/
Автор: Бронштейн И.Н. Семендяев К.А.
Теги: математика справочник по математике естественные науки точные науки
Год: 1981
Текст
И.Н.БРОНШТЕЙН
К.А СЕМЕНДЯЕВ
СПРАВОЧНИК
ПО
МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И УЧАЩИХСЯ ВТУЗОВ
ИЗДАНИЕ ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Под редакцией Г. ГРОШЕ и В. ЦИГЛЕРА
Перевод с немецкого
93LEIPZIG
iaСОВМЕСТНОЕ ИЗДАНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ТОЙБНЕР» ЛЕЙПЦИГ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 1
22.11
Б88
УДК 51
Авторы из ГДР, участвовавшие в переработке издания:
DIPL.-MATH. P. BECKMANN, DR. М. BELGER, DR. H. BENKER,
DR. М. РЕМЕВ, PROF. ОК. H. ERFURTH, DIPL.-MATH. Н. GENTEMANN,
DR. Р. GOTHNER, DOZ. DR. $. GOTTWALD, DOZ. DR. G. GROSCHE,
DOZ. DR. H. HILBIG, DOZ. DR. R. HOFMANN, NPT H. KASTNER,
DR. W. PURKERT, DR. J. VOM SCHEIDT, DIPL.-MATH. TH. VETTERMANN,
DR. У. WUNSCH, PROF. DR. Е. ZEIDLER.
Сиравочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н.
Семендяев К. A.—M.: Наука... Главная редакция физико-математической литературы,
1981.
|
© Издательство «Тойбнер», ГДР, 1979
© Издательство «Наука»,
_
лавная редакция
‚20203 032 75-80. 1702000000
физико-математической
053 (02)-81:
литературы, 1980
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции .
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.2.1.
1.2.2.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
2.1.1.
1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
1.1. ТАБЛИЦЫ
Таблицы элементарных функций .
Ce
1. Некоторые часто встречающиеся постоянные ` (12). 2. Квадраты, кубы, корни (12). 3. Степени
целых чисел от 1 до 100 (30). 4. Обратные величины (32). 5. Факториалы и обратные им величипы (34).
_6. Некоторые степени чисел 2, Зи 5 (35). 7. Десятичные логарифмы (36). 8. Антилогарифмы (3).
9. Натуральные значения тригонометрических функций (40). 10. Показательные, гиперболические
и тригонометрические функции (48). 11. Показательные функции (для x от 1,6 до 10,0) (51).
12. Натуральные логарифмы (53). 13. Длина окружности (56). 14. Площадь’ круга (58). 15. Элементы
сегмента круга (60). 16. Перевод градусной меры в радианную (64). 17. Пропорциональные части (65).
18. Таблица для квадратичного интерполирования (67).
Таблицы специальных функций .
1. Гамма-функция (68). 2. Бесселевы (цилиндрические) функции (69). 3, Полиномы `Лежандра (шаровые
функции) (71). 4. Эллиптические интегралы (72). 5. Распределение Пуассона (74). 6. Нормальное
распределение (75). 7. х?-распределение (78). 8. 1-распределение Стьюдента (80). 9. 2-распределение (81).
10, Е-распределение (распределение v*) (82). 11. Критические числа для испытания Уилкоксона (88).
12. \-распределение Колмогорова — Смирнова (89).
Интегралы и суммы рядов.
1. Таблица сумм некоторых числовых panos (90). 2. Таблица разложения некоторых функций вв сте-
пенные ряды (92). 3. Таблица неопределенных интегралов (95). 4. Таблица некоторых определенных
интегралов (122).
1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Алгебраические функции. . .
.
1. Целые рациональные функции (126). 2. Добно-рациональные функции (127) 3, Иррациональные
функции (130).
Трансцендентные ‘функции.
1. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (131). 2. Показательные и1 логарифми-
ческие функции (133). 3. Гиперболические функции (136).
1.3. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
Алгебраические кривые . .
1. Кривые 3-го порядка (138). 2. Кривые 4-го. порядка (139),
Циклоиды
Спирали .
Цепная линия и трактриса .
2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
21. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Общие сведения.
1. Представление чисел в позиционной системе счисления | (147) 2, Погрешности и ` правила округления
чисел (148).
6%
90
126
131
147
2.1.2.
2.1.3.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.4.1.
2.4.2.
2.4.3.
2.4.4.
2.5.1.
2.6.1.
2.6.2.
2.6.3.
СОДЕРЖАНИЕ
Элементарная теория ошибок. . .
1. Абсолютные и относительные ошибки (149). 2. `Приближенные границы ' погрешности функции ` (149),
3. Приближенные формулы (149).
Элементарный приближенный графический метод .
1. Нахождение нулей функции f (x) (150). 2. Графическое дифференцирование (150). 3, Графическое
интегрирование (151).
2.2. КОМБИНАТОРИКА
Основные комбинаторные функции.
ууу
ии
ии
1. Факториал и гамма-функция (151). 2. Биномиальные коэффициенты (152). 3. Полиномиальный
коэффициент (153).
Формулы бинома и полинома. .
1. Формула бинома Ньютона (153). 2. Форм ула полинома ` (154).
Постановка задач комбинаторики .
Перестановки:
.
1. Перестановки (154), 2. Группа перестановок к элементов (155), 3 Перестановки с неподвижной
точкой (156). 4. Перестановки с заданным числом циклов (156). 5. Перестановки с повторениями (156).
Размещения .
1. Размещения (157). 2. "Размещения с повторениямии (157).
Сочетания .
1. Сочетания (157). 2. Сочетания с повторениями (158),
2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Обозначение сумм и произведений .
Конечные последовательности. .
1. Арифметическая прогрессия (159). 2. Геометрическая прог рессия (159).
Некоторые конечные суммы .
Средние значения
2.4. АЛГЕБРА
Общие понятия . .
1. Алгебраические выражения (161). 2. Значения алгебраических выражений (161). 3. Многочлены `(162).
4. Иррациональные выражения (163). 5. Неравенства (163). 6. Элементы теории групп (165).
Алгебраические уравнения. .
Ce
ee
ee
1. Уравнения (165). 2. Эквивалентные преобразования (166). 3. Алгебраические уравнения (167).
4. Общие теоремы (171). 5. Система алгебраических уравнений (173).
Трансцендентные уравнения .
Линейная алгебра...
(и:
1. Векторные пространства “(475). 2. Матрицы 1и определители (182). 3. `Сиетемы линейных ` уравнений
(189). 4. Линейные преобразования (192). 5. Собственные значения и собственные векторы (195).
2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Алгебраические функции.
1. Целые рациональные функции (199). 2, Дробно-рациональные функции (201). “3. Mppaunonanpunie
алгебраические функции (205).
Трансцендентные функции.
1. Тригонометрические функции и обратные кк ним ‹ (206). 2. Показательная | и логарифмическая функции
(212). 3. Гиперболические функции и обратные к ним (213).
2.6. ГЕОМЕТРИЯ
Планиметрия
Стереометрия .
1. Прямые и плоскости в ` пространстве (220). 2. Двугранные, Иногогранные и телесные углы `(220)
3. Многогранники (221). 4. Тела, образованные перемещением линий (29)
Прямолинейная тригонометрия .
1. Решение треугольников (225). 2. Применение +в элемен:trapnoit геодезии (227).
149
150
151
157
157
161
165
174
175
199
217
220
225
СОДЕРЖАНИЕ
2.6.4.
2.6.5.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.1.8.
3.1.9.
3.1.10.
3.1.11.
3.1.12.
3.1.13.
Сферическая тригонометрия
1. Геометрия на сфере (228). 2. Сферический преугольник (228), 3. Решение сферических реугольни-
ков (229).
Системы координат.
.
1. Системы координат на плоскостии (232). 2. `Координатные | системы в ‚пространстве (234).
Аналитическая геометрия
1. Аналитическая геометрия на плоскостии (237). 2. Аналитическая геометрия B пространстве (244),
3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬЧОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
‚ФУНКЦИЙ ОДНОГО И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Действительные числа.
1. Система аксиом действительных чисел `(252), 2. Натуральные, целые и | рациональные числа `(253),
3. Абсолютная величина числа (254). 4. Элементарные неравенства (254).
Точечные множества в В".
Последовательности
1. Числовые последовательности (257). 2, NocienosarenbHocrH точек (259).
Функции действительного переменного .
1. Функция одного действительного переменного (260). 2. Функции внескольких действительных перемен-
ных (269).
Дифференцирование функций одного действительного переменного .
1. Определение и геометрическая интерпретация первой производной. Примеры (272), 2, Производные
высших порядков (273). 3. Свойства дифференцируемых функций (275). 4. Монотонность и выпуклость
функций (277). 5. Экстремумы и точки перегиба (278). 6. Элементарное исследование функции (279).
Дифференцирование функций многих переменных . .
.
1. Частные производные, геометрическая интерпретация (280). 2. Полный ° дифференциал, производная
по направлению, градиент (280). 3. Теоремы о дифференцируемых функциях многих переменных (282).
4. Дифференцируемое отображение пространства К" в В”; функциональные определители; неявные
функции; теоремы о существовании решения (284). 5. Замена переменных в дифференциальных выра-
жениях (286). 6. Экстремумы функций многих переменных (288).
Интегральное исчисление функций одного переменного .
ду
1. Определенные интегралы (291). 2. Свойства определенных интегралов (292). 3. Неопределенные
интегралы (293). 4. Свойства неопределенных интегралов (295). 5. Интегрирование рациональных
функций (297). 6. Интегрирование других классов функций (300). 7. Несобственные интегралы (305).
8. Геометрические и физические приложения определенных интегралов (312).
Криволинейные интегралы .
Be,
1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы по длине кривой) (315). 2. Существование и
вычисление криволинейных интегралов 1-го рода (315). 3. Криволинейные интегралы 2-го рода
(интегралы по проекции и интегралы общего вида) (316). 4. Свойства и вычисление криволинейных
интегралов 2-го рода (316). 5. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования (318).
6. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов (320).
Интегралы, зависящие от параметра.
1. Определение интеграла, зависящего от параметра. (321). 2. Свойства. интегралов, зависящих от
параметра (321). 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (322). 4. Примеры интегралов,
зависящих от параметра (324).
Двойные интегралы.
1. Определение двойного интеграла и ` элементарные свойства (326). 2. _Barivcnenne двойных интегралов
(327). 3. Замена’ переменных в двойных интегралах (328). 4. Геометрические и физические приложения
двойных интегралов (328).
Тройные интегралы.
1. Определение тройного интеграла и простейшие свойства ` (330). 2. Вычисление тройных интегралов
(330). 3. Замена переменных в тройных иитегралах (331). 4. Геометрические и физические приложения
тройных интегралов (332).
Поверхностные интегралы... . .
уе
ие
уе
1. Площадь гладкой поверхности (333). 2. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода (334). 3. Гео-
метрические и физические приложения поверхностного интеграла (337).
Интегральные формулы .
1. Формула Остроградского— Гаусса. Формула Грина (336) `2. Формулы г punta (339). 3. Формула.
Стокса (339). 4. Несобственные криволинейные, двойные, поверхностные и тройные интегралы (339).
5. Многомерные интегралы, зависящие от параметра (341).
237
253
255
257
260
272
280
291
314
321
326
330
333
336
СОДЕРЖАНИЕ
3.1.14.
3.1.15.
3.1.1.
3.3.2.
3.4.1.
3.4.2.
3.4.3.
3.4.4.
3.4.5.
3.4.6.
3.4.7.
3.4.11.
Бесконечные ряды . .
1. Основные понятия (343), 2, Признаки сходимости или расходимости рядов с неотрицательными
членами (344). 3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость (347). 4. Функциональные
последовательности. Функциональные ряды (349). Степенные ряды (352). 6. Аналитические функции.
Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенной ряд (357).
Бесконечные произведения .
3.2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Вариационное исчисление
ee
1. Постановка задачи, примеры и основные понятия (365). 2. Теория Эйлера
— Лагранжа (366).
3. Теория Гамильтона — Якоби (376). 4. Обратная задача вариационного исчисления (377). 5. Численные
методы (378).
Оптимальное управление
.
1. Основные понятия (381). 2. Принцип максимума Понтрягина (383), 3. Дискретные системы ` (390);
4. Численные методы (391).
3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенные дифференциальные уравнения .
1. Общие понятия. Теоремы существования и единственности (393), 2. ` Дифференциальные уравнения
1-го порядка (395). 3. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы (404). 4. Общие
нелинейные дифференциальные уравнения (420). 5. Устойчивость (421). 6. Операторный метод решения
обыкновенных дифференциальных уравнений (422). 7. Краевые. задачи и задачи о собственных значе-
ниях (424).
Дифференциальные уравнения в частных производных . .
1. Основные понятия и специальные методы решения (428). 2. Уравнения в частных производных
1-го порядка (431). 3. Уравнения в частных производных 2-го порядка (440).
3.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Общие замечания
Комплексные числа. Сфера Римана. Области. . .
,
1. Определение комплексных чисел. Поле комплексных чисел (466). 2. Сопряженные комплексные числа.
Модуль комплексного числа (467). 3. Геометрическая интерпретация (468). 4. Тригонометрическая и
показательная форма комплексных чисел (468). 5. Степени, корни (469). 6. Сфера Римана. Кривые
Жордана. Области (470).
Функции комплексного переменпого .
Важнейшие элементарные функции .
1. Рациональные функции (473). 2. Показательная_ и ` логарифмическая “ функции (474). 3. Тригонометри-
ческая и гиперболические функции (475).
Аналитические функции . .
1. Производная (476). 2. Условия дифференцируемости Коши. — Римана ` (476) 3. Аналитические функ.
ции (476).
Криволинейные интегралы в комплексной области.
1. Интеграл функции комплексного переменного (477). 2. Независимость | от : пути интегрирования `(478),
3. Неопределенные интегралы (478). 4. Основная формула интегрального исчисления (478). 5. Интеграль-
ные формулы Коши (478).
Разложение аналитических функций в ряд. . .
1. Последовательности и ряды (479). 2. Функциональные ряды, Степенные рады (480). 3. Pan Тейлора
(481). 4. Ряд Лорана (481). 5. Классификация особых точек (482). 6. Поведение аналитических
функций на бесконечности (482).
Вычеты и их применение . .
1. Вычеты (483). 2. Теорема вычетов > (483), 3, Применение | к вычислению определенных интегралов. `(484).
Аналитическое продолжение...
1. Принцип аналитического продолжения (484), 2. Принций симметрии (Шварца) (485).
‚ Обратные функции. Римановы поверхности.
...
.
.
.
1. Однолистные функции, обратные функции (485). 2. Pumanona поверхность + функции Из. (486)
3. Риманова поверхность функции 2 = Гл и (486).
Конформное отображение . .
1. Понятие конформного_ отображения (487). 2. Некоторые простые конформные отображения (488). °
343
362
365
393
428
471
473
476
477
479
483
484
485
487
4.1.4.
4.1.5.
4.2.1.
4.2.2.
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.4.1.
4.4.2.
4.4,3.
5.1.1.
СОДЕРЖАНИЕ
4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
4.1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Основные понятия математической логики .
1. Алгебра логики (алгебра высказываний, логика высказываний) (490). 2, ` Предикаты (494). .
Основные понятия теории множеств . .
. Множества, элементы (496). 2. Подмножества (496).
Операции над множествами.
еее
ее
1. Объединение и пересечение множеств ` (496). 2. Разность, симметрическая разность, дополнение
множеств (496). 3. Диаграммы Эйлера — Венна (497). 4. Декартово произведение множеств (497).
5. Обобщенные объединение и пересечение (498).
Отношения и отображения .
‚ Отношения (498). 2. Отношение эквивалентности ` (499). 3. Отношение порядка ` (500). 4, Oro6paxe-
ния (501). 5. Последовательности и семейства множеств (502). 6. Операции и алгебры (502).
Мощность множеств .
1. Равномощность (503). 2. Счетные и несчетные множества (503),
4.2. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Векторная алгебра . .
. Основные понятия (503). 2. Умножение на cKanap и сложение “(504 3. Умножение векторов `(505).
4 Геометрические приложения‘ векторной алгебры (507).
Векторный анализ .
1. Векторные функции ckanapHoro аргумента `(508), 2. Поля (скалярные и | векторные) (510). 3. Градиент
скалярного поля (513). 4. Криволинейный интеграл и потенциал в векторном поле (515). 5. Поверхностные
интегралы в векторных полях (516). 6. Дивергенция векторного поля (519). 7. Ротор векторного поля (520).
8. Оператор Лапласа и градиент векторного поля (521). 9. Вычисление сложных выражений (оператор
`Гамильтона) (522). 10. Интегральные формулы (523). 11. Определение векторного поля по его источ-
никам и вихрям (525). 12. Диады (тензоры II ранга) (526).
4.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Плоские кривые .
Ce
1. Способы задания плоских кривых. ` Уравнение плоской кривой (531). 2. Локальные элементы
плоской кривой (532). 3. Точки специального типа (534). 4. Асимптоты (536). 5. Эволюта и эволь-
вента (537). 6. Огибающая семейства кривых (538).
Пространственные кривые .
1. Способы задания кривых в пространстве (538). 2. `Локальные 3элементы кривой | B пространстве ` (538)
3. Основная теорема теории кривых (540).
Поверхности
.
1. Способы задания поверхпостей ` (540). 2. `Касательная плоскость и нормаль K поверхности ` (541).
3. Метрические свойства поверхностей (543). 4. Свойства кривизны поверхности (545). 5. Основная
тсорема теории поверхностей (547). 6. Геодезические линии на поверхиости (548).
4.4. РЯДЫ ФУРЫГ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Ряды Фурье. .
1. Общие понятия (549). 2 `Таблица некоторых разложений B pan Фурье ` (551), 3. Численный гармо-
нический анализ (556).
Интегралы Фурье...
1. Общие понятия (559). 2. Таблицы трансформант Фурье (561).
Преобразование Лапласа.
1. Общие понятия (571). 2. Применение преобразования Лапласа. K решению обыкновенных ` дифферен-
циальных уравнений с начальными условиями (573). 3. Таблица обратного преобразования Лапласа
дробно-рациональных функций (574).
5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайные события и их вероятности.
уе
1. Случайные события (577). 2. Аксиомы теории "вероятностей (578). “3. Классическое определение
вероятности события (579). 4. Условные вероятности (580). 5. Полная вероятность. Формула Байеса (580).
490
496
496
498
503
503
508
531
538
540
549
559
571
577
5.1.6.
5.2.1.
5.2.4.
6.1.1,
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
6.3.1.
6.3.2.
6.3.3.
6.3.4.
6.4.1.
6.4.2.
6.5.1.
6.5.2.
6.5.3.
6.5.4.
СОДЕРЖАНИЕ
Случайные величины . .
1. Дискретные случайные величины `(581) 2. Н Непрерывные ‘случайные величины + (583).
Моменты распределения .
1. Дискретный случай (585). 2. ` Непрерывный случай (587).
Случайные векторы (многомерные случайные величины).
у
1. Дискретные случайные векторы (588). 2. Непрерывные лучайные векторы (588). 3. Граничные
распределения (589). 4. Моменты многомерной случайной величины (589). 5. Условные распределения
(590} 6. Независимость случайных величин (590). 7. Регрессионная зависимость (591). 8. Функции
от случайных величин (592).
Характернстические функции. .
1. Свойства характеристических функций (593), 2. Формула обращения и ` теорема ‘единственности `(594)
3. Предельная теорема характеристических функций (594). 4. Производящие фупкции (595). 5. Харак-
теристические фупкции многомерных случайных величин (595).
Предельные теоремы .
иен
1. Законы больших чисел ` (595), 2. Предельная теорема `Муавра — Лапласа (596). 3. Центральная
предельная теорема (597).
5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Выборки .
1. Гистограмма и пэмпирическая функция распределения (598). 2. Функции выборок (600), 3, Некоторые
важные распределения (600).
Оценка параметров. .
1. Свойства точечных оценок (601). 2. Методы получения | оценок ` (602). 3. Доверительные | оценки ` (604).
Проверка гипотез (тесты). еее
еее
еее
1. Постановка задачи (606). 2. Общая теория (606). 3. г-критерий (607). 4. Г-критерий (607).
5. Критерий Уилкоксона (607). 6. Х?-критерий (608). 7. Случай дополнительных параметров (609).
8. Критерий согласия Колмогорова — Смирнова (610).
Корреляция и регрессия .
1. Оценка корреляционных и регрессионных характеристик | по › выборкам (611). 2. Проверка гипотезы
р = 0 в случае нормально распределенной генеральной совокупности (612). 3. Общая задача регрессии (612).
6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Постановка задачи линейного программирования и симплекс-метод .
1. Общая постановка задачи, геометрическая интерпретация и решение задач с двумя переменными `(613),
2. Канонический вид, изображение вершицы в симилекс-таблице (615). 3. Симплекс-метод при заданной
начальной таблице (617). 4. Получение начальной вершины (621). 5. Вырожденный случай и его
рассмотрение при помощи симплекс-метола (622). 6. Двойственность в линейном программировании (624).
7. Модифицированные методы, дополнительные изменения задачи (625).
6:2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Линейная транспортная задача .
Отыскание начального решения .
Транспортный метод
6.3. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Использование производственных мощностей .
Задача о смесях.
.
Распределение, составление плана, сопоставление .
Раскрой, планирование смен, покрытие .
6.4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Постановка задачи .
.
Метод решения для случая однопараметрической | целевой ° функции .
6.5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Постановка задачи, геометрическая интерпретация .
Метод сечения Гомори .
..
..
Метод разветвления
Сравнение методов .
581
585
587
592
595
598
601
606
611
613
629
630
632
636
636
637
637
638
638
642
643
645
646
7.1.1.
7.1.2.
7.1.3.
TAS.
СОДЕРЖАНИЕ.
7. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
7.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Ошибки и их учет .
Вычислительные методы.
1. Решение линейных систем уравпений (649). 2, Линейные задачи о ` собственных значениях `(653),
3. Нелинейные уравнения (655). 4. Системы нелинейных уравнений (657). 5. Аппроксимация (659).
6. Интерполяция (663). 7. Приближенное вычисление интегралов (668). 8. Приближенное дифференци-
рование (673). 9. Дифференциальные уравнения (674).
Реализация численной модели в электронных вычислительных машинах.
1. Критерии для выбора метода (681). 2. Методы управления (682). 3. Вычисление функций. (682).
Номография и логарифмическая линейка .
rn
1. Соотношения между. двумя переменными — функциональные шкалы `(685), 2. Логарифмическая
(счетная) линейка (686). 3. Номограммы точек на прямых и сетчатые номограммы (687).
`Обработка эмпирического числового материала.
1. Метод наименьших квадратов (688). 2. Другие способы в выравиивания (690).
7.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
7.2.1. Электронные вычислительные машины (ЭВМ).
1. Вводные замечания (691). 2. Представление информации. и память ‚ЭВМ (692). 3, Каналы | обмена
(693). 4. Программа (693). 5. Программирование (694). 6. Управление ЭВМ (695). 7. Математическое
(программное) обеспечение (696). 8. Выполнение работ на ЭВМ (696).
7.2.2. Аналоговые вычислительные машины .
1. Принцип устройства аналоговой вычислительной техникии (697). 2. Вычислительные элементы ана-
логовой вычислительной машины (697). 3. Приицип программирования при решении систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений (699). 4. Качественное программирование (700).
Литература
Универсальные обозначения .
Предметный указатель .
647
649
681
685
688
691
697
702
705
706
ОТ РЕДАКЦИИ
Справочник И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева по математике для инженеров
и студентов втузов прочно завоевал популярность не только в нашей стране, но
и за рубежом. Одиннадцатое издание вышло в свет в 1967 году. Дальнейшее издание
справочника было приостановлено, так как он уже не отвечал современным требованиям.
Переработка справочника была осуществлена по инициативе издательства «Teubner»,
с согласия авторов болыпим коллективом специалистов в ГДР (где до этого справоч-
ник выдержал 16 изданий). Было принято обоюдное решение выпустить этот перерабо-
танный вариант совместным изданием:
в ГДР — издательством «Teubner — на немецком языке;
в СССР — Главной редакцией физико-математической литературы издательства
«Наука» — на русском языке.
В результате переработки справочник не только обогатился новыми сведениями
по тем разделам математики, которые были представлены ранее, но был дополнен
и новыми разделами: вариационным исчислением и оптимальным управлением, мате-
матической логикой и теорией множеств, вычислительной математикой и основными
сведениями по вычислительной технике.
При этом был сохранен общий методический стиль справочника, позволяющий
и получить фактическую справку по отысканию формул или табличных данных, и
ознакомиться с основными понятиями (или восстановить их в памяти); для лучшего
усвоения понятий приводится большое количество примеров.
В связи со столь основательным пересмотром справочника весь текст был заново
переведен с немецкого языка.
При подготовке русского издания была произведена некоторая переработка, с тем
чтобы по возможности учесть требования программ отечественных вузов. Эта перера-
ботка в основном связана с изменением обозначений и терминологии, которые у нас
и в ГДР не идентичны. Некоторые разделы для русского издания были переписаны
заново — это первые разделы из глав, посвященных алгебре, математической логике,
теории множеств. Менее значительной переделке подверглись разделы, посвященные
комплексным переменным, вариационному исчислению и оптимальному управлению,
вычислительной математике.
Для сокращения объема справочника по сравнению с первоначально намечавшимся
вариантом. опущены некоторые разделы, которые необходимы более узкому кругу
специалистов.
Некоторые разделы справочника были оставлены без переработки по причине
очень сжатых сроков, отведенных на подготовку данного издания. Например, в данном
издании опущен раздел, посвященный тензорному исчислению. В связи с этим раздел
«Дифференциальная геометрия» надо было бы переписать несколько подробнее и
изменить само изложение. В разделе «Вычислительная математика» много говорится
о вычислительных методах и мало дается собственно вычислительной математики.
В разделе «Вариационное исчисление и оптимальное управление» недостаточно внима-
ния уделено оптимальному управлению.
Однако, чтобы проделать эту работу в полной мере, требуется длительное время
и, что очень важно, обратная связь с читателями. Поэтому редакция обращается
с просьбой ко всем,кто будет пользоваться справочником, присылать свои замечания
и предложения по улучшению справочника, чтобы они могли быть учтены при даль-
нейшей работе над ним.
Предложения просим присылать по адресу: 117071, Москва, Ленинский проспект, 15,
Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», редакция
математических справочников.
1. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
11. ТАБЛИЦЫ
Интерполяция. Большинство помещенных ниже таблиц дает значения функций с четырьмя
значащими цифрами для трехзначных значений аргумента. Когда аргумент задан с большей
точностью и, следовательно, искомое значение функции не может быть найдено непосредственно
в таблицах, необходимо прибегать к интерполяции. Наиболее простой является линейная интер-
поляция, при которой допускают, что приращение функции пропорционально приращению аргу-
мента. Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями хо их, = хо +h,
которым соответствуют значения функции
Yo=f(Xo)
у:=Л(хи)=у+А,
то принимают
х-х
169=fQt)+—S—
xXo
Интерполяционная поправка о А легко вычисляется с помощью таблицы пропорциональных
частей 1.1.1.17.
Примеры. 1) Найти 1,67542. В таблицах находим: 1,677 = 2,789; 1,68? = 2,822 и А = 33*). Из таблицы пропор-
циональных частей получаем
0,5.33=16,5;0,04-33=1,3;——^A=16,5+13=18;1,6754?=2,807.
2) Найти tg 79°24’. В таблицах находим
tg79°20'=5,309;tg79°30=5,396;А=87;0,4.87=35;tg79°24’=5,344.
Погрешность линейной интерполяции не превышает единицы последней значащей цифры, если
только две соседние разности До и A, отличаются не больше чем на 4 единицы (последнего
знака). Если это условие не выполнено, необходимо пользоваться более сложными интерполя-
ционными формулами. В большинстве случаев достаточной является квадратичная интерполяция
по Бесселю:
Ff(x)=f(Xo)+ЕАо—К,(А,-А-1),
k=X—Xo
[в=
k(1—К)
ky=а о,
величина К, находится из табл. 1.1.1.18.
Пример. Требуется найти tg 85°33’. По таблице находим (й = 10'): К=0,3, К, =0,052; поправка равна
0,3.491 — 0,052. 75 = 143; tg 85°33’ = 12,849.
*) Разность А и поправку обычно выражают в единицах разряда последней зпачащей цифры, не выписывая пулей
и запятой впереди.
о ТАБЛИЦЫ
ежа линии See ee ча тьыек:
.--
1.1.1. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1.1.1. Некоторые часто встречающиеся постоянные.
Величина
п
Ign
Величина
n
Ign
x
3,141593
0,49715
lin
0,318310
1,50285
Qn
6,283185
0,79818
1:2n
1159155
1,20182
3n
9,424778
0,97427
1:31
0,106103
1,02573
4n
12,566371
1,09921
1: 4m
0,079577
2,90079
m2
1,570796
0,19612
2m
0,636620
1,80388
1:3
1,047198
0,02003
3:0
0,954930
1,97997
п:4
0,785398
189509
4:п
1.273240
0,10491
л:6
0,523599
1,71900
6:п
1,909859
0,28100
п: 180 (=1°)
0,017453
2.24188
180°:л
57°,295780
1,75812
п: 10800 (=1’)
0,000291
4.46373
10800':x
3437’,7468
3,53627
п: 648 000 (=1”)
0,000005
6,68557
648 000”: x
206264’,81
5,31443
n?
9,869604
0,99430
Lin?
0,101321
1,00570
Ил
1772454
0,24857
Vix
0,564190
1,75143
Ик
2,506628
0,39909
V1:2n
0,398942
1,60091
Ил:2
1.253314
0,09806
И2:
к
.
0,797885
1.90194
—
3—
—_
Ил
1.464592
0,16572
Vin
0,682784
1,83428
/4n:3
1,611992
0,20736
Из :4п
0,620350
1.79264
е
2,718282
0,43429
lie
0,367879
1,56571
е?
7,389056
0,86859
1: е2
0,135335
1,13141
Ve
1,648721
0,21715
Vize
0,606531
1.78285.
a
oan
В
Ие
1,395612
0,14476
Vie
0,716532
1,85524
et: 2
4,810477
0,68219
е-п:2
0,207880
1.31781
er
23,140693
1,36438
en"
0,043214
2,63562
er"
535,49 1656
2,72875
е-2"
0,001867
3.27125
C*)
0,577216
1.76134
Inx
1,144730
0,05870
M=lge
0,434294
1.63778
1:Ме 10
2,302585
0,36222
g **)
9,81
0,99167
1:9
0,10194
1,00833
9?
96,2361
1,98334
112g
0,050968
2.70730
Vo
3,13209
0,49583
nV
9,83976
0,99298
2
4,42945
0,64635
п29
13,91552
1,14350
*) С — постоянная Эйлера.
**) g ускорение силы тяжести в м/сек?; здесь дано округленное значение 9 на уровне моря на широте
45—50.
1.1.1.2. Квадраты, кубы, корни.
Объяснения к таблице Таблица позволяет находить квадраты, кубы, квадратные и ку-
бические корни с четырьмя значащими цифрами. Для аргументов п, заключенных между | и 10,
величины nN’, и? находятся непосредственно в таблице, если значение аргумента дано с тремя зна-
чащими цифрами. Например, 1,797 = 3,204. Если же значение аргумента задано более чем тремя
значащими цифрами, необходимо прибегнуть к интерполяции. Для этой таблицы погрешность
линейной интерполяции нигде не превышает единицы последнего знака.
Для нахождения п?, и? при п> 10 и п<{! принимают во внимание, что при увеличении п
в 10* раз п? увеличивается в 102 n?>—B 10°* раз, т.е. перенос запятых у п на К разрядов
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
13
вправо вызывает перенос запятых и у п? на 2k разрядов вправо. При этом, по мере надобности,
к взятому из таблиц числу приписываются нули справа или слева. Например, 0,1792
= 0,03204;
1793=5735000*).
Корни квадратные для п, заключенных между 1 и 100, могут быть найдены непосред-
ственно из таблицы [с применением линейной интерполяции], а для любых п- по следующим
правилам.
1) Подкоренное число разбивают в обе стороны от запятой на грани, содержащие по две
цифры. 2) В зависимости от того, содержит ли первая слева, не состоящая из нулей, грань одну
или две значащие цифры, значение корня находят в графе Ил или в графе V/10n. 3) В найденном
значении корня запятую ставят, исходя из того, ITO каждая грань подкоренного числа, стоящая
до запятой, дает для корня одну цифру до запятой, а для чисел, меньших 1, каждая состоящая
из нулей грань после запятой дает для корня один нуль после запятой.
Примеры. 1) 23,9
= 4,889; 2) /0,00'02'39
= 0.01546; 3) |/23'90°00
= 4889; 4) |/0,00°3
= 0.05477. (В последнем
примере под корнем должен быть мысленно добавлен в конце еще один нуль до полной грани, поэтому корень
следует искать в графе |/ 10н.)
Корни кубические для п, заключенных между | и 1000, могут быть найдены непосрел-
ственно из таблицы (с применением линейной интерполяции), а для любых п-— по следующим
правилам.
1) Подкоренное число разбивают в обе стороны от запятой на грани, содержащие по три
цифры. 2) В зависимости от того, содержит ли первая слева, не состоящая из нулей, грань одну,
3
две или три значащие цифры, значение корня находят в таблице соответственно в графах Ил,
35
3
//10n или |/100н. 3) В найденном значении корня запятую ставят по тому же правилу, что и для.
квадратных корней.
.
3
3
КИ
3
3
Примеры. 1) |/23,9 = 2,880 **); 2) |/239'000 = 62,06; 3) |/0,000'002'39 = 0,01337; 4) /0,000'3 = 0,06694; 5) |/0,03 =
= 0,3107. (В последних двух примерах на конце нужно мысленно прибавить соответственно два нуля и один нуль.)
*) Лучше. записать 1793 = 5,735 . 108, избегая употребления нулей для замены неизвестных цифр (точно: 1793 =
= 5 735 339).
**) Нуль на конце пужно сохранить, так как он является значащей цифрой и характеризует точность полученного
значения корня.
Квадраты, кубы, квадратные и кубические корни
ТАБЛИЦЫ
n
п?
пз
Уп
V/10n
Ил
/10n
/100n
1,00
1,000
1,000
1,000
3,162
1,000
2,154
4,642
1,01
1,020
1,030
1,005
3,178
1,003
2,162
4,657
1,02.
1,040
1,061
1,010
3,194
1,007
2,169
4,672
1,03
1,061
1,093
1,015
3,209
1,010
2,176
4,688
1,04
1,082
1,125
1,020
3,225
1,013
2,183
4,703
1,05
1,102
1,158
1,025
3,240
1,016
2,190
4,718
1,06
1,124
1,191
1,030
3,256
1,020
2,197
4,733
1,07
1,145
1,225
1,034
3,271
1,023
2,204
4,747
1,08
1,166
1,260
1,039
3,286
1,026
2,210
4,762
1,09
1,188
1,295
1,044
3,302
1,029
2,217
4,777
1,10
1,210
1,331
1,049
3,317
1,032
2,224
4,791
1,11
1,232
1,368
1,054
3,332
1,035
2,231
4,806
1,12
1,254
1,405
1,058
3,347
1,038
2,237
4,820
1,13
1,277
1,443
1,063
3,362
1,042
2,244
4,835
1,14
1,300
1,482
1,068
3,376
1,045
2,251
4,849
1,15
1,322
1,521
1,072
3,391
1,048
2,257
4,863
1,16
1,346
1,561
1,077
3,406
1,051
2,264
4,877
1,17
1,369
1,602
1,082
3,421
1,054
2,270
4,891
1,18
1,392
1,643
1,086
3,435
1,057
2,277
4,905
1,19
1,416
1,685
1,091
3,450
1,060
2,283
4,919
1,20
1,440
1,728
1,095
3,464
1,063
2,289
4,932
1,21
1,464
1,772
1,100
3,479
1,066
2,296
4,946
1,22
1,488
1,816
1,105
. 3,493
1,069
2,302.
4,960
1,23
1,513
1,861
1,109
3,507
1,071
2,308
4,973
1,24
1,538
1,907
1,114
3,521
1,074
2,315
4,987
1,25
1,562
1,953
1,118
3,536
1,077
2,321
5,000
1,26
1,588
2,000
1,122
3,550
1,080
2,327
5,013
1,27
1,613
2,048
1,127
3,564
1,083
2,333
5,027
1,28
1,638
2,097.
1,131
3,578
1,086
2,339
5,040
1,29
1,664
2,147
1,136
3,592
1,089
2,345
5,053
1,30
1,690
2,197
1,140
3,606
1,091
2,351
5,066
1,31
1,716
2,248
1,145 .
3,619
1,094
2,357
5,079
1,32
1,742
_ 2,300
1,149
3,633
1,097
2,363
5,092
1,33
1,769
2,353
1,153
3,647
1,100
2,369
5,104
1,34
1,796
2,406
1,158
3,661
1,102
2,375
5,117
1,35
1,822
2,460
1,162
3,674
1,105
2,381
5,130
1,36
1,850
2,515
1,166
3,688
1,108
2,387
5,143
1,37
1,877
2,571
1,170
3,701
1111
2,393
5,155
1,38
1,904
2,628
1,175
3,715
1,113
2,399
5,168
1,39
1,932
2,686
1,179
3,728
1,116
2,404
5,180
1,40
1,960
2,744
1,183
3,742
1,119
2,410
5,192
1,41
1,988
2,803
1,187
3,755
1,121
2,416
5,205 °
1,42
2,016
2,863
1,192
3,768
1,124
2,422
5,217
1,43
2,045
2,924
1,196
3,782
1,127
2,427
5,229
1,44
2,074
2,986
1,200
3,795
1,129
2,433
5,241
1,45
2,102
3,049
1,204
3,808
1,132
2,438
5,254
1,46
2,132
3,112
1,208
3,821
1,134
2,444
5,266
1,47
2,161
3,177
1,212
3,834
1,137
2,450
5,278
1,48
2,190
3,242
1,217
3,847
1,140
2,455
5,290
1,49
2,220
3.308
1,221
3,860
1,142
2,461
5,301
1,50
2,250
3,375
1,225
3,873
1,145
2,466
5,313
1,51
2,280
3,443
1,229
3,886
1,147
2,472
5,325
1,52
2,310
3,512
1,233
3,899
1,150
2,477
5,337
1,53
2,341
3,582
1,237
3,912
1,152
2,483
5,348
1,54
2,372
3,652
1,241
3,924
1,155
2,488
5,360
1,55
2,402
3,724
1,245
3,937
1,157
2,493
5,372
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
15
Продолжение
п
п?
n3
Ил
10n
Vn
у 10n
у 100n
1,55
2,402
3,724
1,245
3,937
1,157
2,493
5,372
1,56
2,434
3,796
1,249
3,950
1,160
2,499
5,383
1,57
2,465
3,870
1,253
3,962
1,162
2,504
5,395
1,58
2,496
3,944
1,257
3,975
1,165
2,509
5,406
1,59
2,528
4,020
1,261
3,987
1,167
2,515
5,418
1,60
2,560
4,096
1,265
4,000
1,170
2,520
5,429
1,61
2,592
4,173
1,269
4,012
1,172
2,525
5,440
1,62
2,624
4,252
1,273
4,025
1,174
2,530
5,451
1,63
2,657
4,331
1,277
4,037
1,177
2,535
5,463
1,64
2,690
4,411
1,281
4,050
1,179
2,541
5,474
1,65
2,722
4,492
1,285
4,062
1,182
2,546
5,485
1,66
2,756
4,574
1,288
4,074
1,184
2,551
5,496
1,67
2,789
4,657
1,292
4,087
1,186
2,556
5,507
1,68
2,822
4,742
1,296
4,099
1,189
2,561
5,518
1,69
2,856
4,827
1,300
4,111
1,191
2,566
5,529
1,70
2,890'
4,913
1,304
4,123
1,193
2,571
5,540
1,71
2,924
5,000
1,308
4,135
1,196
2,576
5,550
1,72
2,958
5,088
1,311
4,147
1,198
2,581
5,561
1,73
2.993
5,178
1,315
4,159
1,200
2,586
5,572
1,74
3,028
5,268
1,319
4,171
1,203
2,591
5,583
1,75
3,062
5,359
1,323
4,183
1,205
2,596
5,593
1,76
3,098
5,452
1,327
4,195
1,207
2,601
5,604
1,77
3,133
5,545
1,330
4,207
1,210
2,606
5,615
1,78
3,168
5,640
1,334
4,219
1,212
2,611
5,625
1,79
3,204
5,735
1,338
4,231
1,214
2,616
5,636
1,80
3,240
5,832
1,342
4,243
1,216
2,621
5,646
1,81
3,276
5,930
1,345
4,254
1,219
2,626
5,657
1,82
3,312
6,029
1,349
4,266
1,221
2,630
5,667
1,83
3,349
6,128
1,353
4,278
1,223
2,635
5,677
1,84
3,386
6,230
1,356
4,290
1,225
2,640
5,688~
1,85
3,422
6,332
1,360
4,301
1,228
2,645
5,698
1,86
3,460
6,435
1,364
4,313
1,230
2,650
5,708
1,87
3,497
6,539
1,367
4,324
1,232
2,654
5,718
1,88
3,534
6,645
1,371
4,336
1,234
2,659
5,729
1,89
3,572
6,751
1,375
4,347
1,236
2,664
5,739
1,90
3,610
6,859
1,378
4,359
1,239
2,668
5,749
1,91
3,648
6,968
1,382
4,370
1,241
2,673
5,759
1,92
3,686
7,078
1,386
4,382
1,243
2,678
5,769
1,93
3,725
7,189
1,389
4,393
1,245
2,682
5,779
1,94
3,764
7,301
1,393
4,405
1,247
2,687
5,789
1,95
3,802
7,415
1,396
4,416
1,249
2,692
5,799
1,96
3,842
7,530
1,400
4,427
1,251
2,696
5,809
1,97
3,881
7,645
1,404
4,438
1,254
2,701
5,819
1,98
3,920
7,762
1,407
4,450
1,256
2,705
5,828
1,99
3,960
7,881
1,411
4,461
1,258
2,710
5,838
2,00
4,000
8,000
1,414
4,472
1,260
2,714
5,848
2,01
4,040
8,121
1,418
4,483
1,262
2,719
5,858
2,02
4,080
8,242
1,421
4,494
1,264
2,723
5,867
2,03
4,121
8,365
1,425
4,506
1,266
2,728
5,877
2,04
4,162
8,490
1,428
4,517
1,268
2,732
5,887
2,05
4,202
8,615
1,432
4,528
1,270
2,737
5,896
2,06
4,244
8,742
1,435
4,539
1,272
2,741
5,906
2,07
4,285
8,870
1,439
4,550
1,274
2,746
5,915
2,08
4,326
8,999.
1,442
4,561
1,277
2,750
5,925
2,09
4,368
9,129
1,446
4,572
1,279
2,755
5,934
2,10
4,410
9,261
1,449
4,583
1,281
2,759
5,944
16
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
n2
n
yn
10n
Ил
у 10n
| 100n
2,10
4,410
9,261
1,449
4,583
1,281
2,759
5,944
2,11
4,452
9,394
1,453
4,593
1,283
2,763
5,953
2,12
4,494
9,528
1,456
4,604
1,285
2,768
5,963
2,13
4,537
9,664
1,459
4,615
1,287
2,772
5,972
2,14
4,580
9,800
1,463
4,626
1,289
2,776
5,981
2,15
4,622
9,938
1,466
4,637
1,291
2,781
5,991
2,16
4,666
10,08
1,470
4,648
1,293
2,785
6,000
2,17
4,709
10,22
1,473
4,658
1,295
2,789
6,009
2,18
4,752
10,36
1,476
4,669
1,297
2,794
6,018
2,19
4,796
10,50
1,480
4,680
1,299
2,798
6,028
2,20
4,840
10,65
1,483
4,690
1,301
2,802
6,037
2,21
4,884
10,79
1,487
4,701
1,303
2,806
6,046
2,22
4,928
10,94
1,490
4,712
1,305
2,811
6,055
2,23
4,973
11,09
1,493
4,722
1,306
2,815
6,064
2,24
5,018
11,24
1,497
4,733
1.308
2,819
6,073
2,25
5,062
11,39
1,500
4,743
1,310
2,823
6,082
2.26
5,108
11,54
1,503
4,754
1,312
2,827
6,091
2,27
5,153
11,70
1,507
4,764
1,314
2,831
6,100
2,28
5,198
11,85
1,510
4,775
1,316
2,836
6,109
2,29
5,244
12,01
1,513
4,785
1,318
2,840
6,118
2,30
5,290
12,17
1,517
4,796
1,320
2,844
6,127
2,31
5,336
12,33
1,520
4,806
1,322
2,848
6,136
2,32
5,382
12,49
1,523
4,817
1,324
2,852
6,145
2,33
5,429
12,65
1,526
4,827
1,326
2,856
6,153
2,34
5,476
12,81
1,530
4,837
1,328
2,860
6,162
2,39
5,522
12,98
1,533
4,848
1,330
2,864
6,171
2,36
5,570
13,14
1,536
4,858
1,331
2,868
6,180
2,37
5,617
13,31
1,539
4,868
1,333
2,872
6,188
2,38
5,664
13,48
1,543
4,879
1,335
2,876
6,197
2,39
5,712
13,65
1,546
4,889
1,337
2,880
6,206
2,40
5,760
13,82
1,549
4,899
1,339
2,884
6,214
2,41
5,808
14,00
1,552
4,909
1,341
2,888
6,223
2,42
5,856
14,17
1,556
4,919
1,343
2,892
6,232
2,43
5,905
14,35
1,559
4,930
1,344
2,896
6,240
2,44
5,954
14,53
1,562
4,940
1,346
2,900
6,249
2,45
6,002
14,71
1,565
4,950
1,348
2,904
6,257
2,46
6,052
14,89
1,568
4,960
1,350
2,908
6,266
2,47
6,101
15,07
1,572
4,970
1,352
2,912
6,274
2,48
6,150
15,25
1,575
4,980
1,354
2,916
6,283
2,49
6,200
15,44
1,578
4,990
1,355
2,920
6,291
2,50
6,250
15,62
1,581
5,000
1,357
2,924
6,300
2,51
6,300
15,81
1,584
5,010
1,359
2,928
6,308
2,52
6,350
16,00
1,587
5,020
1,361
2,932
6,316
2,53
6,401
16,19
1,591
5,030
1,363
2,936
6,325
2,54
6,452
16,39
1,594
5,040
1,364
2,940
6,333
2,55
6,502
16,58
1,597
5,050
1,366
2,943
6,341
2,56
6,554
16,78
1,600
5,060
1,368
2,947
6,350
2,57
6,605
16,97
1,603
5,070
1,370
2,951
6,358
2,58
6.656
17,17
1,606
5,079
1,372
2,955
6,366
2,59
6.708
17,37
1,609
5.089
1,373
2,959
6,374
2,60
6,760
17,58
1,612
5,099
1,375
2,962
6,383
2,61
6,812
17,78
1,616
5,109
1,377
2,966
6,391
2,62
6,864
17,98
1,619
5,119
1,379
2,970
6,399
2,63
6,917
18,19
1,622
5,128
1,380
2,974
6,407
2,64
6,970
18,40
1,625
5,138
1,382
2,978
2 6,415
2,65
7,022
18,61
1,628
5,148
1,384
2,981
6,423
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
17
Продолжение
-
—
3-
3 7-—
3
n
п?
ns
yn
100
Vn
//10n
//100n
2,65
7,022
18,61
1,628
5,148
1,384
2,981
6,423
2,66
7,076
18,82
1,631
5,158
1,386
2,985
6,431
2,67
7,129
19,03
1,634
5,167
1,387
2,989
6,439
2,68
7,182
19,25
1,637
5,177
1,389
2,993
6,447
2,69
7,236
19,47
1,640
5,187
1,391
2,996
6,455
2,70
7,290
19,68
1,643
5,196
1,392
3,000
6,463
2,71
7,344
19,90
1,646
5,206
1,394
3,004
6,471
2,72
7,398
20,12
1,649
5,215
1,396
3,007
6,479
2,73
7,453
20,35
1,652
5,225
1,398
3,011
6,487
2,74
7,508
20,57
1,655
5,235
1,399
3,015
6,495
2,75
7,562
20,80
1,658
5,244
1,401
3,018
6,503
2,76
7,618
21,02
1,661
5,254
1,403
3,022
6,511
2,77
7,673
21,25
1,664
5,263
1,404
3,026
6,519
2,78
7,728
21,48 -
1,667
5,273
1,406
3,029
6,527
2,79
7,784
21,72
1,670
5,282
1,408
3,033
6,534
2,80
7,840
21,95
1,673
5,292
1,409
3,037
6,542
2,81
7,896
22,19
1,676
5,301
1,411
3,040
6,550
2,82
7,952
22,43
1,679
5,310
1,413
3,044
6,558
2,83
8,009
22,67
1,682
5,320
1,414
3,047
6,565
2,84
8,066
22,91
1,685
5,329
1,416
3,051
6,573
2,85
8,122
23,15
1,688
5,339
1,418
3,055
6,581,
2,86
8,180
23,39
1,691
5,348
1,419
3,058
| 6,589
2,87
8,237
23,64
1,694
5,357
1,421
3,062
6,596
2,88
8,294
23,89
1,697
5,367
1,423
3,065
6,604
2,89
8,352
24,14
1,700
5,376
1,424
3,069
6,611
2,90
8,410
24,39
1,703
5,385
1,426
3,072
6,619
2,91
8,468
24,64
1,706
5,394
1,428
3,076
6,627
2,92
8,526
24,90
1,709
5,404
1,429
3,079
6,634
2,93
8,585
25,15
1,712
5,413
1,431
3,083
6,642
2,94
8,644
25,41
1,715
5,422
1,433
3,086
6,649
2,95
8,702
25,67
1,718
5,431
1,434
3,090
6,657.
2,96
8,762
25,93
1,720
5,441
1,436
3,093
6,664
2,97
8,821
26,20
1,723
5,450
1,437
3,097
6,672 -
2,98
8,880
26,46
1,726
5,459
1,439
3,100
6,679
2,99
8,940
26,73
1,729
5,468
1,441
3,104
6,687
3,00
9,000
27,00
1,732
5,477
1,442
3,107
6,694
3,01
9,060
27,27
1,735
5,486
1,444
3,111
6,702
3,02
9,120
27,54
1,738
5,495
1,445
3,114
6,709
3,03
9,181
27,82
1,741
5,505
1,447
3,118
6,717
3,04
9,242
28,09
1,744
5,514
1,449
3,121
6,724
3,05
9,302
28,37
1,746
5,523
1,450
3,124
6,731
3,06
9,364
28,65
1,749.
5,532
1,452
3,128
6,739
3,07
9,425
28,93
1.752
5,541
1,453
3,131
6,746
3,08
9,486
29,22
1,755
5,550
1,455
3,135
6,753
"3,09
9,548
29.50
1,758
5,559
1,457
3,138
6,761
3,10
9,610
29,79
1,761
5,568
1,458
3,141
6,768
3,11
9,672
30,08
1,764
5,577
1.460
3,145
6,775
3,12
9,734
30,37
1,766
5,586
1,461
3,148
6,782
3,13
9,797
30,66
1,769
5,595
1,463
3,151
6,790
3,14
9,860
30,96
1,772
5,604
1.464
3,155
6.797
3,15
9,922
31,26
` 1,775
5,612
1.466
3,158
6,804
3,16
9,986
31,55
1,778
5,621
1,467
3,162
6,811
3,17
10,05
31,86
1,780
5,630
1,469
3,165
6,818
3,18
10,11
32,16
1,783
5,639
1,471
3,168
6,826
3.19
10,18
32.46
1,786
5,648
1.472 -.
3,171
6,833
3,20
10,24
32,77
1,789
5,657
1,474
3,175
6,840
18
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
n
n2
ns
Уп
V/10n
Vn
УД
1/1001
3,20
10,24
32,77
1,789
5,657
1,474
3,175
6,840
3,21
10,30
33,08
1,792
5,666
1,475
3,178
6,847
3,22
10,37
33,39
1,794
5,675
1,477
3,181
6,854
3,23
10,43
33,70
1,797
5,683
1,478
3,185
6,861
3,24
10,50
34,01
1,800
5,692
1,480
3,188
6,368
3,25
10,56
34,33
1,803
5,701
1,481
3,191
6.875
3,26
10,63
34,65
1,806
5,710
1,483
3,195
6,882
3,27
10,69
34,97
‚ 1808
5,718
1,484
3,198
6,889
3,28
10,76
35,29
1,811
5,727
1,486
3,201
6,896
3,29
10,82
35,61
1,814
5,736
1,487
3,204
6,903
3,30
10,89
35,94
1,817
5,745
1,489
3,208
6,910
3,31
10,96
36,26
1,819
5,753
1,490
3,211
6,917
3,32
11,02
36,59
1,822
5,762
1,492
3,214
6,924
3,33
11,09
36,93
1,825
5,171
1,493
3,217
6,931
3,34
11,16
37,26
1,828
5,779
1,495
3,220
6,938
3,35
11,22
37,60
1,830
5,788
1,496
3,224
6,945
3,36
11,29
37,93
1,833
5,797
1,498
3,227
6,952
3,37
11,36
38,27
1,836
5,805
1,499
3,230
6,959
3,38
11,42
38,61
1,838
5,814
1,501
3,233
6,966 -
3,39
11,49
38,96
1,841
5,822
1,502
3,236
6,973
3,40
11,56
39,30
1,844
5,831
1,504
3,240
6,980
3,41
11,63
39,65
1,847
5,840
1,505
3,243
6,986
3,42
11,70
40,00
1,849.
5,848
1,507
3,246
6,993
3,43
11,76
40,35
1,852
5,857
1,508
3,249
7,000
3,44
11,83
40,71
1,855
5,865
1,510
3,252
7.007
3,45
11,90
41,06
1,857
5,874
1,511
3,255
7,014
3,46
11,97
41,42
1,860
5,882
1,512
3,259
7,020
3,47
12,04
41,78
1,863
5,891
1,514
3,262
7,027
3,48
12,11
42,14
1,865
5,899
1,515
3.265
7,034
3,49
12,18
42,51
1,868
5,908
1,517
3,268
7,041
3,50
12,25
42,88
1,871
5,916
1,518
3,271
7,047
3,51
12,32
- 43,24
1,873
5,925
1,520
3,274
7,054
3,52
12,39
43,61
1,876.
5,933
1,521
3,277
7,061
3,53
12,46
43,99
1,879
5,941
1,523
3,280
7,067
3,54
12,53
4436
1,881
5,950
1,524
3,283
7,074
3,55
12,60
44,74
1,884
5,958
1,525
3,287
7,081
3,56
12,67
45,12
1,887
5,967
1,527
3,490
7,087
3,57
12,74
45,50
1,889
5,975
1,528
3,293
7,094
3,58
12,82
45,88
1,892
5,983
1,530
3,296
7,101
3,59
12,89
46,27
1,895
5,992
1,531
3,299
7,107
3,60
12,96
46,66
1,897
6,000
1,533
3,302
7,114
3,61
13,03
47,05
1,900
6,008
1,534
3,305
7,120
3,62
13,10
47,44
1,903
6,017
1,535
3,308
7,127
3,63
13,18
47,83
1,905
6,025
1,537
3,31
7,133
3,64
13,25
48,23
1,908
6,033
1,538
3,314
7,140
3,65
13,32
48,63
1,910
6,042
1,540
3,317
7,147
3,66
13,40
49,03
1,913
6,050
1,541
3,320
7,153
3,67
13,47
49,43
1,916
6,058
1,542
3,323
7,160
3,68
13,54
49,84
1,918
6,066
1,544
3,326
7,166
3,69
13,62
50,24
1,921
6,075
1,545
3,329
7,173
3,70
13,69
50,65
1,924
6,083
1,547
3,332
7,179
3,71
13,76
51,06
1,926
6,091
1,548
3,335
7,186
3,72
13,84
51,48
1,929
6,099
1,549
3,338
7,192
3,73
13,91
51,90
1,931
6,107
1,551
3,341
7,198
3,74
13,99
52,31
1,934
6,116
1,552
3,344
7,205
3,75
14,06
52,73
1,936
6,124
1,554
3,347
7,211
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
19
Продолжение
п
п?
n3
Ув
10n
Ил
/10n
/100n
3,75
14,06
52,73
1,936
6,124
1,554
3,347
7,211
3,76
14,14
53,16
1,939
6,132
1,555
3,350
7,218
3,77
14,21
53,58
1,942
6,140
1,556
3,353
7,224
3,78
14,29
54,01
1,944,
6,148
1,558
3,356
7,230
3,79
14,36
54,44
1,947
6,156
1,559
3,359
7,237
3,80
14,44
54,87
1,949
6,164
1,560
3,362
7,243
3,81
14,52
55,31
1,952
6,173
1,562
3,365
7,250
3,82
14,59
55,74
1,954
6,181
1,563
3,368
7,256
3,83
14,67
56,18
1,957
6,189
1,565
3,371
7,262
3,84
14,75
56,62
1,960
6,197
1,566
3,374
7,268
3,85
14,82
57,07
1,962
6,205
1,567
3,377
7,275
3,86
14,90
57,51
1,965
6,213
1,569
3,380
7,281
3,87
14,98
57,96
1,967
6,221
1,570
3,382
7,287
3,88
15,05
58,41
1,970
6,229
1,571
3,385
7,294
3,89
15,13
58,86
1,972
6,237
1,573
3,388
7,300
3,90
15,21
59,32
1,975
6,245
1,574
3,391
7,306
3,91
15,29
59.78
1,977
6,253
1,575
3,394
7,312
3,92
15,37
60,24
1,980
6,261
1,577
3,397
7,319
3,93
15,44
60,70
1,982
6,269
1,578
3,400
7,325
3,94
15,52
61,16
1,985
6,277
1,579
3,403
7,331
3,95
15,60
61,63
1,987
6,285
1,581
3,406
7,337
3,96
15,68
62,10
1,990
6,293
1,582
3,409
7,343
3,97
15,76
62,57
1,992
6,301
1,583
3,411
7,350
3,98
15,84
63,04
1,995
6,309
1,585
3,414
7,356
3,99
15,92
63,52
1,997
6,317
1,586
3,417
7,362
4,00
16;00
64,00
2,000
6,325
1,587
3,420
7,368
4,01
16,08
64,48
2,002
6,332
1,589
3,423
7,374
4,02
16,16
64,96
2,005
6,340
1,590
3,426
7,380
4,03
16,24
65,45
2,007
6,348
1,591
3,428
7,386
4,04
16,32
65,94
2,010
6,356
1,593
3,431
7,393
4,05
16,40
66,43
2,012
6,364
1,594
3,434
7,399
4,06
16,48
66,92
2,015
6,372
1,595
3,437
7,405
4,07
16,56
67,42
2,017
6,380
1,597
3,440
7,411
4,08
16,65
67,92
2,020
6,387
1,598
3,443
7,417
4,09
16,73
68,42
2,022
6,395
1.599
3,445
7.423
4,10
16,81
68,92
2,025
6,403
1,601
3,448
7,429
4,11
16,89
69,43
2,027
6,411
1,602
3,451
7,435
4,12
16,97
69,93
2,030
6,419
1,603
3,454
7,441
4,13
17,06
70,44
2,032
6,427
1,604
3,457
7,447
4,14
17,14
70,96
2,035
6,434
1,606
3,459
7,453
4,15
17,22
71,47
2,037
6,442
1,607
3,462
7,459
4,16
17,31
71,99
2,040
6,450
1,608
3,465
7,465
4,17
17,39
72,51
2,042
6,458
1,610
3,468
7,471
4,18
17,47
73,03
2,045
6,465
1,611
3,471
7,477
4,19
17,56
73,56
2,047
6,473
1,612
3,473
7,483
4,20
17,64
74,09
2,049
6,481
1,613
3,476
7,489
4,21
17,72
74,62
2,052
6,488
1,615
3,479
7,495
4,22
17,81
75,15
2,054
6,496
1,616
3,482
7,501
4,23
17,89
75,69
‘2,057
6,504
1,617
3,484
7,507
4,24
17,98
76,23
2,059
6,512
1,619
3,487
7,513
4,25
18,06
76,77
2,062
6,519
1,620
3,490
7.518
4,26
18,15
77,31
2,064
6,527
1,621
3,493
7,524
4,27
18,23
77,85
2.066
6.535
1.622
3.495
7.530
4,28
18,32
78.40
2.069
6,545
1.624
3.495
7.236
4,29
18,40)
78,95
2.07:
ene
1.028
moa
ae
4,30
18,49
79,51
2,074
6,557
1,626
3,503 | 7.548
20
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
п?
n>
Ил
10n
Vn
У
/100n
4,30
18,49
79,51
2,074
6,557
1,626
3,503
7,548
431
18,58
80,06
2,076
6,565
1,627
3,506
7,554
4,32
18,66
80,62
2.078
6,573
1,629
3,509
7,560
4,33
18,75
81,18
2,081
6,580
1,630
3,512
7,565
4,34
18,84
81,75
2,083
6,588
1,631
3,514
7,571
4,35
18,92
82.31
2,086
6,595
1,632
3,517
7,577
4,36
19,01
82,88
2,088
6,603
1,634
3,520
7,583
4,37
19,10
83,45
2,090
6,611
1,635
3,522
7,589
4,38
19,18
84.03
2,093
6,618
1,636
3,525
7,594
4,39
19.27
84,60
2,095
6,626
1,637
3,528
7,600
4,40
19,36
85,18
2,098
6,633
1,639
3,530
7,606
4Al
19,45
85,77
2,100
6,641
1,640
3,533
7,612
4,42
19,54
86,35
2,102
6,648
1,641
3,536
7,617
443
19,62
86,94
2,105
6,656
1,642
3,538
7,623
4A4
19,71
87,53
2,107
6,663
1,644
3,541
7,629
4,45
19,80
88,12
2,110
6,671
1,645
3,544
7,635
4,46
19,89
88,72
2,112
6,678
1,646
3,546
7,640
4,47
19,98
89,31
2114.
6,686
1,647
3,549
7,646
4,48
20,07
89,92
2,117
6,693
1,649
3,552
7,652
4,49
20,16
90,52
2,119
6,701
1,650
3,554
7,657
4,50
20,25
91,12
2,121
6,708
1,651
3,557
7,663
4,51
20,34
91,73
2,124
6,716
1,652
3,560
7,669
4,52
20,43
92,35
2,126
6,723
1,653
3,562
7,674
4,53
20,52
92,96
2,128
6,731
1,655
3,565
7,680
4,54
20,61
93,58
2,131
6,738
1,656
3,567
7,686
4,55
20,70
94.20
2,133
6,745
1,657
3,570
7,691
4,56
20,79
94,82
2,135
6,753
1,658
3,573
7,697
4,57
20,88
95.44
2,138
6,760
1,659
3,575
7,703
4,58
20,98
96,07
2,140
6,768
1,661
3,578
7,708
4,59
21,07
96,70
2,142
6,775
1,662
3,580
7,714
4,60
21,16
97,34
2,145
6,782
1,663
3,583
7,719
4,61
21,25
97,97
2,147
6,790
1,664
3,586
7,725
462
21,34
98,61
2,149
6,797
1,666
3,588
7,731
4,63
21,44
99,25
2,152
6,804
1,667
3,591
7,736
464
21,53
99,90
2,154
6,812
1,668
3,593
7,742
4,65
21,62
100,5
2,156
6,8 19
1,669
3,596
7,747
4,66
21,72
101.2
2,159
6,826
1,670
3,599
7,753
467
21,81
101,8
2,161
6,834
1,671
3,601
7,758
468
21,90
102,5
2,163
6,841
1,673
3,604
7,164
4,69
22.00
103,2
2,166
6,848
1,674
3,606
7,769
4,70
22,09
103,8
2,168
6,856,
1,675
3,609
7,775
471
22,18
104,5
2,170
6,863
1,676
3,611
7,780
4,72.
22,28
105,2
2,173
6,870
1,677
3,614
7,786
473
22,37
105,8
2,175
6,877
1,679
3,616
7,791
474
22,47
106,5
2,177
6,885
1,680
3,619
7,797
4,75
22,56
107,2
2,179
6,892
1,681
3,622
7,802
4,76
22,66
107,9
2,182
6,899
1,682
3,624
7,808
477
22,75
108,5
2,184
6,907
1,683
3,627
7,813
4,78
22,85
109,2
2,186
6,914
1,685
3,629
7,819
4,79
22,94
109.9
2,189
6,921
1,686
3,632
7,824
4,80
23,04
110,6
2,191
6,928
1,687
3,634
7,830
481
23,14
1113
2,193
6,935
1,688
3,637
7,835
4,82
23,23
112.0
2,195
6,943
1,689
3,639
7,841
483
23,33
1127
2,198
6,950
1,690
3,642
7,846
484
23,43
113,4
2,200
6,957
1,692
3,644
7,851
4,85
23,52
1141
2,202
6,964
1,693
3,647
7,857
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
21
Продолжение
—
—
3
37
3"
n
n2
ns
Уп
И10п
Ил
//10n
//100n
4,85
23,52
114,1
2,202
6,964
1,693
3,647
7,857
4,86
23,62
114,8
2,205
6,971
1,694
3,649
7,862
4,87
23,72
115,5
2,207
6,979
1,695
3,652
7,868
4,88
23,81
116,2
2,209
6,986
1,696
3,654
7,873
4,89
23,91
116,9
2,211
6,993
1,697
3,657
7,878
4,90
24,01
117,6
2,214
7,000
1,698
3,659
7,884
4,91
24,11
118,4
2,216
7,007
1,700
3,662
7,889
4,92
24,21
119,1
2,218
7,014
1,701
3,664
7,894
4,93
24,30
119,8
2,220
7,021
1,702
3,667
7,900
4,94
24,40
120,6
2,223
7,029
1,703
3,669
7,905
4,95
24,50
121,3
2,225
7,036
1,704
3,672
7,910
4,96
24,60
122,0
2,227
7,043
1,705
3,674
7,916
4,97
24,70
122,8
2,229
7,050.
1,707
3,677
7,921
4,98,
24,80
123,5
2,232
7,057
1,708
3,679
7,926
4,99
24,90
124,3
2,234
7,064
1,709
3,682
7,932
5,00
25,00
125,0
2,236
7,071
1,710
3,684
7,937
5,01
25,10
125,8
2,238
7,078
1,711
3,686
7,942
5,02
25,20
126,5
2,241
7,085
1,712
3,689
7,948
5,03
25,30
127,3
2,243
7,092
1,713
3,691
7,953
5,04
25,40
128,0
2,245
7,099
1,715
3,694
7,958
5,05
25,50
128,8
2,247
7,106
1,716
3,696
7,963
5,06
25,60
129,6
2,249
7,113
1,717
3,699
` 7,969
5,07
25,70
130,3
2,252
7,120 `
1,718
3,701
7,974
5,08
25,81
131,1
2,254
7,127
1,719
3,704
7,979
5,09
25,91
131,9
2,256
7,134
1,720
3,706
7,984
5,10
26,01
132,7
2,258
7,141
1,721
3,708
7,990
5,11
26,11
133,4
2,261
7,148
1,722
3,711
7,995
5,12
26,21
134,2
2,263
7,155
1,724
3,713
8,000
5,13
26,32
135,0
2,265
7,162
1,725
3,716
8,005
5,14
26,42
135,8
2.267
7,169
1,726
3,718
8,010
5,15
26,52
136,6
2,269
7,176
1,727
3,721
8,016
5,16
26,63
137,4
2,272
7,183
1,728
3,723
8,021
5,17
26,73
138,2
2,274
7,190
1,729
3,725
8,026
5,18
26,83
139,0
2,276
7,197
1,730
3,728
8,031
5,19
26,94
139,8
2,278
7,204
1,731
3,730
8,036
5,20
27,04
140,6
2,280
7,211
1,732
3,733
8,041
5,21
о 27,14
141,4
2,283
7,218
1,734
3,735
8,047
5,22
27.25
142.2
2,285
7,225
1,735
3,737
8,052
5,23
27,35
143,1
2,287
7,232
1,736
3,740
8,057
5,24
27.46
143,9
2.289
7,239
1,737
3,742
8,062
5,25
27.56.
144,7
2,291
7,246
1,738
3,744
8,067
5,26
27,67
145,5
2,293
7,253
1,739
3,747
8,072
5,27
27,77
146,4
2,296
7,259
1,740
3,749
8,077
5,28
27,88
147,2
2,298
7,266
1,741
3,752
8,082
5,29
27,98.
148,0
2,300
7,273
1,742
3,754
8,088
5,30
28,09
148,9
2,302
7,280
1,744
3,756
8,093
5,31
28,20
149,7
2,304
7,287
1,745
3,759
8,098
5,32
28,30
150,6
2,307
7,294
1,746
3,761
8,103
5,33
28,41
151,4
2,309
7,301
1,747
3,763
8,108
5,34
28,52
152,3
2,311
7,308
1,748
3,766
8,113
5,35
28,62
153,1
2,313
7,314
1,749
3,768
8,118
5,36
28,73
154,0
2,315
7,321
1,750
3,770
8,123
5,37
28,84
154,9
2,317
7,328
1,751
3,773
8,128
5,38
28,94
155,7
2,319
7,335
1,752
3,775
8,133
5,39
29,05
156,6
2,322
7,342
1,753
`3,777
8,138
5,40
29,16
157,5
2,324
7,348
1,754
3,780
8,143 °
22
` ТАБЛИЦЫ
Продолжение
—.
—
3-
3
3 ;-——
n
ne
ns
Уп
V/10n
n
V/10n
//100n
5,40
29,16
157,5
2,324
7,348
1,754
3,780
8,143
5,41
29,27
158,3
2,326
7,355
1,755
3,782
8,148
5,42
29,38
159,2
2,328
7,362
1,757
3,784
8,153
5,43
29,48
160, 1-
2,330
7,369
1,758
3,787
8,158
5,44
29,59
161,0
2,332
7,376
1,759
3,189
8,163
5,45
29,70
161,9
2,335
7,382
1,760
3,791
8,168
5,46
29,81
162,8
2,337
7,389
1,761
3,794
8,173
5,47
29,92
163,7
2,339
7,396
1,762
3,796
8,178
5,48
30,03
164,6
2,341
7,403
1,763
3,798
8,183
5,49
30,14
165,5
2,343
7,409
1,764
3,801
8,188
5,50
30,25
166,4
2,345
7,416
1,765
3,803
8,193
5,51
30,36
167,3
2,347
7,423
1,766
3,805
8,198
5,52
30,47
168,2
2,349
7,430
1,767
3,808
8,203
5,53
30,58
169,1
2,352
7,436
1,768
3,810
8,208
5,54
30,69
170,0
2,354
7,443
1,769
3,812
8,213
5,55
30,80
171,0
2,356
7,450
1,771
3,814
8,218
5,56.
30,91
171,9
2,358
7.457
1,772
3,817
8,223
5,57
31,02
172,8
2,360
7,463
1,773
3,819
8,228
5,58
31,14
173,7
2,362
7.470
1,774
3,821
8,233
5,59
31,25
174,7
2,364
7,477
1,775
3,824
8,238
5,60
31,36
175,6
2,366
7,483
1,776
3,826
8,243
5,61
31,47
176,6
2,369
7,490
1,777
3,828
8,247
5,62
31,58
177,5
2,371
7,497
1,778
3,830
8,252
5,63
31,70
178,5
2,373
7,503
1,779
3,833
8,257
5,64
31,81
179,4
2,375
7,510
1,780
3,835
8,262
5,65
31,92
180,4
2,377
7,517
1,781
3,837
8,267
5,66
32,04
181,3
2,379
7,523
1,782
3,839
8,272
5,67
32,15
182,3
2,381
7,530
1,783
3,842
8,277
5,68
32,26
183,3
2,383
7,537
1,784
3,844
8,282
5,69
32,38
184,2
2,385
7,543
1,785
3,846
8,286
5,70
32,49
185,2
2,387
7,550
1,786
3,849
8,291
5,71
32,60
186,2
2,390
7,556
1,787
3,851
8,296
5,72
32,72
187,1
2,392
7,563
1,788
3,853
8,301
5,73
32,83
188,1
2,394
7,570
1,789
3,855
8,306
5,74
32,95
189,1
2,396
7,576
1,790
3,857
8,311
5,15
33,06
190,1
2,398
7,583
1,792.
3,860
8,316
5,76
33,18
191,1
2,400
7,589
1,793
3,862
8,320
5,77
33,29
192,1
2,402
7,596
1,794
3,864
8,325
5,78
33,41
193,1
2,404
7,603
1,795
3,866
8,330
5,79
33,52
194,1
2,406
7,609
1,796
3,869
8,335
5,80
33,64
195,1
2,408
7,616
1,797
3,871
8,340
5,81
33,76
196,1
2,410
7,622
1,798
3,873
8,344
5,82
33,87
197,1
2,412
7.629
1,799
3,875
8,349
5,83
33,99
198,2
2,415
7,635
1,800
3,878
8,354
5,84
34,11
199,2
2,417
7,642
1,801
3,880
8,359
5,85
34,22
200,2
2,419
7,649
1,802
3,882
8,363
5,86
34,34
201,2
2,421
7,655
1,803
3,884
8,368
5,87
34,46
202,3
2,423
7,662
1,804
3,886
8,373
5,88
34,57
203,3
2,425
7,668
1,805
3,889
8,378
5,89
34,69
204,3
2,427
7,675
1,806
3,891
8,382
5,90
34,81
205,4
2,429
7.681
1,807
3,893
8,387
5,91
34,93
206,4
2,431
7,688
1,808
3,895
8,392
5,92
35,05 .
207,5
2,433
7,694
1,809
3,897
8,397
$,93
35,16
208,5
2,435
7,701
1,810
3,900
8,401
5,94
35,28
209,6
2,437
7,707
1,811
3,902
8,406
5,93
35,40
201,6
2,439
7,714
1,812
3,904
8,41 1
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
23
Продолжение
—
—
3
3
3
п
п?
nm
yn
V/10n
Ин
И10
100n
5,95
35,40
210,6
2,439
7,714
1,812
3,904
8,411
5,96
35,52
211,7
2,441
7,720
1,813
3,906
8,416
5,97
35,64
212,8
2,443
7,727
1,814
3,908
8,420
5,98
35,76
213,8
2,445
7,733
1,815
3,911
8,425
5,99
35,88
214,9
2.447
7,740
1,816
3,913
8,430
6,00
36,00
216,0
2,449
7,746
1,817
3,915
8,434
6,01
36,12
217,1
2,452
7,752
1,818
3,917
8,439
6,02
36,24
218,2
2,454
7,759
1,819
3,919
8,444
6,03
36,36
219,3
2,456
7,765
1,820
3,921
8,448
6,04
36,48
220,3
2,458
7,772
1,821
3,924
8,453
6,05
36,60
221,4
2,460
7,778
1,822
3,926
8,458
6,06
36,72
222,5
2,462
7,785
1,823
3,928
8,462
6,07
36,84
223,6
2,464
7,791
1,824
3,930
8,467
6,08
36,97
224,8
2,466
7,797
1,825
3,932
8,472
6,09
37,09
225,9
2,468
7.804
1,826
3,934
8,476
6,10
37,21
227,0
2,470
7,810
1,827
3,936
8,481
6,11
37,33
228,1
2,472
7,817
1,828
3,939
8,486
6,12
37,45
229,2
2,474
7,823
1,829
3,941
8,490
6,13
37,58
230,3
2,476
7,829
1,830
3,943
8,495
6,14
37,70
231,5
2,478
7,836
1,831
3,945
8,499
6,15
37,82
232,6
2,480
7,842
1,832
3,947
8,504
6,16
37,95
233,7
2,482
7,849
1,833
3,949
8,509
6,17
38,07
234,9
2,484
7,855
1,834
3,951
8,513
6,18
38,19
236,0
2,486
7,861
1,835
3,954
8,518
6,19
38,32
237,2
2,488
7,868
1,836
3,956
8,522
6,20
35.44
238,3
2,490
7,874
1,837
3,958
8,527
6,21
38,56
239,5
2,492
7,880
1,838
3.960
8,532
6,22
38,69
240,6
2,494
7,887
1,839
3,962
8,536
6,23
38,81
241,8
2,496
7,893
1,840
3,964
8,541
6,24
38,94
243,0
2,498
7,899
1,841
3,966
8,545
6,25
39,06
244,1
2,500
7,906
1,842
3,969
8,550
6,26
39,19
245,3
2,502
7,912
1,843
3,971
8,554
6,27
39,31
246,5
2,504
7,918
1,844
3,973
8,559
6,28
39,44
247,7
2,506
7,925
1,845
3.975
8,564
6,29
39.56
248,9
2,508
7,931
1,846
3,977
8,568
6,30
39,69
250,0
2,510
7,937
1,847
3,979
8,573
6,31
39,82
251,2
2,512
7.944
1,848
3,981
8,577
6,32
39,94
252,4
2,514
7,950
1,849
3,983
8,582
6,33
40,07
253,6
2,516
7.956
1,850
3,985
8,586
6,34
40,20
254,8
2,518
7,962
1,851
3,987
8,591
6,35
40,32
256,0
2,520
7,969
1,852
3,990
8.595
6,36
40,45
257,3
2,522
7,975
1,853
3,992
8,600
6,37 °
40,58
258,5
2,524
7,981
1,854
3,994
8,604
6,38
40,70
259,7
2,526
7,987
1,855
3,996
8,609
6,39
40,83
260,9
2,528
7.994
1,856
3.998
8.613
6.40
40,96
262, 1
2,530
8,000
1,857
4,000
8,618
6,41
41,09
263.4
2,532
8.006
1,858
4,002
8.622
6,42
41,22
264,6
2,534
8,012
1,859
4,004
8.627
6,43
41,34
265,8
2,536
8.019
1,860
4,006
8.631
6.44
41,47
267,1
2,538
8,025
1,860
4.008
8.636
6,45
41,60
268,3
2,540
8,031
1,861
4.010
8.640
6,46
41,73
269,6
2.542
8,037
1,862.
4,012
8.645
6,47
41,86
270,8
2,544
8,044
1,863
4,015
8.649
6,48
41,99
272.1
2.546
8,050
1,864
4,017
8,653
6,49
42,12
273,4
2,548
8,056
1,865
4.019
8.658
6.50
42,25
274.6
2,550
8.062
1,866
4,021
8,662
24
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
п?
пз
yn
10n
Ул
/10n
i/100n
6,50
42,25
274,6
2,550
8,062
1.866
4,021
8.662
6,51
42,38
275,9
2,551
8,068
1,867
4,023
8,667
6,52
42,51
277,2
2,553
8,075
1,868
4,025
8,671
6,53
42,64
278,4
2,555
8,081
1,869
4,027
8,676
6,54
42,77
279,7
2,557
8,087
1,870
4,029
8,680
6,55
42,90
281,0
2,559
8,093
1,871
4,031
8,685
6,56
43,03
282,3
2,561
8,099
1,872
4,033
8,689
6,57
43,16
283,6
2,563
8,106
1,873
4,035
8,693
6,58
43,30
284,9
2,565
8,112
1,874
4,037
8,698
6,59
43,43
286,2
2,567
8,118
1,875
4,039
8,702
6,60
43,56
287,5
2,569
8,124
1,876
4,041
8,707
6,61
43,69
288,8
2,571
8,130
1,877
4,043
8,711
6,62
43,82
290,1
2,573
8.136
1,878
4,045
8,715
6,63
43,96
291,4.
2,575
8,142
1,879
4,047
8,720
6,64
44,09
292,8
2,577
8,149
1,880
4,049
8,724
6,65
44,22
294,1
2,579
8,155
1,881
4,051
8,729
6,66
44,36
295,4
2,581
8,161
1,881
4,053
8,733
6,67
44,49
296,7
2,583
8,167
1,882
4,055
8,737
6,68
44,62
298,1
2,585
8,173
1,883
4,058
8, 742
6,69
44,76
299,4
2,587
8,179
1,884
4,060
8,746
6,70
44,89
300,8
2,588
8,185
1,885
4,062
8,750
6,71
45,02
302,1
2,590
8,191
1,886
4,064
8,755
6,72
45,16
303,5
2,592
8,198
1,887
4,066
8,759
6,73
45,29
304,8
2,594
8,204
1,888
4,068
8,763
6,74
45,43
306,2
2,596
8,210
1,889
4,070
8,768
6,75
45,56
307,5
2,598
8,216
1,890
4,072
8,772
6,76
45,70
308,9
2,600
8,222
1,891
4,074
8,776
6,77
45,83
310,3
2,602
8,228
1,892
4,076
8,781
6,78
45,97
311,7
2,604
8,234
1,893
4,078
8,785
6,79
46,10
313,0
2,606
8,240
1,894
4,080
8,789
6,80
46,24
314,4
2,608
8,246
1,895
4,082
8,794
6,81
46,38
315,8
2,610
8,252
1,895
4,084
8,798
6,82
46,51
317,2
2,612
8,258
1,896
4,086
8,802
6,83
46,65
318,6
2,613
8,264
1,897
4,088
8,807
6,84:
46,79
320,0
2,615
8,270
1,898
4,090
8,811
6,85
46,92
321,4
2,617
8,276
1,899
4,092
8,815
6,86
47,06
322,8
2,619
8,283
1,900
4,094
8,819
6,87
47,20
324,2
2,621
8,289
1,901
4,096
8,824
6,88
47,33
325,7
2,623
8,295
1,902
4,098
8,828
6,89
47,47
327,1
2,625
8,301
1,903
4,100
8,832.
6,90
47,61
328,5
2,627
8,307
1,904
4,102
8,837
6,91
47,75
329,9
2,629
8,313
1,905
4,104
8,841
6,92
47,89
331,4
2,631
8,319
1,906
4,106
8,845
6,93
48,02
332,8
2,632
8,325
1,907
4,108
8,849
6,94
48,16
334,3
2,634
8,331
1,907
4,109
8,854
6,95
48,30
335,7
2,636
8,337
1,908
4,111
8,858
6,96
48,44
337,2
2,638
8,343
1,909
4,113
8,862
6,97
48,58
338,6
2,640
8,349
1,910
4,115
8,866
6,98
48,72
340,1
2,642
8,355
1,911
4,117
8,871
6,99
48,86
341,5
2,644
8,361
1,912
4,119
8,875
7,00
49,00
343,0
2,646
8,367
1,913
4,121
8,879
7,01
49,14
344,5
2,648
8,373
1,914
4,123 .
8,883
7,02
49,28
345,9
2,650
8,379
1,915
4,125
8,887
7,03
49,42
347,4
2,651
8,385
1,916
4,127
8,892
7,04
49,56
348,9
2,653
8,390
1,917
4,129
8,896
7,05
49,70
350,4
2,655
8,396
1,917
4,131
8,900
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
25
Продолжение
п
п?
ns
Ил
10n
уп
//10n
) 100n
7,05
49,70
350,4
2,655
8,396
1,917
4,131
8,900
7,06
49,84
351,9
2,657
8,402
1,918
4,133
8,904
7,07
49,98
353,4
2,659
8,408
1,919
4,135
8,909
7,08
50,13
354,9
2,661
8,414
1,920
4,137
8,913
7,09
50,27
356,4
2,663
8,420
1,921
4,139
8,917
7,10
50,41
357,9
2,665
8,426
1,922
4,141
8,921
7,11
50,55
359,4
2,666
8,432
1,923
4,143
8,925
7,12
50,69
360,9
2,668
8,438
1,924
4,145
8,929
7,13
50,84
362,5
2,670
8,444
1,925
4,147
8,934
7,14
50,98
364,0
2,672
8,450
1,926
4,149
8,938
7,15
51,12
365,5
2,674
8,456
1,926
4,151
8,942
7,16
51,27
367,1
2,676
8,462
1,927
4,152
8,946
7,17
51,41
368,6
2,678
8,468
1,928
4,154
8,950
7,18
51,55
370,1
2,680
8,473
1,929
4,156
8,955
7,19
51,70
371,7
2,681
8,479
1,930
4,158
8,959
7,20
51,84
373,2
2,683
8,485
1,931
4,160
8,963
7,21
51,98
374,8
2,685
8,491
1,932
4,162
8,967
7,22
52,13
376,4
2,687
8,497
1,933
4,164
8,971
7,23
52,27
377,9
2,689
8,503
1,934
4,166
8,975
7,24
52,42
379,5
2,691
8,509
1,935
4,168
8,979
7,25
52,56
381,1
2,693
8,515
1,935
4,170
8,984
7,26
52,71
382,7
2,694
8,521
1,936
4,172
8,988
7,27
52,85
384,2
2,696
8,526
1,937
4,174
8,992
7,28
53.00
385,8
2,698
8.532
1,938
4,176
8,996
7,29
53,14
387,4
2,700
8,538
1,939
4,177
9,000
7,30
53,29
389,0
2,702
8,544
1,940
4,179
9,004
7,31
53,44
390,6
2,704
8.550
1,941
4,181
9,008
7,32.
53,58
392,2
2,706
8,556
1,942
4,183
9,012
7,33
53,73
393,8
2,707
8,562
1,943
4,185
9,016
7,34
53,88
395,4
2,709
8,567
1.943
4,187
9,021
7,35
54,02
397,1
2,711
8,573
1,944
4,189
9.025
7,36
54,17
398,7
2,713
8,579
1,945
4,191
9,029
7,37
54,32
400,3
2,715
8,585
1,946
4,193
9,033
7,38
54,46
401,9
2,717
8,591
1,947
4,195
9,037
7,39
54,61
403,6
2,718
8,597
1,948
4,196
9,041
7,40
54,76
405,2
2.720
8,602
1,949
4,198
9,045
7,41
54.91
406,9
2,722
8,608
1,950
4,200
9,049
7,42
55,06
408,5
2,724
8,614
1,950
4,202
9,053
7,43
55,20
410,2
2,726
8,620
1.951
4.204
9,057
7,44
55,35
411,8
2,728
8,626
1,952
4,206
9.061
7,45
55,50
413,5
2,729
8,631
1,953
4,208
9,065
7,46
55,65
415,2
2,731
8,637
1,954
4,210
9,069
7,47
55,80
416,8
2,733
8,643
1.955
4,212
9,073
7,48
55.95
418,5
2,735
8,649
1,956
4.213
9.078
7,49
56,10
420,2
2,737
8,654
1,957
4.215
9.082
7,50
56,25
421,9
‘2,739
8,660
1,957
4,217
9,086
7,51
56,40
423,6
2,740
8,666
1,958
4,219
9,090
7,52
56,55
425,3
2,742
8.672
1,959
4,221
9,094
7,53
56,70
427.0
2.744
8.678
1.960
4,223
9,098
7,54
56,85
428,7
2.746
8,683
1.961
4.225
9.102
7,55
57,00
430,4
2,748
8.689
1,962
4,227
9,106
7,56
57,15
432,1
2,750
8.695
1,963
4,228
9,110
7,57
57,30
433,8
2,751
8,701
1,964
4,230
9,114
7,58
57,46
435,5
2,753
8,706
1.964
4,232
9,118
7,59
57,61
437,2
2,755
8,712
1,965
4,234
9,122
7,60
57,76
439,0
2,757
8,718
1,966
4,236
9,126
26
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
п?
пз
Уп
V10n
Ул
/10n
//100n
7,60
57,76
439,0
2,757
8,718
1,966
4,236
9,126
7,61
57,91
440,7
2,759
8,724
1,967
4,238
9,130
7,62
58.06
442,5
2,760
8,729
1,968
4,240
9,134
7.63
58,22
444,2
2.762
8,735
1.969
4,241
9,138
7.64
58,37
445.9
2,764
8,741
1,970
4,243
9,142
7,65
58,52
447,7
2,766
8,746
1,970
4,245
9,146
7.66
58,68
449,5
2,768
8,752
1,971
4,247
9,150
7,67
58,83
451,2
2,769
8,758
1,972
4,249
9,154
7,68
58,98
453,0
2,771
8,764
1,973
4,251
9,158
7,69
59,14
454.8
2,773
8.769
1,974
4,252
9,162
7,70
59,29
456,5
2,775
8,775
1,975
4,254
9,166
7,71
59,44
458,3
2,777
8,781
1,976
4,256
9,170
7,72
59,60
460,1
2,778
8,786
1,976
4,258
9,174
7,73
59,75
461,9
2.780
8,792
1,977
4,260
9,178
7,74
59,91
463,7
2,782
8,798
1,978
4,262
9,182
7,75
60,06
465,5
2,784
8,803
1,979
4,264
9,185
7,76
60,22
467,3
2.786
8.809
1,980
4,265
9,189
7,77
60,37
469,1
2,787
8.815
1,981
4.267
9,193
7,78
60,53
470,9
2,789
8.820
1,981
4,269
9,197
7,79
60,68
472,7
2,791
8,826
1,982
4,271
9,201
7,80
60,84
474,6
2,793
8,832
1,983
4,273
9.205
7,81
61,00
476,4
2,795
8.837
1,984
4.274
9,209
7,82
61,15
478.2
2.796
8,843
1,985
4,276
9,213
7,83
61,31
480,0
2,798
8,849
1,986
4.278
9,217
7,84
61.47
481,9
2.800
8.854
1.987
4,280
9,221
7,85
61,62
483.7
2.802
8.860
1,987
4,282
9,225
7,86
61,78
485,6
2,804
8,866
1,988
4,284
9,229
7,87
61,94
487.4
2,805
8,871
1,989
4,285
9,233
1,88
62,09
489,3
2,807
8,877
1,990
4.287
9,237
7,89
62,25
491,2
2,809
8,883
1,991
4,289
9,240
7,90
62,41
493,0
2.811
8,888
1,992
4.29]
9.244
7,91
62,57
494.9
2,812
8.894
1,992
4,293
9,248
7,92
62,73
496,8
2,814
8,899
1,993
4,294
9,252
7,93
62,88
498,7
2,816
8.905
1,994
4.296
9.256
7,94
63,04
500.6
2,818
8.911.
1,995
4.298
9,260
7,95
63,20
502,5
2,820
8.916
1,996
4,300
9,264
7,96
63,36
504,4
2,821
8,922
1,997
4.302
9,268
7,97
63,52
506,3
2.823
8.927
1,997
4,303
9,272
7,98
63,68
508.2
2,825
8,933
1.998
4,305
9,275
7,99
63,84
510.1
2,827
8,939
1,999
4,307
9.279
8,00
64,00
512,0
2.828
8.944
2.000
4,309
9,283
8,01
64,16
513,9
2,830
8,950
2,001
4311
9,287
8,02
64,32
515,8
2.832
8,955
2.002
4,312
9,29]
8,03
64,48
517,8
2,834
8.961
2.002
4,314
9,295
8,04
64,64
519,7
2.835
8.967
2.003
4,316
9.299
8,05
64,80
521,7
2,837
8,972
2,004
4,318
9,302
8,06.
64,96
523.6
2,839
8,978
2,005
4.320
9,306
8,07
65,12
‚ 525,6
2.841
8.983
2.006
4,321
9,310
8,08
65,29
527.5
2,843
8.989
2.007
4,323
9,314
8,09
65.45
529.5
2,844
8.994
2,007
4,325
9.318
8,10
65,61
531,4
2,846
9.000
2.008
4,327
9,322
8,1}
‘65,77
533.4
2,848
9,006
2,009
4,329
9.326
8,12
65.93
535.4
2,850
9,011
2,010
4,330
9,329
8,13
66,10
537.4
2,851
9,017
2,011
4,332
9,333
8,14
66,26
539,4
2.853
9.022
2,012
4,334
9.337
8,15
66,42
541,3
2,855
9.028
2,012
4,336
9.341
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
27
Продолжение
п
п-
ni
Уп
V/10n
Vn
//10n
//100n
8,15
66,42
541,3
2,855
9,028
2,012
4.336
9,341
8,16
66,59
543,3
2,857
9,033
2,013
4,337
9,345
8,17
66,75
545,3
2,858
9,039
2,014
4,339
9,348
8,18
66,91
547,3
2,860
9,044
2,015
4,341
9,352
8,19
67,08
549,4
2,862
9,050
2,016
4,343
9,356
8,20
67,24
551,4
2,864
9,055
2,017
4,344
9,360
8,21
67,40
553,4
2,865
9,061
2,017
4,346
9,364
8,22
67,57
555,4
2,867
9,066
2,018
4,348
9,368
8,23
67,73
557,4
2,869
9,072
2,019
4,350
9,371
8,24
67,90
559,5
2,871
9,077
2,020
4,352
9,375
8,25
68,06
561,5
2,872
9,083
2,021
4,353
9,379
8,26
68,23
563,6
2,874
9,088
2,021
4,355
9.383
8,27
68,39
565,6
2,876
9,094
2,022
4,357
9,386
8,28
68,56
567,7
2,877
9,099
2,023
4,359
9,390
8,29
68,72
569,7
2,879
9,105
2,024
4,360
9,394
8,30
68,89
571,8
2,881
9,110
2,025
4,362
9,398
8,31
69,06
573,9
2,883
9,116
2,026
4,364
9,402
8,32
69,22
575,9
2,884
9,121
2,026
4,366
9,405
8,33
69,39
578,0
2,886
9,127
2,027
4,367
9,409
8,34
69,56
580,1
2,888
9,132
2,028
4,369
9,413
8,35
69,72
582,2
2,890
9,138
2,029
4,371
9,417
8,36
69,89
584,3
2,891
9,143
2,030
4,373
9,420
8,37
70,06
586,4
2,893
9,149
2,030
4,374
9,424
8,38
70,22
588,5
2,895
9,154
2,031
4,376
9,428
8,39
70,39
590,6
2,897
9,160
2,032
4,378
9,432
8,40
70,56
592,7
2,898
9,165
2,033
4,380
9,435
8,41
70,73
594,8
2,900
9,171
2,034
4,381
9,439
8,42
70,90
596,9
2,902
9,176
2,034
4,383
9,443
8,43
71,06
599,1
2,903
9,182
2,035
4,385
9,447
8,44
71,23
601,2
2,905
9,187
2,036
4,386
9,450
8,45
71,40
603,4
2,907
9,192
2,037
4,388
9,454
8,46
71,57
605,5
2,909
9,198
2,038
4,390
9,458
8,47
71,74
607,6
2,910
9,203
2,038
4,392
9,462
8,48
71,91
609,8
2,912
9,209
2,039
4,393
9,465
8,49
72,08
612,0
2,914
9,214
2,040
4,395
9,469
8,50
72,25
614,1
2,915
9,220
2,041
4,397
9,473
8,51
72,42
616,3
2,917
9,225
2,042
4,399
9,476
8,52
72,59
618,5
2,919
9,230
2,042
4,400
9,480
8,53
72,76
620,7
2,921
9,236
2,043
4,402
9,484
8,54
72,93
622,8
2,922
9,241
2,044
4,404
9,488
8,53
73,10
625,0
2,924
9,247
2,045
4,405
9,491
8,56
73,27
627,2
2,926
9,252
2,046
4,407
9,495
8,57
73,44
629,4
2,927
9,257
2,046
4,409
9,499
8,58
73,62
631,6
2,929
9,263
2,047
4,411
9,502
8,59
73,79
633,8
2,931
9,268
2,048
4,412
9,506
8,60
73,96
636, 1
2,933
9,274
2,049
4,414
9,510
8,61
74,13
638,3
2,934
9,279
2,050
4,416
9,513
8,62
74,30
640,5
2,936
9,284
2,050
4,417
9,517
8,63
74,48
642,7
2,938
9,290
2,051
4,419
9,521
8,64
74,65
645,0
2,939
9,295
2,052
4,421
9,524
8,65
74,82
647,2
2,941
9,301
2,053
4,423
9,528
8,66
75,00
649,5
2,943
9,306
2,054
4,424
9,532
8,67
75,17
651,7
2,944
9,311
2,054
4,426
9,535
8,68
75,34
654,0
2,946
9,317
2,055
4,428
9,539
8,69
75,52
656,2
2,948
9,322
2,056
4,429
9,543
8,70
75,69
658,5
2,950
9,327
2,057
4,431
9,546
28
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
—
=—
з/-
3 /——
3 ;——
n
п?
n3
Уп
У 10»
п
И 10"
И 100"
.“
8,70
75,69
658,5
2,950
9,327
2,057
4,431
9,546
8,71
75,86
660,8
2,951
9,333
2,057
4,433
9,550
8,72
76,04
663,1
2,953
9,338
2,058
4,434
9,554
8,73
76,21
665,3
2,955
9,343
2,059
4,436
9,557
8,74
76,39
667,6
2,956
9,349
2,060
4,438
9,561
8,75
76,56
669,9
2,958
9,354
2,061
4,440
9,565
8,76
76,74
672,2
2,960
9,359
2,061
4,441
9,568
8,77
76,91
674,5
2,961
9,365
2,062
4,443
9,572
8,78
77,09
676,8
2,963
9,370
2,063
4,445
9,576
8,79
77,26
679,2
2,965
9,375
2,064
4,446
9,579
8,80
77,44
681,5
2,966
9,381
2,065
4,448
9,583
8,81
77,62
683,8
2,968
9,386
2,065
4,450
9,586
8,82
77,79
686,1
2,970
9,391
2,066
4,451
9,590
8,83
77,97
688,5
2,972
9,397
2,067
4,453
9,594
8,84
78,15
690,8
2,973
9,402
2,068
4,455
9,597
8,85
78,32
693,2
2,975
9,407
2,068
4,456
9,601
8,86
78,50
695,5
2,977
9,413
2,069
4,458
9,605
8,87
78,68
6979
2,978
9,418
2,070
4,460
9,608
8,88
78,85
700,2
2,980
9,423
2,071
4,461
9,612
8,89
79,03
702,6
2,982
9,429
2,072
4,463
9,615
8,90
79,21
705,0
2,983
9,434
2,072
4,465
9,619
8,91
79,39
707,3
2,985
9,439
2,073
4,466
9,623
8,92
79,57
709,7
2,987
9,445
2,074
4,468
9,626
8,93
79,74
712,1
2,988
9,450
2,075
4,470
9,630
8,94
79,92
714,5
2,990
9,455
2,075
4,471
9,633
8,95 .
80,10
716,9
2,992
9,460
2,076
4,473
9,637
8,96
80,28
719,3
2,993
9,466
2,077
4,475
9,641
8,97
80,46
721,7
2,995
9,471
2,078
4,476
9,644
8,98
80,64
724,2
2,997
9,476
2,079
4,478
9,648
8,99
80,82
726,6
2,998
9,482
2,079
4,480
9,651
9,00
81,00
729,0
3,000
9,487
2,080
4,481
9,655
9,01
81,18
731,4
3,002
9,492
2,081
4,483
9,658
9,02
81,36
733,9
3,003
9,497
2,082
4,485
9,662
9,03
81,54
736,3
3,005
9,503
2,082
4,486
9,666
9,04
81,72
738,8
3,007
9,508
2,083
4,488
9,669
9,05
81,90
741,2
3,008
9,513
2,084
4,490
9,673
9,06
82,08
743,7
3,010
9,518
2,085
4,491.
9,676
9,07
82,26
746,1
3,012
9,524
2,085
4,493
9,680
9,08
82,45
748,6
3,013
9,529
2,086
4,495
9,683
9,09
82,63
751,1
3,015
9,534
2,087
4,496
9,687
9,10
82,81
753,6
3,017
9,539
2,088
4,498
9,691
9,11
82,99
756, 1
3,018
9,545
2,089
4,500
9,694
9,12
83,17
758,6
3,020
9,550
2,089
4,501
9,698
9,13
83,36
761,0
3,022
9,555
2,090
4,503
9,701
9,14
83,54
763,6
3,023
9,560
2,091
4,505
9,705
9,15
83,72
766,1
3,025
9,566
2,092
4,506
9,708
9,16
83,9]
768,6
3,027
9,571
2,092
4,508
9,712
9,17
84,09
771,1
3,028
9,576
2,093
4,509
9,715
9,18
84,27
773,6
3,030
9,581
2,094
4,511
9,719
9,19
84,46
776,2
3,032
9,586
2,095
4,513
9,722
9,20
84,64
778,7
3,033
9,592
2,095
4,514
9,726
9,21
84,82
781,2
3,035
9,597
2,096
4,516
9,729
9,22
85,01
783,8
3,036
9,602
2,097
4,518
9,733
9,23
85,19
786,3
3,038
9,607
2,098
4,519
9,736
9,24
85,38
788,9
3,040
9,612
2,098
4,521
9,740
9,25
85,56
-791,5
3,041
9,618
2,099
4,523
9,743
КВАДРАТЫ, КУБЫ, КОРНИ
29
Продолжение
п
n2
пз
Ил
10n
Ил
/10n
1 100n
9,25
85,56
791,5
3,041
9,618
2,099
4,523
9,743
9,26
85,75
794,0
3,043
9,623
2,100
4,524
9,747
9,27
85,93
796,6
3,045
9,628
2,101
4,526
9,750.
9,28
86,12
799,2
3,046
9,633
2,101
4,527
9,754
9,29
86,30
801,8
3,048
9.638
2,102
4,529
9.758
9,30
86,49
804,4
3,050
9,644
2,103
4,531
9,761
9,31
86,68
807,0
3,051
9,649
2,104
4,532
9,764
9,32
86,86
809,6
3,053
9,654
2,104
4,534
9,768
9,33
87,05
812,2
3,055
9,659
2,105
4,536
9,771
9,34
87,24
814,8
3,056
9.664
2,106
4,537
9,775
9,35
87,42
817,4
3,058
9.670
2,107
4,539
9,778
9,36
87,61
820,0
3,059
9,675
2,107
4.540
9,782
9,37
87,80
822,7
3,061
9,680
2,108
4,542
9,785
9,38
87,98
825,3
3,063
9,685
2,109
4,544
9,789
9,39
88,17
827,9
3,064
9,690
2,110
4,545
9,792
9,40
88,36
830,6
3,066
9,695
2,110
4,547
9,796
9,41
88,55
833,2
3,068
9,701
2,111
4,548
9,799
9,42
88,74
835,9
3,069
9,706
2,112
4,550
9,803
9,43
88,92
838,6
3,071
9,711
2,113
4,552
9,806
9,44
89,11
841,2
3,072
9,716
2,113
4,553
9,810
9,45
89,30
843,9
3,074
9,721
2,114
4,555
9,813
9,46
89,49
846,6
‘3,076
9,726
2,115
4,556
9,817
9,47
89,68
849,3
3,077
9,731
2,116
4,558
9,820
9,48
89,87
852,0
3,079
9,737
2,116
4,560
9,824
9,49
90,06
854,7
3,081
9,742
2,117
4,561
9,827
9,50
90,25
857,4
3,082
9,747
2,118
4,563
9,830
9,51
90,44
860,1
3,084
9,752
2,119
4,565
9,834
9,52
90,63
862,8
3,085
9,757
2,119
4,5606.
9,837
9,53
90,82
865,5
3,087
9,762
2,120
4,568
9,841
9,54
91,01
868,3
3,089
9,767
2,121
4,569
9,844
9,55
91,20
871,0
3,090
9,772
2,122
4,571
9,848
9,56
91,39
873,7
3,092
9,778
2.122
4,572
9,851
9,57
91,58
876,5.
3,094
9,783
2,123
4,574
9,855
9,58
91,78
879,2
3,095
9,788
2,124
4,576
9,858
9,59
91,97
882,0
3,097
9,793
2,125
4,577
9,861
9,60
92,16
884,7
3,098
9,798
2,125
4,579
9,865
9,61
92,35
887,5
3,100
9,803
2.126
4,580
9,868
9,62
92,54
890,3
3,102
9,808
2,127
4,582
9,872
9,63
92,74
893,1
3,103
9,813
2,128
4,584
9,875
9,64
92,93
895,8
3,105
9,818
2,128
4,585
9,879
9,65
93, 12.
898,6
3,106
9,823
2,129
4,587
9,882
9,66
93,32
901,4
3,108
9,829
2,130
4,588
9,885
9,67
93,51
904,2
3,110
9,834
2,130
4,590
9,889
9,68
93,70
907,0
3,111
9,839
2,131
4,592
9,892
9,69
93,90
909,9
3,113
9,844
2,132
4,593
9,896
9,70
94,09
912,7
3,114
9,849
2,133
4,595
9,899
9,71
94,28
915,5
3,116
9,854
2,133
4,596
9,902
9,72
94,48
918,3
3,118
9,859
2,134
4,598
9,906
9,73
94,67
921,2
3,119
9,864
2,135
4,599
9,909
9,74
94.87
924,0
\ 3,121
9,869
2,136
4,601
9,913
9,75
95,06
926,9
3,122
9,874
2,136
4,603
9,916
9,76
95,26
929,7
3,124
9,879
2,137
4,604
9,919
9,77
95,45
932,6
3,126
9,884
2,138
4,606
9,923
9,78
95,65
935,4
3,127
9,889
2,139
4,607
9,926
9,79
95,84
938,3
3,129
9,894
2,139
4,609
9,930
9,80
96,04
941,2
3,130
9,899
2,140
4,610
9,933
30
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
п
п?
n3
yn
V/10n
Ил
/10n
/100n
9,80
96,04
941,2
3,130
9,899
2,140
4,610
9,933
9,81
96,24
944,1
3,132
9,905
2,141
4,612
9,936
9,82
96,43
947,0
3,134
9,910
2,141
4,614
9,940
9,83
96,63
949,9
3,135
9,915
2,142
4,615
9,943
9,84
96,83
952,8
3,137
9,920
2,143
4,617
9,946
9,85
97,02
955,7
3,138
9,925
2,144
4,618
9,950
9,86
97,22
958,6
3,140
9,930
2,144
4,620
9,953
9,87
97,42
961,5
3,142
9,935
2,145
4,621
9,956
9,88
97,61
964,4
3,143
9,940
2,146
4,623
9,960
9,89
97,81
967,4
3,145
9,945
2,147
4,625
9,963
9,90
98,01
970,3
3,146
9,950
2,147
4,626
9,967
9,91
98,21
973,2
3,148
; 9,955
2,148
4,628
9,970
9,92
98,41
976,2
3,150
9,960
2,149
4,629
9,973
9,93
98,60
979,1
3,151
9,965
2,149
4,631
9,977
9,94
98,80
982,1
3,153
9,970
2,150
4,632
9.980
9,95
99,00
985,1
3,154
9,975.
2,151
4,634
9,983
9,96
99,20
988,0
3,156
9,980
2,152
4,635
9,987
9,97
99,40
991,0
3,158
9,985
2,152
4,637
9,990
9,98
99,60
994,0
3,159
9,990
2,153
4,638
9,993
9,99
99,80
997,0
3,161
9,995
2,154
4,640
9.997
10,00
100,00
1000,0
3,162
10,000
2,154
4,642
10,000
1.1.1.3. Степени целых чисел от 1 до 100.
п
n2
n3
n+
ns
1
|
1
1
|
2
4
8
16
32
3
9
27
81
243
4
16
64
256
1024
5
25
125
625
3125
6
36
216
1296
7776
7
49
343
2401
16807
8
64
512
4096
32 768
9
81
729
6561
59 049
10
100
1000
10000
100000
11
121
1331
14641
161051
12
144
1728
20 736
248 832
13
169
2197
28 561
371 293
14
196
2744
38 416
537 824
15
225
3375
50 625
759 375
16
256
4096
65 536
1 048 576
17
289
4913
83 521
1419857
18
324
5832
104 976
1 889 568
19
361
6859
130 321
2476099
20
400
8000
160 000
3200000
21
441
9261
194 481
4084 101
22
484
10 648
234256
5153632
23
529
12 167
279 841
6436 343
24
576
13824
331 776
7962 624
25
625
15 625
390 625
9765 625
26
676
17576
456 976
11881376
27
729
19 683
531441
14348 907
28
784
21952
614 656
17210 368
29
841
24389
707281
20511 149
30
900
27000
810000
24300000
31
961
29791
923 521
28 629 151
32
1024
32 768
1 048 576
33 554432
33
1089
35937
1185921
39 135 393
34
1156
39 304
1 336 336
45435 424
СТЕПЕНИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 100
31
Продолжение
n
n2
n3
п4
ns
35
1225
42 875
1500625
52 521 875
36
1296
46 656
1679616
60 466 176
37
1369
50 653
1 874 161
69 343 957
38
1444
54872
2085 136
79 235 168
39
1521
59 319
2313441
90224 199
40
1600
64000
2560000
102400000
41
1681
68 921
2825 761
115856201
42
1764
74088
3111696
130 691 232
43
1849
79 507
3418801
147 008 443
44
1936
85 184
3 748 096
164 916224
45
2025
91125
4100625
184 528 125
46
2116
97336
4477456
205 962 976
47
2209
103 823
4879 681
229 345 007
48
2304
110592
5308 416
254803 968
49
2401
117649
5 764801
282475249
50
2500
125000
6250000
312 500000
51
2601
132 651
6 765 201
345 025251
52
2704
140 608
7311616
380 204 032
53
2809
148 877
7890 481
418 195 493
54
2916
157 464
8 503 056
459 165024
55
3025
166 375
9 150 625
503 284 375
56
3136
175 616
9834 496
550 731776
57
3249
185 193
10556001
601 692 057
58
3364
195 112
11316496
656 356 768
59
3481
205 379
12 117361
714 924 299
60
3600
- 216000
12960000
777 600 000
61
3721
226981
13 845 841
844 596 301
62
3844
238 328
14 776 336
916 132 832
63
3969
250047
15752 961
992 436 543
64
4096
262 144
16 777216
1073 741 824
65
4225
274 625
17850 625
1160290 625
66
4356
287 496
18 974 736
1252 332 576
67
4489
300 763
20 151121
1 350 125 107
68
4624
314 432
21381376
1453 933 568
69
4761
328 509
22667121
1564 031 349
70
4900
343000
24010000
1 680 700 000
71
5041
357911
25411 681
1804229 351
72
5184
373248
26873856
1934917632
73
5329
389017
28 398 241
2073071 593
74
5476
405 224
29986 576
2219006624
75
5625
421875
31 640 625
2 373 046 875
76
5776
438 976
33 362 176
2 535 525 376
77
5929
456 533
35 153041
2 706 784 157
78
6084
474552
37015056
2 887 174 368
79
6241
493 039
38 950081
3077056 399
80
6400
512000
40 960 000
3276 800 000
81
6561
531441
43 046 721
3 486 784 401
82
6724
551 368
45212176
3 707 398 432
83
6889
571787
47458 321
3939 040 643
84
- 7056
592 704
49787 136
4182 119424
85
7225
614125
52200 625
4437053 125
86
7396
636 056
54 700 816
4704270 176
87
7569
658 503
57289 761
4984209207
88
7744
681472
59969 536
5277 319 168
89
7921
704969
62 742 241
5584 059 449
90
8100
729 000
65 610000
5904900 000
91
8281
753 571
68 574961
6240 321451
92
8464
778 688
71639 296
6590815232
93
8649
804 357
74805 201
6956 883 693
94
8836
830 584
78 074 896
7 339 040 224
95
9025
857375
81450625
7737809 375
96
9216
884736
84934656
8 153 726 976
97
9409
912673
88529281
8587 340 257
98
9604
941192
92236816
9039207968
99
9801
970299
96059 601
9509900499
100
10000
1000000
100000000
10000000000
32
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.4. Обратные величнны.
я
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9.
1,0
10000
9901
9804
9709
9615
9524
9434
9346.
9259
9174
1,1
9091
9009
8929
8850
8772
8696
8621
8547
8475
8403
1,2
8333
8264
8197
8130
8065
8000
7937
7874
7812
7752
1,3
7692
7634
7576
7519
7463
7407
7353
7299
7246
7194
1,4
7143
7092
7042
6993
6944
6897
6849
6803
6757
6711
1,5
6667
6623
6579
6536
6494
6452
6410
6369
6329
6289
‚6
6250
6211
6173
6135
6098
6061
6024
5988
5952
5917
‚7
5882
5848
5814
5780
5747
5714
5682
5650
5618
5587
1,8
5556
5525
5495
5464
5435
5405
5376
5348
5319
5291
9
5263
5236
5208
5181
5155
5128
5102
5076
5051
5025
2,0
5000
4975
4950
4926 | 4902
4878
4854
4831
4808
4785
2,1
4762
4739
4717
4695
4673
4651
4630
4608
4587
4566
2,2
4545
4525
4505
4484
4464
4444
4425
4405
4386
4367
2,3
4348
4329
4310
4292
4274
4255
4237
4219
4202
4184
2,4
4167
4149
4132
4115
4098
4082
4065
4049
4032
4016
2,5
4000
3984
3968
3953
3937
3922
3906
3891
3876
3861
2,6
3846
3831
3817
3802
3788
3774
3759
.3745
3731
3717
2,7
3704
3690
3676
3663
3650
3636
3623
3610
3597
3584
2,8
3571
3559
3546
3534
3521
3509
3497
3484
3472
3460
2,9
3448
3436
3425
3413
3401
3390
3378
3367
3356
3344
3,0
3333
3322
3311
3300 , 3289
3279
3268
3257
3247
3236
3,1
3226
3215
3205
3195
3185
3175
3165
3155
3145
3135
3,2
3125
3115
3106
3096
3086
3077
3067
3058
3049
3040
3,3
3030
3021
3012
3003
2994
2985
2976
2967
2959
2950
3,4
2941
2933
2924
2915
2907
2899
2890
2882
2874
2865
3,5
2857
2849
2841
2833
2825
2817
2809
2801
2793
2786
3,6
2778
2770
2762
2755
2747
2740
2732
2725
2717
2710
3,7
2703
2695
2688
2681
2674
2667
2660
2653
2646
2639
3,8
2632
2625
2618
2611
2604
2597
2591
2584
2577
2571
3,9
2564
2558
2551
2545
2538
2532
2525
2519
2513
2506
4,0
2500
2494
2488
2481
2475
2469
2463
2457
2451
2445
4,1
2439
2433
2427
2421
2415
2410
2404
2398
2392
2387
4,2
2381
2375
2370
2364
2358
2353
2347
2342
2336
2331
4,3
2326
2320
2315
2309
2304
2299
2294
2288
2283
2278
4,4
2273
2268
2262
2257
2252
2247
2242
2237
2232
2227
4,5
2222
2217
2212
2208
2203
2198
2193
2188
2183
2179
4,6
2174
2169
2165
2160
2155
2151
2146
2141
2137
2132
4,7
2128
2123
2119
2114
2110
2105
2101
2096
2092
2088
4,8
2083
2079
2075
2070
2066
2062
2058
2053
2049
2045
4,9
2041
2037
2033
2028
2024
2020
2016
2012
2008
2004
5,0
2000
1996
1992
1988
1984
1980
1976
1972
1969
1965
5,1
1961
1957
1953
1949
1946
1942
1938
1934
1931
1927
5,2
1923
1919
1916
1912
1908
1905
1901
1898
1894
1890
5,3
1887
1883
1880
1876
1873
1869
1866
1862
1859
1855
5,4
1852
1848
1845
1842
1838
1835
1832
1828
1825
1821.
ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
33
Продолжение
n
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
1818
1815
1812
1808
1805
1802
1799
1795
1792
1789
5,6
1786
1783
1779
1776
1773
1770
1767
1764
1761.
1757
5,7
1754
1751
1748
1745
1742
1739
1736
1733
1730
1727
5,8
1724
1721
1718
1715
1712
1709
1706
1704
1701
1698
5,9
1695
1692
1689
1686
1684
1681
1678
1675
1672
1669
6,0
1667
1664
1661
1658
1656
1653
1650
1647
1645
1642
6,1
1639
1637
1634
1631
1629
1626
1623
1621
1618
1616
6,2
1613
1610
1608
1605
1603
1600
1597
1595
1592
1590
6,3
1587
1585
1582
1580
1577
1575
1572
1570
1567
1565
6,4
1562
1560
1558
1555
1553
1550
1548
1546
1543
1541
6,5
1538
1536
1534
1531
1529
1527
1524
1522
1520
1517
6,6
1515
1513
1511
1508
1506
1504
1502
1499
1497
1495
6,7
1493
1490
1488
1486
1484
1481
1479
1477
1475
1473
6,8
1471
1468
1466
1464
1462
1460
1458
1456
1453
1451
6,9
1449
1447
1445
1443 ‚ 1441
1439
1437
1435
1433
1431
7,0
1429
1427
1425
1422
1420
1418
1416
1414
1412
1410
7,1
1408
1406
1404
1403
1401
1399
1397
1395
1393
1391
7,2
1389
1387
1385
1383
1381
1379
1377
1376
1374
1372
7,3
1370
1368
1366
1364
1362
1361 i 1359
1357
1355
1353
7,4
1351
1350
1348
1346
1344
1342
1340
1339
1337
1335
7,5
1333
1332
1330
1328
1326
1325
1323
1321
1319
1318
7,6
1316
1314
1312
1311
1309
1307
1305
1304
1302
1300
7,7
1299
1297
1295
1294
1292
1290
1289
1287
1285
1284
7,8
1282
1280
1279
1277
1276
1274
1272
1271
1269
1267
7,9
1266
1264
1263
1261
1259
1258
1256
1255
1253
1252
8,0
1250
1248
1247
1245
1244
1242
1241
1239
1238
1236
8,1
1235
1233
1232
1230
1229
1227
1225
1224
1222
1221
8,2
1220
1218
1217
1215
1214
1212
1211
1209
1208
1206
8,3
1205
1203
1202
1200
1199
1198
1196
1195
1193
1192
8,4
1190
1189
1188
1186
1185
1183
1182
1181
1179
1178
8,5
1176
1175
1174
1172
1171
1170
1168
1167
1166
1164
8,6
1163
1161
1160
1159
1157
1156
1155
1153
1152
1151
8,7
1149
1148
1147
1145
1144
1143
1142
1140
1139
1138
8,8
1136
1135
1134
1133
1131
1130
1129
1127
1126
1125
8,9
1124
1122
1121
1120
1119
1117
1116
1115
1114
1112
9,0
НИ
1110
1109
1107
1106
1105
1104
1103
1101
1100
9,1
1099
1098
1096
1095
1094
1093
1092
1091
1089
1088
9,2
1087
1086
1085
1083
1082
1081
1080
1079
1078
1076
9,3
1075
1074
1073
1072
1071
1070
1068
1067
1066
1065
9,4
1064
1063
1062
1060
1059
1058
1057
1056
1055
1054
9,5
1053
1052
1050
1049
1048
1047
1046
1045
1044
1043
9,6
1042
104]
1040
1038
1037
1036
1035
1034
1033
1032
9,7
1031
1030
1029
1028
1027
1026
1025
1024
1022
1021
9,8
1020
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
9,9
1010
1009
1008
1007
1006
1005 | 1004
1003
1002
1001
34
ТАБЛИЦЫ
Объяснения к таблице обратных величин. В таблице 1.1.1.4 даны с четырьмя
знаками значения: величин 10000:п для трехзначных значений аргумента, заключенных между 1 и 10.
Каждое число в таблице помещено в строчке, соответствующей первым двум значащим цифрам
аргумента (указанным в столбце п), и. в столбце, соответствующем третьей цифре аргумента.
Например, 10000: 2,26 = 4425. Если аргумент дан с четырьмя знаками, то необходимо прибегнуть
к линейной интерполяции. Следует обратить внимание на то, что здесь интерполяционные поправки
не прибавляются, а вычитаются.
омещенные в таблице числа можно рассматривать как десятичные знаки, следующие
за запятой в дроби 1:1; например, 1:2,26= 0,4425. Для нахождения 1:п при n>10 u n<l
принимают во внимание, что при умножении п на 10 величина 1:п умножается Ha 10-® т.е,
перенос запятой у и на К разрядов вправо вызывает перенос запятой у 1:п на К разрядов влево,
и наоборот. Например, 1: 22,6= 0,04425 и 1:0,0226= 44,25.
1.1.1.5. Факториалы и обратные нм величины.
Факториалы.
п
al
n
n!
|
|
ll
39 916800
2
2
12
479 001 660
3
6
13
6227020800
4
24
14
;
87 178 291 200
5
120
15
1 307 674 368 000
6
720
16
20 922 789 888 000
7
5 040
17
355 687 428 096 000
8
40 320
.
18
6 402 373 705 728 000
9
362 880
19
121 645 100 408 832 000
10
3 628 800
20
2 432 902 008 176 640000
Величины, обратные факториалам*),
п
1:20!
п
I:n!
n
Lin!
|
1.000000
11
0,0725052
21
0,0!919573
2
0,500000
12
0,0820877
22
0,02188968
3
0, 166667
13°
0,0916059
23
0,02238682
4
0,041667
14
0,0!91 1471
24
0,02316117
5
0,0283333
15
0,01276472
25
0,02564470
6
0,0213889
16
0,0!347795
26
0,02624796
7
0,0319841
17
0,01428115
27
0,02891837
8
0,0424802
18
0,01515619
28
9,02932799
9
00527557
19
0,01782206
29
0,03911310
10
0,0627557
20
0,01841103
30
0,03237700
*) Для 1:п! применена сокращенная запись нулей после запятой. Так, вместо | :8! = 0,000024802 написано 0,0424802,
НЕКОТОРЫЕ СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ 2, 3 И $5
35
1.1.1.6. Некоторые степени чисел 2, 3 и 5.
n
2"
3"
5"
|
2
3
5
2
4
9
25
‚3
8
27
125
4
16
81
625
5
32
243
3125
6
64
729
15625
7
128
2187
78 125
8
256
6561
390 625
9
512
19 683
1953 125
10
1 024
59 049
9765 625
11
2048
177 147
48828 125
12
4096
531441
244 140625
13
8 192
1594 323
1220
703 125
14
16 384
4782 969
6103 515 625
15
32 768
14348 907
30 517 578 125
16
65 536
43046 721
152 587890625
17
131072
129 140 163
762939
453 125
18
262 144
387420489
3814
697 265 625
19
524288
1 162261 467
19073
486 328 125
20
1 048 576
3486 784 401
95 367 431 640 625
Объяснения к таблицам логарифмов и антилогарифмов. Таблица 1.1.1.7
служит для нахождения десятичных логарифмов чисел. Сначала для данного числа находится
характеристика его логарифма, а затем — мантисса из таблицы. Для трехзначных чисел мантисса
находится на пересечении строки, в начале которой (графа N) стоят две первые цифры данного
числа, и столбца, соответствующего третьей цифре нашего числа. Если заданное число имеет
Зольше трех значащих цифр, необходимо применить линейную интерполяцию. При этом интер-
поляционная поправка находится только на четвертую значащую цифру числа; поправку на пятую
цифру имеет смысл делать только тогда, когда первая значащая цифра данного числа равна 1
или 2.
Пример. lg 254,3 = 2,4053 (к 4048 нужно прибавить 0,3. 17 = 5,1).
Для нахождения числа по его десятичному логарифму служит таблица 1.1.1.8 (таблица анти-
логарифмов)*). Аргументом в этой таблице является мантисса заданного логарифма. На пересечении
строки, которая определяется первыми двумя цифрами мантиссы (графа т), и столбца, соответ-
ствующего третьей цифре мантиссы, в таблице антилогарифмов находится цифровой состав
искомого числа. На четвертую цифру мантиссы должна быть внесена интерполяционная поправка.
Характеристика логарифма позволяет поставить в полученном результате запятую.
Примеры. Ig x = 1,2763; x = 18,89 (к найденному в таблице значению 1888 прибавляется 0,3.4= 1,2; в получен-
ном результате определяются запятой два знака, так как характеристика равна единице). Если Ig x = 2,2763, то
x = 0,01889. Эти результаты могут быть записаны также следующим образом: 10''276?= 18,89; 10717237
= 0,01889
(так как 2,2763 = — 1,7237).
*) Число у, десятичный логарифм которого равен х, называют антилогарифмом x. Согласно определению
логарифма эта функция совпадает с показательной функцией у = 10^.
36
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.7. Десятичные логарифмы
N
0
]
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0000
0043
0086
0128
0170
0212
0253
0294,
0334
0374
11
0414
0453
0492
0531
0569
0607
0645
0682:
0719
0755
12
0792
0828
0864
0899
0934
0969
1004
1038
1072
1106
13
1139
1173
1206
1239
1271
1303
1335
1367
1399
1430
14
1461
1492
1523
1553
1584
1614
1644
1673
1703
1732
15
1761
1790
1818
1847
1875
1903
1931
1959
1987
2014
16
2041
2068
2095
2122
2148
2175
2201
2227
2253
2279
17
2304
2330
2355
2380
2405
2430
2455
2480
2504
2529
18
2553
2577
2601
2625
2648
2672
2695
2718
2742
2765
19
2788
2810
2833
2856
2878
2900
2923
2945
2967
2989
20
3010
3032
3054
3075
3096
3118
3139
3160
3181
3201
21
3222
3243
3263
3284
3304
3324
3345
3365
3385
3404
22
3424
3444
3464
3483
3502
3522
3541
3560
3579
3598
23
3617
3636
3655
3674
3692
3711
3729
3747
3766
3784
24
3802
3820
3838
3856
3874
3892
3909
3927
3945
3962
25
3979
3997
4014
4031
4048
4065
4082
4099
4116
4133
26
4150
4166
4183
4200
4216
4232
4249
4265
4281
4298
27
4314
4330
4346
4362
4378
4393
4409
4425
4440
4456
28
4472
4487
4502
4518
4533
4548
4564
4579
4594
4609
29
4624
4639
4654
4660
4683
4698
4713
4728
4742
4757
30
4771
4786
4800
4814
4829
4843
4857
4871
4886
4900
31
4914
4928
4942
4955
4969
4983
4997
5011
5024
5038
32
5051
5065
5079
5092
5105
5119
5132
5145
5159
5172
33
5185
5198
5211
5224
5237
5250
5263
5276
5289
5302
34
5315
5328
5340
5353
5366
5378
5391
5403
5416
5428
35
5441
5453
5465
5478
5490
5502
5514
5527
5539
5551
36
5563
5575
5587
5599
5611
5623
5635
5647
5658
5670
37
5682
5694
5705
5717
5729
5740
5752
5763
5775
5786
38
5798
5809
5821
5832
5843
5855
5866
5877
5888
5899
39
591
5922
5933
5944
5955
5966
5977
5988
5999
6010
40
6021
6031
6042
6053
6064
6075
6085
6096
6107
6117
41
6128
6138
6149
6160.
6170
6180
6191
6201
6212
6222
42
6232
6243
6253
6263
6274
6284
6294
6304
6314
6325
43
6335
6345
6355
6365
6375
6385
6395
6405
6415
6425
44
6435
6444
6454
6464
6474
6484
6493
6503
6513
6522
45
6532
6542
6551
6561
6571
6580
6590
6599
6609
6618
46
6628
6637
6646
6656
6665
6675
6684
6693
6702
6712
47
6721
6730
6739
6749
6758
6767
6776
6785
6794
6803
48
6812
6821
6830
6839
6848
6857
6866
6875.
6884
6893
49
6902
6911
6920
6928
6937
6946
6955
6964
6972
6981
50
6990
6998
7007
7016
7024
7033
7042
7050
7059
7067
51
7076
7084
7093
7101
7110
7118
7126
7135
7143
7152
52
7160
7168
7177
7185
7193
7202
7210
7218
7226
7235
53
7243
7251
7259
7267.
7275
7284
7292
7300
7308
7316
54
7324
7332
7340
7348
7356
7364
7372
7380
7388
7396
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
~
37
Продолжение
М
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
55
7404
7412
7419
7427
7435
7443
7451
7459
7466
7474
56
7482
7490
7497
7505
7513
7520
7528
7536
7543
7551
57
7559
7566
7574
7582
7589
7597
7604
7612
7619
7627
58
7634
7642
7649
7657
7664
7672
7679
7686
7694
7701
59
7709
7716
7723
7731
7738
7745
7752
7760
7767
7774
60
7782
7789
7796
7803
7810
7818
7825
7832
7839
7846
61
7853
7860
7868
7975
7882
7889
7896
7903
7910
7917
62
7924
7931
7938
7945
7952
7949
7966
7973
7980
7987
63
7993
8000
8007
8014
8021
8028
8035
8041
8048
8055
64
8062
8069
8075
8082
8089
8096
8102
8109
8116
8122
65
8129
8136
8142
8149
8156
8162
8169
8176
8182
8189
66
8195
8202
8209
8215
8222
8228
8235
8241
8248
8254
67
8261
8267
8274
8280
8287
8293
8299
8306
8312
8319
68
8325
8331
8338
8344
8351
8357
8363
8370
8376
8382
69
8388
8395
8401
8407
8414
8420
8426
8432
8439
8445
70
8451
8457
8463
8470
8476
8482
8488
8494
8500
8506
71
8513
8519
8525
8531
8537
8543
8549
8555
8561
8567
72
8573
8579
8585
8591
8597
8603
8609
8615
8621
8627
73
8633
8639
8645
8651
8657
8663
8669
8675
8681
8686
74
8692
8698
8704
8710
8716
8722
8727
8733
8739
8745
75
8751
8756
8762
8768
8774
8779
8785
8791
8797
8802
76
8808
8814
8820
8825
8831
8837
8842
8848
8854
8859
77
8865
8871
8876
8882
8887
8893
8899.
8904
8910
8915
78
8921
8927
8932
8938
8943
8949
8954
8960
8965
8971
79
8976
8982
8987
8993
8998
9004
9009
9015
9020
9025
80
9031
9036
9042
9047
9053
9058
9063
9069
9074
9079
81
9085
9090
9096
9101
9106
9112
9117
9122
9128
9133
82
9138
9143
9149
9154
9159
9165
9170
9175
9180
9186
88
9191
9196
9201
9206
9212
9217
9222
9227
9232
9238
84
9243
9248
9253
9258
9263
9269
9274
9279
9284
9289
85
9294
9299
9304
9309
9315
9320
9325
9330
9335
9340
86
9345
9350
9355
9360
9365
9370
9375
.9380
9385
9390
87
9395
9400
9405
9410
9415
9420
9425
9430
9435
9440
88
9445
9450
9455
9460
9465
9469
9474
9479
9484
9489
89
9494
9499
9504
9509
9513
9518
9523
9528
9533
9538
90
9542
9547
9552
9557
9562
9566
9571
9576
9581
9586
91
9590
9595”
9600
9605
9609
9614
9619
9624
9628
9633
92
9638
9643
9647
9652
9657
9661
9666
9671
9675
9680
93
9685
9789
9694
9699
9703
9708
9713
9717
9722
9727
94
9731
9736
9741
9745
9750
9754
9759
9763
9768
9773
95
9777
9782
9786
9791
9795
9800
9805
9809
9814
9818
96
9823
9827
9832
9836
9841
9845
9850
9854
9859
9863
97
9868
9872
9877
9881
9886
9890
9894
9899
9903
9908
98
9912
9917
9921
9926
9930
9934
9939
9943
9948
9952
99
9956
9961
9965
9969
9974
9978
9983
9987
9991
9996
38
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.8. Антилогарифмы.
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
i
00
1000
1002
1005
1007
1009
1012
1014
1016
1019
1021
01
1023
1026
1028
1030
1033
1035
1038
1040
1042
1045
02
1047
1050
1052
1054
1057
1059
1062
1064
1067
1069
03
1072
1074
1076
1079
1081
1084
1086
1089
. 1091
1094
04
1096
1099
1102
1104
1107
1109
1112
1114
1117
1119
05
1122
1125
1127
1130
1132
1135
1138
1140
1143
1146
06
1148
1151
1153
1156
1159
1161
1164
1167
1169
1172
07
1175
1178
1180
1183
1186
1189
1191
1194
1197
1199
08
1202
1205
1208
1211
1213
1216
1219
1222
1225
1227
09
1230
1233
1236
1239
1242
1245
1247
1250
1253
1256
10
1259
1262
1265
1268
1271
1274
1276
1279
1282
1285
a
1288
1291
1294
1297
1300
1303
1306
1309
1312
1315
12
1318
1321
1324
1327
1330
1334
1337
1340
1343
1346
13
1349
1352
1355
1358
1361
1365
1368
1371
1374
1377
14
1380
1384
1387
1390
1393
1396
1400
1403
1406
1409
15
1413
1416
1419
1422
1426
1429
1432
1435
1439
1442
16
1445
1449
1452
1455
1459
1462
1466
1469
1472
1476
17
1479
1483
1486
1489
1493
1496
1500
1503
1507
1510
18
1514
1517
1521
1524
1528
1531
1535
1538
1542
1545
19
1549
1552
1556
1560
1563
1567
1570
1574
1578
1581
20
1585
1589
1592
1596
1600
1603
1607
1611
1614
1618
21
1622
1626
1629
1633
1637
1641
1644
1648
1652
1656
22
1660
1663
1667
1671
1675
1679
1683
1687
1690
1694
23
1698
1702
1706
1710
1714
1718
1722
1726
1730
1734
24
1738
1742
1746
1750
1756
1758
1762
1766
1770
1774
25
1778
1782
1786
1791
1795
1799
1803
1807
1811
1816
26
1820
1824
1828
1832
1837
1841
1845
1849
1854
1858
27
1862
1866
1871
1875
1879
1884
1888
1892
1897
1901
28
1905
1910
1914
1919
1923
1928
1932
1936
1941
1945
29
1950
1954
1959
1963
1968
1972
1977
1982
1986 ° 199]
30
1995
2000
2004
2009
2014
2018
2023
2028
2032
2037
31
2042
2046
2051
2056
2061
2065
2070
2075
2080
2084
32
2089
2094
2099
2104
2109
2113
2118
2123
2128
2133
33
2138
2143
2148
2153
2158.
2163
2168
2173
2178
2183
34
2188
2193
2198
2203
2208
2213
2218
2223
2228
2234
35
2239
2244
2249
2254
2259
2265
2270
2275
2280
2286
36
2291
2296
2301
2307
2312
2317
2323
2328
2333
2339
37
2344
2350
2355
2360
2366
2371
2377
2382
2388
2393
38
2399
2404
2410
2415
2421
2427
2432
2438
2443
2449
39
2455 2460 2466 2472 2477 2483 2489 2495 2500 2506
40
2512
2518
2523
2529
2535
2541
2547
2553
2559
2564
41
2570
2576
2582
2588
2594
2600
2606
2612
2618
2624
42
2630
2636
2642
2649
2655
2661
2667
2673
2679
2685
43
2692
2698
2704
2710
2716
2723
2729
2735
2742
2748
44
2754
2761
2767
2773
2780
2786
2793
2799
2805
2812
А
45
2818
2825
2831
` 2838
2844
2851
2858
2864
2871
2877
46
2884
2891
2897
2904
2911
2917
2924
2931
2938
2944
47
2951
2958
2965
2972
2979
2985
2992
2999
3006
3013
48
3020
3027
3034
3041
3048
3055
3062
3069
3076
3083
49
3090
3097
3105
3112
3119
3133
3141
3148
3155
АНТИЛОГАРИФМЫ
39
Продолжение
т
0
|
2
.3
4
5
6
7
8
9
50
3162
3170
3177
3184
3192
3199
3206
3214
3221
3228
51
3236
3243
3251
3258
3266
3273
3281
3289
3296
3304
52
3311
3319
3327
3334
3342
3350
3357
3365
3373
3381
53
3388
3396
3404
3412
3420
3428
3436
3443
3451
3459
54
3467
3475
3483
3491
3499
3508
3516
3524
3532
3540
55
3548
3556
3565
3573
3581
3589
3597
3606
3614
3622
56
3631
3639
3648
3656
3664
3673
368 |
3690
3698
3707
57
3715
3724
3733
3741
3750
3758
3767
3776
3784
3793
58
3802
3811
3819
3828
3837
3846
3855
3864
3873
3882
59
3890
3899
3908
3917
3926
3936
3945
3954
3963
3972
60
398 1
3990
3999
4009
4018
4027
4036
4046
4055
4064
61
4074
4083
4093
4102
4111
4121
4130
4140
4150
4159
62
4169
4178
4188
4198
4207
4217
4227
4236
4246
4256
63
4266
4276
4285
4295
4305
4315
4325
4335
4345
4355
64
4365 4375 4385 4395 4406 4416 4426 4436 4446 4457
65
4467
4477
4487
4498
4508
4519
4529
4539
4550
4560
66
4571
4581
4592
4603
4613
4624
4634
4645
4656
4667
67-
4677
4688
4699
4710
4721
4732
4742
4753
4764
4775
68
4786
4797
4808
4819
4831
4842
4853
4864
4875
4887
69
4898
4909
4920
4932
4943
4955
4966
4977
4989
5000
70
5012
5023
5035
5047
5058
5070
5082
5093
5105
5117
7
5129
5140
5152
5164
5176
5188
5200
5212
5224
5236
72
5248
5260
5272
5284
5297
5309
5321
5333
5346
5358
73
5370
5383
5395
5408
5420
5433
5445
5458
5470
5483
74
5495 5508 5521 5534 5546 5559 5572 5585 5598 5610
75
5623
5636
5649
5662
5675
5689
5702
5715
5728
5741
76
5754
5768
5781
5794
5808
5821
5834
5848
5861
5875
77
5888
5902
5916
5929
5943
5957
5970
5984
5998
6012
78
6026
6039
6053
6067
6081
6095
6109
6124
6138
6152
79
6166
6180
6194
6209
6223
6237
6252
6266
6281
6295
80
6310
6324
6339
6353
6368
6383
6397
6412
6427
6442
81
6457
6471
6486
6501
6516
6531
6546
6561
6577
6592
82
6607
6622
6637
6653
6668
6683
6699
6714
6730
6745
83
6761
6776
6792
6808
6823
6839
6855
6871
6887
6902
84
6918
6934
6950
6966.
6982
6998
7015
7031
7047
7063
85
7079
7096
7112
7129
7145
7161
7178
7194
7211
7228
86
7244
7261
7278
7295
7311
7328
7345
7362
7379
7396
87
7413
7430
7447
7464
7482
7499
7516
7534
7551
7568
88
7586
7603
7621
7638
7656
7674
7691
7709
7727
7745
89
7762
7780
7798
7816
7834
7852
7870
7889
7907
7925
90
7943
7962
7980
7998
8017
8035
8054
8072
8091
8110
91
8128
8147
8166
8185
8204
8222
8241
8260
8279
8299
92
8318
8337
8356
8375
8395
8414
8433
8453
8472
8492
93
8511
8531
8551
8570
8590
8610
8630
8650
8670
8690
94
8710
8730
8750
8770
8790
8810
8831
8851
8872
8892
95
8913
8933
8954
8974
8995
9016
9036
9057
9078
9099
96
9120
9141
9162
9183
9204
9226
9247
9268
9290
9311
97
9333
9354
9376
9397
9419
9441
9462
9484
9506
9528
98
9550
9572
9594
9616
9638
9661
9683
9705
9727
9750
99
9772
9795
9817
9840
9863
9886
9908
9931
9954
9977
40
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.9. Натуральные значения тригонометрических функций.
Угловой радиус разделен на 6 частей (величина шага 10’).
СИНУСЫ
Градусы
0’
10’
20’
30’
40’
50’
60’
>
0|
0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175
89
|.
0,0175 0,0204 0,0223 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349
88
2:
0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494 0,0523
87
3
0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669 0,0698
86
4
0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843 0,0872
85
5
0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 0,1045
84
6
0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190 0,1219
83
7
0,1219 0,1248 0,1276 | 0,1305 0,1334 0,1363 0,1392
82
8
0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536 0,1564
81
9
0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708 0,1736
80
10
0,1736 0,1765 0,1794 |. 0,1822 0,1851 0,1880 0,1908
79
И
0,1908 0,1937 0,1965 | 0,1994 0,2022 0,2051 0,2079
78
12
0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221 0,2250
77
13
0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391 0,2419
76
14
0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560 0,2588
75
15
0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 0,2756
74
16
0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896 0,2924
73
17
0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062 0,3090
72
18
0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228 0,3256
71
19
0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393 0,3420
70
20
0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 0,3584
69
21
0,3584 0,361.1 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719 0,3746
68
22
0,3746 0,3773 0,3800 0,3837 0,3854 0,3881 0,3907
67
23
0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041 0,4067
66
24
0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200 0,4226
65
25
0,4226 0,4253 0;4279 0,4305 0,4331 0,4358 0,4384
64
26
0,4384 0,4410. 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514 0,4540
63
27
0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 |” 0,4669 0,4695
62
28
0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823 0,4848
61
29
0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975 0,5000.
60
30
0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 0,5150
59
31
0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275 0,5299
58
32
0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422 0,5446
57
33
0,5446 0,5471 0,5495 0.5519 0,5544 0,5568 0,5592
56
34
0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712 0,5736
55
35
0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 0,5878
54
36
0,5878 0,5901
0,5925 0,5948 0,5972 0,5995 0,6018
53
37
0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0.6111 0,6134 0,6157
52
38
0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271
0,6293
51
39
0,6293 0,6316 0,6338 0,6361
0,6383 0,6406 0,6428
50
40
0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 0,6561
49
41
0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670
0,6691
48
42
0.6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799 0,6820
47
43
0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926 0,6947
46
44
0,6947 0,6967 0,6988 0.7009 0.7030 0,7050 0,7071
45
45
0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0.7153 0,7173
0,7193
$44
60’
50’
40’
30°
20°
10’
0’
Градусы
=—
КОСИНУСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
4]
СИНУСЫ
Градусы
0’
10’
20’
30’
40°
50’
60’
—>
.45
0,7071
0,7092
0,7112
0,7133
0,7153
0,7173
0,7193
44
46
0,7193
0,7214
0,7234
0,7254
0,7274
0,7294
0,7314
43
47
0,7314
0,7333
0,7353
0,7373
0,7392
0,7412
0,7431
42
48
0,7431
0,7451
0,7470
0,7490
0,7509
0,7528
0,7547
41
49
0,7547
0,7566
0,7585
0,7604
0,7623
0,7642
0,7660
40
50
0,7660
0,7679
0,7698
0,7716
0,7735
0,7753
0,7771
39
51
0,7771
0,7790
0,7808
0,7826
0,7844
0,7862
0,7880
38
52
0,7880
0,7898
0,7916
0,7934
0,7951
0,7969
0,7986
37
53
0,7986
0,8004
0,8021
0,8039
0,8056
0,8073
0,8090
36
54
0,8090
0,8107
0,8124
0,8141
0,8158
0,8175
0,8192
35
55
0,8192
0,8208
0,8225
0,8241
0,8258
0,8274
0,8290
34
56
0,8290
0,8307
0,8323
0,8339
0,8355
0,8371
0,8387
33
57
0,8387
0,8403
0,8418
0,8434
0,8450
0,8465
0,8480
32
58
0,8480
0,8496
0,8511
0,8526
0,8542
0,8557
0,8572
31
59
0,8572
0,8587
0,8601
0,8616
0,8631
0,8646
0,8666
30
60
0,8660
0,8675
0,8689
0,8704
0,8718
0,8732
0,8746
29
61
0,8746
0,8760
0,8774
0,8788
0,8802
0,8816
0,8829
28
62
0,8829
0,8843
0,8857
0,8870
0,8884
0,8897
0,8910
27
63
0,8910
0,8923
0,8936
0,8949
0,8962
0,8975
0,8988
26
64
0,8988
0,9001
0,9013
0,9026
0,9038
0,9051
0,9063
25
65
0,9063
0,9075
0,9088
0,9100
0,9112
0,9124
0,9135
24
66
0,9135
0,9174
0,9159
0,9171
0,9182
0,9194
0,9205
23
67
0,9205
0,9216
0,9228
0,9239
0,9250
0,9261
0,9272
22
68
0,9272
0,9283
0,9293
0,9304
0,9315
0,9325
0,9336
21
69
0,9336
0,9346
0,9356
0,9367
0,9377
0,9387
0,9397
20
70
0,9397
0,9407
0,9417
0,9426
0,9436
0,9446
0,9455
19
7
0,9455
0,9465
0,9474
0,9483
0,9492
0,9502
0,9511
18
72
0,9511
0,9520
0,9528
0,9537
0,9546
0,9555
0,9563
17
73
0,9563
0,9572
0,9580
0,9588
0,9596
0,9605
0,9613
16
74
0,9613
0,9621
0,9628
0,9636
0,9644
0,9652
0,9659
15
75
0,9659
0,9667
0,9674
0,9681
0,9689
0,9696
0,9703
14
76
0,9703
0,9710
0,9717
0,9724
0,9730
0,9737
0,9744
13
77
0,9744
0,9750
0,9757
0,9763
0,9769
0,9775
0,9781
12
78
0,9781
0,9787
0,9793
0,9799
0,9805
0,9811
0,9816
11
79
0,9816
0,9822
0,9827
0,9833
0,9838
0,9843
0,9848
10
80
0,9848
0,9853
0,9858
0,9863
0,9868
0,9872
0,9877
9
81
0,9877
0,9881
0,9886
0,9890
0,9894
0,9899
0,9903
8
82
0,9903
0,9907
0,9911
0,9914
0,9918
0,9922
0,9925
7
83
0,9925
0,9929
0,9932
0,9936
0,9939
0,9942
0,9945
6
84
0,9945
0,9948
0,9951
0,9954
0,9957
0,9959
0,9962
5
85
0,9962
0,9964
0,9967
0,9969
0,9971
0,9974
0,9976
4
86
0,9976
0,9978
0,9980
0,9981
0,9983
0,9985
0,9986
3
87
0,9986
0,9988
0,9989
0,9990
0,9992
0,9993
0,9994
2
88
0,9994
0,9995
0,9996
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
1
89
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
10
60’
50’
40’
30’
20°
10’
0’
Градусы
<-
КОСИНУСЫ
42
о
ТАБЛИЦЫ
ТАНГЕНСЫ
Градусы
0’
10’
20’
30’
40’
50’
60’
—>>
о | 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175
89
0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349
88
2
0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495 0,0524
87
3
0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670 0,0699
86
4
0,0699 0.0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846 0,0875
85
5
0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 0,1051
84
6
0,1051 0,1080 0,1110 0,1139 0,1169 0,1198 0,1228
83
7
0,1228 0,1257 0,1287 0,1317 0,1346 0,1376 0,1405
82
8
0,1405 0,1435 0,1465 0,1495 0,1524 0,1554 0,1584
81
9
0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1733 0,1763
80
10
0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 0,1944
79
И
0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095 0,2126
78
12
0,2126 0,2156 0,2186 0,2217 0.2247 0,2278 0.2309
77
13
0,2309 0,2339 0,2370 0,2401 0,2432 0,2462 0,2493
76
14
0,2493 0,2524 0,2555 0,2586 0,2617 0,2648 0,2679
75
15
0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 0,2867
74
16
0,2867 0,2899 0,2931 0,2962 0,2994 0,3026 0,3057
73
17
0,3057 0,3089 0,3121 0,3153 0,3185 0,3217 0,3249
72
18
0,3249 0,3281 0.3314 0,3346 0,3378 0,3411 0,3443
71
19
0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607 0,3640
70
20
0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 | 0,3805 0,3839
69
21
0,3839 0,3872 0,3906 0,3939 0,3973 0.4006 0,4040
68
22
0,4040 0,4074 0,4108 0,4142 0,4176 0,4210 0,4245
67
23
0,4245 0,4279 0,4314 0,4348 0,4383 0,4417 0.4452
66
24
0,4452 0,4487 0,4522 0,4557 0,4592 0,4628 0,4663
65
25
0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 0,4877
64
26
0,4877 0,4913 0,4950 0,4986 0,5022 0,5059 0,5095
63
27
0,5095 0,5132 0,5169 0,5206 0.5243 0,5280 0,5317
62
28
0,5317 0,5354 0,5392 0,5430 0,5467 0,5505 0,5543
61
29
0,5543 0,5581 0,5619 0,5658 0,5696 .0,5735 0,5774
60
30
0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 0,6009
59
31
0,6009 0,6048 0,6088 0,6128 0,6168 0,6208 0,6249
58
32
0,6249 0,6289 0,6330 0,6371 0,6412 0,6453 0.6494
57
33
0,6494 0,6536 0,6577 0,6619 0,6661 0.6703 0,6745
56
34
0,6745 0,6787 0,6830 0,6873 0,6916 0,6959 0.7002
55
35
0,7002 0,7046 0,7089 0.7133 0.7177 0,7221 0,7265
54
36
0,7265 0,7310 0,7355 0.7400 0,7445 0,7490 0.7536
53
37
0,7536 0.7581 0,7627 0,7673 0,7720 0,7766 07813
52
38
0.7813 0.7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050 0.8098
51
39
0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342 0.8391
50
40
0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,859 | 0.8642 0.8693
49
41
0,8693 0,8744 0,8796 0.8847 0,8899 0.8952 0.9004
48
42
0.9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271 0,9325
47
43
0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601 0,9657
46
44
0,9657 0.9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942 1.0000
45
45
1.0000 1.0058 1,0117 1.0176 1,0235 1,0295 1.0355 144
60’
50’
40’
30’
20’
10’
0’
Градусы
=—
КОТАНГЕНСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
43
ТАНГЕНСЫ
Градусы
0’
10’
20’
30’
40’
60’
60’
_<
45
1,000
1.006
1,012
1,018
1,024
1,030
1,036
44
46:
1,036
1,042
1,048
1,054
1,060
1,066
1,072
43
47
1,072
1,079
1,085
1,091
1,098
1,104
11
42
48
1111
1117
1,124
1,130
1,137
1,144
1,150
41
49
1,150
1,157
1,164
1,171
1,178
1,185
1,192
40
50
1,192
1,199
1,206
1,213
1.220
1,228
1,235
39
51
1,235
1,242
1,250
1,257
1,265
1,272
1,280
38
52
1,280
1,288
1,295
1,303
1,311
1,319
1,327
37
53
1,327
1,335
1,343
1,351
1,360
1,368
1,376
36
54
1,376
1,385
1,393
1,402
1,411
1,419
1,428
35
55
1,428
1,437
1,446
1,455 ° 1,464
1,473
1,483
34
56
1,483
1,492
1,501
1,511
1,520
1,530
1,540
33
57
1,540
1,550
1,560
1,570
1,580
1,590
1,600
32
58
1,600
1,611
1,621
1,632
1,643
1,653
1,664
31
59
1,664
1,675
1,686
1,698
1,709
1,720
1,732
30
60,
1,732
1,744
1,756
1,767
1,780
1,792
1,804
29
61
1,804
1,816
1,829
1,842
1,855
1,868
1,881
28
62
1,881
1,894
1,907
1,921
1,935
1,949
1,963
27
63
1,963
1,977
1,991
2,006
2,020
2,035
2,050
26
64
2,050
2,066
2.081
2,097
2,112
2,128
2,145
25
65
2,145
2,161
2,177
2,194
2,211
2,229
2,246
24
66
2,246
2,264
2,282
2,300
2,318
2,337
2,356
23
67
2,356
2,375
2,394
2,414
2,434
2,455
2,475
22
68
2,475
2,496
2,517
2,539
2,560
2,583 . 2,605
21
69
2,605
2,628
2,651
2,675
2,699
2,723
2,747
20
70
2,747
2,773
2,798
2,824
2,850
2,877
2,904
19
7
2,904
2,932
2,960
2,989
3,018
3,047
3,078
18
72
3,078
3,108
3,140
3,172
3,204
3,237
3.271
17
73
3,271
3,305
3,340
3,376
3,412
3,450
3,487
16
74
3,487
3,526
3,566
3,606
3,647
3,689
3,732
15
75
3,732
3,776
3,821
3,867
3,914
3,962
4,011
14
76
4,011
4,061
4,113
4,165
4.219
4,275 ‚4,331
13
77
4,331
4.390
4,449
4,511
4,574
4,638
4,705
12
78
4,705
4,773
4,843
4.915
4,989
5,066
5,145
И
79
5,145
5,226
5,309
5,396
5,485
5.576
5.671
10
80
5,671
5,769
5,871
5,976
6,084
6,197
6,314
9
81
6,314
6,435
6,561
6,691
6,827
6,968
7,115
8
82
7,115
7,269
7.429
7,596
7,770
7.953
8,144
7
83
8,144
8,345
8,556
8,777
9.010
9,255
9,514
6
84
9,514
9,788
10,078 10,385
10,712 11,059 11,430
5
85
11,430 11,826
12,251
12,706 13,197
13,727 14,301
4
86
14,301
14,924 15,605
16,350 17,169 18,075
19,081
3
87
19,081 20,206 21,470 22,904 24,542 26,432 28,636
2
88
28,636 31,242 34,368 38,188 42.964 49,104 57,290
89
57,290 68,750 85,940 114,59 171,89 343,77
о
То
60'
50’
40’
30’
20’
10’
0’
Градусы
<
КОТАНГЕНСЫ
44
ТАБЛИЦЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (ШАГ 0,1°)
СИНУСЫ
Градусы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
_.
0 | ‚ | 0,0000 | 0,0017 | 0,0035 | 0,0052 | 0,0070 | 0,0087 | 0,0105 | 0,0122 | 0,0140 | 0,0157 | 0,0175
89
1%'
|
0,0175 | 0,0192 | 0,0209 | 0,0227 | 0,0244 | 0,0262 | 0,0279 | 0,0297 | 0,0314 | 0,0332 | 0,0349
88
2 ‘| 0,0349 | 0,0366 | 0,0384 | 0,0401 | 0,0419 | 0,0436 | 0,0454 | 0,0471 | 0,0488 | 0,0506 | 0,0523
87
3
0,0523 | 0,0541 | 0,0558 | 0,0576 | 0,0593 | 0,0610 | 0,0628 | 0,0645 | 0,0663 | 0,0680 | 0,0698
86
4
0,0698 | 0,0715 | 0,0732 | 0,0750 | 0,0767 | 0,0785 | 0,0802 | 0,0819 | 0,0837 | 0,0854 | 0,0872
85
5
0,0872 | 0,0889 | 0,0906 | 0,0924 | 0,0941 | 0,0958 | 0,0976 | 0,0993 | 0,1011 | 0,1028 | 0,1045
84
6
0,1045 | 0,1063 | 0,1080 | 0,1097 | 0,1115 | 0,1132 | 0,1149 | 0,1167 | 0,1184 | 0,1201 | 0,1219
83
7
0,1219 | 0,1236 | 0,1253 | 0,1271 | 0,1288 | 0,1305 | 0,1323 | 0,1340 | 0,1357 | 0,1374 | 0,1392
82
8
0,1392 | 0,1409 | 0,1426 | 0,1444 | 0,1461 | 0,1478 | 0,1495 | 0,1513 | 0,1530 | 0,1547 | 0,1564
81
9
0,1564 | 0,1582 | 0,1599 | 0,1616 | 0,1633 | 0,1650 | 0,1668 | 0,1685 | 0,1702 | 0,1719 | 0,1736
80
10
0,1736 | 0,1754 | 0,1771 | 0,1788 | 0,1805 | 0,1822 | 0,1840 | 0,1957 | 0,1874 | 0,1891 | 0,1908
79
11
0,1908 | 0,1925 | 0,1942 | 0,1959 | 0,1977 | 0,1994 | 0,2011 | 0,2028 | 0,2045 | 0,2062 | 0,2079
78
12
0,2079 | 0,2096 | 0,2113 | 0,2130 | 0,2147 | 0,2164 | 0,2181 | 0,2198 | 0,2215 | 0,2233 | 0,2250
77
13
0,2250 | 0,2267 | 0,2284 | 0,2300 | 0,2317 | 0,2334 | 0,2351 | 0,2368 | 0,2385 | 0,2402 | 0,2419
76
14
0,2419 | 0,2436 | 0,2453 | 0,2470 | 0,2487 | 0,2504 | 0,2521 | 0,2538 | 0,2554 | 0,2571 | 0,2588
75
15
0,2588 | 0,2605 | 0,2622 4,2639 0,2656 | 0,2672 | 0,2689 | 0,2706 | 0,2723 | 0,2740 | 0,2756
74
16
0,2756 | 0,2773 | 0,2790 | 0,2807 | 0,2823 | 0,2840 | 0,2857 | 0,2874 | 0,2890 | 0,2907 | 0,2924
73
17
0,2924 | 0,2940 | 0,2957 | 0,2974 | 0,2990 | 0,3007 | 0,3024 | 0,3040 | 0,3057 | 0,3074 | 0,3090
72
18
0,3090 | 0,3107 | 0,3123 | 0,3140 | 0,3156 | 0,3173 | 0,3190 | 0,3206 | 0,3223 | 0,3239 | 0,3256
71
19
0,3256 | 0,3272 | 0,3289 | 0,3305 | 0,3322 | 0,3338 | 0,3355 | 0,3371 | 0,3387 | 0,3404 | 0,3420
70
20
0,3420 | 0,3437 | 0,3453 | 0,3469 | 0,3486 | 0,3502 | 0,3518 | 0,3535 | 0,3551 | 0,3567 | 0,3584
69
21
0,3584 | 0,3600 | 0,3616 | 0,3633 | 0,3649 | 0,3665 | 0,3681 | 0,3697 | 0,3714 | 0,3730 | 0,3746
68
22
0,3746 | 0,3762 | 0,3778 | 0,3795 | 0,3811 | 0,3827 | 0,3843 | 0,3859 | 0,3875 | 0,3891 | 0,3907
67
23
0,3907 | 0,3923 | 0,3939 | 0,3955 | 0,3971 | 0,3987 | 0,4003 | 0,4019 | 0,4035 | 0,4051 | 0,4067
66
24
0,4067 | 0,4083 | 0,4099 | 0,4115 | 0,4131 | 0,4147 | 0,4163 | 0,4179 | 0,4195 | 0,4210 | 0.4226
65
25
0,4226 | 0,4242 | 0,4258 | 0,4274 | 0,4289. | 0,4305 | 0,4321 0;4337 | 0,4352 | 0,4368 | 0.4384
64
26
0,4384 | 0,4399 | 0,4415 | 0,4431 | 0,4446 | 0,4462 | 0,4478 | 0,4493 | 0,4509 | 0,4524 | 0.4540
63
27
0,4540 | 0,4555 | 0,4571 | 0,4586 | 0,4602 | 0,4617 | 0,4633 | 0,4648 | 0,4664 | 0,4679 | 0.4695
62
28
0,4695 | 0,4710 | 0,4726 | 0,4741 | 0,4756 | 0,4772 | 0,4787 | 0,4802 | 0,4818 | 0,4833 | 0.4848
61
29
0,4848 | 0,4863 | 0,4879 | 0,4894 | 0,4909 | 0,4924 | 0,4939 | 0,4955 0,4970 0,4985 | 0,5000
60
30
0,5000 | 0,5015 | 0,5030 | 0,5045 | 0,5060 | 0,5075 | 0,5090 | 0,5105 | 0,5120 | 0,5135 | 0,5150
59
31
0,5150 | 0,5165 | 0,5180 | 0,5195 | 0,5210 | 0,5225 | 0,5240 | 0,5255 | 0,5270 | 0,5284 | 0,5299
58
32
0,5299 | 0,5314 | 0,5329 | 0,5344 | 0,5358 | 0,5373 | 0,5388 | 0,5402 | 0,5417 | 0,5432 | 0,5446
57
33
0,5446 | 0,5461 | 0,5476 | 0,5490 | 0,5505 | 0,5519 | 0,5534 | 0,5548 | 0,5563 | 0,5577 | 0,5592
56
34
0,5592 | 0,5606 | 0,5621 | 0,5635 | 0,5650 | 0,5664 | 0,5678 | 0,5693 | 0,5707 | 0,5721 1 0,5736
55
35
0,5736 | 0,5750 | 0,5764 | 0,5779 | 0,5793 | 0,5807 | 0,5821 | 0,5835 | 0,5850 | 0,5864 | 0,5878
54
36
0,5878 -| 0.5892 | 0,5906 | 0,5920 | 0,5934 | 0,5948 | 0,5962 | 0,5976 | 0,5990 | 0,6004 | 0,6018
53
37
0,6018 | 0,6032 | 0,6046 | 0,6060 | 0,6074 | 0,6088 | 0,6101 | 0,6115 | 0,6129 | 0,6143 | 0,6157
52
38
0,6157 | 0,6170 | 0,6184 | 0,6198 | 0,6211 | 0,6225 | 0,6239 | 0,6252 | 0,6266 | 0,6280 | 0,6293
51
39
0,6293 | 0,6307 | 0,6320 | 0,6334 | 0,6347 | 0,6361 | 0,6374 | 0,6388 | 0,6401 | 0,6414 | 0,6428
50
40
' 0,6428 .| 0,6441 | 0,6455 | 0,6468 | 0,6481 | 0,6494 | 0,6508 | 0,6521 | 0,6534 | 0,6547 | 0,6561
49
41
' 0,6561 | 0,6574 | 0,6587 | 0,6600 | 0,6613 | 0,6626 | 0,6639 | 0,6652 | 0,6665 | 0,6678 | 0,6691
48
42
0,6691 | 0,6704 | 0,6717 | 0,6730 | 0,6743 | 0,6756 | 0,6769 | 0,6782 | 0,6794 | 0,6807 | 0,6820
47
43
0,6820 | 0,6833 | 0,6845 | 0,6858 | 0,6871 | 0,6884 | 0,6896 | 0,6909 | 0,6921 | 0,6934 | 0,6947
46
44
0,6947 | 0,6959 | 0,6972 | 0,6984 | 0,6997 | 0,7009 | 0,7022 | 0,7034 | 0,7046 | 0,7059 | 0,7071
45
45
0,7071 | 0,7083 | 0,7096 }.0,7108 | 0,7120 | 0,7133 | 0,7145 | 0,7157 | 0,7169 | 0,7181 | 0,7193 T aa
10
9
8
7
6
5
4
3
2
|
0
Градусы
<<
КОСИНУСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
45
СИНУСЫ
Градусы | 0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.>
'
45'
0,7071 | 0,7083 | 0,7096 | 0,7108 | 0,7120 | 0,7133 | 0,7145 | 0,7157 | 0,7169 | 0,7181 | 0,7193
44
46
0,7193 | 0,7206 | 0,7218 | 0,7230 | 0,7242 | 0,7254 | 0,7266 | 0,7278 | 0,7290 | 0,7302 | 0,7314
43
47
0,7314 | 0,7325 | 0,7337 | 0,7349 | 0,7361 | 0,7373 | 0,7385 | 0,7396 | 0,7408 | 0,7420 | 0,7431
42
48
0,7431 | 0,7443 | 0,7455 | 0,7466 | 0,7478 | 0,7490 | 0,7501 | 0,7513 | 0,7524 | 0,7536 | 0,7547
41
49
0,7547 | 0,7559 | 0,7570 | 0,7581 | 0,7593 | 0,7604 | 0,7615 | 0,7627 | 0,7638 | 0,7649 | 0,7660
40
50
0,7660 | 0,7672 | 0,7683 | 0,7694 | 0,7705 | 0,7716 | 0,7727 | 0,7738 | 0,7749 | 0,7760 | 0,7771
39
51
0,7771 | 0,7782 | 0,7793 | 0,7804 | 0,7815 | 0,7826 | 0,7837 | 0,7848 | 0,7859 | 0,7869 | 0,7880
38
52
0,7880 | 0,7891 | 0,7902 | 0,7912 | 0,7923 | 0,7934 | 0,7944 | 0,7955 | 0,7965 | 0,7976 | 0,7986
37
53
0,7986 |-0,7997 | 0,8007 | 0,8018 | 0,8028 | 0,8039 | 0,8049 | 0,8059 | 0,8070 | 0,8080 | 0,8090
36
54
0,8090 | 0,8100 | 0,8111 | 0,8121 | 0,8131 | 0,8141 | 0,8151 | 0,8161 | 0,8171 | 0,8181 | 0,8192
35
55
0,8192 | 0,8202 | 0,8211 | 0,8221 | 0,8231 | 0,8241 | 0,8251 | 0,8261 | 0,8271 | 0,8281 | 0,8290
34
56
0,8290 | 0,8300 | 0,8310 | 0,8320 | 0,8329 | 0,8339 | 0,8348 | 0,8358 | 0,8368 | 0,8377 | 0,8387
33
57
0,8387 | 0,8396 | 0,8406 | 0,8415 | 0,8425 | 0,8434 | 0,8443 | 0,8453 | 0,8462 | 0,8471 | 0,8480
32
58
0,8480 | 0,8490 | 0,8499 | 0,8508 | 0,8517 | 0,8526 | 0,8536 | 0,8545 | 0,8554 | 0,8563 | 0,8572
31
59
0,8572 | 0,8581 | 0,8590 | 0,8599 | 0,8607 | 0,8616 | 0,8625 | 0,8634 | 0,8643 | 0,8652 | 0,8660
30
60
0,8660 | 0,8669 | 0,8678 | 0,8686 | 0,8695 | 0,8704 | 0,8712 | 0,8721 | 0,8729 | 0,8738 | 0,8746
29
61
0,8746 | 0,8755 | 0,8763 | 0,8771 | 0,8780 | 0,8788 | 0,8796 | 0,8805 | 0,8813 | 0,8821 | 0,8829
28
62
0,8829 | 0,8838 | 0,8846 | 0,8854 | 0,8862 | 0,8870 | 0,8878 | 0,8886 | 0,8894 | 0,8902 | 0,8910
27
63
0,8910 | 0,8918 | 0,8926 | 0,8934 | 0,8942 | 0,8949 | 0,8957 | 0,8965 | 0,8972 | 0,8980 | 0,8988
26
64
0,8988 | 0,8996 | 0,9003 | 0,9011 | 0,9018 | 0,9026 | 0,9033 | 0,9041 | 0,9048 | 0,9056 | 0,9063
25
65
0,9063 | 0,9070 | 0,9078 | 0,9085 | 0,9092 | 0,9100 | 0,9107 | 0,9114 | 0,9121 | 0,9128 | 0,9135
24
66
0,9135 | 0,9143 | 0,9150 | 0,9157 | 0,9164 | 0,9171 | 0,9178 | 0,9184 | 0,9191 | 0,9198 | 0,9205
23
67
0,9205 | 0,9212 | 0,9219 | 0,9225 | 0,9232 | 0,9239 | 0,9245 | 0,9252 | 0,9259 | 0,9265 | 0,9272
22
68
0,9272 | 0,9278 | 0,9285 | 0,9291 | 0,9298 | 0,9304 | 0,9311 | 0,9317 | 0,9323 | 0,9330 | 0,9336
21
69
0,9336 | 0,9342 | 0,9348 | 0,9354 | 0,9361 | 0,9367 | 0,9373 | 0,9379 | 0,9385 | 0,9391 | 0,9397
20
70
0,9397 | 0,9403 | 0,9409 | 0,9415 | 0,9421 | 0,9426 | 0,9432 | 0,9438 | 0,9444 | 0,9449 | 0,9455
19
71
0,9455 | 0,9461 | 0,9466 | 0,9472 | 0,9478 | 0,9483 | 0,9489 | 0,9494 | 0,9500 | 0,9505 | 0,9511
18
72
0,9511 | 0,9516 | 0,9521 | 0,9527 | 0,9532 | 0,9537 | 0,9542 | 0,9548 | 0,9553 | 0,9558 | 0,9563
17
73
0,9563 | 0,9568 | 0,9573 | 0,9578 | 0,9583 | 0,9588 | 0,9593 | 0,9598 | 0,9603
|
0,9608 | 0,9613
16
74
0,9613 | 0,9617 | 0,9622 | 0,9627 | 0,9632 | 0,9636 | 0,9641 | 0,9646 | 0,9650 | 0,9655 | 0,9659
15
75
0,9659 | 0,9664 | 0,9668 | 0,9673 | 0,9677 | 0,9681 | 0,9686 | 0,9690 | 0,9694 | 0,9699 | 0,9703
14
76
0,9703 | 0,9707 | 0,9711 | 0,9715 | 0,9720 | 0,9724 | 0,9728 | 0,9732 | 0,9736 | 0,9740 | 0,9744
13
77
0,9744 | 0,9748 | 0,9751 | 0,9755 | 0,9759 | 0,9763 | 0,9767 | 0,9770 | 0,9774 | 0,9778 | 0,9781
12
78
0,9781 | 0,9785 | 0,9789 | 0,9792 | 0,9796 | 0,9799 | 0,9803 | 0,9806 | 0,9810 | 0,9813 | 0,9816.
11
79
0,9816 | 0,9820 | 0,9823 | 0,9826 |'0,9829 | 0,9833 | 0,9836 | 0,9839 | 0,9842 | 0,9845 | 0,9848
10
80
0,9848 | 0,9851 | 0,9854 | 0,9857 | 0,9860 | 0,9863 | 0,9866 | 0,9869 | 0,9871 | 0,9874 0,9877
9
81
0,9877 | 0,9880 | 0,9882 | 0,9885 | 0,9888 | 0,9890 | 0,9893 | 0,9895 | 0,9888 | 0,9900 | 0,9903
8
82
0,9903 | 0,9905 | 0,9907 | 0,9910 | 0,9912 | 0,9914 | 0,9917 | 0,9919 | 0,9921 | 0,9923 | 0,9925
7
83
0,9925 | 0,9928 | 0,9930 | 0,9932 | 0,9934 | 0,9936 | 0,9938 | 0,9940 | 0,9942 | 0,9943 | 0,9945
6
84
0,9945 | 0,9947 | 0,9949 | 0,9951 | 0,9952 | 0,9954 | 0,9956 | 0,9957 | 0,9959 | 0,9960 | 0,9962.
5
85
0,9962 | 0,9963 | 0,9965 | 0,9966 | 0,9968 | 0,9969 | 0,9971 | 0,9972 | 0,9973 | 0,9974 | 0,9976
4
86
0,9976 | 0,9977 | 0,9978 | 0,9979 | 0,9980 | 0,9981 | 0,9982 | 0,9983 | 0,9984 | 0,9985 | 0,9986
3
87
0,9986 | 0,9987 | 0,9988 | 0,9989 | 0,9990 | 0,9990 | 0,9991 | 0,9992 | 0,9993 | 0,9993 | 0,9994
2
88
0,9994 | 0,9995 | 0,9995 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9998 | 0,9998 | 0,9998
1
89
0,9998 | 0,9999 | 0,9999 | 0,9999 | 0,9999 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 Градусы
<—
КОСИНУСЫ
46
ТАБЛИЦЫ
ТАНГЕНСЫ
Градусы | 0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
_—>
0
0.0000 | 0,0017 | 0.0035 0,0052 | 0,0070 | 0.0087 | 0,0105 | 0.0122 | 0.0140 | 0,0157 | 0,0175
89
||
0.0175 | 0.0192 | 0.0209 0,0227 | 0,0244 | 0,0262 | 0,0279 | 0.0297 | 0.0344 | 0.0332 | 0.0349
88
2
0.0349 | 0.0367 | 0.0384 0,0402 | 0.0419 | 0,0437 0.0454 0.0472 | 0.0489 | 0.0507 | 0.0524
87
3
0.0524 | 0,0542 | 0,0559 0,0577 | 0,0594 | 0.0612 | 0.0629 | 0.0647 | 0.0664 | 0.0682 | 0.0699
86
4
0.0699 | 0.0717 | 0.0734 0,0752 | 0,0769 | 0,0787 | 0,0805 | 0.0822 | 0.0840 | 0,0857. | 0.0875
85
5
0.0875 | 0.0892 | 0.0910 0,0928 | 0.0945 | 0.0963 | 0,0981 | 0.0998 | 0.1016 | 0.1033.| 0.1051
84
6
0.1051 | 0,1069 | 0.1086 0.1104 1 0.1122 | 0.1139 | 0,1157 | 0,1175 | 0.1192 | 0,1210 | 0.1228
83
7
0.1228 | 0.1246 | 0.1263 0,1281 | 0.1299 | 0.1317. | 0,1334 | 0.1352 | 0,1370 | 0.1388 | 0.1405
82
8
0,1405 | 0.1423 | 0.1441 0,1459 | 0,1477 | 0.1495 | 0,1512 | 0,1530 | 0.1548 | 0,1566 | 0,1584
81
9
0.1584 | 0.1602 | 0.1620 0.1638 | 0,1655 | 0.1673 | 0,1691 | 0,1709 | 0,1727 | 0,1745 | 0,1763
80
10
0.1763 | 0.1781 | 0.1799 0,1817 | 0,1835 | 0.1853 | 0.1871 | 0.1890 | 0.1908 | 0.1926 | 0.1944
79
11
0,1944 | 0.1962 | 0.1980 0,1998 | 0,2016 | 0.2035 | 0.2053 | 0,2071 | 0,2089 0.2107 | 0.2126
78
12
0.2126 | 0.2144 | 0.2162 0,2180.
|
0.2199 | 0.2217 | 0,2235 | 0,2254 | 0,2272 | 0.2290 | 0,2309
77
13
0.2309 | 0.2327 | 0.2345 0.2364 | 0.2382 | 0,2401 | 0.2419 | 0.2438 | 0,2456 | 0.2475 | 0.2493
76
14
0.2493 | 0.2512 | 0.2530 0,2549 | 0,2568 | 0,2586 | 0,2605 | 0,2623 | 0,2642 | 0.2661 | 0.2679
75
15
0.2679 | 0.2698 | 0.2717 0.2736 | 0.2754 | 0.2773 | 0.2792 | 0.2811 | 0,2830 | 0.2849 | 0,2867
74
16
0.2867 | 0.2886 | 0.2905 0.2924 | 0.2943 | 0.2962 | 0.2981 | 0,3000 | 0.3010 | 0.3038 | 0,3057
73
17
0.3057 | 0.3076 | 0.3096 0,3115 | 0,3134 | 0,3153 | 0.3172 | 0.3191 | 0.3211 | 0.3230 | 0.3249
72
18
0.3249 | 0.3269 | 0,3288 0,3307 | 0.3327 | 0,3346 | 0,3365 | 0,3385 | 0,3404 | 0,3424 | 0.3443
71
19
0.3443 | 0.3463 | 0.3482 0,3502 | 0,3522 | 0,3541 | 0,3561 | 0,3581 | 0,3600 | 0,3620 | 0,3640
70
20
0.3640 | 0.3659 | 0,3679 0,3699 | 0.3719 | 0,3739 | 0,3759 | 0.3779 | 0,3799 | 0.3819 | 0.3839
69
21
0.3839 | 0,3859 | 0,3879 0,3899 | 0,3919 | 0.3939 | 0,3959 | 0.3979 | 0.4000 | 0,4020 | 0.4040
68
22
4.4040 | 0.4061 | 0.4081 0,4101 | 0,4122 | 0.4142 | 0.4163 | 0,4183 | 0.4204 | 0.4224 | 0.4245
67
23
0.4245 | 0.4265 | 0.4286 0.4307 | 0.4327 | 0.4348 | 0,4369 | 0,4390 | 0,4411 | 0.4431 | 0,4452
66
24
0.4452 | 0.4473 | 0.4494 0.4515 | 0.4536 | 0.4557 | 0.4578 | 9.4599 | 0.4621 | 0.4642 | 9.4663
65
25
0.4663 | 0.4684 | 0.4706 0,4727 | 0.4748 | 0,4770 | 0.4791 | 0,4813 | 0,4834 | 0,4856 | 0.4877
64
26
0.4877 | 0.4899 | 0.4921 0,4942 | 0,4964 | 0.4986 | 0,5008 | 0,5029 | 0.5051 | 0,5073 | 0.5095
63
27
0.5095 | 0,5117 | 0.5139 0,5161 | 0.5184 | 0,5206 | 0,5228 | 0,5250 | 0,5272 | 0,5295 | 0.5317
62
28
0,5317 | 0,5340 | 0,5362 0,5384 | 0,5407 | 0.5430 | 0.5452 | 0.5475 | 0.5498 | 0.5520 | 0.5543
61
29
0,5543 | 0.5566 | 0.5589 0,5612 | 0,5635 | 0,5658 | 0,5681 | 0,5704 | 0,5727 | 0,5750 | 0.5774
60`
30
0.5774 | 0.5797 | 0.5820 | 0,5844 | 0.5867 | 0.5890 | 0,5914 | 0,5938 | 0,5961 | 9,5985 | 0,6009
59
31
0.6009 | 0.6032 | 0.6056 0.6080 | 0,6104 | 0,6128 | 0,6152 | 0.6176 0,6200 | 0.6224 | 0,6249
58
32
0,6249 | 0.6273 | 0,6297 0.6322 | 0.6346 | 0,6371 | 0,6395 | 0,6420 | 0,6445 | 0.6469 | 0.6494
57
33
0,6494 | 0,6519 | 0,6544 0.6569 | 0,6594 | 0,6619 | 0,6644 | 0,6669 | 0,6694 | 0,6720 | 0.6745
56
34
0.6745 | 0.6771 | 0.6796 0,6822 | 0,6847 | 0.6873 | 0,6899 | 0,6924 | 0.6950 | 0.6976 | 0.7002
55
35
0.7002 | 0.7028 | 0.7054 0,7080 | 0.7107 | 0,7133 | 0,7159 | 0,7186 | 0.7212 (0.7239 | 0,7265
54
36
0,7265 | 0,7292 | 0,7319 0,7346 | 0,7373 0,7400 ().7427 | 0,7454 | 0.7481 0.7508 0,7536
53
37
0.7536 | 0.7563 | 0.7590 0,7618 | 0,7646 | 0,7673 | 0.7701 | 0,7729 | 0.7757 | 0.7785 | 0,7813
52
38
0.7813 | 0.7841 |! 0.7869 0,7898 | 0,7926 | 0,7954 | 0.7983 | 0,8012 | 0,8040 | 0.8069 | 0,8098
51
39
0.8098 | 0.8127 | 0,8156 0,8185 | 0,8214 | 0,8243 | 0.8273 | 0,8302 | 0,8332 | 0.8361 | 0,8391
50
40
0.8391 | 0,8421 | 0,8451 0.8481 | 0.8511 | 0,8541 | 0,8571 | 0.8601 | 0,8632 | 0.8662 | 0,8693
49
4]
0.8693 | 0.8724 | 0.8754 0,3785 | 0,8816 | 0.8847 | 0.8878 | 0.8910 | 0,8941 | 0,8972 | 0,9004
48
42
0.9004 | 0.9036 | 0.9067 0,9099 | 0,9131 | 0,9163 | 0,9195 | 0.9228 | 0.9260 | 0.9293 | 0,9325
47
43
0.9325 | 0,9358 | 0,9391 0.9424 | 0.9457 | 0,9490 | 0.9423 | 0,9556 | 0.9590 | 0.9623 | 0,9657
46
44
0,9657 | 0,9691 0.9725 0,9759 | 0.9793 | 0.9827 | 0.9861 0.9896 | 0.9930 | 0.9965 1,0000
45
45
1,0000 | 1.003571 1,0070 | 1,0105 | 1,0141 | 1.0176 | 1.0212 | 1.0247 | 1.0283 | 1.0319 | 1.0355
tT 44
10
9
8
7
6
5
4
3
2
|
0
Градусы
<
КОТАНГЕНСЫ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
47
ТАНГЕНСЫ
1
2
4
5
6
7
8
9
Градусы | 6
3
10
45| 1,0000 | 1,0035 | 1,0070 | 1,0105| 1,0141 | 1,0176 | 1,0212 | 1,0247 | 1,0283 | 1,0319| 1,0355
44
46.
1,0355 | 1,0392 | 1,0428 | 1,0464| 1,0501 | 1,0538 | 1,0575 | 1,0612| 1,0669 | 1,0686 | 1,0725
43
47
‚ 1,0724 | 1,0761 | 1,0799 | 1,0637| 1,0875 | 1,0913 | 1,0951 | 1,0990 | 1,1028 | 1,1067| 1,1106 42
48
‚ 1.1106 | 1,1145 | 1,1184 | 1,1224| 1,1263| 1,1303| 1,1343 | 1,1383 | 1,1423 | 1,1463] 1,1504
41
49
1,1504 | 1,1544] 1,1585 | 1,1626 | 1,1667 | 1,1708 | 1,1750 | 1,1792 | 1,1833 | 1,1875] 1,1918
40
50
1,1918 | 1,1960 | 1,2002 | 1,2045 | 1,2088 | 1,2131] 1,2174 | 1,2218 | 1,2261 | 1,2305 | 1,2349
39
51
1,2349 | 1,2393 | 1,2437 | 1,2483 | 1,2527 | 1,2572 | 1,2617| 1,2662 | 1,2708 | 1,2753| 1,2799
38
52
1,2799 | 1,2846 | 1,2892 | 1,2938 | 1,2985 | 1,3032 | 1,3079 | 1,3127] 1,3175 | 1,3222 | 1,3270
37
53
1,3270 | 1,3319 | 1,3367 | 1,3416] 1,3465 | 1,3514| 1,3564 | 1,3613] 1,3663 | 1,3713] 1,3764
36
54
1,3764 | 1,3814} 1,3865 | 1,3916] 1,3968 | 1,4019} 1,4071 | 1,4124] 1,4176 | 1,4229 | 1,4281
35
55
1,4281 | 1,4335
|
.
1,4388 | 1,4442 | 1.4496 | 1,4550 | 1,4605 | 1,4659 | 1,4715 | 1.4770 | 1,4826
34
56
1,4826 | 1,4882 | 1,4938 | 1,4994] 1,5051 | 1,5108} 1,5166 | 1,5224 | 1,5282 | 1,5340 | 1,5399
33
57
1,5399 | 1,5458 | 1,5517 | 1,55771 1,5637 | 1,5697 | 1,5757 | 1,5818 | 1,5880 | 1,5941 | 1,6003
32
58
1,6003 | 1,6066 | 1,6128 | 1,6191 1 1,6255 | 1,6319 | 1,6383 | 1,6447 | 1,6512] 1,6577} 1,6643
31
59
1,6643 | 1,6709 | 1,6725 | 1,6842 | 1,6909 | 1,6977 | 1,7045 | 1,7113] 1,7182 | 1,7251} 1,7321
30
60
1,7321 | 1,7391] 1,7461 | 1,7532 | 1,7603 | 1,7675 | 1,7747 | 1,7820 | 1,7893 | 1,7966 | 1,8040
29
61
1,8040 | 1,81151 1,8190 | 1,8265 | 1,8341 | 1,8418 | 1,8495 | 1,8572 | 1,8650 | 1,8728 | 1,8807
28
62
1,8807 | 1,8887 | 1,8967 | 1,9047 | 1,9128 | 1,9210 | 1,9292 | 1,9375 | 1,9458 | 1,9542 | 1,9626
27
63
1,9626 | 1,9711 | 1,9797 | 1,9883 | 1,9970 | 2,0057 | 2,0145 | 2,0233 | 2,0323| 2,0413] 2,0503
26
64
2,0503 | 2,0594 | 2,0686 | 2,0778| 2,0872 | 2,0965 | 2,1060 | 2,1155] 2,1251| 2,2348 | 2,1445
25
65
2,1445 | 2,1543 | 2,1642 | 2,1742 | 2,1842 | 2,1943 | 2,2045 | 2.2148 | 2,2251 | 2,2355 | 2.2460
24
66
2,2460 | 2,2566 | 2,2673 | 2,2781 | 2,2889 | 2,2998 | 2,3109 | 2,3220 | 2,3332 | 2,3445 | 2,3559
23
67
2,3559 | 2,3673 | 2,3798 | 2,3906 | 2,4023 | 2,4142 | 2,4262 | 2,4383 | 2,4504| 2,4627| 2,4751
22
68
2,4751 | 2,4876 | 2,5002 | 2,5129 | 2,5257 | 2,5386 | 2,5517 | 2,5649 | 2,5782 | 2,5916| 2,6051
21
69
2,6051 | 2,6187] 2,6325 | 2,6464 | 2,6605 | 2,6746 | 2,6889 | 2,7034} 2.7179 | 2,7326 | 2,7475
20
70
2,7475 | 2,7625 | 2,7776 | 2,7927| 2,8083 | 2,8239 | 2,8397 | 2,8556 | 2,8716 | 2,8878 | 2.9042
19
71
2.9042 | 2,9208 | 2,9375 | 2,9544 | 2,9714| 2,9887 | 3,0061 | 3,0237 | 3,0415 | 3,0595 || 3,0777
18
72
3,0777 | 3,0961 | 3,1146.1 3,1334) 3,1524 | 3,1716 | 3,1910 | 3.2106} 3,2305 | 3,2506 | 3,2709
17
73
3,2709 | 3,2914 | 3.3122 | 3,3332 | 3,3544 | 3,3759 | 3,3977 | 3,4197 | 3,4420 | 3,4646 | 3,4874
16
74
3,4874 | 3,5105 | 3,5329 | 3,5576 | 3,5816 | 3,6059 | 3,6305 | 3,6554 | 3,6806 | 3,7062 | 3,7321
15
75
3,7321 | 3,7583 | 3,7848 | 3,8118 | 3,8391 | 3,8667 | 3,8947 | 3,9232 | 3,9520 | 3,9812| 4,0108
14
76
4,0108 | 4,0408 | 4,0713 | 4.1022 | 4,1335 | 4,1653 | 4,1976 | 4,2303 | 4,2635 | 4,2972 | 4,3315
3.
77
4,3315 | 4,3662 | 4,4015 | 4,4373, | 4,4737 | 4,5107 | 4,5483 | 4,5864 | 4.6252 | 4,6646 | 4,7046
12
78
4,7046 | 4,7453 | 4,7867 | 4,8288. | 4,8716 | 4,9152 | 4,9594 | 5,0045 | 5,0504| 5,0970 | 5,1446
11
79
5,1446 | 5.1929 | 5.2422 | 5,2924| 5,3435 | 5.3955 | 5.4486 | 5,5026 | 5,5578 | 5,6140| 5.6713
10
80
5,6713 | 5,7297 | 5,7894 | 5,8502 | 5,9124 | 5,9758 | 6,0405 | 6,1066] 6,1742 | 6,2432] 6,3138
9
81
6,3138 | 6,3859 | 6,4596 | 6,5350 | 6,6122 | 6,6912 | 6,7720 | 6,8548 | 6,93951 7,0264 | 7,1154
8
82
7.1154 | 7,2066 | 7,3002 | 7,3962 | 7,4947 | 7,5958 | 7,6996 | 7,8062 | 7.9158 | 8,0285 | 8,1443
7
$3
8,1443 | 8,2636 | 8,3863 | 8,5126 | 8,6427 | 8,7769 | 8,9152 | 9.0579 | 9,2052 | 9,3572 | 9.5144
6
84
9,5144 | 9.6768 | 9,8448 | 10,0187 | 10,1988 | 10,3854 | 10.5789 | 10.7797 | 10,9882 | 11,2048 | 11.4301
5
85
11,4301 | 11,6645 | 11,9087 | 12,1632 | 12,4288 | 12,7062 | 12,9962 | 13.2996 | 13.6174 | 13,9507 | 14,3007
4
86
14,3007 | 14,6685 | 15,0557 | 15,4638 | 15,8945 | 16,3499 | 16,8319 | 17.3432 | 17,8863 | 18,4645 | 19.0811 Г
3
87
19,0811 | 19,7403 | 20,4465 | 21,2049 | 22,0217 | 22,9038 | 23,8593 | 24,8978 | 26,0307 | 27,2715 | 28,6363
2
88
28,6363 | 30,1446 | 31,8205 | 33,6935 | 35,8006 | 38,1885 | 40,9174 | 44.0661 | 47,7395 | 52,0807 | 57,2900
|
89
57,2900 | 63,6567 | 71,6151 | 81,8470 | 95,4895 |114,5887) 143.2371 |190,9842 |296.4777|572.9572| &
To
10
9
8
7
6
5
4
3
2
|
0
Гралусы
<—
КОТАНГЕНСЫ
48
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.10. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции.
Для х от 0 до 1,6 (аргумент в дуговых единицах).
х
вх
e*
shx
chy
thx
sin x
cos x
tgx
0,00
1,0000
1,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
01
1,0101
0,9900
0,0100
1.0001
0,0100
0,0100
1.0000
0,0100
02
1.0202
|
0,9802
0,0200
1,0002
0,0200
0,0200
0,9998
0,0200
03
1.0305
0,9704
0,0300
1.0005
0,0300
0,0300
0,9996
0,0300
04
1.0408
0,9608
0,0400
1.0008
0.0400
0,0400
0,9992
0,0400
0,05
1.0513
0,9512
0,0500
1,0013
0,0500
0,0500
0,9988
0,0500
06
1,0618
0,9418
0,0600
1,0018
0,0599
0,0600
0,9982
0,0601
07
1.0725
0,9324
0,0701
1.0025
0,0699
0,0699
0,9976
0,0701
08
1,0833
0,9231 | 0,0801
1,0032
0,0798
0,0799
0,9968
0,0802
09
1,0942
0,9139
0,0901
1,0041
0,0898
0,0899
0,9960
0,0902
0,10
1,1052
0,9048
0,1002
1,0050
0.0997
0,0998
0,9950
0,1003
11
1,1163
0,8958
0,1102
1,0061
0,1096
0,1098
0,9940
0,1104
12
1,1275
0,8869
0,1203
1.0072
0,1194
0.1197
0,9928
0,1206
13
1,1388
0,8781
0,1304
1,0085
0,1293
0,1296
0,9916
0,1307
14
1,1503
0,8694
0,1405
1,0098
0,1391
0,1395
0,9902
0,1409
0,15
1,1618
0,8607
0,1506
1.0113
0,1489
0,1494
0,9888
0,1511
16
1,1735
0,8521
0,1607
1,0128
0,1586 | 0,1593
0,9872
0,1614
17
1,1853
0,8437
0,1708
1,0145
0,1684
0,1692
0,9856
0,1717
18
1,1972
0,8353
0,1810
1.0162
0,1781
0,1790
0,9838
0,1820
19
1,2092
0,8270
0,1911
1,0181
0,1877
0,1889
0,9820
0,1923
0,20
1,2214
0,8187
0,2013
1,0201
0,1974
0,1987
0,9801
0,2027
21
1,2337
0,8106
0,2115
1,0221
0,2070
0,2085
0,9780
0,2131
22
1,2461
0,8025
0,2218
1,0243
0,2165
0,2182
0,9759
0,2236
23
1,2586
0,7945
0,2320
1,0266
0,2260
0,2280
0,9737
0.2341
24
1,2712
0,7866
0,2423
1,0289
0.2355
0,2377
0,9713
0,2447
0,25
1,2840
0,7788
0,2526
1,0314
0,2449
0,2474
0,9689
0,2553
26
1,2969
0,7711
0,2629
1,0340
0,2543
0,2571
0,9664
0,2660
27
1,3100
0,7634
0,2733
1,0367
0,2636
0,2667
0,9638
0,2768
28
1,3231
0,7558
0,2837
1,0395
0,2729
0,2764
0,9611
0,2876
29
1,3364
0,7483
0,2941
1,0423
0,2821.
0,2860
0,9582
0,2984
0,30
1,3499
0,7408
0,3045
1,0453
0,2913
0,2955
0,9553
0,3093
31
1,3634
0,7334
0,3150
1,0484
0,3004
0,3051
0,9523
0,3203
32
1,3771
0,7261
0,3255
1,0516
0,3095
0,3146
0,9492
0,3314
33
1,3910
0,7189
0,3360
1,0549
0,3185
0,3240
0,9460
0,3425
34
1,4049
0,7118
0,3466
1,0584
0,3275
0,3335
0,9428
0,3537
. 0,35
1,4191
0,7047
0,3572
1,0619
0,3364 | 0,3429
0,9394
0,3650
36
1,4333
0,6977
0,3678
1,0655
0,3452
0,3523
0,9359
0,3764
37
1,4477
0,6907
0,3785
1,0692
0,3540
0,3616
0,9323
0,3879
38
1,4623
0,6839
0,3892
1,0731
0,3627
0,3709
0,9287
0,3994
39
1,4770
0,6771
0,4000
1,0770
0,3714
0,3802
0,9249
0,4111
0,40
1,4918
0,6703
0,4108
1,0811
0,3799
0,3894
0,9211
0,4228
41
1,5068
0,6637
0,4216
1,0852
0,3885
0,3986
0,9171
0,4346
42
1,5220
0,6570
0,4325
1,0895
0,3969
0,4078
0,9131
0,4466
43
1,5373
0,6505
0,4434
1,0939
0,4053
0,4169
0,9090
0,4586
44
1,5527
0,6440
0,4543
1,0984 . 0,4136
0,4259
0,9048
0,4708
0,45
1,5683
0,6376
0,4653
1,1030
0,4219
|
0,4350
0,9004
0,4831
46
1,5841
0,6313
0,4764
1,1077
0,4301
0,4439
0,8961
0,4954
47
1,6000
0,6250
0,4875
1,1125
0,4382
0,4529
0,8916
0,5080
48
1,6161
0,6188
0,4986
1,1174 1 0,4462 , 0,4618 | 0,8870
0,5206
49
1,6323
0,6126
0,5098
1,1225
0,4542
0,4706
0,8823
0,5334
0,50
1,6487
0,6065
0,5211
1,1276
0,4621
0.4794
0,8776
0,5463
51
1.6653
0,6005
0,5324
1,1329
0.4699
0,4882
0,8727
0,5594
52
1,6820
0,5945
0,5438
1.1383 - 0,4777
0,4969
0,8678
0,5726
53
1,6989
0,5886
0.5552
1,1438
0,4854
0,5055
0,8628
0,5859
54
1,7160
0,5827
0,5666
1,1494
0,4930
0,5141
0,8577
0,5994
0,55
1,7333
0,5769
0,5782 ` 1,1551 ' 0,5005
0,5227
0,8525
0,6131
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
49
Продолжение
х
eo
е*
shx
chx
thx
sin.
cos x
tgx
0,55
1,7333
0,5769
0,5782
1,1551
0,5005
0,5227
0,8525
0,6131
56
1,7507
0,5712
0,5897
1,1609
0,5080
0,5312
0,8473
0,6269
57
1,7683
0,5655
0,6014
1,1669
0,5154
0,5396
0,8419
0,6410
58
1,7860
0,5599
0,6131
1,1730
0,5227
0,5480
0,8365
0,6552
59
1,8040 0,5543 0,6248
1,1792 0,5299 0,5564 0,8309
0,6696
0,60
1,8221
0,5488
0,6367
1,1855
0,5370
0,5646
0,8253
0,6841
61
1,8404
0,5434
0,6485
1,1919
0,5441
0,5729
0,8196.
0,6989
62
1,8589
0,5379
0,6605
1,1984
0,5511
0,5810
0,8139
0,7139
63
1,8776
0,5326
0,6725
1,2051
0,5581
0,5891
0,8080
0,7291
64
1,8965 0,5273 0,6846 1,2119 0,5649 0,5972 0,8021
0,7445
0,65
1,9155
0,5220
0,6967
1,2188
0,5717
0,6052
0,7961
0,7602
66
1,9348
0,5169
0,7090
1,2258
0,5784
0,6131
0,7900
0,7761
67
1,9542
0,5117
0,7213
1,2330
0,5850
0,6210
0,7838
0,7923
68
1,9739
0,5066
0,7336
1,2402
0,5915
0,6288
0,7776
0,8087
69
1,9937
0,5016
0,7461
1,2476
0,5980
0,6365
0,7712
0,8253
0,70
2,0138
0,4966
0,7586
1,2552
0,6044
0,6442
0,7648
0,8423
71
2,0340
0,4916
0,7712
1,2628
0,6107
0,6518
0,7584
0,8595
72
2,0544
0,4868
0,7838
1,2706
0,6169
0,6594
0,7518:
0,8771
73
2,0751
0,4819
0,7966
1,2785
0,6231
0,6669
0,7452
0,8949
74
2,0959
0,4771
0,8094
1,2865
0,6291
0,6743
0,7385
0,9131
0;75
2,1170
0,4724
0,8223
1,2947
0,6351
0,6816
0,7317
0,9316
76
2,1383
0,4677
0,8353
1,3030
0,6411
0,6889
0,7248
0,9505
77
2,1598
0,4630
0,8484
1,3114
0,6469
0,6961
0,7179
0,9697
78
2,1815
0,4584
0,8615
1,3199
0,6527
0,7033
0,7109
0,9893
79
2,2034
0,4538
0,8748
1,3286
0,6584
0,7104
0,7038
1,0092
0,80
2,2255
0,4493
0,8881
1,3374
0,6640
0,7174
0,6967
1,0296
81
2,2479
0,4449
0,9015
1,3464
0,6696
0,7243
0,6895
1,0505
82
2,2705
0,4404
0,9150
1,3555
0,6751
0,7311
0,6822
1,0717
83
2,2933
0,4360
0,9286.
1,3647
0,6805
0,7379
0,6749
1,0934
84
2,3164
0,4317
0,9423
1,3740
0,6858
0,7446
0,6675
1,1156
0,85
2,3396
0,4274
0,9561
1,3835
0,6911
0,7513
0,6600
1,1383
86
2,3632
0,4232
0,9700
1,3932
0,6963
0,7578
0,6524
1,1616
87
2,3869
0,4190
0,9840
1,4029
0,7014
0,7643
0,6448
1,1853
88
2,4109
0,4148
0,9981
1,4128
0,7064
0,7707
0,6372
1,2097
89
2,4351
0,4107
1,0122
1,4229
0,7114
0,7771
0,6294
1,2346
0,90
2,4596
0,4066
1,0265
1,4331
0,7163
0,7833
0,6216
1,2602
91
2,4843
0,4025
1,0409
1,4434
0,7211
0,7895
0,6137
1,2864
92
2,5093
0,3985
1,0554
1,4539
0,7259
0,7956
0,6058
1,3133
93
2,5345
0,3946
1,0700
1,4645
0,7306
0,8016
0,5978
1,3409
94
_ 2,5600
0,3906
1,0847
1,4753
0,7352
0,8076
0,5898
1,3692
0,95
2,5857
0,3867
1,0995
1,4862
0,7398
0,8134
0,5817
1,3984
96
2:6117
0,3829
1,1144
1,4973
0,7443
0,8192
0,5735
1,4284
97
2,6379
0,3791
1,1294
1,5085
0,7487
0,8249
0,5653
1.4592
98
2,6645
0,3753
1,1446
1,5199
0,7531
0,8305
0.5570
1,4910
99
2,6912
0,3716
1,1598
1,5314
0,7574
0,5560
0,5487
1,5237
1,00
2,7183
0,3679
1,1752
1,5431
0,7616
0,8415
0,5403
1,5574
01
2,7456
0,3642
1,1907
1,5549
0,7658
0,8468
0,5319
1,5922
02.
2,7732
0,3606
1,2063
1,5669
0,7699
0,8521
0,5234
1,6281
03
2,8011
0,3570
1,2220
1,5790
0,7739
0,8573
0,5148
1,6652
04
2,8292
0,3535.
1,2379
1,5913
0,7779
0,8624
0,5062
1,7036
1,05
2,8577
0,3499
1,2539
1,6038
0,7818
0,8674
0,4976
1,7433
06
2,8864
0,3465
1,2700
1,6164
0,7857
0,8724
0,4889
1,7844
07
2,9154
0,3430
1,2862
1,6292
0,7895
0,8772
0,4801
1,8270
08
2,9447
0,3396
1.3025
` 1,6421
0,7932
0,8820
0,4713
1,8712
09
2,9743
0,3362
13 90
1,6552
0,7969
0,8866
0,4625
1,9171
1,10
3,0042
0,3329
1,3356
1,6685
0,8005
0,8912
0,4536
1,9648
50
ТАБЛИЦЫ
"Продолжение
х
ew
e*
shx
chx
thx
sin x
cos.v
tgx
1,10
3,0042
0,3329
1,3356
1.6685
0,8005
0,8912
0,4536
1,9648
11
3,0344
(),3296
1,3524
1,6820
0,8041
0,8957
0,4447
2,0143
12
3,0649
0,3263
1,3693
1,6956
0,8076
0,9001
0,4357
2.0660
13
3,0957
0,3230
1,3863
1.7093
0,8110
0,9044
0.4267
2,1198
14
3,1268
0,3198
1,4035
1.7233
0,8144
0,9086
0.4176
2,1759
1,15
3,1582
0,3166
1,3208
1,7374
0,8178
0,9128
0.4085
2.2345
16
3,1899
0,3135
1.4382
1,7517
0,8210
0.9168
0.3993
2,2958
17
3,2220
0,3104
1,4558
1,7662
0,8243
0,9208
0,3902
2,3600
18
3,2544
0,3073
1.4735
1,7808
(),8275
0.9246
0,3809
2.4273
19
3,2871
0,3042
1,4914
1.7957
0,8306
0,9284
0,3717
2.4979
1,20
3,3201
0,3012
1.5095
1,8107
0.8337
0,9320
0,3624
2,5722
21
3,3535
(0,2982
1,5276
1.8258
0,8367
0,9356
0,3530
2,6503
22
3,3872
0,2952
1,5460
1.8412
0,8397
0,9391
0,3436
2,7328
23
3,4212
0,2923
1.5645
1.8568
0.8426
0.9425
0,3342
2.8198
24
3,4556
0,2894
1,5831
1,8725
0,8455
0,9458
0,3248
2,9119
1,25
3,4903
0,2865
1,6019
1.8884
0,8483
0,9490
0,3153
3,0096
26©
3,5254
(),2837
1,6209.
1,9045
0,8511
0,9521
0,3058
3.1133
27
3,5609
0,2808
1.6490
1,9208
0.8538
0,9551
0,2963
3,2236
-28
3,5966
0,2780
1,6593
1,9373
(0,8565
0,9580
0,2867
3,3413
29
3,6328
0,2753
1,6788
1,9540
0.8591
(),9608
0,2771
3,4672
1,30
3.6693
0.2725
1,6984
1,9709
0,8617
0,9636
0.2675
3,6021
31
3,7062
0,2693
1,7182
1,9880
0,8643
0.9662
0,2579
3,7471
32
3,7434
0,2671.
1,7381
2.0053
0,3668
0.9687
0.2482
3.9033
33
3.7810
0,2645
1,7583
2,0228
0,8692
0,971
(0.2385
4,0723
34
3,8190
0,2618
1,7786
2,0404
0,8717
0,9735
0,2288
4,2556
1,35
3,8574
0,2592
1,7991
2.0583
0,8741
0,9757
0,2190
4,4552.
36
3,8962
0,2567
1,8198
2,0764
0,8764
0,9779
0,2092
4,6734
37
3,9354
0,2541
1,8406
2,0947
0,8787
0,9799
0,1994
4,9131
38
3.9749
0,2516
1,8617
2,1132
0.8810
0,9819
0,1896
5,1774
39
4,0149
0.2491
1.8829
2,1320
0,8832
0,9837
0,1798
5,4707
1,40
4,0552
0.2466
1,9043
2,1509
0.3854
0,9854
0,1700
5,1979
41
4,0960
0,2441
1,9259
2.1700
0,8875
0,9871
0,1601
6,1654
42.
4,1371
0.2417 ' 1,9477
2,1594
0,8896
0,9887
0,1502
6,5811
43
4,1787
0,2393
1,9697
‚2,2090
0,8917
0.9901
0,1403
7.0555
44
4,2207
0,2369
1,9919
2.2288
0,8937
0,9915
0,1304
7,6018
1.45
4,2631
0,2346
2,0143
2,2488
0.8957
0,9927
0,1205
8,2381
46
4,3060
0.2322
2,0369
2.2691
0,8977
0,9939
0,1106
8,9886
47
4,3492
0.2299
2,0597
2.2896
0,8096
0,9949
0,1606
9,8874
48
4,3929
0,2276
2.0827
2,3103
0,9015
0,9959
0,0907
10,983
49
4,4371
0,2254
2,1059
2,3312
0,9033
0,9967
0,0807
12,350
1,50
4,4817
0,2231
2,1293
2,3524
0,9051
0,9975
0,0707
14,101
51
4,5267
(0,2209
2,1529
2,3738
0.9069
0.9982
0,0608
16,428
52
4.5722
0.2187
2.1768
2,3955
0,9087
0,9987
0.0508
19,670
53
4,6182
0.2165
2,2008
2,4174
0.9104
0,9992
(),0408
24,498
54
4,6646
9,2144
2,2251
2,4395
0,912]
0,9995
0,0308
32,461
1,55
4,7115
0,2122
2,2496
2.4619
0.9138
0,9998
0.0208
48,078
56
4,7588
9,2101
2.2743
2,4845
0,9154
0,9999
0,0108
92,620
57
4,8066
0,2080
2.2993
2,5073
0.9170
},0000 + 0,0008
1255,8
58
4,8550
0,2060
2,3245
2,5305
0,9186
1,0600 — 0.0092
— 108,65
59
4.9037
0,2039
2,3499
2.5538
0,9201
0,9998
— 0,0192
— 52,067
1,60
4.9530
0,2019
2,3756
2.5775
0.9217
0,9996
— 0.0292
-- 34,233
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (ДЛЯ Х OT 1,6 ДО 10,0)
Кратные значения л и 7/2 для вычисления тригонометрических функций при x > 1,6.
у
,
к
n
ns
nen
”
ns
п.п
|
1.57080
3.14159
6
9.42478
18.84956
2
3.14159
6,28319
7
10.99557
21.99115
3
4.71239
9,42478
8
12.56637
25.13274
4
6.28319
12.56637
9
14.13717
28.27433
5
7.85398
15,70796
19
15.70796
31.41593
Примеры.
1) sin 7,5 = sin (51/2 — 0,35398) = cos 0,35398 = 0,9380 (линейная интерполяция).
2) sin 29 = sin (Yn + 0.72567) = — sin 0.72567 = — 0,6637 (линейная интерполяция).
1.1.1.11. Показательные функции (для x от 1,6 до 10,0)*).
х
o
eX
x
о
eX
x
v
e*
1,60
4.9530
0.2019
2.00
7.3891
0.1353
2.40
11.023
0.09072
1.61
5.0028
0.1999
2.01
7.4633
0.1340
2.41
11.134
0.08982
1.62
5.0531
0.1979
2.02
7.5383
0.1327
2.42
11.246
0.08892
1,63
5.1039
0.1959
2.03
7.6141
0.1313
2.43
11.359
0.08804
1,64
5.1552
0,1940
2.04
7.6906
0.1300
2.44
11.473
0.08716
1.65
5.2070
0,1920
2.05
7.7679
ОХ
2.45
11.588
0.08629
1.66
5.2593
0.1901
2.06
7.8460
(127
2.46
11.705
0.08543
1.67
5.3122
0,1882
2.07
7.9248
0.1202
2.47
11.822
().08458
1.68
5.3656
0.1864
2.08
8.0045
0.1249
2.48
11.941
(0.08374
1.69
5.4195
0,1845
2.09
8.0849
0.1237
2.49
12,061
0.08291
1.70
5.4739 0.1827
2.10
8.1662 0.1225
2,50
12.182
0.08208
1,71
5.5290
0.1809
2.11
8.2482
0.1212
2,51
12.305
(0.08127
1,72
5.5845
0.1791
2.12
8.3311
0.1200
2.52
12.429
(0.08046
1.73
5.6407
0.1773
2.13
8.4149
0.1188
2.53
12.554
().07966
1,74
5.6973
0.1755
2.14
8.4994
0.1177
2.54
12.680
(0.07887
1,75
5,7546
0,1738
2.15
8,5849
0.1165
2.55
12.807
0.07808
1,76
5.8124
0.1720
2.16
8.6711
(0.1153
2.56
12.936
0.07730
1.77
5.8709
0.1703
2,17
8.7583
(0.1142
2.57
13.066
(1.07654
1,78
5.9299
0.1686
2.18
8.8463
0.1130
2.58
13.197
(}. 077517
1,79
5,9895
0.1670
2.19
8.9352
().1119
2.59 | 13.330
(СС?
1.80
6.0496
0.1653
2.20
9.0250
().1108
2.60
13.464
(0.07427
1.81
6.1104
0.1637
2.21
9.1157
(0.1097
2.61
13.599
0.07353
1.82
6.1719
0.1620
2.22
9.2073
(0.1086
2.62
13.736
{().072%0)
1.83
6.2339
0.1604
2.23
9.2999
0.1075
2.63
13.874
(1.07208
1.84
6.2955
0.1588
2.24
9.3933
0.1065
2.64
14.013
0.07136
1.85
6,3598
0.1572
2.25
9.4877
(0.1054
2.65
14.154
(0.07068
1.86
6.4237
0.1557
2.26
9.5831
0.1044
2.66
14.296
(0.06995
1.87
6.4883
0.1541
2.27
9.6794
0.1033
2.67
14.440
0.06925
1.88
6.5535
0.1526
2.28
9.7767
0.1023
2.68
14.585
().06856
1.89
6.6194
0.1511
2.29
9.8749
().1013
2.69
14.732
0.06788
1.90
6.6859
0.1496
2.30
9.9742
0.10026
2.70
14.880
0.06721]
1.91
6.7531
0.1481
2.31
10.074
(0.09926 | 2.7)
; 15.029
0.06654
1.92
6.8210
0.1466
2.32
10.176
().09827 | 2.72
| 15.180
(0.065587
1.93
6.8895
0.1451
2.33
10.278
().09730
2.73
15.333
(0.06522
1.94
6.9588
(0.1437
2.34
10.381
0.09633 | 2.74
| 15.487
(0.06457
*) Для вычисления гиперболических функций при х > 16 можно пользоваться следующими формулами:
о
Их=
—N
xv
.—Yr
—-v
(a+с
ae ...-, ch x=
er err? ...
2
thy
ch
_shiv_l—¢
Г +е_
Эх
2.
52
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
х
ex
e*
x
ex
e*
x
ex
e*
1,95
7,0287
0,1423
2,35
10,486
0,09537
2,75
15,643
0,06393
1,96
7,0993
0,1409
2,36
10,591
0,09442
2,76
15,800
0,06329
1,97
7,1707
0,1395
2,37
10,697
0,09348
2,77
15,959
0,06266
1,98
7,2427
0,1381
2,38
10,805
0,09255
2,78
16,119
0,06204
1,99
7,3155
0,1367
2,39
10,913
0,09163
2,79
16,281
0,06142
2,00
7,3891
0,1353
2,40
11,023
0,09072
2,80
16,445
0,06081
2,80
16,445
0,0608 1
3,25
25,790
0,03877
3,70
40,447
0,02472
2,81
16,610
0,06020
3,26
26,050
0,03839
3,71
40,854
0,02448
2,82
16,777
0,05961
3,27
26,311
0,03801
3,72
41,264
0,2423
2,83
16,945
0,05901
3,28
26,576
0,03763
3,73
41,679
0,02399
2,84
17,116
0,05843
3,29
26,843
0,03725
3,74
42,098
0,02375
2,85
17,288
0,05784
3,30
27,113
0,03688
3,75
42,521
0,02352
2,86
17,462
0,05727
3,31
27,385
0,03652
3,76
42,948
0,02328
2,87
17,637
0,05670
3,32
27,660
0,03615
3,77
43,380
0,02305
2,88
17,814
0,05613
3,33
27,938
0,03579
3,78
43,816
0,02282
2,89
17,993
0,05558
3,34
28,219
0,03544
3,79
44,256
0,02260
2,90
18,174
0,05502
3,35
28,503
0,03508
3,80
44,701
0,02237
2,91
18,357
0,05448
3,36
28,789
0,03474
3,81
45,150
0,02215
2,92
18,541
0,05393
3,37
29,079
0,03439
3,82
45,604
0,02193
2,93
18,728
0,05340
3,38
29,371
0,03405
3,83
46,063
0,02171
2,94
18,916
0,05287
3,39
29,666
0,03371
3,84
46,525
0,02149
2,95
19,106
0,05234
3,40
29,964
0,03337
3,85
46,993
0,02128
2,96
- 19,298
0,05182
3.41
30,265
0,03304
3,86
47,465
0,02107
2.97
19,492
0,05130
3.42
30,569
0,03271
3,87
47,942
0,02086
2,98
19,688
0,05079
3,43
30,877
0,03239
3,88
48,424
0,02065
2,99
19,886
0,05029
3,44
31,187
0,03206
3,89
48,911
0,02045
3,00
20,086
0,04979
3,45
31,500
0,03175
3,90
49,402
0,02024
3,01.
20,287
0,04929
3,46
31,817
0,03143
3,91
49,899
0,02004
3,02
20,491
0,04880
3,47
32,137
0,03112
3,92
50,400
0,01984
3,03
20.697
0,04832
3,48
32,460
0,03081
3,93
50,907
0.01964
3,04
20,905
0,04783
3,49
32,786
0,03050
3,94
51.419
0,01945
3,05
21,115
0,04736
3,50
33,115
0,03020
3,95
51,935
0,01925
3,06
21,328
0,04689
3.51
33,448
0,02990
3.96
52,457
0,01906:
3,07
21,542
0,04642
3,52
33,784
0,02960
3,97
52,985
0,01887
3,08
21,758
0,04596
3,53
34,124
0,02930
3,98
53,517
0.01869
3,09
21,977
0.04550
3,54
34,467
0,02901
3,99
54,055
0,01850
3,10
22,198
0,04505
3,55
34,813
0,02872
4,0
54.598
0,01832
3,11
22,421
0,04460
3,56
35,163
0,02844
4,1
60,340
0,01657
3,12
22,646
0.04416
3.57
35,517
0,02816
4,2
66,686
0,01500
3,13
22,874
0,04372
3,58
35,874
0,02788
4,3
73,700
0,01357
3,14
23,104
0,04328
3.59
36.234
0,02760
4,4
81,451
0,01228
3,15
23,336
0,04285
3,60
36,598
0,02732
4,5
90,017
0.01111
3,16
23,571
0,04243
3,61
36,966
0,02705
4,6
99,484
0,01005
3,17
23,807
0,04200
3,62
37,338
0,02678
4,7
109.95
0.00910
3,18
24,047
0,04159
3.63
37,713
0,02652
48
121,51
0,00823
3,19
24,288
0,04117
3,64
38,092
0,02625
4,9
134,29
0,00745
3,20
24,533
0,04076
3,65
38,475
0,02599
5.0
148,41
0.00674
3,21
24,779
0,04036
3,66
38,861
0.02573
5,1
164,02
0.00610
3,22
25,028
0,03996
3,67
39,252
0,02548
5,2
181.27
0.00552
3,23
25,280
0,03956
3,68
39.646
0,02522
5,3
200,34
0.00499
3,24
25,534
0.03916
3,69
40,045
0.02497
5.4
221.41
0.00452
3,25
25,790
0,03877
3,70
_ 40,447
0.02472
5,5
244,69
0.00409
НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Продолжение
х
ex
e*
x
ex
еХх
х
ex
e*
5,5
244,69
0,00409
7,0
1096,6
0,000912
8,5
4914,8
0,000203
5,6
270,43
0,00370
7,1
1212,0
0,000825
8,6
5431,7
0,000184
5,7
298,87
0,00335
7,2 |
1339,4
0,000747
8,7
6002,9
0.000167
5,8
330,30
. 0.00303
7,3
1480,3
0.000676
8,8
6634,2
0,000151
5,9
365,04
0,00274
7,4
1636,0
0,00061 1
8,9
7332,0
0,000136
6,0
403,43
0,002479
7,5
1808,0
0,000553
9,0
8103,1
0,000123
6,1
445,86
0,002243
7,6
1998,2 _ 0,000500
9,1
8955,3
0.000112
6,2
492,75
0.002029
7,7
2208,3
0.000453
9,2
9897,1
0.000101
6,3
544,57
0.001836
7,8
2440,6
0.000410
9,3
10938
0.000091
6,4
601,85
0.001662
7,9
2697,3
0,000371
9,4
12088
0,000083
6,5
665,14
0.001503
8,0
2981,0
0,000335
9,5
13360
0,000075
6,6
735,10
0,001360
8,1
3294,5
0.000304
9,6
14765
0,000068
6,7
812,41
0,001231
8,2
3641,0
0,000275
9,7
16318
0,000061
6,8
897,85
0,001114
8,3
4023,9
0,000249
9,8
18034
0,000055
6,9
992,27
0.001008
8,4
4447,1
0,000225
9,9
19930
0,000050
7,0
1096,6
0.000912
8,5
4914,8
0,000203
10,0
22026
0,000045
1.1.1.12. Натуральные логарифмы.
N
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
,
0,0000
0,0100
0,0198
0,0296
0,0392
0,0488
0,0583
0,0677
0,0770
0,0862
1,1
0,0953
0,1044
0,1133
0,1222
0,1310
0,1398
0,1484
0,1570
0,1655
0,1740
1,2
0,1823
0,1906
0,1989
0,2070
0,2151
0,2231
0,2311
0,2390
0.2469
0,2546
1,3
9,2624
0,2700
0,2776
0,2852
0,2927
0,3001
0,3075. 0,3148
0.3221
0,3293
1,4
9,3365
0,3436
0,3507
0,3577
0,3646
0,3716
0,3784
0,3853
0,3920
0,3988
1,5
0,4055
0,4121
0,4187
0,4253
0,4318
0,4383
0,4447
0,4511
0,4574
0,4637
1,6
0,4700
0,4762
0,4824
0,4886
0,4947
0,5008
0,5068
0,5128
0,5188
0,5247
1,7
0,5306
0,5365
0,5423
0,5481
0,5539
0,5596
0, 5453
0,5710
0,5766
0,5822
1,8
0,5878
0,5933
0,5988
0,6043
0,6098
0,6152
0,6206
0,6259
0,6313
0,6366
1,9
0,6419
0,6471
0,6523
0,6575
0,6627
0,6678
0,6729
0,6780
0,6831
0,6881
2,0
0,6931
0,6981
0,7031
|
0,7080
0,7129
0,7178
0,7227
0,7275
0,7324
0.7372
2,1
0,7419
0,7467
0,7514
0,7561
0,7608
0,7655
0,7701
0,7747
0,7793
0,7839
2,2
0,7885
0,7930
0,7975
0,8020
0,8065
0,8109
0,8154
0,8198
0,8242
0.8286
2,3
0,8329
0,8372
0,8416
0,8459
0,8502
0,8544
0,8587
0,8629
0,8671
0,8713
2.4
0,8755
0,8796
0,8838
0,8879
0,8920
0,8961
0,9002
0,9042
0,9083
0.9123
2,5
0.9163
0,9203
0,9243
0,9282
0,9322
0.9361
0,9400
0.9439
0.9478
0,9517
2,6
0,9555
0,9594
0,9632
0.9670
0.9708.
0,9746
0,9783
0,9821
0,9858
0.9895
2,7
0,9933
0,9969
1,0006
1,0043
1,0080
1,0116
1,0152
1.0188 | 1,0225
1.0260
2,8
1,0296
1,0332
1.0367
1,0403
1,0438
1,0473
1.0508
1.0543
1,0578
1.0613
2,9
1,0647
1,0682
1,0716
1.0750
1,0784
1,0818
1.0852
1,0886
1,0919
1.0953
3,0
1,0986
1.1019
1,1053
1.1086
1,1119
1.115]
1.1184
1,1217
1.1249
1.1282
54
ТАБЛИЦЫ
Продолжение:
N
0
|
2
3
4
5
6
7
8
“9
3,0
1,0986 1.1019 1.1053
1,1086 1,1119 1,1151
1,1184 1,1217 1,1249
1,1282
3
1,1314 }.1346 1.1378
1.1410 1,1442 1.1474 1,1506 1,1537 1,1569
1,1600
3.2
1,1632 1,1663 1,1694 1.1725 1.1756 1,1787 1,1817
1,1848 1.1878
1,1909
3.3
1.1939 1.1969 1,2600 1.2030 1,2060 1,2090 1,2119 1,2149 1,2179
1,2208
3,4
1,2238 1,2267 1,2296 1,2326 1.2355 1.2384 1,2413 1,2442 1,2470
1,2499
3,5
1,2528 1,2556 1,2585
1,2613 1,2641
1,2669 1,2698
1,2726 1,2754
1,2782
3,6
1,2809 1.2837 1,2865
1,2892 1,2920 1.2947
1,2975
1,3002 1.3029
1,3056
3,7
1,3083 1,3110 1,3137
1,3164 1,3191
1.3218 1,3244 1,3271
1,3297
1,3324
3,8
1,3350 1.3376 1,3403
1,3429 1,3455 1,3481
1.3507 1,3533 1,3558
1,3584
3,9
1,3610 1,3635 1,3661
1,3686 1.3712 1.3737 1.3762 1,3788 1,3813
1,3838
4,0
1,3863 1.3888 1.3913 1,3938 1,3962 1,3987 1.4012 1,4036 1,4061
1,4085
4,1
1,4110 1,4134 1.4159 1,4183 1,4207 1,4231
1,4255 1,4279 1,4303
1.4327
4,2
1,4351
1,4375 1,4398 1,4422 1,4446 1,4469 1,4493
1,4516 1,4540
1,4563
4,3
1,4586 1,4609 1,4633
1.4656 1,4679. 1,4702 1,4725
1,4748 1,4770
1,4793
4,4
1,4816 1,4839 1,4861
1.4884 1,4907 1,4929 ` 1,4951
1,4974 1,4996
1,5019
4,5
1,5041
1,5063 1,5085
1,5107 1,5129 1,5151
1,5173 1.5195 1,5217
1,5239
4,6
1,5261
1,5282 1,5304 1,5326 1,5347 1,5369 1,5390 1,5412 1,5433
1,5454
4,7
1,5476 1,5497 1,5518
1,5539 1,5560 1,5581
1,5602. 1,5623 1,5644
1,5665
4,8
1,5686 1,5707 1.5728 1,5748 1,5769 1,5790 1,5810 1,5831
1,5851
1,5872
4,9
1,5892 1.5913 1,5933
1,5953 1.5974
1,5994 1,6014 1,6034 1,6054
1,6074
5,0
1,6094 1,6114 1,6134 1,6154 1,6174 1.6194 1,6214 1,6233 1,6253
1,6273
5,1
1,6292 1,6312 1,6332 1.6351
1,6371
1,6390 1,6409 1,6429 1,6448
1,6467
5,2
1,6487 1,6506 1.6525 1,6544 1,6563 1,6582 1,6601
1,6620 1,6639
1,6658
5,3
1,6677 1,6696 1,6715
1.6734 1,6752 1,6771
1,6790 1,6808 - 1,6827
1,6845
5,4
1,6854 1,6882 1,6901
1,6919 1,6938 1,6956 1,6974 1,6993 1,7011
1,7029
5,5
1,7047 1,7066 1,7084 1,7102 1,7120 1,7138 1,7156 1,7174 1,7192
1,7210
5,6
1,7228 1,7246 1,7263
1,7281
1,7299 1,7317 1,7334 1,7352 1,7379
1,7387
5,7
1,7405 1,7422 1,7440 1,7457 1,7475 1,7492 1,7509 1,7527 1,7544
1,7561
5,8
1,7579 1.7596 1,7613
1,7630 1,7647 1,7664 1,7681
1,7699 1,7716
1,7733
5,9
1,7750 1,7766 1,7783
1,7800 1,7817
1,7834 1,7851
1,7867 1.7884
1,7901
6,0
1,7918 1,7934 1,7951
1,7967 1,7984 1,8001
1,8017 1,8034 1.8050
1,8066
6,1
1,8083
1,8099 1,8116 1,8132 1,8148 1,8165
1,8181
1,8197 1,8213
1,8229
6,2
1,8245 1.8262 1,82 78 1,8294 1,8310 1,8326 1,8342 1,8358 1,8374
1,8390
6,3
1,8405 1,8421 1,8437 1,8453 1,8469
1,8485
1,8500 1,8516 1,8532
1,8547
6,4
1,8563 1,8579 1,8594 1,8610 1,8625 1,8641
1,8656 1,8672 1,8687
1,8703
6,5
1,8718 1,8733 1,8749 },8764 1,8779 1,3795
1,8810 1,8825 1,8840
1,8856
6,6
1,8871
1,8886 1,8901
1,8916 1,8931
1,8946 1,8961
1,8976 1,8991
1,9006
6,7
1,9021
1,9036 1.9051
1,9066 1,9081
1,9095
1,9110 1,9125 1,9140
1,9155
6,8
1,9169 1,9184 1,9199 1,9213 1,9228
1,9242 1,9257
1,9272 1,9286
1,9301
6,9
1,9315 1,9330 1,9344 1,9359 1,9373 1.9387 1,9402 1,9416 1,9430
1,9445
7,0
1,9459 1,9473 1,9488 1,9502 1,9516 1,9530 1,9544 1,9559 1,9573
1,9587
7,1
1.9601
1,9615 1,9629 1,9643 1,9657 1,9671
1,9685
1,9699 1,9713
1,9727
7,2
1,9741
1,9755 1,9769 1,9782 1,9796 1,9810 1,9824 1,9838 1,9851
1,9865
7,3
1,9879 1,9892 1,9906 1,9920 1,9933 1,9947
1,9961
1,9974 1,9988
2,0001
7,4
2,0015 2,0028 2,0042 2,0055 2,0069 2,0082 2,0096 2,0109 2,0122
2,0136
7,5
2,0149 2,0162 2,0176 2,0189 2,0202 2,0215 2,0229 2,0242 2,0255
2,0268
НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
55
11,5129
Продолжение
N
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
7.5
2.0149 2.0162 2.0176 2.019 2.0202 2.0215 2.0229 | 2.0242 2.0255
2.0268
. 7,6
2.0281
2.0295 2.0308 2.0321
2.0334 2.0347 2,0360 2.0373 2.0386
2,0399
7.7
2.0412 2.0425 2.0438 2.0451
2.0464 2.0477 2,0490 2.0503 2.0516
2.0528
7.8
2.0541
2.0554 2.0567 2.0580 2.0592 2.0605 2,0618 2.0631 2.0643
2.0656
7,9
2,0669 2.0681 2.0694 2.0707 2.0719 2.0732 2,0744 2.0757 2.0769
2.0782
8.0
2,0794 2.0807 2.0819 2,0832 2.0844 2.0857 2.0869 | 2.0882 2.0894
2.0906
8,1
2.0919 2.0931 2.0943 2.0956 2.0968 2.0980 2.0992 2.1005 2.101
2.1029
8,2
2.1041
2.1054 2.1066 2,1078 2.1090 2.1102 2.1114 2.1126 2,113
2.1150
8.3
2.1163 2.1175 2.1187 2.1199 2.1211. 2.1223 2.1235 2.1247 2.1255
2,1270
8.4
2.1282 2.1294 2.1306 2.1318 2.1330 2.1342 2.1353 2.1365 2.1377
2.1389
8,5
2.1401
2.1412 2.1424 2.1436 2.1448 2.1459 2.1471
2,1483 2.1494
2.1506
8,6
2,1518 2,1529 2,1541 2.1552 2.1564 2.1576 2.1587 2.1599 2.1610
2.1622
8;7
2,1633 2,1645 2.1656 2.1668 2.1679 2.1691
2.1702 2.1713 2.1725
2.1736
8,8
2,1748 2,1759 2.1770 2.1782 2.1793 2.1804 2,1815 2.1827 2,1838
2.1849
8,9
2.1861 2,1872 2.1883 2.1894 2.1905 2.1917 2,1928 2.1939 2.1950
3.1961
9,0
2,1972 2,1983 2,1994 2.2006 2,2017 2.2028 2,2039 2.2050 2.2061
2.2072
9.1
2,2083 2.2094 2.2105 2,2116 2,2127 2.2138 2.2148 2.2159 2,2170
2.2181
9,2
2.2192 2,2203 2,1214 2.2225 2.2235 2.2246 2,2257 2,2268 2.2279
2.2289
9,3
2.2300 2,2311 2,2322 2.2332 2,2343 2.2354 2,2364 2,2375 2.2386
2.2396
9,4
2,2407 2,2418 2,2428 2.2439 2,2450 2.2460 2,2471
2,2481 2.2492
2.2502
9,5
2,2513 2,2523 2.2534 2.2544 2.2555 2,2565 2.2576 2.2586 2.2597
2.2607
9.6
2,2618 2,2628 2.2638 2.2649 2.2659 2,2670 2,2680 2.2690 2.2701
2,2711
9,7
2,2721
2,2732 2,2742 2.2752 2,2762 2,2773 2.2783 2.2793 2.2803
2.2814
9,8
2,2824 2,2834 2,2844 2,2854 2.2865 2.2875 2.2885 2.2895 2.2905
2.2915
9,9
2,2925 2,2935 2,2946 2.2956 2,2966 2.2976 2,2986 2.2996 2,3006
2.3016
Объяснения к таблице 1.1.1.12 нату-
п 10”
ральных логарифмов. В отличие от таблиц
десятичных логарифмов, здесь даны как мантиссы, так
и характеристики. Логарифмы чисел, заключенных
2,3026
между 1 и 10, находятся непосредственно в таблице,
4.6052
причем на третий и четвертый десятичные знаки
у
должна быть внесена интерполяционная поправка.
6,9078
Для чисел, имеющих до запятой больше или меньше
одного знака, натуральные логарифмы находятся с по-
9,2103
мощью помещенных в конце таблицы значений
логарифмов степеней 10.
56
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.13. Длина окружности.
d
0
|
2.
4
5
6
7
8
9
1,0
3,142 3,173 3,204 3,236 3,267 3,299 3,330 3,362 3,393
3,424
1,1
3,456 3,487 3,519 3;550 3,581 3,613 3,644 3,676 3,707
3,738
1,2
3,770 3,801 3,833 3,864 3,896 3,927 3,958 3,990 4,021
4,053
1,3
4,084 4,115 4,147 4,178 4,210 4,241 4,273 4,304 4,335
4,367
1.4
4,398 4,430 4,461 4,492 4,524 4,555 4,587 4,618 4,650
4,681
1,5
4,712 4,744 4,775 4,807 4,838 4,869 4,901 4,932 4,964
4,995
1,6
5,027 5,058 5,089 5,121 5,152 5,184 5,215 5,246 5,278
5,309
1,7
5,341 5,372 5,404 5,435 5,466 5,498 5,529 5,561 5,592
5,623
1,8
5,655 5,686 5,718 5,749 5,781 5,812 5,843 5,875 5,906
5,938
9
5,969 6,000 6,032 6,063 6,095 6,126 6,158 6,189 6,220
6,252
2,0
6,283 6,315 6,346 6,377 6,409 6,440 6,472 6,503 6,535
6,566
2,1
6,597 6,629 6,660 6,692 6,723 6,754 6,786 6,817 6,849
6,880
2,2
6,912 6,943 6,974 7,006 7,037 7,069 7,100 7,131
7,163
7,194
2,3
7,226 7,257 7,288 7,320 7,351 7,383 7,414 7,446 7,477
7,508
2,4
7,540 7,571 7,603 7,634 7,665 7,697 7,128 7,760 7,791
7,823
2,5
7,854 7,885 7,917 7,948 7,980 8,011 8,042 8,074 8,105
8,137
2,6
8,168 8,200 8,231 8,262 8,294 8,325 8,357 8,388 8,419
8,451
2,7
8,482 8,514 8,545 8,577 8,608 8,639 8,671 8,702 8,734
8,765
2,8
8,796 8,828 8,859 8,891 8,922 8,954 8,985 9,016 9,048
9,079
2,9
9,111 9,142 9,173 9,205 9,236 9,268 9,299 9,331
9,362
9,393
3,0
9,425 9,456 9,488 9,519 9,550 9,582 9,613 9,645 9,676
9,708
3,1
9,739 9,770 9,802 9,833 9,865 9,896 9,927 9,959 9,990 10,02
3,2 10,05. 10,08 10,12
10,18 10,21
10,24 10,27
10,30
10,34
3,3 10,37 10,40 10,43
10,49
10,52 10,56 10,59 10,62
10,65
3,4 10,68 10,71
10,74
10,81
10,84 10,87 10,90 10,93
10,96
3,5
11,00 11,03 11,06
11,12 11,15
11,18 11,22 11,25
11,28
3,6
11,31 11,34 11,37
11,44
|
11,47 11,50 11,53 11,56
11,59
3,7
11,62 11,66 11,69
11,75 11,78 11,81
11,84 11,88
11,91
3,8
11,94 11,97 12,00
12,06 12,10 12,13
12,16 12,19
12,22
3,9
12,25. | 12,28 12,32
12,38 12,41
12,44 12,47 12,50
12,53
4,0
12,57 12,60 12,63
12,69 12,72 12,75 12,79 12,82
12,85
4,1
12,88 12,91
12,94
13,01
13,04 13,07
13,10 13,13
13,16
4,2
13,19 13,23 13,26
13,32 13,35 13,38
13,41
13,45
13,48
4,3
13,51 13,54 13,57
13,63
13,67 13,70 13,73 13,76 - 13,79
4,4
13,82 13,85 13,89
13,95 13,98 14,01
14,04 14,07
14,11
4,5
14,14 14,17 14,20
14,26 14,29 14,33
14,36 14,39
14,42
4,6
14,45 14,48 14,51
14,58 14,61
14,64 14,67 14,70
14,73
4,7
14,77 14,80 14,83
14,89. 14,92 14,95 14,99
15,02
15,05
4,8
15,08 15,11
15,14
15,21
15,24 15,27
15,30 15,33
15,36
4,9
15,39 15,43 15,46
15,52 15,55 15,58 15,61
15,65
15,68
5,0 15,71 15,74 15,77
15,83 15,87 15,90 15,93 15,96 15,99
5,1 16,02 16,05 16,08 16,12" 16,15 16,18 16,21 16,24 16,27 16,30
5,2 16,34 | 16,37 16,40
16,46 16,49 16,52 16,56 16,59 16,62
5,3 16,65 | 16,68 16,71
16,78 16,81 16,84 16,87 16,90 16,93
5,4
16,96 | 17,00 17,03
17,09 17,12 | 17,15 17,18
17,22
17,25
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
51
Продолжение
d
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
17,28
17,31
17,34
17,37
17,40
17,44
17,47
17,50
17,53
17,56
5,6
17,59
17,62
17,66
17,69
[7,72
17,75
17,78
17,81
17,84
17,88
5,7
17,91
17,94
17,97
18,00
18,03
18,06
18,10
18,13
18,16
18,19
5,8
18,22
18,25
18,28
18,32
18,35
18,38
18,41
18,44
18,47
18,50
5,9
18,54
18,57
18,60
18,63
18,66
18,69
18,72
18,76
18,79
18,82
6,0
18,85
18,88
18,91
18,94
18,98
19,01
19,04
19,07
19,10
19,13
6,1.
19,16
19,20
19,23
19,26
19,29
19,32
19,35
19,38
19,42
19,45
6,2
19,48
19,51
19,54
19,57
19,60
19,63
19,67
19,70
19,73
19,76
6,3
19,79
19,82
19,85
19,89
19,92
19,95
19,98
20,01
20,04
20,07
6,4
20,11
20,14
20,17
20,20
20,23
20,26
20,29
20,33
20,36
20,39
6,5
20,42
20,45
20,48
20,51
20,55
20,58
20,61
20,64
20,67
20,70
6,6
20,73
20,77
20,80
20,83
20,86
20,89
20,92
20,95
20,99
21,02
6,7
21,05
21,08
21,11
21,14
21,17
21,21
21,24
21,2/7
21,30
21,33
6,8
21,36
21,39
21,43
21,46
21,49
21,52
21,55
21,58
21,61
21,65
6,9
21,68
21,71
21,74
21,77
21,80 | 21,83
21,87
21,90
21,93
21,96
7,0
21,99
22,02
22,05
22,09
22,12
22,15
22,18
22,21
22,24
22,27
7,1
22,31
22,34
22,37
22,40
22,43
22,46
22,49
22,53
22,56
22,59
7,2
22,62
22,65
22,68
22,71
22,75
22,78
22,81
22,84
22,87
22,90
7,3
22,93
22,97
23,00
23,03
23,06
23,09
23,12
23,15
23,19
23,22
7,4
23,25
23,28
23,31
23,34
23,37
23,40
23,44
23,47
23,50
23,53 |
7,5
23,56
23,59
23,62
23,66
23,69
23,72
23,75
23,78
23,81
23,84
7,6
23,88
23,91
23,94
23,97
24,00
24,03
24,06
24,10
24,13
24,16
7,7
24,19
24,22
24,25
24,28
24,32
24,35
24,38
24,41
24,44
24,47
7,8
24,50
24,54
24,57
24,60
24,63
24,66
24,69
24,72
24,76
24,79
7,9
24,82
24,85
24,88
24,91
24,94
24,98
25,01
25,04
25,07
25,10
8,07
25,13
25,16
25,20
25,23
25,26
25,29
25,32
25,35
25,38
25,42
8,1
25,45
25,48
25,51
25,54
25,57
25,60
25,64
25,67
25,70
25,73
8,2
25,76
25,79
25,82
25,86
25,89
25,92
25,95
25,98
26,01
26,04
8,3
26,08
26,11
26,14
26,17
26,20
26,23
26,26
26,30
26,33
26,36
8,4
26,39
26,42
26,45
26,48
26,52
26,55
26,58
26,61
26,64
26,67
8,5
26,70
26,73
26,77
26,80
26,83
26,86
26,89
26,92
26,95
26,99
8,6
27,02
27,05
27,08
27,11
27,14
27,17
27,21
27,24
27,27
27,30
8,7
27,33
27,36
27,39
27,43
27,46
27,49
27,52
27,55
27,58
27,61
8,8
27,65
27,68
27,71
27,74
27,77
27,80
27,83
27,87
27,90
27,93
8,9
27,96
27,99
28,02
28,05
28,09
28,12
28,15
28,18
28,21
28,24
9,0
28,27
28,31
28,34
28,37
28,40
28,43
28,46
28,49
28,53
28,56
9,1
28,59
28,62
28,65
28,68
28,71
28,75
28,78
28,81
28,84
28,87
9,2
28,90
28,93
28,97
29,00
29,03
29,06
29,09
29,12
29,15
29,19
9,3
29,22
29,25
29,28
29,31
29,34
29,37
29,41
29,44
29,47
29,50
9,4
29,53
29,56
29,59
29,63
29,66
29,69
29,72
29,75
29,78
29,81
9,5
29,85
29,88
29,91
29,94
29,97
30,00
30,03
30,07
30,10
30,13
9,6
30,16
30,19
30,22
30,25
30,28
30,32
30,35
30,38
30,41
30,44
9,7
30,47
30,50
30,54
30,57
30,60
30,63
30,66
30,69
30,72
30,76
9,8
30,79
30,82
30,85
30,88
30,91
30,94
30,98
31,01
31,04
31,07
9,9
31,10
31,13
31,16
31,20
31,21
31,26
31,29
31,32
31,35
31,38
10,0
31,42
58
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.14. Площадь круга,
dl
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
1.0 0.7854 0.8012 0.8171 0.8332 0.8495 0.8659 0.8825 0.8992 0.9161 0.9331
1.1
0.9503 0.9677 0.9852 1,003 1.021
1,039 1.057
1.075 1.094
1.112
1.2
1.131
1.150 1.169
1.188 1.208 1.227
1.247
1.267 |.287
1.307
1.3
1.327
|.348 |.368
|.389 1.410 1.431
1.453
1.474 1.496
1.517
1.4
1.539
1.561
1.584 1.606 | 629
1.651
1.674 1.697 1.720
1.744
1.5
1.767
1.791
1.815
1.839 1.863
1.887
1911
1.936 1.961
1.986
1.6 2.011
2.036 2.061
2.087 2.112 2.138 2.164 2.190 2217
2.243
1.7 2.270
2.297 2.324 2.351 2.378 2.405 2.433 2.461
2.488
2.516
1.8 2.545
2.573 2.602 2.630 2.659 2.688 2.717 2.746 2.716
2.806
1.9 2.835
2.865 2.895 2.926 2.956 2.986 3.017 _ 3.048 3.079
3.110
2,0
3.142
3.173 3.205 3.237 3.269 3.301
3.333 3.365 3,398
3,431
21
3.464
3.497 3.530 3.563 3.597 3.631
3.664 3.698 3.733
3,767
2.2
3.801
3.836 3.871
3.906 3.941
3.976 4.011 4.047 4.083
4,119
2.3 4.155
4.191 4.227 4.264 4.301 4.337 4.374 4.412 4.449
4,486
2.4 4.524
4.562 4.600 4.638 4.676 4,714 4.753 4.792 4.831
4,870
2.5
4.909
4.948 4.988 5.027 5.067 5.107 5.147 5.187 5,228
5,269
2.6 5,309
5.350 5.391
5.433 5.474 5.515 5.557 5.599 5.641
5.683
27
5.726
5.768 5.811
5,853 5.896 5.940 5.983 6.026
|
6.070
6.114
28
6,158
6,202 6.246 6.290 6.335 6.379 6.424 6.469 6,514
6,560
29
6.605
6.651 6.697 6.743 6.789 6.835 6.881 6,928 6.975
7,022
3.0 7,069
7.116 7.163 7.211
7.258 7.306 7.354 7.402 7.451
7.499
3.1
7.548
7,596 7,645 7,694 7.744 7.793 7.843 7.892 7,942
7,992
3.2 8.042
8,093 8.143 8.194 8.245 8.296 8,347 8,398 8,450
8,501
3.3 8.553
8.605 8.657 8.709 8.762 8.814 8,867 8.920 8.973
9.026
3.4 9.079
9.133 9.186 9.240 9.294 9.348 9.402 9.457 9.511
9,566
3,5 9,621
9.676 9.731
9.787 9.842 9.898 9.954 10.01
10,07
10,12
3.6 10,18
10.24 10.29
10.35 10.41
10.46
10.52
10.58 10.64
10,69
3,7 10,75
10.81
10.87
10.93 10,99 11.04
11.10 11.16 11,22
11,28
3.8 11.34
11.40 11.46 11,52 11.58
11.64 11.70 11.76 11,82
11,88
3.9 11.95
12.01
12.07
12.13 12.19 12.25
12.32 12.38 12.44
12,50
4.0 12,57
12.63 12.69
12.76 12.82
12.88 12.95
13,01
13,07
13,14
4,1 13.20
13.27
13,33
13.40 13,46 13,53
13,59 13.66 13,72
13,79
4.2 13,85
13.92 13.99 14.05 14,12 14,19
14,25 14,32 14,39
14,45
4.3 14.52' 14,59 14,66
14,73 14,79 14,86 14,93
15,00 15,07
15,14
4.4 15,21
15,27 15.34
15,41
15.48
15.55
15,62 15,69 15,76
15,83
4,5 15,90
15,98 16,05 16,12 16,19 16,26 16.33
16.40 16.47
16,55
4,6 16,62
16,69 16,76 16,84 16.91
16,98 17,06 17.13 17.20
17.28
4,7 17,35
17,42 17,50 17,57 17,65
17.72 17,80
17.87 17.95
18.02
4.8 18,10
18,17 18,25
18,32 18.40 18,47 18.55 18,63 18,70
18.78
4.9 18.86
18.93 19,01
19,09 19.17 19,24 19.32 19,40 19,48
19,56
5,0 19,63
19,71
19.79
19.87 19.95 20,03 20,11
20,19 20,27
20,35
5,1 20,43
20.51 20,59 20.67 20,75 | 20.83 20.91 20,99 21,07
21,16
5,2 21,24
21,32 21,40 21,48 21,57 21,65 21,73 21,81 21,90
21,98
5.3 22.06
22,15 22,23 22.31 22.40 22.48 22.56 22,65 22.73
22,82
5,4 22,90
22.99 23,07 23,16 23.24 23.33 23,41
23,50 23,59
23,67
5.5 23,76
23,84 23.93 24,02 24.11 24.19 24.28 24,37 24,45
24,54
ПЛОЩАДЬ КРУГА
59
Продолжение
d
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
23,76
23,84
23,93
24,02
24,11
24,19
24,2
24,37
24,45
24,54
5,6.
24,63
24,72
24,81
24,89
24,98
25,07
25,16
25,25
25,34
25,43
5,7
25,52
25,61
25,70
25,79
25,88
25,97
26,06
26,15
26,24
26,33
5,8
26,42
26,51
26,60
26,69
26,79
26,88
26,97
27,06
27,15
27,25
5,9
27,34
27,43
27,53
27,62
27,71
27,81
27,90
27,99
28,09
28,18
6,0
28,27
28,37
28,46
28,56
28,65
28,75
28,84
28,94
29,03
29,13
6,1
29,22
29,32
29,42
29,51
29,61
29,71
29,80
29,90
30,00
30,09
6,2
30,19
30,29
30.39
30,48
30,58
30,68
30,78
30,88
30,97
31,07
6,3
31,17
31,27
31,37
31,47
31,57
31,67
31,77
31,87
31,97
32,07
6,4
32,17
32,27
32,37
32,47
32,57
32,67
32,78
32,88
32,98
33,08
6,5
33,18
33,29
33,39
33,49
33,59
33,70
33,80
33,90
34,00
34,11
6,6
34,21
34,32
34,42
34,52
34,63
34,73
34,84
34,94
35,05
35,15
6,7
35,26
35,36
35,47
35,57
35,68
35,78
35,89
36,00
36,10
36,21
6,8
36,32
36,42
36,53
36,64
36,75
36,85
36,96
37,07
37,18
37,28
6,9
37,39
37,50
37,61
37,72
37,83
37,94
38,05
38,16
38,26
38,37
7,0
38,48
38,59
38,70
38,82
38,93
39,04
39.15
33,26
39,37
39,48
7,1
39,59
39,70
39,82
39,93
40,04
49,15
40.26
40,36
40,49
40,60
‚ 7,2
40,72
40,83
40,94
.41,06
41,17
41,28
41,40
41,5}
41,62
41,74
7,3
41,85
41,97
42,08
42,20
42,31
42,43
42,54
42,66
42,78
42,89
7,4
43,01
43,12
43,24
43,36
43,47
43,59
43,71
43,83
43,94
44,06
7,5
44,18
44,30
44,41
44,53
44.65
44,77
44,89
45,01
45,13
45,25
7,6
45,36
45,48
45,60
45,72
45,84
45,96
46,08
46,20
46,32
46,45
7,7
46,57
46,69
46,81
46,93
47,05
47,17
47,29
47,42
47,54
47,06
7,8
47,78
47,91
48.03
48,15
4%,27
48,40
43,52
48,65
48,7)
48,39
7,9
49,02
49,14
49,27
49.39
49,51
49,64
49,70
49,89
50,03
50,14
8,0
50,27
50,39
50,52
50,64
50,77
50,90
51,02
51,15
51,28
51,40
8,1
51,53
51.66
51,78
51,91
52,04
52.17
52,30
52,42
52,55
52,68
8,2
52,81
$2,94
53,07
53,20
53,33
53,46
53,59
53,72
53,85
53,98
8,3
54,11
54,24
54,37
54,50
54,63
54,76
54,89
55,02
55,15
55,29
8,4
55,42
55,55
55,68
55,81
55,95
56,08
56,21
56,35
56,48
56,6!
8,5
56,75
56,88
57,01
57,15
57,28
57.41
57,55
57,68
57,82
57,95
8,6
58,09
58,22
58,36
58,49
58,63
58,77
58,90
59,04
59,17
59,31
8,7
59,45
59,58
59,72
59,86
59,99
60,13
60,27
60,41
60,55
60,68
3,8
60,82
60,96
61,10
61,24
61,38
61,51
61,65
61,79
6!,93
62,07
8,9
62,21
62,35
62,49
62,63
62,77
62,91
63,05
63,19
63.533
63,48
9,0
63,62
63,76
63,90
64,04 © 64,18
64,33
64,47
64,61
64,75
64,90
9,1
65,04
65,18
65,33
65,47
65,61
65,76
65,90
66,04
66,19
66,33
9,2
66,48
66,62
66,77
66,91
67,06
67,20
67,35
67,49
67,64
67,78
9,3
67,93
68,08
68.22.
68,37
68,51
68,66
68,81
68,96
69,10
69,25
9,4
69.40
69,55
69,69
69,84
69,99
70,14
70,29
70,44
70,58
70,73
9,5
70,88
71,03
71,18
71,33
71,48
71,63
71,78
71,93
72,08
72,23
9,6
72,38
72,53
72.68
72,84
72,99
73,14
73,29
73,44
73,59
73,75
9,7
73,90
74,05
74,20
74,36
74,51
74,66
74,82
74,97 "75.12
75,28
9,8
75,43
75,58
75,74
75,89
76.05
76,20
76.36
76,51
76.07
76,82
9.9
76,98
77.13
77,29
77,44
77,60
77.76 . 77.91
78,07
78,23
78,38
10,0 78,54
60
ТАБЛИЦЫ
1.1.1.15. Элементы сегмента круга.
1.1.1.15.1. Длина дуги и площадь сегмента для хорды, равной единице.
Подъем (отношение
Площадь
Подъем (отношение .
Площадь
стрелки к хорде)
Длина дуги /
сегмента
стрелки к хорде)
Длина дуги /
сегмента
0.01
1,0003.
0,0067
0,26
1.1715
0,1824
0,02
1,0011
0,0133
0,27
1,1843
0,1901
0,03
1,0024
0,0200
0,28
1,1975
0,1979
0,04
1,0043
0,0267
0,29
1,2110
0,2058
0,05
1,0067
0,0334
0,30
1,2250
0,2137.
0,06
1,0096
0,0401
0,31
1,2393
0,2218
0,07
1,0130
0,0468
0,32
1,2539
0,2299
0,08
1,0170
0,0536
0,33
1,2689
0,2381
0,09
1,0215
0,0604
0,34
1,2843
0,2464
0,10
1,0265
0,0672
0,35
1,3000
0,2548
0,11
1,0320
0,0740
0,36
1,3160
0,2633
0,12
1,0380
0,0809
0,37
1,3323
0,2719
0,13
1,0445
0,0878
0,38
1,3490
0,2806
0,14
1,0515
0,0948
0,39
1,3660
0,2893
0,15
1,0590
0,1018
0,40,
1,3832
0,2982
0,16
1,0669
0,1088
0,41
1,4008
0,3072
0,17
1,0754
0,1159
0,42
1,4186
0,3162
0,18
1,0843
0,1231
0,43
1,4367
0,3254
0,19
1,0936
0,1303
0,44
1,4551
0,3347
0,20
1,1035
0,1375
0,45
1,4738
0,3441.
0,21
1,1137
0,1448
0,46
1,4927
0,3536
0,22
1,1244
0,1522
0,47
1,5118
0,3632
0,23
1,1356
0,1596
0,48
1,5313
0,3729
0,24
1,1471
0,1671
0,49
1,5509
0,3828.
0,25
1,1591
0,1747
0,50
1,5708
0,3927
ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА
61
1.1.1.15.2. Длина дуги, стрелка, длина хорды и площадь сегмента для
радиуса, равного единице.
а
Центр. угол “° | Длина дуги | Стрелка h
-
Длина хорды a
h
Площадь
сегмента
|
0,0175
0,0000
458,37
0,0175
458,36
0,00000
2
0,0349
0,0002
229,19
0,0349
229,18
0,00000
3
0,0524
‘0,0003
152,80
0,0524
152,78
0.00001
4
0,0698
0,0006
114,60
0.0698
114,58
0.00003
5
0,0873
0,0010
91,69
0,0872
91,66
0,00006
6
0,1047
0,0014
76,41
0,1047.
76,38
0,00010
7
0,1222
0,0019
65,50
0,1221
65,46
0.00015
8
0,1396
0,0024
57,32
0,1395
57,27
0.00023
9
0,1571
0,0031
50,96
0.1569
50,90
0,00032
10
0,1745
0,0038
45,87
0,1743
45,81
0,00044
I!
0,1920
0,0046
41,70
0,1917
41,64
0,00059
12
0,2094
0,0055
38,23
0,2091
38,16
0,00076
13
0,2269
0,0064
35,30
0,2264
35,22
0,00097
14
0,2443
0,0075
32,78
0,2457
32,70
0,00121
15
0,2618
0,0086
30,60
0,2611
30,51
0,00149
16
0,2793
0,0097
28,69
0,2783
28,60
0,00181
17
0,2967
0,0110
27,01
0,2956
26,91
0,00217
18
0,3142
0,0123
25,52
0,3129
25,41
0,00257
19
0,3316
0,0137
24,18
0,3301
24,07
0,00302
20
0,3491
0,0152
22,98
0,3473
22,86
0,00352
21
0,3665
0,0167
21,89
0,3645
21,77
0,00408
22
0,3840
0,0184
20,90
0,3816
20,77
0,00468
23
0,4014
0,0201
20,00
0,3987
19,86
0,00535
24
0,4189
0,0219
19,17
0,4158
19,03
0,00607
25
0,4363
0,0237
18,41
0,4329
18,26
0,00686
26
0,4538
0,0256
17,71
0,4499
17,55
0,00771
27
0,4712
0,0276
17,06
0,4669
16,90
0,00862
28
0,4887
0,0297
16,45
0,4838
16,29
0,00961
29
0,5061
0,0319
15,89
0,5008
15,72
0,01067
30
0,5236
0,0341
15,37
0,5176
15,19
0,01180
31
0,5411
0,0364
14,88
0,5345
14,70
0.01301
32
0,5585
0,0387
14,42
0,5513
14,23
0.01429
33
0,5760
0;0412
13,99
0,5680
13,79
0,01566
34
. 0,5934
0,0437
13,58
0,5847
13,38
0,01711
35
0,6109
0,0463
13,20
0,6014
12,99
0,01864
36
0,6283
0,0489
12,84
0,6180
12,63
0,02027
37
| 0,6458
0,0517
12,50
0,6346
12,28
0,02198
38
0,6632
0,0545
12,17
0,6511
| 11,95
0,02378
39
0,6807
0,0574
11,87
0,6676
11,64
0.02568
40
0,6981
0,0603
11,58
0,6840
11,34
0,02767
41
0,7156
0,0633
11,30
0,7004
11,06
0,02976
42
0,7330
0,0664
11,04
0,7167
10,79
0,03195
43
0,7505
0,0696
10,79
0,7330
10,53
0,03425
44
0,7679
0,0728
10,55
0,7492
10,29
0,03664
45
0,7854
0,0761
10,32
0,7654
10,05
0;03915
46
0,8029
0,0795
10,10
0,7815
9,83
0,04176
47
0,8203
0,0829
9,89
0,7975
9,62
0,04448
48
0,8378
0,0865
9,69
0,8135
9,41
0,04731
49
0,8552
0,0900
9,50
0,8294
9,21
0,05025
50
0,8727
0,0937
9,31
0,8452
9,02
0,05331
51
0,8901
0,0974
9,14
0,8610
8,84
0,05649
52
0,9076
0,1012
8,97
0,8767
8,66
0,05978
53
0,9250
0,1051
8,80
0,8924
8,49
0,06319
54
0,9425
0,1090
8,65
0,9080
8,33
0,06673
55
0,9599
0,1130
8,50
0,9235
8,17
0,07039
56
0,9774
0,1171
8,35
0,9389
8,02
| 0,07417
57
0,9948
0,1212
8,21
0,9543
7,88
0,07808
58
1,0123
0,1254
8,07
0,9696
7,73
0,08212
59
1,0297
0,1296
7,94
|
0,9848
7,60
0,08629
60
1,0472
0,1340
7,82
1,0000
7,46
0,09059
62
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Центр. угол o° | Длина дуги / Стрелка Я
ы
Длина хорды а
a
Площадь
h
h
сегмента
60
1.0472
0.1340
7.82
1,0000
7,46
0,09059
6!
1.0647
0.1384
7.69
1,0151
7,34
0,09502
62
1.0821
0.1428
7.58
1.0301
7.21
0,09958
63
1.0996
0.1474
7.46
1.0450
7.09
0,10428
64
1.1170
0.1520
7.35
1,0598
6.97
0,10911
65
1,1345
0.1566
7.24
1,0746
6.86
0,11408
66
1,1519
0.1613
7.14
1,0893
6.75
0,11919
67
1.1694
0.1661
7.04
1,1039
6.65
0.12443
68
1.1868
0.1710
6,94
1,1184
6,54
0,12982
69
1.2043
0.1759
6.85
1,1328
6.44
0,13535
70
1,2217
0,1808
6.76
1,1472
6,34
0.14102
71
1.2392
0.1859
6.67
1.1614
6.25
0,14683
72
1.2566
(0.1910
6,58
1,1756
6,16
0.15279
73
1,2741
(0.1961
6,50
1,1896
6.07
0.15889
74
1.2915
0,2014
6,41
1.2036
5.98
0,16514
75
1,3090
0.2066
6.33
1.2175
5.89
0.17154
76
1,3265
0.2120
6,26
1,2313 /
5,81
0,17808
77
1,3439
0.2174
6,18
1,2450
5.73
0.18477
78
1.3614
0,2229
6.11
1,2586
5.65
0,19160
79
1,3788
0,2284
6.04
1,2722
5,57
0.19859
80
1,3963
0.2340
5,97
1,2856
5,49
0.20573
81
1,4137
0,2396
5.90
1,2989
5.42
0.21301
82
1.4312
0.2453
5,83
Г,3121
5,35
0,22045
83
1.4486
0,2510
5,77
1,3252
5,28
0.22804
84
1,4661
0.2569
5,71
1,3383
5.21
(),23578
85
1.4835
0.2627
5,65
1.3512
5,14
0,24367
86
1.5010.
0.2686
5.59
1,3640
5,08
0,25171
87
1.5184
0.2746
5,53
1.3767
5,01
0,25990
88
1,5359
0.2807
5.47
1.3893
4,95
0.26825
89
1,5533
0.2867
5,42
1.4018
4,89
0.27675
90
1.5708
0.2929
5.36.
1,4142
4,83
0.28540
91
1.5882
0,2991
5,31
1.4265
4,77
0,29420
92
1.6057
0.3053
5.26
1,4387
4,71
0.30316
93
1.6232
0.3116
5.21
1.4507
4.66
0.31226
94
1.6406
0.3180
5.16
1,4627
4,60
0,32152
95
1.6581
0,3244
5.11
1,4746
4,55
0.33093
96
1.6755
0,3309
5.06
1,4863
4.49
0.34050
97
1.6930
0.3374
5.02
1.4979
4.44
0.35021
98
1,7104
0.3439
4,97
1.5094
4.39
0,36008
99
1.7279
0.3506
4.93
1.5208
4.34
0,37009
100
1,7453
0.3572
4.89
1.5321
4.29
0.38026
101
1.7668
0,3639
4.84
1,5432
4.24
0.39058
102
1,7802
0.3707
4.80
1,5543
4.19
0.40104
103
1,7977
0.3775
4.76
1.5652
4,15
0.41166
104
1,8151
0.3843
4,72
1.5760
4,10
0.42242
105
1,8326
0.3912
4.68
1.5867
4.06
0.43333
106
1.8500
0.3982
4,65
1.5973
4.01
0.44439
107
1,8675
0.4052
4.61
1.6077
3.97
0.45560
108
1,8850
0,4122
4,57
1.6180
3,93
0.46695
109
1.9024
0.4193
4.54
1.6282
3,88
0,47845
110
1,9199
0.4264
4,50
1,6383
3,84
0.49008
И
1,9373
0.4336
4.47
1.6483
3,80
0,50187
112
1,9548
0,4408
4,43
1.6581
3,76
0.51379
113
1,9722
0.4481
4,40
1.6678
3,72
0.52586
114
1,9897
0.4554
4,37
1.6773
3.68
0.53806
115
2.0071
0,4627
4,34
1.6868
3,65
0.55041
116
2,0246
_ 0,4701
4.31
1.6961
3.61
0.56289
117
2.0420
0.4775
4,28
1.7053
3,57
0.57551
118
2,0595
0,4850
4,25
1.7143
3.53
0.58827
119
2,0769
0.4925
4,22
1,7233
3.50
0.60116
120
2,0944
0.5000
4,19
1.7321
3,46
0.61418
ЭЛЕМЕНТЫ СЕГМЕНТА КРУГА
63
Продолжение
Центр. угол a | Длина дуги / Стрелка h
+
| Длина хорды a
--
Плошаль
120
2,0944
0,5000
4,19
1,7321
3,46
0,61418
121
2,1118
0,5076
4.16
1.7407
3,43
0,62734
122
2,1293
0,5152
4,13
1.7492
3,40
0.64063
123
2,1468
0,5228
4,11
1,7576
3,36
0.65404
124
2,1642
0,5305
4,08
1,7659
3,33
0,66759
125
2,1817
0,5383
4,05
1,7740
3,30
0,68125
126
2,1991
0,5460
4,03
1,7820
3,26
0,69505
127
2,2166
0,5538
4,00
1,7899
3,23
0,70897
128
2,2340
0,5616
3,98
1.7976
3,20
0,72301
129
2,2515
0,5695
3.95
1,8052
3,17
0,73716
130
2,2689
0,5774
3,93
1,8126
3,14
0,75144
131
2,2864
0,5853
3,91
1.8199
3.11
0,76584
132
2,3038
0,5933
3,88
1,8271
3.08
0,78034
133
2,3213
0,6013
3,86
1,8341
3.05
0,79497
134
2,3387
0,6093
3,84
1,8410
3,02
0.80970
135
2,3562
0,6173
3,82
1.8478
2,99
0.82454
136
2,3736
0,6254
3,80
1.8544
2,97
0,83949
137
2,3911
0,6335
3,77
1,8608
2,94
0,85455
138
2,4086
0,6416
3,75
1.8672
2,91
0,86971
139
2,4260
0,6498
3,73
1,8733
2,88
0,88497
140
2,4435
0,6580
3,71
1,8794
2,86
0.90034
141
2,4609
0,6662.
3,69
1,8853
2,83
0.91580
142
2,4784
0.6744
3,67
1,8910
2,80
0,93135
143
2,4958
0,6827
3,66
1,8966
2,78
0,94700
144
2,5133
0,6910
3,64
1,9021
2,75
0.96274
145
2,5307
0,6993
3,62
1,9074
2,73
0.97858
146
2,5482
0,7076
3,60
1,9126
2,70
0,99449
147
2,5656
0,7160
3,58
1,9176
2,68
1,01050
148
2,5831
0,7244
3,57
1,9225
2,65
1.02658
149
2,6005
0,7328
3,55
1,9273
2,63
1.04275
150
2,6180
0,7412.
3,53
1,9319
2,61
1.05900
151
2,6354
0,7496
3,52
1,9363
2,58
1.07532
152
2,6529
0,7581
3,50
1,9406
2,56
1,09171
153
2,6704
0,7666
3,48
1,9447
2,54
1,10818
154
2,6878
0,7750
3,47
1,9487
2,5}
1,12472
155
2,1053
9,7836
3,45
1,9526
2,49
1.14132
156
2,7227
0,7921
3,44
1,9563
2,47
1,15799
157
2,7402
0,8006
3,42
1,9598
2,45
1.17472
158
2,7576
0,5092
3,41
1,9633
2,43
1.19151
159
2,7751
0,8178
3,39
1,9665
2,40
1.20835
160
2,7925
0,8264
3,38
1,9696
2,38
1.22525
161
2,8100
0,8350
3,37
1,9726
2,36
1,24221
162
2,8274
0,8436
3,35
1,9754
2,34
1,25921
163
2,8449
0,8522
3,34
1,9780
2,32
1,27626
164
2,8623
0,8608
3,33
1,9805
2,30
1.29335
165
2,8798
0,8695
3,31
1,9829
2,28
1,31049
166
2,8972
0,878 1
3,30
1,9851
2,26
1.32766
167
2,9147
0,8868
3,29
1,9871
2,24
1,34487
168
2,9322
0,8955
3,27
1,9890
2,22
1,36212
169
2,9496
0,9042
3,26
1,9908
2,20
1,37940
170
2,9671
0,9128
3,25
1,9924
2,18
1.39671
171
2,9845
0,9215
3,24
1,9938
2,16
1.41404
172
3,0020
0,9302
3,23
1,9951
2,14
143140
173
3,0194
0,9390
3,22
1,9963
2,13
1.44878
174
3,0369
0,9477
3,20
1,9973
2,11
1,46617
175
3,0543
0,9564
3.19
1,9981
2,09
1,48359
176
3,0718
0,9651
3,18
1,5988
2,07
1,50101
177
3,0892
0,9738
3,17
1,9993
2,05
1.51845
178
3,1067
0,9825
3,16
1,9997
2,04
1.53589
179
3,1241
0,9913
3,15
1,9999
2,02
1.55334
180
3,1416
1,0000
3,14
2,0000
2,00
1,57080
64
ТАБЛИЦЫ
Объяснения к таблицам 1.1.1.13, 1.1.1.14 и 1.1.1.15.
Таблицы 1.1.1.13 и 1.1.1.14 дают значения длины окружности и площади круга диаметра 4,
лежащего между d= 1,00 и 4 = 10,0, с четырьмя значащими цифрами. Если диаметр круга лежит
вне этих гранин, то площадь или длина окружности определяется для диаметра 10*4 или 1044.
Найденное число затем умножается в случае длины окружности соответственно на 10* или 107*,
а в случае площади круга— на 10? или 10-2. Если число значащих цифр у d больше трех,
необходимо прибегнуть к интерполяции.
Примеры. 1) Для 4 = 69,3 длина окружности равна 217,7, а площадь круга 3772. 2) Для 4 = 0,693 длина
окружности равна 2,177, а площадь круга 0,3772.
|
В таблице 1.1.1.15 даны элементы сегмента круга (рис. 1.1). Таблица 1.1.1.15.1 относится
к сегментам кругов различных радиусов, с длиной хорды, равной единице. Если при заданном
_ подъеме (отношении
` стрелки к хорде) длина хорды равна а, то приведенное в таблице значение
длины дуги должно быть умножено на а, а площадь сегмента — на a’,
Таблица 1.1.1.15.2 содержит данные, относящиеся к различным сегментам одной и той же
окружности радиуса, равного единице. Если длина радиуса равна г, то табличные значения |, h иа
должны быть умножены Ha r, а площадь сегмента — на г?. Если задается длина дуги | (или хорда
а) и стрелка h, то радиус сегмента г равен отношению | (или а) к табличному значению длины
дуги (или хорды), соответствующему данному значению {Й (или a/h).
Пример. Если длина хорды кругового сегмента а = 40 см, а стрелка й = 6 см, то для нахождения длины дуги |
вычисляем величину й/а= 0,15 и умножаем соответствующее табличное значение | (таблица 1.1.1.15.1) на 40:
| = 40. 1,0590
= 42,36 см. Радиус сегмента г и центральный угол и определяются с помощью таблицы 1.1.1.15.2.
Для afh
= 6,67 табличное значение для а равно 1,1010 и а = 66,8° (линейная интерполяция). Отсюда следует, что
г = 40: 1,1010
= 36,33 см. Теперь можно определить длину дуги [| с помощью таблицы 1.1.1.15.2: [= 36,33
. 1,1661 =
= 42,36 см.
Примеры.
р
1) 52° 37/23"
2) 5,645 рад.
50°
= 0,872665
_ 5,235988 = 300°
2° = 0,034907
0,409012
“уд
30 = 0.008727
0,401426 = 23°
ae
и”
Т = 0,002036
0,007586
Cay
20" = 0,000097
0,005818 = 20
Vv
3” = 0,000015
0,001768
0,918447
0001745 = 6
Рис, 1.1.
52° 37’ 23” = 0.91845 рад.
0.000023 =
5”
5,645 рад. = 323° 26' 5"
Вычисления удобно производить на счетах.
Радиан — это плоский угол, для которого отношение соответствующей длины дуги к радиусу
равно | (сокращенное обозначение: рад.). Дуга, равная радиусу, имеет 57° 17 44", 8.
1.1.1.16. Перевод градусной меры в раднанную.
_ (Длина дуги окружности радиуса |)
Угол
Дуга
Угол
Дуга
Угол
Дуга
Угол
Дуга
Угол
Дуга
1”
0,000005
8
0,000039
1°
0,017453
21°
0,366519
45° 0,785398
2
0,000010
9
0,000044
2
0,034907
22
0,383972
50
0,872665
3
0,000015.
10
0,000048
3
0,052360
23
0,401426
55
0,959931
4
0,000019
20
0,000097
4
0,069813
24
0,418879
60
1,047198
5
0,000024
30
0,000145
5
0,087266
25
0,436332
65
1,134464
6
- 0,000029
40
0,000194
6
0,104720
26
0,453786
70
1,221730
7
0,000034
50
0,000242
7
0,122173
27
0,471239
75 _ 1,308997
8
0, 139626
28
0,488692
80
1 396263
,
9
0,157080
29
0,506145
85
1,483530
0,000291 8 0,002327 10 0,174533 30 0,523599 90 | 1,570796
2
0,000582
9
0,002618
3
0.000873
10
0.002909
И
0,191986
31
0,541052
100
1,745329
,
,
12
0,209440
32
0,558505
120
2,094395
4
0,001 164
20
0,005818
13
0,226893
33
0,575959
150
2,617994
5
0,001454
30
0,008727
.
14
0,244346
34
0,593412
180
3,141593
6
0,001745
40
0,011636
7
0.002036
50
0.014544
15
0,261799
35
0,610865
200
3,490659
,
у
16
0,279253
36
0,628319
250
4,363323
17
0,296706
37
0,645772
270
4,712389
18
0,314159
38
0,663225
300
5,235988
19
0,331613
39
0,680678
360
6,283185
20
0,349066
40
0,698132
400
6,981317
1.1.1.17. Пр
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ
пе ии
части.
65
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1.9
2,0
|
|
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3.6
3,8
4.0 2
3,3
3,6
3,9
42
45
4.8
5,1
5.4
5,7
6,0 3
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0 4
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8.5
9,0
9,5
10,0 5
6.6
7,2
7,8
8.4
9,0
9.6
10,2
10,8
11,4
12,0 6
7,7
8.4
91
9,8
10,5
11,2
11,9
12,6
13,3
14,0
7
8,8
9.6
10,4
11,2
12.0
12.8
13,6
14,4
15,2
16,0
8
9,9
10,8
11,7
12,6
13,5
14,4
15,3
16,2
17,1 ` 18,0
9
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2.
2,2
2,3
2.4
2,5
2.6
2.7
28
29
3,0
|
4,2
44
4.6
4.8
5.0
5,2
5.4
5,6
5,8
6,0 2
6,3
6.6
6,9
7,2
7,5
7,8
8,1
8,4
8,7
90
3
by
8.4
8,8
9,2
.9,6
10,0
10,4
10,8
11,2
11,6
12,0 4
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14.0
14,5
15,0 5
12,6
13,2
13,8
14,4
15,0
15,6
16,2
16,8,
17,4
18,0 6
7.
14,7
15,4
16,1
16,8
17,5
18,2
18.9
19,6
20,3
21,0 7
16,8
17,6
18.4
19,2
20,0
20,8
21,6
22.4
23.2
24,0 8
18,9
19,8
20,7
21,6
22.5
23,4
24,3
25,2
26,1
27,0 9
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
3.1
3,2
3,3
3,4
3.5
3,6
37
3,3
3,9
4,0
6,2
6.4
6,6
6,8
7.0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0 2
9,3
9,6
9,9
10,2
10,5
10,8
1,1
11.4
11,7
12,0 3
12,4
12,8
13.2
13.6
14.0
14,4
14.8
15.2
15,6
16,0 4
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18.5
19,0
19,5
20,0 5
18,6
19,2
19.8
20,4
21,0
21.6
22.2
22.8
23,4
24.0 6
21,7
22.4
23,1
$3.8
24,5
25,2
25,9
26.6
27.3
28,0 7
24,8
25,6
26,4
27,2
28,0
28.8
29.6
30.4
31,2
32,0 8
27,9
28,8
29.7
30.6
31.5
32,4
33,3
34.2
35,1
36,0 9
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
4,1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5,0 |
8.2
8.4
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
9.8
10.0 2
12,3
12.6
12.9
13,2
13.5
13.8
14.1
14,4
14.7
15.0 3
16,4
16.8
17.2
17.6
18.0
18.4
18.8
19,2
19.6
20,0 4
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5
23.0
23,5
24.0
24.5
25,0 5
24.6
25.2
25.8
26.4
27.0
27.6
28.2
28.8
29.4
30,0 6
28,7
29,4
30.1
30,8
31,5
32.2
32.9
33.6
34.3
35.0 7
32,8
33.6. 34.4
35.2
36.0
36.8
37.6
38.4
39.2
40,0 8
36.9
37,8
38.7
39.6
40.5
41.4
42.3
43.2
44.1
45,0 9
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
|
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
|
2
10,2°
10,4
10,6
10,8
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
2
3
15,3
15,6
15,9
16,2
16,5
16,8
17,1
17,4
17,7 _ 18,0
3
4
20,4
20,8
21,2
21,6
22,0
22,4
22,8
23,2
23,6
24,0
4
5
25,5
26,0
26,5
27,0
27,5
28,0
28,5
29,0
29,5
30,0
5
6
30,6
31,2
31,8
32,4
33,0
33,6
34,2
34,8
35,4
36,0
6
7
35,7
36,4
37,1
37,8
38,5
39,2
39,9
40,6
41,3
42,0
7
8
40,8
41,6
42,4
43,2
44,0
44,8
45,6
46,4
47,2
48,0
8
9
45,9
46,8
47,7
48,6
49,5
50,4
51,3
52,2
53,1
54,0
9
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
|
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
1
2
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
13,2
13,4
13,6
13,8
14,0
2
3
18,3
18.6
18,9
19,2
19,5
19,8
20,1
20,4
20,7
21,0
3
4
24,4
24,8
25,2
25,6
26,0
26,4
26,8
27,2
27,6
28,0
4
5
30,5
31,0
31,5
32,0
32,5
33,0
33,5
34,0
34,5
35,0
5
6
36,6
37,2
37,8
38,4
39,0
39,6
40,2
40,8
41,4
42,0
6
7
42,7
43,4
44,1
44,8
45,5
46,2
46,9
47,6
48,3
49,0
7
8
48,8
49,6
50,4
51,2
52,0
52,8
53,6
54,4
55,2
56,0
8
9
54,9
55,8
56,7
57,6
58,5
59,4
60,3
61,2
62,1
63,0
9
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
|
7.1
7,2
7.3
7.4
7,5
7.6
7,7
7,8
7,9
8,0
|
2
14,2
14,4
14,6
14,8
15,0
15,2
15,4
15,6
15,8
16,0
2
3
21,3
21,6
21.9
22,2
22,5
22,8
23,1
23,4
23,7
24,0
3
4
28,4
28,8
29,2
29,6
30,0
30,4
30,8
31,2
31,6
32,0
4
5
35,5
36,0
36,5
37,0
37,5
38,0
38,5
39,0
39,5
40,0
5
6
42,6
43.2
43,8
44,4
45,0
45,6
46,2
46,8
47,4
48.0
6
7
49,7
50,4
51,1
51,8
52,5
53,2
53.9
54,6
55,3
56,0
7
8
56,8
57.6
58,4
59.2
60.0
60,8
61,6
62,4
63,2
64,0
8
9
63,9
64,8
65,7
66,6
67,5
68.4
69,3
70,2
71,1
72.0
9
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
|
8.1
8,2
8.3
8.4
8,5
8.6
8,7
8,8
8,9
9.0
|
2
16,2
16.4
16,6
16.8
17.0
17.2
17.4
17,6
17,8
18,0
2
3
24,3
24.6
24.9
25,2
25.5
25,8
26,1
26.4
26,7
27.0
3°
4
32,4
32,8
33,2
33.6
34,0
34.4
34,8
35.2
35.6
36,0
4
5
40,5
41.0
41,5
42,0
42.5
43,0
43,5
44.0
44,5
45.0
5
6
48.6
49.2
49.8
50,4
51.0
51 Gs
52.2
52,8
53.4
54,0
6
7
56.7
57,4
58,1
58.8
59.5
60,2
60.9
61,6
62,3
63.0
7
8
64,8
65.6
66.4
67,2
68.0
68.8
69.6
70.4
71.2
72.0
8
9
72.9
73,8
74,7
75.6
76.5
77.4
78.3
79.2
80.1
81.0
9
1.1.1.18. Таблица для квадратичиного интерполирования.
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КВАДРАТИЧНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
67
k
к
k
k
к
k
k
к
k
k
к
k
0,000
1,000 | 0,066
0,934 | 0,147
0,853 || 0,255
0,745
0,000
0,016
0,032
0,048
0,002
0,998 | 0,071
0,929 | 0,153
0,847 | 0,263
0,737
0,001
0,017
0,033
0,049
0,006
0,994 | 0,075
0,925 | 0,159
``0,841 0,271
0,729
0,002
0,018
0,034
0,050
0,010
0,990 | 0,080
0,920 | 0,165
0,835 | 0,280
0,720
0,003
0,019
0,035
0,051
0,014
0,986 | 0,085
0.915 | 0,171
0,829 | 0,290
0,710
0,004
0,020
0,036
0,052
0,018
0,982 || 0,090
0,910 || 0,177
0,823 || 0,300
0,700
0,005
0,021
0,037
0,053
0,022
0,978 || 0,095
0,905 | 0,183
0,817 || 0,310
0.690
0,006
0,022
0,038
0,054
0,026
0,974 | 0,100
0,900 | 0,190
0,810 | 0,321
0,679
0,007
0.023
0,039
0,055
0,030
0,970 | 0,105
0,895 | 0,196
0,804 | 0,332
0,668
0,008
0,024
0,040
0,056
0,035
0,965 | 0,110
0,890 || 0,203
0,797 | 0,345
0,655
0,009
0,025
0,041
0,057
0,039
0,961 | 0.115
0,885 | 0,210
0,790 | 0,358
0,642
0,010
0,026
0,042
0,058
0,043
0.957 || 0,120
0,880 | 0,217
0,783 | 0,373
0,627
0.011
0,027
0,043
0,059
0,048
0,952 | 0,125
0,875 | 0.224
0,776 | 0,390
0,610
0,012
0,028
0,044
0,060
0,052
0,948 | 0,131
0,869 | 0,231
0,769 | 0,410
0,590
0,013
0,029
0,045
0.061
0,057
0,943 | 0,136
0,864 | 0,239
0,761 || 0,436
0,564
0,014
0,030
0,046
0,062
0,061
0,939 | 0,142
0,858 | 0,247
0,753 || 0,500
0,50
0,015
0,031
0,047
0,066
0,934 | 0,147
0,853 | 0,255
0,745
Всем значениям К, заключенным между смежными числами столбца К (как правого, так
и левого), соответствует одно и то же значение К, помещенное между этими смежными
значениями К. «Критическим» (табличиым) значениям А соответствует вышележащее ky.
Примеры. 1) Для К = 0,8 находим К, = 0,040 (так же как и для всех других К, заключенных
между 0,797 и 0,804 или между 0,196 и 0,203).
2)ДляК=0,3(илидляК=0,7)К,=0,052.
68
ТАБЛИЦЫ
1.1.2. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1.2.1. Гамма-функция.
x
Г (х)
х
Г (x)
x
T(x)
x
Г (x)
1,00
1,00000
1,25
0,90640
1,50
0,88623
1,75
0,91906
01
0,99433
26
0,90440
51
0,88659
76
0,92137
02
0,98884
27
0,90250
52
0,88704
77
0,92376
03
0,98355
28
0,90072
53
0,88757
78
0,92623
04
0,97844
29
0,89904
54
0,88818
79
0,92877
1,05
0.97350
1,30
0,89747
1,55
0,88887
1,80
0,93138
06
0,96874
31-
0,89600
56
0,88964
81
0,93408
07
0.96415
32
0,89464
57
0,89049
82
0,93685
08
0,95973
33
0,89338
58
0,89142
83
0,93969
09
0,95546
34
0,89222
59
0,89243
84
0,94261
1,10
0,95135
1,35
0,89115
1,60
0,89352
1,85
0.94561
11
0,94740
36
0.89018
61
0,89468
86
0,94869
12
0,94359
37
0,88931
62
0,89592
87
0,95184
13
0,93993
38
0,88854
63
0,89724
88
0,95507
14
0,93642
39
0.88785
64
0,89864
89
0,95838
1,15
0,93304
1,40
0,88726
1,65
0,90012
1,90
0,96177
16
0,92980
41
0.88676
66
0,90167
91
0,96523
17
0,92670
42
0,88636
67
0,90330
92
0,96877
18
0,92373
43
0,88604
68
0.90500
93
0.97240
19
0,92089
44
0,88581
69
0.90678
94
0,97610
1,20
0,91817
1,45
0,88566
1,70
0,90864
1,95
0,97988
21
0,91558
46
0,88560
71
0,91057
96
0.98374
22
0.91311
47
0.88563
72
0.91258
97
0.98768
23
0,91075
48
0,88575
73
0,91467
98
0,99171
24
0,90852
49
0,88595
74
0.91683
99
0,99581
1,25
0,90640
1,50
0,88623
1,75
0.91906
2,00
1.00000
Значения гамма-функции для х<1 (х=0, —1, —2, ...) и для x>2 могут быть вычислены
при помощи формул
| 4+1)
Го)=——
Г (х) = х-— ВСС-— 1).
