Текст
                    И.Н.БРОНШТЕЙН
К.А.СЕМЕНДЯЕВ
СПРАВОЧНИК
по
МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И УЧАЩИХСЯ ВТУЗОВ
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
SmmeebyUo


ББК 22.11 Б68 УДК 51 Авторы из ГДР, принимавшие участие в подготовке справочника: P. BECKMANN, M. BELGER, H. BENKER, M. DEWEB, Н. ERFURTH, H. GENTEMANN, S. GOTTWALD, P. GUTHNER, G. GROSCHE, H. HILBIG, R. HOFMANN, H. KASTNER, W. PURKERT, J. von SCHEIDT, TH. VETTERMANN, V. WUNSCH, E. ZEIDLER Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.—13-е изд., исправленное. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 544 с. Предыдущее, 12-е издание A980 г.) вышло с коренной переработкой, произведенной большим коллективом авторов из ГДР, под редакцией Г. Гроше и В. Циглера. В настоящее издание внесены многочисленные исправления. Для студентов, инженеров, научных работников, преподавателей. Илья Николаевич Бронштейн Константин Адольфович Семендяев СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ для инженеров и учащихся втузов Редактор А И. Штерн Художественный редактор Т. Н Кольченко Технические редакторы В Н. Кондакова, С. Я. Шклнр Корректоры Т С Вайсберг, Л С Сомова И Б 12490 Сдано в набор 27.08.85. Подписано к печати 27.05.86 Формат 70 х 100/16. Бумага книжно-журнальная для офсетной печати. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Усл. п л. 44,2 Уел кр -отт 88.4. Уч.-изд. л 72,22. Тираж 250000 экз. Заказ 60. Цена 4 р. 10 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А М Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15. 1702000000 - 106 053@2)-86 4 © Издательство «Teubner», ГДР, 1979 © Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с изменениями, 1986
СОДЕРЖАНИЕ От редакции 10 1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 1.1. ТАБЛИЦЫ 1.1.1 Таблицы элементарных функций 11 1. Некоторые часто встречающиеся постоянные A1) 2. Квадраты, кубы, корни A2). 3. Степени целых чисел от 1 до 100 B9). 4. Обратные величины C1). 5. Факториалы и обратные им величины C2). 6 Некоторые степени чисел 2, 3 и 5 C3). 7. Десятичные логарифмы C3). 8. Антилогарифмы C6) 9. Натуральные значения тригонометрических функций C8) 10. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции (для х от 0 до 1,6) D6). 11. Показательные функции (для х от 1,6 до 10,0) D9). 12. Натуральные логарифмы E1). 13. Длина окружности E3). 14. Площадь круга E5). 15. Элементы сегмента круга E7). 16. Перевод градусной меры в радианную F1). 17. Пропорциональные части F1). 18. Таблица для квадратичного интерполирования F3) 1 1.2. Таблицы специальных функций 64 1. Гамма-функция F4). 2 Бесселевы (цилиндрические) функции F5). 3. Полиномы Лежандра (шаровые функции) F7). 4. Эллиптические интегралы F7). 5 Распределение Пуассона F9). 6 Нормальное распределение G1). 7. Х2-распределение G4). 8. /-распределение Стьюдента G6). 9. z-распределение G7). 10. F-распределение (распределение v2) G8). 11. Критические числа для испытания Уилкоксона (84). 12. Х-распределение Колмогорова—Смирнова (85). 1.1.3. Интегралы и суммы рядов 86 1 Таблица сумм некоторых числовых рядов (86). 2. Таблица разложения элементарных функций в степенные ряды (87). 3 Таблица неопределенных интегралов (91). 4 Таблица некоторых определенных интегралов (ПО). 1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1.2.1 Алгебраические функции ИЗ 1 Целые рациональные функции A13). 2. Дробно-рациональные функции A14). 3. Иррациональные функции A16). 1.2.2. Трансцендентные функции 117 1. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции A17). 2. Показательные и логарифмические функции A19) 3. Гиперболические функции A21). 1.3. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ 1.3.1. Алгебраические кривые 123 1 Кривые 3-го порядка A23). 2. Кривые 4-го порядка A24). 1 3.2. Циклоиды 125 1.3.3. Спирали 128 1.3.4. Цепная линия и трактриса 129 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 2.1.1. Общие сведения 130 1. Представление чисел в позиционной системе счисления A30). 2. Погрешности и правила округления чисел A31) 1*
СОДЕРЖАНИЕ 2 1 2 Элемешарная теория погрешностей 131 1 Абсолютные и относительные погрешности A31) 2. Приближенные границы погрешности функции A32) 3 Приближенные формулы A32) 2 1.3. Элементарные приближенные графические методы. 1. Нахождение нулей функции /(х) A32). 2 Графическое дифференцирование A33) 3 Графическое интегрирование A33) 2.2. КОМБИНАТОРИКА 2 2 1 Основные комбинаторные функции 134 1 Факториал и гамма-функция A34) 2 Биномиальные коэффициенты A34). 3 Полиномиальный коэффициент A35) 2 2 2. Формулы бинома и полинома 135 1 Формула бинома Ньютона A35) 2 Формула полинома A35) 2 2.3 Постановка задач комбинаторики 135 2 24 Подстановки 136 1. Подстановки A36). 2. Группа подстановок к элементов A36). 3. Подстановки с неподвижной точкой A36). 4 Подстановки с заданным числом циклов A37) 5 Перестановки с повторениями A37) 2 2 5. Размещения 137 1 Размещения A37) 2 Размещения с повторениями A37). 2 2 6 Сочетания 138 1 Сочетания A38). 2 Сочетания с повторениями A38). 2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 2 3 1 Обозначение сумм и произведений 138 2 3.2 Конечные последовательности 138 1 Арифметическая прогрессия A39) ^2 Геометрическая прогрессия A39) 2 3 3 Некоторые конечные суммы 139 2 3 4 Средние значения 139 2.4. АЛГЕБРА 2 4 1. Общие понятия 140 1 Алгебраические выражения A40) 2 Значения алгебраических выражений A40) 3 Многочлены A41) 4 Иррациональные выражения A41). 5 Неравенства A42) 6. Элементы теории групп A43) 2 4.2 Алгебраические уравнения 143 1 Уравнения A43) 2 Эквивалентные преобразования A44) 3 Алгебраические уравнения A45) 4. Общие теоремы A48). 5 Система алгебраических уравнений A50) 24 3 Трансцендентные уравнения 150 2.4 4 Линейная алгебра 151 1. Векторные пространства A51) 2. Матрицы и определители A56). 3. Сиаемы линейных уравнений A61) 4 Линейные преобразования A64). 5 Собственные значения и собственные векторы A66) 2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 2 5 1. Алгебраические функции 169 1 Целые рациональные функции A69) 2 Дробно-рациональные функции A70) 3 Иррациональные алгебраические функции A74) 2 52 Трансцендентные функции 174 1. Тригонометрические функции и обратные к ним A74). 2 Показательная и логарифмическая функции A79). 3 Гиперболические функции и обратные к ним A80). 2.6. ГЕОМЕТРИЯ 2 6 1. Планимефия 183 26 2 Стереометрия 185 1 Прямые и плоскости в пространстве A85) 2 Двугранные, многогранные и телесные углы A86) 3 Многогранники A86) 4 Тела, образованные перемещением линий A88)
СОДЕРЖАНИЕ 2.6.3. Прямолинейная тригонометрия 189 1. Решение треугольников A90) 2. Применение в элементарной геодезии A91) 2 6 4. Сферическая тригонометрия 192 1. Геометрия на сфере A92). 2. Сферический треугольник A92) 3 Решение сферических треугольников A92). 2.6.5. Системы координат 194 1. Системы координат на плоскости A95). 2 Координатные системы в пространстве A97) 2.6.6. Аналитическая геометрия 199 1. Аналитическая геометрия на плоскости A99) 2 Аналитическая геометрия в просфанствс B04) 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ . ФУНКЦИЙ ОДНОГО И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1.1. Действительные числа 210 1. Система аксиом действительных чисел B10) 2. Натуральные, целые и рациональные чиспа B11) 3 Абеолкн- ная величина числа B12). 4. Элементарные неравенства B12) 3.1.2. Точечные множества в R" 212 3.1 3. Последовательности 214 1. Числовые последовательности B14) 2 Последовательности точек B15) 3.1.4. Функции действительного переменного 216 1. Функция одного действительного переменного B16) 2 Функции нескольких дейспепельных переменных B23). 3.1 5. Дифференцирование функций одного действительного переменного 225 1. Определение и геометрическая интерпретация первой производной Примеры B25) 2 Прошводные высших порядков B26). 3. Свойства дифференцируемых функций B27) 4 Монотонность и выпукюоь функций B28). 5. Экстремумы и точки перегиба B29) 6 Элементарное исследование ^функции B30). 3.1.6. Дифференцирование функций многих переменных . N 2М 1. Частные производные, геометрическая интерпретация B30) 2. Полный дифференциал, проишодиая по направлению, градиент B31) 3. Теоремы о дифференцируемых функциях многих переменных B32) 4. Дифференцируемое отображение пространства Rn в Rm, функциональные определи i ел и. неявные функции; теоремы о существовании решения B33) 5 Замена переменных в дифференциальных выражениях B35). 6. Экстремумы функций многих переменных B36) 3.1 7. Интегральное исчисление функций одного переменною 238 1. Определенные интегралы B38) 2 Свойства определенных интефалов B39) 3 Неопределенные интегралы B39). 4. Свойства неопределенных интегралов B41) 5 Интегрирование рациональных функций B42) 6. Интегрирование других классов функций B44) 7 Несобственные ин тралы B47) 8 Геомефичеекие и физические приложения определенных интегралов .B51) 3.1.8. Криволинейные интегралы 253 1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы но длине кривой) B53) 2 Сущее 1вование и вычисление криволинейных интегралов 1-го рода B53) 3 Криволинейные иитралы 2-ю рода (ишегралы по проекции и интегралы общего вида) B54) 4. Свойства и вычисление криволинейных интефалов 2-ю рода B54). 5. Независимость криволинейных интегралов oi пути интегрирования B56) 6. Геомефичеекие и физические приложения криволинейных инте1 ралов B57) 3.1.9. Интегралы, зависящие от параметра , 257 1. Определение интеграла, зависящего от параметра B57) 2 Свойства интегралов, зависящих oi параметра B57). 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра B58) 4 Примеры интралов, зависящих от параметра B60) 3.1.10. Двойные интегралы 2ъ0 1. Определение двойного интеграла и элементарные свойства B60) 2 Вычисление двойных интефалов B61). 3. Замена переменных в двойных интегралах B62) 4 Геометрические и физические приложения двойных интегралов B63) 3.1.11. Тройные интегралы 263 1. Определение тройного интеграла и простейшие свойства B63) 2 Вычисление г ройных hhici ралов B64). 3. Замена переменных в тройных интегралах B65). 4 Геометрические и физические приложения тройных интегралов B65).
СОДЕРЖАНИЕ 3.1.12. Поверхностные интегралы 266 1. Площадь гладкой поверхности B66). 2. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода B66). 3. Геометрические и физические приложения поверхностного интеграла B69). 3.1.13. Интегральные формулы 270 1. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Грина B70). 2 Формулы Грина B70). 3 Формула Стокса B70). 4. Несобственные криволинейные,- двойные, поверхностные и тройные интегралы B70) 5. Многомерные интегралы, зависящие от параметра B72). 3.1.14. Бесконечные ряды 273 1. Основные понятия B73). 2. Признаки сходимости или расходимости рядов с неотрицательными членами B74). 3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость B76). 4 Функциональные последовательности. Функциональные ряды B77). 5. Степенные ряды B79). 6. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенной ряд B82). 3.1.15. Бесконечные произведения 285 3.2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 3.2.1. Вариационное исчисление 287 1. Постановка задачи, примеры и основные понятия B87). 2. Теория Эйлера — Лагранжа B88). 3. Теория Гамильтона — Якоби B94). 4. Обратная задача вариационного исчисления B95). 5. Численные методы B95). 3.2.2. Оптимальное управление 298 1. Основные понятия B98) 2. Принцип максимума Понтрягина B98). 3. Дискретные системы C03) 4. Численные методы C04). 3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 305 1 Общие понятия. Теоремы существования и единственности C05) 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка C06). 3. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы C13). 4. Общие нелинейные дифференциальные уравнения C25). 5. Устойчивость C25) 6. Операторный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений C26) 7. Краевые задачи и задачи о собственных значениях C27). 3.3.2. Дифференциальные уравнения в частных производных 331 1. Основные понятия и специальные методы решения C31) 2. Уравнения в частных производных 1-го порядка C33). 3. Уравнения в частных производных 2-го порядка C39). 3.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.4.1. Общие замечания 357 3.4 2. Комплексные числа. Сфера Римана. Области 357 1. Определение комплексных чисел Поле комплексных чисел C57). 2. Сопряженные комплексные числа Модуль комплексного числа C58). 3. Геометрическая интерпретация C58). 4. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел C58). 5 Степени, корни C59). 6. Сфера Римана. Кривые Жордана. Области C59). 3 4.3. Функции комплексного переменного 360 3.4.4. Важнейшие элементарные функции 361 1. Рациональные функции C61) 2 Показательная и логарифмическая функции C61) 3 Тригонометрические и гиперболические функции C64). 3.4.5. Аналитические функции 365 i. Производная C65) 2 Условия дифференцируемости Коши —Римана C65) 3 Аналитические функции C65). 3.4.6. Криволинейные интегралы в комплексной области 366 1. Интеграл функции комплексного переменного C66). 2. Независимость от пути интегрирования C66). 3. Неопределенные интегралы C66) 4 Основная формула интегрального исчисления C66). 5. Интегральные формулы Коши C66) 3.4.7. Разложение аналитических функций в ряд 367 1. Последовательности и ряды C67). 2 Функциональные ряды. Степенные ряды C68). 3. Ряд Тейлора C69). 4 Ряд Лорана C69). 5. Классификация особых точек C69). 6. Поведение аналитических функций на бесконечности C70). 3.4.8. Вычеты и их применение 370 1. Вычеты C70). 2. Теорема вычетов C70). 3. Применение к вычислению определенных интегралов C71).
СОДЕРЖАНИЕ 3 49 Аналитическое продолжение 371 1 Принцип аналитического продолжения C71). 2 Принцип симметрии (Шварца) C71) 3 4.10 Обратные функции Римановы поверхности 372 1 Однолистные функции, обратные функции C72) 2. Риманова поверхность функции z = |/w C72). 3. Рима- нова поверхность функции z — Ln w C73). 3 4 11 Конформные отображения 373 1 Понятие конформного отображения C73) 2. Некоторые простые конформные отображения C74). 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 4.1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ 4 1 1 Основные понятия математической логики 376 1 Алгебра логики (алгебра высказываний, логика высказываний) C76) 2 Предикаты C79) 4 1 2. Основные понятия теории множеств 380 1. Множества, элементы C80). 2 Подмножества C80) 4 1 3 Операции над множествами 381 1 Объединение и пересечение множеств C81). 2. Разность, симметрическая разность, дополнение множеств C81) 3 Диаграммы Эйлера-Венна C81) 4. Декартово произведение множеств C82) 5. Обобщенные объединение и пересечение C82) 4.1.4 Отношения и отображения 382 1. Отношения C82) 2 Отношение эквивалентности C83) 3 Отношение порядка C83). 4. Отображения C84). 5. Последовательности и семейства множеств C85) 6 Операции и алгебры C85). 4.1 5 Мощность множеств 386 1. Равномощность C86). 2 Счетные и несчетные множества C86) 4.2. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4 2 1 Векторная алгебра 386 1 Основные понятия C86). 2. Умножение на скаляр и сложение C86). 3. Умножение векторов C88). 4 Геометрические приложения векторной алгебры C89). 4 2 2. Векторный анализ 390 1 Векторные функции скалярного аргумента C90) 2. Поля (скалярные и векторные) C91). 3. Градиент скалярного поля C93). 4. Криволинейный интеграл и потенциал в векторном поле C94). 5 Поверхностные интегралы в векторных полях C95). 6. Дивергенция векторного поля C97). 7. Ротор векторного поля C98). 8. Оператор Лапласа и градиент векторного поля C99). 9. Вычисление сложных выражений (оператор Гамильтона) C99). 10. Интегральные формулы D00) 11 Определение векторного поля по его источникам и вихрям D01) 12. Диады (тензоры II ранга) D02) 4.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 4 3.1 Плоские кривые 405 1 Способы задания плоских кривых. Уравнение плоской кривой D05). 2 Локальные элементы плоской кривой D06) 3 Точки специального типа D07). 4 Асимптоты D09) 5 Эволюта и эвольвента D10). 6 Огибающая семейства кривых D10). 4 3 2 Пространственные кривые 410 1 Способы задания кривых в пространстве D10). 2 Локальные элементы кривой в пространстве D10) 3 Основная теорема теории кривых D11). 4.3.3. Поверхности 412 1. Способы задания поверхностей D12) 2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности D12). 3. Метрические свойства поверхностей D13). 4 Свойства кривизны поверхности D14). 5. Основная теорема теории поверхностей D16). 6 Геодезические линии на поверхности D17). 4.4. РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 4 4.1. Ряды Фурье 418 1 Общие понятия D18). 2. Таблица некоторых разложений в ряд Фурье D19) 3 Численный гармонический анализ D23). 4 4 2. Интегралы Фурье 425 1 Общие понятия D25). 2 Таблицы трансформант Фурье D26).
СОДЕРЖАНИЕ 4.4 3 Преобразование Лапласа 437 1 Общие понятия D37) 2 Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями D38) 3 Таблица обратного преобразования Лапласа дробно-рациональных функций D38) 5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 5.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 1 1 Случайные события и их верояхносчи 441 1 Случайные события D41) 2 Аксиомы 1еории вероятностей D42). 3 Классическое определение вероя!- ности события D43) 4 Условные вероятности D43) 5. Полная вероятность Формула Байеса D43) 5 1 2 Случайные величины 444 1 Дискретные случайные величины D44) 2 Непрерывные случайные величины D45) 5 1 3 Моменты распределения 446 1 Дискретный случай D46) 2 Непрерывный случай D47) 5 1 4 Случайные век юры (многомерные случайные величины) 448 1 Дискретные случайные векторы D48) 2 Непрерывные случайные векторы D49) 3 Граничные распределения D49) 4 Моменты многомерной случайной величины D49) 5. Условные распределения D50) 6 Независимоеib случайных величин D50) 7 Регрессионная зависимость D50) 8 Функции oi случайных величин D51) 5 1 5 Характеристические функции 451 1 Свойства характеристических функций D52). 2 Формула обращения и теорема единственности D52) 3 Предельная теорема д 1Я характеристических функций D52) 4 Производящие функции D53) 5 Характеристические функции мноюмерных случайных величин D53). 5 1 6 Предельные теоремы 453 1 Закон больших чисел D53) 2 Предельная 1еорема Муавра —Лапласа D54) 3 Центральная предельная теорема D54) 5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 5 2 1 Выборки 455 1 Гистограмма и эмпирическая функция распределения D55). 2 Функция выборок D56) 3 Некоюрые важные распределения D57) 5 2 2 Оценка параметров .• 457 1 Свойства точечных оценок D57) 2 Методы получения оценок D58). 3 Доверительные оценки D59) 5 2 3 Проверка гипотез (тесты) 460 1 Постановка задачи D60) 2 Общая теория D60) 3 г-критерий D61) 4 /-критерий D61) 5 Критерий Уилкоксона D61). 6 Х—критерий D62) 7. Случай дополнительных параметров D63) 8 Критерий согласия Колмогорова —Смирнова D63) 5 2 4 Корреляция и регрессия 464 1 Оценка корреляционных и pei рессионных характеристик по выборкам D64) 2 Проверка innoiejbi р = 0 в сиучае нормально распределенной 1енеральной совокупности D64) 3 Общая задача рефессии D65) 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 6.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ,6 11 Постановка задачи линейного npoiраммирования и симплекс-метод 466 1 Общая постановка тдачи, i еомс! рическая интерпретация и решение за щч с шумя переменными D66) 2 Канонический вид ЗЛП, изображение вершины в симплекс-таблице D68) 3 Симплекс-метод при заданной начальной таблице D69) 4 Получение начальной вершины D71). 5 Вырожденный случай и его рассмотрение при помощи симплекс-метода D73) 6 Двойственность в линейном программировании D73). 7 Модифицированные методы, дополнительное изменение задачи D75) 6.2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 6 2 1 Линейная транспортная задача 477 62 2 Опускание начального решения * 478 62 3 Транспоржый метод 479
СОДЕРЖАНИЕ 6.3. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 6.3.1 Использование производственных мощностей . . . . к 481 6.3.2. Задача о смесях 481 6.3.3. Распределение, составление плана, сопоставление 482 6.3.4. Раскрой, планирование смен, покрытие 482 6.4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 6.4 1 Постановка задачи 483 6 4.2. Метод решения для случая однопараметрической целевой функции 483 6.5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 6 5 1. Постановка задачи, геометрическая интерпретация 486 6.5.2. Метод сечения Гомори 487 1. Чисто целочисленные задачи линейного программирования D87). 2. Смешанно-целочисленные задачи линейного программирования D88). 6.5.3 Метод разветвления 488 6.5 4. Сравнение методов ' 489 7. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 7.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 7.1.1. Погрешности и их учет 490 7.1.2. Вычислительные методы 491 1. Решение линейных систем уравнений D91). 2. Линейные задачи о собственных значениях D95). 3. Нелинейные уравнения D96) 4. Системы нелинейных уравнений D98) 5 Аппроксимация D99) 6 Интерполяция E02) 7 Приближенное вычисление интегралов E06) 8 Приближенное дифференцирование E10). 9 Дифференциальные уравнения E10). 7 1.3 Реализация численной модели в электронных вычислительных машинах 516 I. Критерии для выбора метода E16). 2. Методы управления E16). 3. Вычисление функций E17). 7.1 4 Номография и логарифмическая линейка 518 1 Соотношения между двумя переменными - функциональные шкалы E18) 2. Логарифмическая (счег- ная) линейка E19). 3. Номограммы точек на прямых и сетчатые номограммы E19). 7.1 5 Обработка эмпирического числового материала 520 1. Метод наименьших квадратов E21). 2. Другие способы выравнивания E22). 7.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА 7.2.1. Электронные вычислительные машины (ЭВМ) 523 1. Вводные замечания E23) 2. Представление информации и память ЭВМ E23) 3 Каналы обмена E24). 4 Программа E24). 5. Программирование E24). 6. Управление ЭВМ E26). 7. Математическое (программное) обеспечение E26). 8. Выполнение работ на ЭВМ E26) 7.2.2 Аналоговые вычислительные машины 527 1. Принцип устройства аналоговой вычислительной техники E27). 2 Вычислительные элементы аналоговой вычислительной машины E27). 3. Принцип программирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений E29). 4 Качественное программирование E30) Список литературы 532 Предметный указатель 534
ОТ РЕДАКЦИИ Справочник И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева по математике для инженеров и студентов втузов прочно завоевал популярность не только в нашей стране, но и за рубежом. Одиннадцатое издание вышло в свет в 1967 г. Дальнейшее издание справочника было приостановлено, так как он уже не отвечал современным требованиям. Переработка справочника была осуществлена по инициативе издательства «Teubner» с согласия авторов большим коллективом специалистов в ГДР (где до этого справочник выдержал 16 изданий). Было принято обоюдное решение выпустить этот переработанный вариант совместным изданием: в ГДР - издательством «Teubner» - на немецком языке; в СССР — Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука» — на русском языке. В результате переработки справочник не только обогатился новыми сведениями по тем разделам математики, которые были представлены ранее, но и был дополнен новыми разделами: «Вариационное исчисление и оптимальное управление» (гл. 3.2), «Математическая логика и теория множеств» (гл. 4.1), «Вычислительная математика» (гл. 7.1), и основными сведениями по вычислительной технике (гл. 7.2). При этом был сохранен общий методический стиль справочника, позволяющий и получить фактическую справку по отысканию формул или табличных данных, и ознакомиться с основными понятиями (или восстановить их в памяти); для лучшего усвоения понятий приводится большое количество примеров. В связи со столь основательным пересмотром справочника в ГДР весь текст был заново переведен с немецкого языка. При подготовке русского издания была произведена некоторая переработка, с тем чтобы по возможности учесть требования программ отечественных вузов. Эта переработка в основном связана с изменением обозначений и терминологии, которые у нас и в ГДР не всегда совпадают. Некоторые разделы для русского издания были переписаны заново — это первые разделы из глав, посвященных алгебре (гл. 2.4), математической логике и теории множеств (гл. 4.1). Менее значительной переделке подверглись разделы, посвященные комплексным переменным (гл. 3.4), вариационному исчислению и оптимальному управлению (гл. 3.2), вычислительной математике (гл. 7.1). В таком виде справочник вышел в 1980 и в 1981 г. В настоящем, 13-м (или 2-м переработанном) издании в справочник внесены многочисленные исправления. Редакция благодарит всех читателей, приславших свои замечания и исправления. С сожалением отмечаем, что таких писем было немного. Основные исправления были внесены по результатам рецензирования и дополнительного редактирования предыдущего издания. Мы'повторяем свою просьбу к читателям присылать замечания в адрес редакции: 117071, Москва, Ленинский проспект, 15, Физматлит, Редакция математических справочников.
1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 1.1. ТАБЛИЦЫ 1.1.1. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1.1.1.1. Некоторые часто встречающиеся постоянные. Величина я 2л Зя 4л я.2 я-3 я:4 я.6 я:180(=Г) я-10800 (= Г) я:648000 (=Г) я2 У'п /2я ]/^~2 е е2 V"e (/е Л2 ек е2п п g**) fa п 3,141593 6,283185 9,424778 12,566371 1,570796 1,047198 0,785398 0,523599 0,017453 0,000291 0,000005 9,869604 1,772454 2,506628 1,253314 1,464592 1,611992 2,718282 7,389056 1,648721 1,395612 4,810477 23,140693 535,491656 0,577216 0,434294 9,81 96,2361 3,13209 4,42945 *) С—постоянная Эйлера. **) g — ускорение свободного падения lgH 0,49715 0,79818 0,97427 1,09921 0,19612 0,02003 1,89509 1,71900 2,24188 4,46373 6,68557 0,99430 0,24857 0,39909 0,09806 0,16572 0,20736 0,43429 0,86859 0,21715 0,14476 0,68219 1,36438 2,72875 1,76134 1,63778 0,99167 1,98334 0,49583 0,64635 м/с2); здесь дане Величина 1 я 1 2л 1.3л 1:4л 2:я 3-я 4 я 6л 180°:я 1О8ОО':л 648000":л 1-я2 /Гл /ТТгл" )/—* f/ЗАп: 1:е 1:е2 \/пе У'Т:е г*2 е-п 1пя 1 Л/= In 10 1:* 1:2* n]/~g n\/~2g п 0,318310 0,159155 0,106103 0,079577 0,636620 0,954930 1,273240 1,909859 57 ,295780 3437', 7468 206264",81 0,101321 0,564190 0,398942 0,797885 0,682784 0,620350 0,367879 0,135335 0,606531 0,716532 0,207880 0,043214 0,001867 1,144730 2,302585 0,10194 0,050968 9,83976 13,91552 ) округленное значение g на уровне моря lgn 1,50285 1,20182 1,02573 2,90079 1,80388 1,97997 0,10491 0,28100 1,75812 3,53627 5,31443 1,00570 1,75143 1,60091 1,90194 1,83428 1,79264 1,56571 1,13141 1,78285 1,85524 1,31781 2,63562 3,27125 0,05870 0,36222 1,00833 2,70730 0,99298 1,14350 на широте 45—50°.
12 ТАБЛИЦЫ Интерполяция. Большинство помещенных ниже таблиц даег значения функций с четырьмя значащими цифрами для трехзначных аргументов. Когда аргумент задан с большей точностью и, следовательно, искомое значение функции не может быть найдено непосредственно в таблицах, необходимо прибегать к интерполяции. Наиболее простой является линейная интерполяция, при которой допускают, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями х0 и хх = х0 + К которым соответствуют значения функции v0 = f(xo) и >'i = f(xi) = >'о + Ai то принимают Интерполяционная поправка А легко вычисляется с помощью таблицы пропорциональных частей 1.1.1.17. Примеры. 1) Найти 1,67542. В таблицах находим: 1,672= 2,789 и 1,682= 2,822; тогда Л = 33*). Из таблицы пропорциональных частей получаем: 0,5-33 = 16,5; 0,04-33 = = 1,3; -——Д = 16,5 + 1,3 * 18; 1,67542 = 2,807. h 2) Найти tg79°24\ В таблицах находим: tg79°20' = = 5,309 и tg79°30' = 5,396; тогда Л = 87; 0,4-87% 35; tg79°24' = 5,344. Погрешность линейной интерполяции не превышает единицы последней значащей цифры, если только две соседние разности Ао и Аг **) различаются не больше чем на 4 единицы (последнего знака). Если это условие не выполнено, необходимо пользоваться более сложными интерполяционными формулами. В большинстве случаев достаточной является квадратичная интерполяция по Бесселю: к = х — х0 h ; /с A — Ас) ki находится из габл. 1.1.1.18. Пример. Требуется найти tg85°33'. По таблице находим (И = 10'): к = 0,3, кх = 0,052; поправка равна 0,3-491 - - 0,052 - 75 % 143; tg 85°33' = 12,849. 1.1.1.2. Квадраты, кубы, корни. Объяснения к таблице. Таблица позволяет находить квадраты, кубы, квадратные и кубические корни с четырьмя значащими цифрами. Для аргументов п, заключенных между 1 и 10, величины и2, л3 находятся непосредственно из таблицы, если значение аргумента дано с тремя значащими цифрами. Например, 1,792 = 3,204. Если же значение аргумента задано более чем тремя значащими цифрами, необходимо прибегнуть к интерполяции. Для этой таблицы погрешность линейной интерполяции нигде не превышает единицы последнего знака. Для нахождения и2, и3 при п > 10 и п < 1 принимают во внимание, что при увеличении п в 10к раз п2 увеличивается в 102* раз, и3 — в 103к раз, т. е. перенос запятых у п на к разрядов вправо вызывает перенос запятых у п2 на 2/с разрядов вправо. При этом по мере надобности к взятому из таблиц числу приписываются нули справа' или слева. Например, 0Д792 = 0,03204; 1793 = 5735000*). Корни квадратные для и, заключенных между 1 и 100, могут быть найдены непосредственно из таблицы (с применением линейной интерполяции), а для любых п — по следующим правилам. 1) Подкоренное число разбивают в обе стороны от запятой на грани, содержащие по две цифры. 2) В зависимости от того, содержит ли первая слева, не состоящая из нулей грань одну или две значащие цифры, значение корня находят в таблице соответственно в графе ]/п или J/10n. 3) В найденном значении корня запятую ставят, исходя из того, что каждая грань подкоренного числа, стоящая до запятой, дает для корня одну цифру до запятой, а для чисел, меньших 1, каждая состоящая из нулей грань после запятой дает для корня один нуль после запятой. Прим еры. 1) ]/гу9 = 4,889; 2) /23WO0 = 488,9; 3) l/0,00'02'39 = 0,01546; 4) |/0,00'3 = 0,05477. (В последнем примере под знаком корня на конце нужно мысленно добавить один нуль, т. е. дополнить последнюю грань, и корень следует искать в графе |/10и.) Корни кубические для п, заключенных между 1 и 1000, могут быть найдены непосредственно из таблицы (с применением линейной интерполяции), а для любых и - по следующим правилам. 1) Подкоренное число разбивают в обе стороны от запятой на грани, содержащие по три цифры. 2) В зависимости от того, содержит ли первая слева, не состоящая из нулей грань одну, две или три значащие цифры, значение корня находят в таблице соответственно в графе ]/п, J/lOn или j/lOOn. 3) В найденном значении корня запятую ставят по тому же правилу, что и для квадратных корней. Примеры. 1) few - 2,880»»); 2) ]/39'000 = 62,06; 3) |^О,0ОО'О02'39 = 0,01337; 4) ^О.ООО'З - 0,06694; 5) |/^03 - = 0,3107. (В последних двух примерах под знаком корня на конце нужно мысленно добавить соответственно два нуля и один нуль, т. е. дополнить соответствующую грань.) *) Разность А и поправку обычно выражают в едини- *) Лучше записать 1793 = 5,735- 106, избегая употребле- цах разряда последней значащей цифры, не выписывая ния нулей для замены неизвестных цифр (точно: 1793 = нулей и запятой впереди =5735 339) **) Здесь подразумеваются обозначения- Xi = х0 + К **) Нуль на конце нужно сохранить, так как здесь он яв- х2 = л0 + 2/?, х , -— х0 — /», ук = f{xk) (к — — 1, 0, 1, 2), Ао = ляется значащей цифрой и характеризует точность полу- = Vi - Vo, At - r2 v'i, A_j — v0 — v-i ченного значения корня.
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 13 I Квадраты, к п 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 ,30 ,31 ,32 ,33 ,34 ,35 ,36 ,37 ,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 'бы, квадратные и кубические корни Л2 1,000 ,020 ,040 ,061 ,082 ,102 ,124 ,145 ,166 ,188 ,210 ,232 ,254 ,277 ,300 ,322 ,346 ,369 ,392 1,416 1,440 1,464 ,488 ,513 ,538 ,562 ,588 ,613 ,638 ,664 1,690 ,716 1,742 ,769 ,796 1,822 1,850 1,877 1,904 1,932 1,960 1,988 2,016 2,045 2,074 2,102 2,132 2,161 2,190 2,220 2,250 2,280 2,310 2,341 2,372 2,402 л* 1,000 1,030 1,061 1,093 1,125 ,158 1,191 ,225 ,260 ,295 ,331 ,368 ,405 ,443 ,482 ,521 1,561 1,602 ,643 ,685 ,728 1,772 ,816 ,861 1,907 1,953 2,000 2,048 2,097 2,147 2,197 2,248 2,300 2,353 2,406 2,460 2,515 2,571 2,628 2,686 2,744 2,803 2,863 2,924 2,986 3 049 3,112 3,177 3,242 3,308 3,375 3,443 3,512 3,582 3,652 3,724 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,025 1,030 1,034 1,039 1,044 1,049 1,054 1,058 1,063 1,068 1,072 1,077 1,082 1,086 1,091 1,095 ,100 ,105 ,109 ,114 ,118 ,122 ,127 ,131 ,136 ,140 ,145 ,149 ,153 ,158 ,162 ,166 ,170 ,175 ,179 ,183 ,187 ,192 ,196 ,200 ,204 ,208 ,212 ,217 ,221 ,225 ,229 ,233 ,237 ,241 1,245 |/Юл 3,162 3,178 3,194 3,209 3,225 3,240 3,256 3,271 3,286 3,302 3,317 3,332 3,347 3,362 3,376 3,391 3,406 3,421 3,435 3,450 3,464 3,479 3,493 3,507 3,521 3,536 3,550 3,564 3,578 3,592 3,606 3,619 3,633 3,647 3,661 3,674 3,688 3,701 3,715 3,728 3,742 3,755 3,768 3,782 3,795 3,808 3,821 3,834 3,847 3,860 3,873 3,886 3,899 3,912 3,924 3,937 (/п 1,000 1,003 1,007 1,010 1,013 ,016 ,020 ,023 ,026 ,029 ,032 ,035 ,038 ,042 ,045 ,048 ,051 ,054 ,057 1,060 1,063 1,066 1,069 1,071 1,074 1,077 1,080 1,083 1,086 1,089 ,091 ,094 ,097 ,100 ,102 ,105 ,108 ,111 ,113 ,116 ,119 ,121 ,124 ,127 ,129 ,132 1,134 1,137 1,140 ,142 .145 ,147 1,150 1,152 1,155 1,157 f/10w 2,154 2,162 2,169 2,176 2,183 2,190 2,197 2,204 2,210 2,217 2,224 2,231 2,237 2,244 2,251 2,257 2,264 2,270 2,277 2,283 2,289 2,296 2,302 2,308 2,315 2,321 2,327 2,333 2,339 2,345 2,351 2,357 2,363 2,369 2,375^ 2,381 2,387 2,393 2,399 2,404 2,410 2,416 2,422 2,427 2,433 2,438 2,444 2,450 2,455 2,461 2,466 2,472 2,477 2,483 2,488 2,493 4,642 4,657 4,672 4,688 4,703 4,718 4,733 4,747 4,762 4,777 4,791 4,806 4,820 4,835 . 4,849 4,863 4,877 4,891 4,905 4,919 4,932 4,946 4,960 4,973 4,987 5,000 5,013 5,027 5,040 5,053 5,066 5,079 5,092 5,104 5,117 5,130 5,143 5,155 5,168 5,180 5,192 5,205 5,217 5,229 5,241 5,254 5,266 5,278 5,290 5,301 5,313 5,325 5,337 5,348 5,360 5,372
14 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 ,70 ,71 ,72 ,73 ,74 ,75 ,76 ,77 ,78 ,79 ,80 ,81 ,82 ,83 ,84 ,85 ,86 ,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 л2 2,402 2,434 2,465 2,496 2,528 2,560 2,592 " 2,624 2,657 2,690 2,722 2,756 2,789 2,822 2,856 2,890 2,924 2,958 2,993 3,028 3,062 3,098 3,133 3,168 3,204 3,240 3,276 3,312 3,349 3,386 3,422 3,460 3,497 3,534 3,572 3,610 3,648 3,686 3,725 3,764 3.802 3,842 3,881 3,920 3,960 . . 4,000 4,040 4,080 4,121 4,162 4,202 4,244 4,285 4,326 4,368 4,410 3,724 3,796 3,870 3,944 4,020 4,096 4,173 4,252 4,331 4,411 4,492 4,574 4,657 4,742 4,827 4,913 5,000 5,088 5,178 5,268 5,359 5,452 5,545 5,640 5,735 5,832 5,930 6,029 6,128 6,230 ' 6,332 6,435 6,539 6,645 6,751 6,859 6,968 7,078 7,189 7,301 7,415 7,530 7,645 7,762 7,881 8,000 8,121 8,242 8,365 8,490 8,615 8,742 8,870 8,999 9,129 9,261 1,245 1,249 1,253 1,257 1,261 1,265 1,269 1,273 1,277 1,281 1,285 1,288 1,292 1,296 1,300 1,304 1,308 1,311 1,315 1,319 1,323 1,327 1,330 1,334 1,338 1,342 1,345 1,349 1,353 1,356 1,360 1,364 1,367 1,371 1,375 1,378 1,382 1,386 1,389 1,393 1,396 1,400 1,404 1,407 1,411 1,414 1,418 1,421 1,425 1,428 1,432 1,435 1,439 J,442 1,446 1,449 \'Ш 3,937 3,950 3,962 3,975 3,987 4,000 4,012 4,025 4,037 4,050 4,062 4,074 4,087 4,099 4,111 4,123 4,135 4,147 4,159 4,171 4,183 4,195 4,207 4,219 4,231 4,243 4,254 4,266 4,278 4,290 4,301 4,313 4,324 4,336 4,347 4,359 4,370 4,382 4,393 4,405 4,416 4,427 4,438 4,450 4,461 4,472 4,483 4,494 4,506 4,517 4,528 4,539 4,550 4,561 4,572 4,583 1,157 1,160 1,162 1,165 1,167 1,170 1,172 1,174 1,177 1,179 1,182 1,184 1,186 1,189 1,191 1,193 1,196 1,198 1,200 1,203 1,205 1,207 1,210 1,212 1,214 1,216 1,219 1,221 1,223 1,225 1,228 1,230 1,232 1,234 1,236 1,239 1,241 1,243 1,245 1,247 1,249 1,251 1,254 1,256 1,258 1,260 1,262 1,264 1,266 1,268 1,270 1,272 1,274 1,277 1,279 1,281 fV I o/i 2,493 2,499 2,504 2,509 2,515 2,520, 2,525 2,530 2,535 2,541 2,546 2,551 2,556 2,561 2,566 2,571 2,576 2,581 2,586 2,591 2,596 2,601 2,606 2,611 2,616 2,621 2,626 2,630 2,635 2,640 2,645 2,650 2,654 2,659 2,664 2,668 2,673 2,678 2,682 2,687 2,692 2,696 2,701 2,705 2,710 2,714 2,719 2,723 2,728 2,732 2,737 2,741 2,746 2,750 2,755 2,759 р 100/1 5,372 5,383 5,395 5,406 5,418 5,429 5,440 5,451 5,463 5,474 5,485 5,496 5,507 5,518 5,529 5,540 5,550 5,561 5,572 5,583 5,593 5,604 5,615 5,625 5,636 5,646 5,657 5,667 5,677 5,688 5,698 5,708 5,718 5,729 5,739 5,749 5,759 5,769 5,779 5,789 5,799 5,809 5,819 5,828 5,838 5,848 5,858 5,867 5,877 5,887 5,896 5,906 5,915 5,925 5,934 5,944
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 15 Продолжение п 2,10 ' 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,40 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49 2,50 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 4,410 4,452 4,494 4,537 4,580 4,622 4,666 4,709 4,752 4,796 4,840 4,884 4,928 4,973 5,018 5,062 5,108- 5,153 5,198 5,244 5,290 5,336 5,382 5,429 5,476 5,522 5,570 5,617 5,664 5,712 5,760 5,808 5,856 5,905 5,954 6,002 6,052 6,101 6,150 6,200 6,250 6,300 6,350 6,401 6,452 6,502 6,554 6,605 6,656 6,708 6,760 6,812 6,864 6,917 6,970 7,022 и* 9,261 9,394 9,528 9,664 9,800 9,938 10,08 10,22 10,36 10,50 10,65 10,79 10,94 11,09 11,24 11,39 11,54 11,70 11,85 12,01 12,17 12,33 12,49 12,65 12,81 12,98 13,14 13,31 13,48 13,65 13,82 14,00 14,17 14,35 14,53 14,71 14,89 15,07 15,25 15,44 15,62 15,81 16,00 16,19 16,39 16,58 16,78 16,97 17,17 17,37 17,58 17,78 17,98 18,19 18,40 18,61 \~п ,449 ,453 ,456 ,459 ,463 ,466 ,470 ,473 ,476 ,480 ,483 ,487 ,490 ,493 ,497 ,500 ,503 ,507 ,510 ,513 ,517 ,520 ,523 ,526 ,530 ,533 ,536 ,539 ,543 ,546 ,549 ,552 ,556 ,559 ,562 ,565 ,568 ,572 ,575 ,578 ,581 ,584 ,587 ,591 ,594 ,597 ,600 ,603 ,606 ,609 ,612 ,616 ,619 ,622 1,625 1,628 |/10и 4,583 4,593 4,604 4,615 4,626 4,637 4,648 4,658 4,669 4,680 4,690 4,701 4,712 4,722 4,733 4,743 4,754 4,764 4,775 4,785 4,796 4,806 4,817 4,827 4,837 4,848 4,858 4,868 4,879 4,889 4,899 4,909 4,919 4,930 4,940 4,950 4,960 4,970 4,980 4,990 5,000 5,010 5,020 5,030 5,040 5,050 5,060 5,070 5,079 5,089 5,099 5,109 5,119 5,128 5,138 5,148 1,281 ,283 ,285 ,287 ,289 ,291 ,293 ,295 ,297 ,299 ,301 ,303 ,305 ,306 ,308 ,310 ,312 ,314 ,316 ,318 ,320 ,322 ,324 ,326 ,328 ,330 ,331 ,333 ,335 ,337 ,339 ,341 ,343 ,344 ,346 ,348 ,350 ,352 ,354 ,355 ,357 ,359 ,361 ,363 ,364 1,366 1,368 1,370 1,372 1,373 - 1,375 1,377 1,379 1,380 1,382 1,384 2,759 2f763 2,768 2,772 2,776 2,781 2,785 2,789 2,794 2,798 2,802 2,806 -2,811 2,815 2,819 2,823 2,827 2,831 2,836 2,840 2,844 2,848 2,852 2,856 2,860 2,864 2,868 2,872 2,876 2,880 2,884 2,888 2,892 2,896 2,900 2,904 2,908 2,912 2,916 2,920 2,924 2,928 2,932 2,936 2,940 2,943 2,947 2,951 2,955 2,959 2,962 2,966 2,970 2,974 2,978 2,981 f/ 100л 5,944 5,953 5,963 5,972 5,981 5,991 6,000 6,009 6,018 6,028 6,037 6,046 6,055 6.064 6,073 6,082 6,091 6,100 6,109 6,118 6,127 6,136 6,145 6,153 6,162 6,171 6,180 6,188 6,197 6,206 6,214 6,223 6,232 6,240 6,249 6,257 6,266 6,274 6,283 6,291 6,300 6,308 6,316 6,325 6,333 6,341 6,350 6,358 6,366 6,374 6,383 6,391 6,399 6,407 6,415 6,423
16 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 2,77 2,78 2,79 2,80 2,81 2,82 2,83 2,84 2,85 2,86 2,87 2,88 2,89 2,90 2,91 2,92 2,93 2,94 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 «2 7,022 7,076 7,129 7,182 7,236 7,290 7,344 7,398 7,453 7,508 7,562 7,618 7,673 7,728 7,784 7,840 7,896 7,952 8,009 8,066 8,122 8,180 8,237 8,294 8,352 8,410 8,468 8,526 8,585 8,644 8,702 8,762 8,821 8,880 8,940 9,000 9,060 9,120 9,181 9,242 9,302 9,364 9,425 9,486 9,548 9,610 9,672 9,734 9,797 9,860 9,922 9,986 10,05 10,11 10,18 10,24 л* 18,61 18,82 19,03 19,25 19,47 19,68 19,90 20,12 20,35 20,57 20,80 21,02 21,25 21,48 21,72 21,95 22,19 22,43 22,67 22,91 23,15 23,39 23,64 23,89 24,14 24,39 24,64 24.90 '25,15 25,41 25,67 25,93 26,20 26,46 26,73 27,00 27,27 27,54 27,82 28,09 28,37 28,65 28,93 29,22 29,50 29,79 30,08 30,37 30,66 30,96 31,26 31,55 31,86 32,16 32,46 32,77 1,628 1,631 1,634 1,637 1,640 1,643 1,646 1,649 1,652 1,655 1,658 1,661 1,664 1,667 1,670 1,673 1,676 1,679 1,682 1,685 1,688 ,691 1,694 1,697 1,700 1,703 1,706 1,709 1,712 1,715 ,718 ,720 ,723 ,726 ,729 ,732 ,735 ,738 ,741 1,744 ,746 ,749 ,752 ,755 ,758 1,761 ,764 ,766 ,769 ,772 ,775 ,778 ,780 ,783 ,786 1,789 \/\0п 5,148 5,158 5,167 5,177 5,187 5,196 5,206 5,215 5,225 5,235 5,244 5,254 5,263 5,273 5,282 5,292 5,301 5,310 5,320 5,329 5,339 5,348 5,357 5,367 5,376 5,385 5,394 5,404 5,413 5,422 5,431 5,441 5,450 5,459 5,468 5,477 5,486 5,495 5,505 5,514 5,523 5,532 5,541 5,550 5,559 5,568 5,577 5,586 5,595 5,604 5,612 5,621 5,630 5,639 5,648 5,657 Г» 1,384 ,386 1,387 ,389 ,391 ,392 ,394 ,396 ,398 ,399 1,401 1,403 1,404 1,406 1,408 1,409 1,411 1,413 1,414 1,416 1,418 1,419 1,421 1,423 1,424 1,426 1,428 1,429 1,431 1,433 1,434 1,436 1,437 1,439 1,441 1,442 1,444 1,445 1,447 1,449 1,450 1,452 1,453 1,455 1,457 1,458 1,460 1,461 1,463 1,464 1,466 1,467 1,469 1,471 1,472 1,474 1^1 Он 2,981 2,985 2,989 2,993 2,996 3,000 3,004 3,007 3,011 3,015 3,018 3,022 3,026 3,029 3,033 3,037 3,040 3,044 3,047 3,051 3,055 3,058 3,062 3,065 3,069 3,072 3,076 3,079 3,083 3,086 3,090 3,093 3,097 3,100 3,104 3,107 3,111 3,114 3,118 3,121 3,124 3,128 3,131 3,135 3,138 3,141 3,145 3,148 3,151 ' 3,155 3,158 3,162 3,165 3,168 3,171 3,175 {Лоои 6,423 6,431 6,439 6,447 6,455 6,463 6,471 6,479 6,487 6,495 6,503 6,511 6,519 6,527 6,534 6,542 6,550 6,558 6,565 6,573 6,581 6,589 6,596 6,604 6,611 6,619 6,627 6,634 6,642 6,649 6,657 6,664 6,672 6,679 6,687 6,694 6,702 6,709 6,717 6,724 6,731 6,739 6,746 6,753 6,761 6,768 6,775 6,782 6,790 6,797 6,804 6,811 6,818 6,826 6,833 6,840
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 17 Продолжение п 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 10,24 10,30 10,37 10,43 10,50 10,56 10,63 10,69 10,76 10,82 10,89 10,96 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,36 11,42 11,49 11,56 11,63 11,70 11,76 11,83 11,90 11,97 12,04 12,11 12,18 12,25 12,32 12,39 12,46 12,53 12,60 12,67 12,74 12,82 12,89 12,96 13,03 13,10 13,18 13,25 13,32 13,40 13,47 13,54 13,62 13,69 13,76 13,84 13,91 13,99 14,06 32,77 33,08 33,39 33,70 34,01 34,33 34,65 34,97 35,29 35,61 35,94 36,26 36,59 36,93 37,26 37,60 37,93 38,27 38,61 38,96 39,30 39,65 40,00 40,35 40,71 41.06 41,42 41,78 42,14 42,51 42,88 43,24 43,61 43,99 44,36 44,74 45,12 45,50 45,88 46,27 46,66 47,05 47,44 47,83 48,23 48,63 49,03 49,43 49,84 ' 50,24 50,65 51,06 51,48 51,90 52,31 52,73 1,789 1,792 1,794 1,797 1,800 1,803 1,806 1,808 ,811 ,814 ,817 1,819 1,822 ,825 1,828 1,830 1,833 1,836 1,838 1,841 1,844 1,847 1,849 1,852 1,855 1,857 1,860 1,863 1,865 1,868 1,871 1,873 1,876 1,879 1,881 1,884 1,887 1,889 1,892 1,895 1,897 1,900 1,903 1,905 1,908 1,910 1,913 1,916 1,918 1,921 1,924 1,926 1,929 1,931 1,934 1,936 \/\0п 5,657 5,666 5,675 5,683 5,692 5,701 5,710 5,718 5,727 5,736 5,745 5,753 5,762 5,771 5,779 5,788 5,797 5,805 5,814 5,822 5,831 5,840 5,848 5,857 5,865 5,874 5,882 5,891 5,899 5,908 5,916 5,925 5,933 5,941 5,950 5,958 5,967 5,975 5,983 5,992 6,000 6,008 6,017 6,025 6,033 6,042 6,050 6,058 6,066 6,075 6,083 6,091 6,099 6,107 6,116 6,124 1,474 1,475 1,477 1,478 1,480 1,481 1,483 1,484 1,486 1,487 1,489 1,490 1,492 1,493 1,495 1,496 1,498 1,499 1,501 1,502 1,504 1,505 1,507 1,508 1,510 1,511 1,512 1,514 1,515 1,517 1,518 1,520 1,521 1,523 1,524 1,525 1,527 1,528 1,530 1,531 1,533 1,534 1,535 1,537 1,538 1,540 1,541 1,542 1,544 1,545 1,547 1,548 1,549 1,551 1,552 1,554 (УТой 3,175 3,178 3,181 3,185 3,188 3,191 3,195 3,198 3,201 3,204 3,208 3,211 3,214 3,217 3,220 3,224 3,227 3,230 3,233 3,236 3,240 3,243 3,246 3,249 3,252 3,255 3,259 3,262 3,265 3,268 3,271 3,274 3,277 3,280 3,283 3,287 3,290 3,293 ' 3,296 3,299 3,302 3,305 3,308 3,311 3,314 3,317 3,320 3,323 3,326 3,329 3,332 3,335 3,338 3,341 3,344 3,347 J^lOOw 6,840 6,847 6,854 6,861 6,868 6,875 6,882 6,889 6,896 6,903 6,910 6,917 6,924 6,931 6,938 6,945 6,952 6,959 6,966 6,973 6,980 6,986 6,993 7,000 7,007* 7,014 7,020 7,027 7,034 7,041 7,047 7,054 7,061 7,067 7,074 7,081 7,087 7,094 7,101 7,107 7,114 7,120 7,127 7,133 7,140 7,147 7,153 7,160 7,166 7,173 7,179 7,186 7,192 7,198 7,205 7,211
18 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 4,30 14,06 14,14 14,21 14,29 14,36 14,44 14,52 14,59 14,67 14,75 14,82 14,90 14?8 15,05 15,13 15,21 15,29 15,37 15,44 15,52 15,60 15,68 15,76 15,84 15,92 16,00 16,08 16,16 16,24 16,32 16,40 16,48 16,56 16,65 16,73 16,81 16,89 16,97 17,06 17,14 17,22 17,31 17,39 17,47 17,56 17,64 17,72 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,23 18,32 18,40 18,49 52,73 53,16 53,58 54J01 54,44 54,87 5531 55,74 56,18 56,62 57,07 57,51 57,96 58,41 58,86 59,32 59,78 60,24 60,70 61,16 61,63 62,10 62,57 63,04 63,52 64,00 64,48 64,96 65,45 65,94 66,43 66,92 67,42 67,92 68,42 68,92 69,43 69,93 70,44 70,96 71,47 71,99 72,51 73,03 73,56 7409 74,62 75,15 75,69 76,23 16,11 77,31 77,85 78,40 78,95 79,51 1,936 1,939 1,942 1,944 1,947 1,949 1,952 1,954 1,957 1,960 1,962 1,965 1,967 1,970 1,972 1,975 1,977 1280 1,982 1,985 1,987 1,990 1,992 1,995 1,997 2,000 2,002 2,005 2,007 2,010 2,012 2,015 2,017 2,020 2,022 2,025 2,027 2,030 2,032 2,035 2,037 2,040 2,042 2,045 2,047 2,049 2,052 2,054 2,057 2,059 2,062 2,064 2,066 2,069 2,071 2,074 /10Й 6,124 6,132 6,140 6,148 6,156 6,164 6,173 6,181 6,189 6,197 6,205 6,213 6,221 6,229 6,237 6,245 6,253 6,261 6,269 6,277 6,285 6,293 6,301 6,309 6,317 6,325 6,332 6,340 6,348 6,356 6,364 6,372 6,380 6,387 6,395 6,403 6,411 6,419 6,427 6,434 6,442 6,450 6,458 6,465 6,473 6,481 6,488 6,496 6,504 6,512 6,519 6,527 6,535 6,542 6,550 6,557 Г* 1,554 1,555 1,556 1,558 1,559 1,560 1,562 1,563 1,565 1,566 1,567 1,569 1,570 1,571 1,573 1,574 1,575 1,577 1,578 1,579 1,581 1,582 1,583 1,585 1,586 1,587 1,589 1,590 1,591 1,593 1,594 1,595 1,597 1,598 1,599 1,601 1,602 1,603 1,604 1,606 1,607 1,608 1,610 1,611 1,612 1,613 1,615 1,616 1,617 1,619 1,620 1,621 1,622 1,624 1,625 1,626 Р Ю/7 3,347 3,350 3,353 3,356 3,359 3,362 3,365 3,368 3,371 3,374 3,377 3,380 3,382 3,385 3,388 3,391 3,394 3,397 3,400 3,403 3,406 3,409 3,411 3,414 3,417 3,420 3,423 3,426 3,428 3,431 3,434 3,437 3,440 3,443 3,445 3,448 3,451 3,454 3,457 3,459 3,462 3,465 3,468 3,471 3,473 3,476 3,479 3,482 3,484 3,487 3,490 3,493 3,495 3,498 3,501 3,503 7,211 7,218 7,224 7,230 7,237 7,243 7,250 7,256 7,262 7,268 7,275 7,281 7,287 7,294 7,300 7,306 7,312 7,319 7,325 7,331 7,337 7,343 7,350 7,356 7,362 7,368 7,374 7,380 7,386 7,393 7,399 7,405 7,411 7,417 7,423 7,429 7,435 7,441 7,447 7,453 7,459 7,465 7,471 7,477 7,483 7,489 7,495 7,501 7,507 7,513 7,518 7,524 7,530 7,536 7,542 7,548
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 19 Продолжение п 4,30 4,31 4,32 4,33 4,34 4,35 4,36 4,37 4,38 4,39 4,40 4,41 4,42 4,43 4,44 4,45 4,46 4,47 4,48 4,49 4,50 4,51 4,52 4,53 4,54 4,55 4,56 4,57 4,58 4,59 4,60 4,61 4,62 4,63 4,64 4,65 4,66 4,67 4,68 4,69 4,70 4,71 4,72 4,73 4,74 4,75 4,76 4,77 4,78 4,79 4,80 4,81 4,82 4,83 4,84 4,85 л2 18,49 18,58 18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,10 19,18 19,27 19,36 19,45 19,54 19,62 19,71 19,80 19,89 19,98 20,07 20,16 20,25 20,34 20,43 20,52 20,61 20,70 20,79 20,88 20,98 21,07 21,16 21,25 21,34 21,44 21,53 21,62 21,72 21,81 21,90 22,00 22,09 22,18 22,28 22,37 22,47 22,56 22,66 22,75 22,85 22,94 23,04 23,14 23,23 23,33 23,43 23,52 79,51 80,06 80,62 81,18 81,75 82,31 82,88 83,45 84,03 84,60 85,18 85,77 86,35 86,94 ' 87,53 88,12 88,72 89,31 89,92 90,52 91,12 91,73 92,35 92,96 93,58 94,20 94,82 95,44 96,07 96,70 97,34 97,97 98,61 99,25 99,90 100,5 101,2 101,8 102,5 103,2 103,8 104,5 105,2 105,8 106,5 107,2 107,9 108,5 109,2 109,9 110,6 111,3 112,0 112,7 113,4 114,1 fn 2,074 2,076 2,078 2,081 2,083 2,086 2,088 2,090 2,093 2,095 2,098 2,100 2,102 2,105 2,107 2,110 2,112 2,114 2,117 2,119 2,121 2,124 2,126 2,128 2,131 2,133 2,135 2,138 2,140 2,142 2,145 2,147 2,149 2,152 2,154 2,156 2,159 2,161 2,163 2,166 2,168 2,170 2,173 2,175 2,177 2,179 2,182 2,184 2,186 2,189 2,191 2,193 2,195 2,198 2,200 2,202 j/lO/i 6,557 6,565 6,573 6,580 6,588 6,595 6,603 6,611 6,618 6,626 6,633 6,641 6,648 6,656 6,663 6,671 6,678 6,686 6,693 6,701 6,708 6,716 6,723 6,731 6,738 6,745 6,753 6,760 6,768 6,775 6,782 6,790 6,797 6,804 6,812 6,819 6,826 6,834 6,841 6,848 6,856 6,863 6,870 6,877 6,885 6,892 6,899 6,907 6,914 6,921 6,928 6,935 6,943 6,950 6,957 6,964 fn 1,626 1,627 1,629 1,630 1,631 1,632 1,634 1,635 1,636 1,637 1,639 1,640 1,641 1,642 1,644 1,645 1,646 1,647 1,649 1,650 1,651 1,652 . 1,653 1,655 1,656 1,657 1.658 1,659 1,661 1,662 1,663 1,664 1,666 1,667 1,668 1,669 1,670 1,671 1,673 1,674 1,675 1,676 1,677 1,679 1,680 1,681 1,682 1,683 1,685 1,686 1,687 1,688 1,689 1,690 1,692 1,693 3,503 3,506 3,509 3,512 3,514 3,517 3,520 3,522 3,525 3,528 3,530 3,533 3,536 3,538 3,541 3,544 3,546 3,549 3,552 3,554 3,557 3,560 3,562 3,565 3,567 3,570 3,573 3,575 3,578 3,580 3,583 3,586 3,588 3,591 3,593 3,596 3,599 3,601 3,604 3,606 3,609 3,611 3,614 3,616 3,619 3,622 3,624 3,627 3,629 3,632 3,634 3,637 3,639 3,642 3,644 3,647 {hoon 7,548 7,554 7,560 7,565 7,571 7,577 7,583 7,589 7,594 7,600 7,606 7,612 7,617 7,623 7,629 7,635 7,640 7,646 7,652 7,657 7,663 7,669 7,674 7,680 7,686 7,691 7,697 7,703 7,708 7,714 7,719 7,725 7,731 7,736 7,742 7,747 7.753 7,758 7,764 7.769 7,775 7,780 7,786 7,791 7,797 7,802 7,808 7,813 7,819 7,824 7,830 7,835 7,841 7,846 7,851 7,857
20 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 4,85 4,86 4,87 4,88 4,89 4,90 4,91 4,92 4,93 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17 5,18 5,19 5,20 5,21 5,22 5,23 5,24 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 5,30 5,31 5,32 5,33 5,34 5,35 5,36 5,37 5,38 5,39 5,40 23,52 23,62 23,72 23,81 23,91 24,01 24,11 24,21 24,30 24,40 24,50 24,60 24,70 24,80 24,90 25,00 25,10 25,20 25,30 25,40 25,50 25,60 25,70 25,81 25,91 26,01 26,11 26,21 26,32 26,42 26,52 26,63 26,73 26,83 26,94 27,04 27,14 27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98 28,09 28,20 28,30 28,41 28,52 28,62 28,73 28,84 28,94 29,05 29,16 114,1 114,8 115,5 116,2 116,9 117,6 118,4 119,1 119,8 120,6 121,3 122,0 122,8 123,5 124,3 125,0 125,8 126,5 127,3 128,0 128,8 129,6 130,3 131,1 131,9 132,7 133,4 134,2 135,0 135,8 136,6 137,4 138,2 139,0 139,8 140,6 141,4 142,2 143,1 143,9 144,7 145,5 146,4 147,2 148,0 148,9 149,7 150,6 151,4 152,3 153,1 154,0 154,9 155,7 156,6 157,5 fn 2,202 2,205 2,207 2,209 2,211 2,214 2,216 2,218 2,220 2,223 2,225 2,227 2,229 2,232 2,234 2,236 2,238 2,241 2,243 2,245 2,247 2,249 2,252 2,254 2,256 2,258 2,261 2,263 2,265 2,267 2,269 2,272 2,274 2,276 2,278 2,280 2,283 2,285 2,287 2,289 2,291 2,293 2,296 2,298 2,300 2,302 2,304 2,307 2,309 2,31.1 2,313 2,315 2,317 2,319 2,322 2,324 l/Юи 6,964 6,971 6,979 6,986 6,993 7,000 7,007 7,014 7,021 7,029 7,036 7,043 7,050 7,057 7,064 7,071 7,078 7,085 7,092 7,099 7,106 7,113 7,120 7,127 7,134 7,141 7,148 7,155 7,162 7,169 7,176 7,183 7,190 7,197 7,204 7,211 7,218 7,225 7,232 7,239 7,246 7,253 7,259 7,266 7,273 7,280 7,287 7,294 7,301 7,308 7,314 7,321 7,328 7,335 7,342 7,348 fn 1,693 1,694 1,695 1,696 1,697 1,698 1,700 1,701 ,702 ,703 ,704 ,705 ,707 ,708 1,709 1,710 ,711 1,712 1,713 1,715 1,716 1,717 1,718 1,719 1,720 1,721 1,722 1,724 1,725 1,726 1,727 1,728 1,729 1,730 1,731 1,732 1,734 1,735 1,736 1,737 1,738 1,739 1,740 1,741 1,742 1,744 1,745 1,746 1,747 1,748 1,749 1,750 1,751 1,752 1,753 1,754 3,647 3,649 3,652 3,654 3,657 3,659 3,662 3,664 3,667 3,669 3,672 3,674 3,677 3,679 3,682 3,684 3,686 3,689 3,691 3,694 3,696 3,699 3,701 3,704 3,706 3,708 3,711 3,713 3,716 3,718 3,721 3,723 3,725 3,728 3,730 3,733 3,735 3,737 3,740 3,742 3,744 3,747 3,749 3,752 3,754 3,756 3,759 3,761 3,763 3,766 3,768 3,770 3,773 3,775 3,777 3,780 jhoo/i 7,857 7,862 7,868 7,873 7,878 7,884 7,889 7,894 7,900 7,905 7,910 7,916 7,921 7,926 7,932 7,937 7,942 7,948 7,953 7,958 7,963 7,969 7,974 7,979 7,984 7,990 7,995 8,000 8,005 8,010 8,016 8,021 8,026 8,031 8,036 8,041 8,047 8,052 8,057 8,062 8,067 8,072 8,077 8,082 8,088 8,093 8,098 8,103 8,108 8,113 8,118 8,123 8,128 8,133 8,138 8,143
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 21 Продолжение п 5,40 5,41 5,42 5,43 5,44 5,45 5,46 5,47 5,48 5,49 5,50 5,51 5,52 5,53 5,54 5,55 5,56 5,57 5,58 5,59 5,60 5,61 5,62 5,63 5,64 5,65 5,66 5,67 5,68 5,69 5,70 5,71 5,72 5,73 5,74 5,75 5,76 5,77 5,78 5,79 5,80 5,81 5,82 5,83 5,84 5,85 5,86 5,87 5,88 5,89 5,90 5,91 5,92 5,93 5,94 5,95 л2 29,16 29,27 29,38 29,48 29,59 29,70 29,81 29,92 30,03 30,14 30,25 30,36 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,02 31,14 31,25 31,36 31,47 31,58 31,70 31,81 31,92 32,04 32,15 32,26 32,38 32,49 32,60 32,72 32,83 32,95 33,06 33,18 33,29 33,41 33,52 33,64 33,76 33,87 33,99 34,11 34,22 34,34 34,46 34,57 34,69 34,81 34,93 35,05 35,16 35,28 35,40 и? 157,5 158,3 159,2 160,1 161,0 161,9 162,8 163,7 164,6 165,5 166,4 167,3 168,2 169,1 170,0 171,0 171,9 172,8 173,7 174,7 175,6 176,6 177,5 178,5 179,4 180,4 181,3 182,3 183,3 184,2 185,2 186,2 187,1 188,1 189,1 190,1 191,1 192,1 193,1 194,1 195,1 196,1 197,1 198,2 199.2 200,2 201,2 202,3 203,3 204,3 205,4 206,4 207,5 208,5 209,6 210,6 2,324 2,326 2,328 2,330 2,332 2,335 2,337 2,339 2,341 2,343 2,345 2,347 2,349 2,352 2,354 2,356 2,358 2,360 2,362 2,364 2,366 2,369 2,371 2,373 2,375 2,377 2,379 2,381 2,383 2,385 2,387 2,390 2,392 2,394 2,396 2,398 2,400 2,402 2,404 2,406 2,408 2,410 2,412 2,415 2,417 2,419 2,421 2,423 2,425 2,427 2,429 2,431 2,433 2,435 2,437 2,439 /Той 7,348 7,355 7,362 7,369 7,376 7,382 7,389 7,396 7,403 7,409 7,416 7,423 7,430 7,436 7,443 7,450 7,457 7,463 7,470 7,477 7,483 7,490 7,497 7,503 7,510 7,517 7,523 7,530 7,537 7,543 7,550 7,556 7,563 7,570 7,576 7,583 7,589 7,596 7,603 7,609 7,616 7,622 7,629 7,635 7,642 7,649 7,655 7,662 7,668 7,675 7,681 7,688 7,694 7,701 7,707 7,714 fn 1,754 ,755 1,757 ,758 ,759 ,760 ,761 ,762 1,763 1,764 1,765 1,766 1,767 ,768 ,769 ,771 ,772 1,773 1,774 1,775 1,776 1,777 1,778 1,779 1,780 1,781 1,782 1,783 ,784 1,785 1,786 1,787 ,788 1,789 1,790 1,792 1,793 1,794 1,795 1,796 1,797 1,798 1,799 1,800 1,801 1,802 ,803 ,804 ,805 1,806 1,807 1,808 1,809 1,810 1,811 1,812 jXlO/i 3,780 3,782 3,784 3,787 3,789 3,791 3,794 3,796 3,798 3,801 3,803 3,805 3,808 3,810 3,812 3,814 3,817 3,819 3,821 3,824 3,826 3,828 3,830 3,833 3,835 3,837 3,839 3,842 3,844 3,846 3,849 3,851 3,853 3,855 3,857 3,860 3,862 3,864 3,866 3,869 3,871 3,873 3,875 3,878 3,880 3,882 3,884 3,886 3,889 3,891 3,893 3,895 3,897 3,900 3,90*2 3,904 j/ЛоОл 8,143 8,148 8,153 8,158 8,163 8,168 8,173 8,178 8,183 8,188 8,193 8,198 8,203 8,208 8,213 8,218 8,223 8,228 8,233 8,238 8,243 8,247 8,252 8,257 8,262 8,267 8,272 8,277 8,282 8,286 8,291 8,296 8,301 8,306 8,311 8,316 8,320 8,325 8,330 8,335 8,340 8,344 8,349 8,354 8,359 8,363 8,368 8,373 8,378 8,382 8,387 8,392 8,397 8,401 8,406 8,411
22 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 5,95 5,96 5,97 5,98 5,99 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 6,11 6,12 6,13 6,14 6,15 6,16 6,17 6,18 6,19 6,20 6,21 6,22 6,23 6,24 6,25 6,26 6,27 6,28 6,29 6,30 6,31 6,32 6,33 6,34 6,35 6,36 6,37 6,38 6,39 6,40 6,41 6,42 6,43 6,44 6,45 6,46 6,47 6,48 6,49 6,50 35,40 35,52 35,64 35,76 35,88 36,00 36,12 36,24 36,36 36,48 36,60 36,72 36,84 36,97 37,09 37,21 37,33 37,45 37,58 3'7,70 37,82 37,95 38,07 38,19 38,32 38,44 38,56 38,69 38,81 38,94 39,06 39,19 39,31 39,44 39,56 39,69 39,82 39,94 40,07 40,20 40,32 40,45 40,58 40,70 40,83 40,96 41,09 41,22 41,34 41,47 41,60 41,73 41,86 41,99 42,12 42,25 210,6 211,7 212,8 213,8 214,9 216,0 217,1 218,2 219,3 220,3 221,4 222,5 223,6 224,8 225,9 227,0 228,1 229,2 230,3 231,5 232,6 233,7 234,9 236,0 237,2 238,3 239,5 240,6 241,8 243,0 244,1 245,3 246,5 247,7 248,9 250,0 251,2 252,4 253,6 254,8 256,0 257,3 258,5 259,7 260,9 262,1 263,4 264,6 265,8 267,1 268,3 269,6 270,8 272,1 273,4 274,6 Уп 2,439 2,441 2,443 2,445 2,447 2,449 2,452 2,454 2,456 2,458 2,460 2,462 2,464 2,466 2,468 2,470 2,472 2,474 2,476 2,478 2,480 2,482 2,484 2,486 2,488 2,490 2,492 2,494 2,496 2,498 2,500 2,502 2.504 2,506 2,508 2,510 2,512 2,514 2,516 2,518 2,520 2,522 2,524 2,526 2,528 2,530 2,532 2,534 2,536 2,538 2,540 2,542 2,544 2,546 2,548 2,550 [/Юл 7,714 7,720 7,727 7,733 7,740 7,746 7,752 7,759 7,765 7,772 7,778 7,785 7,791 7,797 7,804 7,810 7,817 7,823 7,829 7,836 7,842 7,849 7,855 7,861 7,868 7,874 7,880 7,887 7,893 7,899 7,906 7,912 7,918 7,925 7,931 7,937 7,944 7,950 7,956 7,962 7,969 7,975 \ 7,981 7,987 7,994 8,000 8,006 8,012 8,019 8,025 8,031 8,037 8,044 8,050 8,056 • 8,062 1,812 1,813 1,814 1,815 1,816 1,817 1,818 1,819 1,820 1,821 1,822 1,823 1,824 1,825 1,826 1,827 1,828 1,829 1,830 1,831 1,832 1,833 1,834 1,835 1,836 1,837 1,838 1,839 1,840 1,841 1,842 1,843 1,844 1,845 1,846 1,847 1,848 1,849 1,850 1,851" 1,852 1,853 1,854 1,855 1,856 1,857 1,858 1,859 1,860 1,860 1,861 1,862 1,863 1,864 1,865 1,866 f/\0n 3,904 3,906 3,908 3,911 3,913 3,915 3,917 3,919 3,921 3,924 3,926 3,928' 3,930 3,932 3,934 3,936 3,939 3,941 3,943 3,945 3,947 3,949 3,951 3,954 3,956 3,958 3,960 3,962 3,964 3,966 3,969 3,971 3,973 3,975 3,977 3,979 3,981 3,983 3,985 3,987 3,990 3,992 3,994 3,996 3,998 4,-000 4,002 4,004 4,006 4,008 4,010 4,012 4,015 4,017 4,019 4,021 f/lOOn 8,411 8,416 8,420 8,425 8,430 8,434 8,439 8,444 8,448 8,453 8,458 8,462 8,467 8,472 8,476 8,481 8,486 8,490 8,495 8,499 8,504 8,509 8,513 8,518 8,522 8,527 8,532 8,536 8,541 8,545 8,550 8,554 8,559 8,564 8,568 8,573 8,577 8,582 8,586 8,591 8,595 8,600 8,604 8,609 8,613 8,618 8,622 8,627 8,631 8,636 8,640 8,645 8,649 8,653 8,658 8,662
