось абсцисс.
в) При п > т
хпи(х) _ х"-ти(х)
xmv(x)~~~v(x) ¦
Поведение функции на бесконечности зависит от
знака дроби ао/Ьо и от того, четно или нечетно
число п — т. Для всех трех случаев, обозначив
ао/Ъо — с, получаем следующую таблицу:
lim f(x)
Х-> +00
lim f(x)
Х-* -00
т = n
с
с
n < m
0
0
n > m
п — т
четно
+ 00
+ оо
— 00
— 00
п — т
нечетно
с>0
+ оо
— 00
с<0
— 00
+ оо
<0.
2.5.1.2.4. Степенные
дробно-рациональные функции. Простейшими дробно-
рациональными функциями являются степенные
функции с целым отрицательным показателем

172
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
f(x) =
n= -1, -2, -3,...
Если п нечетно, то (- х)и = - (х"), т. е. эти
функции являются нечетными; графики их
представляют собой кривые типа гиперболы, центрально
симметричные относительно начала координат.
Асимптотами этих графиков являются
координатные оси. В точке х = 0 эти функции не определены.
Степенные функции с четным (отрицательным)
показателем степени являются четными функциями,
т. е. (- х)п = хп. Их графики симметричны
относительно оси ординат. Асимптотами этих графиков
являются ось абсцисс и ось ординат
(положительное направление). В точке х = 0 эти функции не
определены.
Если в выражении B.26) т = 1, и < 1, то
получается дробно-линейная функция
( \ =
a°x + ai
где b0 Ф О и аф0 — aob1 Ф 0. Функция / имеет
корень xt = —а1/а0 (если а0 Ф 0) и полюс х2 = —bi/b0.
При х -+ ± оо значения функции стремятся к
ао/Ьо. Графиком функции/является равносторонняя
гипербола, ветви которой расположены
симметрично относительно точки М ( , — I. (Графики
V ^о Ьо)
дробно-рациональных функций см. в 1.2.1.2.)
2.5.1.2.5. Разложение
дробно-рациональных функций на элементарные
дроби. Для интегрирования рациональных
функций в общем случае необходимо разложить
их на сумму простейших рациональных дробей.
Если
/м =
Р(х)
ем
<с = 0
j=0
где Р (х) и Q (х) не имеют общих корней, п < т
и Ьо = 1, то /(х) единственным образом
представляется в виде
г, ч АП . ^12 . . Alkl
(х -
(х-хО2 (х-хЛ
^22
+ (х-х2) + (х-х2J +-"+(х-
(х-х,)
х,J
J "
(x-xsf*
(х2 + Plx + qx) (x2 + ptx + qiJ
(x2 + p2x + q2)
•-(X2-
f B22 + C22x ( + B2i2 + С
(x2+p2x + 42J '" (x2+p2x-
CrlX
(x2
(x2 + prx + ^r)
5п„ + Crl x
где kb lj, r, s — натуральные числа; Лд, B^fc, CJk,
qj, Pj — действительные числа; х{ - корни функции
Q (x); кроме того, Ц- - qj < 0 (/ = 1, 2, ..., г).
Слагаемые в выражении B.27) называются
элементарными (простейшими) дробями.
Частные случаи.
1) Если уравнение Q (х) = 0 имеет только
однократные действительные корни, например хь
х2, ..., хот, то B.27) имеет вид
№¦¦
Q(x)
A2 Am
¦ + — + ... + ¦
х — х2
х-хт
2) Если уравнение Q (х) = 0 имеет
действительные, но не обязательно однократные корни,
например Xj — корень кратности kj, то B.27) имеет
вид
ем
Ых-
3) Если уравнение Q (x) = 0 имеет также и
комплексные, но только однократные корни, то B.27)
имеет вид
к I
Bj + Cjx
Q(x)
+ 4}
Методы разложения на
элементарные дроби. Сначала функция приводится к
каноническому виду (см. B.26)); в случае
неправильной дробно-рациональной функции выделяется
целая рациональная часть и значение
коэффициента при члене с наибольшим показателем
степени в многочлене, находящемся в знаменателе
оставшейся правильной дробно-рациональной
функции, приводится к 1. Далее, для разложения
на элементарные дроби требуется, чтобы было
известно множество решений уравнения Q (х) = О,
т. е. представление Q (х) в виде произведения
(см. B.24)). Для определения коэффициентов при
разложении на элементарные дроби существуют
различные методы; поясним некоторые из них на
примерах.
Метод неопределенных коэффициентов.
Пример
Запишем
2х2 - 4х + 2
(х - IJ х - i (х - IJ '
Умножая обе части на (х — IJ, получим х = А^х + (Аг — At).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим Аг = \ и /42 — /4i = 0; следовательно,
1
sx-l
1
Пример 2.
B.27) /(х).
Р(х)
Q(x)
2х4 + 2х2 - 5х
!х4 + 2х2-5х + 1
х(х2 + х+ IJ

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
173
Запишем
В2 + С2х
Jy*> x x2 + x+l т(х* + х+!Г
Умножим обе части на х(х2 + х + IJ:
2х4 + 2х2 - 5х + 1 *
*i4i(x2 + х+ IJ +(Bt + Ctx)(x2 + х+ 1)х + (В2 + С2х)х.
Умножив B.28) на (х — 2K, получим
Зх4 - 9х3 + 4х2 - 34х + 1
G+1р "
= Al3 + {x-2)[Al2+{x-2)Al
левой и правой частях, получим
/1, + С, «2, 2/1,+Й!+ С, =0,
ЗЛ.+В, + С, + С2 = 2, 2/t,+B,+B2=-5, И, «1.
Отсюда i4i - С! = С2 =» 1, Bi — -3 и В2 = -4. Таким
образом.
одинаковых степенях а в Устремив х в обеих частях к 2, получим А13 = -3. Умножив
B.28) на (х + ЗJ и устремив затем х к -3, получим А22 = -5.
Простое преобразование выражения B.28) дает в результате
3 5 Зх - 1
/(*)
(х-2K т (х + 3J (х-2)(х + 3)
-4 + х
с2 + х+ Г
Метод подстановки численных значений.
Пример 3.
Р(х) х2 + х-1 _ х2 + х-1
_dii_4- .
х _ 2 г (х - 2J х + 3'
B.29)
Аналогичным образом (т. е. умножая B.29) на (х — 2J или
на (х + 3) и устремляя х к 2 или к -3) получаем Ах2 = 0,
А21 = 2. Преобразуя B.29) в равенство ^_2^у^ -
/W
3 - х2 - 2х
х + 3 х-2
приходим к разложению
-, получим, что /4И = 1. Таким образом,
Запишем /(х) = ——+ —~ + _3 . Полагая
последовательно для х значения 1, -2 и 3, получим систему
- — = At +-у/12 - А3, —8^= —г'41 ~ /*2 —4^у4э»
"+1м
/М-
х - 2 (х - 2K х + 3 (х + ЗJ"
Примечание 1. Для случая, рассмотренного в
примере 1, т. е. для разложения /(х) вида
Решение этой системы: Ах = 1/2,
Таким образом, получаем разложение
-1/3, А3 = 5/6.
<2 (х) х — хх х — х2 х — хт
по вышеописанному методу предельных значений имеем
,Р(х)
А(
lim {x-
X -+ X
(/= 1, 2, ..., т).
/w 2x"" 3(х+1)х6(х-2)-
Метод пред