Примеры. 1) Г(0,7) = Г(1,7)/0,7 = 0,90864/0,7 = 1.2981.
2) Г (3,5) = 2,5. Г (2,5) =2,5.1,5.Г (1,5) = 2,5.1,5.0,88623 = 3,32336.
БЕССЕЛЕВЫ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ
69
1.1.2.2. Бесселевы (цилиндрические) функцин.
x
Jy (x)
J, (x)
У, (x)
JY, (<>)
I, (x)
I, (x)
Ky (x)
К, (x)
0,0
+ 1,0000
+0,0000
—©
—- wo
+ 1,000
0,0000
L
om
0,1
0,9975
0,0499 — 1.5342
— 6,4590
1,003
+ 0,0501
2,4271
9,8538
0,2
0,9900
0,0995
1,0811
3,3238
1,010
0,1005
1,7527
4,7760
0,3
0,9776
0,1483
0,8073
2,2931
1,023
0,1517
1,3725
3,0560
0,4
0,9604
0,1960
0,6060
1,7809
1,040
0,2040
1,1145
2,1844
0,5
+ 0,9385
+0,2423
— 0,4445
— 1,4715
1,063
0,2579
0.9244
1,6564
0,6
0,9120
0,2867
0,3085
1,2604
1,092
0,3137
0,7775
1,3028
0,7
0,8812
0,3290
0.1907
1,1032
1,126
0,3719
0,6605
1,0503
0,8
0,8463
0,3688
— 0,0868
0.9781
1,167
0,4329
0,5653
0,8618
0,9
0,8075
0,4059 + 0,0056 - 0,8731
1,213
0,4971
0,4867
0,7165
1,0
+0,7652
+ 0,4401 + 0,0883
-- 0,7812
1,266
0,5652
0,4210
0,6019
1,1
0,7196
0,4709
0,1622
0,6981
1.326
` 0,6375
0,3656
0, 5098
‚2
0,6711
0,4983
0,2281
0,6211
1.394
0,7147
0,3185
0,4346
1,3
0,6201
0,5220
0,2865
0,5485
1,469
0,7973
0,2782
0,3725
1,4
0,5669
0,5419
0,3379
0.4791
1,553
0,8861
0,2437
0,3208
1,5
+0,5118
+ 0,5579 -- 0,3824
— 0,4123
1.647
0,9817
0,2138
0,2774
1,6
0,4554
0,5699 ` 0,4204
0,3476
1,750
1,085
0,1880
0,2406
1,7
0,3980
0,5778
0,4520 : 0.2847
1,864
1,196
0,1655
0,2094
1,8
0,3400
0,5815
0,4774
0,2237
1,990
1,317
0,1459
0,1826
1,9
0,2818
0,5812
0,4968
0,1644
2,128
1.448
0,1288
0,1597
2,0
+0,2239
+ 0,5767
+0,5104
— 0,1070
2,280
1,591
0,1139
0,1399
2,1
0,1666
0,5683
0,5183
— 0,0517
2,446
1,745
0.1008
0,1227
2,2
0,1104
0,5560
0,5208
+ 0,0015
2,629
1.914
0,08927
0,1079
2,3
0,0555
0,5399
0,5181
0,0523
2,830
2.098
0,07914
0,09498
2,4
0,0025
0,5202
0,5104
0,1005
3,049
2,298
0,07022
0,08372
2,5
— 0,0484
+ 0,4971
+ 0,4981
4-0,1459
3,290
2,517
0,06235
0,07389
2,6
0,0968
0,4708
0,4813
0,1884
3,553
2,755
0,05540
0,06528
2,7
0,1424
0,4416
0,4605
0,2276
3,842
3,016
0,04926
0,05774
2,8
0,1850
0.4097
0,4359
0,2635
4,157
3,301
0,04382
0,05111
2,9
0,2243
0,3754
0,4079
0,2959
4,503
3,613
0,03901
0,04529
3,0
— 0,2601
+0,3391
+0,3769
+0,3247
4,881
3.953
0.03474
0,04016
3,1
0,2921
0,3009
0,3431
0,3496
5,294
4,326
0,03095
0,03563
3,2
0,3202
0,2613
0,3070
0.3707
5,747
4,734
0,02759
0,03164
3,3
0,3443
0,2207
0,2691
(),3879
6,243
5,181
0,02461
0,02812
3,4
0.3643
0,1792
0,2296
0,4010
6,785
5.670
0,02196
0,02500
3,5
— 0,3801
+0,1374
+ 0,1890
+0,4102
7,378
6,206
0,01960
0,02224
3,6
0,3918
0.0955
0,1477
0,4154
8,028
6.793
0,01750
0,01979
3,7
0,3992
0,0538
0,1061
0,4167
8.739
7.436
0,01563
0,01763
3,8
0,4026
+ 0,0128
0,0645
0.4141
9,517
8.140
0,01397
0,01571
3,9
0,4018
—0,0272
-- 0,0234
0,4078
10,37
8,913
0,01248
0,01400
4,0
—0,3971
— 0,0660 — 0,0169
+0,3979
11,30
9,759
0.01116
0,01248
4,1
0,3887
0,1033
0.0561
0,3846
12,32
10,69
0.009980
0,01114
4,2
0,3766
0,1386
0,0938
0.3680
13.44
11,71
0,008927
0,009938
4,3
0,3610
0,1719
0,1296
0,3484
14,67
12,82
0,007988
0.008872
4,4
0,3423
0,2028
0,1633
0,3260
16,01
14,05
0,007149
0.007923
4,5
— 0,3205
— 0,2311
— 0.1947
-- 0.3010
17.48
15,39
0,006400
0.007078
4,6
0,2961
0,2566 0.2235 0.2737 19.09
16.86
0.005730 0.006325
47
0.2693
0.2791
0,2494
0.2445
20.86
18.48
0.005132 ` 0.005654
4,8
0,2404
0,2985
0,2723
0,2136
22,79
20,25
0.004597
0.005055
4,9
0,2097
0,3147
0.2921
0,1812
24.91
22,20
0.004119
0,004521
70
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
x
Jy (x)
J (x)
7, (x)
Y, (x)
I, (x)
Ц (x)
Ky (x)
K, (x)
0,00
0,00
5,0
— 0,1776
— 0,3276
— 0,3085
+ 0,1479
27,24
24,34
3691
4045
5,1
0,1443
0,3371
0,3216
0,1137
29,79
26,68
3308
3619
5,2
0,1103
0,3432
0,3313
0,0792
32,58
29,25
2966
3239.
5,3
0,0758
0,3460
0,3374
0,0445
35,65
32,08
2659
2900
5,4
0,0412
0,3453
0,3402
+ 0,0101
39,01
35,18
2385
2597
5,5
— 0,0068
— 0,3414
— 0,3395
— 0,0238
42,69
38,59
2139
2326
5,6
+ 0,0270
0,3343
0,3354
0,0568
46,74
42,33
1918
2083
5,7
0,0599
0,3241
0,3282
0,0887
51,17
46,44
1721
1866
5,8
0,0917
0,3110
0,3177
0,1192
56,04
50,95
- 1544
1673
5,9
0,1220
0,2951
0,3044
0,1481
61,38
55,90
1386
1499
6,0
+ 0,1506
— 0,2767
— 0,2882
— 0,1750
67,23
61,34
1244
1344
6,1
0,1773
0,2559
0,2694
0,1998
73,66
67,32
1117
1205
6,2
0,2017
0,2329
0,2483
0,2223
80,72
73,89
1003
1081
6,3
0,2238
0,208 1
0,2251
0,2422
88,46
81,10
09001
09691
6,4
0,2433
0,1816
0,1999
0,2596
96,96
89,03
08083
08693
6,5
+0,2601
—0,1538
— 0,1732
— 0,2741
106,3
97,74
07259
07799
6,6
0,2740
0,1250
0,1452
0,2857
116,5
107,3
06520.
06998
6,7
0,2851
0,0953
0,1162
0,2945
129,8
117,8
05857
06280
6,8
0,2931
0,0652
0,0864
0,3002
140,1
129,4
05262
05636
6,9
0,2981
0,0349
0,0563
0,3029
153,7
142,1
04728
05059
7,0
+ 0,3001
— 0,0047
— 0,0259
— 0,3027
168,6
156,0
04248
04542
7,1
0,2991
+ 0,0252
+ 0,0042
0,2995
185,0
171,4
03817
04078
7,2
0,2951
0,0543
0,0339
0,2934
202,9
188,3
03431
03662
7,3
0,2882
0,0826
0,0628
0,2846
222,7
206,8
03084
03288
7,4
0,2786
0,1096
0,0907
0,2731
244,3
227,2
02772
02953
7,5
+0,2663
+0,1352
+0,1173
— 0,2591
268,2
249,6
02492
02653
7,6
0,2516
0,1592
0,1424
0,2428
294,3
274,2
02240
02383
7,7
0,2346
0,1813
0,1658
0,2243
323,1
301,3
02014
02141
7,8
0,2154
0,2014
0,1872
0,2039
354,7
331,1
01811
01924
7,9
0,1944
0,2192
0,2065
0,1817
389,4
363,9
01629
01729
8,0
+0,1717
+ 0,2346 ‚ +0,2235
— 0,1581
427,6
399,9
01465
01554
8,1
0,1475
0,2476
0,2381
0,1331
469,5
439,5
01317
01396
8,2
0,1222
0,2580
0,2501
0,1072
515,6
483,0
01185
01255
8,3
0,0960
0,2657
0,2595
0,0806
566,3
531,0
01066
01128
8,4
0,0692
0,2708
0,2662
0,0535
621,9
583,7
009588
01014
8,5
+ 0,0419
+ 0,2731
+ 0,2702
— 0,0262
683,2
641,6
008626
009120
8,6
+ 0,0146
0,2728
0,2715
+0,0011
750,5
705,4
007761
008200
8,7
— 0,0125
0,2697
0,2700
0,0280
824,4
775,5
006983
007374
8,8
0,0392
0,2641
0,2659
0,0544
905,8
852,7
006283
006631
8,9
0,0653
0,2559
0,2592
0,0799
995,2
937,5
005654
005964
9,0
— 0,0903
+ 0,2453
+0,2499
+0,1043
1094
1031
005088
005364
9,1
0,1142
0,2324
0,2383
0,1275
1202
1134
004579
004825
9,2
0,1367
0,2174
0,2245
0,1491
1321
1247
004121
004340
9,3
0,1577
0,2004
0,2086
0,1691
1451
1371
003710
003904
9,4
0,1768
0,1816
0,1907
0,1871
1595
1508
003339
003512
9,5
— 0,1939
+ 0,1613
+ 0,1712
+ 0,2032
1753
1658
003006
003160
9,6
0,2090
0,1395
0,1502
0,2171
1927
1824
002706
002843
9,7
0,2218
0,1166
0,1279 — 0,2287
2119
2006
002436
002559
9,8
0,2323
0,0928
0,1045-
0,2379
2329
2207
002193
002302
9,9
0,2403
0,0684
0,0804
0,2447
2561
2428
001975
002072
10,0 — 0,2459 +0,0435 +0,0557 +0,2490 2816
2671
001778
001865
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА (ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ)
1.1.2.3. Полииомы Лежандра (шаровые функции).
71
x=P,(x)
P, (x)
P, (x)
Py)
P, (x)
Py (x)
P, (x)
0,00
— 0,5000
0,0000
0,3750
0,0000
— 0,3125
0,0000
0,05
— 0,4962
— 0,0747
0,3657
0,0927
— 0,2962
— 0,1069
0,10
—0,4850
—0,1475
0,3379
0,1788
— 0,2488
—0,1995
0,15
—0,4662
— 0,2166
0,2928
0,2523
— 0,1746
— 0,2649
0,20
— 0,4400
— 0,2800
0,2320
0,3075
— 0,0806
— 0,2935
0,25
— 0,4062
— 0,3359.
0,1577
0,3397
+0,0243
— 0,2799
0,30
— 0,3650
— 0,3825
+ 0,0729
0,3454
0,1292
— 0,2241
0,35
— 0,3162
— 0,4178
— 0,0187
0,3225
0,2225
— 0,1318
0,40
— 0,2600
— 0,4400
-—0,1130
0,2706
0,2926
— 0,0146
0,45
— 0,1962
— 0,4472
— 0,2050
0,1917
0,3290
+0,1106
0,50
— 0,1250
— 0,4375
— 0,2891
+ 0,0898
0,3232
0,2231
0,55
— 0,0462
— 0,4091
— 0,3590
— 0,0282
0,2708
0,3007
0,60
+0,0400
-- 0,3600
— 0,4080
— 0,1526
0,1721
0,3226
0,65
0,1338
— 0,2884
— 0,4284
— 0,2705
+ 0,0347
0,2737
0,70
0,2350
— 0,1925
— 0,4121
— 0,3652
— 0,1253
+0,1502
0,75
0,3438
— 0,0703 _
— 0,3501
— 0,4164
— 0,2808
— 0,0342
0,80
0,4600
+0,0800
— 0,2330
— 0,3995
— 0,3918
— 0,2397
0,85
0,5838
0,2603
--0,0506
— 0,2857
— 0,4030
--0,3913
0,90
0,7150
0,4725
+0,2079
— 0,0411
— 0,2412
— 0,3678
0,95
0,8538
0,7184
0,5541
+0,3727
+0,1875
+ 0,0112
1,00
1,0000
| ,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
Po(x)=1, Py (x) =x,
P2(x)==(3x?—1)
Ps (x) =, (93? — 3x),
1
Ра(х)=ry(35x*—30x?+3),
1
P,(x)=5(63х?—70x?+15x),
|
Po(x)=то(231x°—315x*+105x?—5}
|
Py (x) = с (429x7 — 693x5 + 315x? — 35x),
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.4. Эллинтические интегралы.
112.41. Эллиптические интегралы 1-го рода: F(k, ф), К =sing.
С
0°
10°
20°`
30”
40°
50”
60°
70°
80°
90°
0°
0,0000 | 0,0000 0,0000 0.0000 |. 0,0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 0,0000
10
0,1745 0,1746 0,1746 0,1748 0,1749 0,1751
0,1752 0,1753 0,1754 0,1754
20
0,3491 0,3493 0,3499 0,3508 0,3520 ` 0,3533 0,3545 0,3555 0,3561 0,3564
30
0,5236 0,5243 0,5263 0,5294 0,5334 0,5379 0,5422 0,5459 0,5484 0,5493
40
0,6981 0,6997 0,7043 0,7116 0.7213 0,7323 0.7436 0,7535 0,7604 0,7629
50
0.8727 0,8756 0,8842 0,8982 0,9173 0,9401 0,9647 0,9876
1,0044 1,0107
60
1,0472 1,0519 1.0660 1,0896, 1,1226
1,1643
1,2126 1,2619
1,3014 1,3170
70
1,2217
1,2286 1,2495 1,2853 1,3372
1,4068
1,4944 1,5959
1,6918 1,7354
80
1,3963 1,4056 1,4344 1,4846 1,5597
1.6660 1,8125 2,0119 2,2653 2.4362
90
1,5708
1,5828 1.6200 1,6858 1,7868
1,9356 2,1565 2,5046 3,1534
о
1.1.2.4.2. Эллиптические интегралы 2-го рода: E(k, ф), К = япа.
x
©
0°
10”
20°
30°
40°
50°
60"
70”
80°
90°
0”
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
10
0,1745 0,1745 0,1744 | 0,1743 0,1742 0,1740 0,1739 0,1738 0,1737 0,1736
20
0,3491 0,3489 0,3483 0,3473 0,3462 0,3450 0,3438 0,3429 0,3422 0,3420
30
0,5236 0,5229 0,5209 0,5179 0,5 141 0,5100 0,5061 0,5029 0,5007 0,5000
40
0,6981 0,8966 0,6921 0,685 1 0,6763 0,6667 0,6575 0,6497 0,6446 0,6428
50
0,8727 0,8698 0,8614 0,8483 0,8317 0,8134 0,7954 0,7801 0,7697 0,7660
60
1,0472 1,0426 1,0299 1,0076 0,9801. 0,9493 0,9184 0,8914 0,8728 0,8660
70
1,2217
1,2149 1,1949 1.1632
1,1221
1,0750
1,0266 0,9830 0,9514 0,9397
80
1,3963
1,3870 1,3597 1,3161
1.2590
1,1926
1,1225 1,0565
1,0054 0,9848
90
1,5708
1.5589 1,5238 1,4675
1,3931
1,3055
1,2111
1,1184 1.0401
1,0000
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1.2.4.3. Полные эллиптические интегралы: К =sin a.
73
x?
K
E
a?
K
E
a”
K
E
0
1,5708
1,5708
30
1,6858
1,4675
60
2.1565
1,2111
|
1,5709
1,5707
31
1,6941
1,4608
61
2,1842 —
1,2015
2
1,5713
1,5703
32
1,7028
1,4539
62
2,2132
1,1920
3
1,5719
1,5697
33
1,7119
1,4469
63
2,2435
1,1826
4
1,5727
1,5689
34
1,7214
1,4397
64
2.2754
1.1732
5
1,5738
1,5678
35
1,7312
1,4323
65
2,3088
1,1638
6
1,5751
1,5665
36
1,7415
1,4248
66
2,3439
1,1545
7
1,5767
1,5649
37
1.7522
1,4171
67
2,3809
1,1453
8
1,5785
1,5632
38
1,7633
1.4092
68
2,4198
1,1362
9 1,5805
1,5611
39
1.7748
1,4013
69
2,4610
1,1272
10
1,5828
1,5589
40
1.7868
1.3931
70
2,5046
1,1184
11
1,5854
1.5564
41
1,7992
1,3849
71
2,5507
1,1096
12
1,5882
1,5537
42
1,8122
1,3765
72
2,5998
1,1011
13
1,5913
1,5507
43
1,8256
1,3680
73
2,6521
1,0927
14
1,5946
1,5476
44
1,8396
1,3594
74
2,7081
1,0844
15
1,5981
1,5442
45
1,8541
1,3506
75
2,7681
1.0764
16
1.6020
1,5405
46
1,8691
1.3418
76
2,8327
1,0764
[7
1,6061
1,5367
47
1,8848
1,3329
77
2,9026
1,0686
18
1,6105
1,5326
48
1,9011
1,3238
78
2,9786
1,0611
19
1,6151
1.5283
49
1,9180
1,3147
79
3.0617
1,0538
1,0468
20
1.6200
1,5238
50
19356
1.3055
80
3,1534
21
1,6252
1,5191
51
1,9539
1.2963
81
3,2553
1.0401
22
1,6307
1,5141
52
1,9729
1,2870
82
3,3699
1.0338
23
1,6365
1,5090
53
1,9927
1,2776
83
3,5004
1,0278
24
1,6426
, 1,5037
54
2,0133
1,2681
84
3,6519
1,0223
1,0172
25
1,6490
1.4981
55
2,0347
1.2587
85
3,8317
26
1,6557
1,4924
56
2,0571
1,2492
86
4,0528
1,0127
27
1,6627
1,4864
57
2,0804
1,2397
87
4,3387
1,0086
28
1,6701
1,4803
58
2,1047
1,2301
88
4,7427
1,0053
29
1,6777
1.4740
59
2.1300
1,2206
89
5,4349
1,0026
1,0008
30
1,6858
1,4675
60
2,1565
1,2111
90
со
1,0000
ф
sin ф
dy
dt
F(k,©)-|
9
E(k,@)=[и—К?sin?уdy=
0
0
п
2
п/2
И|e
dt
К?sin?y-|ИРИ ЮР.
0
п/2
0
1
dy
Vik sin? y J И-Ру- юр’
\_
— k2 ein? — Laket
b(t,se{vi k?sinфа-[|/art
0
0
1.1.2.5. Распределение Пуассона.
r
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,904837 0,818731 0,740818
0.670320
0.606531
0,548812
0,496585
0,449329
| 0,090484 0,163746 0,222245
0,268128
0,303265
0.329287
0,347610
0,359463
2 0,004524 0,016375 0,033337
0.053626
0,075816
0,098786
0,121663
0,143785
3 0,000151 0.001092 0,003334
0,007150
0,012636
0,019757
0,028388
0,038343
4 0,000004 0,000055 0,000250
0,000715
0,001580
0,002964
0,004968
0,007669
5
—
0,000002 0,000015
0,000057
0,000158
0,000356
0,000696
0,001227
6
_
_
0.000001
0.000004
0.000013
0,000036
0,00008 1 0,000164
7
_
_
—
_
0,000001
0,000003
0,000008
0,000019
8
—
_
_
_
—
_
0,000001
0,000002
р
(.9
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0 0,406570 0,367879 0,223130
0,135335
0,082085
0,049787
0,030197
0.018316
| 0,365913 0,367879 0,334695
0,270671
0,205212
0,149361
0,105691
0,073263
2 0,16466! 0,183940 0,251021
0,270671
0,256516
0,224042 0,184959
0,146525
3 0,049398 0,061313 0,125510
0,180447
0,213763
0,224042 0,215785
0,195367
4 0,011115 0,015328 0,047067
0.090224
0,133602
0.168031
0,188812
0,195367
5 0.002001 0,003066 0.014120
0,036089
0,066801
0,100819 0,132169
0,156293
6 0,000300 0,000511 0,003530
0.012030
0.027834
0,050409 0,077098
0,104196
7 0,000039 0.000073 0,000756
0.003437
0,009941
0.021604 0,038549
0,059540
8 0.000004 0,000009 0.000142
0,000859
0,003106
0,008102 0,016865
0,029770
9
_
0,000001 0.000024
0,000191
0.000863
0,002701
0,006559
0,013231
10
=
—
0,000004
0,000038
0,000216
0,000810 0.002296
0.005292
11
_
_
_
0,000007
0,000049
0,000221
0,000730
0,001925
12
_
_
_
0,000001
0.000010
0,000055 0.000213
0,000642
13
—
_
—
_
0,000002
0,000013 0,000057
0,000197
14
_
—
—
—
_
0,000003 0,000014
0.000056
15
—
—
_
_
_
0,000001
0,000003
- 0,000015
16
—
—
_
—
_
_
0,000001
0.000004
17
_
_
_
_
—
_
_
0,000001
r
r
4,5
5.0
6,0
7,0
8.0
9,0
10.0
0
0.011109
0,006738
0.002479
0,000912
0,000335
0,000123
0.000045
|
0,049990
0,033690
0,014873
0.006383
0,002684
0.001111
0,000454
2
0,112479
0,083224
0,044618
0,022341
0.010735
0.004998
0.002270
3
0.168718
0,140374
0,089235
0,052129
0,028626
0,014994
0,007867
4
0,189808
0,175467
0,133853
0,091226
0,057252
0,033737
0,018917
5
0,170827
0,175467
0,160623
0,127717
0.091604
0.060727
0,037833
6
0,128120
0,146223
0,160623
0,149003
0,122138
0,091090
0,063055
7
0,082363
0,104445
0,137677
0,149003
0,139587
0,117116
0.090079
8
0,046329
0,065278
0,103258
0,130377
0,139587
0,131756
0,112599
9
0,023165
0,036266
0,068838
0,101405
0,124077
0,131756
0,125110
10
0,010424
0.018133
0,041303
0,070983
0,099262
0,118580
0,125110
tl
0,004264
0,008242
0,022529
0,045171
0,072190
(),097020
0,113736
12
0,001599
0.003434
0,011264
0,026350
0.048127
0,072765
0,094780
13
0,000554
0.001321
0,005199
0,014188
0.029616
0,050376
0,072908
14
0,000178
0.000472
0,002228
0,007094
0,016924
0,032384
0,052077
15
0.000053
0,000157
0,000891
0,00331 1
0,009026
0,019431
0,034718
16
0.000015
0,000049
0,000334
0,001448
0,004513
0,010930
0,021699
17
0,000004
0,000014
0.000118
0,000596
(0.002124
0,005786
0.012764
18
0,000001
0,000004
0,000039
0.000232
0.000944
0,002893
0,007091
19
_
0.000001
0,000012
0,000085
(,000397
0,001370
0,003732
20
_
_
0.000004
0.000030 - 0.000159
0.000617
0,001866
21
_
_
0.000001
0.000010
0.000061
0,000264
0,000889
22
_
_
—
0,000003
0,000022
0,000108
0,000404
23
_
_
_
0.000001
0,000008
0,000042
0,000176
24
—
—
_
_
0,000003
0.000016
0.000073
25
_
—
_
_
0,000001
0,000006
0.000029
26
_
_
_
_
—
0,000002
0.000011
27
_
_
_
_
—
(0.000001
0,000004
28
_
—
-
_
-
-
0,000001
29
_
—
_
-
--
0,000001
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
1.1.2.6. Нормальное распределение.
75
1.1.2.6.1. Плотность распределения вероятности (x)=
Ре)
= Тех нормированного и центрированного нор-
2x
>
мального распределения.
Оz
Рис. 1.2.
х
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
39894
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973
0,1
3970-4
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,2
391074
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3725
3712
3697
0,4
36834
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,5
3521 _
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,6
333274
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3141
0,7
3123-4
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,8
2897 ©
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,9
2661 —4
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
1,0
24204
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203
1;1
217974
2155
2131
2107
2083
2059
2086
2012
1989
1965
1,2:
1942-4
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,3
171474
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,4
149774
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,5
129574
1276
1257
1238
1219
1200
1182
(163
1145
1127
1,6
1109 “4
1092
1074
1057
1040
1023
1006
9893 > 9728
9566
1,7
9405 —5
9246
9089
8933
8780
8628
8478
8329
8183
8038
1,8
7895 >
7754
7614
7477
7341
7206
7074
6943
6814
6687
1,9
6562 >
6438
6316
6195
6077
5960
5841
5730
5618
5508
2,0
5399 >
5292
5186
5082
4980
4879
4780
4682
4586
4491
2,1
4398 >
4307
4217
4128
4041
3955
3871
3788
3706
3626
2,2
3547 >
3470
3894
3819
3246
3174
3103
3034
2965
2898
2,3
2833
2768
2705
2643
2582
2522
2463
2406
2349
2294
2,4
2239
2186
2134
2083
2033
1984
1936
1888
1842
1797
2,5.
1753 . 1709
1667
1625
1585
1545
1506
1468
1431
1394
2,6
13587>
1323
1289
1256
1223
1191
1160
1130
ol 100
1071
2,7
1042
1014
`9871 6 9606
9347
9094
8846
8605
8370
8140
2,8
7915—
7697
7483
7274
7071
6873
6679
6491
6307
6127
2,9
59536
5782
5616
5454
5296
5143
4993
4847
4705
4567
3,0
4432-6
4301
4173
4049
3928
3810
3695
3584
3475
3370
3,1
3267~©
3167
3070
2975
2884
2794
2707
2623
2541
2461
3,2
2384_
2309
2236
2165
2096
2029
1961
1901
1840
1780
3,3
1723—
1667
1612
1560
1508
1459
1411
1364
1319
1275
3,4
1232_
1191
1151
1112
1075
1038
1003
`9689_
9358
9037
3,5
8727_
8426
8134
7853
7581
7317
7061
6814
6575
6343
3,6
6119_
5902
5693
5490
5294
5105
4921
4744
4573
4408
3,7
4248 —
4093
3944
3800 ° 3661
3526
3396
3271
3149
3032
3,8
29197
2810
2705
2604
2506
2411
2320
2232
2147
2065
3.9
19877
1910
1837
“1766
1698
1633
1569
1508
1449
1393
4,0 13387 1286 1235 1186 1140 1094 1051 1009 9687`8| 9299
4,1
8926_
8567
8222
7890
7570
7263
6967
6683
6410
6147
4.2
5894 -8
5652
5418
5194
4979
4772
4573
4382
4199
4023
4,3
3854 _
3691
.3535
3386
3242
3104
2972
2845
2723
2606
4,4
2494
2387
2284
2185
2090
1999
1912
1829
1749
1672
` 4,5
1598 —
1528
1461
1396
1334
1275
1218
1164
1112
1062
4,6
1014_
9684 9 9248
8830
8430
8047
768 |
7331
6996
6676
4,7
63707?
6077
5797
5530
5274
5030
4796
4573
4360
4156
4,8
3961_
3775
3598
3428
3267
3112
2965
2824
2690
2561
49
24397?
2322
2211
2105
2003
1907
1814
1727
1643
1563
Замечание: 3989-4 означает 3989-1074.
76
ТАБЛИЦЫ
1
_
1.1.2.6.2. Функция распределения од = | od с | 7/2 ay нормирован-
п
0
0
ного и центрироваиного нормального распределения.
D(z)
|
}
1
l
i
_—
О=
Рис. 1,3.
х
0
|
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0 000
040
080
120
160
199
239
279
319
359
0,1
398
438
478
517
557
596
636
675
714
753
0,2
793
832
$71
910
948
987
026
064
103
141
0,3
0,1 179
217
255
293
331
368
406
443
480
517
0,4
554
591
628
664
700
736
772
808
844
879
0,5
915
950
985
019
054
088
123
157
190
224
0,6
0,2 257
291
324
357
389
422
454
486
517
549
0,7
580
611
642
673
708
734
764
794
823
852
0,8
881
910
939
967
995
023
051
` 078
106.
133
0,9
0,3 159
186
212
238
264
289
315
340
365
389
1,0
413
437
461
485
508
531
554
577
` 599
621
1,1
643
655
686
708
729
749
770
790
810
830
1,2
849
869
888
907
925
944
962
980
997
015
1,3
0,4 032
049
066
082
099
115
131
147
162
177
1,4
192
207
222
236
251
265
279
292
306
319
1,5
332
345
357
370
382
394
406
418
429
441
1,6
452
463
474
484
495
505
515
525
535
545
1,7
554
564
573
582
591
599
608
616
625
633
1,8
641
649
656
664
671
678
686
693
699
706
1,9
713
719
726
732
738
744
750
756
761
767
2,0
772
778
783
788
793
798
803
808
812
817
2,1
821
826
830
834
838
842
846
850
854
857
860
864
867
871
874
877
880
883
886
889
2,2*)
966
474
906
263
545
755
894
962
962
893
~
892
895
893
900
903
906
908
911
913
915
2,3
759.
559
296
969
581
133
625
060
437
758
*) Начиная с этого места, значение Фо (х) приведено с семью знаками после запятой. Например, запись
‚| 892
2,3 759 означает Dy (2,30) = 0,4892759.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
77
Продолжение
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
24
918
920
922
924
926
928
930
932
934
936
,
025
237
397
506
564
$72
531
443
309
128
25
937
939
941
942
944
946
947
949
950
952
,
903
634
323
969
574
139
664
151
600
012
26
953
954
956
957
958
959
960
962
963
964
,
388
729
035
308
547
754
930
074
189
274
27
965
966
967
968
969
970
971
971
972
973
,
330
358
359
333
280
202
099
972
821
646
28
974
975
975
976
977
978
978
979
980
980
449
229
988
726
443
140
818
476
116
738
29 0,4 981
981
982
983
983
984
984
985
985
986
’
342
929
498
052
589
111
618
110
588
051
30
986
986
987
987
988
988
988
989
989
989
,
501
938
361
772
171
558
933
297
650
992
31
990
990
990
991
991
991
992
992
992
992
,
324
646
957
260
553
836
112
378
636
886
32
993
993
993
993
994
994
994
994
994
994
,
129
363
590
810
024
230
429
523
810
991
33
995
995
995
995
995
995
996
996
996
996
,
166
335
499
658
811
959
103
242
376
505
34
996
996
996
996
997
997
997
997
997
997
,
631
752
869
982
091
197
299
398
493
585
35
997
997
997
997
997
998
998
998
998
998
,
674
759
842
922
999
074
146
215°
282
347
36
. 998
998
998
998
998
998
998
998
998
998
’
469
469
527
583
637
689
739
787
834
879
37
998
998
999
999
999
999
999
999
999
999
”
964
964
004
043
080
116
150
184
216
247
38
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
?
276
305
333
359
385
409
433
456
478
499
39
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
?
519
539
557
575
593
609
625
641
655
670
40
999.
999
999
999
999
999
999
999
999
999
,
683
696
709
721
733
744
755
765
775
784
4]
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
,
793
802
811
819
826
834
841
848
854
861
42
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
,
867
872
878
883
888
893
898
902
907
911
x
43
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
’
915
918
922
925
929
932
935
938
941
943
44
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
,
946
948
951
953
955
957
959
961
963
964
45
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
?
966
968
969
971
972
973
974
976
977
978
999
50 997
78
ТАБЛИЦЫ
А
ax
0
12
1.1.2.7. х2-распределение.
Рис. 1.4.
В таблице приведены значения (в процентах) квантилей X2)_, (т)
в зависимости от числа степеней свободы т и вероятности я.
inЦ
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,70
0,50
0,30
]
0,00016
0,0006
0,0039
0,016
0,064
0,148
0,455
1,07
2
0,020
0,040
0,103
0.211
0,446
0,713
1,386
2,41
3
0,115
0,185
0,352
0,584
1,005
1,424
2,366
3,67
4
0.30
0,43
0.71
1,06
1,65
2.19
3.36
4,9
5
0,55
0,75
1,14
1,61
2,34
3,00
4,35
6,1
6
0,87
1,13
1,63
2,20
3,07
3,83
5,35
7,2
7
1,24
1,56
2,17
2,83
3,82
4.67
6.35
8.4
8
1,65
2,03
2,73
3,49
4,59
5,53
7,34
9.5
9
2,09
2,53
3,32
4,17
5.38
6,39
8,34
10.7
10
2,56
3,06
3,94
4,86
6,18
7,27
9,34
11.8
1]
3,1
3,6
4,6
5,6
7,0
8,1
10.3
12,9
12
3,6
4,2
5,2
6,3
7,8
9.0
11,3
14.0
13
4,1
4,8
5,9
7,0
8,6
9,9
12.3
15.1
14
4,7
5.4
6,6
7,8
9,5
10,8
13.3
16.2
15
5,2
6,0
7,3
8,5
10,3
11,7
14.3
17.3
16
5,8
6,6
8,0
9,3
11,2
12,6
15.3
18.4
17
6,4
7,3
8,7
10,1
12,0
13.5
16.3
19.5
18
7,0
7,9
9,4
10.9
12,9
14,4
17.3
20.6
19
7.6
8,6
10,1
11,7
13.7
15,4
18.3
21.7
20
8,3
9.2
10,9
12.4
14.6
16,3
19,3
22.8
21
8.9
9.9
[1,6
13.2
15,4
17.2
20,3
23,9
22
9.5
10,6
12,3
14.0
16,3
18.1
21,3
24.9
23
10.2
11,3
13,1
14.8
17,2
19,0
22.3
26.0
24
10.9
12,0
13,8
15,7
18.1
19.9
23,3
27.1
25
11.5
12,7
14,6
16,5
18.9
20.9
24.3
28.2
26
[2:2
13,4
15,4
17,3
19.8
21,8
25.3
29.2
27
12.9
14.1
16,2
18,1
20.7
22,7
26.3
30.3
28
13.6
14,8
16,9
18.9
21.6
23.6
27,3
31.4
29
14,3
15,6
17,7
19.8
22.5
24.6
28.3
32.5
30
15.0
16,3
18.5
20.6
23.4
25.5
29.3
33.5
х2-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
79
Продолжение
т°
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
1
1,64
2,7
3,8
5,4
6,6
7,9
9,5
10,83
2
3,22
4,6
5,9
7,8
9,2
10,6
12,4
13,8
3
4,64
6,3
7,8
9,8
11,3
12,8
14,8
16,3
4
6,0
7,8
9,5
11,7
13,3
14,9
16,9
18,5
5
7,3
9.2
11,1
13,4
15,1
16,8
18,9
20,5
6
8,6
10,6
12,6
15,0
16,8
18,5
20,7
22,5
7
9,8
12,0
14,1
16.6
18,5
20,3
22,6
24,3
8
11,0
13,4
15,5
18,2
20,1
22,0
24,3
26,1
9
12,2
14,7
16,9
19,7
21,7
23,6
26, 1
27.9
10
13,4
16,0
18,3
21,2
23,2
25,2
27,7
29.6
11
14,6
17,3
19,7
22,6
24,7
26,8
29,4
31,3
12
15,8
18,5
21,0
24,1
26,2
28,3
30,9
32,9
13
17,0
19,8
22,4
25,5
27,7
29,8
32.5
34.5
14
18,2
21,1
23,7
26,9
29,1
31,3
34,0
36.1
15
19,3
22,3
25,0
28,3
30,6
32,8
35.6
37,7
16
20,5
23,5
26,3
29,6
32,0
34,3
37,1
39,3
17
21,6
24,8
27,6
31,0
33,4
35,7
38,6
40.8
18
22,8
26,0
28,9
32,3
34,8
37,2
40, 1
42,3
19
23,9
27,2
30,1
33,7
36,2
38,6
41,6
43.8
20
25,0
28,4
31,4
35,0
37,6
40,0
43,0
45,3
21
26,2
29,6
32,7
36,3
38,9
41,4
44,5
46.8
22
27,3
30,8
33,9
37,7
40,3
42,8
45.9
48.3
23
28,4
32,0
35,2
39,0
41,6
44,2
47,3
49,7
24
29,6
33,2
36,4
40,3
43,0
45,6
48,7
| 51.2
25
30,7
34,4
37,7
41.6
44,3
46,9
50,1
52.6
26
31,8
35,6
38,9
42,9
45,6
48,3
51,6
54.1
27
32,9
36,7
40, |
44,1
47,0
49,6
52,9
55.5
28
34,0
37,9
41,3
45.4
48,3
51,0
54.4
56.9
29
35, 1
39,1
42,6
46,7
49,6
52,3
55.7
58.3
30
36,3
40,3
43,8
48.0
50,9
53.7
57.1
597
80
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.8. [-распределение Стьюдента.
В таблице приведены значения (в процентах) квантилей |t”|,_, в зависимости от числа.
степеней свободы ‘и и вероятности &.
|
А
a/2
»
a/2
ban 0 bam
Рис. 1.5.
ro
0,10
0,05
0,025
0,020
0,010
0,005
0,003
0,002
0,001
т
1
6,314
12,706
25,452
31,821
63,657
127,3
212,2
318,3
636,6
2
2,920
4,303
6,205
6,965
9,925
14,089
18,216
22,327
31,600
3
2,353 | 3,182
4.177
4,541
5,841
7,453
8,891
10,214
12,922
4
2,132
2,776
3,495
3,747
4,604
5,597
6,435
7,173
8,610
5
2,015
2,571
3,163
3,365
4,032
4,773.
5,376
5,893
6,869
6
1,943
2,447
2,969
3,143
3,707
4,317
4,800
5,208
5,959
TO
1,895
2,365
2,841
2,998
3,499
4,029
4,442
4,785
5,408
8
1,860
2,306
2,752
2,896
3,355
3,833
4,199
4,501
5,041
9
1,833
2,262
2,685
2,821
3,250
3,690
4,024
4,297
4,781
10
1,812
2,228
2,634
2,764
3,169
3,581
3,892
4,144
4,587
12
1,782
2.179
2,560
- 2.681
3,055
3,428
3,706
3,930
4,318
14
1,761
2,145
2.510
2,624
2,977
3,326
3,583
3,787
4,140
16
1,746
2.120
2,473 ° 2,583
2,921
3,252
3.494
3,686
4,015
18
1,734
2,101
2,445
2,552
2,878
3,193
3,428
3,610
3,922
20
1.725
2,086
2,423
2.528
2,845
3.153
3,376
3,552
3,849
22
1,717
2.074
2,405
2,508
2,819
3,119
3,335
3,505
3,792
6
24
1,711
2,064
2,391
2.492
2.797
3,092
3,302
3,467
3,745
26
1,706
2,056
2,379
2,479
2,779
3,067
3,274
3,435
3,707
28
1,701
2,048
2,369
2.467
2,763
3,047
3,250
3,408
3,674
30
1,697
2,042
2,360
2,457
2,750
3,030
3,230
3,386
3,646
t,
1,645
1,960
2,241
2,326
2.576
2,807
2.968
3,090
3.291
81
7-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
1.1.2.9. г-распределение (cm. 5.2.1.3).
|
:
г,
|
2
3
4
5
6
8
12
24
hi
|
4,1535 4,2585 ` 4,2974 4,3175 4,3297 4,3379 4,3482 4,3585 4,3689
4,3794
2
2,2950 2,2976 2,2984 2,2988 2,2991 2,2992 2,2994 2,2997. 2,2999 — 2,3001
3
1,7649 1,7140. 1,6915
1,6786 1,6703 1,6645
1,6569 1,6489 1,6404
1,6314
4
1,5270 1,4452 1,4075
1,3856 1,371
1,3609 1,3473
1,3327 1,3170
1.3000
5
1,3943
1,2929 1,2449 1,2164 1,1974 1,1838
1,1656 1,1457 1.1239
1,0997
6
1,3103 1,1955 1,1401
1,1068 1,0843 1,0680 1,0460 1.0218 0,9948
0,9643
7
1,2526 1,1281
1,0682 1,0300 1,0048 0,9864 0,9614 0,9335 0,9020
0,8658
8
1,2106 1,0787 1,0135 0,9734 0,9459 0,9259 0,8983 0,8673 0,8319
0,7904
9
1,1786 1,0411 0,9724 0,9299 0,9096 0,8791 0,8494 0,8157 0.7769
0,7305
10
1,1535
1,0114 0,9399 0,8954 0,3646 0,8419 0,8104 0,7744 0,7324
0.0816
11
1,1333 0,9874 0,9136 0,8674 0,8354 0,3116 0,7785 0.7405 0.6958
0,6408
12
1,1166 0,9677 0,8919 0,8443 0,8111 0,7864 0,7520 0.7122 0.6649
0,6061
13
1,1027 0,9511. 0,8737 0,8248 (),7907 0,7652 0,7295 0,6882 0,6386
0,5761
14
1,0909 0,9370 0,8581 0,8082 0,7732 0,7471 0,7103 0,6675 0,6159
0,5500
15
1,0807 0,9249 0,8448 0,7939 0,7582 0,7314 0,6937 0,6496 0,5961
0,5269
16
1,0719. 0,9144 0,8331 0,7814 0,7450 0,7177 0,6791 0,6339 0,5786
0,5064
17
1,0641 0,9051 0,8229 0,7705 0,7335 0,7057 0,6663 0,6199 0,5630
0,4379
18
1,0572 0,8970 0,8138 0,7607 0,7232 0,6950 0,6549 0,6075 0,5491
9,4712
19
1,0511 0,8897 0,8057 0,7521 0,7140 (0,6854 0,6447 0,5964 0,5366
9.4560
20
1,0457 0,8831 0,7985 0,7443 0,7058 0,6768 0,6355 0,5864 0,5253
0.4421
21
1,0408 0,8772 0,7920 0,7372 0,6984 0,6690 0,6272 0,5773 0,5150
0.4294
22
1,0363 0,8719 0,7860 0,7309 0,6916 0,6620 0,6196 0,5691 0,5056
0,4176
23
1,0322 0,8670 0,7806 0,7251 0,6855 0,6555 0,6127 0.5615 0,4969
0,4068
24
1,0285 0,8626 0,7757 0,7197 0,6799, 0,6496 0,6064 0,5545 0.4890
0,3967
25
1,0251 0,8585 0,7712 (),7148 0.6747 0,6442 0,6006 0,5481 0,4316
0,3872
26
1.0220 0,8548 0,7670 0,7103 0,6699 0.6392 0.5952 0,5422 0,4748
0,3784
27
1,0191 0,8513 0,7631 0,7062 0,6655 0,6346 0,5902 0.5367 0,4685
0,3701
28
1,0164 0,8481 0,7595 (0.7023 0,6614. 0,6303 0,5856 0,5316 0,4626
0,3624
29.
1,0139 0,8451 0,7562 0,6987 0,6576 0,6263 0,5813 0,5269 0,4570
0,3550
30
1,01 16 0,8423 0,7531 0,6954 0,6540 0,6226 0,5773 0,5224 0,4519
0,3481
40
0,9949 0,8223 0,7307 0,6712 0,6233 0,5956 0,5481 0,4901 0,4138
0,2952
60
0,9784 0,8025 0,7086 0,6472 0,6028 0,5687 (),5189 0,4574 0,3746
0,2352
120
0,9622 0,7829 0,6867 0,6234 0,5774 0,5419 0,4897 0,4243 0.3339
0,1612
со
0,9462 0,7636 0,6651 0,5999 0,5522 0,5152 0,4604 0,3908 0,2913
0.0000
82
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.10. Е-распределение (распределение v*) *).
A
a
0
Ах
Рис. 1.6.
т,
т>
|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
161
200
216
225
230
234
237
239
241.
242
243
244
4 052
4 999
5403 5625 5764 5859|5928 5981 6022 6056 6082 6106
2
18.51
19,00
19,16
19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41
98,50
99,00
99,17
99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,41 99,42
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,89
8,85
8,81
8.79
8,76
8,74
34,12
30,82
29,46
28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,94
5,91
21,20
18,00
16,69
15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,77
4,74
4,70
4,68
16,26
13,27
12,06
11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05
9,96
9,89
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
4,03
4,00
13,74
10,92
9,78
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,98
7,87
7,79
7,72
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,64
3,60
3,57
12,25
9,55
8,45
7,85
7,46
7,19
7,00
6,84
6,72
6,62
6,54
6,47
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,35
3,31
3,28
11,26
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,18
6,03
5,91
5,81
5,73
5,67
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,14
3,10
3.07
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,61
5,47
5,35
5,26
5,18
5,11
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,98
2,94
2,91 ,
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,20
5,06
4,94
4,85
4,77
4,71
il
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,90
2,85
2,82
2,79
9,65
7,21
6,22
5,67
5,32
5,07
4,89
4,74
4,68
4,54
4,46
4,40
12
4,75
3,89
3.49
3,26
3,11
3,00
2,91
2,85
2,80
2,75
2,72
2,69
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,64
4,50
4,39
4,30
4,22
4,16
13
4,67
3,81
3,41
3,1 8
3,03
2,92
2,83
2,77
2,71
2,67
2,63
2,60
9,07
6,70
5,74
5,21
4,86
4,62
4,44
4,30
4,19
4,10
4,02
3,96
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,76
2,70
2,65
2,60
2,57
2,53
8,86
6,51
5,56
5,04
4,70
4,46
4,28
4,14
4,03
3,94
3,86
3,80
15
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,71
2,64
2,59
2,54
2,51
2,48
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,89
3,80
3,78
3,67
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,78
3,69
3,62
3,55
17
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,61
2,55
2,49
2,45
2,41
2,38
8,40
6,11
5,18
4,67
4,34
4,10
3,93
3,79
3,68
3,59
3,52
3,46
*) В таблице даны значения квантилей v?_,(m,, т.) для я= 0,05 (обычный шрифт) и для a =0,01
(жирный шрифт) в зависимости от числа степеней свободы м и т› (т, — число стененей свободы для большей
дисперсии, т, — число стеисней свободы для меныией дисперсии).
ЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 57)
83
Продолжение
т
|
т.
14
16
20
24
30 40 50 75 100|200|500 со
°
245
246
248
249 250|251 252|253|253|254|254|254 \
6.143 6169 6209 6235|6261|6287|6302|6323|6334|6352|6361|6366
19,42 19,43 19,44 19,45 | 19,46 | 19,47 | 19,48 | 19,48 | 19,49 | 19,49 | 19,50 | 19,50 2
99,43 99,44 99,45 99,46 | 99,47 | 99,47 | 99,48 | 99,48 | 99,49 | 99,49 | 99,50 | 99,50
8,71 8,69 8,66 8,64 8,62|8,59|8,58|8,57|8,55|8,54|8,53|8,53 3
26,92 26,83 26,69 26,60 | 26,50 | 26,41 | 26,35 | 26,27 | 26,23 | 26,18 | 26,14 | 26,12
5,87 5,84 5,80 5,77 5,75|5,72|5,70|5,68|5,66|5,65|5,64|5,63 4
14,25 14,15 14,02 13,93 | 13,84 | 13,74 | 13,69 | 13,61 | 13,57 | 13,52 | 13,48 | 13,46
4,64 4,60 4,56 4,53 4,50|4,46|4,44|442|4,41|439|437|4,36 5
9,77 9,68 9,55 9,47 9,38 | 9,29 | 9,24 | 9,17 | 9,13 | 9,08 | 9,04 | 9,02
3,96 3,92 3,87 3,84 3,81|3,77|3,75|3,72|3,71|3,69|3,68|3,67 6
7,60 7,52 7,39 7,31 7,23|7,14|7,09|7,02|6,99|693|6,90|6,88
3,53 3,49 3,44 3,41 3,38|3,34|3,32|3,29|3,27|3,25|3,24|3,23 7
6,36 6,27 6,16 6,07 5,99 | 5,91 | 5,86 | 5,78 | 5,75 | 5,70 | 5,67 | 5,65
3,24 3,20 3,15 3,12 3,08|3,05|3,02|3,00|2,97|2,95|2,94|2,93 g
5,56 5,48 5,36 5,28 5,20 | 5,12 | 5,07 | 5,00 | 4,96 | 4,91 | 4,88 | 4.86
3,03 2,99 2,93
2,90 2,86|2,83|2,80|2,77|2,76|2,73|2,72|2,71 9
5,00 4,92 4,81 4,73 4,65|4,57|4,52|445|442|436|433|4,31
2,86 2,83 2,77 2,74 2,70|2,66|2,64|2,61|2,59|2,56|255|2,54|19
4,60 4,52 4,41 4,33 4,25 | 4,17 | 4,12 | 4,05 | 4,01 | 3,96 | 3,93 | 3,91
2,74 2,70 2,65 2,61 2,57|2,53|2,51|2,47|2,46|243|2.42|240|4,
4,29 4,21 4,10 4,02 3,94 | 3,86 | 3,81 | 3,74 | 3,71 | 3,66 | 3,62 | 3,60
2,64 2,60 2,54 2,51 2,47|2,43|2,40|2,36|2,35|2,32|231|20| 12
4,05 3,97 3,86 3,78 3,70 | 3,62 | 3,57 | 3,49 | 3,47 | 3,41 | 3,38 [| 3,36
2,55 2,51 2,46 2,42 2,38|2,34|2,31|2,28|2,26|223|2,22|2,21 |3
3,86 3,78 3,66 3,59 3,51 | 3,43 | 3,38 | 3,30 | 3,27 | 3,22 | 3,19 | 3,17
2.48 2.44 2,39 2,35 2,31|2,27|2,24|2,21|219|2167214|243|44
3.70. 3,62 3,51 3,43 3,35|3,27|3,22|314|зи|306|303|3,00
2,42 2,38 2,33 2,29 2,25|2,20|2,18|215|2,12|2,10|2,08|2,07||5
3,56 3,49 3,37 3,29 3,21 | 3,13 | 3,08 | 3,00 | 2,98 | 2,92 | 2,89 | 2,87
2.37 2.33 2,28 2,24 2,19 | 2,15 | 2,12 | 2,09: 2,07 | 2,04 ] 2.02 | 2.01 16
3,45 3,37 3,26 3,18 3,10 | 3,02 97 | 2,86 | 2,86 | 2,81
2,75
2,33 2,29 2,23 2,19 2.15|2.10|2,08|204|202|1.99|19| 196} |7
3,35 3,27 3,16 3,08 3,00|2,92|2,87|2,79|276|2.71|268|2,65
84
ТАБЛИЦЫ
т:
m2
2
345678910112
18 4,41 3,55 3,16|2,93|2,77|266|2,58|251|2,46|241|237|2,34
8,29 6,01 509|458|425|401|3,84|3,71|3,60|3,51|3,43|3,37
9 4,38 3,52 313|2,90|2,74|263|2,54|248|242|238|234|2,31
8,18 5.93 501|450|417|394|3,77|363|3,52|343|336|3,30
50 4,35 3,49 310|287|271|260|2,51|245|239|235|231|2,28
8,10 5,85 494|443|410|387|3,70|3,56|3,46|3,37|329|3,23
1 4,32 3,47 307|284|268|257|249|242|237|232|228|2,25
8,02 5,78 487|437|404|381|3,64|351|340|331|324|3,17
> 4,30 3,44 3,05|282|266|2,55|246|2,40|234|230|2,26|2,23
7,95 5,72 482|481|39|3,76|3,59|3,45|335|3,26|318|302
3 4,28 3,42 303|280|264|2,53|2,44|237|232|227|224|2,20
7,88 5,66 476|426|3,94|371|3,54|341|3,30|321|314|3,07
54 4,26 3,40 3,01|2,78|2,62|251|242|236|230|225|2,22|2,18
7,82 5,61 472|422|390|367|3,50|3,36|3,26|3,17|3,09|3,03
05 4,24 3,39 299|2,76|2,60|2,49|240|234|2,28|224|220|246
1,77 5,57 468|418|386|363|346|332|322|313|3,06|2,99
56 4,23 4,37 298|2,74|2,59|247|239|232|227|222|2,18|215
7,72 5,53 464|414|382|3,59|342|329|3,18|3,09|302|2,96
7 4,21 3,35 296|273|257|246|237|231|2,25|220|216|2,13
7,68 5,49 460|4|3,78|3,56|339|326|315|3,06|2,99|283
53 4,20 3,34 295|2,71|2,56|2,45|2,36|2,29|224|219|215|2,12
7,64 5,45 457|407|3,76|3,53|3,36|323|3,12|3,03|296|2,90
59 4,18 3,33 293|2,70|2,55|243|2,35|2,28|222|218|214|210
7,60 5,42 454|404|3,73|3,50|333|320|3,09|300|2,93|2,87
x0 4,17 3,32 292|269|2,53|242|2,33|227|221|216|213|2,09
7,56 5,39 451|402|370|347|330|317|3,07|2,98|290|2,84
2 4,15 3,29 290|267|251|240|231|224|219|214|210|2,07
7,50 5,34 446|3,97|3,65|3,43|3,25|313|3,02|2593|2,86|2,80
34 4,13 3,28 288|265|249|238|229|223|217|212|2,08|2,05
7,44 5.29 442|3593|361|3,39|322|3,0|298|289|292|2,76
% 4,11 3,26 287|263|2,48|236|228|2,21|215|211|207|2,03
7,40 5,25 438|3,89|3,57|3,35|318|3,05|295|2,86|2,79|2,72
38 4,10 3,24 285|262|246|235|226|219|214|209|205|2.02
7,35 5.21 434|386|3,54|332|315|3,02|291|282|275|2,9
40 4,08 3,23 284|261|245|234|225|218|212|208|2,04|2,00
7,31 5,18 431|3,83|351|3,29|312|2,99|289|280|273|2,66
2 4,07 3,22 283|2,59|244|232|224|217|211|2,06|203|1,99
7,28 5,15 429|3,80|3,49|327|310|297|2,86|278|2,70|2,64
4“ 4,06 3,21 282|2,58|243|231|223|216|210|205|201|1,98
7,25 5,12 426|3,78|3,47|324|308|295|284|275|268|2,62
46 4,05 3,20 381|2,57|242|2,30|2,22|215|2,09|204|200|1,97
7,22 5,10 424|3,76|3,44|322|306|2,93|2,82|2,73|266|2,60
Е-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ v?)
85
Продолжение
т
т
14
16
20
24
30
40
50
75
100 200
500
{0
7
2,29
2,25
2,19
2,15
2,11 2.06 2,04 2,00 1.98 1.95 1,93 1.92
18
3,27
3,19
3,08
3,00
2,92 2,84 2,78 2,71 2,68 |. 2,62 2,59 2,57
2,26
2,21
2,15
2,11
2,07 2,03 2,00 1,96 1,94 1,9] 1,90 1,88
19
3,19
3,12
3,00
2,92
2,84 2,76 2,71 2,63 2,60 2,55 2,51 2,49
2,22
2,18
2,12
2,08
2,04 1,99 1,97 1,92 1,91 1,88 1,86 1.84
20
3,13
3,05
2,94
2,86
2,73 2,69 2,64 2,56 2,54 2,48 2,44 2,42
|
2,20
2,16
2,10
2,05
2,01
1,96
1,94
1.89
1,88
1,84
1,82
1,81
21
3,07
2,99
2,88
2,80
2,72 2,64 2,58 2,51 2,48 2,42 2,38 2,36
2,17
2,13
2,07
2,03
1,98 1,94 1,91
1,87 1,85 1.81 1,80 1,78
22
3,02
2,94
2,83
2,75
2,67 2,58 2,53 2,46 2,42 2,36 2,33 2,31
у
2,15
2,11
2,05
2,00
1,96 1,91
1,88 ‘1,84 1,82 1,79 1,77 1,76
23
2,97
2,89
2,78
2,70
2,62 2,54 2,48 2,41 2,37 2,32 2,28 2,26
у
2,13
2,09
2,03
1,98
1,94 1,89 1,86 1,82 1,80 1,77 1,75 1,73
24
2,93
2,85
2,74
2,66
2,58 2,49 2,44 2,36 2,33 2,27 2,24 2,21
2,11
2,07
2,01
1,96
1,92 1,87 1,84 1,80 1,78 1,75 1,73 1,71
25
2,89
2,81
2,70
2,62
2,54 2,45 2,40 2,32 2,29 2,23 2,19 2,17
2,10
2,05
1,99
1,95
1,90 1,85 1,82 1,78 1,76 1,73 1,70 1,69
26
2,86
2,78
2,66
2,58
2,50 2,42 2,36 2,28 2,25 2,19 2,16 2,13
2,08
2,04
1,97
1,93
1,88 1,84 1,81 1,76 1,74 1,7] 1,68 1.67
27
2,82
2,75
2,63
2,55
2,47 2,38 2,33 2,25 2,22 2,16 2,12 2,10
2,06
2,02
1,96
1,91
1,87 1,82 1,79 1,75 1,73 1,69 1,67 1,65
28
2,80
2,71
2,60
2,52
2,44 2,35 2,30 2,22 2,19 2,13 2,09 2,06
2,05
2,01
1,94
1,90
1,85 1,80 1,77 1,73 1,7] 1,67 1,65 1,64
29
2,77
2,69
2,57
2,49
2,41 2,33 2,27 2,19 2,16 2,10 2,06 2,03
2,04
1,99
1,93
1,89.
1,84 1,79 1,76 1,72 1.70 1,66 1,64 1,62
30
2,74
2,66
2,55
2,47
2,38 2,30 2,25 2,16 2,13 2,07 2,03 2,01
2,01
1,97
1,91
1,86
1,82 1,77 1,74 1,69 1,67 1,63 1,61 1,59
39
2,70
2,62
2,50
2,42
2,34 2,25 2,20 2,12 2,08 2,02 1,98 1,96
`
1.99
1,95
1,89
1,84
1,80 1,75 1,71 1,67 1,65 1,61 1,59 1,57
34
2,66
2,58
2,46
2,38
2,30 2,21 2,16 2,08 2,04 1,98 1,94 1,91
°
1,98
1,93
1,87
1,82
1,78 1,73 1,69 1,65 1,62 1.59 1,56 1,55
36
2,62
2,54
2,43
2,35
2,26 2,17 2,12 2,04 2,00 1,94 1,90 1,87
1,96
1,92
1,85
1,81
1,76 1,71
1,68 1,63 1,61 1,577 1,54 1,53
38
2,59
2,51
2,40
2,32
2,23 2,14 2,09 2,00 1,97 1,90 1,86 1,84
1,95
1,90
1,84
1.79
1,74 1,69 1,66 1,61
1,59 1,55 1,53 1,51
40
2,56
2,48
2,37
2,29
2,20 2,11 2,06 1,97 1,94 1,87 1,83 1,80
1,93
1,89
1,83
1,78
1,73 1,68 1,65 1,60 1,57 1,53 1,51 1,49
42
2,54
2,46
2,34
2,26
2,18 2,09 2,03 1,94 1,91 1,85 1,80 1,78
1,92
1,88
1,81
1,77
1,72 1,67 1,63 1,58 1,56 1,52 1.49 1,48
44
2,52
2,44
2,32
2,24
2,15 2,06 2,01 1,92 1,89 1,82 1,78 1,75
1,91
1,87
1,80
1,76
1,71 1,65 1,62 1,57 1,55 1,51 1,48 1,46
46
2,50
2,42
2,30
2,13 2,04 1,99 1,90 1,86 1,80 1,75 1,73
2,22
86
ТАБЛИЦЫ
т!
т>
:
|
|2345678910|12
4,04 3,19 280|257|241|230|221|214|208|203|199|1,96
48 7,20 5,08 422|3,74|3,43|320|304|291|2,80|2,72|264|2,58
4,03 3,18 2.79|2,56|2,40|229|220|213|207|203|19|1,95
50
7,17 5,06 420|3,72|341|349|302|289|2,79|2,70|2,63|2,56
4,02 3,16 2,78|2,54|2,38|227|218|211|206|201|1597|1,93
55 7,12 5,01 416|3,68|3,37|3,15|298|285|275|266|2,59|2,53
4,00 3,15 2,76|2,53|2,37|225|2,17|210|204|199|1,95|1,92
60 7,08 4,98 413|3,65|3,34|312|295|2,82|2,72|263|2,56|2,50
3,99 3,14 2,75|251|2,36|224|215|208|203|198|1,94|1,90
65 7,04 4,95 410|3,62|3,31|3,09|293|280|269|261|253|2,47
3,98 3,13 2,74|250|2,35|2,23|214|207|202|197|193|1,89
70
|
7,01 4,92 4,8|3,60|3,29|3,07|2,91|278|267|2,59|2,51|2,45
3,96 3,11 272|249|2,33|221|213|2,06|200|195|191|1,88
80 6,96 4,88 404|3,56|3,26|3,04|287|2,74|2,64|2,55|248|2,42
3,94 3,09 2,70|246|2,31|219|210|203|197|193|189|1,85
100 6,90 4,82 3,8|3,51|3,21|299|282|2,69|2,59|2,50|2,43|2,37
3,92 3,07 2,68|244|2,29|217|208|201|196|191|187|1,83
125 6,84 4,78 3,94|3,47|317|2,95|2,79|2,66|2,55|2,50|2,40|2,33
3,90 3,06 2.66|243|227|2,16|207|200|194|189|185|1,82
150 6,81 4,75 3,92|3,45|3,14|2,92|2,76|263|2,53|244|2,37|2,31
3,89 3,04 2,65|242|2,26|214|206|1,98|193|1,88|184|1,80
200 6,76 4,71 388|3,41|3,1|289|2,73|2,60|250|241|2,34|2,27
3,86 3,02 2,62|239|2.23|212|203|1,96|190|185|181|1,78
400 6,70 4,66 383|3,36|3,06|285|269|2,55|246|.2,37|2,29|2,23
3,85 3,00 2,61|2,38|2,22|211|202|1,95|1,89|1,84|180|1,76
1000 6,66 4,63 380|3,34|3,04|2,82|2,66|2,53|243|234|2,27|2,20
3,84 3,00 2,60|2,37,|221|210|201|194|188|1,83|1,79|1,75
1.6)
6,63 4,61 3,78|3,32|3,02|2,80|264|251|241|2,32|2,25|28
Е-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 0’)
87
Продолжение
т,
.
MN»
14
16
20
24
30
40
50
75
100
200
500
00
1,90
1,86
1,79
1,75
1,70 1,64 1,61
1,56 1,54 1.49 1,47 1.45
48
2,48
2,40
2,28
2,20
2,12 2,08 1,97 1,88 1,84 1,78 1,73 1,70
1,89
1,85
1,78
1,74
1,69 1,63 1,60 1,55 1,52 1,48 1,46 1,44
50
2,46
2,38
2,26
2,18
2,10 2,00 1,95 1,86 1,82 1,76 1,71 1,68
1,88
1,83
1,76
1,72
1,67 1,61
1,58 1,52 1,50 1,46 1,43 1,41
55
2,43
2,34
2,23
2,15
2,06 1,96 1,91 1,82 1,78 7. 1,67 1,64
1,86
1,82
1,75
1,70
1,65 1,58 1,56 1,50 1,48 1,44 1,41
1,39
60
2,39
2,31
2,20
2,12
2,03 1,94 1,88 1,79 1,75 1,68 1,63 1,60
1,85
1,80
1,73
1,69
1,63 1,58
1,54 1,49 1,46 1,42 1,39 1,37
65
2,37
2,29
2,18
2,09
2,06 1,90 1,85 1,76 1,72 1,65 1,60 1,56
1,84
1,79
1,72
1,67
1,62 1,57 1,53 1,47 1.45 1,40 1,37 1,35
;
70
2,35
2,27
2,15
2,07
1,98 1,88 1,83 1,74 1,70 1,62 1,57 1,53
1,82
1,77
1,70
1,65
1,60 1,54 1,51
1.45 1,43 1.38 1,35 1.32
$0
2,31
2,23
2,12
2,03
1,94 1,85 1,79 1,70 1,66 1,58 1,53 1,49
1,79
1,75
1,68
1,63
1.57 1,52 1,48 1.42 1,39 1,34 1.31
1,28
100
2,26
2,19
2,06
1,98
1,89 1,79 1,73 1.64 1,60 1,52 1,47 1,43
1,77
1,72
1.65
1,60
1.55 1,49 1.45 1,39 1,36 1,31 1,27 1.25
125
2,23
2,15
2,03
1,94
1,85 1,75 1,69 1,59 1,55 1,47 1,41 1,37
1,76
1,71
1,64
1,59
1.53 1,48 1,44 1,37 1.34 1,29 1,25 1,22
150
2,20
2,12
2,00
1,91
1,83 1,72 1,66 1,56 1,52 1,43 1,38 1,33
1,74
1,69
1,62
1,57
1,52 1.46 1,41 1,35 1,32 1,26 1,22 1,19
200
2,17
2,09
1,97
1,88
1,79 1,69 1,63 1,53 1,48 1,39 1,33 1,28
1,72 1,67 1,60 1,54 1,49 1,42 1,38 1,32 1.28 1,22
|
1,16 1,13
400
2,12
2,04
1,92
1,84
1,74 1,64 1,57 1,47 1,42 1,32 1,24 1,19
1,70
1,65
1,58
1,53
1,47 1,41
1,36 1,30 1,26 1,19 1,13 1.08
1000
2,09
2,02
1,89
1,81
1,71 1,61 1,54 1,44 1,38 1,28 1,19 I
1,69
1,64
1,57
1,52
1.46 1,39 1,35 1,28 1,24 1,17 111
1.00
{®.9)
2,08
2,00
1,88
1,79
1,70 1,59 1,52 1,41 1,36 1,25 1,15 1,00
88
ТАБЛИЦЫ
1.1.2.11. Критические числа для испытания Уилкоксона (см. 5.2.3.5).
a=0,05
Ny
ny
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
—
_
_
_
8,0 9,0 10,0 10,0 11,0 12,0 13.0
2
_
7,5 8,0 9,5 10,0 11,5 12,0 13,5 14,0 15,5 16,0
3
8,0
9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0
4
9,0 10,5 12,0 12,5 14.0 15,5 17,0 18,5 19,0 20,5 22.0
5
13,0 15,0 16,0 17,0 19.0 20.0 22.0 23,0 25,0
6
15
47,5
16,5 18.0 19,5 21,0 22,5 | 24,0 25,5 27,0
7
14
46,0 48,0
19,0 21,0 23,0 25.0 26,0 28.0 29,0
8
13
43,5 45,0 47,5
22,5 25,0 26,5 28,0 30,5 32,0
9
12
41,0 43,0 45,0 47,0
27,0 29,0 30.0 32.0 34.0
10
11
38,5 40,0 42,5 44,0 46,5
30,5 33.0 34,5 37,0
И
10
36.0 38,0 40,0 42,0 43,0 45,0
35,0 37.0 39.0
12
9
33,5 35,0 37,5 39,0 40,5 42.0 44,5
38,5 41,0
13
$
31,0 33.0 34,0 36,0 38,0 39,0 4,0 42,0
43,0
14
7
28,5 30,0 31,5 33,4) 34,5 36,0 37,5 39,0 40,5
6
26,0) 27,0 29,0 30.0 32,0 33,0 34,0 36.0 37,0 38,0 39,0
5
23,5 24,0 25,5 27.0 28,5 30,0 30,5 32,0 33,5 35,0 35,5
4
20,0) 21,0 23,0 24,0 25,0 26,0 27,0 28,0 29,0 30,0 32,0
3
17,5 18,0 19,5 20,0 21,5 22,0 23,5 24,0 25,5 26,0 27,5
2
14,0 15,0 15,0 16,0 17,0 18,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0
Ny
ny
15|16
17|18|19|20|21
22
23|24|25
a=0,0]
Ny
п,
4
5
6
7
8
9
10
1
12
13
14
_
_
_
_
_ 13,5 15,0 16,5 17,0 18,5 20,0
3
_
_ "12,0 14,0 15,0 17,0 18.0 20,0 21,0 22,0 24,0
4
_
12,5 14.0 15,5 18,0 19,5 21,0 22,5 24.) 25,5 28,0
5
16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 27,0 29,0 31,0
6
15
61,5
20,5 22,0 24,5 26,0 28,5 30.0 32,5 34,0
7
14
59.0 62,0
25,0 27,0 29,0 31,0 33,0 35,0 38,0
8
13
55,5 58,0 61,5
29,5 32.0 33,5 36,0 38,5 41,0
9
12
53,0 55.0 58,0 61,0
34.0 36,0 39,0 41,0 44,0
10
И
49,5 52,0 54,5 57,0 59,5
39,5 42,0 44,5 47,0
11
10
46,0 49,0 51,0 53,0 56,0 58,0
44,0 47,0 50,0
12
9
42,5 45,0 47,5 50.0 52,5 54,0 56,5
50,5 53,0
13
8
40,0 42,0 44,0 46,0 48,0 50,0 52,0 54,0
56,0
14
7
36,5 38,0 40,5 42,0 44,5 46,0 48,5 50,0 51,5
6
33,0 35,0 36,0 38,0 40,0 42,0 44,0 45,0 47,0 49,0 51,0
5
29,5 31,0 32,5 34,0 35,5 37,0 38,5 41,0 42,5 44,0 45,5
4
25,0 27,0 28,0 30,0 31,0 32,0 34.0 35,0 37,0 38,0 40,0
3
20,5 22,0 23,5 25,0 25,5 27,0 28,5 29.0 30,5. | 32,0 32,5
2
_
_
_
_ 19,0 20,0 21,0 22.0 23,0 24,0 25,0
\
п
ny
15|16|17|18|19|20|21|22|23|24|25
^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛМОГОРОВА — СМИРНОВА
‚1.1.2.12. А-раснределение Колмогорова — Смирнова (см. 5.2.3.8).
89
Ао.)A90.)AQA)AQA)
^
04%.)
Nu 00.)
0,32 0,0000 0,66 0,2236
1,00 0,7300 1,34 0,9449
1,68
0,9929
2,00
0,9993
0,33 0,0001 0,67 0,2396 1,01 0,7406 1,35 0,9478
1,69
0.9934
2,01
0,9994
0,34 0,0002 0,68 0,2558 1,02 0,7508
1,36 0,9505
1,70
0,9938
2,02
0,9994
0,35 0,0003 0,69 (),2722 1,03 0,7608
1.37 0,9531
1,71
0,9942
2,03
0,9995
0,36 0,0005 0,70 0,2888
1,04 0,7704 1,38 0,9556
1,72
0,9946
2,04
0,9995
0,37 0,0008 0,71 9,3055
1,05 0,7798
1,39 0,9580
1,73
0,9950
2,05
0,9996
0,38 0,0013 0,72 0,3223
1,06 0,7889 1,40 0,9603
1,74
0,9953
2,06
0,9996
0,39 0,0019 0,73 0,3391
1,07 0,7976 1,41 0,9625
1,75
0,9956
2,07
0,9996
0,40 0,0028 0,74 0,3560 1.08 0,8061
1,42 0,9646
1,76
0,9959
2,08
0,9996
0,41 0,0040 0,75 0,3728 1,09 0,8143
1,43 0,9665
1,77
0,9962
2,09
0,9997
0,42. 0,0055 0,76 0,3896
1,10 0,8223
1,44 0,9684
1,78
0,9965
2,10
0,9997
0,43 0,0074 0,77 0,4064 1,11 0,8299 1,45 0,9702
1,79
0,9967
2,11
0,9997
0,44 0,0097 0,78 0,4230 1,12 0,8374 1,46 0,9718
1,80
0,9969
2,12
0,9997
0,45 0,0126 0,79 0,4395
1,13 0,8445
1,47 0,9734
1,81
0,9971
2,13
0,9998
0,46 0,0160 0,80 0,4559 1,14 0,8514
1,48 0,9750
1,82
0,9973
2,14
0,9998
0,47 0,0200 0,81 0,4720 1,15 0,8580 1,49 0,9764
1,83
0,9975
2,15
0,9998
0,48 0,0247 0,82 0,4880 1,16 0,8644 1,50 0,9778
1,84
0,9977
2,16
0,9998
0,49 0,0300 0,83 0,5038
1,17 0,8706 1,51 0,9791
1,85
0,9979
2,17
0,9998
0,50 0,0361 0,84 0,5194 1,18 0,8765
1,52 0,9803
1,86
0,9980
2,18
0,9999
0,51 0,0428 0,85 0,5347 1,19 0,8823 1,53 0,9815
1,87
0,9981
2,19
0,9999
0,52 0,0503 0,86 0,5497 1,20 0,8877 1,54 0,9826
1,38
0,9983
2,20
0,9999
0,53 0,0585 0,87 0,5645
1,21 0,8930 1,55 0,9836
1,89
0,9984
2,21
0,9999
0,54 | 0,0675 0,88 0,5791
1,22 0,898] 1,56 0,9846
1,90
0,9985
2,22
0,9999
0,5 0,0772 0,89 |. 0,5933
1,23 0,9030 | 1,57 0,9855
1,91
0,9986
2,23
0,9999
0,56 0,0876 0,90 0,6073 1,24 0,9076 1,58 0,9864
1,92
0,9987
2,24
0,9999
0,57 0,0987 0,91 0,6209 1,25 0,9121
1,59 0,9873
1,93
0,9988
2,25
0,9999
0,58 0,1104 0,92 0,6343
1,26 0,9164 1,60 0,9880
1,94
0,9989
2,26
0,9999
0,59 '| 0,1228 0,93 0,6473
1,27 0,9206 1,61 0,9888
1,95
0,9990
2,27
0,9999
0,60 0,1357 0,94 0,6601
1,28 0,9245 1,62 0,9895
1,96
0,9991
2,28
0.9999
0,61 0,1492 0,95 0,6725
1,29 0,9283
1,63 0,9902
1,97
0,9991
2,29
0,9999
0,62 ‘| 0,1632 0,96 0,6846 1,30 0,9319 1,64 0.9908
1,98
0,9992
2,30
0,9999
0,63 0,1778 0,97 0,6964 1,31 0,9354 1,65 0.9914
1,99
0,9993
2,31
1,0000
0,64 0,1927 0,98 0,7079 1,32 0,9387
1,66 0,9919
0,65 0,2080 0,99 0,7191
1,33 0,9418
1,67 0,9924
ТАБЛИЦЫ
1.1.3. ИНТЕГРАЛЫ И СУММЫ РЯДОВ
1.1.3.1. Таблица сумм некоторых числовых рядов.
|
1|111Co
)
тя ТЗ
+. =e
n=0
2
1)” =|
+
+: _/
VPM rt boat apt ap Re
n=0
=
_1
111
_ n-th oe
—
———
=
Г
»
1) nl 1 7+3 4+... In2.
n=l
:
111
2
5) +478 +. 73
n=0
1fttt
л
°)xen met 3tSTT
n=0
n=1
8)
~t+ yy, 4.24
(2n—1)(2n+1)1-3 3.5 5. ee 2
n=1
9)
1 oi+1+1A_3
(n—1)(nt+1)1.3 2.4 3.5 0 47
n=2
1
11
1
1д
1))omarastastpat oo
n=1
и
`=~
4-2 4...=4
|
п(п-+ 1) (п +2) 1.2.3 2.3.4 7 47
n=!
12
-
4!oe1
п(п+1... и+1-10 —1.2...Г 2.3..(+0 7 @-1)-@-21)!
n=1
1
11|
п2
и
+
ден
1
111
у
ТАБЛИЦА СУММ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
15)
Legg ty ty Lm
(2п—1)?— 32052
n=1
1
1|
n+
1 —=1
—=—
Е
за*
90
n=1
|
||
Tx*
17=
=
)ХХ я
qe+34
720
n=1
18)
ен. м
(2n — 1)*
34 "54
96
n=1
Числа Бернулли В,
19
11
1
1
1
_1222—1В
) Wk=+2+уж+ger
Юг. - By.
n=1
n-. |
1
1
1
м2" (22-1 — |)
20)yo ‘Ея!—у +32k—дакto=
(2k)!
Ву.
n=1
1
1
1
1
п2* (22* — |)
21
АЕ
+++... =
Ву.
))би
+gm ум+ди+
2.00!“
n=!
Таблица первых чисел Берпулли
91
k
|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
В1|
1 5 691 7 3617 43867 174611 854513
k63042306626306510
798
330
138
Числа Эйлера Ех
fee]
иШ
1
1
1
1
mkt
22)
(—1) (2n — 1)?**1 =1- 2+1 + 52+ — 2+1 +... = 2+2. (2k)! Е.
n=1
Таблица первых чисел Эйлера
К
Г
2
3
4
5
6
7
Ex
|
5
61
1385
50 521
2.702 765
199 360981
92
ТАБЛИЦЫ
1.1.3.2. Таблица разложения элементарных функций в степенные ряды.
Функция и область
Разложение в ряд
n=0
*) При т натуральном разложение содержит m+ | часнов.
сходимости
(a+x)"
||
Биномиальный pad
7
(1х|заприт>0,
х\”
|x|<aприт<0)
преобразованием к внду а" ( + 7 сводится к нижеследующим рядам.
Биномиалыпые ряды с положительным показателем
(1+ x"
14 ки т(т- 1)...(m—n +1)
(m>0)*)
—7
п!
([х|< 0
Е mx+Ох + ("-a(m~2)he
(Ех)
3ay7воЗИа
(х|<0
аар
чм“ Е
(1+ x)!
к1:22N25в.1258а
(х1< 0
УХ
6 9х 3.6.9.9 +
(Ех)
Е а3в1.1.3.5,а
(1х1 <1)
bia gg 469468 Е
(Ех)
ЗеЕ
Ямо
(х1< 0
ИХ ХЗ Тех
(1+ x)?
их 5:3 ep Debs SS
(Ix | <1)
УХ514 tage — paver * #
Биномиальные ряды с отрицательным показателем
|
(Ех)
—
;
ye
.
in>0).
МУХ<1)"minDens) x= тх+О атm(m4dns?)4.
(х1< |
-.
n!
!
31
|
(1+ xy"
Pte Ht ee 15:9 ay 159 Ba,
(Ix|<1)
+ Gog Трах.
(I$ х)
treybeeATayСТа.
(lx|<1)
1х4 т бот teva т.
(1b xy?
Ех: 3 ee 1:35 1:3 57а
(х| <
ДТ 946 + 94.68
(1+х)1
ох+2+ т
(lx |< 1)
.
3
3.5 . 3.5.7
3.5.7.9 .
Ех) 37
ПЕ
аPEte,
eed)
СУТ 2.47+ Bae * 2.4.6.8 ^ 1
(1+ х)*
Lx2х+3x?т4х3+5т...
(|x| < 1)
..
5
5.7
5.7.9
5.7.9.11
1+ х)- 5/2
хх
щоХАт
х4
repeat
о gag* + 94.6^ 2.4.68 +
|
>
.
(l+x)7?
Apy 3xG3.4x7+4.5х55-6x*+...)
(|x| < 1)
|
(l#x)°
15 55 (2.3.4х+ 3-4. 5х? +4.5- 6х: 5.6.7 +...)
([х| < 1)
И
(1х) °
1 И . (2.3.4.5х 3.4.5. 6х2 +4.5.6.7х т 5.6.7.8...)
((х|< И
[2-3-4
Тригопометрические функции
r
an
х2" "1
хх
sin x
| вх...
(|x|< a)
>С
и
Зе Si
az
[о 6)
;
x"sin(«+
>.
sin (x +a)
2
.
a
xtsina x cosa x* sin a
(|x|<«)
м
=пах COS =пд
pk др
ТАБЛИЦА РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
93
Продолуисение
Функция и область
Разложение в ряд
сходимости
г
2n
2
4
x°
cos x
(-- 1)" -
+ы
(|x|<co)
(2n)! aes
a=
со
x" COs (« +o2
_
x?cosa | x*sina | x* cosa |
he ero
т
=cosa—xXsina—
51+31+a
х|<©
п=0
= 2n (720
2"(2—No)By
2syИyy62о
_вх
»
С")!
x HXtye+Tex+375°*+5855х+...
п
n=]
(13)
|
2"В, и
xx2х5
x?
`
——
И
=
|. ee
—--+
——= 4+
их <)
x (any!* x(3+45+945*4725
n=1
СЕ9 1,54.61274
yf peха+xt ож ..
sec х
У вех
1+ х+5gх+720*+Boga*
к
n=)
(==)
И
per tty To, Ms, 7
0<1х| <x)
ve», ane OX teXt360**T5120~*604800*
в
n=I1
Показательные функции
e
Mapp Sy yy
(|x|<00)
n!
112!3!
n=0
qh ekna
(xша)"_ЕхIna (xIna)? (xIna)?
| <&)
aT
пт
31
;
n=0
x
x
B,x
x Вах B,x* — B3x®
—_.-
1-—^
Е
We2
"1
2+»!Om
ta4161
(|x
|
< 27)
n=]
Логарифмические фупикции
Inx
5aa
(x_1)2"+!
_›
ху
(x—1%
(x—1}+
(х> 0)
(2n+1)(х+1)2"*1
х+1 3(х+1) 5(х+ 1’
a=Q
=
х--|n
х—12
_
3
_
4
Inx
уеtyr!(OL&—1)-(x )+(x—1)_(х-0+..
‚ 0<х<2)
n
2
3
4
|
n=1
Vix! ox-1 (1-1
Inx
(x
_
.
) nx"
yy
ag te
x>—
n=1
(>),
„В
2
3
4
In(1+x)
и
хе.
(-1<х<|
п
234
n=1
In(I—x)
Bo (pp egy yey
| (-1<х<1
~
7
2345`
94
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Функция и область
р.
сходимости
азложение в ряд
|
1+х
ч
x antl
x3
х5
х?
|
=2Arth
чо
n(+**) rth x 2)
(xe +++ )
(|x| <1)
n=0
x+1)\ _
\l
111
1
= 2 Arcth
...
(т)2Arcthx2)a
o(l+artgrtart )
(|x| > 1)
nme
.
\2B,x
x2 х4
х6
In|sinx|
Injx|—- Уи" —-=In|x|- >
-
(0<|х|<п)
n (2п)!
6 180—2835
n=1
Incosx
МИ
Byx?m x? xh x8 ATE
7,
п (2n)!
~2124,2520
Ixj<—
wat
;
2
22"22-1_]B,,
1
q
62
In|tgx|
In|xl+
are = [х| +; x +950 "+ 535Хх+...
ра
n=1
(< +)
Обратные триг
рические функции
атс x
+)Eeae
+ x3 + 1.3%, 1.3.5х7 +
x
=
>a>
ee
(|x| < 1)
= 2.4.6... (2n) (2n + 1)
2.3+2.4.5 '3.4.6-7
arccos x
ы
4 3.5. оп" ск (x+
+1-3x?+1.3.5х7+ )
—=—--x-—
——
р.
eae
(х| <1)
2
- 2.4.6. ..(Qn)(Qn4+1) 2
2.3 "2.4.5 "2.4.6.7
=
2n+1
x3
x
x?
arctg x
> (ay
=x
+—-
(|x| < 1}
=
2n+|
357
п11
1
1
arctg x
уси"
=+-—+5
3
*)
(х1>0
~
EE
2х3x5x7х
кЧ
х2"+1 Tt
ххх
arcctg x
Ry yor -$-(:- 5445-44...)
(|x} <1)
21
2т+1 2
357
Гиперболические функции
у
х2"-1
x?
x5
x?
shx
wextt+ +t+
2n—1)!
!5!7!
(х|<о)
Li"13
уx?""yy?No4x8
chx
=1+ —+ —-+ —+...
1
111
(—1yt! 22п (22" — 1)
an-1
13
2
;
17
;
62
.
me
»
(2n)! Вы SX a FTE aig*+ 2835
1х1 <2
(-1)°*!2"р_1xм 2x5 x?
cth x
2
aeИ
et
(0<|x|<n)
(Qn
x3 45°9454725
и
*) Первый член берется со знаком + при х> Ти со знаком — при х< —1.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
95
Продолжение
Функция и область
P;
CXOMMMOCTH
азложение в ряд
(10 ож
1,54615,1385,
sch x
1+
(2)! Ех
|21x°+a*—вт
8х—
к
н=1
(x|<4)
р
1
2(-—1)"(27""' — 1)
_|х7х?31x?
csch x
—+)
B,x?" у =—-——+
+...
х
(2n)!
x 6 360 15120
(0<|х| < т)
ит
Обратные гиперболииеские функции
<
ы
.
1.3.5... (21 — 1)
1
1.3
1-3-5
Arsh x
x+= 1)".
Хх
+,
2°4-6...2n(2n+4+1)
2-3
2.4.5
2.4.6.7
(х!< 1)
for
1-3-5...(2n-—1) 1
|
1.3
1.3.5
*
+]In(2x)—
=
_
—
_
а)
п (25) > 2.4.6... 202 x +005 2.27 2.4.44 2.4.6.68 .|
x
n=1
= х2"+1
x3°x5
x?
Я
Уехал
+.
x
)
Ио
1
11
1
1
Arcth x
| (Qn+|хе+т x 3 +5х5+ях+..
((х1>1
у
n=0
*) Функция двузначная.
1.1.3.3. Таблица неопределенных интегралов.
Общие указания. 1. Постоянная интегрирования опущена всюду, за исключением случаев,
когда интеграл может быть представлен в различных формах с различными произвольными
постоянными.
|
2. Во всех формулах, где в состав первообразной функции входит выражение, содержащее
“In f(x), его следует понимать как In| /(х)|; знак абсолютной величины везде для простоты опущен.
3. В тех случаях, когда первообразная функция представлена в виде сте
выразить через конечное число элементарных функций.
1.1.3.3.1. Интегралы от рациональных функций.
Интегралы, содержащие ах+ b.
Обозначение: X = ax + 6.
1)|xax=+0”
(n—1;прип=—Iсм.No2).
dx [.
—=— In X.
4)Ххаn
3)eX"dx=———— nz Py
(n# —1, —2; при п=
a?(п+2)
а?(n+1)
ae
1
4)[exedx=carr|X—by"x"dX
пенного ряда, ее нельзя
—{,—2см.NoNo5и6).
(применяется при т< п или при т целом и п дробном, в этих случаях (Х — В)" раскрывается по
формуле бинома Ньютона (см. 2.2.2.1); пя —1, —2,..., —т).
96
ТАБЛИЦЫ
я xdx olf
—1
+
b
(n#
1,2)
x"~ 2 (n—2)Х"-2.
(n—1)Х"-!
п
>ил
х? dx 1/1
x?dx |
2
-=—-| —Х?2—2Х+ЬШХ |.
=
_
_—
)|х3(5
+In)1|x3a(x2bInX )
x? dx
1
2b
b?
11=
—-[([In
X
+ —-— —~}.
)|x? а?(1a+X =)
x*dx |
—_1
2b
b?
12) |~oe2
Ц
| x" а?|(n—3)Хх”?ы(п2)Хх"? (n—1)x"!| и»
= 5+3 —BPInX
x?dx 1(x?
b3
14
=-—
-—3bX+35? ШХ+—].
)|x?а“
ыnar>)
Хх? 3bX?
)
352
X—3bInX—4 2),
“In x” ar)
x3dx |
3b 3b2 b?
16)|= inypeeeg
)|
ns
yo =)
x3dx 1[ —_1
3b
3b?
b?
17) |—--= —
—
1,2,3,4),
|Х" atrexe+(п3)ХЗ—(n—2)X"TM?ы(и—р (71,239
dx
1Х
dx
1Хах
18 |->. 49) | “X=
я
8|X
box
в|
hb? (i
>)
dx
iX2ха2х?
20
—|1
—-
)|ХЗ ьз(i Ххы|
п-!
dx
1
. (-—a)x'
a) |“2 | шах.
>2
)|xX"
р"
n
) п-1
1х
(и
)
=
Гах
|аX
dx
|
12Xx]
т
23 |а
SH4Hn ZI.
22) | x?X
bx BIne
)|aes alах+арх BSox
dx
1
2
1
3X
24
—.
|7x3 |Bx*abxмп|
Гах
1
_ (—aji хо!
25
i
Jj
ile
| xx"
И
<(=nx+
naInx (n>2)
i=2
dx
1
Х 2ах
Х?
26)|=—|atinмА |
| x?X
b3Ёп
ха
dx
Lf
a>x Х? Зах
27)|x.зе
_ae
)|3X?
a
ПУХ
2x? |
dx
if
4а3х atx? Хх? 4ax
2
=~—| 6ano4
AO MGA
»|3x?
b°баInx XxX 2X* 2х? x|
n+1
-
dx
1
. (—a)ix'=? 2х? (n+ 1)aX = n(n+1)a?. X
Ас
|
_
Ina
29) | хзХ"
prt? ) nt) (1—2) Xi? +
x+2a
i=3
-
(n>3)
mt+n-2
°dx
1
З
;
>
(—a)'
а Ув (т-Е— 1) хе!
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
97
[ли знаменатель члена под знаком У’ обращается в нуль, то такой член заменяется следующим:
Xx
Crin-2(—а)"'In*|.
x
Обозначение: A = bf — ag
ay|снra4Frne+9)
м
=k aoe (A #0)
9 [тя ешь +0) (A #0).
“)|
(= * in ray) (449),
xdx
b
a
а+х
35) | авы ~ (a—b)(b+x) (a—b) in b+x (a # 0)
x* dx
b2
а?
36) |
= (b—a)(b+x) +o ap In(a+x) + 2bo= “В nib +: x) (a #¢)b).
—|
1
1
2
а+х
Е
ме In (a#b).
38)
xdx
_1
а+b+a+bInа+х(a+b)
(a+x)?(b+x)? (а-Ь? \а+х b+x) (a—bp b+x
х? dx
—1
а?
b?
2ab а+х
=
|
ЕВ).
» [ет
Е)
op"hax(4#0)
Интегралы, содержащие ах? + bx + с.
Обозначения:Х=ах?+bx+с,А=4ас—b?.
2
2
2 ав2 ansA>0),
40)dx_
Ул
VA
—
x
2
ах _ | 2ax +b-V—A
=In
—- (для A <0).
|ya
И-
И-
2ax +b + //—A
_2b2d
41)|S ах= ь ы (см.No40).
_2ах+b 1 3a ба?[dx
42) | S- "(op
+xx)+A?xX (cM.No40).
2b
2n—3)2
d
43)dx_
ax++
)2a
x
xX" (n—1)AX"
(n—1)A x"
xdx
b-[|dx
x4х__ bx+2cВ
|
ах
45) iE
ax alow (cm. No 40).
46) хах _
bx+2c
b(2n—3) dx
X" (И-П (n-1)A J ХЕ
x*dxxb
b?—2ас[ах
4
=———InX+———]—
. No 40).
7|Xа242"+2
X(cm.No40)
98
ТАБЛИЦЫ
x? dx
—2ac)x+be
dx
48)iE =
TAX
|х (см.No40).
x? dx
—х
с
ах (n—2)b | xdx
-
=
|
.NoNo 43и46).
as) | Х" Qn—3)axTM * |
|хOM
и 46)
50 xTMdx _
xm
(m—1)c
xm—2 dx
(n—m)b xm dx
)xt
(2n —m— 1) ax"! (2n —m-— Па
x"
(2п-т- Па
Х"
287 ax
51
=—
на [ет
ах
1x?b
2)[=2"xX%
(m #2n— 1; при m= 2n—1cm. No 51).
х2"-3dx с{x7"-3dx b(x?"-?dx
и
g
x"
a}
x"|
>| д“ (см. No 40).
ах
1
>») | xX" 26-0 Хх"!
+5 ser
хх"!
ах
bХх1
b?adx
54) |=
=-— —-—]|—
. No40).
)|Хо" (2c?= X (cm
)
dx
1
(2n+m— 3)a
dx
55)|=-
ayer -
ee
х"Х"
(т—1)сх" Хх"
(т— Пс
xm“ X"
(n+ m—2)b
dx
(m —1)c xm hyn (m> I),
.
dx
1
(fx +9)?
2gu—bf
dx
5
=—
In ——————_
.No40).
°) | (fe+g)X 2 —gbf+ 97a) Ё "TX | UG?
oof + 97a) см. No40
Интегралы, содержащие а? + x?.
Обозначения:
[ arctg —
для знака +,
.1
Х=а?+х?.,У=\ Arth==In27 длязнака
— при |x| <a,
1
Arcth—=—Шха длязнака—при|х|>а.
\
x—
В случае двойного знака в формуле верхний 3HaK OTHOCHTCA к X = a? + x?, а нижний —к Х = a? — x?,
57)|Bese 58)= а =Y,
>)[даа ыsariыart
60)|on=бд mat|хе
61)|si=bsInx. 62)|x3==5
63)|ея те 64)|aa For #0
65)|ve=+xау 66)|ve=Fat5у
67)|xe=+де+вех+a
66)|a~+ne+|S
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
x? dx
xa
x? dx
=4% 2)
70
69) |
+
-
Sinx
|3
x? dx
1
а?
x? dx
1
=———
2
1|Хз 2х|4x?
72)|xt
d
1
2
d
1
73) |
=
—In
74)|>
Х2a
Х
xX 2а2Х
dx
1
1
1x?
75—-=
——In—.
|S 4a2xX? Qa*xX | 2a® ПХ
ax
1
x
3
mM|=-—=5 +
(5
atx*atx+24у
78)
dx_
1_x_Tx_15
х2хз3
абх+44*Х?*забХ18а'
dx
1
1x?
79
-
In—
)|x3X
2а2х? + 24" xX
dx
1
1
1x?
80
+
=—In—
)|
2atx?+atx+OF"X
81)‚dx
1
21.1_3
x3 x3
Qa®x2 + a®x + 4a*x? + 248
dx
82)|(b+cx)X=ac?+b*
Интегралы, содержащие а? + хз.
Обозначение: Х = а? +х?; в случае двойного знака в формуле верхний знак относится
кХ=а?3+х3.анижний—кХ=а3—x?.
[ein +ex)— Linx 2 y|,
83)crt а?=ax+x a?в ae
84)|e зах ieЕ (em.No83)
85)|xo== cae +aarctgVi
86)|кс —_ ;Е|— (см.No85)
в4тьхвтж
в|= =taza|* (см.No83).
90)vo=Fих (см.No83)
91)ра7In+
92)|в
я +sein
93)|Ох=-=+=|xo (см.No85)
94)|=z 7св+oy+a8[и (см.No85).
2а5х + —ШХ.
2(n—1)X""* | Qnx"
15 In
dx
1
1
=—
—У.
|
ax*а?
(n> 1).
99
100
ТАБЛИЦЫ
dx
1
1dx
95)[5iy>= 72а3х2 +3 xX (см.No 83).
dx
1
х
5dx
9==
+
+—|—
.No83).
9)|x3X?
2a°x?+3a°x+30°|X (cm
)
Интегралы, содержащие а“ + х“.
Ах
|
x?+ах/2+4?
1
ax2
97) =
pe In
=
+
— ага —~——z-
а+х 4?И2 х?—ахИ2+a? 24]2
av —х
xdx
|
x?
98
ne rset oe => —-¢c
t
—.
)|ах 2ПОВ
x2 dx
|
х нау
1
ax2
99) |4-7-7=-
In
arctg ———-
ах
ay
У
2а /2
а—x
[.
100) [=а, = —in (at + x4).
Mumeepatn, "sperma aw —x
dx
|ах
1
х
101 vetceeeДИoepeefe
te —.
0|atx agOGEXазAB
xdx
| а?+x?
102) | ето
lx4aa“—x
1 а+х
-.
—-—_ — —_arctg —
103) |
4a a—
2a arene
x? dx
|
104)|ax =—4In(a*—x4).
Некоторые случаи разложения дроби на элементарные.
105
И:)
)(a+bx)(Г+9x)=No—ag a+bx f+t+gx]
l
А
ВС
Сы
+Э x+a ХВ x+e
1
1
1
neА=
,B=
,C=
.
me” (bha(e—@)
(a — b)(c— b) (a—o(b—o)
107)
_
АА 4,©,_*
(x+a(x+b)(x+o(xt+d)xta х+Ь хе x+d’
1
1
гдеА=
В=
иТ.д.
(b—a)(c—a)(d—a)’
(a-—b)(c—b)(d—b)
108)
и
а
Ця)
(a + bx?)(f + gx”) fo—ag \at bx? =f + gx?
1.1.3.3.2. Интегралы от иррациональных функций.
Интегралы, содержащие Их и а? + bx.
Обозначения:
рух
аго ———
для знака +,
a
!
арх
—— для знака —.
а
В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к Х = а? + b*x, а нижний -к X =
2
2
=4“—b*x.
Х =а? +Ьх, Y=
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
]01
хах
2Их 2а
x? dx
2Ихз 2a?Их 2a?
11) хах_Ихй1У
HD x?dx
2x3 3a?Их Заy
xX? *bX~ab?
оо
ых ов
dx
2
dx
2
2b
113)| -‘y 114)| =— - у
xИх ab
Ихз
a2Их 3
115)(dxИх+1у
116)|ах—_
2 _3b?Vxx3bу
| X?V/x @X а3Ь
Хх? )/x3 a?X |/x atx °
Другие интегралы, содержащие Их.
117) Vx dx
Г х+а/2х + а?
1we2x
=
n
+
arctg ———.
а“ x?
2a /2 x —aV2x+ а? al/2
а?—x
us) |
dx
_ 1 In х+а|/2х
+а?й Го
a \/2x
(at +x2)/V/x 2432 x —a/2x +a? аз /2
ах.
|=Yds > —In ote 1
Их
119)
—arctg -——.
a
a
120)| =
VE tg
(at—x2)x р
а- Их
а
Интегралы, содержащие |/ ax +b.
Обозначение: Х = ax + b.
b
2(Зах—2b) X
121)[VXdx== x*. 122)|»x/Xdx= т
2 (15a?x? — 12abx + 8b?) //X?
dx 2YVXx
12 2/хах=
_.
124
НИ
эх
x
105
fe
-
2—2
2
2(3 — 4ab 8b?
125) Е ух
ta [2 208 ax ‚ух.
ИХ
15413
anh |/Х-
вИХУРдляb>0
вт|= Vb
bb Vx+V
x/xX
—
2
7
———_ arctg me
дляb<0
И-Ь
—b
128) pe——-dx =2//X +0 [© (см. No 127).
x
Их
dx
Их
а
ls
-И
п м No1277
129)|Их ьх 2b|xXx om
гух
X
|
130)|VXи-_Vx=C Vi (cm.No127).
BI
4х ._
я
(2п—3)а- dx
) x"ИХ ии!
(2n—2)b5 x1ИХ|
—
.
2\/x5
_
__
—
132) | ХЗах =. ух
133)рИХз dx=zor(5Их?”--Th//X°),
102
ТАБЛИЦЫ
9
7
5
134) [м а
И)
3
2
3
139)(ae их+X+08|
(cm. Ne 127).
139|=(ИХ+7} on[Se (Ивт)
ух +1 [4VE (om. No 127)
|
139)layer-ых-ai-ar SE (cm.No127).
|
140)ых -“oe 141)|xX4022dx=4A _т)
142) |. 2х1"/2 gy=
xed
> Quk:
Xa- 2y2
143)| ~= +b|
dx.
x
n
x
х(6+")/2 —apy(4tny2 р2х@+т)]2
а?\ 64n
4+"
2+n
2
1
dx
144)|xx =(n_2)bX"-2/2+5|xX-2/2°
dx
1
na
dx
145)|x2X"2= рххи-22=| xX?©
Интегралы, содержащие Иах +bu Ил + 9.
Обозначения: Х = ах +6, Y= fx+g, A= bf — ag.
_ arctg|/———
для af <0
И-
ау
,
146)|dx_
if
XY
Arth ES 2_in(Va¥+ /fX) для af>0.
Va
“8
147)|dx _VXY ag+bf[|4х (см.No146).
Луху4 29УХУ
148)= _2х
/xV¥ AVY
2
их
t
Af<0,
|x_ИвИАдляAf<
ух
ton SVX -Им для Af>0.
Им ГУх+УМ |
А+2аУ
A? dx
150) [Ухты = ap ИХУ- зат УХУ (см. No 146).
Y
1
A
dx
—_ =—]/xy——
.No
.
151)(V3dx рVYXY aala (cm.No146)
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
103
ИХах 2Vx A
dx
152
=
—
. No 149).
|у у|aRfom.No149)
Y" dx
2
р
У"! dx
153) [72
—(Qn+1)а(1ХУ—nA 7)
is [9
{V4 (n-3)0/ =),
ИХ у"
(n—1)A
Y
2
ИХ у"-!
na
1
nt
У" dx
5
155)|VX¥x= oo (2Vx¥ +a] та) (см.No153).
в|Ae
(i alia),
илУГУЕ
_ Интегралы, содержащие Иа? — x?
—x?
Обозначение: Х = a? — x?.
157) [Их dx = («Vx + a? arcsin =), 158) [xV/¥ dx= - Их
139)|xVKdx= -F/B 4F(xИХ+а?aresin=)
1)р
Ee VE ist)|
ва[a ух in— oy[УХ__Vx tatVX
х= — —-—arcsin—.
5
x
a
2x
2a
x
dx =//X —aln
xd
164) |=- arcsin —.
165) [oe+ = ~/x.
Их
а
Их
166) | xt dx = -Кух+ =Satesin —.
их
167)[rRи— —а?ИХ. ‚вв|иАи а+ух.
x
169)| a ik
по|иг
a+ VX
x? /X
x
"
1
- За?
За*
171)[vsdx=(5Ух?+ > УХ+——aresin=)а
1
172)|Ихзах=-ИХ?
хих? a’x x, a*x
173)|xИХ?dx=— в + mA
vx+©rosin~.
7
2
5
п)|3°74СИ aИх
7
и3
и3
175)|*dx=*+а?вы YX
х
3
х
ИХ?
Их?
3X
2
176)|x2dx=—= Их zearcsin—
104
ТАБЛИЦЫ
Их? Из их Sey 2?Vx
177)|Sao=— a2
+-—-In-x .
`ах
х
х4х
1
x?dx x
x
x? dx
a?
180)Rea—ух—arcsina
181)|Vx Их+ух.
dx:
|
: а+ух
dx
1Их
182)
=
-— —-In ——_-..
183) | ———=-—|-
xxX?а?Иха
x
184 у
оз
38
)
22Их atИХ 2а?
х°
Интегралы, содержащие Их? + a’,
Обозначение: Х = x2 + a?.
re|=
185) [Уха -5(; ИХ + а? ла) +с= ИХ ча In(x+ /X)] + Cy.
186) | Ихах = —-VE
187) руху
(кхе ль =) +=
== ХЗ—ИХ +4In(x+ИХ]+С..
ух aryx
188) [x X dx= 1-1
189) | ух dx =Их-аш soi
Их
Их
x
190)|=dx=———+Arsh~4C=-Vx+In(x+/X)+Cy.
a
x
191)[a =—УХ_ Innee
2x? 2a
Ix
|
192)|GowanhSe In(x+/X)+Cy. 93)| =/X.
194)|хх_5Vx_=.Arsh——+C=5Vx-=In(x+ИХ)+Cy.
3}.
x3
—
195)|хи=yx a?ИХ.
196)р — и ИХ.
xИх
a
x
yx 198)| их VX 1 atxx
dx
197) |oe ee EO
a
|x?Их
а?х
хз Их
2a?x? + 2a?
a
[
a
За?
199) [VP as =
Ив+ a*VK + 22 Arsh я] +с-
=(Их+уе ызв)
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
105
200) [xVB ave SVE.
2
3
4
gon[27HaxКИ 9*ideeeв+C=
24
16
16
x Vx? a*x|/Хз a*x их аб
--.
_
м - ух_тет+ИХ)+С,
202)|Ихзdx==. eye
203) Vo ia
ain “ИХ.
wo(asVEVK3Ав402
=-we Byes4выс,
205)(ax=-ye+5хи 7
206)|ee=Vk
200| -
Me
rte
om
2%)|e-Их+7 210)| --ур:-5:.eV
по
212) | ИН:
3 асачух
хзVx? 2а2х?/Х 24Их*
х
Интегралы, содержащие Yana— а?
Обозначение: X = x? — a?
!
_
213)\vxx=(xИХ—а?arch=)+0=5[xX-ат(х+ИХ]+Cr.
|
24) | хИхах- VE
215)|xyXdx=7ИХ+>xXа:Arch—+C=
ИЯ“
eV K—@ net V+.
5
21/ x3
116 [рух
OO, SVE
217)pedx=ИХ—аагссо$ox
Их
Х
_.
21)[a= - 4 arenх$C=~——FIn(x +VX)+Cy
106
ТАБЛИЦЫ
219)[УХ --ИХ 1
а
+ — агссо$ —.
x
2х2 2a
dx
x
ie
220) Vx ea TCH TV
221)
yx
x? dx
222)|Их=>-Их+=©arch*.
>Ух+in(х+ИХ)+Cy.
хт
2
1
а
223)
=Vx
их
= — arccos —.
a
x
Их
d
Vx1
225) js226 . + — arccos —.
x? /X a°x
хз /X 2a°x 2a
x
227) [VB ax= (хИж- i ИХ + 26° arch =\se=
=(«78-махИх+ ine+H)+с,
228) [V8 x= У
229)[eV a“yxTEV? atxVX+ ААС
24
16
16
Х5
2
x3
сих, eV Их ,tne +VX)+с,
7
2
5
239 [руби Oy S yx
во ae ee a2VX+а?arccos—,
x3
3
зо[OEx=VO
X-22archС
x3
И”,=х- nw+x)+e,
x3
Хз 3/X
233)[ea _ух+их—22arccos£.
dx
x
xdx
1
234
=—
235) | ——-=
|
Vx|aух
2
29|т-
~ ye mens
x3 dx
a?
23|VR
ут
Ee x arccos —
239) | dx
1Их
х2 VX3
а*хi|
dx
1
3
240)|— vi=bata?Их_4Их 52521с50$—
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы, содержащие Иах? + bx + с.
4a
Обозначения: Х = ах? + bx +c, A=4ac~b*, k= —.
(1Yq Ver FETC дляа>0,
а
А arsh 2224? С, для a>0, А>0,
Va Ул
1
a ort”
для а> 0, А=0,
а
1
—
arcsin 2ax +>
для а<0, A<0.
|Иа
Y—-A
2(2
2
242) | 4х __ (2ax +b)
243) |
- 20a (4 +2).
xx AVX
"Их 3AX
744
2(2ax+b)
2k(n—1)
dx
44) ("+172=2(n—1)АХ@"-12
211
Х@"-1/2 *
_@ах+b
245)|ИХdx
УХ 1 у (см.No241).
2ах+5)
246) [xx xX dx _ | OVE (+ %)+3a |7x (cm. Ne 241).
(2ax+b)Их
5х155dx
247) | Х?ИУХ
dx=
X74—4—
——_ |
‚|VXdx 12a(++at)таИх
(2ах+b)X(2n*102 2n+1 XOn-12gy,
24
(21+ 1)/2 =
8) |x
dx
4a(n + 1)
2k (n+ 1)
dx
Xь
249)|~==yx-5
(см. No 241).
а
Ур.
хах
2(bx+2c)
250) |
=—
|
хух
дух
хах
1
b
dx
251) | yar
Kanthi2~~(2n—1)aX"12—>|yarn (cm.No
x?dx * 3b
3b? —4ac [ ах
252
=
—_— щи
Х
ь
,
)|Их (> да?)Vx+ 8a2
ИХ (см. No 241)
259|x?dx_(2b*—4ac)x+2be+=] dx
aAVX a}ух
XVX — b(2Qax +b)
bГах
Ихах =
_
Их-—
N
254)| Xdx
За
Ba?
XAakVx(cm
255) |
(cm. Ne 246).
X (ant 3)/2
b
ont
11/2
256) ры, ах = бита
За2 Хо"2dx(см.No248).
(см. No 241).
107
108.
ТАБЛИЦЫ
Xх
=
257)|x Хах=(«—=) da
a
Vx dx (cm. Ne 245).
2Vc СХ
Еin(
rane для c> 0,
c
ta,sh+
с,
дляс>0,А>0,
ах|с
хИЛ
xX
;
*
р bx+2c
для c>0, А=0,
[
1
bx+2c
———- arcsin —————
для c<0, д<0.
Ис
х/ -А
х
259)|о VXь|(м No258)
x2 Их
сх 2JxИХ
Xdx
bd
d>
260)|Vx = Их+-— ~+c —_ (см.NoNo241и258).
x
ух‘) их
Xdx `
1rtdx
261) у. —=- VX
“
(см. NoNo 241 и 258).
ух"? ух
Kant 1)/2
Х@н+ 1)/2
b
хе" 1)/2
262) | —————dx = ————_-+— | X®@""'?2 dx + ¢ | —————-dx (см. NoNo 248 и 260).
x
2n+I
x
Интегралы, содержащие другие иррациональные выражения.
dx
2,
263
——=—=—— Vax?+Вх.
|хVax?+bx
bxax у
264) | ax = arcsin 27“
265)|xdx =-—И2ах—x?+aarcsinхо
И2ах — x?
а
И2ах — x?
266)|/2axЯк Ха ИзяЯ+ © resin
/
x Vag— bf
——-— arctg—
(ag—bf>0),
Е
| 7рут Volare
(ax? НИХ? +9
|
wnVeVi+9+g+xbf—ag( bf<0)
ag—bf< 0).
|РБ Voiоу
n(ax+)
(n+ Па
п
их
ах
п(ах+b
1
268)[ух+bdx=
-Иах+b. 269)|-
_ni)
ax+b (n—I)a Vax+b
d
2
а+ x"+а?
270)| -
|у
=
—-—|p
—
.
271) и
2arccosa.
xИх"+а?
па
Их"
хИх"—_а?
па
Их"
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
109
Рекуррентные формулы для интеграла om дифференциального bunoma.
1
273
т
пby?d—
т+!
пБР
b
т
n
p-t
) |» (ax"+ БР dx staat | (ax"
+b)?+npb|х"(ax"+БР!dx|,
1
=moe |" (ax"+byP*!+(m+n+np+1)[x(ax"+byt!ax|
=о
х"*1(ах"+bt! —a(mtn-+ npt+1)|xt"(ах"+5)dx
(m+ 1)b-
пр
os
1
atl
.
-=
x" ax"+byt!—(m—n4+1)b|x"(ах"+БРих|
т
|
)
(
(
.
1.1.3.3.3. Интегралы от тригонометрических функций.
Интегралы, содержащие синус.
.
1
5
|
I,
274)|sinaxdx=——cosax. 275)|sin*axdx=—-x—--~sin2ax.
a
2
Aa
3
1
13
а
3
Г.
[о
276)|яп”axdx=——созах+——cos”ах. 277)|sin*axdx=--х- 2.ма2ах+ 2 мт4ах.
а
За
8
Aa
32а
Ш”axcosах+n—1
278)|sin"axdx=—
| sine 2axdx (n> 0 -— целое).
na
n
,
sinах XCOSах
279)[>sinaxdx=
—
.
a?
a
a
a
3x? 6\.
x? 6x
— -—=}sinax—(———;-}cosax.
a
aa
a
2
2
280)[xsinaxdx=—sinax—(2 _5)COSах.
281)|sinaxdx=
|
o
N
&
N
w
|
b
p
282)[xsinaxdx=— cosax+ва[eocosaxdx (n>0).
a
-_— ——_
*)
3.3! 5.5! 7.7!
283) | sin ix= ax — (ах)? + (ax)? (ах)’
284)|=Хdx=—==+‘|COSaxdX мNo322)
x
i
1i
50‹
285)|SB gy=—
Se
|
xe (om. No 324).
x"
п
x"
п-1
x"
`а
1
|
286)la-= {coseaxdx=—IntgOa In(cosecах—clgax).
sin ax
a
2a
287)
|oteax 288 |“
аш
—=——
.
=> pogo
toa ntp----.
sin? ax
a8
sin? ах
2ачт?ах’ 2a в>
1
COS ах n—2
dx
289
=—
las
sin” ax
a(n—1)яп"ах+n—||т”2
(n>
sin t
*) Определенный интеграл |"
называется интегральным сипусом:
5
7
ил
ох
5=
ито
ТАБЛИЦЫ
290) xdx 1 A (ax)? 7(ах 31 (ax)? 127 (ax)?
тах a2\ ~~" 3-3! 3.5.51 | 3.1.711 ° 3.5.91
\
2 (22"-1 — 1)
)
..
B, (ax)?"*! +... ]*),
+ (2n+1)!
(ах)
)
d
1
ay| 3мех =- авах+ Insinai.
sin? ax
х с0$ ах.
1
n—2
xdx
——
_
2
292) | rer
sin” ax
(n—1)asin"TM'ax (n—1)(n —2) a? sin"? ax + n—1 | sin"? ax (n> 2)
dx
1та
dx
11ax
293) | —————_
=——tg|—-—].
= —tg|— + —].
9|aa
a(3 >)
ет
~te( 44 >.
хах
хTax
2
уах
299) [кт - 9) + тшен(1- FS).
хах
х
уах
2
1ax
2
= —ctg|————]+ —Insin| ———].
96) |
Е
2)1а?nin(4 =)
sin ax dx
11ax
бе
——z—),
297)|Oe хе
x)
dx
1тах
1
ах
2
=—[|—+
—]+—Intg —.
ов|
a81“+а"2
dx
1уах
1
уах
299
=——tg{———_]
|
-——]}.
09)|ет
2a(4 |éa©(3 =)
dx
1
уах
1
уах
= —ctg|— — —]+ —ctg?(— - — ].
300) |
aets(7+cate(4 2
301)
sinaxdx_ 1tу ах+1te?п_ax
Пята" 2а °\4 2)' 62° \4 2)
sin ax dx
1
кax
1
кax
=——ctg(— ——-] +—ctg?(— -—].
302) |
xos(5 и) (4 =|
ВИ
303)
их=
arcsin 3sin ax = 1
1+sin“°ax 2)/2@
sin“ ax+ 1
304)| ax |
ах.
1—sin*ах
Cos” ах а
Щ^Ь
305) fsinax sinbxdx= ОХ ме (a) 1b]; при |a|=|b| om. No 275)
2
в+e
a/b? — с?
b?—с?
306) |
=“
—___
Jb+сшax
big S-+e-Ve? —
=
In
(b? < c?).
ac?—b big +c+c?—B
sinaxdx x b
dx—
307)
=———
(см. No 306).
b+csinах с
b+саах
*) B, — числа Бернулли.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
о
ве:
ах
1
ахС
ах
= —-Intg —--—
.No.
308) | sinax(b+csinax) ab © 2. Ь | bacsinax (om No 306)
dx
сCOSах
b
dx
309
=
No
|
|orca еее *Foe|Tecan ©No200
sin ax dx
bcosax
с
dx
=
.No
10 | Ercan ase cinemas * For | trees (см. No 306)
|
d
1
b?+с?tgax
311)2т=
ret у
ь
(6>0).
b*+c*sin”ах ab//b?+с?
b
:
1
b?—c?tgax
312)|—axО
и
8
50)
b*—c*sin*ax abИБ?—2
b
1
с? — b* tgax+b
у
.
{c?>b?, b>0).
=
In
2ab/с?—b? Ис?—b?tgax—b
Интегралы, содержащие косинус.
1.
x+—sin2ax.
4a
313)[cosaxdx=+sinax. 314)[cos?axdx=>
;
1
1
315)[совахdx=—sinax——sin?ах.
-a
3a
3
1
1
316)[cosaxdx=$х+qasin2ax+asin4ax.
cos"! ax sin ax + п-1
317) {cos ax dx =
na
n | cos"~* ax dx.
cosах хsinax
2
318)[>cosaxdx= a
a
2.
22
319)|x?cosахdx==cosax+[и—>)sinax.
320)f=с0$ax= (3% =)COsах+(= -=}sinax
24
3
;
aa
aa
x" sin ax
321)[мcosахdx= а
n
.
—al 1sinaxdx.
a
(ax)? (ах) (ах)
2.21 4-4! 6.6!
322)|SE д=in(ax)—
+..,*)
323)|И dx=-“8а|ace (om,No283),
x
d
324) с0$ахx=- cosax _ 4 sinахх "#0 (cm.No 285)
x"
(n—1)x"
n—1
x"
cos Е
+2
*) Определенный интеграл — |
t
dt (x > 0) называется интегральным косинусом и обозначается Ci (x):
.
x?
x*
6
Cij=C+nx-Zoart+ Gq -eert eey
где С — постоянная Эйлера.
112
ТАБЛИЦЫ
dx
1
dx
sin ax
326) |=
2a
)|соах аВХ
327) | cos? ax 2a cos? ах
1
—2
328)
_
sinах +n
ax
cos” ax a(n—1) cos" ‘ах п—1 os" ^ ax
2
)
8
329)| xdx _1.(© +(ах)*й5(ах)° 61(ах)
cosax а 2 4.21 6.4!
8-6!
axп
1
==|seoaxdx= inte(+ ©)=~In(oeeax+1gax)
a
+оо +
(n>1).
1385 (ax)!°
Е, (ах)?"+? +.)*)
10.8!
(2п+2)(2)! 7]
а
1
330)| ких Сеax+—;-Шс0$ах.
cos? ах а
a
xdx
xsinax
1
n—2
xdx
331)
=
=
и
+
=
cos”ах (n—1)асо$" ‘ах (n—1)(п—2)а"cos"*ax n—1]cos"”* ax
332) ах
333) mt ag&
[+cosax.ae’ 2”
[—-cosux. a 2.
xdx
xах2
ах
334
=——+—|$—.
|SeабоКа15°>
)2.
335)| ХХ Ха уInsin>
|—cosах
a
2a
cos ax dx
1ах
cos ах dx
1ах
=x——tg —.
= —x ——ctg —.
26|eee*a2
on|
*qa”2
338)
dx
lint у ах
1.ах
cosах(1+cosах) ай в4“ 2 ав 2.
ах
1
ках
1ах
3
=— Intg|—- + —--] — — ctg —-.
399 |e
а(1+ =.)ae2
340)
dx
_1taxйtea
(1+cosax)? 2a 8 > ба © 2”
341)
x
_
1ctах
| ete? ax
(1—с0$ах)? —_2a > ба
2`
cos ах dx
1ах
|
ах
342
= -—-tpy —-— —-tg? —.
)|(Г08ах)"2 826a82
343)
cosaxdx _ 1ct ax
1te?ax
(1—с0$ах)? 24а бое 2.
344)
1 arcs; 1—3cos?ax
=
= arcsin
1+ с03?ах 92а
[+ cos* ax
1
4
1
мя| — =|= —tgax.
|—cos*ax
$11“ ах
а
*) Е, — числа Эйлера.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ, ИНТЕГРАЛОВ
1]3
sin(a—b)x+sin(a+b)x
2(a—b)
2 (a+b)
346)[озахcosbxdx=
(ja|#|b|; при |а|=|Ь| см. No 314).
(
(b— tg —-
2
2
,
А _ arctg —______——_
(b* > c?),
2
2
2
2
г4х
a/b? —c
b? —с
341)|b+сcosax=
ax
——
°
(c —b)tg
—+Vc?—
iIn
2
(b? < с?).
2_pe
|aVe—b
(cb)tg5-Ver-
34g)|Cosaxdx _x_в ax (см.No347).
b+ссо$ах с с|6+сс0$ах
ах
1
ахус
‚ах
= —Intg{ —+—]-—
. No 347).
09) [соя
abnte(2+4) =|
a
(cm
)
dx
csinax
b
dx
,
=
—
:
см. No 347).
350)|(b+¢cosах)? а(с?—b?)(b+ccosax) c?—b? |b+сcosах
cos ах dx
bsinax
с
ах
351).
=
—‹
. No 347).
(ws ax)? a(b?—с2)(6+ссозах) b*—c? |b+сcosax (см
ах
1
btgax
)|ноты ab\/b?+с?В уче 09
_arctg as a
(62>62,b>0),
_
b2—
353)|a ax— ab|/b с
Ус
с” COS” ах
]
btgax—Ис?—b?
(c? > b*, b>O).
n
2abУс?—в? btgax+Vc?—b?
Интегралы, содержащие синус и косинус
1
х sin 4ах
354)[sinaxcosaxdx=—яп?ax.
355){sin?axcos?axdx=——
J
*
2a
J
*
*8
32a
356)fяп"axcosaxdx=Fie ах (n#-—1l)
a(n+1)
|
1
357
os" ах dx = — ————cos"*!
— 1).
) J sin ax cos" ax dx ae) cos"*! ax (n#—1)
;
sin"TM' axcosTM*'ax n—-1l..._,
358)Jsin"axcos”ахdx=—
{ sin"? ax cosTM ax dx
a(n+m)
n+m
(понижение степени п; mu n> O),
sin"*! ax cos"~! ax т-1..
5
=
+
[ sin" ax cosTM~? ax dx
a(n+т)
n+m
(понижение степени т; m u n> Q).
d
1
359) |
*
=—Intgax.
sinax60$ах a
.
dx
1
ках
|
о[к
“|inte(=+*. |
ах
1
ах
1
361
= —(Intg — - ——].
)|зтахcos*ax а¢82^со=)
114
ТАБЛИЦЫ
ах
1
362
=
о).
62)|sin?axcosax а(1‘BOX—узи?ax)
dx
1
dx
2
=——ctg2ax.
a
1
363 -
Int
——_.——_ }.
4:
)|sinax
(niBax+5cos?=>)
364) | sin? ax cos? ах
cos? ax a
365
dx
.1 sinax
1
3int т+ах
) sin?axсоах а| 2609ад sinax 2. °\4 2].
ах
1
1
COSах 3
ах
366
=—
—
—Intg— |.
6)|sin?ахcos*ax а совах зах" 08 2)
dx
1
dx
367)|sinахсо"ах а(п-1)соз"|ах+|sinахcos"~*ax (n#1)(см.NoNo361и363).
1
а
368)| ——“* =_
| —___TM
(n #1) (cm. NoNo 360 и 362).
sin” ax COS ax
a(n — 1) sin"~* ax
sin”“axCOsax
dx
1
1
n+m—2
dx
369) -
=—
—J
=|
eT)
sin” ax cos” ax
a(n—1) sin"~* ax со$" “ ax
n—1
sin" “ ax со5" ax
(понижение степени п; т>Оиптп> 1
1
1
n+m—2
dx
~ a(m—1)_ эт”! ax со$"1 ax m— | sin” ax cos”? ax
(понижение степени т; n>O u m> |)
sin ax dx
1
1
sin ах dx
1
1
370
=
=—Sec ax.
=
— —_to2
.
)|соах acosax a
371)|cos?ax. 2acos?ax =5,84хtC.
372) sinaxdx_
1—
COS" ах
a(n — 1) со$" "ах
{
COS ax
)
1
1
373) [м Ти inte (4).
cos ax
a
a
42
sin?axdx 1 sinax
1
кax
374) | ——_.——-=— Ш
+—]|.
| cos*ax =|soar 2"e(4 а]
sin? ax dx
sin ax
1
ах
375)
=
=—
=
(n#1) (см. NoNo 325, 326, 328).
cos"ax а(п—1)cos"*ax n—1 Jcos" “ax
d
1/sin?
d
|
376)|sin“*=-=(= “+Incosax).
377) | sin” ax dx 1= (co: ax+
COS ax
a
2
cos? ax a
$13 ахах 1
1
1
378) |} ———_——-= —
—.
1
)| cos"ах а==1)cos"~!ax noe
| (n#l, nz3)
379) sin"axina—sin"!ax+ sin"~?axdx in#1).
cos ах
a(n—1)
COs ах
ayant1
_
nt>
380) sin” ах.ax _
sin ax _п-т+2 sin”anax (т1),
cos” ах.
а(т—1)cosTM”*ax
m—1
cos”TM” “ ax
яп"! ax
n—1 [ sin"~? ax dx
=—
о
>
(т#n),
a(n—m)cos ax п-т
cos” ax
_
sin"~! ах
n—1 [ sin"~! ax ах
(m #1)
~ а(т- 1) со" ах m-—1 со$"-2 ax
т|
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
115
1
1
381) j=
Cosaxdx=————=——cosecax.
sin? ax
asin ax
a
cos ax dx
1
ctg? ах
S08ON ON очен
+С..
382) | sin? ax
Qa sin? ax
2a
1
2
383) | SoSax __
—
394) |SOS2% _ boosax+intg J.
sin” ax
a(n—1)sin"*ax
sin ax
a
2
cos* ax dx
1/cosax
ax
———
—intg —).
385) | sin? ax
2a(=ax )
2
d
3g6) | Cos
Тм|
int) (м No 289).
sin” ax
(n— 1) asin" * ax
sin" “ dx
3axd1
2
.
3
387) | cos? ax dx -i(= ax insin ax),
388)|cosaxdex_(а ax+—1).
sin ax
a
2
$11“ ax
a
sin ax.
costaxdx 1
1
|
389
-
=—
-
—
:
1, 3).
sin"ах аlpare aia tal (n#1,n#3)
390) costax _cos"~!ax+ со"*ахах in 1
чт ах.
a(n—1)
sin ax
391) cos” ax dx __
cos"ax _п-т+2 cos”ахdx (m#1),
sin” ax
а(т—1)sinTM~*ax
m—1
sin” “ ax
cos""! ax
n—1 [ cos"~? ax dx
=
+ ami—I
+
у
зип
(т=п),
а(п—т)sin ах п-т
sin” ах
с0$" "ах
n—1 [ cos"~* ax dx
=—
- m-1l
—
т2
(т#1).
а(т—1)яп ах m-—1 sin ax
392)
dx
=+
: ++inte&
sinax(1+cosax) ~~ 2а(1 + созах) 2a 8).
393)
a=
+ —intg(24 9%
cosax(1+sinax) ~* 2a(i+sinax) 2a 54 2).
394)
sin ах dx
_!, 1+ COS UN
cosax(1+cosax) a
COS ах
395) | cosaxdx __1 1+sinах
sinах(1+sinах)
а
sin ах
sin ax dx
1
1
пах
396
+ —Intg{—+ —].
ат
=2а(1+япax)~2aов(7+ >"
а
1
1
397) |cosахdx _
Inte ax
sinax(1+cosax) ~2a(1+cosax)=2a
2
sin ax dx
x1
=—zy—Ш($ +
.
398)|sinax+cosax 7F3,n(sinax+cosax)
cos ax dx
x1
.
399) ;
=+—+—In(sinax+cosах).
sinax+cosax
22a
Iintg(+2)
а?
22 8)
400) | К:
sinах+Cosах
116
ТАБЛИЦЫ
dx
1
ах
401
= +—In(1+tg — |.
ия
ти("8|
d
1.
9
402) | “^^
ор.
Бяпах+сс0озах а]/Ь? +с?
2
с
с
гдеsin§ =Vere tg0=>:
$1а
1
а
1
403)|a =—nb+ссозах). 404)|22°“ _шея ax).
b+сcosax
ac
b+csinax ac
оеГ
b+ссо$ах+Гпax
b+Ис?+f?sin(ax+0),
где sin@= о, tg0=— (om. No 306).
Ис? +f?
f
Г
ах
1
с
|
= ——arctg| — вах).
406)|b?cos?ах+ зиах ас =(ьЕax]
dx
1 ctgax+b
407
=
”|b?cos?ах— ст?ах 2abe ctgax—b
cos(a+b)x
cos(a—b)x
408)|sinaxcosbxdx=— 246) 2b
(а? #2; при a=b см. No 354).
Интегралы, содержащие тангенс.
1
409)freaxdx=—=Incosax.
410)|eaxdx=‘Вах
4
1,
1
411)|182?’axdx=—tg?ax+—Шcosах.
2а
а
412) |tg”axdx =———— tg"!ax— n~2
.
)(veaxdx ain—1)© ax iE axdx
‚
ax?
азх?
2а5х!
17а’ х?
22" (22" _ 1) B gzn—ly2ntl
413) |xt dx=——+ ——
...
.
...*).
реа т
1105 "2835 7 * (2n + 1)! +...
t
3
5
7
2п (5921 __
21-1
414) gaxdxах+(ах)+2(ах)+17(ах) = 2"(2 1)В,(ax)
‚*)
х
9
75
2205
(2n — 1)(2n)!
tg” ax
1
415
="!
—1).
)|cos?axах а(п+1)“ах (ne I)
d
1
416) и
=>+52No(sinах+cosах).
tg:ax dx x 1,
7)|== —
+,
417)|tgax+1 513gIn(sinax+cosax)
’
*) В, — числа Бернулли.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы, содержащие котангенс.
1
t
418) |ctgaxах== Insinax.
419)[eteахdx=———-
4
13
1.
420) |.ctg’axdx=——ctg*ax——Imsinax.
2a
a
1
-
421) |ctg" ax dx= — wt te! ax | ote *axdx (n# 1).
a(n— 1)
x
ax?
азх?
22" В а2"`1х2"+1
422
t dx=—————-——.-...-
—...*).
)|ragaа 9 225
(2n + 1)!
)
423) ctgaxdx 1 ax © (ax)? _ 2 (ax)? о 22"В, (ах)?"-1 ow,
x
ax3135
4725
(2n — 1)(2n)!
ctg” ax
1
424
dx = — ————ctg"*!
—1).
)|
*
a(n+1) © ах (n# —1)
t
425) ax |В мNe417).
1+ctgax
tgax+1
1.1.3.3.4. Интегралы от других трансцендентных функций.
Интегралы от гиперболических функций.
426)[staxdx==chax. 427)[onaxdx==shax.
1
1
1
1
2
—
_—
2
=—
—xX.
428)[ssaxdx=52shахchax 5х 429)[osaxdx rashaxchax+5х
1
—
_
430)|siaxdx=aSh"axchax—— [suraxdx
(n>0),
= оон! ах ch ax — n+2 sh"*?ax dx (n<0; n+ —1).
a(n+ 1)
1
1
4
n—1 n—-2
431)|ch"axdx=anЗВахch"~! ax+— ch"~? ахах
(n>0),
= Fn axchttax pt? ch"*? axdx (n<0; пя —1)
a(n +1)
n+1
‘
dx1
ах
432
= —Inth —.
|вахa2
2
1
433)| dx =—arctgeTM. 434)|shахdx=—xchax—_shax.
chax a
a
a
1
1
1
435)[>chaxdx=7%shax—2ohax. 436)[unaxdx=_Inchax.
th ax
—
1
437)fernaxdx=—Inshах. 438) |th?axdx=x—
cth ax
—_
439)[ouaxdx=x—
*) В, — числа Бернулли.
117
118
ТАБЛИЦЫ
о
ee
|
\
440)[staxshbxdx=вы (ashbxchax—bchbxshах).
441)[аахchbxdx=a (ashахchbx—bshbxchах). a?#b?.
1
442)[onaxshbxdx=up 4shbxshax—bchbxchах).|
}
6
1
Ww
443)[ssaxsinaxdx=2(chaxsinax—shaxcosax).
1
444) |chaxcosахdx=Aa(shaxcosax+chaxsinax).
'
1
445)|shaxcosахdx=52(chaxcosax+shaxsinax).
uy
|
;
446)Jeraxsinaxdx=5,(shaxsinax—chaxcosax).
a
Интегралы от показательных функций.
|
ах
447) хе
448) |xe”dx= — (ax— 1).
a
a
2
4
в [vewaxmen( т).
аа’
| прах
|
п|—1
450)|x"e dx=—x"e*——|x" *eTMdx.
a
a
e*
ax (ax)? (ах)
451) | —dx =1
...*).
‚|= Т.И 12.21 133
e**
1
eTM*
eTM*
452
= —_(_
—_
(5 dx —т( orна|Sax) (n#1).
453) ты
о
1+e” а |+е=х
ах
х1
eTM dx
1
454)|— =———ш(6+ceTM).
455) | ————-
= — In(b “*),
(Se
Ь abn(b+се")
О
ас n(b + cet)
456)
dx
= |arct(=/*
(ac>0)
be*+ce* | be 6
с
,
1
сему —be
=
[п
2а / —be c—e*|/ —be
(bc < 0).
x
ж
>
е'
~
>
~~
=.
) Определенный интеграл at называется интегральной показательной функцией и обозначается Е! (x). При
ordat
х>0 интеграл расходится в точке t=0; в этом случае под Ei (x) понимается главное значение несобственного
интеграла:
x
e
x
x?
3
—dt=C+In
++...
#$—
SHC...
|
tinixl+
sort gra tart tar +
‘~©
где С — постоянная Эйлера.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
xeTM dx
е"*
457) | (+ ах)? ааа’
eTMInx
458)|e*Inxdx=
(cm. Ne 451).
ax
459)[ensinbxdx=a (asinbx—bcosbx).
460)fecosbxdx=7ы (аcosbx+bsinbx).
+b?
,
eTM* sin"! x
n(n—1)
eTMsin"xdx=
asinx—ncosx)+ ———~
sin"~* x dx
461) |
а?+п?
) а?+п?
(см. NoNo
e** cos"!
462) |. cos" x dx= Pan
noe 1)
-2
ахп
а
(аcosxX+nsinх)+и
cos" о x ax (cm. NoNo
463)[xesinbxdx=a (asinbx—bcosbx)—ea [(a?
119
447 и 459).
447 и 460).
—62)sinbx—2abcosbx].
xeTM
.
eTM
;
464)|xeTMcosbxdx=ab (acosbx+bsinbx)—Wabyt[(a?—b*)cosbx+2absinbx].
Интегралы от логарифмических функций.
465) | пх4ах=хшх-х.
466)§(Inx)?dx=x(Inx)?—2хIn +2x.
467){(In.x)?dx=x(Inx)?—3x(Inx)?+6xInx—6x.
468) { (In x)" dx = х (In x)!"—n[(Inx)""'dx (n# —1).
dx
(In x)? = (In x)?
469) | = tninx+inx+ eT
3.31 +...*).
х
1
dx
470
=—
-
1 м.No469).
о|
(n—1)(Inx)""! ыn—1 laos
"УП (em
)
471) |xTMinx
dx=х"+1| 22% _ __! тя —1)
7
m+1 (т+1]
m+1 |
п
472) =" (п xy" dx= ^^
т manytdx тебе
(om. No 470).
m+1
m+1
n
n+1
473)|(inxy"|=ху
x
n+1
Inx
Inx
1
74)|——ах=—
—
4)|xmdx
(т — 1)xTM-?}
(m — 1)? хт-1
(m#1)
]
n
|
п
,
|
n-1
475)|п" т
|п (три(м
No
474).
xTM
(т— 1х"! т—1
х"
х" dx
e>
476) |
=
где y= —(m+1)Inx (см. No 451).
Inx
у:
x
*) Определенный интеграл | Men
о
называется интегральным логарифмом и обозначается li x. При x > 1 интеграл
расходится в Точке [= 1; в этом случае под интегралом понимается главное значение несобственного интеграла.
Интегральный логарифм связан с интегральной показательной функцией соотношением fi x = Ei (In x).
ТАБЛИЦЫ
х"ах_
хо т+1 xTMdx
477) | (п х) (n—1)(Inxy!° n—-1 \
"я I).
га
,
478)| * =шInx.
xInx ..
(n — 1)? (In.x)? _ (n- 1)? (In x)3
2.2!
3.3!
а
479)|sR=iinx(ainx+
x"Inx
dx
—1
480)|x(Inx)"=(и—1)(шх)"-!
dx
-1
р-1
ах
ыы | xP(In х)" xP"! (n—1)(Inx"! on -1 | wae и# 1)
(п#1).
x3
x?
22"-1В х21+1
482) |
I
n
s
i
n
x
dx=xInx —x —-———_-...- a
—...*).
)[маOEIES TE 900
n(2n+1)! )
x?
x?
x?
Q2n-1 (22" _ 1) B
483) |1
dx=———-—--——~-...-
— х2"*1| *),
)[леев 6 60 315
n(2n + 1)!
x3
7х5
22п (22"-} _ 1) B
=xInx-—
—+— +...
— х2"*1 +... *).
484)[intgxa xInx—x+ 9+450+...+ n(n}I)! x + )
485){sinInxdx=—(sinInx—cosInx).
486)|cosInxdx=—(sinInx+cosInx).
1
1{eTM*
487)|e*пхах=—e*Inx——
dx (cm. Ne 451).
a
ax
Интегралы om обратных тригонометрических функций.
488)|arcsin—dx=xarcsin—+Иа?—x?,
_x
x?а?охx
489) | x arcsin
—dx=|———]arcsin
—+—Иа?—x?.
a
2
4
a4
2.*
x.x1
21/72_ v2
490)|x*arcsin—dx=——arcsin—+—(x+2a)Иа—x’,
a
3
a9
arcsin * dx
oy|
aВЕ1х|_1.3ar1-3-5x
x па 2.3.3 a 2.4.5.5 a © 2-4-6-7-7 а’
.~d
arcsin — x
: ох : а+1/12— х2
492)
5
=——arcsin
———In—
.
х
х
аа
х
‚Хх
x
Wa
493)|arccos—dx=xarccos——Иа?—x?,
а
а
х
x? а?
x XxX
494)|arccos—ах=(+_=|агссоз—— Иа?—x?,
+
*) В, — числа Бернулли.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
121
3
1
495)|xarccos—dx==arccos—-5(x?+2a?)Иа?—x?.
ы
х—d
496BOSAот
х
1хз
1.3 xo. 1.3.5. x!
Jx2
а 2.3.3.а° 2.4.5.5 а° 2.4.6.1.17 a’
"а
arccos — x
x : а+Иа?ae
497)
5
=——arccos—+—In
d
x
x
аа
498)|arate~dx=xarctg~ Sin(a?+х?).
a
a2
1
499) |xarctg—dx=—(x?+а?)arctg——a
a
2.
a2
3
2
3
500)|x?arctg=~dx=~*~arctg—_& +*In(a?+x?).
a
3
a6
6
x
х"+1
х а х"*1dy
501 "arctg —dx =
tg——
— 1).
)|seeaTEG2/53"|
,
~
arctg — dx
3
5
7
502) aa
(1х1< [ар
omar
xa324’52%Та““
|
px
|
tg —d
503)—_ы:Аarct*
Ina’+x"
у
x?
ох
ба 24
x?
had
, arctg—dx
:
|
dx
a
x
a
504
=—
arctg — +
1).
).
х"
(п— 1х"! бат
| x"~!(а?+x?) (n#I)
505)[ооИdx=xarcctg~44In(а?+x?).
a
a2
1
ах
506)|xarcctg—dx=—(x*+а?)arcctgыы+—.
а
2
а2
3
2
3
507)|x?arcctg—dx=^—arcetg—+
бб (a? + x’).
a
3
a6
6
x
xt!
x a x"t!4х
508 " tg—4х=
tg—
— 1).
)[>arectg—x ре
|
(n# —1)
arcetg — dx
3
;
;
Xx
2
а 324 529? 7a?
х
tg—d
510 ииы:= ‘arcct*+ Inat+x"
).
x?
—хFOBa2axe
rn.
arcctg = dx
:
ds
x
a
x
511) Jo р
=—
arcctg a
(n#1).
x
(n—1)x""!
п-1 Ух"!
(а? +x?)
122
ТАБЛИЦЫ
Интегралы от обратных гиперболических функций.
512)[arsh=dx=xArsh—-Их?+а?.
513)[то—dx=xArch——Их?—а?.
а
514)[ant~ax=xArth +- In(a?—x?),
a
a2
515)|Arcth—dx=xArcth—+—In(x?—a?).
a
a.2
1.1.3.4. Таблица некоторых определеиных интегралов *).
1.1.3.4.1. Интегралы от показательных функций (в сочетании с алгебраическими,
тригонометрическими и логарифмическими).
+a
Г1
1)|хе“>dx=or **) (а>0, n>—1).
о
п!
В частности, при натуральном п этот интеграл равен oar:
+co
г"
п —ах2
2
2)
хе
4х=2+1
0
1-3...(2k
—1)/n
В частности, при п целом и четном (n= 2k) этот интеграл равен ЕТ
(a>0, n> -— 1).
И?
а при
к!
п целом и нечетном (п = 2k + 1) равен Окт.
+®
a2, VE
22 Vx
3
oedx = ——
.
2.“х =
)|
x 5. (a>0)
4)|е dx ур (а>0)
0
+2
— 2.2
п 2.2
5)|e cosbxd=ИТgti (a>0).
2a
0
+®
ta
6) xdxм
7) xdx ue
ex—| 6
+1
12
0
0
+©
axes:
|
8)|бо? dx=arcctgа=arctg— (a>0).
x
0
+®
9) Ге хшхах = —C x -— 0,5772 ***),
0
+©
И
T
10) | cP inxde= tr (5) =~
(c+2In2)%%)
0
+®
Ил
д
2]жжж
11)|е-**In?хах=Fc +212)?+a )
0
;
*) Более полные таблицы определенных интегралов’ см.: Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
**) Г — гамма-функция.
***) С — постоянная Эйлера.
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
123
1.1.3.4.2. Интегралы от тригонометрических функций (в сочетании с алгебраи-
ческими).
n/2
12)
(a+1) (Bp+1) 1
24 +1.
tiх
sin
xX COs
хах =
Or(a+B+2)
5
0
—= —В (“+ 1 В+1)=
a!p!
2(a+
8+ 1)! *)
Эта формула справедлива для любых a и В (последнее равенство — при ах и В натуральных);
nf2
n/2
может применяться для | Vai x dx //sin x dx, |
+a
13) | SOOdx |
x
+®
in?
14)|sin?x|
x
0
dx
-—— ит
Исоз х
0
= 2P~2 [Г (p/2)]?
Г(р) ’
если р — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем.
ла’ |
2Г (5) sin (57/2)
+o
15)|SFa-
(0<s <2),
a
cos ax dx
16) | ———— = 00 (a — произвольное число).
x
0
+©
COs ах
па’!
17
=
1).
)|
57) 0562) <<)
о
п
+a
—,
>0,
+©`
18) | tgaxdx _
5,4
19){cosax—cosbxein.
x
д
х
а
0
73 а<0
0
\
20)|sin>£08ахx= Ал, а
21)|гix=|
0
0, |a|>1.
0*
\
xsinax
п
|
22
— 22-145] sign а.
)|+x?
°
.
+©
м2
23) [=рееwp dx =e lal, 24) | ма ax = Jal,
2
2
0
+a
25) { sin (x?) dx= | cos(x?) dx = \/=.
*). Е:
)B(xy) ГОУ
нитеграл 2-го рода.
— бета-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода; Г (x) — гамма-функция, или эйлеров
124
ТАБЛИЦЫ
n/2
i
k
29|ea
sinxdx
11+|<1
ИТ—Е?sin?x
k?sin?x=r 1—k
n/2
d
1
an) | Se =[asin Ik|<.
ИТ-К?sin?x k
n/2
sin? x dx
1
И!—k?sin?x k?
0
n/2
2
1
д
- 1-1) K) (к| <1).
и!—k?sin?x
0
3 ` cosахdx _ mb?
(a>0 ence, |b| <1)
0) 1—2bcosx+b* 1-6?
a
челов,
|
1.1.3.4.3. Интегралы от логарифмических функций (в сочетании с алгебраическими
и тригонометрическими).
1
31)JIninxdx=—C=—0,5772**),
0
1
|
2
:
32)|— dx=— (сводитсякNo6).
33)|я ах=—= (сводитсякNo7).
0
т
2
‘In x
п
Ши»), п
= —_.
x=—Ш2.
34)|Eas 8
| x?+|
8“
0
1
1В
—x*)(1—x’):
|
36) ( ) ( yo Po@t+h)rett) (a> —1, B>-1, «+B>—1).
(j—-xInx
~ST(a+B+t)
ant
=Intg—
0 <1).
|
ах ntg > (0 <а<!)
1
38) [^ (5) ах = Г(а+ 1) ***) (-1<a<+o).
п/2
п/2
39)[tmsinxx=|imc0sxdx=-5No2
о
0
?In2
n/2
т
40)[xinsinxdx=—*> .
41) | sinxInsinx
dx=ш2-1.
0
0
*) Eu К — полные эллиптические интегралы: Е = E(k, 1/2), K = F (k, 1/2).
**) С — постоянная Эйлера.
***) Г (х) — гамма-функция.
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
+®
sin
42) | Shinxdx=-Zic+ings
(a>0).
0
+nCIna+— Ina (a>0).
+a
.
3
sin ax
п
п
43 —— In? =—С?+—
)| xIn*xdx5 +54
0
г
а+Иа?—b?
44)|In(a bo0sx)dx=пы
5
(a> b).
о
д
2жшта (а>2Ь>0),
45)|In(а?—2abcosx+Ь?)dx=
о
тшШЬ (Б>а>0..
n/a
n/2
Tt
46) | Intgxdx=0.
47) [ ma +texyax= Fina
о
1.1.3.4.4. Интегралы от алгебраических функций.
1
1
48)[edxP=2|0—PaxPatTe+)
о
=B(a+1,
В+ 1) **)
125
l(a
+B+2)
о
(сводится к No 10).
+a
+o
dx
у
Ах
%)|ати
O<a<t. 50) | ee tte (0<a<1)
°
о
+®
1
ИУтг i
ха!
т
dx
a
о
bsin ——
:И!—х* ar(244)
2a
1
53)
dx = —“ 0<a<4}
1+2xcosat+x? 2sina
2)
0
+®
ах
а
Tt
=——
<— |.
>) | 1+2xcosa+x? sina (о 5)
0
*) С — постоянная Эйлера.
‘
**) В (x, у) = ae — бета-функция, Г (x) — гамма-функция.
126
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.2. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Действительная функция от действительного переменного x — это однозначное отображение f
подмножества действительных чисел во множество действительных чисел: у = f (x). Множество точек
с координатами (x, /(х)) называется графиком функции. Графики функций — это, в общем случае,
кривые, которые пересекаются с каждой прямой, параллельной оси у, не более чем в одной точке
(см. также 2.4).
1.2.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.2.1.1. Целые рациональные фуикцин.
Постоянные функции. Функция у=0 отображает каждое действительное число x
в число нуль. Она не может быть представлена никакой (конечной) степенью аргумента. Ее
|
график — ось x. Функция у=а (a#O0) есть функция нулевой
Ш
ya
степени от аргумента. Графиком такой функции является
>
прямая, параллельная оси х, пересекающая ось у в точке
No
(0, а).
Линейные функции:
у =ах + Ь (a # 0). Графиком такой
0
AXz 07
I
функции является прямая, проходящая через точки A (—b/a, 0)
aja<0
b)u>d
иВ(0,b)(рис. 1.7,а).При Ь=0 точки АиВсовпадают ипрямая
проходит через начало координат (рис. 1.7, 6).
Рис. 1.7.
Функция имеет один нуль: хо = —b/a. Если а > 0, то функ-
ция монотонно возрастает; если а<0, то монотонно убывает.
Если b=0 иа>0, то говорят, что у прямо пропорционально х, а а называют коэффициентом
пропорциональности.
Квадратичные функции: у = ах? + bx +c (а2 0). График — парабола с осью симметрии,
параллельной оси у, и вершиной C(—b/(2a), (4ac— Ь?)/(4а)) (рис. 1.8). Функция имеет не больше
двух нулей. График пересекает ось у в точке В (0, с). В случае АД = 4ас — 5? <0 он пересекает
ось x в точках А, ((—b + ]/ —A)/(2a), 0) и Az ((—b — У —A)/(2a), 0). При А =0 кривая касается оси x
в точке (—b/(2a), 0) (касание 2-го порядка); при А > 0 точек пересечения с осью x нет. Если а> 0,
то функция в точке хс = —b/(2a) (абсцисса вершины) имеет минимум, а при а < 0 — максимум
(см. 3.2.1.).
AY
Ya
iC
l
У
Yh
B
|
f
A,i fA, A
|
A,
L
L
.
0
J
0
\
``
!
0
‘A
a7)
IM
!
\
a)a>0
b)a<0
a)A>0,a<0
6) A=0,a>0 94<0а>0
Рис. 1.8.
Рис. 1.9.
Функции третьей степени: у = ax? + Вх? + сх +d (a #0). График этой функции может
иметь различный вид. У него имеется по крайней мере одна (а может быть и две, и три) точка
пересечения с осью х и ровно одна точка перегиба. У функции либо нет экстремумов, либо их два
(в этом случае один максимум и один минимум). Для более точного описания кривой нужны
значение коэффициента а, значение A=3ac—b* и значение дискриминанта функции D =
= b*c* — 4ac? — 464 — 27a*d? + 18abcd.
Еслиа>0,тоу-+—<прих-»—®иу-++прих-+00.
Еслиа<0,тоy>+00прих->—0oиу-—хприх-++00.
При А > 0 функция не имеет экстремумов, имеется точка перегиба Е (рис. 1.9, а).
При А =0 функция не имеет экстремумов, имеется точка перегиба Е. Касательная в точке
перегиба Е параллельна оси х (рис. 1.9, 6).
При А < 0, а>0 у функции имеется один максимум в точке х„„„ =(—b— |) —A)(3a) и один
минимум в точке Xmin = (—В + У —A)/(3a); имеется точка перегиба E (рис. 1.9, в).
При О > 0 кривая пересекает ось x в трех точках: A,, А», А..
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
127
При D=0 у кривой две или одна точка пересечения с осью x, причем ровно в одной точке
пересечения имеет место касание. При этом точка касания в первом случае считается второго,
‚а во: втором случае — третьего порядка.
При D <0 имеется одна (простая) точка пересечения с осью x.
b 23—Yabe
Точка перегиба Е имеет координаты | — За’ ai +4] и является центром симметрии
а
а
кривой. Касательная в точке Е имеет наклон tg ф = A/(3a). Если A=0, то график этой ‘функции
называется кубической параболой (рис. 1.9, 6).
|
Целые рациональные функции п-й степени:
у=ах"+а,x"1+...ах+Ap,
a,> 0,
п> 0 — целое. Графики этих функций — кривые без особых точек и`без асимптот, имеющие не более
п точек пересечения с осью x, не более n—1 экстремумов и не более n— 2 \точек перегиба,
причем в случае нескольких экстрему-
мов максимумы и минимумы череду-
у
ются (рис. 1.10). При n> графики —
кривые n-ro порядка (см. 1.3).
п нечетное. Существует по
меньшей мере одно пересечение с осью
x и при п>3 по меньшей мере одна
точка перегиба. Число экстремумов при
п>3 всегда четно, а число точек пе-
региба нечетно. Если a,>0, то при
х>—©имеему>—0O,априх->+00.
имеем y— +00. Если a, < 0, то, наобо-
рот,приx>—©имеемy—+00,aпри
х-> +00 имеем у-> — со.
п — четное. При п > 2 существует
по менышей мере один экстремум
Рис. 1.10.
Рис. 1.11.
функции. Число экстремумов при n > 2
всегда нечетно, а число точек перегиба четно. Если a, > 0, то при х-+ —©0 или х-> +00 всегда
у-+ +00. Если a, < 0, то при тех же условиях у-+ — 00.
Степенные функции: у=х", п> 2 — целое. Все графики этих функций проходят через
точку (1,1) и касаются оси x в точке (0, 0). Их иногда называют параболами п-го порядка.
‚Точка (0, 0) считается точкой п-кратного касания кривой с осью x (ср. и-кратный нуль, см. 2.3.2).
Если п четно, то функция имеет в точке х =0 минимум и график симметричен относительно оси у
(рис. 1.11, а). Если п нечетно, то точ-
yl
ка (0, 0) — точка перегиба с горизон-
тальной касательной и кривая сим-
метрична относительно начала ко-
ординат (рис. 1.11, 6). Графики функ-
!
ций у=ах" получаются в случае
/
а> 0 растяжением ординат в а раз,
Ad
A
ТА
а’в случае а < 0 — растяжением в|а| ----
t
—(0
раз и последующим зеркальным
0
_.---- $
NB
отображением относительно OCH Xx.
|
„З
1.2.1.2. Дробно-рациональные
/
функции.
Обратная пропорцио-
нальность:
у =а/х, а 52 0. График
такой — функции — равносторонняя
гипербола с действительной полу-
-
-
-
=
>
a
Puc. 1.12.
Рис. 1.13.
осью. y2 |а| (расстояние вершины OT центра), с центром в начале координат и с асимпто-
тами
— осями координат. Функции имеют один полюс 1-го порядка в точке х=0.
“Экстремумов нет. При а>0 функция в интервалах (—‹, 0) и (0, +00) монотонно убывает,
график лежит внутри первого и третьего квадрантов, вершины гиперболы — в точках
А (Иа, Va) и. В(— Иа, —/a). Говорят, что у обратно пропорционально x (рис. 1.12). При а<0
функция в тех же интервалах монотонно возрастает, график лежит внутри второго и четвертого
квадрантов, вершины гиперболы — в точках A’ (—-|/| a|, Иа) и В’ (Vial, -Иа} (рис. 1.12, штрихо-
вые кривые).
|
128
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
b,
Дробно-линейные функции: y= ТЕ р =
а2х+bz)
7 0, a, = 0. Графики функ-
a, b,
ций — также равносторонние гиперболы с действительными полуосями |/2|D|/| a2 |, с центрами‘
С (—Ь>/а>, а!/а2) и с асимптотами, параллельными осям координат и проходящими через С.
2/%2
1/%2
Функции имеют один полюс 1-го порядка в точке x, = —b2/a,. Экстремумов нет. Если D <0, то
функции в интервалах (— 00, —b2/a,) и (—b2/a,, +00) монотонно убывают, вершины гипербол
ba|ИР ay eryв( b, ИР! a,k ИР!
>—
——
що
ис. 1.13),
an’ а a,’ lal
)
)
находятся в точках А (-
)
a2
|а| a2
|а>|
Если D>O, то функции в данных интервалах монотонно возрастают, a вершины гипербол
находятся в точках
«(5ИРаИРв(beIPLаИП
a2 [аз|°a
|a2|
a2 [а2|°a, |a|
Некоторые нелинейные дробно-рациональные функции.
b
Cc
го
о
_
__
¥
“
1°. Функция у=а ++ 2’ b #0, c#0. График такой функции (рис. 1.14) также распадается
(подобно графикам дробно-линейных функций) на две ветви, так как функция имеет полюс
2-го порядка в точке х, = 0. Ось у и прямая, уравнение которой имеет вид у — а = 0, — асимптоты
этой кривой.
Одна из двух ветвей кривой пересекает асимптоту x — а =0 в точке А (—с/Ь, а), в то время как
другая ветвь при Ь <0 монотонно возрастает, а при Б>0 монотонно убывает. Функция имеет
один экстремум в точке x = —2c/b с соответствующим значением функции у=а- Ь?/(4с) (точка В
на рис. 1.14). Точка перегиба С имеет координаты (—3c/b, a — 2b7/(9c)). При А = 4ас — b? <0
y
кривая дважды пересекает ось X: в точках
у
|
|
o(-2 yo) ,(-- V0)
~2a
|
2al’
а*а’
При A = 0 кривая касается оси x в точке (—6/(2а), 0).
Если А >0, то точек пересечения с осью х нет.
2°. Функция у =
а = 0. График
ax?+bx+c’
этой функции симметричен относительно верти-
fhс
кальной прямой, уравнение которой имеет вид’
__-
Ao.
4
Я|
2
|
|
0z
Г
0]
Ул7|
Lt.
1
|
a)A>0
5)4=0
Г aac
8с<45<0
2)C<Qbh>0
|
'р
Рис. 1.14.
Рис. 1.15.
2ах +b = 0, a ось х является для нее ‘асимптотой (рис. 1.15). Вид кривой существенно определяется
1
значением дискриминанта A = 4ас — Ь?. Так как график функции у =
‘является зер-
—ах?—bx—c
кальным отображением относительно оси х графика данной функции, то достаточно ограничиться
случаем а > 0. Функция не имеет нулей.
a) д>0. Для каждого значения x функция положительна и непрерывна в точке Xqax = —Ь/(2а);
она имеет максимум, равный 4a/A. В промежутке (—00, х„„„| она монотонно возрастает,
а в промежутке [X,,,, +00) монотонно убывает. График имеет точки перегиба
B(saa-Va 2) (san+, =)
2аV3 А
2аV3 A
с наклонами касательных в этих точках tg @, = а? (3/A)*? ‚и tg @, = —а? (3/A)*/? соответственно
(рис. 1.15, а).
|
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
129
тим me
6) A=0. В точке x, = —b/(2a) функция имеет полюс 2-го порядка, а для всех остальных
значений х функция положительна и непрерывна. В интервале ({— 00, х,} она монотонно возрастает,
а’в интервале (х„ +00) монотонно убывает (рис. 1.15, 6).
`в) A<O. Функция имеет в точке Xm. = —b/(2a) максимум, равный 4a/A, а в точках хр
= Xmax + И — -A/{2a) И Хр, = Xmax -И- 4/29 — полюсы 1-го порядка. В промежутке (—©, x, 5). ona
положительна и’ монотонно возрастает, A промежутке (x,, xXmax] ОтТрицательпа и монотонно
возрастает, в промежутке [Xmaxs Xp,) стрицательна и монотонно убывает, в промежутке (Xp,» +)
положительна и монотонно убывает. Для всякого значения x, за ‘исключением х = Xp, HX р>›
функция непрерывна (рис. 1.15, в).
х
3°. Функция у = ma bebe’ ac #0. На тех же основаниях, что и в предыдущем примере,
ХхPrOX+E
можно ограничиться случаем a>0. График этой функции пересекает ось x в начале координат
и имеет асимптотой ось x (рис. 1.16). Обозначим A = 4ac — b?.
ад А>0. Для каждого значения х функция непрерывна и имеет в точках Xin = —Ус/а
И Xmax = Ус/а минимум ‘и максимум со значениями (—b — 2 Vacас)/А u(—b+2 Иае)/А соответственно.
В промежутке (— 00, Xin] она монотонно убывает, в промежутке [Xniny Xmax.] монотонно возрастает,
в промежутке [х„.,› +00) монотонно убывает. Существуют три точки перегиба {рис. 1.16, а).
| 6) A=0. Из того, что асж0 и а>0, следует, что b¢0, с>0. Для каждого значения x
имеем ах? + bx +с=а(х + Ь/(2а))?. В точке x, = --В/2а) функция имеет полюс 2-го порядка, а при
всех остальных значениях х она непрерывна. График имеет одну точку перегиба. 1) b> 0. Функция
имеет в точке х„„к
= Б/2а) максимум со значением функции 1/26). В промежутке {—о0, х,) она
монотонно убывает, в промежутке (х„ Xmax] монотонно возрастает, а в промежутке я
+ 00)
монотонно убывает (рис. 1.16, 61}. 2) В < 0. В точке x, = b/(2a) фувкция имеет минимум со значе-
нием 1/25). В промежутке (— <, хи] она монотонно убывает, в промежутке [Xmin, Xp) монотонно
возрастает, в промежутке (x,, +00) монотонно убывает (рис. 1.16, 62).
_ в) А<0. Многочлен в знаменателе имеет два различных действительных корня в точках
и = (—В — -И-АА)/(2а) и
В
=(-b+YV -- A)/(2a), и так как af == c/a #0, то а, В #0. Функция имеет в точ-
как Xp =Q их, ‚ =В полюсы 1-го порядка. 1} я < 0, В>0. В интервалах (—о0, а), (x, В), (В, +0)
функция. MOHOTOHHO убывает и не имеет. экстремумов (рис. 1.16, 6,). 2) я<0, В < 0. Функция имеет
Yh
B
‘4
Ya|
4
|
—.
|,
Л
РА
0
1
!
||
|
|
!Ne
|
А
|
ayi TM
iiiT
|
Ali?
224>0
_ 94=06>0
6,)4=06<0
A(t, !)
Ag
i4g
Yh
|
=
“S=s
|
!
No0
ye
|i
\У
|||
АА]
)
|
AN
УГА
ОИ
--~yaL
Hi)
}
7
.
|
| тети
01
1
>
\
ТЗ
МА
|Wo
тт
|
ТА,
И:
BN!
о
|
t
|
1
8) A<O,
6) A<O,
8) 4<0,
© и разных зманов =e и В отрицательны © uf f3 положительны
Рис. 1.16.
Рис. 1.17.
в точке хи» = — c/a минимум, а в точке Xpax = Cla максимум. В промежутках (— ©, a),
(a, Хит [Ха + 00) она монотонно убывает, в промежутках [Xmin> В), (В, Xmax] монотонно возрастает
(рис. 1.16, 62). 3) a> >0, В> 0. Функция имест в точке Xpin = —Ус/а минимум, а в ‘точке Xmax = И с/а
максимум; в промежутках (— <, Хип |, [Хна» В), (В, +00) она монотонно убывает, в промежутках
т ah (0, Xmax] MOHOTOHHO возрастает (рис. 1.16, 65).
. Степенные функции y = ax", a9, п- целое положительное число. У этих функций нет
стремумов в точке х, =0 они имеют полюс. порядка п, их графики при четном п" симметричны
относительно оси у, а при нечетном п центрально симметричны относительно начала координат.
Координатные оси — асимптоты кривых. При а>0 и п четном функции в интервале (0, +00)
монотонно ` убывают, а в интервале (—с0, 0) монотонно возрастают; при а>0 и п нечетном
‘функции в обоих интервалах монотонно убывают. При а < 0 графики функций получаются’ зеркаль-
130
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ным отражением относительно оси x графиков у = |а|х ". Если а =1, то графики проходят через
точку A(1, 1). На рис. 1.17 показаны графики функций у=х 2 иу=х 3,
1.2.1.3. Иррац льные фуикции.
Квадратный корень из линейного двучлена: у = + ах+ В, а 0.
Рассмотрим случай, когда перед радикалом взят знак +. Если а>0, то везде в области
определения —Б/а <х < +00 функция неотрицательна и монотонно возрастает. Если а < 0, то везде
в области определения — © <х< —b/a функция неотрицательна.и монотонно убывает. Функция
равна нулю при x = —b/a, ее график представляет собой часть параболы с вершиной (—b/a, 0)
и параметром р = а/2, лежащую над осью x (рис. 1.18). Если перед радикалом взят знак —, то
график получается зеркальным отражением относительно оси х графика у = +Иах +b. Ос
параболы совпадает с осью х.
|
4-
йANG2
_j--< a>
-Т === вед
a) а<04<0
$)а>04>0
8#)а>04<0
Рис. 1.18.
Рис. 1.19.
Квадратный корень из квадратного трехчлена.. у = + Иах? + bx + с, а 0.
1) а<0и A=4ac -— b* > 0. Выражение не определяет никакой действительной функции.
2) а<0, A<0O. Область определения — отрезок [o, В], где a=(—b+//—A)/2a) и B=
=(—b — У —-А)Д2а). Функция имеет в точке b/(2a) максимум, равный |/ А/(4а) (перед корнем знак +),
минимум, равный —|/ Bf(4a) (перед корнем знак —), на концах области ‘определения она равна
нулю. График функции представляет собой часть эллипса с центром (—b/(2a), 0) и вершинами
в точках A, В, С, D, лежащую в верхней полуплоскости (рис. 1.19, а) (перед корнем знак +),
или в нижней полуплоскости (рис. 1.19, а) (перед корнем знак —).
3) a>0, А>0. Функция определена при любом значении х, не имеет нулей, но при x=
= —b/(2a) имеет минимум, равный /A/(4a) (перед корнем знак +), максимум, равный —|/ A/(4a)
(перед корнем знак —). График состоит из ветвей гиперболы с центром (—b/(2a), 0) и осью x
в качестве мнимой оси (рис. 1.19, 6); при этом верхняя ветвь соответствует знаку + перед корнем,
а нижняя — знаку —.
.
4) а>0, А<0. Область определения этой функции распадается на промежутки (—©o, a],
[B, +00), где «a =(—b—J|/ —A)/(2a), В =(—b + -А)/2а). Функция обладает двумя нулями в гранич-
ных точках области определения.
График состоит из двух ветвей гиперболы с центром (—b/(2a), 0) и осью x в качестве
действительной оси (рис. 1.19, в); при этом части гипербол, лежащие в верхней полуплоскости,
соответствуют знаку + перед корнем, а лежащие в нижней полуплоскости — знаку —.
Yh
Yh
gant
ух"
/
ft
Oo}
т
Ofт
a)
5)
2)
Рис. 1.20.
Степенная функция: y=x", К = т/п, т, п — взаимно простые целые числа, п 2 +1.
1) k>0. Функция имеет один нуль при хо = 0, и график проходит через точку (1, 1). Если п
четное, то область определения — промежуток [0, +00). Если п нечетное, то она определена при
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
131
любом значении x. Если п нечетное, а т четное, то ось у — ось симметрии графика; если пи т
нечетные, то график центрально симметричен относительно начала координат. Если п>т, то.
ось у- касательная к кривой в точке (0, 0); если m>n, то касательная в точке (0, 0) — ось x
(рис. 1.20).
2) k <Q При x,=0 функция имеет полюс К-го порядка — точку разрыва (точка разветвления
с неограниченно возрастающим модулем значения функции). При п четном она определена
Yh
ke
yar?
у yar
1
ТЕ
ARE
—.тoya
йт=
a)
5)
8)
Рис. 1.21.
в интервале (0, +00), а при п нечетном — для любого значения x #0. Экстремумов нет. Графики
этих функций проходят через точку (1, 1) и имеют асимптотами оси координат. Они обладают
теми же свойствами симметрии, что и кривые, описанные п. 1) (рис. 1.21).
1.2.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
1.2.2.1. Тригопометрические и обратные тригопометрические функции.
Синус: y=Asin(@x
+фо),А>0,®>0.
1) При A=1, о=Г и Ф=0 имеем обыкновенный синус: у = п х. Это периодическая
функция с периодом T= 2m (см. 2.5.2.1). Ее график — синусоида (рис. 1.22, а), пересекающая ось x
в точках В, с координатами (nn, 0) (n — любое целое число), которые одновременно являются
точками перегиба кривой. Касатель-
ные в этих точках образуют с по-
ложительным направлением оси х
угол либо 1/4, либо —п/4. Макси-
мумы функции лежат в точках
Xmax, = 7/2 + 2ип, минимумы — в точ-
ках Xmin, = —п/2 + 2пп. Значения
функции у удовлетворяют неравен-
ству —l<y<l.
2) График общей синусоиды с
амплитудой A, круговой частотой
® и фазой Фо представлен на
рис. 1.22, 6 (незатухающее гармони-
ческое колебание; о затухающем
гармоническом колебании см. 1.2.2.2).
Его получают из синусоиды аффин-
ным преобразованием: растяжением
в А раз в направлении оси у, растя-
‚жением в 1/@ раз в направлении оси
Рис. 1.23.
х и последующим параллельным
сдвигом по оси х на —Фо/®. Функция имеет период T= 2n/w, нули (пп — Фо)/®. Максимумы
расположены в точках (л/2 — фо + 2ип)/ю, минимумы — в точках (—п/2 — фо + 2nn)/w. Все значения
функции удовлетворяют неравенству —A <у< А.
Косинус: y=cos x. Так как cos x = sin(x + 2/2) для любого x, то функция COs х представляет
собой особый случай общей функции синус: A=w=1, Фо = п/2. Поэтому ее график — сдвинутая
по оси x на —п/2 синусоида (рис. 1.23). Нули — в точках п/2+ пп, максимумы — в точках 2ит,
минимумы — в точках (2n + 1) т. Период T = 2n.
Тангенс: y=tgx. Область определения этой функции представляет собой бесконечное число
открытых интервалов (—п/2 + пп, п/2 + пп), где п — любое целое число. В каждом из этих интер-
валов функция монотонно возрастает и имеет нуль в точке Xo, = ип. Функция периодична с пе-
Рис. 1.22.
132
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
риодом Т=пт. В точках п/2-+ пл функция имееф полюсы 1-го порядка. Точки пересечения ее
графика с осью x — ee точки перегиба. Касательные в этих точках составляют с положительным
направлением оси x угол п/4 (рис. 1.24).
Котангенс: y=ctg x. Область определения этой функции представляет собой бесконечное
число открытых интервалов (пт, (п + 1) п), где п — любое целое число. В каждом ‘из этих интерва-
лов функция монотонно убывает и
имеет нуль в точках Xo, = 1/2 + ил.
|
Функция периодическая с периодом
Т = п. В точках ня.она имеет полюсы
1-го порядка. Точки пересечения. с
р
|
‚1
1
1
1
1
|
1
|
!
|
осью X — 3TO одновременно точки
1
“
-°
=т
|
i
~T перегиба. Угол, образуемый в этих
-П
п \2n\on
точках касательными с положитель-
1
1
1
1
|
I
|
[
|
ным направлением оси x, равен — 11/4
(рис. 1.25). В области определения
справедливо равенство ctgx=
= —tg(n/2 + x).
Секанс: y=secx. Эта функ-
Рис. 1.24.
Рис. 1.25.
ция определена в открытых интерва-
лах (— (п/2) + пт, (п/2) + пп) соотно-
.Yh
J}
шением sec х = 1/cos x и имеет в точ-
как X, = (п/2) + ип полюсы 1-го по-
752
рядка. Функция периодична с перио-
дом T=2n (рис. 1.26). В области
определения при любом х справед-
ливо неравенство | sec x | > 1, мини-
мумы функции находятся в точках
2пп, максимумы — в точках (2n +
+1) 1.
Косеканс: y=cosecx. Функ-
ция определяется в открытых ин-
Рис. 1.26.
Рис. 1.27.
тервалах (пл, (n+ 1) п) равенством
cosec x = 1/sin x, периодична с пе-
риодом Т= 2n и имеет в точках Xp, = пк полюсы |-го порядка (рис. 1.27). Так как в области опре-
деления справедливо равенство созес x = sec (x — п/2), то график совпадает со сдвинутым Ha л/2 по
оси xX графиком функции у = $есх. Функция имеет минимумы
&
а
]
Q
<
’
4|
|.
в точках т (4n + 1)/2 и максимумы в точках л(4n + 3)/2.
|\
;‘I
Арксинус: y=arcsin x. Эта функция является обратной к
ИИ
|“
функции y=sinx на отрезке —п/2 <х<п/2 (рис. 1.28). Таким
1
1
:
“
ЗИ
образом, ее область определения —1 <x <1, а область значений
и
—п/2 < у<п/2. Функция монотонно возрастает и имеет нуль при
L1
Хо = 0. Ee график — часть синусоиды, зеркально отраженной OTHO-
АИ
.
No
и
и_
‘Tl SB
ЕТ
LLL.
ЕЕ --- ЧЕ
|2
()
4-7 a
ood
т
т
ТРО
leeeeeeaTh
Se хx4_>t+=:
“fi т.
ssesstiT_ |
АХ
==
А
т
a
Си
яя 2-Е. И
BAS
=—>
т!
НЫ
---0 `?
L
I.
a
a.
1
м
2-7“
то
1
ЕТ
д
Ш
------ ===
О
а99
--
44
Рис. 1.30.
Рис. 1.31.
Рис. 1.28.
Рис. 1.29.
сительно прямой x — y =O (биссектрисы первого и третьего квадрантов). График имеет в начале
координат точку перегиба, касательная в этой точке составляет с осью x угол © = 1/4 (см. также
примечание в конце 1.2.2.1).
Арккосинус: у = агссо$ xX. Эта функция является обратиой функцией для у = COS х на отрезке
0 <х<л. Таким образом, ее область определения —1<x<1, а область значений 0 < yeu
(рис. 1.29). Функция монотонно убывает. Ее график
— часть косинусоиды, зеркально отраженной
относительно прямой x — у = 0 — имеет в точке (0, 2/2) точку перегиба. Касательная в этой точке
составляет с осью x угол ф = 3n/4 (см. также примечание в конце 1.2.2.1}.
а в промежутке 0<x <
пок АЗАТЕЛЬНЫЕ и ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
133
——.
‚ Арктангенс: у = arctgx. Эта функция является обратной функцией для у = вх на иптервале
alex < п/2.` Следовательно, ее область опрелеления -—G <x < +0, а область значений
—п/2
<у < 1/2. (рис.
‚
1.30). Фувкция монотонно возрастает и’ имеет нуль при хо =0. Ес график
получают зеркальным отражением графика соответствующей ветвч фунхции у = le х относительно
прямой x —y=0. В начале координат функция имеет точку перегиба; угол, образуемый касатель-
ной в этой точке с осыо x, равен ф = п/4. Прямые y+n/2=0 и y— 2/2 = 0 — асимптоты
(cm. также примечание в конце 1.2.2.1),
“Арккотангенс: y=arcetgx. Эта функция являстся обратной функцией для
интервале 0 <x < п. Следовательно, ce область определения 0 <х< +00, а область значепий
О<у<х (рис. 1.31). Функция монотонно убывает и не имеет нулей. Ес график получают зеркаль-
ным отражением соответствующей ветви графика функции у = (вх отпосительно нрямой x - у=0
Этот график имеет точку перегиба (0, 2/2) (угол ‘между касательной в этой точке ин осью Xx
равен ф = 3/4). Прямые у=0 и y— m= 0 — асимитоты (см. также примечание).
yocigx на
Примечание. Если x - фиксировавное действительное число, -ЁГ<х < 1, то множество нсех
‘чисел у, для которых x == sin у, обозначают Arcsin x: следовательно, Arcsin x = ly |x = sin у.
жестве Arcsin x существует. сдинствензое действительное jy = arcsin x
Отсюда следует: уе АгсЯй x только тогла
ветственно получают:
у=tarccosx+2nn.
пействигельных
В кажлом таком мпо-
‚ которое пазывается главным значением Arcsin Xx.
‚ когда имеется целое чисно п, при котором y = (-- f)” иесмих + пя. Соот-
уе Arccos x только тогда, когда существует такое ней (2 - миожество целых чисел), со
Далее, при-хЕ(—00, +o) ye Arctg х только тогда; когла существует такое néZ, чго у = ага x 4- пк; уе Arcetg x
только гогда, когда существует такое NEZ, что у = агсав x + ит.
Графики многозначных фуикций Arcsin x, Arceos x, Arctg x, Arcetg x изображены ссответствснио па рис. 1.28- 1.31
‘штриховыми линиями.
1.2.2.2. Показательные и логарифмические функции.
Показательные функции: y =e = exp (bx), b #0 (их называют ‘также экспоненциальными).
Функция (рис. 1.32) определена при всех значениях x, не имеет ни нулей, ни экстремумов. Ее
значения всегда положительны. Обозначив a = с?, имеем для всех значений x с” = ‘ иач>0, (1
При b> 0 (т.е. a> 1) функция монотонно возрастает, ‘при b < 0 (т.е. О <а< !) монотонио убывает
Важные частные случаи:
у =e”= exp x, y=e
* = ехр (—х).
Г рафик проходит через точку (0, J) и имеет ось х в качестве асимитоты
зи
&a
5
con >=
Де
&of
<>
‚
—1
:
N3<
ty
wer Sy
Ш
5
и
‚>
.
-
-
-
-
-
-
>
-
.
-
и
:
peewee У бб МЫ
неее Y=ШТ М
o
o
?
°
e
e
n
e
a
d
.
ee 4*Logye
~—=
=LOY yy.2
0
т
Рис. 1.32.
Рис, 1.33.
Логарифмические функции: у = 05 х, а > 0, аз 1. Они являются обратными функциями
для. показательных функций. Область значений: — oo < у < +05. Обозначая b =
определения log, x = (1/5) шх, b#0. При a> (т.е. b>
, <а<! (т.е. 6 <0) монотонно‘ убывает (рис. 1.33).
In a, имесм в области
0) функция монотоино возрастает, при
Важный частный случай: а=о (т.е. Б= |),
= п х. График проходит через. точку (1, 0) и имеет асимптотой ось у. При каждом отличном
or нуля значении Db. функции y=e* и у= (1/Ь) 1х взаимно обратны; их графики совмещаются
друг с другом при зеркальном отражении относительно прямой x — y = 0.
Функции у= be“ = рехр
(— (ах)?}, a #0, b>0. Функция (рис. 1.34} определена при всех
значениях x, ее область значений: 0 <узр. В промежутке —co <x <9 она монотонно возрастает
< +00 монотонно убывает и имеет при x = 0 максимум on =, График
симметричен. относительно оси у и имеет две. ‘TOUR перегиба: В (1/а /2), b Ие) и С (—1Да \/22), b И)
134
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Касательные в этих точках имеют угловые коэффициенты tg ф, = —ab И2/е и tg @, =ab//2/e.
Важный частный случай; b= с //2n), a=o 2 (это гауссова кривая — кривая нормального закона
распределения ошибок, см. 1.1.2.6.1).
Рис. 1.34.
Рис. 1.35,
Функции y=aeTM+ се, abcd 40. Функции (рис. 1.35) определены при всех значениях x. Их
рассматривают как сумму функций у; =ae и у› = се" (о частных случаях b=1, Ч4=-Ги
а=е= 1/2 или a= —c= 1/2 см. 1.2.2.3). Можно выделить четыре типа, для каждого из которых
существует четыре случая. Для каждого типа рассматривается один случай. Графики функций
в остальных случаях получают из графика рассмотренного случая путем зеркального отображения
относительно оси х, оси у или обеих осей.
а) ас > 0, bd > 0, На рис. 1.35, а изображен случай а> 0, > 0 и b>0, 4>0. Функция моно-
тонно возрастает. Экстремумов и нулей нет. График не имеег точек перегиба, ось x — асимптота.
6) ac >0, bd <0. На рис. 1.35,6 изображен случай a>0, с>0, b>0, 4 <0. Функция имеет
минимум в точке х„„» не имеет нулей, в промежутке (— 0, х„„| монотонно убывает, а в про-
межутке [х„„ +00) монотонно возрастает. График не имеет точек перегиба и асимптот,
в) ac < 0, bd> 0. На рис. 1.35, в изображен случай «> 0, с<0, b>0, d>O0. Функция имеет
In (—c/a)
один максимум в точке х„„» нуль при хо = —
В промежутке (— 00, х„..| она монотонно
—с
возрастает, а в промежутке [Xmax, +00)
Я
монотонно убывает. График имеет одну
точку перегиба, ось х — асимптота.
Г)ac<0,bd<0.Нарис.1.35,2изобра-
жен случай а < 0, с >О0ир<0, 4> 0. Функ-
ция не имеет экстремумов, монотонно воз-
растает и имеет один нуль при хо. У гра-
фика одна точка перегиба. Асимптот нет.
Экстремальные значения (типы OG) и в))
_
в точке С достигаются при x = (1/4 — b)) x
<2
x In (—ab/(cd)), d 4 b. Нули (типы в) и г):
Хо = (1/(4 — b))- In (—a/c), d # b. Точка nepe-
6)с< 0
сечения с осью у: А (0, a+ с); абсцисса точ-
киперегибаD(типыв)иг)):x=(1/(d—b))x
Рис. 1.36.
xIn(—ab(cd?)), d Ab
Функции y=ae*TM = цехр (bx +
+ cx’), ас #0. Графики этих функций сим-
метричны относительно прямой 2сх + Ь =0. У функций нет нулей, но есть один экстремум в точке
A (—b/(2c), a exp (—Ь?/(4‹))).
Различают два типа графиков функций, которые изображены для случая a>Q на рис. 1.36
(при а < 0 нужно зеркально отобразить кривые отпосительно оси х).
а) с >0, а> 0. Экстремум — минимум, функция в промежутке (— со, х„„| монотонно ‘убывает,
ав [х„„, +00) монотонно возрастает. Точек перегиба и асимптот нет (рис. 1.36, а).
6) с < 0, «> 0. Экстремумом является максимум. В промежутке (— 00, х„.„| функция монотонно
возрастает, а в промежутке [х„.,, +00) монотонно убывает. Ось x -— асимптота (рис. 1.36, 6).
Точки перегиба имеют координаты
—b + |/—2
(b? + 26)
—b-/=2€
(b? + 2c)
B
5,
‚ аехр|—oi). С
>
‚aexp(-
c
2D
|
|I
{|
Z
|
|
4c
4c
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
135
Функции y=ax’e* = ax exp (cx), abc #0. Если в качестве Б взять любое отличное от нуля
действительное число, то функции при b>O определены в промежутке 0<x< +00, а при
р <0-—в промежутке 0 <х< +00. Здесь снова достаточно рассмотреть случай я >0 (при a<@
графики получаются зеркальным
отображением относительно оси x). YA
YI
a)c>0, b> 1 (рис, 1.37, а). Гра-
фик касается оси x в точке 0.
Функция монотонно возрастает.
6) с >0, b= | (рис. 1.37, 0). Гра-
>L
eatin в этой точке, ямой 4)с>0,5>1
ах — y =0. Функция монотонно воз- |
|
растает.
А
в) c>0, 0<b<1 (рис. 1.37, в).
р
График касается оси у в точке (0, 0)
р
и имеет точку перегиба С с абсцис- — й
>
con (Vb — bye. Функция монотонно 0
т0
т0
т
возрастает и не имеет экстремумов,
Ac<Qb>!
в)с<06=
ж<00<5< 3<06<й
rT) c>0, b <0 (рис. 1.37, г). Ось
у — асимптота, Функция имеет ми-
Рис. 1.37.
нимум в точке х = —b/c и MOHO-
тонно убывает в промежутке (0,
—b/c], а в промежутке [—b/c, +)
монотонно возрастает.
д) с < 0, Ь>1 (рис, 1.37, 0), Гра-
фик касается оси x в точке (0, 0) и
имеет две точки перегиба Си D
с абсциссами хс = (В+ УБ)/(-с©) и
хр=(6- УВ-с). Осьx—асимп-
Tota, Функция имеет максимум при
x = —b/c. В промежутке [0, —)/c]
монотонно возрастает, а в проме-
жутке [—b/c, +00) монотонно убы-
вает,
ес < 0, b=1 (рис. 1.37, е). Гра-
фик проходит через точку (0, 0) и
касается в этой точке прямой ах —
—у=0. Существует только одна
точка перегиба С, аналогичная рас-
смотренной в д).
ж) с <0,0<b <1 (рис, 1.37, a).
График касается оси у в точке (0, 0),
Свойства функций те же, что в ©).
3) < <0, b <0 (рис. 1,37, 3). Оси
\
координат — асимптоты. Функция
Рис. 1.38.
‘монотонно убывает в интервале
(0, + 00).
Функции y= Ae TM sin (wx +
+ $), A>0, a>0, ®>0. Графики этих функций (рис. 1.38) представляют собой при x 20
затухающие гармонические колебания, если интерпретировать х как время, а у — как отклонения
(при @ =0 — незатухающие гармонические колебания, см. 1.2.2.1). Кривая располагается в области,
ограниченной графиками функций у = Ae“ и y= —Ае "” (изображены штриховыми линиями),
имеющими ось х в качестве асимптоты.
Координаты точек касания A, рассматриваемой кривой с графиками функций y= Ae“ wu
у = —Ae”TMTM равны соответственно
(К +0,5)х -Ф
4)
‚ (—1 Ae“,
к — целое. Точки пересечения с осями координат: В (0, Asin оф), С, ((kn— Ф)/ю, 0), экстремальные
|
arctg (w/a
t
значения (абсциссы точек D,): kn — 9 + at /a) , абсциссы точек перегиба E,: kn-—@+2 arctg
(w/a)a)
|
@
логарифмический декремент: 6 = In | ух/ук+а | = an/o.
136
ГРАФИКИ `ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.2.2.3. Гиперболические функции.
x_е-х
е
Гиперболическ ий син ус: py=shx= У Фуикция нечетная, моно’ гонно возраст аю-
щая. Ее график (рис. 1.39} центрально симметричен относительно начала ‘координат. Точка (0, (0)
является точкой перегиба кривой. Угол наклона .ф касательной в точке (0, 0) равен 1/4.
e+e
.
Гиперболический косинус: у = сх = г: Эта функция в промежутке (—о0, 0]
монотонно убывает, а в промежутке [0, +с0) монотонно возрастает, имеет при хо =0 минимум
со значением функции, равным единице. Ее график {рис. 1.40) симметричен относительно оси у
и является цепной линией (см. 1.3.4). В окрестности точки A (0,:!) он хорошо аппраксимируется.
графиком функции у=1+ х?/2 (парабола на рис. 1.40 изображена штриховой линией, касание
3-го порядка).
J
1
2-7Ol 7 2
Рис. 1.39.
Рис. 1.49.
Рис. 1.41.
|
ete
Гиперболический тангеис: y=thx= wpe Функция монотонно возрастает, все се
|
е
е
значения лежат между —1 u 1. График (рис. 1.41} центрально симметричен относительно начала
координат. Точка (0, 0) является точкой перегиба кривой. Угол наклона ф касательной в точке (0, 0)
равен 7/4. Прямые у- {1 =0 и y+1 =0 — асимптоты..
ех
2
+е
Гиперболический котангенс: y=cthx= и. В интервалах (— “00, 0) и (0, +00)
2
функция монотонно убывает, в точке х, =0 имеет полюс первого порядка. Нулей нет. График
функции (рис. 1.42) центрально симметричен относительно точки (0, 0). Прямые y—1=0, y+1=9,
x = 0 — асимптоты.
|
у
4
J
2.
_
an
$92101 25 42
$1
12
1-3
14
Рис. 1.42.
Рис. 1.43.
А реасинус: y=Arshx = (х + Их? +1). Эта функция является обратной. функцией для
y=shx на интервале (—с, +00) и поэтому монотоино возрастает. График (рис. 1.43) получают
зеркальным отражением графика y=shx относительно прямой х-у=0. Точка (0, 0) — центр
симметрии кривой и одновременно ‘точка перегиба. Угол наклона ф касательной в точке (0, 0)
равен п/4.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
137
Ареакосинус: y= Arch x = In (x + |/х? — 1). Эта функция двузначная. Она является обрат-
ной функцией для y=chx в промежутке [0, +00) и в промежутке (—о0, 0]. Ее область опреде-
ления | <х< +0... В области’ определения верхняя ветвь монотонно возрастает, а нижняя—
монотонно убывает. Ее график (рис. 1.44) касается в точке Л(1, 0) прямой, параллельной оси у,
и является графиком у = ch x, зеркально отраженным относительно прямой х-у=0.
l
,
Sky
Yh|
3h
|3
21|
‚2
ce
[+
|
ГО
ia
.No
а
м
A 2545672 “fy
O25 42
РР
a
|~
-2t |
|
|fe
|
|91
mn
Puc. 1.44,
Puc. 1.45.
Puc. 1.46.
А реатангенс: y= Arth x= > In a. Эта функция является обратной функцией для
—х
y=thx на интервале (—co, +). Ее область определения —!1<х<1, область значений
— с <у< +. Функция нечетная, монотопно возрастающая. График функции (рис. 1.45) цент-
рально симметричен относительно точки (0, 0), причем эта точка — одновременно точка перегиба.
Касательная в этой точке имеет угол наклона ф = 1/4, прямые х-1=0 и x+1=0-
асимптоты. График функции получается зеркальным отражением графика у = th x относительно пря-
мой x —y=0.
—
ae Эта функция является обратной функцией для
y=cthx в обоих интервалах монотонности (— ос, 0) и (0, +5). Следовательно, се область опре-
деления распадается на интервалы (—5, —1). и (1, +95), в которых она монотонио убывает. Ee
график (рис. 1.46) центрально симметгричен относительно точки (0, 0); он получается путем. зеркаль:
ного отражения относительно прямой x—y=0 графика y=cthx и имеет асимлтоты у=0,
x+1=0,x-1=0.
`Ареакотангенс: y=Arcthx =->In5
13. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
Если F (x, у) =0 — уравнение, имеющее. решение и не являющееся тождеством (см. 2.4.1.3),
и если О = {(a, b)| F (a, Б =0} — множество всех упорядоченных пар действительных чисел a и Б,
для которых F (а, 5) =0, то множество ЕЁ = {М (а, 5) | (а, БЕО} всех точек М плоскости, имеющих
в какой-либо системе координат координаты а ub, называют плоской кривой, определенной в 5
уравнением F (x, у) =0. ЕслиГ (x, у) представляет собой, в частности, выражение у — f(x) и система
координат декартова, то кривая Г, является графиком функции у =f (x) (см. 1.2). Таким образом,
уравнение кривой зависит не только от вида кривой, но и от системы координат.
Кривая Г, называется алгебраической кривой порядка п, если имеются декартова система
координат и многочлен F(x, у) переменных x, у степени п такой, что F(x, у) =0 является урав-
нением кривой Ё в этой системе координат.
В полярной системе координат (см. 2.6.5), как правило, ограничиваются уравнениями
вида р=/ ($). Тогда р=/ ($) рассматривается как уравнение кривой Г в полярных коорди-
натах.
Если х=х( и у=у(1)— две функции, определенные в олном и том же промежутке Г,
и S$ — декартова система координат, то обе эти функции называются параметрическим представ-
лением кривой
L=(M (x(t), У (0) |teT}.
138
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
1.3.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Об алгебраических кривых 1-го и 2-го порядков см. 2.6.6.1.
1.3.11. Кривые 3-го порядка.
|
Полукубическая парабола (рис. 1.47). Уравнение кривой: а?х? — у? =0, а>0. Парамет-
рическое представление: x = t?, y= а!3, —сю <t < +o. Кривизна К кривой в точке с абсциссой x:
К = ба/(Их (4 + 942х)3/?). Длина | дуги кривой от начала координат до точки М с абсциссой x:
1 = ((4 + 9а2х)3/2 — 8)/(27а?).
Локон Аньези (рис. 1.48). Уравнепие кривой: (x? + а?) у — а? =0, а>0. Асимитота: у = 0.
Радиус кривизны в вершине А (0; a): Вл = 4/2. Точки перегиба: В («//З, 39/4), С (—a/3, 3a/4).
Угловой коэффициент касательной в точках перегиба: tg om, = —3 И 3/8, tg, =3 ИЗ/8. Площадь
между кривой и асимптотой: 5 = ta’.
7
И
А
Г]
т
т
“т
Рис. 1.47.
Рис. 1.48.
Рис. 1.49.
Декартов лист (рис. 1.49). Уравнение кривой: х? + у? — Заху =0, а> 0. Параметрическое
представление: x = 3at/(1 + ¢°), у = За?(Е + 13), — © <t< —1и —I <t < +00. Если обозначить через
М (t) точку кривой, соответствующую значению параметра f, а через ф( угол между MO
и положительным направлением оси x, то будет справедливо равенство tg ф (1 =Е Начало коор-
динат О — узловая точка кривой. При —1 <
у
gh
<t< +0 кривая проходит из второго квад-
ранта через точки (0, 0) (1=0) и А в точку
(0, 0) (t+ +00); при —< <Е < -1 кривая, Ha-
чинаясь в точке (0, 0), располагается в четвер-
том квадраите. Оси координат— касательные
к кривой в точке (0, 0). Радиус кривизны
в точке (0, 0) обеих ветвей кривой: Rp = 3a/2.
Уравнение асимптоты: х + у+а = 0. Вершина:
А (34/2, 3a/2). Площадь петли: $, = 3a?/2; пло-
щадь между кривой и асимптотой: 5› = 3а2/2.
Циссоида (рис. 1.50). Уравнение кривой:
х* + (х- а) у? =0, a>0. — Параметрическое
представление: x = а? /(1 + #2), у=а И + t?),
—© <{< +0; t=tg@(t), где Ф(И- угол
между лучом ОМ и положительным направ-
ленисм оси x (М (1 — текущая точка кривой).
Уравнение в полярных координатах: р =
Рис. 1.50.
Рис. 1.51.
= asin? ф/со$ ф. Геометрическое определение:
точка М находится на кривой, если она
лежит на луче, выходящем из начала координат, и | МО|=|РО|, где Р- вторая точка
пересечения луча с окружностью радиуса a/2 и центром (a/2, 0), а О — точка пересечения луча
с прямой х—и=0. Точка (0, 0) — точка возврата кривой. Асимптота: х-а= 0; площадь между
кривой и асимптотой: $ = 3па?/4.
Строфоида (рис. 1.51). Уравиение кривой: (x + а) x? + (x — a) у? =0, а>0. Параметрическое
представление: x = a(t? — 1)(t? +1), у=ш(Р - ПР +1) -х << +0; t=tgo(t), где ФО -
угол между прямой МО и положительным направлением оси x (М = М (1) — текущая точка кривой).
Уравнение в полярных координатах: р = —а со$ (2¢@)/cos ф. Геометрическое определение: точка М
лежит на кривой, если она лежит Ha луче, выходящем из A (—a, 0), и | РМ | =|РО |, где Р — точка
пересечения луча с осью у, О — начало координат (ua рис. 1.51 | РМ, |=|РО]|=|РМ.]). Начало
\
©
,
5
7
КРИВЫЕ 4-ГО ПОРЯДКА
139
координат — узловая точка кривой, прямые х+у=0 и х-у=0- касательные к кривой в O.
Асимптота: x — а= 0. Вершина: A(—a, 0), Площадь петли: 5, = 242 — па?/2; площадь между кривой
и асимптотой: 5, = 2a? + па?/2.
1.3.1.2, Кривые 4-го порядка,
Конхоида Никомеда (рис. 1.52). Уравнение кривой: (x — a)? (x? + у?) — 2х? =0, а> 0,
| > 0. Параметрическое представление: x =а + 160$ , у=ашЕ+15ть —л/2 <t < n/2 — правая ветвь,
п/2 << 21/2 — левая ветвь. Уравнения в полярных координатах: р = (a/cos ф) + [ — правая ветвь,
р = (а/соз <) — [— левая ветвь. Геометрическое определение конпхоиды Никомеда: конхоила *) прямой
x—a=0 относительно О. Асимптота: x —a=0 (для обеих ветвей). Вершины: А (a+ |, 0) — правая
ветвь, О (а-—1 0) - левая. Точка пере-
гиба правой ветви: Ви С; их абсцисса — YI
Y
наибольший корень уравнения x? —
—За?х+2а(а?—I?)=0.Длялевойвет-
ви следует различать три случая:
`а) [<а. Точка О — изолированная точ-
ка кривой (О в этом случае в парамет-
рическом представлении не содержится).
Левая ветвь имеет две точки перегиба,
абсцисса которых — второй по величине
корень выписанного выше уравнения.
6) [>а. О- узловая точка кривой,
касательные в О имеют угловые коэф-
фициенты |/(I? — а2)/а или —/(?— а?)/а,
‘радиус кривизны в О: Ro =1ИР —a?/(2a).
в) [ = а. Точка О совпадает с вершиной
р и является точкой возврата.
Улитка Паскаля (рис. 1.53).
Уравнение кривой: (x? + у? — ах)? —.
Рис. 1.52.
—Р (x2 + у2) =0, а>0, 1>0. В пара-
метрической форме (при а <] точка О
не включается): х = acos*t+/cost, y=costsint+/sint, 0 <Е<2л. Уравнение в полярных коор-
динатах (при а<] без точки 0): р=асоз ф +1. Геометрическое определение (без О как изоли-
рованной точки): конхоида окружности с радиусом а/2 и центром (а/2, 0) относительно 0.
Вершины A (a +0), B(a — 1, 0). Экстре-
мумов 4, если а>ри 2, если acl:
С, D, Е, F (cost =1+//P 822 /4а)).
1
da<l <2а 8) a>l
Рис, 1.53.
Рис. 1.54.
Точки перегиба С, H (cost= —2а? + 1?/(3al)) существуют, если а<|<2а. Если | <2а, то суще-
ствуют две точки: I (— 2/(4а), 1|/4а? — Р/(4а)) и К (—2/(4а), —1 /4a? — |[?(4a)) с общей касательной.
При а<|! точка О — изолированная точка кривой, при a>! точка О — узловая точка с двумя
касательными (угловой коэффициент касательных Иа? —РЛи — Иа? — 1?/]) и радиусом кривизны
Иа? — 12/2, при a=! точка О — точка возврата (см. кардиоиду).
Кардиоида (рис. 1.54). Уравнение кривой: (x? + у?) (x? + у? — 2ах) — а?у? =0, а> 0. В пара-
метрической форме: x =acost(1+cost) y=asint(l+cost), О <Е< 2м. Уравнение в полярных
*) Конхоидой данной кривой называется кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении радиус-вектора
каждой точки данной кривой на постоянный отрезок [. Если уравнение кривой в полярных координатах р = f(g),
то уравневие ее конхоиды р = f (Ф) + |. Конхоида Никомеда — копхоида прямой линии.
140 |
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
—
координатах: р =а(1 + с0$ $). Геометрическое определение: частный случай улитки Паскаля
(см. выше) или частный случай эпициклоиды (см. 1.3.2). Верщина: _A (2a, 0); точка возврата —
точка О. Координаты точек С и D: хс=хр= 3а/4,. ус = -ур=уУЗхс, Фес = .-—фр=пт/3З, PC=
= рр= 34/2. Площадь: $ = 3па?/2 (шестикратная. площадь круга с диаметром а). Длина. кривой:
5=8a.
Овалы Кассини (рис. 1.55) Уравнение кривой: ( 2+ y2)2— 2¢2 (x2 — y2) — (at — с) = 0, c > 0,
a> 0. В полярных координатах: р? = с? cos 2Ф + Ис“ cos? 2@ + (a* — c*). Геометрическое. определение:
точка М плоскости лежит на кривой, если произве-
дение ее расстояний до фиксированных точек F, и
F, постоянно: | МР,|| МЕ» | = а?; при этом F, и F,
имеют координаты РГ, (с, 0), F2(—c, 0). Форма кривой
зависит от отношения a/c:
а) a>ey2 (рис. 1.55, а). Вершины: А (Уа? +eс? , 0),
C(--Va? + с2, 0), B(0, Иа? — c), D0, ~/a? -с?). Ес-
mu a=cl/2, то кривизна в точках В.и D равна нулю
(кривая имеет с касательными в. ‚В и D касание
3-го порядка).
y
4
D
6) c<a<cV/2 (рис. 1.55, 6). Имеются четыре.
а)а>6%2
точки перегиба: P, Г, М, М. Их ‘координаты:
а
хр= —хр=хм =—хм = Vm— n)/2, yp= ур= —ум=
21ВЕ
=—ум=Vm+п)/2.
+п)/2, где m=И(а*—c*)/3,в=(а*—
р
— с*)/(3с?). Точки Е и С, а также К и J, имеют при
Cfy0м=
суУ2>а общие касательные. Их координаты:
С
ри9)с<4а<61/2
Л
a'
иЕ
C
Q0| #
A
С
L
8) а<с
Рис. 1.55.:
‚ Рис. 1.56.
хЕ=—хб=-хк=ху=4"—27/20),ур=YG=—ук=—уу=а?26).
в) а=с Лемниската (см. ниже).
г) а<с (рис. 1.55, в). Пересечения с осью х: А (Va. + с?,0), С (— Из + с? ‚ 0), Р(/<*— 1”, 0),
О (— Vc? —a’, 0). Координаты точек Е, С, I, К: хЕ=х1 = —-хб= -хк= 4c" —а— a*/(2c), УЕ =уб=
=—ур=-ук=a’/(2c).
о
Лемниската (рис. 1.56). Уравнение кривой: (х? + y*)?— 2a? (х?.-- у?) =0, a> 0. В полярных
координатах: р = а? cos
2 cos 2. Геометрическое определение: точка М плоскости лёжит на кривой;
если произведение ее расстояний до фиксированных точек F, (а, 0) и F3(—a, 0) постоянно:
[Е.М || Е.М | = (Е, Е. |/2)?. (Частный случай овала. Кассини.} Начало’ координат — Узловая точка
с касательными y= +x, она же — точка перегиба. Пересечение кривой с осью х: А (а /2, 0),
С (- a\/2, 0}; координаты точек Ё, С, 1, К: xg =Xp= —XG=—xg=aГар. уЕ = уб = - yp = —ук =
= а/2. Радиус кривизны: г = 2a7/3p; плошадь каждой петли: $ = a?
1.3.2. ЦИКЛОИДЫ
Циклоидой называется кривая, описываемая точкой, отстоящей на фиксированном расстоянии
от центра круга, катящегося без скольження по данной кривой — направляющей. ЦИКЛОиИДЫ.
Обыкновенная циклоида (рис. 1. 57). Направляющая кривая — прямая ЛИНИЯ. Уравнение
в лекартовых координатах: а cos ((х + Иу( da — ya) =a—y, а>0. В параметрической форме: x =
a(t—sint), у=а(1 - с05 1), —© <: < +00, а- радиус катящейся окружности К, t= 2 МС,В
называется дон каченил. Точки возврата: О, {2k1a, 0). Вершины: A, ((2К — 1) па, 2a): Длина дуги ОМ:
ЦИКЛОИДЫ
141
5. = 8а sin (1/4), М (1) — текущая точка; длина дуги одной ветви ОА,О, : 5 = 8a. Площадь между дугой
ОАО и осью x: 5 = 3Зпа?. Радиус кривизны: R (t)= 4а яп (1/2). Радиус кривизны в вершинах:
Кд = 4а, Эволюта циклоиды (см. 4.3.1.5) — такая же циклоида (на рис. 1.57 изображена штриховой
линией).
J201
A,
A,
A,
Mee
N
—
они, |
fo
Leib’ па
спа (Sta
чпа_эпа х
0
д
„и“
0,
о
a
2 ``.
a
Nf
Ns
х/
\/
\/
\/
У
у
у
Рис. 1.57.
Рис. 1.58.
Укороченная и удлиненная циклоиды (трохоиды) (рис. 1.58). Уравнения в па-
раметрической форме: x =-a(t — Asin t), y=a(l —Acost), а — радиус окружности; t = х MC,P (угол
качения);Ла = С.М (при d > | -- удлиневная циклоида, при A < 1! — укороченная циклоида). Вершины:
Ак ((2k — 1) па, (1+ Л) а) — максимум с радиусом кривизны Ry =а(1 + ^)2/\, и B,(2kna, (1 — A)a)—
2a
минимум с радиусом кривизны Rp =a(l —A)?/A. Длина дуги B,Beay: а | И! +A? — 22. cost dt.
о
1+2 — 24, t)>/?
Площаль, залитрихованная на рис. 1.58: 5 = na? (2 + ^?). Радиус кривизны: В (# = a ( a я 5 )
cost —
Узловые точки D, удлиненной циклоиды: (2Кла, a(1 -- ИЛ? —¢2)), где fo — наименьший положитель-
[6]
[6]
ный корень уравнения { —Asint = 0. Укороченная циклоида имеет точки перегиба:
Ex,(a(—arccosА.+2kn—А1 —2),a(1—AX),
Эпициклоиды (рис. 1.59). Направляющая кривая — окружность радиуса hb; окружность
радиуса аи катится без скольжения вне ее. Уравнения в параметрической форме:
x=(а+Ь)созф—acos((а+Ь)ф/а),
у=(а+))sing—аз((а+Ь)Ф/а), -—o<@9<+0, p=ZzСОА,.
Вид кривых зависит от отношения т = b/a.
а) m— целое положительное число. Кривая состоит из т равных друг другу дуг, «обходящих»
направляющую окружность (рис. 1.59, а). Достаточно рассмотреть изменения ф от нуля до 2л, так
как кривая далее переходит сама в себя. При т=! получается кардиоида (см. 1.3.1.2). Точки
возврата A, при | <К< т получаются при значениях параметра PA, = 2(k — 1) n/m; вершины
B,—приOB,=(2k—1)n/m.
142
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
6) т = p/q, ри а- положительные, целые, взаимно простые числа. Кривая состоит из р равных
друг другу пересекающихся дуг (рис. 1.59, 6). Кривая замкнута. Промежугок изменения параметра:
0<ф < 241.
6) m=3/2
Puc. 1.59.
в) Если т иррациональное, то кривая состоит из бесконечного числа равных друг другу дуг.
Кривая не замкнута. Длина дуги между двумя точками возврата: 8 (а + b)/m. Площадь между дугой
и направляющей окружностью: 5 = ла? (2a + 3b)/b. Радиус кривизны:
4а (а + b) sin (be/(2a)) |
2a+b
’
К(9)=
в вершинах В»:
Rp,=——
.
Br
2a+b
Гипоциклоиды (рис. 1.60). Направляющая кривая — окружность радиуса b; окружность
радиуса а катится без скольжения внутри нее. Уравнения в параметрической форме:
x=(6—а)созф+acos{(b—а)ф/а),
у=(6—а)зтф—аз((Ь—а)Ф/а), Б>а -®<ф<о.
Так как b>a, то всегда т = Б/а> 1. При m=2 гипоциклоида вырождается в диаметр направ-
Рис. 1.60,
ляющей окружности. (О числе равных друг другу дуг кривых и параметрических интервалов
см. эпициклоиды). То же верно и для значений параметров точек возврата и вершин. Длина
дуги одной ветви (между двумя точками возврата): 8 (6 — а)/т. Площадь между одной ветвью
ЦИКЛОИДЫ
143
и направляющей окружностью: 5 = na? (3b — 2а)/Ь. Радиус кривизны:
4а (6 — а) sin (be/(2a)) ©
К(©)=
b2a
в вершинах В»:
4а(6—a)
RB pa
При т = 3 гипоциклоида с тремя ветвями (рис. 1.60, a); длина кривой: s = 16а; площадь, ограни-
ченная кривой: 2ла?. Если т =4, то в качестве частного случая получают астроиду (рис. 1.60, 6).
Уравнения в параметрической форме: x = Ь соз? g, y = bsin? », О<ф < 2x; в декартовых координа-
тах: x7/3 + у2/3 = р2!'3, или (x? + у? — 2)? + 27х?у26? = 0 (алгебраическая кривая 6-го порядка). Длина
кривой равна s = 6b = 24а; площадь, ограниченная кривой: 5 = 3nb2/8 = бпа?.
Рис. 1.61.
а) й.>!
Рис. 1.62.
Удлиненная и укороченная эпи- и гипоциклоиды (рис. 1.61 и 1.62). Уравие-
ния в параметрической форме удлиненных и укороченных эпициклоид:
a+b
. (a+b
(a+)o у=(a+5)sino—hasinLathe.
a
x=(а+b)cosф—Aacos
a>0, b>0, Aa=CM, -w<QO< +0
(для удлиненной эпициклоиды ^. > 1, рис. 1.61, а; для укороченной A < 1, рис. 1.61, 6). Параметрические
уравнения удлиненной и укороченной гипоциклоид:
b—a)o
,
_ (b-a@
Ode у=(6—a)sin©—Aasin———_,
a
а
x=(6—а)casф+Ласо$
b>a>0, Aa=CM, -w<Qg< +0
144
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
(для удлиненной гипоциклаиды A> 1, рис. 1.62, а; для укороченной Л <1, рис. 1.62, 6). Частные
случаи:
а) гиподиклоила b = 2a:
х =а(1.-+ А) соб ф, y=a(l—Asng, ЛАТ О<ф< м.
Кривая — эллипс с полуосями а(1 +) и fa(i —A)| (см. 2.6.6.1);
6) эпициклоида 6 = a:
х=а(2созф—Ас0$2$), y=a(2sin p—Asin2$), O<—E<2n,
— улитка Паскаля (см. 1.3.1.2; следует, однако, обратить внимание на другое положение кривой
относительно координатной системы).
1.3.3. СПИРАЛИ
Архимеловы сиирали (рис. 1.63). Кривая представляет собой путь, описываемый неко-
торой точкой, движущейся с постоянной скоростью v по лучу, вращающемуся около полюса О
с постоянной угловой скороётью wo. Уравнение в полярных координатах: р =аф, а = 5/® > 0,
—o <<. Первая ветвь: О<ф< +; вторая: —с0 <ф <
6
(на рис. 1.63 изображена штриховой
линией). Каждый луч ОК пересекает кривую в точках Ay, Aa, ..., Ag. ..., находящихся друг OT
друга на расстоянии А,/4;:.;, =2па. Длина дуги ОМ: s=a(@ ИФ? +1-+ Arsh $)/2; для больших ©
имеем lims=ag*/2. Площадь сектора М,ОМ.: а? (3 - ФЭ)/Ь. Радиус кривизны: К(9) =
=а(ф? + 1)??? + 2).
Рис. 3.63.
Рис. 1.64.
Гиперболические снирали (ис. 1.64). Урачнения в параметрическом виде: x = (а cos tyt,
у = (ам ВЛ, — 9 <{<0и б<Е< +. Кривые состоят из двух ветвей, расположенных симмет-
рично относительно оси у. Первая ветвь: —co <{<0 (на рис. 1.64 штриховая линия); вторая
ветвь: 0 <Е< + ©. Уравнение в полярных координатах: первая ветвь: р = a/|o@ — nj, —co <ф< к;
вторая ветвь: р =а/Ф, O< p< +х. Для oGeux ветвей прямая у-а=0 — асимптота (pon и
ф—> 0}, а точка O — асимптотическая точка {ф>-ю и ф- +0). Илощедь заштрихованного
сектора МОМ»: S = а? (ИФ, - Иод. Существует fim 5$ = a?/(2p.). Радиус кривизны {торая
Pi 7H
ветвь):
а И!+9?\*
R (<p) wr -—-- ее “oJ
@\p
Логарифмические спирали (рис. 1.65). Уравнение в полярных координатах: = ae,
а>0, —х <ф< +o. Кривая пересекает все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же
углом о. При этом А =ctgo. Пои я = в/2, г.е. К =0, кривая вырождается в окружность. Полюс
О — асимптотическая точка кривой. Длина дуги М. М.: $ = (р-р) ИТ + К2/к; предел длины дуги
рая определенная точка на окружности радиуса а с центром в О, а М - произвольная точка
эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ. Уравнения в параметрической форме:
x=acosp+aPsing, y=asing—apcosg, —wW<
P< +0, ф=АМОА.
СПИРАЛИ
145
Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси x (при —© <ф<0
и О<ф< +00), с общей точкой в точке возврата А (а, 0}. Длина дуги АМ: 5$ = аф?/2. Радиус
кривизны: К (ф) =а|Ф|. Все центры кривизны лежат на окружности радиуса а с центром в О.
Рис. 1.65.
Рис. 1.66.
Клотоида (рис. 1.67). Кривая проходит через точку О, причем величина, обратная радиусу
`кривизны (сама кривизна), в каждой точке М кривой пропорциональна длине дуги кривой s = OM,
Gh
Рис. 1.57.
т.е. 1/R = 5/4? (множитель пропорциональности 1/12). Уравнения в параметрической форме *):
1
1
и[ ки?
-[. пи?
х=аИл|cos—>-du, y=aУл Мп> di, —0<t<+0,
а)
0
о
-
>
t = sia {/n), s=OM, a> 0.
Точка О — центр симметрии кривой. Имеется две асимптотических точки:
А (а Ит/2, aV/n/2), В(-аИт/2, —a V/n/2).
*) Эти интегралы не выражатотся. через элемтитаоные фунхиии.
146
ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ
1.3.4. ЦЕННАЯ ЛИНИЯ И ТРАКТРИСА
Цепная линия (рис. 1.68). Форму цепной линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая
нить, подвешенная в двух точках.
Уравнение в декартовых координатах: у = а СВ (х/а), а> 0. Кривая подобна графику функции
y=chx (cm. 1.2.2.3) (преобразование подобия: x =ах, у =ау). Вблизи вершины А(0, а) кривую
достаточно точно можно заменить параболой у = а + х?/(2а) (на рис. 1.68 штриховая линия). Длина
дуги АМ: s(x)=ash(x/a). Величина площади криволинейной трапеции ОАМР: 5 (x) = as (х) =
= а? sh (x/a), где М (x) — текущая точка кривой с абсциссой x. Радиус кривизны: К = y*/a = ach? (х/а).
Рис. 1.68.
Рис. 1.69.
Трактриса. Пусть М -— произвольная точка кривой, Р— точка пересечения касательной
в Мс осью x; тогда для любой точки М на кривой имеем |РМ| =а, или, иными словами:
если к одному концу нерастяжимой нити длины а прикреплена материальная точка М, а другой
конец нити движется по оси х, то М описывает трактрису (линию влечения, рис. 1.69). Уравнение
правой ветви в декартовых координатах:
Уравнение левой ветви получается заменой х на —х. Оба уравнения возведением обеих частей
в квадрат можно привести к одному. Точка А (0, a) — точка возврата; ось х — асимптота; ось у—
ось симметрии. Длина дуги АМ: s(y)=aln(a/y); имеем приближенно lim |5 (у) -х (у) |=
y-0
|
=a(l — ш 2) = 0,3069a. Радиус кривизны: В (у) =a Иа? — y*/y; соответствующая кривая центров кри-
визны (эволюта, см. 4.3.1.5) — цепная линия (на рис. 1.69 штриховая линия) с уравнением у = ach (х/а).
2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
2.1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1.1.1. Представление чисел в позиционной системе счисления. Для представления чисел при-
меняют цифры или, точнее говоря, цифровые ряды или (цифровые) слова, которые образуются
путем упорядочения конечного числа основных знаков из конечного мпожества основных знаков
(алфавита системы счисления).
Представление натуральных чисел. Различают два типа систем счисления: не-
позиционные (примером которых можег служить римская система счисления) и позиционные.
В позиционной системе счисления выбирают некоторое натуральное число р, большее единицы,
и используют его в качестве базисного числа (р-ичная система счисления); для р, равного единице,
позиционной системы счисления не существует. Вводят р основных знаков, называемых цифрами.
Эти знаки используют для образования цифровых последовательностей, которые служат для
представления натуральных чисел. (Будем обозначать цифры так: Uo, 4, ..., Ay-1.) Каждой циф-
ровой последовательности, образованной только из одпой цифры, однозпачно сопоставим одно
из p— 1 первых натуральных чисел или нуль. Тогда всякое натуральное число а имеет точно одно
представление в р-ичной системе счисления:
a= Бр +byps! +... +Боро,
где $ обозначает однозначно определенное натуральное число, bo, ..., В, — цифры, причем В, —
цифра, отличная от цифры, соответствующей нулю. Ряд знаков 65.,6,-; ... Бо является цифровым
представлением числа a. Число нуль представляется последовательностью, состоящей из одной
цифры, соответствующей нулю. В позиционной системе представляемое число образуется аддитивно,
причем каждая цифра 6; имеет числовое зпачение (число, которое соответствует цифре b,) и
позиционное значение (вес) р’, если b; стоит на ]-м месте, считая справа (счет пачинают с нуля,
а не с единицы!). Аддитивный вклад этой цифры в значение числа равен Бр”.
Десятичная система: р = 10, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Напримср,
3.10°+2.10*+0.10°+0.102+9.10+1-10°=320091.
Двоичиая система (бипарная, или диадная, система): p = 2, цифры 0, 1. *). Например,
1..26+0.
25 +1.. 24-4 0.23+0.-2? 4 L-2'4+ 41. 20 = LOLOOLL.
Записанная в двоичной системе счисления последовательность LOLOOLL обозначает число, зпаченис которого в деся-
тичной системе есть 83; действительно, 64 + 16 +2+1
=
83.
Чтобы иметь возможность представлять в позиционной системе также и рациональные числа,
позиционные значения цифр в записи числа распространяют на степени р с отрицательными
показателями. Для выделения позициониого значения (веса) р’ необходим дополнительный знак
(знак дробности), в качестве которого обычно берется запятая (иногда точка). Этот знак разме-
щается в цифровой последовательности непосредственно справа от цифры с позиционным значе-
нием р°. В соответствии с этим цифровая последовательность #,6,-1 ... bo, 6-16-2... b-, обозна-
чает число, заданное р-ичным представлением
Бр+byypei+...+Вор+Варi+...4+bp"
Цифра b_, может иметь числовое значение нуль.
Примеры. Десятичная система: 23,040 = 2-10' -- 3. 10° +0. 1071 +4. 1072 +0. 107%.
Двоичная система: LO, OLL= [..2'+0.29+0.271+1.27-2+1,.2°?. Запись числа LO, OLL в десятичной системе
есть 2,375; действительно, 2 + 0,25 + 0,125 = 2,375.
*) Чаще используются цифры 0
и
|.
148
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Каждое число, представимое в позиционной системе счисления последовательностью цифр
конечной длины, является рациональным числом. Наоборот, в каждой позиционной системе точно
всегда можно представить только некоторое подмножество рациональных чисел (зависящее от
выбора р). Например, рациональное число 1/3 не может быть представлено в десятичной системе
счисления в виде конечной последовательности цифр; 1/25 в десятичной системе записывается как
0,04, а в двоичной системе счисления конечной последовательностью цифр представлено быть
не может.
Если a/b — рациональное число (a и в — взаимно простые натуральные числа), то a/b может
быть точно представлено в позиционной системе с базисом р тогда, когда каждый простой
множитель в разложении числа b является простым множителем в разложении р.
Таким образом, в десятичной системе точно представимы только такие рациональные числа a/b
(a, b — взаимно простые), у которых Ь содержит лишь простые множители 2 и 5.
2.1.1.2. Погрешности и правила округления чисел. Как было замечено в 2.1.1.1, не каждое
рациональное и тем более не каждое действительное число можно представить в позиционной
системе в виде конечной цифровой последовательности; такое представление можно было бы
сделать, если допустить бесконечно длинные цифровые последовательности. Поэтому приходится
применять приближенные значения представляемого числа, содержащие ограниченное число цифр.
К этому прибегают и тогда, когда точное число содержит конечное, но слишком большое число
цифр.
Простейшим способом получения приближенного значения числа является отбрасывание цифр
в его точном изображении (обрыв), начиная с некоторого разряда. При этом погрешность.
приближения, т.е. разность 2 — а, где 2 — точное число, а -- его приближение, всегда положительна
и не превосходит единицы разряда последней сохраняемой цифры.
Примеры приближенных значений чисел, получениых отбрасыванием разрядов:
1,570 есть приближенное значение для п/2 (> 1,570796...);
1,414 есть приближенное значение для 2 (= 1,414213...);
0,210 есть приближенное значение для 27/128 (= 0,210875).
Отбрасывание разрядов является простейшим способом округления чисел. Применяются и дру-
гие способы округления, из которых наиболее употребителен следующий:
1) Если за последней сохраняемой цифрой следуег цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то никаких
изменений в приближенное значение числа, представленного последовательностью предшествующих
ей цифр, не вносится (округление с недостатком).
и`
2) Если за последней сохраняемой цифрой следует 9, 8, 7, 6 или 5, то к ней прибавляется
единица. Если последняя сохраняемая цифра 9, то она заменяется на 0 и на единицу повышается
‘цифровое значение предшествующей ей цифры. Если эта цифра также 9, то действуют таким же
образом до тех пор, пока не встретится цифра, отличная от 9 (округление с избытком).
Иногда применяется дополнительное правило:
3) Если за последней сохраняемой цифрой следусг лишь цифра 5 или цифра 5, за которой
все остальные цифры нули, и если последняя сохраняемая цифра имеет четное значение, осу-
ществляется округление с недостатком; в противном случас — округление с избытком.
Примеры приближенных значений, полученные таким округленисм:
1,571 — приближенное значение для 1/2;
1,414 — приближениое значение для /2;
0,211 — приближенное значение для 27/128;
10,000 — приближеннос значение для 9,9995;
9,998 — приближенное зпачение для 9,9985.
В то время как при отбрасывании разрядов приближенное значение и числа : всегда не пре-
ВОСХОДИТ 2, при округлении приближеипное зпачение может быть больше или меньше, чем 2. Если
а, — приближенное значение 2, полученное при округлении с недостатком или избытком с г
десятичными разрядами после запятой, то ошибка округления |а.—2|< 0,5. 107". Приближенные
значения, полученные при округлении, не обязательно должны иметь только зпачащие цифры
(ср. 10,000 и 9,9995). Цифры в записи приближенного значения а числа 2 называются верными
цифрами, если |а—2]| не превосходит половины единицы разряда последней цифры числа а. Запись
приближенного значения, полученная путем отбрасывания и округления, состоит только из верных
цифр.
Эти правила обеспечивают ошибку, не превосходящую по абсолютной величине половины
единицы разряда последней сохраненной цифры. Все цифры округленного числа в таком случае
оказываются верными, хотя фактически они могут и не совпадать с соответствующими цифрами
в записи точного числа (см. примеры).
Приближенное число ‘обычно характеризуют количеством сохраненных разрядов после запятой
или количеством значащих цифр. К значащим цифрам относятся все цифры, кроме нулей слева.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
149
Так, например, числа 253; 70,2; 0,00375 имеют по три значащих цифры. При записи приближенных
чисел следует Писать только верные значащие цифры, если погрешность числа не указывается
каким-либо другим способом.
_° При округлении чисел, больших 10, не следует писать нули, не являющиеся верными цифрами,
а нужно выделять множитель вида 10". Так, например, число 139796,7, округленное до 3 значащих
цифр, следует записывать в виде 1,40. 10° или 14. 104.
2.1.2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ОШИБОК
2.1.2.1. Абсолютные ‚и относительные ошибки. Приближенные значения чисел появляются не
только в результате обрыва и округления. Каждое измерясмое значение некоторой величины
в общем случае также есть приближенное значение этой величины (ср. 7.1.1). Если a обозначает
приближенное значение числа 2, то а—2 называется истинной погрешностью а и (а-2)/2—
истинной относительной погрешиостью а. Ho так как в большинстве случаев. 2 неизвестно, то
неизвестны как истинная, так и истинная относительная погрешности. Напротив, часто можно
указать граничную величину истинной погрешности, т.е. положительное число Да, для которого
выполняется неравенство | a — z| < Aa, илиа — Аа < 2 <а + Аа; Aa называется пределом погрешности,
или предельной абсолютной погрешностью, или, сокращенно, абсолютной погрешиостью а: ба = Aa/a —
предельной относительной погрешностью или, сокращенно, отиосительной погрешностью а. OTHO-
сительная погрешность а в большикстве случаев указывается в процентах.
Примеры. 1) Если а, — приближенное значение числа 2, получепное путем обрыва (ср. 2.1.1.2), причем а,
содержит г знаков после запятой, то в качестве абсолютной погрешности может быть выбрано Aa, = 107". Если а,
получено округлением, го абсолютная погрешность Aa, = 0,5. 107’.
2) Число 3,14 есть приближенное зпачение числа п. Так как 3,14159 также является прибли
IM значением п
с пятью цифрами после запятой, то 0,0016 может быть выбрано в качестве абсолютной погрешности. Тогда
относительная погрешность будет разпа 0,0016/3,14 = 0,00051, или 0,051.
(2.1.2.2. Приближенные границы погрешности фупкции. Пусть f (x1, ..., хи) — функция переменных
х!, ..., Хь Часто требуется знать предельную абсолютную погрешность Af:
lf (ay, ..., Ay) — Л (X1, ..., MIS Af,
при условии, что ‘для значений переменных X,, ..., X, известны предельные абсолю1ныес погреш-
ности Aa, Если f (x, ..., X,) имеет непрерывные частные производные Sx; по переменным X;,
1=1,..., К, то (ср. 3.1.6.2)
&
АУ= 2. Да;|fx(а ...› Ae)|.
Примеры. 1)Лок,Xo)=X,+х»:А(а,+ap)=Aa,+Aa,(Sx,=1,Six,=1);
2)S(x1,X2)=Xy—хо:A(а,+аз)=Aa,+Aa,(fx,=I,Л»,=—1);
3) f(x) =с-х (с — постоянная): A (c- a) = Аа-|с! (f= 0):
A(а,42)_Ad,+Aaa
A)Sf (X41, X2) =х, XQ: A (ay а2)
=Да,-|аз|+Aa,-ра (Хх=Хх»,Fx,=х,), аа»| ра,| [а|’
ay
|
|а,| (r: te,
x1 \ A(ay/ay) _ Аа, | Да,
5
—No.С}—очДари
oe oe
=—мИ Ее.
2.
)f(x1,х2)
Zs. a(t)
Aa,
|as|+ {412
we
\x}
Xo>Ух.
x3
Тала. |
la,|+—rae
6) Лод= xt: А (а) = Дан." | (fant), AM) 1), а.
М14
1) Го) =зшх: A (sin a) = да. | соза| (/*= соз »).
` Если ‚функция f(x) задана таблицей, то Af находят посредством линейной интерполяции
из таблицы в том случае, если Да меныше, чем величина шага x в таблице вблизи а. Чаще
всего Af можно найти прямо из таблицы.
Пример. Для а= 130 и Aa=001 найдем Г(а) из табл. 1.1.21: Г(1, 30)= 0,89747. Вследствие равенств
Г (1,29) = 0,89904 и Г (1,31)
= 0,89600 можно положить A (Г(1,30))= 0,002 и за приближенное зпачение Г (1,30) принять
число 0,897.
2.1.2.3. Приближенные формулы. Во многих случаях сложные функции можно приблизить
более простыми. Для этого часто используют первые члены разложения в ряд Тейлора (ср. 3.1.14.6).
В нижеследующей таблице указаны некоторые приближенные формулы и относительные погреш-
ности в соответствующих' интервалах.
150
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Относительная погрешность не превышает
Формула
01%
1%
10%
Интервал —d<x<d обозначается Fd
sine,
+0,077
+0,245
+ 0,786
;
x
sinx&X—|
+ 0,580
+ 1,005
+ 1,632
cosx=| ,
+ 0,045
+0,141
+0,451
х
cosx=1—>
+ 0,386
+0,662
+0,036
texx ;
.
+0,054
+0,172
+0,517
x
tex ext ки
+ 0.293
+ 0,519
+ 0,895
х
а +хна+ 5
—0,08542 + 0,093а2
—0,247a2 + 0,328а2
—0,607a2 + 1,545а2
1
1
aeSi
~0,051a2 = 0,052a2
—0,157a2 + 0,166a2
—0,448a2 = 0,530a2
Уа +х
==и-3
+ 0,0314
+ 0,0994
+ 0,3014
аx
ex1lt+x
+ 0,045
— 0,134 + 0,148
—0,375 + 0,502
In(l +x) x
+ 0,002
+ 0,020
— 0,176 + 0,230
2.1.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ПРИБЛИЖЕННЫЙ ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
2.1.3.1. Нахождение нулей функции f(x). Для определения приближенного значения нуля функции
7 (x) может применяться график этой функции (cp. 1.2). Иногда, как показывает следующий пример,
целесообразно представить функцию в виде суммы двух слагаемых.
Пример. Найти приближенное зпачение пуля функции / (x) = зтх —x+3. Так как sinx—x+3=0 в случае,
когда sin x = x — 3, то абсциссы точек пересечения графиков фуикций g (х) = зтх и # (х) =х- 3 как раз и есть нули
J (x). Функция Яп х затабулирована (ср. 1.1.1.10), ee
Yh
график легко построить. График функции h (x) = x - 3 -—
прямая, которую также легко построить (ср. 1.1.2.1).
Полученные приближенные значения мо-
а
гут быть улучшены посредством правила
F(Z) ложного положения и методом Ньютона
`
(ср. 7.1.2.3).
° 2.1.3.2. Графическое — дифференцирование.
Если имеется график функции f (x), то точки
графика функции f’ (x) могут быть получены
4,
P
т
следующим способом:
„
1) На оси x в области задания функции
‚ F(Z) Г (x) выбираем последовательность точек ху,
Xo, 0005 Хи.
2) Ha отрицательной части оси х вне
области задания функции f (x) выбираем точку
Р — полюс построения. Длина Б отрезка РО
Рис. 2.1.
называется полюсным расстоянием.
3) В точках кривой f (x) с абсциссами x;
|
строим нормали к кривой. Для этого пригодно
прямоугольное карманное зеркало (лучше всего металлическое), которое вертикально ставят на
плоскость чертежа. Если кривая без излома переходит в свое зеркальное отражение, то ребро
зеркала покажет направление нормали.
4) На каждую из полученных ипормалей опускаем перпепдикуляры из Р, которые пересекают
ось y B точках О; Эти перпендикуляры проходят параллельно касательным в точках (x;, / (x;)).
5) Точка пересечения прямой, проходящей через О; параллельно оси x, с прямой x = x; (при
соответствующим образом выбранном масштабе) является точкой графика f’ (x) (рис. 2.1).
Масичаб /’ (x) зависит от используемых масштабов т, по оси х и т, по оси у и от полюс-
пого расстояния Б. Если Ё и 1 — длины отрезков между точками с координатами (0, 0) и (x, 0),
соответственно (0, 0) и (0, у), то полагают х = т и y=myn. Тогда, обозначив ординаты точек
ФАКТОРИАЛ И ГАММА — ФУНКЦИЯ
151
построенной кривой через 1’, для наклонов прямых, построенных параллельно касательным,
|—ad
oe
xd
.
у
/
получим t= 21 = Mx Sy.
:
r_,
‚= My
y
>.
fe
- 4х; таким образом, у
bЯ,т.е.т, mb"
2.1.3.3. Графическое интегрирование. Если имеется график функции f(x), то график функции
x
Е(х) = | f(()dt можно приближенно заменить ломаной следующим способом.
хо
|
1) Разделим отрезок I = [xo, x] промежуточными точками разбиения на частичные отрезки I.
При этом следует обратить внимание на то, чтобы относительные экстремумы функции f (x)
не лежали внутри частичных отрезков.
2) Для каждого частичного отрезка часть плоскости между осью x и кривой f(x) заменим
(приблизительно) равновеликим прямоугольником, проведя параллель к оси х так, чтобы отброшен-
ная часть площади была примерно равна добавленной
р.
(заштриховано на рис. 2.2). Пусть абсцисса точки
У
0 рут
пересечения (вследствие 1) определенная однозначно)
fe
yA
прямой, параллельной оси x, с графиком f(x) на
7)
,
частичном отрезке I, есть x,; тогда точка пересече-
НИЯ этой же прямой с осью у имеет координаты
(0, f (x;)).
3) Выберем на отрицательной полуоси x и вне
области задания функции f (x) точку Р — полюс по-
строения. Пусть b обозначает длину отрезка РО
"
А
Р
2
Пал
тЕwv
(полярное расстояние).
ее
aan
4) Проведем через точку Qo= (хо, 0) параллель
4b&|,
к прямой, проходящей через точки Р и (0, f (x,)). Пусть
Puc, 22
эта параллель пересекает прямую x =x, в 01. Через
О, проведем параллель к прямой, проходящей через
точки Ри (0, f (x2)). Пусть эта параллель пересекает прямую x = x, в О) ит. д. Ломаная QoQ,...0Q,
при выборе соответствующего масштаба есть приближенный график функции F (x).
Пусть снова (как в случае графического дифференцирования) x = т.Ё, у=тужщ и A, — длины
отрезков между точками (x, 0) и О». Тогда для У=Г(х) выполняется соотношение У = мУН.
Если по методу графического дифференцирования с тем ‘же полюсом Р в точках с абсциссами x,
(К > 0) построить точки кривой производной функции F(x), то получим точки (ху, f (х,)). Отсюда
для масштабов следует, что
т, = my/(m,b), т.е. ту = m,m,b.
2.2. КОМБИНАТОРИКА
2.2.1. ОСНОВНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.2.1.1, Факториал и гамма-функция. Функция f (п), для которой
FO=1, flat lant 1) fn)
при всех целых неотрицательных п, называется п-факториалом и обозначается п! Для любого
натурального п имеем п! =1.2....-п.
Примеры. 1!=1;.2!=1.2=2; 6! =1.2.3.4.5.6
= 720,
Значения функций п! и 1/п! см. в табл. 1.1.1.5.
Для приближенного вычисления п! в случае очень больших чисел п пользуются формулой
Стирлинга
u
n
an
nis (=) . /2nn
е
|
In(п!)=(»+>)|
5 In (27).
Определение гамма-функции no Эйлеру. Для всех действительных чисел x >
0
(ср. 3.1.9.4)
9$)
P(x) =f ete! de.
0
152
КОМБИНАТОРИКА
Определение гамма-функции V(x) no Гауссу. Для всех действительных чисел “x, кроме
{0, —1, —2, —3, ...},
-1
T(x)= lim
nin’
nao Х(х+ 1) (х+2)...(х+п- |
При х > 0 оба определения дают одинаковую функцию.
Основные свойства гамма-функции (см. также 3.1.9.4).
Гг=Ь Pix+l)=x0 (x),
mt
1
1
у
Tt
Г1-—
—
.
5
—
——
=——
A
—
——
POT Gx) SIN1x г(5+*)г(5 x)=COSTX” Гыгс)= xsintx
Некоторые специальные значения гамма-функции: T(—1/2) = —2 x, Г (1/2) = Ит.
Таблицу значений функции см. в 1.1.2.1. График функции см. на рис. 2.3.
ron)
AA
||
9!
712\/527727аип
of) -3-2-1 10123 4 x dla)
Pue. 2.3.
Полюсы Г (х): x, = 0, —1, —2, —3, ... Вследствие первых двух свойств, для всех натуральных
чисел п имеем IT (n+ 1)=n!. Поэтому гамма-функция может рассматриваться как обобщение
факториала. Для приближенного вычисления значения функции T(x) при больших положительных
значениях х может быть использована формула Стирлинга.
2.2.1.2. Биномиальные коэффициенты. Для всех целых неотрицательных чисел п, К функция ck
(или (+):
п!
| <<и,
Chad Kiet Я 955”
(2.1)
0
для O<n<k,
называется биномиальным коэффициентом. Читается: С из п по К (или n над /).
Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из так назы-
ваемого треугольника Паскаля:
ч
п
“
и
ф
ь
ь
-
>
+
>
>
ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА
153
Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (слева и справа).
Крайние значения известны для любого п: С° = С" = 1. В строке с номером п слева направо стоят
значения С°, С!, C2, ..., С".
° Область определения биномиальных коэффициентов можно расширить: именно, для всех дей-
ствительных а и для всех целых К > 0 функция
а (а -- 1)(a—2)...(a—k +1)
k>0
(*) =
м
при >
(2.2)
k
I
при k=0
также. называется биномиальным коэффициентом.
Для целых а>20 оба определения совпадают.
я и -2\_ ~2(-2-1)(-2-2) _ а (2\_
Примеры. (3) 37 5) = ( 3)
3
= ‹ (2)=0,
(4).Veyoy—V9 Ву
\4
12
Свойства бипомиальных коэффициентов. Для целых п>20, К>20 справедливо свойство
сим метрии: ^^“
СЕ=С" или (")=Qn)
(2.3)
Для действительных а, b имеют место теоремы сложения:
(+) (и (cs)
СН
К) (lees) #4) 6)
Если a= b=nh, где п — целое неотрицательное, то из (2.3) и (2.4) следует (ср. также 2.2.2.1), что
(Ce)?+(Ch)?+...+(Cr2—С’.
2.2.1.3. Полиномнальный коэффициент. Определенная для всех натуральных n и всех наборов
.
r
неотрицательных целых чисел [k,, ky, ..., k,], для которых > k; = п, функция С, (Ки, К», ..., К,), или
i=1
n
\.
\ky, ka, ..., К,
п!
= К! К.!...К,! ›
С (ky, kp, sty k,)
(2.5)
\
называется полиномиальным коэффициентом.
Примечание. Биномиальный коэффициент CX есть частный случай полиномиального коэффициента С, (k,, k2),
где К; =k, kz =n—k.
71
Примеры. Cy(2, t, 3)= т = 60, С,, (2.33 4 = эвещт = 277 200.
2.2.2. ФОРМУЛЫ БИНОМА И ПОЛИНОМА
2.2.2.1. Формула бипома Ньютона. Для всех действительных чисел а, b, отличных от нуля,
и для всех натуральных чисел п
(a+b)"=рСка"АБ=Cha"b®+Спа"1+... +Сна.
(2.6)
Примечание. Биномиальные козффициенты формулы (2.6) составляют в треугольнике Паскаля строку с но-
меромп.
154
КОМБИНАТОРИКА
Если заменить b на —b, то из формулы (2.6) следует
(a—by=У(=1)с"
K=0
Пример. (a—b)* = a* — 4a°b + 6a7b* — 4ab? + р“.
Из (2.6) получаем
У Ch=2" при a=b=1;
(2.7)
k=0
2, (—1 С’ =0 при a=1,b=—-I.
(2.8)
Вычитанием или сложением (2.7) и (2.8) получим равенства
С+Си+...+=
С++...
+C7=2);
при этом в первом случае m— наибольшее нечетное, а во втором — наибольшее четное число,
не превосходящее п.
2.2.2.2, Формула полинома. Для любых отличных от нуля действительных чисел A), G2, .
и любого натурального п
(a; +a, +...+4,)'= у Cy (Ка, Ка, ..., К) ay tag? ae.
(2.9)
ky tks +... =n
При этом суммирование распространяется на все наборы неотрицательных целых чисел (ky, Ко, ..., k,),
r
для которых >) ky =n.
\=1
При а =а2=,..=а=1
сы vey be) =r
ky thot... thes
Пример. (a +b +cP=C;(3, 0, Oa? 4+C,(2, 1, 0)a2b+C3 (2, 0, Iatet+ Cy (1, 2, O)ab*4+C3 1, 1, Пас+
+C3(1, 0,2)ас?+С,(0,3,0)b°+С,(0,2, 1)b?2e +C,(0, 1,2)bc?+С,(0,-0, 3)3=a?+ЗВ+За?се+Зар?+babe+
+Зас?+b?+ЗЬ2с+3bc?+сз.
2.2.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ КОМБИНАТОРИКИ
Во многих математических исследованиях встречаются комбинаторные задачи, своеобразие
которых целесообразно показать на примерах.
1. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? (Ср. 2.2.4.1.)
2. Как велико число различных отображений, переводящих множество из п элементов в себя?
(Ср. 2.2.4.1,)
3. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 5, 5, 97 (Cp. 2.2.4.5,)
4. В турнире принимают участие 8 команд. Сколько различных предсказаний относительно
распределения трех первых мест (по результатам соревнований) можно сделать? (Ср. 2.2.5.1.)
5. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из 32 букв алфавита, не обращая
внимания на то, имеют ли смысл составленные из букв слова или нет? (Ср. 2.2.5.2.)
6. Сколькими способами ‘можно из множества К (различных) элементов выбрать г элементов?
(Ср. 2.2.6.1.)
7. Как велико число различных результатов бросаний двух не отличимых друг от друга
кубиков? (Ср. 2.2.6.2.)
Приведенные примеры показывают, что в задачах комбинаторики иитересуются вообще числом
различных выборок определенных объектов, причем, в зависимости от вида дополнительных тре-
бований, следует различать, какие выборки считаются одинаковыми и какие различными.
2.2.4. ПЕРЕСТАНОВКИ
2.2.4.1. Перестановки. Каждая последовательность К различных предметов с учетом порядка
называется перестановкой этих предметов. Если пронумеровать места этих предметов слева направо:
1, 2,..., К, то можно сформулировать следующее определение.
Взаимно однозначное отображение р’ упорядоченного множества {1,2,...,К} во множество
из К элементов М = {51, 5›,..., бк} называется перестановкой элементов множества М.
ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК К ЭЛЕМЕНТОВ
155
Перестановки из К элементов множества М отличаются друг от друга только порядком
входящих в них элементов.
Число P, = P(p*) всех перестановок р’ из К различных элементов равно
P, =k!
(2.10)
Примеры. Для примеров | и
2
п. 2.2.3 из (2.10) следует: имеется 10!
= 3 628 800 различпых способов pac-
ставить на полке 10 книг и п! взаимно однозначных отображений, переволящих множество из п элементов в себя.
2.2.4.2. Группа перестановок k элементов. Если выбрать М = {1, 2,..., К}, то каждую перестановку
р’ этих элементов можно записать как матрицу из двух строк:
123...К
р’=
‚ rae {sy,...,
$= {1,2,...,К\,
(2.11)
$1 952 53 ...Sy
p* (i) =s, для всех ie{l,...,К}.
Это делает возможным определить произведение pt-ps двух перестановок К элементов как после-
довательное проведение обоих преобразований:
Кky(7)—РЕkf:
(pi p2) (i)= pz (pr (i).
Для этого записывают обе перестаповки в виде матриц И переставля!от столбцы второго мно-
жителя так, чтобы первая строка второго множителя совпадала со второй строкой первого
множителя. Матрица произведения состоит из первой строки первого множителя и преобразо-
ванной второй строки второго множителя:
123 ...k 51 52 53...Se\ ft 2 3 ...k
S; 52 53 ...Sy
ty{>[3...{7ty12tz...|
Пример 1.
Справедливы следующие утверждения.
1) Для каждых двух перестановок pf и pz элемеитов множества {1, 2,...,k} произведение
р".р есть однозначно определенная перестановка р“.
2) Произведение есть ассоциативная (но не коммутативная) бинарная операция: (р".р^).ps =
k
kk
= pi (pz: p3).
12...k
3) Для перестановки и- (
(тоэждественная перестановка) при всех р“ имеет место
12...К
равенство ре: p* = p*- pk = p*.
12
4) Для каждой перестановки р" -(
существует обратная nepecmauosxa (р)! =
51 32...98
$1 Sq... Sy
.
.
|
-(; 2
‘). ASA которои выполняегся соотношение (p*) 1 - p* — pk -(p*) 1 pk
Вследствие 1)—4) и (2.10) все перестановки р“ элементов множества {1,2,...,К}! образуют
‘группу порядка К! Эта группа называегся симметрической группой Sx.
Пример 2. Элемеиты симметрической группы 5%:
)k
Если в мат ице перестаповок элементов множества
l,..., ` встречаются лва столбца
J
|
e
w
l
l
N
b
o
W
w
W
W
w
W
N
L
S
>
—
w
l
l
a
’
N
o
—
—
b
d
—
l
w
N
L
S
|
N
w
l
l
o
r
n
,
W
w
м
N
W
w
3
w
e
y
i
l
o
n
,
w
o
—
N
I
b
o
—
_
L
D
х
х
S
s
P
e
|
|
o
n
,
ю
м
—
‘
~
d
O
—
м
х
о
=
S
i
t
d
|
o
n
,
J
—
a
m
e
N
O
n
N
vie Spices Sp cee
( ‚ , ), для которых у; <5; at; >t; (или 5;> 5; a t; <t,;), TO такая пара столбцов пазы-
oe i.ose 1ees
вается инверсией перестановки р.
Перестановка называется четной или нечетной в зависимости от того, четио или нечетно число
встречающихся в ней инверсий.
156.
|
КОМБИНАТОРИКА
Пример 3. Если Z (р) — число инверсий, то для перестановок примера 2
2(р)=0, 2()=2(0)=Ь 2(03)=3, 2(04)=20)=2.
Отображение группы 5, во множество {—1, 1}, определенное следующим образом: x (p*) =1,
если p* четная перестановка, и x (p*) = —1, если p* — нечетная перестановка, называется характе-
ристикой перестановки группы 5». Вследствие равенства x (ри. ps) = x (pt): x (pz) это отображение
гомоморфно.
Множество всех четных перестановок множества {1,...,К} образует подгруппу группы 5$»
порядка k!/2. Эта подгруппа называется знакопеременной группой.
2.2.4.3. Перестановки с неподвижной ‘точкой. Если р’ — перестановка множества М = {1, ..., К},
то каждый элемент ie М, для которого р“ (i) = i, называется неподвижной точкой перестановки р^.
Пример. Для перестановок примера 2 п. 2.2.4.2 справедливо следующее: р} имеет неподвижну!о точку 3,
р3—точку1,p}—точку2,р’;имеетточки|,2и3;paиp3таковыхнеимеют.
Число F (p*) всех перестановок множества {1,...,К}, имеющих по крайней мере одну неподвиж-
ную точку, равно
F(p*)=LtПтС-В
(2.12)
где Cj — биномиальные коэффициенты. Число С (p*) всех перестановок множества {1,..., К}, имеющих
ровно одну неподвижную точку, равно
|
k
Loe
G(p')=У,(-1!СИ!
(2.13)
1=1
Пример. Пять человек занимают места за столом, не обращая внимания на разложенные па столе именные
карточки. В общей сложности они могут разместиться:5! = 120 способами. В
Е(р?)=С.4!-.C2.31+С}.2!-С. +С3.0!=76
случаях по крайней мере один человек и в
С (р) =С:.1.4!- С2.2.31+ С3.3.2!- С4.4.11+ С3.5.0! = 45
случаях ровно один человек запял отведенное GMY место.
2.2.4.4. Перестановки с заданным числом циклов. Если матрицу перестановки р’ перестановкой
столбцов можно привести к виду
|
‘
$1$2$3...2-1SpSpay+.ЭК
5253Sq...S; SyВ+...&=
TO задано взаимно однозначное отображение 3;->5;4;, i= 1, 2, ..., r—1, 5,51, множества.
{51, 52, ..., 5,} Ha себя, которое называется циклом длины г и обозначается‘.
2, = (51, $5, ..., 5,).
В соответствии с этим каждой неподвижной точке соответствуе; цикл длины |.
Каждую перестановку р’ можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) предста-
вить в виде произведения циклов, не имеющих общих элементов.
Примеры.
352\_
,
5|2-0.4,3,5)(2),
w
—
W
e
”
I
I
>
^
$
No
щ
—
>
=
4
3
6в. 2, 3). (4, 5). (6).
a
n
N
—
w
h
—
>
я
Для числа P(k, 5) перестановок р“, которые могут быть представлены в виде произведения
$ циклов, имеют место рекуррентные формулы
P(k,К)=1,P(k,1)= К-1!
при k 21,
(2.14)
P(k, s)=(K-—1, s—1)+(kK—1)-P(k—1, 5 opn k>s BZ.
-
Пример. Имеется P (3, 3) =| перестановка группы S, (ср. пример 2 п. 2.2.4.2) с тремя циклами: pt; P (3, 1) =2
перестановки с одиим циклом: pz и рз; Р(3, 2) =Р(2, 1)+2-P(2, 2) =1+2.1=3 перестановки с двумя циклами:
333
Pi, P2 MP3.
2.2.4.5. Перестановки с повторениями. Если рассматривать упорядоченные К-наборы из множества
М, которые состоят не только из различных элементов множества М, то получим перестановки
с повторениями.
|
:
СОЧЕТАНИЯ
157
_ Пусть М = {s1,..., Sq} — непустое множество из.4 элементов и и, la, ..., lg — Натуральные числа
i, содержащий элемент 5,
Я
такие, что р ij =k. Каждый упорядоченный набор К чисел РН. igs
ровно’ i; раз (I < <q), называется перестановкой множества М с повторением.
Примечание. При iy =i, =...=i, = | получим перестановки множества из р элементов.
Число С» (й, i2,..., i) различных перестановок множества М с повторениями равно *)
k!
4
Cy(in,fa,000sty)= Е: —,
У =К.
(2.15)
п...
j=l
.
6!
Пример. Имеется C, (3,2, 1)= и = 60 различных шестизначных чисел, содержащих трижды цифру 1,
дважды цифру 5 и олин раз цифру 9 (ср. пример 3 п. 2.2.3).
2.2.5. РАЗМЕЩЕНИЯ
2.2.5.1. Размешения. Любой упорядоченный набор г различных элемеитов множества М,
состоящего из К элементов, называется размещением ak из К элементов по г.
П римечание. Каждое размещение ak есть взаимио олнозначное отображение упорядоченного мпожества
{1, 2,..., r} во миожество М. Из определения следуст, что г < К. При г = К получаем перестановки множества М.
Число А; = А (a) различных размещений есть
К!
Aj= тек(и-I).(krt1),
(2.16)
(k —r)!
Примеры. 1) Umeercn Az различных взаимно одпозначиых отображений множества |1, 2)? во мпожество
а» 42, U3, ag}, Т.е. AZ = 12.
2) Имсется Ag= 336 различных способов распределения ‘трех первых мест при восьми комаплах, участвующих
в соревновании (пример 4 и. 2.2.3).
2.2.5.2. Размешения с повторениями. Любой упорядоченный набор г элементов множества М,
содержащего К элементов, называется размещением с повторениями ak из К элементов по г.
Примечание. Каждое размещение с повторениями dk ссть однозначное отображение упорядочениого множсства
{1,2,...,7} в М. При этом возможно, что r > k.
Число А ak
азличных эзазмещений с повторениями есть
г
Пример. Число различных трехбуквсиных слов. которые можно составить из 32 букв алфавита, есть А (43?)=
= 323 = 32 768 (пример 5 и. 2.2.3).
2.2.6. СОЧЕТАНИЯ
2.2.6.1. Сочетания. Любое подмножество из г элементов множества, содержащего k элементов,
называется сочетанием ch из К элементов по г.
Примечание. Если объединить все размещения а из К элемситов по г. состоящис из одинаковых элемеитов
г
(не учитывая расположения), в классы эквивалентности, то каждому классу булет соответствовать ровно одно сочетание
cw наоборот.
Примеры. 1) Пары (Sis Soh, МВА tSae Says 152 5 ИА Sai, (Уз sy) Иисчерпывают BCC сочетания из 4 элементов по 2.
2) Иместся одио сочстание из элементов по 0 (т.е. ие содержащее ни одного элемента) — это пустос множество.
Число С! = C (ck) всех различных сочетаний равно
к!
CC. =—_-
(2.18)
ri(k —r)!
Пример. В числовом лото надо выбрать 5 чисел из 90. Для этого существуег Cy= 43 949 268 сиособов
(см. пример 6 п. 2.2.3).
*) Ср. 2.2.1.3.
158 — конЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
~
2.2.6.2. Сочетания с повторениями. Объединим все размещения a, с повторением из К элементов
по г, состоящие из одинакового количества одних и тех же элементов (без учета расположения),
в классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности называется сочетанием с повторением
& из К элементов по г.
Примечание. Два размещения ak и a* или Gk и а* принадлежат одному сочетанию с“ или CX соответственно
только тогда, когда существует перестановка р” множества {1, 2,..., r} такая, что для всех ie {1, 2,..., г} имеет место
равенство
a(i)=a7"(р’(9) или (i)=a(p"(i).
Ср. примечания в 2.2.5.1, 2.2.5.2 и 2.2.6.1.
Число ff = C (ck) различных сочетаний с повторением из К элементов по г равно
| k+r-—1)!
‘roy
—к—1—(
Si=Сич,1
Ск -1
ri(k — 1)!
Пример. При наличии двух неразличимых кубиков можно получить /2 = C2 =21 различный результат бросаний
(пример 7 п. 2.2.3).
(2.19)
2.3. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
2.3.1. ОБОЗНАЧЕНИЕ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Если 41, a2, ..., а, - (конечная) последовательность действительных чисел (ср. 2.3.2), то можно
составить конечную последовательность сумм и произведений.
Для конечных сумм и произведений чисел приняты обозначения:
п
п
У a=, ча +...+а, Паяа, а»... -а,.
(2.20)
t=
i=1
Входящее в выражения (2.20) переменное i называется индексом суммирования (индексом умножения),
а целые числа | и п- пределами суммирования (пределами умножения). Значение суммы (произве-
дения) не зависит от обозначения индекса суммирования (индекса умножения) — это так называемое
немое переменное:
Иногда бывает необходимо псрейти к новому индексу суммирования с одновременным изме-
нением пределов суммирования. Tak, например, полагая в первой сумме i=k-+r, где г — целое
число, а К — новый индекс, получим, что новые пределы по индексу k равны соответственно 1 —г
иги
я
п
a=
у Akar:
i=1
k=I-r
2.3.2. КОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Конечная (действительная) числовая последовательность есть однозначное отображение мно-
жества A, = {1, 2,..., п}, n> 1, во множество действительных чисел. При этом образ натурального
числа {Е A, обозначается а; и называется членом последовательности. Последовательность обозна-
чается посредством [а; |“. Последовательность может быть задана прямым перечислением ее членов
или каким-нибудь алгебраическим выражением.
Примеры. 1) Послсдовательность, заданная прямым перечислением членов:
$
[а =4, —1, 3/5, 4, 4.
2) Последовательность, заданная алгсбраическим выражсинсм:
[3i — i7]?= 2, 2,0, —4, —10. —18.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
159
Если задана последовательность [а;|1 = a), а›, ..., а,, И > 1, то из нее можно образовать другую
последовательность:
[4:7=[ai+1—а!'=42—а1,аз—Ag,...,Uy-Ч-а,
(2.21)
она называется последовательностью первых разностей последовательности [а;|1. Если n> 2, то
из последовательности первых разностей можно снова образовать последовательность первых
разностей, которую называют последовательностью вторых разностей исходной последовательности.
Если продолжать так далыше, то процесс оборвется на последовательности (п — 1)-х разностей, так
как она состоит только из одного. члена.
Если [4;]!`' — последовательность первых разностей последовательности [а;]1, то
п--1
dy =а-а, 4+4 =а-а,, ..., > d;=a,— 4.
(2.22)
i=l
®
Если a, = 0, то a, равно сумме n— 1 членов последовательности первых разностей.
Конечная последовательность [а;|1 называется постоянной, если существует такое действитель-
ное а, что аа=а для всех ie{l,...,n}. В соответствии с этим конечная последовательность
длины n = | постоянна.
2.3.2.1. Арифметическая прогрессия. Конечная последовательность называется арифметической
прогрессией 1-го порядка, если .последовательность ее первых разностей постоянна (a; — aj-, =d —
разность арифметической прогрессии). Последовательность называется арифметической прогрессией
т-го порядка, если последовательность т-х разностей постоянна, а (т — 1)-х не постоянна.
Если [а;|1 — арифметическая прогрессия 1-го порядка и 4 — ее разность, то
сумма членов равна
п (а, +а,)
(n — 1)nd
So =й, +@,4+...4+4,=
а; =.
+4
>
Если [а |! — арифметическая прогрессия порядка т, то существует многочлен P,, (i) = сш" +...
... + си + со Такой, что для всех ie {1,..., п} выполняется равенство а; = Р, (i).
При т = 1 для последовательности [а;]" с постоянной разностью d этот многочлен имеет вид
а;=di+(a,—4).
Пример. Последовательность [2] = 1, 22,..., п? есть арифметическая прогрессия 2-го порядка, Р. (i) = i?.
Последовательность первых разностей — [d,]?~', где d; = (i + 1)? - i? = 21+ 1. Последовательность вторых разностей —
[4!-?,гдеds=2(i+1)+1—(1+1
=
2.
Если рассматривать [?]! как последовательность первых разностей последовательности [a;]}*', то [а;|!"' сесть
арифметическая прогрессия 3-го порядка. Тогда существует многочлен 3-й степени от i такой, что при всех { выпол-
няется равенство а; = Csi? + Col?+ си+ со. Если выбрать a, =0, то первые четыре члена последовательности [a ]t*'
будут равны 0, 1, 5, 14. Из системы уравнений с. + Пс) + icy + со =a; Ana i= 1, 2, 3, 4 (или одной из интерполя-
ционных формул (ср. 7.1.2.6.1)) для неизвестных. коэффициентов су, C2. Cy, Со Получаем
‘
ез = 1/3,
C2=1/2, cy=1/6, Co=0
и, далее,
Го
14,
ЧЕРНЫЕ +n
"326
а. УРа2n?+Зи?+n_(2n+1)(v4Он
n+l
6
6
ы
2.3.2.2. Геометрическая прогрессия. Каждая последовательность [а;|!, у которой частное от
деления двух соседних членов постоянно: а,+1/а; = 4 для всех 1Е{1,....п-— 1}, называется геомет-
рической прогрессией.
Общий вид членов геометрической прогрессии:
а=а, 4, ie{1,...,a};
сумма всех членов геометрической прогрессии (4 # 1) равна
"—|
_ de Yad =a(ltat... tg =m o—-
i=1
i=]
160 — конвЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ *
2.3.3. НЕКОГОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ
|
п+1) Фр+лн
1t2434..4¢n— ИО, 2) pt(pt tpt +... 4p +i) =!
is)
3) 1+3+5+...+@0'1-0=н2; 4) 2+4 +6+...
+21 =n(n +1);
?
7
2
1)?
5) 124 22 432+... 4727 = пи.
6)13+23+33+...+13==и
51
7) 12+ 32+ 52+...
+(2и—1)2=oo
8) 194394+ 534...
4 (2n — 1)? = и?(2n?— 1);
9)1¢4244344. 4ntan(n+1)Qn+1)Bn?+3и—1)
чо
—
.
30
.
2.3.4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ *)
Если заданы n (не обязательно различных) действительных чисел Gy, 4.2, ..., а», TO число
_ a + 42+...+4,
т1/
n
1/1
называется средним арифметическим чисел а, ..., а» а mg = ут (a? +03 +... +а2) — средийм
n
'
квадратичным чисел dy, ..., d, Если аи b — пеотрицательныс действительные числа, TO
\
-—--
тс=Иа
называется средним геометрическим чисел а и В или средним пропорциональным. чисел а и b.
Из равенства тё = ab следует, что а:тс = тс:5.
Для среднего арифмегического тд (a, 5) и среднего геометрического тс; (а, b) неотрицательных
чисел a и Db справедливы следующие утверждения:
1)тс(а,b)<my(a,5);
|
2) a, my (a, b), 6 есть арифметическая прогрессия [-го порядка; a, тс (а, 6), b есть геометричсская
прогрессия. Если и и b — длины отрезков, то отрезки длин тд (a,b) и тс (a,b) можно построить
циркулем и линейкой (рис. 2.4 и 2.5).
|
о
|
Mg |Ти
"0|
!
aay Кb
Puc. 2.4.
Рис. 2.5.
и a—x. Из равенства x = Иа (a — x) следует:
1
х=5(Из— ах 0,618а.
Если считать и длиной отрезка, то отрезок длиной х определяется построением, приведенным
на рис. 2.6.
Из равенства х? =а(а -- x) = a? — ах следует, что a?= x? + ах =х(х + а) в соответствии с чем
а есть среднее геометрическое чисел x и х-+ а. Таким образом, если x делит число а B золотом.
сечении, то а в свою очередь делит в золотом сечении число x + а.
*) О средних значениях см. такжс 3.1.1.3.
ЗНАЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
161
2.4. АЛГЕБРА
2.4.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
2.4.1.1. Алгебраические выражения. В современной математике алгеброй называют науку о систе-
мах объектов («величин»), между которыми установлены операции, аналогичные сложению и умно-
жению действительных чисел. Различные объекты могут иметь различные имена, а для обозначения
операций над ними применяются различные знаки. Существенной частью алгебры является грамма-
тика алгебраических выражений, определяющая правила построения выражений из имен объектов,
знаков операций и вспомогательзых знаков, так называемых разделителей. Мы ограничимся
употреблением простейшей системы обозначений, при которой величины обозначаются отдельными
буквами, быть может с подстрочными индексами (например, x, уз, а,52)*). Будем считать также
определенными основные дейслвия: сложение (-), вычитание (—), умножение (- или х)**) и деле-
ние (: или /). Умножение и деление считалотся действиями более старшими, чем действия сложения
и вычитания. В выражениях, содержащих несколько знаков действий, выполняются сначала все
‘более старшие действия, а затем младшие. Действия одинакового старшинства выполняются по
порядку, слева направо. Для изменения порядка действий могут применяться скобки. Правильные
‘выражения должны содержать одинаковое количество открывающих и закрывающих скобок, кото-
рые всегда могут быть объединены в систему вложенных пар. Первыми должны выполняться
действия внутри самых внутренних скобок (не содержащих скобок впутри себя), затем внутри
скобок следующего уровня и т. д. Для удобства иногда употребляются скобки разного вида, как-то:
( ),[ |{ }, однако они должны встречаться парами и не нарушать систему вложенности;
например, выражение (а. {Ь + с) -- 4} неправильное. Если допускается нелинейная запись, измененис
порядка действий при делении может быть показано записью «в два этажа», с горизонтальной
чертой в качестве знака деления (а также косой чертой), т.е. записи (a+b):(c+d)-—f xu
arb —f (и (a+ b)(c + 4) — Г) равноценны.
c+d
Возведение в целую степень определяется как повторное умножение и обозпачается знаком |
или надстрочной записью показателя степени: а-а:...‘а обозначается afn или а". Возведение
п раз
в степень рассматривается как действие более старшее, чем умножение и деление. Например,
at m/n совпадает с (а1т)/п, а не с а] (т/п) ***),
2.4.1.2. Значения алгебраических выражений. Если не ограничиваться свойствами алгебраических:
выражений самих по себе, как абстрактных выражений, то возникают вопросы, связанные
с интерпретацией этих выражений на пекоторой конкретной системе допустимых объектов, которые
могут замещать алгебраические величины. Мы ограничимся рассмотрением алгебраических выра-
жений над какими-либо системами чисел, допускающими упомянутые выше действия (см. 3.1.1
и 3.4.2). Поскольку при этом алгебраические выражения могут быть вычисляемы, если входящим
в них величинам придавать числовые значения, их иногда называют арифметическими выражениями.
Следует заметить, что основными действиями являются сложение и умножение.
Если рассматривать только натуральные (целые положительные) числа, то вычитание — действие,
обратное сложению,— не всегда окажется выполнимым и потребует введения отрицательных целых
чисел. Деление — действие, обратное умножению,
— ‘окажется выполнимым, если мы введем
в рассмотрение рациональные числа. Существуют разнообразные системы чисел, допускающих
вычисление произвольных рациональных (т. е. использующих только четыре арифметичсских действия)
выражений, например числа вида а +b ИЗ, где аи b — рациопальные.
При рассмотрении алгебраических выражений во мпогих случаях выделяют некоторые основные
величины (переменные), отличая их от других, называемых коэффициентами или параметрами.
При’этом возможно считать допустимыми для основных величии и для параметров различные
системы чисел. Так, например, рассматривая алгебраические уравнения (см. 2.4.2) с целыми или
действительными коэффициентами, можно искать корни среди целых, действительных или комплекс-
ных чисел.
Алгебраические выражения можно преобразовывать, заменяя одно выражение другим. Такие
преобразования называются допустимыми (тоэедествеиными), если после преобразования выражение
будет сохранять свое значение при подстановке любых чисел допустимых систем. При преобразо-
ваниях используются основные свойства арифметических действий (здесь и лалсе в этом пункте
знак равенства употребляется в смысле тождествсиности):
*) В алгоритмических языках (см. 7.2.1), допускающих только линейную запись (в одпу строку). используются
имена из нескольких букв и цифр, начинающиеся всегда с буквы, папример: y3, abc, betal.
**) Если употребляются только одпобуквениые имена, знак умпожения может быть опущен, папример, вместо
3-a-b можно писать 3ab.
***) Возведение в пецелую степень определено пиже (см. 2.4.1.4).
6 И.Н. Броиштейи, К. А. Семендясв
162
АЛГЕБРА
коммутативность (перестановочность)}:
atb=b+a, a-b=b-a;
ассоциативность (сочетательность):
a+(b+c)=(a+b)+¢, a-(b-c) =(a-b)-c¢;
дистриб утивность (распределительность):
a-(b+c)=a-b+a-c.
Из этих свойств вытекают формулы действий над степенями:
xm.хи=mtn
(x.у)"=x".у", (x’")"=х”'n
x" /x" = х"7",
(х/у)" — х"/ у".
Некоторые формулы преобразований:
(x+у)?=x?+2ху+у»,
(Х+у+...
+Е+4)=х2+у... + +и?+2ху+...+2xt+2хи+...+2уи+...+No,
(x + у)? =х? + 3х2у + 3xy? + уз, (x+y) (см. 2.2.2.1),
(x+y)(x—y)=x? =У’,
an
x"—y"=(x_y)(x"~!+x"Ay+xn3y?+...+ху"2+.у”),
х2*_у2*—(х+у)(27!_x2ko2y+х2*73у2—...+ху2*-?_у2*-1),
х2+1+yrkrt=(x+y)(x2*_х2*-ly+x2k—2?_...-ху?!+у2*).
2.4.1.3. Мпогочлены. Если в алгебраическом выражении основные величины (переменные)
участвуют только в действиях сложения, вычитания и умножения, включая возведение в целую
степень, то такие выражения называются уелыми рациональными (см. 2.5.1). Используя свойства
арифметических действий, любое целое рациональное выражение можно представить в виде
многочлена (суммы одночленов):
А, -Х, + A,-X,+...+A,-X,,
где A; — коэффициенты выражения, HE содержащие переменных, a X; — произведения степеней
переменных. Слагаемые обычно располагают в порядке убывания или возрастания степеней
какой-нибудь переменной, либо суммы степеней всех переменных. Одночлены, в которых выраже-
ния X, тождественны, т. е. содержат одинаковые переменные в одних и тех же степенях, называются
подобными и обычно приводятся — объединяются в один, коэффициент в котором равен сумме
коэффициентов приводимых одночленов. Сумма степеней всех переменных в одночлене называется
степенью этого одночлена. Наиболышая из степеней одночленов называется степенью многочлена,
Сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленами. Степень суммы
или разности не превосходит наибольшей из степеней слагаемых, степень произведения равна
сумме степеней сомножителей.
Деление многочленов (с остатком). Если P(x) и Q(x)— многочлены по х степеней пит
соответственно, п> т, то всегда существуют однозначно определенные многочлены T(x) степени
п-т и R(x) степени, меньшей чем т, такие, что тождественно P(x) = О (х)-Т (х) + R(x). Для
нахождения частного T(x) и остатка R (x) выполняют деление P(x) на О (x).
Пример.
3х4 — 10ax? + 22а2х? — 24а3х + 10а*
x?—2ах+3а?
Зх*—4ах+Sa?
3х* — бах“ + 9а2х?
—4ax? + 1342х? — 2443х
— 4ах? + 8a*x? — |2азх
5а?х? — 12a*x + 10a*
5a2x? — {Oa*x + 154%
—2a*x — 5а*
Таким образом, 3x* — 10ax? + 22a?x? — 24а3х + 10а* = (x? — 2ах + 34?) (3x? ~ 4ax + 542) + (—2a°x — Sa’),
Если В (x) =0 (нулевой многочлен), то многочлен О (x) называется делителем многочлена Р (x).
Для нахождения общего наибольшего делителя двух многочленов P(x) и Q(x) применяется
НЕРАВЕНСТВА
163
алгоритм Евклида. Выполняется цепочка делений до получения остатка, равного нулю:
P(x)=Q(x):T;(x)+К,(x),
О(x)=БК,(x)-Tz(x)+Ra(x),
К,(x)=Ro(x)-T3(x)+Вз(х),
Rm-2 (X) = Ви-1 (X)* Ти (х) + Rm (х),
Ки-1(х)=К»(х)-Ти+и0).
Предшествующий ему остаток R,, (x) является общим наибольшим делителем. Если он не содержит x,
то многочлены P(x) и Q(x) называются взаимно простыми.
2.4.1.4. Иррациональные выражеиия.
Обобщение понятия о степени. Извлечение корня определяется как действие, об-
т
ратное возведению в степень. Корнем т-й степени из х (обозначается Их) называется величина у,
т
т-я степень которой равна x: у"=х. При т четном |х существует (среди действительных
чисел) только при х > 0, причем допустимы два значения корня — положительное и отрицательное.
Для определенности знак корня в этом случае будем всегда брать положительным, так что
т
т
Их" =|х|. При т нечетном существует единственное значение Их, знак которого совпадает
со знаком х.
Из определения следует, что
Vx-y=Vx-Vy, Ихму=ИхИУ
при условии, что соответствующие корни существуют.
Выражения, содержащие знак корня (радикал), называются иррациональными.
Примеры преобразований иррациональных выражений:
1) Ух/2у = V2xy/4y?= V2xy 21 yl) (при y #0, xy > 0;
2) УхИауг?) = V/2xy*z(8y'2) = V2xy*z/2yz (при y #0, z #0);
3)tx+Vy)=(x—Vee+Vy&—Vy)=(«—Vole?-y) (npny>0,x?—y#0);
4)fx+Vy)=(0?—xVy+ИУ +И(9?-xVy+Vv)=0?—xVy+VP +У)(при8+y#0);
5) Vx+Vy = Их + u)/2 + Vx — и)/2, roe u= Их? —у (при у>0, x?-y20).
Понятие возведение в степень может быть обобщено на нулевой, отрицательные и дробные
показатели при помощи формул (для допустимых значений х)
0_
—NО1п
т/п—7т
—п/в_1тт
xe=1l x«"=1/x".. xTM=V/xTM", x = 1/Мх",
Приведенные в п. 2.4.1.2 формулы для действий со степенями остаются в силе.
Пример.(Их+Их?+Из+Их")(/x—Их+Их-x5)(x M2+хи+хз4WZ)(хи?—хи4ха—S12)
HXEXE4х5144х1!_5/6—х х1312 AID43/42 gy4SG AWD ABZ 6х =хх?
M2 34=хз—Иж—at+Их.
2.4.1.5. Неравенства. Два алгебраических выражения, соединенные одним из знаков <, <, >,
>, #, образуют неравенство. Неравенство называется тождественным или универсальным, если оно
выполняется (в арифметическом. смысле) для любых действительных значений входящих в неравен-
ство величин. Неравенство называется выполнимым, если существует множество значений входящих
в неравенство величин, при подстановке которых неравенство оказывается справедливым, и
невыполнимым, если таких значений не существует.
+.
Примеры. Неравенство x? + | > 0 — тождественное, x? + у? + 5 <0 — невыполнимое, 2х +4>0 выполнимо при
x2 —2.
Некоторые универсальные неравенства.
1l)|at+b|<ljal4+]b|, ja, ча +... + а [< |+1а2 |+... +1 |.
2) [а +161 >|а-ь|>
Па! -1ЬИ.
164
АЛГЕБРА
3) | (а, tag +... +а,)/п | < Va + 42+... + a7)/n (равенство имеет место только при а! =... = @,).
4) Неравенство Коши:
(a,b, + a,b, +... + a,b,)?< (а +а +... +42) (++... +5
(равенство имеет место, только если a,/b, = az/b, =... = a,/b,).
5) Неравенство Минковского (при р> 1):
(ар+byP+]а2+6 +...+]dy+dyPY?<аРаP+...+[а[РР+
+(| РР +...+|Bnр).
Выполнимые неравенства.
.
”
а +а2 +...-+а
1} При а>0 (=1,2,...,п) Иа: - а... 4, <
р
”.
Среднее геометрическое положительных чисел меньше их среднего арифметического или равно
ему (см. 2.3.1). Равенство имеет место, только если а; = а. =... =а,.
2) Неравенство Чебышева. При 0 <а, <a, <... <а; и 0<b, <b, <... <Ь,
а +а+...+а В +Ь.+...+Ь < a,b; + 426. +... + ав,
<
И
n
n
При 0 <а, <a, <...<a, ub, 2b,2...2b),>0
а,а+...а,
by+bp+.
Е
Said
+
Gaba +... + ав,
.
2
.
n
n
n
3) Обобщенные неравенства Чебышева. При O<a, <a, <...<a, и O0<b, <b, <...<),,
К натуральном
k
k
р
нана ыы
g/ме.
n
n
При 0<a,;
<a, <...< a, ub, 2>b,2>...2b),>0
k
k
k
ak +ak+...+ ah |" ++... + . eer + (а265) +... + (ВХ
n
iH
Неравенства называются эквивалентными, если они выполнимы для одних и тех же значений
входящих в них величин или если они невыполнимы.
Основные свойства неравенств (эквивалентные преобразования).
1)ЕслиА,<А,,TOAz>Aj.
2)ЕслиА,<А,иА,<А,,TOAy=А..
3)ЕслиА,<А,иА,<А,,тоA,<А..
4)ЕслиА,<А,иА,<AyилиА,<А,иА,<А,,тоА,<А..
5)ЕслиA,<А, иА,<Ay(илиА.=Ay),тоА+А. <А,+Ag.
6) Если А, <А, и А, > 0, то А.А,<А.А..
7) Если А, <А4, и А. <0, то А.А. РА), А..
8)Если0<A,<А,илиА,<A,<0,To1/A,>1/A3.
Решить неравенство, содержащее неизвестну1о величину,— значит определить множество значе-
ний неизвестного, при которых перавенство выполнимо,
— миожество решений перавенства. Для
отыскания решения используются эквивалентные преобразования.
Примеры решения неравенств.
1) 5х+3 < 8х +1. Используя свойство 5), прибавим к обеим частям перавеиства —8х — 3; получим --3x< —2.
Используя свойства 6) и 7), получим решение x > 2/3.
2) Неравенство первой степени ах +Ь > 0*). При а>0 имеем x > —b/a, при а<0 имеем x < —b/a, а при а=0
неравенство тождественно для В >20 и невыполнимо для 6 < 0.
3) x? <a. При а<0 перавенство невыполнимо, при а = 0 получаем х = 0, при ч>0 решением является множество
значений, определяемое двойпым неравенством —-Иа<. <Уа.
4) х? > а. При а<0 неравенство тождественно, Ки а > 0 решением является множество зпачений XN, определяемое
следующими условиями: или xX > Иа, или х < — Иа.
5) Неравенотво второй степени ах? + bx +с>0 (a 40) может быть преобразовано к виду а ((x + р/2)? + 2) > 0, rae
р=Ь/а,О =(4ас — b?)/4a?. При р>0 неравенство тождественно при «>0 и невыполнимо при а<0. При D <0,
*) Знак неравенства < можно перевести в > умпожением псравенства па —1. Если вместо > стоит >, то при
решении возможность равенства должиа быть отброшена.
УРАВНЕНИЯ
165
используя свойства неравенства и примеры 3) и 4), получим, обозначив xX, = —р/2 — и- р, x. = —p/2+ Ир, х<х, или
х>х. при а> 0, х, <х<х, при а< 0.
2.4.1.6. Злеменгы теории rpyun. Алгебраическая система С, в которой определена одна операция,
ставящая в соответствие двум любым элементам системы какой-либо третий элемент этой системы,
называется группой, если эта операция (обозначаемая *) обладает следующими свойствами:
1) (а*Б} *хс=ах(Ь х с) — ассоциативность;
2) существует «нейтральный» элемент се такой, что ежа=аже=и;
3) для каждого аеС существует обратный элемент x такой, что ажх = хжа=е.
Если, кроме того, для любых элементов a и b выполнено соотношение a*b =bx*a, то группа
называется коммутативной.
В качестве знака операции обычно употребляют знак + (аддитивная группа) или - (мульти-
пликативная группа). Для адлитивной группы нейтральный элемент называется нулем, а обратный
к а элемент обозначается —а. Для мультипликативной группы нейтральный элемент называется
единицей, а обратный элемент обозначается aq’.
Коммутативная аддитивная группа называется кольцом, если в ней определена, кроме операции
сложения, вторая операция — умножение, обладающая дистрибутивностью: a-(b+c)=a-b+a-c
и (а-+Б)-с=а-с+Ъ-с для любых элементов а, В и с.
Примером кольца может служить Z — множество всех целых чисел.
Если операция умножения в кольце обладает свойством ассоциативности а. (В. с) = (а- b). с или
коммутативности a-b=b-a, то кольцо называется, соответственно, ассоциативным или коммута-
тивным.
Если в ассоциативном и коммутативном кольце существует единичный элемент с: d-e =e@-a=a
для любого а-—и для каждого элемента а, отличного от нуля, существует обратный —aTM'
(т.е. кольцо, из которого исключен нуль, образует мультипликативпую группу), то кольцо назы-
вается полем. Примерами полей могут служить множество всех рациональных чисел, множество
вссх действительных или множество всех комплексных чисел.
Отображение алгебраической системы С в другую С’ называется гомоморфизмом, если каждому
элементу иеС соответствует определенный элемент че; С’, причем если с=а*ф, то c =a'« dD’
(x — операция, определенная в С, ж’ — операция, определенная в С’). Если такое отображение
взаимно однозначно, оно называется изоморфизмом.
2.4.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.4.2.1. Уравнения. Пусть С обозначает множество чисел, так называемую основную область,
иа b,c, ..., X, у. = -— переменные. Это знаки, вместо которых могут стоять элементы основной
области или ее подмножества, так называемой основной области переменных, или области изменения.
Из чисел и переменных могут быть построены алгебраические выражения (см. 2.4.1), например:
8, — 3/5, (2x — 1)/a (a 0), Иа? — 1. Определение выражения можно распространить на неалгебраи-
ческие выражения, к которым относятся, например, a’ (В — действительное), e*, log, у, sin x, arccos 2.
Под областью определения выражения с п переменными X4, X2, ..., X, И соответствующими
областями изменения Ху, Х....., Х, понимают множество всех последовательностей (E;, Eo, ..., Е),
ЕЕХ; (=1,2,...,п), для которых данное выражение переходит в число из области G, если
переменные х; заменить Ha &,.
Если С — множество всех действительных чисел, то выражение (2х + 1)/5 имеет, например, в качестве области
определения всю область изменения х, в то время как область определепия выражения 5/(2х + 1) содержит все числа
области изменения х, за исключением -- 1/2.
Два выражения T, (ху, X2, ..., х,), Т2 (ха, х.,..., хи) от переменных X,, X2, ..., X, называются
эквивалентными по отношению к областям определения X,, Х,, ..., X,, если соотношение
Т, (Е ,Ё.,..., En) = To (Е, 62, ..., &,) выполняется для всех последовательностей (Ё,, &,,...,Ё,) таких,
что €& € X; (= 1, 2,..., n) (cp. 2.4.1.5).
Tak, например, выражения 3x/2 + 5х/2 и 4х эквивалеитны по отношению к мпожеству всех действительных чисел,
в то время как а Б+Гиа+ (5? — 1) Ь — 1} не эквивалентны по отиошению к этому множеству, так как выражение
а+(5?—ПДЬ—1)неопределеноприВ=1.
Об эквивалентном преобразовании выражений говорят в том случае, когда выражение Т,,
получающееся из Т, посредством этого преобразования, эквивалентно Т,. Однако это зависит еще
и от заданных областей изменения; так, Иа? = а для неотрицательных действительных чисел есть
эквивалентное преобразование, HO HC является таковым для множества всех действительных чисел.
Если два выражения Т:, T2, содержащие персмснипые, связать знаком равенства, Т, = T>, то
получается уравнение; Т; и Т› называются левой и правой частями уравнения. Если выражения
166
` АЛГЕБРА
Т, и Tz не содержат переменных, то имеется высказывание о равенстве, которое либо истинно,
либо ложно. Уравнение представляет собой высказывание, которое цереходит в истинное или
ложное только после замены переменных их значениями.
Решение. Множество решений. Пусть T, (x1, x2, ..., Xn)= Tr (ху, X2, ..., Хи) есть уравнение
с п переменными, и пусть X,;, X2,..., X, - соответствующие области изменения переменных, Тогда
каждая последовательность чисел (E,, Ё»,..., 6), G& EX; (i= 1, 2, ..., п), злементы & которой, будучи
подставленными вместо соответствующих переменных х; в уравнение, переводят его в истинное
высказывание, называется решением или корнем этого уравнения. Рещить уравнение -- значит найти
все его рещения, т.е. его множество решений.
Пример. (3, 2) есть решение уравнения 3x, — 2х, =5 (xy, х»› — действительные), мпожество рещений есть
{((5 + 21/3, 0; г — произвольное действительное число}.
Уравнение называется разрешимым или неразрешимым в зависимости OT того, имеет оно
решение или нет. Если все последовательности чисел (6, 62, .--, &) таких, что &ЕХ; (i = 1. 2, ..., Я),
являются решениями уравнения, то оно называется тоэждеством относительно X; (i = 1, 2, ..., И),
Tak, x? =2 для рациональных x неразрещимо, а для действительных x разрешимо. Уравнение
Иа? =a есть тождество по отношению к множеству всех неотрицательных действительных чисел.
Уравнения с параметрами. Иногда в уравнении с п переменными часть переменных можно
рассматривать в качестве так называемых неизвестных т переменных (Озт<и), а остальные—
в качестве параметров. Тогда решения уравнения могут зависеть от параметров.