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 23 Продолжение п 6,50 6,51 6,52 6,53 6,54 6,55 6,56 6,57 6,58 6,59 6,60 6,61 6,62 6,63 6,64 6,65 6,66 6,67 6,68 6,69 6,70 6,71 6,72 6,73 6,74 6,75 6,76 6,77 6,78 6,79 6,80 6,81 6,82 6,83 6,84 6,85 6,86 6,87 6,88 6,89 6,90 6,91 6,92 6,93 6,94 6,95 6,96 6,97 6,98 6,99 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 42,25 42,38 42,51 42,64 42,77 42,90 43,03 43,16 43,30 43,43 43,56 43,69 43,82 43,96 44,09 44,22 44,36 44,49 44,62 44,76 44,89 45,02 45,16 45,29 45,43 45,56 45,70 45,83 45,97 46,10 46,24 46,38 46,51 46,65 46,79 46,92 47,06 47,20 47,33 47,47 47,61 47,75 47,89 48,02 48,16 48,30 48,44 48,58 48,72 48,86 49,00 49,14 49,28 49,42 49,56 49,70 274,6 275,9 277,2 278,4 279,7 281,0 282,3 283,6 284,9 286,2 287,5 288,8 290,1 291,4 292,8 294,1 295,4 296,7 298,1 299,4 300,8 302,1 303,5 304,8 306,2 307,5 308,9 310,3 311,7 313,0 314,4 315,8 317,2 318,6 320,0 321,4 322,8 324,2 325,7 327,1 328,5 329,9 331,4 332,8 334,3 335,7 337,2 338,6 340,1 341,5 343,0 344,5 345,9 347,4 348,9 350,4 \Г« 2,550 2,551 2,553 2,555 2,557 2,559 2,561 2,563 2,565 2,567 2,569 2,571 2,573 2,575 2,577 2,579 2,581 2,583 2,585 2,587 2,588 2,590 2,592 2,594 2,596 2,598 2,600 2,602 2,604 2,606 2,608 2,610 2,612 2,613 2,615 2,617 2,619 2,621 2,623 2,625 2,627 2,629 2,631 2,632 2,634 2,636 2,638 2,640 2,642 2,644 2,646 2,648 2,650 2,651 2,653 2,655 |/Шй 8,062 8,068 8,075 8,081 8,087 8,093 8,099 8,106 8,112 8,118 8,124 8,130 8,136 8,142 8,149 8,155 8,161 8,167 8,173 8,179 8,185 8,191 8,198 8,204 8,210 8,216 8,222 8,228 8,234 8,240 8,246 8,252 8,258 8,264 8,270 8,276 8,283 8,289 8,295 8,301 8,307 8,313 8,319 8,325 8,331 8,337 8,343 8,349 8,355 8,361 8,367 8,373 8,379 8,385 8,390 8,396 1,866 1,867 1,868 1,869 1,870 1,871 1,872 1,873 1,874 1,875 1,876 1,877 1,878 1,879 1,880 1,881 1,881 1,882 1,883 1,884 1,885 1,886 1,887 1,888 1,889 1,890 1,891 1,892 1,893 1,894 1,895 1,895 1,896 1,897 1,898 1,899 1,900 1,901 1,902 1,903 1,904 1,905 1,906 1,907 1,907 1,908 1,909 1,910 1,911 1,912 1,913 1,914 1,915 1,916 1,917 1,917 4,021 4,023 4,025 4,027 4,029 4,031 4,033 4,035 4,037 4,039 4,041 4,043 4,045 4,047 4,049 4,051 4,053 4,055 4,058 4,060 4,062 4,064 4,066 4,068 4,070 4,072 4,074 4,076 4,078 4,080 4,082 4,084 4,086 4,088 4,090 4,092 4,094 4,096 4,098 4,100 4,102 4,104 4,106 4,108 4,109 4,111 4,113 4,115 4,117 4,119 4,121 4,123 4,125 4,127 4,129 4,131 ]^100/i 8.662 8,667 8,671 8,676 8,680 8,685 8,689 8,693 8,698 8,702 8,707 8,711 8,715 8,720 8,724 8,729 8,733 8,737 8,742 8,746 8,750 8,755 8,759 8,763 8,768 8,772 8,776 8,781 8,785 8,789 8,794 8,798 8,802 8,807 8,811 8,815 8,819 8,824 8,828 8,832 8,837 8,841 8,845 8,849 8,854 8,858 8,862 8,866 8,871 8,875 8,879 8,883 8,887 8,892 8,896 8,900
24 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 7,17 7,18 7,19 7,20 7,21 7,22 7,23 7,24 7,25 7,26 7,27 7,28 7,29 7,30 7,31 7,32 7,33 7,34 7,35 7,36 7,37 7,38 7,39 7,40 7,41 7,42 7,43 7,44 7,45 7,46 7,47 7,48 7,49 7,50 7,51 7,52 7,53 7,54 7,55 7,56 7,57 7,58 7,59 7,60 49,70 49,84 49,98 50,13 50,27 50,41 50,55 50,69 50,84 50,98 51,12 51,27 51,41 51,55 51,70 51,84 51,98 52,13 52,27 52,42 52,56 52,71 52,85 53,00 53,14 53,29 53,44 53,58 53,73 53,88 54,02 54,17 54,32 54,46 54,61 54,76 54,91 55,06 55,20 55,35 55,50 55,65 55,80 55,95 56,10 56,25 56,40 56,55 56,70 56,85 57,00 57,15 57,30 57,46 57,61 57,76 350,4 351,9 353,4 354,9 356,4 357,9 359,4 360,9 362,5 364,0 365,5 367,1 368,6 370,1 371,7 373,2 374,8 376,4 377,9 379,5 381,1 382,7 384,2 385,8 387,4 389,0 390,6 392,2 393,8 395,4 397,1 398,7 400,3 401,9 403,6 405,2 406,9 408,5 410,2 411,8 413,5 415,2 416,8 418,5 420,2 421,9 423,6 425,3 427,0 428,7 430,4 432,1 433,8 435,5 437,2 439,0 2,655 2,657 2,659 2,661 2,663 2,665 2,666 2,668 2,670 2,672 2,674 2,676 2,678 2,680 2,681 2,683 2,685 2,687 2,689 2,691 2,693 2,694 2,696 2,698 2,700 2,702 2,704 2,706 2,707 2,709 2,711 2,713 2,715 2,717 2,718 2,720 2,722 2,724 2,726 2,728 . 2,729 2,731 2,733 2,735 2,737 2,739 2,740 2,742 2,744 2,746 2,748 2,750 2,751 2,753 2,755 2,757 /Юл 8,396 8,402 8,408 8,414 8,420 8,426 8,432 8,438 8,444 8,450 8,456 8,462 8,468 8,473 8,479 8,485 8,491 8,497 8,503 8,509 8,515 8,521 8,526 8,532 8,538 8,544 8,550 8,556 8,562 8,567 8,573 8,579 8,585 8,591 8,597 8,602 8,608 8,614 8,620 8,626 8,631 8,637 8,643 8,649 8,654 8,660 8,666 8,672 8,678 8,683 8,689 8,695 8,701 8,706 8,712 8,718 Г» 1,917 1,918 1,919 1,920 1,921 1,922 1,923 1,924 1,925 1,926 1,926 1,927 1,928 1,929 1,930 1,931 1,932 1,933 1,934 1,935 1,935 1,936 1,937 1,938 1,939 1,940 1,941 1,942 1,943 1,943 1,944 1,945 1,946 1,947 1,948 1,949 1,950 1,950 1,951 1,952 1,953 1,954 1,955 1,956 1,957 1,957 1,958 1,959 1,960 1,961 1,962 1,963 1,964 1,964 1,965 1,966 j/Ufo 4,131 4,133 4,135 4,137 4,139 4,141 4,143 4,145 4,147 4,149 4,151 4,152 4,154 4,156 4,158 4,160 4,162 4,164 4,166 4,168 4,170 4,172 4,174 4,176 4,177 4,179 4,181 4,183 4,185 4,187 4,189 4,191 4,193 4,195 4,196 4,198 4,200 4,202 4,204 4,206 4,208 4,210 4,212 4,213 4,215 4,217 4,219 4,221 4,223 4,225 4,227 4,228 4,230 4,232 4,234 4,236 f/\00n 8,900 8,904 8,909 8,913 8,917 8,921 8,925 8,929 8,934 8,938 8,942 8,946 8,950 8,955 8,959 8,963 8,967 8,971 8,975 8,979 8,984 8,988 8,992 8,996 9,000 9,004 9,008 9,012 9,016 9,021 9,025 9,029 9,033 9,037 9,041 9,045 9,049 9,053 9,057 9,061 9,065 9,069 9,073 9,078 9,082 9,086 9,090 9,094 9,098 9,102 9,106 9,110 9,114 9,118 9,122 9,126
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 25 Продолжение п 7,60 7,61 7,62 7,63 7,64 7,65 7,66 7,67 7,68 7,69 7,70 7,71 7,72 7,73 7,74 7,75 7,76 7,77 7,78 7,79 7,80 7,81 7,82 7,83 7,84 7,85 7,86 7,87 7,88 7,89 7,90 7,91 7,92 7,93 7,94 7,95 7,96 7,97 7,98 7,99 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 8,10 8,11 8,12 8,13 8,14 8,15 57,76 57,91 58,06 58,22 58,37 58,52 58,68 58,83 58,98 59,14 59,29 59,44 59,60 59,75 59,91 60,06 60,22 60,37 60,53 60,68 60,84 61,00 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 61,94 62,09 62,25 62,41 62,57 62,73 62,88 63,04 63,20 63,36 63,52 63,68 63,84 64,00 64,16 64,32 64,48 64,64 64,80 64,96 65,12 65,29 65,45 65,61 65,77 65,93 66,10 66,26 66,42 л-1 439,0 440,7 442,5 444,2 445,9 447,7 449,5 451,2 453,0 454,8 456,5 458,3 460,1 461,9 463,7 465,5 467,3 469,1 470,9 472,7 474^6 476,4 478,2 480,0 481,9 483,7 485,6 487,4 489,3 491,2 493,0 494,9 496,8 498,7 500,6 502,5 504,4 506,3 508,2 510,1 512,0 513,9 515,8 517,8 519,7 521,7 523,6 525,6 527,5 529,5 531,4 533,4 535,4 537,4 539,4 541,3 V» 2,757 2,759 2,760 2,762 2,764 2,766 2,768 2,769 2,771 2,773 2,775 2,777 2,778 2,780 2,782 2,784 2,786 2,787 2,789 2,791 2,793 2,795 2,796 2,798 2,800 2,802 2,804 2,805 2,807 2,809 2,811 2,812 2,814 2,816 2,818 2,820 2,821 2,823 2,825 2,827 2,828 2,830 2,832 2,834 2,835 2,837 2,839 2,841 2,843 2,844 2,846 2,848 2,850 2,851 2,853 2,855 \/\0п 8,718 8,724 8,729 8,735 8,741 8,746 8,752 8,758 8,764 8,769 8,775 8,781 8,786 8,792 8,798 8,803 8,809 8,815 8,820 8,826 8,832 8,837 8,843 8,849 8,854 8,860 8,866 8,871 8,877 8,883 8,888 8,894 8,899 8,905 8,911 8,916 8,922 8,927 8,933 8,939 8,944 8,950 8,955 8,961 8,967 8,972 8,978 8,983 8,989 8,994 9,000 9,009 9,011 9,017 9,022 9,028 1,966 1,967 1,968 1,969 1,970 1,970 1,971 1,972 1,973 1,974 1,975 1,976 1,976 1,977 1,978 1,979 1,980 1,981 1,981 1,982 1,983 1,984 1,985 1,986 t,987 1,987 1,988 1,989 1,990 1,991 1,992 1,992 1,993 1,994 1,995 1,996 1,997 1,997 1,998 1,999 2,000 2,001 2,002 2,002 2,003 2,004 2,005 2,006 2,007 2,007 2,008 2,009 2,010 2,011 2,012 2,012 J^10« 4,236 4,238 4,240 4,241 4,243 4,245 4,247 4,249 4,251 4,252 4,254 4,256 4,258 4,260 4,262 4,264 4,265 4,267 4,269 4,271 4,273 4,274 4,276 4,278 4,280 4,282 4,284 4,285 4,287 4,289 4,291 4,293 4,294 4,296 4,298 4,300 4,302 4,303 4,305 4,307 4,309 4,311 4,312 4,314 4,316 4,318 4,320 4,321 4,323 4,325 4,327 4,329 4,330 4,332 4,334 4,336 1^100/7 9,126 9,130 9,134 9,138 9,142 9,146 9,150 9,154 9,158 9,162 9,166 9,170 9,174 9,178 9,182 9,185 9,189 9,193 9,197 9,201 9,205 9,209 9,213 9,217 9,221 9,225 9,229 9,233 9,237 9,240 9,244 9,248 9,252 9,256 9,260 9,264 9,268 9,272 9,275 9,279 9,283 9,287 9,291 9,295 9,299 9,302 9,306 9,310 9,314 9,318 9,322 9,326 9,329 9,333 9,337 9,341
26 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 8,15 8,16 8,17 8,18 8,19 8,20 8,21 8,22 8,23 8,24 8,25 8,26 8,27 8,28 8,29 8,30 8,31 8,32 8,33 8,34 8,35 8,36 8,37 8.38 8,39 8,40 8,41 8,42 8,43 8,44 8,45 8,46 8,47 8,48 8,49 8,50 8,51 8,52 8,53 8,54 8,55 8,56 8,57 8,58 8,59 8,60 8,61 8,62 8,63 8,64 8,65 8,66 8,67 8,68 8,69 8,70 66,42 66,59 66,75 66,91 67,08 67,24 67,40 67,57 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68,72 68,89 69,06 69,22 69,39 69,56 69,72 69,89 70,06 70,22 70,39 70,56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,40 71,57 71,74 71,91 72,08 72,25 72,42 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 73,44 73,62 73,79 73,96 74,13 74,30 74,48 74,65 74,82 75,00 75,17 75,34 75,52 75,69 и* 541,3 543,3 545,3 547,3 549,4 551,4 553,4 555,4 557,4 559,5 561,5 563,6 565,6 567,7 569,7 571,8 573,9 575,9 578,0 580,1 582,2 584,3 586,4 588,5 590,6 592,7 594,8 596,9 599,1 601,2 603,4 605,5 607,6 609,8 612,0 614,1 616,3 618,5 620,7 622,8 625,0 627,2 629,4 631,6 633,8 636,1 638,3 640,5 642,7 645,-0 647,2 649,5 651,7 654,0 656,2 658,5 V» 2,855 2,857 2,858 2,860 2,862 2,864 2,865 2,867 2,869 2,871 2,872 2,874 2,876 2,877 2,879 2,881 2,883 2,884 2,886 2,888 2,890 2,891 2,893 2,895 2,897 2,898 2,900 2,902 2,903 2,905 2,907 2,909 2,910 2,912 2,914 2,915 2,917 2,919 2,921 2,922 2,924 2,926 2,927 2,929 2.931 2,933 2,934 2,936 2,938 2,939 2,941 2,943 2,944 2,946 2,948 2,950 |/lO/i 9,028 9,033 9,039 9,044 9,050 9,055 9,061 9,066 9,072 9,077 9,083 9,088 9,094 9,099 9,105 9,110 9,116 9,121 9,127 9,132 9,138 9,143 9,149 9,154 9,160 9,165 9,171 9,176 9,182 9,187 9,192 9,198 9,203 9,209 9,214 9,220 9,225 9,230 9,236 9,241 9,247 9,252 9,257 9,263 9,268 9,274 9,279 9,284 9,290 9,295 9,301 9,306 9,311 9,317 9,322 9,327 2,012 2,013 2,014 2,015 2,016 2,017 2,017 2,018 2,019 2,020 2,021 2,021 2,022 2,023 2,024 2,025 2,026 2,026 2,027 2,028 2,029 2,030 2,030 2,031 2,032 2,033 2,034 2,034 2,035 2,036 2,037 2,038 2,038 2,039 2,040 2,041 2,042 2,042 2,043 2,044 2,045 2,046 2,046 2,047 2,048 2,049 2,050 2,050 2,051 2,052 2,053 2,054 2,054 2,055 2,056 2,057 4,336 4,337 4,339 4,341 4,343 4,344 4,346 4,348 4,350 4,352 4,353 4,355 4,357 4,359 4,360 4,362 4,364 4,366 4,367 4,369 4,371 4,373 4,374 4,376 4,378 4,380 4,381 4,383 4,385 4,386 4,388 4,390 4,392 4,393 4,395 4,397 4,399 4,400 4,402 4,404 4,405 4,407 4,409 4,411 4,412 4,414 4,416 4,417 4,419 4,421 4,423 4,424 4,426 4,428 4,429 4,431 [V100/1 9,341 9,345 9,348 9,352 9,356 9,360 9,364 9,368 9,371 9,375 9,379 9,383 9,386 9,390 9,394 9,398 .9,402 9,405 9,409 9,413 9,417 9,420 9,424 9,428 9,432 9,435 9,439 9,443 9,447 9,450 9,454 9,458 9,462 9,465 9,469 9,473 9,476 9,480 9,484 9,488 9,491 9,495 9,499 9,502 9,506 9,510 9,513 9,517 9,521 9,524 9,528 9,532 9,535 9,539 9,543 9,546
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ 27 Продолжение п 8,70 8,71 8,72 8,73 8,74 8,75 8,76 8,77 8,78 8,79 8,80 8,81 8,82 8,83 8,84 8,85 8,86 8,87 8,88 8,89 8,90 8,91 8,92 8,93 8,94 8,95 8,96 8,97 8,98 8,99 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 9,11 9,12 9,13 9,14 9,15 9,16 9,17 9,18 9,19 9,20 9,21 9,22 9,23 9,24 9,25 75,69 75,86 76,04 76,21 76,39 76,56 76,74 76,91 77,09 77,26 77,44 77,62 77,79 77,97 78,15 78,32 78,50 78,68 78,85 79,03 79,21 79,39 79,57 79,74 79,92 80,10 80,28 80,46 80,64 80,82 81,00 81,18 81,36 81,54 81,72 81,90 82,08 82,26 82,45 82,63 82,81 82,99 83,17 83,36 83,54 83,72 83,91 84,09 84,27 84,46 84,64 84,82 85,01 85,19 85,38 85,56 658,5 660,8 663,1 665,3 667,6 669,9 672,2 674,5 676,8 679,2 681,5 683,8 686,1 688,5 690,8 693,2 695,5 697,9 700,2 702,6 705,0 707,3 709,7 712,1 714,5 716,9 719,3 721,7 724,2 726,6 729,0 731,4 733,9 736,3 738,8 741,2 743,7 746,1 748,6 751,1 753,6 756,1 758,6 761,0 763,6 766,1 768,6 771,1 773,6 776,2 778,7 781,2 783,8 786,3 788,9 791,5 |/« 2,950 2,951 2,953 2,955 2,956 2,958 2,960 2,961 2,963 2,965 2,966 2,968 2,970 2,972 2,973 2,975 2,977 2,978 2,980 2,982 2,983 2,985 2,987 2,988 2,990 2,992 2,993 2,995 2,997 2,998 3,000 3,002 3,003 3,005 3,007 3,008 3,010 3,012 3,013 3,015 3,017 3,018 3,020 3,022 3,023 3,025 3,027 3,028 3,030 3,032 3,033 3,035 3,036 3,038 3,040 3,041 j/lOn 9,327 9,333 9,338 9,343 9,349 9,354 9,359 9,365 9,370 9,375 9,381 . 9,386 9,391 9,397 9,402 9,407 9,413 9,418 9,423 9,429 9,434 9,439 9,445 9,450 9,455 9,460 9,466 9,471 9,476 9,482 9,487 9,492 9,497 9,503 9,508 9,513 9,518 9,524 9,529 9,534 9,539 9,545 9,550 9,555 9,560 9,566 9,571 9,576 9,581 9,586 9,592 9,597 9,602 9,607 9,612 9,618 2,057 2,057 2,058 2,059 2,060 2,061 2,061 2,062 2,063 2,064 2,065 2,065 2,066 2,067 2,068 2,068 2,069 2,070 2,071 2,072 2,072 2,073 2,074 2,075 2,075 2,076 2,077 2,078 2,079 2,079 2,080 2,081 2,082 2,082 2,083 2,084 2,085 2,085 2,086 2,087 2,088 2,089 2,089 2,090 2,091 2,092 2,092 2,093 2,094 2,095 2,095 2,096 2,097 2,098 2,098 2,099 4,431 4,433 4,434 4,436 4,438 4,440 4,441 4,443 4,445 4,446 4,448 4,450 4,451 4,453 4,455 4,456 4,458 4,460 4,461 4,463 4,465 4,466 4,468 4,470 4,471 4,473 4,475 4,476 4,478 4,480 4,481 4,483 4,485 4,486 4,488 4,490 4,491 4,493 4,495 4,496 4,498 4,500 4,501 4,503 4,505 4,506 4,508 4,509 4,511 4,513 4,514 4,516 4,518 4,519 4,521 4,523 \/100п 9,546 9,550 9,554 9,557 9,561 9,565 9,568 9,572 9,576 9,579 9,583 9,586 9,590 9,594 9,597 9,601 9,605 9,608 9,612 9,615 9,619 9,623 9,626 9,630 9,633 9,637 9,641 9,644 9,648 9,651 9,655 9,658 9,662 9,666 9,669 9,673 9,676 9,680 9,683 9,687 9,691 9,694 9,698 9,701 9,705 9,708 9,712 9,715 9,719 9,722 9,726 9,729 9,733 9,736 9,740 9,743
28 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 9,25 9,26 9,27 9,28 9,29 9,30 9,31 9,32 9,33 9,34 9,35 9,36 9,37 9,38 9,39 9,40 9,41 9,42 9,43 9,44 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 9,51 9,52 9,53 9,54 9,55 9,56 9,57 ' 9,58 9,59 9,60 9,61 9,62 9,63 9,64 9,65 9,66 9,67 9,68 9,69 9,70 9,71 9,72 9,73 9,74 9,75 9,76 9,77 9,78 9,79 9,80 «2 85,56 85,75 85,93 86,12 86,30 86,49 86,68 86,86 87,05 87,24 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17 88,36 88,55 88,74 88,92 89,11 89,30 89,49 89,68 89,87 90,06 90,25 90,44 90,63 90,82 91,01 91,20 91,39 91,58 91,78 91,97 92,16 92,35 92,54 92,74 92,93 93,12 93,32 93,51 93,70 93,90 94,09 94,28 94,48 94,67 94,87 95,06 95,26 95,45 95,65 95,84 96,04 791,5 794,0 796,6 799,2 801,8 804,4 807,0 809,6 812,2 814,8 817,4 820,0 822,7 825,3 827,9 830,6 833,2 835,9 838,6 841,2 843,9 846,6 849,3 852,0 854,7 857,4 860,1 862,8 865,5 868,3 871,0 873,7 876,5 879,2 882,0 884,7 887,5 890,3 893,1 895,8 898,6 901,4 904,2 907,0 909,9 912,7 915,5 918,3 921,2 924,0 926,9 929,7 932,6 935,4 938,3 941,2 3,041 3,043 3,045 3,046 3,048 3,050 3,051 3,053 3,055 3,056 3,058 3,059 3,061 3,063 3,064 3,066 3,068 3,069 3,071 3,072 3,074 3,076 3,077 3,079 3,081 3,082 3,084 3,085 3,087 3,089 3,090 3,092 3,094 3,095 3,097 3,098 3,100 3,102 3,103 3,105 3,106 3,108 3,110 3,111 3,113 3,114 3,116 3,118 3,119 3,121 3,122 3,124 3,126 3,127 3,129 3,130 l/lOn 9,618 9,623 9,628 9,633 9,638 9,644 9,649 9,654 9,659 9,664 9,670 9,675 9,680 9,685 9,690 9,695 9,701 9,706 9,711 9,716 9,721 9,726 9,731 9,737 9,742 9,747 9,752 9,757 9,762 9,767 9,772 9,778 9,783 9,788 9,793 9,798 9,803 9,808 9,813 9,818 9,823 9,829 9,834 9,839 9,844 9,849 9,854 9,859 9,864 9,869 9,874 9,879 9,884 9,889 9,894 9,899 2,099 2,100 2,101 2,101 2,102 2,103 2,104 2,104 2,105 2,106 2,107 • 2,107 2,108 2,109 2,110 2,110 2,111 2,112 2,113 2,113 2,114 2,115 2,116 2,116 2,117 2,118 2,119 2,119 2,120 2,121 2,122 2,122 2,123 2,124 2,125 2,125 2,126 2,127 2,128 2,128 2,129 2,130 2,130 2,131 2,132 2,133 2,133 2,134 2,135 2,136 2,136 2,137 2,138 2,139 2,139 2,140 4,523 4,524 4,526 4,527 4,529 4,531 4,532 4,534 4,536 4,537 4,539 4,540 4,542 4,544 4,545 4,547 4,548 4,550 4,552 4,553 4,555 4,556 4,558 4,560 4,561 4,563 4,565 4,566 4,568 4,569 4,571 4,572 4,574 4,576 4,577 4,579 4,580 4,582 4,584 4,585 4,587 4,588 4,590 4,592 ' 4,593 4,595 4,596 4,598 4,599 4,601 4,603 4,604 4,606 4,607 4,609 4,610 j^lOOn 9,743 9,747 9,750 9,754 9,758 9,761 9,764 9,768 9,771 9,775 9,778 9,782 9,785 9,789 9,792 .9,796 9,799 9,803 9,806 9,810 9,813 9,817 9,820 9,824 9,827 9,830 9,834 9,837 9,841 9,844 9,848 9,851 9,855 9,858 9,861 9,865 9,868 9,872 9,875 9,879 9,882 9,885 9,889 9,892 9,896 9,899 9,902 9,906 9,909 9,913 9,916 9,919 9,923 9,926 9,930 9,933
СТЕПЕНИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 100 29 Продолжение п 9,80 9,81 9,82 9,83 9,84 9,85 9,86 9,87 9,88 9,89 9,90 9,91 9,92 9,93 9,94 9,95 9,96 9,97 9,98 9,99 10,00 96,04 96,24 96,43 96,63 96,83 97,02 97,22 97,42 97,61 97,81 98,01 98,21 98,41 98,60 98,80 99,00 99,20 99,40 99,60 99,80 100,00 «з 941,2 944,1 947,0 949,9 952,8 955,7 958,6 961,5 964,4 967,4 970,3 973,2 976,2 979,1 982,1 985,1 988,0 991,0 994,0 997,0 1000,0 ]/п 3,130 3,132 3,134 3,135 3,137 3,138 3,140 3,142 3,143 3,145 3,146 3,148 3,150 3,151 3,153 3,154 3,156 3,158 3,159 3,161 3,162 j/Юл 9,899 9,905 9,910 9,915 9,920 9,925 9,930 9,935 9,940 9,945 9,950 9,955 9,960 9,965 9,970 9,975 9,980 9,985 9,990 9,995 10,000 2,140 2,141 2,141 2,142 2,143 2,144 2,144 2,145 2,146 2,147 2,147 2,148 2,149 2,149 2,150 2,151 2,152 2,152 2,153 2,154 2,154 3, yiOn 4,610 4,612 4,614 4,615 4,617 4,618 4,620 4,621 4,623 4,625 4,626 4,628 4,629 4,631 4,632 4,634 4,635 4,637 4,638 4,640 4,642 9,933 9,936 9,940 9,943 9,946 9,950 9,953 9,956 9,960 9,963 9,967 9,970 9,973 9,977 9,980 9,983 9,987 9,990 9,993 9,997 10,000 1.1.1.3. Степени целых чисел от п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1 до 100. /|3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 9261 10648 12167 13 824 15625 17576 19683 21952 24389 27000 29791 32768 35937 39 304 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6 561 10000 14641 20736 28 561 38416 50625 65 536 83521 104976 130321 160000 194481 234256 279841 331 776 390625 456976 531441 614656 707281 810000 923521 1048 576 1185921 1336336 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051 248832 371 293 537824 750 375 1 048 576 1419857 1889 568 2476099 3200000 4084101 5153632 6436343 7962624 9765625 11881376 14348907 17210368 20511149 24300000 28629151 33 554432 39135393 45435424
30 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 и2 1225 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 1936 2 025 2116 2209 2 304 2401 2 500 2 601 2 704 2 809 2916 3025 3136 3 249 3 364 3481 3 600 3 721 ЗМ4 ; чич 4 0% 4 225 4 356 4489 4624 4761 4900 5041 5184 5 329 5476 5625 5 776 5929 6084 6241 6400 6 561 6724 6889 7056 7 225 7 396 7 569 7 744 7921 8100 8281 8464 8649 8 836 9025 9216 9409 9604 9 801 10000 л* 42875 46656 50653 54872 59319 64000 68 921 74088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117649 125000 132651 140608 148 877 157464 166375 175616 185193 195112 205 379 216000 226981 238 328 250047 262 144 274625 287496 300763 314432 328 509 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438 976 456 533 474 552 493 039 512000 531441 551368 571787 592 704 614125 636056 658 503 681472 704969 729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884736 912673 941 192 970299 1000000 1500625 1679616 1874161 2085136 2313441 2 560000 2 825 761 3 111 696 3418801 3 748096 4100625 4477456 4879681 5 308416 5 764801 6250000 6765201 7311616 7 890481 8 503056 9150625 9834496 10 556001 11316496 12117361 12960000 13 845 841 14776 336 15 752961 16777216 17 850625 18974736 20151 121 21381376 22 667121 24010000 , 25411681 26873 856 28 398241 29986 576 31640625 33 362176 35153041 37015056 38950081 40960000 43046721 45212176 47458 321 49 787136 52200625 54700816 57289 761 59969 536 62742241 65 610000 68 574961 71639296 74805201 78074896 81450625 84934656 88 529281 92236816 96059601 100000000 52 521875 60466176 69 343957 79235168 90224199 102400000 115 856201 130691232 147008443 164916224 184528125 205 962976 229 345007 254803968 282475249 312 500000 345025251 380204032 418195493 459165024 503284375 550731776 601692057 656 356768 714924299 777 600000 844 596301 916132832 992436543 1073 741824 1 160290625 1252 332 576 1 350 125 107 1453 933 568 1564031349 1680700000 1804229 351 1934917632 2073071593 2219006624 2 373046875 2 535 525 376 2 706784157 2887174368 3077056 399 3 276800000 3486784401 3 707 398432 3939040643 4182 119424 4437053125 4704270176 4984209207 5277319168 5 584059449 5904900000 6240 321451 6590815232 6956883693 7 339040224 7 737 809 375 8153 726976 8 587 340257 9039207968 9 509900499 10000000000
ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 31 1.1.1.4. п 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 Обратные 0 10000 9091 8333 7692 7143 6667 6250 5882 5556 5263 5000 4762 4545 4348 4167 4000 3846 3704 3571 3448 3333 3226 3125 3030 2941 2857 2778 2703 2632 2564 2500 2439 2381 2326 2273 2222 2174 2128 2083 2041 2000 1961 1923 1887 1852 1818 1786 1754 1724 1695 1667 1639 1613 1587 1562 1538 1515 1493 1471 1449 величины. 1 9901 9009 8264 7634 7092 6623 6211 5848 5525 5236 4975 4739 4525 4329 4149 3984 3831 3690 3559 3436 3322 3215 3115 3021 2933 2849 2770 2695 2625 2558 2494 2433 2375 2320 2268 2217 2169 2123 2079 2037 1996 1957 1919 1883 1848 1815 1783 1751 1721 1692 1664 1637 1610 1585 1560 1536 1513 1490 1468 1447 2 9804 8929 8197 7576 7042 6579 6173 5814 5495 5208 4950 4717 4505 4310 4132 3968 3817 3676 3546 3425 3311 3205 3106 3012 2924 2841 2762 2688 2618 2551 2488 2427 2370 2315 2262 2212 2165 2119 2075 2033 1992 1953 1916 1880 1845 1812 1779 1748 1718 1689 1661 1634 1608 1582 1558 1534 1511 1488 1466 1445 3 9709 8850 8130 7519 6993 6536 6135 5780 5464 5181 4926 4695 4484 4292 4115 3953 3802 3663 3534 3413 3300 3195 3096 3003 2915 2833 2755 2681 2611 2545 2481 2421 2364 2309 2257 2208 2160 2114 2070 2028 1988 1949 1912 1876 1842 1808 1776 1745 1715 1686 1658 1631 1605 1580 1555 1531 1508 1486 1464 1443 4 9615 8772 8065 7463 6944 6494 6098 5747 5435 5155 4902 4673 4464 4274 4098 3937 3788 3650 3521 3401 3289 3185 3086 2994 2907 2825 2747 2674 2604 2538 2475 2415 2358 2304 2252 2203 2155 2110 2066 2024 1984 1946 1908 1873 1838 1805 1773 1742 1712 1684 1656 1629 1603 1577 1553 1529 1506 1484 1462 1441 5 9524 8696 8000 7407 6897 6452 6061 5714 5405 5128 4878 4651 4444 4255 4082 3922 3774 3636 3509 3390 3279 3175 3077 2985 2899 2817 2740 2667 2597 2532 2469 2410 2353 2299 2247 2198 2151 2105 2062 2020 1980 1942 1905 1869 1835 1802 1770 1739 1709 1681 1653 1626 1600 1575 1550 1527 1504 1481 1460 1439 6 9434 8621 7937 7353 6849 6410 6024 5682 5376 5102 4854 4630 4425 4237 4065 3906 3759 3623 3497 3378 3268 3165 3067 2976 2890 2809 2732 2660 2591 2525 2463 2404 2347 2294 2242 2193 2146 2101 2058 2016 1976 1938 1901 1866 1832 1799 1767 1736 1706 1678 1650 1623 1597 1572 1548 1524 1502 1479 1458 1437 7 9346 8547 7874 7299 6803 6369 5988 5650 5348 5076 4831 4608 4405 4219 4049 3891 3745 3610 3484 3367 3257 3155 3058 2967 2882 2801 2725 2653 2584 2519 2457 2398 2342 2288 2237 2188 2141 2096 2053 2012 1972 1934 1898 1862 1828 1795 1764 1733 1704 1675 1647 1621 1595 1570 1546 1522 1499 1477 1456 1435 8 9259 8475 7812 7246 6757 6329 5952 5618 5319 5051 4808 4587 4386 4202 4032 3876 3731 3597 3472 3356 3247 3145 3049 2959 2874 2793 2717 2646 2577 2513 2451 2392 2336 2283 2232 2183 2137 2092 2049 2008 1969 1931 1894 1859 1825 1792 1761 1730 1701 1672 1645 1618 1592 1567 1543 1520 1497 1475 1453 1433 9 9174 8403 7752 7194 6711 6289 5917 5587 5291 5025 4785 4566 4367 4184 4016 3861 3717 3584 3460 3344 3236 3135 3040 2950 2865 2786 2710 2639 2571 2506 2445 2387 2331 2278 2227 2179 2132 2088 2045 2004 1965 1927 1890 1855 1821 1789 1757 1727 1698 1669 1642 1616 1590 1565 1541 1517 1495 1473 1451 1431
32 ТАБЛИЦЫ Продолжение п 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 0 1429 1408 1389 1370 1351 1333 1316 1299 1282 1266 1250 1235 1220 1205 1190 1176 1163 1149 1136 1124 1111 1099 1087 1075 1064 1053 1042 1031 1020 1010 1 1427 1406 1387 1368 1350 1332 1314 1297 1280 1264 1248 1233 1218 1203 1189 1175 1161 1148 1135 1122 1110 1098 1086 1074 1063 1052 1041 1030 1019 1009 2 1425 1404 1385 1366 1348 1330 1312 1295 1279 1263 1247 1232 1217 1202 1188 1174 1160 1147 1134 1121 1109 1096 1085 1073 1062 1050 1040 1029 1018 1008 3 1422 1403 1383 1364 1346 1328 1311 1294 1277 1261 1245 1230 1215 1200 1186 1172 1159 1145 1133 1120 1107 1095 1083 1072 1060 1049 1038 1028 1017 1007 4 1420 1401 1381 1362 1344 1326 1309 1292 1276 1259 1244 1229 1214 1199 1185 1171 1157 1144 1131 1119 1106 1094 1082 1071 1059 1048 1037 1027 1016 1006 5 1418 1399 1379 1361 1342 1325 1307 1290 1274 1258 1242 1227 1212 1198 1183 1170 1156 1143 ИЗО 1117 1105 1093 1081 1070 1058 1047 1036 1026 1015 1005 6 1416 1397 1377 1359 1340 1323 1305 1289 1272 1256 1241 1225 1211 1196 1182 1168 1155 1142 1129 1116 1104 1092 1080 1068 1057 1046 1035 1025 1014 1004 7 1414 1395 1376 1357 1339 1321 1304 1287 1271 1255 1239 1224 1209 1195 1181 1167 1153 1140 1127 1115 1103 1091 1079 1067 1056 1045 1034 1024 1013 1003 8 1412 1393 1374 1355 1337 1319 1302 1285 1269 1253 1238 1222 1208 1193 1179 1166 1152 1139 1126 1114 1101 1089 1078 1066 1055 1044 1033 1022 1012 1002 9 1410 1391 1372 1353 1335 1318 1300 1284 1267 1252 1236 1221 1206 1192 1178 1164 1151 1138 1125 1112 1100 1088 1076 1065 1054 1043 1032 1021 1011 1001 Объяснения к таблице обратных величин. В таблице 1.1.1.4 даны с четырьмя знаками значения величин 10000: и для трехзначных аргументов, заключенных между 1 и 10. Каждое число в таблице помещено в строке, соответствующей первым двум значащим цифрам аргумента (указанным в столбце и), и в столбце, соответствующем третьей цифре аргумента. Например, 10000: 2,26 = 4425. Если аргумент дан с четырьмя знаками, то необходимо прибегнуть к линейной интерполяции. Следует обратить внимание на то, что здесь интерполяционные поправки не прибавляются, а вычитаются. Помещенные в таблице числа можно рассматривать как десятичные знаки, следующие за запятой в дроби 1: п; например, 1: 2,26 = 0,4425. Для нахождения 1: п при и > 10 и п < 1 принимают во внимание, что при умножении п на 10* величина 1:и умножается на 10~\ т.е. перенос запятой у п на. к разрядов вправо вызывает перенос запятой у 1: п на к разрядов влево и наоборот. Например, 1: 22,6 = 0,04425 и 1:0,0226 = 44,25. 1.1.1.5. Факториалы и обратные им величины. Факториалы. п х 2 3 4 5 6 7 8 9 10 п\ 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 п\ 39916800 479001600 6227020800 87178291200 1307674368000 20922789888000 355687428096000 6402373705728000 121645100408832000 2432902008176640000
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 33 Величины, о б р а 1 н ы е факториалам*) п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 *) Для 0,0<»24802. 1 п\ 1,000000 0,500000 0,166667 0,041667 0,0283333 0,0213889 0,0319841 0,0*24802 0,0527557 0,0627557 п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 \:п\ применена сокращенная запись нулей 1 :я' 0,0725052 0,0820877 0,0916059 0,0^11471 0,01276472 0,01347795 0,01428115 0,0»515619 0,01782206 0,01841103 после запятой. Так, для 1 п 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 :8! вместо 0,000024802 0,01919573 0,02188968 0,02238682 0,02316117 0,02564470 0,02624796 0,02891837 0,02932799 0,03011310 0,03237700 написано 1.1.1.6. Некоторые степени чисел 2, 3 и 5. /7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2" 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8 192 16 384 32768 65 536 131072 262 144 524288 1 048 576 3я 3 9 27 81 243 729 2187 6 561 19683 59049 177147 531441 1 594 323 4782969 14348907 43046721 129 140163 387420489 1 162261467 3486 784401 5" 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1 953125 9765625 48 828125 244140625 1220703 125 6103 515625 30517578125 152 587 890625 762939453125 3 814697 265625 , 19073486 328125 95 367431640625 1.1.1.7. Десятичные логарифмы. Объяснения к таблицам логарифмов и антилогарифмов. Таблица 1.1.1.7 служит для нахождения десятичных логарифмов чисел. Сначала для данною числа находится характеристика ei о логарифма, а затем мантисса из таблицы. Для трехзначных чисел мантисса находится на пересечении строки, в начале которой (графа N) стоят две первые цифры данного числа, и столбца, соответствующего третьей цифре нашего числа. Если заданное число имеет больше трех значащих цифр, необходимо применить линейную интерполяцию. При этом интерполяционная поправка находится только на четвертую значащую цифру числа; поправку на пятую цифру имеет смысл делать только тогда, когда первая значащая цифра данного числа равна 1 или 2. Пример lg 254,3 = 2,4053 (к 4048 нужно прибавить 0,3 17 = 5,1) Для нахождения числа по его десятичному логарифму служит таблица 1.1.1.8 (таблица анти- 2 И Н. Ьронилейн, К А Семендяев логарифмов)*). Аргументом в этой таблице является мантисса заданного логарифма. На пересечении строки, которая определяется первыми двумя цифрами мантиссы (графа т), и столбца, соответствующего третьей цифре мантиссы, в таблице антилогарифмов находится цифровой состав искомого числа. На четвертую цифру мантиссы должна быть внесена интерполяционная поправка. Характеристика логарифма позволяет поставить в полученном результате запятую. Примеры. lgx= 1,2763; х = 18,89 (к найденному в таблице значению 1888 прибавляется 0,3 • 4 = 1,2; в полученном результате отделяются запятой два знака, так как характеристика равна единице). Если \gx = 2,2763, то х = 0,01889. Эти результаты могут быть записаны также следующим образом: Ю1-2763 = 18,89; 10-7237 = 0,01889 (так как 2,2763=-1,7237). *) Число у, десятичный логарифм которого равен х, называют антилогарифмом х Со1ласно определению логарифма, эта функция совпадает с показательной функцией у = 10х
34 ТАБЛИЦЫ Десятичные логарифмы N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 ЗОЮ 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5112 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 " 7042 7126 7210 7292 7372 7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 35 Продолжение N 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 ' 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 1 7412 7490 7566 7642 7716 ' 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9523 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 - 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996
36 ТАБЛИЦЫ 1.1.1.8. т 00 01 02 03 ' 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Антило! арифмы. 0 1000 1023 1047 1072 1096 1122 1148 1175 1202 1230 1259 1288 1318 1349 1380 1413 1445 1479 1514 1549 1585 1622 1660 1698 1738 1778 1820 1862 1905 1950 1995 2042 2089 2138 2188 2239 2291 2344 2399 2455 2512 2570 2630 2692 2754 2818 2884 2951 3020 3090 1 1002 1026 1050 1074 1099 1125 1151 1178 1205 1233 1262 1291 1321 1352 1384 1416 1449 1483 1517 1552 1589 1626 1663 1702 1742 1782 1824 1866 1910 1954 2000 2046 2094 2143 2193 2244 2296 2350 2404 2460 2518 2576 2636 2698 2761 2825 2891 2958 3027 3097 2 1005 1028 1052 1076 1102 1127 1153 1180 1208 1236 1265 1294 1324 1355 1387 1419 1452 1486 1521 1556 1592 1629 1667 1706 1746 1786 1828 1871 1914 1959 2004 2051 2099 2148 2198 2249 2301 2355 2410 2466 2523 2582 2642 2704 2767 2831 2897 2965 3034 3105 3 1007 1030 1054 1079 1104 ИЗО 1156 1183 1211 1239 1268 1297 1327 1358 1390 1422 1455 1489 1524 1560 1596 1633 1671 1710 1750 1791 1832 1875 1919 1963 2009 2056 2104 2153 2203 2254 2307 2360 2415 2472 2529 2588 2649 2710 2773 2838 2904 2972 3041 3112 4 1009 1033 1057 1081 1107 1132 1159 1186 1213 1242 1271 1300 1330 1361 1393 142(; 1459 1493 1528 1563 1600 1637 1675 1714 1754 1795 1837 1879 1923 1968 2014 2061 2109 2158 2208 2259 2312 2366 2421 2477 2535 2594 2655 2716 2780 2844 2911 2979 3048 3119 5 1012 1035 1059 1084 1109 1135 1161 1189 • 1216 1245 1274 1303 1334 1365 1396 1429 1462 1496 1531 1567 1603 1641 1679 1718 1758 1799 1841 1884 1928 1972 2018 2065 2113 2163 2213 2265 2317 2371 2427 2483 2541 2600 2661 2723 2786 2851 2917 2985 3055 3126 6 1014 1038 1062 1086 1112 1138 1164 1191 1219 1247 1276 1306 1337 1368 1400 1432 1466 1500 1535 1570 1607 1644 1683 1722 1762 1803 1845 1888 1932 1977 2023 2070 2118 2168 2218 2270 2323 2377 2432 2489 2547 2606 2667 2729 2793 2858 2924 2992 3062 3133 7 1016 1040 1064 1089 1114 1140 1167 1194 1222 1250 1279 1309 1340 1371 1403 1435 1469 1503 1538 1574 1611 1648 1687 1726 1766 1807 1849 1892 1936 1982 2028 2075 2123 2173 2223 2275 2328 2382 2438 2495 2553 2612 2673 2735 2799 2864 2931 2999 3069 3141 8 1019 1042 1067 1091 1117 1143 1169 1197 1225 1253 1282 1312 1343 1374 1406 1439 1472 1507 1542 1578 1614 1652 1690 1730 1770 1811 1854 1897 1941 1986 2032 2080 2128 2178 2228 2280 2333 2388 2443 2500 2559 2618 2679 2742 2805 2871 2938 3006 3076 3148 9 1021 1045 1069 1094 1119 1146 1172 1199 1227 1256 1285 1315 1346 1377 1409 1442 1476 1510 1545 1581 1618 1656 1694 1734 1774 1816 1858 1901 1945 1991 20Я7 2084 2133 2183 2234 2286 2339 2393 2449 2506 2564 2624 2685 2748 2812 2877 2944 3013 3083 3155
АНТИЛОГАРИФМЫ 37 Продолжение т 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 3162 3236 3311 3388 3467 3548 3631 3715 3802 3890 3981 4074 4169 4266 4365 4467 4571 4677 4786 4898 5012 5129 5248 5370 5495 5623 5754 5888 6026 6166 6310 6457 6607 6761 6918 7079 7244 7413 7586 7762 7943 8128 8318 8511 8710 8913 9120 9333 9550 9772 1 3170 3243 3319 3396 3475 3556 3639 3724 3811 3899 3990 4083 4178 4276 4375 4477 4581 4688 4797 4909 5023 5140 5260 5383 5508 5636 5768 5902 6039 6180 6324 6471 6622 6776 6934 7096 7261 7430 7603 7780 7962 8147 8337 8531 8730 8933 9141 9354 9572 9795 2 3177 3251 3327 3404 3483 3565 3648 3733 3819 3908 3999 4093 4188 4285 4385 4487 4592 4699 4808 4920 5035 5152 5272 5395 5521 5649 5781 5916 6053 6194 6339 6486 6637 6792 6950 7112 7278 7447 7621 7798 7980 8166 8356 8551 8750 8954 9162 9376 9594 9817 3 3184 3258 3334 3412 3491 3573 3656 3741 3828 3917 4009 4102 4198 4295 4395 4498 4603 4710 4819 4932 5047 5164 5284 5408 5534 5662 5794 5929 6067 6209 6353 6501 6653 6808 6966 7129 7295 7464 7638 7816 7998 8185 8375 8570 8770 8974 9183 9397 9616 9840 4 3192 3266 3342 3420 3499 3581 3664 3750 3837 3926 4018 4111 4207 4305 4406 4508 4613 4721 4831 4943 5058 5176 5297 5420 5546 5675 5808 5943 6081 6223 6368 6516 6668 6823 6982 7145 7311 7482 7656 7834 8017 8204 8395 8590 ' 8790 8995 9204 9419 9638 9863 5 3199 3273 3350 3428 3508 3589 3673 3758 3846 3936 4027 ' 4121 4217 4315 4416 4519 4624 4732 4842 4955 5070 5188 5309 5433 5559 5689 5821 5957 6095 6237 6383 6531 6683 6839 6998 7161 7328 7499 7674 7852 8035 8222 8414 8610 8810 9016 9226 9441 9661 9886 6 3206 3281 3357 3436 3516 3597 3681 3767 3855 3945 4036 4130 4227 4325 4426 4529 4634 4742 4853 4966 5082 5200 5321 5445 5572 5702 5834 5970 6109 6252 6397 6546 6699 6855 7015 7178 7345 7516 7691 7870 8054 8241 8433 8630 8831 9036 9247 9462 9683 9908 7 3214 3289 3365 3443 3524 3606 3690 3776 3864 3954 4046 4140 4236 4335 4436 4539 4645 4753 4864 4977 5093 5212 5333 5458 5585 5715 5848 5984 6124 6266 6412 6561 6714 6871 7031 7194 7362 7534 7709 7889 8072 8260 8453 8650 8851 9057 9268 9484 9705 9931 8 3221 3296 3373 3451 3532 3614 3698 3784 3873 3963 4055 4150 4246 4345 4446 4550 4656 4764 4875 4989 5105 5224 5346 5470 5598 5728 5861 5998 6138 6281 6427 6577 6730 6887 7047 7211 7379 7551 7727 7907 8091 8279 8472 8670 8872 9078 9290 9506 9727 9954 9 3228 3304 3381 3459 3540 3622 3707 3793 3882 3972 4064 4159 4256 4355 4457 4560 4667 4775 4887 5000 5117 5236 5358 5483 5610 5741 5875 6012 6152 6295 6442 6592 6745 6902 7063 7228 7396 7568 7745 7925 8110 8299 8492 8690 8892 9099 9311 9528 9750 9977
38 ТАБЛИЦЫ 1.1.1.9. Натуральные значения тригонометрических функций. Угловой радиус разделен на шесть частей: шаг 10'.) СИНУСЫ Градусы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 0' 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2519 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,500Q 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 60' 10' 0,0029 0,0204 0,0378 0,0552 0,0727 0,0901 0,1074 0,1248 0,1421 0,1593 0,1765 0,1937 0,2108 0,2278 0,2447 0,2616 0,2784 0,2952 0,3118 0,3283 0,3448 0,3611 0,3773 0,3934 0,4094 0,4253 0,4410 0,4566 0,4720 0,4874 0,5025 0,5175 0,5324 0,5471 0,5616 0,5760 0,5901 0,6041 0,6180 0,6316 0,6450 0,6583 0,6713 0,6841 0,6967 0,7092 50' 20' 0,0058 0,0223 0,0407 0,0581 0,0756 0,0929 0,1103 0,1276 0,1449 0,1622 0,1794 0,1965 0,2136 0,2306 0,2476 0,2644 0,2812 0,2979 0,3145 0,3311 0,3475 0,3638 0,3800 0,3961 0,4120 0,4279 0,4436 0,4592 0,4746 0,4899 0,5050 0,5200 0,5348 0,5495 0,5640 0,5783 0,5925 0,6065 0,6202 0,6338 0,6472 0,6604 0,6734 0,6862 0,6988 0,7112 40' 30' 0,0087 0,0262 0,0436 0,0610 0,0785 0,0958 0,1132 0,1305 0,1478 0,1650 0,1822 0,1994 0,2164 0,2334 0,2504 0,2672 0,2840 0,3007 0,3173 0,3338 0,3502 0,3665 0,3827 0,3987 0,4147 0,4305 0,4462 0,4617 0,4772 0,4924 0,5075 0,5225 0,5373 0,5519 0,5664 0,5807 0,5948 0,6088 0,6225 0,6361 0,6494 0,6626 0,6756 0,6884 0,7009 0,7133 30' 40' 0,0116 0,0291 0,0465 0,0640 0,0814 0,0987 0,1161 0,1334 0,1507 0,1679 0,1851 0,2022 0,2193 0,2363 0,2532 0,2700 0,2868 0,3035 0,3201 0,3365 0,3529 0,3692 0,3854 0,4014 0,4173 0,4331 0,4488 0,4643 0,4797 0,4950 0,5100 0,5250 0,5398 0,5544 0,5688 0,5831 0,5972 0,6111 0,6248 0,6383 0,6517 0,6648 0,6777 0,6905 0,7030 0,7153 20' 50' 0,0145 0,0320 0,0494 0,0669 0,0843 0,1016 0,1190 0,1363 0,1536 0,1708 0,1880 0,2051 0,2221 0,2391 0,2560 0,2728 0,2896 0,3062 0,3228 0,3393 0,3557 0,3719 0,3881 0,4041 0,4200 0,4358 0,4514 0,4669 0,4823 0,4975 0,5125 0,5275 0,5422 0,5568 0,5712 0,5854 0,5995 0,6134 0,6271 0,6406 0,6539 0,6670 0,6799 0,6926 0,7050 0,7173 10' 60' 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 0,7193 0' 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 Градусы КОСИНУСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 39 СИНУСЫ Градусы 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0' 0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 60' 10' 0,7092 0,7214 0,7333 0,7451 0,7566 0,7679 0,7790 0,7898 0,8004 0,8107 0,8208 0,8307 0,8403 0,8496 0,8587 0,8675 0,8760 0,8843 0,8923 0,9001 0,9075 0,9147 0,9216 0,9283 0,9346 0,9407 0,9465 0,9520 0,9572 0,9621 0,966,7 0,9710 0,9750 0,9787 0,9822 0,9853 0,9881 0,9907 0,9929 0,9948 0,9964 0,9978 0,9988 0,9995 0,9999 50' 20' 0,7112 0,7234 0,7353 0,7470 0,7585 0,7698 0,7808 0,7916 0,8021 0,8124 0,8225 0,8323 0,8418 0,8511 0,8601 0,8689 0,8774 0,8857 0,8936 0,9013 0,9088 0,9159 0,9228 0,9293 0,9356 0,9417 0,9474 0,9528 0,9580 0,9628 0,9674 0,9717 0,9757 0,9793 0,9827 0,9858 0,9886 0,9911 0,9932 0,9951 0,9967 0,9980 0,9989 0,9996 0,9999 40' 30' 0,7133 0,7254 0,7373 0,7490 0,7604 0,7716 0,7826 0,7934 0,8039 0,8141 0,8241 0,8339 0,8434 0,8526 0,8616 0,8704 0,8788 0,8870 0,8936 0,9026 0,9100 0,9171 0,9239 0,9304 0,9367 0,9426 0,9483 0,9537 0,9588 0,9636 0,9681 0,9724 0,9763 0,9799 0,9833 0,9863 0,9890 0,9914 0,9936 0,9954 0,9969 0,9981 0,9990 0,9997 1,0000 30' 40' 0,7153 0,7274 0,7392 0,7509 0,7623 0,7735 0,7844 0,7951 0,8056 0,8158 0,8258 0,8355 0,8450 0,8542 0,8631 0,8718 0,8802 0,8884 0,8962 0,9038 0,9112 0,9182 0,9250 0,9315 0,9377 0,9436 0,9492 0,9546 0,9596 0,9644 0,9689 0,9730 0,9769 0,9805 0,9838 0,9868 0,9894 0,9918 0,9939 0,9957 0,9971 0,9983 0,9992 0,9997 1,0000 20' 50' 0,7173 0,7294 0,7412 0,7528 0,7642 0,7753 0,7862 0,7969 0,8073 0,8175 0,8274 0,8371 0,8465 0,8557 0,8646 0,8732 0,8816 0,8897 0,8975 0,9051 0,9124 0,9194 0,9261 0,9325 0,9387 0,9446 0,9502 0,9555 0,9605 0,9652 0,9696 0,9737 0,9775 0,9811 0,9843 0,9872 0,9899 0,9922 0,9942 0,9959 0,9974 0,9985 0,9993 0,9998 1,0000 10' 60' 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000 0' 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Градусы КОСИНУСЫ
40 ТАБЛИЦЫ ТАНГЕНСЫ Градусы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 J3 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 0' 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 60' 10' 0,0029 0,0204 0,0378 0,0553 0,0729 0,0904 0,1080 0,1257 0,1435 0,1614 0,1793 0,1974 0,2156 0,2339 0,2524 0,2711 0,2899 0,3089 0,3281 0,3476 0,3673 0,3872 0,4074 0,4279 0,4487 0,4699 0,4913 0,5132 0,5354 0,5581 0,5812 0,6048 0,6289 0,6536 0,6787 0,7046 0,7310 0,7581 0,7860 0,8146 0,8441 0,8744 0,9057 0,9380 0,9713 1,0058 50' 20' 0,0058 0,0233 0,0407 0,0582 0,0758 0,0934 0,1110 0,1287 0,1465 0,1644 0,1823 0,2004 0,2186 0,2370 0,2555 0,2742 0,2931 0,3121 0,3314 0,3508 0,3706 0,3906 0,4108 0,4314 0,4522 0,4734 0,4950 0,5169 0,5392 0,5619 0,5851 0,6088 0,6330 0,6577 0,6830 0,7089 0,7355 0,7627 0,7907 0,8195 0,8491 0,8796 0,9110 0,9435 0,9770 1,0117 40' 30' 0,0087 0,0262 0,0437 0,0612 0,0787 0,0963 0,1139 0,1317 0,1495 0,1673 0,1853 0,2035 0,2217 0,2401 0,2586 0,2773 0,2962 0,3153 0,3346 0,3541 0,3739 0,3939 0,4142 0,4348 0,4557 0,4770 0,4986 0,5206 0,5430 0,5658 ' 0,5890 0,6128 0,6371 0,6619 0,6873 0,7133 0,7400 0,7673 0,7954 0,8243 0,8541 0,8847 0,9163 0,9490 0,9827 1,0176 30' 40' 0,0116 0,0291 0,0466 0,0641 0,0816 0,0992 0,1169 0,1346 0,1524 0,1703 0,1883 0,2065 0,2247 0,2432 0,2617 0,2805 0,2994 0,3185 0,3378 0,3574 0,3772 0,3973 0,4176 0,4383 0,4592 0,4806 0,5022 0,5243 0,5467 0,5696 0,5930 0,6168 0,6412 0,6661 0,6916 0,7177 0,7445 0,7720 0,8002 0,8292 0,8591 0,8899 0,9217 0,9545 0,9884 1,0235 20' 50' 0,0145 0,0320 0,0495 0,0670 0,0846 0,1022 0,1198 0,1376 0,1554 0,1733 0,1914 0,2095 0,2278 0,2462 0,2648 0,2836 0,3026 0,3217 0,3411 0,3607 0,3805 0,4006 0,4210 0,4417 0,4628 0,4841 0,5059 0,5280 0,5505 0,5735 0,5969 0,6208 0,6453 0,6703 0,6959 0,7221 0,7490 0,7766 0,8050 0,8342 0,8642 0,8952 0,9271 0,9601 0,9942 1,0295 10' 60' 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 1,0355 0' 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 Градусы КОТАНГЕНСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 41 ТАНГЕНСЫ Градусы 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 ¦ 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0' ,000 ,036 ,072 ,111 ,150 ,192 .235 ,280 ,327 ,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,331 4,705 5,145 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57.290 60' 10' 1,006 1,042 1,079 ,117 ,157 ,199 ,242 ,288 ,335 ,385 1,437 1,492 1,550 1,611 1,675 1,744 1,816 1,894 1,977 2,066 2,161 2,264 2,375 2,496 2,628 2,773 2,932 3,108 3,305 3,526 3,776 4,061 4,390 4,773 5,226 5,769 6,435 7,269 8,345 9,788 11,826 14,924 20,206 31,242 68,750 50' 20' 1,012 1.048 1,085 1,124 1,164 1,206 ,250 .295 ,343 ,394 ,446 ,501 ,560 1,621 1,686 1,756 1,829 1,907 1,991 2,081 2,177 2,282 2,394 2,517 2,651 2,798 2,960 3,140 3,340 3,566 3,821 4,113 4,449 4,843 5,309 5,871 6,561 7,429 8,556 10,078 12,251 15,605 21,470 34,368 85,940 40' 30' ,018 .054 ,091 ,130 ,171 ,213 ,257 ,303 ,351 ,402 1,455 1,511 1.570 1 6^2 1,69<S 1.767 1,842 1,921 2,006 2,097 2,194 2,300 2,414 2,539 2,675 2,824 2,989 3,172 3,376 3,606 3,867 4,165 4,511 4,915 5,396 5,976 6,691 7,596 8,777 10,385 12,706 16,350 22,904 38,188 114,59 30' 40' 1,024 1,060 1,098 1,137 1,178 1,220 1,265 1,311 1,360 1,411 1,464 1,520 1,580 1,643 1,709 1.780 1,855 1,935 2,020 2,112 2.211 2,318 2,434 2,560 2,699 2,850 3,018 3,204 3,412 3,647 3,914 4,219 4,574 4,989 5,485 6,084 6,827 7,770 9,010 10,712 13,197 17,169 24,542 42,964 171,89 20' 50' 1,030 1,066 1,104 1,144 1,185 1,228 1,272 1,319 1,368 1,419 1,473 1,530 1,590 1,653 1,720 1,792 1,868 1,949 2,035 2,128 2,229 2.337 2.455 2,583 2,723 2,877 3,047 3,237 3,450 3,689 3,962 4,275 4.638 5,066 5,576 6.197 6,968 7,953 9,255 11,059 13,727 18,075 26,432 49,104 343,77 10' 60' 1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 - 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,331 4,705 5,145 5,671 6.314 7,115 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290 X 0' 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Градусы КОТАНГЕНСЫ
42 ТАБЛИЦЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (ШАГ 0,1 °) СИНУСЫ Градусы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 0 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 1 Градусы 0,1 0,0017 0,0192 0,0366 0,0541 0,0715 0,0889 0,1063 0,1236 0,1409 0,1582 0,1754 0,1925 0,2096 0,2267 0,2436 0,2605 0,2773 0,2940 0,3107 0,3272 0,3437 0,3600 0,3762 0,3923 0,4083 0,4242 0,4399 0,4555 0,4710 0,4863 0,5015 0,5165 0,5314 0,5461 0,5606 0,5750 0,5892 0,6032 0,6170 0,6307 0,6441 0,6574 0,6704 0,6833 0,6959 0,7083 0,9 0,2 0,0035 0,0209 0,0384 0,0558 0,0732 0,0906 0,1080 0,1253 0,1426 0,1599 0,1771 0,1942 0,2113 0,2284 0,2453 0,2622 0,2790 0,2957 0,3123 0,3289 0,3453 0,3616 0,3778 0,3939 0,4099 0,4258 0,4415 0,4571 0,4726 0,4879 0,5030 0,5180 0,5329 0,5476 0,5621 0,5764 0,5906 0,6046 0,6184 0,6320 0,6455 0,6587 0,6717 0,6845 0,6972 0,7096 0,8 0,3 0,0052 0,0227 0,0401 0,0576 0,0750 0,0924 0,1097 0,1271 0,1444 0,1616 0,1788 0,1959 0,2130 0,2300 0,2470 0,2639 0,2807 0,2974 0,3140 0,3305 0,3469 0,3633 0,3795 0,3955 0,4115 0,4274 0,4431 0,4586 0,4741 0,4894 0,5045 0,5195 0,5344 0,5490 0,5635 0,5779 0,5920 0,6060 0,6198 0,6334 0,6468 0,6600 0,6730 0,6858 0,6984 0,7108 0,7 0,4 0,0070 0,0244 0,0419 0,0593 0,0767 0,0941 0,1115 0,1288 0,1461 0,1633 0,1805 0,1977 0,2147 0,2317 0,2487 0,2656 0,2823 0,2990 0,3156 0,3322 0,3486 0,3649 0,3811 0,3971 0,4131 0,4289 0,4446 0,4602 0,4756 0,4909 0,5060 0,5210 0,5358 0,5505 0,5650 0,5793 0,5934 0,6074 0,6211 0,6247 0,6481 0,6613 0,6743 0,6871 0,6997 0,7120 0,6 0,5 0,0087 0,0262 0,0436 0,0610 0,0785 0,0958 0,1132 0,1305 0,1478 0,1650 0,1822 0,1994 0,2164 0,2334 0,2504 0,2672 0,2840 0,3007 0,3173 0,3338 0,3502 0,3665 0,3827 0,3987 0,4147 0,4305 0,4462 0,4617 0,4772 0,4924 0,5075 0,5225 0,5373 0,5519 0,5664 0,5807 0,5948 0,6088 0,6225 0,6361 0,6494 0,6626 0,6756» 0,6884 0,7009 0,7133 0,5 0,6 0,0105 0,0279 0,0454 0,0628 0,0802 0,0976 0,1149 0,1323 0,1495 0,1668 0,1840 0,2011 0,2181 0,2351 0,2521 0,2689 0,2857 0,3024 0,3190 0,3355 0,3518 0,3681 0,3843 0,4003 0,4163 0,4321 0,4478 0,4633 0,4787 0,4939 0,5090 0,5240 0,5388 0,5534 0,5678 0,5821 0,5962 0,6101 0,6239 0,6374 0,6508 0,6639 0,6769 0,6896 0,7022 0,7145 0,4 0,7 0,0122 0,0297 0,0471 0,0645 0,0819 0,0993 0,1167 0,1340 0,1513 0,1685 0,1957 0,2028 0,2198 0,2368 0,2538 0,2706 0,2874 0,3040 0,3206 0,3371 0,3535 0,3697 0,3859 0,4019 0,4179 0,4337 0,4493 0,4648 0,4802 0,4955 0,5105 0,5255 0,5402 0,5548 0,5693 0,5835 0,5976 0,6115 0,6252 0,6388 0,6521 0,6652 0,6782 0,6909 0,7034 0,7157 0,3 0,8 0,0140 0,0314 0,0488 0,0663 0,0837 0,1011 0,1184 0,1357 0,1530 0,1702 0,1874 0,2045 0,2215 0,2385 0,2554 0,2723 0,2890 0,3057 0,3223 0,3387 0,3551 0,3714 0,3875 0,4035 0,4195 0,4352 0,4509 0,4664 0,4818 0,4970 0,5120 0,5270 0,5417 0,5563 0,5707 0,5850 0,5990 0,6129 0,6266 0,6401 0,6534 0,6665 0,6794 0,6921 0,7046 0,7169 0,2 0,9 0,0157 0,0332 0,0506 0,0680 0,0854 0,1028 0,1201 0,1374 0,1547 0,1719 0,1891 0,2062 0,2233 0,2402 0,2571 0,2740 0,2907 0,3074 0,3239 0,3404 0,3567 0,3730 0,3891 0,4051 0,4210 0,4368 0,4524 0,4679 0,4833 0,4985 0,5135 0,5284 0,5432 0,5577 0,5721 0,5864 0,6004 0,6143 0,6280 0,6414 0,6547 0,6678 0,6807 0,6934 0,7059 0,7181 , 0,1 1 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 0,7193 0 Градусы 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 Градусы КОСИНУСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 43 СИНУСЫ Градусы 45 46 47 48 49 50 51 52 53 .54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0 0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 ' 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1 0,1 0,7083 0,7206 0,7325 0,7443 0,7559 0,7672 0,7782 0,7891 0,7997 0,8100 0,8202 0,8300 0,8396 0,8490 0,8581 0,8669 0,8755 0,8838 0,8918 0,8996 0,9070 0,9143 0,9212 0,9278 0,9342 0,9403 0,9461 0,9516 0,9568 0,9617 0,9664 0,9707 0,9748 0,9785 0,9820 0,9851 0,9880 0,9905 0,9928 0,9947 0,9963 0,9977 0,9987 0,9995 0,9999 0,9 0,2 0,7096 0,7218 0,7337 0,7455 0,7570 0,7683 0,7793 0,7902 0,8007 0,8111 0,8211 0,8310 0,8406 0,8499 0,8590 0,8678 0,8763 0,8846 0,8926 0,9003 0,9078 0,9150 0,9219 0,9285 0,9348 0,9409 0,9466 0,9521 0,9573 0,9622 Х),9668 0,9711 0,9751 0,9789 0,9823 0,9854 0,9882 0,9907 0,9930 0,9949 0,9965 0,9978 0,9988 0,9995 0,9999 0,8 0,3 0,7108 0,7230 0,7349 0,7466 0,7581 0,7694 0,7804 0,7912 0,8018 0,8121 0,8221 0,8320 0,8415 0,8508 0,8599 0,8686 0,8771 0,8854 0,8934 0,9011 0,9085 0,9157 0,9225 0,9291 0,9354 0,9415 0,9472 0,9527 0,9578 0,9627 0,9673 0,9715 0,9755 0,9792 0,9826 0,9857 0,9885 0,9910 0,9932 0,9951 0,9966 0,9979 0,9989 0,9996 0,9999 0,7 0,4 0,7120 0,7242 0,7361 0,7478 0,7593 0,7705 0,7815 0,7923 0,8028 0,8131 0,8231 0,8329 0,8425 0,8517 0,8607 0,8695 0,8780 0,8862 0,8942 0,9018 0,9092 0,9164 0,9232 0,9298 0,9361 0,9421 0,9478 0,9532 0,9583 0,9632 0,9677 0,9720 0,9759 0,9796 0,9829 0,9860 0,9888 0,9912 0,9934 0,9952 0,9968 0,9980 0,9990 0,9996 0,9999 0,6 Градусы 0,5 0,7133 0,7254 0,7373 0,7490 0,7604 0,7716 0,7826 0,7934 0,8039 0,8141 0,8241 0,8339 0,8434 0,8526 0,8616 0,8704 0,8788 0,8870 0,8949 0,9026 0,9100 0,9171 0,9239 0,9304 0,9367 0,9426 0,9483 0,9537 0,9588 0,9636 0,9681 0,9724 0,9763 0,9799 0,9833 0,9863 0,9890 0,9914 0,9936 0,9954 0,9969 0,9981 0,9990 0,9997 1,0000 0,5 0,6 0,7145 0,7266 0,7385 0,7501 0,7615 0,7727 0,7837 0,7944 0,8049 0,8151 0,8251 0,8348 0,8443 0,8536 0,8625 0,8712 0,8796 0,8878 0,8957 0,9033 0,9107 0,9178 0,9245 0,9311 0,9373 0,9432 0,9489 0,9542 0,9593 0,9641 0,9686 0,9728 0,9767 0,9803 0,9836 0,9866 0,9893 0,9917 0,9938 0,9956 0,9971 0,9982 0,9991 0,9997 1,0000 0,4 0,7 0,7157 0,7278 0,7396 0,7513 0,7627 0,7738 0,7848 0,7955 0,8059 0,8161 0,8261 0,8358 0,8453 0,8545 0,8634 0,8721 0,8805 0,8886 0,8965 0,9041 0,9114 0,9184 0,9252 0,9317 0,9379 0,9438 0,9494 0,9548 0,9598 0,9646 0,9690 0,9732 0,9770 0,9806 0,9839 0,9869 0,9895 0,9919 0,9940 0,9957 0,9972 0,9983 0,9992 0,9997 1,0000 0,3 0,8 0,7169 0,7290 0,7408 0,7524 0,7638 0,7749 0,7859 0,7965 0,8070 0,8171 0,8271 0,8368 0,8462 0,8554 0,8643 0,8729 0,8813 0,8894 0,8972 0,9048 0,9121 0,9191 0,9259 0,9323 0,9385 0,9444 0,9500 0,9553 0,9603 0,9650 0,9694 0,9736 0,9774 0,9810 0,9842_ 0,9871 0,9888 0,9921 0,9942 0,9959 0,9973 0,9984 0,9993 0,9998 1,0000 0,2 0,9 0,7181 0,7302 0,7420 0,7536 0,7649 0,7760 0,7869 0,7976 0,8080 0,8181 0,8281 0,8377 0,8471 0,8563 0,8652 0,8738 0,8821 0,8902 0,8980 0,9056 0,9128 0,9198 0,9265 0,9330 0,9391 0,9449 0,9505 0,9558 0,9608 0,9655 0,9699 0,9740 0,9778 0,9813 0,9845 0,9874 0,9900 0,9923 0,9943 0,9960 0,9974 0,9985 0,9993 0,9998 1,0000 0,1 1 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000 0 Градусы 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Градусы КОСИНУСЫ
44 ТАБЛИЦЫ ТАНГЕНСЫ Градусы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 0 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 1 0,1 0,0017 0,0192 0,0367 0,0542 0,0717 0,0892 0,1069 0,1246 0,1423 0,1602 0,1781 0,1962 0,2144 0,2327 0,2512 0,2698 0,2886 0,3076 0,3269 0,3463 0,3659 0,3859 0,4061 0,4265 0,4473 0,4684 0,4899 0,5117 0,5340 0,5566 0,5797 0,6032 0,6273 0,6519 0,6771 0,7028 0,7292 0,7563 0,7841 0,8127 0,8421 0,8724 0,9036 0,9358 0,9691 1,0035 0,9 0,2 0,0035 0,0209 0,0384 0,0559 0,0734 0,0910 0,1086 0,1263 0,1441 0,1620 0,1799 0,1980 0,2162 0,2345 0,2530 0,2717 0,2905 0,3096 0,3288 0,3482 0,3679 0,3879 0,4081 0,4286 0,4494 0,4706 0,4921 0,5139 0,5362 0,5589 0,5820 0,6056 0,6297 0,6544 0,6796 0,7054 0,7319 0,7590 0,7869 0,8156 0,8451 0,8754 0,9067 0,9391 0,9725 1,0070 0,8 0,3 0,0052 0,0227 0,0402 0,0577 0,0752 0,0928 0,1104 0,1281 0,1459 0,1638 0,1817 0,1998 0,2180 0,2364 0,2549 0,2736 0,2924 0,3115 0,3307 0,3502 0,3699 0,3899 0,4101 0,4307 0,4515 0,4727 0,4942 0,5161 0,5384 0,5612 0,5844 0,6080 0,6322 0,6569 0,6822 0,7080 0,7346 0,7618 0,7898 0,8185 0,8481 0,8785 0,9099 0,9424 0,9759 1,0105 0,7 0,4 0,0070 0,0244 0,0419 0,0594 0,0769 0,0945 0,1122 0,1299 0,1477 0,1655 0,1835 0,2016 0,2199 0,2382 0,2568 0,2754 0,2943 0,3134 0,3327 0,3522 0,3719 0,3919 0,4122 0,4327 0,4536 0,4748 0,4964 0,5184 0,5407 0,5635 0,5867 0,6104 0,6346 0,6594 0,6847 0,7107 0,7373 0,7646 0,7926 0,8214 0,8511 0,8816 0,9131 0,9457 0,9793 1,0141 0,6 Градусы 0,5 0,0087 0,0262 0,0437 0,0612 0,0787 0,0963 0,1139 0,1317 0,1495 0,1673 0,1853 0,2035 0,2217 0,2401 0,2586 0,2773 0,2962 0,3153 0,3346 0,3541 0,3739 0,3939 0,4142 0,4348 0,4557 0,4770 0,4986 0,5206 0,5430 0,5658 0,5890 0,6128 0,6371 0,6619 0,6873 0,7133 0,7400 0,7673 0,7954 0,8243 0,8541 0,8847 0,9163 0,9490 0,9827 1,0176 0,5 0,6 0,0105 0,0279 0,0454 0,0629 0,0805 0,0981 0,1157 0,1334 0,1512 0,1691 0,1871 0,2053 0,2235 0,2419 0,2605 0,2792 0,2981 0,3172 0,3365 0,3561 0,3759 0,3959 0,4163 0,4369 0,4578 0,4791 0,5008 0,5228 0,5452 0,5681 0,5914 0,6152 0,6395 0,6644 0,6899 0,7159 0,7427 0,7701 0,7983 0,8273 0,8571 0,8878 0,9195 0,9523 0,9861 1,0212 0,4 0,7 0,0122 0,0297 0,0472 0,0647 0,0822 0,0998 0,1175 0,1352 0,1530 0,1709 0,1890 0,2071 0,2254 0,2438 0,2623 0,2811 0,3000 0,3191 0,3385 0,3581 0,3779 0,3979 0,4183 0,4390 0,4599 0,4813 0,5029 0,5250 0,5475 0,5704 0,5938 0,6176 0,6420 0,6669 0,6924 0,7186 0,7454 0,7729 0,8012 0,8302 0,8601 0,8910 0,9228 0,9556 0,9896 1,0247 0,3 0,8 0,0140 0,0344 0,0489 0,0664 0,0840 0,1016 0,1192 0,1370 0,1548 0,1727 0,1908 0,2089 0,2272 0,2456 0,2642 0,2830 0,3010 0,3211 0,3404 0,3600 0,3799 0,4000 0,4204 0,4411 0,4621 0,4834 0,5051 0,5272 0,5498 0,5727 0,5961 0,6200 0,6445 0,6694 0,6950 0,7212 0,7481 0,7757 0,8040 0,8332 0,8632 0,8941 0,9260 0,9590 0,9930 1,0283 0,2 0,9 0,0157 0,0332 0,0507 0,0682 0,0857 0,1033 0,1210 0,1388 0,1566 0,1745 0,1926 0,2107 0,2290 0,2475 0,2661 0,2849 0,3038 0,3230 0,3424 0,3620 0,3819 0,4020 0,4224 0,4431 0,4642 0,4856 0,5073 0,5295 0,5520 0,5750 0,5985 0,6224 0,6469 0,6720 0,6976 0,7239 0,7508 0,7785 0,8069 0,8361 0,8662 0,8972 0,9293 0,9623 0,9965 1,0319 0,1 1 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 1,0355 . 0 Градусы 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 Градусы КОТАНГЕНСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 45 ТАНГЕНСЫ Градусы 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Градусы 0 1,0000 ,0355 ,0724 ,1106 ,1504 ,1918 ,2349 ,2799 ,3270 ,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1 6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3555 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 " 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 3,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900 1 0,1 1,0035 1,0392 1,0761 1,1145 1,1544 1,1960 1,2393 1,2846 1,3319 1,3814 1,4335 1,4882 1,5458 1,6066 1,6709 1,7391 1,8115 1,8887 1,9711 2,0594 2,1543 2,2566 2,3673 2,4876 2,6187 2,7625 2,9208 3,0961 3,2914 3,5105 3,7583 4,0408 4,3662 4,7453 5,1929 5,7297 6,3859 7,2066 8,2636 9,6768 11,6645 14,6685 19,7403 30,1446 63,6567 0,9 0,2 1,0070 1,0428 1,0799 1,1184 1,1585 1,2002 1,2437 1,2892 1,3367 1,3865 1,4388 1,4938 1,5517 1,6128 1,6725 1,7461 1,8190 1,8967 1,9797 2,0686 2,1642 2,2673 2,3798 2,5002 2,6325 2,7776 2,9375 3,1146 3,3122 3,5329 3,7848 4,0713 4,4015 4,7867 5,2422 5,7894 6,4596 7,3002 8,3863 9,8448 11,9087 15,0557 20,4465 31,8205 71,6151 0,8 0,3 1,0105 1,0464 1,0637 1,1224 1,1626 1,2045 1,2483 1,2938 1,3416 1,3916 1,4442 1,4994 1,5577 1,6191 1,6842 1,7532 1,8265 1,9047 1,9883 2,0778 2,1742 2,2781 2,3906 2,5129 2,6464 2,7927 2,9544 3,1334 3,3332 3,5576 3,8118 4,1022 4,4373 4,8288 5,2924 5,8502 6,5350 7,3962 8,5126 10,0187 12,1632 15,4638 21,2049 33,6935 81,8470 0,7 0,4 1,0141 1,0501 1,0875 1,1263 1,1667 1,2088 1,2527 1,2985 1,3465 1,3968 1,4496 1,5051 1,5637 1,6255 1,6909 1,7603 1,8341 1,9128 1,9970 2,0872 2,1842 2,2889 2,4023 2,5257 2,6605 2,8083 2,9714 3,1524 3,3544 3,5816 3,8391 4,1335 4,4737 4,8716 5,3435 5,9124 6,6122 7,4947 8,6427 10.1988 12,4288 15,8945 22,0217 35,8006 95,4895 0,6 0,5 1,0176 1,0538 1,0913 1,1303 1,1708 1,2131 1,2572 1,3032 1,3514 1,4019 1,4550 1,5108 1,5697 1,6319 1.6977 ¦1,7675 1,8418 1,9210 2,0057 2,0965 2,1943 2,2998 2,4142 2,5386 2,6746 2,8239 2,9887 3,1716 3.3759 3,6059 3,8667 4,1653 4,5107 4,9152 5,3955 5,9758 6,6912 7,5958 8,7769 10,3854 12,7062 16,3499 22,9038 38,1885 114,5887 0,5 Градусы 0,6 1,0212 1,0575 1,0951 1,1343 1,1750 1,2174 1,2617 1,3079 1,3564 1,4071 1,4605 1,5166 1,5757 1,6383 1,7045 1,7747 1,8495 1,9292 2,0145 2,1060 2,2045 2,3109 2,4262 2,5517 2,6889 2,8397 3,0061 3,1910 3,3977 3,6305 3,8947 4,1976 4,5483 4,9594 5,4486 6,0405 6,7720 7,6996 8,9152 10,5789 12,9962 16,8319 23,8593 40,9174 143,2371 0,4 0,7 1,0247 1,0612 1,0990 1,1383 1,1792 1,2218 1,2662 1,3127 1,3613 1,4124 1,4659 1,5224 1,5818 1,6447 1,7113 1,7820 1,8572 1,9375 2,0233 2,1155 2,2148 2,3220 2,4383 2,5649 2,7034 2,8556 3,0237 3,2106 3,4197 3,6554 3,9232 4,2303 4,5864 5,0045 5,5026 6,1066 6,8548 7,8062 9,0579 10,7797 13,2996 17,3432 24,8978 44,0661 190,9842 0,3 0,8 1,0283 1,0649 ,1028 ,1423 ,1833 ,2261 ,2708 ,3175 1,3663 1,4176 1,4715 1,5282 1,5880 1,6512 1,7182 1,7893 1,8650 1,9458 2,0323 2,1251 2,2251 2,3332 2,4504 2,5782 2,7179 2,8716 3,0415 3,2305 3,4420 3,6806 3.9520 4,2635 4,6252 5,0504 5,5578 6,1742 6,9395 7,9158 9,2052 10,9882 13,6174 17,8863 26,0307 47,7395 296,4777 0,2 0,9 1,0319 1,0686 1,1067 1,1463 1,1875 1,2305 1,2753 1,3222 1,3713 1,4229 1,4770 1,5340 1,5941 1,6577 1,7251 1,7966 1,8728 1,9542 2,0413 2,1348 2,2355 2,3445 2,4627 2,5916 2,7326 2,8878 3,0595 3,2506 3,4646 3,7062 3,9812 4,2972 4,6646 5,0970 5,6140 6,2432 7,0264 8,0285 9,3572 11,2048 13,9507 18,4645 27,2715 52,0807 572,9572 0,1 1 1,0355 1,0724 ,1106 ,1504 ,1918 ,2349 ,2799 ,3270 ,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900 QO 0 44 43' 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Градусы КОТАНГЕНСЫ