Пример. Если в уравнении Sx -2у=2+ | все перемеиные считаются неизвестными уравнспия, то это есть
уравнение относительно переменных x, у и 2 и, иаирнмер, тройка (1, 0, 4) есть решение этого уравиения. Если же 2
рассматривать как параметр, то получается уравнение относительно X и у, рещением которого является, например,
(2+3, 2z + 7).
Эквивалентные уравнения. Два уравнения с п переменными Xj, X2, ..., X» принадлежащими
одной и той же области изменения, называются эквивалентными над этой областью изменения,
если их множества решений совпадают. Например, уравнения х* =4 и х* = 8 эквивалентны над
множеством натуральных чисел, но не эквивалентны над множеством целых чисел, так как
в последнем случае множества решений суть {—2, 2} и {2} соответственно.
Уравнения, тождественные по отношению к одинаковым областям изменения, всегда экви-
валентны, то же самое справедливо для двух перазрешимых уравнений; если два уравнения
эквивалентны третьему, то они эквивалентны друг другу (траизитивиость эквивалентности)
(ср, 2.4.1.5).
|
2.4.2.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентное преобразование переводит уравнение
в эквивалентное. Преобразование, переводящее уравнение С, в уравнение G2, эквивалентно только
тогда, когда для множеств решений L, и Ё› уравнений G, и G2 выполняется равенство L, = Lp.
Если, напротив, L, # Lj, то преобразование называется неэквивалентным.
Примеры (областью изменения в дальнейшем всегда булет множество действительных чисел).
1) Преобразование уравнения Су: 3x -4=8+5х-в G2: 2х = -12 — является эквивалентным, так как Ly = Ly =
= {-6}.
re
12+4х 2x1
2) Если уравнение хз = 5 переписывают в виде (12 + 4х) (5 — x) = (2х — 1 (х + 3), то производят цеэкви-
валентное преобразование, так как L, = {7/2} с 17/2, --3} =[,; в этом случае L, < Ly. Если в качестве области
изменения брать, например, множество положительных действитсльпых чисел, то указанное преобразовацие является
wane
4) При неэквивалентных преобразованиях решения могут и теряться, т.е. L, > L2. Например, если перейти
от уравнения G,; x? — 4x? = 5х — к уравиению G2: x? — 4x —5=0, то получим Ly ={~1, 0, 5$} 212 = {—1, 5}.
Теоремы 06 эквивалентиых преобразованиях уравнений (ср. 2.4.1.5).
1. Уравнение 7, = Т› эквивалентно уравнению Т“ = Т>, если Т, эквивалентно ТА и Т, экви-
валентно Т..
2. Уравнение Т, = Т, эквивалентно уравнению Т. = Т..
3. Уравнение T, = T, эквивалентно уравнениям Т, + 7; = 7, +Т; и T, -- T3 = T, — Ts, если Ъ
есть выражение, определенное во всей области определения уравнения T, = Th.
4. Уравнение Т, = T, эквивалеитно уравнениям 7,73 = 7,7; и Т, : Ть = Т»; 73, если Т) определено
и отлично от нуля во всей области определения уравнения Т, = То.
Чтобы решить уравнение, т.е. чтобы определить его множество решений, в общем случае
посредством эквивалентных преобразований составляют цепочку уравнений: первое есть заданное
уравнение, а последнее — уравнение такой простой структуры, что его |жиеиис можно найти
непосредственно. По построению каждые два соседних уравнения цепочки эквивалентны друг другу;
вследствие транзитивности эквивалентности, эквивалентны друг другу все уравнения цепочки,
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
167
wr
в частности, исходное уравнение эквивалентно последнему уравнению. Следовательно, найдя мно-
жество решений последнего уравнения, мы находим также множество рещений исходного уравнения.
Примеры. 1) X44 = —3_ (x — действительное);
х 2-х x+2
2)5(x+2)(2—x)+2x(x+2)=3x(2—x);
3)—5x?+20+2x?+4x=6x—3x?;
4) 20=2x; 5) x= 10.
Проделанные преобразования эквивалентны для всех x # —2; 0; 2. Следовательно, искомое множество решений:
L,=Ls={10}.
2.4.2.3. Алгебраические уравнения.
Общее понятие. Каноническая форма. Любое уравнение вида P(x;,..., X,)= 0, где
P(x, ..., X,) — многочлен (отличный от нулевого) относительно Xj, ..., х„ называется алгебра-
ическим уравнением относительно переменных X,, ..., X,. Коэффициенты многочлена могут при
этом быть как постоянными, так и параметрами (т.е. переменными, отличными OT х;, ..., х,) или
функциями таких параметров.
В соответствии со сказанным, например, 3х” -—x+5=0, mx — | =0-— алгебраические уравнения относительно x,
а х?+2у? — ху-3=0 - алгебраическое уравнение относителыю x и у. Урависние у? — узтх —2sin?x—7=0
He является алгебраичсским относительно хи у, HO если х рассматривается как параметр, TO и это уразнение будет
алгебраическим относительнчо у.
Неалгебраическими уравнениями являются, например, У4х — 7+5 =1- 2%, x2 ee 15 == 1. 3
+5= 0.
sinx—oe+
Среди неалгебраических уравнений те уравнения, в которые переменные, рассматриваемые как
неизвестные, входят под знаками трансцендентных функций (см. 2.5.2), называются трансцендентными
уравнениями (см. 2.4.3).
Иногда неалгебраические уравнения можно преобразовать в алгебраические (не обязательно
эквивалентные исходным).
Примеры. Уравнение 4 = | эквивалентно алгебраическому уравиению 2х? + 3x — 20 =0,
5—
x—5 _
х? — 8х+15 °° x—3
x, кроме х=Зих=5.
Уравнение
никакому алгебраическому уравнепию HC эквивалентно, оно выполнено для всех
Уравнение 7 — x = Их —1 можно преобразовать в алгебраическое уравнение x? — 15х + 50 =0, но это уравнение
не эквивалентно исходному. Алгебраическое уравнение имеет множество решений 1!5, 10}, в то время как исходное
уравнение выполняется только при х = 5.
Всякое алгебраическое уравнение относительно х можно записать в виде
Аох"+ А,х"1+...+ А х+А =0; Ap #0, nol;
A; называются коэффициентами уравнения, п — его степенью.
Если все коэффициенты А; являются параметрами, то уравнение называется общим алгебраи-
ческим уравнением относительно х степени п.
т
Если алгебраическое уравнение разделить на А, #0, то, обозначая A;/Ag = a; (i = 1,.2,..., n),
получим каноническую форму алгебраического уравнения п-й степени относительно х:
x"Нах" арх"? +... 4х +а,=0.
Корни алгебраических уравнений только до четвертой степени включительно выражаются через
коэффициенты при помощи конечного числа алгебраических операций. В этом случае каждое
решение выражается в радикалах, т.е. представляет собой выражение, возникающее посредством
вложения друг в друга нескольких корней; показатели этих корней — целые числа р>22, а под-
коренные выражения суть рациональные функции коэффициентов или сами содержат радикалы.
Алгоритмы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным.
Линейные уравнения (уравнения 1-й степени). Каждое линейное уравнение есть алгебраическое
уравнение 1-Й степени, т.е. неизвестное встречается только в 1-Й степени. Существуют также
уравнения, эквивалентные линейному.
Например, уравнение (x — 1) (х + 3) = (x + 8) (х — 2) над множеством В действительных чисел эквивалентно линей-
2
3
..
ному уравнению 4х — 13 =0. Уравнение
чи
над множеством В\{1, 3, 5} эквивалентно линейному
3
уравнению x — 13 = 0. Иррациональное уравнение |//x +2=1 над множеством В действительных чисел эквивалентно
уравнениюх+1=0.
Линейное уравнение с одним неизвестным х и областью изменения В имеет вид ах + В =0,
а 0, ах — линейный член, Б — свободный член. Это уравнение имеет одно решение x = —Ь/а.
168
АЛГЕБРА
При изменении множества, над которым определяется решение, изменяется и разрешимость урав-
нения. Так, уравнение 2х + 5 =0 неразрешимо над множеством натуральных чисел.
Квадратные уравнения (уравнения 2-Й степени). Каждое алгебраическое уравнение 2-й степени
называется квадратным уравнением. Квадратное уравнение относительно х с областью изменения К
(или С — множество комплексных чисел) имеет вид
ах? +bx+c=0,
а520,
ах? — квадратный, bx — линейный и с - свободный члены. После деления на а получаем канони-
ческую форму: x? + px +а= 0, где р = Б/а, 4 = с/а — действительные параметры.
Число действительных решений квадратного уравнения х?+-рх +а=0 зависит от знака
дискриминанта D = q — (p/2)*:
если D <0, то имеется два решения (два действительных корня);
если О =0, то имеется одно решение (два действительных совпадающих корня);
если О > 0, то нет действительных решений (два комплексных корня).
Если в качестве области изменепия неизвестпого взять множество комплексных чисел, то
квадратное уравнение всегда имеет два решения: действительных — в случае О < 0 и комплексно
сопряженных — в случае D> 0.
Вследствие того, что 4ас — b?= 4а?), в качестве дцискриминанта можно использовать выраже-
ние A = 4ac — 2, знак которого определяет вид решения квадратного уравнения ах? + bx +c=0.
Решение квадратного уравнения.
1-й способ. Применение формулы.
а) для уравнения вида ах? + bx +c=0 имеем x, 2 = + |/b° — 4ac
2a
-
6) Для уравнения вида х? + px +g =0 имеем
Эти формулы справедливы всегда, если в качестве области изменения неизвестного выбрано
множество комплексных чисел. Если область изменения есть множество действительных чисел,
то надо потребовать еще, чтобы D < 0 (или A <0).
2-й способ. Разложение na линейные мпожсители. В случас, если удается разложить квадрат-
ный трехчлен на линейные множители: ах? + bx + с = a(x — 9) (х — В) (или x? +рх+а=(х-а) (х-В)),
уравнение ах? + bx +c=0 (или x? + px +а=0) имеет множество решений Г, = {a,
Кубические уравнения (уравнения 3-й степени). Уравнение 3-й степени, или кубическое уравнение,
имеет вид
ax?+bx*+сх +d=0,
а #0,
a, b, с d— действительные, при этом ах? — кубический, bx? — квадратный, сх — линейный и а-—
свободный члены. После деления на а уравнение принимает канонический вид:
х3+их?+чх+Е=0,
(x)
где r=b/a, s=c/a, t=d/a.
Делая в уравнении (*) замену неизвестного y = x + (r/3) (x = y — (r/3)), получаем так называемое
npueedennoe уравнение:
3y +py+q=0,
3
. rs+t
37°IoT
Число действительных решений кубического уравнения
= (p/3)* + (4/2)?:
гдер=
зависит OT знака дискриминаита
х действительное
х комилексное
одно действительное, два комплексно сопряжен-
ное двукратное решение или OHO действитель-
ное трехкратное решение (последнее в случае
p=q=0)
D>0O
одно действительное решенис
ных решения
! р<0
три действительных решения
три лействитсльных решения
D=0
одно действительное решение и одно лействитель- | одио действительное решение н одно действи-
тельное двукратное реашепие ИЛИ OAHO действитель-
ное трехкратиое решение (последнес в случае
p=q=0)
169
` АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение кубического уравнения.
1-й способ. Разложение левой части па линейные множители. Если удается найти разло-
жениеах?+bx?+сх+d=а(х—а(х—B)(x—y),тоуравнениеax?+bx?+сх +d=0имеетмно-
жество решений {а, В, у}. Достаточно найти разложение вида ах? + bx? + сх +4=а(х — а) (х? +
+ рх + <) (выделение линейного множителя); тогда одно решение есть х, =O, а два других
находятся путем решения квадратного уравнения x? -+ px + с =0. Очевидно, выделение линейного
множителя всегда возможно, если известно одно решение уравнения или это решение можно
подобрать (см. 2.4.2.4).
2-й способ. Применение формулы Кардано. Формула Кардано для кубического уравнения
x3 + их? + sx +Е= 0 относится к его приведенпому виду у? + py +4 = 0. В этом случае
уу =и-ь,
ио u-v.
у.=— 5 +- 5 i/3 =eu+#25,
u+ov u—D
=
уз=— 575 i|/3=equ+ep,
где
3
=
3
:
u=/-(4/2)+VD, в=И- 4/2) - Ур,
р =(p/3)P + (4/2)°, &,2 =(-1 £1 39/2.
Посредством замены x, = y, — (r/3) (К = 1, 2, 3) из y, получим решения x, данного кубического
уравнения.
° В случае Б<0 кубическое уравнение имеет три действительных решения. Если применять
приведенные выше формулы, то корни булут выражаться через комплексные величины. Избежать
этого можно следующим образом (см. также 3-й способ). Положим р = И- р?/27, cos ф = —q/(2p).
Тогда решениями приведенного уравнения у? + ру +4=0 будут
y= 2 Ир cos (9/3),
3.-
2 Ир cos ((9/3) + (2n/3)),
2 Ир cos ((/3) + (4n/3)),
y2
Уз
от которых заменой xX, = у, — (7/3) можно снова перейти к решениям заданного кубического
уравнениях?+rx?+sx+1=0.
Пример. Кубическое уравнение х“ — 6x? + 21х - 52 =0 заменой х=у+2 иреобразуем к привсленному виду
уз + 9у — 26 =0 (здесь р=9, ч=-26, D=27 + 169 = 196). Применение формулы Карлано лает у, =2, у. = —-1+
+ 2i УЗ, уз = -1- 2 УЗ; следовательно, X, = 4, x2. =1+2 ИЗ, х=1- 2 ИЗ.
3-й способ. Применение вспомогательных величии, которые могут быть вычислены при
помощи таблиц. В приведенном уравнении у? + py +qg=0 положим R = (sign q) И р \/3. Вспомога-
тельная величина ф и при ее помощи корни yi, у», уз определяются в зависимости от знаков р
и р = (р/3)* + (4/2)? из таблицы:
р<0
р>0
р<0
D>0
cosф<=TE
cho = ser
sho = ser
у!|
— 2Rcos =
— 2Rch =.
—2Rsh>
Y2
_ 2neos( $+ **)
Reh+ 3Rsh5
Rsh + i//3Reh Ч.
Уз
-2Rcos($++)
Rchoi 3Rsh
Rsh 5-1 3.Rch 5
170
АЛГЕБРА
Пример. уз 9+4=0, р= 9, q=4, D= -23 <0, В = УЗ= 1,7321, cos = у = 928% ф= 67°22
313
у! = ~2 ИЗ cos 22°27’ = — 3,4641 . 0,9242= — 3,201,
yy = —2 ИЗ cos 142°27' = (—3,4641) -(— 7929) = 2,747,
уз = —2 /3 cos 262°27' = (—3,4641) . (— 0,1314) = 0,455.
4-й способ. Приближенное решение уравнения (см. 7.1.2.3).
Уравнение 4-й степени имеет вид
ах“+ЬхЗ+сх?+4х+е=0, а#0,
a, b, с, 4, е- действительные; посредством замены y = x + Ь/(4а) данное уравнение переводим
в приведенное уравнение
y* + ру? +qyt+r=0,
где р, а и rf — рациональные функции коэффициентов a, b, с, 4, e.
Вид решения этого уравнения зависит от вида решения его кубической резольвенты
23+2pz?+(р?~4")z—q*=0.
Если область изменения неизвестного есть множество С комплексных чисел, то имеет место
следующее:
Кубическая резольвента
Уравнение 4-й стеисни
Все-корни действительны и положительны *)
Четыре действительных корня
Bee корни действительны, из них один положительный | Две пары комплексно сопряженных корней
и два отрицательных *)
Один корень действительный и два комплексно сопря-| Два действительных корня и Ba комплексно сопряжен-
женных
ных корня
*) Согласно теореме Виета произведение корней 2), 2., 23, равное 427, должно быть всегда положительным
(q#0).
Решение уравнения 4-й степени.
1-й способ. Разложение на линейные множители. В том случае, если удается произвести
разложение многочлена ах“ + bx? + сх? + ах +е=а(х — 9 (х — В) (x — y) (x — 5), то уравнение ах“ +
+ bx? + сх? + 4х +е=0 имеет множество решений {a, В, y, 5}. Достаточно найти разложение левой
части уравнения 4-й степени в произведение двух квадратных трехчленов: тогда решение уравнения
4-й степени сводится к решению двух квадратных уравнений.
2-й способ. Если 21, 2), 23 — корни кубической резольвенты, TO
у=(Из+И +И25)/2, у=(И—Из,
= 23/2,
уз=(-УИз +2, =И23)/2, va=(-Vn —Ил»+V23)/2
— решения приведенного уравнения у“ + ру? + д4у+г=0 (при этом знаки перед радикалами Ил,
V/z2, /2з выбирают так, чтобы |/2, И: 23 = —4). Далее посредством замены x = y — b/(4a)
находят решения исходного уравнения 4-й степени.
Пример. Уравнение х“ ~ 25x? + 60х — 36 =0 имеет кубическую резольвенту 2° — 502? + 7692 — 3600 =0 с реше-
НИЯМИ 2, =9, 22 = 16, 3 =25; для того чтобы |/2, У 22 И2з = — 60, знаки перед всеми корнями надо взять, например,
—
„=
7.
отрицательными, т. е. И: = —3, /z, = —4 И:. = —5. Отсюда получим корни исходного уравнения: x, = 1, x, = 2,
Хх;=3,ха=—6.
3-й способ. Если в уравнении
ax* + bx? + сх? +dx+e=0
b=d=0, то мы имеем так называемое биквадратное уравнение: ах“ + сх? +e =0. Посредством
замены переменного х? =: это уравнение переводится в квадратное уравнение at? + ct +e =0.
Из решений t,, [› этого уравнения, полагая x? = t, получают корни исходного уравнения 4-й степени.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
171
Ёсли коэффициенты уравнения x* + rx? + sx? + tx + и = 0 удовлетворяют соотношению r? + 8# =
— 4, то уравнение 4-Й степени может быть решено при помощи квадратного уравнения:
4};
аtx2
г2>,PX
>, PX
xtexe+3х"+bustxto +s~
x+>+u=0.Послезаменыx+ =за-
r
`
цанное уравнение 4-Й степени переходит в уравнение {2 + [5 — 7) t+u=0,, решая которое полу-
чаем затем решения исходного уравнения.
Приближенное решение уравнения (см. 7.1.2.3).
Уравнения высших степеней. Уравнения 5-Й и более высоких степеней в общем случае прин-
ципиально неразрёнимы в радикалах. Чаще всего их решают приближенными методами (см. 7.1.2.3).
Если можно подобрать решение x,, То выделением линейного множителя (x — x,) решение заданного
уравнения сводится к решению уравнения менышей степени.
Частные виды уравнений высших степеней. т решений хи, х., ..., Xp, двучленного уравнения
x"= a (т> 1 — целое, a — положительное) получают при помощи формулы Муавра в виде
т
2ktt 2
хина=Иа cos—— +isin——},
k=0,1,...,m—1.
m
m
nena
Уравнение x?" + ax" + b=0 заменой переменного x” = у переводится в квадратное уравнение
у? +ау+Ь=0. Если оно имеет решения yy, у», то’ при помощи двучленных уравнений x”= у,
или x” = у, находяг корни исходного уравнения.
2.4.2.4. Общие теоремы. Если x, — корень уравнения
В,(x)=x"фах"!+agx"2+...4+ ах+a,=0,
то многочлен P, (x), стоящий в левой части уравнения, делится на (x — x,) без остатка и полу-
чаемое частное есть многочлен P,., (x) степени п -— 1:
Р„(x)=(x—хи)Py-1(х).
В общем случае остаток от деления P, (x) на (x —х!) равен К, (x1):
P,,(x)=(x=X41)Pa-1(х)+Ry(ху).
Если P,{x) делится без остатка на (x —x,)*, но уже не делится Ha (x —x,)‘t', то x, назы-
вается К-кратным корнем уравнения P, (x) = 0 (корнем кратности К). В этом случае x, есть общий
корень полинома P, (x) и его производных вилоть до (К — |)-го порядка.
Основная теорема алгебры. Каждое алгебраическое уравнение п-й степени
x" tax +... +а-ах +a, = 0,
коэффициенты которого а, ({=1,...,
п) — действительные или комплексные числа, имеет PoRHO
п корней, действительных или комплексных, если «-кратный корень считать за К корней.
`
Если корни многочлена P, (x) равны x), х., ..., х, и кратности их равны соответственно
r
1, 92... Op у Oo = ,), TO многочлен представим 8 виде произведения:
1=1
—
a
5
x
P(x) =x" tax +... +а-ах +a, =(x — x1) 1 (x— x2) 2...(x — x)",
и соответствующее уравнение имеет вид
(x —x,)' (х-х,) 2... (5-х, = 0.
Решение уравнения P, (x) =0 можно упростить путем перехода к уравнению, имеющему те же
самые корни, чго и P, (x) =0, но уже однократные (простые). Так как кратные корни многочлена
P, (x) являются Такжё корнями производной Р, (x), то определяют наиболыший общий делитель T (x)
многочленов Р,(х) и Р,(х). Тогда уравнение Q(x) =0, где Q(x)= Р, (х)/Т (x), имеет те же самые
корни, что и Р,(х) =0, но каждый из них ‘имеет кратность 1.
Уравнение с действительными коэффициентами. Если уравнение x" + ах" +... а ах +a, =0
с действительными коэффициентами имеет комплексный корень x, = a+ 1} (B #0), то оно имеет
также корень X, = a — В, и притом той же кратности, что и х,. Поэтому число всех комплексных
корней уравнения с действительными коэффициентами всегда четно. Следовательно, уравнение
нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный
корень.
В разложении па множители левой части уравнения Р,(х) =0 с действительными коэффи-
циентами наряду с множителем (x — х.)^, где x, — комплексный корень, имеется также и множитель
172
АЛГЕБРА
(x — х,). Объединив каждую такую пару множителей, получим разложение левой части на
действительные множители:
,а
а
я,2
в,
.
в
Py(x)=(х— 4)'(х-х?)2...(х=ж)F(X?+pix+41)"...0?+pix+40'
Здесь ху, х., ..., X,_ — действительные корни уравнения, а [ пар комплексио сопряженных реше-
ний — корни квадратных множителей x? + рих + 4; (i= 1, 2,..., 1. Отсюда следует, что (p;/2)? — 4; < 0.
Так как каждый из квадратных множителей х?.+ р;х + 4; положителен при любых действительных
значениях х, TO справедливо утверждение: если уравнение аох" + ах"! +... Нах +a, =0
не имеет действительных корней, то при любых xX левая часть имеет знак коэффициента co.
Из этого следует: если в уравнении четной степени а,/ао < 0. то уравнение имест по меньшей
мере два действительных кория разного знака.
Теорема Виета. Для уравнения
x" bay xn +... +аах +4, =0
имеет место следующая зависимость между корнями уравнения (с учетом кратности) и его
коэффициентами a; (i = 1, 2,..., п):
n
XY + Xo +...+X, = у х;= —-d1,
t=1
п
Х1Х2+Х1Хз+...Xn1Хн=Ухх;=dd,
igo
i<j
п
хахохз + Хахаха +... + Хи-ахн ах, = ) ххх, = —ау,
ЛЕ
i<j<k
Хх... хи =(-- 1)" a,.
Таким. образом, если уравиепие имеет целочисленные коэффициенты и целочисленное решение,
то это решение является делителем свободпого члена.
Теорема Виета для квадратного и кубического уравнений.
x2+ px+q=0
e+гх?+ух+1=0
Х1Х2=q
ХХХ=—/
Теорема Штурма. При помощи теоремы Штурма можно определить число действительных
корней уравнения с действительными коэффициентами. Прежде чем сформулировать теорему
Штурма, опишем используемый здесь алгоритм. Отделим кратные корни заданного уравнения
P(x)=0, т.е. перейдем к уравнению О (х) =0, которое имеет Te же корни, что и данное, но
кратности |. (Напомним, что О (x) = Р(х)/Т (x), где T (x) — наибольший общий делители P(x) и Р’(х).)
Затем составим последовательность О (x), Q’ (x), О, (x), ..., Q,, (x) следующим образом (алгоритм
Евклида):
Q(x)= Ri (x) Q(x) — 0, (x),
О’(x)=К»(x)Qi(x)—Q2(х),
О,(x)=R3(x)Q2(x)—Оз(x),
0,-2(x)=К»(х)On-1(х)>О(х),
On-1(х)=Ки+1(х)Qn(x)
(деление с остатком); О; — остатки от деления, взятые с противоположным знаком (см. 2.4.1.3).
СИСТЕМА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
173
Так как в последовательности О (x), О’ (x), О, (x), ..., Q,, (x) степени многочленов монотонно умень-
шаются, то процесс деления оборвется после конечного числа шагов. Как известно, посредством
такого деления с остатком отыскивается наибольший общий делитель исходных многочленов О(x)
и О’ (x). Но так как по предположению О(x) имеет только простые корни, то наибольший общий
делитель Q,, (x) многочленов О (x) и О’(х) есть постоянная.
Положив в многочленах x = (& — действительное), получим последовательность действитель-
ных чисел О(5), Q'(E), О, (Е), ..., O, (6). Если в этой последовательности два соседних числа
имеют различные знаки, то говорят о перемене знака. Пусть и (ё) означает число перемен знака,
причем если некоторые из чисел О; (5) — нули, то при подсчете числа перемен знаков их про-
пускают.
Теорема Штурма утверждает: если а и b (a<b) не являются корнями Q(x), то разность
w (а).— w(b) равна числу действительных корней О (x) в промежутке [a, Ь].
Чтобы найти число всех действительных корней уравнения, нужно найти промежуток, содер-
жащий все корни, и применить к нему тгорему Штурма. Для этого служит
Правило Ньютона. Пусть
P(x)=аох"+ах"1+...+4,-1x+4,=0,
ас>0,
— уравнение п-й степени. Число g такое, что Р(х) > 0, Р’(х)>0,..., РТИ (х)>0 для всех х> д,
есть верхняя граница действительных корней уравнения P(x)=0. Число й есть нижняя граница
действительных корней этого уравнения, если —h есть верхняя граница действительных корней
уравнения Р(—х) = 0.
|
Пример. Найти число действительных корней уравнения х“ — 5х? + 8х — 8 =0. Имеем
P(x)=x*—5x?+8х—8, Р’(x)=4x3—10x+8,
Р"(x)=12x?—10, Р“"(x)=24x.
Заметим, что Р” (х)>0 для всех x >g, если g2O. Далее, Р“ (х)>0 un P’(x)>0 для 921, но Р(1) <0. Так как
Р (х)>0 при х>2, то g=2 есть верхняя граница всех действительных корией этого уравнения. Если этот метод
применить к P (—x) = х* — 5х? — 8х - 8, то в качестве верхней границы получим 3, т.е. h = —3 есть нижняя граница
всех действительных корней заданпого уравнения. Следовательно, все действительные корни данного уравнения лежат
в промежутке [—3, 2]; определим их число при помощи теоремы Штурма. Прежде всего заметим, что P (x) не имеет
кратных корней. Вычислим многочлены
P(x)=Q(x)=х*—5x?+8x—8, P’(x)=О’(x)=4x3—10x+8,
О,(x)=5x?—12x+16, О,(x)=—3x+284, Оз(x)=-1.
Так как в дальнейшем важен только знак этих многочленов, то для упрощения вычисления многочленов О; делимое
или делитель можно умножать на постоянный положительный множитель. При x = —3 получаем последовательность
4, —70, 97, 293, —1; при х=2 — послеловательность 4, 20, 12, 278, —1. Таким образом, м (—3) =3, м (2) =1.
и уравнение имест и’ (—3) — и (2) =2 действительных корня. Если вычислить еще, например, w (0) = 2, то мы найдем,
что один корень паходится в интервале (— 3, 0), другой — в интервале (0, 2).
Правило знаков Декарта. Число положительных корней (подсчитанное с учетом их кратности)
уравнения
P (x)
= вх" + ах" 1+... +ах+а=0
не больше числа перемен знака в последовательности ао, dy, ..., а, коэффициентов P(x) и может
отличаться от него лишь на четное число. Если уравнение имеет только действительные корни,
то число его положительных корней равно числу перемен знака в ряду коэффициентов.
Пример. Коэффициенты уравнения х“ + 2х? — х? +5 -1=0 имеют зиаки ++-+-. т.е. знак изменяется
трижды. Согласио правилу Декарта это уравнение имеет или три, или одии положительный корень. Так как при
замене х на —х корни уравнения мсияют знаки, а при замене х па Xx +f их величины изменяются на fh, то при
помощи правила Декарха можпо оценить число отрицательных корней, а также число корней, болыцих fh. В пашем
примере заменой x на —х получим, что xt — 2х* — x? - 5х -|=0, т.е. уравиение имеет одии отрицательный корень.
Замена x на х+| даст уравнение x* + 6х? + Их? + 13х +6 =0, т.е все положительшые кории иашего уравнения
(число которых | или 3) меньше 1.
В частности, каждое уравнение четной степени, первый и последний коэффициенты которого
имеют различные знаки, имеет по меньшей мере один положительный и одии отрицательный
корни. Каждое уравнение печетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень
знака (—d,/do); число cro действительных корней другого знака — четное число (или нуль).
Правило Декарта позволяет также оценить число действительных корней уравнения P(x) =0
в промежутке [а, 6]. Для этого надо применить правило знаков приведенным выше способом
куравнениюР(у)=0,гдеу=(а—хх—5).
2.4.2.5. Система алгебраических уравиений. Если заданы т уравнений с п неизвестными и
требуется найти’ последовательности из м чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому
из т уравнений, то мы имеем систему ъравнений. Если все т уравнений линейны, то говорят
174
АЛГЕБРА
о системе линейных уравнений; такие системы могут решаться методами линейной алгебры
(см. 2.4.4.3). Проиллюстрируем на примерах методы решения для некоторых часто встречающихся
типов нелинейных систем уравнений.
П римеры. 1) Даны уравнение 1-й степени и уравнение 2-й степени, каждое с двумя неизвестными:
x?+y?+3x—2у=4,
х+2у= 5.
Линейное уравнение решается относительно одного из двух неизвестных (x =5—2y), и полученное выражение
подставляется в квадратное уравнение. Получаем квадратное уравнение относительно одного неизвестного
2
3
~
у? — 2 yt = = 0, которое решается, как обычно: у, = 2, у) = 18/5. Получаем множество решений заданной системы
уравнений: L = {(1, 2); (—11/5, 18/5)}.
2) Даны два уравнения 2-й степени с двумя неизвестными:
x?+у?=5,
ху=2.
Так как у = 2/х, To из первого уравнения получаем биквадратное уравнение х“ — 5х2 +4 =0, которое посредством
замены xX? =f переводим в квадратное уравнение относительно {. Из множества решений квадратного уравнения
и =1, 2 =4 находим корни биквадратного уравнения, а затем (вспомнив, что у=2/х) и множество решений
исходной системы уравнений:
|
L= {(1, 2); (—1, —2); (2, 1}; (-2, -1}.
3) Даны два уравнения 2-й степени с двумя неизвестными:
x?+у?+3x—2у=11,
х? + у? +х-у= 12.
Вычитанием уравнений получим, что 2х — у=5. Если от заданной системы уравнений перейти к эквивалентной,
содержащей любое из исходных уравнений и полученное линейное уравнение, то будем иметь случай, рассмотренный
в примере 1). Для исходной системы уравнений получаем множество решений {(3, 1); (6/5; 13/3)}.
4) На плоскости хОу требуется найти уравнение окружности, проходящей через три точки, например (26, 4),
(9, 21), (17, 17); получаем три уравнения 2-й` степени с тремя неизвестными:
(26 — ©)? + (4—4)? =P’,
(9 — с)? + (21-9? =P?,
(17—с)?+(17—dP=P’,
где (с, 4) - неизвестные координаты центра, г — неизвестный радиус. Взяв любые два из этих уравнений и вычтя
одно из другого, получим линейное уравнение с двумя неизвестными. Вычитание второго уравнения из первого дает
—(+4+5=0, вычитание третьего из первого дает —9с + 134 + 57 =0. Полученная система имеет решение с = 2,
4 = —3, Подставив эти значения в одно из исходных уравнений, получим г
=
25. Таким образом, искомое уравнение
есть(x—2)?+(у+3)?=625.
2.4.3. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общее понятие. Примеры. Уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент
трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением (см. 2.4.2.3). К трансцендентным
уравнениям принадлежат показательные уравнения, логарифмические уравнения и тригономегри-
ческие уравнения. В общем случае трансцендентные уравнения могут быть решены только при
помощи приближенных методов. В некоторых особых случаях трансцендентные уравнения можно
все же свести к алгебраическим уравнениям.
Показательные уравнения (приводимые к алгебраическим).
1. Неизвестное находится только в показателях степеней выражений, над которыми не произ-
водится операций сложения и вычитания. Тогда логарифмирование уравнения (с произвольным
основанием) приводит к цели.
Пример. 3*=4*-2.2%;xlog3=(х—2)log4+xlog2,откуда
_
2log4
_ _log 16
log4—log3+log2 log(8/3)°
x
2. Неизвестное х входит только в показатели степени выражений, основания которых являются
целыми степенями одного и того же числа К. Тогда заменой пеизвестного у = К” можно получить
уравнение, алгебраическое ‚гтносительно у.
Пример. 2*~' = 8-2 — 4*--. Основания выражений, содержащих x, суть целые степени 2; заменой неизвестного
у = 2* переводим исходное уравнение в уравнение у? — 4у? — 32у =0 с решениями у, = 8, у. = —4, уз =0. Отсюда
получаем, что xX, = 3; других действигельных корней не существует.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
175
Трансцендентные уравнения, содержащие неизвестное только в аргументе гиперболических
функций, можно привести к уравнениям рассмотренного вида, если гиперболические функции
выразить через показательные.
Пример. 3chx =shx+
yx
--х
Xa
x
9,3(¢ssее
+3, е*+2е”`* —9 = 0. Заменой переменного у = е* получим
2
>
9+ )/73
уравнение у“ — 9y -+ 2 = 0, алгебраическое относительно у, с решениями y, = yo» Откуда следует, что xy =
=шр,х2,1716их,=пу,<—1,4784.
Логарифмические уравнения (приводимые к алгебраическим).
1. Неизвестное х входит только в аргумент логарифма, или уравнение содержит логарифмы
от одного и того же выражения A (x), где A(x)
— многочлен. Тогда замена переменного вида
у = log, A (x) приводит к алгебраическому относительно у уравнению. Из решений этого уравнения
получаем решения исходного уравнения при помощи таблицы логарифмов.
Пример. 4 -- [в (5 ;) = зв (5 «) Полагая у = И (5 =), получаем 4 - у? =3Зу с мпожеством решений
{l, —4. Из 1 = | le (4 х) следуст 5. х = Ц), т.е. х=4; решение у. = —4 для исходиого уравнения — постороннее.
2. Неизвестное х входит только в аргумент логарифмов одного и того же основания a, и все
уравнение есть линейная комбинация выражений вида mm, log, Р;(х) (т; — рациональные числа,
Р/ — многочлены относительно x). Тогда уравнение можно привести к виду 102.0
(х)=А, где
Q (x) — многочлен, или, потенцируя, к алгебраическому уравнению О (x) — a4 = 0.
1.(3х=1)—
+=
(3x10 фо.
Зх-.1)
__
Пример. 2logs(3x-1)—logs(12x+|)=0, logs fxeT 0==logsI, Gx
=1, x, =0, x, =2.
Проверка показываст, что L == {2} есть множество решений исходного уравиепия.
3. Неизвестное x входит только в аргумент логарифма, и уравнение содержит только логарифмы
с одним и TCM же аргументом, но с различными основаниями. Тогда в искоторых случаях урав-
нение можпо решить после приведевия логарифмов к одному основанию и использования свойств
логарифмов.
Пример. log,(x--1)+log,(x—1)+logy(x-И=34log,4,
МО Ieee1) о
ath) +a 3_+lg,(x—1)=3+log;4,
log,(x—1)(log,4+logs4+!)=3+log;4,
1084 (x-- D= 1, х=5.
Тригонометрические уравнения (приводимые к алгебраичсеским). Неизвестное x или
nx+ а (п-- целое) входит только в аргументы тригонометрических функций. Torna, применяя
тригонометрические формулы, приводим уравнение к виду, содержащему лишь одну тригонометри-
ческую функцию аргумента х. Эту функцию полагаем равной у и решаем алгебраическое отно-
сительно у уравнепие. Решив его, определяем (в общем случае при помощи таблиц) неизвестное Xx.
При эгом, в виду периодичности тригонометрических функций, следует принимать во внимание
многозначность решения. При переходе от данного уравнения к уравнению, содержащему
толька одну ‘тригонометоическую функцию отпосительно x, иногда бывают необходимы неэкви-
валентные преобразования (например, возведение в квадрат при наличии радикалов). Поэтому
необходимо сделать проверку, чтобы исключить появившиеся посторонние решения.
Пример. 4sin xs =4 cos? х-1; 4sin х=4 (1 - sin? х) — 1; после замены перемениого у = sin х получим 4y? +
+4y—3=0 с решениями у, = 1/2, yo = —3/2. Решение у» ne ласт действительных решений заланиого уравнения
(sin x]<1);у,даетx=2/64-2%их=57/6+-2х(К=0,+1,+2,+3,...).
2.4.4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
2.4.4.1. Векторные пространства.
2.4.4.11. Понятие векторного пространства. Непустое множество И для элемен-
тов которого определено сложение (+) и умножение (-) на действительные числа, называется
действительным векторным пространством И == [И, +, -] или линейным пространством *), а элементы
У называются векторами. если выполнены следующие аксиомы:
*) Векторными вростраиствами часто называются только линейные пространства, имеющие конечный базис
(см. 2.4.4.1.4).
176
АЛГЕБРА
/Oe eee ee oe
1) Для любых двух элементов a, БЕГ существует один элемент a+beV--cymma аи b
‘(внутренний закон композиции).
2) Ассоциативность. Для любых а, b, ce V справедливо равенство а
+
(b+с)=(а+5)+с.
3) Коммутативность. Для любых а, be V справедливо равенство а + Ъ =В +a.
4) Разрешимость. Для любых a, БЕГ существует хЕ V такой, что а+х=6.
5) Для любого ac Ги любого действительного числа & имеется элемент aac V — произведение
элемента а на число © (внешний закон композиции).
6) Ассоциативность. Для любого aeV и любых действительных чисел a, В справедливо
равенство (af) а = а (Ва).
7) Для любого ace V справедливо равенство la = a.
8) Дистрибутивность. Для любых a, be V и любых действительных чисел а, В справедливы
равенства«(а+Ъ)=ча+оЪи(а+В)а=aa+fa.
Замечание. При определении умножения вместо поля действительных чисел можно положить в основу другие
поля К. Тогда говорят о векторном пространстве пад полем К; в частности, о «действительюм векторном простран-
стве» или «комплексном векторном пространстве», если К есть поле действительных или поле комплексных чисел.
Примеры. 1) Векторное пространство упорядоченпых пар (x, у) действительных чисел х, у с законами композиции
(x, У +(х, У) =(х+х, у+у),
a(x,у)=(ах,ay).
2) Векторное пространство конечных последовательностей (x), х.. ..., х,) действительных чиссл с законами KOM-
ПОЗИЦИИ
:
(x1,NayeesXn)+1у2.weesYn)=(x,+yi;X2+Ya,seteXn+у»).
а (хь Xa, ..., Ny) = (ахь, AKQ, ..., @Х,).
n
3) Векторное пространство многочленов у их с законами композиции
|
i=0
т
Ш
nt
Уaxi+Ух=VYlathdxi+ Уах
(n>m),
i=0
i=0
za
ime!
n
n
яУах!=У(aa)x’.
i= io
4) Векторное пространство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, с законами композиции [f +g] (x)=
=f (x)+ 4 (x), [of] (x)= «- f(x).
5) Векторное прострапство движений в плоскости, причем сложение н YMHOxKele па действительное число
определены обычным образом (см. 4.3.1).
Правила действий с элементами векторных пространств. Из аксиом 1)-8) следует, что действия
с элементами векторпого пространства производятся, в сущности, так же, как и с числами; по
отношению к сложению и умножению на действительные числа справедливы, грубо говоря,
«обычные» правила, в частности:
1) Существует, и притом только один, нейтральный по отношению к сложению элемент 0
такой, что а + 0 =а для любых аЕЙ; 0 называется нулевым вектором.
2} Для каждого вектора ae У существует единственный обратный по отношению к сложению
элемент (—а) > V такой, что а + (—а) = 0; вектор (—а) называется противоположным вектору а.
3) Уравнение а + х =Ь, где a, be VY. разрешимо единственным образом; решение x eV назы-
вается разностью векторов b и а, пишут: x = —а. В частности, 9 —а = —а.
4) Законы ассоциативности и коммутативности сложения, так же как и дистрибутивные законы,
методом полной индукции можно обобщить на любое конечное число слагаемых.
5) Для векторов a, be V и действительных чисел a, В выполняются соотношения:
а) а + (—5) =а-—Ъ, 6) —(—а) =а,
в) — (а +6) = —a-—b, г) —(a—b)
= —a+b,
д) 0a= 0, е) «0 =0, ж) (-фа=а(-—а),
(-Па= —а,
3)а(а—b)=аа—ab,(a—В)а=оса—Ва.
2.4.4.1.2. Векторные подпространства. Пусть Г- векторное пространство и И —
непустое подмножество в V. Если U по отношению к тем же операциям сложения и умножения
само является векторным пространством, то U называется векторным подпространством (простран-
ства) И Чтобы проверить, является ли U векторным подпространством Г, не ‘гребуется доказывать
истинность всех аксиом, так как имеет место критерий: Ц (© = U И) есть векторное подпростран-
ство V тогда и только тогда, когда для любых a, be и любого действительного х справедливы
включения а + БЕП и оаЕЦ. (замкнутость U по отношению к операциям + и >).
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
177
Примеры. 1) Всякое векторное пространство имеет два тривиальных векторных подпространства, а именно:
само себя и то, которое содержит нулевой вектор в качестве единственного элемента.
2) В векторном пространстве конечных последовательностей действительных чисел (х;, X2, ..., X,) подмножество,
содержащее все последовательности такие, что CyXy + с2х. +... + сх, =0 (с, — фиксировапные действительные числа),
образует векторное подпространство по отношению к операциям сложения и умножения, определенным для после-
довательностей.
|
3) В векторном пространстве многочленов Нодмножество всех многочленов степени, меньшей п, образует вектор-
ное подпространство по отношению к операциям сложения и умножения, определенным для многочленов.
4) Пусть 5 — непустое множество векторов векторного пространства. Всякое выражение вида Ха, + A2a2 +...+^ар
где Ay, A, .... A,- произвольные действительные и а, a2, ..., a,ES, называстся линейной комбинацией. Множество
всех линейных комбинаций векторов из 5 образует векторпое подпространство.
5) Если Ц; и U, — векториые подпространства одного и того же векторного пространства И, то их пересечение
И, a U, также есть векториое подпространство пространства И To же самос справедливо и для пересечения боль-
шего числа подпространств.
6) Пусть 5 — произвольное мпожество векторов векторного пространства И Можио рассмотреть пересечение всех
векторных подпространств пространства И, содержащих 5. Это снова есть векториое подпространство, а именно
наименьшее вскторное подпростраиство, содержащее 5. Его пазывают линейной оболочкой множества 5 и пишут:
9(5) = [) (Ua: Ч. - векторное подпростраиство Vu $ И.Е}.
oe)
|
Если 5 = ©, то ¥(S) есть векторное подпространство из У, содержащее только нулевой вектор.
Если 5 = ©, то 1($), наряду с 5, содержит в качестве векторного продпространства всякую линейную комбинацию
векторов из 5. Так как множество всех линейных комбинаций 5 само образует векторное подпростраиство из И,
содержащее 5, а ¥(S) есть паименьшее векторное подиростраиство, обладающее этим свойством, то ¥(S) состоит как
раз из всех липейных комбинаций 5:
¥(S) = | у Ла; NoМЕК: ае5: г- натуральное число].
i=}
Из 5, < $5, следует £(S,;)S 9($>). Если U есть векторное полпространство из И, то “(U) = Ц, и наоборот.
Если векторное подпростраиство И пространства V можио представить как линейную оболочку множества $
векторов из И ‘то 5 называется системой, пороэедающей И.
7) В то время как для двух векториых подпространств U, и Uz пространства V их нересечение вновь является
векторным подпрострапством, для их объединения это в общем случае He так. Наименьшее векторное подпространство
из И содержащее U, (] 0», т.е. ¥(U,|) U2), называют суммой И, + U2, (или композицией) Ир и Uz. Оно состоит
из всех векторов X =х, - х», где x, ЕЦ,, х›ЕЦ(Ц..
2.4.4.1.3. Линейная зависимость. Henycroe конечное множество S = {a,, ..., ак} вектор-
ного пространства У называется линейно зависимым, если существуют действительные числа
Ли, ..., Ay, HE все равные нул1о, такие, что
Aya] Ss
pads = 0.
Если это соотношение имеет место только при Ay =... =A, =0, то множество 5 называется
линейно независимым. Вектор хЕ! называется линейно зависимым от 5$, когда он является линей-
ной комбинацией векторов из $5, т.е. если xe ¥(S). В случае, если x #59($), вектор x называется
линейно независимым от 5.
Примеры. 1) Вектор x =(3, —7, 0) векториого пространства упорядоченных ‘троек действительных чисел
линейно зависит от мпожества
S=il—1,0};(0,1.И;(3.6,5);(2,—1,3},
так как, например, x =2 (1, --1, (0) -- 3 (3, 0, 5) + 5 (2. —1, 3), т.е. хе{9 (5).
2) Вектор x = (3, —7, 0} ие является линейно зависимым от множества 5 = {(0, 1, 1); (0, —2, 5), так как каждая
линейпая комбипация векторов из $ даст, очевидио, вектор, первая координата которого равна нулю, т.е. вектор х
линейно независим от 5.
3) Нулевой вектор линейно зависит OT каждого множества 5, так как 0EL(S) для любого 5.
Множество 5 векторов из V называется линейно зависимым, если существует (по крайней мере}
один вектор хе5, который линейно зависит от S\{x}. Если любой вектор хе5 линейно не зависит
от S\{x}, то $ называется линейно независимым.
Примечание. В случае, когда 5 — непустое конечиос множество, это определение эквивалентно определению,
данному в начале пункта.
Из этого следует, в частности, что пустое миожество 5 =: (2 линейно независимо. Множество 5 = {0}, содержащее
только нулевой вектор 0, линейно зависимо, так как
0Е5(5\{0}) = 7(2) = {0}.
Из определения следует: каждое множество $, содержащее линейно зависимое подмиожество 5’,
само линёйно зависимо.
Если 5’ линейно зависимо, то по крайней мере для одного хе5’ справедливо хЕ9(5\{х})
и, вследствие 9 (5\{х})< 9($\{х}), также и хе? (5\{х}).
Справедливо утвержденис: каждое подмпожество 5’ линейно независимого множества 5 само
является линейно независимым. Если 5’= @), то ‘5’ линейпо независимо, а в случае 5$’ ©
утверждение следует из предыдущего утверждения.
В частности, любое конечное подмножество 5’ линейно пезависимого множества 5 само линейно
независимо. И наоборот, из линейной пезависимости всех копечных полмпожеств 5’ множества 5
следует линейпая независимость S.
Примеры. 1) В вскториом просгранстве упорядоченных пар лейсгантельных чисел множество {(3, 0); (-- 1, 2); (7, 1)}
является лниейно зависимым, так как справедииво равенство 5 (3. 0) 1+ (-- 1, 2) -2(7, 1) == (0, 0).
2) В вскторпом пространстве многочленов множество $ == tx) и - патуральное! линейно независимо ввилу того,
Jv
4,
3y
что каждос конечиос подмножество !х к... "т элемеитов из 5 личейно независимо, так как из предположения
av
3y
ALY
_
‚
Aix И +А.х 2+... + Ax * =0 (для любого x) следуст, что ace кооффициенгы A; (=12,.... К) должшы быть равиы
нулю.
у
3) В векторном простраистве многочленов множество
{x3+2x7:2x?+2х?—Gv$4;(-5в3х;x?=Ц
является линейно зависимым множеством векторов, так ках, нагример,
2(x3+2х?)--(25+2?=Ox$4)2(a 3х)—4х2 He0,
4) В векторном пространстве KOMINICKCHDIX чисел над полем действительтих чисел множество {1, Й является
линейно исзависимым множеством, так как соотношение A, +f +А,-7= 0 выполняется только при 2, = А. = 0. В век-
торном пространстве комплексных чисел пад полем комписксных чисел множество {1 Й линейно зависимо: [+
+А.:1=0 при A,=i,Л,=-|.
Другие свойства линейной зависимосги.
1. Если 5 линейно пезависимо, а S|] {x} линейно зависимо, то х есть линейная комбинация
векторов из 5.
2. Если 5 линейно независимо, x линейно исзависимо от 5, To 5|){я} тоже линейно
независимо.
3. Если 5 линейно независимо, а,,.... & 45, то из соотношения.
Ла,+...+Ла=yay+...+Вах
следуег Ay = fy, ..., Ак =H, Т.6©. к линейно независимому S$ всегда можно применить «принцип
приравнивания коэффициейтов».
Если $ линейно зависимо, то это ужо ис Trak, например, seta а, = (3,0) а, = (-1, 2), а. == (7, |) имеем
За,-За;--Ау=Эл,-4,+аз.
2.4.4.1.4. Базис. Размерность. Если В — система, порождающая векторное пространство
Г, то каждый вектор NEV можпо представить в внас линейной комбинации зекторов из В. Если,
кроме Toro, система В линейно исзависима, то представление х в виде линейной комбинации
векторов из В определено однозначно. Такая линейно независимая порождающая система В
пазывается базисом пространства No
Если И= [И +, -| ссть векторное пространство, то каждое подмножество J 5 BE V такое, что
(1) 9(В) = Ги (2) В линейно независимо, называется базигом пространства И
Примеры. 1) В векторном пространсгяе @” весх упорядочениых н-последовательностей действительных чисел
множество В == fe, = (1, 0,0, ..., 0}; е› = (0, 1, 0, ..., 0};
=. 0, 0...., 1 есть базис: он называется каноническим
базисом простраиства R”,
2) В векторном нпросграистве всех многочленов мпожество Ве 1х, x7, ...1 есть базис, так как В линейно цезави-
симо и каждый мпогочлси p(X) можио лаписать в виде нинеийом комбинации элемеитов из В;
»
В(х)=$ах.
y
fae
”
3) В векторном простраистве всех решений уравнения 3x + 4у = 2 26, например, множество В = {(Ё, 0, 3); (0, 1, 4)}
язляется базисом. так как В лниейно исзависимо и каждое решение урйавиения можно представить в виде x =
= (x, у, 2) =А, (1, 0, 3) 44, (0, 1, 4) (см. 2.4.4.3),
4) Векторное пространство, состоящее только из пулсвого всктора 0 имеет В =: (© в качестве (единственного)
базиса вследствие того, что ¥(%) = {9}, н линейной исзависимости (7.
Справедливы слелующие утверждения о супасствовании базиса и его свойствах
1. Каждое векторное пространство имеет (по меньшей мере один) базис. Каждая порождающая система вектор-
ного прострапства содержит базнс. Из ‘мого, в частности, сясдует: если И - векторное пространство, порождаемое
конечной системой, т.е. имеет место равенство У=: (S$), где 5 -- конечное множество, со V имеет конечный базис.
2. Каждый 6a3uc В векторного пространства Г хсть мниимальная порождающая система У т.е. (а) 2(B) = V;
(6) для всех В’ таких, что Bc: В, сираведливо соотноеняе 2/07) я И Наоборот, каждое подмиожество Вс И,
удовлетворяющее условиям (п) и (6), является базисом V.
3. Каждый базис В векторного пространства И есть максимальное линейно исзависемое подмпожество прострап-
сгва И в слелующем смысле: (а) мпожество В линейно исзависимо; (6) для всех В’ таких, что множество В’> В,
В’ линейно зависимо. Наоборот, каждое подмножество В =: Г, удовлетворякицее условиям (а) и {6), являстся базисом И.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
179
4. Пусть В — базис векторного пространства Ги 5 — линейно независимое подмножество, содержащее т векторов
из И Тогда в В всегда можно найти такое подмножество В*, также состоящее из т векторов, что множество
(В\В*)|) 5, в котором векторы из В* заменены на векторы из 5, снова будет базисом И Другими словами, это
означает, что некоторое подмножество из т векторов базиса можно заменить на заданное линейно независимое
подмножество, состоящее из т векторов, без потери при этом свойства базиса. Таким образом, всегда можно
построить базис, содержащий заданную линейно независимую систему векторов.
При помощи утверждений 2 и 3 можно построить базисы векторного пространства И, по-
рождаемого конечной системой. Для этого или «сокращают» порождающую систему У последо-
вательным отбрасыванием векторов, которые являются линейной комбинацией остальных векторов,
до тех пор, пока «сокращенная» порождающая система не станет ‘линейно независимой, или
добавляют к линейно независимому множеству Т" вектор X,,41, который не является линейной
комбинацией векторов из Т”, затем к Т"*' = T"\|) {x41} добавляют вектор х„+2, не являющийся
линейной комбинацией векторов Т"*', и так далее до Tex пор, пока «расширенное» линейно
независимое множество 7” (п> т) не станет порождающей системой V. Предположение, что
«V порождается конечной системой», обеспечивает обрыв обоих процессов после конечного числа
шагов.
В частности, все базисы векторного пространства, порождаемого конечной системой, состоят
из одинакового количества векторов; число базисных векторов, одинаковое для всех базисов век-
торного пространства, называется его размерностью и обозначается dim У. Векторное пространство,
содержащее только нулевой вектор, имеет размерность нуль. Если векторное пространство
не порождается конечной системой, то оно называется бесконечномерным.
Примеры. 1) Векторное пространство В" упорядоченных я-последовательностей действительных чисел имеет
размерность я, dim В" =n, так как канонический базис, а следовательно и любой базис В", содержит п векторов.
2) Векторное пространство перемещений па плоскости двумерно, так как каждые два непараллельных вектора
образуют базис этого векторного пространства.
3) Векторное пространство многочленов бесконечномерно.
Если векторное пространство V имеет размерность п>1, то каждый базис V есть линейно
независимое множество из п векторов. И наоборот, каждое линейное независимое множество,
содержащее п векторов. из У, есть базис И Это дает удобный для практических исследований
критерий базиса, если известна размерность векторного пространства.
Если dim V=n21, то в V существует по крайней мере одно линейно независимое множество,
состоящее из п векторов, в то время как все множества, содержащие n+! векторов, линейно
зависимы, и наоборот.
Пусть И - векторное пространство, И, И, и Us; - векторные подпространства И Тогда
справедливы следующие утверждения:
1)dimИ<dimИиdimU=dim толькотогда,когдаU=J;
2)изЦ,=U2,иdim(И,=dimU,следуетЦ,=U2;
3)dim(И,()И.)+dim(И,+U,)=dimU,+dim(0..
Координаты. Пусть V ~ n-MepHoe пространство и В = {a,, 42, ..., a,} — базис И, Вследствие
1-го свойства базиса, (В) = И, каждый вектор x € V можно представить как линейную комбинацию
векторов из В: x = ха, + ха, +...+ х„а», и, вследствие линейной независимости В, это представ
ление х единственно (с точностью до порядка слагаемых). Если базисные векторы в В каким-нибудь
образом упорядочить, то каждому вектору х можно взаимно однозначно поставить в соответ-
ствие упорядоченную ип-последовательность (X,, х., ..., X,) действительных чисел — его коорди-
наты.
|
Пусть И - п-мерное векторное пространство (п> 1} и В = {a,, a, ..., a,} — базис И, базисные
векторы которого а; стоят в фиксированном порядке *). Если xeV, то однозначно определенные
n
коэффициенты в представлении х = у ха, в виде линейной комбинации векторов В называют
i=1
координатами х по отношению к В и пишут: х = (ха, X2, ..., Xn)p
Вместо векторов V можно производить вычисления с сопоставленными им по отношению к В
упорядоченными п-последовательностями координат в соответствии со следующим утверждением:
упорядоченная и-последовательность координат, поставленная в соответствие сумме х + у векторов
x иу по отношению к В, получается как сумма упорядоченных п-последовательностей координат,
сопоставленных по отношению к В векторам х и у. Упорядоченная п-последовательность коор-
динат вектора ох по отношению к В равна упорядоченной п-последовательности координат
вектора x по отношению к В, умноженной на 9.
Вследствие этого взаимно однозначное соответствие между п-мерным векторным пространством
Ги векторным пространством упорядоченных п-последовательностей действительных чисел является
изоморфизмом. Справедливо следующее утверждение: каждое n-MepHoe векторное пространство
изоморфно векторному пространству упорядоченных п-последовательностей действительных чисел.
*) Всюду в дальнейшем будем понимать базис именно так.
180
АЛГЕБРА
Преобразование координат. При переходе от одного базиса В = {a,, a2, ..., a,} век-
торного пространства V к другому базису В* = {а%, а*%, .... а*}, конечно, изменяются координаты
вектора хЕЙИ Пусть x = (хи, X2, ..., Хи)в = (xt, х%, ..., х*)в». Если базисные векторы af базиса В*
nt
связаны с базисными векторами a; базиса В уравнениями а! = у aya, (i= 1,2,..., п), TO для ко-
k=1
vn
ординат x, и xf одного и того же вектора х имеет место следующее соотношение: x, = )` ах
i=]
(k= 1, 2,..., п).
Матричный способ записи:
*
1
1
a
xy
x4
*
—АГ
Еслиа>=Af42\,тоx,\=Aх*|,
a*
an
а,
Xn
х*
где А есть матрица из элементов а» а АТ-— матрица, транспонированная по отношению к А.
Говорят, что координаты х преобразуются контрградиентно по отношению к базисным векторам.
Пример. Пусть R* есть векторное пространство упорядоченных троек действительных чисел, В = {e,, eo, e3} —
канонический базис В? и В* = {a, = (1, 1, 1), а, = (1, 1, 0), а; = (1, 0, 0)} — другой базис R*. Тогда вектор x = (3, —1, 2)в
имеет по. отношению к В* координаты x = (2, —3, 4)в*, так как а, =е, +е) + ез, а, =; +2, аз =}, т.е. х, =х1 +
+х%+х%,x.=хф+х%,x3=xt,откудаследует:xf=x3=2,x§=х.—хз=—3,XFSxX,-х,=4..
2.4.4.1.5. Евклидовы векторные пространства. Чтобы иметь возможность ввести
в векторном пространстве понятия «длины вектора» и «угла между двумя векторами», его следует
снабдить, дополнительной структурой, метрикой. Это делается при помощи скалярного произведения.
Пусть И= [И +, -] - действительное векторное пространство. Функция ф: Их И- В, которая
каждым двум векторам х иу из V ставит в соответствие действительное число, называется ска-
лярным произведением в V, если она обладает следующими свойствами:
1) дистрибутивностью: @ (x; + X2, у) =Фф (хи, у) + @ (Xa, У);
2) коммутативностью: ф(x, у) = @(y, X);
3) однородностью: ф (ах, у) = аф (x, у) (а — действительное);
4) положительной определенностью: ф (x, х) > 0 для всех x #0.
Действительное векторное пространство У = [И +, -, p] с таким скалярным произведением ©
называется евклидовым векторным пространством. Вместо @ (x, у) часто пишут (x, у) или х.у.
?
Примеры. 1) В векторном пространстве И? упорядоченных пар чисел (х, у) скалярное произведение зададим,
например, так:
(ха, 31), (х», у2)) = 9хих. — бх1у› — бух» + SV yr.
Выполнение условий 1)—3) проверяют вычислением, а 4) справедливо вследствие того, что
(X151),(хььу2))=9х1—12ж1у,+521=(3x,—2y,)?+1>0
для всех (хи, y;) ¥ (0, 0).
2) В векторном пространстве В” упорядоченных л-последовательностей действительных чисел скалярное произве-
дение определим так:
((x,, х...., Хи), (,, У?, ...,› У)) = МУ + X2y2 +... + Хун.
3) В векторном простраистве всех непрерывных па [-п, 2] функций скалярное произведение определим соотноше-
нием (f, g=+ | f(g(et) at.
Модуль вектора. Пусть У — евклидово векторное пространство. Под модулем (нормой,
длиной) | x || вектора x € V понимают неотрицательное действительное число | x || = Ис, х). Вектор
с модулем, равным 1, называется единичным вектором: для каждого вектора а>20 вектор
а/| a || — единичный.
Из свойств скалярного произведения вытекают следующие свойства модуля: для всех x, уЕЙ
и всех действительных чисел а
1)|x|29,| х|=0 тогдаитолькотогда,когдаx=0;
2)[ах|=]a]{lx|
|
3) | х+уУ|<|х | +[у| (перавенство треугольника).
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
181
Если заменить в последней формуле x па х-у, а затем у на y—x, то получим, что
1х — Пу! < | х —у!. Знак равенства возможен только тогда, когда у -= 09 или x =ay, a 20.
Имеет место неравенство Коши — Буплковского: |(x, y)| < || x | lly ||. Знак равенства возможен
только тогда, когда множество {x, у} липейно зависимо.
На основании неравенства Коши — Буняковского величину угла между векторами x #0 ny 40
можно определить как действительное число ф, которое удовлетворяет двум условиям:
x,
COsф<=У
и О<ф<л.
их|| ПУ ||
Ортогональность. Два вектора х, у евклидова векторного пространства У называются
ортогональными, если (x, у) = 0. В частности, нулевой вектор 0 ортогонален каждому вектору из И.
т-последовательность {X1, Xz, ..., Xm} BEKTOPOB х; евклидова векторного пространства пазывается
ортогональной системой, если она не содержит нулевого вектора и векторы х; попарно ортого-
нальны, т.е. x; #0 u (x; x) =O для любых Ги j (ij); она называется ортопормироваиной
системой, если, кроме того, все векторы х; являются единичными, т. е. если
0 при ГЕр
(xi,Xj)=O55=
i,
| при i=j.
Ортонормированная система, которая одновременно является базисом векторного пространства,
называется ортонормированным базисом.
Свойства ортогональной системы.
1. Каждая ортогональная система линейно независима.
2. Если координаты двух векторов Xx, у заданы относительно ортонормированиого базиса В:
х = (х1, хо, ..., XB, У = (Vio Va» ..., Уждвь TO их скалярное произведение равно (x, у) == Xiyi + X2y2 +.
- XnVn-
3. Каждое евклилово векторное пространство конечной размерности имеет ортонормированный
базис.
Такой ортонормированный базис можно получить методом ортогопализации Шмидта из любого
базиса евклидова векторного пространства конечиой размерности V путем «последовательной орто-
гонализации». Если {a,, а.,..., а,} — базис И, то из него получают ортогональнуто систему {by, bo, ...
м
ьb
b
.,No},гдеВ,=a,иNo=а~),У
b,(k==2,3,...,|).ТогдаГь| |ыjocтег}-
i=1
ортонормированный базис И
Пример. {(--1, 2, 3, 0); (0, 1, 2, 1); (2, —1, -1, 1)} — базис векторного подпространства U векторного простраиства
упорядоченных четверок действитсльных чисел. Скалярное произведение определено соотношением ((х:, х2, хз, ха),
(Vis Уз, Уз» Уа)) = ху! + X22 + хзуз + Naya. Тогда методом ортогонализации получим ортогональную систему {b,, В», b3}:
b, =(-I, 2, 3, 0),
b,=(0,|,2,=F(-ь2,3.N=(4,—f,2,7),
1
1
|
b=2,—1,—1,|--——1,2,’
т
1,
hy
==
ТА
3=(
)5(
3,0) <(4 1,2,7)то(7,2,| 4)
Если перейти, наконец, от В; к соответствующим единичным векторам, TO получим искомый ортопормированпый
базис векторного подпространства U в следующем виде:
с
2,3,0);—1..-(4,—1,2,7);sae(02,9).
14
И7о
Ито
Ортогональные векторные подпространства. Два векторных подпространства
U,, U2, евклидова векторного пространства У называются взаимно ортогональными (обозначается:
О, 1 U2), когда для любого хЕЦ,; и любого уЕЦ, справедливо равенство (x, у) =0. Если U —
векторное подпространство пространства V, то множество Ut == {x|xeVu (x, u)=0 для всех ue U}
называется ортогональным дополнением И в V. Ортогональное дополнение И“ с определенными
в V операциями вновь является векторным подпространством Ut ==[U", +, -], при этом выпол-
няется соотношение U С U~ = {0}. Если, кроме того, V— пространство конечной размерности, то
(utyt =Un О+ И" =И откуда следует, что dim Ut = dim V— dim 0. Так как U+U'=YV, то
каждый вектор хеГ можно представить в виде х=и+-у, где uEeU, а veU!; учитывая, что
U Г) U~ = {0}, разложение вектора x в сумму такого вида единственно. Вектор wu называется
ортогональной проекцией вектора x на И, у — ортогональной составляющей вектора Xx, перпендику-
лярной к U. Для всех ace Ц справедливо соотношение || v || = || x — ul] < | x — all, т.е. перпендикуляр v
имеет известное свойство «кратчайшего расстояния».
182
_ АЛГЕБРА.
2.4.4,1.6. Гильбертово пространство. Все сказанное в п. 2.4.4.1.5 о евклидовом Век-
торном пространстве остается справедливым и в TOM случае, если это пространство бесконечно-
мерно, хотя некоторые утверждения, в кохорых упоминается размерность п, нуждаются в уточнении.
Наиболее важным обобщением понятия евклидова пространства является гильбертово пространство
H, определяемое следующими свойствами:
1) H — бесконечномерное векторное пространство.
2) Для векторов x, уЕН определено скалярное произведение (x, у), для которого справедливы
свойства 1)—4) скалярного произведения евклидова простраиства. Величина || x || = (x, х)!?2 называ-
ется нормой элемента хЕН.
3) Для любой последовательности векторов x, ЕН (n= 1, 2,...), для которой lim = || x, ~ x, | =
я,MoOG
= 0, существует вектор хеН такой, что lim || x — x, | = 0 (свойство полноты).
Яо
Бесконечная последовательность векторов в Н называется линейно независимой, если любое
копечное подмножество этой последовательности линейно независимо.
При помощи процесса ортогонализации Шмидта для любой линейно независимой последова-
тельности можно построить ортонормированную систему. эквивалентную исходной последователь-
ности в том смысле, что линейные оболочки подмножеств их первых и элементов совпадают для
любого п,
У:
Если yy, уз,,..- ортонормированная система, то ряд У oy; сходнтся тогда и Только тогда,
i=l
co
|7
|?
a
когда У a? <<. При этом | У му, | =: So? (теорема Пифагора в гильбертовом пространстве).
i=1
las)
[51
В любом бесконечномерном подпространстве H, < Н, в том числе и самом Н, существует
ортонормированный базис В(у, yo, ...) такой, что для произвольного элемента хе Я, справедливо
разложение x= \ (x, уу.
УЕВ
Хорошо известным примером гильбертова пространства является пространство No, элементами которого являются
х.
лоследовательности действительных чисел (Х1, No, .... Х,, ...» ДЛЯ которых ряд у 1 х:|2 сходится, Скалярное произведеё-
1
x,
wae элемептов {x;} И {У} определяется как (Xx, у) = у. Xie СОртопормированным базисом в I? может служить последова-
t=]
тельность векторов в, = (1, 0, 0, ...), в, == (0, 1.0 ...),..., & =(0,...,0, 1, 0...) ..,
ne[
2.4.4.2. Матрицы и определители.
2.4.4.2.1. Понятие матрицы. Если т.н выражений расставлены в прямоугольной таблице
из т строк и и столбцов:
Gy, 42... Ain
G21 422 ... Gan
3
Чт1Ян2oneЯтп
то говорят о матрице размера тх п или, сокращенно, об m x н-матрице; выражения dj, назы-
ваются элементами матрицы. Положение элемента в таблице характеризуется двойным индексом;
первый индекс означает номер строки, второй
— номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент (нумерация строк производится сверху вниз, а столбцов
— слева направо). Элементами
матрицы, как правило, являются числа, но иногда и другие математические объекты, например
векторы, многочлены, дифференциалы и даже матрицы.
Матрицы обозначаются следующими способами:
Чт... Чт
Ч... Ян
(yy see @н
Gm vee Amy
Clint tae Canny
oe Conn _
атакже ||a;||и(ав).
Матрица размера п х п называется квадратной матрицей порядка п. Квадратная матрица | dy |
порядка н называется:
верхней треугольной матрицей, если аз = 0 для всех i> k;
нижней шреугольной матрицей, если a, = 0 для вссх [< К;
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
183
диагональной матрицей, если a, =0 для всех [5 К;
ОприЕхХ,
единичной матрицей, если dy = 5,=
1приi=А.
Элементы а, т.е. элементы, стоящие в таблице на диагонали квадрата, проходящей из левого
верхнего угла в правый нижний (главной диагонали матрицы), называются главными диагональными
элементами; элементы @,„-1+: (i= 1, ..., И), Т.е. элементы, стоящие по диагонали, которая про-
ходит из правого верхнего угла в левый нижний (побочная диагональ матрицы), называются
побочными диагональными элементами. В случае т х п-матриц элементы a, (i= 1, ..., вип (т, п))
также называют главными диагональными элементами. Сумма главных диагональных элементов
называется следом (Spur) матрицы, обозначается Sp А.
Матрица размера | x и, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой; аналогично,
говорят о матрице-столбуе, всли речь идет о матрице размера тх 1; m x ип-матрица, все элементы
которой равны нулю, называется нулевой т x п-матрицей. Каждая таблица вида
а а ...а;
111 Uy Ко
К;
a; ...
ок, inks
Anko
aa...а
ky i,k,
ike
151 <6<...<ь<т 1<ky <kyg <...<k,<n
которая получается из т х п-матрицы || a;, || вычеркиванием части строчек и столбцов, называется
подматрицей матрицы || a; ||. По определению матрица || a, || сама должна быть причислена
к своим подматрицам. Если элементы строк матрицы А = | a;, || расставлены в столбцы (при этом
одновременно элементы столбцов расставляются в строки), то полученная матрица называется
транспонированной к А и обозначается А = | a; |, если ay= ак.
2.4.4.2.2. Определитель квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице А =
= || a, | порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить
в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем
матрицы А:
Gy, @1:2 .,. Ary
Qy1 Я1› ... Ч
Я21 422... Ary
Q21 422 ... Ary
D=detA—det
=
=)'((—1)j(м) ay;oi, -ee Ani
.
.
.
.
к
Ant ana os+ Any
Any QAn2. eee ann
причем сумма должна быть распространена Ha все перестановки tt чисел 1, 2,..., п. Таким образом,
из элементов матрицы А сначала составляют все возможные произведения
@11 921, +++ Чт
из и сомножителей каждое, содержащие по одному элементу из каждой строки и по одному
из каждого столбца. Знак (—1)7®) определяется числом j (п) — инверсий перестановки
(; 2... "
т=
i; fg... dy
(см. 2.2.4). Полученные п! слагаемых и составляют в сумме det А.
Определитель обозначается также А и | ay |.
Если D =| аз | -- определитель порядка п, то минором My, элемента ах называют определитель
порядка п — |, получающийся из В «вычеркиванием» 1-й строки и k-ro столбца. Под алгебраическим
дополнением Ак элемента аи понимают минор Ми, домноженный на (—1)'**:
Ч 912 veeЯрgmaЧк+тresAin
a2 422 veeAQк-1G2ktae+Gay
—
1+
—
i+k
|
.
Ay =(—1)*" My =(-1)
Gi-1,1 4j-1,2 «++ -
» 1-1.в
Я+1.1 Gi+1,2 +
+1.
an)
Qn2
vesAy,k-1AnktiveeAnn
184
АЛГЕБРА
.
aa
Нримеры. 1|1°’'! 12| =4,,422
— а, 2421.
(21 422
Ч: 412 yg
2) |421@2242;|=Uy19422Чзз+Uynlayy+dy421432--Uy3ndyy—Чи22 --Uynlayy.
43, 432 433.
Свойства определителей. Если рассматривать строки определителя D порядка п как
векторы #1, 22, ..., Z, TO свойства определителя D(z;, #2, ..., Z,) С вектор-строками 1; удобно
сформулировать так:
1) Перестановка строк может изменить лишь знак определителя D:
р(2,+9Zi,eee7,soо7)=—D(a,veyNo+.-›BisseyZn);
в общем случае
D(71,72,...>2,)=(—1}D(£4(1хZn(2)vceZn(п),
где л — перестановка чисел 1, 2,..., п, a f(a) — число ее инверсий.
2) Общий для всех элементов строки множитель можно выносить за знак определителя:
р(21, #2, weenyOZx,eens #„)=aD (%;, 9.2, 2ey My oeey7..).
3) При сложении двух определителей, отличающихся только‘одной строкой, соответствующие
элементы этой строки складываются:
О
|
,
С
р (11, 22... Bey very En)
+О(8,bayeeeyBipeeeBn)=Ь(а,Za,000,Dy+My+o 1).
4) Прибавление кратного k-# строки к 1-й строке ие изменяет значения определителя D (ГК):
D(21,2.2,erey4.ror)7,золZ,)=D(z,7.2,-.уА;+LEs,oyZpево7).
5) D(z, %2, ..., Z,)= 0 ‘тогда и только тогда, когда {Z,, Zz, ..., Zn} есть линейно зависимое
множество векторов. В частности, D=0, если одна строка О состоит из нулей или если две
строки D равны или пропорциональны друг другу.
6) Определитель не измепит своего значения, если поменять в UCM местами строки и столбцы,
т.е. транспонировать определитель. Поэтому все свойства, сформулированные для строк, верны
и для стол@цов.
Теорема разложения. Если О = | аи | - определитель ro порядка, то
n
n
D=»Ui,Ain=уyAgis
{<ck<n,
i]
i=1
т.е. сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие
им алгебраические дополнения равна значению определителя. Сумма произведений всех элементов
какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополиепия соответствующих элементов другой
строки (или другого столбца) равна нулю:
п
’
»ашАн=У,dixАи=0,
k #1.
i=
i=1
Суммируя сказанное, получаем
fn
р,еслиК=,
у, аиАи =
i=1
i
уакАи=
=:]
Вычисление определителей. Значение определителя 2-го порядка вычисляется по
мнемоническому правилу «произведение главипых диагональных элементов минус произведение
побочных диагональных элементов»:
2
NS Ae = 411422 —~ 4714)2-
21
=
0, если k 4b.
Для. нахождения значения определителя 3-го порядка также можно указать мнемоническое
правило, так называемое правило Саррюса: приписать к опредслителю справа два первых столбца,
не меняя их порядка, и составить сумму произведений глазных диагональных элементов и эле-
ментов, параллельных главной диагонали, из которой затем вычесть сумму произведений элементов
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
185
побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали:
Определители более высоких порядков в принципе тоже можно вычислять по определению,
однако это требует очень больших усилий. Чаше поступают следующим образом: определитель
п-го порядка сводят к определителям (и — 1)-го порядка, последние — к определителям (п — 2)-го по-
рядка и т.д. до тех пор, пока, наконен, не получат определители 3-го или 2-го порядка.
В основе этого принципа «постепенного попижения порядка» лежит теорема разложения: определи-
тель п-го порядка D записывается в виде суммы определителей порядка п — 1 («раскладывается
по элементам {-й строки или К-го столбца»); к каждому из этих определителей порядка п- |
вновь может быть применена теорема разложения.
Если все элементы {-й строки определителя D, кроме одного, равны нулю, то сумма, полу-
ченная после применения теоремы разложения, содержит не более одного отличного от пуля
слагаемого. Таким образом, вычисления существенно упростятся, если перед разложением опреде-
лителя по элементам 1-Й строки как можно большее их число будет превращено в нули. Это
становится возможным благодаря применению свойств определителей (особенно свойства 4)).
Пример.
2994
2594
2534
pe{273No| _|2-728312-74 8.
483-5
4 03-5
4914-5
1264
1034
i024
(свойство 4))
| (свойство 2))
248
234
234
=34 -5141 -5|-714 | -5}4+07=0--21)4 1 -5 | ==
124
124
124
(теорема разложения)
(свойство 5))
11
=-21/4 1 -S{=-21 ||! -5|- |4 У 4 + 10) —(16 + 5)! = +147.
12
(свойство 4))
(теорема разложения)
Вычисление определителя оказывается еще более удобным, если, применяя свойства 1)—5), его
можно преобразовать так, чтобы все элементы, стоящие слева и ниже главной диагонали
Я11, 422, ..., а» были равны нулю. Как легко понять на основании теоремы разложения, значение
определителя получается тогда просто как произведение членов, стоящих на главной диагонали.
2.4.4.2.3. Ранг матрицы. Квадратная матрица называется невырожденной (неособениой) или
вырожденной (особенной) в зависимости от того, отличен ее определитель от нуля или равен нулю.
Матрица 4 О имеет ранг rang(A) = р, если А имеет по меньшей мере одну невырожденну!о
(неособенную) подматрицу порядка р, а все квадратные подматрицы А более высоких порядков
вырождены (особенные). Если дополнительно положить гапр (0) =0, то каждой матрице будет
сопоставлено одно неотрицательное целое число — ранг матрицы.
Пример.
1-2-30
rang 2 3 8 7]:=2,
—-!
1-I
|
1—2
так как подматрица 2-го порядка (;
3 не вырождена, а все иподматрицы 3-го порядка вырождены.
Теоремы о ранге. Если рассматривать строки (или столбцы) матрицы А как векторы
71, Zz, .... Zm (ИЛИ $1, $2, ..., $,), ТО теоремы о ранге матрицы А с вектор-строками z; удобно
формулировать так:
1. Если rang (А) =р, то существует линейно независимое множество из р вектор-строк мат-
рицы А, в то время как все множества из с вектор-строк (с > р) матрицы А липейно зависимы.
Иначе говоря, ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых вектор-строк
матрицы А.
186
АЛГЕБРА
2. Ранг матрицы А не изменяется при следующих преобразованиях:
а) при перемене местами двух строк;
6) при умножении одной строки на число с #0;
в) при сложении любого кратного одной строки с другой строкой;
Г) при транспонировании А.
Так как rang (A) = rang (АТ), то теоремы, указанные выше для строк, справедливы и для столбцов.
Вычисление ранга. Нахождение ранга матрицы A = | a; || # O сводится к тому, чтобы
при помощи теоремы 2 матрицу А перевести в трапециевидную матрицу А’ Toro же ранга:
=r
Ay,Ay2...ЯрAр+1...Ain
0Ч>2eeeAryQ2,р+1eeeAon
.
р строк
No=| 0 0 о... 9 бронь... pn
/
00...00
... 0
.
....
.
mr p строк
00...00
... 0
>
:
ws
р столбцов
п —- р столбцов
‘в которой: а) все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, 6) либо все элементы
последних т-—р строк обращаются в нуль, либо т=р, в) все элементы главной диагонали
а11, 452, ..., @» Отличны от нуля.
Если применить определение ранга к матрице A’, то получим непосредственно, что rang (А') =p
(числу главных диагональных элементов, отличных от нуля), и тогда rang (A)= rang (A’) =р.
Чтобы преобразовать матрицу А # О в трапециевидную матрицу А’ равного ранга, поступают
следующим образом:
_1) Так как не все элементы А равны нулю, то перестановкой строк и столбцов можно
добиться того, чтобы первый главный диагональный элемент был отличен от нуля (a, 7 0).
° 2) Сложением первой строки, умноженной на'соответствующий множитель, с другими строками
всегда можно добиться, чтобы все элементы первого столбца, стоящие ниже а!1!, были равны нулю.
3) Теперь или уже получена желаемая форма матрицы, или в строках со 2-й по т-ю имеется
по крайней мере один ненулевой элемент, который при помощи перестановки строк и столбцов
может быть поставлен на второе место в главной диагонали. Тогда снова выполняем операции
этапа 2) применительно ко 2-й строке и получаем, что все элементы 2-го столбца, стоящие ниже
2-го главного диагонального элемента, равны нул!о, и Т.д. пока через конечное число шагов
не получим трапециевидную матрицу.
Этот метод называется алгоритмом Гаусса.
Пример.
1-2-3 0
1-2-3 0
1-2-3 0
rang
2387)=rang}07147J=rang{0121fH2.
-f1I-t
0 ~! -2-1
0000
Для матриц с болыцими по величине элементами можно использовать теорему 26), чтобы
получить матрицу равного ранга с элементами, меньшими по величине.
2.4.4.2.4. Элементарная алгебра матриц. Равенство матриц. Две матрицы
A = || ay || размера rx s u В=| by, || размера р х с называются равными, если они имеют одина-
ковый размер и все элементы, стоящие на одних и тех же местах, равны между собой, т.е. если
г=р,$5=с4a,=byпривсехГиК.ТогдапишутА=В.
Сумма матриц одинакового размера. Сумма А+ В двух матриц одинакового
размераА=|ay| иВ=|by|естьматрицаС=||ск||тогожеразмерасэлементамиси=аж+Di,
при всех Ги К. Таким образом, сложение матриц одинакового размера происходит поэлементно.
Умножение матрицы на действительное число. Произведение матрицы A = || ax |
на действительное (комплексное) число A есть матрица ЛА = | Лак ||, т.е. умножение матрицы на
действительное (комплексное) число происходит поэлементно.
Свойства сложения и умножения на числа.
1. Сложение матриц одинакового размера ассоциативно, коммутативно и обратимо. Уравнение
A+X = В с матрицами одинакового размера A = | a, || и B= || by || имеет в качестве единствен-
ногорешенияX= B—A=||by—ay||—разностьматрицВиA.
2. Среди матриц одинакового размера имеется одна нейтральная по отношению к сложению —
нулевая матрица О, все элементы которой равны нулю.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
187
3. Для каждой матрицы А = || ay |) существует, и притом единственная, матрица, обратная по
отношению к сложению, так называемая противоположная для А матрица —A = | —@y |. В соот-
ветствии с определением разности полагают О-А=-А. Далее, имеем В+(-А)=В-А и
-(-4) = 4.
4. Умножение матрицы А на действительные комплексные числа A, и подчиняется правилам:
(Aw) A =A(uA) 1. А=А. Далее, 9. А=О, ^.0=Ои(- 0. А=-А.
5. Сложение и умножение на числа связаны дистрибутивными законами; для матриц A и В
одинакового размера и праизвольных действительных (комплексных) чисел A, в
(А+,A=AA+WHA, N(A+BPЕЛА+AR.
Свойства 1—5, взятые вместе, показывает, что множество всех матриц одинакового размера
образуют действительное (комииексное) векторное пространство (см. 2.4.4.1).
Умножение сцепленных матриц. Матрицы A= | a, | размер тхпи В= |6 |
размера r X 5 называются сиеплениыми, если п ==", т.е. если число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй. При этом матрины В и А могут оказаться не сцепленными, если $ 34 п.
Произведение АВ двух сцепленных матриц А и В есть мзтрица С = (cy) размера шх s, re
в
Cy = 2. ау» т.е. элемент, стоящий в 1-й строкс и К-м столбце матрицы произведения, получается
f=
в виде скалярного произведения 1-й вектор-строки матрицы А ua ke вектор-столбец матрицы В.
Пример.
yurд/|”^\лою
АВ =(
>)65~9}=| )
31-2
3571
v3$-5
Свойства умножения матриц.
1. Умножение сцепленных матриц ассоциативно.
2. Умножение матриц некоммутативно. Так, в приведенном примере произведение ВА не
определено, так как матрицы В и А ие сцемлены. Если даже существуют оба произведения AB
ц ВА, то они могут отличаться друг от друга.
|
3. Существуют делители нуля, т.е. А #6, В = 0, произведение АВ которых есть нулевая матрица,
например:
222
(5? ey 13-5 vee
92-34 68 24 = (соо
\8016/
Следовательно, из того, что AB=O0, А#О, нельзя сделать заключение, что В = О, и, аналогично,
изАВ=АС,A #0,вобщемслучаенеследует,чтоВ=С.
4. Существует одна матрица, нейтральная по отношению к умножению,— квадратная единичная
матрица п-го порядка E,. Тогда для любой матрицы А размера м хп
AF,=E,A=A.
5. Сложение и умножение матриц связаны дисшрибутивными законами: если А и В имеют
одинаковый размер и сиеплены с С, то (A + В} C= AC + ВС; если С сцеплена с матрицами Аи В
одинакового размера, то С (А + В) = СА + СВ.
На множестве квадратных матриц порядка п всегла выполнамы как сложение, так и умноже-
Hue, так как каждые две пх п-матрицы иметот одинаковый размер и сцеплены. По отношению
к сложению и умножению это множество образустг кольцо матриц.
-
6. Для квадратных матриц А порядка п det (AB) = det A det В.
7. Если Аи В -— сцепленные матрицы, то для транспопированных матриц (ср. 2.4.4.2.3) выпол-
нено равенство (АВ)Т= ВТАТ.
|
Нахождение обратной матрицы. Если задаться вопросом о существовании матрицы
'А”', обратной для квадратной матрицы А порядка п по отношению к умцожению, т.е. такой, что
АА = Е», то, вследствие свойства 6, невырождениость матрицы А является необходимым условием
существования обратной матрицы. так как в случае вырожденности А было бы det (AATM')=
=det A-det A7~'=0 | = det E,,.
Если А-- матрица п-го порядка, то ce невырожденность есть необходимое и достаточное
условие существования матрицы А”' такой, что АА”! =, При этих условиях матрица А“',
обратная для A, определена однозначио. Кроме того, 4°'A =Ё,.
Далес, для n xX п-матриц А и В справеднивы формулы
(AB)=ВАТ (AVieA,
188
АЛГЕБРА
Вычисление обратной матрицы.
1-й способ. Метод неопределенных коэффициентов в применении к АХ = E, приводит кп
линейным системам п уравнений с н неизвестными каждая (см. 2.4.4.3.3). Решение каждой из этих
п систем уравнений дает столбец искомой матрицы X = А”.
2-H cnoco6d,
Ay, Ay ... Ai,
-1—1..
А>,А22...Arn
det A.
ee
i
Any An2 ... Ann
где Aj, — алгебраическое дополнение элемеита а„ матрицы А. To, чго эта матрица удовлетворяет
уравнению АХ = E,, легко установить, вычисляя матрицу АА”! при помощи теоремы разложения.
Пример.
321\' f-2-5 4
102=55-5
413
L5-2
Решение матричных уравнений. Матричное уравнение с неизвестной матрицей X,
которое приводится к виду АХ =В или ХА = В, может быть решено методом неопределенных
коэффициеитов. Использование этого метода приводит к решению систем липейных уравнений для
столбцов или строк искомой матрицы Х (см. 2.4.4.3). Для уравнения АХ = В возможны следующие
основные случаи.
1. Уравнение не имеет решения: матрица А — размера тх п, а матрица В — размера rx +,
Hmszrh
2. Уравнение имеет бесконечно много решений: магрица А имеет размер тх п, матрица В
имеет размер тх $, и rang (А) = rang (418) < п*).
3. Уравнение имеет единственное решение: А и В- квадратные матрицы п-го порядка,
и А — невырожденная матрица; в этом случае уравнение АХ = В имеет единственное решение
X=A7'B.
2.4.4.2.5. Специальные классы матриц. Квадратная матрица А называется:
симметрической, если АТ= ;
кососимметрической, если АТ= —А;
ортогональной, если А не вырождена и Ala Av,
Пусть A — квадратная матрица с комилекспыми элемептами; А — матрица, комплексно сопря-
жениая к А, т.е. получаемая из матрицы А заменой ec элементов на комплексно сопряженные.
Матрица А называется:
эрмитовой, если A!= A;
косоэрмитовой, если A? = —A;
унитарной, если А He вырождена и АТ =. Am,
2-1 3
0-! 3
cos @ sin
Hanpumep, -! 0 5 есть симметрическая,
| 0-5 ] — кососимметрическая, (
a)-
—sin@cos~
35-4
-350
ортогональпая матрица.
1. Для каждой матрицы А матрицы ААТи АТА являются симметрическими.
2. Любую квадратную матрицу А можно разложить в сумму симметрической и кососиммет-
рической матриц:
|
1.1
г
А =-- (А+А`) + —(А- А’).
2
2
р-
.
~1
3. Если матрицы A и В ортогональны, TO ортогональны также матрицы ABu A,”
4. Матрица A ортогональна только тогда, Kora вектор-строки (или вектор-столбцы) матрицы А
образуют ортонормированную систему.
5. Для ортогональной матрицы det А = +1.
6. Любая ортогональная матрица 2-го порядка имеет вид
cos@ sing
—esing ecos@)’
где = = +1 и ФЕ [0, 2n) — некоторый угол.
*) Матрица (.4|В) получается путсм правостороннего присоединения матрипы В к матрице А.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
189
2.4.4.3. Системы линейных уравнений.
2.4.4.3.1. Понятие системы линейных уравнений. Система т линейных уравнений
с п неизвестными X,, х.,..., х, (CM. 2.4.2.3)
Ay yXy + а,2х. +...+анх, = D4,
yyX + а22х. +... +а2их, = 52,
Gy) X41 + Am2X2 +... + GanXy = bm
называется системой линейных уравнений или, точнее, т х п-системой линейных уравиений; ay—
коэффициенты, b; — свободные члены системы. Если все b; =0, то мы имеем одпородную систему
линейных уравнений, в противном случае говорят о неоднородной системе линейных уравнений.
п-последовательность чисел (Cy, C2, ..., Cy) называется решением m X п-системы линейных уравнений,
если ее элементы, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных, удовлетворяют каждому
из т уравнений wv принадлежат заданной’ области изменения. (Если нет специальных оговорок,
то область изменения всех неизвестных — множество действительных чисел.) Совокупность всех
решений системы называется множеством решений. Две системы линейных уравнений называются
эквивалентными, если они имеют олинаковые множества решений.
2.4.4.3.2. Решения системы линейных уравнений. Однородные системы линейных
уравнений всегда: разрешимы, так как и-последовательность (0, 0, ..., 0) удовлетворяет всем урав-
нениям системы. Решение (0, 0, ..., 0) называют тривиальным решением. Вопрос о решениях
однородной системы линейных уравнений сводится к вопросу о том, существуют ли, кроме три-
виального, другие, нетривиальные решения или нет.
Например, однородная 2 x 3-cucrema пинейных уравиений
2x,+х.—хз=0,
Х2+хз=0
имеет множество решений L= {A(1, —1, 1)}; A -- произвольное действительное число; иначе говоря, x, = Ay, X2 = —A,
хз =А при любом действительном А является решением снстемы.
Напротив, однородная 2 x 2-система линейных уравчений
2х,хх,=0,
хх) =0
имеет только тривиальное решение: L= {(0, 0)}.
Среди неоднородных систем линейных уравнений существуют неразретимые системы, например:
Xt++2х.=1,
X,+2х.=2.
Система линейных уравнений
5X,+Xz==2,
X,— 2х, =7
имеет единственное решение x, = 1, xX, = —3, или Г.= (1, —3)). Напротив, система уравнений
2х,Ех2—Ху=--5,
хх:=:|
разрешима неолпозначно; при любом лействительном A значения X, = —2 +A, х, = -^, Ny = 1 +A дают решение
системы: L= {(—2, 0, И +A(1, —1, 1}.
Теория систем линейных уравнений может быть наглядно и просто описана при помощи
матриц:
Gi; 412 ... Ч
Х!
|b,
G2; G22... Ar,
Хх.
bs
A=
,
x=
>
b=
Cint Чт2 -+- Чт
Xn
Din
Систему линейных уравнений
Я11Х1+а,2х2+...+аих,=by,
@21Х1 + a22X4 +... t+ GanX_, = ho,
Ят1Х1+inX2+...+AnnXn=by
можно записать в виде Ax = b.
190
АЛГЕБРА:
Характер множества решений этой системы зависит теперь только от гапё (А) (ранга матрицы
коэффициентов А системы) и от rang(A|b) (ранга так называемой расширенной матрицы коэффи-
циентов (A|b)).
Paur
Ax = b(m уравнений, п неизвестных)
Частныйслучай b=0,Ax=0
(однородная система)
1. rang (A|6) # гапв (4)
система неразрешима
этот случай не можег иметь места при
р = 0, т. е. однородная система разрешима
всегда
2:rang(A!b)=rang(A)=р
система pa3peuluma
а) р=п
решение единственно
система имеет только тривиальное ре-
шение
6) p<n
решепие не единственно
система имеег ипетривиальные решения
Структуру множества решений описывает следующая теорема.
1. Множество решений L однородной т х п-системы линейных уравнений Ах =0 есть вектор-
ное подпространство векторного пространства упорядоченных и-последовательностей действительных
чисел, т.е. любая линейная комбинация решений системы вновь есть решениё системы. Если
rang(A)=p, то Ат L=n-—p. В случае р <n можно выбрать п--р неизвестных, построить n —p
линейно независимых решений и получить затем рещения системы в виде линейных комбинаций
этих п — р линейно независимых решений.
|
2. Множество решений Lm x п-системы линейных уравнений Ах = b состоит из всех упорядо-
ченных п-последовательностей вида хо + х*, причем хо — некоторое частное решение данной системы,
а х* пробегает значения всех решений соответствующей однородной системы Ax = 0:
=
*
_
i
=
*
Г = {хо + х*, где хо — постоянный вектор такой, что Ах = b, а x* € [лоднородн.}-
(Для иллюстрации этой теоремы следует рассмотреть первый и последний из приведенных выше
примеров.)
2.4.4:3.3. Способы решения линейных уравнений.
Алгоритм Гаусса. Нахождение множества решений системы линейных уравнений основывается
на том, что от заданной системы при помощи эквивалентных преобразований переходят к системе,
которая решается «проще», чем исходная система, и эквивалентна заданной. Эквивалентными пре-
образованиями системы линейных уравнений являются:
1) перемена местами двух уравнений в системе;
2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число с #0;
3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.
Эти эквивалентные преобразования системы линейных уравнений Ах = b вызывают в матрице
коэффициентов А и в расширенной матрице коэффициентов (A|b) только преобразования, сохра-
няющие ранг, а именно приводят к перестановке строк, умножению строки на число, отличное
от нуля, и прибавлению к одной строке другой, умноженной на произвольное число. Справедливо
также обратное: если преобразовать матрицы А и (Alb) в матрицы A’ и (А'|Ь’) соответственно
равных рангов, применяя к строкам допустимые преобразования ‘строк (2.4.4.2.3), сохраняющие ранг,
то системы Ax = bu A’x = b' будут эквивалентными. Алгоритм Гаусса состоит в том, чтобы получить
матрицы А’и (A’|b’) трапециевидной ‘формы.
В случае, если исходная система Ах = b разрешима (пусть rang (А) = rang (A|b) = p), вследствие
трапециевидности матриц А’и (A’|b’) эквивалентная система А’х == b’ может быть записана в виде
>
/
’
атаХи+Ay2X2+...+арх,=Dy—Ay,paiXpa 5.—AyXp
а22х2 +... + ах, = 65 — @2, раХр +1 —.-. -- @2иХи,
ЯррХр = b, — Ч, 2+1. +1 —...^щ GinXns
Эту систему называют треугольной системой. Tak как rang (A) = rang(A|b) =p, то множество
решений есть (п — р)-мерное многообразие; следовательно, п — р неизвестных х»+:,..., х, можно
выбрать произвольно: х,+1 = Ay, Х›+2=А,, ..., Xn = An—ps ОСТальные неизвестные X1, X2, ..., Xp) полу-
чаются из треугольной системы последовательно как функции параметров А:
хк=fi(No,^2,...›An-p) (k=1,2,..., р).
_ Если для получения трапециевидных матриц А’ или (А’ |5’) требуется еще перестановка столбцов, |
то этого достигают перенумерацией неизвестных в системе уравнений Ax = 6.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
191
Примеры. 1) x, — 4х, + 2х,
=-1.
2х,—3X2--ху—5х.=—7,
7
3x,—7х)+Xy—5X4=-8.
Здесь
1-4 2 0-1
1-4 2 0-t
1-4
2 0-1
rang| 2-3 -—! -5 -7 }=rang} 0 5-5 -5 ~5S J=rang} 0 1-1 -t -1
3-7 1-5 -—8
05-5-5-5
00000
Из этого заключаем:
а) rang (A) = rang (А |) = 2, г. с. система разрешима;
6) решение неодпозначно: 4 - 2 =3 неизвестных могуг быть выбраны произвольно;
в) треугольная система имзет вил
Х1-4x,Ewes1—2х..
No=14+XaХа.
Если Ноложить X4 == Ay, Xg А, (Aq. Ag - произтольные действительные числа), то получим x2 = -1+А, +А,»,
xy = —5 + 2), +402, т.е. множество решений L= {(--5. -1, 0. 0) +A, (2, 6 1, 9) +A, (4, 1, 0, 1; No — произвольные
действительные числа. Тогда соответствующая олпоролная система Ах = 0 имеет, очевидно, множество решений
L = {Ay (2, 1, 1, 0+4, (4, 1, 0, И; No, - произвольные действительцые числа).
2)2x,+3x,—Хз=2
7х|+4x,+2х.=8,
3x,—2x,+4x,=5.
Злесь
-12 32
-1 232 ke
rang 27 48J=rangh O1f10 12
43 -25
‘ 0001
(Здесь произведена перестановкатрех первых столбцов.} Orctofa заклэочаем: rang (A) == 2, rang (А |b) = 3; слеловательно,
система неразрешима: Ё = ©.
3) Хх- Xgt x3= 12,
2X,+3X,—x3=13,
3x2+4x3=5,
—3x,+x2+4x,=—20,
Здесь
1-!tр
t-1t12
font 122
t-1112
23-12
053-H|
0-2716
0-27 16
rang
= rang
= rang
=гап?|-
0345
0345
0 02988
0O12.
-3 1 4-20
0-2716
0000
о 000
Отсюда заключаем:
а) rang (A) = rang (Л |Ь) = 3. г.е. снслема уравнений разрешима;
6) решение единственно:
в) треугольная система имеет вид
Ху=2,
откуда найдем L= {(9, —1, 2)\. Соответслвующеюхя плиородная система Ах. 0 имест только тривиальное решение.
Правило Крамера. Если мы имеем частный случай н х н-системы линейпых уравнений Ax= b
такой, что гап (А)
= rang(A|b)= яп, то, вследствие невырожденности А. слииственное решение x
можно представить в виде х = А”'Ь. Воспользовавшись формулами для обратной матрицы из 2.4.4.2.4..
получим
Ny
Ait Agy ... An [6
2|_|
Aig Azzy... Ang
ba
7detA
у
Xn
ААнtsAnn
р,
где- Ак — алгебраическое дополнение элемеита ах матрицы А. Тогда 1-я координата x; паходится
192
АЛГЕБРА
по формуле
ат: ... b, aes Ary
a2) ... 62... Aan
А +Agiba+ А
|
_В;
= Gag | 1191+ 4202 +... nim)
=Ед|- ..
|=
Uni +++ бы... Ann
1 ...р... |
где определитель D,, стоящий в числителе, получается из D=det А заменой {го столбца на стол-
бец b. Следовательно, для п х п-системы линейных уравнений Ax = такой, что D = det А #0,
получим единственное решение х = (хи, X2, ..., х„)Г где x; =D;/D (=12,..., n).
Пример. 2х,+ х, + 3x3 =9,
Xy-2х.+хз=--2,
3x,+2x2+2x3=7.
Здесь
2 #13
913
293
>19
D=|1 -2 t|=13, p,=|-2 -2 1 |= -13, р. =,|1 -2 1/226 D,;=]1 —-2 -2 | =39,
13 221
722
372
327
a_13_
_Dz,_26_
_Ds_3_
жрать в" -в7А B= HH 73
2.4.4.4. Линейные преобразования.
2.4.4.41. Основные понятия.
2.4.4.4.1.1. Понятие линейного преобразования. Пусть Г и Г — действительные
векторные пространства. Каждое однозначное отображение ф пространства У в пространство У’
называется линейным преобразованием V 6 У’, если выполняются условия:
1)@(x+y)=Ф()+ф(У)длялюбыхx,yeV;
2) (A:x) =Л-Ф(х) для любого xe V uM всех действительных ^.
(При этом операции в V’ могут быть определены иначе, чем в И хотя из соображений
простоты они обозначаются теми же знаками «+» и «>.)
Если V=V’, то ф: V>V’ называют также линейным оператором в У или линейным преобра-
зованием пространства И
Если x’ = фх, то x’ называется образом (изображением) x при преобразовании ф, xX — прообразом
(или оригиналом) x’ при преобразовании ф, а множество {хЕГ|фх =х’} называется полным про-
образом (или полным оригиналом) элемента x’ при преобразовании ф. Если М есть подмножество
из И, то ФМ = {x’eV'|x’ = (x), xe M} называют множеством образов элементов из М (образом
множества М) при преобразовании ф. Если М’ — подмножество из У’, то М = {xeV|oxeM’}
называются полным прообразом множества М’ при преобразовании ф.
Примеры. 1) Преобразование ф‚: К? >В? такое, что @, (хи, X2, хз) = (хи, ха), линейно.
2) Преобразование ф, пространства В" в векторное пространство многочленов (n — 1)-й степени такое, что
M2 (X1, Xz) 00+, Хи) = х, + х2Ё + хз? +...+ хи" 1, линейно.
3) Преобразование ф. векторного пространства С° бесконечно дифференцирусмых функций в себя такое, что
фзЛ =‘ для всех fe С®, линейно: фз есть линейный оператор в С*.
4) Преобразование ф.: И-+ И’ такое, что ф.х = 0’ для любого хЕИ (0’ есть нулевой вектор из У’), линейно; его
называют нулевым преобразованием.
5) Преобразование ф5: В? > Е? такое, что @s (Xj, х2, ху) = (хь, 1), ие является линейным, так как
Ps(Xj,X2,Хз)+-Os(Ул,У»,Уз)HODN+, 1=(+уVOX чу,0=55[(x1,Хз,Хз)+(увYa,У3)|.
2.4.4.4.1.2. Свойства линейных преобразований. Для каждого линейного преобра-
зования ф: V— V’' имеем:
1. Образ нулевого вектора 0 пространства V всегда является нулевым вектором 0’ в J)’:
ф<О=0.
2. Линейная комбинация элементов из V всегда преобразуется в линейную комбинацию
соответствующих элементов из V’ c теми же коэффициентами. Поэтому для каждого подмножества
М < УИ изображение линейной оболочки (ФМ) совпадает с линейной оболочкой У(ФМ) образа
множества М: of(M) = ?(ФМ).
|
|
Если, в частности, В является базисом ГИ, то фИ= of(B) = (ФВ). Отсюда следует, что линей-
ное преобразование ф: И» И’ однозначно определено уже. множеством образов фВ базиса В.
3. Если 5. — линейно зависимое множество векторов из И, то фз — также линейно зависимое
множество. векторов пространства У’. С другой стороны, линейно независимые множества посред-
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
193.
ством преобразованияф можно перевести в линейно зависимые множества. Поэтому образ базиса В
пространства V в общем случае — лишь порождающая система пространства ФИ.
4. Если U — векторное подпространствоиз И, то ФИ есть векторное подпространство из У’.
'Если. У конечномерно, то размерность dim @V пространства образов ФУ называют рангом линейного
преобразования. @: rang ф = dim ФИ.
_
5. Если О’ — векторное подпространство пространства pV u U — полный прообраз И’ по отно-
шению к ф, то U является векторным подпространством из Г.
Свойства3, 4. и 5 означают, что линейное преобразование сохраняет свойство линейной
зависимости, а свойство подпространства как сохраняет, так и обращает.
В частности, вследствие свойства 5 множество К, всех тех векторов из И, образом которых
при ‘преобразовании ф является нулевой вектор из И’, образует векторное подпространство
пространства У, называемое ядром К, линейного преобразования ф: Кегф=К» где К, =
={xeV: ox =0'}. Если К, конечномерно, то его размерность называют дефектом линейного
преобразования ф: Defekt ф = dim K,. Если ф: /> V' и V— конечномерное векторное пространство, то
rangф+Defektф=dimИ.
Примеры. Для примеров 1)—4) линейных преобразований имеем (и. 2.4.4.4.1.1):
К, = {(0, 0, x3); хз — любое действительное число}; Defekt ф, = 1; rang ф,= 2.
Ky, = {(0, 0, ..., 0)}; Defekt ф› = о; rang @2 =".
|
K, ={f: f= “const Defekt фз = 1; rang ф. бесконечен.
K, = И; Defekt ф. = dim И; rang ф. = 0 (если И конечномерно).
Sinpo линейного. преобразования позволяет ввести разбиение ‚пространства a ца классы элементов, имеющих
‚одинаковые образы: два элемента из И принадлежат к одному и тому же классу, т.е. имеют один и тот же образ
при преобразовании ф, тогда и только тогда, когда их разность принадлежит ядру ©.
2.4.4.4.1.3. Взаимно однозначные линейные преобразования. Линейное пре-
образование ф: И> 1’ называется взаимно однозначным, если из фх = фу следует x = y. Взаимно
однозначный линейный оператор из V называется. также невырождениым оператором в пространстве
V; остальные ` операторы называются вырожденными операторами пространства.
В соответствии с этим из’ приведенных примеров линейных преобразований взаимно однозначным является лишь
(2; ф‚ таковым, например, не является, так как ф, (1, I, [) =ф, (1, Г, 5), хотя (1, 1, Пя (1, 1
,
Для. любого линейного преобразования ф: V->V’ следующие высказывания попарно экви-
„валентны:
|
1) ф взаимно однозначно;
2) для каждого линейно независимого множества 5 пространства V множество ф5 есть линейно
независимое множество пространства И’;
3)К.={0}.
Из 2), в частности, следует, что образ базиса V при’ взаимно однозначном преобразовании ф
является
` базисом ФГ. Для конечномерного векторного пространства V и`взаимно однозначного
преобразования ф dim ФИ = dim И.
__2.4.4.4.2. Представление линейных преобразований в виде матриц. Пусть
um у’ — конечвомериме векторные пространства, dimУ = и, dim У’ = т, В = {ay, а» ..., dn} — базис И,
В: =4Ь1, bz, ..., by} — базис И’.
Всякое линейное преобразование ф: V-> у’ образами ay, фа2, ..., фа, векторов базиса В опре-
делено однозначно, так как каждый вектор хе V ecTb линейная комбинация векторов В и, вследствие
‘этого, его образ фх есть соответствующая линейная комбинация векторов базиса OB. Если записать
образы фа!, Paz, ..., фа, векторов В в координатах базиса В’, To ф будет определяться однозначно
посредством т-п координат векторов фа; (i = 1, 2,..., п) относительно В’, которые можно расста-
вить в mx и-матрице А так, чтобы К-й столбец матрицы А состоял из координат вектора фа
относительно В’. И наоборот, каждой m x п-матрице А по отношению к фиксированной паре
базисов (В, В’) можно единственным образом сопоставить линейное преобразование ф: И-» И’, если
рассматривать столбцы А как координаты образов векторов В относительно В’.
Итак, между множествами линейных преобразований ф: И>Т’, где dimV=n, dim У’ =m,
и множеством тх и-матриц существует взаимно однозначное соответствие при фиксированных
базисах В пространства Ги В’ пространства У’. Если В = {а1, da, ..., а} и фак = (ак Ares ..., атов,
то ф можно записать в виде матрицы:
|
Gy, Gy2 ... ат
ao,
@22
eee
Aon
A=
.
Ani Я@т2 ... Я тп
(Так как А зависит еще и от выбранной пары базисов (В, В’), то точнее было бы записать Ap By)
194
АЛГЕБРА
Пример. Пусть линейное преобразование ф: R* > В? задано образами векторов базиса В пространства. В“;
ф(1,—2,0,3)=(-9,7,1),ф(0,0,1,—1)=(3,~~3,3),
ф(1,0,3,0)=(4,0,—2), pi,—1,tl,=, Lt,—-L).
(Координаты относятся к каноническому базису пространства В“, соответственно к ханоническому базису пространства
К°.) Тогда, найдя ф-образы векторов е!, ¢2, ез, @4 канонического базиса пространства R* и записаь их координаты
относительно канонического базиса пространства В? (ср. 2.4.4.1.4), получим матриду A, описывающую преобразование ф
по отношению к паре канонических базисов. Для этого выразим в; в виде линейных комбинаций векторов заданного
базиса В и найдем фи, в виде соответствующих линейных комбинаций заданных векторов (PB. Записав координаты
векторов фе; относительно канонического базиса, окончательно получим
|
12 1-2
A=] 31-1 2
43-7 |
Если перейти от пары базисов (В, В’) к новой nape базисов (В, 8’), то описывающая © мат-
рица Ain в.) перейдет в матрицу
до
Т71
А(в,В’)—Т
Avs, By
причем столбцы матрицы $ (соответственно T) будут состоять из координат векторов В относи-
тельно В (соответственно В’ относительно В’).
Матрииы одинакового размера, которые получаются друг из друга право- и левосторонним умножением на
невырожденные матрицы, называются эквивалентными. Эквивалентность матриц есть отношение эквивалентности,
которое разбиваст множество матриц одинакового размера на классы эквивалентных матриц. Число этих классов
равно min (т, п) + 1, где mx п -— размер рассматриваемых матриц.
Вследствие этого две матрицы, описывающие одно и то. же линейное преобразование относительно различных
пар базисов, эквивалентны. Обратно, эквивалентные матрицы относительно соответствующих пар базиссв задают
одно и то же линейное преобразование.
Линейному преобразованию ф: И-> И’ соответствуот единственный класс эквивалентных матриц.
Если Г = У’, т.е. если ф — линейный оператор. в У, то. для двух матриц Ави Ар, опибывающих
линейный оператор ф относительно различных базисов 8, В, воледствие B= Ви В= В'’ выпол-
няется равенство
Ap = “ApS.
Квадратные матрицы A, и Az, для которых A,=S~'A,S, где 5 — невырожденная матрица,
называются подобными. Подобие матриц также есть отношение эквивалентности.
Аналогично сформулированному выше можно утверждать: линейному оператору ф пространства V соответствует
единственный класс подобных матриц.
Свойства всех матриц одного и того же класса эквивалентности или ‘одного и того же класса
подобия тесно связаны со свойствами линейных преобразований, описываемых этими матрицами,
Укажем некоторые из них:
1. Всли ф: И-› V’ — линейное преобразование и Аз р” — матрица, описывающая ф относительно
пары базисов (В, В’), то для образа фх элемента xe V справедливо соотношение
(9%), = Aig, вв»
где Xp — вектор-столбец, составленный из координат вектора x относительно В, (фх)в, — вектор-
столбец, составленный из координат вектора фх относительно В’.
По этой формуле, нарялу с образом, можно определить также полные прообразы, что сво-
дится к отысканию решения системы линейных уравнений (см. 2.44.3).
2. Все матрицы класса эквивалентности, соответствующего линейному преобразованию ф:
И-> У’ (V# И), имеет одинаковый ранг, и гапв (А} = гапв ф для всех А из класса эквивалентности,
соответствующего ©.
3. Все матрицы класса подобия, соответствующего линейному ‘оператору ф пространства У,
имеют одинаковый ранг, одинаковый определитель, одинаковый след, одинаковый характеристи-
ческий многочлен и одинаковые собственные значения (см. 2.4.4.5).
В частности, линейный оператор не вырожден тагда и только тогда, когда матрицы опреде-
ляемого им класса подобия не вырождены,
2.4.4.4.3. Операции над линейными преобразованиями, Если ф: У-И, ф:И-И,,
у: V' > И” — линейные преобразования, TO определим
сумму Ф+ф: VoV’ как (9+ @)x = ox + фх для любого xe V;
произведение ф на число a, т.е. ap: Vo ТИ’ (х — действительное), как (ap) х =o (PX) для любого
xeV;
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
195
произведение Wo: И-> И” как (уф)х = \ (фх) для любого хЕГ (последовательное выполнение,
или композиция, линейных преобразований).
|
_ Преобразования ф -+ ф’, иф и WO также являются линейными преобразованиями.
Если И У’, И” — конечномерные векторные пространства с базисами В, В’, В” и линейные
преобразования ф, ф’, { заданы соответственно матрицами А(в, в), А(в, в)» С(в’, в")› TO
линейное преобразование ф + ф’ относительно (В, В’) задается матрицей A + A’;
линейное преобразование AP относительно (В, В’) задается матрицей aA;
линейное преобразование Wo относительно (В, В") задается матрицей СА.
Так как операциям над линейными преобразованиями соответствуют аналогичные опера-
ции над задающими их матрицами, то множество линейных преобразований пространства Ив V’
имеет такую же структуру, как и множество матриц, задающих эти преобразования. Отсюда
следует:
|
1. Множеслво линейных преобразований Ив У’ с определенными на нем действиями сложения
и умножения на действительные числа образует векторное пространство.
2. Множество линейных операторов пространства V с определенными в нем действиями сло-
жения и умножения образует кольцо.
2.4.4.4.4. Обратный оператор. Для невырожденных операторов ф: V— V можно поста-
вить вопрос об операторе ф`', обратном к ф, т.е. таком, что фф '=ф '@ = &, где = — тождествен-
ный оператор, т.е. такой, чтозех = x для любого хЕЙ. Если ФИ= И, то существует обратный к ф
оператор ф”`', определяемый следующим образом: ф 'x =у тогда и только тогда, когда фу = x.
Вследствие невырожденности ф оператор @ ! определен однозначно, и можно показать, что 7!
вновь является линейным оператором в пространстве У.
Предположение фИ= V необходимо для того, чтобы каждый элемент из V можно было рассматривать как образ
при преобразовании ф некоторого элемента из У. В случае конечномерного векторного пространства V это предпо-
ложение всегда выполнено.
Если ф, \ — невырожденные операторы в У такие, что фИ= WV= И, то
1) (Ф = флт.е. фиф ! взаимно обратны; '
2) We) =Ф lw;
3) если преобразование ф относительно базиса В задается матрицей A, то преобразование ф '
относительна того же базиса задается матрицей A};
4) множество невырожденных операторов пространства У по отношению к умножению обра-
зует группу.
2.4.4.5. Собственные значения и собственные векторы.
2.4.4.5.1. Собственные значения и собственные векторы матриц. Пусть
A-—nx п-матрица. Любой вектор хЕЙ", x #0, для которого Ах = Ах, где A’ — некоторое число,
называется собственным вектором A, а \- принадлежащим ему собственным значением мат-
рицы А.
Уравнение Ах = Ах эквивалентно уравнению (A — ЛЕ) x = 0. Это однородная система линейных
уравнений, негривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами. Она
имеет нетривиальные решения только тогда, когда rang (А — ЛЕ) < п, т.е. если det (А — AE) = 0.
Многочлен det (А — ЛЕ) называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение
det (А — XE) = 0 — характеристическим уравнением матрицы А;.его решения являются собственными
значениями матрицы А. Если Л, — собственное значение A, то нетривиальные решения однородной
системы линейных уравнений (A — ^,Е) x = 0 суть собственные векторы A, принадлежащие собствен-
ному значению Л, Множество решений этой системы уравнений называют собственным под-
пространством матрицы A, принадлежащим собственному значению A,;; каждый вектор x #0
собственного подпространства является собственным вектором матрицы А (само собой разумеется,
в собственном подпространстве определены линейные операции «+» и «»).
3-2
.
Примеры. 1) Собственные значения матрицы A =| _ 4 1) Найдем из характеристического уравнения
3-h —2
2
;
det (A — XE) = 41-217 ^^ — 4K —5=0,A, =5 ud, = —1. Собственное подпространство A, принадлежащее A, = 5,
есть множество решений системы уравнений
—2 —2
(42,8) x=0=( 7% i)
re L,; = {p(-1, 1); в — действительное},
|
Аналогично пайдем собствеиное подпространство, принадлежащее A, = —1: Lz = {и(1, 2); и — дейслвительное}.
3
2) Матрица A -( 5
чения A, =2+i, AZ =2-—1 Собслвениому значению A, принадлежат собственные векторы x, =p (1, i—1), а собствен-
ному значению А, — собственные векторы x2 = p(—1, i+ 1), и — произвольное действительное число 90.
1| имест характеристичсеское уравиение A? — 4, +5 =0 и, следовательно, собственные зна-
196
АЛГЕБРА
Щи
3) Матрица А = | ; } имеет собственные значения ‘Ay =A2 =2; отсюда получаем векторные подпространства
L, = ЕЁ = {д (1, 1); p — произвольное действительное. число}.
2.4.4.5.2. Теоремы о собственных значениях и собственных векторах.
1. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены и, следовательно;
одинаковые собственные значения.
2. Если A,, А2,..., A» — собственные значения матрицы A, TO
i=1
ii=1
Это можно использовать как необходимый критерий правильности вычисления собственных зна-
чений. Далее, из Toro, что det А = [|] \., следует, что матрица А невырождена только тогда, когда
нуль не является собственным значением А.
3. Если No, Az, ..., А, — (попарно) различные собственные значения матрицы A и х,, Xz, ..., X —
соответствующие им собственные векторы (A; принадлежит х;), то {x1, X2, ..., х,} есть линейно
независимое множество. векторов.
2k
4. Если матрица А имеет собственное значение ), то матрица В = У’ c,A' (здесь А' =Аи
i=
k
®
A° = Е) имеет собственное значение! у cA’. Отсюда, в частности, следует: если А имеет собствен-
i=0
ное значение A, то A” (т — натуральное число) имеет собственное значение A”. Для невырожденной
матрицы А это высказывание справедливо и при целых отрицательных числах т, если положить
А" = А-" = (А!) (n — натуральное число).
5. Каждая матрица А удовлетворяет собственному характеристическому уравнению, т.е. если
п
п
У cj! — характеристический многочлен A, то У с,А!' = 0 (теорема Гамильтона — Кэли).
i=0
i=0
Для определенных классов матриц справедливы частные предложения:
1. Все собственные значения симметрической матрицы действительны.
2. Собственные пространства, принадлежащие различным собственным значениям симметриче-
‚ской матрицы, взаимно ортогональны.
3. Все собственные значения ортогональной матрицы по модулю равны |.
4. Собственным значением ортогональной матрицы, наряду с A, является также AW'.
2.4.4.5.3. Применение теории собственных значений.
2.4.4.5.3.1. Задача о нормальной форме для линейных операторов. Пусть
ф: >И’ (V# V’) — линейное преобразование конечномерных векторных пространств и А — матрица,
описывающая ф относительно пары базисов (В, В’) (cm. 2.4.4.4.2). Вопрос состоит в том, можно ли
надлежащим выбором пары базисов найти матрицу, описывающую ф и имеющую особенно
простой, а именно диагональный (отличными от нуля могут быть только элементы главной
диагонали) вид. Так как линейному преобразованию ф сопоставлен единственный класс эквивалент-
ных матриц, то вопрос можно поставить так: существует ли в каждом классе эквивалентности
матрица диагонального вида? Оказывается, существует: если rang ф = г, то всегда можно построить
такую пару базисов, что матрица, задающая ф, имеет вид
100...0...0
010...0...0
ry
e
.
e
.
000... 1... 0
000...0...0
000...0...0
(здесь г элементов главной диагонали равны |, остальные элементы матрицы равны. нулю).
Если поставить тот же самый вопрос по отношению к линейным операторам пространства Г,
то ответ будет получить гораздо труднее, так как в этом случае можно «варьировать» уже не два
базиса (в Ги Г), а только один (в И). В этом случае справедливо следующее утверждение.
Линейный оператор ф: V—V относительно базиса {и, do, ..., а„\ описывается диагональной
матрицей только тогда, когда базисные векторы обладазот свойством фа; = а, где A; — некоторые
действительные числа. Эти числа A; и являются элементами диагональной матрицы.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
197
‚Всякий вектор. x #0, для которого фх =Ах, где A — некоторый скаляр, называется собствен-
ным вектором линейного оператора ф, a-A — собственным значением оператора ф, принадлежащим
этому собственному вектору.
Следовательно, линейный оператор ф относительно базиса В описывается диагональной мат-
рицей только тогда, когда базисными векторами являются собственные векторы, и вся постановка
задачи сводится к вопросу о существовании базиса из собственных векторов оператора ф. Для
того чтобы существовал базис из собственных векторов, т.е. для того, чтобы. линейный оператор
ф имел п линейно независимых собственных ;вкторов, необходимо и достаточно, чтобы все
собственные значения оператора ф были действительными и для каждого собственного значения A
кратности р выполнялись равенства
_
rang(ф—As)=rang(А—AE)=п-р,
где А — какая-либо матрица, задающая ф. Это означает, что собственное подпространство, при-
надлежащее собственному значению кратности р, должно иметь размерность р (чтобы для р
совпадающих собственных значений получить р линейно независимых собственных векторов).
Поставленная проблема не всегда разрешима, так как не обязательно все собственные значения
линейного оператора должны быть действительными и может случиться, что из совпадающих
собственных значений нельзя получить требуемого числа линейно независимых собственных векторов.
Однако симметрический оператор евклидова векторного пространства всегда может быть описан
диагональной матрицей относительно подходящего ортонормированного базиса, так как всегда
можно получить ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметрического
оператора. Линейный оператор ф евклидова векторного пространства V называется симметрическим,
если (фх, у) = (х, фу) для всех x, yeV.
|
Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора ф производится
путем определения собственных значений и собственных векторов какой-либо матрицы оператора ф.
2.4.4.5.3.2. Приведение матрицы к диагональному виду. Задача состоит в том,
чтобы к их п-матрице А подобрать такую матрицу С, чтобы матрица A’ = С-'АС имела диаго-
нальный вид. Эта задача тесно связана с задачей о нормальной форме линейных операторов.
Если относительно базиса В линейный оператор ф пространства V описывается матрицей Ав, TO
ищем базис В’, по отношению к которому описывающая ф матрица Ав’ имест диагональный вид.
Так как матрицы Ави Ap должны быть подобны, то эта задача сводится к отысканию такой
матрицы С, чтобы матрица Ав, = С`'АвС имела диагональный вид. Если задача разрешима, то В’
должен состоять из собственных векторов оператора ф, т.е. столбцами искомой матрицы С должны
быть координаты собственных векторов, образующих базис В’.
Задача всегда разрешима, если А симметрическая, так как тогда все собственные значения
действительны и размерность собственного подпространства, принадлежащего собслвенному значе-
ниюA, совпадает с кратностью A. Вследствие ортогональности собственных подпространств, при-
надлежащих различным собственным значениям, для симметрических матриц А всегда можно найти
такую ортогональную матрицу С, что САС =.СТАС имеет диагональный вид.
Пример. Для того чтобы привести к.диагональному виду матрицу
2—1 2
А= -1 2-2},
2-2 5
найдем сиачалаее собственные значения: A, = 7, Л. =A3 = 1; отсюда получаются собственпые пространства:
[1 = {А (1 —1, 2); р — действительное},
[2 = {u, (1, 1, 0) + pe (-2, 0, 1); вь, He — действительные].
Далее получаем ортонормированную систему собственных векторов:
уз
уз
3
и“
—
>AT
1
р
I,
.
67(lh2); (0 5(-1,|о}
с 1/3 -/2
700
Таким образом, посредством С = wa —1 ИЗ V2 матрица А преобразуется в A’ = С Tac'={ 0 1 0:
20 у?
0.0|
24.45.33. Преобразование квадратичных форм к главным осям. Под квад-
ратичной формой относительно переменных хи, х., ..., х, понимают выражение вида хГАх, где
T
ws
х=(хь, Xo, ..., Xn) и A = (а) — симметрическая матрица, а) — действительные числа. Матрица A
называется матрицей квадратичной формы.
198 __
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ_
Например, Ф = x? + 4x3 — 6x,x. является квадратичной формой, так как
Ф.=(x1,х2)(3 a)(=)=хГах.
Постановка задачи такова: найти такую ортогональную матриду С, чтобы после зведения
новых переменных yi, Y2, ..., у, при помощи уравнения х-= Су данная квадратичная форма
содержала бы только слагаемые с квадратами текущих координат:
xTAx Teh + А2у2 +... + dye
x=C
Такой вид квадратичной формы называют каноническим.
После замены переменного. x = Су форма x TAx переходит в форму УГ(С TAC) у, которая должна
содержать только слагаемые с квадратами переменных. Таким образом, задача равнознчачна
следующей: найти ортогональную матрицу С такую, чтобы матрица С ТАС имела диагональный
вид. Это всегда возможно для симметрической матрицы A, если в качестве столёцов исхомой
матрицы С выбрать ортонормированную систему собственных векторов матрицы Формы А. Тохда
посредством замены х = Су квадратичная форма приводится к вилу Лу? + А2у2 +... + A,Y2, гл
^; — собственные значения матрицы А с учетом кратности. Собственные векторы матрихы A,
стоящие в столбцах С, называются главным осями квадратичной формы, а процесс преобразования
квадратичной формы в ее каноническую форму называется приведением к главным осям или привг-
дением к каноническому виду.
Каноническая форма определяется однозначно с точностью до нумерации переменных у.
Пример. Дия того чтобы квадратичную форму: 6x7 + 5х8 + 7х2.— 4xyx2 + 4х хз привести к каноническому вилу,
6 —22
вычислим собственные значения и соответствующие собственные подпространства матрицы | -2 5 0 1. Получим
207
X,=3,A,=6,Аз=9;
L,={и(2,2,=1},L,—{и(--1,2,2)},Ls=1(2,—l,2)}.
Так как собственные значения попарно различны, то соответствующие им векторы попарно ортогопальны, и, ITO pl
2-1 2%
получить ортонормированиую матрицу, их пужно только пронармировать. Посредством замены х = + 2 2-1
а
2
заданная квадратичная форма переводится в каноническую форму 3y7 + 6у2 + Iy3.
Если собственные значения симметрической матрицы А только положительны (только отрица-
тельны, все неотрицательны, все неположительны), TO для всех x #0 квадратичная форма хТАх
всегда положительна (всегда отрицательна, всегда неотрицательна, всегда неположительна) * ).
Пример. Для действительных чисел х,, X2, хз таких, что (х., х» хз)я (0, 0, 0), справедливо неравенство
3х1+10x}—3x3+4х,хз>4х1—2х1—10х3+4х,х.,TAK как вэтом случае 5х2+6x3+7х2—4х1х.+4х,х.>0,ибо
матрица полученной квадратичной формы имеет только положительные сабствениые значения: A, = 3, А) =6, А; =9.
2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Под элементарными функциями понимают в общем случае функции, представимые в виде
аналитического выражения. К ним отиосятся рациональные функции, тригонометрические функции
и обратные к ним, показательные и логарифмические функции, гиперболические функции и обрат-
ные к ним, а ‘гакже функции, представимые в виде суммы, разности, произведения, отношения или
суперпозиции перечисленных функций.
К неэлементарным функциям относят, например, функцию
f(s) 1 для рациональных x,
x=
O для иррациональных x
(функция Дирихле), функцию y = [x] (целая часть от X), т.е. у равно паибольшему целому числу, не превосходящему
<
i
.
.
-
x, функцию у= lim wet
фупкцию у -| 3= dx (интегральный синус), функцию у = Г (х) =} е
4.
;
3rx
1+
п->0
x
dt (гамма-
о
функция).
*) Квадрагичная форма в первом и втором случанх называется определенной (положительно определенной или
отрицательно определенной) и в двух пругих случаях положительно или отрицательно полуопределеиной.
у
у
Уст
р
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ .
—_
199
2.5.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.5.1.1. Целые рациональные функции.
2.5.1.1.1. Определение целой рациональной функции. Функция / называется
целой рациональной функцией (или многочленом), если она может быть представлена в виде
п
у=/ (>) = 2, Ay --iX!
(2.23)
=
для любого x (из области определения *)); числа ‘do, а, ..., а, действительны (или комплексны);
ао £0; ПЕМ (или п=0). Правая часть называется многочленом (относительно перемениого x),
числа a; — коэффициентами многочлена, число п-— степенью целой рациопальной фуикции (или
степенью Muozoudena). Представление (2.23) единственно, т.е. функции
п
P= Yaya’, об9=У bra
_
равны тогда и только тогда, когда m=n ua, = В, для К = 0, 1,2,..., п. Выражение (2.23) называется
канонической формой представления целой рациональной функции.
Примеры. 1) Л (х) = с — постоянная функция, степень /; равна 0.
2) f (x) = x, стеиень f, равна 1.
3)fs(x)=(7x+1)(3х+5),степень/ьравна2.
3
4)[4(х)=Еx?-2//7х?+соз=-x,crcnenbfyравна3.
Графики целых рациональных функций для некоторых частных случаев приведены в 1.2.1.1.
п
2.5.1.1.2. Разложение на линейные множители. Многочлен у Uy 4X", n >t назы-
k=0
вается приводимым, если он может быть представлен в виде произведения многочленов низших
степеней; в. противном случае он называется неприводимым.
Многочлены нулевой степени (константы) не являются ни приводимыми, ни неприводимыми;
многочлены первой степени всегда неприводимы. Возможность разложения на множители много-
членов степени, большей единицы, зависит от выбора области определения коэффициентов, которая,
в общем, не обязательно совпадаег с множеством действительных чисел.
Пример. Многочлен x*— 7 неприводим, если считать, что коэффициенты многочленов должны быть рацио-
нальными числами. Если же в качестве области определения коэффициентов взять множество действительных чисел,
то х*—7= (х? +7 (x? — И?) Если же допустить существование комплексных коэффициентов, то многочлен может
быть разложен Ha линейные множители:
4 /—--
4
4—
4/-
7 (хи +VTi)(x+Vс-YD.
Основная теорема алгебры. Любая целая рациональная функция я-й степени с коэффициентами
из множества комплексных чисел может быть разложена на n+ | сомножителей, один из которых
имеет нулевую степень и п множителей линейны:
и
УGy—4X*=Ag(х—0&4)(х—2)...(х—а,).
k=0
Здесь и; — комплексные числа. Если do, а, ..., а, — действительные числа, то для каждого линей-
ного множителя (xX — и») с комплексным а, в разложении содержится линейный множитель (x — 0%),
где и, — число, комплексно сопряженное к оу.
Если область определения коэффициентов сужена до множества действительных чисел, то любая
целая рациональная функция п-й степени ‘может быть разложена на множители первой и второй
степени:
n
К
2
;
2
Умри =Ag(X—01)(х—Oy)...(х=а,(х2+рах+qi)...(x?+рх+а),
(2.24)
k=0
где 2b +r=n, числа dy, 1, ..., Uy Pts ---> Pp Чь +--+, 4 Действительные.
2.5.1.1.3. Корни целых рациональных функиий. Число x; пазывается корием
(нулем) целой рациональной функпии fC действительными коэффициелтами, гсли
I(x)=уGy—4X4=0.
k=0
*) Если для функции / область определения не задана явно, то под этим всегда следует понимать множество всех
действительных чисел хо, для которых аналитическое выражение у = f (x) даег действительное число / (хо).
200
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Если xX, является корнем целой рациональной функции f степени п, то существует целая
рациональная функция f; степени п— 1 такая, что для каждого x, принадлежащего множеству D
области определения f,; имеет место равенство / (x) = (х — x,) fi (x). Если, помимо этого, корнями f
являются числа,X2, Хз, ..., X,, TO существует целая рациональная функция / степени n—r (r <n)
такая, что для всех хер имеет место равенство f (x) = (х —х,)...(х —х,) ff (x).
Число x; называется корнем кратности К, (или корнем К-го порядка), если существует целая
рациональная функция Л такая, что
=-x)fey)и#0
Учитывая кратность корней, целую рациональную функцию f степени п можно представить
в виде
f(x)=(%=x1)"(х=х,)2...(хх, 9(29,
(2.25)
$
где >) К, =», g(x) — целая рациональная функция степени п — г. Из выражения (2.25) следует: целия
j=l
рациональная функция степени и имеет не более п различных корней; если число корней равно h.
то она может быть представлена в виде произведения и линейных множителей и одного множитсля
нулевой степени. Число корней (с учетом их кратности) является четным или нечетным в зави-
симости от того, является ли степень функции f четной или нечетной; если степень целой
рациональной функции с действительными коэффициентами нечетна, то функция имеет по крайней
мере один действительный корень.
Примеры. 1) f (x) = х* — x? — 5х2 —-х-—6 имеет корни x, = —2 и х, =3. Других действительных корней нет.
Поэтому для этой функции существует представление f (x) = (x + 2) (х — 3) (x? + 1).-
2) / (x) = x8 — x7 — 11х6 + 11х5 + 30х4 — 58х — 12x? + 88x — 48 имеет корень x, = 1 кратности.2, (однократный) корень
X2 =3 и корень х. = —2 кратности 3. Отсюда получаем разложение
S(x)=(х-1)?(x—3)(x+2)(x?—2x+2).
Корни и графики функций. Каждому корню функции f однозначно соответствует точка пере-
сечения (или точка касания, если порядок корня равен четному числу) графика функции с осью
абсцисс. В точке, соответствующей однократному корню, график имеет наклон, отличный от нуля;
в точке, соответствующей многократному корню, наклон равен ‘нулю, т.е. касательная к графику
в точках, соответствующих многократным корням, совпадает с осью абсцисс.
Вычисление корней. Вычисление корней целых рациональных функций сводится к решению
п
алгебраических уравнений ) a,_,x" =0 (см. 2.4.2.3).
k=0
2.5.1.1.4. Поведение целых рациональных функций на бесконечности.
Поведение целой рациональной функции / степени п на бесконечности зависит: 1) от знака
коэффициента ао при x"; 2) от четности или нечетности и.
Из того, что целые рациональные функции непрерывны во всей своей области определения,
следует, что любая целая рациональная функция четной степени всегда ограничена либо сверху,
либо снизу, а целая рациональная функция нечетной степени не ограничена.
n
Четное
Нечетное
ay
ay >0
-
ао <0
ao>0
ао <0
lim f (x)
+<
—<
+00
—o
X— +00
lim f (x)
+со
—с
—©
+00
x7 -—©
2.5.1.1.5. Частные случаи. Линейные функции — это целые рациональные функции первой
степени: f (x) = аох + а, ао #0. Они монотонно возрастают при ао > 0 и монотонно убывают при
ayo < 0. Графиками линейных функций являются прямые, которые пересекают координатные оси
в точках А(—а!/ао, 0) и В (0, а,) (cm. 1.2.1.1).
|
Квадратичные функции — это целые рациональные функции второй степени: f(x) = аох? + a,x +
+ a2, ао #0. Преобразуя, получим
2
2
а
a
a
a
a
f(x)=аоХЕ yx42 =Ap x4+—..+—-—
.
dy
40
2ао
do 4a5
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
201
}
2
..
‘
~
ay
aj
Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной с(- Fan” az — =), которая
ao
ao
своими ветвями направлена в сторону положительных (ao > 0) или (ао < 0) отрицательных ординат
(см. 1.2.1.1).
Степенные функции (с положительным показателем степени) — это целые рациональные функции
f(x) =х" (пЕМ). Графики этих функций симметричны относительно оси ординат при четном п
и центрально симметричны относительно начала координат при нечетном п; они называются
параболами п-го порядка (см. 1.2.1.1).
2.5.1.2. Дробно-рациональные функции.
2.5.1.2.1. Определение дробно-рациональной функции. Функция / называется
рациональной функцией, если она представима в виде отношения двух целых рациональных функций
P(x) и Q(x), т.е. в виде
-
k
Qn—4X
P(x)_Ry "
О(х) ур
1=0
у=Л(х)=
(2.26)
где dp #0, Бо 0, п, MEN (или т, п= 0). При т =0 это целая рациональная функция. При т> 0
функция / называется дробно-рациональной функцией.
Примечание. Выражение (2.26) называется канонической формой представления дробно-рац льной фупкции f,
если функции P (x) и Q(x) не имеют общих корней. Если P(x) и Q(x) имеют общие корни хи, ..., хь, то
P(x)_(x—x1)...(Хх—xy)Py(x)
Q(x) (x—x1)...(x—жО,(x)’
где целые рациональные функции P, (x) и О, (x) ue имеют общих корней. Следовательно, их отношение Л (x)=
Л (x)=
|
.
P(x
= P, (x)/Q, (x) является канонической формой представления функции f;. Выражение f (x) = о описывает функцию
f, значения которой совпадалот со значениями f, во всей области определения /1, исклмочая точки x; (f= 1, 2, ..., К),
в которых функция / не определена. Расширяя область определения функции /, получим функцию /› такую, что
=
f(x), если x #xX;,
.
*
|
lim f(x), если x=x, (j=1,2,..., No.
x 7X;
Функция /› совпадает с функцией f,, если все пределы конечны.
2 —2х+3
Примеры. 1) fi (x)= хот (канонический вид),
х- Уз
2) Г, (х) = fox (канонический вид).
2x—6
2(x—3)
3)Л(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+1) о
Дробно-рациональная функция f(x) = Р (х)/О (х) называется правильной дробно-рациопальной
функцией, если степень многочлена Q(x) болыше, чем степень многочлена P (x) (примеры 2) и 3),
и неправильной в противном случае (пример 1)). Последнюю, разделив числитель на знаменатель,
можно разложить на сумму, состоящую из целой рациональной функции и правильной дробно-
рациональной функции.
|
x? — 4х+3
2
3
Пример. f (x)=
|
=3x-—1+ т.
2.5.1.2.2. Нули и полюсы дробно-рациональных функций. Действительное число
х, называется нулем рациональной функции / (x) = Р (х)/О (х), если Р(х) =0, а О(х) 40. Таким
образом, нахождение корней рациональных функций сводится к нахождению корней целых рацио-
нальных функций.
|
Действительное число х; называется полюсом дробно-рациональной функции f (x)= P (x)/Q (x),
если О(х;) = 0, a P(x) #0. Если при этом x; является корнем кратности г многочлена Q(x), TO Xx;
называется полюсом порядка г.
x?—|
Пример. Правильная функция f (x)= тер
имеет лва олнократиых кория X,;= 1 и х. = -Т и
нолюсы х. =3 (полюс 1-го порядка) и х. = —2 (полюс 2-го порядка).
|
+
8
В окрестности полюса x; значение функции растет неограниченно, т.е. lim | f (x)|
XN;
‘прямая x = х; является асимптотой графика этой функции.
202
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
О поведении дробно-рациональной функции в окрестности полюса х; можно сделать вывод
по знакам значений f (x; + &) и f(x; — =), где в — достаточно малое положительное число.
.
х-1
Пример. х! = 4 является полюсом функции f (x) = 4
44+e-1
3+8
4—=-1
3—5
+9=чи ЕЕ7% = Gr ae)=Ware
2.5.1.2.3. Поведение дробно-рациональных функций на бесконечности.
Если дробно-рациональная функция / задана в виде
n
k
уAy—4X
=0
f(x) = ——--,
m
У Bm—x2
j=0
гдеа£0ubo£0,тодлявсехx£0
roe lim u(x)=a, и lim v(x) =bo. Таким образом, получаем:
х>+0
х> +0
а) При m=n
х"и(х)—u(x)|
хто (x) v(x)’
следовательно,
и(х а
lim f(x)= lim uy _ -o
x +00
x+t+a V(x) bo
т.е. прямая у = do/bo является асимптотой графика функции f.
6) При п<т
х"и (х) _ и(х)
х"ь (Хх) xv (x)?
следовательно,
lim f()= lim —L- 4 50,
x7 +0
x7>+0 xm" (x)
т.е. асимптотой является ось абсцисс.
в) При п>т
п-т
хи(х) _х’ "и(x)
x"y(x) sv (x)
Поведение функции на бесконечности зависит от знака дроби ао/бо и от того, четно или
нечетно число п — т. Для всех трех случаев, обозначив ао/Бо = с, Получаем следующую таблицу:
n>m
тыл
п<т
п-т четно
п — т цечегпо
c>0
c<0
c>0
c<0
lim
x
с
0
00
—©
—
хофо69
ы
re
lim
_
_
хо (9
с
0
+©
со
со
+©
203
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
.2.5.1.2.4. Степенные дробно-рациональные функции. Простейшими дробно-
рациональными ‚функциями являются степенные функции с целым отрицательным показателем
степёки:
f(x)=x", n=-—1,—2, —3,
Если п нечетно, To (~ xX)" = —(х"), т.е. эти функции являются нечетными; графики их представ-
ляют собой кривые типа гиперболы, центрально симметричные относительно начала координат.
Асямитотами этих графиков являются координатные оси. В точке x = 0 эти функции не определены.
‚Степенные функции с чефНым (отрицательным) показатёлем степени являются Четными функциями,
т.е. (—х)' =x". Их графики симметричны относительно оси ординат. Асимптотами этих графиков
являются ось абсцисс и Gch ординат (положительное направление). В точке х=0 эти функции
не определены,
Если в выражении (2.26) т= |, n <1, то получается дробно-линейная функция
f(x _ 40% +-а1
Чо.
a,bo—Agb,
Box+by bo be(x+b,/bo),
где Во #0 и а.о — aod, #0. Функция f имеет корень x, = —а1/4 (если ао # 0) и полюс x, = —b,/bo.
При х-> +0 значения функции стремятся к ао/Бо. Графиком функции f является равносторонняя
-
b
гипербола, ветви которой расположены симметрично OTHOCHTeNbHO точки М (- > г) (Графики
о2%
дробно-рациональных функций см. в 1.2.1.2.)
2.5.1.2.5. Разложение дробно-рациональных функций на элементарные
дроби. Для интегрирования рациональных функций й общем случае необходимо разложить их
на сумму простейших рациональных дробей. Если
аx"
Еbeox!
1=0
где P(x) и Q(x) we имеют общих корней, n< mu by =1,
ставляется в виде
P(x)_
О (x)
f(x)=
то f(x) единственным образом пред-
Ax,
Aj2
Ain,
(Xx) pan
| (yy
1
(х—х;) (x — х!)?
(х-х,) !
Ant
А+?
А
(x—x) (x~x3)?
и2
2
2
(x-х2)
As,
Ago
Asn,
+
—-
4
и”
(x—X,) (x—Xs)
(x — x,)*
Ва С,1х
By, + Ci2x
+Buy+Сых+
(x? + pixtai) (x? + pix+ aq) (x? + pix +qi)!
Bry + Caix
Bay + С22х
Bu,+Cu,* 4
(x?+pox+42)
В,+Сих
(x?+pox+qo)?
В,+C2
(x?+Px+4,) (x?+рьх+9,"
Г
(x?+pox+42)*
By,+Gy,x
(2.27)
Тб+рьх+an)"
где k, |, г, $s — натуральные числа, Ay, By, Cy, 4ь Pj — действительные числа, х; — корни функции
2
|
р’
Q(x); кроме того, van 4
ными (простейшими) дробями.
Частные случаи.
1) Если уравнение 0(x) =
<O(j=1,2,...,
О имеет только однократные действительные корни,
г). Слагаемые в выражении (2.27) называются элементар-
например
х1, Xo, ..., Хь TO (2.27) имеет BAI:
год= =. =
A,
_An
Q(x) х—х, х-х,
х—Хы
204
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2) Если уравнение О(х) =0 имеет. действительные, но не обязательно однократные корни;
например х, — корень кратности К, To (2.27) имеет вид
_Р® _\ Ay
» As;
FO) Q(x) У
ea
Pet (x—x.)|
=!
jal,
3) Если уравнение О (х) =0 имеет также и комплексные, HO только однократные корни, то
(2.27) имеет вид
k
|
P(x) _ A,
В,+ Cjx
I(x)=Q(x)_st +и
j=
j=l
Методы разложения на элементарные дроби. Сначала функция ‘приводится
к каноническому виду (см. (2.26)), в случае неправильной дробно-рациональной функции выделяется
целая рациональная часть и ‘значение коэффициента при члене с наибольшим показателем степени
в многочлене, находящемся в знаменателе оставшейся правильной дробно-рациональной функции,
приводится к 1. Далее, для разложения на элементарные дроби требуется, чтобы было известно
множество решений уравнения Q(x) =0, т.е. представление Q(x) в виде произведения (см. (2.24).
Для определения коэффициентов при разложении на элементарные дроби существуют различные
методы; поясним некоторые из них на примерах.
Метод неопределенных коэффициентов.
Пример 1.
|
_P(x)_
2х
_
x
_
x
ло Ох 2х2-4х+2 — х2-2х+1 (х-1)`
Запишем
xX
.A,
A,
(x—1)? x1 + (x — 1)?°
Умножая обе части на (x — 1)?, получим x = A,x + (A, - А,). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x,
получим А, =Ти А. — А, = 0; следовательно,
|
1
1
С)=х-—1+(x—12°
Нример 2.
P (x)
2x*+2x?—5x41
2x*42x?—5x+1
f(x) =-
=-54324=
2
2
Q(x) =x? +2x* +3x? +2x* +x
x(x*+x+1)
Запишем
._A,
By+Cx
В.+С.х
= ух +Ех,
Умножим обе. части на x (x? + x + 1):
|
2х4+2х2—5x41=А,(x?+х+12+(В,+С.)(x2+х+0х+(В,+Cox)x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получим
А,+С,=2,2А,+В,+С,=0,ЗА,+В,+С,+С.=2,2А,+В,+В,=-5иА,=1.
ОтсюдаА,=С,=С.=1,В,=—3uB,=—4.Такимобразом,
—3+x + —4+х
х+х+1
(х2+х+1)`
=+
Метод подстановки численных значений.
Пример 3.
P (x) x?+x-1
x?+x-1
f(x)=
=
3
2
=
.
Q(x) x°—x*—2x x(x+1)(x—2)
A, A,
Ay
|
Запишем f (x)= > + xe + yD” Полагая последовательно для x значения |, —2 и 3, получим систему
уравнений
'ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
205
Решение этой системы: A, = 1/2, А, = —1/3, А. = 5/6. Таким образом, получаем разложение
1
1
5
19 =: Fah ORD:
Метод предельных значений.
Пример 4.
f= 3x*—9х3+4х?—34х+1 _3x*—9х3+4х?—34x+1
x? 153+10x?+60х—72— (x—2)?(x+3)?
Запишем
_An
А12
Ai3
А21
A22
мы
* +3643.
(2.28)
Умножив (2.28) на (x — 2)3, получим .
3х4—9x3+4x?—34х+1
А
+(х
2) (А
+(х
2)А
+(
2)?
Ax
Ay
=
====
Хх—
—
х—
.
+3}
13
2
M
x43 + O43)
Устремив x в обеих частях к 2, получим A,3 = —3. Умнежив (2.28) на (x + 3)? и устремив затем x к —3, получим
Az, = —5. Простое преобразование выражения (2.28) дает в результате
5
3x—1
А
А
Ay,
f(x)+
=
но
21
(2.29)
Иа
а
2-2 "хз.
Аналогичным образом (т. е. умножая (2.29) на (x — 2)? или на (х+3) и устремляя x к 2 или к —3) получаем A,, = 0,
A,, = 2. Преобразуя (2.29) в равенство
(x—2)(x+3) х+3 х-2’
получим, что A,, =1. Таким образом, приходим к разложению
—3
2
—5
1
——
о
Е.
Примечание 1. Для случая, рассмотренного в примере |, т.е. если разложение / (х) имеет вид
Р
OAL
én gy
Q(x) x-xX, x-X,
X—Xm
NO вышеописанному методу предельных значений имеем
|
P (x)
‚=|
— xX;
Ae nO)
С другой сторопы,
х-х;
х-х;
lim
х>xy
О’(x)#0,
х>xy
и, значит, разложение на элементарные дроби окончательно можег быть записано так:
т
P(x) _
P(x;) 1
Q (x)
0'(x)) Xx—Xy
jel
Л (x)=
Примечание 2. Для случая, рассмотрениого в примере 4, неопределенные коэффициенты можно искать по
формулам
А,з=lim[(x—2)?f(x)], Ai2= 11
x72
|
и lim[(x—2)?Г(%]|,
x72
Ay, =
im,(x—2) ЛОТ, А».=
1!
1
.
.
|.
.,
sr
lim [(х+ 3)? / (%)], Аа =-- Шт [(x +3)? f Od].
7x
x7 —3
x7 -—3
2.5.1.3. Иррациональные алгебраические функции. Простые иррациональные алгебраические функ-
ции, называемые также степенными функциями с дробными показателями степени вида 1/п, где
п — натуральное число, являются обратными к степепным функциям с натуральными показателями
206
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
степени. В случае четного показателя степени существуют две обратные функции; для нечетного:
показателя + одна обратная функция.
©
п=2т-—1; ТЕМ
n=2m; meN
Степенная функция
g(x) = x"
Иррациональная функция
.-И-хдля—-®<x<0
Л (х)=
ИхдляО<х<+0
=.
0<х<+ю
Область значений Г
—© <у< +=
О<у< tom
ню <у<0
Точки перегиба
M, (0, 0)
—
_
Поведение фупкции на интервалах мо- | монотопно возрастает
монотонно
монотонно
HOTOHHOCTH
возрастает
убывает
Графики иррациональных функций см. в 1.2.1.3.
2.5.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Неалгебраические функции называются трансцендентными (см. 2.5.1). К. наиболее важным
трансцендентным функциям относятся тригонометрические функции, показательные функции, гипер-
болические функции, а также функции, обратные к ним.
2.5.2.1. Тригопометрические функции и обратные к ним.
2.5.2.1.1. Определение тригонометрических функций. Пусть круг радиуса г
с центром в начале (прямоугольной декартовой) системы координат пересекает положительную
ось абсцисс в точке 5 (рис. 2.7). Движущаяся по’ окружности точка Р с коордипатами &, п опре-
деляет угол SOP, величину которого (в радианах или в градусах — cM. 2.6.3) обозначим через Xx.
При этом x положительно, если точка Р, начиная движение из точки 5, пробегает окружность
в направлении против часовой стрелки (положительном направле-
7h
нии). Тригонометрические круговые gGynkyuu (функции угла) опреде-
ляются следующими равенствами:
a
a
синус — f(x)=sinx = п.
косинус — f (x)=cosx = —;
r
r
|_п.
оо mctex a2:
тангенс — f (x)=tgx=—;3
komanzenc — f (x) =ctgx =—-;
—_—E
6
Ц
r
r
cexanc — Г (x)=secx = =} косеканс — f (x) = созесх = —.
-
Ц
Область определения тригонометрических функций состоит из
множества действительных чисел х, за исключением значений,
обращающих в нуль знаменатель.
Рис. 2.7.
Примечания, 1) Косинус (лат. «complementi sinus» — дополнительный к синусу) является сипусом дополнитель-
ного угла, и, наоборот, синус является косинусом дополнительного угла; соответственно также тиигенс и котангенс
или секанс и косеканс находятся друг с другом в отношении функция — кофункция, т.е. имеют место равенства
(х — в радианах)
.T
т
к
cosх=sin(3—x), сх=tg(4—x), cosecх=sec(5---x),
in x =cos(——x
tox =cte(-=—x
secx=cosec ca
sinx=cos|>—x],
gx =ctg|->
,
х=
5-х}.
2) Благодаря простым соотношениям sec x = 1/с0$ x и созесx = I/sin x функции секанс и косеканс используются
на практике сравнительно редко, в основнам в астрономии. В связи с этим подробные сведения о свойствах этих
функций здесь приводиться не будут.
ТРИГОНОМЕТРИЧЁСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ
207
3) Если в опреденении круговых функций специально выбрать г=1, то значения тригонометрических функций
могут быть определены (при 0 <x < 7/2) как длины следующих отрезков (см. рис.. 2.7): sin x соответствует PL; cos x
соответствует OL; tg x соответствует P’S; ctg x соответствует S’P”.
Периодичность тригонометрических функций. Tak как положения движущейся
по окружности точки, соответствующие двум углам, величины которых отличаются на число,
кратное 2, совпадают, то значения всех тригонометрических функций периодически повторя-
ются, т.е. имеют место равенства sin x = зп (х + 2Кл), со$х = со$ (х + 2х), а для тангенса и
котангенса даже tgx=tg(x+kn) и сх = с (х + Кл), при этом
k=0, +1, +2,
Соотношения в прямоугольном треугольнике. Для
C
a
значений аргумента x между 0 и 1/2, рассматриваемого в качестве
угла прямоугольного треугольника, имеем следующие соотношения
я
для тригонометрических функций:
р
i.
tа
p secx=—, cosec x =-—
SIN
xX = --, COSX =--, x=—
x=—
=—, cosec
x
=—
р
с’BX=FЯВ
h
a’
Puc. 2.8.
где (рис. 2.8) a— длина противолежащего катета, р-- длина при ежащего катета, с -- длина гипо-
тенузы.
|
2.5.2.1.2. Свойства тригонометрических функций.
J(x)=sinx
F(x) = cos
f(x) = tox
I(x) =clgx
Область определения
—-O<x<+00
—-o<x< +0
-0<x<+0
—-M<ixX< +0
1
хиoy+kn
xxkit
Область значений
21Л(<)<+!
Г<(x)
0</(х)<+0
om <f(x)< +0
Нули
x=kn
>+kn
X= kt
х=>+kr
Полюсы
x=7+п
x= kit
Длина периода
2n
2n
у
1
к
Экстремумы в точках
х=5;+.kre
х=kt
-
п
п
Точки перегиба
х=Ап
=>+kn
х=kn
X=oy+kn
Четность функции
нечетная
четная
нечетная
нечетная
k=0, 1, 2,...
Графики тригонометрических функций см. в 1.2.2.1, таблицы значений функций — в 1.1.1.9 и 1.1.1.10.
Вспомогательные методы для нахождения значений, которые не могут быть непосредственно
определены из таблиц.
1) Значения тригонометрических функций для аргументов, значения которых лежат между 1/2
и 2л, сводятся к значениям функций от аргументов, лежащих между 0 и 7/2, при помощи сле-
дующих формул приведения:
. {ft
sin(4+«|=COSх,
к
.
COS5+-«)=--sinx,с0$(п+x)=—cosx,cos(-
.
.
3
т (п + x)= Fsinx, sin{(--w +x] = -- 605 x,
=+sinx,
ы+
ct
—+x)]= — х,
5
g
ctg5.+x]=—tgx,
3
12(п+x)=ЕХх, tgих) =тах
)-$tgx.
3
сё(п+x)=+ctgx,с(4mtx
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУН кЦиИи
208
2) Значение тригонометрической функции f oT отрицательного аргумента может быть. выражено:
через значение соответствующей функции от положительного аргумента при помощи „соотношений.
f (—x) = f (x) для косинуса и /(—х) = —f (x) для синуса, тангенса и котангенса.
3) Для определения значений тригонометрических функций при значении аргумента 1х! >
нужно учитывать периодичность тригонометрических функций (см. 2.5.2.1.1).
4) Значение любой тригонометрической функции для значений аргумента. между п/4 и n/2
может быть сведено к значению дополнительной функции для дополнительного угла. Это ИСПОЛЬ-
зуется в таблицах тригонометрических функций.
5) При выполнении различных действий с приконометрическими функциями полезно знать
значения функций для некоторых углов и знаки значений функций в четырех квадрантах:
Радиан
0
=
n
7
т
z
ы
>
ы
адианы
Е
я
3
5
Градусы
0°
30°
45°
60°
90°
.
1+
1
sin x
0
5
,
y3
1
——
x
0
Cos x
5
2
tgx
0
1
—
ctg
_
/3
1
0
1
Квадрант
Аргумент
sin x
cos x
{2х
ctgx
|
-O<x<=
+
+
+
+
у
II
5<х<”
+
—
-
_
Ш
п<х<-— т
~
~
+
+
3
_
_
_
IV
zE<xX< 2
+
sin? x
| cos?x
ig? х
ctg?
Sec? x
cosec? x
.
122 x
1
-зе?x—1
1
sin2
1—cos?5
—
aAT
_
*
1+tg?x
1+ctg?x
sec? x
cosec? x
cos? x
|—sin?x:
—_i
cg? x
1
_
созес? x I
°
1+tg?x
{+ctg?x
sec? x
cosec? x
.
sin? x
1—cos?»
I
1
ex
1—sin?x
-cos? x
ctg? x
ann
cosec*x—|
ote?
1.—sin?x
cos? »
|
1
3Г
6
sin? x
1—cos?x
ig? x’
sec?x—|
сос x~
2.5.2.1.3. Соотношения между тригонометрическими функциями.
Связь между функциями с одинаковым значением аргумента *).
0
›
sinx
sin* x +cos*x=1, tgx=
-,
tgx-ctgx= 1,
Cos x
й
2
3
.COsx.
.-
sec*x —tg*x=1, ctgx = -——, sin x-cosecx=1
sinx
cosec?x—сё?x=1,
cos x-secx = 1.
*) CuemyeT заметить, что правые части приводимых формул могут быть неэквивалентны левым частям при
некоторых значениях аргумента.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ
209
‚. Теоремы сложения для суммы и разности аргументов *).
sin(x+у)=зтхсо$у+с0$ хзту, cos(x+у)=cosхcosуфsinxsinу,
igxttgy
ctgxctgy7z1
, ct +у)=
1; ху
g(x ty) ctg
y+ctgx
tg(xt y=
sin(x+у+2)=sinxcos-ycos2+cosxsinуcos2+COSxCosуsin2—sinxsinysin2,
cos(x+y+2)=COsxcosуcos2—sin2sinуcos2—sinxCosysin2—cosxsinySin2.
Теоремы сложения для кратных аргументов.
1.— tg? x
2tgx
1+tg?x’
1 +tg?x
sin3x=3sinx—4sin?x,
cos3x=4cos?x—3cosx,
cos2x=cos*x—sin?x=
sin2x=2sinxcosx=
>?
sin4х=8cos?xsinx—4cosxsinx,cos4x=8cos*x—8cos?x+1,
21
2
ctg? x — | ctgx—t
tg2x=
a=
‚ ctg2x= вх
_ СВХ вх.
|--tg*x ctgx—tgx
2ctgx
2
3tgx —tg>x
ctg>
x — 3ctgx
te3x=
>
tg3x=
>
Box 1—3tp?x
O18
3ctg?x—1
4tgx—4tg?
tg*x—6ctg?x+1
tg4x=. вх
5х
ctg4x=ve^ oeхт
1—6tg?x +tgt x’
4ctg>
x —4ctgx
Для больших значений п выражения для SiN их и COS их получают, пользуясь формулой Муавра
для комплексных чисел (см. 3.4.2):
nu
cosnx+isinnx=(cosx+isinx)"=УРСcos"~*xsin*x.
k=0
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем
cosnx=cos"x—С?с05"-2xsin?x+C4cos"~*xsin*x--C$с05"6xsin®x+...,
sinnx=C,,cos"~!xsinx—Суcos"”*xsin?x+Сиcos"”°xsin?x—...
Для функций половинпого аргумента имеют место следующие соотношения (знак + или —
выбирается в соответствии с тем, в какой четверти (квадранте) находится угол — аргумент х/2):
ох
|—cosx
x
1—cosx
sin x
1—cosx
sin
— = + }/ —-z----- , tg—-=t
=
=-
2
2
1+cosx 1+cosx
sin x
x
1+cosx
1+cosx
-sinx
1 +cosx
cos =
|, cig -=+
=
=
2
2
2
|—cosx 1—cosx
sin x
Теоремы сложения для суммы и разности функций.
_ x+y
x—y ;
..
x+y . x-y
sinx+siny=2sin—~—-cos———--, sinx—siny=2cos
sin
,
2
2
2
2
х+
х-
.xX+_х-
cosx+cosу=2с05 = 60 =>, cosxX—cosу=--2sin >—sin aa
,
>. [Tt
к_
cosx+sinx=|/2sin(=)-Изв (+).
sin(x+у)
вsin(x+5)
tgx+tgy=
» clgxrctgy= Е
COsxXCOSу
sinхяпу
cos(x—У)
cos(x+У
tgx+ct = — ~~) Ctgx—t = —
.
в
bY cos'xsiny 6 bY sinxCosу
*) Заметим, что правые части приводимых формул могут быть не’ эквивалентны левым частям при некоторых
‘значениях аргумента.
|
210
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Произведения тригонометрических функций.
sin(x+У)sin(x—у)=cos”у—cos?x,
cos(x+У)cos(x--у)=cos?у—sin?x,
1
1
.
sinxsinу=>[cos(x—у)—со(х+у)], cosxcosy=5[cos(x—у)+cos(x+У|,
J,
;
,
{.,
,
-
sinxcosу=5[т(х—у)+ча(х+У], cosxsinу=>[sin(x+У)—sin(х—У},
1
sinхsinуз 2=4[sin(x+y—2)+sin(y+z—x)+зщ(2+x--у—за(х+у+2],
1.
._)
.
sinXCOSуCOS2=7[sin(x+у- 2)-sin(y +z-x)+sin(z+x-y)+sin(x +y4J],
,; ,;
1
|
sinxsinуCos2=7[—cos(x+y—z)+cos(y+%—x)-+cos(z+x—у)-cos(x+y+2)],
1
COsХCOSуCOS2=7[cos(x+у-—2)+cos(y+2~-x)+cos(z+x—y)+cos(x +y+2)],
{Вх+ у
{8х-у
tgxtgymeee Ee ee
my
ctgx+ctgy
Чех—Бу
ctgx-+ct
ctgx--clgy
ctgxctgy= в
by
oe
8
Ех+у
{9х—Фу
{рх-+ “Ру
{8х—Чу
19хСру=
=—.
.
Чрх+Шу
ctgx -—tgy
Степени тригонометрических функций.
|
sin?x=5(1—cos2x),
COS?X==5(1+cos2x),
3
1.
3
1
sin?х=4(3sinx--stn3х),
COS”X=4(3cosx+cos3x),
1
|
sintx=3(cos4х--4cos2х+3), cos*x=я(cos4x-+4cos2х+3).
Для вычисления sin” x и cos”xX при болыцих натуралтлых показателях степени п можно последова-
тельно использовать формулы для Sin их и соз их (см. выше).
2.5.2.1.4. Синусоидальная функция общего вида /(х) = Аза (ох + $). Многие
процессы в природе и технике имеют колебательный характер, что в математической форме
записывается в виде функции f(x) = А яп (фх +) (rie А, в, ф -- лействительные числа и A ¥ 0,
6 ~ 0). Если сравнить график фуикции f (x) == А ий (ох + @) == Asin в (x + 9/5) с графиком функции
у = яп x, то видио, что параметр А вызывает сжатие (| A] <1) или растяжение (|А|> 1) графика
вдоль оси ординат; если А < 0, то график будет к TOMY же зеркально отображен относительно оси
абсцисс; параметр & вызывает изменение (наименьшего) периода колебаний, период становится
равным 2л/®|; слагаемое ф вызывает смещение графика функции вдоль оси абсцисс на |ф/® |
единиц (см. 1.2.2.1 и рис. 1.22).
Пример. Графики функции / (x)= —2 sin (2x + 2/4), по сравиению с графиком функции д (x)= sin x, зеркально
отображен относительно оси абсцисс, растянут вдоль оси ординат в лва раза и сдлинут Ha п/8 в отрицательном
направлении оси абсцисс. Наименылий период функиии / paver л.
Физическая интерпретация фучкции f(x) = Asin(wx + $). Если выбрать в качестве,
независимого переменного время ¢t, то получим /(1) = А sin(@t + $). Здесь ф — это смацение по фазё,
„1
или «начальная фаза», Т = 2n/m — «периол колебания», f = = (0/(2п) — «частота колебания», в =
= 2n/T= 2nf— круговая, или циклическая, частота {число колебаний за 2m сек) и A -- «амплитуда
колебания». Если А зависит от времени, например, A = A (i) =e re В > 0, то амплитуда
постепенно уменьшается (затухающее колебание; см. 1.2.2.2). Если колебания накладываются друг
на друга, то результат определяется как сумма синусоилальных величин; ссли колебания имеют
|
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ
211
п
‘одинаковую частоту, то их сумма имеет ту же частоту: У A, sin (wt + фи) = А п (wt + 9). При
|
k=1
n= 2 имеют. место следующие соотношения:
A,sin@,+Azsin@2
A,COS@,+AzCOS@2|
A=\/Ai+A}+24,А»cos(2—91), t89=
Функцию f (t) = A sin (wt + ©) можно также представить в виде f(t) =a sin wt + bcos wt, причем
A= Иа? + 2, b/a=tg 9.
2.5.2.1.5. Определение обратных тригонометрических функций. Функции,
обратные к тригонометрическим функциям, называются обратными круговыми или обратными
тригонометрическими функциями.
Пусть К — целое число.
чих |
|AS„Ж+|ый
у=31
’
2
2
Функции,
у=COSX
принадлежащие
[kn,(К+1)1]
|
обратные
‚,
каждому
2—1 Ik +1
,
к функциям
y=tgx
промежутку
5п,5г)
у=вх |
\(kn,(k+ т)
/
и
_
арксинусом *), \
у=Arcsinx,)
арккосинусом,
у = Агссо$ х,
называются ‹
‚ и обозначаются |
арктангенсом,
у=Агах, ¢
арккотангенсом
у = Arcetg x.
\
}
|
Наиболее часто применяются обратные тригонометрические функции, которые получаются, если
положить в вышеприведенных интервалах К = 0 (так называемые главные значения; они обозначаются
соответственно arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x).
Примеры. arcsin 0 = 0, arccos (1/2) = 2/3, arctg | = 1/4, arcctg Из = 1/6.
2.5.2.1.6. Свойства обратных тригонометрических функций.
возрастмощая
убывающая
у == arcsin x
у = arccos Хх
y=aretg х
у =arcctg x
Область определения
—1<х< +1
1 <х<+1[
-D<X< +0
—<<x<+0
Область значений \
“FSS +5
O<y<r
<<>
O<yp<r
Монотопность
монотонно
мопотопно
MOHIO rOHHO
монотонно
BO3pPAac MALO LAS
убывающая
Точки перегиба
(0.0)
(0, 1/2)
(0. 0)
(0, 1}
lim ](x), lim f(x)
_
x»—0
х->
пл
то
5:2
,0
Графики обратных тригонометрических функций см. в 1.2.2.1. Таблицы значений обратных
тригонометрических функций см. в 1.1.19 и 1.1.1.10.
*) Arcus — дуга; запись у = Arcsin x означаст,.что у есть величина такого угла в ралианах, синус которого равен Nx
(лат.: arctis cuius sinus est x),
212
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.5.2.1.7. Соотношения между обратными тригонометрическими функ-
циями.
_
;
,
к
х
arcsin x = —arcsin (—х) = — — arccos x = arctg -—,
2
И!—x?
п
х
arccosх=m—arccos(—x)=——arcsinx=arcctg———,
2
И!—x?
п
.х
arctg x = —arctg (—х) = — — arcctg x = arcsin -————.,
2
1+ x?
п
х
arcctg x = п — arcctg (—х) = —- — arctg x = arccos --—--———.
2
1+x?
Суммы и разности обратных тригопометрических функций.
arcsin x + arcsin у = arcsin (x И! - у? +у И! — x?) при xy<O или x24+y?<I;
= —arcsin(xИ!-у?+yИТ—x?)при х>0,у>0их?+у?>[;
—n—aresin(xИ1—y?+yf/1-x?) при х<0,у<0их? +у?>1;
arcsinx—arcsinу=arcsin(xИ!—У?-УИ!-x?) при ху>0 или x*?+y?<1;
п—aresin(xИГ—y?—y/t—x?)прих>0,у<0их?+у?>1;
—п—aresin(xИУИ! —х?) при xx0,у>0их? +у2>1;
arccosx+arccosу=arccos(xy—и!—x?и!—у?) при х+у>0;
=2—arccos(ху—И!—x?И!-у2)при’х+у<0;
arccosx—arccosу=—arccos(ху+И!—x?И!—у?) при х>у;
=arccos(ху+УД—x?И!—У’) при x<y;
х+
arctgx+arctgу=arctga
при ху< 1;
—)y
x+
= m+ arctg
при х>0, xy>I1;
‘
—ху
.x+
=—n+arctg ——> при x<0,ху>1;
[|—ху
х-у
;
arctgx—arctgу=arctg—
при xy> --1;
1+ху
х-у
=л+arctg———— прих>0,ху<-—1;
[+ ху
x—y
= —+ arctg ——-— при x<x, ху< -1[.
\
1+xy
2.5.2.2. Показательная и логарифмическая функции.
2.5.2.2.1. Определение показательной и логарифмической ‘функций. Функ-
ция / называется показательной, если для каждого значения х, принадлежащего области определения,
имеет место равенство
где а > 0 — действительное число, a # [.
Областью определения функции f(x) = а* является множество лействительных чисел; так как
а” > 0 для всех х, то множеством значений функции является множество положительных действи-
тельных чисел. При а > | функция является строго возрастающей, при 0 <а
<
| — строго убывающей.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ
213
1
1t*2
_ Так waka! -a*%=a ‚ TO каждая показательная функция f удовлетворяет теореме сложения
f (x1)-f (х2) = f (x, + х2). Функция, обратная к показательной функции’ у = a*, называется логарифми-
ческой функцией и обозначается у = log, x.
_ Существование логарифмической функцни обеспечивается строгой монотонностью показательной
функции на всей ее области определения. Логарифмическая функция определена только для поло-
жительных значений аргумента.
2.5.2.2.2. Частные случаи показательной и логарифмической функций.
Если умножить значения функции f (x) = a* на действительное положительное число К, т.е. перейти
к функции g (x) = Ка", то в силу равенства ka* = qn tat это означает сдвиг графика функции f на
log, К единиц в отрицательном направлении вдоль оси абсцисс.
,
1n
Если в выражении / (x) = a* в качестве а взять число е = lim (| + -- |, трансцендентное число
n— со
n
е = 2,718281828459045... To получим показательную функцию f (x)= e*%, играющую важную роль
в естественных науках. Значения функции e* с`любой точностыю можно вычислить при помощи
степенного ряда (см. 3.1.14.6)
Применения функции
/
(х) = е*. Процессы (органического) роста: g (#) = дое" (до — начальная величина,
с — постоянная роста).
Процессы распада: т (t) = moe" (то — начальная величина, А, — постояниая распада).
Затухающие колебания: / (й = e~ sin (at -+ ~) (см. 2.5.2.1.4).
Теория ошибок: f (x) =e 7* (кривая Гаусса — функция ошибок).
Функция, обратная к у = e*, обозначается у = In x.
Так как log, (kx) =log,k + log, х, то график функции g (x)
= 102. (kx), где k > 0, получастся из
графика функции f (x) = log, x сдвигом последнего на log, К единиц в положительном направлении
оси ординат.
2.5.2.2.3. Свойства показательной и логарифмической функций.
y=a@,a>l_, y=a",0<a<l
у=log,x,a>1 у=log,
x, 0<a<l
Область определения
—-oO<x<+o0
—-o<x<+o0'
0<x< +0
0<x< +0
Область значений
0<у< +00
O<y<+©
—© <у< +0
—2<y<+00
Монотопность
монотонно
MOHOTONHO
| мопотонио
MOHOTOIIHO
|
возрастающая
убывающая
возрастающая
убывающая
Нули
нет
нет
x=]
x=1
Точки пересечения с OCbIO орди-
y=!
y=!
нет
нет
нат
lim ff (x)
+00
0
+со
—©
Хх +0
lim Л (x)
0
+%
ner
нет
х> —@
Графики показательных и логарифмических функций см. в 1.2.2.2. Таблицы значений показа-
тельной и логарифмической функций см. от 1.1.1.10 до 1.1.1.12.
2.5.2.3. Гиперболические функции H обратные к ним.
2.5.2.3.1. Определение гиперболических функций.
Синус гиперболический
Косинус гиперболический
ее*
ее*
›==sh
=>
=chx=
y=shx
5
у=сх
5
214
2.5.2.3.2. Свойства гиперболических функций.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Тангвнс гиперболический
x
-x
e~—e@
у=Шх = —~———
|
e+e *
Секанс гиперболический
2
=schх=——----—
у
e*+e*
Komaneenc гиперболический
yoshx
y= cha
у= Шх
y=cthx
Область определения
--<<{у
У<<+х
—у <х<+хл
-х <х<ф4х
X#0
Область значений
ихOPS+
Ру+
ух tl
хх <у<-|
+] <и< +х
Нули
v=0
ict
v=: 0
нет
Асимптоты
нег
нет
ye|
x=0
y= +1
lim Г (x)
+.
+х
+1
+!
хз +0
Монотонпость
монотонно
(-x,0)
MOHOTOIHO
(—~. 0)
возрастиет
монотонно
возрастает
монотонно
убывает. (0, +-х.)
убывает, (0, +)
MOUOTOHHO
MOHOTOHHO
возрастает
убыпает
Экстремумы
нет
минимум v= 0
нет
нет
Точки перегиба
Х==0
нег
х==0
нет
Функция
r
нечетная
чегная
нечегная
нечетная
Графики гиперболических функций см. в` 1.2.2.3. Таблицы значений гиперболических функций
см. в 1.1.1.10.
2.5.2.3.3. Соотношения между гиперболическими функциями. Приведенные
ниже равенства аналогичны соотношениям межлу тригонометрическими функциями.
Замечание. Равеиства, в которых гиперболические фупкции / встречаются в форме / (x) или f (ax), могут быть
получены по аналогии с выводом соолношений лия соответствующих трнгонометрических функций, если формально
заменить sin xX на ish x и 60$ х на chy, где Р = --1 (см. также 3.4.1).
Примеры. cos? x + sin? x = | преобразуется в
СВХ+?sh?x=ch? x—sh?y=1;
sin 2x = 2 sin x cos x преобразуется в
Основные соотношения
shx
thx=rooэ
cthx=
chx
cth x
esch x = ~--.-----, h2 x
chx
cth?x—csch?x
ish 2x = 2) shxchy, или
chx
a
oer
sh x’
—sh?x=1,
zx: |,
t
schX=—---
sh 2x -=2shxch Хх.
sch?x+th?x=1,
th xcthx = 1.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫЕ К НИМ
215
sh? x
ch? x
th2 x
cth2 x
| sch2x
csch? x
sh? x
—
ch?x—1 _th’x_
i
d= sch? x
tl
1—th?x
cth?x—1
sch? x
csch? x
ch?x sh?x+1
- тех |ест |wey ae
thes wear | “т”
-|cars
Г-жех | iar
Теоремы сложения для суммы и разности аргументов.
sh(xt+y)=shxchy+chxshy, ch(x+y)=chxchy+chxshy,
thx +thy
{+cthxcthy
В(х+у)=
‚С(ху)=
.
ХУ)
[+ @ШхШшу
(«+ ») cthx + «Пу
Теоремы сложения для двойного и половинного аргументов.
2
2
2Шх
1-+cth?x
sh2x=2shxchx, ch2x=sh*’x+ch*x, th2x = ——-+--, cth2x = т,
1+th?x
2cthx
x
vente
shz=И(свх—1/2 при x20, sh5=-—У(свх—-1/2 при х<0,
х
х
shx
chx—1
x
shx
chx+ |
h-— =
h
12,th—=
=>
5th—=
=
°2Усх+Dy
2сх+1
shx
С2chx—|
shx
Сумма и разность зиперболических функций.
+
_
shx+sh y=2sh о ch xt?
chx+chy=2ch
2
2
2°
х+
x
sh(x+
chx—chy=2sh
y sh > Шх+Шу= sh(x ty)
2
2
chxchy
Формула М уавра.
(chx+shx)"=chnx+shих.
2.5.2.3.4. Определение обратных гиперболических функций. Функдии, обрат-
ные к гиперболическим, называются Также ареафункциями. Они определяются следующим образом:
ареасинус
ареакосинус *)
у=Arshx,еслиx=shy;
у =Arch x, если x =chy;
ареатангенс
ареакотангенс
у=Arthx,еслиx= у;
у=Arcthx,еслиx=cthу.
Aenoe выражение обратных гиперболических функций через логарифмические фучкцьи. Если
приведенные в 2.5.2.3.1 функциональные уравнепия разрешить относительно х и затем формально
поменять переменные местами, то получим
И
у=Arshx=In(x+Их?+1),
|у=Archx=In(x—Их?
—
1) (для х>Ти —-w<y <0),
у=Archx=In(x+Их?+1) (дляx>1и0О<у< 400),
V/ie+:
1 l+x
y=Arthx = п / wtx in voy (при |x| <1),
]
x+1
y=Arthx=пИх =>Inae (при|x|>1).
*) Следует учесть, что у = сй х нс во всей области определения — монотониая фупкция. Сосдовательно, обратную
функцию получают для каждого из JIBYX промежутков мопотоиности.
216
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Графики ареафункций получаются из графиков соответствующих гиперболических функций
зеркальным отражением относительно прямой у = x (см. 1.2.2.3).
и
2.5.2.3.5. Свойства обратных гиперболических функций.
у = Arshx
у = Archx
y=Arthx
у =Arcthx
Область определения
— < <х<+ю
l<x<+0
—-l<x< 41]
—х <х<-|
+1 <х< +х
Область значений
—и<у< +-У.
0<y<+x
—х <у<+х
—х <у<+х
или
y#I
—х <у<0
Нулн
х=0
х=|
х=0
нет
Асимптоты
нет
нет
х=+!
y=0
x=+1
Поведение на бесконечности! Шт Arshx = +х| lim. Archx = +%
—
lim Arcth.x= 0
х> +х
Xo +x
|
x7 4х
или
lim Archy=—2
х> +%
Точки перегиба
х=0
нег
x=0
нет
Фуикция
нечетпая
ни четная,
печетная
нечетная
ни нечегная
2.5.2.36. Соотношения между обратными гиперболическими функциями.
Arsh x
Arch x
Arth x
Arcth x
-_——_.
-
x
Arsh x
_
+ Arch Их? +!
Arth _*
Arcth —————-.
x?+|
x
.
Ш
21
x
Arch x
+Arsh Их? — |
—
+Arth Vert
+Arcth ———.
x
Их? —1
р
|
1
Arth x
Arsh ===
Arch sss
_
Arcth —
Их?-1
х?—|
x
1
x
t
Arcth x
Arsh ——=====
+Arch ее
Arth —-
—
Их?—|
Их?—|
x
=
Если в таблице встречается знак +, то для х > 0 берется знак +, а для x < 0 берется знак —.
Arshx+Arshу=Arsh(xИ!+2+уYl+x),
Archx+Archу=Arsh(ху+V(x?—1(2-1),
Arthx+Arthy=Arth ~~
>=
Г
—
rth x+ Arth у
lt xy
|ху
Arcth x + Агс у =Arcth
.
x+y
ПЛАНИМЕТРИЯ
217
2.6. ГЕОМЕТРИЯ
2.6.1. ПЛАНИМЕТРИЯ
Треугольник. Сумма двух сторон в треугольнике (рис. 2.9) больше третьей стороны: b + ¢> a4.
Сумма углов в треугольнике равна 180°: аи + В+ у = 180°.
Треугольник определен, если заданы следующие его элементы: 1) три стороны; 2) две стороны
и угол между ними; 3) сторона и два прилежащих к ней угла. Если заданы две сторопы и угол,
противолежащий одной из сторон, то при помощи этих элементов можно построить либо два,
либо один, либо ни одного треугольника (рис. 2.10); подробнее см. 2.6.3.1.2.
Медианой называется отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой про-
тиволежащей ей стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке
— центре тяжести
b
Puc. 2.9.
Рис. 2.10.
Рис. 2.12.
Рис. 2.13.
треугольника (рис. `2.11)— и делятся этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины). Длина
медианы, проведенной к стороне а, равна
И2(62+с?) a?
та=
2
(см. также 2.6.3.1.2).
Биссектрисой треугольника называется отрезок прямой, которая делит его внутренний угол
пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной
окружности (рис. 2.12); о радиусе вписанной окружности г см. 2.6.3.1.2. Длина биссектрисы угла и
вычисляется по формуле (см. также 2.6.3.1.2)
_be[(b+5)?—a?]
7
b+e
=
|,
Центр описанной окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных
к сторонам треугольника в их серединах (рис. 2.13); о радиусе описанной окружности К см. 2.6.3.1.2.
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треуголь-
ника на противоположную сторону. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой
его ортоцентром; о длинах высот h,, Йь, h, см. 2.6.3.1.2.
Высота, медиана и биссектриса, опущенные на одиу и ту же сторону, совпадают, если две
другие стороны треугольника равны (равнобедренный треугольник). Совпадения двух из этих отрезков
достаточно для того, чтобы треугольник был равнобедренным.
| Для равпостороннего треугольника (а=ф =) центры вписанной и описанной окружностей,
центр тяжести и ортоцентр совпадают.
Средней линией называется отрезок прямой, соединяющий середипы двух сторон треугольника;
она параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.
Площадь треугольника:
S=bh,/2=(absiny)//2=г(a+b+c)/2=abc/(4R)=Vp(p—a)(p—b)(p—с),
roe p=(a+b+c)/2*).
Прямоугольный треугольник (рис. 2.14): с — гипотенуза, а и b — катеты. Имеют место равенства:
а?+b?=с?(теоремаПифагора),h?=mn,a?=mc,р?=пс.Площадь:$=ab/2=a?tgB/2=с?sin28/4.
Тригонометрические формулы, относящиеся к треугольнику, см. в 2.6.3.1.1.
Треугольники (а также многоугольники с одинаковым числом сторон) подобны, если у них
соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциопальны. Для подобия треугольни-
ков достаточно выполнения одного из следующих условий: |) три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого; 2) два угла одного треугольника равны двум углам
*) hy означает высоту, опущенную па сторопу Ь ‘треугольника.
218
_
ГЕОМЕТРИЯ
другого; 3} две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треуголь-
ника, а углы, заключенные между ними, равны.
|
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам соответствующих линейных элементов
(сторон, высот, диагоналей и т. п.).
Нараллелограмм (рис. 2.15). Основные свойства: |) противоположные стороны равны; 2) проти-
воположные стороны параллельны; 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам; 4) проти-
воположные углы равны. Наличие у четырехугольника одного из этих четырех свойств или
Ys
a
n|
ed
a
4
Г
b
а
ии
Ш C--7
a
a
Puc. 2.14.
Рис. 2.15.
Рис. 2.16.
Рис. 2.17.
Рис. 2.18.
равенства и параллельности одной пары противоположных сторон вызывает как следствия все
остальные свойства.
Диагонали и стороны связаны соотношением 42 + 42 = 2 (а? + р?). Площадь: 5 = ah.
Прямоугольник и квадрат. Параллелограмм является прямоугольником: (рис. 2.16), если: 1) все
углы прямье или 2) диагонали равиы (одно из этих свойств есть следствие другого}. Нлощаль:
5=ab.
Прямоугольник есть квадрат (рис. 2.17), если a= b. Имеют место формулы 4=а И2 = 1,414а;
а=И?4/2=0,7074.Площадь:5=а?=42/2.
Ромб. Гараллелограмм является ромбом (рис. 2.18), если у него: [) все стороны равны, или
2) диагонали взаимно перпендикулярны, или 3) диагонали делят углы параллелограмма пополам
(одно из этих свойств влечет как следствия два остальных). Площадь: 5 = ий = a? sina = 4, 45/2.
‚ Tpaneyusn -- четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны
(рис. 2.19), а и В - основания трапеции, h — высота, т — средияя линия (отрезок прямой, соединяю-
щий середины непараллельных сторон): т = (а + b)/2. Площадь: 5 = (a+ Ь) h/2 = тй. Если 4 = с, то
говорят о равнобочной трапеции. В этом случае
$=(а—ссо$y)csiny=(6+ссоз$у)сяту.
Четырехугольник (рис. 2.20). Сумма углов всякого выпуклого четырехугольника равна 360°;
a+b? 4-07 +d? = 2+ 42 + 4т?, где т - отрезок, сосдиняющий середины диагопалей. Площадь:
$ = (4,45 sin w)/2.
.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда atc=b+d
(описанный четырехугольник, рис. 2.21, а). Около четырехугольника можно описать окружность тогда
a)
Puc. 2.19.
Puc. 2.20.
Рис. 2.21.
Рис. 2.22.
Рис. 2.23.
и только тогда, когла «+ у = В +д = 180° (вписанный четырехугольник, рис. 2.21, 6). Для вписанного
четырехугольника ас + Ба = dyd2. Площадь вписанного чегырехугольника:
$ = /(p — a) (р — pb) (p —c)(p _ 4), гле p=(a+b4+c4d)/2.
Многоугольник (рис. 2.22). Если число сторон равно п, то сумма впиутренних углов равна
180° (п — 2). Сумма внешних углов равиа 360° (речь идет о выпуклых многоугольниках). Площадь
определяют, разбивая многоугольник па треугольники.
Если у многоугольника все стороны и углы равиы между собой, то говорят о правильном
многоугольнике (рис. 2.23). Для правильных многоугольников с п сторонами имеют место следующие
соотношечия: центральный угол а = 360°/n, внешний угол В = 360°/n, внутреиний угол у = 180° — В.
Если К -- радиус описанной, а г- радиус вписанной окружности, то сторона а=2 ИЕ? —y*.
= 2R sin (9/2) = 2r tg (a/2). Плоицадь: $ = nar/2 = nr? tg (a/2) = В? sin 9/2 = na? ctg (5/2)/4.
ПЛАНИМЕТРИЯ.
Данные об отдельных правильных многоугольниках см. в следующей таблице.
219
$
$
$
R
a
a
Г.
к.
n
a
RE
r
а
в
В
r
a
3
0,4330 1.2990 5.1962
0,5774
2,0000
1,7321
3,4641
0,5000
0,2887,
4
1,0000 2,0000 4,0000
0.7071
1.4142
1,4142
2,0000
0,7071
0,5000
5
1,7205 2,3776 3,6327
9,8507.
{,236]
1,1756
1,4531
0,8090
(0,6882
6
2,5981 2,5981 3,4641
1.0000
1,1547
1.0000
1.1547
0,8660
0,8660
7
3,6339 2,7364 3.3710
1,1524
1,1099
0,8678
0,9631
0,9010
1,0383
8
4,8284 2,8284 3.3137
1.3066
1,0824
0,7654
0,8284
0,9239
1,207]
9
6,1818 2,8925 3,2757
1,4619
1,0642
0,6840
0,7279
0,9397
1,3737
10
7,6942 2,9389 3.2492
1,6180
1.0515
0,6180
0,6498
0,9511
1,5388
12
11,196 3,0000 3.2154
1.9319:
°},0353
0.5176
0,5359
0,9659
1,8660
15
17,642 3,0505 3,1883
2,4049
1.0223
0.4158
0,4251
0,9781
2,3523
16
20,109 3,0615 3,1826
2,5629
1.0196
0,3902
0,3978
0,9808
2,5137
20
31,569 3,0902 3,1677
3,1962
1.0125
9,3129
0,3168
0,9877
3.1569
24
. 45.575 3,1058 3,1597
3.8306
1,0086
0.2611
0.2633
0,9914
3,7979
32
81,225 3,1214 3.1517
5,1012
1.0048
0,1960
0,1970
0,9952
5,0766
48
183,08
3,1326
3,1461
7.6449
1.0021
0.1308
(, 1311
0,9979
7,6285
64
325,69 3,1366 3,1441
10,190
1.0012
0,0981
0,0983
0,9988
10.178
Элементы правильных многоугольников.
Обозначения: п — число сторон, 5 -- илощадь, и --
г — радиус вписанной окружности
Окружность. Ралиус г, диаметр 4.
сторона, В — радиус описанной окружности,
Углы, связанные с окружностью *): вписанвый утен я = BC/2 (рис. 2.24), угол между хордой
и касательной В == АС/2 (рис. 2.24), угол между хордами у = (СВ + ED)/2 (puc.»2.25), между секущими
A
8
[=> A
D
C
Puc. 2.24.
Рис. 2.25.
Puc. 2.26.
Puc. 2,27.
a =(DE — BC)/2 (рис. 2.26), между секущей и касательной B= (ТЕ — ГВ)/2 (рис. 2.26), между каса-
тельными © = (ВОС — BEC)/2 (рис. 2.27).
Пересекающиеся хорды (рис. 2.25):
АС.АВ=АВ.АЙ” --Ш.
Секущие (рис. 2.26):
АВ.АЕ=АС.АД==ДТ?=m—Pr.
Длина окружности С и площадь круга 5:
п == СШ 3,14: 592653589793.
С=2 Из x 3,545 |/5,
$ = С4/4 = 0,25Cd,
С = 2ar = 6,283", C= пах 31424.
”
$ =r? x 3,1422, $ = nd?/4 = 0.78547,
r= C/(2n) = 0,159C, Чин = 1,128 /5;
см. такжс таблицы 1.1.).13 и‘[.(.1.14.
*) В этих равеиствях фигурируег не динна дуги, а ее угловая мера, совпадающая с мерой соответствующего
центрального угла.
220
ГЕОМЕТРИЯ
Сегмент и сектор (рис. 2.28). г- радиус, |— длина дуги, а -— хорда, а — центральный угол
(в градусах), h — высота сегмента:
a=2|/2hr—h?=2rsin(9/2),
h =r —/r? — (a?/4) = #(1 — cos (а/2)) = (a/2) tg («/4),
| = 27/360 = 0,01745ra.
Приближенно:
1) 1= (8b — a)/3;
2) 1= Иа? + (16h?/3).
Площадь сектора: S = nr?a/360 = 0,00873r7a.
Площадь сегмента:
$: =r? [(па/180) — sin w]/2 = [Ir — a (r — h)]/2.
Puc. 2.28.
Рис. 2.29.
Приближенно: 5, ~ й (ба + 85)/15. Таблицы для S,, 1, h wv acm. в п. 1.1.1.15.
Круговое кольцо (рис. 2.29). р =28 - внешний диаметр, 4 = 2" — внутренний диаметр, р =
= (В + )/2 — средний радиус, 6 = К —r — ширина кольца.
Площадь кольца: $ = 1 (К? — и?) =п (р? — d?)/4 = 2прб.
Площадь части кольца (заштрихована на рис. 2.29) с центральным углом ф (в градусах) равна
ео OF (раOF og
360 (RT) = 1440(Po 8) = 180 PO
ъ
2.6.2. СТЕРЕОМЕТРИЯ
2.6.2.1. Прямые и плоскости в иростраистве.
Две прямые (не совпадающие), лежащие в одной плоскости либо имеют одну общую точку, либо
не имеют ни одной. В последнем случае они параллельны. Если через две прямые нельзя провести
плоскость, они называются скрещивающимися.
Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между параллельными им пря-
MbIMH, проходящими через одну точку (рис. 2.30). Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно длине отрезка прямой, пересекающей обе заданные прямые и перпендикулярной к ним.
Две плоскости (не совпадающие) или пересекаются по одной прямой, или не имеют общих
точек. Во втором случае они параллельны. Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же
LL S|
sai
L~/Рис. 2.30.
Рис. 2.31.
Рис. 2.32.
Рис. 2.33.
прямой или если на каждой из них имеется по две пересекающихся прямых, соответственно
параллельных между собой, то эти плоскости параллельны.
Прямая и плоскость. Прямая может лежать целиком в данной плоскости, иметь с ней одну
общую точку или не иметь ни одной. В последнем случае прямая параллельна плоскости. Угол
между прямой и плоскостью измеряется углом между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 2.31).
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпенди-
кулярна к любой прямой на плоскости (перпендикулярна к плоскости).
2.6.2.2. Двугранные, многогранные и телесные углы. Двугранный угол — фигура, образованная
двумя полуплоскостями, выходящими из одной прямой. Двугранный угол измеряется своим
линейным углом АВС (рис. 2.32), т.е. углом между перпендикулярами к ребру РЕ двугранного
угла, восставленными в обеих плоскостях (гранях) из`одной точки.
Многогранный угол OABCDE (рис. 2.33) образуется несколькими плоскостями (гранями), имею-
щими общую точку (вершину) и пересекающимися последовательно по прямым OA, ОВ, ..., ОЕ.
МНОГОГРАННИКИ
22]
(ребрам). Два ребра, принадлежащие одной грани, образуют плоский угол многогранного угла,
а две соседние грани — двугранный угол. Многогранные углы равны (конгруэнтны), если они при
наложении совпадают; для этого должны быть равны соответствующие элементы (плоские и
двугранные углы) многогранных углов. Если соответственно равные элементы многограпного угла
расположены в обратном порядке, многогранные углы при наложении не совпадают; в этом
случае их называют симметричными, т.е. они могут быть приведены в положение, изображенное
на рис. 2.34.
‚ Выпуклый многогранный угол лежит целиком по одну сторону от каждой его грани. Сумма
плоских углов 2 AOB+ z BOC +...+ 2 EOA (рис. 2.33) любого выпуклого многогранного угла
меньше 360° (или 27).
Трехгранные углы равны, если они имеют: 1) по равному
двугранному углу, заключенному между двумя соответственно
равными и одинаково расположенными плоскими углами, или
2) по равному плоскому углу, заключенному между двумя
соответственно равными и одинаково расположенными двугран-
ными углами, или 3) по три соответственно равных и одипаково
расположенных плоских угла, или 4) по три соответственно
равных и одинаково расположенных двугранных угла.
Телесный угол — часть пространства, ограниченная прямыми,
проведенными из одной точки (вершипы) ко всем точкам
какой-либо замкнутой кривой (рис. 2.35). Он характеризует
угол зрения, под которым ‘из вершины видна данная кривая.
Рис. 2.34.
Рис. 2.35.
Мерой телесного угла является площадь, вырезаемая телесным
углом на сфере едипичного радиуса с центром в вершине. Например, для конуса с углом при
вершине 120° телесный угол равен п (см. формулы в 2.6.2.4).
2.6.2.3. Многогранники. Обозначения: V— объем, 5 — полная поверхпость, М — боковая поверх-
ность, h — высота, Е — площадь основания.
М ногограпник — тело, ограниченное плоскостями.
Призма (рис. 2.36). Основания
— равные многоугольники; боковые грани — параллелограммы.
Призма
— прямая, если ее ребра перпендикулярны к плоскости основания. Призма
— правильная,
если она прямая и ее основания — правильные многоугольники.
Имеют место соотношения: М =рЬ где |— длина ребра, р — периметр сечения призмы
плоскостью, перпендикулярной к ребру; 5 = М +2Е; V= Fh.
[
—= {Cc
I
eet
! “7”
d
рай—ee ee
——т-
и
р
a
Puc. 2.36.
Рис. 2.37.
Рис. 2.38.
Рис. 2.39.
Для треугольной призмы, усеченной не параллельно основанию, V = (а + Ь + ©) 0/3 (рис. 2.37),
где а, 6, c — длины параллельных ребер, О — площадь перпендикулярного сечения.
Для п-гранной призмы, усеченной не параллельно основанию, И= Ю, где | — длина отгрезка
прямой ВС, соединяющего центры тяжести оснований, О — площадь сечения, периеидикулярного
к этой прямой.
-
Параллелепипед (рис. 2.38) — призма, у которой осиовапия — параллелограммы. В параллелепи-
педе все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Параллелепипед
называется прямоугольным, если он прямой и его основапия — прямоугольники. В прямоугольном
параллелепипеде (рис. 2.39) все диагопали равны. Если а, b, с — ребра. прямоугольного параллеле-
пипеда,а4—егодиагональ,тоd?=а?+р?+с*,И=абс,$=2(ab+be+ca).
Куб — прямоугольный параллелепипед с равными ребрами: и=р=с, 4? = 342, ИУ= аз, S = 6a’.
Пирамида (рис. 2.40). Основанием является какой-либо многоугольник, боковые грани — ‘треуголь-
ники, сходящиеся в одной вершине. Пирамида пазывается п-угольной, если в ее основании лежит
п-угольник; И = Fh/3.
222
|
ГЕОМЕТРИЯ
Если пирамида пересечена плоскостью (рис. 2.41), параллельной основанию, то
SA, SB, _ SC,
SO, площадь ABCDEF -( SO )
АА ВВ СС °° 0,0’ площадь A,B,C,D\E\F, \ SO, )’
где SO - высота пирамиды, т.е. отрезок перпендикуляра, опущеиного из вершины на основание.
Пирамида называется привильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник,
а высота проходит через его центр. Для правильной пирамиды М = pb/2 (где р — периметр осно-
вания, а b — высота боковой грани (апофема)).
Рис. 2.40.
Рис. 2.41.
Рис. 2.42.
Рис. 2.43.
Треугольная пирамида (рис. 2.42). Если OA =a, OB = b, ОС=с, ВС = р, CA=q " АВ = г, то
0г?4?а?|
1 r?>0p*?b71
V=-- —
4?р?0621
288 а?Ь?<2?01
1ttt@
COUCHHUH пирамида (плоскость сечения параллельна основанию, рис. 2.43). Если Е -- площадь
нижнего основания, / — площадь верхнего основания, h — высота (расстояние между основаниями),
аи А- длины двух соответственных сторон оснований, то
И=в[Е++ ИЕД =ВЕ[1+(a/A)+(а/А)?3.
для правильной усеченной пирамиды М = (Р +р) 5/2, где Р и р- периметры соответственно ниж-
него и верхнего оснований, р — высота боковой грани (апофема).
Рис. 2.44.
Рис. 2.45.
Рис. 2.46.
Обелиск. Нижнее и верхнее основания являются прямоугольниками, расположенными в парал-.
лельных плоскостях; противоположные боковые грани одинаково паклонены ‘к основанию, но
HC пересскаются в одной точке (рис. 2.44). Если а, Би ay, by — сторопы оснований, h — высота, то
V=h[(2a+а,)b+(2a,+a)b,1/6=h[ub+(a+ay)(b+by)+а,|/б.
Клин. Основание — прямоугольник, боковые грани — равпобедренпые треугольники и равиобоч-
ныс трапеции (рис. 2.45):
р:(р)
И= (2a + a) bh/6.
Правильные многограииики. Все грани — равные правильные многограниики, и все многогранные
углы равны. Существует ровно пять правильных многогранников (рис. 2.46) (см. табл. на с. 223).
ТЕЛА, ОБРАЗОВАННЫЕ ИБРЕМЕЩЕНИЕМ ЛИНИЙ
223
Число
Название
Число граней и их форма
п олная
Объем
ребер
вершин
поверхность
Тетраэдр
4 треугольшика
6
4
1,7321 а2
0.1179а^.
Куб
6 кзадратов
12
8
ба?
as
Октаэдр
8 треугольников
12
6
3,4641 a?
0.4714а\
Додекаэдр
12 нягиугольников
30
20
20,6457 а-
7,663 1а2
Икосаэдр
20 треугольников
30
12
8,6603а?
2,1817а^
Элементы правильных многогринников (а — длина ребра).
Теорема Эйлера. Если e — число вершин выпуклого многогранника, f — число граней и К — число
ребер, то е-- К + Д=2.
Примеры см. в таблице правильных многогранников.
2.6.2.4. Тела, образованные перемещением лилий. Обозначения: И -- объем, 5 — полная поверх-
ность, М — боковая поверхность, h — высота, F -- площадь основания.
Цилиндрическая поверхность (рис. 2.47) образуется прямой линией (образующей), перемежающейся
параллельно заданному направлению вдоль некоторой кривой (направляющей).
Цилиндр (рис. 2.48) — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляю-
щей и двумя параллельными плоскостями, являющимися основаниями цилиндра. Для любого
` цилиндра (р-— периметр основания, р; -- периметр сечения, перпендикулярного к образующей,
О — площадь этого сечения, | — длина образующей) М = ph = p,l, И = ЕЙ = Ql.
Рис. 2.47.
Рис. 2.49.
Рис. 2.50.
a
Вершина
Рис. 2.51,
Рис. 2.52.
Рис. 2.53,
Рис. 2.54.
, Круговой прямой yuaundp имеет в основании круг, и его образующие перпендикулярны
к плоскости основания (рис. 2.49). К -- радиус основания; М = 2nRh, 5= 21 (В +1), И=т8?7й.
Усечемный круговой цилиндр (рис. 2.50).
Г
Vf.
h,—h, >
>Ay+h,
hythy+В+|/В+[5 |У=wR?-—-5—
Отрезок цилиндра —- «копыто» (обозначения см. на рис. 2.51; a = 0/2 — в радианах).
V=h[а(3R?—a*)+3R?(b—К)«]/(35}=AR?[sinа—(sin?а)/3—acos4/6, М=2Rh[(b—Ка ЦЬ
M=nR(h, +h2), S=rk
‘
(формулы остаются в силе для случая 6 > В, ~ > 7).
Цилиндрическая труба (рис. 2.52). К и г-- виешвий и внутренний радиусы, 6 = К — г, р = (К +!)/2
(среднийрадиус); V=wh(В?—r*)==hd(2R—6)=hd(2r+5)==2кйбр.
Коническая поверхность (рис. 2.53) образуется прямой линией (образующей), перемещатощейся
вдоль кривой линии (направляющей) и имсющей исподвижную точку (вершину).
Конус (рис. 2.54) -- тело, ограниченное конической поверхностью с замкнутой направляющей
и плоскостью образующей основание. Для любого конуса V = НЕ/З.
224
ГЕОМЕТРИЯ
Круговой прямой конус (рис. 2.55) имеет в основании круг, и его высота проходит через центр.
круга (!—.длина образующей, К — радиус основания). М = К! = дВ ИК? + h?, $ =лК (Е +1),
V = nR*h/3.
|
Усеченный прямой конус (рис. 2.56).
1=ИР-+(В-2)?, Maal(R4n, Ули? + Rn/3, НЕВ+НДВ — 0).
Копические сечения см. в 2.6.6.1.
Сфера — поверхность шара (рис. 2.57). (Обозначения: К — радиус сферы, D = 2R — диаметр сферы.)
Любое сечение сферы плоскостью есть круг. Под большим кругом — кругом радиуса К — понимают
сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Через всякие две точки сферы (не являю-
щиеся противоположными концами диаметра) всегда можно провести только один болыной круг.
Рис. 2.57.
тн—
|
Puc. 2.60.
Puce. 2.61.
Рис. 2.62.
Рис. 2.63.
Мсньшая дуга этого большого круга: является кратчайшим расстоянием на сфере между данными
точками. О геометрии на сфере см. 2.6.4.1. Поверхность сферы и объем шара:.
3,
3,
S = 4nR? = 12,5782, 5 = nD? = 3,14202,° S = |/36nV? = 4,836 |/У?,
V = 4nR3/3 = 4,189R3, У=лрзб = 0,5236р3, VV = |/S3/n/6 = 0,09403 /53,
—ee
.
3 —_——
3_.
R =\/S/n/2 = 0,2821 /S, В = |/3V (4) = 0,6204 //V.
Шаровой сектор (рис. 2.58). $ = пК (21 +а), И= 2nR7h/3.
Шаровой сегмеит (рис. 2.59).
а?=#(28- 1), М=жЕй =т(a?+h’),
$=п (2Rh + а?) = п(1? + 242), V=nh(3a? + h2)/6 = nh? (3R — h)/3.
Шаровой слой (рис. 2.60).
К? = a? + [(а? — 6? — #?)/(21)]?, M=2nRh, S=n(2Rh+a* +b’), V=nh (За? + 3b? + h?)/6.
Если И, — объем усеченного конуса, вписаиного в шаровой слой (рис. 2.61), и 1 — ero образую-
wasn, то И-— И, = whi?/6.
Тор (рис. 2.62) — поверхность, образованная. вращением окружности вокруг оси, лежащей
в плоскости этой окружности и не пересекающей ее.
$ = 4n?Rr = 39,488". — $= 1204 = 9.87004, V=2n?Rr? = 19,74Rr?, V= п? Dd2/4 = 2.467 Ра?.
Бочка (рис. 2.63). Для круговой. бочки (образующая — дуга окружности) приближенно
И= 0,262h (2D? + 4?), или Vx 0,0873h (2D +4.
Для параболической бочки V= rh (8D? + 4Dd + 3d?)/60 = 0,05236h (8D? +- 4Dd + 3d?).
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ: |
225
2.6.3. ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
Радианное измерение углов. Наряду с обычным в практике градусным измерением
углов, при котором полный.угол равен 360°, прямой угол 90°, каждый градус делится на 60 минут
(1°
= 60’), минута - на 60 секунд (1' = 60"), используют безразмерное радианиое измерение углов,
прежде всего в теорегических вопросах, особенно для тригонометрических функций (см. 2.5.2.1).
При этом величина центрального угла а в произвольном круге определяется как отношение длины
дуги [ на которую этот угол опирается, к радиусу К: а= ИК. В круге радиуса | (единичном
круге) радианная мера угла равна длине дуги, которую вырезают стороны этого угла.
За единицу измерения принимается радиан — центральный угол для дуги, длина которой равна
радиусу.
Радианиая мера полного угла равна 21, прямого угла п/2. Если & -- мера угла в градусах,
а а -- мера того же угла в радианах, то переход от одной меры к другой производится по фор-
мулам
и
&=---—9.
(2.30)
uc
=—~—Of
180 °
1
Таблицы для перевода градусов в рацианы см. в 1.1.1.16.
2.6.3.1. Решение треугольников.
2.6.3.11. Решение прямоугольного треугольника. Обозначения: a, Ь — катеты,
с — гипотенуза, а, В — углы, противолежащие соответственно сторонам ди 6.
Эсновные соотношения:
и+В=90°;
$11©=с0$В=а/с, cosa=sinВ=b/c,
(2.31)
iga-=ctgPp=a/b, ctga=tg p = Ба.
(2.32)
2.0.3.1.2. Решение косоугольного треугольника. Обозначения: а, b, с — стороны,
a, В, у — противолежащие им углы, р = (a+ b+ ©)/2 -- полупериметр, К -- радиус описанной окруж-
ности.
Освовные соотношения:
и+В+у
=
180°.
Теорема синусов.
b
:
seeEe Se =DR,
(2.33)
Sino sinВ siу
Теорема косинусов..
c?=а?+b?—2abcos¥.
(2.34)
Дополнительные COOTHOMCHHA:
Теорема тангенсов.
а-ь _ tg((@— B)/2) _ tg ((a — B)/2)
7
=:
2.35
a+b — tg (a + B)/2) ctg (y/2)
ee)
Теорема половинного угла.
у_|/Ф-яф-Ь
=
;
2.36
83 /pp-6)
“=
_ ¥ — |/{p—a)(p—6).
|
sin>=/
ab
;
(2.37)
COsy=/ oT
(2.38)
Формулы Мольвейде.
+6._cos(а-—B)/2)_cos(а~В)/2)
(2.39)
с sin (7/2) cos (а + B)/2)’
|
a--b_мп(а-В)/2)_sin(а—В)/2)
(2.40)
с
со$ (/2) эт (a +8В)/2)°
226
ГЕОМЕТРИЯ.
Формула косинусов (теорема о проекциях).
c=acosB
+Ьсо$а.
(2.41)
Формула тангенсов.
tey- ста _ csinВ .
(2.42)
b—ccosa atccosB
Остальные соотношения получаются из формул (2.34)—(2.42) соответствующей циклической
перестановкой сторон а, b, с и соответственно углов a, В, 7.
Основные случаи решения треугольников.
I. Даны сторона и два прилежащих угла, например, с, a, В. Тогда третий угол также известен:
у = 180° — a — В. Стороны определяются по формуле (2.33):
_Sin& b sinB
ту’
sin у’
П. Даны две стороны и угол между ними, например, a, ВБ, у.
1) Решение при помощи формулы (2.34):
b222
с=Иа?+b?—2abcos7, с0$а= тетя
В = 180° -—a—y.
2) Решение при помощи формулы (2.35):
а—В a—b
у
а+В
у
|
_
в.
— 90°— 1,
b> a+b"2 2
2
а—В а+В
sin ¥
5 и 5можновычислитьaиВ,с=а
зная
sin a
Ш. Даны две стороны и угол, противолежащий одной из них, например, a, b,-a (a — против a).
b.
sinВ=—sina;
а
решение существует только тогда, когда bsina < а.
Различные случаи.
1) a> b; угол противолежит большей стороне; тогда a > В, В < 90° и треугольник определяется
однозначно.
2) а=Ь; тогда а = В и равнобедренный треугольник определяется однозначно.
3) a<b; угол противолежит меньшей стороне:
За) bsina < а; имеются два решения В, и В», В, +В. = 180°;
36) bsina =a; одно решение В = 90°; ©
3B) bsina > а; нет решений.
Далее,у=180°—а—В, с=ату
sin @
LV. Даны три стороны: a, b, с.
Из(2.36):tgaa (p—5)(p=6) иТ.Д.
2
p(p— а)
b2 .2
2
Из(2.34):cosa= re ° ИТ.Д.
2bc
Вычисление других величин треугольника (см. также (2.6.1)).
Радиус описанной окружности. R (см. также теорему синусов (2.33)).
7
р
R= 4 cos (0/2) cos (B/2) cos (у/2) |
(2.43)
Радиус вписанной окружности г.
aЕ
(2.44)
а
r =pigctgh tg x
(2.45)
ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОДЕЗИИ
227
Ваш © sin зщ".
г=4Кsin5sin5sin5}
(2.46)
Y
r=(p—c)tg >.
(2.47)
Высота h, на сторону с.
h,=asinВ=bsina.
(2.48)
Медиана m, на сторону с.
1sat)
Mm.=>Иа?+b?+246cos¥.
(2.49)
Биссектриса 1, угла 7.
I,-2accos(В/2)_2bccos(a/2).
(2.50)
- atc
b+c
Площадь 5.
1
$=5absinу;
(2.51)
$=2R?sinаsinBsinу;
(2.52)
я сsinаsinВо sinasinВ
(2.53)
7
2siny 2sin(a+f)’
|
Формула Герона.
$=rp=\/p(p—a)(p—b)(p—о.
(2.54)
2.6.3.2. Применение в элементарной геодезин. Определение недоступного расстояния.
В точках A, В могут быть измерены углы о, В, У и д между направлениями к точкам Ри О
и заданной прямой АВ (рис. 2.64). Пусть известно расстояние а = АВ
(или b = PQ) и требуется найти PQ (или АВ).
Для решения необходимо определить углы ф и W. Так как р является
углом при вершине как в треугольнике ABS, так и в треугольнике РОЗ,
имеем
1
1
5 ФУ (+=.
(2.55)
Применяя дважды теорему синусов (2.33), получим половину разности
искомых углов. Выпишем формулы:
|
АР/а=siny/sin(180°—«—В—y)=siny/sin(a+ В+У,
BQ/a = sin a/sin (a + y+ 5), Б/АР =sin B/sin.y, Б/ВО = sin 8/sin 9.
Из этих соотношений прежде всего получаем
В_
sinBsiny
_
sin6sinа
(2.56)
а sinsin(a+B+y) singsin(a+y+)’
откуда
sin@ sin6sinasin(a+B+¥)
-=—-
р
= tgn,
(2.57)
ту sinВsinysin(a+у+5)
где п — вспомогательный угол. Применяя операции сложения и вычитания, имеем
зпф—япуctgn—1
sng+siny ПЕ’
2cosИФ+W)/2)sin((Ф—)/2)_4845°ctgyn—1
(2.58)
2sin((p+W)/2)соз(ф—W/2) ety +ctg45°”
tg((@—W)/2)=tg((p+W)/2)ctg(45°+п)=tg(а+y)/2)ctg(45°+п).
228
ГЕОМЕТРИЯ
Отсюда можно определить => = (ф — \)/2, и тогда
ф=8, +6, W=& — 2.
(2.59)
Подставляя в (2.56), получим искомое расстояние.
Обратная задача. Пусть положение трех точек A, В, С определено относительно друг
друга при помощи отрезков АС=а и ВС-Ь, а также углом 2 АСВ=у. Пусть в точке Р
|
измерены углы: 2 CPA=a и хх СРВ =В. В общем случае можно
найти положение точки Р относительно точек А, В, С, т.е. однозначно
определить отрезки х, у, 2 (рис. 2.65). Для этого только необходимо,
чтобы точка Р не лежала на окружности, описанной вокруг треугольника
АВС. Имеем
ф+1==360°—(«+В+У)=281,
(2.60)
.
2.
.
2.
sing=”sna, ма =>sinB,
откуда
sin© bsina
Puc. 2.65.
эту asinB
где | — вспомогательный угол. Опять получаем выражение (2.58) и определяем ф и W из выраже-
ний (2.59). Подставляя эти значения в (2.60), найдем 2, a при помощи теоремы синусов (2.33)
получим затем х и у.
=ctg n,
(2.61)
2.6.4. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
2.6.4.1. Геометрия на сфере.
Большой круг. Если пересечь шар плоскостью, проходящей через его центр, то в сечении
шара получим большой круг, радиус которого равен радиусу шара. Если точки А и В не являются
противоположными концами диаметра, то через них можно провести только один большой круг;
длина меньшей его дуги являстся наикратчайшим расстоянием на сфере между этими точками
(геодезическая линия). Большие круги играют на сфере роль, аналогичную роли прямых на плоскости.
Двумя различными точками А и В, лежащими на сфере, определяется пучок плоскостей.
Каждая плоскость пучка пересекает шар по некоторому кругу. Если А и В не являются противо-
положными концами диаметра, то плоскость пучка, проходящая через центр шарг, определяет
наибольший круг пучка — большой круг. Остальные круги называются малыми кругами; плоскость,
перпендикулярная плоскости, содержахцей болышой круг, пересекает шар по наименьшему кругу.
Измерение дуг и углов на сфере. Измерение расстояний на сфере проводится вдоль
дуг большого круга. Длина дуги большого круга между точками A и В равна
АВ=Rx,
(2.62)
где К — радиус шара, а -- соответствующий центральный угол {измеряемый в радианах). Если
ограничиться случаем единичной сферы (радиус R= 1), то любую дугу большого круга можно
охарактеризовать соответствующим центральным углом в радианах. Угол пересечения дуг двух
больших кругов измеряется линейным углом. между касательными к
большим кругам в точке пересечения или, что одно и то же, двугранным
углом, образованным плоскостями больших кругов.
Сферический двууголъник. При пересечении двух больших
кругов на поверхности шара образуются четыре сферических двуугольника.
Площадь сферического двуугольника с углом &:
$ = 2R*a.
(2.63)
2.6.4.2. Сферический треугольник. Три пересекающихся. больших круга
образуют на сфере сферический треугольник. Три точки А, В и С,
из которых никакие две не являются противоположными концами диа-
Puc. 2.56.
мегра, определяют три больших круга, которые пересекаются в точках
A, В, С и диаметрально противоположных к ним точках А’ В’, С’
и делят поверхность шара на восемь сферических треугольников (рис. 2.66). При этом стороны
(дуги больших кругов) и соответственно углы некоторых из этих треугольников меньше x (R = 1);
такие сферические треугольники называются треугольниками Эйлера. Здесь рассматриваются только
треугольники Эйлера.
Примечание. Треугользик ABC, не являющийся треугольником Эйлера, с углом у=х AB>п, отличается
от полусферы, которая определяется большим кругом, проведенным черсз точки А и В, только на треугольник
ЭйлераВАСсуглом хВА=2h--у.
РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
229
Для трсугольника Эйлера (со сторонами а, b, с и противолежащими им углами м, В, у) имеют
место следующие утверждения.
,
1) Леразеиство треугольника. Сумма двух сторон больше третьей, разпосгь двух сторон меныше
третьей:
ath>e, ja-bl<e.
(2.64)
2) Сумма двух углов меньше, чем третий угол, увеличенный на п:
о+В<ул.
(2.65)
3) Наибольшая cropous противолэжит наибольшему углу:
a<h, ели “<; ash, если a= f.
4) Сумма углов заключена между п и Зи, сумма Cropon — межлу О и 2nR (R — радиус сферы):
д<у+В+у< 3, O<at+b+e< 20k.
(2.66)
Tatum образом, сумма углов сферического тоеугольника всегда больше 180”. Разность
НВ +у-- we
(2.67)
называется гф ерическим избытком или сферическим эксцессом. Через эту величину определястся
площадь сферическог or реугольиика:
$=:Re.
(2.68)
2.6.4.3. Pemenne сферических треугольников. В этом пункте мы ограпичимся случаем единичной
сферы (радяус К = 1).
2.6.4.3.1. Основные соотношения.
Теорема сипусов.
sinа sinb sinc
meee ER npn BE tere
2.69
ый& эт
=
sin y
(2.69)
Теорема косинусов сторон.
COS¢=Cos460$b+sinasinbcosУ.
(2.70)
Теорема косипусов углов.
Cos ==cosacosВ4+sinasinВcosс.
(2.71)
Чеорема половиипого угла.
т |/sin(p —a)sin(p ~b
sin(p--a)sin(p—b
sinpsin(р--c
вт. [/sa@=asing -) 1. |/ О т
psin(p~ 2) ор
2
sinpsin(р--с)
2
sina sin b
2
sin asin b
rae Qpsat bc.
Теореми половинной стороиы.
(с [ sinРма(Р-У)
с
sinPsin(P—7)
ip>=/:
>
‚NS=
~
:
2
sin(Р-x)sin(P--В)
2
sin&sinВ
(2.73)
,
е |/sin(P--м)sin(P—В)
cas —
’
2=}
эта sin В
где2Р=я+ВТ
-
a
Анилоеии Непера.
с а—В
ath
я+В
tg5.COSa aite—-57cosTy
(2.74)
с. anf
a-b.a+
(г ---SI creeree=
--3. sin--aa
2.75
85
5 в-;
5
(2.75)
у и--5
a+B
ath
и5COs—5-=вот
COs 7“,
(2.76)
у. ч-В
и:В . a+b
Ме --. ‹ ани Bee No49 еее QUID) eee. де.
.7
сё5sin 5
ty5sin5
(2.77)
230
ГЕОМЕТРИЯ
Формулы Даламбера (Гаусса).
sin+sinate=sin>cosa
(2.78)
sin>cosute=cos—cosЧЁ.
(2.79)
cos+sin4” =sinsin.———
о=zр ‚
(2.80)
cos+cosи =cos sin’“>B
(2.81)
(Из соотпошений (2.70)—(2.81) соответствующей циклической перестановкой сторон «a, В, с и углов
a, В, у получаются остальные соотношения).
Основные случаи решения треугольников.
la) Даны три стороны.
Из (2.72)
te—
85
sinpsin(р—а)
я_|=(p—b)sin(p—c)
Из (2.70)
cosa—cosbcosс
cosa = —-—— -
sin b sinc
16) Даны три угла. В противоположность плоскому треугольнику, сферический треугольник
в принциие однозначно определяется тремя углами. При этом должны быть выполнены неравенства
(2.65) и (2.66). Решение аналогично случаю Ia) по формуле (2.73) или (2.71).
Па) Даны Ове стороны и угол между пими, например, a, b, у.
1} Решение по формуле (2.70):
cosс=cosасо$b+sinasinbcosу,
cos а — cos bcosc¢
cosb—cosacosс
cosa =
-;
‚ cosp=
-
sin b sine
sinasinc
однозначно определяет с, a, В.
2) Решение по формулам (2.76) и (2.77): однозначно находим (a + 8)/2 и (a — B)/2, a Tem самым
a и В. Формула (2.69) дает
sin а
sin¢=siny sina’
с должно быть выбрано большим или меньшим, чем 5, в зависимости OT того, больше у, чем В,
или меньше.
16) Даны сторона и два прилежащих угла, например, с, a, В.
1) Решение при помощи формулы (2.71).
2) Решение при помощи формул (2.74) и (2.75) (аналогично Па)).
Ша) Даны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, например, а, 6, a.
sin a:
sinB=sinb
sin a
решение существует только тогда, когда sin bsin a < sin a.
Различные случаи.
,
1) зпа> шир: следовательно. sina> яп В; таким образом «>В. если a>b, и наоборот:
В определено однозначно.
2) sina = sin b; следовательно, sin a = sin В; как и в случае |), В определено однозначно.
3) яп а < sin b; следовательно, sin a < sin В.
3a) яп bsin a < sin а; имеются два решеиня В, и Вь: В, +В. =л:
36)sinЬзшa=ти;однорешениеВ=л/2;
3в) мп Ь sing > sin а; решений нет.
Далее, разрешив формулы (2.74) и (2.75) ((2.76) и (2.77) относительно tg (c/2) (ctg (у/2)). ио-
лучим си 7.
16) Даны два угла и сторона, противолежащая одному из них, например. a. &. В.
РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
231
.
snp .
.
Решение аналогично Ша): sinb = — Sin a; затем используются формулы — аналогии Непера
sin o&
(2.74) — (2.77).
Вычисление других величин, связанных CO сферическим треугольником.
Радиус описанного круга К.
aigR=|-sin(P—о)sin(P=В)sinРУ.
(2.82)
sin P
ctgВ=с5sin(a—P),
(2.83)
где 2Р=а+ В+ п.
Радиус вписанного круга г.
<.
ter=|=(p—a)sin(p—b)sin(p~6)|
(2.84)
sin p
a,
tgr=tg 5 sin (р — а),
(2.85)
где 2р=а+Ь+ с.
Сферический избыток = (формула Уильера).
Р
&
р р-а р-Ь р-с
== |/tg—t
87=4- ера в,
(2.86)
где 2Р =.
_
Связь между сферической тригонометрией и прямолинейной тригоно-
метрией.
Справедлива теорема Лежандра: площадь сферического треугольника с малыми сторонами
(поэтому и с малым сферическим избытком) почти равна площади плоского треугольника с теми же
сторонами; каждый угол плоского треугольника примерно на одну треть сферического избытка
меньше, чем соответствующий угол сферического треугольника.
|
|
Теорема синусов, теорема косинусов и теорема о половинном угле в сферической тригоно-
метрии для малых сторон (или, что то же самое, для болыпого радиуса шара К) переходят
в соответствующие теоремы прямолинейной (плоской) тригонометрии._
2.6.4.3.2. Решение прямоугольных треугольников. Обозначения: a, Ь — катеты,
с — гипотенуза, a и В — углы, противолежащие соответственно сторонам а
и
6.
Основные соотношения:
sina=cos(90°—a)=sinаsinс,
(2.87)
sinb=cos(90°—b)=sinBsinc,
(2.88)
‘sinс=sin(90°—a)sin(90°—b)=cosacosb,
(2.89)
cosa=sin(90°—a)sinВ=cosаsinВ,
(2.90)
cosВ=sin(90°—b)sina=cosbsina,
(2.91)
sin a = cos (90° — a) = ctg (90° — b)ctgB=tgbctgB, (2.92)
Рис. 2.67.
sin =cos(90°—b)=ctg(90°—а)ctga=tgactga,
(2.93)
cosc =ctgac g В,
(2.94)
cos a = ctg (90° — b)ctgc =tg bctge,
(2.95)
cosВ=ctg(90°—a)ctgc=вас с.
(2.96)
Эти основные соотношения могут быть получены из правила Henepa: если расположить пять
элементов прямоугольного треугольника (пропустить прямой угол) по кругу в том порядке, как они
находятся в треугольнике, и заменить при этом катеты а и b их дополнениями до 90° (рис. 2.67),
то косинус каждого элемента будет равен произведению синусов двух не прилегающих к нему
элементов.
Формулы (2.87) и (2.88) можно получить из (2.69); (2.89) из (2.70); (2.90) и (2.91) из (2.71).
232
ГЕОМЕТРИЯ
2.6.5. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Системой координат % п-мерного аффинпого простраиства A,, (см. 2.6.6) называется множество,
состоящее из некоторой точки О аффинного пространства (пачала координат) и п линейно незави-
симых векторов Xj, ..., х» которые принадлежат содержащемуся в аффинном прострапстве BCK-
торному пространству V, (x,, ..., х, образуют в И, базис): Х =10;: x, ..., x,}. Каждая точка Р
аффинного пространства A, единственным образом может быть представлена линейной комбинацией
п векторов, выходящих из точки О:
Р= Ох, +... +A,X,)-
Числа Ay, ..., Ay записанные в виде упорядоченной последовательпости, называются коорди-
натами точки Р относительно системы. координат Х. В компактной записи: P= Py = (No, ..., Ах.
Если базис х,, ..., X, ортонормирован, то LX называется прямоугольной декартовой системой
координат. Если 2, ={О; x4, ..., хи Le = {О; yi, ..., ум - две системы координат аффинного
пространства A, и Р-— точка этого прострапства с координатами относительно LZ; и 22, соот
BETCTBCHHO,
Py=(Ay,sey2:
Py,=(M1,beyИ);>
TO имеют место следующие формулы перехода:
Py=Р.А+Чу, Py,=Pr,B+Oy.
Строками матрицы А являются координаты векторов yy, ..., у, В базисе xy, ..., xX, Строками
матрицы В являются координаты векторов X,, ..., X, в базисе yy, ..., у, (см. 2.4.4.1.4 и 2.4.4.1.5).
В однородных системах координат (называемых также пропорциональными системами коорди-
нат), к которым относится, например, барицентрическая система коордипат, отдельная координата
не имеет непосредственного значения для определения положения точки. Положениз точки опре-
деляется отношением координат друг к другу.
Барицентрическая система координат У в п-мерном аффинном пространстве A, определяется
заданием п-+ | точек Py, Po, ..., Pari, ие лежащих в одной гиперплоскости, принадлежащей A,,.
Барицентрическими координатами точки Р являются такие (положительные или отрицательные)
веса п, которые, будучи приписаны точкам Р; (i= 1, ..., n+ 1), образуют систему, цеигр ‘тяжести
которой есть точка Р: Py =: (ти, ..., т... Если умножить барицентрические коордниатил точки
(веса) па одно и то же число, то положение определяемой ими точки пе изменится.
Пусть даны барицеитрическая система координат У, состоящая из точек Py, ..., P44, и еистема
координат %, аффинного пространства A,: % = {O; x1, ..., X,}. Пусть координаты точек Py, ..., Pye
в системе 2%, суть Pix =(Xj1, ..., Xiny | (i= 1, ..., n+ 1). Преобразование координат ‘точки P -=
= (ха. ..., Х,) = (т‚,..., т... осуществляется по формулам
xX,=Хотя М=Ут;
(A= 1, ..., и).
(2.97)
4
Суммирование производится по Гот | до п+1. Если т; неизвестны, а x, известны, то (2.97)
представляет собой однордную систему из п уравнений с n+ 1 неизвестными my, Mz, ..., Та.
Одно т; можег быть выбрано произвольным образом.
Системой координат У Wa плоскости или в пространстве называют в общем случае систем, состоящую из точек,
прямых, лучей, вехторов, кривых или других элементов плоскости или простраиства, о отношению к которой можио
охарактеризовать положение тела Ha плоскости или в пространстве. Положение каждой Точки Р плоскосли или
пространства относительно такой системы одиозначно определяется числами. Числа, записанные в виде упорядоченной
п-последовательтости, пазываются коорлипатами точки Р относительно системы координат Ls P= Py = (х, у, ..., 2}.
2.6.5.1, Системы координат на плоскости.
2.6.5.1.1. Прямолинейные системы координат на плоскости. Прямолицейная
система координат на плоскости состоит из фиксированной па плоскости точки О (начало координат)
и двух пересекающихся в этой точке прямых д: и 492 — координатных осей: У = {0; gy, 92}. На каж-
дой из этих прямых лучам, выходящим из точки О, приписывается положительное и отрицательное
направлечия; кроме того, на каждой прямой выбирается масштаб для измерения длин (рис. 2.68).
Без ограничения общности масштабы измерения длины обеих прямых можно считать одинаковыми
(в противном случае масштаб одной оси умножением на пекоторое постоянное число можно
привести к масштабу другой оси).
Контравариантными координатами (или параллельными координатами) точки Р являются длины
проекций отрезка ОР, которые получаются при проектировании прямыми, параллельными осям
координат, па коорлинатные оси {см. рис. 2.68), взятые со знаком плюс или минус в зависимости
OT того, лежит ли проекция точки Р па положительной (положительный знак координаты) или
па отрицательной (отрицательный знак координаты) части координатной оси. Эти координагы
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
233
совпадают с координатами в двумерном аффинном пространстве, если все базисные векторы системы
координат имеют единичную длину.
Ковариаитными координатами точки Р являются длины ортогональных проекций отрезка ОР
на`координатные оси. Ковариантные координаты в аналитической геометрии не употребляются.
‘Ниже мы будем рассматривать только контравариантные коорлинаты.
Угол ® между положительными частями обеих осей называется координатным углом. При
w = 90° система координат называется прямоугольной (или декартовой системой координат), в про-
тивном случае система координат называется косоугольной *). В декартовой системе координат
ковариантные и контравариантные координаты совпадают. Обычно в прямолинейной системе
координат на плоскости первую ось называют осью х или осью абсцисс, а вторую — осью у или
осью ординат. Оси делят плоскость на четыре части — квадранты (см. рис. 2.68). Положение точки Р`
#5$Gr45
пе fe" 49=60°
¥p=270°
Рис. 2.68.
Puc. 2.69.
Рис. 2.76.
с ‘абсниссой а и ординатой b относительно системы координат » сокращенно записывается в виде
P = Py = (а, Б);. Если лругие координатные системы олновременно с рассматриваемой ис употребля-
ются, то ичдекс 2 ‘может быть опущен.
2.6.5.1.2. Криволинейные системы координат па плоскости. Криволинейные
сисгемы координат на плоскости являются обобщением прямолинейных. Кризолинейные системы
координат на плоскости представляют собой два однопараметрических семейства кривых (семейства
координатных' линий). Через каждую точку Р плоскости при этом проходит только одна кривая
каждого семейства. Две кривые, принадлежащие разным семействам, имеют ровио одну общую
точку. Оба значения : параметров, при которых кривые из двух семейств кривых проходят через
одну и ту же точку P, называются криволинейными координатами точки Р. На рис. 2.69 изображена
такая координатная система с семействами кривых f, и д, ($, { -- параметры).
Часто применяющейся криволинейной системой координат является полярная система коорди-
нат. Она состоит из заданной фиксированной точки О плоскости (полюса), концентрических
окружностей с центром в точке О и лучей с началом в точке О, один из которых называется
полярной осью (рис. 2.70). Параметрами обоих семейств кривых (полярными координатами) являются
радиус р для семейства концентрических окружностей (полярный радиус, или расстояние do полюса)
и угол ф между полярной осью и лучом для семейства лучей (полярный угол). Полярный угол
считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным
при отсчете в обратном направлении. Точка Р в полярных координатах изображается так:
Р=(р,$).
2.6.5.1.3. Преобразование координат на плоскости. Параллельный пере-
нос системы координат. Если прямолинейная система координат Z = {O; gi, 92} преобразо-
вана переносом на вектор 00 в систему координат У’ = {0; 91, 92} с началом в точке О = (а, 5);
и координатными осями gi и 49», параллельными осям g, и go, то имеют место следующие
формулы преобразования: х’=х-а, y = y—b. При этом Р =(x, у}; = (х’, у’;. (рис. 2.71).
*) Эта система координат совпадает с декартовой системой координат, определенной в начале п. 2.6.5, для случая
п=2. В литературе часто применяется также для общих косоугольных координат понятие «декартовы координаты».
Torna при ‹ = 90° (м, =и, = и, = 0} появляется понятие «прямоугльные декартовы коордипаты». В последующем
под декартовыми координатами всегда слелует понимать коордниаты прямоугольной системы координат, оси которых
имеют одинаковые сдиницы масштаба.
234
ГЕОМЕТРИЯ
Поворот системы координат. Координатная система 2 с координатным углом ®
при повороте на угол ф переходит в координатную систему У’; формулы преобразования имеют вид
‘—
у—
sin(@+@)
sin @
sin @
sin(®—@)
=
x——
=-—
x
.
sin ©
sino >”
sin @
sin @
При этом Р = (x, у); = (х,, у). (рис. 2.72).
Если © = 90° (поворот декартовой системы координат на угол ~), то получаем
х’=х
с0$ ф + узтф, у = —xsing+ycos@.
Пусть 2 — прямолинейная система координат с координатным углом @®, L, — прямолинейная
система координат с координатным углом @,, Х, — полярная система координат, полярная ось
Рис. 2.71.
Рис. 2.72.
которой ZX, совпадает с осью x в X. Пусть, далее, начала координат систем >» и LX, совпадают
‚с полюсом системы 3, (этого всегда можно добиться параллельным переносом систем координат
Хи >*,).
Тогда, если точка P, имеющая в трех системах координаты P =(х, у); = (х,, yidr , = (р, Pz,»
задана только относительно одной системы координат, то ее координаты в других системах могут
быть найдены по формулам
sin(©—a)
sin(®—В)
sin а
sin B
=
-
Хх!
-
1>
=от
оу,
sin ©
sin @
sin ©
sin @
sin В
sin(®—В)
sina +sin(©—a)
xX,=oO
ITT
>
=——
x
;
5
"= ‘Sin (B а) sin(B—-o)” 7 sin(B a) sin(B—o)°
x=РЯ(@—©)
_ psing
~тю°sing’
sin©
= Их?+у?+2xycosв, =arct y
;
Pу
y
у
ы
6 ycos@+ x
а — угол между положительными направлениями оси X в Хи OCH х, в 2; В — угол между положи-
тельными направлениями оси xX в Хи оси ув LY, (©, =В- а; а, В считаются положительными при
отсчете от полярной оси против часовой стрелки).
2.6.5.2. Координатные системы в пространстве.
2.6.5.2.1. Прямолинейные системы координат в пространстве. Прямолиней-
ная система координат >» в пространстве состоит из заданной фиксированной точки О пространства
(начала координат) и трех прямых д.1, 92, g3, не лежащих в одной плоскости и пересекающихся
в точке. O,— координатных осей (осей x, у, 2, или оси абсцисс, оси ординат и оси аппликат):
L-= {О; 91, 92, 93}. Три плоскости, содержащие пары координатных осей, называются координатными
плоскостями (плоскостями ху, Xz и yz). На каждой из трех осей лучам, выходящим из точки О,
приписываются положительное и отрицательное направления, и на каждой прямой выбирается
масштаб длины (рис. 2.73). Без ограничения общности можно считать, что масштабы длин всех
трех осей равны (этого всегда можно добиться умножением масштаба оси на некоторое: постоянное
число). Пусть косинусы углов между положительными направлениями осей x, уи
2
(координатных
‚углов) равны соответственно cos Z (у, 2) = w,, COS Z (2, x)= и. и COs 4 (x, у) =и.. При и, = и). =
=и. =0 система координат называется прямоугольной (или декартовой системой координат),
в противном случаё система координат называется косоугольной *). В зависимости от взаимного
У
*) См. сноску в 2.6.5.1.1.
КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
235
расположения положительных направлений осей возможны правая и левая координатные системы
(рис. 2.74). Ковариантными координатами точки Р являются расстояния от.точки до трех коорди-
натных плоскостей, взятые с соответствующими знаками.
Контравариантными координатами (параллельными координатами) точки Р являются длины
отрезков прямых, которые проектируют точку Р поочередно на каждую из трех координатных
плоскостей. параллельно координатной оси, не лежащей в этой плоскости (см. рис. 2.73), взятые
с соответствующими знаками. В декартовой системе координат ковариантные и контравариантные
/
/
I;
со
__|
d
0
_
if
y
%93
al
4%
Hi
G9 ,,
ПРА
ONG
\
\
\
\
ry
Рис. 2.73.
Puc. 2.74.
координаты совпадают. Координата точки положительна, если точка лежит по Ty же сторону OT
координатной плоскости, проходящей через две координатные оси, куда указывает положительное
направление третьей координатной оси. В противном случае координата точки отрицательна.
Пространство разбивается тремя координатными плоскостями на восемь октантов, знак каждой
отдельной координаты в которых определяется в соответствии с таблицей:
Октант
I
I]
Ш
IV
У
VI
УП
УП!
х
+
—
_
+
+
—
—
+
у
+
+
_
_
+
+
_
~
2
+
+
+
+
-
~
_
-
Точка Р с абсциссой а, ординатой b и аппликатой с относительно системы координат ©
записывается так: P = Ps; =(а, b, с);. Если одновременно другие системы координат не исполь-
зуются, то индекс 2 можно опускать.
2.6.5.2.2. Криволинейные системы координат в пространстве. Криволинейные
системы координат в пространстве являются обобщением прямолинейных. Они состоят из трех
однопараметрических семейств поверхностей. Через каждую точку Р пространства проходит только
одна поверхность каждого семейства. Значения параметров для этих трех поверхностей и являются
криволинейными координатами точки Р.
Часто применяющимися криволинейными системами коордипат являются сферическая система
координат и цилиндрическая ‘система координат.
Сферическая система координат состоит из заданной фиксированной точки О (полюса) простран-
ства, из ориентированной прямой д, проходящей через точку О, из полуплоскостей, ограниченных
этой прямой (одна из них называется полуплоскостью нулевого меридиана), из конических поверх-
ностей с вершинами в точке О и с прямой 4 в качестве оси и из сфер с центром в ‘точке 0.
Параметром семейства сфер является радиус р сферы, параметром семейства полуплоскостей
236
ГЕОМЕТРИЯ
является угол ф, который полуплоскость образует с полуплоскостью нулевого меридиана (геогра-
фическая долгота). Параметром семейства конических поверхностей является их угол раствора 0).
Угол 9 измеряегся между положительным чаправленизм прямой 4 и образующей боковой поверх-
ности конуса (полярное расстояние). Положительные направления отсчета показаны на рис. 2.75.
В сферических координатах точка Р изображается так:
Р=:(р,ф,0).
Цилиндрическая система координат состоит из заданной фиксиро-
ванной точки O (начала координат), ориентированной прямой 4. про-
ходящей через эху точку, из плоскостей, перпендикулярных к прямой g,
из полуплоскостей, которые ограничены прямой g (одна из них Ila-
зывается плоскостью нулевого меридипна), и из цилиндров, осью
которых является прямая 0. Параметром семейства перпендикулярных
к g плоскостей является расстояние = от точки О до плоскости: 2
положительно (отрицательно), если плоскость пересекает положителу-
Рис. 2.75.
ную (отрицательную) часть прямой 9. Параметром пучка полуплоско-
стей является угол ©, который полуплоскость образует с полу-
плоскостью нулевого меридиана. Положительное направление о’гсчета
показано на рис. 2.76. Параметром семейства цилиндров является радиус цилиндра р. В цилиндри-
ческой системе координат точка.P изображается в виде Р == (р, ф, 2).
2.6.5.2.3. Преобразование координат в пространстве.
Параллельный перенос. Система координат © = {0; gi, 9», gs} переносом на вектор 00
преобразуется в систему координат © = {0; gi, go, 93} с началом координат в точке 0 = (а, b, с)
ZA
f%s
GN
%
/
2
“a
|
7
Ney
Js
|_- at
\
8
Gf
\ Saoe т wares
OSESaarp GOD
/
ol
„7р
~
UP
рк„
4
y PLY
у
=ae
he4 /
0
a
9,
Gр
РА
0
71
Рис. 2.76.
Рис. 2.77.
Рис. 2.78.
и координатными осями 491, 92 и 9%, параллельными осям G1, 42 и ga, при помощи следукипих
формул (рис. 2.77): x =x-a, у=у-ь, 2 =а-е. При этом Р = (х, у. Zy = (0, У, 8).
Поворог системы координат. Поворот декартовой системы координат DL = {0, gy, gn
дз} вокруг проходящей через начало координат оси д с направляющими косинусами
с0$<(91,9)=9, —с0$<(92,9}=В,. cos<(9,9)=1
на угол 0 переводит се в систему коордипат У’ =: {0; 9%, go. ga} (рис. 2.78) при помощи следующих
формул перехода:
x’=x(cos@+a?(1—cos0))+p(ysin8+В(1-cos9))+2(-fsin0+xy(1--cos9),
l
i
у =x{—-ysin0+Ba(1—cos0))+у(cos0+В?(1-cos0)+2(asin0+.By(1--cos9)),
z’ =x(Ppsin@+ум(1—cos9))+ v(--asin0+УВ(1--cos0))+=(cos@+у?(1~cos9).
Здесь 'Р =(x, у, 2); =(х’, у, 2’.
Если известны направляющие косинусы углов между осями лекартовых систем Хи Х’ с обиим
началом, то имеют место формулы:
х=Их+т у+12, у=Ьх+ту+1225, Tm|yN ИУ+132,
где |, ть п, (i = 1, 2, 3) — направляющие косинусы.
В векторной. форме:
xX’ = «A,
roe x=(x,у,7), x=(x,у,2).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
237
Матрица перехода
lytnds
A= m,m,ть
п,NgNy
является ортогональной (см. и. 2.4.4.2.5).
Если заданы лве системы координат > и У’ с совпалающими началами координат и известны
косинусы углов между положительными направлениями осей системы L (оси xX, у, 2) и системы У
(оси x’, у, 7’), а также косинусы координатных углов у, W2, W3 системы % (см. 2.6.5.2.[), то, зная
положение точки Р в системе %, можно вычислить положение той же точки в системе % по ниже
следующим формулам.
Пусть Р = (х, у, 2); =(х, у, 2);.; тогда
2
‚
_(1—wt)X—(w3—wiw2)У-(No)—изм)Z
_(1--w2)У-(м,—wow3)2—(No;--WiW2)Х
=
52
———-,
у=
52
-
>
_(1=w3)Z-—(No2—зи)X—(wy~wows)У
_
.
где52=1+2имм—и?—wi—wi,
Х=х с0$2(х',x)+усоб2(у,x)+2cos<(2,x),
Y=x'cos z (x’, y)+ У с0$ 2. (у, у) +2’ cos z (z’, у),
Z=x' cos и (х, z)+ y'cosZ (У, 2) +2’ cos ©. (2’, 2).
Пусть декартова (У), цилиндрическая (Z,) и сферическая (*,) системы координат согласованы:
начала координат систем %, 2, и %, совпадают, главная прямая 9 систем 2, и %, совпадают
с осью 2 системы У, ограниченные прямой g полуплоскости нулевого меридиана систем У, и Х,
содержат положительную часть оси х системы Х. Тогда координаты точки Р относительно трех
систем X, L, и Ly связаны друг с другом следующими формулами.
ЕслиР=(х,у,2);=(Ф,р,2);,=(Ф,р,0);,,то
х = р 605 ф =руп 0 с0$ф, y=psng=PpsinOsny, 2=2=рс0$6,
.
.
2
2
p=Их?+2, р=Их+у?+22, @=arctgyo arctgxtty_arcsin
:
x
2
Их?+у2+22
2.6.6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аффинное п-мериое пространство A, представляет собой множество точек А и множество
векторов со’ следующими свойствами: множество векторов образует п-мерное векторное простран-
ство И, причем для любых точек P,, P,, принадлежащих A,, существует единственный вектор Xx,
принадлежащий И, такой, что x = PyP,. Этот вектор называют вектором переноса из точки P,
в точку Р..
К-мерное линейное подпространство аффинного пространства A, представляет собой подмно-
жество множества точек А„ а векторы, соединяющие точки этого подмножества, образуют
К-мерное векторное подпространство пространства У. Каждое {п — 1)-мерное линейное подпростран-
ство называется гиперплоскостью.
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве отпосительно системы координат
двумерного или трехмерного аффинного пространства или относительно прямолинейной параллель-
ной системы координат отличается весьма незначительно. Kak наиболее часто применяемой
в дальнейшем, прямолинейной параллельной системе координат будет отдаваться предпочтение.
2.6.6.1. Аналитическая геометрия на члоскости *). Расстояние 4 между двумя точками в парал-
лельных или полярных координатах P, = (хи, У, = (fi, Фи), uP, = (х., У2)х = (D9, Pa), BLIYHC-
ляется по следующим формулам:
d=Ир?+р2--29,92Cos(ф›—Фи)=И(х2—х1)?+(у2—уг)?—2(x2—х,)(y2—ys)COSв.
*) Векторное изображение (представление в векторной записи) дается только в 2.6.6.2. Оно совпадает с представ-
лением (векторным изображением) в векторной записи лля плоскости, если опускаются последняя компонента векторов
и последняя строка и последний столбец матриц.
238
ГЕОМЕТРИЯ
В декартовых координатах d = Ис. — x1)? + (у2 — у1)2.
В последующем (если нет специальной оговорки) всегда имеются в виду декартовы координаты.
Координаты середины отрезка Р.В:
_Fe
У
2’
2
m Р.В
Координаты точки Р, которая делит. отрезок Р.В. в отношении == 5$ =i:
2
NX,+MX
Xj+AX
пу: + ту>
Ут+Лу2
x=
=
,
у=
=
n-+m
LT+A
п-+т
Т+А
При A <0 точка Р лежит вне отрезка Р.Р. Координаты центра тяжести системы из п мате-
риальных точек P, = (хь yj) с массами т; (i = 1, 2,..., 1):
п
п
у MX,
у. ту:
i=]
`1=1
х= ———
у=
Ут
ум,
1=1
i=1
Ориентированная площадь S многоугольника с вершинами в точках Py, ..., Р,:
1
$=>[(x1—х2)(у+Yo)+(X2—хз)(V2+уз)+...+(Xn—X1)(у,+У].
Ориентированная площадь треугольника с` вершинами в точках P,, P,, Р.:
При вычислении по этим формулам площадь получается положительной, если обход вершин
в порядке нумерации происходит против часовой стрелки, и отрицательной в противном случае.
Если S=0, то три точки лежат на одной прямой (необходимое и достаточное условие).
2.6,6.1,1. Прямая. Каждая прямая на плоскости в параллельных координатах представима
ввиде’Ах+Ву+С=0,авполярныхкоординатах—ввидер=
‚ где р — расстояние
cos(ф—a)
OT полюса до прямой, а — угол между полярной осью и Нормалью к прямой.
Если А =0 (В =0), то прямая параллельна оси x (оси у). Если С =0, то прямая проходит
через начало координат.
Если В #0, то равенство Ах + Ву + С = 0 можно записать в виде у = kx + b. Прямая пересекает
осьувточкеР
=
(0, b).
В декартовой системе координат К — угловой коэффициент прямой: К = ша (а- угол между
осью х и прямой).
Прямая может быть задана точкой Р, = (хи, у!) и угловым коэффициентом К или двумя точками
P,=(х,у!)иР›=(х»,yo).
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: y — у, =k (x —х\).
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: УТ
о
У2 У! Х2—Х!
У2—У!
Х2 —Х!
Имеет место равенство К =
Уравнение прямой в отрезках: = + У = 1. Прямая пересекает ось x в точке А = (а, 0) и ось yr
вточкеВ=(0,b).
a6
Нормированное уравнение прямой: xcosa+ysina—p=0, где р- расстояние от прямой до
начала координат, а х-— угол между нормалью к прямой и осью X.
Нормированное уравнение прямой можно получить из уравнения Ах + Ву + С =0, умножив его
на нормирующий множитель p = + 1/И А? + В?. Знак и должен быть противоположен знаку С.
Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами.
Если2(x,прямая)=уид(у,прямая)=5,Tocos6=cos(90°—y)=siny,cos”у+cos?§=1.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
239
Расстояние 4 от точки P, =(x,, у!) до прямой, задаваемой уравнением x cosa + ysina = р =0,
равно d =x, cosa + у, sina — р (подстановка координат точки в нормированное уравнение прямой).
По этой формуле 4 положительно, если точка Р, и начало координат лежат по разные стороны
от прямой. В противном случае 4 отрицательно. Координаты (хо, yo) точки пересечения двух пря-
мых, задаваемых уравнёниями
А1х+Ву+С,=0, Ах+Вьу+С.=0,
вычисляются по формулам
В! Cy
Cy A,
B, C,
Cy А,
в
[AyВ, |
A, B,
A, B,
A, В!
Если Ay В, = 0, то прямые параллельны (к, = k,, или A,/A, = B,/B,). Угол ф пересечения двух
прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из любого из соотношений
A,B, — AB,
k,—k,
t
=
=.
,
Be
A,A, + B,B,
1 +k,k,
.
A,B, — A,B,
К.—k,
sinф=
=
=...
И?+ВИА+В V1+keV14+
А,А, + B,B,
1+К,К.
cosф=
—=
ИА? +В ИА +88 у1+мут+и
При К, = —1/k, прямые перпендикулярны. Прямая Азх + Взу + С. =0 проходит через точку пере-
сечения этих прямых, если
|
A,В!C,
A,B,С.—0.
АзВзС.
2.6.6.1.2. Кривые 2-го порядка. Кривой 2-го порядка на плоскости называется множество
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
ах?+2bxy+су?+24х+2еу+f=0,
(2.98)
где 9? +5? +5250.
В матричной форме:
b
rAr?+ 2ar?+f=0, A -(; ‚). а = (4, e), г=(х, у).
После приведения кривой к каноническому виду (см. 2.6.6.2) кривые могут быть классифици-
рованы следующим образом (условие 4, > 0 всегда может быть достигнуто заменой переменных
или, умножением обеих частей уравнения на — 1).
|
1-й случай. Центральные кривые (существует центр симметрии). Общее уравнение кривой
в каноническом виде: A,x? + Ay? +9=0.
Классификация происходит согласно следующей таблице:
ro
g
Вид кривой
>0
<0
эллипс (рис. 2.79)
>0
>0
в действительных числах уравнение не имеет решения (мнимый
эллийс)
>0
=0
одна точка (0, 0) (пара мнимых пересекающихся прямых или
вырожденный эллипс)
<0
|
+0
гипербола (рис. 2.88)
<0
=0
пара пересекающихся прямых
240
ГЕОМЕТРИЯ
ре
аа
ео
а
-
~
te
meee
ten ot
ee
2-й случай. Параболические кривые (центра симметрии He существует). Общее уравнение
кривой.в кансническом виде:
1x?+Лу+k=0.
/
Классификация происходит согласно следующей таблице:
h
k
Bua кривой
#0
любое
парабола (рис. 2.96)
=0
<0
две прямые. параллельные оси у
=0
=:0
двойная прямая (ось и)’
=
>0
две мнимые иараллельные прямые
Кривые 2-го порядка на плоскости часто называются коническими сечениями. так. как OHA
могут быть получены в сечении плоскостью прямого круговогс копуса. Если секущая плоскость
не проходит через вершину конуса, то сечение будет гиперболой, параболой или эллинсом
в зависимости от того, параллельна ли сскущая плоскость двум, одной или не параллельна
ни одной образующей конуса. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, го полу-
чаются распадающиеся конические сечения. Параллельные прямые получаются. если конус вырож-
дается в пилиндр (вершина конуса уходит в бесконечность).
Кривые 2-го порядка могут быть также определены при помоши фокального свойства: кри-
вая 2-го порядка есть геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до заданной
точки Г (фокуса) и до заданной прямой (директригы) есть величина постоянная, равная е (экс-
центриситету). При е < |1 получается эллипс, при е = | парабола, при ec 1 — гипербола.
Кривая 2-го порядка однозначно определяется залакием пятн точек общего положения: через задамные пять
точек проходит одна‘и только одна кривая 2-го порядка. Если хотя бы три точки лежат на одной прямой, то
получается распадающееся копическое сечение.
Полярное уравнение. В полярных координатах кривые 2-го порядка имеют уравнение
р
I+-ecosф
p=
(р — параметр, е — эксцентриситет данной кривой, полюс находится в фокусе, полярная ось направ-
лена от фокуса к ближайшей вершине). Для гаперболы этим уравнепием определяется только одна
ветвь. Последующие рассмотрения относятся к кривым 2-го порядка в каноническом виде.
Эллипсом называется множество (геометрическое место} всех точек М = (х, у). для которых
сумма расстояний до двух заданных фиксированных точек Ff, =(+с, 0) и Л, = {--с, 0) (фокусов)
. —————>
— eee
постоянна (-=2а) (рис. 2.79). Расстояния г; =! Е.М] ur, =| FM | вычисляются по формулам
ry=a—ex, ro=а+ex.
Элементами эллипса являются: большая ось АВ == 2a, малая ocr. CD = 2h, scpumun A, 8, Сир,
фокусы F, == (+с, 0) и Е, =(-с, 0), rae c= Иа? -- 62, эксцентриситет г = с/а (e< 0 и фокальный
параметр р = b*/a (половина хорды, проведенной через фокус параллельно малой оси).
Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса) имеет вид
2
2
Хх
os
M(z,y)
И,
ар
|
в1P
Параметрическое задание
op ine
AA»
имест вид
"a
ЬЧАее
f
Lt
—_
|
xracost, p= bsint, 0st< 2n.
Lja...20SЕ "
|
—
В лолярпых координатах
ера
——-—-——
$. ---—.-- oes дя
выотель =-й ИЕ
Os
и меем
Рис. 2.79.
Рис. 2.80.
В
р=
en
on
ees
L+ecos 9’
a
Директрисы — прямые, параллельные малой оси, находявисся на расстоянни d= a/e от HEE
(рис. 2.80). Для любой точки эллипса М == (x, у) справедливо соотношеяие г!/4 = 72/4» = е.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
241
or eet e tee rete
-ее
Диаметры — хорды, проходящие через центр эллипса; они делятся в центре пополам (рис. 2.81).
Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, снова является
диаметр, который называется сопряжениым заданному. Если К и К’ — угловые коэффициенты двух
сопряженных диаметров, то kk’ = —b?/a?. Далее, если длины двух сопряженных диаметров равны
2a, и 26; аби В- острые углы ‚между диаметрами и большой осью (k = — ща, К = tg В), то
a,b,$1(м+В)=а) Ш =a*+b?
{ теорема Аполлония).
Касательнал к эллиису в точке М =: (хо, yo) имеет уравнение
44
M(Zy)
B
0
т
M(z,-4)
Рис. 2.81.
Puc. 2.82.
Рис. 2.83. .
и внепиего углов, образованных радиус-векторами, проведенными из фокусов эллипса в эту точку
(рис. 2.82). Прямая Ах + Ву + С = (0 касается эллипса, если А?а? + Bb? -- С? = 0.
Радиус кривизны В в точке М = (хо, Yo) (см. рис. 2.83):
|
2
2\ 3/2
|. 3/2
,{x
)
Py
)
R=wh?(XOгу Ро
ab
COs” и
где и -- угол между пормалью и радиус-вектором, провсленным из фокуса в точку М ее пересечения
с эялиисом.
ДлявершинAиВ(см.рис.2.79)R=В?/а==р;длявершинСиDЕВ==a*/b.
х
-
а
|
Площадь: 5 == nab, Площадь сектора: BOM = os arccos -— (рис.
a
2.83). Площадь сегмента: MBN =
x
==ADarccos-—ху.
Данна зллинса:
1,==4ak(2}=2па|
1\"
U3) a $3.5)
е
е
.
Xa]*2-4)32.4.6]5"р
we
oa
м
ue
=
¢
где Я (е) -= Ё (e, 1/2) — полпый эллиптический нитеграл 2-го рода. Если положить ---- Е = ^, то
ut+oD
;
(НЫу.2р4.ro12528й
|
aaTtА-}
- ине
о. . neemres ое
в
... .
.46425616334
|
Нриближенные формулы:
4
rt
64 -- ЗА.
яп[1,5(9+)-а Lsnatb)сеоу.
LI
' vars
64 — 1627
Окружность — частный случай эллинса (a :=5), так что сс свойства вытекают из свойств
эллииса. Оба фокуса совпадают с центром окружности (с = 0).
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом К (рис. 2.84, a): x? + у? = В?.
Уравненис окружности с центром в точке С = (хе, yo) и радиусом R (рис. 2.84, 6):
(х=хо)?+(у-yo)?=R*:
242
ГЕОМЕТРИЯ
в параметрической форме (рис. 2.85):
х=хо+Ксо у=у-+Езть
где t — угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси Ох, 0 <t.< 24.
Уравнение (2.98) описывает окружность тогда и только тогда, когда b=0 и а=с. Канони-
ческий вид уравнения (см. рис. 2.84) в этом случае: x? + y? = R?.
Jp Yh
yh
"Ke|
\
L
A--
2 Я)fy
0
0
2) Рис. 2.84.
Рис. 2.35.
Рис. 2.86.
Рис. 2.87.
Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид (рис. 2.86)
р?—2рроcos(ф—фо)+рб=R’;
здесь (Po, Фо) — полярные координаты центра окружности. Если центр лежит на полярной оси
и окружность проходит через полюс (рис. 2.87), то уравнение принимает вид р = 2К cos g.
Гиперболой называется множество точек, для которых абсоллотная величина разности расстояний
до двух заданных фиксированных точек fF, =(+с, 0) и Е, = (—с, 0) (фокусов) постоянна (=2а).
Точки, для которых ry — #2 = 2a (г, = | МЕ, | r2 =| MI F; |), принадлежат одной ветви гиперболы
(на рис. 2.88 — левой); точки, для которых r, — г, = 2a, принадлежат другой (правой) ветви. Расстоя-
НИЯ г, И rz вычисляют по формулам г, = +(ех — а), г. = + (ех +a). Верхний знак соответствует
правой, нижний — левой ветви.
|
Элементы гиперболы: действительная ось АВ= 2а; вершины A, В; центр О; фокусы Fy, Fo,
лежащие на действительной оси по обе стороны от центра на расстоянии с (>а) от него;
мнимая ось CD = 2b (b= Ис? — а?); фокальный параметр р = Ь?/а (половина хорды, проведенной
через фокус перпендикулярно к действительной оси) и е = с/а > 1 — эксцентриситет (см. рис. 2.88).
Рени|.4 „т
9
—-
в
OFЕ
b
а
З
=
q
Bsd~~7>]
Puc. 2.88.
Puc. 2.89.
Рис. 2.90.
Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совиадашот с осями гиперболы) имеет вид
x?
у?
а?b?|
Уравнение в параметрической форме: x=acht, y=bsht, —wo <Е< +0.
р
Уравнение в полярных координатах: р =
‚е>1.
1+ecos@
Директрисы — прямые, перпендикулярные действительной оси и пересекающие ее на расстоянии
..
ryг
4. = че от центра (рис. 2.89). Для любой точки М (x, у) гиперболы == е.
ay a2
;
XX Yo
Юасательная к гиперболе в точке М (хо, yo) имеет уравнение —— — =» = 1. Касательчая
а”
и нормаль к гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешиего углов,
образованных радиус-векторами, проведенными из фокусов в точку касания (рис. 2.90). Прямая
Ах + Ву+ С =0 касается гиперболы, если А?4? — B*h? = C?.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
243
Асимптоты гиперболы (рис. 2.91) — прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно
приближаются при удалении в бесконечность. Угловые коэффициенты асимптот: К = +tg d= +)/a.
Уравнения обеих асимптот: у = + —-х.а
Отрезок касательной ТТ, между асимптотами делится точкой касания пополам: TM = МТ.
Площадь треугольника TOT, между касательной и обеими асимптотами равна ab (для любой точки
гиперболы. М). Если через точку М провести две прямые MF и MG, параллельные асимптотам,
2
2
2
a“ +b
С
то площадь параллелограмма ОЕМС равна 4-4
х2
y?
y?
x?
Сопряженные гиперболы (рис. 2.92) 2 Ro lu pq | (вторая изображена Ha рис. 2.92
штриховой линией) имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них равна мнимой оси
другой, и наоборот.
Диаметры — хорды данной и сопряженной ей гиперболы, проходящие через их общий центр;
они делятся в центре пополам. Два диаметра с угловыми коэффициентами К и К’ называются
Yh
|
y
хо
Yh
-
C
SS 7’
АМ
7
a
_
0
L
0
i
Z
в.
=” aN
;
27
<
Рис. 2.91.
Рис. 2.92.
Рис. 2.93.
Gh
Yh
|
NМ
Ри
CY
K
M(Z,y)
fmf M (L,Y)
-|--
=—=
т
1
1
—
а
+
—
0А
|O| |
т
ЕJON^
т
М
ОВИ
<
$Ч
N’
Рис. 2.94.
Рис. 2.95,
Рис. 2.96.
сопряженными, если b*/a? = kk’. Каждый из обоих диаметров делит хорды данной или сопряжен-
ной ей гиперболы, параллельные другому диаметру, на две равные части *) (рис. 2.93). Если длины
сопряженных диаметров равны 24; и 2b,, ад и В — острые углы, образованные этими диаметрами
сдействительнойосью(a>В),тоа?—b?=a?—b*,ab=a,b,sin(a—В).
Радиус кривизны К в точке М =(хо, yo) (см. рис. 2.90):
3
В=а?2Ь?(= г)”_(ryr2)?!?_ р
ab
sind uu’
где и-угол между нормалью и радиус-вектором, проведенным из фокуса в точку касания.
В вершинах А и
В
(см. рис. 2.88) В =р=ьЬ?/а.
Площадь сегмента гиперболы (рис. 2.94): AMN = ху — ар ш (= + 2) = xy — ab Arcth *
a
a
ab ab `2106|.
Площадь OAMG = at > in —— (отрезок MG параллелен асимптоте).
с
Равнобочная гипербола имеет равные оси: а=Ъ. Ее уравнение: x* — у? = a?. Асимптоты равно-
бочных гипербол перпендикулярны друг другу. Если выбрать в качестве осей координат асимптоты
(рис. 2.95), то уравнение равнобочной гиперболы будет иметь вид ху = 47/2.
Парабола — это множество точек М =(х, у), равноудаленных от фиксированной точки (фокуса)
Е =(p/2, 0) и от данной прямой (директрисы) (рис. 2.96): | MF|=|MK | =x + p/2.
*) Из двух сопряженных диаметров только один (для которого |К| < b/a) пересекает данную гиперболу. Полу-
чающаяся при этом хорда — диаметр в узком смысле слова — делится в цеитре пополам.
244
ГЕОМЕТРИЯ
Элементы параболы: ось х — ось параболы, вершина О, фокус Е = (р/2, 0), директриса (прямая,
перпендикулярная оси х; уравнение: x = —p/2) и фокальный параметр р (расстояние от фокуса
до. директрисы, или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси x). Эксцентри-
ситет параболы е равен единице.
Каноническое уравнение параболы: у?=2рх (см. рис. 2.96); в полярных координатах: р =
р
..
~
= Tacos” с осью, параллельной оси у: у=ах? +Ьх +с. Фокальный параметр параболы,
COS ф<
задаваемый последним уравнением: р = 1/2 |а|. При а> 0 парабола обращена вершиной вниз
(рис. 2.97), при а < 0 — вершиной вверх; координаты вершины: ху = —b/2a, yo = (4ас — b?)/4a.
Под диаметром параболы понимают прямую, параллельную оси параболы. Диаметр делит
пополам хорды, параллельные касательной, проведенной в конце ‘диаметра {рис. 2.98). Если угловой
коэффициент этих хорд равен К, то уравнение диаметра имеет вид у = р/К.
¥
0L/SL
Рис. 2.97.
Рис; 2.98.
Рис. 2.99,
Рис. 2.100.
Уравнение касательной (рис. 2.99) к параболе в точке М = (хо, Yo): ууо = p(X + хо). Касательная
и нормаль к параболе являются биссектрисами углов между фокальным радиус-вектором точки
параболы и диаметром, проходящим через эту же точку. Отрезок касательной к параболе между
точками касания и пересечения с осью параболы (осью х) делится пополам касательной, прове-
денной через вершину параболы (осью у):
15=SM, ТЕ=ЕМ,TO=OP=Xp.
Прямая у = Ах +В касается параболы, если р = 2dk.
Радиус кривизны параболы в точке М = (x,, у,):
_+2 op
—
лез
2?
Vp
COs”и р
где п = | MN | — длина нормали MN (см. рис. 2.99). В вершине О радиус кривизны R=p. . .
Площадь сегмента параболы MON равна двум третям площади параллелограмма РОММ
2
(рис. 2.100). Площадь ОМК = — ху.
К
ОМ=р.Г
(1+<.+In(у2х_-+|+>.)==|/x(x++.+р.Arsh7%
2р
р
р
р|
22
р
Приближенно при малых значениях х/у
им 1+ 2 x\* 2[х\“
“OM®У
3у
5у
ы
2.6.6.2. Аналитическая геомегрия в. пространстве. Расстояние между двумя точками P, =
= (ха, у, 21), Pz = (хо, 2, 22) в параллельной системе координат равно
d=[(х›—x1)?+(2—yi)?+(2,—24)?+2(у.—у)(22—-21)м+
+2(2.—21)(X2—X41)м2+2(х2—x1)(yo—y1)из]17,
где Wy, W2, W3 — косинусы координатных углов (см. 2.6.5.2.1). В декартовых координатах
а=Их.—x1)?+(у2—yi)?+(22—21)’.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
245
`
ея
Координаты середины отрезки Р.Р.:
NyobХ2
vit ye
Zz;+22
г: .-.. бд" а
}=те
“a
2 ооо tee
2
2
2
_.,
пБР
Координаты точки Р, которая делит отрезок P,P, в отношении — = PP ^:
n
2
nx,+mx, X,+Ах»
ну:+my yi+Aye
nz;+mz, 21+Az,
Оо еее
ee tire —-.—..-- acne
> рTweee
=
>РАее
ен,
пт
ТА
; n-+m
Е+А
n+m
1+X
.
5p?
Если 4 <0, то точка Р лежит вне отрезка Р,Р›. Координаты центра тяжести P (x, у, 2) сис-
темы и материальных точек Р; =: (x; у, 2) (=1..., п) с массами ти
n
У Mx;
У miy;
У Miz;
to
i=]
ied
mm
teр
-
>
y=
у.
>
ря г... и”
-
Ут;
Ут,
Ут;
ist
i=
iz|
Ориентированиий объем треугольной пирамиды с вершинами в точках P), Py, Ру u Ра:
ХЕVyд|
Ху—NgУ,-Yo21-22
ХзYqZa|
|
V=--
=|Xy-ХзУ:No2,23
6|х,уза.|
6
Xp—No4Yr—Ya21 24
XaYa24|
у
..
op’ pp? pp
~
Объем положителен, ссли ориентация тройки векторов Р,Р.. Р.Р., Р.Р. совпадает с ориентапией
системы координат. Если У = 0, то четыре точки лежат в одной плоскости (необходимое и доста-
точное условие).
В дальнейшем мы будсм рассматривать только декартовы системы координат.
2.6.6.2.1. Прямая. Каждая прямая в пространстве может быть представлена системой
линейных уравнений отпоситсльпо координат (перессчение двух плоскостей, рис. 2.101):
Ах + By + Cyz + 2, =:0, Л.х-+В.у+С.2+0, =0.
(2.99)
Или в векторной форме:
м +D,=0, rN,+D,=0,
гдег==(x,ъ,=),М=(А,B,С)(i=|,2).
Прямая можст быть задана точкой Py = (х,у,, 21) и параллельным ей векгором (направляющим
вектором) В =(|, т, п) (рис. 2.102). Torna уравнение прямой в координатпой форме имеет вид *)
XN—Xy yoy =--
Е
=д.
(2.100)
2
!
m
n
|
2
в векторной форме:
=”
(г)ХВ=0 или r=r,+ВА,
2 (1,47)
гдег=(х,у,=),ry=(X14,Vi,21);
ржа
=”
в параметрическом виде:
х=х +1,yoy ПНА, z=2,+ПА.
р,
0
При этом между (2.99) и (2.100) существует
4
следующая связь:
Ы
`
+
L
[=
|, m=
=
|
Рис. 2.101.
Рис. 2.102.
|B,(2
Cy A>
-A,В.|
Прямая однозначно определяется двумя точками Py == (x4, у, 2.) и Pz = (х», yo, 22). Уравнение
прямой:
в координатной форме (см. сноску):
х—х
foe
Zum Z
Пай
Е мА.
(2.101)
Хх
У2 у! 22—21 .
в векториой форме:
(иг, x (го -— г,}= 0, или =r, НА (г2 —No,),
*) В случае, comm знаменатель какой-либо из дробсй равеп 0, то равен 0 соответствующий числитель.
246
ГЕОМЕТРИЯ
где г, —г, — направляющий вектор К прямой:
В=(рm,и)=(х.-хьY2—у,22—Z}).
Расстояние d от точки Ру =(хз, уз, 23) 00 прямой, заданной в виде (2.100), вычисляется
по формуле
|
d?
=2+т2+п?{[(хз—x1)т—(уз—уу)12+[(y3—у)п-(23—24)тр+[(z3—21)1-(x3-х)п]?}.
Кратчайшее расстояние 4 между двумя прямыми, заданными уравнениями
хх,_У) _2-21
ХХ_УУ2-22
Г,
т!
п’
ly
m2
n2
может быть вычислено по формуле
X;~X2У!—У221-22
+
[1
т!
ny
[
т
n
d=
::Е
(2.102)
|”
m,n,|2 |n, 1, |?
l, my
Mz п)
по |,
Две прямые пересекалотся тогда и только тогда, когда стоящий в числителе формулы (2.102)
определитель обращается в нуль (4 = 0). Если уравнения обеих прямых объединить в систему
и решить относительно х, у, 2, то будут получены координаты точки
пересечения. Угол пересечения двух прямых равен углу между направ-
ляющими векторами В, и R32, этих прямых:
К,В
ИЕ, |
cosф =
2.6.6.2.2. Плоскость. Каждую плоскость в пространстве можно
представить как линейное уравнение относительно координат (рис. 2.103):
Ах + By+Cz+D=0.
(2.103)
|
6A
7-3—~
"
c
f
В векторной форме:
rN+D=0, М=(А; В; С), r=(x; у; 2).
Перпендикулярный плоскости вектор М называется пормалью к плоскости. Если |N|=
= Ид? + В? + С? = 1, то уравнение плоскости можег быть записано в виде
Рис. 2.103.
хс0$9+усо$В+zcosy
— р=0
(нормированное уравнение плоскости).
|
Умножением на нормирующий множитель +
ИА? + В? + С? уравнение (2.103) может быть при-
ведено к нормированному .
А
В
С
; cosp=
и cosy=
ИА?+В?+С?
ИА?+В?+С?
cos& =
ИА?+В?+С?
— направляющие косинусы пормали; р — расстояние от начала координат до плоскости,
Если в уравнеиии (2.103) D=0, то плоскость проходит через начало координат. При А =0
(В =0, С =0) плоскость параллельна оси x (оси у, оси 2), при A=B=0 (A=C=0, В=С=0)
плоскость параллельна плоскости ху (плоскости XZ, плоскости yz).
ху Zz.
Уравнение плоскости в отрезках: — + > +—= 1. Эта плоскость пересекает оси координат
а
С
вточкахР,=(а,0,0),P2=(0,b,0)иР;=(0,0,с).
Плоскость однозначно определяется:
(I) тремя точками P, = (хь, у, 21), P2 =(Х», у» 22) и Ру =(хз, Уз 23};
(II) двумя точками P, и Р. и направлением, задаваемым вектором В
=
(I, т, п), не параллельным
—_
:Рз;
Р
(III) точкой Р, и двумя направлениями, задаваемыми двумя линейно независимыми векторами
К,=(1,my,п,),Ro=(5;ma;12);
(IV) точкой и ненулевым вектором М = (А, В, С), коллинеарным вектору нормали к плоскости:
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
247
Тогда уравнения плоскости получаются следующим образом:
Случай (I): | х-х, у-у 2-2
X2—X, У у, 22—2,|=0;
Хз—Х,УзУЕ23-21
в векторной форме:
(г—г,) (rz. —к,) (гз —г,) =O (смешанное произведение векторов),
г, Г», гз — радиус-векторы трех точек P,, Р›, Ру, аг= (х; у; 2).
Случай (II): | х-х, у-у 2-2
X2—X1 у2- У, 22—21 | =0;
[
т
я
в векторной форме:
(г— г,) (rz —г,) К =0.
Случай (Ш): | х-х, y-—yy 2-2,
в векторной форме: (г —г!) В.В, = 0.
Случай (IV): A(x —x,)+ B(y — у!) +С (2-21) =0;
в векторной форме: (г-г,) М = 0.
Множеством решений системы, состоящей из уравнений нескольких плоскостей, является точка
или’линия пересечения этих плоскостей (прямая). Если система уравнений не имеет решений, то
плоскости не имеют общих точек.
Угол пересечения ф двух плоскостей равен углу мзжду векторами нормалей N,, М, к этим
плоскостям:
N,N2
[Ni ИМ, |
Угол пересечения YW между плоскостью и прямой: \ = 90° — x (y — yron между вектором нор-
мали М к плоскости и направляющим вектором В прямой):
|МВ|
МНЕ
cosф =
cosХ=sinу=
2.6.6.2.3. Поверхности 2-го порядка. Поверхностями 2-го порядка в пространстве назы-
ваются такие множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
а11Х? + а22у? + азз2? + 2ay xy + 2а1зх2 + 2а2зу2 + 2а1ах + 2а2ау + 2434.2 +444=0; (2.104)
и
в матричной форме:
гАгГ+ 2агГ+ а44 = 0,
Qi, 412 @13
гдеГ=(x,у,2).А=| G21аз»G23 |,a=(G14,G24,234)(A#9).
431 432 @зз
Приведение к каноническому виду. При параллельном переносе системы координат
‘на вектор r*, координаты которого удовлетворяют уравнению Ar* = —а, в уравнении поверхности
2-го порядка исчезают линейные члены. Уравнение принимает вид
b,x’?+by’?+b32”+2b,2х’у+2b,3x'2’+2b53y2+baa=0,
(2.105)
где x’, у, 2 — координаты относительно новой системы координат 2’,
В матричной форме: гВЕГ + bag =0, г =(х, у, 7), B=(b;;). (Начало новой системы координат
Р является центром симметрии поверхности 2-го порядка, т.е. если г’ =(x’, у’, 2’) — точка поверх-
ности, To —г=(-2х, —y, —7') — также точка поверхности 2-го порядка.) Матрицы A и В-
симметрические (а; = a, и b;; = bj), поэтому их собственные значения действительны, а собственниле
векторы ортогональны.
248
ГЕОМЕТРИЯ
При последующем преобразовании (преобразование к главным осям) к системе координат У”
с пачалом координат. остающимся в точке P, и осями координат, совпадающими по направлению
с собственными векторами. уравнение поверхности 2-го порядка приобретает вид
А.(х”) А,(у)+А,(2")?+cag=0,
(2.106)
де Ay. Ao, Аз -- собственные значения матрицы В.
В матричной форме:
h,00
ror+са=0, erH(xу",2), СЕ 0 2,0 |,
00A;
x") oy" н =” - координаты поверхности 2-го порядка относительно ХУ”. Если собственное значение
имеет кратность К, то К линейно независимых собственных векторов следует ортогопализировать
при помощи метода Шмидта (см. 2.4.4.1.5).
Сели с,. C2, ез — ортонормированные собственные векторы, принадлежащие В, то уравнение (2.106)
нолучастся из уравиения (2-105), если положить г =r’ DT
Здесь D -- матрица, столбцы которой составлены из координат ортонормированных собственных
вскторов матрицы В (D ортогональпа). Уравнение (2.106) называется каноническим уравнением
поверхности 2-го порядка. Оси координат являются осями симметрии поверхности.
Если система уравнсний Аг* = —а не имеёт решений (ие существует центра симметрии), то
параллельный перенос системы координат не нужен. В этом случае по крайней мере одно из
собственных значений равно нулю. Приведение к капоническому виду производится аналогично
случаю (I), Нужно следить лишь за тем, чтобы в случае двукратного собственного значения,
равного нулю. собственный вектор был выбран так, чтобы он был ортогонален вектору a
(свободному члену): агГ= 0. Этим обеспечивается исчезновение двух линейных членов в уравне-
нии (2.104). После преобразования к главным осям урависние поверхности 2-го порядка приобре-
тает вид
Kix’?+Ау?+mz’=0
(2.107)
(при этом возможно равенство A, = 0); x’, y’, 2’ — коордипаты относительно системы %..
В дальнейшем предполагается, что поверхности 2-го порядка приведены к каноническому виду
(формулы (2.106) и (2.107)). Тогда возможна следующая классификация (условие A, >> 0 вссгда может
быть выполнено путем замены переменных или умножением уравпения ua — 1).
Капопический вид: No х? + Лу? +A,2° +4=0.
А,
ds
Ч
Поверхность
>0
>0
<0
Эллипсоид
>0
>0
>0
МНИМЫЙ ЭЛЛИНСОИД
>0
>0
0)
вырождснпый эллиясоид - мнимый конус с лействи-
тельной вершиной
>0
<0
0
однополосгиый гиперболоид
>0
<(0
>0
двуполостиый гиперболоил
>0
<()
=0
эллингиисский конус (ось копуса -- ось :)
>0
=0)
>()
цилиндр с миимыми образующими
>0
=0
<0)
эллиптический цилиндр
>0
=()
= (0)
пара мнимых пересекающихся плоскостей
<0
=0
#0
гиперболический цилиндр
<0
=0
==
паря пересекающихся плоскостей, параллельных оси =
=:0
=0
<0
нара наралленьных плоскостей, перпендикулярных оси х
=()
=()
»()
нара миимых параллельных плоскостей
== ()
=
=0
коордипатная плоскость (плоскость Оу)
Капонический вид: hy xe + Ау? + тг = 0.
i,
^.,
Mm
Поверхиость
>0
oO
<0
эллинтический параболоил
>0
<0
<0
гиисрболический параболоид («седло»)
>0
=0
#0
нараболический цилиидр
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
249
Некоторые свойства поверхностей 2-го порялка (задапы в каноническом виде)
Поверхности 2-го порядка с центром симметрин.
|
ху
22
Эллипсоид (рис. 2.104): —; +; +... =, геа, Рис полуоси.
ab
co
Если a:=b>c, то имеем сплющенный эллипсоид пращения, получающийся при вращении эллипса
22
= +-5= (, лежащего в плоскости Ох:, вокруг его малой оси (рис. 2.105). При и: ВБ <с имеем
ас
Рис. 2.164.
Рис. 2.105.
Рис. 2.106.
вытянутый эллипсоид вращения, который получается при’вращении лежащего в плоскости Oxz
2
:
x
=”
.
—
1er
::
ood
ре
‚
242272
эллилса Tt + 73 = 1 вокруг его большой оси (рис. 2.106). При a = b == с имеем сферу x* + у“ + 2" =a’.
Сечение эллипсоида любой плоскостью есть эллипс (в частиом случае -- круг). Объем эллипсоида
4
4
равен — пас, объем сферы равен з паз.
2
2
2
.
xy2
..
Однополостный гиперболоид (рис. 2.107): --; + = 1, аи Б- действительные полуоси,
а
с
с — мнимая полуось. (О прямолинейных образующих см. конец раздела.)
2
2
.
xy2
..
Двуполостный гиперболоид (рис. 2.108): —; + = =-I,c- действительная полуось, а и b-
a
с
мнимые полуоси.
Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси 2,— гиперболы (для однополостного
гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости Оху,-
эллипсы.
|
Если a=b, то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а ис
вокруг оси 2: мпимой -- в случае однополостного и действительной — в случае двуполостного ги-
перболоила.
Kouyc (рис. 2.109)
\
‚имеет вершину в начале координат, за его паправляющую кривую может быть взят эллипс
с полуосями аи b, плоскость которого перпендикулярна оси Z и находится на расстоянии с
2x
OT начала коордипат. Этот конус является асимптотическим для обоих гиперболоидов 5 “+
a
2
2
y2
+=
+1, т.е. каждая из его образующих при удалении в бесконечность пеограниченно
с
приближается к обоим гиперболоидам (рис. 2.110). Если a= b, то имеем прямой круговой конус.
К оверхности 2-го порядка, не имеющие цеитра симметрии.
Эллинтический параболоид (рис. 2.111):
Сечения, параллельные оси Z,— параболы; сечения, параллельные плоскости Oxy, эллипсы. Если
250
ГЕОМЕТРИЯ
р)
|
|
Рис. 2.107.
Рис. 2.108.
Рис. 2.109.
Zh
Рис. 2.111.
Рис. 2.112.
|
и
ta
_---
——
ес
Ow
~s
=
Рис. 2.114.
Рис. 2.115.
Z|
|
\
/
w
e
e
=
>
\
i
\
y
a
l
/
No
_
г
1
-
-
-
-
\
а
й
J
+
~
—
-
—
_
—
—
—
Z
z
Рис. 2.117.
_
|
_
Рис. 2.116.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
25]
€
a=b, то имеем параболоид вращения, получаемый при вращении параболы z = x7/a?, лежащей
в. плоскости Oxz, вокруг ее оси.
Объем части параболоида, отсекаемой плоскостью, перпендикулярной его оси, на высоте fh,
|
равен > лав, т.е. равен половине объема эллиптического цилиндра с такими же основанием
и высотой.
Гиперболический параболоид (рис. 2.112):
Сечения, параллельные плоскости Оу2,— конгруэнтные (одинаковые) параболы; сечения, параллельные
плоскости OXZ,— также конгруэнтные параболы; сечения, параллельные плоскости Оху,— гиперболы
(а также пары пересекающихся прямых).