46 ТАБЛИЦЫ 1.1.1.10. Показательные, гиперболические X 0,00 01 02 03 04 0,05 06 07 08 09 0,10 11 12 13 14 0,15 16 17 18 19 0,20 21 22 23 24 0,25 26 27 28 29 0,30 31 32 33 34 0,35 36 37 38 39 0,40 41 42 43 44 0,45 46 47 48 49 0,50 51 52 53 54 0,55 ех 1,0000 1,0101 1,0202 1,0305 1,0408 1,0513 1,0618 1,0725 1,0833 1,0942 ,1052 ,1163 ,1275 ,1388 ,1503 ,1618 ,1735 ,1853 ,1972 ,2092 ,2214 ,2337 1,2461 1,2586 1,2712 1,2840 1,2969 1,3100 1,3231 1,3364 1,3499 1,3634 1,3771 1,3910 1,4049 1,4191 1,4333 1,4477 1,4623 1,4770 1,4918 ,5068 ,5220 1,5373 1,5527 ,5683 1,5841 1,6000 1,6161 1,6323 1,6487 1,6653 1,6820 1,6989 1,7160 1,7333 е~Х 1,0000 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,9139 0,9048 0,8958 0,8869 0,8781 0,8694 0,8607 0,8521 0,8437 0,8353 0,8270 0,8187 0,8106 0.8025 0,7945 0,7866 0,7788 0,7711 0,7634 0,7558 0,7483 0,7408 0,7334 0,7261 0,7189 0,7118 0,7047 0,6977 0,6907 0,6839 0,6771 0,6703 0,6637 0,6570 0,6505 0,6440 0,6376 0,6313 0,6250 0,6188 0,6126 0,6065 0,6005 0,5945 0,5886 0,5827 0,5769 shx 0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0701 0,0801 0,0901 0,1002 0,1102 0,1203 0,1304 0,1405 0,1506 0,1607 0,1708 0,1810 0,1911 0,2013 0,2115 0,2218 0,2320 0,2423 0,2526 0,2629 0,2733 0,2837 0,2941 0,3045 0,3150 0,3255 0,3360 0,3466 0,3572 0,3678 0,3785 0,3892 0,4000 0,4108 0,4216 0,4325 0,4434 0,4543 0,4653 0,4764 0,4875 0,4986 0,5098 0,5211 0,5324 0,5438 0,5552 0,5666 0,5782 и тригонометрические функции (для х от 0 до 1,6). chx ,0000 ,0001 ,0002 ,0005 ,0008 ,0013 ,0018 ,0025 ,0032 ,0041 ,0050 ,0061 ,0072 ,0085 ,0098 ,0113 1,0128 1,0145 1,0162 1,0181 1,0201 1,0221 1,0243 1,0266 1,0289 1,0314 1,0340 1,0367 1,0395 1,0423 1,0453 ,0484 1,0516 1,0549 1,0584 1,0619 1,0655 1,0692 1,0731 1,0770 1,0811 1,0852 1,0895 1,0939 1,0984 1,1030 1,1077 1,1125 1,1174 1,1225 1,1276 1,1329 1,1383 1,1438 1,1494 1,1551 thx 0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0599 0,0699 0,0798 0,0898 0,0997 0,1096 0,1194 0,1293 0,1391 0,1489 0,1586 0,1684 0,1781 0,1877 0,1974 0,2070 0,2165 0,2260 0,2355 0,2449 0,2543 0,2636 0,2729 0,2821 0,2913 0,3004 0,3095 0,3185 0,3275 0,3364 0,3452 0,3540 0,3627 ' 0,3714 0,3799 0,3885 0,3969 0,4053 0,4136 0,4219 0,4301 0,4382 0,4462 0,4542 0,4621 0,4699 0,4777 0,4854 0,4930 0,5005 sinjc 0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0699 0,0799 0,0899 0,0998 0,1098 0,1197 0,1296 0,1395 0,1494 0,1593 0,1692 0,1790 0,1889 0,1987 0,2085 0,2182 0,2280 0,2377 0,2474 0,2571 0,2667 0,2764 0,2860 0,2955 0,3051 0,3146 0,3240 0,3335 0,3429 0,3523 0,3616 0,3709 0,3802 0,3894 0,3986 0,4078 0,4169 0,4259 0,4350 0,4439 0,4529 0,4618 0,4706 0,4794 0,4882 0,4969 0,5055 0,5141 0,5227 COSJC 1,0000 1,0000 0,9998 0,9996 0,9992 0,9988 0,9982 0,9976 0,9968 0,9960 0,9950 0,9940 0,9928 0,9916 0,9902 0,9888 0,9872 0,9856 0,9838 0,9820 0,9801 0,9780 0,9759 0,9737 0,9713 0,9689 0,9664 0,9638 0,9611 0,9582 0,9553 0,9523 0,9492 0,9460 0,9428 0,9394 0,9359 0,9323 0,9287 0,9249 0,9211 0,9171 0,9131 0,9090 0,9048 0,9004 0,8961 0,8916 0,8870 0,8823 0,8776 0,8727 0,8678 0,8628 0,8577 0,8525 tgx 0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0601 0,0701 0,0802 0,0902 0,1003 0,1104 0,1206 0,1307 0,1409 0,1511 0,1614 0,1717 0,1820 0,1923 0,2027 0,2131 0,2236 0,2341 0,2447 0,2553 0,2660 0,2768 0,2876 0,2984 0,3093 0,3203 0,3314 0,3425 0,3537 0,3650 0,3764 0,3879 0,3994 0,4111 0,4228 0,4346 0,4466 0,4586 0,4708 0,4831 0,4954 0,5080 0,5206 0,5334 0,5463 0,5594 0,5726 0*5859 0,5994 0,6131
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 47 Продолжение X 0,55 56 57 58 59 0,60 61 62 63 64 0,65 66 67 68 69 0,70 71 72 73 74 0,75 76 77 78 79 0,80 81 82 83 84 0,85 86 87 88 89 0,90 91 92 93 94 0,95 96 97 98 99 1,00 01 02 03 04 1,05 06 07 08 09 1,10 ех 1,7333 ,7507 ,7683 ',7860 ,8040 ,8221 ,8404 ,8589 1,8776 1,8965 1,9155 1,9348 1,9542 1,9739 1,9937 2,0138 2,0340 2,0544 2,0751 2,0959 2,1170 2,1383 2,1598 2,1815 2,2034 2,2255 2,2479 2,2705 2,2933 2,3164 2,3396 2,3632 2,3869 2,4109 2,4351 2,4596 2,4843 2,5093 2,5345 2,5600 2,5857 2,6117 2,6379 2,6645 2,6912 2,7183 ZJ456 2,7732 2,8011 2,8292 2,8577 2,8864 2,9154 2,9447 2,9743 3,0042 е~х 0,5769 0,5712 0,5655 0,5599 0,5543 0,5488 0,5434 0,5379 0,5326 0,5273 0,5220 0,5169 0,5117 0,5066 0,5016 0,4966 0,4916 0,4868 0,4819 0,4771 0,4724 0,4677 0,4630 0,4584 0,4539 0,4493 0,4449 0,4404 - 0,4360 0,4317 0,4274 0,4232 0,4190 0,4148 0,4107 0,4066 0,4025 0,3985 0,3946 0,3906 0,3867 0,3829 0,3791 0,3753 0,3716 0,3679 0,3642 0,3606 0,3570 > 0,3535 0,3499 0,3465 0,3430 0,3396 0,3362 0,3329 shx 0,5782 0,5897 0,6014 0,6131 0,6248 0,6367 0,6485 0,6605 0,6725 0,6846 0,6967 0,7090 0,7213 0,7336 0,7461 0,7586 0,7712 0,7838 0,7966 0,8094 0,8223 0,8353 0,8484 0,8615 0,8748 0,8881 0,9015 0,9150 0,9286 0,9423 0,9561 0,9700 0,9840 0,9981 1,0122 1,0265 1,0409 1,0554 1,0700 1,0847 1,0995 1,1144 1,1294 1,1446 1,1598 1,1752 1,1907 1,2063 1,2220 1,2379 1,2539 1,2700 1,2862 1,3025 1,3190 1,3356 chx 1,1551 1,1609 1,1669 1,1730 1,1792 1,1855 1,1919 1,1984 1,2051 1,2119 1,2188 1,2258 1,2330 1,2402 1,2476 1,2552 1,2628 1,2706 1,2785 1,2865 1,2947 1,3030 1,3114 1,3199 1,3286 1,3374 1,3464 1,3555 1,3647 1,3740 1,3835 1,3932 1,4029 1,4128 1,4229 1,4331 1,4434 1,4539 1,4645 1,4753 1,4862 1,4973 1,5085 1,5199 1,5314 1,5431 1,5549 1,5669 1,5790 1,5913 1,6038 1,6164 1,6292 1,6421 1,6552 1,6685 thx 0,5005 0,5080 0,5154 0,5227 0,5299 0,5370 0,5441 0,5511 0,5581 0,5649 0,5717 0,5784 0,5850 0,5915 0,5980 0,6044 0,6107 0,6169 0,6231 0,6291 0,6351 0,6411 0,6469 0,6527 0,6584 0,6640 0,6696 0,6751 0,6805 0,6858 0,6911 0,6963 0,7014 0,7064 0,7114 0,7163 0,7211 0,7259 0,7306 0,7352 0,7398 0,7443 0,7487 0,7531 0,7574 0,7616 0,7658 0,7699 0,7739 0,7779 0,7818 0,7857 0,7895 0,7932 0,7969 0,8005 sinx 0,5227 0,5312 0,5396 0,5480 0,5564 0,5646 0,5729 0,5810 0,5891 0,5972 0,6052 0,6131 0,6210 0,6288 0,6365 0,6442 0,6518 0,6594 0,6669 0,6743 0,6816 0,6889 0,6961 0,7033 0,7104 0,7174 0,7243 0,7311 0,7379 0,7446 0,7513 0,7578 0,7643 0,7707 0,7771 0,7833 0,7895 0,7956 0,8016 0,8076 0,8134 0,8192 0,8249 0,8305 0,8360 0,8415 0,8468 0,8521 0,8573 0,8624 0,8674 0,8724 0,8772 0,8820 0,8866 0,8912 COS* 0,8525 0,8473 0,8419 0,8365 0,8309 0,8253 0,8196 0,8139 0,8080 0,8021 0,7961 0,7900 0,7838 0,7776 0,7712 0,7648 0,7584 0,7518 0,7452 0,7385 0,7317 0,7248 0,7179 0,7109 0,7038 0,6967 0,6895 0,6822 0,6749 0,6675 0,6600 0,6524 0,6448 0,6372 0,6294 0,6216 0,6137 0,6058 0,5978 0,5898 0,5817 0,5735 0,5653 0,5570 0,5487 0,5403 0,5319 0,5234 0,5148 0,5062 0,4976 0,4889 0,4801 0,4713 0,4625 0,4536 tgx 0,6131 0,6269 0,6410 , 0,6552 0,6696 0,6841 0,6989 0,7139 0,7291 0,7445 0,7602 0,7761 0,7923 0,8087 0,8253 0,8423 0,8595 0,8771 0,8949 0,9131 0,9316 0,3505 0,9697 0,9893 1,0092 1,0296 1,0505 1,0717 1,0934 1,1156 1,1383 1,1616 1,1853 1,2097 1,2346 1,2602 1,2864 1,3133 1,3409 1,3692 1,3984 1,4284 1,4592 1,4910 1,5237 1,5574 1,5922 1,6281 1,6652 1,7036 1,7433 1,7844 1,8270 1,8712 1,9171 1,9648
48 ТАБЛИЦЫ Продолжение X 1,10 11 12 13 14 1,15 16 17 18 19 1,20 21 22 23 24 1,25 26 27 28 29 1,30 31 32 33 34 1,35 36 37 38 39 1,40 41 42 43 44 1,45 46 47 48 49 1,50 51 52 53 54 1,55 56 57 58 59 1,60 ех 3,0042 3,0344 3,0649 3,0957 3,1268 3,1582 3,1899 3,2220 3,2544 3,2871 3,3201 3,3535 3,3872 3,4212 3,4556 3,4903 3,5254 3,5609 3,5966 3,6328 3,6693 3,7062 3,7434 3,7810 3,8190 3,8574 3,8962 3,9354 3,9749 4,0149 4,0552 4,0960 4,1371 4,1787 4,2207 4,2631 4,3060 4,3492 4,3929 4,4371 4,4817 4,5267 4,5722 4,6182 4,6646 4,7115 4,7588 4,8066 4,8550 4,9037 4,9530 е~х 0,3329 0,3296 0,3263 0,3230 0,3198 0,3166 0,3135 0,3104 0,3073 0,3042 0,3012 0,2982 0,2952 0,2923 0,2894 0,2865 0,2837 0,2808 0,2780 0,2753 0,2725 0,2698 0,2671 0,2645 0,2618 0,2592 0,2567 0,2541 0,2516 0,2491 0,2466 0,2441 0,2417 0,2393 0,2369 0,2346 0,2322 0,2299 0,2276 0,2254 0,2231 0,2209 0,2187 0,2165 0,2144 0,2122 0,2101 0,2080 0,2060 0,2039 0,2019 shx 1,3356 1,3524 1,3693 1,3863 1,4035 1,4208 1,4382 1,4558 1,4735 1,4914 1,5095 1,5276 1,5460 1,5645 1,5831 1,6019 1,6209 1,6400 1,6593 1,6788 1,6984 1,7182 1,7381 1,7583 1,7786 1,7991 1,8198 1,8406 1,8617 1,8829 1,9043 1,9259 1,9477 1,9697 1,9919 2,0143 2,0369 2,0597 2,0827 2,1059 2,1293 2,1529 2,1768 2,2008 2,2251 2,2496 2,2743 2,2993 2,3245 2,3499 2,3756 chx 1,6685 1,6820 1,6956 1,7093 1,7233 1,7374 1,7517 1,7662 1,7808 1,7957 1,8107 1,8258 1,8412 1,8568 1,8725 1,8884 1,9045 1,9208 1,9373 1,9540 1,9709 1,9880 2,0053 2,0228 2,0404 2,0583 2,0764 2,0947 2,1132 2,1320 2,1509 2,1700 2,1894 2,2090 2,2288 2,2488 2,2691 2,2896 2,3103 2,3312 2,3524 2,3738 2,3955 , 2,4174 2,4395 2,4619 2,4845 2,5073 2,5305 2,5538 2,5775 thx 0,8005 0,8041 0,8076 0,8110 0,8144 0,8178 0,8210 0,8243 0,8275 0,8306 0,8337 0,8367 0,8397 0,8426 0,8455 0,8483 0,8511 0,8538 0,8565 0,8591 0,8617 0,8643 0,8668 0,8692 0,8717 0,8741 0,8764 0,8787 0,8810 0,8832 0,8854 0,8875 0.8896 0,8917 0,8937 0,8957 0,8977 0,8996 0,9015 0,9033 0,9051 0,9069 0,9087 0,9104 0,9121 0,9138 0,9154 0,9170 0,9186 0,9201 0,9217 sin* 0,8912 0,8957 0,9001 0,9044 0,9086 0,9128 0,9168 0,9208 0,9246 0,9284 0,9320 0,9356 0,9391 0,9425 0,9458 0,9490 0,9521 0,9551 0,9580 0,9608 0,9636 0,9662 0,9687 0,9711 0,9735 0,9757 0,9779 0,9799 0,9819 0,9837 0,9854 0,9871 0,9887 0,9901 0,9915 0,9927 0,9939 0,9949 0,9959 0,9967 0,9975 0,9982 0,9987 0,9992 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 0,9998 0,9996 COS X 0,4536 0,4447 0.4357 0,4267 0,4176 0,4085 0,3993 0,3902 0,3809 0,3717 0,3624 0,3530 0,3436 0,3342 0,3248 0.3153 0,3058 0,2963 0,2867 0,2771 0,2675 0,2579 0,2482 0,2385 0,2288 0,2190 0,2092 f 0,1994 ' 0,1896 0,1798 0,1700 0,1601 0,1502 0,1403 0,1304 0,1205 0,1106 0,1006 0,0907 0,0807 0,0707 0,0608 0,0508 0,0408 0,0308 0,0208 0,0108 + 0,0008 -0,0092 -0,0192 -0,0292 tgx 1,9648 2,0143 2,0660 2,1198 2,1759 2,2345 2,2958 2,3600 2,4273 2,4979 2,5722 2,6503 2,7328 2.8198 2,9119 3,0096 3,1133 3,2236 3,3413 3,4672 3,6021 3,7471 3,9033 4,0723 4,2556 4,4552 4,6734 4,9131 5,1774 5,4707 5,7979 6,1654 6,5811 7,0555 7;6018 8,2381 8,9886 9,8874 10,983 12,350 14,101 16,428 19,670 24,498 32,461 48,078 92,620 1255,8 -108,65 -52,067 -34,233
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (ДЛЯ х ОТ 1,6 до 10,0) 49 Кратные значеныч я и к/2 dili вычис /спич тригоио метрических ф\акции при х > 1,6 п 1 2 3 4 5 // я/2 1.57080 3,14159 4,71239 6.28319 7,85398 // я 3.14159 6,28319 9.42478 12.56637 15,70796 6 7 8 9 10 п я/2 9.42478 10,99557 12,56637 14.13717 15,70796 п- я 18,84956 21,99115 25,13274 28,27433 31,41593 Примеры. 1) sin7,5 = sinEя/2-0,35398) = cos0,35398 = 0,9380 (линейная интерполяция). 2) sin29=.sin(9я+0,72567)= -sin0,72567= -0,6637 (линейная интерполяция). 1.1.1.11. Показательные функции (для л от 1,6 до 10,0)*). л 1.60 1.61 1,62 1.63 1.64 1,65 1,66 1.67 1.68 1.69 1,70 1,71 1,72 1.73 1,74 1,75 1,76 1.77 1,78 1.79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1.91 1,92 1,93 1,94 ех 4.9530 5,0028 5,0531 5.1039 5,1552 5,2070 5,2593 5.3122 5,3656 5,4195 5,4739 5,5290 5,5845 5,6407 5.6973 5,7546 5,8124 5,8709 5.9299 5,9895 6,0496 6,1104 6,1719 6,2339 6,2965 6,3598 6,4237 6,4883 6,5535 6,6194 6,6859 6,7531 6.8210 6,8895 6.9588 *' Для вычисления ех - е~х sn х = — - , сп х = е~х 0,2019 0.1999 0,1979 0,1959 0,1940 0,1920 0,1901 0,1882 0,1864 0,1845 0,1827 0,1809 0.1791 0,1773 0,1755 0.1738 0.1720 0,1703 0,1686 0.1670 0,1653 0,1637 0.1620 0,1604 0,1588 0,1572 0.1557 0.1541 0,1526 0,1511 0,1496 0,1481 0,1466 0,1451 0,1437 X 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2.05 2.06 2,07 2,08 2,09 2,10 2.11 2,12 2,13 2,14 2.15 2.16 2,17 2.18 2,19 2.20 2,21 2,22 2,23 2,24 2.25 2,26 2,27 2,28 2,29 i иперболических функций е*~-Х- thx = shx 1 - ch x 1 + X е 7.0287 7,0993 7.1707 7,2427 7,3155 7,3891 7,4633 7,5383 7,6141 7,6906 7,7679 7,8460 7,9248 8,0045 8.0849 8.1662 8.2482 8.3311 8,4149 8,4994 8.5849 8,6711 8,7583 8,8463 8,9352 9,0250 9,1157 9,2073 9,2999 9,3933 9,4877 9,5831 9,6794 9,7767 9,8749 при х > 1,6 е~х 0.1423 0,1409 0.1395 0,1381 0,1367 0,1353 0.1340 0.1327 0.1313 0.1300 0.1287 0,1275 0.1262 0.1249 0.1237 0.1225 0,1212 0,1200 0,1188 0,1177 0,1165 0.1153 0.1142 0.1130 0.1119 0,1108 0.1097 0.1086 0,1075 0,1065 0,1054 0,1044 0,1033 0.1023 0,1013 X 2,30 2,31 2.32 2,33 2,34 2.35 2,36 2.37 2.38 2,39 2.40 2,41 2,42 2.43 2,44 2,45 • 2,46 2,47 2,48 2,49 2,50 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,61 2,62 2.63 2,64 ех 9,9742 10,074 10,176 10,278 10,381 10,486 10,591 10,697 10,805 10,913 11,023 11,134 11,246 11,359 11,473 11,588 11,705 11,822 11,941 12,061 12,182 12,305 12,429 12,554 12,680 12,807 12,936 13,066 13,197 13,330 13,464 13,599 13,736 13,874 14,013 е~х 0,10026 0,09926 0,09827 0,09730 0,09633 0,09537 0,09442 0,09348 0,09255 0,09163 0,09072 0,08982 0,08892 0,08804 0,08716 0,08629 0,08543 0,08458 0,08374 0,08291 0,08208 0,08127 0,08046 0,07966 0,07887 0,07808 0,07730 0,07654 0,07577 0,07502 0,07427 0,07353 0,07280 0,07208 0,07136 можно пользоваться следующими формулами:
50 ТАБЛИЦЫ Продолжение 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 2,77 2,78 2,79 2,80 2,81 2,82 2,83 2,84 2,85 2,86 2,87 2,88 2,89 2,90 2,91 2,92 2,93 2,94 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3.06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 ех 14,154 14,296 14,440 14,585 14,732 14,880 15,029 15,180 15,333 15,487 15,643 15,800 15,959 16,119 16,281 16,445 16,610 16,777 16,945 17,116 17,288 17.462 17,637 17,814 17,993 18,174 18,357 18,541 18,728 18,916 19,106 19,298 19,492 19,688 19,886 20,086 20,287 20,491 20,697 20,905 21,115 21,328 21,542 21,758 ' 21,977 22,198 22,421 22,646 22,874 23,104 23,336 23,571 23,807 24,047 24,288 24,533 24,779 25,028 25,280 25,534 е~х 0,07065 0,06995 0,06925 0,06856 0,06788 0,06721 0,06654 0,06588 0,06522 0,06457 0,06393 0,06329 0,06266 0,06204 0,06142 0,06081 0,06020 0,05961 0,05901 0,05843 0,05784 0,05727 0,05670 0,05613 0,05558 0,05502 0,05448 0,05393 0,05340 0,05287 0,05234 0,05182 0,05130 0,05079 0,05029 0,04979 0,04929 0,04880 0,04832 0,04783 0,04736 0,04689 0,04642 0,04596 0,04550 0,04505 0,04460 0,04416 0,04372 0,04328 0,04285 0,04243 0,04200 0,04159 0,04117 0,04076 0,04036 0,03996 0,03956 0,03916 X 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 ех 25,790 26,050 26,311 26,576 26,843 27,113 27,385 27,660 27,938 28,219 28,503 28,789 29,079 29,371 29,666 29,964 30,265 30,569 30,877 31,187 31,500 31,817 32,137 32,460 32,786 33,115 33,448 33,784 34,124 34,467 34,813 35,163 35,517 35,874 36.234 36,598 36,966 37,338 37,713 38,092 38,475 38,861 39,252 39,646 40,045 40,447 40,854 41,264 41,679 42,098 42,521 42,948 43,380 43,816 44,256 44,701 45,150 45,604 46.063 46,525 0,03877 0,03839 0,03801 0,03763 0,03725 0,03688 0,03652 0,03615 0,03579 0,03544 0,03508 0,03474 0,03439 0,03405 0,03371 0,03337 0,03304 0,03271 0,03239 0,03206 0,03175 0,03143 0,03112 0,03081 0,03050 0,03020 0,02990 0,02960 0,02930 0,02901 0,02872 0,02844 0,02816 0,02788 0,02760 0,02732 0,02705 0,02678 0,02652 0,02625 0,02599 0,02573 0,02548 0,02522 0,02497 0,02472 0,02448 0,02423 0,02399 0,02375 0,02352 0,02328 0,02305 0,02282 0,02260 0,02237 0,02215 0,02193 0,02171 0,02149 л: 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 ех 46,993 47,465 47,942 48,424 48,911 409,402 49,899 50,400 50,907 51,419 51,935 52,457 52,985 53,517 54,055 54,598 60,340 66,686 73,700 81,451 90,017 99,484 109,95 121,51 134,29 148,41 164,02 181,27 200,34 221,41 244,69 270,43 298,87 330,30 365,04 403,43 445,86 492,75 544,57 601,85 665,14 735,10 812,41 897,85 992,27 1096,6 1212,0 1339,4 1480,3 1636,0 1808,0 1998,2 2208,3 2440,6 2697,3 2981,0 3294,5 3641,0 4023,9 4447,1 е"х 0,02128 0,02107 0,02086 0,02065 0,02045 0,02024 0,02004 0,01984 0,01964 0,01945 0,01925 0,01906 0,01887 0,01869 0,01850 0,01832 0,01657 0,01500 0,01357 0,01228 0,01111 0,01005 0,00910 0,00823 0,00745 0,00674 0,00610 0,00552 0,00499 0,00452 0,00409 0,00370 0,00335 0,00303 0,00274 0,002479 0,002243 0,002029 0,001836 0,001662 0,001503 0,001360 0,001231 0,001114 0,001008 0,000912 0,000825 0,000747 0,000676 0,000611 0,000553 0,000500 0,000453 0,000410 0,000371 0,000335 0,000304 0,000275 0,000249 0,000225
НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 51 .Y 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 X е 4914,8 5431,7 6002,9 6634,2 7332,6 — х е 0,000203 0,000184 0,000167 0,000151 0,000136 х 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 .Y е 8103,1 8955,3 9897,1 10938 12088 е 0,000123 0,000112 0,000101 0,000091 0,000083 X 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 X е 13360 14765 16318 18034 19930 22026 Продолжение — X е 0,000075 0,000068 0,000061 0,000055 0,000050 0,000045 1.1.1.12. Натуральные логарифмы. N 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 0 0,0000 0,0953 0,1823 0,2624 0,3365 0,4055 0,4700 0,5306 0,5878 0,6419 0,6931 0,7419 0,7885 0,8329 0,8755 0,9163 0,9555 0,9933 1,0296 1,0647 1,0986 1,1314 1,1632 1,1939 1,2238 1,2528 1,2809 1,3083 1,3350 1,3610 1,3863 1,4110 1,4351 1,4586 1,4816 1,5041 1,5261 1,5476 1,5686 1,5892 1 0,0100 0,1044 0,1906 0,2700 0,3436 0,4121 0,4762 0,5365 0,5933 0,6471 0,6981 0,7467 0,7930 0,8372 0,8796 0,9203 0,9594 0,9969 1,0332 1,0682 1,1019 1,1346 1,1663 1,1969 1,2267 1,2556 1,2837 1,3110 1,3376 1,3635 1,3888 1,4134 1,4375 1,4609 1,4839 ,5063 ,5282 ,5497 ,5707 ,5913 2 0,0198 0,1133 0,1989 ' 0,2776 0,3507 0,4187 0,4824 0,5423 0,5988 0,6523 0,7031 0,7514 0,7975 0,8416 0,8838 0,9243 0,9632 1,0006 1,0367 1,0716 1,1053 1,1378 1,1694 1,2000 1,2296 1,2585 1,2865 1,3137 1,3403 1,3661 1,3913 1,4159 1,4398 1,4633 1,4861 1,5085 1,5304 1,5518 1,5728 1,5933 3 0,0296 0,1222 0,2070 0,2852 0,3577 0,4253 0,4886 0,5481 (Г,6043 0,6575 0,7080 0,7561 0,8020 0,8459 0,8879 0,9282 0,9670 1,0043 1,0403 1,0750 1,1086 1,1410 1,1725 ,2030 1,2326 1,2613 ,2892 1,3164 ,3429 1,3686 1,3938 1,4183 1,4422 г 1,4656 ,4884- 1,5107 1,5326 1,5539 1,5748 1,5953 4 0,0392 0,1310 0,2151 0,2927 , 0,3646 0,4318 0,4947 0,5539 0,6098 0,6627 0,7129 0,7608 0,8065 0,8502 0,8920 0,9322 0,9708 1,0080 1,0438 1,0784 1,1119 1,1442 1,1756 1,2060 1,2355 1,2641 1,2920 1,3191 1,3455 1,3712 1,3962 1,4207 1,4446 1,4679 1,4907 1,5129 1,5347 1,5560 1,5769 1,5974 5 0,0488 0,1398 0,2231 0,3001 0,3716 0,4383 0,5008 0,5596 0,6152 0,6678 0,7178 0,7655 0,8109 0,8544 0,8961 0,9361 0,9746 1,0116 1,0473 1,0818 1,1151 1,1474 1,1787 1,2090 1,2384 1,2669 1,2947 1,3218 1,3481 1,3737 1,3987 1,4231 1,4469 1,4702 1,4929 1,5151 1,5369 1,5581 1,5790 1,5994 6 0,0583 0,1484 0,2311 0,3075 0,3784 0,4447 0,5068 0,5653 0,6206 0,6729 0,7227 0,7701 0,8154 0,8587 0,9002 0,9400 0,9783 1,0152 1,0508 1,0852 1,1184 1,1506 1,1817 1,2119 1,2413 1,2669 1,2975 1,3244 1,3507 1,3762 1,4012 1,4255 1,4493 1,4725 1,4951 1,5173 1,5390 1,5602 1,5810 1,6014 7 0,0677 0,1570 0,2390 0,3148 0,3853 0,4511 0,5128 0,5710 0,6259 0,6780 0,7275 0,7747 0,8198 0,8629 0,9042 0,9439 0,9821 1,0188 1,0543 1,0886 ,1217 1,1537 1,1848 1,2149 1,2442 ,2726 ,3002 1,3271 1,3533 1,3788 1,4036 1,4279 1,4516 1,4748 1,4974 . 1,5195 1,5412 1,5623 1,5831 1,6034 8 0,0770 0,1655 0,2469 0,3221 0,3920 0,4574 0,5188 0,5766 0,6313 0,6831 0,7324 0,7793 0,8242 0,8671 0,9083 0,9478 0,9858 1,0225 1,0578 1,0919 1,1249 1,1569- 1,1878 1,2179 1,2470 1,2754 1,3029 1,3297 1,3558 1,3813 1,4061 1,4303 1,4540 1,4770 1,4996 1,5217 1,5433 1,5644 1,5851 1,6054 9 0,0862 0,1740 0,2546 0,3293 0,3988 0,4637 0,5247 0,5822 0,6366 0,6881 0,7372 0,7839 0,8286 0,8713 0,9123 0,9517 0,9895 1,0260 1,0613 1,0953 1,1282 1,1600 1,1909 1,2208 1,2499 1,2782 1,3056 1,3324 1,3584 1,3838 1,4085 1,4327 1,4563 1,4793 1,5019 1,5239 1,5454 1,5665 1,5872 1,6074
52 ТАБЛИЦЫ Продолжение N 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 0 1,6094 1,6292 1,6487 1,6677 1,6864 1,7047 1,7228 1,7405 1,7579 1,7750 1,7918 1,8083 1,8245 1,8405 1,8563 1,8718 1,8871 1,9021 1,9169 1,9315 1,9459 1,9601 1,9741 1,9879 2,0015 2,0149 2,0281 2,0412 2,0541 2,0669 2,0794 2,0919 2,1041 2,1163 2,1282 2,1401 2,1518 2,1633 2,1748 2,1861 2,1972 2,2083 2,2192 2,2300 2,2407 2,2513 2,2618 2,2721 2,2824 2,2925 1 1,6114 1,6312 1,6506 1,6696 1,6882 1,7066 1,7246 1,7422 1,7596 1,7766 1,7934 1,8099 1,8262 1,8421 1,8579 1,8733 1,8886 1,9036 1,9184 1,9330 1,9473 1,9615 1,9755 1,9892 2,0028 2,0162 2,0295 2,0425 2,0554 2,0681 2,0807 2,0931 2,1054 2,1175 2,1294 2,1412 2,1529 2,1645 2,1759 2,1872 2,1983 2,2094 2,2203 2,2311 2,2418 2,2523 2,2628 2,2732 2,2834 2,2935 2 1,6134 1,6332 1,6525 1,6715 1,6901 1,7084 1,7263 1,7440 1,7613 1,7783 1,7951 1,8116 1,8278 1,8437 1,8594 1,8749 1,8901 1,9051 1,9199 1,9344 1,9488 1,9629 1,9769 1,9906 2,0042 2,0176 2,0308 2,0438 2,0567 2,0694 •2,0819 2,0943 2,1066 2,1187 2,1306 2,1424 2,1541 2,1656 2,1770 2,1883 2,1994 2,2105 2,2214 2,2322 2,2428 2,2534 2,2638 2,2742 2,2844 2,2946 3 1,6154 1,6351 1,6544 1,6734 1,6919 1,7102 1,7281 1,7457 1,7630 1,7800 1,7967 1,8132 1,8294 1,8453 1,8610 1,8764 1,8916 1,9066 1,9213 1,9359 1,9502 1,9643 1,9782 1,9920 2,0055 2,0189 2,0321 2,0451 2,0580 2,0707 2,0832 2,0956 2,1078 2,1199 2,1318 2,1436 2,1552 2,1668 2,1782 2,1894 2,2006 2,2116 2,2225 2,2332 2,2439 ' 2,2544 2,2649 2,2752 2,2854 2,2956 4 1,6174 1,6371 1,6563 1,6752 1,6938 1,7120 1,7299 1,7475 1,7647 1,7817 1,7984 1,8148 1,8310 1,8469 1,8625 1,8779 1,8931 1,9081 1,9228 1,9373 1,9516 1,9657 1,9796 1,9933 2,0069 2,0202 2,0334 2,0464 2,0592 2,0719 2,0844 2,0968 2,1090 2,1211 2,1330 2,1448 2,1564 2,1679 2,1793 2,1905 2,2017 2,2127 2,2335 2,2343 2,2450 2,2555 2,2659 2,2762 2,2865 2,2966 5 ,6194 ,6390 ,6582 ,6771 ,6956 ,7138 ,7317 ,7492 ,7664 ,7834 1,8001 1,8165 1,8326 1,8485 1,8641 1,8785 1,8946 1,9095 1,9242 1,9387 1,9530 1,9671 1,9810 1,9947 2,0082 2,0215 2,0347 2,0477 2,0605 2,0732 2,0857 2,0980 2,1102 2,1223 2,1342 2,1459 2,1576 2,1691 2,1804 2,1917 2,2028 2,2138 2,2246 2,2354 2,2460 2,2565 2,2670 2,2773 2,2875 2,2976 6 1,6214 1,6409 1,6601 1,6790 1,6974 1,7156 1,7334 1,7509 1,7681 1,7851 1,8017 1,8181 1,8342 1,8500 1,8656 1,8810 1,8961 1,9110 1,9257 1,9402 1,9544 1,9685 1,9824 1,9961 2,0096 2,0229 2,0360 2,0490 2,0618 2,0744 2,0869 2,0992 2,1114 2,1235 2,1353 2,1471 2,1587 2,1702 2,1815 2,1928 2,2039 2,2148 2,2257 2,2364 2,2471 2,2576 2,2680 2,2783 2,2885 2,2986 7 1,6233 1,6429 1,6620 1,6808 1,6993 1,7174 1,7352 1,7527 1,7699 1,7867 1,8034 1,8197 1,8358 1,8516 1,8672 1,8825 1,8976 1,9125 1,9272 1,9416 1,9559 1,9699 1,9838 1,9974 2,0109 2,0242 2,0373 2,0503 2,0631 2,0757 2,0882 2,1005 2,1126 2,1247 2,1365 2,1483 2,1599 2,1713 2,1827 2,1939 2,2050 2,2159 2,2268 2,2375 2,2481 2,2586 2,2690 2,2793 2,2895 2,2996 8 1,6253 1,6448 1,6639 1,6827 1,7011 1,7192 1,7370 1,7544 1,7716 1,7884 1,8050 1,8213 1,8374 1,8532 1,8687 1,8840 1,8991 1,9140 1,9286 1,9430 1,9573 1,9713 1,9851 1,9988 2,0122 2,0255 2,0386 2,0516 2,0643 2,0769 2,0894 2,1017 2,1138 2,1258 2,1377 2,1494 2,1610 2,1725 2,1838 2,1950 2,2061 2,2170 2,2279 2,2386 2,2492 2,2597 2,2701 2,2803 2,2905 2,3006 9 1,6273 1,6467 1,6658 1,6845 1,7029 ,7210 ,7387 ,7561 1,7733 1,7901 1,8066 1,8229 1,8390 1,8547 1,8703 1,8856 1,9006 1,9155 1,9301 1,9445 1,9587 1,9727 1,9865 2,0001 2,0136 2,0268 2,0399 2,0528 2,0656 2,0782 2,0906 2,1029 2,1150 2,1270 2,1389 2,1506 2,1622 2,1736 2,1849 2,1961 2,2072 2,2181 2,2289 2,2396 2,2502 2,2607 2,2711 2,2814 2,2915 2,3016
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ 53 т 1 2 3 4 5 lnlOw 2,3026 4,6052 6,9078 9,2103 11,5129 .13. Длина окружности. Объяснения к таблице 1.1.1.12 натуральных логарифмов. В отличие от таблиц десятичных логарифмов здесь даны как мантиссы, так и характеристики. Логарифмы чисел, заключенных между 1 и 10, находятся непосредственно в таблице, причем на третий и четвертый десятичные знаки должна быть внесена интерполяционная поправка. Для чисел, больших десяти или меньших единицы, натуральные логарифмы находятся с помощью помещенных в конце таблицы значений логарифмов степеней 10. d 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 0 3,142 3,456 3,770 4,084 4,398 4,712 5,027 5,341 5,655 5,969 6,283 6,597 6,912 7,226 7,540 7,854 8,168 8,482 8,796 9,111 9,425 9,739 10,05 10,37 10,68 11,00 11,31 11,62 11,94 12,25 12,57 12,88 13,19 13,51 13,82 14,14 14,45 14,77 15,08 15,39 15,7| 1 3,173 /3,487 3,801 4,115 4,430 4,744 1 5,058 5,372 5,686 6,000 6,315 6,629 6,943 7,257 7,571 7,885 8,200 8,514 8,828 9,142 9,456 9,770 10,08 10,40 10,71 11,03 11,34 11,66 11,97 12,28 12,60 12,91 13,23 13,54 13,85 14,17 14,48 14,80 15,11 15,43 15,74 2 3,204 3,519 3,833 4,147 4,461 4,775 5,089 5,404 5,718 6,032 6,346 6,660 6,974 7,288 7,603 7,918" 8,231 8,545 8,859 9,173 9,488 9,802 10,12 10,43 10,74 11,06 11,37 11,69 12,00 12,32 12,63 12.94 13,26 13,57 13,89 14,20 14,51 14,83 15,14 15,46 15,77 3 3,236 3,550 3,864 4,178 4,492 4,807 5,121 5,453 5,749 6,063 6,377 6,692 7,006 7,320 7,634 7,948 8,262 8,577 8,891 9,205 9,519 9,833 10,15 10,46 10,78 11,09 11,40 11,72 12,03 12,35 12,66 12,97 13,29 13,60 13,92 14,23 14,55 14,86 15,17 15,49 15.80 4 3,267 , 3,581 3,896 4,210 4,524 4,838 5,152 5,466 5,781 6,095 6,409 6,723 7,037 7,351 7,665 7,980 8,294 8,608 8,922 9,236 9,550 9,865 10,18 10,49 10,81 11,12 11,44 11,75 12,06 12,38 12,69 13,01 13,32 13,63 13,95 14,26 14,58 14,89 1.5,21 15,52 15,83 5 3,299 3,613 3,927 4,241 4,555 4,869 5,184 5,498 5,812 6,126 6,440 6,754 7,069 7,383 7,697 8,011 8,325 8,639 8,954 9,268 9,582 9,896 10,21 10,52 10,84 11,15 11,47 11,78 12,10 12,41 12,72 13,04 13,35 13,67 13,98 14,29 14,61 14,92 15,24 15,55 15,87 6 3,330 3,644 3,958 4,273 4,587 4,901 5,215 5,529 5,843 6,158 6,472 6,786 7,100 7,414 7,728 8,042 8,357 8,671 8,985 9,299 9,613 9,927 10,24 10,56 10,87 11,18 11,50 11,81 12,13 12,44 12,75 13,07 13,38 13,70 14,01 14,33 14,64 14,95 15,27 15,58 15,90 7 3,362 3,676 3,990 4,304 4,618 4,932 5,246 5,561 5,875 6,189 6,503 6,817 7,131 7,446 7,760 8,074 8,388 8,702 9,016 9,331 9,645 9,959 10,27 10,59 10,90 11,22 11,53 11,84 12,16 12,47 12,79 13,10 13,41 13,73 14,04 14,36 14,67 14,99 15,30 15,61 15,93 8 3,393 3,707 4,021 4,335 4,650 4,964 5,278 5,592 5,906 6,220 6,535 6,849 7,163 7,477 7,791 8,105 8,419 8,734 9,048 9,362 9,676 9,990 10,30 10,62 10,93 11,25 11,56 11,88 12,15 12,50 12,82 13,13 13,45 13,76 14,07 14,39 14,70- 15,02 15,33 15,65 15,96 9 3,424 3,738 4,053 4,367 4,681 4,995 5,309 5,623 5,938 6,252 6,566 6,880 7,194 7,508 7,823 8,137 8,451 8,765 9,079 9,393 9,708 10,02 10,34 10,65 10,96 11,28 11,59 11,91 12,22 12,53 12,85 13,16 13,48 13,79 14,11 14,42 14,73 15,05 15,36 15,68 15,99
54 ТАБЛИЦЫ Продо. жжение d 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 -&,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 0 15,71 16,02 16,34 16,65 16,96 17,28 17,59 17,91 18,22 18,54 18,85 19,16 19,48 19,79 20,11 20,42 20,73 21,05 21,36 21,68 . 21,99 22,31 22,62 22,93 23,25 23,56 23,88 24,19 24,50 24,82 25,13 25,45 25,76 26,08 26,39 26,70 27,02 27,33 27,65 27,96 28,27 28,59 28,90 29,22 29,53 29,85 30,16 30,47 30,79 31,10 31,42 1 15,74 16,05 16,37 16,68 17,00 17,31 17,62 17,94 18,25 18,57 18,88 19,20 19,51 19,82 20,14 20,45 20,77 21,08 21,39 21,71 22,02 22,34 22,65 22,97 23,28 23,59 23,91 24,22 24,54 24,85 25,16 | 25,48 25,79 26,11 26,42 26,73 27,05 27,36 27,68 27,99 28,31 28,62 28,93 29,25 29,56 29,88 30,19 30,50 30,82 31,13 2 15,77 16,08 16,40 16,71 17,03 17,34 17,66 17,97 18,28 18,60 18,91 19,23 19,54 19,85 20,17 20,48 20,80 21,11 21,43 21,74 22,05 22,37 22,68 23,00 23,31 23,62 23,94 24,25 24,57 . 24,88 25,20 25,51 25,82 26,14 26,45 26,77 27,08 27,39 27,71 28,02 28,34 28,65 28,97 29,28 29,59 29,91 30,22 30,54 30,85 31,16 3 15,80 16,12 16,43 16,74 17,06 17,37 17,69 18,00 18,32 18,63 18,94 19,26 19,57 19,89 20,20 20,51 20,83 21,14 21,46 21,77 22,09 22,40 22,71 23,03 23,34 23,66 23,97 24,28 24,60 24,91 25,23 25,54 25,86 26,17 26,48 26,80 27,11 27,43 27,74 28,05 28,37 28,68 29,00 29,31 29,63 29,94 30,25 30,57 30,88 31,20 4 15,83 16,15 16,46 16,78 17,09 17,40 17,72 18,03 18,35 18,66 18,98 19,29 19,60 19,92 20,23 20,55 20,86 21,17 21,49 21,80 22,12 22,43 22,75 23,06 23,37 23,69 24,00 24,32 24,63 24,94 25,26 25,57 25,89 26,20 26,52 26,83 27,14 27,46 27,77 28,09 . 28,40 28,71 29,tK 29,34 29,66 29,97 30,28 30,60 30,91 31,21 5 15,87 16,18 16,49 16,81 17,12 17,44 17,75 18,06 18,38 18,69 19,01 19,32 19,63 19,95 20,26 20,58 20,89 21,21 21,52 21,83 22,15 22,46 22,78 23,09 23,40 23,72 24,03 24,35 24,66 24,98 25,29 25,60 25,92 26,23 26,55 26,86 27,17 27,49 27,80 28,12 28,43 28,75 29,06 29,37 29,69 30,00 30,32 30,63 , 30,94 31,26 6 15,90 16,21 16,52 16,84 17,15 17,47 17,78 18,10 18,41 18,72 19,04 19,35 19,67 19,98 20,29 20,61 20,92 21,2. 21,55 21,87 22,18 22,49 22,81 23,12 23,44 23,75 24,06 24,38 24,69 25,01 25,32 25,64 25,95 26,26 26,58 26,89 27,21 27,52 27,83 ' 28,15 28,46 28,78 29,09 29,41 29,72 30,03 30,35 30,66 30,98 31,29 7 15,93 16,24 16,56 16,87 17,18 17,50 17,81 18,13 18,44 18,76 19,07 19,38 19,70 20,01 20,33 20,64 20,95 21,27 21,58 21,90 22,21 22,53 22,84 23,15 23,47 23,78 24,10 24,41 24,72 25,04 25,35 25,67 25,98 26,30 26,61 26,92 27,24 27,55 27,87 28,18 28,49 28,81 29,12 29,44 29,75 30,07 30,38 30,69 31,01 31,32 8 15,96 16,27 16,59 16,90 17,22 17,53 17,84 18,16 18,47 18,79 19,10 19,42 19,73 20,04 20,36 20,67 20,99 21,30 21,61 21,93 22,24 22,56 22,87 23,19 23,50 23,81 24,13 24,44 24,76 25,07 25,38 25,70 26,01 26,33 26,64 . 26,95 27,27 27,58 27,90 28,21 28,53 28,84 29,15 29,47 29,78 30,10 30,41 30,72 31,04 31,35 9 15,99 16,30 16,62 16,93 17,25 17,56 17,88 18,19 18,50 18,82 19,13 19,45 19,76 20,07 20,39 20,70 21,02 21,33 21,65 21,96 22,27 22,59 22,90 23,22 23,53 23,84 24,16 24,47 24,79 25,10 25,42 25,73 26,04 26,36 26,67 26,99 27,30 27,61 27,93 28,24 28,56 28,87 29,19 29,50 29,81 30,13 30,44 30,76 31,07 31,38
ПЛОЩАДЬ КРУГА 55 1.1.1.14. Площадь круга. d 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 . 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 0 0,7854 0,9503 1,131 1,327 1,539 1,767 2,011 2,270 2,545 2,835 3,142 3,464 3,801 4,155 4,524 4,909 5,309 5,726 6,158 6,605 7,069 7,548 8,042 8,553 9,079 9,621 10,18 10,75 11,34 11,95 12,57 13,20 13,85 14,52 15,21 15,90 16,62 17,35 18,10* 18,86 19,63 20,43 21.24 22,06 22,90 23,76 1 0,8012 0,9677 1,150 1,348 1,561 1,791 2,036 2,297 2,573 2,865 3,173 3,497 3,836 4,191 4,562 4,948 5,350 5,768 6,202 6,651 7,116 7,596 8,093 8,605 9,133 9,676 10,24 10,81 11,40 12,01 12,63 13,27 13,92 14,59 15,27 15,98 16,69 17,42 18,17 18,93 19,71 20,51 21,32 22,15 22,99 23,84 2 0,8171 0,9852 1,169 1,368 1,584 1,815 2,061 2,324 2,602 2,895 3,205 3,530 3,871 4,227 4,600 4,988 5,391 5,811 6,246 6,697 7,163 7,645 8,143 8,657 9,186 9,731 10,29 10,87 11,46 12,07 12,69 13,33 13,99 14,66 15,34 16,05 16,76 17,50 18,25 19,01 19,79 20,59 21,40 22,23 23,07 23,93 3 0,8332 1,003 1,188 1,389 1,606 1,839 2,087 2,351 2,630 2,926 3,237 3,563 3,906 4,264 4,638 5,027 5,433 5,853 6,290 6,743 7,211 7,694 8,194 8,709 9,240 9,787 10,35 10,93 11,52 12,13 12,76 13,40 14,05 14,73 15,41 16,12 16,84 17,57 18,32 19,09 19,87 20,67 21,48 22,31 23,16 24,02 4 0,8495 1,021 1.208 1,410 1,629 1,863 2,112 2,378 2,659 2,956 3,269 3,597 3,941 4,301 4,676 5,067 5,474 5,896 6,335 6,789 7,258 7,744 8,245 8,762 9,294 9,842 10,41 10,99 11,58 12,19 12,82 13,46 14,12- 14,79 15,48 16,19 16,91 17,65 18,40 19,17 19,95 20,75 21,57 22,40 23,24 24,11 5 0,8659 1,039 1.227 1,431 1,651 1,887 2,138 2,405 2,688 2,986 3,301 3,631 3,976 4,337 4,714 5,107 5,515 5,940 6,379 6,835 7,306 7,793 8,296 8,814 9,348 9,898 10,46 11,04 11,64 12,25 12,88 13,53 14,19 14,86 15,55 16,26 16,98 17,72 18,47 19,24 20,03 20,83 21,65 22,48 23,33 24,19 6 0,8825 1,057 1,247 1,453 1,674 1,911 2,164 2,433 2,717 3,017 3,333 3,664 4,011 4,374 4,753 5,147 5,557 5,983 6,424 6,881 7,354 7,843 8,347 8,867 9,402 9,954 10,52 11,10 11,70 12,32 12,95 13,59 14,25 14,93 15,62 16,33 17,06 17,80 18,55 19,32 20,11 20,91 21,73 22,56 23,41 24,28 7 0,8992 1,075 1,267 1,474 1,697 1,936 2,190 2,461 2,746 3,048 3,365 3,698 4,047 4,412 4,792 5,187 5,599 6,026 6,469 6,928 7,402 7,892 8,398 8,920 9,457 10,01 10,58 11,16 11,76 12,38 13,01 13,66 14,32 15,00 15,69 16,40 17,13 17,87 18,63 19,40 20,19 20,99 21,81 22,65 23,50 24,37 8 0,9161 1,094 1,287 1,496 1,720 1,961 2,217 2,488 2,776 3,079 3,398 3,733 4,083 4,449 4,831 5,228 5,641 6,070 6,514 6,975 7,451 7,942 8,450 8,973 9,511 10,07 10,64 11,22 11,82 12,44 13,07 13,72 14,39 15,07 15,76 16,47 17,20 17,95 18,70 19,48 20,27 21,07 21,90 22,73 23,59 24,45 9 0,9331 1,112 1,307 1,517 1,744 1,986 2,243 2,516 2,806 3,110 3,431 3,767 4,119 4,486 4,870 5,269 5,683 6,114 6,560 7,022 7,499 7,992 8,501 9,026 9,566 10,12 10,69 11,28 11,88 12,50 13,14 ¦ 13,79 14,45 15,14 15,83 16,55 17,28 18,02 18,78 19,56 20,35 21,16 21,98 22,82 23,67 24,54
56 ТАБЛИЦЫ Продолжение d 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 - 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 " 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 0 23,76 24,63 25,52 26,42 27,34 ' 28,27 29,22 30,19 31,17 32,17 33,18 34,21 35,26 36,32 37,39 38,48 39,59 40,72 41,85 43,01 44,18 45,36 46,57 47,78 49,02 50,27 51,53 52,81 54,11 55,42 56,75 58,09 59,45 60,82 62,21 63,62 65,04 66,48 67,93 69,40 70,88 72,38 73,90 75,43 76,98 78,54 1 23,84 24,72 25,61 26,51 27,43 28,37 29,32 30,29 31,27 32,27 33,29 34,32 35,36 36,42 37,50 38,59 39,70 40,83 41,97 43,12 44,30 45,48 46,69 47,91 49,14 50,39 51,66 52,94 54,24 55,55 56,88 58,22 59,58 60,96 62,35 63,76 65,18 66,62 68,08 69,55 71,03 72,53 74,05 75,58 77,13 2 23,93 24,81 25,70 26,60 27,53 28,46 29,42 30,39 31,37 32,37 33,39 34,42 35,47 36,53 37,61 38,70 39,82 40,94 42,08 43,24 44,41 45,60 46,81 48,03 49,27 50,52 51,78 53,07 54,37 55,68 57,01 58,36 59,72 61,10 62,49 63,90 65,33 66,77 68,22 69,69 71,18 72,68- 74,20 75,74 77;29 3 24,02 24,89 25,79 26,69 27,62 28,56 29,51 30,48 31,47 32,47 33,49 34,52 35,57 36,64 37,72 38,82 39,93 41,06 42,20 43,36 44,53 45,72 46,93 48,15 49,39 50,64 51,91 53,20 54,50 55,81 57,15 58,49 59,86 61,24 62,63 64,04 65,47 66,91 68,37 69,84 71,33 72,84 74,36 75,89 77,44 4 24,11 24,98 25,88 26,79 27,71 28,65 29,61 30,58 31,57 32,57 33,59 34,63 35,68 36,75 37,83 38,93 40,04 41,17 42,31 43,47 44,65 45,84 47,05 48,27 49,51 50,77 52,04 53,33 54,63 55,95 57,28 58,63 59,99 61,38 62,77 64,18 65,61 67,06 68,51 69,99 71,48 72,99 74,51 76,05 77,60 5 24,19 25,07 25,97 26,88 27,81 28,75 29,71 30,68 31,67 32,67 33,70 34,73 35,78 36,85 37,94 39,04 40,15 41,28 42,43 43,59 44,77 45,96 47,17 48,40 49,64 50,90 52,17 53,46 54,76 56,08 57,41 58,77 60,13 61,51 62,91 64,33 65,76 67,20 68,66 70,14 71,63 73,14 74,66 76,20 77,76 6 24,28 25,16 26,06 26,97 27,90 28,84 29,80 30,78 31,77 32,78 33,80 34,84 35,89 36,96 38,05 39,15 40,26 41,40 42,54 43,71 44,89 46,08 47,29 48,52 49,76 51,02 52,30 53,59 54,89 56,21 57,55 58,90 60,27 61,65 63,05 64,47 65,90 67,35 68,81 70,29 71,78 73,29 74,82 76,36 77,91 7 24,37 25,25 26,15 27,06 27,99 28,94 29,90 30,88 31,87 32,88 33,90 34,94 36,00 37,07 38,16 39,26 40,38 41,51 42,66 43,83 45,01 46,20 ' 47,42 48,65 49,89 51,15 52,42 53,72 55,02 56,35 57,68 59,04 60,41 61,79 63,19 64,61 66,04 67,49 68,96 70,44 71,93 73,44 74,97 76,51 78,07 8 24,45 25,34 26,24 27,15 28,09 29,03 30,00 30,97 31,97 32,98 34,00 35,05 36,10 37,18 38,26 39,37 40,49 41,62 42,78 43,94 45,13 46,32 47,54 48,77 50,01 51,28 52,55 53,85 55,15 56,48 57,82 59,17 60,55 61,93 63,33 64,75 66,19 67,64 69,10 70,58 72,08 73,59 75,12 76,67 78,23 9 24,54 25,43 26,33 27,25 28,18 29,13 30,09 31,07 32,07 33,08 34,11 35,15 36,21 37,28 38,37 39,48 40,60 41,74 42,89 44,06 45,25 46,45 47,66 48,99 50,14 51,40 52,68 53,98 55,29- 56,61 57,95 59,31 60,68 62,07 63,48 64,90 66,33 67,78 69,25 70,73 72,23 73,75 75,28 76,82 78,38
ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА 57 1.1.1.15. Элементы сегмента круга. 1.1.1.15.1. Длина дуги и площадь сегмента для хорды, равной единице. Подъем (отношение стрелки к хорде) И/а 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 Длина дуги / ,0003 ,0011 ,0024 1,0043 ,0067 1,0096 1,0130 1,0170 1,0215 1,0265 1,0320 ,0380 1,0445 1,0515 1,0590 1,0669 1,0754 1,0843 1,0936 1,1035 1,1137 1,1244 1,1356 1,1471 1,1591 Площадь сегмента 0,0067 0,0133 0,0200 0,0267 0,0334 0,0401 0,0468 0,0536 0,0604 0,0672 0,0740 0,0809 0,0878 0,0948 0,1018 0,1088 0,1159 0,1231 0,1303 0,1375 0,1448 0,1522 0,1596 0,1671 0,1747 Подъем (отношение стрелки к хорде) h/a 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 Длина дуги / 1,1715 1,1843 1,1975 1,2110 1,2250 1,2393 1,2539 1,2689 1,2843 1,3000 1,3160 1,3323 1,3490 1,3660 1,3832 1,4008 1,4186 1,4367 1,4551 1,4738 1,4927 1,5118 1,5313 1,5509 1,5708 Площадь сегмента 0,1824 0,1901 0,1979 0,2058 0,2137 0,2218 0,2299 0,2381 0,2464 0,2548 0,2633 0,2719 0,2806 0,2893 0,2982 0,3072 0,3162 0,3254 0,3347 0,3441 0,3536 0,3632 0,3729 0,3828 0,3927 1.1.1.15.2. Длина дуги, стрелка, длина хорды и площадь сегмента для радиуса, равного единице. Центр. угол а° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Длина дуги / 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873 0,1047 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745 0,1920 0,2094 0,2269 0,2443 0,2618 0,2793 0,2967 0,3142 0,3316 0,3491 0,3665 0,3840 0,4014 Стрелка h 0,0000 0,0002 0,0003 0,0006 0,0010 0,0014 0,0019 0,0024 0,0031 0,0038 0,0046 0,0055 0,0064 0,0075 0,0086 0,0097 0,0110 0,0123 0,0137 0,0152 0,0167 0,0184 0,0201 / ~h 458,37 229,19 152,80 114,60 91,69 76,41 65,50 57,32 50,96 45,87 41v70 38,23 35,30 32,78 30,60 28,69 27,01 25,52 24,18 22,98 21,89 20,90 20,00 Длина хорды а 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0872 0,1047 0,1221 0,1395 0,1569 0,1743 0,1917 0,2091 0,2264 0,2437 0,2611 0,2783 0,2956 0,3129 0,3301 0,3473 0,3645 0,3816 0,3987 а ~h 458,36 229,18 152,78 114,58 91,66 76,38 65,46 57,27 50,90 45,81 41,64 38,16 35,22 32,70 30,51 28,60 26,91 25,41 24,07 22,96 21,77 20,77 19,86 Площадь сегмента 0,00000 0,00000 0,00001 0,00003 0,00006 0,00010 0,00015 0,00023 0,00032 0,00044 0,00059 0,00076 0,00097 0,00121 0,00149 0,00181 0,00217 0,00257 0,00302 0,00352 0,00408 0,00468 0,00535
58 ТАБЛИЦЫ Продолжение Центр. угол а° 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 Длина дуги / 0,4014 0,4189 0,4363 0,4538 0,4712 0,4887 0,5061 0,5236 0,5411 0,5585 0,5760 0,5934 0,6109 0,6283 0,6458 0,6632 0,6807 0,6981 0,7156 0,7330 0,7505 0,7679 0,7854 0,8029 0,8203 0,8378 0,8552 0,8727 0,8901 0,9076 0,9250 0,9425 0,9599 0,9774 0,9948 1,0123 1,0297 1,0472 1,0647 1,0821 1,0996 1,1170 1,1345 1,1519 1,1694 1,1868 1,2043 1,2217 1,2392 1,2566 1,2741 1,2915 1,3090 1,3265 1,3439 1,3614 1,3788 Стрелка h 0,0201 0,0219 0,0237 0,0256 0,0276 0,0297 0,0319 0,0341 0,0364 0,0387 0,0412 0,0437 0,0463 0,0489 0,0517 0,0545 0,0574 0,0603 0,0633 0,0664 0,0696 0,0728 0,0761 0,0795 0,0829 0,0865 0,0900 0,0937 0,0974 0,1012 0,1051 0,1090 0,1130 0,1171 0,1212 0,1254 0,1296 0,1340 0,1384 0,1428 0,1474 0,1520 0,1566 0,1613 0,1661 0,1710 0,1759 0,1808 0,1859 0,1910 0,1961 0,2014 0,2066 0,2120 0,2174 0,2229 0,2284 / И 20,00 19,17 18,41 17,71 17,06 16,45 15,89 15,37 14,88 14,42 13,99 13,58 13,20 12,84 12,50 12,17 11,87 11,58 11,30 11,04 10,79 10,55 10,32 10,10 9,89 9,69 9,50 9,31 9,14 8,97 8,80 8,65 8,50 8,35 8,21 8,07 7,94 7,82 7,69 7,58 7,46 7,35 7,24 7,14 7,04 6,94 6,85 6,76 6,67 6,58 6,50 6,41 6,33 6,26 6,18 6,11 6,04 Длина хорды а 0,3987 0,4158 0,4329 0,4499 0,4669 0,4838 0,5008 0,5176 0,5345 0,5513 0,5680 0,5847 0,6014 0,6180 0,6346 0,6511 0,6676 0,6840 0,7004 0,7167 0,7330 0,7492 0,7654 0,7815 0,7975 0,8135 0,8294 0,8452 0,8610 0,8767 0,8924 0,9080 0,9235 0,9389 0,9543 0,9696 0,9848 1,0000 1,0151 1,0301 1,0450 1,0598 1,0746 1,0893 1,1039 1,1184 1,1328 1,1472 1,1614 1,1756 1,1896 1,2036 1,2175 1,2313 1,2450 1,2586 1,2722 а ~h 19,86 19,03 18,26 17,55 16,90 16,29 15,72 15,19 14,70 14,23 13,79 13,38 12,99 12,63 12,28 11,95 11,64 11,34 11,06 10,79 10,53 10,29 10,05 9,83 9,62 9,41 9,21 9,02 8,84 8,66 8,49 8,33 8,17 8,02 7,88 7,73 7,60 7,46 7,34 7,21 7,09 6,97 6,86 6,75 6,65 6,54 6,44 6,34 6,25 6,16 6,07 5,98 5,89 5,81 5,73 5,65 5,57 Площадь сегмента 0,00535 0,00607 0,00686 0,00771 0,00862 0,00961 0,01067 0,01180 0,01301 0,01429 0,01566 0,01711 0,01864 0,02027 0,02198 0,02378 0,02568 0,02767 0,02976 0,03195 0,03425 0,03664 0,03915 0,04176 0,04448 0,04731 0,05025 0,05331 0,05649 0,05978 0,06319 0,6673 0,07039 0,07417 0,07808 0,08212 0,08629 0,09d59 0,09502 0,09958 0,10428 0,10911 0,11408 0,11919 0,12443 0,12982 0,13535 0,14102 0,14683 0,15279 0,15889 0,16514 0,17154 0,17808 0,18477 0,19160 t19859
ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА 59 Продолжение Центр. угол ос° 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 ПО 111 112 • 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 Длина ДУГИ / 1,3963 1,4137 . 1,4312 1,4486 1,4661 1,4835 1,5010 1,5184 1,5359 1,5533 1,5708 1,5882 1,6057 1,6232 1,6406 1,6581 1,6755 1,6930 1,7104 1,7279 1,7453 1,7668 1,7802 1,7977 1,8151 1,8326 1,8500 1,8675 1,8850 1,9024 1,9199 1,9373 1,9548 1,9722 1,9897 2,0071 2,0246 2,0420 2,0595 2,0769 2,0944 2,1118 2,1293 2,1468 2,1642 2,1817 2,1991 2,2166 2,2340 2,2515 2,2689 2,2864 2,3038 2,3213 2,3387 2,3562 2,3736 2,3911 Стрелка h 0,2340 0,2396 0,2453 0,2510 0,2569 0,2627 0,2686 0,2746 0,2807 0,2867 0,2929 0,2991 0,3053 0,3116 0,3180 0,3244 0,3309 0,3374 0,3439 0,3506 0,3572 0,3639 0,3707 0,3775 0,3843 0,3912 0,3982 0,4052 0,4122 0,4193 0,4264 0,4336 0,4408 0,4481 0,4554 0,4627 0,4701 0,4775 0,4850 0,4925 0,5000 0,5076 0,5152 0,5228 0,5305 0,5383 0,5460 0,5538 0,5616 0,5695 0,5774 0,5853 0,5933 ~ 0,6013 0,6093 0,6173 0,6254 0,6335 / ~h 5,97 5,90 5,83 5,77 5,71 5,65 5,59 5,53 5,47 5,42 5,36 5,31 5,26 5,21 5,16 5,11 5,06 5,02 4,97 4,93 4,89 4,84 4,80 4,76 4,72 4,68 4,65 4,61 4,57 4,54 4,50 4,47 4,43 4,40 4,37 4,34 4,31 4,28 4,25 4,22 4,19 4,16 4,13 4,11 4,08 4,05 4,03 4,00 3,98 3,95 3,93 3,91 3,88 3.86 3,84 3,82 3,80 3,77 Длина хорды а ,2856 ,2989 1,3121 1,3252 1,3383 1,3512 1,3640 1,3767 1,3893 1,4018 1,4142 1,4265 1,4387 1,4507 1,4627 1,4746 1,4863 1,4979 1,5094 1,5208 1,5321 1,5432 1,5543 1,5652 1,5760 1,5867 1,5973 1,6077 1,6180 1,6282 1,6383 1,6483 1,6581 1,6678 1,6773 1,6868 1,6961 1,7053 1,7143 1,7233 1,7321 1,7407 1,7492 1,7576 1,7659 1,7740 1,7820 1,7899 1,7976 1,8052 1,8126 1,8199 1,8271 1,8341 1,8410 1,8478 1,8544 1,8608 а __ J 5,49 5,42 5,35 5,28 5,21 5,14 5,08 5,01 4,95 4,89 4,83 4,77 4,71 4,66 4,60 4,55 4,49 4,44 4,39 4,34 4,29 4,24 4,19 4,15 4,10 4,06 4,01 3,97 3,93 3,88 3,84 3,80 3,76 3,72 3,68 3,65 3,61 3,57 3,53 3,50 3,46 3,43 3,40 3,36 3,33 3,30 3,26 3,23 3,20 3,17 3,14 3,11 3,08 3,05 3,02 2,99 2,97 2,94 Площадь сегмента 0,20573 0,21301 0,22045 0,22804 0,23578 0,24367 0,25171 0,25990 0,26825 0,27675 0,28540 0,29420 0,30316 0,31226 0,32152 0,33093 0,34050 0,35021 0,36008 0,37009 0,38026 0,39058 0,40104 0,41166 0,42242 0,43333 0,44439 0,45560 0,46695 0,47845 0,49008 0,50187 0,51379 0,52586 0,53806 0,55041 0,56289 0,57551 0,58827 0,60116 0,61418 0,62734 0,64063 0,65404 0,66759 0,68125 0,69505 0,70897 0,72301 0,73716 0,75144 0,76584 0,78034 0,79497 0,80970 0,82454 0,83949 0,85455
60 ТАБЛИЦЫ Продо 1жение Центр. угол а 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 Длина дуги / 2,3911 2,4086 2,4260 2,4435 2,4609 2,4784 2,4958 2,5133 2,5307 2,5482 2,5656 2,5831 2,6005 2,6180 2,6354 2,6529 2,6704 2,6878 2,7053 2,7227 2,7402 2,7576 2,7751 2,7925 2,8100 2,8274 2,8449 2,8623 2,8798 2,8972 2,9147 2,9322 2,9496 2,9671 2,9845 3,0020 3,0194 3,0369 3,0543 3,0718 3,0892 3,1067 3,1241 3,1416 Стрелка h 0,6335 0,6416 0,6498 0,6580 0,6662 0,6744 0,6827 0,6910 0,6993 0,7076 0,7160 0,7244 0,7328 0,7412 0,7496 0,7581 0,7666 0,7750 0,7836 0,7921 0,8006 0,8092 0,8178 0,8264 0,8350 0,8436 0,8522 0,8608 0,8695 0,8781 0,8868 0,8955 0,9042 0,9128 0,9215 0,9302 0,9390 0,9477 0,9564 0,9651 0,9738 0,9825 0,9913 1,0000 / h 3,77 3,75 3,73 3,71 3,69 3,67 3,66 3,64 3,62 3,60 3,58 3,57 3,55 3,53 3,52 3,50 3,48 3,47 3,45 3,44 3,42 3,41 3,39 3,38 3,37 3,35 3,34 3,33 3,31 3,30 3,29 3,27 3,26 3,25 3,24 3,23 3,22 3,20 3,19 3,18 3,17 3,16 3,15 3.14 Длина хорды а ,8608 ,8672 ,8733 ,8794 ,8853 ,8910 ,8966 1,9021 1.9074 1,9126 1,9176 1,9225 1,9273 1,9319 1,9363 1,9406 1,9447 1,9487 1,9526 1,9563 1.9598 1,9633 1,9665 1,9696 1,9726 1,9754 1,9780 1,9805 1,9829 1,9851 1,9871 1,9890 1,9908 1,9924 1,993.8 1,9951 1,9963 1,9973 1,9981 1,9988 1,9993 1,9997 1,9999 2,0000 а h 2,94 2,91 2,88 2,86 2,83 2,80 2,78 2,75 2,73 2,70 2,68 2,65 2,63 2,61 2,58 2,56 2.54 2,51 2,49 2,47 2,45 2,43 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,30 2,28 2.26 2,24 2,22 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,11 2г09 2,07 2,05 2,04 2,02 2,00 Площадь сег мента 0,85455 0,86971 0,88497 0,90034 0,91580 0,93135 0,94700 0,96274 0,97858 0,99449 1,01050 1,02658 1,04275 1,05900 1,07532 1,09171 ,10818 ,12472 ,14132 ,15799 .17472 ,19151 ,20835 ,22525 ,24221 ,25921 ,27626 ,29335 ,31049 ,32766 ,34487 ,36212 ,37940 ,39671 ,41404 ,43140 ,44878 ,46617 ,48359 ,50101 ,51845 ,53589 ,55334 1,57080 Объяснения к таблицам 1.1.1.13, 1.1.1.14 и 1.1.1.15. Таблицы 1.1.1.13 и 1.1.1.14 дают значения длины окружности и площади круга диаметра d, лежащего между d = 1,00 и d = 10,0, с четырьмя значащими цифрами. Если диаметр круга лежит вне этих границ, то площадь или длина окружности определяется для диаметра \0kd или 10"kd. Найденное число затем умножается в случае длины окружности соответственно на 10* или 10"*, а в случае площади круга — на 102к или 10к. Если число значащих цифр у d больше трех, необходимо прибегнуть к интерполяции. Примеры. 1) Для d = 69,3 длина окружности равна 217,7, а площадь круга 3772. 2) Для d = 0,693 длина окружности равна 2,177, а площадь круга 0,3772. В таблицах 1.1.1.15 даны элементы сегмента круга (рис. 1.1). Таблица 1.1.1.15.1 относится к сегментам кругов любых радиусов с длиной хорды, равной единице. Если при заданном подъеме (отношении стрелки к хорде) длина хорды равна а, то приведенное в таблице значение длины дуги должно быть умножено на а, а площадь сегмента - на а2. Таблица 1.1.1.15.2 содержит данные, относящиеся к любым сегментам одной и той же окружности радиуса, равного единице. Если длина радиуса равна г, то табличные значения /, h и а Рйс 1 1
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ 61 должны быть умножены на г, а площадь сегмента - на г2. Если задаются длина дуги / (или хорда а) и стрелка h, то радиус сегмента г равен отношению / (или а) к табличному значению длины дуги (или хорды), соответствующему данному значению l/h (или a/h). Пример. Если длина хорды кругового сегмента а = = 40 см, а стрелка А = 6 см, то для нахождения длины дуги / вычисляем величину А/а = 0,15 и умножаем соответствующее табличное значение / (таблица 1.1.1.15.1) на 40: / = 40 • 1,0590 = 42,36 см. Радиус сегмента г и центральный угол а определяются с помощью таблицы 1.1.1.15.2. Для a/h = 6,67 табличное значение для а равно 1,1010 и а = 66,8° (линейная интерполяция). Отсюда следует, что г = 40:1,1010 = = 36,33 см. Теперь можно определить длину дуги / с помощью таблицы 1.1.1.15.2: / = 36,33 • 1,1661 = 42,36 см. Примеры использования 1) 52° 37 23" 50° = 0,872665 2° = 0,034907 30' = 0,008727 7' = 0,002036 20" = 0,000097 3" = 0,000015 0,918447 52° 37' 23" = 0,91845 рад таблицы 1.1.1.16. 2) 5,645 рад 5,235988 = 300° 0,409012 0,401426 0,007586 0,005818 = 0,001768 0,001745 = 23° 20' 6' Радиан — это плоский соответствующая длина (обозначение: рад). Дуга, радиусу, имеет градусную 0,000023 = 5" 5,645 рад = 323° 26' 5" угол, для которого дуги равна радиусу длина которой равна меру 57°17'44,8". 1.1.1.16. Перевод Уюл 1° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Дуга 0,017453 0,034907 0,052360 0,069813 0,087266 0,104720 0,122173 0,139626 0,157080 0,174533 0,191986 0,209440 0,226893 0,244346 0,261799 0,279253 0,296706 0,314159 0,331613 0,349066 градусной Угол 21° 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 меры в раднанную. (Длина дуги Дуга 0,366519 0,383972 0,401426 0,418879 0,436332 0,453786 0,471239 0,488692 0,506145 0,523599 0,541052 0,558505 0,575959 0,593412 0,610865 0,628319 0,645772 0,663225 0,680678 0,698132 Угол 45° 50 55 60 65 70 75 80 85 90 100 120 150 180 200 250 270 300 360 400 Дуга 0,785398 0,872665 0,959931 1,047198 ,134464 ,221730 ,308997 ,396263 ,483530 ,570796 ,745329 2,094395 2,617994 3,141593 3,490659 4,363323 4,712389 5,235988 6,283185 6,981317 окружности радиуса Угол 1 : з 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 Дуга 0,000291 0,000582 0,000873 0,001164 0,001454 0,001745 0,002036 0,002327 0,002618 0,002909 0,005818 0,008727 0,011636 0,014544 1) Угол 1" 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 Дуга 0,000039 0,000044 0,000048 0,000097 0,000145 0,000194 0,000242 0,000005 0,000010 0,000015 0,000019 0,000024 0,000029 0,000034 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .1.1.17. Пропорциональные части. 11 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9 21 2,1 4,2 6,3 8,4 10,5 • 12,6 14,7 16,8 18,9 12 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 7,2 8,4 9,6 10,8 22 2,2 4,4 6,6 8,8 11,0 13,2 15,4 17,6 19,8 13 1,3 2,6 3,9 5,2 6,5 7,8 9,1 10,4 11,7 23 2,3 4,6 6,9 9,2 11,5 13,8 16,1 18,4 20,7 14 1,4 2,8 4,2 5,6 7,0 8,4 9,8 11,2 12,6 24 2,4 4,8 7,2 9,6 12,0 14,4 16,8 19,2 21,6 15 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 25 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 16 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0 9,6 11,2 12,8 14,4 26 2,6 5,2 7,8 10,4 13,0 15,6 18,2 20,8 23,4 17 1,7 3,4 5,1 6,8 8,5 10,2 11,9 13,6 15,3 27 2,7 5,4 8,1 10,8 13,5 16,2 18,9 21,6 24,3 18 1,8 3,6 5,4 7,2 9,0 10,8 12,6 14,4 16,2 28 2,8 5,6 8,4 11,2 14,0 16,8 19,6 22,4 25,2 19 1,9 3,8 5,7 7,6 9,5 11,4 13,3 15,2 17,1 29 2,9 5,8 8,7 11,6 14,5 17,4 20,3 23,2 26,1 20 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 30 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
62 ТАБЛИЦЫ Продолжение 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 3,1 6,2 9,3 12,4 15,5 18,6 21,7 24,8 27,9 41 4,1 8,2 12,3 16,4 20,5 24,6 28,7 32,8 36,9 51 5,1 10,2 15,3 20,4 25,5 30,6 35,7 40,8 45,9 61 6,1 12,2 18,3 24,4 30,5 36,6 42,7 48,8 54,9 32 3,2 6,4 9,6 12,8 16,0 19,2 22,4 25,6 28,8 42 4,2 8,4 12,6 16,8 21,0 -25,2 29,4 33,6 37,8 52 5,2 10,4 15,6 20,8 26,0 31,2 36,4 41,6 46,8 62 6,2 12,4 18,6 24,8 31,0 37,2 43,4 49,6 55,8 33 3,3 6,6 9,9 13,2 16,5 19,8 23,1 26,4 29,7 43 4,3 8,6 12,9 17,2 21,5 25,8 30,1 34,4 38,7 53 5,3 10,6 15,9 21,2 26,5 31,8 37,1 42,4 47,7 63 6,3 12,6 18,9 25,2 31,5 37,8 44,1 50,4 56,7 34 3,4 6,8 10,2 13,6 17,0 20,4 23,8 27,2 30,6 44 4,4 8,8 13,2 17,6 22,0 26,4 30,8 35,2 39,6 54 5,4 10,8 16,2 21,6 27,0 32,4 37,8 43,2 48,6 64 6,4 12,8 ' 19,2 25,6 32,0 38,4 44,8 51,2 57,6 35 3,5 7,0 10,5 14,0 17,5 21,0 24,5 28,0 31,5 45 4,5 9,0 13,5 18,0 22,5 27,0 31,5 36,0 40,5 55 5,5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0 38,5 44,0 49,5 65 6,5 13,0 19,5 26,0 32,5 39,0 45,5 52,0 58,5 36 3,6 7,2 10,8 14,4 18,0 21,6 25,2 28,8 32,4 46 4,6 9,2 13,8 18,4 23,0 27,6 32,2 36,8 41,4 56 5,6 11,2 16,8 22,4 28,0 33,6 39,2 44,8 50,4 66 6,6 13,2 19,8 26,4 33,0 39,6 46,2 52,8 59,4 37 3,7 7,4 11,1 14,8 18,5 22,2 25,9 29,6 33,3 47 4,7 9,4 14,1 18,8 23,5 28,2 32,9 37,6 42,3 57 5,7 11,4 17,1 22,8 28,5 34,2 39,9 45,6 51,3 67 6,7 13,4 20,1 26,8 33,5 40,2 46,9 53,6 60,3 38 3,8 7,6 11,4 15,2 19,0 22,& 26,6 30,4 34,2 48 4,8 9,6 14,4 19,2 24,0 28,8 33,6 38,4 43,2 58 5,8 11,6 17,4 23,2 29,0 34,8 40,6 46,4 52,2 68 6,8 13,6 20,4 27,2 34,0 40,8 47,6 54,4 61,2 39 3,9 7,8 11,7 15,6 19,5 23,4' 27,3 31,2 35,1 49 4,9 9,8 14,7 19,6 24,5 29,4 34,3 39,2 44,1 59 5,9 11,8 17,7 23,6 29,5 35,4 41,3 47,2 53,1 69 6,9 13,8 20,7 27,6 34,5 41,4 48,3 55,2 62,1 40 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 50 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 60 6,0 12,0 18,0 24,0 30,0 36,0 42,0 48,0 54,0 70 7,0 14,0 21,0 28,0 35,0 42,0 49,0 56,0 63,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ТАБЛИЦА ДЛЯ КВАДРАТИЧНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 63 Продолжение 1 2 3 .4 5 6 7 8 9 , 2 3 4 5 6 7 8 9 71 7,1 14,2 21,3 28,4 35,5 42,6 49,7 56,8 63,9 81 8,1 16,2 24,3 32,4 40,5 48,6 56,7 64,8 72,9 72 7,2 14,4 21,6 28,8 36,0 43,2 50,4 57,6 64,8 82 8,2 16,4 24,6 32,8 41,0 49,2 57,4 65,6 73,8 73 7,3 14,6 21,9 29,2 36,5 43,8 51,1 58,4 65,7 83 8,3 16,6 24,9 33,2 41,5 49,8 58,1 66,4 74,7 74 7,4 14,8 22,2 29,6 37,0 44,4 51,8 59,2 66,6 84 8,4 16,8 25,2 33,6 42,0 50,4 58,8 67,2 75,6 75 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 85 8,5 17,0 25,5 34,0 42,5 51,0 59,5 68,0 76,5 76 7,6 15,2 22,8 30,4 38,0 45,6 53,2 60,8 68,4 86 8,6 17,2 25,8 34,4 43,0 51,6 60,2 68,8 77,4 77 7,7 15,4 23,1 30,8 38,5 46,2 53,9 61,6 69,3 87 8,7 17,4 16,1 34,8 43,5 52,2 60,9 69,6 78,3 78 7,8 15,6 23,4 31,2 39,0 46,8 54,6 62,4 70,2 88 8,8 17,6 26,4 35,2 44,0 52,8 61,6 70,4 79,2 79 7,9 15,8 23,7 31,6 39,5 47,4 55,3 63,2 71,1 89 8,9 17,8 26,7 35,6 44,5 53,4 62,3 71,2 80,1 80 8,0 • 16,0 - 24,0 32,0 40,0 48,0 56,0 64,0 72,0 90 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 72,0 81,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.1 к 0,000 0,002 0,006 0,010 0,014 0,018 0,022 0,026 0,030 0,035 0,039 0,043 0,048 0,052 0,057 0,061 0,066 .1.18. Таблица для *i 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,10 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 к 1,000 0,998 0,994 0,990 0,986 0,982 0,978 0,974 0,970 0,965 0,961 0,957 0,952 0,948 0,943 0,939 0,934 квадратичного интерполирования. к 0,066 0,071 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,100 0,105 0,110 0,115 0,120 0,125 0,131 0,136 0,142 0,147 *1 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,027 0,028 0,029 0,030 0,031 к 0,934 0,929 0,925 0,920 0,915 0,910 0,905 0,900 0,895 0,890 0,885 0,880 0,875 0,869 0,864 0,858 0,853 к 0,147 0,153 0,159 0,165 0,171 0,177 0,183 0,190 0,196 0,203 0,210 0,217 0,224 0,231 0,239 0,247 0,225 *1 0,032 0,033 0,034 0,035 0,036 0,037 0,038 0,039 0,040 0,041 0,042 0,043 0,044 0,045 0,046 0,047 к 0,853 0,847 0,841 0,835 0,829 0,823 0,817 0,810 0,804 0,797 0,790 0,783 0,776 0,769 0,761 0,753 0,745 к 0,255 0,263 0,271 0,280 0,290 0,300 0,310 0,321 0,332 0,345 0,358 0,373 0,390 0,410 0,436 0,500 *1 0,048 0,049 0,050 0,051 0,052 0,053 0,054 0,055 0,056 _А057 0,058 0,059 0,060 0,061 0,062 к 0,745 0,737 0,729 0,720 0,710 0,700 0,690 0,679 0,668 0,655 0,642 0,627 0,610 0,590 0,564 0,500
64 ТАБЛИЦЫ Всем значениям к, заключенным между смежными числами столбца к (как правого, так и левого), соответствует одно и то же значение ки помещенное между этими смежными значениями к. «Критическим» (табличным) значениям к соответствует вышележащее /с,. Примеры. 1) Для к =0,8 находим /cj =0,040 (так же как и для всех других к, заключенных между 0,797 и 0,804 или между 0,196 и 0,203). 2) Для к = 0,3 (или для к = 0,7) кх = 0,052. 1.1.2. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1.1.2.1. Гамма-функция. X 1 1,00 01 02 03 04 1,05 06 07 08 09 1,10 11 12 13 14 1,15 ' 16 17 18 19 1,20 21 22 23 24 1,25 Г(\) 1,00000 0,99433 0,98884 0,98355 0,97844 0,97350 0,96874 0,96415 0,95973 0,95546 0,95135 0,94740 0,94359 0,93993 0,93642 0,93304 0,92980 0,92670 0,92373 0,92089 0,91817 0,91558 0,91311 0,91075 0,90852 0,90640 л* 1,25 26 27 28 29 1,30 31 32 33 34 1,35 36 37 38 39 1,40 41 42 43 44 1,45 46 47 48 49 1,50 Г(у) 0,90640 0,90440 0,90250 0,90072 0,89904 0.89747 0,89600 0,89464 0,89338 0,89222 0,89115 0,89018 0,88931 0,88854 0,88785 0,88726 0,88676 0,88636 0,88604 0,88581 0,88566 0,88560 0,88563 0,88575 0,88595 0,88623 Y 1,50 51 52 53 54 1,55 56 57 58 59 1,60 61 62 63 64 1,65 66 67 68 69 1,70 71 72 73 74 1,75 Г(л-) 0,88623 0,88659 0,88704 0,88757 0,88818 0,88887 0,88964 0,89049 0.89142 0,89243 0,89352 0,89468 0,89592 0,89724 0,89864 0,90012 0,90167 0,90330 0,90500 0,90678 0,90864 0,91057 0,91258 0,91467 0,91683 0,91906 V 1,75 76 77 78 79 1,80 81 82 83 84 1,85 86 87 88 89 1,90 91 92 93 94 1,95 96 97 98 99 2,00 Г(л-) 0,91906 0,92137 0,92376 0,92623 0,92877 0,93138 0,93408 0,93685 0,93969 0,94261 0,94561 0,94869 0,95184 0,95507 0.95838 0,96177 0,96523 0,96877 0,97240 0,97610 0,97988 0,98374 0,98768 0,99171 0,99581 1,00000 Значения гамма-функции для х < 1 (х Ф 0, — 1, — 2, ...) и для х > 2> могут быть вычислены при помощи формул Г (х) = — ~, Г (х) = (х Примеры. 1) Г@,7) = ГA,7)/0,7 = 0,90864/0,7 = 1,2981. 2) ГC,5) - 2,5 • ГB,5) = 2,5 • 1,5 • ГA,5) = 2,5-1,5-0,88623 = = 3,32336.