Общие свойства. Прямолинейной образующей поверхности называется прямая линия, цели-
ком лежащая на данной поверхности; например, прямолинейные образующие конической или
цилиндрической поверхности.
Однополостный гиперболоид (рис. 2.113)
xX2
y
X2
y
X'2
y
х2
у
.—_+— =
—
=;
Tl мо - р, ——--—-}=1+—-;
|ас «(1+3).(2 :)
Ь’
атсo(.)›(:5
u HW VU — произвольные величины.
2
2
;
xy
~
Гиперболический параболоид (рис. 2.114) z=—,-—- pe также имеет два семейства образующих:
а
xy
xу
xу
xу
=
ы, uf——---J=2z: IL ея ь vl —+—-)=2;
аb
ab
aр
аb
здесь и и LV — также произвольные величины. Через каждую точку поверхности в обоих случаях
проходят две прямые: по одной образующей из каждого семейства (па рис. 2.113 и 2.114 показано
лишь по одному семейству прямых).
Цилиндры. Форма цилиндра определяется его направляющей. Мы будем считать ее располо-
женной в плоскости Оху, а образующие
— параллельными оси 2. Тогда имеются три цилиндра
2-го порядка:
Эллинтический цилиндр (рис. 2.115)
при а = 5 = В получаем нрямюй круговой цилиндр
x?+г?=R’;
гиперболический цилиндр (рис. 2.116)
параболический цилиидр (рис. 2.117)
3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
31. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Числа, с которыми обычно приходится иметь дело: натуральные, ислые (положительные и
отрицательные), рациональные и иррациональные, - составляют множество действительных чисел.
3.1.1.1. Система аксиом действительных чисел, Множество 8 действительных чиссл может быть
охарактеризовано следующими аксномами.
Аксиомы сложения.
.
|. Для любых чисел а, БЕВ определево едииствеипое
. число а + ВЕК, называемое суммой
чисел аи b.
|
2. Для лобых а, БЕВ имсест место соотношение a+ b =р+а*) (коммутативность)}.
3. Для любых а, Р, ce R имеет место соотношение а + (6 + ©) = (а + 5) + с (ассоуаативиость).
4. Существует число OER такое, что a+O=a для всех аеВ. Число 0 носит вазвание нуль.
5. Для любого числа ае К существует чисно ре К такое, чго а + b ==0.
Аксиомы умножения.
6. Для любых чисел а, РЕВ определено единствениос число a- DER, пазываемое произведением
чисел au 6.
7. Для любых и, рЕВ имест место соотношение a+b == р.а (коммутативиость).
8. Для любых а, В, сЕВ имеет место соотношение а - (Ь. с} == (а-Б) - с (ассоциативиесть.
9. Существует число [ЕК такое, что |:а=а для всех иеВ. Число | носит название единица.
10. Для любого «ЕВ, a 0, существуег БЕВ такое, что a+b = I.
11. Для любых a,b, СЕК имеем a-(b + о =а-Ь-а-с (Окствиб уливность).
Таким образом, множество В образует относительно сложения коммутативиую грунну, а мно-
жество В без нуля образует коммутативную группу относительно умпожепия.
Следствия из аксиом. {1} Для двух действительных чисел a nob имсегся ровио одио
действительное число х такое, что a+x=h Число xX называется разностью чисел b иа
и обозначается b — a. При этом говорят, что В — уменьшаемое, а -- вычитаемое и а вычитается из Б.
В случае 0 — а пишут -а. Таким образом, число b из аксиомы 5 однозначпо определено.
2) Для любого «ЕЁ имеем: а = --(-а}, 0 = 0.
3) Для любых а, Б, С ЧЕВ имеем: В - ч=Ч- с эквивалентно тому, что а-+ (= +;
(+4) — (а+о = -- 94-0:
+О-(ад: -a)+(d-о.
4)Иза-Ь=0следует,чтолибоа=0,либоb=:0.
5) Для действительных чисел аи В, tac а AO, существует сдииственное действитсльное число х
такое, что a-x=b. Число x называется частиым. (Opodo) or леления b на а и обозначается
b
- или б/а. При этом Ь пазывается делимым (числителем), п а — делителем (зпамепятелем).
u
|
5) Для любого ae В\!0; имеем г, 9“
ja
-
|
(
7) Для любых а. В, с. ЧЕ No\!0! равеиство › = - эквивалентно тому. что asd = ) с; кроме того,
clс
*) Тожлественпость двух действительных чисел выражастся при помоши зияка равенства. сли ни ф - различные
действительные числа. то пишуг ах р.
НАТУРАЛЬНЫЕ. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
253
8) Для любых а, БЕВ и любого ce R\{0} выполняется соотношение
[
5
<
>
+
>
9) Для любого аеВ справедливо’ равенство —а =(—1)-a.
10) Для любых а, БЕВ выполняется равенство — (а. 5) = (—а)- 5.
11). (-1)-(-)D=1.
Множество В действительных чисел обладает вследствие указанных свойств алгебраической
структурой поля (коммутативного тела).
Кроме того, в В вводится отношение порядка («больше», «мевьше», «равно»), удовлетворяющее
следующим аксиомам.
Аксиомы порядка.
12. Для двух чисел а, БЕВ имеет место одно (и только одно) из трех соотношений: a <b,
a=b, a> b.
13. Для любых а, b, ce В таких, что a<b БВ < с, справедливо соотношение а <c (транзитив-
ность).
°
—
14. Для любых а, b, ce R таких, что а < В, справедливо соотношение a+c<b+c.
15. Для любых а, b, ce R таких, что а<Бис>0, справедливо соотношение а-с<Ь-с.
|
Если a<b, то говорят, что а меньше b (Б больше а); в этом случае пишут также b> а.
Если a<b или a=b, то пишут а <Ь. Действительные числа, удовлетворяющие неравенству а > 0,
называются положсительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству а < 0, называ-
ются отрицательными.
Следствия из аксиом порядка. 1) Если a<b, то —а> -6. 2) Если a<bu с<4,
то a+c<b+4+d. 3) Если a<buc<d, причем b>0uc>0, то a-c<b-d. 4) 1>0. 5) Если а> 0,
то Ша>0..
р
16. Принцип непрерывности Дедекинда. Пусть множество R действительных чисел разделено
на два класса К, и K, так, что: а) классы К, и К, не пусты; 6) каждое действительное число
относится только к одному классу; в) из условий ae K, и b<a следует, что bE Ky.
Тогда существует единственнсе действительное число $ такое, что все действительные числа,
удовлетворяющие неравенству a’ <s, принадлежат классу K,, а все действительные числа, удов-
летворяющие. неравенству а” > 5, принадлежат классу К». Число $ называется сечением множества
действительных чисел.
Множество В действительных чисел полностью определяется указанными 16 аксиомами.
Геометрическое изображение действительных чисел. Если на прямой 9
заданием точки О и единичного вектора введена система координат, то каждая точка М прямой g
однозначно определяется своей координатой x. Таким образом, каждой точке М прямой g
соответствует одно действительное число x, и обратно: каждому действительному числу xX COOT-
ветствует одна точка М прямой 4. Прямая 4 называется числовой прямой. Таким образом, точки
прямой g и соответствующие им действительные числа могут употребляться равнозначно. При этом
говорят: точка а лежит левее b (соответственно b лежит правее а) в случае, если а < 6. В частности,
отрицательные числа лежат левее нулевой точки О, а положительные числа — правее точки О.
3.1.1.2. Натузальные, целые и рациональные числа. К понятию натуральных чисел приходят
в процессе счета. Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная
с 1. Множество натуральных чисел М = В обладает следующими свойствами:
1. ТЕМ.
2.ИзneNследуетп+1ЕМ.
3. Если ПЕМ, то п- 1ЕМ тогда и только тогда, когда n = 1.
4. Если М — подмножество М со свойствами: a) 1ЕМ; 6) из нЕМ следует н + 1ЕМ, то М = М.
Свойством 4 выражается тот факт, что таким путем последовательного прибавления полу-
чаются все натуральные числа. Это свойство называется аксиомой индукции. Оно позволяет прово-
дить доказательства по индукции.
Принцип доказательства по методу полной (математической) индукции. Пусть А (п) — зависящее
oT НЕМ утверждение. Если доказано, что: а) А (1) выполняется; 6) при условии, что А (п) спра-
ведливо для некоторого и, верно также A (n-+ 1) (шаг индукции), то А(н) справедливое для всех
ПЕМ *).
Пример. Доказать правильность высказывания А (п):
|
k= ys n(n+))
—
*) Индукция может начинаться ис с fl, а с любого числа ng EN (т > 1). В этом случае А (п) верно для всех
ПЕМ, и> No.
›
254
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
для всех: пе М. Очевидно. что A (1} верно. Пусть А (un) верио для иекоторого числа пе М; тогда
nti
у = и+О+е+0= ("+1 +2).
k=]
Следовательно, верно также A (и + 1). Тогда, согласно аксиоме ипдукции. высказывание A (41) верно для всех HEN.
Из принципа непрерывности Дедекинда вытекает
Аксиома Архимеда. Для каждого действительного числа’ а существует натуральное число п
такое, что а <н.
Сумма и произведение натуральных чисел суть натуральные числа. Однако если n<m, то
п—тЕМ. Следующее определение приводит к такому расширению области натуральных чисел,
в котором операция вычитания выполнима неограниченно.
Действительное число g называется целым числом, если существуют такие натуральные числа
пит, что д=п- м.
Сумма, разность и произведение целых чисел — всегда целые числа. Множество целых чисел 7,
образует коммутативное кольцо. Частное от деления целых чисел не всегда есть целое число.
Действительнос число и называется рациональным, если существуют такие целые числа gy и go
(g2 #0), что а = 9,/92. В противном случае а называется иррациональным.
Числа 0; и 49) не определены однозначно числом а: числитель и знаменатель дроби могут
gi
91
МЕ — G1P Множество рациональных
92 92р
быть домножены на одно и то же целое число р (p #0):
чисел обозначается ©.
Каждое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби. При этом
рациональным числам и только им соответствуют периодические десятичные дроби. Однако,
например, разложение в десятичную дробь действительного числа |/2, т.е. такого однозначно
определенного положительного действительного числа, квадрат которого равен 2, не является
периодическим. Таким образом, |/2 — иррациональное число. Множество рациональных чисел бес-
конечно и счетно, а множество иррациональных чисел несчетно (см. 3.1.2). Множества О и В\О
всюду плотны в В, т.е. в каждом интервале {x
существуют как рациональные, так
и иррациональные числа.
3.1.1.3. Абсолютная величина числа. Число |а|, аеВ, удовлетворяющее соотношению
И
а при а>0,
а|=
—а при а<0,
называется абсолютной величиной числа а (|x|=\/ x?),
Для любых a, БЕК
1) [а[20, | -а| =|а, axa;
2) если |а| =0, то это эквивалентно тому, что а = 0;
а
зав та-1ЬЬ |5 = 7620;
4) |a+b|<|la|4+]d| р то треугольника);
5) lal - 16| <|a—|.
3.1.1.4. Элементарные неравенства. Для действительных чисел a; 6; (i= 1, ..., п) имеют место:
Обобщенное неравенство треугольника
и
ési=1
п
< у |а...
i=!
Неравенство Коши — Буняковского
(Zan) «(5 4)(н)
Если аЕ В, a> —1 и пЕМ, то (1 + а)" > 1+ па (неравенство Бернулли).
Если аЕВ, O<a<luneN, то (1 +а)" < 1+ (2" - Па.
Если ПЕМ ип> 6, то (n/3)" < п! < (п/2)".
Усть а, ..., а, — Действительные числа. Тогда
A, = (а, +a, +... +а,)/п называется средним арифметическим,
=/a,a,...4,..а,, a; = 0,— средним геометрическим,
n
Иа, + Ша. +...4 Ша,
Еслиа;>0(i=1,++п),тоМ»<G,<А,.
„=
‚ 4; 52 0,— средним гармоническим чисел ay, ..., dy.
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В В"
255
-
3.1.2. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В В"
Множество М называется конечным, если оно либо пусто, либо найдется натуральное п такое,
что М может быть взаимно однозначно отображено на подмножество М, < М: М, = {х| хЕМ, x <n!
(т.е. может быть занумеровано не более чем п числами). В противном случае М называется
бесконечным. Бесконечное множество М называется счетным, если существует взаимно однозпачное
‚отображение множества М на М. Конечное или бесконечное счетное множество М называется
не более чем счетным. В противном случае М называется несчетным множеством.
Примеры. 1) Ми О- бесконечные счетные множества. 2) Множества R и В \О несчетны.
Множество точек из В" называется точечным множеством. При п = 1, т.е. для случая числовой
прямой В, точечные множества называются также числовыми множествами.
Примеры. 1) Множество М
=
{(x,, x2) | х? + х2 <1} является точечным множеством из В? (внутренность единич-
ной окружности) *).
|.
2) М = | х., 5) [х;| < —, {= 1, 2, | — точечное множество из В? (куб с ребром, равным 1).
2
3) М = {x |0 <х< 1} — числовое множество.
Числовое множество М называется ограниченным сверху, если существует СЕЁ такое, что
х < С для всех хеЕМ. Число С называется верхней границей множества М. При этом говорят, что
число С ограничивает М сверху; М называется ограпичениым снизу, если существует число СЕК
такое, что C’ <x для всех хЕМ. При этом говорят, что С’ ограничивает М снизу (C’ — нижсияя
граница М). Множество М называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Число С называется верхней гранью (точной верхней гранью) числового множества М, если С
есть верхняя граница и для любого действительного = > 0 существует такое х’ЕМ, что С —-&<х..
Число g называется нижней гранью (точной нижней гранью), если д. есть нижняя граница
и для любого действительного € > 0 существует такое х’ЕМ, что х < 9+5.
° * Верхняя и нижняя грани множества М обозначаются соответственно
С=зирМ=supx, g=infM=infx.
ХЕМ
ХЕМ
Таким образом, для ограниченного сверху (снизу) множества М sup М (inf M) является наи-
меньшим (наибольшим) числом, ограничивающим М сверху (снизу). Если sup МЕМ (ШМЕМ),
то это число называется максимальным (минимальным) элементом множества М и обозначается
тах М = max x (соответственно min М = min x).
ХЕМ
xeM
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет, и притом только одну,
верхнюю (нижнюю) грань.
Примеры. 1) Множество М = {х | хе О, 0 <х <1} является ограниченным. Всякое число С > | ограничивает М
сверху. Далее, sup М = !. inf M = ша М =0, Множество М не иместг максимального элемеита.
2) Множество М ограннчено снизу. но ие ограничено сверху.
|
n+
а
3) Для множества М = ) х=1+ —-—-, нЕМр имеем sup М = max М =3. inf =2. Миожсство М не имеет
Nn
минимального элемента.
Пусть а, БеЕВ, a<b. Тогда множество (а. b) = |х | хЕК. а<х <b} называют интервалом, мно-
жество [а, b] = {х | хЕВ, a<x <b} — отрезком (ceemenmon). и множества [а, b) = (x | хЕВ, а<х <b}
и (a b]={x|xeER. a<x <b! — полуинтервалами: в случас. когла принадлежность концов нс-
существенна. часто используется термин промежуток. a н bh — концы промежутка. число fh — a —
длина промежутка. Рассматриваются также неограниченные интервалы:
(a, +00) = {х | хЕВ, а<х}, [a, +99) = {х| хЕВ, a<x},
(—0,а)={х|хЕВ,x<a}, (—00,а]={х|хЕВ,x<a}.
Пусть P (x;,..., х,) и О(у,..., У») — две точки пространства В"; тогда число
<
2
d(P,Q)= ‚2.(x;—yi)
называется расстоянием между точками P и О. В случае n=l d(P, О) =|х, - у, |.
*) В последующем для гсометрической наглядности всегда будет рассматриваться декартова система координат.
256
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Пусть => 0, и пусть Р-— точка пространства No". Тогда множество
0: (Po) = {Pj d(P, Ро)< 8}
называется =-окрестностью точки Ро. =-окрестность точки Ро состоит, таким образом, из всех
внутренних точек п-мерного шара радиуса = с центром в точке Po. Иными словами, =-окрестность
Ро есть’множество точек пространства No", расстояние которых до точки Py меньше &. В случае
i =|[ =-окрестность точки P(x) есть интервал (x -- & x -+ &). Множество И(Ро)<: В" называется
окрестностью Ро, если оно содержит какую-нибудь =-окрестность Ро.
Множество М c В" называется ограниченным, если оно может быть заключено в я-мерный шар
конечного радиуса.
|
`Точка ОеЕВ" называется предельной точкой множества М < В", если в каждой -окрестности
точки О найдется отличная от нее точка из М. Точка множества М, не являющаяся предельной
для М, называется изолированной. .
Если О — предельная точка множества М, то в каждой =-окрестности точки О лежит бесконечно
много точек из М. Предельная точка множества М может не принадлежать этому множеству.
Примеры. 1) Конечное множество ие имеет предельных точек.
2) Множество М = {x|[x=1+ (n+ Ln, лЕМ} имеет предельную точку x = 2.
3) Каждое рациональное число является предельной точкой множества иррациональных чисел.
4) Каждое действительное число является предельной точкой мпожества рациональных чисел.
5) Каждая точка пространства В" — предельная точка этого пространства.
Теорема Больцано
— Вейерштрасса. Любое бесконечное ограниченное множество в В" имеет
по крайней мере одну предельную точку.
|
Пусть М — множество из В". Множество точек R", не принадлежащих М, называется dono.t-
нением М.
Пусть M’ — множество всех предельных точек множества М. М’ называется нроизводным
мноэкеством множества М. Множество М = М |) М’ казывается замыканием М.
Справедливы следующие включения: (М’)' < М’, М’< М.
Множество М < В" называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки,
т.е. М’< М. Множество М < В" называется открытым, если для каждой точки РЕМ существует
&-окрестность И, (Р) такая, что U(P) = М. Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.
а) Множество М < В" замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.
6) Пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
в) Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
г) Нересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
д) Объединение произвольного числа открытых множеств есть открытое множество.
Примеры. 1) Любое конечное множество ‘точек замкнуто.
2) Для любого точечного множества его производное множество и его замыкание замкнуты.
3) Множество © не открыто и не замкнуто в В.
4) Пространство В" является как открытым, так н замкнутым множеством.
5) Множество М = {1/я | пЕМ} < В не открыто и не замкнуто в В.
6) Лшобая =-окрестность точки Ре R" — открытое множество.
7) Промежуток (a,6] < В является замкнутым множеством.
Точка Р множества М < К" называется внутренней точкой мпиожества М, если существует
=-окрестность И, (Р) такая, что Ц, (Р)<: М. Точка РЕ” пазывается внешней точкой для мно-
жества М, если она является внутренней точкой его дополнения. Точка Р называется граничиой
точкой множества М, если в любой -окрестности точки Р есть как точки множества М, так
и его дополнения. Множество всех граничных точек множества М вазывается границей М.
Примеры. 1) Все точки множества М = (0, 1) с: В -- вяутренние.
2) Каждое иррациональное число есть граничиая точка множества ©.
3) Множество М, = (хи, х2) | х! +х2> И является множеством всех сисииих почек миожелва | Ma =
= (хи, X2) |x? + хз <1}. Едипичная окружнобть являстси границей М, и М..
“
Множество М < В" называется связным, если любые две его тозки можно соедивить ломаной
(или кусочно гладкой кривой), все точки которой припадлежат этому множеству.
Если МС В" — открытое связное множество, то любые две точки из М можно соединить
кривой, полностью расположенной в М.
Пример. Кольцо М = (хи, х›) |0<a <x} + хз <b} с R* являстся связным множеством.
Открытое связное точечное множество называется областью. Область С называется односвяз-
ной, если ее граница
— связное множество. В противном случае С называется миогосвязной 0об-
ластью. Объединение области С и ее границы называется замкнутой областью.
Если область С односвязна, то любая замкнутая кривая без самопересечений, лежащая в С,
может быть стянута в точку путем непрерывной деформации внутри области С.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
257
Примеры, 1) Множество М = {(x,, x2) | х? + x3 < 1} односвязно.
2) Кольцо М = {(x,, X2)|0<a <x} +x} <b} является двусвязной областью.
3) Множество М = {(ха, х2)| (хи — 1)? + x3 < 1/2} |) {(хь, x2) (хи + 1)? + хз < 1/2} не является связным (рис. 3.1, 3.2).
J
4
Y
Beg
Мвограниченная 22 Hepapaneras
ЛА
ЗаМиниГТАЯ
д)
Vy,
Y
область
obnacine
WY
<
4
Y
Ограниченная
=
f
JOM тая
ооласть
0эраниченная
ОТАДЬТАЯ
область
Ye|
<i Рис. 3.1.
у
“4
Неограниченная
А
„абласть
| Ограниченная
GOYCONBHOI
ObNaCMNb
Bea naocKocme,
4
за UCKAKOYPHUEM
токи A
\
У,
у
4
| Грехсёвязная
Челлырехсдязная
Многосвязная .
область
область
% область
й
Рис. 3.2.
Множество М < В" называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками Р, ОЕМ ему
принадлежат все точки соединяющего их отрезка.
Пример. Прямоугольник М = {(x,, x2)| |x, | <а, |x2| <В с R? — выпуклое множество.
Если каждой точке РЕМ поставить в соответствие некоторую окрестность U (P), то совокуп-
ность этих окрестностей образует покрытие множества М. Покрытие множества не обязательно
состоит из окрестностей всех точек из М. Оно может содержать даже копечное число окрестностей.
Лемма Гейне — Бореля о конечном покрытии..ЁВсли М < В" — замкнутое ограниченное множество,
‘то из любого покрытия множества `М можно выбрать конечное покрытие.
3.1.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3.1.3.1. Числовые последовательности.
3.1.3.11. Ограниченность, сходимость. Примеры. Однозначное отображение мно-
жества натуральных чисел во множество действительных чисел R называется числовой последова-
тельностью или, короче, последовательностью Ф (п) =а,„; пишут: ф = {a,}. Последовательность {a,}
называется ограниченной, если существует такое: число KER, что |а„| < К для всех пЕ М.
258
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Число а называется пределом последовательности {a,}, если для любого => 0 найдется такое
N*), что для всех п > М выполняется неравенство |а, —а| < =. Если последовательность {a,} имеет
предел a**), то’говорят, что последовательность {a,} сходится к пределу а. При этом пишут:
lim а, =a или а, > а. Если последовательность сходится к а, то вне любой -окрестности а лежит
п»
|
ЛИШЬ конечное число членов этой последовательности.
Примеры. 1) Последовательность {1/n} сходится к нулю: если задать произвольное =>0 и выбрать М > I/e,
что всегда возможно в силу принципа Архимеда, то для всех п > М имеет место соотношение | 1/n — 0 | = Шп< ИМ <e.
2) Последовательность {п} является неограниченной и расходящейся.
3) Последовательность {(—1)"} является ограниченной и расходящейся.
4) Последовательность {(п + 1)/n} ограничена, и lim (n+ 1)/n=1.
noo
5) Последовательности {(—1)"/n} и {q"}, |q| < 1, сходятся к 0.
1
2
“
6) Последовательность a, = 2, a, = 5 a,—-, + ——] (п>2) является ограниченной и имеет пределом |/2.
an-1
7)Anaа>0имеем iimVa=|,
noo
Последовательность {a,} называется возрастающей (неубывающей), если a,4, >a, для всех пе М.
Последовательность {а„} называется. строго возрастающей, если а,+.!> а, для всех пеМ. Последо-
вательность {a,} называется убывающей (невозрастающей), если а„.! <a, для всех пЕМ. Последо-
вательность {a,} называется строго убывающей, если a,4,; <a, для всех пеЕМ. Возрастающая
и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.
3.1.3.1.2. Теоремы о числовых последовательностях. Для числовых последова-
тельностей справедливы следующие теоремы.
1. Любая сходящаяся последовательность ограничена.
|
2. Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. Если
возрастающая (убывающая) последовательность сходится, то’ ее предел совпадает с верхней (ниж-
ней) гранью множества ее значений.
3. Критерий сходимости Коши. Последовательность {а„} сходится тогда и только тогда, когда
для любого => 0 существует такое МеМ, что для всех п> МNo и т> М имеет место неравенство
|a,—An|<&.
,
4. Пусть последовательности {a,} и {b,} таковы, что lim a,=a, lim b,=b. Тогда lim (a,b,)=
n—@
n-@®
n—- ©
= аб и для любых o, BER выполняются соотношения
lim(aa,+Bb,)=aa+Bb.
п»
|аа
Если, кроме того, b#0, то, начиная с некоторого номера, все b,#0 и lim 5 =F"
п>с
п
5. Если {a,} сходится к а, To {|а„|} сходится к |а|.
к
kp
6. Пусть lim a,=a>0. Тогда, начиная с некоторого номера, все а >Ои lim Иа, = Иа.
n>©
n7@
7. Из lim a,=a следует, что lim Ч а, +... +а,) =a.
п>©
нс ИП
8. Если последовательность {a,} ограничена, а последовательность {b,} сходится ‘к нулю, то
последовательность {a,b,} также сходится к нулю.
9. Если для членов последовательности {a,}. имеет место неравенство A <a, < В и существует
Пт а, =а, то Аза<В,
n> oo
10. Если все члены последовательности {a,} попарно различны, то Шт а,”= а существует тогда
n-@
и только тогда, когда множество значений {а |пЕМ} ограничено и а является его единственной
предельной точкой.
Пусть {a,} — заданная последовательность, и пусть {n,} — строго возрастающая последователь-
ность (КЕМ, n, EN). Последовательность {а} называется подпоследовательностью последователь-
ности {a,}.
Если последовательность {a,} имеет определенный конечный предел a или ее предел равен со,
то такой же предел имеет и любая подпоследовательность {аи}.
*) Вообще говоря, зависящее от =.
**) Последовательность может иметь только один предел.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК
259
- Если последовательность {a,} не имеет определенного предела (конечного или бесконечного), то это не означает,
что и подпоследовательность {а„} не имеет предела (конечного или бесконечного). Всли подпоследовательность {а,,}
имеет ‚предел (конечный или бесконечный), TO его называют частичным пределом для последовательности -{a,}.
Из любой ограниченной последовательности {а„} всегда можно извлечь такую подпоследовательность {а„ },
которая сходилась бы к конечному пределу (теорема Больцано — Вейерштрасса).
Итак, для любой последовательности {а„} независимо от того, ограничена она или нет, существуют чаотичные
пределы. Наибольший и наименыший из этих частичных пределов всегда существуют и обозначаются соответственно
lim a, (верхний предел последовательности {a,})
lim a, (ниоений предел последовательности {а„}).
Равенство этих пределов есть условие, необходимое и достаточноё для существования предела (конечного или
бесконечного) последовательности {а„}.
|. \"
Примеры. 1) Последовательность {( +
строго возрастает, ограничена и вследствие этого сходится.
Ее предел обозначается буквой е. Число с= 2,71828... играет важную роль в качестве основания натуральных лога-
рифмов.
2) Последовательность {1/n?} строго убываег и ограничена, следовательно, сходится. Ее предел inf {1/n?|neN} =0
3) Для чисел a, ..., а; 5), ..., 6; ЕВ таких, что а, #0, b, #0,
r
QO при r<s,
Уат
i=0
ао/Бо при r=,
lim ;
“=)+00 приr>sHao/by>0,
n—>
bok_,n
p>5
—oo при r>S
HUао/о<0.
р
1
4) Последовательность {a,}: а, = (—1)" + — ограничена и расходится. Ее подпоследовательность $1 + > ( СХодится
n
1
=—-
.
к +1, а подпоследовательность + —1+ ~———? k —1. При этом fim а = +1 Ш а = -Ё Последовательность
2k+1
n>0
—-
moe
пс
1i= сходится к нулю, следовательно, —-;
также сходится к пулю.
3.1.3.2. Последовательности точек. Однозначное отображение ф множества М в пространство В"
называется последовательностью точек из В":
ф(К)=Py(xf,...,ЕК"*);
пишут: ф = {P,}.
Последовательность точек {Ри} называется ограниченной, если множество ее значений {P,|kEN} <
< В" ограничено. Точка Po (х?,..., хо) называется пределом последовательности {P,}, если
lim d(P,, Ро) = 0, т. е. если расстояния от точек P, до Ро образуют сходящуюся к нулю числовую
к>©
.
“.
последовательность. Если последовательность {P,} имеет пределом Po, то говорят, что она сходится
к пределу Ро. При этом пишут: im, P,= Po **).
Последовательность, He umerouan предела, называется расходящейся.
Если последовательность сходится к Ро, то вне любой =-окрестности точки Ро лежит лишь
конечное число членов данной последовательности.
k
Последовательность точек {P, (xi, ..., x4)} сходится к Ро (x?,..., x°) тогда и только тогда, когда
сходятся последовательности соответствующих координат, т. е. когда lim x* = x9 для5=1,2,..., и,
k—> о)
Примеры. 1) Последовательность точек {Ри} из В?: (xf, x$) = ((К + 1)/k, ИЮ ограничена и сходится к точке Po (1,0),
таккакlimk+l_1,limчо
k->0 k
кс
2) Последовательпость {P,} точек из В?: (xf, x3) =(1/k?, К? 1) ue ограничена и расходится, поскольку
lim (k? — 1)= +0.
k-> ©
*) Далее координаты точек ONYCKalOTCH ради простоты записи.
**) Последовательность точек в В" может иметь не более одного предела.
260
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Так как сходимость последовательностей точек из В" может быть сведена к сходимости число-
вых последовательностей, то большинство теорем о числовых последовательностях переносится
на последовательности точек. В частности:
|
1. Всякая сходящаяся. последовательность точек ограничена.
2. Критерий сходимости Коши: последовательность точек {P,} сходится тогда и только тогда,
когда для любого => 0 найдется такое NEN, что для любых ^,[> М справедливо неравенство
Ч4(Рь P\) <=*).
3.1.4. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.1.4.1. Функция одного действительного переменного. |!
3.1.4.1.1. Определение, графическое изображение, ограниченность. Пусть
множества A и BER. Однозначное отображение f множества А в В называется действительной
функцией одного действительного переменного**) (см. также 4.1.4.5). Множество А называется
областью определения функции f и обозначается Р (7); множество’ В называется мноэкеством зна-
чений f и обозначается W(f). Элемент yeW(f), который ставится в соответствие элементу
xe D(f), обозначается f(x) и называется значением функции f в точке x.
Функция f полностью определена, если известна область ее определения и для каждого зна-
чения xED(f) известно значение функции f(x), т.е. известно правило, по которому находится это
значение. Правило установления соответствия x > f(x) часто может быть выражено в формё ана-
литической зависимости.
Следует различать обозначения f и f (x). Символом / обозначают функцию, в то время как f (x)
есть значение функции f в точке хеД (Г). Однако простоты ради используют выражение «функция
f(x)», понимая под этим функцию, определенную посредством отображения x > f (x) при xeD(f).
Графическое изображение функции. Пусть x и y — координаты точки Р в декар-
товой системе координат. Множество {P (x, /(х))| хер (/)} < В? называется графиком функции /.
‚ При этом координата x называется абсциссой или аргументом, координата у = f (x) — ординатой
или значением функции, а уравнение у = f (x) — функциональной зависимостью.
Важным вспомогательным средством при построении графика функции или при выяснении ее
характерных свойств является построение таблицы значений функции, в которой для известных
значений аргумента указаны соответствующие значения функции. Графики и таблицы для важней-
ших элементарных функций приведены в 1.1.1.2 и 2.5.
|
Функция f не обязательно должна быть задана явно — уравнением у = f (x), Она может быть
определена также неявно — уравнением F (x, у) = 0.
Примеры. 1) Функция у = / (х) = |х|, О (1) = В, имеет область значений И’ (/)= {y|y 20} (рис. 3.3).
2) Всякая последовательность действительных нисел {a,} является функцией с областью определення М и областью
значений
,
,
у
W(1)={a,=f(n)}.
_
3) Функция f:
y=|z|
2 1приx#0,
f (x)= lim mae A!
D(f)=R,
nao "xt
2 приx =0,
имеет область значений
=
W (Г) = {1,2}.
0
т
4) Уравнение yx — sin x = 0 определяет функцию
Рис. 3.3.
sin x
Г = 2% w D(f)= R\{0}.
Сумма, разность, произведение и частное функций f и д определяются следующим образом:
+9) =.) +9() Df+g9)=D(f/)(\DG),
(1-9)(x)=f(x)9(x),
D(f-g)=D(f)(\D@),
Lovet БЛ)
_
Ly=29. o(£)=o mnware =9
Если f — взаимно однозначная функция, то обратное к f отображение д также однозначно,
т.е. тоже является функцией (см. 4.1.4.5).
*) Это есть свойство’ полноты пространства В".
**) Пока речь идет о действительных функциях действительного переменного, мы будем их кратко называть
функциями.
ФУНКЦИЯ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
261
Обратное отображение д, соответствующее взаимно однозначному отображению f такому, что
D(f) в, И(Г)< В, называется обратной функцией по отношению к функции {.
Очевидно, что 2 (9)= /(/), И (9) = D(S), Г[9®] =x при хер (9), 9 [1(%)] =x при xeD(f),
а функциональная зависимость у = f (x) эквивалентна функциональной зависимости х = 4 (у).
Для того чтобы из функции у = f(x) получить обратную функцию g, необходимо разрешить
уравнение у = f(x) относительно x и (в том случае, если в дальнейшем независимое переменное
будем обозначать посредством х) поменять переменные х и у местами. При этом графиком
обратной фучкции д является график функции f, отраженный зеркально относительно прямой y = x.
Примеры. 1) Функция f (x) = х?, D(f)=W(f) = {х|х> 0}, имеет обратную функцию g (x) = Их. На всем мно-
жестве R функция / не имеет обратной.
2) Функцией, обратной к показательной функции f (x) =е*, О (Г) = В, является логарифмическая функция g (x) = In x,
D (9)= {x|x> 0}.
3) Функция f (x) =sin x имеет в D(f)= |- — г обратную функцию g (x) =arcsin x, О (9) = [-1, 1]. На всем
множестве В функция sin x ис имеет обратной.
Если f и д- функции одного переменного, то функция F, определенная соотношением
y=F (x)=g[f(x)], с областью определения Д (ЕЁ)= {xe D(f)|f(x)eD (g)}, называется сложной функ-
цией или суперпозицией (а также композицией) функций f и g и обозначается go f. Следует иметь
в виду, что здесь операция проводится справа налево.
Пример. Если f(x)=ax+b, О(/)=В и g (x) =x, D (y) = {x |x > 0}, TO go f=g [Л] = Иах +6. Область
определения есть D (go Г) = {х|ах+Ь> 0}.
Функция / называется ограниченной на множестве Ес D(f), если существует такое число А,
что |/(х)|< А для всех хЕЕ. Функция / называется ограниченной сверху (снизу) на Е, если мно-
жество значений / при хЕЁ ограничено сверху (снизу).
Верхняя (нижняя) грань множества М значений функции / на Е называется верхней (нижней)
гранью функции / и обозначается sup f (x) ( int f ©).
хе
xe
Если зир/ (inff) на Е принадлежит к соответствующему множеству значений М, то он
называется наибольшим (наименьшим) значением f на Е и обозначается max f (x) (min I ©) При
ХЕЕ
этом говорят, что функция / достигает на Е своего максимального (минимального) значения.
Примеры. 1) Функции Л, (x) = sin x, Л. (х) = соз x ограничены па В, так как для всех хЕВ имеем |sinx| <1
|cosх| < 1. При этом
sup sinx= sup cosx = max sinx= max cosx = 1.
ХЕВ
ХЕЮ
ХЕВ
ХЕК
2) Фупкция / (x) = x? ограничена на В снизу, но не ограничена сверху. Однако / ограничена на любом ограни-
ченном подмножестве Ec В.
п
Функция f (x)= у а,_:х, ао #0, называется целой рациональной функцией или многочленом
i=0
п-й cmenenu, Многочлен нулевой степени называется константой. Функция называется (дробной)
рациональной функцией, если она является частным от деления двух многочленов. Рациональная
функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена
в знаменателе.
Графиком функции, равной констаите, является прямая, параллельная оси абсцисс; графиком
многочлена первой степени
— прямая, пересекающая ось абсцисс под нулевым углом; графиком
многочлена второй степени — парабола.
х2 +х-
Пример. Функция / (x) = т, р (Г) = ВИ, является правильной рациональной фупкцией.
3.1.4.1.2. Предел функции одного переменного. Пусть функция / определена
в некоторой окрестности точки хо, за исключением, быть может, самой точки хо. Говорят, что
функция / имеет в точке хо предел, равный A, и обозначают: lim f (x)= A, если для любого
Х->Хо
#>0 найдется такое 5 >0*), что для. всех x, удовлетворяющих неравенству 0<|х-—ху| < 5,
выполняется соотношение | f(x) — А|
<
=.
*) 0. вообще говоря, зависит от =.
262
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Другими словами, / имеет в точке хо предел, равный A, если для каждой =-окрестности
точки А существует 6-окрестность точки хо такая, что все точки §-OKPeCTHOCTH, за исключением,
быть может, точки хо, отображаются функцией f в =-окрестность точки А.
Пусть функция / определена в некоторой окрестности точки хо, за исключением, быть может,
самой точки хо. Функция f имеет в точке хо предел А тогда и только тогда, когда для любой
числовой последовательности {x,} такой, что |
Х,ЕБ(1),X,AX и Шт x,=Xo,
.
n—-> @®
выполняется равенство
lim f(x,) = А
п»
Примеры. 1) Функция / (х) = х имеет в любой точке хо предел, равный хо, так как для любой последователь
ности {x,} такой, что lim х,= хо, имем lim f(x,)= Шт x,= Xo.
п>©
nO
п> 00
2) Функция
1 при x20,
Л(x)= О при х<0
не имеет предела в 0. Если, например, взять последовательности x, = 1/п и х„ = —1/т, то получим
lim x,= lim x,=0, lim ff (x,)=1, lim Г (x) =0
n—oo m—oo
NH©
m—о
3) Функция / (x) = 1/x не имеет предела в 0. Иначе должна была бы сходиться к конечиому пределу последова-
тельность {/ (1/п)} (пЕМ).
Критерий Коши. Пусть функция / определена в окрестности ху, за исключением, быть может,
` самой точки хо. Функция / имеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда для любого
=> 0 существует такое 5 > 0, что для всех X1, X2, удовлетворяющих условию 0 < |х, — хо| < 8,
0 < |х› — хо| < 5, имеет место неравенство |/(x,) — Л (х2) | < =.
Иногда важно знать поведение функции справа (соответственно слева) от точки хо, так что
целесообразно ввести следующее определение.
Фупкция f имеет в точке хо предел справа ee равный A и обозначаемый
f (xo +0) = Ши ot (x) = (f(xo-O)= lim f(x)= A),
Хх хо+
хх -0
если для любого = > 0 найдется такое 6 > 0, что для всех х из интервала (хо, хо + 6) ((хо — 65, хо))
имеет место неравенство | f (x) — А| < =.
| при x20,
П
.
=
ример. Для функции/ to при x <0
f(4+0= lim f(x)=1, f(-O= lim f(x)=0
х> +0
х>-0
Функция / имеет в точке хо предел тогда и только тогда, когда в точке хо существуют
пределы этой функции как справа, так и слева и они равны.
Определение предела может быть обобщено на случай, когда х неограниченно возрастает
(соответственно убывает), в предположении, что область определения функции не ограничена. Это
позволяет выяснить характер поведения функции «в бесконечности».
Пусть область определения функции не ограничена сверху (снизу); тогда / обладает при
х > +00 (x — 0) пределом, равным A, если для любого E> 0 существует такое x,, что для всех
х>х, (x <х!) имеет место неравенство | f (x) - Al <e.
Обозначение:
lim f(x)=A ( lim /(0=А..
xX—+00
x74 —
;|
1
Пример. lim — =0. Если взять x, = — (&>0), то для всех x>x, будем иметь
x++0 *
€
:
Наконец, можно. определить также понятие «бесконечно большой функции», т. е. функции, 3Ha-
чения которой неограниченно возрастают (по абсолютной величине) при приближении аргумента
к какой-либо точке, в окрестности которой функция определена. Обзор возможных определений
предела дан в табл. 3.1.
ФУНКЦИЯ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
263
Таблица 3.1
Обозначение
Определение
Предел функции в точке
x=X
lim f(x)=A
хх,
Для каждого 5 > 0 существует 6 (=) > 0 такое, что для всех x,
удовлетворяющих условию 0 <|x — x)|<6, имеет место нера-
венство |/(х) — А|<&
«Обращение функции в бес- lim f(x) = +o
Для любого М существует &(М)> 0 такое, что для всех x,
‘ конечность» в точке х = хо'| * 7 Xo
удовлетворяющих условию 0 <|х — х,|< 6, имеет место нера-
венство f(x) > М
lim f(x)=-«%
Для лобого М существует 5(M)>0 такое, что для всех x,
хх.
удовлетворяющих условию 0 <|x — х,|< 6, имеет место нера-
венство f(x) < М
lim /(х) =
Для любого М существует 6 (М)> 0 такое, чго для всех x,
XXy
для которых 0 <|x — Xy|< 5, имеет место |/(х)|>. М
Предел функции / при х-> lim f(x)=A
Для любого = > 0 существует x, (=) такое, что для всех X > х,
— +09, соответственно
хз +%>
имеет место неравенство |/(х) — А| <=
|x7—0o
lim f(x)=A
Для любого => 0 существует X,)(€) такое, что для всех
х><
х < х, имеет место неравенство [/(х) — Al<e
«Обращение функции / в lim Х(х) = +<
Для любого М существует x,)(M) такое, что для всех
| бесконечность при х-»› +0, | Х-* +%
х > х, имеет место неравенство f(x) > М
соответственно х-+ —с©
lim Х(х) = +5
Для любого М существует х,(М) такое, что для всех
хх
х < х, имеет место неравенство f(x) > М
lim f(x)=-<%
Для любого М существует x,)(M) такое, что для всех
х> +E
х> Xy имеет место неравенство f(x) < М
lim f(x)=-@%
Для любого М существует x,)(M) такое, что для всех
Хх
х < х, имеет место неравенство f(x) < М
lim /(х) =
Для любого М существует x,)(M) такое, что для всех
х>+ +5
х> х, имеет место неравенство |/(х)|> М
lim f(W=a
Для любого М существует x0(M) такое, что для всех
хх
х <х, имеет место неравенство |/(х)|> М
Пределы справа и слева
lim /(х)=А
Для любого => 0 существует 8(=) > 0 такое, что для всех x,
х>х,+0
'удовлетворяющих условию 0<х- х, <8, имеет место не-
равенство |f(x) — Al<e
lim f(x)=A
Для любого & > 0 существует д(=) > 0 такое, что для всех x,
x Xy—0
удовлетворяющих условию 0 < x, —x<5, нмеет место Hepa-
вепство |/(х) — Al <eé
«Обращение функции в бес-
lim /(х)= +
Для любого М существует 8 (М)> 0 такое, что для всех x,
конечность» справа и слева | X > +0
удовлетворяющих условию 0 <x — x, <5, имеет место нера-
венство f(x) > М
lim f(xyy= +a
Для любого М существует 5(M)>0 такое что для всех x,
хх —0
0
удовлетворяющих условию 0 < Xy — x < 5, имеет место 'нера-
венство /(х) > М
264
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Таблица 3.1 (продолжение)
Обозначепие
Определение
lim f(x) = +0
Для любого М существует 5(M)> 0 такое, что для всех x,
х>х +0
удовлетворяющих условию 0 < x — ху < 6, имеет место пера-
венство f(x) < М
lim f(x)=—-—©
Для любого М существует 5(M)>0 такое, что для всех. x,
XX—0
удовлетворяющих условию 0 <x, —x <5, имсет место пера-
|
.
венство /(х) < М
lim f(x)=0
Для любого М существует 5(M)> 0 такое; что для всех x,
х>ху+0
удовлетворяющих условию 0 <х-—х, <, имеет место нера-
венство |/(х)|> М
lim f(x)=0
Для любого М существует 5(M)> 0 такое, чго для всех Xx,
x Xq—
удовлетворяющих условию 0 < x, — x <5, имеег место Hepa-
венство |/(х)|> М
Основные теоремы о пределах функций.
Если для одного из пяти случаев х—>хо, х>хо +0, х> +00 существуют Нт f, (x) =А,,
-imГ(х)=Ad,то
a)lim(cyfi(x)+cof(x)=с1А,
+
242;
6) limЛ: (x) fo (%) = А,А»;
в) lim Л, (x)/f2 (x) = А, /А», если А, #0.
Пример. Шт xsinx= lim x lim sinx=0.
х+
x70 х-+
`
3.1.4.1.3. Вычисление пределов. Для вычисления пределов функций пользуются указан-
ными выше определениями и теоремами, а также следующими приемами.
1. Определение предела посредством преобразования функциональной зависимости к удоб-
ному виду.
|
„Примеры. 1) lim
= lim X44 x72 4.0.4 x4 lan.
у
x7]x—|x7]
(Их
2)
lim TTT To
lim SSS
Se
х0
x
x70 И! +х+1
2
П. Правило Лопиталя. Если при х — xo (соответственно x— +00) в функции F(x) возникают
0
со
.
неопределенности вида — или —-, то для вычисления Шт F(x) (соответственно Шт F (x))
можно зачастую успешно применять следующие правила.
‚Па) Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности И (хо)
точки хо, за исключением, быть может, самой ‘точки хо. Пусть, далее, lim f(x)= lim g(x)=0
Хх>Xo
Хх>Хо
и 9’ (x) #0 при хЕЦ (хо)\{хо}. Если при этом Шт Го©) _ A, то lim Ло) _
XX9(x)
хх 9(x)
Соответствующее утверждение имеет место и в том случае, когда lim f (x)= lim g(x) = 0,
X>хо
Xx хо
атакжеприх>хо+0.
16). Пусть функции f и 9 дифференцируемы при х>а (а>0) и, кроме того, lim /(х.=.
`
хз
= lim g(x)=0,a также Шт g'(x) #0. Тогда, если lim f ©) = А, то Шт SFO) —
x +00
х> +00,
x2+ g' (x)
x3 +00 g(x)
ФУНКЦИЯ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
265
Примеры. 1) Пусть f(x) =sin x, д (х) =х, хо =0. Из lim 8х = 1, согласно Па), следует, что lim |.
x30 1
х.
x0 Хх
21сх
limАХ=jimSOS= 1
x0x
х>0 2% x0
2
3) lim In(l+x) _ lim ty
x70
x
x79 1+x
-1
4) lim (xInx)= lim nx = fim = lim (-x=0.
x7 +0
х>+0* х>+0Хх
х>40 |
=>
arctg x m
2
Е + х?)-1
|
—1
5) lim x(atctgx-4)= lim ——~——= lim a
_Шт
==
=
x7 +0
2x3+0
x
x3+0 —*
x>+4+a 1+
1+limx
х> +00
—2х
-
6) lim (x—2x)‘exfim
= Ша (-2)(-sin* x)=
x—n/2
— 1/2 “ae x 2-1/2
IlJ. Если f непрерывна в точке хо, то (см. 3.1.4.1.4) lim f (x) = f (xo).
x—7>Xo
.1
..
в (1+0 lim=in(1+)
Примеры. 1) lim (14+. x)'*= lim e*
= «79
=e!=e.
x0
x70
2) Шт x*= lim e*"TM*=e¢° =|.
х>+0
х-> +0
ТУ. Использование разложения функции в ряд Тейлора.
хз
x
+...
. x—sinx
(6120)|
Пример. lim ——= lim
3
=—.
x0x
x+0
x
6
3.1.4.1.4. Непрерывные функции одного переменного. Функция
f называется
непрерывной в точке x,ED(f), если для любого => 0 существует такое 6 > 0, что для всех x,
принадлежащих D(f) и таких, что |x — хо| < 6, имеет место неравенство | f (x) — Л (хо) | < =.
Примеры. 1) Функция / (х)= С непрерывна в точке хоеВ. Если взять произвольное =>0, то для любого
положительного § и всех х таких, что | xX — хо| < 5, имеем | f (х)— f (хо)| = С-С|=0<=.
2) Функция / (x) = x непрерывна в точке x,ER. Если положить 5 = & причем e> 0 — произвольное 'число, то для
всех хтаких, что |х—хо|<6,имеем |f(x)—f(хо)
|=|х-—хо|<b=e.
Между непрерывностью функции / в точке хо и существованием предела f в хо имеется
следующая связь:
Функция f, определенная в некоторой окрестности хо, непрерывна в точке хо тогда и только
тогда, когда существует предел функции f в точке хо, равный f (хо), Т.е. когда lim f (x)= f (хо).
xX Xp
Функция / непрерывна в точке xX,»ED(f) тогда и только тогда, когда для любой числовой
последовательности {x,} такой, что x,ED{f) и lim x, = хо, имеет место равенство
>
ims (Xn) =Л (Xo).
Примеры. 1) Функция
|
1 при x20,
© Оприх<0
не является непрерывной в точке ху = 0.
2) Функция f (x) = 1/х не является непрерывной в точкс хо = 0.
3) Функция
x яп (1/х) при x0,
ло) =
0
при x=0
непрерывна в точке хи =: 0.
Функция f называется. непрерывной на множестве Ес D(f), если f непрерывна в каждой
точке хоЕЁЕ.
266
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
c
-
=
че
оеста,с
Если / не является непрерывной в точке хо (имеет разрыв в точке хо), TO хо называется
точкой разрыва функции {.
Грубо говоря, непрерывность функции / означает, что в результате неболышого изменения
значения аргумента значение функции также изменяется мало. Если график функции f на Ec D(f)
является куском «сплошной», непрерывной кривой, то f непрерывна на Г.
Основные свойства непрерывных функций.
Сумма, разность и произведение непрерывных функций также являются непрерывными функциями.
Если f непрерывна и не равна нулю в точке хо, то 1/Г также являстся непрерывной в точке хо.
Многочлен непрерывен во всех точках множества КВ.
Дробно-рациональная функция непрерывна во всех точках, в которых её знаменатель отличен
от нуля.
x*—2х2+3
Пример. Функция
/ (х) = eI пепрерывна Ha мйожестве R\{1}.
Пусть функция f непрерывна и положительна (отрицательна) в точке хо. Тогда существует
окрестность U (хо) точки хо такая, что для всех хЕ U (хо)(`\ р (Л) имеет место неравенство f (х) > 0
(f(x)<0).
|
Любая функция, представимая в виде степенного ряда, непрерывна в точках, лежащих внутри
интервала сходимости этого ряда.
Если функция f непрерывна в точке хо, а функция д -— в точке f (хо), то сложная функция 9°®/
непрерывна в точке хо.
Пример. Из непрерывности функций / (х) =зтх и g(x)=e* в В слелует непрерывность сложной функции
(49°Л)(х)=9[Л()]=ci"*в В.
Аналогично понятию одностороннего предела вводится понятие непрерывности справа и слева.
Функция / называется непрерывной справа (слева) в точке xgED(f), если для любого &>0
существует 6 > 0 такое, что для всех хе D(f), удовлетворяющих условию 0 < x — Xp < 5 (0<х-х<
< 5), имеет место неравенство
If(x)—Л(хо)|<=.
Функция / непрерывна в хо тогда и только тогда, когда она непрерывна в ‘хо как справа,
так и слева.
Пример. Функция
,
| при x20,
x
a
© Оприх<0
непрерывиа в точке.хо = 0 справа, но не является непрерывной слева.
3.1.4.1.5. Точки разрыва и порядок величины функций.
1. Устранимый разрыв. Пусть функция / определена в окрестности точки хо и не является
непрерывной в этой точке. Функция f имеет в точке хо устранимый разрыв, если существует
lim /(х) = А. При этом функция
Х>Хо
й res при xe D(f)\{xo},
Л* (x)=
|
при х=хо
непрерывна в точке хо.
Пример. Функция
при x #0,
Л (x)= ]2 при x=0
имеет устранимый разрыв в точке хо. Функция f* (x)= 1, О (/*) = В, непрерывна в точке хо = 0.
2. Конечный разрыв (скачок функции). Пусть для функции / существуют lim 079 =
Х>Хо-
lim / (>) = В, причем A # В. Тогда говорят, что функция / имеет в точке разрыва хо скачок,
х-> хо +0
равный по величине |В-А|.
Пример. Функция
,
{ при x20,
fo}, при x <0
имеет в точке 0 скачок, равный 1.
ФУНКЦИЯ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
267
3. Бесконечный разрыв. Если для функции / имеет место соотношение lim |/ (х)|= ©, то
Х>Хо
точку хо называют точкой бесконечного разрыва функции /.
Пример. Функция f (x)= 1/х имеет бесконечный разрыв в точке хо = 0.
‚Точки устранимого и конечного разрывов называются также точками разрыва 1-го рода.
Точками разрыва 2-го рода являются точки бесконечного разрыва и те точки, в которых не существует
конечного предела либо справа, либо слева.
График. функции с точками разрыва 1-го и 2-го рода показан
на рис. 3.4.
у
Пример. Дробно-рациональная функция имеет не более чем конечное число точек
бесконечного разрыва.
Функция / называется кусочно непрерывной на отрезке I = [а 6] < В,
если f непрерывна во всех точках хеЕ[, за исключением конечного числа
точек разрыва 1-го рода.
4. Порядок величины функций. Следующие определения дают возмож-
ность сравнивать две функции.
Если для функции /, определенной в окрестности точки хо, имеет место
равенство‘
У (x)
[x— xo f°
S
|
lim
Хх>Хо
=с,
Рис. 3.4.
где с>0 и. 5ЕВ\{0}, то точка хо называется нулем функции f порядка s в случае 5>0 и точкой
бесконечного разрыва функции / порядка s (полюсом порядка 5) в случае $ < 0.
Если lim |х“/ (х) | = с, где с> 0, 5ЕВ\{0}, то говорят, что ‘функция f(x) является бесконечно
x7
,
малой порядка $ при x — oo, если $ > 0 (соответственно бесконечно большой порядка $ при x —> oO,
если$<0)*).
Не для всякой функции, удовлетворяющей условию lim | f (х) | = 00, можно указать порядок
x7®
«обращения в бесконечность». Например, показательная функция растет при x —> +00 быстрее, чем
любая степень х‘.
.Е
sin x
Примеры. 1) Для функции sin x точка 0 является нулем порядка |, так как lim
|=1.
x-
2) Функция f (x) =x" является бесконечно большой порядка п при x — oo, Tak как lim |х".х"| = 1.
x00
Для сравнения порядка величин двух функций Ги g употребляются символы о и О (читается:
«о малое» и «О большое»). Если для двух функций Гид
im LO)_
X>хо9(x)x)
при хх, (соответственно при x > +00), то пишут: f (x) = 0 (4 (х)).
Читается: f(x) есть о малое om g(x) при х + хо (соответственно при x -+ +00).
Пример. sin х=о(Их) при x — 0,
Если существует такое МЕВ, что для двух функций Ги g
me <M
при х-+хо (соответственно при x > +00), то пишут: f (x) = О (9 (x)).
Читается: f(x) есть О большое от g(x) при x + хо (соответственно при х-+ +00).
sin x
Пример. Так как lim
-=1,Tosinx=O(x)приx>0.
x-> x
3.1.4.1.6. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезках. Всякая функция,
непрерывная на отрезке Г = [а, 5] **), ограничена на I.
*) При x > +00 определение аналогично.
**) В концевых точках а и Ь функция / должна быть односторонне непрерывна.
268
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
-e* sinx
Пример. Функция / (x)= In x ‚ D(f)=[1, a] (а > 1), непрерывна Ha D (f) и, следовательно, ограничена.
Теорема Вейерштрасса. Для каждой функции, непрерывной на Г=[а, 5], существуют m=
= minf (x), М = maxf (x).
xel
xel
e*sinx
Пример. Функция / = ых из примера выше достигает на. [1, а] своих верхней и нижней граней.
Теорема Коши о прохождении через нуль. Если f непрерывна на [a,b] и f(a)>0, f(b) <0,.
то существует точка хЕ[а, Ь], в которой f обращается в нуль (аналогичное утверждение имеет
место в случае f(a) < 0, f(b) > 0).
Пример. Функция f (x) = = —Inx непрерывна на [1,е]. Из f(1)>0, f (е) <0 следует существование точки
ХоЕ [1, e], в которой / обращается в нуль.
Теорема о промежуточном значении. Пусть f непрерывна Ha [a,b], и пусть т = шш f(x)<
xel
< тах f (x)= М и ae(m, М). Тогда существует точка хоЕ(а, 6), в которой f (хо) = a.
xel
Таким образом, W(f) =[m, М].
Функция / называется убывающей (возрастающей) на [a,b] = D(f), если для любых хи, x, €[a, b]
таких, что X; <х., имеет место неравенство f (x,)> f (x2) (1 (х/)< Л (x2)). Функция f называется
строго убывающей (строго возрастающей) на [а, 5], если для любых x1, х.Е[а, 6] таких, что xX, <х.,
имеет место’ неравенство f (x,) > f (x2) (f (x1) < f (x2)).
Если f является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.
Показательная функция f (х)= е* строго возрастает на каждом замкнутом отрезке [a,b], так как для xX, <х,
x2 7%)
*1 *2
имеем е > 1, откуда cnenyer e <е“.
Свойства монотонных функций.
1. Возрастающая (убывающая) на [a, 5] функция f непрерывна на [а, 6] тогда и только тогда,
когда она принимает каждое значение из промежутка [/ (а), f (b)] (f(b), Л (а)].
2. Если / монотонна на [a,b], то она имеет Ha [a,b] не более чем счетное множество точек
разрыва |-го рода.
3. Пусть f непрерывна и строго возрастает (убывает) на [а]. Тогда ва множестве
[Л (а), ГЫ] (ХЦ, f (а)]) определена непрерывная строго возрастающая (убывающая) фупкция д,
обратная для f.
Пример. Функция / (x) = e* непрерывна и строго возрастает на любом [a, b]. W (Sf) = {yly> 0}.
Обратная для нее функция д (x) = щх, D (9) = {x|x > 0}, также непрерывна и строго возрастает в D (9).
Функция / называется равномерно непрерывной на MC D(f), если для любого = > 0 найдется
такое 6>0*), что для любых х,,х.ЕМ таких, что |x, —xX2,|<5, выполняется неравенство
If (x1) —Л(%2)| < =.
Пример. Функция / (x) =: /х непрерывна при хЕ(0, 1), но пе является равномерно непрерывной в интервале (0, 1).
Если / равномерно непрерывна на М, то f непрерывна на М. Если множество М замкнуто,
то верно и обратное:
Всякая непрерывная на [а, 5] функция равномерно непрерывна на [а, 5].
3.1.4.1.7. Специальные виды. функций.
1. Периодическис функции. Фуикция / называется периодической, если найдется такое Т # 0, что из хЕД (/)
следует х + ТЕР (/) и
S(x+T)=f (x).
Наименышее положительное T, удовлетворяющее указанным условиям, называется периодом функции /
Пример. Функции sin x и cos x — периодические с периодом 2т.
2. Функции ограниченной вариации. Пусть 7 -— разбиение отрезка [a,b] с точками разбиения
п
а=х<х, <...<х,_. <х,=Ь. Если /— такая фуикция, что [a,b] =р(/), то число Vf, 2) = У Л - ЛЖ,
k=
называется вариацией функции / относительно pa36ueuna Z. Если существует верхняя грань И (f, [a, b])= sup V (1, Z)
.
Z
по всем разбиениям отрезка [a,b], то она навывается полной Gcapuayuei функции Г на отрезке [a,b]. При этом f
называется функцией ограниченной вариации **).
*) Число d не зависит от выбора х;, х..
**) Функции ограниченной вариации могут быть как непрерывными, так и разрывными. С другой стороны,
существуют непрерывные функции неограниченной вариации (см. пример 2)).
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
269
1) Всякая монотонная на [a,b] функция является функцией ограниченной вариации.
2) Всякая дифференцируемая на [a,b] функция, производная которой ограничена на [a,b], является функцией
ограниченной вариации.
3) Функция, определенная на [a,b], является фуикцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ‘она
представима в виде разности двух возрастающих фупкций.
4) Всякая функция ограниченной вариации интегрируема по Риману (см. 3.1.7.1).
Примеры. 1) Если / возрастает ua [a,b], то VY, [a, b])= f (6) — Л (а).
2) Функция
x cos (2n/x), при x >0,
remf 0 при x=0
Jel
пе являсгся функцией ограниченной вариации на отрезке [0,1]. При разбиении 0 < on <>. S55
пп—
п
a
k’
к`
k=1
k=1
1
1
получаем И (f, 2) = >. —-, откуда, вследствие расходимости ряда Ут следует утверждение.
3. Абсолютно непрерывные функции. Фуикция / пазывается абсолютно непрерывной на отрезке
[a,b] < D(f), если для любого в > 0 существует такое 5 > 0, чго для любой конечной системы содержащихся в [a, b]
неперссекающихся отрезков I, = [хк-1, хк] таких, чго У’ (x, — хк- 1) < 5, выполнено неравенство
k=1
<Е.
>(F(x)—Л(к)
Всякая a6conloTno непрерывная Ha [a, 5] функция является равномерно непрерывной функцией и фуикцией orpa-
ниченной вариации.
44 Полунепрерывиые функции. Функция f, опрелелениая в некоторой окрестности точки хо, называется
полунепрерывной снизу (сверху) в хо, если для любой последовательпосги {x,} такой, что lim x, = Xo,
nro
lim:Л%)>S(%o)(limЛ(%)<fо)
n— ©.
n> @.
Функция / называется полунепрерывной в точке хо, если f полунепрерывна в точке хо сверху или снизу.
Пример. Фуикция Дирихле _
| при хеМ =©1[) [0, 1],
= при хЕ[0, 1]\M
являётся полунепрерывной сверху при хьЕМ и полунепрерывной снизу при хоЕ[0, 1 \М. При этом f/f разрывна
в каждой точке своей области определения.
5. Функции, удовлетворяющие условию Липшица. Если для функции f, для которой [a, b] = р (У),
существует такая постоянная Г, что для любых х,, х.Е[а, В] выполняется перавеислво | f (x,) — Л (х2) | < Ё|х, — х>|
то говорят, что функция / на отрезке [a,b] удовлетворяст условию Липшица с постоянной Липшица, равной L.
Каждая функция, удовлетворяющая на [a,b] условию Лиишица, является равномерно непрерывной функцией
ограниченной вариации.
°
Всякая дифференцируемая на [a,b] фупкция, производная которой ограничена па [a,b], удовлетворяет условию
Липшица.
|
Пример. Функция S (x)= yx пе удовлетворяет условию Липшица на (0, 1], так как множество
|
Их
3.1.4.2. Функции нескольких действительных переменных.
3.1.4.2.1. Определение, графическое изображение, ограниченность. Опреде-
лепие функции одного действительного переменного (см. 3.1.4.1.1) будег теперь обобщено на
функции п действительных переменных. Область определения такой функции — подмиожество в No".
Точку, которой в декартовой системе координат соответствует последовательшость (х1,..., X,), обозна-
чают P(x, ..., х,) или, кратко, P (х)).
Пусть Ас No” и BCR. Однозначное отображение / множества А во множество В называется
(действительной) функцией п действительных переменных (см. также 4.1.4.5). Множество А называется
областью определения f и обозначается D(f); множество Я называется множеством значений |
и обозначается W(f). Образ уЕЙ’(/) элемента (x,, ..., х,) =(х) =P(x)ED(f) обозначается
Го, ..., х,), илиf (x), или Г(Р). Число/ (x,,..., X,) называется значением функции в точке (X,,..., Xp).
Каждой точке (x;, ..., xX,)€D(f)< В" соответствует только одна точка у = /(х!, ..., x,)ER.
Уравнение у = f (хи, ..., х,), как и в 3.1.4.1, называется функциональной зависимостью. Функция f
не обязательно должна быть задана явно — уравнением у = f (х,, ..., X,), она может быть задана
также неявно — уравнением F (x,, ..., х,; у) =0.
ХЕ (0, о} не является ограниченным.
270
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
_..
>
eee
aay er
eS
= eee
Пример. Правилом сопоставления (хи, X2) > / (x4, х2) = x? + x3, (хи, x2) € R?, определяется функция с облаётью
определения ДР (/) = В? и множеством значений И/ (/) = {у|уЕВ, у> 0}. Уравнением функции / является уравнение
2
2
р
у=х! + х>.
Графическое изображение функции двух переменных. Для функций
` двух
переменных X,, X2, как и для функций одного переменного, возможно геометрическое представление
(в декартовых координатах X,, X2, у пространства В?). Множество точек
{Р (x1, х», f (x1, X2))|(x1, X2)€D (f)} < К?
называется графиком функции f. Таким образом, для построения графика функции f значение
функции / (хи, х2) откладывается на прямой, проходящей через точку (x), x2,)ED(f), в направлении
оси у. Для большинства рассматриваемых на практике функций точки Р образуют поверхность
в пространстве В?, которая и является графиком функции f. Вспомогательным средством при
построении графика или выявлении основных свойств функции является построение таблицы зна-
чений, в которой для конкретных точек области определения указаны соответствующие значения»
функции. Для функций более чем двух переменных аналогичная наглядная геометрическая интерпре-
тация, вообще говоря, уже невозможна.
|
Линии уровня, поверхности уровня. Если СЕЙ’ (Г), то точечное
множество
{(x1,---, Xa) | Л (Ха, ---, Xn) = с} а В"
называется поверхностью уровня функции f. Таким образом, на поверхности
уровня функция / имеет постоянное значение. В случае п =2 это точечное
множество называется линией уровня. Линия уровня
— это спроектированная
на плоскость X,X2 кривая пересечения графика функции / с плоскостью,
параллельной плоскости X1X>.
Примеры. 1) Линии уровня функции у = f (хи, x2) =x? + х2; D(f)=R?, суть окруж-
ности с центром в точке (0, 0). Если пересечь график / плоскостью, содержащей ось у, то
Рис. 3.5.
полученная кривая пересечения будет параболой. Таким образом, график функции / пред-
ставляет собой параболоид вращения (рис. 3.5).
2) Линии уровня f (хи, х2) = х.х., О (У) = В?, суть гиперболы. График функции / — гиперболический параболоид.
3) График функции / (хи, х2) = х, +X2, D(f) = R?,— плоскость, содержащая точку (0, 0). Линии уровня / — прямые.
Функция f, где О (/)ЕВ", называется ограниченной сверху (снизу) на Ec D(f), если множество
{Л (x1, ..., Xa)| (ха, ..., ЕЕ} ограничено сверху (снизу) в В. Функция f называется ограниченной
на Е, если f ограничена на Е как сверху, так и снизу.
Пусть функция / ограничена на E c D(f) < В" сверху (снизу). Верхняя (нижняя) грань множества
М = (f (x) |(x)e€E} значений функции f на Е обозначается mee St (x). ( inf St (x;)).
xe
A
Если sup/f (inf f) на множестве Е принадлежит множеству М, то ее называют наибольшим
(наименьшим) значением функции f на Е и обозначают через
тах /(х,) (min Л (x;)).
xj)EE
XE
Примеры. 1) Фуикция / (хи,
x2) =x? + x2, О (Г) = В?, ограничена ua D(f) снизу, по не является ограниченной
сверху.
2) Функция / (x), х2) =X; +х., D(f) = В?, ограничена на E = {(x,, хз) |x? + х2 < |.
Функция / такая, что О (/) < В", называется однородной степени К, если для любого действитель-
ного числа /, > 0 имеет место равенство f (Ахи,..., AX,) = МХ (Хь.. 5 Х,.
Теорема Эйлера. Если однородная функция / с показателем однородности, равным ‘k, непрерывно
дифференцируема, то имеет место соотношение
n
у» Of(ayMLк,х)
OX;
a
Примеры. 1) Квадратичная форма f (x,,.... X,) = 2 QjX;Xj, DI f= R?, — однородная степени 2.
2) Функция f (xq, 2.25 х,) = De » D(f)= {(x%1,-.-, х,)[х: > 0, i= 1,...,2}, одпородная степени — 1/2.
3.1.4.2.2. Пределы функций многих переменных. Определения предела из 3.1.4.1.2
теперь обобщаются следующим образом. Пусть функция f определена в некоторой окрестности
точки Ро(х°)ЕБ
(Г) < В" за исключением, быть может, точки Ро. Функция / имеет в Ро предел,
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
271
равный А и обозначаемый Шт f(P) =A, если для каждого = > 0 существует § > 0 такое, что для
Po Po
всех точек P (x,), удовлетворяющих условию 0 < d(P, Po) < 5, имеет место неравенство | f (Р) — А | < =.
Пусть функция / определена в некоторой окрестности точки Po, за исключением, быть может,
самой точки Ро. Функция / имеет в точке Py предел, равный A, тогда и только тогда, когда для
любой последовательности точек {Р„} такой, что P,ED(f), Pm# Po u lim P,, = Po, имеет место
m—> ©
равенетво lim f (P,,) = 4.
mo
Пусть область определения функции / не ограничена в В". Функция / имеет при P— со предел,
равный А и обозначаемый lim f (P) = А, если для любого € > 0 существует число b > 0 такое, что
Р-+ о
для всех PeD(f), удовлетворяющих условию d(P, 0) > b, имеет место неравенство || / (P) — А| < =.
Теоремы о пределах из 3.1.4.1.2 легко обобщаются на функции многих переменных.
Примеры... 1) Для всех Po (x?, хз)е В? справедливо соотношение
lim (2 + x3) = (x9)? + (х9)2.
(x1) > (2)
2) Функция
5
x1
.
при Хх,х 50,0),
fia]
ри (x, x2)#(0, 0)
0
при (хи, x2) = (0, 0)
не имеет предела в точке (0, 0). Именно, если рассмотреть последовательность {1/k, 1/k?}, то получим
lim (i/k, ИЕ?} = (0, 0), а Шт Л(ШК, ИК?) = +00.
К»0
к»0
3.1.4.23. Непрерывные функции многих переменных. Функция / называется
непрерывной в точке РоЕД (/) = В", если для каждого = > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех
PeD(f), удовлетворяющих условию d(P, Ро) < 5, имеет место неравенство
lf(Р)—Л(Ро)|<&.
Таким образом, если f непрерывна в точке Ро, то для любой =-окрестности / (Ро) существует
б-окрестность ИП, (Ро) точки Ро такая, что для всех РЕЦ, (Ро) значения функции f (P) лежат
в =-окрестности f (Ро).
Tipu мер. Функция f (x,,...,X,)= ) хь, D(f)=R’, непрерывна во всех точках P (x?,...,x~)e€D(f). Если указать
k=]
у
произвольное = > 0 и положить 5 = &// п, то для всех Р (x;,..., X,), удовлетворяющих условию 4 (P, Ро) < 5, на основании
неравенства Коши — Буняковского получим, что
a
п
<у|ж-х9| < пу |ж- хр <Vnd=e.
k=1
k=1
Л(Р)— (Ро=|Убы-x2)
Функция f, определенная в окрестности Ро, непрерывна в Py тогда и только тогда, когда /
имеет в Ро предел, равный значению функции в этой точке, т.е. когда lim /(Р) = / (Po).
>Ро
Функция f, определенная в окрестности точки Ро, непрерывна в Pp) тогда и только тогда,
когда для всех последовательностей точек {P;}, для которых P;eD(f) и lim P; = Ро, выполняется
1-+CO
равенство lim f (P;)=f (Po).
10
Непрерывность функции означает, следовательно, что математические операции lim и / можно
переставлять: если найти вначале значения функции f (P;), а затем предел lim /(Р;), то получим
[>©
значение функции в точке предела lim P; = Ру («предел функции равен функции предела»).
{>©
Пример. Функция
ex
142
.
——_ при (x,, x2) (0, 0),
funda} HH pa (1, хз) #0, 0)
0
при (х,. X2) = (0, 0)
имеет разрыв в точке (0,0), так как последовательность {I/k, ИК} имеет предел lim {I/k, ИК} = (0, 0),
|
Ко
а Шт f {1/k, 1/k} =1/2
4f(0,0).
k-— 0
Определения и теоремы для непрерывных функций одного переменного (см. 3.1.4.1.4) можно
перенести на функции многих переменных.
|
272
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
/
Функция / называется непрерывной на множестве Е < В", если она непрерывна во всех TO4KaX
множества Е.
.
Функция / называется равномерно непрерывной па множестве Е, если для любого.=>0
существует 6>0 такое, что для любых P,, P,EE, удовлетворяющих условию d(P,, P,) < 6,
выполнено неравенство | f (P,) — f (P2)| < =.
И
Пусть заданы п функций ф,,..., ф, таких, что ДО (ф;)= В, 2 (Ф) Г] РФ) (6 j=1,.-., п),
и функция f такая, что (Q, (&1,..., &),..., On (ty, -.-5 &)ЕБ (Г) с В". Отображение Е, которое каждому
набору К чисел (t,,..., t,) ставит в соответствие F (#1,..., &) = Г [Фи (11, ..., No), ...) On (в... Ш]
называется сложной функцией.
Пример.Пустьф,(1)=с0$t,ф›(1=sin't,D(Ф,)=D($2)=[0,2x)иГ(x1,x2)=x7+x3, D(f)=R?.ТогдаF(9=
=f (cos t, $т В = cos? t+ зт? t= 1, В (ЕР) = [0, 2n). F(t) является сложной функцией.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных функций являются непрерывными функциями.
Частное непрерывных функций — непрерывная функция в точках, в которых знаменатель отличен
от нуля.
2) Если f непрерывна в точке Ро и /(Ро)>0 (f (Po)< 0), то существует окрестность U (Ро)
точки Ро такая, что для всех РЕЦ (Ро) выполнено неравенство / (Р} > 0 (f (P) <0).
3) Если f непрерывны на ограниченном замкнутом множестве Е, то f ограничена на Е.
4) Всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Е функция равномерно непре-
рывна на Е.
5) Всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Ё функция достигает на нем
своих наибольшего и наименьшего значений.
|
6) Теорема о промежуточном значении. Если / непрерывна в области Е *) и f (P,) =a, Г(Р.) =Б
для P,, Р-ЕЕ, причем а <Б, то для каждого уЕ(а, Б) найдется точка PEE, в которой f (P) = у.
7) Если f непрерывна на D(f) < В" и функции Ф,,..., ф„ непрерывны на О (фу с В" (i= 1,..., п),
то сложная функция F, составленная из Ги ф,,..., ф» непрерывна на D (Е).
3.1.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.1.5.1. Определение и геометрическая интерпретация нервой производной. Примеры. Если f —
функция одного переменного и хоЕ(а, 5), то функция © такая, что
—Л -Л%o)
ф(x)= xX—хо
называется разностным отношением функции f в точке хо **).
Геометрическая интерпретация. Пусть на графике функции / в координатной системе
x, у заданы фиксированная точка Po (хо, Yo) и подвижная точка P {x, у), и пусть секущая, проведенная
через эти точки, образует угол В с положительным направлением оси х. Тогда
Ay y-yo _ Л(х)
— /(хо)
tgp =——
BB Ax X—хо
х—хо
Разностное отношение функции / в точке хо равно, таким образом, угловому коэффициенту секущей,
проведенной через точки Ри Po (рис. 3.6).
Yh
F(a)
Функция f называется дифференцируемой в точке хо Е (а, 5), если
9
существует предел разностного отношения функции / в точке хи:
р
x)—f(x
у
him @(x)= lim ды J (Xo) |
XXo
Хх>Хо X—No
Aya Этот предел называется производной функции f в точке хо. Обозна-
т
п
и чение:
4 (хо) df
—
Ах |,
Го), |.
0
Zo
хт
x ах [х-жю
Рис. 3.6.
Геометрическая интерпретация. Если на графике
функции подвижная точка P(x, у) стремится к точке Ро (хо, Yo)
(см. рис. 3.6), то, вообще говоря, изменяется также угловой коэффициент секущей. Если существует
производная функции f в точке хо, то прямую, проходящую через точку Ро (хо, yo) и такую, что
*) Напомним, что область связна.
**) Слелует обратить внимание на то, что хо — фиксированиая точка.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
273
tg (a) = f’ (хо),. где а“ -— угол наклона этой прямой, называют касательной к графику функции f
в точке Ро (хо, yo). Таким образом, уравнение касательной есть у — f (Xo) = Г’ (хо) (x — хо).
Функция / называется дифференцируемой справа (слева) в точке хо, если существует предел справа
(слева) lim @(x)( Шт @(x)) разностного отношения в точке хо. Этот предел называется
х> хо-+0
х->хо-0
производной справа (слева) функции f в точке хо и обозначается /*, (хо), f’ (хо + 0) (Г (хо), Г’ (хо — 0)).
Если существует f’ (хо), то функция f дифференцируема справа и слева в точке хо Hf’, (хо) =
= / (Xo) = f’ (хо). Обратно, если существуют односторонние производные /*. (хо), Г (хо) и Г*+ (хо) =
= Л- (хо), то существует также ]* (хо) = Л+ (хо) = Л- (хо).
Функция / называется дифференцируемой на множестве Е, если она дифференцируема во всех
точках х,ЕЁЕ*). Функция f называется дифференцируемой, если она дифференцируема на Д (1). Если
f дифференцируема, то функция /’, определенная соответствием x —> f’ (x), называется производной
функции {.
Примеры. 1) Функция / (х) = х дифференцируема в каждой точке хоЕК, и
`(х)— Л(x
х-х
Г(хо)= Jim о =F (0) = lim ——% =1.,
xXXp х—хо
х-хоХ- Xo
2) Для функции f (x) = С, С — постоянная, имеем /’ (хо) = 0.
3) Показательная функция f (x) = e* дифференцируема, и / (x) = f’ (x) для всех хЕВ.
4)ДлявсеххЕеВимеем(sinx)=cosx,(cosx)’=—япx.
5) Любой степенной ряд дифферепиируем во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости.
6) / (x) =ИХх не является дифферсенцируемой в точке
Хо = 0, так как не существует конечного предела
3
.-
Их
л®-ЛО _
lim
lim
.
х-0 х-0 х-0 *
y
0
7) Функция
x 51 (1/х) при х#0,
Г<)= 0 при x=0
не дифференцируема в точке хо = 0, так как ие существует
предела
а)
lim sin (1/х).
x0
Рис. 3.7.
8) f (x) =| x | является дифференцируемой справа и слева
вточкехо=0.Hoтаккак/*.(0)=+1,f.0=-Ьтоf
не дифференцируема в точке хо = 0.
Графики функций из примеров 6)— 8) показаны па рис. 3.7. Эти кривые не обладают касательными в точке (0, 0) **).
9) Пусть / дифференцируема и / (х) > 0 для вссх хЕЛ (/). Производная функции In f, т.е. (In f) = tn, называется
логарифмической производной функции {.
_
10) Для вычисления производной фупкнии у (х)= х*, О (/)= {х|х> 01, следует найти вначале логарифмическую
4(xInx)
|
is
Inx + i. Отсюда получается f’ (x) = x* (In x + 1).
произродную (In f (x)) =
Производные важнейших элементарных функций приведены в табл. 3.2.
3.1.5.2. Производные высших порядков. Пусть производная /’ функции Г дифференцируема
в точке хоЕД (/'). Тогда (f' (x)) Ix=x, называется второй производной функции / в точке хо.
Обозначение:
ко)=f(xo)= S(xo)
Действуя подобным образом, определяют п-ю производную, или производную п-го порядка,
функции / в точке Xo:
п
F(0)=(f°)(9Inaxy= 79
*) Функция /, дифференцируемая па E = [а, b], должна быть дифференцируема в точках а и Ь односторонне.
**) По определению касательная к графику функции не может быть вертикальной.
274
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
/
Таблица3.2
Функция
Производная
Функция
Производная
cosx
|
_.
С (const)
0
созес х
—2х= ЯВ6086сx
х
1
1
x"
nxt!
arcsin x
2
1
1
у! —х
*
x?
arccos x
1
n
И_x?
x”
xt1
|
i
Vx
о
arctg x
i+ x2
2Vx
1
arcctg x
—
2
a
Их
ft
1тх
a
ve
n Их"!
arcsec x
\
,
хИх?—1
=
е
1
shx
chx
arccosec x
=
a
ах па
*Ух 1
1
chx
shx
thx
1
1
ch? x
log, x
— log,
1
х
хта
cth x
|
0,4343
sh? x
lgx
—1 et
.
*
x
Arsh x
sin x
cos x
и1+х2
cos x
—sin x
|
1
Arch x
tgx
—
=sec?;
8
cos? x
ы
Их? —1
1
-1
ctg x
— — ;—-= —cosec?»
Е
sin? x
osec* x
Arth x
[ox
sec x
sinx | xsecх
Arcth
1
costх=8:
)
reth x
|х2
t
Таблица3.3
Функция
п-я производная
:
xTM
т (т— 1) (т- 2)...(m—n4+ 1) x"
a
(при целочислениом ти п> т п-я производная равна 0)
|
Inx
(-1(и-9—N
_, и-
1
log, x
—1j 2.
ба
(
)
Ina
x"
ek
К"окх
ах
(In a)" a
ak
(КIna)"a
.
.
nT
sin x
sin(x+=.)
|2
ит
cos x
cos(:+=)
.
.
nt
sin kx
К"sin(1++)
cos kx
k"cos(1+".
shx
sh x при четном п, ch x при печетном нп
chx
ch x при чсзно»» м, sh у при печетном A
СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
275
Если существует f (хо), то функция / называется п раз дифференцируемой в точке Xo. Имеет
место ‘следующее равенство:
й
fп)(x))TMx=xp=f" т)(Хо).
Функция / называется п раз непрерывно дифференцируемой на множестве Е, если она п раз
дифференцируема в каждой точке хЕЁ и /" непрерывна на Е.
Пример. п-я производная многочлена п-й степени есть постоянная.
Дальнейшие примеры производных высших порядков элементарных функций находятся в табл. 3.3.
3.1.5.3. Свойства дифференцируемых функций.
1. Функция, дифференцируемая в точке хо, непрерывна в этой точке.
2. Пусть функции f, и /2 дифференцируемы в точке хо. Тогда функция с, Г! + Cof2, ГДе си, с2ЕВ,
также дифференцируема в точке хо и
(Cif+CofayIx,=сёЛ (Хо)+C2fo(хо).
Произведение f,f, также дифференцируемо в точке хо, и имеет место следующее правило
дифференцирования произведения: (f4f2)' leo = Л\ (Xo) f2 (хо) + Si (Хо) > (хо).
В случае, если. fo (хо) = 0, частное /.//, дифференцируемо в точке хо и имеет место следующее
правило дифференцирования дроби:
_Л"(хо)fa(хо)—Л!(хо)Л?(хо)
(5).fr Xo (12 (Хо)?
Примеры. 1) Функция f (x) = e* sin x дифференцируема в точке хоЕ;К, и
Г’(хо)=e0(sinхо+COSхо).
2) Функция f (x) = tg x дифференцируема в точках
(2k+ 1)2
ев
‚ k=0, +1, +2, af.
cos?хо+sin?хо t+te?xo= 1
cos? хо
8 = Cos?x
Л’ (хо)=
3. Пусть функции Ги ф дифференцируемы соответственно в хо и to HW Xo =ф (to). Тогда сложная
функция f (ф (1)) дифференцируема в точке typ и обладает производной
(Л(ФУ, =Л [Ф(to)]-9"(to).
Примеры. 1) Функция / (x) = с" * дифференцируема в ‘точках хоЕВ;
f' (хо) =e °° cos Xo.
2) Показательная функция общего вида f (x) = a* (a> 0) дифференцируема в точке хоЕВ, и так как а* = е* na To
X,inа
(0)
Г”(хо)=Inae =абта.
4. Пусть функция Г дифференцируема и строго монотонна на (а, 5). Пусть также в точке хоЕ(а, 6)
производная /’ (хо)= 0. Тогда обратная функция g(y) дифференцируема в точке yo= f (хо) и ее
производная есть
@)OWyay,=FTE
Примеры. 1) Показательная функция f (x)= e* удовлетворяст условиям теоремы 4. Следовательно, g (у)= Шу
x
дифференцируема в точке yo = e °. Ee производная есть
_1
(9)=,=(пYY’lyay,=Yo 5е
|
R
вх) =
.
2) Для хеВ имеем (arctg x) Tae
5. Если функции f; и /› п раз дифференцируемы в точке хо. TO функция Г, /› также п раз
дифференцируема в точке хо и имеет место формула Лейбница:
СЫ, =5.СЕЛ(0)Л (Xo),
если считать, что f° (хо) = f; (хо) (i = 1, 2).
276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Для функций, дифференцируемых в интервале, имеют место следующие теоремы.
Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (а, 5). Если
Г (а) = (6), то найдется по крайней мере одна точка хьЕ (а, 5), в которой /' (хо) = 0.
Таким образом, при выполнении предположений этой теоремы график функции / имеет в точке хо
касательную, параллельную оси х. Из теоремы Ролля следует, в частности, что между двумя нулями
многочлена находится по крайней мере один нуль производной этого многочлена.
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция f непрерывна на [а, 5] и дифферен-
цируема в (а, 5), то найдется по крайней мере одпа точка хоЕ(а, 6), в которой
_ f)-s@
b-a ^
Положив b—a=k и
0
=(ху—а)/К,получимf(а+К)=f(а)+Г’(а+Ok)К,причем0Е(0,1).
Геометрическая интерпретация. Если для функции / выполняются условия теоремы
Лагранжа, то к графику функции / можно провести по меньшей мере одну касательную, парал-
лельную секущей, проведенной через точки (а, f (a)), (Б, f (Б)). Теорема Лагранжа является обобщением
теоремы Ролля.
Если / дифференцируема: на (а, b) и /' (x) =0 для всех хЕ(а, b), то
I (Xo)
f(x)=C=const.
Теорема Коши. Пусть функции f и д непрерывпы на [a, b], длифференцируемы в (а, 5), и пусть
9' (x) #0 для всех хе(а, Б). Тогда существуег по крайней мере одна точка хоеЕ(а, В), в которой
Г) _ ЛЫ-Г®@
go) 9-9
Пусть функция / n+1 раз дифференцируема в (xo —o, х +a) (a >0). Тогда для всех
хХЕ(хо — & хо +) имеет место формула Тейлора:
ул
ДоNo
v=0
f(x)=
(x—Xo)”+К,(х),
где
f"*)(хо+0(х—хо))
(n+ 1)!
К,(x)=
(x — хо)",
9=(0, 1).
К, (x) называется остаточным членом (в форме Лагранжа) формулы Тейлопа.
В частном случае, когда хо = 0, получается формула Makaopena:
n
fTM (0)
f" +1) (Ox)
at
x)=)a XY$A ХИ,
roo= ) Peу=0
В случае п=0 формула Тейлора сводится к теореме Лагранжа. Если / бесконечно дифферен-
цируемав(хо—&,хо+а)идлявсеххЕ(хо—O&,ху+9)имеетместо limК,(х)=0,тофункциюf
п»
можно представить в виде ряда Тейлора:
При хо =0 этот ряд называется также рядом Маклорена. Следовательно, если lim В,(х) =0
>
при хЕ(хо — а, хо +a), то функция f (x) может быть аппроксимирована в (хо -- & хо + 9) много-
членом п-й степени
n
(v)
YL oy
v=0
(см. также 3.1.14.6).
МОНОТОННОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИЙ —
277
Пример. Показательная функция / (x) = е* бесконечно дифференцируема в В. Из соотношения /“®) = f для всех
пЕМ получается формула Маклорена:
.
e*
I
Для каждого хЕК umeem lim ————x"*t! =0, и, следовательно,
пою (nt 1)!
В частности, отсюда следует:
3.1.5.4. Монотонность и выпуклость функций. Функция /, дифференцируемая на (а, 5), возрастает
(убывает) на (а, 5) тогда и только тогда, когда /’(х) >20 (/’ (x) <0) для всех хЕе(а, b). Если при
этом не существует интервала (a, В) с (а, Б) такого, что Г’(х) =0 для всех хЕ(а, В), то f строго
возрастает (убывает).
Таким образом, угол наклона касательной к графику дифференцируемой возрастающей (убы-
вающей) функции является неотрицательным (неположительным).
Если для дифференцируемой функции Г: а) f (хо) 20, 6) для каждого х> хо выполняется
условие/’(x)>0,Tof(x)>0приx>хо.
Примеры. 1) Для функции f (x) = е* при любом хеЁК имеем /” (x) = f (x) > 0. Следовательно, / строго возрас-
тает на К.
2) Функция f (х) =х- яп x строго возрастает на Г = (0, 2), так как для хеГ имеем Г’ (х) =1- со х> 0.
Посколькуf(0)=0,тоf(x)=x—япх>0прихЕТ,аотсюдаипривсехx>0.
3) Функция f (x) =е`*+х-1 строго возрастает на [0, +00), так как f’ (x)= —e-*+1>0 при х> 0. Отсюда, так
как/(x)=0,следует,чтоf(х)>0,т.е.e *>1-х прих
>
0.
Дифференцируемая на (а, b) функция/ называется выпуклой вниз, соответственно строго выпуклой
вниз, на (a,b), если для любых х1, х›е(а,Б) таких, что xX, #X2, f (x2) > f (x1) + Г’ (X1) (x2 — 1),
соответственно
Л(х2)>Л(хи)+Л(%1)(х2—x4).
Дифференцируемая на (a,b) функция / называется выпуклой вверх, соответственно строго
выпуклой вверх *), если для любых хи, х2 Е (а, b) таких, что XxX, 5х»,
Л(х2)<Л(x1)+Л'(%1)(x2—х,),
соответственно
Л(%2)<f(x1)+Г’(х1)(х2—х,).
Геометрическая интерпретация выпуклости функции. Из неравенств, указан-
ных в определении выпуклости, следует, что график функции f, выпуклой вниз, нигде не лежит
нод касательной к нему. Если f строго выпукла вниз, то график f, за исключением точки касания,
всегда лежит над любой касательной к нему. Соответствующие утверждения имеют место и для
случая выпуклости вверх.
Пример. Функция / (x) =x? строго выпукла вниз в ДР (/) = В, так как для любых x,,x2ER таких, что xX, ¥ Xo,
выполнепо перавенство
5
x2>x?+2x,(x.—x1)=2x,x2—x?.
Критерии выпуклости функции.
1. Дифференцируемая на (а, 5) функция f выпукла вниз (вверх) на (а, b) тогда и только тогда,
когда /’ возрастает (убывает) на (а, 5). Функция / строго выпукла вниз (вверх) Ha (a,b) тогда
и только тогда, когда /’ строго возрастает (убывает) на (a, 5).
2. Дважды дифференцируемая в (a,b) функция выпукла вниз (вверх) на (а, 5) тогда и только
тогда, когда для всех хе(а, 5) имеет место неравенство f” (x) > 0 (f” (x) < 0).
*) Часто в литературе используют вместо «выпуклый вниз» термин «вогнутый», а вместо «выпуклый вверх»
просто «выпуклый»; такая терминология имеется н в некоторых разделах этого справочника.
278
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Примеры. 1) Показательная функция / (x)= e* строго выпукла вниз на В, так как для любого хеЕВ имеем:
Г’ (x) =e > 0 -— строго возрастающая в В функция.
2) Функция / (x)
= cos x строго: выпукла вверх в интервале (—л/2, 2/2), так как для всех xeE(—7/2, п/2) имеем
f"(x)=—созх<0.
3.1.5.5. Экстремумы и точки перегиба. Пусть функция / определена на (а, 5), и пусть хоЕ(а, 6).
Значение / (x;) называется локальным минимумом (максимумом) функции f на (a,b), если существует
окрестность U (хо) точки хо такая, что U (хо) < (a, Б), и для всех хЕ U (хо {хо} выполнено неравенство
L(x) > Л(%о) (16) < f Xo).
Максимум или минимум функции / называется (локальным) экстремумом функции f на (а, 5).
Экстремумы функции / на (а, 6) являются, таким образом, наибольшими или наименьшими
значениями функции относительно некоторой окрестности. Они отличаются, вообии говоря, от наи-
меньшего m= min f (x) и наибольшего М = max /f (x) значений функции на всей области опреде:
хЕ (а, 5)
ХЕ(а, 5)
ления. Если, однако, f выпукла вниз (вверх) Ha (а, 5) и имеет минимум (максимум) в (а, 6), то он
совпадает с т (М). Наибольшее (наименьшее) значение функции f, дифференцируемой на [а, b],
достигается либо в одной из точек локального максимума (минимума), либо на одном из концов
отрезка [а, b]. Таким образом, если известны все локальные максимумы (минимумы) функции /
на [a,b] и значения функции в точках а и b, то перебором легко можно определить
йих Л(x) anы0).
Пример. /(0) =0 является локальиым минимумом функции / (х) =х? на [-1, +1], который совпадает с наи-
менышим значением / на [-1, +1].
Необходимое условие существования экстремума. Если f (хо) является экстремумом дифферен-
цируемой функции f, то Г’ (хо) =0. Касательная к графику функции / проходящая через точку
(хо, f (хо)), параллельна оси x.
Пример. Так как / (0) =0 является минимумом функции f (x) = х?, то f’ (0) =
Достаточные условия существования экстремума.
1. Если / дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки хо и /' (хо) =0
а Г" (хо) > 0 (f” (Xo) < 0), то функция / имеет в точке хо локальный минимум (максимум).
2. Пусть f К раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Далее, пусть
[< (хо) =0 приу=1,..., Е -Ти/® (хо) #0. Если К — четное, то / имеет в точке хо при /® (хо) > 0
минимум и при f (хо) < 0 максимум.
Примеры. 1) Функция / (х) =х* имеет локальный минимум в хо=0, который совпадает с абсолютным
минимальным значением / в В, так как Г в В четыре раза непрерывно дифференцируема и
Г 0) =” (0) =Г” (0) =0, sO =41>0.
2) Для функции / (x) = x? в точке хо =0 выполняется необходимое условие экстремума /” (0) =0. Однако f (0) =
не является точкой экстремума фупкции /.
3) Функция / (х) = х?+х? -х-1 имеет минимум в точке хо = 1/3 и максимум в точке x, = —1. Однако,
поскольку lim f(x) = —0, lim /(х) = +00, у функции Г в В нет наибольшего и наименьшего значений.
x4 —0
Xx7>+0
4) Пусть среди прямоугольников с одинаковым периметром необходимо найти максимальный по площади. Если
a, b — длины сторон прямоугольника, TO-ero площадь равиа 5 =а'6. Из условия Р = 2 (a+b) = соп& > 0 следует, что
b=P/2—a и 5 (а) =а(Р/2— а). Решение задачи сводится, таким образом, к нахождению максимального значения
функции $, где 2 (5) = [0, Р/2]. Уравнение 5’ (а) = —2а + Р/2 =0 имеет единственное решение dy = Р/4. Так как
$" (ag) = —2 <0, то S имеет в точке ао = Р/4 локальный максимум, который, вследствие того что 5 (0) = 5 (Р/2) =
совпадает с максимальным значением 5. Искомый прямоугольник есть квадрат со стороной а = Р/4.
5) Пусть заданы п значений измеряемой величины 41,..., а, Число x (среднее значение) должно быть определено
Tak, чтобы сумма квадратов отклонений величин а, от.х принимала минимальное значение, т.е. надо’ определить
минимум функции
р
`
2
.
Г(х = ¥ (a -»x)’, D(S)=R
2:
k=1
:
1п
Уравнение f’ (x)= —2 5 (a, —х) =0 имеет единственное решение хо = = У ак. Из того, что f” (хо) = 2n > 0, сле-
к=1
дует, что f имеет в точке хо локальный минимум, который совпадает с минимальным значением Г в В. Искомое
среднее значение равпо арифметическому среднему значений измеряемой величины.
Предположения о дифференцируемости функции / в необходимых (соответственно достаточных)
условиях экстремума могут не выполняться, но тем не менее функция / может иметь экстремумы,
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
279
Например, функция: f (х) =|х| не дифференцируема в точке хо =0, однако имеет в ней минимум.
В подобных случаях нужно пытаться найти значения экстремумов непосредственно на основе
определения. При этом важным вспомогательным средством являются соображения о монотонности
вблизи исследуемых точек. Функция f (х) =|х|, например, является строго убывающей при x <0
и строго возрастающей при x > 0. Следовательно, f (0) =0 является ее минимумом.
Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Функция f имеет
B точке хо точку перегиба тогда и только тогда, когда ‘функция /’ имеет в точке хо локальный
экстремум.
Геометрическая интерпретация. Если f имеет в точке хо точку перегиба, то график
функции / в точке (хо, f (хо)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке, т.е. при
х < хи касательная лежит под графиком f, а при x > хо — над графиком f (или наоборот).
Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция f, дважды дифференцируемая
в некоторой окрестности точки хо, имеет в хо точку перегиба, то f” (хо) = 0.
Достаточное условие существования точки перегиба. Если f в некоторой окрестности точки хо
К раз непрерывно дифференцируема, причем К нечетно, К > 3, и /® (хо) =0 при v = 2, 3,...,k —1,
а f (хо) #0, то функция f имеет в хо точку перегиба.
Примеры. 1) Функция f (x) = х? имеет в точке хо =0 точку перегиба, так как f” (0) =0, f’” (0) =6 £0.
2)f(x)=sinxимеетвхо=0Touryперегиба;f”(0)=—зт0=0,f’”(0)=—со$0=—-1#0.
3.1.5.6. Элементариое исследование функции. При помощи дифференциального исчисления во мно-
гих случаях можно получить представление о поведении графика функции, не заполняя подробных
таблиц значений функции, которые в большинстве своем неудовлетворительно отражают важнейшие
качественные свойства функции, такие, как точки разрыва, локальные экстремумы или нули функции.
Такое исследование: функции включает в себя приведенные ниже этапы, которые могут быть про-
ведены на основе методов, описанных в 3.1.4.1, 3.1.5.4 и 3.1.55:
1. Определение нулей функции / (решение уравнения f (x) = 0), четности (нечетности) и периодич-
2. Определение интервалов непрерывности и дифференцируемости.
3. Классификация точек разрыва функции / и исследование ее поведения «на бесконечности».
4. Определение локальных экстремумов и точек перегиба.
5. Определение интервалов монотонности и выпуклости.
6. Вычисление соответствующих значений функции.
7. Выполнение эскиза графика функции.
Пример. Будем исследовать график функции
5
з прих>2,
f(x)= х?+|
Г
при x<2
1) Функция f не имеет нулей.
2) f непрерывна на R\{1, —1}. Так как f’_ (2)= —8/9, /., (2) =0, то / не дифференцируема в точке x, =2. Следо-
вательно, функция / дифференцируема на К\{2, 1, —1} (см. 3.1.5.3).
A
3) При x <2 f(x) = Gj DeEth +1. Точки x,=1 и х=-| яв-
J
ляются, таким образом, точками разрыва 2-го рода. Далее,
lim Л(Хх)= lim (Хх)=+0,
х-++1+0
x—+ —1-0
lim =
Ш f (x)= —-o,
Ty
|
x7 —1+0
x—+1!-0
0
!
lim f (x)= 5/3, lim Геи
-/
f2x
X74 +0
х+-—©ю
xf
4) Единственное решение уравнения
ил 4х
Л(х)=(x?—1)?=0
2
естьхо=0.Приx <2 ux#A+1 получим,чтоf”(x)=aie Изтого,
Рис. 3.8.
x
_
что f” (0) = —4 <0, следует, что / имеет в 0 локальный максимум. Функция
Л не достигает в области определения наибольшего и наименьшего значений. Так как у уравнения /“ (x)=0 не!
действительных решений, то f не имеет точек перегиба.
5) При хЕ(— 00, —1) ихе(—1,0) /’(х)> 0. Следовательно, /.строго возрастает в этих интервалах. При хе (0, 1)
и ХЕ(1. 2) f’ (x) < 0. откуда следует, что f строго убывает в этих интервалах.
При хЕ(—1. +1) /" (x) < 0, следовательно. f строго выпукла вверх в (—1, +1). При хЕ(—о0, —1) ихЕ(1, 2) /" (x) > 0.
Следовательно, f строго выпукла вниз в этих интервалах (рис. 3.8).
280
ДИФФЕРЕНЦИАЛЪЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.1.6.1. Частные производные, геометрическая интерпретация. Пусть функция / определена в не-
которой окрестности точки Ро (x?,..., хо) ЕВ". Функция / называется дифференцируемой по X,, если
существует предел разностного отношения
0
0
0
0
0
0
0,0
.0
. Л(x1,> KemtsXpKets oesXn)—Л(x1,---›Хк-1ь MioХК+1Ь s+> Xn)
lim
о
;
Xp x?
Хкm7XE
этот предел называется частной производной функции f (по х,) в точке Py и обозначается
Of (x4, «+ +) XH) или fi, (x2, 5X9)
Ox,
Функция / называется дифференцируемой no каждому из переменных в Ec D(f), если для Г
на Ё существуют частные производные по каждому из переменных X,,..., х„. Функция / называется
непрерывно дифференцируемой по каждой переменной в точке РЕБ(/), если частные производные
д//дх, (К =1,..., п) вепрерывны в Po.
Частная производная функции / по x, в точке Po (x?, ..., x?) равна, таким образом, обыкновен-
пой производной функции дейст вительного переменного х», которая получается из f, если переменные
x; для {2 К положить равными x?
Пример. Функция /(хи, x.) =e Их, дифференцируема в В?, и
р.=ИЯ.
0
;
х.
+
x
Sie,(9,No)=е sinx3,fe,QT,x2)=€|cosХЗ;
‚ более того, f является непрерывно: дифференцируемой в R?.
При n> 1 из дифференцируемости / в точке Ро по каждому из переменных не следует, вообще
говоря, непрерывность / в точке Po. Функция f из примера 2) и. 3.1.4.2.2 разрывиа в точке (0, 0),
несмотря на то, что f дифференцируема в (0, 0) по x, и х›: fy (0, 0) = Say (0, 0) =
Геометрическая интерпретация частной производной.
сть J — функция
двух переменных, дифференцируемая в точке Ро (хо, Yo). Рассмотрим плоскость IT, проходящую
через точку Po (хо, уо) параллельно плоскости xOz, т.е. плоскость у = Yo. На основании определения
Г». (хо, Yo) есть число, равное tg ф, где ф -- угол между касательной к кривой пересечения плоскости
П и графика функции / с плоскостью хОу (рис. 3.9). Соответственно fy (хо, Yo) представляет собой
тангенс угла наклона касательной к кривой пересечения плоскости х = хо с графиком функции /.
Производные высших порядков. Пусть фуикция / на открытом множестре Ес (Г) с В" диф-
ференцируема по x,. Тогда Г’x, Является функцией с областью определения D ( р x) = Ег. Функция f
называется в точке РоЕЕ дважды дифференцируемой (по
Xz, Xj), если функция f;x, В точке Ро лифференцируема по х,..
Для второй производной f по xX, и XxX, используется обозна-
д
чение ———— или fx, x, (Po)-
х,
вЫ
Посредством полной индукции определяют частную
производную r-20 порядка:
a( г __\|_af(Po)
Ox
Ox
7
OX;
Ро дх; ... OX,
r
= Is, 9; (Ро).
v.
Примср. Для функции f =e! sin x. имеем
0
90)—71oe0
ex, (ХЬ 2) =е ЯП,
0
`
.
x
Г =,(х°,x?)=т,(x?,x2)=e!cosx9,
Ayla 049)
o
=
sin y:0
Prax 2 (xf. x2) = -е "sin Х?.
Рис. 3.9.
При определенных предположениях можно менять по-
рядок вычисления частных производных функции.
Пусть / непрерывна в некоторой окрестности U (Ро) точки РоеВ". Если существуют частные
производные Jy4 Г.hd Г” B у. (Ро) и они пепрерывны в точке Ро, то сужествуег частная произ-
водная fr ix, В Ро Sixx, В.) = ХК (Ро).
3.1.6.2. Полный har elds производная по направлению, градиенх. Пусть область определения
В (Л) функции f содержит окрестность точки Po (x?,..., хЭ), n> 1. Функция / называется дифферен-
цируемой в точке Po, если для любых P(x,,..., X,) из этой окрестности
Л(Р)—Л(Po)=>Л»,(Ро)(хк—xx)+р(Po,P)Ri(Р),
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ, ГРАДИЕНТ
281
гдер(Po,Р)=|У(x,—x9?и ШиК,(Р)=0;линейнаячасть
k=1
P— Po
af (P)= >, fx, (Po) (хх — хи)
k=1
приращения f (Р) — f (Ро) называется полным дифференциалом функции / в точке Ро.
График функции 7, определяемой равенством
~
Л(Р)=Л(Po)+‚2ЛХ»(Po)(хи—х%),
называется касательной плоскостью к графику функции / в точке Po.
Если / дифференцируема в точке Ро, то f непрерывна в Ро и дифференцируема по каждому
из переменных Xj, ..., X, Однако, если функция непрерывна и дифференцируема по каждому
из переменных Xj, ..., X, в точке Ро, она не обязательно дифференцируема в этой точке. Если же f
непрерывно дифференцируема по каждому из переменных xX), ..., X, в точке Ро, то f дифференци<
руема в точке Po.
Пример. Функция
fae ae при (хи,X2) # (0, 0),
f(x1,х2)=] XY+.x?
р(12)()
0
при (x1, X2) = (0, 0)
непрерывна в R?. При (хи, x2) # (0, 0)
2x x3
x?(x?—x)
иxx=Е
,xXo)=
Fr,(lo2)
(x?+x3)?9Sx,(1›2)
(x?+х2)?’
апри(хи,X2)=(0,0)
J’, (0,0) = lim 9-09 о, Л», (0,0) = 0.
x, 70
x1
Следовательно, / дифференцируема в R? по x, и по x2. Из того, что
.
111
lim ле,(1.vo|= Г.(©,0),
н-> 00
следует, что f x пе являстся пепрерывной в (0, 0). Функция / не дифференцируема в Po (0, 0), так как в противном
случас (если положить, в частпости, что X_ = х. > 0) должно было бы иметь место разложение
Г(хи,х2)—f(0,0)=5x,=/2x,R,(P),
1
где lim К, (Р) = 0, что невозможио, ибо К, (Р) = —-—-:-.
Р>Ро.
Z2
Геометрическая интерпретация полного дифференциала функции двух
переменных. Пусть Po (хо, yo) — точка из области определения фуикции 2 = f (x, у). Если поло-
жить dx =X — хо, dy=y— уо.. 42=2- 2, TO в случае дифференцируемости функции / в Ро полу-
чается формула разложения
2
f(P)—Г{Ро)=af(P)+р(Р,Ро)Ri(Р),
|
rae
lim В, (P) =0.
P= Ро
Если отложить вертикально из Р(хо + dx, yo 4- dy) (соответственно
0
Ро (Xo, Уо)) значение функции Г(Р) (соответственно /(Ро)), то получим
ion
соответствующие точки поверхности графика функции / Если же
a
0
|
c
l
a
в точке Р взять приближенное значение / (Ро) + df (P), To получим точку
ayP
плоскости, касательной к графику функции в точке Po, лежащую над
(или под) точкой Р. Полный дифференциал df (Р) является приращением
Рис. 3.10.
значения функции, если поверхность графика f заменена касательной
плоскостью к ‚нему, проведенной в точке Ру. (рис. 3.10). Это приближение тем точнее, чем
меньше р (Po, Р).
Производная по направлению. Пусть f определена в некоторой окрестности точки Po (x9, ..., х)ЕВ",
и пусть mM — единичный вектор. в В" (|| =1) с координатами m;=cosa; (i= l,..., п), где a;—
282
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
углы между вектором M и положительными направлениями осей координат. Предел
i
lim —[f(x9+tmy,...,x2+tm,)—f(x9,...,x9)]
t-0 1
(если OH существует) называется производной функции f в точке Ро по направлению m и обозна-
чается Of (Ро)/дт.
Производная функции / по направлению M равна, следовательно, обыкновенной производной
такой функции одного переменного, которая получена из / путем сужения области ее определения
до отрезка прямой, проходящего через точку Ро в направлении вектора т.
Пример. Пусть f (хи, x2) =x? + x2, Po = (0, 0), т = (19/2, 1///2}. Тогда
7(Ро)_ у $s —-)- £0 0)|- lim t=0.
om#0#y2И?
#0
Если / — непрерывно дифференцируема в точке Ро, то существует производная по направлению
функции f в Ро относительно произвольного единичного вектора шт и
Of (P
п
ao)
=2Л»,(Ро)COSОк.
Если f дифференцируема по каждой из координат в точке Po, то вектор {/» (Ро), f x» (Ро), ...
wo f x, (Po)} называется градиентом функции f в точке Ро и обозначается grad f (Ро).
Если f непрерывно дифференцируема в точке Po, то
of (Po)
——— = grad f (Po)-m,
am grad f (Ро)
где справа стоит скалярное произведение.
Если ш — вектор, касательный к поверхности уровня f (x;,..., X,) = соп$ To
of (Po)
Gm ~ Brad Х (Po)-m=0.
В общем случае
of (Ро)
“N
ae | grad f (Ро)| cos (grad f (Po), т).
Свойства градиента.
1. Градиент функции / перпендикулярен к поверхности уровня f.
2. Направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции / (т.е. направ-
ление наибольшей производной по направлению).
”
Примеры. 1) Пусть / (хи, x2, хз) = l/r, где r = Их? + х2 + x3, D (/) = R°\{0, 0, 0} (ньютонов потенциал центрально
1
|
симметричного силового поля), Тогда grad / (Р) = — sa (i X2, хз). Поверхностями уровня при этом являются сферы
с центром в точке начала координат (0, 0, 0). Производная функции / в точке P (x,, X2, хз) в направлении т равна
АР)_|3
——
X; COS Oj.
om
rp>‘
2) Для функции / из примера 2) п. 3.1.4.2.3 в точке Po (0, 0) существует производная по любому направлению,
‘несмотря Ha то что / разрывна в точке Po.
3.1.6.3. Теоремы о дифференцируемых функциях многих переменных.
Дифференцирование сложной функции. Пусть функция
f дифференцируема в точке
Ро (xf, ..., x9), и пусть ф1,..., ©, — функции одного переменного, дифференцируемые в точке ty E(a, 5)
и такие, что xP =, (No) (i= 1,2,..., п). Тогда сложная функция, составленная из Ги ф,,..., Q,
(см. 3.1.4.2.3), дифференцируема в точке to и ее производная равна
Af [Ф: (1),..., Pn (t)]
dt
ra=p=уЛа,4,++,Жи)ФЕ(Lo).
Пример. Пусть функция / (х,, x2) непрерывно дифференцируема в В?. Далее, пусть x, =, (t)=rcost, х2 =
=> (1 =r sin ё, где г = сопЯ. Сложная функция Ё (t) = f (r cos t, r sin 1) имеет производную
Е’(= [-Л»,(xcost,rsint)sin t+Sx,(rcos1,rsint)cos¢].
ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
283
Дифференцирование неявных функций. Если функция F (x, у) непрерывно дифферен-
цируема в области Е< Е? и существует функция у = f (x), определенная в (a,b) и такая, что для
всех хе(а, 5) уравнение F (x, f (х)) = 0 выполняется, To f дифференцируема в (a,b) и для каждого
хЕ(а, 5) справедливо равенство
Ех(x,f(x)+Е,(x,Л(x)Л’(x)=0.
Если, кроме того, К, (x, Х (х)) # 0, то
Fi [х, /(%)]
Л@®)= - =
=.
Fy [x, f(x]
Примеры. 1) Уравнением
Е (ху=х+е=О0,
х<0, yeR,
неявно определяется функция у = f (x) = 3 In (—x).
Для нахождения f(x) ne обязательно разрешать уравиение F (x, у) = 0 относительно у: достаточно продифферен-
цировать F(x, f (х)) =0 относительно х и получить
3x? +в. |" (x) =0, откуда Г’ (x) = 3/x.
2) Пусть F(x, yy=x-siny, —1<х< +1, уЕ(—л/2, +2/2). Решением уравнения F (x, у) =0 отйосительно у
является у = f (x) = агсят x. При помощи неявного дифференцирования получаем | — cos у: f’ (x) = 0; следовательно,
1
1
Л (x)=
= ===.
cosу И!—х?
a
Формула Тейлора функции двух переменных. Пусть функция / Ha множестве
Е={(х,ЕК?|(x—хо)?+(у—yo)?<5,5>0}
r+ раз непрерывно дифференцируема. Тогда для всех (x, y)€E справедлива формула
й-У1
д
д)“.
R
(x,у;= уз (x—хо)=~+—Yo)=f)be.)*n(x,У).
При этом
,
д
д}*
Ok
{0—Xo)5х+(y—Yo)a f=а (x—хо}(у=ye,
i=0
Ofofoforfarf
Ox* dy? 0х’ 000% 0’ Ax Ay?”
R(
=
1
д
д
п+1
„(х,у)=(n+|)! (x—Xo)Ox+9—Yoду f
roe 9Е(0, 1). К, (x, у) называется остаточным членом (8 форме Лагранжа) формулы Тейлора для
функции /.
Если при (x, у)ЕЁЕ имеет место равенство lim К, (x, у) =0, то можно использовать формулу
N—0
Тейлора для Toro, чтобы в некоторой окрестности точки (хо, Yo) приблизить функцию f много-
членом п-й степени. Формула Тейлора легко может быть обобщена на функции более чем двух
переменных.
«
в
Если / непрерывно дифференцируема в области ECR? и для всех (x, ууеЕ выполнены
соотношения f(x, у) = fy (x, у) = 0, то / постоянна.
и
Xo +O (x— хо), Yor (у- Yo)
Пример. Если разложить функцию f (x, y)=sin x sin y в точке (хо, Yo) =(0, 0) вплоть до остаточного члена
К, (x, у), то получим
1
..
sinхsinу=ху+В,(х,у), R3(xy=—=[(х?+3xy?)cosOxsinOy+(3x?y+уз)sinOxcosBy],
где 0<0<1. Из |cos 9х | <1, | т 0х | < [, в силу неравенства треугольника, следует, что
1
|Rg(x,< 6(х1+|У)?.
Таким образом, при небольших зпачениях |х|+|у| функция f (x, у) ведет себя, как функция Г, (x, у) = ху, графи-
ком которой является гиперболический параболоид.
284
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.6.4. Дифференцируемое отображение пространства Е" в В"; функциональные определители;
неявпые функции; теоремы о существовании решения. Пусть в некоторой области С < R” определены
функции /!,...,/ш. Если записать сокращенно:
х=(x1,re Xn); f(x)=(fi(x1,seyXn),sey tm(x1,tt х„)),
то отображением x >f(x) определяется функция f с областью определения БР(#) = С и множеством
значений W(f) В” Функция f называется пепрерывной, соответственно дифференцируемой, по каж-
дой из координат в С, если все функции f; (1=1,..., п) непрерывны, соответственно дифференци-
руемы, по каждей из координат х!,..., х, в области С.
Пусть функция f определена в области С < В" и дифференцируема в точке Py (х0,..., 0)ЕС
по каждой из координат. Матрица размера п х т
м4|
Ox, ВВ Ox,
(и7
‘
OX,
Py
fy fn
Ox, |" OX,_|p,
называется ‘функциональной матрицей функции f в точке Ро. В случае m=n определитель этой
матрицы
д(11,seySn)=det(и
9 (х:,..., х,)
OX,
называется функциональным определителем или якобианом функции f в точке Po.
Пример. Якобиан функции /\ (хи, х2) = x? — x3, fo (xq, X2) = 2хх> равси
Fey le, ago 4 (© +09)
Ny =Х1
х.=х9.
1. Если область С < В" посредством непрерывно дифференцируемой на С функции { отображается
О(Г,,..., Su)
на множество С’< В" и если для всех PEG якобиан т
is отличен от нуля, TO @’ также
Ох, ..., Xp
является областью.
2. Пусть f является на С < В" непрерывно диффереицируемой функцией. Пусть также в точке
РоЕС
д (hi, sey fi)
д (x4, wey x,) Ро
#0.
Тогда существует окрестность И (Ро) точки Ро, которая отображается функцией { на некоторую
окрестность V точки f(Po) взаимно однозначно. При этом в И существует непрерывно дифференци-
руемая обратная фуикция g*).
Таким образом, система уравнений
Yi = (ха, ..., Xn)
(=1,...,И)
разрешима относительно переменных X,,..., X, в некоторой окрестности точки, в которой якобиан
отличен от нуля, т.е. существуют пепрерывно дифференцируемые функции gy,..., д, такие, что
Xi=9:(У...,Ул)
(=1,..., n).
Системой уравнений
уг=Л,(р,ф)=рс0$Ф, у»=fr(р,<)= рятф
определено отображение области С = {(р, ф<)|р > 0, фЕ[0, 2п)} < В? на В^\{0, 0}. Фуикции fy, /› непрерывио дифферен-
цируемы в С, и
|
9 (Г,, £2)
cos (ps Sin»
d(r, @) —p sin pcos ф
*) B этой теореме определена только локальная обратимость. Функция f ие обязательно взаимно однозначна
на всей области G.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА В” в В”
285
Поскольку р>0, то указанная выше система уравнений разрешима в некоторой окрестности произвольной точки
области G относительно р и фЕ[0, 2x). Получаем
p=91is5)=И +Wh
| arctg (у2/у,)
при у,>0,у»>0,
п+ага(yo/¥1) при у,<0,
ф=92(у1,у2)= 2п+arclg(y2/vi) при у,>0,уз<0,
n/2
при у,=0,No.>0,
\ 3n/2
при у, =0, у’, <0.
Легко видеть, что эти формулы решения справедливы для всех точек из С. Заданиое посредством формул
у; = Ли (р, Ф) (i= 1, 2) отображение С на В? всюду, кроме (0, 0), взанмио однозначно.
Теорема об умножении якобианов. Пусть функции f,,..., fy заданные уравнениями у; =
= fi, (x1,...,X,) (i= 1,..., п), и функции Gy, ..., д, заданные уравнениями х; = д; (21,..., 2) (=1,..., п),
дифференцируемы по каждой из координат. Тогда функции Fy,..., Е, определенные уравнениями
F; (21, ...у Zn). =: Л [91 (24, ores Zn)s tery Gn (21, coe 2,) |,
‘roe i= 1,..., и, дифференцируемы по каждой из координат и соответствующий якобиан равен
9 (Е.,..., Е») _ 9 (Г, ...,. fn) 9 (ль... › Gn)
д (21,...› Zn) 8 (хь...,Xp) 9(21,.... 2).
Функции /1,...,/„ называются зависимыми в Сс В", если в Де В" существует функция F,
которая ни в одной подобласти О не равна тождественно нулю, удовлетворяющая в каждой точке
(х.,..., X,)€G соотношению
Е[Л(1,w++Xn);...›Sin(X151eyXy)=0.
Следующая теорема дает критерий того, что данная система непрерывно дифференцируемых
функций является зависимой.
Пусть функции f;,..., /„ непрерывно дифференцируемы в ограниченной области С с В". Тогда:
1. При m>n функции f,,..., /м всегда зависимы.
2. При m=n функции in1,---5 J, Зависимы в С тогда и только тогда, когда якобиан
д(fi,oe.Л»)
обращается в нуль в С.
0 (х1, sey Xn)
|
Of;
3. При m<n функции Д,..., f,, зависимы в С, если ранг матрицы (5 MeHbIve т.
Хк
хуНх .
х,-х
.
7
Примеры. 1) Функции Л, (x), x.) =e! 2, fo (x41, x2) =е'! 2 независимы в каждой ограниченной области в R?,
00(`у
2х
поскольку - Sis So) = —2е 1520.
д (x1, xx2)
2) Функции Л: (хи, х2)= sin (x; — х2), Го (хи, х2) = Cos (x; — х2) являются зависимыми в В?, так как
sin?(x,—x)4-cos?(x;—x2)-[=0.
Efi, Sa2) _
Для всех (x,, х2)Е В? имеет место равеиство -
д (x1, х:)
Неявные функции. Пусть в некоторой области С плоскости хОу задана функция F,
и пусть линия уровня функции F, определевная соотношением F(x, у) =0, является графиком
некоторой функции /, заданной уравнением у = f (x). В этом случае для всех xeED(f) выполняегся
равенство F(x, f (х)) =0, и говорят, что функция f задапа неявно уравнением F (x, у) =0 или что
уравнение F(x, у) =0 является’ однозначио разрешимым относительно у. Может оказаться, что
уравнение Г (x, у) =0 одиозначно разрешимо не в общем виде, т.е. He для всех (x, уЕМ =
= {(х, у) | F(x, у) = 0}, а лишь локально, т.е. в пехоторой окрестности некоторой точки из М.
Пример. Линия уровия, заданная в плоскости хОу уравиепием F (x, у) =x? +у? —1=0, представляет собой
окружность единичного радиуса, которая ис может быть графиком функции у = f (x). Уравнение Г (x, у) = 0, вообще
говоря, однозначно неразрешимо. Однако верхняя половина окружиости есть график функции y=f, (x)= И! — x?
Следовательно, уравнение F(x, у) =0 является однозначно разрешимым относительно у при у>20. Точио так же
уравнение F (x, у) =0 одноэначно разрешимо относительно у при у<0. При этом неявно задапная таким образом
функция есть у == f2 (xX)= и — х2. Re график — нижняя половипа окружности.
Пусть функция Е и ее частная производная РЁ, непрерывны в области Gc В?. Пусть также
Е (хо, Yo) = 0, (хо, Yo)EG, Е, (хо, Yo) # 0. Тогда существуст единствениая функция f, задаваемая урав-
нением у = f(x), которая определена в некоторой окрестности U (хо) точки хо, удовлетворяет
соотношению / (хо) = yo и для каждого хЕЦ (хо) выполняется равенство F (x, f (x)) =0
286
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Если функция F К раз непрерывно дифференцируема, то f также К раз непрерывно дифферен-
цируема (см. 3.1.6.3). (Соответствующее утверждение верно, естественно, и для решения уравнения
Е (x, у) =0 относительно x.)
Если grad F (Ро) #0, то через точку Ро проходит только одна линия уровня функции F.
Пример. Уравнение F (x, у) = хе? — уе* + х = 0 однозначио разрешимо относительно у в некоторой окрестности
точки (0, 0), так как “F является непрерывно дифференцируемой в В? и Г, (0, 0) = —1 40. Однако (явное) решение
у = / (х) этого уравнения получить невозможно. Тем не менее можно. согласно 3.1.6.3, вычислить производную /
вТочкехо=0:
ОИ
\
FY, (0, 0)
Обобщенная теорема о разрешимости неявных функций. Пусть в некоторой области С < В"+"
заданы т функций F,,..., Е, OT п+т переменных Xj, ..., х,; уь...,Vm Посредством следующих
уравнений: 2; = F; (x1, 3х Хи Vir --.› Ym)
(i=L,...›т).
Достаточные условия однозначной разрешимости системы уравнений
Fi(жа.>Хи»Vir...›Ym)=0
(i=1,..., m)
относительно у,..., Ум Даются следующей теоремой.
Пусть фуикции F; в некоторой окрестности И точки Po (х°...., хо; y®,..., у)ЕС непрерывны
и непрерывно дифференцируемы относительно },.....у„. Пусть. далее,
(Е
Е»)
О (Ё.....,
ЕР =O(=1,..-,т, >
-
+0.
С (V1, ...› Ут) Ро
Тогда существует н слинственна определенная в иекоторой окрестности И точки Ру (хо, ..., хо)
система непрерывных функций fy... . f,, такая, что
И.
5—
о_0
-_
Ур=SiN eX)
(@= 1.0...)
ye = f; (x®, ..., x9)
(i= 1,..., m)
и для каждой ‘точки (x,,....xX,)@U выполняется равенство
Fi [xy .... Хи Ла (Ха.. My) eesДи (Ха... Хи) | =O
(i= 1,..., m).
Если все функции F; К раз непрерывно дифференцируемы, то все /; также К раз непрерывно
дифференцируемы.
Если уравнения F; (х1,..., Xn У» ..., Уж) = О однозначно разрешимы относительно yy, ..., уж, TO
говорят, чго эгой системой уравнений неявно определяется функция f=(f1,...,/„) с областью
определения 2 (1 = Ис В" и миожеством значений W (f) c В".
Для вычислений производной О0/,/дх, (К =1,..., т; | <r<n) прибегают к обобщенному правилу
дифференцирования сложных функций в окрестности точки Ро:
т
OF;
OF; д
0=——+OFдр
(i=1,...,m L<r<n).
Ox,
Oy, OX,
Определитель, образованный из коэффициентов этой системы линейных уравнений относительно
т неизвестных Of,/0x, (К =1,..., т), есть якобиан
д(ЁР., vies Ри)
O(n, set Ym)
который, согласно условию теоремы, не равен нулю в окрестности точки Po. В этой окрестности
система линейных уравнений однозначно разрешима относительно 0/,/дх, (К = 1,..., т).
3.1.6.5. Замена. переменных в дифференциальных выражениях.
Г. Если f есть функция одного переменного, заданная уравнением у = / (x), то при замене
иг
переменного x = ф (1 зачастую необходимо выразить производные
(п = 1, 2, 3,...) через произ-
dx"
водные функций fom и ф от Е. Для первых трех производных по правилу дифференцирования
сложной функции получаются следующие формулы (Ги fo@ сокращенно обозначены через у)*):
dy_144
|rinФилAY
dxое@de оО
°9ap
d?y
dt?
У1
dx? [$’(#)]
*) В последующих формулах все функции предполагалотся достаточное число раз дифференцируемыми..
ds
d
{to(рa —39’(t)9”(t)—5-+[3(Ф”(0)?—@'()9”(0)at
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ
287
Если заменить зависимое переменное у на и посредством формулы у =.ф (и), то
а
Чи 4?
d7u
du \?
<*=g'(и)——, “Y= @(u) sow (4).
dx?
dx?
3
3
2
3
y
d°u
du d*u
du
—Г
__
3и
МИННИ
mm
_
,
axe8 аз+39Oat? (4
При замене x и у на Ги и посредством уравнений x= Q(t,u), y=W(t,u) справедливы
формулы
мaydu
dyatдиat
4хdoadu
aOu de
Смма|
Гмжа|
dy da (dy\ a| Я‘иш
||"иa
57-=ie)Fe29,89du|a0du|No,Adu
-дди4—atOudt
_0диШ
Пример. Декартовы координаты x, у связаны с полярными координатами р, ф посредством формул
Xx=pcosg, y=psing.
В этом частном случае получают
,
dy _ p'sing+pcos@
Фу ———-p?- +. 2p’? — pp”
dx p'cosa—psing’ dx? (p' cos» —p sin $} ’
где р’ = dp/do, р" = d?p/dg’.
Ii; Если функция / двух переменных задана уравнением @ = f (x, у), то при замене переменных
x = (и, 5), у = \ (и, 9) частные производные до/дх, до/ду и частные производные да/ди, OW/Ov связаны
друг с другом соотношениями
dodwдд%ду дод%dMд%ду
диВЫ dyби’dvdxdv. dyadv’
откуда следует, что
==A+B, = HC
=)
ax Ou OD?
где A, В, С и D суть функции от и и в. Вторые частные производные вычисляются по TCM же
формулам, но применяемым не к @, а к частным производным д00/дх и до/ду, например:
2
|
..
2
2
д
Po(2) (4Pap (АS43Po_dAoo
ax? ax\0х) ax\“du av
ди дид duди диav
чв(л 92%
ao ОАдо+ОВдо
ди dv
ду?дидиdvdv}
Точно так же вычисляются производные высших порядков.
о
Po,Fw
;
Пример. Выразить оператор Лапласа Ао = aa t yr в полярных координатах х = pcos ф, y= р sin ф. Имеют
место формулы
oa_2COSф+bosin
0@__0% sin@+do
др ox”
р
РТ
P cos
откуда следует:
28«60s до_singdo
00|gin 0@+cos@(dw
ox”дррda’ду—Фдр
рa’
——_—=Cos _9_Cos Oo—sinQ9% —sinф_oa cos
0%—sinФ.oe
xz
“SPфр Фдр рa
pa\7р
р ap}
0*w
Аналогично вычисляют ae и получают
Ao=2%41vo1dw
Op? * p? dg?" pap’
288
.. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Для функций более чем двух переменных можно получить аналогичные формулы замены
переменных.
3.1.6.6. Экстремумы функций многих переменных. Пусть функция / определена в некоторой
области Сс В" и точка РоеС. Значение функции в этой точке Г(Ро) называется (локальным)
минимумом, ‘соответственно (локальным) максимумом функции Г в С, если существует окрестность
О (Ро) < С точки Ро такая, что для всех точек РЕЦ (Po)\{Po} имеет место неравенство f (P)> f (Po),
соответственно /(Р)< (Ро). Максимум или минимум функции Г называется также (локальным)
экстремумом функции [в С.
Значение локального экстремума функции / в точке Ро является наименьшим или наибольшим:
значением функции в некоторой окрестности точки Ро, однако оно не совпадает, вообще говоря,
с наименьшим или наибольшим значением функции в области С.
|
Пример. Функция /(хи, x.) = х? + х2 имеет минимум в точке (0,0), равный / (0, 0) =0,. который совпадает
с наименьшим значением Гв В2.
Необходимое условие существования экстремума. Если Г (Ро) — экстремум
функции f, дифференцируемой по каждой из координат в некоторой окрестности U (Ро) точки Po,
то выполняются равенства f ; (Po) =0 (i =1,..., п).
Примеры. 1) Для фуикции f (хи, x2) =x} + х2 имеют место равенства Л» (0, 0) = Sx, ©, 0) =
2) Функция f (хи, x2) =x,x2, D(f)=R?, не имеет в точке (0, 0) экстремума, несмотря на то что равенства
Sx, (©, 0) = Г», (0, 0) = 0 выполияются.
Достаточные условия существования экстремума. Пусть функция / дважды
непрерывно дифференцируема в Gc О(/) < В" и в точке РоЕС выполняются равенства / x; (Ро) =0
(j= 1,...,n). Если, кроме Toro, положительно (отрицательно) определена квадратичная форма *)
О (21,..., 2.) = YS x, (Ро) 22);
i, fal
то функция f имеет минимум (максимум) в точке Ppo..
Если квадратичная форма О (21,..., Z,) неопределенная, то функция f не имеет экстремума
в точке Рь.
Если О (21,..., 2.) не является ни пеопределениой, ни определенной, то требуется дополнительное исследование,
чтобы решить, является ли / (Ро) экстремумом.
Частный случай п = 2. Квадратичная форма О (21, 22) положительно или отрицательно определена
тогда и только тогда, когда
р(Po)=
| foe, (Po) Хи», (Po) |p
О (21, 22) положительно (отрицательно) определена, если, кроме того, выполнено неравенство
Г’хх (Ро) >0 (Л,er (Ро) < 0). При D (Ро) < 0 квадратичная форма О (21, 22) — неопределенная. В слу-
чае О (Ро) =0 необходимо дополнительное исследование.
Пример. Для вычисления значения экстремума функции
1
1
Sf(хи,х2)=5x?—4хх.+9х2+3x,—14x.+>
прежде всего находятся решения системы
fs,(x1,X2)=x,—4х, +3=0, Fs,(хи,х2)=—4x,+18x,—14=0.
Единственное решение этой линейной системы уравнений есть (хо, x2)=(1, 1). Из того, что Лея _ (Ь 1)=1,
Sry ‚ fl 1) = 18, Sx, xy (1, 1) = —4, следует, что D(1, 1)=2>0; в точке (1, 1) функция / имеет экстремум, являющийся
минимумом, поскольку fz x, (1, )=1>0, / (1, 1) = —5.
*) Квадратичная форма О (21,..., 2.) = у але, называется положительно (отрицательно) определенной, если для
i, j=l
,
всех (21, ..., 2.)Е В" \{0,..., 0} имеет место неравенство О (21,..., 2,) > 0 (<0). Если Q(z,,..., Z,) принимает Kak поло-
жительные, так и отрицательные значения, то О (21,..., Z,) называется неопределенной (см. также 2.4.4.5.3.3). О (21,..., Zn)
является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы
(4,;) являются положительными (отрицательными) (см. 2.4.4.5).
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
289
Нахождение условных экстремумов. В многочисленных задачах на экстремальные
значения (нахождение экстремума некоторой функции) из естественных наук, техники и экономики
множество точек, на котором ищут экстремум, подчинено определенным условиям, которые зачастую
заданы в форме дополнительных уравнений.
Пример. Необходимо определить значение экстремума функции f (хи, х2) = Xx; + X2 при дополнительном условии
XX,=4.
Общая задача на поиск условного экстремума может быть сформулирована следующим обра-
зом: найти все экстремумы и наибольшее и наименьшее значения функции f (x;, ..., X,), определен-
ной в области Сс В", для точек P(x1,..., X,), удовлетворяющих дополнительным условиям
; (х1,..., X,) = 0
(i= 1,..., т),
THE My, ..., Фи — действительные функции, определенные в С.
Необходимые условия существования условного экстремума. Пусть
функции f, ф,...., @, непрерывно дифференцируемы в С и ранг функциональной матрицы (9ф//дх,)
равен т. Положим
L=f+ у Акфк
k=1
(функция Ё называется фупкцией Лагранжа с множителями А»... Аж ГДе Ла, ..., Ат — ПРОИЗВОЛЬ-
ные действительные числа). Если / в точке Ро (x?,..., х)ЕС при дополнительных условиях
фи! (х1,..., Xn) = 0
(i= 1,..., m)
имеет экстремум, TO справедливы соотношения:
(Ро) 9+ У
k=1
6) Li, (Ро) =e (Po) =0 (k= 1,..., т).
20x(Po)_9
Ox;
Таким образом, необходимыми условиями существования условного экстремума функции /
в точке Р при дополнительных условиях ф, =0 (k =1,..., т) являются следующие n + т равенств:
т
Li,(P)=Ju,(P)+ ) м
k=1
OP) 9 G=t,...,m, Li (P)=
0, (P)=0- (k=1,..., т)
дх;
k
Пример. Среди всех прямоугольников с постоянным периметром и надо найти наибольший по площади.
Пусть x, y— длины сторон прямоугольника, тогда F (x, у) = ху — его площадь. Дополнительное условие
—ф(x,у)=
=х+у-и/2=0.
Система
Ly(х,у)=Е,(x,у)+AGE(х.у) =У+А=0,
yA
Li(x,у)=FY(x.у)+No,(x,у)=x+2.=0,
Ls у) =ф (у =х+у-и/2=0
то-
|
Ll=fИА
имеет единственное решение
тaw
74J (2)
.
и
}
т
]
Пу
|
$
|
.
Пу
|
|
Легко заметить, что F в точке (хо, Yo) имеет локаль-
|
|
ный максимум, который совпадает © наибольшим
||
|
значением F при выполнепии указанных выше yc-
!
|
|
ка
р
А
А.
А.
|
=
ловий.
мч
Два примера задач на экстремумы.
0То
Ту, Ту Lye
TyТ
|. Метод наименьших квадратов. Пусть в плоскости
хОу заданы М +1 точек (x; т) 1=0,1,..., М), где
Рис. 3.11
X#X; при ij. Нужно пайти функцию y=
oe
= f (X,do,...,U,-1), зависящую OT xX и OT п пара-
метров do, Gy ..., Gq—-1 ("< М), график которой как можно лучше ариближастся к указанным точкам (рис. 3.11).
Согласно метолу наименыпих квадратов эти парамстры выбираются так. чтобы величина
М
0(do.(+.ъye.1)=2[Г(Nj.dg.oeee(Ш-.1)—т”
=0
290
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
была наименьшей. Если применить для О теорию условных экстремумов, то при соответствующих предположениях
о дифференцируемости / получаются необходимые условия для определения параметров dy, dy, ..., @,-1: ДО/да, =0
(1=0,1,..., п— 1). Эти уравнения называются нормальными уравнениями.
п-1
Если, в частности, выб атгь в качестве ` мпогочлен относительно х: | X, Ao, ---5 An- =
a xk то с учетом того,
0
в-!
XoК
что в этом случае
М /п-1
90 _.
р
j
——=- =
ах:—т} xX,
да; 22.(5. ‘
}
в качестве системы нормальных уравнений получим следующие п линейных уравнений `(ср. 2.4.4.3):
а
+ Ex"7] а,-2+...+(М+ в = [т],
у
1p
[x"] аа + [И] age2 +... + [Хх] ао = [mx],
:
„
4и
- -!- ти oe (Foro)
[x2""?] dye. + [x2"" 7] аа-2+...+ [х"- 1] ао = [mx"~ |;
ier1
|
для краткости здесь использованы символы Гаусса
1
|
|!
N
|
[x]= > xt
(kK =1,...,
2n—2),
|
—
i=0
0
Ly
Ly
т
N
тж] = Уmx*
k=0,...,"—1).
Puc. 3.12.
их=2,
(
2. Определение оптимального местоположения. Для М заданных место-
положений, изображенных на рис. 3.12 точками P, (x, у) (Е =1,..., М). Не-
обходимо определить такое местоположение (такую точку Ро (хо, Yo), сумма расстояний от которого до всех остальных
была бы наименьшая. Следовательно, для Ро должен достигаться минимум функции
М
2(Хо,Yo)=2.((хк—хо)?+(ук—уо)?)"?.
Необходимые условия датотся системой двух нелипейпых уравнений 25) =Ouz = 0, где
М
N
\`
Хо—No
,
Yo—No
2.=2
р
’
2=2
.
77 f(y—x0)? к Yo)? 0
(Ск—хо)+ —yo))'?
=1
k=1
k
Решение этой пелинейной системы уравнепий является, вообще говоря, сложной задачей.
Если выбрать в качестве нулевого приближения
М
М
х(0)—I
x
y?=i
у
No
ko
о
N
ko
k=1
k=l
то при помощи итерационных формул получим
М
М
Що
xi
yi
(xf—x)?+(У®—у)
(x—x;)?+(5—y)?)'?
i=l
€
yer)=}
(k = 0, 1,...);
N
!
2(х®—x)?+98—уд)
хи=
М
1
(CPP FOF I
i=l
местоположение (хо, Уо) можег быть уточиепо в смысле постановки задачи. (Сходимость этого приближенного метода
AO сих пор ис доказапа.)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
29]
3.1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ одного ПЕРЕМЕННОГО
3.1.7.1. Определенные нитегралы. Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b],
a<b. Произведем разбиение 2 отрезка [a,b] на «элементарные отрезки» введением точек x;
(i=0, 1,..., п):
а=хо<х, <XQ<...SX <XxX,=O.
Обозначим через A(Z) длину наибольшего элементарного отрезка разбиения Z, т.е. A(Z)=
= max (x; — x;-,). В каждом элементарном отрезке выберем произвольное число &; (x;-, <& <х,)
L<icn
(рис. 3.13). Число
с(2)=2Л(i)(x;—х,-1)
называется интегральной суммой относительно разбиения Z.
Функция f(x) является интегрируемой на отрезке [a,b] в смысле Римана, ссли существует
число I со следующим свойством: для любого => 0 найдется такое 6 (=)> 0, что при любом`
У
С
5
y=f(Z)
.
ё
bo
E,
ЕЕ»
т
А7
Ар,
4-0 1 1 1,... 1,4 Tyr
ora
6
Рис. 3.13.
Рис. 3.14..
t
разбиении Z, для которого A(Z) < 5, выполняется неравенство |с (2) — [| < Е независимо от выбора
Ё. Число I называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [а, Ь].
b
Обозначение: I = | f(x) dx; x называется переменным интегрирования, a и Ь — соответственно
а
нижним и верхним пределами интегрирования.
Этому определению равносильно следующее: f (x) интегрирусма на [a,b], если для’ всякой
последовательности Z, разбиений, для которых lim A(Z,) = 0, последовательность o (Z,) соответ-
nace
ствующих интегральных сумм, независимо от выбора внутреиних точек &, всегда сходится (она
сходится в таком случае к одному и тому же предельному значению, которое и есть интеграл).
Если интегрируемость f (x) уже известна, то достаточно найти предел o(Z,) для какой-нибудь
последовательности разбиений Z,, удовлетворяющей условию lim А(7,) = 0.
no Oo
Верхние и нижние суммы Дарбу. Пусть М; и т; — соответственно верхняя и нижняя грапи
изменения f(x) в элементарном интервале (х;_1, х;) для разбиения Z отрезка [a,b]. Числа
п
.
nt
S(Z)= > М, (x; — x-1) и 5(2) = У mj, (x; — x;-1) называются соответственно верхней и нижней
i=l
i=]
суммами разбиения Z.
Критерий интегрируемости Римана. Функция f(x), определенная и ограпиченная на fa, 5],
интегрируема на [a,b] тогда и только тогда, когда для любого => 0 существует число 6(5) >0
такое, что для любого разбиения 2, где А(7) < 5, выполняется перавеиство 5(7) — $ (2) < в.
Классы функций, для которых интеграл Римана всегда существует:
а) функции, непрерывныс на [а, b];
6) функции, ограниченные на [a,b] и имеющие конечное число разрывов;
в) ограниченные и монотопные на [a, b] функции.
Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Если f(x) >20
b
на отрезке [а, b], то J f (x) dx представляет собой площаль области, ограниченной осыо x, графиком
а
Г(x)ипрямымиx=aux=b (рис.3.14).
b
Если f (x) <0 на [a, b], то площадь соответствующей фигуры равна — | f (x) dx.
`*
а
292
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.7.2. Свойства определенпых интегралов.
1.Г dx=0
b
2. Перестановка пределов интегрирования: если существует | f (x)dx при a <b, то существует
а
а
b
ff(x)dx= —Jf(>ах.
b
a
с
b
b
3. Если существуют интегралы | f(x) dx и ГЛ (x) dx, то существует также | f(x) dx и для любого
a
ec
a
взаимного расположения точек а, b, с
b
b
ГЛ (x) «|1 (x) dx +] f(x) dx.
b
4. Если существует |] (x) dx, то для любой постоянной o
а
b
fof ode =af 700 ) dx.
b
b
_b
5. Если существуют интегралы | / (х) 4х и [9 (х) 4х, то существуег также ЕГО + 9 (x)] dx и
a
b
b
b
SLCd)+9Wd]dx=Jf(x)dx+Jg(x)dx.
b
b
6. Если всюду на [a, b] выполнено неравенство f (x) < 9 (x) и существуют ГЛ) dx и } 9 (x) dx, то
а
а
b
b
[< dx<Jg(x)dx.
В частности, если т < f(x) < М, то
b
т(5.—а)<|f(x)dx <M(b—a).
b
b
7. Если существует || / (х)| 4х, то существует также | f(x)dx и
h
b
Рис. 3.15.
0% 4х! < ИЛ) |dx.
8. Первая теорема о Среднем значении. Если f (x) нитегрирусма на [a,b] и т< f(x) <М,
то существует число и, т<и< М, такое, что
b
(f(x)dx=p(b—a).
a
В частности, если f(x) непрерывпа на [а, b], то существует число & а<&
<
р, такое, что
b
Jf(x)dx= (6)(0-a).
a
Геометрическая интерпрстация: между а и Ь существует такое $, что площадь фигуры ABCD
равна площади прямоугольника АВ’С’О (рис. 3.15).
9. Обобщенная первая теорема о среднем значении. Ecun f(x) и g(x) интегрируемы па [а. В],
< / (х)< М и либо всегда 9(х)>0, либо всегда g(x) <0, то существует число п, m<u<M,
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
293
такое, что
b
b
[fed giddx =p J g (x) dx.
a“
a
В частности, если f (x) непрерывна, то существует такое число & a<& <b, что
b
b
Ifdg(xJdx=Л(&)Jg©)dx.
10. Вторая теорема о среднем значении. Если f (x) монотонна и ограничена, a g (x) интегри-
руема, To на [а, $] существует точка & такая, что
b
5
b
SS(x)9(x)dx=f(a)[9(x)dx+ Л)[9(x)ах.
a
a
Е
17. Если функция / (1) непрерывна на отрезке [a, $], то функция
Е(х)=Л
на отрезке [a, b] также непрерывна и имеет производную:
ЕР(x)=f(x).
12. Интегрирование посредством разложения в ряд. Если функции f, (x) (n = 1, 2, 3,...) интегри-
a
руемы на [a, b], а бесконечный ряд > f(x) сходится равномерно на [a,b], то сумма ряда f (x)
n=l
также интегрируема на [а, b] ин
n=1 a
b
Pe) b
[f(xdx=у(1Sn(x)ix).
О вычислении определенных интегралов и дальнейших свойствах см. 3.1.7.4 и 3.1.7.7.
3.1.7.3. Неопределенные интегралы. Первообразная функция. Функция Е (x), дифференцируемая
на некотором интервале (а, 6), называется первообразной функцией для функции f (x) на этом интервале,
если для каждого хЕ(а, b) справедливо равенство
F’(x)=1%.
7!
f(a)
,
F(Z)
Примеры. f(x)=cosx, F(x)=sinx, ХЕ(- ск, 0); Е,
Е (x)=
\
F.lx)
Yi-x
\ OYу
.
1
=arcsin x, x e(—1, Is fO)=—, F (x) =In|x} (x #0).
\10
_
:
т
Если F, (x) и Е. (х)— две первообразные функции для f(x) на одном
—
и том же отрезке, то они различаются на аддитивную постоянную:
:
7
Рис. 3.16.
fF, (x) = Е, (х) + С, т.е. графики всех первообразных фуикций образуются
из одного из них сдвигом по оси у (рис. 3.16).
Пример. Функции F, (x) = —arccos x и Г. (x) = arcsin x имеют для хЕ(-1, 1) одинаковую производную ПИТ - x?
и, следовательно, являзотся первообразными функциями для И —- х?, поэтому
arcsin x = —агссо$ x + С;
так как arcsinQ =0, arccos 0 = п/2, то С = п/2 и, следовательчо,
arcsin x + агссо$ x = 7/2.
Неопределениым интегралом функции f (x) на некотором интервале называют множество всех
первообразных функций функции /.(х) на этом интервале; обозначение:
ГЛ (x) dx.
Если f (x) — какая-нибудь первообразная функция для f (x), To
[f(x)dx=F(x)+С.
где С -- произвольная постоянная.
294
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Поэтому примеры, приведенные в пачале пупкта, можно записать так:
|
[с0$xdx=sinx+:С;
|re
=arcsinx+С
(х Е(— 1, L));
|S =imixitc
(x#0).
Вычисление неопределенных интегралов при помощи соответствующих правил интегрирования
стараются всегда свести к табличным интегралам. Зачастую, однако, неопределенный интеграл
от некоторой функции невозможно выразить через элементарные функции (представить в замкнутой
форме). Это происходит уже при интегрировании таких простых функций, как
2 Япх Cosx
J
е
,
ars ——y,
—
ее,
х
х
Inx
Для Toro чтобы проинтегрировать подобную функцию, можно произвести разложение подын-
тегральной функции в ряд и использовать свойство 12 из 3.1.7.2.
46
Пример. e* =1 --х?+ or ete,
Этот степенной ряд сходится равномерно на всяком ограниченном интервале, поэтому может быть почленно
проинтегрирован:
Хх
НИЕ:
—
Je rn
Cro) nr АСТ
5
7
Тем самым находится представление интеграла в виде хорошо сходящегося степенного ряда (для не слищком
больших x).
Интеграл может быть приближенно вычислен разными способами (см. 7.1.2.7).
Не представимые в замкнутой форме, но важные для практики интегралы затабулированы,
например:
x
°4х
.
|| ———= li(x) (интегральный логарифм),
nx
0
ф
|
dg
== F (k, @) (эллиптический интеграл 1-го рода (см.. 1.1.2.4).
И—К?sin?»
0
J
Таблица основных интегралов. Постоянная интегрирования опущена; указания об ин-
тервале определения сделаны только тогда, когда речь идет не об интервале (— 0, 00).
Степенные функции
Показательные функции
х"+ 1
x
x
x"dx=уу(n#—1;x#0,еслип<0)
Je*dx =e
x? +1
ах
x*dx=
— (a # —1 — действительное,
adx=——(a#1)
a+1
Ina
x>0)
dx
[fats (x #0)
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
[япxdx=—cosx
Jshxdx=chx
{cosxdx=sinx
Jchxdx=shx
|tgxdx=—In|cosx|(x#a%+04)
{thxdx=Inchx
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
295
[ctg x dx = In|sinx| (x # kn)
Jcth xdx=In|shx| (x40)
dx
п
dx.
— =tgx
2
—
-—=th
cos”x tex(x#0k+05)
|es
*
dx
dx
[за =—ctgx(x#Км)
Shox—cthx(x=0)
Дробно-рациональные функции
Иррациональные функции
dx
1
x
dx
ох
——__=— arctg—
0).
=: =arcsin-— х|<а
lots 7агов—(a#0)
Je
- (|x| <a)
1thx
|ах
JaАЕ (1<а),
| dx | arcsh (x/a),
az—x?! ] a+x
Иа?4х2 In(x+Иа?+х?)
2a
a-—x |
1
x
es _ aarcthа(х1>4),
|—_
arcch (x/a),
x’—at t |x-a
Vxt—at UIn|x + Vx? -a?| (х|> 4)
2a"x+a
Выражение определенного интеграла через неопределенный .(основная
теорема дифференциального и интегрального исчислений, теорема Ньютона
— Лейбница). Если для
.
b
f (x) на отрезке [a,b] известна первообразная функция Г (x), то определенный интеграл | f (x) dx
а
можно вычислить по формуле
if)dx=F(b)—F(a);
при этом для записи правой части используются символы: [F (х)]* или F (x) |’.
ь
Пример 1){[cosxdx=[sinх=sinb—sina;
2-е) Ра)
°
Ny
рг
a
L
>
b
dx
b
2)|= finx]=Inb-—Ina=In> еслиa>0, b>0.
Puc. 3.17.
Геометрическая интерпретация первообразной функции. Если S(x) — пло-
щадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), прямыми, проходящими
через (а, 0) и (х, 0) и параллельными оси у, и осью х (рис. 3.17), то
5(x)=F(x)—F(a),
где F (x) — любая первообразная функция для f (x) на отрезке [a, Ь].
3.1.7.4. Свойства неопределенных иитегралов.
1. Аддитивность неопределенного интеграла: [ (f (x) + д (х)) dx = [Л (x) ах + [9 (x) dx.
2. Постоянный множитель и можно выносить за знак интеграла: { af (x) dx =a f f (x) ах.
3. Если Е (и) — первообразная функция для f (м) в интервале I, TO для произвольных постоян-
ныхa,b(a#0)
Jf(ax+b)dx=—F(ax+b)+C
причем х лежит в интервале, для которого u=ax + bel.
|
3
Пример. | stp -их+и+с x# -5.
296
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
4. Если f (x) имеет в некотором интервале непрерывную производнуго и / (x) # 0, то
"(x
LO ши
С.
f (x)
Пример. |
х)+С.
5. Интегрирование по частям. Если u(x) и v(x) имеют в некотором интервале Г иепрерывные
производные, то
[и(x)v'(x)dx=u(x)v(x)—[и(x)в(x)4х.
Примеры. 1) fx sin x dx = x (—cos
х) — { 1-(—cos x) 4х = —xcosx+sinx+ С.
г
1
.
x
2) fin xdx = fin x-l-dx=xinx -| -—xdx=xiInx-x+C (определено в любом интервале, ric x > 0).
х
Интегрирование по частям определенных интегралов.
b
[и(хх (x)ах=[м(x)v(x)]8—[и(x)&(x)ах.
6. Интегрирование подстановкой (заменой переменного). Если функция / (2) непрерывна на [a, В],
функция 2=9(х) имеет на (а, 5) непрерывную производную и a < g(x) < В, то
Jf(g(x)g(x)dx=Jf(2)dz,
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z = д (x).
_|
г.
Пример. |зт*хс0$х4х=|2*dz= z*+С=т sintx+С.
Зачастую этой формулой пользуются справа налево; для того чтобы определить | / (2) dz,
вводят функциго 2 = g (x) и вычисляют | f (4 (х)) 9' (x) dx; после этого при помощи обратной функции
x =h(z) нужно вернуться к исходному переменному x (обратная функция x = й (2) существует, если
9' (x) #0 на [a, b}).
Примеры. 1) | ео -; подстановка 5 = 1х, xe(—n/2, п/2); значит, 2’ = 9' (x) == I/cos?z #0 и х= ага =.
(ИТ + 22)
Тогда
|a
=|a
a =|cosxdx=sinx+C=— bX 4Coacect+С.
(И!+22° JYt+tg?x?cosх
И!+tg?x И!+=
2)|Иа?—2?dz;делаемзамепу2=4с0$x,ХЕ(0,п),такчтоg’(x)=-азтх £0их
=
агссоз (2/а); тогда
)
TTS
.
..
§Vo?-22dz=[Иа?-а?cos?x(—asinx)dx=-а?{sin?xdy,
.
|
Далсе,таккакsin?x=x(1—cos2x),ro
.
|
lL,
|
.
fsin?xdx=5(x—5sin2x)+C=+3(x—sinxcosx)+С,
.
| О-ва
но шх = V1 — COS? х = -— Иа? — 27, и после введения обратиой функции получим. что
a
Rare
far--27dz
5 arccos---+= Иа? 22+С.
a2
Правило подстановки (замены перемеиного) для определенных интегралов (2 = g(x); обратная
функция x = h(z)).
b
a (b)
|!
h (8)
[foWg@dx= Глаз, [Горя [Госу Was.
а
g(a)
р:
В (<)
В отличие от правила полстановки для псопределенных интегралов. согласно которому
необходимо вернуться к исходному переменному, здесь при полстановкс нужно сразу изменить
пределы интегрирования.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
297
a
Пример. I Иа? —:— 2? dz; подстановка z=acosx п>2х>20 лля -а<2< а) ласт
seen
0;
1
к
|
|
“yA
1
fVe~2dz=а?Jsin?xdx=+5a?J(1—cos2x)dx=+5а?x—-5sin2х =—a’n.
Можно прежле вычислить исопределенный интеграл (см. приведенный выше пример);
2
ОИ
оa
ac
22
1
22
.
22_
2
Va —2z*dz=} — —— arccos ~~ + --- 4—2
= -- arn.
J
2
|aи
|
2
3.1.7.5. Интегонрование рациональных функций. Дробно-рациональная функция R (x) — отношение
двух многочленов О (x) и P(x), не имеощих общих множителей:
QOH)_ box + bixTM|+... + bn
P(x) арх"
+ a,x" +... ча
К (х)=
Рациональные функции всегда интегрируются в элементарных функциях. Их интегралы являются
линейной комбинацией следующих функций: рациональных функций, логарифма липейных двучленов,
логарифма квадратичных трехчленов, арктангенса линейных двучленов.
Если степень Q(x) больше или равна степени P(x), то прежде всего делением Q(x) на P(x)
выделяют целую часть. Тогда получают сумму, состоящую из многочлена и правильной рациональ-
ной функции К (x) = f (x) + Q, ¢x)/P (x), причем степень О, (x) меньше степени P(x) и многочлены
О, (x) и P(x) не имаот общих множителей.
3
Приме
wn =x
“
PumeP ур
х+1°
Многочлен / (х} можно сразу же проинтегрировать: если
f(x)=Cox"+...+Стп»
TO
Co
mп
1
—
ff(x)dx=————_ x +...+бах +С.
Если деление выполнено, то производится разложение дробно-рациональной функции Q, (x)/P (x)
па простейшей дроби, т.е. О, (xP (x) раскладывается на сумму дробей, которые затем можно
легко проинтегрировать. Это разложение на простейшие дроби тесно связано с разложением
знаменателя P(x) на множители. Делением числителя О, (x) и знаменателя P(x) на ао можно
всегда достичь того, чтобы коэффициент при старшем члене многочлена P(x) был равен |.
По основной теореме алгебры (см. 3.4.2.4) имеем
P(x)=(x-ay)...—a)"(x2+рах+qi)L(x?+рых+qs)",
где а, (v= 1,..., Г) — действительные нули кратности К, многочлена P (x), в то время как квадратные
трехчлены не имеют действительных нулей, т.е. p2 -- 44, <0, ph=1,..., 5. Получение такого пред-
ставления в виде сомножителей и является, собственно, главной проблемой при интегрировании
конкретной дробно-рациональной функции. Далее, каждому из сомножителей P(x) соответствует
некоторос число простейших дробей, а именно каждому сомножителю вида (x — a)‘ соответствует
сумма простых дробей
А,
A,
Ах
+.
х-а (х-а)?
(x—а}
и каждому сомножителю вида (x? + px + 4}! соответствует сумма простых дробей вида
Bx +C, вх,
Bx tG
xe+px+tq (х?+рх+4)? ~ (x? +px+q)-
Постоянные А, В, С, рассматриваются сначала как неизвестные.
x+2
xoextiy1
Пример. Л(х) =
Разложение знаменателя даст P (x) = х° + x4 — x? — 1 =(x — 1) (х+ 1) (x? + 1)". Таким образом,
R_A4B"4Cx+В
Ex+F
(x)
х+1
x?+I (x*+.1)*°
298
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Для определения коэффициентов А, В, С, О, Ё, Г левую и правую части умножаем па знаменатель P (x) и отбра-
сываем его.
В вышеприведснном нримере после умножепия на знаменатель (x — 1) (x + 1) (x? + 1)? имеем
х+2=А(х+1)(x?+1)?+B(x-1(x?+1)?+(Cx+5)(x—1)(x+И(2+0 +(Ex+В(x—1)(x+2B).
Приравпивание коэффициентов при одинаковых степенях х в миогочленах, стоящих слева и справа (oT x° до x°),
дает систему уравиепий
хз: 0O=A+B4+C,
xt; 0O=A--B+D,
xe: 0=2A4+2B+E,
x?: 0=2A ~2B+F,
$1: 1=A+B-C-E,
xo. 2=A-B-D-F,
3
1
1
1
1
откуда A=-~, В=--, С=-щ,В=-5, Е=-5, F= -.
Таким образом, имеет место разложепие
x+2
if3
1 2x+4 4x4+8^
хо
8 (x—lo oxtt xt4i (x?+ 1)?
Интегрирование простейших (элементарных). дробей. После того, как разложение на простейшие
дроби осуществлено, достаточно проинтегрировать полученные дроби. Дроби, знаменатель которых
имеет а своим действительным корнем, интегрируются по формулам
Ad
Ad
A
1
~ =Aln|x—al+C,
a
—-+С (v £1).
х-а
(x—a)"
v—1 (x—- a)’
Bx+C
(x?+px+q)’
сопряженные корни, преобразованием числителя при у> |, B40 приводится к виду
Вх+C р В (2х+р)dx +(с
(x?+px+q)”
2|(x?+px+q)
7
(x?+px4+q)°
B
p
dx
—
С-— —
.
2(v—1)(x? +px+q)""! +
2 |(x?+px+q)"
При у = 1, B #0 после аналогичного преобразования получим
Вх+С
В
pB\ [в dx
dx=—In (x?
C-— —
;
С
2ne+++
>) esters
Вычисление интегралов вида
Интеграл от дроби
при р? — 44 <0, т.е. когда знаменатель имеет комплексно
1-|
dx
Л +'px +9)"
производится по рекуррентной формуле
1
2x +p
2(2v—3)
(v — 1) (4q—p?) (x? +pxtqy' (V—1)(4q—-p?)
y=
которая позволяет свести вычисление интеграла I, после v—1 шагов к вычислению интеграла
dx
I,=
2
.
x" +px+q
Значение последнего интеграла равно
2х +P
п=—===—ага— —
И4а—р’ И44-р
х+2
Таким образом, интегрирование простейией дроби TE CHT дает
-+
x+2
11
|dx
Gane“>a Го|GS
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
299
и, по рекуррентной формуле,
d
гдеI,-|== arctgx+С.
В итоге получаем
==>2dx=IГ—И_х
|
2x—|
1
хЕ
у
у
-
:---ar“xy4-ИО
ИИ
СР x 4-С.
2|5ПР
A х+|
2
+1
5arctg:x+С= 4(x?+1) 5arctgx4
.
x*
Дальнейшие примеры. 1. | Gax pe так как степень миогочлепа в числителе равиа стсисии многочлена
в знаменателе, то, прежде чем приступить к разложению па простейшие дроби, пужпо произвссти выделение целой
части. Имеем
4 14 2x?--|
(x? — 1)?
(x?—1)?'
Далее,
2x?—|
А
В
С
р
ote ~&-h>&-1P7х+1+(x+12°
Умножение на общий знаменатель дает
2х2 —1=А(х+ 1)? (х- +В (х + 12+ С(х -. 1)? (х+0+6ЬС- 1].
Значения некоторых коэффициентов (здесь В и 0) часто можио получить быстрее, чем методом приравнивапия
коэффициентов, — подстановкой нулей зиаменателя. Если подставить в уравнение х =1, то получим, что 2—1 = 4B,
т.е. В = 1/4; если подставить x = —1, то получается 2— 1 =4D; следовательно, D = 1/4. Приравнивая коэффициенты
при x? и хо; получаем уравнения 0 =А+Си -1:: -А+В+С+ 5; следовательно, А = 3/4, С = -— 3/4.
Итак, получаем
xt
3
113
|
2x3 —3х “3
=!
|ordx= —| —1|-————--—]1
С
я ет]
| +С.
\opхамхаИр
ам eI
2. | xt +1 > У знаменателя нет вещественпых нулей; разложение на квадратичиые мпожитсли дает
xt$1a(x?—/2х+1(x?+ 2+1,
а разложение на простейшие дроби —
1
Byx+C,
Вх+C,
я=
=
+
~
;
+h 4 И x? -//2x4+1
Приравниванием коэффициентов находим В; = 1/(2 y2), С; = 1/2, Bz = — 1/2 И2). C, = 1/2; следовательно,
[dx |[х+2
|[х-2
=
dx — ---—:-
dx.
x* +1
2y2 х2+ |/2х+1
2И? х24 V2x4+1
и
.. Вх+С
Применяя соответствующие формулы для интегрирования простейших дробей На, получаем, что
хpx+q
xt у?
|
1ft
Из 2 2x+/2
—
dx =———| In (x?+ 2x+1)+лага
ev
yale Ix+1 wae пузо
У?wee V2-
on
7
ary In (x? + /2х+0+ Tr arctg (/2 x-+ 1) + Cy,
+С,=
7[х-2
{Е
|
V2 2 2х—2
—_ —_
dx=—
Ш(x?—|//2x+1)—-—-—ага=] +С.=
22 -У2х+и
2212
и
2|2
y2 |”
1
-
1
=
=—~~.In(x?—/2x+1)+—.aretg(/2x—1)+Ca;
4/2
2/2 у
°
следовательно, в итоге получаем
х2 + У2х+1
,
|ox—1п
+ ao arctg (2 x+i1)+ 1. агс р (/2 х-+С
(С =С. + C>).
Mtl 42 x-yrx4t 242
2/2
Таблицы интегралов рациональных функций см. в 1.1.3.3.
300
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.7.6. Интегрирование других классов функций. В дальнейшем К. (и, о, w,...) означает рациональ-
ную функцию от аргументов и, и, м,
Приводимые ниже интегралы подходящей подстановкой могут быть сведены к интегралам
от рациональных функций.
3.1.7.6.1. Интегрирование иррациональных функций.
у
пee
1
I. [ R(x, Иах + 5) 4х; в результате замены переменного {= Иах +b, т.е. x = — (Г — b), dx =
a
--—-
t"—b
ny
В(x,|ах+b)dx=|R{-
,t)}-—t"¢ dt,
а
a
n п-1
=—t dt, получаем
a
lax +l
\lax+b
it"—b
2.|RIx, ах+ dx(ad—be£0);подстаповкаt= are т.е.х=ae ‚dx=n(ad—
cx +d
сх +4’
а- с’.
ax+b
ax +b
ax+b
3.|R{x,|/—
, ———_,...| 4х: подстановка t = |/ ~-—-—-, причем г — наименьшее об-
|
cx —d
cx +d
cx +d
щее кратное чисел п, т, ..., дает в итоге интеграл OT рациональной функции.
4. Теорема Чебышеви. Интеграл [х" (а + bx")? dx (а, b — произвольные постоянные, т, п, р — pa-
циональные числа) — интеграл от дифференциального бинома — может быть выражен в элементар-
т-+1 т-+1
ных функциях только тогда, когла одно из чисел р,
,
+ р являстся целым.
n
n
poe
а) р — целое; подстановка t = Их, где г — наименьшее общее кратное знаменателей чисел т и п,
приводит к интегралу от рациональной функции.
m+|
.и
6) — — целое; подстановкой t = Иа + bx", где r — знаменатель дроби р, получаем интеграл
и
от рациональной функции.
m+1
а+bx"
в} ———- + p — целое; при помощи подстановки t = |/ - ‚ где г — знаменатель дроби р,
x
получаем интеграл от рациональной функции.
ИИ+ р
Пример.[7ах =JrM2)4x49dysитак,m=—1/2,п=1/4,p=1/3,(n+1L)/n=2—целое.
4
Подстановка f= Vor+Ys х = (1* — 1). dx = 121? (23 — 1} 4;
1+
3
3
vo
..
З/ч -.
| VisitsИк No -Adr= Ane C= St Vy 4Vx-9 V+ free.
i
5.| R(x,Vax?+2bx+o)dx (a¥0).
Эти интегралы можно свести к интегралам от рациональных функций, OT тригонометрических
или гиперболических функций (они pacenepuoaione в 3.1.7.6.2). Преобразуем выражение
ас—b?
ах?+2bx+е=—~(ax+bh)?+aro
a
и рассмотрим три возможных случая:
а) ас —b? > 0; тогла интересен лишь случай а> 0, так как при а <0 всегда их? + 2bx+c¢ < 0.
,
ax +b
,
ае-Ь? ,
Заменой переменного t = ===: получаем, что ах” + 2bx + с = --—-—-- (f° + 1), откуда следует,
|
,
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
301
что
[в(x,Иах?+2bx+0)dx=
aT
op
APN
_Иже[в(ee ‚2.a2 ИР?+idt=[в(t, Ve?+lade.
a
Дальнейшая подстановка, а именно { = shu (можно применить и подстановку {Е = tg и), приводит
к интегралу от рациональной функции от функций shu и chu:
ГВ,(Vt?+1)dt=[К,(shu,chu)chudu.
6) ас — b? = 0; тогда в подынтегральном выражевии содержится полный квадрат, и, извлекая
квадратный корень, получаем интеграл от рациональной функции.
ах +b
|/b?—ac и
в)ac—b?<0; подстановкой t=от получаем, что Vax?+26х+с= у И?—J
b*—ас
/-
| /b?
ие
приa>OuVax+26х+е= ИИ —t° приа<0.
В результате приходим к интегралу вида | К, (i, ИР — 1) 4, если а>0, и [В (t, Yi - 2) 4
если а< 0. В первом случае используют подстановку t=chu (или Е = $ес и), во втором случае
t=cosu (или t = sin и); получают соответственно
[ В, (спи, shu)shudu, [В, (cos и, яп и) sin и du.
x
No
Пример. | esse} ас -- 2 = —1 <0 (случай в)). Делаем замепу переменного 1 = х — 1; следовательно, x =
Г
.
с
-_—___.
ee
one.=| =|к Чи=и+С=ас1+С=ш(1+И—П+С=Ш -Т+Их?—2х)+С.
Одной из трех подстановок Эйлери интегралы рассматриваемого вида можно также сразу свести
к интегралам от рациональных функций:
a) если а> 0, то делают замену
|г—Иах,
Vax? +2bx+¢=
lЕ уах;
6) если с > 0, то делают замену
Уах?+26х+е=
м+Ис,
xt Ус;
в) если ах? + 26х + с имеет два разных действительных корня a и В, TO делают замену
И ах? + 2bx +е=Е(х -- 9).
P,, (x) dx
Vax? +2bx +c
dx
Vax? + 2bx +0
6. Интегралы специального вида
‚ где P, (x) — многочлен и-й степени, можно
свести к более простому интегралу
Полагают
dx
Р, (x„© dx = P,.., (x) ax? +2bx +С+А
(*)
ax?+26х+с
Vax? + 2bx +0
где P,-, (x) — многочлен стеясни и — !, коэффициенты которого еще пе определены. Для нахождения
коэффициентов этого многочлена и числа А дифференцируют левую и правую части равенства (*),
302
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
полученный результат умножают на Иах? + 2bx + с, а затем приравнивают коэффициенты при оди-
наковых степенях х у многочленов слева и справа.
.3Qy2,
Пример. =| 3 8х 4х dx,
Их?—2x
Применяя описанный способ, получаем, что
Зх?._—8x?+4х _
д
—-1 —
A
откуда, после умножения Ha |/ x? —2х и приравиивания коэффициентов при соответствующих степенях х, следует: а = 1,
b = --3/2, с = --1]2, А = —1/2. Таким образом,
—
=
—--.
{
{>3x? Bx?тах.dx=(x2х-x)Их?-—2х——т es
Их?-2x
2
Их?—23
[aS =In(x— 14x?— 2х) + C
(см. предыдущий пример).
7, Эллиптические интегралы. Интегралы вида
ГВ(x,Vax?+bx?+cx+e)dx,
ГВ(>,Иах“+bx? сх?4+ex+fydx,
Kak правило, не выражаются через элементарные функции; тогда они называются эллиптическими
интегралами. В результате ряда преобразований можпо каждый такой интеграл свести к элемен-
тарным функциям и к эллиптическим иштегралам первого, второго или третьего рода:
dt
(Е КЕ?)dt р [—--
dt
bebe
los en (1К?)°
( <|.
(Е+ht?)(A—0?)(1—2212)
Если сделать подстановку Е = sin @ (0 <ф < 2/2), TO получим соответственно
|“
‚И ИЕ К? sin?12 dy,
-ыы
.
и|—k*sinбу’
J(1+15124)ИЕ-К?sin?у
Эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода в леж апдровой форме. Соответствую-
щие определениые интегралы обозначнотся по Лежаидру Г(К, $), E(k, Ф), П (A, К, Ф):
1p
п
|
t
wpahee, =(Kg) [VEaRSin Way=BG©
J Vi —- К? sin?on
0
у
ra)
|
|Иуa
as:=П(Й,К,@).
(Е и уИГ *sin?Ру
0
Эти функции, кроме перемениого ©, содержат cule параметр К или параметры hh и К и 3a-
табулированы (см. 1.1.2.4).
3.1.7.5.2. И интегрирование траисцеидсентиых функций.
1. ГЕ (sin x, cos x) dx. Делаем замспу переменного, полагая 1 = tg (х/2) (—п <x < т) и следова-
тельно, X =: 2 arctg 1, dx = ЕР. dt. Тогда
x
2
|—12
x
x
x
x
2t
COSX=26057 —J=eng
LS rey,
sinxX=2sin=-cos——=2tg-—cos? =-——~,
2
+:
1+!
22
2
2 [+t
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
303
откуда
211-22
[Rinx,c0sx)d=|R(
=) ГВ dt,
т. е. в итоге получаем интеграл OT рациональной функции.
21
+
Пример|19.|ТЕ 2glи,|(2.1 а.
P P ‘T=cosx 7” pict 1+7
вии) г”
во tre)
*
о
1+2
®
.
t?
1
=2In]e|—osма +C= ре=p+C=Insin?>—ctg=stС.
В частных случаях можно применять и более простые подстановки: если функция К (sin x, cos x)
нечетна относительно sin x, т.е. R(—sin x, cos x) = —К (sin x, cos x), то подстановка { = COS х приво-
дит к интегралу от рациональной функции; если R(sin x, cos x) печетна относительно COS х,
т.е. ЕВ ($шх, —cos x) = —R ($шх, cos x), TO подстановка {= яп х дает интеграл от рациональной
функции; если, наконец, R(—sin x, --cos x) = К (sin x, cos x), то подстановкой /={вх получают
интеграл от рациональной функции.
=
si
.
Примеры. 1) {2 х 4х. При помощи подстановки ¢ == cos x, di = -- за x dx получают
sin x
dt]
|
——_dx=—
=
+ С =: —---—-.---- +
|cos*x
0? 2:2
2cos?x
dx
|
12
dt
2
: .ЗдесьподстановкаЕ=tgx|cos?x=---— ,sin*x=tg?xcos?x= > |,dx= 5
) а?cos*x+b?sin?x
у6
sien
в
1+2
ТЕ
дает
|
dx
_ [+12
ога |асе (В cal wets(bx +С
]a?cos?x+b?sin?x a+b? (1+0)=|ba ab OPa ab Eg 8 |
3)|sin”xdx.Еслии=2т+ 1,тополагают{=cosx;
2т+1
$
,
., COS” NX
р „COS” x
Jsin"xdx=|(1—cos?x)”sinxdx.=—f(1—Py"dt=--cosx+ChSE
(=1"ce
+С.
3
Эт +Т
В частности.
Cos” Xx .
fsin?xdx=—cosx+5 +С.
Если п =2т, то по формуле Муавра получают
amх (—1)”| .
“1
mek ome1
yn|a)|
sin — узи:
|
COS2тх—СэтCOS2(т-Пх+...+(-1h Сы cos2х+(-0" Con|
Следовательно,
saa
(— Lyn
J
>t
:
тм
Ты
mo
|
~
|sine" xdx=-5 |sin2х—WedСтsin2(т-Эх... ROHDE CBS sin2 (СХ |+С.
im
т
7
4)|cos"xdx.Еслип=2т+|,тополагаютf=sinx:
тн
.
.
.
,
<“‘
sien! | \
[cos хdx==|(Г--sin?x)"cosxdx=(ЕВ мах--С ©> PoetOtyСт.an Е+С.
|
net
Еслн n= 2m, то по формуле Муавра
со$2"х=i
COS 2inx
С! ле
чп1
^
|‚|
УХ=лиг
Xt Сыcos2(т- Пх+...+С! cos2х45 Сы|.
Следовательно,
[cos?”x1х_—1 |+72-
|С!и7
.
ми1
4
Bd.) |
“
dx=52m| sin2х+тор Camsin2(т-Пх+...+CY,52+СХ |+С.
В частпости,
.
1
[соб?vd=5|=sin4х+4sin2x+6х]4С.
16\2
304
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
5) [ яп" x cos" x dx. Если п (или т) нечетно, то подстановка Е = созх (или 1 = яп x) приводиг к интегралу oT
рациональной функции. Например,
Jsin?xcos*xdx=[sin?x(1—sin?x)cosx4х=[#?(1-12)4, t=sinx.
Если оба показателя степени четны (или нечетны), то подстановка { = tg х приводит к интегралу OT рациональной
функции. Если, в частности, п и т положительные и четные, то можно использовать преобразования
sin2x 2
1—cos2х
2 1+cos2х
sin x cos х = ———, sin” x= Що, cos" X= —~—G———
Например,
.
.
1
| xcos*xdx=[sinxcosx)?cos?xdx=-а|si2x(1+cos2х)dx=
19
1
,
I.,
Г.
= |sixDx608Bxdie+aie(1=00843)de=3sity2x+-—-х-——sin4х+С.
8
16 64
6)|tg”
xdx=|"72х| -
--1dx=(BX_te"~2xdx
5~|8
cos? x
оп
8
|
7)[vexdx=--——ctg"TM!x—|ctg?~?xdx
2. ГК (е"*, 6"*, ..., еР”) 4х (т, n, ..., р- рациональные числа). В результате подстановки t = с*
|
J
получают интегралы вида | —— R(t", t’, ..., t?) ах. Если г — наименыцее общее кратное знаменателей
t
rer
дробей т, п, ..., р, то подстановкой и = УЕ получают интеграл от рациональной функции.
3. | R(shx, chx) 4х. Эти интегралы можно вычислить, заменив гиперболические функции
на показательные.
Случаи | sh" x dx, | сп" хах, | зп" х ch" х 4х рассматриваются аналогично соответствующим ин-
тегралам от тригонометрических функций.
(dx
`4х
1No
di
гр.
о
=
——_—_ —_— =
ee)
—
-=2?
tх
С.
Примерine 2|ofperk 2{4T+Lt 2 те
arctge* +
Интегралы вида
,
4.ГР(х)е*ах, 5.|P(x)sin(ax+В)ах, 6.[Р(х)cos(ах+В)dx,
7.|P(x)eTMsin(ax+В)4х, 8.[P(x)е"*cos(ux+В)dx,
где P(x) — многочлен OT х, можно вычислить, применив один или более раз формулу интегриро-
вания по частям.
Примеры. 1) Посредством однократного интегрирования по частям
|(x)вdx=vsP(x)e*—J|Р’(x)eTMdx
a
получают интеграл от функции с многочленом, степень которого па 1 пиже, так что в результате п интегрирований
по частям можно вычислить исходный интеграл.
2) В случае интеграла | е“* sin (ах + В) dx однократное интегрирование по частям приводит к соотношению
.
—1
jesin(ax+В)dx=a eTM*cos(ax-:ft)+<[emcos(ax+В)dx;
J
интегрируя по частям второс слагаемос:
2.
fesin(ах4-В)dx==—гeTMcos(ax+В)+=e**sin(ax+В)— fesin(их-+В)dx,
и объединяя интегралы, появляющиеся справа и слева, получаем, что
аsin(ax+В)—&cos(ах+В)
.
eax+C.
а? +0
fe*sin(ax+В)dx=
Интегралы вида
9. fin x В' (х) 4х, 10. [эгавх R’(x)dx, И. [агсят x В’ (x) dx,
где К’(х) — производная некоторой рациональной функции R(x), можно интегрированием по частям
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
305
свести к уже рассмотренным случаям:
RO4 ?
[tnx R’ (x dx=Inx RG) |
|
[овxК’(x)dx=arctgxК(x)—|те К(х)4х,
1
|arcsinxК’(x)dx=arcsinxR(x)—|
——А(x)dx.
И! x?
Приме
[inxA
—--i_
Inx+и
м
=—Шр
Inx+I|
dx—
р PP 06х45 Ta0х9 ПТ] х0х+5 4@х+SP
4125] x
2
|
1
|
1
1
1
1
-25|KES$3|Gxese ЧGeegeMXt106Bll Gog 12+1+56RETG
Таблица интегралов трансцендентных функций паходится в 1.1.3.3.
3.1.7.7. Несобствеявые интегралы. При введении определенного интеграла предполагалось, что
функция / (x) ограничена, а интервал интегрирования конечени. Несобственные интегралы являются
обобщением определенных интегралов на случай неограниченных функций и бесконечных интервалов
интегрирования.
Интегралы с неограниченными подыптегральными функциями. Пусть функция f (x) ограничена
и интегрируема на каждом отрезке а<х<Ь- ©, где О << -—а, но lim f(x) = <. Если суще-
xo
ствует предел
t
[=Н
Г’ ax,
zim, J Leds
(")
то он называется сходящимся несобствепным интегралом от f (x) ua [a,b] и его Г, как и ранее,
Й
обозначают J f (x) dx, т. е.
a
b
b-&
Jf(x)dx=limрГf(x)ах.
а
&>-l-а
b
Если же предел (*) не существует, то | f(x) dx называется расходящимся негобственным интегралом.
a
Если же f(x) ограничена и интегрируема при a<x <b, то несобствеппый интеграл сходится
и совпадает с определенным интегралом в прежнем смысле.
|
Примеры. 1) f (x)= ———: при О<х<1- в, где 0
<
&
<
|, ограпичена и непрерывна; следовательно, интегри-
И!—x?
руема.` Предельное значение
low
.
dx
;
.
;
;
[= lim |--=== = lim [arcsin(|—&)—arcsin0]=arcsin|=1/2
c-> +0
И!—х? в-+0
”
0
1
-
dx
T
существует; таким образом, | === =p.
2
>
J 1-х
“
0
|
2) f{x)= rane при O<x<l—e, где O<e < 1, ограничена и непрерывиа, по
lim |A= Ито[м(Ех“= Ш (—In&)=+00;
no+
to+
o
e
lx
снедовательио, | ------ расхолится.
|—х
>
306
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Аналогично определяется несобстввиный интеграл для функций, которые на каждом отрезке
at+e<x<b, где 0 <=<Ь- а, ограничены и интегрируемы, но. lim f (x)=
xa
b
b
[Го ах= lim f f(x)dx.
a
E> +0 ate
Пример. .f (x)= = пусть сначала O<a <1:
1
|
их
1
|==
m meee-(1—g'3)=
x e340) Xe +0!
[а
таким образом, интеграл сходится.
1
dx
`ae
|
Нри «2 1 "a" Расходится, так как при а >
0
.
dx
1
1
lim --—= lim
!- —==]= +0
e>t0J © ¢o+0 !-
Е
0
иприа=|
.
dx
.
1
lim
--- = Ш In—-= +00.
e>+0 x e—+0 $
я
Пусть f(x) не ограничена в окрестности обоих концов отрезка [a,b]. И пусть с — любая
внутренняя точка отрезка [a,b]: a<c<b.
c
b
Если каждый из интегралов [Л (x) dx и ГЛ (х) 4х сходится, то по определению
а
с
S
с
[4
b
f(x)ах=[/(x)dx+Jf(x)dx.
1
Пример. f (x) = --—===—, а= -1, b=1:
1—x?
Если, наконец, f(x) не ограничена в окрестности некоторой внутренней точки с отрезка [a, b]
c
b
и каждый из интегралов | f (x) dx, | f (x) dx сходится, то по определению полагают
a
с
waedx=ГЛ(x)dx,+[Л(x)dx,
или, подробнее,
ло)dx= lim0Гf(x)dx+ lim Гf(x)dx.
5,>+- а
52>+0eis
Оба предела нужно вычислять по отдельности.
Если в этом смысле несобственный интеграл расходится, но существует предел
=> +0
cre
lim “SFO dx+Гf(x)tx},
TO его называют главным значением несобственного интеграла в смысле Коши. Он обозначается
тем же символом о dx, что и сам интеграл, либо у. р. i f(o dx.
a
a
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
307
h
dx
Пример. Главное значение интеграла oT равно
x-c
.
dx
тогда как несобственный интеграл | ий (а <с <b) ue существует.
a
|
Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) определена при x >a и интегрируема
на каждом отрезке a <x <b. Если существует предел
Г= lim ff09dx,
р +09а
то он называется сходящимся песобствениым интегралом от f (x) на интервале [a, +00) и обозна-
F iv.)
чается через | f (x) dx; таким образом,
a
тf(х)4х= lim if(x)dx.
a
р+00а
+a
Если предела не существует, то интеграл | f(x) dx называется расходящимся несобствениим ин-
a
тегралом.
ba
b
(
|
|
:.
Примеры. 1) eX dx = lim | ev dx=-- lim (f—e77)=--, если a> 0, и интеграл сходится; если же
‚
bao.
b> +00
я
0
0
а < 0, то HIITerpan расходится.
ви.
h
dx
.
dx
.
|
|
1
2) —>= flim -;= fim
у -1!]= 7-7, если a> 1; если же O<a <1, то несобствеи-
JM petal “ pata t-a\b
a—I
|
1
ный интеграл расходится как ири о = |:
to
b
dx
.
dx
.
---= Jim
—= lim Inb= +a,
Хх hatoad Х boteu
так и при O<a< i:
ня
h
Гих
.
|<-=fim
== lim -——-(b'"*- 1)= +o.
oN
0. * b-++a
м
|
a
a
Аналогичио определяется | f'(x)dx = lim | f(x) dy.
-«@
I-Wь
a
+ ox.
Если оба иитсграла | f(x)dx и | f(x)dx сходятся, то по определению HOsaraloT
ake
a
На.
a
+o
[Г fQddx = J f(x)dx+ [Го dx.
-— mn
—©
a
ey
о
big
`Ix
|
_
;
Ix
;
Ix
Пример.
=
|Л(x)dx+|f(x)dx= lim |a + flim as
+х-
.
bo —a@
|] +х
1++x?
7
.
.
.
+00
-х
ны
0
h
= lim (—aretgb)+ lim aretg¢=a+и=Л.
ho—©
C7 4+
-й.
308
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
о
a
+ wy.
Главное значение. Если несобственные интегралы Г SI (x) dx и | f (x) dx расходятся, а предел
-©
а
b
lim J f (x)dx существует, то он называется главным значением несобственного интеграла. Ero
b-+ +00 -b
+a
обозначают v.p. f f(x) dx.
—©
Пример. Так как фуикция f(x) = ----_; нечегна, то
I-+x?
огсюда получаем
b
;+
[;
lim|xdx=lim=
b> +0
.
tor
..
1+х
Сам же несобственный интеграл
pp расходится.
owx
-x
Пусть функция f(x) на интервале [a, +00) обладает конечным числом точек, в окрестноети
которых она не ограпичена. Тогла интервал [a, +00) разбивают на соответствующие часгииные
интервалы и на каждом из этих частичных интервалов вычисляют несобственные интегралы, Если
они сходятся, то интеграл на [a, +00) определяется как сумма интегралов на этих часгичных
интервалах.
3<;
Критерии сходимости. Они формулируются для интегралов вида | /(х)4х; для других типов
a
справедливы аналогичные утверждения *).
1. Если функции f(x) и g(x) неотрицательны и для х 2 хо 2 а справедливо неравенство
f(x) <9(),
+a
+
+©
то из сходимости | 9(х) 4х следует сходимость [ /(х) 4х, а из расходимости Г f(x) dx — pacxo-
a
a
a
+0
димость | g(x) dx.
a
2. Если функции f(x) и g(x) неотрицательны и существует
. f(x)
lim *-——-=K (0<K < +o),
xo bo G(x)
;
+<
_
*
big
то для К < +00 из сходимости | g(x) dx слелуст сходимость | I (х) 4х, а при К > 0 из расходи-
a
a
.40
bays
мости | g (x) dx следует. расходимость | f(x) dx, т. ©. при 0 < К < х оба интеграла или сходятся,
а
а
.
или оба расходятся. b
В случае интеграла | f(x) dx от неограниченной в окрестности x = b функции пужно рассмотреть
предел lim —— a
x>b-0 g(x)
*) Bo мпогих случаях GhiBacr достаточно уметь ответить Wa вопрос, сходится ли. ланный песобственный иитеграл
или расходится.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
309
+©
В качестве функций сравнения в случае | f(x)dx особенно удобно использовать функции
а
1
Ь
д (x) = —, а в случае интеграла | / (х) 4х от неограниченной в окрестности точки x = b функции —
х
a
;
(x)= —
x)==.
ae (b= x)
4
Примеры. 1) ie———3 dx. Подынтегральная функция в окрестности точки x = 0 ne ограничена. По определению
0
toy
1
+m
[Inx;
Inx Ix
|
--—— dx =
-—5-ах+ | ---~--=5- dx;
J 14x
1+ x?
1+x?
о
о
1
;,mx
‘первое слагасмос
— схолящийся интеграл, Tak как.при O<a<I имеем Шт x Ех = 0; второе слагаемое схо-
х>+0
дится, так как при | <а<2 имеем
,Шх
x? Inx
lim x —--—-;-= lim
xpry =0.
+a
x
1
f(x) . x?
2) —— ===. Используя д (x)= --, получаем lim = =--—= |
=—-— = |; таким образом, данный
V1 +x?
x
хъ+ю 9) x+0 хи +2
D@
d
интеграл сходится, так как сходится интеграл | -- ax
|
.
3)|
(k? < 1). Рассмотрим функцию сравнения д (x) = —=———. Тогда lim 9 == = eee
И —x2)(1—kx?)
Vi—x
хо 9) 2-ю)
1
dx
.
Так как интеграл | --—===: сходится, TO сходится и данный иитеграл.
0
+n
Абсолютная сходимость несобствениого интеграла. Интеграл | f(x) dx называется абсолютно
+00
сходящимся, если сходится интеграл | | f (х) | dx (аналогичные определения имеют место для других
а
[*
видов несобственных интегралов). Если |/(х) 4х сходится абсолютно, он также и сходится.
a
+@
.
sin x
-
|
Пример.
yr ax — абсолютно сходящийся интеграл, Tak как, положив g (x) = г получим
1
|f(x)|
: |sinx|
x3+0 9(*) x>+0 |x
+©
Связь между несобственными интегралами и бесконечными рядами. Интеграл | f (x) dx тогда
a
и только тогда является сходящимся, когда для каждой числовой последовательности {х„} (хо = 4,
©+1
X,> а) такой, что lim x, = +00, ряд 2. | f(x)dx имеет всегда одну и ту же сумму. Эта
и->+00
n=O xп
сумма и является значением несобственного интеграла.
Многочисленные критерии сходимости для бесконечных рядов могут, таким образом, исполь-
зоваться для исследования сходимости несобственных интегралов, и, наоборот, интегральный кри-
терий (см. 3.1.14.2) сводит исследование сходимости рядов к определению сходимости несобственных
интегралов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
310
Геометрический смысл несобственных интегралов. Если функция f(x) на
ьZN
со, и несобственный интеграл | f (x) dx схо-
a
отрезке а <х <b непрерывна, f(x) > 0, lim f (x)=
x7b—-0
;
дится, то он равен площади заштрихованной на рис. 3.18 неограниченной области.
+0
а
Если / (x) непрерывна при x > 0, / (x) > 0 и несобственный интеграл | /(х) dx сходится, то его
величина имеет значение, равное площади заштрихованной на рис. 3.19 неограниченной области.
у
YA
4/=7 (1)
яa
b
°Рис. 3.18.
Рис. 3,19.
интегралами. Свойства определенных интегралов
Действия с несобственными
для несобственных интегралов справедливы не безоговорочно. Они переносятся на интегралы вида
+a
Г f(x) dx и другие несобственные интегралы следующим образом:
а
+®
+©
+0
| Af (x) 4х для любой постоянной
1. Если сходятся J /(х)4хи [ g(x)dx, то сходятся также_
а
a
a
+a
Аи f (f(x)+ g(x)) dx и справедливы формулы
ое ах= J foodxt Габах
+©
{ Af(xdx=A J f(xdx, |
2. Если F (x) — первообразная для f(x) в интервале [a, +00) и существует lim F(x), то
х> +0
+0
J Ло 4х =[Е0]®,
где [Е (х)]#°= lim Е(>х)-Е(а). В случае несобственного интеграла от неограниченной функции
> oom
f (x) справедлива формула
b
J f(x) ах = [FO],
если первообразная функция F(x) непрерывна в точках, в окрестности которых функция f (x)
не ограничена.
Примеры. 1) Первообразиая функция для / (x) = та есть
,_
1
xo +/2x+1
1
-
Г
—
Е(x)= =In
И
——= arctg [7 х+1) + =— arctg (2 x—1)
4/2 x? -V/2x4+1 2 |
2/2
(см. 3.1.7.5), и
lim ЕР(x) =—-=, Е(0)=0.
х> +<®
и
Таким образом,
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ:
311
(д
os
3
,
2) Первообразная для / (x) =х`'/? есть F (x)= > х2'3. она непрерывна при x = 0; следовательно,
2
‚
3) Первообразной для / (х) = т является F (x) = ш|х? —1|; она имеет разрывы при x = 41. Применение
2
2х
.
р
ac
С
формулы к интегралу | эт привело бы к непразильному результату 0, тогда как этот интеграл — расходящийся.
-2
3. Интегрирование по частям. Если функции u(x) и v(x) имеют на интервале [а, +00) пепре-
|
+®
+ю
рывные производные, существует lim и(х)о(х) и Ги (x) v(x) 4х сходится, то fu (x) и (x) dx
x7 +0
a
a
также сходится и справедлива формула
"Риби дах = [#6050 2° — fu (x) (x) ax
а
Примеры. 1) и (х) = х", v(x) =е 7х;
.
+a
lim x"e~*=0, Jхе dx
x70
о
сходится; отсюда следует, что
+a
Jжеах=н [хе*dx.
0
0
В результате повторных интегрировапий по частям находим
+a
|x"e*dx=nl,
о
2)и(x)=Их, v(x)=—cosx;
+o
+
sin x
cos x |*“
cos x
|
=|65%|_|x—dx
(a> 0),
x
x
x
Aa
a
a
+o
y
sin x
так как оба слагаемых в правой части имеют смысл, В частности, отсюда следуст существование ——- dx (так
х
0
как подынтегральная функция при х-»0 остается ограниченной).
4. Правило подстановки. Если функция f(z) при 22 а непрерывна, функция 2 = g(x) на [а, 5)
имеет непрерывную производную 4’ (х) 0 и 9 (а) =“, lim g(x) = +0, то
x—b
“+ 09
b
§ f(2)dz=J f G(x)-¢9' (x) dx;
при этом интеграл, стоящий справа, может быть как собственным, так и несобственным, и из
сходимости одного из интегралов следует сходимость другого.
+ao
In2
Примеры. 1) Выше было доказано, что интеграл | Tea dz сходится; разложим его на два слагаемых:
2
0
+®
1
+©
п242_
Inzdo+
Inzde
1+22 | 1422
1422 °°
0
о
1
312
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Полставим 2 = |/х во второс слагаемое разложения; тогда
+a
0
1
inz
Гшх
Inx
==Че а dx=—|буdx;
1+2
1+х
[+ х-
отсюда следует, что
m2
Insinx
2) Г= | Insincdz сходится, так как Ит —~77-;--- = 0 при О<а< 1. Если подставить z= 2x, то получим, что
0
х--»+ 0
|; Xx
nit
ia
I
п/4
л/4
f=2|Insin2xdx==2{1 (2sinxcosx)dx==5In24-2JInsinxdx+2[Incosxdx
0
0
0
0
В pesysibrate подстановки х = я/2 -- и получаем
nid
2[Incosxdx=2
0
nia
JInsinudu,
п/4
так что
afd
f= n242f
mui2
.
д
Insinx dx +2 J Insinx dx =-- Ш2+2[;
о
п/4
2
таким образом,
3.1.7.8. Геометрические и физические приложения определениых интегралов.
Длина кривой. Если плоская кривая [Г задана параметрически: xX = Ф (1), y = W(t) (to <<),
причем ф (1) и W(t) — непрерывно дифферснцируемые функции, то она имеет длину [, вычисляемую
по следующей формуле:
= ГИУ
10
Если Г. — график непрерывно дифференцируемой функции y=f (x) (хо <x <x), то ее длина
вычисляется по формуле
ГИ ГРОРax.
хо
Если кривая L задана в полярных координатах р =g(M) (Фо <Ф<ф)), то ес. длина может
быть вычислена по формуле
НИ
l= ГИР а.
*0
Для кривой в пространстве, заданной параметрически: x = P(t), y= W(t), z= X(t) (to <t < ty)
где ф (1), W(t), x (t) — непрерывно дифференцируемые функции, длина вычисляется по формуле
= Vo?()+W?(+ (0)4.
то
Площадь. Если f(x) является неотрицательной непрерывной на отрезке а <х <b функцией,
то площадь Ё криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 3.14) вычисляется по формуле
7]
S=] f (x) dx.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
313
Площаль 5 сектора ОАВ, ограниченного кривой AB, заданной в полярных координатах:
р =9 ($) (Po <ф<.ф,|), и радиусами ОА и ОВ (рис. 3.20), определяется интегралом
hal
Ф\1
1
1
$=>|р?dp=5|[9(@)]7do.
Te)
Фо
© вычислении площадей см. также 3.1.8.6 или 3.1.10.4.
Рис. 3.20.
Рис. 3.21.
Объем тела вращения. Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывиа на отрезке
а<х<ьЬ; объем V тела, получающегося в результате вращения криволинейной трапеции aABb
(рис. 3.21) вокруг оси х, определяется формулой
b
Ven [f(y dx.
Объем У тела, заключенного между двумя плоскостями x =аи х=Ь, в случае, если алощадь
сечения, проведенного перпендикулярно оси х, еспь известная фупкция x: S=f(x) (a<x<b)
(рис. 3.22) вычисляется по формуле
b
И= f(x)ах.
О вычислении объемов см. также 3.1.10.4 и 3.1.11.4.
Площадь поверхности тела вращения. Площадь 5 поверхности тела вращения,
возникающего в результате вращения вокруг оси х кривой, заданной па отрезке а<х<Ь
неотрицательной непрерывно дифференцируемой функцией f (x), вычисляется по формуле
S=2Гf(x)И!+[ЛОРdx.
Если вращающаяся кривая задана параметрически: Хх =ф (1, у=\ (1) (to <1 <1), то
5=21ГW(Е)ИФ”?(у (t)de.
Центр тяжести. Координаты (€, 1) центра тяжести материальной кривой с линейной
плотностью 6 (x), заданной в явном виде: у = f(x) (a<x <b), выражаются следующим образом:
b
b
.
к
|
-
é==|BxVis(WPds n= |5(x) SX)VE+LS(OPdx,
b
гдеМ—полнаямасса:М=[6(x)И!+[/'(x)]?dx.
Нри постоянной плотности д(х) второе равенство может быть приведено к виду
2=2|/(<)Ит+LfWPdx
314
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
(| — длина кривой). Это — первая теорема Гульдена: площадь 5 поверхности тела вращения, обра-
зующегося в результате вращения некоторой кривой вокруг оси, не пересекающей ‘этой кривой,
равна произведению длины кривой на длину окружности, описываемой при этом вращении центром
тяжести кривой: 5 = 2nnl.
|
Пример. При вращении окружности радиуса г вокруг не пересекающей ее оси образуется тор (рис. 3.23). Если
масса распределена по окружности равномерно, то центр тяжести лежит в центре окружности. Пусть 4 — расстояние
от центра до оси (4>1); тогда центр тяжести описывает окружность длиной 2nd; отсюда по первой теореме
Гульдена получается площадь поверхности тора:`
$=24.2лг=4n?dr.
Координаты (Ё, п) центра тяжести криволинейной трапеции (рис. 3.24) с равномерно распре-
деленной массой (поверхностная плотность 6 = 1) и площадью 5 вычисляется следующим образом:
b
b
1
1
5
6-5 [vo dx,
Y= 55 {Lon dx.
a
Из второго равенства следует вторая теорема Гульдена: объем V тела, описываемого плоской
у
C
У! =(2)
В
7my р
АYi Yo
i
OlaЕбт
Ola
от
Рис. 3.24.
Рис. 3.25,
фигурой при вращении ее вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей ее,
равен произведению площади 5 этой фигуры на длину окружности, описываемой при вращении
центром тяжести этой фигуры: У = 5: 21.
Пример. Объем тора (рис. 3.23). Площадь вращающегося круга равна mr”; таким образом, объем тора равен
V=nr . 2nd = 22724.
О вычислении центров тяжести плоских фигур и тел см. также 3.1.10.4 и 3.1.11.4.
Момент инерции. Момент инерции I, относительно оси у кривой y= f (x) а<х<’5)},
с линейной плотностью 4 (x), вычисляется по формуле
b
2
2
I,=J8(x)x?У!+[Г(хр? dx.
в
Момент инерции [, относительно оси у криволинейной трапеции (рис. 3.25), с постоянной
поверхностной плотностью 65, равен
1,=8fx?(fa(Х)—Л,©)dx.
>
с
О вычислении моментов инерции см. также 3.1.10.4 и 3.1.11.4.
3.1.8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейный интеграл является обобщением введенного в 3.1.7.1 определенного интеграла,
при котором функция интегрировалась вдоль отрезка [a,b] действительной оси; в случае криво-
линейного интеграла функция интегрируется вдоль кривой.
Отрезок плоской кривой, заданной параметрически:
х=Ф(, y=)
(1<t<ta),
называется гладким, если производные функций ф (1) и \ (1) непрерывны и всегда ф’? (t) + у”? (t) > 0,
Точка со значением параметра #, называется начальной точкой, а точка со значением параметра.
tz — конечной точкой отрезка кривой. Кривая называется кубочно гладкой, если ее можно разбить
на конечное число гладких отрезков кривой.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1-ГО РОДА
315
Аналогичное определение имеет место для пространственных кривых, заданных параметрически:
х=ф(1), y= V(t), 2=Х( (И <ЕЗЬ).
3.1.8.1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы по длине кривой). Пусть L— отрезок
кусочно гладкой кривой с началом в точке А и концом в точке В и и= f (x, у) — ограниченная
функция, заданная в некоторой области, содержащей кривую L. На L выбираются произвольные
точки A= Apo, Ay, ..., А,_ь, 4, = В; тем самым криволинейный
отрезок АВ разбивается на элементарные отрезки (разбиение
7) (рис. 3.26). Пусть длина отрезка кривой между A;-, и A;
1 =1,..., И) равна As, Пусть, далее, М; (6, п;) — произвольная
точка на элементарном отрезке A;_,A;. Сумма
S(Z)= У, Л, дя
называется интегральной суммой относительно разбиения Z.
Обозначим через А (7) максимальное из чисел As;:
А (2)= max Ду.
l<ig¢n
Рис. 3.26.
Как и при определении определенного интеграла, число I
называется криволинейным интегралом 1-го рода, если оно
обладает следующим свойством: для любого = > 0 существует число 6 (=) > 0 такое, что для любого
разбиения, удовлетворяющего условию А(7) <6, и независимо от выбора точек М; выполняется
неравенство |5 (2) - [|< =.
Обозначения: [= | {(х,у) 44, I= | f(x,У) 45.
(L)
(AB)
Аналогично определяется криволинейный интеграл | f(x, y,z)ds 1-го рода от функции и=
(Г)
=f (x, у, 2) трех переменных по отрезку L пространственной кривой.
Криволинейный интеграл |-го рода не зависит от направления движения по кривой Г, т.е.
если Г, проходится в противоположном направлении, так что В — начало, а A — конец, то
Г fy yds= J F(x, yds.
(BA)
(AB)
3.1.8.2. Существование и вычисление криволинейных интегралов 1-го рода. Если отрезок кривой Г
представлен параметрически: x = x (5), у=у (5), 0 < s <1 причем s обозначает длину дуги кривой Г,
то криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:
[
§f(x,yds=[Л(х(9,у(5)ds,
(L)
о
и, таким образом, из существования одного интеграла следует существование другого; из этой
формулы введением новых переменных интегрирования можно получить и другие представления:
а) Если L-- отрезок кусочно гладкой кривой, заданной параметрически: x= Q(t), y= V(t)
(и <t <t,), то
12
|hs(x,yds=f [OOVO)Vo?0+V?0at.
(x)
Формально при вычислении криволинейного интеграла нужно, таким образом, представить
функцию параметрически и, по правилу подстановки для определенных интегралов, заменить пере-
у
ds
менное 5 Hat. Тогда в силу формулы a ИФ? (t) + W’? (t) непосредственно получаем формулу (*)
Аналогично, ДЛЯ кривой в пространстве имеем
12
dbЛ(у,2)4=[Г(Фу ху? 0+у0+x?(dt.
п
6) Если плоская кривая задана в явном виде: у=у(х) (a<x <b), то
b
éSx,у)4=JSf(x,v(x)V1+у?(х)ах.
)
a
316
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Пример. Пусть [. — полуокружность радиуса r, описаиная вокруг начала координат, параметрическое представ-
ление которой. x =! с0$ 1, y=rsint (0<t<n). Тогда ИФ" O+W?QO=ru
[Гу =[кяпordt=2r?,
L)
о
3.1.8.3. Криволинейные интегралы 2-го рода (интегралы по проекции и интегралы общего вида).
Пусть Г. — отрезок гладкой кривой с началом в точке А и концом в точке В, u=f (x, у) —
функция, заданная в области, содержащей Г, и ограниченная на Г. Выберем на L произвольные
точки A = Ag, Ay, ..., A,--1, A, = В. При этом получается разбиение
Yih
Z кривой Г. на элементарные отрезки (рис. 3.27).
М1
М »А=В
Нусть М; - произвольная точка, лежащая на Г между А,-,
М, ТА, iA,
|”
и 4; (i=1,..., п), и пусть
A-A,!!
|mn
A;=(xi,yidsM;=(5,т.
н
1
11-5т
O|т,т,т,
ТТ,
Тогда сумма
Рис. .3.27.
(2)=p>Л(Е,п)Ax,Ах=х;—Xi4,
называется интегральной суммой, соответствующей разбиению 2. (В отличие от интегральной суммы
при криволинейном интеграле |-го рода, здесь f (&, п) умножается не на длину As; элементарного
отрезка, а на величину Ax; его проекции на ось x.) Обозначим через А (7) наибольшее из расстояний
от A;_, до A; (1 <i<n).
|
Число I называется криволинейным интегралом 2-го рода, если для пюбого > 0 существует
число 6(=) > 0 такое, что для каждого разбисния 2, удовлетворяющего условию ЛД(7) < 5, и для
любого выбора промежуточных точек М; выполняется неравенство |5 (7) - [| <=. '
Обозначения: [= J f(x, у) 4х, I= f[ f(x Уах.
(L)
(AB)
Криволинейный интеграл. по кусочно гладкой кривой определяется как сумма интегралов
по гладким отрезкам кривой, из которых составляется данная кривая. Если начальная и конечная
точки совпадают, то получается криволинейный интеграл по замкнутой кривой, который обозначается
следующим образом:
}Л(x,у)dx.
Аналогично можно определить на плоской кривой число
JSxУау,
(Г)
а на пространственной кривой — числа
ГЛ у,24х, [Лоу ау §f(, 242.
(L)
(L)
(L)
Если на одной плоской кривой определены две функции P(x, у) и Q(x, у), то под
JP(x,у)4х+Q(x,у)dy
(L)
|
понимают сумму обоих интегралов | P(x, у) 4х и J Q(x, у) 4у, т.е.
- (L)
(L) °
JP(x.у)4х+О(х,y)dy=JP(x,y)dx+JQ(x,У4у.
WD
(i)
(L)
Аналогичным образом для пространственной кривой понимается интеграл
JP(x,у,2)4х+О(x,у,2)dy+R(x,у,2dz
(L)
_
от трех функций P (x, у, 2), О (х, у, 2) и R(x, у, =) трех переменных.
3.1.8.4. Свойства и вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Обычный определенпый
интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когдав качестве кривой L выбирают
отрезок оси х. Оба интервала имеют аналогичные свойства:
J af (x, )ах=а J f(x, y)dx (a = const),
[Ssу+9,Уах=Jf(xух+Jg(xУdx.
(L)
(L)
(L)
(L)
(L)
СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2-ГО РОДА
317
Если кривая L состоит из двух кривых Г, и [., то
ГЛ уах= Jf(xУах+ JfixУdy.
(L)
(L,)
(1.2)
Если направление интегрирования по Г меняют, принимая В за начальную точку, a A —
за конечную, то
fло,ydx=—- Jf(yу4х.
(BA)
(AB)
Аналогичные формулы верны для криволинейного интеграла по простраиствениой кривой.
Криволинейный интеграл зависит от начальной и конечной точек и, в общем случае, также
от пути L, соединяющего обе точки. Ol не зависит от пути тогда и только тогда, когда обра-
щается в нуль на каждой замкнутой кривой (см. также 3.1.8.5).
Вычисление. Если Г. -- гладкий отрезок кривой, заданиой параметрически: x =ф (1), y = v(t)
(11 <f <¢,), и функция f (x, у) непрерывна на Г, то существуют криволинейные интегралы | f (x, у) dx
(2)
и f f(x, у) 4у и справедлив следующий переход к определенным иитегралам:
(В)
t2
§Sxydx=JS(O,VO)Фа,
(L)
‘|
12
Jfosydy=[Л(Фу (у (t)de.
(L)
ty
Аналогично, для кривой в пространстве, заданной параметрически: x = ф (1, y=w(), =х(0
(1 <Е< >), получаем, что
|
[f(x,у,2)ах=ts(@(t),W(t),х(1)9(0)dt,
(1)
12
Л(ж,у,2)4у=|fod, VO,ху 04
(Г)
п
м
'
by!Oyys dz= Го. LOX Wat.
Формально нужно, таким образом, как и при замене перемениого в определениых интегралах,
заменить переменные интегрирования х, у и 2 па переменное [, используя параметрическое
представление L. Это непосредственно приводит к указанным формулам для вычисления криво-
линейных интегралов.
Если кривая Г задана уравиением y=: у(х) (a<x<b) и. наояду с непрерывиостью f (x, у),
непрерывна и у(х), то
b
Ко, у4х=ff(x,y00)ах.
(L)
a
Примеры. 1) l= | xydx+(y—.x) dx, где L-- отрезок параболы y == x? с пачалом в точке (0,0) и концом
=
в точке (1, 1). Параметрическое задапис кривой L: x =t, y=? (0 <1< 1). Следовательно,
—
1
|
I={[e4+(t?_t)2]lt—|(303_21?)dt—7}
)
о
b
o
2) [=|хуdx+yzdy+2хdz,гдеГ-одинвитоквкитовойлиниих=ас05t,y=asin’, 2=bt(O<t<2n);
L
2x
.
.
к
f=[(—a?sin?{cos?+a?btsin1cos1+чЬ?Еcos#)di=—5ab.
Связь криволинейных интегралов l-ro и 2-го рода. Если Ё-— гладкая кривая
на плоскости или глалкая кривая в пространстве, касательная к которой имеет с координатными
318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
осямиуглыа,Вилиа.|.7,TO
| P(x, y)dx+ Q(x, y)dy = [ (Рсоза
+ОсозВ)ds
(L)
(L)
>
JP(x,у,2)dx+.О(х,у,=)dy+R(x,у,2)42=J(Рсоза
+ОсоВ
+
Rcos7)ds.
(Г)
(L)
ИЛИ
Если в случае плоской кривой ввести угол (x,h) между нормалью и осыо х, то, учитывая, что
(х/Лп) = х + л/2, получим ,
^
Jл4х+Оу=|[Psin(xn)—Оcos(x,n)|ds.
(L)
(L)
Пример. Пусть L— кривая, не проходящая черсз начало координат, и P = y/r?, О = —x/r? (r= и x? 4- y?). Тогда
|3dx—==Чу=|Essin(xn)+=cosa)ds.
(L)
(L)
‘
<
es
A
Преобразуем этот криволинейный интсграл 1-го рода. Обозначим через (x, г) угол,
который составляет радиус-вектор г с осыо x (рис. 3.28); тогда
x/r=cosхГ), y/r=sin(xГ).
Обозначим через (^^ п) угол между радиус-вектором и нормалью к L; тогда
(r, п) = (x, п) - (x, г. Таким образом,
|
.
-
A
Рис. 3.28.
|Esin(xn)+=cosonds=|oi ds.
(L)
(L)
Этот так называемый интеграл Гаусса геометрически представляет угол, под которым кривая L видна из начала
координат. сли L является замкнутой кривой, то значение интеграла Коши равно 2n, если L окружает начало
координат, 1 0, если начало координат лежит вне Г.
3.1,8.5. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования. Значение криволиней-
ного интеграла, взятого вдоль пути Г, соединяющего данную начальную точку А с конечной
точкой В, вообще говоря, зависит от пути L.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
Двумерный случай. Если функции P(x, у) и Q(x, у) вместе со своими частными произ-
водными ОР/ду и 00/0х непрерывны в односвязной области G, то криволинейный интеграл
[Г Pdx+Qdy не зависит от выбора кривой Г, целиком лежащей в С и соединяющей А и В,
(L)
если в С существует однозначная функция U (x, у), производные которой удовлетворяют условию
aU/dx =Р, —00/0у=0,
|
т. е. если Рах + О 4у является полным дифференциалом функции И. Криволинейный интеграл может
быть тогда вычислен по следующей формуле:
Yh
J Pdx + Qdy =U (B)— U(A).
(To .4)
(Z, /)
(L)
Необходимым и достаточным признаком существования функции
U (x, у) является выполнение условия интегрируемости
OP_0Q
(о)
(L, Yo)
‘ду 9х
для всех точек односвязной области С.
Рис. 3.29.
Вычисление функции U(x, у). Если (хо, yo) — фиксированная
точка, (x, у) — переменная точка односвязной области С и если выполнено
условие ингегрируемости, го криволинейный интеграл | P dx + О dy, взятый по произвольной кри-
(Г)
вой Г, соединяющей эти точки и лежащей в области С, является искомой функцией U(x, у).
В случас, когда кривая, соединяющая точки (хо, ¥o) и (х, у) в С, состоит из двух отрезков,
параллельных координатным осям (рис. 3.29), имеем
И(ху =JP(Eу)de+JQ(x,
п)Чт+С,
хо
70
НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
319
ИЛИ
У
х
U(ху)=ГО(хо,ndn+JP(E46+С.
Yo
|
хо
Примеры. 1) Р(х, у) = — ии О (x, у) = oar Пусть С является односвязной областью, не содержащей
начало координат. Тогда в С функции P, О, OP/dy, дО/0дх пепрерывны и
ОР 00
у2—x?
dy Хх (x?+yy’?
Криволинейный интеграл { P dx +Qdy, следовательно, нс зависит от выбора пути в С, и при (хо, yo)= (0, 1)
(Г)
получаем, что
у
х
0п
—yd&
x
vinn=|
+
+ C= —arctg-—+C
4
2
т
.
6+У
y
|
0
В области, содержащей начало координат, криволинейный иитеграл ие зависящим от пути не является. В против-
ном случае он должен был бы обращаться в нуль при интегрировании по окружности радиуса г с центром
в начале координат; однако в этом случае
°
2n
[Pdx+Qdy=|(sin?¢+cos?)dt=2n€0.
(L)
°
2) Функцию U (x, у) можно найти также следующим образом: пусть P (x, у) = x + у, О (х, у) = х- у; тогда равейство
дР/ду = дО/0х всегда выполнено. Искомая функция U (x, у) должна удовлетворять условию OU/Ox = Рех-+у. Ишегри-
1
.
.
рованием по x получаем U => x? + xy + @ (у) с постоянной интегрирования ф (у), зависящей OT у.
|
Из условия ОИ/ду = О следует теперь, что x + Ф' (у) = х- у, откуда ф’ (у) = —y; следовательно, ф (у) = — 5 у? + С.
Таким образом,
|
~
ИУttysyte
Трехмерный случай. Пусть С — некоторая односвязная пространственная область, т. е.
область, которая наряду с каждой замкнутой кривой содержит также некоторую поверхность,
границей которой является эта кривая (в этом смысле область между двумя концентрическими
сферами является односвязной поверхностью, a тор (рис. 3.23)
— нет). Пусть функции P(x, у, 2),
9OPa
О (x, у, 2) и R(x, у, 2) вместе с частными производными у, =.
‘f (Lo,Yo,Zy)
y22
90 ок OR непрерывны в G. Если Аи В
е точки в С, то: криво
a
———
. Если
—двет
в С, то. криво-
дхOxдуpep
^
P
линейный интеграл
(1.4.2)
——4
[| Pdx+Qdy+Rdz
Yoй
(1,4,25)
(Г)
>.
не зависит от выбора кривой Г, соединяющей эти точки, тогда
и только тогда, когда существует функция U (x, у, 2), для которой
ди
ди
ди
2.
=.
КА
5
>
дхgду
az
Puc. 3.30.
т.е. когда подынтегральное выражение криволинейного интеграла является полным дифференциалом
некоторой функции U (x, у, 2).
Необходимым и достаточным условием существования функции U (x, у, 2) является выполнение
условий интегрируемости
00 OR
OR oP
oP 900
92ду’dxdz’дуax
в предположении, что функции P, О, К вместе с частными произвольными непрерывны в С.
Функция U (x, у, 2) может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла, взятого
по любой кривой L, соединяощей точку (хо, Yo, Zo) с точкой (x, у, 2) и лежащей в G. Если взять
отрезки, параллельные координатным осям (рис. 3.30), то получим формулу
О(x,у,2)=JP(E,Yo.20)+JQ(x1,20)м+JЕх,уOdo+C
хо
76
20
320
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
или пять других формул, аналогичных этой, которые получатся, если выбрать другие пять путей
интегрирования, частичные отрезки которых параллельны координатным осям.
П ример. Р = x? — yz, 0 = у? — XZ, R= 22 — ху. Условия интегрируемости выполнены во BCCM прострапстве, для
(хо, Yo 20) = (0, 0, 0) получаем
х
y
2
1
|
Ира [Bde+[+[@ сут
+С
0
0
3.1.8.6. Геометрические и физические приложения криволинейных нитегралов.
1. Ориентируемая площадь 5 области, ограниченной плоской замкнутой кривой Г:
1
Sas pxdy—ydx
(L)
` При этом 5 получается положительной или отрицательной смотря по TOMY, находится область С
при обходе по границе Г, слева или справа.
22
ху
’Пример. Площадь области, ограниченной эллипсом ---.+ =5-= 1; параметрическое задание эллииса: х == a Cos [,
а
y=bsint (0<t< 2n). Тогда
|
2n
1
$=5|ab(cos?¢+sin?1)dt=abn.
0
2. Масса и центр тяжести кривой L. Если масса гладкой кривой Г распределена с плот-
ностью 6 (x, у, 2), то полная масса кривой вычисляется по формуле
М=|8(x,у,2)45,
(L)
а координаты центра тяжести равны
Пример. Вычислим массу и координаты центра тяжести циклоиды х =! (1 — яп 1), y=r(l—cost) (O<t < 2n)
с равномерно распределениой массой (5 = |):
2neee.
21__
М=|tds=fVo?+2de=rf2/1—costdt=8%,
(L)
0
0
;
2n
22
_
|5`
.
Шо oe
__1
__|2
.
.=
4
b=тхо
|=sin9Y2/icos4=ar, N= ое
[ед Vi e0s0=
(0).
о
(L)
0
3. Работа силы вдоль кривой L. Если Pe, + Qe, + Re; — сила, которая вдоль кривой L меняется
по величине и направлениго (ет, C2, ез} — ортонормированный базис), то при движении материальной
точки единичной массы под влиянием этой силы совершается работа
А = J Pdx+Qdy+Rdz.
(L)
Работа только тогда пе зависит от пути Г, соединяющего две точки, когда подынтегральное
выражение является полным дифференциалом некоторой функции U (x, у, 2) (так называемого
потенциала силового поля). В этом случае работа вычисляется как разность потенциалов в данпвых
точках. =
Пример. Если компоненты силы равны Р = x/r’, О=у/!, В = 2/!*, где r= Их? + у? + 2*, то существуст иотен-
циал, а именно О (x, у, 2) = —I/r, и сила совершаст влоль искоторой кривой `[, соединяющей точки (хо. о, Zo)
и (хь у, 2,) и ие прохолящей через (0, 0, 0), работу
А=U(x4,уу.24)--Ц(ХоVowРо).
СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
321
3.1.9. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3.1.9.1. Определение интеграла, зависящего от параметра. Если функция f (x, у) определена при
а<х<Ь, с<у<4и при каждом фиксированном у интегрируема по x, то
5
Е(у)=ff(x,у)dx
a
определяет на отрезке [c,d] некоторую функцию переменного у, называемого в этом случае
параметром.
1
уdx
.
Пример. arcsin у = | -=———-—_, что легко проверить подстановкой 2 = xy.
0
И! — х2у?
3.1.9.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра. Если функция f (x, у) непрерывна при
agx<b, с<у<а, то функция F(y) также непрерывна при c<y<d. В частности, F (у) можно
интегрировать и
4
d/b
JF(y)dy(ие У)ix)dy
(повторный интеграл); порядок интегрирования может быть изменен:
d
Ки »)ds)dy=(Fre y)iy)dx.
с
Скобки могут быть опущены, если договориться, что внешнему знаку интеграла ставится
в соответствие внешний дифференциал. Если частная производная 0//ду непрерывна, то функцию
b
У)
Е (у) можно дифференцировать no уи F’ (y) -| 9
м
у
а
Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, по параметру часто
используют для вычисления определенных интегралов.
Примеры. 1) Функция / (x, у) = х? и прбизводная 0//ду =x In x при O< x «1, у>> 0 непрерыйны, Из того, ЧТо
.
:
{
|
.
1
ett7!|
Е(у)= ах=| —
=
,
о[>
Fea
y+
0
следует
1
1
F’(у)=у”]xdx=|хпохdx=-Oni
0
0
1
|
Дифференцируя равенство |» dx = TET последовательпо п раз, получим
у.
о
(—1)" a!
y "dx = ————--
[ (Inx)"dx (r+yet
о
2) Фуикция f (х, у) = х’ при О<х< Ь азузЗЬ (а> 0) непрерывна, позтому порядок интегрирования может быть
изменен:
bt
1b
J[xdxdy=ffxdydx.
о
Oa
и
Из того, что
b|
b
dy
b+
г
x?—хи
У{{=
——-=|——-—
.У 2—---—.-
|dxdy|
‘ут. |6
их”
a0
a
a
322
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
следуег формула
|
x?—x4
b+1
—_ dx=Ш...
Inx
а+1
и
Переменные пределы интегрирования. Если ф (у): и W(y) непрерывны и диффе-
ренцируемы при c<y<d nu если f (x, у) имеет непрерывную частную производную по у в области,
содержащей точки (x, у), Ф (у) <х<ф(у), c<y <d (рис. 3.31), то интеграл, зависящий от параметра,
w(5) .
Gh ore (y) x=(y)
F=
d
thРУ yy
= Jf(x dx
при с <у< 4 можно дифференцировать и его производная
б
|
vy)af( '
p
у
x,
Й
:
!
_
=|+0,00.
0
т
ду
ф (5)
Рис. 3.31.
Пример. РЁ (у) = | о, (x) dx; f (x) непрерывна; o =const; РЁ’ (у) = | wa Х (x) dx.
Посредством последующих дифференцирований найдем
FO)(у)=f(y).
3.1.9.3. Несобствеиные иитегралы, зависящие от параметра. Часто рассматриваются несобствен-
ные интегралы, зависящие от параметра, например:
+a
ах
Е(=
1, F(y= y-le-xgq
(y >0).
(y)JИИ
(У< 1
(У) Jx”"e"* dx
y
При этом первый интеграл берется от функции, неограниченной при x= +1, a второй— Ha
бесконечном интервале. Оба типа интегралов имеют сходные свойства, поэтому ограничимся
рассмотрением только одного из них.
+w
Равномерная сходимость. Пусть интеграл Jf f (x, у) dx сходится при каждом у из не-
a
которого интервала I. Этот интеграл называется равномерно сходящимся Ha [, если для каждого
=> 0 существует точка х(=), не зависящая от уЕ[ и такая,.что для любого b> х (=) выполняется
неравенство
у (x,у)dx]<=.
b
+0
Пример. Интеграл | уе» dx при у>0 сходится и представляет, таким образом, некоторую функцию F (у),
,
0
причем F (0) = 0; так как при у> 0 имеет место сходимость, TO
b
by
Jye"dx=fe*42=1-е TM
0
о
In (1/=
На каждом отрезке 0 <с< y<d интеграл равномерно сходится, так как при b> x (&) = In (Ve) имеем
р:
+®
toa
|ye”dx=Je-*dz=eтек<Е,
У
Достаточные признаки равномерной сходимости.
1. Если существует функция @ (x) такая, что при x > хо > a WM при всех ye!
|f(x,у)<@(x),
и если интеграл | @(x)dx сходится, то | f(x, у) 4х равномерно сходится на I.
а
а
\
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ OT ПАРАМЕТРА
323
+a
+
-
.
_
.
—xy
~xy
Пример. f e*sinx dx; при x20,
у> yo>O0 имеем je sinx|<e °=@(x)u fe ° dx сходится; следо-
0
0
+a
вательно, при y>yo>O | е_® яп x dx равномерно сходится.
0
+®
+wo
2. Интеграл |
|
Л (x)д (x, у) dx равномерно сходится Ha I, если | /(х)4х сходится, а функция
а
g(x, у) на Г равномерно ограничена и монотонна по x.
+a
+a
Пример. Интеграл
—ху
y
sin x
е`_* 4х равномерно сходится, так как несобственный интеграл
—— ах яв-
x
.
18)
ляется сходящимся (см. 3.1.7.7), д (x, у) =e * при y>O равномерно ограничена (¢*”< 1) и монотопна по x.
+o
Если функция f (x, у) при x 2a, yel непрерывна и J t (x, у} dx ‚равномерно сходится, то функ-
+00
ция РЁ (у) = [ f(x, у) 4х непрерывна на Г, т.е. для любого yoel
a
limTfl,y)dx=тf(x,yo)dx.
У—>У a
Е (у) можно интегрировать, и при с, ЧЕ! имеем
а+ю
tod
J Jf, ydxdy= [| Jf(x, y)dydx.
Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов, зависящих от параметра, часто
используются при вычислении несобственных интегралов.
+o
.
to
.
о
|
Пример. | e *dx при y2c>O0 равномерно сходится, и Г (у) = | е 4х = —, откуда следует, что
о
у
d+a
d
1
d
-*dx dy = |—-dy =In—.
|
е ахау [то
a
с0
с
С другой стороны, после изменения порядка интегрирования имсем
te od
+n
_
ы е-<*—е-4х
е”*4у4х=
——- dx;
x
Ос
о
следовательно,
Fw
В случае неравномерной сходимости изменение порядка интегрирования, как показывает слелующий пример,
невозможно: пусть а> 0, b>0 u
Иw
F(y)=|(ae“**”—he")dx=*——
1
отсюда
Ра
by
ae
[>(9)dy |SS dy,
0
324
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ee——ва
|
так как [ere — he~**”) dy = —
о
1+0
+
| | (ae~°*” — be~°*”) dx dy —
о1
1
ol
|(aero—рев)dydx=
0
J
<
b
„-Ay_ р-вУ
“ax__p—bx
|eee у,|ем ae
у
x
0
1
eet. —b
oe ein £0.
x
a
o
t
Если, кроме того, при yel существует и непрерывна f(x,y) при x2a и интеграл
[>
ГД, (x, у ах равномерно сходится на I, то функция Г(у) дифференцируема на Г и имеет произ-
водную
a
(=§Г,ydx.
a
+ю
Пример.F(y=|еят
0
dx, y>0.
<
+o
Me
+o
..
_-„„ SINx
yy
‘
а
;
Интегралы е`® ——— dx, | е`* т х dx равномерно сходяйбя при y> у > 0. Отсюда вытекает, что для
+.
.
>}
о
у
x
у
' чт”
.
.
и”
`
03
любого у> 0 выподняется равенство
Nooo
a
7
Е’(y= -|е`®sinxdx.
ty. 7
im
aan
.
Интеграл можно вычислить:
+
cosx+ysinx re
—|e~*”sinxdx-| -
ey|
[6
=—
|
1+ y?
|
Ty?’
такчтоF’(y)=—И +y?).ОтсюдаF(у)=C—arctgу.Таккк Шт =F(y)=0,то C=n/2и
у+<
Foo
_.» sin x
п
| *¥-——-dx=—-—агау;
woe
x:
.
rr
0
в частности, при у=0
|
`
ta
sin x
——dx=-~
x
3.1.9.4. Примеры интегралов, зависящих от параметра.
1. Бета-функция (эйлеров интеграл 1-го рода):
t
Ву =[Еа-apade.
0
Этот интеграл есть функция от параметров хи y; сн сходится при x > 0, y > 0 и расходится, если
либоx<0,либоу<0.
Свойства бета-функции.
1)B(x,у=Biy,x);
—1
2)BOsY=I BsyD
ПРИМЕРЫ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
325
—
(n—1)!
_
3) BO = ea Dard.dno ПР Maha
4)B(x,y)=[2“5 dt;
0
5)B(x,1—x)=
- (0<x <1).
sin x7
2. Гамма-функция (эйлеров интеграл 2-го рода):
+»
Г (х)= [е 471 dt.
о
‚Этот несобственный, зависящий от параметра х интеграл сходится при: x > 0, а при x < 0 расходится.
Подстановками и=е ‘и и = Int получаем соответственно
1
х-1
+0
Г(х)=|c+] du, U(x)= [ette-du.
—с
0
Свойства raMMa-Q@yHKUAUR.
1) При x > 0 гамма-функция непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка:
P(x)=fe4! (пtyde.
о
2) Представление Гаусса (в виде произведения):
(n—1)!
Г(х)=limт
х> 0).
6) пью | Xf{x +1)(x4+2)...(x+n—-1) ( )
3; Функциональное равенство: Г (х + 1) = хГ (x).
4) V(n+1l)=n! (n=O, 1, 2,...).
5) Связь с бета-функцией: В (x, у) _ ГО).
(x+y)
6) Закон дополнения: Г (x) Г (1 — x) == —_
(0<x <1).
sin XT
73
д.
ly
1
Ут
) Закон удвоения Лежандра: Г (х) Г[х + >= ГЕ (2х).
Теорема умножения:
1
—1 Dyn 112
rayr(s+t)..0(e+- -) =< Se Fm)
n
ni
х+1
8) Формула Раабе: [| шГ(и) du =х(шх- П+ш И2л.
9) Формула Гаусса:
1.
,
Г’
1-Е
OMcH| —dt
Г (х)
1-Е
a
;
.
1
С — постоянная Эйлера, С = lim у 77 Inn |, C = 0,577 215 664 901 532...
n—©
k=1
Г’
10)ФормулаКоши:ГО_|et—i a
Г (х)
(1+8 [Е
0
Некоторые интегралы, связанные с гамма-функцией, содержатся в табл. 1.1.3.4.
326
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1.10.1. Определеиие двойного интеграла и элементарные свойства. Пусть 5 — ограниченная
область плоскости х, у с кусочно гладкой границей; пусть функция f (x, у) определена и ограничена
на 5. Посредством сетки кусочно гладких кривых (рис. 3.32) область 5 разбивают на конечное
число элементарных областей 5; (1=1,2,..., п) с площадями AS; (разбиение 7); пусть А (7) — наи-
больший из диаметров элементарных областей 5, получающихся при разбиении 2. В каждой из
|
элементарных областей выбирается произвольная точка М;= (x;, yj).
"Число
o(Z)= YF by) As;
ставится в соответствие каждому разбиению Z и называется интеграль-
ной суммой разбиения 7.
Функция f (х,'у) называется интегрируемой по области 5 в смысле
Римана, если существует число I со следующим свойством: для
каждого 5 > 0 найдется д (5) > 0 такое, что для каждого разбиения 7
области 5, для которого А (7) < &, и независимо от того, какие точки М;
Рис. 3.32.
выбираются в элементарных областях, выполняется неравенство
|с(7)-Г|<=.
Число I называется двойным интегралом Римана от f (x, у) по области 5 и обозначается следующим
образом:
I=ПЛС,у)45, I=Sff(x,уdxdy.
(S)
(S)
Эквивалентным этому определению является следующее: f (x, у) интегрируема по 5, если для
каждой последовательности Z, разбиений с lim А(7,)=0 последовательность соответствующих
n— CO
интегральных сумм о(Z,) всегда сходится независимо от выбора промежуточных точек (в этом
случае последовательность сходится всегда к одному и тому же значению, которое и есть двойной
интеграл).
Интегрируемые функции.
а) Каждая непрерывная на 5 функция является интегрируемой по 5.
6) Каждая ограниченная на 5 функция, которая непрерывна на 5, за исключением точек,
лежащих на конечном числе гладких кривых, интегрируема по 5; значения функции на таких кривых
можно произвольно изменять (если только измененная функция остается ограниченной), не меняя
значения интеграла.
Свойства двойных интегралов. Если функции интегрируемы по области, то имеют
место следующие свойства.
1) Аддитивность относительно подынтегральных выражений:
[УLf&у)+9(x,y)]dxdy=Jff(x,y)dxdy+Пас,y)dxdy.
(S)
(S)
(S)
2) Аддитивность относительно областей: если S,, 5. — две области без общих внутренних точек,
И ЛС, уахау= [Ло уахау+ Sf f (x, y) dx dy.
(51)
(52)
(SU S2)
3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
JfAf(x,у)dxdy=A [ff(x,у)dxdy.
(S)
(S)
4) Если для каждой точки (x, у)Е5 выполняется неравенство f (x, у) < g(x, у), то
Гf(x,у)ахау< Jg(x,у)dxdy.
(S)
(S)
5) Если f (x, ») интегрируема по 5, To функция | f (x, y)| также интегрируема по 5 и
|SJf(x,у)dxау<ff(x,у)[ахdy.
(5)
(5)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
327
6) Если т является нижней, а М — верхней границей для f(x, у) на $, a AS — площадь об-
ласти 5, то
тAS<{10sу)dxdy<MAS.
7) Теорема о среднем значении. Если f (x, у) непрерывна в связной области 5, то существует
по меньшей мере одна точка (&, п) е 5 такая, что
рf(x,у)dxdy=f(E,п)AS.
8) Если S, — последовательность областей с площадями AS, и диаметрами р, и если каждая
область содержит точку М и Шт p, =0 (в этом случае говорят, что последовательность S, стя-
n—©
гивается в точку М), то для renpepsie’ функции f (x, у) существует
„Птim AS,=| Л (x, у} dx dy = f(M)
(S,)
(дифференцирование по области).
3.1.10.2. Вычисление двойных интегралов
а) Если S = {(x; y)[a<x <b, yi (x) <у< у» (х)} (рис. 3.33), то
y2 (x)
Пуна=i( wieay)dx
У1 (x)
т.е. двойной интеграл может быть вычислен в результате двух последовательно проведенных
‘i
(1;1)
|
|
;
Yh
4A
.
аол_
=
СТ),
ep
-7?
C pie
|
4
7
0
0
т
0
т
Рис. 3.33.
Puc. 3.34.
Рис. 3.35.
простых интегрирований. Скобки можно опустить, если условиться, что второму знаку интеграла
соответствует первое переменное интегрирования.
6) Аналогичная формула имеет место для S = {(x, у)|х, (у) <x <х, (у}, с<у<4} (рис. 3.34):
Xo (5)
ЛС»у)dx4у=i( ff(y)ix)dy.
xy)
Пример. Пусть 5 — область, заключенная между кривыми y = Их и y=x? (рис. 3.35); тогда а=0, be 1
ул (X) =x, у, (x) = ИХ; отаюда
гих
ИS(x,У)dxdy=5ГSf(x,У)dydx;
(S)
x?
если, в частности, f (x, у) = ху, To
Их
1
-.
1
|
Т
Е
Л
(x,у)dxdy=
хуdydx= axy?Vxdx= aх(x--x4)dx=-1
2x?
2
12
0x?
0
(S)
Область S может быть описана также в форме 6), где c= 0, d=1, х, (у) = y?, X2 (у) = и у. Torn
ГИУ
SJ f(x, у) 4хау= ГГ ЛС, у) dx dy.
(5)
0у?
328
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
в) Если область 5 можно разбить на конечное число областей, заданных, как в случаях а) или
6) (рис. 3.36), то для вычисления интеграла по $ используется свойство 2) из 3.1.10.1.
3.1.10.3. Замена переменных в двойных интегралах. Пусть функции х=х (и, 0) и у=у(и, v)
взаимно однозначно отображают область G плоскости uv с кусочно гладкой границей на область S
плоскости ху, и пусть функции x (м, 5), y(u, 5) и их первые частные производные некрерывны ка С,
а внутри С якобиан отличен от нуля:
Yh
dx Ox.
|
дд.“a,Ov
—д(х,У}— Cu
of 0.
д(и,v)
ду oy
у
‘ди Ov
A
Если функция f(x, y) непрерывна на 5, то справедлива следующая
формула:
Рис. 3.36.
ИfC,у)dxdy=fff(x(м,в),у(м,8)Л[Чиdo.
(5)
(С)
Выражение | J | du dv называется элементом площади в криволинейных координатах и, о. Формула
преобразования остается верной и тогда, когда сделанные предположения нарушены вдоль кусочно
гладких кривых, при условии, что функция f (x, у) и якобиан остаются там ограниченными.
Специальные криволинейные координаты.
1. Полярные координаты. Пусть 5 — область, полученная взаимно однозначным отображением
области С плоскости р, ф с функциями отображения x =р с0$ ф, у=р эт ф. Тогда
_|.д(x,У
д(р,$)
ПЛО»,у)dxdy=JJГ(фcosФ,psin$)pdpdo.
ry
G
.
Пример. f(x, у) =ху и область $ — четверть круга x? + y? <R*, x>Q, y>O0: фуякции x=pcosy, y= psing
также задают область 5, являющуюся взаимно однозначным отображением области
С = {(р; $) [0 <р<В, 0<ф<л/?}.
Тогда
Кл/2
К
a
3:
3{ cos2 |”
13ра
хуахау= p*sinфcosфpdpdg=
р”sinpcosфdpdp= [р|-——-———- dp=5 |Рdp=$К“.
(5)
(б)
00
0
2. Обобщенные полярные координаты. В случае, когда сбласть интегрирования 5 является
2
2
xy
внутренностью эллипса —- + = 1, удобны обобщенные полярные координаты х = ар с0$ g, y =
а
= bp sin Фф; имеем
_9 (x, У)
д(р,$)
|=abp,
2к
1
Л»,у)dS=ГГЛ (apcos@,bpsin@)abpdo4р.
(5)
оо
3. Если область 5 ограничена астроидой с параметрическим представлением x = acos? t,
y=asinet (0 <Е< 2) (рис. 3.37), то вводят криволинейные координаты х=исо$? в, y == usin? 9.
Для фиксированного v получаются прямье, проходящие через начало координат; и = сопзё дает
семейство астроид, J = Зи sin? v cos? v.
3.1.10.4. Геометрические н физические приложения двойных интегралов.
Истолкование двойного интеграла как объема. Если f (x, у). 20 на 5, то двойной интеграл
[Гf(x,у)dxау
(5)
интерпретируется как объем цилиндрического тела, основанием которого служит область 5 плоскости
xX, у и которое сверху ограничено поверхностью z = f (x, у} {рис. 3.38). Если, в частности, f (x, у) = 1,
то получают объем цилиндра с плоскостью 2=1 в качестве верхнего основания. Объем этого
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
329 |
цилиндра численно равен площади AS области S:
AS=ffdxdy.
,
(S)
Примеры. 1) Найти объем цилиндрического тела, в основании которого находится круг x?+ у? <ау, z=0
и которое сверху ограничено частыю поверхности сферы x? + у? + 22 =a? (рис. 3.39). На основании симметрии можно
Рис. 3.38.
Рис. 3.39.
{5)
у=р sin ф область 5$ описывается неравенствами 0 < р <аз ф, 0 <@ < 2/2, поэтому
1/2сsiny Py
V=2| |Иа?—р?рdpdg.
После подстановки во внутренний интеграл t = Иа? — р? имеем
nf2 aces ф
п/2
5
И=—2||?dtdp=—34°|(cos?ф—1)dy.
0a
0
Используя преобразование со5? ф = 7 COS Ф+-у Cos 3ф, получаем окончательно
2) Найти плошадь области, ограниченной астроидой x =: а сз? , у=аят? i (0<t <2n) (см. рис. 3.37). В резуль-
тате введения криволинейных координат x =u cos? и, у=и яп? v (см. 3.1.10.3) получаем
а2
2n
г
1
3
AS=[faay={|Зиsin?»cos?рdvdu=3[udu| sin?25dy=—a?
(5) оо
о
1
2n
1
3x
——
l
i
f
—eos4 =^^а?
45 fo cos4v)dv g4
0
Пентр тяжести и масса. Координаты & и м центра тяжести области 5 с массой, распре-
деленной с плотностью 6 (x, у), определяются по формулам
1
|
= [5G xas, n= ||6 у)у45,
(5)
(5)
где. М — масса области 5: М = [[65 (x, у) 45.
(5)
Момент инерции. Момент инерции [, плоской области 5 с массой, распределенной с плот-
ностью д (x, у), относительно оси x есть I, = {jf 5 (x, у) у? dS; момент инерции I, относительно
5
оси у: 1,= ff 5(x, y) x? dS; полярный момент инерции относительно начала координат:
(5)
о=Jf8(x,у)(x?+у?)dS.
A
330
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
3.1.11. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1.111. Определение тройного интеграла и простейшие свойства. Пусть задана ограниченная
пространственная область Г, граница которой является кусочно гладкой поверхностью. Пусть
функция f (x, у, 2) определена и ограничена в области У. Посредством выбора сети кусочно гладких
поверхностей строится некоторое разбиение Z области V на конечное число элементарных областей
V; (i =1,2,..., п) с объемами АГ..
Пусть А (2) — наибольший диаметр элементарных областей И,, М; (х;; у;; 2) — произвольная точка
в каждой элементарной области И. Число с (7)= > Г (xi, уь 2)AV; называется интегральной сум-
i=1
MOH, соответствующей разбиению Z.
Функция f (x, у, 2) называется интегрируемой по области Г, если существует число I со следующим
свойством: для каждого => 0 существует число 6(=)> 0 такое, что для каждого разбиения 7,
удовлетворяющего условию ДА(7) < 6, и независимо от выбора точек М; выполняется неравенство
| с (2) — Г| < =. Число I называется тройным интегралом функции f (x, у, 2) по области V и обозна-
чается следующим образом:
l= Ло, удаи 1=Sff f(x, у, z) dx dy dz.
(V)
(V)
Этому определению эквивалентно следующее: функция f (x, у, 2) интегрируема по У, если для каждой
последовательности Z, разбиений области V, для которой lim A(Z,) = 0, последовательность с (Z,,)
n-©
интегральных сумм всегда сходится независимо от выбора точек М; (в этом случае последователь-
ности сходятся всегда к одному и тому же значению, которое и есть значение интеграла).
Интегрируемые функции.
а) Каждая непрерывная на У функция является интегрируемой по И.
6) Каждая ограниченная на V функция, которая непрерывна на V, за исключением точек,
лежащих на конечном числе гладких поверхностей, является интегрируемой по И Если функция
в точках таких поверхностей произвольно изменяется (однако так, что измененная - функция
остается ограниченной), то значение интеграла We изменится.
Свойства тройных интегралов. Тройные интегралы имеют свойства, соответствующие
рассмотренным в 3.1.10.1 для двойных интегралов.
3.1.11.2. Вычисление тройных интегралов.
1. Пусть V является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость х, у есть область 5
и которое ограничено снизу поверхностью 2 = 2, (x, у), а сверху — поверхностью 2
=
2 (x, у) (рис. 3.40);
тогда
22 (x, y)
I)f(s, 2dedyde=и( ера iz)dxdy,
($) \z, (x, у)
Интегрированием по 2 тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области S.
Если область 5 плоскости x, у определена неравенствами а <x <b, у, (х) <y < у, (x), то
|Y2(x)22(x,у)
SISf(x,у,2)dxdydz=[ [ Г f(xy,2)dzdydx.
(V)
"ys (x) 21 (х, У)
x2232
Пример. Пусть V— тело, ограничеипое эллипсоидом — + Gr t == 1; тогда 5 состоит из точек (х, у), удов-
хзу
летворяющих перавсенству = + ash;1; таким образом, имеем
2у?
|
И
c
a>}
VfSGу,2)dxdydz=Jf
_f
Ff(x,у,2)dzdxdy,
(V)
(5) 2»
TOY le BF
а так как 5 полиостью описывается неравепствами
|ие
ь.
-
wacxca ~2YP cyst yi
a
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
331
то
b
ху
2 aves
a
iЛ(x,у,2)dxdy42=J
___f(x,у,2)dzdydx.
are-# EE
2. Пусть Г лежит между плоскостями х=а и X=b, а каждая плоскость x = соп$ где
а <х <b, пересекает область V по плоской области 5, (рис. 3.41); тогда
b
ШТО,у,2)dxdydz=ГХС,у,2)dydz)ах.
(И)
* (S,)
Zh
ГЕ
Чии
y||
——P
¢
v7 ae,
|
ы
-
р
р
y
|
71”
Yy
0)a
y
|5
Рис. 3.40.
Рис. 3.41.
Рис. 3.42.
Пример. Пусть V— тело, ограниченное конической поверхностью Е2х? = h? (у? + 22) (рис. 3.42), этот конус лежит
между плоскостями x =0 и х=ри $5, — круг у? + 22 <(Rx/h)?. Тогда
h
JJSs»,2)dxdydz=[(ЦSy,2)dy42)ах.
(и
° (55)
Если, например, / (x, у, 2) we
то интеграл по плоской области 5, можно вычислить введением
Их?+у2+22
полярных координат у=р с0$ Ф, 2 = р эт фо:
2n Rx/h
0||eeeete||
dp dq.
°КАГенуя ©
Veserp
Делаем подстановку и = ИР? + х?:
x И! + (R/h)?
I(x)=2nx
|
du=
x
nx
(—1), = ИЕ?+ #2.
h
=
Поэтому значение искомого тройного интеграла равно [2 (x) dx = ——h? (1—1).
о
3.1.11.3. Замена переменных в тройных интегралах. Пусть посредством функций x = x (и, v, и),
у = у (и, v0, м), 2 = 2(и, о, W) производится взаимно однозначное отображение области С пространства
и, и, и, ограниченной кусочно гладкими поверхностями, на область И пространства x, у, 2. Если эти
три функции вместе со своими первыми частными производными непрерывны в Си
OxOxOx
диdv ow
y=ly)_|WY YW)Io
д(и v, w)
дидOw
020202
диdv aw
332
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
то для каждой непрерывной функции f (x, у, 2) справедлива формула
Sf)S(x,у,2)dxdydz=ЦРУ(x(и,в,w),y(u,v,м),2(и,v,м))|J|dudvdw.
(V)
(G)
Выражение | J|dudv dw называется элементом объема в криволинейных координатах и, и, м.
Эта формула преобразования остается верной также и тогда, когда на кусочно гладких
поверхностях указанные условия нарушены (если, однако, функция f (x, у, 2) и якобиан остаются
ограниченными).
Специальные криволинейные координаты.
1. Сферические координаты. Пусть область V получена из области С взаимно однозначным
отображением x = рэ
0
с0$ ф, y=psin@sin ф, 2=рсо$ 0; при этом J =р? sin 6. Тогда
IS)S(x,у,z)dxdydz=ШО sin8cosф,рsin@sinф,рcos6)р?sin9dpаф46.
(У)
(Г)
Элемент объема в сферических координатах есть, таким образом, р? sin 0 dp dq dO.
Пример. Пусть И- область в пространстве, ограниченная сферой х? + у? + 2? =2а2 и двумя коническими
у
поверхностями x? 4- у? = 22 tg? а, x? + y? = 22 te? р (0 <a<B< 5) (рис. 3.43). В сферических координатах р, ф, 0 область
V определяется неравенствами 0 <р< Аа cos 0, О<ф<2м, ч< 0 ЗВ. Отсюда
В2acos02к
iЛ(xу,2)dxdydz=J | |f(рsin9cosф,рsin0sinФ,рcos6)р?sin0dgdpdo.
2. Обобщенные сферические координаты:
”
x=арsin0cos9,
у=bpsin0sinф,
=срcos0.
ТогдаJ=abcр?sin0.
3. Цилиндрические координаты: x = pcos@, y=p sing, z =z. Тогда
Puc. 3.43.
J =o.
3.1.11.4. Геометрические и физические приложения тройных интегралев.
1. Объем пространствениой области: в случае частного вида подынтегральной функции
Г(х, у, = 1 тройной интеграл по У представляет объем AV области И:
fff1-dxdydz=AV.
(V)
Пример. Если V— тело, описанное в примере п. 3.1.11.3, то его объем равен
В2acos
02n
В 2a cos0
|
[ака =| | [otsin049dp =| |ртр?sin0dpd0=27[509сор@sin0dB=
(И
ао0
а0
а
16%‚|0050 4%,4g 4
=—5а|-| -3a”(cos*a—cos*В).
2. Macca тела V. Если пространственная область. V заполнена массой с плотностью 4(x, у, 2),
то полная масса V равна
7
|
М={lf8(x,у,2)dxdydz.
(V)
3. Центр тяжести. Если &, п, С являются координатами центра тяжести пространственной
области, заполненной массой с плотностью б (х, у, 2), то
1.
1
1
|
b= ||| 65.9404
пу |||98.9aaeay4 C= ||| 5xdaxayae.
_
и
(И
4. Момент инерции. Моменты инерции пространственной сбласти И заполненной массой
с плотностью б (x, у, 2), относительно осей x, у и 2 равны соответственно
= {102 +22) 5ау, 1,= (2? + х) бат, 1, =? +y?) Sav.
(У)
(V)
(V)
ПЛОЩАДЬ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
333
`Пример. Найти момент инерции относительно оси 2 тела У, ограниченного круговым цилиндром x? + у? = a?,
0 << 7, которое равномерйо заполнено массой с плотностыо 6 = 1. Введем цилиндрические координаты; тогда
к2na
h2n
4}
2
1.=|[2+Учи=||[oteарdpn=|[аdo42=|=at42=<=> AV,
(V)
о00
оо
0
где AV = na*h — объем тела И.
5. Гравитационное притяжение. Сила гравитационного притяжения F, с которой пространствен-
ный. объем И, заполненный массой с плотностью 6 (x, у, 2), по закону Ньютона действует на
материальную точку Р = (E, п, 9 с массой 1, имеет компоненты
_
rey
‚_
Pe=y | 4 dyads Fy=y||| 336axdyae Fear||| 28axaye
(V)
(V)
(у)
где r= V(x — §)* +(y —n)? + (2 —C), у — гравитационная постоянная.
3.1.12. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Кусок поверхнасти 5, заданный в параметрической форме x = x (и, и), у=у (u,v), д =2(и, 0), где
точка (и, о) пробегает некоторую область С плоскости и, v, называется гладким, если различные
пары значений (и, о) дают разные точки 5, частные производные функций х (и, 9), у(и, 5), z(u, v)
непрерывны и
-
Oxду02
rangйдидиди =?
axayae
Ovдdv
Если поверхность 5 состоит из конечного числа гладких кусков поверхности, то $ называется
кусочно гладкой.
Гладкая поверхность 5 называется двусторонней, если в каждой точке поверхности можно
выбрать нормаль так, что пои обходе каждой замкнутой кривой, лежащей на 5, мы возвращаемся
в исходную точку кривой с тем же направлением нормали. Стороны двусторонней поверхности
могут быть, Таким образом, охарактеризованы направлением соот-
_
—
ветствующих нормалей. Односторанней поверхностью является, напри-
aan
мер, лист Mé6uyca (рис. 3.44).
Всюду в дальнейшем под поверхностью понимается двусторонняя
поверхность.
3.1.12.1. Площадь гладкой поверхности. Пусть поверхность 5 задана
параметрически:
Рис. 3.44.
х =х (и, 5), у=у(и, 5), 2=2(и, v),
где точка (u,v) пробегает некоторую область Г плоскости и, и. Тогда площадь AS поверхности
определяется поверхностным интегралом
AS=ffVEG—Е?dudo,
(Г)
dz \?
dxдхдудуézaz
дх ) ду\*° /а2\?
—-), Foe24-5= 4=,б=|—] +{= —-);
+( 2.)
дисиыдиOvыдиdv
(2Гdvыд
2
2
rae=-(>) +(2)
Ou} `\Gu
/
подынтегральное выражение dS = ИЕС — Е? dudv называется элементом поверхности.
Если 5 задана явно уравнением 2 = (x, У), причем {x, у) пробегает область 5’ (проекцию
области S на плоскость хОу), то
AS= И!+р?+а?dxdy,
(5')
где р = д2/0х, Ч = д2/ду.
Примеры. 1) Найти площадь поверхности части сферы x? + у? -+ 22 = а2, высекаемой цилиндром x? + y? = ay
(см. рис. 3.39).
334
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Параметрическое представление сферической поверхности:
х =азт
0 с0$ ф, у=азт
0 5тф, 2=асо$ 0;
таким образом, и = 0, v=; паходим Е = a?, F =0, С =a? sin? 0; следовательно, ИЕС — F? = а? sin 0.
Уравнение границы области интегрирования получается подстановкой параметрического представления в уравнение
окружности: т 0 = яп ф. Отсюда получим, что четверть искомой поверхности, лежащая в первом октанте, характе-
ризуется следующими значепиями параметров: 0 < ф < 7/2, 0 =ф, 0<0 < л/2. Следовательно,
к/2 9
nf2
AS=4[Ja?sin040dp=4a?J(1—coso)4ф=4a?-(x/2—1).
оо
2) Кусок поверхности z= ху, лежащий над кругом x? + у? < R*, имеет площадь
AS= И И+x?+у?dxdy.
by?<В?
Преобразуя этот иитеграл при помощи полярных координат х = pcos ф, у = рзш ф, получим, что
2xВ
45=| pV+ р2dpdg==(1+-R2)?—1)
00
3.1.12.2. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.
Определение поверхностного интеграла 1-го рода. Пусть некоторая функция
I (x, у, 2) определена и ограничена на гладкой поверхности 5. Пусть 2 обозначает некоторое раз-
биение поверхности 5 на конечное число элементарных поверхностей 5; (i = 1, 2,..., п) с площадями
А5,, А (2) — наибольший из диаметров элементарных поверхностей 5; и М; = (хь уь 2) — произвольная
точка на соответствующей элементарной поверхности S; (рис. 3.45). Число
o(Z)=>Л(x1,VivZ;)AS;
называется интегральной суммой, соответствующей разбиению #7.
Если существует число [ со следующим свойством: для каждого
=>0 найдется такое 6(=)>0, что для каждого разбиения § Z,
удовлетворяющего условию ЛА(7) < 6, и независимо от выбора точек
М; выполняется неравенство |с(2)— [| <=, то [Г называется поверх-
ностным интегралом 1-го рода от f(x, у, 2) по поверхности 5.
Рис. 3.45.
Обозначение:
I=Иf(x,у,2)45.
(5)
Для случая, когда подынтегральная функция f (x, у, 2) =1, число [ равно площади AS поверх-
ности 5.
Вычисление (сведение к двойному интегралу). Если поверхность задана параметрически:
х =х (и, 5), у=у(и, 5), 2=2(и, 9), причем и и v пробегают область Г плоскости и, 9, то
ЛС,у,2)45=Иf(x(м,v),у(и,5),2(и,v)) УЕС—Е?dudv.
(5)
(Г)
Если поверхность задана явно уравнением z = @(x, у), причем (x, у) пробегает область 5’, то
yy(x,у,2)dS=Jff(x,y,o(x,У)ИЕ+p?+@?dxdy.
(S’)
Для случая, если 5 представлена уравнениями вида x = \\ (у, 2) или у = x(x, 2), верны аналогич-
ные формулы.
\
Примеры. 1) Пусть поверхность 5 asnaerca сферой радиуса г с параметрическим представлением X = r sin 0 cos Ф,
y=rsin 0 sin ф, 2 =! cos 0; тогда Г есть прямоугольник 0 < 60 <т, О<о< жи
{JГС,у,2)45=fff(rsin0cosф,rsin0sinф,гcos0)r?sin049dg=
(Г)
к
201
=r?J[Sf(rsin0cos9,rsin0sin@,r.cos6)sin0dOdg.
00
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1-ГО И 2-ГО РОДА
335
2) Пусть 5 — цилиндрическая поверхность x? + у? = а?, 0<2< й; ее параметрическое представление: x = а со$ ф,
y=asin ф, 2= 2; тогда ИЕС — F? =a, Г является прямоугольником 0O< @ <2n, O<z<hu
2n
И f(y,
2) dS = ff f (acos9, asin g, } а4ф 42=а| | f(acosg, asin g,2) 4dz.
(S)
(Г)
00
Поверхностные интегралы 2-го рода. Ориентация двусторонней незамкнутой
поверхности: выбирается определенная сторона поверхности 5; каждая замкнутая кривая на 5
сохраняет направление нормали при движении по ней в том смысле, что оно вместе с нормалью
выбранной стороны образует правый винт.
Пусть в точках поверхности 5, однозначно проектирующейся на плоскость x, у и заданной
явно уравнением 2 = ф(х, у), определена ограниченная функция f (x, у, 2). Пусть 2 — разбиение
поверхности 5 на конечное число эдементарных поверхностей 5, (1=1,2,..., п), А (2) — наибольший
диаметр элементарных поверхностей, М; = (x, у, 2) — произвольная точка, выбранная на элементар-
ной поверхности 5;. Пусть выбрана определенная сторона поверхности, т. е. поверхность 5 ориен-
тирована. Тогда установленное направление обхода границы каждой элементарной поверхности 5;
ZI
Zh
n
К] Qi
им
[Г
1oy
]
0ин_
0 thd
ОиМ
|
НИ
mu
int
nt
JNo
„Ee
49!>0
45'<0
Рис. 3.46.
определяет направление обхода в плоскости x, у границы проекции 5,. Площадь AS; этой проекции
берется со знаком +, если граница проекции 5; проходится в положительном направлении;
в противном случае — со знаком — (рис. 3.46). Число
с(2)=2.Л(XsУь2)AS;
называется интегральной суммой, соответствующей разбиению 7. В противоположность образова-
нию интегральных сумм поверхностных интегралов 1-го рода, здесь Г(М:) умножается не на
площадь AS; элементарной поверхности 5, а на ориентированную площадь.AS; проекции 5: поверх-
ности 5; на плоскость х, у.
,
Если существует число I со следующим свойством: для любого = > 0 найдется такое б (=) > 0,
что для каждого разбиения Z, удовлетворяющего условию A (7) < 6, независимо от выбора точек М;
выполняется неравенство |с (7)— [|< &, то [Г называтот поверхностным иитегралом 2-го рода от
f (x, у, 2) по ориентированной поверхности 5; обозначение:
I=fff(x,у,2)ахdy.
(S)
Если 5 проектируется на плоскость x, у неоднозначно, HO ее можно разбить на конечное число
поверхностей, для каждой из которых такая однозначная проекция существует, то поверхностный
интеграл по 5 определяется как сумма интегралов по отдельным поверхностям.
Если 5 имеет однозначную проекцию на плоскость у, 2 или х, 2; то аналогично можно опре-
делить два других поверхностных интеграла 2-го рода:
ло» да, [Г y, датах,
(5)
(5)
где в соответствующих интегральных суммах стоят площади проекций S; на плоскости у, 2 Их, 2.
336
`ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Наконец, для трех функций P (x, у, 2), Q(x, у, 2), R(x, у, 3), определенных на 5, эти интегралы
можно сложить и определить более общий поверхностный интеграл 2-го рода:
|Р4у42+0424х+Кахау=||Рауа2+||]Qdzdx+fRdxdy.
(5)
(5)
(5)
(5)
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (сведение к двойному ин-
тегралу).
1. Пусть поверхность 53 имеет явное представление: 2 == ф (х, у), причем (x, у) изменяются
в области S’. Тогда поверхностный интеграл по той стороне 5, для которой угол между нормалью
и осью 2 является острым, вычисляется по следующей формуле:
[Л(»у,2)dxdy=Jff(x,у,@(x,у)dxdy.
(S)
(S’)
Если выбрана другая сторона поверхности, то
{Jf(x,у,2)ахау=-ffЛ(х,у,Ф(х,y))dxdy.
(5)
(5)
Аналсгично получаем, что
SJЛ»у,=)dydz=|]f (WG.2)у,2)dydz,
(S)
(5')
где поверхность 5 задана уравнением x = \ (у, 2), 5’ — проекция 5 на плоскость у, 2, а поверхностный
интеграл берется по той стороне, нормаль к которой образует с осью х острый угол. Точно
так же
Иf(x,у,2)42dx=i)f(x,x)(z,x)dzdx,
(S)
(5')
где поверхность 5 задана уравнением у = yx (2, x), 5’ — проекция 5 на плоскость х, 2, а поверхностный
интеграл берется по той стороне, нормаль к которой составляет с осью у острый угол.
2. Если поверхность 5 задана в параметрической форме: x =х (и, и), у=у(и, 9), z= z(u,v), то
IJf(x,у,2)dxау=+|f(x(м,v),у(и,»),2(и,9))Сdudy,
(5)
(Г)
|
ГРf(x,у,z)dydz=+|f(x(uy,9,yu,5),=(и,v))Аdudv,
(S)
(Г)
{Jfy,2)4гах=+||f(x(и,в),у(и,5),2(м,v))Вdudo,
(5)
(Г)
где
909) gp _ 9%») _ O(x,y)
9 (и, v)”
д(и,в)’ ` A(u,v)’
положительный знак перед интегралом справа выбирается ‘тогда, когда ориентация области Г
плоскости и, у соответствует ориентации поверхности.
Для суммы трех интегралов получаем
[|Pdydz+О42ах+В4хdy=+||(PA+ОВ+ВС)Чиdv.
(5)
(Г)
Связь между поверхностными интегралами {1-го и 2-гс рода. Если а, В,
у — углы нормали к выбранной стороне поверхности с осями xX, у и 2, TO
[|Рау4=+Оазах+Вdxdy=ff(Рcosa+Осоз
В
+
Roos y) 45, .
(5)
(5)
т.е. стоящий слева поверхностный интеграл 2-го рода преобразуется в стоящий справа поверх-
ностный интеграл 1-ro рода.
Для двух различных незамкнутых поверхностей 5, и 5.) с одной и той же границей С поверх-
ностный интеграл
SjPdydz+Оdzdx+Rdxdy
(S)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА
337
имеет в общем случае разные значения (рис. 3.47), т.е. в общем случае он не обращается в нуль
на замкнутой поверхности (аналогично зависимости от пути криволинейного интеграла). Если
функции Р, О, К, ОР/дх, 0Q/dy, OR/dz непрерывны в пространственно односвязной области V (т. е.
в области, которая наряду с каждой замкнутой поверхностью содержит также и область, ограни-
ченную этой поверхностью), то поверхностный интеграл по всякой замкнутой поверхности 5 в V
обращается в нуль тогда и только тогда, когда
6P0098
—
=0.
дх+дуыOz
Пример. Пусть (x, у, 2) — некоторая точка поверхности 5, a (6, п, 6) — точка вне 5.
г=Ис—8?+(y—0)?+(2-0.
|
р*7§giY=Npi27h
OP 90 ОК пере,
Функции P= a Q
3 К 3 и их производные Ox? ay’ az непре
ЭРa0ав
Рис. 3.47.
рывны при (x, у, 2) #(E, п, (), и имеет место равенство a + у + = = 0; таким образом,
для этих функций интеграл ff P dy 42 + О dz dx + К dx dy paBell нулю по каждой замкнутой поверхности, He содержа-
5
.
щей ‘точки (&, 1, 0).
Переход к поверхностному -интегралу 1-го рода:
=|(S)
(S)
Если (^п) — угол между радиус-вектором г точки (x, у, 2) поверхности и нормальо к 5 в точке (x, у, 2), то
x—
—
2—
A
A
A
A
ьcosа+x;тcosB+27-6cos7=cos(x,Е)cosa+cos(у,г)cosВ+cos(2,г)cos7=Cos(r,п),
r
r
dyde+7 42dx+aosdxву ||(55 сока75 cosB+2—6cos')45.
1.
r?
так что для поверхностного интеграла получаем, что
A
Cos (Г, n
j=ff289as
Геометрически этот интеграл представляет собой телесный угол, под которым из точки (E, n, 6) видна поверх-
ность 5. Если поверхность 5 замкнута, то его значение равно 4x, если точка (&,n,C) лежит внутри области,
ограниченной 5, и 0, если (&, п, () лежит снаружи.
3.1.12.3. Геометрические и физические приложения поверхностного интеграла.
Объем тела. Объем AV тела Г, ограниченного кусочно гладкой поверхностью 5, можно
различными способами вычислить как поверхностный интеграл 2-го рода:
AVe |]24х4у, или AV= [{xdydz, или AV= [| у42 dx,
(5)
(5)
(5)
ИЛИ
1
av= || xdydz + ydedx + 2dx dy,
(S)
причем интегралы следует брать по внешней стороне поверхности 5.
ху
22
Пример. Пусть пространственная область У ограничена эллипсоидом — +-—5- +—7 =1. Параметрическое
а
с
представление этой поверхиосги есть
х = аз 0 со ф, y=bsin@sing, z=ccos9,
|
D(x, y
где O< O< 2, O<@ < 2x (область Г плоскости ф, 6). Отсюда, так как С= ee ab sin @ cos 6, следует, что
2a
av=||zdxdy~||100.9)с =|[сов®absin0cos040.4ф=
00
(S)
(Г)
n
1
4
=abc2x|cos9sin640=2abcniGdu= abe.
-1
о
338 .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Центр тяжести и сила притяжения. Если поверхность S покрыта массой с поверх-
ностной плотностью 6 (x, у, 2), то полная масса поверхности S равна
М=ПЦ5(х,у,2)45;
(5)
координаты (&, n, @) центра тяжести равны
1
.
1
1
= |[ 5%» 24s n= || 75642945 c= ay [fee nares:
(S)
(S)
(S)
компоненты силы притяжения Е этого распределения массы, действующей на материальную точку
Мо = (хо, Yo. Zo) единичной массы, равны
х-х
—
2—2
ет||5-48 Fy=7||Peas, вт||——ds
(5)
(5)
(5)
где у — гравитационная постоянная.
Пример. Пусть поверхность конуса (см. рис. 3.42) К2х?= h? (у? +z?) покрыта массой с плотностью 5 = I.
Из условия симметрии п =& = 0; так как поверхность 5 задана уравнением
h—_
х=у (ИР+2,
причем у и 2 пробегают внутренность круга у? + 2? = R?, получаем
I= IS=
14 (2) + (2) душа
Vy? +2? 14
44
= х45=
х+ду+=ay“2=п
у
RZ уaz,
(S)
(y?+z7<R?’)
(у2+22<8?)
После введения в плоскости у, 2 полярных координат у=р Cos ф, 2 =р яп ф получаем, что
-2nR
1-х |/
2 = ir h?+R?,
R 1+,|| ар4ф
Yh? + Е:+
атаккакМ=aR/h?+Е?,TOb=sh
3.1.13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
3.1.13.1. Формула Остроградского
— Гаусса. Формула Грина. Пусть пространственная область V
ограничена кусочно гладкой поверхностью S и P (x, у, 2), Q(x, у, 2), R(x, у, 2) — функции, непрерывные
в V вместе с производными OP/dx, дО/ду, 0К/02; тогда справедлива следующая формула (формула
Остроградского — Гаусса):
2
И “oy2
4-[ро ок Ravan
2
причем поверхностный интеграл 2-го рода, стоящий справа, следует брать по внешней стороне
поверхности 5, ограничивающей область Г.
Формула Грина для плоской области:
(oe->)axdy=|Pax+Ody.
(L)
Эта формула преобразует двойной интеграл по области 5. в криволинейный интеграл по границе Г,
области 5, причем криволинейный интеграл берется по контуру Г, пробегаемому в положительном
направлении (рис. 3.48). Эта формула имеет смысл, если контур Г является кусочно гладким,
а функции P(x, у), Q(x, у), ОР/ду, 90/9х непрерывны в 5.
Пример. По формуле Остроградского _ Гаусса для Р=х?, О=у?, В = 2 получаем, что
|x3dydz+у?dzdx+2?dxdy=3ff(x?+у?+22)dV.
S)
(У)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ДВОЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
339
Если, в частности, 5 является сферой x? + у? + 22 = R? то тройной интеграл после введения сферических координат равен
Rxn2n
3No|orsin@4ф40dp=A=Re.
000
3.1.13.2. Формулы Грина. Пусть в пространственной области Г, ограниченной кусочно гладкой
поверхностью 5, заданы функции P (x, у, 2), Q(x, у, 2), непрерывные в области V вместе со своими
вторыми частными производными. о справедлива первая формула Грина (или подготовительная):
oP90.4OP00 oP00
С
Аж ay*oeae)
f
д?
д?
гдеAQ=“4+4 4.
соответственно в направлении внешней нормали к 5.
. При тех же предположениях справедлива вторая формула Грина:
_ 9062.
| ag -garav=||(p 2 0 =) as
(V)
(S)
Для случая плоской области эти формулы имеют вид
|
OPOQ,OP90
[fracas [rar (а
(S)
{L)
[[@ae-oaras== =)45
(5)
iD
а через ОР/да и 0Q/dn обозначены производные функций Ри О
on
on
oP
где 5 — область плоскости x, у; L—ee граница, обходимая в положительном направлении, anм
90
|
.
д?Р д?Р
и —— — производные в направлении внешней нормали к кривой L, АР = at + Gye
x
y
on
Yh
—
Puc. 3.48.
Puc. 3.49.
3.1.13.3. Формула Стокса. Пусть кусочно гладкая двусторонняя незамкнутая поверхность 5
с границей Г, расположена внутри пространственной области V и функции P(x, у, 2), Q(x, у, 2),
К (x, у, 2) вместе со своими первыми частными производными непрерывны в И. Тогда
дк 00
ФР 0К\.
|
Ne гoa dy+(5-2) 42.км
= | wax +oay+ Rae)
(L)
причем путь интегрирования Г проходится так, чтобы направление обхода вместе с нормалью
к выбранной стороне поверхности $ образовывало правый винт (рис. 3.49).
3.1.13.4. Несобственные. криволинейные, двойные, поверхностные и тройные интегралы. В случае
многомерных интегралов несобственные интегралы можно определить так же, как и в одномерном
случае. Эти определения аналогичны для криволинейных, двойных, поверхностных и тройных
интегралов, и поэтому достаточно их привести, например, для двойных интегралов.
Двойные. интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f(x, у)
не ограничена в окрестности некоторой точки Мо ограниченной области 5 и интегрируема по всякой
области 5\И (Мо), где 0 (Мо) — произвольная окрестность точки Мо. Тогда, если для любой
340
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
носледовательности окрестностей U,, ТОЧКИ Mo, радиусы которых стремятся к 0, существует предел
lim ff ЛО, ydxdy =
"(Зи
roe S\U, обозначает область, полученную исключением точек окрестности U, из S, то I называется
сходящимся несобствеиным двойным интегралом от функция / (x, у) по 5; обозначение:
=fff(x,у)dxdy.
(5)
Если предельное значение существует He для всякой последовательности U,, To ff f (x, у} dx dy
(5)
называется расходящимся.
Если в 5 всегда f (x, у) >20, то при выборе окрсстностей И, можно ограничиться кругами.
Данное определение MOXNC распространить на тот случай, когда f (x, у) не ограцичена в окрестпостях
большего числа точек или в окрестностях гладких кривых.
Пример. Пусть 5 — круг x? + у? <<ГиГ(х, у) =(x? + yr, ссли o> 0, то f (x, у) ие ограпичена в окрестности
начала коорлинат. Так как f (x, у) > 0, то можно отраничиться кругами. Пусть U, — круги с радиусами р, Шт р„=0.
п-><
Если в области S\U, введены полярные координаты. то
Г2x
dx ily
;
Г9dpdp
.
|.
2m
lim|Е
=lim||РТР.=hm2 [р?-*]sen
при O<0 <2,
n-* 00
(УР
п»оор
uO
2-я
n 2-4
Pu
*
в то же время при a > 2 предел че существует; следовательно,
x
2:
|Е
=К
при Q<a< 2.
dxdydz
урав
*¢
Аналогично доказывается, что несобственный тройной иктеграл И
по шару V с центром в на-
(И)
чале координат сходится, если 0 < а < 3, и расходится, если ao > 3.
Признак сходимости. Если в некоторой окрестности точки Мо функция f (x, y)/g (x, у) остается
ограниченной и интеграл [fg (x, у) dx dy является сходящимся, то ff T(x, yjdx dy также сходится.
5
5
В качестве функции сравнения можно использовать функцию
.
2
.
.-
4(x,У)=(х—Xo)?+(у—Yo)",
где Мо = (хо, Yo).
Поимер. Область 5 есть круг x? + у? < 1, функция / (x, у) = Ш Их? + у? в окрестности точки Мо = (0, 0) не огра-
ничена, однако
lim Их?+InVx?+.+у?=0.
(x,у)>(0,0)
Таким. образом, функция f (x, y)/g (x, у), где g (x)= (х? + y?)7, остается ограниченной; отсюда следует сходимость
интеграла
ffinИх?+у?ахdy.
(5)
Двойные интегралы по бесконечной области. Пусть $ — неограниченная область,
имеющая границей кусочно гладкую кривую, а f (x, у) — некоторая заданная в 5 функция, которая
интегрируема по каждой конечной подобласти области 5. Если для любой последовательности 5,
ограниченных подобластей таких, что каждая ограниченная подобласть области 5 содержится
во всех S, при n> по, существует предел
lim jf(x,y)dxdy=
n-# 0 (8)
TO этот предел Г называют сходящимся несобственным двойным интегралом от f (x, у} по 5.
Обозначение;
= У f(x, y) 4хау..
($
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
341
Если предел существует не для всякой последовательности S,, To ff f(x, у) dx dy называется
(5)
расходящимся.
Если f (x, у) 20 всюду в неограниченной области 5, то члены последовательности S, можно
выбрать следующим образом: S, = S{)\ K,, где K, - круги с центром в начале координат, радиусы
которых р, удовлетворяют условию lim p, = ©.
no
Примеры. 1) Пусть`5$ является областью x > 0, y > 0, f (x, у) = e749) Так как/ (x, у) >Ов S, To в качестве $,
можно взять последовательность четвертей кругов с радиусами р, lim p,= 00. Тогда после перехода к полярным
n>0
координатам имеем
Ри 7/2
ee+5?dxdy=||врdgар=>.
(S,):
0
поэтому
2,2
п
-p2 т
lim |e Tdxdy= lim —-—(l-—e ")=—,
п- oo
no22
4
(S,)
и, следовательно,
[={|erOPH)dydy==.
(S)
2) Пусть $ — первый xpagpant, x 22 0, y>0; f (x, у) = зп (x? + y’). Если S, - последовательность четвертей кругов
с радиусами p,, lim p, = 00, то
n> oo
Py 0/2
Lon;
|
п
[|sin(x?+y?)dxdy=||sin(р?)рdgdp=4(1—cos(p?));
„
00
так как у полученной числовой последовательности предела не существует, то несобственный интеграл | sin (x? + y?) dx dy
является расходящимся.
Наконец, можно определить несобственный двойной интеграл для случая, когда и область
интегрирования, и функция f (x, у) (в окрестности некоторых точек) не ограничены.
Замена переменных в несобственных интегралах. Формулы преобразования
для двойных (см. 3.1.10.3) и тройных интегралов (см. 3.1.11.3) остаются в силе также для несобствен-
ных интегралов, если хотя бы один из двух интегралов в этих формулах сходится.
_\||
dx dy
F ИТ- (x?/a?) — (y2/b%)
y?
где область $ ограничена эллипсом ЖЕ подынтегральная функция в окрестности эллипса пе ограничена.
Введением обобщенных полярных координат х = ар cos ф, у = bp sin ф иитеграл преобразуется к следующему виду:
‚= уе
Пример. В иитеграле
= ab fe ИГ;_ р? dg= 2nab;
следовательно,
|i= ub=2nab.
3) — (x*/a")— (y*/b*)
3.1.13.5. Миогомерные нитегралы, зависящие от параметра. Пусть S — ограниченная область
плоскости x, у; | — интервал. &-оси, а функция f (x, у, Е) для каждого Ee] интегрируема на 5. Тогда
для Gel двойной интеграл определяет функцию
Е(8)=Jff(x,у,©ахау.
(5).
342
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Интеграл зависящий от параметра & имеет следующие свойства:
1) Если функция f (x, у, & непрерывна, то функция Е (&) также непрерывна на I.
. 2) Если, кроме того, f (x, у, Е) обладает непрерывной частной производной по & то Е(&
ибференцируема по Ги
д
>3
r@=(| Le Эа
(5)
Аналогичные свойства имеют криволинейные, поверхностные и тройные интегралы, зависящие
от Параметра.
Пример.
Feno=||| ИЗ ay, гдеr=V/(x—8+(y—0)?+—0%
(V)
а
91
—
Пусть функция р (x, у, 2) непрерывна в И. Если точка (6, п, ©) не лежит в V, то функция ЗЕ = 5 непрерывна
в И следовательно, Е (E, n, 6) дифференцируема по & и имеет производную
то -{>ава
Так как подынтегральное выражение также обладает непрерывной частной производной, то под знаком интеграла
можно пр‹
цировать еще раз; получим
ae =|[fowsal-= + 20S far.
Аналогично вычисляются частные производные по NH и (6. Сложением получаем, что
°FoF OF OF|
Sa
<r
Для несобственных криволинейных, двойных, поверхностных и тройных интегралов, зависящих
от параметров, как и в одномерном случае (см. 3.1.9.3), непрерывность подынтегрального выражения
уже не является достаточным условием для того, чтобы обеспечить непрерывность интеграла
по параметру; дополнительно необходима равномерная сходимость этих интегралов.
Равномерная сходимость несобственного-двойного интеграла. Пусть Р = (х, у) и М = (Е, п) — точки
ограниченной области 5, а Г(Р, М) — некоторая заданная в 5 функция, которая в окрестности
Р = М не ограничена. Интеграл
Sf(P,М)dSp= JIf(x у,&п)dxdy
(S)
(S)
является несобственным интегралом, зависящим от параметров. Он называется равномерно сходя-
щимся в точке Мое5, если для любого => 0 найдется такое
|
6 (=) > 0, что для всех точек М, удаленных oT Мо на расстоя-
ние, не превышающее 5, и для всех окрестностей И точки Mo,
радиусы которых не превышают 6, выполняется неравенство
ПЛСР, М) dSp| <
(0)
Если интеграл ff f(P, М) 45р сходится равномерно в точке
Mo, то функция
0
ий
Е(М)={ff(P,М)dSp
(5)
Рис. 3.50.
непрерывна в точке Mo.
Пример. Пусть И- некоторая ограниченная область в пространстве x, у, 2; p(x, у, 2) — ограниченная на V
функция:|p(x,у,2)|<С=const.ЕслиР=(х,у,2)иМ=(E,n,О-точкиизИ,то
|| so ap, rae "мрт
— несобственный тройной интеграл, зависящий от точки М. Покажем, что он сходится в каждой точке МоЕУТ равно-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
343
1
они еее ия о вещь
Р
мерно, так что функция F (М) = | | | РР ap непрерывна в V. Для произвольной окрестности О точки Мо и сферы
МР.
(И)
$; радиуса 6 с центром в Мо, содержащей U (рис. 3.50), вследствие ограниченности р (x, у, 2) имеем
|
V
ВЯт
ТМР
'MP
(U)
(Vs)
Если теперь Me S;, To сфера S25 с центром в М и радиусом 26 содержит сферу S; с центром в Мо. Тогда
We<аи
"МР
гМР`
После введения сферических коардинат с полюсом в точке М получим
2п25
.2s
{|{ #2-{ |{==sin915dOdo=8n8?.
rMP
р
(Sox)
000.
ies ар <Bni*C <e
"МР
(0)
=
.
¥
.
для всех М.Е 5,, где 6 <5 (=) = |= и любой окрестности И точки Мо, диаметр которой меньше 6 (=). Это дока-
Таким образом,
зывает равномерную сходимость рассматриваемого интеграла.
3.1.14. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
3.1.14.1. Основные понятия. Если {a,} — числовая последовательность, то последовательность {S,}
п
51 =a, 52 =а, +а., .... 5, = У Q& =a, +а+...+а, ...
k=1
называют последовательностью частичных сумм (бесконечного)
ряда, который обозначают
(oe)
а, +a,+...t+a,+... или У a,;
n=1
а, называют общим членом ряда.
Если последовательность частичных сумм имеет (конечный) предел $5, т.е. Ши 5, = 5, то
noo
говорят, что ряд
Уа,=4;ча.+а:+...
(3.1)
n=1
со
сходится и имеет сумму 5, и пищут: у a, = 5. Если последовательность частичных сумм не имеет
n=1
|
(конечного) предела, то бесконечный ряд (3.1) называется расходящимся. Тем самым, сходимость
ряда сводится к сходимости последовательности его частичных сумм.
|)
Примеры. 1) Ряд > aq" =а + аа + а4? +... (бесконечная геометрическая прогрессия) сходится при |q|<1, и
A=
1— п+1
Чтобы это показать, рассматривают последовательность частичных сумм 5, = ) а4\ = а -9
и вычисляют
k=0
344
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
предел последовательности $„:
30
2) Ряд }1=1+Е+1+... расходится, так как последовательность частичных сумм 5, == п неограниченно возрастает.
n=1
©
3) Ряд у (—1)" = -1+1—1+... является расходящимся, так как последовательность частичных сумм колеблется
л=1
.
между —Ги 0.
Критерий Коши. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого &>0
найдется такое натуральное N, что для всех п > М и любого натурального К выполняется неравенство
nth
|
bn]
2, 4s
sent
=:|Чи+1+...+Oyepi<5.
Отсюда сразу получается необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов
сходящегося ряда должна стремиться к нулю: lim a, = 0.