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ 65 1.1.2.2. X 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 Бесселевы (цилиндрические) функции. Jo(x) + 1,0000 0,9975 0,9900 0,9776 0,9604 + 0,9385 0,9120 0,8812 0,8463 0,8075 + 0,7652 0,7196 0,6711 0,6201 0,5669 + 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400 0,2818 + 0,2239 0,1666 0,1104 0,0555 ' 0,0025 -0,0484 0,0968 0,1424 0,1850 0,2243 --0,2601 0,2921 0,3202 0,3443 0,3643 -0,3801 0,3918 0,3992 0,4026 0,4018 -0,3971 0,3887 0,3766 0,3610 0,3423 -0,3205 0,2961 0.2693 0,2404 0,2097 Jx(x) + 0,0000 0,0499 0,0995 0,1483 0,1960 + 0,2423 0,2867 0,3290 0,3688 0,4059 + 0,4401 0,4709 0,4983 0,5220 0,5419 + 0,5579 0,5699 0,5778 0,5815 0,5812 + 0,5767 0,5683 0,5560 0,5399 0,5202 + 0,4971 0,4708 0,4416 0,4097 0,3754 + 0,3391 0,3009 0,2613 0,2207 0,1792 + 0,1374 0,0955 0,0538 + 0,0128 -0,0272 -0,0660 0,1033 0,1386 0,1719 0,2028 -0,2311 0,2566 0,2791 0,2985 0,3147 Y0(x) — х -1,5342 1,0811 0,8073 0,6060 -0,4445 0,3085 0,1907 -0,0868 + 0,0056 + 0,0883 0,1622 0,2281 0,2865 0,3379 + 0,3824 0,4204 0,4520 0,4774 0,4968 + 0,5104 0,5183 0,5208 0,5181 0,5104 + 0,4981 0,4813 0,4605 0,4359 0,4079 + 0,3769 0,3431 0,3070 0,2691 0,2296 + 0,1890 0,1477 0,1061 0,0645 + 0,0234 -0,0169 0,0561 0,0938 0,1296 0,1633 -0,1947 0,2235 0,2494 0,2723 0,2921 Yx(x) — ос -6,4590 3,3238 2,2931 1,7809 -1,4715 1,2604 1,1032 0,9781 0,8731 -0,7812 0,6981 0,6211 0,5485 0,4791 -0,4123 0,3476 0,2847 0,2237 0,1644 -0,1070 -0,0517 + 0,0015 0,0523 0,1005 + 0,1459 0,1884 0,2276 0,2635 0,2959 + 0,3247 0,3496 0,3707 0,3879 0,4010 + 0,4102 0,4154 0,4167 0,4141 0,4078 + 0,3979 0,3846 0,3680 0,3484 0,3260 + 0,3010 0,2737 0,2445 0,2136 0,1812 /о (х) 1,000 1,003 1,010 1,023 1,040 1,063 1,092 1,126 1,167 1,213 1,266 1,326 1,394 1,469 1,553 1,647 1,750 1,864 1,990 2,128 2,280 2,446 2,629 2,830 3,049, 3,290 3,553 3,842 4,157 4,503 4,881 5,294 5,747 6,243 6,785 7,378 8,028 8,739 9,517 10,37 11,30 12,32 13,44 14,67 16,01 17,48 19,09 20,86 22,79 24,91 0,0000 0,0501 0,1005 0,1517 0,2040 0,2579 0,3137 0,3719 0,4329 0,4971 0,5652 0,6375 0,7147 0,7973 0,8861 0,9817 1,085 1,196 1,317 1,448 1,591 1,745 1,914 2,098 2,298 2,517 2,755 3,016 3,301 3,613 3,953 4,326 4,734 5,181 5,670 6,206 6,793 7,436 8,140 8,913 9,759 10,69 11,71 12,82 14,05 15,39 16;86 18,48 20,25 22,20 К0(х) X 2,4271 1,7527 1,3725 1,1145 0,9244 0,7775 0,6605 0,5653 0,4867 0,4210 0,3656 0,3185 0,2782 0,2437 0,2138 0,1880 0,1655 0,1459 0,1288 0,1139 0,1008 0,08927 0,07914 0,07022 0,06235 0,05540 0,04926 0,04382 0,03901 0,03474 0,03095 0,02759 0,02461 0,02196 0,01960 0,01750 0,01563 0,01397 0,01248 0,01116 0,009980 0,008927 0,007988 0,007149 0,006400 0,005730 0,005132 0,004597 0,0041119 К,(х) X 9,8538 4,7760 3,0560 2,1844 1,6564 1,3028 1,0503 0,8618 0,7165 0,6019 0,5098 0,4346 0,3725 0,3208 0,2774 0,2406 0,2094 0,1826 0,1597 0,1399 0,1227 0,1079 0,09498 0,08372 0,07389 0,06528 0,05774 0,05111 0,04529 0,04016 0,03563 0,03164 0,02812 0,02500 0,02224 0,01979 0,01763 0,01571 0,01400 0,01248 0,01114 0,009938 0,008872 0,007923 0,007078 0,006325 0,005654 0,005055 0,004521 3 И Н Бронштейн, К А Семендяе
66 ТАБЛИЦЫ Продолжение X 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 J0(x) -0,1776 0,1443 0,1103 0,0758 0,0412 -0,0068 + 0,0270 0,0599 0,0917 0,1220 + 0,1506 0,1773 0,2017 0,2238 0,2433 + 0,2601 0,2740 0,2851 0,2931 0,2981 + 0,3001 0,2991 0,2951 0,2882 0,2786 + 0,2663 0,2516 0,2346 0,2154 0,1944 + 0,1717 0,1475 0,1222 0,0960 0,0692 + 0,0419 + 0,0146 -0,0125 0,0392 0,0653 -0,0903 0,1142 0,1367 0,1577 0,1768 -0,1939 0,2090 0,2218 0,2323 0,2403 -0,2459 Jx(x) -0,3276 0,3371 0,3432 0,3460 0,3453 -0,3414 0,3343 0,3241 0,3110 0,2951 -0,2767 0,2559 0,2329 0,2081 0,1816 -0,1538 0,1250 0,0953 0,0652 0,0349 -0,0047 + 0,0252 0,0543 0,0826 0,1096 + 0,1352 0,1592 0,1813 0,2014 0,2192 + 0,2346 0,2476 0,2580 0,2657 0,2708 + 0,2731 0,2728 0,2697 0,2641 0,2559 + 0,2453 0,2324 0,2174 0,2004 0,1816 + 0,1613 0,1395 0,1166 0,0928 0,0684 + 0,0435 4х) -0,3085 0,3216 0,3313 0,3374 0,3402 -0,3395 0,3354 0,3282 0,3177 0,3044 -0,2882 0,2694 0,2483 0,2251 0,1999 -0,1732 0,1452 0,1162 0,0864 0,0563 -0,0259 + 0,0042 0,0339 0,0628 0,0907 + 0,1173 0,1424 0,1658 0,1872 0,2065 + 0,2235 0,2381 0,2501 0,2595 0,2662 + 0,2702 0,2715 0,2700 0,2659 0,2592 + 0,2499 0,2383 0,2245 0,2086 0,1907 + 0,1712 0,1502 0,1279 0,1045 0,0804 + 0,0557 Yx(x) + 0,1479 0,1137 0,0792 0,0445 + 0,0101 -0,0238 0,0568 0,0887 0,1192 0,1481 -0,1750 0,1998 0,2223 0,2422 0,2596 -0,2741 0,2857 0,2945 0,3002 0,3029 -0,3027 0,2995 0,2934 0,2846 0,2731 -0,2591 0,2428 0,2243 0,2039 0,1817 -0,1581 0,1331 0,1072 0,0806 0,0535 -0,0262 + 0,0011 0,0280 0,0544 0,0799 + 0,1043 0,1275 0.1491 0,1691 0,1871 + 0,2032 0,2171 0,2287 0,2379 0,2447 + 0,2490 Щх) 27,24 29,79 32,58 35,65 39,01 42,69 46,74 51,17 56,04 61,38 67,23 73.66 80,72 88,46 96,96 106,3 116,5 127,8 140,1 153,7 168,6 185,0 202,9 222,7 244,3 268,2 294,3 323,1 354,7 389,4 427,6 469,5 515,6 566,3 621,9 683,2 750,5 824,4 905,8 995,2 1094 1202 1321 1451 1595 1753 1927 2119 2329 2561 2816 Ix(x) 24,34 26,68 29,25 32,08 35,18 38,59 42,33 46,44 50,95 55,90 61,34 67,32 73,89 81,10 89,03 97,74 107,3 117,8 129,4 142,1 156,0 171,4 188,3 206,8 227,2 249,6 274,2 301,3 331,1 363,9 399,9 439,5 483,0 531,0 583,7 641,6 705,4 775,5 852,7 937,5 1031 1134 1247 1371 1508 1658 1824 2006 2207 2428 2671 К0(х) 0,00 3691 3308 2966 2659 2385 2139 1918 1721 1544 1386 1244 1117 1003 09001 08083 07259 06520 05857 05262 04728 04248 03817 03431 03084 02772 02492 02240 02014 01811 01629 01465 01317 01185 01066 009588 008626 007761 006983 006283 (Ю5654 005088 004579 004121 003710 003339 003006 002706 002436 002193 001975 001778 Кг(х) 0,00 4045 3619 3239 2900 2597 2326 2083 1866 1673 1499 1344 1205 1081 09691 08693 07799 06998 06280 05636 05059 04542 04078 03662 03288 02953 02653 02383 02141 01924 01729 01554 01396 01255 01128 01014 009120 008200 007374 006631 005964 005364 004825 004340 003904 003512 003160 002843 002559 002302 002072 001865
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 67 1.1.2.3. Полиномы Лежандра V =/>,(*) 0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 -0,5000 -0,4962 -0,4850 -0,4662 -0,4400 -0,4062 -0,3650 -0,3162 -0,2600 -0,1962 -0,1250 -0,0462 + 0,0400 0,1338 0,2350 0,3438 0,4600 0,5838 0,7150 0,8538 1,0000 (шаровые функции). 0,0000 -0,0747 -0,1475 -0,2166 -0,2800 -0,3359 -0,3825 -0,4178 -0,4400 -0,4472 -0,4375 -0,4091 -0,3600 -0,2884 -0,1925 -0,0703 + 0,0800 0,2603 0,4725 0,7184 1,0000 Р4(х) 0,3750 0,3657 0,3379 0,2928 0,2320 0,1577 + 0,0729 -0,0187 -0,1130 -0,2050 -0,2891 -0,3590 -0,4080 -0,4284 -0,4121 -0,3501 -0,2330 -0,0506 + 0,2079 0,5541 1,0000 Р?х) 0,0000 0,0927 0,1788 0,2523 0,3075 0,3397 0,3454 0,3225 0,2706 0,1917 + 0,0898 -0,0282 -0,1526 -0,2705 -0,3652 -0.4164 -0,3995 -0,2857 -0,0411 + 0,3727 1,0000 рь(х) -0,3125 -0,2962 -0,2488 -0,1746 -0,0806 + 0,0243 0,1292 0,2225 0,2926 0,3290 0,3232 0,2708 0.1721 + 0.0347 -0,1253 -0,2808 -0,3918 -0,4030 -0,2412 + 0,1875 1,0000 Р7(х) 0,0000 -0,1069 -0,1995 -0,2649 -0,2935 -0,2799 -0,2241 -0,1318 -0,0146 + 0,1106 0,2231 0,3007 0,3226 0,2737 + 0,1502 -0,0342 -0,2397 -0,3913 -0,3678 + 0,0112 1,0000 Р0(х)=1, р5 (х) = 4-F3х5 - 70х3 + 15х), о Р6(х) = — B31х6 - 315х4 + 105х2 - 5), 16 р7 ( D29x7 - 693х5 + 315х3 - 35х). 1.1.2.4. Эллиптические интегралы. 1.1.2.4.1. Эллиптические интегралы 1-го рода: F(k, <р), к =¦ sina. ф 0° 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0° 0,0000 0,1745 0,3491 0,5236 0,6981 0,8727 1,0472 1,2217 1,3963 1,5708 10° 0,0000 0,1746 0,3493 0,5243 0,6997 0,8756 1,0519 1,2286 1,4056 1,5828 20° 0,0000 0,1746 0,3499 0,5263 0,7043 0,8842 1,0660 1,2495 1,4344 1,6200 30° 0,0000 0,1748 0,3508 0,5294 0,7116 0,8982 1,0896 1,2853 1,4846 1,6858 40° 0,0000 0,1749 0,3520 0,5334 0,7213 0,9173 1,1226 1,3372 1,5597 1,7868 50° 0,0000 0,1751 0,3533 0,5379 0,7323 0,9401 1,1643 1,4068 1,6660 1,9356 60° 0,0000 0,1752 0,3545 0,5422 0,7436 0,9647 1,2126 1,4944 1,8125 2,1565 70° 0,0000 0,1753 0,3555 0.5459 0,7535 0,9876 1,2619 1,5959 2,0119 2,5046 80° 0,0000 0,1754 0,3561 0,5484 0,7604 1,0044 1,3014 1,6918 2,2653 3,1534 90° 0,0000 0,1754 0,3564 0,5493 0,7629 1,0107 1,3170 1,7354 2,4362 ос 3*
68 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.4.2. Эллиптические интегралы Ф 0° 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0° 0,0000 0,1745 0,3491 0,5236 0,6981 0,8727 1,0472 1,2217 1,3963 1,5708 10° 0,0000 0,1745 0,3489 0,5229 0,6966 0,8698 1,0426 1,2149 1,3870 1,5589 20° 0,0000 0,1744 0,3483 0,5209 0,6921 0,8614 1,0290 1.1949 1,3597 1,5238 30° 0,0000 0,1743 0,3473 0.5179 0,6851 0,8483 1,0076 1,1632 1,3161 1,4675 2-го рода: Е(к, 0 40° 0,0000 0,1742 0,3462 0,5141 0,6763 0,8317 0,9801 1,1221 1,2590 1,3931 i 50° 0,0000 0,1740 0,3450 0,5100 0,6667 0,8134 0,9493 1,0750 1,1926 1,3055 ф), к = sina. 60° 0,0000 0,1739 0,3438 0,5061 0,6575 0,7954 0,9184 1,0266 1,1225 1,2111 70° 0,0000 0,1738 0,3429 0,5029 0,6497 0,7801 0,8914 0,9830 1,0565 1,1184 80° 0,0000 0,1737 0,3422 0,5007 0,6446 0,7697 0,8728 0,9514 1,0054 1,0401 90° 0,0000 0,1736 0,3420 0,5000 0,6428 0,7660 0,8660 0,9397 0,9848 1,0000 1.1.2.4.3. a° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Полные К ,5708 ,5709 ,5713 ,5719 ,5727 ,5738 ,5751 ,5767 ,5785 ,5805 ,5828 ,5854 ,5882 ,5913 ,5946 ,5981 ,6020 ,6061 1,6105 1,6151 1,6200 1,6252 1,6307 1,6365 1,6426 1,6490 1,6557 1,6627 1.6701 1,6777 1,6858 эллиптические инте!рал! ? 1,5708 1,5707 1,5703 1,5697 1,5689 1,5678 1,5665 1,5649 1,5632 1,5611 1,5589 1,5564 1,5537 1,5507 1,5476 1,5442 1.5405 1,5367 1,5326 1,5283 1,5238 1,5191 1,5141 1,5090 1,5037 1,498! 1,4924 1,4864 1,4803 1,4740 1,4675 ос° 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 К 1,6858 ,6941 ,7028 ,7119 ,7214 ,7312 ,7415 ,7522 ,7633 ,7748 ,7868 ,7992 ,8122 ,8256 ,8396 ,8541 1,8691 1,8848 1,9011 1,9180 1,9356 1,9539 1,9729 1,9927 2,0133 2,0347 2,0571 2,0804 2,1047 2,1300 2,1565 ,i: к ' = sina Е 1,4675 1,4608 1,4539 1,4469 1.4397 1,4323 ,4248 ,4171 ,4092 ,4013 ,3931 ,3849 ,3765 ,3680 ,3594 ,3506 ,3418 ,3329 ,3238 ,3147 ,3055 ,2963 1,2870 1,2776 1,2681 1,2587 1,2492 1,2397 1,2301 1,2206 1,2111 a° 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 К 2,1565 2,1842 2,2132 2,2435 2,2754 2,3088 2,3439 2,3809 2,4198 2,4610 2,5046 2,5507 2,5998 2,6521 2.7081 2,7681 2,8327 2,9026 2,9786 3,0617 3,1534 3,2553 3,3699 3,5004 3,6519 3,8317 4,0528 4.3387 4,7427 5,4349 ОО Е 1,2111 ,2015 ,1920 ,1826 ,1732 ,1638 ,1545 ,1453 ,1362 ,1272 1,1184 1,1096 1,1011 1,0927 1,0844 1,0764 1,0686 1,0611 1,0538 1,0468 1,0401 1,0338 1,0278 1,0223 1,0172 1,0127 1,0086 1,0053 1,0026 1,0008 1,0000 я/2 1 Л. f__*!!„ Г
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 69 1.1 г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.5. Распределение Пуассона. X 0,1 0,904837 0,090484 0,004524 0,000151 0,000004 - - - - 0,2 0,818731 0,163746 0,016375 0,001092 0,000055 0,000002 - - - 0,3 0,740818 0,222245 0,033337 0,003334 0,000250 0,000015 0,000001 - - 0,4 0,670320 0,268128 0,053626 0,007150 0,000715 0,000057 0,000004 - - 0,5 0,606531 0,303265 0,075816 0,012636 0,001580 0,000158 0,000013 0,000001 - 0,6 0,548812 0,329287 0,098786 0,019757 0,002964 0,000356 0,000036 0,000003 - 0,7 0,496585 0,347610 0,121663 0,028388 0,004968 0,000696 0,000081 0,000008 0,000001 0,8 0,449329 0,359463 0,143785 0,038343 0,007669 0,001227 0,000164 0,000019 0,000002 }. 0,9 0,406570 0,365913 0,164661 0,049398 0,011115 0,002001 0,000300 0,000039 0,000004 - - - - - - - - — 1,0 0,367879 0,367879 0,183940 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 0,000073 0,000009 0,000001 - - - - - - - — 1,5 0,223130 0,334695 0,251021 0,125510 0,047067 0,014120 0,003530 0,000756 0,000142 0,000024 0,000004 - - - - - - - 2,0 0,135335 0,270671 0,270671 0,180447 0,090224 0,036089 0,012030 0,003437 0,000859 0,000191 0,000038 0,000007 0,000001 - - - - — 2,5 0,082085 0,205212 0,256516 0,213763 0,133602 0,066801 0,027834 0,009941 0,003106 0,000863 0,000216 0,000049 0,000010 0,000002 - - - — 3,0 0,049787 0,149361 0,224042 0,224042 0,168031 0,100819 0,050409 0,021604 0,008102 0,002701 0,000810 0,000221 0,000055 0,000013 0,000003 0,000001 - — 3,5 0,030197 0,105691 0,184959 0,215785 0,188812 0,132169 0,077098 0,038549 0,016865 0,006559 0,002296 0,000730 0,000213 0,000057 0,000014 0,000003 0,000001 — 4,0 0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104196 0,059540 0,029770 0,013231 0,005292 0,001925 0,000642 0,000197 0,000056 0,000015 0,000004 0,000001
70 ТАБЛИЦЫ Продолжение г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 4,5 0,011109 0,049990 0,112479 0,168718 0,189808 0,170827 0,128120 0,082363 0,046329 0,023165 0,010424 0,004264 0,001599 0,000554 0,000178 0,000053 0,000015 0,000004 0,000001 - - - - - - - - - - 5,0 0,006738 0,033690 0,084224 0,140374 0,175467 0,175467 0,146223 0,104445 0,065278 0,036266 0,018133 0,008242 0,003434 0,001321 0,000472 0,000157 0,000049 0,000014 0,000004 0,000001 - - - - - - - - - 6,0 0,002479 0,014873 0,044618 0,089235 0,133853 0,160623 0,160623 0,137677 0,103258 0,068838 0,041303 0,022529 0,011264 0,005199 0,002228 0,000891 0,000334 0,000118 0,000039 0,000012 • 0,000004 0,000001 - - - - - - - 7,0 0,000912 0,006383 0,022341 0,052129 0,091226 0,127717 0,149003 0,149003 0,130377 0,101405 0,070983 0,045171 0,026350 0,014188 0,007094 0,003311 0,001448 0,000596 0,000232 0,000085 0,000030 0,000010 0,000003 0,000001 - - - - - 8,0 0,000335 0,002684 0,010735 0,028626 0,057252 0,091604 0,122138 0,139587 0,139587 0,124077 0,099262 0,072190 0,048127 0,029616 0,016924 0,009026 0,004513 0,002124 0,000944 0,000397 0,000159 0,000061 0,000022 0,000008 0,000003 0,000001 - - - 9,0 0,000123 0,001111 0,004998 0,014994 0,033737 0,060727 0,091090 0,117116 0,131756 0,131756 0,118580 0,097020 0,072765 0,050376 0,032384 0,019431 0,010930 0,005786 0,002893 0,001370 0,000617 0,000264 0,000108 0,000042 0,000016 0,000006 0,000002 0,000001 - 10,0 0,000045 0,000454 0,002270 0,007867 0,018917 0,037833 0,063055 0,090079 0,112599 0,125110 0,125110 0,113736 0,094780 0,072908 0,052077 0,034718 0,021699 0,012764 0,007091 0,003732 0,001866 0,000889 0,000404 0,000176 0,000073 0,000029 0,000011 0,000004 0,000001 0,000001
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 71 1.1.2.6. Нормальное распределение. 1.1.2.6.1. Плотность распределения вероятности ф(х) = = —п— е х /z нормированного нормального распределения. центрированного О х Рис. 1.2 V 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 U 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 0 3989  3970-4 3910~~4 3814 4 3683  3521 4 3332 ~\ 3123 4 2897  2661 ~ 4 2420 ~\ 2179 1942 1714 I497 1295 4 1109~4 9405"; 7895 ~5 6562 ~5 5399 ~5 4398"^ 3547 ~5 2833"^ 2239  1753"^ 1358"^ 1042" 5 7915~6 5953  4432"^ 3267"^ 2384"° 1723 ° 1232 8727"^ 6119"^ 4248"^ 2919~^1 1987 1338~8 8926 \ 5894"* 3854 ~ я 2494 -\ 1598 \ 1014"° 6370 I 3961"^ 2439 v 1 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 9246 7754 6438 5292 4307 3470 2768 2186 1709 1323 1014 7697 5782 4301 3167 2309 1667 1191 8426 5902 4093 2810 1910 1286 8567 5652 3691 2387 1528 9684 ~У 6077 3775 2322 2 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 9089 7614 6316 5186 4217 3394 2705 2134 1667 1289 9871 ~6 7483 5616 4173 3070 2236 1612 1151 8135 5693 3944 2705 1837 1235 8222 5418 3535 2284 1461 9248 5797 3598 2211 3 ^ 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 8933 7477 6195 5082 4128 3319 2643 2083 1625 1256 9606 7274 5454 4049 2975 2165 1560 1112 7853 5490 3800 2604 1766 1186 7890 5194 3386 2185 1396 8830 5530 3428 2105 4 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 8780 7341 6077 4980 4041 3246 2582 2033 1585 1223 9347 7071 5296 3928 2884 2096 1508 1075 7581 5294 3661 2506 1698 1140 7570 4979 3242 2090 1334 8430 5274 3267 2003 5 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 ЗОН 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 8628 7206 5960 4879 3955 3174 2522 1984 1545 1191 9094 6873 5143 3810 2794 2029 1459 1038 7317 5105 3526 2411 1633 1094 7263 4772 3104 1999 1275 8047 5030 3112 1907 6 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2035 1804 1582 1374 1182 1006 8478 7074 5844 4780 3871 3103 2463 1936 1506 1160 8846 6679 4993 3695 2707 1961 1411 1003 7061 4921 3396 2320 1569 1051 6967 4573 2972 1912 1218 7681 4796 2965 1814 7 3980 3932 3847 3725 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 9893 ~5 8329 6943 5730 4682 3788 3034 2406 1888 1468 ИЗО 8605 6491 4847 3584 2623 1901 1364 9689 ~7 6814 4744 3271 2232 1508 1009 6683 4382 2845 1829 1164 7331 4573 2824 1727 8 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 9728 8183 6814 5618 4586 3706 2965 2349 1842 1431 1100 8370 6307 4705 3475 2541 1840 1319 9358 6575 4573 3149 2147 1449 9687 "8 6410 4199 2723 1749 1112 6996 4360 2690 1643 9 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3141 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 9566 8038 6687 5508 4491 3626 2898 2294 1797 1394 1071 8140 6127 4567 3370 2461 1780 1275 9037 6343 4408 3032 2065 1393 9299 6147 4023 2606 1672 1062 6676 4156 2561 1563 Замечание. Например, 3989 означает 3989- 10~4.
72 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.6.2. Фу н к ция распределения Фо (х) — <р (t) dt = -== le { ^dt нормированного J ]/2n J и центрированного нормального распределения. О х Рис 1 3 * о,с о, о,: о,: 0,4 0,f \ 0,6 0,' 0,i 0,9 1,0 1, i,: i,: ) 1,4 1,5 1,6 1,- 1 1,8 1,9 2,0 2, 2,2" *) 2,3 0 0,0 000 398 793 0,1 179 554 915 0,2 257 580 881 0,3 159 413 643 849 0,4 032 192 332 452 554 641 713 772 821 860 966 892 759 Начиная с 892 означает 1 040 438 832 217 591 950 291 611 910 186 437 655 869 049 207 345 463 564 649 719 778 826 864 474 895 559 2 080 478 871 255 628 985 324 642 939 212 461 686 888 066 222 357 474 573 656 726 783 830 867 906 898 296 3 120 517 910 293 664 0,2 019 357 673 967 238 485 708 907 082 236 370 484 582 664 732 788 834 871 263 900 969 4 160 557 948 331 700 054 389 708 995 264 508 729 925 099 251 382 495 591 671 738 793 838 874 545 903 581 згою места, значение Ф0(х) приведено ФоB,30) = 0,4892759. 5 199 596 987 368 736 088 422 734 0,3 023 289 531 749 944 115 265 394 505 599 678 744 798 842 877 755 906 133 6 239 636 0,1026 406 772 123 454 764 051 315 554 770 962 131 279 406 515 608 686 750 803 846 880 894 908 625 7 279 675 064 443 808 157 486 794 078 340 577 790 980 147 292 418 525 616 693 756 808 850 883 962 911 060 8 319 714 103 480 844 190 517 823 106 365 599 810 997 162 306 429 535 625 699 761 812 854 886 962 913 437 9 359 753 141 517 879 224 549 852 133 389 621 830 0,4 015 177 319 441 545 633 706 767 817 857 889 893 915 758 с семью знаками после запятой. Например, запись
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 73 Продолжение .Y 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 5,0 0 0,4918 025 937 903 953 388 965 330 974 449 981 342 986 501 990 324 993 129 995 166 996 631 997 674 998 409 998 922 999 276 999 519 999 683 999 793 999 867 999 915 999 946 999 966 999 997 1 920 237 939 634 954 729 966 358 975 229 981 929 986 938 990 646 993 363 995 335 996 752 997 759 998 469 998 964 999 305 999 539 999 696 999 802 999 872 999 918 999 948 999 968 2 922 397 941 323 956 035 967 359 975 988 982 498 987 361 990 957 993 590 995 499 996 869 997 842 998 527 999 004 999 333 999 557 999 709 999 811 999 878 999 922 999 951 999 969 3 924 506 942 969 957 308 968 333 976 726 983 052 987 111 991 260 993 810 995 658 996 982 997 922 998 583 999 043 999 359 999 575 999 721 999 819 999 883 999 925 999 953 999 971 4 926 564 944 574 958 547 969 280 977 443 983 589 988 171 991 553 994 024 995 811 997 091 997 999 998 637 999 080 999 385 999 593 999 733 999 826 999 888 999 929 999 955 999 972 5 928 572 946 139 959 754 970 202 978 140 984 111 988 558 991 836 994 230 995 • 959 997 197 998 074 998 689 999 116 999 409 999 609 999 744 999 834 999 893 999 932 999 957 999 973 6 930 531 947 664 960 930 971 099 978 818 984 618 988 933 992 112 994 429 996 103 997 299 998 146 998 739 999 150 999 433 999 625 999 755 999 841 ¦ 999 898 999 935 999 959 999 974 7 932 443 949 151 962 074 971 972 979 476 985 110 989 297 992 378 994 523 996 242 997 398 998 215 998 787 999 184 999 456 999 641 999 765 999 848 999 902 999 938 999 961 999 976 8 934 309 950 600 963 189 972 821 980 116 985 588 989 650 992 636 994 810 996 376 997 493 998 282 998 834 999 216 999 478 -999 655 999 775 999 854 999 907 999 941 999 963 999 977 9 936 128 952 012 964 274 973 646 980 738 СУ» ОС 989 992 992 886 994 991 996 505 997 585 998 347 998 879 999 247 999 499 999 670 999 784 999 861 999 911 999 943 999 964 999 978
74 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.7. х2~РаспРеДеление* В таблице приведены значения (в процентах) квантилей х2 (т) в зависимости от числа степеней свободы т и вероятности а. Рис 1.4 т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 0,99 0,00016 0,020 0,115 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2.09 2,56 3,1 3.6 4,1 4,7 5,2 5,8 6,4 7,0 7.6 8,3 8,9 9,5 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0 0.98 0,0006 0,040 0,185 0,43 0.75 1,13 1.56 2,03 2,53 3,06 3,6 4,2 4,8 5,4 6,0 6,6 7,3 7,9 8,6 9,2 9.9 10,6 11,3 12,0 12,7 13,4 14,1 14,8 15,6 16,3 0,95 0,0039 0,103 0,352 0,71 1,14 1,63 2,17 2,73 3,32 3,94 4,6 5,2 5.9 6,6 7,3 8,0 «.7 9,4 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5 0,90 0,0! 6 0,211 0,584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,86 5,6 6,3 7,0 7,8 8,5 9,3 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6 0,80 0,064 0,446 1,005 1,65 2,34 3,07 3,82 4,59 5,38 6,18 7,0 7,8 8,6 9,5 10,3 11,2 12,0 12,9 13,7 14,6 15,4 16,3 17,2 18,1 18,9 19,8 20,7 21,6 22,5 23,4 0,70 0,148 0,713 1,424 2,19 3,00 3,83 4,67 5,53 6,39 7,27 8,1 9,0 9,9 10,8 11,7 12,6 13,5 14,4 15,4 16,3 17,2 18,1 19,0 19,9 20,9 21,8 22,7 23,6 24,6 25,5 0,50 0,455 1,386 2,366 3,36 4,35 5,35 6,35 7,34 8,34 9,34 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3 15,3 16,3 17,3 18,3 19,3 20,3 21,3 22,3 23,3 24,3 25,3 26,3 27,3 28,3 29,3 0,30 1,07 2,41 3,67 4,9 6,1 7,2 8,4 9,5 10,7 11,8 12,9 14,0 15,1 16,2 17,3 18,4 19,5 20,6 21,7 22,8 23,9 24,9 26.0 27,1 28,2 29,2 30,3 31,4 32,5 33,5
Х^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 75 Продолжение а 0,20 1,64 3,22 4,64 6,0 7,3 8,6 9,8 11,0 12,2 13,4 14,6 15,8 17,0 18,2 19,3 20,5 21,6 22,8 23,9 25,0 26,2 27,3 28,4 29,6 30,7 31,8 32,9 34,0 35,1 36,3 0,10 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3 0,05 3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 2,3,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8 0,02 5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31,0 32,3 33,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 42,9 44,1 45,4 46,7 48,0 0,01 6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 0,005 7,9 10,6 12,8 14,9 16,8 18,5 20,3 22,0 23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 31,3 32,8 34,3 35,7 37,2 38,6 40,0 41,4 42,8 44,2 45,6 46,9 48,3 49,6 51,0 52,3 53,7 0,002 9,5 12,4 14,8 16,9 18,9 20,7 22,6 24,3 26,1 27,7 29,4 30,9 32,5 34,0 35,6 37,1 38,6 30,1 41,6 43,0 44,5 45,9 47,3 48,7 50,1 51,6 52,9 54,4 55,7 57,1 0,001 10,8 13,8 16,3 18,5 20,5 22,5 24,3 26,1 27,9 29,6 31,3 32,9 34,5 36,1 37,7 39,3 40,8 42,3 43,8 45,3 46,8 48,3 49,7 51,2 52,6 54,1 55,5 56,9 58,3 59,7 т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
76 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.8. ^-распределение Стьюдента. В таблице приведены значения (в процентах) квантилей свободы т и вероятности а. am в зависимости от числа степеней Рис. 1.5 т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ос а 0,10 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1.812 1,782 1.761 1,746 1,734 1,725 1,717 1,711 1,706 1,701 1,697 1,645 0,05 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2.306 2,262 2,228 2,179 2,145 2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,042 1,960 0,025 25,452 6,205 4,177 3,495 3,163 2,969 2,841 2,752 2,685 2,634 2,560 2.510 2,473 2.445 2,423 2,405 2,391 2,379 2,369 2,360 2,241 0,020 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,681 2,624 2,583 2,552 2,528 2.508 2,492 2,479 2,467 2,457 2,326 0,010 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,055 2,977 2.921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576 0,005 127,3 14,089 7,453 5,597 4,773 4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 3,428 3,326 3,252 3,193 3,153 3,119 3,092 3,067 3,047 3,030 2,807 0,003 212,2 18,216 8,891 6,435 5,376 4,800 4,442 4,199 4,024 3,892 3,706 3,583 3,494 3,428 3,376 3,335 3,302 3,274 3,250 3,230 2,968 0,002 318,3 22,327 10,214 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 3,930 3,787 3,686 3,610 3,552 3,505 3,467 3,435 3,408 3,386 3,090 0,001 636,6 31,598 12,941 8,610 6,859 5,959 5,405 5,041 4,781 4,587 4,318 4,140 4,015 3,922 3,849 3,792 3,745 3,707 3,674 3,646 3,291
z-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 77 1. п \ 2 3. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ос 1.2.9. z-распределение (см. 5.2.1 .3). г 1 4,1535 2,2950 1,7649 1,5270 1,3943 1,3103 1,2526 1,2106 1,1786 1,1535 1,1333 1,1166 1,1027 1,0909 1,0807 1,0719 1,0641 1,0572 1,0511 1,0457 1,0408 1,0363 1,0322 1,0285 1,0251 1,0220 1,0191 1,0164 1,0139 1,0116 0,9949 0,9784 0,9622 0,9462 2 4,2585 2,2976 1,7140 1,4452 1,2929 1,1955 1,1281 1,0787 1,0411 1,0114 0,9874 0,9677 0,9511 0,9370 0,9249 0,9144 0,9051 0,8970 0,8897 0,8831 0,8772 0,8719 0,8670 0,8626 0,8585 0,8548 0,8513 0,8481 0,8451 0,8423 0,8223 0,8025 0,7829 0,7636 3 4,2974 2,2984 1,6915 1,4075 1,2449 1,1401 1,0672 1,0135 0,9724 0,9399 0,9136 0,8919 0,8737 0,8581 0,8448 0,8331 0,8229 0,8138 0,8057 0,7985 0,7920 0,7860 0,7806 0,7757 0,7712 0,7670 0,7631 0,7595 0,7562 0,7531 0,7307 0,7086 0,6867 0,6651 4 4,3175 2,2988 1,6786 1,3856 1,2164 1,1068 1,0300 0.9734 0,9299 0,8954 0,8674 0,8443 0,8248 0,8082 0,7939 0,7814 0,7705 0,7607 0,7521 0,7443 0,7372 0,7309 0,7251 0,7197 0,7148 0,7103 0,7062 0,7023 0,6987 0,6954 0,6712 0,6472 0,6234 0,5999 5 4,3297 2,2991 1,6703 1,3711 1,1974 1,0843 1,0048 0,9459 0,9006 0,8646 0,8354 0,8111 0,7907 0,7732 0,7582 0,7450 0,7335 0,7232 0,7140 0,7058 0,6984 0,6916 0,6855 0,6799 0,6747 0,6699 0,6655 0,6614 0,6576 0,6540 0,6283 0,6028 0,5774 0,5522 6 4,3379 2,2992 1,6645 1,3609 1,1838 1,0680 0,9864 0,9259 0,8791 0,8419 0,8116 0,7864 0,7652 0,7471 0,7314 0,7177 0,7057 0,6950 0,6854 0,6768 0,6690 0,6620 0,6555 0,6496 0,6442 0,6392 0,6346 0,6303 0,6263 0,6226 0,5956 0,5687 0,5419 0,5152 8 4,3482 2,2994 1,6569 1,3473 1,1656 1,0460 0,9614 0,8983 0,8494 0,8104 0,7785 0,7520 0,7295 0,7103 0,6937 0,6791 0,6663 0,6549 0,6447 0,6355 0,6272 0,6196 0,6127 0,6064 0.6006 0,5952 0,5902 0,5856 0,5813 0,5773 0,5481 0,5189 0,4897 0,4604 12 4,3585 2,2997 1,6489 1,3327 1,1457 1,0218 0,9335 0,8673 0,8157 0.7744 0,7405 0,7122 0,6882 0,6675 0,6496 0,6339 0,6199 0,6075 0,5964 0,5864 0,5773 0,5691 0,5615 0,5545 0,5481 0,5422 0,5367 0,5316 0,5269 0,5224 0,4901 0,4574 0,4243 0,3908 24 4,3689 2,2999 1,6404 1,3170 1,1239 0,9948 0,9020 0,8319 0,7769 0,7324 0,6958 0,6649 0,6386 0,6159 0,5961 0,5786 0,5630 0,5491 0,5366 0,5253 0.5150 0,5056 0,4969 0,4890 0,4816 0,4748 0,4685 0,4626 0,4570 0,4519 0,4138 0,3746 0,3339 0,2913 00 4,3794 2,3001 1,6314 1,3000 1,0997 0,9643 0,8658 0,7904 0,7305 0,6816 0,6408 0,6061 0,5761 0,5500 0,5269 0,5064 0,4879 0,4712 0,4560 0,4421 0.4294 0,4176 0,4068 0,3967 0,3872 0,3784 0,3701 0,3624 0,3550 0,3481 0,2952 0,2352 0,1612 0,0000
78 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.10. F-распределение (распределение у2)*). Рис 1.6 т2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 161 4052 18,51 98,50 10,13 34,12 7,71 21,20 6,61 16,26 5,99 13,74 5,59 12,25 5,32 11,26 5,12 10,56 4,96 10,04 4,84 9,65 4,75 9,33 4,67 9,07 4,60 8,86 4,54 8,68 4,49 8,53 4,45 8,40 2 200 4999 19,00 99,00 9,55 30,82 6,94 18,00 5,79 13,27 5,14 10,92 4,74 9,55 4,46 8,65 4,26 8,02 4,10 7,56 3,98 7,21 3,89 6,93 3,81 6,70 3,74 6,51 3,68 6,36 3,63 6,23 3,59 6,11 3 216 5403 19,16 99,17 9,28 29,46 6,59 16,69 5,41 12,06 4,76 9,78 4,35 8,45 4,07 7,59 3,86 6,99 3,71 6,55 3,59 6,22 3,49 5,95 3,41 5,74 3.34 5,56 3,29 5,42 3,24 5,29 3,20 5,18 *) В таблице даны значения шрифт) в зависимости от числа т2- число степеней свободы для 4 225 5625 19,25 99,25 9,12 28,71 6,39 15,98 5,19 11,39 4,53 9,15 4,12 7,85 3,84 7,01 3,63 6,42 3,48 5,99 3,36 5,67 3,26 5,41 3,18 5,21 3,11 5,04 3,06 4,89 3,01 4,77 2,96 4,67 квантиле* степеней меньшей 5 230 5764 19,30 993 9,01 28,24 6,26 15,52 5,05 10,97 4,39 8,75 3,97 7,46 3,69 6,63 3,48 6,06 3,33 5,64 3,20 5,32 3,11 5,06 3,03 4,86 2,96 4,70 2,90 4,56 2,85 4,44 2,81 4,34 6 234 5859 19,33 99,33 8,94 27,91 6,16 15,21 4,95 10,67 4,28 8,47 3,87 7,19 3,58 6,37 3,37 5,80 3,22 5,39 3,09 5,07 3,00 4,82 2,92 4,62 2,85 4,46 2,79 4,32 2,74 4,20 2,70 4,10 7 237 5928 19,35 99,36 8,89 27,67 6,09 14,98 4,88 10,46 4,21 8,26 3,79 7,00 3,50 6,18 3,29 5,61 3,14 5,20 3,01 4,89 2,91 4,64 2,83 4,44 2,76 4,28 2,71 4,14 2,66 4,03 2,61 3,93 8 239 5981 19,37 99,37 8,85 27,49 6,04 14,80 4,82 10,29 4,15 8,10 3,73 6,84 3,44 6,03 3,23 5,47 3,07 5,06 2,95 4,74 2,85 4,50 2,77 4,30 2,70 4,14 2,64 4,00 2,59 3,89 2,55 3,79 9 241 6022 19,38 99,39 8,81 27,34 6,00 14,66 4,77 10,16 4,10 7,98 3,68 6,72 3,39 5,91 3,18 5,35 3,02 4,94 2,90 4,68 2,80 4,39 2,71 4,19 2,65 4,03 2,59 3,89 2,54 3,78 2,49 3,68 10 242 6056 19,39 99,40 8,79 27,23 5,96 14,55 4,74 10,05 4,06 7,87 3,64 6,62 3,35 5,81 3,14 5,26 2,98 4,85 2,85 4,54 2,75 4,30 2,67 4,10 2,60 3,94 2,54 3,80 2,49 3,69 2,45 3,59 11 243 6082 19,40 99,41 8,76 27,13 5,94 14,45 4,70 9,96 4,03 7,79 3,60 6,54 3,31 5,73 3,10 5,18 2,94 4,77 2,82 4,46 2,72 4,22 2,63 4,02 2,57 3,86 2,51 3,78 2,46 3,62 2,41 3,52 12 244 6106 19,41 99,42 8,74 27,05 5,91 14,37 4,68 9,89 4,00 7,72 3,57 6,47 3,28 5,67 3,07 5,11 2,91 4,71 2,79 4,40 2,69 4,16 2,60 3,96 2,53 3,80 2,48 3,67 2,42 3,55 2,38 3,46 i i'| (тх, т2) для а = 0,05 (светлый шрифт) и для а = 0,01 (полужирный свободы тх и т2 (w1 —число степеней свободы для большей дисперсии, дисперсии).
F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 79 Продолжение 14 245 6143 19,42 99,43 8,71 26,92 5,87 14,25 4,64 9,77 3,96 7,60 3,53 6,36 3,24 5,56 3,03 5,00 2,86 4,60 2,74 4,29 2,64 4,05 2,55 3,86 2,48 3,70 2,42 3,56 2,37 3,45 2,33 3,35 16 246 6169 19,43 99,44 8,69 26,83 5,84 14,15 4,60 9,68 3,92 7,52 3,49 6,27 3,20 5,48 2,99 4,92 2,83 4,52 2,70 4,21 2,60 3,97 2,51 3,78 2,44 3,62 2,38 3,49 2,33 3,37 2,29 3,27 20 248 6209 19,44 99,45 8,66 26,69 5,80 14,02 4,56 9,55 3,87 7,39 3,44 6,16 3,15 5,36 2,93 4,81 2,77 4,41 2,65 4,10 2,54 3,86 2,46 3,66 2,39 3,51 2,33 3,37 2,28 3,26 2,23 3,16 24 249 6235 19,45 99,46 8,64 26,60 5,77 13,93 4,53 9,47 3,84 7,31 3,41 6,07 3,12 5,28 2,90 4,73 2,74 4,33 2,61 4,02 2,51 3,78 2,42 3,59 2,35 3,43 2,29 3,29 2,24 3,18 2,19 3,08 30 250 6261 19,46 99,47 8,62 26,50 5,75 13,84 4,50 9,38 3,81 7,23 3,38 5,99 3,08 5,20 2,86 4,65 2,70 4,25 2,57 3,94 2,47 3,70 2,38 3,51 2,31 3,35 2,25 3,21 2,19 3,10 2,15 3,00 40 251 6287 19,47 99,47 8,59 26,41 5,72 13,74 4,46 9,29 3,77 7,14 3,34 5,91 3,05 5,12 2,83 4,57 2,66 4,17 2,53 3,86 2,43 3,62 2,34 3,43 2,27 3,27 2,20 3,13 2,15 3,02 2,10 2,92 50 252 6302 19,48 99,48 8,58 26,35 5,70 13,69 4,44 9,24 3,75 7,09 3,32 5,86 3,02 5,07 2,80 4,52 2,64 4,12 2,51 3,81 2,40 3,57 2,31 3,38 2,24 3,22 2,18 3,08 2,12 2,97 2,08 2,87 75 253 6323 19,48 99,48 8,57 26,27 5,68 13,61 4,42 9,17 3,72 7,02 3,29 5,78 3,00 5,00 2,77 4,45 2,61 4,05 2,47 3,74 2,36 3,49 2,28 3,30 2,21 3,14 2,15 3,00 2,09 2,86 2,04 2,79 100 253 6334 19,49 99,49 8,55 26,23 5,66 13,57 4,41 9,13 3,71 6,99 3,27 5,75 2,97 4,96 2,76 4,42 2,59 4,01 2,46 3,71 2,35 3,47 2,26 3,27 2,19 3,11 2,12 2,98 2,07 2,86 2,02 2,76 200 254 6352 19,49 99,49 8,54 26,18 5,65 13,52 4,39 9,08 3,69 6,93 3,25 5,70 2,95 4,91 2,73 4,36 2,56 3,96 2,43 3,66 2,32 3,41 2,23 3,22 2,16 3,06 2,10 2,92 2,04 2,81 1,99 2,71 500 254 6361 19,50 99,50 8,53 26,14 5,64 13,48 4,37 9,04 3,68 6,90 3,24 5,67 2,94 4,88 2,72 4,33 2,55 3,93 2,42 3,62 2,31 3,38 2,22 3,19 2,14 3,03 2,08 2,89 2,02 2,78 1,97 2,68 ос 254 6366 19,50 99,50 8,53 26,12 5,63 13,46 4,36 9,02 3,67 6,88 3,23 5,65 2,93 2,71 4,31 2,54 3,91 2,40 3,60 2,30 3,36 2,21 3,17 2,13 3,00 2,07 2,87 2,01 2,75 1,96 2,65 ' 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
80 ТАБЛИЦЫ w2 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 40 42 44 46 1 4,41 8,29 4,38 8,18 4,35 8,10 4,32 8,02 4,30 7,95 4,28 7,88 4,26 7,82 4,24 7,77 4,23 7,72 4,21 7,68 4,20 7,64 4,18 7,60 4,17 7,56 4,15 7,50 4,13 7,44 4,11 7,40 4,10 7,35 4,08 7,31 4,07 7,28 4,06 7,25 4,05 7,22 2 3,55 6,01 3,52 5,93 3,49 5,85 3,47 5,78 3,44 5,72 3,42 5,66 3,40 5,61 3,39 5,57 4,37 5,53 3,35 5,49 3,34 5,45 3,33 5,42 3,32 5,39 3,29 5,34 3,28 5,29 3,26 5,25 3,24 5,21 3,23 5,18 3,22 5,15 3,21 5,12 3,20 5,10 3 3,16 5,09 3,13 5,01 3,10 4,94 3,07 4,87 3,05 4,82 3,03 4,76 3,01 4,72 2,99 4,68 2,98 4,64 2,96 4,60 2,95 4,57 2,93 4,54 2,92 4,51 2,90 4,46 2,88 4,42 2,87 4,38 2,85 4,34 2,84 4,31 2,83 4,29 2,82 4,26 2,81 4,24 4 2,93 4,58 2,90 4,50 2,87 4,43 2,84 4,37 2,82 4,81 2,80 4,26 2,78 4,22 2,76 4,18 2,74 4,14 2,73 4,11 2,71 4,07 2,70 4,04 2,69 4,02 2,67 3,97 2,65 3,93 2,63 3,89 2,62 3,86 2,61 3,83 2,59 3,80 2,58 3,78 2,57 3,76 5 2,77 4,05 2,74 4,17 2,71 4,10 2,68 4,04 2,66 3,99 2,64 3,94 2,62 3,90 2,60 3,86 2,59 3,82 2,57 3,78 2,56 3,76 2,55 3,73 2,53 3,70 2,51 3,65 2,49 3,61 2,48 3,57 2,46 3,54 2,45 3,51 2,44 3,49 2,43 3,47 2,42 3,44 6 2,66 4,01 2,63 3,94 2,60 3,87 2,57 3,81 2,55 3,76 2,53 3,71 2,51 3,67 2,49 3,63 2,47 3,59 2,46 3,56 2,45 3,53 2,43 3,50 2,42 3,47 2,40 3,43 2,38 33 2,36 3,35 2,35 3,32 2,34 3,29 2,32 3,27 2,31 3,24 2,30 3,22 7 2,58 3,84 2,54 3,77 2,51 3,70 2,49 3,64 2,46 3,59 2,44 3,54 2,42 3,50 2,40 3,46 2,39 3,42 2,37 3,39 2,36 3,36 2,35 3,33 2,33 3,30 2,31 3,25 2,29 3,22 2,28 3,18 2,26 3,15 2,25 3,12 2,24 3,10 2,23 3,08 2,22 3,06 8 2,51 3,71 2,48 3,63 2,45 3,56 2,42 3,51 2,40 3,45 2,37 3,41 2,36 3,36 2,34 3,32 2,32 3,29 2,31 3,26 2,29 3,23 2,28 3,20 2,27 3,17 2,24 3,13 2,23 3,09 2,21 3,05 2,19 3,02 2,18 2,99 2,17 2,97 2,16 2,95 2,15 2,93 9 2,46 3,60 2,42 3,52 2,39 3,46 2,37 3,40 2,34 3,35 2,32 3,30 2,30 3,26 2,28 3,22 2,27 3,18 2,25 3,15 2,24 3,12 2,22 3,09 2,21 3,07 2,19 3,02 2,17 2,98 2,15 2,95 2,14 2,91 2,12 2,89 2,11 2,86 2,10 2,84 2,09 2,82 10 2,41 3,51 2,38 3,43 2,35 3,37 2,32 3,31 2,30 3,26 2,27 3,21 2,25 3,17 2 24 3,13 2,22 3,09 2,20 3,06 2,19 3,03 2,18 3,00 2,16 2,98 2,14 2,93 2,12 / 2,89 2,11 2,86 2,09 2,82 2,08 2,80 2,06 2,78 2,05 2,75 2,04 2,73 11 2,37 3,43 2,34 3,36 2,31 3,29 2,28 3,24 2,26 3,18 2,24 3,14 2,22 3,09 2,20 3,06 2,18 3,02 2,16 2,99 2,15 2,96 2,14 2,93 2,13 2,90 2,10 2,86 2,08 2,82 2,07 2,79 2,05 2,75 2,04 2,73 2,03 2,70 2,01 2,68 2,00 2,66 12 2,34 3,37 2,31 3,30 2,28 3,23 2,25 3,17 2,23 3,12 2,20 3,07 2,18 3,03 2,16 2,99 2,15 2,96 2,13 2,83 2,12 2,90 2,10 2,87 2,09 2,84 2,07 2,80 2,05 2,76 2,03 2,72 2,02 2,69 2,00 2,66 1,99 2,64 1,98 2,62 1,97 2,60
F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 81 Продолжение 14 2,29 3,27 2,26 3,19 2,22 3,13 2,20 3,07 2,17 3,02 2,15 2,97 2,13 2,93 2,11 2,89 2,10 2,86 2,08 232 2,06 2,80 2,05 2,77 2,04 2,74 2,01 2,70 1,99 2,66 1,98 2,62 1,96 2,59 1,95 2,56 1,93 2,54 1,92 2,52 1,91 2,50 16 2,25 3,19 2,21 3,12 2,18 3,05 2,16 2,99 2,13 2,94 2,11 2,89 2,09 2,85 2,07 2,81 2,05 2,78 2,04 2,75 2,02 2,71 2,01 2,69 1,99 2,66 1,97 2,62 1,95 2,58 1,93 2,54 1,92 2,51 1,90 2,48 1,89 2,46 1,88 2,44 1,87 2,42 20 2,19 3,08 2,15 3,00 2,12 2,94 2,10 2,88 2,07 2^3 2,05 2,78 2,03 2,74 2,01 2,70 1,99 2,66 1,97 2,63 1,96 2,60 1,94 2,57 1,93 2,55 1,91 2,50 1,89 2,46 1,87 2,43 1,85 2,40 1,84 2,37 1,83 2,34 1,81 2,32 1,80 2,30 24 2,15 3,00 2,11 2,92 2,08 2,86 2,05 2,80 2,03 2,75 2,00 2,70 1,98 2,66 1,96 2,62 1,95 2,58 1,93 2,55 1,91 2,52 1,90 2,49 1,89 2,47 1,86 2,42 1,84 2,38 1,82 2,35 1,81 2,32 1,79 2,29 1,78 2,26 1,77 2,24 1,76 2,22 30 2,11 2,92 2,07 2,84 2,04 2,78 2,01 2,72 1,98 2,67 1,96 2,62 1,94 2,58 1,92 2,54 1,90 2,50 1,88 2,47 1,87 2,44 1,85 2,41 1,84 2,38 1,82 2,34 1,80 2,30 1,78 2,26 1,76 2,23 1,74 2,20 1,73 2,18 1,72 2,15 1,71 2,13 40 2,06 2,84 2,03 2,76 1,99 2,69 1,96 2,64 1,94 2,58 1,91 2,54 1,89 2,49 1,87 2,45 1,85 2,42 1,84 2,38 1,82 2,35 1,80 2,33 1,79 2,30 1,77 2,25 1,75 2,21 1,73 2,17 1,71 2,14 1,69 2,11 1,68 2,09 1,67 2,06 1,65 2,04 п\ 50 2,04 2,78 2,00 2,71 1,97 2,64 1,94 2,58 1,91 2,53 1,88 2,48 1,86 2,44 1,84 2,40 1,82 2,36 1,81 2,33 1,79 2,30 1,77 2,27 1,76 2,25 1,74 2,20 1,71 2,16 1,69 2,12 1,68 2,09 1,66 2,06 1,65 2,03 1,63 2,01 1,62 1,99 75 2,00 2,71 1,96 2,63 1,92 2,56 1,89 2,51 1,87 2,46 1,84 2,41 1,82 2,36 1,80 2,32 1,78 2,28 1,76 2,25 1,75 2,22 1,73 2,19 1,72 2,16 1,69 2,12 1,67 2,08 1,65 2,04 1,63 2,00 1,61 1,97 1,60 1,94 1,58 1,92 1,57 1,90 100 1,98 2,68 1,94 2,60 1,91 2,54 1,88 2,48 1,85 2,42 1,82 2,37 1,80 2,33 1,78 2,29 1,76 2,25 1,74 2,22 1,73 2,19 1,71 2,16 1,70 2,13 1,67 2,08 1,65 2,04 1,62 2,00 1,61 1,97 1,59 1,94 1,57 1,91 1,56 1,89 1,55 1,86 200 1,95 2,62 1,91 2,55 1,88 2,48 1,84 2,42 1,81 2,36 1,79 2,32 1,77 2,27 1,75 2,23 1,73 2,19 1,71. 2,16 1,69 2,13 1,67 2,10 1,66 2,07 1,63 2,02 1,61 1,98 1,59 1,94 1,57 1,90 1,55 1,87 1,53 1,85 1,52 1,82 1,51 1,80 500 1,93 2,59 1,90 2,51 1,86 2,44 1,82 2,38 1,80 2,33 1,77 2,28 1,75 2,24 1,73 2,19 1,70 2,16 1,68 2,12 1,67 2,09 1,65 2,06 1,64 2,03 1,61 1,98 1,59 1,94 1,56 1,90 1,54 1,86 1,53 1,83 1,51 1,80 1,49 1,78 1,48 1,75 00 1,92 2,57 1,88 2,49 1,84 2,42 1,81 236 1,78 2,31 1,76 2,26 1,73 2,21 1,71 2,17 1,69 2,13 1,67 2,10 1,65 2,06 1,64 2,03 1,62 2,01 1,59 1,96 1,57 1,91 1,55 1,87 1,53 1,84 1,51 1,80 1,49 1,78 1,48 1,75 1,46 1,73 т2 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 40 42 44 46
48 СП J\) ее Dj 60 65 70 sn oil 100 125 150 200 400 1000 00 1 4,04 7,20 4,03 7,17 4,02 7,12 4,00 7,08 3,99 7,04 3,98 7,01 3,96 6,96 3,94 6,90 3,92 6,84 3,90 6,81 3,89 6,76 3,86 6,70 3,85 6,66 3,84 6,63 2 3,19 5,08 3,18 5,06 3,16 5,01 3,15 4,98 3,14 4,95 3,13 4,92 3,11 4,88 3,09 4,82 3,07 4,78 3,06 4,75 3,04 4,71 3,02 4,66 3,00 4,63 3,00 4,61 3 2,80 4,22 2,79 4,20 2,78 4,16 2,76 4,13 2,75 4,10 2,74 4,08 2,72 4,04 2,70 3,98 2,68 3,94 2,66 3,92 2,65 3,88 2,62 3,83 2,61 3,80 2,60 3,78 4 2,57 3,74 2,56 3,72 2,54 3,68 2,53 3,65 2,51 3,62 2,50 3,60 2,49 3,56 2,46 3,51 2,44 3,47 2,43 3,45 2,42 3,41 2,39 3,36 2,38 3,34 2,37 3,32 5 2,41 3,43 2,40 3,41 2,38 3,37 2,37 3,34 2,36 3,31 2,35 3,29 2,33 3,26 2,31 3,21 2,29 3,17 2,27 3,14 2,26 3,11 2,23 3,06 2,22 3,04 2,21 3,02 6 2,30 3,20 2,29 3,19 2,27 3,15 2,25 3,12 2,24 3,09 2,23 3,07 2,21 3,04 2,19 2,99 2,17 2,95 2,16 2,92 2,14 239 2,12 235 2,11 2,82 2,10 2,80 7 2,21 3,04 2,20 3,02 .2,18 2,98 2,17 2,95 2,15 2,93 2,14 2,91 2,13 2,87 2,10 2,82 2,08 2,79 2,07 2,76 2,06 2,73 2,03 2,69 2,02 2,66 2,01 2,64 8 2,14 2,91 2,13 2,89 2,11 2,85 2,10 2,82 2,08 2,80 2,07 2,78 2,06 2,74 2,03 2,69 2,01 2,66 2,00 2,63 1,98 2,60 1,96 2,55 1,95 2,53 1,94 2,51 9 2,08 2,80 2,07 2,79 2,06 2,75 2,04 2,72 2,03 2,69 2,02 2,67 2,00 2,64 1,97 2,59 1,96 2,55 1,94 2,53 1,93 2,50 1,90 2,46 1,89 2,43 1,88 2,41 10 2,03 2,72 2,03 2,70 2,01 2,66 1,99 2,63 1,98 2,61 1,97 2,59 1,95 2,55 1,93 2,50 1,91 2,47 1,89 2,44 1,88 2,41 1,85 2,37 1,84 2,34 1,83 2,32 11 1,99 2,64 1,99 2,63 1,97 2,59 1,95 2,56 1,94 2,53 1,93 2,51 1,91 2,48 1,89 2,43 1,87 2,40 1,85 2,37 1,84 2,34 1,81 2,29 1,80 2,27 1,79 2,25 12 1,96 2,58 1,95 2,56 1,93 2,53 1,92 2,50 1,90 2,47 1,89 2,45 1,88 2,42 1,85 2,37 1,83 2,33 1,82 2,31 1,80 2,27 1,78 2,23 1,76 2,20 1,75 2,18
F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 83 Продолжение 14 1,90 2,48 1,89 2,46 1,88 2,43 1,86 23 1,85 2,37 1,84 2,35 1,82 2,31 1,79 2,26 1,77 2,23 1,76 2,20 1,74 2,17 1,72 2,12 1,70 2,09 1,69 2,08 16 1,86 2,40 1,85 2,38 1,83 2,34 1,82 2,31 1,80 2,29 1,79 2,27 t 1,77 2,23 1,75 2,19 1,72 2,15 1,71 2,12 1,69 2,09 1,67 2,04 1,65 2,02 1,64 2,00 20 1,79 2,28 1,78 2,26 1,76 2,23 1,75 2,20 1,73 2,18 1,72 2,15 1,70 2,12 1,68 2,06 1,65 2,03 1,64 2,00 1,62 1,97 1,60 1,92 1,58 1,89 1,57 1,88 24 1,75 2,20 1,74 2,18 1,72 2,15 1,70 2,12 1,69 2,09 1,67 2,07 1,65 2,03 1,63 1,98 1,60 1,94 1,59 1,91 1,57 1,88 1,54 1,84 1,53 1,81 1,52 1,79 30 1,70 2,12 1,69 2,10 1,67 2,06 1,65 2,03 1,63 2,00 1,62 1,98 1,60 1,94 1,57 1,89 1,55 1,85 1,53 1,83 1,52 1,79 1,49 1,74 1,47 1,71 1,46 1,70 40 1,64 2,08 1,63 2,00 1,61 1,96 1,58 1,94 1,58 1,90 1,57 1,88 1,54 1,85 1,52 1,79 1,49 1,75 1,48 1,72 1,46 1,69 1,42 1,64 1,41 1,61 1,39 1,59 50 1,61 1,97 1,60 1,95 1,58 1,91 1,56 1,88 1,54 1,85 1,53 1,83 1,51 1,79 1,48 1,73 1,45 1,69 1,44 1,66 1,41 1,63 1,38 1,57 1,36 1,54 1,35 1,52 75 1,56 1,88 1,55 1,86 1,52 1,82 1,50 1,79 1,49 1,76 1,47 1,74 1,45 1,70 1,42 1,64 1,39 1,59 1,37 1,56 1,35 1,53 1,32 1,47 1,30 1,44 1,28 1,41 100 1,54 1,84 1,52 1,82 1,50 1,78 1,48 1,75 1,46 1,72 1,45 1,70 1,43 1,66 1,39 1,60 1,36 1,55 1,34 1,52 1,32 1,48 1,28 1,42 1,26 1,38 1,24 1,36 200 1,49 1,78 1,48 1,76 1,46 1,71 1,44 1,68 1,42 1,65 1,40 1,62 1,38 1,58 1,34 1,52 1,31 1,47 1,29 1,43 1,26 1,39 1,22 1,32 1,19 1,28 1,17 1,25 500 1,47 1,73 1,46 1,71 1,43 1,67 1,41 1,63 1,39 1,60 1,37 1,57 1,35 1,53 1,31 1,47 1,27 1,41 1,25 1,38 1,22 1,33 1,16 1,24 1,13 1,19 1,11 1,15 00 1,45 1,70 1,44 1,68 1,41 1,64 1,39 1,60 1,37 1,56 1,35 1,53 1,32 1,49 1,28 1,43 1,25 1,37 1,22 1,33 1,19 1,28 1,13 1,19 1,08 1,11 1,00 1,00 m2 48 50 55 60 65 70 80 100 125 150 200 400 1000 00
84 ТАБЛИЦЫ 1.1.2.11. Критические числа для испытания Уилкоксона (см. 5.2.3.5). а = 0,05 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 п\ 4 _ - 8,0 9,0 47,5 46,0 43,5 41,0 38,5 36,0 33,5 31,0 28,5 26,0 23,5 20,0 17,5 14,0 5 _ 7,5 9,0 10,5 48,0 45,0 43,0 40,0 38,0 35,0 33,0 30,0 27,0 24,0 21,0 18,0 15,0 6 _ 8,0 10,0 12,0 13,0 47,5 45,0 42,5 40,0 37,5 34,0 31,5 29,0 25,5 23,0 19,5 15,0 7 _ 9,5 11,0 12,5 15,0 16,5 47,0 44,0 42,0 39,0 36,0 33,0 30,0 27,0 24,0 20,0 16,0 8 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 19,0 46,5 43,0 40,5 38,0 34,5 32,0 28,5 25,0 21,5 17,0 9 9,0 11,5 13,0 15,5 17,0 19,5 21,0 22,5 45,0 42,0 39,0 36,0 33,0 30,0 26,0 22,0 18,0 10 10,0 12,0 15,0 17,0 19,0 21,0 23,0 25,0 27,0 44,5 41,0 37,5 34,0 30,5 27,0 23,5 18,0 11 10,0 13,5 16,0 18,5 20,0 22,5 25,0 26,5 29,0 30,5 42,0 39,0 36,0 32,0 28,0 24,0 19,0 12 11,0 14,0 17,0 19,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0 33,0 35,0 40,5 37,0 33,5 29,0 25,5 20,0 13 12,0 15,5 18,0 20,5 23,0 25,5 28,0 30,5 32,0 34,5 37,0 38,5 38,0 35,0 30,0 26,0 21,0 14 13,0 16,0 19,0 22,0 25,0 27,0 29,0 32,0 34,0 37,0 39,0 41,0 43,0 39,0 35,5 32,0 27,5 22,0  15 16 ,8 19 20 21 22 23 24 п\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . а = 0,01 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 п2 4 _ - - 61,5 59,0 55,5 53,0 49,5 46,0 42,5 40,0 36,5 33,0 29,5 25,0 20,5 ~ 15 5 _ - 12,5 62,0 58,0 55,0 52,0 49,0 45,0 42,0 38,0 35,0 31,0 27,0 22,0 — 16 6 _ 12,0 14,0 16,0 61,5 58,0 54,5 51,0 47,5 44,0 40,5 36,0 32,5 28,0 23,5 — 17 7 _ 14,0 15,5 18,0 20,5 61,0 57,0 53,0 50,0 46,0 42,0 38,0 34,0 30,0 25,0 ~ 18 8 _ 15,0 18,0 20,0 22,0 25,0 59,5 56,0 52,5 48,0 44,5 40,0 35,5 31,0 25,5 19,0 19 9 13,5 17,0 19,5 22,0 24,5 27,0 29,5 5в\о 54,0 50,0 46,0 42,0 37,0 32,0 27,0 20,0 п2 20 10 15,0 18,0 21,0 24,0 26,0 29,0 32,0 34,0 56,5 52,0 48,5 44,0 38,5 34,0 28,5 21,0 21 11 16,5 20,0 22,5 26,0 28,5 31,0 33,5 36,0 39,5 54,0 50,0 45,0 41,0 35,0 29,0 22,0 22 12 17,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0 36,0 39,0 42,0 44,0 51,5 47,0 42,5 37,0 30,5 23,0 23 13 18,5 22,0 25,5 29,0 32,5 35,0 38,5 41,0 44,5 47,0 50,5 49,0 44,0 38,0 32,0 24,0 24 14 20,0 24,0 28,0 31,0 34,0 38,0 41,0 44,0 47,0 50,0 53,0 56,0 51,0 45,5 40,0 32,5 25,С 25 п\ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2.12. /-распределение Колмогорова — Смирнова (см. 5.2.3.8). к 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 Q(K) 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0013 0,0019 0,0028 0,0040 0,0055 0,0074 0,0097 0,0126 0,0160 0,0200 0,0247 0,0300 0,0361 0,0428 0,0503 0,0585 0,0675 0,0772 0,0876 0,0987 0,1104 0,1228 0,1357 0,1492 0,1632 0,1778 0,1927 0,2080 Я. 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 .0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,2236 0,2396 0,2558 0,2722 0,2888 0,3055 0,3223 0,3391 0,3560 0,3728 0,3896 0,4064 0,4230 0,4395 0,4559 0,4720 0,4880 0,5038 0,5194 0,5347 0,5497 0,5645 0,5791 0,5933 0,6073 0,6209 0,6343 0,6473 0,6601 0,6725 0,6846 0,6964 0,7079 0,7191 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 0,7300 0,7406 0,7508 0,7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8223 0,8299 0,8374 0,8445 0,8514 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8823 0,8877 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0,9164 0,9206 0,9245 0,9283 0,9319 0,9354 0,9387 0,9418 X 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 0,9449 0,9478 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 0,9603 0,9625 0,9646 0,9665 0,9684 0,9702 0,9718 0,9734 0,9750 0,9764 0,9778 0,9791 0,9803 0,9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9888 0,9895 0,9902 0,9908 0,9914 0,9919 0,9924 X 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 Q(K) 0,9929 0,9934 0,9938 0,9942 0,9946 0,9950 0,9953 0,9956 0,9959 0,9962 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9975 0,9977 0,9979 0,9980 0,9981 0,9983 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9993 X 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000
86 ТАБЛИЦЫ 1.1.3. ИНТЕГРАЛЫ И СУММЫ РЯДОВ 1.1.3.1. Таблица сумм некоторых числовых рядов. 3) 5) 7) 7 >+1) " ry+2T + Fi + '""L 8) 9)V ! = JL. Zj("~ 1)(и+ 1) 1-3 1 } 11-13 +'"'~ 2 oo Zl _J 1 _J_ п(и+ 1)(и + 2) ~ 1-2-3 + 2-3-4 +'" ~ 4' 12) > , ' , -^-Г**^*...-. ' 1-2.../ 2-3. ..(/+1) ¦'" (/-l)-(/-l)!' 11 n2 1 1 17) Lj n* 24 34 72° „=1 n=l Числа Бернулли Вк 19) 1 1 1 я2кB2к-1) 20) oo у, „_! i j_ j L V 1 _ 1 11 _ к2кB2к- 1) 21) ^Bп-1Jк =1 + ^+ ^Г+ +*+•-- 2.BЛ), «*•
ТАБЛИЦА РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 87 Таблица первых чисел Бернулли к вк 1 1 6 2 1 30 3 1 42 4 1 30 5 5 66 6 691 2730 7 7 6 8 3617 510 9 43867 798 10 174611 330 11 854513 138 22) Числа Эйлера Ек Z 1 1_ _1 1_ 7t2fc+1 ( ' Bn-lJfc + 1 32fc+1 + 52fc + 1 ~ 72fc+1 + "*~ 22k + 2-{2k)\ к' Таблица первых чисел Эйлера к 1 1 2 5 3 61 4 1385 5 50 521 6 2702765 7 199 360981 1.1.3.2. Таблица разложения элементарных функций в степенные ряды. Функция и область сходимости Разложение в ряд (а±хГ (| х | ^ а при т > 0) \х\^а и а + х^0 при 0 > m > — 1, | х | < а при т < — 1 (т > 0) *) (|х|<1) A±х)^ (|х|<1) A±хI/3 (М<1) dlxI'2 (Ы<1) A±хK/2 (|х|<1) A±хM'2 (Их)' (|х| < 1 при т^ 1; I х К 1 и 1 ± х ф 0 при 0 < т < 1) A±хГ1/4 (| х | ^ 1 и 1 ± х Ф 0) (| х | < 1 и 1 ± х Ф 0) A + х)-1'2 (I х | < 1 и 1 ± х Ф 0) Биномиальный ряд преобразованием к виду сГ ( 1 ± —) сводится к нижеследующим рядам. Биномиальные ряды с положительным показателем 1•3 2 1-3-7 TIT* ± ~4~- 1-2 12 1-2-5 _ ЬЗ-7- 11 4-8-12-16 Ь 2 • 5 - 8 4 3-6-9-12 Х ±- 4 » 1 ' 1 ' 3 • 5 х4 + " 2-4-6-8 *'" Ь 2 Х+ 2-4 + 2-4-6 + 2-4-6-8 Х +>> ,5.53 ,5-3-1 , 5-3-11 А 1J- 2 ^ ' 2-4 л "" 2-4-6 л 2-4-6.8 л + Биномиальные ряды с отрицательным показателем 15 i - Ь5'9 з 1-5-9-13 4 _ + 4-8-12 Х 4-8-12-16 Х +" ¦ __!_ 1-4 2_1-4-7 з 1-4-7-10 4_ + ТХ+Т^6"Х + 3-6-9 Х + 3-6-9-12Х + " - J_ l '3 2 _ 1-35 з 1-3-5-7 4_ + 2Х+ 2-4Х + 2-4-6Х 2-4-6-8Х +>" *) При m натуральном разложение содержит m + 1 членов.
ТАБЛИЦЫ Продолжение Функция и облас гь сходимости A A A A A A A ± х I ± х| ± х| ± A х | A A A A A A ± х| ± х| ± х) < х) < х) < х) < х) < х) < х) < -1 1) -3/2 1) -2 1) -5/2 1) -3 1) -4 1) -5 1) Разложение в ряд sin х (I х | < оо) sin (x + а) (| X | < 00) COS X (I х | < оо) cos (x + а) (I х | < оо) tgx (I х | < л/2) Ctg X (О < | х | < к) sec х ([ х | < я/2) cosec х (О < | х | < п) е* (I х | < оо) 1-2 3'5 2-3-5-7 з 3-5-7-9 4_ + 2Х+ 2-4Х + 2-4-6 Х + 2-4-6-8Х + '' ' 1 + 2х + Зх2 + 4х3 + 5х4 + ... - А 5-7 2 _ 5jJN9_ з 5-7-9- 11 4 _ + 2Х+ 2-4Х + 2-4-6Х + -4-6-8 Х + '' 1 + j^2~B • Зх + 3 • 4х2 + 4 - 5х3 + 5 - 6х4 + ...) 1 + —-yyB • 3 • 4х + 3 • 4 • 5х2 + 4 • 5 • 6х3 + 5 • 6 • 7х4 + .. ) 1 + — 2 *3 4 B • 3 * 4 • 5х + 3 • 4 • 5 ' 6х2 + 4 ' 5 ' 6 ' ?х3 + 5 • 6 - 7 • 8х4 + ...) Тригонометрические функции I (-1Г Bи- 1)! Ex" sin (я + ля/2) * i—L.= sin a л! 2! 3! х2 х4 хб 1 -L и U 1Т+ 1Г "бТ У х" cos {a + t La "! 2! 3! Bи)! с+ 3 х + 15 х + —х + 2835~Х +-" ^ =J _/^ x^ 2xl_ x^_ \ 2и)! х \3 45 945 + 4725 ) Показательные функции Zx" х х х2 х3
ТАБЛИЦА РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 89 Продолжение Функция и область сходимости д. = ^ .п а (|х|<оо) X е* - 1 In х (х>0) In х @ < х < 2) In х (х > 1/2) In A + х) (-1 <х< 1) In A - х) (-1<х<1) In О Artk v 1 -X (|х|>1) In | sin х | In cos x (|х|<я/2) In | tg x | @<|х|<я/2) arcsin x arccos x V (* In af _ n = O x V f (x-1J n = 0 V ! +i <*- Lj n я=1 n=l Z. » " V n= 1 00 n = 0 2 / n = 0 V 22n Y 22n-l{22n n=l In I v 1 I \ 1П | X | + 7 Y 1-3-5. X ' Ij 2-4-6 я=1 я y l- 2^/2 n=l Разложение в ряд x In a (x In aJ (x 1! 2! ' + i By. x BiX> ' Bn)\ 2 2 ] 2! In аK 3! В х4 В хб 4! ' 6! Логарифмические функции Гх-l (x- - 1Jя+1 ^L х+ 1 ' 3(х + О" , п (х-1J (х-1) 2 1 - 1 (х - IJ (х - IK х 2х2 Зх3 = х .—+ — — + ... X2 X3 X4 X5 + 2 + 3 + -J-+ -J-+ ( X3 X5 X7 ->(* ] J "+1 *\х ' Зх3 ' 5х5 "^„х2" х2 х Bи)! П|Х| 6 18 2и)! 2 12 B—-DB пBпу. IK + 5(x+lM + х - IK (х - IL 3 4 ¦¦¦) ¦) h lx^+-) 4 хб 0 2835 ' *" хб 17х8 45 2520 •¦ j 7 3 +90 Обратные тригонометрические ..B«-1)х2и + 1 х3 .. Bп) Bи + 1) 2-3 3-5.. B/1- l)x2n + 1 я •4-6...Bи)Bи+1) 2 1-Зх5 ЬЗ 2-4-5 2-4 / х3 1 \Х ' 2-3 ' 2 • ¦¦]• 62 2835 Х ' ¦- функции -5х7 -6-7 ' ••• Зх5 1 • 3 • 5х7 | \ 4-5 ' 2-4-6-7 " )
90 ТАБЛИЦЫ Продолжение Функция и область сходимости arctg х (|х|<1) arctg х arcctg x sh x (| х | < оо) chx (|х|<оо) th x A х | < я/2) cth x @ <| х | < я) sch x (|х|<я/2) csch x @ < | х | < я) Arsh x Archx**) Arth x Arcth x V( 1Г *2п+1 х Zj 2m+ 1 п = О + к V in+i ~ 2 [_j ' Bп п = О ..о V^ V2n-1 V3 \ х х I Aj Bм-1)! ~ ' 3! Y х2" х2 д /_j {2n)\ ~ 2' <¦ n = O V (-l)n + 122nB2n- 1) Zj B«)! 1 7 Я 1 x ' L Bn)! " 1 i ^ ("ir Ex2" 1 n=l 1 Y 2(-iyiB2"'1 - x ' /j Bn)! n = l / j 2 4-6... n=l Г „ y,.3.s / j ^tt " 1 3 n = 0 Zj Bm + l)x2n+1 x ' n = O *) Первый член берется со знаком + при **) Функция двузначная (см. 1.2.2.3) Разложение в X3 X5 X7 3 5 7 +'" 1 +я 1 + 1 1 я / x3 x5 x7 Гиперболические x5 x7 4 x6 1 x x3 2x5 C x ' 3 45 ' 945 _ _LX2 + 5 x4 _ 61 x6 + 1 1) D 2.-1 1 x , 7x3 BnX x . 6 ' 360 ряд 1_+ 1 + ...J х7 1 х9 х7 472Т+--- 385 х8 31х5 15 120 Обратные гиперболические функции •Bл-1) 2n+1 1 2пBп+\) Х Х 2 • 3 Х -B.-1) Д 1 Г -2П'2П X2"J ^1ПМ 5 х7 ._iy_+^y.+ _iT_+... х > 1 и со знаком — при х < з 1-3 5 1-3-5 7 1 2-4-5 Х 2-4 6 7 Х ' • 1 1-3 1-3-5 2 • 2х2 2 • 4 • 4х4 2 • 4 • 6 • 6х6 -1. ¦¦¦¦]
_ ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 91_ 1.1.3.3. Таблица неопределенных интегралов. ной функции входит выражение, содержащее Общие у казан и я. 1. Постоянная интегриро- 1п/(х), его следует понимать как 1п|/(х)|; знак вания опущена всюду, за исключением случаев, абсолютной величины везде для простоты опущен. когда интеграл может быть представлен в различ- 3. В тех случаях, когда первообразная функция ных формах с различными произвольными по- представлена в виде степенного ряда, ее нельзя стоянными. выразить через конечное число элементарных функ- 2. Во всех формулах, где в состав первообраз- ций. 1.1.3.3.1. Интегралы от рациональных функций. Интегралы, содержащие ах + Ъ. Обозначение: X = ах + Ь. 1) \Xndx = 1 Хи+1 (пф -1; при п= -1 см. № 2). 2) -?- = — In X. J a(n+ 1) . J X а Г J +2 Ъ 3) \xXndx = -J7 ^у\Х 17— J а2 (п + 2) а2 (п - 4) j x"Xm dx = -^tj- UX - Ь)т Xя dX 3) \^П^ = -г7--^Х^2 - -^---Х^ {пФ -X, -2;прип=-1, -2 см. №№ 5 и 6). (применяется при т < п или при т целом и и дробном, в этих случаях (X — Ь)т раскрывается по формуле бинома Ньютона (см. 2.2.2.1); пф —1, —2, ..., — т). a a2 J xdx Ъ ~ХГ=~а1~Т + 8) J "x^= ^(W-2)x-2 + (п-1)х«-;(w # ^2)- 9I^=Я^2-2ьх+ь21п410I Х2'Х ^;Х-2ЫпХ-^). 12) 13) Г х2</х 1 Г -1 26 Ь2 1 J -X"-= ^U-3)X«-3+ (,-2) Х-2" (,-l)X-J (" # J' 2' 3)- X + 2Х2/ 17) j?^_= -L[(w_-^_4 + (п з3^и_з- ^я_2+ ^.^ (w# !, 2, з, 4). 18) f^=_lln^. 20) 24) 26) 27) 28) Г dx Г 1 2 1 J_ Х"| J х2Хъ ~ a[2b2X2 +VTJt~aVx~~~br~ П~х~\ Г rfx 1 Г 2, X 2аХ X2 1 J х3Х Ьъ |_ х х 2x2J Г ^х 1 Г 21 X а3х X2 ЗаХ1 Г dx 1 Г А" 4а3х а*х2 X2 4aXl J ?3^- - И6" ln T+ "IT" ^+ 2^~ —1
92 ТАБЛИЦЫ если знаменатель члена под знаком ? обращается в нуль, то такой член заменяется следующим: Обозначение: А = bf - ад. 31) "Х+ dx = ~+ тг1п(/х + в\ 32) ln{fx + g). 32) fj?r-WЧт f f J (ax + b)(fx + g) A ax + b х dx 1Ь а 33) - = — — In (ах 4- Ь) - — 1п(/х + а) (А # 0). 34) \(ах^х + д) = ~{ ^ + fin ?±|) (A * 0). 35) Г- ^-^-= » _L^n?±iL (а#Ь). J (а 4- х) (о 4- х) (а — о) [о 4- х) (а — о) b 4- х f x2dx 62 а2 Ь2-2ао 36) 7 Г77 о-= /^ ^ Г + 77 оп (Я + х) + Т. Т1~1п ° + х) (« ^ Ч- J (а + х) (о 4- хJ F - а) (о 4- х) F - аJ (Ь - аJ 37) ^- г2-= ~ 2 ( + ) 4- _ з In а-~~- (а ф Ъ)' ,9Л Г xdx 1 / а Ъ \ а + Ъ а + х 38) J (а + хJ(Ь + хJ = (а^ЬJ"!, аТГ+ bTx~J + {a~=W ЬТ~ ( ^ 39) Г х2^х _ -1 / a2 b2 \ lab а + х J (a + хJ(Ь + хJ ~ (а - ЬJ [а + х + Ь + х) + (а - ЬK П Ь + х (а * '* Интегралы, содержащие ах2 + Ьх + с. Обозначения: X = ах2 + Ьх + с, А = 4ас — о2. г 2 2ах + Ь , А лч I -^=-arctg -т=— (для А > 0), 40) J^J 1/Д ^ 2 2ах + Ь 1 2ах + Ь1/ LArth ^± Lln1^ (для А < 0). Г rfx 2ах + Ь 2а- Г dx v ллч J х^= ~1пГ+ xj -Y (см- № 40)- f dx 2ях + Ь / 1 За \ 6а2 Г dx «> Г х2 dx (b2 - lac) x + be 2c С dx 48) J IT- ¦ TEx + Tj X <CM- № 40)- Cx2dx -x с Cdx (и-2N f xdx 49) j ^= Bл-3)а^-'+ B733Oj ^ - (krJ fxmdx_ x"-1 (m-l)c fxw~2dx (n-m)b Гхт'^х } J Хп ~ Bп-т- \)аХп~1 + Bл - m - 1)а J Jf" Bп - т - \)а J X" {тф2п- 1; при т = 2м - 1 см. № 51). Гх2п~Чх _ 1 С x2"-3dx с С x2n~3dx Ъ [x2n~2dx J Xя a J X a J X a J X
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 93 52) 53) 55) №40)- f4-rx*!T-T-\ir (cM- J хХ 2с X 2с J X f dx _ 1 Ь Cdx I С dx J xX" 2c(n - I)*" 2c] X" с ) хХ"-1' J 1 Bи + m - 3)а С dx (n + m-2)b С dx :xm-lX"-1 (m-l)c J xm'2Xn ~ (m-l)c J x^*" (W > j' xmX" (m- l)cxm" f ^x _ 1 Г f\ (/х + ^J~| 2gfQ - bf С dx ' J (/x + d* = 2(cf2-gbf + g2a)lJln X J + 2\cf2 - gbf + g2a) J X (CM' 9 '" Интегралы, содержащие а2 ± x2. Обозначения: x arctg — a . .x 1, a + x Arth — = — In a 2 a - x x 1 x 4- a Arcth — = —- In для знака — при I x I > a. a 2 x — a для знака +, для знака — при \х\< а, В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а2 -I- х2, а нижний — к X = а2 — х2. 5r±z- -v- <"''0)- 69) 72) 74) 76) 78) 80) 82) x3dx 2X 4X2' dx 1 1 x> 2A 2a4X T 2e6 X' J x2A- " Л + a3 • ' J x2AT2 " a*x + 2a*X + 2a> K f dx _ _LX ^x ^L_x JLy ™ f J x2X3 a6x + 4a4X2 + 8«6X + 8a7 J j Г <*x _ ! - ! i- x lnx onfA_ JxA 2a x zaA a A JxA 1 2a6v2 1 !a2x: + < 1 п6Х 1 2a4 + д lnx2 1 a*X: Интегралы, содержащие аъ ± х3. Обозначение: X = a3 ± x3; в случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а3 + х3, 3 3 а нижний - к 4 dx a° - x°. 1 . (a±xJ 85) 86) Cdx 1 j 1Г= ± б?- f х rfx I a2 x ax + х2 1 j IT" бТ1п (а±^ ± ^Т 1 2хха ___ | _ (CM. № 83). 2х х а xdx ldx 1 — = ±ylnX.
94 ТАБЛИЦЫ 2dx : 89) 90) | ^-= ^ JL± ± I ^ (см. № 83). 91) I -^ = ^з-ln ^-. dx 1 1 . x3 л Г dx 1 1 Cxdx 92) 94) 95) 1 x3 f з^]п1Г 93) J 1 f (cm. № 85). 96) ^3^2-= - Интегралы, ее Tn- v <CM- №83»- Интегралы, содержащие a4 + x4. [ dx 1 х2 + ах)/2 + а2 1 1/2 99) f x2rfx 1 x2 + ax)/2 + a2 1 Jfl4x4 4a |/2 x2 - ax ]fl + a2 2a j/2 arctg j/2 —y Интегралы, содержащие а4 — х4. f dx 1 , а + х 1 х Г х dx 1 а2 + х: 101) -г т= —т-1п + —r-arctg—. 102 —. г = -^-ln —2 J а4 - х4 4а3 а - х 2а3 а J а4 - х4 4а3 а1 - х ЮЗ) f -P^r = tUii "^ - -Larctg -. 104) Г -^^ = - 1 In (а4 - х4). J а4 - х4 4а а - х 2а а J а* - х 4 Некоторые случаи разложения дроби на элементарные. 105) 106) где А = 107) где А = 108) 1 1 Y_J (а + bx) (f + gx) fb-ag\a + bx f + ах / 1 ABC -+ —+ (х + а)(х + b)(x + с) х + а х + fc х + с' 1 Л В С D -+ т-+ + 1 x + а х + Ъ х + с х + d' 1 (Ь - а)(с - a)(d - а)' (а - Ъ)(с - b)(d - Ъ) 1 1/6 а и т. д. fb-ag \a f + ах2 / 1.1.3.3.2. Интегралы от иррациональных функций. Интегралы, содержащие ух и а2 ± Ь2х. Обозначения : Y = arctg - а для знака +, 1 а + Ь]/х — In j=r для знака —. В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = а2 + b2x, a нижний -«¦ к f 2 1/? 2а2/^ _ 2а3 v = а2 — Ь2х. 111) )/х^х _ _ Ь2Х ~ аЬъ + ^У- но) J У 112) "?^х 2)/? За2)Д За "х2""" ±"ьуЗГ+ ь4х VY'
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 95 113) 115) ДГ|/х" ab ' dx —-Y. 114) Г dx _ 2 2b J xTx^'a^Tx^^ 116I ]^W=~^n^+~^^+~^ Другие интегралы, содержащие ух. f |/x dx 1 х + a l/ 117) -Л 5-= 7=-ln 7= т^ ~7=-arctg —= . 'Ja4 + x2 2a)/2 x-al/2x4_a2 a]/2 a2 - x Г dx 1 b^J f l/^dx 1 e + l/x 1 /x Г dx 1 119) -^ r=T-ln -r arct% —' 120) 7-= г-5-li J a4 - x2 2a a - j/x « « J (a4 - x2) ]/x 2a3 a]flx V l/x Интегралы, содержащие ]/ах + b. Обозначение: X = ax + b. 121) |/Xdx= —)/I3. J 3a 123) |x2l 126) 124) 2Ca2x2-4abx + 8b2) 15? 127) 128) 129) 130) 131) 133) 135) 138) 139) 142) 143) J X]/X J X2/X = ~ ~b^~ 2b) x]/x I I ДЛЯ Ь < 0. а С dx X X dx (см. № 127). :=- (см. № 127). (cm. № 127). _ Bn-3)af dx ¦1"BH-2)bJx-il/F Ш) xl/x (см. № 127). 137) (см. № 127). J x(/x3 bj/jf | Jx2l/X3 bxj/x Ь2]/Х 2b2 ) x]/x .27). ГЛГ"/2^х 2ХИ/2 J -7— "V- х(п~2I2 С dx 2 If J 35^" (W-2)b^-2v2+Tj dx
96 ТАБЛИЦЫ 145) ' dx _ x2Xnl2 " bxX(n 1 па Г dx 7^2I2 ^"J xXn/2 • Интегралы, содержащие у ах + b и |//х + g. Обозначения: X = ax + b, Y = fx + g, A = bf - ag. 146) 147) 149) 150) 151) 152) 153) 154) dx arctg У-5 для af < О, для dx Y]/X 2a/ arctg i__ (тас № 146). 148) для Д/ < 0, Г dx 2J/X i ln f]/x - |/a/ k /a? n 77?T7a/ l/xy CyXdx 2VX А С dx для А/ > 0. (cm № 146). (cm. № 146). и. № 149). j 77 155, J^y-Ac ' + (см. М .53). Г Интегралы, содержащие у.а2—х2. Обозначение: X = а2 — х2. 157) \]/~Xdx = — ( x l/T + a2 arcsin — \ 158) \x]/rXdx= J 2 V aJ J 3 ^_ -_ 159) x2l/x^x= -—[/X3+ —xl/x +a2 arcsin— . 160) x3 l/x dx = V—-- - a2 ——.. J 4K 8\ a/__J 5 3 161) I Jl - = |/x-aln fl + ^-. 162) - - arcsin —. 163) []fxdx ]fx 1 fl + l/x 1Л„ Г rfx .x _ fxrfx /- -—r—= - -—iz--\ In . 164) -7=^= arcsin—. 165) -T=^= —VX. J x3 2x2 ^ 2a x } ]fx a ' J \/X V 166) | x2 dx x ~7F= ~T а2 . x t^t —-arcsin—. 167) 2 a ' J a V 2 —7=--= a2 \fx 3 168) f-iL-^- —In a+vX . 169) J xl/x ax J л J x a + l]fx 2a2 x2 171) fl/F^-Uxl/x1* ^/X+ ^ -^-Y 172)
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 97 173) xj/x1 ^xj/x3 a4xj/x a6 х i 6 24 174) \х*]ГТих=Ц- ' ]/~Xldx l/x3 ,_ a + l/x = + a2/X-a3ln - . 176) -Vх 3a2 . x агсяп—. 2 2a fx 3a a- "~ 178) x Г xdx 1 - 179) J 180) f^-rAr-"«in4-. 181) 182) 184) /X1 * dx 1 Г J xTj 183) Интегралы, содержащие ух2 + a2. Обозначение: X =x2 + a2. 185) /X rfx = у ( x /X + a2 Arsh —j + С = у [x /x + a2 ln(x + /x)] + d. 186) 187) fx2 188) |x3 190) 191) 193) 195) 197) \x]/~Xdx = — l + a2 Arsh—) + С = x/^1 ~ -^-[x/x+a2ln(x-H йу4 о x x +Arsh — x a [VXdx _ J x2 -~ C]fxdx = _ /X^_ j. J X ZX Zfl +ln(x 192) 194) С - f ^ - ^. C, f <** _ K^ 19g) f dx _ _^X_+ _l_in a + /X J x2l/x a2x' J x3l/x 2a2x2 2a3 x 200) 201) 202) jx a x ——Arsh 1- С = 16 Arsh 24 16 16 a a4xl/x a h 4 И Н. Бронштейн, К. А. Семендяев
98 ТАБЛИЦЫ 204) ][X ) x]fx3 a2/* a3 212> f dx dx 3 3 а + 1 2a2x2l/* 2а4]/* 2а5 х Интегралы, содержащие ух2 — a2. Обозначение: X = x2 — a2. C]/Xdx ][X x ][X r- K 2 -= - +Arch — + C= - + \n(x+yX)+Cl. 214) 215) 216) |х31/Л:Лх 218) 219) 221) 223) 225) 227) 213) j/X rfx = у ^x /X - a2 Arch ^ + С = у [x /^ - a2 In (x + j/x)] + Cx. [x2 fxdx = ^/^ + -^fx V* ~ al Arch -) + С = ?-\fx* + -^-[x/x -a2\n(x + /*)] J 4 o\ a/4 о x3 yXdx «J-—+ —^ . 217) N^ =J/\Y- aarccos—. ~ arccosA f = Arch| + С =ln(x Jx!l/jf a2x a2/x. 224) 226) 2a2x2 2a3 ^-Arch ^-) + С 228) + 230) Г \x3 232) cldx Зх 231) Ъа2 \ Зх За2
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 99 233) 235) r\Z~X*dx ]fTb J — 1^ * За о — тага:05т 234) 1 .1 а 7= =-arccos —. a2\fx a2 x 7=^ -—?=-— —-г-arccos—. 2a2x2]/J 2aA]/X 2as x Интегралы, содержащие у ax2 + bx + с. ^а Обозначения: X = ax2 + bx + с, A = Aac —b2, k= ——. A 241) 242) \w" 1 j~AnB]/a~X +2ax + b) + С для a > 0, 1 9/jv 4- h для a > 0, A > 0, для a > 0, A = 0, для a < 0, A < 0. I/A lnBax + ft) 1 . 2ax + b arcsin Г dx =2t J x"j7F 744^ Г dx _ 2Bax + b) 2fc(n-l) Г ] J л:Bи+1)/2 "Bп-1)АХBи-1)/2 + 2n - 1 J f ^_ Bax + b)/x l Г за|/х dx ^r+2/cJ. 245) 246) 247) 248) 249) 251) 253) 255) 256) 257) 4* fe 241). J7F- « a"J 4a(n+ 1) J (см. № 241). 250) { Bb2-4ac)x- aAj/T dx (см. * 241). (см. № 241). (см. № 246). \xXyXdx= —j — XyXdx Г yBn + 3)/2 l /• xXi2n + l)l2 dx = — ХBи+1)/2 dx (см. № J B« + 3)a 2a J fx2 /X^x = (x - pi ^+ ^Iz^i Г J \ 6a/ 4a 16a2 J 248). (см. № 245).
100 ТАБЛИЦЫ ( 1 , 1]fcX 2c \ _ln — + — +ь) + С ]/c \ * x J 258) dx 1 bx + 2c 7--Arsh ?=-—+ С i ]/ ]/X 1 bx + 2c 1 bx + 2c arcsin —, / 259) 260) 261) С dx _ ]fx b Г dx_ J x2 l/x ~ ex 2c J x /X для с > О, для с > О, ,Д > О, для с > О, Д = О, для с < О, Д < О. (см. № 258). (см. № 241, 258). (см. № 241, 258). (см. № 248, 260). f YBn+l)/2 yBn+l)/2 h Г Л уBи-1)/2 262) dx = Д- + 4- Х<2и>/2 dx + с dx J x 2n + 1 2 J J * Интегралы, содержащие другие иррациональные выражения. dx 265) f , f - ^-/ax2 + Ьх. 264) f J x]/ax2 + bx bx v J Г J ] x — a , = arcsin . )/lax -x2 a ]/lax- 266) Г]/lax - x2 dx = —— , / =¦ . x — a — — у lax — xz + a arcsin . ; - x^ 4- -z-arcsin f J (ax2 + b)]/fx xl/ag -bf r arctg ——= {ag - bj > 0), 2]/b]/bf-ag In " V < 0). x2 + g - (и+1)а 269) к (n-\)a /ax 4- b x l/x" + a2 27.) !-, ]/xn - a 2 а = —arccos -—- 267) 268) 270) 272) . J у a3 - x Рекуррентные формулы для интеграла от дифференциального бинома. 273) хм (ахп + b)p dx = ! xm + 1 (ax* 4- Ь)р + npb хт (ах11 + b)"'1 dx J т + ир+lL J J = -—; — — xm+1 (axn + b)p+1 + (m 4- n + np + 1) xm (дхи 4- h)p+1 dx bn (p 4- 1) |_ J J = l |xw + 1 (ax" 4- b)p+1 - a (m + n 4- ир 4- 1) j xm + n (ax* 4- b)p dx = — xm-n+l ^axn _|_ ^)P+1_ (m _ и + 1)^ ХП'~"(ДХИ + b)pdx . a(m4-«p4-l)j_ J J 1.1.3.3.3. Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы, содержащие синус. sin 274) | sin axdx = cos ax. 275) sin2 a. ix dx = -— x sin 2ax. 2 4a
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 101 276) sin3 ax dx ^ ~ - cos ax + —cos3 ax. 277) sin4 ax dx = — х — -—sin lax + ^— sin 4ax. 8 4а 32а Jsin" ах cos ах п — 1 Г sin" ах dx = — ь sin" ax dx (п > 0 — целое). па п J Г sin ах х cos ах Г . 2х / х2 2 \ 279) х sin ах dx = = : 280) х2 sin ах dx = —=- sin ах - =- с J a2 a J а2 \ а аъ) Г э • , П*2 6 V [х3 6х\ х sin ах dx = —= j- sin ах — —г cos ах. J \ a2 aAJ \а a3 J х" sin ах dx = — -—cos ах + -- х"~l cos ах dx (п > 0). J a a J 281) 282) 283) 284) 285) I "'~"~-dx = Г sin ax , sin ax Г cos ax dx - -dx = + a ¦— (cm. № 322). J x2 x J x Г sin ax 1 sin ax a f cos ax , dx- -j-+ -T-dx (cm. № 324). J xn n - 1 x" n - 1 J x" 286) = \cosGcaxdx = —In tg =—In (cosec ах — ctg ах). J sin ax J а 2 а f dx 1 „ ч Г dx cos ах 1 , ах 287) -у--= ctg ах. 288) — = - ^—^^ + -—In tg -—-. J sinz ах a J sinJ ax 2a sinz ax 2a 2 f dx I cos ax n — 2 С dx 289) - = -. -^-—-, + -r—-7 {n > 1). J sin ax a(n — 1) sin ' ax n — 1 J sin ax f xdx 1 ----- - 2 J sin ax аг f xdx 1 / (a 290) ----- - 2~[ax+ W J sin ax аг \ 3-3! 1 / (axK 7 (axM 31 (axO 127 (ax) [ax+ W+ + + 291) 292) Г x ^/x х 1 -.- з = - — ctg ax H r In sin ax. J sm2 ax a a2 С х dx х cos ax 1 и — 2 Г х dx I = — — |- (п > 2). J sin" ах (п — 1) a sin" ах (п — \)(п — 2) a2 sin" ах п — 1 J sin"" 2 ax С dx 1 / п ах \ С dx 1 / к ах \ Ш) j гжг= -тЧ" т) Ш)) ггж-аГ-т1Чт+ т-} 295) Г **е_. = _ ?tg(« _ ef\+ 4-|„cosf^-- J 1 + sin ax a \ 4 2 / a2 \ 4 f x dx x I n ax\ 2 , . / я aj 296) r- - = ctg I -- - - — -+ — In sin — - - J 1 — sin ax a \4 2 ] a \ 4 2 , sin ax dx 1 / n ax 297) =±x+._tg—+ — 1 1 ± sin ax a \4 2 298) dx 1 / n _ ax \ 1 ax sin ax(Y± sinVx) = ~a '8\T + ~2~) + ~a 'ё "Г f _.._*___-_ J A + sin axJ , v.v 1 / n ax \ 1 % f n ax W I Г, -~..-.Ж = - 2aM-4 - T - ^ ( 4" " T fsin t tit назы *) OiipciejiemibiH иигс!рал называется интегральным синусом. x3 x5 + *) В„ чисча Ьсриулпи
102 ТАБЛИЦЫ 300) J A-ш«г гг „<4 f sin axdx 1 /я ах\ 1 3/я ах Г sin ахdx 1 j (l-sina*J = " 27 Jl+sm2ax 2j/2a „л/чч Г sin ахdx 302) j dx 1 5 = — tg ax. cos ax a 305) f sin ax sin bx dx = ^ ^X - S1" ^ + *j[ * (I a I ^ 1 fe <> ПРИ l«l = lfcl CM- № 275)- )x 2(a-b) 2(a + b)~ 306) 307) f_*L J b + с sin arctg ; — (Ь2>сг), 1\/ьг-с2 УЬ1 - с2 1 -In l/c2-ft2 btg^ Г *inaXdX -?L-!L f *^_ (см. № 306). J Ь + с sin ах с с J b + с sin ах 308) f -, .^ . . = -i-ln tg H. _ ^ f *E ,CM. № 306). J sin ах (Ь + с sin ax) ab 2 b J b + с sin ax f ^x - с cos ax Ь Г dx J (b + с sin axJ ~ a(b2 - c2) (b + с sin ax) b2 - c2 } b + с sin ax Г sinaxdx _ b cos ax с Г dx J (Ь + с sin axJ ~ a (c2 - b2) (b + с sin ax) c2 - b2 J b + csin ax Г dx 1 l/b2 + c2 tg ax 311) -= ^Ц = arctg I —J? (b > 0). J b2 + c2 sin2 ax b]/b2 2 b Ц = arctg I — sin2 ax ab]/b2 + c2 b dx 1 ]/b2 - c2 tg ax b l/c2 - b2 tg ax + b In V; (c2 >b\b> 0). 2ab]/c2-b2 J/c2-b2tgax-b Интегралы, содержащие косинус. 313) | cos ax dx = ~ sin ax. 314) | cos2 ax dx = — x + ——sin 2 ax. cos axdx = — sin ax. 314) cos2 с J a J 315) cos3 axdx = — sin ax sin3 ax. 316) cos4 axdx = — x H sin 2 ax + ——- sin 4 ax. J a 3a J 8 4a 32a -,„-,4 f « , cos" ax sin ax n-1 f _, 317) cos"axdx= 1 cos" 2axdx. J па п J .... f , cos ax x sin ax f , 2x /x2 2 \ . 318) xcosaxdx= 5 h . 319) \x2 cos ax dx = —=- cos ax -b I r- sin ax. J a2 a J a2 \ a a3 / „m f 3 j {I*2 6\ /x3 6x\ . 320) x5 cos ax dx = —= j- cos ax + r sin ax. J V e « / V « « / 321) x"cosaxdx= X SmaX -— x" sinaxdx. J a a J
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 103 ~~„ч i cos ax dx cos ax f sin ax dx 323) = = a (cm. № 283). 1 x2 x I x (* Ф 1) (см. № 285). 324) J x15 = " (w-l)x"-1 " ^rj Xя 325) —-—= sec ax dx = — In tg ( ^-+ ~ ) = — In (sec ax + tg ax). J cosax J a \ 2 4 / a v „~,ч С dx 1 лл„ч С dx sin ax 1 , /я ax \ 326) —= =—tgax. 327) = = = + —lntgl—+ — . J cos2 ax a * 'J cos3 ax 2acos2ax 2a B\4 2) dx 1 sin ax и - 2 f dx . 328) —- = —; —n 1 г ъ (n > ¦ J cos"ax a(n - 1) cos" x ax n — 1 J cos"~2ax [ xdx = 1 Г J cosax a2 [ 2 ¦ 4-2! 6-4! ¦ в1(ах)8 I 1385'ю'10 , . 86! 108! 8-6! 10-8! Bn + 2)Bn)! , .,л. С xdx х 1 330) —5 =—tg ax + -=-ln cos ax. J cos2 ax a a2 331) 332) xdx x sin ax 1 cos" ax (n — 1) a cos""i ax (n — 1) (n — 2) a2 cos" ax dx 1 ax cos ax a 2 ' J; I f <*x 1 ax „,„ f Jrr^x-=Ttgi- 333)Ji3 334) f —?*E -tg ^+ 4-lncos " 335) f ^ J 1 + cos ax a 2 a2 2 J 1 - __„ f cosaxdx 1 ax _л_ч Г cosaxdx 336) =x tg—-. 337) =- J 1 + cos ax a 2 J 1 - cos ax «.„Лч f dx 1 , /и ax \ 1 ax 338) г- r- = — In tg — + -^r- tg ^r-. J cos ax A + cosax) a \4 2/ a 2 лллч Г ^х 1 . /it ax\ 1 ax J cos ax A-cosax) a \4 2/ a 2 n-2 С xdx г s-2 in > 2). n- 1 J cos" ax cdx x ax 2 = ctg -r- + -г cosax a 2 a2 1 ax a ° 2 ' ax dx ax 1 344) 346) 347) 1 ax 1 з ax f rfx . 1 ax 1 3 =2a-tg^-+6a-tg T- 341)J d-cosa^'-^^T-^8 1 ax 1 , ax Г cosaxrfx 1 ^'8— frT'g T- 343)J (l-cosax)^27C . 345) f, dX2 = f , ' J 1 - cos2 ax J si ax 2]/la 1 + cos2 ax f__*L J b + с cc Ь + с cos ax |; при см. № 314). -arctg > c2), ¦) Определенный интеграл- (х>0) называется интегральным косинусом и обозначается Ci(x): где С — постоянная Эйлера. **) Е„ - числа Эйлера.
104 таблицы f cos ax dx x b С dx 348) = - (см. № 347. J Ь + с cos ах с с J b + с cos ax 349) f * г- -1-lntgf ^+ f) -^ Гт—^ (см. № 347). J cos ax (b + с cos ax) ab \ 2 4 J b ] b + с cos ах 350) f '* = """" -* f *E (см. № 347). J (b + с cos ахJ а (с2 - Ь2) (Ь + с cos ax) c2 - b2 J b +- с cos ax Г cos axdx b sin ax с С 351) r=-= ——= =7— —— -y 5- J (b + ccosaxJ a(b2 - с2)(Ь + с cos ax) b2 - c2 J b + (cm № 347). ax 353) — с" cos ax arctg ab ]/b2 - с2 1 b tg ax - ]/c2 - b2 In — \ (c2 >b2, b> 0). ^ 2ab ]/c2 -b2 b tg ax + ]/c2 - b2 Интегралы, содержащие синус и косинус. 354) sin ax cos ax dx = —- sin2 ax. 355) sin2 ax cos2 ax dx = — . J 2а J о 32а 356) sin" ax cos ax dx = —-. — sin" +1 ax (n Ф — 1). Г 1 357) sin ax cos" axdx = -. — cos"+1 ax (и # — 1). Г sin"~1axcosw + 1ax n — 1 Г . , . 358) sin"axcosMaxdx= - a(n + m) + ^~+~m~\ «*cosm axdx (понижение степени л sin"+1axcosm~ * ax m — 1 Г . „ M _, = -. г 1 sin ax cos ax ax a (n 4- m) n + m J (понижение степени т 359) [-. =-lntgax. 360) f-r-j-^ = - [in tg(^ + ^-) - -Д- J sin ax cos ax a J snraxcosax a |_ \4 2 ] sin a. 361) Jsi 4 363) Г —3 = — fin tg ax + -—\ \ 364) I . 2 dX ~2 = - -2- ctg 2ax. J sin ax cos3 ax a \ 2 cos2 ax J J sin2 ax cos2 ax a „^ Г dx 1 Г sin ax 1 3, fn ax\~] 365) L<*-2 = = — г : +—lntg — + • J sin axcosJax a [_ 2 cos ax sin ax 2 \4 2 /J „,,. f dx 1 / 1 cos ax 3, ax \ 366) ^-* i = — ^—-^ + — In tg -— . J sinJaxcoszax a \ cos ax zsm'ax 2 2 ) 367) I ~ ^4 = —t ,/ n-i + I d-^i (" ^ l) (CM- № 361' 363)- J sin ax cos ax a (w — 1) cos ax J sin ax cos ax Г . я dX = -. *. w_1 + I — n_2dX (л Ф 1) (cm. № 360, 362). J sin ax cos ax a(n — l)sin ax J sin ax cos ax Г dx _ 1 1 n + m-2 С dx J sin" ax cos ax a(n-l) shV^axcos1" ax n-\ J sin" ax cosm ax эниже] J sir? 368) 369) (понижение степени и; и? > 0 и и > 1), 1 1 n + m-2f dx a(m-l) sin"axcosWI~1ax m-1 J sin"axcosm~2ax (понижение степени ш; я > 0 и w > 1)
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 105 sin ax dx 1 1 = — sec ах- a cos ax a sin ax dx - г + с = тг" tg2ax + d. 2а cos2 ax 2а 1 „__ С sin2 ах dx 1 . 1 /тс ах \ ——-~х—-. 373) = sin ах + — In tg — + — . а (и - 1) cos" l ax J cos ах а а \ 4 2 ) 1 Г sin ax 1 /n ax\l "a"L2cos2ax ~TlntgVT+ ~Y)\ 1 С dx " 1 ax n — \ J cos" 2 a(n-l)cos" (см № 325, 326, 328). 378) cos" ax 379) [*^-dx-. J cos ах 1 /sin2 ax \ f sin3 axdx 1 / 1 \ — — + in cos ax . 377) = = — cos ax + . a \ 2 J J cos2 ax a \ cos ax J 1 Г 1 1 1 7L(n-l)cos'-ra7 " (n - 3) cos"" 3 ax J (" * *' " # 3)' sin"~1ax f sin" ax dx + (n # 1}> a(n — 1) J cos ax 380) I - 1 Г sin" ^-dx ax \?П tF IK sinn+lax n-m + 2 Г sin"ax - — _ , - I _ _ u a(m — ljcos 'ax m—\ J cosm z ax sin" ax n-1 Г sin" ax dx a(n — m) cosm ~1 ax n — m J cosm ax l axdx a(m — l)cos' x n — 1 Г sin" l a ^a~x ~ ^~ГJ ^os-2 381) 382) cos axdx Г cos J si siir ах cos ах dx Г cos __ J si 1 1 —. _ cosec ах. a sin ах а 1 , ctg21 — 2a sin2 ax f c 386) J ax dx 387) cos3 axdx \( ax\ С cos2 a — cosax + lntg-— . 385) —r~i a\ 2 ) J sin3 С J . \ sin ax . J 383) axdx ax f cos a —: J sin" 1 1 г n — 1 \ a sin 1 /cos2 ax . \ — — + In sin ax a \ 2 J 384) fcos2flX^ J sin ax Г cos2 a J "lin7 ! f cos" ax cos"~! ax Г cos" ax dx 390) — dx = — -- + : (л Ф 1). J sin ax a(n - 1) J sin ax * cos" + 1ax n — m + 2 С cos" ax d. a(w — ljsin ax m— 1 J sinm~2a. cos""г ax n — 1 С cos" a (n — m) sinm ~l ax n — m J si a(« - l)sin" ! ax ' 2a~Vsin2ax "" *° 2 1 / cos ax , ax\ Ilntg—-. 2 / f cos3 axdx 1/. 1 \ 388) —r-5 = sin ax + . J sin2 ax a \ sin ax / 391) cos" ax dx ax dx " 2 axdx {m Ф n), Г J ^nTx ) ~ ~ 092) 393) J^f—^-T -ЗПДЧ I J cosax(l ± cosax) a sin ax dx cos a(m — l)sin' 1 \n l ax n-1 f cos" 2 ax dx -—^п — —r—r-2 (m Ф 1). )sm ax m— 1 J sinm ax 1 ax 2aA + cos ax) + 2a"lntg ~T 1 J 2a A ± sin ax) 2a 395) n_ ax\ 4 + 2 / J si cos ax dx _ 1 1 ± sin ax sin ax A ± sin ax) a sin ax cos axA ±sinaxj = 2a(I ± sin ax) Г } J 397) Г ^1аЛ.^ = _ J sin ax A ± cos ax) 1 1 / я ах \ ± 2a~ " tg \T + T"/ 1 1 ax 2а(Г±Гсо8 flxf ± 2я tg ~2~'
106 ТАБЛИЦЫ 398) f^-ELfi J sin ax ± ± cos ax 2 2a axdx x = + sin ax ± cos ax 2 x 1 , , . = — + —— In (sin ax ± cos ax). С cos axdx x 1 , . 399) = -f — + -—In (sin ax ± cos ax). J sin L —° — ° °" 400) f_—? ',„,,(« ±JL\ 40!) f- *L- ±Jlnfl±tg^\ J sin ax ± cos ax a 1/2 \ 2 8 / J 1 + cos ax ± sin ax a \ 2 / „ f dx 1 , ax + 0 . с с 402) — = Intg , где sin0= tg0 = —. J 6 sin ax + с cos ax a]/b2 + c2 2 \/b2 + c2 b *~^ f sin axdx 1 , ,, „ ,ллч Г cos axdx 1 , 403) = ln(b + с cos ax). 404) = —ln(b + с sin ax). J о + с cos ax ac J b + с sin ax ac 405) d(x^) С dx С \ V — = , где sin 0 J Ь + с cos ax + /sin ax J b +/c2 +/2sin(ax + 0) (см.-№ 306). dx 1 (с \ С dx I ctgax + b l2 2 2 - 2 = ~Г~ arctg —tgax . 407) —= 5 , . , = In . о cos ax + с sin ax aoc уь ) J b cos ax — с sin ax 2aoc ctgax — b 408) sin ax cos bxdx= ^ t M ^—^-^ (a2 / Ь2; при a = b см. № 354). 406) Интегралы, содержащие тангенс. 409) Г tg ax dx = - — In cos ax. 410) | tg2 ax dx = J a J 411) tg3 axdx = — tg2ax + — lncosax. 412) tg"axdx=— —-tg" ax - tg" axdx. J 2a a J a(n - 1) J A ,4f J ax3 a3x5 2a5x7 17aV 22иB2и - OB.a2""^2"*1 413) jxtgaxdx =— +_г+-5Г+-1_-+...+ ____ +...•). 414) |^XA=ax + ^L+ ^L+ilg- + .,.+ ^^^ff' ' +...*)¦ 416) I ,„ ^7. t = ± у + 2a"ln(sin ax ± cos ^ 41?) I /ЛГТ~ = ^ + ^rln(sin ax ± cos ax). Интегралы, содержащие котангенс. 418) ctg ax dx = — In sin ax. 419) ctg2 axdx= - J a J 420) fctf «Ac = - ^^- '"SinaX. 421) fctg"ax^ = - C'f"aX- f ctg-axdx (« # 1). J 2a a J a(n - 1) J 22nBna2n~lx2n+i —-...- g>| + ^ ...*). Г ctg axdx _ 1 ax (axK 2 (axM 22nBn(axJ"-1 }J x " ax 3 135 4725 '" Bn - l)Bn)! "' '' 424) f?^i 1.1.3.3.4. Интегралы от других трансцендентных функций. Интегралы от гиперболических функций. 426) sh ax dx = — ch ax. 427) ch ax dx = — sh ax. J a } a 428) sh2 axdx = —— shaxchax - —-x. 429) ch2axdx = —shaxchaxH x. J 2a 2 J 2a 2 f?^dx=--i—ctg-ax («#-1). 425) f —^f— = f^L (cM. № 417) J sin2 ax a(n+l) J 1 ± ctgax J tgax ± 1 *) В„ — числа Бернулли.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 107 —sh" l ax ch ax sh" 2 ax dx (n > 0), 430) |sh"<«<<x=< a" j " 1+2 Г sh"+1 axchax sh"+2 axdx (n < 0; n Ф -1). a{n + 1) n + 1 J {1 л — 1 Г —sh ax ch"" * ax + ch" ax dx (n > 0), an n J 1 n + 2 f shaxch"+1ax + ch"+2 axdx (n < 0; л # -1). Ф + 1) и + 1 J 432) |-^-=— lnth^. 433) J shax a ^ 434) xshaxdx = —xchax 2-snax- 435) xchaxdx = —xshax ~i ' J a a2 J a a2 436) th ax dx = — In ch ax. 437) cth ax dx = — In sh ax. 438) th2 ax dx = x - a 439) cth2axdx = x . 440) sh ax sh fex dx = —= ^(a sh fex ch ax - fe ch fex sh ax) (a2 ф b2). J o, J a — о 441) ch ax ch fex dx = —~ -^(a sh ax ch fex - fe sh fex ch ax) (a2 Ф fe2). J a - fe 442) ch ax sh fex dx = —^—-^-(a sh fex sh ax - fe ch fex ch ax) (a2 Ф fe2). 443) I sh ax sin ax dx = ——(ch ax sin ax — sh ax cos ax). 1 2a 444) I ch ax cos ax dx = —(sh ax cos ax + ch ax sin ax). 445) I sh ax cos ax dx = —(ch ax cos ax + sh ax sin ax). 1 2a 446) I ch ax sin ax dx = —— (sh ax sin ax — ch ax cos ax). .j. Интегралы от показательных функций. 447) \eaxdx = —eax. 448) [xeaxdx = ^-(ax - 1). 449) f JV 453) l^^-i-ln- 456>Jfe?^ yj (ac>0), 1 2a]/-bc In \ (fee < 0). *) Определенный интеграл —dt называется интегральной показательной функцией и обозначается Ei(x). При х>0 интеграл расходится в точке t = 0; в этом случае под Ei(x) понимается главное значение несобственного интеграла (см. 3.1.7.7): j ?*-с + ь.|х 1 + где С - постоянная Эйлера.
108 ТАБЛИЦЫ Г „«* е~ Г^пХ*-?Ш-± \™- (см. » 45,). J A + ахJ сг{\ + ах) J а я J х Г еах С е"х 459) ?вдс sin bx dx = —2 тт{я s^n Ьх — Ъ cos hx). 460) ?»"* cos frx dx — -j y(° cos ^x + ^ s'n 461) eax sin" x dx = — -^—х-^-(л sin x - и cos x) + —?- f ?ядс sin" x dx (см. № 447, 459). J a2 + n2 a2 4- и J 462) ea* cos" x dx = C°S—^-{a cos x + и sin x) + , ~ , eax cos" x dx (см. № 447, 460). J a2 + n2 a2 + n2 J f хея* гах 463) xeflX sin fex^x = —> rr(« sin bx — b cos /?x) r ;-т^-Г(«2 — ^2)sin frx — 2аЬ cos hx]. J a2 + b2 {a2 + b2J 464) xeax cos /?x ^x = 2 2 (a cos bx + b sin bx) - —у—-^rj- [(a2 - /?2) cos />x -f 2«b sin bx]. Интегралы от логарифмических функций. 465) Jlnx^x = xlnx-x. 466) J(lnxJ^/x = x(lnxJ -2xlnx + 2x. 467) J (In xK dx = x (In xK - 3x (In xJ + 6x In x - 6x. 468) J (In x)" dx = x (In x)" - n j (In x)"-l dx (n Ф - 1). 470) 471, 472) m+1 Г lnx 1 ~| \_m 4- 1 (m 4- IJ J xm (In x)" dx = ' - - xm (In xf~ l dx (m Ф - 1, л ф - 1) (см. № 470). J m+1 m 4- 1 J f(lnx)n (lnx)" + 1 Г lnx lnx 1 dx = —. 474) —zrdx = - j-- -= г аи Ф 1 . J x л 4- 1 J xm {m-\)xm x (m - VJ xm x С xm dx С е~у 476) = dy, где j; = - (m + l)ln x (см. № 451). J lnx J )i f ^ ... -' p-4 J х'(\пхУ х'-Чп-ЩпхУ1-1 n-\ J (л#1). IX) Xr {П — 1ДШЛ|" П — 1 J Xr ^111 X)" 8)J X 18 900 ---„Bn+l)! •¦ }' 483) I In cos x dx = - 484) 6 60 315 иBи + 1)! 7x5 22"B2"~1 — + + ^ 9 450 л Bл + 485) | sin In x dx = —(sin In x - cos In x). 486) cos In x dx = —-(sin In x + cos In x). Г-4-назы, Jlnr *) Определенный интеграл называется интегральным логарифмом и обозначается li х При v> 1 интеграл расходится J 'n' в точке /=1; в этом случае °под интегралом понимается главное значение несобственною интефала Интегральный логарифм связан с интегральной показательной функцией1 li.v = Ei (In x). **) В„ — числа Бернулли.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВШ9 Г In A + х) х2 х3 к" 487) J ~——dx = х - J2 + зг- ••• + (- I)" ^ + ••• Интегралы от обратных тригонометрических функций. С х х / Г х (х2 а2 \ хх 488) arcsin — dx - х arcsin — + ]/а2 - х2. 489) хarcsin — dx - I — — 1 arcsin— + -r J a a J я \ 2 4 / a 4V 490) x2 arcsin — dx = —arcsin—- + — (x2 + 2a2)]/a2 - x2. J a 3 a 9 Г J arcsin— dx 3 5 Г a x 1 x3 1 • 3 x5 1 • 3 • 5 x } J + + ^ x a arcsin — dx «arcsin — dx /~2 j 492) = arcsin In — 493) arccos — dx = x arccos ]/a2 — x2. J x x a a x J a a r I X ( \ CL \ XX / 494) x arccos —dx = I — I arccos у a2 — x2. J a \ 2 Л / a 4 ? r „3 „ < x2arccos — dx — — arccos (x2 + 2a2)]/a2 — x2. J a 3 a 9 y Г- I" 495) J x , arccos — dx , . а _л _^ 1 x3 1-3 x5 1-3-5 x7 496) | _ __ 2 ,nx_ ^ _ _.___ _______ ______ ,7^ 1 x 1 a + ^x2 497) =- arccos 1 In . 1 x2 x a a x I x x a I x \ x cix 498) arctg — dx - xarctg -1п(я2 + х2). 499) xarctg — dx = -^(x2 + a2)arctg . Ja a 2 J a 2 a 2 x x3 x ax2 fl3 500) I x2 arctg — dx = — arctg —- + —In (a2 + x2). 1 a 3 a 6 6 501) 1- Г x xn + 1 x а С xn + ldx xn arctg — dx - ——-arctg — -——T (n # - 1). J a n + \ a n + 1 J a + xz X arctg—п __.___. X arctg—dx Л iii С a 1 x 1 a2 + x2 503) 2 = - - arctg —-In j—. x ь a 2a x —dx « aicig —мл С А 504) ± = - ——rarctg- + —^— * 2х (и # 1). J х" (п - \)х" ' я и - 1 J хя *(я2 + х2) 505) arcctg — dx — xarcctg 1 In (я2 -f x2). 506) xarcctg — dx = —(x2 + я2) arcctg 1 . Jfl я 2 Jfl2 я2 Г . x x3 x ях2 я3 , -j ~ х2 arcctg — dx = —-arcctg 1- In (я2 + x2). J я З я 6 6 f x x"+' x а С xn+ldx Xя arcctg— dx -arcctg— + — T (n Ф - 1 . J я n+1 я n+ljfl2+x2 507) 508) x arcctg- dx с 2 я ' 32я3 52я5 ¦ 72я KdX 1 х 1 я2+х2 510) I — т arcctg — + --In у—. 1 "г х а 2а х
110 ТАБЛИЦЫ . arcctg — dx 511) ' Интегралы от обратных гиперболических функций. 512) | Arsh — dx = xArsh — - l/x2 + a2. 513) | Arch — dx = x Arch— - ]/x2 - a2. } a a J я а 514) Arth — dx = xArth — + — ln(</2 - x2). 515) Arcth — dx = x Arcth— + — ln(x2 - a2). J a a 2 J a a 2 1.1.Э.4. Таблица некоторых определенных интегралов*). 1.1.3.4.1. Интегралы от показательных функций (в сочетании с алгебраическими, тригонометрическими и логарифмическими). + 00 1) Г xne~ax J dx = Г(П^1} **) (а > 0, п > - 1). В частности, при натуральном п этот интеграл равен n\/a"+l. ' п + 1 \ (а > 0, п > -1). 2) J XV"-2 dx = --^^у \-3...Bki)]/n В частности, при п целом и четном (п = 2/с) этот интеграл равен ~^пТ\—t+i/2—» а ПРИ и Целом А:! и нечетном (и = 2/с -I- 1) он равен k'+l . 3) ^"e2jc2 rfx = V_!L_ (fl > 0). 4) f x2^--2 rfx = j4- (fl > 0). J 2л J 4aJ 2a f x2^--2 rfx J 6) +f 4^ = ^-. 7) f 4*L - =1. J ex - \ 6 J г* + 1 12 8) 10) П) 0 + оо J 0 т 0 I 0 e-exsinx X е~х lnxd е~х ln2xi +00 = arcctg a = arctg— (a > 0). 9) ?~x In x dx = - С « -0,5772 ***). — rY 1.1.3.4.2. Интегралы от тригонометрических функций (в сочетании с алгебраическими). *) Более полные таблицы определенных интегралов см • Г р а д ш т е й н И. С.? Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М : Наука, 1971; Прудников А. П, Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды - М . Наука, 1981. **) Г — гамма-функция ***) с — постоянная Эйлера ****) B(.v, у) = -~т-— Г~ бе1а-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода, Г (л) — гамма-функция, или эйлеров интеграл 2-го рода
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 111 Эта формула справедлива для любых аир (последнее равенство - при аир натуральных); к/2 п/2 л/2 сет применяться для |/sin x dx, j/sin x dx, ? и т. п. ооо |/cosx Г Л, 0>о, f sin ах ) 2' ' Г sinpx , [Г(р/2)] 13) т"'*" 1 к л 14) ~r-^=2 -щ-* -у, ж 0, о если р — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. . _ч Г sin ax nas l С cos ax dx 15) —dx = ——, 0 < s < 2. 16) =оо (а # 0, а - произвольное число). о + 00 Г О П - —, а < 0. Г COSflX J 0 f sinx ^ — cos bx л X + 00 С cosx ln- 1 (а, h Ь>0). 20) I 0 sin x cos ax X dx= - 19) j x a j x о о 0, V* if* 71 .... COS ЯХ 7С --"' '•¦""'I 23) I 7-rZ2dx=-2> 0 24) j!!^Ldx = I-|fl|. 25) 0 - oo - oo я/2 к/2 cosxt /l - k2 sin2 x" /c о о • nil 26) J 7ПГте7= 5Г1П TIT |/C|<L 2?) b, „¦, =T-arcsm/c, |/c| < 1. 28) J, ,"",;-, =^(K-E)*) l/l - /c2 sin2 x я/2 29) о nil С 1.1.3.4.3. Интегралы от логарифмических функций (в сочетании с алгебраическими и тригонометрическими). • Г In In— dx= -( 31) | lnln— dx = -C » - 0,5772**). 32) | ——-dx = -— (сводится к № 6). о *) Е и К — полные эллиптические интегралы: Е = Е(/с, л/2), К = F(k, п/2) **) С — постоянная Эйлера.
112 ТАБЛИЦЫ 33) : = Г(а+ 1)*) (-1 <а < oo). 46) я/2 я/2 я In sin x dx = In cos x dx = In 2. 40) x In sin x dx = oo о я/2 +oo sin xln sin xdx = In 2 — 1. 42) — 0 о + 00 f 5! 0 я 1 In (a 0 fin (a2- о n/2 J' 39) 43) 44) 45) 7i2ln2 2 " \nxdx= -—(C + lna)*) (o>0). x 2 ¦-b2 2abcosx -{ 2n\na (Ь ^ a > 0). 1.1.3.4.4. Интегралы от алгебраических функций. 48) f a(l fdx 2 Г2g+1 A Yd Г(" + f xa(l - xfdx = 2 Гx2g+1 A - xYdx = Г(" + П^(Р ^ 1} = B(oc + 1, p + 1) (a > - 1, P> -1)**). J J Г (a + p + 2) (сводится к № 10). 49) + 00 J A + x)xe ~ sT 50) 52) A— dx аГ 1±± 53) f rfx — J 1 + 2x <fos a + x2 2 sin a л\ сич С dx a l Л a<— . 54) =_._._ о <?i<— 2 / J 1 + 2x cos a + x2 sin cj \ 2 *) С — постоянная Эйлера. **) B(x, у) = —^— \~ бета-функция, Г(х) — гамма-функция.
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 113 1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Действительная функция от действительного переменного х — это однозначное отображение / подмножества действительных чисел во множество действительных чисел: у =/(х). Множество точек с координатами (х, /(х)) называется графиком функции. Графики функций — это в общем случае кривые, которые пересекаются с каждой прямой, параллельной оси у, не более чем в одной точке (см. также 2.4). 1.2.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.2.1.1. Целые рациональные функции. Постоянные функции. Функция у = О отображает каждое действительное число х в число нуль. Считается, что она не является никакой (конечной) степенью аргумента. Ее график — ось х. Функция у = а (а ф 0) есть функция нулевой степени от аргумента. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке @, а). Линейные функции: у = ах + b (а ф 0). Графиком такой функции является прямая, проходящая через точки А( — Ь/а, 0) и В@, Ь) (рис. 1.7, а). При Ь = 0 точки А и В совпадают У а)а<0 б)а>0 Рис 1.7 и прямая проходит через начало координат (рис. 1.7,6). Функция имеет один нуль: х0 = - Ь/а. Если а > 0, то функция монотонно возрастает; если а < 0, то она монотонно убывает. Если Ъ = 0 и а > 0, то говорят, что у прямо пропорционально х, а а называют коэффициентом пропорциональности. Квадратичные функции: у = ах2 + Ьх + с (а Ф 0). График — парабола с осью симметрии, б)а<0 Рис 1 8 параллельной оси у, и вершиной С(-Ь/Bа), Dас - Ь2)/Dа)) (рис. 1.8). Функция имеет не больше двух нулей. График пересекает ось у в точке В @, с). В случае А = 4ас — Ь2 < 0 он пересекает ось х в точках Ах ((-b - /^Д)/Bа), 0)и А2((-Ь + + ]/ — Д)/Bа), 0). При А = 0 кривая касается оси х в точке {-Ь/{2а), 0) (касание 2-го порядка); при А > 0 точек пересечения с осью х нет. Если а > 0, то функция в точке х^ = - Ь/Bа) (абсцисса вершины) имеет минимум, а при а < 0 — максимум (см. 3.2.1). Функции третьей степени: у = ах3 + Ьх2 + сх + й(аф 0). График этой функции может иметь различный вид. У него имеется по крайней мере одна (а может быть, и две, и три) точка пересечения с осью х и ровно одна точка перегиба. У функции либо нет экстремумов, либо их два (в последнем случае один максимум и один минимум). Для более точного описания кривой нужны значение коэффициента а, значение А = Ъас — Ъ2 и значение дискриминанта функции D = Ъ2с2 - 4асг - 4ЬЧ - 21 a2d2 + 18 abed. Если а > 0, то у -* — оо при х -* — оо и У^> +ОО При Х-> +00. Если а < 0, то у -+ + оо при х -*• — оо и у^—оо при х-* +оо. При А > 0 функция не имеет экстремумов, имеется точка перегиба Е (рис. 1.9, а). Ж ^* О а)Л>0,а<0 5)А=0,а>0 Рис. 1.9 б)Л<0,а>0 При А = 0 функция не имеет экстремумов, имеется точка перегиба Е. Касательная в точке перегиба Е параллельна оси х (рис. 1.9,6). При А < 0, а > 0 у функции имеется один максимум в точке xmax = ( — b — ]/ — А)/(За) и один минимум в точке xmln = ( — b + j/-A)/Ca); имеется точка перегиба Е (рис. 1.9, в). При D > 0 кривая пересекает ось х в трех точках: Аи А2, А3. При D = 0 у кривой две или одна точка пересечения с осью х, причем ровно в одной точке пересечения имеет место касание. При этом точка касания в первом случае считается второго, а во втором случае — третьего порядка. При D < 0 имеется одна (простая) точка пересечения с осью х. Точка перегиба Е имеет координаты Ь 2Ь3 - 9abc \ + d ] и является центром сим- За' 27а2 J метрии кривой. Касательная в точке Е имеет наклон tg ф = А/(За). Если А = 0, то график этой функции называется кубической параболой (рис. 1.9,6).
114 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Целые рациональные функции л-й степени: у = апх" + ап- i + а0, ап ф О, и > 0 - целое. Графики этих функций - кривые без особых точек и без асимптот, имеющие не более п точек пересечения с осью х, не более п — 1 экстремумов и не более и - 2 точек перегиба, Рис. 1.10 чае а > 0 получаются растяжением ординат в а раз, а в случае а < 0 — растяжением в \а\ раз и последующим зеркальным отображением относительно оси х. 1.2.1.2. Дробно-рациональные функции. Обратная пропорциональность:^ = а/х, а фО. График такой функции - равносторонняя гипербола с действительной полуосью J/21 а | (расстояние от вершины до центра), с центром в начале координат и с асимптотами — осями координат. Функция имеет один полюс 1-го порядка (см. 2.5.1.2.2) в точке х = 0. Экстремумов нет. При а > 0 функция в интервалах ( — оо, 0) и @, +оо) монотонно убывает, график лежит внутри первого и третьего квадрантов, вершины гиперболы — в точках А (уа, у а) и В(—]/а, — ]/а). Говорят, что у обратно пропорционально х (рис. 1.12). При а < 0 функция в тех причем в случае нескольких экстремумов максимумы и минимумы чередуются (рис. 1.10). При п ^ 1 графики — кривые n-го порядка (см. 1.3). и-нечетное. Существует по меньшей мере одно пересечение с осью х и при п ^ 3 по меньшей мере одна точка перегиба. Число экстремумов при п ^ 3 всегда четно, а число точек перегиба нечетно. Если ап > 0, то при х -> - оо имеем у-* — оо, а при х->+оо имеем _у->+оо. Если ап < 0, то, наоборот, при х -* — оо имеем у-* +оо, а при х-> +оо имеем у-> — оо. п — четное. При п ^ 2 существует по меньшей мере один экстремум функции. Число экстремумов при п ^ 2 всегда нечетно, а число точек перегиба четно. Если ап > 0, то при х-* —оо или х -> + оо всегда )>->+оо. Если ап < 0, то при тех же условиях у-* — оо. Степенные функции:)/ = хи, и^2- целое. Все графики этих функций проходят через точку A, 1) и касаются оси х в точке @, 0). Их иногда называют параболами п-го порядка. Тогда @, 0) считается точкой и-кратного касания кривой с осью х (ср. n-кратный нуль, см. 2.3.2). Если п четно, то функция имеет в точке х = 0 минимум и график симметричен относительно оси у (рис. 1.11, а). Если п нечетно, то точка @,0)- точка перегиба с горизонтальной касательной и 1 \ \ \\ \\ \ \ -/ У к. 0 7 1 ' 6 if *V 5 \ 1 4 I I з II 2 1/ 1 }А 1 X У т 1 1 /| 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 ^ь |/ / Г 1 X AV ~-~— х Рис. 1 12 же интервалах монотонно возрастает, график лежит внутри второго и четвертого квадрантов, вершины гиперболы - в точках /1'(-|/М, \/\~а~\) и #'(l/l«|. - l/M) (Рис- 1-12, штриховые кривые). Дробно-линейные функции: у =? агх + b2' D = Ф 0, a2 Ф 0. Графики функций — также равносторонние гиперболы с действительными полуосями j/2 | D | /1 а2 |, с центрами С( — Ь2/а2, а^/аз) и с асимптотами, параллельными осям координат и проходящими через С. Функции имеют один полюс 1-го порядка в точке У 0 \ с X Рис 111 кривая симметрична относительно начала координат (рис. 1.11,6). Графики функций у = ах" в слу- Рис. 1.13 хр=—Ь2/а2. Экстремумов нет. Если D < 0, то функции в интервалах (- оо, - Ь2/а2) и (- Ь2/а2, + оо) монотонно убывают, вершины гипербол находятся
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 115 У\р\\ I «2 I / 2°. Функция у = а Ф 0. График 01 ( У\Р\\ | а2 | ' а2 \ а2 | / leal/ Если ?> > О, то функции в данных интервалах монотонно возрастают, а вершины гипербол находятся в точках а2 а2 Некоторые нелинейные дробно- рациональные функции. 1°. Функция у = а -\ 1—2*' ^ ^ 0» с # 0. График такой функции (рис. 1.14) также распадается (подобно графикам дробно-линейных ^1 |а2|' а2 \ а2 \ б)с<0,Ь>0 г)С<О,Ъ<0 Рис. 1.14 функций) на две ветви, так как функция имеет полюс 2-го порядка в точке хр = 0. Ось у и прямая, уравнение которой имеет вид х — а = О, - асимптоты этой кривой. Одна из двух ветвей кривой пересекает асимптоту у — а = О в точке А (— с/Ь, а), в то время как другая ветвь при Ъ < О монотонно возрастает, а при Ъ > О монотонно убывает. Функции имеют один экстремум в точке х — —2с/Ь с соответствующим значением функции у = а — Ь2/Dс) (точка В на рис. 1.14). Точка перегиба С имеет координаты (-Зс/Ь, а - 2Ь2/{9с)). При Л = 4ас - Ь2 < 0 кривая дважды пересекает ось х: в точках При Л = 0 кривая касается оси х в точке {-Ь/Bа), 0). Если Л > 0, то точек пересечения с осью х нет. ах2 + Ьх + с этой функции симметричен относительно вертикальной прямой, уравнение которой имеет вид х = - Ь/Bа), а ось х является для нее асимптотой (рис. 1.15). Вид кривой существенно определяется значением дискриминанта Л = Лас — Ъ2. а)А>0 Рис. 1.15 1 Так как график функции у = - 2 — ах2 — Ьх — с ляется зеркальным отображением относительно оси х графика данной функции, то достаточно ограничиться случаем а > 0. Функция не имеет нулей. а) А > 0. Для каждого значения х функция положительна и непрерывна; в точке хтах = = —Ь/Bа) она имеет максимум, равный 4а/А. В промежутке ( —оо, хтах] она монотонно возрастает, а в промежутке [хтах, +оо) монотонно убывает. График имеет точки перегиба в(х j/L зл с(х DI лтах ~~ г- » a I» I л«пах V 2а\Гъ Л/ V 2a]/b с наклонами касательных в этих точках tg ф! = а2 C/ДK/2 и tg ф2 = - а2 C/ЛK/2 соответственно (рис. 1.15, а). б) Д = 0. В точке хр = —Ь/Bа) функция имеет полюс 2-го порядка, а для всех остальных значений х функция положительна и непрерывна. В интервале (-оо, хр) она монотонно возрастает, а в интервале (хр, +оо) монотонно убывает (рис. 1.15,6). в) Д < 0. Функция имеет в точке хтах = - Ь/Bа) максимум, равный 4а/Д, а в точках хр _ = Хтах + У^А/Bа) и хР2 = хтах - ]/^~Д/Bа) - полюсы 1-го порядка. В промежутке ( — оо, хР2) она положительна и монотонно возрастает, в промежутке (Хр2, хтах] отрицательна и монотонно возрастает, в промежутке [xmax, xpi) отрицательна и монотонно убывает, в промежутке (хр , +оо) положительна и монотонно убывает. Для всякого значения х, за исключением х = хр и х = хр , функция непрерывна (рис. 1.15, в). 3°. Функция у — —5 \ > ас ?* 0. На ах2 + Ьх + с тех же основаниях, что и в предыдущем примере, можно ограничиться случаем а > 0. График этой функции пересекает ось х в начале координат и имеет асимптотой ось х (рис. 1.16). Обозначим Д = Аас - Ь2.
116 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ у\ в а)А>0 фД=0,Ь>0 52)A=0,b<0 ос и/5 разных знаков u2m-~-u, в^)А<0, хи/3 отрицательны ее и/3 положительны Рис. I 16 а) А > 0. Для каждого значения х функция непрерывна и имеет в точках xmin = ус/а и *тах = у с/а минимум и максимум со значениями ( — Ъ — 2)/ас)/А и ( — b + 2\/ас)/А соответственно. В промежутке ( — сю, xmin] она монотонно убывает, в промежутке [xmin, xmax] монотонно возрастает, в промежутке [хтах, +оо) монотонно убывает. Существуют три точки перегиба (рис. 1.16,а): корни уравнения а2хъ — Захс — be = 0. б) А = 0. Из того, что ас ф 0 и а > 0, следует, что b ф 0, с > 0. Для каждого значения х имеем ах2 + Ьх + с = а\х + Ь/Bа)J. В точке хр = — Ь/Bа) функция имеет полюс 2-го порядка, а при всех остальных значениях х она непрерывна. График имеет одну точку перегиба х = Ь/а. 1) b > 0. В точке xmax = b/Ba) функция имеет максимум со значением функции 1/B6). В промежутке (-оо, хр) она монотонно убывает, в промежутке (хр, хтах] монотонно возрастает, а в промежутке [хтах, +оо) монотонно убывает (рис. 1.16,6i). 2) b<0. В точке xmin = Ь/Bа) функция имеет минимум со значением 1/BЬ). В промежутке (-оо, xmin] она монотонно убывает, а в промежутке [xmin, xp) монотонно возрастает, в промежутке (хр, +оо) монотонно убывает (рис. 1.16, б2). в) А < 0. Многочлен в знаменателе имеет два различных действительных корня в точках а = (-Ь - /^А)/Bа) и C = (-Ь + |/^Д)Д2а), и так как ар = с/а Ф О, то а, C ф 0. Функция имеет в точках xpi = а и Хр2 = р полюсы 1-го порядка. 1) а < 0, р > 0. В интервалах ( — оо, а), (а, Р), (Р, +оо) функция монотонно убывает и не имеет экстремумов (рис. 1.16,»!). 2) а < 0, Р < 0. Функция имеет в точке xmin = — у с/а минимум, а в точке ¦*max = У~с/а максимум. В промежутках (-оо, ос), (а> xmin], [xmax, + оо) она монотонно убывает, в промежутках [xmin, p), (p, xmax] монотонно возрастает (рис. 1.16,в2). 3) а > 0, Р > 0. Функция имеет в точке xmin = — ус/а минимум, а в точке ^max = ]/с~/а максимум; в промежутках (-оо, xmin], [xmax, p), (p, +оо) она монотонно убывает, в промежутках [xmin, а), (а, xmax] монотонно возрастает (рис. 1.16, в3). Единственная точка перегиба — корень уравнения а2х3 — Захс — be = 0. Рис. 1 17 4°. Степенные функции у = = ах~", а ф 0, п — целое положительное число. У этих функций нет экстремумов, в точке Хр = 0 они имеют полюс порядка п, их графики при четном п симметричны относительно оси у, а при нечетном п центрально симметричны относи- тельно начала координат. Координатные оси — асимптоты кривых. При а > 0 и п четном функции в интервале @, + оо) монотонно убывают, а в интервале (—,оо, 0) монотонно возрастают; при а > 0 и п нечетном функции в обоих интервалах монотонно убывают. При а < 0 графики функций получаются вертикальным отражением относительно оси х графиков у = \а\х~". Если а = 1, то графики проходят через точку А(\, 1). На рис. 1.17 показаны графики функций у — х~2 и >' = х~3. 1.2.1.3. Иррациональные функции. Квадратный корень из линейного двучлена: у = ± ]/ах + Ь, а Ф 0. Рассмотрим случай, когда перед радикалом взят знак +. Если а > 0, то везде в области определения —Ь/а ^ х < + оо у функция неотрицательна и --^ монотонно возрастает. Если а < 0, то везде в области определения — оо < х < —Ь/а функция неотрицательна и монотонно убывает. Функция равна нулю при х = = —Ь/а, ее график представляет собой часть параболы с вершиной { — Ь/а, 0) и параметром р = а/2, лежащую над осью х (рис. 1.18). Если перед радикалом взят знак —, то график получается зеркальным отражением относительно оси х графика у = + у ах + Ь. Оси парабол совпадают с осью х. Ср. 2.6.6.1.2. Квадратный корень из квадратного трехчлена: у= + ]/ах2 + Ьх + с, а ф 0. 1) а < 0, А = 4ас — Ь2 > 0. В этом случае выражение не определяет никакой действительной функции с непустой областью определения. 2) а < 0, А < 0. Область определения - отрезок [а, р], где а = (-Ь + /^А)/Bа) и р = (-Ь- - ]/ - А)/Bа). Функция имеет в точке Ь/Bа) максимум, равный у'А/Dа) (перед корнем знак +), и а)а<0,Л<0 б)а>0,А>0 в)а>0,А<0 Рис 1 19
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 117 минимум, равный - |/а/Dя) (перед корнем знак -); на концах области определения она равна нулю. График функции представляет собой часть эллипса с центром {-Ь/{2а), 0) и вершинами в точках А, В, С, D, лежащую в верхней полуплоскости (рис. 1.19,а) (перед корнем знак + ) и в нижней полуплоскости (рис. 1.19,6) (перед корнем знак -). 3) а > 0, А > 0. Функция определена при любом значении х, не имеет нулей, но при х = -Ь/{2а) имеет минимум, равный |/А/Dа)^перед корнем знак +), и максимум, равный - |/Д/Dа) (перед корнем знак -). График состоит из ветвей гиперболы с центром (-Ь/Bа), 0) и осью х в качестве мнимой оси (рис. 1.19,6); при этом верхняя ветвь соответствует знаку + перед корнем, а нижняя — знаку — . 4) а > 0, А < 0. Область определения этой функции распадается на промежутки ( —оо, а], [Р, +оо), где а = (-Ь-/^А)/Bа), $ = (-Ь + + ]/^Д)/Bа). Функция обладает двумя нулями в граничных точках области определения. График состоит из двух ветвей гиперболы с центром (-Ь/Bа), 0) и осью х в качестве действительной оси (рис. 1.19, в); при этом части гипербол, лежащие в верхней полуплоскости, соответствуют знаку + перед корнем, а лежащие в нижней полуплоскости — знаку — . Степенная функция: у = хк, к = т/п, т, п — взаимно простые целые числа, п^ ±1. 1) к > 0. Функция имеет один нуль при х0 = 0, и график проходит через точку A, 1). Если и четное, то область определения — промежуток [0, +оо). Если п нечетное, то она определена в) Рис. 1 20 при любом значении х. Если п нечетное, a m четное, то ось у - ось симметрии графика; если пит нечетные, то график центрально симметричен относительно начала координат. Если п> т, то ось у — касательная к кривой в точке @, 0); если т > п, то касательная в точке @, 0) - ось х (рис. 1.20). 2) к < 0. При хр = 0 функция имеет полюс /с-го порядка — точку разрыва (точка разветвления с неограниченно возрастающим модулем значения функции). При п четном она определена в интервале @, +оо), а при п нечетном - для любого У 1 0 ^\ / х-Ф -— — X У 1 0 1 V Л / Рис. X 5) 1.21 У 1 0 \y=*'2/J ^^ 1 X б) значения х ф 0. Экстремумов нет. Графики этих функций проходят через точку A, 1) и имеют асимптотами оси координат. Они обладают теми же свойствами симметрии, что и кривые, описанные в 1) (рис. 1.21). 1.2.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 1.2.2.1. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Общая синусоидальная зависимость: у = Л sin (сох + (ро), А > 0, со > 0. 1) При /4 = 1, со = 1ифо=0 имеем обыкновенный синус: y = sinx. Это периодическая функция с периодом Т = 2п (см. 2.5.2.1). Ее график - синусоида (рис. 1.22, а) пересекающая ось х в точках В„ с координатами (ия, 0) (п — любое целое число), которые одновременно являются точками перегиба кривой. Касательные в этих точках образуют с положительным направлением оси х угол либо я/4, либо -я/4. Максимумы функции лежат в точках хтаХя = я/2 + 2пя, минимумы - в точках xmjn = —я/2 + 2пя. Значения функции у удовлетворяют неравенству -1 < у ^ 1. 2) График общей синусоиды с амплитудой Л, круговой частотой со и фазой ф0 представлен на рис. 1.22,6 (незатухающее гармоническое колебание; о затухающем гармоническом колебании Рис. 1.22 см. 1.2.2.2). Его получают из синусоиды аффинным преобразованием: растяжением в А раз в направлении оси у, растяжением в 1/со раз в направлении оси х и последующим параллельным переносом по оси х на -фо/со. Функция имеет период Т = 2я/со и нули в точках (пп — фо)/со. Максимумы расположены в точках (я/2 — ф0 + + 2ия)/со, минимумы — в точках (— я/2 — ф0 + + 2ия)/со. Все значения функции удовлетворяют неравенству - А < у ^ А. Косинус: у = cosx. Так как cosx = sin(x + + я/2) для любого х, то функция cos х представ-
118 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ляет собой частный случай общей синусоидальной зависимости: А = со = 1, ф0 = я/2. Поэтому ее график - сдвинутая по оси х на -я/2 синусоида (рис. 1.23). Нули — в точках я/2 + «я, Рис. 1.23 максимумы — в точках 2ля, минимумы — в точках Bл + 1) я. Период Т = 2я. Тангенс: y = tgx. Область определения этой функции представляет собой бесконечное число открытых интервалов ( — я/2 + ля, я/2 + ля), где л - любое целое число. В каждом из этих интервалов функция монотонно возрастает и имеет нуль в точке хОи — ля. Функция периодична с периодом Т = я. В точках (я/2) + ля функция имеет полюс Рис. 1.24 1-го порядка. Точки пересечения ее графика с осью х - это одновременно и точки перегиба. Касательные в этих точках составляют с положительным направлением оси х угол я/4 (рис. 1.24). Котангенс: y = ctgx. Область определения этой функции представляет собой бесконечное число открытых интервалов (пп, (п + 1)я), где п — любое целое число. В каждом из этих интервалов функция монотонно убывает и имеет один нуль в точках хОи = (я/2) + пп. Функция периодическая с периодом Т = я. В точках пп она имеет полюс 1-го порядка. Точки пересечения Рис. 1 25 ее графика с осью х — это одновременно и точки перегиба. Угол, образуемый в этих точках касательными к кривой с положительным направлением оси х, равен —я/4 (рис. 1.25). В области определения справедливо равенство ctg х = — tg ((я/2) + х). Секанс: j/ = secx. Эта функция определена в открытых интервалах (- (я/2) + ля, (я/2) + ля) соотношением sec х = 1/cos x и имеет в точках хРп ~ (%№ "*" пп полюсы 1~го порядка. Функция периодична с периодом Т = 2я (рис. 1.26). При любом х из области определения справедливо Рис. 1 26 Рис. 1 27 неравенство | sec х | ^ 1, минимумы функции находятся в точках 2ля, максимумы — в точках Bл + 1)я. Косеканс: у = cosecx. Функция определяется в открытых интервалах (ля, (л + 1)я) равенством cosec х = 1/sin x; она периодична с периодом Т = 2я и имеет в точках хрп = ля полюсы 1-го порядка (рис. 1.27). Так как при любом х из области определения справедливо равенство cosec х = sec (x — я/2), то график совпадает со сдвинутым на я/2 по оси х графиком функции у = sec х. Функция имеет минимумы в точках яDл + 1)/2 и максимумы в точках яDл + 3)/2. Арксинус: y = arcsinx. Эта функция является обратной к функции у = sin x на отрезке — я/2 < х ^ я/2 (рис. 1.28). Таким образом, ее область определения — 1 < х ^ 1, а область значений - я/2 ^ у ^ я/2. Функция монотонно возрастает и имеет нуль при х0 = 0. Ее график — часть синусоиды, зеркально отраженной относительно прямой х — у = 0 (биссектрисы первого и Рис. 1.28 1.29 третьего квадрантов). График имеет в начале координат точку перегиба; касательная в этой точке составляет с осью х угол ср = я/4 (см. также примечание в конце 1.2.2.1).
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 119 Арккосинус: >; = arccos х. Эта функция является обратной к функции у = cos х на отрезке О ^ х ^ я. Таким образом, ее область определения — 1 ^ х < 1, а область значений 0 < у ^ я (рис. 1.29). Функция монотонно убывает. Ее график - часть косинусоиды, зеркально отраженной относительно прямой л: — у — 0. График имеет в точке @, я/2) точку перегиба; касательная в этой точке составляет с осью х угол ф = Зя/4 (см. также примечание в конце 1.2.2.1). Арктангенс: у = arctg х. Эта функция является обратной к функции у = tg x на интервале — я/2 < х < я/2. Следовательно, ее область определения — оо<х< +оо, а область значений -я/2 < у < я/2 (рис. 1.30). Функция монотонно Рис. 1.30 возрастает и имеет нуль при х0 = 0. Ее график получают зеркальным отражением соответствующей ветви графика функции у = tg x относительно прямой х — у = 0. В начале координат функция имеет точку перегиба; утл, образуемый касательной в этой точке с осью х, равен ф = я/4. Прямые у + я/2 = 0 и у - я/2 = 0 - асимптоты при х-*— оо и х -> + х соответственно (см. также примечание в конце 1.2.2.1). Арккотангенс: у = arcctgx. Эта функция является обратной к функции у = ctg x на интервале 0 < х < я. Следовательно, ее область определения — оо < х < 4- оо, а область значений О < у < я (рис. 1.31). Функция монотонно убывает У s It —*=^ к 0 Ч" х Рис. 1.31 и не имеет нулей. Ее график получают зеркальным отражением соответствующей ветви графика функции у = ctg x относительно прямой х - у = 0. - Этот график имеет точку перегиба (О, я/2); угол, образуемый касательной в этой точке и осью х, равен ф = Зл/4. Прямые у = 0 и у — я = 0 — асимптоты при х -> + оо и х -> — оо соответственно (см. также нижеследующее примечание). Примечание Если х - фиксированное действительное число, — 1 ^ х ^ 1, то множество всех действительных чисел у, для которых x = siny, обозначают Arcsinx; следовательно, Arcsin х = {у | х = sin у} В каждом таком множестве Arcsin х существует единственное действительное у0 = = arcsin х, которое называется главным значением Arcsinx. Отсюда следует: у ? Arcsinx тогда и только тогда, когда имеется целое число и, при котором у = = (— 1)"arcsinх + пп. Соответственно получают: у е Arccos x тогда и только тогда, когда существует такое л е Z (Z — множество целых чисел), что у = + arccos x + 2пп. Далее, у е Arctg х при х е (— оо, + оо) тогда и только тогда, когда существует такое neZ, что у = arctg x + пп; у е Arcctg х тогда и только тогда, когда существует такое и е Z, что у = arcctg x + пп Графики многозначных функций Arcsin x, Arccos x, Arctg х, Arcctg х изображены соответственно на рис. 1.28 — 1.31 штриховыми линиями. 1.2.2.2. Показательные и логарифмические функции. Показательные функции: у = еЪх = = ехр {Ьх}, Ъ ф 0 (их называют также экспоненциальными). Функция (рис. 1.32) определена при всех значениях х, не имеет ни нулей, ни экстремумов. Ее значения всегда положительны. Обозначив а = еь, имеем еЬх = ах для всех значений х, а > 0, а ф 1. При Ъ > 0 (т. е. а > 1) функция монотонно возрастает, при Ъ < 0 (т. е. О < а < 1) она монотонно убывает. Важные частные случаи: у = ех — ехр х, График проходит через точку @, 1) и имеет ось х в качестве асимптоты при х -*¦ — оо. Логарифмические функции: у = logflx, а > 0, а ф 1. Они являются обратными функциями Рис. 1 33 для показательных функций. Область значений: - оо < у < +оо. Обозначая Ъ = In а, имеем в области
120 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ определения loga x = (l/fr)lnx, Ъ ф 0. При а > 1 (т. е. Ъ > 0) функция монотонно возрастает, при 0 < а < 1 (т. е. b < 0) она монотонно убывает (рис. 1.33). Важный частный случай: а = е (т. е. Ъ = 1), у = In х. График проходит через точку A,0) и имеет асимптотой ось у. При каждом отличном от нуля значении Ъ функции у — еЪх и у = {\/Ь)\пх взаимно обратны; их графики совмещаются друг с другом при зеркальном отражении относительно прямой х — у = 0. Функции у = Ье'{ах) = Ьехр{- (ахJ}, а Ф 0, Ъ > 0. Функция (рис. 1.34) определена при всех значениях х, ее область значений: 0 < у ^ Ъ. д=/ В промежутке — оо < х ^ 0 она монотонно возрастает, а в промежутке 0 ^ х < + оо монотонно убывает и имеет при х = 0 максимум утах = Ъ. График симметричен относительно оси у и имеет две точки перегиба: ВA/(ау2), bye) и С( — 1/(ау2), bye). Касательные в этих точках имеют угловые коэффициенты tgcpj = — aby2/e и tg Ф2 = ab \/2/е. Важный частный случай: Ь = = 1/(а |/2тс), а = а |/2 (это гауссова кривая — кривая нормального закона распределения ошибок, ср. 1.1.2.6.1). Функции у = аеь* + cedx, abed ф 0. Функции (рис. 1.35) определены при всех значениях х. Их рассматривают как сумму функций ух = аеЪх и у2 — сеЛх (о частных случаях 6=1, d = — 1 и а = с = 1/2 или а = — с = 1/2 см. 1.2.2.3). Можно выделить четыре типа, для каждого из которых существует четыре случая. Для каждого типа рассматривается один случай. Графики функций в остальных случаях получают из графика рассмотренного случая путем зеркального отображения относительно оси х, оси у или обеих осей. а) ас > 0, bd>0. На рис. 1.35, а изображен случай а > 0, с > 0 и b > 0, d > 0. Функция монотонно возрастает; Экстремумов и нулей нет. График не имеет точек перегиба, ось х — асимптота. б) ас > 0, bd<0. На рис. 1.35,6 изображен случай а > 0, с > 0, b > 0, d < 0. Функция имеет минимум в точке xmin, не имеет нулей. В промежутке ( — оо, xmjn] она монотонно убывает, а в промежутке [xmin, +oo) монотонно возрастает. График не имеет точек перегиба и асимптот. в) ас < 0, bd > 0. На рис. 1.35, в изображен случай а > 0, с < 0, b > 0, г/ > 0. Функция имеет один максимум в точке хтах, нуль при In (-с/я) In (с/я) Х° = ~~ь /—' пРомежУтке ( — оо, хпах] она монотонно возрастает, а в промежутке [хтах, + оо) монотонно убывает. График имеет одну точку перегиба, ось х — асимптота. г) ас <O,hd< 0. На рис. 1 35, г изображен случай а < 0, с > 0 и b < 0, d > 0. Функция не имеет экстремумов, монотонно возрастает и имеет один нуль в х0. У графика одна точка перегиба. Асимптот нет. Экстремальные значения (типы б) и в)) в точке С достшаются при х = (\/(d — b))- In( — ab/(cd)), d ф b. Нули (типы в) и г)): х0 = (i/(d - b))-\n{-a/c), d ф b. Точка пересечения с осью у: А@, а + с), абсцисса точки перегиба D (типы в) и г)): х = (\/(d - b))-\n{-ab2/(cd2)), d ф b. Функции у = aebx f сх = яехр {Ьх + сх2}, ас Ф ф 0. Графики этих функций симметричны относительно прямой 2сх + b = 0. У функций нет нулей, но есть один экстремум в точке Л (— Ь/Bс), аехр{-Ь2/Dс)}). Различают два типа графиков функций, которые изображены для случая а > 0 на рис. 1.36 а)С>0 б)с<0 Рис 1 36 (при я < 0 нужно зеркально отобразить кривые относительно оси х). а) с > 0, а > 0. Экстремум — минимум; функция в промежутке ( — оо, xmin] монотонно убывает, а в промежутке [xmin, + оо) монотонно возрастает. Точек перегиба и асимптот нет (рис. 1.36, а). б) с < 0, а > 0. Экстремум — максимум; функция в промежутке ( — оо, хтах] монотонно возрастает, а в промежутке [хтах, +оо) монотонно убывает. Ось х — асимптота (рис. 1.36,6) Точки
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 121 перегиба имеют координаты -Ь-]/2с Функции>> = яхьесх = ахь ехр (сх), abe # 0. Если в качестве b взягь любое отличное от нуля действительное число, то функции при b > 0 определены в промежутке 0 ^ х < + оо, а при b < 0 — в промежутке 0 < х < + оо. Здесь снова достаточно рассмотреть случай а > 0 (при а < 0 графики получаются зеркальным отображением относительно оси х). а) с > 0, Ь> 1 (рис. 1.37, а). График касается оси х в точке @, 0). Функция монотонно возрастает. б) с > 0, Ь = \ (рис. 1.37,6). График проходит через точку @, 0) и касается в этой точке прямой х — у — 0. Функция монотонно возрастает. О х О a)c>O,b>f У 1с 0 х 0] х в)с>0,0<Ь<1 х 01 г)с>0,Ь<0 е)с<О,Ь=1 ^ х 0\ ж)с<0,0<Ь<1 з)с<0,Ь<0 Рис 1 37 в) с > 0, 0 < b < 1 (рис. 1.37, в). График касается оси у в точке @, 0) и имеет точку перегиба С с абсциссой (|/Ь — Ь)/с. Функция монотонно возрастает и не имеет экстремумов. г) с > 0, b < 0 (рис. 1.37, г). Ось у — асимптота. Функция имеет минимум в точке х = —Ь/с и монотонно убывает в промежутке @, —Ь/с], а в промежутке [ — Ь/с, +оо) монотонно возрастает. д) с < 0, Ь>\ (рис. 1.37, д). График касается оси х в точке @, 0) и имеет две точки перегиба С и D с абсциссами хс = (b + ]/~b)f{ -с) и *Z) = (b - yb)/{ — c). Ось х - асимптота. Функция имеет максимум при х = -Ь/с. В промежутке [0, -Ь/с] монотонно возрастает, а в промежутке [ — Ь/с, +оо) монотонно убывает. е) с < 0, Ь=1 (рис. 1.37, е). График проходит через точку @, 0) и касается в этой точке прямой ах — у = 0. Существует только одна точка перегиба С с абсциссой Х(- = — 2/с, аналогичная рассмотренной в д), и единственный максимум при х = — 1/с. ж) с < 0, 0 < b < 1 (рис. 1.37, ж). График касается оси у в точке @, 0). Существует только одна точка перегиба С с абсциссой хс = = (Ь + уЬ)К — с) и единственный максимум при х = - 1/с. з) с < 0, Ь < 0 (рис. 1.37, з). Оси координат — асимптоты. Функция монотонно убывает в интервале @, + оо). Функции у = Ае~ах sin (сох + (р), А > 0, а > 0, со > 0. Графики этих функций (рис. 1.38) представляют собой при х ^ 0 затухающие гармонические колебания, если интерпретировать х как Рис. 1 38 время, а у как отклонение (при а = 0 - незатухающие гармонические колебания, см. 1.2.2.1). Кривая располагается в области, ограниченной графиками функций у = Ае~ах и у=—Ае~ах (изображены штриховыми линиями), имеющими ось х в качестве асимптоты. Координаты точек касания Ак рассматриваемой кривой с графиками функций у = Ае~ах и у = — Ае~ах равны хк = , ук = (— 1) Ае , со к — целое. Точки пересечения с осями координат: В (О, A sin ф), Ск ((кп — ф)/со, 0); точки экстремума (абсциссы точек Dk): (кп — ф + + arctg(co/a))/co; абсциссы точек перегиба Ек: (кп - ф + + 2arctg(co/a))/co; логарифмический декремент: 8 = = In \Ук/Ук + 1 I = ап/(й. 1.2.2.3. Гиперболические функции. Гиперболический си- ¦ ех - е~х ну с: у = sh х = . Функция нечетная, монотонно возрастающая. Ее график (рис. 1.39) центрально симметричен относительно начала ко- Рис 1 39 ординат Точка @, 0) является точкой перегиба кривой. Угол наклона ф касательной в'точке @, 0) равен я/4. У 0 7 / / 3 2 1 Ж 1 2*х -1 -2 -з -4
122 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Гиперболический косинус: у = ch x = ех + е~х . Эта функция в промежутке (— оо, 0] монотонно убывает, а в промежутке [0, + оо) монотонно возрастает, имеет при х0 = 0 минимум со значением функции, равным единице. Ее график (рис. 1.40) симметричен относительно оси у и является цепной линией (см. 1.3.4). В окрестности точки /4@, 1) он хорошо аппроксимируется графиком функции у = \ + х2/2 Рис !-40 (парабола на рис. 1.40 изображена штриховой линией, касание 3-го порядка). Гиперболический тангенс: у = th x = — —. Функция монотонно возрастает, все -2 -/ 0 ее значения лежат между -1 и 1. График (рис. 1.41) центрально 2 3 X симметРичен относительно начала координат. Точка @, 0) является точкой перегиба кривой. Угол наклона (р касательной в точке @, 0) равен и у + 1 = 0 - асимптоты при х-* + ао и х -> — оо соответственно. Гиперболический котангенс: у — ех + е~х = cth х = 1—. В интервалах (— оо, 0) и @, + оо) ех - е х функция монотонно убывает; в точке хр = 0 она имеет полюс первого порядка. Нулей нет. График функции (рис. 1.42) центрально симметричен относительно точки @, 0). Прямые у - 1 = 0, я/4. Прямые у — 1=0 Рис. 1.42 у + 1 = 0 — асимптоты при х-» + оо и х-* — оо соответственно; прямая х = 0 — вертикальная асимптота. Ареасинус: y = Arshx = ln(x + J/x2 + 1). Эта функция является обратной функцией для > = sh х на интервале (—оо, +оо) и поэтому монотонно возрастает. График (рис. 1.43) получают зеркальным отражением графика у = sh x относительно прямой х — у = 0. Точка @, 0) — центр симметрии кривой и одновременно точка перегиба. Угол наклона (р касательной в точке @, 0) равен я/4. Ареакосинус: у = Arch х = ln(x ± |/х2 — 1). Эта функция двузначная. Она является обратной 2 функцией для у = ch х в промежутке [0, + оо) и в промежутке ( — оо, 0]. Ее область определения 1 ^ х < + оо. В области определения верхняя ветвь монотонно возрастает, а нижняя монотонно убывает. Ее график (рис. 1.44) касается в точке ,4A, 0) прямой, параллельной оси у, 7 X Рис 1.44 и является графиком у = ch x, зеркально отраженным относительно прямой х — у = 0. 1 , * +х Ареатангенс: у = Arth х = — In . Эта функция является обратной функцией для y = thx на интервале ( —оо, +оо). Ее область определения — 1 < х < 1, область значений — оо < у < + оо. Функция нечетная, монотонно возрастающая. График функции (рис. 1.45) центрально симметричен -4 -3 -2 -/ 0 1 X -1 1 2 3 -2 -3 -4 Рис. 1.46 относительно точки @, 0), причем эта точка — одновременно и точка перегиба. Касательная в этой точке имеет угол наклона ф = я/4, прямые х—1=0 и х+1=0 — асимптоты. График функции получается зеркальным отражением графика у = th х относительно прямой х — у = 0.