п>с
Г
No
|
Это условие Ne являстся достаточным, как показывает пример ряда У т[1+-- |: имем lim In( 1 +—)}=0,
|
„= XB]
no\ПМ
однако ряд расходится (частичные суммы
Ш
K
|
/
|
\
5,=уж\!+1)=)(In(f+s)—Ins)=ln(1+n)
57
—
1
5=]
$=1
неограничение возрастают).
mw
2I
Wpumep. Ряд >) -5----.-—---- расходитсл, так как
17+ 21+ 1
п ==1
n*+|
lim a,= lim) —3—>-—— = =1#0.
noo
nw W+tntl
,
<
Если стбросить первые n членов ряда, то получится ряд а... +4..2+...= ) as, который
5=т+1;
называется N-M остатком ряда и обозначается через К,.
Основные учвойства сходящихся рядов.
1) Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость (или
расходимость} ряда.
2} Если все члены сходящегося ряда умножить на множитель с, то его сходимость не нарушится
(сумма ряда умножится на C).
|
oa
‚©
3) Два сходящихся ряда Yo a, nu > a, с суммами $ и $’ можно почленно складывать или
=]
n=l
(oe)
вычитать. Ряд у (a, + a) сходится и имеет сумму 5+5.
н=1
4) Если ряд сходится, то его члены можно группировать в порядке их следования. Полученный
ряд сходится, и его сумма равна сумме исходного ряда.
у
3.1.14.2. Признаки сходимости или расходимости рядов с чеотринательными членами.
Г. Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность
частичных сумм ограничена сверху.
=
\'1
Примсры. () Гармонический ряд Из расходится. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подпоследовательность
и=1
i= Sin NOCJSICAOBATCJIDHOCTH WACTHUNbIX сумм и вычислим
1
1
1Qn1
2"-1+1
Tee
ТИ
Fn
th—Ша=Son—51-1=
n
и
n
n+2
Так как i, =¢, + 2, (t,-—t,-1) >t, + aa
‚ то последовательность {„ а значит и S,, не ограничены.
SFE
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ИЛИ РАСХОДИМОСТИ РЯДОВ
345
<
ча1
2) Ряд = при a<! расходится, а при a> | сходится. Утверждение для и < | следует из примера |) (x = |
9
n=]
и признака сравнения рядов с положительцыми члепамя.
П. Признак сравнения рядов с нолежительными членами. Пусть дапы два
a
(к)
ряда с неотрицательными членами ) a, и > b,. Если существует натуральное число М такое, что
n=I
a=]
LF
неравенство d, <p, выполнено для всех п> М, то из сходимости ряла В, следует сходимость
n=l
со
@
‘hs
ряда > а„ a из расходимости ряда У a, —pacxonumoct ряда > В,
n=1
=]
n=1
Примеры. 1) Ряд > а, rie
n=]
dank+Ч ли+...+d
а.=--^; ko!_
TO
СО,
Ноа
+... + 60
®
.
при г> К +1 сходится, а при г< К +1 расходится. Например, для ряда
ao
ve
.
21312 + 4
wae pee tee
-!
acs)
неравенство
о EEее.
ии
$5
й nr?2+
3
n+l
wm(я3)
rv
;
4
справедливо для всех 4, удовлетворяющих условию 47%? <1, следовательно. для n> М = (И 6] *). Так как ряд
[2
5,
ре
у
>
ан?+4
21312+4_1
ep сходится, TO сходится также дапиый рял. Ряд
"ИГ расходится, так как р
A
n=l
|
|
ry
ы
|
Г]
2) Ряд
„2 при р > О расходится, так как перавеиство .:----= 2 -. справедливо для достаточно болышних п.
fy (inn)!
(inm? ~ Rr
nia |
nt
п!
2
3) Ряд
„исходится,таккак~~<agприп>N==2.
}
п=1
Ш. Признак Даламбера. (A) Если существует патуральное число М такое, что для
‘
эх
|
.р
Ч+1
s
.
.
~
`
>М
последовательности чисел д, = -—- -—, построенной из членов ряла у Ч» ay > 0, для BCCX NZ
BbI-
°
ay
n=1
Lo)
neJ
|
Qn41
полняется неравенство —~—— <q <1 (4- фиксированное число, ис зависящее OT A), TO ряд У ay
ап
сходится, если для всех п => No имеет место нперавепство
n+ ~~
---—-.- 2 I,
a,
w
то ряд > а, расходится.
n=]
5;
a+1
у
on
Ty
ia
(Б) Если последовательность --"—--, построенная из членов ряда У Ay a, > 0, имзет пекоторый
n=l
.
ay, +1
=
ngs
/чт
предел р, lim —-=p, то. при p<! ряд > а, сходится, а при р> 1 расходится | ссли
n
as]
n
и“
с
п
ve)
N
.
an+1
naa
i
<
.
-
6
,
lim -- = 00, TO ряд у а, также расходится | (предельный признак Даламбера).
no
ay,
п=: 1
*) Квадратные скобки обозначают цслую часть числа, заключенного в WAX, т. с. паибольшее целое число,
.
a7>
не превосходящее данного: [/ 16] = 2.
346
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
При р =1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или
со
1
.
Г2
расходится. Для ряда — имеем iim
=1, и ряд расходится, а, с другой стороны, для
n
пью n+l
n=1
2
|
n
ряда = также имеем lim и
= 1, но этот ряд сходится.
n
noo (ИП
n=I
Замечание. Если
Gn+1 пе 1+... + сь
an
ПЕНИИ +... + 4
"6
(К — натуральное число), то ряд > а, сходится при d,—c, > 1. Если, напротив, 4, — с; <1, ряд расходится (признак
a=
Гаусса).
.
.n+l1
Примеры. 1) Ряд > сходящийся, Tak как Шт а4„= Шт
= —<l
2
n—0пью2n2
x\"
Cnt}
n"x
x
|
oath _
—
,
2)Дляряда п!(2 (x>0)имеем а, (+iy иит, (i+Tay aПриx<e рядсходится, апри
na=1
x > e расходится; при x =e предельный признак .Даламбера (Б) не дает ответа. Однако из (А) видно, что отношения
An+1 =
е
a, (1 + 1/n)"
<
(x =e) всегда больше 1, так как (1 + 1/7) <е; таким образом, при x =e ряд расходится.
<
1-3...(2n—-1
3) Ряд y+ расходящийся, так как = т и 4, —c, = 1. Напротив, ряд ) 5
) TF сходится,
n=1
n=1
так как
п?+ n
Qn +1
2
13
=—> 1.
Е
и 4-1 =2-5=5
a, n?+2n+ 1
IV. Признак Коши. (А) Если существует натуральное число N такое, что для числовой
последовательности {Иа ahs построенной из членов ряда у а, An > 0, для всех п> М справедливо
n=1
(oe)
n
неравенство |/a, <q <1 (q — фиксированное число, не зависящее от п), то ряд У‘ a, сходится. Если
n=1
для всех n> М имеет место неравенство Иа, > |1, то ряд x a, расходится.
(B) Если у последовательности {Иа ahs построенной из членов ряда у Any ап > 0, существует
n=1
со
lim Иа, =р, то ряд x а, сходится при р < 1 и расходится при p> 1; ряд расходится и при р =
n—©
При р = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости. Для обоих рядов
(oe)
.
|
п
|—И
— имеем lim у a, = 1, но первыи из них сходится, а второи расходится.
n
An
n> oo
1
_4
.1
Примеры. 1) Ряд ) ~—,- сходится, так как Нт Ya, = lim ——=0<(.
n=2
©
,
x"
в
x
a;
2P
—
"
>A
п=
i
„=
.
) Ряд (=) сходитсяпривсехx>0,таккак|/a ди lim Va 0<1
noo
n=1
РЯДЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ
347
2
n+i1\"
.
i]
3) Ряд > ( hn ) x" сходится для всех х, удовлетворяющих условию 0 <x < Ше, так как lim |/а, =ex <1
noo
n=1
(см. 3.1.3.1); для всех x > Ше ряд расходится.
@
У. Ингегральный признак (Коши, Маклорен). Пусть данный ряд имеет вид ), a, =
n=1
(oe)
= У f(n), причем f(n) есть значение в точке xX =n некоторой функции f(x), определенной при
n=1
х > по. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) >0,
со
.
+®
то ряд У a, сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл Г Ло) dx
n=1
по
(см. 3.1.7.7).
io)
Примеры. 1) Ряд d -„ расходится, так как J (x) = Их при x > 1 положительна и монотонно убывает и, кроме
A=
+
D
того, 4х_ lim|ax_ limIn(D)=oo.
x D-0 x D->0©
1
1
2)
I
(с > 0) сходится, Tak как f (x) =
при x > 3 положительна, монотонно
п ши (In (шл))!+°
одитСя,
yin x (in (In x))'t¢ pu x2
°
n=3
+©
.
1
1
1
..
убываети,крометого, |Х(x)ах=pit(-S(ininDy +<dn(in3))-ов 3)* т.е.несобственный
3
интеграл сходится.
3.1.14.3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость. Ряд называется знакочередую-
щимся, если его члены являются (поочередно) положительными и отрицательными. Этот ряд можно
записать в виде
(oe)
У(1 Cy=Cy—Cp+3—Cg+... +(—1)"1+...,
(3.2)
n=1
(oe)
где c, > 0 для любого п (оли первый член ряда отрицателен, то исследуют — У (—1)" en)
n=I1
Признак Лейбница. Если для членов ряда (3.2)
Ch > Сл+1 (n=k,k+1,...) и lim c, = 0,
noo
TO ряд сходится,
со
Остаток у знакочередующихся рядов можно легко оценить. Если ряд ) (—1)" 'с„ сходится
n=1
|
nm
и имеет сумму 5, то остаток В, =5- )) (—1)°"!c, имеет знак (—1)" u|R,|<c
s=l.
|
n+1-
i)
м.
1
Пример. Ряд ) (—1)" ' — сходится, так как с, = J > tou. и lim 1 = 0. Сумма этого ряда равна
n
п n+l
nooo ”
a=1
1
In 2 (em. 3.1.14.5). Имеем
.
|
n+1
In2— ¥ (-1-1- |<
s=i1
5
Другие признаки сходимости.
(oe)
Признак Абеля. Если ряд ) b, сходится, а последовательность {a,} (n= 1, 2, ...) моно-
n=1
(oe)
тонна и ограничена, To ряд )’ a,b, сходится.
в=1
348
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
(oe)
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда у Ь, ограничены, |5, | < М, а последо-
n=1
(oe)
вательность {a,} монотонна и lim a,=0, то ряд У’ a,b, сходится.
по
n=1
Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле.
Примеры. 1) Если числа а, > 0 образуют сходящуюся к нулю монотонную последовательность, а b, =(—1)""!,
io)
то ряд У (—1)'"! a, сходится.
n=1
io)
io)
2) Ряды > a,sinnx и У a,cosnx сходятся для всех x # 2m (m=0, +1, +2, ...), если последовательность {a,}
a=1-
n=1
ee ents
=
1—e*
монотонно стремится к нулю. Из равенства
при помощи формулы Эйлера получаем
n
sinno C4si1
В
cos+x—cosп х
2]
Хх.
. COD
2
cos kx=
:
,
sin kx=
.
2sin bx
2sin1х
~2°
2
*k=1
k=1
Поэтому
ы
1
о.
1
>. cos kx
‚ |»sinАх <—-—,
к=1
Хх
n=
п
sin >
sin >
и оба исходных ряда при x #2mn (т=0, +1, +2, ...) сходятся по признаку Дирихле.
|
Абсолютная и условная сходимость. Ряд ) а, называется абсолютно сходя-
n=1
щимся, если ряд у | ат | ИЗ абсолютных величин членов исходного ряда сходится. Ряд у a,
n=1
n=1
со
называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно, т.е. ряд у la, | расходится.
n=1
в
.
Если ряд у a, CKOQUTCH абсолютно, TO OH СХОДИТСЯ В обычном смысле, т.е. из сходимости ряда
n=1
(oe)
р | а„| следует сходимость ряда у а.
n=1
Takum образом, для того чтобы исследовать сходимость знакопеременного ряда у Qn, строят
n=1
ряд у [a,| и исследуют его при помощи признаков, описанных в 3.1.14.1. Если ряд у | а, |
n=
n=1
(oe)
сходится, то сходится также и ряд ) a, (но если ряд абсолютно расходится, то о его сходимости
a=
ничего сказать нельзя).
‚
,
Примеры. 1) Ряд Yeo — ‘сходится условно, так как ряд Ус | = y+ не является сходя-
n=1
n=1
n=1
щимся.
[:2)
удовлетворяют неравенству
sin (nB) |
—
wo
sinsnip)
2) Ряд
при a> 1 сходится абсолютно, так как члены ряда
n=1
n=1
sin (ив)
1
sin
т < = Opa n= 1,2,... Следовательно, ряд
£
Sin (ИВ). сходится абсолютно при a>1 Hn любом действи-
п=1
тельном в.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
349
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
J. В абсолютно сходящемся ряде последовательность членов может быть изменена любым
образом, ри этом характер сходимости ряда и величина его суммы не изменятся. Сходящиеся
ряды, суммы которых не зависят от последовательности членов, называют иногда безусловно
сходящимися.
Если ряд сходится условно, а с — любое заданное число, то члены ряда можно так пере-
упорядочить, что преобразоваиный ряд будет схедиться и число с будет его суммой (теорема
Римана).
Mm
00
Н. Под произведением двух бесконечных рядов Уи > b, понимают ряд, образованный из
ad
n=}
всевозможных произведений a,b, (п, k = 1, 2,...). Эти произведения a,b, можно упорядочить, вообще
говоря, многими способами и получить тем самым различные ряды. Следующая теорема Коши
дает условие того, чтобы все эти. ряды сходились и имели одну и ту же сумму.
oO
Теорема Коши. Если ряды у ши У 0, сходятся абсолютно и имеют суммы А
и
В соответ-
п=1
n=l
ственно, TO все их произведения также сходятся абсолютно и имеют сумму А-В. В этом случае
справедлива формула
(5as)уь=J,(5ив»)
ne
. Ана
НЕТ \m=t
(формула умножения Коши).
Формула умножения Коши имеет место’ и тогда, когда один из двух рядов у: a, или x b,
n=1
сходится абсолютно, a другой ряд просто сходится. Ряд-произведение в этом случае просто
сходится, но не абсолютно.
<)
'
|
n
Younx
:.
x
A ример. Ряд ) i *) CXOJHTCHR абсолютно для всех х (x признак Кови для ряда.
ae }} При помощи
и.
п
a
.
n=O
n=O
формулы умножения Коши вычисляется произведение
x!
^у’
_че
“7 х"
year
CMacm>Г(osя
п!
п!
metw—m) -y ni
тут" = мт yy".
n=O
n=0
70, \тг 0
изб
т:0
act—
a
x"
й
.
Сумма ряда
` рана e* (см. 3.1.14.6, пример 2)), полученный результат можно занисать следующим образом:
|п!
n=0
e*e” = e**” (теорема сложенил для показательных фуикций).
3.1.14.4. Фуикниональные последовательности. Функциональные ряды. Отображение множества
натуральных чисел М во множество действительных функций одного персмеиного x, определенных
на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается
(fn(x)} или fy (x) fo), fa 0), ...;
(3.3)
функции f,(x) называются членами последовательности. Каждое значение xeEl, для которого
поспедовательность (3.3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой
последовательности. Таким. образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую
функцию
fix) = lim Л» (x),
которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем пред-
полагаем, не ограничивая общности, что область сходимости совпадает с областью определения Г.
Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понягие равномерной
сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной фуякции / (x) равномерно
в I, если для любого &#> 0 найдется такое М (=), не зависящее OT xX, что для всех n> No (=) и для
*) По определению 0! =
350
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 1И.| ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
всех хеЕ[ выполняется неравенство
|fn(x)—f(x)|<=.
Обозначение: f, (x) 3 f (x).
Если существует такое = > 0, что для каждого числа М имеется по менышцей мере одно n> М
и хЕГ такие, что | fi, (хо) — / (хо) | > &, то говорят, что последовательность сходится неравномерно.
set сходится для любого хеГ= [0, 1] к функ-
ции / (х) =0. Эта сходимость является равномерной в I, так как для любого =>0 можно найти такое No (=),
например [1/2=] +1 (где [1/2=] означает наибольшее целое число, которое меньше или равно 1/2=), что для всех пЕМ
и всех хе[ выполняется неравенство
Примеры. 1) Функциональная последовательность { f, (x)} =
2nx
1
1
м
ee|—_
<fn(*) 2n 1+4+n?x? 2n<2N<6
2) Функциональная последовательность
пх
|
—
=at
сходится при любом хе! =[0,1] к функции / (х) =0. Для любого фиксированного x >0 достаточно выбрать n>
1
:
..
>| = + 1, чтобы выполнялось неравенство f, (x) < ях Se Однако эта сходимость в I не является равномерной.
х
Если выбрать в
<
1/2, то, каково бы ни было М, можно указать п> М и xel (например, п= М+ 1, x= ДМ +1)
такие, что f, (x) > в (при данном виде н и х имеем
Ум (ИМ+0=1/2).
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последова-
тельности. Последовательность (3.3) сходится к предельной функции равномерно в Г тогда
и только тогда, когла для каждого = > 0 существует не зависящее от х число М (=) такое, что при
n2>N и для любого m2 1
|Sutm(x)—fi(x)|<&
для всех хе[ одновременно.
Функциональные ряды. Бесконечный ряд (см. 3.1.14.1), построенный из функциональной
последовательности
|
Sy fylx)=f 00) + fo) tee t fy) tees
n=1
называется функциональным рядом. Понятия «область сходимости», «предельная функция» и «равно-
мерная сходимость» переносятся на функциональную последовательность частичных сумм 5, (x)=
я
у Г, (х). Разность между суммой S(x) сходящегося функционального ряда и одной из его
5=1
частичных сумм S,, (x) называют остатком и обозначают
К,(х)=S(x)=S,(x)= у, ds(x)=Ine)(x)+fut2(x)+...
s=nt1
со
Признак Вейерштрасса равномерной CXOHHYMOCTH рядов. Ряд у Fin (Х) схо-
п=1
со
дится на промежутке | равномерно, если существует сходящийся числовой ряд >) а, с положитель-
=1
ными членами такой, что для всех п>
Ми всех xel выполняется неравенство
Л,<) | <а
[6
[6
Ряд У) a, называется мажорантой функционального ряда УЛ, (х).
n=1
n=1
hr
Примеры. 1} Функциональные ряды ‚2. a, Sin nx и 5 а, COS NX сходятся в каждой конечной области равномерно,
io)
если ряд > a, абсолютно сходится. Tak как | a, т их | < |а„|и | а, cos nx|<|a,|, то ряд у 1а.| может быть выбран
n=1
:
n=1
в качестве мажоранты.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
351
2) Функциональный ряд
(—cos=)
|
п,
n=1
2x?
п?
..
х
(ох
в каждом интервале (a,b) является равномерно сходящимся. Действительно, 1 — cos — =2 sin? — <
‚ Так как
п
п
c\’
|sin x|<[|[x|]<C, где С = max (|а|, |6 |). Тогда 0<1 ~ cos <2( 2).n
=
2
Panу2:
n=1
‘сходится и является мажорантой данного функционального ряда.
Признак Абеля равномерной сходимости. Pan У, а, (x) Ь, (x) = ay (x) By (x) +...
.
n=1
.
+00
. + a, (x) b, (x) +... сходится для всех x е Г равномерно, если ряд +) Ь, (x) сходится в I равномерно
n=l
и для каждого хе[ последовательность {a, (х)} является монотонной и ограниченной.
Признак Дирихле равномерной сходимости. Ряд > а, (х) b, (x) = a, (x)by (x) +...
n=1
au
. + a, (x) b, (x) +... сходится для всех хе! равномерно, если частичные суммы 5 (x) = >» Ь, (x)
равномерно ограничены: | S2(x)|<M, M=const, и если последовательность {a,(x)} монотонно
и равномерно стремится к нулю.
1
п
;
ao
Пример. Ряд Cem сходится на отрезке [0, 1/2] равномерно, так как ряд ) x" на отрезке [0, 1/2]
n=1
n=1
.
.
©
сходится равномерно (см. признак Вейерштрасса; мажорантой, например, является )` (1/2)'), а последовательность
n=1
(n+a
1\"
{a, (x)} =
= <( 1 +— монотонно возрастает и ограничена (граница, например, с).
Свойства равномерно сходящихся рядов.
I. Пусть функции f, (x) (п =, 2,...) определены на отрезке I = [а, b] и непрерывны в некоторой
с
.
точке х = хо этого отрезка. Если ряд ) f(x) сходится на I равномерно, то сумма f (x) ряда также
n=
непрерывна в точке х = Xo. Тогда
lim УЛОЫЕУ lim f,(x.
х>Xon=1
n=1 XX
fee)
Il. Пусть функции f, (x) (n= 1, 2,...) непрерывны на отрезке | =[a, b], и пусть ряд. > fn (x)
|
no
сходится на [ равномерно и имеет сумму / (x). При этих условиях ряд можно почленно интегри-
ровать (т. е. поменять местами знак бесконечной суммы и знак интегрирования):
о -|хЛ»(x)dx=yFSalo)dx
Замечания. 1) Для почленного интегрирования ряда достаточно, чтобы функции f, (x)
(n = 1, 2,...) были интегрируемы по [а, 6] (не обязательно непрерывны).
2) Равномерная сходимость ряда у Г, (х) не является необходимой для перестановочности
n=]
знака интегрирования со знаком бесконечной суммы.
Ш. Пусть функции f, (x) (п =1, 2, ...) на отрезке I = [а, b] имеют непрерывные производные
Х» (х). Если: на этом отрезке ряд > Х, (х) сходится, а ряд, составленный из производных у ti, (x),
n=1
n=1
352
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ee)
сходится; и притом равномерно, To сумма / (x) ряда У)’ f,(x) имеет на I непрерывную производ-
n=1
ную, причем
г (Уfer)=ло
ее)
©
Замечания. 1) Если ряд ) f,(x) сходится только в одной точке I, а У Г, (х) сходится
n=1
[2
на I равномерно, To ряд >) Г, (х) на I сходится равномерно.
n=1
2) Эти свойства рядов нетрудно перенести на функциональные последовательности. Например,
свойству 1 соответствует следующее: пусть функции /, (п) (п = 1, 2,...) заданы на отрезке I = [а, 6]
и непрерывны в некоторой точке х = хо этого отрезка. Если функциональная последовательность
$100, £200, ..., Г, ©), ...
сходится на [Г равномерно, то предельная функция f (x) этой последовательности непрерывна
в точке х=хо м
-
lim. lim f,(n)= Пт lim f,(x)= lim f(x).
п> 0OXxX—>Xo
X4X9N-00
XXo
x
Примеры. 1) Последовательность /, (x) = те сходится Ha [0, !] равномерно. Предельная функция f (x) =0
непрерывна. Далее, по свойству I
1
2
$lim | are lim nC" [ош
к
2.2
1+x°n
n— 50
0
0
w
sin nx
sin nx
2) B pane yay функции /, (x) = ——— непрерывно лифференцируемы Ha произвольном отрезке [a, Ь]. Ряд
п
n
n=)
@
sin nx
sin ях
1
cos nx
7
—з в силу неравенства —з— < Ta сходится на [a, 6] равномерно, так же как и ряд a состоящий
n=l
n=l
a
COS NX
1
,
sin nx
= < =. Следовательно, сумма / (х) ‘ряда
7, непрерывно дифференци-
из производных /’ (х), так как
руема на [a, b] и
©
f'(0)=)сових
n=1
Пусть F — множество функций, определенных на отрезке I = [а, b]. Множество F называется
равномерно ограниченным, если существует число М такое, что
lf (x)| <M,
roe xel,
для всех функций f(x)eF (М не должно зависеть OT конкретной feF). Множество F называется
равностепенно непрерывным, если для любого & > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех х,, x,Е Г,
удовлетворяющих условию | xX, — х›| < 9, и для всех fEF выполняется неравенство
|f(x1)—Л(x2)|<e
(5 зависит только от €: 6 = (8) и не зависит от Ги OT X,, х›Е[).
Теорема Арцела — Асколи. Пусть на I = [а, 5] задано бесконечное множество функций
Е. Если Е равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то из него можно выбрать равно-
мерно сходящуюся последовательность.
3.1.14.5. Степенные ряды. Степенной ряд есть функциональный ряд с общим членом
tn(y)=a,(y~Yo)"
(n=0,|,2,...)
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
353
(я, — действительные числа):
w
2,а(у—Yo)"=Go+а,(у—Yo)+42(у—Yo)?+...+а,(у—Yo)”+
Действительное число yo называется центром степенного pana. Заменой переменного х = y — yo
этот степенной ряд преобразуется в степенной ряд
Уах"=во+аах+ах?+...+a,x"+.
с нулевым цептром. В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого ‘вида.
Существуют степенные ряды, которые
а) сходятся при всех х (всюду сходящиеся степенные ряды); например, ряд | —- сходится
п!
n=0
хр! nt
jx|
для любого x по признаку Даламбера: lim :
= lim -———-=0< 1];
now ХИ
psa nt!
D
6) сходятся только при x = 0, например ) alx", так как
п==0
(Их!
lim -
= lim ([x||[n+1])=a>1
|п
noo
п! |x|
no Oo
при x #0 (призкак Даламбера);
2
|xn+}
в} для некоторых х # 0 сходятся, для других расходятся, например ) x", так kak lim) ————=
п==С
noc |X|
= lim |x|= |x|. Таким образом, этос ряд при |x| < 1 сходится, a при |x| 2 1 расходится.
NBG
Свойства степенных рядов.
г
:. Если степенной ряд > a,X" сходится при X,, TO он абсолютно сходится для всех X, удов-
п=0
летворяющих неравенству |х|<|х, |, а если степенной ряд расходится при х., то он расходится
и для всех х, удовлетворяющих неравеиству |x| > | x, |.
wo
Если степенной ряд >) a,x" при некоторых x #0 сходится, а при остальных расходится, то
n=0
существует, и только одно, положительное число г такое, что степепной ряд при |x| < г сходится,
и лаже абсолютно, а при |х|>г расходится. При x=r ux = —r ряд может как сходиться, так
и расходиться. Число г называется радиусом сходимости степенного ряда. Если r > 0, то промежуток
(г) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Ansa вычисления радиуса сходимости служит теорема Коши — Адамара: радиус сходимости г
^ ©сс
,
|
j=
ряда у ах" равен обратной величине верхнего предела иоследовательности {И а, |}
n=O
1
are
lim |/|a,
nao
ee пу
.
——. Neo
{приэтомr=co,если limИа,|=0,4r=0,если limИТа,|=0).
naс
noe
Верхний предел г числовой лоследовательности {b,} есть верхняя граница «сгущения» последо-
зательности, т.е. для любогс 20 существует только конечное число индексов п таких, что
bh, > +8, но для бесконечного числа н спразедливо неравенство b, >г-=. Если для любого
действительного числа С имеется бесконечное множество индексов п таких, что b, > С, то говорят,
что верхний предел равен +002; если, напротив, имеется только конечное число индексов п таких,
что 5, > С, то говорят, что верхний предел равен — oo. Верхний предел существует всегда. Если
существует lim и a, |, TO
n>
Ш,
nyc
lim Иа,|= limИа,|.
>OD
ROD
354
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 1И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
noe
one ee:
ope
7
——-
`-
©
Радиус сходимости r степенного ряда У)’ a,x" может быть вычислен также при помощи при-
n=1
. Я+1
знака Даламбера: если существует: предел lim | —_
|
n> 0O
1
= 4, Tor =a =o при g=0 иг=0`при
гп
а=0).
x
Примеры. 1) Ряд > nx” имеет радиус. сходимосги r= 1, так как
n=0
|
1
1
jimУ м/n
noo
nao
.x?
2) Ряд » г имеет радиус: сходимости. г = 00, Tak Kak
п=0'.
,
1
1
г=
=
=©.
lim = —-—--~
lim ——
no (ntl)! noo "ti
3) Ряд 2. nx" расходится в граничных точках х = и х = —1 интервала сходимости.
n=Q
.у
.
в_
..
,
x"
,
/1
.
|
4) Ряд =~ имезт радиус сходимости г = 1, так как lim = = |; он сходится в граничной ‘точке x= -1
n—0
n=h
’
(признак Лейбница) и расходится в граничной точке x = | (г армонический ряд) интервала сходимости.
т.
n2
.
5) Ряд —,- имеет радиус сходимости r= 1, так как lim —-= или т ее = 1. Этот ряд схо-
ню} 1
пью (n+ I)
.n=
о.
;||
дится абсолютно и в граничных точках x = +1 интервала сходимости | о ряде a OM. 3.1.14.2
:
.
1.
n=l
lil, В каждой внутренней точке ичтервала сходимости‘ степенной ряд сходится абсолютно.
Во всяком замкнутом промежутке, который целиком лежит в интервале сходимости, степенной ряд
сходится . равномерно. Если степенной ряд сходится при х=г (не обязательно абсолютно), то
степенвой ряд на [0; r] сходится равномерно. (Если степенной ряд расходится при x =r, то на отрезке
[0, r] степенной ряд не может сходиться равномерно.)
cf)
Bo
0
|
IV. Степенные ряды У a,x" и У Сичка,чих" (К = 0, 1,2,...) имеют один и тот же радиус схо-
n=0
n=O
AUMOCTH [> частности, интервалы сходимости степенных рядов у a,x" И у па, xn! (k = 1) совпа-
n=0
n=0
дают
однако в граничных точках интервала сходимости ряды могут иметь различное поведение.
У. Теорема единственности разложения в степенной ряд. Если два ряда
р a,x" И у Dhx" сходятся в одном и том же интервале |x |<ги
во всех его точках (или ТОЛЬКО
n=0
в бесконечном подмножестве точек, имеющих нуль в качестве предельной точки) имеют одинаковые
суммы, TO эти ряды совпадают, т. е. а, = b, для п = 0, 1,2,...
Данная теорема обосновывает метод сравнения коэффициентов.
Примеры. 1) Ряды (1 + х)" = >) жи (1 +x) = >(*) x" при |х| < | сходятся абсолютно (см. 3.1.1.6, при-
n=0
n=0
мер 2)); следовательно,
(1+хи"—(+x)(1+x)?—) )(*)(,ы1) x",(1+xjere—»(*иу)x",
n=0 т=0
==0
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
355
„Тем самым получается теорема сложения биномиальных коэффициентов:
a+b
\(а b
а\(b\ab
a\ [b
=
=
+
+...+
‚п
m/\n—m
0/\n) 1] \и-—1
п] \0
m=0 =
|
для любых действительных чисел а, b и всякого натурального и.
2) Пусть f (x)= У a,x" и ряд имеет радиус сходимости г. Из условия f (x) = / (--х) (или / (—x) = — / (х)) следует,
|
n=Q
.
что четная (или нечетная) функция, имеющая представление в виде степенного ряда. содержит только четные (или
нечетные) степени.
`.
[$2
VI. Если У а, (х — хо)" — степенной ряд с радиусом сходимости г > 0, то его сумму / (x) можно
и=0
разложить также в степенной ряд с центром в любой точке xX, из интервала сходимости:
f(x)= Yby(x-x)", где by=У, Chemnam(Ха—Xo)".
n=0
m=0
(При этом все ряды, которые представляют b,, сходятся (см. свойство ГУ), a a9 paguyca сходимости
’, HOBOrO ряда справедливо неравенство
|
r,) 2r—|Xx,
—Хо|.
wm
`
УП. а) Сумма / (x) степенного ряда у a,x" для всех значений х из: интервала сходимости (— и, г)
ab:
есть непрерывная функция. Если степенной ряд сходится при x =r, то сумма f (x). при этом
значении х также непрерывна (слева):
lim0f(x)= уa,t".
xar-
n=0
Если степенной ряд сходится при x = —r, то сумма f(x) при x = —r непрерывна справа (теорема
Абеля о предельном значении).
ee)
6) Степенной ряд > a,x" всегда можно ночленно интегрировать на отрезке {O, x,], где | x1] <r:
n=0
x]
wo
71
red
|
ati
гой = За |edt= а.
.
|
п
пn+1’
0
n=O 0
n=0
при этом х, может совпадать с одним из. концов интервала сходимости, если степенной ряд
сходится в этой точке.
fe 6)
в) Степенной ряд ) a,x" внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать:
n=0
(6)
|
©
;
dx"
.
И
„п--1
Г’ (х) ыы
“indx=
па,х .
n=O
n=
am
Это утверждение верно также и для концов интервала сходимости, если ряд У’ пах" '
n=1
сходится в этих точках. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать
любое число раз (см. свойство ТУ):
@
ow
п!
—
к
.
,
fe (x) ГТА , a,x" ‘=k!
Ch+44+x".
n=k
n=0
356
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
@
1
;
Примеры. 1) Справедлива формула In (1 + x)= ни > x" (см. 3.1.14.6, пример 3)), r=!. При x=1 ряд
также сходится (см. признак Лейбница). Следовательно,
2) Справедливо равелство
ед:
| 1.3... 2. -— 1) antl
arcsin =x +
2.4... (Zn) Эн |
n=l
(см. 3.1.14.6, пример 3), , . Ряд пои x= t (а также при x = --1) сходится, так как
м +1 nten+0,25
aо (+2) Qn +3) > +251 +15
и р ба, =2,5 —1= 1,5 >1 (см. замечание к признаку Далэмбера}. Согласно теореме Абеля о предельном значении
имеем
п_oyesin 1=:1+ 1.3...(21—1)
1а1,1:3iy1-3-51
7~aresin|=
2-4.
7° 7245" 2.46 7
4...Qn) One 23+
\
3) Сумма сходящегося ряда уси. (см. признак Лейбница) может быть вычислена следующим образом:
x
_
a
=
_
т
<
)И — lim уС xt lim|yeyo"dts lim |;—t..dt=
3n + 1 x71-0 Zy 3nn+1
x5 1-0
xo t-oJ i+t
=0
о
0
=. lim |In_&tiy-4.Jarctg2х1+
|=1In2+_
x-o1-0L6 x*-xtl уз
Из 6y3i 3 зу:
4) Ряд функции Бесселя
удовлетворяет дифференциальному уравнению хи” + и’ + хи =: 0. Этот ряд сходится при всех х, и выполняются равенства
\
, Qn)’,
2
2n(2n—1
xJg =) (—1)"*' пень
д -Ус 1)" - (nis? "Si yan 1, xJ6 = yore2n (2n— 1) |-2п- Ш
n=1
wee)
Если сложить эти ряды, то в качестве коэффициентов при x2"~) (n = 1, 2,
wah12An (2n (2n — 1) + 2n ~ (2n)?)=
..} получаем
чтр и доказывает утверждение.
Другие примеры к этим утверждениям даны в 3.1.14.6.
4
VIN. Действия co степенными рядами. a) Если f (x -y a,x" ui g(x = Хм
n=0
A=
TO для любого х, являющегося внутренней точкой интервалов сходимости обомх рядов (см. свой-
ство Ш), можно построить сходящиеся ряды
Г(х)+g(x)=у(a,+b,)x", f(2)°g(x)=о уг.в.)x".
п=0
п=0 \m=0
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. РЯД ТЕЙЛОРА
357
6) Пусть 9(х}
— сумма степенного ряда с радиусом сходимости г: g(x)= У b,x", а f (и)-
|
1=O
©
,
;.
-
сумма степенного ряда с радиусом сходимости г’: { (и) = У али". Тогда F (x) =f (9 (х)) снова есть
3
сумма. некоторого стелзнвого ряда: Е (х) = у сх" — ПО крайней мере для Tex xX, ДЛЯ которых ряд
ne =O
a
>. | b,x" | сходится и имеет сумму, меньшую чем г. Коэффициенты ¢, вычисляются при помощи
п=0
Ds
рялов: C, = >) аи которые абсолютно сходятся при условии, что | bo | <", rue (9 (x - > by xX"
m=
п=
Доугими словами, чтобы получить степенной ряд для F(x), можно подставить и = > b,x" в сте-
ne
[73
пенной ряд у али" и привести подобие члены.
n=0
fe 4]
в) Если функция f(x) в окрестности пулевой точки есть.сумма степенного ряда ) a,x"
,
|
n=
,
1
и / (0) = 2. #6, то функция -:---- в окрестпости пулевой точки также есть сумма некоторого crTe-
f(x)
пенного ряда >) ¢,x"; так Kak для малых x оба ряда сходятся, то
n=O
Й
@
п
‘
[=--—--Л(4)=
> am ‘п-т x",
J(x)J)р(3,ыы
|
г:
И согласно теореме о единствениести разложения функции в степенной ряд выполняются COOTHO-
мения
i
1=AoC4,
0=уЧтСл-тпри И>1;
—
m=Q
отсюда можно найти ‹„. Точно так же можно представи’ ть отношение двух функций 9/Г, являющихся
суммами степенвых рядов, как сумму степенного ряда у. ¢,X" в некоторой окрестности нуля, если
n=O
ay = f (Q) 0. Козффициепты с, вычисляются из соотношения
a
м
x
или
у Вых" ==( У a,,X‘\( у oy"),
й
т.е. 43 системы
b
,
=
у
ЧтСи-ш
Д
Л
Я
п=0,
1
,
2
,
.
.
.
И
р
и
м
е
р
ы
приведены
в
3.1.14.6.
m
=
0
3.1.14.6. Аналитические Oynkunn.
Р
я
д
Тейлора. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
.
bd
.
"Функция f (x) называется аналитической
в
т
о
ч
к
е
хо,
е
с
л
и
д
л
я
всех
х
,
у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
я
ю
щ
и
х
условию
|х--хо|
<
г
,
функция
f
(
x
)
есть сумма некоторого степенного
р
я
д
а
:
f(x)=»а,(х~~Xo)”.
0
ners
Каждая аналитическая в точке хо функция алалитична также в некоторой окрестности хо
(см. 3.1.14.5, свойство V1). Сумма, разность и произведение апалитических функций —-- снова анали-
тические функции. Если функция f (x) — аналитическая в хо и / (хо) = 0, то функция 1/f (x) — также
358
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
аналитическая в хо. Функция / (9 (х)) аналитична в хо, если д (x) аналитична B Xo и f (и) аналитична
в точке мо =9(хо) (ср.
-
3.1.14.5, свойство УНП. Если f(x) аналитична в хо, то в некоторой
окрестности хо она дифференцируема любое число раз и
fo (x) =k! у. Che канч+ь (х = Xo)".
n=0
Тогда
‚
ne
f (хо)= k lay
И
XN £tn)
f
y
f(x)=».Pe (y—Xo)"
(3.4)
(ряд Тейлора),
Если функция f(x) в некоторой окрестности точки хо дифференцирусма ‘любое число раз,
а остаточный член в формуле Тейлора (см. 3.1.14.5) стремится к нулю при п -* oo, то степенной
ряд (3.4) имеет отличный от нуля радиус сходимости, а функция f(x) аналитична в хо.
Эти соображения можно перенести на степенные ряды с большим числом переменных.
Функция / (x, у), которую можно записать как сумму степенного pala от двух переменных: |
f(x,y)— у Ятп(x.>”Хо)"(У>Yo)"
т, n=O
с областью сходимости, содержащей точки, отличные от (Xo, Yo), называется аналитической в точке
(хо, Yo). Точка относится к области сходимости, если степенной ряд в этой точке сходится. Для
степенных рядов нескольких переменных имеют место теоремы, аналогичные сформулированным
в 3.1.14.5 для одного переменного.
Функция, аналитическая в точке (хо, Yo), дифференцируема по всем переменным любое число
раз, и
{ am"Х (хо, Yo)
Ginn = nin!
Ox" ду"
Таким образом, разложение функции f (x, у), если оно возможно, должно иметь вид
| о af(op Yo)
i. ee аохо)" (у — Yo)"
Да тт! OxTM ду
т n=Q
(ряд Тейлора).
|
.
_
.
Примеры. 1) Функция / (x) = Toy являстся аналитической в каждой точке xy, удовлетворяющей условию
| No | < 1. Разножение в стеисиной ряд для этой функции в точке хо нолучают следующим образом:
tr a)
!
Схм
х Lexg |-(х—хо1-хо)
(b= хо)" "1
n3Q
f (=>
0
1
+
так Kak x = т при |4| < 1; см. 3.1.14.1, пример 1) |. Ряд сходится при |х-х|<|1-х |=».
"п =>0
Чx"
2) Pan E(x) = aT имсет радиус сходимости г = co. Почленно дифференцируя, получаем, что
iy\x ATx"—
Е (<)= » (n—1)t УЕ
п!
n=0
и=0
Функция E(x) удовлетворяет дифференциальному уравиению у’ (x)= у (x). Отсюда следует, что Е (х)= Се’ и С=1
`АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. РЯД ТЕЙЛОРА
359
в силу Е (0) = 1..Таким образом,
ae
24a
и
х—
—_
Ре
—_
еуpmitxtsptapt+—>+
a=0
есть функция, аналитическая всюду.
Ряд
a
f(x) и]x
~n
n=O
имеет радиус сходимости r= 1. Почленным дифференцированием получаем для Г (x) дифференциальное уравнение
(1 +х) Г =аГ, ав качестве решения — f (x) =(1 + x), так как f (0)= 1. Таким образом,
a_Nv{4 _
afa-}) ,, afa—I)(a-2) ,
a(a—}).. Monat).
ase) (==I+ax+ aх+ 3.
х+...+-
>
"+...
п=0
для |х|<!.
3) Функцию f (x) = атозт x при x =0 можно разложить в степенной ряд (ряд Тейлора). Если найти производную
Г <) = ae ai тг. TO эту функцию при |x| <1 можно разложить в следующий ряд:
—1/2\ .
Л)=0-x?*7=Уи( /)x?"
n=O
(см. пример 2)). При |х| < 1 ряд можно. почленно проинтегрировать:
Г.:_
,_=
tn —1/2\. xen
|(t)dt=arcsinx== 1)( h)т.
0
n=0
Mostomy
7
2
х.131.3.5х
ye 3. -(2n—1)
x2b+
aresinxext
tap st agg 24"
для |x| <1. Справедливость формулы при x = +1 следует из теоремы Абеля о предельном значении и из примера 3)
к свойству УИ в 3.1.14.5. ©
Аналогичным способом получаются, например, следующие ряды:
xen
x?
x?
x?
_
х2--1
мавх= (1 mop =*7 at _ +...+(-0"7 5+... для [x] <1,
3°57
1
nal
С (cyt Sexy yp
yy
exe
inlta)=)(1) 7=x 5+3 4+...4+(-1) ри+...для
<х< 1.
nel
у
4) Для ‘функции f (x) = sin x
0
при k =2n
(n=O, 1....),
fTM (0)
.
и=“(yr=
7 (Qn+1)! при k=2n+1 (n=9, 1...)
поэтому
,=xml
хз
antl
Я X= xo якого”
г te FW areirt
#50
Так как для п-го остатка ряда,
+;
yt
(—1)"* "2 sin 3х, и нечетное,
В, =——,
(n+ 1)! { (—1)"? cos 9x, п четное,
|xI"+1
справедлива оценка | R,,| < heh a lim R,=0 при хе[а, b], To sin x представляется этим рядом ддя всех x.
п>0
360
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ | И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Таким же способом можио показать, что (пля | xj; < oC)
x?
„ x2"
COsх=dew om<= 1 +...+{-1)бигte
5) При помощи понленнохго интегрирования рядов получаются разложепия в степенные ряды некоторых интегралов,
которыс в конечпом виде через элементарные функции не выражаются. Из. равномерно сходящегося на любом
конечном промежутке ряда
25
2
$
6
2n
ye
x
x
x
x
x
aЕ
ен th. +... + (+...
:
!
.
.
ne
получается интеграл (для |х| < 00)
*7
<
x28 +1
хз
х”"
jer a= xen Brine
et te” ayaa
0
n=)
>
—
]
Так как (для |x|< ®)
Sit x
рх"
х?
,x
ра Getttрр
то отсюда следуст формула
x
ВО
\)
went
3
anv!
sinvsw=\(1 ях eet(D
eee
L, би41)!Gn+0
313
биз+0*
о
n=O
6) Функция F (x)= tg x, как отношение аналитических в точке x =O функций g(x)= м x, f(x) =cos x, f (0) =1
также аналитическая в TOUKG = 0. Можно найти разложение этой фуикции в ряд; так как фуикция tg x нечегная,
то разложение содержит только нечегиые степени x (см. 3.1.14.5, свойство У):
sin x
T.
1
tgх=--
=
И
zn 1.
.
cos x
(21 -+ 1)!
Из соотношения tp x COS NV =: sin x u рядоз ANA cos ХИ sin x‚ получаем
\
\`
T,
anh
\(
n7p)
1 п-т
Ти
„2+1 _
va ty"
x"Ш
(Quyt*
~ ani
уеи EDOn=amt PRO =
Qn+ 1!
a0
nwO
a=0
Используя теорему о сдииственности разложевия функции в стеиепной ряд, пслучим для определения неизвестных
коэффициентов Т, следующие уравиения:
и_|}т
Tn
=(1)"ОЕ
\
(2m + 1)!(2n— 2m)! — (Q2n+ 1)! °
шгоО
где n=0, 1, 2,... Отсюда лсгко вычисляются То = 1, T, =2, T, = 16, Т, = 272, Ty = 7936,.
хех + xs+1.ХЕХ +
о
3° 15 ° 315ХТ 2835
-.
x
м
7) Функцию р
можно разложить в степеиной ряд в окрестности точки х = 0, прселварительно доопредслив се
©—-
ирн x = 0 предельным значением |. Положим
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. РЯД ТЕЙЛОРА
361
Вычислим коэффициенты B,, используя теорему о олинственности разложения функции в степенной ряд:
О
<.
\
9
/
n
Ly a)
n
oy
1п
‘al
=)
x=
x.
aex! —
Хх.
у)
2-х —
No
x”_
Ba x",
п!
п!
мм)! т!
п!
0
г
n=
m=9
n=O
7
Сравнивая коэффивиенты при одинаковых степенях х, получим:
коэффициент при x: Bo = 1;
и
хозффициент при х": Bn _ Ba = 0 при n>2
ви:pa
пот т!
pane &
т-0
Можно в общем виде показать. чго коэффициенты B, — рациональные числа;
Во=1,
В: =- 1/2,
Bagot = 9
(К =: |, 2, ...),
Bax=={—tyBr
(k=:I,2,++),
roe By, — числа Берпулли:
|
|
|
5
691
$ —,—.
=
=> —=—
=:
9.=—-
= -—-——
rE» 92236 Bam aye Bem aq. Bs= GG» 882550’
.7
3617
43 867
174 611
854 513
Brag. Baxsige Bo=agg) Bio=бо Вияра
Нскоторые авторы называют числамн Бернулли Bn.
Пользуясь STAM разложецием, можно вычислить Cth x. Действительно,
xei?+e2
x
oe=
th —.
229—eox2 2 2
Заменив в этой формуле x Ha 2x, получим (Ana |x| <x)
oe
27"B,
1
1
2
хИх =+
{yt!A ytв|+ Хх 4 ен...
*‘
»tc) (2n)!
3‘ 45^ы945`
п={
Числа Бернулли используют также в следующих разложекиях:
uw
—<
22-"В„
. Janpen_
I
xetgx=1- )} -~——— xen
In[ <n,
tigx= у. a О Вх?" 1, |х|<-,
4 (и)!
.
д. (м)!
2
n=)
ey
.
in Хх
‘22В, x?"
<
x
(Qnyt 2» `
_|
att
8 Пусть f (x) — аналитическая в ‘точке x = 0 фупкция:
(о=а-ьх+ox?+dx?+ext4 +...
тогда f? (х) — также апалитическая функция; при ая*0 зиалитическими булут функции —--;- "2 (x) а при а>
0
--
f 5)`
|
-
функции Vf (x)(x), -—====-. Запишем первые члепы разложення в степенной ряд в окрестности ‘точки x = 0 этих анали-
f(x)
тических функций:
Г?(x)=a?+2авх+(6?+2ac)x?+2(ad+be)х?+:(с?+2ае+26)x*+2laf+be+cd)xP+.
| Ру +(2с
2bedb\,ое
3% NN
——=—
<=A
em |+Septeeу
tee Jatt.
J(x) а
“y
.@aаа
а
|
1
2b735°ee
She_24 м >,{Ghd|3 261256 55%\у
myo=yf р и
а]
+|--5-4op tp ttf,
f*(x) a
a
\a
a
а?и
а
a
a
SS
b
с\,dbe\,(¢bdс?3b7¢55%Vg
=
oexff —--——.-} x
А
-——
|
ХА... |,
Vi)=Иа|тах(= ba?xnma 4a? Tea=) ы2a 44а? 8a?*Téa 1280")*
|
Г1_Вхус
2g(Oe
_56°\3
а \Ba? 2a)
*
т ЗиTbe}хы
34 3 е 155% 355*\
wpaaPE4SEх4+...|.
+(dat*Sa?~Qa~“Teas*ai):
Уля Va
362
ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
cee eee
ееmeте0eeeeeee
9) Обратная функция x = (у) для аналитической функции у = f (x) = ах + bx? + ox? + dxt + ex? + feo +... а#0-
также аналитическая B точке у = 0 и имеет разложение в ряд
д(у)=Ay+By?+Су?+ру*+Еуз+Fy®+...,
где
|
|
b
too,
!
bg
> .-—
=———-
=—
—
‘
=—-
—
—53
А=В
3 С 3(2b?—ac),D ai(бабс—а?4—5b°)
Е = “5 (6a2bd ++ 8а2с? + 14b* — abe — 21ab0),
Pea tr (Ta®be + Tared + 84ab3¢ — a f — 28а2534 — 28а?6с? — 4253),
3.1.15. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Если {u,} — последовательность (числовая или функциональная), то последовательность {P,}, где
Ру = uj, Ро=ииь..., P, = {] Ик = UyU2... Uy, СОСТОИТ ИЗ частичных произведений бесконечного
k=l
;
произведения, которое символически записывается в виде
|.
Пи
n=l
Ясли существует 4, 0<q <1, такое, что для любого п выполнено неравенство 0 <и, <q, TO
lim Р, =0, т.е. предельное значение этого бесконечного произведения есть нуль, хотя ни один
n— 0.
ot
из сомножителей и, не равен нулю. Но Tak как. естественно выделить бесконечные произведения,
равные нулю только тогда, когда хотя бы один сомножитель равен нулю. то сходимость для
бесконечных произведений определяется‘ иначе, чем.сходимость бесконечных рядов.
со
.
Бесконечное произведение |] и, называется сходящимся, если. существует такое т, что для всех
n=1
n>m выполняется неравенство u, #0, и последовательность частичных произведений Pr =
n
= 8] их при n-> со сходится к отличному от нуля числу И": lim PTM =U". He зависящее явно
к=т+}
n— co.
от т действительное число U = u,u2...u,,U" называется значением бесконечного произведения. Если
‘прёдел. lim Р” равен 0, или со, или —00, то говорят, что бесконечное произведение расходится
n—- ©
к 0,. или к oo, или к —с0, Если предел Р" при n—-0oo не существует, то. бесконечное произведение
называется неопределенно расходящимся.
|
Из’ этого определения следует: сходящееся бесконечное произведение тогда и только тогда
равно 0, когда один из сомножителей равен 0.
Нримеры, 1) Бесконечное нроизведение
| — —;-] сходится и имеет значение 1/2, так Kak u, #0 для всех пи
n
1
1
1
| п+1
1—
ee
_—_
— ~~)Ja—.
Py(sr)(1wr)(in?)12a”
ar
|
откуда lim Р!=-—.
п>0
2a
2) Произведение
1 - > расходится к 0 (стремится к 0), так как и, #0 для всех пи
ОМА
И ee GO 12-3...
-0т
pre(i-4)(1-4)..(i- еее ь
откуда следует, что «lim Р!=0.
пoo
n=2
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
363
.
1
_.
3) Произведение HC + +) расходится к +00 (стремится к +06), Так как и, #0 лля всех ний
2.3.
р (1-Е) (14-1)... (1+) = 234+ оу
1
2
n
п!
откуда следует, что” Шт =P, = +00.
п»
Основные теоремы для бесконечных произведений,
I Если сходится бесконечное произведение П и» TO сходится’ такжё и каждое остаточное
n=l
wo
@
.
произведение п„ = П Um == Ир+1И, +2... Нели бесконечное произведение П ии имвет сходящееся
`.
mantl
|
и=1
.
is ¢)
остаточное произведение дл, то сходится также и само бесконечное произведение’ п u,. Это
|
n=1.
означает, что добавка или отбрасывание конечного числа членов не влияет Ha сходимоеть
бесконечного ‘произведения:
fo 6)
II. Если бесконечное произведение |] и, сходится, то
в
n=1
lim = uu Мм u,=1.
a> co
n—©
Для всех п, начиная с некоторого, все сомножители и, сходящегося бесконечного произведения
больше нуля. На основании I и ПЦ, таким образом, можно без ограничения общности считать все
и, положительными,
Ш. Для сходимости бесконечного произведения П и, C положительными сомножителями и,
n=1
59
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд =) Inu,
n=!
Если это условие выполнено. и L—cymMMa этого ряда, то
.
<.
U=e, где И= Пи,
n=1
Часто. бывает целесообразно записать произведение в виде П (1 + a,).
ap=:
Тогда согласно II условие lim a,=0 является HeEOGXOAMMBIM условием сходимости произве-
`
.Яо
дения.
IV. Если для всех п> т. справедливо неравенство а, >0 (или а,< 0), To произведение
.
со
.
1
8
(1 + а,) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд Say.
n=l
Vv. ‘Eom существутот как положительные, так и отрицательные а» TO ДЛЯ сходимости бесконеч-
n=1
ного произведения достаточно, чтобы вместе с рядом у а, сходился и ряд та a.
n=l]
n=1
VI. Бесконечное произведение п 1+а,) расходится к 0. тогда ‘и только тогда, когда для
n=1
n
достаточно болышого т справедливо. соотношение (см. П) lim у In (1 + a,) = - oo. Важные част-
И
Е=т
|
|
о
ные случаи: существует номер т такой, что для всех k >m a, <0, а ряд у. а, расходится или же
n=1
fee]
ряд )) а, сходится, а ряд У a? расходится.
n=1
n=1
364
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
УП. Для произведений с сомножителями любого знака справедливо следующее утверждение:
<
бесконечное произведение П (1 + а,) сходится тогда и только тогда, когда для любого действи-
n=l
,
тельного числа &> 0 существует такое М(=), что для всех n> N(e) и любого натурального р
выНолнено перавенство
я+р
I] (1+a,)—1|<6.
'
meni
Oo.
Бесконечное произведение [] (1 + a,) называется абсолютно сходящимся, если сходится произ-
п=1
co
ведение |] (1 +] a, |).
n=l
.
wm
iva)
УШ. Если П (Е + | а, |) сходится, то произведение [| (1 + а,) сходится. т. е. из абсолютной схо-
|
= |n=
n=l
димости следуст обычная сходимость бесконсчного произведепия.
D
D> a)
IX. Произведение l] (1 +а,) сходится абсолютно тогда и только тогда, когда ряд > a,
n=1t
a= it
сходится абсолютно (см. 3.1.14.3).
Х. Порядок сомножителей у абсолютно сходящегося произведения можст быть изменен
произвольным образом, при этом не изменится ни характер сходимости, пи значение бесконечиого
произведения.
a
avd
|
.
Примеры. 1) Произведение [] (1+ x? ) абсототио сходится ири |х|<1! к величине ---. Абеолютная
a=
—Xx
1
Pad
nv
сходимость данного произведения следует из абсолютной сходимости ряда >. x? при |х|<| (см. свойство |X).
иг
Значение произведения вычисляется следующим образом:
yhoo ll
эп
(Ех)=(Е--х) (+x(t>?)(+xt)Gd+
je boxy:
я
1-х?
|
поэтому P,
=
-—\ ——.
С
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
н
о
,
flim (Р,)
=
---—-—- пля
|
х
|
<1.
1-х
|-х
я>w
2) Бесконечное произвеление
с
о
|
x
(+1
.
NH
Г (x)
=
<
:
—
откуда, согласно свойству IX, следует абсолмотиая сходимость произведения. Далсс,
(TOY OY Сы nin
т
LEED И
я
х
х
хх
в.
+
+
Е+---
+—
|
2
3
i
Отсюда следует формула для гамма-функции
,он
—
п!"
_
Г9=an (x(x+1)(x+2)...(x+п)}
Хх,
и тогда
Poet)_м AX
=
x¢ltn
И-
следовательно. Г (х + 1) = xP (x).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПРИМЕРЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
365
3.2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Вариационное исчисление — математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных
(наибольших, или наименьших) значений функционалов. Под функционалом (линейным) понимаегся
числовая функция, определенная на некоторых классах функций. Функционал ставит зв соответствие
каждой функции из такого класса некоторое число. Примером функционала является интеграл
b
J (x) = J x(t) dt, где x(t)— непрерывная функция, определенная на отрезке [a,b]. Вариационное
а
исчисление являегся естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена
задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие вариационного исчисления тесно
связано с задачами механики, Физики и т.д. В ХХ веке возпик целый ряд новых направлений
вариационного исчисления, связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов мате-
матики и вычислительной техники. Одвим из основных направлений развития вариационного
исчисления во второй половине ХХ века является рассмотрение неклассических задач вариационного
исчисления. Это направление получило название оптимального управления. В основе решения задач
оптимального управления лежит общий математический прием, который носит название принципа
максимума Л. С. Понтрягина. Следует. заметить, что все основные необходимые условия класси-
ческого вариационного исчисления с обыкновенными производными следуют из принципа максимума
Понтрягина.
3.21. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.2.1.1. Постановка задачи, примеры и основные нонятия.
Пример 1. Существенный импульс развитию вариационного исчисления дала следующая, поставленная в 1696 г.
Иоганном Бёрнулли, проблема, которая обычно называется задачей о брахистохроне.
Между точками Ро и Py, расположенными на различной высоте, нужно провести соединяюшую их кривую Таким
образом, чтобы время падения тела, движущегося без трепия вдоль кривой из. Py в Р, под действием силы тяжести,
было минимальным.
Для решения этой задачи построим декартову систему координат с началом координат в точке Ро ис осью у,
идущей в направлении лежащей нижс точки Р.. Для случая, когда тело находится в момеит начала падения
в состоянми покоя в точке Po, из закона сохранения энергии следует, что
mgy = то?/2,
откуда для скорости v имеем 45/4 = v = И29у, и, тем самым, время падения { (с учетом того, что = + y? dx)
выражается интегралом
P;
Xp
и[в ГИУ
У|7
“ff
ыУм+Vy
Tpe6yetca найти функцию y (x), график которой соединяет обе точки Py (0,0) и Py (x4. y1), т.е. у (0) =0 и y (xy) =F,
и которая мияимизирует указанный интеграл.
Пример 2. Найти кратчайшую кривую между двумя точками Ро (хо, Yo) и Py (%1, у!) в плоскости x, у, т. е. найти
функцию у(х), при которой
Py
x4
—.—.-.
dss J 1+y? dx
Po
XY
принимает наименьшее зкачение; при этом функция y (х) должна уловлетворять условиям у(хо) = Yo, У (x4)== Уи.
В обоих примерах отыскиваются функции y (x), которые минимизируют функционал вида
x)
J(У)=|f(x,у,у)dx;
Xp
при этом задаются граничные условия у(хо)= yo, у(х,) =у,. Это Tak вазываемая простейшая
задачи вириационного исчисления.
Из всех классов функций, на которых ищется экстремум, здесь будут рассматриваться только
класс непрерывных и класс непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [а, b], которые мы
366
_ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
будем обозначать Со и С, соответственно. Следует отметить то, что в каком классе ищется экстремум,
весьма существенно, так как он может существовать. в ‘одном классе и не существовать в другом:
Аналогом расстояния между двумя функциями в каждом из рассматриваемых классов является
понятие нормы, которая в этих классах определяется следующим образом:
в С ШУ|с.= max УФ,
ах. .
max |у(х)|+ max |У(х|.
а<х<Ь
а<х<
вСШУ
В качестве =- окрестности 0.(”) функции у' понимают множество.
(W)={ylyeC, Пу-у к, <=}, 1=0,1.
Если для функции у’ из класса D (Г) существует окрестность U, (у°) такая, что
209 <70) или 10°9)>10) уе и, (DW),
To J (у) называется (локальным) минимумом или максимумом. Элементы из U, (у°) () D (Г) называются
также функциями сравнения.
Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. r оворя о максимуме или минимуме,
точнее, об относительном максимуме или минимуме, мы имели в виду наибольшее или наименьшее
значение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых. Однако
близость кривых может быть понимаема различно, как это видно из определения нормы. Поэтому
в определении максимума или минимума надо указывать, какая близость ‘имеется в виду (в смысле
класса Со или класса C,). Если функционал J [у (х)] достигает на. кривой у = yo максимума или
минимума по отношению -ко всем кривым; для-которых. модуль разности‘ у (x)— yo (x) мал, т.е.
по’ отношению к кривым, близким к у = Yo (x) в смысле нормы пространства Со, то.максимум или
минимум называется сильным. Если же функционал J [y. (х)] достигает на кривой у = Yo (x) максимума
ИЛИ ‘минимума. лишь по отношению к кривым у = у(х),. близким ку = Yo (х) в смысле нормы класса
C,, т.е. по отношению к кривым, близким к y = у (x) не только по ординатам, но и по направ-
лениям касательных, то максимум или минимум называется слабым.
Аналогично тому, как это делают в случае функций, число J(y°) называют наименьшим
(абсолютным минимумом) или наибольшим (абсолютным максимумом) значением, если
1(у°) <Т(У) или J(y*) >. (у) ЧуЕР (J).
‚ Из определения нормы в пространствах Cy и С, видно, что сильный экстремум является
одновременно и слабым, но не наоборот.
Основным элементом исследования в вариационном исчислении являются понятия первой
и второй вариации функционала
Положим Е (=) =. (у? + ch) и рассмотрим первую и вторую производные функции F (=} по
параметру = при #->0.
|
Величины F’ (0) и ЁР”(0) называют первой и второй вариацией функунонала J (у) и обозначают
соответственно 6. (у°, h) и 52. (y°, A).
Условия 65. (y°, h) =0.и 62. (у°, h) > 0 или 652. (у°, 1) <0 могут быть использованы при форму-
лировке необходимых условий экстремума функционала J (у).
_ 3.2.1.2, Теория Эйлера — Лагранжа. Задачей Лагранжа в вариационном исчислении называют
описанную в 3.2.1.1 задачу нахождения экстремума для функционала
Хх!
J(y)=|Л(х,у,У)dx.
(3.5)
Xo
‘fipu этом требуется, чтобы искомые функции` у (x) удовлетворяли. граничным условиям
у (хо) = у, y(Xi1)=)\.
‚ Если нет специальной оговорки, то считаем, что у(х) имеет ‘непрерывную производную у’ (x).
Необходимые условия экстремума. Дифференциальное уравнение ЭЙй-
лера — Лагранжа. Если функция у? (x) доставляет: функцноналу I (у) слабый (локальный) экетре-
мум, то она должна являться решением Sub ферениального уравнения Эйлера — Лагранжа:
fy-& fy =0,
35
г.
или в другой форме:
|
fy—Рух—Хуу'—Sy =0
ТЕОРИЯ ЭЙЛЕРА— ЛАГРАНЖА
367
(1 предполагается дважды непрерывно дифференцируемой). Так как сильный (локальный) экстремум
есть одновременно и слабый (локальный) экстремум, то дифференциальное уравнение Эйлера —
Лагранжа представляет собой также и необходимое условие для сильного (локального) экстремума.
Уравнение Эйлера — Лагранжа есть дифференциальное уравнение 2-го порядка. Решения этого
уравнёния называют экстремалями. Появляющиеся здесь ABE постоянные интегрирования опреде-
ляются при помощи граничных условий у(хо) =уо и у(х,) = у, так что должна быть решена
задача с граничными условиями.
Пусть y° (x) есть решение задачи (3.5), т.е. пусть существует экстремум. Для кривых сравнения
mune
Ye(x)=y(x)+eh(x), (Xo)=h(x1)=0
(Е — малый параметр) имеем
J(ye)=F(6)=§F(xy?(3)+eh(x),У9+Olt(x)4х.
Хо
Таким. образом, функционал F (e) есть функция только ‘парамстра 8. В силу предположения
о TOM, что у°(х) есть решение, должно выполняться соотношение
Л=Р (0)=0.
(3.7)
Вычислим Е’ (5):
x;
x,
г(®=|fixe|(Лив.+Л(0)dx=
Хо
Xo
(Tp
а py) hey |dx +h wel “cpa
=[ли(х)—=(У)109|x+(x)tyIxo=| (x)fy—9)
x.
Из РЕ’ (0) =0, в силу осповной леммы вариационного исчисления *), вытекаег уравнение
Эйлера — Лагранжа.
|.|
Из краткого описания доказательства видно, что предположение о сушествовании решения y°
данной вариационной задачи существенно. В то время как в теории задач на экстремум для
непрерывных функций (заданных на замкнутом множестве) теорема Вейерштрасса обеспечивает
существование решения задачи, в вариационном исчислении существует трудность, заключающаяся
в том, что задачи, которые формулируются корректно, в некоторых случаях не имеют решения.
Это означает, что существование решения данной задачи в’вариационном исчислении нуждается
в особых доказательствах.
До сих пор требовалось, чтобы функции у(х) были обязательно непрерывно дифференцируемы.
Это требование можно ослабить. Так, например, вариационная задача с подынтегральной фуякцией
Х (x, у, У) имеет смысл уже тогда, когда требуется только кусочная непрерывность первой произ-
водной у(х). Остается теперь ответить на вопрос, обладает ии эта функция сама по себе произ-
водными более высокого порядка и удовлетворяет ли уравнению Эйлера -- Лагранжа.
Лемма Дюбуа — Реймона. Равсиство нулю первой вариации функции у(х) (непрерывной,
с кусочно непрерывной первой производной) влечег существование и яспрерывность второй произ-
водной; тогда у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа, если /] (x, у, у’) по всем аргументам
дважды непрерывно дифференцирубма и
Гуу 20 (условие Лежандра).
1
.
.
Пример 3. Найти экстремум функционала! У (y) = { (yp? + у? + 2ye*) ах: ири у (0) = 0, у (1) =e. Уравиение Эйлера —
5
Лагранжа имеет вид
d|
2 (у +=”) — Te (2v)=0 или y"- y=",
„Хх
Таким образом, у (x) = C,e7* + Coe* + —
,
xy
*) Ссли g (x) nenpeppipna и | No (x}g (x) dx = 0 для любой иеспрерывиой фупкции, имеющей искрерывпую производ-
Хо
нуюитакой,чтоЙ(хо)=h(x,)-=0,Tog(x)=0на[хо,x1].
368
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ |
Используя граничные условия, получаем
/
ауееa
Специальные случаи задачи (3.5).
d
а) Если f = f (x, у’), т.е. Г, = 9, то уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид Tix (fy) = 0, так что
f'y = сопзё есть первый интеграл этого уравнения.
Пример 4. Найти экстремум функционала
,
(у = J + у2) 4х, y(-D=-l, у(0=1.
-1
Из условия f,=const получаем, что y=C,, и, следовательно, у(х) = С:х+ С›. Применяя граничные условия,
получим у(XxX) = x.
|
6)Еслиf=f(y,у),тоf,=0и4.-=ЕЛ + Ду"=ЛЬ+ГУУ
dx
Из уравнения Эйлера — Лагранжа следует. “то
af
О
й
d(Г,
——.. =
———t\]
.=---
,
dx
d
dx
7
d
рр
5
норм
..
и, таким образом, ix | f —yJ,) = 0. Следовательно, f — y fy = const есть первый интеграл.
x
oe
Пример 5. Задача о брахистохроне. Найти экстремум функционала (см. пример 1}
Xp
ги1+у?
= | 4х y(0)=0, у(хи)=ye
o
Иру?
р
дну. sree = Су, и, тем самым, yp (1+y'*)=
у
Va ty?) y
Изтого,чтоf—yf=const=Cy,¢
=ИС?=2K.
Используя замену у’ (x) = ctg (о (x)/2), получим, что y= 2K, sin? (v/2)= К, (t —cos в), y’ = 2Ky,v' cos (0/2) sin (5/2)=
= ctp (v/2), т. е. dx/K, = dv-2 sin? (v/2), откуда вытекают парамегрические уравнения экстремалей:
x=K, (v—sinv}+K,, у=К, (1 —cos в).
Полученные уравпения являются параметрическими уравнениями никловлы. Коисганты определнются из грапичиых
условий.
в} Если f =f (x. у) + a(x) у’, To уравиение Эйлера — Лагранжа упрощается и принимает вид
Sy =a (x)
(тривиальный случай).
г) Если f=f(y'), то Гу =const, и, тем самым, у (x) == const = Са, т.е. экстремали являются
прямыми вида
у(х}=Сх+Cp.
-
Следует учитывать, что экстремали HC всегда реализуют (локальный) минимум или максимум
функционала, так как уравнение Эйлера — Лагранжа представляет собой только необходимое условие
экстремума.
Приводимые далсе необходимые условия оптимальности позволяют в определентых случаях
исключить те экстремали, которые не дают экстремума функционалу.
Условие Лежандра. Используя вторую вариацию 524 =: F" (0), нолучают ниобходимое
условие экстремума Лежандра: чтобы функция y {x} доставляла слабый (локальный) минимум
(максимум) функционалу J (у), необходимо, чтобы для хЕ[хо. х,| имело место неравенсчво
Луи(х,¥(>),YO) 20 (Дн(х,у(х),У{х))<0).
(3.8)
Примср 6. Найти минимум функционали
1
———-..-.-
J(y=|(у?—13ИЕ м2)4х, у(0=0, y(l)=
Так как подынтегральная функция зависит только от у’, TO экстремалями звлзаотся прямые. С учстом гракичных
условий получается у (x)= x. Условие Лежандра имеет вид [у = 2 -- 13 (1+ у2)73/2 20. Для экстремали у(х) = х это
неравенство не выполняется, так что слабого локального минимума ve существует.
ТЕОРИЯ ЭЙЛЕРА— ЛАГРАНЖА
369
Условие Якоби. Пусть для функции у(x), хЕ[хо, х,), выполнено строгое условие Лежандра,
т.е. Лу» (x, у. У) > 0. Если при этом функционал J(y) имеет при у(х) слабый минимумы, то для
точки х„ сопряженной C хо, лолжно выполняться неравенство xX,> х;. Сопряженная точка x,
определяется следующим образом. Пусть и(х) есть решение дифференциального уравнения Якоби
/
ds. ,
an
d
\
geLor) (Sin~FeLiv)=0, ura)=0
39)
За X, принимают наименьший из корней функции u(x), лежащих справа OT хо. Если же u(x)
справа от хо He обращается в нуль, то полагаем x, = 00.
Пример 7. Найти минимум функционала
x
JQ) = f(y? +2уу - 16y) dx, уфе, Vi (=e
0
Уравнение Эйлера — Лагранжа у” + 16у =O имсст решение у (x) = С, sin 4x + С. cos 4х. Условие Лежандра выполнено
в строгой форме:
Pyy (х, v(x), У (х)) =2> 0.
Уравнени? Якоби (3.9) имеет вид
и"+би=0.и =0.
так что его решепис и (х) = С, sin 4х. Поэтому для сопряженпой точки получаем значение x, = п/4, т.е. условие Якоби
выполлено в случае, если xX, < 2/4.
Наряду с необходимыми условиями для слабого локального экстремума существуют также
необходимые условия для сильного локального экстремума. Как отмечалось, необходимые условия
для слабого экстремума представляют собой также и необходимые условия для сильного экстремума,
но не наоборот.
Условие Вейерштрасса. Для существования сильного минимума функционала J(у)
необходимо, чгобы для Е-функции Вейерштрасса
|
Е(х,у,у.|—I(x,у,1>f(x,у,у)—(1~y)ty(x,у,у}
(3.10)
во всех точках экстремалей у(х) для любого числа | выполнялось неравенство
Е(ху.у, >0.
(3.11)
Пример $. Найти минимум функционала
Л= [уdx, у(0)=0, yQj=i.
0
.
Речислие уравнсяия Эилера — Лагранжа даст экстремаль
у (x) =x.
Условие Лежаидра выполнено:
Деу=6y=6>0.
Решение дифференциальзого урависния Якоби
би"==0, u(0)=0,
имеет BILL u(x) = CX, так что для сопряженной точки имеем х,:= с, т.е. это необходимое услорие выполняется
и на экстремалях.
Даля Е-функции Вейерштрасса получаем
E(x, пу) =В-1--3(1--
=ЦР-3)+2.
Очсевидио, что эта функция пе для всех значений J исотрицательна, так что фупхционал может обладать при
у (xj == x самое большее слабым локальным минимумом.
|
Угловые условия Вейерштрасса — Эрдмана. Может оказаться, что рассматривае-
мый функционал J {у} в классе непрерывно дифференцируемых функций не обладает экстремумом.
Пример 9. Найти мниимум функционала
2
J(= [У (У 4х у(0=0, yQ=t.
0
Так как кодынтегральная функция от х ис зависит, то (см. случай 6) задачи (3.5))
У(1—УЛ+2y’y?(1—У)=const=С;
370
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
есть первый интеграл уравнения Эйлера — Лагранжа. Отсюда следует, чго
= dx.
d
ужи 5+ WIM ee
И?—С.
Поэтому экстрсмали имеют вид
2
2
ы
у—(x+C,)=(,.
Использование граничных условий приводит к кривой
(x—3/4)?—y?=9/16.
Конечные точки лежат, одпако, на различных ветвях этой гиперболы, Tak что непрерывно диффсренцируемой
экстремали, которая связывает обе точки, нет. Так как подынтегральная функция неотрицательна, то зиачение
функционала не может быть меньше пуля. Очевидно, что его нулевая граница достигается для функцин
0 для O<x<l,
y=] x-1 для 1[<x<2,
которая хотя и непрерывна Ha отрезке [0,2], но в точке x = 1 нс имест производной.
Рассмотрим класс кусочно пепрерывно дифференцируемых функций. Точку (x, у (х}) кусочно
непрерывно дифференцируемой функции у(х) называют точкой нерелома, если в точке х производная
слева р, = y_ (x) и производная справа py = у’. (x) функции у существуют и не равны друг другу.
Информацию о том, существуют ли экстремали с точками перелома, дают следующие два
условия Вейерштрасса — Эрдмана.
Если (x, у) является точкой перелома экстремали, то оба уравнения
Гу(х,у,Pi)=Лу(х,у,р2),
(3.12)
Sf —y Sven, = —YS iy=n,
(3.13)
должны иметь наименьшие решение, для которого ри ¥ р.
Пример 10. Для задачи из примера 9 условия для точки перелома дают
—2y?(1—py)=—2y?(1—р2),У?(Ll р?+2y?py(1—ри)=у?(1-pa)?+2y?2(1—р),
т.е. точки перелома могут появиться только при у = 0.
Естественные граничные условия; условия трансверсальности. Наряду
со случаем задания граничных условий у(хо) и у(х,} могут встречаться также случаи, когда:
1} существует только одно (например, у(хо)) или вообще не существует граничных условий;
2) граничное условие задается тем. что в точке x, (неизвестной) верно равенство y(x,) = { (х1),
т.е. точка (x,, у(х!)) должна лежать на заданной кривой / (x).
|
Равенство нулю первой вариации функции J (у) дает, наряду с уравнением Эйлера — Лагранжа,
следующие условия для недостающих граничных значений:
а) Если заранее известно только значение функции у(хо) в граничной точке хо, то грачичное
условис в точке xX, определяется из уравнения
Лу(хьУ(хи),У(хи)=0.
(3.14)
Аналогичное соотношение получается, если в точке хо не задано наперед значение функции.
Соотношение (3.14) называется естествениым гранииным условием.
6) Пусть в точке хо граничное условие задано в виде у (хо)= yo, а в точке x, (переменной)
требуется, чтобы y(x,) =f (x,), где ] (х) - задаяная кривая. В этом случае получается условие
трансверсальности
Л(ма,У(ха),УOa)+(ГCe)-У(хи)SyOsу(ху,У(<)=0,
(3.15)
с помощью которого определяется значение функции у (x,).
Собтношение, аналогичное (3.15), получается, если на заданной кривой должна лежать точка
(хо, У (хо)).
1
Пример 11. Найти экстремум функционала J (y)= | (у’2/2+ yy +у’-+ у) 4х, у(0)= 1/2. Уравкение Эйлера --
0
Лагранжа принимаст вид у“ = 1, так что экстремалями являются функции у (x) = х?/2 + Cyx+ Co.
Из у (0) = 1/2 следует С, = 1/2. Константа С, получается из (3.14):
fy(1,У(1,У(1)=У(+y(Qtl=f+С,+0,5+С,+0,5 £1 26,+16,
т.е. Cy = —3/2. Таким образом, экстремань имеет вид
у(x)=(х?—Bx+1].
ТЕОРИЯ ЭЙЛЕРА— ЛАГРАНЖА
371
`
Пример 12. Требуется определить кратчайшее расстояние между точкой (Xo, Yo) и кривой у = f (x). Эта ‘задача
Хх
сводится к задаче отыскания минимума функционала J (у) = | И! + У? dx, у (хо) = yo, у (х,) = f (x1), причем x, неиз-
Хо
вестно. Экстремали этого функционала — прямые вида
-у(x)=a(x—хо)+Yo,
так как подынтегральная функция зависит только OT у’. Точка x, определяется ‘из условия трансверсальности
V1+у?(x1)+ У) УC/V +У?(x1)=0,
которое приводит к известному соотношению ортогональности
у (хх =-Ь
Принцип Гамильтона. Вариационное исчисление играет основополагающую роль в сос-
тавлении уравнений механики и теоретической физики. Большинство этих уравнений может быть
получено на основе вариационного принципа при помощи понятия энергии. Так, например, принцип
Гамильтона в механике системы точек состоит в следующем.
Для системы такого рода переход из одного состояния в другое за заданный отрезок времени
[to, t;] происходит так, чтобы первая вариация функционала
ty
ty
J= |(T-—U)dt= [Га
to
to
равнялась нулю: движение системы осуществляется функциями, которые среди всех допустимых
движений делают упомянутый выше интеграл постоянным, т.е. уравнение движения системы
совпадает с уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала J. При этом Т означает кинетическую
и О — потенциальную энергию системы, а L= T— U — функцию Лагранжа. Интерес здесь фокуси-
руетея в первую очередь на обращении первой вариации функционала J в нуль, а не на вопросе
об экстремуме. Задачи такого рода также называют вариационными задачами.
Пример 13. Пусть материальная точка движется под влиянием силы тяжести (свободное падение). При этом
для киистической и потенциальной энергии имеют место формулы
T=my?/2 и U=-—mgy
(т — масса, у (В — высота точки ко времени 2).
Интеграл для функции Лагранжа имеет следующий вид:
[4
ty
J(yy= J (T—U)dt=m [ (y?/2 + gy) de.
fy
to
Согласно принципу Гамильтона уравнение движения системы есть уравнение Эйлера — Лагранжа для функцио-
нала J (у):
d/
mg —т = =0, т.с. y"=@Q;
(
таким образом,
y(t) =С, + Cyt + 92/2.
Это известное уравнение двизкенил для свободного падения,
Известный из механики принцип Гамильтона можно переносить и на другие физические
процессы, так что вариационные принципы представляют собой общий метод составления уравнений
в математической физике.
Другие залачи. Наряду с залачами для функционалов вида
xy
(у)=Jfy,У)dx
Xo
существуют также и другие постановки задач.
В дальнейшем в качестве условий экстремума указываются только уравнения Эйлера — Лагранжа,
хотя существуют и другие необходимые условия, аналогичные приведенным выше.
Задачи с высшими производными. Для залачи нахождения экстремума функционала
Ny
|
Л(у)= ГЛ лу,у";...,У)dx
Хо
372
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ.
=...
не
ee
--
А.
eee
—
-
—
-
--- >
с граничными условиями
У(хо)=Ус»У’(хо)=Yor-.-,У"А(хо)=yd",
у(x1)=у,У(Хх)=, ee WOOP(xy)=yf
‚уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид
а.da|
,a,
fy fy+aaSytetedFtFyn=0.
,
1
Пример 14. Найти экстремум функционала J (у) = | (y” — y)? dx.
Уравнение Эйлера — Лагранжа принимает вид
t
d
t
d?
f
’
it
)
ЛукЛу+FaЛу=Dy—Ay"+25%=0,
т. е.
у—2y”+y=0;
оно имеет решение
у(х)=e(С.+C2x)+e-*(С,+Сах).
Использование граничных условий приводит к получению искомой экстремали.
Задачи для нескольких функций. Для задачи нахождения экстремума функционала
Хх!
Л(у1,...5У) = J SG V1, 22s Ув У...У) aX
Хо
с граничными условиями у, (хо) = Yio, Yi(X1) = Vy =1,..., 2) уравнения Эйлера — Лагранжа имеют
ВИД.
7
а
7
.
ЛиGf=0
(i= 1,...,n).
Задачи в параметрическом представлении. Требование, чтобы искомая кривая
была задана явно: у = у(х), может существенно сузить задачу. Общее рассмотрение достигается
при.параметрическом задании кривой:
=x(th y=y(0.
Функционал
xX1
y= рух
Хо
принимает при этом следующий вид:
T=Гы9,70,00) 504
‘0
где Х и у- производные xX и у по f; подынтегральная функция не содержит явно независимое
переменное { и является однородной функцией первой степени относительно X и у.
В общем случае рассматривают функционал вида
"1
1=Jf(x,у,Х,У)dt,
10
причем подынтегральная функция является положительно однородной функцией первой степепи
относительно х
и
у, т.е.
`
Х(x,у,ax,ap)=9$(х,у,Хх,у)для ao>0.
/
При этом предположении значение функционала зависит только от вида кривой
x=x(t) y=y(t)
ТВОРИЯ ЭЙЛЕРА— ЛАГРАНЖА
373
и не зависит от специально выбракного параметрического представления. Уравнения Эйлера—
Лагранжа имеют вид
d
d
so
"=(
Ш
‘=0
Л. dt~* ‚Л 477
Однако они не являются независимыми друг от друга, так как на основании теоремы Эйлера
(для олиородных функций) выполняется соотношение
.77
d7]
.”
dJ
e(f- Fe :) +3 (f5~ чел) =°
так что достаточно решить только одно из этих уравнений.
Следует заметить, что получаемые решения хотя и являются экстремалями, но представлены
не в параметрической форме.
Пример 15. Найти экстремум функционала
1
_f vy
um
ome
1=| oi dt, xO=yOQ=0, xU)=y(I)=l.
0
Уравиепия ‘Эйлера — Лагранжа имеют вид
4[уу—0ayy?9[27—0
dt\x?
уxdtx
|
Tak как для отыскапия экстремали достаточио решить ‘только’ одно уравнение, то используем болсе простое первое
уравнение:
252
2 5,2
4 (2) =0, т.с. nein = yy? = (yy”? = const
и, таким образом, y2/2 = C,x +- С.. Используя граничные условия, получаем у? = x.
Задачи с дополнительными условиями в виде уравнений. При нахождении
экстремума функционала
xy!
J=JLOGVieeesУ»У...Yn)ах
Хо
с граничными условиями
У;(Xo)=Yio, Yi(х)=уп
и лополнительными услови ями
а) gj (х, Vi, ..., Уи) = 0 (j=1,...,m;m<n), или
xX,
6).Га;(х,Viseesу»У >Yn)dx=0
(=... т; m<n),
Хо
или (нзопериметрическая задача)
в) 9; (5%, У, 6-5 Ум Vato sees У) =O (У=Ь..., т;т < п) уравнения Эйлера — Лагранжа принимают
вил
=
(=... м),
причем так пазываемая функиия Лагранжа Г. дия дополнительных условий а), 6), в) имеет следующий
ВИД:
т
а)Г.(х,у,У,А)=Л(хуу)+УХ,(%)9,С,>) (у=(у,...,У);
ут
6)Lis у,No)=Хх,у,У)+УAggieУ,У;
j=l
в) L(x, уу, N=S (х, у, + YAK)9, (х, у, У).
jel
При этом экстремали у; (x) и постоянные A; или функции А, (x) (множители Лагранжа) должны
быть определены так, чтобы выполнялись дополнительные условия и уравнения Эйлера.
374
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Формулы для функции Лагранжа показывают, что здесь речь идет об обобщении известного
метода множителей Лагранжа при поиске условного экстремума.
Достаточные условия экстремума. В то время как для действительных функций
одного переменного условие f” (хо) > 0 (f” (хо) < 0) является достаточным для того, чтобы в точке хо
функция / (x) имела минимум (максимум), аналогичных условий для второй вариации 62.] (т. е. 52] > 0
или 52] <0) не хватает, чтобы получить достаточные условия экстремума для вариационной
задачи. Для этого привлекают дополнительные соображения, основанные на рассмотрении полей
экстремалей. В дальнейшем будет рассматриваться достаточное условие для слабого и сильного
экстремумов только для задачи Лагранжа нахождения экстремума функции
xX
=|f(x,у,у’)ах,
у(Хо)=Yo,
y(x1)=у!.
Хо
Будем говорить, что экстремаль у = у(х) можно расположить в поле экстремалей, если существует
семейство экстремалей y =у(х, С) (С — параметр) такое, что
— оно покрывает определенную область С плоскости x, у так, что через каждую точку С
проходит ровно одна экстремаль семейства;
— для данного С = Co имеется экстремаль у (x), причем у = y (x) лежит не на границе области С.
Поле экстремалей называется центральным, если все кривые поля исходят из точки (хо, Yo) EG
(центр семейства экстремалей). Наклон проходящих через точку (х, у) экстремалей поля называется
градиентом поля в точке (x, у) и обозначается р (x, Dd p (x, У) kak функция от (х, у) называется
градиентной функцией.
Достаточным условием для включепия экстремали в поле экстремалей (с центром (хо, уо))
является условие Якоби x, > х..
При применении Е-функции Вейерштрасса, определяемой соотношением
Е(х,YsPsу)=+(х,у,У)~f(x,у,р)~~(у—р)Sy(x,у,р)
(где p = p(x, у) — градиентная функция), получаются следующие достаточные условия экстремума:
а) Функция у(х) доставляет функционалу J (у) слабый (локальный) экстремум, если
1) у(х) является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа и граничным
условиям у (хо) = Yo, У (х!) = 15
2) у(х) может быть включена в поле экстремалей;
3) знак функции E (x, у, р, У’) не изменяется во всех точках (x, у), которые лежат достаточно
близко от экстремали у (x), и для всех значений у, лежащих вблизи p(x, у (х)). Функция у доставляет
функционалу минимум при Е>0 и максимум при Е < 0.
|
6) Функция у(х) доставляет функционалу J (у) сильный (локальный) экстремум, если
1) выполнены пункты 1) и 2) условий а);
2) функция Е (х, у, р, У’) не изменяет свой знак для всех точек (х, у), лежащих в достаточной
близости от у(х), и для любых значений у’ (Е > 0 — минимум, Е < 0 — максимум).
Пример 16. Найти экстремум функционала
J(5)=р
у (0 =0, УШ=1.
Для этой залачи, решенной в примере 8, экстремаль у = ох удовлетворяет условиям Лагранжа и Якоби и может
быть вклпочена в поле экстремалей у = Cx; Pyne имеет вид
Е(х, pp)=У—р?—3p?(у—р)=(¥—p)?("+2p).
Из выражения для Е-функцни видно, что первый сомиожитель всегла неотрицателен, а второй положителен для
значений у, которые расположены около i, т.е. y =X реализует слабый (локальный) минимум функционала. Условие
сильного экстремума не выполнено, так как при у < —2 Е-функция отрицательна.
|
Пример 17. Найти экстремум функционала
i
J(у)=|(x+2y+97/2)dx, у(0)=0, y(l)=0
Экстремали этой залачи имеют BHA
vex? +Сх+С..
Применение граничных условий дает у = х* — x. Условия Jlexanapa п Якоби выполнены. Экстремаль у=х? — x может
быть включена в поле у = x? + Cx,
,
Из соотиошения E (x, y, p, у’) = (у — p)?/2 видно, что ESO для всех у, так что экстремаль у=х? — х реализует
сильный (локальный) минимум,
.
ТЕОРИЯ Э ЙЛЕРА- ЛАГРАНЖА
375
Задачи: для функций многих переменных.
Пример 18. Найти экстремум функционала
Л(и)=Иf(x,у,и,uh,и,)dxdy,
(2.16)
С
и(х,у)=Uo(x,у)для (x,у)ЕOG
(3.17)
Здесь отыскивается функция u(x, у), которая определена в области С плоскости x, y и принимает заданные
значения: Uo (x, у) на границе 0G области С. Кроме того, требуется, чтобы и (x, у) имела непрерывные частные произ-
водные н, (x, у} и и, (x, У).
Болыьшичство из указанных выше условий экстремума для функций одного переменного непосредственно обобщается
и на. этот случай.
|
Так. папример, в качестве необходимого условия слабого (локального) экстремума функционала (3.16) получают
следующее уравнение Эйлера — Лагранжа:
д
Oy_
Ju
Ox.ХWe ay1%,—0.
(3.18)
‘
;
Это — дифференциальное уравнение в частных производных 2-го порядка. Так как значения функции и на границе
DG заданы, то краевая задача может быть решена.
Требование, чтобы фуикция и имела непрерывные произволные и» и и’, можно ослабить ирн помощи следующей
Теоремы Хаара. Равенство нулю вариации J (y) из (3.16) при непрерывной функции и
и кусочно непрерывных производных и, и и, эквивалентно равенству
ПЛ.ахdy= Su,dy-Ге,dx),
5
L
где 5 — любая односвязная часть множества С (ограниченная кусочно гладкими кривыми), а Г,
гредставляет собой ее границу (при обходе в положительном направлении).
Интегральное соотношение в теореме Хаара играет ту же роль, которую ранее играло урав-
нение Эйлера — Лагранжа.
Пример 19. Для функционала J (и) = ff (м'2 + и?) dx dy уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид
С
ихх + Шу = 0 (уравнение Лапласа).
Задачи Майера и Больца. Наряду с задачей Лагранжа на практике встречаются также
задачи на нахождение экстремума функционала
J(у)=F(yo(х!))
(3.19)
Или
XxX
J(y)=Fy(Yo(х1))+JFo(х,Yoo-++YurYou«++>Yn)AX
(3.20)
Xo
с условиями
Де (хь Yor ++ +s Yar Yoo «+9Ye) = 0 (i=0, 1,...,m; m<n),
®
У; (хо) = Yjo
Vj=0,1,ceen),
(3.21)
у;(%1)=Ул
(= 0, 1,..., n).
Задачи такого вида называются задачей Майера: ((3.19), (3.21)) или Больца ((3.20), (3.21). Так как
задача Майера есть частный случай задачи Больца (F, = 0), то рассматривается только последняя.
Функционал Fy (yo (х,)) из (3.20) может быть приведен посредством замены
Yn+1 (Х) = Е, (Yo (Х)),
т.е.
Yat (X) = Fy, (Yo (x)) Yo (x), Yn+1 (Хо) = Fy (Yoo)
К виду
Х!1
|Fy,(Yo(х))Yo(x)dx+Е,(Yoo).
Xo
Tax как РЁ, (Уоо} есть известная постоянная, которая не оказывает влияния на поиск экстремума,
376
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИ ОПТИМАЛЬНОЕ УГРАВЛЕНИЕ.
то задача Больца эквивалентна ‚слелующей задаче Лагранжа чахождения экстремума функционала:
J(y)=}(Fy,(Yo)Yo+F,(x,Yoo+++>У»Ус»..)Yn))dx,
Fi(х,You+++.УжYor-+sVn)=0
(i =0, 1,...,m5; m <n),
(Хо) = Vie (j= 0. [.....н).
ИУ) ТИ (1:=Г.....М).
3.2.1.3. Теория Гамильтона — Якоби. Между уравиеннями Эйлера
— Лагранжа и уравнениями
в частных производных 1-го порядка существует важная связь, которая была открыта Гамильтоном
и развита Якоби.
В дальнейшем будем рассматривать только функционалы вида
xy
У (у) = Г ЛС, у, У) 4х, ylxo)=Yyo, y(x1)= yp.
Хо
.
Предположим, что существует экстремальное значение функционала. Пусть, например, J есть
минимальное значение функционала J (у), т. е.
J = r= Г(х, уз, у’)dx.
Хо
Пусть искомая функция у°(х) соединяет точки Po (хо, Yo) и Р, (хи, 34), Т. е.
y°(хо)=Yos у?(x1)=yu.
J называют также характеристической функцией Гамильтона. Если считать, что функция y° (x) уже
определена, то значение J будет зависеть только от пределов интегрирования, т. с.
1
Я=J(хо,Yo:Хы,yi):
Предположим, что точка. Ро зафиксирована, а точка Р, может перемещаться, т.е. P, =Р, (x, у).
Тогда
f=J (x, у),
т.е. Л есть функция только координат. Можно показать, что функция J (x, у) удсвлетворяет сле-
дующим формулам Гамнльтона:
У,=f(x,у.P(x,y))—?Pp(x,y)fy(x,ysP(x,У),
(3.22)
=Лу:(%YsP(%У),
(3.23)
где p(x, у) = y° — градиент.
Формулы (3.22), (3.23) играют в вариационном исчислении фундаментальную роль. При помощи
этих формул можно вывести ряд условий экстремума; в частности, уравнение Эйлера — Лагранжа
получается, если предположить, что J является дважды непрерывно дифференцируемой функцией
по хиу. Исключая p(x, у) из формул Гамильтона, получают уравнение Гамильтона — Якоби:
J+H(x,y,Ji)=0,
(3.24)
®
где
Н(х,у,J’)=(pf(x,у,р)—1(х,у,2)=(x,у,Л,)
(Н — функция Гамильтона, или гамильтониан); р=у (x, у, J) находим из уравнения (3.23) (в прел-
положении, что Г’, | y =p # 0).
Уравнение Гамильтона — Якоби является уравнением в частных производных 1-го порядка для
определения экстремума J (x, y) функционала J. Общее решение (3.24) может содержать наряду
с постоянными также и функции, которые можно выбирать произвольно. Пусть
/
J=J (x,у,a)
есть однопараметрическое семейство решений, в котором параметр а является суцественным, т.е.
выступает не только как аддитивный член. Тогда основная теорема теории Гамиль-
тона — Якоби позволяет утверждать следующее: функция, определенная из уравнения
OJ(x;у,а)
да
ранжа для функционала . (у) в неявной форме:
= b (b — произвольная постоянная), является общим решением уравнения Эйлера — Лаг-
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
377
Во многих случаях поиск решения уравнения Гамильтона — Якоби оказывается более простым,
чем уравнения Эйлера — Лагранжа.
-
Пример 20. Найти экстремум функционала
xy __
JQ)=ГИС?+) (+у?)4х y(Xo)=уь уе
Хо
Запишем формулы Гамильтона применительно к данному случаю. Имеем
ИЕР — pV oyep =apy Tepe
Решение уравнения Гамильтона — Якоби
Wet=+у
находят в виде
J(x,у)==(x?sina—2xycosa—у?sina)/2.
Из ураянения @J/da = b/2 получают общее решение уравнения Эйлера — Лаграижа
x*cosa+2хуsina—y?cosa=b.
3.2.1.4. Обратная задача вариационного нсчисления. Необходимое условие того, что функция
y (x) доставляет экстремум функционалу J (y), приводит к уравнению Эйлера — Лагранжа. Обратной
задачей вариациониого исчисления называют задачу построения по заданному уравнению в частных
или обыкновенных производных функционала J (у), для которого это уравнение представляет собой
уравнение Эйлера — Лагранжа. Этот ‘метод играет важную роль при численном решении дифферен-
циальных уравнений с граничными условиями.
В общем случае, однако, построить функиионал J(y) по заданному дифференциальному
уравнению довольно сложно.
|
Частный случай. Рассмотрим уравнение (в частных или обыкновенных производных) вида
Аи=f,
где А — линейный дифференциальный оператор, а f — известная функция. Пусть, далее, оператор А
‚симметричен, т.е. (Au, 5) =(и, Av), и положителен, т.е. (Аи, и) 20 (равно 0 только при и=0).
Выражение (и, у) означает скалярное произведение функций и и о. Если уравнение Аи= f имеет
решение, то ONO доставляет минимум функционалу
$(и)=(Ли,и)—2(u,Г).
Обратнс, если существует элемент, который реализует минимум функционала J(u), то этот элемент
является решением уравнения Au = f.
Выводы этой теоремы могут быть применены для построения функционала по заданному
уравнению в частных или обыкновенных производных, причем так, чтобы уравнение Эйлера—
Лагранжа для этого функционала совпадало с заданным уравнением. Главная трудность состоит
в доказательстве того, что оператор А является симметричным и положительным.
Пример 21. Пусть дано уравнение
ди“ (ро) м) +ади=/
—
dxp
dx,
дн =, (x)
с грапичными условиями u(a)=u(b)=0. При предположениях, что функции p(x), р’ (x) q(x) и f(x) являются
непрерывными и для каждого хе[а, b] выполняются неравенства p(x)> ро > 0, 4(х)> 0, оператор А является сим-
мстричным и положительным:
b
h
b
(Au,v)=—|v(x)+(p(x)in.)dx+|q(x)н(х)в(x)dx=|(р(x)ul(x)и(x)+g(x)и(x)в(х))dx=(и,Av)
e
ы
й
а
a
a
(для в (a) = v (b) = 0), т.е. А симметричен. Если подставить в это выражение v = и, TO получим, что
a)?
a
«
b
(Au,и)>po[wydx>wo iGdx>0,
т.е. оператор А положителен. Таким образом, вышеупомянутое уравнение Аи= { является уравнением Эйлера —
378
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
еее
еееаов совансанежепсалеев eeecreeNo
Лагранжа для функционала:
,
{1
Л(и)={((_a(o&.)+ww)и--2)dx.
Пример 22. Пусть дано уравнение Пуассона
Au=—Au=--их—uy=f(x,y)
с граничными условиями и (х, у) = 0 для всех (x, у) е OG, где 0G — граница области С, в которой ищется решение. Тогда
aG
если v (x, у) =0 при (x, y)e0G, и
6)(Au,и).=—ffu(uf,+uby)dxdy=--|(-ии,dx+ии»,dy)+[|(u'2+и)dxdy=|(и2+и)dxdy20.
С
dG
G
С.
Из (Аи, и) =0 следует и’? + и? = 0, т.е. и (х,.у) =0.
Таким образом, оператор А. является симметричным и положительным, и AIA функционала J (и) получается
выражение
.
J(и)=ff(u%+u'5—2fu)dxdy.
j
G
3.2.1.5. Численные методы. Во многих практических случаях уравнение Эйлера— Лагранжа
нельзя решить точно и приходится использовать приближенные методы. Для того чтобы решить
уравнение Эйлера — Лагранжа, можно привлекать численные методы решения дифференциальных
уравнений (прежде всего метод сеток). Так как при этом приходится решать краевые задачи, то
часто появляются трудности. Поэтому для численного решения вариационных задач применяются
прямые методы. В этом случае стремятся избежать решения дифференциальных уравнений
а пытаются построить минимизирующую последовательность.
Если функционал J(y) ограничен на своей области определения ДР (J) снизу, т. е.
inf J(y)=m> 0,
ЕР (J)
?
то каждую последовательность {у"} из D (J), для которой имеет место равенство
lim J {y"} =m,
ne
называют минимизирующей последовательностью. Cama последовательность {y"} при этом не обяза-
тельно должна сходиться. Кроме того, не всегда имеются ‘минимальные элементы y? € D (J)
(т. е. J (у°) = "). Зачастую относительно {y"} можно только сказать, что
Л(у"*") < Г(у") (n = 1, 2,...)
(метод релаксации).
В то время как при помощи уравнений Эйлера — Лагранжа определяют локальный экстремум,
прямые методы позволяют паходить абсолютный экстремум. Правда, необходимы дополнительные
соображения относительно того, насколько решения, найденные прямым методом, удовлетворяют
уравнению Эйлера — Лагранжа.
Метод Эйлера рассмотрим на примере решения задачи нахождения экстремума функционала
bo
(у)= 11(%у,У)ах, y@=y, y(b)=Ye
а
Если отрезок [a, b] разбить на и равных отрезков точками
.
a
.
x, =at+i———
(i =0,...,п),
И
то на основе метода прямоугольников функционал J (у) можно приблизить выражением
п-1
Ль(У)=ЛО...,MaeDHA2.Лача,уь(Via.-УП)
(h = (6 — a)/n, у; = у(а+ No). Тем самым получаем приближенную задачу на нахождение экстремума
для функции п — [ переменных у1,..., У-1.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
379
Пример 23. Найти экстремум функционала
1
J (y= 10" + у: + 2xy) dx, y(0)=y(l)=0.
Отрезок [0, 1] разбивается на пять равных частей, и
у =У (0) =0, у =у(0, 2), у,=у(0,4), v= у(0, 6),
уз = (0, 8, ys=y(l)=0, У) = Yo= (1 — 0/0, 2),
у"(0,2)=у;=(у;—УДО,2), у’(0,4)=у,=(уз—y2)(0,2),
У'(0,6)=уз=(у,—уз)ДО,2), У’(0,8)=у,=(0—у4)0,2).
Приближенная задача на пахождение экстремума функционала
a
2
Js(У)=f(Wisу»VarYa)=0,2Yess} +yetоду)
1:0
решается мегодами дифференцизльного исчисления:
.
2(y2—У1)
2(Уз—у2).
toe
ие РА 42у,+0,8=0,
“2.
0,04
0,04
у?
2
2
—
fy, = he LORY)4 ay, 404=0,
0,04 (0,04
„ _ @уз-у) — 2Wa— Js)
—2(va=У» 24
_ бу) _ 204 lyn +12= 1a, 204) 2% 17,4160,
Vy, 604
oo Te +12=0 Sy, 004. + coat “et
В следующей таблице сравниватотся величины у, полученные на основе данного приближения, с точпыми значениями
у (0, 21 (округленными до четвертого знака):
i
yi
У(0, 2)
1
— 0,0286
0,0287
2
— 0,0503
— 0,0505
3
-- 0,0580
— 0,0583
4
— 0,0442
— 0,0444
Метол Ритца. При помощи этого метода, как и при использовании метода Эйлера,
вариационная задача сводится к задаче отыскания экстремума функций.
.
Основная идея заключается в следующем. Пусть uy, из, из,... есть полная система функций
в области определения О (Л) функционала J(y), т.е. каждая функция у из D(J) может быть
приближена с любой степснью точности линейной комбинацией функций и;:
.
п
Yn(x)=Уaju;,
i=I
причем число п зависит от требуемой точности.
Если эту линейную комбинацию подставить в функционал J (у), то он окажется функцией
только параметров а:
1уau)=f(ay,...,Uy).
i=l
Необходимым условием того, чтобы эта функция принимала экстремальное значение относи-
тельно параметров ат, (12, ..., а», является система соотношений
fa,=0,fa,=0,vssЛа,=0.
Из этой системы нелинейных уравнений определяются параметры a; Функции и; называют также
координатными фуикциями. Они подбираются обычно таким образом, чтобы функция
удовлетворяла граничным условиям задачи.
380
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
—
.
>a
Пример 24. Решсние задачи из примера 23 методом Ритца.
Допустим, что используются координатиые функции
u,(x)=x?—x,из(x)=x?—x7,...,uy(x)=хх".
‘
Пусть n равно -2, т.е.
уз(x)=ay(x?—x)+ay(x?—х?),у,(0)=y2(1)=0.
Тогда
1
J(уз(x)=|(a,(2x—1)+az(2x?—2х)+(а,(x?—x)—ag(x2—x7)?+2х(ay(x?—x)+an(х*—PP4х=Sf(ai,ay).
Из условий Si, =Ои f,, == 0 вытекает, что
и, следовательно, а, = 69/473, a, = 77/473, у. (x) = (77x? — 8x? — 69x)/473.
с
.
-
Сравнение с точпым решением у (х) = oye --е””) — х дано в таблице.
2—
yn (20
y (29
|
--0,0285
—0,0287
2
-- 00506
— 0,0505
3
--0.0585
-- 0.0583
4
— (),0442
— 0.9444
Пример 25. Как следует из примера 22, уравнение Лапласа
их+Vj,=O
ссть уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала
Л(v)=|(v'2+из)dxdy.
G
В
>.
Пусть область G ограничена прямыми x=0, у=0, х+у-=-1 и на ее границе 96 фувкция v (x, у) == x" + ра.
Возьмем координатные функции вида
ио(х,у)=?+2, и(ху=ху(1-х-У из(%у)=ху(1-х-у}..
иположимп=3,т.е.
v3(x,y)=x?+у?+ayxy(1—x—y)+арх2у(1—x—у)+азхзу(1—x—у).
Функция Up (x, у) прибавляется для того, чтобы v3 (x, у) удовястворяла граничным условиям. Таким образом,
J(v3)=f(a1,а»,аз).
Из соотношений Ло, = 0, Ле, = 0, Su, =0 получим, что a; = 3,6401, a, =a3 = —0,0562, и, следовательно,
v3(x,у)=x?+у?+ху(1—x--У)(3,0401—0,0562(x+x”).
Memoo градиентного спуска. Так же как и для задачи нелинейной оптимизации, для численного
решения вариационных задач можно применять метод градиентного спуска.
Пример 26. Пусть требуется минимизировать фуикциопал
xy
JY= fFГ(ху,У)4х,
Хо
причем па функции у(х) ис накладывается кикаких граничных условий.
Градиент функционала J (у) определяется в гильбертовом пространстве следующим образом.
Если дифференциал Гато
ЛИ) - ЛО)
lim -
1-90
t
существует и равеи (Л (+), 4), то Л’ (у) называют граднентом функунонила J (yj Под скалярным
xy
произведением (и, 0} понимают интеграл | н(х) v(x) dx.
Хо
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
381
В 3.2.1.2 было рассмотрено выражение
xy
.Ги.Ч
51=|(=Sy)mtdx,
Хо
°
откуда для градиента получаем следующее выражение.
ы
d
“7
IW) =Sy— se Sy.
Если у(х) является экстремалью, т.е. fi, — - fy = 0, то J’ (у) = 0, т. е. получается To же выражение,
#
что и в случае функций многих переменных. Используем этот градиент для приближенного
решения указапной выше задачи.
Исходя из известного начального приближения у’ (x), построим послелующие приближения
по формуле
|
у"1—у"_BJ’(y").
Величину шага В, можно определить, например, из формулы
J(y"—B,J"("))=minJ(y"—BU’(y’)).
B20
Заметим, что J (у" — BJ’ (у"))
— функция только параметра В. Для последовательности { У} имеет
место цепочка неравенств
71(у}>/1(9>...2./(у">...
Пример 27. Рассмотрим решение задач из примеров 23 и 24 па нахождение минимума функционала
1
= f(y?+y?+2xy)dx
a?
(конечно, без задания граничных условий).
Из уравиения Эйлера — Лагранжа у’— у-—х-==0 следует, что у(х) = Cye* + Се * -- x} произвольные постоянные
Ст и Cy можно определить из (естественных) граничных условий
|
y (0=С,-С, -1=0, у(1) =Се- Cae"! - 1 =0,
г. ¢,
$—о
1-е
С,—TT
иГ’
С,==-Пр.
<-a“
Се—с
Вычислим градиент
.
Л(y)=2х+2у--2y"
и положим
УТ=:у—В,(2х+2y”—2(y")").
Пусть начальное приближение у! (x) = 0. Это озмачаст, что J’ (у!)== 2x и J (y') =0, откуда для первой итерации
следует:
2
й
yrs y' — ВЛ (у!) = --2Bx,
J(у?)=4{(82+В2х2—Bx?)dx=4(4Bp?——-в)=min,
т.е. Ви= 18, у?(x)= —(1/4)x, J2)=—1/12.
Аналогично делают следующие шаги. Процесс останавливают, когда J’ (у”) =0 или, например, когда разница двух
следующих друг за другом значений функционала становится достаточио малой (например, J (y") — J (y""') < &).
3.2.2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
3.2.2.1. Основные почятия.
_ Пример 28. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки. Состояние движущегося
объекта можно охарактеризовать функцией x, (tf) и скоростью xX, (1. На лвижение можно влиять
выбором ускорения и {!). Уравнения движения при этом имеют вид
X;=X2,
Хх.=U.
382
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Существенно, что состояние объекта, описываемое указанным законом (системой обыкновенных
дифференциальных уравнений), изменяется под внешним воздействием (управлением). Функции
x, (t),..., x, (t), описывающие состояние объекта, называют фазовыми координатами объекта. Вектор
x(t) с координатами x, (t),..., х„(Г) называют фазовым вектором, п-мерное пространство точек
x — фазовым пространством. Состояние объекта зависит от величин управления и, (t),...,и, (1),
которые объединяются в вектор управления u(t); г-мерное пространство точек и называется
пространством управления.
Если х° =x(to) есть начальное состояние объекта, то состояние X(t) должно однозначно
определяться заданием x° и u(t) (t-> to). Соответствующую кривую в пространстве состояний,
исходящую из точки х°, называют траекторией.
|
Пусть закон изменения состояния описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений (динамической системой):
"1 =f; (x1, veey Хи Uy, ---, И» t),
Xu=Л,(%1,weyХиUy,+.»И»t),
или, в векторном виде,
X=f(x,и,1),ЕЕ[1#1|.
Если функции Л (x, и, t) и 4/./0х, (i,j = 1,..., и) непрерывно дифференцируемы по всем аргументам,
то говорят о непрерывной динамической системе. Динамическая система
д=у.a;(t)xX;+‚>bin(t)uy,
j=l
=
[=Ах+Bu,
где А- их и-матрица с элементами. а, а В-—п х!-матрица с элементами bj, называется
линейной.
Две динамические системы
Хх = Г(х. н, |), 2=9(х, и, 1)
называются эквивалентными, если существует невырожденная матрица Р размера п x и с постоянными
элементами ‘такая, что
z(t) = Px (1.
Тогда 2 =Р.х=Р./(Р” 12, и, t).
В общем случае вектор управления не может выбираться произвольно, так как в силу
реальных технических условий на него. накладываются определенные ограничения. Пусть И есть
подмножество в пространстве управления, определенное, например, посредством неравенств | м; | < aj,
или |и| <a, или # (и) <0, и пусть u(t) принимает звачения только из И; тогда U называется
областью управления (зачастую область U является замкнутой или даже замкнутой, ограниченной
и выпуклой).
Очень часто на u(t) накладываются дополнительные требования гладкости. Если, папример,
управляющие устройства работают безынерционно, то это значит, что управление должно быть
кусочно непрерывным.
Управление называется допустимым на отрезке [fo, ¢t, |, если
1) u(t) принимает значения только из U;
2) u(t) кусочно непрерывна.
Состояние х' называется достижимым из состояния x° = x (to), если существуют допустимое
управление и такое 1, >fo, что для соответствующей траектории х(!,)= x'. Множество всех
состояний, достижимых из х°, называют множеством достижимости, относящимся к начальному
состоянию x° = x (fo) и области управления U. Если при этом задано и #1, то говорят о множестве
достижимости, относящемся к х°, U Wty.
Если множество U выпукло, то для линейной системы множество достижимости, относящееся
к фиксированному ¢,, является также выпуклым (множество достижимости в общем смысле при
этом не обязательно выпуклое).
Всюду в дальнейшем будем считать, что область управления совпадает со всем пространством
управления. Если состояние х' =0 является достижимым из состояния х° = х (19), то говорят, что
x° — управляемое состояние в момент времени to. Если каждое состояние x° является управляемым
ПРИНЦИН МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
383
в момент времени fo, то систему для времени & называют. управляемой; если каждое состояние x°
является управляемым для каждого to, то систему называют полностью управляемой (т.е. каждую
точку пространства состояний при любом начальном моменте BpeMeHH можно перевести в начало
координат).
Система управляема тогда и только тогда, когда любая эквивалентная ей система является
управляемой. Однако это утверждение трудно использовать для практического анализа.
Для линейной системы, у которой элементы матриц А и В являются постоянными (автономная
линейная система), справедливо следующее утверждение.
Пусть С есть’ матрица размера n xX n-r:
G = (В, АВ, А?В,..., А" 1В);
линейная автономная система
Хх=Ах+Bu
является полностью управляемой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
rangG=и.
3.2.2.2. Принцип максимума Понтрягина. При одинаковых начальных состояпиях данной динами-
ческой системы, но при разных допустимых управлениях получают, вообще говоря, различные
функции состояний и, следовательно, различные процессы (и (1), x (1)). Поэтому имеет смысл говорить
о таком процессе, который оптимален в некотором смысле. Тогда говорят об оптимальном процессе;
соответствующее управление называют оптимальным управлением, соответствующее состояние —
оптимальным и соответствующую кривую — оптимальной траекторией.
Основная задача. Пусть задана динамическая система
X=f(x,и,1
с начальным условием x (to) = x° и областью управления U. Ищется такое допустимое управление
и соответствующая траектория, что для фиксированного конечного момента времени f, выражение
J=Уаж)=ox(ts)
где с; — заданные постоянные, является минимальным. (Очевидно, что речь идет о минимизации
линейной комбинации координат конечного состояния.)
И
Введем присоединенную вектор-функцию p(t) с координатами ру (1). ..., Dy, (1), удовлетворяющими
соотношению
' Of;
.
АУ Zp, ри (#1)
= —с: (i=1,...,п).
xj
jl
Вводя обозначения с = (с1,..., Ca), р=(ри,..., Dns
ивa,\
у_ Ox,0х!
OX,
Ox
,
Of,
02
дn
Ox, OX,
Ox
получаем векторное представление:
of
p= —-3—P, Plti)= с
x
n
Под функцией Гамильтона понимают выражение Н = ) p;j;= pf. Таким образом, динамиче-
i=
ская и присоединенная системы могут быть представлены в форме канонических уравнений:
.
oH
х=a.
х(to)=хо,
р=-— —,
р(#1)=—с,
др
вх
ОН oH
roe —— и —— — градиенты H no рих.
др
дх
384
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Принцип максимума Понтрягина. Для того чтобы процесс (и (1, x (t)) решал заданную осиовную
задачу (т.е. являлся оптимальным процессом в смысле постановки задачи), необходимо существо-
вание не равной тождественно нулю присоединенной функции p(t), являющейся решением при-
соединенной системы с соответствующим граничным условием и такой, что - для почти всех
teé[to, t,] выполняется условие
maxНip(1,x(t),и,t)=H(p(t),x(1),и(1),2).
ueU
Если нужно максимизировать J, то указанное относительно Н условие максимума заменяется
соответствующим условием минимума или граничное условие записывается в виде p(t,) = +c.
Существенное преимущество принципа максимума по сравнению с классическими теоремами
вариационного исчисления состоит в TOM, что он применим ‘для любого (в частности, замкнутого)
множества И. Расширение класса возможных областей управления И по сравнению с классическим
случаем открытых множеств весьма существенно для приложений теории.
Если нужно минимизировать дважды дифференцируемую по всем аргументам функцию
J =F [x (11)},
TO в принципе максимума Понтрягина начальные условия для присоединенной системы’ слелует
заменить Ha
pi(ts)= —
Если нужно минимизировать функционал
ty
J=J fol u tdt,
10
где функция fo удовлетворяет таким же условиям, что и [, то функция Гамильтона определяется
формулой
Н=-л+ у Pris
i=
а присоединенная система имеет вид
п
of
of;
|
=
Ур р, (#1) =0
(i=1,...,n).
.
Nj
1=1
Пример 29.
Ж=х., X2 =U, x; (0) = хр, lujJ<l, t, =1.
1
Найдем оптимальное управление, при котором функционал. | (и + и?) dt оказывается миннмальным. Имеем
0
H*=—(w+?)+хор:+ирз=хр:—(Е-рии, р=0, р,(1)=0, Po-рь р: =0,
ра (1) =р2 () =0.
11
Следовательно, Н* = —и- и? = — ( + 3) + re Максимум Н* доставляет и = -- 1/2.
Условие для конечной точки. Условие трансверсальности. Условия в за-
дачах. часто задаются в конечной точке x (t,). Tak, в дополнение к основной задаче на оптимальной
траектории часто должны выполняться условия вида
F, [x (1,)] =0
(k = 5...
M),
|
_ CF,
‘причем предполагается, что функции F, дважды лифференцируемы ло всем x; и якобиан | ---—OX;
имеет максимальный ранг т. Тогда условия F,=0 (k =1,...,m) определяют в пространстве
состояний некоторое гладкое многообразие.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
385
Требуется найти такое оптимальное управление, которое переводит точку x° =х (0) в произ-
вольно выбранную точку этого многообразия. Если вектор p(t,) перпендикулярен конечному
многообразию, т. е. если
OF
Pi(11)=рос;—У,=
Lui Ox, t=
х:=1
1
при любых значениях параметров 2, (ро < 0 — постоянная), то говорят о выполнении условий
траисверсальности.
Конечные условия для р (1!) в принципе максимума Понтрягина должны быть заменены на эти
трансверсальные условия.
Если критерий оптимальности задан в интегральной форме:
fy
ГNo(хиt)dt,
lo
то гамильтониан определяется формулой
H*=pofo+у.Didis
i=1
а присоединенная система имеет вид
где ро < 0 — постоянная. В том случае, когда условия для конечной точки не задапы, можно сразу
записать, что ро = —1.
Важнейшие соотношения, устанавливаемые в принципе максимума Понтрягина, приведены
в табл. 3.4.
|
Если I представляет собой множество {1,2,..., п}, а конечные условия таковы, что
ж (#:) =х: для iel
(некоторые конечные координаты заданы), то условие трансверсальности принимает специальный вид:
заданы для ТЕР
Pi (#1) =uo Рос; для i¢ I.
Пример 30. Дано
XEN
x1(0)=x2(0)=0, x,(Dem(NEL
X2 =U,
Надо найти оптимальное управление, при котором минимизируется интеграл
Имеем
|
Н*=ро5Ww?+рих»+рам,
Pr=0,
pi (1) = -NoМ, p2 (I= -^»,,
ра=—Рь
г.е.
Pift)=—Л! ир.{t)=Ayl—А—A>.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
386
o
a
t
|
=
:
1
'
d
a
2
=
(
7
‘
d
‘
n
‘
x
)
.
H
х
е
ш
п
р
а
в
=
(
3
‘
а
‘
п
‘
х
)
н
х
е
м
I
p
f
o
=
*
«
Н
р
о
.
|
и
1
и
3
{
и
н
-
a
w
e
d
a
у
ю
н
ь
э
н
о
х
м
о
н
н
о
9
0
8
э
и
и
э
и
з
о
к
о
д
э
о
н
ч
к
э
л
и
н
и
о
п
о
[
[
9
>
0
4
Т
=
Е
T
=
"
=
0
Т
?
—
Г
—
,
0
=
°
а
х
о
,
“
f
f
[
—
=
0
4
.
1
;
х
е
,
т
=
Е
=
o
7
1
0
<
7
T
=
T
i
1
x
9
a
=
]
x
o
i
т
а
т
p
a
0
=
(
"
2
)
'
d
о
м
—
-
=
(
м
5
“
<
—
|
2
=
0
2
4
]
|
.
;
|
4
0
A
?
=
(
1
2
)
i
d
i
=
]
х
о
.
—
о
O
d
=
(
:
1
)
4
—
1
2
0
4
=
(
¥
4
)
!
d
э
п
н
о
х
P
H
K
H
A
O
A
t
=
f
l
=
f
x
O
1
х
0
х
о
а
—
—
—
а
—
=
!
а
—
=
—
=
!
f
o
<
о
д
‘
f
o
(
¢
в
и
м
а
л
о
и
о
K
E
H
H
O
H
H
I
T
S
O
O
N
]
]
C
=
}
т
f
d
+
5
9
4
=
„
Н
а
<
=
Н
н
е
и
н
о
1
ч
н
и
й
е
J
и
ч
н
г
о
9
о
я
о
(
1
3
)
x
w
i
a
u
r
o
g
o
a
s
(
!
1
)
x
и
а
н
и
о
9
о
0
ч
>
(
1
1
)
x
|
о
=
[
(
2
)
x
]
“
y
и
.
о
=
[
(
"
)
x
]
*
y
о
=
[
(
2
)
x
]
*
4
L
s
!
ш
и
т
=
(
3
‘
n
‘
x
)
O
f
[
u
r
=
[
(
1
2
)
x
]
4
и
и
=
(
1
2
)
1
х
<
1
1
u
p
e
в
п
и
к
о
е
]
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
387
еее
---
-
Тем самым максимум фупкции Гамильтона дает оптимальное управление (очевидно, что Po <Q и можно принять
Po=—1)
u(t)=Ayt—Ay—А.2-
Неизвестные параметры A, и А. должны быть определены так, чтобы система переводилась в конечиую точку
xX,(1)=x2(I)=1.
Интегрируя уравнения состояния, получим, что
1
1
1
x1(t)=&r,t?—>(A,+A)12,
x2(1)=5А.112—(At+^.2)1.
Из условий x, (1) = х, (1) =1 следуют линейные уравнения для определения параметров A, и Л»:
1
1
1
вм Aitddahb м-Ar+Aa)=1
так что оптимальное управление имеет вид
и(1)=—61+4.
Если на управление и накладываются ограничения (например, |и (1)| < 1}, то, как легко видеть,
найти оптимальное управление становится значительно труднее.
Аналогично получают условие трансверсальности для начальной точки в случае, если x(to)
не задана, а только требуется, чтобы x (to) являлась точкой гладкого многообразия, описываемого
следующей системой:
|
Св[х (to)] =0
(В=Ь,...,4.
Тогда для присоединенной векторной функции должно выполняться условие
!
0G
р:(to)=-) Ивz=|
prt
(i= 1,..., A).
=
Задачи со свободным конечным временем. Во многих задачах конечное время f,
не задано, и тогда говорят о задачах со свободным конечным временем.
В зависимости от задачи (основная задача, другие виды критериев оптимальности, условия
в конечной точке) принцип максимума может быть дополнен условием
гп
maxH(x(t),и,p(t),t)=| ——рat
НЕЙ
ot
ty i=]
или (в случае, если критерий задается в интегральной форме)
tn
;
af
max Н* (x(t), и, p(t), t)= | He р: at.
ueU
Ot
ty i=0
Если имеется автономная система, т.е. функции fj (х (1), u(t)) зависят от Е неявно, TO из того,
что 0/0: =0, сразу вытекает, что
max Al (x(t), и, p(t)) =0
иЕЦ
или
тах Н* (x(t), и, p(t)) =0.
иЕЦ
Если нужно-минимизировать {; — to, то говорят о так называемой временной оптимизационной
задаче (оптимизации по времени). В этом случае критерий оптимальности можно также записать
ввиде%
fy
{fodtcSo=|,
lo
Тогда
п
Н*=pot>,ил=Po+Н.
388
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Дополнительное условие принимает вид
tn
.®
Of;
.
maxH(x(t),и,р(t),t)=
=р:dt—Po-
иЕЦ
cl
ty i=1
Пример 31. Дано
|
Х=х2, Х =,
О<и<1.
Надо найти такое допустимое управление, чтобы точка x, (0) = 1, x, (0) = —1 переводилась в точку x, (t;) = x2 (15) = 0
за кратчайшее время 21. Следовательно,
Н=pyX2+рам,
ра=0, р2=—Р1.
Управление
1,еслиpz>0.
0,еслиpz<0,
максимизирует Н. При интегрировании присоединенной системы получаем
р:=by, ра=byt+be
с неизвестными постоянными интегрирования by, 62. Очевидно, р» нанболее часто претерпевает смену знака, Т.е. опо
может давать наиболее частое переключение управлении с и = 1 па н=0 или сн=0 Haus},
При и =! интегрированием системы состояний получаем семейство траекторий
12
Хх! УЕ +1.
Х2==}+.32
(51, $2 — постоянные интегрирования). Исключая [, получим семейство парабол
1
,
хи== XfSy— 53.
2
2
Соответственно для и = имеем семейство прямых
Хи=ИЕ+ГЬ, Х2==72
(ry, г. — постоянные интегрирования). Очевидио, что никакая прямая этого семейства не может пройти через конечную
точку, которую нужно достигнуть, Tak как тогда должно было бы выполияться г, =r, =O. Для семейства парабом
|
1
1
из условия х! = xX, =0 сразу получается, что 51 > $2 =0, т.е. парабола x, =: 5 x} проходит через конечиую точку.
Так как х. возрастает монотонно по f, то попадание в конечную точку происходит, но на ветви параболы
x, = -—-хь,
X2=0.
Так как эта парабола не содержит начальную точку, то сначала необходимо управлять с и = 0, пока ие будет достигнута
нужная парабола, а затем сделать переключение на и = I.
Время переключения {› и полное время ft, могут быть легко вычислени..
Исходящая из.начальной точки траектория получается при и =0:
хх=-Е+1, ха==-1.
1
1
1
Для 1, имеем х, => x3, или 1-12 =>, или {› = > Достигнутое состоянмс есть
Из условия x, (#1) =х, (1) =0 следует, что 1, = 3/2. Для присоединенкой функции р›, тахим образом, должны
выполняться следующие соотношения:
<0 при i<1/2,
p2(t)< =0 при 1 = 1/2,
>0 при ¢t> 1/2,
т.е.by=2b,b,<0,
`° Добавочное условие принципа максимума Понтрягина также выполнено.
Системы с распределенными параметрами. В отличие от задач управле-
HHA, которые описываются обыкновенными у дифференциальными уравнениями, задачи, которые
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
389
описываются уравнениями в частных производных, называют системами с распределенными па-
раметрами.
Для этих задач можно сформулировать принции максимума Понтрягина аналогично рассмотрен-
ному выше.
Так, например, для задачи нахождения минимума функционала
п
4(и)=»cQ;(а,5)
i=!
при weU с
,
Qixy=fi(х,у,0,О»,О,и)
(i=1,2,eesn),
О,(x,0)=в,(x),©;(0,у)=gi(0),No(0)=gi(0),
и =(и,,..., м,) -- кусочно непрерывный вектор управления,
О =(Q,,..., О,) — вектор состояния,
приицип максимума Понтрягина имеет следующую форму:
Для того чтобы процесс (u(x, у), О (х, у)) решал данную задачу, необходимо существование
присоединенных функций М; (х, у}, являющихся решением присоединениой системы
и dy,
Nixy=Ho,dx.Но,7dy О»
Nix=—Но,|=ь, Niy=Ho |=
М;(а,5}=-с;
(i= 1, 2,...,м),
так что почти для всех (x, у)Е [С, a] x [0, b] выполняется условие максимума
maxН(x,у,N(x,у),9(х,у),9.(%у).Qy(х,у),и)=A(x,у,М(x,у),Q(x,у),9;(х,у),В,(x,у),и(х,у)).
ну м(%DS HDOo09)
Пример 32. Найти минимум функционала
11
У(и)=|J(x-—1)Qdxdy
о
при |#н|=1 с
OK, = -20.-0,-20+и —0(х0=0 (0, у) =0.
ху
Вводя функцию Qy (x, у) = | } (х— 1) Qdx dy, получим основную задачу нахождения минимума функционала Qo (1, 1)
a
при условии, что |и|<Ти
Qoyx=(x—1)Q,
Qo(x,0)=Qo(0,y)=0,
Ny=-.20,-Vy-20+3, Q(x,0)=QO,y)=0.
Максимизация функции Гамильтона
Н=No(x- ПО+М(-20,-О,--20+и)
дает оптимальное управление
и(x,у)=signМ(x,У).
Решение присосдиненной системы
oxy=0,
Ney=—2N+2М,+М,+No.(x—1),
Nox=9|=1,
м,=М],
oy =O lye,
Ny=2Nlasths
No(1,N=1,
М (11 1)=0
Г
.
имеет вид Ny (x, у) = —1, М (x, у) = и (eX! --х) (| -- е2 971), так что оптимальное управление выражается функцией
(ох
.
u(x,у)=sign3(ет х)(Ll—e?8"P)=sign(e*7!—x).
Для систем, которые описываются дифференциальпыми уравнениями в частных производных
другого вида, существуют аналогичные принципы максимума.
390
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Связь между теорией оптимального управления и вариационным ис-
числением. Теория оптимальных процессов разрабатывалась для решения задач с замкнутой
областью определения. На основе этой теории можно решать также и вариационные задачи.
Пример 33. Пусть задана задача Лагранжа (см. 3.2.1.2) нахождения экстремума функционала
1
J(x)=|f(x,%, dt, x(to)=x°, Хх)=x.
lo
При помощи замены X (1) = н (8 получают следующую задачу оптимального управления: найти экстремум функционала
ty
J(и)=ff(x,и,04 X=u, х(to)=хо, х(11)=х'.
to
Гамильтониан и присоединеиная система имеют вид
Н*=ри—f(x,и,0,
р=Хх(xм,1).
Так как управление и (t) принимает значения из открытой области, то
Hi=p-—Sfi (x, и, t) = 0,
.4.
откуда может быть определен максимум ИЛИ минимум гамильтоциана. Из этого равенства следует, что р ~ Tt Sa
Учитывая, что X =ни p =f), получим уравнение Эйлера
pat .=0 х(tg)=x® x(#1)=x!
xdtx
°
0
’
{
`
3.2.2.3. Дискрегные системы. Если область определения функции состояния x(t) является
множеством конечного числа значений 11, 15,..., у и изменение состояния происходит согласно
закону
x(t.) =f (x (ии), и (ty), ty)
(k= 1,..., М),
то говорят о дискретной системе. При этом и (t,) является г’-мерным вектором управления в момент
времени Е, с областью управления U,.
Вводя обозначения: u* = и(t,), x* = x (t,), представим систему в виде
xe= и,ty)=f*(хит,м.
Если положить & =k, то систему можно наглядно описать при помощи МNo-ступенчатого процесса
k
(рис. 3.51). При этом x* есть выходное, x*~! — входное состояние ступени К, a w* — управление,
ju’
jue
jun
1
k No-1
N
—= Ступень! 2. т СтуПЕНЬ k 2... ЫбтуленьМ-
8
S
~
~
>
|
Рис. 3.51.
действующее на этой ступени. Выходное состояние получается в зависимости от входного состояния
и соответствующего управления.
Особое значение имеет следующая оптимизациониая задача. Дана система х“ = f* (х*-1, и)
(К =1..., No), f* по меньшей мере один раз дифференцируема по всем переменным,
ute U* (замкнутое),
хо.
я
No
‚_.М
М
Найдем такое допустимое управленис и“, чтобы сумма » сх’ была минимальна (х; — коорди-
i=1
наты выходного состояния x"), Если нужно минимизировать Е [x%], то для каждой ступени вводят
величину состояния х +1:
xh=В(хо=FLSECA,и]
Цель оптимизации
— минимизировать х\ ,. Для таких систем могут быть сформулированы
некоторые типичные постановки задач, подобно тому как это делалось для непрерывных систем.
Можно сформулировать эту задачу с позиций теории Беллмана.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
391
Гамильтониан ступени К (k=1,...,N): He = У phft (xt, uh),
i=1
Присоединенный вектор p* и присоединенная система ступени К:
_
oH*
Ч
ofk
pk ta Sere Иа
pi=—с,
(i= 1,..., n).
Принцип максимума. Если и оптимально в смысле поставленной задачи, то необходимо
существование No присоединенных, отличных от нуля векторов р", представляющих собой решения
.
GFT* (р", x**, и")
А
к
присоединенной системы и таких, что
ке:
=0 в случае, если и’ лежит внутри U",
i
Н* (p*, x*-1, и") максимально В случае, если и" лежит на границе UX.
В отличие от так называемого сильного принципа максимума для непрерывных процессов,
эту форму называют слабым принципом максимума.
3.2.2.4. Численные методы. Принцип максимума (необходимое условие оптимальности) дает
полную систему для определения неизвестных величин. Однако ‘в нем не содержится никаких
алгоритмов для вычисления этих величин.
Как и при рассмотрении численных методов вариационного исчисления, различают так назы-
ваемые прямые и косвенные численные методы.
Принцип максимума Понтрягина приводит к так называемой задаче с граничными значениями
в двух точках для определения функции состояния и присоединенной функции, причем дополнительно
должна быть решена задача максимизации.
1
Пример 34. Найти мичимум функционала J (и) => fe (t) dt при условни, что |и |< Ти х=х+ы, x(0)=0.
0
Максимизация гамильтониана
1
Н*=р (хи x?
достигается за счет оптимального управления и (t) = явп p(t), так что для определения x(t) и p(t) получают задачу
с граничными значениями в двух точках: |
X=x-+signр, x(0)=0,
р= -р+х,
p (1) =0.
Численные методы для приближенного решения этой задачи и для требуемой приближенной
максимизации гамильтониана называют косвенными методами. Эти методы определяют величины,
которые удовлетворяют необходимым условиям оптимальности (принцип максимума).
Так же, как в вариационном исчислении, для приближенного решения задач оптимального
управления зачастую применяются так называемые прямые методы. Они создают монотонно
убывающую последовательность значений функционала, или минимальную последовательность (опре-
деление см. в 3.2.1.5).
Значительную роль среди прямых методов играют так называемые градиентные методы.
Градиент J’ (и), определенный в 3.2.1.5, для функционала
ty
J(u)=|fo(x,u,t)dt
w
fo
cx=f (x, u,t), x (to) = x°, имеет вид
J(u) = —His
cp=—Hy,p(ti)=0uH*=pf—fo.
Таким образом, для приближенного решения задач оптимального управления теперь
можно применять известные градиентные методы нелинейной оптимизации. Рассмотрим кратко
три из них.
° а) Метод градиента для задач без ограничений. На управление и не наклады-
вается никаких ограничений. Исходя из начального управления и’ (1), дальнейшие управления
вычисляют согласно правилу
и—y!—Вы’(и)
(=Ь2,...).
392
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
{
6) Метод градиента для задач с ограничениями.
61) Условный метод градиента. Пусть w' (t)-- начальное приближение. Дальнейшие
управления вычисляются согласно правилу
и=—Bi)ul+Вы;
у получаются при этом как решения линейной «вспомогательной задачи» нахождения минимума
ty
функционала f{ y'(u')vdt при veU.
lo
62) Проекционный метод градиента. Пусть u! (1) — начальное приближение. Даль-
нейшие управления вычисляются согласно правилу
и =py(и'—Вы"(м;
PU означает при этом оператор проектирования на множество О, т.е. нужно решить «BCHOMOLS-
тельную задачу»
Ви—py(w)|=ма]w--uf
ueU
при |м-и] = тах |w(t)—u(t)|.
Е, ty
Трудности всех трех методов заключаются в выборе величипы шага В.. Шаг должеи быть
определен так, чтобы для соответствующих значений функционала выполнялось перавенство
У(uit!)<Л(и)
(=Ь2,...}
В методах 61) и 62) проблема выбора шага дополняется еще решением вспомогательной
задачи.
1
Пример 35. Найти минимум функционала J (и)’= 5. fx (thdi c x =N bu, x (0)=0.
о
Для градиента получаем следующую формулу:
Л’(и)=-рР( с p=-р+х,
p (1)= 0.
Если пикаких ограпичений на управление и нет, то из метода а) следует, что
и =yi+Вр, | —pitxi pit)=90,
= ны, x! (0)=0.
При часто встречающемся ограничении |и (1) | <1 при помощи методов 01) к 62) получают
uit!=(1—В)и+B;signр
или
at a’+Bp’,
если [ul -+ Byp'| <1,
+t—
sign (ui + B;p'), ссли [ui + Byp'}> 1,
причем р’ (t) и x! (t) вычисляются так же, как и на основе метода а).
3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение — уравнение, содержащее неизвестную функцию одного или иссколь-
ких переменных, независимые переменные и производные неизвестной функции по независимым
переменным.
Примеры дифференциалыных уравнений:
d?
d
2 т +3 т + 4у =f, y (x) — неизвестная фуипкция,
(3.25)
dy\’1;
(2) — xy* 2 +sin y =0, у (x) — неизвестная функция,
(3.26)
0*2
ху2 dz 02 2 (x, y) — неизвсст
|
3.27)
=) —— —-,
х, y)-- неизвестная фуикция.
2
Oxдуиoxду
)
ик
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
393
Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все неизвестные функции, обращающие
уравнение в тождество. В общем случае пеизвестные функции определяются дифференциальным
уравнением пеоднозначно (сли решение вообще существует), поэтому на искомые функции часто
накладывают дополнительные условия.
3.3.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.3.1.1. Общие попятия. Теоремы существования и единственности. Обыкновенным дифференциаль-
ных уравнением порядка г называется уравнение вида
F Lx, v(x), y (х),..., У (х)] = 0,
(3.28)
где г — порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. (Например, уравнение (3.25) имеет
порядок 2, а (3.26) — порядок 1.) Если уравнение линейно по у,у,...,У, TO оно называется
линейным ((3.25) линейио, (3.26) — нет). Под дифференциальным уравнением в явной форме понимают
ди ереициальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной:
4(ey=
’
-1
yl?(x)=f(x,у(>),У&),-..,YW (x).
Уравнение вида (3.25) называют дифференциальным уравнением в неявной форме. Под интегри-
рованиыем уравнения (3.28) иснимаюот нахождение функции у(х), которая удовлетворяет этому урав-
неиню. При этом фуикция у (x) называется решением дифференциального уравнения. Общее решение
обыквовепиого дифференциальвого уразнения порядка г имеет вид
у=у(х; Ci,..-,C,),
me C,,..., С, — произвольные постоянные. При любом наборе конкретных постоянных получаются
частиые пешеная.
Задача Кощи [задача с начальными условиями} есть задача о нахождении частного решения,
которое удовлетворяет г начальным условиям
-I
_
-1
у (хо) = Yo. У’ (хо) = Yor. ..., YY"? (xo) = yd?”
Если известио общее решение, ‘то для решения задачи Коши постоянные С; находят из уравнений
у(Хо;Ci,ctsC,)=Yo:
i
=Yo
р
L
S
<
®
r
y
с
W
w
W
у
>
И
*
©
|
Краевая задача есть задача отыскания частного решения, которое удовлетворяет г краевым
условиям на концах отрезка а < xX Sb, т.е. при х=аи х=Ь. Дифференциальное уравнение может
обладать также особыми решениями, т. е. решениями, которые нельзя получить из общего решения
путем попстаповки конкретных значений для постоянных С; (cp. 3.3.1.2.2),
Графическое изображение частного решения называют интегральной кривой. Общее решение
дифферевциального уравнения г-го порядка определяет г-параметрическое семейство интегральных
кривых. Обратно, каждое г-параметрическое семейство
у =У(х; Сь,..., С,),
определяет (при некоторых дополнительных условиях) дифференциальное уравнение г-го порядка,
которое получается путем исключения постоянных C,,..., С, из уравнений
"
У(x)=yO(x3Сь...,С,
(§=0, 1,...,7r)*).
Таким образом, дифференциальное уравнение описывает семейство кривых.
Пример 1. Семейство всех окружностей па плоскости (x - С\)? + (у- C2)? = C3 содержит три параметра.
Трехкратпое дифференцирование приводит к уравнениям (х--С,)+(у-С.)у=0, 1+(-С,) у’ + (у =0,
(y — Cy) yy" + 3y’ (y’P =0, Искточая С, из двух последних уравнений. получаем
У"(1+08)—3y0"=0.
ух =У(x).
394
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций у, (х),..., у, (х)
имеет вид
F,(x,У1,У2,+++)У»УтьУ,...›у»УФ,y®,a)у] =0
(i=1,2,...,п).
Решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется любая упорядочен-
ная совокупность функций у, (х),..., у, (х), обращающих каждое уравнение в тождество.
п
Порядком системы называется число r= ) к, где rj; — порядок i-ro уравнения. Общее решение
i=1
системы у;= y, (x) (i= 1,..., п) содержит г произвольных постоянных.
Каждое уравнение п-го порядка в явной форме
yTM(x)=f(x,У(x),«5Ут"6)
путем введения новых неизвестных функций у, = y, yo =’, уз=у",..., Vn = У" | можно преобразо-
вать в систему п дифференциальных уравнений
yi=у»›,у2=уз,...,Yn-1=Yn
Vn =F (x, Vb sees Yn):
Для систем вида
уг = Л (х, Ул -.., Ул) (i= 1,2,..., п)
(3.29)
справедлива следующая теорема существования и единствениости для задачи Коши.
Теорема Коши. Пусть выполнены следующие условия:
1) функции f; (x, у!, ..., у,) непрерывны и ограничены (| f;| < А) в области
С = {(x, ув, ..., у) Их —x°| <a, [У -— У? | <Ь, i= 1,2,...,n};
2) в области С выполняется условие Липшица с константой Липшица Г, т.е. для всех
(x, у1,..., Va) W(X, у1,..., У.) из С выполняется неравенство
12:(>,Уь...›In)—ЛЕ(Хх,Ув... VISLY 1 —Yr|
(i =1, 2,..., п).
о Тогда система (3.29) с начальными условиями y,(x°)=y? имеет, и притом единственное,
решение для |x —x°| <a, где а = т (а, b/A).
Замечание. Условие Липшица выполняется всегда, когда f; обладают ограниченными
в области С частными производными по ух, т.е. когда
9.
.
By Л ув... In) <M
(i, k=1,...,n).
k
Если в теореме Коши опустить предположение о TOM, что выполнено условие Липшица, то
в результате получим лишь теорему существования решений при условии у; (x°) =y? G=1, 2,...,n)
(теорема Пеано).
Примеры дифференциальных уравнений, которые не удовлетворяют условиям теоремы Коши,
рассматриваются в 3.3.1.2.2.
Зависимость решения задачи Коши от начальных данных. Если функции
Si (х, Уь..., У) (=12,..., 2) в некоторой окрестности U (х°, y?,..., у) точки (x°, у°,..., уд} удов-
летворяют условиям теоремы Коши, то они удовлетворяют этим условиям и в некоторой
окрестности U (Е, 14, ..-, Tin) каждой точки (E, п,..., М), достаточно близкой к точке (х°, уз, ..., у).
Для каждой точки x, принадлежащей достаточно малой окрестности точки &, всегда существует
решение у, (х),..., у, (x) системы (3.29), удовлетворяющее условиям x =&, у, (&) =ть,..., у, (&) =n
В то же время эти функции, рассматриваемые как функции от начальных значений © Ny, ..., Nw
непрерывны в некоторой окрестности точки (х°, у°,..., у).
Если функции /, кроме переменных, зависят еще и от параметров pj,..., ри и если они
непрерывны по всем аргументам, то функции y,,..., у» удовлетворяющие задаче Коши, суть
непрерывные функции параметров ри, ..., ри.
Общее решение системы (3.29) содержит п произвольных постоянных: у; = у; (х, Cy,...,C,), где
1=1,2,..., п. Функция u(x, у1,..., У) называется первым интегралом системы (3.29), если и постоянна
вдоль кривых решения системы (постоянная зависит от выбранного частного решения); п первых
интегралов получают путем решения уравнений у; = у;(х, Cy, ..., C,) относительно C,. Каждый
первый интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению
ди
ди
ди
—+Л,(Хх,Yi,+sУ)
+... + Ла (Х, Ул, ees Ул) ——=0,
Ox
ду!
ду»
и обратио, каждое решение и этого дифференциального уравнения дает первый интеграл системы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
395
(3.29). Тогда п первых интегралов системы (3.29), для которых соответствующие функции uy,
(k =1,2,..., и) линейно независимы, образуют общий интеграл системы (3.29).
3,3.1.2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
3.3.1.2.1. Уравнения 1-го порядка в явной форме. Частные виды уравне-
ний. Дифференциальное уравнение 1-го порядка в явной форме имеет вид
/ у’=Л(x,у).
Если через точку М (x, у) проходит график решения у = у(х) уравнения у’ = f (x, у), то наклон &
касательной к графику в точке М (x, у) определяется непосредственно из уравнения (tga = у’ (x)=
= f (x, у)). Таким образом, дифференциальное уравнение в каждой точке рассматриваемой области
задает направление касательной к кривой решения. Совокупность этих направлений образует поле
направлений (рис. 3.52). Точка вместе с заданным в ней направлением называется линейным элементом
поля направлений. Точку М (x, у) называют носителем линейного элемента. Итак, интегрирование
дифференциального уравнения 1-го порядка
SS PCS Pvvy VAN
/
у=f(x,у)
ИИ
р
\\ 1х
геометрически сводится к соединению элементов поля ии!
Ах
направлений в интегральные кривые, касательные
\NN*S
к которым в каждой точке имеют направление, -
vw wl
NNN ON
совпадающее с полем направлений в данной точке.
Часто приходится иметь дело с полем направле-
ний, в котором встречаются вертикальные направле-
||7-.
ния, соответствующие полюсу функции f (x, у). В этом
ОА L174 4% 27272
случае у считают независимым переменным и pac- MN ANNAN AVN IS 7772
сматривают уравнение
|x=!)
dx
1
ЧУ ГУ’
Рис, 3.52.
В области, в которой выполняются условия теоремы Коши для уравнения в явной форме,
через каждую точку проходит единственная интегральная кривая.
dx 1-х
Пример. В области С, (см. рис. 3.52) выполнены условия теоремы Коши для уравнения Dt у
!
а
°
7
понедляoY= — ;вобластиG2—наоборот.
dx 1-х
Совокупность всех интегральных кривых зависит от одного параметра. Уравнение соответствую-
щего однопараметрического семейства кривых — общий интеграл дифференциального уравнения
1-го порядка — содержит одну произвольную постоянную. Чтобы из общего интеграла I (x, у, С) =0
получить частный интеграл у = у(х) (или х=х(у)), удовлетворяющий условию yo = у(хо) (или
Хо = X(Yo)), нужно найти постоянную С из уравнения I (хо, yo, С) = 0.
Частные виды обыкновенных дифференциальных уравнений 1-20 порядка.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися: переменными:
ya 16
9(у)`
Общий интеграл имеет вид
[99)dy=ff(%)4х+С.
— 4y?'+4 6у—
4—3
|
Пример 2. у’ =
у wi 7 Путем вычисления интегралов | ду? x by +7 dy, | x dx получаем общий
интеграл x? (4y? — 6y + 7) =C.
2
d
Пример 3. у’ => — 2. Из | +2 = [a получаем общий интеграл у + in[y—t|= —2х+ С.
Однородное уравнение:
у'_Р(х,y)
Q(x, у’
где Ри О — однородные функции степени г, т. е.
P(kx,Ку)=КР(x,у), О(kx,ky)=КО(x,у).
Путем введения новой неизвестной функции и =у/х это уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными.
396
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3y —7
:
Пример 4. y= Dax’ Здесь P=3y—7x и Q=4y — 3x — однородные функции степени 1. Полагая y= ux,
d 1—4u?+6u—7
5
приведем уравиение к виду OF ne ut on . Оно имеет общий интеграл х? (4u? — би + 7) =С (см. пример 2).
dxx
4u—3
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид .4у? — бух + 7x? = С.
Уравнения вида
raf ( ax+by+c
У-Л\
pyre)
Если аВ — БА #0, то заменой t = x -- Xo, и=у- Yo, THE хо и у — единственное решение системы
ах + Бу+с=0, Ax+ Ву+ С =0, такое уравнение сводится к однородному. Если аВ — БА =0, то
полагают и=ах + by, t=x; в этом случае уравнение сводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
Пример 5.y= SS .ЗдесьаВ—БА=—19%0 Hwзаменаи=y—-= t=x—a приводиткуравнению
и’ = a — > . Общий интеграл этого уравнения 4и? — 6 -- 71? = С, был найден в примере 4. Таким образом,
4y? — 10у — бху + 7х” + 4х =С есть общий интеграл исходного уравнения.
Пример 6. y= се. Злесь аВ —БА =0. Тогда замена и= —х+у приводит к уравнению = = = —2
с общим интегралом u + In’ —и-+1| = --2х+С (см. пример 3). Общес решение исходного уравнения есть y +
+ Ш] х-у+Е]|
=-х+С.
Уравнения в полных дифференциалах:
P(x,у)dx+Q(x,у)dy=9,
(3.30)
Если в некоторой односвязной области функции Ри О непрерывны вместе со своими частными
производными 1-го порядка, то условие OP/dy = 00/0х необходимо и достаточно для того, чтобы
существовала функция F(x, у) такая, что
аЕ(x,у)=P(x,у)4х+Q(x,у)dy
или
aF
OF
5х=Р{х,у)иey=Q(x,у).
В этом случае F(x, y)=C есть общий интеграл уравнения в полных дифференциалах. Функцию
Е (x, у) можно найти по формуле (ср. 3.1.8.5)
Fix y= [РЕ ГО nan
Xo
Yo
(хо и Yo произвольны).
Пример 7. (х — у) 4х + (у? -- x) dy =0. Здесь OP/dy = -Ги 00/0х = —1 в любой односвязной области, не содер-
жахцей точек оси абсцисс. Тогда
x
yng
x?
|xe
F(x,y)= [6 -У4Е+ J (7? - хо) dn = 7-57
+хо]-
Xo
Yo
у
Yo
Получаем общий интеграл х?у — 2y?x —2—Cy=0.
OP ag
Если левая часть уравнения (3.30) не является полным дифференциалом [T. е. > # 3x }
y
x
то иногда можно найти такую’ функцию и (х, у) (интегрирующий множнтель), что дифференциальное
уравнение pP ах + нО dy =0 будет уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
тель и (х, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
Любое частное решение этого уравнения является интегрирующим множителем.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
397
Часто уравнение в частных производных для нахождения интегрирующего множителя и можно
упростить, если считать и функцией только х (или у, или ху, или х/у). При этом руководствуются
следующими правилами:
а)Еслиola i)==f(x),топ(х,у)=p(x).
[ГОР90
6) Если > (5; — 2) f(y), To w(x, у)= p(y).
(>
о_——...oP_90.=f
=
a)Если Oy Px (ay =. (xy),тоw(x,у)=и(ху).
__
|
oP dQ
У
г)Еслиoom (5х 2).Г(>)тоw(x,у}=»(2)
.
oP 90
Егар902
Пример 8. 2 _. уз) 4х
+
(1 -— ху") dy =0. Здесь ———= 2xy -- 2y? £0,— [ --—
-— + J=—.
ример 8. (xy* —- у’) 4х + (t— xy")dy Е
Gy=oxyAy#ac 2.)у
{P00`
2
Считая, что и == u(y), полузим в. Pp ( 5; р }==— г или = — а. Частное решение: и =у
После умножения на д получаем уравнение (x — у) dx+ (у 2-х) 4у=0, которое является уравнением в полных
дифференциалах. Его общий wirerpan имест вид x?y — 2y?x —2—Cy=0.
-2
Линейное дифференциальное уравнение:
уУ+Р (ху =Q (x).
(3.31)
Это неодисродное отвосихельно у и у’ уравнение имеет интегрирующий множитель p(x)=
JP) dx, общес решение получают по формуле
у(х)=corГо(x)p(x)dx+с).
=е
Если заменнть в ней неопределенный интеграл на определенный интеграл с пределами интегри-
ровавия x, и х, TO получим, что у (хо} =
Линенному неоднородвому ИЯ (3.31) ставится в соответствие линейное однородное
уравнение у’ + P(x) y =0 {однородное по отношению к уи у’ — не путать с ранее рассмотренным
однородным по хи }).
Облщее решение липейного дифференциального уравнения, наряду с изложенным выше методом,
можно пайти и иначе: у=и- }, rye и — общее решение линейного однородного уравнения и у’—
какое-либо частное решение линейного неоднородного уравнения.
Метолом вариации постоянной, используя общее решение линейного однородного уравнения,
можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Общее решение однородного
уравнения имесг вид и = С\еге Ро ах (см. дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
мемными). Предисложим теиерь, что С, зависит от x, и выберем С, = С, (x) так, чтобы функция
у = С, (x) e SPO) удовлетворяла уразиению (3.31); получим частное решение неоднородного
уравнения:
о.
7=С, С) ea) P(x) ах.
—2
|
Пример 9. y+ > я.
pamep dy +s7 =H” x (x1)
x?
а) и (х) == ор и общее решение имест вид
xed f
dx
| х-1
1
.
(еб <) “at (str +e)
6) Найлем частное зешезис, прохолящее через точку ху = 2, yo = 1/4. Имеем
2
.
2
х
jt(x)=exp
(
ь
|=,
Е 1° 4(x—1
Js
) (x~1)
и соолветствующее частлое решение равно
398
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
АГ (t
Пример 10. RI (+L ob Е есть дифференциальное уравнение для силы тока I(t) в цепи, состоящей
из источника тока с напряжением Е = Е о (постоянное напряжение) или Е = Ep, Уп ®Ё (переменное напряжение),
сопротивления К и индуктивности Ё. Обозначая R/L=a u Е, /Ё=Ь (а, b — постоянные), получим общее решение:
1(6)=Се “+b/a при Е=Еь,
I(t)=e""(с+Ь|siwteta)=Ce~t+bsin
2sin(wf=0)
Иа?+а?
(«=arctg¢) при E=Epsinat.
Общее решепие Се““ линейного однородного уравнения соответствует затухающему колебательному процессу.
Вторая часть решения есть частное решение исходного неоднородного уравнения, оно дает постоянную состав-
ляющую силы тока. Для случая Е = Ep sin 6 сила тока сдвинута по фазе относительно напряжения на угол а.
Уравнение Бернулли
y+P(x)y=Q(x)y"
(n#1)
сводится к линейному дифференциальному уравнению введением нового переменного 2 =у!^":
2+ (1 -пР
(х) 2 = (1-мп)О (x).
Пример 11. x? (x — у’ — у? — x(x - 2) y=0, п=2. Вводя новое переменное 2 = y~', получим линейное уравнение
x-2
‚
х-1
Zz’ -F he nr Fer h’ . Оно имеет общее решение z = > 2 (- | + с) (см. пример 9); общее решение
1
x?
i+C(x_-l)°
Уравнение Риккати:
исходного уравнения: у =
у =P(x)y?+Q(x)y
+ R(x).
В общем случае это дифференциальное уравнение неразрешимо в квадратурах. Если же
известно одно частное решение y,;, то введением нового переменного 2 по формуле у=у, + 1/2
уравнение Риккати может быть сведено к линейному дифференциальному уравнению
2’+(2Ру,+О)==-Р.
Если у. — второе частное решение, то 2, = !Ду. — у!) есть частное решение линейного уравнения
для переменного 2; это позволяет упростить интегрирование уравнения. Если же известны три
частных решения у,, у2, уз, то общий интеграл уравнения Риккати имеет вид
У У2.Уз—y2
:
=С.
у}: Уз -У!
Заменой у = —27/P (х} = уравнение Риккати можно привести к линейному дифференциальному
уравнениго 2-го порядка (ср. 3.3.1.3.4)
Pz"—(Р'’+РО)2’+ВР22=0.
Р’+ РО
Заменой у = —----+ b (x), где b = — ———- ‚ уравнение Риккати можно привести к канони-
Pi)
2P?
ческойформеz’=22+R(x),гдеR(x)=Р(-Ь+Pb?+ОБ+К).
Частный случай уравнения Риккати: у’ + ay? = bx", a.# 0.
4k
Oxo разрешимо для m=O (уравнение с разделяющимися переменными) и для m= 7 oR
(К = +1, £2,...):
..
1
1
1+3
о
|‚я
если & > 0, то заменой у = sat —, х=х (m*3) получаем, что —~+ ay” = bx", где
xy ах.
dx
.b
-a
_
m+|
4(к-1)
d=——~, b=-—, т=-
=
;
т-+3
т+3
m+ 3 1—2(k- 1)
если К <0, то заменой у =
р
х=х о M+) получаем, что ay. + ay? = 6x", где
X(bxXy¥ + m+ 1)’
dx
,
b
_
а
_
3m+4
4(k+1)
See
}=——,
т=-
=
.
т +1’
m+1
т+!
1—2(k+1)
Указанные замены следует проводить до тех пор, пока получаемое m # 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
399
Пр им ep 12. у =у? - (2х + l) yt (х? +х+ 1). Здесь у, (х) =х есть частное решение. Замена y= x + 1/2 приводит
1
к уравнению 2’—2= —1 с общим решением 2 = Се* + 1. Уравнение Риккати имеет общее решение y=x + Cra
Замена y=z+b, где b=x+ 1/2, приводит данное уравнение к канонической форме г’ =z? — 1/4. Замена y= -2/2
‘приводит данное уравнение к уравнению 2-го порядка 2” + (2х + 1] 7+ (х2+х+12=0.
-)
i
Пример 13.у’—3у?=x 8,m= —8/5,К=—2, a=—3,b=1.Заменаy=07-39 x=х5!3приводиткурав-
нению И
5-4 гдеп Е=-1 а=5 6=—5,ановаязаменау=-= i
xX=x°>—k урав-
3
3°»a=,
¥(—5ap— 1/3)”
нению y’ — 15,2 =5 с разделяющимися переменными.
3.3.1.2.2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, не разрешенное
относительно у.
1) Уравнение F (x, у, у’) =0 разрешимо относительно у’. Пусть в данной точке (хо, Yo) уравнение
Е (хо, Yo, р) =0, roe р=у, имеет действительные корни р,,...,р» функция F (x, у, р) и ее первые
частные производные непрерывны по всем переменным в каждой точке х=хо у=уо, Р=р
Е
|
.
И — #40. Тогда уравнение F (x, у, р) =0 распадается на п дифференциальных уравнений вида
р
у’ = fi (х, У), где Г; (хо, Yo) = р. Через точку (хо, yo) проходят точно п интегральных кривых.
Пример 14. Найти интегральную кривую уравнения у’ =: | 4у |, проходящую через точку (0, 1). Здесь F (x, у, р) =
UFOFOF
OF(0,1,2
= p? —|4у|. Фупкции РЁ, = , у, Op непрсрывны при x=0, y=1, py =2 и pp = —2, и oe! =40,
OF (0, 1, —2)
5
-
r
бр
= —440. Таким образом, уравнение р? — | 4у | =0 распадается на два уравнепия: у’=2 Vy иу=-2|у.
Через точку (0, 1) проходят обе интегральные кривые: у = (х + 1)? и у= (х-- 1).
2) Уравнение F (x, у, у’) =0 разрешимо относительно у. Известна тройка чисел (Xo, Yo, Po), для
которой F (хо, Yo, ро) = 0 и уравиение F (x, у, р) = 0 разрешимо в окрестности (хо, Yo, Po) относительно
у: y=С(х,р),т.е.Yo=G(Xo,Po)иЕ(x,С(х,р),р)=:0.
Если рассматривать только такие решения у = у(х), которые в окрестности точки хо имеют
отличную от нуля непрерывную производную, и если еще предположить, что 0 p) умеет
dG (Xo, Po
в окрестности точки (хо, ро) непрерывные частные производные по хири С, (Xo, Po) = др. #0,
TO получим уравнение
dp
р—С'(xр)
dx
06/(хр ’
разрешенное относительно производной. Решение этого уравнения имест вид р = p(x) или x = x(p);
после подстановки в уравнение у = G(x, р) получаем решение исходного уравнения в виде y = y(x)
или у=у(р), х = х(р) как параметрическое представление.
| Пример 15. e” + 2ху' — у = 0, Выберем точку (хо, ро) произвольно; возьмем, например, (0, 1); тогда yo = е’° + 2хоро
и (Xo, Yo. Ро) = (0, е, 1). Уравнение принимаст вид у = С (x, р), где G(x, р) =e? +2хр и С, (0, 1) =e #0. Таким образом,
dp
р
и PRD или {e? + 2х) 4р + pdx =: 0. Решение этого уравнения (интегрируюий множитель и = p) при условии
1—.
1
р (0) =1 есть x= ae а решение исходного уравнения в параметрической форме имеет вид y = (2 — р)— e?,
р
1
х=(1—р)ра
в окрестности р =1 (при условии хо = 0, yo =e, у’ (0) = 1).
-e?, Эти уравнения суть параметрическое представление иитегральной кривой уравнения e” + 2xy’ — y=0
3) Уравнение F (x, у, у’) =0 разрешимо относительно x. Пусть известна точка (хо, Vo, Ро), в кото-
рой F (хо, Yo, Ро) = 0, и пусть в окрестности этой точки уравнение F (x, у, р) =0 можно разрешить
относительно x: х-=-Н (у, р). Ограничимся решениями вида y=y(x), где p=y' (x) разрешимо
в окрестности (хо, Ро) относительно x: x = х(р). Дифференцируя соотношения x = Н (у, р) по р,
получим уравнение
Чу_
pH,
dx 1dy
dp
РН,—1
~
с решением y= y(p) или р =р (у). Решение исходной задачи получается в виде xX = x(p) и у=у(р)
{р — параметр) или x = x (y).
‘Пример 16.x=yy'+(y’)*.ПриэтомF(x,у,р)=x—yp—p?uН(у,р)=yp+р?.Точка(хо,yo)можетбытьзадана
1
произвольно с единственным условием: д (oy? + хо 20; тогла существует по крайией мере одно значение py такое,
что хо — YoPo — pg = 0. Рассмотрим, например, точку ху = 0, Yo = 0, ро = 0. Вспомогательное линейное дифференциальное
400
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2
arcsin
уравнение 4 НУ — p—=- 5 Р имеет решение у (р) = -р+ „АР. при у (0) =0. Интегральная кривая уравне-
dpгр’-! р-1
ИТ--р?
ния x = yy’ + (y’)?, проходящая через точку хо = 0, Yo =0 (y’ (0) =0), имеет (в окрестности р = 0) параметрическую форму
arcsin р.
arcsin
yo —pt SP, хер ee.
Vi-p?
И!-р?
4) Уравнение Лагранжа
a(y)x+ bly) y + ely) =9
всегда интегрируется в квадратурах` указанным выше способом. Если a(p)+b(p)p=90, то имеем
уравнение Клеро_
у=ух + Г (у).
Общее решение этого уравнения имеет вид у = Cx + Г(С).
Линейный элемеит (хо, Yo, Ро) уравнения F (x, у, р) =0, т.е. F (хо, Yo, Po) =0, называется регуляр-
ным, если в окрестности точки (хо, Yo) существует единственная непрерывная функция р = f (x, у)
такая, что ро = f (хо, Yo) и F (x, у, f (x, у)) = 0. В этом случае дифференциальное уравнение у’ = f (x, у)
в окрестности точки хо имеет единственную интегральную кривую, проходящую через (хо, Yo)
и такую, что у’ (хо) = ро. В противном случае линейный элемент называется особым. Совокупность
точек (x, у) — носителей особых линейных элементов — называется дискриминантной кривой уравнения.
Интегральная кривая, состоящая из особых линейных элементов, называется особой, а ее уравнение
называется особым интегралом. Если функция F (x, у. р) в окрестности линейного элемента (хо, Yo, Po)
непрерывна и имеет непрерывные частные производные Г., Fy и Г», то линейный элемент регулярен
только тогда, когда Е», (хо, Yo. Ро) 7 0. Если же Е, (Xo, Yo, ро) = 0, то линейный элемент будет особым.
Как правило, особый интеграл не получаетсяиз общего ни при каком значении произвольной
постоянной. Для нахождения особого интеграла дифференциального уравнения F (x, у, р) =0, где
р=у, к этому уравнению присоединяют уравнение F(x, у, р) =0 и исключают р. Если полученное
соотношение является интегралом исходного уравнения, то это особый интеграл. Если известно
уравнение семейства интегральных кривых, т.е. общий интеграл данного уравнения, то для нахож-
дения огибающих кривых этого семейства, дающих особые решения, могут быть применены методы
дифференциальной геометрии.
Пример 17. р? (x — у)? — 1) - 2р- (x — у)?— 1) =0. Общий ивтеграл ваходим, разрешая уравнепие относительно у
и применяя описаиный выше метод:
Таким образом, (x — С)? + (y— С)? = 1.
Дополнительное уравнение для нахождения особых решений есть р((х — у)? -. 1) -1=0. Исключение р приводит
к уравнению {x — у)? ((x — у)? — 2) =0, т.е. у=х, у=х+ V2, у=х-- и 2. В данном случае y =x не являехся решением
исходного уравнения и, следовательно, не дает особого решения. Два других выражения, у=х+ 2 и у=х- >,
являются особыми решепиями. Этн особые решения можно
получить также из общегс решения как огибающие, исключая
С из уравнений
оно-C=1=0, Zoe0+0OF-1)=0
(рис. 3.53).
Особые точки Зифференциального уравнения. Пусть
y=) бы у,
(3.32)
@(х,у)
r roe Pu О — многочлены по x иу без общего мно-
жителя: производная 5: обра1зается в бесконечность
только в тех точках (Xo, yo), в которых О(хо, yo) = 0.
macy тоиках
K
a
w
пла
dx Q(x, у)
Bovux точках как правая часть уравнения —- = ——
Рис. 3.53.
ау P(x, у)
(если P (Xo, vot # 0), так и ее производная по x
непрерывны. По теореме сушествования и единственности через такую точку проходит единственная
интегральная кривая х = д (у). Если. Р (хо, Yo) = О (Xo, Yo) = 0 (при данных предположениях это может
быть только в изолированных точках), то (хо, Yo) называется особой точкой дифференциального
уравнения (3.32). Особых решений для такого уравнения не существует.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
401
Дифференциальное уравнение
dy_ах+Бу
Чау
(ag—bc #0)
(3.33)
(a, b, с, 9 — постоянные) имеет особую изолированную точку (0, 0). Через каждую другую точку,
достаточно близкую к (0, 0), проходит единственная интегральная кривая. Рассмотрим корни 21 H 2.
характеристического уравнения
6-2 a
—(b+c)z+(bce—ag)=
9 b-z
и приведем уравнение (3.33) при z,; # Z2 посредством замены переменных X = Ax + By, у = Cx + Dy,
где постоянные А, В, С, D можно найти из систем
ие
ВИ
А+(Ь-22)В=0,
gC+(b—z,)D=0,
к дифференциальному уравнению
и
=,
(3.34)
ах 22Х
_
b-c |
а при 20 = 2; = Z2 посредством замены X = ax + —> У, У=у- к уравнению
47 _ X+20)
(3.35)
ах
20х
Эти (аффинные) преобразования не изменяют характера особой точки. Решение уравнения (3.34)
_
1
_
имеет вид y=C|x 12/22, а решение уравнения (3.35) — y = — x In| x|+ Cx.
Zo
Случай 1. Корни 21 и 2. — действительные и одного знака. Особая точка называется узлом.
Без ограничения общности можно считать, что Z; > 2. > 0. Из условия (при 21 > 22)
ау
21=
_
| =tC)eH,9=0
22
следует, что все кривые в особой точке касаются друг друга, т.е. имеют в особой точке общую
касательную. Если 2, =2Z,, TO из особой точки в любом направлении выходит единственная
интегральная кривая. Наряду с этими семействами кривых имеется еще одна проходящая через
ссобую точку интегральная кривая: х = 0.
Пример 18. oy co Корнями характеристического уравнения 22 — 32 +2 =0 являются 2, =2и 2, =1.
Замена х = —Зх+у, у = —2х + у приводит к уравнению Е = 5, интегральные кривые которого задаются уравне-
ниями у = Cx? (рис. 3.54).
Пример 19. a= oS Корни характеристического уравнения 2? — 22 + 1 = 0: 2, =z, = 1. Замена X = 2x — 2y,
у =у приводит к уравнению 9. x т? ‚ интегральные кривые которого задаются уравнениями у= хм 1%; |+ Сх
(рис. 3.55).
Пример 20. a _2=. Это уравнение уже имеет каноническую форму. Корни характеристического уравнения
#2 -- 224+1=0: 2, =z, =1. Уравнения интегральных кривых: у = Cx (рис. 3.56).
Случай 2. Корни 21 и zz — действительные и разных знаков. Особая точка называется седлом.
При z,/z. = —К < 0 получаем общее решение вида у = С |х| * Через особую точку проходят только
две интегральные кривые: х =O и y = 0.
Пример 21. 9-2_2 . Корни характеристического уравнения 22 — 1 =0: 2, = 1 и 2) = —1. Уравнения интеграль-
ных кривых: ху = С (рис. 3.57)
Слунай 3. Корни 21 и 2. — комплексно сопряженные (HO не чисто мнимые). Особая точка
называется фокусом. При замене переменных х = Ax + By, у = Cx + Бу коэффициенты А и В можно
определить Tak, чтобы они были комплексно сопряжены по отношению к коэффициентам С и D.
Так как x, у в общем случае для действительных х и у будут комплексными, то вводят новые
402
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ene
ее. ее
зе
-
ть,
ия
Ао еее Не...
переменные x, у, полагая х=х+ 1 и p=x—iy. Характер особой точки при такой замене вновь
не меняется. Общее решение уравнения (3.33) в координатах xX, у имеет вид (x? + у2)1?=
= СеР/9 arcte (0/>) где 2, = p+ iq, 22 =р- ig, или в полярных координатах: X = pcos ф, у= рэ ф,
р = Ce9 ®, Это — семейство логарифмических спиралей в плоскости Х у с асимптотической
Я
Рис. 3.54.
Рис. 3.55.
Рис. 3.56.
особой точкой. Все кривые входят в особую точку, но не имеют там определенной производной
и совершают бесконечное множество оборотов вокруг точки (0, 0).
d 5x—4
Пример 22. n= 5. Характеристическое уравнение имеет корни 2, = —1+1 2) = —1-—1 и замена
|
1
ly 1+)y
=Gs
=os
Хх =: -- (3 —-дх-у, p=-x-(34+i)x —y приводит к уравненито oy = (+ду. Наконец, замена X=X+iy, у=х-й
2
2_
.
dx (i-—1)x
dy x+y
приводит к уравнепию m= у’ решение которого имеет вид
`
(x? + yp)?= Сейв 0/5) (рис. 3.58).
Случай 4. Корни 21 и 2› — чисто мнимые сопряженные. Особая точка называется центром.
Переменные х, у (выбранные, как в случае 3) дают интегральные кривые Хх? + у? = С, т.е. семейство
замкнутых кривых, которые окружают особую точку.
y|
:г
y
SS
—
Ia
—TF
x
ee
Рис. 3.57.
Рис. 3.58.
Рис. 3.59.
dyx
2
Пример 23. > as Корни характеристического уравнения z*+1=0 равны 2, =Ги 2.= —1 Уравнения
интегральных кривых: x7 + у? =С (рис. 3.59).
|
dy P(x, y)
Пусть в дифференциальном уравнении == су функции P(x, у) и Q(x, у) имеют непре-
х
Xx
рывные частные производные, и пусть
Р(x,у)=a(x—хо)+Ь(у—yo)+Р,(xу),
О(x,у)=с(х—хо)+9(у—Yo)+О,(x,у),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
403
ее ев
лее ео сжееы
о
rere
on). See aa ey
где
“lim
P, (x, y)
_0
О! (x, y)
_
х-ьх((x-хо)?+(у—yo)*)'/? "x exy(x—хо)?+(y—Yo)*)'”
у->Ус
У+Ус
Оказывается, что (за одним исключением) вид особой точки (хо, Yo) данного дифференциального
уравнения будет тот же, что и у особой точки уравнения первого приблимсения
dy _ а(х- хо) +Ь(у-Yo)
dx с(х-ж) +9(у- Yo)
Примечание 1. Если особая точка уравнения первого приближения — центр, то особая
точка основного уравнения является центром или фокусом.
Примечание 2. Если ag — bc =0, то для определения вида особой точки требуется рассмот-
рение членов высшего порядка.
3.3.1.2.3. Приближенные методы решения уравнений 1-го порядка. Здесь
коротко упомянуты некоторые методы; ниже (см. 7.1.2.8) они будут рассмотрены подробно.
Метод последовательных приближений (Пикар). В предположениях теоремы
существования и единственности задача Коши у’ = f (x, у), у (хо) = а эквивалентна уравнению
у(х)=а+ {fleу(0)4
Хо
Функции у„ вычисленные последовательно по формуле
„д =а+ [Лу 1% y=a
равномерно сходятся в заданном промежутке к искомому решению у (х).
Пример 24. у’=х? + у?, у (0) =1. Легко вычислить
х
3
Yo =1, yalt[C+)dtalext,
0
x
1,/
2x>xt2ож
=14+ || +[1+:+—7) Jdt=1l4x4x74+— +.
У [(e+( 3
+x 37615*63
0
Интегрирование при помощи рядов. В предположении, что правая часть диффе-
ренциального уравнения у’ = f(x, у) аналитична по хи у, т.е. что она может быть разложена
в степенной ряд по хи у, решение задачи Коши у’ = f (x, у), у (хо) = Yo существует в виде
у(x)=уак(x—Xo), ак=у®(Xo)/k!.
k=0
1) Коэффициенты a, можно вычислить при помощи дифференциального уравнения последо-
вательным дифференцированием и подставить в ряд; 2) часто составляют ряд с неопределенными
коэффициентами. и затем вычисляют ак из рекуррентной системы, которая получается, если под-
ставить ряд в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях
(x — хо). Этот метод применим также к дифференциальным уравнениям высшего порядка и к сис-
темам.
Пример 25. у’ =x? + y*, у (0) = 1. Функция f (x, у) =x? + у? аналитична по хи у. Вычисления y (0) производим,
последовательно дифференцируя исходное уравнение:
У (0)= 1,
(0)=(x?+У?)e-0=|
У(0)=(x* +У)x20=1
у"(0)=(2x+2yy')ы-о=2,
У"(0)=(2+2 (у)?+2уу")о=8,
y(0)=(6y'y”+27")ео=28,
2
8
28
Получаем у (х) =1+х+ ar + 3r* + ae te
404
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
.
Графическое интегрирование. Этот метод базируется на понятии поля направлений
(ср. 3.3.1.2.1). Интегральная кривая изображается ломаной, выходящей из заданной начальной точки.
Она состоит из коротких отрезков, направление каждого из которых совпадает с иаправлением
поля в начальной точке отрезка, являющейся конечной точкой
y
предыдущего отрезка (рис. 3.60).
3.3.1.3. Линейные диффереициальные уравнения и ланейные сис-
темы.
3.3.1.3.1. Общая теория линейных дифференци-
альных уравнений. Линейным дифференциальным уравнением
п-го порядка называется уравнение вида
yTM+py(x)YOO+...+рь-1(х)У+Pa(x)у=Л. (3.36)
Такие дифференциальные уравнения имеют большое значение в
приложениях; при этом функцию f(x) часто называют возму-
щающей функцией. Если Г(х)=0, то линейное дифференциальное
уравнение называется однородным; если f (x)#0, его называют
Рис. 3.60.
неоднородным. Коэффициенты р,(х) предполагаются непрерывными
в рассматризаемом интервале (а, 5).
Однородное уравнение. Если функции y,(x) (уУ=1,2,...,Е) — решения однородного уравнения
в интервале (а, 6), то и их линейная комбинация
k
у=УС,
(C, — произвольные постоянные) является решением линейного однородного дифференциального
уравнения.
Функции у,(х) (v=1,2,...,k) называются линейно зависимыми на иитервале (a,b), если
существует k чисел С, таких, что для любого хЕ(а, Ь) справедливо равенство
у Су, (x) =90,
где Sic, |>0.
v=1
Если же это равенство возможно только при условии, что С, =... = С, = 0, то функции yy (х),..., ук (x)
называются линейно независимыми.
Решения у1, у2,..., Yn однородного уравнения линейно зависимы на (а, 6), если определитель
Вронского (вронскиан)
.
у! У? ...У
!
у!
у2
Yn
W(x)=W(у,(x),seyУл(x))=
(n- 1) yy (n—T)
y2
(n- 1)
..У
у!
равен нулю в точке хоЕ(а, Ь). Из равенства У/(хь)= 0, в силу формулы Лиувилля
W(x)=W(xo)exp(-fr it)
Xo
следует, что W(x) =0 на (а, 5). Указанные п решений однородного уравнения на (a, b) линейно
независимы, если определитель Вронского в.точке хое (а, b) не равен нулю, откуда следуёт, что
этот определитель не равен нулю нигде на (а, 2).
Каждое однородное дифференциальное уравнение n-ro порядка всегда имеет фундаментальную
систему решений, т.е. п линейно пезависимых решений. Если решения yy, “seo У образуют ф унда-
ментальную систему решений, то у (x) = Cy, (x) + Cry2 (x) +... + CY, (x) есть общее решение линей-
ного однородного дифференциального уравнения.
Если известно частное решение у, (x) однородного дифференциального уравнения n-ro порядка
на интервале (а, 5) (у, (х) = 0), то можно понизить порядок дифференциального уравнения (сохраняя
его линейность) заменой переменных y = y, [и (х) 4х. Если и, (х),..., ии: (x) — фундаментальная
система преобразованного уравнения, то фупкции
Yr(х),Yo(x)=у!(х)[ит(х)ах..-.,у(х)=ул(%)Jty(%)dx
образуют фундаментальную систему решений исходного уравнения.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
405
Пример 26. х? (1 — ху’ + 2x (2—x) y+2(14+ x) у=0. В канонической форме это уравнение имеет вид
‚ 22-7, 24+ _
и
а-я =“
Чтобы обеспечить непрерывность коэффициентов, выберем в качестве интервала (а, 5) один из интервалов (—о0, 0),
(0, 1), (1, +00). Частное решение этого уравнения: у, (x)= х-?. Данное однородное дифференциальное уравнение приво-
2
дится посредством замены y = x~? J u(x) dx к уравнению и’ + 1-х“ =0, решение которого есть u(x) = (х — 12. Ta-
ким образом, у, (х) =х`2, yo (х) =x 2 | (х- 1)? dx = (х- 13/3х2 образуют фундаментальную систему решений исхол-
ного уравнения. Так как W (x) = (х — 1)?/x* и, следовательно,
W(-1)=440, W(1/2)=440, W(2)=274*#0
(смотря по тому, в каком интервале проводится рассмотрение), то полученные решения линейно независимы. Общее
решение имеет вид
:
1
у(х)=С,x+С.3
Неоднородное уравнение. Общее решение у линейного неоднородного уравнения равно сумме
общего решения соответствующего однородного уравнения 2 и частного решения у неоднородного
уравнения: у=2+ у. Для вычисления у применяют один из следующих методов.
Метод вариации постоянных. Запишем искомое решение в виде общего решения
соответствующего однородного дифференциального уравнения у = Су, +... + С,у, и предположим,
что коэффициенты С, зависят от x. Производные функций С,(х) найдем из системы уравнений
Ciyi+С2у2+...+С»=0,
С"? + Су" +... + Cyn”? =0,
С СЯН...+Cys =Г)
Решая эту линейную систему, получаем С’, а затем, квадратурами, и С, (х). В результате
частное решение линейного неоднородного уравнения записывается в виде
у(x)=у,(x)|ae +...+у,(x)а
Хо
Хо
При этом И’, (х) — определители, которые получаются из определителя Вронского W(x) для
функций у, (x),..., у, (x), если элементы у-го столбца заменить на 0, 0, ..., 0, f (x). Полученное таким
образом частное решение у(х) уравнения (3.36) удовлетворяет условиям
У(Xo)=У'(хо)=...=У" (ж)=
Метод Коши. В общем решении линейного однородного Teepe нального уравнения
выберем коэффициенты С, так, чтобы при х = а выполнялись условия у (а)= 0, у’ (а)= У" 2) (а)=
= 0, y"" (а)= f (а), где a — произвольный параметр. Если у(х, a) есть ль аким образом
решение однородного уравнения, то у(х) = Г у (x, а) аа — частное решение уравнения (3.36), для ко-
Хо
торого у (хо) = у’ (Xo) =... = y" (Xo) =0
Пример 27. x? (1 —x) y” + 2х (2 -ху+2 (1+ х) у= х2. В канонической форме это уравнение имеет вид
„. 2(2-x)., 2(1+х)
1
ат.
Для непрерывности коэффициентов ограничимся одним из интервалов (— 0d, 0), (0, 1), (1, со). Общее решение соответ-
ствующего однородного дифференциального уравнения есть
(x—1)?
(x—1)?
3x?”
1
‚
z=Ci=z+Cz
ИИ(х)=
х4
1
(см. пример 26). Далее, W, (x)= Е и И) (x)= ЕП: Следовательно, для интервала (0, 1) или (—0, 0)
(x—1)
x5
_nsx.2
_
_— 1\3
page [Faт | A dp=p О-В
хи,
о
3х
(¢ — 1)°.
9
6x
3x
о
406
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
откуда
1151(x—1)
1
(x—1)
VTE xo et хз.
In|x-1 1+С, Gr + Oi a
3.3.1.3.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение
п-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
ay(x)+ayy")(x)+...+dy (x)+any®=F(X) (ao#9).
Однородное уравнение. Однородному дифференциальному уравнению apy) +... + a,y = 0 ставится
в соответствие характеристический многочлен *) Р, (г) =ао" + а!" '+...+а, Этот многочлен
можно представить в виде
P,(r)=ao(r—1)1...) —(py+igs)...(7—(a+i) —1—igs)«= (By—td)®
у
и
где УК,
+2 у l,=n. При этом г, — различные действительные корни кратности k,, а p, + ig,
s=1
5=1
р; — ig, — различные пары комплексно сопряженных корней кратности I, (коэффициенты характеристи-
ческого многочлена действительны). Отдельным сомножителям P,(r) поставим в соответствие
-
г.
.i
слелующие функции: (r — rs — функцию у, (x) =(b) +Ь2х+:.. + besx's ') e 5”, а (r —(p, + 14.) °(-
ОИ
— (р; — igs))* — функцию
|12
9-1 Рух
1
2
Ру:
и; (х) = (су + сх+... + сх )e* соза;х
+ (4, + 4:х+...+4;х° )e* singq,x.
Количество всех коэффициентов — произвольных постоянных b*, и &- в точности равно п. Общее
решение однородного дифференциального уравнения может быть записано в виде
у=у, (x)+ yo (х) +... + ук, (x) + u,(x)+... + uy (2).
Примёр28.yl—29%+By"—12y'+8y=0, |
Ps (r) =r? — 2r* + Br? — 12. +8 = 1+2) (#"- (1+4)? (-(1-9)2.
Сомножителю (r+ 2) соответствует функция у! (x) = b,e72%, a сомножителю (r — (1 + i)? (r —(1 — i)? соответствует
функния
Uy(x)=(cf+с1х)е*cosx+(4!+d?x)е*sinx.
Общее решение имеет вид
у(x)=Ве2+е*[(с1+с2х)cosx+(4!+d?x)sinx].
Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами можно представить в виде у = 2 + у, где 2 — общее решение однородного уравнения,
а частное решение у неоднородного уравнения можно найти вариацией постоянных или методом
Коши. Еще один способ решения таких уравнений — это операторный метод (cp. 3.3.1.6). _
Наиболее просто находится частное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами, если правая часть (возмущающая фуикция) имеет специальный вид.
Некоторые примеры. Пусть О, (x) — многочлен степени К. Если правая часть уравнения
имеет вид f (x) = О, (x) е"*, то частное решение ищется в виде у = В, (х) е"”, где К, (x) — многочлен
‘степени К с неопределенными коэффициентами, при условии, что т не является корнем характе-
ристического многочлена P,; частное решение ищется в виде у = X?R, (х)е"” в случае, если т есть
4-кратный корень характеристического многочлена. Если правая часть имеет вид f (x) = Q, (x) е"* sin wx
или О» (x)e"* cos ®х, то частное решение ищется в виде у=е"* (В, (x) cos wx +S, (x) sin wx), если
m+ 0 не является корнем характеристического многочлена; частное решение ищется в виде
)—Ягих
Ы
.
х = xteTM (Ry (x) cos wx + 5, (x) sin wx), если m+ im является 4-кратным корнем характеристического
многочлена. В обоих случаях К,(х) и 5, (x) — многочлены степени k с неопределенными коэф-
фициентами.
|
Если правая часть представляет собой линейную комбинацию вышеуказанных функций, то
частное решение уравнения равно сумме решений, соответствующих каждому ‘члену линейной
комбинации.
|
_
ае"х
Например, при / (х) = ае"”, где P,(m)40, частное решение имеет вид I= Om’ если т
тп
является 4-кратным корнем характеристического многочлена, то частное решение имеет вид
axte"TM
7= рт:
PA” (т)
Пример 29. у” — 3y” + у’ — Зу = 6бе5*. Характеристический многочлен Р- (г) =r? — 3r?+r—3=(r—3)(r + i)(r—i)
~
.64,
6
иместпростойкореньг=3.Тогдау=70хе иy=70xe**+C,e**+C,sin
+
С: cos x.
*) Этот многочлен можно получить, подставив выражение у = eTM в дифференциальное уравнение.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
407
Пример 30. у” + 4y’ + 4у = x? + е* — sin x. Характеристический многочлен имеет вид Р› (r) = г? + 4r 4+ 4 =(r — 2)".
Частное решение ищется в виде у = (Ах? + Вх + С) + De“ +(Ecosx+F sin x) Подставим его в дифференциальное
уравнение
2А+De®-—Есо;x—Еsinx+8Ax+4B+4De*—4Еsin+4Fcosx+4Ах?+4Вх+4С+4De*+4Еcosx+
+4Fsinx=x?+е*—sinx.
Приравнивая коэффициенты, получаем систему
4A=1, 8A+4B=0, 2А+48+4С=0,
9D=1, 3F+4F =0,
—4E+3F
= -1.
Решая эту систему, находим вид частного решения
pat et те
сах >sinx
У
89
25
25°”
а общее решение исходного уравнения
у=у+C,e*--Сохе?х.
Диффереициальное уравнение Эйлера У’ а, (сх + 4)" y (x) =f (x) может быть сведено к линей-
v=
ному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой сх +d = e'.
Пример 31. (x + 1)3 у” - (х+ Пу — 3y =6 (x + 1}. Это уравнение при подстановке (x -- 1) =е' переходит в урав-
ненис
dey
d’y+Чу у
бе
dp dee"dt7
6
ы
”
(рассмотренное в примере 29). CrenosatrenbHo, y (t)= то e't + Се" + С, яп! + С, cost, а общее решение данного
уравнения имеет вид
У
(xy ш|х+11+С,(x+1)?+С,sin(In|x+1])+C3cos(In|x+1J).
3.3.1.3.3. Линейные системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим ли-
нейную неоднородную нормальную систему
ук(х)+риал(X)у!(%)+Pie(x)yo(х)+... +ра,(Х)у»(х)=Ли(х},
V2(x)+Por(х)у!(х)+Paz(X)yo(x)+...
+
Pan(X)Yn(х)=Л»(х),
Vn(x)+Poi(x)у!(x)+Pn2(x)y2(x)+...+Pon(x)Yn(x)=Si(x),
которая может быть записана также и в векторной форме:
у(x)+P(x)y(x)=f(х),
где
У =0(©,..., OS
y(x)=(V1(Dy«++In,
1х) = (Л ©... HEM
Ра1 (Хх)... Pin (x)
P(x)=
Pni (X) ... Ри (Хх).
Решением данной системы будет набор п функций у(x)= (у, (х),..., у (х))Г. называемый вектор-
решением. Если f, (x) =0 1=1,...,п), то система называется однородной. Такие линейные системы
решаются при помощи приемов, аналогичных тем, которые применялись для решения линейного
дифференциального уразнения п-го порядка.
Однородные системы. Данные т вектор-решений у; (x) = (у (х),..., Ум (х)Г 1=1,2,...,т) назы-
ваются линейно зависимыми на интервале (а, 5), если существует т чисел С; таких, что ) Cy; =0,
i=1
M
3
|C,|> 0.
I1
408
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если же это равенство возможно лишь при условии С, =... = С, =0, To т вектор- решений,
называются линейно независимыми; п вектор-решений однородной системы у; (x) = (ys (х),..-, Vin (x)?
(i= 1, 2,...,) линейно независимы только тогда, когда существует точка хоЕ;(а, Б) такая, что
det (ух; (хо) # 0. Тогда det (у;; (х)) = 0 для всех x Е (а, Ь). Это следует из обобщенной формулы Лиувилля
det(ук(х))=det(yi;(хо)exp|-ГУ р0ar}
1. Если уг (x) (i = L 2,..., т) — т вектор-решений линейной однородной системы, TO их линейная
комбинация у(x) = у Су, (x) есть вектор-решение (С; — произвольные постоянные),
[=1
2. Если т> п, то т вектор-решений линейной однородной системы всегда линейно зависимы
на (а, 6).
3. Каждая линейная однородная система всегда имеет фундаментальную систему вектор-реле-
ний, т.е. п линейно независимых векторов-решений. Если у, (х),..., у, (х) образуют фундаменталь-
п
ную систему, то y(x)= У’ Силу; (x) (С, — произвольные постоянные) есть общее вектор-решение сис-
1=1
темы.
4. Если и (x) = (и, (х),..., и, (х)Г есть вектор-решение линейной однородной системы и и, (x) = @
на (а, 5), то число неизвестных функций в данной системе можно уменьшить. Для этого нужное
перейти к системе уравнений
.
п
24(x)+У(P98)-a
р.›69} 2,69 = 0
(q = 2, 3,...,n)
v=2
из п — 1 однородных линейных дифференциальных уравнений.
Пусть 4 = (24», ... и и) (q = 2, 3,..., п) — фундаментальная система решений этой системы. Тогда
векторы y, (Xx) = 0, (x) 1и(x) + 24 (x) (а =2, 3, ...,M), ГДЕ Z = (0, 242, ..-; Zan),
n
ва(x)=тuy(x)х)YPus3)25)a
(q=2,3,..+,1),
sir2
вместе с u(x) составляют фундаментальную систему исходной однородной системы.
Пример 32.
4
1
1
0,Lyx?
2x?+1 о
У! x(x?+1)wo 2(x?+1)yas
yor ayy” x(x?+1)yu
Будем искать решение ввидеу,(x)= >ayx,уз(x)= Уbx’,гдеу,(0)=а=1,y2(0)=bo=0.Подставим у;иу›
v=
v=0
|
в систему, в которой первое уравнение предварительно умножено на х?(х? +1), а второе — на х(х? + 1). Torna,
приравнивая коэффициенты при одинаковых стеленях х, получим: а, = 0 для у =1,2,...,6,=0 для у =0, 2, 3,..., В, = 1.
2х
Таким образом, и (x)= (1, Г есть частное вектор-решисние, причем u, (x) = 1 #0. Составим уравнение z2 — ey z,=0
7
-
1
инайдемегорешение 2)=(х?+1);тогда 2=(0,x?+yt Вычислим о.(x)=|r (x)222(x)dx==-->. Врезультате
получим
Т
1T
T
{
уз(x)=——(1,x)+(0,x?+1)-(-=.x?
x
x
Фунчламентальной системой решепий будет
Т
,
T
|
12
у!(x)=и(x)=(1,x)’
2(x)=~y?x:.
5. Для линейных однородных систем с постоянными действительными коэффициентами
(т.е. pi; = а; = Const) фундаментальную снстему находят следующим образом. Сначала определяют
корни характеристического многочлена
ааг
412 -.. Ain
42: @22 +7 ... Aan
Р(г)=det(a;;+гб)= |. (о (|0.
Qnt
Gn2 ... Qnn +r
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
409
Если, rn — простой кPL характеристического уравнения Р (г) =0, то, подставив решение
у! (x).=e! (А, А.,..., A,) -(A;
= const) в систему, определим А;; они будут зависеть от одной
произвольной но Значит, и частное вектор-решение будет содержать одну произвольную
постоянную.
‚Е сли г, — р-кратный действительный корень уравнения Р (г) =0, то, подставив у, (x)=
=е! “(Ay (x), А2.(х),..., A, (х)) (A; (x) — многочлен степени р — 1 с неопределенными коэффициентами)
в однородную систему, найдем коэффициенты всех многочленов. Они будут выражены через р
произвольных параметров. Следовательно, получим частное решение с р произвольными постоян-
HibIMH.
Если г, — простой комплексный корень уравнения P {(r) = 0, то корнем является также комплексно
сопряженное число Г\. Решение у, (x) строится только для одного из этих корней, так же, как
в случае простого действительного корня (только теперь A; — комплексные постоянные). Тогда
Rey, и Imy, являются действительными вектор-решениями, соответствующими данной паре
комплексно сопряженных корней характеристического уравнения.
Если г! является р-кратным. комплексным корнем уравнения Р (г) =0, то поступаем, как
и в случае действительного р-кратного корня, а затем в качестве вектор-решений, соответствую-
ших корням г, и Р,, берем Rey, и Imy,. Содержащиеся в Rey, и Imy, постоянные берутся.
различными, как в случае простого комплексного корня.
Пример 33. у! —yi + yo =0, yo — 4у; + 3у2 -=0. Характеристический многочлеи имеет вид
—l+r +1
Р
== ("+ 1)?;
=—4
+347 r+)
ry = —1 есть двукратный Kopenb.. Поэтому решение ищем в виде у (x) = @7* (Ayx + Az, Byx + В.)
Подсгавив эти значения у, и у> в рассматривасмую систему, после почленного умножения па с” получим, что
—A,x4+-(А,—Ap)+(B,—А!)x+(В.—A.)=0
—B,x+(В,—В)+(3B,>4А,)xX+(3B,—4А,)=0.
1
откуда имеем: В, — 2A, =0, А, —-2А, +В), =0, 28, - 4A, =0, B, + 2B, -- 4A, =0. Следовательно, A, = 5 В и 4, =
1
-- В +7 В+ Если положить В, = С; и В, =С,, ro получим
1
5
|
.
{Xx1\7uxfl‘
Уд= Сие * (5+4, х) +Cxe* [5,1
— общее векгор-решение. Таким образом, два линейно независимых вектора-решения даиной системы имеют вид
Т
Т
1\
|
у(х)=(=(5+4}=“), y(vy)=(Сe*,e*).
Общий вид системы линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с посто-
янпыми коэффициентами есть
2ашук(x)+»,Бкук(x)=0
(i= 1, 2,..., n).
Если det (ay) не обращается в нуль, то систему можно привести к рассмотренному выше
пормальному виду. Однако решение можно получить и непосредственно из данной системы тем же
методом, что и в случае нормальной системы. Случай det (а») = 0 здесь не рассматривается.
Неоднородные системы. Общее вектор-решепие у неоднородной системы равно сумме
частного вектор-решения у неоднородной системы и общего вектор-решения соответствующей
однородной системы.
Чтобы найти у, можно применить метод вариации постоянных. Для этого произвольные
постоянные С; в общем вектор-решении однородной системы заменяем нсизвестными функциями
С; (х): p(x) = УС, (x) у, (x) — и затем подставляем полученное выражение в неоднородную систему.
i=1
Для производных новых неизвестных функций С; (x) получаем неоднородную систему линейных
алгебраических уравнений. Решая ee, находим (после интегрирований) функции С, (х),..., С, (x).
Подставив эти функции вместо посгоянных в решение однородной системы, получим искомое
частное вектор-решение неоднородной системы. Например,
(x)=у,(x)Гыaтта
есть частное вектор-рещение неоднородной системы при ‘условии, что у(х)=0. При этом
410
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ`
у (х) = (и (х), ..., Ум Га =1,2,..., п) — линейно независимые вектор-решения однородной системы,
а 2, (х) — определители, которые получаются из det (у (х)) заменой 1-й строки на строку, состав-
ленную из свободных членов f; (х),..., Л, (х) неоднородной системы.
Т
1
Пример 34 у-у+у. =х, у-4у, +3у. =2. Подставляя в систему у(х)=С, (x)e* (F + 4’ :) +
Т
1
+С.(x)e*& у‚получим,что
т
у
*/
(5+ |я 9+5 2(x)=хе", =XC,(х)+C2(х)=
Отсюда С! (x)= 4е” (x — 1), С. (x)= 4e*
1
(- х+х+ 5). После иитегрирования получаем
т
Т
y(x)=(x9(5+,:)+(—4х?+12x— (5.у=(3x—7,4x—10).
Общее решение имеет вид
ха \Г
1\Г
у(x)=(3x—7,4x—10)Г+Cye7*(++ *)+C,e78& г).
2
Пример 35.
т
1
_1
1
by x?
2x?+1
|!
AYXH)SEDOO ETу"
,T
Известно общее решение соответствующей однородной системы (см. пример 32): z (x)= С, (1, юг + C, (-=- ‚2 ;
при этом
1х2
I/x1|x?41
ОЕ х|_
д
|
x2 +x* +1,
р.
iex2=
x’
D,=1/x1=0.
Находим теперь у, используя приведенную выше формулу:
1
у(x)=у!(x){=dx=In|x} (1,xt
Общее решение имеет вид
Т
у(x) =(In| x, x |x)’Pec, x)7+, (- =. а).
Для случая, когда в правых частях уравнений стоят специальные функции вида О, (x) е"*
(QO, (x) — многочлен степени k), можно применить метод неопределенных коэффициентов, который
был бы описан при рассмотрении линейного дифференциального уравнения п-го порядка с постоян-
ными коэффициентами.
Замечание. Вышеуказанные методы можно перенести и на системы линейных дифференци-
альных уравнений более высокого порядка.
3.3.1.3.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Рассмотрим
уравнение
а(х)у"+b(x)у’+c(x)y=F(x).
Предположим, что существует интервал Г, на котором функции а (x), b (x), с (x) непрерывны и a (x) # 0.
Тогда дифференциальное уравнение можно разделить на a(x) и к полученному уравнению
у’ +р(х) у’ +а(х) у = Л(х),
где p(x) = b(x)/a (x), q(x) = с (x)/a (x), Л (x)= Е (x)/a (x), применить общие положения из 3.3.1.3.1.
В частности, общее решение соответствующего однородного уравнения (f (х) =0) может быть
записано в виде
у=Cry;(x)+Coy2(x),
где у, (x) и y2 (x) — линейно независимые частные решения однородного уравнения, С; и С, —
произвольные постоянные.
Если известно частное решение у, (x) однородного уравнения у, (х) =0 на ТГ, то заменой
переменных у = у! | у (x) dx порядок исходного уравнения можно понизить; для у получим уравнение
76а+(2aeae+pth)70)=0
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
411
Тогда
xp (—J p(s) ds)
yt (1)
yi(xX)Woy2(x)=Ay,ва[=
dt
(АО — произвольная постоянная) — два линейно независимых решения однородного уравнения
и
!
y" + p(x)y +a(x)y =0.
|
|
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
уж2+у
где 2 — общее решение соответствующего однородного уравнения, а у — частное решение неоднорол-
ного уравнения.
Частное решение у может быть найдено методом вариации постоянных по следующей формуле:
=222|уд(oF204 259|бд бе a,
Предположим теперь, что существует точка хо, в которой a(x), b(x), с (х), Е (x) — аналитические
функции, т.е. их можно разложить в сходящиеся ряды по степеням х — хо. Будем считать, что
а(хо)f0.
Точки, в которых выполняются эти условия, называются регулярными точками дифференциаль-
ного уравнения. Тогда решения этого уравнения тоже могут быть разложены в ряды по степеням
(х — хо), сходящиеся в той же области, что и ряды для коэффициентов. Эти решения можно найти
методом неопределенных коэффициентов. Для этого искомое решение записывается в виде ряда
fee)
y(x)= У a,(x — Xo)” и подставляется в дифференциальное уравнение. После приравнивания коэффи-
v=0
циентов при одинаковых степенях х — хо получаем формулы для отыскания a, (у = 0, 1, ...).
Пример 36. у’ + ху=0. Для хо =0 все сделанные предположения выполнены. Предполагаемое решение у (x) =
со
= 2. a,x” подставляем в дифференциальное уравнение и получаем
v=
>у(у--Па,х””?+2,ах”!=0, или 24а.+>.(У+2)(v+Па +41)х=0;
следовательно, a, = 0 u (у+2) (v4 1] а... +а-, =0 для v=1,2,...
р
1
1
По этим рекуррентным формулам все коэффициенты выражаются через ао, аи: а = 0, a3 = — FTFGo 4 = — 4 аь
a, =0,..., и решение записывается в виде
x?
x®
x?
x?
=a (=...
~~ 4 ЗИНИ
vy) ao( 2-37 2.3.5.6 Jaa (+ маза ет +.
Предположим теперь, что дифференциальное уравнение при F(x) =0 можно записать в виде
(x.—хо)?у"+(x—Xo)p(x) ¥+q(x)y=0, причем p(x) и q(x) аналитичны в точке х=хо. Такая
точка хо называется регулярной особой точкой (или слабо особой точкой). Можно показать, что
существует по меньшей мере одно решение вида
«©
y(x)=>.а,(х—Хо)"*",
где число г не обязательно целое, которое сходится при | x — хо | < К (если ряды, соответствующие
функциям p(x) и g(x), сходятся при |х—хо|< В). Подставляя ряды для функций у (х), р (х)=
<
[ее
= Ур, (x — хо)" и q(x) = У` а, (х — Xo)” в исходное уравнение, получим
v=0
v=
ay(r+(r+v=О у+5py(x—Xp)”Та,("+ (x—xo)”+
у=
v=0
v=0_
[o6)
+Уд.<—x0)”Уay(x—xo =O,
v=0
v=0
412
` ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В предположении, что ао #0, вычислим коэффициент при (xX - Xo)’ в данном соотношении.
Имеем
r?+(рю— Иг+40=0.
(3.37)
Это уравнение называется определяющим уравнением для г. Коэффициент при (x — хо" у=1,2,...,
равен
а,[(r+у)(r+v—1)+po("+У)+40]+>[ps(r+v.—8)+qs]а,-,=0.
(3.38)
s=1
:
¥
к
Из (3.37) найдем два значения г, иг) и с учетом формул (3.38) получим два решения:
ыы
vtr
=
vtr
у!(x)=уай(x—Xo) ', у2(x)=уa‘)(x—Xo) 2.
0
v=0
v=
Построение общего решения исходного уравнения зависит OT связи между г! и 1p.
Случай 1. г, — г. — не целое число. Тогда у, (x) и yz (x) линейно независимы и общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
ыы
vier
ыы
vtr
у(х)=YoafY(x—ж) 1+Уal(х-ж) 2.
v=0
v=0
Случай 2. г, =г.. Тогда у, (x) = Су» (x) и можно показать, что общее решение записывается
ввидеу,(x)+у»(x),гдеу,(x)=у,(х),
(a
Va(x)=ys(x)Im(x—хо)+(иж) у(=)
v=0
(x — Xo)”.
71
Случай 3. г) =r, — и, где п-— натуральное число. В этом случае общее решение имеет вид
у(x)=у,(x)+Yo(x),гдеу,(x)=у,(x),а
V2(x)=Guys(x)No(x—хо)+(x—хо)?хby(x—хо},
х
— Гера
Хо
п+1
+)*
где g, — коэффициент при x” в выражении
Коэффициенты b, определя-
ются из дифференциального уравнения.
Замечание. В некоторых задачах требуется найти решения уравнения у’ + p(x) у’ +а(х)у=о
для больших x, т.е. решения в виде бесконечных рядов по переменному 1/х. Пусть p(x) и g(x)
аналитичны при х = 00, т.е. их можно разложить в сходящиеся ряды по переменному 1/х. Замена
переменного х = 1/2 приводит к уравнению
dy211\\dy1|
dz? +(2-0(=))4 жа (то
Точка x = 00 называется регулярной точкой исходного дифференциального уравнения, если z =0
является регулярной точкой преобразованного уравнения. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы
2
р (x) => + O(x~’), 4(=0(х“)
при x— oo. Решения имеют вид
©
у (х)= У ах*.
v=0
Точка х = с называется регулярной особой точкой, если 2 =0 является регулярной особой
точкой преобразованного лифференциального уравнения. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
p(x)= 24+ 0(x), аф=®+0( 3
xX
x
.
при x > oo. Соответствующее определяющее уравнение имеет вид г? + (1 — ро) г + qo =0, и в случае,
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
413
если г! — Fp не целое число, решения представляются рядами
20
о
у!(х)—уyxq‘
У2(х)=уа,х2
v=0
v=0
У
Дифференциальное уравнение Бесселя
ху" + xy’ +(x? — п?) у=0.
Точка х-=0
— регулярная особая точка, и определяющее уравнение имеет вид r* — п? =0.
ine]
Отсюда следует, что ry =n Wry = —n. Если подставить y (x) = у а,х""` в уравнение, то после при-
v=
равнивания коэффициентов при одинаковых степенях х получим, что (2n — 1) a, =0, v(2n+ v)a,+
+ ay... =0 при у =2, 3,..., п. Из этих рекуррентных формул следует, что
1
`Qo
27* k'(n4+ (n+ 2)...(n+h
азк-1=0,ay,=(—1}
для k=1,2,... и произвольного ао #0. Решение, полученное при ao = PT (nth *), определяет
функцию Бесселя (цилиндрическую функцию) 1-го роди п-го порядка:
9)
7—
(-- 1)
x n+2v
= >УГ(n+v+1)(3)
tr v=0
Графики функций Ло (x), Л, (x), Jz (x) и Л. (x) изображены на рис. 3.61.
A(t)10 о
78\|
06Ae=
04
02/и
@\
fe
eet,
р.\
XPLORE
TIT RPS SRS?
7
ann tl
>rd
-04
024
&
6107214
Рис. 3.61.
Общее решение уравнения Бесселя в случае, когда п не целое, имеет вид
у(x)=С,(х)+С,(х),
где J.,, (x) опрелеляется рядом, получающимся из ряда для Л, (x) заменой п на —п; при целом п
справедлива формула J_, = (—1)" J, (x).
Общее решение уравнения Бесселя при целом п имеет вид
у(x)=Си,(x)+Ca¥,(x).
Функция 1, (x) (обозначается также М, (х)) называется функцией Бесселя (фуикцией Неймана, функцией
Вебера, цилиндрической функцией) 2-20 рода п-го порядка; для не целых п она определяется
формулой
J, (x) cos (пк) — J_, (x)
Yn()=
sin (ит)
*) Относительно гамма-функции см. 2.2.1.1.
414
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для целого п функция Y, (x) определяется равенством
у (x)= ша 22%) 008 (mm)— J-m © == (+= (5)) Jy (x)—
sin (mr)
_k—:
n-2k
(—1 k
n+2k
7) ИКИ (2 3mae (5) ((r+H)+O(0)
1
где т близкое к n—He целое число, С — константа Эйлера (С =0,5772...) и w=)
s=1
Ф (0) = 0. Графики функций У (x) и 7! (x) изображены на рис. 3.62.
В случае целого n часто удобно рассматривать в качестве линейно независимых решений две
функции HS") = J, (x) + i¥, (х) и Н = J, (x) — iY, (x) и записывать общее решение в виде
у(х)—C,H}(x)+C,H?(x).
Функции Н{? и Н{?) называются функциями Бесселя 3-го рода п-го порядка (или функциями Ганкеля).
Ч
5А
4
15|
J
2
ОЕ
1
G57
-2|
-31
47
0
|
7
2“
Рис. 3.62.
Рис. 3.63.
Рис. 3.64.
В некоторых приложениях рассматривают модифицированные функции Бесселя 1-го рода
п-го порядка чисто мнимого аргумента
у
—
]
x 2vtn
In (X)= Г» (1X)= ) у!Г(п + у-+ 1) (5)
v=0
(и — произвольное) и модифицированные функции Бесселя 2-го рода п-го порядка (или функции Мак-
допальда)
К»(x)=(—rr 7,(No (5)+с)+
, (n-k— 1!
~at2kСу =
1
n+ 2k
рус0 К (5>. ОЛ) нары(OW)+O(n+и(5>)
k=0
("п — целое). Тогда функции
у (x)= Cyl, (x) + С21-„(х) для не целого п,
у(x)=Cyl,(x)+С.К,(x) дляцелогоп
дают общее решение уравнения
ху"+xy’—(x?+п?)y=0.
Графики функций Ip, [1 и Ко, К, показаны на рис. 3.63 и 3.64.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
415
Важнейшие формулы для функций Бесселя 1-го рода п-го порядка:
2n
|
ЧТ, (x)
n
— J,(x)=Jn-1(х)+Ль+ (х),
=
——J, (x) + Л,-! (x),
(3.39)
x
dx
x
d
р. (х”Л, (x)) = х".Л,- 1 (х),
(3.40)
dx
d
-
Hh
‘dt (x "Sn (x)) = TX Jn+1 (x).
(3.41)
Частный случай; Ло (x) = —J;, (x);
1
:
x\" 1
1
Jn(х)= 2. [1 /PF(—)-T (n+ —) |(1 —22)"92 cos (xt)de.
2
2
2
0
..
4
cos (xt)
Частный случай: Jo (x)= ]а-
(ве 4. Для целого п имеют место соотношения
_
1
а
a
x",(x)=(—1)"(~=) Jo(x)
к
Jan(х)=1=| (xsint)cos(2nt)dt, Jone,(X)=={sin(xsint)sin((2n+1)8)dt,
0
о
Л»(х)=(-1)"J_,(x)
(n=1,2,...).
Л Функции Бесселя при п =0, 1,2,... можно получить разложением известных функций в ряды
орана:
exp[x(t—£79/2]=Jo(x)+>.("+(—0-*)J,(29,
или в ряды Фурье:
cos(xsint)=Ло(х)+2 УJz,(x)cos(2nt), sin(xsint)=2 >,Jon41(x)sin((2n—1)t).
n=1
n=1
Сферические функции Бесселя J
: (x) можно выразить через элементарные фуикции:
1
1
>
2т-— |
>a
2
2
Лт(х)=(=) (fm(х)Sinх—д»(x)COsx), Jim(x)=(—1) 2 (=) “(gm(x)sinx+f,,(x)Cosx)
(здесь `т =n + 1/2; n=0, 1, 2, ...), где
m
Sm)
&m (x)
x
x
eX.
915 420 15
915
105И
4
2
x?
x?x
x
x
[
=
в
ы
ы
м
n
o
v
j
-
—
1
)
=
o
n
416
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дальнейшие выражения можно получить из рекуррентных формул.
Для У, (x), H&? (x) и A (x) имеют место соотношения, аналогичные соотношениям (3:39), (3.40)
и (3.41) для Л, (У).
Важнейшие формулы для модифицированных функций Бесселя 1-го рода п-го порядка:
Ч
d
2dx(1,(x))=-1(х)++1(х),
2 Fy (Ки (x)) = —K,-, (x) > Ки+1 (х),
7d
ny
= х"[.
d
п
|
п
7
п (x)) =ХЬ-1 (х),
с К,(x))=—xX,К»-1(x),
d
d
Ty tn(x))=х"+1(x), Tx©"К(x))=—х"Ки: (x).
Частные случаи:
о (x)= J, (x), о (x)= —К, (x),
211, (х) =x (In—1 (x) > [+ 1 (x)),
2nK,, (x) =x (Ki+1 (x) ~ K,- 1 (х)).
Для больших значений х справедливы следующие асимптотические формулы:
7 ~(2\'?
mn101
i_ех
1+0 11
9-(л=) [* (5-5 -4)*0(%)} = gare)
1/2
1/2
У,(х)=(=)
sin(+—>—*)+O(=)
K,(x)=(+)
e*+O(=)
где О (1/x) — бесконечно малая величина порядка 1/х, т.е. xO (1/x) остается ограниченной при x > oo.
Любая функция, которая является решением дифференциального уравнения Бесселя, называется
цилиндрической функцией Z,,(x) порядка п. Для этих функций справедливы формулы
2
“Lntt(x)==Zn(x)~LZn-1(x)=~Zn(x)><Zi(x)=—x"a(x~"Z,,(x)).
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение имеет вид
х(1—ху’
+(<—(1+a+b)x)y’—aby=0,
где a, Ь, с — постоянные. Регулярные особые точки:
х =0, тогда г =Оиг, =1-с;
х=©0,тогдаг,=аи г.=);
x=1, тогда г, =О иг, =с-а- 6.
В: окрестности регулярных особых точек общие решения имеют следующий вид:
1) В окрестности точки x =0
у(x)=СЁ(а,b;с;x)+С.х'
Е (a—c+1,b—c+1;2—c¢; x),
если 1 —с не нуль и не целое отрицательное число,
у(x)=C,F(a,Б;с;x)+С,|1(a,b;с;x)Inx4-уa’|_
r=1
если c= 1 (числа a, определяются из рекуррентных формул).
2) В окрестности точки x = |
у (х) = С.Е (а, Ба+ьЬ-с+1; 1-х +С, (1-х) “ЕР (е-Бе-аел-а-ь+ 1; 1-х).
3) В окрестности x = ©
1
1
бд = сах“ (ва-еч.ца-ь+ Ib) + eax F(t b+ l;b-—ct+ b=)
с (a), (b)yРВ) x* (числа (a), определяются равенствами (ао =1 и (а), =(а + 1) (а+
$ (Ск
где Е (a,b; с; x)=
k=0
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
417
+ 2)...(a+k —1)}. Этот ряд абсолютно сходится при | х| < i, если ¢-He нуль и не целое отрица-
тельное число, расходится при |x|> it, при |х| =1 ряд абсолютно сходится, если c>a+b. При
x =1 ряд расходится, если c< a+b, при x= —1 ряд сходится условно, если а +b—-—l<c<a+tb,
и расходится при c< —{ +а+.
Некоторые вамсные соотношения для гипергеометрической функции Е (a, b; с; x) (|x| < 1):
Е(a,b;с;x)=F(6,а;с;x),
|
Г(с
Е(a,b;с;x)=ЕОaie0fen(1—t)"*°'1—xt)-odt
(c>a>O0),
о
а
b
——F(a,b;с;y=
Flat 1, b+ 1,¢+ 1; x),
dx
с
(¢—a—1)F(a,В;с;x)+aF(a+1,b3с;x)—(c-1)F(a,bse—|;x)=0,
с [е-1+(+а-+ь-
26x]F(a,bsс;x}-(<—1)(1—x)F(a,сх)+
+(a—c)(b—c)xF(a,bsc+1;x)=0,
F(a,bsс;x)=(1 —x)"9*"F(c—a,c—В;с;x),
l(c) (ec —a—b)
F (a,b; с; x) = I (c —a) I (c —b) (c—-a-—b>0, c—a>0,c—b>O).
При некоторых значениях параметров гипергеометрическая функция выражается через элемен-
тарные функции, например:
Е (а, п; а; х) = 1-х)" (а- произвольное),
In(i-
F(i, 1; 2; x)= - Шах.
|
x
113
\ arcsinx
F({—.—:—:2=
&2”м) x
Вырожденное гипергеометрическое дифференциальное уравнение:
xy”-++(с—ху’—ay=0,
или уравнение Куммера. Регулярная особая точка есть x = 0, причем г, =0 иг, =1 —с. В окрест-
ности х =0 общее решение имеет вид
у (x) = CyF (а; с; x) + Сох! °Р(а-с+1;2-с; x)
для c #0, --1, --2, —3,... Функния Р(а; с; х) называется функцией Куммера или вырожденной
гипергеометрической функцией. Она разлагается в степенной ряд
ХЛ
Е(а;с;x)= ——х
сходящийся при всех x.
Некоторые важные соотношения для функции Куммера:
-
1
Г (<)
4
Ш
ин.be=
a 1—t\-* 1 »xt
.
0
F(a;b;x) ra@Pre-@ || ( t)
edt для с>а> 0,
0
d"
—— F(a;c;x) = Qn ea tn: c +n, x),
dx"
(с),
aF(a+1;с--1;x)=cF(а;с;x)+(a—c)F(a;с+1;х),
Е(а;с;x)=e*F(с-а;с;—x),Е(с;с;x)=e.
418
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функции F (а, b; с; x) и Е(а; с; x) — частные случаи обобщенной гипергеометрической функции
(а!), ... (ар) xk
К! (са)... (Cake
k=0
pig (G1, Gz, ...›Aps C1, +64 Са; Х) =
ГДЕ Cy, Со, ..., 470, —1, —2,... Поэтому можно записать
Е(а,b;с,х)=2F,(a,b;с,х),
Е(а;с;x)=Е,(а;с;x).
Существуют также обобщенные гипергеометрические функции нескольких переменных; например,
для двух переменных:
(ака (В)ь (6): xkyl
F(a,В.Б;с;x,у)=
КИ (Opa
к, [=0
и
Дифференциальное уравнение Лежандра для целых n> 0:
(1 — x?) у" — 2xy’ +п(п+ Пу=0.
Регулярные особые точки суть x = —1 с показателями г, =r, =O их = | с показателями г, =r, = 0.
Введением нового переменного x = | — 2 уравнение Лежандра приводится к гипергеометрическому:
|
Фу
ау
t(i-—-t
+ (1 — 2t) —+n(n+ Пу=0
roe a=n+1, 6 = —пи с=1. Таким образом, частное решение есть многочлен
1-х
P,,(x)=Е n+l, —Nn;1,
2
5
так как (—n),,=0 для m>n, Многочлен P, (x) называется многочленом Лежандра степени п.
Многочлен P, (x) — единственное линейно независимое решение уравнения Лежандра, ограниченное
в точках х =[ и x= —1. Графики функций
y
Po(x)=|,
.
}
Р
х)=x,
10
1(
P,()=5Gx?—0
0
|
Рз(х)=>(5х?—3х),
0
>
1
4_ 2n,2
>
т
Ра(x)=3(35x*—30х-+3),
-O5)
Ps(x)==(63°—70х?+15x),
|
-10
Ps(x)=Te(231x°—315x*+05x?—5),
|
05
10
,
Рис. 3.65.
P, (x)= 6 (429х7 — 693x° + 315х3 — 35x)
изображены на рис. 3.65.
Важнейшие соотношения для многочленов Лежандра.
Р
I
a"
2
ty"
.
,
(2n)!
.
есть многочлен п-й степени с коэффициентом Pine при старшей степени. Многочлен P, (x) имеет
п.
ровно п простых действительных корней в интервале —1 <x < |.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
419
2
Для многочленов Лежандра справедливы следующие формулы:
dt
(x + (x? — 1)!/? cos t)"*!
1
|
Р„(х)=_[©+(x?—1)1/2cost)"dt=_
(знак любой!)
(n+1)Pass(x)=(2n+1)xP,(x)—пР„-1(х),
d
Fe(Pata(>)—Pa-10)=(20+ПР,(29),
d
(x?—1) (Pr(х))=п(xP,(х)—Ри1(x)),
1
2
о.
o>
1, если п=т,
бит»
где бит =
0,еслипт.
-1
Многочлены Лежандра можно получить разложением функции (1 — 2х2 + 2*)-"? в ряд по сте-
пеням 2:
|
(1 — 2х2+ 22)7Н? = Po (x) + Py (х)2 +Р, (Хх) 22+...
(12| < 1). Если / (x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция при —1 <x < 1, то справедливо
разложение
(2k+11
f(x)=>«( 5 ) P,,(x),
2k
a= ( = [rence
где
причем ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале (—1, 1).
Функции, связанные с многочленами Лежандра P,, (x) соотношениями
PTM (x) = (—1)" (1 — x2)" СР, (х)) (п=0, 1,2,...; т=0,1..., п),
называются присоединенными функциями Лежандра. Функции Py (x) удовлетворяют уравнению
m2
(=A) y= Dy + (noo 0- r)y=0
Справедливы равенства
1
(n+m)! 2
m
m
=
,
'=т>0,
|p: (x)Pi (x)dx (n—m! Intl б»„ при nn>m
~1
1
т
(n+m)! 1
[Pr oo? ax = Г Ont при n=0,1,...; т=1,2,..., п,
0
(Р" ий
1 (n+m)!
тег
io x м и ити при n=0,1,...; m=1,2,...,n.
Система присоединенных (для каждого m>0) функций Лежандра Pr (x) (n=m, т+1,...) полна
в L,(—1, 1).
420
_ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Примеры присоединенных фуикций Лежандра (P° (x) =Р, (x), Ри (x) =0 для m > n):
Pl(x)=—(1—x?)"%=-sin0, PA(x)=—3x(1—x7)?=—5sin20,
3
P3(x)=3(1~x?)=5(1—cos26),
3
2\1/2
3:
n3
Pi(х)=—5(Sx?—1)(1—x7)?=—|(sin8+5sin?6),
3
315
P3(x)=15x(1—x*) =vacos6(cos9—cos30),
3
2
21/2
5:
:
P3(x)=—15(1—х^)(Е— x*)'* =— 8sin
0—sin38),
где x = cos 0. Вообще
P" (x) = (—1)"1.3.5-...-
(2,—1)(1—x???
= (-1)" 1 -3-...-(2n-- 1) sin”0
для п=0, 1, 2,...
3.3.1.4. Общие нелинейные дифференциальные уравнения. Общее уравнение имеет вид
Г (ху у,..., У") =0
Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши решается сведением рассмат-
риваемого уравнения к системе дифференциальных уразневий и применением к ней теоргмы
существования и единственности п. 3.3.1.1.
Частный случай: уравнение у® (x) = f (x).
Общее решение нахоляг путем последовательного интегрирования:
хх
Xn-4
у(xX)=Cy+Ca(x—Xo)+...+С,(exo)+P fo.Ff(dtdx,..,
Xo Xo
Ag
aX, ах,
при помощи формулы Коши последнее слагаемое можно записать в следующем виде:
хх, Хх,ry 1
x
...
(t) dt dx, ...dx, == ——- I sane lf (h(x — ty"! de
a
(n—1)!A
Xo Xo
Xo
Xo
В этих выражениях хо не является дополнительной постояняой: если в хо заданы у (хо) y’ (Xo)
"1(
.
»J
Хо), ТО
(K~ 1) (x0),
к=|,...,п.
—
1
Жи!
Пример 37. Решить уравнение }”” = in x при условиях y (1) == ¥o, у’ (1) = yo, y” (No) = yo.
Частное решение дается формулой
х-|, х-1, if
к SoDyy Oo дут [реа-
J
t
(x—1) 1
Е
Шт
Е1.
п + чуx8Inx Ех 4х+в;
общее решение имеет вид
|
Vi
у(x)=-—-хзInx=oe
++ С.х+ С.^2.
У=х
jeТЕТСаGs
Пусть левая часть уравнения f(x, у®, у\*0,...,у
до k—1-ro порядка включительно.
п — К-го порядка.
TM) =( не зависит явно OT у и его производных
Заменой y“ =z это уравнение приводят к уравнению
Пример 38. у’ — ху” + (у"')3 =0. Замена у” = 2 (x) приводит к уравнению Клеро 2-х: + (2) =0. Его общее
x?
x?
x
решение есть 2 = C,x --C}. Отсюда следует, что у (x)= C, и С} 37 + Cox + C3. Особое решение уравнения Клерс
)
2y3= ——х
.83
дает особое решение исходного уравнения у (x) = ну x72 + Ox + Cy,
УСТОЙЧИВОСТЬ
42]
Пусть левая часть уравнения / (у, y’,..., у”) =0 не зависит явно от x. Подстановкой y’ = p(y),
где у рассматривается как новое независимое переменное, можно свести такое уравнение к диффе-
d
de}
ренциальному уравнению n— 1-го порядка, так как “7k выражается только через р, ау ...) Ft ,
ate
В частности,
ау_
Фу—dpу‚Фр+ар\?
dx
РТЧу’ ах Pdy’Pdy}?
Разделив на р (при этом р=0, т.е. y=C, является решением), получим лифференциальное уравнение Бернулли
(см. пример 11), решение которого имест вид
ws Ух
те y=
У
ао’
ГЕа0-0’
После интегрирования приходим к общему интегралу исходного уравнения
1
С,Inyr(1—-С,)yT=xX4+С..
Уравнение f(x, у, y’,..., у”) =0, в котором f — однофодная функция относительно у, y’,..., у”,
допускает понижение порядка зведением новой неизвестной функции 2 = y’/y.
Пример 40. x*yy” =(y — xy). При замене z= (т у) = y’/y получается линейное уравневие х?2’ + 2xz = |, решение
С1
которого имеет вид 2 = = +—. Общее решение исходного уравнения получим, учитывая, что (In у)’ =z. Torna
x
г.
--C,/x
y=C,e* (x) dx или y = C2xe u/
В уравнениях f (x, y, y’,..., y) =0, левая часть которых является полной производной, можно
понизить порядок.
а
4х
2
2.
у=:2%/2(С,feTMпdx+C4).
Пример 41.у"—ху’—у=:0.Таккак—-(у-xy)=)"—xy’-у=0,toy’—xy=с,откуда
Пример 42. уу” =2(у)2. Умножение обеих частей уравнения на (уу’)-' приводит к уравнению (In y’) = (In у),
откуда In у’ = Ш у2 + No C,, или у’ =C,y*. Общим решением исходного уравнения будет у = — (С,х + С.)" '.
..
ax; г
и:
*
3.3.1.5. Устойчивость. Пусть = ЛЕ X1,---, хи) 1(=1,2,..., п) — система обыкновенных диф-
ферекциальных уравнений. Пусть функции f; (i = 1, 2,...,n) имеют непрерывные частные произвол-
ные 1-го порядка. Обозначим через x; = x; (#; 10, xf,..., хо) (i =1,..., 4) решение данной системы
с начальными ‘звачениями x? при Е =No, те. xP = x; (6; 0, х,..., хо). Каждое частное решение
системы может быть истолковано как движение материальной точки (в п-мерном про-
странстве).
Движение точки с координатами Xx, = x; (Е; 1°, x?,..., хо) называется устойчивым в смысле
Ляпунова, если для каждого = > 0 можно найти такое 5 > 0, что для всех | xP — хо [<6 (1=1,..., п)
в промежутке {No <Е< о справедливо неравенство
|x;(¢;t°,х},...,Ха)— (850,Х4,...,20)|<Е (i=1,...,п).
Каждое движение, которое ие является устойчивым, пазывается неустойчивым. Решение
x; = x; (t; £°, х,..., хо) называется невозмущенным, а x; =: x; (Е; ©, %,..., ХО) — возмущениым двиэке-
нием. Геометрически устойчивость означает, что в каждый момент времени {> {° точка траектории
возмущенного движения лежит в достаточно малой окрестности соответствующей точки невозму-
шенного движения.
Посредством замены x; = Х; +: x; (0), где x; {t) = x; (t; 0, х,..., хо) (=12,...,п), введем новые
координаты X,,..., Х,. Невозмущенное движение в новых координатах описывается уравнениями
х; (1 =0 (1=1,..., п). Пусть эта замена произведена и требуется исследовать устойчивость триви-
ального решения xX, (1) =0 (i =1,..., п) в смысле Ляпунова, т. е. требуется исследовать, находится ли
точка, соответствующая возмущенному движению, в =-окрестности нуля при 1° <Е < oo. В дальней-
шем преобразованную систему будем записывать без черточек над x; Torna для правых частей
4
ах; ;
системы справедливо равенство ff; {t; 0,...,0)=0, Система = = f; (i= 1,...,4) может быть
422
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
представлена в виде
п
а
Ч
ди
ржь 8d
(i= 1,..., ),-
dt
1=1
9.
т
причем а;; = 5х 0,..., 0) = const (i,j = 1,..., п), т.е. aj; не зависит от Е. Система
xj
a
dx;
.
dt=Yay
(i=|,ч.9n)
i=]
a
v
-
ax;
называется системой, линеаризованной по отношению к == ах; + Qj.
(.
i=1
Достаточное условие устойчивости тривиального решения дает следующая теорема. Пусть
п
¥
ax;
1) все корни характеристического уравнения линеаризованной системы =
44;X;, т.е. корни
i=1
уравнения det (a,, — гб!) = 0, имеют отрицательную действительную часть;
ato
;
п
2
2) все функции @; (Е; x1, х,..., X,) удовлетворяют условию | (p(t; х!,..., X,)| <M at
,
=]
.
dx; .
причем М - постоянная и a> 0. Тогда тривиальное решение системы = (=1,2,..., п)
устойчиво. Кроме того, справедливо следующее утверждение: если хотя бы один корень харак-
теристического уравнения det (а;; — гб;;) =0 имеет положительную действительную часть и ф; удов-
ах
летворяют условию 2), то тривиальное решение системы -— = f; неустойчиво.
dt
Важно определить, имеет ли характеристическое уравнение корни с отрицательными JleiicTBU-
тельными частями. Для этого используется критерий Рауса — Гурвица: все корни уравнения
f(г)=а"+аа" |+...+ayr+ao
(ay> 0)
w
имеют отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда положительны все
определители
ay
ao
0
а
аa0
1Qo
a3a2a
р, =а,,
D,=
’D3=азaya,|,+.
В,=
|
аз a2
Asахаз
21-1 @2и-2 @21-3 @2.-4 ... Ay
(гдеполагаюта„=0прит>и).
3.3.1.6. Операторный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод
состоит в том, что посредством интегрального преобразования от дифференциального уравнения
переходят к вспомогательному алгебраическому уравнению. Затем находят решения‘ преобразован-
ного уравнения и из них при помощи обратного преобразования получают решения заданного
дифференциального уравнения.
-
В качестве интегрального преобразования часто используют преобразование Лапласа
Е(р=Lif}=Je7”f(t)dt.
Сведения об условиях, при которых изображение Е (р) существует, о свойствах преобразования
Лапласа и таблицу изображений можно найти в разделе об интегральных преобразованиях (см. 4.4.3).
Применение операторного метода к решению линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется найти
решение задачи Коши
а
О,(+)у=f(2),
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
423
где
04\y=(aы+ау
+а d+a а,
а
аа
бар
в] УС»
у (0)= у» У’(0)=у, ..., УИ (0) = yd",
a, (i =0, 1,..., п) — постоянные. Преобразованием Лапласа сведем уравнение, используя обозначения
Г, {y()} = Y(p) и L{f (O} = F (p), к вспомогательному уравнению
Q,(р)Y(p)=ao(p"~'уо+р"?+...+pyd”?+ys")+
+а,("уд+р"Зуб+...+рубNo+YS")+...+4,-0+F(P),
или О, (р) У(р =М(р+Е(р), где О, (р) = ар" +а:р" '+...+а„. Решение полученного уравнения
имеет вид
©)
Е
ТОр)+0,0.
Обратное преобразование, проведенное только для второго слагаемого, дает решение диффе-
ренциального уравнения с нулевыми начальными значениями.
р
\
‘.
6
Пример43.у"—Зу"+у’—3y=6e*;у(0)=1,у'(0)=0,у"(0)=1.ВэтомслучаеF(р)=L(6e*')=7a иреше-
ние вспомогательного уравнения имеет вид
2р? — 3+2
6
У(р)=
+
и рз—Зр?+р-3
(p—3)(p?
-3p?+р-3)
Для вычисления обратного преобразования У (р) раскладываем правую часть на простейшие дроби:
1 /29p—3 15 4
Ур=—
4“).
р)55(SP+G3 ==)
При помощи таблицы преобразования Лапласа по этому изображению находим оригинал (см. 4.4.3.3):
КЗы_Чзд29
3.
y= le
75°+55cost—75ПЕ
Применение операторного метода к решению линейных систем с по-
стоянными коэффициентами. Дана задача Коши
2.акУк(2)+2.buy(t)=Л(2)
(i=1,2,ttyп),
yi(0)=ую
(=1,2,..., п)
при условии det (а) #0. Применяя к этой системе преобразование Лапласа, получим для преобра-
зованных функций У (р) = L(y; (0) систему
2.(рак+by)У(р)=Е,(p)+2@кУко»
=1
=
где РЁ, (р)= Г. (Л (1)). Из этой вспомогательной системы находим Y, (p), производим обратное пре-
образование и получаем, таким образом, решение задачи Коши.
Пример 44. Найти общее решение системы
угу: +у2 =, 2 -—4у, + 3y, =2.
Положим у, (0)= C,, y2 (0) = C2, решим вспомогательную систему
1
(p—1)Y,(p)+
Фа
+ C1,
2
—4Y,(p)+(p+3)У,P)=— +Cr
относительно Y; (р) и У, (р); получим, что
Сур? + (3C, — C2) р? —р+3
р?(p+1)?
Проведя обратное преобразование, получим общее решение
у! (t) = 3t-—-7+e7' ((4+2С, —C.)t+74+C)), уз (t)
=4t—10+e'((8—2C,+4C,)t+10+C,).
Cop?+(2—C,+4C,)р?—2p+4
У,(p)=
РО!
У,(р)=
424
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.3.1.7. Краевые задачн и задачи о собственных значениях, Во многих случаях необходимо
решать не задачу Коши для дифференциальных уравнений, а искать решение рассматриваемого
уравнения, которое в граничных точках отрезка, заданного в области изменения независимых
переменных, удовлетворяет определенным условиям,— решать так называемые краевые задачи.
Простейшие примеры.
а) Решить уравнение y”+y=0 с краевыми условиями у(0) =у (п) =0. Эта задача имеет ONO нетривиальное
линейно независимое решение y (x) = sin x.
6) Решить уравнение у’+ау=0 с красвыми условиями у(0) = у (п) =0. Нетривиальное решение существует
только для неотрицательных а.
в) Решить уравиение у’+у=0 с краевыми условиями y(0)=y (2a) и у (0) =у' (2m). Имеется два линейно
независимых решения: у, (x) = зшх и у») (х) = cos x.
3.3.4.71. Краевые задачи. Функция Грина. Требуегся найти на отрезке a <x <b
решение у(х) следующей краевой задачи: .
|
Liuj=gt), cae Liuj=folxy" + hoody they
(fo #0; функции fo, А, fo, 4 непрерывны на а <x <p), с краевыми условиями
и [У] =#., uly] =Й»,
где
и:[У]=aty(a)+ду(a)+Пу(0)+МУ(5),
ty[У]=а2у(a)+азу'(a)+bry(b)+Бу(6).
,-(1*), в-(#*)
as а?
by b3
rang(A |B) = 2;
Пусть
ai, bi uw h, -- действительные числа.
Полагая g(x) =0 uw hy =h, =0, получаем однородную краевую задачу, которая соответствует
данной неоднородной краевой задаче. Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение
у (x) =0. Если у, (x) и у) (x) — решения олнородной задачи, то C yy, (x) + Coy2 (x) -- также решение.
Определение функции Грина С(х, Хх} сформулированной
краевой задачи (рис. 3.66). Пусть G(x, Х) —- функция, определенная в
г"
О = {(x, ylaxx<b,a<x <b,}, со следующими свойствами:
b
a) В каждом из обоих треугольников D, = {{x, xX)ja<cxsx<b} и
р
В. == {(х, }|а<х<х< 8} функция G(x, Х} дважды непрерывно диффе-
2а
ренцируема по х и удовлетворяет однородному дифференциальному
D,
уравнению
a
Лоу"+ЛУ’+fry=0.
Ola
6.2
6) Функция С (x, Х) непрерывна в 0.
в) В интервале а <Х <> справедливо равенство
Рис. 3.66.
6+0 IG(R-0H Е.
дх
дх
fo(%)`
г) В интервале а < xX <b функция G(x, x), как функция х, удовлетворяет однородным краевым
условиям И, [Сб] =би 0, [С] =0.
,
Нахождение функции Грина. Если у, (x) и у2(х) — два линейно независимых решения
однородного дифференциального уравнения Г. [у] = 0, то положим
Ay(yi(х+Ar(X)y2ХФ:вDy,
G(x,X)=
Os%) |nw,(x)+Br(%)ya) BD,
H определим A, (x), А. (xX), В, (xX) и B,{X) так, чтобы удовлетворялись требования a)—r). Ясли
однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, To функция Грина существует
и определена однозначно.
Решение неоднородной краевой задачи L [2,] = g(x} при условии U, [z,] = Ч, [z,] =0 получают
при помои функции Грина
b
2(x)=JG(x,дах
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
425
Решение уравнения Е [22] =0 при условии 0, [221 =й,. 9. [22|] =й› получают, предполагая, что
22 (x)= Су, (x) + Cayo (x), и определяя С, и С. из краевых условий. Решение и исходной задачи
равно 7, + 22. Таким образом, имсет место следуюгцсе утверждение: если однородная краевая задача
имзет только тривиальное решение, то неоднородная краевая задача разрензима однозначно.
Пример 45. Требуется решить краевую залачу у’ + К?у =x apn, условии у (6) = 1, у(1) =2 O<k <7),
Вычислим сначала фупкитю Грина С (x, x} поставленной краевой задачи. Одпородная краевая задача у” + К?у=0,
у (0) = у(1) =9 имеег только тривиальное решение; у, (x) = sin kx, у) (xj) == cos kx — два линейно независимых решения
уравнения у” + К2у =: 0. Определим функцию Грина, положив
,
{A,(xX)sinkx+А,(X)созхх для OSxaX<t (D2),
©(хх)=4
|
-
1 В, (X}sin kx + В, (%) с0з kx для OS X<x<1 (D4).
Условие a) для фуикции Грина выполнено. Условия 6) и в) дают
1
A,(x)—B,(<)=-умcoskx, А){X)—Bz(x)==sinkx.
Из г) получаем, что
|
8,(=-иsinkXиA,(xX)=0,
sin kx с0$К
sinKxcosК |
ВЕ
A, (8)=ree
oe
a
1
ksink HALE
ksink
KS Ах
Псэтому функция Грина имеет вид
sinАХcosé 1
Е
—трGOSke|sinkx mia OSX X=1,
С{х,х)eee
0
4
%
a
sinkxcosk 1
Vou.
.
cargo = COS Кх | sinkx лля О<х<х<!
ksinК
k
ИЛИ
sin kx sin k (1-х
(_-
:
2%дляOSX KS1,
k sink
G(x, х) =
_sinkXsink(1—x)
k sink
для 9 <х<х<1.
{ina решения задачи с однородными краевыми условиями у” + К?у=х, у (0) =0, у (1) =0 находим
1
1
х
sin kx sin k (1х)
inkxsink(1—x
sin ke
21=,[96 дя -|sinkXsink(1~~x)zax—|NoNoме
Хх_Ах
J0
ksink
ksink
kk? sink *
0
х
Длярешениязадачиу”+К?у=0,у(0)=1,у{1)=2предполагаем,что22(x)=C,sinkx+С)coskx,причемС,иС,
надо определить из условий 2. (0)=1 и 2, (1) =2. Получаем
2— сок.
2.(К)=—
sinkx+coskx.
sin k
Тогда решение поставленной краевой задачи
T2-cosk
x
у(x)=2,(x)+22(х)=at | sink
k2sink|inkx+coskx.
Пусть в дальнейшем выполнены следующие условия: функция fo дважды непрерывно диффе-
ренцируема, /} непрерывно дифференцируема, uf, непрерывна на рассматриваемом отрезке. Тогда
оператор L*, определенный формулой
L*[у]=Voy)”-(ДУ;+ЛУ,
называется днфференциальным onepamopom, сопряжгнным к Г. Для дифференциального оператора,
определенного таким образом, имеет место следующая формула Грина, справедливая лля любых
дважды непрерывно дифференцируемых функций у (x) и 2(х}:
§(2Ly]—yL*[2}dx=[fozy’—ytafoy+ЛУ
a
Если L[y] = L* fy], тс Г, называется самосопряженным оператором. Это имеет место тогда, когда
зыполняется соотношение {о = /1. Формула Грина превращается в этом случае в
=
?
j{2L[Ey]—yL[2]}dx=[fo(2у'—у2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
426
Примеры функций Грина линейных краевых задач
Таблица:3.5
|
K
С (x, Х) (a<x< <b)
L{y]
(a, В)
раевые условия
|
Ед (acs ра <b)
4?у
(0, 1)
у(0)=0
—(1-хх
4х?
Оо
|
у (0)=
0-0
—х
1
-
y@O)+y(l)=0
—Ze&-“D-G
y(0)+y(1)=0
—1,1
-0=0
|ee
(
)
yuo
5
HX+xX—1)
y(--l)-y(l)=0
Го
||
y (-1)-y'(1) =0 4-Я 29-95
y(0)+y(1)=0
=) 1+x%—-—x
(0, 1)
; y(j=0
G(x,x) ,
2
.
о—у
|
(—©, 00)
у конечное в (—о0, 00)
—я
(0, 1)
y(0)=0
_sinkxsink(1—3)
и.
y(1)=0
КэпК
5ky
:
=
:
dx
-.
_
(-1, 1)
y(-l)- y(t) =0
cosК(x—x+1)
У (-1)-y' (lt) =0
2k sink
Фу2
(0) =0
shkxshК(1—x)
_
1
у
_
oe
|
0,1)
y(1)=0
kshk
а
[
ау п?
(0, 1)
у (0) конечное
шхдля"=0,
rac$.)-x?
y(1)=0
Е ((xV_ oe
м
~On We)OF"
(n=0, 1, 2,...)
для n=|, 2,
1
_
-1
gyIn(i—x) +x)-In2+>
d
a, ay
п?
—1.1
у (—1) конечное
_
|
aC -х) x) t-x2”
(“1h
у (1) конечное
для п =0,
(n =0,1, 2, ...)
СЕ (1+х 1-%\"
7 ees
2п\1-х 14+
для n=1,2,...
Краевая задача называется самосопряженной, если
а) L=L"*,
6) для каждой системы значений
{у(а),у’(a),y(b),У(5;=(a),7(а),#46),2(},
для которой И, [у] =0 u 0; [2] =0 (i =1, 2), выполняется условие
[foley =. |
Условие L = L* и fo (a) det В — Го (b) det А = 0 необходимы и достаточны для того, чтобы заданная
краевая задача была самосопряженной. Второе условие выполнено, если краевые условия имеют
следующий специальный вид (краевые условия Штурма):
О,[у]=ау,(а)+му!(а), Ч»[у]=Ву,(В)+Бу»(5).
Функция Грина самосопряженной краевой задачи симметрична, т.е. С 4x, xX) = G(x, x).
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
427
Пример 46. Краевая задача у” + К?у=х, у (0) =1, у(1) =2 является самосопряженной. Во-первых, справедливо
соотношение L [у] = у” + k?y = L* [у], во-вторых,
10
00
detA=det( )=o, detB=det( )=o
00
10
и, таким образом, det В — det A = 0. Функция Грина, вычисленная в примере 45, является симметричной:
sin kx sin К (1 — x) для O<x<x<il,
G(x, =
k sink
sinkxsink(1—x)
< х<х< 1.
k sinК
3.3.1.7.2. Задачи о собственных значениях. Пусть краевая задача Г. [у] =0 при
условии (И; [у] =0 (i= 1,2) является самосопряженной.
Задача. Требуется найти нетривиальные решения (т.е. решения y (x) #0) однородной задачи
о собственных значениях для уравнения L[y] + Лу =(foy’) + ру + Лу =0 (A — комплексное число)
при условии, что И: [у] =0 (i = 1, 2).
Каждое такое решение у(х) называется собственной функцией, соответствующей собственному
значению A.
Если 4 =0 не является собственным значением, т.е. при Л =O имеется единственное решение
у (x) = 0, то существует функция Грина G(x, xX) и поставленную задачу можно свести к интеграль-
ному уравнению с симметричным ядром
y(x) = A G(x, Dy(BD ая
Свойства собственных значений и собственных функций.
1. Собственные значения действительны, и для каждого собственного значения существует
максимум две линейно независимые собственные функции.
2. Для двух собственных функций у, (x) и у) (x), соответствующих различным собственным
значениям, справедливо равенство
b
Гу, (x) у2 (x) dx =0 (ортогональность).
3. Собственные значения краевой задачи образуют последовательность действительных чисел
Ло<А, <AQ <...<
А <...,
стремящуюся к бесконечности.
Пусть собственным значениям Ay, A2, Лз,... соответствуют собственные функции у, (x), у2 (x), ...
Пусть при этом A, записано столько раз, сколько ему соответствует линейно независимых
собственных функций. Методом ортогонализации можно добиться того, чтобы
|у!(x)yj(x)dx=би.
4. Каждую дважды непрерывно дифференцируемую функцию 2(х) при условии И! [2] =0
(i = 1, 2) можно разложить в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям
задачи о собственных значениях:
20)=yсу.) ще Cy=fz(x)yy(x)dx
Для неоднородной задачи о собственных значениях
БУ] +No=/ при U,[y]=0 (i=1,2),
(3.42)
справедлива следующая альтернативная теорема.
а) Если ^, не является собственным значением соответствующей однородной задачи о собствен-
ных значениях, то задача (3.42) разрешима однозначно.
6) Если 4 - собственное значение, то задача (3.42) разрешима только тогда, когда для соб-
b
ственных функций y (x), соответствующих A, справедливо‘ равенство [ tS (x) у (x) ах =0. При этом
задача (3.42) разрешима неоднозначно, так как наряду с u(x) решением является также u(x) + Cy (x),
где у(х) есть собственная функция, соответствующая собственному значению A, С — произвольная
постоянная.
428
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция 2(х) называется допустимой, если z(x) дважды непрерывно дифференцируема и вы-
полняется условие И; [2] =0 (i= 1, 2). Краевая задача называется определенной, если для каждой
допустимой функции 2(х) справедливо неравенство
[z (x) L&z] (x) dx <0
Например, краевая задача Lhyj=(foy) + Лу, у{а) =у(Ь=0, rae fo>O и f, <0. авляется
определенной, так как
b
b
6
{zL[z]dx= —Jfo(2)?ах-+[faz?dx<0.
Все собственные значения определенной задачи о собственных 3HAYCHHAX положительны (если
^. =0 не является собственным значением). Собственным значениям Л!1,Л.,..., Ах соответствуют
собственные функции у;,у.,...,у, (одному собственному значению могут соответствовать две
собственные функции). Для собственного значения А„., определенной задзчи о собственных значениях
справедлива оценка
ГzL[2]dx
a
+1<- [+]
[22 dx
а
b
для всех допустимых функций 2, удовлетворяющих условиям [ у;2 4х =0 для 1,2,..., 1.
a
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля
ГУ]=—(у)--Лу=Agy,
x eE{a, 5),
где функции fo, fi, а дифференцируемы на (а, b) и fo H 9 положительны, при условиях, что
0,[у]=а\у(а)+а?у'(а)=0, 0)[у]=b'y(b)+by’(b)=0
(3.43)
или
О, [У] =у(а) -у(5) =0, Ц. [у] =у(а-у (6) =9
(3.44)
(условия периодичности), обладают следующими свойствами, помимо приведенных выше для общих
задач.
1. При краевых условиях (3.43) каждому собственному значению соответствуег только одна
собственная функция. При краевых условиях (3.44) могут существовать две линейно независимые
собственные функции, принадлежащие одному собственному значению (см. пример в) в начале
п. 3.3.1.7).
2. При условиях д > 0, fo> 0, f; < 0, а!а? <0, b'b? > 0, (а*)? +- (а^)? > 0 все собственные значения
положительны, исключая случай f; (х) =0, а' =! =09, в котором А =0 есть собственное значение
с собственной функцией у (x) = const.
3. Если заменить No и Г, функциями fo, f, такими, что fo >fo, fi 2h (ф<Х, Л <Л), то coor-
ветствующие собственные значения возрастут, т.е. A, >A, (уменышатся, т.е. А, <A,). Неравенство
д <9 порождает неравенство i, > A, а неравенство д > g — неравенство Ах < Ag.
4. Расширение интервала (а, 5) ведет к уменьшению собственных значений, соответствующих
краевым условиям у(а) =у (5) =0 или краевым условиям y’ (a)= у’ (5)=
5. Каждое собственное зпачение, которое соответствует краевым аловиям
а!у(а)+a*y’(a)=а!у(b)+ay’(b)=0
где а'/а? > 0, есть неубывающая функция а!/а?.
3.3.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
3.3.2.1. Основиые понятия и спецнальные методы решения. Дано соотношение
/
,
и
и”
Е (X15 ---> Хи И, Их eee Их» Uris Ижхр»oe Икки» +.) = 0.
При этом Е — функция указанных аргументов х,, и, их, Uy, кр ... Uk =1, 2,...; п). Ищется фунхция
и (х1,..., X,), удовлетворяющая этому соотношению, т. е. такая, что F обращается в нуль тождествеино
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
429
и
по х,,..., Xp, если вместо и подставить функцию Uu(x,,..., X,), а вместо и’. Ur хр -.-— производные
.
J
ди (X41, 05-5 Хх)
O7u (x1, ..-5 Xn)
Me
—
?
ХК
J
OX;
OX; OX,
Такая функция u(x,,...,X,) называется решением или интегралом дифференциального уравнения
в частных производных. Нашей целью булет не нахождение общего решения, а выделение отдельных
частных решений путем наложения дополнительных условий. При этом иногда удается получить
представление о совокупности решений. Наивысший порядок входящей в дифференциальное
уравнение производной называется порядком дифференциальяого уравнения. Если функция Г линейна
по совокупности и, их Us yr cor TO дифференциальное уравнение называется линейным уравнением
в частных производных. Линейное уравнение в частных производных и-го порядка в общем случае
может быть записано в виде
wyi
м,
F(x, u, Bet
-
; )-Г.Ги]a)
/,Ai,т(x;)aг
т.==f(x).
s=1
r
xX;
,
44
)+
.
Ox
j
дх, ... OX,
Хх: ... ОХ,
i,=S
kod
В аргументах для краткости написано x; вместо X4,..., х„, Gu/dx; — вместо du/Ox,, ..., Cu/Ox, и Т. д.
Уравнение L[u] = f(x;) называется линейным неоднородным. L[u] =0 — линейным однородным
‘дифференциальным уравнением. Если uy и uy - решения линейного однородного уравнения, то реше-
нием является также Си, + Си, где С, и C2 — произвольные постоянные. Каждое решение и
(ссли оно существует) линейного неоднородного уравнения можно представить как сумму частного
решения й этого уравнения и общего реления U (т.е. решения, которое в общем случае зависит
от ий произвольных функций) соответствующего линейного однородного уравнения.
Если функция F линейна по высшим (п-го порядка) производным, т.е. коэффициенты при
высших производных зависят лишь от производных н, и... и, хр 2+ HO n— {-ro порядка, то диффе-
ренциальное уравнение называется квазилинейным; оно имеет вид
Е
ди
Ou
xX; и, ——;
;
=
yp)
,...у
Je
J
OX;
Ox," ... OX /
я
en" 1
АН
п-1
ОИu
O"u
onи
=
Bi, (Hp te
iy
ady
a
i +В Хр...
yy
~dy =0.
|
Oxy)... 0x J Ox, ... Ex,
OX, ... OX,
iy... yi,
Г,> ign
m=|
В уравнениях в частных производных произвольные элементы общего решения, т.е. решения,
из которого получают все частные решения (возможно, за исключением определенных «особых
решений»), являются не константами, ках в случае обыкповенных дифференциальных уравнений,
а произвольными функциями. В общем случае число произвольных функций будет равно порядку
лифференциального уравнения. В случае дифференциальных уравнений с п независимыми перемен-
ными произвольные функции будут функциями n— | переменных.
Пример 47. Уравнение My x = f (х,, X23) - линейное дифференциальное уравиепие 2-го порядка с заданной
функцией / (ху, х2). Общее решение имсет вид
Xy Х2
u(x,х2)=J ff(Gs)dtds+w(xy)+0(x),
Х, Х2
где и (х,) и #(х>) -- произвольные функсии.
Пример 48. ан, + bu, =0 (а, b — постоянные). Общее решевие имеет вид и = (6х, — ах2), где w (1) — произ-
вольная дифференцируемая функция.
Пример 49. Уравнение {3.27)— квазилинсйнос уравненис в чястпых произролных 2-го порядка по ABYM незави-
симым переменным.
Пример 58. Уравнение иххиу, + и, =: } (x, м, 2) не является ни личейвым, ни квазилинейным уразиснием в частных
производных по трем независимым переменным.
Для каждого множества фуикций вида и.= 7 (хи, х», No (4 (ху, Xz))), где Ги 9 — заданные функции
OT X14, X2, W их,, Xz соответственно, а w(t)— пооизвольная функция, может быть найдено такое
уравнение в частных производных, что это множество функций будет общим решением этого
уравнения. Для доказательства продифференцируем и но x, и xX, и исключим и’. В получившемся
дифференциальном уравнении замепим w на функцию OT Xy, х› и и, разрешив уравнение и =
= f (x4, х2, Ww) относительно w.
430
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 51. Совокупность поверхностей вращения, которые получаются при вращении плоских кривых вокруг
оси и, задается посредством формулы u = w (x? + х2). Из соотношений и, = 2хи’ (xf + х2) ии ‚ = 2х2м (x?+ x3)
получаем соответствующее уравнение в частных производных 1-го порядка: X2u,, — хи», = 0.
Система уравнений в частных производных для функций и”, 2), Lees 9 (x1, :.., X,) имеет вид
au? au дит
k
—
Е. (x. Wu) ..., и®,
=0,
дх, °`’’’ Oxy” Ox, Ox,’
где i=1,2,...,h. Если имеется столько же дифференциальных уравнений, сколько неизвестных
функций, т.е. К =h, то система называется определенной системой; если й < К, то система назы-
вается недоопределенной, и, наконец, при h > К — переопределенной. Дифференциальное уравнение
2-го порядка F (ху, хо, и, Ux > и, „ Uxixy Uy
2
ИхИх ох )== 0 эквивалентно системе
Е(X1,X25и,Ps4,Рх„›Pxy>Ix.)=0,
—pt+u,, =0, —Ч+
их, =0
трех дифференциальных уравнений 1-го порядка для трех неизвестных Oye и, p WU q(X4, Х2).
Система h дифференциальных уравнений с h неизвестными функциями uO),..., и® (t, x4, 2.2, Xp)
Ki
5, (р
.
=F,(.Xj,uw)...,и®,...,56= a...)
(3.45)
(1=1,2,..., h) называется нормальной по отношению к независимому перёменному [, если правые
части F, не содержат производных функций и® ‘порядка выше & и производных по ¢t порядка
вышеК,—1.
Задача Коши для нормальных систем уравнений. Требуется найти решение
‚ и® системы (3.45), которое при t = to удовлетворяет начальным условиям
iy
—_—
at!
uit),
= Uy, (хи, ++ +5 Xn) (,=0,1,...,4,-1; i=1,2,...,h).
=
Теорема Коши — Ковалевской. Если все функции Uy, (x,) в некоторой окрестности точки (x})
и все функции F; из (3.45) в некоторой окрестности точки
3.(DP (+0 0
о _.0
() 7,0 _.0
ди (Е, xj)
Г,Х,,.... И (1, х;),...› 50 51
Bcc
Ot” Ox," ... OX,
можно разложить в степенные ряды, то задача Коши имеет решение, которое в некоторой
окрестности точки (f°, x?) можно разложить в степенной ряд, Это решение единственно в классе
функций, разложимых в степенной ряд. Отметим, что по этой теореме имеем решение в малом,
т.е. в окрестности точки (f°, хо
Пример 52. Система и; = d;, Ds = —м, нормальна по отношению K х.
Пример 53. Уравнение ии = а? (un i,t Ux, x,) нормально по отношению к I.
Специальные методы интегрирования.
1. Разделение переменных. Во многих случаях решения можно искать в виде
и=и(х1,...,
Хи) = Uy (Xp) и. (X2,..., X,) или и=и, (x1) + Uy (X2,...,X,),
если после подстановки предполагаемого решения уравнение удается записать в виде
2
Е
du, d*u,
ЩЕ
_м2ди
1[Хи,44,
‚
gere |= #2| Х2, +...) No U2, =—,
“
g
y
cee fe
dx,’ dx?
дх. ° дхз
Тогда и! и uz должны удовлетворять уравнениям
|dd7u
дд
Fy(xsит,т,—,.’)=C, F,(=+.»Хи»U2,a,nal ..)=C,
1
Х2 дх.
где С есть произвольная постоянная, которую можно определить из дополнительных условий.
Таким образом, для и! (х!} получим обыкновенное дифференциальное уравнение, а второе уравнение
будет содержать на одну неизвестную функцию меньше.
`
Пример 54. (м, a + (us y== 1. Предположим, что и (ху, x2) = uy (x1) + и» (x2). Тогда из уравнения следует
du,
du
(44)-с, 1(Hy=€
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
431
Решая эти два обыкновенных дифференциальных уравнения, получим для уравнения в частных производных
двупараметрическое семейство решений
‘
и(X1,х2)=ax,+(1—a?)!"?x2+b
(a? = C).
Пример 55. Ws x, — Ч, = 0. Предположим, что и (хи, X2) = и, (хи) U2 (x2). Тогда после разделения переменных
1 du,
С
1 du,
—
=
С
u, dx}
уизdx, ,
и решение имеет вид
2
ах
—ах, а’х
~
(Се ++Cre Ne ~?
для 4? =С>0,
а (хи, х2)=< С, 4+ Cx,
для a?=C =0,
(C, sin ax, + С. cos ax,)e
‚дляа -C>
2. Метод суперпозиции. Этот метод можно применять для линейных дифференциаль-
ных уравнений. Он состоит в получении новых решений из данного семейства решений посредством
суммирования или интегрирования.
`
Если и(х!,..., х„; К) — семейство решений, зависящее от параметра К, то при определенных
предположениях функция
о (15... Xn) = Уи (Xa, ..-, Хи; К),
k
если К — дискретный параметр, или
b
D(X1, 4..5 Хи) = [и (x4, ..., Хи; К) dk,
a
если К — непрерывный параметр, также является решением заданного дифференциального уравнения.
п ример 56. их _ их, = 0. В предыдущем примере было показано, что
—ах.
и (хи,
х2; а) =е
COS ах!
— решение, зависящее от непрерывноге параметра. Тогда
+a
2
1/2
—a’x,
.
к \"? —х2/4х,
в(x4,X2)= e
cosax,da== е
-©
также является решением.
3.3.2.2. Уравнения в частных производных 1-го порядка. С теоремой Коши — Ковалевской
связано предположение о разложимости в степенной ряд, которое во многих случаях оказывается
слишком сильным ограничением. В дальнейшем будем предполагать, что все встречающиеся частные
производные существуют и непрерывны. Важнейшим результатом, вытекающим из изложенного
ниже, является эквивалентность уравнения в частных: производных 1-го порядка‘ системе обыкновенных
дифференциальных уравнений.
|
Каждое решение u = u(x,, X2) уравнения в частных производных 1-го ‘порядка (с двумя незави-
симыми переменными)
ди
ди
Е(x1,“2,и,ри,P2)=0
@—Ox,”P2=‘дх. (Fy?+Fp, #0]
“1
2
может быть представлено как поверхность в трехмерном пространстве. При этом касательная
плоскость в фиксированной точке (хи, X2, и) поверхности имеет уравнение
И -и=р, (Х, — x1) + p2(X2
— хз);
Pi и р. — решения уравнения F (хи, х», и, ра, р2) =0, если х,х) и и фиксированы. Огибающая
семейства касательных плоскостей в точке (хи, X2, и) называется конусом Монпжа в точке (хи, X2, и).
Касательная плоскость поверхности решения в точке (хи, х2, и) должна касаться построенного
в этой точке конуса Монжа вдоль образующей. Направления, которые определяются образующими
конуса Монжа, называются характеристическими направлениями. Кривая в (хи, хо, и)-пространстве,
имеющая в каждой точке характеристическое направление, называется характеристикой (фокальной
кривой); она удовлетворяет условиям
dx,/ds = F,,, 4х2/45 = Fy. du/ds = РАЁр, + Р2Ер..
(3.46)
1?
Последнее соотношение называется условием полосы, которое выражает тот факт, что функциями
x1 (5), x2 ($) и и (5), р, ($), р› ($) определена не только пространственная кривая, но одновременно
432
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и касательные плоскости в каждой ее точке. Система функций ху, х», и, Pi, P2, удовлетворяющая
системе (3.46) и F =0, называется фокальной полосой. Каждая поверхность решения и (х1, х2} (ин-
тегральная поверхность) содержит характеристические направления, так как поверхность обязательно
должна касаться конуса Монжа, и они образуют на поверхности решения фокальные кривые.
Квазилинейное уравнение в частных производных 1-20 порядка:
Ay(X41,X2,и)Py+а2(хи,хо,и)р2=а(x1,X2,и).
Конус Монжа вырождается в этом случае в ось Монжа, так что в каждой точке существует
только одно характеристическое направлецие. Каждая поверхность и == и (хи, х2), образованная одно-
параметрическим семейством фокальных кривых, есть поверхность решепия уравнения в частных
производных, и обратно, каждая поверхность решения образуется таким образом. Каждая фокальная
кривая, имеющая общую с поверхностью решения точку, целиком лежит на этой поверхности
решения.
|
Общее уравнение в частных производных 1-го порядка:
Е(x1.X2,и,рт,P2)=0.
Предположим, что конус Монжа не вырожден. Чтобы фокальная кривая целиком лежала
на поверхности решения, для р, (5) и р. (5), кроме условий (3.46), должны выполняться соотношения
< 4р1/45 = —(pyFu + Е», — 4р2/4 = —(фэР, + Е...
(3.47)
Система из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений (3.46) и (3.47) называется харак-
теристической системой дифференциальных уравнений. Функция F является интегралом этой системы,
т.е. Е =const вдоль интегральной кривой. Каждоё решение характеристической системы с Р=0
(нужно потребовать выполнения этого равенства только для начального элемента} называется
характеристической полосой, и соответствующая пространственная кривая x, {5), х. (5), и ($) — харак-
теристической кривой. Справедливо утверждение: на каждой поверхности решения имеется одно-
параметрическое семейство характеристических кривых и соответствующих характеристических полос.
Если характеристическая полоса имеет общий элемент с поверхностью решения, т.е. общие
значения X1, х., и, Py, Pz, то она целиком принадлежит интегральной поверхности.
3.3.2.2.1. Задача с начальными значениями. Приведенные в 3.3.2.2 результаты легко
переносятся на случай п независимых пзременных.
|
Квазилинейное уравнение в частных производных 1-го порядка с п независимыми переменными:
an
Nn;
Зи
у.а;(х1,...,Х»и)Pp=A(х,,....Хи,4)
у.ay#0,р,=al
i=1
Пусть задано п -- 1-мерное многообразие начальных значений С в (xq, ..., х»», 4)-MpocTpaHcrBe:
_0
юг,
‚—
м (1... 1) и-в (C1, :..) 1)
(=, 2,..., п),
причем
дх%/0#, ... 9х3 10,1
Tangj .......
. J=n-tl
(3.48)
axS/ér, ... Ox°/Ot,— 4 /
/
и многообразие не содержит двойных точек проекции на (xXy,..., х„)-просгранство (т.е. различным
наборам значений (1,,...,..;:) соответствуют различные наборы значений (х!,..., х,)). Искомым
п
i=
ное многообразие $, т.е. для решения должно тождественно по & выполняться равенство
u° = u(x?,..., о). Для этого решим систему
dx;
|45
будет решение и =и(х.,..., X,) дифференциального уравнения )’ ар; = а, которое содержит началь-
`
1
u
.
—- = A(X), ..-, Х» 4)
(1 =1,2,..., п)
ds
=Gj(x;,venyХии),
.
\
`.‚
.
с начальными значениями х; lpg == ХЭ, и |;=о = и’. Решение будет зависеть OT би ty,..., &-з:
Xj, = X; ($, 1,.... 1-1) ии (5, ty, ..., 1)
(=12,..., п).
Если определитель
ay,
..- Gy
р—On
_— Ox‚Ид,
Ox, /Ots
50
Ox 1/91 cee Ox,,/Ot, -— 1
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
433
на С, т.е. при 5 =0, то, разрешая в окрестности С уравнения x; = х, ($, 1,..., &-1) (=12,..., п)
относительно $5, Ё1,..., t,-1, Получим
$=5(%1,...,No), Ш = (Хь...,Xn) (kK=1,...,0—- 1).
Подставляя эти функции в u=U(s, ty,...,¢t,-1), получим искомую интегральную поверхность
и=и(х,.,..., Хи). Таким образом, в предположении О |, о 4 0 задача с начальными значениями разре-
щима однозначно.
Случай Ш |,-о =0. Многообразие С называется характеристическим для дифференциального
я
уравнения >) ар; =: а, если существуют функции A, (ty,..-,t—1) ®=Ь2,....п- 1) такие, что в С
i=
справедливы соотношения
п-1
ax?
a, (x9, ..., x9, u°) =
ЛкА,_
(i= 1,2,..., п),
ot,
|
k=1
п-1
ди?
a(xi,.*.)xo,u°)=У» А
Ot,
k=1
Каждое характеристическое многообразие получается из я — 2-параметрического семейства фокальгых
кривых, и обратно, каждое такое семейство кривых образует характеристическое мпогообразие.
Если Ффокальная кривая имеет одну общую точку с характеристическим многообразием, то она
целиком лежит в нем. Если О|.-о=0, то для разрешимости задачи о пачальных значениях
необходимо и достаточно, чтобы С было характеристическим многообразием. В этом случае
имеется бесконечно много интегральных поверхностей и С называется многообразием разветвления
интегральных поверхностей. Чтобы понять это, построим нехарактеристическое начальное много-
образие С’, которое пересекается с С и однозначно определяет некоторую интегральную поверх-
ность. Тогда С лежит на образованной таким образом интегральной поверхности.
_dx
‘Пример 57. up, +р. =1. Соответствующая сисгема обыкновенных дифференциальных уравиений To = и,
du
--.--= 1, ——= имеет решение
ds
ds
1
x,(9=552+ио5+хо, Xz($)=5+хр, U=S+Ш.
a) Ищем интегральную поверхность, проходящую через $: xf = 0?, xf =&, и =e. Здесь
1
x,(st)=5s?+ts+t?, x2(s,0=s+t uf{s,)=s+t
есть решение системы обыкновенных дифференциальных уравиений с начальными значениями С. Так как Р|].о =
= —#7* 0, то u= x2 — единственная интегральная поверхность.
6) Для С: м=—- 1, = No =1 имеем Б|.-о =0, но © - характеристическое многообразие при No = 1. Boum
взять G': x9 =f (t), x2=t, uw =0 (f' (040, Г (0) =0), то G и С’ пересекутся в (0, 0, 0). Интегральная поперхность
1
.
.
.
для С’: xy = 5 u* + f(x, — и) содержит С. За счет выбора функции / получаем бескопечво много интегральных
поверхностей, содержащих G.
1
|
в} Для С: x? => И, X= t?, и =| имеем DI,..5 =0, но С пе является характеристическим миогообразием,
так как необходимые для этого соотношения |= М 1=No i =A-O не выполияются ни для какого А. Ana С
не существует интегральной поверхности. Если бы интегральная поверхность существовала, те на С для определенных
Pi. Pz выполнялись бы оба соотиошения
up,+23— IG=р:+р.--|=0,
ди?
Gx?рдх®|
=
щи «Pz
------ „=: --
—-
--
at
at уве Ри pat=0.
Но таких р! и |”, не существует.
Общее уравнение в частных производных 1-20 порядка с п независимыми переменными X,, ...
Ou
F(x q,6265XapUyPayevesPy)=9
(»=ony
434
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть соответствующий этому уравнению конус Монжа не вырожден. Пусть n— 1-мерное
начальное многообразие С (3.48) в (x1, ..., х,, и)-пространстве заданием п функций
—по
5—
Pi = Pi (ti, +09 fn-1)
(i = 1, 2,..., п)
дополняется до многообразия полос C,, причем условия полосы
`
u
du°
о 9%?
ур
k=1,...,0—1
at, У» at,
( pevey Mt— |)
выполняются тождественно по ,.. ..н-1. Пусть в дальнейшем соотношение между величинами
полос хр, u°, ро
ро
000
о__
Е (%1,..., Хь U > Pir---> Pn) = 0
справедливо тождественно по &, ..., &-:. Будем искать решение и=и(х., ..., X,), содержащее
заданное многообразие полос; должны выполняться равенства
и = u(x?,...,Хо),
ди (x?,...,хо
pe = aT ") (j= 1,2,...,1)
“i
Рассмотрим для данного уравнения в частных производных характеристическую систему:
dx;ds=Fy,
du/ds=УPFpp
(i= 1, 2,..., п),
j=
dp,/ds = — (Е. + Fip).
На каждой интегральной поверхности уравнения в частных производных F =0 существует
однопараметрическое семейство характеристических кривых и соответствующих характеристических
полос. Если характеристическая полоса имеет общий с интегральной поверхностью и =и (хи, ..., х,)
элемент, т.е. значения X1, х.,....Х, ty Pay --+s Dn
__
_ Ou (%,..., Xp) _
й=и(х,,..., Х,),
=р |.
i
OX;
то полоса полностью принадлежит соответствующей интегральной поверхности.
Найдем теперь решение характеристической системы с начальными значениями
ж=о = XP (И... bats
ино = WO (1, ..., 1),
(i = 1, 2,...,n)
Dils=o = PP (ta, . ta)
и получим
х; = Х; ($, by...) Ш-1)
и=и (5$ ty... Ша)
(i== 1, 2, ...,n),
Pi= Di (5, (1, ..., bn- 1):
Справедливо соотношение
Е(x,(5,и,91),tryи(5,И,(4-1),Pi(s,fh,4)ly1),=)=0,
}
так как оно выполнено для $ =0 (см. выбор величии полос). Важную роль игоает величина
Fi, Fy
D
0 (x1, ees Xn)
Ox, /et; ... Cx, /Oty
7д(5,1..5Ши)7
.
..
дх1/б и... х/б,
Если О +0 вдоль Су, т.е. для $ =0и
в
окрестности G,, то иолучим
$ =5(Х1, ..., Xn), ty == (Хь,..., Xn)
(k=|.Qe. п-|).
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
435
Подставив эти функции в формулы u=—u(s,ty,...,th-1) и р=р ($ Ё,....в-1) Получим и =
ди
=и(х1,..., хи) в качестве единственного решения задачи с начальными значениями с 5х = Pi (%1,-..› Хи).
x;
Случай D|,-9 =0. Здесь важную роль играет понятие характеристического многообразия
полос: С, называется характеристическим многообразием полос, если имеется п—1 функций A,
таких, что соотношения
n-1
n
n-1
n-1
ax?
>
диб
др?
РИ=
А,—-’
iF. =
А —_,
—г
°;’=
at
р,
уКOty
pP;у
k Ot,
(Г. + Ри)
)Лat,
k=1
i=
k=0
k=1
выполнены Ha G,. Каждое характеристическое многообразие полос получается из n — 2-параметри-
ческого семейства целиком лежащих в нем характеристических полос, и каждая характеристическая
полоса, имеющая общий начальный элемент с характеристическим многообразием полос, целиком
лежит в нем.
Если Р|.-о =0, то для разрешимости задачи с началь-
и
ными значениями необходимо и достаточно, чтобы С, было
u=u(Z,,£,)
характеристическим многообразием полос. В этом случае
pee
существует бесконечно много решений, получающихся таким
образом, что образуется многообразие С’, которое имеет
6,
п 2-мерное пересечение с С, и для которого D #0. Если
решить теперь для G, задачу с начальными значениями,
Аарантеристическая
то G, будет содержаться в ее решении (рис. 3.67).
полоса
Пример 58.Е(х,,х»,и,ри,р2)=PiP2—и.
0
т
Характеристическая система имеет вид
2
dx,
dx,
duis,
= Po, —*_=p,, — = 2р:р.= 2u,
dsP*gsPasa
Ly
dp,
dp.
Рис. 3.67.
ds=Pi,
“Us. P»
и характеристические полосы описываются равенствами X, = Po (е* — 1) + X40, X2 = Рло (@ — 1) + X20, и = иое?*, ри = Pr0e’,
P2 = P20e*. Ищем решение, проходящее через С. :
=, x= w=, р=12), М=а.
Для С, выполняются следующие условия:
0
0
a)rang(ed,= rang(0,1)=1;
6) Fig, =Ppip2 —4lg, =? — 0° =0;
due одх_pax
>at
9РЯar
=2t—2t=0.
Решепие характеристической системы с начальными значепиями из G, имеет вид
x,(5,t)=2t(e*—1)+1, х(= -+t
#
м(50=te, р(8,D=5Е, ро(s,t)=2te’.
Таккак2|.-о=2t0
21|21#0,томожноразрешитьx,=21(6— +1,x2==>(e*—1)+Еотносительно$иЕ
_4x.+x,—1
4х —-х+1!`
гр —x+O) es
Подставив эти значения в и = Ё2е?* получим решение
и(X41,х2)= (4x.+x,—1).
После подстановки в р, = > е* и р2 = {е* получим
Ps(inka)= +,—0, Pa(Xt2)= (er+ DY,
т.е. выполняются равенства ди/дх, = p, и du/Ox2 = р».
3.3.2.2.2. Полные интегралы. Решение уравнения в частных производных 1-го порядка
Е (х1,...,Xp My Ра»...
,Pn)=0,
436
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
зависящее: от п параметров a, {i = 1, 2,..., п):
iu=f(x.veeyХи»ay,stsUn),
при условии det (f ax) #0 в рассматриваемой области (x), ..., х,)-простраиства называется полным
интегралом. Очень часто полные интегралы можно получить разделением переменных (см. 3.3.2.1):
Если зависящее от параметра а семейство и = f (х,..., хи; а) поверхностей сешения дифференци-
ального уравнения имеет огибающутю, то она снова есть решение. Огибающая определяется тем,
что из условия Г» (х.,....х» =O находят а как функцию х,...,х, н подставляют в N=
= Л(хь,see Хи»а).
Из полного интеграла построением огибающей можно получить общее решение. Предположим,
что 4; = W; (ty,.--, Ges) @=Ь2,..., 1), причем и; -- произвольные функции от-и - 1 переменных Cy.
Из п | уравнений
J,
or
.
cere
oe
`
0 == Ле Chay oes Хи; Wise
ees Манна) =
(К =... п-!)
к
найдем ft, как функции х\,..., х,. Подставив эти функции (1 (х1,...,х,) (kK =1,..., п-- [) в выражение
u =f (x4, ste Хи» Wy {t1, ses ta-- 1), ss ey Wa-t (t,, re) ty-1))
получим решение, зависящес OT п произвольных функций, т. е. общее решение.
Полный интеграл приводит к решепию характеристической системы дифференциальных уравнений.
Пусть и=/(хь.... х;аь..., а.) — полный интеграл уравнения в частиых производных F = 0.
Из соотношений
fi Ще
Ла; = sbi,
где а!,..., а» 61,..., В, — произвольные параметры, найлем
X, = Xj (5, а.,..., @» бь..., By)
(= 1,..., np.
Эти функции, подставленные в правые части соотношений
Of {Xq, 6605 Np аъ... Gy)
и = f(xy, coe g May Мосс» ан),
В=;
нь
>
=>
OX;
дают и (5, а1,..., а» Dy, ..., В) и [1 (5, 24, ---, а» Dy,-.., В). Кривые x; = x; (5), u = 4(s), pp =p; (У яв-
ляются характеристическими полосами.
Особое решение -- зто ранение дифференциального уравнения, которое получается в результате
исключения Py,.-., р, из п-- 1 уравнений
Е(Хр...>ХиМ,Р1:...,Pa)==0, Pp,XioesХьи,р:,...,Pr)=0
(i = 1, 2,..-5 M).
Особое решение может быть получено такмее из полного интеграла построением огибающей.
Исключив п параметров 4aj,..., а, из a+ 1 уравнений
f (x4, +.) Хи» @1 ures а») =,
Ла (-<;, и.» Xqe Gps eens a) — $,
получим особые решения.
Примеры полных интегралов уравнений в частиых производных.
Габлица 3.6
Дифференциальное уравнение
Полный интеграл
F(py,po)=0
WX, Нах,tyприГ(а,a)=0
Пример:
р
р+=1
и==ах,+(1-apy”x2На»
Py=f(x),po)
w=hfOey.ay)4х,+вх,+Oy
J
Da =f (Хр)
#=fs(x2,а}dx.+ах,+ay
Нример:
и
9
lo
ам,
Py=М2кхе
Qo3ха,+4Nye
+UX,+a2
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
437
Таблица 3.6 (продолжение)
Дифференциальное уравнение
Нолный интеграл
du
X,+ах.=|- + а>
2
P2
g (и, ay)
Pi=1P2+же
при условии, что g (и, $) есть решение уравнения
р=Л (и, sp);
(x;—а2)?+а2х2+2a,x2(x,—а)=(1+42)(1—и).
Пример:
3nech
и?(pi+p+l=)
ЧА
Fy (хи, Pr) = Fe (х», Pa) (=4;)
или
р:=Лaa
P2= J2Xa»42
;
и
12
Пример:
«=|(252) ix +|(2959) dx,+a,
В (x2)
A(x1)р?+В(x2)p=a(x)+h(x2)
u=Jf;(ха,а)dt+|fa(x2,a1)4х»+@
и==рах!+P2X2+S(Pr,р?)
=A,X,+aX+f(a,a2)
3.3.2.2.3. Контактные преобразования. Канонические уравнения и кано-
нические преобразования. В этом разделе вновь рассматриваются уравиения в частных
производных 1-го порядка
PX1,+65ХьUyPay++»Pr)=0,
(3.49)
где
ри = ди/дж
(i= 1, 2,..., n).
Наряду с обычными точечными преобразованиями х; = Хх; (ха, ..., X,) (i= 1, 2, ..., п), такими, чхо
д (Х1,...,Xn)
д (х1, ..., Xp) 2 0, можно рассматривать контактные преобразования. Преобразование
р = No (%1, -..› Хи» No Ра»...Ри),
t= р: (X14, ..., Xp и, Рь...,Ри), (=12,...,п)
и=й(х1,...,Xp» Uy Р1, --.,›Ри),
д (Хи, ..., Xm й, Ра»...› Dn)
д (x4, +» Хи» И, р1, .-.,› Pn)
ствует такая функция 9 5 0, что выполнено соотношение
п
sO
du—УРиАХи=9(X41,++5Х»и,С
—»ра}
k=l
k=1
где p, = д/0х, (k = 1, 2,..., n).
S
I
для которого
#0, называется контактным преобразованием, если суще-
n
При этих преобразованиях полный дифференциал du= У, pdx, переходит в полный дифферен-
К=Т
п
циал du= )’рьЧхь. Необходимое и достаточное условие того, чтобы функции
k=1
Ki (Х1,..., Хь и, Pty ++ Ри),
Bi (X4, «525 Xv Uy Dy ..-., Ра),
й (Х1,.-., Хь и, Ра, - +> Py)
(i= 1, 2,..., и)
определяли контактное преобразование, для которого справедливо тождество
п
п
ай—у.DrdX,=gJgG—уPr4}
k=1
ke=}
выражается уравнениями (а, Xi] = 0, [x x;] = 0,
[DisPy]=Q, [i,и]—9рь
[Bi x;] = 549
(i= 1,...,n; j=1,...,0).
При этом для двух функций /, h(x,, ..., Хх, и, ра, ..., Py) квадратные скобки определяются
равенством
МН=У(У,+ —В,Ss,+ВЛ
438
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это контактное преобразование переводит уравнение (3.49) в новое уравнение
Е (Х1,...,Хь Uy Diy s+ +> ра) = Е (Ха, ..-, Хь Uy Pty ees
Pa) =O — (р, = OU/OX;
(i= 1, 2,...,n))
с решением & = U(X,,..., Х,).
й
Возможно, что новое дифференциальное уравнение F =0 не содержит производных и, слело-
вательно, не является больше дифференциальным уравнением в собственном смысле.
п
Пример 59. Преобразование Лежандра Хх = р, Pi = Xj, й= у ххрк - и есть контактное преобразование:
k=1
dui—2PrdX,=(—1)(a—2Pr4»
В дифференциальном уравнении (3.49) можно ввести и = х,„., как независимое переменное
и искать семейство решений x,4,; =/(х.,....х,; С) в неявной форме о(х1,..., Xn Ххи+1) = С. При
этом вместо р; = Ux, в (3.49) следует подставить -- АА (=1,2,..., и). Таким образом, получим
дифференциальное уравнение, которое явно не зависит от 9. Пусть в дальпейшем полученное
таким образом уравнение ‘нормально по отношению к переменному, которое будет обозначено
через { (ср. 3.3.2.1). Тогда можно ограничиться исследованием дифференциального уравнения Га-
мильтонпа — Якоби
p+ (1, ..., Xm ри, ...› р») =0
(р=и, р; =и. для функции и от n-+ | переменных хи,..., х„, Е (переменное v снова обозначается
через и). Система характеристических дифференциальных уравнений, соответствующих этому урав-
нению Гамильтона — Якоби, имеет вид
ФаОНЧОН1)
(3.50)
du
OH
dp 0H
,
a_ он “®a.S.
3.51
dt yn Орк
dt
ot
G91)
k=1
Уравнения (3.50) образуют определенную систему из 2n обыкновенных дифференциальных
уравнений. Если из них найти x;(t) и р; (1). то u(t) и p(t) получатся из уравнений (3.51) простым
интегрированием. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (3.50), соответствующая
функции Н (x4,..., Хх» Ьр1,..., Ра) от 2п + 1 переменных, называется канонической системой диффе-
ренциальных уравнений или нормальной системой дифференциальных уравнений. К системам такого
вида приводят многие задачи механики и теоретической физики. Решение нормальной системы
(3.50) часто находится проще при помощи соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби.
Теорема Якоби. Если известен полный интеграл и = f (x1,..., Xt а1,..., а.) + а диффе-
ренциального уравнения в частных производных
pt+H(x1,...›NoЬРа,-++»Ра)=0,
причем det (f хм) #0, то уравнения
Ла;=1Ла=Pi
(i= 1,2,...,n)
'
при 2n произвольных параметрах a, и b, дают 2п-параметрическое семейство решений канони-
ческой системы (3.50).
Пример 60. Задаиа двух тел. Движение двух материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ныотона,
происходит постоянно в одной плоскости. Поэтому, приняв положение одной из точек за начало координат, можно
записать уравпепие движения в виде
2х au
d?y 900
К?
=,
=—,
где
„= =.
dt? ax
dt? ду
д
(x? + y?)'/?
Эта система после введения функции Гамильтона
1,
H(x,VyPyq)=>(р”+4?)—U(x,y)
переходит в систему канонических дифферепциальпых уравнений
ах ОН
dy OH
dp
GH
dq
ОН
dtap”dtaq’dl
ax’ dt
ay
для величин х, у, р = dx/dt, 4 = dy/dt. Интегрирование этих уравнений эквивалептно задаче пахождения полного интеграла
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
439
—
.
—.
уравнения в частных производных
О la,
,
k?
и,+5(их)?+(u')7]—(Ce?avyy =0.
В полярных координатах р, ф уравнение в частных производных можно записать в виде
1
1
k?
ui,+—|(и)?+—-(м)?|=—-;
tt2|4)
р?(е).
р
функция
5
р.
1/2
223\"
и=—a,t
—ag—ЦЕ+
-+) ds+a
Po
является полным интегралом. Ero можно получить разделением переменных —u (р, ф, f) = uy (1) + и» (р, Ф) с учетом
того, что для уравнения вида и, = / (p, и.) выражение и = ГЛ (p. а2) 4р+азф +a есть полный интеграл. Из Wa, = —fo
и Ма, = —Фо получается общее решение
р
p
ds
ds
1-0 =—
|
22
а?1/2’
Ф—Фо=42
,
Dk?
а?1/2?
;
2a, +
—2
Ss(2s+ -——-—я
Ро
Ро
.
2
,
..
а>
причем второе уравнение задает траекторию. Вычислив последний иитеграл и используя обозначения Р= Er
2a,a3
1/2
Е? = ( +— ) „, получим уравнение
Р
1—=?sin(ф—Qo)’
р=
т.е.при=<|—эллипс,при==!—параболуипри=>1—гиперболу.
Канонические преобразования. Преобразование
Xp=Хх(ХА,...,ХььРа»+>Ри)
_
|
(=12,..., п)
(3.52)
р = By (X41, ..., Х», Pi, +++s Pn)
называется каноническим преобразованием, если канонические уравнения (3.50) переходят в канони-
ческие уравнения
dx,.OH
dp,
ОН
= 1,2
n)
—
ss
—_— FET rer
=)goreg°
dt др,’ dt
Ox;
Это условие должно выполняться для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций
Н (x, ...› Хи Ру ...› Ри).
Преобразование (3.52) является каноническим, если существует функция С(х1,..., Xn» Pry ..., Pn)
такая, что справедливо соотношение
>(p,dx,—риdX)=dG или У(x,dp,—X,dp,)=dG
=1
=1
(рь X, должны быть выражены через x;, р; по формулам (3.52)). Функция Н (X1,..., Хх» рль..., Dn)
получается из Н при подстановке выражений x, p, через х,„р, в соответствии с (3.52). Это
возможно, так как для канонического преобразования всегда справедливо равенство
9 (%1,..., Х» Ра»... › Ра)
9 (Х1, -.., Хи Ра, -++> Ри)
Пример 61. n=1: х= Их cos 2p, p=|/x sin 2p — каноническое преобразование, так как для функции G =
x.
= (—sin 4p + 4p) имеет место равенство
pdx—pdx=(-5sin2pcos29+ dx+2xsin?2pdp=dG.
Например, канонические уравнения
-$т2p—1
2Ух
= (2Их—4xsin2p)cos2p, a sin?2p—
440
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с функцией Я = x (1 -- sin* 2p) +Ихx sin 2p переходят в капонические уравиения
ИХ=1, dp/dt=—2х
cH =X*+-р.
Условия канонических преобразований, записанные при помощи скобок Лагранжа. Преобразование
(3.52) является каноническим тогда и только тогда, когда тождественно выполняются соотношения
[хь x.) =0. x; Pr] = бд [pp р] =O Gk =1,2,..., 8). При этом скобки Лаграниее |,] определены
равенствами
п
.
VI Ox; OD;
OX; OD; )
‚ Of;
OX; On. ^
хрХЦ=
oun ae iar me
;
veoe ET
Lip mi] 7: ax; OX, OX, OX;
Lx) Pel= Xe дх,
3 -).
ist
(2% OP; OX, Об;
Pj»рь Рк] =
- vee eee
ap, OP,
Op, re Ip;
Условия канонических преобразований, записопные пре помощи схобок Hyarcona. Преобразование
(3.52) является каноническим TOCA и только тогда, когда выполняются соотношения
-й—Qh15ni)we
r
—
г.
З
(Xj,м)=0, (Pj,Pr)=0, (Xj,Px)=би
(i & ae, O,..-, a).
Функции Г, G(xy. ..., хжь рь..., Pa) связаны с иреобразованными фузкциями Г, G(x, ..., Xp
р.,.... Pr) для произвольных непрерывно дифференцируемых фузкций / и ах, Ра»... Dw)
соотношением (Р, С) = (Ё, 0). При этом скобкк Пуассона (7 9} определены следующим образом:
п
Ufg)=<(9.99_No9}
Ь&) =
pote
Gee eet ee
у
\Xe Oy
OX, OP, }
k=]
Скобка Пуассока имеет следующие свойства:
(= —-@/), (Kf¥=0, (f const) =9,
(Ath N=
+g Aho d=
+fGo9,
CF,(9,h))+в,(NoЛ)+(A,(Ff,gi)=0
`
{пождество Якоби). Совокупность канонических преобразований от 2n переменных образует группу.
3.3.2.3. Уравнения в частных производных 2-го ппрядка,
3.3.2.31. Классификация. Характеристики. Корректно поставленные за-
дачи. Рассматривается линейное относитеньно вторых производных уразнехие в частных прриз-
водных 2-го порядка
п
х`
9?и
f
Cu
би
a
» ij(Хр. Жи)+
(x1,weesKyWypyeeдр р0
(3.53)
AX; OX;
\
Gx,
OXy J
i, j=l
с непрерывными коэффициентами а). Произведем исвырожденное преобразование переменных
9(%1, ...,3p
о
Kj == X; (х,, wey хи),
т
я9
{i att, 2, wees n);
тогда коэффициенты aij преобразуются в рассматриваемой точке (х°,..., x8) как коэффициенты
квадратичной формы
у. 3 Pip; B случае невырожденного линейного преобразования р; = 3 Ар
i,FfI
Еi
где
Ox; (x9, у
xn)
u
—
> (20
=O)o.a
Or
Ал—
3
"5 Qj(51...)Хи)= > Чл(1,и)Хи)AAjx.
x;
1 К:1
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
44]
Дифференциальному уравнению (3.53) сопоставляется квадратичная форма )’ аж. ..., Xe) рр;
=
n
в точке (x?,..., хо). В линейной алгебре показано, что эта форма линейным преобразованием
п
р; = у b iQ; может быть приведена к каноническому вилу
j=l
|
г
т
„2
Ува,
тя
t=]
t=rtl
/
При этом числа г и т ве зависят OF вила линейного преобразования. Согласно этому полу-
чаются слелукмцие типы дифференциальных уравнений в окрестности точки (х?,..., хо):
эллиптический тип: т = п, к=0 или P= Nn;
|
гиперболический тип: т-= я, 15г<п- |;
нормальный гинерболический тип: men г = [ или r=an-- [;
параболический тип: т< п;
нормальный парабслический тип: m=n--1, 7 =O или r =m.
Dra классификация зависит от выбора точки (x?,..., x2). Например, уравнение Tpuxomu
—умхх + uy, =O -- уравнение смешанного типа: при y > 0 -— элпиптическое, при у = 0 — параболи-
ческое, при у < 9 -- гиперболическое.
п
Если коэффициент» а; постоянны и линейное преобразование р; = 5’ 52g; приводит квадра-
j=l
тичную форму, соответствующую уравнению, к каноническому зиду, TO преобразование независимых
a
переменных X,= У’ bx, приводит дифференциальное уравнение также к каноническому виду:
у
я
621 М (2 __дя
ая
фа—
wae BPE), 1, Ky Uy,
нь RIT I=
LgOR LudOX
\
OX,
OX, /
#71
port 1
Пример 62. Уравнение колебаний
2?<:|. .¢
ep
g----=:divip>gradи)--чи+F(t,Xp,66. Xn)
cr
ференциальным
No0
0
30
в
yoь
^
для и (i, х,,..., х,) вследствие равенства div {р grad в) = у о (> =) является гииерболическим
,
Ld Ox;
ex;
ied
уравненизм; при этом g, р и ¢ опрелеляютси свойствами колеблющейся среды, а функция F (t, x4,
интевсивниость внешнего возмущения.
Частные случаи:
.. X,) выражает
a2
2
Oru ‚Oru .
va ae wort Л (6, x) — одномерисе волновое уравнение описывает малые понеречиые колебания струны:
Ou
aru C*u
—2
1`
^
ae
ae = а (Sr + >.) + ЛЬ, х, у} - Овумерное волновое уравпение описывает колебиния мембраны постоянной
нлотности:
Ou a[aru Oru 92,\
|
о
ae tHe т) + УЦ, х, у, 2) -- трехмерное волновое уравиепие оцисываст распространение звука
в однородной среде и распространение электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению
удовлетворяют также плотиость и давление газа, потенциал скорости, компоненты напряженности элекурического
и магнитного полей и их потенииаль. Для краткости часто пишул:
Oru 3
Cla=-т-;—а”Аи,
ег
Oru
Oru
.
.
где Ан = “3,7 + ... 4 уз» и лазывазют [7 оператором Даламберс и А — оператором JT anaaca.
4
ad
“SH
Пример 63. Дифферсициальное уравнение риспростринения тепла и диффузии в среде
Оч
.
.
.
g“adiv(р-gradи)—qu+F(t,хе...х,)
é
(уравиени? Зиффузии) является параболическим. Если р, 4 - постоянные велнзилы, то получаем уравнение теплопро-
водности
ди/01=а?Ди+/.
442
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 64. Для стационарных процессов, т. е. в случае, когда
F (t, Xy,--., Xa) = F (Хь..., Хи), U(t, X4, 0-29 Xp)
=U (Xq, ---) Xs
уравнение колебаний
—div (р. grad и) + qu= F (x,,..., x,)
есть эллиптическое дифференциальное уравнение. Частными случаями являются
Ди = —f (хь -.., х,) — уравнение Пуассона,
Ди =0
— уравнение Лапласа.
Если искать решение волнового уравнения
d7u/dt — а? Аи =}
при f = (хаь..., X,) e в виде м (Ь X4,..., X_) =й(хь..., X,) е", то для й получается уравнение Гельмгольца
1
w?
-
2=.
л
2
Bu+kid=—TyStyХх...No)
k==
— эллиптическое дифференциальное уравнение.
Характеристики (характеристические поверхности). Пусть функция и(хи, ...
‚ X,) (п> 2) имеет непрерывные частные производные 1-го порядка, обладает тем свойством, что
Ow
Ow
на поверхности w = 0 выполнено соотношение grad w =: | -——-,..., -—--}] 40, и удовлетворяет диф-
р
0
grad
5х
a#0,иу
р
1
rT]
ференциальному уравнению 1-го порядка
it
Ow Ow
аз}(X41,66+Xn)= = 0.
(3.54)
)
Ox; Ox;
i, j=
Поверхность w(x,,...,X,)=0 называется характеристической поверхностью уравнения (3.53),.
а уравнение (3.54)— характеристическим уравнением для (3.53). При n=2 характеристические
поверхности превращаются в характеристические линии.
Пусть каждая поверхность семейства и (х!,..., х,) =с, а<с < Ь, является характеристической
поверхностью уравнения (3.53). Так как grad w #0, то это семейство заполняет область С: через
каждую точку области С проходит ровно одна характеристическая поверхность. Если функция w
дважды непрерывно дифференцируема, то можно произвести преобразование координат х, =
= и (х!,..., х,), которое вследствие (3.54) ведет ка, =0 в С.
п
п
Пример 65. Волновому уравнению ии = а? > ui x, Соответствует характеристическое уравнение (и =а? У (Ww).
=
1-1
i=
п
Плоскости at + > ху = ¢ [rne by, ..., В, с — произвольные числа такие, что у. Ы = t) образуют характеристические
t=
j=]
.
поверхности, В дальнейшем поверхность
(¢—10)?—у.(x;—хр)?=0
i=
называется характеристическим конусом с вершиной в точке (t°, х,..., хо). Часть
1/2
характеристического конуса, для которой а (t — 1) >(3У (x; — xP) 7 , обозначается
a
4/2
rt (10, x9, ..., хо), а часть, для которой a (t — 1°) <( У (x - #2) ‚ обозначается
=I
ro (10, x?,..., x9) (рис. 3.68).
Пример 66. Уравнение теплопроводиости
имеет характеристическое уравнение у (wy р = 0 и характеристические плоскости w=t—c=0,
1-1
Пример 67. Уравнение Лапласа у Ure, = 0 имеет характеристическое уравнение 3 (No, = 0. Отсюда и из урав-
i=t !
i=]
пения поверхности и'=0 следует grad w=0, и уравнение Лапласа не имест действительных характеристик.
Канонические формы уравнений с двумя независимыми переменными.
Рассмотрим *Paneme
д?и
д?и
ди ди
А(х,>>+2B(x,55ytC(x,Уa+Fix,у,и,—,— |=0
(3.55)
дх ду
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
443
с дважды непрерывно дифференцируемыми коэффициентами А, В, С, которые не обращаются в нуль
одновременно. Пусть А #0 в рассматриваемой области (x, у)- плоскости (в противном случае С #0;
в случае А = С = 0 преобразование X =х + у, у= х — у приводит к диффереяциальному уравнению
с A#0). Если после замены переменных x = X(x, у), у= у(х, у) коэффициенты A (xX, у) и C (5, у)
обрашаются в нуль, то для функций x(x, у) и V(x, у) выполняются равенства
oy
ду
ху =0,
(3.56)
дх
ду
OX
OX
— +l, (x, у) —=0,
Эх 1(x,у)ay
|
|_
где 2=(В+(В?—4С)!?)= (B+/D), р=В?—АС.
Классификация дифференциальных уравнений.
1. D> 0 -- гиперболическое дифференциальное уравнение. Семейство кривых w(x, у) = с такое, что
м, #0, изображаег характеристики уравнения (3.53) только тогда, когда выражение w(x, у) = с есть
полный интеграл одного из двух обыкновениых дифференциальных уравнений dy/dx =], (x, у),
dy/dx = I, (x, у). Оба полных интеграла hy (x, у) = С, и hz (x, у) = Cz этих дифференциальных урав-
нений (таких. что hi, #0, Но, 40) определяют два семейства характеристик уравнения (3.55). Если
эти два ‘семейства характеристик рассматривать как оси координат, то получим
.
_
п
ди Ou
X=h,(x,y), °у=й>(х,у), oa +F(X,5,a,“ ot =0,
xду
ax ду
так как B(x, у) #0. 3amena переменных x=X+y, у=х-у дает эквивалентную каноническую
форму
ruOu=_Oudu
9х? ду?
Ox” ду
Пример 68. Уравиение Трикоми уши, + и’, =0, A=y, В=0, С=1; Torna Р = --у>0в G= {(x; у) 1х2 +(0+4) <
< 9}. Имеем |; (x, у) = (—-у)`"? и ГР (x, у) = —(-y)7'?, м общий нитеграл уравнения dy/dx
= (—у)`'? есть С, =
3
3
=a x + (—у)*/2, а общий интеграл уравнепия dy/dx = —(—y)7"? есть С. = 5х —(-y)?/*, Преобразование xX =
3
3
,
= x + (--y)??, у =5х- (-y)** приводит уравпение Трикоми в области С к нормальному виду
1
ue.
(и’
ВИNP
x
2. D=0— параболическое диффереициальное уравнение. В этом случае оба дифференциальных
уравнения (3.56) совиалают, так как 1, =[, = В/А. Единственное семейство характеристик можно
определить из уравнения dy/dx = В/А при помощи общего интеграла h(x, у) = с такого, что hi, # 0.
Преобразованием координат х = h(x, у), у =x дифференциальное уравнение (3.55) приводится к нор-
мальному виду
диrlecaдиди0
appt NO OR? ap
и
Пример 69. yi. + 2хуии, + х?и", + хи +и=0. A=y?, B= xy, C=x? и Б=0; тогда 1 =х/уи у? — х2 =с есть
общий интеграл дифференциального уравнения dy/dx = х/у. Преобразование Х = у? -- x?, P= xX приводит к нормальной
форме этого дифференциальвого уравнения
.
Moy—au --у
My+п)==0.
3. р<0-— эллиитическое дифференциальное уравнение. В этом случае 1 (ху) и [5 (x, у) -
комилексно сопряженные. Преобразование
„_ В(х,y)+he(x,у) _hy(x,У)—Aa(х,У)
x=
=
у=
.
›
2
21
где hy (х, у} =С, и hy (х, у)= С, суть комплексно сопряженные общие решения обыкновенных
dy
d
дифференциальных уравнений wal (x, у) и = ln (x, У), приводит дифференциальное уравне-
ние (3.55) к нормальному виду
Cu 02 Е(х
диON\|
ae|ay %YsthBe? og)
В этом случае действительных характеристик не существует.
444 .
`ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 70. Уравнение Трикоми yuz, + и, =0 в области С: x? + (у- 4)? <9. Из dyfdx=i(y)'? или ау/ах =
2—}3xилиhy(x,у)=уз?
2
к нормальному виду уравнения Трикоми в С:
3
.
.
= —i(y)” * следует, что hy (x, у) = уз!
+i > х Преобразование Х == у3?, у= — — x приводит
2
а
Корректные постановки задач для отдельных типов дифференциаль-
ных уравнений 2-го порядка. Пусть исследуемое дифференциальное уравнение в рассмат-
риваемой области С не меняет свой тип.
Гиперболические дифференциальные уравнения. Пусть область С лежит
в (t, х,,..., х,)- пространстве В"*!. Гиперболические дифференциальные уравнения описывают колеба-
тельные процессы. Для гиперболических дифференциальных уравнений имеет смысл задача Коши:
найти в С при > 0 дважды непрерывно дифференцируемую функцию u(t, X;,..., х„), удовлетво-
ряющую уравнению
92и
07u
tu
ди
ди
=
poe
F(t x4, 000, Xp th yey
3.57
at? »мAx;Ox,ы>4Ox;Otы “ Xm Ot
a
G9)
i, j=l
i=1
(на коэффициенты налагаются такие условия, чтобы это диференциальное уравнение было гипер-
болично) и начальным условиям
|
ди (0, xy, .--5 X,)
Ot
и (0, х!,...› Xy) = Ko (х1, “ву Xn),
== Uy (x1, teeny х,)
(где up и и, — заданные функции). Задача Коши может быть сформулирована более общим образом.
Пусть задана поверхность 5: t = w(x,,..., X,) такая, что
i
диOw_ adw
*/ Ox,Gx, ЮOx,”
i, j=l
i=1
т.е. 5 не является характеристикой, и функции Uo, и! заданы на 5. Ищется решение уравнения (3.57)
в области Ё> w(x,,.... х,), удовлетворяющее в 5 условиям
|
ди
и[<=#0 —-| =u,
5тб
(9/дп — производная но нормали к 5). При этих условиях все производные искомой функции
по Ьх,,..., х, Можно вычислить на поверхности 5 из дифференциального уравнения и начальных
значений.
Эллиптические дифференцнальные уравнения. Пусть С — ограниченная область
в (х!,..., х„)- пространстве В”. Эллиптические дифференциальные уравнения описывают статические
состояния. Поэтому ищутся решения дифференциальных уразнений, которые на границе дС области
ди
,
С удовлетворяют условиям вида | fu +95, = й. Функции f, 9, h заданы и непрерывны на OG,
й JOG
причем Г > 0, 920, f+g>0. Такая задача называется краевой задачей.
Различают:
краевые условия 1-го рода: и|ос = И;
ди
краевые условия 2-го рода: 3,
й|0
=h.
.
0G
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами 1-го, 2-го и 3-го рода. Для
уравнения Лапласа Au = F (x;,...,x,) краевая задача 1-го рода называется задачей Дирихле,
а краевая задача 2-го рода — задачей Неймана.
Параболические дифференциальные уравнения. Параболические уравнения опи-
сывают процессы диффузии. Для этих лифференциальных уравнений, например для уравнения вида
ди
д?и
—_=
a; ——_.
Ct
J Ox; Ox;
р
ди`
краевые условия 3-го рода: a, + м}
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
445
ставятся задачи с начальным условием и(0, X1,..., X,) = мо (хи, ..., Хи), Uo — заданная функция на
гиперплоскости t -= 0 в (I, х,,..., х„}- пространстве В""'.
Для гиперболического уравнения (3.57) имеет смысл рассматривать также смешаниую задачу.
Пусть С — ограниченная область в (x1, ..., х,)- пространстве и Zp -- цилиндр над областью С, т. е.
Zr=Цхь...,х,)|0<< F(yy,.-.,%JEGh.
Ишем функцию (tf, xy, ..., X,) в Zy, удовлетворяющую начальным условиям
-и(0х,...,Хх}=UgLX,-.5Xa),
ди
| наС(G—замыканиеС)
“7(0,1.---›Xn)=Wy(x1,veeХи)
Ot
Ou
.м
и краевому условию | +39 р
=h(t,x,,...,X,) (5г- боковая поверхность цилиндра Z7).
"1$as. 1
При этом на OG должно быть BEINOMUCHO условие COBMCCTHOCTH
дно \|
(м 4-Г``“2.)
\
дя
Аналогичная смешанная залаза может быть поставлена и лля параболических уравнений.
Рассматриваемые задачн должны удовлетворять следующим физическим соображениям:
1) Решение должно существовать.
2) Решение должно быть одпозначно определено.
3) Решение должно неносрывным образом зависеть от данлых задачи.
Задача, удовлетворяклцая этим требованиям, называется корректно поставлениой задачей.
3.3.2.3.2. Общие методы построения решений. Memod Фурье решения смешанной
задачи для гиперболических или параболических дифференциальных уравнений так же, как и в случае
некоторых краевых задач для эллиптических дифференииальных уравнений, состоит в применении
разделения пзременпых и принципа суперпозиции (cm. 3.3.2.0). Разыскиваются так вазываемые
формальные решения, т.е. решения в Bue бесконечных рядов, в которых каждый член является
решением дифференциального уравнения и удовястворяег краевым или начальным условиям. При
соответствующих предположениях о лифференцируемссти коэффициентов уравнения, начальных
и краевых условий можно доказать сходимость рядов.
Однсродное гиперболическое лифференциальное уравнение Ищем реше-
ние и{Ьх,,..., х,) залачи
=h|=:о.
6G
ны
(Xap veyMD>OD
$ эллиптическим оператором
па [а
и=—\ий
—-"\aЧи, (х;.engх„)Е$,
(3.58)
CX; \
ON; /
ome |
начальными условиями
ди
и |1 ::0= Мо (Х1,...,Ха
= Uy (1... Хи)
и краевыми условиями:
/
ди`
|hu+g—-- =0 при i>d.
\
дн ес
При этом С — ограниченная область (х1,..., хи пространства и 0G -- грацица С. В дальнейшем
предполагается, что собственные значения А, оператора L положительны, (< A, <A. <..., COOT-
ветствующие собственные функции /, (х1,..., х„), онределяемые равенством Lf, = А/к и такие, что
hf, +9 an lan 9, действительны и в пространстве £2 (G) со скалярным произведением
"п вс
(1, fo) =F fi Sor ах, ... dx,
G
образуют полную ортонормипозаниую систему (см. 3,3.2.3.4 и 3.3.2.3.5).
446
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Формальное решение поставленной задачи:
и(Ех,...5Хи)=У(акcosУкt+bysinИЖt)fa(X19«+sЖ),
k=1
причем коэффициенты a,, b, выбраны Tak, что
Ug (Х1,...› Xn) = у, ак Лк (Х1»-.-› Ха)
uy (X41, -..› Ха) = у Ик Dib (хаь «++ Х,),
k=1
[fe dx, ...aX,.
(3.60)
1
Ил» G
Формальное решение может быть записано также в виде
u(t,X1y+25Xn)=У,d,,sin(|ЛкЕ+ey)Ль(хи,reyХи),
k=1
a = [ мои” dx, ...dXm
G
где d, = (а2 + b2)'/?, sin e, = a,/d,, Cos & = b,/d,. Тогда каждый член представляет собой гармони-
ческое колебание с амплитудой d,f, и частотой Иль.
Неоднородное гиперболическое дифференциальное уравнение. Вместо
уравнения (3.58) имеем неоднородное дифференциальное уравнение
д?и
ror = —Lu+t F (t, x1,...,Xp).
Кроме Toro, выполняются Te же самые условия и предположения, как и в случае однородного
гиперболического дифференциального уравнения. Формальное. решение имеет вид
wo
t
1f¢
-
W(x
=) a4008Умt+bysinVyt+
| «тм (94 Sis
No0
k=1
rae
Ck (t) =f F (Е, х1, -... хи) Sk (x4, ary Xn) dx, ... ах».
(3.61)
G
Заметим, что первые два слагаемых в фигурных скобках дают решение однородного уравнения
с начальными значениями ио и uy, третье же слагаемое дает решение неоднородного уравнения
с Uy =u, = 0. В частном случае
РеX450005жд=C8(4,025Xp)Sits+ ж/ма
И Up =u, =0 решение этой задачи имеет вид
C япУЛЕ
‘\f
> Хь..5 Ха)=
—t
А.
pees Хи).
u(t, x1
Xn)рул:(У
cosИ tTi(x1
Xn)
Параболическое дифференциальное уравнение. Рассмотрим уравнение
диra = Lut F(t, x1, ---5 Xn)
(х1,..., X) EG,
при условии
Ин=о=Uo(1,...>Хи),(ы+ghk =0при t>0.
Для Г выполняются Te же самые предположения, что и в случае олнородного гиперболического
дифференциального уравнения. Формальное решение имеет вид
=У
-ми-э
ы
и(Ьхх) =У Зе +[ск($)е
ds> fy (X15 0005 Хи).
k
о
При этом a, и с, задаются формулами (3.59) и (3.61).
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
447
Эллиптическое дифференциальное уравнение. Ищется решение u(t, x1,..., Xp)
эллиптического уравнения
д?и
гв =Ри F(tXt.--,Xe)
и
в области Z, = {(t, хь,...,
х,) | (хи, ..., WEG, O<t<he
и||=о
Uo (x), ene y Xn),
= вИNo(1-2 shryt
|
и (t, х!,...., Хи) ~ y ак Ими
+рshVist~~ G,{t,$)Ск(5)45 So
shИА»|
sh ИЛ,|
k=!
где дк и с, вычисляются по формулам (3.59) и (3.61), а В — по формуле
= Ги,игах,...4х;
G
G, (t, t) — функция Грина краевой задачи —v" (t) + A,v (1) = 0 при условии о (0) =5(1 =0 (см. табл. 3.5
в 3.3.1.7.1).
Пример 71. Колебание закрепленной струпы длины 1. Найти решение гиперболического лифференциального
уравнения
ше=us,
с начальными условиями и |, :о = Ug (х), ш poo = Ny (X) и краевыми условиями и |, =о = И |e) = 0.
.
2
.
d*v
В этом примере С совпалаег с интервалом 0<х<|, Le = --а? ~--5- и соответствующая задача о собственных
2
tka
значениях [5 = Av при в (0) =v (l)=0 имеет положительные собственные значения A, = (=) с собственными функ-
kx
2
р
циями f; (x) = V4 sin ~ ири К = 1, 2,... Формальное решение задается рядом
[2
tka
.tka .kx
u(t,x)= 7
ахCOSр"4+-b,sinр sin—,
k=1
где
а
—|
-
,
21
°
|
ах= 2 Uo(x)sinThx4х, k=ya и;(x)sinАхdx,
1
|
ka
Г
0
о
или рядом
гдеЧ=(а?+212,sinех=ак/Чь,COSех=by/d,.
Если Ug И Uy Дважды непрерывно лифференцируемы, то ряд для н (Е, х) равномерно сходится. Если Ug H uy
четырежды непрерывно дифференцируемы, TO почленным дифференцированием можно доказать, что u(t, х) есть
решение поставленной задачи.
.
. tka
.
Каждое гармопическое колебание образует стоячую волну с собственной частотой и амплитудой
2.пкх
и
n
d;, 7 sin a Точки нулевой амплитуды Хо» = i! (п = 0, 1,2,...,К) называются узловыми точками, а точки
2
2n+|
.
па
Xan = | (и =0.1,..., Е — 1) — мочками максимальной амплитуды. Гармоническое колебание с A, = 7 назы-
вается основным тоном: прочие гармонические колебания с ^., Az, ...— обертонами. Суммарное действие отдельных
тонов дает тембр звука струны.
448
_ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 72. Распространение тепла в конечном стержне. Найти решение параболического уравнения
и, = аи",
с начальным условием и|,--о = Uo (x) и краевыми условиями и|;=о = и =, == 0; С, Г, Аж f, имеют тот же смысл, что
и в примере 71, с, =0, так как F (t, x) =0. Формальное решение имеет вид
la
212 424) /]2
u(t,x)=VGyaye TMка sinThx
k=
dx.
—{|
2
.kx
гдеа,= |/—|ио(x)sin
у
0
Пример 73. Продольные колебания стержня с одним свободным и одним закрепленным концом, на который
в начальный момент времени действует постоянная сила р. Найти решение гиперболического уравнения
ОУ PPL
uy =a Ихх
>
,
a
f
с начальными условиями и | -о = Uo (х), и || =о =U, (X) и краевыми условиями и. |,..9 =O (свободный конец), и’, |. =: = pd.
После введения новой пеизвестной функции w= u —
„поставленная задача пеоеходит в задачу
2!
d
i,= ait, + op
с начальными условиями
2
и
x“ pd
_
ti|,=Uo(x)—a
ti; |p=o = Uy (X)
И однородными краевыми условиями
_,
—
uyIx=0=0,
Uxleas=0.
d
dy|
С — интервал 0 <x < 1. Задача о собственных значениях —a?
у =0.~ =0имеет
ax|0|бы,
2
kan
2 mkx
положительные собственные значения A, = т. и соответствующие собственные функции f;, (x)= 7 cos р”
Формальное решение задается рядом
и(t,x)= 2
+
| (=cos -—— t+ by, sin =В cos sae
1/2| 2
_
2
x?dp _kx
a=le{|(x)—rn[о jax,
0
—1
21
mkx
=to
TAs dx:
by wha[м(x)cos г 4х;
0
при этом
при зычислении членов ряда ¢, (tf) =0
Пример 74. Колебания закренлениой мембраны. Найти решение гиперболического уравнения
ин=а?(их,+Wy)
с начальными условиями и|,--о = Uo (х, У), ш|-о = 41 (x, у) и краевым условием и|ос =0 для прямоугольника Св =
= {(x, y)|0<x <p, O<y<q} или для круга Ск = {(x, y)|x? + у? <р?}.
Задачу о собствениых значениях для прямоугольника: —a? (vi, +0) =Ар при условии v laGr =0—
..
k?P
решим, предполагая, что v(x, у) =v, (x) v2 (у), и получим в качестве собственных значений Аи = 17a? (+
и в качестве ортонормированных собственных и
kx.tl
Лиlx,у)=Tesina sin7
(k, {=1, 2, ...).
Тогда решение поставленной задачи для области Gr имеет вид
2PB
.
В
Tk nly
и(Е,x,у)=У.
акCOS|ла ee+ra|+bysin[na 7+oi sin>.sin7
ра
_УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
449
где
р
2 fs(x,y)sin= sinaydxdy,
о
а
=>—
ki Ура
р.Ч
.
‚ aly
by=
arrace || (x,у)sin
sinаdxdy.
о
:
.
2¢
—
Задача о собственных значениях для круга: —a* (0, +0) = No при условии 919; к- имеет собственные
а?
значения А = p32, 7 и соответствующие собственные функций
:
Ла(x,у)=
Л, (= £) gike
pVr\Js(и)| р
где x=pcosg, y=psing (к =0,1,...; [=1,2,...). причем ры -— положительные корни уравнения J, (1) =0 (J, (t) —
функция Бесселя 1-го рода К-го порядка, см. 3.3.2.3.4). Формальное решение поставленной задачи записывается в виде
ряда
Й><
на
Л(12)
_
Ина
:ki
lke
u(t,x,у)= —>yy(сcos(+ ‘+bysin(“st7Tih
i)?e),
k=0 1=1
rie
p2n
P‘2n
=
L)e-teydpdo, by=
k,y)Ju(ba&|е-®рdpd
ан
чо(x,У)Je|Вы е ‘рараф,
kt
uy(К,У) Je|bet е ‘рараФ
р
арк
р
бо
бо
и
(см. 3.3.2.3.4).
Пример 75. Смешанная задача для двумерного уравнения теплопроводности. Найти решение параболического
дифференциального уравнения
|
ща?(uz, +,
при условиях и |, -о = Uo (х, у) ии laGp =0 в области Gr = {(x, y) |0<x <p; 0<y <q}. Собственные функции и соб-
ственные значения оператора Lv = —a? (vj, + v5) приведены в примере 74:
wkx.му
Формальное решение дается рядом
и (I, x, y=——
Pq
sin ——,
212 (k2/p2 + 12/12
у
быпари
in
где
4
2
tly
ay=Vor|| (x,у)sin
sin —— dx dy.
Ира
Пример 76. Задача Дирихле для прямоугольника
Gp = {(x, У) 10 <х<р; 0<у<4}.
Найти решение эллиптического дифференциального уравнения
ихх+и=0
приусловиии(0,у)=uo(у),и(р,у)=и,(у)ии(x,0)=09(x),и(х,а)=0,(x).
Сначала решается задача с краевыми условиями‘
и(0,у)=и(р,у)=0 и и(х,
0)= 09 (х), u(x,
а)=04(>).
420
2.
Решение задачи о собственных значениях: Le = — “ye = Xv при условии о (0) = v (р) =0 — имеет вид f, (x)= р п —
450
_ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ken?
и A= a При этом формальное решение получается в виде ряда
со
ри
sin hx
2
В wk(q—
won |/2
2 |4ЧУ byshmy,
|
mkq
р
р
sh р.
re
k
a,=||.(0)sin=ds, ь-|2||(x)sin~~dx.
Аналогично решается задача с краевыми условиями
и(0,У)=Up(y),
и(p,у)=и!(y),
u(x,0)=и(x,9)=
Сумма двух этих решений лает формальное решение поставленной задачи.
Операторный метод. Так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений,
при решении уравнений в частных производных можно с успехом применять операторный метод,
который основан на переходе от искомой функции к ее изображению (см. 3.3.1.6). Часто применяют
преобразование Лапласа:
Л(р)=L{fO}=|е-Р'f-(t)dt.
При этом искомую функцию считают функцией одного из независимых переменных. и рассматривают
остальные переменные как параметры. Для определения изображения искомой функции получают,
таким образом, дифференциальное уравнение (вспомогательное уравнение), которое содержит на одно
независимое переменное меньше, чем исходное уравнение. В частности, если исходное уравнение
имело два независимых переменных, то в качестве вспомогательного уравнения получим обыкно-
венное дифференциальное уравнение. Если из полученного вспомогательного уравнения удается
найти изображение искомой функции, то сама она или находится по таблице изображений, или
получается по формуле обращения (ср. 4.4.3).
Пример 77. Одномерное уравнение теплопроводности при постоянной температуре на концах стержня
aur.
-и =0 при х<х<хь
t>0
с начальным условием и | -о = Up (Up — постоянная) и краевыми условиями u|,— Xo = A, и| = x= В (А, В- постоянные).
Вспомогательное уравнение для функции
и(р,x)=|ey(t,x)dt
имеет вид
421
ax? J (pit—up)=0.
При up =0 коэффициенты с, (р) и cz (р) в общем решении вспомогательного уравнения й (р, х) = с. (р) ех УР Иа
+ C2 (ре ^ Pia вычисляются из преобразованных краевых условий и (р, хо)= А/р и и(р,
хи) = В/р. Если xg =0
и А=0, то получим
palea —
hx,Ир
a
u(p,x)=
и затем после обратного преобразования
u(t, x) =
i
x
1
Yk
2
242)! 1) р (Кпа/х!) t ain TX
Пример 78. Пусть стержень длины | находится в состоянии покоя и его конец x =O закреплен. В момент
времени { =0 к свободному концу стержня приложена сила F. Найти решение гиперболического. уравнения
и" — aut,=0 для О<х<Ь t>0
с начальными условиями н|,-о =0, ut; |,-о =O и краевыми условиями и|;=о =0, и’ |; =, = F/E (Е — модуль упругости).
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
451
4ир?_
_
ай
Е
Вспомогательное уравнение имеет вид Der= gr 4 © условиями й eso =Ои я
SE" В качестве решения пре-
.
х=1
образованной задачи получим
|
XP
ii(p, x)=
=
р-ты!а
после обратного преобразования находим решение поставленной задачи:
a
-Ех821
(-1 . (2n+1) 1x
(2n+1)nat
u(tx)= —Tae (n+1)*" 21 cos q
n=0
3.3.2.3.3. Гиперболические дифференциальные уравнения. Случай двух
независимых переменных. Каноническая форма линейных гиперболических дифференциаль-
ных уравнений с двумя независимыми переменными имеет вид
их=Л(x,у,и,из,Uy)
(3.62)
с характеристиками х =const и у = соп$. Предположим, что функция f непрерывна по всем пере-
менным и удовлетворяет условию Липшица (например, условие Липшица выполняется, если / имеет
непрерывные частные производные по и, риа:
|Л(х,уи,ра)—Лу в,ра)|<М и-#|+1р-р|+|а-41.
Тогда справедливы следующие теоремы существования и единственности для соответствующих
корректно поставленных задач.
а) Задача с начальными з H ачениями. Существует однозначное решение уравне-
ния (3.62) с начальными условиями и (x, Ф (х)) = Ug (Xx) и > (x, Ф (x)) = и, (x), где у=ф (x) — заданная
кривая С такая, что ф’ (x) 7 0, 0/dn обозначает производную по нормали к
С
и
uo, Uy — произвольно
заданные непрерывные функции на кривой С такие, что производная Up существует и непрерывна.
Решение и(хо, yo) зависит только от начальных значений на отрезке Со кривой С, отсеченном
характеристиками РоВо и Ро Ао. Изменение начальных
yh
данных вне Со не влияет на решение в точке Ро.
С
Отрезок Со называется областью зависимости решения
В
ПИ 1)
в точке Ро (рис. 3.69).
2
6) Задача с начальными значениями на
gL ___ Ям
характеристиках. Пусть функция h(x) непрерывно
!С
дифференцируема на характеристике y=b, а функция
0
g(y)— на х=а с условием совместности h(a)=g (b).
Q
A
у:
g=b
Torna существует единственное решение уравнения (3.62),
!
v0 SQ
принимающее заданные значения на характеристиках
7zt
yar
х=а или y=b:
и (х, 5) =й(х), u(a, y)=g (y).
Рис. 3.69.
Область зависимости решения в точке Р, состоит из B,Q\) A,QO, т.е. изменение начальных
значений h,g вне В.О |) AiO не влияет на решение в точке P, (см. рис. 3.69).
в) Смешанная задача. Пусть ио (х) — непрерывно дифференцируемая функция на С:
у=ф(х), а 9 (у) — на характеристике x = 4, причем выполнено условие совместности Uo (а)= д (Ф (d)).
Тогда существует однозначное решение уравнения (3.62) в` области вида ВоОШВо (см. рис. 3.69),
которое на С и на х =а4 принимает заданные значения
и(х,ф(x))=Uo(x), и(а,У)=9(у).
Формулу решения в явном виде для задачи с начальными значениями кривой С или харак-
теристиками для дифференциального уравнения
2д^и
дх ду
Lu=h(x,у), гдеГи=
+a(x,yt+d(xNoetelу)и,
получают методом Римана.
Предполагается, что функции а, 6 непрерывно дифференцируемы и с, h -- непрерывные функции.
Сопряженное к L дифференциальное выражение определяется формулой
92%
дх ду
д
д
Мо=
———(av)——(bv)+cv.
x
ду
452
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
`
Если a=b=0, то Ги = Ми и оператор L называется самосопряженным. Функция G (x,y; хо, Yo)
должна, кроме аргументов х, у, зависеть еще от параметров хо, Vo и удовлетворять следующим
условиям:
1) С как функция х, у удовлетворяет сопряженному дифференциальному уравнению МС = 0;
2)С,(x,Уо;Хо»Yo)—В(x,Yo)С(х,Уо;Xo,Yo)=0,
Gy(хо,У;хо,Yo)—а(хо,У)G(Xo,у;хо,Yo)=0
3)С(хо,Yo>Хо,Yo)=1.
Значения функции С Ha характеристиках х = хо и у = Yo задаются при помощи условий 2) и 3).
Тогда С определяется однозначно из задачи с начальными значениями на характеристиках для
уравнения Му =0. Такая фуйкция С называется функцией Римана, соответствующей дифферен-
циальному оператору Г. Для функции Римана С (x, у; хо, yo), соответствующей Г, и функции Римана
Н (x, у; хо, Yo), соответствующей М, справедлив так называемый закон взаимности:
Н(х,у;Хо,Yo)=G(Xo,Yo>x,У),
т. е. функция Римана дифференциального оператора Г, переходит в функцию Римана сопряженного
дифференциального оператора М, если поменять местами параметры и аргументы. Если Ё,— само-
сопряженный оператор, то функция Римана симметрична по отношению к (x, у) и’ (хо, Yo). При
помощи функции Римана получают формулу представления решения задачи с начальными значениямч
для Lu = й(х, у) в точке Ро (хо, Yo) (см. рис. 3.69 и п. а)):
2и(Ро)=и(Ао)G(Ао;Ро)+и(Во)С(Во;Po)—SL((u.G--uG;,+2buG)у,+
|
ВоАо
+(и,С;--uG,+2auG)x,)ds+2|hGdxdy,
х
если С представимо в виде x =х (5), у =у (5), где $ — длина дуги, и х’.у' #0, x,, у, — компоненты
единичной нормали к С, внешней по отношению к области LL = В АоРоВо. Правая часть этой
формулы может быть определена через начальные данные
д
(ху =ш 6), (x (9, =16)
так как, зная и и ди/ди вдоль С, мы знаем также и’ и и, вдоль С.
Формула представления решения для характеристической задачи о начальных значениях
(см. рис. 3.69 и п. 6)) имеет вид
b
x
u(P,) =u(Q)G(Q; Р!) — J Glu, + au),-,dy — | Gu, + м),-ь dx + ff Gh dx dy,
У!
а
5
где 5 — прямоугольник P,B,QA,.
,1
Пример 79. Вычислим функцию Римана для уравнения Lu = uy, — que 0. Оператор L является самосопряженным,
т.е. функция С симметрична. Если обратить внимание на второе и третье условия для функции Римана, то можно
предположить,чтоС=g(2),где2=(х—хо)(у—Yo),9(0)=1.
Обе характеристики в точке Po (хо. Yo) удовлетворяют уравнению z = 0. Функция д (2) является решением уравнения
42а1
2 “at a -> g = 0 при условии д (0) = 1 или, если сделать замену z= r?, решением модифицированиого уравнения
Бесселя
,49 dg
£9 4G_2g=9,
aeta79
Отсюда y = I (2) и С (x, у; хо, Yo) = I (Ис — хо) (у — Yo)) есть искомая функция Римана (Го (6) — модифицированная
функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка (см. 3.3.1.3.4)).
Пример 80. Дифференциальное уравнение распространения электрического тока по проводам (телеграфное
уравнение) имеет вид
au,+2bu,+cu=м,
причем a>0, b и с — постоянные. Для новой неизрестной функции й, определяемой соотношением и = йе `® получим
a
уравнение
1
:
th
2. —”
255
2__
2_
uy,= ШИ,+ neu
(m==, п”=—в}
>
п
п
_
1
которое заменой независимых переменных X = -— (mt + x), у = — (mt — x) приводится к вилу й
т
т
;ху 4 0. Из формулы
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
453
представления получается решение исходного уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям й|,-о = Uo (x),
ty |1-о = м, (x). Таким образом, подставив в формулу представления функцию Римана G = Ip (Ис — Xo) (у — Yo)) из при-
мера 79 и возвращаясь к исходным переменным, получим
xk mt
|
ntl,(*Ит24?—($==)
i(x,2)=(uy(x—тд+tg(x+тд)+. uy(8)—-Ip(=YnP?—(-*)~Ho(9)
2
2
mm
Vm?—(s—x?)
х- me
ds.
Частный случай: а = 1/р?, b=c=0. Тогда m=p, n=0 и в силу того, что Ip (0) =1, Г, (0) =0, получим решение
уравнения ми — pu, =0 с начальными условиями и | =о = Uo (x), ш|.-о =и, (x) в следующем виде:
x+ pt
1
1
u(x,t)=5{мо(x—pt)+Uo(x+pt)}+op |u,(s)ds.
x~ pt
Дифференциальное уравнение колеблющейся струны, или одномерное волновое уравнение,
би =0
(3.63)
имеет характеристики Xx -+ at = const (рис. 3.70) и преобразованием t = x — al, х=х-+ at может быть
приведено к каноническому виду a = 0. Уравнение (3.63) имеет общее решение
u(t,x)=fy(x+at)+fo(x—at),
где /, и [> — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Функция f, (x — at)
описывает возмущение, которое исходит из точки хо в момент времени t =0 и к моменту времени
РА т+аЁ=соп
Т-@Ё =const
см\
| yy 2-at=r
Y
A
B
‘x
Рис. 3.70.
<—— YN
SBN
os
о\
ДА
/,\—
Z,-at
Lo
ТЕ
Рис. 3.71.
{ приходит в точку х = хо + а! (рис. 3.71). Отсюда следует, что эта функция описывает волну,
которая распространяется вправо со скоростыо а. Аналогично, f; (x + а!) описывает волну, рас-
пространяющуюся влево со скоростью а. Общее решение уравнения (3.63) есть суперпозиция этих
двух волн.
Решение ‘задачи с начальными значениями по отношению к кривой С: t=0 с начальными
ди (0, х)
условиями и (0, x) = из (x), Е =и, (x) имеет вид
xtat
u(t,x)=5(мо(x—at)+Ug(x+а1))+5. |ит(5)ds
x—at
454
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(решение Даламбера, см. пример 80). Это решение показывает, что область зависимости АВ реше-
ния и в точке Р отсекается обеими характеристиками, проходящими через P, на оси x (см. рис. 3.70).
Задача о закрепленной струне. Найти решение уравнения (3.63) с начальными условиями
и (0, x) = шо (x), и (0, x) = и, (x), О < х<[Ги краевыми условиями u(t, 0) =и(ь ) =0. Пусть при этом
Up дважды и и, один раз непрерывно дифференцируемы и выполнены условия совместности
Up(0)=их(1=0
и
и, (0) =u, (1 =0. Если продолжить начальные значения Ug и и! посредством
формул Uy (—х)= —ио (xX) и и, (—х)= —и, (x) на отрезок .[—11Г], а затем периодически на BCIO
ось X, то, с дополнительным условием uo (0) = ug (1) =0, функция ио на оси х дважды, а функция
и, один раз непрерывно дифференцируемы, и решение этой задачи дается решением Даламбера.
Если исследовать эту задачу с точки зрения колебаний, то удобно использовать метод Фурье
(см. пример 71).
Характеристическая задача. Пусть на x — at =r задана функция h(t) и на x + at = $ — функция
g(t) (см. рис. 3.70), и пусть они дважды непрерывно дифференцируемы. Будем искать такое
решение уравнения (3.63), чтобы u(r + at, t)=h(t) и и(5 — at, t) =g (t). При этом должно выполняться
2а
2а
в общем решении уравнения (3.63), получим решение этой задачи:
x+at—r
S—x+at
S—r
t,x)=h
—h
.
u(t,x)(2a)+9(2a )(2a)
2.
Задача с начальными значениями для неоднородного одномерного волнового уравнения ин — а’и’, =
= f(t, x) имеет решение
s-—r
s-r
;
условие совместности A(
)a(
) Подобрав соответствующим образом функции f, и f2
xtat
и(Е,+
+40)+5—|9+, ||76г)dsdr,
K
x—at
где К = {(s,r)|O<s<t, |r—x|<a|t—s]} (принцип Дюамеля).
Случай более чем двух независимых переменных. Решение задачи с начальными значениями для
2
2
2
и
д
д^и
двумерного волнового уравнения ay a (Sat я при условиях и (0, хи, х2) = Up (ха, X2),
x? x2
.
г
иa (0, хи, х2) = uy (х1, х2) дается формулой Пуассона
u(t,хь2)=—(J| {Se=dx,dk,+——“(J|.урвея
пы,2 dx, dx, (3.64)
zi Vor— P
. a*t
(7?= (X, — x,)* + (X, — х2)?). При этом предполагается, что ио трижды и и! дважды непрерывно
{X4. хз)
__
дифференцируемы. Область К„"“_? есть круг в (хи, х2)-плоскости с центром (хи, х2) и радиусом at.
(Xj. х2, хз)
(x1, х2, хз)
Пусть М," *?’”3 [{] обозначает среднее значение функции f (x1, хо, хз) на сфере 5, "23
радиуса Е с центром (ху, хо, хз):
(X14, X54, хз)
1
.
.
.
.
М
[|]=дГ (x;+tcosфзш6,x,+tsinфзш0,x3+tcos0)cos0dOdg.
оо
Решение залачи с начальными значениями для трехмерного волнового уравнения
д?и2 д?и+д?и+д?и
д?
\0% 0х 0х
ди (0, хи, X2, хз)
при условиях и (0, хи, хо, хз) = ис (хи, хо, Хз),
= Uy, (хи, X2, Хз) (мо трижды и и, дважды
ot
непрерывно дифференцируемы) дается формулой AUP OPE
u(t, хи, Xo) хз) =tMa *?"* [uy] + —ами" *3 Tuo).
(3.65)
Истолкование формул (3.64) и (3.65). Пусть начальные возмущения Up и и, отличны от нуля
лишь в какой-то области С вблизи начала координат. Решение (3.64) показывает, что вне области,
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
455
¥
v
we с» Х2)
ограниченной огибающей Е окружностей 5„“`? таких, что (хи, х2) Е С,— состояние покоя; напротив,
решение внутри области, ограниченной огибающей, в общем случае не равно нулю (рис. 3.72).
Решение имеет только внешний волновой фронт.
Формула (3.65) показывает, что в общем случае в области, ограниченной огибающей Е,
и лежащей вне области, ограниченной Е’, решение не равно нулю. В области, ограниченной Е,,
Рис. 3.72.
Рис. 3.73.
и вне области, ограниченной E,,— состояние покоя (рис. 3.73). В этом случае решение имеет четкий
внешний и внутренний волновой фронт.
Неоднородное волновое уравнение ии — а? Аи = Г(ьхь,...,х,). Как и в случае неоднородных
обыкновенных дифференциальных уравнений; общее решение складывается из частного решения
неоднородного уравнения и общего решения однородного волнового уравнения. Для того чтобы
получить частное решение неоднородного уравнения, пользуются принципом Дюамеля: решают
задачу и — а? Adi =O при условии и (0, х,,..., х,; s)=0 и и (0, хь,...,х,; S)= f(s, х,..., х,) для
однородного волнового уравнения с параметром 5. Тогда функция
1
и (t, Xt HH) = SAEs, Х1,...,Хи; 5) ds
представляет собой частное решение неоднородного волнового уравнения с однородными началь-
ными условиями. Таким образом, общее решение трехмерного волнового уравнения получается
в виде
>|, х2, хз)
<, хо, хз)
д
и(t,X1,X2,хз)=tMa
[us]+ByМи
[uo})+
a
7 dx, dx, dX,
3
где Г? = > (x; — x,)*. В случае двумерного волнового уравнения к решению однородного уравнения
i=1
нужно прибавить частное решение неоднородного
Л,teag
2na}}}(a?- =x)—(о
|
где К — область (X,, X2, Й-пространства, определяемая неравенствами
O<t<t,
(Xx,—X,)?+(%—x2)?<a?(t—t)?.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
456
Выражение
|
roo. с
f1——-,X1,Xa,Хз
a
Я
- AX, dX, ЧХз
Paes ху)
а
называется запаздывающим потенциалом, так как функция f берется не в момент времени &
а в более ранний момент времени.
|
При рассмотрении смешанной задачи в случае волнового уравнения следует обратиться
к 3.3.2.3.2. Такие задачи часто можно решать методом Фурье.
Частные решения одномерного волнового уравнения и’, — а?и", =0 имеют вид
u(t,x)=Ccos(wt+C,)cos(kx+C3)
(@ = Ка),
u(t,x)=С,cos(wt+kx)+C2sin(wtF/kx)=Сcos(wtрkx+c).
Частные решения двумерного и трехмерного волнового уравнения uy — а? Au =0 имеют вид
и (Ех... Xp) = (хи... X,) eT!
(w = ka),
где й есть решение уравпения Гельмгольца Ай + К?й =0 с произвольной постоянной К (ср. частное
решение уравнения Гельмгольца, 3.3.2.3.4). Отсюда получаются следующие частные решения:
u(t,хи,хо,хз)=Acos(wt3(kyxy+kyx2+Кзхз)+¢)
(k?+К+kz=k?; =ka),
u(t,р;Ф,2)=Zn(PИЕ—К?)cos(wt+Kz тф+©)
(т=0,1,...; @=ka),
1
..
-
u(t,p,9,9)= чи?(Кр)¥;(0,$)cos(wt+с)
(j=90, 1,...; ® = Ка),
А
u(t,р,0,Ф)=5cos(wt--Кр+5)
(a) = ka),
|
1.
~
u(t,р,9,ф)=А>.cos(wt Кр)+5sin(wot>Ko|cos9
(@=ka),.
u(t,p,Ф)=Z,(kp)[Аcosmp+Вsinтф][А!coswt+В!sinwt]
(т=0,1,...; .@=ka).
Здесь (р, Ф, 2) — цилиндрические координаты: xX; = PCOS ф, Xz = PSIN Ф, хз = Z; (р, 9, $) — сферические
координаты: x, = pcos фзт 6, x, = рып фзш 0, x3=pcos@ в В?; (р, Ф) — полярные координаты:
х, = pcos ф, х) = ряшф в R’; Z,,(x) — цилиндрические функции (решение дифференциального урав-
нения Бесселя), ‚+ 1/2 — сферические функции Бесселя (ср. 3.3.1.3.4), У, -- шаровая функция (см. 3.3.2.3.4),
К — произвольная постоянная.
3.3.2.3.4. Эллиптические дифференциальные уравнения. Исследуется задача
о собственном значении задачи Штурма — Лиувилля
п
0
ди
Ги=— ——|p-——|+qu=Лы, (Х1,..-,Хи)EG,
(3.66)
Ox,
Ox;
с краевыми условиями
ди
(4+9| =(0)
(3.67)
On}lag
(например, при p=1 и, 4=0 Lu = —Аи); при этом С — ограниченная область с кусочно гладкой
границей 0С и д/дп обозначает производную по нормали к AG. Пусть для (x1,..., x EG =С |} 96
справедливы следующие условия: р(х1,..., х„) 20, а(хь..., х,) > 0, р непрерывно дифференцируема
и 4 непрерывна. Пусть для (x,,..., х,)Е ОС выполняются неравенства / (х!,..., X,) > 0, 9 (хи,..., Xn) 2
> 0, /+9>0 и д непрерывны. Ищем нетривиальные решения и (т.е. ненулевые), которые дважды
непрерывно дифференцируемы в С и непрерывно дифференцируемы в G.
Для L справедливы первая формула Грина
\\ovat
2
о Ги 4х,... ах, = ||р г a dx;...dx,-— | pv ры dS + || quudx,...dx,
Ox, OX; -
Or
G
С i=1
OG
G
С
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
457
и вторая формула Грина
д
(vLu -- ulv) dx,...dx, = |p y
vou dS;
on
on
G
0G
при этом предполагается, что и, о дважды непрерывно дифференцируемы в С и один раз-—в С;
dS есть элемент поверхности границы dG.
Оператор L эрмитов (самосопряженный), т.е. выполняется равенство | uLv dx, ...dx, =
G
= ff cLudx,...dx, для всех u,veD, Функция и, удовлетворяющая краевым условиям (3.67), содер-
G
жится в множестве функций О, если она дважды непрерывно дифференцируема в С, один раз—
в Си ff (Lu)? Чх,... ах, < 0.
С
L— положительный оператор, т.е. (Lu, и) = И иГи ах! ...4х, >20 для всех иер. Это свойство
G
ди \?
[nem 4х! ...ах,>Po| ($<) dx,... 4х»
G
Gi=
следует из неравенства
где ро = min р (ж1,..., Ха), “ED.
х1,...., ЕС
Нетривиальное решение задачи о собственном значении задачи Штурма — Лиувилля (3.66), (3.67)
вазывается собственной функцией, а соответствующее ей A — собственным значением.
Свойства собственных функций и собственных значений поставленной задачи таковы:
а) Собственные значения оператора Г, неотрицательны.
6) Собственные функции оператора L, принадлежащие различным собственным значениям,
взаимно ортогональны, т.е. из [и =Аи и Liu =Ай при AA следует, что [ий4х: ... dx, =0.
G
B) Л =0 только тогда является собствснным значением оператора 1, когда а=Ои f=0. При
этом А, =0 — просгое собственное значение (т.е. существует только олна собственная функция для
этого собственного значения) и Ug = Const — соответствующая ему собственная функция.
Для выявления дальнейших свойств заменим краевые условия (3.67). Будем считать, что
9
ис =0 или (5 +fu)| -0 Coe0),
(3.68)
on lac
г) Мпожество собственных значений оператора Г, счетно и не имеет конечных точек накопления.
Для каждого собственного значения может существовать только конечное число собствениых
функций.
|
Таким образом, собственные значения можно расположить в возрастающем порядке 9 <A, <
<А. <... C No при К-+ 0; при этом А, пишется столько раз, сколько линейно независимых
собственных функций соответствует этому собственному значенио. Собственные функции обозна-
чаются как Uy, и.,... и удовлетворяют условиям Lu, = Аки, (К = 1, 2,...) и щЕерБ. Можно предпола-
гать, что собственные функции ортонормированы:
Иишах!4х...4х»=бы,
G
д) Каждая функция иер может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд
но собственным функциям оператора Г:
и (х1,...5 Xn) = У сим (Х1,..., Xn)s где cy, = ff ии, dx, ... dx,
(3.69)
k=]
G
е) Система собственных функций оператора Г, плотна в L, (С).
ж) Если ИЕР, то ряд (3.69) можно почленно продифференцировать по хь. Полученные при
этом ряды сходятся в Г.) (©) к ди/0хь т.е.
Гтп
2
LY
—
я
lim
cy oe | ax,dx, =0.
n>
JJ.
Ox; 0x;
G k=t
458
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3) Если подставить вместо ри 4 функции p M такие, что р>р, <q, то это приведет
к возрастанию собственных значений, т. е. к A, >A, Аналогично для р<рид4> 4 получаем Лк < А»
и) Расширение области С влечет за собой уменьшение собственных значений (nx краевых
ди
условиях= =0илиulgg=о}
mn 0G
к) Каждое собственное значение 2,, которое связано с краевыми условиями вида (м+
ди
+ Inn
= 0, где f/g > 0, есть неубывающая функция f/g.
n0G
Замечание. Все результаты остаются в силе, если задача Штурма
— Лиувилля имеет вид
ди
Ги=Ари, (4+gin) =0,
дп}|,
где функция p>O и непрерывна в С. Вместо элемента объема dx,...dx, в этом случае рассмат-
ривают элемент объема р(хи,..., хи) ах! ... AX,
Для вычисления собственных значений и собственных функций часто применяют метод Фурье,
который основан на разделении переменных (см. 3.3.2.1 и 3.3.2.3.2).
Пример 81. Пусть поставлена задача Штурма — Лиувилля
—Ди=Au, ulag=0
для области G = {(x, y)| x? + у? < К?} в (x, у)-пространстве. В полярных координатах x = pcos gy, y=psing, O< p< R,
0<@ < 2x дифференциальное уравнение имеет вид
12 (=) FE aig
рdp \Pdp) р?09?
нри условии, что и(р, ф) = 0, и дополнительных условиях Ha u(r, ~): й (р, @)|,-o ограничена и
и
(р, ф) =й(р, M + 27);
полагаяй(р,ф)=v(ф)м(р),получим —v"=po(приусловииv(ф)= (ф+2м))ир(pw)+(2%.—и)и=0 (приусловии
w (0) хх, м (В) = 0). Из первой задачи о собственных значениях для и легко вычислить д, = К? и собственные функции
sin ko
yoo
1—= cos кф.
Ил
Преобразование р Vr: = р приводит лифференциальное уравнение для w к дифференциальному уравнению для бесселевых
функций
и=
а
2
aC +e —k*) w=
учитывая условие w (0) # co, получим, что решение им (р)= J, (Vr p) (J, (t)— функция Бесселя 1-го рода К-го порядка,
ср. 3.3.1.3.4). Здесь J, (Vr R)=0, т. е. Ик = Mey, и bey (f= 1, 2,...) - положительные корни функции Бесселя J, (1).
В качестве собственных значений и нормированных собственных функций при p = К? получаем
1,
2
p
No;=RZap мк;(р)=ЕЛ Ji(=,RI
Таким образом, собственные значения и собственные функции поставленной задачи о собственных значениях равны
:
By
1
p\ (sinкф,
Ae=sR М,(©
Ritu.)
R
= “prВЫ
iy(р,Ф)=| R|Л(к)|Ju(=8.|КФ.
Гармонические функции. Функция u(x,,..., х„), которая в области С пространства В"
дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению Лапласа Au = 0, называется
гармонической функцией в С.
Некоторые виды гармонических функций.
В декартовых координатах при п = 3:
dtu|Ou|au
kixy 4х. +kax
Au=—
+—+—;
=9,
Uu(X1, X2, Хх =e}
2^2
3*3
ax? дх2 дх2
(1, Хз, хз)
(К — произвольные комплексные числа такие, что k? + К2 + К? = 0),
и(хи,X2,Хз)=(а+5,x4)(az+6х2)(аз+Бзхз)
(а, b; (i = 1, 2,3) — произвольные числа);
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
459
‚при n= 2:
,
д2и 0?и
Au=9х2+‘9х2=0,
К (x,+)
и(x1,х2)=(а,+byх!)(a,+b2X2)
и(x1,X2)=er
(К, ay, аз, by, by — произвольные числа).
В цилиндрических координатах при п = 3:
х1 = pcos, Xx2=psing, х.=2,
д9 [и 1ou,euу
Прдр\Pap)”p?dg? a2?
Разделение переменных и=и, (ф) и. (р) из (2) приводит к трем уравнениям:
d7u,
du; (9)
is + mu, ($)=
(3.70)
d’u (р) 1 du, (р)
т?
ОЕ
ИОНЛЫИ К?———
—
dp?+5dp+
of из(р)=0,
2
причем требование u,(~) = и, (ф + 2m) учтено условием, что т — целое; К — произвольная постоянная;
имеем
и(Ф,р,2)=et27(Kp)(асозmo+bsinmg),
и (Фр, 2) =e**?Zy
(Kp) (а + 69),
и(Ф,р,2)=(А+Bz)Ca+=)(acosтф+bsinmg),
и(ф,р,2)=(А+Bz)(a+ВInp)(а+5$)
(а, b, А, В, а, В — произвольные параметры), Z,, (x) — цилиндрические функции (решения дифферен-
циального уравнения Бесселя). Если потребовать, чтобы гармоническая функция и была ограни-
ченной при р=0, то вместо 7„(х) надо подставить функцию Бесселя J,, (x) (ср. 3.3.1.3.4).
В сферических координатах
прип=3:
X,;=pcosфsin0, х2=psingsin6, хз=pcos6,
Au10,Ou,1д9Ouди+1д?и0
=——
sin
~~==0.
р? др P dp р?sind 00.
00 р?sin?@dg?
Разделение переменных и = и, ($) и) (cos 0) из (р) приводит к уравнениям
2
dp?и!(<)+mu,(9)=0,
(3.72)
.
2
(Ш9)Se)_sO Liga в
(3.73)
4?из (р) 2 4из (р 10+1
_
SH2
но
($ = с0$0; m=0, +1, +2,..., tj; j=0, 1, 2,...),
причем следует потребовать регулярности и› для 9 =Ои 0 =т. Тогда
и(р9,ф)=(40+ )Р”(cos0)(аcosmp+bsinmg)
B
pt}
с многочленами Лежандра Pj'(s) (cm. 3.3.1.3.4),
фея (др + рт) 6,9
(=Ь2,...)
460
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с шаровыми функциями
j
У,(0,$)=УPM{cos0)(a,,cosто+b,,sinтф);:
m=0
приn=2:
|
х!=pcosф, х2=psing,
А1@ du+1.д2и_о
Пр др \Рдр/ "р? 9
В
и(р,Ф)=(40"+] (асозтф+Бзттф), —и(рФ)=А+ВШр
(A, В, a, b — произвольные параметры; т = 1, 2, ...).
Специальные решения уравнения Гельмгольца Ди
+
ku= 0.
В декартовых координатах х,, Xa, хз:
и(x1,хахз)=elо) (24424kB=k?),
и (хи, хо, хз) = (a+ bx,) ef M2%24K%9) (аа = k?),
ik
и(хи,хо»хз)=(а+bx,)(A+Bx.)e?.
В цилиндрических координатах:
х1=pcosФ, X2=psinф, Хз=2.
Разделение переменных (в предположении, что (р, ф, 2) = и, (P) и» (р) из (2)) приводит к диффе-
ренциальному уравнению (3.70) для и, (ф), к (3.71) для из (2) и к уравнению
Фи:(Р) 1ds(0)
т?
+|(К?+Е?)—“|uz (p)=0
для uz (р), roe m=0, +1, +2,... и К — произвольная постоянная. Тогда
и(р,,2)=е27(рVk?+К?)(аcosтф+bsinmo)
(т =0, 1, 2,...),
и(р,©,2)=et27(рИК?—27)(аcosтф+bsinmg)
(К = ii),
u(p,,2)=(А+Bz)Zo(kp)(a+bg).
'В сферических координатах:
xX,=pcosфsin0, x2=psin@sin0, хз=pcos0.
Разделение переменных (в предположении и (р, @, 9) = и, ($) и (cos 0) из (р)) приводит к диффе-
ренциальному уравнению (3.72) для и, (Ф), к (3.73) для и» (5), где 5 = соз 6, и к уравнению
Физ(р)|2аиз(р)
ЛИ+>)
РЯ Ч[У и,(p)=0
dp?
р
dp
р?
3 (p)
для из (р). Тогда
1
1.
u(p, ©, 0) = урн (kp) Y,(8, 9), и(рФ, 0) = > etikp,
p
<
где У, (9, ф) — шаровые функции и J;4 1/2 — сферические функции Бесселя (ср. 3.3.1.3.4).
Шаровые функции. Под шаровой функцией У; порядка [|=0, 1,... понимают каждую
однородную гармоническую функцию степени |, заданную на единичной сфере 5, < В". Шаровыми
функциями в В? являются тригонометрические функции
У,(Ф)=a,coslp+b;,sinlo
(i= 0, 1, 2,...),
а однородные гармонические многочлены имеют вид
и:(х1,X2)=p!(a,coslp+b,sin1p)=a,Ве(2)+ЫIm(2),
гдеZ=х,+ix.
Щаровые функции УТ, (6, ©) удовлетворяют дифференциальному уравнению
10/. ду
1 @Y,
sin 0
+
—-+1(l+1)И=0.
sin 86
00) sin?6 dq?
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
46]
Функция У, является шаровой функцией 1-го порядка тогда и только тогда, когда она дифферен-
цируема произвольное число раз и удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Функции
Ф иР (в предположении У, (6, Ф) =Р (cos 0) Ф ($)) удовлетворяют следующим дифференциальным
уравнениям:
42Ф
——+т2Ф =0
(m =0, 1, 2,...)
(3.74)
do
2
И
f+ (10-4 5) P=0,
=cos0,
(3.75)
l—s
причем условие P(~) = Ф (ф + 2x) следует из m=O, 1, 2, ... При т = 0 уравнение (3.75) есть диф-
ференциальное уравнение для многочленов Лежандра, а при т > 0 — дифференциальное уравнение
присоединенных функций Лежандра (cp. 3.3.1.3.4).
Функции
Pf (cos 0) cos тф
при m=0, 1, 2,..., 1,
r@,0)=
|
P|"! (соз 8) sin|m|@ при т=-Ь-2,..., -—1
((=0, 1, 2,...) — шаровые функции в В?.
Шаровые функции [-го порядка (т = 0, +1,..., +) линейно независимь, и каждая линейная
комбинация
[
У,(6,ф)=‚2. аРУР(6,Ф)
yr
вновь является шаровой функцией.
Шаровые функции Yj" образуют в пространстве Г. (5!) ортогональную и полную систему
функций. Справедлива формула
п2х
Г
1+ Pom (1+| т)!
У")? dS =
У” (9, ~))* sin’@ 40 4ф == 2n-
|
--.
[orp as=|[Ст oy?sine оао=anoP НИ
5,
оо
Помимо указанных шаровых функций 7, (6, ф), других шаровых функций 1-го порядка не существует.
Каждая функция fe L,(S,) может быть разложена по шаровым функциям в ряд
69-х Ya=и, 9)
причем УТ, (6, ф) вычисляются при помощи формулы Лапласа:
n2n
aa Г(8,6).P,(cos&)sin6d6do;
оо
2и1
У,(0,)=
& обозначает угол между направлением (0, ф) и направлением (6, $). Кроме того, справедлива
интсгральная формула
n2n А
ло
4
||У,(6,$)P,(cos&)sin649dé=WET У,(8,©)dy.
Свойства гармонических функций.
a) Для гармонической функции и (х.,..., х,) справедливо следующее представление при n> 3:
1
1
ди (у)
д
1
и(х
—
-
—и (у) --—-
dS,;
a (2, lieve
дп УЕ
|”
прип=2;
462
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при этом х = (х1,..., X,), |х-у|-— евклидово расстояние между х Hy: |х-у |= (x1 — y1)? +...
weet (Xn — У),
Qn"?
в,=!=
Г (n/2)
— площадь. поверхности п-мерной единичной сферы.
Каждая гармоническая функция аналитична, т.е. в каждой точке С ее можно разложить
в сходящийся степенной ряд.
6) 1. Если функция u(x) гармонична в шаре Kz с центром х=(х.,...,х,) и радиусом В
и непрерывна в Kp, то ее значение в центре шара равно среднему значению по поверхности
шара Sp:
1
u(x)= г|uoe-as,
SR
2. Пусть для функции u(x), непрерывной в С, выполнено следующее условие. Предположим,
что для каждой точки хеЕС существует число го (х) > 0 такое, что для всех г< то справедливо
соотношение
1
и(х)=oye |"(x—У)dS,.
5:
Тогда функция u(x) гармонична в С.
в) Если функция u(x) # const гармонична в С и непрерывна в С, то в области С она не может
принимать ни максимального, ни минимального значений, т. е. справедливо неравенство
ши: u(x) <и(у) < max и (x),
УЕС.
x€0G
x€dG
Принцип максимума: гармоническая в области функция достигает максимального зна-
чения на границе области.
в!) Если ulag= 0, To u(x) =0 B С.
a
в.) Если функция и является гармонической в области R"\G, непрерывной в R'\G и
lim u(x)=0, To |и(у)|< max |u(x)|, уеВ”б. Если, в частности, и |ос = 0, то u=0 B RG.
|х|>+00
хХЕДС
B3) Если последовательность функций и, и>,...,, гармонических в области С и непрерывных
в С, сходится равномерно на границе 0G области С, то последовательность равномерно сходится BG.
г) Если функция и(х) является гармонической в С\{0} и удовлетворяет соотношению
при n> 3:
tim “© <9
пех” —
при н=2:
и
im#90
|х|->0 In|x|
то ее можно доопределить в точке xX=O так, что полученная функция будет гармонической
в области G.
д) Если последовательность функций uy, и.,..., гармонических в области С, слабо сходится
к непрерывной функции и в С, т.е. lim [| и 4х: ...ах, = [| uvdx,...dx, для всех бесконечно диф-
G
ференцируемых в С функций v, то и — функция, гармоническая в С.
е) Если функция и является гармонической в В" и удовлетворяет неравенству
[и (х)| <с(Е+1х]", хе В, т>0,
то u — (Гармонический) многочлен степени, не большей чем т.
ж) Посредством преобразования Кельвина (отображение относительно сферы 5% в В":
R?2
R2
=——~-Xx;или Хх;=
хр"
"ХР
5
]
x
(i= 1, 2,..., n)) можно получить изображение Кельвина функции и(x):
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
463
при п =2:
я(x)=“(а =).
Если и (x)— функция, гармоническая при |х | > К, то и (х) — гармоническая в K%\{0}.
3) Для функции и(х)>0, гармонической в шаре KR и непрерывной в КФХ, справедливо
неравенство Гарнака
R(R—|x))
R(R+|x)
р “9569< хВи(0)при|x|<R.
Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в В?.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа Ди = 0: найти функцию, гармоническую в С, которая
непрерывна в С и на границе 0G области С совпадает с заданной непрерывной функцией Up.
Задача Неймана для уравнения Лапласа Ди =0: найти функцию, гармоническую в С, которая
непрерывна в С и на границе OG области С имеет заданную непрерывную производную по нор-
мали и, (здесь С — ограниченная область с достаточно гладкой границей).
Аналогичные постановки задач получаются для уравнения Пуассона Au = —/ Если / непрерывно
дифференцируема в С и непрерывна в С, то краевые: задачи для уравнения Пуассона сводятся
к соответствующим краевым задачам для уравнения Лапласа Av =0 посредством замены и (x) =
=0(х) + V(x), где для функции
1
V(x)=Gn{{[ 22 dy,dy.dys
G
выполняется равенство AV= —f.
Задача Дирихле для Ди =0 и для Au = —/f разрешима однозначно. : Задача Неймана для Au = 0
и Au = —Гразрешима однозначно с точностью до аддитивной постоянной, если выполнено условие
Пи,aS+(fffax=0
_
aG
G
т
Функция Грина задачи Дирихле. Функция G(x, x)
называется функцией Грина оператора Аи в области С, если она
aS
обладает следующими свойствами:
У |--
1. При всех хЕС функция G(x, xX) имеет вид
0
Ne
i
Sr
3
G(s Y= Go gy +96.
Ek />
;
«у За
Функция g (x, X) гармонична в С и непрерывна в С относительно x.
т
2. При всех хеЕС выполняется условие G(x, х)|хедс = 0.
о ORR
Свойства функции Грина.
а Функция G(x, х) — гармоническая в С \{x} и непрерывная
КО
С \{х} по переменному x.
R
6) Для x, ХЕС, X # xX выполнено неравенство
1
0<G(xЯ<.
Рис. 3.74.
в) Если ОС — достаточно гладкая поверхность (т.е. параметрическое представление 0G диффе-
ренцируемо достаточное число раз), то ‚существует и однозначно определена функция Грина
С (x, x); G (x, xX)= G(X, x).
Для построения функции Грина в областях co свойствами симметрии часто применяют
принцип отражения.
Пример 82. Найти функцию Грина для шара Kk. Пусть х- точка, симметричная Х относительно Sk. Тогда
2
.
>
и
|
x
>
.
^
|
—х. Будем искать функцию сферы Грина в виле
|
А
4 |х-х| 4 |х-х|°
С (x, x)=
Коэффициент А подбирают так, чтобы С (x, Х)|хедб =0. Из падобия треугольников (Охх) и (xxx), xESR (рис. 3.74),
464
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
—_х
В
следует, что тег = a Если выбрать А = Е! то условие С|хедб=0 будет выполнено. Искомая функция
Грина имеет вид
.
1
R |x|
С (x,xX)=
_
(= хх Reex Rs]
Пример 83. Найти функцию Грина для полупространства хз > 0. Точка xX = (хи,Х., —X3) симметрична точке
X = (Ха, X2, Хз) относительно плоскости x, = 0.
Для функции С (x, Xx) = :
= условиеG(x,Хх)|;едС=0выполненоприА=1.ТогдаС(x,х)=
41 |х-х| 41 | х-х|
=
A—
есть искомая ф ия Грина.
4n|[x—x| т х-х|
Ункция © Pana.
Если решение u(x) задачи Дирихле для уравнения Au = —f дифференцируемо достаточное
число раз на границе ОС области С, то оно представимо формулой
OG (x,x
и(х)=А
was, +[fo x)f(x)ах,
xeG.
on,
x
0G
G
Формула Пуассона
1
К? —|x|? _
ul(x)—aR || lx—rap Uo(x)dS
|518
для |х|< Е дает решение задачи Дирихле для шара К®: Ди =0, и Isp = ио, где функция ио
непрерывна Ha 5%.
Краевая задача
—Ли=du+f(x),ulag=0,
где f непрерывно дифференцируема в С и непрерывна в С, эквивалентна интегральному уравнению
u(x)=AffG(x,х)u(x)dx+[ffG(x,x)f(x)ах.
G
G
Наименьшему собственному значению задачи Au + Ли =0, ulgg =0 принадлежит *только одна
собственная функция и, (x), для которой при хеС выполняется неравенство ши, (x) > 0.
Краевые задачи для уравнения Лапласа в В?. Действительная или мнимая часть
анаЛитической в комплексной плоскости функции удовлетворяет уравнению Лапласа в R?.
Рассматриваются те же самые краевые задачи, что и в R®*. При этом задача Дирихле
однозначно разрешима для произвольной непрерывной функции up, заданной на OG. Задача
Неймана разрешается однозначно с точностью до аддитивной постоянной, если выполнено условие
разрешимости f u, dS =0.
0G
Функция Грина задачи Дирихле Au =0, ulgg = ио для области С есть функция G(z, 2) co сле-
дующими свойствами (пишут и (ху, х2) = и (2), где z= x, + ix):
=
1
1
=
=
mH
1)G(z,z)=onIn|Е +9(2,2),причемg(2,2)—гармоническая вСинепрерывная вС по2;
2)С(2,2)|,cag=0.
Для функции Грина справедливо неравенство
1
а
0О<С (2,2) < —In-
ЕС;
2
N
u
i
Е,
2ЕС,
[2—2]
4 — диаметр области С. Кроме того, справедливы все другие свойства, указанные для функции
Грина в В3.
Функция
G(e,3)=—5Ш, |-—-Re(In(w(z,5)
является функцией Грина задачи Дирихле для односвязной области С, где
w(2)—w(2)
1—и(2)м(2)
м(2,2)=
(и обозначает функцию, комплексно сопряженную по отношению к функции м =" (2), отобра-
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА
465
жающей С в единичный круг). Задача Дирихле для круга |2|< Е решается по формуле.
Пуассона
1
В?—|2|? -
1
2+2 .dz
=
..
—_—_—_
7 ==Re<——
=
2) —=->,
2nR| pzzp10483=6|5
Foz OS
|Z|=R
18 |=К
а для односвязной области С с краевой функцией ио — по формуле
1
w(2+w(z) ”@ -
и(2)=Кет |(z)v@-w@ wOai},
0G
3.3.2.3.5. Параболические дифференциальные уравнения. Уравнение теплопро-
водности
,
2
ди,
oe
(3.76)
a? ot
Ox
Ox*,
есть простой пример параболического дифференциального уравнения. Важнейшие свойства прояв-
ляются уже в случае п =1 и справедливы для произвольного пм.
Так казываемая первая краевая задача (смешанная задача)
{A
является типичной задачей для параболических дифференциаль-
T
ных уравнений: найти функцию u(t, x), которая в области
С = {(t, x)|to <Е<Т ф, (1 <х<.ф (1} удовлетворяет уравнению
G
x=0,(t)
`72
1би02и
=
3.77
L=9,(t)
а et Ax?’
(3.77) ,
Я
.
|
,
0
непрерытвна на С|]9С и ua Г=об\(Т, х}|ф, (Т) <x < @2(T)}
(изображена на рис. 3.75 жирной линией) принимает значения
0
—
заданной непрерывной функции /.
Важно заметить, что решение ищется для t > 0, если значения
Рис. 3.75.
искомой функции заданы при t=0. В общем случае при #<0.
задача не имеет решения. Уравнение (3.77) существенно изме-
няется, если t заменить на —г. Это цегко объяснимо из физических соображений, так как уравне-
ние (3.77) описывает необратимые процессы. Цри { < 0 задача поставлена некорректно, если краевые
условия относятся к t = 0.
Имеет мего принцип минимакса: каждое решение u(t, x) уравнения (3.77), определенное и
непрерывное на С |) дС, принимает наибольшее и наименьшее значения на Г, т.е. либо на нижней,
либо на боковых линиях, ограничивающих С.
1. Решение первой краевой задачи уравнения теплопроводности однозначно определено в С.
2. Решение первой краевой задачи уравнения теплопроводности непрерывным образом зависит
от заданной на Г функции Г.
Наряду с поставленной краевой задачей часто исследуют задачу с начальными значениями
(задачу Коши): найти функцию u(t, x), непрерывную и ограниченную при ft > 0, которая при {> 0
удовлетворяет уравнению: (3.77), а при Е = 0 — начальному условию и |, -о = Uo (x), причем ио (x) при
всех х должна быть определена, непрерывна и ограничена.
Решение этой задачи определено однозначно и непрерывным образом зависит от функции
ио (х). Интеграл Пуассона
+©
ее |Mo994аgg
2
дает такос решение.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности (3.76) также разрешима однозначно.
При этом краевую задачу следует формулировать так: найти функцию и(Ьхь, ...., X,), непрерывную
зв замкнутой области, которая внутри нее удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.76),
а на t=0 и боковых поверхностях совпадает с заданной функцией / (рассматриваемая замкнутая
область ограничивается плоскостями Е =0 и {= Та ее боковая поверхность может быть пред-
ставленд в Bune объединения конечного числа поверхностей с непрерывно изменяющейся касатель-
ной плоскостью, вектор нормали к которой нигде не параллелен оси #).
Аналогичные результаты получим, если условие u=f на границе заменить на условие
ди/дп+ви=Х.
466
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
Указанные выше результаты могут ‘быть перенесены на параболическое дифференциальное
уравнение общего вида
п
ди
д?и
ди
|
=
а; (t, Х1,..., Хи) +
Ы (t, X15 +++5 Хи)
“+ c(t, Х1,..., Хи) и + Ч (Ь Xi, +209 Хи),
Ot
d
Ox, Ox;
Ox;
i, j=l
i=1
если в каждой точке (Е, х!1,..., Xn) рассматриваемой области квадратичная форма
п
> aij(t,3 ...›Xn)рр;
i, jl
положительно определена и коэффициенты а!» В, с и 4 дифференцируемы достагочное число раз.
Частными решениями одномерного уравнения теплопроводности ‘являются
u(t, x) =е+-Ка" y(t, x) = A + By,
u(t,x)=и е-xM4a’t) (t>0),
t
+\
(К, А, В. — произвольные постоянные).
Функция
—k?a*t
u(t, X4,--., Хи) = Uy (Ха, ..., Же
есть частное решение п-мерного уравнения теплопроводности, если и’ (X1,...,X,) есть решение
уравнения Гельмгольца Au + К?и =0 (см. 3.3.2.3.4). Другими частными решениями уравнения (3.76)
являтотся:
|
при п=3
_. 1 Щ—2HAn?
и(6X1,Х2,хз)7
ега7,
г?=x?+x3+x3;
t
приn=2
1 г" Naat)
2
u(t,X4,X2)=—
г?=x?+ха.
3.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Комплексные числа. представляют собой расширение понятия действительных чисел. Многие
правила арифметики действительных чисел могут быть перенесены Ha комплексные числа. Например,
биномиальная теорема или теория определителей оказываются справедливыми в области комплексных
чисел. Вообще на комплексную область могут быть перенесены многие разделы действительного
анализа. Так возник комплексный анализ, в основе которого лежит теория аналитических функций.
Исторически комплексные числа обязаны своим возникновением главным образом попыткам
найти репения алгебраических уравнений.
3.4.2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. СФЕРА РИМАНА. ОБЛАСТИ.
3.4.2.1. Определение комплексных чисел. Поле комплексных чисел. Комплексным числом а
называют упорядоченную пару а = (а, В) действительных чисел со следующими свойствами:
1) Два комплексных числа а, = (а, В!) и а) = (“., В.) равны тогда и только тогда, когда
91=иВ,=Bo.
|
2) Сумма двух комплексных чисел а! = (1, By) H az = (“›, B2) определяется следующим образом:
а:+az=(ви,Bi)+(а,Bo)=(а!+а»,В,+Bo).
3) Произведение двух комплексных чисел a, = (а1, В!) и а) = («›, В2) определяется следующим
образом:
а:а =(а1,В)-(2,В2)=(1%2—В1В2,а:В2+%28,).
(3.78)
СОПРЯЖЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
467
4) Деление двух комплексных чисел a, = (1, В!) и а) = (“., В2) определяется как действие,
обратное умножению:
ay_(a1,By)_(192+B,B2,“2В1—м.В2)-(2%+BiB. 28,—0182)
a,(В)—
a3+В2
+В ’ a5+BF
(3.79)
приa3+B3#0.
Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел; все они являются парами
вида (a, 0). Условимся в дальнейшем писать (a, 0) = а.
Пары вида (0, В) называют (чисто) мнимыми числами.
Пара i = (0, 1) имеет специальное название — мнимая единица. По правилу 3)
i?= 1.
Запись (0,8) для чисто мнимого числа эквивалентна записи if (так как (0, 1) (В, 0) =
=(0-B —1-0, 0-0+1-B)
= (0, В)).
Каждое комплексное число а = (а, В) можно записать в виде суммы действительного числа
a = (а, 0) и чисто мнимого числа if =(0, В):
а=(а,В)=(а,0)+(0,В)=a+if.
При этом а = Rea называется действительной частью комплексного числа a, а В = Ima — мнимой
частью а.
Итак:
1*) Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действи-
тельные и мнимые части.
2*)ay+а»=(а,+181)+(чм,+82)=(91+92)+(В,+B2).
3*)ay+a,=(а!+iBi)-(a2+В2)=(0102—В,В)+i(а:В»+283).
4*)41_91+iB,_(9142+BiB2)+i(2B,—1B2)_912+BiB. .&2Bi—“1В
=
1
аа +ip,—
az+В?
a2+В2
a3+B2
Пример 1.
(-1+
54? (3-4) 10+7_ (1-10- 25) (3 = 4i) (-3) , (10+ 7i)i _
1+ 3i
i
(1+3i)(1—3’
Si-i —
_ЕР
12)+РР _43+N+тю—10+38,21
Таким образом, вычисления с комплексными числами сводятся к выполнению действий над
действительными числами. Сложение и умножение при этом коммутативны и ассоциативны. Кроме
того, для них имеет силу дистрибутивный закон:
а!(az+аз)=aya,+ ааз.
Комплексные числа образуют поле с нулевым элементом 0
=
(0, 0) и единичным элементом
1=(1,0).
3.4.2.2. Сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа. Под комплексным числом,
сопряженным K a = a+ iB, понимают комплексное число а, которое отличается от а только знаком
мнимой части: d= a — ip. При этом имеют место следующие соотношения:
;
G =a;
а = а тогда и только тогда, когда а — действительное число;
atb=a+b6, ab=4-b, (afb)=G/b, a-G=07+ 8;
Rea =a = (a+ @)/2 — действительная часть a;
Ima=В=(а—@)/2i—мнимаячастьа.
Модуль | а |. комплексного числа а есть неотрицательное действительное число:
|а|=Иа-а=Иа?+В?.
Если а - действительное число, то модуль совпадает с абсолютной величиной |а|. На модуль
комплексных чисел могут быть перенесены различные неравенства для абсолютных величин. Так,
для любых комплексных чисел а, b, ак, В, верны соотношения
|a-b|=l[a|-| bd], ja+b|<]a|]+ |b (неравенство треугольника),
2
к
"
<Vial?>la
k=1
k=1
(неравенство Коши — Буняковскогод).
468
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.2.3. Геометрическая иитерпретация. Поставим в ‘соответствие комплексному числу a= a+ if
ча плоскости точку A, которая имеет абсциссу х = а и ординату у = В относительно прямоугольной
декартовой системы координат: A (a, В) (о числе а также говорят как о точке). Если ОА =(а, В) --
радиус-вектор точки А, то он также может быть использован в качестве геометрической интерпре-
тации числа а (рис. 3.76). Таким образом, множество точек плоскости, или множество радиус-
CKTOPOB взаимно однозначно соответствуег множеству комплексных чисел. Вся плоскость. назы-
вается комплексной плоскостью. Точки оси абсцисс — действительной оси — соответствуют дей-
стзительным, а точки оси ординат — мнимой оси — чисто мнимым комплексным числам. Комплексное
число G, сопряженное к а, изображается точкой A — зеркальным образом точки относительно
действительной оси (см. рис. 3.76).
|
BA
A
А(©,В)
г 0=0 +18
2
3
0 Действительная 15
©
Ott
i.
<
Действи-
=
Ox
/\ | =menpyan
3
#9
р
70ary —OCb
4
/
=
;=
N
С
в.—— ам
[ben
A(«,-)
-b
Puc. 3.76,
Puc. 3.77.
—
—_—
Длина радиус-вектора ОА комплексного числа a=a+ 8 равна |а| = Ио? + 8? — модулю этого
числа, |a—b| равен расстоянию между соответствующими точками а
и
6.
Геометрическое сложение: наглядная интерпретация сложения (вычитания) двух комп-
лексных чисел и = a + В, Б =у-+ 5 осуществляется при помощи соответствующих радиус-векторов
=(a,В),OB=(у;5):сумме(разности)а+b=(а+В)+(В+5)чиселаиЬсоответствуетрадиус-
—
BEKTOD OA + ОВ= (ау, В+.) (см. pue..3.77 и п. 2.4.4.1).
3.4.2.4. Тригопометрическая и показательная формы комплексных чисел. Аргументом комплекс-
ного числа а =а +- iB {Arg а) называют угол Фо (в радианах) между радиус-вектором OA = (a, В)
и положительным направлением действительной оси (см. рис. 3.76), определяемый с точностью
до слагаемого, кратного 2x. Главное значение аргумента: arga=Q, —п < Фо < п; имеем: Агра =:
=агра+2Кл.Например,arg(1+i)=1/4.
Справедливы равенства: © == | а| с0$ Фо, В = |а| sin Фо (см. рис. 3.76).
Тригонометрическая форма комплексного числа а:
a=|a|(cos(Qo+2kn)+isin(Фо+2Км))
(К = 0, +4, +2,...).
Тригонометрические и показательные функции связаны формулой Эйлера cos ф + isin g =e’?
(см. 3.4.5). Отсюда а= |а|(с0$ф+ isin Ф)= |а|е®.
Таким образом, для каждого комплексного числа возможны три представления: алгебраическое,
тригонометрическое, показательное.
‘Пример 2.1+1уз=2(co:35+isin+)-2e'"3) или 1+iИз==2[cos(n/3+2kn)+isin(п/3+2km)]==2642+2491
(если не ограничиваться одним главным значением arg а = Po= 1/3).
Модуль комплексных чисел вида е® равен 1. Следовательно, в плоскости комплексных чисел
они располагаются на окружности радиуса единица. Число 0 =0+1.0 имеет неопределенный
аргумент, следовательно, допускает представление 0 = |0
|
(cos ф + isin $) (ф — любое).
Если a =|a|{cos+isin©), b=|b|(cos
у +isin У), то
ар =|а]|!Ь
|[с0${® +Heiser yl. [ре "м,
{3.30)
а
= +[eos(Ф- +15(Ф-М]= OP (#0)
` (3.81)
СТЕПЕНИ, КОРНИ.
469
Геометрическая интерпретация: радиус-вектор произведения a-b получается пово-
POTOM ралиус-вектора а на угол \ против часовой стрелки и растяжением в | b| раз. Аналогично
интерпретируется деление (рис. 3.78).
3.4.2.5. Степени, корин.
1) Натуральный показатель степени. Возведение комплексного числа а в п-ю степень
(п — натуральное) производится по формуле Муавра
а"=Па](cosф+isinФ)]"=|а|"(cosnp+isinng)=[а|""9,
которую можно вызссти из формулы умножения (3.80).
Вчастности,i=1,i=i,2=—1,P=-i,4=1,i4"**= (k целоечисло).
Формула бинома, как и формула геометрической прогрессии, верна.
2) Отрицательный целый показатель степени. Полагаем а" = 1/а`" (n <0). Тогда для a", как
следует из формулы (3.81), может быть использована формула Муавра.
a
М
н
и
м
а
я
о
с
ь
$-9| Дейтвительная Och
lal/ibl a/b
Рис. 3.78.
Puc. 3.79.
3) Дробный показатель степени. Показатель степени имеет вид п.= 1/т, т — натуральное число.
Возведение а в степень а!" называтот также извлечением корня т-й степени из а; каждое комплекс-
ное число м такое, что и” == а, называют корнем т-й степени из а:
И =a!
w=/a=aim,
Вычисление ‹:’”" также осуществляется по формуле Муавра, но теперь для n=1/m. Однако,
в то время как все рассмотренные до сих пор вычислительные операции имеют однозначные
т
результаты, операция Га дает т различных результатов (корней):
т, —-
+2k
.
2k
Мк==Иа|cosPov
en
isin а
т
1/m
?
т°
т. е. Иа определяет т различных чисел:
т
1
.
р
Уа=а im= fw,|К=0, 1,..., m— I}= {Wo, wy, 2.) ти.
Для любого целого числа п имеет место равенство Wy4+nm = We, так что, кроме уже указанных
и
т,
Фо..Фо
корней и’, никаких других, отличных от них, быть не может. Решение Wo = И а| (= — +isin 2
m
m
т
уравнения м" =а называют главным значением а.
т
—
Так как все м, имеют одинаковый модуль |/|а|, то они, в соответствии со значениями
Фо+2kn
аргументов ——————-
m
-(k =0,1,...,m— 1), лежат. в вершинах правильного тч-угольника с центром
6
в начале координат. На рис. 3.79 изображено 6 значений Иа = {w,: k=0, 1,..., 5}.
37 з/
Пример 3. Для уравнения и? = $i имеем и 8 = Из =2, Arg 8 = > + 2Кл, следовательно,
Из=фЕЁaa +isin(+2kn|К=0,1,2}={уз+i,-/3+i,—2i}.
wee >
Эти три кория лежат в углах равностороннего треугольника на расстоянии 2 OT начала коорлинат. Главное значение
равно ИЗ +i.
_
Уравнение w? = —{ имеет решение и —1 = {i, --i}; главное значение равно +i.
470
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.2.6. Сфера Римана. Кривые Жордана; Области. Комплексная плоскость с присоединенной
к ней бесконечно удаленной точкой называется замкнутой комплексной плоскостью. Замыкание
комплексной плоскости одной-единственной точкой объясняется при помощи числовой сферы
Римана.
,
Пусть плоскость &, п в декарговой системе координат &, п, (, рассматриваемая как комплексная
числовая плоскость, касается своим началом (0, 0) единичной сферы. Эта. точка называется южным
полюсом 5, диаметрально противоположная ей точка N — северным полюсом. Если комплексное
число a = « + задано на плоскости &, м точкой Р (a, В), то точку пересечения Р” (&, п, 0) отрезка PN
со сферой можно рассматривать как новое геометрическое представление числа. а (рис. 3.80). Таким
образом, каждому комплексному числу однозначно соответствует одна точка. единичной сферы,
которая в этом случае называется сферой. Римана. Если последовательность точек на плоскости
«удаляется» в бесконечность, то последовательность изображений точек на сфере стремится: к се-
верному полюсу No. Точка No соответствует: бесконечно удаленной точке числовой плоскости.
EY 2=ё +in-
—MocKocins /
Рис.. 3.80.
Построенное выше отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией.
Стереографическая проекция сохраняет углы и записывается посредством следующих формул:
Е
a
`В
L
a?+В?
[+92+В?’
ПВ,
ав.
Непрерывной кривой называют множество точек
2=х+й]
комплексной плоскости, если х=х(1, у=у( ‘при —© < <ЕЗЬ, < +00 есть параметрическое
непрерывное представление кривой на плоскости х, у. Например, комплексное параметрическое
представление эллипса с полуосями а Mb, с центром в начале координат имеет вид
z=z(t)=acost+ibsint
(0<t<2n),
а представление окружности с центром в точке 2, = + 8 и радиусом г имеет вид
|
z=(a+rcost)+i(B +rsint) =z, + гей
(0 <t <2n).
Кривой Жордана называется непрерывная кривая без кратных точек. Это означает, что различ-
ным значением параметра { функцией 2 = z(t) ставятся в соответствие различные точки 2 кривой.
Если начальная и конечная точки кривой совпадают, то кривая называется замкнутой. Эллипс
и окружность являются примерами замкнутых жордановых кривых.
(Открытой) 6-окрестностью точки а называют множество всех точек 2, для которых |2 — a| < 6,
б>0.
(Открытой) областью С замкнутой комплексной плоскости называется связное открытое мно-
жество, т.е. множество точек этой плоскости таких, что: 1) для любых точек а, БЕС существует
непрерывная кривая, соединяющая их и целиком лежащая в С; 2) если сеС, то существует
б-окрестность точки с, целиком лежащая в С (рис. 3.81). Границей области С называется множество
точек, которые не принадлежат С, но в любой произвольно малой 6-окрестности которых всегда
лежат точки из С.
Область С конечной числовой плоскости называют односвязной, если ее внутренние точки
по отношению к любой замкнутой кривой Жордана; лежащей в С, принадлежат С; в противном
случае область многосвязна: кольцевая область двусвязна, область на рис. 3.81 трехсвязна. Замкнутой
областью называется множество точек области С и ее границы 0G. Обозначение:
б=С|) 26.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
47]
3.4.3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Если каждому значению переменного 2 = x + iy из множества 1) замкнутой комплексной плоскости
пс правилу jf сопоставляется определенное значение переменного w = и + iv из множества W замкну-
той числовой плоскости, то f называется комплексной (или комплекснозначной) функцией комплекс-
ного переменного. 5; О — область определения, И’ -— область значений функции /. Обозначение:
No =] (2).
Связь с функциями действительного переменного: так как w=u+iv=f(z)=f (x +iy), то
каждой числовой паре (x, у) такой, что x +iyeD, в силу функциональной зависимости f ставится
в соответствие пара (и, о) такая, что u+ive W, т.е. ии о являются действительными функциями
действительных переменных xX, у: и=и(х, у), v=v(x, у). Функция и = / (2) может быть записана
в виде
и=и(х,у)+iv(x,у)=Ве
/
(2)+Паf(2).
Разложение в ряд f(z) в окрестности 2 =0 или 2 = 1:
со
= У aetna,
12| <|а| #0;
n=0
~
~
=>) iret ne-1 [2-11 <1;
2
n=0
1/2
ye-+) ( Jew,
2-1 <1
п
Разложение Ln.z для К =0:
nme
1)" 1
ш:- VCO ey Ио,
И
n=1
1
cn) ти
[2] < +0;
п!
n=0
.
© (—1)" 2n+1
=
si
<
;
sin Z
(Qn+ 1
[2|<+0
n=0
— 1)"
COS2= = 27",
|2] < +00;
n=0
sh2= ра
[2|
< +0;
(2n+ 1)!
,
,
n=0
chz=
a
|121
< +0;
=, Qn!’
n=0
tgz= (2=12
оу.
syИу*)12|<—.
|
(2n)! "
315315uc
2
n=1
*) В, — числа Бернулли.
Е
Ors
472
КСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и
s
o
m
e
a
y
.
n
{
у
—
O
B
E
S
E
L
S
L
e
G
L
O
O
S
)
u
4
M
O
T
E
S
а
O
H
H
O
G
L
O
L
Z
E
L
S
2
H
Q
>
N
э
в
ь
А
к
о
я
—
8
1
0
1
2
о
и
н
з
ь
е
н
е
{
#
—
0
5
2
8
4
5
1
2
8
1
0
0
5
)
U
+
O
h
ч
л
е
н
а
е
о
м
а
н
л
о
к
Б
э
к
о
(
0
>
а
O
H
H
O
S
L
D
I
Z
E
L
0
0
9
)
(
з
и
д
А
к
о
3
1
$
Х
(
x
a
{
,
U
L
H
O
W
A
I
G
e
S
H
H
O
R
E
H
S
з
о
н
я
е
н
I
(
a
a
)
/
)
o
y
i
f
‘
x
n
=
(
z
u
)
a
y
A
Z
G
i
s
и
a
s
8
3
1
2
.
4
8
|
4
z
Ч
Э
+
x
7
3
0
5
|
A
Z
Y
o
+
x
z
$
0
9
A
Z
Y
O
+
X
Z
s
a
a
-
g
с
л
С
4
2
+
X
Z
;
8
0
0
—
)
A
z
y
s
X
Z
U
I
s
r
e
{
x
y
i
-
4
8
3
]
S
y
o
r
e
~
]
f
s
o
o
+
x
2
u
s
/
|
&
w
i
s
-
x
y
s
4
$
0
9
.
х
Ц
Э
=
y
o
i
x
Ч
Р
-
&
3
1
|
S
o
r
e
‹
_
.
Я
w
i
s
+
x
4
5
/
4
&
и
з
.
x
y
o
A
S
O
D
+
x
Y
s
2
U
s
[
@
Ч
з
-
х
8
1
—
]
B
o
r
e
}
&
Ц
Е
+
х
7
5
0
9
4
a
y
s
-
x
X
u
l
s
—
4
Ц
.
х
s
o
o
z
$
0
9
u
y
-
x
8
2
]
S
i
o
r
e
[
]
&
.
Y
S
+
x
z
u
i
s
|
&
y
s
-
x
s
o
o
&
4
2
-
х
u
l
s
2
1
5
M
+
>
u
u
z
+
d
f
>
u
—
C
L
s
‘
A
O
N
B
L
э
о
и
з
п
—
и
‘
u
U
T
+
A
2
{
u
l
s
‚
а
{
$
0
9
х
а
=
9
п
—
8
3
2
1
х
a
z
i
t
=
"
u
y
?
+
—
3
1
0
1
е
(
2
4
+
9
щ
=
2
9
]
.
—
{
r
e
“
=
9
(
d
—
т
+
f
A
)
З
з
э
г
2
о
х
л
(
Z
z
+
/
с
_
=
z
i
t
\
2
4
-
b
e
x
A
+
x
X
—
v
i
t
h
“
+
x
A
+
x
у
г
х
—
A
—
|
u
f
о
-
З
е
г
+
z
x
z
(
-
4
+
,
x
)
(
2
4
+
,
x
)
2
I
(
x
7
—
7
4
—
г
х
4
1
х
-
ю
"
1
+
2
=
н
е
3
3
9
2
8
A
G
—
4
)
+
.
@
®
-
>
Д
f
d
—
4
)
+
(
0
2
~
—
x
)
(
J
—
4
)
+
„
©
—
x
)
b
—
z
т
(
J
—
4
)
—
n
-
x
X
a
{
—
о
х
2
.
8
1
0
6
{
X
Z
(
+
.
x
А
х
7
4
—
с
х
2
Z
x
—
р
,
A
„
&
+
Х
А
к
x
2
(
(
2
}
{
}
3
1
e
-
(
=
}
/
s
u
m
I
B
i
g
o
n
e
s
o
y
y
t
L
E
B
M
U
E
Q
R
L
э
з
ч
н
а
е
в
т
н
о
м
о
н
е
э
ч
д
о
т
о
ч
з
н
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
473
Ji различных вопросах теория и нриложений функций комплексного переменного существенное
значение имеет модуль фуикции
пре ИС,УР+fosУР=o у)
Поверхность | w| = (x, у), где |*| — аппликата, восстановленная в точке 2 = «+ iy, называется
рельефом функции (рис. 3.82) *). Так как модуль функции — величина неотрицательная, TO ее рельеф
находится всегда над областью определения D функции f, за исключением нулей функции.
ft
_ |sin x +yi)|
__
7
ЕOoh$\
a
BOTY |
В
oo хо
.)
ВАНН
и
4
т
MONE
$
aS
2
a.)
0)
Рис. 3.82.
Нулем функции f называется такое значение 20 независимого переменного 2, дия которого
| f (20) [| =0 и, следовательно, f (20) = 0.
Функция и = f(z) называется ограниченной в области С <), если существует такое положи-
тельное число М, что | f (z)| < М для любой точки 2 в этой области.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного определяются аналогично соотвег-
ствующим понятием для функций действительного переменного.
Если представить f(z) в виде { (2) = { (x + 1) =и(х, у) + No (х, у), то запись lim f(z) =a, где
20 = Хо + iyo, a=a+t No, эквивалентна следующей:
273 20
lim u(x,y)=a и
lim v(x,у)=В.
(x, У) — (Xo, Yo)
(x, у) > (Xo, Yo)
Это позволяет определить предел f(z) через пределы действительвой Re f(z) и мнимой Im f(z)
частей.
Пример 4.
е
й
limопС
шо У:
Ш 204100.
20 12|! (x,y)(0,0)Их+у? (x,y)>(0,0)Их?+y? (x,у)—(0,0)Их+у
Функция f(z) непрерывна в точке Zo, если функции u(x, у) и v(x, у) непрерывны в этой точке
как функции двух действительных переменных. Функция / (2) называется непрерычной в области,
если она непрерывна в каждой точке этой области. Как и для функций действительных переменных,
для рассматриваемых функций справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения, отно-
шения непрерывных функций и сложной функции от непрерывных функций. Согласно этому
многочлен от 2 непрерывен во всей 2-плоскости, рациональная функция от z непрерывна в ее
области определения.
3.4.4. ВАЖНЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
3.4.4.1. Рациональные фуккции. Целые рациональные функции (многочлены пней степени):
e
(c, — комплексные коэффициенты, c,, 0). Миогочлен Р„(2) можно однозначно записать как
*) Рельеф многих функций приведен в книге: Е. Anke, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции.— М.: Наука, 1977.
474
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПВРЕМЕННОГО
произведение:
Ри(2)=Cm(Z—24)1(2—22)2...(2-2)%
k
где у Vp = т, следовательно, он имеет в качестве нулей 21,..., 2к С Кратностями Vj,..., Ук (основная
р=1
теорема алгебры).
О» (x)
Ри(2)`
определены для всех z, для которых Ри #0. Деление с остатком для неправильных дробно-рацио-
нальных функций (т < п) осуществляют так же, как и для функций действительного переменного.
Разложение на простейшие дроби правильных дробно-рациональных функций (т > п) имеет вид
Дробно-рациональные функции вводятся как отношение двух многочленов w=.
Они
к
Q,, (2) -)
Apr .
Ри(2)—
(2— 25)’
p=1 <=1
коэффициенты А or Находятся, как и в действительном случае. Важной рациональной функцией
а2 +6
является дробно-линейная функция w = ad (cm. 3.4.11).
|
2
3.4.4.2. Показательная и логарифмическая функции. Натуральная показательная функция —
показательная функция © основанием е:
Неа
АР
+24
eS OSE
OT Bp apt
— опрелелена во всей плоскости 2. Имеет место формула Эйлера
е?=cos2+isin2.
(3.82)
Из нее следует представление для e?:
e?=e*t”=e*(cosу+isinу).
С другой стороны, для любых 2; и 2) справедливы формулы:
2+2
2
2
gi 72 gl. 972
(теорема сложения для показательной функции);
Ве е* = е* созу, Ime*?=e*siny, |е#|=е“,
arg е* =у-+ 2nk
(К определяется условием —n <у + 2nk < 2).
Функция е* является периодической с периодом 21. Область значений И’ функции ©” охватывает
всю плоскость, кроме ее начала — точки О. Область однозначности функции е*” (см. 3.4.10.1)
Е = {2: —-п < т2 < п} есть вся плоскость, разрезанная вдоль отрицательной части действительной
Натуральный логарифм. Функция, обратная функции w = е* в области ее однозначности,
называется главной ветвью патурального логарифма:
Inz=|2]+Фор
п< фо <Х..
Другие ветви представляют собой обратные к e”? функции в полосах, которые получаются
из Е при помощи параллельного переноса. на 2kni (К = +1, +2,...).
Обратное отображение натуральной показательной функции во всей комплексной плоскости
обозначают Ln 2: если 2=|2|е' “87, то
Lnz=In|z]+iArgz при 220.
Таким образом, Ln 2 состоит из множества ветвей функции:
Lnz=In|z|+
@oi + 2kni, roe К =0, +1, +2,...
Пример 5. In(—1)=In| -1 [+ ai = ai,
Ln1=In|1|+2kxi=2kxi
(kA =0, £1, +2,...),
In(—i)=In| -i|—ni2 = —ni/2
Для натурального логарифма справедливы все формулы, которые имеют силу для действитель-
ных чисел, если только в этих формулах нужно использовать правильно выбранные ветви.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
475
Общая показательная функция есть многозначная фупкция, включающая в себя отдельные
ветви функции:
2 [па
и=а*=е
.
Главную ветвь получают, ‘когда берут главную ветвь Гл а.
3.4.4.3. Тригонометрические и гиперболические функции. Для любого =
.
23 23
|,.
тЫ
yee
cosz=1—-3- + у
= —-(e7+ 7 #)
23 25
shz=z+т+ete => -е”)
аа
+. as letter г)
Функции Sin 2, COS 2 имеют период 2n, а функции sh 2, chz имеют период 211.
Для любого 2 справедливы соотношения
siniz=ishz, cosiz=chz, shiz=isinz, chiz=cos 2.
В частности, отсюда вытекают формулы для действительного у:
sinyi=ishy, cos у/ = сВу, sh yi =isin у, ch vi = cos у.
Формулы, имеющие место для тригонометрических и гиперболических функций действительного
переменного (ср. 2.5.2.1), справедливы и для функций комплексного переменного. В частности,
вычисление sinz, с052, $12, СВ 2 при 2=х+йу производится согласно теоремам сложения лля
sin
(a + В), cos(a+В) ит. д.
Пример 6.cos(x+iy)=с0$xcosiy—sinxsiniy=cosxch y—isinxshу;следовательно,
Recosz=cos(Re2)ch(Im2), Imcos2=—sin(Rez)sh(Im2).
Функции tg z, ctgz, thz, cthz определяются формулами
sin z
COS 2
shz
chz
igz=——-_,_ ctgz=—
hz=——. cth z=--—.,
COS Z
sin z
chz
shz
Отображение у = зш 2 полосу Е = {2; —п/2 <Rez < п/2} плоскости 2 однозначно отображает
на комплексную плоскость у, разрезанную вдоль действительной оси от —© до —I1 и от I
до +00.
|
Отображение, обратное w=sinz в области Е, дает главную метвь Arcsin2, определенную
на комплексной числовой плоскости, разрезанной указанным способом.
Аналогично получаются. обратные функции для других тригономстрических и гиперболических
функций.
|
Эти отображения можно выразить через Ln при помощи следуюих формул:
Агсзш2=—ЕГа(1(2+И2?-1)), —АгзЬ2=Гл(2+И:?
+
1),
Arccos2 = —i Ln e+e
Arch2=Ln(2-И=?—1),
1
Arctg2=оin
Аве
А.
2 +2’
2 [1-2
i 2—1
1 2+1
А
t
=
—L
ы
=—-
—_——--:,
rcctg 2 +5 п,
Агс2м
Их г’лвные значения выражаются теми же формулами, только 1MecTO Ln подставляют ветвь
логари рма In, например:
|1
агсзш 2 = —iln(i(z+ // 22 —1)), arthz= 5 I) a7?)
В табл. 3.7 приведены выражения действительной и мнимоГг частей, модуля и аргумента
тригонометрических и гиперболических функций комплексного пер’ пенного 2 = x + iy.
476
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3.4.5.1. Производная. Функция w= f(z), определенная в окрестности точки Zo, называется
дифференцируемой в точке Zo, если существует предел
limо +Az)—Го).
Az +0.
Az
df (z)
dz |_.
..
~~0
Если функция f(z) дифференцируема в каждой точке 2 области С, то она называется дифферен-
df (2)a (геометрический смысл про-
2
Этот предел называется производной функции и = f(z) в точке 20; обозначение: / (Zo),
yupyemou в области С и ее производная обозначается и’, f’ (2),
изводной см. в 3.4.11.1).
Если функции f(z) и 9(2) дифференцируемы в С, то функции
1 (2) +9(2), S(2)-Gg(2, В (9 (2)# 0)
также дифференцируемы в С. Правила дифференцирования Te же, что и для функций действитель-
ного переменного (см. 3.1.5). Правило взятия производной для сложных функций также остается
неизменным.
Пример 7. Пусть w == (32 + 4)3, w=’, и = 32+ 4; тогда
dwdwdw
ee
ТЗ.
2
le ay dz 3.3=9(32+4)
для всех 2 на 2-плоскости.
3.4.5.2. Условия диффереяцируемости Коши — Римана. Функция / (2) = u(x, у) + п (х, у), определен-
чая в области С, дифференцируема в точке 2ЕС, если u(x, у), v(x, у) обладают в этой точке
непрерывными частными производными по x и по уи удовлетворяют условиям дифференцируемости
Коши — Римана (более точно: Даламбера — Эйлера)
ди ди
ди
dv
dx ду’ ду
дх`
Производную функции w по 2 вычисляют следующим образом:
dwдидOvдидиди494
—_—_—_ =
ммм
=—-—-|]—-=-
|
1
.
42дхOxoyдуOxдудубу
Пример 8. Функция и = / (2) =|2|? дифференцируема только в точке 2 =0: и = х? + y*, v=0, ul =2х, uy = 2y,
¢
v, = 0, и, =0. Частные производные непрерывны в точке (0, 0), и только там выполняются условия Коши — Римана.
Тогда
f’(0)=u’,0,0)+iv,(0,0)=0.
3.4.5.3. Аналитические функции. Однозначная функция / (2} называется аналитической (голоморф-
ной) или регулярной в точке 2 = Zp (соотв. 2 = 00), если она дифференцируема в некоторой окрест-
HOCTH 20 (соотв. если Е (2)= ] (1/2) аналитична в точке 2=0; тогда определяют /’ (0) =
= - (2?Р (2) |,=0).
Функция f(z) аналитична в 2=20 (соответ. 2 = 00) тогда и только тогда, когда ее можно
представить в некотором круге с центром в точке 2 (соотв. со) сходящимся степенным рядом
(соотв. рядом с неположительными степенями 2):
fe) = шеи” (coors, £(2)= 5. 27)
n=0
Функция называется аналитической в области С, если она аналитична в каждой точке этой
области.
|
Следовательно, функция / (2) = |2|? (см. пример 8) нигде не аналитична (хотя дифференцируема
при 2 = 0); в то же время легко доказать, что функции м = / (2)= 22 или и = {(2) =e? являются
`аналитическими на всей плоскости 2.
Точки, в которых / (2) является аналитической, называются регулярными (правильными). Если f (2)
аналитична в С, за исключением некоторых точек, то эти точки называют особыми. Точка 2ЕС
называется изолированной особой точкой. если вокруг нее можно описать круг, не содержащий
других особых точек. Элементарные функции (как алгебраические, так и трансцендентные) являются
аналитическими на плоскости 2, за исключением некоторых изолированных особых точек.
ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
4777
Свойства аналитических функций.
1) Во всех правильных точках аналитические функции имеют производные любого порядка.
2) Максимум значения модуля функции, аналитической в замкнутой области С, достигается
на границе области (принцип максимума).
3) Если функция аналитична во всей плоскости и ограничена, то эта функция постоянна
(теорема Лиувилля).
4) Две аналитические функции тождественны в области С, если они совпадают на какой-нибудь
ее подобласти (теорема единственности аналитических функций).
5) В области, где функция у = и + vi — аналитическая, функции и и г являются гармоническими
функциями, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, что следует из условий Коши — Римана. Зная
гармоническую функцию и, можно с точностью до аддитивной постоянной определить сопряженную
к ней гармоническую функцию и:
ди
,
ди9[ди
v(x,у)=|=dy+p(x), где g’(x)=—(=ta |7; )
Аналогично по о можно определить и.
3.4.6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
3.4.6.1. Интеграл функции комплексного переменного. Контурным интегралом фуикции w =f (2)
>
по дуге С = АВ {путь интегрирования) в плоскости Zz с начальной точкой интегрирования A(а)
и конечной точкой интегрирования В (5) пазывается комплексное число
at
|f(z)dz=
lim
у.f(С,)(>,—2y-1},
(3.83)
C
max |2,—2,-1|-—
О v=1
если этот предел существует и не зависит ни OT выбора точек разбиения а =: 20, Zip sey Spgs Zy = Ь
кривой С, ни от выбора промежуточных точек
С.Е 2,12, = С (рис. 3.83).
Для существования комплексного контурного
B=M,(Z,)
интеграла необходима ограниченность и доста-
У
М(Е
точна непрерывность функции f(z) на гладкой
No.(С.)
men
кривой С.
ee
AM,
Если в определении (3.83) разложить f(z) и 2
М; (2.)
на действительную и мнимую части, то очевидно,
чтG
Ла)ав= [uls,y)+v(x,y]d(x+iy)=
с
с
=[и(х,у)dx—v(x,у)Чу+ifv(x,у)dx+и(х,у)dy. 0
a
Тем самым свойства действительных криволиней-
Рис. 3.83.
ных интегралов переносятся на комплексные
контурные интегралы, как, например (см. 3.1.8):
1) [ f(zjdz= - [ 1 (2) dz, причем кривая в правом интеграле проходится or В к A.
АВ
ВА
|
2) [ /(2)42= [ f(zjdz+ | (2) 42, tae О - промежуточная точка кривой С между А (а) и
АВ
АБ
DB
В (b).
3) Если of €G, то в этом случае | Г (2) dz можно определить как несобственный интеграл.
Cc
4) Оценка интеграла: если на кривой С функция /] (2) ограничена: | f (z)| < М =const, To
If f(z)
42|<Ms,
С
—
где $ — длина дуги АВ кривой С.
Вычисление интеграла, если путь интегрирования определен параметрическим заданием
z=z(t) (я <t < В), причем 2 (а) =аи 2(В) =Б, осуществляется по формуле
В
|
В
РГ(2)42=ff(2(0)2Фа=[Ве[1(2(0)7]ФЕИ [Г(2)#0]4.
С
4
a
а
478
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.4.6.2. Независимость от пути интегрирования. Для того чтобы контурный интеграл от функции
комплексной переменной, определенной в некоторой односвязной области, не зависел от пути,
соединяющего две фиксированные точки а и b, необходимо и достаточно, чтобы функция была
аналитической в этой области, т.е. чтобы для нее удовлетворялись условия Коши — Римана. В этом
случае пишут
178 dz=|](2)dz.
Интегральная теорема Коши. Если f(z) аналитична в односвязной области С, то
интеграл
[Х(2)dz
С
зависит только от выбора точек а и Б кривой С, и не зависит от вида гладкой кривой С,
соединяющей аи b внутри С.
|
Интеграл по замкнутой кривой обозначают $ f(z) dz и называют интегралом по замкнутому
контуру. Интегральная теорема Коши для такого интеграла принимает вид: если f(z) аналитична
в односвязной области С, то для каждой замкнутой в С кривой имеет место соотношение
$7)&0
3.4.6.3. Неопреденные интегралы. Если в области С интеграл не зависит от пути | интегрирования
и начальная точка аеС фиксирована, а конечная точка пути интегрирования 2ЕС переменная, то
=
72) dz=F(2),
причем РЁ” (2)= / (2); функция F(z) называется первообразной аналитической функции / (2). Перво-
образная функция зависит от выбора начальной точки а. Две любые первообразные функции
отличаются друг от друга на аддитивную постоянную. Совокупность всех первообразных обозначают
ГУ(2)dz=Е(2)+С
(С — любая константа) и называют неопределенным интегралом от f (2).
Неопределенные интегралы от элементарных функций комплексного переменного вычисляются
по тем же формулам, что и интегралы ‘от тех же функций действительного переменного.
3.4.6.4. Осиовная формула интегральиого исчисления. Интеграл от функции f(z), аналитической
в С, равен приращению ее первообразной функции при переходе из начальной в конечную ‘точку
пути интегрирования:
|
[f(2)dz=F(b)—F(a)
3.4.6.5. Интегральные формулы Коши. Если функция / (2) — аналитическая в некоторой одпо-
связной области, то ее значение в любой точке 2 этой области, а также значения ее производных
любого порядка в этой точке выражаются через значения этой функции на замкнутом контуре С,
окружающем эту точку, следующими интегральными формулами Коши:
__ f©
и (го
Г)= =
I= Фе
С
(3.84)
,
so,,п!о,
f(z)=—x (6—
С 2)4,..oS (2)=
1Gat4,
где С — переменное интегрирования; интегралы вычисляются вдоль пути С, пробегаемого в поло-
жительном направлении (против часовой стрелки).
Если же функция f (2) —‘аналитическая во всей части плоскости, находящейся вне замкнутого
контура С, то значения / (2) и ее производные в любой точке 2 этой области выражаются при
помощи тех же формул (3.84), однако интегралы при этом вычисляются вдоль пути С, пробегаемого
в отрицательном направлении (по часовой: стрелке).
Иногда, чтобы подчеркнуть направление движения вдоль’контура интегрирования С, пользуются
‚следующими обозначениями: ф — против часовой стрелки, ф — по часовой стрелке.
С (о.
С.
Интегральные формулы Коши позволяют находить значения некоторых определенных ин-
тегралов.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
479.
‚Пример 9. Положим / (2) = е* (эта функция — аналитическая во всей плоскости) и в качестве пути интегрирования
возьмем окружность С с центром в точке. 2 и радиусом г: 6 =2-+ ге®). Тогда, согласно последней из формул (3.84),
имеем
|
|
2п
:
2n
>
+"
п! + birsimoxi
е*=
=
= cae. EP?
———
ztr cus otir sin p—ing
Ie_
woop2+1 dt = Scr
"+ 1019 (n+) Ire dp
nr”
e
dQ,
0
о
откуда, полагая 2 = 0, получаем, что
2
2nr”
г cos oti
(Г si
ny)
ох
.
.Г
ИН
.|
.
“hn C«d‘CSS ° meresdp=fе<%cos(rsinф—no)dp+i|в’*sin(rsinф—ng)46.
0
о
0
Так как мнимая часть равна нулю, TO получаем значения интегралов:
2n
» cos
2nr" о
e” &*®cos(гsinф—np)dp=Tr Гетеsin(rsin@—ng)dp=0.
!
5
о
3.4.7. РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В РЯД
/
с
3.4.7.1. Последовательности и ряды. Последовательности {a,} и ряды у а, для комплексных
n=1
чисел a, = a, + 8, (i= 1, 2, 3,...), а также понятие их сходимости формально определяются так же,
как и соответствующие понятия для действительных чисел (см. 3.1.3
— 3.1.14).
Последовательность а! = oa, + В,, а. = a2 +No.,.... a, =a, + No»... называют сходящейся, если
сходится каждая из последовательностей действительных чисел
A
Oy, Og, ..., бр» ...
к2Т ,
Bi, В», 759 В»,
8
/
Torna
°
8
/
_ Шо= Ша0+8)=ШЕШ,В,=а+ip=a.
wi/
пс
n> 00
>
р
Va
Пример 10.
/voME
lim V/a= jim ‚И 1а|jal (сз ®904 isin222.) |=
/ OLE oie
n—0
ae)
\.
UCTBU-
= lim Иа! cos Se +i wm Via\ sin <= 14+i-0=1,
0
\! Дейли,
noes
a
Puc. 3.84.
если a #0 M фо есть arg a (рис. 3.84).
Поэтому запись lim a, =a равнозначна TOMY, что для любой заданной =-окрестиости точки
no
а (см. 3.4.2.6) существует такое М (=), что все члены послеловательности a, с номерами н > М (=)
попадают в эту окрестность.
Последовательности {а„}, которые не являются сходящимися, называются расходящимися.
``Если комплексная числовая последовательность (как последовательность точек 2-плоскости)
такова, что вне любого сколь угодно большого круга этой плоскости нахолятся все точки этой
последовательности, за исключением конечного числа, то говорят, что последовательность стремится
к бесконечности: lim a, = ©0.
.
n— oo
Ряд
Ayча.+...+4,+...=(1+В) +(а+82)+...+(Oy+В,+...
называется сходящимся, если сходится каждый из рядов действительных чисел
Oj +2 +... ++... и В. +В +...+В +
Тогда
Та,=хх(a,+iB,)=+ YBa +i=S.
480
_ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
foe)
Поэтому запись )’ a, = S равнозначна (в случае сходимости) TOMY, что последовательность частич-
n=1
п
ных сумм {S,} = у с. является сходящейся. Тогда
v=1
lim S,= ¥ a,=S.
n>©
v=!
Пример 11.
р
ie
=
2
= pero
oy
й
в-!
ОЙ
(—1] Ув 2,4.
i+>tate:Der 2,Bert) 3эт=)amt1/2gE TEte!
n=1
n=1
(рис. 3.85).
со
1
Пример 12. Ряд 1 + а! +а? +... = ye = 1—2 сходится для всех а таких, что |а|< 1 (геометрическая
n=0
прогрессия). Сумму ряда в примере 11 можно очень быстро вычислить при помощи
9$$
этой формулы для а = i/2.
lS
>
y
в
(+5 §1
Понятия расходимости, абсолютной, условной и безусловной сходи-
м
мости рядов с компдексными членами формулируются так же, как и для
действительных рядов (см. 3.1.14); аналогично определяются и условия
is1213 .Pid
сходимости.
+
&%
и.
24 #7*
3.4.7.2. Функциональные ряды. Степенные ряды. Для последователь-
ности комплексных функций Д (2), Л» (2), ..., Л (2), ... в пересечении их
областей определения О = a Р; можно составить функциойальный ряд
Дейст@лтельноя 066
1=1
0
©
2
2) +... =
2).
3.85
Рис. 3.85.
Л(2)+Л2(2)+
dX Ia)
(
)
Все точки ze D, для которых ряд сходится, составляют область сходимости ряда, а предельная
функция F(z) называется суммой ряда:
ySn(2)=Е(2).
n=l
Степенные ряды представляют собой функциональные ряды вида
foe)
2Ch(z~a)";
(с, — комплексные постоянные). Если ряд сходится в некоторой точке 25а, TO либо OH абсо-
лютно сходится во всей комплексной плоскости 2, либо имеется такое число К > 0, что ряд абсо-
лютно сходится для всех 2 таких, что |2 -а| < В, и расходится для |2 —а|> В. На окружности
|2—а]| =ЕВ ряд может либо сходиться, либо расходиться и обладает по меньшей мере одной
особой точкой, т.е. точкой, в которой он расходится. Круг |2-а|< В называется кругом
сходимости ряда, а К — радиусом сходимости. Радиус сходимости может быть вычислеи по формуле
1
т
R=—, roe [= lim Ис, |.
[
n— 00
Если R=0, то ряд сходится только в точке 2=0; в случае R= +00 ряд всюду сходится.
п
Степенной ряд сходится всюду, когда lim И|с„| = 0.
nw CO
iis]
п
|"<
50
т
~
2
Например, для 2, niz” имеем R=0; для ae e? имеем R= +00; для рядов Уи
n=
п.
‚ П=О
n=0
a=]
имеемR=|.
Внутри круга сходимости степенной ряд представляет собой аналитическую функцию. Ее диф-
ференцирование (интегрирование) по 2 осуществляется путем почленного дифференцирования (ин-
тегрирования) соответствующего степенного ряда. Продифференцированный (проинтегрированный)
степенной ряд имеет тот же самый радиус сходимости, что и первоначальный ряд. Это свойство
можно использовать для разложения аналитических функций в степенные ряды.
РЯД ЛОРАНА
48]
Пример 13. Разложить функцию /(2) = arctg в степенной ряд в окрестности 2=0.
Используем геометрическую прогрессию (см. пример 12)
1
I
Г’ (2) = fee = TIA =[—2742z4-—...4(-1)"22
Почлеино интегрируя, получаем
2n+ ft
23 25
f (2) =arcetg z= z—- —+ —-...+(-1)"
—+...
3
5
2n+ |
Теорема единственности. Два степенных ряда >. Caz" И у с,2" с равными радиусами
n=0
n=0
сходимости, отличными OT нуля, совпадают (т. е. с, = C,), если для любой сходящейся последователь-
ности точек 2, они оба сходятся, и притом к одним и тем же значениям.
Сумму, разность и произведение сходящихся степенных рядов можно тоже представить в виде
степенного ряда, который сходится внутри общего круга сходимости исходных рядов. Если ряд
oe)
у
oe)
у с,2" имеет радиус сходимости R>O и co #0, то существует такой степенной ряд у a,z"
n=0
n=0
с радиусом сходимости, отличным OT нуля, что в некотором круге
с центром в 2=0
8
к
Преобразование степенных рядов. Если аналитическая
функция задана в виде степенного ряда, сходящегося в круге Kr:
Л(2)=>.C2",
Puc. 3.86.
n=0
то она может быть представлена в виде ряда по степеням 2-а в каждой точке а такой, что
oc
|a|<R. Тогда Л! (2) = > b,(z— a)". Радиус сходимости R, этого степенного ряда не меньше pac-
"=
стояния от а до границы круга К: В, > К — |а|. В случае равенства точка касания Р обоих кругов
(рис. 3.86) является особой точкой для f, (2). При В, > Е —|а| область сходимости f, (2) выходит
за пределы области сходимости f(z); тогда говорят, что Д (2) есть аналитическое продолжение
(2) (см. 3.4.9.1).
3.4.7.3. Ряд Тейлора. Если f (2) — аналитическая функция в круге К с центром в точке а (а # ©)
радиуса R > 0, то всегда существует степенной ряд р Си (2 — а)", сходящийся в круге К, (|2-—а|<
=0
< К, < К) к функции f(z). Коэффициенты ряда являются комплексными числами, определяемыми
) (a)
по формулам с, = Л — Тем самым в К, функция / (2) представляется в виде ряда
п!
L£@а
Г” (а)
Л (2)=f (@+—— 2+
(2а)+
йf(а)(2—a)"+
n!
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f (2) в окрестности К, точки 2 =a.
Пример 14. Разложить Ш (1 + 2) в ряд в окрестности точки 2 =0. Имеем
2?
In(1 =7—-——4 _
YK,
n(i+z)=z 5+3 4+
(сходится при | z| < 1).
Если функцию разложить в степенной ряд по степеням Z—a, TO на основании теоремы
единственности для степенных рядов он должен быть рядом Тейлора функции в окрестности точки а.
3.4.7.4. Ряд Лорана. Если f (2) — функция, аналитическая внутри некоторого кольца между двумя
концентрическими окружностями с центром а, 0 <г< |2 -а| < К, a¥ 0, то эта функция единствен-
ным образом может быть представлена в виде степенного ряда Лорана
со
1(2)=Уа(2-а+уb,(2-а) *
(3.86)
k
k=
482
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
коэффициенты которого вычисляются по следующим формулам:
1(sO ь-GGaOu
С
Oni ] (G— a)?’
С.
(С — произвольно выбранный замкнутый путь интегрирования внутри кольцевой области, по кото-
рому обходят точку а в положительном направлении (против часовой стрелки)).
Первый ряд в формуле (3.86) представляет собой обычный степенной ряд, который называется
регулярной частью ряда Лорана, а второй ряд называется главной частью ряда Лорана.
Формулу (3.86) можно записать в следующем виде:
р
1 ЛОa
fa=
Уое пеa=sOЕТ
С
(3.87)
4
3.4.7.5. Классификация особых точек. Понятия правильной, особой, изолированной, особой
точек даны в 3.4.5.3. Если функция / (2) — аналитическая в окрестности точки а (но не обя-
зательно в самой а), то характер точки а определяется разложением в ряд Лорана в окрестности
этой точки.
1) Если ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями (т.е. c, =0 при п< 0),
то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора: при этом функция / (2) — аналитическая также и в точке а
(если f (а) = со) или а является устранимой особой точкой (lim / (2) = co # / (а)). В последнем случае,
2 >2а
полагая f (a) = со, достигают того, что функция становится ‘аналитической в точке 2 = a (особенность
устранимая).
2) Если разложение в ряд Лорана содержит только конечное число членов с отрицательными
степенями (все с, =O при п<т<0ис, #0), то точка а называется полюсом т-го порядка функции
f(z); пишут: f (a) = oo.
3) Если (3.87) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями, TO а называется
существенно особой точкой функции / (2).
Пример 15. / (2) =е!? имеет существенно особую точку при z=0, так как разложение в ряд Лорана
в окрестности этой точки имеет вид
wop+||
_|
Роtaete=/я.
Пример 16. Функция f (2) = 12 — a)? имеет полюс 3-го порядка в точке 2 = а.
Пример 17. Функция
имеет полюс 1-го порядка в чочке 2 = 0.
9
Важнейшее свойство аналитических функций выражает
Теорема Пикара (большая). Если f(z) — однозначная аналитическая функция в окрест-
ности точки 2==а, являющейся для нее существенно особой точкой, то в каждой окрестности
точки 2 =а функция / (2) принимает любое конечное значение, за исключением, быть может, одного.
3.4.7.6. Поведение аналитических функций на бесконечности. Определение функции, аналитической
на бесконечности (2 = 00), дано в 3.4.5.3. Исследование поведения функции f (2) в окрестности точки
2 = 00 в общем случае сводится преобразованием 2 = 1/6 к изучению свойств в окрестности точки
С =0 комплексной плоскости функции Е (6) = f (1/0). Таким образом, выводы пп. 3.4.7.4, 3.4.7.5 могут
быть перенесены на случай 2 = 00.
Ряд Лорана функции / (2) в окрестности точки 2 = с формально имеет TOT же вид, что и при
разложении в окрестности точки 2 = 0:
toe)
(2)= У yz’,
(3.38)
К=-ю
однако при этом точка 2= с: 1) существенно особая, 2) регулярная или устранимая особая,
3) полюс порядка т — в зависимости от того, сколько имеется членов с положительными степенями 2
в разложении (3.88): 1) бесконечно много, 2) совсем нет, 3) конечное число.
Например, многочлен т-й степени обладает в точке 2 = © полюсом т-го порядка.
ТЕОРЕМА ВЫЧЕТОВ
483
3.4.8. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
3.4.8.1. Вычеты. Если аналитическая функция / (2) в точке 2 =а имеет изолированную особую
точку (см. 3.4.5.3), то коэффициент c_,; при степени (2 — a)! в ряде Лорана функции / (2) называют
вычетом аналитической функции f(z) относительно точки а и обозначают Res f(z) или Выч f (2).
.
а
а
Приa#©
1
Resf(2)=57фо dG=c-_y,
С
иприа=©
Res1(2)=57$04=—с-1,
С
причем С — любая замкнутая гладкая кривая Жордана, охватывающая ‘гочку 2 = а, которая обходится
против часовой стрелки в первом случае (а # 00) и в противоположном направлении во втором
(а = oo).
Если f(z) имеет в точке 2=ая ® полюсы т-го порядка, то разложение в ряд Лорана
имеет вид
oc
С-т+1
_С-1
..
k
f(z==ot aay! +...+т + ск(2—а)’,
(3.89)
k=0
и вычет можно вычислить следующим образом:
i
4"!
c_, =Res/(2)=————
lim ——— {(z -- a)" Г(2)\.
3.90
iz
Пример 18. f (2)= == имеет в точках 2 = + м простые полюсы. Согласно (3.90) имеем
e®
el?
_lim _iyaa
Ито——=,—
м7
ел
Res/(2)= Им E+ia)rer |=-5.
—ia
2ма
la
В случае устранимой особенности вычет при 25 со всегла равен нулю. Для бесконечно
удаленной точки это уже не так: например, / (2)= 1/2 обладает в точке 2= со устранимой
1
особенностью, в то время как Res — = —1.
©2
3.4.8.2. Теорема вычетов. Если / (2) — аналитическая функция в области С, за исключением
конечного числа точек ay, а2,.... а, и С — замкнутая кусочно гладкая кривая, охвагывающая
особые точки a, (i = 1,..., kK) и лежащая целиком в области С, то
k
FerPIM=)Res
Ti
i=
Для функции, аналитической всюду в замкнутой числовой плоскости, кроме конечного числа
особых точек, сумма вычетов во всех особых точках (включая точку 2 = oO) равна нулю.
Пусть f (2) — однозначная функция в области С, включая границу С (кусочно гладкую замкну-
тую кривую), и аналитическая, за исключением, быть может, конечного числа полюсов внутри G.
Если, кроме того, / (2) #0 при 2ЕС, а; — нули кратности ©; (i = 1,2,...,К),:В; — полюсы порядка В;
(1=1, 2,...., т) внутри С, то для любой функции 4(2), аналитической внутри области С и на ее
границе С, справедлива следующая формула:
а]ас=
>=arf 9-04 ) aug (ai)— У (b)
484
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В частности, при 4 (2) = 1
k
т
Е сло
$ FO ки )faw—e
i=1
k
m
(логарифмический вычет), где N = У а, — количество нулей (с учетом кратности) a P= ) B;—
i=1
i=1
количество полюсов (с учетом порядка} функции f (2) в области С, ограниченной контуром С.
3.4.8.3. Применение к вычислению определепиых интегралов. Теорема вычетов оказывается
особенно полезной для вычисления различных несобственных интегралов от функций действитель-
ного переменного.
Если / (2) — аналитическая функция во всей верхней полуплоскости Imz>0, за исключением
конечного числа особых точек 4, а.,...,а» Лежащих над действи-
тельной осью (рис. 3.87), и если 2 = © — по меньшей мере двукратная
нулевая точка / (2), то
9
7
UE
Yy Wy
Y
[ f(x)dx =2ni У Res f (2).
(3.91)
Yj
7
—©
v=1 а,
“ijl:
“it
0
т (Граница С области G, т.е. области Im 2 > 0, есть действительная ось.)
hao
. 3.87.
Ix
Рис. 3.87
Пример 19. Вычислить интеграл ЕЕ
Функция f (2)= or — аналитическая в области Ип 220, исключая точку &=ь и обладает в точке Z = 00
двойной нулевой точкой (2 = со есть устранимая особая точка). По формуле (3.90) имеем
Кез
lim a
jt+27plt?74gzti Qi
и согласно (3.91) получим, что
+o
dx
1
2—=п
|{+x?
ay,
3.4.9. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
3.4.9.1. Принции аналитического продолжения. Пусть f, (2), f2 (2) — функции, аналитические в G,, Go,
и пусть Л! (2) = fz (2) в С, [\ С) # Ф (рис. 3.88). Тогда говорят, что f; (2) аналитически продолэкается
в область С. при помощи f, (2) и, паоборот, Г. (2) аналитически продолжается в область С, при
помощи f; (2).
Согласно теореме единственности аналитических функций (см. 3.4.5.3) любая из функций /]! (2)
и /› (2) определяется другой однозначно. Следовательно, обе эти
функции можно воспринимать как элементы одной функции F (2),
которая является аналитической в С, J С..
@
Пример 20. Степенной ряд У 2" при |z| <1 определяет аналитическую
n=0
.
1
~
функцию { (=) = Tor В то время как степенпой ряд сходится только внутри
единичного круга. функния
определена в замкнутой области плоскости 2
{-2z
и является аналитической, исключая точку 2 = | — полюс 1-го порядка.
Рис. 3,88.
x
представляет собой аналитическое продбяжение у =" за единичный круг во всю комплексную
=
n=0
Тем самым
плоскость, за исключением точки = = |,
Если аналитическое продолжение существует, то оно может быть истолковано следующим
образом. Предположим, что аналитическая функция / представлена в некоторой точке Zo в виде
степенного ряда с кругом сходимости |2 —20| <г. Для каждой точки 2=2, внутри этого круга
значения / (z,), /' (21), ... известны и определяют разложение в ряд Тейлора в окрестности этой
точки. Новый степенной ряд сходится внутри круга |z—2z,|<r,, который может иметь часть,
лежащую вне первого круга. Тем самым мы получаем аналитическое продолжение функции / (2).
ОДНОЛИСТНЫЕ ФУНКЦИИ, ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
485
Этот процесс может быть продолжен; в результате образуется «цепочка» пересекающихся кругов
сходимости. Объединение этих кругов дает область С, в которой различные разложения в ряд
определяют аналитическую функцию F — аналитическое продолжение функции /, причем разложения
в окрестности некоторых точек ZEG рассматриваются как значения функции F(z) в этих точках 2.
Степенные ряды, представляющие таким образом аналитическую функцию Е в своих кругах
сходимости, называются элементами функции Е. Функция Е определена однозначно, если задан
каждый ее элемент.
Метод сцепленных кругов используется обычно вдоль какой-либо подходящей кривой, т.е.
центры кругов сходимости, начиная с начальной точки кривой, располагают на выбранной кривой.
Теорема о монодромии. Пусть функция /о — аналитическая в области Со и продолжается
вдоль произвольной непрерывной кривой в область С (Go< С). Если С односвязна, то в ней
существует аналитическое продолжение F функции fo.
Если при помощи метода сцепленных кругов, исходя из элемента fo (Zz) функции Р, (2), пере-
мещаясь вдоль замкнутой непрерывной кривой, возвращаются вновь в круг сходимости функции
fo (z) и полученное новое разложение /[, (2) определяет в этой области значения, отличные от
значений fo (2) в тех же точках, TO f,(z) представляет собой элемент другой функции Р. (2). В этом
случае Е, (2) и F(z) интерпретируются как различные ветви некоторой (неоднозначной) аналити-
ческой функции F (2).
3.4.9.2. Принцип симметрии (Шварца).
1) Принцип непрерывности. Пусть две односвязные области С; и G2 не имеют общих
точек, но их границы имеют общую часть Г. Если функции f, (2) uf, (2) аналитические соответственно
в областях G, и G2, непрерывны в объединении С, Ur и Г|)]С. соответственно и совпадают
во всех точках Г, т.е. [1 (2) = }› (2) при 2ЕГ, то функции f; (2) и Г, (2) являются аналитическими
продолжениями друг друга.
2) Принцип симметрии. Пусть функция и = f(z) аналитична в области С, граница
которой содержит дугу окружности или прямолинейный отрезок Г, причем м непрерывна на Г;
если точки м = f (2) для 2ЕГ также располагаются соответственно на некоторой дуге окружности
или прямолинейном отрезке Г*, то функция / (2) может быть аналитически продолжена в область
G*, симметричную относительно этой части границы; при этом значения f (2) в точках, симметричных
относительно Г, будут симметричны относительно Г*.
Если функция / (2), аналитическая в области С, имеет на части гладкой дуги нулевые значения,
то она является тождественным нулем. Таким образом, две функции, различные в некоторой
области С, не могут иметь совпадающие значения на какой-либо части гладкой дуги.
3.4.19. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Функции. обратные таким функциям, как е’, $12, которые многократио принимают одни
и те же значения при однократном изменении 2 в области опрсделения О. служат примером
многозначной зависимости (м = Ln 2, и = Arcsin 2).
Взаимно однозначное соответствие между D и областыо зпачений функпии И” обесисчивается
при наложении на подобные функциональные зависимости некоторых ограничений. Часто бывает
полезно представить многозначную функцию как однозначную, определенную на римановой поверх-
ности. Такая поверхность состоит из некоторого числа плоскостей 2. или «листов», соответствую-
щих ветвям функции f (2) и соединенных вдоль особых кривых, называемых разрезами (см. ниже).
3.4.10.1. Одиолистные функции, обратные функции. Однолистной областью Е называют область
регулярности функции f (2), в которой f (21)# / (22) при 2, # 22. Тогда f (2) называют однолистной
функцией в Е. При этом в Е выполнено неравенство /” (2) #0, f(z) имеет однозначную обратную
функцию z = 9(и), аналитическую в области образов В однолистной области Е плоскости и, и
ПИ1
—
Lg(%)]=Те
(иЕВ, 2=9(и)).
Производная w = и2"_' функции у =z" равна нулю при 2=0 и отлична от нуля при z¥ 0.
Следовательно, 2” в окрестности точки 2 =0 обращается неоднозначно. Именно, если радиус-вектор
,
7
2nk у
2nk у
2=|2|е*® (‹ = arg 2) заметает, например, одну из углообразных областей Е, : я <Ф< == + >
(k=0,1,...,2—1) плоскости 2, то соответствующий радиус-вектор w=|z|"e'"* заметает всю
плоскость W, за исключением отрицательной части действительной оси (ср. рис. 3.89, а, 3.89, 6).
Углы ф = 2 (20х) увеличиваются в п раз. Полному повороту радиус-вектора в плоскости 2
соответствуют п полных поворотов в плоскости и.
Каждая из областей Е, (К =0,1,....п-1) для w=2z" является однолистной областью и
отображается взаимно однозначно при помощи функции и = 2" на плоскость м, разрезанную вдоль
486
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7
отрицательной части действительной оси; обозначим эту плоскость B,. Она покрывается п раз
значениями функции w = 2", т.е. каждая E, отображается на В, точно один раз. Если' представить
себе В, (К=0,1,....п-1) как п экземпляров так называемых «листов», расположенных один
над другим, то функция w =z" теперь может быть однозначно обращена на каждом листе B,,
п
т.е. для каждой ветви 2 = Vw имеем
п
z=gy(и)=%(и)=И» п
главное значение Wo= агр у. Главное значение |/м называют главной ветвью 2о (у). Областями
определений (соответственно областями значений) ветвей 2 = 2, (и) являются В, (соответственно Ё»).
—
f
f
6)
Рис. 3.89.
Рис. 3.90.
i (фо + 2Ко/т
е0
(К =0, 1,...,п-1);
No
8
3.4.10.2. Риманова поверхность функции 2 =». Как объединяются п ветвей z,(w) в одну
функцию, как они связаны? Если независимое переменное и функции. И» в плоскости и обходит
точку и =0 по некоторой замкнутой кривой в направлении против часовой стрелки, начиная
с arg w = —л, то при каждом обходе этой точки Wo пробегает значения от —-п до +т; в силу того,
что —п <агв и = фи < +пи Агри = фо + 2kn, показатель К при каждом переходе через отрипатель-
у
w
п
i(Yo+2)
7
ную часть действительной оси возрастает Ha 1. Tak как z, (м) = Им е
‚ то такой переход м
через отрицательную часть действительной оси означает переход от ветви 2 (") к ветви Zz, 4, (м).
Итак, на этой оси n ветвей связаны циклическим переходом
(20122... Zn =12и = 20).
Это дает возможность представить функцию Им в плоскости w как бы состоящей из н листов
B, (ср. 3.4.10.1), расположенных друг над другом и разрезанных вдоль отрицательной части
действительной оси (подобно тому как рассматривалась плоскость 2). Для того чтобы объединить
отдельные листы B,, как области определения соответствующих ветвей z,(w), в одну связную
п
область определения функции Vw, соединим их друг с другом согласно циклическому переходу
ветвей 2, (и) вдоль лежащих друг над другом разрезов: граница разреза, относящаяся к верхней
полуплоскости (Im(w) > 0) листа В, (обозначается знаком +), «склеивается» с границей разреза,
относящейся к нижней полуплоскости (Im (w) < 0) (обозначается —) лежащего над ним листа Ви+1.
Последняя граница + листа В„_, соединяется с границей разреза — листа Во. Построенная таким
п
образом п-листная поверхность называется римановой поверхностью функции 2 = Ию (рис. 3.90).
Каждый лист В, взаимно однозначно соответствует однолистной области E,, и совокупность
р
значений Им однозначно отображается на соответствующую риманову поверхность.
Точки и =0 и и = © называются точками ветвления п — 1-го порядка функции И», так как
при n-pa30BomM обходе в одном и том же направлении вокруг этих точек мы снова возвращаемся
к первоначальной ветви (см. рис. 3.90).
3.4.10.3. Риманова поверхность функции 2 = Та w. Рассмотрение функций и = ¢’?, z= Lnw upo-
ведем по аналогии с функциями м = 2", 2 = И». В качестве однолистных областей функция обладает
бесконечным множеством полос 2kn + а < шт2<2(К+ ПИп+а (а — любая действительная постоян-
ная, К =0, +1, +2, ...), которые расположены параллельно действительной оси и имеют ширину 27.
Следовательно, каждая из них может быть однозначно обращена, в силу чего пояяляется бесконечно
много ветвей функции 2 = 2, = ш|и| + Г(уо + 2Кх) (главное значение Wo = arg м, К =0, +1, +2,...),
которые в качестве области определения имеют при а = —к плоскость и, разрезапную вдоль,
отрицательной части действительной оси. В связи с этим риманова поверхность для функции Ln w
“
nf
.
имеет строение, аналогичное строению римановой поверхности функции |/w, HO с бесконечным
числом листов.
ПОНЯТИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
487
При любом количестве обходов в одном направлении вокруг точки w =: © (и =: 2) исвозможно
вернуться к первоначальной ветви. Точки и =0 и им = © являются поэтому точками ветвления
бесконечного порядка, или так называемыми логарифмическими точками ветоления.
Пусть для функции w= f(z) в некоторой окрестности точки и = f(a) существуег обратная
функция 2 = (м). Тогда, если [g(w)]’ имеет в точке f(a) нуль кратности т или полюс порядка
т + 2, то 2 =а > о0 является точкой ветвления порядка т функции f (2).
1
р
Пример 21. Для функции Жуковского у =-х12+--] вышеуказанным методом находим в плоскости W точки
a
ne
ветвления W,,2= +1 1-го порядка. Функция w= И: имест в точке 2 = точку ветвления п -- 1-го порядка.
®
3.411. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3.4.11. Понятие конформного отображения. Отображение и = / (2) = u(x, у) + iv (x, у) с областью
определения D и областью значений W конформно в точке zéD, т.с. отображение w = { (2)
сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку 2, как по величине, так и по
ориентации, если в этой области функция f(z) аналитическая и /’ (2) 20 (рис. 3.91). Таким
образом, бесконечно малый треугольник в окрестности точки 2 отображается в подобный
треугольник в плоскости м, т.е. каждая сторона растягивается (или сжимается) в отношении
| Л’ (2)|: 1 и поворачивается на угол arg (f’ (2)) (рис. 3.92). В частности, каждое конформное отобра-
‘жение преобразует два семейства взаимно перпендикулярных координатных линий х =const и
у = const плоскости 2 в два семейства взаимно ортогональных кривых на плоскости w. Обратно,
||
4
и
у
ut_
1
a
aN
/
к
/
\
!и
\
iZen,|
\
4|
\
J
\
/
`
/
\
/
NL?
a
D4
0
0
и
0
70
U
a)/Inz
5)Пл.и
а) Пл?
8) Плиз
Рис. 3.91.
Рис. 3.92.
двум семействам координатных линий и = const и v = соп${ плоскости у соотвегствуюлт два семейства
взаимно ортогональных кривых на плоскости 2 Таким образом, при помощи аналитических
функций можно получить множество прямоугольных криволинейных систем координат. Рис. 3.93
=
dy
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
р
о
в
о
л
и
Т
Е
.
+
No
$
ы
я
[
|
&
а) Пл.2
6) Плш
Рис. 3.93.
показывает конформное отображение у =2?, причем линии х = соп${ и y=const переводятся
во взаимно ортогональные софокусные параболы. В точке 2 =0 конформность нарушается. Первый
координатный квадрант: переходит в верхнюю полуплоскость (контуры отображения отмечены
штриховкой).
Описанные выше отображения называют также конформными отображениями 1-го рода, в то
время как отображения, которые оставляют неизменной величину, но не ориентацию углов между
двумя кривыми (отображения с переворотом углов), называются конформными отображениями
2-го рода (например, w =2). Отображение м = / (2) называется конформным в точке 2 = CC, если
и = f (1/2) = Е (2) конформно в ‘окрестности точки 2 = 0.
488
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
пели meee еее не
и
ее воно а инк
Задача построения отображения, которое ставит в соответствие односвязной области С, одно-
связную область С., решается на основе теоремы Римана об отображении. Для каж-
How (открытой) односвязной области С в плоскости 2, кроме всей плоскости 2 и плоскости 2,
из которой удалена одна точка, существует конформное отображение w = f (2), которое устанавли-
вает взаимно однозначное соответствие между всеми точками области С и внутренними точками
единичного круга |w| < 1; при этом аналитическая функция определена единственным образом, если
задан образ точки 2, области С и угол поворота любой кривой, проходящей через эту точку, т.е.
f(Zo)=Woиargf’(Zo)=&,гдеWoи&—заданныевеличины.
взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость Imz>0O на единичный
Например, функция и = a
круг |w|< |, причем точка 2 =/ переходит в точку и = 0.
Однозначное конформное ‘отображение верхней полуплоскости Imz>0 на п-угольник (п > 3)
определяется так называемым интегралом Кристоффеля — Шварца
Zz
w=C, [(-а) 1
0
1
а
(Ша)". -а) dt+Co,
где внутренние углы ол, 0 <а, <2, п-угольника (i= 1, 2,..., п) должны удовлетворять дополни-
п
тельному условию }) a, =n —2; а, являются точками действительной оси, которые соответствуют
i=1
вершинам и-угольника; С, #0, С, являются комплексными числами, выбором которых можно
получить все многоугольники с и углами, подобные данному многоугольнику. Если одна из вершин,
например а„, отображается в точку и = ©, TO иитеграл приводится к виду
1
ю = С! (а)... (а| det Cy,
0
где С. и С. — постоянные параметры, а aj, а>,..., а,_-, — точки действительной оси.
Хорошо изучены многие функции, отображающие различные области на единичный круг или
верхнюю полуплоскость. Поэтому, когда ищут нужное отображение области С, на область Gp,
то находят аналитические функции f,(z) и /[. (2), которые однозначно отображают С, и С.
на единичный круг. Тогда функция д. (2), обратная к f,(z), отобра-
жает единичный круг однозначно на С., так что функция, состав-
ленная из f, (2) и 92 (2), дает искомое отображение С, на С..
Конформные отображения находят применение в электро-
технике, гидро- и аэродинамике и других областях приложения
математики.
3.4.11.2. Некоторые простые конформные отображения. На рисун-
ках даются графики сеток на плоскости (изотермические сетки),
которые преобразуются в декартову прямоугольную сетку Ha
плоскости w. Штриховкой на рисунках отмечены контуры тех
областей плоскости 2, которые отображаются на верхнюю полу-
‚плоскость м, а черным отмечена область, переходящая в квадрат
с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
а) Линейная функция w=az+b(a=|a|e% 20) определяет
конформное преобразование замкнутой плоскости 2 (рис. 3.94),
Преобразование может быть разложено на три: {Е = е?2 — поворот
плоскости на угол ф. 5 = rt — подобное растяжение в г = | а| раз, и = $ + b — параллельный сдвиг на 6.
В результате фигуры в плоскости 2 преобразуются в себе подобные, дополнительно поворачиваясь
b
O
O
х
х
<
363%
и сдвигаясь. Точки 2, =
И 2. = 50 переходят сами в себя.
1-а
1
6) Инверсия м = — (рис. 3.95). Точка 2=|2|е® переходит в точку w=
2
2
e~'® т.е. осуще-
ствляется инверсия относительно единичного круга и зеркальное отображение относительно дей-
ствительной оси. Внутренность единичного круга |z| <1 переводится во висллнюю часть круга
|w| <Ё, и наоборот, внешняя часть круга |2|<1-— во внутреннюю часть круга |»! < 1. Cama
окружность |2|=1 переходит в окружность |w|=1. Точки z=1 и z= -—1 остаются на месте.
Конформность нарушается в точке 2 = 0.
Это отображение имеет особое значение, так как оно дает возможность исследовать поведение
функций на бесконечности (см. 3.4.7.6).
|
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
489
az+b
cz+d
замкнутую плоскость 2 Ha плоскость w (рис. 3.96). Верно и обратное: каждая аналитическая функция,
которая отображает взаимно однозначно и конформно замкнутую плоскость на себя, является
дробно-линейной.
в) Дробно-линейная функция w=
(ad — bc #0, с = 0) однозначно и конформно отображает
1
Это преобразование можно разложить на три: {Е = с2 + 4 — линейная функция, $ = 77 инверсия
а be—ad-
7
7
ии=— +
—.5 — линейная функция. В результате дробно-линейная функция переводит круг
с
С
у
ьРАС
ОР
р
|
х
.
No>~S
.
Рис. 3.95.
l
e
m
O
y
$
)
Рис. 3.97.
p=
Pue. 3.98.
Рис. 3.99.
в круг (если считать прямые частным случаем окружности). Неподвижные точки этого отображения
а2 +В
с2+4`
г) Квадратичная функция w =z? отображает плоскость 2 на двойную плоскость у. Изотер-
мическая сетка плоскости 2 состоит из двух семейств гипербол: и =x? — у? и о=2ху (рис. 3.97).
Конформность нарушается при 2 = 0, точки 0 и 1 остаются на месте.
удовлетворяют уравнению 2 =
д) Две ветви функции и = И: отображают всю плоскость 2: 1) на верхнюю полуплоскость м;
2) на нижнюю полуплоскость w. Изотермическая сетка плоскости 2 состоит из двух семейств
софокусных парабол с фокусом в начале координат и с осями, направленными по положительному
и отрицательному направлениям действительной оси (рис. 3.98). Конформность нарушается при
2 =0, точки z=0 u 2 =1 остаются на месте.
|
e) Логарифм бесконечно многозначен. Для главной ветви функции w=Lnz (u=In{z| и
V = Фо + 2kx) вся плоскость 2 переходит в полосу —п <ь < +7 плоскости и. Изотермическая сетка
состоит из окружностей ш |2| = соп${ и лучей ф =const (рис. 3.99), т.е. является полярной сеткой,
4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
4.1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
4.1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
4.1.1.1. Алгебра логики (алгебра высказываний, логика высказываний). Под высказыванием
понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что
оно либо истинно, либо ложно. Таким образом, каждому высказыванию можно приписать истин-
ностное значение И (истина) или Л (ложь). Вместо этих символов часто употребляются числа | и 0
соответственно.
fIpumep 1. «5 есть простое число», «3 есть делитель 7», «3 + 5 = %. Здесь первое высказывание имеет истин-
ностное значение И, а два других
— истинностные значения Л. Уравнение «2+
х =4» не является высказыванием.
Однако всякий раз, придавая переменной x определепные числовые значения, будем получать высказывание.
Используя частицу «не», а также союзы «и», «или», «если... то..», «тогда и только тогда, когда»
ит. п., можно из одних высказываний строить другие, новые высказывания. Истинностные значения
новых высказываний определяются при этом только истинностными значениями входящих в них
высказываний. Построение из данных высказываний (или из ланного высказывания) нового выска-
зывания называется логической операцией. Знаки логических операций называются логическими
связками (или просто — связками). Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные
(бинарные), трехместные (тернарные) и т.д. В алгебре логики
логические операции чаще всего описываются при помощи
таблиц истинности. Для одноместной операции «отрицание»
A
neA
(или «ипверсия»), отвечающей связке «не», таблица истинности
выглядит так (см. табл. 4.1):
Отрицание высказывания А (т.е. не А) обозначается “| A,
0)
1
или A, или ~A и часто читается: «отрицание А» или «не А».
0
.
В табл: 4.2 привелены основные двухместные логические
операции (и логические связки). В 1-м столбце дается, как
правило, наиболее употребительное обозначение соответствую-
щей операции, во 2-м -- некоторые другие широко распространенные обозначения той же операции,
в 3-м — линейно упорядоченный набор истинностных значений, отвечающий этой операции (линейное
упорядочение выполнено так: если A, * A, — результат применения логической связки * к выска-
зываниям A, и Ay, то первый элемент набора есть истиниостное значение выражения 0*0, второй
элемент — истинностное значение для Ox 1, третий — для | *0 и четвертый — для | * 1). В 4-м столбце
таблицы помещены различные названия рассматриваемой операции (и связки), в 5-м указано, как
обычно читается выражение вида А, * Az, где A, и 4, — высказывания, а * — (условное) обозначение
рассматриваемой связки.
‘
Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозициопальной пере-
менной.
Основными символами алгебры высказываний являются:
а) пропозициональные переменные ру, P2, рз,...;
6) одноместная связка | и двухместные связки A, V, -, +»;
в) скобки ( ).
Пропозициональные переменные могут обозначаться и другими буквами, например: а, J, с, ...
Понятие формулы алгебры высказываний, или пропозициональной формулы, вводится по индукции:
-1) выражение, состоящев только из пропозициональной переменной, является пропозициональ-
ной формулой;
Габлица 4.1
АЛГЕБРА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
49]
Таблица 4.2
Набор истинностных
с
‘ue обозна-
м
ss
: 'тается выраже-
Обозначени Другие ЗНа- | значений, отвечаю-
Название логической операции
Как читается выр
логической чения логичес- | ий данной логи-
И СВЯЗКИ
ve, приведеннос в пер-
J
ой one
.
B
6uc
операции
к
рации ческой операции
ом столбц
А,&А,
0001
конъюнкция, логическое умноженис,
A,AA,
А, A,
логической «и»
A, иА,
min (A,, A,)
A,vA,
A,+A,
0111
дизъюнкция, логическое сложение,
A, или А,
max (A,, A,)
логическое «или»
А, >А,
А,2A,
1101
импликация, логическое слелованис|! ссли A,, то А,; A,
A, =A,
имплицирует A,; A, вле-
uct A,
A, +A,
0110
сумма по модулю 2, разделитель- | A, плюс A,; либо A,,
А, ФА,
A,v A,
ная Лизъюнкция, разделительное | либо A,
A, ЛА,
«или»
A, =A,
1001
эквиваленция, эквивалентность, рав- | A, тогда и только тог-
A,~A,
А,->А,
нозначность, тождественность
да, когда А’; A, экви-
А,<>А,
валентно A,
А, |А)
1110
штрих Шеффера, антиконъюнкция неверно, что A, и А.;
A, штрих Шеффера A,
А, ОА,
1000
стрелка Пирса, антидизыонкция, | ни A,, un A,; A,-crpesika
A,vA,
функция Вебба, функция Даггера | Пирса A,
2) если H, и Н) — пропозициональные формулы, то каждое из выражений “Ни, (Hy a Hy),
(H, УН)), (H, > A2) и (H, @A2) — пронозициональная формула:
3) последовательность основных символов только тогда является пропозициональной формулой,
когда она построена в соответствии с 1) и 2).
Пример 2. Выражения
H,=(р>p2)^(|Ps)
H2=((p, A lps) Vv lpi A P2))
являются пропозидиональными фор мулами.
Пропозициональная формула, начинающаяся со знака |, называется отрицанием. Пропозицио-
нальные формулы (H, лН)), (Hy УН)), (Н, > A2) и (НН) называются соответственно KONd-
юнкцией, дизьюнкцией, импликацией и эквиваленцией.
Как и в арифметических выражениях, устанавливаются определенные правила сокращения
записей пропозициональных формул:
а) вместо | пишут Я;
6) вместо H, A H, пишут Н.Н.:;
в) считается, что приоритет применения связок возрастает в слелующем порядке:
—>,Vv,A,|;
г) внешние скобки опускаются.
Пример 3.
(р; >р2)A’|ps3)=(р:—Pa)Ps, (рул |ps)Vv (prAp2))=раРзУPiP2.-
Сокращенная запись многократной конъюнкции и дизъюнкции. Пусть
Ни, Но, Нз, ... — пропозициональные формулы. Тогда
1
п+1
AH,=H,,AH;(
i=
i=1
A; A Huss),
1
i=1
i=l
i=l
1
п+1
п
УМН: =НЬ,
ун= (Умун,.
+IL
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 4.
4
4
Л Hy =(Н, ^Н)) л H3) л На) = Н,Н.НзНь
УН,=((Н,мН))уAs)уAg)=A,уН)уНьу На.
i=1
i=1
В алгебре логики широко используются алгебраический и функциональный языки. При алгеб-
раическом подходе логические операции интерпретируются как алгебраические, действующие на
множестве из двух элементов, например на множестве {0, [}. При функциональном подходе каждой
из основных логических операций сопоставляется определенная двузначная функция.
Функция f (хи, X2,..., X,), Y которой аргументы пробегают множество {0, 1} и которая на любом
наборе значений аргументов принимает значение из того же множества {0, 1}, называется функцией
алгебры логики или булевой фуикцией. Булеву функцию f (хи, х.,..., х,) можно задавать таблицей
(см. табл. 4.3). Здесь наборы значений аргументов расположены в порядке возрастания их номеров;
Таблица 4.3
ХХ)... Хи Xp
ЛО, May ees My Хи)
00...00
(0, 0, ...,0, 0)
00...01
J (0, 0, ...,0, 1)
00...10
7(0, 0, ...,1, 0)
00...11
/(0, 0, ....1, 1)
11... 10
Ла, 1....,1, 0)
ГЕ... dl
а... 0
сначала идет набор, представляющий собой двоичное разложение числа 0 (этот набор имеет
номер 0); затем идет набор, являющийся двоичным разложением числа | (набор, номер которого
есть 1); за ним следует набор, соответствующий числу 2, и т.д. Последний набор табл. 4.3
состоит из п единиц и является двоичным разложением числа 2" — |. Имея в виду такое стандарт-
ное расположение наборов, булеву функцию f (хи, х.,..., X,) иногда задают набором Woy... и,
в котором ©; представляет собой значение функции f (хи, X2,...,X,) на наборе с номером i
(§=0, 1,...,
2"—1).
Среди булевых функций особо выделяются так называемые элементарные булевы функции,
которые тесно связаны с основными логическими операциями (и связками)
— отрицанием, конъ-
юнкцией и др.
Двухместными элементарными булевыми функциями являются коньюнкция, дизъюнкция, импли-
кация, сумма по модулю 2, эквиваленция, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Каждая из перечисленных
функций обозначается и определяется так же, как логическая операция с соответствующим назва-
нием, приведенная в табл. 4.2. Отличие состоит только в том, что символы A, и A, рассматри-
ваемые в табл. 4.2, следует толковать теперь как булевы переменные (т. е. переменные, принимающие
значения из множества {0, 1}).
Одноместных булевых функций, зависящих от переменного х,— две: тождественная функция
@, (x) и отрицание x — функция @, (x) (см. табл. 4.4). Тождественная функция ф, (x) обычно
Таблица 4.4
х
9; (x)
P2 (x)
обозначается через х, а отрицание х — через |x или Х (ср. с логической операцией «отрицание»).
Обе одноместные булевы функции считаются элементарными.
Имеются две нуль-местные элементарные булевы функции — это константы 0 и 1.
Каждой пропозициональной формуле можно сопоставить по определенному правилу булеву
функцию:
1) пропозициональному переменному р, сопоставляется тождественная булева функция x;
(i=1, 2,...);
2) пусть пропозициональным формулам H, и Н› уже сопоставлены булевы функции ФН,
и Py, соответственно; тогда пропозициональной формуле |Н, сопоставляется булева функция ФН,
АЛГЕБРА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
493
пропозициональной формуле H, A H, (соответственно H, v H2, Н, > Hz, и Н, <>Н2) сопоставляется
булева функция Фн, `Фн, (соответственно Фи, У Фн,, PH, > OH, И OH, —>Фн,).
Булева функция ФН, сопоставляемая по описанному правилу пропозициональной формуле H,
называется функцией истинности формулы Н.
Пусть фн, — функция истинности формулы H; (i = 1, 2); пусть {x1, х2,..., Xn} — множество тех
переменных, которые встречаются хотя бы в одной из функций Oy, и Фн,. Пропозициональные
формулы H, и: A, называются эквивалентными (или равносильными), если на всяком наборе
(м1, &2,...,%,) значений переменных хи, X2,...,X, значения функций Фн, и Py, совпадают. Тот
факт, что пропозициональные формулы H, и Но. эквивалентны, обозначается так: Н, =H, (или
Н, = H,).
Приводимые ниже основные эквивалентности часто оказываются полезными при оперировании
с пропозициональными формулами и булевыми функциями.
Основные эквивалентности:
H =Н (правило снятия двойного отрицания);
H A Н=Н (идемпотентность конъюнкции);
H v H=H (идемпотентность дизъюнкции);
H, * H, = H,* H, (коммутативность связки *, где символ * является общим обозначением для
связок A, V, ©);
(H, * H,)* H; = H, *(Н› * H3) (ассоциативность связки *, где * — общее обозначение для связок
A, М, +5);
H, a (Н) у H3) =(Н, A A) v (Ay A Н)) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнк-
ции);
H, v (H, 0 H;) =(H, v A.) a (A, у A3) (листрибутивность дизъюнкции относительно конъюнк-
ции);
H, ^Н;) =Н, v A, и A, УН) =Н, A A, (правила де Моргана);
H, у (A; лН)) = A, и Ay A (A, УН)) = A, (правила поглощения);
H,м(НЙ,лН))=Н,vA,иA,A(A,VA.)=A,AAD;
A,+H,=H,VvНо;
H,oH,=4H,H, у Н.Н);
НН =Л (закон противоречия);
Ну Н=И (закон исключенного третьего);
Н.И =Н;
НУИ=И;
Н.Л =Л;
НУЛ =Н.
Замечание. Употребляемая в нескольких приведенных эквивалентностях буква И (соответ-
ственно буква Л) обозначает такую пропозициональную формулу, функция истинности которой
равна тождественно | (соответственно 0).
r
г
Пропозициональная формула Л pit (соответственно: VV Pit) где оке {0, 1}, Pr = Pi, ри = Pip
КЕ1
k=1
i, € {]1, ]2,...,Л} для всех k=1, 2, ...,r up) Ap; при mk, называется элементарной конъ-
юнкцией (соответственно элементарной дизъюнкцией) над множеством пропозициональных переменных
{Pi Pins +++» Ру} Число г (число букв в формуле) называется раигом элементарной конъюнкции
(соответственно элементарной дизъюнкции). Две элементарные конъюнкции (соответственно дизъ-
>
“
с:
юнкции) считаются различными, если хотя бы в одной из них найдется выражение р; ', не входящее
в другую.
Пример 5. Коныонкции р2Йз, p2, Ра, 2, Ра, P2P3 являются попарно различными элементарными конъюнкциями
над множествами пропозициональных переменных {p2, P3, Pa, Ре}, {Ра, P2» Р» Ра}, {Po Ps Ра} и т. д.
5
$
Пропозициональная формула V A; (соответственио УН i), в которой Н,,Н.,..., H, — по-
j=l
j=l
парно различные элементарные конъюнкции (соответственно дизъюнкции) над множеством перемен-
ных {Pi,> Pins +++ Pi} и, кроме того, ранг каждой конъюнкции Н; (соответственно дизъюнкции Н))
равен п, называется совершенной дизъюнктивной (соответственно коньюнктивной) нормальной формой
над множеством {Pi,> Ру»... Pi }. Две совершенные дизъюнктивные (соответственно конъюнктивные)
нормальные формы считаются одинаковыми, если совпадают множества элементарных конъюнкций
(соответственно дизъюнкций), входящих в эти формы.
Справедлива теорема. Любая пропозициональная формула Н (р: ри»... Pi )s в которую
входят только пропозициональные переменные ;,, Pj,,---» Pi, принадлежащие множеству {Pj
Ру»... Pj} либо эквивалентна Л (соответственно И), либо эквивалентна в точности одной совершен-
ной дизъюнктивной (соответственно конъюнктивной) нормальной форме над множеством переменных
{Pj,> Pjyr --.› P; }-
494
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 6. Пропозициональная формула H = р, > ps Vv paps эквивалентна совершенной дизъюнктивной нормаль-
ной форме p2P3 м рр» а также совершенной контъюнктивной нормальной форме (pz М р) (р. V рз). Над множеством
переменных {p2, рз, Ps} формула Н эквивалентна совершенной дизъюнктивной нормальной форме
P2P3Ps V PaP3Ps V P2P3Ps V P2PsPs
и совершенной копъюнктивной нормальной форме
(p2vPsVvPs)(р2VvрзVBs)(P2\PsМPs)(рэVPsVvPs).
Если в определении элементарной конъюнкции (дизъюнкции) заменить пропозициональные
формулы р! на булевы функции хр, то получится определение элементарной конъюнкции (дизъ-
юнкции) в классе булевых функций. Аналогичным образом можно получить для булевых функций
определения совершенных дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм.
Пусть f (хи, х2,..., х,) — булева функция, отличная OT тождественного 0. Тогда ее можно
представить в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, которая имеет вид
с
с
с
V
X1xX97 22. ха".
&G=(0,, O2,..., ба)
1 (6)=1
Здесь дизыонкция берется по всем таким наборам G = (01, 62,...,0,) значений переменных
Х1, Х2,..., Х» На которых функция f (x1, х2,..., X,) равна 1.
Если булева функция а(хи, х.,..., х,) не равна тождественно 1, то ее можно представить
в совершенной коньюнктивной нормальной форме, применив, например, следующий метод: сначала
строится совершенная дизъюнктивная нормальная форма для функции 0 (хи, х2,...,х„), а затем
отрицание полученной дизъюнктивной формы преобразуется с использованием правил де Моргана.
Пример 7. Импликация x, +x, равна | на паборах (0,0), (0. 1) и (1,1). Поэтому совершенная дизъюнктивная
нормальная форма для Hee имеет вид х7х2 м х?х V XIX} = ХХ) У Хиха У хах.. Совершенная дизъюнктивная нормальная
форма для отрицания импликации такова: хх). Значит, Xx, -+ х2 = Xy 7X = X1X2 =X, У х› — совершенная конъюнктив-
пая нормальпая форма функции х, — х›.
й
4.1.1.2. Предикаты. Применяемые в математике высказывания обычно представляют собой
описание свойств каких-либо математических объектов или описание отношений (взаимосвязей),
существующих между этими объектами. Для анализа закономерностей, присущих таким высказы-
ваниям, средств алгебры высказываний уже недостаточно. Возникает необходимость ввести понятие
«высказывательной функции», или предиката.
Множество рассматриваемых объектов | будем называть предметной областью (или множеством
индивидов), а элементы, принадлежащие множеству Г[,— индивидами.
Пример 8. / -- миожество всех действительных чисел и всех одноместных, всюду определенных действительных
функций лействительного переменного.
Знаки (символы) и последозательности знаков, которыми обозначают индивиды, называются
индивидиыми (или предметпыми) константами.
Замечанне. Очснь часто индивидные константы отождествляются с теми индивидами,
которые ими обозяачаются.
Пример 9. «Числовые» константы: 3; д; -у?; «функциональные» константы: In, sin, tg.
Индивидная (или предметная) переменная представляет собой знак, обозначающий произвольный
индивид из некоторого пепустого подмножества множества индивидов. Само же это подмножество
называется областью изменения данной переменной.
Пусть ay, а2,..., а, — индивиды из предметной области Г. Рассмотрим какое-либо высказывание
об этих индивидах и обозначим его через Р(ат, az, ..., а»). Если п = 1, To P(a,) выражает свойство
индивида d,. Если п> 2, то данное высказывание описывает некоторое отношение межлу индиви-
дами а|, 42, ..., а, (порядок следования индивидов существен!). Возьмем предмстные переменные
Х1, Х2,..., Ха (с областями изменения Г[1, [2,..., 1, соответственно; здесь Г, - подмножество мно-
жества [, К =|,2,..., п). Выражение P(x, х.,..., х,) представляет собой логическую функцию, или
предикат; при каждом замещепии предметных переменных xX,, X),..., х, Индивидами (из соответ-
ствующих множеств /,) оно становится высказыванием. Символ Р был использован здесь для
обозначения конкретного. индивидусльного преликата, т.е. в данном случае символ Р является
предикатной константой (лостоянным предикатным символом). Переменный предикатный символ
представляет собой знак (или послеловательность знаков), обозначающий произвольную предикатную
константу из некоторого (подходящего) множества предикатных констант. Если Р — переменный
предикатный симзол, то Р (xy, х›,..., х,) называется переменным предикатом (или просто — преди-
катом}. Предикат, завнсящий в точности от п различных предметных переменных, называется
п-местиым (или п-арным}. Высказывание можно толковать как нуль-местный предикат, т.е. как
предикат, не зависящий от предметных переменных. В случае бинарных предикатов вместо записи
Р (хи, х2) часто применяют запись х,Рх..
ПРЕДИКАТЫ
495
Пример 10. «х — четное число» — одноместный (упарный) предикат: «х есть делитель у» — двухместный (бинар-
ный) преликат. Оба предиката — индивидуальные.
Пусть P(x,, х2,...,
X,) — предикат, а y; — индивидная константа, или предметная переменная,
j=1,2,...,n; тогда выражение Р(у, y2,.-., Ya) называется элементарной формулой.
Пример 11. Рассмотрим бинарные инливидуальные предикаты х, > X2, х, | х2 и х. =х.. Символы >, | и =
означают, как обычно, «болыше», «есть делитель» и «равно». Выражения .х, > 3, 7 |5 и хз = хо являются элементарными
формулами.
С элементарными формулами можно оперировать так же, как с пропозициональными перемен-
ными: к ним применимы все операции алгебры высказываний. При помощи логических связок
из элементарных формул строятся новые, предикатные формулы. Сами элементарные формулы тоже
считаются предикатными.
°
Пример 12. | (715 лх> 3) и 1(3|9)у [(x=y) — предикатные формулы. Их можно «прочитать» следующим
образом: первую — «неверно, что 7 — делитель 5 и x болыше 3», вторую — «3 не делит 9» или «х не равно у».
Использование только элементарных формул и операций алгебры высказываний не дает
возможности преодолеть трудности, возникающие, например, при попытке сформулировать на фор-
мальном логико-математическом языке следующую теорему: «уравнение х + 3 = 8 имеет целочислен-
ное решение». В связи с этим в рассмотрение вводятся кваиторы. Чаще всего ограничиваются
только квантором общности (обозначение: У; читается: «для всех...») и квантором существования
(обозначение: 3; читается: «существует...»).
Расширим понятие предикатной формулы, Будем считать, что предикатные формулы строятся
из элементарных формул при помощи логических связок и кванторов всеобщности и существования.
Применение кванторов для построения формул осуществляется по следующей схеме.
Пусть Н — предикатная формула и х — предметная переменная, которая может и не входить
в формулу Н. Тогда выражения (УхН) и (3хН) считаются предикатными формулами (в этом случае
говорят, что Н есть область действия соответствующего квантора — Ух или Зх).
Приписывание спереди к предикатной формуле какого-либо квантора называется операцией
навешивания квантора (или связывания квантором).
Конкретное вхождение переменпой x в формулу Н называется связанным, если оно либо
непосредственно следует за каким-нибудь квантором, либо содержится в области действия некото-
рого квантора Ух или 3х. Если вхождение переменной в формулу не является связанным, то оно
называется свободным. Переменная, входящая в формулу Н, называется связаниой (свободной), если
в Н имеется связанное (свободное) вхождение этой переменной. Таким образом, переменная может
быть одновременно свободной и связанпой (в данной формуле).
Пример 13. Пусть Z — множество целых чисел. В предикатной формуле (Vx (xeZ — 2 | 2x)) A (x > 5) переменная x
является и связанной (три ее вхождения в первый член конъюнкции — связанные), и свободной (вхождение Xx
в формулу x > 5 - свободное). Областью действия квантора Vx является формула xEZ-»+2|2x. В формуле Зх (хе
EZ лх+3= 8), представляющей собой истинное высказывание, все три вхождения переменной x — связанные.
Предметные переменные, входящие в предикатные формулы, можно переименовывать в соот-
ветствии со следующими правилами.
Связанное переименование. Пусть х — связанная переменная в формуле Н. Произвольное вхож-
дение переменной х, непосредственно следующее за каким-либо квантором, и все вхождения х,
принадлежащие области действия рассматриваемого квантора, можно одновременно заменить на
любую переменную у, не входящую в формулу H.
Свободное переименование. Пусть х — свободная переменная в формуле Н. Все своболные
вхождения этой переменной в формуле Н можно одновременно заменить на любую переменную у,
не входящую в формулу Н.
Посредством связанного переименования любую исходную предикатную формулу можно пре-
образовать к такой предикатной формуле, которая не содержит ни одной предметной перемснной,
являющейся в одно и то же время связанной и свободной.
Пример 14. Формулу Зх (х > 1 > Ух (х > ул Ax (х | 10))) можно преобразовать к слелующим формулам:
Эх,(x,>1-х,(xy>ул Эх,(x2|10))), 4x,(x,>LoУх.(x2>yAЭх»(x2|19))),
Эх,(х,>1-Ух»(х2>ул Эх.(жа|19))).
Ограниченные кванторы. Часто при оперировании с кванторами удобно бывает рас-
сматривать только элементы некоторого заданного непустого множества М, т.с. использовать
конструкции вида: «для всех хЕ М...» и «существует хЕ М...» (символически их можно записать так:
«УхЕ М...» и «ЗхЕМ...»). Эти ограниченные кванторы следует интерпретировать только как сокра-
щение при записи формул, содержащих обычные средства выраженйя:
Vx € M (Н (х)) — сокращечие для формулы Ух (хЕМ ->Н (x)),
3хЕМ (Н (х)) — сокращение для формулы 4x (хеЕМ л Н(х)).
496
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Че
ааееевза:оеекнаселенеее
===...
-.
ae eee
tee eee =
fe nem
ee tetera
4.1.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
4.1.2.1. Множества, элементы. Под множеством понимают объединение в единое целое опре-
деленных вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами
образуемого ими множества. Если а — элемент множества М, то это обозначают так: аеМ
(читают: «а принадлежит М» или «а — элемент М»). Для обозначения того, что а не является
элементом множества М, применяют запись: а М (или аЕМ). Два множества А и В равны
(обозначение: А = В), если они содержат одни и те же элементы, т. е.
A= BeVx (xEAoxe B).
Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам этого множества.
Множество всех объектов, обладающих свойством H (x), обозначают через {х | Н (х)} или {x: Н (x)}.
Если в качестве свойства Н (х) выбрать какое-нибудь свойство, которым не обладает ни один
объект, например свойство x # x, то ни для какого объекта а не может выполняться соотношение
аЕ {х | Н (х)} и, следовательно, Va (а ¢ {x | H (х)}). Множество, не содержащее элементов, называется
пустым, и его обозначают символом ©.
4.1.2.2. Подмножества. Если все элементы множества А являются также элементами множества В,
то говорят, что А содержится (или включается) в В или что В содержит (или включает) А,
и обозначают это так: Ас В (или ВА). Если ACB, то множество А называется подмножеством
множества В; если к тому же A #B, то А называют собственным подмножеством множества В
и применяют запись Ас В. Отношения = и < между множествами называются соответственно
включением и собственным включением. Довольно часто, когда нет необходимости различать эти
два вида включений, применяют только обозначение <. Запись A ¢B (соответственно А ¢ В)
означает, что множество А не является подмножеством (соответственно собственным подмножеством)
множества В.
Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:
ACA, АА,
АВлВ<С-+А=С AGCBABCCHACC,
Между включением и равенством множеств существует связь, отраженная в следующем соотно-
шении:
A=BeACBaABCA.
Из этого выражения вытекает часто используемый метод доказательства равенства двух множеств:
чтобы доказать равенство множеств А и В, достаточно обосновать оба включения ACB u BCA.
4.1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
4.1.3.1. Объединение и пересечение множеств. Объединение А | )B множеств A и В представляет
собой множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.
Пересечение А (\B множеств A и В есть множество, которое состоит из элементов, принадлежащих
каждому из множеств А и В. Множества. А и В, имеющие пустое пересечение, т.е. A (\B =,
называется непересекающимися (или дизьонктными).
Для множеств A, В и С справедливы следующие соотношения:
АА=АГА=А, AUB=BUA АС]В=ВИА,
(AUBUC=AUBUO, (ANBNC=4ANBNO,
AUBNO=(AUBNAUO, ANBUO=NBUANO.
A\}(A(\B)=4, A(\(AUB)=4, А|]Ф=А Al(\OH=O,
A(\BSASA\)B, ASBOA\|JB=B,
ACBoA(\B=4, ASBSA\JCEBUC
ASB>A(\CEB(\C, ASCABSCCHA\JBEC,
ACBAASCHA SB(\C.
4.1.3.2. Разность, симметрическая разность, дополнение множеств. Разность А\В множеств A и В
(порядок множеств существен!) есть множество, состоящее из таких элементов множества А,
которые не принадлежат множеству В. Симметрическая разность A A В множеств А и В представ-
ляет собой множество, состоящее из элементов, принадлежащих в точности одному из множеств
АиВ,те. AAB=(A\B)
|) (B\A).
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
497
Если ACE, то дополиение СА множества А относительно Е определяется так:
СЕА = E\A.
Для множеств A, В и С справедливы следующие соотношения:
А\В< А, А\А=Ф, А\А\В) = АГ В,
AAB=BAA, AAB=(A\)B)\(A()\B),
A\(B\)C) =(A\B)(\(A\C), — A\(B()C) = (A\B) J (А\ С),
(AU ВАС = (А\С) (BIO, (AN) BNC =(А\С) ((В\С)
А\(В\С) = (А\В) |] (А Г) С), — (A\B)\C = A(BUO),
(A AB)AC=AA(BAC), A(\(BAC)=(A()B)
А(А [| С),
А=В->А\В=Ф A(\B=QeAB=A.
Если А и B— подмножества множества Е, то
A\)CgA=E, A (\CgA=@O, СЕЕ=Ф, CeO=E, СЕСЕА=А,
Ce (A|)B)=CgA(\CgB, Cg(A ГВ) = СЕА(]СЕВ, ASBOCEBCCEA.
4.1.3.3. Диаграммы Эйлера — Вениа. Для пояснения некоторых свойств операций над множествами
и различных соотношений между множествами можно использовать диаграммы Эйлера — Венна,
на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупностей точек
на плоскости (см. рис. 4.1 —4.7). Рис. 4.1 иллюстрирует соотношение В < А, на рис. 4.2, 4.3, 4.4, 4.5
oe) &
Pue. 4.1.
Pue. 4.2.
Рис. 4,3.
Рис. 4.4.
Рис. 4.7.
и 4.6 заштрихованные области изображают соответственно объединение А |) В, пересечение A [`\ В,
разность A\B, симметрическую разность А АВ и дополнение CfA. Заштрихованная на рис. 4.7
область соответствует множеству А [`\(В |) С). Этот рисунок может служить иллюстрацией к обосно-
ванию равенства А [`\(В |] С) = (А [| В) [] (А (С).
4.1.3.4. Декартово произведение множеств. Упорядоченной парой (а, Б) двух элементов а, b назы-
вается множество {{а}, {а, b}}. Для любых элементов a, b, с, 4 справедливо соотношение
(a, b) =(c, doa=cnb=d.
Если а = b, To (а, a) = {{a}, {a}}. В случае, когда элементы а
и
Ь
разные, (a, р) # (b, а). Упорядоченный
набор п элементов (а1,..., а,) определяется по индукции:
при п=2 (а:,..., а) есть (ay, a>);
при п>2 (а1,..., а,-1, а») есть ((Qy,..., Ay—1), Gn).
Справедливо соотношение
(а,..., Gn)= (by, ...., В.)oe ay = by A... ла, = D,,
Декартово произведение A x В двух множеств А и В есть множество всех упорядоченных пар
(а, 5), где aEА и DEB, т.е.
Ax
=
{(a, b)|aeA лЬЕВ}.
498
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Для множеств А, В, С, D выполняются следующие соотношения:
(А |] В) хСс=(Ах
С) (ВхС) (АГ СхсС=(АХ
С)[\(ВхO,
Ax(В|)С)=(АхВ)|](АхС), Ax(В(С)=(AxB)(\(AxС)
(AxВ)|)(Схр)=(А[]С)x(B\)D), (АxB)(\(CxD)=(A(\C)x(B()D),
AxB=QeA=QOvB=QO0, ASCABSD
AX BECxD.
Декартово произведение множеств некоммутативно и неассоциативно.
п
Дека тово произведение A, х...х A, п множеств
сокращенно записывается в виде xX А.
1
п
i
=1
ссть множество
{(ay, ..-, а.) |,@ Ay A... лаЕА,}.
n
Если A, =...=A,= A, то вместо Х A; употребляют запись A” и получающееся декартово произ-
i=1
ведение называют п-й декартовой степенью множества А.
4.1.3.5. Обобщенные объедниение и пересечение. Пусть К — некоторое множество, которое назовем
множеством индексов, и пусть для всякого КЕК A, есть подмножество множества А. Тогда
множество {A,|keK} называется семейством подмножеств множества А. Объединение семейства
подмножеств {A,|keK} есть множество {х|ЗК (КЕК лхЕА,)}; его обозначают так: |) A,
КЕК
(или J Ак). Пересечение семейства подмножеств вводят только для непустых семейств. Если К = @,
то пересечение семейства подмножеств {A,|keK} есть множество {х | УК (КЕК
> хЕА,)}; такое
пересечение обозначается через |) A, (или |) А+). Если семейство подмножеств обозначают одной
КЕК
К
буквой, например М, то объединение (пересечение) всех подмножеств этого семейства записывают
в виде |) М (соответственно [`) М).
Для семейств подмножеств М, М, которые при рассмотрении пересечения предполагаются
непустыми, справедливы следующие соотношения:
OMUNM=()DMUUM, ПМ =ПМООМ, мм =Юмо (м,
(мм =Пм) (См), Мем- |) м=() Мл Ом =пм.
Выпишем еще несколько соотношений, ИСПОЛЬЗУЯ первоначальные обозначения ДлЯ объединения
и пересечения семейств подмножеств. Пусть {A,|keK}, {В,|]Е Л} — семейства подмножеств и
С — множество. Тогда справедливы равенства:
СПU4=U(C4, CU1)=П(CUAd,
kek
КЕК
КЕК
КЕК
U Al) UB= |) (408) (AU) B= ПГ (4 UB):
КЕК
ЕЛ
(К, ЛЕКХ/
КЕК
jeJ
(k, ЛЕКХУЛ
эти равенства останутся верными, если всюду в них заменить знаки Г) и () на Х. Далее,
справедливы соотношения:
C\|]A=Г(КА, C\()А=U(C\Ad,
kek
kЕК
КЕК
КЕК
“AAC = A,\C),
A,\C = A,\C);
kk
ex|
)
fk
ek|No)
в частности, так как A, < А для всех КЕК, To
C4( |] Ак)= (\ (СААю, Cal () А)= U (СААЮ.
КЕК
КЕК
КЕК
КЕК
4.1.4. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
4.1.4.1. Отношения. п-местным (н-мерным) отношением R на непустом множестве А называется
подмножество множества А", т.е. Кс А". Если К — п-местное отношение на Аи (а1,...,
а) ЕВ,
то говорят, что отношение К выполняется для Элементов а!,..., а» и пишут Ra,...a,; если же
(1;...., а) К, то говорят, что отношение К не выполняется для элементов dy,...,a, В случае
двухместного (бинарного) отношения К вместо Ra,a, употребляют запись а! Вао.
ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
499
Для каждого непустого множества А легко указать два тривиальных п-местных отношения:
а) полное, или универсальное, отношение V, которое выполняется для любых п элементов
множества А;
6) пустое, или нулевое, отношение A, которое не выполняется ни для каких п элементов
множества А.
Если К — п-местное отношение на А и В — непустое подмножество множества A, то ограничение.
К на В (обозначается R|B) есть множество К (\B" и, следовательно, является п-местным OTHO-
шением на В.
Для отношений естественным образом можно ввести все те операции, которые были определены
для множеств. Например, если К и S — п-местные отношения Ha A, то объединение К |]$5 и пере-
сечение R()S этих отношений также являются п-местными отношениями (иногда объединение
отношений называют суммой, а пересечение — абсолютным произведением). Если К — п-местное
отношение на А, то его дополнение, рассматриваемое на множестве А", часто называют отрицанием
отношения В и обозначают через К.
|
Для бинарных отношений, играющих важную роль в математике, введен целый ряд
специальных понятий. Остановимся на некоторых из них.
Свойство
Характеризующее условие
Рефлексивность
Va (aRa)
Антирефлексивность
Va | (аВа)
(или иррефлексивность)
Транзитивность
VaVbVe (aRb л bRe > aRc)
Симметричность
VaVb (aRb — bRa)
Антисимметричность
VaVb(aRb a bRa-> a= b)
Асимметричность
VaVb (aRb > | bRa)
Линейность
VaVb(aRb v bRa)
Связность
VaVb(aRb v bRa уа=5)
Равенство третьему
| Уа\ЬУс (аВс л ЬВс > aRb)
Трихотомия
VaVb (aRb у bRa v a=b) a ~|((aRb л bRa) A(aRb 0 a=b) Aa
~
A(bRaла)=b))
|
Произведением R-S (относительным произведением) двух бинарных отношений К и 5, заданных
на множестве A, называется множество {(х, у) | 32 (2ЕА) A (x, ЕК л (2, у)ЕЗ}.
Обратным (инверсным, дуальным) отношением к отношению К, заданному на множестве А,
называется отношение R~', определяемое следующим образом:
К! = {(x, у)|(у, x)ER}.
Если В, S и T— бинарные отношения на A, то выполняются следующие равенства:
(R-S)-T=R-(S-T), (В|)5).Т=(В-Т)()(5-Т), (R(\S)- T=(R-T) (\(S- 7),
(R-S)'=S"'-RTM', (RUS '=RUUS', (05 t=R UNS.
Пусть Е — бинарное отношение на А. Тогда множество {x | Jy ((x, у) Е К)} называется прообразом
отношения К, а множество {у | 3x ((х, у)ЕК)} — образом отношения К.
Ниже дается перечень важных свойств бинарных отношений (здесь всюду К — бинарное
отношение на множестве А).
4.1.4.2. Отношение эквивалентности. Бинарное отношение называется отношением эквивалент-
ности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если К — отношение эквивалентности,
то вместо аКЬ пишут a~ pb (читается: а эквивалентно b относительно К). Если на А задано
отношение эквивалентности К, то элементы множества А можно разбить на попарно не пересекаю-
щиеся классы эквивалентных друг другу относительно К элементов. Эти классы называются
классами эквивалентности, а произвольный элемент класса называется его представителем. Если
а — какой-либо представитель некоторого класса эквивалентности, то этот класс обозначают [а]в.
Множество всех классов эквивалентности множества А относительно К называется фактор-мно-
жеством множества А относительно А и обозначается А/К.
500
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ
Пересечение отношений эквивалентности, заданных на множестве A, также является отношением
эквивалентности на А.
4.1.4.3. Отношение порядка. Бинарное отношение называется отношением нестрогого (строгого)
квазипорядка, если оно рефлексивно (соответственно антирефлексивно) и транзитивно. Вместо
термина квазипорядок часто используют другие термины: предпорядок, квазиупорядоченность, пред-
упорядочение. Квазипорядок R на множестве А называется направленным (или правонаправленным),
если для любых двух элементов a,beA найдется элемент CEA, удовлетворяющий условию
aRc л ЬКс; квазипорядок R на А называется обратно направленным (или левонаправленным), если
для всяких двух элементов а БеЕА существует элемент CEA, для которого справедлива конъ-
юнкция сКа a cRb.
Каждый нестрогий квазипорядок К на множестве А индуцирует отношение эквивалентности 5
на А:
aSbaaRb a bRa
(здесь a, be A).
Нестрогий (строгий) квазипорядок называется нестрогим (соответственно строгим) частичным
порядком, если он является антисимметричным (соответственно асимметричным) отношением.
Вместо термина частичный порядок используют также термины полуупорядоченность, частичная
упорядоченность, частичное упорядочение (а иногда — просто порядок, упорядочение).
Если К — нестрогий квазипорядок на А и $ — отношение эквивалентности на A, индуцированное
этим квазипорядком, то бинарное отношение К* на фактор-множестве A/S, определяемое COOTHO-
шепием
[45 R* [b]s + aRb,
является нестрогим частичным порядком на A/S.
Если К — нестрогий (строгий) частичный порядок, то вместо аКЬ пишут а < вЬ или a<b
(соответственно а < pb или а <) и говорят: «b больше (соответственно строго больше) а» или
«а меньше (соответственно строго меньше) 5». Если К — нестрогий частичный порядок на A, то
соотношение
|
a<x<beoa<pbaakb
(4.1)
(a, БЕ A) задает на А строгий частичный порядок. С другой стороны, если К — строгий частичный
порядок на A, то формула
ax<bea<pbva=b
(4.2)
(a, be A) определяет на А нестрогий частичный порядок.
Частичный порядок на конечном множестве иногда удобно бывает изображать в виде специаль-
ных диаграмм, которые называются диаграммами Хассе. Если К — частичный порядок на А, то
построение диаграммы Хассе для отношения К осуществляется следующим образом: элементы
множества А изображаются точками плоскости, и затем две произвольные различные точки a и ВБ
соединяются отрезком прямой или дугой, если аКЬ и Зх(хжалхяьлаКх A хВЬ). Для того
чтобы различать случаи аКЬ и bRa друг от друга, при выполнении соотношения аКЬ на отрезке
прямой или дуге, соединяющей точки а и b, рисуют стрелку,
направленную от а и b (или просто изображают точку Db выше
точки а или справа от нее).
a
р
д;
—.а
Пример 15. Пусть
~~” Ро
А={aj,а»,аъ,ач,as}
Ф
a;
24
И
К= {a,, ал), (a2, 42), (аз, аз), (а, аз), (аз, аз), (ал, аз), (ал, аз), (ал, аз), (ал, а5), (аз, а5), (аз, а5)}.
Рис. 4.8
Тогда К - нестрогий частичный порядок на А. Диаграмма Хассе для К
изображена на рис. 4.8 («большие» элементы нарисованы справа от «мень-
ших»).
Если на множестве А задан частичный порядок К, то оно называется частично упорядоченным.
Элемент ае А называется иепосредственно предшествующим элементу БЕА (и элемент b называется
непосредственно следующим за элементом а), если аВЬ л |Ax(x#aaAx#b лавВх A xRb). Два эле-
мента аи b множества A, частично упорядоченного отношением К, называются сравнимыми, если
aRb у bRa; в противном случае они называются несравнимыми.
Пусть множество А частично упорядочено отношением К. Элемент ae А называется минималь-
ным (максимальным) элементом множества А, если в А не существует элемента х, отличного от а
‘и удовлетворяющего условию хКа (соответственно аКх).
ОТОБРАЖЕНИЯ
501
Пусть В — подмножество множества А, частично упорядоченного отношением К. Верхней гранью
или мажорантой (соответственно нижней гранью или мипорантой) подмножества В в множестве A
называется всякий элемент хеA, удовлетворяющий условию Vy (уеВ -› уКх у у = x) (соответственно
Vy (уЕВ
> хКу v y=x)). Если у множества В существует хотя бы одна мажоранта (миноранта)
в A, то В называется ограниченным сверху (снизу) в А. Если само множество А обладает
мажорантой (минорантой), то она единственна и называется наибольшим (наименьшим) элементом
множества А. Наименьшая верхняя грань подмножества В, если она существует, называется точной
верхней гранью подмножества В и обозначается зир В (читается: супремум В). Аналогично, наиболь-
шая нижняя грань подмножества В, если она существует, называется точной нижней гранью
подмножества В и обозначается inf B (читается: инфимум В).
Элемент частично упорядоченного множества, не имеющий непосредственно предшествующих
элементов, называется предельным.
Множество A, частично упорядоченное отношением К, называется линейно (совершенно, просто)
упорядоченным (или цепью), если в нем сравнимы два любых различных элемента. Отношение К
в этом случае называется линейным (совершенным) порядком.
Линейно упорядоченное множество А называется вполне упорядоченным, если каждое непустое
его подмножество имеет минимальный элемент. Упорядочение множества А называется при этом
полным.
Частичный порядок К на множестве А называется индуктивным или правоиндуктивным
(соответственно левоиндуктивным), если относительно К всякая цепь множества А обладает точной
верхней (соответственно нижней) гранью.
Пример 16. 1) Всякое отношение эквивалентности является нестрогим частичным порядком. 2) Пусть М —
семейство подмножеств (некоторого множества) и К < — отношение включения на М, т. е.
Re = {(A,, A,)|A,;EeM A A,EM A A, СА, }.
Отношение Re является нестрогим частичным порядком. 3) Собственное включение Re на семействе подмножеств М
есть строгий частичный порядок. 4) Обычное отношение < является линейным (нестрогим) порядком в множестве 2,
целых чисел и полным упорядочением в множестве М натуральных чисел.
Слабый принцип максимальности Цорна. Если R — индуктивное упорядочение на множестве А,
то в А существует максимальный относительно К элемент.
Сильный принцип максимальности Цорна. Если К — частичный порядок на множестве А и любая
вполне упорядоченная (относительно К) цепь в А имеет верхнюю грань, то в А существует
максимальный (относительно К) элемент.
Оба эти принципа эквивалентны друг другу, а также следующим двум принципам.
Принципы максимальных цепей (Хаусдорф — Биркгоф).
|
1) В каждом частично упорядоченном множестве существует цепь, максимальная относительно
теоретико-множественного включения <.
2) Всякая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной
(относительно включения <) цепи этого множества.
4.1.4.4. Отображения. Отображением множества А во множество В (функцией на А со значе-
ниями в В) называется правило, по которому каждому элементу множества А сопоставляется один
или несколько элементов множества В. Для обозначения отображения ф множества А в множество В
используют запись ф: А-› В. Если хеЕА, то множество всех элементов из В, сопоставляемых при
отображении ф элементу x, обозначается через ф(х) и называется образом элемепта x. Образом
подмножества A, множества А при отображении ф (обозначение: ф(А!)) называется объединение
образов всех элементов х из А,. Образ всего множества A, т.е. @(A), называется областью
значений отображения ф. Если уеВ, то его полным прообразом при отображении ф (обозначение:
| (y)) называется множество всех элементов из A, которым при отображении ф сопоставляется
элемент у. Всякий элемент из ф_' (у) называется прообразом элемента у при отображении ф. Если
при отображении ф: А -› В каждому элементу из А сопоставляется в точности один элемент из В,
то отображение (функция) ф называется однозначным. Отображение, не являющееся однозначным,
называется многозначным. Если ф: А — В — однозначное отображение, то отображение ф_!: В-» А,
сопоставляющее каждому элементу уЕВ его прообраз ф_' (у), называется обратным (для отобра-
жения $). Отображение ~~! является, вообще говоря, частичным, т.е. не для всякого элемента из В
его образ при @~' есть непустое множество. Кроме того, отображение ~~! может быть и много-
значным.
Отображение ф: А >В можно толковать как отношение между множествами А и В, т.е.
отождествлять его с некоторым подмножеством М декартова произведения Ах В, называемым
графиком отображения ф и определяемым следующим образом:
М = {(x, y)|xeA луЕВ лф(х) =у}.
Однозначное отображение ф: А-+»В называется сюръективным (сюръекцией), если Фф(А)= В
(отображение «на»);
502
МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ.
инъективным (инъекцией), если образы различных элементов различны (отображение «в»).
биективным (биекцией, взаимно однозначным), если оно сюръективно и инъективно.
Пусть 9;: A> Bu o,: ВС — два отображения. Тогда отображение ф: А > С, сопоставляющее
произвольному элементу XEA элемент ф›(ф, (х))ЕС, называется суперпозицией (произведением,
композицией) отображений ©; и M2 и обозначается ф›оф/.
Через id, обозначается тождественное отображение множества А на него же, т.е. такое
отображение, которое каждому элементу из А сопоставляет этот же элемент.
Отображение ф: A— В является биекцией тогда и только тогда, когда существует отображение
\: B— A, удовлетворяющее условиям
Wog=idg и фу =idg.
Отображение ф: A > В являётся инъекцией тогда`и только тогда, когда существует отображение
у: Ф (4)> A, удовлетворяющее условию Wo @ = idy.
Отображение ф: А -›В является сюръекцией тогда и только тогда, когда существует отобра-
жение у: B— А, удовлетворяющее условию фо = 14.
4.1.4.5. Последовательности н семейства множеств. Конечные и бесконечные последовательности
можно толковать как функции (отображения): конечная последовательность, состоящая из т эле-
ментов,— последовательность а1, а, ..., ат — есть функция ф: {1, 2,..., т} — {а1, a2, ..., аш} такая, что
ФИ =a, (=1,2,..., т); бесконечная последовательность Qj, а2,..., аш... есть функция ~: N-
— {а1, Ao, ..., Amy ...} такая, что ф (i) =a, при всяком 1ЕМ (здесь М — множество натуральных чисел).
Семейство множеств тоже можно интерпретировать с использованием понятия функции. Пусть
J — множество индексов. Тогда функция ф: J+ М, значениями которой являются множества, есть
семейство множеств. Если ф — семейство множеств и для каждого jeJ имеем O(j)=A;, то это
семейство множеств обозначают часто так: (А}); с.
Пусть (А );ел- Семейство множеств. Функция ф: J—() А, такая, что Vj ЕЛ > — ( ЛЕА) назы-
J
вается функцией выбора для семейства (Aj); с у.
Множество всех функций выбора для семейства множеств (А;;- у есть декартово произведение
семейства (А):
x А,={9|ф—функция выбора для (Ajjest:
JE
Ясно, что если A; = Q при некотором jeJ, то Х A;=@Q. Обращением этого высказывания
jeJ
является следующий
Принцип выбора. Для каждого непустого семейства непустых множеств существует функция
выбора.
Этот принцип эквивалентен принципу максимальности Цорна.
4.1.4.6. Операции и алгебры. п-местная (п-арная) операция ® на множестве М (при п? 1) есть
однозначная функция из М" в М; при этом, вообще говоря, не предполагается, что функция ®
определена для всякого элемента множества М". Если операция @ не всюду определена на М",
то она называется п-местной частичной операцией. Под нуль-местной операцией на М понимают
выделение элемента из М. Если а!,..., а, — элементы из М, то результат применения операции w
к этим элементам, т.е. @ (а1,..., а,), часто записывают в следующем виде: фа, ...а,; при п=2
применяют также запись а! ®ао.
Пример 17. 1) Сложение действительных чисел есть двухместная операция в множестве К действительных чисел.
2) Деление действительных чисел -- двухместная частичная операция в К. 3) Выделение какого-либо элемента из К
(например, 1) есть нуль-местная операция в В.
Универсальной алгеброй (или, короче, алгеброй) называется пара (М; ©), где М - некоторое
непустое множество элементов и © — некоторое непустое множество операций, определенных на
множестве М. Множество М называется носителем или основным множеством алгебры. Если
некоторые из операций, входящих в множество 22, являются частичными, то алгебра называется
частичной. Очень часто вместо «алгебра <M; Q>» говорят просто «алгебра М».
Полугруппой называется алгебра <M; Т> с одной бинарной операцией Т, удовлетворяющей
ассоциативному закону:
каковы бы ни были элементы a, b, с из М,
(а ТБ) Те=аТ(ЬТ<).
Операция |, удовлетворяющая ассоциативному закону, называется ассоциативной. Группой
называется полугруппа, удовлетворяющая следующим условиям:
а) в М есть такой элемент е (левая единица), что для каждого элемента аеМ выполняется
равенство е Та=а;
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
503
6) для каждого элемента аеМ существует такой элемент Ь (называемый левым обратным
для а), что by7T a=e.
|
Группа <M;“~7> называется абелевой, если операция | коммутативна, т.е. для любых аи b
из М выполняется равенство а ТВ =Ь Та.
Кольцом называется алгебра <M; |, 1» с двумя бинарными операциями | и 1, удовлетворяю-
щими следующим условиям:
а) относительно операции | множество М образует абелеву группу;
6) справедливы дистрибутивные законы:
ар (ЬТ c)=(alb)T (alc), (b7Tc)La=(b1
a) 7 (cla)
для любых элементов a, b, с из М.
Операцию | часто называют сложением, а 1 — умножением. Нулевым элементом (нулем)
кольца называется такой элемент а, что а | b=bub]a=b для всякого БЕМ. Нулевой элемент
в кольце единствен.
Кольцо называется ассоциативным, если операция |. ассоциативна. Если операция | ассоциа-
тивна и коммутативна, то кольцо называется ассоциативно-коммутативным.
Если в кольце все отличные от нуля элементы образуют группу относительно операции (1,
то кольцо называется телом. Если операция | к тому же коммутативна, то тело называется полем.
4.1.5. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
4.1.5.1. Равномощиость. Два множества А и В называются равномощными (обозначение: А ~ В),
если существует биекция ©: А ~ В. Отношение равномощности, рассматриваемое на любой заданной
совокупности множеств, рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением
эквивалентности.
Множество А называется конечным, если существует такое натуральное число п, что
A~{k|keNak <n}, где М — множество натуральных чисел; при этом говорят, что множество А
имеет п элементов.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Каждое непустое подмножество конечного множества конечно. Множество всех подмножеств
конечного множества конечно.
Каждое множество, содержащее бесконечное подмножество, бесконечно. Множество всех под-
множеств бесконечного множества бесконечно.
Множество М натуральных чисел бесконечно; следовательно, бесконечны множества Z (множество целых чисел),
О (множество рациональных чисел), В (множество действительных чисел), С (множество комплексных чисел).
Каждое бесконечное множество имеет собственное подмножество, которому оно равномощно;
и наоборот, если множество равномощно своему собственному подмножеству, то оно бесконечно.
Никакое множество не является равномощным множеству всех своих подмножеств.
4.1.5.2. Счетные и несчетные множества. Множество А называется счетным, если OHO
конечно или равномощно множеству М. Множество А называется счетно бесконечным, если
А — М. Очень часто счетными называют именно счетно бесконечные множества.
Множество, не являющееся счетным, называют песчетным.
Каждое несчетное множество бесконечно; каждое бесконечное множество содержит счетно
бесконечное подмножество. Каждое непустое подмножество счетного множества счетно. Объединение
и непустое пересечение счетной совокупности счетных множеств — счетные множества.
Множества Z и О — счетно бесконечные.
Множества В и С — несчетные.
4.2. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.2.1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4.2.1.1. Основные поиятия. Величины, значения которых могут быть выражены только действи-
тельными числами, называются скалярами (например: масса, заряд, температура, работа и т. п.).
Величины же, значения которых определяются как размером, так и направлением в пространстве,
называются векторами (например, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и маг-
нитного полей и т. п.).
ИК
Геометрический вектор— это направленный отрезок в пространстве (обозначается: Р.Р.;
a, b, c, ...; а В 6 ...; P, - начальная точка, P, конечная точка, рис. 4.9). Длина вектора а
504
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
называется его модулем и обозначается |а|. Единичные векторы — это векторы, длина которых
равна единице. Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор а, обозначают ао.
Нулевой вектор 0 — 3TO вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен нулю,
направление неопределенное. Два вектора считаются равными, если равны их модули и совпадают
их направления (см. рис. 4.9). Векторы, которые получаются из данного вектора а путем параллель-
ного переноса (все векторы равны а), называют свободными векторами, порождаемыми вектором а.
Векторы, которые получаются из а путем параллельного переноса вдоль а (и лежат на одной
прямой), называются скользящими векторами, порождаемыми вектором а (рис. 4.10). Если вектор
A,
д
а
/
Le
A
A
b
a
a
Wa
„
а
a+b //
Puc. 4.9.
Puc. 4.10.
| Рис. 4.11.
Рис. 4.12.
C
BAD
A
E
Е
Рис. 4.13.
Рис. 4.14.
Рис. 4.15.
нельзя переносить по физическим причинам (постоянная точка приложения), то говорят о связанном
векторе.
4.2.1.2. Умножение на скаляр и сложение. Если о — действительное число и а- вектор, то
произведение &- а также есть вектор с длиной |“ | |а| и направлением, совпадающим с направлением
вектора а, при a>0O и с направлением, противоположным направлению вектора а, при a <0.
В частности, —а имеет длину, равную а, но противоположное направление (puc. 4.11), Векторы ao
и а коллинеарны, причем a=|alao. При a = 0 считается, что 0-a=0.
Сумма a+b двух векторов a, Ь получается следующим образом: а и b складываются при
помощи параллельного переноса, как показано на рис. 4.12; вектор а + b есть вектор, который имеет
начало, совпадающее с началом a, и конец, совпадающий с концом b (правило треугольника).
Вообще сумма а +No +... +е нескольких векторов а, В, ..., е определяется как вектор f, который
замыкает ломаную, составленную из а, b, ..., е (рис. 4.13).
Разность векторов а — Ь рассматривается как сумма аи —b (рис. 4.14).
Правила действий с векторами.
а+Ь=рР-+а,
а+(6+с)=(а+Ъ)+с,а(Ва)
=(а«В)а,(«+Ва=оа+Ва,а(а+b)=«a+ob,
| ма | =|“|.|а},
||а|-
|6 <|а+ь|<|а|+ |b}.
Под линейной комбинацией векторов а, b, ..., 4 с действительными коэффициентами а, B,..., 5
понимают вектор, имеющий вид
=ма+В+...+dd.
(4.3)
Два вектора a, b называются коллинеарными, если имеются такие действительные числа a, В, что
са + Bb = 0, причем а, В не равны одновременно нулю (геометрический смысл: прямые, проходящие
в направлениях a и Ь, параллельны). Три вектора а, Ь, с называются компланарными, если существуют
такие действительные числа а, В, у, что aa + ВБ + yc =O u a, В, у не являются одновременно нулями
(геометрический смысл: а, b, с параллельны одной плоскости). Если а, b не коллинеарны или а, b, с
не компланарны, то их называют линейно независимыми на плоскости или в пространстве. Два
ненулевых вектора a, b ортогональны (обозначение: al b), если они взаимно перпендикулярны.
Такие векторы всегда линейно независимы. Три попарно ортогональных ненулевых вектора a, b, с
также образуют: тройку линейно независимых векторов.
Координаты вектора. Если заданы три линейно независимых вектора е,, €2, €3, то каждый
вектор а можно. однозначно представить в виде (рис. 4.15)
a=a'e, + a’e, + а3ез.
(4.4)
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
505
а'*) называются аффинными (или контравариантными) координатами а относительно е|, €2, е.. Это
кратко будем записывать так: а = (a', a”, а3). Равные векторы, т. е. векторы, совпадающие при парал-
лельном переносе, обладают одинаковыми аффинными координатами. Если а = (а!, а?, a), b=
= (Ъ1, Ь?, b*), то справедливы следующие соотношения:
= (aa',
aa”, aa), а+Ъ= (а! +Ы, а? + b*, a® +Ь°3).
>
Векторы e;,€2,e€3 на рис. 4.15 образуют правую систему координат, потому что они имеют
такую же ориентацию, как большой, указательный и средний пальцы правой руки; в противном
случае говорят о левой системе координат.
Если, в частности, в качестве е!, е›, €3; выбирают правую систему из трех единичных векторов
i, j, К попарно перпендикулярных друг к другу (рис. 4.16), то
а=ал+a,j+ak;
(4.5)
а» Ay, а, называются прямоугольными декартфвыми координатами вектора а
Всли заданы два линейно независимых вектора е|, €2, лежащие в одной плоскости, то каждый
вектор а, лежащий в этой плоскости, можно однозначно представить в виде а = ale, + ae, (рис. 4.17).
Рис. 4.16.
Рис. 4.17.
Рис. 4.18.
Рис. 4.19.
Координаты точки. Поясним теперь связь между координатами вектора и координатами
точки. Если перенести, как на рис. 4.18, в постоянную точку О (начало координат) три единичных
вектора i, }, К, попарно перпендикулярных друг к другу, то получится прямоугольная декартова сис-
тема координат. Каждой точке М однозначно соответствует вектор г = OM, который называется
радиус-вектором точки М. Декартовы координаты вектора ОМ, отнесенные к i, j, К, называются
декартовыми координатами точки М. Определенные таким образом координаты соответствуют
декартовым координатам, введенным в 2.6.5.
Выбирая вместоi, j, К три любых линейно независимых вектора е|, €2, ез, получим косоугольную
систему координат. Аффинные координаты вектора ОМ называются координатами точки. М.
4.2.1.3. Умножение векторов. Скалярное произведение векторов а, b, обозначаемое ab, (а, b), (ab),
a-b, (a-b), есть число ab = |а||Ь | с0$ ф, где ф — угол между векторами а
и
b.
Под векторным произведением векторов a, b, обозначаемым а Xb, [a-b], [а, В], [ab], понимают
вектор с, имеющий длину |с | =|a x b| = |а| [В | sin » (площадь параллелограмма, построенного на a
и Ь как на сторонах) ‘и направленный перпендикулярно к a и b, причем так, что векторы
а, b, c=a x b образуют правую тройку векторов (рис. 4.19).
Свойства произведений.
1) ab = ba (коммутативность), но a X = — (b ха) (антикоммутативность);
2) (aa) b = a (ab) и (aa) x b = a (a x 5) (ассоциативность при умножении на действительное число);
3) a(b+c)=ab+ac иах (b+c)=ax b+a xc (дистрибутивность); :
4) ab =0; если а и Ъ перпендикулярны, ах Ъ = 0, если a и Ь коллинеарны;
5) аа =а? = |а|2, аха=0;
(4.6)
6) в общем случае a (be) 2 (ab)с;
7) линейные комбинации векторов можно перемножать, Kak скалярные многочлены, однако для
векторного произведения важна последовательность сомножителей.
Пример1.(За—2b)(2a+b)=6a?—а+3ab—2b?=6a?—ab—2b?,но(За—2b)x(2а+b)=6(axa)—4(Bxa)+
+3(axb)—2$xb)=4(axb)+3(ах!)=7(axD).
*) Поставленные вверху индексы не надо путать с показателем степени.
506
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Двойное векторное произведение a х (b X с) — вектор, компланарный векторам b
и
с, вычисляемый
по формуле
ах(bxc)=Ь (ac)—с(ab).
(4.7)
Вобщемслучаеax(bxc)2(axDb)хс.
Смешанное произведение (a x b)c есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему
параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с. Смешанное произведение положительно, если
а, b, с образуют правую систему; в противном случае оно отрицательно. Вместо (а x Б) с пишут также
(abc) или abc. Перестановка двух сомножителей в смешанном произведении abe меняет знак:
abe = —acb = —bac = —сБа; циклическая перестановка не меняет знака: abc = bea = cab. Три вектора
тогда и только тогда линейно независимы, когда абс 4 0. Кроме того, имеют место формулы
(a x b)(c x 4) = (ac) (bd) — (be) (ad) (тождество Лагранжа),
(4.8)
aeafag
(abe)(efg)= |be WYbg |.
(4.9)
cecfcg
Выражение произведений в прямоугольных декартовых координатах.
Если векторы а, b, с заданы в прямоугольных декартовых координатах:
a=ait+aj+ak, Б=ра+ь+ bX,
=с+c,j+ck,
то произведения вычисляются следующим образом.
Скалярное произведение:
ab=a,b,+a,b,+a,b,.
(4.10)
Векторное произведение:
ахь =(a,b,~a,b,)i+(a,b,=а,Ъ.)j+(a,by=ayb,)k= a,a
Смешанное произведение:
Выражение произведений в аффинных координатах. Если известны аффинные
координаты двух векторов а, b относительно линейно независимых векторов ег, е», ез, т. е.
а=а!е, +a’e,+a°e,, b=b'e, + Ь?е, + b*e3,
то для скалярного произведения
ab = a'b'e,e, + а26?ее, + а3БЗезе. + (ab? + a*b') e,e, + (а25? + а3Ь?) ее. + (a°b! + a'b*) езе1,
для векторного произведения
axb=(а2Ь3—a*b*)e,хе;+(a°b'—а1ЬЗ)е.хе,+(aib?—а?)е,хе..
Следует заметить, что е, хе, =е, хе, =е, хе. =0. Чтобы упростить эти формулы, вводят
так называемые метрические коэффициенты
Jij=Ce; (i,j=1,2,3), Gij=Ij
и взаимные векторы e', е?, e? по отношению к векторам ej, €2, ез:
е! =И`! (е, хе;), е2=1`! (ве. хе,), e=V te, хе_),
где V=e,e,e3. Если а, b разложить по взаимным векторам, то получим
a=a,e! + а2е? + азез, b=b,e! + Ьье? + БеЗ.
Коэффициенты разложения а,;, b; называются ковариантными координатами векторов а, b в противо-
положность контравариантным координатам a’, b'. Оба типа координат можно вычислить следующим
образом:
контравариантные координаты
:
3
.
а =a'e, + ae, + a°e;3,
а!=ае!, а?=ае?, а?=ае?;
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
507
~~
©
ковариантные координаты
а=aye’+а2е?+ase’,
а!’= ае, а.=ае», аз=ае..
Таким образом, получаем:
для скалярного произведения
3
ab=a,b}+a,b?+a,b°=a’b,+a*b,+a*b,=у д;
(4.11)
i, jal
для векторного произведения
е!e2ез
a x b = (e,e2€3) [(а253 — a*b?)e? + (a°b* — a'b*)e? + (ab? — a*b') e*] = (елегез) | a’ а? а? |;
i-
ыb2b3
для смешанного произведения
а!а?аз
(abc) = (e,e2e3) b} b? b3
сйс?сз
В случае прямоугольных декартовых координат, т.е. когда e, =i, e2 =}, e; =k, имеем e' =i,
е? =} е3 =k (взаимная система векторов и исходная совпадают). Следовательно, ковариантные
координаты идентичны контравариантным, т. е. a! = аи, а? = a2, a> = аз, и метрические коэффициенты
имеют простой вид g;; = 6,» где 5;; — так называемый символ Кронекера:
1 для i=j,
„=
Th 7 =1,2,3)..
(4.12)
Одляij
Формула (4.11) переходит. тогда в (4.10). Для трех единичных векторов e€;, €2, €3 (гравой системы),
попарно перпендикулярных, верны следующие таблицы произведений (например, e,e, = 0, е, хе, = e;):
e,
e,
e;
x
е,
e,
©;|
e,
1
0
0
e;
0
е;
—e,
e,
0
1
0
e,
—e;
0
е!
e,
0
0
1
e,
e,
—e
0
Скалярное произведение
Векторное произведение
4.2.1.4. Геометрические приложения векторной алгебры. Векторная алгебра позволяет просто
>
nz,
представить формулы аналитической геометрии. Пусть О — начало координат и г = OM —радиус-
вектор точки М (см. рис. 4.18).
В декартовых координатах
г=м+yj+2К.
"
Ниже приводятся формулы в векторной записи и в записи в декартовых координатах.
Уравнение прямой, проходящей через точку Мо (Xo, Yo, Zo) параллельно а (рис. 4.20):
r=го+fa,
—0<Е<+0,
=Хо+ta,, у=yo+fay, Z=20+ta.
Уравнение прямой, проходящей через две точки Mo (Xo, Yo, Zo) и My (хи, у1, 21) (рис. 4.20):
г=го + Ё(, — го),
—w<t<+0,
=Xott(X1—Xo), у=уо
+1 (, - Уо)) 2=Zo
tt (21 — 20).
508
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (Xo, yo, Zo) и перпендикулярной к вектору п
(рис. 4.21):
°
(г—го)п=0; (x—хо)п,+(07—Yo)п,+(2—Zo)п,=0.
(4.13)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки Мо (хо, Yo, 20), М! (хи, у1, 21) и М. (X2, Yo, 22):
Г=го+#1(fj—го)+te(2—го),
—<<, Е.<+0,
х=хо+ty(Х!—Хо)+tz(X2—Xo), у=уо+ty(У!—Yo)+&(V2—Yo);
=20+ty(21—Zo)+tz(22-Zo).
Если использовать (4.13), то надо положить п = (г, — го) х (Fz — го).
Рис. 4.20.
Рис. 4.21.
Расстояние между точками Мо (Xo, Yo, Zo) и М! (x4, у1, 21):
[ггго|=Ус,—хо)?+Wr=yo)?+(21—20)2.
Если рассматривать только точки М плоскости x, у, то радиус-вектор имеет вид г = xi + у]
и получаются следующие уравнения плоской геометрии.
Уравнение прямой, проходящей через точку Мо (хо, yo) перпендикулярно к п = п + n,j (рис. 4.22):
(г—го)п=0, (x—Xo)n,+(у-Yo)п,=9.
Расстояние между точками Мо (хо, Yo) и М, (хи, у!):
Iti—го|=Ис:—Хо)?+(V1—Yo)’.
4.2.2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Векторный анализ используется при исследовании векторных функций методами дифференци-
ального и интегрального исчисления. Он находит широкое применение в дифференциальной
геометрии и физике.
4.2.2.1. Векторные функции скалярного аргумента. Если каждому значению скалярного аргумента ¢
поставить в соответствие вектор r(t), то r(t) называется векторной функцией (вектор-функцией)
скалярного аргумента 1. Если r(t) (радиус-вектор) поместить в постоянную точку О, то конец
радиус-вектора r(t) опишет пространственную кривую, которую называют годографом векторной
функции (рис. 4.23).
Если 1 означает время, то r(t) описывает траекторию движения Мртериальной точки. Если г (t)
разложить по базисным векторам i, }, К прямоугольной декартовой сииемы координат, то
г(В=х +у+20,
причем компоненты x(t), y(t), z(t) являются функциями от : Параметрическое представление
пространственной кривой (годографа) или траектории движения имеет вид
х=х( ve=yp(t), <c=2z(t).
_ Предел и непрерывность. Если а” = аФе, + ae, + ae, (еее. — базис) — последова-
тельность векторов, то вектор a = аце, + а2е) + азез называется предельным вектором этой после-
довательности (обозначается lim a” = а), если аа = lim а", i=1, 2, 3.
п>с
n>©
Вектор a = aye; + а2е. + азез называется пределом векторной функции г (t) =т, (Це, + г. (Ве. +
+ *з (Кез при t— 5 (обозначается: lim г(1), если lim |r(t)—a|=0. Это равнозначно тому, что
>о
t— fo
lim и; (t) =a; (i= 1, 2, 3). В частности, г (В) называется непрерывной в точке to, если lim r(t) =r (fo),
t— to
tto
что эквивалентно непрерывности компонент 1; (t) в точке fo.
509
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Дифференцирование векторной функции. Если существует предел
dr im r(¢+At)—r(t) _ Е
dt <At30
At
~ Apoo ДЕ’
dr
.
.
.
то —— называется производной oT r(t) в точке Е (рис. 4.24). В другой записи: r’(t) или F (t).
Рис. 4.23.
Рис. 4.24.
В декартовой системе координат: fr’ (t) =x’ (t)i+ y’ (t)j +2’ (К. Вектор r’(t) имеет направление
касательной к годографу в точке Е при возрастающих значениях параметра Е. Длина г’ (1) зависит
от выбора параметра 1. Если Е есть длина дуги, то |= 1.
Координатная формула в прямоугольных
Название
Векторная формула
декартовых координатах
Длина вектора а
[а|=Иа?
|а|=Иа?+а2+a2
ауа,|? |a,a,|? |a,а,|?
Площадь параллелограмма, по-
S=|axb|
$=
|
строенного на векторах a и b
by 6,
b, by
by by
а;а,a,
Объем параллелепипеда, постро-
V=|Ь,byЬ,
енного на векторах a, b, с
V= abe
CyCyCz
(с учетом знака)
Угол между векторами. аи b
cosф= ab
cos@=
a,b, + ayby + a,b,
|a||b|
Va?+a2+a2У?+b2+B?
Если { означает время, a f(t) — траекторию движения материальной точки, то Г (t) — вектор
скорости, |r’ (1) | — величина скорости.
Правила дифференцирования.
dry + dr»
dt dt’
d
a +г2)=
а
dp
dr
a (99) = a +@ Tr (ф (t) — скалярная функция OT 2),
а
dr;
dr
дриз)=Tn12г,Th
d
dr;
dr,
a” хг>) = Tt хг. + г, X a (множители нельзя менять местами),
d
dr do
a (9(t))=do.an
Если r(t)— единичный вектор, то годограф лежит на единичной сфере и касательная всегда
г
перпендикулярна к радиус-вектору, т. е. г a 0.
510
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Производные высших порядков. Рассматривая г’ (1) при переменном f как векторную
г
..
функцию, производную от r’ (t) обозначают через Te” или г” (г), или Г (1. В декартовых координатах:
г’ (д =х” (дачу (07+ 2" Ок.
Если r(t) описывает движение материальной точки, то г” (t) — вектор ускорения, |r” (t) | — вели-
чина ускорения. Аналогично определяются третья, четвертая, п-я производные.
Разложение по формуле Тейлора имеет вид
h
h2
h"
ге)=гОчsrO+ Ot...+т В+
Это не что иное, как векторная сумма разложений по формуле Тейлора для функций x (t + h),
y(t +h), z(t +A).
Остаточный член имеет вид
n+1
В,+1=(n+It[xeFP(t+OA)i+yor?(t+0,1)у+27)(+051)К],
причем 0< 6,< 1.
Дифференциал функции г(#) определяется формулой
Векторные функции скалярного аргумента находят приложение в теории кривых и в механике
точки.
4.2.2.2. Поля (скалярные и векторные). Если каждой точке пространства М ставится в соответствие
скалярная величина U, то возникает скалярное поле U (М) (например, поля температуры, плотности
в неоднородной среде, электрического напряжения, потенциал силового поля). Если М имеет декар-
товы координаты (x, у, 2), то пишут также U = U (x, у, 2) или U = (0 (тг) с векторным аргументом
(радиус-вектором г = ОМ = xi + yj + zk).
Некоторые скалярные поля. а) Плоское поле
-30
>
ии *)
о
(Ц, не зависит от 2).
р"
6) Центральное поле (сферическое поле)
U=U(\/x?+у?
+
22)
15
(О зависит только от расстояния точки от начала координат).
Puc. 4.25.
в) Осевое поле (цилиндрическое поле)
U=U(/x?+у?)
(U зависит только от расстояния точки от оси 2).
Свойства скалярных полей можно наглядно изучить при помощи поверхностей уровня. Это
поверхности в пространстве, на которых U обладает постоянным значением. Они описываются
уравнением U (x, у, 2) = соп$. В центральном поле все поверхности сфер с центром в начале коор-
динат являются поверхностями уровня. В осевом (цилиндрическом) поле все поверхности круговых
цилиндров с общей осью образуют поверхности уровня. В плоском скалярном поле линиями уровня
называют кривые, на которых И остается постоянным. Они описываются уравнениями U (x, у) =
= const. На рисунках принято наносить только линии уровня, которые соответствуют определенным
значениям И, следующим друг за другом через равные интервалы (например, U = 10,: 15, 20, 25, 30,
рис. 4.25). Чем ближе друг к другу начерчены линии уровня, тем быстрее растет И. Вспомним
о горизонталях на географических картах.
В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня—
в точки и линии.
*) Иногда плоским полем называют поле, определенное для точек пространства и обладающее тем свойством, что
для всех точек любой прямой, параллельной некоторому постоянному направлению, функция И имеет одно и то же
значение. Такое поле правильнее называть плоскопараллельзым; его изучение сводится к изучению поля в плоскости,
перпендикулярной к этому направлению.
MOA:
511
Пример2(рис.4.26).a) U=xy;6)U=y/x?;в)U=p?;г) U=Ир,p=Их?
+
у?.
Векторные поля. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие вектор У,
то. говорят о векторном поле У(М) (например, поле скоростей частиц движущейся жидкости,
силовое поле Солнца, поле электрической напряженности, поле магнитной напряженности, рис. 4.27).
4
|
/a
Г]
(11
4
9
-! -234 _yse
6)
Yh
WN
dh
7
Sk
Вх
[
ary
No
0
|
1
т
|Ss
Г.Я О—
Г.
6)
2)
Рис. 4.26.
Рис. 4.27.
Kak и при скалярных полях, в декартовых координатах записывают: У = V (x, у, 2) или
У =У (r) (r — радиус-вектор). Векторное поле можно записать в декартовых координатах в следующем
виде: V(x, у, 2) = V(x, у, 21+ И, (> у, 2] +И,(х, у, 2)К. Компоненты V,, Г, И, образуют три
скалярных поля и однозначно определяют У(г) — векторную функцию векторного аргумента.
Р
а
a
w
,
~
\
\
2
/
7
i
!
0
L
Рис. 4.28.
Рис. 4.29.
Некоторые векторные поля. a) Плоское векторное поле У = V(x, у), Г, = 0 (У не зависит
OT 2, векторы V(x, у) лежат в (x, у)-плоскости или в плоскости, параллельной этой плоскости,
рис. 4.28).
/
..
6) Сферическое векторное поле V=P(p)r, р=| x? + у? + 22, г = м + yj + zk. Если ввести в рас-
смотрение сферу радиуса р с центром в начале координат, то вектор V(r) в каждой точке сферы
имеег одну и ту же длину и параллелен нормали сферы в этой точке, рис. 4.29.
в) Цилиндрическое векторное поле У = Ф (р) г*, р = Их? + у2, *=2м+ yj. Если ввести в рас-
смотрение круговой цилиндр с осью 2, радиуса р, то в каждой точке поверхности конуса вектор У
имеет одну и ту же длину и параллелен нормали к поверхности конуса (рис. 4.30).
512
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
тзтс
уз
Важным частным случаем центрального поля является силовое поле Солнца У = —y
(у — гравитационная постоянная, тз — масса Земли, тс — масса Солнца).
Для наглядного представления векторных полей используют линии тока. Это кривые, в каждой
точке которых вектор поля У (М) есть касательный вектор (см. рис. 4.27).
Через каждую точку М поля проходит одна линия тока. За исключением точек, в которых
поле У (М) не определено либо V(M)=0, линии тока никогда не пересекаются. В сферическом
векторном поле все прямые, проходящие через начало координат, являются линиями тока;
т
у
4
[
и
t
r
#
7
.
\
\
r
y
S
E
|
i
n
Рис. 4.30.
Рис. 4.31.
Рис. 4.32,
в цилиндрическом векторном поле все прямые, которые пересекают ось 2 перпендикулярно,
являются линиями тока. В декартовых координатах дифференциальное уравнение линий тока
имеет вид
dx
dy
dz
GH И (O92)
=Vy=Vo
где { — параметр линий тока.
Для плоского поля третье уравнение отпадает. Если линии тока записать в виде y= y(x), то
Чу_И,(х,у)
dx У, (x, у).
Цилиндрические координаты. Для решения многих задач часто рекомендуется
использование цилиндрических координат р, Ф, 2 (см. 2.6.5), которые связаны с прямоугольными декар-
товыми координатами следующим образом: х =рс0$ ф, у=рзш ф, 2 = 2.
Координатные линии:
ф< =const, z=const, р — переменное (прямые, проходящие через ось 2, параллельны (x, y)-
плоскости); 2 = const, р = соп$ ф — переменное (окружности с центром на оси 2 и параллельные
(x, у)- плоскости); р = const, ф = const, 2 — переменное (прямые, параллельные оси 2).
Каждой точке М ставятся в соответствие три единичных вектора е,, €,, е, = К, которые являются
векторами, касательными к координатным линиям, и указывают направление возрастания координат.
Эти единичные векторы е,, е„, е, = К изменяются при переходе от точки к точке, в противополож-
ность базисным векторам i, |}, К прямоугольной декартовой системы координат. Но они в любой
точке М перпендикулярны друг к другу и образуют правую систему (рис. 4.31).
Если разложить вектор У (М) по единичным векторам е,, ey, е., проведенным в точке М, то
получим У (М)= И, (Ме, + И, (М)е, + Г. (М)е., где И, И, И, называются цилиндрическими коорди-
натами У(М) в точке М в противоположность декартовым координатам V,, Г, Г, которые
используются в разложении
|
У(М)=И,(М)Е+И,(М)у+И.(М)К.
а) Выражение декартовых координат через цилиндрические координаты:
V.=V,cos@—V,sing, И= Ито
И,cosф, И=И.
6) Выражение цилиндрических координат через декартовы координаты:
y=V.cosp+V,sng, V,=—V,sing+V,cosg, V,= V,.
Цилиндрическое векторное поле в цилиндрических координатах имеет вид У = Ф (p)e,.
В случае плоского поля V(x, у) надо в приведенных выше формулах положить И, =0.
В частности (рис. 4.32), У = И, (р, @)e, + И, (р, Ф)е..
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
513
Сферические координаты. Иногда полезно использование сферических координат 6, ф, р
(см. 2.6.5.2), которые связаны с декартовыми координатами формулами:
х =рсо$
фт 0, y=psingsin@, z=pcos@.
Координатные линии:
ф = const, р =const, 0 — переменное (меридианы);
р = соп$ 9 = соп$ь ф — переменное (параллели — широты);
9 = const, ф =const, р — переменное (прямые, проходящие через начало координат).
Как и в случае цилиндрических координат, каждой точке М ставятся в соответствие единичные
векторы €y, е„, е,, которые являются векторами, касательными к координатным линиям и идущими
в направлении возрастающих значений координат (рис. 4.33). Если У (М) разложить по единичным
векторам ©, €y, е, то получим
°
У(М)=И(M)ey+И,(Me,+И,(M)e,;
ф?
И, И, И называются сферическими координатами У (М).
а) Выражение декартовых координат через сферические координаты:
У.=И,зщ0с0$ф—И,sinф-+
И
cos@cos8,
~
|
y=И,sin@sin
+
И,с0$ф+Изшфcos0,
=И,cos0—Иsin0.
a
|
6) Выражение сферических координат через декартовы коорлинаты:
И,=И,соз0со$(p+V,cos9sino—И,sin8,
Рис. 4.33.
И,=—V,sin
+
V,cos 9,
ф
И,=И,sin8cosф+И,sin9sin@+Г.cos0.
Единичные векторы ©, е„ €, перпендикулярны друг к другу и образуют правую тройку
векторов. Сферическое векторное поле задается: уравнением
У =Ф(руе,.
4.2.2.3. Градиент скалярного поля. Производная по направлению и градиент.
Пусть п — единичный вектор и U (г) — скалярнос поле. Проведем через конец вектора г прямую
в направлении п (рис. 4.34). Все точки прямой имеют радиус-векторы вида r+ tn, где t — действи-
тельное число. Если рассматривать U (г) только на этой прямой, то получаем функцию f (8 =
= U(r + tn). Производная f' (0) называется тогда производной U (г) в точке г в направлении п,
ди (г)
короче,— производной по паправлению: ae Таким образом, из определения производной как
n
предела следует
ДИ (г
И (r + Atn).— U(r
|
OU)_lim (
) ® —Г’(0).
м.п
дп At+0
At
_—
г
Запишем векторы г, п в декартовых координатах:
P+tn
r=xXit+ yj+zk, n=n,i+7,j + И.К.
0
Тогда
|
‘
Puc. 4.34.
Ou (г)
OU(r)+ ДИ(г)
OU (г)
cee =n. ———-
oc
„.—
дп“дх*д»
dz
Градиентом поля U (г) называется вектор (обозначается grad И), определяемый в каждой точке
поля соотношением
`
и. ди
ДИ (г)
radU ou +
+
k
a
УГ:
=_
1
——..-
---——
ы
Tré
—
Ox
dy ar
orn
on =пgradU.
ди
Часто вектор grad U обозначают также 2 или VU. Полный дифференциал функции U (г) с исполь-
г
зованием обозначения grad U можно записать следующим образом:
В
ди
[8]
dU
,
10=-—-dx+—d -—dz=
;
(
ax x+aydy+aydz=(gradИ)dr
514
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интерпретация градиента. Рассмотрим в качестве примера U (г) температурное поле
T(r). Поверхности уровня являются поверхностями постоянной температуры; пусть п — единичный
вектор, который построен перпендикулярно поверхности уровня в точке М в направлении возрастаю-
щих значений Т (вектор нормали) (рис. 4.35). Тогда градиент grad a в точке М имеет направление
нормали п и его длина равна производной в направлении нормали ———. Тем самым, определение
grad Т не зависит от вида координатной системы (инвариантное onpenenenute) Чем быстрее‘ растет Т,
тем больше | grad T |. В точках, в которых Т имеет максимум или минимум, grad T= 0.
Градиент можно определить инвариантно при помощи пространствен-
п
ной производной скалярного поля (см. 4.2.2.5). Градиенты играют важную
роль в теории потенциалов (см. 4.2.2.4).
М
Координатное представление:
/
ou,00. au
/
grad И = --—-i + -—-j+—~-k (декартовы координаты),
Ox
oy
02
Г
rad U U e, + и ou + ou e (цилиндрические координаты)
0
8бр’pa°a*
р
i
Рис. 4.35.
du1aU+1ди+ou(coс
а = — ——e ———.- —---@ -—e, (сферические координаты).
Bt
р90°рзшбd9®фр°P
оордина
Свойства градиента. Если с — постоянная, то
grad c=0, grad cU =: с ртаа И, grad(U, + U.) = grad U, + grad Ц»,
d
grad (U,U,) = Ц, grad U, + Uz, grad U,, = grad @(U)= 5 grad U,
grad(V,V2)=(У,grad)У,+(У,grad)У,+У,xrotУ,+V,xrotV,,
grad (сг) =с (с — постоянный вектор).
Выражения rot V и (У grad)У объясняются в 4.2.2.7 и 4.2.2.8. Если U зависит только от r= |r|,
To grad U (г) = U’ ()— (сферическое поле); в частности, grad r = - {поле единичных векторов).
Согласно формуле Тейлора в первом приближе-
п B=,n
нии имеем
U(r+a)=U(x)+agradИ(2).
4.2.2.4. Куриволниейный интеграл и потенциал
з векторном поле. Пусть заданы векторное поле У{r)
и кривая АВ (А - начальная точка, В — конечная
точка). Криволинейный интеграл J У dr есть скаляр,
получаемый следующим образом рис. 4.36):
1) Разбиваем АВ точками А = Ay, Ay, Aa,
., A,-1, A, == В на п отрезков, приближенно . изобра-
жаемых векторами г; — г;-, = Аг; это разбиение обозпачасм через Z,. 2) Вскторы Ar; образуют
ломаную, которая аппроксимирует кривую АВ. Наибольшее из чисел |Ar,|, |Ar,|, ..., |Ar,| назовем
мелкостьо разбиения А (Z,). 3) На границе или внутри каждой элементарной дуги А, ‚А; выбирается
произвольная точка М, имеющая радиус-вектор Г, и составляется сумма
Sz,=уV(i)Ar;.
i=1
4) Если имеется число I такое, что для любого заданного = > 0 существует 6 (=) > 0 такое, что
[Sz —I|<e
для всевозможных сумм Sz, причем A(Z,)
< 6 (=), то говорят, что криволинейный интеграл
существует и равен I = | У dr. Криволинейный интеграл можно, таким образом, аппроксимировать
АВ
как угодно точно при помощи сумм 57» если только разбиение кривой достаточно мелко. Если
рассмотреть некоторую последовательность разбиений Z,, 2, Z3, ... c lim A(Z,)=0 и считать,
п>с
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ПОТЕНЦИАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ
515
что криволинейный интеграл ‘существует, то
I=limSz=limУУ)Ar,
n-> oo
n> OO i=1
Если выбрать декартову систему координат
r=Xi+yj+zk, dr=dxi+dyj+dzk, V(x, у, 2) = + ИИ,
то можно записать также
|
[Var= §И,4х+ау+И,dz.
АВ
АВ
wo
Если кривая АВ имеет параметрическое задание x= x(t), y=y(t), z=2(t), причем параметр ¢
пробегает значения {4 <t<tp (14, tg соответствуют A, В), TO криволинейный интеграл можно
свести к определенному интегралу
t
dxdydz
=
——
—
и—
.
|va |MeO9020)th +h|4
AB
th
Криволинейный интеграл существует, в частности, если производные x’ (1), y’ (t), 2’ (t) непрерывны
(непрерывны касательные к кривой) и непрерывны функции Г, (х (1), yo, 2(1), Г, (х, (1), yO, 2),
У. (x (t), y(t), z(t) (непрерывность векторного поля У (г) вдоль кривой АВ).
Свойства (рис. 4.37):
Г V@dr= J V@adr+ J V@ar, f V@dr=— J Var,
ABC
AB
BC
AB
BA
|(У,(к)+У,(г))dr=jУ,(к)dr+|У,(r)dr,
AB
AB
AB
Г Уф dr=c [Уф (= const).
АВ
АВ
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается ф У dr.
Механический смысл. Если У (г) — силовое поле, то Р = [ У dr означает работу, которую со-
АВ
ww
вершает сила У при переносе материальной точки из А в В вдоль кривой АВ.
Независимость от пути интегрирования. Если рассматривают две различные кривые C,, Co,
которые соединяют точки А
и
В
(рис. 4.38),то соответствующие криволинейные интегралы в общем
Рис. 4.37.
Рис. 4.38.
случае будут иметь различные значения. Векторное поле У(г) называется консервативным (потен-
циальным) в области С, если криволинейные интегралы в С зависят только от начальной точки А
и конечной точки В (для односвязной области это эквивалентно тому, что криволинейные
интегралы вдоль замкнутых кривых всегда равны нулю). Если, в частности, У(г) — силовое поле, то
это означает, что совершенная работа не зависит от пути, а зависит только от положения начальной
и конечной точек кривой. Если компоненты V,, Г, И, имеют непрерывные частные производные
1-го порядка в односвязной области С, то У(г) тогда и только тогда консервативно в С, когда
rot
У=0,
.
ди,_ду, ди дви ди ди,
или, в координатной записи, —— = ——-
=
—-— = ——. Эти условия называются усло-
ду dx’dz ду’ Ox dz
виями интегрируемости.
516
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Потенциал. Если для векторного поля У (г) существует функция И ) такая, что У = grad U,
т.е. в декартовых координатах
то U(r) называется потенциалом векторного поля V(r)*). В этом случае У adr = (grad U) dr= dU;
следовательно,
J Vdr= J dU =U(B)—U (A).
AB
AB
ЕслиА=А(го),В=В(г),тоэтоможнозаписатьитак:
И (г)— U о)= (Var.
Fo
Если. поле У(г) имеет потенциал, TO OHO консервативно. И наоборот, каждое консервативное
векторное поле обладает потенциалом:
И(г)=U(Fo)+уд.
Го
При этом А (го) — постоянная точка и интеграл можно вычислять вдоль любой кривой, которая
2
5
A
Br}
|
/
A(r,)
ух
и
g
<=»)
=”
у
o=
=
Рис. 4.39.
Рис. 4.40.
связывает А с B(r). Значение U (го) можно произвольно задавать. В декартовых координатах часто
выбирают ломаную, звенья которой параллельны координатным осям (Рис. 4.39). Тогда
.
U(x,у,2)=U(Xo,Yoo20)+ри,(х,YooZo)dx+Гу,(х,у,20)dy+ГV,(x,у,2)42.
*o
Yo
20
Потенциал U (г) в области С определен всегда с точностью до аддитивной постоянной.
Пример 3. а) Поле притяжения Земли:
У=—gk,
= —02.
6) Силовое поле Солнца, находящегося в точке г =0:
у=—"3 Fy mcs
rr
7:
в) Напряженность поля электрического заряда О, находящегося в г = 0:
ого
4neor? г’
4nEor `
Здесь Y — гравитационная постоянная, д — ускорение силы ‘тяжести, тс — масса Солнца, тзЗ — масса Земли, о —
диэлектрическая постоянная. В электрическом поле U означает. напряжение.
4.2.2.5. Поверхностные интегралы в векторных полях. Пусть задсна плоская площадка »,
ограниченная замкнутой ориентированной кривой С (рис. 4.40). Вектор нормали п является единичным
вектором, который направлен перпендикулярно к » и ориентирован так, что кривая С обходит его
против часовой стрелки. Сторона площадки, обращенная к вектору п, называется положительной
стороной. Каждой ориентированной плоской площадке » можно поставить в соответствие вектор $,
имеющий направление п и модуль, равный ее площади 5. Выберем декартову систему координат
*) В физике потенциалом ф (г) в точке г называют иногда величину, противоположную по знаку.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ
517
и обозначим через L,,, Ly, HM L,, проекции L на плоскость х, у, плоскость у, 2 и плоскость 2, Xx.
Пусть площади этих проекций будут S,,, 5, и S,,. Torna
$=Sn=S,.i+Sj+S,yk.
Если дана изогнутая площадка (рис. 4.41), то ее можно ориентировать, выделяя одну сторону` как
положительную. Под вектором нормали в точке М понимается единичный вектор, который пер-
пендикулярен к » в точке М и конец которого расположен с положительной стороны *%. Граница
области » ориентируется таким образом, что она обходит векторы нормали против часовой стрелки.
Рис. 4.41.
Рис. 4.42.
Поверхностные интегралы. Три различных вида поверхностных интегралов в вектор-
ном анализе образуются следующим образом:
1) Поверхность У, на которой выбрана положительная сторона, разбивается на п элементарных
площадок 2; (рис. 4.42) с площадями AS; Это разбиение обозначается Z,. Под мелкостью
разбиения A(Z,) понимается наибольшее из чисел d,,...,d,, где d; — диаметр площадки %,, т.е.
расстояние между двумя точками площадки, наиболее удаленными друг от друга.
2) Внутри или на границе каждой элементарной площадки выбирается точка M,, и в этой точке
проводится нормальный к поверхности вектор n и вектор AS;
= ASn (направление которого п,
а модуль AS)).
3) При заданной функции И (М) или заданном векторном поле У (М) составляет следующие
суммы:
SY = Y U(M)AS,, SY = YV(M)AS;, SP= У V(M)) x AS.
a
i=1
п
i=l
п
i=1
.
Тогда мы определяем:
а) поток скалярного поля:
= НИ4$= Шт
U (М) AS;;
iI
ayo
wm
6) скалярный поток векторного поля:
12—=(У45= т >V(Mf,AS;;
iI
о
м
в) векторный поток векторного поля:
13=[Ух 4$=aim >,V(M))xAS;.
;
n> i=1
Например, поток скалярного поля определяется следующим образом: для любого заданного
= > 0 существует 6 (=) > 0 такое, что | I" — $0 | < = для всех возможных промежуточных сумм $0),
которые удовлетворяют неравенству A (Z,) < 5(=) (аналогично для I, I), Следовательно, интегралы
можно с требуемой точностыо аппроксимировать суммами, если только разбиение поверхности
достаточно мелко. В частности, для последовательности разбиений Z,, 0.2, (3, ... такой, что
lim A(Z,) =0, всегда
n-—- ©
I= lim SY= lim У U(M) AS,
п»
n—- Oi=1
если только интеграл существует (аналогично для I, TO).
518
|
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интегралы по замкнутой поверхности обозначаются $ U dS, $ У 4$, ВУ x dS. При этом вектор
нормали п должен быть направлен наружу.
Декартовы координаты. Если поверхность задана в виде 2=2(х, у) (рис. 4.43), то
поверхностные интегралы можно вычислить, полагая
ay
Этот векгор имеет направление вектора нормали п в точке М (x, у, 2(х, у)). Его модуль. прибли-
ZA
Рис. 4.43.
зительно равен величине площади элементарной площадки, проекция которой на плоскость xX, У
соответствует прямоугольнику, который строится на Мо (x; у), М, (x ++ dx; у), М.) (х; y + dy) ( dS | =
|
Oz
Oz
=dS = |/1
d
"+ (5) +(5) ==)
Г
Oz
a) |Jvs-Jf —U (x, у, 2 (x, y))—и
ay
[ax dy;
6)|Jvs-]] —И,(x,у,2(x,у)—2 oy, --и |axay
=
92
02
92
Oz
4
—1-
V,—1
—
—
x dy.
B)||’xdS=lle =i(ve 2i+ (#Ax и.a dxdy
Двойные интегралы при этом должны браться по всей проекции L,, поверхности Е на
плоскость х, у; 2, смотря по обстоятельствам, может заменяться в подынтегральных выражениях
°
д2(х,у) 0z{x,у)
ax’dy
непрерывны (непрерывна касательная плоскость) и функции U (x, у, 2 (х, у)), И, (х, у, 2 (x, У),
V, (x, у, 2 (x, y)), Г, (x, у, 2(x, y)) непрерывны (непрерывность U (М), У (М) на поверхности).
Параметрическое представление общего вида. Если поверхность » имеет параметрическое
представление
на 2(х, у). В частности, поверхностные интегралы существуют, если 2(х, у),
х=х(н, 0), y=y(uv), 2=2(и у}
or or
то поверхностные интегралы можно вычислить, учитывая, что dS - (5 x — dudv, и беря полу-
ди av
чающиеся двойные интегралы по области плоскости u,v, в которой изменяются параметры t, v.
При этом
Or Ox, Oy, 02
OrOx.ду0z
ou wt)Oust Ou’ No Oe 5
Отсюда следует:
ду oz ду д2\.
dz0х 02nar
"dxdy oxду
.
a) |Jus- +
u(F dv ду“ди.y+uOu3 ди к|dudo;
дуdz дуa
dzOx .bzax\
dxdy дхду
—
a7
и.
_
6)ik45 Пи (диdv Ov=)+,‚(5диdv ev“Ou}+h ‘ди06 OvOuЕdo.
ДИВЕРГ ЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
519
Аналогичная формула получается для в) вычислением V x dS. Смотря по обстоятельствам,
в подынтегральных выражениях следует положить U = U (x (и, 2), у(и, v}, 2 (и, v)} (аналогично для
Vy, Г, V,).
Производная по объему. Под производной по объему скалярного поля И (М) или
векторного поля У (М) в точке М понимают величины трех типов, которые получают. следующим
образом. 1) Точка М окружается замкнутой поверхностью %, которая охватывает область с объ-
емом V. 2) Вычисляется интеграл по поверхности Х
$045, &У4$ или HVx dS).
У
х
х
3) Определяется предел отношения этого интеграла к объему V для случая, ‘когда У стремится
к нулю (» стягивается в точку М). В частности,
$UdS
z
radU=lim————
8
О
у
(см. 4.2.2.3). Производные по объему векторного поля приводят к понятиям дивергенции (см. 4.2.2.6)
и ротора (см. 4.2.2.7).
4.2.2.6. Дивергенция векторного поля. Дивергенцией div У векторного
поля У (М) называют следующую производную по объему поля в точке М:
КУ dS
ЧУ (М) = lim —-——.
V0
V
Если М изменяется, To div V образует скалярное поле. В другой записи:
G
ГАЙ или VV. Величина $ У 4$ есть скалярный поток векторного поля
or
z
Рис. 4.44.
через замкнутую поверхность », которая окружает точку М и охватывает
область С с объемом V (рис. 4.44). Векторы нормали п направлены наружу.
Для того чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим текущую жидкость. В этом случае каждой
точке из области потока в момент времени f ставится в соответствие плотность р (М, t) и вектор
скбрости у(М, t). Скалярный поток векторного поля U = ру (плотность потока} тогда равен
Г
Ат
у4$= lim -—.
Вр
At-0 At
x
При этом величина Ат равна массе, которая протекает через У; за отрезок времени OT { до tf + At;
Ат положительна, если из области, ограниченной », вытекает больше массы, чем втекает (источники
находятся в области (С). Это течение массы вызывается изменением плотности жидкости, текущей
в С. Понятие дивергенции позволяет зафиксировать поведение скалярного потока. В нашем примере
Op (М, 1)
divp(М,Пу(М,t)=— 5
Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывиости.
Вообще div V есть мера источников поля У (М). Если в области С ФуУ =0, то векторное
поле У (М) в этой области называется свободным от источников. Если, например, в вакууме имеются
электрические заряды с плотностью заряда р, то напряженность электрического поля Е, создаваемого
этими зарядами, удовлетворяет уравнению
50divE(М)=p(M)
(&о — диэлектрическая постоянная); div Е = 0 в области С означает, следовательно, что в С нет пикаких
зарядов (заряды являются источниками Е).
Формулы для вычисления дивергенции:
ОТ, av, У,
+—^+——-
(в декартовых координатах),
дхдуд2
ТОФ 19%, ди
divV =
divV =
бр
> 89 + az (в цилиндрических коорлинатах)
1 д(р?и
1 av,
1 д(sin9У
divV=> 650) 5sin030 5ain0
в) (в сферических координатах).
520
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Правила вычисления дивергенции:
Фус =0, ФусУ =самУ, —ам(У, +V.)=div V, +аму,,
div(UV)=UdivV+VgradU (+частности,divre==)
.
.
r
Чу(У,xV2)=У,rotУ,—У,rotУ...
При этом с = соп$ c=const. В центральном поле
div Ф®г= 3Ф' (r) + „Ф' (rn), divr = 3.
Получение этих формул см. в 4.2.2.9.
4.2.2.7. Ротор векторного поля. Ротором (вихрем) rotУ векторного поля У (М) называют
производную по объему Г поля У в точке М:
фух 45
у
rotУ(М)=lim—
уУ->0
и
Если М изменяется, то rotУ образует векторное поле. Другая запись:
9хуилиУхУ
or
(или иногда curl У).
“
Понятие ротора rot У можно ввести наглядно при помощи понятия циркуляции векторного поля
Г = $V dr вдоль замкнутой кривой С. В консервативном векторном поле (см. 4.2.2.4) всегда Г = 0.
С
Если С — замкнутая линия тока (рис. 4.45), то Г #0. Следовательно, в консервативном векторном
поле не могут появляться замкнутые линии тока. Циркуляция Г есть мера завихренности поля;
nl
*
n
Vir)
Рис. 4.45.
Рис. 4.46.
Рис. 4.47.
го{ У позволяет локализовать эти вихри следующим образом (рис. 4.46): 1) в точке М задается
единичный вектор нормали п; 2) через М проводят небольшую площадку »%, площади 5, контур С
ограничивает эту площадку и обходит п против часовой стрелки; 3) вычисляют предел отношения
циркуляции Гк 5, когда 5 стремится к нулю (С и У стягиваются в точку М):
$Vdr
nrotV = lim <
sso 5
Этот предел nrotV есть проекция rotУ (М) на направление п. В частности, если У — поле
скоростей вида
У (г) = юпхг)
(вращение всех точек пространства с постоянной угловой скоростью ® вокруг оси с направлением
единичного вектора п (рис. 4.47), то
rotУ(г)=2an,
т. е. rot У имеет в каждой точке направление оси вращения, а длина вектора rot У равна удвоенной
угловой скорости. В произвольном поле скоростей равенство rot У (М) = 0 означает, что в точке М
нет (локального) вращательного движения. Если вообще rotУ = 0 в области С, то векторное поле
в С называется безвихревым. Линиями вихря называются линии тока векторного поля rot У.
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА И ГРАДИЕНТ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
52]
Каординатное представление:
i]К
OV, ду,
ди, ОГ. \. ди, ди,
00dд
rotV=( -—- — —]i
_
| -—-
k =| — — —| (декартовы координаты),
2
Oxду02
и,
92
дх
“ot V {1 av, av, (3% _&%),
(1 ae
ду,
=
-е
е
—-
—-—
рdp92]?dzдр]*рOppio
(цилиндрические координаты),
_ 1ov, 1d(pK)
{1ди) |ay,
1 д (зт 91,) дИи`
му(539Фрдcotрop
р00“траб
99
дф “p
(сферические координаты).
2
<
Правила вычисления ротора:
гос =0, rotcV=crotV, го (У, +V,)=rotУ, + rot V2,
rot(UV)=UrotV+(gradИ)xУ,
rot(У,х\У))=(У,grad)У,—(У,grad)У,+У,divV,—У,divу.
При этом с = сопЯ. Вывод этих формул см. в 4.2.2.9. (Определение (У grad)У см. в 4.2.2.8.)
4.2.2.8. Оператор Лапласа и градиент векторного поля. Пусть И (М) — скалярное поле; тогда
оператор Лапласа AU определяется следующим образом:
AU(М)=divgradU(М).
Координатное представление имеет вид:
920 920 920
АИ = 5 + ce + a (декартовы координаты),
1д ди
1 420 920
AU= р
—~~+—
рdp¢»)+p?dg?"дл
(цилиндрические координаты),
AU 920+20U+ | 920+107Uи1~ctg0ди(cp °
оо аты)
=——+——4+=
+-
—
ерические к инаты).
др?рдрр?$120dp?р?00?р?8790
P
pa
Дифференциальное уравнение AU = 0 называется дифференциальным уравнением Лапласа и играет
большую роль во многих задачах математической физики.
Оператор Лапласа векторного поля. Пусть У (М) — векторное поле; тогда AV
определяют как
.
ДУ(М)=graddivУ(М}—rotrotУ(М).
(4.14)
В декартовых координатах:
= (AV,)i+ (AV,)j + (AV)К =
у, в,|PV.) (0% и HY) (ии ви,
=|—
+i
>
——=-
дх? "0?" Oz? + a tae Ntlaet ort op
В других системах координат AV имеет очень сложное выражение. В этом случае следует пользо-
ваться формулой (4.14) и соответствующими выражениями для grad U, div V, гоёУ (см. 4.2.2.3,
4.2.2.6, 4.2.2.7).
Градиент векторного поля. Пусть У (М) — векторное поле и а — вектор. Определяют
У(г+Atа)—У(г)
At
(agrad)V=lim
At+0
Выражение (a grad) У называют градиентом векторного поля У по вектору а. Если п — единичный
У (г)
хо
вектор, то выражение (п ргаа) У равно производной по направлению
векторного поля
(см. 4.2.2.3). В декартовых координатах:
(agrad)V=(аgradV,)i+(agradV,)j+(аgradV,)k
522
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(ср. (4.2.2.1)). Вообще имеем формулу
2(agrad)У=rot(Уха) +grad(aV)+аdivV—Vdiva—axrotУ—Ухrota.
Разложение векторного поля в первом приближении записывается так:
У(г)=V(о)+((—го)grad)У(го)+...
Под градиентом векторного поля понимают диаду Ф = grad V (см. 4.2.2.12).
4.2.2.9. Вычисление сложных выражений (оператор Гамильтона). В декартовых координатах можно
при помощи формального оператора
|
д
д
д
У=— +—}+—К,
х'у}Oz
который называют оператором Гамильтона или набла-оператором, записать все приведенные выше
выражения значительно проще:
aU. ou. ди
ду,диди-
d
—-—_}
_
=U
а
—я.
У.
т
=
gradИ=——i+dyj+3-k=VU, divV= +ay+>=WV,
ijk
д9д
то
Oxду02
х`
иии
920 920 920
AU=
+—>-+—5-=V(VU), AV =(AV,)i + (ДИ); + (ДИ)К = (VV) У,
ax? "ду д22
(аgrad)У=(аgradИ,)1+(agradV,)j+(аgradИ,)К=(аУ)У.
Свойства оператора Гамильтона. Для того чтобы вычислить сложные выражения
вида grad(U,, U2), div(UV), го (У, x V2) и т.д, можно использовать следующие формальные
правила:
1) Выражение записывается как формальное произведение с У.
2) Если У стоит перед линейной комбинацией (с,Х + c,Y), где X, Y — функции точки (скалярные
или векторные), то
У(с1Х+с2У)=с,УХ+с.УТУ (с,=const).
3) Если У стоит перед произведением функций точки Х, Y (скалярных или векторных), то
оператор У применяется поочередно к каждой из этих функций (над нею в этом случае ставят
знак |) и результаты складываются:
У (ХУ) =У (ХУ) +V ay:
(4.15)
аналогично
.
V(XYZ)=V ($ УР) + v(x ¥Z) +V (XY).
Постоянные величины или постоянные векторы не снабжаются знаком |.
4) Выражения vx У), V(x у) и т. д. преобразуются по правилам векторной алгебры таким
образом, чтобы за оператором У стояла только величина, снабженная знаком |. При этом оператор У
рассматривается как вектор.
5) Наконец, формальное произведение с У записывается снова как выражение векторного
анализа, капример:
i
И(vir,)=U,(gradU,), У,x(VxV2)=ViхrotVa
и т. д. При этом после вычисления знак | не пишут.
Эти формальные правила учитывают, что, с одной стороны, У — вектор, а с другой стороны,
дифференциальный оператор. В (4.15) неявно содержится правило дифференциального исчисления.
Знак | указывает на сомножитель, который дифференцируется.
Пример 4. Оператор У действует на линейную комбинацию (с: = const):
1)grad(c,U,+с202)=V(c,U,+c2U,)=¢1АО,+с.УU2,=C,gradU,+C2gradU3;
2)div(с1У,+c2V2)=V(c1V1+c2V2)=с.VV+с.УУ,=с,divУ,+с,divV2;
3)rot(су,+C2V3)=Ух(су,+с2У>)=Сс!(УxV;)+Cz(VxУ.)=с,rotУ,+CyrotV>.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
523
Пример 5. Оператор У действует на произведение двух фуикций:
|
|
|
-
1) grad (U,U,)= V (U,U2) =V (U,U,) -F V(U,U,) = И. (УЦ, ) + О, (УЦ. = И, grad U, + U, grad U2;
|
|
|
|
2)div(UV)=У(UV)=V(UV)+У(UV)=V(УС)+ЧWV)=УgradU+UdivV;
}
|
|
3)div(V,xV;)=Vs Va)=V(VsxWa)+VV
Va) = У, (УхУ,) -У, (Ух\У),) =\, rot У, —V, rot V.; ;
J
|
|
|
|
4) grad (V,V2)= V(V,V,)= vv, У) + V(ViV2)= (V2V) У. +У, x (Vx Vy) + (ViV) У, + Vi x (V x У, =
=(У,grad)У,+V,xrotУ,+(У,grad)У,+У,xrotV2.
При вычислении надо принимать во внимание тождество Лагранжа b (ac) = (ab) с + a x (b x c).
Пример 6. Двукратное применение оператора:
1) div rot У =У (У x V)=0 для любого векторного поля У (формально вследствие а (а хи) = 0);
2) rot grad И = Ух (Vu) = 0 для любого скалярного поля И (формально вследствие а х au = 0);
3)rotrotУ=Ух (VxV)=V(VV)—(VV)У=graddivУ—AV.
д
Здесь снова использовано тождество Лагранжа. Иногда вместо У используется символ a
О вычислении интегралов см. 4.2.2.10.
4.2.2.19. Интегральные формулы. Преобразование объемного интеграла в по-
верхностный интеграл. Пусть С — пространственная область, ограниченная замкнутой
поверхностью 5; пусть вектор нормали п направлен наружу (рис. 4.48). Тогда
И aUС.у,2)dxdydz=tpUcos(n,x)dS
(4.16)
x
G
$
(аналогично для у, 2). При этом cos (п, x) = ni (косинус угла между вектором
нормали и осью x). Формула (4.16) верна при очень общих предположениях:
п
(1,Z)
функция О должна быть непрерывна в С и иметь там непрерывные ограни-
Рис. 4.48.
ченные первые частные производные, поверхность S должна иметь, за исклю-
чением конечного числа угловых точек и ребер, непрерывно меняющиеся
касательные плоскости, при этом внутренние углы в угловых точках и точках ребер должны быть
больше нуля. Из соотношения (4.16) получаются следующие формулы (dv = dx dy dz):
а) Интегрирование по частям:
[ро U,cos(п,x)dS—Jos992ay
(аналогично для y и 2).
6) Формула Гаусса — оо
AY
з векторной записи:
ШахУф=ЯУ45.
G
5
в) Первая формула Грина (однократное интегрирование по частям):
920Е,au1 820,
Kee
ду? -+ O22
О.dv=
OU
U
=p( ae-Cos(nm,x)+— cos(n,y)+otcos(n,5)И,45—
5
90, ви oU
д
_
ма992+ 1OU,4SIU
OxдхOyду92
С
§fj(AU,)U2dv=&U,(gradU,)dS—fffgradU,gradU2do;
G
5
С
в векторной записи:
OU,
~@z
+) dv;
524
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в частном случае при 0, = | имеем
dU
|AU,4=tperadU,)dS=|=dS
G
5
5
ди
ди
8]
ди
.
величина —— = (grad И) п = —— cos (а, x) + —— cos (n, у) + —— со$ (п, 2) Называется производной
дп
дх
ду
Oz
по нормали |.
г) Вторая формула Грина (двукратное интегрирование по частям):
|вид, - us austin = || (15-0. и бы") as
Используя символ оператора Гамильтона, все эти формулы можно записать формально; для
(4.16) имеем
[= +a =*)=bascos(п,x)i+cos(n,у)j+cos(n,2)К),
Ox ду
С
$
или, кратко,
{ffdvV= dS.
(4.17)
G
5
Пример7.ДоgradU=SfdoVU=$dSЦ.
5
Пример8.Пара у=|duУУ= dSVY.
G
5
Пример9.4 rotV=ЛГ (VxV)=§dsxV.
5
Пример10.пdvAu={ifdvУ(VU)=§dSVU=hasgradU.
Пример 11. JM dy V (U,V U)= Ii dv [(УЧ.) (VU,)+ Ц, AU,] = fas U,V Ц, = i ds (grad U,) И, (первая фор-
мула Грина).
Пример 12. Sf do V (U2 V Ur - И,Va) = (AU) Ua — Us‚ Из) 4 =. dS 0;,VU,-—U,V U2) (вторая фор-
мула Грина).
Преобразование двойного интеграла в криволинейный. Пусть 5 — плоская
область с граничной кривой С, которая ориентирована так, что $ лежит слева; тогда справедлива
формула
р (11,2)
||уdxdy=фаcos(п,x)ds
(4.18)
x
L
Cc
(аналогично для y). При этом cos(n, x) есть косинус угла между внешней
нормалью п и осью х (рис. 4.49); 45 — дифференциал длины дуги. Теорема
Рис. 4.49.
верна при очень общих предположениях: функция U должна быть непре-
рывна в 5 и иметь непрерывные ограниченные первые частные производные;
граничная кривая С должна обладать непрерывно изменяющимися касательными, за исключением
конечного числа точек излома, причем внутренние углы в точках излома должны быть больше
нуля. Из (4.18) следует формула Грина
We 5.)axdy=pPix+ОЧу
(4.19)
С
(ср. 3.1.13).
Преобразование поверхностного интеграла в криволинейный интег-
рал. Пусть У — площадка с границей L, которая ориентирована, как на рис. 4.41. Тогда
|oucos(n,y)—oucos(n,a)dS=}Udx
(4.20)
02
ду
x
L
и.
,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО ИСТОЧНИКАМ И ВИХРЯМ
525
(аналогичные формулы получаются циклическими перестановками x, у, 2). При этом cos (а, у) = nj,
cos (п, 2) = иК (косинус угла между вектором нормали п и осью у, соответственно осью 2). Из фор-
мулы (4.20) непосредственно следует, что || rot У 4$ =$У dr (теорема Стокса). Используя символ
z
L
оператора. Гамильтона, из (4.20) формально получим
ff dS хУ=фи.
(4.21)
£
L
Пример 13.{frotУdS=ffdS(VxV)=[1(dSxV)V=$dev.
rs
z=
х
Пример14.[|dSxgradU=ffsxVU=drU
ы
:
4.2.2.11. Определение векториого поля по его источиикам и вихрям. Векторное поле Е тогда
и только тогда является безвихревым в односвязной области G, т.е. rotE =0, когда в С
существует функция И такая, что Е = grad U (И — потенциал поля, см. 4.2.2.4).
Поля без источников (соленоидальные). Векторное поле Н тогда и только тогда
является соленоидальным в односвязной области С, т.е. div H = 0, когда в С существует векторное
поле А такое, что Н = rotA (A — векторный потенциал поля).
Источники и вихри. Надо найти векторное поле У (г) в ограниченной области С с заданными
источниками р (г) и вихрями м (г), т.е. в области С решить систему уравнений
ЧУУ =р(г), rot V =м (Г).
Эта задача решается однозначно, если вдоль границы заданы значения Уп (п — вектор нормали),
т. е. на границе 0G области С
Vn=/(г);
при этом Должны выполняться следующие дополнительные условия:
divw=0, f[[pdv= § fds.
G
0G
В предположении, что функции р, W,, Wy, Ww, обладают в С непрерывными и ограниченными
первыми частными производными, а граница OG является достаточно гладкой, решение ищется
следующим образом: `
‘
` 1) Найти none V,, для которого в области С `
div У, =p, rot
У, =0.
Условие V, = grad И приводит к уравнению AU-=p с частным решением
и)=1.
р(г’)dx’dydz’.
4n
{\r—r' |
G
приэтомг=xi+yj+2k,г=xi+yjt2zk,|г-г |=И(х—x)?+ (у-у)?+(2-2).Еслиподрпо-
нимают плотность массы, то U (г) представляет собой потенциал размещения этой массы, а У, =
= grad И — соответствующую силу. Если под р понимают плотность зарядов, размещенных в ва-
кууме, то И/=о (о — диэлектрическая постоянная)
— электрический потенциал, создаваемый р, и
UУ,
Е = grad — = — — соответствующая напряженность электрического поля.
Зо £0
2) Найти none V,, для которого в области С
ЧУ У. =0, rot V,=w.
Условие У, = гоё А приводит к уравнению ДА = м, причем div A = 0. Частное решение:
ВО
w (r’) dx’ dy’ dz’
A(r) = an {If ror’) ;
(4.22)
G
Если под \ понимают вектор’ плотности тока зарядов, то V, =rot А является полем напряженности
магнитного поля. Уравнение (4.22) верно при предположении, что W уменьшается до нуля в малой
окрестности С. Если это не имеет места, то м нужно продолжить на область Gy, охватывающую
С, так, чтобы: а) wn было непрерывно Ha OG, 6) мп =0 на ОСЬ, в) divw=0 в слое G,\G. Тогда
уравнение (4.22) можно интегрировать в области С...
526
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) Найти поле V3, для которого в области С
ЧУУ.=0, rotУ,=0,
а на границе OG выполняется соотношение
Уп=f*(М)=Г-Ум=Ум.
Условие У, = grad Ч приводит ко второй краевой задаче теории потенциалов:
ov
АФ =0 в области С;
z==пgrad¥=f* награницеdG.
Искомое поле У получается тогда как сумма V=V, + У), + V3.
4.2.2.12. Диады (теизоры П panra). Диады находят применение, например, в теории упругости.
Их часто обозначают так же, как тензоры (тензор деформаций, тензор напряжений).
Линейные векторные функции. Под линейной векторной функцией ФУ понимают
отображение, которое каждому вектору У ставит в соответствие некоторый вектор У’ = ФУ; при
этом
n
Ф (cV) = cPV,
Ф(У,+У,)=ФУ,+ФУ...
г!
Если рассматривать врашение всего пространства вокруг оси, которая имеет
направление единичного вектора п, на угол ф (рис. 4.50), то в первом приближении
(ф или [г мало)
т
‘=r+onxrt+...
0
При этом @r = on х г- линейная векторная функция (бесконечно малый поворот).
Рис. 8.50.
Каждую линейную векторную функцию можно представить в виде
ФУ=У а,(БУ)
(4.23)
i=1
с постоянными векторами а, В. Если e;, е›, ез — три линейно независимых вектора, TO под
координатами линейной векторной функции ФУ относительно этого базиса понимают числа’ "'
ai = е/Фе,
(i,j= 1,2,3)
(e', e?, e? — взаимные для €,, €2, €3 векторы; ср. 4.2.1.3). С использованием координат ФУ представ-
ляется в виде
ФУ=o(уи}=у(>уч)е;.
(4.24)
1=1
jJ=1 \i=1
Для построения специальных линейных векторных функций имеется три возможности:
а) Инвариантное (независимо от координатной системы) построение при помощи геометри-
ческих или физических величин (например, бесконечно малый поворот (4.23), тензор деформаций,
тензор напряжений).
6) В постояпной системе координат с базисными векторами е|, е›, e3 задаются числа aj и ФУ
определяется формулой (4.24); при переходе к другой системе координат величины ai преобразуются,
как простой тензор 2-го порядка.
3) В каждой системе координат задаются числа al, которые преобразуются так же, как и в б),
и ФУ определяется по формуле (4.24).
Диады. Для того чтобы удобнее было вычислять линейные векторные фупкции, вводят
формально диадное произведение a+b двух векторов а и b с. обоими дистрибугивными свойствами:
(aa, + а2а2)- 6 =a, (а, - 5) +02 (а›-5), а: (В1Ъ, + B20) = В, (a- by) + B2 (а-Ъ));
множители в произведении a-b нельзя менять местами. Далее формально определяются правила:
(a-b)c =a(be)*), с(а-Ъ) = (са) b,
(4.25)
{а-5)* = (b-a),
(4.26)
(а. 6) хес=а-
(6 хе), ¢ x (a-b)=(c
ха). В,
(4.27)
(a-b)(с.9)=(be)(a-d).
(4.28)
*) (oc) — chanapuoc произведение (см. 4.2.1.3). Умноженис формального диадного произведения a-b на вектор дает
иекоторый вектор.
ДИАДЫ (ТЕНЗОРЫ И РАНГА)
527
Под диадой понимают конечкую сумму диадных произведений
Ф=уа;-b;.
i=1
4
Каждой диаде Ф можно приписать линейную векторную функцию:
ФУ=уa;(БУ)
i=1
(ср. (4.25)). Две диады Ф, 4 считаются равными тогда и только тогда, когда ФУ = ФУ для любых
векторов У. Под УФ мы понимаем линейную векторную функцию
Если посредством равенства
я
Ф* = x (a;-b,)* = у. (b;- а;)
t=1
определить диаду Ф*, сопряженную с ®, то можно записать УФ = Ф*У. Всегда Ф** = Ф. Диаде
схФ=усx(a;-b)=x(cxa;)-b;
i=1
i=1
(ср. (4.27)) ставится в соответствие линейная векторная функция
(cx ®)V = у. (с ха,) (У).
i=1
Если
— другая диада, то произведению
oY=>(arb)(ed)= у (b;-c,)(а;-9;)
i, j=
(cp. (4.28)) соответствует линейная векторная функция
(ФФУ = >, = (6) (аNo).
i, j=1
Всегда (ФФ)У = ® (ФУ).
п
Координатное представление диад. Если векторы a,, No, входящие в Ф = У a,-b,,
k=}
заданы в некоторой декартовой системе координат:
ay=(4).i+(egy3+(а).К, В=(04),+(Oy+(6,).К,
то, согласно формальному перемножению и объединению равных членов, имеем
Ф=а:д+аяу+atK Нада, такНа +ажк] а, К.К.
(4.29)
Новые числа а,», Ayy, ..., а;. называются декартовыми координатами диады Ф. Если в более общем
случае
3
3
a,=у(ак!eр b,=у(6),е',
1=1
j=l
TO после формального перемножения и объединения соответствующих членов получаем
2
—
Noю..е
Ф= > аNo..е.
i, f=
528
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Линейная векторная функция, соответствующая этой диаде, имеет вид
3
3
3
ФУ=>ale;(e'V)=5(уvt)е;.
i, j=
1=1 \i=1
Числа а/ называются координатами Ф относительно базисных векторов e;, €2, €3. Они совпадают
с координатами линейной векторной функции ФУ. В частном случае декартовых координат
(e, =e' =i,e, =e? =ре, =е? = К) справедливы равенства а! = a,,, a) = ах, а = dy, ит. д. Под следом
Ф понимают число
|
Sp®=aj+a3+a3=а,,+dy,+azz,
которое не зависит OT выбора декартовой системы координат (инвариант).