КРИВЫЕ 3-ю ПОРЯДКА 123 1 х+1 Ареакотангенс: y = Arcthx = -In Эта 2 х-1" функция является обратной функцией для у = = cth х в обоих интервалах монотонности ( — оо, 0) и @, + оо). Следовательно, ее область определения распадается на интервалы (-оо, -1) и A, +оо), в которых она монотонно убывает. Ее график (рис. 1.46) центрально симметричен относительно точки @, 0); он получается путем зеркального отражения относительно прямой х — у = 0 графика у = cth x и имеет асимптоты у = 0, х + 1 = 0, х - 1 = 0. 1.3. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ Если F(x, у) = 0 - уравнение, имеющее решения и не являющееся тождеством (см. 2.4.1.2), и если Q - {(а, Ь) | F (а, Ь) = 0} - множество всех упорядоченных пар действительных чисел а и Ь, для которых F (а, Ь) = 0, то множество L = = {М(а, b)\{a, b)eQ} всех точек М плоскости, имеющих в какой-либо системе координат S координаты а и Ь, называют плоской кривой, определенной в S уравнением F(x, у) = 0. Если F(x, у) представляет собой, в частности, выражение у — /(х) и система координат декартова, то кривая L является графиком функции у = /(х) (см. 1.2). Таким образом, уравнение кривой зависит не только от вида кривой, но и от системы координат. Кривая L называется алгебраической кривой порядка п, если имеются декартова система координат и многочлен F(x, у) переменных х, у степени п такой, что F (х, у) = 0 является уравнением кривой L в этой системе координат. В полярной системе координат (см. 2.6.5), как правило, ограничиваются уравнениями вида р = /(ф). Тогда р=/(ф) рассматривается как уравнение кривой L в полярных координатах. Если х = x(t) и у = y(t) — две функции, определенные в одном и том же промежутке /, и S - декартова система координат, то обе эти функции называются параметрическим представлением кривой L={M(x(t),y(t))\teI]. 1.3.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ Об алгебраических кривых 1-го и 2-го порядков см. 2.6.6.1. 1.3.1.1. Кривые 3-го порядка. Полукубическая парабола (рис. 1.47). Уравнение кривой: агхъ - у2 = 0, л > 0. Параметрическое представление: х = t2, на К кривой в точке с абсциссой х: К = 6а/( ]/х D + 9а2хK/2). Длина / дуги кривой от начала координат до точки М с абсциссой х:/ = (D + 9а2хK/2 - 8)/B7а2). Локон Аньези (рис. 1.48). Уравнение кривой: {х2-\-а2)у- — а3 = 0, а > 0. Асимптота: у = 0. Радиус кривизны в вершине у4@, а): Яд = а/2. Точки перегиба: В(а/уЗ, За/4), С(-а/]/з, За/4). Угловые коэффициенты касательных в точках перегиба: tg ср2 = - 3 )/з/8, tg q>i = 3 |/з/8. Площадь между кривой и асимптотой: S = па2. Декартов лист (рис. 1.49). Уравнение кривой: х3 -\- у3 — Ъаху = 0, а > 0. Параметрическое представление: х = 3at/(l + t3), у = 3at2/(l + t3), — oo<t<—l и — l<t<+oo. Если обозначить через M(t) точку кривой, соответствующую значению параметра t, а через (p(f) угол между МО и положительным направлением оси х, то будет справедливо равенство tg ф @ = t. Начало координат О — узловая точка кривой. При — 1 < t < + оо кривая проходит из второго квадранта через точку @, 0) (Г = О) и А в точку @, 0) (t -+ + оо); при - оо < t < - 1 кривая, начинаясь в точке У\ -as -а Рис. 1.49 Рис. 1.50 Рис. 1.47 (О, 0), располагается в четвертом квадранте. Оси координат - касательные к кривой в точке @, 0). Радиус кривизны в точке @, 0) обеих ветвей кривых: Ro = За/2. Уравнение асимптоты: х + у + а = 0. Вершина: А (За/2, За/2). Площадь петли: Sx = 3a2/2; площадь между кривой и асимптотой: S2 = 3a2/2. Циссоида (рис. 1.50). Уравнение кривой: х3 + (х — а) у2 = 0, а > 0. Параметрическое представление: х = a?2/(l + t2),y = at3/(l + t2), - оо < t < < + оо; t = tg <p (t), где ср (t) - угол между лучом ОМ и положительным направлением оси х (М (t) - текущая точка кривой). Уравнение в полярных координатах: рм = a sin2 (p/cos (p. Геометрическое определение: точка М находится на кривой, если она лежит на луче, выходящем из начала
124 ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ координат, и | МО | = | PQ |, где Р - вторая точка пересечения луча с окружностью радиуса а/2 и центром (а/2, 0), a Q — точка пересечения луча с прямой х — а = 0. Точка @, 0) - точка возврата кривой. Асимптота: х - а = 0; площадь между кривой и асимптотой: 5 = Зпа2/4. Строфоида (рис. 1.51). Уравнение кривой: (х + а) а2 + {х - а) у2 = 0, а > 0. Параметрическое представление: х = a(t2 — l)/(t2 + 1), у = at(t2 — - l)/(t2 + 1), -оо <t < +ао; t = tg <p(t), где ф(?) - угол между прямой МО и положительным X Рис. 1.51 направлением оси х (М = M(t) - текущая точка кривой). Уравнение в полярных координатах: р = — a cos 2<p/cos ф. Геометрическое определение: точка М лежит на кривой, если она лежит на луче, выходящем из А (-а, 0), и \PM\-\PO\, где Р — точка пересечения луча с осью у, О — начало координат (на рис. 1.51 \РМХ\=\РО\ = = | РМ2 I). Начало координат - узловая точка кривой, прямые х + у = 0 и х — у = 0 - касательные к кривой в О. Асимптота: х — а = 0. Вершина: А( — а, 0). Площадь петли: Si = 2а2 — па2/2; площадь между кривой и асимптотой: S2 = 2а2 + + па2/2. 1.3.1.2. Кривые 4-го порядка. Конхоида Никомеда (рис. 1.52). Уравнение кривой: (х - аJ{х2 + у2) — 12х2 =0, а > 0, Рис. 1.52 / > 0. Параметрическое представление: х = а + /cost, у = a tg t + I sin f, —n/2<t<n/2- правая ветвь, n/2 < t < Зп/2 — левая ветвь. Уравнения в полярных координатах: р = (a/cos ф) + / — правая ветвь, р = {a/cos ф) — / — левая ветвь. Геометрическое определение конхоиды Никомеда: конхоида*) прямой х — а = 0 относительно О. Асимптота: х — а — 0 (для обеих ветвей). Вершины: А(а + 1, 0)— правая ветвь, D(a — l, 0) — левая. Точки перегиба правой ветви: В и С; их абсцисса — наибольший корень уравнения х3 - Ъа2х + 2а(а2 - I2) = 0. Для левой ветви следует различать три случая: а) 1<а (рис. 1.52,а). Точка О — изолированная точка кривой (О в этом случае в параметрическом представлении не содержится). Левая ветвь имеет две точки перегиба, абсцисса которых — второй по величине корень выписанного выше уравнения, б) 1>а (рис. 1.52,6). О — узловая точка кривой, касательные в О имеют угловые коэффициенты |/г — а2/а или — |//2 — а2/а, радиус кривизны в О: Ro = l\/l2 - а2/Bа). в) I = a (рис. 1.52, в). Точка О совпадает с вершиной D и является точкой возврата. Улитка Паскаля (рис. 1.53). Уравнение кривой: (х2 4- у2 - ахJ - I2 (х2 + у2) = 0, а > 0, / > 0. Рис 1 53 В параметрической форме (при а < I точка О не включается): х = a cos21 + I cos t, у = a cos t sin t + + Isint, 0 < ? < 2л. Уравнение в полярных координатах (при а<1 без точки О): р = асо8ф + /. Геометрическое определение (без О как изолированной точки): конхоида окружности с радиусом а/2 и центром (а/2, 0) относительно О. Вершины А (а + /, 0), В (а — I, 0). Экстремумов четыре, если а > /, и два, если а ^ /: С, D, E, Flcost ¦¦ / ± ] 8а2 Dа) / 2а2 + /2\ Точки перегиба G, HI cos t = ——-— I существуют, если а < I <2а. Если / < 2а, то существуют две точки: /(-/2/Dа), \]/4а2 - 12/Dа)) и К(-12/Dа), — IУ4а2 — /2/Dа)), обладающие общей касательной. При а < I точка О — изолированная точка кривой, при а > I точка О — угловая точка с двумя касательными (угловой коэффициент касательных *) Конхоидой данной кривой называется кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении радиуса-вектора каждой точки данной кривой на постоянный отрезок / Если уравнение кривой в полярных координатах имеет вид р = /(ф)> то уравнением ее конхоиды будет р = / (ф) ±/. Конхоида Никомела — конхоида прямой линии
циклоиды 125 у а2 — 12/1 и — у а2 — 12/1) и радиусом кривизны |/а2 - /2/2, при а = I точка О — точка возврата (см. кардиоиду). Кардиоида (рис. 1.54). Уравнение кривой: (х2 + у2)(х2 + у2 -2ах) - а2у2 = О, а > 0. В параметрической форме: х = a cos t A + cos t), у = = a sin t A + cos f), 0 < t < 2л. Уравнение в полярных координатах: р = а(\ + cos ф). Геометрическое определение: частный случай улитки Паскаля (см. выше) или частный случай эпициклоиды (см. 1.3.2). Вершина: АBа, 0); точка возврата — точка О. Координаты экстремумов С и D: хс = xD = За/4, УС = ~Уй = V^XO Ч>С = ~Ф?> = яДрс = Pd = За/2. Площадь: S = Ъка2/2 (шестикратная площадь круга с диаметром а). Длина кривой: s = 8а. Овалы Кассини (рис. 1.55). Уравнение кривой: (х2 + у2J - 2с2(х2 - у2) - (а4 - с4) = 0, с > 0, а > 0. В полярных координатах: p2=c2cos2cp± ± ус4 cos2 2ф + (а4 — с4). Геометрическое определение: точка М плоскости лежит на кривой, а)а ^ с|/2(рис. 1.55, а). Вершины: Л (j/fl?~+ с2, 0), С(- )/а2 + с2, 0), Я@, j/a2^"?), D@, - /а2-с2). Если а = с |/2, то кривизна в точках В и D равна нулю (кривая имеет с касательными в В и D касание 3-го порядка). 6)с<а<су2 (рис. 1.55,6). Имеются четыре точки перегиба: Р, L, М, N. Их координаты: хР = -xL = хм = -хдг = {/(т - л)/2, уР = yL = = -УМ = ~ УЫ = l/(m + л)/2, где m = j/(a4 - с4)/3, и = (д* _ с4)/C<2). Точки ? и G, а также К и I имеют при су 2 > а общие касательные. Их координаты: х? = -xG= - хк = х/ = ]/4с4 - а4/Bс), УЕ = УС = - УК = ~У1 = «7Bс). в) а = с Лемниската (см. ниже). г)_а^< г (рис. 1.55, в). Пересечения с осью х: А(\/аГ+72, 0), C(-l/V+c2, 0), Р()/с2-а2, 0), Q(- \/с2 - а2, 0). Координаты точек Е, G, I, К: хЕ = Xj = -xG = -хк = /4с4 - а4/Bс), 2/B) = ~У1 G -УК =«2/Bс). уЕ = yG = Лемниската (рис. 1.56). Уравнение кривой: (х2 + у2J - 2а2 (х2 - у2) = 0, а > 0. В полярных Рис 1 56 координатах: p = a]/2cos29. Геометрическое определение: точка М плоскости лежит на кривой, если произведение ее расстояний до фиксированных точек Fi(a, 0) и F2(-a, 0) постоянно: | F,M | • | F2M | = (| F,F2 |/2J. (Частный случай овала Кассини.) Начало координат — узловая точка с касательными у = + х, она же - точка перегиба. Пересечение кривой с осью х: /4(а|/2, 0), С(-ау2, 0); координаты точек Е, G, I, К: хЕ = х7 = -xG = -хк = а|/з/2, УЕ = Ув = ~У1 = -УК = я/2. Радиус кривизны: г = 2а2/Cр); площадь каждой петли: S = а2. 1.3.2. ЦИКЛОИДЫ Циклоидой называется кривая, описываемая точкой, отстоящей на фиксированное расстояние от центра круга, катящегося без скольжения по данной кривой - направляющей циклоиды. Обыкновенная циклоида (рис. 1.57). Направляющая кривая - прямая линия. Уравнение в декартовых координатах: acos((x + если произведение ее расстояний до фиксирован- + ]/у Bа - у))/а) = а - у, а > 0. В параметрической ных точек Fx и F2 постоянно: | MF1 || MF2 \ = а2; форме: x = a(t - sin t), у = аA -cost), -oo<t< при этом Ft и F2 имеют координаты Fx (с, 0), < +оо, а - радиус катящейся окружности, F2(-c, 0). Форма кривой зависит от отношения t = z_ MCXB называется углом качения. Точки Ф' возврата: OkBkna, 0). Вершины: Ak(Bk - \)па, 2а). а<с Рис. 1.55
126 ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ Длина дуги ОМ: s = 8я sin(t/4), M(t)~ текущая точка; длина дуги одной ветви OAxOi'. s = 8а. Площадь между дугой OA^Oi и осью х: S = Зпа2. Радиус кривизны: R(t) = 4asin(t/4). Радиус У Рис. 1 57 кривизны в вершинах: RA — 4а. Эволюта циклоиды (см. 4.3.1.5) — такая же циклоида (на рис. 1.57 изображена штриховой линией). Укороченная и удлиненная циклоиды (тро-хоиды) (рис. 1.58). Уравнения в параметрической форме: х = a(t - X.sin t), у = = а(\ — A,cost), a — радиус окружности; t = z. MCXP (угол качения); Ха = С^М (при X > 1 (рис. 1.58, а) - удлиненная циклоида, при X < 1 (рис. 1.58, б) — укороченная циклоида). Вершины Ак(Bк — 1)тсд, Рис. 1.58 A + X) а) - максимум с радиусом кривизны RA = аA + ХJ/Х и ВкBкпа, A - Х)а) - минимум с радиусом кривизны Rr = аA - ХJ/Х. Длина дуги 2я BkBk + l: a J |/l + X2 — 2Xcostdt. Площадь, заштри- о хованная на рис. 1.58: S = па2 B + X2). Радиус кривизны: R(t) = . Узловые X(cost-X) точки Dk удлиненной циклоиды: Bкпа, а(\ — - ]Д2 — to)), где t0 — наименьший положительный корень уравнения t — X sin t — 0. Укороченная циклоида имеет точки перегиба: Е2к (а(- arccos X + 2кп - X]/\ - X2), аA - X2)), E2k+l(a(arccosX + 2кп - Х]/\-Х\ а{\ - X2)). Эпициклоиды (рис. 1.59). Направляющая кривая - окружность радиуса Ь; окружность радиуса а катится без скольжения вне ее. Уравнения в параметрической форме: х = (а + b) cos ф - a cos ((а + Ь) ф/а), у = (а + b) sin ф - a sin ((a + b) ф (а), — оо < ф < +оо, ф = z. COAi. Вид кривых зависит от отношения т = Ь/а. а) т — целое положительное число. Кривая состоит из т равных друг другу дуг, «обходящих» направляющую окружность (рис. 1.59, а). Достаточно рассмотреть изменения ф от нуля до 2л, так как кривая далее переходит сама в себя. При т = 1 получается кардиоида (см. 1.3.1.2). Точки возврата Ак при 1 < к < т получаются при значениях параметра ф^ = 2(к - \)п/т; вершины Вк — при фВл = B/с — \)п/т. б) т = p/q, p и q — положительные, целые, взаимно простые числа. Кривая состоит из р равных друг другу пересекающихся дуг (рис. 1.59,6). Кривая замкнута. Промежуток изменения параметра: 0 ^ ф < 2qn. в) Если т иррациональное, то кривая состоит из бесконечного числа равных друг другу дуг. Кривая не замкнута. Длина дуги между двумя точками возврата: 8(a + b)/m. Площадь между дугой и направляющей окружностью: 5 = = па2{2а + ЪЬ)/Ь. Радиус кривизны: 4а (а + b)sin(*Kp/Ba)) 2а+ b ' 4а (а + Ь) в вершинах Вк: Bа + Ъ)
циклоиды 127 Гипоциклоиды (рис. 1.60). Направляющая кривая - окружность радиуса Ь; окружность радиуса а катится без скольжения внутри нее. Уравнения в параметрической форме: х = (Ь — a)coscp + acos{(b — а)ц>/а), у = (Ь - a) sin ф - a sin ((b - а) ф/а), b > а, — оо < ф < оо. Так как b > а, то всегда т = Ь/а> 1. При т = 2 гипоциклоида вырождается в диаметр направляющей окружности. (О числе равных друг другу дуг кривых и параметрических интервалов см. эпициклоиды. Там же см. и значения параметров точек возврата и вершин.) Длина дуги одной ветви (между двумя точками возврата): 8(Ь — а)/т. Площадь между одной ветвью и на- a) m=3 правляющей окружностью: S = па2{ЗЬ - 2a)/b. Радиус кривизны: и вершинах Вк: Ь-2а Ла(Ь-а) Ь-2а ' При т — 3 гипоциклоида с тремя ветвями (рис. 1.60,а); длина кривой: s = 16a; площадь, ограниченная кривой: 2па2. В частном случае т = 4 получается астроида (рис. 1.60,6). Уравнения в параметрической форме: х = Ьсо83ф, у = Ь8ш3ф, 0 ^ ф < 2тс; в декартовых координатах: Х2/3 + ^2/3 = fo2/3} ШИ (х2 + у2 _ Ь2K + 21Х2у2Ь2 = О (алгебраическая кривая 6-го порядка). Длина кривой равна s = ЬЬ = 24а; площадь, ограниченная кривой: S = 3nb2/S = 6ка2. Удлиненная и укороченная эпи- и гипоциклоиды (рис. 1.61 и 1.62). Уравнения в параметрической форме удлиненных и укороченных эпициклоид: (а + Ь) ф х = (а + b) cos ф - Ха cos у = (a + b) sin ф - Ха sin а {а + Ь)ф а > 0, b > 0, СМ, - оо < ф < + оо (для удлиненной эпициклоиды X, > 1, рис. 1.61, а; для укороченной X < 1, рис. 1.61,6). Рис. 1.61 Параметрические уравнения удлиненной и укороченной гипоциклоид: х = (Ь — a) cos ф + Ха cos ' = (b — a)sinq> — Xasin a > - а)ф a Ь > а > 0, Ха = СМ, — оо < ф < + оо (для удлиненной гипоциклоиды X > 1, рис. 1.61, а; для укороченной X < 1, рис. 1.62,6). Частные случаи: а) гипоциклоида b — 2а\ х = аA+ Х,)созф, у = а(\ — A,) sin фД т* 1,0^ф< 2я. Кривая — эллипс с полуосями аA+Х) и \а{\-Х)\ (см. 2.6.6.1);
128 ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ б) эпициклоида Ь — а: х = aBcos<p - Xcos2<p), у = aBsincp - О ^ ф < 2п, есть улитка Паскаля (см. 1.3.1.2; следует, однако, / У / / [/ ч. \ X \ N / / f 0 ч \д V п *\ 7 ' \ J / \ у \ < \ у Рис. 1.62 обратить внимание на другое положение кривой относительно координатной системы). 1.3.3. СПИРАЛИ Архимедовы спирали (рис. 1.63). Кривая представляет собой путь, описываемый некоторой точкой, движущейся с постоянной скоростью v Рис. 1.63 по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной угловой скоростью со. Уравнение в полярных координатах: р = аф, а = v/(o > 0, - оо < ф < оо. Первая ветвь: 0 ^ ср < + ос; вторая: — аз < ф ^ О (на рис. 1.63 изображена штриховой линией). Каждый луч ОК пересекает кривую в точках Аь А2,...,Лп,..., находящихся друг от друга на расстоянии А(А( + j = 2па. Длина дуги ОМ: s = а(ф]/ф2 + 1 + Arsh ф)/2; для больших ф имеем lim s/ф2 = а/2. Площадь сектора МХОМ2\ ф -+ +OD а2(фг — ф?)/6. Радиус кривизны: К(ф) = а(ф3 + + 1K/2/(ф2 + 2). Гиперболические спирали (рис. 1.64). Уравнения в параметрическом виде: х = (acost)/t, у = (asint)/t, -oo <t < 0 и 0<f<+oo. Кривые состоят из двух ветвей, расположенных симметрично относительно оси у. Первая ветвь: — оо < г < 0 (на рис. 1.64 штриховая линия); вторая ветвь: 0<t < +oo. В полярных координатах уравнение первой ветви: р = а/| ф - л |, - оо <ф<л; второй ветви: р = а/ф, 0 < ф < +оо. Для обеих ветвей прямая у — а = 0 — асимптота (ф -» — л и ф -¦ 0), а точка О — асимптотическая точка (ф-> — оо и ф -+ +оо). Площадь заштрихованного сектора М^ОМ^. S = а2A/ф2 - lApi)/2. Существует lim S = а2/Bф2). Радиус кривизны (вторая ветвь): Ф Ф2 Логарифмические спирали (рис. 1.65). Уравнение в полярных координатах: р = ае*ф, а>0, — оо < ф < +оо. Кривая пересекает все лучи, Рис. 1 65 выходящие из точки О, под одним и тем же углом а. При этом k = ctg а. При а = л/2, т. е. при к — 0, кривая вырождается в окружность. Полюс О — асимптотическая точка кривой. Длина дуги MiM2: s = (р2 - pi)|/l + k2/k; длина дуги ОМ от начала до точки М с полярным радиусом р: s0 = pj/l + к2/к. Радиус кривизны: R(p) = = j/l +k2p. Развертка (эвольвента) окружности (рис. 1.66; ср. также 4.3.1.5). Если А - некоторая
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ И ТРАКТРИСА 129 определенная точка на окружности радиуса а с центром в О, а М — произвольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка MB. Уравнения в параметрической форме: х = acoscp + аф sin (р, у = а sin ср — acpcoscp, -оо<ф<+оо, (р = г! МО А. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси х (при -оо<ф^0 и 0<ф<+оо), с общей течкой в У Точка О — центр симметрии кривой. Имеются две асимптотические точки: Рис. 1.66 точке возврата А {а, 0). Длина дуги AM: s = аф2/2. Радиус кривизны: Я(ф) = а | ф |. Все центры кривизны лежат на окружности радиуса а с центром в О. Клотоида (рис. 1.67). Кривая проходит через точку О, причем величина, обратная радиусу Рис. 1.67 кривизны (сама кривизна), в каждой точке М кривой пропорциональна длине дуги кривой s = ОМ, т. е. \/R = sa2 (множитель пропорциональности 1/а2). Уравнения в параметрической форме*): х = а ]/тс f cos ——du, у = а ]/я f sin — -~-du, о 2 о 2 - оо < t < +oo, t = s/(a\/n), s = 6ti, a > 0. *) Эти интегралы не выражаются через элементарные функции. 5 И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев А(а]/п/2, B{-a]/n/2, -a 1.3.4. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ И ТРАКТРИСА Цепная линия (рис. 1.68). Форму цепной линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная в двух точках. Уравнение в декартовых координатах: у = ach(x/a), a > 0. Кривая подобна графику функции y = chx (см. 1.2.2.3) (преобразование подобия: х = ах, у — ау). Вблизи вершины А @, а) кривую а У А 0 м/ кр X Рис. 1.68 можно приблизить параболой у = а + х2/Bа) (на рис. 1.68 штриховая линия). Длина дуги AM: s (х) = a sh (x/a). Величина площади криволинейной трапеции О AMP: S (х) = as (x) = a2 sh (x/a), где М (х) - текущая точка кривой с абсциссой х. Радиус кривизны: R = у2/а = ach2(x/a). Трактриса. Пусть М — произвольная точка кривой, Р — точка пересечения касательной в М с осью х; тогда \PM\-a, или, иными словами: если к одному концу нерастяжимой нити длины а прикреплена точка М, а другой конец нити движется по оси х, то М описывает трактрису (линию влечения, рис. 1.69). Уравнение правой ветви в декартовых координатах: х = aln((a + ]/а2 - у2)/у) - j/a7^/ = = a Arch (а/у) - ]/а2 - у2, а > 0, 0 < у ^ а. Уравнение левой ветви получается заменой х на —х. Оба уравнения возведением обеих частей в квадрат можно привести к одному. Точка А @, а) — точка возврата, ось х - асимптота, ось у - ось симметрии. Длина дуги AM: s(y) = а\п{а/у); при этом lim | s(у) - х(у)}| = аA - In2) % 0,3069 a. Радиус кривизны: R (у) = а]/а2 - у2/у; соответ- ствующая кривая центров кривизны (эволюта, см. 4.3.1.5) — цепная линия (на рис. 1.69 штриховая линия) с уравнением у = a ch (x/a).
2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 2.1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 2.1.1.1. Представление чисел в позиционной системе счисления. Для представления чисел применяют цифры или, точнее говоря, цифровые ряды или (цифровые) слова, которые образуются путем упорядочения конечного числа знаков из конечного множества основных знаков (алфавита системы счисления). Представление натуральных чисел. Различают два типа систем счисления: непозиционные (примером которых может служить римская система счисления) и позиционные. В позиционной системе счисления выбирают некоторое натуральное число р, большее единицы, и используют его в качестве базисного числа (р-ичная система счисления); для р, равного единице, позиционной системы счисления не существует. Вводят р основных знаков, называемых цифрами. Эти знаки используют для образования цифровых последовательностей, которые служат для представления натуральных чисел. (Будем обозначать цифры так: а0, аи...,ар-1.) Каждой цифровой последовательности, образованной только из одной цифры, однозначно сопоставим одно из р — 1 первых натуральных чисел или нуль. Тогда всякое натуральное число а имеет точно одно представление в р-ичной системе счисления: а = bsps + bs- ^* + ... + bop°, где s обозначает однозначно определенное натуральное число, bo,...,bs- цифры, причем bs - цифра, отличная от цифры, соответствующей нулю. Ряд знаков bsbs-i...b0 является цифровым представлением числа а. Число нуль представляется последовательностью, состоящей из одной цифры, соответствующей нулю. В позиционной системе представляемое число образуется аддитивно, причем каждая цифра bj имеет числовое значение (число, которое соответствует цифре bj) и позиционное значение (вес) pJ, если bj стоит на j-м месте, считая справа (счет начинают с нуля, а не с единицы!). Аддитивный вклад этой цифры в значение числа равен bjpJ. Десятичная система: р -10, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, 3-105 + 2-10* + 0-103 + 0-102 + 9-101 + 1 • 10° - 320091. Двоичная система (бинарная, или диодная, система): р ш 2, цифры 0, L*). Например, *) Чаще используются цифры 0 и 1. Записанная в двоичной системе счисления последовательность L0L00LL обозначает число, значение которого в десятичной системе есть 83; действительно, 64 + 16 + 2 + + 1-83. Чтобы иметь возможность представлять в позиционной системе также и некоторые рациональные числа, позиционные значения цифр в записи числа распространяют на степени р с отрицательными показателями. Для выделения позиционного значения (веса) р° необходим дополнительный знак (знак дробности), в качестве которого обычно берется запятая (иногда точка). Этот знак размещается в цифровой последовательности непосредственно справа от цифры с позиционным значением р°. В соответствии с этим цифровая последовательность bsfrs-i b0, b-lb-1...b-r обозначает число, заданное р-ичным представлением + Ь_2р + ... + b-rp~r. Цифра b-r может иметь числовое значение нуль. Примеры. Десятичная система: 23,040 - 2 • 101 + + 3-10° + 0-10-* + 4- 10" а + 0- ИГ3, Двоичная система: L0, 0LL • L «.21 + 0• 2° + 0• 2"х + + L-2'2 + L.2~3. Запись числа L0, 0LL в десятичной системе есть 2,375; действительно, 2 + 0,25 + 0,125 » 2375. Каждое число, представимое в позиционной системе счисления последовательностью цифр конечной длины, является рациональным числом. Наоборот, в каждой позиционной системе можно представить точно только некоторое подмножество рациональных чисел (зависящее от выбора р). Например, рациональное число 1/3 не может быть представлено в десятичной системе счисления в виде конечной последовательности цифр; 1/25 в десятичной системе записывается как 0,04, а в двоичной системе счисления 1/25 конечной последовательностью цифр представлено быть не может. Если а/b — рациональное число (а и b — взаимно простые натуральные числа), то а/b может быть точно представлено в позиционной системе с базисом р тогда и только тогда, когда каждый простой множитель в разложении числа b является простым множителем в разложении р. Таким образом, в десятичной системе пред- ставимы только такие рациональные числа а/Ь (a, b — взаимно простые), у которых b содержит лишь простые множители 2 и 5.
АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 131 2.1.1.2. Погрешности и правила округления чисел. Как было замечено в 2.1.1.1, не каждое рациональное и тем более не каждое действительное число можно представить в позиционной системе в виде конечной цифровой последовательности. Поэтому приходится применять приближенные значения представляемого числа, содержащие ограниченное число цифр. К этому прибегают и тогда, когда точное число содержит конечное, но слишком большое число цифр. Простейшим способом получения приближенного значения числа является отбрасывание цифр в его точном изображении (обрыв), начиная с некоторог о разряда. При этом погрешность приближения, т. е. разность z - а, где z — точное число, а — его приближение, всегда положительна и не превосходит единицы разряда последней сохраняемой цифры. Примеры приближенных значений чисел, полученных отбрасыванием разрядов: 1.570 - приближенное значение для я/2 (* 1,570796...); 1,414 — приближенное значение для |/2 (* 1,414213...); 0,210-приближенное значение для 27/128 (% 0,210875). Отбрасывание разрядов является простейшим способом округления чисел. Применяются и другие способы округления, из которых наиболее употребителен следующий- 1) Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то никаких изменений в приближенное значение числа, представленного последовательностью предшествующих ей цифр, не вносится (округление с недостатком). 2) Если за последней сохраняемой цифрой следует 9, 8, 7, 6 или 5, то к ней прибавляется единица. Если последняя сохраняемая цифра 9, то она заменяется на 0 и на единицу повышается цифровое значение предшествующей ей цифры. Если эта цифра также 9, то действуют таким же образом до тех пор, пока не встретится цифра, отличная от 9 (округление с избытком). Иногда применяется дополнительное правило: 3) Если за последней сохраняемой цифрой следует лишь цифра 5 или цифра 5, за которой все остальные цифры нули, и если последняя сохраняемая цифра имеет четное значение, осуществляется окружение с недостатком; в противном случае — округление с избытком. Примеры приближенных значений чисел, полученных таким округлением: 1.571 - приближенное значение для я/2; 1,414 - приближенное значение для ]/2; 0,211 - приближенное значение для 27/128; 10,000 - приближенное значение для 9,9995; 9,998 - приближенное-значение для 9,9985. В то время как при отбрасывании разрядов приближенное значение а числа z никогда не превосходит z, при округлении приближенное значение может быть больше или меньше числа z. Если аг — приближенное значение z, полученное при окружении с недостатком или избытком с г десятичными разрядами после запятой, то погрешность округления равна | аг — z | < 0,5 • 10~г. Приближенные значения, полученные при округлении, не обязательно должны иметь только значащие цифры (ср. 10,000 и 9,9995). Цифры в записи приближенного значения а числа z называются верными цифрами, если | а — z | не превосходит половины позиционного значения последней цифры числа а. Запись приближенного значения, полученная путем отбрасывания и округления, состоит только из верных цифр. Эти правила обеспечивают погрешность, не превосходящую по абсолютной величине половины единицы разряда последней сохраненной цифры. Все цифры округленного числа в таком случае оказываются верными, хотя фактически они могут и не совпадать с соответствующими цифрами в записи точного числа (см. примеры). Приближенное число обычно характеризуют количеством сохраненных разрядов после запятой или количеством значащих цифр. К значащим цифрам относятся все цифры, кроме нулей слева. Так, например, числа 253; 70,2; 0,00375 имеют по три значащие цифры. При записи приближенных чисел все значащие цифры должны быть верными, если погрешность числа не указывается каким-либо другим способом. При округлении чисел, больших 10, не следует писать нули, не являющиеся верными цифрами, а нужно выделять множитель вида 10й. Так, например, число 139796,7, округленное до трех значащих цифр, следует записывать в виде 1,40-105 или 14,0-104. 2.1.2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 2.1.2.1. Абсолютные и относительные погрешности. Приближенные значения чисел появляются не только в результате обрыва и округления. Каждое измеряемое значение некоторой величины в общем случае также есть приближенное значение этой величины (ср. 7.1.1). Если а обозначает приближенное значение числа z, то а — z называется истинной погрешностью а, а (а — z)/z — истинной относительной погрешностью а. Но так как в большинстве случаев z неизвестно, то неизвестны как истинная, так и истинная относительная погрешности. Напротив, часто можно указать граничную величину истинной погрешности, т. е. положительное число Да, для которого выполняется неравенство | а — z | ^ < Да, или а — Аа < z < а + Да; Да называется пределом (границей) погрешности, или предельной абсолютной погрешностью, или сокращенно абсолютной погрешностью а; да = Да/а — предельной относительной погрешностью или сокращенно относительной погрешностью а. Относительная погрешность а часто указывается в процентах. Примеры. 1) Если а, - приближенное значение числа z, полученное путем обрыва (ср. 2.1.1.2), причем пг содержит г знаков после запятой, то в качестве абсолютной погрешности может быть выбрано Лаг« 10~р. Если а, получено округлением, то абсолютная погрешность равна Даг-0,5 10~г. 2) Число 3,14 есть приближенное значение числа п. Так как 3,14159 также является приближенным значением тс с пятью цифрами после запятой, то 0,0016 может быть выбрано в качестве абсолютной погрешности. Тогда относительная погрешность равна O'f^^6 * 0,00051, или 0,051 %.
132 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ sinx з sin x 5 COSX з cosx я tgx* tgx* \/a~2~+ ex*\ ln(l + Формула S X S X - X3/6 tl й 1 - x2/2 X x + x3/3 x % a + x/2a + x % I/a - x/2a3 x) * I/a - x/a2 4-х x)*x 0,1% ± 0,077 ± 0,580 ±0,045 ± 0,386 ± 0,054 ± 0,293 -0,085^2-,0,093^ -0,05 \a2 -r 0,052a2 ± 0,031a ± 0,045 ± 0,002 Относительная погрешность не превышает 1% Интервал — d < х < d обозначается ±d; интервал а < х < b обозначается о-гЬ ±0,245 ±1,005 ±0,141 ± 0,662 ±0,172 ±0,519 - 0,247д2 + 0,328а2 -0,157fl2~0,166a2 ± 0,099а -0,134^-0,148 ± 0,020 10% ± 0,786 ± 1,632 ± 0,451 ±1,036 ±0,517 ± 0,895 -0,607a2-rl,545a2 -0,448а2ч-0,530о2 ± 0,301а - 0,375 ч- 0,502 -0,176ч-0,230 2.1.2.2. Приближенные границы погрешности функции. Пусть /(хь..., хк) - функция переменных хь...,хк. Часто требуется знать предельную абсолютную погрешность А/: и~11 при условии, что для значений переменных xi,..., Xfc известны предельные абсолютные погрешности Ащ. Если/(хь ..., хк) имеет непрерывные частные производные f'X( по переменным х(, i — 1, ..., к, то обычно полагают (ср. 3.1.6.3) Примеры. 1) f(xlt х2) = Xi -f x2: А (а, + аг) = ^ax + Да2 (/^ = 1, /^ = 1); 2)У(хь x2) = Xl-x2: Д(а, +а2) = Да1 + Да2 (Д, = 1, ГХг = -1); 3) /"(.х) = с • х {с - постоянная): 4)/(xlf -я) = Afl-|f| (/i-0; Д (ai • a2) « Д«1 • | a2 I + Да2 А (о \а2. ¦flat j*Ai -1/х Дс»1 ll'TalT , f - ь 'х2 ~ * \а2\ + Да2. -.xi/x AM \an\ Д (sin a) « Да • | cos a | Да , 1«1 ' cos x). {1/2) ^ ^ Ai- l«lA'2 I ~ l«l I I «2 I ' Если функция /(х) задана таблицей, то А/ находят посредством линейной интерполяции из таблицы в том случае, если Аа меньше, чем величина шага х в таблице вблизи а. Чаще всего А/ можно найти прямо из таблицы. Пример. Для а = 1,30 и Да = 0,01 найдем Г(л) из табл. 1.1.2.1- ГA,30) = 0,89747 Вследствие равенств ГA,29) = 0,89904 и Г A,31 ) = 0,89600 можно положить Д (Г A,30)) = 0,002 и за приближенное значение Г A,30) принять число 0,897. 2.1.2.3. Приближенные формулы. Во многих случаях сложные функции можно приблизить более простыми. Для этого часто используют первые члены разложения в ряд Тейлора (ср. 3.1.14.6). В таблице на этой странице указаны некоторые приближенные формулы и относительные погрешности в соответствующих интервалах. 2.1.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 2.1.3.1. Нахождение нулей функции /(х). Для определения приближенного значения нуля функции/(х) может применяться график этой функции (ср. 1.2). Иногда, как показывает следующий пример, целесообразно представить функцию в виде суммы двух слагаемых. Пример. Найти приближенное значение нуля функции /(х) = sin х — х + 3. Так как sin х — х + 3 = 0 в случае,
ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 133 когда sin х = х — 3, то абсциссы точек пересечения графиков функций g(x) = sinx и й(х) = х-3 как раз и есть нули f(x). Функция sinx затабулирована (ср. 1.1.1.10), ее график легко построить. График функции h (х) = х — 3 — прямая, которую также легко построить (ср. 1.2.1.1). Полученные приближенные значения могут быть улучшены посредством правила ложного положения и методом Ньютона (ср. 7.1.2.3). 2.1.3.2. Графическое дифференцирование. Если имеется график функции /(*), то точки графика функции f'(x) могут быть получены следующим способом. 1) На оси х в области задания функции f(x) выбираем последовательность точек хи х2,...,х„. 2) На отрицательной части оси х вне области задания функции /(х) выбираем точку Р — полюс построения. Длина b отрезка РО называется полюсным расстоянием. 3) В точках кривой/(х) с абсциссами х, строим нормали к кривой. Для этого пригодно прямоугольное карманное зеркало (лучше всего металлическое), которое вертикально Ставят на плоскость чертежа. Если кривая без излома переходит в свое зеркальное отражение, то ребро зеркала покажет направление нормали. 4) На каждую из полученных нормалей опускаем перпендикуляры из Р, которые пересекают ось у в точках Qt. Эти перпендикуляры проходят параллельно касательным в точках (xf, /(х<)). 5) Точка пересечения прямой, проходящей через Qi параллельно оси х, с прямой х = х^ является точкой графика/'(х) (рис. 2.1). Рис. 2.1 Масштаб/' (х) зависит от используемых масштабов тх по оси х и ту по оси у и от полюсного расстояния Ь. Если ^ и т] - длины отрезков между точками с координатами @, 0) и (х, 0) и соответственно между @, 0) и @, у), то х = тх?, и у = туг\. Тогда, обозначив ординаты точек построенной кривой через г\\ для наклонов прямых, построенных параллельно касательным, получим 2.1.3.3. Графическое интегрирование. Если имеется график функции /(х), то график функции х F(x)= J f(t)dt можно приближенно заменить ло- *о маной следующим способом. 1) Разделим отрезок / = [х0, х] промежуточными точками разбиения на частичные отрезки 1к. При этом следует обратить внимание на то, чтобы относительные экстремумы функции /(х) не лежали внутри частичных отрезков. 2) Для каждого частичного отрезка часть плоскости между осью х и/ кривой /(х) заменим (приблизительно) равновеликим прямоугольником, проведя параллель к оси х так, чтобы отброшенная часть площади была примерно равной добавленной (заштрихованы на рис. 2.2). Пусть b тх dy ту dx ' таким образом, Рис. 2.2 xfc есть абсцисса точки пересечения, определенная однозначно (вследствие 1) прямой, параллельной оси х, с графиком /(х) на частичном отрезке 1к; тогда точка пересечения этой же прямой с осью у имеет координаты @, /(хк)). 3) Выберем на отрицательной полуоси х и вне области задания функции /(х) точку Р - полюс построения. Пусть b обозначает длину отрезка РО (полярное расстояние). 4) Проведем через точку Qo = (х0, 0) параллель к прямой, проходящей через точки Р и @, /(xj). Пусть эта параллель пересекает прямую х = хх в точке Qi. Через Qx проведем параллель к прямой, проходящей через точки Р и @, /(х2)). Пусть эта параллель пересекает прямую х = х2 в точке Q2 и т.д. Ломаная QoQi-Qn есть приближенный график функции F(x). Пусть снова (как и в случае .графического дифференцирования) х = тх?, у = тух) и Нк - длины отрезков между точками (хк, 0) и Qk. Тогда для Y = F{x) выполняется соотношение Y = myH. Если по методу графического дифференцирования с тем же полюсом Р в точках с абсциссами xfc (к > 0) построить точки кривой производной функции F(x), то получим точки (xfc,/(хк)). Отсюда для масштабов следует, что ту = mY/(mxb), YYly = УПхТПуЬ.
134 КОМБИНАТОРИКА 2.2. КОМБИНАТОРИКА 2.2.1. ОСНОВНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 2.2.1.1. Факториал и гамма-функция. Функция /(и), для которой при всех целых неотрицательных л, называется п-факториалом и обозначается л!. Для любого натурального л имеем л! = 1 • 2 •... • л. Примеры. 1!-1;2!«1-2-2;6!-1-2-3-4.5-6-720. Значения функций л! и 1/л! см. в табл. 1.1.1.5. Для приближенного вычисления л! в случае очень больших чисел л пользуются формулой Стирлинга или 1п(л!) « ( л + у)ш" - и + у1пBя). Определение гамма-функции Г(х) ло Эйлеру. Для всех действительных чисел х > О (ср. 3.1.9.4) Определение гамма-функций Г(х) ло Гауссу. Для всех действительных чисел х, кроме {О, -1, -2, -3,...}, л!лх Г(х)= lim —— . При х > 0 оба определения дают одинаковую функцию. Основные свойства гамма-функции (см. также 3.1.9.4). ГA)= 1, Г(х+ 1) = хГ(х), Г(х)ГA-х)=-Д—, Г(х)Г(-х)= : . xsinrcx Некоторые специальные значения гамма-функции: Г(-1/2)= —2]/те, ГA/2) = |/я. Таблицу значений функции см. в 1.1.2.1. График функции см. на рис. 2.3. Полюсы Г(х): хр = 0, -1, -2, -3,... Вследствие первых двух свойств для всех натуральных чисел л имеем Г(л + 1) = л!. Поэтому гамма-функция может рассматриваться как обобщение факториала. Для приближенного вычисления значения функции Г(х) при больших положительных значениях х может быть использована формула Стирлинга: Г(х + 1) « (х/е)х]/2пх. по -5ГЛ-3 -2-1 О i 2 3 4 х дляГ(х) -2 -3 -4 -5 Рис. 2.3 2.2.1.2. Биномиальные коэффициенты. Для всех целых неотрицательных чисел л, к функция d (или (?)): . для 0 ^ к ^ л, С*=< к\(п-к)\ для 0 = U называется биномиальным коэффициентом. Читается: С из л по к (или л над к). Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из так называемого треугольника Паскаля: & 1 1 1 1 2 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (справа и слева). Крайние значения известны для любого л: С? = Сп„ = 1. В строке с номером л слева направо стоят значения С?, Сп\ С%,...,Спп- Область определения биномиальных коэффициентов можно расширить: именно, для всех действительных а и для всех целых /с ^ 0 функция 1 при к = 0, B.2) также называется биномиальным коэффициентом. Для целых а ^ 0 оба определения совпадают.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ КОМБИНАТОРИКИ 135 Примеры. 3!E-3)! ~J (-А- -2(-2-1)(-2-2) I 3J 3! -4, Свойства биномиальных коэффициентов. Для целых и ^ 0, fc ^ 0 справедливо свойство симметрии: С; = С;"*, или ©-(.-.)¦ B.3) Для действительных а, Ъ теоремы сложения: имеют место ситнгь- B.4) Если а = Ь = п, где и - целое неотрицательное, то из B.3) и B.4) следует (ср. также 2.2.2.1), что 2.2.1.3. Полиномиальный коэффициент. Определенная для всех натуральных п и всех наборов неотрицательных целых чисел [/сь /с2,...,fcr], для которых t k, = it, функция C.(*i.*a,...,U или п\ называется полиномиальным коэффициентом. Примечание. Биномиальный коэффициент С* есть частный случай полиномиального коэффициента Cn(fcb k2), где kt = к, к2 = п — к. = 60 Примеры. С6B, 1,3) С12B, 3, 3, 4) - 277200. 2.2.2. ФОРМУЛЫ БИНОМА И ПОЛИНОМА 2.2.2.1. Формула бинома Ньютона. Для всех действительных чисел а, Ъ и для всех натуральных чисел п Ъ)п= ? Скпап~кЬк = к = 0 = С°па"Ь° + С1па" Примечание. Биномиальные коэффициенты формулы B.6) составляют в треугольнике Паскаля строку с номером и. Если заменить Ъ на -Ь, то из формулы B.6) следует ...+. Сппа%п. B.6) П ример. (а - fcL - а* - 4а3Ь + 6а2Ьг - АаЬъ + Ь4. Из B.6) получаем ? С; = 2я при а = Ь = 1, B.7) л = о f (-l)kCi| = 0 при а = 1, Ъ = -1. B.8) fc = 0 Вычитанием или сложением B.7) и B.8) получим равенства при этом в первом случае т - наибольшее нечетное число, а во втором — наибольшее четное число, не превосходящее п. 2.2.2.2. Формула полинома. Для любых отличных от нуля действительных чисел аь а2,...,аг и любого натурального п (ai + а2 + ... 4- аг)" = 2j Cn\Kit к2, ...,fcr)fljia22...д?г. fei + /с2 + ... + /с, = и B.9) При этом суммирование распространяется на все наборы неотрицательных целых чисел (ки к2,...,кг), для которых ? /с,- = п. i= 1 При а^ = а2 = ... = аг = 1 Пример, {а + b + сK = С3C, 0, 0)а3 + С3B, 1, + С3B, 0, 1)а2с + С3{1, 2, 0)аЬ2 + С3{1, 1, 1)аЬс + + С3A, 0, 2)ас2 + С3@, 3, 0)Ь3 + С3@, 2, 1)Ь2с + + С3@, 1, 2Nс2 + С3@, 0, 3)с3 + ЪаЬг + баЬс + Зас2 + Ь3 + ЗЬ2с + ЗЬс2 + с3. 2.2.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ КОМБИНАТОРИКИ Во многих математических исследованиях встречаются комбинаторные задачи, своеобразие которых целесообразно показать на примерах. 1. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? (Ср. 2.2.4.1.) 2. Как велико число различных отображений, переводящих множество из п элементов в себя? (Ср. 2.2.4.1.) 3. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 5, 5, 9? (Ср. 2.2.4.5.)
136 КОМБИНАТОРИКА 4. В турнире принимают участие восемь команд. Сколько различных предсказаний относительно распределения трех первых мест (по результатам соревнований) можно сделать? (Ср. 2.2.5.1.) 5. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из 32 букв алфавита, не обращая внимания на то, имеют ли смысл составленные из букв слова или нет? (Ср. 2.2.5.2.) 6. Сколькими способами можно из множества к (различных) элементов выбрать г элементов? (Ср. 2.2.6.1.) 7. Как велико число различных результатов бросаний двух не отличимых друг от друга кубиков? (Ср. 2.2.6.2.) Приведенные примеры показывают, что в задачах комбинаторики интересуются вообще числом различных выборок определенных объектов, причем в зависимости от вида дополнительных требований следует различать, какие выборки считаются одинаковыми и какие различными. 2.2.4. ПОДСТАНОВКИ 2.2.4.1. Подстановки. Каждая последовательность к различных предметов с учетом порядка называется перестановкой этих предметов. Если пронумеровать места этих предметов слева направо: 1, 2,...,/с, то можно сформулировать следующее определение: взаимно однозначное отображение р* конечного упорядоченного множества М = {sb s2,...,sk] из к элементов на себя называется подстановкой элементов множества М. Перестановки из к элементов множества М отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Число Рк = Р{рк) всех перестановок рк из к различных элементов равно Рк = к\. B.10) Примеры. Для примеров 1 и 2 п. 2.2.3 из B.10) следует: имеется 101 = 3628 800 различных способов расстановки на полке 10 книг и и! взаимно однозначных отображений, переводящих множество из п элементов в себя. 2.2.4.2. Группа подстановок к элементов. Если выбрать М = {1, 2,...,к}, то каждую подстановку рк этих элементов можно записать как матрицу из двух строк: где /1 2 3.... S2 S3 ... B.11) pk(i) для всех ie{l,...,fc}. Это делает возможным определение произведения р\ • р\ двух подстановок к элементов как последовательного проведения обоих преобразований: Для этого записывают обе подстановки в виде матриц и переставляют столбцы второго множителя так, чтобы первая строка второго множителя совпадала со второй строкой первого множителя. Матрица произведения состоит из первой строки первого множителя и преобразованной второй строки второго множителя: /1 2 3 ... к \ /sj s2 s3 • \Si S2 S3 ... Пример 1 -С 1 2 3. Справедливы следующие утверждения. 1) Для каждых двух подстановок р* и р\ элементов множества {1, 2,...,fc} произведение р\ • р\ есть однозначно определенная подстановка рк. 2) Произведение есть ассоциативная (но не коммутативная) бинарная операция: 3) Для подстановки рк = ( "' I {тождественная подстановка) при всех р* имеет место равенство pk-pk - pk-pk = pk. 4) Для каждой подстановки рк = ( "' ) су- Vi «2 ... V ществует обратная подстановка (fr)" = («1 «2 • • • sfc\ w 1, для - которой выполняется соотношение (р*)~1 -рк = р* • (рк)"х = р?. Вследствие 1)-4) и B.10) все подстановки р* элементов множества {1, 2,...,/с} образуют (см. 2.4.1.6) группу порядка к\. Эта группа называется симметрической группой Sk. Пример 2. Элементы симметрической группы S3. '»-(з")'*-(*"}'1"Aз"^ Если в матрице подстановки р* элементов множества {1, 2,..., к} встречаются два столбца для которых s4 < $j, a tt>tj (или s( > sj, a tt < tj), то такая пара столбцов называется инверсией подстановки рк. Подстановка называется четной или нечетной в зависимости от того, четно или нечетно число встречающихся в ней инверсий. Пример 3. Если Z(p?)-число инверсий, то для подстановок примера 2: Z(pe3) i, Z(p|) = 3, Отображение группы Sk во множество { —1, 1}, определенное следующим образом: Х(рк) = 1,еслирк — четная подстановка, и х(Л — — 1» если рк — нечетная подстановка, называется характеристикой подстановки группы Sk. Вследствие равенства х(р\'Л) = X(Pi)'X(P2) это отображение гомоморфно. Множество всех четных подстановок множества {1,...,/с} образует подгруппу группы Sk порядка /с!/2. Эта подгруппа называется знакопеременной группой. 2.2.4.3. Подстановки с неподвижной точкой. Если рк - подстановка множества М = {1, ..,к}, то
РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ 137 каждый элемент i е М, для которого рк (i) = /, называется неподвижной точкой подстановки рк. Пример. Для подстановок примера 2 п. 2.2.4.2 справедливо следующее: р] имеет неподвижную точку 3, р\ — точку 1, р\ — точку 2, р] имеет неподвижные точки 1, 2 и 3; pi и р\ таковых не имеют. Число F(pk) всех подстановок множества {1, ..., /с}, имеющих по крайней мере одну неподвижную точку, равно B.12) где С{ — биномиальные коэффициенты. Число G(p^) всех подстановок множества {1,...,&}, имеющих в точности одну неподвижную точку, равно B.13) Пример. Пять человек занимают места 'за столом,, не обращая внимания на разложенные на столе именные карточки. В общей сложности они могут разместиться 5! = 120 способами. В F(p5) = С\А\ - С|-3! + С\2\ - d 1! + С2-0! = 76 случаях по крайней мере один человек и в случаях в точности один человек займет отведенное ему место. 2.2.4.4. Подстановки с заданным числом циклов. Если матрицу подстановки рк перестановкой столбцов можно привести к виду /Sj S2 S3 ...Sr_! SrSr+l ...Sk\ \S2 S3S4...S, Si fr+1 ... ft/ то рк задает взаимно однозначное отображение S|-*S|+1, i = 1, 2,...,г - 1, sr-*su множества {sb s2,...,sr} на себя, которое называется циклом длины г и обозначается Zr-(su s2»•••,$»•). В соответствии с этим каждой неподвижной точке соответствует цикл длины 1. Каждую подстановку рк можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представить в виде произведения циклов, не имеющих общих элементов. Примеры. Л 1 2 3 4 5 б\ 23 1 546Г A, 2, 3)D, 5) F). Для .числа Р{к, s) подстановок р*, которые могут быть представлены в виде произведения s циклов, имеют место рекуррентные формулы P(fe,fe)*l, ?(*, 1)-(*-1)! при Л > 1, B.14) P(/c,s) = P(/c- 1,5- 1) + (/с-1)-Р(/с- 1, s) при к > s > 2. Пример Имейся РC, 3) = 1 подстановка группы S3 (ср. пример 2 и 2 2.4.2) с тремя циклами: pl\ РC, 1) = 2 подстановки с одним циклом: р\ и р|; РC, 2) = РB, 1) + 2РB, 2)= 1 +21 = 3 подстановки с двумя циклами: р\, р\ и pi 2.2.4.5. Перестановки с повторениями. Если рассматривать упорядоченные ^-наборы из множества М, которые состоят не только из различных элементов множества М, то получим перестановки с повторениями. Пусть А/ = {sb..., sp} - непустое множество из р элементов и iu i2, ..., ip — натуральные числа та- р кие, что ? ij = к. Каждый упорядоченный набор к чисел pkix i i, содержащий элемент Sj ровно ij раз A<7<р), называется перестановкой множества М с повторением. Примечание. При f, = i2 ~ ... = jp = 1 получим перестановки множества из р элементов. Число CtO'i» hi-'-Jp) различных перестановок множества М с повторениями равно*) где Пример. Имеется СбC, 2, 1) = B15) = 60 различных шестизначных чисел, содержащих трижды цифру 1, дважды цифру 5 и один раз цифру 9 (ср. пример 3 п. 2.2.3). 2.2.5. РАЗМЕЩЕНИЯ 2.2.5.1. Размещения. Любой упорядоченный набор г различных элементов множества М, состоящего из к элементов, называется размещением а) из к элементов по г. Примечание. Каждое размещение акг есть взаимно однозначное отображение упорядоченного множества {1, 2,...,г} во множество М. Из определения следует, что г < к. При г-к получаем подстановки множества М. Число А^- А (ак) различных размещений есть /с! (к-г)\ ¦¦к{к- 1). B.16) Примеры. 1) Имеется А\ различных взаимно однозначных отображений множества {1, 2} во множество {аи а2, а3, а4}, т. е. А\ = 12. 2) Имеется А\ — 336 различных способов распределения трех первых мест при восьми командах, участвующих в соревновании (ср. пример 4 п. 2.2.3). 2.2.5.2. Размещения с повторениями. Любой упорядоченный набор г элементов множества М, содержащего к элементов, называется размещением с повторениями ак из к элементов по г. Примечание. Каждое размещение с повторениями # есть однозначное отображение упорядоченного множества {1, 2,...,г} в М. При этом возможно, что г > к. Число Л(а{) различных размещений с повторениями есть А(ак) = кг. B.17) Пример. Число различных трехбуквенных слов, которые можно составить из 32 букв алфавита, есть (ср. пример 5 п. 2.2.3). •) Ср. 2.2.1.3.
138 КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 2.2.6. СОЧЕТАНИЯ 2.2.6.1. Сочетания. Любое подмножество из г элементов множества, содержащего к элементов, называется сочетанием скг из к элементов по г. Примечание. Если объединить все размещения а* из к элементов по г, состоящие из одних и тех же элементов (не учитывая расположения), в классы эквивалентности, то каждому классу будет соответствовать ровно одно сочетание dL и наоборот. , Примеры. I) Пары [Sl, s2}, {su s3}, {si,4 {*2, S3}, {si, «¦}, {sit s4) исчерпывают все сочетания из четырех элементов по два. 2) Имеется одно сочетание из к элементов по О (т.е. не содержащее ни одного элемента) - это пустое множество. Число Сгк = С(ск) равно С'к = всех различных сочетаний к\ г\{к-г)\ ' B.18) Пример. В числовом лото надо выбрать 5 чисел из 90. Для этого существует С|О-43949268 способов (ср. пример б п. 2.2.3). 2.2.6.2. Сочетания с повторениями. Объединим все размещения а, с повторением из к элементов по г, состоящие из одинакового количества одних и тех же элементов (без учета расположения), в классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности называется сочетанием с повторением скг из к элементов по г. Примечание. Два размещения ак и а'к или йк и а'к принадлежат одному сочетанию ск или ск соответственно только тогда, когда существует перестановка рТ множества {1, 2, ..., г) такая, что для всех ie{\, 2, . , г] имеет место равенство или я* @ #V@)- Ср. примечания в 2.2.5.1, 2.2.5 2 и 2 2.6.1. Число /* = С(скг) различных сочетаний с повторением из к элементов по г равно ^-i (fc + r-1)! fk B.19) '-1 K+r~l r\(k-l)\ Пример. При наличии двух неразличимых кубиков можно получить f\ = Cf = 21 различный результат бросаний (ср. пример 7 п. 2.2.3). 2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 2.3.1. ОБОЗНАЧЕНИЕ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ Если яь а2,... ,ап — (конечная) последовательность действительных чисел (ср. 2.3.2), то можно составить конечную последовательность сумм и произведений. Для конечных сумм и произведений чисел приняты обозначения: п л ? ах = ах + а2 + ... + ап, Па,- = а± -а2-...-а„. i=l «=i B.20) Входящая в выражения B.20) переменная z называется индексом суммирования (индексом умножения), а целые числа 1 и п — пределами суммирования (пределами умножения). Значение суммы (произведения) не зависит от обозначения индекса суммирования (индекса умножения) — это так называемая немая переменная: п п п i=l j=l k=l Иногда бывает необходимо перейти к новому индексу суммирования с одновременным изменением пределов суммирования. Так, например, полагая в первой сумме i = k + г, где г — целое число, а к — новый индекс, получим, что новые пределы по индексу к равны соответственно 1 - г и п - г и 2.3.2. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Конечная (действительная) числовая последовательность есть однозначное отображение множества Ап = {1, 2,...,п}, п ^ 1, во множество действительных чисел. При этом образ натурального числа ieAn обозначается а, и называется членом последовательности. Последовательность обозначается посредством [д,]". Последовательность может быть задана прямым перечислением ее членов или каким-нибудь алгебраическим выражением. Примеры. 1) Последовательность, заданная прямым перечислением членов: [a,]f = 4, -1,3/5,4,4. 2) Последовательность, заданная алгебраическим выражением: [3/-/2]? 2, 0, -4, -10, -18. Если задана последовательность [aj" = = йь й2,...,й„, п>1, то из нее можно образовать другую последовательность: = a2 - a,, a3 - a2, ..., а„ - an_,; B.21) она называется последовательностью первых разностей последовательности [«,]". Если п > 2, то из последовательности первых разностей можно снова образовать последовательность первых разностей, которую называют последовательностью вторых разностей исходной последовательности. Если продолжать так дальше, то процесс оборвется на последовательности (и - 1)-х разностей, так как она состоит только из одного члена. Если [rfj 1 — последовательность первых разностей последовательности [«J", то а2 - аи dx + d2 = a3 - аи ..., ? dx = а„ - B.22)
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 139 Если cii = О, то ап равно сумме п — 1 членов последовательности первых разностей. конечная последовательность [aj" называется постоянной, если существует такое действительное а, что а, = а для всех ie{l,...,n}. В соответствии с этим конечная последовательность длины п = 1 постоянна. 2.3.2.1. Арифметическая прогрессия. Конечная последовательность называется арифметической прогрессией Л-го порядка, если последовательность ее первых разностей постоянна (а{ — a,_i = d — разность арифметической прогрессии). Последовательность называется арифметической прогрессией т-го порядка, если последовательность т-х разностей постоянна, а (т - 1)-х не постоянна. Если [а;]" — арифметическая прогрессия 1-го порядка и d — ее разность, то а сумма членов равна sn = в\ + а2 + ... + а„ = = ? а,- = л (а! + а„)/2 = п^ + (и - 1)ш//2. » = 1 Если [а;]" — арифметическая прогрессия порядка т, то существует многочлен такой, что для всех /е{1, ..., п) выполняется равенство а, = Рт (/). При т = 1 для последовательности [а,]" с постоянной разностью d этот многочлен имеет вид д. = di + («i — d). Пример. Последовательность [**]" ¦¦ 1, 2а, •••, n3 есть арифметическая прогрессия 2-го порядка, Pa(Q«i2. Последовательность первых разностей имеет вид ДОГ1, где <*, ¦« 0 + IJ - <а - 2i + 1. Последовательность вторых разностей записывается в виде ДОГ2» где rf,-2A+1)+ + 1-B*+1)-2. Если рассматривать [г1]? как последовательность первых разностей последовательности ДОГ1, то ДОГ1 есть арифметическая прогрессия 3-го порядка. Тогда существует многочлен третьей степени по i такой, что при всех i выполняется равенством - с3/3 + сг\г + cxi + c0. Если выбрать ах - О, то первые четыре члена последовательности ДОГ1 будут равны 0, 1, 5, 14. Из системы уравнений i*c3 + i3c2 + icx + с0 - а, при / - 1, 2, 3, 4 (или из одной из интерполяционных формул (ср. 7.1.16.1)) для неизвестных коэффициентов сг, са, си с0 получаем с3 ш 1/3, с2 - -1A ci - 1/6, с0 - О и, далее, ш у р т 2»* + Зя» + я т Bя + 1)(я + 1)я 2.3.2.2. Геометрическая прогрессия. Каждая последовательность [а,]", у которой частное от деления двух соседних членов постоянно: а, + 1/я«=Я для всех ie{l,...,w — 1}, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Общий вид членов геометрической прогрессии: сумма всех членов геометрической прогрессии {q Ф 1) равна q"-l 2.3.3. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 2) Р + (Р + 1) + (р + 2) + ... + (р + и) 3) 1 4) 2 5) 1: 7) 1: 8) V 9) V + 3 + 5- + 4 + 6 - 1 . л2 _|_ ' > + з2 + : v + 24 +: f ... + Bп-1) = f ... + 2и = п (п + 2 2 И( и2 52 + ... + Bп- 1) 53 + ... + Bл-1) 54 + ... + «4 = п(и + l)B/i «2; 1); п + (п + 4 2 _ ' 3 = i + 1) \)Bп 6 ' «Dи2 3 п2Bп (Зп2 - 2 + 1) -1) 2-i); h 3« — 1) 30 2.3.4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ *) Если заданы п (не обязательно различных) действительных чисел аь а2,...,Дт то число (а! + а2 + . называется средним арифметическим чисел а?,..., л„, a mn = / — (а2 + а\ + ... + а2) — средним квадратичным чисел аь ..., а„. Если а и b — неотрицательные действительные числа, то тс = ^а~ь называется средним геометрическим чисел а и b или средним пропорциональным чисел а и Ь. Из равенства m2G = ab следует, что а: mG = = mG:b. Для среднего арифметического тд{а, Ъ) и среднего геометрического mG(a, b) неотрицательных чисел а и b справедливы следующие утверждения: 1) mG(a, Ь)^тд{а, Ь); 2) а, тд (а, b), b - арифметическая прогрессия 1-го порядка; a, mG{a, b), b - геометрическая прогрессия. Если а и b - длины отрезков, то отрезки длин тд{а, Ь) и mG(a, b) можно построить циркулем и линейкой (рис. 2.4 и 2.5). *) О средних значениях см. также 3.1 14.
140 АЛГЕБРА Золотое сечение. Если а > 0, то разложение этого числа на два положительных слагаемых х и а — х называется золотым сечением числа а, Рис. 2.4 Рис 2.5 если х является средним геометрическим чисел а и а — х. Из равенства х = \/а(а — х) следует: х='—(]/5- 1)а« 0,618а. Если считать а длиной отрезка, то отрезок длиной х определяется построением, приведенным на рис. 2.6. Из равенства х2 = а (а — х) = а2 — ах следует, что а2 = х2 + ах = х(х + а), в соответствии с чем а Рис. 2.6 есть среднее геометрическое чисел х и х + а. Таким образом, если х делит число а в золотом сечении, то а в свою очередь делит в золотом сечении число х + а. 2.4. АЛГЕБРА 2.4.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 2.4.1.1. Алгебраические выражения. В современной математике алгеброй называют науку о системах объектов («величин»), над которыми определены операции, аналогичные сложению и умножению действительных чисел. Различные объекты могут иметь различные имена, а для обозначения операций над ними применяются различные знаки. Существенной частью алгебры является грамматика алгебраических выражений, определяющая правила построения выражений из имен объектов, знаков операций и вспомогательных знаков (так называемых разделителей). Мы ограничимся употреблением простейшей системы обозначений, при которой величины обозначаются отдельными буквами, быть может, с подстрочными индексами (например, х, у3, «152)*). Будем считать также определенными основные действия: сложение (-(-), вычитание (-), умножение (• или х) ¦ *) и деление (: или /). Умножение и деление считаются действиями более старшими, чем действия сложения и вычитания. В выражениях, содержащих несколько знаков действий, выполняются сначала все более старшие действия, а затем младшие. Действия одинакового старшинства выполняются по порядку, слева направо. Для изменения порядка действий могут применяться скобки. Правильные выражения должны содержать одинаковое количество открывающих и закрывающих скобок, которые всегда могут быть объединены в систему вложенных пар. Первыми должны выполняться действия внутри самых внутренних скобок (не содержащих скобок внутри себя), затем внутри скобок следующего уровня и т. д. Для удобства иногда употребляются скобки разного вида, как-то: ().[]>{}• однако они должны встречаться парами и не нару- *) В алгоритмических языках (см. 7.2.1), допускающих только линейную запись (в одну строку), используются имена из нескольких букв и цифр, начинающиеся всегда с буквы, например: уЗ, abc, beta\. **) Если употребляются только однобуквенные имена, знак умножения может быть опущен, например, вместо Ъ-аЬ можно писать ЗаЬ. шать систему вложенности; например, выражение (а • {Ь + с) - d] неправильное. Если допускается нелинейная запись, то изменение порядка действий при делении может быть показано записью «в два этажа» - с горизонтальной чертой в качестве знака деления (а также косой чертой), т. е. записи ^±АИ (а + Ь)/(с + d) - j) (a + b):(c + d)fu с + а равноценны. Возведение в целую степень определяется как повторное умножение и обозначается знаком t или подстрочной записью показателя степени: а-а- ...а обозначается а ] п или а". Возведение в л раз степень рассматривается как действие более старшее, чем умножение и деление. Например, а | т/п совпадает с (а | ю)/п, а не с а | (т/п)*). 2.4.1.2. Значения алгебраических выражений. Если не ограничиваться свойствами алгебраических выражений самих по себе как абстрактных выражений, то возникают вопросы, связанные с интерпретацией этих выражений на некоторой конкретной системе допустимых объектов, которые могут замещать алгебраические величины. Мы ограничимся рассмотрением алгебраических выражений над какими-либо системами чисел, допускающими упомянутые выше действия (см. 3.1.1 и 3.4.2). Поскольку при этом алгебраические выражения могут быть вычисляемы, если входящим в них величинам придавать числовые значения, их иногда называют арифметическими выражениями. Следует заметить, что основными действиями^ являются сложение и умножение. Если рассматривать только натуральные (целые положительные) числа, то вычитание - действие, обратное сложению, - не всегда окажется выполнимым и потребует введения нуля и отрицательных целых чисел; деление (на число, отличное от нуля) - действие, обратное умножению, — окажется выполнимым, если мы введем в рассмотрение рацио- *) Возведение в нецелую степень определено ниже (см. 2.4.1.4).
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 141 нальные числа. Существуют разнообразные системы чисел, допускающих вычисление произвольных рациональных (т. е. использующих только четыре арифметических действия) выражений, например числа вида а + ЪуЗ, где а и Ь - рациональные. При рассмотрении алгебраических выражений во многих случаях выделяют некоторые основные величины (переменные), отличая их от других, называемых коэффициентами или параметрами. При этом возможно считать допустимыми для основных величин и для параметров различные системы чисел. Так, например, рассматривая алгебраические уравнения (см. 2.4.2) с целыми или действительными коэффициентами, можно искать корни среди целых, действительных или комплексных чисел. Алгебраические выражения можно преобразовывать, заменяя одно выражение другим. Такие преобразования называются допустимыми (тождественными), если после преобразования выражение будет сохранять свое значение при подстановке любых чисел допустимых систем. При преобразованиях используются основные свойства арифметических действий (здесь и далее в этом пункте знак равенства употребляется в смысле тождественности): коммутативность (перестановочность): а + b - Ъ + а, а-Ь — Ъ-а\ ассоциативность (сочетательность): а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, а-(Ь-с) = (а-Ь)-с\ дистрибутивность (распределительность): а • (Ь + с) = а - b + a • с. Из этих свойств вытекают формулы действий над степенями: хт • х" = хт+", (х • у)т = хт • у, (хт)п = хт ¦", хт/х" — хт~п, (х/у)т = хт/ут. Некоторые формулы преобразований: (х ± уJ = х2 + 2ху + у\ (х + у + ... + t + иJ = х2 + у2 + ... + t2 + и2 + -I- 2ху + ... + 2х* + 2хм + ... + 2уи + ... + 2tu, (х ± уK = х3 ± Ъх2у + Зху2 ± у3, (х±у)п (см. 2.2.2.1), (х + у)(х - у) = х2 - у2, хп -у" = (х- y){xn~l +xn~2y + x"-V + ражение можно представить (суммы одночленов): А1Х1 + Аг-Хг Л- .. виде многочлена АЯ-ХЯ где Ai — коэффициенты выражения, не содержащие переменных, a Xt — произведения степеней переменных. Многочлен обычно располагают в порядке убывания или возрастания степеней какой-нибудь переменной либо суммы степеней всех переменных. Одночлены, в которых выражения Xt тождественны, т. е. содержат одинаковые переменные в одних и тех же степенях, называются подобными и обычно приводятся — объединяются в один, коэффициент в котором равен сумме коэффициентов приводимых одночленов. Сумма степеней всех переменных в одночлене называется степенью этого одночлена. Наибольшая из степеней одночленов называется степенью многочлена. Сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленами. Степень суммы или разности не превосходит наибольшей из степеней слагаемых, степень произведения равна сумме - степеней сомножителей. Деление многочленов (с остатком). Если Р(х) и Q (х) — многочлены по х степеней пит соответственно, п ^ т, то всегда существуют однозначно определенные многочлены Г(х) степени п - т и R (х) степени, меньшей чем w, такие, что тождественно р (х) = Q (х) • Г(х) + R (х). Для нахождения частного Т(х) и остатка R(x) выполняют деление Р(х) на Q(x). 3r4 Зх4 Прим Юах3 -бах3 -4ах3 -4ох3 ер. + 22а2х2 + 9а2х2 + 13а2х2 + 8а2х2 - 5а2х2 - 5а2х2 - 24а3х - 24а3х - 12а3х 12а3х + 10а3х + + Юа4 10а4 15а4 х2 - 2ах + За2 Зх2 - 4ах + 5а2 - 2а3х - 5а4 Таким образом, Зх4 - Юах3 + 22а2х2 - 24а3х + 10а4 = = (х2 - 2ах + За^НЗх2 - 4ах + 5а2) + (-2а3х - 5а4). Если Я(х) = 0 (нулевой многочлен), то многочлен Q(x) называется делителем многочлена Р(х). Для нахождения общего наибольшего делителя двух многочленов Р(х) и Q(x) применяется алгоритм Евклида. Выполняется цепочка делений до получения остатка, равного нулю: 2у + X2 Rm-i(x) = Rm-i(x). Tm(x) + Rm(x\ -...-ху2к~1 +у2к). 2.4.1.3. Многочлены. Если в алгебраическом выражении основные величины (переменные) участвуют только в действиях сложения, вычитания и умножения, включая возведение в целую степень, то такие выражения называются целыми рациональными (см. 2.5.1). Используя свойства арифметических действий, любое целое рациональное выПредшествующий ему остаток Rm(x) является общим наибольшим делителем. Если он не содержит х, то многочлены Р(х) и Q(x) называются взаимно простыми. 2.4.1.4. Иррациональные выражения. Обобщение понятия о степени. Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень. Корнем m-й степени
142 АЛГЕБРА из х (обозначается ух) называется величина у, т-я степень которой равна х: (J/x) = х. При т четном ух существует (среди действительных чисел) только при х ^ 0, причем допустимы два значения корня - положительное и отрицательное. Для определенности знак корня в этом случае будем всегда брать положительным, так что ухт = | х |. При т нечетном существует единственное значение ух, знак которого совпадает со знаком х. Из определения следует, что при условии, что соответствующие корни существуют. Выражения, содержащие знак корня (радикал), называются иррациональными. Примеры преобразований иррациональных выраже- ний 1) 1/хД27) - /2ху/D/) - /2x^/B1 у |) (при у # 0, ху ^ 0); 2) )/х1(Ауг>) - \/2xy*z/(%y3z>) (при у Ф 0, г * 0); + У) (при х3 + у * 0); ¦ |/(х + и)/2 + |/(х - и)/2, где и = |/х2 - у (при у ^ 0, х2 - у > 0). Понятие возведения в степень может быть обобщено на нулевой, отрицательные и дробные показатели при помощи формул (для допустимых значений х) Примеры. Неравенство х2 + 1 > 0 - тождественное; х2 + у2 + 5 < 0 - невыполнимое; 2х + 4 > 0 - выполнимое (оно справедливо при х > - 2). Некоторые универсальные неравенства. 1) |а + Ь|^|я| + |Ь|, | fli + a2 + ... + а„ | ^ 2) \a\ + \b\^\a-b\^\\a\-\b\\. 3) I (ai + а2 + ... + а„)/п | ^ ^ 1/(^1 + а2 + ... + а2)/п (равенство имеет место только при а1 = а2 = ... = ап). 4) Неравенство Коши — Буняковского: {афх + a2b2 + ... + а„Ь„J ^ K(al + а\ + ... + а2)(Ы + Ь§ + ... + Ь2) (равенство имеет место тогда и только тогда, когда aak = fibk для всех к=\,...,п и некоторых а, р, |а| + |Р|>0). 5) Неравенство Минковского (при р^ 1): (I fli + bj |p + | а2 + Ь2 \р + ... + | ап + Ьп \рI1р ^ Выполнимые неравенства. „ fll + й2 + _,. йп при а,-^ 0 (i = 1, 2,..., п) Среднее геометрическое положительных чисел меньше их среднего арифметического или равно ему (см. 2.3.1). Равенство имеет место, только если ах = а2 = ... = а„. 2) Неравенство Чебышева. При 0 < ai ^ а2 < ^ ... < ап и 0 < Ь\ ^ Ь2 ^ ... ^ Ь„ ... + ап bi + b2 + ... + Ь„ a2b2 + ... + anbn Приведенные в 2.4.1.2 формулы для действий со степенями остаются в силе. Пример. (|/?+ {/? + $Ф ty?) = (х1'2 + х2/3 + х3/4 + х7'12)(х1/2 - х1/3 + х1/4 + х5/12) 2_х7/б _х хз/4 _xi3/i2 _ 2.4.1.5. Неравенства. Два алгебраических выражения, соединенные одним из знаков <, ^, >, ^, ф, образуют неравенство. Неравенство называется тождественным или универсальным, если оно выполняется (в арифметическом смысле) для любых действительных значений входящих в' неравенство величин. Неравенство называется выполнимым, если существует непустое множество значений входящих в неравенство величин, при подстановке которых неравенство оказывается справедливым, и невыполнимым, если таких значений не существует. При b2 + ... + bn ... + anbn 3) Обобщенные неравенства Чебышева. При ...<а„ и 0 < Ь\ ^ Ь2 ^ ... ^ bn, k натуральном к к При 0 « y»«;-+<|jt±ii±i;
УРАВНЕНИЯ 143 Неравенства называются эквивалентными, если они выполнимы для одних и тех же значений входящих в них величин или если они невыполнимы. Основные свойства неравенств (эквивалентные преобразования). 1) Если А\ < А2, то А2 > А\. 2) Если А\ ^ А2 и А2 ^ Ль то А\ = А2. 3) Если /4i < А2 и А2 ^ Аз, то Ai < Л3. 4) Если А\ < А2 и Лг ^ Лз или А\ ^ А2 и Л2 < Аъ, то ^1 < Л3. 5) Если А\ ^ /42Иу43 ^ Л4,то ^i + Л3 ^ А2 + А*. 6) Если Л! < Л2 и Л3 > 0, „ то Л1Л3 ^ А2АЪ. 7) Если /4i ^ Л2 и Л3 < 0, то Л1Л3 ^ А2АЪ. 8) Если 0 < А\_ ^ А2 или /li ^ А2 < О, то lMi > I/A2. Решить неравенство, содержащее неизвестную величину, - значит определить множество значений неизвестного, при которых неравенство выполнимо,— множество решений неравенства. Для отыскания решения используются эквивалентные преобразования. Примеры решения неравенств. 1) 5х + 3 < 8х + 1. Используя свойство 5), прибавим к обеим частям неравенства -8х-3; получим -3x^-2. Используя свойства б) и 7), получим решение х > 2/3. 2) Неравенство первой степени ах + Ь > О*). При а > О имеем х>-Ь/а, при д<0 имеем х<-Ь/в, а при а-О неравенство тождественно для Ь>0 и невыполнимо для Ь<0. 3) х2 < а. При а < 0 неравенство невыполнимо, при а «О получаем х-0, при а>0 решением является множество значений, определяемое двойным неравенством 4)х3>о./При а<0 неравенство тождественно, при л>0 решением является множество значений х, определяемое следующими условиями: или х>|/а, или х<-]/2. 5) Неравенство второй степени ах2 + Ьх + с > 0 (а * 0) может быть преобразовано к виду я((х + р/2J + ?>) >0, где р = Ь/а, D«Dос-Ь2)/Dа2). При D>0 неравенство тождественно при а > 0 и невыполнимо при а < 0. При D < 0, используя свойства неравенств и примеры 3) и 4), получим, обозначив х% - -р/2 - j/^Б, х2 = -р/2 + /^7), что х < xi или х > х2 при а > 0, Xi < х < ха при а < 0. 2.4.1.6. Элементы теории групп. Алгебраическая система G, в которой определена одна операция, ставящая в соответствие двум любым элементам системы какой-либо третий элемент этой системы, называется группой, если эта операция (обозначаемая * ) обладает следующими свойствами: 1) (а * Ь) * с = а * (Ь * с) для всех a, b, ceG - ассоциативность; 2) существует «нейтральный» элемент е такой, что е * а = а * е = а для всех aeG; 3) для каждого aeG существует обратный элемент х такой, что а*х = х*а = е. Если, кроме того, для любых элементов а и Ъ выполнено соотношение а * Ъ — Ъ * а, то группа называется коммутативной, или абелевой. *) Знак неравенства < можно перевести в ^ умножением неравенства на —1. Если вместо ^ стоит >, то при решении возможность равенства должна быть отброшена В качестве знака операции обычно употребляют знак + (аддитивная группа) или • (мультипликативная группа). Для аддитивной группы нейтральный элемент называется нулем, а обратный к а элемент обозначается —а. Для мультипликативной группы нейтральный элемент называется единицей, а обратный элемент обозначается а~1. Коммутативная аддитивная группа называется кольцом, если в ней определена, кроме операции сложения, вторая операция - умножение, обладающая дистрибутивностью: a-(b + c) = a-b + ac и {a + b)-c = a-c + b-c для любых элементов a, b и с. Примером кольца может служить Z — множество всех целых чисел. Если операция умножения в кольце обладает свойством ассоциативности a-(be) = {a-b)-c или коммутативности ab — Ь-а, то кольцо называется соответственно ассоциативным или коммутативным. Если в ассоциативном и коммутативном кольце существует единичный элемент е, т. е. а • е = е • а = а для любого а, и для каждого элемента а, отличного от нуля, существует обратный элемент а~1 (т.е. кольцо, из которого исключен нуль, образует мультипликативную группу), то кольцо называется полем. Примерами полей могут служить множество всех рациональных чисел, множество всех действительных чисел и множество всех комплексных чисел. Отображение алгебраической системы G в другую систему G' называется гомоморфизмом, если каждому элементу aeG соответствует определенный элемент а' е G', причем если с = а * Ь, то с' = а' *'Ь' (# - операция, определенная в G, #' - операция, определенная в G'). Если такое отображение взаимно однозначно, оно называется изо- мдрфизмом. 2.4.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 2.4.2.1. Уравнения. Пусть G обозначает множество чисел, так называемую основную область, и а, Ь, с,..., х, у, z — переменные. Это знаки, вместо которых могут стоять элементы основной области или ее подмножества, так называемой основной области переменных, или области изменения. Из чисел и переменных могут быть построены алгебраические выражения (см. 2.4.1), например: 8, -3/5, Bх - \)/а {а Ф 0), ]/а1 - 1. Определение выражения можно распространить на неалгебраические выражения, к которым относятся, например, ар (|3 действительное), ех, \ogay, sinx, arccos z. Под областью определения X выражения с п переменными хь х2,..., хи и соответствующими областями изменения Хи Х2,...,Хп понимают множество всех последовательностей (?i, Ъ,2,-..,?„), fyeXt (i = 1, 2,...,л), для которых данное выражение переходит в число из области G, если переменные х,- заменить на ^. Если G — множество всех действительных чисел, то выражение Bх + 1)/5 имеет, например, в качестве области определения всю область изменения х, в то время как область определения выражения 5/Bх + 1) содержит все числа области изменения х, за исключением -1/2.