Сим метрические и антисимметрические диады. Диада Ф называется симметри-
ческой, если Ф = Ф*;Ф называется антисимметрической, если Ф = —Ф*. В декартовых координатах
(см. (4.29)) симметричность диады означает, что Axy = yxy а, =а,» а, = Uzy; аптисимметричность
диады означает, что Ay. = Ayy = Uz, = 0, Axy = — yxy Ч. = —а,» а» = —Uzy (Cp. (4.41)). Каждую диаду Ф
можно представить в виде
Ф=Ф.+Ф,;
1
|
при этом Ф. = 5 (Ф + Ф*) — симметрическая диада и Ф, = > (Ф.— Ф*) — антисимметрическая диала.
Чтобы геометрически пояснить симметрическую диаду, поставим в соответствие каждой симметри-
ческой диаде уравнение 2F = гаг = |, или, в декартовых координатах,
аххх?+Ayyy?+4..2+2ауху+2ахе+2агуг=|
—‘уравнение поверхности 2-го порядка (эллипсоид, гиперболоид, цилиндрическая поверхность)
с центром в точке (0, 0, 0). Эта поверхность называется тензорной поверхиостью. Ее уравнение
принимает особенно простой вид (нормальная форма симметрической диады):
4x?+2?+N4Z?=1,
если совместить оси системы координат с главными осями тензорной поверхности. В декартовой
системе координат Ф имеет ВИД
ФЕЛи: 1+1. К.
Если A, >0, Л, >0, Л, >0 (тензорная поверхность — эллипсоид), то линейная векторная функция,
соответствующая этой диаде, имеет вид
Фг—dX+А.2У]+А.32К.
Таким образом, вектор Фг получается из r= xi+ у + 2К путем растяжения в направлении трех
координатных осей или, что то же самое, в направлении главных осей поверхности. Собственные
значения A; определяются в результате решения уравнения третьей степени относительно А:
Axx —^ Axy Axe
Чху Ayy — dy,
=0
axz
Qzy
Ч:—^,
Главные оси В; удовлетворяют уравнению Dh; = А.В,
Чтобы дать геометрическое пояснение антисимметрической диады, запишем произвольную
антисимметрическую диаду в декартовых координатах в виде
Ф = 0i-i —a-j+ayi-k +а4 1+0] -а4.К —a,k-i+a,.k-j + 0k-k.
Соответствующая ей векторная линейная функция имеет вид
1jk
@r=axr=]} а, а, a,
ху2
Если положить а = ON и считать, что ф мало, то Фг будет представлять собой бесконечно малый
поворот.
Векторный градиент. В 4.2.2.8 был рассмотрен (а ргаа) У. Векторным градиентом Ф
называется диада, для которой при постоянном векторе а справедливо соотношение
ФУ=(аргаа)У.
ДИАДЫ (ТЕНЗОРЫ И РАНГА)
529
Пишут: Ф = grad-V, в декартовых координатах (У = Ил + И}.+ ИК)
ди,
ду,
av,
rad-V =
6
ox
ax
бх|
by
4oY
9
кMs
ду,
OV,
дуVd ду}
02
02
д
ду, (М)
.
.
Так как коордипаты а. этой диады зависят от точки М, то в ‘каждой точке М находится
х
своя диада (поле диад). Для (a grad) У получается
OV,
OV,
OV,
(a grad) У = a(grad-V) =(a, а, —-+a, -—]Ji+
ду
02
дх
д, av, @ди\. av, ди ди
+(«.Ox.+ayoy+a,92.3+(«.Ox+alyay
2 92 К. (4.30)
Диады Ф., Ф, . = Ф. + Ф,), соответствующие Ф = grad-V, имеют вид
_ди,м av, ди,a4 ди.ди. kk ду,avy|avs +
ax|
dx "бу 1+52х 52
беNoу!"
ду... 1/9и ди).
иди ди (ди ay, ди,
Уф.
—
Е—
k-—
к.
— К.К:
+iin (G+S)i т) +5(5+5) Itap kek
o-1(a%_ди(2
OM).
ди, ди, м
“Oaay)I2KCG
5 dx ay)!
(аи _aH), av,_ви) , 1(a av),
2\dy oz)S
>дхд2
2\ду az. 7
При помощи этих диад можно записать разложение векторного поля в первом приближении в виде
У(г)=У(то)+(г—го)grad)У(го)=V(го)+(F—го)Ф.+(г—го)Ф,;
* (4.31)
Ф., Ф, вычисляются в точке го. Далее,
|
(г—го)Ф.=5rotУ(ro)х(г—го).
(4.32)
Механический смысл. Пусть при деформации упругой среды точка М (г) перемещается
в г’ =г -+ У (г) (У (г) — вектор сдвига). Если исследовать У (г) в малой окрестности г, то соотношение
(4.31) показывает, что деформация состоит из переноса (У (го)), растяжения ((г — го) Ф.) и бесконечно
малого поворота ((г — го) Ф,), причем ось поворота имеет направление rot У (го), а угол поворота —
|
величину zy | Fot У (ro) |. Величина Ф. называется теизором деформаций.
Наряду с ним важную роль играет тензор напряжений ЧФ. Пусть задана
упругая среда, находящаяся под воздействием сил напряжения. Для под-
держания равновесия выделенного элемента объема v (рис. 4.51) в каждом
малом элементе нужно к каждому элементарному кусочку его границы
с нормалью п, направленной во внешиютю сторону, приложить силу,
имеющую величину
Рис. 4.51.
AF=(Pn)AS=¥AS.
(4.33)
Диада 4 (тензор напряжений) симмегрична и зависит от поверхностной точки М. Поверхностные
силы, действующие на v, равны, таким образом, $ Ч dS.
Дивергенция и ротор. Аналогично 4.2.2.6, 4.2.2.7 определяются для диад дивергенция
и ротор:
. §dS@
Div Ф = im, ———_-,
(4.34)
p=
0
$dSx@
.
Rot Ф = lim —-------——-
(4.35)
v0
0
530
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Если Ф имеет в декартовых координатах представление (4.29), то
. _[ax. Oay, да. \. да», ay, да., \. дах. да. да,.\|
Divo=(=++ 1+(2xtartaeitlat
+ к; (4.36)
Oa.
0a,..
да
да
да
да
Rotф [оSomа Soy—SSД.Е+ zzУ|.
° (== иен a(S
Nii (5
se) ы
(24_да.,\.+да, да.)\.,.да,._а:\.|+
dzaxJNNaeCOJTaeOeSS
д
д
д
д
да,
+(S- ses) ig (
к
(9 - 2) kk (4.37)
dx ду
ax ду
дх ду
Если Ф представить в виде Ф =а, Е +а,.] {аз -К, то получим, что
Div®=(diva,)i+(diva2)}+(diva3)К,
(4.38)
Rot Ф = (rot a,)-i+ (rot a,)-j + (rot аз) - К.
(4.39)
Вычисление диад при помощи оператора Гамильтона. Используя оператор У
(см. 4.2.2.2), можно формально записать:
ргаа - У =У.У,
(4.40)
DivФ=УФ,
(4.41)
Rot =Vx@.
(4.42)
Формулы (4.17) и (4.21) также справедливы для диад.
Пример 15.
ИDivФ4=И)dv(УФ)=$45Ф
(4.43)
(теорема Гаусса — Остроградского).
Пример 16.
[i)RotФdv=|д4(Ух)=if.dSx@.
(4.44)
Пример 17.
||dSRot®=[dS(Ух@)=|(dSxV)Ф=$drФ
(4.45)
(теорема Стокси).
4.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В дифференциальной геометрии кривые линии (плоские и пространственные) и поверхности
изучаются методами дифференциального исчислепия; поэтому функции, входящие в уравнения,
предполагаются непрерывными и имеющими непрерывные производные до того порядка, который
необходим по характеру исследуемого вопроса. Это условие может нарушаться только для отдель-
ных особых точек кривой или поверхности (например, для точки разрыва или излома кривой).
При изучении геометрических образов по их уравнениям различают свойства, зависящие от выбора
системы координат (например, пересечение кривой или поверхности с осями координат, наклон
касательной, точки максимума или минимума и т. п.), и инвариантные свойства, не изменяющееся
при преобразовании системы координат и принадлежащие собственно кривой или поверхности
(например, точки перегиба, вершины кривой, кривизна, кручение и т. п.). С другой стороны,
различают локальные свойства, относящиеся к весьма малым частям кривой или поверхности
(например, кривизна, линейный элемент поверхности, угол’ между кривыми в точке пересечения),
и свойства кривой или поверхности в целом (например, число вершин, длина замкнутой кривой,
площадь замкнутой поверхности). Локальные свойства изучают обычно при помощи разложения
соответствующих функций по формуле Тейлора.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
53]
4.3.1. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
4.3.1.1. Способы задания плоских кривых. Уравнение плоской кривой. Плоскую кривую аналити-
чески можно задать одним из следующих способов:
в декартовых координатах:
в явном виде:
у=у(х),
{4.46)
в неявном виде:
|
F(x,у)=0;
{4.47)
в параметрическом виде:
x=x(t, y=y(t)
(4.48)
6 полярных координатах:
р=р ($).
(4.49)
Пример 1 (рис. 4.52). a) y= sin x; 6) x =t?, y=t; в) р=аф, а> 9,
gh
у
(
No
>
a)
5)
8)
Рис. 4.52.
Положительное направление кривой соответствует возрастанию x (см. (4.46)), t (см. (4.48)), ф
(см. 4.49)).
Переход от неявного вида к явному. Гсли (хо, Yo) — точка кривой, т.е. F (хо, yo) = 0
и Е, (Хо, Yo) #0, то уравнение F(x, у) =0 в некоторой малой окрестности точки (хо, Yo) можно
однозначно разрешить относительно у: у = у(х). Кроме того, справедливы формулы
Fi,(x,y0)
И=-
Ру)
(4.50)
и UE) Ble F2PGFSPY — (РО Poy
(Fy
Если же РГ, (хо, Yo) = 0, a Fy (хо, Yo) = 0, TO можно разрешить уравнение F (x, у) = 0 относительно
x: X =x (у); тогда в формулах (4.50) следует поменять местами х и у. Если Fi (хо, Yo) = Fy (хо, Yo) = 9,
то точка (хо, Yo) называется особой точкой (сингулярной точкой) (см. 4.3.1.3).
Переход от параметрического вида к явному. Обозначим производные от x(1,
y(t) через x(t), y(t). Если х(&) #0, то уравнение x = x(t) можно разрешить в некоторой малой
окрестности & относительно ¢ (tf == #(х)). Тогда получим уравнение в явном виде: у = f (x) = y (t (x)).
Справедливы равенства
‚_dy_y(t) „_ XY—УХ
(4.51)
dxx>#3
Если же х (fo) =0,а y(to) #0, TO y= y(t) можно разрешить относительно Е (1=1(у)) и получить
x =g(y)=x(t(y)); в этом случае в формулах (4.51) следует поменять местами х и у. При X (No) =
= у (No) =0 точка кривой, соответствующая значению { = fo, называется особой (сингулярной) точкой
(см. 4.3.1.3).
532
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4.3.1.2. Локальные элемеиты плоской кривой. Касательная к кривой в. точке М определяется как
предельное положение секущей, проходящей через М и соседнюю точку N кривой, при условии,
что М стремится к М (рис. 4.53).
Нормаль — прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания М. Направления на каса-
тельной и нормали выбираются так, как показано на рис. 4.54, т.е. положительное направление
Рис. 4.53.
Рис. 4.54.
Рис. 4.55.
касательной указывает в сторону положительного направления кривой, а положительное направление
нормали получается при повороте положительного направления касательной на 90° против часовой
стрелки. Вектор касательной t (вектор нормали п) представляет собой единичный вектор, совпадаю-
щий с положительным направлением касательной (направлением нормали):
i+ y’ (хо)]
—У (хо) +]
t=
=;
1A= OO
______..
ИЕ + у? (хо) V1 +-y? (x0)
Таблица 4.5
Форма задания кривой
Уравнение касательной в точке (x), Yo)
Уравнение нормали в точке (xX), Vp)
(4.46)
У-—Ув=Уь(х—м)
У -У)=X—No
(4.47)
(Fyo(Y—YW)+(Fy©—Xp)=0
(Fx)yY—у)=(Еyo(x—Xp)
(4.48)
Y~Yo_x=*o
Xy(x—хи)+oyY—Vy)=0
Yo
Xo
Здесь Yo = У’ (Xo), Yo = J(to), (Fy)o = Е, (хо, Yo) и т. д. (см. (4.50), (4.51)).
Пример 2. Кривая y=sinx; у =cosx. Уравнение касательной в точке (хо, Yo): у- SINXo = (х — хо) COS хо;
в частности, при хо = Yo =0: у=х.
Пример 3. Кривая F (x, у) =х? + у? —25 =0 (окружность радиуса 5); Г, =2х, Е, =2у. Уравнение касательной
вточке(хо,Yo):2хо(x—хо)+2уо(у—Yo)=0;таккакx$+уб=25,тоххо+ууо=25;вчастности,прихо=3,Yo=4:
3x+4у=25.
Пример 4. Кривая х=1?, y=; х=2ь у= 3:2. Уравнение касательной в точке (хо, Yo), где Xo =, Yo = td:
3to
2
318(x—хо)—2to(у—Yo)=
Для плоских кривых приняты следующие обозначения (рис. 4.55):
а) В декартовых координатах:
МТ = га И! +у?| (отрезок касательной),
РТ = | г (подкасательная),
y
ММ =[у И! +уУ2?| (отрезок нормали),
РМ = | уу’ | (поднормаль).
6) В полярных координатах:
MT’= pVp?+p”
p
(полярная подкасательная),
(отрезок полярной касательной), OT’ -| p
ММ= р?+p”
(отрезок полярной нормали),
ON’ =|p’ | (полярная поднормаль).
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
533
‚Угол ф между двумя кривыми у=у, (x) и у=у2 (х) в точке (Xo, Yo) равен углу между положи-
тельными направлениями касательных (измерепному против часовой стрелки) и может быть вычис-
лен по формуле
Уз (хо) — Vi (хо) _ Х,(to)
У2 (to) — Х2 (10) Уи (to)
1+y(хо)(у?(хо) X1(10)Х2(to)+Jr(10)2(No0)
#Ф=
Длина дуги кривой у = y (x) (x =х (1, у=у(1)) между точками М, (хи, y,), М» (X2, у2) (рис. 4.56)
вычисляется по формуле
М»
xy
°
200
12
s= ГИУ? (хх = ff? (0)+ 7? (at;
4
ty
у
р
здесь хх = x(t), [= 1, 2.
Дифференциалом длины дуги называется величина
Рис. 4.56,
Этот дифференциал в первом приближении равен расстоянию между точками М, и М», когда эти
точки находятся на достаточно близком расстоянии друг от друга. Для кривой р =р (@) в полярных
координатах длина дуги
Ф›
ф
—
=|4=fр2+р’?dg,
?1
QP
a дифференциал длины дуги
ds = Ир? +р’? dg.
Если через о (М) обозначить угол между положительным направлением OCH х и положительным
направлением касательной в гочке М (измеренный против часовой стрелки), то кривизна К кривой
в точке М определяется как предел К = lim ——— (где дб=а(МNo) -а(М)- угол смежности,
N>+M
|ММ|
A=0 fe
a)
5)
6)
Рис. 4.57.
Рис. 4.58.
—
а |ММ|
— длина дуги кривой между точками М и М, рис. 4.57). Для прямой имеем К=0,
Чем больше |
К
|,. тем сильнее изогнута кривая.
Представление о знаке К даег рис. 4.58.
Таблица 4.6
—
'Способ задапия кривой
Кривизна К в точке М
®
(4.46)
К=ру
722" . Anhnри
#12 ри
РЕ +FEES —FOP yy
(4.47
K=
eee ee
)
(FY? + Гу)?
xy—Xp
2
2
"
(4.49)
КР2Ppp
(p? + p27?
534
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2
Пример 5. 1) y=chx, К = I/ch?x; 2) х=В, y=, K=
3) yp? —x?-
a? =0, Ки:
6
Е(4+912)3/2›
| 2+2
4) р=аф,К=рЕе 5)у2+x?=a’,К=1/а.
Таблица 4.7
Способ
задания
Координаты &, п центра С кривизны
кривой
‘d+ y?
Е +у2
(4.46)
Е =x-— хачу)
n—y+ty.
y
y
Що
Ех (Е; + Fy’)
447
7х FR ORY, + FEF,”
:
Fy (F? + Fy?)
nN=у>рр" _ЕЕ’tie+FoF
уе xx
ху’ xy
x" yy
y(x?+у’)
X(X?+y?)
4.
————
=у+ ———-
{р?+р?)(рcos@+р’sing)
(р?+р’)(psin@—р’cosФ)
=p cosФ—
, =рзшф-—
7
(4.49)
E
p
ф<
р?+2p?_pp”
Ц
р
ф
p?+2p’?_pp
Кругом кривизиы в точке М кривой называется предельное положение круга, проходящего
через точку М и две другие близкие точки No и Р (рис. 4.59), когда N и Р стремятся к М.
Радиус этого круга называется радиусом кривизны К. Справедливо равенство К = 1/] К| (К — кри-
визна). Центр С круга кривизны называется центром кривизны.
4.3.1.3. Точки специальыюго типа. Точка М кривой называется
‚ точкой перегиба, если касательная в точке М пересекает кривую
2 (см. рис. 4.58, в), т.е. в точке перегиба: а) К =0, 6) К меняет знак.
Чтобы найти точки, в которых К == 0, необходимо, согласно табл. 4.7,
решить следующие уравнения:
у=у(х): К =у" (х) = 0,
Е(х,у)=0:К=Fi,F,?—2F,FFi+РЕ?=0,Е+Е,#0;
x= X(t), y= y(t): К =x)
—yX=0,X°+y?#0;
=p(0):K=p?+2p’?—рр"=0,р?+p”#0.
Затем необходимо проверить, меняет ли К знак при прохождении через найденную точку.
2(1—3x?
Пример 6 y= 1, yur 2(l— x) у’ =0 при х1, 2 = + 1/3; при переходе через каждую из точек xX, 2
1+х
(Е+x*)
” меняет знак, следовательно, существуют две ‘гочки перегиба (
i)(
i)
у мен
|
9J
за’
’с
‘TO
or а:
|
oe 97,4 Yo =.
Уз’4 y34
Пример 7. F =x? - у? -- a? =0 (гипербола);
=2х Ре-2у
80 р —F",=2;
K = By? -- 8х?. Уравнения x? — у? - a? =0, x? — у? =: 0 песовместны при a0; таким образом, у гиперболы нет точек
перегиба.
1.
|
.
.
Пример 8. х=а(:-5sin:, у=а(-->.cos) (укороченная циклоида); X=a(|—-=COs‘) у=+sin$,
2
.ad,.4a
a
Yaz sint, j=“zyCost, K= 7 (2cos t—1);точки перегиба:
1
&=Ea+2
(К =0, +1, +2,...).
Пример9.р=— К=1+
И (462 — 1); p= ТЦ точка перегиба
``М,244
2
pom
Точки кривой, в которых кривизна К имеет экстремум (максимум или минимум), называются
вершинами; например, эллинс (рис. 4.60) имеет вершины в точках А, В, С, 0.
ТОЧКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИНА
535
Особые точки кривых в параметрическом представлении. Если кривая
задана в виде х = x(t), y= y(t) их (to)= y (to) =0, то, согласно 4.3.1.1, задание кривой в окрестности
to B виде y=y(x) или х=х(у) невозможно. Тогда поведение в окрестности ty исследуют,
используя разложение по формуле Тейлора (хо = x (to), Yo = у (to):
1
1
ese
х=ху+ay (to)(t—to)?+ay%(to)(t—to)>+...,
1
oe
2
1
eee
3
у=:Уо+ИТУ(20)(Е—to)”+37У(to)(f—fo)”+
Пример 10. х=хо + (t— to)? +..., у=уо H(t — to)? +... (точка зозврата, рис. 4.61, а).
Пример 11. х=хо +(t— to)? +..., у=у + (t — ty)* -@- В)... (точка волврата, рис. 4.61, 6).
y
t<t,
р
A
и”
В
a
В
Let,
~
(1,1)
(То
Рис. 4.60.
Рис. 4.61.
Пример 12. х=хь + (#— to)? +(t—to)* +..., Y= Yo + ((- to)? —(t —to)* +... (кривая коичается в точке (хо, уд),
рис. 4.61, в). Для вычисления наклона касательной необходимо посчитать предел
и Eee
ila x(с)~
Для упрощения исследования часто рекомендуется сделать замену переменных t= — to, E= xX — хо, П=у- Vo.
Особые точки кривых, заданных в неявном виде. Если кривая задана в виде
Е (x, у) =Ои F (Xo, yo)= Fx (хо, Yo) = Fy (хо, Yo) = 0, то, согласно 4.3.1.1, в окрестности точки (хо, уо)
задание кривой в виде у=у(х) или х =х(у) невозможно. В этом случае осуществляют разложение
по формуле Тейлора в окрестности (хо, Yo). Разложение до членов 2-го порядка имеет вид
—
2
2
Е=а(у-yo)”+2b(x—хо)(у—Yo)+с(>—хо)"+...=0,
‚
—
—
_гр
_.
2
где a= Fy (Xo, Yo)s b= Fy (Xo, уо), с = Рух (Xo, Yo), A=ac— bd’.
Если He все коэффициенты a, b, с равны нулю, TO решение квадратного уравнения дает урав-
нения касательных к кривой в точке (хо, Vo).
Случай 1. а 0. Уравнения касательных имеют вид
y—-yo=(-bt+V— A) = —"*. wk + (x — Xo).
Если A>0, TO y= yo, х = хо — единственное решение ((хо, Yo) --- изолированная точка кривой,
рис. 4.62, а). Если A < 0, через (хо, yo) проходят две ветви кривой с наклонами касательных, разными
К + ((хо, Yo) — двойная точка, рис. 4.62, 6).
(95 Yp)
>
—
=и
=
`“02р
а)
6)
8)
2)
Рис. 4.52.
Если A=0, то соотношениями xX — хи == Ecosa—ysina, у- уу = Е зта + noosa, ша = —b/a
вводится новая система координат (сдвиг начала координат в точку (xo, Yo} и поворот на угол a).
Тогда получим
Е=(а+с)п?+...=0.
536
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
При рассмотрении этого уравнения нужно принимать во внимание члены более высокого
(выше второго) порядка. Здесь могут встретиться: изолированная точка (см. далее пример 14),
точка возврата (пример 15), точка самоприкосновения (рис. 4.62, в, пример 16)..
Случай 2. а=0, c#0 (сводится к случаю 1, если поменять местами х
и
у).
Случай 3. а=0, c=0, Б=0. Имеются две ветви кривой с касательными y= yo, X = хо
(двойная точка). Преобразованием координат х — хо, =\ — &, у- уо =т + & получаем, что
|
Е=2Ь (12 — Е?) +...=0
(случай 1).
Если все коэффициенты а, b, с равны нулю, то следует рассмотреть члены 3-го или n-ro порядка
разложения по формуле Тейлора. В этом случае. могут встретиться точки кратности п (рис. 4.62, г).
Пример 13. F (x, у) = (x? + y?)? — 2 (x? — у?) =0 (лемниската):
Fi=4x(x?+у?—1), Е,=4y(х?+у?+1).
Система F, = F',=0 имеет три решения: (0, 0), (1, 0), (—1,0), но только (0,0) удовлетворяет условию Е = 0. Tak
как а = Р», (0, 0) =4, b=0, c= —4, A=ac — b? = —16 < 0, то (0, 0)— двойная ‘точка; уравнения касательных: у = +x.
Пример 14. F (x, у) = у? + х* =0; кривая состоит только из изолированной точки (0, и
Пример 15. Е(х, у) =у? — хз =0, y=+)/x?; кривая определена только при x20; (0, 0) — точка возврата
с горизонтальной касательной.
,
Пример 16. F(x, у) = у? — х* =0, y= +х?; обе ветви кривой касаются друг друга в (0, 0) — точке самоприкосно-
вения. -
'
Особые точки кривых, заданных в полярных координатах. Пусть мы имеем
р = f ($). Если lim f (9) =0 при o> +00 или ф-+ — oO, то р = 0 — асимптотическая точка (вокруг
этой точки кривая закручивается бесконечное число раз, подходя к ней на сколь угодно малое
расстояние, рис. 4.63).
Пример 17. р = ae?®, lim ae? = 0 (логарифмическая спираль).
ф-> —<©
Кривая, заданная выражением y= f (x), имеет при х = хо точку разрыва (рис. 4.64, а), если
функция f(x) в этой точке испытывает скачок. В точках разрыва первой производной кривая
скачком меняет свое направление (точка излома, рис. 4.64, 6).
Пример 18.f(х)=0приx<0, f(x)=1 приx 20(x=0—точкаразрыва).
Пример 19.f=|x],Г’=—1 при x<0, f’= +1 прих>0 (x=0—точка излома).
В общем же случае все точки, в которых кривая ведет себя так же, как на рис. 4.61, 4.62, 4.63
и 4.64 (независимо от способа представления), называются особыми точками кривой. Обратим
SY
g
——_
;
а)
5)
5)
Рис. 4.63.
Рис. 4.64.
Рис. 4.65.
внимание на то, что в случае параметрического задания кривой определение двойных точек очень
затруднительно, так как двойной точке соответствуют различные значения параметра. В этом случае
необходимо перейти к неявной форме задания.
4.3.1.4. Асимптоты. Если кривая какой-либо своей частью неограниченно удаляется от начала
координат, то эта часть (бесконечная ветвь кривой) может иногда иметь асимптоту — прямую,
к которой кривая неограниченно приближается или с одной стороны (рис. 4.65, а), или пересекая ее
(рис. 4.65, 6).
Параметрический вид. Если кривая задана в параметрическом виде: x =х (1), y= су (8),
то для нахождения асимптот ищут значения t = Е; такие, что x(t) ‘или у (1 > при {> Е 0.
В случае, если
1) x(t) о, но y(t) a # 00, прямая у =a является горизонтальной асимптотой;:
2) y(t) 0, но x(t) a # с, прямая x = а является вертикальной асимптотой;
ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА
537
3) у (1)-> 0, x (1)> с, необходимо вычислить оба предела: `
k=ше2,
> x(t)
= lim (y(t) — kx (t));
tot;
если оба предела существуют, TO кривая имеет асимптоту у = kx + 6.
Явный вид. Если кривая задана уравнением вида у = у(х) и существует число а такое, что
yooприха
+
0 или при х > а - 0, то прямая x = а — вертикальная асимптота. Для определения
горизонтальных и наклонных асимптот у = kx +b при x > +00 вычисляются пределы
k= lim
b= lim (y(x)—kx),
х>+0 Х
x— +00
если они существуют (аналогично для х-+ — 00).
т
1
1
Пример 20. x = ——, y=n(tgt—-—t), m>0,n>0,t, ==, в =--—,...,
p
p
costу
(tg
)
?
aa|22
2
.
.
.п.
n
lim x(t)= lim y(t)=+0, k= lim -—(sint—tcosr)=—,
НО
+0
>TM
т
.
nm
. sint—tcost—l
. cos t—cost+tsint
nt
b= lim | n(tgt—t)
-—
——J]=n lim
=n lim
-
=>>
асимптот
м
x
а: y=—x—n—.
ут
2
nx ni
Аналогично для tz получаем асимптоту y = т + > ит.д.
Алгебраическая кривая. Пусть кривая задана в виде F (x, у) = 0, причем F (x, у) является
многочленом от х иу (т — наибольшая степень х).
1) Горизонтальная асимптота у=а. Положим х= 1/Ё и умножением Ha ©” уничтожим &
в знаменателях. Если получающееся таким образом ‘уравнение
С
(E, у) = 0 имеет (не изолированное)
решение у=а, & =0, то прямая у=а является горизонтальной асимптотой.
2) Вертикальная асимптота x = а. Чтобы ее получить, следует в случае 1) поменять местами
хиу.
|
3) Наклонная асимптота у =kx +b. Подставим у=кх +Ь в F(x, у) =0 и расположим члены
полученного таким образом многочлена по убывающим степеням х:
Е(x,kx+b)=fy(kyВх"+Г,(kb)x"+...
Если уравнения f, (k, b) = 0, fo (К, b) = 0 имеют решение, то у = kx + b является наклонной асимптотой.
Пример 21.F(x,у)=x?(y—1)+2x —1=0,х=-. 0- += -1=0,(у-—1]+25
-Е?=0.
Для &-› +0 и тем самым для х-+ +00 получаем, что у-+1; y= | — горизонтальная асимптота.
|
1
Пример 22. F(x, у) =х? (у-1+2х-1=0, yap а (+-1) +2 -1-0 x? (1-8
+ 2x§ -Е=0, x=(-Et
+ Vey- 8).
Для Е» +0 и тем самым для y— +00 получаем, что х-» —0. Следовательно, x =0 является (односторонней)
вертикальной асимптотой.
Пример 23.х?+y?—Заху=0 (листДекарта),Е(x,kx+Ь)=(1+К?)x3+3(k?b—ka)x?+...;полагая 1+КЗ=0
и k?b — ka =0, имеем систему решений k = —1, b= —а; уравнение асимптоты: у = —х — а.
4.3.1.5. Эволюта и эвольвента. Эволюта данной кривой представляет собой кривую, состоящую
из центров кривизны данной кривой. Она же является огибающей нормалей этой кривой. Пара-
метрический вид уравнений эволюты € = € (x), n= n(x) или &=&(1, п=т (И можно получить
на основании формул табл. 4.7, положив там y = y(x) или x = x(t), y= y (bt).
Пример 24. Найдем эволюту параболы у = х?. Согласно табл. 4.7
2х(1+4x?)
1+4х? 1+6x?
—х—
=—43
—х2
—
,
Е=Х 5
х, next
;
Если положить x =t, E=x, п=у, то’ будем иметь уравнение эволюты в параметрическом виде x = —413, y=
|62
2
= ays или, после исключения t, y = > +3 (5) (рис. 4.66).
Эвольвента. Если кривая Г, является эволютой Г., то Г, называется эвольвентой (инво-
лютой) кривой Г.›. Каждая нормаль MC эвольвенты является касательной к эволюте. Длина дуги
538
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
CC, эволюты равна приращению радиуса кривизны эвольвенты (рис. 4.66): CC, = M,C, — MC.
На основании этих свойств эвольвенту Г, можно считать «развертывающей» кривой Г,›, получаю-
щейся из Г› разматыванием натянутой нити. Данной эволюте соответствует семейство эвольвент,
каждая из которых определяется первоначальной длиной натянутой вити {рис. 4.67).
у
41
5.
|
2-
.
Ne
.
CUE
GL)
2+4Ob
\
Puc. 4.66.
Pac. 4.67.
Puc. 4.68.
Для нахождения эвольвенты на основании фермул из табл. 4.7 получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений.
|
4.3.1.6. Огибающая семейства кривых. Под огибающей семейства кривых понимается кривая,
которая в каждой своей точке касается некоторой кривой из заданного семейства. Обе прямые
на рис. 4.68 представляют собой огибающеие семейства окружностей. Если семейство кривых задано
в виде Е (x, у, С) =0, то уравнение огибающей получают, исключая С из обоих уравнений
OF
г.xC)=9
--—(;з’,7=.
Е(x,у. ©)0
ЭС(xуС)0
При этом необходимо, чтобы
Fec#O и Е.ЕСу — FFG, # 0.
`
Пример 25 (рис. 4.68). Я ={х- Су - 72 = 0, г = const (семейство окружносгей); Ес = —2 (х- С) =0, Е сс=
= +240, Искиючая С из особых уравнений, получим у? — г? =0, т. с. две параллельные прямые.
4.3.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
4.3.2.1. Сиособы задалия кривых в пространстве. Кривая в пространстве обычно задается
в параметрическом виде:
х=х(1), y=y(t), 2=2(t),
(4.52)
rae из, <P f--co <a, Вх +0). Если обозначить через r= xi+ yj + 2К радиус-вектор точки
M{x, у, =, то 44.52) можно записать в векторной форме:
r=r(t), r(t)=x(i+y()jtz(ok.
(4.53)
Промзяодные по Е будут обозпачаться точками; например, X(t) представляёт собой первую произ-
водную от X(t) по Е. Будем писать
ЕО
ехЕ ук
Положительное направление на кривой в пространстве соответствует увеличению значения
параметра f. Кривую в пространстве можно задать и как линию пересечения двух поверхностей:
F(x, у, 2) =0, G(x, y,z)=90.
4.3.2.2. Локальные элемекты кривой в простраистве. Длина дуги между двумя точками Мои М
пространственной кривой, соответствующими значениям параметра fo, :, равна
‚
.
.
1,2
.22.
dr \?
dr
s= 14, ds=V/(x (0)? + (9 (0)? + (2 (0)? at= эр) tala [anlar
(4.54)
fo
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КРИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
539
Если зафиксировать точку Мо, то в качестве нового параметра кривой можно ввести $ (натуральный
параметр); $ положителен, если М следует за Мо (в смысле задаваемого при помощи Е положи-
тельного направления). Тогда получим x ==х (5), у=у(5); 2=2(5, или г=г(;).
Разложение в ряд Тейлора. В окрестности точки M,, соответствующей длине луги
51 = MoM,, справедливо равенство
dr (51)
1 427 (51)
1 43: ($1)
г(5)=r(51)+5 (5—51)ттas —51)2+31as —s,)+...,
(4.55)
или в координатной записи (для y(s), 2(5) аналогично):
ах ($51)
Г а2х (51)
3 . deх(Si)|
34
х($=x(5)+—ds -($—51)+>г
($—51)+3 3
— $1)+
Нсли заменить 5 на t, то соответствующие ‘формулы будут справедливы для г (1.
dv (s)
Касательная. Единичный вектор t = — 1; ` совпадает с направлением касательной в точке
$
М и указывает в сторону положительного направления кривой.
dr {3}
и
>
wy
Главная HO рмаль и кривизна. Единичный вектор в, сонаправленныи всктору Тя.
as”
называется вектором главной нормали к кривой в точке М. Справедливы равенства
d’r ($)
_ d?x(5)\? 42у(s)
422 (s)
ere ORC RC
Коэффициент К > 0 называется кривизной кривой в точке М. Величина К = 1/К называется puduycom
кривизны. В случае плоской кривой кривизне приписывают еще знак + или — (см. 4.3.1.2}. Если
кривизна во всех точках кривой равна нулю (К = 0), то мы имеем дело с прямой в пространстве.
Сопровождающий трехгранник. Вектор касательной { всегда перпеидикулярен век-
тору главной нормали п. Если дополнить ¢ и п пернендикулярным к ним единичным вектором
b=t xn (вектор бинормали) до правой тройки еди-
ничных векторов, то получим тройку векторов $, р, b,
которую называют сопровождающим трехгранником
Винормаль „д
в точке М пространственной кривой (рис. 4.69).
[~~
Согласно формуле (4.55) кривая с точностью до членов
2-го порядка малости лежит в плоскости, натянутой
Ha фи п (соприкасающаяся плоскость), на пи b
натянута нормальная плоскость, Ha t и b-— спрям-
x
Спрямляющая
7 ППОбВАЕТЬ
боприкасающаяся
плоснасть
„7 Глибная
=.
ляющая плоскость.
rr ^ пормаль
К ручение. Кручение пространственной кривой
=1(5) в точке М (5) определяется формулой
Рормальния
x’у2’
— ПЛОСКОСТЬ
xyl3"
Kacamenonan
т i R? dr(s) d?r(s) dr (s)
x” yl" 2"
Рис. 4.69,
=mт=
ds’ds’ds?
—(х”24-y?+2”?)
(х’— первая производная по $ и т. д.). Если кручение во всех точках кривой равно нулю (T= 0),
то мы имеем дело с плоской кривой. Если в некоторой фиксированной точке М, кручение Г = 0,
то, согласно формуле (4.55), кривая в окрестности точки М, с точностью до членов 3-го порядка
представляет собой плоскую кривуго. Знак Т позволяет определить направление закручивиния кривой;
Т> 0 означает, что для наблюдателя, стоящего на сонрикасающейся плоскости, натянутой на %, м,
в направлении b кривая закручивается вверх против часовой стрелки (правый винт, рис. 4.69};
T <0 соответствует левому винту.
Общий параметрический вид. Если кривая задана в виде (4.52), то
1 22—(er)? (2+2+22)(NK?4H?+2?)—(KK+Pp+23)?
27
_
KO=
(3
У
(4.56)
lx pz
ху
1_| ‚(rt?)
хуй
x~
(¢2)3 =a (x? 4 у? 4. 27)3
540
‚ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Пример 26. Вычислим кривизну и кручение винтовой линии
xXx=acost, y=asin ¢, z= bt,
а>0
(6 >0- правая винтовая линия, рис. 4.70; Б <0-— левая винтовая линия). Заменим параметр { длиной дуги
rf+
——-
7
sa[Yi+jr4a?demeVa?+b;
тогда
5
.
5
bs
=acos —=—-—,
у=азт oS)
245-5
Иа?+b?
Им?+b?
Иа?+b?
таким образом, кривизна
I|42х\?4?у\?422\? а
KR” Vie) +( ast) +\ 7457] = GF aR
постоянна. Согласно (4.56) кручение
—asint acost 6
—acost —asint 0
г-(“ +")
asint~acost 0
b
a
[(—a sin 02 + (a cost)? +b7]> a? + 6?
также NOCTOANHO.
4.3.2.3. Основная теорема теории кривых. Формулы Серре-— Френе. Для производных
от векторов t, п, b сопровождающего трехгранника справедливы так называемые формулы Серре —
Френе:
|
4
4
к
ооюуть %® ть
(4.57)
ds
ds
ds
Основная теорема теории кривых. Если на отрезке О <у<а существуют две
непрерывные функции К (53 >20, Т(5), то с точностью до расположения в пространстве существует
единственная кривая L: r =r(s) OSs <a такая, что $ представляет собой длину дуги, а кривизна
и кручение кривой L равны соответственно К (5) и T(5).
Построение кривой L проводится следующим образом:
а) Система (4.57) представляет собой систему девяти обыкновенных дифференциальных урав-
нений для компонент векторов & п, No. Заданием (0), п (0), Ь (0) (задание сопровождающего
трехгранника в точке s = 0) решение системы (4.57) t (5), п (5), Ь ($) определяется однозначно.
6) Если, далее, задан г (0) (5 =0 — начальная точка кривой), то г (5) получаем по формуле
5
г(5)=г(0)+[6(5)ds.
0
4.3.3. ПОВЕРХНОСТИ
4.3.3.1. Способы задания поверхностей. Уравнение поверхиости. Поверхность в трех-
‘мерном пространстве можно определить следующим образом:
в явпой форме:
z= 2(x, у);
(4.58)
в неявной форме:
Е(x,у,2)=0;
(4.59)
в параметрической форме:
х=х (и, 0), у=у( 0) 2=2(и, v);
(4.60)
в векторной форме:
r=r (u, 0).
(4.61)
Здесь (4.61) представляет собой совокупность уравнений вида (4.60), записанную в векторной
форме, причем г = м + yj + zk означает радиус-вектор точки поверхности М (x, у, 2):
г(и,v)=x(и,v)i+ у(иу+z(u,ВК.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
54]
Пример 27. Уравнение сферы радиуса К с центром в точке О (0,0, 0) имеет вид
‘
Е(x,у,2)=x?+у?+22—В?=0;
впараметрическойформе(0<и<2м,О<ь<п): х=Кс05ипо,у=Кпить, 2=Кcos0;
ввекторнойформе:г=(KRcosиsinи)1+(Вsinиsinv)j+(Rcosv)К.
Криволинейные координаты на поверхности. Если в формулах (4.60) зафикси-
ровать параметр v (v = v,), то получим уравнение кривой на поверхности, называемой координатной
линией v = v, (рис. 4.71). Аналогично при фиксированном и (и = и;) получится координатная линия
u=u;. В общем случае эти косрдинатные линии покрывают сплошь всю поверхность. Точке Му,
которая является точкой пересечения координатных линий u = uy, V = Vy, поставим в соответствие
криволинейные координаты (u;, vy). Координатные линии ориентируют в направлении возрастающих
значений параметров. Нараметры и, о на сфере (рис. 4.72) имеют следующий смысл: и — долгота,
и — полярный угол, отсчитываемый от северного полюса. Линии v = const, соответственно и = const,
представляют собой параллели, соответственно меридианы.
Hopean
|
22-—!А TSS
С.
iM
eeoc dns i) Te
1)|
yl
ТИ! |!lt1!
NB
Рис. 4.71.
Рис. 4.72.
Рис. 4.73.
Тензорные поля на поверхности. Положим и! =u, и? =v. Если на поверхности
заданы две функции a, (и\, и?) (n= 1,2), которые при переходе от системы и к системе и“
на поверхности преобразуются по формулам
a, (ut, и?) =
,
a a, (u!, и?)
(4.62)
то а, (u', и?) называют один раз ковариантным тензорным полем Ha поверхности. В (4.62) использо-
вано (как и во всем разделе 4.3) соглашение о суммировании: суммирование от | до 2 производится
по одинаковым верхним и нижним греческим индексам. Функции а _ р (u', и?) (их 2k + 21) обра-
1 ...
К
зуют К раз ковариантное и К раз контравариантное теизорное поле на поверхности, если при
переходе от системы и’ к системе и“ они преобразуются по формулам
i
‚в
Витиз)OHaul?оaulи8,Gtyay
ty.М aeBREGRaTgatSntw)
‘
4.3.3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Сопровождающий трехгран-
ник. Пусть поверхность отнесена к криволинейным координатам и, v. Тогда векторы, касатель-
ные в точке М (и, v) к координатным линиям и и о соответственно, определяются по фор-
мулам
Ox(и,5)i+dy(u,v) +dz(и,v)k
Ox(u,v)i+Oy(u,v) +Oz(и,5)к
Г:=Г,(и,0)=
j
(=,(и, v) =
j
_
ди
ди
ди ’ 2=",(45)
до
до
dv
ry
Единичные векторы €; = Trl’ e, = ТТ определяют (при условии, что они неколлинеарны)
ry
ro
касательную плоскость в точке М (рис. 4.73). Касательная плоскость к поверхности в точке М
представляет собой плоскость, в которой лежат все касательные к кривым на поверхности, про-
ходящим через М.
542
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Единичный вектор нормали М в точке М есть вектор, перпендикулярный к касательной
плоскости в точке М и направленный таким образом, что е,, €2, М образуют правую тройку
векторов. Справедливо равенство
ry ХГ.>
lr, хг2 |.
Тройка векторов e,, @,, М, зависящая от точки поверхности, называется сопровождающим трех-
зранником. Вектор
dS=(г,(и,v)хх.(и,v))dudv
по направлению совпадает ¢ М (du > 0, dv > 0); его длина |dS|=|r, x r.| du 42 приближенно равна
площади криволинейного параллелограмма, натянутого на точки (и, 0), (и + du, 5), (и, v + dv) (рис. 4.74).
Рис. 4.74.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Способ
Уравненне касательной плоскости в точке
Параметрическое уравнение нормали к поверх-
задания
Мо(Хо,Уд»20):а(Х—Хо)+В(у-Yo)+
ностивточкеM(X@Vor2%)1X—Ху=at,
поверхности
+c(z—=)=
y-yo=bt, 2-20=4
(4.58)
=22Ko»Yo) b=G2(KoYo) c=1
д
ду
(4.59)
а=OF(хо,Yo,20)‚b=OF(хо,Yo,Zo)‚с=ЗЕ(Xo,Yo,20)
ox
ду
92
ay) [=
=) (ax
>) (ay
au),\дыJo
диJo\биJ
duo \ouJo
(4.60)
a=
|b=
ex
( %.) (=)
82) (2х.
ox\ [5
\dv/o dv16
OvJo\Ovfo
dv /о v},
(4.64
(©—1)N(M,)=0
|
г то+tN(Мо)
г радиус-вектор. «текущей» точки М (x, у, 2) касательной плоскости (нормали к поверхности). Фиксированная
точка Мо имеет криволинейные координаты (Uy, Uo); Ox \ — OX (0) | т. д.
ди0
би
Пример 28. Для сферы F = x? +- у? + =? — Е? = 0 уравнецие хасательной плоскости в точке Мо (хо, Yo, Zo) имеет вид
Хо(K—хо)-Yo(У—Yo)+20(2—20)=0,
илихох+уоу+202=R?.
Уравнение вормали к поверхности:
X=МХ
У=Yo, 2=125,
—O<0<4-0.
Особые точки поверхности. Если в некоторой точке М (хо, yo, Zo) поверхности
OFOFOF
.
.
Е (x, у, 2\ = @ выполняетвя условие пе
= 0, то точка Мо называется особой точкой
xcy
2
{конической точкой). Разложив функцию Е(х,у,2) по формуле Тейлора в окрестности точки
(Xo, Yo. 20), получим, что касательные ко всем проходящим через Мо кривым не лежат в одной
МЕТРИЧЕСКИЕ. СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
543
плоскости, а образуют конус 2-го порядка, уравнение которого имеет вид
92Е
92Е
/
0?F
д2Е
(5Эа=)(х—хо)?+(5,0 —Yo)?+(9-2),(z—20)?+2(a), (x—хо)(у—Yo)+
92Е
02Е
+2(By2),(Y—Yo)(2—20)+2(52),(2—20)(x—хо)=0
и т. д. Если все частные производные 2-го порядка обращаются
Ox?
Ax?
в нуль, TO мы имеем конус 3-ro илн более высокого порядка.
_ 4.3.3.3. Метрические свойства поверхностей. Первая квадратичная форма поверх-
ности. Пусть поверхность задана в векторной форме: г=г (и, 5). Если w=u(t), v=v(t), то
r=r(t)=r (u(t), v(t)) представляет собой кривую на поверхности. Справедливо равенство
dr.du
dy
2
2
где (5 =), = O°F (хо, Yos Zo)
Дифференциал длины дуги, согласно (4.54), имеет внд
ds?=(4г)?=Еdu?+2Еdudv+Сdv?,
(4.63)
or
ax
dy\? /дг\?
% \° (ax\? (ay\? (az\?
=|—
+ —) +(—-}, G=(——} =(-—-} +1] +{—},
ди
‘ди
ди
ди
dv
Ov
Ov
до
OrOrдхдх4 ду д2д2
—диdv.диov+биOververe
rye
Если поверхность задана в виде 2 = z (x, у), TO
Oz
02 02
92 \?
Е=1+
‚ F=——,
G=1+{(—}].
(32) ax dy
у (5)
Выражение в правой части формулы (4.63) называется первой квадратичной формой поверхности.
Если положить
1
2—
__
_
_
А)
_
7
и=и uv=vd, 911=В, 912=921=РЁ, 922=С,
то, используя соглашение о суммировании (см. 4.3.3.1), первую квадратичную форму можно
записать в виде
ds? = gy, ам" du’.
При переходе к другой криволинейной системе координат и” на поверхности получим ds* = gig duTM du’?
причем справедливо равенство
,_Ourdu
Guтдб98
Таким образом, функции gg представляют собой координаты a ковариантного тензорного
поля (метрический тензор) (см. (4. 62). Положим д = det д.,= ЕС — РЕ", =G/g, gi = 91? = —F/g,
42? = E/g. Справедливо равенство 4“? Jpy = 6%. При переходе от системы }. к системе и” функции 9“,
соответственно 4, преобразуются по формулам
ap 9" OUP
Out 0%
(иважды контравариантное тензорное поле), соответственно
2
дяи?),
_д (и', и?) _ ды’ ди? ди’ ди’
д (и! и’) ди"! ди? дий au’?
‚ где
Чтобы криволинейным системам координат на поверхности поставить в соответствие ориента-
цию | = +1, выберем в качестве положительной (п = +1) некоторую фиксированную систему щ,
544
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
а для произвольной системы им определим п как знак функционального определителя: п =
. O(u', и?)
= sign ——;—,. Тогда тензоры Леви-Чивита (дискриминантные тензоры)
9 (us, ua)
|
Ev?=asи
Е=ПИЯ&,
V9
где
11=522=0, gl?=gta,
преобразуются так же, как д и дв соответственно.
Пример 29.Длясферыг=К(cosиsinvi+sinиsinvj+cosvk)имеем
Е=Е?мп? F=0, G=R?;
таким образом, ds? = В? (sin? v du? + dv’).
Первая квадратичная форма определяет все метрические свойства поверхности.
Длина дуги. Длина дуги кривой г =г(и (1), v(t)) на поверхности между точками, соответ-
ствующими значениям параметра ty Mt, равна
1
{
du \?
Чи dv
dv \?
5= $=
—
2Е——
—
.
°{aЕ
+Pitdt+6()dt
fo
10
Площадь поверхности. Кусок поверхности, который образуется, когда параметры и, v
пробегают область D плоскости и, и, имеет площадь
ffdS=ffVEG—Е?dudv.
D
D
Угол между двумя кривыми на поверхности. Если r=r(u, (1), шв, (t), r=
=г (uz (1), v2 (t)) — две кривые на поверхности г =r (и, 5), которые пересекаются в точке М, то угол
пересечения и (угол между положительными паправлениями касательных в точке М) вычисляется
по формуле
Ей2+F(#102+$112)+(9152
?
/Eu}+2Fitydy+GotИЕй?+2Find,+Go?
cosa =
где u,, соответственно й›,— первая производная от и, (t), соответственно и_ (1, при значении
параметра, соответствующего точке М, и т. д.
Отображение одной поверхности в другую. Пусть поверхности
5: r=r,(u,v) и Sz: r=r,fu, 0)
заданы в одной и той же области D плоскости параметров ии v (возможно, после замены
параметров). Если точке М, поверхности 5, с радиус-вектором г, (и, и) поставить в соответствие
точку М, поверхности 5, с радиус-вектором г. (и, 9), то мы получим взаимно однозначное
отображение одной поверхности на другую. Это отображение называется: 1) сохраняющим длину,
если при нем длина произвольной кривой остается неизменной; 2) сохраняющим углы (конформное),
если при нем не изменяется угол между двумя произвольными пересекающимися кривыми;
3) сохраняющим площадь (эквиареальным), если при нем не изменяется площадь произвольного
куска поверхности.
Необходимое и достаточное условис, пакладываемое
Отображение
на первую квалратичиую форму
Сохрапяющее длипу
Е=Е,,В=FP,Ч=G,
Сохраняющее угол (копформпое)
Е=АЁ.,Е=A,С,=АС»,А(и, >0
Сохраняющее площадь (эквиареальное)
E,G,—Е?=E,G,—Е?
Еь Еь G; — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности 5; (i = 1, 2). Данные соотно-
шения должны выполняться в каждой точке поверхности.
Каждое отображение, сохраняющее длину, является конформным и сохраняющим площадь.
Кажлое конформное и сохраняющее площадь отображение сохраняет длину.
СВОЙСТВА КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ
545
4.3.3.4. Свойства кривизиы поверхности. Выражение в правой части формулы
—dNdr=Ldu?+2Mdudv+Ndv?
называется второй квадратичной формой поверхности. Она определяет свойства кривизны поверх-
ности. Справедливы равенства
l
n
m
L=r,,N = ———, Ne=riN= ——,
Me=rN = —,,
VEG—Е?
VEG-Е?
VEG— Е?
где
д2х 0?у д?2_
д2х 02у 022
д2х 0?у 022
ди? ди? ди?
ди до dudv дидь
Ov? dv? dv?
p_|9х9oz
ma\| 9х ду 02
=oxOyOz
дидиди|
дидиди
,|дидиди
axayв
axye | oxaya
‘Ov.44
OvOvOv
ддOv
Если положить и! = и, и? =ви by, =L, В. =Ь., М, Ь,› =М, то вторую квадратичную форму
можно записать в следующем виде:
—dN dr = by, du* du’.
При переходе от системы и“ к системе и” справедливо равенство
—dN dr = bi, duTM du’®,
rye
, диди
=€
ap ди“ ди 18’
„ди!и)
здесь = — знак функционального определителя: € = sign ———.-. Следовательно, функции b,, пред-
д (и!, и?)
,
зв
>
ставляют собой координаты дважды ковариантного псевдотензора. Положим, по определению,
b = det b,, = LN — М?, Ь преобразуется по тому же закону, что и
д
(см. 4.3.3.3).
Главные кривизны. Для фиксированной точки поверхности М всегда можно выбрать
декартову систему координат х, у, 2 такую, что начело координат лежит в М, а плоскость x, у
совпадает с касательной плоскостью, проходящей через М. В этой системе координат поверхность
(в некоторой окрестности точки М) можно представить в виде 2.= 2(х, у), причем
dz(0,0)_dz(0,0)_
Ox7ду7
Соответствующий сопровождающий трехгранник в точке Мо состоит из трех единичных векторов
€,;, е›, М =e, хе», которые направлены по координатным осям. Разложение по формуле Тейлора
в окрестности точки М „имеет вид
1 2220.0 2. 20,0), 1 8220,0
2 ax?
дхду>2oy
z(0, 0) =
0.
у? +...
Поворотом декартовой системы координат вокруг оси 2 можно добиться того, чтобы
1
2=>(kx?--ky?)+...
(4.64)
1
‚ В, = — — главными радиусами кри-
Величины k,, hk. называются главными кривизнами, К, =
i
1
2
1
визны, К = К.К. — гауссовой кривизной, Н = 5 (К, + К>) — средней кривизной в точке М.
1
i
H =—-
Пример 30.Для сферы радиуса К К,=К,=К, К= RZ
RR:
В выделенной системе координат, в которой поверхность может быть представлена в виде (4.64),
квадратичные формы в точке М имеют особенно простой вид:
(dr)? = ах? + ау, —dNdr=k, ах? +k, 4у?.
546
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Для произвольной системы координат на поверхности справедливы равенства
b_1М-М?
LG—2FM+EN
д EG—F?’
2 (EG— Е?)
|
H=—9,=
Главные кривизны k,, К› — корни квадратного уравнения К? — 2Hk + K = 0.
|
Существенное преимущество применения тензорного исчисления в дифференциальной геометрии
состоит в том, что, зная величины в некоторой удобной системе координат и зная их поведение
при преобразовании, можно тотчас же написать выражение этих величин в произвольной системе
координат No. Главные кривизны при изменении ориентации меняют только свой знак (псевдо-
скаляры), следовательно,.К при переходе к произвольной системе и“ не изменяется (скаляр). Чтобы
найти выражение для К в системе u*, необходимо лишь построить скаляр, который в выделенной
системе координат совпадает с k,k,. Таким образом, мы получаем скаляр b/g. Аналогично можно
построить псевдоскаляр для Н.
Классификация точек поверхности (формула (4.64)) позволяет определить вид
поверхности в окрестности точки Мо (в выделенной системе координат). Благодаря этому
в окрестности Мо получаем следующую классификацию:
В окрестиости ‘гочки М, поверхность
Название точки
Аналитическое определение
с точностыо до членов 3-го порядка .
ведет себя, как:
|
Эллиптическая точка
K=k,k,> 0 (т.е. LM — No> 0)
эллипсоид
Круговая точка
К=К.К,>0,ky=k,
сфера
Гиперболическая точка
К=КК,<0(т.е.LM—No<0)
однополостный гиперболоид
Параболическая точка
K=k,k,=0 (т.е. LM — No = 0)
а)К?+КЗ=0
цилиндр
6)А=k,=0
‚плоскость
Поверхности, для которых Н=0, называются минимальными. Поверхности, для которых
К = const, называются поверхностями постоянной кривизны. Простейшие примеры: К > 0 — сфера,
К <0- псевдосфера (поверхность вращения трактрисы:;: рис. 4.75).
Поверхность называется линейчатой, если она получается при движении в пространстве прямой
(например, конус, цилиндр, однополостной гиперболоид, гиперболический 'параболоид). Если поверх-
ность при этом может быть развернута на плоскость, то говорят
о развертывающейся поверхности (например, конус, цилиндр). Во
всех точках развертывающейся поверхности К = 0, следовательно,
LN—М?=0.
Если пересечь поверхность плоскостью, приходящей через
нормаль к поверхности в точке М, то образующаяся кривая на-
зывается нормальным сечением в точке М. Всегда существуютдва
взаимно перпендикулярных направления, в которых кривизна соот-
ветствующих нормальных сечений в точке М равна главным
кривизнам К, и. К›. Эти направления соответствуют направлениям
осей выделенной системы координат и называются направлениями
главной. кривизны, а соответствующие сечения — главными нормаль-
ными сечениями поверхности. Если секущая плоскость образует
с осью е, угол 9, то кривизна Км нормального сечения в точке М
равна
ky=К,cos?а+ksin?а
(формула Эйлера).
Пусть поверхность задана в векторной форме; г=г(и, 5).
Кривизна нормального сечения в точке М, имеющего направление
Рис. 4.75.
Ат, + рт» равна
-
__бр _ГА?+2MAp+Ny?
М GaphtX® CER? + 2FAu + Gp? ›
roe A=), A427 =p. Направления главных кривизн Ar,+ г, можно получить, определив A, м из
уравнения
РобыА=0,
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
547
или, более подробно,
2(FN—СМ)+Хи(ЕМ—GL)+p?(EM—FL)=0.
(4.65)
В направлениях главных кривизн кривизна нормального сечения Ку принимает экстремальные
(максимальное и минимальное) значения, равные главным кривизнам k,, К2.
Линии кривизны — кривые г =r(и (1), v (t)) на поверхности, направления касательных к которым
в каждой точке совпадают с одним из направлений главной кривизны. Их дифференциальные
уравнения можно получить из формулы (4.65), положив А = 4и/@ и и = 4/4. Если секущая
плоскость, проходящая через точку М, образует с нормалью к поверхности в точке М угол y 0,
то кривая, являющаяся линией пересечения плоскости и поверхности, называется наклонным
сечением поверхности. Кривизна К наклонного сечения в точке М вычисляется по формуле
К=Кмcosу
(теорема Менье).
Кривизна произвольной кривой на поверхности. Пусть г =r (u(t); v (t))
— про-
извольная кривая на поверхности. Кривизна кривой в точке М равна кривизне наклонного сечения
поверхности в точке М, которое образуется при пересечении поверхности со спрямляющей плоскостью
кривой в точке М, натянутой на вектор касательной и вектор главной нормали. Зная главные
кривизны в точке М, можно, следовательно, вычислить кривизну всех кривых на поверхности,
проходящих через эту точку.
4.3.3.5. Основная теорема теории поверхностей. Деривационные формулы Гаусса
и Вейнгартена. Изменение сопровождающего трехгранника (см. 4.3.3.2) описывается так называе-
мыми формулами для производных:
Or _or,
диди—див
aN
= Геи. + bapN (Гаусс),
aye = — 9”"Ьг, (Вейнгартен),
и
где г; = ди/ди'. Все индексы пробегают значения от 1 до 2. По одинаковым верхним и нижним
индексам производится суммирование от 1 до 2. Символы Кристоффеля Г» вычисляются по
формуле
1 09us,095_09
T°,= 35 a
в_Ур)
“р
(4+ae ди?
Они не обладают свойствами тензоров. Формулы для производных представляют собой системы
‘из 18 дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для компонент векторов
ry,la,N.|
Условия интегрируемости. Из равенств
Or, _ 0%.
дм_02М
диди—диди’ ди’див—дивди"
получаются так называемые условия интегрируемости:
0b
0b
я —_aut—Viobi.+(Pi,—Г1>)12+VPiibaa=0,
4.66)
ab ab
(
aut—т —ГБ1+(Г12—132)bi2+Г1>652=0
(формулы Майнарди — Кодацци),
Б=Ь, 1622 — bi. =. 1212
(4.67)
(формула Гаусса). Здесь
Каруб = Ков, Сна
где
.. vi OLY
OVhy
=a
у—М_fv
4.68
Ras, т. ax? Га
ax® Veo! py
()
— тензор кривизны. Римана.
Так как`К = b/g, то формула Гаусса (основная теорема Гаусса) может быть записана
в виде К = Ё!2!2/9. Отсюда следует, что гауссову кривизну можно выразить только через коэффи-
циенты Ё, Е, С первой квадратичной формы и первые и вторые производные от них. Следовательно,
548
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кривизна К может быть определена только из измерений на поверхности, без рассмотрения
окружающего пространства (свойство внутренней геометрии поверхности). При отображениях,
сохраняющих длину, кривизна К в соответствующих точках одинакова. Так как для сферы (плоскости).
К = 1/R? (К =0), то сферу никогда нельзя отобразить на плоскость, сохраняя длину.
Основная теорема. Если заданы функции
gir(и',и?)=Е(и,0), 912(u',и?)=921=F(и,5), 922(и',и?)=С(и,5)
(лважды непрерывно дифференцируемые) и
bi, (и', и?) =L (u, 0),
bi2 (u', и?) = ba; (и', и?) =M (u, v),
b22(u',и?)=No(м,5)
(один раз непрерывно дифференцируемые), для которых выполнены условия интегрируемости (4.66),
(4.67), и, кроме того, для любых действительных чисел /, и таких, что А? + p? #0, справедливо
неравенство ЕЛ? + 2РАи + Gu? > 0, то существует поверхность г =F (и, 0) (трижды непрерывно диф-
ференцируемая), коэффициенты первой и второй квадратичных форм которой совпадают с заданными
функциями. Поверхность определена однозначно с точностью до движения в пространстве (сдвига
и поворота).
Построение этой поверхности проводится следующим образом:
1) На основании формул Гаусса и Вейнгартена для производных однозначно находится
сопровождающий трехгранник r,, г2, М, если он задан в некоторой фиксированной точке М (uo, vo).
2) Так как ae =" то отсюда можно вычислить г (и, 5); г (и, 9) определяется однозначно, если
потребовать, чтобы поверхность проходила через точку М.
4.3.3.6. Геодезические линии на поверхности. Геодезические линии. Кривая на поверх-
ности называется геодезической линией, если в каждой точке главная нормаль кривой и нормаль
к поверхности коллинеарны. Кратчайшая линия, лежащая на поверхности и соединяющая две точки
поверхности, всегда является частью геодезической линии. На плоскости геодезическими линиями
являются прямые. На’сфере окружности больших кругов (например, нулевой меридиан и экватор)
суть геодезические линии. Геодезические линии на искривленной поверхности соответствуют прямым
на плоскости. Геодезическая линия г =г (5) =r (и (5), 0 (5)) ($ — длина дуги) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
а? и“
du® аш
ds? Prdsds=0
(x=1,2),
(4.69)
и обратно, всякое решение этого дифференциального уравнения представляет собой геодезическую
линию (о коэффициентах Кристоффеля Гу, см. 4.3.3.5). Если поверхность задана в явном виде:
z=2z(x, у), то дифференциальное уравнение геодезической линии y = y(x), 2 = 2(х, у(х)) имеет вид
дг \? д2 \^\ 42, az 022 (4у\? д2 022 dz 0?z\ [ау\?
1+{—)}) +(—) )=54— lS) +(25- 4
||) +
ax
ду ах? дх ду? \dx
дхдхдудуду ах
dz022 dzGz \dy02072
axOx? dyOxdy} dx dyax?"
Геодезическая кривизна. Для кривой на поверхности г =г (s) =F (и (5), о(5)) ($ — длина
дуги) всегда существует разложение вида
7
d’r
dr
dr
dr\ат
— =kyN+k,{(N
x—
Км=N—
k,=(N
x—|—.
ds?N9
ds}’N ds*’ы
ds}ds?
Если кривая представляет собой нормальное сечение в точке М, то в этой точке К, =0и ky
равна кривизне нормального сечения; вообще ky в точке М равна кривизне нормального сечения,
проходящего через М, с той же касательной, что и г(5); К, называется геодезической кривизной.
Кривая на поверхности тогда и только тогда является геодезической линией, когда К, = 0.
Пусть 5 — кусок поверхности, ограниченной простой замкнутой кривой OS с геодезической
кривизной К, и длиной дуги $; тогда
$К,45+IКdS=2n
(4.70)
95
(теорема Гаусса — Бонне); [| К dS называется полной кривизной куска поверхности. Полная кривизна
5
замкнутой поверхности, которую можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить
на сферу, всегда равна 4л. Для замкнутых поверхностей, которые таким же образом можно
отобразить на поверхность тора, полная кривизна равна нулю.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
549
4.4. РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
4.4.1. РЯДЫ ФУРЬЕ
4.4.1.1. Общие попятия. При решении многих задач физики и математики необходимо осу-
ществить разложение периодической функции с периодом 2т в ряд по тригонометрическим функциям:
Г(х)=24+р(акcoskx+b,sinkx).
(4.71)
Ряд вида (4.71) называется рядом Фурье, а разложение функции в ряд Фурье составляет задачу
гармонического анализа. В приложениях зачастую ограничиваются конечным числом членов и полу-
чают при этом приближение функции тригонометрическим многочленом. Если рассматривается
гильбертово пространство L? i п), то система функций
1УVan” _7COSХх, уsinx, у 2х, яsin2x, тcos3x, а sin3x,...
является полной ортопормированной системой. Отсюда следует, что при приближении функции
|
п
.,
f (x) ¢ L? (—1, x) тригонометрическим многочленом $5, (x) = > + 2 (a, cos kx + B, sin kx) среднеквад-
ратичная погрешность 52 = Г (f (x) — $, (x))* dx минимальна тогда и только тогда, когда в качестве
к
и, В, выбраны так называемые коэффициенты Фурье функции f (x), которые определяются следую-
щим образом: к
|к
— [ бдео kx 4х (К=0,1,2,...), и = [ro sinkxdx (k=1,2,...). (472)
tT
TR
Отсюда следует, что для каждой функции / (х)Е L? (—т, п) сумма
s,(x)==+>(a,coskx+b,sinkx),
k=1
где a, и В, вычислены по формулам (4.72), сходится к f в смысле среднего квадратичного:
lim J(f(x)— 9dx=0
Hh CO -xzr
Во многих случаях представляет интерес вопрос: когла ряд Фурье сходится в обычном смысле,
т.е. поточечно, и каким образом он описывает функцию f (x)? На так поставленный вопрос дает
ответ теорема Дирихле. Пусть f(x) удовлетворяет в (—п, п) так называемым условиям
Дирихле: а) интервал (—п, п) можно разбить на конечное число интервалов, в которых /f (x)
непрерывна и монотонна; 6) если хо является точкой разрыва функции f (x), то существуют
f (хо + 0) и f (xo — 0). Тогда ряд Фурье функции f (x) сходится и имеет место равенство
-
J (x), если f непрерывна в x,
limEee2,(008bx+bysinks)|= Х(x+0)+f(x—0)
n>
2
в противном случае.
Если представить функцию f (x) периодически, с периодом 27, продолженной на всю ось, то
утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех Xx.
Если раскладываемая з ряд Фурье функция имеет период 21, то рассматривают интервал (—1[, J).
При этом коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам
1
. knx
* dx (К=0,1,2,...), b= | Лом
ay (k=1,2,...), (4.73)
—1
a, = —Е [онаcos
ряд Фурье функции f (x) имеет вид
а
ao
knx
. knx
,
>+
4кCOSTFPesin——.
k=1
В этом случае все вышеприведенные утверждения остаются в силе.
550
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Ряд Фурье
$(х)==.+ (a,coskx+b,sinkx)
ее)
k=1
может быть также записан в одной из следующих форм:
coe]
s(x)==.+».Акsin(kx+@,),
k=1
где
Ay=Vai+.b2, teQ=г
s(x) = у. cye'**,
где
>,
если k=O,
"И
1.
ы- [roekxdy=§5 (a4—iby) если К>0,
т
|
| > (@-к +ib_,), если k< 0.
Симметрия. Если f(x) в (—л, п) — четная функция, т.е. f(—x)=f (x), то коэффициенты
Фурье находятся по формулам
2
|
ак==|(x)coskxdx,
b,=0.
(4.74)
0
При этом ряд Фурье функции f (x) имеет вид
a
s(x)=>+)ахcoskx.
(4.75)
k=1
Если f (x) — нечетная функция, т. е. f (—х) = —f (x), то коэффициенты Фурье находят по формулам
2
ак=0, b=_|(x)sinkxах.
(4.76)
0
При этом ряд Фурье функции f (x) имеет вид
$(х)=Уb,sinkx.
(4.77)
k=1
Разложение на интервале (0, л). Если функция f (x) задана Ha интервале (0, п) и удов-
летворяет условиям Дирихле, то ее можно разложить как в ряд по косинусам вида (4.75), так
и в ряд по синусам вида (4.77); в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам (4.74),
а во втором — по формулам (4.76). Оба ряда в интервале (0, п) дают значение функции f (x) в точках
Л(х +0) +Л(х-0)
2
|
нако вне (0, х) эти разложения описывают разные функции. Ряд по косинусам дает такую функцию,
которая получается“ из / (x) путем четного продолжения на соседний интервал (—7, 0) и периоди-
ческого продолжения с периодом 27 вне (—7, п) (рис. 4.76, а). Ряд по синусам дает такую функцию,
которая получается из f (x) путем нечетного продолжения на (—т, 0) и периодического продолжения
с периодом 2n вне (—7, п) (рис. 4.76, 6).
.
непрерывности функции / (х) и величину
в точках разрыва функции f (x). Од-
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
55]
Если f (х) ‘задана на интервале (0,1), то формулы (4.74), соответственно (4.76), записывают
в следующем виде:
I
k
a= |S(cos ds, b,=0,
0
соответственно
I
|f(x)sin= dx.
0
2
a,=0, b=>
Тогда ряд (4.75), соответственно (4.77), принимает вид
со
knx
$(x)=oe)акCOS—,
k=1
соответственно
со
k
=) b,sin—.
k=1
4.4.1.2. Таблица некоторых разложений в ряд Фурье. Ниже приведены разложения в ряд Фурье
некоторых простейших функций, которые заданы в определенных интервалах и продолжены
У
-2п —
0п21т
ИРИ,
1
L
i
|
>=
-47-2T027475L
6)
Рис. 4.76.
Рис. 4.77.
периодически вне их. Для некоторых разложений дано графическое изображение формы кривой.
Разложения относятся к интервалу (—т, п), соответственно (0, 7).
‚ В общем случае разложения периодических функций нередко могут быть получены путем
изменения масштаба как по оси х, так и по оси у. Пусть, например, дана функция у=х-+1 при
0 <х <2Тс периодом 2T (рис. 4.77). Посредством замены переменных
_ (y-—T-1)x и X= (x —T)"
T
T
получаем функцию 1 в табл. 4.8, т.е. функцию Y=X, заданную Ha интервале —п<Х <7,
Y
552
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
с периодом2n. Согласно этой таблице получаем
y=2 sinX sin2X+sin3X
,
5
3
...].
Отсюда при помощи указанной выше замены, принимая во внимание свойство линейности разло-
жения в ряд Фурье, получим искомое разложение:
(T+1)27siTX+L.2nx+1.3x+
=
——| sin—+—sin--—+--ма-— +...
y
птот73T
Таблица 4.8
1. у=х при —п<х<п;
sinx sin2x sin3x
y=2 ии
+pT
При значениях аргумента +kn ряд дает, согласно
теореме Дирихле, значение функции, равное 0
2. у=|х|при —п <х<п;
_us 4
cos3x cos5x+cos7x+
y
ут
cosx+ 32+ 52
72
...
пп 2ninatbn
3. у=х при O<x <27;
.
sinx sin2x sin3x
y
y=n—2|——+ en
aes
VL LLcz,
-2n02n4n
(
x
п<р:
4/.
sin3x_|sin5x
при — — <х<-—,
=—[sinx—
_...
pe
2—
32 5?
|
л
4. у=
к—хприоS*<u
Yh
п
—(п+х)при -n<x< -—;
\
2
-
‘sya —а при —п<х<0,
4а[. яп3х зщ5x
а при O0<x<m, а>0;
yrsinx+3+5+...
у
ППС,
раме
=>
—
—
—
—
с, при —-п<х<0,
:
:
6.у=
_ten4Hof
sin 3x sin 5x
уae
о<х<л:
у=5
2=sinx+3+5+...
9
—
eC
Г
А
C.
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
553
Таблица 4.8 (продолжение)
О при —-л<х< —-пл+4а —-а<х<а п-а<х<м,
7. у=
а при а<х<т-ч,
—а при —-t+a<x< а, а>0, 0<a<1/2;
4а
|
1
у=— cos951x+—cos3asin3x+—-cosSasinSx+...
T
mt
[ах
при -—a<x <q,
a
пр @<x<nu—-4,
—а
при -лп+а<х<—-@,
8у=
а (п — x) пр Пп-«а<х<м,
Oo
a(x +
( п при -t<x<-nr+aa>0,0<a<n/2;
\
Oo
4asin«sinx+|sin3in3x+|sinSersi5х+
= —|sinasinx + —-sin За sin 3x + —-
шэх+...].
у To.
32
52
| В частности, при © = 1/3 получаем
|
ба3/. Е.
1.
Е.
y=
sinx—57sin5х+zzsin7х—TEsin11х+...
9. у=х? при —-nt<x <7:
п?
cos 2х cos 3x
y
p
5
4
(вх
52+3-...)
Yh
-п.0 п2nt3n$n5nбп
—x? при -п<х<0,
10. y=
5x* при O<x <7;
(si
sin2x зщ3x
8a
sin3x эт 5x
у=2
|
sinx —
+
—...|—
+
+...
2
3
1?+3°
53
11. y=x(n—x) при О<х<т
9
и четно продолжена на (—т, 0);
n? ( cos2x cos4x — cos 6x
`
—
+
+...
у=6
12+22
32
554
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ `ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ЛАПЛАСА
Таблица 4.8 (продолжение)
12. у=х(п-
х) при
9О<х<т
у
и нечетно продолжена а (— п, 0);
8/.
sin3x sin5x+
A
=
yosinx+33+53ut
AW
27
|
13. у= Ах? + Вх+С при -п<х<п;
©
k
sin k
y=А"+С+4Аи on 28уни——
3
14. y=|sinx|при —л<х<л;
y
2 4(=2х cos4x cos6x+
пп\13|35|57
-п0п2Gn
15.у=созхпри 0<х<т
и нечетно продолжена на (—7, 0);
(ее 4sin4x 65 6x
Г|357°5-7
О при —л<х<0,
16. у = sinx при 0<х<п;
1+1.
2/cos2x+£084х+£086х
<—
=—_
—sinx—_
eee
п
2
n\ 1-3 3.5 5.7
п
17. у = COS их при —п<х < т, где и- произвольное не целое действительное число;
_2usinun 1 cosх cos2x cos3x
7п22w®-1-4и-9т
18. у = зп их при —t <x < т, где и — произвольное не целое действительное число;
2sinun( sinx 2sin2x За3x
у
...
+
2|
и? —4
и? —9
п
19. у=хсозх при —-п<х<п;
— 1. +4sin2x 6sin3x 8sin4x7
y=—-7sinx 2—1
32|
42|
...
20. у= хзшхпри —л<х<л;
11
2 cos2х cos3x+cos4x
PRET ZOOS EN ga BR geo
2ushut 1
COs х
cos 2x cos 3x
21. y=chux
при —пл<х<м. их 0;
=
—_
—
*
P
*
y
п (2 и?+12 +22 124372 )
22. y=shux
при -п<х< п;
_2shun sinх 2пах,3sin3x
|
P
|
77
и?+12 +22 12432 ``
23. y=eTM* при —п<х<т а*0;
аи
Lave
7бош кан |
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
NSS
„В последующих примерах имеют в виду не столько задачу о TOM, как разложить. данную
функцию в. ряд Фурье, сколько обратный вопрос: к каким функциям сходятся некоторые простые
тригонометрические ряды?
24. ar:cos kx in (2 sin 5). O<x<2n.
ink
_
25.y=хх хо
0 <х <2n.
26.
coskx73x?—блх+212
k?
12
27.)ae=-[в(2sin=)de
O0<x<2n
k=1
0
|
k
x
2
со
og, у SS fae|ш(2
Ш)ap, =OSx<In
k
2
k
k=1
0
0
k=1
о”
120205
кз 25/9436... *’ у.
k=1
|
sin'k
_32
.29.)=> ы = my б<х<2м
k=1
- 30, ие Е (2005). —n<x <n.
k
2
k=1
yet sin kx _х
_
31. (—1)
RQ?
п <х<т.
k=1
2_ 2,2
32.Уиcoe_-—,
—N<X<T
k=1
|
ink
.33.Ус = ={n(20s5dz,
—-N<EXK<N.
k=1
0
К
1
t
:34.у
ы “Ye ttt T= а [1n(2 cos 5) a —n<x<n.
k=1
0
0
ne m*x—x?
35. ye 1+1
=
,
—-п<х<л.
556
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
со
cos(2k+1)x _ 1
х
36. )
haI=5in(te>)
0<х<л.
k=0
sin(2k+1)x т
.
=—,
0 <х<т.
7)2+14
ws
k=0
) cos(2k+1)x _ п? — 2nx
=
O0<x<
38. (Qk+1)
8
<”
k=0
sin(2k+1)x
|
2
=—— tg—|4
О<х<л.
в) ОЕ+1p
=[No(=>)2,
х<п
k=0
о
cos(2k+1х_1
1
=
А
O<x <n.
>) (ak+13
5“ € S)a+) cea
xu
k=0
0
k=0
sin(2k+1)x mn*x — 1x?
41.
=
$<х<*®.
`
в) (2k+1}
8 › O<x<n
k=0
cos(2k+1)-x у
у
у
42.
—1*
=—
——
—-.
2УХ)1
д
5 <х<5
k=0
“yp m@k+Ox [ях Bey ek
43.ух1) и
=>Intg4+2,
< <>.
k=0
со
л/2-—х
cos(2k+1)х
1
2
п
т
—1)
=->
tg=
== <х<—.
*xЕЕ
2|(#5)
о:
k=0
о
\
sin(2k+1)x пх
у
у
45. —1)
=—-,
—=<х<-—.
=
5$ <>
к=0
cos(2k+1)x п?- 4nx?
п
T
46. —1)
=
——<х<-.
6)
Ok+ 3
32›
2S*S9
k=0
со
л/2-х
sin(2k+1)x 1
у
у
47.
—1}
=—
dz |ш[+
—-—<x<—
Ххбт 2||"(<У 0”
2 <*S<9
k=0
0
0
4.4.1.3. Численный гармонический анализ. Если в промежутке 0 <x < L функция f (x) известна
kL
только в дискретной системе точек х, = м (К =0,1,..., М — 1), то задача ее приближенного пред-
ставления тригонометрическим многочленом решается следующим образом.
Система функций
9 (x;,) = exp (Йо)
(К,l=0,1,seyМ—1),
ЧИСЛЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
557
2пхь
где о, = т образует ортонормирсванную систему относительно скалярного произведения
1 N=!
9-х > SO) Ge)
(4.78)
k=0
(черта над д — знак комплексного сопряжения). Отсюда следует, что тригонометрический многочлен
N-1
N-1
Ty()=)са,(x).=)с(2 ),
(4.79)
N-1
1
lj
Cc,=NW)Л(x;)exp(-2=х)
(4.80)
j=0
принимает в точках xX, значения f (x,), т.е. решает задачу тригонометрической интерполяции. При
этом отрезок этого многочлена дает наилучшее приближение к f(x) в смысле метрики (4.78)
по сравнению с аналогичным тригонометрическим многочленом, но с другими коэффициентами.
где
k
k
Так как exp (it м) = exp| 2 (N — J) rat то из формулы (4.80) следует, что
Cy = Cn_]
(i=1, 2,..., n—1),
N+1
где n= a ([х] — целая часть x — наибольшее целое число, не превосходящее x), коэффициент Co,
а при четном N также и с, действителен. Если обозначить a, = с, + см-Noь 0, = i(C, — см-ю,
L<k<n-—1, ид = 26%, а при М четном a, = 2c,, то формула (4.79) примет вид
n—-1
|
2
Ty(x)=>+)(acos(==)+b;sin(=+))+=cos(=)
(4.81)
Последний член возникает только при No четном. При этом для вычисления а, и В, служат формулы
N-1
N-t!
2
kl
2
.
kl
a;=м, (хк)Cos(=wy) b,=мС. sm(=)
(=0,1,..., 23 bo = b, = 0). (4.82)
k=0
k=1
Погрешность интерполяции f (x) — Ty (x) в точках, не являющихся узловыми, существенно
зависит от членов более высоких порядков в разложении f (x) в бесконечный ряд Фурье.
Если М = ра, то для вычисления коэффициентов с, можно применить формулы
р-1
1
jr
Cp,т=—
Л(Xm j)exp(2 *\.
1
р»м
р
j=0
а-1
(4.83)
1
_lm
а=— с,.mEXP —2ni—-);
O<r<p-1, 0<m<q-1, 0<1<М-1.
q
m=0
Величины с, „ являются коэффициентами Фурье 4 функций, заданных р значениями, совпадающими
с f (x) в точках хи+м 0 =0,..., p— 1). По ним вычисляются окончательные значения Cc, Разлагая р
на множители, можно рекуррентно применять формулы (4.83) для вычисления с, „. Такой способ
вычислений, позволяющий значительно сократить их объем, называется быстрым преобразованием
Фурье. Особенно эффективным является этот метод, когда М = 2°. В этом случае формулы (4.83)
558
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
могут быть записаны в виде следующих соотношений:
_1
И
ск = (Cin + exp (—19,) CF, nq)
O<k<q-l,
(4.84)
_
1
..
Cp, k = (6;,, — вр (— 99, Ch к+а), 0<j<p-1,
где q=2'"', p=25"', а, = п/р.
Полагая сначала r=s u co, =f (x,) и переходя рекуррентно по формулам (4.84) or r k r—1,
получим в результате значения с‘ о, равные искомым коэффициентам с,
Используемые при этом значения exp (—ija,) также вычисляются рекуррентно:
при j четном
exp (бы) = exp (1,
ex Та
+ex 71а
р
2
r+i
p
2
r+
exp (—ija,) =
’
при j нечетном
1+0$
©
.
гдеось,=|/ 5an
Вычисления по формулам (4.84) требуют числа действий порядка N log, N вместо No? по фор-
мулам (4.80).
Для действительных коэффициентов Фурье а; и b; формулы (4.84) можно преобразовать
к следующему виду:
1
,
Dg =- (G5, e+ COS jet, - OF, weg — SiN joty + BF, вн), O<k<q-I,
г-Т.
1г
:
r
НИ
г
‚
р
Яр},к=ala.1—COSjo, 25,к+а+Sinjo,>DFnq),
0<j< >,
1
._.
.
bi=>(к+Sinjo,45,ка+COS0,"Вка),
О<&<а- 1,
(4.85)
r-1
1
r
‘.
r
°
r
.
р
Бр}к=>(oO+sinjo,а),ка+COS
jo, - Bj, к+а),
0<j< >.
Как и в формулах (4.84), здесь 4 = 2'"', р=2°", а, = п/р. Рекурсия начинается с г= $, ab , = 2f (хи),
bo,,=0.Приэтомвсегда56,=bj,=0.
Для синусов и косинусов справедливы формулы:
при j четном
j
.
_J
COSja,=COS7%+ь —Sinjo,=sin=OL,+15
при j нечетном
J
O41 + SIN
+1
cos1+1[2 +cos4= a
sin
2
r+1
2
r+
2
COs ja, =
,
2COS&,
2COSa,
Формулу для COS а, CM. выше.
На практике, кроме М = 2°, часто встречается также N =3. 2°. В этом случае можно восполь-
зоваться формулами (4.83), полагая р = 2", 4=3, а для вычисления с, „ (т= 0, 1, 2) трижды при-
менить формулы (4.84).
Так как формулы (4.79) при x = х, совершенно аналогичны формулам (4.80), то метод быстрого
преобразования Фурье с успехом применяется в случаях, когда требуется вычислить значения
je пе,
тригонометрического многочлена Ty (x) с известными коэффициентами в точках Xj =p (O<j<
<N—1).
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
559
4.4.2. ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
4.4.2.1. Общие поиятия. Непериодическая функция / (х) не может быть разложена в ряд Фурье.
Однако при определенных предположениях из разложения в ряд Фурье на интервале (—11
посредством предельного перехода при [-› + со получают разложение f в так называемый интеграл
Фурье. Пусть f (x) в любом конечном интервале подчиняется условиям Дирихле (ср. 4.4.1.1) и яв-
+®
ляется абсолютно интегрируемой, т.е. {| | / (х) | 4х < +. Тогда для всех x имеет место формула
со
Л(х)=J(а(у)cos(xy)+b(у)sin(xy))dy,
(4.86)
где
+
+
a(y)=— |Г)сов(yu)du, B(y)=—|f(u)sin(yu)du,
(4.87)
Правая часть формулы (4.86) называется интегралом Фурье функции f (x), а вычисляемые
согласно (4.87) коэффициенты напоминают по своему виду коэффициенты ряда Фурье. В точках
разрыва функции f (x) правая часть формулы (4.86) принимает значения, равные 5 (f (x + 0) +
+f(x—0).
В то время как разложение в ряд Фурье дает представление периодической функции (с периодом
у
1
представляет функцию f (x) как бы в виде суммы бесконечно болышого числа колебаний с непре-
рывно изменяющейся частотой у; говорят, что интеграл Фурье дает разложение функции в непре-
рывный спектр.
Важным достаточным условием сходимости интеграла Фурье служит признак Жордана —
Дирихле. Если функция f (x) в каждом конечном интервале имеет не более чем конечное число
точек разрыва, f является функцией ограниченной вариации в каждом конечном интервале и
+®
§|f(x)[4х<0,то
—©
2] в виде суммы гармонических колебаний с частотами y, =n (п=1,2,...), интеграл Фурье
+0
- f (x) в точках непрерывности f,
J(a(y)cos(xy)+b(y)sin(xy)dy=< |
|
5 (1 (x +0) + f (x —0)) в точках разрыва.
При этом а(у), В (у) определяются согласно (4.87). Интеграл Фурье может быть также записан.
+®
+o
следующим образом: f (x) = i. | ау | f (и) cos у (и — х) аи, или в комплексной форме:
п
0
—©
Х<)=x |ау|f(и)е“—du.
(4.88)
Внешний интеграл в (4.88) понимается в смысле главного значения. Формула (4.88) может воспри-
ниматься как суперпозиция следующих двух формул:
Е(у)=т |(x)e*dx,
(4.89)
1Г
=——|Р)е ау.
4.90
Л(x) Van | (у)е y
(4.90)
—©
560
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Функция РЁ (у), которая поставлена в соответствие функции /(х) согласно (4.89), называется
трансформантой Фурье функции f (x), а сам переход от f к F называется преобразованием Фурье.
Если задана трансформанта Фурье F (у), то посредством так называемого обратного преобразования
Фурье (4.90) получают снова / (x). Вообще говоря, Е — комплексная функция и для действительных /
Исходная функция f (x) также может принимать комплексные значения, обладая действительным
аргументом x. Трансформанта Фурье существует, если f(x) удовлетворяет указанным выше
уеловиям существования формулы Фурье. При этом интеграл в (4.89) понимается, вообще говоря,
в смысле главного значения. Преобразование Фурье в (4.89) можно составить из косинус-преобразо-
вания и синус-преобразования Фурье. Косинус-преобразование Фурье и обратное к нему определяются
формулами
—+o
—+o
2
2
Ру) = || | f(x)cosxydx,. S(x)= |/—- | Fe(y) cos xy dy,
(4.91)
о
0
соответственно синус-преобразование и обратное к нему — посредством
—to
—+a
2
2
Е, (у) = = f (x)sinxydx, f(x)= 7 Е, (у) sin xy dy.
(4.92)
о
0
Для четной функции f (x) имеет место равенство F (у)= F,(y) (при y <0 Е. (у) продолжается
четным образом); для нечетной f (x) имеет место равенство F (у) =1Е, (у) (при у<0 ЕЁ, (у) продол-
жается нечетным образом). В общем случае f (x) разлагается на сумму четной и нечетной функций:
Х(<)=9(x)+h(x),гдед(x)=—и (x)+f(—x)),A(x)=—~(f(x)—f(—x)).Отсюдаследует,чтоF(у)=
= G,(y)+ iH,(y); при этом с. (У) есть синус-траноформанта Фурье функции g(x), а HA,(y)—
синус-трансформанта Фурье функции h(x). Следовательно, можно в принципе ограничиваться
косинус- и синус-трансформантами Фурье.
Свойства трансформант Фурье.
1. Если f(x) абсолютно интегрируема в интервале (—00, +00), то функция Е(у)=
+00
_1
И2”
2. Если для некоторого натурального числа. п функция х"/(х) абсолютно интегрируема
в интервале (—с0, +00), To Е(у) п раз дифференцируема и все производные Г’(у),..., Ё® (у)
стремятся к нулю при y— +00.
3. Если f (x) и первые п — 1 производных стремятся к нулю при x — +00, а п-я производная
fTM (x) в интервале (— 00, +00) абсолютно интегрируема, тт Ит y"F(y)=
у>о
| (x) e*” dx непрерывна при — © <у< +00 и стремится к нулю при y— +00.
Многообразные применения преобразования Фурье в теории вероятностей (теория характеристи-
ческих функций), при решении краевых задач и сингулярных интегральных уравнений (метод
Винера — Хопфа), а также в электронике и других технических областях обусловливаются главным
образом следующими теоремами.
Теорема о свертке. Трансформанта Фурье свертки двух функций (и * g) (x) =
= J fly) g (x — y) iy) с точностью до |/2п равна произведению трансформант Фурье сомножителей:
+®
|(f*9)(x)вdx=/2nF(y)-G(y).
—-@o
|.
/20
Теорема непрерывности. Если jim п fn () = J (x), To lim Е, (y)=F (y) (F,, Е являются
n— co
трансформантами Фурье функций f,, соответственно /). Обратно: если трансформанты Фурье Г, (у)
последовательности функций f, (x) сходятся к непрерывной функции F (у), то существует функция f (x)
такая, что lim f,(x)= / (х) и Е(у) есть трансформанта Фурье функции f (x).
na@
Теорема о дифференцировании. Во множестве значений преобразования Фурьс опе-
рация дифференцирования преобразуется в умножение на независимое переменное; точнее говоря,
ТАБЛИЦЫ ТРАНСФОРМАНТ ФУРЬЕ
561
если С (у) есть трансформанта Фурье функции f’ (x), то С (у) = —iyF (у), где Е (у) есть трансформанта
Фурье функции f.
Преобразование Фурье в К" (общая теория). Рассмотрим множество G(R") так
называемых функций медленного роста из В":
SR) = (в С°); sup, |510") | <};
В = (В1,..., В»),
OX = (91,..., Oy),
При / (х);© (В") трансформанта Фурье F (у) (у = (уь, ..., у,)) определяется посредством формулы
НИ |F(x)ef 4х,
И@т)"
R
n
roe<x,y>=>жу,.
i=l
Теоремы, аналогичные указанным для В', остаются справедливыми.
4.4.2.2. Таблицы трансформант Фурье. Встречающиеся в таблицах сокращения будут пояснены
в конце раздела.
Косинус-преобразование Фурье
—
tam
2
Л (x)
Е= |/2 |f(x)cos(xy)dx
о
1,0
о...
eS
2 sin (ay)
0, х>а
=ty
x, 0<х<1,
oe
2-x,1<x<2,
2f
a2V\ -2
s|/2 (cos y sin A)
0,x >2
0,0<x<a,
>
1
-\/2-cm
=»
х>а
х
1
_1
Их
Vy
1
x
eadat Le
Vy
0. x>a
=
.
0, 0<x <a,
1=2C (ay)
Аха
Vy
x
(a+x)"' (a>0)
2/2 [ —si (ay) sin (ay) — Ci (ay) cos (ay)]
(a_x)7! (a>0)
2
.
.
к
.
\2cos(ay)Ci(ay)+sin(ay)(5+Siww)|
(a? + x?)7!
Ai o-w
20а
562
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
—+o
2
Л (x)
Е(=le |Л(х)'со$(ху)dx
i?)
| (а? — х?)-1
\5 sin (ay)
|
2у
b
b
в
ах |ах
У?к е` cos (ay)
а+х
а-х
ву
2x е_”? sin (а
Пахра хр
Vx
(ay)
а?+ х?)-12
2
wre)
|2 Ко (ay)
(а? — х2) 12, О<х<а,
р
to
x>0
ле
7
х “, 0<Rev<1
2
nv
~~ eS
ae
_
v-1
|sin(угаУ)у
e~
2a
к a+y?
ex —eTM
у
1
а?+y?
_—_
ln ——
x
Уж \P+¥
Ух“
у? 2 2)-3/4
3
y
a7(a+y*) Cos>arets7
ee”
[о + y?)'2 1/2
Их
a’+у?
xe
2 niq?t! (a? + 2-41)
(-1тС2т
у2m
п|
у
ка
7)ntlа
xv len ax
\2 Г (v) (a? + y?)~"? cos (v arctg 2)
~
In (1 — e72")
JAfh od ot
x\2 хо e&-1
2m
eo
у а- 12? /(4а)
x7 Mgr ais
a г-И2ау (cos И2ау — sin //2ay)
У.
— 3/2 „-айх
2-/
х “!*e
26 day cos |/ 2ay
ить
_ 2 Si(y)
0, х>1
|
кy
Inx
-—-(c+ 5 +in4y)
и
jy"?
ТАБЛИЦЫ ТРАНСФОРМАНТ ФУРЬЕ `
563
J (x)
20) |/2 |Sf(x)cos(xy)dx
0
(x? — а?) In (x/a)
x> 7 (sin (ay) Ci (ay) — cos (ay) si (ay)
_
(x? — а?) In (bx)
| + {sin (ay) [Ci (ay) — In(ab)] — cos (ay) si (ay)}
= inl +x)
г (<= (=>) ++ (>)
x
a (с (5)) +(*(3)) |
in| 2%
| |5[cos(by)—cos(ay)]+cos(by)Si(by)+
box
уy2
+cos(ay)Si(ay)—sin(ay)Ci(ay)—sin(by)Ciву!
e7 Inx
2
1
а
2
2
у
2 ИУ [ас+5In(a*+y*)+yarctg(All
a?+x?
an,
i" (S25)
i)
y
а? х2
р
in|
(cos (by) — e~”)
1 а+х\?
/2n :
=In=>
—2 //2n si (ay)
In(a?+x?)
о
2
Е
Pelle)
In (.1 а?
1-е”
OT
И
2
> 1—cos (ay)
ofr
Vix =)
x
y
sin (ax)
у
хо
>, y<aq,
‹
_.
1
ка
=а
>
2,у
А
| 0,у=0
кa
=siox)
| e~TM ch(by),у<a,
-//5 e~” sh (ab), у>а
\
564
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Ло)
—+a
2
F(у)=|2 |(x)cos(xy)dx
0
sin (ах)
x (x?+ b?)
Из
if
-2 (1-е 98 ch (by), y<a-
b-2e- sh (ab), y>a
е
м
v
i
e~* sin (ах)
|
а+у + a-y
x Lb++)
+(а-у’
хз
|
2
е sinx
arctg (=)
x
2m
у?
:
2
sin? (ax)
Е14a
x
2 /2n
y
sin (ax) sin (bx)
| Sty
x
Иж | (a—b)-y?
sin? (ax)
'
x?
5 а- у}, y<2a,
0,
y>2a
sin? (ax)
Tis{(y+3a)In(y+3a)+(y—3a)In|y—3a|—
x2
42n
;
—(y+a)in(y+a)—(y—a)
In] y— a];
sin? (ax)
( Е1/х
—в-
4 Va Ge-y) 0<у<а,
|п
ати. уе
1п
= > (Зи — у)?, a<y<3a,
\
0,
у>За
2
1—cos(ах)
tin tt—“<
х
И
у
1—cos(ax)
ee)<a
2
у’у
’
x2
у>а
cos (ах)
b?+x?
же ee ch (ab)
————, У>а
Е е“eh
ети ch (by) |
2
у <а,
e~ 8х cos (ax)
1
b
+
||
/2n Ь?+(a—у)? b?+(a+у)?
py2
e~* cos (ах)
1 (42+ y7)/4b oy (
—е
ch5
/2
= ТАБЛИЦЫ ТРАНСФОРМАНТ ФУРЬЕ
565
S (x)
+0
Е(у)=|2 |f(x)cos(ху)dx
о
x
pax 8 (ax)
\/2n ch (by) (1 + г?%)-!
—^ а (ах)
bax СВ
/2n ch (by) (2 — 1)-!
sin (ах?)
(=)
2
|2
sin[a(1—x?)]
—Tacos(«+++=)
5
—
-
-
aS
.\5yE(y?/4a)—С(>)+2asin(=+=)
inte)
Ге (ОЙ
=
ЕС
2.
е`“* sin (bx?)
1
(a? +b?)"4 e
х
«sin шев(5) В” |
sin Ea) 4 (a? +B)
р
УЕ
cos (ax?)
wilo(@)-=()
cos[a(1—х2)]
ene” cos (bx?)
1
_
|
_7ау?(a?+y?)1
—=(42+Ь?)Че
х
2
by?
—1ша8
РЕ
| Jo(2Vay)
A [sin(2Vay)+cos(2Vay)-е 2Vay]
у
у
!a,~[sin(2Иду)+cos(2Vay)+e? ау]
а
i
1 [cos(2Vay)—sin(2Vay)+e~2Vay)
2Vy
1 [cos(2Vay)—sin(2Vay)+г?Vary
a
|sin(aИх)
Их
x
($) =($)-3($) = ($)
566
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
f (>)
Е(y=| |f(x)cos(xy)dx
,
e~* sin (a Их)
Га aye
_ ——ab (b?+у?) 1
(b? + a?)3/*¢ 4
|х
а?у
3
у
.
xCOS 4(5?+у?)myarctg()| |
а
2
sin (a Их
х
vls(2)+c(2)]
т cos(аИх)
=—
eTM
Vx cos (b Их)
1 oy(а?+52)!
4
x
Ру
1“Гу\
х cos| t@+yy 2 arctg (>
e4Ухcos(аИх)
а И? (2у)-м? ea
ау
Th [cos(aVx)—sin(aУх)
Синус-преобразование Фурье.
>
J (x)
—+o
F(y)=/2 |f(x)sin(ху)4х
(9)
[2 1 —cos (ay)
n
у
2-2
12 (У
‹|/2, sin у sin (4)
ТАБЛИЦЫ ТРАНСФОРМАНТ ФУРЬЕ
567
Е)=\2 |“f(x)sin(xy)ах
(9)
Л (x)
_
“wo
2$ (ay)
x
ry
0,
x>a
Vy
0, O<x<a
1- 25 (ay)
1sa
Vy
сУх
w
и
‚Ух
(а+х)' (a>0)
|/2 [sin (ay) Ci (ау) — cos (ay) si (ay)]
(a—x)' (a>0)
\2sin(ay)Ci(ay)—cos(ay)(4+Siwa)|
x
Ew
a? +x?
2°
2
2\-1
21(.1
Ci
;
(а? — x?)
ха Lin (ay) Ci (ay) — cos (ay) Si (ay)]
b
b
by
_
2у
+ (а-х)? БР +(а+х)?
Изя en sin (ay)
:
а+х
—
-_
Praia я
Ик ет сов (ay)
=om
- |; cos (ау)
1
п 1—cos(ау)
x(а?—x?)
2
а?|
1
п 1-е“
x(а?+x?)
2a?
x7’, 0<Rev<2
2
f
mv
1
/2 cos (3) Г(1- Му
е`_“х
ee
°
— arctg
x
к
en—е_8х
2Г
Ь?+у?
, У\_
У
2
+barctg р аarctg р
2
ya(a?+y*)”9/4sinEarctg2|
(a?+у?)—а\!?
а?+у?
568
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Л (x)
—+
Ро)=\3 |£2)sin(a
0
1—п
Ay ax
2
1
2
2m+1
xe
= tant (a? + y2)-@ry
у
(—1)” cmi' (2)
m=0
а
—
1
x’ 1е-чх
2
2
2У
.
у
=ГМ(a*+y?)
sin E arctg 2]a
th (ny)
е * (l-e*)
2x
2yШ
- ах?
—
е У /(4a)
xe
a4a
“1/2. ale
1 -//
м
x7 2p -al
—- eV 2ay [cos И2ау + sin Vay]
Vy
хех
|2 -И2ау sin |/2ay
a
{pe oskst
\2 Ci(y)-—C—Iny
0,
x>1
п
y
inx
+ (C+iny)
x
Inx
1E
a
|сшЯ
Их
Vy [2
x(x?—а?)In(bx)
| [cos (ay) (In (ab) — Ci (ay)) — sin (ay) si (ay)]
x (x? — a?)7! In (=)а
-/5 [cos (ay) Ci (ay) + sin (ay) si (ay)]
e Inx
21
ot
5
\2Far |eae (2)-Су 5уIn(а?+57)
atx
2t in (|+cos(by)Ci(by)—cos(ay)Ci(ay)+
In b-—x
пу
Ь
+sin(by)Si(by)—sin(ay)Si(ay)+>[sin(by)+sin(я
atx
2
In} Gx
> (ay)
y
2= [1—cos(ay)—aysi(ау)]
(St)
ия пи
аг+
х-х
ЗУ -УИа?nose )
2
Inj 1%
<Ez[C+In(ay)—cos(ay)Ci(ay)—sin(ay)Si(ay)}
, a +(b+ x7")
п а? +(6-х)?,
гу e~” sin (by)
ТАБЛИЦЫ ТРАНСФОРМАНТ ФУРЬЕ”
569
f (x)
F(y=2 |Гоол ax
0
1
2..2
iy we|У.
= Init atx" |
-px ci(2)
Sinfr-
/2n [С+In(ay) —Ci(ay)]
x
x2
2 [С+In(ay
| sin (ax)
|—
x
/2n
ya
sin (ах).
(р
x?
ex 0<y<a,
у—
п
а
у>а
\
sin (пх).
—
1—x?
|Z sn agy<n,
0,
y2un
рeo
/$ г sh (by), O<y <a,
sin (ax)
b?+x?
— —by
||;=—-зв(26), —у>а
e~>* sin (ax)
=6
|
_
1
Иж 1 +@-у be +(a+y)
e” 8х sin (ax)
x
Е 2 b?+(y+a)?
4 т b?+(y—a)?
2.
e~* sin (ах)
1
2
a
ea +5146 op[GY
*(3)
sin? (ax)
x
УВ{ a Vem, 0<y< 2a,
|=Vie. y=2a,
Lo
y> 2a
sin (ax) sin (bx)
0,
О<у<а-Ь,
x
15 V2", a-—b<y<a+b,
0,
yroatb
sin? (ax)
2
1`
Хх
= (у+2a)In(у+2a)+(y—2a)In|y—2a
ушу
1
sin? (ax)
7 Vix» (20-3), 0<y<2a,
—
x
К2
zo,
y>2a
570
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
+
x
1/2
Л (х)
Е(у)= > f(x)sin(xy)ах
i?)
0, 0<y<a,
1
—
|
— ]/2м, у=а,
cos (ах)
4у
х
—
Ee
.
/
__
-
Xcos (ax)
-|/; e~* sh (by), O<y<a,
b?+x?
‹
—
\5e~8ch(ab),
y>a
sin (ax?
a P\ ol)4sin(%\5 (Ш
(ax?)
Vajeos(2)c(2)+sin(4 S|4
sin (ax)
rf.fy 5( i )|
|
Vale (a5) - Sa
1
2
2
2
2
cos (ax?
ty
fy
У?\_ ye
ye
(ax*)
7[(2)(=)“=(2)5(25)
cos (ах?)
e4yxsin(aИх)
Преобразование Фурье. В большинстве случаев оно может быть составлено указанным.
в 4.4.2.1 способом из косинус-преобразования Фурье и синус-преобразования Фурье.
.
a
F
=
хуа
0) >=|f(x)e dx
S (x)
{* agx<b,
4Ja
e!®”)
0, x<aux>b
{* O0<x<b,
р
!
0, x<Oux>b
п! (—iy)(n+1)__оу ) т
Иbm
(n= 1, 2, 3,...)
m=0
1
yo 1 е`_%%,
——, Rev>0
>0,
(a + ix)’
0,.
у<0
1
0,
у>0,
Веу>0
VIR (yt eo, y<0
Г (v)
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. .
571
Определение некоторых встречающихся в таблице символов:
С — постоянная Эйлера (С = 0,577216...);
+a
Г (2) = f e-'t?-'dt, Rez>O0 (гамма-функция);
о.
1
vt2n
ЕЙ
J, (2) = » nil (vin +l) (функции Бесселя);
n=1
K, (2) = 5 m(sin (им), —L, @,
rite Г, (2) =e"? J, (ze'"/*) (функции Бесселя мнимого аргумента);
\
cos ft
zlC(x) = dt,
› (интегралы Френеля);
р
+ (интегральный синус);
.
cost
Ci (x) = — | ; dt (интегральный косинус).
4.4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
4.4.3.1. Общие понятия. Преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, кото-
рое тесно связано с преобразованием Фурье и обладает аналогичными свойствами. Оно очень
часто используется в технических дисциплинах, в особенности в электротехнике и технической
кибернетике. Комплекснозначная функция / (г) действительного переменного { называется оригиналом,
если она определена при t > 0, интегрируема на (0, + 00) и имеет экспоненциальный порядок:
|ЛО[<Ке",
= const.
(4.93)
Функцию
Е(р)=Je~£(t)dt,
(4.94)
где р — комплексный ` параметр, называют изображением (иногда трансформантой) функции f (t)
и пишут F(p)=L[f (t)]. Интеграл (4.94) абсолютно сходится при Rep>s, где s — постоянная
из (4.93). Следовательно, изображение F (р) существует в полуплоскости Кер
>
5. Изображение F (р)
в этой полуплоскости является аналитической функцией от р, которая стремится к нулю при
Re p— +00 и остается ограниченной в любой полуплоскости Вер
>
So,где5%> $5.
Следующие девять теорем являются основанием для широкой применимости преобразования
Лапласа. Названия теорем соответствуют операциям, которые выполняются над функциями-ориги-
налами.
|
‚1. Теорема о сложении (линейность преобразования):
Г[аЛ(t)+aafa(t)]=аЁ[Л(t))+а2Ё.[Уз@)].
572
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
2. Теорема о свертке: Ll fh (t—t)f, (т) «| =L[f,(O)]L [fo (t)], т.е. свертке BO мно-
0
жестве оригиналов соответствует обычное произведение функций во множестве изображений.
3. Теорема об интегрировании: ‚лов -—F (ph Е (p)= Г. [Г]. Следовательно,
0
",
интегрированию в области оригиналов соответствует деление изображения на независимое пере-
менное.
4. Теорема о дифференцировании:
LES(t)]=р"Е(р)—р"fo-...—pf"—5,
к
где ff = lim ast)
t> +0 dt*
применений преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
с начальными условиями.
5. Теорема о запаздывании: L[f(t-—b)] =e Lf (#)].
6. Теорема о подобии. При а>0 имеет место формула
LLS (a =~ F(2)a .
Эта теорема является одним из важнейших обоснований описанных в 4.4.3.2
7. Теорема о смещении: Lief
(t)] = F(p 4+ A).
8. Теорема об умножении: L[t"f (t)] =(—1)"
FTM (р).
|
1
9. Теорема о делении. Если для TIO выполнимо преобразование Лапласа, то имеет
место формула
+®
21f+1о=|Е(9)dq.
р
+a
-
|
|
Пример. Справедлива формула L (1)= |. р dt=—. Для того чтобы получить отсюда L[t"], принимаем
о
п!
п!
pet Тогда по теореме об умножении получаем, что LI[t"] = АГ. Отсюда,
согласно теореме о смещении, имеем L [е_*"| = ОГ.
р
Этот пример показывает, чго зачастую изображения можно находить без сложного вычисления интеграла Лапласа,
а лишь путем использования теорем 1—9.
d" [1
во внимание, что ———| — ] =(-—1)"
dp"\p
Обратное преобразование Лапласа. Оригинал при преобразовании Лапласа опре-
деляется по своему изображению однозначно. Имеет место следующая теорема об обращении
преобразования Лапласа (комплексная формула обращения).
Если Е (р) — аналитическая функция в области Вер>5, | him Е (р) =0 равномерно относи-
р |->.
$ +19
тельно агёри [ [Е (p)||dp| < +00, то Е (р) является изображением для функции
Я
stica
1
‘(t)=—
MF (р) dp.
f®=55 | e"F (p) dp
5-0
Особую значимость для приложений имеет обратное преобразование дробно-рациональных
функций относительно р. Такую функцию достаточно разложить на элементарные дроби и, вос-
пользовавшись теоремой о сложении, ограничиться обратным преобразованием элементарных
дробей. Функцию-оригинал для элементарной дроби можно взять из таблиц, например 4.4.3.3.
|
|
1
1
p(p+a)’ > p(p+a)ар а(р+а)`
по теореме о сложении при помощи табл. 4.4.3.3: f (1) = (1-е “').
Пример 1. Найдем функцию-оригинал F (р) =
a#z0
Оригинал находится
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
573
4.4.3.2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных урав-
HeHHH с начальными условиями. Большое преимущество при решении задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа состоит в том, что искомое
частное решение получают непосредственно, а не подгоняют общее решение к заданным начальным
условиям. |
Пусть задано линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициен-
оу
ay") $e ча,лу + =
и начальными условиями y(0)= yo, у’ (0)=уь, ..., y" (0)= ys". Применение преобразования
Лапласа к дифференциальному уравнению с учетом теоремы о дифференцировании и начальных
условий приводит во множестве изображений к уравнению вида
(аор" + ар”! +... +а,) Y(p) = F (p) + yo (aop"~! + a,p"~? +...¢a_)+
+ Yo (dop"
2 + ар"? +... +а,-2)
+...+уд"2(Gop+ал)+уб" Yao
или
О(р)У(р)=F(p)+P(p);
при этом Y(p)=L[y(t)] — изображение искомого решения, Е (р) = L[f (t)] — изображение правой
части исходного уравнения, а О (р) = dop"+a,p" '+.., + а, — характеристический многочлен диф-
ференциального уравнения. Отсюда получается, что
|
_
1 P(p)
Y= FP) Op)” Q (p)
Если у, (t) и y2 (1) являются оригиналами функций 1/О (р) и Р(р)/О (р) (они могут быть получены
разложением на элементарные дроби), то для искомого решения, согласно теореме о свертке,
получается формула
у(#)=FAC—Фу,(t)dt+yo(t).
При этом F (р) вычислять не нужно.
Совершенно аналогично можно решать систему дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Если задана система уравнений
у! (t) + ayy, (+... +ашу, (t) = Л, (0),
Yn(t)+GarVs(t)+...+ашу,(1)=Л,(9)
с начальными условиями у, (0),..., у, (0), то преобразованием Лапласа она переводится в систему
п линейных алгебраических уравнений относительно п искомых изображений УТ, (p),..., У, (р):
(p+441)У,(р)+a12Y2(р)+...+Gin,(р)=Е,(р)+у,(0),
а21У,(р)+(р+а>2)У»(р)+...+аз? (р)=Е»(р)+у2(0),
AniYy(p)+An2Y2(p)+...+(p+Ann)У,(р)=F,(p)+Yn(0).
Решения У, (p),..., Y,(p) этой системы должны быть затем подвергнуты обратному преобра-
зованию для того, чтобы получить решения у, (t),..., у, (#) исходной задачи Коши.
Пример 2. у’ (1) +2у (0 = Л (1), где f(t) =2 [(t +1) ef + (1 + 22)], y(0)=1. Преобразование Лапласа приводит
к уравнению ру ()- 1+27 (p)= Lf (0), откуда У4р)= = + . Согласно таблице из 4.4.3.3 и теореме
+2 p+2
о свертке получаем, что
t
y(tj}=e 2+2Je"?("9T(t+1)ev+(1+2t)]dt.
Вычисление интеграла завершает поиск решения задачи:
у(=ef+21.
Пример 3.y(1)+2у”(t)+2y”(t)+2у(t)+y(t)=0,гдеу(0)=у (0)=0,у"(0)=—2,у”(0)=4.Преобразование
Лапласа дает
(p*+2p?+2p?+2p+1)У(р)=—2p.
574
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Характеристический многочлен имеет корень —1 кратности два и простые корни +i. Следовательно,
—2р
.
,
У(р)=
. Разложение на элементарные дроби имеет вид
= Peery
рные AP
—2p
A+В
Cp+D
(+ 0+1 pt+l. (pti? pel
Сравнивая коэффициенты, находим A=0, B=1, C= -1, D=0, т.е. Y(p)= 1
1
_ —^—. По таблице из 4.4.3.3
(р+12 1+1’.
m
получается в итоге
;
у(t)=teTM'—sin¢.
Пр имер 4. Решить задачу Коши для системы
у1(+у(В=е,
у! (0) =1,
у (-у! ()=-е, y(O=1.
Tak как правые части системы имеют простой вид, то она может быть легко преобразована:
PY,(р)+Y2(р)=
+1,
р-1
У,(р)-У,(р=-
+1
р1> \p
в(р)=
р-1
>
т,е
p—2
р’ + ф-т, РИ.
Отсюда получаем
2
р’ -Рр+2
`Рр
У,
(
в
)
=
,у=
.
"Рот, От
Раскладлывая на простейшие дроби:
р2-р+2 _ A + Bp+C
(p—1)(p?+1) p-l ptt’
и приравнивая коэффициенты, получаем A=1, B=0, C=—1, те. Y,(p)= = i = Г. Из таблицы находим
у! (t) =e' — sin t. Оригинал у» (t) непосредственно указан в таблице: у. (t) = с0$4.
4.4.3.3. Таблица обратного преобразовання Лапласа дробно-рацнональных функций. Функции
в таблице расположены по возрастанию степени знаменателя. Таблица является полной вплоть
до степени знаменателя, ‘равной 3, а также содержит несколько функций, знаменатели которых —
многочлены степени 4.
L[f (0)
F(t)
1
1
р
1.
eo
pt+a
1
t
т
ИИ
=(1_е-“)
P(p +a)
,
.
1|
г— (e~*_e~>)
(p+a)(p+5)
р
Ег(ae~%—be")
(p+a) +5)
°
1
ет
(p +a)
р.5
e~%(f—at)
(p +a)
1
.1
а
|
= sh (at)
ТАБЛИЦА. ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
575
LY)
ro
р?fae
ch (at)
1
1.
р+а?
= sin (at)
г
cos (at)
p? +a?
4 ем sin (at)
(p+b)?+а*
a
(p+ва?
е-ы(>(at)—assin())
1
и
a
1
р’ (p+a)
qile“+at-1)
|
—at
-ы
р(р+а) (p + 5)
abaabyLa—6)+be —ae~*")
1
p(p +a)?
7 (1 —e°" — ate“)
1
‚—
at
_м-ы
_
„-а
(p+a)р+Ь(+5)
@-56-9(-—а) [(c-— Бе“+(а-ден+ь-ае-ч]
1
р
(р-+а) (p+b)(p +c)
р?
‚(р-+а)
+ @ф+0
1
(р+а)
(p+bY
iP
(p+a)(p+6)?
_
2
(p+a)(p+b)?
1
(p +a)?
p
(p+a)°
‘p?
(p+a)°
1
р[(p+5)?+a?]
1
р(р?+а?)
1
(p+a)(р+b’)
р
(р+а) (p* +57)
р?
+4 +Ь.
1
(p+a)[(Ф+Ь)+с*]
р
(p + a) Ф+Ь)+ c?]
(a—b)(b—¢)(¢—a)[a(b—che "+b(c—aheTM+e(a—bye"*]
1
(a—b)(b-e)(ce-
ое" _et_(b_a)te~TM)
pager {nae t+ fat be ay] om
boar[ем+b(b—2a—b%+abt)е-#]
2
et(:—2at+=в)
|
-ы
Ь
a+b?|—e (cos(at)+яsinia)
12 —COSat)
ar le+=sinbt—cos|
1
.
Path [-ае`“ + acos bt + b sin bt]
1
У (a2e~*—absinbt+b?cosbt)
e~*—е Мcosct+aape~TMsinct
(b—a)?+с?
с
1
b—b?—¢?
(bate |-2e-«+ae~TMcos(ct)—a и еп oO)
a [a? (c — bye" +b? (a-—che 4.0? (b- ae") .
576
РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Lf]
Г(0
i
р?
(p +.a) [(p +5)? + c?]
|
p* (p +a)
1
р?(p+a)(p+b)
p? (р +)?
1
(р-+а)* (p + by
1
ip +a)*
_P
(p+a)*
1
(p*+a?)(р?+Ь?)
(p?+AP+b?)
;
2
(р?+а?)(р?+b?)
3
(р?+a’)(p*+b?)
_ft
(P+ ay
Po
(p? + a’)?
р?
р?
1
[(p+b)?+a?]?
1
-
р?(р?+а?)
1
(6—a)?+с?
_atb
т,
pat {-
22
ab
az(b—a)у
1
—at
2
al
gr(he) +le" =)
_|
емt+2
+ eet
(a —b)* |
(a—b)
с 13.“
a2-м_@Pena
2
6
1__|+sin(at)—+sinШ
ПР -а?
b?
1
,
:
oe [—a sin(at) +bsin(bt)]
ao [cos (at) — cos (ht)]
1
progr [—a? cos (at) + b? cos (bt)]
||+sin(at)—tcos(a|
2a?
=tsin (at)
5,п(а
J. (sin (at) + at
5, (sin at) + at cos (at))
|> (2 cos (at) — at sin (at))
е-м [|
= | sin(at)—tcos(at)
5(—-.sinat)
|
Bb?(а—bh)
re“+(a—5)?+с?—a*)e "cos(ct)—
—(«c+b(<—“a ))¢"sin|
„-ш
5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5.1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
5.1.1.1. Случайные события. Многие явления в природе, технике, экономике и в других областях
носят случайный характер, т.е. невозможно точно предсказать, как явление будет происходить.
Оказывается, однако, что течение и таких явлений может быть описано количественно, если только
они наблюдались достаточное число раз при неизменных условиях. Так, например, нельзя при
бросании монеты предсказать, выпадет «герб» или «цифра». Однако если бросать монету очень
часто, то можно заметить, что отношение числа бросаний с выпадением «цифры» к общему числу
бросаний мало отличается от 1/2 и тем менее отклоняется от 1/2, чем больше совершено
бросаний.
Теория вероятностей дает математическую модель для описания случайных явлений такого
рода в объективной действительности. Так как многие реальные процессы подвержены случайным
воздействиям, то основы этой теории важно знать специалистам, занимающимся естественными,
техническими, а также и общественными науками.
Случайный эксперимент, или опыт, есть процесс, при котором возможны различные исходы,
так что заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Опыт характеризуется тем, что его
в принципе можно повторить сколько угодно раз. Особое значение имеет множество возможных
взаимно исключающих друг друга исходов опыта.
Возможные исключающие друг друга исходы опыта называются его элементарными событиями.
Множество элементарных событий обозначается через Е.
|
Пример 1. Однократное бросание игральной кости. Возможные исключающие друг друга исходы этого опыта —
выпадения одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Множество Е состоит из шести элементарных событий ег, е», ез, ел, €5, 6%,
причем элементарное событие е, означает: выпадает число i.
Пример 2. Одновременные бросания двух игральных костей. Множество Е элементарных событий состоит здесь
из 36 элементов еи1, е12,..., евв, причем элементарное событие е,; означает: на первой кости выпадает i, а на второй j.
Пример 3. Определение длительности службы электрической лампы. Элементарными событиями здесь являются
все положительные действительные числа; множество E, таким образом, состоит из положительной действительной
полуоси.
Помимо элементарных событий, часто интересны события более сложной природы, например,
в случае игральных костей событие «выпадает четное число» или в случае определения длительности
службы лампы событие «длительность службы не менее 3000 часов».
Пусть осуществляется некоторый опыт, и пусть Е — множество его элементарных событий.
Каждое подмножество АСЕ называется событием. Событие А происходит тогда и только тогда,
когда происходит одно из элементарных событий, из которых состоит А.
Пример 4. В примере 1 подмножество A = {е», е4, е‹} образует событие «выпадает четное число». Событие
«выпадает четное число» в случае игральных костей происходит тогда и только тогда, когда происходит одпо
из элементарных событий, содержащихся в подмножестве А. В примере 2 подмножество А = {е4в, C64, 655, @56, C65, @66}
множества Е может быть интерпретировано как событие «сумма выпавших очков >10».
В примере 3 А = (3000, +00) может быть интерпретировано как событие «электрическая лампа служит больше
3000 часов».
Подмножества Е, а следовательно и само E, и пустое множество (J интерпретируются согласно
общему определению как события. Так как Е состоит из всех элементарных событий, а при каждом
опыте обязательно происходит одно из элементарных событий, то, таким образом, Е происходит
всегда; такое событие называется достоверным событием. Достоверное событие будем обозначать
буквой И. Пустое множество ( не содержит элементарных событий и, следовательно, никогда
не происходит; такое событие называют невозможным событием, его мы будем обозначать
буквой V.
578
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть А‚, А,,..., A, — события, т.е. подмножества некоторого фиксированного множества Е
элементарных событий. Torna объединение A,|)A2|)...() A, снова есть событие, так как оно
является подмножеством Е. Объединение A, |) А, |)).. U A, происходит тогда и только тогда,
когда происходит хотя бы одно из событий Ay, А., ..., A, Событие А, () А. |)... |) А, называют
суммой событий A,, А,,..., A, Его часто обозначают A, + А. +...+А,.
Точно так же пересечение А, ({\ A2()\...() A, событий А; есть снова некоторое событие. Пере-
сечение А, () А, (\.. .() A, происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно все A,.
Событие A, [`\ A; (\...() А, называется произведением событий A,, Az, ..., An. Ero часто обозначают
так: А, А....A,.
Пример 5. Пусть при определении длительности жизни A, есть событие «продолжительность жизни лежит
между 0 и ty, а Az — «продолжительность жизни лежит между 11 и {.»; тогда А, |} Az есть событие «продолжитель-
ность жизни лежит между 0
и
f2».
Пример 6. Если при одновременном бросании двух костей A, есть событие «сумма очков 211», A, — событие
«выпадает одинаковое количество очков», то A, (\ А. — это событие «выпадают две шестерки».
Пример 7. Пусть в случае двух игральных костей A, — «сумма выпавших очков <2», А, - событие «сумма
выпавших очков 25». Тогда A, (`) Az — невозможное событие: A, [|] А, =И
Два события A, и А, называются несовместными, если A, () A,=V, т.е. если события А! и А.
не могут произойти одновременно.
Если А некоторое событие, то дополнение А = E\A также является подмножеством Е, т. е.
некоторым событием. А происходит тогда и только тогда, когда не происходит А; А называется
событием, противоположным (дополнительным) А. События Аи А всегда несовместны: А () A= V.
Пример 8. Если при каком-нибудь измерении А — событие «измеренная величина 20», то А есть событие
«измеренная величина <».
Для действий со случайными событиями (суммы, произведения, дополнения) справедливы
формулы элементарной теории множеств:
А в=в(] А, АГ) В=В[] А (коммутативность),
AU BU C=AUBUO. (AN ВП CHA) (ВИ С (ассоциативность),
AUBIN C=ANQOUBNO, ANBUC=AUON(BUOC (дистрибутивноеть),
AU B=A()\B, A()B=AUB (формулы де Моргана),
A\|JA=U, A()A=
Для Toro чтобы построить теорию вероятностей, нужно событиям поставить в соответствие
вероятности, которые будут давать количественную оценку возможности их осуществления. Если Е
несчетно (как, например, в опыте «определение продолжительности службы электрической лампы»),
то не всем подмножествам Ё разумно ставить в соответствие вероятность. Нужно ограничиться
определенным классом событий. События этого класса называются случайными событиями. Они
являются предметом теории вероятностей. Если Е конечно, то этот класс совпадает с классом всех
событий. Оказывается, что класс случайных событий всегда можно выбрать так, чтобы, во-первых,
не появилось никаких математических трудностей при введении вероятностей и, во-вторых, чтобы
все интересующие нас на практике события находились в выбранном классе, т.е. являлись слу-
чайными событиями в математическом смысле. Поэтому для естествоиспытателя и инженера
важно знать, что все интересующие его случайные события являются также случайными в смысле
математической теории, так что изложенная ниже аксиоматика теории вероятностей приме-
нима к ним.
5.1.1.2. Аксиомы теории вероятностей. Пусть опыт повторяется п раз и при этом подсчитывается,
как часто происходит интересующее нас событие. Допустим, что оно произошло т раз. Отношение
= W,,(A) называется относительной частотой (или кратко— частотой) случайного события А
в и опытах. При этом 0 < W, (А) < 1. Практика показывает, что при увеличении п частота стремится
к некоторому постоянному значению. В начале понятия вероятности случайного события пробовали
определить как предел частоты. Это привело, однако, к теоретическим и математическим трудностям,
которые невозможно было преодолеть. В современной теории не делается попыток дать определение
понятию вероятности; его считают основным понятием, удовлетворяющим некоторым аксиомам.
Формулировка аксиом, принадлежащая А. Н. Колмогорову, опирается на следующие свойства час-
тоты, которые можно рассматривать как опытные факты:
1. Для больших и частота И’, (А) колеблется все меньше около определенного значения.
2.W,(И)=1.
3.W,(А|]В)=И,(A)+И,(В),еслиАиВ несовместны.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ
579
Аксиомы теории вероятностей.
.
1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие число P(A), O0< P(A) <1,
которое называют вероятностью А.
2. Вероятность достоверного события равна 1: Р(И) = 1.
3. Аксиома аддитивности. Если Ay, Az, ..., An ...— попарно несовместные случайные
события, т.е. А; (\ A; = V при #*), To
P(A) =У,Р (4).
(5.1)
Для конечного числа попарно несовместных событий A,, А.,..., A, аксиома аддитивности дает
соотношение
P(A; (] Ao... U An) =Р (At) + P (Ag) +...+Р(А,);
в частности,
1=Р(И) =Р(И(] V) = P(U) + P(V)=1+ P(V),
откуда следует P(V)=0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю. Из (5.1) следует,
что P(A |) A) =Р(А) +Р(А), так как А и А несовместны. Учитывая, что А |) A=U, и аксиому 2,
получаем
P(A) =1-Р(А).
(5.2)
Для произвольных (не обязательно попарно несовместных) случайных событий А|, Az, ..., A, имеет
место неравенство
п
P(A, JА.()}...|]An)<уP(A)).
(5.3)
i=l
Фактическое определение вероятности некоторого случайного события чисто теоретически часто
невозможно. В этих случаях необходимо произвести достаточное число испытаний и принять
относительную частоту рассматриваемого события в качестве приближенного значения вероятности.
Так, например, нет ни математической, ни биологической теории, которая позволяет вычислить
априори вероятность Р (А) случайного события «рождение близнецов». Для определения Р (А) нужно
использовать статистику большого числа рождений и подсчитать, как часто происходило это
событие. Тогда соответствующую частоту можно приблизительно принять за вероятность Р (A).
Определение Р (А) по частоте иногда называется «статистическим определением» вероятности. Речь
здесь, однако, идет не об определении вероятности, а об ее оценке (см. 5.2.2).
5.1.1.3. Классическое определение вероятности событня. Если опыт таков, что он подразделяется
только на конечное число элементарных событий, которые к тому же являются равновероятными,
то говорят, что речь идет о классическом случае. Для опытов этого типа теорию вероятностей
разрабатывал еще Лаплас. Примерами таких опытов являются бросания монеты (два равиовероят-
ных элементарных события) или бросания игральной кости (шесть равновероятных элементарных
событий). В классическом случае из аксиом для вероятности Р(А) события А получаем
число элементарных событий, благоприятных для А
число всех возможных элементарных событий
Р(А) =
(5.4)
При этом под элементарными событиями, благоприятными для A, понимают такие события,
осуществление которых ведет к осуществлению А; иными словами, это события, из которых
состоит А (понимаемое как подмножество Е). Лаплас использовал (5.4) для определения вероят-
ности. (Формула (5.4) непригодна, например, в случае фальшивой игральной кости.)
Пример 9. Пусть правильная игральная кость брошена один раз. Пусть А есть событие «выпадаст четное
число». Благоприятными для А являются элементарпые события €2, ©4, ев. Всего имеется шесть возможных элемситар-
ных событий. Следовательно, Р (А) = 3/6 = 1/2.
Пример 10. Пусть одновременно бросают две игральные кости, при этом выигрыш выплачивается, ссли сумма
выпавших очков >10. Как велика вероятность выигрыша? Имеется 36 элементарных событий. Благоприятными для А
являются элементарные события C46, C64, 255, @56, @65, @66. При этом е;; означает: па первой кости выпадает i, на вто-
ройj.ТогдаP(A)=6/36=1/6.
В классическом случае часто используют формулы комбинаторики, например, для того, чтобы вычислить число всех
возможных элементарных событий. |
Пример 11. Игра в лото: угадать «К чисел из п», например, спортлото 6 из 49. Какова вероятность получить
главный выигрыш, указав К чисел правильно? Имеется одио благоприятное событие, при котором происходит
выигрыш главного приза игры. Число всех элементарных событий равно числу возможных выборок К чисел из п чисел
без учета порядка и без повторов, т.е. равно С^ Таким образом, вероятиость главного выигрыша в спортлото
1
1
pap CS. 13983 816 ©
580
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ `
5.1.1.4. Условные зероятности. Вероятность некоторого случайного события А, как правило,
изменяется, если уже известно, что произошло некоторое другое случайное событие В. Вероятность А
при условии, что В уже произошло с вероятностью P(B) #0, обозначается Р (А/В) и называется
условной вероятностью А при условии В.
Пример 12. Пусть одновременно бросают две игральные кости. Пусть А — событие «сумма очков >10»,
В — событие «сумма очков четная». Если известно, что В произошло, то для А имеется 18 возможных элементарных
событий (например, е‚! возможно, а е!› нет); из них благоприятными для А являются C46, 64, 55) 66. Следовательно,
Р (А/В) = 4/18 = 2/9.
Пример 13. Пусть имеются две урны. В первой находятся 5 белых и 5 черных шаров, во второй — 1 белый
и 9 черных. Опыт состоит в том, что наугад выбирается урна и наугад из нее вынимается шар. Пусть В есть
событие «вынутый шар белый», А; — события «шар вынимается из +-й урны» (i =.1, 2). Тогда P (B/A,)
= 5/10 = 1/2,
Р (В/А>) = 1/10.
Условная вероятность удовлетворяет следующим соотношениям (которые можно считать
определением):
|
P(4/B) = 4 ie PB) £0,
(5.5)
P(B/A) = “ Lie P(A) £0.
(5.6)
Если их разрешить относительно Р (А Г) В), то получают правило умножения:
Р(А (\ В) =Р(В)Р (А/В) = P(A) P (B/A),
(5.7)
т.е. вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного
события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
‚Два случайных события А и В называются независимыми, если осуществление одного не влияет
на вероятность осуществления другого, т. е. если
Р (А/В) = P(A).
(5.8)
Тогда правило умножения имеет вид
P(A () В) = P(A) P(B),
(5.9)
т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Так как формулы (5.8) и (5.9) эквивалентны, TO для определения понятия «независимость двух
случайных событий» часто используется соотношение (5.9).
Случайные события A,, А.,..., A, называются независимыми в совокупности, если для каждого
т и каждой т-комбинации ij, ..., i, где |< <... <i, <n,
P(A; ПА, (\... СА. )= P(A; ) P (A; )... P(A; ).
1
2
т
1
2
т
Случайные события A,, А.,..., A, называются попарно независимыми, если для произвольных
i, j (i #j) A; и А, независимы.
Из независимости в совокупности следует попарная независимость, HO не наоборот.
5.1.1.5. Полная вероятиость. Формула Байеса. Предположим, что достоверное событие Е можно
представить в виде суммы п попарно несовместных событий, т.е. И=А, (|) А›()...()А», где
АА Г] А; =У при {=}. Тогда для любого случайного события В выполнено соотношение
в=(А, (В) |) (4.0 В) ()... U (An() В).
Согласно аксиоме аддитивности отсюда следует, что Р(В) = У P(B() A). Если применить фор-
i=1
мулу (5.7), то получим
р
P(B) = У Р(А)Р(В/А).
(5.10)
i=1t=
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Нример 14. Пусть даны: три урны I типа: 2 белых и 6 черных шаров; одна урна II типа: 1! белый
и 8 черных шаров. Пусть наудачу выбирается урна, а оттуда— шар. Обозначим через В событие «вынутый шар—
белый», его вероятность Р (В). Обозначим через A, событие «выбрана урна I типа», а через А, — «выбрана урна
Il типа». Тогда В = (В([\ А!)
|) (В (\ 42), так как А, `| А. =И Следовательно, Р (В) = Р (А!) Р (B/A,) + P (Аз) Р (B/A;).
Но P (A,) = 3/4, P (Az) = 1/4; Р (B/A;) = 2/8 = 1/4, P (B/A2) = 1/9. Окончательно:
311|31
POG ata o> 144.
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
581
Пусть предпосылки закона полной вероятности выполнены. Тогда можно вычислить вероят-
ность события A, при условии, что событие В произошло. Для этого служит формула Байеса, или
формула вероятности гипотез:
Р (А) Р (В/А;)
Р (А/В) =
(5.11)
У Р(А)Р(В/А)
j=l
Пример 15. Проводится тот же эксперимент, что и в примере 14. Пусть вынут белый шар. Какова вероятность
того, что он вынут из урны I типа?
P (A,) P (B/A,)
40
|
7
4
P(A,/B)=P(A,)P(B/A,)+P(A2)P(B/A2)— 3,| 1.Е
4
5.1.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Действительное переменное, которое в зависимости от исхода опыта, т.е. в зависимости от
случая, принимает различные значения, называется случайной величиной.
Пусть Х — некоторая случайная величина. Функцией распределения Е (х) случайной величины Х
называется функция
Е(x)=P(X<x).
(5.12)
Значение функции распределения в точке хо, таким образом, равно вероятности того, что случайная
величина принимает значение, меньшее хо. В теории вероятностей случайная величина полностью
характеризуется своей функцией распределения, т.е. может рассматриваться как заданная, если
задана ее функция распределения. При помощи функции распределения можно указать вероятность
того, что случайная величина попадает в заданный полуоткрытый промежуток:
P(a<X <b)=F
(b)— F(a).
(5.13)
Функция распределения F (x) произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:
1) lim F (x)=1, lim F(x)=0.
х>+0 |
х>-—ю®
2) F (x) монотонно не убывает, т.е. при x, <х. имеет место неравенство F (x,) < F (x3).
3) Е (х) непрерывна слева.
5.1.2.1. Дискретные случайные величины. Случайная величина Х называется дискретной, если она
может принимать только конечное, или счетное, множество значений. Таким образом, она харак-
теризуется значениями х,, х.,..., которые она может принимать, и вероятностями р; = P(X = x,),
с которыми она принимает эти значения и которые должны удовлетворять условию ) p; = 1.
У
it -------5 и Я — F(z)
OT
oeУ
ptiBoY
eybh Pot
т, 1,|0т,
т,Lsт
Рис. 5.1.
Однозначное отображение множества X; на множество р; рассматривается как функция вероятности
дискретной случайной величины. Для функции распределения дискретной случайной величины имеем
Е(х)=Ур.
(5.14)
х;<х
Суммирование производится по всем i, для которых x; <x. Таким образом, F (x) является ступен-
чатой функцией со скачками высотой р; в точках x; (рис. 5.1).
582
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5.1.2.1.1. Индикатор события. Пусть А -— некоторое случайное событие, где P(A) = р.
Случайная величина
х
1, если А происходит,
0, если А не происходит,
называется индикатором А (характеристической случайной величиной). Возможными значениями
являются 0 и 1, соответствующие вероятности ро = P(X = 0) =1-— р, р, =Р(Х =П=р.
5.1.2.1.2. Биномиальное распределение. Пусть некоторый опыт повторяется п раз
и отдельные опыты этой серии не зависят друг от друга. Пусть в каждом опыте может произойти
или не произойти событие А, а вероятность его осуществления в отдельном опыте не зависит
от номера опыта и равна р. Пусть Х® — число наступлений события А в такой серии из п опытов.
Очевидно, что возможные значения случайной величины Х® суть числа 0, 1, 2,..., п. Вероятности
Р (п, К) = P(X = К) вычисляются по биномиальному закону:
Р(п,К)=Са" q=1—p
(k =0, 1,..., п).
(5.15)
Случайная величина называется биномиально распределенной с параметрами п и р, если возмож-
ные значения 0,1,..., п она принимает с вероятностями Р(п, К), задаваемыми формулой (5.15).
Параметры п и р полностью определяют биномиальное распределение. На рис. 5.2 показаны
Р(п.К)|
05 р=0!
р=09
«полигоны» биномиальных распределений для п=20 и различных р. При этом соответствующие
Р(п, К) отложены по ординате и соединены ломаной линией.
Начиная с Р(и, 0), P(n, К) могут быть легко вычислены по следующей рекуррентной формуле:
P(n,k) | (n—k+1)p
P(n,k—1)
Ка
(5.16)
Пример 16. Вероятность рождения мальчика равиа 0,515. Как велика вероятность того, что из 10 наугад
выбранных новорожденных будет 6 мальчиков? Предположение независимости может считаться выполненным. Следова-
тельно, для искомой вероятности имсвем Р (A) = P (10,6) = Co (0,515)® (0,485)* ~ 0,2167.
Пример 17. В урне N шаров, из которых ровно М белых. Из урны п раз вынимался шар и после
регистрации снова возвращался в урну. Какова вероятность события, что белый шар был зарегистрирован К раз?
Эта вероятность Р (п, К) вычисляется при помощи биномиального закона (5.15):
k
n-k
P(п,К)=Ct(+7)(|_г
(k =0, 1,...,n).
(5.17)
Биномиальный закон описывает в самой общей форме осуществление признака в выборке
объемом п
с
возвратом.
Пример 18. Пусть вероятность получения бракованного изделия равна 0,01. Какова вероятность того, что среди
ста изделий окажется не более трех бракованных? Согласно биномиальному закону и закону сложения получаем, что
P (A) = С%оо (0,01)° (0,99)!°° + Clog (0,01)! (0,99)? + СЗоо (0,01)? (0,99)?8 + C29 (0,01)? (0,99)97 = 0,9816.
5.1.2.1.3. Гипергеометрическое распределение. В урне находится N шаров, из
которых ровно М белых. Пусть один за другим без возврата (или одновременно, что одно и то же)
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
583
вынимается п (<М) шаров. Тогда вероятность того, что среди этих вынутых п шаров будет
К белых, равна
Py, (п,К)=
(К =0, 1,..., 7).
(5.18)
Случайная величина называется распределенной гипергеометрически, если возможные значения
0, 1,..., п она принимает с вероятностями Pyм (п, К), определяемыми формулой (5.18). Числа
No М, п — параметры распределения.
Гипергеометрическое распределение, таким образом, описывает осуществление признака в вы-
борке без возврата. Если М очень велико по сравнению с п, то не имеет существенного. значения,
возвращаются шары обратно или нет, и формула (5.18) может быть приближенно заменена фор-
мулой (5.17) биномиального распределения.
5.1.2.1.4. Распределение Пуассона. Случайная величина называется распределенной
по закону Пуассона, если она принимает счетное множество возможных значений 0, 1, 2,... с вероят-
HOCTAMH
nk
P,(К)=kre~*
(A =0, 1,...).
(5.19)
Величина A — параметр распределения.
Распределение Пуассона может использоваться в качестве хорошего приближения биномиаль-
ного распределения, если п велико, а р мало. Тогда в качестве A нужно взячъь пр (см. 5.1.5).
Пример 19. Машина проехала 100000 км. Пусть Х — число проколов шины на этом расстоянии. Тогда Х
можно считать случайной величиной, распределенной по закону Пуассона (с подходящим A), т.е. вероятпость трех
3
.
проколов шины равна are
Пример 20. Рассмотрим пример 18. Имеем п = 100, р = 0,01. Таким образом, 100-0,01 = 1,
1°
11
и, PB
1
РА= рее "+ ре lt ape tall tits+ | = 0,9810,
1!
2!
3!
е
26
что дает хорошее совпадение с точным значением, однако вычисляется гораздо быстрее.
Распределение Пуассона затабулировано для различных A (табл. 1.1.2.3).
5.1.2.2. Непрерывиые случайные величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее
функцию распределения (интегральную функцию распределения) можно представить в виде
Е(х)=[f(o4.
(5.20)
Функция f(x) называется плотностью распределения. Так как Шт Е(х)=\1, то должно вы-
х> +0
полняться условие
+
ff (x) dx =1.
(5.21)
При заданной плотности вероятности, в силу (5.13) и (5.20), вероятность того, что случайная
величина попадает в заданный промежуток, равна (рис. 5.3)
P(a<X <b)=F (b)—- Е(а) = fF (x) dx.
(5.22)
Вероятность P(X = a), т.е. вероятность того, что непрерывная случайная величина равна заданному
действительному числу, всегда равна 0. Отметим, что из равенства Р(А) =0 не следует, что А
является невозможным событием, хотя Р (И) = 0.
5.1.2.2.1. Равномерное распределение. Случайная величина называется равномерно
распределенной на [а, 5], если ее плотность вероятности на [a, b] постоянна, а вне [a,b] равна 0
(рис. 5.4). Так как
Го) dx =1,
то
1
f (x)= 5.a
584
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5.1.2.2.2. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Случайная вели-
чина называется распределенной нормально, если она имеет плотность вероятности следующего вида:
f (x) = ——— e720?
(5.23)
VY 2x0
аи с — параметры распределения.
Функция (5.23) представляет собой колоколообразную кривую. Параметр а — точка максимума,
через которую проходит ось симметрии, параметр с — расстояние от этой оси до точки перегиба.
Yh
Р(а<х<5)
f(z)
+
:
в
}
-
-
~
-
Ola
b
т
0
Рис. 5.3.
Рис. 5.4.
Если с мало, то кривая высокая и заостренная; если с велико, то она широкая и плоская.
Рис. 5.5 показывает нормальное распределение при а =0 и различных о.
Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и с, то говорят,
что Х распределено нормально согласно закону М (x; а, ©), пишут ХЕМ (x; а, <). Функция ф(х) =
1
Von
_2
e~* 1? (a=0, с = 1) называется плотностью нормированного и центрированного нормального
распределения. Плотность вероятности ф(х) и соответствующее распределение Ф (х) = | Ф( dt
забатулированы (см. табл. 1.1.2.6.1, 1.1.2.6.2). Функцию Ф часто называют гауссовским интегралом
1
И2м
ного распределения в теории и практике основывается в значительной степени на центральной
„|
ошибок | табл. 1.1.2.6.2 дает Фо (x) =
[eve dt, Ф (x) = Dg-(x) + x) Особое значение нормаль-
0
28
&
Y
Pue. 5.5.
Рис. 5.6.
предельной теореме (см. 5.1.6; там также даны примеры нормального распределения случайной
величины).
5.1.2.2.3. Экспоненциальное распределение. Случайная величина называется экспо-
ненциально распределенной, если она имеет следующую плотность вероятности:
Ле`^ при х>0,
f(x)=}0 при x<0;
А, — параметр распределения.
Пример 21. Длительность службы электролампы можно рассматривать с хорошим приближением как экспонен-
циально распределенную величину.. На рис. 5.6 показана плотность вероятности экспонёнциального распределения
cA=1.
|
ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙ
585
5.1.3. МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5.1.3.1. Дискретиый случай. Пусть Х есть дискретная случайная величина с возможными
значениями X,,X2,... и Py = P(X =х,).
Число \, = d, Хы, в случае абсолютной сходимости ряда называется {-м начальным моментом
случайной величины Х (или ее распределения) (i = 1, 2,...).
Число p; = У (x, — у, Py называется i-M центральным моментом X.
k
Особое значение имеют первый начальный момент у, и второй центральный момент и.о.
5.1.3.11. Математическое ожидание. Первый начальный момент
у!=2.ХкРь
называется математическим ожиданием Х и обозначается МХ. Математическое ожидание опреде-
ляет положение центра распределения в следующем смысле: если считать р, массами, помещенными
в точках х, действительной оси, TO МХ — координата центра тяжести этой системы.
Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной а (которую можно считать дискретной случайной
величиной с одним возможным значением а, принимаемым ею с вероятностью 1) равно этой
постоянной:
Ма=а.
2) Математическое ожидание суммы ‘равно сумме математических ожиданий:
М(X,+X2)=МХ,
+
Мх..
(5.24)
3) Математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину равно
произведению постоянной на математическое ожидание случайной величины:
М (aX) = aMX.
4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произ-
ведению их математических ожиданий:
М (Х, - Х2) =(MX,)-(MX)).
(5.25)
Пример 22. Биномиальное распределение с параметрами п, р:
MX=УКС"*=пр.
(5.26)
K=0
Пример 23. Гипергеометрическое распределение с параметрами М, М, п:
ыk-п-К
CryCn—
M
MX= к-МЕМ-М_yy—.
(5.27)
Пример 24. Распределение Пуассона с параметром Л:
wo
N
|
МХ=)ke=),
(5.28)
k=0
Таким образом, параметр A здесь имеет смысл математического ожидания.
5.1.3.1.2. Дисперсия. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины
Х и обозначается через DX, т.е.
DX= (х,-MX)?р,=М(Х—МХ).
(5.29)
k
Для вычисления дисперсии часто полезна следующая формула:
DX = МХ? - (МХ)?.
(5.30)
Корень квадратный из дисперсии называется разбросом, или стандартным отклонением, или средним
квадратичным отклонением и обозначается через сх:
DX.
(5.31)
586
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Величина с (или DX) есть мера рассеяния распределения относительно математического ожи-
дания. На рис. 5.7 показано дискретное распределение с малым (а) и большим (6) рассеянием.
м
|
}
© мало
@ 02050
I
|
|bd—_
]
||]||
>
0129456:
9012319596782
MX
MX
Puc. 5.7.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Ва=0.
2) Дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину равна произведению
квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины:
D(aX)=a?DX.
3) Дисперсия суммы постоянной а и случайной величин равна дисперсии случайной величины:
D(a
+ X)=DxX.
4) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X, + X,)= DX, + DX.
Пример 25. Биномиальное распределение:
DX=У(k—np)?Са"*=пра,
k=0
ox = Ипа.
Пример 26. Гипергеометрическое распределение:
No—п м
М
Пример 27. Распределение Пуассона:
DX=i, сх=ИХ.
(5.32)
(5.33)
(5.34)
(5.35)
5.1.3.2. Непрерывный случай. Пусть Х — непрерывная случайная величина с плотностью вероят-
ности f (x). Тогда
у;=тx!f(x)dx
—-@o
(5.36)
называется, в случае абсолютной сходимости интеграла, 1-м начальным моментом случайной
величины Х (i = 1, 2,...);
+®
ш= fOe—vs)f(x)dx
-©
называется {-м уентральным моментом случайной величины Х.
5.1.3.2.1. Математическое ожидание. Первый начальный момент
+a
у:=MX=[xf(x)dx
—с
(5.37)
называется математическим ожиданием случайной величины Х. Математическое ожидание МХ
НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ
587
дает положение центра тяжести распределения массы, которое задается «плотностью распределения
массы» f (x).
Математическое ожидание в непрерывном случае обладает теми же свойствами 1)—4), которые
были отмечены для дискретного случая.
Пример 28. Равномерное распределение на [а, Ь]:
b
Mx=|xqtodx=
ра
a
Пример 29. Нормальное распределение М (x; a, с):
1
2.2
МХ=те ба12°dx=a,
тс
Следовательно, параметр а имеет смысл математического ожидания.
Пример 30. Экспопенциальное распределение:
|
MX=|xre*dx=x
0
5.1.3.2.2. Дисперсия. Второй центральный момент
и.=DX=T(x—MX)f(x)dx
(5.38)
-©
называется дисперсией случайной величины Х. Величина Ирх = © называется разбросом, или
стандартным отклонением, или средним квадратичным отклонением случайной величины Х. Спра-
ведлива формула
DX=М(Х—МХ)?=МХ?—(МХ}2.
(5.39)
Дисперсия в непрерывном случае обладает теми же свойствами 1)—4), которые были отмечены
для дискретного случая.
Пример 31. Равномерное распределение на [а, b]:
b
а+ь\\ 1
(b—а)?
вк (4-е town Oa
a
Пример 32. Нормальное распределение М (x; a, в):
DX=](x—a)?Vino7-9207dy=G?,
Параметр с имеет здесь значение рассеяния сх.
Таким образом, нормальное распределение полностыо определепо задапием математического ожидания и среднего
квадратичного отклонения.
Пример 33. Экспоненциальное распределение: DX = 1/^..
5.1.4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
(МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ)
Совокупность (X,, Х., ..., X,) случайных величин называется п-мерным случайным вектором.
Такой случайный вектор может быть охарактеризован своей п-мерной функцией распределенил:
Е(хи,..., х,) = P(X, <хь,..., Х, <х,).
(5.40)
Функцию F (x1, х.,..., X,) часто также называют кратко распределением вектора (X,,..., Х„) или
совместным распределением величин X,,..., X,. Если рассматривать величины X,,..., X, как
координаты некоторой точки в п-мерном евклидовом пространстве, то положение точки (Хи, ..., X,,)
зависит от случая, а значение функции F (x,,..., X,) есть вероятность того, что точка оказывается
в полуоткрытом параллелепипеде X, <х,,..., Х„ <х, с ребрами, параллельными осям. Вероятность
588
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
того, что точка окажется в параллелепипеде а; < X; <b; (1=1,2,...,п), определяется формулой
Р (а, <Х, <ЁБ,,..., аа <Х, <Ь,) = F (dy, ..., Oy) — У pit
у
р... +(-1"Е (ав... 5 а»); (5.41)
i=1
1<i<j<n
здесь Pji,...i, = Е (c,,...,¢,) 1 <i <i, <... <i, <n), где си = ips Ci, =а;,..., Cy, =а;, а все осталь-
ные с, = b,j.
Для двумерного случайного вектора, в частности, получаем
Р(а,<Х,<ЁЬ,,а.<Xz<Ь.)=F(by,Б.)
—F(4,а2)—F(ay,ba)+Е(a4,a2).
Свойства п-мерной функции распределения.
1) Пт F (xq,...,
X,) = 1, yim Е (x1,...,
Ха)=0.
х,> +00
>
j=l,...,n
j=l,...,n
2) F (x,,..., X,) монотонно не убывает по каждому переменному.
3) Е (х1,..., X,) непрерывна слева по каждому переменному.
4) Для произвольных а, В, a; <b; (=1,..., п), правая часть равенства (5.41) неотрицательна.
5.1.4.1. Дискретные случайные векторы. Случайный вектор (X,,..., X,) называется дискретным,
если все его компоненты являются дискретными случайными величинами. Если х (k = 1, 2,...)—
возможные значения /-й компоненты, то функция вероятностей р;,...;, вектора (X1,..., Хи) опре-
деляется следующим образом:
Pi,...i,=P(X,=x,X2=x,cstХ,=xf),
Для функции распределения, по аналогии с (5.14), справедливо соотношение
Е(хи...,Х)=
у,
р: iy...
xP <х,
к=[,2,...,п
(5.42)
ody!
Суммирование производится по всем i,, для которых xf? <х, ит. д.
Пример 34. Полиномиальное распределение. Пусть в некотором опыте всегла происходит одно из попарно
несовместимых событий A,,...,А,. Пусть P;=P(A;). Tak как А; (J... 4.=U и А Г] А,=И при ij, To
k
У р =1. Пусть опыт проводится п раз, причем отдельные опыты этой серии являются независимыми. Обозначим
i=1
через X; число реализаций A, (i=1,...,k) в п опытах. Тогда каждая из случайных величин X;, может принимать
только конечное множество значений 0, |,..., п. Таким образом, вектор (X,,..., Х») является дискретным случайным
вектором. Для его функции вероятностей имеем
.
n!
ii
(и:
.
Pisin...i,=P(Xi=iXa=dayoesMe=hh)=
т pi... Pe’ rae Lp tigt...F ="
(5.43)
Случайный вектор с функцией вероятностей (5.43) называется полиномиально распределениым.
5.1.4.2. Непрерывные случайные векторы. Случайный вектор называется непрерывным, если его
функцию распределения можно представить в виде
x
F(x1,...,xX,)= |
хп
wee ГЛ...)
т... dey;
-©
-©
JS (хи,..., X,) называется плотностью распределения вектора (X,,..., Х„) или также совместной
плотностью величин Х|,...,X,. Вероятность того, что случайный вектор (X,,..., Х„) окажется
в области С п-мерного пространства, можно записать следующим образом:
Р (X,, зу Х,)Е С) =|[... [Л (хь, wees Ха) AX, ... dX,
(5.44)
|
G
Поэтому плотность должна удовлетворять условию
+©
+a
Г... f fea, ..., хи) dx, ... dx, = 1.
(5.45)
—<
-с
Пример 35. Равномер распределение. Вектор (X,,..., X,) называется распределенным в области С равномерно,
если он имеет плотность, постоянную в С и равную 0 вне С. В силу (5.45) эта постоянная должна быть равна
1/V (С), где V (С) —‘объем области С.
Пример 36. Нормальное распределение. Вектор (X,,..., X,) называется пормально распределенным, если он имеет
плотность вида
(хь....х)
=Co2Me++Xn)
(5.46)
МОМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
589
Здесь О — некоторая положительно определенная квадратичная форма от х, —а1,..., Хх, — а, (а; — постоянные), постоян-
ную С можно вычислить из условия (5.45). В случае п = 2 плотность нормального распределения может быть приведена
к следующему виду (определение а, оу, р см. в 5.1.4.4; рис. 5.8):
|
_
1
(x1—а1)?—2 (x1—а!)(x2—a2) (x2—a2)?i
47
2no,02V1—p?exp| 2(1—p’)|
Р
+2
(5.47)
с?
©1902
03
5.1.4.3. Граиичные распределения. Пусть F (х1,..., X,) — функция распределения случайного век-
тора (X,,..., X,). Тогда
Л(ха,х2)=
P(X; <м,..., Xi < Xi) = F (Cy, ..., Cn)
(1 <i, <i, <...<i, <n),
rye Ci, = м, р Ci = Xi, а все остальные C; = +00, называется К-мерным граничным распре-
делением Е (x,,...,X,). Оно является функцией распреде-
ления k-MepHoro случайного вектора (X [х-. X i,) В част-
ности, при К =1 получаются распределения отдельных
компонент:
Е (+00, +0, ...,хь +00, ..., +00) = P(X; <х,) = F; (x)).
В дискретном случае. функцию вероятностей k-mepHoro
граничного распределения получают суммированием по
индексам, номера которых отличны от #,,...,ц&; в He-
прерывном случае плотность граничного распределения
получают интегрированием по переменным, номера
которых отличны OT iy, ..., в.
Общее число К-мерных граничных распределений
равно С*.
Рис. 5.8.
Пример 37. Пусть дана двумерная дискретная случайная величина (X,, X>2) с функцией вероятностей ри=
= P(X, =x}, Х, =x{?). Тогда функции вероятностей отдельных компонент получаются как граничные распределения:
P(X,=xf?)=>Piks P(X,=x?)=»Ри.
Пример 38. Пусть задана трехмерная случайная непрерывная величина с плотностью / (хи, X2, хз). Тогда,
+a
например, плотность вектора (X,, Х›) получают как двумерное граничное распределение: д (хи, х2) = [ I (x1, хо, хз) dx3.
-@
+0 +0
Плотность третьей компоненты получают тоже как граничное распределение: h (x3) = [ j S (хи, X2, хз) dx, 4х».
—-o -@
5.1.4.4. Моменты миогомерной случайной величины. Особый интерес представляют первые и BTO-
рые моменты. Если случайный вектор (X,,..., X,) дискретен, то числа
—
Vj
—
=>DPIi,
(j=1,...,n)
(5.48)
Iyer ea Ty
называются первыми начальными моментами (X,,..., X,). В непрерывном случае первые начальные
моменты определяются формулой
+®
+a
vj= |... J xf Qe --., xn) dx, ... dx,
(j=1,..., п);
(5.49)
©
—-2
у, являются математическими ожиданиями отдельных компонент: v; = МХ,
Вторые начальные моменты V;; и вторые центральные моменты п) определяются следующим
образом:
дискретный случай:
_
(к
P
у
Уж= у xxiPi,woeiy
(5.50)
И.) т
=УР-р;
(5.51)
п
и...)
непрерывный случай:
+©
+®
У = [ ... [ х,хкЛ (хи, ..:» Хи) dx,....dX,,
(5.52)
+©
+©
ни= Г...J(xj—Vy)(хк—Va)Л(X1502+5Xn)ахи...ЧХи.
(5.53)
590
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Говорят, что соответствующие моменты существуют, если правые части (5.48)
— (5.53) сходятся
абсолютно. Имеем:
ук =М(Х jX к),
Величины и; равны дисперсиям отдельных компонент:
—
—2
и,=DX;=95.
,)
Величина pt, = соу (Х , X,) называется ковариацией (корреляционным моментом) случайных Be-
личин Х,, X, и обозначается cov (Х,, X,). Матрица || py |; к=1.....„ Называется матрицей ковариации
(корреляции). Параметр
cov (X;, X,) _ cov (Хх, X,)
рik=
" VDX,DX,
55%
называется коэффициентом корреляции между Ху и X,. Он лежит между —|1и +1.
Две случайные величины Х и Y называются некорреляционными, если их коэффициент корре-
ляции (их ковариация) равен нулю.
(5.54)
Пример 39. Параметры в формуле (5.47) для плотности двумерного нормального распределения имеют следую-
щие значения:
—_
—_
а=Мх, а=МХь 0,=VDX,, в,=УрХь
X1,X
ap= cov (Хь Xa) (коэффициент корреляции между X, и X2).
DX ох,
В случае п-мериого пормального распределения для плотности (5.46) имеем
1
-5Уbi;(x;—aj)(xj—а}
FT(X4)-++)Хх)=Ce iJ
,
где параметры a; и b;; имеют следующие значения:
а;=МХ,
bi = A,,/A,
где А=det(А;),
(А) — матрица алгебраических дополнений матрицы ковариации. Таким образом, п-мерное нормальное распределение,
J
Р
p
Р
Р
Р
ре
так же как в одномерном случае, полностью определено заданием первых и вторых моментов.
5.1.4.5. Условные распределения. Пусть (Х, У) — случайный вектор, а F(x, у) —его функция
распределения.
Функция
P(X<Yh
F(x/y)=lim (<у< Учи)
(5.55)
>о
Pliy<Y<y+th)
называется условным распределением Х при условии, что. У принимает значение у. Аналогично
определяется F (у/х).
В дискретном случае для условной функций вероятностей имеем
Pik _
Р(У—Ух/Х—x;)=_Pik
(5.56)
у, Pix
у Pix
:
k
P(X =х/У
=у,)=
В непрерывном случае для условных плотностей имеем
АЙ, тор
(5.57)
со
JЛ(x,у)dx
JЛ(x,у)dy
В знаменателях формул (5.56) и (5.57) стоят граничные распределения компонент, определяющих
условие.
5.1.4.6. Независимость случайных величин. Случайные величины X,,..., Х„ называются незави-
симыми (ср. (5.9)), если
Е (хи, .... х,) = Fy (x1)... Fa (X,),
(5.58)
где F;(x;)— функция распределения {-й компоненты X, (одномерное граничное распределение).
В то время как в общем случае о совместном распределении, если известны распределения
отдельных компонент, ничего сказать нельзя, в случае независимости случайных величин функция
Е (х1,..., X,) полностью определена через распределения отдельных компонент.
РЕГРЕССИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
591
Пример 40. Ведется стрельба по мишени. Допустим, что вертикальное отклонепие Х и горизонтальное откло-
нение У относительно центра имеют нормальпое распределение
X EN (х; 0, 04), YEN (vy; 0, G4).
Можно считать, что Х и У независимы. Тогда для плотности BeKTopa (X, У), обозначающего месго попадания
пули, имеем
_1
x2
1
у2
|
x2
y2
dee
it 2lo) §
а) tte) ter
SOу)=Л,©Л.=
е
¢
=-е*L
И? Oo;
И2* с)
219162
Следовательно, (Х, У) распределено нормально с параметрами a, =a, = 0; су, 62; р=0.
Примечание. Независимость в практических случаях обосновывается не проверкой (5.58), а рассуждениями или
статистическими тестами. Тогда равенство (5.58) считается следствием.
Для независимых случайных величин справедливы некоторые очепь важные и часто используемые
теоремы о математическом ожидании и дисперсии.
‚ Если Х и Y независимы, то
М (ХУ) = МХМУ
(5.59)
Отсюда и из определения ковариации тотчас следует: из независимости Х и У вытекает
некоррелированность Хи 7.
В случае нормального распределения из некоррелированности следует и независимость, что
становится очевидным, если в формулу (5.47) подставить р =0 и применить функциональное
равенство для экспоненты.
.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий, т.е. О(Х,+..
... + X,) = DX, +...+ DX,, если X,,..., X, независимы.
5.1.4.7. Регрессионная зависимость. Для многих явлений в прироле и технике типичны стохасти-
ческие (случайные) зависимости. Между двумя случайными величинами имеется стохастическая
зависимость в общем случае тогда, когда существуют некоторые случайные факторы, которые
влияют на обе случайные величины, и некоторые факторы, действующие только на первую или
только на вторую случайную величину. Следовательно, если
X =f (Zy,..., Zm Хь..., Х), Y= g(Z,,..-;Ze Yis +--+ %),
то Хи У cmoxacmuyecku зависимы. В теории регрессии особое значение имеет задача: предсказание
интересующей нас случайной величины 7, если другие случайные величины, от которых стохасти-
чески зависит Y, приняли конкретные значения.
5.1.4.7.1. Линии регрессии. Кривые в плоскости х, у, определяемые уравнениями
у (х) = М (У/Х =x) и х() =М(Х/У=y),
называются линиями регрессии Y относительно Х и Х относительно У. При этом М (У/Х =х)-
математическое ожидание У при условии, что Х приняло значение x. В случае непрерывных Хи У
имеем
+00
М (¥/X = x) = J yf (y/x)dy, M(X/Y=y)= J xf (x/y) dx.
—@
При этом f(x/y) или Г(у/х)
— условные плотности. Линии регрессии имеют следующий смысл:
наилучшее предсказание У при условии, что Х = хо, есть у(хо). При этом «наилучшее» означает,
что для произвольной функции и(Х) справедливо неравенство М (Y— и(Х))? > М (У- у(Х))?. Это
можно выразить и так: функция регрессии у(х) есть функция, минимизирующая среднюю квадра-
тичную ошибку величины предсказания У на основании значений Х. Соответствующим образом
можно интерпретировать и
Х
(У).
5.1.4.7.2. Прямые регрессии. Случайные величины Х и У называются линейно коррели-
рованными, если линии регрессии являются прямыми. Эти «прямые регрессии» задаются следующими
уравнениями:
регрессия Y относительно Х: y = py + Ву/х (x — их),
(5.60)
регрессия Х относительно Y: x = py + Вх/у(у — ву};
(5.61)
величины Ву/х и Вх/у называются (теоретическими) коэффициентами регрессии. Они вычисляются
следующим образом:
су
ох
=— 9,
=“ р.
62
Ву/х
р› Bxyy ур
(5.62)
592
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При этом р есть коэффициент корреляции Х
и
У:
_ cov(X, У) _ ИХу
7
OxOy 7 схсу’
(5.63)
и сх =|) DX, су= ИРУ. Входящие в формулы (5.60), (5.61) параметры py и ру — математические
ожиданияХиТ:py=МХ,py=МУ.
В том случае, когда Х и Y не являются линейно коррелированными, по формулам (5.60)
и (5.61), используя (5.62) и (5.63), можно составить уравнения двух прямых. Они также называются
линиями регрессии и в этом случае являются линейными аппроксимациями истинных линий
регрессии.
5.1.4.8. Функцин от случайных велични. Пусть дан непрерывный случайный вектор (Х, У),
fi (x, у) — его плотность. Требуется найти распределение случайных величин Х + У, X - Y, =.
Сумма Х + Уесть также непрерывная случайная величина, и ее плотность
(2)=Ts(x,2—x)dx.
ЕслиXиУнезависимы,такчтоf(x,у)=fy(x)Г.(у),то
f(2)=Th(x)fa(@—x)4х.
(5.64)
Следовательно, плотность суммы есть свертка плотностей отдельных слагаемых.
Пример 41. Пусть (Х, У) распределен нормально, a f(x, у) задана формулой (5.47). Тогда для плотности X + У
получаем
1 @-(@a+ a)?
2=
|
2201+290,02+OF
//2n (92 + 2p0,6, + 03)
Следовательно, величина Z = X + У снова нормально распределена с параметрами Ис? + 290,602 + 03, а, + ао.
В случае независимости имеет место и обратное: если сумма двух независимых случайных величин нормально
распределена, то и отдельные слагаемые распределены нормально.
Произведение. Пусть (Х, У) — случайный вектор и 7 =Х -У. Тогда для плотности имеем
f@=[f(s2)aye
x) Tx
Отношение. Пусть (X, У) — случайный вектор; отношение Х/У есть некоторая случайная
непрерывная функция с функцией плотности
+®
0
f(z)= [xf(zx,x)dx—Jxf(2х,x)dx.
0
—
5.1.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Под характеристической функцией W(t) случайной величины Х понимают математическое
ожидание случайной величины els:
у(0=M(e'"*),
(5.65)
где t — действительный параметр.
Если F (x) — функция распределения X, то
W(t)=yeltAF(x),
(5.66)
В случае дискретного распределения
У=Yep,
(5.67)
k=0
СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
593
(ряд Фурье с коэффициентами р»). В случае непрерывного распределения
Y(t)= fex,f(x)dx
(5.68)
(интеграл Фурье).
Пример 42. Пусть Х подчиняется закону Пуассона с параметром A. Тогда характеристической функцией будет
ao
k
1
У =)емтehadeen)
(5.69)
к=0
Пример 43. Пусть Х равномерно распределена на (—а, а). Тогда
а
их1
—
у(t)=|е 5,4х=
sin (at)
at
Пример 44. X EN (x; a, ©). Тогда характеристической функцией будет
+o.
1 (x —a)?
1
ux—>——_—r
lat— 2
(=—
|е
oO dx=e
;
(5.70)
//2n o
5.1.5.1. Свойства характернстических функций.
1) Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей действительной оси.
2) Для любой характеристической функции \ (1) выполняются соотношения
у (0 = 1400181 (0 <t< +0).
3) Если ¥Y=aX +56 с постоянными a и b, To wy (t)=yx (at)eTM (ух — характеристическая
функция Х).
р
Используя характеристические функции, можно легко вычислить моменты.
Если случайная величина Х обладает моментом порядка п, то характеристическая функция Х
п раз дифференцируема по t u при К <п
W(0)=*Mx*=iy,.
(5.71)
eo
Пример 45. Пусть Х нормально распределена с параметрами a и с. Следует вычислить МХ и DX, Согласно (5.70)
iat — ort
|
у(1=е
2 . Тогда в силу (5.71) iv, =\ (0) =м и —у=\" (0)= —o?—a?. Следовательно, MX =\,=а и
DX=\,-\=с?+а?—а?=02.
Для приложений имеет большое значение тот факт, что характеристическая функция. суммы
независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.
Если случайные величины X, и Х, непрерывны, то плотность суммы, согласно (5.64), есть
свертка обеих плотностей. Это свойство, таким ‘образом, есть не что иное, как теорема о свертке
преобразования Фурье (см. 4.4.2).
Пример 46. Применения теоремы о свертке. Пусть случайная величина Х распределена биномиально с пара-
метрами п и р. Требуется найти ее характеристическую функцию. Как известно, Х можно интерпретировать как число
осуществлений события А в п независимых испытаниях, если вероятность осуществления А в каждом испытании
есть р. Поэтому Х можно записать в виде суммы:
Х=Х, +Х,+...+Хь
где
Хх.= 0, если А не осуществляется в j-M опыте,
J
э
1, если А осуществляется в j-M опыте.
По условию Х,- независимые случайные величины. Следовательно, согласно теореме о свертке имеем ух (1) =
-
их.
.
= A WX, (t), причем ух, (t) = Ме 1 =еи'0. qgt+e"’'.p=4q+ pe"; таким образом,
Wx(1)=(q+ре").
(5.72)
594
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5.1.5.2. Формула обращения и теорема единствениости. Пусть F (x) — функция распределения,
а w(t) — характеристическая функция случайной величины Х. Если x,, xX. — точки непрерывности
Е (x), то
1
eo} —e@
2
Е(к)— Ри) Ша,| = W(t)dt.
(5.73)
>
Если случайная величина Х непрерывна, а f (x) — плотность F(x), то формула (5.73) упрощается:
1
Х(х)=>> |e7yy(1)dt.
(5.74)
-©
Таким образом, плотность получается из характеристической функции обратным преобразованием
Фурье.
Из формулы обращения следует, что функция распределения случайной величины однозначно
определяется ее характеристической функцией.
iat—ao
Если, например, каким-либо образом для Х получена характеристическая функция е
,
то, согласно теореме единственности и формуле (5.70), ХЕМ (x; а, 9).
Пример 47. Пусть две независимые случайные величины нормально распределены: Х Е М (x; а1, 04), YEN (у; a3, С2).
Требуется найти распределекие для Х
+
7. Так как
071?
9212
ia,t— 5
а2ё—- 5
Wy (=е
‚ Wy()=e
,
то согласно теореме ce) свертке
ne2
22
i(a, +a,)t— (51 teat
Wrev(O=Vx (9 Vy (=e
Вследствие теоремы единственпости едипственное распределение, имеющее эту функцию распределения, есть
М & + у; а, + a2,» Из + 5 Таким образом, случайная величина Х + Y снова распределена нормально с параметрами
Пример 48, Пусть Х и У- независимые случайные величины, подчиняющиеся закону Пуассона:
.
ak-
P(X=k=Mt " Р(УЕЮ=ae7
.
No (e*—1)
Az (e"*—1)
Требуется найти распределение суммы Х + 7. По формуле (5.69) находим ух (t)=e |, ‚ уу=е
. Вслед-
ствие независимости и согласно теореме о свертке
jit
уху=ухОу =60+ 1)
(5.75)
В силу теоремы единственности C/IMIICTBEHIILIM распределением, имеющим (5.75) в качестве характеристической функции,
является пуассоновское распределение с параметром A, +A. Таким образом, сумма двух независимых случайных
величин, подчиняющихся закону Пуассона, снова распределена по закону Пуассона с параметром A, + A>.
Примечание. Здесь также имест место обратное: если сумма двух независимых случайных величин распре-
делена по закону Пуассона, то и слагаемые распределены по закону Пуассона.
5.1.5.3. Предельная теорема для характеристических функций. Последовательность {F,, (х)} функ-
ций распределения называется сходящейся в основном к функции распределения F (x), если во всех
точках непрерывности lim F, (x) = Е (x).
>с
В дискретном случае сходимость в основном Е, (x) к F(x) означает, что соответствующие
функции вероятностей сходятся: р") > р, для всех К.
В непрерывном случае из сходимости в основном следует (если /,(х) непрерывны), чго
Л, (х)> Л (x) для всех x.
Если последовательность {F,,(x)} функций распределения сходится в основном к функции
распределения F (x), то последовательность соответствующих характеристических функций (\, (1)}
сходится к W(t) — характеристической функции F (x). Эта сходимость равномерна в каждом‘ конечном
интервале.
Большее значение имеет обратная теорема: если последовательность характеристических функ-
ций {W, (1)} сходится к непрерывной функции \ (1), то последовательность соответствующих функций
распределения {F, (х)} сходится к некоторой функции распределения F (x) и W(t) есть характеристи-
ческая функция F (x).
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
595
Примечание. Условие обратной теоремы выполняется, в частности, если выполняется одно из двух условий:
1) {, ()} сходится равномерно на каждом конечном интервале к функции \ (1.
2) {\,(1)} сходится к характеристической функции \ (:).
Пример 49. Пусть Р (и, К) = Сира" * (К =0,1,..., п) — последовательность биномиальных распределений с пара-
метрами п, ри lim пр, =^. К какому распределению сходится эта последовательность? Соответствующая после-
noo
Шей—1
довательность характеристических функций \, (t) = (4, + ey)", очевидно, сходится к функции (t) = е^ (е ) Следова-
тельно, предельное распределение является пуассоновским распределением:
ak
Py Ю=-те*
(К=0,1,...).
5.1.5.4. Производящие функции. В случае дискретных случайных величин, которые могут при-
нимать только значения 0, 1, 2,..., часто вместо характеристических функций используют произво-
дящие функции.
Пусть р, является функцией вероятностей некоторой дискретной случайной величины Х
указанного типа, а 2 — комплексный параметр. Тогда ф(2) = >) p,z* называется производящей функ-
k
цией случайной величины Х. Функция @ (2) — аналитическая в круге |z| <1. Ее предел при 2-е"
дает характеристическую функцию Х.
Производящие функции имеют свойства, аналогичные свойствам характеристических функций.
5.1.5.5. Характеристические функцин многомерных случайных величин. Под характеристической
п
функцией п-мерной случайной величины понимают математическое ожидание величины ехр ( У вх .)
.
k=1
W (11,...,tn.) = M (exe ( у. ых»).
(5.76)
k=1
где t,,..., t, — действительные параметры.
Пример 50. Характеристическая функция п-мерного нормального распределения имеет вид
1
у(ty,raryt,)=exp(»at,—>Яbat),
(5.77)
где (by) — матрица ковариации. В частности, для п = 2 имеем
1
Y(21,t2)=exp|(вай+Gate)—>(Cit+2poroatite+on |
(5.78)
Если X,,..., X, — независимые случайные величины, TO
у(11,orest,)=ДWs(t,),
где W, — характеристические функции отдельных компонент X,.
Если Z=X,+X24+...+X, и \(1,..., В) — характеристическая функция вектора (X,,...,X,), то Wz(t)h=
=W(t,t,..., 1).
ох“
уoN.
5.1.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
5.1.6.1. Закон больших чисел. Последовательность {Х„} случайных величин называется сходя-
щейся по вероятности к случайной величине X, если для любого = > 0 выполняется равенство
lim P(|X,-X|<s)=1.
>00
п
Говорят, что последовательность случайных величин X,, Х.,... подчиняется слабому закону
больших чисел, если для любого & > 0 справедливо равенство
п
п
1
1
limP{|— X,-— МХ,|<=] =1,
(5.79)
по
n
n
k=1
k=1
п
п
1
1
другими словами, если Z, = — Хк- — МХ, сходится к 0 «по вероятности».
п.
n
k=1
k=1
596
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для вывода слабого закона больших чисел важно неравенство Чебышева. Пусть Х — случайная
величина, имеющая конечную дисперсию. Тогда для любого # > 0 справедливо неравенство
DX
P(|X —MxX|2>8&)< —_.
(5.80)
=
Теорема Чебышева. Если X,, X2,...— последовательность попарно независимых случай-
ных величин, дисперсии которых равномерно ограничены, т.е. DX, <С для каждого k, то эта
последовательность подчиняется слабому закону больших чисел.
Прямым следствием отсюда является теория Бернулли. Пусть т — число осуществлений
события А в п независимых испытаниях, и пусть в каждом таком испытании А имеет вероятность р.
Тогда частота т/п = W, (А) стремится «по вероятности» к р, т.е.
lim P(|W,(A)-p|<e)=1
(5.81)
na@
для любого Е > 0.
Если X,, X2,...— последовательность попарно независимых случайных величин с равными
математическими ожиданиями MX, = МХ, =... =а, a ОХ, равномерно ограничены, то для любого
= > 0 справедливо равенство
1
lim Р +) X,-—al<ef=l.
(5.82)
п»
vn
=1
Соотношение (5.82) является теоретической основой правила среднего арифметического при
измерениях. Пусть нужно измерить неизвестную величину а. Из-за случайных ошибок измерения
повторяются п раз, причем отдельные измерения независимы друг от друга; К-е измерение может
быть описано случайной величиной X,. Если в процессе измерения нет систематической ошибки,
то МХ, =а. Тогда, согласно (5.82), построением среднего арифметического измеренных значений,
при достаточно большом п, с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, получается значение, сколь
угодно приближающееся к искомой величине а.
Последовательность {Х„} случайных величин называется почти наверное сходящейся к случайной
величине Х, если P( lim X, = X)=1.
n7@
Говорят, что последовательность случайных величин X,, X2,... подчиняется усиленному закону
больших чисел, если
1
1
n—0oo n
n
k=1
k=1
n
п
1
1
другими словами, если — Хи — — MX, «почти наверное» сходится к 0.
п
п/
k=1
k=1
Теорема Колмогорова. Если последовательность {X,} независимых друг от друга
со
DX
случайных событий удовлетворяет условию
-— < +00, то она подчиняется усиленному закону
n
n=1
больших чисел,
О связи между усиленным и слабым законом можно сказать следующее: если последователь-
ность {X,} случайных величин подчиняется усиленному закону, TO она подчиняется и слабому,
но не наоборот.
‘5.1.6.2. Предельная теорема Муавра — Лапласа.
`5.1.6.2.1. Локальная предельная теорема. Если вероятность осуществления события
Ав п независимых опытах постоянна и равна р (0 <p <1), то вероятность Р (п, К) = Сира" * того,
что в этих опытах событие А происходит ровно К раз, удовлетворяет соотношению
Рю1
(5.84)
lim
;
"-® 1/(/2n) Ипрае-*
гдеx=(К—пр)/|/пра.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
597
Другими словами: биномиально распределенная случайная величина асимптотически распреде-
лена нормально с параметрами а = пр и в = И пра.
Пример 51. Пусть вероятность появления в производстве бракованной детали равна 0,005. Как велика вероятность
того, что среди 10 000 деталей 40 окажутся бракованными? Итак, следует определить Р(п, К) при п = 10 000, k = 40,
р = 0,005. Согласно (5.84)
1 (Апр
1
=2
пра
—
К—пр
Рю ее
‚ Vnpq =7,05,
= — 1.42.
И2к У прч
У пра
Следовательно,
1
2
Puede te 2
me 7,05 2m
|
0,1456
Из табл. 1.1.2.6.1 находим ф (1,42) = 0,1456. Таким образом, Р (п, К) =
< 0,0206. При вычислении по точной фор-
7,05
муле получаем Р (п, К) ~ 0,0197.
5.1.6.2.2. Интегральная предельная теорема. Пусть Х — биномиально распределен-
ная случайная величина с параметрами п и р. (Следовательно, Х можно интерпретировать как
число осуществлений события А в п независимых испытаниях с Р (А) =р в отдельном испытании.)
Тогда равномерно относительно а’и b (—co <а< < +00) выполняется соотношение
b
x-
i
limP(«<< 6)= |е-**1?dx=Фо(b)—Фо(a).
(5.85)
п»
и пра
V2
Пример 52. Пусть имеется ситуация, описанная в примере 51. Ищется вероятность того, что в ящике
с 10 000 деталей находится не более 70 бракованных:
2,84
P(x< (50<Xo” 20)=P(-109<~~ кам)«
[ fax
—_<
< ————
//49,75 V/npq И 9,75
пра
- 7.09
= Фо (2,84) — Фо (— 7,09).
Так как Фо (—х) = —Фо (x), то P(X < 70)= Do (2,84)
+ Фо (7,09). Из таблицы найдем Фо (2,84) = 0,4977; Do (7,09) уже
нет в таблице, так как оно отличается от 0,5 крайне мало. Таким образом, P (X < 70) ~ 0,9977.
5.1.6.3. Центральная предельная теорема. Пусть {Х„} — последовательность независимых случай-
ных величин, и пусть
X;— MX;
7.2\Xi MX)
(5.86)
k=1 || УХ;
i=1
Величины Z, называются нормированными и центрированными суммами (DZ, = 1, MZ, = 0). Пусть
Ф, (x) являются функциями распределения Z,, а Е, (х) — функциями распределения Х,. Обозначим
п
.
В? = У DX;, В, >0. Необходимым и достаточным условием выполнения равенства
i=1
1
limФ,(x)= |e-"2dt
(5.87)
иУр
является следующее условие (Линдеберга)
lim “
(X—MX,)?dF,(x)=0.
(5.88)
na@
n
k=1|Х-МХ,|>8В,
Примечание. Условие выполняется, в частности, если все Х, имеют одинаковое распреде-
ление, у которого первый и второй моменты конечны.
598
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Хх, — MX;
В,
муле (5.86), состоит Z,, равномерно малы. В этом случае смысл центральной предельной теоремы
состоит в следующем. Если случайную величину можно представить как сумму большого числа
не зависящих друг от друга слагаемых, каждое из которых вносит в сумму лишь незначительный
вклад, то эта сумма распределена приблизительно нормально.
Условие (5.88) означает, что отдельные слагаемые
‚ M3 которых, согласно фор-
Пример 53. Пусть проводится измерение и Х — случайная ошибка измерения. Случайная величина Х появляется
в результате аддитивного наложения большого числа не зависящих друг от друга факторов, порождающих ощибки;
каждый из этих факторов оказывает на ошибку малое влияние. Таким образом, величину Х можно считать
распределенной нормально.
Пример 54. Пусть Х — длина березового листка, случайно выбранного из некоторого множества сорванных
листков. Тогда Х есть случайная величина, получающаяся наложением многих малых, не зависящих друг от друга
факторов. Поэтому для Х может быть принято нормальное распределение.
5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5.2.1. ВЫБОРКИ
Задачи математической статистики состоят в том, чтобы на основании знания некоторых свойств
подмножества элементов, взятых из некоторого множества, сделать какие-нибудь утверждения
о свойствах этого множества, называемого генеральной совокупностью. В генеральной совокупности
нас обычно интересует некоторый признак, который обусловлен случайностью и может иметь
качественный или количественный характер.
Пример 55. Автомат производит валы. Множество всех валов, произведенных при определенных, остающихся
неизменными производствепных условиях, образует генеральную совокупность. Если интересующим признаком является,
например, диаметр, то этот признак имеет количественный характер.
Пример 56. Поточная линия производит охотничьи патроны. Множество всех патронов, произведенных при
некоторых, остающихся неизменными условиях, составляет генеральную совокупность. Если нас интересует способность
патрона функционировать или отказывать, то это качественный признак.
Интересующий нас параметр некоторой генеральной совокупности может быть представлен
в математической модели некоторой случайной величиной Х. В количественном случае Х есть сам
признак; для качественного же признака, например типа «хороший — плохой», Х можно определить
так:
0, если «хороший»
Хх_
>
1, если «плохой».
Под случайной выборкой объема п понимается выбор п объектов из генеральной совокупности,
причем выбор отдельных объектов производится независимо один от другого. Результатом случай-
ной выборки объема п является совокупность (X1,..., X,) значений признака.
Пример 57. Совокупность (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) является выборкой объема 10 из партии патронов. Таким обра-
зом, здесь 9 хороших и один плохой патрон.
Тот факт, что можно сделать много выборок объема п и получить различные совокупности
значений признака, ведет к следующему абстрактному определению понятия выборки.
Пусть имеется генеральная совокупность, в которой признак Х имеет распределение F (x).
Тогда п-мерный случайный вектор (X,,..., X,), в котором величины Х; независимы друг от друга
и все имеют распределение f(x), называется математической выборкой объема п. Каждая реали-
зация (х1,..., X,) случайного вектора (X,,..., Х„) есть выборка.
В случае, если это не вызывает недоразумений, прилагательное «математическая» опу-
скается.
5.2.1.1. Гистограмма 4 эмпнрическая функция распределения. Пусть имеется выборка (xX), ..., Х,),
так называемая таблица наблюденных значений, из генеральной совокупности с признаком Х. Пусть
распределение Х неизвестно. Для того чтобы получить первое представление об этом распределении
в случае количественного признака, составляют так называемую гистограмму. Производят разбиение
действительной оси на конечное число граничащих друг с другом промежутков A,,..., A,. Затем
подсчитывают число т; выборочных значений, лежащих в А; (1 <i<k). Эти числа называются
групповыми частотами. Над A; рисуют прямоугольник высоты m,/n (относительные частоты попада-
ния в интервалы). Возникающий таким образом ступенчатый график называется гистограммой
выборки.
9
ГИСТОГРАММА И ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
599
Пример 58. Из текущей продукции автомата была сделана выборка в 350 валиков; признаком Х является
отклонение диаметра валика от номинального размера. Табл. 5.1 дает соответствующее статистическое распределение.
Таблица 5.1
Статистическое распределение отклонений от поминала 350 валиков из продукции автомата
i
А; (в мм)
т;
туп
1
от —0,230 до —0,210
3
0,009
2
от —0,210 до —0,190
8
0,023
3
от —0,190 до —0,170
19
0,054
4
от —0,170 до —0,150
37
0,106
5
от —0,150 до —0,130
53
0,151
6
от —0,130 до —0,110
60
0,171
7
от —0,110 до —0,090
64
0,183
8
от —0,090 до —0,070
49
0,140
9
от —0,070 до —0,050
31
9,088
10
от —0,050 до —0,030
17
“949
1
от —0,030 до —0,010
7
0,020
12
от —0,010 до +0,010
2
0,006
Всего
350
1,000
Ha рис. 5.9 показана соответствующая гистограмма.
Ay
+
{9}--------------- —
|
Е
:
0100+
—
|
—
=_7_
00204040т
|8>
0
т
Рис. 5.9.
Рис. 5.10.
Удобным способом получить представление о распределении Х, приемлемом и при качественных
признаках, является построение эмпирической функции распределения. Для. данного действительного
числа х подсчитывается число выборочных. значений, меньших х. Обозначим это число через т, (х).
_
m,, (x)
.
.
Функция Е, (х) = ——— называется эмпирической функцией распределения выборки (x1, ..., X,). Она
n
является ступенчатой функцией.
Пример 59. Пусть при откармливании 10 животных зарегистрированы следующие прибавки в весе (в кг): 2,0;
2,8; 2,3; 3,4; 2,9; 2,8; 3,0; 3,2; 3,0; 2,8. На рис. 5.10 изображена соответствующая эмпирическая функция распределения.
F,, (x) может рассматриваться как приближение истинного распределения F (x) генеральной
совокупности. Обозначим
,
р,= max |F,(x)
—F(x)|.
(5.89)
—-~o<x<+0
Для любых непрерывных функций распределения выполняется соотношение
x
limP(2._=)=Q(n),
/n
пя+00
n
+®
— 22.2
где Q(AJ= У (—1е`**. Отсюда вытекает, что при n— oo почти наверное D, сходятся к 0;
=-®
600 ~
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
другими словами, при п -+ со последовательность F, (x) эмпирических функций распределения почти
наверное равномерно сходится к функции распределения. F (x) признака Х в генеральной сово-
купности,
5.2.1.2. Функцин выборок. Пусть (X,,..., X,) — математическая выборка. Случайная величина
Zn = Z(X4,..., X,) называется функцией выборки.
n
a
-
|
..
Пример 60. Пусть Х = I Ух ‚. Реализация Х = — xX; при конкретной выборке называется эмпирическим сред-
n
n
i=t
i=1
ним выборки (х1,..., X,)-
a
Пример 61. 52 = — >. X,— Х)?. Реализация 52 = —
) (x; — xX)? называется эмпирической дисперсией вы-
i=1
ict
борки (х1,..., Xp)
Вопрос о распределении функции выборки является основной задачей математической статистики.
В случае малой выборки (п относительно мало) представляет интерес распределение функции
выборки Z,. В случае большой выборки (п велико) достаточно знать асимптотическое распределение
Г т.е. предельное распределение Z, при n— oo.
Не существует общего критерия, который позволял бы решить, когда выборка может считаться
большой, а когда малой. В то время как распределение одной функции выборки уже при n = 30 можно
с очень хорошим приближением заменить асимптотическим распределением, для другой функции
выборки подобное приближение и при n= 100 все еще невозможно.
Пример 62. Пусть признак Х распределен нормально по М (х; а, ©). Тогда Х распределено нормально по
М (x3 а, //").
.
DX
Пример 63. Пусть DX < +. Тогда X асимптотически распределено нормально по М (x: Mx, / я )
Пример 63 показывает, что для определения асимптотического распределения нужны только
очень слабые предпосылки, которые практически всегда выполнены. Для вычисления точного распре-
деления функции выборки, как показывает пример 62, необходимо знать распределение признака Х
генеральной совокупности.
5.2.1.3. Некоторые важиые распределения. х?-распределение. Пусть X,,..., X, — независимые
случайные величины, где Х; Е М (x; а, ©) для всех i. Совокупность (X,,..., X,) можно понимать как
выборку объема п из генеральной совокупности, в которой признак Х распределен по N (x; а, д).
|
п
1
Рассмотрим функцию выборки x7 = — ) (Xi — а)?. Распределение этой величины называется
.
о
[=1
i=
х2-распределением с п степенями свободы. Табл. 5.2 содержит плотность распределения для x?
и некоторые функции выборки, тесно связанные с 7.
Распределение Т = Х/У с независимыми Х и У, где Х нормально распределено с законом
М (х; 0, 1), а Y= хЛИп (с n степенями свободы), называется {-распределением или распределением
Стьюдента с п степенями свободы. Оно имеет плотность
2 \ —(п+ 1)/2
f(xy=LetDP)(|+>)
(5.90)
ИtnГ(n/2)
n
х?-распределение и {-распределение табулированы; х?-распределение табулировано до п = 30;
это объясняется тем, что |/2y* асимптотически распределено с законом М (x; И 2" + 1, п) и это
приближение при n = 30 уже является достаточно точным (табл. 1.1.2.7, 1.1.2.8). Пусть независимые
случайные величины’ X; (i= 1,...,n,) и У, (]=1,...,п2) нормально распределены с законом
М (x; 0, с). Введем отношение
my
or) ЖЖ
п—1
_
=“.
(5.91)
СВОЙСТВА ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК
601
Таблица 5.2
Некоторые распределения, связанные с x?
Величина
Плотность распределения при x >0
1
х(/2)- 1е_х/2
2_+
_2
Х=сУх 9)
27 (n/2)
tet
141
2
(n/2)"? (nf2)— 1, —nx/2
ah=het (X;—а)
Fixe
2
n—t -x7/2
2912г (п/2) ~ °
Обозначим г, =n, —1, г. =n,—1. Распределение Е называется F-pacnpedenenuem co степенями
свободы (ги, г2) (табл. 1.1.2.10).
Распределение Z = log УЕ называется 7-распределением со степенью свободы (ги, rz) (табл. 1.1.2.9).
5.2.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
В цехе на поточной линии изготовляются боеприпасы для винтовок. Пусть вероятность того,
что произвольно выбранный патрон негоден, равна р. Для того чтобы точно определить р, пришлось
бы расстрелять все патроны, что не представляет собой разумного способа проверки. Для оценки
величины р делается выборка. Признак Х является качественным:
х
0, если патрон годный,
1, если патрон негодный.
Тогда МХ =0. (1-р)+1.р=р; таким образом, речь идет о том, чтобы оценить МХ при помощи
сделанной выборки. Рассмотрим функцию выборки
Х+»Xi
n
i=1
которая имеет значение относительной частоты негодных патронов в выборке объема п. Если
выборка реализуется, то
п
_1
х=—
Xj
n
i=l
является, согласно закону больших чисел, приближенным значением неизвестного р. В общем случае
задача оценки неизвестного параметра у (который как-либо связан с генеральной совокупностью,
например: у = МХ) на основании выборки означает следующее. Нужно задать функцию выборки,
реализация которой в некотором смысле могла бы рассматриваться как приближение у. Такая
функция выборки называется точечной оценкой у.
5.2.2.1. Свойства точечных оценок. Оценка Г (X,,..., X,) параметра у называется состоятельной,
если I (X,,...,; X,) сходится по вероятности к параметру у, т.е. если для любого & > 0 выполняется
602
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
равенство
lim P(|T(X,,...,X,)-—yl<s)= 1.
n—0
Пример 64. 1) Х есть состоятельная оценка МХ. 2) $? есть состоятельная оценка для DX = 07.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому пара-
метру.
-
re|
-
Пример 65. 1) MX =— У мх. =, > Mx = MX; X есть несмещенная оценка МХ. 2) MS? -)M (X,-
1=1
i=1
1=1
—Х)?2= 07; 52 есть несмещенная оценка 07.
Оценка Г =I (X,,..., X,) параметра у называется асимптотически несмещенной, если
limМГ=у.
n—-> ©
Каждая несмещенная оценка является асимптотически несмещенной, так как МГ = у для любого
конечного п.
Пример 66. Иногда в качестве оценки с? используется также
S*2= 2 _X),
MS*2 = п-
i=1
Эта оценка не является несмещенной, однако она является асимптотически несмещенной, так как lim MS*? = o?.
п»
Оценка Г, параметра y называется более эффективной, чем другая оценка Г», если М (Г, — y)? <
< M (Г, - %)2. Если обе оценки несмещенные, то это означает: ОГ, < ОГ.,. При достаточно общих
условиях для дисперсий оценок одного и того же параметра можно указать положительную нижнюю
границу.
‚Оценка, дисперсия которой в действительности принимает это минимальное значение, называется
эффективной. Она является наилучшей оценкой в том смысле, что лучше всего использует инфор-
мацию, имеющуюся в выборке.
Однако во многих случаях эффективные оценки не существуют.
5.2.2.2. Методы получения оценок.
5.2.2.2.1. Метод моментов. Для параметров, которые известным образом составляются
из моментов, оценку получают, заменяя моменты через так называемые эмпирические моменты.
п.
1
В качестве К-го эмпирического начального момента берут функцию выборки a, = — Хи.
n
i=1
В качестве эмпирического центрального момента k-ro порядка берут функцию выборки
1у
_
т=—
(Хх;
— ХХ.
п-1
`
i=1
Пример 67. Математическое ожидание — первый (начальный) момент. Следовательно, метод моментов в качестве
оценки для МХ дает величину
|
Пример 68. Дисперсия есть второй (центральный) момент. Метод моментов дает в качестве оценки для ОХ = ов?
величину
2
1,
Vv \2
5 =——
(X,
— X)°.
n-1
{51
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК
603
Пример 69. Для ковариации метод момеитов дает оценку
a
l
и_j
—=ух—Х)(и-¥).
(5.92)
i=1
Пример 70. Для коэффициента корреляции согласно методу моментов получается оценка
h
e
(X;—Х)(У;—у)
| (X= FY (1-9
Ковариацию и коэффициент корреляции можно рассматривать только тогда, когда в генеральной
совокупности появляются два интересующих нас параметра Х и У. Выборка объема п состоит
тогда из последовательности пар ((хи, у1), (х2, У2),..., Xn» Ул).
5.2.2.2.2. Метод наибольшего правдоподобия. Пусть дана выборка (х.,..., х,)
объема п из генеральной совокупности с непрерывно распределенным признаком Х. Пусть плотность
вероятности Х содержит неизвестный параметр 7, который следует оценить по выборке, и имеет
вид f (x, 1).
Функцией правдоподобия называют функцию параметра 7, определяемую соотношением
Г (Хи...,Хи; Y= Л (жа, 1) Л (X25 1)... Л (У).
(5.94)
(5.93)
Рассмотрим случай дискретного Х с возможными значениями Xj, X2,... и вероятностями
P(X =x,)=p;(y). Обозначим через x, наибольшее из возможных значений, которые встречаются
в выборке, а через fy, f2, ..., /, — абсолютные частоты, с которыми появляются значения х|, ..., х,
в выборке ( f= n)
i=l
В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра 7, опрелеляемую соот-
ношением
Sy
SS
S,
L (x4, ---, Хи; ¥) = Pi (у)p2* (7)...pe” (9).
(5.95)
Метод наибольшего правдоподобия состоит в TOM, что в качестве оценки параметра ‘у берется
значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума. Это значение 1
является функцией X4,..., хи:
9=Г(хь..., No)
Соответствующая функция выборки Г (X,,..., Х„) называется наиболее правдоподобной оценкой 7.
Параметр ¥ (и одновременно Г (X,,..., X,)) находят, решая относительно у уравнение
ОГ,—=0
(5.96)
oy
Часто вместо (5.96) используют уравнение
1 OL. @inLk
—_ FO
=0.
5.97
Если плотность f (x, у1,..., У) или функция вероятностей P(X = x,) = р, (¥1,..., у) зависит от
| параметров, то наиболее правдоподобпую оценку системы параметров 4,1, ..., /! получают решением
системы уравнений
aL
—=0
i= 1,...,1
ay,
(i peers)
(5.98)
или
dink о (i=1,...,)
(5.99
oy,
r=1,..., 0).
.99)
Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно
общих условиях они являются состоятельными и асимитотически нормально распределенными
(однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотических нормально распределенных
оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется
эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия.
604
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Пример 71. Следует оценить вероятность р некоторого события А. Пусть
Xx 0, если А не происходит,
1, если А происходит,
есть индикатор события A (см. 5.1.2); P(X = 0) = ро (р) =1-р, P(X =1) =p, (р) = р. Пусть в п независимых наблюде-
ниях событие А происходит т раз, т.е. fo=n—m, {, =т. Таким образом, согласно (5.95) имеем L= pTM (1 — р",
dlnL т п-т
дрp1-р
подобная оценка неизвестного р.
Пример 72. Пусть Х распределено по закону Пуассона с неизвестным параметром A. Проведем выборку
и получим значения х:,...,х, (х,-— целые числа). Пусть г-— наибольшее из наблюдавшихся в выборке чисел,
rJ
:
—^
Г, ..., /„- абсолютные частоты, с которыми числа 0, 1, 2, ..., г появляются в выборке, р, (A) = P(X =] = ire .
„от
= 0. Отсюда следует, что р = =" (A) (частота А). Следовательно, w, (A) есть наиболее правдо-
=i/
=
.
А
'
Эш Г,
i
Тогда согласно формуле (5.95) [= le o>) . В соотношении с (5.97) получаем at = ) Л (+ — у = 0, откуда
i=0
r
ЗИ
n
i=0
1
_
=
= — xX, = х. Величина X есть, таким образом, наиболее правдоподобная оценка для A и вместе с тем
п
состоятельная, асимптотически пормально распределенная оценка параметра 2 распределения Пуассона.
Пример 73. Пусть Х распределено нормально с неизвестными параметрами а и о. Их следует оценить, исходя
из выборки (х1,..., X,) объема п. Функция правдоподобия
1"
1)
. 2)—
_ —__.
— а)?
Г.(Хх,-..,Xa3a,0) ( a) ep
752 (x,—а)
k=1
Следовательно,
Inb=—4м2
Ino?—apУвы a
k=1
Согласно (5.99) получаем следующие уравнения для определения аи O?:
dinL_1
dinLn|
,
Зы )maa Hey7ertForDw~%
k=>1
k=1
п
a
|
A1
_
=
откуда а = — yx =X u 6? =— Yt — x)? = 5*?, Следовательно, (Х, s**) есть наиболее правдоподобиая оценка пара-
n
n
k=1
k=1
метров (a, с?). Мы уже знаем, что 5*? He является несмещенной оценкой, а только асимптотически несмещена.
5.2.2.3. Довернтельные оценки. Точечная оценка дает оценочное значение соответствующего
параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие
данные поставляют доверительные оценки (доверительные границы).
Пусть (X,,..., X,) есть некоторая математическая выборка из генеральной совокупности
с признаком X, распределение которой зависит. от параметра у. Пусть Г (X,,..., Хи Г(Хь,..., X,)—
такие функции ‘выборок, что при произвольном ‘у выполняется равенство
Р(Г(ХЬ,..., Х,) <7 <I (X4,..., X,)) = 1-ч.
(5.100)
Тогда случайный интервал (Г, Г) называется доверительной оценкой параметра у с мерой
надежности | -ч. —
Если имеется реализация (х|,..., х,) выборки (X,,..., X,), т.е. если произведена выборка, то
реализация доверительной оценки дает интервал (у, 7) и в большом ряду выборок истинное значение
лежит примерно в (1 — а). 100% случаев внутри вычисленных доверительных границ. Равенство (5.100)
можно интерпретировать и так: случайный интервал (Г, Г) «покрывает» истинный параметр
с вероятностью | — а.
5.2.2.3.1. Доверительная оценка неизвестной вероятности по большим
выборкам. Частота W,(A) является точечной оценкой р=Р (А), она асимптотически нормально
распределена с МИ, (А) = р, DW, (A) = pq/n.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
605
Х-а
Если ХЕМ (x; а, в), TO ———EN (x; 0, 1). Зададим а. Величина 2, такая, что
oO
xX-
1
Р(--<<) =
[eve dx= 2D, (z,) = 1-4,
с
а
может быть найдена из уравнения
2Фо (z,) =1-&а
(5.101)
при помощи табл. 1.1.2.6.2.
Если эти рассуждения применить к ИЙ/, (4), то по заданному O& можно найти 2, Tak, чтобы
И/,(А)—p )- (мА.
р(-=. <
<2.|=Р
<|=1-—а.
И pq/n
ра/п
И’, —р
ра/п
Из неравенства
< 2, следует, что
2
2%
Za
2
p?(1+ ==) —p(2w, +=) 4+ 93 <0,
n
откуда можно вычислить оба значения p(W,), p(W,), которые представляют доверительные оценки
для р. Если a выбрано достаточно малым, то случайный интервал (р (И), р (W,)) «покрывает» почти
наверное.
|
5.2.2.3.2. Доверительная оценка а при неизвестном с из нормально рас-
пределенной с законом М (х; а, <) генеральной совокупности. Оценка основана
Х-а
yn удовлетворяет {-распреде-
лению с т=п- 1 степенями свободы. Следовательно, на основании табл. 1.1.2.8 по заданному o@
можно отыскать число t, ,-1, для которого справедливо равенство
Х-а..
P(t «Руны
=1-а
на том факте, что при высказанных предположениях величина
или
-5
=5
РX——&
„1 <а<Х+
—
ии
=1|- 9.
Ип
Yn
ae
55
=5
,
Таким образом, случайный интервал | X — ya X + Va есть доверительная оценка a
n
n
с мерой надежности p= 1 — «a.
5.2.2.3.3. Доверительная оценка с при неизвестном а из генеральной
совокупности, нормально распределенной с законом N(х;а, 0). Отправной точ-
(n 1)52
2
кой является тот факт, что при заданных предпосылках величина
удовлетворяет
х2-распределению с n— 1 степенями свободы. Из табл. 1.1.2.7 по заданному & и т =п- 1 степеням
свободы определяют два числа с; и с› такие, что
а
а
P(X?<)=1-РР>)=.иРе>63)=>,
—ny
Cy=1-а/2,C2=2.Например,дляo=0,02ит=19получаем,чтос;=Хёоо=7,6иC2=ХЗо!=36,2.
Числа c,, cz определены Tak, что
—1)52
—1)52
—1)52
P(<У<)=1-аWIMр
cor SE) aia
(©
C2
Cy
(n—1)S? (n—1)S?
я
.
,
есть доверительная оценка о? с мерой надежности 1 — а.
Таким образом,
C2
Cy
aa
606
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
5.2.2.3.4. Доверительные интервалы асимптотически нормально распре-
деленных оценок. Если Г есть некоторая асимптотически нормально распределенная точечная
оценка y, то 2, определяется формулой (5.101) и для этого 2, справедливо соотношение
Y
P| —z,< Ta <z)ai-a
( ИР(Г)
откуда получается доверительная оценка у с мерой значимости | — a. Пример 73 был конкретным
использованием этого общего соображения.
5.2.3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ (ТЕСТЫ)
5.2.3.1. Постановка задачи. Пусть два предприятия производят провод. Пусть Х — прочность
на разрыв провода, изготовленного на предприятии A, У — прочность провода, изготовленного
на предприятии В; Х, У можно считать нормально распределенными и независимыми. Пусть
на основании многолетних наблюдений известны сх и Oy. С каждого предприятия была взята
и проверена проволока из 50 катушек. При этом получились средние прочности на разрыв:
Х = 120,8 кГ/мм? (предприятие A) и у = 128,2 кг/мм? (предприятие В). Следует проверить, можно ли
считать это расхождение случайным или оно является значительным (существенным). Мы выдвигаем
гипотезу, что расхождение случайно, т.е. истинные средние прочности на разрыв совпадают.
Следовательно, тогда гипотеза Но (нулевая гипотеза) может быть сформулирована так: МХ = МУ.
Нри этой гипотезе величина
распределена по закону N(x; 0, 1). Для заданного a (и называется вероятностью ошибки или
уровнем значимости) из табл. 1.1.2.6.2 можно определить величину 2, такую, что P(|Z| > z,)=
=|—2D,(2,)=a.
Конкретная выборка дает для «величины теста» 7 значение 2. Если |2|> z,, то говорят, что 2
лежит в критической области. Тогда при однократном проведении опыта происходит событие,
вероятность которого меньше и. Согласно опытному факту, описанному в 5.1.1.2, в этом случае
гипотезу МХ = МУ приходится отвергнуть. Говорят, что наблюдавшееся расхождение значительно.
Если вычисленное 2 не лежит в критической области, т.е. |2|<2, то можно лишь утверждать,
что предложенная гипотеза не противоречит материалу наблюдений.
Пусть в рассмотренном вначале конкретном примере сх =8,0 кг/мм?, a су=9,4 кг/мм-.
г
Тогда D(x -¥
(X —-Y= s+ |ey = 1,75 кг/мм?. Если брать в качестве вероятности ошибки
x-y
7,4
a = 0,05, то получим, что 2, = 1,96. z= ———
Le
= — 4,23, |z|>z, = 1,96. Таким образом,
вычисленное 2 лежит в критической области. Следовательно, гипотеза МХ = MY должна быть
отвергнута, т.е. качественное различие между предприятиями А и В существенно и его нельзя
объяснить случайностью выборки.
5.2.3.2. Общая теория. На основании материала выборки следует проверить гипотезу Но.
Гипотеза Но может быть, например, гипотезой о равенстве определенных параметров распределения,
о равенстве законов распределения, о некоррелированности двух случайных величин и т. д. Для
проверки такой гипотезы необходима контрольная величина T, которой является соответствующим
образом выбранная и приспособленная к задаче функция выборки. По заданному уровню надеж-
ности а (чаще всего выбираются o = 0,05, или 0,02, или 0,01) определяется область В, так называемая
критическая meager удовлетворяющая условию
Р(ТЕB|Новерна)<a.
(5.102)
Область В можно найти практически, если известно распределение (или по меньшей мере
асимптотическое распределение) контрольной величины Т.
Метод проверки состоит в следующем. Производится выборка, которая дает частное значение #
контрольной величины Т. Если (ЕВ, т.е. если осуществляется событие, имеющее очень малую
вероятность а, то от гипотезы Но отказываются. Если t не лежит в В, то можно заключить, что
данные наблюдения не противоречат принятой гипотезе.
Ошибочное решение, когда гипотеза Но отвергается, хотя она и верна, называют ошибкой
первого рода. Чем меньше о, тем меньше вероятность того, что совершается ошибка первого рода.
КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА
607
Ошибочное решение, когда гипотеза Но не отвергается, хотя она неправильна, называют
ошибкой второго рода. Если a задано, то, согласно условию (5.102), критическую область В можно
выбрать бесконечно многими способами. Ее выбирают так, чтобы вероятность допустить ошибку
второго рода была по возможности наименьшей. Критические области рассматриваемых в дальней-
шем тестов выбираются именно с этой точки зрения.
5.2.3.3. 1-критерий. {-критерий служит для сравнения двух средних значений из нормально
распределенных генеральных совокупностей в предположении, что дисперсии сх и су равны, хотя
и неизвестны. Таким образом, проверяемая гипотеза Но утверждает, что МХ = МУ. Пусть
(х,,..., Xn,)s (У,, ..., Yn) — независимые случайные выборки из обеих генеральных совокупностей;
они могут иметь совершенно разные объемы. В качестве контрольной используют величину
—
Х-У
nn,(п,+п)—2)
И(п,—1)5%+(и.—1)5$
ny+ny
(5.103)
При сделанных предпосылках (нормальная распределенность Х и У и равенство дисперсий)
и в предположении, что гипотеза Но правильна, Т удовлетворяет {-распределению Стьюдента
с k=n,+n,—2 степенями свободы. Поэтому критическая область В критерия может быть уста-
новлена следующим образом. Для уровня значимости & из табл. 1.1.2.8 определяется t, „, где
k=n,+n,—2.
Если вычисленная (согласно (5.103)) реализация t удовлетворяет Hepasencmey |t| > & к, то гипо-
тезу Но отвергают.
По отношению к предпосылке «нормальной распределенности» {-критерий не очень чувствителен.
Его можно применять, если статистические распределения обеих выборок не имеют нескольких
вершин и не слишком ассиметричны. Предпосылка Oy = Oy BO многих случаях может быть обосно-
вана на содержательном уровне; гипотезу сх = су можно проверить и по Ё-критерию (см. ниже).
Пример 74. Нужно проверить влияние двух различных кормовых смесей на увеличение веса свиней. Для этого
10 свиней кормили только первой кормовой смесью, а 10 других свиней
— только второй (п, =n,= 10). Пусть Х —
увеличение веса при одной кормовой смеси, а У’— при другой. Величины Х и У можно считать нормально распре-
деленными (центральная предельная теорема). Так как дисперсия увеличения веса складывается из свойств отдельных
животных, а эти свойства действуют независимо от питания, то можно принять Oy = Oy.
Таким образом, выполнены предпосылки для применения {-критерия. Получились следующие эмпирические средние
значения: X = 112,1 кг, у = 100,2 кг. Эмпирические дисперсии равны соответственно 5% = 211, s¥y= 86. Согласно (5.103)
получаем
112,1 — 100,2 | 10 (10+ 10-2) _,,
— 9.21 +9. 86
10+ 10
Для а = 0,05 и k=104+10—2=18 из табл. 1.1.2.8 находим 10,05; 18 = 2, 101. Так как |#|>& » To гипотеза Но
отвергается. Следовательно, с вероятностью ошибки 0,05 можно сказать, что один корм лучше другого.
5.2.3.4. Е-критерий. Гипотезы о дисперсии имеют в технике большое значение, так как о2`есть
мера таких числовых характеристик, как точность машин, ошибки измерительных приборов, точность
технологических процессов и т. п.
Е-критерий служит для проверки гипотезы сх = су при условии, что Х и У распределены
нормально. Из каждой генеральной совокупности производятся выборки объема п, и п.2. В качестве
контрольной величины используют отношение эмпирических дисперсий F = $%/5% или F = 54/5%
(смотря по обстоятельствам большую дисперсию выбирают в качестве числителя). Величина Е
удовлетворяет Е-распределению с (ти, m2) степенями свободы (т, = и, — 1; т. =n, — 1). Критическая
облать выбирается следующим образом. Для уровня значимости & при р = 9/2 и соответствующих
степенях свободы m,,m, из табл. 1.1.2.10 выбирают значение Е’, ит, Если f, вычисленное по
выборке, больше, чем это критическое значение, то гипотеза должна быть отклонена с вероят-
ностью ошибки о (тех значений ©, которые указаны в таблице, достаточно для практических целей).
Пример 75. Двумя измерительными приборами Х и У произведены соответственно 10 и 20 измерений. Полу-
чились следующие эмпирические дисперсии: 5% = 12,2 м, зу = 8,0р м. f = 5% /5\у= 12,2/8,0= 1,525. Из табл. 1.1.2.10 для
уровня доверительности © = 0,10 находим ЁР (05; 9; 19 = 2,42. Так как вычисленное значение / меньше, чем критическое
значение, то различие между 5% и sy незначительно, т. е. гипотеза, что оба измерительных прибора одинаково точны,
не противоречит данным наблюдений.
5.2.3.5. Критерий Уилкоксона служит для проверки, относятся ли две выборки к одной и той же
генеральной совокупности; другими словами, гипотеза Но: Fy (х)= Еу(у) проверяется посредством
одной выборки (ху, .. »Xn,) из Х и одной выборки (у1,..., Уи2) из У. Относительно распределений
Х и Уникаких предположений не делается. Способы проверки, при которых не делается предполо-
жений о распределении в генеральной совокупности, называются способами, свободными, от пара-
608
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
метров, в противоположность рассматривавшимся до сих пор параметрическим критериям, в кото-
рых предполагалась нормальная распределенность Х и У. Значения х|,...,х, ГИ уь..., Yn, обеих
выборок упорядочиваются вместе по их величинам. Пусть, например, для п, = 4 ип. = 5 получилась
следующая последовательность: YsX3X4ViV2X2Yay3X1. В случае у, <х, говорят, что пара значений
(x;, yj) образует инверсию. В нашем примере x3 и х. образуют по одной инверсии (с ys), X2 образует
три инверсии (с Уз, У1, ys), а х, образует пять инверсий (со всеми у,). В качестве контрольной
величины принимается и — полное число инверсий. Если гипотеза верна, то и не должно слишком
й!П>
сильно отклоняться от своего математического ожидания Ми =
От гипотезы отказываются,
nyn
если | u—
больше определенного критического значения u,. Критическое значение и, берут
для заданного уровня значимости из табл. 1.1.2.1.1. Для больших п, и nz, для которых и, нельзя
взять из табл. 1.1.2.11, справедлива формула
П!1П2(ny+No+1)
Ч=2,
>
12
причем z, определяется, согласно (5.101), из табл. 1.1.2.6.2.
Пример 76. Из двух партий некоторой продукции было взято по 12 деталей и измерен определенный признак.
Нужно проверить гипотезу о том, что этот признак в обеих партиях имеет одинаковое распределение, другими словами,
что производственный процесс от партии к партии изменяется несущественно.
Табл. 5.3 показывает результаты измерений.
Таблица 5.3
Результаты измерений деталей, взятых из двух партий некоторой продукции
Номер. детали
2345678910и12
Партия I(x)
1,9
35|38|25|17|09110|23|33|34.
Партия П (у)
3,1
2,7
1,8
4,0
0,2
1.1
6
2,1
1,4
4.7
2.8
1.6
Упорядочивание по величине дает: 0,2(у); 0,8 (x); 0,9 (x); 1,0 (х); 1,1 (у); 1,4 (); 1,6 (У); 1,7 (x); 1580); 19 (>); 21 (9;
2,3 (x); 2,5 (x); 2,7 (у); 2,8 (у); 3,0 (x); 3,1 (у); 3,3 (х); 3,4 (х); 3,5 (x); 3,6 (у); 3,8 (х); 4,0 (у); 4,7 (у).
Число инверсий есть
=Т+ЕЕ+И +4+5+6+6+8+9+9+9
+10=69.
Следовательно, | и.— Amn | = | 69 — 72 | =3. Для а = 0,05 из табл. 1.1.2.11 получаем, что u, = 35,0. Таким образом,
гипотезу Но: F, (x) = Fy(x) не следует отвергать.
5.2.3.6. х?-критерий. При помощи рассмотренных до сих пор критериев можно было проверить,
являются ли некоторые различия, появляющиеся в материале наблюдений двух выборок, существен-
ными (значимыми) или случайными. Обратимся теперь к критериям, при помощи которых проверяют,
удовлетворяет ли рассматриваемая случайная величина Х заданному закону распределения Fo (x).
Они называются критериями согласия. Критерий согласия y* служит для проверки гипотезы Но
о том, что Fy (x) = Fo (x), где Fy (x) — функция распределения Х, а Fo (x) — заданное (гипотетическое)
распределение.
Рассмотрим сначала случай, когда Го (x) полностью определено, т.е. не содержит неизвестных
параметров. Область значений случайной величины Х делится на конечное число непересекающихся
множеств (так называемых классов) A,,..., Ay. При непрерывном Х множества A, являются про-
межутками, при дискретном Х — группами возможных значений Х. Пусть р, есть «теоретическая
вероятность» того, что Х попадает в A;, если гипотеза Но верна. Если А; = [a,, 5), то
р;=Ро(bi)—Fo(а).
(5.104)
Теперь из Х производится выборка (X,,..., X,) объема п. Пусть М; — число значений выборки
в A;. Тогда
Разбиение на классы довольно произвольно. Необходимо, однако, чтобы для граничных классов
СЛУЧАЙ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
609
выполнялось неравенство пр;> |, для остальных классов пр> 5; этого всегда можно добиться
за счет укрупнения классов. Если разбиение на классы удовлетворяет указанным требованием, то
контрольная величина
k
k
М. — np.)?
М?
12=)М
о
(5.105)
i=l
пр;
пр:
i=]
В предположении, что гипотеза Но верна, Х имеет асимптотическое х?-распределение с m=k — |
степенями свободы. Так как ¥* есть мера отклонения истинного распределения от гипотетического,
то гипотеза отвергается, если значение, вычисленное по конкретной выборке согласно (5.105),
превышает определенное критическое значение. Это критическое значение х2 для заданного уровня
значимости хи т=к-— 1 степеней свободы находят из табл. 1.1.2.7. Если yx? > 72, то гипотеза
отвергается. Для п > 30 значение y2 находят уже не из табл. 1.1.2.7, а вычисляют по формуле
|
———
ха==(У2т—1+2,
THE 22.: 2Фо (22) = | — 20% — вычисляется из табл. 1.1.2.6.2.
Пример 77. Or апиаратуры, применяемой ири проведении тиража лотереи, требуется, чтобы для 90 `возможных
значений имелось равномерное распределепие. Для проверки в аппарат было положено 5 шаров и проведено п = 109
проверочных вынимапий по одному шару. Распределение Го (x) определяется в соответствии с предположением равно-
мериого распределения пяти возможных зпачепий Х (Х — номер выпутого шара) следующей функции вероятности:
р: = 1/5 для i=1,...,5. Здесь классы
— сами возможные значения. Табл. 5.4 содержит результаты выниманий т;
и данные, нужные для вычисления у.
Таблица 5.4
Результаты выниманий при ста нробных тиражах
Число т; испытапий,
(т; 2
i
в когорых был выпут
пр;
mj; пр;
mj — Npi)-
шар г.
пр:
18
20
—2
0,20
2
19
20
—|
0.05
3
21
20
|
0,05
4
26
20
6
1,80
5
16
20
—4
0,80 .
ру
100
100
0
2,90
Для а =: 0,05 и т==5--|1=4 степеней свободы из табл. 1.1.2.7 пайдем y2 = 9,5. Так как вычисленное ух? = 2,9
меныше, чем x2, то результаты тиража не дают повода сомневаться в равномерном распределении.
5.2.3.7, Случай дополнительных параметров. Чаще всего гипотетическое распределение Го (x)
установлено неоднозначно и гипотеза говорит лишь о TOM, что Ро (х) относится к определенному
множеству функций распределения F (x; 9,,...,9,), которое зависит от г параметров. Например,
гипотеза могла бы гласить: Х имеет нормальное распределение (здесь есть два параметра а и 0),
или Х имеет распределение по закону Пуассона (здесь имеется один параметр A). В этом случае
поступают следующим образом: по выборке получают наиболее правдоподобные оценки параметров
3,.... 9,4 принимают 2% (x) = F (x; 8.,..., 9), затем по формуле (5.104) вычисляются рь, а по (5.105)—
Х2. Если производится оценка г параметров, то остается только m=k—r—1 степеней свободы.
В остальном критерий остается прежним.
Пример 78. При помощи измерительного прибора было проведено 200 измерений известных расстояний,
и случайная онибка измерения записама в у м. Действительная ось была разделена на 9 промежутков, которые даны
в табл. 5.5.
Дробпые значения пу появляются из-за того, что значения, попадающие на границу классов, обычно приписываются
норовиу к одному и к другому классу. Проверяется гипотеза Но O том, что случайная ошибка измерения X
распределена нормально. Следовательно, гииотетическое распределение имеет плотность
|(х-а)
.
1
—5
а“
f(x;a,©)=="ise2
ито
которая содержит два неизвестных параметра а и с. По этой выборке, состоящей из 200 измерений, были вычис-
лены наиболее правдоподобпые оценки для а и в. Они дают Х
=
4,60р м, 5*?
= 95,2 м?. Таким образом функция
?
610
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Таблица 5.5
Статистическое распределение случайной ошибки измерения в 200 нзмерениях
Номер
Интервал в мм
Частота т;
|
меньше — 15
6
2
от—15до—10
11,5
3
or—10до—5
15,5
4
от—5до0
22
5
or0no5
47,5
6
or5no10
42
7
or10no15
28
8
от15до20
17
9
больше 20
10,5
1-46)’
распределения Ру (x), используемая для проверки, имеет плотность fo (x) = ря. 952 е 2 95,2 Отсюда
21.95,
по табл. 1.1.2.6.2 можно вычислить р. Например,
Х—4,6 —15—4
Х-—4,
1
1
pp=P(X<-15)=Р( sas < 56)=P(= <-200)=——Фо(2,00)=770,4772=0,0228,
95,2 /95,2
У 95,2
2
~46
pp = P(-15<X <-10)=P ( -200 < < 49) = Фо (— 1,49) — Bo (—2,00) = Фо (2,00) -- Фо (1,49) =
= 0,4772 — 0,4319 = 0,0453.
Табл. 5.6 содержит р; (i= 1,...,9) и все данные, необходимые для вычисления x?.
Хх? = 6,62. Так как производится оценка двух параметров, то мы имеем теперь 9 —2—1=6 степеней свободы.
Для о = 0,05 и m=6 из табл. 1.1.2.7 получаем х2 = 12,6. Так как вычисленное Хх? меньше, то гипотеза о нормальной
распределенности случайной ошибки измерения соответствующего прибора не противоречит материалу наблюдений.
Таблица 5.6
Таблица вычисления для x7
i
т;
Pi
пр;
(m= mpi)
пр;
|
6
0,0228
4.56
0,45
2
11,5
0,0453
9,06
0,66
3
15,5
0,0954
19,08
0,67
4
22
0,1557
31,14
2,68
5
47,5
0,1968
39,36
1,68
6
42
0,1928
38,56
0,31
7
28
0,1466
29,32
0,06
8
17
0,0864
17,28
0.05
9
10,5
0,0582
11,64
0,11
>»
200
1,000
200,00
6,62
5.2.3.8. Критерий согласия Колмогорова — Смирнова. Этот критерий использует непосред-
ственно эмпирическую функцию распределения Х (см. 5.2.1). В основе лежнт функция выборки
р,=
sup
| F,, (x) — Fo (x) |, причем F, (x) — эмпирическая функция распределения, а Fo (x) —
—-oO<x<+0
гипотетическое распределение. Имеет место равенство
lim p(d,<—-) = 00, roe | OQ) = у (—1)е-27.
Yn
k=-am@
и»
Контрольная величина Ипр, асимптотически имеет функцию распределения О(A). Для уровня
значимости о из табл. 1.1.2.12 берут такое значение Ao, при котором О (No) = 1 —a. Если Упр, > Xo,
то гипотезу Но о том, что Х распределена по закону Fo (x), отбрасывают. Критерий Колмогорова —
Смирнова, в общем, неприменим, если в Го (x) входят оценки параметров, которые были произве-
дены по той же самой выборке, по которой была вычислена Ё, (х).
ОЦЕНКА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ И РЕГРЕССИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
611
5.2.4. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ
5.2.4.1. Оценка корреляционных и регрессионных характеристик по выборкам. Для случайного
вектора (Х, У) выборка (объема п) дает п пар значений признака (х,,у,), (хо, у2),...,(Xn у»).
В этом случае говорят о связанной выборке в противоположность независимым выборкам, где
совершенно независимо друг от друга наблюдаются п, значений x un, значений у. Для прямых
регрессии (5.60), (5.61) могут быть даны оценки, точнее говоря, теоретические характеристики
регрессии (5.62), (5.63) можно оценить по выборке. По функциям выборки из 5.2.2.2, в частности
n
Г\'
|
(5.92) и (5.93), получаются следующие оценки: для их: X= тж для py: у = —- » для oF:
n
n
i=l
i=l
n
n
_
1
.
5%=тГ (x;—Х)?;дляOF:5%=Г
(у; — y)*. Для ковариации получают в качестве сценки
i=1
i=l
u
|
_
_
так называемую эмпирическую ковариацию тху = т | (x; —X)(y; — у). Отсюда, заменяя
и—
i=l
в (5.62), (5.63) теоретические величины их оценками (эмпирическими величинами), получают оценки
‘для теоретических корреляционных и регрессионных характеристик. Например, эмпирический коэффи-
циент корреляции:
НИХ
—
(5.106)
Аналогично получаются эмпирические коэффициенты регрессии:
:
_SX тху
/х=FxX=Se bxjy=!oy=“Sh
(5.107)
И эмпирические прямые регрессии:
у=Уу+Ьуих
(х -х) x=x+byy(y—У).
При приблизительно линейно коррелированных Х и У при помощи этих прямых регрессии можно
сделать наилучшее предсказание для Y при данном значении Х или наилучшее предсказание для Х
при задапном значении У. Вопрос, имеется ли приблизительно линейная корреляция между
Х и У, только в редких случаях может быть решен теоретически. Это удается, например, если
4
gA
gh
>
н
у
.
:
S
7
i
e
)
$
1
а)
д)
8)
Рис. 5.11.
известно. что (Х, У) распределены нормально. Тогда линии регрессии являются прямыми, г. е. имеется
точная линейная корреляция. В общем случае рассуждение проводится следующим образом. Каждое
значение выборки (хь y;) представляет одну точку в плоскости x, у, так что полная выборка дает
совокупность точек в плоскости x, у. На рис. 5.11 приведены три примера таких совокупностей
точек. На рис. а) у (x) (см. 5.1.4.7) является параболической кривой, обращенной выпуклостыью вверх;
здесь предположение о линейной корреляции было бы неверным. На рис. 6) у(х) — приблизительно
прямая. Таким образом, здесь можно приближенно принять линейную корреляцию. В случае в)
будет предполагаться отсутствие корреляции.
612
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
При предположении приблизительно линейной корреляции г есть мера силы связи между Х и У.
Величина |r|, близкая к 1, означает очень тесную связь, в то время как величина |r|, близкая к 0,
говорит об очень слабой связи или об ее отсутствии.
5.2.4.2. Проверка гипотезы r =0 в случае нормально распределенной генеральной совокуппости.
В исследованиях корреляции очень важным является вопрос о том, действительно ли имеется
корреляция, отличная от нуля, или ее нет, т.е. существенно отлично от нуля значение г. Следо-
вательно, нужно проверить гипотезу г =0. Для этого от конкретиой оценки Г, согласно (5.106),
переходят к соответствующей функции выборки К в соответствии с (5.93). При предположении, что
Х и У распределены нормально, К распределено асимптотически по закону N(x; г, Op), где OR &
2
А $, = iar Следовательно, критическая область может быть определена так. Для w из табл. 1.1.2.6.2
n
по формуле (5.101) вычисляют z,. Если для вычисленного по выборке Г справедливо неравенство
|r| > z,5, то гипотеза r = 0 отклоняется. Этот критерий годится для больших выборок. Для малых
выборок можно построить критерий на основании того факта, что при данных предпосылках
величина === yn — 2 удовлетворяет {-распределению Стьюдента с п -- 2 степенями свободы.
1 -—К
5.2.4.3. Общая задача регрессии. Пусть случайная величина У зависит от К переменных
х:,...,Хк И распределена нормально с дисперсией с, не зависящей от х,; и математическим
ожиданием
МУ=у=а +В; х, + Box. +... + Виж.
(5.108)
В этом случае говорят, что х; определяют У только в среднем.
Пример 79. В технике часто встречаются случайные величины слелующего типа: У=а + В, +- Bt? +... +
+ B,t* + Z(t), где Z (В ЕМ (1; 0, в); 1 означает время.
Если положить x;=t) (]=1,..., К), то очевидно, что У-— случайная величина описаниого выше типа.
Задача состоит в TOM, чтобы посредством серии из п пезавнсимых наблюдений (у, хь..., хи) (=1,..., 2) оценить
неизвестные параметры a, B,, ..., B,, входящие в соотношение (5.108). Отдельные наблюдения удовлетворяют COOTHOHIC-
нию (5.108) не точно: появляется ошибка §;, и
у=а-+ Вх, +... + Brag + 5.
(5.109)
Предполагается, что: 1) все 6; независимы друг от друга; 2) 6; Е М (1; 0, ©) для всех i. Тогда
1"
1Ч
f(бт,Cr|6„)=(-=—) ехр
a2
5>
(5.1 10)
2
20
|
2m Oo
a
из которой, заменяя 5; согласно (5.109), получаем функцию правдоподобия лля оценки а, By, ..., Bx:
at
1у
|
L={—=-—-
-5
yo ab
—...-= i |.
At
(Gers) exp
5)(я-я“-Вихи
Bi Xxi)
(5.111)
.
$=1
Уравнения наибольшего правдоподобия
——=0
-- =0
(1=1,...,^)
(5.112)
дают оценки & Bj, которые точно совпадают со значениями, вычисленными для неизвестных параметров а, В;
по методу наименьших квадратов. Например, в одномерном случае у, = a+ Вх; + 5;, & =: у- Вх, гле
В=“> _aaf(4у _i)
i=)
i=l
Техника проведения вычислений & и В, описана в 7.1.5.1.
6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И СИМПЛЕКС-МЕТОД
6.1.1.1. Общая постановка задачи, геометрическая интерпретация и решение задач с двумя
переменными. Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются
методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных при
услевии, что переменные удовлетворяют конечному числу дополнительных условий (ограничений),
имеющих вид линейных уравнений или линейных неравенств.
Таким образом, задача линейного программирования (ЗЛП) в общем случае может быть
сформулирована следующим образом.
Найти такие значения действительных переменных X,, х.,..., х» для которых целевая фуикция
О(x)=pix,+р2х2+...+PaXn
припимаег мипимальное значение на мвожестве точек, координаты которых удовлетворяют условиям
ay1Х1+Я12Х2+...+AinX,=р,
(ypXy+422х.+...+ах,=D2,
Чт ХЕ + Am2X2 +... + GanXn = Pins
‹
x, 20, %2.20,...,
х, 20.
Здесь коэффициенты а; 6; p; (i= 1, 2,...,m; j= 1, 2,..., п) — действительные числа. Без ограничения,
общности можно предполагать, что
b,20, 6,20, ..., b, 20.
В матричном виле задачу линейного программирования можно сформулировать так:
Ах =р, x20, Ош, (x) = px,
где х (х.,..., х,)ГЕ В", А — матрица {a;;) размера т хп,
.
р= (ры Passes Px) B= (Diy ees Вы) >20
(последнее неравенство означает, что р, > 0,..., 5, 20; аналогичный смысл имеет неравенство x > 0).
Индекс у целевой функции означает, что ищется минимум этой функции. Если ищется максимум
целевой функции G(x)
= pyXy +...+ рих» TO это равнозначно отысканию минимума функции
О (x) = --G (x) = (-р,)х, +...+(-р,) х,. Если в дополнительных условиях имеется неравенство,
например айх, +...+ ах, <, то введением вспомогательного переменного у можно перейти
к уравнению аих, +...+а„х, + y= 5;. Для нового перемениого также справедливо неравенство
y 20; в ислевую функцию оно входит с коэффициентом 0. Если для переменного x; не задано
условие х; > 0, го могут быть введены, например, новые переменные х; и х’; с дополнительными
условиями х; >20 их',>0, причем x;=x;—x%. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать
в осповиом_ только задачи минимизации целевой функции Q(x) при условиях, заданных линейными
уравнепиями`с неотрицательными свободными членами Б;, и в предположении неотрицательности
переменных. Эти задачи мы и будем называть задачами линейного программирования.
Точка x = (х!,..., х,) ‚ удовлетворяющая всем условиям, называется допустимой точкой. Мно-
жество всех допустимых точек называется допустимой областью. Если после отбрасывания одного
условия допустимая область не изменяется, то это условие называется лишним.
В задачах с двумя переменными можно отказаться от перехода от неравенств к уравнениям,
так как линейное неравенство ах, + ах. <b допускает непосредственную геометрическую интер-
614
,
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
претацию: все точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат на прямой a,x, ах, =Ь
и в одной из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит плоскость. Если заштриховать
полуплоскость, не удовлетворяющую неравенству, и проделать это для всех неравенств в отдельности,
то часть плоскости, оставшаяся в итоге незаштрихованной, образует допустимую область.
Примср 1.
ох,
+ 2х,< 12,
Н Хх!
<8,
Ш:. x,+x2>23,
(6.1)
ГУ: x,
>0,
No
x,> 0,
Qmin (X) = х, + 2,5х2.
Для того чтобы найти полуплоскость, удовлетворяющую условию I, построим сначала прямую x, + 2x2 = 12
((0; 6) и (12;0)
— точки ее пересечения с осями), затем возьмем произвольную точку, ие лежащую па этой прямой,
и проверим, удовлетворяют ли ее координаты неравенству I или нет. Если удовлетворяют. то вся полуплоскость,
в которой находится эта ‘точка, является допустимой (по отношению к этому условию). В иротивном случае полу-
плоскость является недопустимой и на рисунках заштриховывается. Таким же образом поступим с условием II
и снова исключим точки, ие входящие в допустимую область. Графическое изображение двух этих перавенств
Ly
6
:
ay_
0
ВЕ12%2
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
воспроизведено на рис. 6.1. Затем переходим к условиям ПШ, ПУ и V. Все точки плоскости, He исклоченные усло-
виями I—V, образуют допустимую область. Вслелствие нсотрицательности перемениых она всегда лежит в первом
квадранте плоскости. На рис. 6.2 изображена допустимая область для нашего примера.
Точки, в которых целевая фуикция прииимает значение 17, лежат на прямой x, + 2,5х.= 17 — линии уровня
О = 17, принадлежащей числу 17 (па рис. 6.2 эта линия обозначена точками). Все линии уровня, принадлежащие
каким-либо другим значениям, также являются прямыми, параллельными прямой О == 17. Если сместить прямую
О = |7 параллельно самой себе в одном направлении, то зпачения, принадлежащие липиям уровня, умепьшатся; при
параллельном персносе в другом направлепии они упеличатся. В каждой точке допустимой области целевая функция
принимает значение, принадлежащее той линии уровня, па которой лежит эта точка. Направление, в котором
следует осуществлять сдвиг, чтобы достичь меныших значений целевой функиии, можно найти построением другой
линии уровня, например линии О = 15. Путем параллельного переноса прямой О = соп${ в направлении меньших
значений целевой функции в допустимой области достигают того, что эта прямая будет пересекать допустимую
область по части сс граиицы. (В общем случае параллельная прямая может либо пересекать лопустимую
область в одной точке, либо прохолить по отрезку, лучу или прямой.) В примере | это точка P, лежащая па липии
уровня, принадлежащей числу 3 (см. рис. 6.2). Все другие допустимые точки лежат на линиях уровия, принадлежащих
болышим значениям. Все точки, лежащие на линиях уровня с меньшими значениями, являются педопустимыми. Таким
образом, точка Р есть искомая оптимальная точка.
Заметим, что оптимальная точка является угловой точкой допустимой области. Точка Р не есть относительный
минимум целевой функции, так как линейная функция вообще не имест относительных экстремумов, т.е. P не может
быть найдена мегодами дифференциального исчисления.
Все задачи линейного программирования с двумя переменными можно решить при помощи
графического метода, объясненного на этом примере.
Множество всех оптимальных решений задачи линейного программирования выпукло.
Для пояснения рассмотрим допустимую область примера | (с целевой функцией Ош» (x) = х, + X23
рис. 6.3). Минимальное значение принимается целевой функцией не только в обеих угловых точках
Р, и Р., но и на всем отрезке между ними. Некоторые примеры допустимых областей даны
на рис. 6.4. Соответствующие особенности могут встретиться и в задачах линейного программиро-
вания с более чем двумя переменными.
Допустимая область для задач в В". Обобщая двумерный случай, допустимую область
в пространстве В" можно рассматривать как пересечение конечного числа полупространств. Она
образует так называемое многогранное множество. Точка называется вершиной допустимой области
в В", если она является допустимой и представляет собой точку пересечения п линейно независимых
гиперплоскостей. (Каждое линейное уравнение задает гиперплоскость. Каждому линейному нера-
венству сопоставляется ограниченное гиперплоскостью полупространство; гиперплоскость получают,
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЗЛП. ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЕРШИНЫ В СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦЕ
615
заменяя знак неравенства знаком равенства.) Вершина называется выроэжденной, если она является
точкой пересечения более чем п гиперплоскостей. Вершину х нельзя представить в виде выпуклой
|
2
линейной комбинации двух других точек допустимой области (равенство x =Ах + (1 — 2) x при всех
12
допустимых x # X не выполняется ни для каких A, удовлетворяющих условию 0 <A < 1). Всякая
допустимая область имеет конечное число вершин. Если допустимая область образована п перавен-
ствами х;20 (j=1,...,) и т уравнениями. то она может иметь самое большее С,,„ вершин.
Если допустимая область ограничена и не пуста, TO она является выпуклым многогранником,
и задача линейного программирования в этом случае всегда разрешима, а оптимальное значение
целевой функции достигается по крайней мере в одной из вершин многогранника. Если допустимая
область пуста, то задача линейного программирования неразрешима. Если допустимая область
не ограничена (см. первый пример на рис. 6.4), то задача линейного программирования может быть
разрешимой или неразрешимой. Если задача имеет решение, то всегда имеется по меньшей мере
одна вершина, где достигается оптимальное значение целевой функции.
Рис. 6,3.
Если допустимая область является многогранпиком, то каждая допустимая точка х имеет
по меньшей мере одно представление вида
k
где > Л =1, ^ 20 npni=t,...,k, причем х...., х — вершины многогранника.
=!
Если многогранное множество имест по менышей мере олну вершину, то каждая точка
множества имест по меньшей мере одно представление вида
k
i
h
j
х=УА+уpy,
i=l
k
i
]
где у А =1, 20 при [=1....,К и; 20 при j= l,.... 4, x — вершины и Г — направляющие век-
=]
торы неограниченных ребер многогранного множества.
6.1.1.2. Канонический вид ЗЛП, изображение вершины в симплекс-таблице. Основным алгоритмом
решения задач линейного программирования является симплекс-метод (см. 6.1.3). Его можно при-
менять в том случае, когда задача программирования задана в специальном, каноническом виде.
Позднее будет показано, как каждую задачу линейного программирования с непустой допустимой
областью можно привести к такому виду (см. 6.1.4).
616
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В рассмотренной в 6.1.1.1 формулировке уравнения ЗЛП
ах:+...+ах,=dD,
Ят1Х1 +... + ЯтиХи = Dus
(6.2)
x, 20,...,
x, 20,
О (x) = рах! Fe... + PuXn
имеют канонический вид, если каждое 1-е уравнение содержит перемённое X,, такое, чго коэффициент
перед ним в этом уравнении равен 1, а во всех других уравнезиях равен 0. Если при этом
b, >0,..., b,, > 0, то говорят о допустимом каноническом виде. Переменные Xj, называются базисными,
остальные — свободными.
В следующем примере относящемся к JLONYCTHMOMY каноническому виду, мы отметим базисные переменные
подчеркиванием:
Зх+х2+2х.=5,
—х: + 3х; + х5=9,
х: — 4х3+ х4=1.
Здесь A, = 2, Az =5, Аз =4. Если уравнения заданы в канонической форме, то целевая функция легко может быть
выражена через свободные переменные. Если целевая функция имеет вид
О(x)=х,+13х2+2x3+17х.+3х,
то вычитанием из этого выражения первого уравнения, умноженного на 13 (так как там выделено переменное х»,
а в целевой функции x, имеет коэффициент 13), второго уравнения, умноженного на 3, и, наконец, третьего уравнения,
умноженного на 17, получим целевую функцию О (x) = — 52x, + 35х, + 109. Вместе с уравиениями канонического вида
и условиями знака она описывает ЗЛП в каноническом виде:
3х + X2+2x,
=5,
—х!
7+3x3+хз=9,
xy
—4х.+Xe==|,
(6.3}
—x, 20, x2 20, 5X5 20,
Omtn=—2X,+35x35+109.
Значение О (0) = 109 обозначим Оо.
6.1.1.21. Симплекс-таблица. ЗЛП канонического вида можег быть записана в таблице
следующего вида: левый крайний столбец содержит номера Л; базисных переменных, верхняя
строчка — номера Аш. ; свободных переменных. В точке пересечения строки, соответствующей зна-
чению /\, и столбца, соответствующего Ams), стоит коэффициент а, dm; ПРИ свободной переменной
в уравнении i, в котором выделена базисная переменная х,. Соответственно справа записаны
постоянные члены уравнений, внизу — коэффициенты целевой функции от свободных переменных,
п в правом нижнем углу записано значение — Qo.
Симплекс-таблица
В общем случае
Для примера (6.3)
dan +1
Ая
|
3
hy|daUn,
by
2
3
2
5
5
—|
3
9
Ат
инт о
bm
4
|
—4
|
Р-Р,
—0,
—52
35
— 109
Каноническому вилу ЗЛП или соответствующей симплекс-таблицс сопоставляется точка X,, = by,
х,,=bo,+.хи=Ь
x
Аж
независимым условиям ЗЛИ: m уравнениям и п — т неравенствам х; > 0 для свободных переменных.
me
=... =x, = 0. Координаты этой ‘точки удовлетворяют п линейно
СИМПЛЕКС-МЕТОД ПРИ ЗАДАННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ТАБЛИЦЕ
617
Если, кроме того, No 20 (допустимый канонический вид), то точка является допустимой и вер-
шиной (см. 6.1.1).
В примере (6.3) получается точка x,;=0, x2 =5, x3=0, х. =|1, x5 =9. Если сравнить задачу (6.3) с задачей,
содержащей только два переменных:
3x, + 2х. <5,
~~Ky+3x3<9,
Хх!—4х.<1,
x,20,x320,
О=—52х,+35x,+109,
и представляемой графически на плоскости ху, хз (рис. 6.5}, то, рассматривая х., X5, X4
хак вспомогательные перемекные, получим, что искомая вершина есть начало координат.
6.1.1.2.2. Свойства вершин и обращенис базисов. Вер-
шина, полученная при помощи ЗЛП канонического вида, обладает
следующими свойствами: п — т ее координат имеют значение 0 (сво-
бодные переменные); т координат имеют значение >0 (базисные пере-
менные); вектор-столбцы матрицы A, соответствующие базисным пере-
Рис. 6.5.
менным, линейно независимы, т.е. образуют базис пространства В”.
Невырожденная матрица, составленная из этих вектор-столбцов, называется
базисной матрицей.
Если число линейно независимых уравнений среди условий ЗЛП в пространстве В” равно т,
то эти условия в совокупности необходимы и достаточны для того, чтобы определяемая или
точка была вершиной допустимой области (в том числе и в случае, когда ЗЛП задана не в кано-
ническом виде). |
|
Если вершина известна, то всегда можно найти соответствующий канонический вид ЗЛП,
умножив матрицу коэффициентов и столбец «правых частей» слева на матрицу, обратную базисной.
При таком преобразовании системы уравнений допустимая область не изменяется.
В примере (6.3) точка x, = 1, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 0, х5 = 10 по указанному выше критерию также является вершиной,
так как столбцы в (6.3), соответствующие базиспым переменным X,, х., хз, образуют невырожденную матрицу
и, следовательно, линейно независимы:
310
310\!
001
базисная матрица \ ~-~LOL 75 —101
=f10—3
ido
100
от|
Найдем канонический вид, соответствующий этой вершине:
001
31 2005
10--4'O1\
10 —3
-10 3019 F=f ог 14-3024.
Oo! |
10-4101
00—12)
Получим канонический вид уравнений
X,—4%:м
=1,
xy+14x34—3x4
=2,
—Хз+-х4+х5=10,
из которого сразу можно найти вершину. Чтобы получить канонический вид ЗЛП, следует, кроме того, привести
целе,ую функцию к новым свободным переменным хз, X4.
6.1.1.2.3. Базисные решения. Вершина, обладающая указанными в 6.1.1.2.2 свойствами,
определяет допустимое базибное решение. Если вершина имеет т положительных координат
(т -- число линейно независимых уравнений-условий), то соответствующие переменные должны быть
выбраны в качестве базисных переменных, и тогда вершине отвечает точно одно базисное решение.
Если вершина имеет меньше чем т положительных координат (вырожденная вершина), то ей,
возможно, отвечает несколько базисных решений.
Зная базисное решение, всегда можно однозначно найти вершину.
6.1.1.3. Симплекс-метод при’ заданной начальной таблице. Так как решение ЗЛП достигается
(по крайней мере) в вершине допустимой области, то достаточно рассмотреть значения целевой
функции только в вершинах.
Данной допустимой симплекс-таблице соответствует одно базисное решение, т.е. одна вершина.
Проверка выделяет.ту вершину, которую следует считать оптимальной. В других случаях способ
ведет или к заключению, что задача неразрешима (т.е. минимальное значение целевой функции
в допустимой области равно — 00), или к новому базисному решению, в котором значение целевой
функции не больше, чем в первом. В общем случае после конечного числа шагов достигается
618
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
вершина, в которой целевая функция имеет оптимальное значение. При наличии вырожденных
вершин в очень редких, исключительных случаях может оказаться, что мы снова и снова ‘будем
проходить один и тот же цикл базисных решений, относящихся к одной и той же вырожденной
вершине. Этот особый случай будет рассмотрен в 6.1.5. Допустимой симплекс-таблице соответствует
точка минимума, если все коэффициенты целевой функции неотрицательны:
Pras 20,...,p,, > 0.
Тогда минимальное значение целевой функции равно Qo *).
(Этот критерий становится понятным, если вспомнить, что все переменные в целевой функции
=р,, dma + +. + PX, + Qo могут принимать только неотрицательные значения.) Если всё коэф-
фициенты целевой функции положительны, то вершина, соответствующая таблице, является един-
ственной оптимальной точкой.
Если критерий не выполиеи, т.е. не все коэффициенты целевой функции неотрицательны, то
следует перейти ог одного допустимого базисного решения к соседнему допустимому, т.е. такому,
в котором множества базисных и свободных переменных изменены на один элемент. В невырож-
денном случае этому геометрически соответствует переход от’одной вершины к’ другой вдоль
ребра допустимой области (обе вершины принадлежат одному ребру). Этот процесс называют также
симплекс-шагом или заменой базиса. Опишем последовательно его этапы.
1) Выбор разрешающего столбца: среди элементов последней строки таблицы
выбирается любой р» <0, и соответствующий столбец называется разрешающим. В качестве р
рекомендуется выбирать минимальное pj.
2) Выбор разрешающей строки: если 4» <0 для всех элементов разрешающего
столбца, то минимума не существует (целевая функция в допустимой области не ограничена снизу).
Если это не так, то для всех положительных а;» нужно вычислить отношения bj/ajx. Строка i, для
которой отношение минимально, называется разрешающей строкой i*:
.
b;
bjx
min
=}
aye>0@1* Ujj*
общий элемент аж» разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим
элементом.
3) Замена базиса при помощи разрешающего элемента а» * — процесс, произ-
водящий в таблице преобразования канонического вида, при котором базисное переменное xj«
становится свободным и одновременно свободное переменное х» становится базисным. Если w —
какое-либо значение в таблице, то через и будем обозначать значение, стоящее в новой таблице
на TOM же самом месте:
aj
pt
...
Lied re bl
i
... Gi
eT
b;
t
-.. Gi
... Gye
в,
>
[*
. ам; ... peje
bj*
* ...Ape; ...Gppa
В»
©
Pj
Les Ppt
—Q,,
1-5 Bj
... В
—Оо
а) {* =]*, f=i для всех Г},
yj* =i*, J=j для всех =};
*) Условие р. 7 <0,..., р <0 есть критерий максимальности; исходя из него, можно описать также дальнейшие
om
Ja.
.
этапы метола максимизации целевой функции (заметим, что умножением целевой функции на —1 можно легко перейти
от максимизации к минимизации).
СИМПЛЕКС-МЕТОД ПРИ ЗАДАННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ТАБЛИЦЕ
619
6)dja=nm аж*
Сы=—GigaCapajxдлявсехi#i*;р=—ран;
в)4+;=ажж» длявсехj#j*;В»=bjxdjxj.(*)
Отметим, что элементы правого столбца и нижней строки пересчитываются по TOMY же самому
принципу, что и элементы в центральной части таблицы. То же имеет место и
в
г) ид).
г)у=ау—ана»длявсехifi*uj# j*,
Bj=‘Pj—ажр» для всех j#j*.
При вычислениях вручную рекомендуется проделать вычисления г) по столбцам для каждого
j#j*. Заметим, что
то, что уже стоит в новом
,
- (разрешающий столбец).
(новый столбец) = (старый столбец) —
столбце после выполнения в)
«То, что уже стоит в новом столбце после выполнения B)) есть число а, постоянное при пересчете
каждого столбца.
д)b;=5;—Баз»длявсехi#i*,(—Оо)=(—Оо)—Byxpjx.
Правый столбец таблицы преобразуется аналогично нормальному разрешающему столбцу,
остается неизменным также правило преобразования такого столбца, сформулированное в 1).
Единое для столбца число, уже имеющееся после в), здесь есть р».
Всегда должно получаться 6, >0и (— Oo) > (—Qo). Может случиться, что р; < 0, хотя р; > 0.
Пример 2.
2х! —хз-+3X4
+X,=1,
Х2
+ 3x4
=,
хз
+X6
=6,
(6.4)
—2x, +хз-3х4+хз
=
xy 50, esp 20,
Quin=4X,—6x3+9х.+66.
ЗЛПИ задана в канонической форме. Запишем соответствующую симплекс-таблицу:
1
3
4
8
2
—1
3
|
2
0
0
3
2
7
2
0
0
6
6
0
1
0
6
1
—6
9 —66
1) Выбор разрешающего столбца: имеется только один отрицательный коэффициент в целевой функции
(— 6). Следовательно, j* = 3 (разрешающий столбец есть (—1, 0, 0, 1, 17. Разрешающий столбец содержит положи-
тельные элементы (а6з = 1, азз = 1).
2) Выбор разрешающей строки: найдем min (6: 12:1) =2 (=b,/as53). Следовательно, i*= 5. Разрешающий
элемент a5,= 1. Он обведен рамкой.
3) Замена базиса:
а) В левом столбце новой таблицы на место 5 ставится 3. Наоборот, в верхней строке вместо 3 запишем 3.
Остальные индексы остаются на своих местах.
6) Место элемента as, =1 в новой таблице занимает 453 =1 :а53 =1:1 = 1.
620
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
в) В новой таблице место разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) займет столбец:
(то, что уже стоит в новом столбце после выполнения 6): (разрешающий столбен, кроме разрешающего элемента),
т.е. авз = —1-(-D=1, 4.3 = -1.0=0, 41. = -1.0=0, 4. = —1.1=-8 р; = -1-(—6) =6. В новой таблице мёсто
разрешающей строки (кроме разрешающего элемента) займет строка:
(то, что уже стоит в новой строке после выполнения 6}. (разрешающая строка, кроме разрешающего `элемента),
т.е. G5, =. (-2) =-2, 454 =1.(-3) = -3, bs =1.2=2. Таким образом, мы получили следующие элементы новой
таблицы;
1
5
4
8
1
2
0
7
0
6
—1
3
—2
1
—3
2
6
г} В столбец, стоящий под 1 (j = 1), мы должны внести в новой таблице следующие элементы (кроме элемента —2,
уже стоящего там после в)):
ag,
481
ag3
ag, =2 —(—2)-(—1)=0,
,
421
421 |
@23
4), =0-(—2)-0=0,
а: F=f ам |-(-451)| ara |; a7, = 2—(—2)-0= 2,
Aes aon
963 do. =0- (—2).1=2
|Pi
Pi.
P3
py =4-(—2) (-6) = -8.
Пересчитав оставшиеся два столбца, получим полную таблицу:
|
5
4
8
0
1
0
3
7
2
0
0
6
6
2
—1
3
4
4:3
3
—2
1
_3
2
_8
6
—9
—54
Пока критерий минимальности не выполнен, необходимы дальнейшие замены базисов. Они приводят к слелующим
таблицам:
|
1
52
65
2
65
4
8
0
103
8
01
03
8
01
01; 3
4
0
о 1/3|2/3
4
оо
1/3 2/3
2
00
3|2
7
2
0066:2
7—11
|42:1
7—]
1
—32
3:3
6[2]-1-1]22:2в|112-12—121-14:
ГР-123242
ПОЛУЧЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ВЕРШИНЫ
621
В последней таблице все коэффициенты целевой функции неотрицательны (даже положительны). Следовательно,
в точке xX; =2, x, =2, x3 =6, x4 =0, x, =0, хб =0, X7 = 2, х, =3 целевая функция принимает минимальное значение
Qo = —(—38) = 38. (Переменным, индекс которых стоит в верхней строке, в базисном решении пр
тся значение 0;
это свободные переменные. Каждое из переменных, индекс которых стоит в левом столбце, приравнивается к числу,
записанному в правом столбце той же самой строки; это базисные переменные.)
6.1.1.4. Получение начальной вершины.
6.1.1.41. Метод искусственных переменных. Для оптимизации целевой функции
посредством симплекс-метода должна быть задана симплекс-таблица, соответствующая допустимому
базисному решению. Рассмотрим ЗЛПИ с п переменными, не имеющую еще канонического вида
(ср. (6.2)). Введением искусственного переменного х„-.; в каждое 1-е уравнение (1=1,..., т) и другой
целевой функции С мы приходим к следующей вспомогательной задаче, всегда имеющей решение:
dpyXy+...+@ых+Хит =hy,
(6.5)
AmiX,+...+AmnXn+ Xn=Om
x, 20,...,x%,20, Xa, 20,...,
хит20,
Отт (Х) = Xnt1 bee) + Хи+и:
Если исходная задача (6.2) имеет допустимую точку, то дополним ее, положив X,4, =0,..., Х,+т = 0,
до допустимой точки Х задачи (6.5). Так как G(x) >20 для всех допустимых точек (6.5), то точка xX
такая, что G(x) = 0, есть оптимальная точка вспомогательной задачи.
Примечание. Если оптимальной точкой задачи является такая точка Х, что С (Х) >0, то исходная задача (6.2)
не имеет допустимых точек и потому неразрешима.
6.1.1.4.2. Решеиие вспомогательной задачи. Уравнения вспомогательной задачи (6.5)
имеют канонический вид. Все искусственные переменные выбираются базисными, а все остальные —
свободными. Преобразование целевой функции к небазисным переменным (ср. (6.2)) дает следующий
результат:
66=(Хан). (=¥am)at(5ь
(6.6)
i=1
i=]
i=1
Следовательно, приводимая ниже таблица есть допустимая симплекс-таблица для (6.5). Поэтому
оптимальное решение вспомогательной задачи может быть найдено при помощи симплекс-метода.
Как только какое-либо искусственное переменное станет небазисным, соответствующий ему столбец
может быть опущен.
]
n
n-|-|
Я|
Oi,
b,
n+т
Tank
...
Onn
by;
т
т
т
“Ум
-Sa, | -Sb
i=1
f=
i=1
6.1.1.4.3. Переход от оптимальной таблицы вспомогательной задачи
к начальной таблице исходной задачи. В оптимальной таблице вспомогательной
задачи вычеркиваются все столбцы, где соответствующими свободными переменными являются
искусственные переменные.
Случай Т. Оптимальное значение целевой функции положительно (т. е. число, стоящее в правом
нижнем углу таблицы, отрицательно). Тогда допустимая область исходной задачи пуста, исходная
задача неразрешима.
|
Случай П. Оптимальное значение целевой функции С (x) = 0.
Случай Ila. Среди базисных переменных нет искусственных. Тогда базисное решение, пред-
ставленное таблицей, есть лопустимое базисное решение исходной задачи. Остается только пере-
считать целевую функцию Q(x) исходной задачи в функцию свободных переменных и внести
в таблипу новую строку целевой функции.
622
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Случай Пб. Среди базисных переменных есть по меньшей мере одно искусственное переменное.
Этот случай сводится к случаю Па следующим методом. Если все коэффициенты в строке,
соответствующей искусственному базисному переменному, равны 0, строка в таблице вычеркивается.
(Это может повторяться не более m—r раз, где т число строк, а r—paHr матрицы А.)
В противном случае какой-либо отличный от нуля коэффициент в этой строке выбирается разре-
шающим, производится замепа базиса симплекс-методом и столбец, принадлежащий искусственному
свободному переменному, вычеркивается.
Пример 3.
3x
+ 2x3
— хз= 12,
Xp,
—Х2+Хз
=5,
x +x34X4 =6,
(6.7)
x, 20,...,
x5 20,
QO=2x,+х,—хз+3х4—Xs.
Начальная таблица соответствующей вспомогательной задачи (С (x) = xg + x7 + ха):
7
го
о
5
$
|оо
6
-§1-4-1|—23
Решение вспомогательной задачи:
623
45
2385
237
1413 0 2/3
0—13|4
102/3
—1/3 4:
1 f-11
5
7—11/3
01/3}1
—1 1/3
1/3 1
;FO3;
8
о1/3м13|2
01311332
00
0
| --2/3 -1 2/3 |-3
1-3
—1/3 | -1
Мы пришли к случаю Па. Целевая функция задачи (6.7), пересчитанная в функцию переменных x,, X3, имеет вид
Q(x)=—3х,—2x3+10,итаблица
|
23
4—1
|
5
5—3
|
3
4
|0
|
—3 —2|-10
есть допустимая пачальная таблица для (6.7).
6.1.1.5. Зырожденный случай и его рассмотрение при помощи симплекс-метода. Как было упомя-
нуго в 6.1.1.3, применение симплекс-метода может натолкнуться на трудности, если вершина, соот-
ветствующая симплекс-таблице, вырождена и имеет несколько базисных решений. В этом случае
при некотором i в таблице ВБ; =0. Тогда в качестве разрешающей строки обычно следует
ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ И ЕГО РАССМОТРЕНИЕ
623
выбирать как раз строку, в которой b; = 0; значение целевой функции при замене базиса не изме-
няется. Теоретически (в практических примерах чрезвычайно редко!) может случиться, что после
нескольких замен базиса мы снова придем к такой же таблице, и, следовательно, никогда
не достигнем оптимального значения (это явление называется зацикливанием).
Если симплекс-метод снова и снова приводит к вырожденным таблицам без изменения при этом
целевой функции, он дополняется таким образом, чтобы препятствовать появлению таких циклов.
Метод дополнения геометрически может быть истолкован как предварительное внесение малых
изменений в правые части условий, посредством чего граничные гиперплоскости допустимой области
сдвигаются так, что вырожденных вершин больше не существует.
6.1.1.5.1. Лексикографический порядок векторов. Вектор
Т
х = (x1, ..-5 Xx)
называется лексикографически меньшим, чем вектор
У= (у...Г
(обозначается x < у), если существует такое } что xX; = yy,-..,Xj-1 =у,;-,; х,<у,. Тогда пишут
такжеy>x.
Нример 4..y>0 означает, что первая отличная от 0 компонента ‘у положительна (другие компоненты могут
быть произвольными).
6.1.1.5.2. Дополнение к симилекс-таблице. Каждая правая часть b; дополняется
до вектора (b, Ь;1,..., Dim)! при помощи т других чисел так, чгобы векторы удовлетворяли условию
(5... ..., bim)! > O и были линейно независимы. Это условие выполнено, например, если положить
р; =1ub, = 0 при [> К. Далее, — Оу дополняется до вектора (—Qo, —Q,,..., —0„)Г произвольными
числами (например, нулями). Получаем таблицу
Ат+1 >
An
Ay bau,
а,
b
by,
Dim
Ат Fmd at
Gna
bin т
binm
Pr, +
2,
—9% —О!
—От
6.1.1.5.3. Дополнение к симплекс-методу (см. 6.1.1.3).
2) Частные Ь/ аж, образованные для всех i таких, что ajx > 0, объединяются в векторы-частные
Т
bb;
b;
1
ws
a
———, ——,..., —] 5 лексикографически минимальный среди них COoTBeTCTByeT строке i*.
ты aij*
Яр
36)Вых=ты длявсехК.
30)6=big—Djxpayxдлявсехi#{ивсехК;
(—Qx)=(-0 —В*кридлявсехК.
.
|
Получаемые таким образом векторы всегда будут удовлетворять условию (6. Ба,..., би) > 0;
линейная независимость этих векторов будет также обеспечена посрелством соотношения (—Qo,
—О:,....› —0„)Г> (—Qo, —Q1,...5 — Qn), которое означает также, что при дальнейших вычислениях
мы никогда не вернемся к однажды уже рассмотренной таблице.
Этот расширенный симплекс-метод может применяться в общем случае.
Пример 5. Следующая таблица представляет собой один из примеров, в котором существует возможность после
нескольких замен базиса снова вернуться к той же самой таблице:
—
1
1
i
р
W
w
>
624
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Последовательно можно выбрать следующие пары значений (i*, /*): (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 1), (6, 2). Полученная
таким образом таблица будет тождественна исходной. Если же снова выбрать j* =3, но применить симилекс-метод
с лексикографическим расширением:
3
4
5
6
1
|
—|
—!
3
0
|
0
2
[2] —1 —1/2
|
0
0
|
—1
—1
—3
8
2:0
0
то вектор (0, 1, 0), возникающий при i= |, будет лексикографически больше, чем вектор (0, 0, 1/2)", соответствующий
{=2; таким образом, следует выбрать i* = 2, после чего возникает новая таблица:
2
4
5
6
|
—1/2 —1/2 —3/4 5/2
ого
— 1/2
3
1/2
— 1/2
— 1/4
1/2
0;0
1/2
1/2 — 3/2 — 13/4 17/2
2:0
1/2
Мегод, примененный к этой таблице, неизбежно ведет к выводу, чго задача неразрешима, так как целевая функция
в допустимой области неограничена снизу.
6.1.1.6. Двойственность в линейном программировании.
6.1.1.6.1. Теоремы двойственности. Каждой ЗЛП можно сопоставить точно одну
Овойственную ей ЗЛП; связь задается следующим образом:
ЗЛП
Двойственная ЗЛИ
1
21
|
21
А;1х+А12х2В,
Alu+Aju<p,
1
22
|22
А1х+Аох=b,
АТ.и+Alou=p,
1
2
1
2
x20, x — произвольное,
и>20, и- произвольное,
11 22
11 22
От(X)=px+px
Стах(и)=Ти+blu.
При этом векторы переменных х и и и соответственно векторы правых частей и коэффициентов
целевой функции разложены на два вектора, а матрица коэффициентов состоит из четырех под-
матриц.
В первой задаче по знаку ограничено ровно столько переменных, сколько есть неравенств
среди условий во второй.
Важные частные случаи:
ЗЛИ
Двойственная ЗЛП
Замечания
Ax? b, x?
Aly <p, u2Q,.
Если p20, TO при помощи вспомогательных
Отв (<)= Px
1 Ga (1)= Dou
переменных в лвойственной задаче можно сразу
найти начальную таблицу
A (x)> b, x = произвольное,
Aly=b,и>0,т
В то время как первичная задача задана без
Omin 0)= px
—Grin()=-В и
ограпичений знака, двойственная CH имеет вид
ЗлП
Теоремы двойственности. Если рассмотреть задачу, лвойственную к двойственной
задаче, то снова придем к исходной задаче.
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ, ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ
625
Если в одной задаче допустимая область пуста, то в другой целевая функция неограничена
снизу (при минимизации) или сверху (при максимизации).
Если разрешима одна задача, то разрешима и другая; оптимальные значения целевых функций
при этом одинаковы.
Если первичная задача имеет допустимую точку х, а двойственная задача — допустимую
точку и, то обе задачи разрешимы и
С
(и)<шахС=minО<О(Xx).
Если для двух допустимых решений С (и) = Q (x), то и и x — оптимальные решения.
Теорема о дополняющей нежесткости. Если x и и допустимы в первичной, соотв.
двойственной задаче, то для того, чтобы они были оптимальными решениями, необходимо
и достаточно выпслиение следующего условия:
1|
21
т!
21
и (Ах
+А,.х-ВБ)=0 и x’ (Ади+
А и- р)=0.
ITO означает, что в точке, где достигается оптимальное зпачение, никогда не может одновременно
быть так, чтобы {-я компонента вектора решения была положительна, а {-е неравенство второй
задачи выполнялось строго.
„Если известно оптимальное решение и двойственной задачи, TO, подставив ero в приведенные
выше условия. получим два линейных уравнения для x. Вместе с A,X + Az2x = b они составляют
систему уравнений, из которой можно найти оптимальное решение первичной задачи.
Генсвые цены. Если заданы две задачи, соответствующие первому из вышеприведенных
«важных частных случаев», то для каждого i оптимальное значение х, называется теневой ценой
единицы ингредисна. ограниченного {-м неравенством двойственной задачи. Ее величина показывает,
насколько увеличилось бы оптимальное значение С, если бы граница р, этого ингредиента увели-
чилась на единицу. Теневая цена совпадает с коэффициентом целевой функции при 1-м свободном
переменном в оптимальной канонической форме двойственной задачи, так что ее можно определить
без рассмотрения первичной задачи.
6.1.1.6.2. Двойствепный симилекс-метод. Двойственный симплекс-метод копирует
вычисления в таблице заданной задачи, которые в случае применения симплекс-метода следовало бы
выполнять в двойственной задаче.
Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду ЗЛЦ (cp. 6.1.1.2), называется двой-
ственно-допустимой, если р, > 0 для всех коэффициентов целевой функции, т. е. для К =т-+1,..., В.
Геометрически этой таблице соответствует точка пересечения п граничных гиперплоскостей допусти-
мой области (которая, одпако, не обязательно является допустимой точкой).
Двойственный симплекс-метод дает последовательность двойственно-допустимых таблиц до тех
пор, пока не будет найдена допустимая таблица. По критерию минимальности симплекс-методом
тем самым будет найдена оптимальная точка. Гефметрически это значит, что мы подходим извне
(через точки пересечения, которые не являются допустимыми} к оптимальной зершине допустимой
области. Двойственно-допустимой таблице соответствуег точка минимума, если все правые части
нсотрицательны: 6; 2С,..., 5, 2 6.
Если этот критерий не выполнен, то переход к новой таблице разбивается на следующие
эгалы.
1) Выбор разрен:ающей строки: среди 6, < 0 в таблице выбирается произвольное число,
а соответствующая строка называется разрешающей; в качестве by» рекомендуется выбирать
минимальное Dj.
2) Выбор разрешающего столбца: если aj; >O для всех элементов разрепающей
строки, TO минимума не существует (допустимая область пуста). Если это ве так, то для всех
отрицательных а»; составляется частное p;/| aj; |. Столбец j, в котором частное минимально, выби-
растся в качестве разрешаютщего столбца }*:
Pi
pj»
min
= ———.,
apr;<Q|а| |Ujjx|
3) Замену базиса производят, как и в случае симплекс-метода (6.1.1.3).
Двойственно-допустимая таблица называется двойственно-вырожденной, если все р; = 0.
6.1.1.7. Модифицированные методы, дополнительное изменение задачи.
6.1.1.71. Модифицированный симплекс-метод. Предположим сначала, что ЗЛИ
уже имеет канонический вид (см. 6.1.1.7.3) и переменные перенумерованы так, Что Х„-т+а»..., Xn
являются базисными переменными:
1х1 +... + 01, и-тХи-м +Xy-m+1 = By,
GX) +... + т, п- тХп--т +
Xn == В»,
(6.8)
xj>0дляJ=1,soe,М,
Отт (x) = €1xX1 +...4+ En—mXn—-m + ‘{o-
626
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Эта ЗЛИ представлена в следующей основной ‘таблице:
|
п-т
пет 1
n
п-т+1
|
ит
|...
0...
0
|By
о.“
"..
(6.9)
,
`0
п
| Чин
и—т
0
0 ved
Bin
a|
&п—то
0
0
—10
Введем следующие обозначения: В = (B,,..., В„)^. 9; = (91 „..., т) для j=l,...,(n—m), а; =
= (0,..., 0, 1,0,...,0) с 1 на ]-м месте для А = п-т+1)..., и.
Модифицированная симплекс-таблица. Место симплекс-таблицы занимает сле-
дующая модифицированная симплекс-таблица:
|
я-т
н-т+|
n
^1
а и—т-+1
an|by
(6.10)
am
Gngn—m+)
“nn
bin
P|
Ри—т
Pu—m-+)
Yn
—00
первую расстановку чисел в которой получим, поставив на места, обозначенные буквами, соот-
ветствующие данные основной таблицы.
Для описания свойств модифицированной симплекс-таблицы введем следующие обозначения:
ay, ит... Ai,
5...
Pn-m+?
©
Pn
/
Левый столбец указывает индексы базисных переменных.
Столбец b содержит значения базисных переменных в точке пересечения, представленной
таблицей (при b > 0 — вершина).
Величина Qo есть значение целевой функции в этой точке пересечения.
©
|
w
w
i
Qn, п-т... Ч ти
Величины py,..., р, являются коэффициентами целевой функции, выраженной через свободные
переменные.
Столбцы матрицы А являются столбцами канонического вида, соответствующими переменным
Xneomtlo +++: Хи; При этом 4 — матрица, обратная базисной.
Все эти свойства сохрапяются при переходе к новой, модифицированной симплекс-таблице
по приведенному ниже методу.
Донустимой модифицированной симплекс-таблице соответствует точка минимума, если все
коэффициенты целевой функции неотрицательны: py 20, ..., p, 20. Тогда минимальное значение
целевой функции равно Об.
В случае, если этот критерий не выполнен, модифицированный симплекс-метод ведет точно
к таким же переходам от вершины к вершине, как и симплекс-метод, изменяется лишь способ
преобразования. Определяются только те значения симплекс-таблицы, которые используются для
нахождения разрешающего элемента. Затем проводится замена базиса только для тех значений,
которые стоят в модифицированной симплекс-таблице. Основой метода является тот факт, что,
зная матрицу, обратную базисной, мы можем в случае надобности полностью найти канонический
вид (см. 6.1.1.2).
|) Выбор разрешающего столбца: среди р; <0 в таблице выбирается произвольное,
р» < 0; если /* 2 п-т+ 1, то соответствующий столбец канонического вида известен; в противном
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ, ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ
627
случае мы находим его по формуле (а1;*,..., ати)" = Ас» и вносим в таблицу. В любом случае
столбец, соответствующий j*, является разрешающим.
2) Выбор разрешающей строки производится, как и в случае симплекс-метода.
3) Замена базиса при помощи разрешающего элемента а;»ж осуществляется
проще, чем в случае немодифицированного симплекс-метода, так как индексы ст oneuon фиксированы
и соответствующая верхняя сгрока осгается неизменной. Обозначим через W элемент новой таблицы,
стоящий на Mecre элемента w. Тогда
a)Apa=,длявсех1; Ajw=j*;
6) а} = Ayrj/ajejx для всех j=(n—m+1),. ‚ п; бк = Bix [anja
в) а;= ay— Gjxjayx для всех i#i* и всех j=(n—m+ Ne ‚п; By = Pj — ajnjpje для всех ] =
=(n—-m+1),...,4
Нели (n.-m-4+1)<j*, то это не означает неприменимости формул, приведенных в 6) и в).
(Ср. указание, данное |: dy при описании симплекс-метода (см. 6.1.1.3).)
г)6;=bj—Банадлявсехi#i*, —Оо=(—Qo)—Бирм.
Правая часть вычисляется таким же образом, как столбцы в в).
д) р; =Е + р а, для всех }=1,...,п—т (вектор р уже известен из результата в)).
После вычислений всегда должно получаться b; 20 и (—Qo) >(—Qo). Может случиться, что
р, <0, хотя р; 20. Коэффициеиты целевой функции при новых базисных переменных должны быть
равны 0; их можно положить равными 0 сразу.
Для вырожденного случая справедливо все, что было изложено ‘относительно симплекс-метода.
Цреимущества модифицированного симплекс-метода. В случае симплекс-
метода ошибки округления могут неограниченно расти от таблицы к таблице, так как на каждом
шаге переход к следующей таблице определяют данные таблицы, имеющие некоторую погрешность.
Напротив, в случае модифицироваиного метода применяются €,,4;, определенные из основной
таблицы. К тому же после определенного достаточно большого числа шагов мы можем «обновить»
все данные (устранить ошибки округления), взяв из основной таблицы базисную матрицу (образо-`
ванную из &,, соответствующих базисным переменным х, в порядке их следования в модифици-
рованной таблице) и найдя обратную ей. Так. возникает обновленная матрица А, при помощи
которой можно вычислить обновленные b = АВ, р — ТА и —О= —8 Th Остальные p;(j=1,..., т)
вычисляются по формуле р; = 5; — pla, при помощи обновленного р и данных основной. таблицы.
Таким образом, вся модифицированная таблица может быть вычислена непосредственно на основе
данных основной таблицы, если только заланы индексы базисных переменных.
Далее; модифицированный метод ведет к уменьшению количества вычисленийпо сравнению
с симплекс-методом, если число переменных по меньшей мере в три раза больше, чем число
уравнений и многие коэффициенты равны нулю.
Пример 6. Мы снова используем пример 2, который уже был решен при помощи симплекс-метода. В качестве
основной таблицы имеем:
34
8276$
8
2-1 3
10000
|
2
оо3
01000
2
7
200
0010о
6
6
о
0
000toO
6
5
-2|=3
0000|
2
+в9
0000о—66
134 82765
13482765
g
10000
>8
--|
10000
|
2
0100 0
2
2
0
0100 0
2
7
0010 0
6je=37
0
00100
6
6
0001 0
6
6
|
00010
6
°
ооо
2
5
[1]
00001
2
4 -6 9 00000 |-66
4-6900000—66
первая таблица
первая таблица с внесенным в нее разрешающим
столбцом
628
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Получим отсюда первую модифицированную симплекс-таблицу, найдем в соответствии с 1) j* = 3, вычислим
(из... а, 3) 1 = 403 и внесем в таблицу (разумеется, при практическом использовании -— сразу в ту же самую таблицу).
В соответствии с 2) найдем i* = 5, так как
ра:ааа=б:[=6,bs:453=2:1=2.
Следовательно, число 1, взятое в рамку, является разрешающим элементом. В соответствии с 3) получим вторую
таблицу:
154
8276 3
8
1000 1
3
2
0100 0
-2
7
0010 @
6
6
0003-1
4
3
0000 1
2
—80 —9
0009 6
—54
Она изображает ту же самую вершину, которая была получена после первого симплекс-шага в 6.1.1.3. После
ледующих трех модиф рованных симплекс-шагов мы’ получим модифицированную симплекс-таблицу вершины, для
которой выполняется кригерий минимальности (так же, как после трех симплскс-шагов была найдсна оптимальная
симилекс-таблица той же самой вершины).
6.1.1.7.2. Модифицированный двойственный симплекс-метод. Данному кано-
ническому виду ЗЛП, как и в 6.1.1.7.1, сопоставляется основная таблица и модифицированная
симплекс-таблица. Мы применяем те же обозначения, что и в 6.1.1.7.1.
Ноли (8,,....&-т) 20, то (при любом знаке В) может быть применен двойственный
симплекс-метод, так как задан двойственно-допустимый вид. Его также можно перевести в моди-
фицированный вид (с теми же преимуществами, которые указаны в 6.1.1.7.1).
Критерий минимальности для модифицированного двойственного симплекс-метода такой же,
как и в случае двойственного симилекс-метода.
Если критерий минимальности не выполнен, то переход к новой модифицированной симплекс-
таблице осуществляется следую’цим образом.
1) Выбор разрешающей строки: среди b <0 в таблице выбирается произвольное
Ь» < 0 (например, наименьшее b,); затем вычисляются отсутствующие элементы этой разрешающей
строки i*:
ар; = (а п-т... -> ат); для f=l,...,a—m,
в вносятся в таблицу.
2) Выбор разрешающего столбца: j* определяется, как и в двойственном симплекс-
методе; если j* 2 п-т + 1, то соответствующий столбец канонического вида уже известен. В про-
тивном случае он вычисляется по формуле
(ayjr, и: ат) =Ао»
и вносится в имеющуюся таблицу.
3) Замена базиса при помощи разрешающего злемента aj делается, как
и в случае модифицированнчого симплекс-метода.
6.1.1.7.3. Получение начальной вершины. Ёсли данная ЗЛИ еще we имеег канони-
ческого вида, то он может быть получен путем решения вспомогательной задачи (6.5), как в 6.1.1.4.1.
Модифицированный симплекс-метол может быть применен также для решения этой вспомогатель-
ной задачи; однако столбцы, соответствующие вспомогательным переменным, здесь вычеркивать
нельзя. Если найдена оптимальная модифицированная симплекс-таблица вспомогательной задачи
такая, что Qo = 0, то в качестве «новой целевой функции» вспомогательной задачи может рассмат-
риваться исходная целевая функция *). Затем вычисления продолжаются при помощи модифициро-
ванного симплекс-метода с тем. дополнительным условием, что столбцы, соответствующие искус-
ственным переменным, не используются в качестве разрешающих столбцов (критерий минималь-
ности относится соответственно к другим столбцам).
Существует также метод нахождения первой двойственно-допустимой модифицированной таб-
лицы. Но модифицированный двойственный метод (так же как двойственный) чаще всего исполь-
зуется только тогда, когда такая таблица задана непосредственно или получается из оптимальной
модифицированной таблицы посредством ес изменений.
*) В случае Qo > 0 в оптимальной ‘точке вспомогательной залачи допустимая область исходной задачи пуста,
следовательно, сама задача неразрешима.
ЛИНЕЙНАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
629
6.2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
6.2.1. ЛИНЕЙНАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Линейные транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования.
Задача заключается в отыскании такого плана перевозок продукта с т складов к п потребителям,
который требовал OLY минимальных затрат. Ёсли потребитель / получает единицу продукта
(по прямой дороге) со склада i, то возникают издержки p,;. Предполагается, что транспортные
расходы пропоркиональны перевозимому количеству продукции, т.е. перевозка К единиц продукции
вызывает расходы #риу.
Далее, предполагается, что
Ты-уа,
(6.11)
‚=. j=1
где b; есть количество продукции, находящееся Ha складе i, а а, —- потребность потребителя j.
т
n
m
n
Замечание. Если > b> У a;, то количество продукции, равное ¥b- ¥ a,, остается
т
п
.
‘wal
на складах. В этом случае мы введем «фиктивного» потребителя n+ 1 с потребностью ВБ, — У а,
i=1
j=
m
n
i
и положим транспортные расходы р; ,+, равными 0 для всех i. Если у b,< У а, то потребность
i=1
j=l
не может быть покрыта.
В этом случае начальные условия. должны быть изменены таким образом, чтобы потребность
в. продукции могла быть обеспечена.
Обозначим через х„ количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j. В пред-
положении (6.11) нам нужно решить следующую ЗЛП:
т
<“
.
хи=а, для f=, ‚п;
i=]
я
‚Ху: для i=l,...,m;
os]
`
(6.12)
х;20 для 1=1, ти j=), ‚ п;
Транспортную задачу-мы можем характеризовать транспортной таблицей и таблицей издержек:
ty ... ayn
bo |.
Ри
Pin
bm,
Pm
Pmn
ay
a,
by
Хх!
Xin
bm
Xm
Xnn
4
Сумма элементов строки i должна быть равна b,, а сумма элементов таблицы j — a;, и все X;;
должны быть неотрицательны.
630
ТРАНСПОРТНАЯ. ЗАДАЧА
Пример 7.
20510 10 5
15
56359
15
64735
20
25318
Мы получаем следующую ЗЛП:
XapНХ,2+Х1з+XiahX15|
Xa,+Х22+X23+Х24+X25
=15
Хз!+Хз2+Хзз+Хза+X35=20,
Х11
+ Х21
+ X31
=: 20,
Х12
+ Х22
+ X32
=5,
X43
+ X23
+ Хзз
= 10,
X14
+ X24
+ X34
= 10,
X15
+ X25
+X35=
хи20дляi=1,2,3;j=1,2,3,4,5;
Kunin=5X14+6X42+3X43+5X14+9x15+6х2!+4х>2+1X23“+3X24+5X25+2X3,+5X32+3X43+X34+8X35.
Такие задачи целесообразно решать при помощи особого варианта симплекс-метода, так
называемого транспортного метода (см. 6.2.3).
Все транспортные задачи имеют оптимальное решение. Если все значения a; и b; в условии
транспортной задачи целочисленны, то переменные X;; во всех базисных решениях (а также и в любом
оптимальном базисном решении) имеют целочисленные значения.