144 АЛГЕБРА Два выражения 7^ (хь х2, .., х„), Т2(хи х2,..., хп) от переменных xi, х2,..., хп называются эквивалентными по отношению к области определения X, если соотношение 7\ (?ь ?2, •••, U = ^2(^1, ?2, ••• ..., ?„) выполняется для всех последовательностей (^ь \ъ ••-, U^X (ср. 2.4.1.5). Переход от выражения 7\ к эквивалентному выражению Т2 называется эквивалентным преобразованием выражений. Это понятие зависит от областей определения выражений; так, у а2 = а для неотрицательных действительных чисел есть эквивалентное преобразование, но не является таковым для множества всех действительных чисел. Пример. Выражения Зх/2 + 5х/2 и 4х эквивалентны по отношению к множеству всех действительных чисел, в то время как а + b + 1 и а + (Ь2 — \)/{Ь — 1) не эквивалентны по отношению к этому множеству, так как выражение а + (Ь2 — l)/(b — 1) не определено при Ь — 1. Если два выражения Ть Т2, содержащие переменные, связать знаком равенства: Ti = T2, то получается уравнение; 7\ и Т2 называются соответственно левой и правой частями уравнения. Если выражения Ti и Т2 не содержат переменных, то имеется высказывание о равенстве, которое либо истинно, либо ложно. Уравнение представляет собой высказывание, которое переходит в истинное или ложное только после замены переменных их значениями. Решение. Множество решений. Пусть Т\ (хь х2,. ..,х„) = Т2(хь х2,...,х„) есть уравнение с п переменными, и пусть X — соответствующая область определения. Тогда каждая последовательность чисел (?i, ?2»•••»?«)» элементы ?* которой, будучи подставленными вместо соответствующих переменных х,- в уравнение, переводят его в истинное высказывание, называется решением или корнем этого уравнения. Решить уравнение — значит найти все его решения, т. е. найти его множество решений. Пример. C, 2) есть решение уравнения Зхх — 2х2 = 5 (хь х2 действительны), множество решений есть {(E + 2f)/3, t); t - произвольное действительное число}. Уравнение называется разрешимым или неразрешимым в зависимости от того, имеет оно решение или нет. Если все последовательности чисел (?ь ^2,...,^„)еХ являются решениями уравнения, то оно называется тождеством относительно X. Так, уравнение х2 = 2 для рациональных х неразрешимо, а для действительных х разрешимо. Уравнение |/? = а есть тождество по отношению к множеству всех неотрицательных действительных чисел. Уравнения с параметрами. Иногда в уравнении с п переменными часть переменных можно рассматривать в качестве так называемых неизвестных т переменных @ < т < п), а остальные — в качестве параметров. Тогда решения уравнения могут зависеть от параметров. Пример. Если в уравнении 5х - 2у = z + 1 все переменные считаются неизвестными уравнения, то это есть уравнение относительно переменных х, у и z и, например, тройка A, 0, 4) есть решение этого уравнения. Если же z рассматривать как параметр, то получается уравнение относительно х и у, решением которого является, например, (z + 3, 2z + 7) Эквивалентные уравнения: Два уравнения с п переменными хь х2,.. ,х„, принадлежащими одной и той же области изменения, называются эквивалентными над этой областью изменения, если их множества решений совпадают. Например, уравнения х2 = 4 и х3 = 8 эквивалентны над множеством натуральных чисел, но не эквивалентны над множеством целых чисел, так как в последнем случае множества решений суть { — 2, 2} и {2} соответственно. Уравнения, тождественные по отношению к одинаковым областям изменения, всегда эквивалентны (это справедливо и для двух неразрешимых уравнений); если два уравнения эквивалентны третьему, то они эквивалентны друг другу {транзитивность эквивалентности) (ср. 2.4.1.5). 2.4.2.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентное преобразование — это преобразование, которое переводит уравнение в эквивалентное. Преобразование, переводящее уравнение Gi в уравнение G2, эквивалентно тогда и только тогда, когда для множеств решений L\ и L2 уравнений Gi и G2 выполняется равенство L\ = L2. Если, напротив, L\ ф L2, то преобразование называется неэквивалентным. Примеры (областью изменения в дальнейшем всегда будет множество действительных чисел). 1) Преобразование уравнения d: 3x-4 = 8 + 5x в уравнение G2: 2x=-12 является эквивалентным, так как 2) Если уравнение 12 + 4х 2х - 1 переписывают в х + 3 5-х виде A2 + 4х)E - х) = Bх - 1)(х + 3), то производят неэквивалентное преобразование, так как Lx = {7/2} с {7/2, -3} = L2; в этом случае Lt a L2. Если в качестве области изменения брать, например, множество положительных действительных чисел, то указанное преобразование является эквивалентным, так как в этом случае Lt = L2 = {7/2}. 3) Еще один пример неэквивалентного преобразования подобного типа дает переход от|/х + 7 = 2х-1 кх + 7 = = Bх - IJ, так как U = Щ с {2, -3/4} = L2. 4) При неэквивалентных преобразованиях решения могут и теряться, т е. Lt r> L2. Например, если перейти от уравнения d: х3 - 4х2 = 5х к уравнению G2: х2 - 4х - 5 = 0, то получим Li = {-1, 0, 5} => L2 = { - 1, 5}. Теоремы об эквивалентных преобразованиях уравнений (ср. 2.4.1.5). 1. Уравнение Ti = T2 эквивалентно уравнению Т\ = Т'2, если Ti эквивалентно Т\ и Т2 эквивалентно Т'2. 2. Уравнение Т\ = Т2 эквивалентно уравнению Т2 = 7Y 3. Уравнение Ту = Т2 эквивалентно уравнениям Ti + Тъ = Т2 + Т3 и Тх - Тъ = Т2 - Т3, если 7 3 есть выражение, определенное во всей области определения уравнения Тх = Т2. 4. Уравнение 1\ = Т2 эквивалентно уравнениям TiT3 = Т2ТЪ и Ti: Гз = Т2: 73, если Тъ определено и отлично от нуля во всей области определения уравнения Ti — Т2. Чтобы решить уравнение, т е. чтобы определить множество его решений, в общем случае посредством эквивалентных преобразований составляют цепочку уравнений, первое есть заданное уравнение, а последнее — уравнение такой простой структуры, что его решение можно найти непосредственно. По построению каждые два соседних уравнения цепочки эквивалентны друг другу; вслед-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 145 ствие транзитивности эквивалентности все уравнения цепочки эквивалентны друг другу; в частности, исходное уравнение эквивалентно последнему уравнению. Следовательно, найдя множество решений последнего уравнения, мы находим также множество решений исходного уравнения. Примеры. 1)-^- F v x 2-х х + 2 (х — действительное); 2) 5(х + 2)B - х) + 2х(х + 2) = ЗхB - х); 3) -5х2 + 20 + 2х2 + 4х = 6х - Зх2; 4) 20 = 2х; 5)х = 10. Проделанные преобразования эквивалентны для всех х Ф -2, 0, 2. Следовательно, искомое множество решений имеет вид L\ = L5 = {10}. 2.4.2.3. Алгебраические уравнения. Общее понятие. Каноническая форма. Любое уравнение Р(хи...,х„) = 0, где P(xi,...,xn) есть многочлен (отличный от нулевого) относительно Хь...,хи, называется алгебраическим уравнением относительно переменных xi,...,xn. Коэффициенты многочлена могут при этом быть как постоянными, так и параметрами (т. е. переменными, отличными от хь...,хп) или функциями таких параметров. В соответствии со сказанным, например, Зх2 — х + 5=0, пх - 1 = 0 - алгебраические уравнения относительно х, а х2 + 2у2 - ху - 3 = 0 - алгебраическое уравнение относительно х l/i у. Уравнение у3 — у sin х — 2 sin2 х — 7 = 0 не является алгебраическим относительно х и у, но если х рассматривается как параметр, то и это уравнение будет алгебраическим относительно у. Неалгебраическими уравнениями являются, например, /4х - 7 + 5 = 1 - 2х3, г - 8х + 15 х-3' sin х - е* + 5 = 0. Среди неалгебраических уравнений те уравнения, в которые переменные, рассматриваемые как неизвестные, входят под знаками трансцендентных функций (см. 2.5.2), называются трансцендентными уравнениями (см. 2.4.3). Иногда неалгебраические уравнения можно преобразовать в алгебраические (не обязательно эквивалентные исходным). Примеры. Уравнение — эквивалентно алгебраическому уравнению 2х2 + Зх — 20 = 0. Уравнение -j- х-5 1 никакому алгебраиче- х2 - 8х + 15 х-3 скому уравнению не эквивалентно; оно выполнено для всех х, кроме х = 3 и х = 5. Уравнение 7 — х = ух — 1 можно преобразовать в алгебраическое уравнение х2 - 15х + 50 = 0, но это уравнение не эквивалентно исходному. Алгебраическое уравнение имеет множество решений {5, 10}, в то время как исходное уравнение выполняется только при х = 5. Всякое алгебраическое уравнение относительно х можно записать в виде Аохп 0; Ао ф 0, п > 1; Аг называются коэффициентами уравнения, п — его степенью. Если все коэффициенты А( являются параметрами, то уравнение называется общим алгебраическим уравнением относительно х степени п. Если алгебраическое уравнение разделить на Ао Ф 0, то, обозначая А(/Ао = д,- (/=1, 2,..., и), получим каноническую форму алгебраического уравнения и-й степени относительно х: а2хп~ ... -h an-i а„ = 0. Корни алгебраических уравнений до четвертой степени включительно выражаются через коэффициенты при помощи конечного числа алгебраических операций. В этом случае каждое решение выражается в радикалах, т. е. представляет собой выражение, содержащее только знаки арифметических операций и извлечения корней; показатели этих корней — целые числа р ^ 2, а подкоренные выражения суть рациональные функции коэффициентов или сами содержат радикалы. Алгоритмы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. Линейные уравнения (уравнения 1-й степени). Каждое линейное уравнение есть алгебраическое уравнение 1-й степени, т. е. неизвестное встречается только в 1-й степени. Существуют также уравнения, эквивалентные линейному. Например, уравнение (х — 1)(х + 3) = (х -. ХЦ\ 2) над множеством R действительных чисел эквивалентно линей- 5 ~> ному уравнению 4х-13 = 0. Уравнение - *- , - - *"— = = — над множеством R\{1, 3, 5} эквипален , щ- нейному уравнению х - 13 = 0. Иррациональное уравнение ух + 2=1 над множеством всех действительных чисел эквивалентно уравнению х + 1 = 0. Линейное уравнение с одним неизвестным х и областью изменения R имеет вид ах + b = 0, а ф 0, ах - линейный член, Ъ — свободный член. Это уравнение имеет одно решение: х = — Ь/а. При изменении множества, над которым определяется решение, изменяется и разрешимость уравнения. Так, уравнение 2х + 5 = 0 неразрешимо над множеством натуральных чисел. Квадратные уравнения (уравнения 2-й степени). Каждое алгебраическое уравнение 2-й степени называется квадратным уравнением. Квадратное уравнение относительно х с областью изменения R (или множеством комплексных чисел С) имеет вид ах2 + Ьх + с = 0, а ф 0, где ах2 - квадратный, Ьх - линейный и с - свободный члены. После деления на а получаем каноническую форму: х2 + рх + q ш 0, где р = Ь/а, q = с/а — действительные параметры. Число действительных решений квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 зависит от знака дискриминанта D — q — (р/2J: если D < 0, то имеется два решения (два действительных корня); если D = 0, то имеется одно решение (два действительных совпадающих корня); если D > 0, то нет действительных решений (два комплексных корня). Если в качестве области изменения неизвес1- ного взять множество комплексных чисел, то квадратное уравнение всегда имеет два решения: действительные — в случае D ^ 0 и комплексно сопряженные - в случае D > 0.
146 АЛГЕБРА Вследствие того, что Лас — b2 = 4a2D, в качестве дискриминанта можно использовать выражение А = 4ас — Ь2, знак которого определяет вид решения квадратного уравнения ах2 4- Ьх + с = 0. Решение квадратного уравнения. 1-й способ. Применение формулы. а) Для уравнения вида ах2 + Ьх + с¦ = 0 имеем а{х - а)(х - р) (или х2 4- рх + q = уравнение ах2 + Ьх + с = 0 (или -b + ]/b2 -Лас Xi. 2 = V-Z • 2a б) Для уравнения вида х2 4- рх 4- q = 0 имеем х1>2 = -р/2±]/(р/2J - q = -р/2±\Ш. Эти формулы справедливы всегда, если в качестве области изменения неизвестного выбрано множество комплексных чисел. Если область изменения есть множество действительных чисел, то надо потребовать еще, чтобы выполнялось неравенство D < О (или А < 0). 2-й способ. Разложение на линейные множители. В случае, если удается разложить квадратный трехчлен на линейные множители: ах2 + Ьх + с = = (х-а)(х- х2 4- рх 4- q = 0) имеет множество решений L = Кубические уравнения (уравнения 3-й степени). Уравнение 3-й степени, или кубическое уравнение, имеет вид ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0, а ф 0, где а, Ь, с, d - действительные, при этом ах3 - кубический, Ьх2 — квадратный, сх — линейный и d — свободный члены. После деления на а уравнение принимает канонический вид: х3 4- гх2 4- sx 4- t = 0, (*) где г = b/a, s = с/а, t = d/a. Делая в уравнении (#) замену неизвестного у = х 4- (г/3) (х = у — (г/3)), получаем так называемое приведенное уравнение: 3s - г2 где р = 2г3 3 Число действительных решений кубического уравнения зависит от знака дискриминанта D = (р/3K 4- {q/2J (эта величина получается умножением на (-1/108) дискриминанта, введенного в 1.2.1.1): Решение кубического уравнения. 1-й способ. Разложение левой части на линейные множители. Если удается найти разложение ах3 + Ьх2 4- сх 4- d — а(х — а)(х — р)(х — у), то уравнение ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0 имеет множество решений {а, C, у}. Достаточно найти разложение вида ах3 4- Ьх2 f сх 4- d = а(х — а)(х2 + 4- рх 4- а) (выделение линейного множителя); тогда одно решение есть х2 = а, а два других находятся путем решения квадратного уравнения х2 4- рх 4- ст = 0. Очевидно, выделение линейного множителя всегда возможно, если известно одно решение уравнения или это решение можно подобрать (см. 2.4.2.4). 2-й способ. Применение формулы Кардано Формула Кардано для кубического уравнения х3 4- гх2 4- sx 4-1 = 0 относится к его приведенному виду у3 4- ру 4- q = 0. В этом случае = и 4- v, У 2 = ~ Уз = - и 4- 2 и 4- V V ¦ + и и — 2 - V V i]/3 = etu 4- e2v, j'j/з = 62w 4- ад v = ]/-q/2-]/Dt D = (p/3K + (q/2J, 81>2=(-1 : Посредством замены xk = yk — (r/3) (k — 1, 2, 3) из yk получим решения xk данного кубического уравнения. В случае D < 0 кубическое уравнение имеет три действительных решения. Если применять приведенные выше формулы, то корни будут выражаться через комплексные величины. Избежать этого можно следующим образом (см. также 3-й способ). Положим р = j/ — р3/27, cos ф = — q/{2p). Тогда решениями приведенного уравнения у3 + + РУ + Я = 0 будут У! = 2|!/рсо8(ф/3), у2 = 2 ]/р cos (ф/3 + 2л/3), Уз = 2 |/р cos (ф/3 4- 4л/3), от которых заменой хк = ук — (г/3) снова можно перейти к решениям заданного кубического уравнения х3 4- гх2 4- sx 4- t = 0. D<0 D = 0 x действительное Одно действительное решение Три действительных решения Одно действительное решение и одно действительное двукратное решение или одно действительное трехкратное решение (последнее в случае Р = Я = 0) х комплексное Одно действительное и два комплексно сопряженных решения Три действительных решения Одно действительное решение и одно действительное двукратное решение или одно действительное трехкратное решение (последнее в случае р — q = 0)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 147 Пример. Кубическое уравнение х3 - 6х2 4 21х - 52=0 заменой х»у + 2 преобразуем к приведенному виду у3 4 9у - 26 - 0 (здесь р = 9, q = -26, D = 27 4 169 = 196). Применение формулы Кардано дает ух = 2, у2 = «-14 2<]/3, уз » -1 - 2i]/3; следовательно, xt = 4, Решение уравнения 4-й степени. 1-й способ. Разложение на линейные множители. Если удается произвести разложение многочлена ах* + Ьх3 4- сх2 + dx + е = а(х — а) х х (х — C)(х — у)(* — 5), то уравнение 3-й способ. Применение вспомогательных величин, которые могут быть вычислены при помощи таблиц. В приведенном уравнении У3 + РУ + Q. — 0 положим Я = (sign q)]/\ p |/3. Вспомогательная величина (р и при ее помощи корни уи у2, Уз определяются в зависимости от знаков р и D = (р/3K 4- (q/2J из таблицы: ах4 + + сх2 4- = 0 имеет множество решений {а, C, у, 8}. Достаточно найти разложение левой части уравнения 4-й степени в произведение двух квадратных трехчленов: тогда решение уравнения 4-й степени сводится к решению двух квадратных уравнений. У\ Уг Уъ 2/?з Ф - 2/?cos — -2Rcos(-- + /ф -2/?cosl —4 т) /><0 Z>>0 -2*ch R ch - f 4 i|/3 Л sh -*?- -2Ksh| Л sh ^- 4 / /7>0 /~ Ф Пример. y3-9y + 4-0, p- -9, « = 4, 2)= -23 <0, - j/i - 1,7321, cos ф - -V - 0,3849, ф » 67°22'. yi * -2|/Зсо8 22°2Г - -3,4641 0,9242 - -3,201, у г - -2j/3 cos 142e27 = (-3,4641)-(-0,7929) = 2,747, • уз - -2|/3cos262°27 * (-3,4641).(-0,1314) = 0,455. Приближенное решение уравнения см. 7.1.2.3. Уравнение 4-й степени имеет вид ах4 4- Ьх3 4- сх2 4- dx 4- е = 0, а ^ 0, где а, Ь, c,d,e- действительные; посредством замены у = х 4- Ь/Dа) данное уравнение переводим в приведенное уравнение у* + ру2 + qy + г = 0, где р, q и г — рациональные функции коэффициентов a, h, с, d, e. Вид решения этого уравнения зависит от вида решения его кубической резольвенты гъ 4- 2pz2 4- (р2 - 4r)z - q2 = 0. Если область изменения неизвестного есть множество С комплексных чисел, то имеет место следующее: 2-й способ. Если zb бической резольвенты, то Уг = {]fil 4- ]fz~2 4- z2, z3 — корни кусуть решения приведенного уравнения у* + ру2 + 4- qy 4- г = 0 (при этом знаки перед радикалами j/^i"» l/^г"» l/^7 выбирают так, чтобы выполнялось равенство |/z7]/z7l/^" = —q). Далее посредством замены х = у - Ь/Dа) находят решения исходного уравнения 4-й степени. Пример. Уравнение х4 — 25х2 4 60х — 36 = 0 имеет кубическую резольвенту г3 - 50z2 4 769z - 3600 = 0 с решениями Zi-9, z2 = 16, z3 = 25; для того чтобы yzlyzlyzl = -60, знаки перед всеми корнями надо взять, например, отрицательными, т.е. |/zi = — 3, |/гг = — 4, |/z3 = -5. Отсюда получим корни исходного уравнения: xi — 1» Х2 — 2, х3 = 3, х4 = —6. 3-й способ. Если в уравнении ах4 4- Ьхъ + сх2 4- dx 4- е — 0 Кубическая резольвента Все корни действительны и положительны *) Все корни действительны, из них один положительный и два отрицательных*) Один действительный корень и два комплексно сопряженных корня *) Согласно теореме Виета, произведение корней zu z2, Уравнение 4-й степени Четыре действительных корня Две пары комплексно сопряженных корней Два действительных корня и два комплексно сопряженных корня г3, равное q2, должно быгь всегда положительным {q ф 0)
148 АЛГЕБРА замены x* выполняется равенство b = d = 0, то мы имеем так называемое биквадратное уравнение ях4 + сх2 + е = 0. Посредством замены переменного х2 = t это уравнение переводится в квадратное уравнение at2 4- ct 4- е = 0. Из решений tu t2 этого уравнения, полагая х2 = t, получают корни исходного уравнения 4-й степени. Если коэффициенты уравнения х4 4- гх3 4- sx2 + 4- tx 4- и — 0 удовлетворяют соотношению г3 4- 8t = = 4rs, то уравнение 4-й степени может быть решено при помощи квадратного уравнения: х4 4- гх3 4- 5Х2 4- Гх + и х (х2 + ~ J 4- и = 0. После заданное уравнение 4-й степени переходит в урав- 2 ( г2\ нение г 4- I s ——-If + м = 0, решая которое, получаем затем решения исходного уравнения. Приближенное решение уравнения см. 7.1.2.3. Уравнения высших степеней. Уравнения 5-й и более высоких степеней в общем случае принципиально неразрешимы в радикалах. Чаще всего их решают приближенными методами (см. 7.1.2.3). Если можно подобрать решение хь то выделением линейного множителя (х - хх) решение заданного уравнения сводится к решению уравнения меньшей степени. Частные виды уравнений высших степеней, т решений хь х2,...,хт двучленного уравнения хт = а (т > 1 целое, а положительное) получают при помощи формулы Муавра (см. 3.4.2.5) в виде xk+l «г-/ 2А = ]/ a ( cos — 2кп . 2кп\ 4- i sin ), т к = 0, 1, ..., т - 1. Уравнение х2т + ахт + b = 0 заменой переменного хт = у переводится в квадратное уравнение у2 4- ay 4- b = 0. Если оно имеет решения уи у2, то при помощи двучленных уравнений хт = ух или хт = у2 находят корни исходного уравнения. 2.4.2.4. Общие теоремы. Если хг - корень уравнения Р„(х) = хи + аххп~х + а2хп~2 + ... + а„-хх + а„ = 0, го многочлен Р„(х), стоящий в левой части уравнения, делится на (х — Xi) без остатка и получаемое частное есть многочлен Ри_! (х) степени и- 1: Рп(х) = (х-х1)Р„_1(х). В общем случае остаток от деления Р„(х) на (х - xi) равен Pn(xi): Pn(x) = (x-x1)Pn_1(x)-f Р„(*1). Если Р„(х) делится без остатка на (х - xt)fc, но уже не делится на (х — х1)к+1, то Xi называется к-кратным корнем уравнения Р„(х) = 0 (корнем кратности к). В этом случае Xi есть общий корень полинома Р„(х) и его производных вплоть до (к — 1)-го порядка. Основная теорема алгебры. Каждое алгебраическое уравнение п-й степени хи + а{хп~ 1 + ... + аи_ !* + а„ = 0, коэффициенты которого at (i = 1,...,л)— действительные или комплексные числа, имеет ровно п корней, действительных или комплексных, если /с-кратный корень считать за к корней. Если корни многочлена Р„(х) равны хь х2,...,хг и кратности их равны соответственно <хь ос2,...,аг (? «I = п), то многочлен представим в виде произведения: Рп(х) = х" 4- fli  4-... 4- an_ix 4- ап = = (х - X!)ai (х - х2)а2... (х - хг)\ и соответствующее уравнение имеет вид (х - xi)ai (х - х2)а2... (х - хг)"г = 0. Решение уравнения Р„ (х) = 0 можно упростить путем перехода к уравнению, имеющему те же самые корни, что и Р„ (х) = 0, но уже однократные (простые). Так как кратные корни многочлена Ри(х) являются также корнями производной Р^(х), то определяют наибольший общий делитель Т{х) многочленов Р„(х) и Р'п(х). Тогда уравнение Q(x) = 0, где Q(x) = Ри(х)/Г(х), имеет те же самые корни, что и Р„ (х) = 0, но каждый из них имеет кратность 1. Уравнение с действительными коэффициентами. Если уравнение х"Ч- flix"~1 + ... 4- я„- iX 4- ап = 0 с действительными коэффициентами имеет комплексный корень хх = a 4- ip (p ф 0), то оно имеет также корень хх = a - ф и притом той же кратности, что xt. Поэтому число строго комплексных корней уравнения с действительными коэффициентами всегда четно. Следовательно, уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. В разложении на множители левой части уравнения Ри(х) = 0 с действительными коэффициентами наряду с множителем (х — xY)p, где ху — комплексный корень, имеется также и множитель (х - ху)р. Объединив каждую такую пару множителей, получим разложение левой части на действительные множители: = (x-x1)ai(x-x2)a2... ...(х - х*)а*(х2 4- pix 4- < и- I «, + 2 + Чх)\ Здесь xi, x2,...,xk — действительные корни уравнения, а / пар комплексно сопряженных решений — корни квадратных множителей х2 4- р,х + </, (i = 1, 2,...,/). Отсюда следует, что (р{/2J - qt < 0. Так как каждый из квадратных множителей х2 4- ргх 4- qt положителен при любых действительных значениях х, то справедливо следующее утверждение: если уравнение аохп 4- flix" + 4- ... 4- an-ix 4- а„ = 0 не имеет действительных корней, то при любых х левая часть имеет знак коэффициента а0. Из этого следует утверждение: если в уравнении четной степени ап/ао<0, то уравнение имеет по меньшей мере два действительных корня разного знака. Теорема Виета. Для уравнения х" + а^хп~1 4- ... + an-ix 4- а„ = 0
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 149 имеет место следующая зависимость между корнями уравнения (с учетом кратности) и его коэффициентами а{ {i = 1, 2,...,и): Х2 Х„ = - аъ, Таким образом, если уравнение имеет целочисленные коэффициенты и целочисленное решение,, то это решение является делителем свободного члена. Теорема Виета для квадратного и кубического уравнений. х2 + рх + q = 0: х3 + rx2 + sx + t = 0: + х2 = -р, + х2 + х3 = -г, Х2Х3 = S, Теорема Штурма. При помощи теоремы Штурма можно определить число действительных корней уравнения с действительными коэффициентами. Прежде чем сформулировать теорему Штурма, опишем используемый здесь алгоритм. Отделим кратные корни заданного уравнения Р(х) = 0, т. е. перейдем к уравнению Q (х) = 0, которое имеет те же корни, что и данное, но кратности 1. (Напомним, что Q(x) = Р(х)/Т(х), где Г(х) — наибольший общий делитель Р(х) и Р'(х).) Затем составим последовательность Q(x), Q'(x), Qi(x),...,Qm(x) следующим образом (алгоритм Евклида): R2(x)Q1(x)-Q2(x), Qm . 2 (x) - Rm (x) Qm _! (x) - Qm (x), (деление с остатком); Qt - остатки от деления, взятые с противоположным знаком (см. 2.4.1.3). Так как в последовательности Q(x\ Q'{x\ Qi(x\...,Qm(x) степени многочленов монотонно уменьшаются, то процесс деления оборвется после конечного числа шагов. Как известно, посредством такого деления с остатком отыскивается наибольший общий делитель исходных многочленов Q{x) и Q'(x). Но так как по предположению Q(x) имеет только простые корни, то наибольший общий делитель Qm(x) многочленов Q(x) и Q'{x) есть постоянная. Положив в многочленах х = ? (? — действительное число), получим последовательность действительных чисел (Ш Q'&\ fi 1 (?),...,Q«(S). Если в этой последовательности два соседних числа имеют различные знаки, то говорят о перемене знака. Пусть w(?) означает число перемен знака, причем если некоторые из чисел &(?) — нули, то при подсчете числа перемен знаков их пропускают. Теорема Штурма утверждает: если а и b (а < Ь) не являются корнями Q(x), то разность w(a)- — w(b) равна числу действительных корней Q(x) в промежутке [а, Ь]. Чтобы найти число всех действительных корней уравнения, нужно найти промежуток, содержащий все корни, и применить к нему теорему Штурма. Для этого служит Правило Ньютона.- Пусть Р(х) = аохп + ^х" -I-... + аи_!Х + ап = 0, а0 > 0, — уравнение n-й |,степени. Число g такое, что Р(х) > 0, F(х) > 0,..., Р{п~1)(х) > 0 для всех х > д, есть верхняя граница действительных корней уравнения Р(х) = 0. Число h есть нижняя граница действительных корней этого уравнения, если ( — h) есть верхняя граница действительных корней уравнения Р( — х) = 0. 1 них корней урапч Пример. Найти число действи ния х4 - 5х2 + 8х - 8 = 0. Имеем Р(х) = х4 - 5х2 + 8х - 8, Р'(х) = 4х - 10х + 8, Р" (х) = 12х2 - 10, F" (х) =-- 24х Заметим, что Р"'(х)>0 для всех х>^ сети <; " 0 Дале<* Р"(х)>0 и Р*(х)>0 для д^\% но i"(i <Л) Так к-и Р(х)>0 при х > 2, то д = 2 есть верхняя iраним !>ч> действительных корней этого уравнения Если irr мер. применить к Р(—х) = х4 — 5х2 — 8х — 8, го в к-ачечве г<ор> ней границы получим 3, т.е. /i = -3 есть нижняя ¦рани-- всех действительных корней1 заданного уравнения Следовательно, все действительные корни данного уравнения лежат в промежутке [ — 3, 2]; определим их число при помочи теоремы Штурма. Прежде, всего заметим, что Р(\) не имеет кратных корней. Вычислим многочлены Р(х) = Q(x) = х4 - 5х2 + 8л - 8. Р/(х) = 0'(х) = 4х3- Юх + 8 g1(x) = 5x2 - 12x+ 16. Q2(x)= -3.x+ 284, Так как в дальнейшем важен только -»чак тг ,> многочленов, то для упрощения вычисления мно Q{ делимое или делитель можно умножать ни сое я< » "К положительный множитель. При х= — 3 полу»аг^ < ^ -^ довательность 4, -70, 97, 293, -1; при последовательность 4, 20, 12, 278, 1 Таким >• w( — 3) = 3, wB) = 1, и уравнение имеет и-(--З) ^ действительных корня. Если вычислить еще, на при > w@) = 2, то мы найдем, что один корень нахоио' интервале (-3, 0), другой - в интервале @, 2) Правило знаков Декарта. Число положительных корней (подсчитанное с учетом их кратности) уравнения 0 Р(х) = аохп ап не больше числа перемен знака в последова-
150 АЛГЕБРА тельности я0, аи...,ап коэффициентов Р(х) и может отличаться от него лишь на четное число. Если уравнение имеет только действительные корни, то число его положительных корней равно числу перемен знака в ряду коэффициентов. Пример. Коэффициенты уравнения х* + 2х3 - х2 + + 5х-1=0 имеют знаки + + - + -, т. е. знак изменяется трижды. Согласно правилу Декарта, это уравнение имеет или три, или один положительный корень. Так как при замене х на -х корни уравнения меняют знаки, а при замене х на х + h их величины изменяются на h, то при помощи правила Декарта можно оценить число отрицательных корней, а также число корней, больших И. В нашем примере заменой х на -х получим, что х* - 2х3 - х2 - 5х - 1 = 0, т. е. уравнение имеет один отрицательный корень. Замена х на х + 1 дает уравнение х4 + 6х3 + 11х2 + 13х + 6 = 0, т. е. все положительные корни нашего уравнения (число которых один или три) меньше 1. В частности, каждое уравнение четной степени, первый и последний коэффициенты которого имеют различные знаки, имеет по меньшей мере один положительный и один отрицательный корни. Каждое уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень того же знака, что и {-ап/а0); число его действительных корней другого знака — четное число (или нуль). Правило Декарта позволяет также оценить число действительных корней уравнения Р{х) = 0 в промежутке [а, Ь]. Для этого надо применить правило знаков приведенным выше способом к уравнению Р (у) = 0, где у = (а - х)/{х - Ь). 2.4.2.5. Система алгебраических уравнений. Если заданы т уравнений с п неизвестными и требуется найти последовательности из п чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому из т уравнений, то мы имеем систему уравнений. Если все т уравнений линейны, то говорят о системе линейных уравнений; такие системы могут решаться методами линейной алгебры (см. 2.4.4.3). Проиллюстрируем на примерах методы решения для некоторых часто встречающихся типов нелинейных систем уравнений. Примеры. 1) Даны уравнение 1-й степени и уравнение 2-й степени, каждое с двумя неизвестными: х2 + у2 + Зх - 2у = 4, х + 2у ш 5. Линейное уравнение решается относительно одного из двух неизвестных (х = 5 — 2у) и полученное выражение подставляется в квадратное уравнение. Получаем квадратное уравнение относительно одного неизвестного у2 —у Л = 0, которое решается, как обычно: у\ = 2, у2 = 18/5. Получаем множество решений заданной системы уравнений: L= {A, 2); (-11/5, 18/5)}. 2) Даны два уравнения 2-й степени с двумя неизвестными: решений исходной системы уравнений: L={A, 2);(-1, -2); B, 1); (-2, -1)}. 3) Даны два уравнения 2-й степени с двумя неизвестными: х2 + у2 + Зх - 2у - 17, ха + у2 + х - у - 12. Вычитанием уравнений получим, что 2х - у - 5. Если от заданной системы уравнений перейти к эквивалентной, содержащей любое из исходных уравнений и полученное линейное уравнение, то будем иметь случай, рассмотренный в примере 1). Для исходной системы уравнений получаем множество решений {C, 1); F/5, 13/3)}. 4) На плоскости хОу требуется найти уравнение окружности, проходящей через три точки, например B6, А), (9, 21), A7, 17); получаем три уравнения 2-й степени с тремя неизвестными: Так как у - 2/х, то из первого уравнения получаем биквадратное уравнение х* - 5х2 + 4 = 0, которое посредством замены х2 = г переводим в квадратное уравнение относительно t. Из множества решений квадратного уравнения tt = 1, t2 = 4 находим корни биквадратного уравнения, а затем (вспомнив, что у - 2/х) и множество где с, d - неизвестные координаты центра, г - неизвестный радиус. Взяв любые два из этих уравнений и вычитая одно из другого, получим линейное уравнение с двумя неизвестными. Вычитание второго уравнения из первого дает -с + <* + 5«0, вычитание третьего из первого дает -9с + Ш + 57 = 0. Полученная система имеет решение с - 2, d ш - 3. Подставив эти значения в одно из исходных уравнений, получим г = 25. 2.4.3. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общее понятие. Примеры. Уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением (см. 2.4.2.3). К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные уравнения, логарифмические уравнения и тригонометрические уравнения. В общем случае трансцендентные уравнения могут быть решены только при помощи приближенных методов. В некоторых особых случаях трансцендентные уравнения можно все же свести к алгебраическим уравнениям. Показательные уравнения (приводимые к алгебраическим). 1. Неизвестное находится только в показателях степеней выражений, над которыми не производится операций сложения и вычитания. Тогда логарифмирование общего уравнения (с произвольным основанием) приводит к цели. Пример. 3*«=4*-2-2х; xlog3 «(х - 2)log4 + xlog2, откуда х« 21og4 m log 16 log 4 - log 3 + log 2 log (8/3) • 2. Неизвестное х входит только в показатели степени выражений, основания которых являются целыми степенями одного и того же числа к. Тогда заменой неизвестного у = к* можно получить уравнение, алгебраическое относительно у. Пример. 2*-l = Sx-2-4'-2. Основания выражений, содержащих х, суть целые степени 2; заменой неизвестного у = 2* переводим исходное уравнение в уравнение у3 - 4у* - 32у =* 0 с решениями уг - 8, у3 - -4, уэ - 0. Отсюда получаем, что Xi = 3; других действительных корней не существует.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 151 Трансцендентные уравнения, содержащие неизвестное только в аргументе гиперболических функций, можно привести к уравнениям рассмотренного вида, если гиперболические функции выразить через показательные. Пример. 3 ch х = sh х + 9, - + з, 2 2 е* + 2е~х — 9 = 0. Заменой переменного у = е* получим уравнение у2 - 9у + 2 = 0, алгебраическое относительно у, с решениями yit2 = 9±j 73 , откуда следует, что хх = 1пу1а& * 2,1716 и х2 = In y2 « -1,4784. Логарифмические уравнения (приводимые к алгебраическим). 1. Пусть неизвестное х входит только в аргумент логарифма или уравнение содержит логарифмы от одного и того же выражения А(х\ где А (х) - многочлен. Тогда замена переменного вида у = logj, А (х) приводит к алгебраическому относительно у уравнению. Из решений этого уравнения получаем решения исходного уравнения при помощи таблицы логарифмов. Пример. 4-lgf-yxj = 3 l/lgfyx\ Полагая у = = l/lgI — х I, получаем 4 — у2 — Ъу с множеством решений {1, -4}. Из i=mgfi-x) следует у* = 10, т.е.гх = 4; решение у2 = —4 для исходного уравнения — постороннее. 2. Пусть неизвестное х входит только в аргумент логарифмов одного и того же основания а, и все уравнение есть линейная комбинация выражений вида m,logaP,(x) (m,-- рациональные числа, Pi — многочлены относительно х). Тогда уравнение можно привести к виду loga Q (х) = А, где Q (х) - многочлен, или, потенцируя, к алгебраическому уравнению Q (х) — аА = 0. Пример. 21og5Cx- l)-log5A2x + l) = 0, f Проверка показывает, что L = {2} есть множество решений исходного уравнения. 3. Пусть неизвестное х входит только в аргумент логарифма, и уравнение содержит только логарифмы с одним и тем же аргументом, но с различными основаниями. Тогда в некоторых случаях уравнение можно решить после приведения логарифмов к одному основанию и использования свойств логарифмов. Пример. Iog2(x- 1) +log3(х- l) + log4(x- 1) = log* 2 lOg4(x - 1) = Iog34, = 3 + log34, Iog4(x - I)(log24 + Iog34 + 1) = 3 Iog4(x-1)= 1, x = 5. Тригонометрические уравнения (приводимые к алгебраическим). Пусть неизвестное х или пх 4- а (и — целое) входит только в аргументы тригонометрических функций. Тогда, применяя тригонометрические формулы, приводим уравнение к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию аргумента х. Эту функцию полагаем равной у и решаем алгебраическое относительно у уравнение. Решив его, определяем (в общем случае при помощи таблиц) неизвестное х. При этом, ввиду периодичности тригонометрических функций, следует принимать во внимание многозначность решения. При переходе от данного уравнения к уравнению, содержащему только одну тригонометрическую функцию относительно х, иногда бывают необходимы неэквивалентные преобразования (например, возведение в квадраг при наличии радикалов). Поэтому необходимо сделать проверку, чтобы исключить появившиеся посторонние решения. П ример. 4sinx = 4cos2x — l;4sinx = 4(l— sin2x) — 1; после замены переменной у = sin х получим 4у2 + Ау - 3 = 0 с решениями уг = 1/2, у2 = - 3/2. Решение у2 не дает действительных решений заданного уравнения (|sinx|^l); ух дает х = я/6 + 2кп и х = 5я/6 + 2кп (к = 0, ± 1, ±2, ±3,...). 2.4.4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 2.4.4.1. Векторные пространства. 2.4.4.1.1. Понятие векторного пространства. Непустое множество V, для элементов которого определено сложение ( + ) и умножение (•) на действительные числа, называется действительным векторным пространством V = [F, + , •] или линейным пространством*), а элементы V называются векторами, если выполнены следующие аксиомы: 1) Для любых двух элементов а, ЬеУ существует один элемент а + be V — сумма а и b (внутренний закон композиции). 2) Ассоциативность. Для любых а, b, ceV справедливо равенство а + (Ь 4- с) = (а + Ь) + с. 3) Коммутативность. Для любых а, ЬеУ справедливо равенство а + b = b + а. 4) Для любых а, b е V существует х е V такой, что а + х = Ь. 5) Для любого аеКи любого действительного числа а имеется элемент а- ае V — произведение элемента а на число а (внешний закон композиции)**). 6) Ассоииативностъ. Для любого aeV н любых действительных чисел a, p справедливо равенство (оф)а = а(|3а). 7) Для любого аеК справедливо равенство 1а = а. 8) Дистрибутивность. Для любых а, be К и любых действительных чисел а, C справедливы равенства а (а + Ь) = аа + ab и (а + C) а = аа 4- (За. Замечание. При определении умножения вместо поля действительных чисел можно положить в основу другие поля К. Тогда говорят о векторном пространстве над полем К; в частности, о «действительном векторном пространстве» или о «комплексном векторном пространстве», если К есть соответственно поле действительных или поле комплексных чисел. Примеры. 1) Векторное пространство упорядоченных пар (х, у) действительных чисел х, у с законами композиции (х, у) + (х', У) = (х + х',. У + /), <х(х, у) = (ax, ay). *) Векторными пространствами иногда называются только линейные пространства, имеющие конечный базис (см. 2.4.4.1.4). **) Элемент а а обычно обозначается аа
152 АЛГЕБРА 2) Векторное пространство конечных последовательностей (хь х2,...,х„) действительных чисел с законами композиции а(*ь х2,....,х,,) = (ахь ах2,...,ах,,). 3) Векторное пространство многочленов ? а^х' с за- конами композиции f о,х' + f ft,* = f (о, + Ь{)х1 + ? а{х> (п > т), i 4) Векторное пространство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, с законами композиции [/ + д] (х) = = /(х) + 0(х), [ое/](х) = ot/(x). 5) Векторное пространство геометрических векторов на плоскости, причем сложение и умножение на действительное число определены обычным образом (см. 4.2.1). Правила действий с элементами векторных пространств. Из аксиом 1) —8) следует, что действия с элементами векторного пространства производятся, в сущности, так же, как и с числами; по отношению к сложению и умножению на действительные числа справедливы, грубо говоря, «обычные» правила, в частности: 1) Существует, и притом только один, нейтральный по отношению к сложению элемент 0 такой, что а + 0 = а для любых а е К; 0 называется нулевым вектором. 2) Для каждого вектора ае V существует единственный обратный по отношению к сложению элемент (-а)еКтакой, что а + (-а) = О; вектор ( — а) называется противоположным вектору а. 3) Уравнение а + х = Ь, где a, b е V, разрешимо единственным образом; решение хе V называется разностью векторов b и а, пишут: х = b — а. В частности, 0 — а = — а. 4) Законы ассоциативности и коммутативности сложения, так же как и дистрибутивные законы, методом полной индукции можно обобщить на любое конечное число слагаемых. 5) Для векторов a, b е V и действительных чисел а, C выполняются соотношения: a) a + (-b) = a-b; б) -(-а) = а; в) - (а + Ь) = -а - Ь; г) - (а - Ь) = -а + Ь; д) Оа = 0; е) аО = О, ж) (-а)а = а(-а), (-1)а= -а; з) а (а - Ь) = аа - ab, (а - р) a - аа - (За. 2.4.4.1.2. Векторные подпространства. Пусть К-векшрное пространство и [/-непустое подмножество в V. Если V по отношению к тем же операциям сложения и умножения само является векторным пространством, то U называется векторным подпространством (пространства) V. Чтобы проверить, является ли V векторным подпространством V, не требуется доказывать истинность всех аксиом, так как имеет место критерий: U@ Ф U Я V) есть векторное подпространство V тогда и только тогда, когда для любых a, bet/ и любого действительного а справедливы включения а + be (/ и аае I/ (замкнутость U по отношению к операциям + и •). Примеры. 1) Всякое векторное пространство имеет два тривиальных векторных подпространства, а именно: само себя и то, которое содержит нулевой вектор в качестве единственного элемента. 2) В векторном пространстве конечных последовательностей действительных чисел (х,, х2, ..., х„) подмножество, содержащее все такие последовательности, что ci*i + С2*2 + ... + с„хп = О (с{ — фиксированные действительные числа), образует векторное подпространство по отношению к операциям сложения и умножения, определенным для последовательностей. 3) В векторном пространстве многочленов подмножество всех многочленов степени, меньшей л, образует векторное подпространство по отношению к операциям сложения и умножения, определенным для многочленов. 4) Пусть S — непустое множество векторного пространства. Всякое выражение вида Х^ + А.2а2 + ... + + Х,аг, где Xi, Х,2, ..., К — произвольные действительные и аь а2, ..., areS. называется линейной комбинацией элементов S. Множество всех линейных комбинаций векторов из S образует векторное подпространство. 5) Если U\ и U2 — векторные подпространства одного и того же векторного пространства V, то их пересечение Ui f\ U2 также есть векторное подпространство пространства V. То же самое справедливо и для пересечения большего числа подпространств. 6) Пусть S - произвольное множество векторов векторного пространства V. Можно рассмотреть пересечение всех векторных подпространств пространства И содержащих S. Это снова есть векторное подпространство, а именно наименьшее векторное подпространство, содержащее S. Его называют линейной оболочкой множества S и пишут: &(S) = f){Ua: (/„-векторное подпространство V Если S = 0, то S? (S) есть векторное подпространство из V, содержащее только нулевой вектор. Если S^0, то Se (S) наряду с S содержит в качестве векторного пространства всякую линейную комбинацию векторов из S Так как множество всех линейных комбинаций S само образует векторное подпространство из V, содержащее S, a JS? (S) есть наименьшее векторное подпространство, обладающее этим свойством, то J??(S) состоит как раз из всех линейных комбинаций векторов из S: R; a^eS; г — натуральное число> Из Si^S2 следует &y{S) с J^(S2). Если U есть векторное подпространство из V, то &(U) = U, и наоборот. Если векторное подпространство U пространства Иможно представить как линейную оболочку множества S векторов из V, то S называется системой, порождающей U. 7) В то время как для двух векторных подпространств Ui и U2 пространства V их пересечение вновь является векторным подпространством, для их объединения это в общем случае не так. Наименьшее векторное подпространство из К содержащее U1\JU2, т.е. Se{Ul{JU2), называют суммой Ui + U2 (или композицией) Ul и U2. Оно состоит из всех векторов х = Х!+х2, где XieLfb x2el/2- 2.4.4.1.3. Линейная зависимость. Непустое конечное множество S - {аь ..., а*} элементов векторного пространства V называется линейно зависимым, если существуют действительные числа Хи ..., \к, не все равные нулю и такие, что Х&х + ... + Х&ь = 0. Если это соотношение имеет место только при Хг as... = Xk = 0, то множество S называется линейно независимым. Вектор хеК называется линейно зависимым от S, когда он является линейной комбинацией векторов из S, т.е. если xeif(S). В случае, если x?i?(S), вектор х называется линейно независимым от S.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 153 Примеры. 1) Вектор х = C, -7, 0) векторного пространства упорядоченных троек действительных чисел линейно зависит от множества S = {A, -1, 0); @, 1, 1); C, 0, 5); B, -1, 3)}, так как, например, х = 2A, -1, 0) - 3C, 0, 5) + 5B, -1, 3), S() 2) Вектор х = C, — 7, 0) не является линейно зависимым от множества S = {@, 1, 1); @, —2, 5)}, так как каждая линейная комбинация векторов из S дает, очевидно, вектор, первая координата которого равна нулю, т. е. вектор х линейно независим от S. 3) Нулевой вектор линейно зависит от каждого множества S, так как 0e&(S) для любого S. Множество S векторов из К называется линейно зависимым, если существует по крайней мере один вектор xeS, который линейно зависит от 5\{х}. Если любой вектор xeS линейно не зависит от 5\{х}, то S называется линейно независимым. Примечание. В случае, когда S — непустое конечное множество, это определение эквивалентно определению, данному в начале пункта. Из этого следует, в частности, что пустое множество 5 = 0 линейно независимо. Множество S в {0}, содержащее только нулевой вектор 0, линейно зависимо, так как Из определения следует: каждое множество S, содержащее линейно зависимое подмножество 5', само линейно зависимо. Действительно, если S' линейно зависимо, то по крайней мере для одного х е S' справедливо х б & (S' \ {х}) и вследствие ^f(S'\{x})cif(s\{x}) также и xeX{S\{x}). Справедливо утверждение: каждое подмножество S' линейно независимого множества S само является линейно независимым. Если S' = 0, то 5' линейно независимо, а в случае S' Ф 0 утверждение следует из предыдущего утверждения. В частности, любое конечное подмножество S' линейно независимого множества S само линейно независимо. И наоборот, из линейной независимости всех конечных подмножеств 5' множества S следует линейная независимость 5. Примеры. 1) В векторном пространстве упорядоченных пар действительных чисел множество {C, 0); (-1, 2); G, 1)} является линейно зависимым, так как справедливо равенство 5 C, 0) + (-1, 2) - 2 G, 1) = @, 0). 2) В векторном пространстве многочленов множество S = {х3", п — натуральное} линейно независимо ввиду того, что каждое конечное подмножество {x^vi, xrv*, ..., x^v»} элементов из S линейно независимо, так как из предположения XjX3vi + X2x3v2 + ... + XAx3v* = 0 (для любого х) следует, что все коэффициенты X, (i = 1,2, ..., к) равны нулю. 3) В векторном пространстве многочленов множество {х3 + 2х2; 2х3 + 2х2 - 6х + 4; -х2 + Зх; х2 - 1} является линейно зависимым множеством векторов, так как, например, 2 (х3 + 2х2) - Bх3 + 2х2 - 6х + 4) - -2(-х2 + Зх)-4(х2- 1) = 0. 4) В векторном пространстве комплексных чисел над полем действительных чисел множество {1, /} является линейно независимым множеством, так как соотношение Xi • 1 + Х2 • / = 0 выполняется с действительными X! и Х2 только при Xt = Х2 = 0. В векторном пространстве комплексных чисел над полем комплексных чисел множество {1, /} линейно зависимо. Xt• 1 + Х2 i = 0 при Xi = i, X2 = — 1. Другие свойства линейной зависимости. 1. Если 5 линейно независимо, a S(J{x} линейно зависимо, то х есть линейная комбинация векторов из S. 2. Если S линейно независимо, х линейно независимо от S, то S (J {х} также линейно независимо. 3. Если 5 линейно независимо, аь ..., лкеБ, то из соотношения следует, что Xi = ць ..., Хк = \iki т. е. к линейно независимому S всегда можно применить «принцип приравнивания коэффициентов». Если S линейно зависимо, то это уже не так; например, для ai = C, 0), а2 = (-1, 2), а3 = G, 1) имеем 7*l -3a2-a3 = 2a! - 4а2 +а3. 2.4.4.1.4. Базис. Размерность. Если В — система векторов, порождающая векторное пространство F, то каждый вектор xeV можно представить в виде линейной комбинации векторов из В. Если, кроме того, система В линейно независима, то представление х в виде линейной комбинации векторов из В определено однозначно. Такая линейно независимая порождающая система В называется базисом пространства V. Итак, если К=[К + ,-] есть векторное пространство, то каждое подмножество В я V такое, что 1) & (В) — V и 2) В линейно независимо, называется базисом пространства К Примеры. 1) В векторном пространстве R" всех упорядоченных ^-последовательностей действительных чисел множество В = {ех = A, 0, 0, ..., 0); е2 = @, 1, 0, ..., 0);... • ••; еи = @, 0, 0, ..., 1)} есть базис; он называется каноническим базисом пространства R". 2) В векторном пространстве всех многочленов множество В = {1, х, х2, ...} есть базис, так как В линейно независимо и каждый многочлен р(х) можно записать в виде линейной комбинации элементов из В: р(*) = ***. 3) В векторном пространстве всех решений уравнения Зх + 4у - z = 0, например, множество В = {A, 0, 3); @, 1, 4)} является базисом, так как В линейно независимо и каждое решение уравнения можно представить в виде х = (х, у, z) = = Х.1 A, 0, 3) + Х2@, 1, 4) (см. 2.4.4.3). 4) Векторное пространство, состоящее только из нулевого вектора 0, имеет В = 0 в качестве (единственного) базиса вследствие того, что JSf @) = {0}, и линейной независимости 0. Справедливы следующие утверждения о существовании базиса и его свойствах. 1. Каждое векторное пространство имеет (по меньшей мере один) базис. Каждая порождающая система векторного пространства содержит базис. Из этого, в частности, следует: если V'— векторное пространство, порождаемое конечной системой, т. е. имеет место равенство V = & E), где S - конечное множество, то V имеет конечный базис. 2. Каждый базис В векторного пространства V есть минимальная порождающая система V, т. е. (a) Se (В) = V; (б) для всех В таких, что В с В, справедливо соотношение & (В1) # V. Наоборот,
154 АЛГЕБРА каждое подмножество В с \\ удовлетворяющее условиям (а) и (б), является базисом V. 3. Каждый базис В векторного пространства V есть максимальное линейно независимое подмножество пространства V в следующем смысле: (а) множество В линейно независимо; (б) для всех В' таких, что множество В' => В, В' линейно зависимо. Наоборот, каждое подмножество В с V, удовлетворяющее условиям (а) и (б), является базисом V. 4. Пусть В - базис векторного пространства К и пусть S — линейно независимое подмножество, содержащее т векторов из V. Тогда в В всегда можно найти такое подмножество В*, также состоящее из т векторов, что множество (B\B*)[j S, в котором векторы из В* заменены на векторы из S, снова будет базисом V. Другими словами, это означает, что некоторое подмножество из т векторов базиса можно заменить на заданное линейно независимое подмножество, состоящее из т векторов, без потери при этом свойства базиса. Таким образом, всегда можно построить базис, содержащий заданную линейно независимую систему векторов. При помощи утверждений 2-4 можно построить базисы векторного пространства V, порождаемого конечной системой. Для этого или «сокращают» порождающую систему V последова- 1ельным отбрасыванием векторов, которые являются линейной комбинацией остальных векторов, до тех пор, пока «сокращенная» порождающая система не станет линейно независимой, или добавляют к линейно независимому множеству V" вектор хт + ь который не является линейной комбинацией векторов из 7™, затем к Tm+l = — Tm{J {xm+il добавляют вектор xm+2, не являющийся линейной комбинацией векторов 7™+1, и т. д. до тех пор, пока «расширенное» линейно независимое множество V (« ^ т) не станет порождающей системой V. Предположение, что «К порождается конечной системой», обеспечивает обрыв обоих процессов после конечного числа шагов. Векторное пространство, порождаемое конечной системой, называется конечномерным. В частности, все базисы конечномерного векторного пространства состоят из одинакового количества векторов; число базисных векторов, одинаковое для всех базисов векторного пространства, называется его размерностью и обозначается dim V. Векторное пространство, содержащее только нулевой вектор, имеет размерность нуль. Если векторное пространство не порождается конечной системой, то оно называется бесконечномерным. Примеры. 1) Векторное пространство R" упорядоченных л-последовательностей действительных чисел имеет размерность п (dim R" = и), так как канонический базис, а следовательно, и любой базис R" содержат п векторов. 2) Векторное пространство перемещений на плоскости двумерно, так как каждые два непараллельных вектора образуют базис этого векторного пространства. 3) Векторное Пространство многочленов бесконечномерно. Если векторное пространство V имеет размерность « ^ 1, то каждый базис Fecib линейно 'независимое множество из п векторов. И наоборот, каждое линейно независимое множество, содержащее п векторов из К есть базис V. Это дает удобный для практических исследований критерий базиса, если известна размерность векторного пространства. Соотношение dim V= и ^ 1 выполняется тогда и только тогда, когда в V существует по крайней мере одно линейно независимое множество, состоящее из « векторов, в то время как все множества, содержащие п + 1 векторов, линейно зависимы. Пусть V— конечномерное векторное пространство, a U, Ui и U2 — векторные подпространства V. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) dim U < dim V и dim U = dim V только тогда, когда U = V; 2) из Ui Я U2 и dim V\ = dim U2 следует Ul = U2; 3) dim {U1 П U2) + dim {Ul + U2) = dim V^ + 4- dim U2- Координаты. Пусть V— «-мерное пространство (п ^ 1) и В = {аь а2, ..., а„} - базис К Вследствие 1-го свойства базиса {?? (В) — V) каждый вектор xeVможно представить как линейную комбинацию векторов из В: х = х^ -I- х2а2 + + ... + хяа„, и вследствие линейной независимости В это представление х единственно (с точностью до порядка слагаемых). Если базисные векторы в В каким-нибудь образом упорядочить, то каждому вектору х можно взаимно однозначно поставить в соответствие упорядоченную и-последователь- ность (хь х2, ..., х„) действительных чисел — его координаты. Пусть V — n-мерное векторное пространство (п ^ 1) и В = {аь а2, ..., а„} — базис V, базисные векторы которого а, стоят в фиксированном порядке *). Если х е V, то однозначно определенные коэффициенты в представлении х х,а, в виде линейной комбинации векторов В называют координатами х по отношению к В и пишут: х = = (хь х2, ..., х„)в. Вместо векторов V можно производить вычисления с сопоставленными им по отношению к В упорядоченными n-последовательностями координат в соответствии со следующими утверждениями. Упорядоченная n-последовательность координат, поставленная в соответствие сумме х + у векторов х и у по отношению к В, получается как сумма упорядоченных n-последовательностей координат, сопоставленных по отношению к В векторам х и у. Упорядоченная «-последовательность координат вектора ах по отношению к В равна упорядоченной «-последовательности координат вектора х по отношению к В, умноженной на а. Вследствие этого взаимно однозначное соответствие между «-мерным векторным пространством V и векторным пространством упорядоченных «-последовательностей действительных чисел является изоморфизмом. Справедливо следующее утверждение: каждое «-мерное векторное пространство изоморфно векторному пространству упорядоченных «-последовательностей действительных чисел. Преобразование координат. При переходе от одного базиса В = {al5 a2, ..., а„} *) Всюду в дальнейшем будем понимать базис именно
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 155 аГ а! а* = АТ ai а2 , то х„ = А "*? х*_ векторного пространства Vk другому базису В* = = {а^, af, ..., а*}, конечно, изменяются координаты вектора хе V. Пусть х = (хь х2, ..., xn)g = = (xf, xf, ..., x*)g*. Если (базисные векторы af базиса В* связаны с базисными векторами а, базиса В уравнениями а* = ? akiak (i = 1, 2, ..., п), то для координат х, и xf одного и того же вектора х имеет место следующее соотношение: хк = = I aikxf (к = 1, 2, ..., п). Матричный способ записи: Если где А есть матрица из элементов aik, а Л — матрица, транспонированная по отношению к А. Говорят, что координаты х преобразуются контраградиент- но по отношению к базисным векторам. Пример. Пусть R3 есть векторное пространство упорядоченных троек действительных чисел, В - {еь е2, еэ} - канонический базис R3 и В* - {«! -A, 1, 1), а2 -A, 1, 0), а3 - A,0,0)} - другой базис R3. Тогда вектор х - C, -1, 2)в имеет по отношению к В* координаты х«B, -3, 4Jg*, так как at - et + е2 + еэ, а2 - et + е2, а3 * еь т. е. хх - xf + + *J + *f» X2 ш *f + jcJ, х3 e xf, откуда следует: xf = хэ = «2, х| ¦ х2 - х3 - -3, х| - X! - х2 « 4. 2.4.4.1.5. Евклидовы векторные пространства. Чтобы иметь возможность ввести в векторном пространстве понятия «длина вектора» и «угол между двумя векторами», его следует снабдить дополнительной структурой — метрикой. Это делается при помощи скалярного произведения. Пусть V= [V, +, •] — действительное векторное пространство. Функция (р: Кх K-+R, которая каждым двум векторам х и у из К ставит в соответствие действительное число, называется скалярным произведением в V, если она обладает следующими свойствами: 1) дистрибутивностью: ф (хх + х2, у) = Ф (хь у) + + ф(х2, У); 2) коммутативностью: ф(х, у) = ф(у, х); 3) однородностью: ф(ах, у) = аф(х, у) (а- действительное); 4) положительной определенностью: ф (х, х) > 0 для всех х Ф 0. Действительное векторное пространство V= = [К +, •, ф] с таким скалярным произведением ф называется евклидовым векторным пространством. Вместо ф (х, у) часто пишут (х, у) или х • у. Примеры. 1) В векторном пространстве V2 упорядоченных пар чисел (х, у) скалярное произведение зададим, например, так: ((*ь М (** Уг)) - 9*,х2 - 6х^2 - Ьуххг + 5уху2. Выполнение свойств 1) - 3) проверяют вычислением, а свойство 4) справедливо вследствие того, что ((хь Уг), (хь у2)) = 9х? - ^х^, + 5у\ = (Зхх - 2yxf + у\ > 0 для всех (хь ух) Ф @, 0). 2) В векторном пространстве R" упорядоченных «-последовательностей действительных чисел скалярное произведение определим так: ((ХЬ Х2, . .. , Хн), (уг, у2, ..., у„)) = Xrft + Х2у2 + ..'. + Х„у„. 3) В векторном пространстве всех непрерывных на [-я, я] функций скалярное произведение определим соотношением (f,g) = — J f(t) д (t) dt. Модуль вектора. Пусть V — евклидово векторное пространство. Под модулем (нормой, длиной) || х || вектора хе К понимают неотрицательное действительное число || х || = |/(х, х). Вектор с модулем, равным 1, называется единичным вектором; для каждого вектора а Ф 0 вектор а/1| а || единичный. Из свойств скалярного произведения вытекают следующие свойства модуля: для всех х, yeV и всех действительных чисел а 1) || х || ^ 0, || х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; 2) || ах || =|а|||х||г 3) II х + у || ^ || х || + || у || (неравенство треугольника). Если заменить в последней формуле х на х — у, а затем у на у — х, то получим, что | || х || — ~ II У II I ^ II х — у ||. Знак равенства возможен только тогда, когда у = 0 или х = осу, а ^ 0. Имеет место неравенство Коши — Буняковско- го: | (х, у) | < || х || || у ||. Знак равенства возможен тогда и только тогда, когда множество {х, у} линейно зависимо. На основании неравенства Коши — Буняков- ского величину угла между векторами х Ф 0 и у Ф 0 можно определить как действительное число ф, которое удовлетворяет двум условиям: (х, У) х II II у || и 0 ^ ф < п. Ортогональность. Два вектора х, у евклидова векторного пространства V называются ортогональными, если (х, у) = 0. В частности, нулевой вектор 0 ортогонален каждому вектору из V. m-последовательность {хь х2, ..., хт} векторов х, евклидова векторного пространства называется ортогональной системой, если она не содержит нулевого вектора и векторы х, попарно ортогональны, т. е. х, # 0 и (х„ Xj) — 0 для любых i и j (i Ф j); она называется ортонормированной системой, если, кроме того, все векторы х, являются единичными, т. е. если 0 при i Ф j, 1 при i = j. Ортонормированная система, которая одновременно является базисом векторного пространства, называется ортонормированным базисом. Свойства ортогональной системы. 1. Каждая ортогональная система линейно независима. 2. Если координаты двух векторов х, у заданы относительно ортонормированного базиса В: х = (хь х2, ..., хп)в, у = (уг, у2, ..., уп)в, то их скалярное произведение равно (х, у) = ххух + + x2j>2 + ... + хпу„.
156 АЛГЕБРА 3. Каждое евклидово векторное пространство конечной размерности имеет ортонормированный базис. Такой ортонормнрованный базис можно получить методом ортогонализацш (Грама — Шмидта) из любого базиса евклидова векторного пространства конечной размерности V путем «последовательной ортогонализации». Если {аь а2, ... ..., аи} — базис К то из него получают ортогональную систему {Ьь Ь2, • • •, Ь„}, где (/с = 2, 3, .... п). >,•> b,) Тогда bi bH - ортонормированный базис К П р и м е p. {(-1, 2, 3,0); @, 1, 2, 1); B, -1,-1, 1)} - базис векторного подпространства U векторного пространства упорядоченных четверок действительных чисел. Скалярное произведение определено соотношением ((хь х2, х3, х4), (уи у2, Уь У*)) — *\У\ + *гУ2 + *зУз + х^у*. Тогда методом орто- юнализации получим ортогональную систему {bb b2, b3}: Ь,=(-1, 2, 3, 0), Ь2=@, 1, 2, 1)-у(-1, 2, 3, 0) = уD, -1, 2, 7), Ь3 = B, -1, -1, l) + -i(-l, 2, 3, 0)-уD, -1, 2, 7) = = ^G,2,1,-4). Если перейти, наконец, от Ь; к соответствующим единичным векторам, то получим искомый ортонормированный базис векторного подпространства U в следующем виде: I -!--(-1, 2, 3, 0); -L-D, -1, 2, 7); -4гG, (у 14 у 10 у 10 \ 2, 1, -4I. Ортогональные векторные подпространства. Два векторных подпространства С/ь U2 евклидова векторного пространства V называются взаимно ортогональными (обозначается: V11. U2), когда для любого хе 1/х и любого у е U2 справедливо равенство (х, у) = 0. Если U — векторное подпространство пространства V, то множество U = {х | хе V и (х, и) = 0 для всех ие U} называется ортогональным дополнением U в V. Ортогональное дополнение С/1 с определенными в К операциями вновь является векторным подпространством U1 = [С/1, +, •], при этом выполняется соотношение U f] U1- = {0}. Если, кроме того, V— пространство конечной размерности, то (С/1I = U и U + U1 = V, откуда следует, что dim U1 = dim V- dim U. Так как U + U1 = V, то каждый вектор хеК можно представить в виде х = u + v, где ue U, a v e VL; учитывая, что U p| U-L = {0}, разложение вектора х в сумму такого вида единственно. Вектор и называется ортогональной проекцией вектора х на U, a v — ортогональной составляющей вектора х, перпендикулярной U. Для всех а е U справедливо соотношение || v || = = || х — и || < || х — а ||, т. е. перпендикуляр v имеет известное свойство «кратчайшего расстояния». 2.4.4.1.6. Гильбертово пространство. Многое из сказанного в 2.4.4.L5 о евклидовом векторном пространстве остается справедливым и в том случае, если это пространство бесконечномерно, хотя некоторые утверждения, в которых упоминается размерность и,.нуждаются в уточнении. Наиболее важным обобщением понятия евклидова пространства является гильбертово пространство Н, определяемое следующими свойствами: 1) Н — бесконечномерное векторное пространство. 2) Для векторов х, уеН определено скалярное произведение (х, у), для которого справедливы свойства 1) — 4) скалярного произведения евклидова пространства. Величина || х || = (х, хI/2 называется нормой элемента хеЯ. 3) Для любой последовательности векторов х„еЯ(и = 1,2,...), для которой lim || хп — хт || = и, т -* оо = 0, существует вектор х е Н такой, что lim || x — И -> 00 — х„ || =0 (свойство полноты). Бесконечная последовательность векторов в Я называется линейно независимой, если любое конечное подмножество этой последовательности линейно независимо. При помощи процесса ортогонализации для любой линейно независимой последовательности можно построить ортонормированную систему, эквивалентную исходной последовательности в том смысле, что линейные оболочки подмножеств их первых п элементов совпадают для любого п. Если уи у2, ... — ортонормированная система, то ряд сходится тогда и только тогда, когда ]Г а? < оо. При этом =1 (теорема Пифагора в гильбертовом пространстве). В любом бесконечномерном подпространстве Hi с Я (в том числе и в самом Я) существует ортонормированный базис В(уи у2, ...), т. е. такой ортонормированный набор векторов, что для произвольного элемента xeHi справедливо разложение х = ? (х, yi)yh где ряд сходится по норме. yteB Хорошо известным примером гильбертова пространства /2, элементами которого являются последовательности действительных чисел (хи х2, ..., хт ...), для которых ряд ? | х, |2 сходится. Скалярное произведение элементов {xj и « = 1 {у{} определяется как (х, >>) = JT х,у,. Ортонормированным базисом в /2 может служить последовательность векторов в! =A,0,0,. ..),<?2 = @, 1,0,...),... ,е„ = @, ..., 0, 1, 0, ...),... 2.4.4.2. Матрицы и определители. 2.4.4.2.1. Понятие матрицы. Если тп выражений расставлены в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов: "яп а12 ... aL «21 «22 ••• «2
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 157 то говорят о матрице размера т х л, или сокращенно об т х л-матрице; выражения aik называются элементами матрицы. Положение элемента в таблице характеризуется двойным индексом; первый индекс означает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент (нумерация строк производится сверху вниз, а столбцов - слева направо). Элементами матрицы, как правило, являются числа, но иногда и другие математические объекты, например, векторы, многочлены, дифференциалы и даже матрицы. Матрица обозначается следующими способами: «и • «mi ¦¦¦ атн/ «mi ... ««п а также || aik || или (а1к). Матрица размера л х п называется квадратной матрицей порядка п. Квадратная матрица || aik \\ порядка л называется: верхней треугольной матрицей, если aik = О для всех i > к; нижней треугольной матрицей, если aik = О для всех i <к; диагональной матрицей, если aik — О для всех единичной матрицей, если ГО при i Ф к, при i = к. «/* = oi ГО ik = < (.1 Элементы аи, т. е. элементы, стоящие в таблице на диагонали квадрата, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний, — на главной диагонали матрицы, - называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами; элементы aitn-i+1 0 = 1, ..., л), т.е. элементы, стоящие на диагонали, которая проходит из правого верхнего угла в левый нижний (побочная диагональ матрицы), иногда называются побочными диагональными элементами. В случае т х «-матриц элементы пц (i = 1, ..., min (m, n)) также называют главными диагональными элементами или просто диагональными элементами. Сумма главных диагональных элементов называется следом (Spur, Trace) матрицы и обозначается SpA или Тг А. Матрица размером 1 х л, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой; аналогично говорят о матрице-столбце, если речь идет о матрице размера т х 1; т х л-матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой т х л- матрицей и обозначается О. Каждая таблица вида %кг %кг %кх %кг %К 1 < i'i < i*2 < • • • < ir < w; 1 < кх < к2 < ... < ks < п, которая получается из т х «-матрицы || aik || вычеркиванием части строк и столбцов, называется подматрицей матрицы || aik \\. По определению матрица || aik \\ сама должна быть причислена к своим подматрицам. Если элементы строк матрицы А — II aik II расставлены в столбцы (при этом одновременно элементы столбцов расставляются в строки), то полученная матрица называется транспонированной к Л и обозначается АТ = || aj ||, если ajk = aki. 2.4.4.2 J. Определитель квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице А ~ = || aik || порядка п с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем матрицы А: D = det A = det а12 ... ah «21 «22 «11 «12 ••• «1и «21 «22 ••• «2я «п2 «ия ¦Z(-DZin)aua2i2...anin причем сумма должна быть распространена на все подстановки тг набора чисел 1, 2, ..., «. Таким образом^ из элементов матрицы А сначала составляют все возможные произведения из п сомножителей каждое, содержащие по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Знак (-l)z(n) определяется числом Z (я) — числом инверсий подстановки Mi h ... U (см. 2.2.4). Полученные и! слагаемых и составляют в сумме det A. Определитель обозначается также Л и | aik |. Если D =* | aik | — определитель порядка п, то минором Mik элемента aik называют определитель порядка п - 1, получающийся из D «вычеркиванием» 1-й строки и к-ro столбца. Под алгебраическим дополнением Aik элемента aik понимают минор Mtk, домноженный на (-l)i+*: «11 «12-"«l,fc-l «1,*+1 -.«In «21 «22"«2.k-l «2,fc+l "«2и = (-!)<¦» Примеры. 2) «22 «23 «31 «32 «33 " «13«22«31 — «11«23«32 — «12«21«33 «и1 «и2 •.•«*,*-! «пД+1 • 'И «12 = «П«22 - «12«21- «11«22«33 + «12«23«31 + «13«21«32 ~
158 АЛГЕБРА С в о и с i в а определителей. Если рас- смагривать строки определи 1еля D порядка и как векторы zb z2, . , zn, го свойства определителя D(zu z2, ..., zn) с вектор-строками zx удобно сформулировать так: 1) Перестановка строк может изменять лишь знак определителя D. D(zu . , z,-, .. , zk, . . , zn) = - -D(zb . ., zk, .., z,, . ., zj; в общем случае D(zb z2, .. , ги) = (--l)ZGt)D(znA), zKB)> , zn(n)), 1де я — подс1ановка чисел 1,2, ., п. a Z (к) — число ее инверсий. 2) Общий для всех элементов строки множитель можно выносить за знак определителя: D (zb z2, .. , azk, ..., zn) = olD (zb z2, ..., zk, ..., zn). 3) При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются: D(zb z2, ..., zk, ..., zn) + D(zu z2, ..., zk, ..., zn) = = D(z,, z2, .. , zfc + zfc, . ., гД 4) Прибавление кратного А.-Й строки к i-й строке не изменяет значения определителя D(i#/c): D(zb z2, ..., zh ..., zk, ..., zw) = = Z)(zb z2, ..., z.-fotZfc, ..., zk, ..., zB). 5) D(zb z2, ..., zn) = 0 тогда и только тогда, когда {zj, z2, .., zn} есть линейно зависимое множество векторов. В частности, D — 0, если одна строка D состоит из нулей или если две строки D равны или пропорциональны друг другу. 6) Определитель не изменит своего значения, если поменять в нем местами строки и столбцы, г. е. транспонировать определитель Поэтому все свойства, сформулированные для строк, верны и для столбцов Теорема разложения. Если D — | aik | — определитель /1-го порядка, то D = Z aikAik - Z akiAkh I < k ^ л, т. е. сумма произведений всех элементов какой- либо строки (или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения равна значению определителя. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на ал1ебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю: X akiAti = X aikAu = 0, k # /. i = 1 j = 1 Суммируя сказанное, получаем (D, если k = I, диагональных элемешов». °kiAli = Z °ikAU = 0, если k Ф I Вычисление определителей. Значение определи геля 2-го порядка вычислявкя по мнемоническому правилу «произведение главных диагональных элементов минус произведение побочных Для нахождения значения определителя 3-ю порядка также можно указать мнемоническое правило, так называемое правило Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составив сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных ей. €Ц 1 СНг & з 0>2\ &Ч2 Ф& Определители более высоких порядков тоже можно вычислять по определению, однако это требует больших усилий. Чаще поступают следующим образом: определитель л-ro порядка сводят к определителям (п — 1)-го порядка, последнее — к определителям (п — 2)-го порядка и т. д. до тех пор, пока не получат определители 3-го или 2-го порядка. В основе этого принципа «постепенного понижения порядка» лежит теорема разложения: определитель л-го порядка D записывается в виде суммы определителей порядка л — 1 («раскладывается по элементам i-й строки или /с-го столбца»); к каждому из этих определителей порядка л — 1 вновь может быть применена теорема разложения. Если все элементы i-й строки определителя Д кроме одного, равны нулю, то сумма, полученная после применения теоремы разложения, содержит не более одного отличного от нуля слагаемого. Таким образом, вычисления существенно упростятся, если перед разложением определителя по элементам /-й строки как можно большее их число будег превращено в нули Это становится возможным благодаря применению свойств определителей (особенно свойства 4)). Пример. 2 9 9 4 2 -3 12 8 4 8 3-5 12 6 4 2 4 9 4 2 -7 12 8 4 0 3-5 10 6 4 (свойство 4)) 2 4 1 4 1 2 8 -5 4 -7 2 4 1 3 1 2 4 -5 4 + 0 = 0-21 (теорема 2 4 1 3 4 1 С 2 4 разложения) = J-21 1 4 1 1 1 2 0 -5 4 (свойство 5)) (свойство 4)) Г 1 -51 4 -51] -2W - = -21 {D+10)-A6 + 5)} -+147 (.2 4| 1 4IJ (теорема разложения)
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 159 Вычисление определителя оказывается еще более удобным, если, применяя свойства 1)- 5), его можно преобразовать4 так, чтобы все элементы, стоящие слева и ниже главной диагонали а1Ь Д22>--->яПл> были равны нулю. Как легко понять на основании теоремы разложения, значение определителя получается тогда просто как произведение членов, стоящих на главной диагонали. 2.4.4.2.3. Ранг матрицы. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной) или вырожденной (особенной) в зависимости от того, отличен ее определитель от нуля или равен нулю. Матрица А Ф О (см. О в 2.4.4.2.1) имеет ранг rang (A) = р, если А имеет по меньшей мере одну невырожденную (неособенную) подматрицу порядка р, а все квадратные подматрицы А более высоких порядков вырождены (особенные). Если дополнительно положить rang(O) = 0, то каждой матрице будет сопоставлено одно неотрицательное целое число - ранг матрицы. Пример. rang Г 1 -2 -3 <Л 2 3 8 7_: L-. I i-ij так как подматрица 2-го порядка L 3 невырождена, а вое подматрицы 3-го порядка вырождены. Теоремы о ранге. Если рассматривать строки (или столбцы) матрицы А как векторы гъ z2, ..., гт (или $ь s2, ..., sj, то теоремы о ранге матрицы А с вектор-строками z, удобно формулировать так: 1. Если rang A = р, то существует линейно независимое множество из р вектор-строк матрицы А, в то время как все множества из а вектор- строк (а > р) матрицы А линейно зависимы. Иначе говоря, ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых вектор-строк матрицы А. 2. Ранг матрицы А не изменяется при следующих преобразованиях: а) при перемене местами двух строк; б) при умножении одной строки на число с^О; в) при сложении любого кратного одной строки с другой строкой; г) при транспонировании А. Так как rang A = rang (A ), то теоремы, указанные выше для строк, справедливы и для столбцов. Вычисление ранга. Нахождение ранга матрицы А = || aik \\ Ф О сводится к тому, чтобы при помощи теоремы 2 матрицу А перевести в трапециевидную матрицу А' того же ранга: А'= О 022-¦• flip «2.P+1 •••«2и то о ...о о ...о р столбцов п—рстолбцов р строк т — р строк в которой: а) все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю; б) либо все элементы последних т — р строк обращаются в нуль, либо т = р; в) все элементы главной диагонали а'ц, ^22» •••> flpp ОТЛИЧНЫ ОТ НуЛЯ. Если применить определение ранга к матрице А', то получим непосредственно, что rang (Л') = р (т. е. ранг матрицы А' равен числу главных диагональных элементов, отличных от нуля), и тогда rang (Л) = rang (Л') = р. Чтобы преобразовать матрицу А ф О в трапециевидную матрицу А' равного ранга, поступают следующим образом: 1) Так как не все элементы А равны нулю, то перестановкой строк и столбцов можно добиться того, чтобы первый диагональный элемент был отличен от нуля (а\ i ф 0). 2) Сложением первой строки, умноженной на соответствующий множитель, с другими строками всегда можно добиться, чтобы все элементы первого столбца, стоящие ниже а'ц, были равны нулю. 3) Теперь или уже получена желаемая форма матрицы, или в строках со 2-й по т-ю имеется по крайней мере один ненулевой элемент, который при помощи перестановки строк и столбцов может быть поставлен на второе место в главной диагонали. Тогда снова выполняем операции этапа 2) применительно ко 2-й строке и получаем, что все элементы 2-го столбца, стоящие ниже 2-го главного диагонального элемента, равны нулю и т. д., пока через конечное число шагов не получим трапециевидную матрицу. Этот, метод называется алгоритмом Гаусса. Пример. rang Г 1-2-3 о"| 2 3 8 7 = L-i I i-ij [1 -2 -3 0~1 П -2 -Зо1 О 7 14 7 I = rang I О 1 2 1 1 = О -1 -2 -1J [_0 0 00 J = rang Для матриц с большими по величине элементами можно использовать теорему 26), чтобы получить матрицу равного ранга с элементами, меньшими по величине. 2.4.4.2.4. Элементарная алгебра матриц. Равенство матриц. Две матрицы А = II я*-* II размера г х s и В = || bik || размера р х а называют равными, если они имеют одинаковый размер и все элементы, стоящие на одних и тех же местах, равны между собой, т. е. если г = р, s = о и aik = hik при всех i и к. Тогда пишут А = В. Сумма матриц одинакового разме- р а. Сумма А + В двух матриц одинакового размера А = || aik || и В = || bik || есть матрица С = II cik || того же размера с элементами Cik = ciik + bik при всех i и к. Таким образом, сложение матриц одинакового размера происходит поэлементно. Умножение матрицы на действительное число. Произведение матрицы А = || aik || на действительное (комплексное) число X есть матрица ХА = \\ Xaik \\, т. е. умножение матрицы
160 АЛГЕБРА на действительное (комплексное) число происходит поэлементно. Свойства сложения и умножения на числа. 1. Сложение матриц одинакового размера ассоциативно, коммутативно и обратимо. Уравнение А + X = В с матрицами одинакового размера А = || aik || и В = || bik || имеет в качестве единственного решения X = В — А = || bik — aik || — разность матриц В и А. 2. Среди матриц одинаковою размера имеется одна нейтралййая по отношению к сложению матрица — ну.Щвая матрица» О, все элементы которой равны нулю. 3. Для каждой матрицы А = || aik || существует (и притом единственная) матрица, обратная по отношению к сложению, так называемая противоположная для А матрица — А = || —aik\\. В соответствии с определением разности получаем О-А = -А. Далее, имеем В-\-{-А) = В-А и ~(-А) = А. 4. Умножение матрицы А на действительные (комплексные) числа X, \i подчиняется правилам: (k\i)A = Цц/4), \-А = А. Далее, О А = О, X 0 = 0 и (-l)-A = -A. 5. Сложение и умножение на числа связаны дистрибутивными законами; для матриц А и В одинакового размера и произвольных действительных (комплексных) чисел X, ц (X + \i)A = ХА + \хА, Х{А + В) = ХА + ХВ. Свойства 1 — 5, взятые вместе, показывают, что множество всех матриц одинакового размера образует действительное (комплексное) векторное пространство (см. 2.4.4.1). Умножение сцепленных матриц. Матрицы А — || aik \\ размера т х п и В = \\ bik \\ размера г х s называются сцепленными, если п = г, т.е. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. При этом матрицы В и А могут оказаться не сцепленными, если s ф т. Произведение АВ двух сцепленных матриц А и В есть матрица С = (cik) размера т х s, где Q* = Z aijbjk> T- е- элемент, стоящий в i-й строке и /с-м столбце матрицы произведения, получается в виде скалярного произведения /-й вектор-строки матрицы А на /с-м вектор-столбец матрицы В. -3 1 4 2 I _-3 6-5J bs ?J Свойства умножения матриц. 1. Умножение сцепленных матриц ассоциативно. 2. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно. Так, в приведенном примере произведение В А не определено, так как матрицы В и А не сцеплены. Если даже существуют оба произведения АВ и В А, то они могут отличаться друг от друга. 3. Существуют делители нуля, т. е. А Ф О, В Ф О, произведение А В которых есть нулевая 2 -1 16 8 2 3 8 0 2 -5 24 16 I ГО 0 01 "LoooJ- j матрица; например, Г5 2-2 L9 2 -3 Следовательно, из того, что АВ = О, А Ф О, нельзя сделать заключение, что В — О, и аналогично из АВ — АС, А ф О, в общем случае не следует, что В = С. 4. Существует одна мафица, нейтральная по отношению к умножению, —квадратная единичная матрица п-го порядка Еп. Тогда для любой матрицы А размера т х п АЕ„ = ЕтА = А. 5. Сложение и умножение матриц связаны дистрибутивными законами: еспи А и В имеют одинаковый размер и сцеплены с С, то (А + В) С = АС + ВС; если С сцеплена с матрицами А и В одинакового размера, то С(А + В) = = С А + СВ На множестве квадратных матриц порядка п всегда выполнимы как сложение, так и умножение, так как каждые две п х «-матрицы имеют одинаковый размер и сцеплены. По отношению к сложению и умножению это множество образует кольцо матриц. 6. Для квадратных матриц А и В равных размеров det{AB) — det A det В 1. Если А и В — сцепленные матрицы, то для транспонированных матриц (ср. 2.4.4.2.1) выполнено равенство (АВI = ВГАТ. Нахождение обратной матрицы. Если задаться вопросом о существовании матрицы А, обратной для квадратной матрицы. А порядка п по отношению к умножению, т. е. такой, что АА~х — Еп, то вследствие свойства 6 невырожденность матрицы А является необходимым условием существования обратной матрицы, так как в случае вырожденности А было бы dQt(AA~x) = = det A ¦ det A " i = 0 ф 1 = det ?„. Если А — матрица п-ю порядка, то ее невырожденность есть необходимое и достаточное условие существования матрицы А~х такой, что АА"Х = Еп При этих условиях матрица А "\ обратная для А, определена однозначно. Кроме того, А~1А = Еп. Далее, для п х м-матриц 4 и В справедливы формулы (АВI =В'А\ (А~1У1 =А. Вычисление обратной матрицы. 1-й способ Метод неопределенных коэффициентов в применении к АХ — Еп приводит к п линейным системам п уравнений с п неизвестными каждая (см. 2.4.4.3.3). Решение каждой из этих п систем уравнений дает столбец искомой матрицы X = А *. 2-й способ. ~ det A где Aik — алгебраическое дополнение элемсша alk матрицы А То, что эта матрица удовлетворяет
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 161 уравнению АХ = Е„, легко установить, вычисляя матрицу АА~1 при помощи теоремы разложения. Пример. [32 Л1 Г -2 -5 Л Решение матричных уравнений. Матричное уравнение с неизвестной матрицей X, которое приводится к виду АХ = В или ХА = В, может быть решено методом неопределенных коэффициентов. Использование этого метода приводит к решению систем линейных уравнений для столбцов или строк искомой матрицы X (см. 2.4.4.3). Для уравнения АХ = В возможны следующие основные случаи. 1. Уравнение не имеет решения: матрица А имеет размер т х и, матрица В имеет размер г х s и тф г, а также т = г, но rang (A) < 2. Уравнение имеет бесконечное множество решений: матрица А имеет размер т х и, матрица В имеет размер т х s и rang (A) = rang (А | В) < п *). 3. Уравнение имеет единственное решение: матрица А имеет размер т х и, матрица В имеет размер т х s и rang (A) = rang (Л | В) = и; в частности, если А и В — квадратные матрицы n-го порядка и А - невырожденная матрица; в этом случае уравнение ЛХ = В имеет единственное решение X = А~1В. 2.4.4.2.5. Специальные классы матриц. Квадратная матрица А называется: симметрической, если АТ = А; кососимметрической, если А = — А; ортогональной, если Л не вырождена и АТ = А~1. Пусть А - квадратная матрица с комплексными элементами; А — матрица, комплексно сопряженная к А, т. е. получаемая из матрицы А заменой ее элементов на комплексно сопряженные. Матрица А называется: эрмитовой, если АТ = А; косоэрмитовой, если А = —А; унитарной, если А не вырождена и АТ ' = А~1. матрица, Г2131 «мер. 10 5 I 3 5-4J [¦" L-3 5 Oj симметрическая кососимметрическая матрица, | - ортогональная матрица. матриц специальных [cos <p sin <р~| -sincpcoscpj Свойства классов. 1. Для каждой матрицы А матрицы ААТ и АТА являются симметрическими. 2. Любую квадратную матрицу А можно разложить в сумму симметрической и кососиммет- рической матриц: А = у( АТ) + у (Л - Ат). 3. Если матрицы А и В ортогональны, то ортогональны также матрицы АВ и А~К 4. Квадратная матрица А ортогональна тогда и только тогда, когда вектор-строки (или вектор- столбцы) матрицы А образуют ортонормирован- ную систему. 5. Для ортогональной матрицы dot A = +1. 6. Любая ортогональная матрица 2-го порядка имеет вид [cos ф sin ф ~| — е sin ф б cos cpj' где е = ± 1 и ф е [0,2л) — некоторый угол. 2.4.4.3. Системы линейных уравнений. 2.4.4.3.1. Понятие системы линейных уравнений. Система m линейных уравнений с п неизвестными хь х2,...,хп (см. 2.4.2.3) ... + а2пх„ = Ъ2, называется системой линейных уравнений или, точнее, m х п-системой линейных уравнений', а,* — коэффициенты, Ь, — свободные члены системы. Если все hi = 0, то мы имеем однородную систему линейных уравнений, в противном случае говорят о неоднородной системе линейных уравнений. n-последовательность чисел (с i, с2,..., сп) называется решением т х n-системы линейных уравнений, если ее элементы, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных, удовлетворяют каждому из т уравнений и принадлежат заданной области изменения. (Если нет специальных оговорок, то область изменения всех неизвестных — множество действительных чисел.) Совокупность всех решений системы называется множеством решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений. 2.4.4.3.2. Решения системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений всегда разрешимы, так как и-последо- вательность @, 0,...,0) удовлетворяет всем уравнениям системы. Решение @, 0,...,0) называют тривиальным решением. Вопрос о решениях однородной системы линейных уравнений сводится к вопросу о том, существуют ли, кроме тривиального, другие, нетривиальные решения или нет. Например, однородная 2 х 3-система линейных уравнений 2xj + х2 - х3 = 0, х2 + х3 = О имеет множество решений L - {k(l, - 1, 1)}; X. - произвольное действительное число; иначе говоря, хг = Хи Хг = — К х3 — X при любом действительном X является решением системы. Напротив, однородная 2 х 2-система уравнений 2хх + х2 = 0, xt - х2 = О имеет только тривиальное решение: L = {@, 0)}. Среди неоднородных систем линейных уравнений существуют неразрешимые системы; например, *) Матрица (А | В) получается путем правостороннего присоединения матрицы В к матрице А. xi + 2х2 х, + 2х2 = 2. 6 И. Н Бронштейн, К. А. Семендяев
162 АЛГЕБРА Система линейных уравнений 5х! + х2 = 2, Xi - 2х2 = 7 имеет единственное решение Х{ = 1,х2 = — 3,mraL = {A, —3)}. Напротив, система уравнений 2хх +х2-х3= -5, разрешима неоднозначно; при любом действительном X значения хх = — 2 + X, х2 = — X, х3 = 1 + X дают решение системы: шений и получить затем решения системы в виде линейных комбинаций этих п — р линейно независимых решений. 2. Множество решений Lm x «-системы линейных уравнений Ах = Ь состоит из всех упорядоченных n-последовательностей вида х0 + х*, причем х0 —"некоторое частное решение данной системы, а х* пробегает значения всех решений соответствующей однородной системы Ах = 0: L={(-2, 0, Теория систем линейных уравнений может быть наглядно и просто описана при чомощи матриц: «11 «12 ••• «1я «21 «22 ---«гг. _ «ml «m2 ••• «mn J x2 Систему линейных уравнений «11*1 + «12*2 + ... + + «22*2 + • • • + {х0 4- х*, где х0 - постоянный вектор такой, что Ах0 = Ь, а Ах* = < «ml*l + «т2*2 + . . . + «тлХи = Ьт можно записать в виде Ах = Ъ. Характер множества .решений этой системы зависит теперь только от rang (Л) (ранга матрицы коэффициентов А системы) и от rang {А | Ъ) (ранга так называемой расширенной матрицы коэффициентов (А \ Ь)). о.} (Для иллюстрации этой теоремы следует рассмотреть первый и последний из приведенных выше примеров.) 2.4.4.3.3. Способы решения линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Нахождение множества решений системы линейных уравнений основывается на том, что от заданной системы при помощи эквивалентных преобразований переходят к системе, которая решается «проще», чем исходная система, и эквивалентна заданной. Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются : 1) перемена местами двух уравнений в системе; 2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число с Ф 0; 3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число. Эти эквивалентные преобразования системы линейных уравнений Ах = Ъ вызывают в матрице коэффициентов Лив расширенной матрице коэффициентов (А \ В) только преобразования, сохраняющие ранг, а именно приводят к перестановке строк, умножению строки на число, отличное от нуля, и прибавлению к одной строке другой, умноженной на произвольное число. Справедливо также обратное: если преобразовать Ранг 1. rang (A\ Ь) Ф rang (A) 2. rang (А | b) = rang (А) = р а) р = л б) р < п Ах = Ъ (т уравнений, п неизвестных) система неразрешима система разрешима решение единственно решение не единственно Частный случай Ь = 0, (однородная система Ах=0) этот случай не может иметь места при Ь = 0, т. е. однородная система разрешима всегда система имеет только тривиальное решение система имеет нетривиальные решения Структуру множества решений описывает следующая теорема. 1. Множество решений L однородной т х п- системы линейных уравнений Ах = 0 есть векторное подпространство векторного пространства упорядоченных ^-последовательностей действительных чисел, т. е. любая линейная комбинация решений системы вновь есть решение системы. Если rang (A) = р, то dim L = п — р. В случае р < п можно выбрать п — р неизвестных, построить п — р линейно независимых ре- матрицы А и (Л j Ь) в матрицы А' и (А' \ Ь') соответственно равных рангов, применяя к строкам допустимые преобразования строк (см. 2.4.4.2.3), сохраняющие ранг, то системы Ах = Ъ и А'х = Ъ' будут эквивалентными. Алгоритм Гаусса состоит в том, чтобы получить матрицы А' и (А' \ Ь') трапециевидной формы. В случае, если исходная система Ах = Ь разрешима (пусть rang (A) - rang (A \ b) = р), вследствие трапециевидности матриц А' и {А' \ Ь') эквивалентная система А'х = Ь' может быть записана
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 163 в виде а'цхг + а\2х2 + ... + я'1рхр = = Ь\ - a'i,p+ а'ггХг + ... + а2рхр = Ь'2 — а'2, р+ i i - ... - а\пхп, - ... - а2пхи, р = Ь'р - ар>р -...- арихи. Эту систему называют треугольной системой. Так как rang A = rang (A | Ь) = р, то множество решений есть (и - р)-мерное многообразие; следовательно, п — р неизвестных хр+1,...,х„ можно выбрать произвольно: хр+1 = А,ь хр + 2 = А,2, ...,х„ = = ХИ-Р; остальные неизвестные хь х2,...,хр получаются из треугольной системы последовательно как функции параметров X,: Если для получения трапециевидных матриц А' или {А'\Ь') требуется еще перестановка столбцов, то этого достигают перенумерацией неизвестных в системе уравнений Ах = Ь. Примеры. 1) Xj — 4х2 + 2х3 =—1, 2xj - Зх2 - х3 - 5х4 = -7, 3xi - 7х2 + хэ-5х4=-8. Здесь rang П -4 2 0 -1~| 2-3-1-5-7 = [j -7 1 -5 -8J = rang 1-4 2 0-1 0 5-5-5 -5 0 5 -5 -5 -5 _ 1 -4 2 0 -1 ~| 0 1-1-1-1 _ о о о о о J Из этого заключаем: а) rang (Л) = rang (A \ b), т. е. система разрешима; б) решение неоднозначно: 4 — 2 = 2 неизвестных могут быть выбраны произвольно; в) треугольная система имеет вид xi - 4х2 = -1 -2х3, х2 * -1 + х3 + х4. Если положить х3 = Я.1, х4 = Х2, то получим х2 = -1 + Xi + Х2, xi = -5 + 2X.i + 4Х2» т. е. множество решений L={(-5, -1, 0, 0) + М2, 1, 1, 0) + Х2D, 1, 0, 1); Я* /=1,2- произвольные действительные числа}. Тогда соответствующая однородная система Ах = 0 имеет, очевидно, множество решений L={XlB, 1, 1, 0) + Х2D, 1, 0, 1); Х(- произвольные действительные числа}. 2) 2х, + Зх2 - х3 = 2, 7хх + 4х2 + 2х3 » 8, 3xj - 2х2 + 4х2 = 5. Тогда rang -12 3 2 2 7 4 8 4 3-25 = rang (Здесь произведена перестановка трех первых столбцов.) Отсюда заключаем: rang (A) = 2, rang (A | b) = ^следовательно, система неразрешима: L = 0. 3) *i - х2 + х3 = 12, 2xj + Зх2 — х3 = 13, Зх2 + 4х3 = 5, — Зхх + х2 + 4х3 = —20. Здесь rang = * 1 -1 1 12 Г1 -1 1 12 Т 2 3 -1 13 I I 0 5 -3 -11 I I = rang I I = 034 5 1034 5| _-3 1 4 -2<J Lo -2 7 16 J 1 0 0 0 -1 -2 0 0 1 7 29 0 12-1 16 58 0 = rang 1 0 0 0 -1 -2 0 0 1 7 1 0 12 - 16 2 0 = rang Отсюда заключаем: а) rang (Л) = rang (/4 | Ь).= 3, т. е. система уравнений разрешима; б) решение единственно; в) треугольная система имеет вид хх - х2 + х3 = 12, - 2х2 + 7х3 - 16, откуда найдем L = {(9, -1, 2)}. Соответствующая однородная система Ах — 0 имеет только тривиальное решение. Правило Крамера. Если мы имеем частный случай и х л-системы линейных уравнений Ах = Ь такой, что rang (A) =? rang {А | Ь) = и, то вследствие невырожденности А единственное решение х можно представить в виде х = А~гЬ. Воспользовавшись формулами для обратной матрицы из 2.4.4.2.4, получим in A2l ... А„Г *12 ^22 .-. Лп2 х2 1 ь2 ^Ain A2n ... А, где Aik — алгебраическое дополнение элемента aik матрицы А. Тогда /-я координата х, находится по формуле 1 '2 + ... + 4А.) = Ли «21 ... Ьх . ... ь2 . ... ьп . ..аи ¦ апп 1 ... I ... И где о*феделитель Dh стоящий в числителе, получается из D = det А заменой i-го столбца на столбец Ь. Следовательно, для и х и-системы линейных уравнений Ах = Ъ такой, что D = det А Ф 0, получим единственное решение х = (хь х2,...,хя) , где х,- = Dt/D (i = 1, 2,...,п). Пример. 2х! + х2 + 3х3 = 9, хх-2х2-1- хэ= -2, Зх! + 2х2 + 2х3 = 7. Здесь 2 1 3 1 -2 1 3 2 2 13, 9 1 3 -2 -2 1 7 2 2 = -13, 6*
164 АЛГЕБРА 2 9 3 1 -2 1 7 2 = 26, 2 1 9 1 -2 -2 3 2 7 с линейной оболочкой У? (фМ) образа множества М: () ( = 39, 26_. 13" 13 2.4.4.4. Линейные преобразования. 2.4.4.4.1. Основные понятия. 2.4.4.4.1.1. Понятие линейного преобразования. Пусть V и V - действительные векторные пространства. Однозначное отображение Ф пространства V в пространство V называется линейным преобразованием V в V\ если выполняются условия: 1) ф(х + у) = ф(х) + <р(у) для любых х, yeV; 2) ф (X, • х) = X • ф (х) для любого х е V и всех действительных А.. (При этом операции в V могут быть определены иначе, чем в V, хотя из соображений простоты они обозначаются теми же знаками « + » и «•».) Если V=V, то ф: V-+V называют также линейным оператором в V или линейным преобразованием пространства V. Если х' = фх, то х' называется образом (изображением) х при отображении ф, х - прообразом (или оригиналом) х' при преобразовании Ф, а множество {хе V\ фх = х'} называется полным прообразом (или полным оригиналом) элемента х' при преобразовании ф. Если М есть подмножество из К, то фМ = {х'еК'|х'= ф(х), хеМ} называют множеством образов элементов из М (образом множества М) мри преобразовании ф. Если М' - подмножество \м V, то М = {хе F| фхе еМ'} называе1ся полным прообразом множества М' при преобразовании ф. Примеры. 1) Преобразование q>i: R3 -> R2 такое, что ф1 (хь х2, хз) = (xi, х2), линейно. 2) Преобразование ф2 пространства R" в векторное пространство многочленов не выше (п — 1)-й степени такое, что Ф2(хь х2 х„) = xt + x2t + x3t2 + ... + xHt*~l, линейно. -3) Преобразование ф3 векторного пространства С00 бесконечно дифференцируемых функций в себя такое, что Фз/ = /' для всех /еС°°, линейно: ф3 есть линейный оператор в С00. 4) Преобразование ф4: V-*V такое, что ф4х = О' для любого xeV (С есть нулевой вектор из К'), линейно; его называют нулевым преобразованием. 5) Преобразование ф5: R3 -*¦ R2 такое, что ф5 (хь х2, х3) = = (хь 1), не является линейным, так как = (х, + у„ 2) Ф (х, + уи 1) - Ф5 [(хь х2, х3) + (уь у2, уз)]- 2.4.4.4.1.2. Свойства линейных преобразований. Для каждого линейного преобразования ф: V-+V имеем: 1. Образ нулевого вектора 0 пространства V всегда является нулевым вектором 0' в V: фО = О'. 2. Линейная комбинация элементов из К всегда преобразуется в линейную комбинацию соответствующих элементов из V с теми же коэффициентами. Поэтому для каждого подмножества М ^V образ линейной оболочки S? (M) совпадает Если, в частности, В является базисом V, то фК= ф^(В) = ^?(фВ). Отсюда следует, что линейное преобразование ф: V-+ V однозначно определено уже множеством образов фВ базиса В. 3. Если S — линейно зависимое множество векторов из V, то (pS — также линейно зависимое множество векторов пространства V. С другой стороны, линейно независимые множества посредством преобразования ф могут перейти в линейно зависимые множества. Поэтому образ базиса В пространства Vb общем случае — лишь порождающая система пространства фК. 4. Если U - векторное подпространство из V, то фС/ есть векторное подпространство из V. Если V конечномерно, то размерность dim фК пространства образов ф V называют рангом линейного преобразования ф: гаг^ф = сНтфК. 5. Если U' - векторное подпространство пространства фИи U - полный прообраз U' по отношению к ф, то U является векторным подпространством в К Свойства 3 — 5 означают, что линейное преобразование сохраняет свойство линейной зависимости, а свойство быть подпространством сохраняется как у образов, так и у прообразов. В частности, вследствие свойства 5 множество К9 всех тех векторов из V, образом которых при преобразовании ф является нулевой вектор из V, образует векторное подпространство пространства V, называемое ядром Kv линейного преобразования ф: Кегф = К^ где К9 = {хе V: фх = О'}. Если Ку конечномерно, то его размерность называют дефектом линейного преобразования ф: Defekt ф = dim Kv. Если ф: V -> V и V — конечномерное векторное пространство, то rang ф + Defekt ф = dim V. Примеры. Для примеров 1)-4) линейных преобразований имеем (см. 2.4.4.4.1.1): Кф1 = {@, 0, х3); х3 - любое действительное число); Defekt Ф1 = 1; rang фх = 2. *ф2 = {@. 0. •••¦ 0)}; Defekt ф2 = 0; гап8ф2 - п. *Фз = U'-f = с01*1}' Dekkt Фз - 1; rang ф3 не определен (так как С00 бесконечномерно). Кф4 = V; если V конечномерно, то Defekt ф4 - dim V; rang ф4 = 0. Ядро линейного преобразования позволяет ввести разбиение пространства V на классы элементов, имеющих одинаковые образы: два элемента из V принадлежат ^-одному и тому же классу, т. е. имеют один и тот же образ при преобразовании ф, тогда и только тогда, когда их разность принадлежит ядру ф. 2.4.4.4.1.3. Взаимно однозначные линейные преобразования. Линейное преобразование ф: V-*V называется взаимно однозначным,, если из фх = ц>у следует х = у. Взаимно однозначный линейный оператор из К в К называется также невырожденным оператором в пространстве V; остальные операторы называются вырожденными операторами. В соответствии с этим из приведенных примеров линейных преобразований взаимно однозначным является лишь ф2; ф, таковым, например, не является, так как Ф. A, 1, 1)-ф1 A, 1, 5), хотя A, 1, 1),*A, 1, 5).
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 165 Для любого линейного преобразования (р: V-* V следующие высказывания попарно эквивалентны : 1) ф взаимно однозначно; 2) для каждого линейно независимого множества S пространства V множество ф5 есть линейно независимое множество пространства У\ 3) К, = {0}. Из 2), в частности, следует, что образ базиса V при взаимно однозначном преобразовании ф является базисом фК Для конечномерного векторного пространства V и взаимно однозначного преобразования ф имеем сйтфК=сИтК 2.4.4.4.2. Представление линейных преобразований с помощью матриц. Пусть V и V — конечномерные векторные пространства, dim V = п, dim V = т, В — {аь а2, ... ..., ап] - базис К, В' = {Ьь Ь2, ..., Ъп) - базис V. Всякое линейное преобразование ф: V-+V образами <раь фя2, • -, фяп векторов базиса В определено однозначно, так как каждый вектор xeV есть линейная комбинация векторов В и вследствие этого его образ фх есть соответствующая линейная комбинация векторов базиса фВ. Если записать образы уа^, ц>а2, ..., <рап векторов В в координатах базиса В', то ф будет определяться однозначно посредством т • п координат векторов фя, (/ = 1, 2, ..., п) относительно В', которые можно расставить в т х «-матрице А так, чтобы к-й столбец матрицы А состоял из координат вектора ц>ак относительно В'. И наоборот, каждой т х и-матрице А по отношению к фиксированной паре базисов (В, В') можно единственным образом сопоставить линейное преобразование ф: К-> V, если рассматривать столбцы А как координаты образов векторов В относительно В'. Итак, между множествами линейных преобразований ф: V-*V\ где dim V = п, dim V = т, и множеством т х «-матриц существует взаимно однозначное соответствие при фиксированных базисах В пространства К и В' пространства V. Если В = {аи а2, ..., а„} и <рак = (а1к, а2Ь ..., атк)в„ то ф можно записать в виде матрицы: А = (Так как А зависит еще и от выбранной пары базисов (В, В'\ то точнее было бы написать А(В, ву) Пример. Пусть линейное преобразование <р: R4 -¦ R3 задано образами векторов базиса В пространства R4: ФA, -2, 0, 3) = (-9, 7, 1), <р@, 0, 1, -1) = C, -3, 3), <рA, 0, 3, 0) = D, 0, -2), фA, -1, 1, 0) = @, 1, -1). (Координаты относятся к каноническому базису пространства R4 и соответственно к каноническому базису пространства R3.) Тогда, найдя ф-образы векторов еь е2, е3, еА канонического базиса пространства R4 и записав их координаты относительно канонического базиса пространства R3 (ср. 2.4.4.1.4), получим матрицу А, описывающую преобразование ф по отношению к паре канонических базисов. Для этого выразим е( в виде линейных комбинаций векторов заданного базиса В и найдем уе( в виде соответствующих линейных комбинаций заданных векторов фВ. Записав координаты векторов (ре, относительно канонического базиса, окончательно получим А = 3 -2 «11 _ «ml «12 ..- «22 .-. «m2 ••• «In «2n «mn Если перейти от пары базисов (В, В') к новой паре базисов (В, В'), то описывающая ф матрица А,в в>, перейдет в матрицу А ГГ- 1 Л С Л(В, В') - 1 Л(В, В') ' причем столбцы матрицы S (соответственно Т) будут состоять из координат векторов В относительно В (соответственно В' относительно В'). Матрицы одинакового размера, которые получаются одна из другой право- и левосторонним умножением на невырожденные матрицы, называются эквивалентными. Эквивалентность матриц есть отношение эквивалентности, которое разбивает множество матриц одинакового размера на классы эквивалентных матриц. Число этих классов равно min (/и, п) + 1, где т х п — размер рассматриваемых матриц. Вследствие этого две матрицы, описывающие одно и то же линейное преобразование относительно различных пар базисов, эквивалентны. Обратно, эквивалентные матрицы относительно соответствующих пар базисов задают одно и то же линейное преобразование. Линейному преобразованию ср: V-*¦ V соответствует единственный класс эквивалентных матриц Если V — V, т. е. если ф — линейный оператор в V, то для двух матриц Ав и А^ описывающих линейный оператор ф относительно различных базисов В, В, вследствие В = В' и В = В' выполняется равенство Квадратные» матрицы Ах и А2, для которых А2 = S~1AlS, где S — невырожденная матрица, называются подобными. Подобие матриц есть также отношение эквивалентности. Аналогично сформулированному выше можно утверждать: линейному оператору (р в пространстве V соответствует единственный класс подобных матриц. Свойства всех матриц одного и того же класса эквивалентности или одного и того же класса подобия тесно связаны со свойствами линейных преобразований, описываемых этими матрицами. Укажем некоторые из них: 1. Если ф: V-+ V — линейное преобразование и А<в „,ч — матрица, описывающая ф относительно пары'базисов (В, В'), то для образа фх элемента х е V справедливо соотношение где х# — вектор-столбец, составленный из координат вектора х относительно В, (фх)^, — вектор- столбец, составленный из координат вектора фх относительно В'. По этой формуле наряду с образом можно определить также полные прообразы, что сводится к отысканию решения системы линейных уравнений (см. 2.4.4.3). 2. Все матрицы класса эквивалентности, соответствующего линейному преобразованию ф: V-+V (К# К'), имеют одинаковый ранг, и rang (A) = rang ф для всех А из класса эквивалентности, соответствующего ф.
166 АЛГЕБРА 3. Все матрицы класса подобия, соответствующего линейному оператору ф в пространстве V, имеют одинаковый ранг, одинаковый определитель, одинаковый след, одинаковый характеристический многочлен и одинаковые собственные значения (см. 2.4.4.5). В частности, линейный оператор невырожден тогда и только тогда, когда матрицы определяемого им класса подобия невырождены. 2.4.4.4.3. Операции над линейными преобразованиями. Если ср: V-*V\ <p': V-* V, \|/: V -*¦ V" суть линейные преобразования, то определим сумму ф + ф': V-*V как (ф + ф') х = фх + ф'х для любого xeV; произведение ф на число а, т. е. аф: V-+ V (а - действительное), как (аф) х = а (фх) для любого х е V; произведение \|/ф: V-+ V" как (ij/ф) х = \|/ (фх) для любого х е V (последовательное выполнение, или композиция, линейных преобразований). Преобразования ф + ф', аф и \|/ф также являются линейными преобразованиями. Если К, V, V" - конечномерные векторные пространства с базисами В, В\ В" и линейные преобразования ф, ф', \|/ заданы соответственно матрицами Ар.ву А\в,ву С(В',В")> то: линейное преобразование ф + ф' относительно (В, В') задается матрицей А + А'; линейное преобразование аф относительно (В, В') задается матрицей olA; линейное преобразование \|/ф относительно (В, В") задается матрицей С А. Так как операциям над линейными преобразованиями соответствуют аналогичные операции над задающими их матрицами, то множество линейных преобразований пространства V в V имеет такую же структуру, как и множество матриц, задающих эти преобразования. Отсюда следует: 1. Множество линейных преобразований V в V с определенными на нем действиями сложения и умножения на действительные числа образует векторное пространство. 2. Множество линейных операторов пространства V с определенными в нем действиями сложения и умножения образует кольцо. 2.4.4.4.4. Обратный оператор. Для невырожденных операторов ф: V -* V можно поставить вопрос об операторе ф, обратном к ф, т.е. таком, что фф = ф-1ф = ?, где е — тождественный оператор, т. е. такой, что ex = x для любого х е V. Если ф V = V, то существует обратный к ф оператор ф, определяемый следующим образом: (р~1х = у тогда и только тогда, когда фу = х. Вследствие невырожденности ф оператор ф определен однозначно, и можно показать, что Ф вновь является линейным оператором в пространстве V. Предположение <pF= V необходимо для того, чтобы каждый элемент из V можно было рассматривать как образ при преобразовании <р некоторого элемента из V. В случае конечномерного векторного пространства V это предположение всегда выполнено. Если ф, \|/ - невырожденные операторы в V такие, что фК=\|/К= F, то взаимно обратны; 3) если V конечномерно и преобразование ф относительно базиса В задается матрицей А, то преобразование ф относительно того же базиса задается матрицей А~1; 4) если V конечномерно, то множество невырожденных операторов пространства V по отношению к умножению образует группу. 2.4.4.5. Собственные значения и собственные векторы. 2.4.4.5.1. Собственные значения и собственные векторы матриц. Пусть А - п х «-матрица. Любой вектор xeV, x Ф О, для которого Ах = Хх, где X — некоторое число, называется собственным вектором А, а X — принадлежащим или соответствующим ему собственным значением матрицы А. Уравнение Ах = Хх эквивалентно уравнению (А — ХЕ) х — 0. Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения только тогда, когда rang (А - ХЕ) < п, т. е. если det (А - ХЕ) = 0. Многочлен det {A - ХЕ) называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение det (А — ХЕ) = 0 — характеристическим уравнением матрицы А; его решения являются собственными значениями матрицы А. Если X,- - собственные значения А, то нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений (А — XtE) x = 0 суть собственные векторы Л, принадлежащие собственному значению Х(. Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы А, принадлежащим собственному значению Xt; каждый вектор х # 0 собственного подпространства является собственным вектором матрицы А (само собой разумеется, в собственном подпространстве определены линейные операции « + » и «•»). Примеры. 1) Собственные значения матрицы А = = I _4 « найдем из характеристического уравнения det (А - ХЕ) = 3-Х -2 = X2 - 4Я. - 5 = 0, Xi - 5, Х2 = -4 1-Х = -1. Собственное подпространство А, принадлежащее Хг ш 5, есть множество решений системы уравнений ¦м- т. е. L, = {ц (-1, 1); ц - действительное число}. Аналогично найдем собственное подпространство, принадлежащее Х2 = -1: L2 = {й A, 2); ц - действительное число}. 2) Матрица А -и1,: имеет характеристическое уравнение X2 - ЛХ + 5 ш 0 и, следовательно, собственные значения Xi ш 2 + i, Хг = 2 - \. Действительных собственных векторов нет. Над комплексным полем собственному значению Хх принадлежат собственные векторы jci = цA, i — 1), а собственному значению Хг - собственные векторы х2 = ц(-1, i + 1); здесь ц - произвольное комплексное число, не равное нулю. 3) Матрица А = имеет собственные значения \х = Х2 = 2; отсюда получаем собственное подпространство Lx- L2 = {ц A, 1); ц - произвольное действительное число).
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 167 2.4.4.5.2. Теоремы о собственных значениях и собственных векторах. 1. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены и, следовательно, одинаковые собственные значения. 2. Если Хь Х2, ..., Х„- собственные значения матрицы А, то ли в каждом классе эквивалентности матрица диагонального вида? Оказывается, существует: если rang ф = г, то всегда можно построить такую пару базисов, что матрица, задающая ср, имеет вид 1 0 0 ... О ... О О 1 0 ... О ... О Это можно использовать как необходимый критерий правильности вычисления собственных значений. Далее, из того, что det A = [~[ Xh следует, что матрица А невырождена только тогда, когда нуль не является собственным значением А. 3. Если Хи Х2, • • •» К- (попарно) различные собственные значения матрицы А и хь х2, ..., хг — соответствующие им собственные векторы (Х( принадлежит х(), то {хь х2, ..., хг} есть линейно независимое множество векторов. 4. Если матрица А имеет собственное значение X, то для любых чисел с0, си ..., ск матрица к В = ? сгАх (здесь А1 = А и А0 = Е) имеет соб- 1 = 0 к ственное значение ? с {к1. Отсюда, в частности, i = 0 следует: если А имеет собственное значение X, то Ат (т — натуральное число) имеет собственное значение Хт. Для невырожденной матрицы А это высказывание справедливо и при целых отрицательных числах т, если положить Ат = А~к = = (А~1)к (где к= -т есть натуральное число). 5. Каждая матрица А удовлетворяет собственному характеристическому уравнению, т. е. если Y, с{Х1 — характеристический многочлен Л, то ? CiA1 = 0 {теорема Гамильтона — Кэли). 1 = 0 Для определенных классов матриц справедливы частные предложения: 1. Все собственные значения симметрической матрицы действительны. 2. Собственные пространства, принадлежащие различным собственным значениям симметрической матрицы, взаимно ортогональны. 3. Все собственные значения ортогональной матрицы по модулю равны единице. 4. Собственным значением ортогональной матрицы наряду с X является также А,. 2.4.4.5.3. Применение теории с о б- ственных значений. 2.4.4.5.3.1. Задача о нормальной форме для линейных операторов. Пусть (р: V-*V (V Ф V) — линейное преобразование конечномерных векторных пространств и А - матрица, описывающая ср относительно пары базисов (В, В') (см. 2.4.4.4.2). Вопрос состоит в том, можно ли надлежащим выбором пары базисов найти матрицу, описывающую ф и имеющую особенно простой, а именно диагональный (отличными от нуля могут быть только элементы главной диагонали), вид. Так как линейному преобразованию <р сопоставлен единственный класс эквивалентных матриц, то вопрос можно поставить так: существует О 0 0 ... 1 ... О О 0 0 ... О ... О О 0 0 ... О ... О (здесь г элементов главной диагонали равны единице, остальные равны нулю). Если поставить тот же самый вопрос по отношению к линейным операторам в пространстве V, то ответ получить гораздо труднее, так как в этом случае можно «варьировать» уже не два базиса (в V и V'\ а только один (в V). В этом случае справедливо следующее утверждение. Линейный оператор (р: V -* V относительно базиса {аь а2, ..., ап} описывается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда базисные векторы обладают свойством фа,- = Xtah где Х{ — некоторые действительные числа. Эти числа Х( и являются элементами диагональной матрицы. Всякий вектор х ф 0, для которого фх = А,х, где X — некоторый скаляр, называется собственным вектором линейного оператора ф, а X — собственным значением оператора ф, принадлежащим этому собственному вектору. Следовательно, линейный оператор ф относительно базиса В описывается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда базисными векторами являются собственные векторы, и вся постановка задачи сводится к вопросу о существовании базиса из собственных векторов оператора ф. Для того чтобы существовал базис из собственных векторов, т. е. для того, чтобы линейный оператор ф имел п линейно независимых собственных векторов, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения оператора ф были действительными и для каждого собственного значения X кратности р выполнялись равенства rang (ф - Xz) = rang {А — ХЕ) - п — р, где А — какая-либо матрица, задающая ф. Это означает, что собственное подпространство, принадлежащее собственному значению кратности р, должно иметь размерность р (чтобы для р совпадающих собственных значений получить р линейно независимых собственных векторов). Поставленная проблема не всегда разрешима, так как не обязательно все собственные значения линейного оператора должны быть действительными и может случиться, что для кратных собственных значений нельзя получить требуемого числа линейно независимых собственных векторов. Однако симметрический оператор в евклидовом векторном пространстве всегда может быть описан диагональной матрицей относительно подходящего ортонормированного базиса, так как всегда можно получить ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметрического оператора. (Линейный оператор ф в евклидо-
168 АЛГЕБРА вом векторном пространстве V называется симметрическим, если (фх, у) = (х, <ру) для всех х, уе V.) Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора ср производится путем определения собственных значений и собственных векторов какой-либо матрицы оператора (р. 2.4.4.5.3.2. Приведение матрицы к диагональному виду. Задача состоит в том, чтобы для п х n-матрицы А подобрать такую матрицу С, чтобы матрица А' = С~1АС имела диагональный вид. Эта задача тесно связана с задачей онормальной форме линейных операторов. Если относительно базиса В линейный оператор Ф в пространстве V описывается матрицей А& то ищем базис В\ по отношению к которому описывающая ф матрица Aq> имеет диагональный вид. Так как матрицы Ag и Ав> должны быть подобны, то эта задача сводится к отысканию такой матрицы С, чтобы матрица А# = С~1А^С имела диагональный вид. Если задача разрешима, то В' должен состоять из собственных векторов оператора ф, т. е. столбцами искомой матрицы С должны быть координаты собственных векторов, образующих базис В'. Задача всегда разрешима, если матрица А симметрическая, так как тогда все собственные значения действительны и размерность собственного подпространства, принадлежащего собственному значению А,, совпадает с кратностью X. Вследствие ортогональности собственных подпространств, принадлежащих различным собственным значениям, для симметрических матриц А всегда можно найти такую ортогональную матрицу С, что С~1АС = СТАС имеет диагональный вид. Пример. Для того чтобы привести к диагональному виду матрицу Например, Ф = х\ + 4х2 — 6xtx2 является квадратичной формой, так как Г2-1 2-1 ¦ -1 2-2 , L 2 -2 5J найдем сначала ее собственные значения: Xi = 7, Х2 = Х3 = 1; отсюда получаются собственные пространства: ^i = {ц A. - 1, 2); ц — действительное}, ^2 = {Hi A. 1, 0) + ц2 (-2, 0, 1); ць ц2 - действительные}. Далее получаем ортонормированную систему собственных векторов: Г|/б 1/2 1/5 ) 1 -A, -1, 2); *—{\t 1, 0); ^j-(-l, I, 1». Таким образом, посредством С = — матрица А преобразуется в А' - 2.4.4.5.3.3. Преобразование квадратичных форм к главным осям. Под квадратичной формой относительно переменных хь х2, ..., х„ понимают выражение вида х^кх, где х = (хь х2, ..., х„) и А = || aik || — симметрическая матрица, aik - действительные числа. Матрица А называется матрицей квадратичной формы. Постановка задачи такова: найти такую ортогональную матрицу С, чтобы после введения новых переменных уи у2, ..., у„ при помощи уравнения х = Су данная квадратичная форма содержала только слагаемые с квадратами текущих координат: хтАх _ r>Xiyl + Х2у\ + ... + Хпу1. Такой вид квадратичной формы называют канони-. ческим. После замены переменных х = Су форма х Ах переходит в форму у (С АС) у, которая должна содержать только слагаемые с квадратами переменных. Таким образом, задача равнозначна следующей: найти ортогональную матрицу С такую, чтобы матрица С АС имела диагональный вид. Это всегда возможно для симметрической матрицы А, если в качестве столбцов искомой матрицы С выбрать ортонормированную систему собственных векторов матрицы формы А. Тогда посредством замены х = Су квадратичная форма приводится к виду Х1у1 + Х2у\ + ... + Хпу1, где Xt — собственные значения матрицы А с учетом кратности. Собственные векторы матрицы А, стоящие в столбцах С, называются главными осями квадратичной формы, а процесс преобразования квадратичной формы в ее каноническую форму называется приведением к главным осям или приведением к каноническому виду. Каноническая форма определяется однозначно с точностью до нумерации переменных yt. Пример. Для того чтобы квадратичную форму Ьх\ + 5x1 + 7х§ - 4xtx2 + 4x2x3 привести к каноническому виду, вычислим собственные значения и соответствующие собственные подпространства матрицы Г 6-221 -2 5 0 . По L 2 0 7J лучим Я.,=3, Х2 = 6, Х3 = 9; L, = {nB, 2, -1)}, L2- = {ц(-1, 2, 2)}, L3 = {nB, -I, 2)}. Так как собственные значения попарно различны, то соответствующие им векторы попарно ортогональны, и, чтобы получить ортонормированную матрицу, их нужно только пронормировать. • Г 2 -1 21 Заменой х = — \ 2 2 -1 \у заданная форма приводит- L-1 2 2J ся к каноническому виду Ъу\ + Ьу\ + 9у\. Если все собственные значения симметрической матрицы А положительны (все отрицательны, все неотрицательны, все неположительны), то для всех х#0 квадратичная форма х Ах положительна (соответственно отрицательна, неотрицательна, неположительна) *). Пример. Для действительных чисел хь х2, х3 таких, что (xi, x2, хэ)^@, 0, 0), справедливо неравенство Зх? + 10х| - 3x1 + 4х2х3 > 4x1 - 2х? - 10х§ -I- 4ххх2, так как в этом случае 5х\ + 6х2 + 1х\ - 4xjX2 + 4х2х3 > 0, ибо матрица полученной квадратичной формы имеет только положительные собственные значения: X, = 3, "Кг - 6, Х3 = 9. Критерий положительной определенности квадратичной формы (критерий Сильвестра) приведен в 3.1.6.6. *) Квадратичная форма в первом и втором случаях называется определенной (положительно определенной или отрицательно определенной) и в двух других случаях — положительно или отрицательно полуопределенной.
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 169 2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ К элементарным функциям относятся рациональные функции, степенные функции, тригонометрические функции и обратные к ним, показательные и логарифмические функции, гиперболические функции и обратные к ним, а также функции, представимые в виде суммы, разности, произведения, отношения или суперпозиции перечисленных функций («функции, заданные формулами», т. е. представимые в виде аналитического выражения, причем областью определения элементарной функции является множество всех чисел, для которых ее аналитическое выражение имеет смысл). К неэлементарным функциям относятся, например: j 1 для рациональных х 1 0 для иррациональных х (функция Дирихле): f функция у = [х] (целая часть от х), т. е. у равно наибольшему целому числу, не превосходя- щему х: функция _ Г sin х ' = Лтоо1 + *2' функция -dx (интегральный синус): функция у = Г (х) = = J е~Чх l dt (гамма-функция). 2.5.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.5.1.1. Целые рациональные функции. 2.5.1.1.1. Определение целой рациональной функции. Функция / называется целой рациональной функцией (или многочленом), если она может быть представлена в виде y=f(x)= B.23) для любого х (из области определения *)); числа а0, аи ..., ап действительны (или комплексны); а0 ф 0; п е N (или и = 0). Правая часть называется многочленом (относительно переменного х), числа а{ — коэффициентами многочлена, число п — степенью целой рациональной функции (или степенью многочлена). Представление B.23) единственно, т. е. функции f(x) = ? ап-кх\ д(х) = ? Ь„-*х* *=0 *=0 равны тогда и только тогда, когда т = п и ак = Ьк для к = 0, 1, 2, ..., п. Выражение B.23) называется канонической формой представления целой рациональной функции. Многочлен степени 1 называется линейным. Примеры. 1) /i (х) = с — постоянная функция, степень /i равна 0. 2) h (x) ш х, степень /2 равна 1. 3) /з (х) - Gх + 1) (Зх + 5), степень /3 равна 2. 4) /4 (х) = |/7з х2 - 2 ]/1 х3 + cos 4 ' х, степень /4 равна 3. 5 *) Если для функции /, заданной аналитическим выражением, область определения не задана явно, то под этим всегда следует понимать множество всех действительных чисел х0, для которых аналитическое выражение у = f (x) дает действительное число / (х0). Графики целых рациональных функций для некоторых частных случаев приведены в 1.2.1.1. 2.5.1.1.2. Разложение на линейные множители. Многочлен ? an-kxk, п ^ 1, назы- *=о вается приводимым, если он может быть представлен в виде произведения многочленов низших степеней; в противном случае он называется неприводимым. Многочлены нулевой степени (константы) не являются ни приводимыми, ни неприводимыми; многочлены первой степени всегда неприводимы. Возможность разложения на множители многочленов степени, большей единицы, зависит от выбора области определения коэффициентов, которая, в общем, не обязательно совпадает с множеством действительных чисел. Пример. Многочлен х4 — 7 неприводим, если считать, что коэффициенты многочленов должны быть рациональными числами. Если же в качестве области определения коэффициентов взять множество действительных чисел, то х4 - 7 = (х2 + |/7) (х2 - ]/l). Если же допустить существование комплексных коэффициентов, то данный многочлен может быть разложен на линейные множители: Х4 _ 7 = (х - (рТ){х + ifyl)(x + fi)(x - ф% Основная теорема алгебры. Любая целая рациональная функция л-й степени с коэффициентами из множества комплексных чисел может быть разложена на п + 1 сомножителей, один из которых имеет нулевую степень, а п множителей линейны с единичными коэффициентами при переменном: ? an-kxk = ао(х - ах) (х - а2)... (х - а„). Здесь а4 — комплексные числа. Если а0, аи ..., а„ — действительные числа, то для каждого линейного множителя (х — afc) с комплексным afc в разложении содержится линейный множитель (х - ал), где afc — число, комплексно сопряженное к afc. Если область определения коэффициентов сужена до множества действительных чисел, то любая целая рациональная функция и-й степени может быть разложена на множители первой и второй степени: X an-kxk = ао(х - ai)(x - a2)... *=о .. (х - а,) (х2 + рхх + qi)... (х2 + р,х + qt), B.24) где 2/ + r = n, a aOi <хь ..., ar, ръ ..., ph qu ..., qt - действительные числа. 2.5.1.1.3. Корни целых рациональных функций. Число X; называется корнем (нулем) целой рациональной функции / с действительными коэффициентами, если f(*j) = t = 0. Если X! является корнем целой рациональной функции/степени п, то существует целая рациональная функция fi степени п — 1 такая, что для каждого х, принадлежащего множеству D области определения /г имеет место равенство /(х) = = (х - xx)fi (x). Если, помимо этого, корнями / являются числа х2, х3, . • •, хг, то существует
170 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ целая рациональная функция /г степени п - г (г < и) такая, что для всех xeD имеет место равенство f(x) = (x-Xl)...(x-xr)fr(x). Число Xj называется корнем кратности kj (или корнем kj-го порядка), если существует целая рациональная функция /^. такая, что /(Х) = (Х-ХЩ(Х) ИА.(Х;)#О. Учитывая кратность корней, целую рациональную функцию / степени п можно представить в виде /(х) = (х - х^ (х - x2f> ...(х- xs)k* g (х), B.25) s где ? kj = r, g (x) - целая рациональная функция степени п — г. Из выражения B.25) следует: целая рациональная функция степени п имеет не более и различных корней; если число корней равно п, то она может быть представлена в виде произведения и линейных множителей и одного множителя нулевой степени. Число корней (с учетом их кратности) является четным или нечетным в зависимости от того, является ли степень функции / четной или нечетной; если степень целой рациональной функции с действительными коэффициентами нечетна, то функция имеет по крайней мере один действительный корень. Примеры. 1) /(х) = х* - х3 - 5х2 - х - 6 имеет корни Xj = — 2 и х2=3. Других действительных корней нет. Поэтому для этой функции существует представление /(х) = (х + 2)(х-3)(х2 + 1). 2) /(х) - х8 - х7 - Их6 + Их5 + ЗОх4 - 58х3 - 12х2 + + 88х — 48 имеет корень xt = 1 кратности 2, корень х2 — 3 (однократный) и корень х3 = -2 кратности 3. Отсюда получаем разложение f(x) = (х - IJ (х - 3) (х + 2K (х2 - 2х + 2). Корни и графики функций. Каждому корню функции / однозначно соответствует точка пересечения (или точка касания, если порядок корня равен четному числу) графика функции с осью абсцисс. В точке, соответствующей однократному корню, график имеет наклон, отличный от нуля; в точке, соответствующей многократному корню, наклон равен нулю, т. е. касательная к графику в точках, соответствующих многократным корням, совпадает с осью абсцисс. Вычисление корней. Вычисление корней целых рациональных функций сводится к решению л алгебраических уравнений ? яи_кхк = 0 (см. 2.4.2.3). fc = 0 2.5.1.1.4. Поведение целых рациональных функций на бесконечности. Поведение целой рациональной функции / степени п на бесконечности зависит: 1) от знака коэффициента а0 при хл; 2) от четности или нечетности п. X X п аО lim fix) -> +00 lim fix) -> -00 Четное >0 00 00 - - <0 00 CO Нечетное ao>O -f GO — 00 - <0 00 00 Из того, что целые рациональные функции непрерывны во всей своей области определения, следует, что любая целая рациональная функция четной степени всегда ограничена либо сверху, либо снизу, а целая рациональная функция нечетной степени не ограничена ни сверху, ни снизу. 2.5.1.1.5. Частные случаи. Линейные функции - это целые рациональные функции первой степени: /(х) = аох + аи а0 Ф 0. Они монотонно возрастают при а0 > О и монотонно убывают при а0 < 0. Графиками линейных функций являются прямые, которые пересекают координатные оси в точках Ai-ai/ao, 0) и В@, ах) (см. 1.2.1.1). Квадратичные функции — это целые рациональные функции второй степени: /(х) = аох2 + ахх + + а2, а0 Ф 0. Преобразуя, получим Графиком квадратичной функции является пара- ( ах а\\ бола с вершиной С - -—, а2 - -—, которая \ 2а0 4а0) своими ветвями направлена в сторону положительных (я0 > 0) или отрицательных (а0 < 0) ординат (см. 1.2.1.1). Степенные функции (с положительным показателем степени) — это целые рациональные функции fix) = х" (n e N). Графики этих функций симметричны относительно оси ординат при четном и и центрально симметричны относительно начала координат при нечетном п; они называются параболами п-го порядка (см. 1.2.1.1). 2.5.1.2. Дробно-рациональные функции. 2.5.1.2.1. Определение дробно-рациональной функции. Функция / называется рациональной функцией, если она представима в виде отношения двух целых рациональных функций Р (х) и Q (х), т. е. в виде где ao Ф 0, bo Ф 0, n, m e N (или m, n = 0). При m = 0 это целая рациональная функция. При т > О функция / называется дробно-рациональной функцией. Примечание. Выражение B.26) называется канонической формой представления дробно-рациональной функции f если функции Р(х) и Q(x) не имеют общих корней. Если Р(х) и б(х) имеют общие корни хь ..., хк, то /(*) = Р(х) где целые рациональные функции Pi(x) и Qi (х) не имеют общих корней. Следовательно, их отношение f\ (x) = = Piix)/Qxix) является канонической формой представ- _Р(х) ления функции /i. Выражение /(х) = описывает функ^ цию/, значения которой совпадают со значениями/! во всей области определения/i, исключая точки Xjij = 1, 2, ..., к), в которых функция / не определена. Расширяя область опреде-
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 171 ления функции /, получим функцию /2 такую, что {f{x), если х Ф xj, lim Дх), если х = х} и предел конечен х-*х; 0=1,2,..., Ас). Функция /2 совпадает с функцией fx. Примеры. 1) /i M = -р— (канонический вид). -J/5 2) /г (х) = -j——(канонический вид). 2(х-3) Дробно-рациональная функция /(х) = Р (x)/Q (х) называется правильной дробно-рациональной функцией, еели степень многочлена Q(x) больше, чем степень многочлена Р(х) (примеры 2) и 3)), и неправильной в противном случае (пример 1)). Последнюю, разделив числитель на знаменатель (см. 2.4.1.3), можно разложить на сумму, состоящую из целой рациональной функции и правильной дробно-рациональной функции. Зх2 - 4х + 3 , 2 Пример, /(х) = = Зх - 2.5.1.2.2. Нули и полюсы дробно-рациональных функций. Действительное число Xj называется нулем или корнем рациональной функции/(х) = P(x)/Q(x), представленной в канонической форме, если Р (xj) = 0, a Q (xj) Ф 0. Если при этом X; является корнем кратности г многочлена Р(х), то Xj называется корнем кратности г функции /(х). Таким образом, нахождение корней рациональных функций сводится к нахождению корней целых рациональных функций. Действительное число х( называется полюсом дробно-рациональной функции /(х) = Р (x)/Q (x), представленной в канонической форме, если Q (xf) = 0, а Р (х{) Ф 0. Если при этом х,- является корнем кратности г многочлена Q(x), то х, называется полюсом порядка г. х2 - 1 Пример. Правильная функция Дх) = хз + Х2 _ 8х _ 12 имеет два однократных корня х, = 1 и х2 = -1, полюсы х3 = 3 (полюс 1-го порядка) и х4=-2 (полюс 2-го порядка). В окрестности полюса х, значение функции растет неограниченно, т.е. lim |/(x)|=+oo; х-> х, прямая х = х, является асимптотой графика этой функции. О поведении дробно-рациональной функции в окрестности полюса х, можно сделать вывод по знакам значений /(х, + е) и /(х, - е), где е - достаточно малое положительное число. Пример. х{ = 4 является полюсом функции /(х) = х — 1 —5—т—; при малом е > О х2 - 4х 4 + е- 1 = 3-fe " D + еJ -4D + б) 4е + е2 4-e-l 3-е ! D-?J_4D-е) -4е + е3 2.5.1.2.3. Поведение дробно-рациональных функций на бесконечности. Если дробно-рациональная функция / задана в виде j = O где а0 Ф 0 и Ьо Ф 0, то для всех х Ф О 1 я*-* /м = >о , х"м (х) xmv (х)' где lim u(x) = a0 и lim v(x) = b0. Таким х-»±оо х-+±оо образом, получаем: а) При т = п хпи(х) м(х)_ хт v (х) v (х)' следовательно, lim fix)- lim Л?> * x -* ± oo x -> ± oo V (x) bo т. е. прямая у = ao/bo является асимптотой графика функции /. б) При п < т х»и(х) = и(х) xmv(x) xm~nv(xY следовательно, lim /(x)= lim -4^-^ = 0, х -*- ± oo х -> ± оо Xт п v (х) т. е. асимптотой является ось абсцисс. в) При п > т хпи(х) _ х"-ти(х) xmv(x)~~~v(x) ¦ Поведение функции на бесконечности зависит от знака дроби ао/Ьо и от того, четно или нечетно число п — т. Для всех трех случаев, обозначив ао/Ъо — с, получаем следующую таблицу: lim f(x) Х-> +00 lim f(x) Х-* -00 т = n с с n < m 0 0 n > m п — т четно + 00 + оо — 00 — 00 п — т нечетно с>0 + оо — 00 с<0 — 00 + оо <0. 2.5.1.2.4. Степенные дробно-рациональные функции. Простейшими дробно- рациональными функциями являются степенные функции с целым отрицательным показателем
172 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ f(x) = n= -1, -2, -3,... Если п нечетно, то (- х)и = - (х"), т. е. эти функции являются нечетными; графики их представляют собой кривые типа гиперболы, центрально симметричные относительно начала координат. Асимптотами этих графиков являются координатные оси. В точке х = 0 эти функции не определены. Степенные функции с четным (отрицательным) показателем степени являются четными функциями, т. е. (- х)п = хп. Их графики симметричны относительно оси ординат. Асимптотами этих графиков являются ось абсцисс и ось ординат (положительное направление). В точке х = 0 эти функции не определены. Если в выражении B.26) т = 1, и < 1, то получается дробно-линейная функция ( \ = a°x + ai где b0 Ф О и аф0 — aob1 Ф 0. Функция / имеет корень xt = —а1/а0 (если а0 Ф 0) и полюс х2 = —bi/b0. При х -+ ± оо значения функции стремятся к ао/Ьо. Графиком функции/является равносторонняя гипербола, ветви которой расположены симметрично относительно точки М ( , — I. (Графики V ^о Ьо) дробно-рациональных функций см. в 1.2.1.2.) 2.5.1.2.5. Разложение дробно-рациональных функций на элементарные дроби. Для интегрирования рациональных функций в общем случае необходимо разложить их на сумму простейших рациональных дробей. Если /м = Р(х) ем <с = 0 j=0 где Р (х) и Q (х) не имеют общих корней, п < т и Ьо = 1, то /(х) единственным образом представляется в виде г, ч АП . ^12 . . Alkl (х - (х-хО2 (х-хЛ ^22 + (х-х2) + (х-х2J +-"+(х- (х-х,) х,J J " (x-xsf* (х2 + Plx + qx) (x2 + ptx + qiJ (x2 + p2x + q2) •-(X2- f B22 + C22x ( + B2i2 + С (x2+p2x + 42J '" (x2+p2x- CrlX (x2 (x2 + prx + ^r) 5п„ + Crl x где kb lj, r, s — натуральные числа; Лд, B^fc, CJk, qj, Pj — действительные числа; х{ - корни функции Q (x); кроме того, Ц- - qj < 0 (/ = 1, 2, ..., г). Слагаемые в выражении B.27) называются элементарными (простейшими) дробями. Частные случаи. 1) Если уравнение Q (х) = 0 имеет только однократные действительные корни, например хь х2, ..., хот, то B.27) имеет вид №¦¦ Q(x) A2 Am ¦ + — + ... + ¦ х — х2 х-хт 2) Если уравнение Q (х) = 0 имеет действительные, но не обязательно однократные корни, например Xj — корень кратности kj, то B.27) имеет вид ем Ых- 3) Если уравнение Q (x) = 0 имеет также и комплексные, но только однократные корни, то B.27) имеет вид к I Bj + Cjx Q(x) + 4} Методы разложения на элементарные дроби. Сначала функция приводится к каноническому виду (см. B.26)); в случае неправильной дробно-рациональной функции выделяется целая рациональная часть и значение коэффициента при члене с наибольшим показателем степени в многочлене, находящемся в знаменателе оставшейся правильной дробно-рациональной функции, приводится к 1. Далее, для разложения на элементарные дроби требуется, чтобы было известно множество решений уравнения Q (х) = О, т. е. представление Q (х) в виде произведения (см. B.24)). Для определения коэффициентов при разложении на элементарные дроби существуют различные методы; поясним некоторые из них на примерах. Метод неопределенных коэффициентов. Пример Запишем 2х2 - 4х + 2 (х - IJ х - i (х - IJ ' Умножая обе части на (х — IJ, получим х = А^х + (Аг — At). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим Аг = \ и /42 — /4i = 0; следовательно, 1 sx-l 1 Пример 2. B.27) /(х). Р(х) Q(x) 2х4 + 2х2 - 5х !х4 + 2х2-5х + 1 х(х2 + х+ IJ
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 173 Запишем В2 + С2х Jy*> x x2 + x+l т(х* + х+!Г Умножим обе части на х(х2 + х + IJ: 2х4 + 2х2 - 5х + 1 * *i4i(x2 + х+ IJ +(Bt + Ctx)(x2 + х+ 1)х + (В2 + С2х)х. Умножив B.28) на (х — 2K, получим Зх4 - 9х3 + 4х2 - 34х + 1 G+1р " = Al3 + {x-2)[Al2+{x-2)Al левой и правой частях, получим /1, + С, «2, 2/1,+Й!+ С, =0, ЗЛ.+В, + С, + С2 = 2, 2/t,+B,+B2=-5, И, «1. Отсюда i4i - С! = С2 =» 1, Bi — -3 и В2 = -4. Таким образом. одинаковых степенях а в Устремив х в обеих частях к 2, получим А13 = -3. Умножив B.28) на (х + ЗJ и устремив затем х к -3, получим А22 = -5. Простое преобразование выражения B.28) дает в результате 3 5 Зх - 1 /(*) (х-2K т (х + 3J (х-2)(х + 3) -4 + х с2 + х+ Г Метод подстановки численных значений. Пример 3. Р(х) х2 + х-1 _ х2 + х-1 _dii_4- . х _ 2 г (х - 2J х + 3' B.29) Аналогичным образом (т. е. умножая B.29) на (х — 2J или на (х + 3) и устремляя х к 2 или к -3) получаем Ах2 = 0, А21 = 2. Преобразуя B.29) в равенство ^_2^у^ - /W 3 - х2 - 2х х + 3 х-2 приходим к разложению -, получим, что /4И = 1. Таким образом, Запишем /(х) = ——+ —~ + _3 . Полагая последовательно для х значения 1, -2 и 3, получим систему - — = At +-у/12 - А3, —8^= —г'41 ~ /*2 —4^у4э» "+1м /М- х - 2 (х - 2K х + 3 (х + ЗJ" Примечание 1. Для случая, рассмотренного в примере 1, т. е. для разложения /(х) вида Решение этой системы: Ах = 1/2, Таким образом, получаем разложение -1/3, А3 = 5/6. <2 (х) х — хх х — х2 х — хт по вышеописанному методу предельных значений имеем ,Р(х) А( lim {x- X -+ X (/= 1, 2, ..., т). /w 2x"" 3(х+1)х6(х-2)- Метод предельных значений. Пример 4. , Зх4 - 9х3 + 4х2 - 34х + 1 С другой стороны, х5 - 15х3 + 10х2 + 60х - 72 lim -вМ._ to CMCW =g. X -^ Xj X - XJ X-+Xj X~ XJ и, значит, разложение на элементарные дроби окончательно может быть записано так: Зх4 - 9х3 + 4х2 - 34х '" (х-2K (х + 3J /(*) = Запишем ew = V P(*j) ; х-2 (х-2J (х-2K х + 3 (х + 3) Таблица к п. 2.5.1.3. тг. B.28) Примечание 2. Для случая, рассмотренного в примере 4, неопределенные коэффициенты можно искать по Степенная функция Иррациональная функция Область значений/ Точки перегиба Поведение функции на интервалах монотонности п = 2т — 1; meN g(x) = xn r-y-x для -оо<х<0 /(ХН y 1/х для 0 < х < + оо — 00 < у < +00 м0 (о. о) монотонно возрастает л = 2m; meN ?(*) = *" /W = l7x 0<х< +оо 0 <^ < +оо нет монотонно возрастает 0<х < +оо — оо < у < 0 нет монотонно убывает
174 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ формулам А" = 2Т х1™2 С(Х " 2K/(Х)]"' Л22 = х Ит_ з [(Х + 3J/(Х)]' 2.5.1.3. Иррациональные алгебраические функции. Простые иррациональные алгебраические функции, называемые также степенными функциями с дробными показателями степени вида 1/л, где п — натуральное число, являются обратными к степенным функциям с натуральными показателями степени. В случае четного показателя степени существуют две обратные функции; для нечетного показателя - одна обратная функция. Графики иррациональных функций см. в 1.2.1.3; свойства приведены в таблице на стр. 173. 2.5.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ Неалгебраические функции называются трансцендентными (см. 2.5.1). К наиболее важным трансцендентным функциям относятся тригонометрические функции, показательные функции, гиперболические функции, а также функции, обратные к ним. 2.5.2.1. Тригонометрические функции и обратные к ним. 2.5.2.1.1. . Определение тригонометрических функций. Пусть круг радиуса г с центром в начале (прямоугольной декартовой) системы координат V\ пересекает положительную ось абсцисс в точке S (рис. 2.7). Движущаяся по окружности точка Р с координатами ?, г\ определяет угол SOP, величину которого (в радианах или в градусах — см. 2.6.3) обозначим через х. При этом х положительно, если точка Р, начиная движение из точки S, пробегает окружность в направлении против часовой стрелки (положительном направлении). Тригонометрические круговые функции (функции угла) определяются следующими равенствами: синус: f(x) = sin х = —; косинус: f(x) = cos x = —; РИС. 2.7 тангенс: f(x) tg x = —; котангенс: fix) = ctgx = —; Л секанс: f(x) — secx = —; косеканс: f{x)= cosec x = —. Область определения тригонометрических функций состоит из множества действительных чисел х, за исключением значений, обращающих в нуль знаменатель. Примечания. 1) Косинус (лат. «complement sinus» — дополнительный к синусу) является синусом дополнительного угла, и, наоборот, синус является косинусом дополнительного угла; соответственно также тангенс и котангенс или секанс и косеканс находятся друг с другом в отношении функция — кофункция, т. е. имеют место равенства (х - в радианах) . /я \ . /я \ cos х = sin I —— х I, sin x = cos I — — x I, ctgx = tgfy-xj, tgx=ctg(y-x\ /я \ /я \ cosec x = sec I —— x I, sec x = cosec I —— x I. 2) Благодаря простым соотношениям sec x = 1/cos x и cosec x = 1/sin x функции секанс и косеканс используются на практике сравнительно редко (в основном в астрономии). В связи с этим подробные сведения о свойствах этих функций здесь приводиться не будут. 3) Если в определении круговых функций специально выбрать г = 1, то значения тригонометрических функций могут быть определены (при 0 ^ х < я/2) как длины следующих отрезков (см. рис. 2.7): sinx соответствует PL; cosx соответствует OL; tgx соответствует P'S; ctgx соответствует S'P". Периодичность тригонометрических функций. Так как положения движущейся по окружности точки, соответствующие двум углам, величины которых отличаются на число, кратное 2я, совпадают, то значения всех тригонометрических функций периодически повторяются, т. е. имеют место равенства sin х = sin (х + 2кп), cos х = cos (x + 2кп), а для тангенса и котангенса даже tg х = tg (x + кп) и ctg x = ctg (x 4- кп), при этом к = 0, ±1, ±2, ... Соотношения в прямоугольном треугольнике. Для значений аргумента х между О и я/2, рассматриваемого в качестве угла прямоугольного треугольника, имеем следующие соотношения для тригонометрических функций: aba sin х = —, cos х = —, tg х = —, с с b be с ctg x = —, sec x = —, cosec x = —, ah a где (рис. 2.8) a — длина противолежащего катета, b — длина прилежащего катета, с — длина гипотенузы. Графики тригонометрических функций см. в 1.2.2.1, таблицы значений функций - в 1.1.1.10. Вспомогательные методы для нахождения значений, которые не могут быть непосредственно определены из таблиц. 2.5.2.1.2. Свойства тригонометрических функций. 1) Значения тригонометрических функций для аргументов, значения которых лежат между я/2 и 2я, сводятся к значениям функций от аргу- Рис. 2.8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ 175 Область определения Область значений Нули Полюсы Длина периода Экстремумы в точках Точки перегиба \ Четность функции /(х) = sin х — оо < х < +00 -1 </(*)< +1 х = кп > нет 2л л х = у + кп х = кп нечетная /(х) = cosx — оо < х < +оо -1 </(*)< + 1 х = у + кп нет 2л х = кп X = — + &Я четная /(*) = tgx — 00 < X < +00 х Ф у + кп — оо < /(х) < + оо х = кп л х = у + кп л нет х = кп нечетная fix) = ctgx - 00 < X < + 00 — оо </(х) < + оо л х- + кп х — кп л нет л X = у + /СЛ нечетная ментов, лежащих между 0 и тс/2, при помощи следующих формул приведения: sin ( —- + х 1 = cos х, sin (я ± х) = + sinx, sin I — л ± х 1 = - cos х, cos I — + х J = — sin x, cos (я ± x) = — cos x, cos I — - n ± x I = ± sin x, tg fy + *)*= -ctgx, ± 1, ±2,... 4) Значение любой тригонометрической функции для значений аргумента между я/4 и я/2 может быть сведено к значению дополнительной функции для дополнительного угла. Это используется в таблицах тригонометрических функций. 5) При выполнении различных действий с тригонометрическими функциями полезно знать значения функций для некоторых углов и знаки значений функций в четырех тсвадрантах: = ±tgx, tgfytt + XJ *= + CtgX, ctg (я ± х) = ± ctg х, tgX. 2) Значение тригонометрической функции / от отрицательного аргумента может быть выражено через значение соответствующей функции от положительного аргумента при помощи соотношений /(-х)=/(х) для косинуса и /(-х)=-/(х) для синуса, тангенса и котангенса. 3) Для определения значений тригонометрических функций при значении аргумента | х | ^ 2я нужно учитывать периодичность тригонометрических функций (см. 2.5.2.1.1). Радианы Градусы sinx cosx tgx ctgx 0 0° 0 1 0 л ~6 30° У 2 1 l/з /з Л т 45° ft 2 2 1 1 л т 60° ф. 2 1 2 /з 1 W л т 90° 1 0 0 Квадрант I II III IV Аргумент 0<JC<T /с у < X < Л Л<Х<уЛ у л < х < 2л sinx + + - - cosx + - - + tgx + - + - ctgx + - + -
176 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 2.5.2.1.3. Соотношения между триго- Приравнивая действительные и мнимые части, по- нометрическими функциями. лучаем Связь между функциями с одинаковым значе- п п1 п_2 -г , j,4 COS ПХ — COS X — С-и COS X Sin X ~r нием аргумента*). + C4cos"xsin4x - Cjcos"xsin6x -I-..., . , , sin x sin2x + cos x =1, tgx=^-, tgxctgx=l, sin nx = Cwicos«- ix sin x_ sec2 x — tg2 x =1, ctg x = , sin x • cosec x = 1, smx cosec2 x — ctg2 x = 1, cos x • sec x = 1. Теоремы сложения для суммы и разности аргументов *). sin (х ± у) — sin х cos у ± cos x sin у, cos (х ± у) = cos х cos у + sin x sin у, tg X + tg j/ ctg(x±y) = ctg x ctg у + 1 ctg у ± ctg x sin (x + у + z) = sin x cos у cos z + cos x sin у cos z + + cos x cos у sin z — sin x sin у sin z, cos (x + у + z) = cos x cos у cos z — sin x sin у cos z — — sin x cos у sin z — cos x sin у sin z. Теоремы сложения для кратных аргументов. 2tgx sin 2x = 2sin x cos x = г—, 1 + tg2 x л 2 2 1 - tg2 X cos 2x = cos x — sin x = r—, 1 + tg2 x sin 3x = 3 sin x — 4 sin3 x, cos 3x = 4 cos3 x — 3 cos x, sin 4x = 8 cos3 x sin x — 4 cos x sin x, cos 4x = 8cos4 x — 8 cos2 x + 1, 2tgx 2 tg2x = ctg 2x = tg 4x = ctg 4x = 1 - tg2 x ctg x - tg x' ctg2 x - 1 _ ctg x - tg x 2ctgx 2 » . . •» /-»+ . ctg 3x = 1 - 3 tg2 x 4tgx-4tg3x 1 - 6 tg2 x + tg4 x' ctg4 x - 6 ctg2 x + 1 4 ctg3 x - 4 ctg x 3ctg2x-l Для больших значений n выражения для sin nx и cos их получают, пользуясь формулой Муавра для комплексных чисел (см. 3.4 2): cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)" = = Z ikCjcosn~'cxsinkx. *) Следует заметить, что правые части приводимых формул могут быть неэквивалентны левым частям при некоторых значениях аргумента. - C3cos"~3xsin3x -I- C;Jcos"~5xsin5x - ... Для функций половинного аргумента имеют место следующие соотношения (знак + или — выбирается в соответствии с тем, в какой четверти (квадранте) находится угол - аргумент х/2): tgy -± X ctgy = 1 - COS X 1 - cos х sin x 1 + COS X 1 + COS X 1 — cos x sin x - cosx sin x 1 + cos x . — cos x 1 — cos x sinx Теоремы сложения для суммы и разности функций. х + у х - у sin х + sin у =2 sin —-—cos 2 ' x + у . x — у sin x - sin у =2 cos —-—sin —-—, x + у x - у COS X + COS у = 2 COS COS , - . X + у . X - у COS X - COS у = - 2 Sin — Sin —, cos x ± sin x = 1 tg x ± tg у = sin (x ± y) ctg x ± ctg у = ± tg x + ctg у cos x cos у sin (x ± y) sin x sin у cos(x-y) cos x sin у cos (x + y) ctgx-tgj; = —v sin x cos у Произведения тригонометрических функций. sin (x + у) sin (x - у) = cos2 у - cos2 x, cos (х + у) cos (х — у) = cos2 у — sin2 х, sin x sin у = — [cos (x - у) - cos (x + у)], cos х cos у = —- [cos (х - у) + cos (х + у)~\, sin х cos у = — [sin (x - у) + sin (x + у)], cos х sin у = — [sin (x + у) - sin (x - у)],
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ 177 sin х sin у sin z = — [sin (x + у - z) + + sib(y + z - x) + sin(z + x - 3;) - sin(x + у 4- z)], sin x cos у cos z = — [sin (x 4- у - z) — — sin (y + z — x) + sin (z + x — y) 4- sin (x 4- у + z)], 1 г sin x sin >; cos z = — [ - cos (x 4- у - z) 4- + cos C/ + z — x) + cos (z + x — y) — cos (x 4- у 4- z)], cos x cos у cos z = — [cos (x + у — z) + + cos (y 4- z - x) 4- cos (z 4- x - y) 4- cos (x 4- у 4- z)], tg x + tg у tg x - tg у tgxtgy ctg x ctg у tgxctgy = ctg x 4- ctg у ctg x - ctg у ctg x 4- ctg у ctg x — ctg у tg x 4- tg у tg x - tg у tg x + ctg у tg x - ctg у ctg x 4- tg у ctg x - tg у Соотношения между квадратами тригонометрических функций с одинаковым значением аргумента. характер, что в математической форме записывается в виде функции /(х) = A sin (сох 4- <р) (где А, со, <р — действительные числа и А Ф О, со ф 0). Если сравнить график функции /(х) = A sin (сох + ф) = A sin со (х 4- 4- ф/со) с графиком функции у = sin x, то видно, что параметр А вызывает сжатие (| А \ < 1) или растяжение (| А \ > 1) графика вдоль оси ординат; если А < 0, то график будет к тому же зеркально отражен относительно оси абсцисс; параметр со изменяет (наименьший) период колебаний, период становится равным 2я/|со|; слагаемое ф вызывает смещение графика функции вдоль оси абсцисс на | ф/со [ единиц (см. 1.2.2.1 и рис. 1.22). Пример. График функции /(х) = - 2 sin B.x + я/4) по сравнению с графиком функции 0(x) = sinx зеркально отражен и сжат в два раза относительно оси абсцисс, растянут в два раза вдоль оси ординат и сдвинут на я/8 в отрицательном направлении оси абсцисс. Наименьший период функции / равен я. Физическая интерпретация функции /(х) = A sin (сох 4- ф). Если выбрать в качестве независимого переменного время t, то получим f(t) — A sin (cor 4- ф). Здесь ф — это смещение по фазе, или «начальная фаза», Т = 2л/со — «период колебаний», v = \/Т= co/Bti) — «частота колебаний», со = 2к/Т = 2п\ — круговая, или циклическая, частота (число колебаний за 2л секунд) и А — sin2x COS2JC tg2x Ctg2* sin2* 1 — sin2x sin2* 1 - sin2 x 1 — sin2* sin2x cos2* 1 - cos2 * 1 — cos2 * cos2* cos2* 1 — cos2 * tg2* 1 4- tg2 * 1 1 + tg2 * tg2* ctg2* 1 1 4- ctg2 * 1 4- ctg2 * 1 ctg2* sec2* sec2 x - 1 sec2x 1 sec2* sec2 * — 1 1 sec2* — 1 соsec2 * 1 cosec2 * cosec2 * — 1 cosec2 * 1 cosec2 * — 1 cosec2 * — 1 Степени тригонометрических функций. sin2x = —A - cos2x), cos2x = —A 4- cos2x), sin3 x = —C sin x - sin 3x), cos3 x = — C cos x 4- cos 3x), sin4 x = — (cos 4x - 4 cos 2x 4- 3), 8 cos4 x = — (cos 4x 4- 4 cos 2x 4- 3). Для вычисления sin"x и cos"x при больших натуральных показателях степени п можно испольЗо- вать* формулы для sin их и cos их (см. выше). 2.5.2.1.4. Синусоидальная функция общего вида /(х) = A sin (сох + ф). Многие процессы в природе и технике имеют колебательный «амплитуда колебаний». Если А зависит от времени по закону А = A (t) = e~Rt, где R > 0, то амплитуда постепенно уменьшается (затухающее колебание; см. 1.2.2.2). Если колебания накладываются друг на друга, то результат определяется как сумма синусоидальных величин; если колебания имеют одинаковую частоту, то их сумма имеет ту же частоту: ? Ak sin (ш 4- Фд) = A sin (cot 4- ф). *= 1 При п = 2 имеют место следующие соотношения: tg<P А = у А\ 4- АI 4- 2AiA2 cos (ф2 — Ах вшф, 4- А2 sin ф2 ! 4- А2 Функцию/(?) = A sin (cof 4- ф) можно также представить в виде f(t) = a sin oat 4- b cos cof, причем A = \/a2 4- b2, a/A — cos ф, b/A = sin со. 2.5.2.1.5. Определение обратных тригонометрических функций. Функции, обратные к тригонометрическим функциям, назы-
178 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ваются обратными круговыми или обратными три- 2.5.2.1.7. Соотношения между обрат- гонометрическими функциями. Пусть к — целое число. Функции, обратные к функциям рассматриваемым на каждом из промежутков называются и обозначаются < у — cos х у = ctg х / 2к - 1 2к 4- 1 ными тригонометрическими функциями. arcsin х = - arcsin (- х) = arccos x = я - arccos (- х) я . х ¦- —— arcsin x = arcctg , [кп, (* + 1)я] 2* - 1 2к+1 (Ля, (fe 4- 1) я) арксинусом *), арккосинусом, арктангенсом. arctg x = - arctg (- х) = у = Arcsin х, у = Arccos х, у = Arctg х, у — Arcctg х. я х = arcctg x = arcsin , 2 /ТТх1 arcctg x = я — arcctg (— x) = я x = arctg x = arccos : 2 yi+x2 Суммы и разности обратных тригонометрических функций. arcsin х + arcsin у = Наиболее часто применяются обратные тригонометрические функции, которые получаются, arcsin x — arcsin у = = arcsin (x |/l - у2 + у ]/\ - х2) при ху ^ 0 или х2 + у2 ^ 1; = я - arcsin (х у\ - у2 + у \/\ - х2) при х > 0, у > 0 и х2 + у2 > 1; = —п - arcsin (x |/l - у2 + у ]/\ - х2) при х < 0, у < 0 и х2 + у2 > 1; если положить в вышеприведенных интервалах = arcsin(xl/l — у2 — yl/l — х2) к = 0 (так называемые главные значения; они обозначаются соответственно arcsin x, arccos x, arctg х, при ху ^ 0 или х + у < 1; arcctg x). Примеры, arcsin 0 = 0, arccos A/2) = я/3, arctg I = я/4, arcctg |/з = я/6. 2.5.2.1.6. Свойства обратных тригонометрических функций. = я - arcsin (x |/l - у2 - у ]/l - х2) при х > 0, у < 0 и х2 + у2 > 1; = -я - arcsin (x]/l - у2 - у |/l - х2) при х < 0, >> > 0 и х2 4- у2 > 1; Область определения Область значений Монотонность Точки перегиба >> = arcsin х - 1 <х< + 1 монотонно возрастает @,0) - у = arccos х — 1 < jc < 4- 1 0 <у < я монотонно убывает @, я/2) - у = arctg jc — с» < jc < +оо монотонно возрастает @, 0) я я -у, т >> = arcctg х - 00 < X < + 00 0 <>> < я монотонно убывает @, я/2) Графики обратных тригонометрических функций arccos x + arccos у = см. в 1.2.2.1. Таблицы значений обратных три- гонометрических функций см. в 1.1.1.9 и 1.1.1.10. = arccos (ху - \/1 - х* ]/\ - у2) при х 4- у > 0; *) Arcus - дуга; запись у = Arcsin х означает, что у есть = 2я — arccos (ху — j/l — х2 |/l — _у2) величина такого угла в радианах, синус которого равен х (лат.: arcus cuius sinus x est). при х 4- у < 0;
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 179 arccos х — arccos у = = - arccos (ху + |/l - х2 ]/\ - у2) при х $* у; = arccos (xy + J/l — x2 ]/