6.2.2. ОТЫСКАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В транспортной таблице
а]
ай
by
выберем ячейку (i*, j*) и запишем в ней Xjjx = min {bjx, аж} *):
а]... аж... An
by
bj»
Kjxj*
bm
*) В случае min {bj«, аж} =0 в таблицу вносится 0. Следует различать внесение 0 и невнесение какого-либо числа
вообще!
ОТЫСКАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
631
а) Если 5» <а», то остальные ячейки строки вычеркиваются (все содержимое склада i*
поставляется в j*) и а» заменяется на (а;* — Б;*), а Би — на 0.
6} Если В» > аж, то остальные ячейки столбца j* вычеркиваются (потребитель j* уже получил
всю продукцию) и bj замепяется на (bj* — ajx), а а» — на 0.
Полученная таблица содержит на одну строку или на один столбец меньше, чем предыдущая.
В полученной таблице выбирают HOBYIO ячейку и повторяют предыдущие рассуждения до тех пор,
пока в таблице не окажется ни одной свободной ячейки.
В результате каждой ячейке исходной таблицы можно сопоставить либо зачеркнутую ячейку,
либо ячейку, в хоторую внесено число X,,. Тем самым найдено базисное решение: переменные,
соответствующие зачеркнутым ячейкам, являются свободными переменными; остальные являются
базисными, и им мы сопоставляем значения х;,. В каждой строке и в каждом столбце будет стоять
по меньшей мере одно базисное переменное (возможно, со значением 0, что соответствует
вырожденному случаю).
для того чтобы найти наиболее экономичное начальное базиспое решение, обычно выбирают
ячейку (i*, /^), которой соответствуют минимальные транспортные издержки: MIN ру; = р.
i,j
Если выбирают верхнюю левую ячейку, TO метод выбора называется правилом северо-западного
ye AG.
Разберем отыскание начального решения на примере 7.
Г Применение правила северо-западного угла: в верхшою левую ячейку записываем min {1$, 20} == 15, а остаток
строки вычеркнем:
5
В левую верхнюю ячейку получивейся таблицы записываем min {5, 15} =: 5, а остаток столбиа вычеркиваем:
0
20|510105
0; 15
15
20
|
B конце концов получим таблицу
0
0
632
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Ей соответствует базисное решение ху 5 = 15, x2, =5, X22 = 5, Х23 = 5, X33 == 5, Хзд == Ц) vag = 5
{базисные переменные}; остальные переменные являются свободными, и в базисном решекив им
соответствует значение 0).
|
Wl. min ру; == 1 = p34. В ячейку (3, 4) запишем min {20, 10} =: 19 и остаток четвертого столбиа вы-
iJ
,
черкнем. min pj =
2
= px, В ячейку (3, 1) запишем. min {10, 20} = 10 и остаток третьей строка
i#4
вычеркием. Min ри; = 3 = pis. В ячейку (1, 3) запишем min {15, 10} = 10 и вычеркнем остаток третьего
123
14
столбца. Иродолжая таким образом дальше, получим таблицу
$}
0102010
10_
6.2.3. ТРАНСПОРТНЫЙ МЕТОД
Пусть имеется транспортная таблица, соответствующая начальному решению, x), = Я; ‘для
базисных переменных, х.; = 0 для свобсдных переменных (ячейки, соответствующие свободным
переменным, остаются пустыми). Далее, нам требуется таблица расходов с заданными p,,. (Ниже
мы постоянно будем ссылаться на пример Ти 5.1.2.1.)
Отыскание саимилекс-масжителей. Заполным.
By
fy
Pap NG
таблицу расхолов, оставив ячейки, соответствующие сво-
бодным переменным, пустыми. В крайний правый столбец
...
a
.
внесем значения неизвестных U,,..., и» 8 вижнюю строку —
°
°
"
значения неизвестных 5;,...,0, (рис. 6.6}. Эти m+n не-
А
Ру
Pin 14
известных для всех (i, /), соответствующих базисным перемен-
ным, должны удовлетворять линейной системе уравнений
.;.
.:.
:
Uj+0;=Py.
Для всех базисных решений она имеет треугольный
Ат
т
Pan Man
вид, ранг ее матрицы равен n+m=1. Crenosa-
тельно, систему всегда можно ранить следующим спо-
дот
В
собом.
Полагают v, =0. Если значения К неизвестных (1 <
<k<n-+m-—1) определены, то в системе всегда имеется
уравнение, одно из неизвестных в котором уже найдено,
а другое еще нет.
Переменные и; и 9, называются симплекс-множителями. Иногда они называются также потен-
YUGAAMU, а транспортный метод — методом потенциалов.
Рис. 6.6.
Пример 8.
5
и
6
4
7
U,
3
,|
8
и
#
Vyv2гDaUs
Ns= uy=8,таккакиз4+-из=P35=8,>04=—7,таккаки,+54=P34=1,в.=--5,таккакиз+03=3,и)=
2121=8=6щеИ.
ТРАНСПОРТНЫЙ МЕТОД
633
Симплекс-множители нужны для того, чтобы найти свободную ячейку (i,j), которая при замене
базиса переходит в базисную (это соотвегствует отысканию разрешаютиего столбца в симплекс-
методе).
Для определения симилекс-множителей мы вносим 4a свободные места в таблице значения
%
4—
ry
——
Piz=Pig-~UL 0;
{коэффициенты целевой фуикции, пересчитанные для свободных переменных). Если все р;; 20, то
базисное решение оптимально (см. критерий минимальности). В противном случае мы выбираем
произвольное ри; < 0, чаше всего наименьшее. Индексом xf} помечено свободное переменное х.ь,
которое должно войти в базис. Соответствующую ячейку транспортной таблицы мы отметим
знаком ++.
Пример 9.
56359
5
11
5
3 -.3
i2
Pij:|64735’
647
12->64
7-2 | --7
253
|Е
3
18
8
0
5
3
|$
—6-8-5-70
Минимальный элемент — 7 > (a, В) == (2,5).
Кроме ячейки (о, В) транспортной таблицы, мы помегим знаками -- и + другие занятые числами
ячейки таким образом, чтобы в каждой строке и каждом столбце транспортной таблицы число
знаков + было равно числу знаков —. Это всегда можно слелать единственным образом, причем
в каждой строке и каждом столбце будет содержаться максимум по одному знаку + и но одному
знаку —.
Пример 10.
—
a
—
w
a
Злак + поставлен в ячейке (2, 5). Соответственно в последнем столбис должен быть поставлен знак --, ITO можно
сделать только в ячейкс (3, 5). Следовательно, знак + должен быть ноставлен в последней строке. В ячейке с числом 10
этого сделать нельзя, так как тогда в соответствующем столбце ие было бы знака —, ит. д.)
Затем мы определяем минимум М из всех элементов, помеченных знаком —, и выбираем
ячейку (у. 5), где этот минимум достигаегся.
В нашем примере с М =5 можно выбрать {у, 5) =(2, 3); при этом (у, 8) обозначает базисное перемениос,
которое должно стать свободным, г. е. базисное переменное, соответствующее илдексу разралающей строки симилекс-
метола.
Переход к новой транспортной таблице (замена базиса) происходит следующим образом:
а) В ячейку (a, В) новой таблицы записывается число М.
6) Ячейка (у, 6) остается пустой.
в} В других ячейках, помеченных знаками — или +. число М вычитается из стоящего
в ячейке числа (—) или складывается с ним (+). Результат вносится в соответствующую ячейку
новой таблицы.
° Г) Непомеченные числа переносятся в новую таблицу без изменений. Остальные ячейки новой
таблицы остаются пустыми.
634
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Пример 11.
15
15
2
5
5
5
4->
5
5
5
5+
(0
5
10
10
0
Получается новая транспортная таблица, и повторяется ход предыдущих рассуждений. . После
конечного числа шагов критерий минимальности будет выполнен (если не учитывать теоретически
возможного зацикливания в случае вырождения).
Пример 12. Ниже воспроизведен ход решения примера 7 из 6.2.1.
20510
105
15 15
5
3~3l—21
15
5 5|57
+
64
7|-2
-7 12
20
5+
|5
05
3|
88
—6_8—547
0
15
5348
54
5
5
5+
6
475
5
5
+
10100~
--7—23|
88
||20
0
15
+
5
3
—3
]
5
4
5
5
5
64
0_255
ot
107 10
2
5
3
|7
|
ТРАНСПОРТНЫЙ МЕТОД
635
5
10
5
33
54
55
+5
6
43--255
10+
107
2
53
7
|
5
10
5
3|36
5
55
245355
15
5
233
53
Корт= 150
—1—1_3—20
Первая транспортная таблица была получена в 6.2.1 при помощи правила северо-западного угла (составление
первой вспомогательной таблицы и второй транспортной таблицы было описано выше). Затем поочерсдно находятся
новая вспомогательная и новая транспортная таблицы до тех пор, пока (после четырех замсн базисов) ие будет
достигнут минимум.
Следует ‘обратить внимание на предпоследнюю транспортную таблицу, так как она была найдепа при помощи
улучшенного метода отыскания начального решения в 6.2.2; если пачать с нее, то потребуется лишь одна замена
базиса.
В вырожденном случае, как и в симплекс-методе, особый метод для предотвращения запикли-
вания применяется только тогда, когда после нескольких последовательных шагов М становится
равным 0.
Если' дана вырожденная транспортная таблица (ее можно узнать по имеющемуся 0), то, заменив
An на dy, + нЕ и все b; na Б, +в, гле => 0 подразумевается очень малым, исправим значения Х,;
базисных переменных так, чтобы для новых а; и В, получилось базисное решение. Это всегда можно
сделать единственным образом (как и при отыскании симплекс-множителей):
15
20+=|Ste|Ю+8| Ю+8| Ste
5
5
5
15
|
10100
15
20+ 5Е
15+ 2:
5—= 5+8
5—2=
10+: 10+=
3
636
ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Если полученный таким образом элемент X,,; окажется отрицательным, то в этой же строке
должен найтись положительный (еще до изменсния) элемент X,, и в этом же столбце — положи-
тельный элемент х.. Тогда ячейка (5, г) свободна, отмечаем ce знаком + и проведем замену базиса.
Так можно избавиться от всех отрицательных значений *).
Затем при помощи транспортного метода расчеты продолжают дальше (вырождение уже никогда
больше не встретится). Устремляя = ->0, приходим к оптимальному решению исходной задачи.
6.3. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
6.3.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ
Пример 13. Требуется изготовить чегыре вида изделий A; в количествах от a; до No (i= 1, 2, 3, 4). Себестоимость
одного изделия составляет р;. Каждое изделие A;, требует а, минут рабочего времени на каждом из станков М;
(j= 1, 2, 3), общее время использования которых должно быть заключено в пределах от п; до т; минут. Надо найти
план производства с минимальной себестоимостью. Перемеиное x; — число изделий вида А;, которое следует произвести.
Модель:ах,+ах.+аз:Km;дляj=1,2,3;
ах!+ах;+азхз Ba;дляj=I,2,3;
х3Ь,,x;2a;,x,20ana =1,2,3,4;
Qmin (х) = Рахь + р2х2 + рзх3.
Вариант. Если р, — прибыль па единицу продукции, ‘го ищем тах Q (x).
Замечание. При больших количествах изделий требованием целочисленности можно пренебречь; при вычислепиях
в единицах серий или объемов эта трудиость чаще всего отпадает сама собой. Если действительно встретится
описанный выше случай, то в громоздких задачах рекомендуется применять сиециальный симилекс-метод для
«двусторонне ограниченных задач». Однако чаще всего для многих | имеем п‚=0 или т,= 00 (соответствующее
неравенство излишне), а для многих i имеем а, = 0 нли b; = ос (соответствующее перавенство тождественно условию
знака или излишне); гогда методы решения, изложепныс в 6.1.1, имеют одинаковую эффективность.
Другие примеры.
А;
М;
Виды квалифицированных кадров
Учреждения, готовящие «Basin рованные кадры
Сельскохозяйственные культуры
Рабочая сила, техвика
Породы домашних животных
Рабочая сила, скотиые дворы, корма
6.3.2. ЗАДАЧА О СМЕСЯХ
Пример 14. Требуется изготовить сплав из трех металлов М.;, каждый с плотностыю аи, содержанием
углерола и. и содержанием фосфора а:з, которые могут быть использованы в холичествах от a) до $; и стояг р. рублей
за килограмм. Сплав должен иметь плотность в пределах от Ny AO mM), содержацие углерода от Nz до т. и содержание
фосфора от п. до тз; сплав должеи быть произведен в количестве ‹ кг и быть при этом как можво более делевым.
Переменное x, = (количество затраченного металла М) /с.
Модель как и
в
6.1.3.1, где нужно положить а; = а/с, Ь; = Ве.
Другие примеры.
М}
ij
Кормовые средства
Содержание питалельных веществ, содержание вредных
весстя
Отопительный газ
Калорийность, содержание серы и пыли
Сорта свеклы
Урожайность листьев, урожайность клубней
*) Часто бывает достаточно вездс заменить € на —&.
РАСКРОЙ, ПЛАНИРОВАНИЕ CMEH, ПОКРЫТИЕ
637
6.3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА, СОПОСТАВЛЕНИЕ
Пример 15. Требуется изготовить т видов продукции Р; в количествах а;. Имеется п стаиков М; с В; минутами
рабочего времсни. Каждая единица продукции Р; можст быть изготовлена по выбору на любом станке, это требует
с) минут и стоит ру рублей. Надо найти. ‘наиболее экономичное распределение продукции по станкам.
Перем енное Xy — количество продукции Py произведенной на станке М..
Моцдель: Ума для j=l,....m; р ‚ Суху <<b; wiai=l,...,a:
xy>0для всех fi,ds
О(x)=ууРихи.
=р je
Модель является обобщением транспортной модели. Задача можег быть решена при помощи симплекс-метода.
Вариант. Требуется минимизировать общее рабочее время станков (и рабочее время обслуживающих их забочих).
т
Модель аналогична приведенной выше. но с целевой функцией О = > p> НА:
Другие примеры.
Р7
Mi
Cy
рij
Сельскохозяйственные Посевные площади
=|
Доход ог урожая
may.
культуры
Предприятия
Источник энергин
=]
Стенень использовапия
тах
Продукция
Прелнриятия
Затраты
Прибыль
тах
Поставки в квартале ;| Продукция в квартале i
=|
Производственные затраты + за-
min
траты на храцение
Замечание, ЗВ случае с; = 1 можно применить транспортпый метод после того, как путем введения фиктивного
Pas мы получим Ха, = У 5). В случае необходимости некоторые распределения могут быть исключены (например,
при COCTABJICHHH илана надо учитывать, что продукцию, произведенную в гретьем квартале, нельзя вывезти во етором),
для этого достаточно положить в соответствующих ячейках ру = 0.
Прн п = т, а; = i, 6: =1, су =1, хуе {0,1} при всех Ги ] как частный случай получается задача © сопоставлении.
Примеры.
Р;
М;
Ру
я изделий
н предприятий
Производственные затраты
ann
п предприятий, которые нужно | л месторасположений
Затраты на освоение
min
построить
п поездов, которые следуст со- | и путей
Manespnt
mit
CTaBUTb
MW штатных единиц
п работников
Производительность
max
п видов деятельности
H работников
Затриты времени
win
Решение можно пайти ири помощи транспортиого метола (с модификацией, ттобы не допустить выражения).
6.3.4. РАСКРОЙ, ПЛАНИРОВАНИЕ CMEH, ПОКРЫТИЕ
Пример 16. Для заготовок в виде сгержней длины | каждый имеются варианты раскроя Z; (i == 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Требуется получкть ©, частей 7; длины |; (/ =: 1, 2, 3, 4). При каждом варианте раскроя получается К; частей Т;,.
(При этом Кий: + No25 + Kinds + kigla SL Это, условие. наложенное на коэффициенты, содержится в определении «париант
раскроя» и не является условием оптимизации.) 'Гребуемое количество частей должно быть получено из минямального
количества стержней.
Переменное x; — число стержней, разрезаииых согласно зарианту Z;.
Модель: kyjx+Коха+Кзухз+Каха+Кух5+дога, при j=1,2,3,4:x,20 при i=1,2,3,4,5,6;Quin(х)=
=Xp+Ха+Хх.+х.+Xs+Xp.
Замечание. Вводя вспомогательные переменные и умножая уравнения из —1, сразу придем к лвойственно-
допустимому каноническому виду; таким образом, целесообразно применить двойствениый или модифицированный
двойствениый симплекс-метод.
638
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Другие примеры.
Сырье
Tj
Доски (из опилок)
Более мелкис доски
Ткань, свернутая в Г-мстровый рулон, или лист жести | Г-метровые полотна ткани нли полосы жести ширины fj
ширины J
Планирование смен в библиотеках, продажу билетов в кассах также можно моделировать подобным образом:
7; — возможные в течение дия смены; Т; — определенное время дня; k;; = 1, если Z; предусматривает работу во время Ty,
в противном случае К; =0; а; — число работников, требующихся в момент времени Т;; х; — количество работников
смены 2. В частном случае a; = 1, kj, {0,1} возникают задачи о покрытии, которые, разумеется, надо всегда решать
мсгодами целочислениого линейпого программирования.
Пример 17. Для строительства гидроэлектростанций могут быть использованы шесть мест Z;, i=1,...,6.
Каждая ГЭС 2, могла бы обслужить (kj = 1) или не обеспечить (К,= 0) некоторые из чсетырсх регионов. После
сооружения минимального количества электростанций каждая из четырех регионов должна быть «покрыта» хотя бы
одип раз.
|
Переменное х, = 1, ссли в Z, построена ГЭС, и x; =0 в противном случае.
Молель такая же, как модель раскроя, но с условием а, =а. =а; =а. =! и с дополнительным условием
«x;=0или|»при{=1,2,3,4,5,6.
Варианты примера. Пусть расходы на строительство 2; равны р;. Ищется наиболее дешевое «покрытие» всех
местностей. Целевая функция в этом случае Они = рах, + PaX2 + ръхь + раха + р‹х‹ + рьхь. Можно потребовать также
п-кратное покрытие -+ а; = и.
Другие примеры.
Zi
qj
Фазы регулирования уличиого движения
Потоки движения, которым надо дать дорогу
Кандндаты в экспедицию
Требующиеся знания (медицина, радно, иностранные
языки)
6.4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Если все коэффициенты условий и целевой функции зависят от одного или нескольких пара-
метров, то говорят о параметрическом программировании. Практически применимые методы
существуют для случая, когда от параметра линейно зависяг только коэффициенты целевой функции
(см. 6.4.2). Случай, когда от параметра линейно зависят только правые части условий, может быть
сведен к первому путем рассмотрения двойственной задачи (см. 6.6.1). Закончеиная теория, которая,
однако, ведет к очень громозиким вычислениям, имеется также для случая, когда коэффициенты
целевой функции линейно зависят от нескольких параметров (при помощи двойственной задачи
также рассматривают зависящие от параметров постоянные члены условий). Аналогичное утверждение
имеег место, если от параметров линейно зависят как коэффициенты целевой функции, так
и постоянные члены условий.
Для случаев, когла от параметров зависят коэффициенты при переменных в условиях, общих
методов еще не существует.
у
6.4.2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ.
ПЗЛП (параметрическая ЗЛП)
ах No... Нах, = Oy, ... @ых +... + атих, = Ons
x, 20,...,x,2 0,
Qmin=(Pr+ЧЁ)Хх:+...+(Dn+Gut)Xy
должла быть исследована при всех ft, —© <t < +00.
СЛУЧАЙ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
639
(Другие типы задач линейного программирования с однопараметрической целевой функцией
сводятся к этому типу, как описано в 6.1.1.)
Геометрическая интерпретация в случае двух переменных (cp. 6.1.1). При
всех значениях { задачи
|
AypX1 + а!2х2 ЗВ, ... ах: + @,2х2< On,
х, 20, x,20,
Отт=(Pp+Git)х,+(po+Gat)x2
имеют одинаковую допустимую область. С изменением Е направление линий уровня постепенно
«вращается». На рис. 6.7 изображено пять положений линий уровня при этом «вращении».
20)
oe
2-1,
min
S
b
9
Рис. 6.7.
Из рисунка видно, что при = ty, t=), Е ={, оптимальной точкой является одна и та же вершина.
При t =f; оптимальны две соседние вершины (и все ребро между ними). При болышем Е =ty
оптимальна только одна новая вершина.
Если вершина ПЗЛИ является оптимальной точкой при tf =f, то существует определенный
промежуток { < Е <
Е
такой, что для целевой функции, зависящей от [, в эгом промежутке указанная
вершина оптимальна, в то время как при Е, лежащем ‘вне его, она оптимальной не является.
При этом учтены возможности t = — 0, t= +0, t=
Этот промежуток называется тогда областью устойчивости вершины. Если Е, и Е, — две вер-
шины и Г лежит внутри обеих областей устойчивости, TO области устойчивости тождественны.
Нетождественные области устойчивости имеют максимум одну общую точку.
Пусть ИЗЛП имеет оптимальное решение по крайней мере для одного значения параметра.
Тогда в интервале —с© <t< +00 имеется конечное число характеристических значений ty <t) <
<{. <...<Ь таких, что
|
а) при t < % не существует решения ПЗЛП (этот интервал может быть пуст, tp = — 09);
6) сегмент t; <1 <t;4, при каждом {= 0, 1,...,г-— 1 являегся областью устойчивости по меньшей
мере одной вершины ah t; St <tj4, может быть областью устойчивости вершины при опре-
деленных i = 0, I,
в) при t >t, не Существует решения ПЗЛП (этот интервал может быть пуст, t, = +00).
Если рассматривать оптимальное значение целевой функции для каждой ПЗЛП с фиксированным
t как функцию & то получим функцию оптимальных значений Qo (1.
Функция оптимальных значений непрерывна, вогнута и кусочно линейна на интервале значений [,°
для которых ЗЛП разрешима. Точками излома являются характеристические значения (1, #.,.... &_1.
Метод решения. Основная идея метода состоит в решении ПЗЛП для фиксированных
значений { и последовательном изменении t от одного характеристического значения ft; к другому.
Рассмотрим ПЗЛП капонического вида, которую можно получить, как опнсано в 6.1.4. Строка
симплекс-таблицы, отведенная под целевую функцию (cp. 6:1.2), делится на две строки: одну для р,,
другую для q;. Соответственно —Qo = —Qo, — О. При замене базиса обе строки преобразуются
в отдельности, как обычная строка целевой функции:
An Anrmt+1
anmiAn
Вт
РАт-+1
Prn
—Qop
Ч )т-+1
Gin
—Qog
(здесь буквами обозначены числа в соответствующей таблице: вообще они не являются числами,
входящими в первоначальзо заданный вид ПЗЛП).
640
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Если не известно ни ‘одно значение # для которого ПЗЛП разрешима, можно поступить
следующим образом. Сначала найдем оптимальное решение для произвольно большого +. Это
означает, что в качестве элементов «управляющей строки» для выбора разрешающего столбца нам
требуются только qj, если они отличны от нуля, а р, — только в том случае, если 4; =0. Таким
образом, мы будем выполнять шаги симплекс-метода до тех пор, пока это возможно. В результате
придем к одному из двух случаев.
Случай I. Все 4; в полученной таблице 20, и там, где 4; = 0, везде р, 20. Это значит, что
мы получили оптимальную таблицу, соответствующую вершине с областью устойчивости, прости-
рающейся до t, = +00.
Тогда дальше мы поступаем, как описано ниже в разделе «Определение левой границы области
устойчивости».
Случай If, Случай I не имеет места, т.е. при отрицательном элементе управляющей строки
все а;; соответствующего столбца в таблице <0.
Рассмотрим тогда (независимо от р; и qj) все столбцы, содержащие только неположительные
элементы ау.
|
Пусть соответствующее множество индексов есть J. Определим Г как наибольшее ft, для кото-
рого р, +9120 при всех jeJ. Если такого Г не существует, то ПЗЛИ не имеег оптимального
решения ни при каких {.
Используем р, + а’ в качестве новой управляющей стрски и применим симпилекс-метод. Если
он ведет к оптимальной вершине, то Г =, является правой границей ее области устойчивости,
и далее мы поступаем, как описано в разделе «Определение левой границы области устойчивости».
Если симплекс-метод не приводит к оптимальной вершине, то это происходит потому, что по
отношению к новой управляющей строке вновь имеет место случай П. Вновь повторяя все рассуж-
дения, получаем t” и т.д. После конечного числа шагов мы получим &, или установим неразрепи-
мость задачи.
Определение левой границы области устойчивости. Пусть мы знаем правую
границу #,., области устойчивости и оптимальную таблицу соответствующей вершины F. Выберем
{* чуть меньше, чем 1,.; (при t,.; = со возьмем достаточно большое положительное число).
Имеются две возможности: 1) таблица еще оптимальна при {*, и {* является внутренней точкой
области устойчивости вершины E; положим тогда E = E*; 2) таблица больше не является опти-
мальной для t*, тогда t,4, есть левая граница области устойчивости вершины Е. Вычислим опти-
мальную таблицу, соответствующую 2* при помощи симплекс-метода. Если оптимальной вершины
не существует, то &,.1 =to и ПЗЛИ неразрешима при значениях параметра, меньших [,.1. Если
существует оптимальная вершина, то мы обозначим ее через Е*; точка {* — внутренняя точка зе
области устойчивости.
,
В оптимальной таблице, соответствующей вершипе E, определим минимальное Е, для которого
все р, + qj >0 (это может быть — 50). Полученное значение есть (,.
Продолжая применять этот метод, мы получим решение ПЗЛПИ для всех Ь при которых оно
существует.
Примечание 1. Метод упрощается, если известно значение параметра, для которого ПЗЛИ
разрешима. Сначала при помощи симплекс-метода определим соответствующую оптимальную таб-
лицу. После этого применим метод «определения левой границы области устойчивости» ко всем
характеристическим значениям, лежащим слева от этого значения, и аналогичный метод «определения
правой границы области устойчивости» ко всем характеристическим значениям, лежащим справа.
В оптимальной таблице, соответствующей E*, в этом случае надо найти максимальное значение [,
для которого все р, + ай > 0.
Примечание 2. Если задана верхняя граница („„„, выше которой значения Е нас не интересуют,
то применим симплекс-метод с целевой функцией, соответствующей {„,„. Если получим оптимальное
значение, то используем f,,,, в качестве t,,, при «определении левой границы области устойчивости».
Если же нет, то продолжаем вычисления, как в случае II.
Примечание 3. Если задана нижняя граница, ниже которой значения Е нас не интересуют,
вычисления прекращают сразу, как только характеристические значения ¢ или значения Г, Г’,
в случае ПИ будут меньше значения (1.
Примечание 4. Вырождение вершин играет такую же роль, как и при решении нспарамет-
рической задачи линейного программирования; здесь мы не будем специально на этом останавли-
ваться.
Пример 18.
Ха х5+ Xe= 1,
x,
—X5-2x6=3,
x, 20, ..., xX, 20,
Х2+хз
+хв=2,
От=(--3—3t)Хз+(1—1)Xs+(1м3t)Хб:
СЛУЧАЙ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
641
Мы сразу находим начальную вершину, составляем соответствующую таблицу (см. ниже) и управляющую строку
для больших Е. Таблица не является оптимальной при произвольно больших ¢t, так как в столбце }=3 (и, кроме
того; в столбце j = 5) стоит отрицательный управляющий элемент. Мы выбираем столбец j = 3 в качестве разрешающего
столбца и вычисляем следующую таблицу (см. ниже). Управляющий коэффициент, составляющий j = 5, все еще отри-
цателен. Но мы не можем выбрать столбец j=5 в качестве разрешающего столбца: имеет место случай II.
Множество J = {5}; определим наибольшее Е такое, что р5 +qgst=1—t>0-—-0t'=1. Мы составляем управляющую
строку с Г =! и устанавливаем оптимальность таблицы. Таким образом, 1, =1. Для значений {*, чуть меньших чем 1,
таблица остается оптимальной. Определим наименьшее t, для которого все р, +4 > 0:
3+3t20-t2 —1, l-t20>¢t<1, 4+ 6¢20t>—2/3,
откуда
th, = —2/3.
Запишем новую управляющую строку при { = —2/3. При ¢t*, чуть меньшем чем —2/3, таблица больше не является
оптимальной, так как управляющий коэффициент при j = 6 становится отрицательным.
Выбираем столбец j = 6 в качестве разрешающего столбца и т. д. 4-я таблица при {*, несколько меньшем чем —1,
не является оптимальной, она соответствует вершине, область устойчивости которой состоит только из t = —1.
3
5
6
2
5
6
4
0
—1
1
1
4
0
—1
[|]
1
|
0
—1
2
3
>
1
0
—|
2
3
2
[|
0
|
2
3
|
0
1
2
—3
1
1
0
3
1
4
6
—3
—1
3
0
3
—1
6
6
vy 1-0
<0
<0
>0
>ow
>0
<0
>0
t=1
6
0
10
12
= —2/3
1
5/3
0
2
2
5
4
3
5
4
3
2
4
6
0—1
11
6
0 —1|
|
|
6
1
1
0
2
>
1
0
|—2
1
>
1
0
1—2
1
>
1
—1_1—1
0
3 [+]
|—|
|
2
1[|—!|
1
5
1
1—1
1
3
5—4|2
—3
2—1—!
—5 —2
1—3
3
5—610
—3
2_3—3
—5—2—|—§
t= —2/3
15/3—012
=-1
0
0
2
2
(= -1|
0
0
2
2
= -1|
0
0
212
t>a7-«!l>0 >0 >0
Результат. При | <: < с оптимальной таблицы не существует. При —2/3 <t <1 оптимальна вторая Таблица,
Qo.(t) = —6—6t. При —1<1!< —23 оитимальна трегья таблица, Qo (t)= —2. При —oo <:< —1 оптимальна пятая
таблица, Qo (t) = 3 + St.
642
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Пример 19. Постановка задачи видна из левой таблицы; Г’ = 1/4, а t,=t” =0. Вторая таблица оптимальна при
всехt<0.
3
4
2
4
1
|
—20
2
]
—10
—10
|
2
1/10
—1
1/10
3
10
—10
1
—2
20
0
20
0
2
|
—80
0
—10
—70
—|
1-х
>0
<0
r= 1/4
70/4
— 70/4
7/4
1=1/4
— 7/4
0
0
1=0
20
0
2
tm -x
>0
>0
3
4
2
4
|
0
|
|
|
0
|
1
2
|
|
|
3
|
|
|
1
2
0
—1
|
—|
|
1/2
0
—!
— 1/2
—1
{> oC
>0
>0
= -—1
0
3/2
0
=|
0
3/2
0
[> —<
>0
>0
6.5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
6.5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Если к задаче линейного программирования (см. 6.1.1) добавить еще условие, что все или
некоторые переменные могут принимать только целочисленные значения, то получим задачу
целочисленного линейного программирования.
Чисто целочисленное программирование— линейное программирование с требованием цело-
численности для всех переменных.
Смешанно-целочисленное программирование — линейное программирование с требованием цело-
численности только для некоторых, а не для всех переменных.
Если все переменные могут принимать только значения 0 или 1, то говорят о булевом
программировании (чисто булевом). Если это справедливо лишь для некоторых переменных, то
говорят о смешанно-булевом программировании.
Примеры применения целочисленного линейного программирования содержатся в задачах
об использовании производственных мощностей (см. 6.3.1), если имеющиеся мощности не могут быть
использованы по частям; в задачах о смесях (см. 6.3.2), если компоненты смесей могут добавляться
только в определенных пропорциях; в транспортных задачах (см. 6.2), задачах о распределении
(см. 6.3.3), задачах о раскрое и покрытии (см. 6.3.4) и во многих других случаях.
Геометрическая интерпретация и разрешимость задач с двумя переменными.
вытекает из изложенного в 6.1.1, если принять во внимание, что в случае чисто целочисленной
задачи допустимыми точками являются только точки координатной сетки (точки с целочисленными
координатами) в допустимой области ЗЛП. В случае смешанно-целочисленной задачи получаются
отрезки прямых в допустимой области ЗЛП.
и
Пример 21.
!
2x,+х,<4, 2x,+3x,<6,
x, 20, x, 20, X1, х2 — целочисленные,
Onin=—Х,—Xo
Для решения целочисленных задач линейного программирования разработаны разнообразные
методы:
а) метод сечения (см. 6.5.2); 6) метод разветвления (см. 6.5.3); в} доказательство целочис. тен-
ности всех базисных решений соответствующей ЗЛП для частных классов задач (например,
транспортная задача п. 6.2.1); в этом случае решение ЗЛП, независимо от требования целочислен-
ЧИСТО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
643
ности, дает решение целочисленной задачи линейного программирования; г) приближенные методы,
которые дают хорошие допустимые решения (но в общем случае не оптимальные).
Ly
Оптимум
Рис. 6.8.
Замечание к г). Поиск (возможно, длительный) допустимой точки координатной сетки,
ближайшей к решению ЗЛП, часто ведет к практически пригодному решению. В некоторых при-
мерах, однако, он может дать точки, лежащие как угодно далеко от оптимальной (рис. 6.8):
6.5.2. МЕТОД СЕЧЕНИЯ ГОМОРИ
6.5.2.1. Чисто целочисленные задачи линейного программирования. Сначала решается ЗЛИ, соот-
ветствующая целочисленной задаче линейного программирования. Если ее оптимум Р является
точкой координатной сетки, то Р — решение целочисленной задачи. В противном случае к ЗЛП
добавляется еще одно условие («сечение»), такое, что все допустимые точки координатной сетки
удовлетворяют ему, а точка P — нет.
Геометрически это значит, что Р и окрестность Р отсекаются от допустимой области ЗЛП.
Решается новая ЗЛП и т.д. Надлежащим методом построения сечений можно достичь того, что
после конечного числа шагов возникнет ЗЛП, оптимальная точка которой целочисленна и тем самым
является решением первоначальной целочисленной задачи линейного программирования. Первый
метод такого рода был разработан Гомори в 1958 г., и Ha его основе с. Tex пор было развито
несколько методов. Постоянное добавление условий ведет к тому, что задача решается при
помощи двойственного или модифицированного двойственного симплекс-метода.
Указание к построению модели. Если первоначально задача содержит дополнительные
условия в форме неравенств, то посредством введения вспомогательного переменного перейдем
к ЗЛИ с условиями-равенствами. Если постоянный член и все коэффициенты неравенства цело-
численны, TO на вспомогательное переменное также можно наложить требование целочисленности.
Неравенства с рациональными коэффициентами перед введением вспомогательного переменного
следует умножить на общий знаменатель раниональных коэффипиептов. Неравенства с иррациональ-
ными коэффициентами приводят (если иррациональные числа не приближены рациональными
и не преобразованы так, как указано выше) к смешанно-целочисленным задачам программирования,
так как в этом случае для вспомогательных переменных нельзя потребовать целочисленности.
Построение сечений. Пусть {w} — дробная часть числа м, 0 < {и} < 1. Например, {4, 1} =
=0,1вследствиетого,что4,1=4+0,1,но{—4,1}=0,9,таккак—4,1=—5+0,9
Пусть задана оптимальная таблица из т строк, соответствующая ЗЛП, на все п переменных
которой наложено еще дополнительное требование целочисленности. Пусть строка, соответствующая
в симплекс-таблице базисному переменному х,, есть ilay,. .we Mn | Or причем b; не целочисленное.
Toraa к таблице приписывается еще одна строка, соответствующая условию n+ 1 |— {ay} --
— {ap _ wilt {b}, и X_4, рассматривается как целочисленное вспомогательное переменное такое,
что х, + 1 2'0. После этого применяется двойственный симплекс-метод.
“ Указания к использованию метода. Если в процессе вычислений получится опти-
'МАльная таблица, в которой вспомогательное переменное имеет положительное значение, то соот-
ветствующая строка может быть вычеркнута. Таким образом, мы воспрепятствуем чрезмерному
увеличению числа строк.
Выбор среди нескольких целочисленных b; в таблице может быть произвольным; рекомендуется
выбирать b; с максимальной дробной частью {);}.
* сли ясно, что оптимальное значение целевой функции должно быть целым, то строка целевой
‚Функции тоже может быть использована для построения сечения.
Может случиться, что, хотя допустимая область ЗЛИ не пуста, она не содержит ни одной
Точки координатной сетки. Этот случай распознают так же, как и при использовании двойственного
'симплекс-метода (не находится разрешающих столбцов).
644
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Пример 22.
2X;+х.+х:=4, 2х,+3x2+х.=6, X1,Х2,Хз,Х4—вс6>0ицелочисленны,
От=—X1—X2.
Сначала мы решим ЗЛП (не обращая внимания Ha целочисленность) при помощи симплекс-метода:
]
2
3
2
3
4
3
4
!12122
| 34 —14|3/2
4236
41
2
2|-1212 I
Е
0
+12 —12|2
14 1“|52
В оптимальном решении ЗЛП x, не целочисленно. Поэтому из соответствующей строки мы должны построить
сечение и решить новую ЗЛП при помощи двойственного симплекс-метода:
3
4
3
5
|
3/4
— 1/4
3/2.
|
|
-—13
5/3
2
— 1/2
1/2
|>
2
—1
2/3
2/3
5
— 3/4
— 1/2
4
|
—4/3
2/3
|/4
1/4
5/2
0
1/3
7/3
Мы используем {=4 для построения сечения (для этого целесообразно сразу оставлять пустую строку в новой
таблице) и снова применим двойственный симплекс-метод:
т.
3
5
3
6
Шесть допустимых
точек координатной
1
1
— 1/3
5/3
1
|
— 1/2
2
сетки
2
—1
2/3
2/3
2
—|
|
0
4
|
— 4/3
2/3
>4
|
—2
2
TL,
6
0
— 2/3
— 2/3
5
0
— 3/2
|
< Прямые.
ceyeHua
0
1/3
7/3
0
1/2
2
Puc. 6.9
Оптимальная точка целочисленна, следовательно, х, = 2, x, =x;,=0, x4 =2 является оптимальным решением
целочисленной задачи линейного программирования (если бы вычисления были продолжены, то строка, соответствую-
щая х., могла бы быть вычеркнута).
Если рассматривать хз, X4 как вспомогательные переменные, то задачу графически можно изобразить в плоскости
х1, X23 сечения имеют вид —3x, + 3x2 <Ти 3x, + 3x, < 6 (рис. 6.9).
6.5.2.2. Смешанно-целочислениые задачи линейного программирования. Основная ‘идея — та же
самая, что и в чисто целочисленном случае; нецелочисленные 65; в таблице, конечно, только тогда
дают повод для построения сечения, когда на соответствующее базисное переменное наложено
требование целочисленности. Однако строятся сечения по-другому:
—1 ляay,20
ilaa,--. da, 15,
дiaо
где =) Oy1-6,
Пример 23. Рассмотрим ЗЛП из 6.5.2.1 (пример 22), Ho потребуем целочисленность только для x,. Вычисления
до получения оптимальной точки аналогичны примеру 22. Затем вводится сечение и применяется двойственный
п+1lan5,eeeGi,
3,
| — {b;},
-т п-т
для qin, < 0.
ran
МЕТОД РАЗВЕТВЛЕНИЯ
645
=
we
te
ee ee
симплекс-метод:
3
4
5
4
|
3/4
— 1/4
3/2
|
1
— 1/2
1
2
— 1/2
1/2
1
>
2
— 2/3
2/3
4/3
5
— 3/4
— 1/4
— 1/2
3
—4/3
1/3
2/3
1/4
| 1/4
5/2
1/3
1/6
7/3
Оптимальная точка имеет координаты X, = 1, x2 = 4/3, x3 = 2/3, x4 = 0.
В геометрической интерпретации примера 22 сечение равнозначно дополнителыюму условию 4х, + 3x2 < 8.
6.5.3. МЕТОД РАЗВЕТВЛЕНИЯ
Предположение, что переменные могут принимать только. целочисленные значения (т. е. в прак-
тических применениях чаще всего конечное число значений), дает возможность решить задачу
проверочной подстановкой всех допустимых значений в целевую функцию и сравнением полученных
значений. Удобной для использования эта идея, однако, становится тогда, когда полный перебор
может быть сокращен дополнительными рассуждениями. Эти рассуждения основаны на принципе
разветвления комбинаторного программирования. Для решения общей чисто и смешанно-целочислен-
ной задач линейного программирования возникает, таким образом, следующий метод.
Для оценки целевой функции на некотором множестве допустимых решений целочисленной
задачи служит оптимальное решение соответствующей ЗЛП (так как, если к ЗЛП добавить требо-
вания целочисленности, оптимальное значение не может улучшиться). Множество допустимых реше-
ний постепенно расщепляется по мере того, как для оптимальной таблицы с нецелочисленными
b; = [6] + {5} ([а] — целая, а {а} — дробная часть числа а, 0 < {а} <1) ставятся две задачи: Ги II
(см. пример 24) с условиями x; <[b,] или x; > [6] +1. Допустимые области обеих задач, взятые
вместе, содержат все допустимые решения целочисленной задачи.
.
‘Рекомендуется сначала проводить разветвление для тех i, при которых {b;} максимально
близко к 0,5.
Разветвление, конечно, следует проводить только для таких i, для которых xX; должно быть
целочисленным. Для того чтобы иметь возможность по мере надобности просто добавлять новые
условия, используют двойственный симплекс-метод.
Пример 24. Задача Ацелочисл:
—2x,+2х.+x3=3, 2х!+2х.+x4=13, ВСЕ.Х1,X2,Хз,Х420,X1,X2—целые,|
От=2х,—3x3.
(6.13)
Двукратное применение симплекс-метода к А (пусть это будет Ацелочисл без требования целочисленности) при-
водит к оптимальной таблице
43
21/41/44
| 14 -1/4|5/2
1/4 5/4 7
aide,
&)
{:
X, имеет в этой таблице нецелочисленное значение. Расщепление
ДАТ
x
A
<2-х, +х. =2,
ЗАП х23 Хх,
—х5=3
5
|
|;
|
при помощи уравнения, полученного из последней строки. таблицы, Xx, +—Xy- st
>
4 43> должно быть пересчитано
‘id небазисным в данный момент переменным хо, хз.
646
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В общем случае в качестве формального расщепления строки i задачи с п переменными
и т строками получим:
L
ida, Чи |b,
n+1 |-aa, ... —ayn | — {bi},
IL.
|ар,:..а,_|Oi,
n+1laa,...аат|({b;}—1).
В нашем примере получаются таблицы АГи АП.
A
А1
24/2. 2,-4,0--7
‘
;
2
1/4
1/4
4
|
1/4 — 1/4
5/2
I5
— 1/4
1/4 — 1/2
врал 72,0--8/2 ,=9,2.= и 0=-9/2
1/4
5/4
7
Al
a TF/2, 2,5, 0-6
Lonycmuran obhicine
ПР
АИ|
AYE
a
.;
“1,2.°5/2, 0=-1/2
dy= Ll, 22" 3, 7-5
2
1/4
1/4
4
fy
1/4
— 1/4
5/2
уз
1/4
— 1/4
1/2
АИ
АИТ
2,=/0, 2, =2, 0=-9
Aonyomunas obnacine
1/4
5/4
7
ИЕ
Рис. 6.10.
Теперь обе задачи решаются при помощи двойственного симплекс-метода. Если в оптимальной точке для xX, и х.›
не получаотся целочисленные значения, то задача разветвляется дальше (при помощи паиболее удобного оптимального
значения) и т. д.
На рис. 6.10 показан ход решения примера 24; там указаны оптимальные значения Xj, х› и целевой функции.
Решение АТГП дает оптимальное решение целочисленной задачи линейного программирования Ацелочисл
Оо = —5. Допустимые точки задачи Ацелочисл» Содержащиеся в А II, имеют значения целевой функции > —9/2, т. е.
больше, чем Qo.
Допустимые точки задачи Ацелочисл» Содержащиеся в А ГГ Г I, имеют значения функции 2—5, т.е. среди
них могли бы быть точки с оптимальным значением Qo (это можно было бы исследовать путем дальнейшего
разветвления), но во всяком случае не допустимые точки задачи Ацелочисл © Меньшим чем Qo значением целевой
функции.
6.5.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ
”
;
В некоторых примерах больших вычислительных затрат требуют методы сечения, в других —
методы разветвления. Оба пути решения интенсивно разрабатываются, так что постоянно появляются.
новые варианты, эффективность которых, в общем, едва ли может быть оценена. При использовани
вычислительных устройств методы разветвления, как правило, требуют большего объема памяти;
но численно они устойчивее. В обоих методах трудность состоит в том, что надо решитв;
рассматривать ли число b;, несущее в себе ошибки округления, как целое или нет.
7. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
71. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Одна из важнейших задач вычислительной математики — установление правил вычисления (алго-
ритмов), при помощи которых исходные данные (вход) при использовании ранее созданных вспо-
могательных схем и устройств (таблиц, настольных вычислительных машин, аналоговых вычисли-
тельных машин, цифровых вычислительных машин и т. д.) преобразуются в выходные данные (выход):
`
ход
реализатор
выход
алгоритма
Для создания таких правил на основе теоретических положений должны быть проведены особые,
ориентированные на. возможности практической реализации, рассуждения.
Пример 1. Нужно вычислить наименьший корень уравнения x? — 20х +1=0. Но теоретический результат
х = 10 -—]/99 как основа для проведения вычисления не годен, если вычисление должно проводиться с постоянным
числом десятичных знаков (например, 3): 10,0 — 09,9 = 00,1. Если же применить эквивалентное выражение 10—
— У 99 = (10 + /99)"1, то получится пригодный алгоритм, так как теперь (10,0 + 09,9)! = 19,9! = 0,05.
Некоторые общие положения.
1. Математические аналитические методы решений зачастую оказываются непригодными для
использования в качестве вычислительных алгоритмов.
2. Алгоритмы должны быть по возможности изменяемыми в зависимости от набора исходных
данных; заметим, что границы изменения этих данных не всегда известны.
3. Метод может применяться как алгоритм только тогда, когда он полностью схематизирован.
Это означает, что в каждый момент должно быть однозначно установлено, какой следующий шаг
должен быть сделан.
4. Алгоритм должен строиться преимущественно рекурсивно. Рекурсивный алгоритм состоит
из относительно небольших составных частей, которые неоднократно реализуются для различных
наборов значений.
5. Вычислительный алгоритм должен быть конечным, т.е. приводить к результату за конечное
число шагов. Бесконечные математические модели (последовательности, ряды,...) должны, согласно
этому, приводиться всегда к конечному представлению.
6. Вычислительный алгоритм может содержать лишь такие операции, которые являются выпол-
нимыми на вычислительных устройствах (или согласуются с вычислительной машиной).
7.1.1. ОШИБКИ И ИХ УЧЕТ
Если величины представляются численно (т. е. посредством конечной р-разрядной дроби), то они
реализуются лишь приблизительно, с некоторой ошибкой. В соответствии с общепринятыми
‚в математике обозначениями теоретическое, или точное, значение величины обозначают так же, как
и.саму величину: X, у, Z,..., а, В, с, d,... Буквами же с чертой сверху мы будем помечать соответ-
ствующие значения, содержащие ошибку, т, е. числа, с которыми мы фактически проводим вычисления.
В соответствии с этим 6 (х) =х- х обозначает истинную ошибку, 5(х) или 5(x) —ее нижнюю,
соответственно верхнюю, границу, A (x) = тах (| д(х) |, |6 (х) |) — максимальную ошибку и р(х) =
=-6 (x)/x — относительную истинную ошибку х. Следовательно,
648
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Для проведения численного расчета нужно знать, каковы исходные данные, с какой точностью
должны быть получены выходные данные, какова возможная точность выполнения операций и какой
алгоритм должен быть применен в связи с этим.
_
Существуют три источника ошибок: 1) ошибка входных данных, 2) ошибка метода (обрыва),
3) ошибка округления (машинная ошибка).
Исследование погрешности выхода является очень сложной проблемой. Если мы рассматриваем
отдельный вычислительный шаг вида х = 9(аи, а›,..., ам), в котором выходная величина должна
быть вычислена согласно правилу 9 по N исходным данным, то истинную ошибку 6 (х) =х-х
можно разложить на следующие три составляющие:
5(x)=dy(х)+бвв(x)+Se(x).
Ошибка метода (ошибка обрыва):
бм (х) = 9 (аи, аз,..., ам) — 9 (а, аз, ..., ам).
Она является мерой отклонения вычислительной модели от точной и может появляться даже тогда,
когда исходные данные точны (например, целые числа).
Ошибка, обусловленная входом:
бвв (х) = д(а,, ао, ..., ам) — 9 (ay, а›,..., ам).
Эта ошибка является оценкой распространения ошибки ввода при вычислении.
Дополнительная ошибка, случайная ошибка:
бе (x) =х — 9 (G1, а2,..., ам).
Она является мерой ошибок, присоединяющихся от машинной реализации действий.
Максимально точная оценка ошибки метода есть составная часть каждого вычислительного
метода. Она совершенно не зависит от того, как этот метод реализуется.
Ошибку, обусловленную входными данными, можно заметить и оценить, если алгоритм прост
и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Для сложных задач простые ‘и непосред-
ственные методы исследования распространения ошибки перестают действовать. Нужно принимать
во внимание, что эта часть ошибки не зависит от реализации вычислений.
Число разрядов арифметики, кодирование, фиксированная или плавающая запятая, особые
операции, сделанные с двойной точностью, и пр. имеют непосредственное влияние на распростране-
ние ошибки. До сих пор существенные результаты имелись в трех направлениях:
— статистические исследования накопления ошибок,
— детерминистический анализ распространения ошибки при общих методах по Уилкоксону,
— арифметика интервалов.
В противоположность разрабатывавшимся до последнего времени моделям, в арифметике
интервалов точная модель х = д (ay, а›,..., ам) заменяется на: алгоритм, который использует интер-
валы как величину входа и дает в качестве выхода интервал х = д (dy, а.,..., ам) с
а,=[А<а
<
В], х=[Х, <х<Х),].
Таким образом, надо принимать в расчет непосредственно интервалы, так что надобность
в специальном исследовании ошибок отпадает. К настоящему времени уже имеется целый ряд
алгоритмов арифметики интервалов. Так как эта арифметика должна охватывать все случаи, то
зачастую оказывается, что выходные интервалы очень велики; в связи с этим арифметика точек
с более точным слежением за ошибками приводит все-таки к более точным результатам.
Величина дополнительной ошибки зависит в первую очередь от функционирования вычисли-
тельной техники. Главные причины больших случайных ошибок:
— метод обрыва и округления, принятый в машине;
— потеря значащих разрядов при вычитании. Если два числа одного порядка величины,
содержащие ошибку, вычитаются, то разность, смотря по обстоятельствам, может оказаться чисто
случайным числом. Тогда, если это число входит в дальнейшие расчеты, возникают большие слу-
чайные ошибки; например, 3,1415613 — 3,1415524 = 0,0000089; от восьми значащих цифр остались
только две;
о
о
_
|
— техническое состояние машины;
— потеря разрядов при превышении допустимой разрядности представления чисел (например,
при делении на маленькие числа).
Вычислительный алгоритм состоит из целого ряда отдельных операций; которые снова и снова
повторяются. При этом ошибки выхода каждого шага оказываются входными ошибками следующей
операции, точный анализ ошибок
становится далее все более трудным, и часто ограничиваются
только оценками.
Вычислительный метод называется устойчивым, если при всех обстоятельствах отношение ошибок
выхода ‘и входа остается ниже некоторой фиксированной границы.
и
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
649
7.1.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
7.1.2.1. Решение линейных систем уравиений. Рассмотрим неоднородную систему линейных урав-
нений
|
Ay1X, + а!2х. +... +ашх, = 54,
9211 +A22X2 +... +Я21Х,=hy,
AniX4+An2X2+...+ЯтХх,=Da,
т.е. Ax = b, которая в предположении, что det А #0, имеет для любых правых частей уравнений
однозначно определенное решение x = (хи, хо, ..., х,) Г. Для отыскания этого вектор-решения имеется
два вида методов: вычисление на основе метода исключения и вычисление на основе методов
последовательных приближений (итераций).
7.1.2.1.1. Прямые методы (метод исключения Гаусса).
1) Простой метод Гаусса. Известный метод исключения (см. 2.4.4.3.3) после преобразо-
вания в алгоритм состоит из двух циклических процедур.
Преобразование матрицы А в матрицу треугольного вида:
1.ПустьК=1.
|
2. Следует проверить, отлично ли a, от нуля.
3. Если да, то К-я строка становится рабочей строкой. Если нет, то меняем К-ю строку на [-ю
(1>К),вкоторойay,#20.
4. Для =К+1К+2,..., п вычисляем новые матричные элементы, которые обозначим, подобно
прежним, по правилу:
а; =0 ANA jak,
а)=Ay+UKsASAj#k,
где а: = — ак/ акк; аналогично представим новые правые части уравнений:
i=5+4:6.
5. Увеличиваем К на единицу, если К <n— 2, и начинаем снова с пункта 2. В итоге получим
верхнюю треугольную матрицу.
,
Г
ГВ
@1: @12 ... ат
/
/
A=
0
@22 ... Arp.
ОО п... а
Вычисление вектор-решения X =(Xq, Xp ees ME
1. x, = В//ани.
2. Ina i=n—1,n—-2,..., 1
1
n-i
m=ти.bi—у,Gi,
1++)|.
ti
j=1
2) Метод Гаусса — Жордана. Модифицируем простой метод Гаусса, а именно в пункте 4
позволим номеру строки i пробегать значения от 1 до kK—1 и от К+1 до п. Это приведет
к тому, что все элементы К-го столбца, за исключением диагонального элемента, становятся равными
нулю, и вместо верхней треугольной матрицы мы получаем’ теперь в конечном результате
диагональную матрицу
ат
0
А’=
0
Ann
Тем самым расчет вектор-решения существенно упрощается: x = (Б\/а\а, ..., bh / ain)!
Тем не менее число операций в этом методе больше, чем в простом методе Гаусса.
Решающее значение для точности вычисления имеет деление на ак, необходимое при расчете q;.
Поэтому условие 2 для выбора диагонального элемента слишком слабо с точки зрения точности
и часто применяют следующую схему.
5. Перестановкой строк и столбцов (последние должны быть «помечены» и восстановлены при
построении вектор-решения) добиваются того, чтобы элемент, который имеет наибольшую по модулю
650-
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
величину среди всех элементов, не использовавшихся ранее в качестве диагональных элементов,
оказался диагональным.
Пример 2. Процесс полной диагонализации методом Гаусса — Жордана (табл. 7.1).
Таблица 7.1
A
bj
5}
qi
Si
1
—_1
3/2
1
9/2
—6
1/2
2
2
1
0
—1
—2
диагональ
3
—1
~1
7/4
7/2
— 13/4
1/2
1
0
2
1
4
_7
диагональ
0.
2
2
1
0
—1
—2
—1/2
0
3
0
—1/2 7/4
3
—17/4
1/4
0
|
0
2
1
4
—7
— 1/2
0
2
2.
0
— 1/2
—3
3/2
1/4
0.
3
0
0
2
4
—6
диагональ
0
|
0
2
0
2
—4
0
2
200
—2
0
0
3
0
0
2
4
—6
0
x? =(-1,+1, 2)
Колонки $ и S; для контроля: 5
Вычислительная схема (рис. 7.1, табл. 7.2):
п
п
=-Уча—bi,$=>ay+b)+5,=0.
k=1
k=1
3) Связанный алгоритм (способ Гаусса — Банашевича). Можно. прийти к очень
наглядной и компактной вычислительной схеме, если отдельные шаги гауссовского метода исклю-
чения расположить так, чтобы работать только с числами, которые в дальнейшем не обрабатываются
и могут быть просто «переписаны».
Таблица 7.2
—31
Ге
—2
с
1
oO
—7
с
7
о —30
1
2
3
4
ЕК,
a1,
2
a1>
3
аз
—1
а4
0
20
—24
a4)
4
4,
6
аз
2
444
—3
58
— 67.
2
3
—1
0
20
—24
3
4
—3
2
15
—18
1
—2
|
—2
7
—6
2
0
4
5
—10
5
т
—1
T,
1
т.
—5
Ty
—1
К, :0
K, :0
К:
—1
—!1
—]
—|
x=1
7
3
—2
Ol
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
65]
я=-У ay, — 5;,
СИИ
7
;
A
bis
O.=— У а, o=-—) 5b,
ix]
i=1
р
bit
1-1
1-1
int
ГА
аи=ак-Уса, ак=аь 5=5:-2.cu, Ц=Я-Уси.
т|
i=
=1
1=1
рис. 7.1
ary
1
k-1
1
k-1
C1=77> Ск=| Sk-уCudy|, Th=FT|On-у.tdy|.
diy
dys,
1=1
Чук
=
1=1
Численный пример: dog = 2 —0-(—3) =2, tan = 7 (6-2-3) =0, t= — (70424 10))= —1.
Проверка:
K;:Yo,+0=)5, Kz: Ca +%, = -1 для всех К,
Кз: Учи ф-6=0,
Ка:У,—¥=0.
Все схемы позволяют решать параллельно несколько систем уравнений с одинаковой матрицей
А и различными столбцами правых частей. Для этого требуется лишь иметь нужное число
столбцов $5.
4. Нахождение обратных матриц. Для каждой невырожденной матрицы А существует
матрица A~', для которой АА”! = А-!А = Е является единичной матрицей. Матрицу A! называют
матрицей, обратной к А (см. 2.4.4.2.4).
Когда надо решать несколько уравнений с одной и той же матриней, но с различными пра-
выми частями, рекомендуется произвести вычисление обратной матрицы: тогда вектор-решение
x = A~'b можно вычислить простым перемножением матриц.
|
Для этого решают одновременно п систем уравнений Ay“ = е® с правыми частями
е = (1,0,...,0) е = (0, 1,0,...,0)7..., е® = (0,0,...,ПГ
и составляют обратную матрицу из вектор-решений у® (k = 1, 2,...,n) как вектор-столбцов.
Пример 3. Найти матрицу, обратную А (способ Гаусса — Жорлана).
7.1.2.1.2. Метод итерации. Возможны разнообразные способы приведения векторного
уравнения Ах —b=0 к виду x = Мх + с путем выполнения подходящих эквивалентных преобразо-
ваний. В этой форме решение х определяется как неподвижная точка линейного преобразования
Tx = Mx + с, которую определяют методом последовательных приближений. Векторная последова-
тельность {х”}®, определенная следующим образом:
хт+0=Мхт)4+с,
m=0,1,...,
где x) — постоянный заданный начальный вектор, сходится к вектор-решению x, если матрица М
He. вырождена и удовлетворяет неравенству | М | < p <1.
При этом справедливы оценки
р"
1
|x—x|=ТРIJx—x|.
1) Метод Якоби. Если A=L+D+R
с
составляющими матрицами
0
a>, 0
0
au
°
L=|a3;аз0
‚D=
922
|
Any Anz -+- An, n-1 0
°
Ana
O ay2
Gin
R=
0a3
G2n
п-т. п
0
0
то в этом методе М = Му = —Р`!(Ё+ В) uc=D"'b.
652
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Таблица 7.3
i
A
E
q
1
1
ы
1
[1
—
3
1
0
0
диагон.
—6
—
|
1
|
|
2
5
7
4
0
|
0
5
|
|
1
1
3
;
й
0
0
|
г
2
0
_!
1
_1
|
0
_ диагон. | —15
12
12
2
|
4
1
3
0
15
is
5
0
]
_
—1
]
|
|
0
6
4
—6
0
30
3
0
0
|
1
—1
1
диагон.
180
6
|
1
0
0
9
—36
30
k=1
k=2
k=3
2
0
1
0
—36
192
— 180
3
0
0
1
30
— 180
180
Е
А!
Таким образом,
рх"+ = — (+ R)x +b, x задано.
Метод сходится при | D~'(L+ В) || < 1; достаточным условием этого является | L+ R || < || Di.
п
Если в качестве нормы выбрать суммарную норму строки || M || = тах У |а;;|, то получим важ-
i j=1
,
ный результат: метод Якоби сходится в предположении, что
п
УТан!<[ан|
(=1,2,..., п)
мо
1=1jFi
(условие доминирования диагонали).
2) Метод Гаусса — Зейделя:
М=Мс=-(+5)В.
Формула итерации:
(Г. + D) х"*0 = —RxTM +В, x задано.
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
653
Таким образом,
Б
А
-
"
аухт+0—b;_ У ах,
]=1
1=+1
следовательно,
1
n
* i-t
+1) _
+1
i
хи==(Уахт+Уакх"в
i=1,2,...,n.
aij ]1=+1
j=1
Вычислительная схема и пример. Итерационный метод Гаусса — Зейделя (табл. 7.4).
Таблица 7.4
Матрица А
—b
24
—2'
2
|
—54
—|
21
2
—|
61
|
2
28
—2
—28
0
|—2
20
45
п
xt
x”)
xn)
x”)
0
0
0
1
0
—
|
2,250
— 2,7976
1,1195
—1.9982
|
2
2,00683
— 3,01097
1.00067
— 1.99938
|
3
1,99900
— 3,00008
1.00009
— 1.99999
|
4
1,99999
— 3.00001
1.00000
— 2.00000
|
5
2,00000
— 3,00000
1.00000
— 2.00000
|
6
Далее не требуется!
Сходимость при | (L+ 9) `` R || <1. Достаточными условиями этого являются, например:
а) А симметрична и положительно определена;
п
6) У |а;;| <|ак| для всех i.
у
7.1.2.2. Линейные задачи 0 собственных значениях. Принципиально имеется много возможностей
для вычисления собственных значений A; и принадлежащих им собственных векторов х; матрицы А,
которые определены и связаны посредством соотношения Ax; =A,x;. Поэтому при выборе прини-
мают во внимание, вообще говоря, не только вычислительную точку зрения, но и метод, который
будет учитывать поставленную цель и особенности матрицы.
Мы ограничимся только рассмотрением некоторых методов при дополнительном предположении
симметричности (т.е. А’ = A).
7.1.2.2.1. Прямые методы. Цель прямых методов — одновременное определение всех соб-
ственных значений, а также собственных векторов по единому методу. Поэтому можно говорить
о численном преобразовании к главным осям, потому что собственные векторы Х являются вектор-
столбцами матрицы преобразований Х, а собственные значения A; — диагональными элементами
диагональной матрицы D в преобразовании
ХТАХ =D (см. 2.4.4.5.3.2).
1) Решение характеристического (векового) уравнения. Собственные значения
А; являются корнями многочлена P 4 (A)= де! (А — AE), коэффициенты которого можно вычислить
различными способами по элементам матрицы. Для численного нахождения решений уравнения
P(A) =0 следует обратиться к 7.1.2.3.
Собственные векторы каждого собственного значения получаются как вектор-решения системы
линейных уравнений Ах = Ах, и их находят при помощи соответствующих методов (см. 7.1.2.1).
Однако надо отметить, что этот метод нарушает принцип непосредственного приложения
(ср. 7.1.3.1) и все более и более оттесняется другими.
654
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
2) Метод Якоби. Рассмотрим матрицы
10... 0
0
01... 0
0
00... 10
0
00... cosg ... sing...0
— р-я строка
00... 01
0
Т=
ma
00... 0
10
00... -—sing...cos@... 0
— 4-я строка
00... 0 ... 01 .0
00... 0... 0 ...1
р-й столбец (4-й столбец
получившие название матриц элементарных вращений Якоби. Всегда можно определить угол ©
в интервале (— 7/4, п/4) Tak, что в преобразованной матрице А’ = T,,AT,, элементы аз = a, обра-
щаются в нуль.
В матрице А” = THA, очевидно, меняются местами лишь р-я и 4-я строчки, при этом:
ин
_
.
Яр;=Яр}cos©
ag sin Q,
аа; = ар) SNP +a, COS, ajyj=a; для iF pig
В матрице A’ = А”Т» изменен» только р-й и 4-й столбцы A”:
ар WinCOSФ—Чи Ф,
аа=арSINФ+ас0$ф,› а=а для р,4.
Если объединить обе части, то для элементов з точках пересечения р-х и 4-х строк и столбцов
получим
_.
2
_
.
._2
Anp=AppCOS”ф—2а4COSфSINP+ааSiN”©,
= in2
2
ча=AppSIN”Ф+2a,,COSфSINФ+AgCOS”Ф,
_tf—
_
:
2—
c
i
n
2
,
Яра=Aap=(App—ада)COSФSiNM+ар(COS*ф—SiN”+p).
Следовательно, элементы ам и а., становятся точно нулями, если
баи7<<.
2а
4
4
Идея метода состоит в вычислении матрицы преобразования Х как произведения таких
специальных матриц, которые находятся методом итерации.
Если к А’ снова применить элементарное вращение Якоби, то в нуль обращаются два других
элемента, а элементы, которые ранее были равны нулю в А’, вновь становятся отличными от нуля.
Итак, метод Якоби состоит в следующем (к-й шаг):
1. Выбор элемента ара’ из,из матрицы A,
2. Вычисление А+ '=Т АМТ, (k=0,1,...).
3. Обрыв при >} | + 2 <€, e>0 задано. B противном случае переход к К + 1-му шагу. При
11
обрыве матрица А“ имеет диагональный вид с точностью, определяемой =, диагональные элементы
являются приближениями собственных значений, а столбцы матрицы произведения всех примененных
Та являются приближениями собственных векторов.
|
Сходимость метода очень существенно зависит от последовательности элементов в процессе.
Она доказана для
а) классического метода Якоби: выбор в качестве основного, ведущего элемента наибольшего
по абсолютной величине внедиагонального элемента, а = тах | af} |;
iXj
‘>
ctg29=-
Pq
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
655
6) циклического метода Якоби: выбор элемента, согласно ранее определенной последователь-
ности, способом по строкам или по столбцам. Метод создан для автоматического счета (на ЭВМ).
7.1.2.2.2. Методы итерации. Под ними понимают все методы, задача которых — целе-
направленное вычисление отдельных собственных значений или векторов.
1) Простая векторная итерация (степенной метод, метод Мизеса) для
вычисления наибольшего по величине собственного значения. Если матрица А обладает простым
превалирующим собственным значением A, (|^,|>[^.|>2|Аз|>...2|^А, |), то векторная последо-
вательность, определяемая соотношением
xm t 1) — дхт) — Ат+ 1х0), х(0) задано,
асимптотически сходится к собственному вектору jj, принадлежащему А, xe) ~ NICY4; если начальный
вектор x) обладает компонентой в направлении собственного вектора jj. Собственное значение
xn +1)
можно вычислить следующим образом: A, = lim —=_
х
m-—> 0
формуле К (x) означает частные Релея: R (x)= x Ax/x x.
Собственный вектор можно вычислить по асимптотической формуле только при наличии нор-
мировки. Собственный вектор в направлении у, определяется как
(т)
У:1
.
xi
т
=lim7
(=1,2,...,п).
[|тъо[x|
или, лучше, Ay = lim К (x'TM). Bo второй
Без такой нормировки метод численно неустойчив.
,
Наименьшее по абсолютной величине’ собственное значение можно найти, если принять
во внимание, что оно равно обратной величине наибольшего собственного значения матрицы Aq!
(обратная векторная итерация).
2) Дробная итерация. Этот метод должен применяться тогда, когда нужно определить
отдельное собственное значение вместе с соответствующим собственным вектором. Его использо-
вание опирается на знание такого хорошего приближения A, искомого А„, что величина | A, — No |
мала по сравнению с | А, — A, |, / 2 К, и на то, что собственные значения расположены изолированно.
Матрица B(A,) = А-^,Е имеет собственное значение р, = >, — А, для собственного вектора х,
матрицыА.Всамомделе,B(A,)x,=“a—Акхь=yXy—yxy=(Ay—iu)x,Нотогдап;!естьдоми-
нантное собственное значение матрицы В ~"(A,) для достаточно произвольного начального вектора
x, Поэтому, если xTM*) = В-1х или Вх"+0 = хто
(и) = lim R(xTM), A, =), + lim В-! (x),
m—©
m—> ©
Кроме того, последовательности х!")/| x | сходятся к компонентам нормированного собствен-
ного вектора y,/| ух |.
.1.2.3. Нелинейные уравнения. Пусть функция у = f (x) при a<x <b определена и непрерывна.
Пусть, далее, имеются два числа xX; и х, такие, что а <х, <x, <b. Если f (x,) и f (x2) имеют
противоположные знаки, то между x, и Xz существует хотя бы один корень функции f (x).
1) Итерационные. методы.` Нелинейное уравнение f (х) =0 можно эквивалентным пре-
образованием многими способами привести к виду д (x) =h (x).
Пример 4.
—шх-2=0,
f(*)=х2—-шх-2;
x?—2=Inx, 9(х)=х2-2,
В(х)=Шх:
=e 9-х A(x) =e?
ev=xe,
g(x)=eTM, В (x)= хе? ит. д.
Построение сходящейся числовой последовательности {х”}®_., по правилу 9 (х"*1) = й(x)
цри заданном х{°) называется итерационным методом вычисления корня хм.
Вследствие предположенной непрерывности предельным значением такой последовательности
является корень, потому что lim xTM=au lim х"*0=а, и в силу непрерывности g и й имеем:
m— co
тью
g(a)
= (а), т.е. а=хм.
Достаточные условия сходимости: g' (x) wh’ (x) непрерывны в некоторой окрестности хм, x
лежит в этой окрестности, и в этой окрестности |g’ (х) | > |й' (х) |.
и: Пример 5. х? — шх-2=0, Inx =x? — 2, следовательно, 9 (x) = In x, h (x)
=x?—2.
Из пересечения графиков этих функций находим х® = 0,15; g’ (x) =1/x, A’ (x) =2х, откуда I/x >2x для O<x<
<1 We = 0,707.
656
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Таблица 7.5
т
Хт
Xin—2
IXm+1—Xm!
[Хт— ХМ! °
0
0,15
— 1,9775
0,0120652
1
0,138
— 1,980956
0,012
0,0000627
2
0,1379373
— 1,9809733
0,0000627
0,0000025
3
0,1379349
— 1,9809740
0,0000024
0,0000001
4
0,1379348
— 1,9809740
0,0000001
0,0000000
5
Больше не заполняется, потому что метод «стоит». Данные последней колонки на практике
| неизвестны и приведены для того, чтобы показать, что разность двух последовательных итераций’
вполне ‘характеризует CXODHMOCTB.
Выбором функций g(x) и h(x) можно получить ряд хорошо сходящихся методов,
Метод Ньютона:
g(x)=x, h(x)=x—2.
Ivf
f?
простым корнем, то.выполняются соотношения f' (хм) #0 и Й' (хм) = 0. Следовательно, для началь-
ного значения x должно выполняться неравенство
|
IF(OY)FO <1 (x)р.
Сходимость имеет место тогда, когда |h’ (x)| =
< 1 в окрестности хм. Если хм является
Итерационная формула имеет вид
(т)
imety — ху _ Л”).
Fem)"
Метод секущих (правило ложного положения, метод хорд):
f' (xTM) #0.
(m)
ime)—ym_Л")
(m= 1, 2,...),
Sm
F(x) — Л (хх)
m—
хт)—ylm-1) у
Здесь x и x“) — два заданных числа таких, что f (x) f (x) < 0.
Простая итерация. Если 9(х) =х, то xTM*" =h(xTM); условие сходимости: |h’ (x)| < 1.
Если xTM достаточно близко к хм, то для ошибки г”) = хм — x справедливо следующее соотно-
шение:
т)ый"(хм)"В ew(Ё(хм)(хм—x).
Пример 6. Нахождение значения квадратного корня. хм = Va, т.е. XN есть корень уравнения x? —a=0, a> 0;
1
а
записав уравнение в виде х = > (« + 2), получим
1
вы = (x44),
ны-(1- =).
(m+t) — | (<tn)
ar):
Неравенство | h’ (х) | < |1 равносильно a/x? <3; отсюда следует, что единственным условием Ha x) является
(<)? > u/3.
откуда
.
.
..
—
2
2) Вычисление корней рациональных функций. Если P,(x) = ао + a,x + а2х" +...
. + ах", a, #0, все a; действительные, то нелинейное уравнение
Р;(x)=
имеет точно п корней хм, Хм; ..., хм, (CM. 2.4.2.4). Некогорые из них или все могут быть
действительными, некоторые могут совпадать (кратные корни). число комплексных корней: четно,
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
657
и наряду с комплексным корнем 2 существует также сопряженный ему корень 2. Согласно этому
многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.
Если некоторый корень хм известен, то Р,(х) можно разделить без остатка на линейный
множитель (xX — хм); следовательно, для вычисления других корней степень многочлена можно
уменьшить.
Вычисление значений функции ‘и ее производных осуществляется при помощи указанного
разложения на линейные множители по схеме Горнера (см. 7.1.3.3).
Конечно, все изложенные в 1) методы, с соответствующими изменениями, могут быть при-
менены и к многочленам. Но существует также большое количество специальных методов, которые,
по аналогии с методами решения задач на нахождение собственных значений, могут быть
подразделены на прямые и итерационные методы в зависимости от того, вычисляются ли все или
только отдельные корни.
Метод Лобачевского
— Греффе (как пример прямого метода). Для простоты пред-
положим, что многочлен
РФ (x—хи)... 5-х)=alle”+alt Ho а
имеет только действительные и простые корни x!) (k= 1, 2,...,n). Новый многочлен PY+ (x)
находим по следующей схеме (табл. 7.6).
Таблица 7.6
РО.
aff)
a (i)
at)
al)
(а)
(а
(а)?
(а)?
-
—2afpal)
~2aai) raul)
++
+2alpal
+2aPal)
_
—2 apa)
pu+!).
aft 1)
alt 1)
а/+ 1)
at 1)
Для корней этого нового многочлена справедливо неравенство
(1+1 _
Г) |2
[xe |=|e?|
(kK = 1, 2, 3,...,n).
Можно показать, что при сделанных предположениях процесс нахождения относительного
многочлена Py,’ (x) практически заканчивается после конечного числа шагов, когда все двойные
произведения в табл. 7.6 становятся равными нулю с точностью до ошибки округления. Тогда
а ам,
af—af(MO,
aM) = а(М)х (М). (М) ... х(М),
откуда находим х(М), корни исходного многочлена легко вычисляются путем извлечения корня.
Знаки корней можно определить при помощи простых дополнительных соображений или непосред-
ственно проверкой.
Метод можно модифицировать и применять как к многочленам с кратными действительными,
так и к многочленам с комплексными корнями.
7.1.2.4. Системы нелинейных уравнений. Если непрерывные функции f; (x), fo (x), ..., f, (х) отп
независимых переменных х = (х1, х.,..., х„) заданы в общей области определения О < В" и имеется
вектор xyeED, для которого /, (хм) =0 при всех j, то хм называется вектор-решением системы
нелинейных уравнений / (x) = 0:
Cf(x)=(Л©),No®,....SnCDT
Задача нахождения такого вектора-решения является обобщением задач пи. 7.1.2.1 и 7.1.2.3.
658
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
1) Линеаризация. Нелинейное представление f (x) заменяют подходящим линейным отобра-
жевием L(x)= Ax +Ь (А — матрица размером nxn). Тогда при определенных условиях решение xy
системы L(x)= 0 оказывается подходящим приближением хм.
Метод Ньютона — Канторовича (линеаризация через разложение по формуле Тейлора).
Пусть х® — начальное приближение хм, и пусть f;(x) по меньшей мере один раз непрерывно
дифференцируемы в D; тогда
|
Л(х)=Л(х°)+ д(1,fay--+5Sn)
д (x), х.,..., Xn)
{х—x)+В(x).
x)
Отбрасывая остаточный член К (x), получаем
L(x)=A(x—x)+f(x),
O(f;, Л», ...›) Л,
д (x4, Хх», wens No)
у = f (x) однозначно разрешима в окрестности x. Согласно этому метод описывается следующей
схемой:
1. Выбор приближения x значения хм.
2. Вычисление матрицы A (х°).
3. Решение 2 системы А (x)z2+ f(x)=0 дает новое приближение x!)= x + 2, для
которого процесс повторяют до тех пор, пока изменение 29 не окажется в пределах ошибки.
‚ Которая оказывается невырожденной, если система
где А — матрица Якоби
Пример 7. Метод Ньютона — Канторовича для двух нелинейных уравнений (табл. 7.7).
Таблица 7.7
Лех, у =2- ху
—fig= 2x, —fiy= 2y
2)
Un
fr(x,y=l—x?+у?
—Ja, = 2x, —fay = —2у
2$
ут"
=:
|
Пуск
j=!|0
2
2
0,25
|
1
2
—2
—0,25
1
j=2 | -- 0,135
2,5
1,5
— 0,025
1,25
0
2,5
— 1,5
—0,04167
0,75
i= | — 0,0024
2,45
1,4167
—0,0003
1,2247
0,0011.
2,45
1,4167
—0,0012
0,7071
towne: 3 «ft
ОЧНО:Х= >:у=|/5
2) Метод итерации. Эквивалентное преобразование / (х} =0 к виду x = g(x) дает возмож-
ность определить х как неподвижную точку отображения g(x) на D по итерационной формуле
хх" = g(x), x) задано.
Имеет место слелующая теорема о сходимости построенной таким образом последовательности
векторов {x} к решению хм.
Пусть К -- прямоугольный параллелепипед в n-MepHomM пространстве:
К={хЕВ"|их,<b,L<k<n}.
Пусть вектор-функция g(x) определена на К и удовлетворяет следующему условию:
Существует действительная постоянная L, 0 < £< 1, такая, чго
п
1/2
[9(х)—9(2)1<Ё]х-2| длявсехже (1х1 (5+) )
i=1
Тогда:
1) Уравнение x == 9(х) обладает точно одним решением хм в КБ.
2} Определенная выше итерационная последовательность сходится к хм для любого началь-
вого вектора х@®Е В.
3) Справедлива оценка
[п
[x0—ayy< | 9|
АППРОКСИМАЦИЯ
659
7.1.2.5. Аппроксимация. Большое число специальных задач по аппроксимации можно понимать
и рассматривать как частный случай общей проблемы аппроксимации.
Рассматривается векторное пространство У, элементами которого являются функции f какого-
либо класса, определенные на одной и той же области М, и в котором онпоеделена норма p(/),
обладающая теми же. свойствами, что и норма в евклидовом и гильбертовом пространствах
(более точно общая постановка задачи аппроксимации рассматривается в функциональном анализе).
Пусть Г элемент из V и С- подпространство И Тогда общая проблема аппроксимации
АР (1, С, p(f)) состоит в следующем: найти функцию g(x)EG такую, что Df, G,p(f)=
= inf {p(f —9)} =p(f — 9). Функция д (х} называется наилучшим приближением, соответствующим
ge
AP (f, С, p(f)), число D(f, G, р) — дефектом.
С практической точки зрения речь идет о замене численно не выражаемой функции f через
вычисляемую функцию GEG по возможности более точно, т.е. так, чтобы для: заданвого действи-
тельного числа = > 0 подходящим выбором С получить дефект, меньший :.
При решении АР (f, С, р) должен быть найден отвег на следующие вопросы:
а) Существует ли наилучшее приближение д?
6) Однозначно ли определено 4?
в) Как можно вычислить д?
7125.1. Проблема линейной аппроксимации в гильбертовом простран-
стве. Пусть У- гильбертсво пространство CO скалярным произведением (/, 49} и нормой p(f) =
=| f |= У( J, Г); пусть, кроме того, G, < И- п-мерное nodnpocmpancmeo 7.
AP (f, G,, || |) имеет однозначно определенное решение д такое, что (9 — } h) =0 для всех heG,,.
Если {h,, Й.,...,Й,} — некоторый базис С„ то д= У с®й,, причем
k=1
ус”)(hy,h;)=(f,h;)
(1=1,2,soyп),
k=1
If-9IP =(S-&S-D=NF WE — Dd he Л.
Матрица системы линейных уравнений для вычислений коэффициентов разложения cf? является
матрицей Грама базиса {h;}. Будем обозначать ее A, (hj). Эта матрица является симметричной
(эрмитовой для комплексного гильбертова пространства) и положительно полуопределенной.
Особые случаи АР подчиняются этой теории.
1) Гармонический анализ, разложение Фурье:
И= Г. (—п, п), Gone, = {sin kx, cos хо
(см. 4.4.1).
2) Метод наименьших квадратов. И- пространство функций, определенных на [а, 5],
с интегрируемым квадратом. Скалярное произведение функций f(x), g(x) определяется как
b
ГУ (x)g (x) dx. Такое пространство обычно обозначается Г. (a, ), Gr», — множество всех много-
а
членов Р, с действительными коэффициентами степени не больше п.
AP (f, б„-1,| |): для заданной функции f найти многочлен P, (x) = do + yx + 42х2 +... + Gx"
такой, чтобы для всех многочленов P, из С,., выполнялось неравенство
Г(f(x)—PB,(x))?dx<[Uf(x)—Р,©)?ах.
Набор h,=x*"! (k=1,2,...,n+1) степенных функций выступает как естественный базис
С„+;. а коэффициенты минимального многочлена определяются из системы уравнений
п
5
5
Yay J xi tho?dx = [ТУ(x) dx
(k= 1,2,...,n + 4),
1=0 а
а
п
b
1=0
a
660
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Отметим, что эта система малоудобна для вычислений и может решаться только с посред-
ственной точностью. Например, при a=0 u b=1 матрицей этой системы является матрица Гиль-
берта
1/1 1/2
... ИП
1/2 1/3 ... tf(n +1)
1/п 1/1 +1)... 1f(2n —1)
норма которой с возрастанием п неограниченно растет.
Система уравнений становится особенно простой, если в качестве базиса {hy, ho,..., h,} под-
пространств С„.., выбирать ортогональные многочлены. Для таких многочленов О; (x) справедливы
равенства
ГО;(х)9;(х)ах=0 для iFj.
b
-
Если, кроме того, [ 0? (х) 4х =1 (1=0,1,...,п), то говорят, что многочлены 0,(х) образуют
а
ортонормированную систему.
Для отрезка [a,b] =[—1, 1] это общеизвестные многочлены Лежандра
1
tt
=
P, (x)= Pm! риее. —10, Po) =1.
Ортогонал ьыность:
1P,(x)Ри(х)ах=0 для т#м, |(P,,(x))?dx=—
Рекуррентная формула: (п + 1) Р,- | (x) = (2n + 1) xP, (x) —пР,- 1 (х).
Корни: Р,(х) имеет на [—1, 1] ровно п различных действительных корней.
Дальнейшие соотношения ортогональности:
1
1
Г YP, 9х =0 = (k=0,1,...,n=1), [ гробах 2"*1 (и
(2n+ 1)!
-1
Если наилучшее приближение P, (x) на сегменте [—1, 1] ищется в виде линейной комбинации
п
многочленов Лежандра Р, (х) = У сР, (x), то для отыскания коэффициентов с”) система уравнений
k=0
существенно упрощается:
ва А | P,(x)dx,
k
n
1
2
2k+1
2k+1
PLGren)ОлFACPy[roy |£09PcsdxSe.
k=0 7-14
Пример 8. Найти параболу, которая наилучшим образом аппроксимирует функцию у = sinЕ Ha отрезке [0, 7]
в смысле квадратичного отклонения.
|1. Преобразование отрезка: —
х=—-Ь y=sin| = +1}
—1<х<1.
2. Многочлены Лежандра:
PoQX=1, Р=х Pa (=z 39-1)
АППРОКСИМАЦИЯ
661
3. Коэффициенты разложения:
1
1
1
п
2
3
п
Co=— | sin Ft) dens,
1=—хе(чо) -о
°5|(5
т
2
2
-1
-1
1
2
a=>|(3x?—Nssin(5(x+о)dx--(|_=).
4. Аппроксимация:
или
.21012\(6к\1
P,()) =— + —(1-4 ){ 4 (1-=) --=-}.
2)ntк(=)(S(5)5)
3) Разложение по обобщенным ортогональным многочленам:
V=L, (La, Ь]; q (х)),
Gast = {P,}.
В этом пространстве скалярное произведение образовано с неотрицательной весовой функ-
цией q (x):
ь
(и,v)=Ги(x)в(x)а(x)dx.
a
Для специальных весовых функций и нормированного отрезка [—1, 1] известны соответствую-
щие ортогональные многочлены. Например, для 4 (x) = ——____ это
И!—x?
многочлены Чебышева
Т, (x) = cos (п arccos x),
—1<х<1.
Ортогональность:
0 для ти,
Ти(х)Т,(x
т) gy n/2 для m=n #0,
И!—x?
-1
у для т=пт=0.
Рекуррентная формула: Т +, (x) = 2хТ, (x) — Т,- 1 (x), To (x) = 1, T (x) =x, n=1, 2, ...
Корни: Т, (x,) = 0 для x, = cos ((2К + 1) x/(2n)) (k = 0, 1,..., 2 — 1), т.е. на [—1, 1] существует точно
п действительных корней.
Точки экстремума: | Т, (х)| < 1, -—1<x <1; T,(x,) =(—1) для х, = соз (м/п) 1=0,..., п), т.е.
на отрезке [—1,1] точно п + 1 действительных точек экстремума.
Разложение по многочленам Чебышева можно практически реализовать также, исходя из раз-
ложения Тейлора, сходящегося на [—1, 1], заменой степеней x на многочлены Чебышева, учитывая,
что
ГТС, х=т а P= 7H) +%O
x=4(3T,(x)+Т,(x))ит.д.
Пример 9. eX =1+4+ x + 0,5x? + 0,16667х? + 0,04167x* + В; (x) = Pg (x) + Rs (x).
Разложение по многочленам Чебышева:
Р. (x) = 1,2656Tp + 1,1250T, + 0,2708T> + 0,0417Т. + 0,0052T,.
На этом примере мы хотим пояснить важное свойство разложения по чебышевским многочленам: если ищется
приближение 3-го порядка, то согласно общим теорсмам
Py (x) = 1,2656То + 1,1250Т, + 0,2708Т, + 0,0417Т,
дает оптимальный результат такого приближения. Если же положить в оспову разложение Тейлора и просто опустить
члены, начиная с 4-го порядка, то получим ошибку, в 8 раз большую.
662
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
7.1.2.5.2. Приближение Чебышева. Мы рассматриваем пространство V = C [a, В] функ-
ций, определенных и непрерывных на [а, b], и ставим задачу аппроксимации АР (f, С,р) с нормой
р (Л) = sup | f (х) |, где В — некоторое подмножество отрезка [a, b].
хХЕВ
В качестве системы функций С обычно берут множество многочленов P,,.
1) Равномерное приближение. Если В совпадает со всем отрезком [а, В], то
= sup1769 =max1S0)
ХЕ| а,
Пусть G4, = {Р, (х) = 0 +ах+...+ах", а, действительны}. Тогда верны следующие ‘вы-
сказывания:
1. Существует единственный (минимизирующий) многочлен
P,(x)€Gy41СDCfGy4.1›| lc)= max |f(x)~~P,,(x)|< max |f(x)=P,(x)|
хЕ[а, b]
xé[a,В]
для всех P, EG, 41.
2. Теорема Чебышева об альтернаисе. Bcerma существуют множество n+2 точек a< Xo <
<х, <...<х,,, SD и однозвачио определенный многочлен Р,{х) такие, ITO
|f(x)~~P,(x;)|=ВUf,Gus1,| |<),
(f(x;)—В,{x,))+(ни ~P,(x;41))=0
для f=O,l,...,a41.
|
Очевидно, что P, (x) = P, (x). Множество точек Xo, хрь..., Хз, называется чебышевским альтер-
нансом.
3. Теорема Вейерштрасси. Для каждой функции f (x), непрерывной на [a,b], и любого дей-
ствительного числа # > 0 можно указать такой многочлен P (x), что || P (x) - f (x) || <<.
[ve]
4. В каждом разложении по многочленам Чебышева (см. 7.1.2.5.1) У’ ajT;(x) частичная сумма
1-0
Ш
S, (x)= у а,Т,(х) является минимизирующим многочленом для 5,„.:(х) относительно Си, т.е.
}=0
из неравенства
max
|би+1(х)—P,(x)|< max |би+1(х)~~P,(x)|
xefa, b]
xé[a, b]
(для всех P, (x)éG,4,) следует: В, (x) = S,, (x).
Для практического определения минимизирующего многочлена В, чаще всего используются
свойства 2 и 4.
Исходя из множества MO = {хи , a< xP < хр) <... <х, <b, как начального приближе-
ния чебышевского альтернанса, согласно свойству 2 определяют соответствующий P (x) и дефект.
Заменой отдельных или всех элементов множества М® добиваются уменышения величины
дефекта, приходя тем самым к новому множеству М“), с которым поступают аналогично, и Т. д.
Процесс заканчивается, когда в пределах точности вычислений умсныпение дефекта оказывается
невозможным.
Пример 10. у (х) = е*, п = |, заданы три точки:
MO:-|
0
|
у (x) : 0,368 1,000 2,718
a).(—1)+bO4DO=0,368, a.(0)--DO)—DO=1,000, 6~(1)+HO)4DO==2718.
PO)(x)=dx+pO,
Решая эту систему, получаем
В) (x) = 1,175x -+ 1,272, DO = 0,272;
max
|PO(x)—et|=0,286 для хи=0,2.
xX,= -1+К-0,1
Поэтому мы меняем BOM xf = 0 на 0,2:
м
0,2
1
~
P£)(x)==ах+BU,
y (x?) : 0,368
1,221
2,718
Решая соответствующую систему уравнений, получим теперь Pf (x) =: 1,178х + 1,264, DO = 0,278.
Максимум ошибки | Pf) (x) — ©*| в окрестности 0,2 с величиной шага 00! равен 0,279 для x == 0,16:
M?):—| 0,16 1.
Но при данном числе точек это приводит к тому же самому многочлепу. Тем самым мы должны рассматривать
P{? (x) в пределах нашей точности как наилучшее приближение первой степени функции 2”.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
663
Метод телескопа (приближенная равномерная аппроксимация). Если
ao
(x)eC(a,b)u У ¢,F, (x) — функциональный ряд, равномерно сходящийся к f(x), то в качестве
КК
РР
I
2
k=1
п
приближения наилучшей аппроксимации P(x) выбирают S, (x)= > oF, (х). При этом || S,—
k=1
— P, llc (a, b) Оказывается минимальной, ссли речь идет о разложении f по многочленам Чебышева.
2) Дискретная аппроксимация Чебышева. Если Xp < хз <... <хм являются N
опорными точками, то вводят дискретную норму Чебышева || f |Т = max | f (x,)|. Рассмотрим
Хх:
Jj
AP (f, Grats | |. Guat = {Pa}.
При N2n-+ 1 справедливы высказывания, аналогичные высказываниям в случае непрерывной
аппроксимации Чебыщева.
При п-+1= М pew идет об интерполяционной проблеме (см. 7.1.2.6), и соответствующий
минимизирующий многочлен называют тогда интерполяционным многочленом. При п+1=М он
определяется однозначно, а при n > М — нет.
7.1.2.6. Интерполяция.
7.1.2.6.1. Интерполяционный многочлен. Пусть на сегменте [аб] заданы п-!
опорных (узловых) точек а < хо <х, <х, <...<х, <b. Пусть, кроме того, заданы н + 1 действи-
тельных чисел у; (j =0,1,..., п) (например, как значения фупкцииf (x) в узловых точках). Тогда
имеем следующую задачу интерполяции.
Найти многочлен I, (x) степени не больше п такой, что [, (х;) =у; для 0 <} <7.
Всегда существует только один интерполяционный многочлен {который может быть представлен
в различной форме).
Форма Лагранжа:
9
I,(x)=2УМ.(х),
(x — Xo)... — xj~4) -х,+ 1... (x — x,)
hi)=(Xj—Xo)«(Oj—Xj—1) уXjaa).(уXn)|
Нетрудно видеть, что L;(x;)= 1, L;(x,)=0 при k ¥j, и, следовательно, Г, (х;} = y;-
Форма Ньютона:
n
I, (x) = 2. cjN; (x),
No(x)=1,N;(x)=(x—хо)(x—X14)...(%—xj-4)
(j=1,2,a)n),
с;—[xox4...x;]=[xjx;1...Хо],
где
|
[xjx;-4saeXo]ST
([xjx;- 1 ... х! | — [x;-4 ... хо |),
Xj—Хо
[х] =У;
(j=0,1,...,п).
Выражение [хох,...х;|] называется разделенной разностью.
Пример 11. Нахождение
рполяционис го миогочлена.
Многочлен Ньютона:
Г(х)=1+1.(х-—4)+2(x—4)(x—6)++-(x—4)(x—6)(x—8)=34-(2x3—27x?--142x--240).
Многочлен Лагранжа:.
___
___
x—__.
-4)(x— _x
ВОт. (x—6)(x—8)©
-
10)
(x—4)(x—8)(x—10)
(x—4)(x--6)(x—10)+20 (x--4)(x—6)(x )
"(10 —4)(10 = 6)(10-8) —
5
1
3
1
(х—6)(Хх— И
6) (х--‹
==JyGe—6)(x—8)(—10)+(e=4)(x—8)(=10)=5(=A)(x=)(=10)4,(x=A)(x 6) XB),
@—6)(4—8)(4—10) +” “6—4)6—8) 6-10)
(8—4)(8—6)(8—10)
I,(=a(2х3—27x3+142x—240).
664
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
j
xj
Yj
уу
ру-19—2
у-1572%/—3]
3
6
3
=8
5
1.4 1
2
68|12
2
8
8
7
6
—
8
3
10
20
Интерполяцию применяют главным образом тогда, когда известны только дискретные
значения функции y=f (x) и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками
(интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом Г, (х),
причем f (x,;) = Г, (х) (1=0, 1, ..., п).
Если функция f (x), подлежащая интерполяции, достаточное число раз дифференцируема, то
можно вывести формулу для ошибки интерполяции:
ferns)
(n+ 1)!
где & — некоторое число, расположенное между а и b и зависящее OT Xx.
‚ Для определения многочлена в форме Ньютона применяют, как уже показывалось на примере,
схему спуска:
Ff(x)— ©)=
(х—хо)(x—x1)...(x—x,),
j
xj
[xl
[ху +1]
[xpxp4 1X74 2]
[ху41 %j42% 43)
0
хо
У:—Yo
xX;—Xo
1
x}
У
[x1%2] — [хох!]
Xz—No
27
[x1x2x3] — [хохах2]
х. —х!
Хз—Xo
2
x2
y2
[x2x3] — [хих2]
Хз —Х!
Уз—У
[x2x3X4] = [x 1x2x3]
хз—X2
Х4—Х!
3
хз
УЗ
[x3x4] — [х2хз]
Ха—X2
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
665
Коэффициенты с; многочлена Ньютона равны числам в верхнем спускающемся ряду (обведены
рамкой).
Часто применяют равноотстоящие узловые точки (узловые точки, расположенные на равном
расстоянии друг от друга): хо =a, х, = хо th, Xz =хо+ 2й,..., х, = хо + ий =Ь (т.е. h=(b — а/п).
Как легко видеть, в этом случае разделенные разности упрощаются:
1
[Хьхк+т--: Хит] = aa
где Абу, = Ук, Aly, = Ук — Ук-а, A"y, = A (A”~*y,) (m = 2,..., К).
Теперь для нахождения многочлена Ньютона нужно построить и вычислить более простую
разностную схему:
1
1
h
2
Ayo(x—хо)+=A’yo(х—хо)(x—Xs)+...+ 1
.
ah
Ayo (x — хо) (x — X4)-.-(%— х, 1)
I,(x)=Yo+
nih
Если положить х = хо + th, где t может быть действительным числом между нулем и п, TO
предыдущая формула примет вид
п
ЕЕ—1
ЕЕ (Е 2)...
(Е -п+1
t
I(x)=yo+tAyo+EOАЗуь+...+( ) о
Амь = (1)
Вычисление и использование разностей может быть формализовано введением операторов.
Важнейшие операторы и формулы.
Тождественность: Ly, = ук.
Сдвиг: Ey, = ук! = у, +h, ЕРу, = Verp = Ye + ph, р действительно. .
Разность:
Дух = ук+1 — ук — опережающая разность, f
Уух = ук — Ye-1 — запаздывающая разность,
_Ri
~1/2,_
бук = By, — BOY, = Yura) — Ук) — центральная разность.
Среднее значение:
1
1
_
Hy, = > (Ve+ (1/2) + Ye-(1/2)) = > (E*? НЕТ 1?) у.
Правила вычисления:
1?
ma
B=1+h=(-ay'=(S+n), Е = (1+4) = У СА,
j=0
А"=(Е—Г"=уС1(—1}-1Е",
j=0
AE=EA, УЕ= ЕУ=А идр.
Приведенные формулы следует понимать так, что результаты применения операторов в правой
и левой частях равенств к функциональным значениям y, или f, = Г(х,) оказываются тождественными.
Операторы допускают широкие формальные преобразования (возведение в степень, формула
бинома и т. д.).
|
Важнейшие формы интерполяционного многочлена при равноотстоящих узлах приведены
в табл. 7.8.
7.1.2.6.2. Сплайн-интерполяция. Интерполяция на больших отрезках, т. е. с относительно
большим количеством узловых точек, имеет дополнительные трудности. С одной стороны, при
болыших расстояниях между узловыми точками точность очень мала, а с другой стороны,
интерполяционные многочлены высокого порядка на концах отрезка значительно колеблются, что
существенно искажает поведение функции. Это становится особенно важным при последующем
дифференцировании.
|
Отчасти при решении таких задач оказывает помощь кусочная интерполяция более низкого
порядка: интерполяция осуществляется по небольшому количеству узловых точек отрезка, и затем
многочлены объединяют в общую интерполяционную функцию. При этом в точках стыковки
обычно терпит разрыв уже первая производная.
:
Для получения интерполяционных формул с производными все возрастающее значение получает
сплайн-интерполяция.
666
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Пусть заданы и +1 узловых точек. Функцию, интерполирующую f (x) на [a,b], будем искать
теперь ие среди многочленов Р, (x), а среди так называемых сплайн-функций 5, (x) степени К.
Пусть К, — система узловых точек (узлов) а= хо <х, <...<х,„=Ь. Функция 5, (x) называется
‹плайн-фупкцией степени К > 0 на K,, если
а)S,(х)ЕС"'Ta,6];
6) 5, (x) — многочлен степени не больше К при x e[x;-1, x;].
Множество сплайн- -функций на К, обозначается 5, (K,,).
Сплайн-функция $, (x) = 5, (K,) называется интерполирующей сплайн-функцией, если
8%(x)=yj=Л(x)
(j=0,1,..., п).
В приложениях часто бывает достаточно выбрать к =3 и применить так называемую куби-
ческую сплайн-иитерполяцию:
=Xj—Xj-1; $:(x)=$(x),
и s(x) ((=0, 1,2; j=0,1,...,n).
Так как s(x) на каждом частичном сегменте есть многочлен третьей степени, To для x E[x;-4, Xj]
„
2
Хх -—
x-—Xj-
мн
А+
—
J
J
и, следовательно,
(х—х)?
(х-—х;-1)?
5(х)—52: ——м—- +52
J
+сих|Сто.
6h,
6h,
Таблица 7.8
Hoiomon (равноотстоящие опорные точки): х = ху -+ th,
Л)=Ло+CiAfo+СА +...+СА"Ло+Ст fer)(6);
x=x,—sh,
Го=f—СМ,+СУ,—0+("COV+(I Catnetето &),
Гаусс, 1: x +x; + th,
Л(х)=SfitCis +CSF,+Ci4163fis112+C44
8° ff +...+ Cry+A, yet fern);
Гаусс, И:
Г(9=Si+Cpa +С.102Д+СЗ. OYj-1/2+С425°.+ +Chipwrtset (,
e
A,=В,=n/2,еслиичетно;A,=(п—1)/2иВ,=(n+1)/2,еслипнечетно.
Бессель:
.
1
hy
Czar => (Oh + Mien), x=x,+th, n+2r+1,
1/2) wa,
,
С
UE(>)= +fisиз+с(вв.1/2+1) Bera)+Ch(1isint*~urdель) +
+C2(wf12+10a
=) cut thet ит ') (5).
Эверетии: (n= 2r+4,s=1—-t) x=x,4+ th,
J(8)==sf,+(выл ("3‘Voth tite (Seat (T]he tTГthfar(Е).
.
ee
oer
Cmupaune: (ust ie (5% 1..2 + Bie 2) x =x, + th,
.t
.
а
t
=]; + С" Cz + 5 si +C3,, (ws +> Л) +... + остаточный член.
(Sra формула получастся как средисе арифметическое обеих формул Гаусса. Так же определяют остаточный член!)
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
ke
667
Здесь 52, сл, Сю неизвестны для j = 1,2,..., п. Последние исключаются в силу требования s(x) = y;:
x—x.)*
—x._,)
. sth.
._
s2_ sh.
s(x)-я=x 32(x2:)+(2b_“i(x=xj.)(2G.“tt(хх) (7.1)
J.
Jj
Дифференцируя эту функцию и учитывая, что Ss’ (x) на всем отрезке и, в частности, в узлах
должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений
Пуна_VitiУ;_УVj-1
6
+1
й,J
(GG =1,2,...,a-1)
(7.2)
относительно n+ 1 неизвестных SZ, 52, ..., 52.
Для однозначного их определения в зависимости от решаемой задачи добавляются еще два
уравнения.
Нормальный случай (No): 55=у=Г (хо), sh=yl=f'(x,).
Периодический случай(Р) (т. е. f(x + (x, — хо)) = f(x): 55=5, =...
Заданное сглаживание на границах (В): 5=45, 1521= 57.
Система уравнений (7.2) в названных случаях видоизменяется следующим образом.
Случай (No). Добавляются два уравнения:
hy 2Wy Yi—Yo
'
2 h,, 2My
Yu — Ун-1
1
A
р
=
>
Уп--
и”+52=_=
—
ue
3+96NoSG3
h>
Случай (Р). Первое уравнение заменяется на
hy +h
2h
2h
—
—у
5?ot. 2422a Ay_УУ_Vi—Yo
3
6
6
h
h,
и добавляется новое уравнение:
h
h
h,+h
Yi-y Yn — Ун-
.2I
2
n
2“п
1—1
no
Jn
n-1_
$1oe+$116+Sj, 3
h,
я
.
Случай (В). Первое и последнее уравнения заменяются соответственно на
2(1+^/2)1,+h, 212 У2У! У!—Yo
51
+
=
—
3
*2"6 hy
hy?
2 Ay-1
2 hy-1+(1+11/2)h,—Уп~~Уп-1_Уп-1—Yn-2
6
|
3
h,
hy-1
Таким образом, система содержит только п — 1 неизвестных $51,...,5%-1.
Пример 12. Сплайн-интерполяция функции f (x) = зтх, п = 4.
Речь идет о периодическом случае; мы используем (7.2) и случай (Р).
yyyру
,
12
,
МИ
|
(P): s?x/3 + 521/12 + 321/12 = --4/n,
2
п
0
м
—-
1515/12 + s3n/3 + 58/12 = 0,
д
_
р
ml2
5
n/2
|
(7.2); | 581/12 + s3n/3 + 521/12 = 4/n,
(Р): 311/12 + 531/12 + s3n/3 = 0.
Матрица системы симметричиа. Легко видеть, что
52 = — 12/1, 53 =0, 53= 12/42, 52=5=0.
Из формул (7.1) получается сплайнoe
(—4/n°)> x? + (3/n) x,
O<x<x/2,
(4/1)?(x—п)?—(З/п)(x—п), п/2<х<м,
5(х)=
(4/n°)(x—x)?—(З/п)(x—п),
к<х<3n/2,
(4/3)(x—2)?+(З/п)(x—п}, 3n/2<х<21.
668
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Важно, что, наряду с до сих пор известными свойствами, интерполирующая сплайн-функция
имеет еще два экстремальных свойства:
1} Среди всех интерполирующих, дважды непрерывно дифференцируемых на [а, 5] функций ф (x)
Xn
только интерполирующая сплайн-функция степени 3 доставляет функционалу J (ф)= | (@” (х))? dx
Хо
минимум, т. е.
b
b
J(s”(x)?dx<J(@"(x)?dx
для всех функций @ (x) таких, что ф(х,) = yj.
2) Для всех 5(х)Е5з(К,) и дважды непрерывно дифференцируемых функций f таких, что
f (x;) = у» справедливо соотиошение
b
b
JF(&)—s(x)?dx<JF(x)—S(x)?dx,
причем равенство возможно только для интерполирующей сплайн-функции:
$(x)=s(x).
Свойство 1), по существу, означает, что кривизна интерполирующей кривой становится мини-
мальной,
— свойство, которое приближенно реализуется упругой линейкой (английское «spline»),
закрепленной в узлах интерполяции. Такова механическая интерпретация сплайн-интерполяции.
7.1.2.7. Приближенное вычисление нитегралов. Под этой задачей понимают (приближенное)
вычисление значения определенного интеграла iwi (x) 4х при условии, что известны отдельные зна-
°
\
чения подынтегральной функции и некоторые ce общие свойства. Будем далее предполагать, что
f (x) — (кусочно) непрерывная функция.
Формулы среднего значения. По теореме о среднем значении интегрального исчис-
ления (см. 3.1.7.2) имеем
b
Jf@)dx=(b-af(®, a<&<b, m<f()<TMM,
где т — наименьшее, а М — наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a, b].
На этой теореме базируется следующий общий принцип. Пусть на [a,b] заданы п +1 узловых
точек и = хо <х, <...< xX, =b, в которых известны значения подынтегральной функции. y, = f (x;)
(К =0, 1,..., п). Если М (yo, у1,..., у,) есть какое-нибудь -из средних значений, образованное из Yo,
Ул»... Уи: (nin р Ук <M (yo, .-- Vn) < р max ; у» TO, полагая f (&) = М (yo, ...,у,), получаем фор-
k=0,...,
My +...
мулу среднего значения:
b
<)dx=(b—a)M(yo,у,-..,у)+Ra[Л]=Jn[Л]+В,[Л],
где К, [/] — ошибка интегрирования.
Для практических целей целесообразно наложить некоторые дополнительные требования:
а) Функция М (ус,..., У.) должна быть линейной, т. е.
М(ayo+Bo,ayy+Bz,..’›СУ+Bz,,)=aM(Ус,Yiorn)Yn)+BM(Zo,ZipeeeZn).
Тогда
J(of(x)+Bg(x)dx=oJ,[Л]+ВЛ,[9]+oR[1]+BR,[9]=&JF(x)dx+В[9(x)ах.
6) Для надлежаще выбранного семейства функций {h, (х)}^о должны выполняться равенства
В, [h,] =0, К <n, т. е. для функций этого семейства формула среднего значения должна быть точной.
Оба требования могут быть одновременно выполнены, если использовать взвешенное среднее
арифметическое:
п
пн
Мы.
=(
5
01 2,Pir р;>0.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
669
Согласно этому определению, в формуле остается еще свобода выбора, а именно: число
опорных точек, расположение опорных точек, выбор весов. Ошибка интегрирования К,[/] су-
щественно зависит от этого выбора.
Целое семейство формул среднего значения возникает при интегрировании вместо / (x) интер-
поляционного многочлена Лагранжа Г, (х):
(+1)
jrdx=Yefu(x)dx+jae;=(x—Xo)...(x—x,)dx.
При равноотстоящих узловых точках получаются формулы, называемые формулами Ньютона —
Котеса (табл. 7.9):
b
n
|
nh
;
a“
b—a
"И(x)dx=Pp)Jf(a+jh)Pin+К,[Sf],
P,=2Pim h= и
а=хо, b=x,,
h
=
a
j=0
Таблица 7.9
n
Ри
Pon.
Pin
P2n
P3n
Pan
Psn
Реп Pan
Re
1
2
1
1
he.
2/1 “ (6)
6
4
hs
?
-в/*®
СХ
315
3
8
1й
3
3
|
_co (Е)
4
90
7
32
12327
a—f (5)
_ 2757 (6)
5
288
19
75
50
50|75
19
-12©6
—— Л” (9)
ЕАСИ:
6
840
41
216
27|272 27|216 41
400 8
—818317-8(©)
7
17280
751
3577
1323 2989 2989 1323 3577 751
518 400.
Названия: п = 1, формула трапеции,
п =2, формула парабол (Симпсона), хо < & < x,,
п = 3, формула Ньютона.
Замечания. 1) Выигрыш точности, достигаемый при повышении ‘порядка, частично умень-
шается вследствие одновременного увеличения погрешности метода, так что для больших про-
межутков обычно выбирают п < 7. Чаще интегрирование осуществляется по формулам невысокого
порядка для частичных отрезков. В качестве примера приведем формулу Симпсона:
xj=atyjh, j=0,1,...,2N, h=(b—a)/2N,
h
he.
[sax=z00+45:+2у2+43+...+4yan_1+YN)—50 ©),
a<E&<b.
2) Формулы для n= 2k nw u=2k+1 имеют ошибки одного порядка. Поэтому при заданном
числе точек эти формулы часто бывает удобным комбинировать.
670
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
z
Пример 13. Вычисление In z = | x (табл. 7.10).
1
-Таблица 7.10
;
|
h
4
30N
i
м
у:=x
Pi
3 ру!
Pt
3 РУг
р:
8h Pi.
m
t
u
HO.
.
|.
.
.
0
‚0
1,000000
1
1
1,1
0,909091
4
—l
0,095311
1
2
‚2
0,833333
|1
0,182321
3
—4
3
3
1,3
0,769231
4
1—1
!
0,262363
4
1,4
0,714286
11
0,336471
4
|
0,405462
5
1,5
0,666667
4
6
1,6
0,625000
1|
0,470002
4
1ot
0,530624
7
1,7
0,588235
4
8
1,8
0.555556
11
0,587781
4
1
0,641847
9
1,9
0,526316
4
10
2,0
0,500000
1
0,693138
‘Формулы Ньютона — Котеса характеризуются тем, что они точно интегрируют многочлен сте-
пени и. Можно показать, что этим требованием веса р„ определяются однозначно.
Вообще формулы интегрирования, для которых К, [х"] =0 для O<me<n u R,[x"*'] 40,
называются формулами порядка пн.
Если узловые точки или, может быть, их число не заданы с самого начала, то можно по-
пытаться определить веса и узловые точки таким образом, чтобы получалась формула как можно
большего порядка. Это приводит к так называемой квадратуре Гаусса.
Квадратура Гаусса. Если w(x) есть положительная весовая функция, то всегда можно
определить коэффициенты A;, и узловые точки х„ (i = 1,2,...,п) так, чтобы
b
n
fe” (6)
|(х)м(х)ах=уAinf(Xin)+a
jn (x))*w (x) ах,
а
Л»(х)=(x—X11)(x—Xan)...(х—Хт),
а<х, <х.и<...<хиЗЬ AKE <b.
Формула имсет порядок, равный 2n — 1:
а) Узловые точки х„ являются корнями многочлена степени и из семейства {P,, (х)}®-о много-
членов, ортогональных относительно w (x) (см. 7.1.2.5.1):
b
J P; (x) Р, (x) w(x)dx =0 при i¥j.
6} Beca A;, вычисляются интегрированием соответствующих многочленов Лагранжа:
Ain=fLin(X)w(x)dx.
Особые случан (не ограничивая общности, полагаем a= —1, b= 1).
Формьла Гаусса — Лежандра (табл. 7.11): w(x) = 1, Pa (х) — многочлены Лежандра (см. 7.1.2.5.1),
2(1—х2)
—_ 22% (nyt
п? (Pa—1 (хи) › | (т, (x))° dx = (2n + 1) ((2n)!)?
Ain =
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
671
Таблица 7.11
п
!
Xin
Ain
1
|
0
2
2
|
0,5773503
]
2
—0,5773503
j
3
|
|
0,7745967
0,5555556
2
0
0,8888889
3
— 0,7745967
0,5555556
4
|
0,8611363
0.3478548
2
0,3399810
0,6521455
3
-.0.3399810
0,6521455
4
— 0,861 1363
03478548
5
1
0,9061798
0,2369269
2
0,5384693
0,4786287
3
0
0,5688889
4
— 0,5384693
0,4786287
5
-—0,9061798
0,2369269
6
|
0,9324709
0,1713245
2
0,6612094
0.3607616
3
0,2386192
0.4679139
4
—0,2386192
0,4679139
5
— 0,6612094
0,3607616
6
— 0,9324700
0,1713245
л/2
Чример 14. Квадратура Гаусса — Лежанлра: J= § sine dt, п=2.
о
Преобразуём промежуток интегрирования к отрезку [-— 1, J]:
1
-
t= (+0,
=
Joe |sinE(x+1)|dx,
-1
|
|1
Х12= — 3’ Х2>= fz,
21-19 _, _ Ш“
шаг) -
Ai.=вв =An.=1, [1(
5|=932989, sin 4 1+ 3 =0,94541,
5 .т5
15
==(0, 32589 + 0,94541) + =aes = sin| 5 (t+ n|- 0,99848 + xe те O<t <>.
Фактическая ошибка составляет — 0,00152. Это хороший результат для формулы с двумя узловымн точками, что
подчеркивает значепие таких методов интегрирования.
Формула Гаусса — Чебыщева: w(x)= ии (1(1 — x2), P,, (x) — мпогочлен Чебышева T,, (x) (см. 7.1.2.5. i),
i
Ain = п/п для всех i; Xin= COS ((2i — 1) n/(2n)),
(т, (x))?_
2%
1
———
Пример 15. | (t//1 — x) dx.
—}
Если выбрать и == 3, то 21 —1=5 и оэзультат должен быть точен:
Ty(x)=2xTy(0)—T,(x)=2x(2x?—1)—x=4x3—3x,
ха, X=— ИЗ, X33=5УЗ,
Wi ~x4) dx = = (94 242)=2
Jeni 1 тов)
ge
{известный точный результат!).
672
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Квадратуру Гаусса целесообразно применять тогда, когда функция аналитична или достаточно
плотно табулирована. В других случаях можно взять не такие точные, но более простые формулы
Ньютона — Котеса.
Метод экст раполяции. Линейность формул среднего значения делает возможным полу-
чение улучшенных значений интеграла при помощи линейных комбинаций.
Пусть ir (x) ах = Jo[f] + Rb [Г] — линейная формула интегрирования порядка (п- 1), т.е.
Ro [x*]= 0, 0<<«<п- 1. Но Ко [х"] # 0. Тогда
hy(x)dx=р[f]+4(Jl?[Ш]+Je[Г]+В[Л],
где р = — 1/2" — 1) иа= 2"/2" — 1), является формулой порядка п (т. е., В [x"] =0).
Идея доказательства для многих методов экстраполяции так важна, что имеет смысл ее привести.
Пусть, например,
Ко [х"] = hth
где ‹ — постоянная, не зависящая от длины / промежутка интегрирования. Тогда, очевидно,
В[x"]=ре"*+42е(1/2)1=с (р+4/2").
Но при указанном выборе PM выражение в скобках оказывается равным нулю.
При практическом использовании, обычно пользуются не формулами, -a оперируют с число-
выми значениями по следующей схеме:
n=?|1=2|n=d|m4|eee
Too
|ра
т”
р 722
|bi
хз|te
lo“| |Ia
„7
ЖЗ|*”°
“|: lig |:
Простейший случай получаем при п = 1 из формулы трапеций:
i
b=
.
То=—и(2, (a+jh;)+f(a)+f).
й;==
(i=0,I,...).
Имеем
b—
b-af..,
b—a
Too=—5—(Ff(a)+16) Tio=(4 (a)+2f(«+- +Л|
и т. д. Справедлива формула
27*T py — Troan
Тк=
22_|
согласно которой мы можем по мере надобности вычислять значения Tj, К > 0, в последователь-
ности, указанной в схеме стрелками.
|
Можно показать, что и столбцы, и косые строки сходятся к значению интеграла. Схему можно
легко программировать. Так как при этом методе ошибки также нарастают с увеличением порядка,
то продвигаются самое большее до К =7, давая i возможность возрастать до тех пор, пока
«гнездо» равных чисел в схеме не покажет, что в пределах точности вычислений метод привел
к получению результата.
|
ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
673.
2^^
Пример 16. |: сх
х = 3.059116.
i
3,06
$09
(3,059
3,059
аиИ
$07
3.059 2,”
50591
ие 9_/”
3,06
<< 405906
сне
50591 ~~ ~ 505910 и
3,06
5059917 ~~
50996
9,0099
7.1.2.8. Приближениое дифференцир
Приближенное определение производных функций
должно всегда проводиться с особой осторожностью, так как известно, что дифференцирование,
в противоположность интегрированию, сопровождается «разбалтыванием».
Пример 17. Функция f (x) = = яп (х/=2), © > 0, удовлетворяет неравенству | / (х) | <&, но — 1/8 < f' (x) < Ш. Если
выбрать = очень маленьким, то у мало изменяющейся функции f(x) производная будег принимать очень большие
значения (рис. 7.2).
[\_[\ /\
ЧУУУ
Численное дифференцирование. Мы исходим из того, что функция f (x) задана
конечной последовательностью пар значений (x;, /), и ищем приближенные значения fj, f7, fi’, ...
величин /” (x;), Г" (x), Г”” (x), ...
,
Если значения функции в точках сетки X; считаются точными в пределах точности вычисления,
то дифференцируют интерполяционные формулы (см. 7.1.2.6.1).
Для выведения соответствующих формул часто пользуются формальным методом операторов
(см. 7.1.2.6.1).
df
Введем оператор Df; = =
х xXx=X;
head
nl
Основная формула: ей? — Е,
52\'? 5
MD =InE= Int +8) 2 ((1+%.} +5).
Пример 18.
1
|
1
|
|
о|
11
Г
—2—__
re
Ш... A2 1. AX. AF
i=
2_АЗ_
Л"(x)=D?f=Fe(in(1+A)?Л z(4 54 Е
+...)] (4 АЗ+
5
At — — &+-...] Г.
12
6
Л
В качестве формулы численного дифференцирования мы применяем конечную частичную сумму
этого разложения:
1
11
и=— [2—АЗ+—ASP),
674
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Таблица 7.12
Некоторые важные формулы дифференцирования
Формула
(= y (No, изу...)
',
1
|
.
1 2,0
Yo= a (-y-1 ty
rayg—
,1
|
tia sy
Yo=15,0-2—By-1+8y1—У+2)
+30 и Yo +...
|
и
Yo=>—Уо+У!)
=51%%-...
1
1
Г
Yo=5,(3 +49,—Ya)
+> hyo +...
1
1
Yo=TR63"—10yo+18у;—бу»+уз)
—39°h*ff+...
1
1
‚у=GeW-1-2%+у
= Wy +...
и1
|
„Ус = Tope (—У-2 + 16у..,— 30yo + 16у, — у»)
+ 90 htyg +...
и
1
11
Yo=ye Vo—Sy,+4y2—уз)
+5 h2yi) +,
1
1
уо=Tanz(У-,—20у+бу,+49;—уз)
+7 Тб? +...
i
YS=spare(~1By-2+228y-1-42095+200у+159;—12+24ye)| МиР +.
‚__{
1.
Yo = apr (-У-2+2у-1— 29, +9»)
— aye +...
„_1
|
уо=ape(—ЗУ-1+10уо—12у,+6y2—уз)
+” +...
Если значения функции заданы как результаты измерений и требуется исследование поведения
производных, то необходимо численное сглаживание с последующим дифференцированием (см. 7.1.5).
7.1.2.9. Дифференциальные уравнения.
7.1.2.9.1. Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений
с начальными условиями. Имеется болышое число частных случаев дифференциальных
уравнений, которые можно проинтегрировать в конечном виде; однако большинство задач с диф-
ференциальными уравнениями может быть решено только численно. Простейшим методом является
метод ломаной Эйлера, легко реализуемый графически.
[2
Таблица 7.13
Результаты вычислений по мстоду Эйлера
1
Xj
й=0,10
й=0,01
Точно
|
|
|
|
1,00
1,00
1,00
д|
|
2
2,72
2,82
2,83
|.=
3
6,71
6,99
7,02
aLy
2
4
14,08
14,63 . 14.70
5
25,96
26.8
27.00
Рис, 7.3.
Пример 19.у(х)=Л(x,у(x),у(а)=$
Схема вычислений (рис. 7.3): x; =a+ih (=0,1,..., М),
у (9 =Г(а, )=t8 Go, yr =sthy (@=s thf (xo, у (xo)
у1=f(x1,yi)=tg1, Yo=у,thy=у,+Af(хи,у1),
у:=Л(хьу)=NoФЬ, УЕ=У+И(x,y) (=0,1..., М-0.
Пример 20. у’ =ху!?3, у (1) =1. Точное решение: у (x) = ((x? + 2)/3)3/2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
675
Общие понятия. Локальной ошибкой обрыва называется ошибка, которую делают при
переходе от х; к X;41, если заменяют дифференциальное уравнение конечным выражением.
Для точного решения дифференциального уравнения у’ (x)= / (x, у (х)) в узлах x, справедлива
формула
У(Xj41)=y(х)+Af(хр,у(x)+И2у"(Е)h?,
Хх, SG <Х,+ 1.
Конечное приближение по мстоду Эйлера имеет вид Yj4, = у, + hf (x;, yj), так что Е, = 1/21?у" (Е)
является локальной ошибкой обрыва. Ошибкой обрыва вазывается ошибка у(х;-- yj, возникающая
при сложении (аккумуляции) локальных ошибок обрыва при некотором фиксированном $j.
(В смысле 7.1.1 она является погрешностью метода Spy (х).)
Ошибкой округления называется доля ошибки, возникающая при фактическом проведении
вычислений, а также вызванная этими округлениями нарастающая неустранимая ошибка.
Одношаговые методы. Если в формуле ломаной Эйлера заменить / (х, yj) на более
общее выражение 7 (x;, yj), то возникает общая формула одношагового метода:
Vier у, + Af (x; Yj),
Yous
(j = 9, 1,...).
Вместо дифференциального уравнения решается нелинейное разностное уравнение.
Важнейшимн одношаговыми методами являются
Методы типа Рунге- Кутта. Здесь fe (x;, yj} строится как весовое среднее значений
функции f(x, у) в определенным образом выбираемых точках (x, у) := (6, 1) так, что локальная
ошибка обрыва имеег порядок выше A.
Таблица 7.14
Формулы тина Рунге — Kyrra
Порядок
Формула
Bcnomora’
t
Назь:
ошибки обрыва
рму
гатесльные величины
азвание
3
a|
К,=f(xi,Vi
h
f=(ky+ka)
Улучшениая ломаная
2
ka f(xi+h,у+ЙК,)
7_f.h.
h\
Е-
se
.
f=ftx,+ So я ++ yk]
‚ - как указано выше
ky — как указано вышс,
да
7 ма+4%,+ks)
= (=+>++ks),
Формула Хойне
ky=f(4;-+A,и+216.—hk,)
%
1
К, — как указано вый.
.
h
h
.|
3
k,=f (« + >> nth),
f=oК,|.—-ky
4
4
2h
2h\
ks=f(++“zу:+Зы)
К, — как указано выше,
h
h
fee>(К,+2k2+2%.+ky)
.
h
h
К=/(x+yeVi+5ts)‚
Ка=ГOG+h,yj+hk)
Формула Рунге -- Кутта
=
!
-
—
Знание порядка локальной ошибки не имеет практического значения для оценки фактической
ошибки обрыва или округления. Общие оценки ошибок другого типа являются болышей частью
также слишком грубыми. Поэтому для оценки ошибок, для управления ходом вычислений или
в даином случае для управления величиной шага (под этим понимают, зачастую очень выгодное,
изменение величины шага й в зависимости от достигнутой точности} в настоящее время широко
применяют метод Рунге.
|
676
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Пусть ошибка метода имеет порядок К. Приближенное значение y (x), вычисленное в точке x
с величиной шага |, обозначим через У(x, |). Тогда в точке xX = хо + 2nh имеем
у(х)—У(х,No)=A2nh**!=A(x—xo)h*, у(х)-У(х,2h)®Ап(2h)!=A(x—хо)А,
т.е. Y (x, 21) -- У (х, 1) = А(х- Xo)(1 — 2*) Ak, и, следовательно,
У(x,h)—У(x,2h
удуюOETO
Tem самым ошибка при ware h выражается через приближенные значения при шагах h и 2h.
Одношаговыс методы используют для вычисления последующего значения );., только инфор-
мацию из полуинтервала [y;, у;+:} и поэтому всегда применяются в том случае, если вычисляются.
первые значения (начальная процедура) или если о свойствах непрерывности решения известно мало.
Если кривые решения являются достаточно гладкими и известны некоторые пачальные значения,
то точность аппроксимации решения может быть увесличепа благодаря учету k > 1 предшествующих
значений.
Многошаговые методы основываются па замене дифференциального уравнения
y (x) — f(x у (х)) =0, у(4)=$
при ностоянном шаге A разностным уривнением К-го порядка
k
k
k
k
k
ky2
к)\2
—
aM ying —h У, БО] (хи Yn vg)= 0, af? #0, (ak)? + (bf)? 40, п=0,1,2,...,
j=o
1=0
».,
Yo = 5, Vip ..., Me Являются заданными значениями (требуется начальная процедура!).
Каждый способ этого вида однозначпо определяется двумя многочленами:
рь (2) = afMz* + 49 121+... +a, oy (2) = БФ zk! +... +60,
и поэтому говорят о (р, в)-методе (см. табл. 7.15). Если степень многочлена GO, меньше степени Px,
то говорят о явном (или открытом) мегоде, а если степени равны, то о неявном (закрытом).
Таблица 7.15
Важнейшие (р, в)-методы
'
р (2)
с (2)
Определение коэффициептов
Адамс
(A = 1, 2,...)
явный мегод
ke1
we
ok- 1
к1
|’
jp
1
^—2
2
с-
ей= -.
2
(| —2 In (t—2)
1:90
0
частный случай
k=:
ломаная 'Эйлера
9
Адамс — Мултон
(A = 1, 2,...)
исявный метод
k
wo
частный случай
Хенричи — Милн
ии =ПП ма-Э
1-0
|
частный случай
К=1:о(2)=5(1+ =)
правило трапеции
Нистрём
(k = 2, 3,...)
явный метод
kel
j
nn
\
1
1 (2—1)
К 2-2
oko!
(Е.
РИ
°
ya)
Df
(f — 4) In(t —2#)
f=
j-0
правило средией точки
неявпый метод
dn
\
1\
. 12-1
kok 2
k
{{—-—
poe—se
a?
2У%( 2
Уч
шв
1:0
)=0
|
частный случай
К==2:<(2)=5(22+4z+1)
мстод Милна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
677
Замечание. Формулы часто записываются при помощи разностей. Пересчет легко осуще-
ствляется с использованием операторных формул (ср. 7.1.2.6.1):
j
= Ey, B= У СМ, No =А(А"-\).
i=0
При помощи явных формул (п + К)-е значение вычисляется непосредственно по К предшествую-
щим значениям У+к-1, Ун+к-2, ---, Уи.
Неявпые формулы содержат подлежащее вычитанию значение y,4, как в линейной, так и в не-
линейной частях формулы, т. е.
Of Yaak = Е (Уп+ь Уп+к-1» sss Уп h).
Часто y,+, находят при помощи итерационного процесса:
—jimvy
|
‚_
7=an.Jaks
Yah к — qe F (Ук, Ynt+k—lo+++> Уп» h),
J= 1, 2, set)
k
yf, задаются как начальные приближения.
Две формулы с одинаковым порядком ошибки можно связать в так называемый метод
«предсказание — уточнение», который действует по следующей схеме: по явной формуле «предсказания»
вычисляется приближение и подставляется в правую сторону неявной формулы «уточнения», которая
дает улучшенное значение.
Примср 21.
Адамс (k = 4):
h
Yn+k = Yntk—-1 + 54 (55 (Хи+к-1ь Ynek—1) — SOF (Хи+к-2, Ун+к-2) + 37f (хи+к-з» Упчк-з) — Of (Xn+k—4s Унаьк-4)).
Адамс — Myamon (К = 3):
h
Yntk = Yntk-1 + 54 (Of (Xnaks Yorn)+ LOS (Хи+к-а» Унчк-1) — Sf (Хьчк-25 Унчк-2) Н.Л (Жичи-з Ун+к-.3)).
%
Обе формулы имеют одинаковый порядок ошибки.
Сходимость. Приближенный метод называют сходящимся порядка р > 0, если для всех x, €[a, В]
1
lim—|у,—y(x,)|=A<©.
hoo h
Одиошаговый метод является сходящимся, если выполнены следующие условия:
а) величина f (x, y,h) при хо <х <хм, —O <y< +0, 0 <й <ho как функция трех переменных
является непрерывной;
6)f(x,у,0)=f(x,у)при х<x<хм,—O<y< +0;
в) | f (x, y, No —f (x, z,h)| <L|y—z|, L=const, при x9 <x <x, —o<y<+0,0<h<hpo.
Из этих трех условий наиболее существенными являются условия a) и 6), так как в) выполняется
для рассмотренных методов большей частью автоматически, если дифференциальное уравнение имеет
однозначное решение.
(р, <)-метод сходится па [a, b] равномерно
lim max »— Y(X,)| =0
Ge etre)| yn)| )
только тогда, когда
а) сходится используемая начальная процедура;
6) все корни многочлена р (2) лежат внутри или на границе слдиничного круга (|2 | < 1), причем
корни 24, | Z, | = 1, являются простыми корнями (корневое условие);
в) выполнено условие аппроксимации р (1) =Оир' (1) = ос(1).
7.1.2.9.2. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных ypaBHe-
ний (см. 3.3.1.7). Мы ограничимся линейными краевыми задачами вида
LLy]=2.Si(x)y(x)="(х), В;Ly]=>(a;;y?(a)+by”(b))=¢;
(i= 1,...,n),
Л: (x), r(x) — непрерывные Ha [a, b] функции, f, (x) = 0.
678
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Каждое решение можно представить в виде. линейной комбинации:
у(x)=Yo(x)+2diy;(x),
где функции. у, (x) являются линейно независимыми решениями однородного уравнения L[y| = 0
(фундаментальная система), а yo (Xx) — частное решение неоднородного уравнения Г. [у] =r. Если эти
функции заданы, то коэффициенты 4; вычисляются из системы линейных уравнений.
>dR;Lyd =e:—В,Lyol
(i= 1, 2,..., п);
на этом основывается часто употребляемый метод сведения к задаче с начальными значениями.
Путем подходящего задания начальных значений А;, из L[y,]=0 u yf? (a)= A; (=1,2,....п-1;
j=1,2,...,n) определяют фундаментальную систему. Если система краевых (граничных) условий
|
п-1
содержит по крайней мере одно отдельное грапичное условие Е, [У] = У ay (а) = сь то yo также
1=0
легко может быть вычислено как решение задачи с начальными значениями.
Пример 22. Сведение к задаче с начальными значениями:
БУ]=у"+(1+х?)у r= 1;
граничные условия: у (—1) =у (1) =0, —-1<х<1.
Полагаем у(х) = у, (x) + чу» (x), где у, удовлетворяет ‘первому граничному условию и неоднородному дифферен-
циальному уравнению:
Бу] =-1, w(-)=90 у1(-0=0,
Таккакy(1)=у,(1)+ay2(1)=0,то a=—yy(1)/y2(1).
Вторым важным классом‘ методов являются эвристические Методы. Пусть М — множество
решений дифференциального уравнения на постоянной основной области С функций, т.е.
М = {y(x)lyeG и L[y] =r},
и пусть
N={y(x)|yeGиК;[У]=с}
— множество решений граничных уравнений; тогда множество решений L краевой задачи есть пере-
сечение этих двух множеств: L= М () N.
Пусть М, < М — множество функций из М, которое определяется р параметрами C,, C2, ..., C,:р:
M,={ylyeM, у(х) =P (x, Cy,..., C,)},
и аналогично
No, = {у уЕМ, у(х)
= ®(x, Cy, ..., Cy};
тогда
для yeN, L[y]=r+e(x, Cy,...,C,)
для yeM, В; [у] =c; + 8; (x, Cy,..., C,).
Если теперь потребовать, чтобы в качестве приближения для решения краевой задачи была бы
взята та функция, при когорой
1) значение (х, Cy,..., C,) становится как можно меньше, то речь идет о методе областей;
2) значение 5, (х, С1,..., C,) становится в известном смысле минимальным на M,, то говорят
о краевом методе. ‘
Такие методы можно применять для решения как обыкновенных дифференциальных уравнений,
так и дифференциальных уравнений с частными производными. В случае обыкновенных дифферен-
циальных уравнений почти исключительно применяется метод областей.
Особенно важным является линейный случай, когда в качестве параметрического множества М,
Dp
берется множество всех линейных комбинаций вида D(x, Cy,...,C,) = Wo + >. См, (x). При этом
j=
Wo Удовлетворяет неоднородным граничным условиям В; [wo] =c; в то время как линейно неза-
висимые и, (x) удовлетворяют однородным уравнениям R; [м,] = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
679
Таблица 7.16
Важнейшие методы областей
Название
'Требованис мипимальпости в (х; Су, C2, ..., Cp)
Метод квадратичной ошибки: b
.
§
=2dx>min
непрерывный
4
п
У=?(х)>min;х,...,же,6].n>p
дискретный
il
b
Метод Галёркина (метод орто-| [ 29; (x) dx = 0 ana j= 1,2..... р,
гонализации)
.
{v, (x)]f — система линейно независимых непрерывных функций
НЗ <... ЗЕ, Ь],
Метод частичных областей
На
} e(x; Сь..., С, dx =0 aia i= 1,2, 2... p
tj
н<Ь <... <ьЕ[а, 6] (точки коллокации)
Metros коллокаций
8 (ti; Cy, Сь, ..., С) =0 для i= 1,2,...,p
7.1.2.9.3. Разностные методы решения красвой задачи для уравнения
Пуассона (на плоскости). Изложение теории и практического применепия различных мс-
тодов для обыкновенных дифференкиальных уравнений и уравнений с частными производными
в рамках этого справочника невозможно. Поэтому задачи и основные идеи рассматриваются на ряде
конкретных примеров.
Задача. Пусть @® есть область на плоскости x,y с границей Г. Ищется функция u(x, у),
которая в Q удовлетворяет уразнению Пуассона
Au=ul,+uly=9(х,У)
Важнейшие краевые задачи:
1) u(x, У), yer = Ф(х, y) — 1-я красвая задача, задача Дирихле.
ди (х,
.
2) ди
(
У.
= W(x, у) — 2-я краевая задача, задача Неймана.
On lex, nerди (x, у)
3) au(x, y)+b —
= Х (х, ул для (x, у) на Г -- 3-я краевая задача.
Разпостные методы. Рассматривается ие континуум точек плоскости x, у, а счетное
множество дискретных точек P;; = (хь У}.
Прямвугольния
Поординатная сетка
поординатная
U3 параллелогваммов
сета rl
(Тр)
Добрбинаглыея сене
43 MECCIRM{ZONEAUHOE
(To Uy) =
2
k
‘A
Формы сеток см. Ha рис. 7.4.
Дискретизация задачи.
1) Область. Если область О разместить на сетке, то одни точки сстки попадут внутрь, а другие
окажутся снаружи области. Дискретная «область» О* состоит из точек сетки, лежащих внутри
680
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
области ©; точки сетки, ближайшие к границе и лежащие либо внутри, либо снаружи (это зависит
от постановки задачи!), рассматривают как точки дискретной границы Г*. В этом случае дискретная
область О* = 0* |) Г* состоит только из точек сетки (рис. 7.5, а). Вторая возможность заключается
в том, что добавляют точки пересечения Г с пря-
мыми сетки как нерегулярные граничные точки
(рис. 7.5, 6).
2) Уравнение. Производные, встречающиеся
\
в рассматриваемом дифференциальном уравнении,
замепяются в каждой точке сетки P;, = (x;, у} на
соответствующие разностные отношения, причем
x
локальная ошибка обрыва может быть оценена
<
<
(см. 7.1.2.9.1).
а)
5)
Tak, например,
+
7
Г
у
N
P
(
C
a
n
t
ди
1
Рис. 7.5.
rv =ap(ouinn i+Mine,
С
i,j
Такие конечные выражения пазывают также молекулами и пишут их в виде наглядных структурных
формул.
Пятиточечные молекулы для оператора Лапласа:
|,
_
2
du) =Ale ~4 +o(h*), aul = 4) +0(#°)
(квадратная сетка).
3) Гранпичные условия. Если область О такова, что для достаточно простой сетки при соот-
BCTCTBEHHO выбранном расположении граница Г состоит только из сеточных прямых, то краевые
значения задаются в граничных сеточпых точках и вводятся в соответствующие молекулы, если они
включают такие точки.
Пример 23. Прямоугольники в прямоугольной или квадратной сстках.
Задача Дирихле. Смотря по тому, содержит ли область Q* только регулярные или также
нерегулярные точки сетки (см. выше), заданные граничные данные перерабатываются двумя спо-
собами:
_ а) Определение краевых значений в регулярных граничных точках путем интерполяции из
заданных значений на границе Г. Тогла имеет место представленный выше простой случай (рис. 7.6, а).
Г
Г
ACUMMEINPUYHEG
<LP
ulP)=
\
моленула onpede—
\ | ent брань)
RN pasnomenug B
/
fad Тейлора
0
А 15 ul5)=
S|
h Elly \ = ih; (Ag(A)-h, u(P))
A‘\
4)
6)
Рис. 7.6.
6) Непосредственное включение заданных краевых значений в перегулярных точках и приме-
нение „симметричных молекул вблизи границы (рис. 7.6, 6).
Пример 24. Уравнение Пуассона в прямоугольнике
Q=fx,У0<х<4h;0<y<3h}.
Сетка: (хь yj) = (ih, jh),
O* = {(ih, jf) O<i <4, O< jf 3} — регулярная грапица.
Au (x, у} = Л (x, у), иг = @ (1-я краевая задача).
КРИТЕРИИ ДЛЯ ВЫБОРА МЕТОДА
681
При применении первой из двух указанных молекул для А имеем
И
Инь:+Ui,jaa+Ui,ja—Uy=Л,
как дискретный аналог уравнения Пуассона. (Через U;; здесь обозначено приближение для и (х„, у;) = и,;.)
Если записать все уравнения, для которых «центральный элемент» и;; являегся внутренней точкой (т.е. 1 <i < 3,
1 </< 2), то получим
Vor+Ua,+Оо+Uy,
— 40, =h? fy,
Uy,+Us,+Чло+U22—4U91=h?far,
Uay+Ца:+Uso+Ug2—4U31=hh?fay,
оз+U22t+ЧиИз-4U2=fra,
Uy.+Из+Un,+Uns—4U22=h?far
Vea+Ue+Чи+U33—4U32=h?fy.
Подчеркнутые значения являются задапиыми красвыми значепиями и могут быть персисссны в правую сторону.
Тогда в качестве дискретного аналога поставленной задачи получается следующая система линейных уравиепий:
Whi, —Uor Uta
h* fay —Ur0
h? f4, -Uar — Изо
h?fia Uy.-Uy;
P1:2--Чзз
h?fy2 — Ча —Us33
Матрица этой системы демонстрирует все характерные иризнаки матриц, которыс возникают при применении
разностных методов:
— матрицы, как правило, большие;
— матрицы симметричны и имеют блочиую структуру:
— матрицы являются разреженпыми, т.е. они содержат MUOTO пулей.
Для решения систсм линейных уравнений с такими матрицами ирименяют обычио итерационные методы, хотя
в последнее время разработан ряд прямых мстодов, использующих блочиую структуру. Числеино эти мегоды часто
оказываются выгодными, однако их недостатком являегся исдостаточная универсальность.
Следует обратить внимание на то, что порядок, в котором пробегаются точки сетки при проведении итераций,
изменяет вид матрицы уравнений и имеет тем самым решающее влияние па условия н сходимость итерационного
процесса.
7.1.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ В ЭЛЕКТРОННЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Численный метод еще не является программируемым алгоритмом, который состоит из отдель-
ных операций, протекающих в одпозначной последовательности, обладаст определенным началом,
а также достижимым после конечного числа шагов концом и, следовательно, в приицице может быть
реализован машиной.
7.1.3.1. Критерии для выбора метода. Для решения поставленной задачи иместся, как правило,
целый ряд методов.
Выбор определенного метода численного решения залачи и его окончательное преобразование
в программируемый алгоритм всегда представляют попытку оптимизации, причем известные
исходные положения V; и добавочные требования F; выступают как дополнительные условия,
важнейшими из которых являются следующие:
Исходная информация:
И, — постановка задачи и общие предположения о решении;
У, — дополнительная информация OO исходных данных (например, числовая область, специальный
тип матрицы, вид числового материала и др.);
Уз — общая структура машины (например, емкость памяти, время обращения, арифметическое
устройство, стандартные функции, язык программирования и др.);
У, — представление чисел, арифметика, округление, точность специальных операций и т. д.
Требования:
Е! — специальное требование к выходным данным (выводу) (например, целочисленные решения,
требование точности, выдача определенных промежуточных результатов, печатное изображение и ‘др.);
Е› — степень универсальности (должна ли решаться единичная задача, или требуется универсаль-
ное математическое программное обеспечение относительно допустимого набора входных данных);
682
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОЛОВ
Ез — стоимость (время счета} минимизация;
К. — ограничения памяти.
Эти условия частично противоречат друг другу, и поэтому при попытке их удовлетворения
стараются добиваться определенного оптимума. Для этого используют некоторые эмлирические
правила.
Основной принцип выбора метода состоит в следующем: нужно выбирать, по возможности,
метод, который решает именно поставленпую задачу, а не ведет к решению побочно через
некоторые подзадачи. Классический пример: собственные значения не вычисляются как корни
характеристического многочлена (см. 7.1.2.2).
«Математически элегантные» решения зачастую являются непросматриваемыми относительно
распространения ошибок и устойчивости и неблагопоиятными численно.
— Теоретическая сходимость при численной реализации не является гараитией сходимости.
С другой стороны, теоретически расходящиеся методы могут быть численно пригодны. *
— Дополнительная информация о вводе, промежуточных результатах или выводе должна быть,
по возможности, использована полностью, чтобы и способствовать уменьшению сшибок (вапример,
симметрия, порядок величин, знаки, нули и т. д.).
Важнейшими причинами чрезмерного накопления сишибох являются частое использование раз-
ностей (что приводит к потере значащих цифр) и деления на числа неизвестного порядка величины
(что ведет к переполнению разрядной сетки); этого следуст избегать при помощи искусной орга-
низации программы.
7.1.3.2. Методы управления. Каждый практически использующийся алгоритм не устанавливает
однозначно последовательность выполиясмых операций заранее для любого набора исходных
данных. Фактический ход процесса опослеляется параметрами управления X,, значения которых
вычисляются в ходе реализации. В качестве парамстров управления выступают я промежуточные
результаты, и некоторые специзльные величины (например, исрмы векторов или матриц, порядки
величин, число шагов, адреса ячеек памяти, объем памяти и т. п.}.
Результат анализа величин Х, и управляет процессом.
Габлица 7.17
Таблица важиейнех копурольвых вопросов при авалязе ХЛ
Контрольные вопросы
Замечания
Хи < а? (a — заданисе число}
Нуждастся в априориой оцсике для определения а. Если а=Е при
управлении обрывом итераций, то & не можст бычь выбрано произвольно
малым, иначе озлибка округления может исказить обрыв или совсем сму
помешаль.
Хх -х
| <=?
Осторожно! При образовании разпости существует опасность потери.
a nod
точности.
Хи=а?
‚ Контроль применять только при целочислениых вычислениях!
‚Хи < Ay? (Ago вычисленная константа) | А„ определястся апостериорно.
Ан<Аи 4?
Применястся для проверки ‘теоретической монотониости параметра.
Вычислилельное время > Т (Г задано) | Обеспечивает аззрийный остапов при непрохождении KOUTA циклического
,
(
процесса (например, при отсутствии сходимости итерации).
7.1.3.3. Вычнеление функций. Арифметическое устройство цифровой вычислительной машины,
как правило, в состоянии выполнить лишь четыре основных арифмегических действия и элементар-
ные логические операции, а в особых случаях также и определенные специальные операции, как,
например, вычисление скалярного произведения или квадратного корня. Значения элементарных
функций, максимум или минимум п чисел, сумма, целая часть или знак числа и т. п. определяются
при помощи универсальных подпрограмм (стандартные функции).
Главные методы вычисления функций.
1) Многочлен — схема Горнера. Действительный мпогочлен
P,{x)=dg ta,x+...+4,x"
характеризуется в ЭВМ вектором (do, dy, ..., а»; п). Полная схема Горнера содержит все операции,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
683
выполняемые при вычислении существенных величин многочлена от заданного значения аргумента
х=хо:
ag, а9,... а® а
=X — хоа() хоа, ... хоа40 Хоа!”
а а а%,... af) jas” |
x=x6 —y=oth ое ...oad”
а‹
а?) a... |a?|
7
— ха...
х=хоAo)
=XoTey
Общее правило: a! =afi—»
+ха9,
j=Hl,2,...,n4+1;
kK=n,n-1,...,j—1.
a), =0,
]1=12,..., п +1;
af?) =а,, кК=пи-1,...,0.
Пример 25. хо = —1,
P (x) = 2х4 + х*—х+1.
2 10-11
ceep 2-Е2
2-1 1 —2[3|
ee 1 223-4
a 2—34{-6|
_8)223
ee
х=-1 a7
= Seed
ИЯ
Частные случаи.
a) Выделение линейного множителя:
1
1
=
ao
P,,(x):(x—Xo)=ax! 1+af)x"2+...+af)+xox,.
—Xo
Прнмер 26.
(24
+x3—x +1):(х+ =2%? -х+х-2+ У
6) Значение функции в точке х = Xo:
P, (хо)= ag”; 2(—1)*
+(—)?—(-)+ =3.
в) Значения производных в точке X = Xo:
P, (Xo) = a;??,
Pi (хо) = 2!a$”,
р(x)=па" =па,
г) Разложение Тейлора в точке х = хь:
Р,(x)=ag?+a(x—xp)+... На"(x—x9)".
684
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Пример 27.
2х4 + x8 —х+1=3—6(х
+1)+9(х-+1)?-7(х+IP+2(х+1).
2) Разложение в ряд. Разложения в ряд для представления констант или функций
являются общеизвестными (см. 3.1.14.2 и 3.1.14.5). Вопрос о сходимости рядов с числовой точки
зрения имеет второстепенное значение. Разложение в ряд является численно пригодным, если ошибка
обрыва при достаточно малом числе членов является настолько малой, что численный результат
в машинном представлении оказывается точным (при этом сам ряд может даже расходиться!).
Требуемая здесь универсальность представления означает, что для всей области определения пред-
ставляемой функции значения функции должны быть представлены с машинной точностью. При
помощи разложения этого достигают в единичных случаях.
К быстро сходящимся рядам относятся разложения Тейлора для с”, sinx, cosx, shx и др.
Рассмотрим, например, разложение для sin x:
у
a
sinх=У(—17х27 21+1!
j=0
В этом случае ряд знакопеременный, и поэтому ошибка обрыва R, (x) по величине He больше,
чем первое отброшенное слагаемое. Для того чтобы вычислить у =: зах для всех xX с требуемой
точностью, достаточно, в силу периодичности и монотонности функции на отрезке 0 <х<л/2,
оценить ошибку обрыва только при x = 1/2: | Ro; (п/2) | < (п/2)2?/*1/(2] + 1)!; если требуется вычислить
sin х с точностью до восьмого знака, что нужно взять j = 7, так как (п/2)!5/15! <8.107 10.
Внимание! Оценка ошибки согласно теореме о знакопеременных рядах может оказаться численно
неправильной, так как ошибки округления ведут ссбя не знакопеременно!
Ускорение сходимости (примеры).
1) Преобразование Эйлера. Используя операторную формулу (см. 7.1.2.6.1)
|
ыы
...
(1 + Е)! — у (—1) 4!/2:+1,
i=0
получим
1
1
|
—
2
Уо—У!+У2—Уз+...=-5-Уо—--Avot= А“уо—+...
2
4
8
1з
Рассмотрим в качестве примера один из способов вычисления п. Из разложения arctg x = x — Хх +... следует
п/4 =arctg | = 1 -. 1/3 + 1/5 - 1/7... Этот ряд сходится очень медленно (для точности до 4-го знака требуется теоре-
тически около 10000 членов, практически ошибки округления при этом уже испортят резульгат!). При применении
вышеупомянутого преобразования (послс отделения ведущих членов) нужный результат получалот значительно быстрей:
| — 1/3 + 1/5 —...— 1/19 = 0,76046,
Vk
Ay
‘AZy
Алу
АЗу
1/21 0.04762
—414
1/23 0,04348
;
66
--14
1/25 0,04000 - о
52
0
2
1/27 0,03704
735и
40
~
1/29 0,03448
тео
1/21 — 1/23 + 1/25 — 1/27 + 1/29. = 0,02381 4- 0.00104 + 0,00008 + 0.00001 = 0.02494,
1/4 = 0,76046 + 0,02494 = 0,7854.
ZJAcnonb30BaHNe специальных свойств.
И
|
|
1
a) Теоремы сложения: 4 = 2 arctg = + arctg = + 2 arctg $.
6) Специальные преобразования: посредством соотношения (1 + х)/(1 — x) = p?/(p* — 1) из формулы
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ (СЧЕТНАЯ) ЛИНЕЙКА
685
получаем, что
1
|
1
Inp=>[In(p—1)+In(p+1)].+|2p?—Г+Зо
+.. |.
Если р > 2 — простое ‘число, то (p +1) четно и шр является суммой логарифмов целых чисел,
меньших Ps |и быстро сходящегося ряда.
3
1
|
Пример 28. Ind 52+ (1 + mete)
3) Метод отделения. Чаходим разложение данпого медленно сходящегося ряда ло схеме:
(медлепио сходящийся ряд) = (ряд с известной суммой) + (быстро сходящийся ряд).
Пример 29.
wo
и
2
sy
1
=weilУи >.ri+1)6 ) п?(n?+1)|
n=1
asl
а
7.1.4. НОМОГРАФИЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА
Повсюду там, где физико-технические парамегры выступают в многообразных связях и зави-
симостях, где из числовых значений некоторых величин должпы быть быстро определены одна или
несколько других величин без предъявления слишком высоких требований к точности, используются
номографические вспомогательные средства, к которым в первую очерель можно отнести широко
используемое вычислительное устройство — счегную линейку.
7.1.4.1. ‚ Соотношения между двумя переменными — фупкциопальные шкалы. Пусть на отрезке MN
установлена начальная точка А, из которой влоль MN в определепном направлении откладывается
единичный отрезок АЁ=е. Пусть у= /(х) для a<x<b является монотонной функцией. Если
из точки А откладывают ориентированный отрезок т, =е/(х) с копечной точкой Р, (индекс
должен напоминать обозначение независимого переменного), то получают взаимно однозначное
и определенное данной функцией f(x) соответствие между числами х и точками P, посителя
шкалы ММ.
Если у точки P,, для подходящим образом выбранной равноотстоящей послеловательности
аргументов
Pry
X=xX;=atih
помещают отметку аргумента х;, то получают шкалу фупкции, или фупкциональную зикалу (рис. 7.7).
т, Lg
x
|
|
)
1
]
|11
]
M
yo
м
А2:
А;
кm,-—@—
f(x) +
Puc. 7.7.
По определению к A и
Е
соответственио относят значения аргумента x, и х., для которых
St (x,) =0 и Г(х.) =1. Можно разбить шкалу па части, вдоль которых устанавливгзиотся по мере
надобности различные значения шага аргумента.
Of2 5
4
5
6
)4
1
}
АЕ
р,
=
“
=
=
Рис. 7.8.
Пример 30. f (х) = х2, О<х<б6 (рис. 7.8).
686
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
При применении функциональных шкал для оси х кривые, являющиеся графиками данных
функций, спрямляются (рис. 7.9).
й16141219
8
б4.
2
0
Рис. 7.9.
7.1.4.2. Логариф
кая (счетная) линейка. Если расположить три шкалы функций’ относительно
друг друга так, чтобы одна из них была смещена относительно двух других, то сложение отрезков
будет реализовывать определепное функциональное соотношение между тремя переменными
(рис. 7.10):
m,=m,+m,; eh (2) = ef (x) + ey9 (y);
й(2)==Л(x)+>9(у); h(z)=а}(x)+590).
Последнее соотношение называется ключевым уравнением.
Каждое уравнение Г (x, у, 2) = 0, которое может быть приведено к такому виду (а, b — действи-
тельные числа, f (x) и g(y) — арифметические выражения от х, соответственно у), реализуется на
соответствующей счетной линейке.
|
мн
А
ТИ
24YaYoWefeALAS
A,x
ae
‘
к
|
=>+
т
4
A
ROKK
hy My
ии Mm
1
)
}
2
J
R= 1$2
1
А
т
у
7у_>=:
Е
2
No,=2
J
Puc. 7.19.
Рис. 7.11.
Примср 31. Счетная линейка для расчета полного сопротивления двух параллельно расположенных проводников
(рис. 7.11).
Логарифмическая (счетная) линейка (рис. 7.12). Шкалы A, К, С размещены на движке и, таким
образом, располагаются подвижно относительно всех других шкал. Установлепие соответствия между
.10
100
1000
Hr
—_
1 e=L/3 lor
Bu
1 e=L/2 Ц
10
Top 1? 92
AK
——
Л e=Lf2 Wr
R
‚ e=L lor
10
Cu
=@=LИх
10
a
05
yre12
Zu,
г
1@=/т
|
L
>|
Рис. 7.17.
делениямй различных шкал становится возможным, даже когда применяемые шкалы яе ле-
жат в непосредственной близости, благодаря бегуику, расположенному подвмжно относительно
всех шкал.
687
НОМОГРАММЫ ТОЧЕК НА ПРЯМЫХ И СЕТЧАТЫЕ НОМОГРАММЫ
Пример 32. Что можно вычислить с тремя заданными шкалами установкой движка?
L
1
(2) — (C) — (В) Ligx+Lig.y=— lez, Igx+lgy= 5 lg 2, Ig (xy) = в /z +z = х?у?;
3
(B)—(R)—(K) Sigx-Ligy=Zigz, wy Ух ву =У®- у
L
1
1
А)- (Г)- (К) z~lgx+Ly=Llg—, Ig ИУх+у= —lgz32z
= —=—_ ит.д.
(A)-(L)-(R) вх
=ьв-, Вх
Jee
И без того большое многообразие возможностей может быть. еще значительно увеличено, если
учитывать многократные перемещения. Это обстоятельство и простота употребления объясняют
большое распространение этой достаточно точной и надежной счетной линейки.
7.1.4.3. Номограммы точек Ha прямых и сетчатые номограммы. Для представления функции
z= f(x, у) номографическим способом в плоскости без вспомогательных технических средств
имеются две возможности.
1) Номограммы из выравненных точек. Точкам трех несущих кривых ставят
в соответствие три переменных х, у и 2. Значения переменных х, у и 2 считаются соответствующими,
если отвечающие им точки на носителях P,, P, и P, расположены на прямой (рис. 7.13).
4
7
Jг
>
7]
Fy
р
|“|
2
>
7
„=“ >
—
—
рa
Lipp
=
m
и) —.
J
—
=4
9
т;
Sz
С
7,
Рис. 7.13.
Рис. 7.14.
Специальному расположению носителей всегда отвечает соответствующая форма соотношения
Е (х, у, 2) =0, представляемая номограммой. Это соотношение называется ключевым уравнением.
Главные формы номограмм из выравненных точек с прямолинейным носителем:
а)(т,>m,):а=(т,~m,):b(рис.7.14), bm,—bm,,=ат,—am,,
am, + bm,,
a+b
a
a+b
2
b
соло ев +eS(a, (2)=— 20g(y)+ВУ
“Эта номограмма является, таким образом, практически эквивалентной логарифмической линейке.)
6) m,:m, = (ре, — m,):m, (рис. 7.15), pe, — В (2)е. _ 9 (y)
Po
9 (у)
|
eh (2)
e.f (x) 1No(2)
Л (x)?
Ff (x)
h(z)=
;
=P Fo)+ag)
|
)
Рис. 7.15.
B)
‚=>
Qe
1
а“
.
1.
sin am,m, + 5 sin Bmym, (рис. 7.16),
sin a
9 (y)
Puc. 7.16.
1 sina sin
m, my т,’
sin В
(
,
Л (&)
688
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
2) Сетчатые номограммы. Пусть на плоскости в декартовой системе координат (и, v)
заданы три семейства кривых с параметрами семейств х, у, 2. Если кривые семейств, соответствую-
щие значениям х, у и 2, пересекаются в одной точке, то эти значения параметров в силу соот-
ношения F (x, у, 2) = 0 рассматриваются как соответствующие друг другу.
Здесь каждой форме — сетчатой номограмме — соответствует определенное ключевое уравнение.
Примеры с двумя осепараллельными семействами:
а) my: т, + т, : т, ср а =1 (рис. 7.17), m,+m,tga=m,,
й(2)=сд(у)+dtgof(x).
i
К
ut
y gty)=tyec
\
,,
А
Ир
—
“
Рис. 7.17.
Puc. 7.18.
(Таким образом, этот вид номограммы также эквивалентен счетной линейке.)
6)т,:т;=9(у)(рис. 7.18),
й(2)=f(x)9(5).
7.1.;. ОБРАБОТКА ЭМПИРИЧЕСКОГО ЧИСЛОВОГО МАТЕРИАЛА
Пример 33. При постоянном напряжении | вольт в зависимости от повышения сопротивления AR от Ко = 1Q
измеряется сила тока Г:
АК00,20,5 1,0 1,52,02,53,0 3,5
Г 1 0,833 0,667 0,540 0,400 0,333 0,286 0,250 0,222
Какой вид имеет, по возможности простая функция Г = I (AR), наилучшим образом описывающая
эту зависимость?
Так как числа, как измеренные значения, всегда содержат случайные ошибки, то нельзя ожидать,
что интерполирующая функция (см. 7.1.2.6.1) решает задачу надлежащим образом! Более того,
желательно, чтобы кривая проходила между измеренными точками так, чтобы некоторая заданная
мера для отклонений оказалась минимальной.
Последняя задача является основной задачей выравнивания (сглаживания) результатов измере-
ний, вывода эмпирических формул.
Пусть задано множество F (dy, а2,..., ay) функций f (x3 @,,..., а,) и множество пар действитель-
ных чисел (x, у), М> п. Ищется такая функция f(x; 41,...,@,)ЕР, для которой р(}(х)- у) <
<p(/f (x, — у;) для всех fe F. Здесь р является некоторой известной мерой отклонений
е;=f(x)—у;
и тем самым описывает принцип (критерий) выравнивания.
Мы занимаемся только решением этой задачи. Обоснование применения того или иного
критерия выравнивания дается статистикой (см. 5.2.2.2.2).
7.1.5.1. Метод наименьших квадратов. Этот принцип выравнивания был разработан Гауссом
и применялся с большим успехом в обыденных и астрономических измерениях. Критерий вырав-
нивания имеет вид
М
Pmin(Л(Хх)—yi)=2(f(xi)—yi)
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
689
Если ошибки е; подчиняются нормальному распределению, то этот критерий может рассматри-
ваться как статистический (принцип максимального правдоподобия, см. 5.2.2).
Для простоты будем считать, что параметры а (i = 1, 2, ..., No) входят в f линейно, т. е.
Sf (x3 ал, Ag, ..-, Ay) =а fy (x)
+aafa(x)+...
+а,Х (x). Тогда
др
N
n
Fa,=2У(уил)—n)Jy00
a;
k
i=1
=4
необходимым условием экстремума р являются равенства
и
М
» ay,
k=1
N
SIO)HOD=>у)
(j=1,..., п).
М
При использовании способа Гаусса записи суммирования У. f (х/)= [/ (x)] эти нормальные
ЕТ
уравнения принимают вид п
>ак[к(x)Л,(х)]=[yf(x)]
(j=1,2,..., п).
Частный случай f, (x) = х 1 (k = 1, 2,..., п) приводит к сглаживающему многочлену, и нормаль-
ные уравнения принимают видn
+j-2
[-1
5—
Ура [же] = [уж (=Ь2,..., п).
k=1
На практике используют минимальное, насколько возможно, число параметров.
Для этого сначала визуально проверяют, лежат ли точки измерения, например, вблизи функ-
ции — константы, прямой y = ax + b, параболы и т. д., и в соответствии с этим используют то или
иное предположение.
7.1.5.11. Выравнивание непосредственных наблюдений. Если известно, что
при измерении у, [=1,..., М, речь идет о значениях теоретически постоянной величины, или
из графического изображения вытекает соответствующее предположение, то значение этой константы
может быть приблизительно определено путем выравнивания значений измерений. Эта постоянная
у называется средним значением измерений. Согласно 7.1.5.1 получаем единственное нормальное
`` уравнение
х
Видно, что среднее арифметическое наблюдений какой-либо величины выравнивает эту величину
согласно методу наименьших квадратов:
р
Если v, = у— у обозначает‘ случайную ошибку, то [vv]. принимает минимальное значение для
= и=0.
Величину т _| _--—^— называют средней ошибкой отдельного у; отношение т, = "Им назы-
вается средней ошибкой среднего и применяется в записи результата измерений в виде y = y + My.
7.15.12. Выравнивание прямыми у=ах +b. Необходимым и достаточным условием
того, чтобы точки измерения М; (х, y;) лежали на прямой, является пропорциональность первых
разностей x и у, т.е. Ay;/Ax; = const.
Если это соотношение приближенно выполняется, то прямую у=ах +b можно выбрать как
кривую выравнивания.
Коэффициенты прямой удовлетворяют, согласно 7.1.5.1, двум нормальным уравнениям:
aN+b[x]=[y] а] +52] = У}
откуда
я
м-в
м[>] (= › NDe]—(el?
(Правило Крамера, см. 2.4.4.3.3.)
690
ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Пример 34.
х
y
Ay
Ау/Ах
0,5
0,62
1,02
2,04
1,0
1,64
2,06
2,06
2,0
3,70
°
1,32
2,64
2,5
5,02
—
1,02
2,04
3,0
6,04
Третье значение измерения явно выделяется из рамок кажущейся линейной зависимости, что указывает либо Ha
закономерное дополнительное влияние, либо на побочную ошибку измерения. Если с уверенностью можно сказать,
что имеет место последнее, то это значение опускают, в противном случае оно должно учитываться. Выравнивание
при помощи прямой дает следующий результат а = —6,501, b =2,085, следовательно, у = —0,501x +2,085.
Линеаризация. Если данные измерения приблизительно удовлетворяют уравнению вида
a, (х)+ bg (у) =0, то может быть построена линейная связь путем преобразования X = f (x),
Y=g(y) и, следовательно, может иметь место выравнивание (следует сравнить также с процессом
спрямления, см. 7.1.4.1).
Пример 35 (см. пример 33). Если точки измерения нанести на график, то получают гиперболическую кривую
и можно предположить, что верно соотношенне у = 1/а + bx). Положив Х =x и У= Шу, получим линеаризованную
форму Y=a+ bX.
7.1.5.1.3. Параболическое выравнивание y=ax*+bx+c. Характеристическая вели-
A (Ду;/Ах;)
чина
= const, т.е. вторые разделенные разности должны быть постоянными.
Ж+2 —Х;
‚
Нормальные уравнения:
еМ +Ь [х] +а [х?] = [У], ch] +В [х?] +а[х3] = [ху с [х?] +6 [3] +а[х“] = [х2у].
Пример 36. У=у- 68.
х
у
у
AY
AY/Ax AAV IAX)|
Ха—XI
—2
35
—33
15
7,5
0
50
—18
й
--0,3
.
18 "6
3
68
0
--1
2
2
4
70
2
—0,3
6
3
6
76
8
~-0,06
8
8/3
9
84
16
При таком поведении вторых разностей параболическое выравнивание ele может быть обосновано. Система
имеет вид
бе+206+146а=—25, 20c+1466+1028а=266, 146c-+1028+82104==1484.
Решение. Y= -— 18,4 + 6,5х — 0,30х2, у = 49,6 + 6,5х — 0,30x?,
7.1.5.2. Другие способы выравнивания.
1) Метод выбранных точек. (Сначала точки измерения изображаются графически
и визуально определяется подходящая эмпирическая формула
у = Л (x; ay,..., а)ЕЁЕ (ay, ..., а,).
Для вычисления параметров проводится гладкая кривая Г, которая «хорошо» подходит к точ-
кам M,, причем Tak, чтобы проявлялись качественные признаки графического представления функ-
ции из РГ.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
691
Тогда на Г выбирается п точек М, (j= 1,..., п) и из системы уравнений
(хз; Gy, 4»... da) = y;
(1=1,2,..., п)
вычисляются параметры 41, 42,..., а, функции у = f (x).
Хотя метод и нагляден, но он очень груб и никоим образом не учитывает статистическое
распределение ошибок (т.е. не может быть статистически обоснован).
_ 2) При приближении по методу средних точки измерения М; (=1,..., М) разбиваются
на п равных или почти равных групп
M,={M;, M;,,---» Ми}
(j=1,2,..., п).
Для определения параметров требуют, чтобы
i
j
E;=уei,=у(Л(х.,ат,(lo,..-›аи)—Yi)=0
k=1
k=1
для j=1,2,...,И.
Пример 37 (ср. пример 36). Параболическое выравпивание:
f(x,a,b,c)=ax?+bx+с.
x
y
x?
е
—2
35
4 4а—2b+е-35
M,
0
50
0
c— 50
M,
3 68 9 9a+3b+е-68
a
M,
4
70
16 l6a+46+<-70
М,
6
76
36 |36a+6b+c—76
М;
9
84
81-|81а+96+се-84
Мь
Группы: „Ш, = {M,, М», M3}; И, = {М4}; 4. = {Ms, Mo}.
Система уравнений:
l3a+b+c= 153, 16a + 46 + с = 70, 117а+ 156
+2 =160.
Решение:
)
.
f=50,1+6,0x—0,25x?
(см. 7.1.5.1.3).
Эмпирические формулы, конечно, еще не являются законами, но их получение можег быть
важной предварительной ступенью для открытия теоретически обоснованных функциональных
соотношений между физическими величинами. Почти классическим примером этого является
открытие. закона излучения Планка на основе построения трех эмпирических формул.
7.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
7.2.1. ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ (ЭВМ)
7.2.1.1. Вводные замечания. Созданные за несколько последних десятилетий электронные вы-
числительные машины получили в настоящее время широкое распространение и используются
в самых различных областях для обработки информации. Сюда относятся разнообразные вычисли-
тельные работы, как научного, технического, так и экономического характера, работы информа-
ционно-поисковые, связанные с организацией хранения больших объемов информации и лоиска
в них, и, наконец, работы по автоматическому управлению, позволяющие принимать управляющие
решения по постоянно поступающим потокам информации.
В данном разделе даются вкратце некоторые общие сведения о работе ЭВМ и связанные
с этим понятия.
|
692
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
Всякая ЭВМ имеет в своем составе следующие основные части (см. схему):
Диобия
=
Даа
ПАМЯТЬ
MOOUELLOD
у
Jompolictnby
YHOROTEHUF
S
e
m
.
W
b
o
t
a
-
b
y
b
o
o
n
_
A
G
W
C
U
L
H
I
A
G
[
I
O
A
`.
1) устройства ввода и вывода (внешние устройства), обеспечивающие связь ЭВМ с внешней
средой;
2) запоминающие устройства (накопители, или память), позволяющие хранить исходную инфор-
мацию, промежуточные и окончательные результаты;
3) процессоры, осуществляющие элементарные операции переработки информации;
`4) устройства управления, контоолирующие процесс обработки информации:
5) операционную систему — совокупность программ, обеспечивающих взаимодействие отдельных
частей ЭВМ в процессе ее работы.
7.2.1.2. Представление информации и намять ЭВМ. Любая информация в ЭВМ представляется
в закодированном виде и изображается совокупностью битов — элементов, могущих принимать
только одно из двух значений — 0 или 1. Наиболее употребительные виды информации -- символь-
ная и числовая. Символьная состоит из символов, нафор которых образует алфавит данной ЭВМ.
Каждый символ кодируется определенной комбинацией фиксированного числа битов, образующих
байт. Наиболее употребительная длина байта -—- 8 или 6 битов.
Числа, вводимые в ЭВМ (или выводимые из ЭВМ), обычно записываются в десятичной
системе счисления, со знаком «+» или «—», с использованием точки для отделения целой части
от дробной. Кроме того, для расширения диапазона допустимых чисел и удобства записи допус-
кается добавление множителя вида 10>", где п- натуральное число. Такой множитель записы-
вается определенным условным образом, чаще всего в виде Е + п. Так, например, 0,000045 можно
записать в виде 45E—6 или 4.5Е —5. Записанные таким образом числа могут быть закодированы,
так же как и другая символьная информация. Необходимые для этого символы всегда входят
в алфавит.
Однако внутри ЭВМ, для выполнения операций, а также болыпею частью и для хранения
в памяти, числа записываются в двоичной системе счисления, причем на каждое число отводится
одинаковое количество битов, образующих машинное слово *). Употребительны две внутренние
формы записи числа — с фиксированной или плавающей точкой. При фиксированной точке каждый
*) В некоторых ЭВМ используется двоично-десятичная система, когла число представляется в десятичной системе,
а каждая десятичная цифра — в двоичной, занимаемая по 4 бита в машинном слове.
ПРОГРАММА
693
бит в машинном слове соответствует определенному двоичному разряду, т. е. его значение (0 или 1)
умножается на определенную степень 2. Чаще всего применяется система записи, в которой старший
разряд соответствует (—1)-й степени 2, т.е. все изображаемые числа меньше 1, или такая, в KOTO-
рой младший радряд соответствует 0-й степени 2, т.е. все изображаемые числа целые.
| При плавающей точке числа представляются в виде ma’, где т — мантисса (число, записываемое
с фиксированной точкой), а — основание счисления (2, 10, 16*)), р — целое число со знаком — порядок
числа. В машинном слове содержатся, занимая определенные биты, мантисса и порядок, со своими
знаками.
Машинное слово содержит целое число байтов.
Вводимая в ЭВМ информация размещается в памяти ЭВМ. Память состоит из элементов,
которые могут имегь два физических состояния и способны поэтому запоминать значения битов
(О или 1), изображающих информацию. Совокупность элементов, предназначенных для хранения
одного машинного слова, образуег одну ячейку памяти. Все ячейки памяти перенумерованы
последовательно, номер ячейки называется ее адресом **).
При работе ЭВМ происходит постоянный обмен информацией между различными устройствами,
постоянная засылка и выборка содержимого той или иной ячейки памяти. Время, затрачиваемое
на одно обращение к памяти, и объем памяти являются основными факторами, определяющими
производительность ЭВМ. Повышение быстродействия памяти вызывает, как правило, удорожание
ЭВМ. При необходимости иметь болышой объем памяти и для уменьшения стоимости часто памяти
ЭВМ придают иерархическую структуру, при которой она состоит из нескольких уровней, обла-
дающих разным быстродействием. В процессе работы информация, по мере надобности, может
пересылаться с одного уровня на другой. При этом различают внутреннюю и внешнюю память.
Устройство управления имеет непосредственный доступ (по адресу) к любой ячейке только внутрен-
ней памяти. Информация, хранящаяся во внешней памяти, может быть использована только после
ее пересылки во внутреннюю память. Обмен между внутренней и внешней памятью осуществляется
только для группы ячеек, расположенных подряд и образующих блок. Таким образом, во внешней
памяти адресуемыми элементами являются блоки.
Наиболее употребительна внешняя память на магнитном слое, нанесенном на ленты, диски
или цилиндры (барабаны).
7.2.1.3. Каналы обмена. Ввод информации в ЭВМ и вывод результатов ее обработки осуществля-
ется при помощи внешних устройств.
|
Предназначенная для ввода информация должна быть предварительно записана в закодирован-
ной форме на каком-либо носителе, доступном для восприятия внешними устройствами ЭВМ.
Такими носителями могут быть бумажные перфоленты или перфокарты, магнитные ленты или
диски. Для обмена информацией между внешними устройствами и ЭВМ, а также для обмена
между внутренней и внешней памятью служат каналы обмена. В процессе обмена через канал
может осуществляться простейшая переработка информации, например ее перекодирование. Обмен
с внешними устройствами и внешней памятью происходит более медленно, чем работает про-
цессор ЭВМ, поэтому обычно такой обмен совмещают с работой процессора следующим образом.
При возникновении потребности в обмене у решаемой задачи работа процессора прерывается
и включается соответствующий канал. Процессор может выполнять в эго время работу для какой-
либо другой задачи. Необходимо только, чтобы задачи использовали различные области памяти
и эти области были защищены, т.е. никакая задача не могла бы испортить данные или программы,
находящиеся в области, отведенной для другой задачи. По окончании обмена вновь возникает
прерывание, и процессор может вернуться к первоначалькой задаче. Такой режим работы называется
мультипрограммным.
7.2.1.4. Программа. Для выполнения любой задачи обработки информации вычислительного,
логического или другого характера, должен быть задан алгоритм обработки. Описание такого
алгоритма, предназначенное для восприятия его машиной, называется программой.
Работа центрального процессора ЭВМ состоит из последовательного выполнения различных
элементарных операций. Для каждой операции исходными данными являются один или два
операнда. Для хранения операндов, их адресов и другой вспомогательной информации используются
регистры — простейшие запоминающие устройства, объемом в одно машинное слово. Устройство,
в котором получается результат элементарной операции, называется сумматором.
Для решения задачи на ЭВМ алгоритм решения должен быть в конечном счете разбит
на элементарные операции. Описание одной элементарной операции называется командой. Команда
должна содержать сведения о том, откуда взяты операнды, какие выполнить действия, куда послать
результат. Набор элементарных операций и способ их описания образуют систему команд.
В настоящее время наиболее распространенной системой команд является одноадресная, при кото-
*) Изображение числа в двоичной системе можно рассматривать как запись в шестнадцатеричной системе,
объединяя каждые 4 бита в одну шестнадцатеричную цифру, и наоборот.
**) В некоторых ЭВМ псренумерованы подряд (адресуемы) все байты. В этом случае адресом ячейки является
адрес ес первого байта.
694
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
рой команда состоит из адресной части и кода операции. Одним из операндов является содержимое
сумматора, адресная часть позволяет найти второй операнд и/или указывает, куда направить
результат. Код операции характеризует выполняемую операцию и способ использования адресной
части.
Адресная часть команды может иметь различную структуру. Часто приходится выполнять одни
и те же команлы, в которых адреса операндов (или результатов) могут быть переменными.
В таких случаях выделяют постоянную и переменную составляющие адреса; последнюю размещают
в каком-либо вспомогательном регистре. В команде указывается постоянная составляющая и адрес
(номер) вспомогательного регистра. Иногда применяется косвенная адресация, когда адрес операнда
образуется в какой-либо ячейке памяти, определяемой адресной частью команды.
Наряду с простыми командами зачастую используются команды более сложнай структуры,
позволяющие описывать укрупненные операции, например операции обмена. Такие команды обычно
называют макрокомандами. По существу, макрокоманды заменяют некоторые определенные после-
довательности элементарных команд.
Совокупность команд, описывающая весь процесс решения задачи, образует объектную (ма-
нтинную) программу. Программа сама является одним из видов исходной информации задачи
и размещается в памяти ЭВМ. В одном машинном слове обычно размешаются одна-две команды,
макрокоманды могут занимать более одного слова.
7.2.1.5. Програ ро е. Написание алгоритма задачи в виде объектной программы является
сложной и трудоемкой работой, которую обычно поручают самой ЭВМ. Исходиыми данными для
этой задачи является содержательное описание алгоритма, называемое исходной программой. Для
того чтобы такое описание могло быть понимаемо машиной, оно должно быть написано на
каком-либо алгоритмическом языке. Существует большое число алгоритмических языков, наиболее
распространенным из которых являются фортран, алгол-60, кобол, PL-1.
Текст исходной программы на алгоритмическом языке состоит из отдельных предложений,
называемых операторами. Операторы делятся на исполняемые, которые описывают какие-либо
действия, выполняемые над данными, и неисполняемые, которые содержат некоторую необходимую
информацию о данных и о выполнении программы.
Для каждого языка его конструкции должны удовлетворять определенным формальным тре-
бованиям, совокупность которых определяет синтаксис языка. Смысловое содержание языковых форм
описывает семантика языка. Совокупность языковых средств, допустимых на данной ЭВМ, образует
ее систему программирования. Каждый алгоритмический язык должен позволять описывать соот-
ветствующие алгоритмы точно, полно и так, чтобы это описание понималось однозначным образом.
Процесс написания исходной программы (программирование) обычно состоит из нескольких
этапов. На первом этапе рассматривается общая структура алгоритма, он разбивается на составные
Рис. 7.19.
Рис. 7.20.
Рис. 7.21.
части и составляется грубое, неформальное описание последовательности этих частей. Основными
структурами, при помощи которых может быть построен любой алгоритм, являются:
1) последовательное выполнение (рис. 7.19);
2) повторение (цикл) (рис. 7.20 и 7.21);
3) альтернатива (условное выполнение) (рис. 7.22 и 7.23);
4) ветвление *) (рис. 7.24).
*) Ветвление можно описать как последовательность альтернатив, однако использование структуры вегвлепия может
3aMeTHO упростить программу.
.
УПРАВЛЕНИЕ ЭВМ
695
На рис. 7.19—7.24 ромбики означают проверку какого-либо условия (два выхода — выполняется
или нет), прямоугольники — элемент алгоритма. Эти структуры могут использоваться рекурсивно.
Следующим этапом является детализация элемента, выделенного на предыдущем этапе, и рас-
смотрение его внутренней структуры и т.д. При этом используются те же основные структуры.
мана оков ans вузы OE фыеы oo выше a она
------->---
ро ame чит aed Ghee ae ви
Pue. 7.22.
Рис. 7.23.
Рис. 7.24.
Конечное описание (исходная программа) состоит уже из элементарных операторов языка, полностыо
формализовано и должно быть синтаксически правильным.
В процессе программирования разрабатываются и структуры данных, как исходных, так
промежуточных и окончательных. При этом может оказаться необходимым учитывать особенпости
используемой ЭВМ, в первую очередь объем и структуру памяти. За этим исключением, исходная
программа, в основном, не зависит от типа ЭВМ, на которой реализован данный алгоритмический
язык.
На начальных этапах выявляется целесообразность разбиения программы па модули, т.е. на
отдельные части, которые могут программироваться независимо. Модульное программирование
особенно эффективно, когда приходится иметь дело с несколькими тематически близкими програм-
мами, имеющими общие части. Запрограммированные заранее модули могут затем включаться
в различные программы. Передача информации от одного модуля к другому выполняется обычно
через внешнюю ламять, хотя в различных языках имеются и другие способы такой передачи.
Некоторые части программ, повторяющие один и тот же алгоритм, удобно выделять в под-
программы. Подпрограммы программируются независимо от основной программы и хранятся в ЭВМ
отдельно от нее. При возникновении в основной программе потребности в алгоритме, выполняемом
подпрограммой, происходит вызов подпрограммы и ее выполнение, после чего вновь продолжается
работа основной программы. При вызове необходимая информация из основной программы может
передаваться в подпрограмму в виде параметров, от которых зависит подпрограмма.
Процесс получения объектной программы из исходной является одним из видов работ, выпол-
няемых ЭВМ. Программы, выполняющие такие работы, называются компиляторами или трансля-
торами и являются составной частью общего математического обеспечения ЭВМ.
Фактически трансляторы переводят исходную программу не сразу в объектную программу,
а в некоторую промежуточную форму, написанную или на языке ассемблера, или в виде объекта
загрузки. Оба этих языка близки к машинному языку команд, однако в них вместо истинных
адресов фигурируют относительные, или символические, адреса, а также содержится некоторая
управляющая информация. Окончательная объектная программа получается после работы специаль-
ных программ — ассемблера и загрузчика, составляющих часть монитора.
7.2.1.6. Управление ЭВМ. Работа ЭВМ происходит, в основном, полностью автоматически.
Функции человека-оператора сводятся к начальному пуску ЭВМ, к смене переменных внешних
источников информации — пакетов перфокарт, магнитных лент и дисков —и к реакции на запросы
ЭВМ (главным образом о подготовке тех или иных устройств) через пульт управления.
Наиболее употребительными системами организации работы ЭВМ являются пакетная обработка
и разделение времени *). При пакетной обработке в DBM загружается несколько задач (пакет),
*) Работа ЭВМ, входящих в АСУ (автоматические системы управления), здесь не рассматривается.
696
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
которые и выполняются последовательно или’ параллельно в зависимости от наличия ресурсов.
При операциях обмена возникают прерывания, позволяющие на время прекращения решения одной
задачи включать в решение другую.
При разделении времени несколько пользователей связаны с ЭВМ через устройства ввода-
вывода (терминилы), поочередно подключаемые автоматически к ЭВМ. Вводя информацию (данные
и программу) через терминал, пользователь имест возможность давать машине задания и реаги-
ровать на ее ответы, осуществляя так называемый диалоговый режим. Время работы программы
в среднем мало по сравнению со временем обмена и временем реакции, поэтому ЭВМ успевает
обслужить несколько пользователей.
Помимо взаимодействия с внешней средой и организации выполнения работ, устройство
управления обеспечивает работу центрального процессора, расшифровывая коды операции и адреса
в очередной команде, выбирая эту команду в зависимости от сигналов, получаемых от процессора.
Все эти функции осуществляются как соответствующими аппаратными средствами, так и специаль-
ными программами, входящими в так называемую операционную систему, составляющую веоть-
емлемую часть ЭВМ.
7.2.1.7. Математическое (программное) обеспечение. Совокупиость программ, используемых при
работе ЭВМ, составляет ее математическое обеспечении. Его обычно разделяют на спепизльное
математическое обеспечение, складывающееся из программ пользователей, предназиаченных для
решения тех или иных конкретных задач, и общее математическое, в которое вхолит операционная
система, библиотека подпрограмм общего назначения и ряд других программ, обеспечивающих
функционирование ЭВМ.
Операционную систему обычно делят на супервизор и монитор *). Главной фузкцией супервизора
является управление задачами, состоящее в основном в распределении ресурсов ЭВМ (куда отно-
сятся прежде всего память и время центрального процессора) между задачами в процессе их
выполнения — динамически.
|
Монитор осуществляет управляющие функции в пределах одной задачи, обеспечивая компиля-
цию частей программы, написанных на разных языках, их загрузку и связь, взаимодействие задачи
с внешней памятью и т. п.
Составляя задание для ЭВМ, пользователь, кроме программы решения своей задачи, должек
давать ряд указаний операционной системе относительно требуемых ресурсов, используемых языков
программирования и т. п. Такие указавия пишутся на языке управления заданиями.
Важной частью общего математического обеспечения является система управления данными,
рассматриваемая обычно как часть операционной системы. При работе ЭВМ во внутренней и внеш-
ней памяти хранится большое число наборов данных, относящихся к различным задачам. В их
число входят и программы, по которым задачи решаются. На языках программирования и языке
управления. заданиями эти наборы делятся на смысловые единицы (записи, файлы), идентифициро-
ванные своими именами. В памяти ЭВМ наборы цанных размещаются на физических единицах
(блоках), характеризуемых адресами. Система управлевия данными должна обеспечивать размещение
возникающих записей и файлов в свободных блоках памяти и возможность их выборки по мере
надобности.
7.2.1.8. Выполнение работ на ЭВМ. Для зыполнения каких-либо работ на ЭВМ необходимо
прежде всего ознакомиться с возможностями используемой IBM. Определив общую схему выпол-
нения задачи и выходных данных, можно составлять программу на каком-либо алгоритмическом
языке с учетом особенностей реализации языка на данной машине. Далес необходимо программу
отладить, г.е. устранить возможные ошибки, для чего задачу решают на каких-либо вспомога-
тельных данных (тестах), таких, чтобы правильность результатов можно было легко про-
верить.
Процесс отладки обычно распадается на двс стадии. Первая — выявление технических и синтакси-
ческих ошибок, типа опечаток, вторая — методическая отладка, когда ищутся ошибки алгоритма,
а также возможности его улучшения. Необходимо иметь в виду, что в болылих программах
весьма трудно обеспечить устранение в процессе отладки всех ошибок, в связи с чем сле-
дует проводить отладку небольших частей программы отдельло, постепенно связывая их межлу
собой.
После завершения отладки окончательный текст фиксируется путем записи его во внешней
памяти. Если предстоит решать болышое число вариаитов с различными данными по неизмен-
ной программе, то для того, чтобы избежать повторной трансляции, записывается объектная
программа.
|
° Если решение задачи запимает много времени, необходимо в программе предусмотреть опорные
точки, т. е. запись во внешнюю память промежуточных результатов. Такая запись должна позволять
возобновить решение задачи с момента последней записи в случае сбоя в работе ЭВМ.
*) Эти термины не всегда одинаково используются.
697
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛОГОВОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
7.2.2. АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
7.2.2.1. Принцие устройства аналоговой вычислительной техники. Принцип устройства аналоговой
вычислительной техники основывается на реализации математических моделей техническими сред-
ствами, причем математические объекты представляются в качестве измеримых физических величин,
а математические операции реализуются в виде соответствующих физических законов. Существуют
механические, пневматические,
оптичРСКИМИ аналоговыми вычислительными машинами. Мы
7.18 перечислены характерные отличия ABM от ЦВМ.
Проводятся опыты ©
здесь электронными ABM. В табл.
гидравлические и злектроипные аналоговые вычислительные машины.
огран ичимся
Таблица 7.18
Признаки
Цифровая
Апалоговая
Электроипная аналоговая
Послставленисе информации последовательность цифр зпачсния физических ВЕЛИЧИН электрические потенциалы
Действия пад информацией | алгоригмы
выбранные — соответствую-
щим образом физические за-
оны
закопы теории электричества
20/0 —2% на вычислитель-.
ный элемент
Точность
чеоретически ие ограничена | ограничена принципиально
Возможность примепепия
специальные задачи
системы обыкновенных диф-
универсальпа
ференциальных уравнений
Программирование
алгоритмы решения и обра-
ботки
урашонения задачи
дифферепциальные
ПИЯ
уравне-
Числовая область
| озепь велики
мала
для зависимых переменных
—1<у<х|
Выдача результатов
пифровая таблица (лаблица
знаков, vyercr) иля кривые
кривые, огдельные результа-
ты измерений, габлицы
начерченные кривые, кривые
на осциллограммах, огдель-
ные результаты измерений,
таблицы
7.2.2.2. Вычислительные элементы акалоговой вычислительной машииы. АВМ построены по блоч-
ному принцицу, они содержат операционные усилители, которые чаще всего копструнруются как
сменные вставные блоки. Подключение операционных усилителей в поле программирования осу-
ществляется посредством 1итекеров и шнуров. В вычислительных машинах, к которым предъявляются
более высокие требования, поле программирования является сменным. После соединения с входными
целями и цепями обратной связи вычислительные усилители (усилитель постоянного напряжения:
7}, = -sU,, Ч.- входное напряжение, U, — выходное папряжение, 5 > 10°) становятся вычислитель-
ными элементами, которые выполняют определенные операции. Важнейший вычислительный элемент
интегратор содержит кроме того, еще лва выключателя (реле), которые приводятся в действие
двумя управляющими напряжениями р, р.. Благодаря этому вычислительный элемент может
находиться в трех положениях: 1) «сброс», р,= Г. (т.е. приложено р,); в этом положении выход у
вычислительного элемента равен входу уо на клемме начального значения со знаком «минус»;
2) «вычисление», р,=р, = 0; интегратор производит интегрирование; 3) «прерывание», p,= L;
интегратор запоминаег зиаченис напряжения на выходе, т.е. оно остается в этом положении
постоянным независимо от того, чго подается на вход.
В случае р, == р, = Ё интегратор находится в положении «сброс» (преимущественное включение).
Обычно интеграторы управлятотся цеитрализованно, т.е. в вычислительной машине управляю-
цие напряжения р, и р, включаются для этих интеграторов одновременно. Отсчет времени начинается
({ = 0) в момент перехода из положения «сброс» в положение «вычисление» и заканчивается (t = f,)
в момент перехода из положения «вычисление» в положение «прерывание» или «сброс». Переклю-
чение положений может осуществляться с пульта управления при помощи часов или другого
датчика времени, а также по программе. Различают два рода работы:
1. Однократное вычисление: «сброс» — «вычислепие» — «прерывание».
2. Повторяющееся вычисление: постоянная смена положений «сброс» и «вычисление», начинаю-
щаяся по стартовому сигналу, происходит до сигнала остаповки.
Кроме интеграторов, управляемых иснтрализованно, в больших вычислительных машинах
имеются свободно управляемые интеграторы, в которых управляющие напряжения р, и р; могут
быть запрограммированы по отдельности. Таблица 7.19 даег обзор вычислительных элементов
аналоговой вычислительной машины.
698
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
Таблица 7.19
Название
Символ
Функция
Замечания
Потенциометр заземлеп,
7_@)— y
y=ax
а действительное число, OS ax
открыт
Ly
_
< 1; регулировка потенциометра
у=хНа(х!—x2)
зависит от идущего далее сопро-
_О
тивления нагрузки
te
Сумматор
Инвертор
а; (чаще всего целочисленны, на-
‘пример, аЕ {1, 10}) — постоян-
ные входные сопротивления
Центрально управляемый
интегратор
`Свободно управляемый ин-
тегратор
1
a
y=—у—bf2a,x;ат
ИЛИ
y=-6b у ах;
i=t
У(0)=—yo
у=-х
у(0)=—y(0)
t2
пл
у=У-Ь JDd.ax;dt
med
a, (чаще всего целочисленны,
например, а, be{l, 10})- по-
стоянные выходные сопротивле-
ния. уо постоянно. Часто встре-
чающийся частный случай: 0 <
Kty<t, <t,
. ee.
Pr 0при>И;
iLприt<ta,
10 приt>ty
Мультипликатор
y=X1X2
С правильным знаком всегда
(параболический
умножаются функции, которые |
умножитель,}
подаются на входы, обозначен-
ные «+»
Генератор функции
у=Л(x)
f— непрерывная действительная
функция, кусочно линейная или.
постоянная (аппроксимация при
помощи ломаной)
Компаратор (реле с раз- т
21 >72: у=х,
X,; и х, могут быть также управ-
HOCTHLIM усилителем)
ca
ляющими напряжениями
_
2:<22 Yur
Lo
J
21 =2›: неустойчива
22
Открытый усилитель
y= —SX
$ > 10°; применение для особых
L
у
' целей
Постоянные функции
у=1
Постоянные функции представ-
+/.-——— y
лены в виде клемм на поле
y=
программирования. Следует pa3-
-.—— ZY
y=0
личать напряжение вычисления
+1 управляющее напряжение L
{——/
р=0
У
pal
ПРИНЦИП ПРОГРАММИРОВАНИЯ
699
7.2.2.3. Принции прогр: рования при решении систем обыкновеиных диффереициальных уравне-
иий. В аналоговой вычислительной машине кусочно непрерывные действительные функции перемен-
‘Horo t на сегменте 0 <Е< Е могут представляться (и быть получены) в виде потенциалов, зави-
сящих от времени. При этом функции являются решениями системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с начальными условиями (задача Коши). Дифференциальные уравнения программи-
руются, а начальные значения задаются как постоянные функции. Мы пренебрегаем в этом разделе
технически обусловленными ограничениями (ограничение сегментом [—1, 1], ограничение показаний
потенциометров O<a<1) и рассматриваем качественное программирование (составление плана
согласования).
План согласования для обыкновенного дифференциального уравнения
в явной форме (см. 3.3.1.1). Рассмотрим в качестве примера у’ = f(y, у, у’, 1, у(0)=а,,
y’ (0) = ag, у’ (0) = a3, ay, da, аз — положительные действительные числа.
Первый шаг. Составление цепочки из трех интегралов (соответственно порядку дифферен-
циального уравнения) (рис. 7.25); следует обратить внимание на перемену знака при интегрировании
и перемену знака у задаваемых начальных значений.
|
Залисывающее
Устройство
(врбината)
и
=
-2--/ |
z=t
_ Затеыванщее
|
устройство
(абецисса)
Рис. 7.25.
Рис. 7.26.
Записывающее
4,
устройство
“1/
(дрбината)
dz
> Jarucoibaronnee _ /
-, Sanucubaro-
(абвцисса)
ще устр
(ордината)
Рис. 7.27.
Второй шаг. Получение функции 2 = Е в качестве решения задачи z = 1, 2 (0) =0.
Третий шаг. Получение f (у, у’, у”, #) при помощи вычислительных элементов вычислительной
машины. Запись результата у = y(t).
760
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
Пример 38. у’ = —@’y, у (0) =0, у’ (0) = -®, ®>0. План согласования — рис. 7.26. (Выходы на записывающем
устройстве и { не указаны, ср. пример 40.)
а
Пример39.у,=—#1+у»,уз=—Yiy2tae *,у,(0)=у,(0)=0,у,(0)=—аз,y2(0)=ач,a>0;найтирешение
при 0<{< +...
_
|
План согласования
— рис. 7.27. Вспомотательную функцию 22 =е “2 получим как решение задачи о начальных
значениях 22 = —422., 2. (0) =1. В случае многоканального записывающего устройства у, и у> могут записываться
одновременно, в противоположном случае вычисления проводятся дважды и у, и у) записываются одно за другим.
7.2.2.4. Качественное прогр ро
На выходах операционного усилителя могут получаться
только такие функции, значения которых лежат между —1 и 1. Кроме того, в большинстве
случаев требуется отобразить отрезок 0 < [< &, независимой переменной задачи на временной про-
межуток 0 < Т< Т, реализуемый в вычислительной машине (и соответствующих устройствах вы-
вода). Это делается при помощи однородных линейных преобразований.
1) Нормировка функций. Так как все рассматриваемые функции кусочно непрерывны на сегменте,
то они ограничены. Поэтому для каждой функции x(t), представимой в вычислительной машине,
существует верхняя граница ее значений; обозначим се через х*:
УЕ(Е[0,t.]+|x(t)|<x*).
При этом —1 <x (t)/x* <1 u x (t)/x* представима. Выходы инверторов и мультипликаторов He нуж-
даются в нормировке, так как их нормировка вытекает из нормировки на входах. Если в качестве
пределов выбрать верхние границы, то получим оптимальное преобразование, при котором уси-
лители (возможно, за исключением мультипликаторов} полностью пронормированы.
2) Преобразование независимого nepemennozo. При помощи преобразования I = At отрезок
O<t<t, отображается на отрезок 0 < Т<Т, где Т, = М. При этом нормированные функции
задачи (нормированные переменные задачи) становятся машинными переменными:
x (T) = x (T/A)/x*.
Так как интегрирование в вычислительной машине можег происходить только по переменному T
(действительное текущее время), то для интегрирования получается следующее преобразование:
с =: М: т=056=0 t= t70=AT=T;
t
T
T
_1Exam, |
1О
И
1
‘
и: |=r=[5х ido=5-(x(+0)do.
о
0
о
При A > 1 говорят о растягивании отрезка задачи, при А. < 1 — о сжатии и при A = | — о програм-
мировании в истинном времени. При помощи этих преобразований из плана согласования полу-
Рис. 7.28.
чается пормированный план согласования, или схема вычислений. Рис. 7.28 изображает переход
от плана согласования к нормированному плану согласования в случае сумматора и интегратора
согласно уравнениям:
‚ план согласования:
t
у=фах,—AQX2, у=-Уо-(ах,+a2X2)dt;
о
КАЧЕСТВЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
701
нормированный план согласования:
Т
у
ayxt\[х!
а2х% X2
У_ Yo
а1хтxy4а2х%X2do
ye ys)xt ду
д Аox
о
Пример 40. Нормировка плана согласования примера 38. В этом простом примере решение получается сразу:
y= —sin wt, у’ = —wcos ®Ь т. е. у* =Ти у* =®. Начальные значения нормированных функций: у (0) =0, у’ (0)/у* = —1.
“сли принять во внимание, что не обязательно обе постоянные интеграторов а и Ь выбирать
равными |, то в качестве плана согласования получается рис. 7.29. Мы видим, что схема. рис. 7.26
Рис. 7.29.
Записывающее
устройство
Горбинаты)
gyempoticmio ^—/
7)
(abcuuccel)
Januceibarouyee
LITIPOUCTTION
ина)
e
Рис. 7.30.
применима только при 0 <@ <1 (из-за потенциометра начальных значений), в то время как норми-
рованный план согласования без больших затрат при 0 < ®/(^аб} < Ти при соответствующем выборе
a,b и ^ делает доступным гораздо большую область по ®. На выходе инвертора получают
функцию Sin Wt, а на выходе первого интегратора -- функцию Cos wt (схема генератора синусоидаль-
ных колебаний). Схема оптимальна, все усилители полностью промодулированы.
Пример 41. Нормировка плана согласования примера 39. Нетрудно найти tf =t, и 2% =1. Остальные пределы
оцениваются. Подставляя оценочные значения, проводят проверку. Если усилитель перемодулирует, то предел для
выхода усилителя выбран слишком малым; если модуляция недостаточна, то предел выбран слишком большим.
На рис. 7.30 показап нормированный план согласования.
ЛИТЕРАТУРА
1.1. Общие руководства, справочиики и таблицы
1.1. Математическая энциклопедия. -- М.: Советская энциклопедия; Том 1, 1977; Том 22, 1979.
1.2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.— М.: Наука, 1978.
1.3. Цыпткин А. Г. Справочник по математике для средией школы.— М.: Наука, 1979.
1.4. Кори Г. Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1977.
1.5. Таблицы Барлоу.— М.: Наука, 1975.
1.6. Хохлов А. И. Математические таблицы.— М.: Наука, 1980.
1.7. Двайт Г. Б. Таблицы ‘интегралов и другис математические формулы.— М.: Наука, 1978.
1.8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
1.9. Справочник по специальным функциям.— М.: Наука, 1979.
1.10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.- М.: Наука, 1977.
1.11. Бейтмен Г. Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в двух томах. CMB.— М.: Наука, 1969, 1970.
1.12. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие ‘трансцеидситные функции в трсх томах. СМБ.- М.: Наука, 1969, 1973, 1974.
1.13. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики.— М.: Наука, 1965.
1.14, Савелов А. А. Плоские кривые.— М.: Физматгиз, 1960.
2.2. Комбинаторика
2.1. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ.— М.: Изд-во МГУ, 1972.
2.2. Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики.— М.: Наука, 1977.
2.3. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику.— М.: Наука, 1975.
2.4. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математнки.— М.: Наука, 1977.
2.4. Алгебра
2.5. Kypouw А. Г. Курс высшей алгебры.— М.: Наука, 1975.
2.6. Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.
2.7. Ван дер Варден Б. Алгебра.-- М.: Наука, 1979.
2.8. Мальцев А. И. Осповы линейной алгебры.— М.: Наука, 1975.
2.9. Boesodun В. В. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1980.
2.10. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.— М.: Наука, 1977.
2.11. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1978.
2.12. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.— М.: Наука, 1971.
2.6. Геометрия
2.13. Погорелов А. В. Элементарная геометрия.— М.: Наука, 1977.
2.14. Поитрягии Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат.— М.: Наука, 1977.
2.15. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии.— М.: Наука, 1975.
2.16. Погорелов А. В. Апалитическая геометрия.— М.: Наука, 1978.
2.17 Александров П. С. Курс аналитической геомстрии и линейной алгебры.— М.: Наука, 1979.
2.18. Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. М.: Наука, 1977.
3.1. Дифференциальное ип интегральное исчисления
3.1. Понтрягии Л. С. Зпакомство с высшей математикой. Апализ бесконечно малых.-- М.: Наука; 1980.
3.2. Никольский С. М. Курс математического анализа в двух томах.- М.: Наука, 1975.
3.3. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ в двух томах.— М.: Высшая школа, 1980.
3.4. Ильин В. А., Позияк Э. Г. Основы математического анализа в двух томах.— М.: Наука, 197}, 1980.
3.5. Будак Б. М. Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды.— М.: Наука, 1967.
3.6. Воробьев Н. Н. Теория рядов.-— M.: Наука, 1979.
3.7. Колмогоров A. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
3.8. Треногии В. А. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1980.
3.2. Варнациониое исчисление и оптимальное управление
3.9. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление.— М.: Физматгиз, 1962.
3.10. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г. Гамкрелидзе Р. В. Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов.— М.: Наука, 1976.
ЛИТЕРАТУРА
703
3.11. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.— М.: Наука, 1979.
3.12. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. СМБ.-— М.: Наука, 1978.
3.3.1. Обыкповенные дифференциальные уравнении
3.13. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
3.14. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
3.15. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1966.
3.16. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного
исчисления.— М.: Наука, 1980.
3.17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-— М.: Наука, 1976.
3.18. Тихонов П. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Обыкновенные дифференциальные уравиепия.— М.: Наука, 1980.
3.3.2. Дифферсеициальные уравнения в частных производных
3.19. Петровский И. Г. Лекции об уравневиях с частными производными.— М.: Физматгиз, 1961.
3.20. Тихонов А. Н. Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
3.21. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1976.
3.22. Владимиров В. С. Уравпения математической физики.— M.: Наука, 1976.
3.23. Годунов С. К. Уравиения математической физики.— М.: Наука, 1971.
3.24. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.— М.: Наука, 1976.
3.25. Камке Э. Сиравочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.— М.: Наука, 1966.
3.4. Комнлексные числа. Функции комплексного переменного
3.26. Лаврентьев М. A., Шабат Б. В. Методы теории фуикций комплексиого переменпого.— М.: Наука, 1973.
3.27. Маркушевич А. И. Краткий курс теории апалитических фуикций.— М.: Наука, 1978.
3.28. Тихонов А. Н., Свешников А. Г. Теория функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1979.
3.29. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций.— М.: Наука, 1969.
3.30. Привалов И. И. Введение в теорию фуикций комплекспого переменного.— М.: Наука, 1977.
3.31. Шабат Б. В; Введение в комплесный анализ в двух томах.— М.: Наука, 1976.
3.32. Сидоров FO. В., Федорюк М. В., Шабунии М. И. Лекции по теории фуикций комплексиого переменного.
— М.:
Наука, 1976.
4.1. Миожества, отношения, отображения
4.1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -. М.: Наука, 1977.
4.2. Новиков П. С. Элементы математической логики.— М.: Наука, 1973.
4.3. Яблонский С. В. Введение в дискретиую математику. — М.: Наука, 1979.
4.4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.— М.: Наука, 1976.
4.5. Ершов FO. Л., Палютин Е. А. Математическая логика.— М.: Наука, 1979.
4.2. Векторное исчисление
4.6. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М.: Изд-во АН CCCP, 196].
4.7. Лаптев Г. Ф. Элемеиты векторного исчисления.— М.: Наука, 1975.
4.3. Дифференциальная геометрия
4.8. Погорелов А. В: Дифференциальная геометрия.— М.: Наука, 1974.
4.9. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геомстрия. -- М.: Наука, 1979.
4.4. Риды Фурье, интегралы Фурье п преобразовапие Лапласа
4.10. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. —
М.: Наука, 1980.
4.11. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и опсрационное исчисление. СМБ.- М.: Наука, 1974.
4.12. Брычков FO. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщениых функций.— М.: Наука, 1977.
4.13. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979.
4.14. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Сисциальные функции математической физики. — М.: Наука, 1978.
4.15. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1975.
4.16. Крылов В. И. Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования
Лапласа.— М.: Наука, 1974.
5. Теория вероятностей и математическая статистика
5.1. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М.: Наука, 1974.
5.2. Прохоров FO. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. СМБ.- М.: Наука, 1973.
5.3. Гнедеико Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностсй.— М.: Наука, 1976.
5.4. Боровков А. А. Курс теории вероятностей.— М.: Наука, 1976.
5.5. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика.— М.: Наука, 1979.
5.6. Ивашев-М усатов О. С. Теория вероятностсй и математическая статистика.— М.: Наука, 1979.
6.1. Липейное программирование
6.1. Еремин И. И. Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейпого и выпуклого программирования. — М.: Наука, 1976.
6.2. Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1980.
6.3. Моисеев Н. Н., Иваиилов FO. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации.— М.: Наука, 1978.
6.4. Иванилов FO. П., Лотов А. В. Математические модели в экопомике.— М. : Наука, 1979.
704
ЛИТЕРАТУРА
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.42.
7.13.
7.1. Элементы численных методов
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физматгиз, 1963.
Васильев Ф. IT. Численные методы решения экстремальных задач.— М.: Наука, 1980.
Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения).— М.: Наука, 1975.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980.
Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики.— М.: Наука, 1977.
Крылов В. И., Бобков:В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы в двух томах.-- М.: Наука, 1976, 1977.
Никольский С. М. Квадратурные формулы.-— M.: Наука, 1979.`
Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977.
Тихонов А. Н. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1979.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978.
Годунов С. K., Рябенький В. С. Разпостные схемы.— M.: Наука, 1977.
Хованский Г. С. Основы номографии.— М.: Наука, 1976.
Панов Д. Ю. Счетная линейка.— М.: Наука, 1977.
7.2. Вычислительная техника
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
Королев Л. Н. Структуры ЭВМ и их математическое обеспечение.— М.: Наука, 1978.
Карцев М. А. Архитектура цифровых вычислительных машин.— М.: Наука, 1978.
Урмаев А. С. Основы моделирования на АВМ.- М.: Наука, 1978.
Ершов A. П. Введение в теоретическое программирование.— М.: Наука, 1975.
Любимский Э. 3., Мартынюк В. В., Трифонов Н. П. Программирование. М.: Наука, 1980.
Криницкий Н. А., Миронов Г. А. Фролов Г. Д. Программирование и алгоритмические языки. СМБ.- М.:
Наука, 1979.
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
цы
I
#
и
равно, не равио, тождествепиио
равно
А
приближенно равно
~
эквивалентно, подобно
>
больше (меныше), больше (меньше)
или равно
+, -, x (), :(/, —) сложение, вычитание, умножение,
ne
деление
и,и
корень квадратный, степени i
I]
сумма, произведение
1,|
периендикулярность, параллель-
ность
угол, треугольник
градус, минута, секунда
стремится к; отображение
бесконечность
~
.
i
8
1
-
м
интеграл, определенный интеграл,
интеграл по коитуру
—
“
°
в
ы
a
A; 0).М
операторы: Лапласа, Даламбера,
Гамильтона (набла)
=>, <>
следует, следует в обе сторопы
‚3
кванторы всеобщности, существо-
_
вания
М, М'
замыкание множества, производл-
ное множество
(2
пустое множество
Е,¢
элемент принадлежит, не принал-
лежит множеству
=,<
множество содержится в MIIOXKC-
стве, содержится или совпадает
\А
разность, симметрическая разность
7
множеств
A,м,|
конъюнкция, дизъюпкция, отрица-
ние
М,R,С,Q,2
множества натуральных, действи-
тельных, комилсксных, рациональ-
ных, целых чисел
интервал, отрезок, полуиитервал
последовательпость бесконечная
(a, Б), [a, b], (a, 6]
(а„), (а, |, р.
lim, lim, lim
[а|
(aij), [ais], Hai; Il
A*, AT
rangA,spA(irA)
|a;; |, det (ау)
а, [а(а, 5), (a- b), a+b
axb,[a-b|[а,b]
(axb)c,abe
Defekt, Kern
nt
Са (;
TMв)
В,, В,
С
предел, верхний (нижний) предел
абсолютная величина, модуль
целая часть числа
мнимая единица
аргумент комплексного числа
комплексно сопряженное число
действительная мнимая часть
числа
матрица
матрица сопряженная, ‘транспони-
рованная
ранг матрицы, след матрицы
определитель
BCKTOP, модуль (норма) вектора
скалярное произведение
векторное произведение
смешанное произвеление
дефект, ядро линейного преобразо-
вания
факториал
биномиальные коэффициенты
числа Бернулли
постоянная Эйлера
е
f(x),x>f(x)
e*, exp x
In, lg, log,
sin, Cos
tg, ctg
sec, созес
Arcsin, arcsin
Arccos, arccos
Arctg, arctg
Arcctg, arcctg
sh, Arsh
ch, Arch
th, Arth
cth, Arcth
sch, csch
sup, inf
max, min
sign
Ax, Ay, dx, dy
rif |
of 0?|
OX,
CX, OX»
grad, div, rot
li, Si (si), Ci
О.о
В,Г
aij
A
к
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
число е = 2,71828...
функция, отображение
экспонента
логарифм натуральный, десятич-
ный, по оспованию a
синус, косинус
тангенс, котангенс
секанс, косеканс
арксинус, главное значение арк-
синуса
арккосинус, главное значение арк-
косинуса
арктангенс, главное значение арк-
тапгенса
арккотангенс, главное значение
арккотангенса
гиперболический синус, ареасинус
гиперболический косинус, ареако-
синус
гиперболический таптеис, ареатан-
гене
гиперболический котангенс, арса-
котангенс
гиперболический сскаис, косскаис
верхняя, нижняя грань
максимум, минимум
функция «знак»
приращение, дифференциал
производная
логар ифм ическая производная
частные производные
градиент, дивергенция, ротор
интегральный логарифм, синус, ко-
синус
О большое, о малос
бета-функция, гамма-функция
символ Кронекера
приращенис, оператор Лапласа,
разность
число п = 3.14159...
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина числа 254
— сходимость несобственного ин-
теграла 309
— — ряда 348, 354
Абсцисса 233
Автономная система 383
Адрес 694
Адресиая часть 694
Аксиома Архимела 254
— Дедекинла 253
— ипдукции 253
— непрерывности 253
Аксиомы действительных чиссл 252
— порядка 253
— сложения 252
-- теории вероятностей 579
— умножения 252
Алгебра 502
— высказывапий 490
Алгебраическая кривая 137
Алгебраические фупкции 126
— —, графики 126-131
Алгебраическое дополнение 183
— уравнение 167
— — высших степеней 171!
— — квадратное 168
— — кубическое 168
— — линейное 167
— - 4-й степени 170
Алгоритм 647, 681.
— Гаусса 186, 190
— Евклила 163. 172
— обработки 693
Алгоритмический язык 694
Аналитическая фупкция 357, 476
Аналитическое продолжение 484
Аналогии Непсра 229
Антикоммутативпость 505
Аитирефлсксивность 499
Аитисимметричность 499
Апофема 222
Апиликата 234
Аппроксимация 659
Аргумепт комплексного числа 468
— функции 260
Арсакосинус 215, график 137
Ареакотаигенс 215, график 137
Apeacunyc 215, график 136
Ареатангенс 215, график 137
Аре&функции 215
Арифметика интервалов 648
Арифметическая прогрессия 159
Арккосинус 211, график 132
Арккотангенс 211, график 132, 133.
Арксинус 211, график 132
Арктангсис 211, график 132, 133
Асиммстричность 499
Асимптота 536
— вертикальная 536
— гиперболы 243
— горизонтальная 536
— наклонная 537
Асимптотическаи точка 536
Ассемблер 695
Ассоциативная операция 502
Ассоциативность (сочстательность)
162, 252
Ассоциативный закон 252, 502
Астроида 329
Аффинное пространство 237
Базис 178
— канонический 178
— ортонормированный 181
Базисное решение 617
Байт 692
Барицентрические коорлинатгы 232
Бесконечио большая 262, 267
— малая 267
Бесконсчное произведение 362
— — абсолютио сходящееся 362
~ 5x неопределенно расходящееся
62-
— — расходящссся 362
— — сходящесся 362
— —, частичное произведение 362
Бета-функция 324
Бискция 502
Биквадратиое уравиение 170
Бинарнос отношение 499
Бином Ныотона 153
Биномиальный закон распределе-
ния 582
— коэффициеит 152
—ряд92
Бинормаль 539
Бисссктриса 217
Бит 692
Болышой круг 224, 228
Бочка (круговая, параболическая)
Булева фупкция 492
Булево программирование 642
Булсвы переменные 492
Быстро сходящийся ряд 684
Быстрос преобразованис Фурье 557
Вариационная задача Больца 375
— — изопериметрическая 373
— — Лагранжа 376
— — Майера 375
Вариационные задачи в парамет-
рическом представлении 372
— — для нескольких функций 372
— — свысшими производными 371
Вариациопный принцип 371
Вариация фупкции 268
—-— нолная 268
— функционала (1-я, 2-я) 366
Вектор 175, 503
— бинормали 539
-- гсометричсский 503
— главной нормали 539
—, длина (модуль, норма) 180, 504
— едипичный 180, 504
— касательной 539
—, координаты (компоненты) 179
— нормали 539, 542
— нулевой 176, 504
— противоположный 176
— свободный 504
— связанный 504
— скользящий 504
— управления 382
Векторная функция (Вектор-фуик-
ция) 508
Векторпос иподнространство 176
— поле 51
— — безвихревое 520, 525
— -- консервативное (потенциаль-
noc) 516
- — нлоское SII
— — солспоидальное 525
— — сферичсское 511
— — цилиндрическое 511
—- произведенис 505, 506
— — двойное 506
— пространство 175
— -- бсскопечиомернос 179
-- -- гильбертово 182
— — действительное 175
— -- евклидово 180
— — комплексное 175
— — копечномерное 179
— — нульмерное 179
Векторио-скалярное произведение
506
Векторный градиент 528
Всктор-реашение систсмы 408, 409,
657
Всктор-стомбец 184
Вектор-строка 184
Всктор-фупкция. 508
— линейная 526
Векторы взаимные 506
— коллиисарные 504
— комплапарные 504
—, линейная комбинация 504
— линейно зависимые, пезависи-
мые 504
— ортогопальные 504
— равные 5
—, сложенис, умпоженис па скаляр
Вероятность 579
— ошибки 606
— полная 581
— условная 580
Вершина конуса 223
— кривой 534
— кривой 2-го порядка 242
— мпогогранника 221
— многогранного угла 220
— треугольника, мпогоугольника
217, 218
Вствь гиперболы 242
— функции 486
Вещественные числа (см. Действи-
тельныс числа)
Винтовая линия 540
Включение 496
— собствециое 496
Висшние устройства 692, 693
Внешияя точка для множества 256
Внутренняя точка мпожсства 256
Вогиутая функция 277
Возмущающая фупкция 404
Возмущенное (невозмущенное)
движение 421 —
Возрастающая последовательность
— фуикция 268
708
Волновое уравнение 441
— — двумерное 441
-- - неоднородное 455
— — одномерное 441, 453
— — трехмерное 441, 455
Вполнс упорядочениос мпожество
500
Вронскигн 404
Вспомогательные переменные 613
Выборка без возврата 583
— большая, малая 600
— с возвратом 582
Вынуклая функция 277
Выпуклое множество 256
Выпуклый мпогограниик 615
— многоугольник 218
Выравнивание прямыми 689
-. результатов измерений 688
Высказывание 490
Высота пирамиды 221
-- трапеции 218
— треугольцика 217
Вычет 483
— логарифмический 484
Вычисленис квадратного кория 656
~ борной рациональных функций
5
Вычислительные элементы АВМ
697
Вычитгаемос 252
Гамильтониан 376
— ступени А 391
Гамма-функция 151, 198, 325, 571
-Гармоничсская функция 458, 477
Гармонические колебания 447
Гармопический апализ 549
— -- численный 556
— многочлен 460
— ряд 344
Гауссова кривизна 545
Гауссовский интеграл ошибок 584
Генеральная совокуппость 598
Геодсзическая кривизпа 548
— линия 548
——насферс228
Геометрическая прогрессия 159
— — бескоисчная 343
Гильбертово пространство 182
Гипербола 249, 242
-- равнобочная (равносторонияя)
243
Гиперболическая спираль 144
Гиперболические функции 213, 475
— косинус 213, график 134
Гиперболический косеканс 214, гра-
фик 136
— котангенс 214, график 136
— параболоид 251
— синус 213, график 136
— Taurenc 214, график 136
Гиперболическое уравнение 443,
451
— —, задача о начальных значени-
ях (залача Коши) 444
— — одноролное, исодпородное
Гиперболоил двуполостный 249
— одпополостный 249
Гипергеомстричсская функция 417
— — вырождениая 417
— — обобщенная 418
Гипергеометрическое расиределе-
ние 583
— уравнение 416
— — вырождеиное 417
Гиперплоскость 237
Гипотенуза 217
Гипоциклоида 142, 143
Гистограмма 598
— выборки 598
Главная ветвь логарифма 474
—— функции 486
ПРЕЛМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Главная диагональ матрицы 1.83
— нормаль 539
Главиое значение аргумента 468
— — корня 469
— —- несобственного интеграла
3
-- -- обратной трнгопометриче-
ской функцин
— пормальное ссчение 546
Главные кривизны 545
Главный радиус кривизны 545
Годограф 508
Голоморфная фупкция 476
Гомоморфизм 165
Гравитационное притяжение 333
Градиснт 282
— векторного поля 521
— поля экстремалей 374
— скалярного поля 513
— функционала 380, 391
Градиеитиая фуикция 374
Граница множества 256
— — верхняя (нижняя) 256
— области 470
Граничная точка множества 256
Грань многогранника 221
— многогранного угла 220
— функции верхняя (нижняя) 261,
270
— числового множества верхняя
(нижняя) 255
График отображения 50!
— функции 260
— — двух переменных 270
Графическое дифференцирование
150
— интегрирование 151
— — дифференциальных уравиепий
404
|
— приближение 150
Грунпа 165, 502
— абелева 502
— аддитивная 165
—, единица 165
—,-- левая 502
— коммутативная 165
— мультипликативная 165
--, нейтральный элемент 165
-, нуль 165
--, обратный элемеит 165
—,—— левый 503
— перестановок 155
— — знакопеременная 156
— — симметрическая 155
Групповые частоты 598
Двойной интеграл 326
—, вычисление 327
— —, замена переменпых 328, 341
--— как объем 328
— — пнесобствениый 339, 342
— — по бесконечной области 340
— —, теорема о средием значении
327
Двзугранный угол 220
Двуполостиый гиперболоид 249
Действительная ось 468
— часть комплексного числа 467
Дейстоительные числа 252
— —, геометрическое изображсние
253
Декартов лист 138
Декартова система координат 232,
505
— степень множества 498
Декартово произведение 497, 502
Декартовы коорлинаты 232, 505
Делсние в крайнем и среднем от-
ношении 160
-- мпогочленов (с остатком) 162
— отрезка в данном отношении
. 238, 245
Делимое 252
Делитель 252
- многочлена 162
-= нуля 187
Деривационная формула Вейнгар-
тсна
—-- Гаусса 547
Десятичиая пробь 147, 254
Детерминакт (опредежитель) 183
Дефект 659
- линейного преобразования 193
Диагональ 287
— матрицы главная, побочиая [83
Диаграмма Хассе 500
Диаграммы Эйлера — Венна 497
Диада 522, $27
Диадное произведение 526
Диады симметричсские ({антисим-
метрические} 528
Диаметр кривой 2-го порядка 241,
243
-- окружности 219, 241
Днаметры сопряженные 241
Диюергенция 519, 529
Дизыонкция 491
Динамическая система 382
— — автоломиая 383
- линейная 382
— - непрерывная 382
— — управляемая 383
Директриса кривой 2-го порядка
Дискретная норма Чебын:сва 663
— система 390
Дискретное приближение Чебыше-
ва 663
Дискретный авалог задачи 681
Дискриминант квадратного урав-
нения 168
Дискриминпантная кривая 400
Дискриминаитный тензор 544
Дисперсия 585, 587
Дис трибутивность {распредели-
тельность) 162, 252
Днстрибугивлый закон 252; 503
Дифференциал вектор-функции 510
-- Taro 380
-- длины дуги 533
— полный 281
-- функции лвух переменных 281
Дифференциальное урависние 392,
428
-- -. в частшых производных 428
-— — -- -- < гиперболического ‘типа
441
----- квазилинсйное 429, 432
— — —-— -. линейное 429
— — — -- -- одпоролное (нсодпо-
роднос) 429
— — — -- — параболического ‘типа
----—-.- 4-го порядка, 2-го ilo-
_рялка 431, 440
2 ---- смешиишюго типа 441
— = ee - — эллицтического THI
441.
*
-~— обыкновенное 393
Дифференциальный оператор 425
- — самосопряженный 425
-- — сопряжениый 425
Дифференцированис всктор-функ-
ции 509
-- дроби 275
— интеграла по параметру 321
-- несобственных интегралов 324
— неявяой функции 283
- по области 327
произведения 275
— ряда (почленное) 355
— сложпой функции 275, 282
Дифферсицирусмая функция 272,
--—ноx,280
-- — справа (слева) 273
—-— п раз 275
Длина вектора (модуль, порма) 180
— дуги 533, 538, 544
— иптервала 255
— кривой 312
— окружности 219
Додекаэдр 223
Долгота 236
.
Дополиение множества 256, 49
Допустимая область 613
— точка 613
— функция 428
Допустимое управление 382
Допустимый nila перевозок 629
Достижимое состояние 382
Дробно-липейная функция 203, 474,
489, графики 128
Дробно-рациональная фупкция 201,
261, графики 127
Дробпый показатель степени 205
Дробь 252
Евклидово пространство 180
Единица 252
Естественное грапичнос условие
370
Зависимые функции 285
Загрузчик 695
Задача выравиивания 689
— двух тел 438
— Дирихле 444
— —, граничные условия 680
— — для прямоугольника 449
— — — уравнений Лапласа и Пуас-
сона 463
— —, Разностные методы 680
— Коши (задача с начальными ус-
ловиями)’ 393, 444
— —, теорема существования и
единственности 394
— Лаграижа 371, 376
— линейного программирования
613
— — — двойственная 624
— — —, канонический вид 616
— — — о планировании смен 637
— ——.о покрытии 637
——- о производственных мощ-
ностях 636
— —- о раскрос 637
— — — о распределении 637
——- о смесях 636
——-— о сопоставлении 637
— — — параметрическая 638
— — — целочисленного 642
— на собственные значения (о соб-
ственных значениях) 427
————длякруга449
----- прямоугольника 449
— —- — однородная (неодиорол-
ная) 427
— Неймана 444
— — для уравпепий Лапласа и Пу-
ассопа 463
— о брахистохроне 365, 368
-- о закрепленной струне 454
— о начальных значениях (с па-
чальными значениями) 432
— с граничными значениями в
двух. точках 391
— смешанная 445
— Штурма — Лиувилля 428, 456
Закон больших чисел 595
——-— слабый 595
— — — усиленный 596
—. взаимности 452
— дополнения 325.
— композиции 176
— Пуассона 583
+ удвоения Лежандра 325
Замена базиса 618
— переменного 296, 328, 331, 341
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Замкнутая кривая 470
Замкнутое множество 256
Замыкание 256
Запись 696
,
Зпакопеременная группа 156
Зпакочередующийся ряд 347
Знаменатель дроби 252
Значение функции 260, 269
— — наибольшее, наименьшее 260
Значения признака 598
Золотое сечение 160
Изображение 422
Изолированная точка 535
— — множества 256
Изоморфизм 165
Изопериметрическая задача 373
Икосаэдр 223
Импликация 49 |
Иивсрсия 488
—- перестаповки 155
Инволюта (см. Эвольвеита кривой)
Индекс суммирования 158
— умпожения 158
Индивидная переменпиая 494
Иидивидные констапты 494
Индивиды 494
Индикатор событня 582
Индуктивный порядок 501
Иплукция 253 ©
Интеграл Гаусса 318
— лвойной 326
1
—, зависящий от параметра 321,
341
— коптуриый 477
— кратный 330
— криволипейный 314
— Кристоффеля — Шварца 488
o— неопределенпый 293
-— несобствениый 305
-- определенпый 291
— но замкнутому контуру 478
— поверхностный 333
— Пуассопа 465
-- с бесконечными пределами 307
— с неограпичеиной подынтег-
ральной функцией 305
— табличный 294
— тройной 330
— Фурье 559
— Эйлера 324
— эллиптический 302
Интегралы от алгебраических
функций 125, 294
— — гиперболических функций 117,
294
— — лробно-рациопальных фупк-
ций 295
— — иррациональных фупкций
100- 109, 295
— — логарифмических функций
119, 124
— — обратных гиперболических
функций 122
— — — тригопометрических фупк-
ций 120, 294
— — показательных фуикций 118,
122, 294
— — рациональных функций 95—
100
— — степенных функций 294
— — тригонометрических фупкций
109—117, 123, 294
— Френеля 571
Интегральная кривая 393
— — особая 400
— поверхность 430, 432
— показательная функция 118
— сумма 291, 315, 316, 330, 334, 335
— теорема Коши 478
Интегральные формулы 338, 523
——Коши478
Интегральный косинус 111, 571
709
Интегральный
логарифм 119,
294
— призпак сходимости 347
— синус 109, 198, 571
Интегратор 697
Интегрирование дробно-рацио-
нальных функций 297
— иррациональных функций 300
— несобствениых интегралов 323
— по частям 296, 311, 523
— подстановкой (замепа перемел-
ного) 296, 311
— разложением в ряд 293
— рациональных фупкций 297
— трансцеидеитных функций 302
— элементариых дробей 298
Интегрируемая функция 291, 326
Интегрирующий множитель 396
Интервал 255
— пеограниченпый 255
Интериоляционная поправка !1[
Интерполяционные формулы 666
Интерполяционный мпогочлеи 663
— -- Бесселя 666
— — Гаусса 666
— — Лагранжа 663
— — Лежаилра 660
— — Ньютона 663
— — Стирлинга 666
— — Эверетта 666
Интерполяция 11, 664
— квадратичная |]
— кусочная 665
— линейная [1
Инфимум 501
Инъекция 502
Иррациопальное выражение 163
Иррапиональные функции 205, гра-
фики 130
— числа 254
Исследование функций 279
Истинностное зпачение 490
Исходная программа 694
Итерационные мегоды 655
— — лля нелинейных уравнений
Итерация дробная 655
— проетая 655
Каноническая сисчема дифферен-
циальных уравиений 438
— форма уравнения 442
Канонические преобразования 436
— уравнения динамических систем
383
Канонический базис 178.
Каноническое уравиепие кривой
2-го порядка 239
— -- поверхности 2-го порядка 247
Кардиоила 139
Касательная к графику фуикции
273
— к кривой 2-го порядка 24H, 24’.
— к плоской кривой 532
— к простраиствениой кривой 539
-- плоскость 541
— к графику функции 281
Катет 217
Качесгвенниос программирование
699
Квадрант 233
Квадрат 218
Квадратичная форма 197
— -. главные оси 198
— — каноническая 198
— -- нсопределениая 288
— — поверхности ипсрвая, вторая
543, 545
— — положительно (отрицательно)
определенная 198, 288
— — нолуопределенная 198
— —, приведспие к главпым осям
198
710
Квалдратичиая функция 200, 489;
график 126
Квадратная матрица 182
— — вырождениая (особепиая) 183
-- -- невырожденная (неособеиная)
183
Квадратнос уравиепие 168
Квадратура Гаусса 670
Квазилинейное уравнепис 429, 432
Квазипорядок 500
Квантор 495
— всеобщности 495
— свободный 495
— связанный 495
— существования 495
Класс эквивалситносги 499
Классификация дифференциальных
уравнений 443
— кривых 2-го порядка 239
Клин 222
Клотоида 145
Ключевое уравненис 686
Кфовариантные координаты 233,
235
Ковариация 590
Когредиептиос преобразованис ко-
ординат 180
Код операции 694
Колебание мембраны 448
— стержня 448
— струны 447
Коллиисарные векторы 504
Колоколообразпная кривая 584
Кольцо 165, 503
— ассоциативное 165, 503
— коммутативное 165, 503
— круговос 220
— матриц 187
Команда 693
Комбинаторные задачи 154
Коммутативпая операция 503
Коммутативность (персстановоч-
ность) 162, 252, 503
Коммутативный закон 503
Компилятор 695
Компланарные векторы 504
Комилекспая плоскость 468
— фуикция 471
‘JOMIVIEKCHO сопряженная матрица
8
- сопряженные числа 467
Комплекспыс числа 466
— —.алгебраическое представле-
ние 468
— —, показательная форма 468
—, тригопометрическая форма
Композиция линейных прсобразо-
ваний 195
— отображений 502
— функций (супериозиция) 26!
Конечная числовая последоватгсль-
пость 158
Копечнос мпожество 255
Конечные суммы, формулы 160
Копическая поверхность 223
Конические сечения | 240
Констаита 261
— Липшица 269
— предикатиая 494
— Эйлера 325
Консганты 492
Контактное преобразовапие 437
Контравариаитные коордипаты
232, 235
Коптрагралиентное нреобразова-
ние координат 180
Контурный иитеграл 477
Копус 223, 249
— Монжа 431
— прямой круговой 224
— усеченный 224
Конформное отображение 487
— — первого, второго рода 487
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конхоида 139
— Никомеда 139
Копъюикция 491
Координатные ликии 512, 541
—оси232 —
— плоскости 233, 234
— углы 233
— функции 379
Коорлипаты барицеитрические 232
— вектора 179, 504
— аффинные 505
— декартовы 232, 505
-- ковариаитныс, контравариантг-
ные 232, 235, 505, 506, 507
-- косоугольные 233, 234, 505
— криволинейные 233, 541
— полярные 233
— середины отрезка 238, 245
— сферические 235, 513
— точки 233, 50
— — деления отрезка в данпом от-
ношении 238, 245
— — пересечения двух прямых 238
— центра тяжести 245
— цилиндрические 236, 512
Корень квадратный, кубический,
п-й степени 163
— миогочлена 199
— уравкепия 167
Kopuenoc условие 677
Корректно поставленная задача
4
Корреляционпый момсит 590
Корреляция 590
Косвенная адресация 694
Коссканс 206, график 132
Косинус 206, график 131
Косинус-прсеобразованис Рурьс 560
Косинусы паправляющие 238, 246
Косоугольная система координат
233, 234, 505
Котаигсис 206, график 132
Коэффициент корреляции 590, 592.
611
— пропорциопальности 126
Коэффициенты регрсссии 591
— Фурье 549
Краевая задача 393, 424, 444
— — однородная, исоднородная
424
— — определениая 428
— — первая 465
— — самосопряжсниая 426
Красвой метод 678
Краевые задачи для уравнений
Лапласа и Пуассона 463
— условия 1-го, 2-го, 3-го posta 444
— — Штурма 426
Кратный иитсграл 330
Кривая алгебраическая 137
— вгорого порядка 239
— — -- параболическая 240
— — — цеитральная 239
— гладкая 314
— Жорлапа 470
— замкнутая 470
— интегральная 393
— колоколообразная 584
— кусочно гладкая 314
— плоская 137, 531
— простраиствениая 538
Кривизна кривой 532, 540
— на поверхпости 547
— поверхности 545
Криволинейные координаты 328,
541
Криволинейпый интеграл 314
— — в вскториом поле 514
——Коши315
— — 1-го рода, 2-го рода 315, 316
— — по замкпутой кривой 316
Критерий базиса 179
— выпуклости функции 277
— интегрирусмости Римана 291
Критерий Коши 262, 344, 350
— параметрический 608
— Рауса — Гурвица 422
— свободный от параметров 608.
— согласия 608
— — Колмогорова — Смириова 610
— сходимости Коши 258, 260
— — несобственных интегралов 308
- Уилкоксопа 607
Е-критерий 607`
{-критерий 607
%2-критерий 608
Круг 219
— кривизны 534
- сходимости 480
Круговое кольцо 220
Круговые функции (см. 'Тригопо-
метрические функции)
Кручение кривой 539
Куб 221
Кубическая парабола 127
-— резольвента 170
Кубическое уравнение 168
Кусочно гладкая кривая 314
— испрерывная функция 267
Левая система координат 235, 505
Лексикографический порядок 623
Лемма Гейнс — Бореля 257
— Дюбуа — Реймона 367
Лемписката 140, 536
Лнисаризация 658, 690
Лиинсаризованиая система 422
Линейная зависимость (независи-
мость) вскторов 177
— интерполяция 11
— комбинация векторов 177
- оболочка 177
-- система ‘дифференциальных
уравнсний 407
ane -- однородная, иеоднород-
ная 407
урависиий (алгебраических)
189
— фуикция 126, 200, 488
Линейно зависимое (независимое)
мпожество 177
— зависимыс фуикции 404
— иезависимые векторы 177, 182
-- упорядочеиное множество 501`
Линейное дифференциальное урав-
нение 404
--—— 2-го порядка 410
— — — одпородное, исоднородное
404 .
|
—- — с постоянными коэффици-
еитами 406_
— преобразование 192
— — взаимпо однозначное 193
— —, представление B виде матриц
193
— программирование 613
-- пространство (см. Векторное
пространство)
— уравненис (алгебраическое) 167
Линейность 499
Линейный оператор 192
— — вырожденный (певырожден-
ный) 193
— — обратный 195
— — симметрический 197
—- — тождественный 195
— элемент особый 400
— — поля направлений 395
-- -- регулярный 400
— -- уравнения 400
Линейчатая поверхиость 546
Лннии вихря 520
— кривизны 547
— регрессии 591
— тока 512
— уровня 270, 510
Лист Декарта 537
Лист Мёбиуса 333
Логарифм` 474
.- десятичпый 35
- натуральный 474
Логарифмичсская линейка 686
„- производная 273
— сиираль 536
— точка ветвления 487
`-- фумкния 213, .489, график 133
— — ‚ разложение ‘в ряд 93
Логарифмическое урапнение 175
Логическая опсрадия 490.
- функция (иредикат) 494
Логические связки 490
Локон Апьези 138
Ломаная Эйлера 674
Мажсраита 501
Макрвокоманда 694
Максимальный (минимальный)
элемсигт множества 255,
Максимум фуикции 278, 288
— --. локальный 278, 288
-- функционала 366
— -- абсолютный 366
—— сильный 366
-- -- слабый 366
Масса 320, 329, 332
Математическая выборка объема ля
98
Математическое обссисчение 696
— ожиданис 585, 586
Матрица 182
- базнсная 617
— верхняя (нижняя) треугольная
182
— вырожденная 185
-- Гильберта 660
-- Грама 659
-- диагопальная 183
-- единичная 183
-- квадратичной формы 197
-- квадратная 182
коварнации (корреляции) 590
— комплексно сопряженная 188
— кососимметрическая 188
— косоэрмитова 188
— коэффициентов 189
— -- расширенная 190
— невырождеиная 185
— нулевая 183, 186
- обратная 187
— ортогональная 188
— противоположная 187
— размера тхл 182
— разреженная 681
—, ранг 185
-- симметрическая 188
—, след 183
— транспопированная 183
— трапсциевидная 186
— треугольная 182
— упитарная 188
—, элемент 182
— элементарных вращений Якоби
4
-- эрмитова 188
— Якоби 654 |
Матрица-столбец 183
Матрица-строка 183
Матрицы подобные 194
— равные 186
—, сумма, разность, произведение
на число 186
— сцеплениые, умножение 187
— квивалситные 194
Матричнос уравиение 188
Машиннос слово 692
Медиана 217
Мера падежности 604
Меридианы 541
Метод Адамса 676, 677
— Адамса -- Мултона 676, 677
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод вариации постоянной 397
— выбраиных точск 690
— Галёркина 679
— Гаусса — Жорлана 649
— Гаусса — Зейделя 652
— градиента 391
— — проекционный 391
— — условный 391
-- градиентиого спуска 380
— исключения Гаусса 649
— игерации, 65!
— квадратичной ошибки 679
— коллокаций 679
-- Коши 405
—- краевой 678
— Лобачевского — Греффе 657
— ломаной Эйлера 674
— математической индукции 253
-- Мизеса 655
-- Милиа 676
— многошаговый 676
-- моментов 602
-- наибольшего правдоподобия
6
— наименьших квадратов 289, 659,
689
— пеопределенных коэффициситов
204
— исявный (закрытый) 676
— Hucrpéma 676
— Ныотона 656
— Ныотона -- Канторовича 658
— областей 678
— одношаговый 675
—‘ортогопализации 679
— — Шмидта 181
— отделения 685
— Пикара 403
— подстановки пулей знамснателя
299
-. — числениых значений 204
-- последовательных приближений.
Пикара 403
— потенциалов 632
— предельных значений 205
— предсказание — уточисние 677
— приравиивания коэффициентов
298
’
— проверки 606
— разветвления 645
— разделения перемениых 430
— релаксации 378
- Римана 451
— Purua 379
— Рунге 675
— Рунге — Кутга 675
-- сведения к задаче с начальными
значениями 678
— секущих 656
— ссчения Гомори 643
— сравнения кооффициситов 354
— средних 689,
— стенсииой 655
— суперпозиции 431
— схолящийся 677
— — порядка р 677
— телескопа 663
— Фурье 445
— Хенричи -- Милиа 676
— хорд 656
— частичных областей 679
— Эйлера 378
— экстраполяции 672
— явный (открытый) 676
— Якоби 651, 654
Мегоды градиснтные 391
— итерации 655
— прямые (косвенные) 378, 391, 653
-- разностные 679
—. эвристические 678
Метрика 180
Метрические коэффициеиты 506
Метричсскний тензор 543
Минимальная поверхность 546
ТИ
Минимальный мпогочлен 659
Минимизирующая последователь-
ность 378
Минимум функции 278, 288
— — локальный 278, 288
— функционала 366
— — абсолютный 366
— -- сильный 366
-- — слабый 366
Минор 183
Миноранта 501
Мнимая слиница 467
— ось 468.
— часть комплексного числа 467
Мнимос число 467
Многограиник 221
— правильный 222
Многограниос множество 614
Многограпный угол 220
— -, вершина, грапи, ребра 220
— -- выпуклый 22!
——,илоский угол 221
Многолистпая поверхность 486
Многообразие разветвления 433
Многосвязная область 256, 470
Многоугольник 218
— правильный 218
Многочлен 162, 199, 261. 473
— интерполяционный 663
—, капопическая форма 199
—, корень (нуль) 199
—,- кратности К 200
--, коэффициенты 199
-- Лежаидра 418
— исприводимый 199
— приводимый 199
—, степень 162
Мпиогочлены взаимио простыс 163
—, деление с остатком (алгоритм
Евклида) 163
-- Лежандра 660
-- ортогопальные 660
-- Чебышева 061
Миожества дизыонкгные 496
— равномощиые 503
Мпожество бесконечное 255, 503
— выпуклое 256
— лосгижимости 3&2
замкнутое 255
— зпачений фуикции 26)
— индексов 49%
— копечное 255, 503
— He болсс чем счетное 255
— несчетное 255, 503
— ограниченное 255
— -- сверху (спизу) 255
— открытое 255
-- производное 256
— пустое 496
— равпомерно ограниченное 352
равностепенно исирерывнос 352
связное 256
счетное 255, 503
— точечное 255
— числовое 255
Множители Лагранжа 373
Мнпожитель интегрирующий 396
— пормирующий 238
Модуль 695
— вскгора 180
— действительного числа (см. Аб-
солютная величина)
— комплексного числа 467
— функции 473
Молскула 680
— асимметричная 680
— пятигочечная для оператора
Лаиласа 680
Момент инерции 314, 329,
— корреляционный 590
— начальный 585, 586, 589
— случайной величины 585
— —-— многомерной 589
— центральный 585, 589
712
Момент эмпирический 602
Монитор 696
Мопотонная последовательность
258
— фупкция 268
Мещиость множества 503
Мультипрограммный режим 693
Набла-оператор 522
Наблюденные значения 598
Наибольшее (наимсиьшее) значс-
ние функции 261, 270
Наибольший (наимеснымий) эле-
мент множества SOI
Наклон касательной (см. Угловой
каффициеит)
Наклопнос сечение 547
Накопители 692
Направление закручивания 539
Направляющая конической повсрх-
ности 223
— цилиплрической поверхиости
223
Направляющие косинусы 238, 246
Направляющий вектор 245
Натуралыиые числа 253
Натуральный логарнфм 474
—, главная ветвь 474
— параметр 539
Начало координат 232, 505
Невозрастающая (псубьышиощая)
последовательность 258
—(—) функиия 268
Нелинейные уравнения диффереи-
циальные 420
Неолиородная красвая задача 424
— система дифференциальных
уравнений 409
Неолднороднос дифференциальное
урувнсние 395,
9
Чеопроледениый интеграл 293
Нуполвижная точка нерсстанорки
156
Непрерывная кривая 470
— слева (справа) функция 266
-- случайная всличина 583
- фупкция 265, 271
Непрерывно дифференнируемая
фуикция 275, 280
Непрерывный сисктр 559
Неравенства 163
— эквивалентные 164
Неравенство 163
- Бернулли 254
-- выполнимое (певыполинмое) 163
— Гарнака 463
— Коши 164
— Коши - Буняковского 181, 254,
467
— Минкогнского 164
—, решение 164
— тождественное 163
— треугольника 180, 254, 467
— — обобщениое 254
— упиверсальное 163
— Чебышева 164, 596
обобщенное 164
Нссобствениый иитсграл 305
-- = абсолютно сходящийся 309
— -- ‚ главное значение 308
- -,--- в смысяе Коши 306
—- `лвойной 339, 342
— --, зависящий от параметра 322
— -.. критерий сходимости 308
— --, равномерио сходящийся 322
- — расходящийся 305
— —‘сходящийся 305
— — тройной 339
— --, функция сравиения 309
Неубывающая последовательность
258
— функция 268
Нсявиая функция 260
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нижняя грань множества 255, 501
- - точная 255
—- функции 261, 270
Номограмма из зыравнепных то-
чек 687
Номограммы сетчатые 688
Норма вектора‘ (модуль, длина)
180
-- элемента в гильбертовом прост-
раистве 182, 659
Нормаль 532
Нормальпая плоскость 539
— система дифференциальных
уравнений 438
Нормальное распрелелепис 584
— сечение новерхности 546
Нормироваиное распределение 584
— уравнение прямой 238
-- - плоскости 246
Нормировка фуикции 700
Нормирующий множитель 238
Носитель линейного элемента 395
Нули многочлена 199
— рациональной фупкции 201
-- функции 267, 473
Нуль 252 _
Обслиск 222
Область 256, 470
— зависимости решения 451
-- замкнутая 256, 470
-- мпогосвязная 256, 470
-- односяязная 256, 470
-- определения фуикцни 260, 269,
471
-- сходимости 349, 350
-- управления 382
О болылос, о малос 267
Образ (изображенис) 192
= отпоения 499
— отображения 581
Образующая конуса 223
-- прямолинейная 223
— цилиндра 223
Обратная залача нариационпного
исчисления 377
—. пропорциональность 126
— функция 261
Обратпое преобразованис Лапласа
572
Обратные гиперболические функ-
ции (ареафункции) 215
—— —, разложение в ряд 95
-- тригснометричсские фупкции
211
———, разложение в ряд 94
Общий интеграл лиффереициаль-
ного урависния 395
— -- система дифференциальных.
уравнений 395
Обтьсдинение множеств 496
Объскт загрузки 695
Объектиая программа 694
Объем тела 332, 337
-- - вращения 313
Обыкновенное дифферсициальнос
урависнис 393
— ---- в исявпой форме 393
-—- в полных дифференциалах
396
-- -- —, интегрирование с помощью
рядов 403
— — - линейное 393, 397, 404
— -- — пелинейнос 420
— — -- исолпороднос 397, 404
-.- — —, общее решение 393
-- -- — одноролное 395, 404
— — -- первого порядка 395
— — — с разлеляющимися перемен -
ными 395
—-—, частное решение 393
Овалы Кассини 140
Огибающая 436
Отнбающая семейсква 53%
Ограничсенис 499
Отрачиченная послеловательнос те
257
— функция 261, 270
—-- сперку (снизу) 261, 270
Ограниченное мпожество 256, 501
Олнолистиая область 485
‘
— фуикция 485
Олнопояостиый гиперболонд 249
Олднородная красная залача 424
— система линейных уравнений
139
Однпороднос дифференциальное
уравиенис 395, . 429
— - -- линейное aoa
Односвязная область 256, 470
Одношаговый метед 675
Окрсестность 256
#-окрестность 256
Oxpyrscune числа 146
-- -. с избытком, с ислостагком
148
Окружность 219, 241
-- вписаниая (описаиная) 241
—, длина 219.
—, уравнение 241
Эктант 255
Октаэдр 223
Опесрандл 693
Опсратор Гамяльтона (пабла) :
— Даламбера 441
— Лапласа 441. 521
— линейный 192
- обраргиий 195
- поножительный 457
-- самосопряженный 457
— гождестьснный 195
-- эллинтический 445
- эрмитов 457
Опер аторный мсгод решения урав-
исиий 423, 4\)
Oneparopst 694
Операционная система 692, 696
Операция я-местная (л-арная) 502
-- павешивания кваитора 495
— нульместная 502
— сложения, умпожения 503
Опорные точки 696
Определенный интеграл 291
Определитель 183
-- Вронского 404
—. вычисление 184
-. разложсиие по элементам стро-
ки (сголбца) 184
Оипрсделяющее уравнение 412
Оптимальная трасктория 383
Оптимальное состояние 383
-. управление 383
Оптимальшый происсс 383
Оптимизационная залача 387, 390
Ордината 233
Орзи‘ипали 422
Ориентация поверхности 516
Ориситированная плопадь 238,
320
w
t
r
m
г
:
Ориенгированный объем 245
Ортогопальная проскцня, 181
-- система
— составляющая 181
Ортогоначльнос дополнение 181
Ортогональные векторы 181
-- многочисны 660
— подпространства 181
Ортонормироваимая cucrema 181,
660
-- -- поллая 549
Ортопормированиый базис 181
Ортоцентр 217
Осевое поле (цилиндрическое) 511
Оспование трапеции 218
— ‘треугольника 217
Осповная теорема алгебры 171,
199, 474
Основиые эквивалентности 493
Особая точка 476, 531
-- — изолированиая 401, 476, 535
—- кривой 535
— — поверхности 542
“=~, WONOC порядка. 482
— — регулярная 476, 482
— -- существенно 482
-- устранимая 482
Особое решение 436
Особые точки диффереициального
уравнения 400
— — — -— регулярные 411
Особый интеграл 400
Остаток (остаточный член ряла}
344, 35
Ось абсцисс 233
-- апплникат 234
-- кривой 2-го порядка 240, 242
-. ординат 233
Отклонение срелиес квалратичное
585, 587
- стандартное 585, 587
Открытое множсство 256
Отладка программы
Отиосительмая погрешность 149
Отиошение бинарнос 499
— квазипорядка (иредпорядка) 500
— н-месгиое (п-арнос) 498
— полное (универсальное) 499
— порядка 500
— пустое (пулевое} 499
— частичного порядка 500
— эквивалелтностц 499
Отображение 50!
-- бисктивное 502
— длифференцируемос 284
— инъективное 502
— конформное 487
— многозначное SO!
-- нспрерывиное 284
—, образ (прообраз) 501
— обрагное 501
-- однозначное 501
— соръективносе SOI
-- поверхностей 544
— ToxuccrBennoc 502
- эквиареальнос 544
Отрезок 255
— цилиндра 223
Отрицание 491
— высказывания (инверсия) 490
Отрицательное число 253
Оденка ‘асимитотически HCCMCILICH-
ная 602
— более эффективная 602
-- доверительная 604
-- наиболее правлоподобиая 603
— несмещенная 602
— состоятельная 601
= точечная 601
— эффективная 602
Ошибка 647
-- дополнительная 648
— интерполяции 664
- истинная 647
— -- отиосительная 647
-- максимальная 648
метода 648
-- обрыва 648, 675
— -- локальная 675
— обусловленная входом 648
округления 148, 675
первого, второго рола 606, 607
— случайная. 648
|
Накетная обработка 695
Памать 692
— иневшияя, внутренняя 692
Парабола 240, 243, график 126
—, уравнение 244
Параболические кривые 240
Параболический цилиндр 251
` ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Параболическое выравнивание 490
— уравиение 443
Параболоид вращения 251
— гиперболический 251
— эллинтический 249
Паралленепипед 221
— прямоугольный 221
Параллели 541
Параллелограмм 218
Параллельные плоскости 220
— прямая и нлоскость 220
— прямые 220
Параллельный перенос системы
координат 223, 236
Параметр 321
— распределения 583
— фокальцый 242
Первообразная 293, 478
Первый интеграл системы 394
Переименование свободное (свя-
занное) 495
Перемениая свободная, связанная
495
Перенос, вектор переноса 237
Пересечение мпожсств 496
Перестановка 154
— обратная 155
— с повгорепием 157
— тождествениая 155
— чегная, исчетная 155
Период фупкции 268
Периодическая функция 207, 268
Пи (число) 219
Пирамида 221
-- правильная 222
— треугольная 222, 245
— усечениая 222
Плаи согласования 699
— — нормированный 700
Плоский угол многогранного уг-
ла 22)
Плоское полс 510
— — векториос 511
Плоскость 246
Плотность распределения 584
— — вектора 588
— — нормальчого 588
— совместная 588
Площадь кольца 220
— криволипейной трапеции 312
— круга 219
— многоугольника 218
— параллелограмма 218
— поверхности 544
— — тела вращения 313
-- прямоугольника 218
— сегмента 220
— сектора 313
— треугольника 217
— четырсхугольника 218
Поверхностный иптсграл 333
— — в векторном поле 517
— - 1-го рода, 2-го posta 334, 335
Поверхиость 540
— второго порядка 247
— — —. классификация 248
— — —, приведение к капоничс-
скому виду 247
— гладкая 333
— двусторонняя 333
— коническая223
— кусочио гладкая 333
— линейчатая 546
— минимальная 546
— многолистпая (риманбва) 486
— односторонняя 333
— ориентированная 516
— постоянной кривизны 546
-- развертывающаяся 546
— уровия 270, 510
— цилиндрическая 223
Поворот системы координат 233,
Погрешность абсолютная 149
713
Погрешность истипная 149
— относительная 149
— предельная 149
— приближения 149
Подкасательная 532
Подматрица 183
Подмножество 496.
— собственное 496
Полнормаль 532
Подобные матрицы 194
— троугольиики (мпогоугольники)
217
Полпоследовательность 258
Подпрограмма 695
Подпространство 176
Подстановки Эйлера 301
Показательное уравнение 174
Показательные функции 212. 474,
475. графики 133 `
— --, разложение u ряд 93, 474
Покрытие 257
Поле 503
— 653 источников 525
— векторное 511
— чгправлений 395
-- скалярное 510
— экстремалей 374
— — центральное 374
Полипом (см. Многочлен)
Полипомиальнос расипределенис
588
Полиномиальпый коэффиписит
153
Полная вариация функции 268
— кривизна 548
— ортои:‘рмированиая сисгема
Полное уперлчлоченнс 501
Полнота
Полный лифуероициал 281
— иитеграл 4.:6
— просбр: 192
Положительное число 253
Полу! pyrma 502
Позунитервал 255
По;’,кубическая парабола 138
Полупепрерывиая функция 269
Полуупорядоченность 500
Полюс 233
— дробно-рацнональной функции
201
— северный, пложный 47!
— функции 482
.
Полюснос расстояние 150
Полярная ось 233
— система координат 233
Полярное расстояпие 236
— уравиенис 240
Полярные координаты 328
Полярный угол 233
Поправка иитерполяции. 11
Порожлающая система 177
Порядок 500
— величины функции 267
Послеловательпость 257, 479
— возрастающая (убывающая) 258
— конечная 158
— мопотонная 258
-- иевозрастающая (неубывающая)
258
— перавномерно сходящаяся 350
-- ограничепная 257, 259
— первых (вторых) разностей 159
— постоянная 159
— равномерно сходящаяся 349
— расхолящаяся 258, 259, 479
— строго возрастающая (убываю-
щая) 258
— сходящаяся 258, 259, 349, 479
— точек 259
— функциональная 349
-- числовая 257
Постоянная Липшица 269
— Эйлера 325, 571
714
Постоянные функции 126
Потенциал векторного noun 516
— запаздывающий 456
— силового поля 320
Потеря значащих разрядов при
вычислении 648.
Поток векторный 517
— скалярного поля 517
— скалярный векторного поля 517
Почлениое дифференцировапие ря-
да 355
— интегрирование ряда 351, 355
Правая система координат 235, 505
Правило знаков Декарта 173
— Крамера 191
— ложного положспия 656
— Лопиталя 264
—'миогоугольника 504
— Henepa 231
— Ньютона 173
— параллелограмма 504
— подстаповки 296, 311
— Саррюса 184
-- северо-западного угла 631
— средией точки 676
— трапеции 676
— треугольника 504
Правильная дробио-рациональная
фуикция 261
— точка функции 676
Правильные мпогогранниики 223
Правый punt 335
Предел всктор-функции 508
— последовательности 258, 349
— — вскторов 508
— — верхний (нижпий} 259
— фупкцин 261, 473
— — многих переменных 270
-- — справа (слева) 262
Пределы интегрирования 291
— суммирования 158
— умножения 158
Предельная теорсма для характс-
рисгической функции 594
- — интегральная 597
—-- локальная 596
-- - Муавра -- Лапласа 596
— — центральная 597
— точка множества 256
— функция 349
Предельный элемсиг мпожества
|
Прсдикат 494
— лвухместный (бинарный) 495
— индивидуальный 494
— л-местный (n--арный) 494
— одноместный (упарный)} 495
— исременный 494
Прсдикатная Kouctarra 494
— формула 495
Предикатный символ 494
Предметная область 494
— псремениая 494
Прелставленис Гаусса 325
Преобразование Кельвина 462
— координат 180, 233, 236
— — когредиситное (контраграли-
еитнос) 180
— Лапласа 422, 450
— Лежапдра 437
— Фурье 560
— Эйлера 684
Приближение 659
— наилучшес 659
— равиомернос 662
— чебышевское 662
Приближеннос дифференцирова-
° ние 673
— значение числа 148
— — -—, верные цифры 148
— интегрироваиис 668
Приближенные формулы для элс-
ментарных фупкций 150
Приведенное урапиение 168
.. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ _
Призма 221
— правильная 221
— прямая 221
Признак Абеля 347, 351.
— Вейсрштрасса 350
— Гаусса 346
— Даламбера 345
— Дирихле 348, 351
— Кордана -- Дирихле 559’
— интегральный 347
— Коши 346, 347
— Лейбница 347
-- Маклорсиа 347
— сравнения рядов с положитель-
ными членами 345
Принцип выбора 502
-- выравнивания 688
— Гамильтона 371
— Дюамеля 454
— максимума 391, 477
—— JUIN гармонических функций
462
— — Понтрягииа 384, 389
— — слабый 391
— — модуля 477
— пепрерывности 485
—- — Дедекинла 253
— симметрии Шварца 485
-- Цорна 501
Принципы максимальных ценей
Присосдиненная вектор-функция
— система 383, 389, 391
Присоедиисиные фуикции Лежаил-
ра 383
Присосдиненный вектор 383, 391
Программа 693
Программирование 694
Программиое обеспечение 696
Прогрессия арифметичсская 159°
— геометрическая 159
Произпеденис бескопечное 362
— матрии [87
-- отображений 502
— перестановок 157
— рялов 349
— чисел 252
Производная 272, 476
— вторая 273
— высших порядков 273, 280
логарифмическая 273
— по направлению 281, 513
- но пормали 524
— по объему 519
— порядка л 273
— слева, сирава (лсвая, праная)
73
-. таблица 274
— частная 280
Производиое множество 256
Производящая функция случайной
величины 595
Промежуток 255
Прообрал (оригинал) 192
— отиошения 499
— отображсния 501
-— — полный SO!
Пропозициопальная перемениая
490
— формула 490
Пронозициональные формулы °жк-
вивалентшие (равносильные) 493
Пропорциональная зависимость
прямая, обратная (26
Простейшая дробь 203
— задача вариационниого исчисле-
ния 365
Пространственная кривая 538
Пространство векторное [75
— гильбертово 182
— свклидово 180
— управления 382
Процессор 692
Прямая 238
— в пространстве 245
Прямолинсйная образующая 25)
Прямоугольная система координат
232, 505
Примоугольцик 218
Прямоугольный параллелепипед
22
— треугольшик 217
Прямые методы 378, 391, 653
Пссвдосфера 546
Путь интегрирования 477
Работа силы вдоль кривой 320
Равенство третьему 499
Равпобедренный треугольник 217
Равиобочная гниербола (равнос ro-
ронняя) 243
— трапеция 218
Равномерно непрерывная функция
268, 272
-- ограниченное множество 352
— сходящаяся последовательность
349
— сходящийся иктеграл 322
—-- ряд 350, 354
Равиомсрное приближение 662
— распределение 583
Равпостспенно нсирерывное мно-
жество 352
Радиаи 64, 225
Радикал 163.
Радиус кривизны 534. 539
--- глацный 545
— кривой 2-го порядка 241, 243,
244
— кручения 539
— окружности 241
— — вписанной (описанной) 226,
5
- сходимости 353, 460
Радиус-всктор 505
Разброс 585, 587
Развертка окружности 144
Раззертывающаяся поверхность
Разделение времени 695
— псремеииых 430
Разделенная разность 663
Разложснис в ряд Лорана 481
— — —- Тейлора 276, 358, 481
— —-- — численно пригодное 684
---- — Фурье 549
— дроби на простые (ина элемен-
тарныс) 100
— на мпожитсли 172
— - простейшие дроби 474
— по многочленам Чебышева 661
— — ортогональцым многочленам
660, 661
‘
— — собственным функциям 427,
57
Размер матрицы 181
Размериость простраиства 179
Размещение 157
—- с повторением 157
Разпостная схема 665
Разпостиое отношение 272
— уравиение 676
Разностные операторы 665
Разпость арифметической прогрес-
син 159
— запаздывающиая 665
- мпожеств 496
,
— симметрическая 496
— опережающая 665
— исрвая, вторая 159
— иситральиая 665
-- чисел 252
Разрез 485
Разрешающая строка 618
Газрешающий столбец 618
— Элемент 618
Разрыв функции 266
— — бесконечный 267
— — конечный (скачок) 266
—- 1-го, 2-го рода 267`
— — устранимый 266
— —, точка разрыва 266
Разрывная фуикция 266
Ранг линейного прсобразования
— матрицы 185
-— —, вычисление 186
Распределение 582
— асимптотическое 597
— биномиальное 582
— вектора 587
— Гаусса 584 —
— гипергеометрическое 583
— граничное 589
— пормальнос 584, 588
— полиномиальнос 588
— Пуассона 583
— равномерное`583, 588
— случайной величины 581
— Сгьюдеита (1-распредслсенис) 600
— условное 590
— экспоненциальное 584
— F (Е-распределсние) 601
— Z (2-распределение) 601
— x? (х2-распределение) 600
Распространение теила 448
Расстояние между двумя точками
237, 244, 255, 508
— — прямыми 246
— от точки до прямой 239, 246
Расходящаяся иоследовательность
258
Расхоляшесся произведение 362
Расхолящийся иесобственный ин-
теграл 307
— рял 343
Расхождепие (см. Дивергсиция)
Расширенная матрица кофици-
ентов` 190
Рациональная фуикция 201, 261
— — нравильная 261
|
— — целая 261
Рациональное число 254
Ребро многограниика 220
— многогранного угла 221
Регистр 693
Регулярная точка диффереипиаль-
ного уравнения 411
—- — — особая (слабая особая
точка) 411
—- функции (правильиая} 476
— функция 476
Резольвента 170
Рскуррентная формула 298
Рельеф функции 473
Рефлексивиость 499
Решение треугольников 225
— — сферических 229
Риманова поверхность 486
Ромб 218
Ротор (вихрь) 520, 529
Ряд 343
— абсолютно сходящийся 348
— безусловно сходящийся 349
— бесконсчный 343
— биномиальный 92
— быстро сходящийся 684
— гармонический 344
— знакочередукицийся 347
—, критерий Коши 344
— Лорана 481 `
— —, главная часть 482 =
— —, регулярная часть 482
— Маклорена 276
—, необходимый признак сходи-
мости 344
—, общий член 343
—, остаток 344, 350
— равномерно сходящийся 350
— расходящийся 343
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд с комплексными членами 479
— с неотрицатсльными членами
44
— степенпой 352, 480
—, сумма 343, 480
— сходящийся 343, 479
— Тейлора 276, 358, 481
— условно сходящийся 348
— функциональный 350, 480
— Фурьс 549
—, частичная сумма 343
— числовой 343
Самосопряженный оператор 425,
452
Свертка плотпостей 592
Связанный алгоритм 650
Связки 490
Связное мпожество 256
Связность 499
Сглаживающий многочлен 689
Сегмент (см. Огрезок) 255
— кривой 2-го порядка 243
— круга 220
— шаровой 224
Седло (особая точка) 401
Секанс 206, график 131
— гиперболический 214
Сектор круга 220
— шаровой 224
Секущая 219
Семейство полмпожеств 498
Сетка 679
Сечение в множестве действитель-
ных чисел 253
Сила притяжения 338
Символ 692
— Кронексра 507
Символы Гаусса 290
— Кристоффеля 547
— Лаплау (о малос, О большое)
267
Симметрическая группа 155
Симмстричпость 499
Симилекс-метод 615
— лвойственпый 625
— — модифицированный 625
Симплекс-множитель 632
Симилекс-таблица 616
— лвойствсино-шарожденная 625
— лвойствсино-допустимая 625
— модифицированная 626
Симплекс-шаг 618
Синтаксис языка 694
Синус 206, график 131
— гиперболический 213
Синусоила 131
Сипусоидальная фуикция 210
Синус-прсобразование Фурье 560
Система динамическая 382
— дифференциальных уравнений
:
0
——— в частных производных 430
—-—— — — -- нормальная 430
------ определенная (нисоп-
ределенная) 430
—------ порсопределениая
(нслоопределзнная) 430
——— обыкновгнных 394
— — — —, общее решение 394
— — —--, общий интеграл 395
— — — —, первый интеграл 394
—-—- —, порядок 394
— капоническая 138
— koma 693
- — одноадресиая 693
— координат 232, 234, 505
— — барицентрическая 232
— — декартова 232, 505
— — косоугольная >33, 505
— — криволинейная 233, 235
— — левая (правая) *35, 505
— — однородная 232
715
Система координат полярная 233,
236
— — прямоугольная 232, 505
— — сферическая 235
— — цилиндрическая 236
— линейных уравиений 189
— —- одпородная, исодпородная
189
— программирования 694
— с расипределениыми парамстра-
ми 388
— счисления 147
— — лпоичная 147
— — лссятичная 147
— — нозициопиая (пепозициопцая)
147
— управления ланпыми 696
- управлясмая 383
— уравнений алгебраическая 173
— —- линейная 174, 189
— —-- треугольная 190
Системы уравнений эквивалентные
139
Скаляр 503
Скамярное поле 510
- - осевое (цилнидрическое) 510
-- плоское 510
-. центральное (сферическое) 510
- произведение 180, 505, 506
‘.ачок функции 266
` обки Лагранжа 440
— Пуассона 440
Скрещивалющиеся прямые 220
След матрицы 183
Сложная функция 261, 272
Слой шаровой 224
Случайная величина 581
-- — дискретная 58!
— — линейно коррслированная 591
— — исирерывная 583
— — нормированиая 597
-— — характеристическая 582
-—- -- центрироваиная 597
-- выборка объема 598
Случайные всличины писзависимыс
590
— — искоррелироваиные 589
— события 578
— -- независимые 580
— — — в совокупиости 580
-- — - попарно 580
Случайный вектор 587
— — лискретный 588
— — непрерывный S88
Смешаниая задача 445
— — для гиперболического уравис-
una 445, 45
— — двумерного урависния тепло-
проводиости 449
— производная 280
Смешаниос произведение 506
Собственная фуикция 427, 457
Собственное значение 427, 457
— — матрицы 195
— — оператора 197, 457
.
— подпросграиство матрицы 195
Собственпый вектор матрицы 195
— — оператора 197
Событис 577
— лостовериос 577
— невозможное 577
— противоположное (дополиитель-
нос) 578
— элемеитарпос 577
События исзависимые 580
-- несовместные 578
— случайные 578
—, сумма, произведение 578
Совершенная дизыонктивиая пор-
мальная форма 493
— конъюнктивная пормальная
форма 493
Совершенно упорядоченное мно-
жество 501
716
Совместная плотность 588
Cosmer ное распределение 588
Соленоидальное поле 525
Соприкасающаяся плоскость 539
Сопровождающий трехгранник
539, 542
Сопряженныс гиперболы 243
— лиаметры 241, 243
— дифференциальные выражения
451
— комплексные числа 467
Состояние достижимое 382+
— управляемое 382 `
Сочетание 157
— с повторением 158°
Спираль Архимеда 144
— гиперболическая 144
— логарифмическая 144, 536
Сплайн-интерполяция 665
Сплайн-функция 666
Спрямляющая плоскость 539
Сравнимые (песравпимые) элемеи-
ты 500
Среднее арифмстическое 160, 254
— гармоническое 254
— геометрическое 160, 254
— значение 668
— -- измерений 689
— квалратическос отклонение 585,
587
— квадратичное 160
— пропорциональное 160
Средняя кривизна 545
— линия трапеции 218
— — треугольника 217
— ошибка наблюдения 689
— среднего 689
Стандартное отклонение 585, 587
Степенная функция 201, графики
127
|
Степенной метод. 655
— ряд 352
— — абсолютно сходящийся 354
—- всюду сходящийся 353
——, круг сходимости 480
—— равномерно сходящийся 354
——, радиус сходимосги 353, 480
—-—, центр 353
Стереографическая проекция 470
Стохастическая зависимость 591
Стрелка Пирса 492
Строфоида 138
Сумма векторов 176, 504
=: Дарбу (верхняя, нижняя) 291
— по модулю 2,
— ряда 343
— чисел 252
Сумматор 693, 698
Супервизор 696
Суперпозиция отображений 502
— функций 261
Супремум 501
Существенно особая точка 482
Сфера 224
— Римана 470
Сфёрическая система коорлипат
235
Сферические координаты 332, 513
— функции. Бесселя 415
Сферический двуугольник 228
— избыток (эксцесс) 229
— треугольник 228
— — Эйлера 228
Сферическое поле 511
Схема вычислений 700
— Горнерл 682
—— полная 682
— pasHoctinas 665
— спуска 664
Сходимость абсолютная 309, 348,
— безусловная 349
— в осиовном 594
— по вероятиости 595
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сходимость почти наверное 596
`— равномерная 322, 349, 350, 354
— ряда условная 348
— среднеквадратичная 549
Сходящаяся последовательшюсть
258 .
Сходящийся ряд 343, 479
Сцепленные матрицы 187
Сюръекция 502
Таблица значений фуикции 260
— издержек 629
— интегралов 95— 125
— истинности 490
— наблюденных значений 598
— обратного преобразования Лап-
ласа 574—576
— производных 274
— разложений в ряд Фурье 552—
554
— трансформант Фурье 561— 570
Тангенс 206, график 131
— гиперболический 214
Таигенсоила 132
Teno 503
Теневая цсиа 625
Тсизор деформаций 529
— дискриминантный 544
— кривизны Римана 547
— Леви-Чивита 544
— метрический 543
— напряжений 529
Тензориые поля па поверхности’
541
Теорема Абеля 355
— альтернативная 427
— Аполлония 241
— Арцела — Асколи 352
— Бериулли 596
— Больцано — Вейерштрасса 256
— Béitepurrpacca 268, 662
— Buera 172
— вычетов 483
— Гамильтона — Кэли 196
— Гаусса — Бонне 548
— Гаусса основная 547
— Гульдена 1-я, 2-и 314
— Дирихле 549
— единственности аналитических
фуикций 477
— — разложения в степенной ряд
354
— — стененных рядов 354, 481
— Колмогорова 596
— косинусов 225, 229
— Коши 268, 276, 349, 394
— Коши — Адамара 353
— — интегральная 478
— Коши — Ковалевской 430
— Лагранжа 276
— Лежандра 231
— Лиувилля 477
— Мецье 547
— Ныотона — Лейбница 295
— о дополняющей нежссткости 625
— — монодромии 485
— — неявных функциях 286
— — промежуточном значении 268,
272
— — свертке 560, 572
— — средием зпачении (1-я, 2-я)
292, 293
‘
— ——— лля двойных иитсгралов
— 06 умпожешии якобианов 285
— осповная алгебры 171, 199, 474
— Пеано 394
— Пикара (большая) 482
— Пифагора 217
— половинного угла 225, 229
— половинной стороны 229
— разложения опрелелителя 184
— Римана 349
Теорема Римана 06 отображении
488
— Ролля 276
— синусов 225, 229
— Стокса 525
— тангенсов 225
-- умножения. для гамма-функций
325
— Хаара 375
— Чебьиаева 300, 596
— — 06 альтернансе 662
— Штурма 173
— Эйлера 223, 270
— Якоби 438
Теоремы лвойствениости в линей-
ном программировании 624
— о непрерывных функциях 267
— о пределах функций 264
— о ранге 185
— о собственных значениях и соб-
ственных векторах 196
— о числовых последовательно-
стях 258
— предельные 596
— сложения 209, 215
Теория Гамильтона — Якоби 376
— Эйлера — Лагранжа 366
Термииал 696
Тест 696
Тетраэдр 223
Тождество Лагранжа 506
— Якоби
Тор 224
Точка асимптотическая 536
— ветвления 487
— — логарифмическая 487
— возврата 534, 536
— гиперболическая 546
— двойная 535
излома 536
— изолированная 256, 401, 476, 535
— коническая 542
— кратная 536
— круговая 546
— перегиба 279, 534
— разрыва 266, 536
— — бесконечного 267
—- 1-го, 2-го рода 267
— самосоприкосновения 536
— эллиптическая 546
Точки общего положения 240
— сетки 679
Траектория 382
Трактриса 146
Транзитивность 253, 499
Траислятор 695
Трансионированная матрица 133
Транспонированный определитель
184
Трапспортная задача 629
— таблица 629
Траиспортный метод $32
Трансформаита Фурье 560
Транисидентные уравнения 167, 174
— функций 131, 206
Трапсция 218
Треугольник 217
— Паскаля 152
— прямоугольный 217
— равяобедренный .217
— равностороиний 217
— сферический 228
— Эйлера 228.
Тривиальное решение (системы
уравиений) 189
Тригонометрические уравнения 175
— функции 206
— —, разложение в ряд 92
Тригономстрический миогочлеи
549, 556
Трихотомия 499
Тройной интсграл 330
Трохоидла 141
Угловой коэффициент прямой 238
Угловые условия Вейерштрасса --
Эрдмана 369
Угол двуграниый 220
— между векторами 15|
—- кривыми 533, 544
— — нлоскостыо и прямой 247
— — плоскостями 247
— — прямыми 239
-- — скрещивающимися прямыми
0
— многогранный 220
—, радианиое измерение 225
— смежности 533
— телесный 220
— трехгранпый 220
Узел 401
Узлы 665
— равпоотстоящие 665
Улитка Пяскаля 139
Умснынаемос 252.
Универсальная алгебра 502
Упорядоченная пара элементов 498
— п-ка 498
Упорядоченное множество 500
Упорядочениость 500
— линейная 501 *
-- полная 501
-— совершениая 501
— частичиля 500
Управление 282
— лопустимое 382
— оптимальное 383
Управляемани система 383
Уравиенне 65
-- алгобраическое 167
— Бернулли 398
— Бесселя 4}3
— биквадратное 170
-- волновое 441, 453
— Гамильтояа — Якоби 376, 437
-- Гельмгольва 442
— лифференциальное 392, 428
— диффузни 441
— касательной плоскости 541
— квадратное 168
— квазилинейное 429, 432
-- Клеро 400
— колебаний 441
— кубическое 168
— Куммера 417
-- Лаграижа 400
— Лаиласа 442
— Лежапдра 413
— линейное 167, 404, 429
-- логарифмичсское 175
— непрерывности 521
— нормали к поверхности 532
— первого приближения 403
-- плоской кривой 531
-- плоскости 246, 508
— поверхиости 540
-- показательное 174
— прямой 238, 507
— Пуассона 442
— --, дискретный апалог 68!
——, разностные методы 679
— распространения теила 44|
-- Риккати 398
— с параметрами 166
— челеграфное 452
— теплопроводности 441, 442, 465
— траисцендентное 167, 174
— тригонометрическое 175
-- Трикоми 441, 443
-- Эйлера 407
— Эйлера — Лаг ранжа 366
— Якоби 369
Уравиения высших степеней 17]
— эквивалентные 166
Уровень значимости 606
Усеченная инрамида 222
Усеченный конус 224
— цилиндр 223
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ускорсние сходимости 684
Условие аппроксимации 677
-- Вейерштрасса 369
— Вейерштрасса — Эрдмана 369
— Дирихле 549 .
-- доминирования диагопали 652
— Лежандра 367, 368
— Липшица 269
— трапсверсальности 370, 384
— Якоби 369
Условия интегрируемости 547
-- Коши — Римана (Даламбера —
Эйлера) 476
— периодичности 428
Условная сходимость 348
Условный экстремум 289
Усгойчивое (неустойчивое) движс-
ние 421
Устойчивость в смысле Ляпунова
42!
Устойчивый вычислительный ме-
тод 648
Устранимая особениость 482
Устройства ввода и вывода 692
— управления 692
Фазовое пространство (прослран-:
ство состояпий) 382
Фазовые координаты 382
Фазовый вектор 382
Файл 696
Факториал (и-факториал) 151
Фактор-множсство 499
Фокальная кривая 431
— полоса 432
Фокальиосе свойство 240
Фокальный параметр кривой 2-го
порядка 242
Фокус 240, 242
—, особая точка 401
Форма Лагранжа 663
-- Ныюотона 663
Формула Байеса (формула верояг-
ности гипотез) 581
— Бесселя 666
— Всйигартена 547
— Гаусса 325, 547, 666
— Гаусса — Лежаидра 670
— Гаусса — Остроградского 338,
523
— Гаусса — Чебышева 67)
-- Герона 227
— Грина: 338, 425
— -- первая, вторая 339, 456, 523
— Карлапо 169
— Кирхгофа 454
-- косинусов 226
— Коши 325
—’Лейбница 275
— Лиувилля 404
— — обобщенпая 408
-- Маклорена 276
— Муавра 469
— неявная 677
— Ныюотона 666, 669
— Ныютона — Koreca 669
— Острогралского — Гаусса 338,
523
— парабол 669
— полинома 154
— полной вероятности S80
— представления 452
— преобразования двойлого интгсг--
рала в криволинсйный 524
— — объемного интеграла в по-
верхностный 523
— - поверхиостиого интеграла в
криволинейный 524
— Пуассона 454, 465
— Раабе 325
— Симисона 669
— Стирлиига 151, 666
-- Стокса 339
717
Формула тангсисов 226
— Тейлора 276
— --, остаточный член (в форме
Лагранжа) 276
— — функции лвух псременных 283
— трапеций 669
— Уильера 231
— умножения Коши 349
— ‘Эверетта 666
— Эйлера 468, 474. 546
Формулы Гамильтона 376
— Гаусса 547
— Даламбера (Гаусса) 230
-- де Моргана 578
— конечных сумм 160
— Коши {интегральные) 478
— Майнарди -- Коданцци 547
— Мольвейде 225
— порядка н 670
— приведения 207
— Ceppe -- Фрси:; 540
— среднего зиачепия 668
— типа Рунге — Кутта 675
Фупламеитальная система 404, 408,
Фуикции зависимые 285
-- линейно завиевмые (исзакиси-
мые) 404
Фуикциопал (линейный) 365
Функциональная зависимость 260,
269
— матрипа 284
-- последовательность 249
—- шкала 685
Функциональный определитель
(якобмап) 284
— ряд 350
Функция: 260
- абсолютно непрерывная 269
— ангобры логики 492
— яналитическая 357. 476.
-- бескоисчио большая 267
---- малая 267
— Бесселя 356, 571
— модифицированиая 414
—— 1-го, 2-го, 3-го рола 413, 414
— — сферическая 415
— Be6cpa 413
— вероятности 58!
— вогнутая 277
— возрастаницая (убывающая) 268
-- выбора 502
- выборки 600
— выпуклая 277
-- — вверх (BIN) 277
— Гамильгона 376, 383
— Ганкеля 414
— гармоническая 458, 477
— гиперболическая 213
— гинергеомстрическая 417
— голоморфиая 476
— Грина 424
- - задачи Дирихле 463
— двух переменных 270
--- =, MH уровия 270
— - =, таблица значений 270
_ лействительтая (вещественная)
260,2
— toc aires bIOr о переменног о
260, 269
- Дирихле 198
— лифферсицирусмая 273
—-лраз275
— дробио-рацнональная 201, 261.
-- Жуковского 487
— интегрируемая 291, 326, 330
— иррациональная 205
-- истииюсти формул 493
— комилсксная (комплекспознач-
ная) 471
— комилексного переменного 471!
— Куммера 417
— кусочно непрерывная 267
718
Функция Лагранжа 289, 373
— Лежандра присоединепная 419
— линейная 126, 200,
— логарифмическая 213, 489
— Макдональда 414
— моногониая 268
— невозрастающая (пеубывающая)
268
|
— Неймана 413
— непрерывная 265, 473
— — слева (справа) 266 _
— непрерывно дифференцируемая
275
— нескольких переменных 269
— — — лифференцируемая 280
—-—-—- по x,
— --- непрерывная 271
— — — ограниченная 270
— — - однородная 270
— — — равномерно непрерывная
71
— -- — сложная 271
— неявная 261, 269, 235
— обратная 261
— ограниченная 261, 473
—.ограничениой вариации 268
— оптимальных значений 639
— первообразная 293, 478
— периодическая 207, 268
— показагельная 212, 474
— полунепрерывная сверху (снизу)
269
— правдоподобия 603
— равиомерио иепрерывная 268
— разрывиая 266
— распределения 581, 587
— — интегральная 583
— -- многомерная 587
— — эмпирическая 599
— рациональная 201, 261
— регулярная 476
— Pumana 452
— сложная 261
— сравнения 309, 366
— степеиная 201
— строго возрастающая (убываю-
щая) 268
— -- оыпуклая вверх (вниз} 277
— трансцендентная 206
—, удовлетворяющая условию
Лиишица 269
— ислая рацнопальная 261
— целевая 613
— цилиндрическая 413
— четная (исчетная) 550
— шаровая 460
—e213
Е-фуикция Вейерштрасса 369
Характеристика 431
— перестановки [51
Характеристики 442
Характеристическая задача 454
— кривая 432
— поверхность 442
— полоса 432
— система уравнений 432
— функция Гамильтона 376
— — случайной величины 592, 595
Характеристические линии 442
— направления 431
|
Характеристический конус 442
— многочлен матрицы 195
— - уравнения 406
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Характеристическое многообразие
433
— — полос 435
— уравнение 401, 442
— — матрицы 195
Хорда 219
Целая рациопальная функция
(многочлен) 199, 473, график 126
— часть числа 198
Целевая функция 613 `
—'— однопараметрическая 639
Целое рациональное выражение
7fe
Целочисленное линейнос програм-
мирование
Целые числа 254
Центр кривизиы 534
— кривой 2-го порядка 239
— круга сходимости 353
—, особая точка 402
— симметрии кривой 2-го порядка
239
— тяжести 313, 320, 329, 332, 338
Центральное поле (сферическос)
Sil
Центральный процессор 693
Цепная. линия 146
Цепь 501
Цикл перестановки 156
Циклоида 140, 320
— удлиненная (укороченная) 141
Цилиндр 223, 251
— гиперболический 251
— нараболический 251
- прямой круговой 223, 251
— усеченный 223
— эллиптический 251
Цилиндрическая поверхиость 223
— система координат 236
— труба 223
— функция 413
— — порядка 416
Цилиндрические координаты 332,
512
Цилиндрическос тело 330
`Циркуляция векторного поля 520
Циссоида 138
Цифра 147
Частичная сумма ряда 343
— упорядоченность 500
Частичное произведение 362
Частичный предел 259
Частная производная 280
Частное 252
Частные Релея 655
Частота события 578
Чебышевский альтернанс 662
Чегырехугольник 218
Числа Бернулли 91, 361
— Эйлера 91
|
Численно пригодное разложение в
ряд 684
Численное дифференцирование 673
— преобразование к главным осям
65
— решение задачи 681
— — характеристического уравие-
ния 653
Численные методы вычисления
функций 682
Числитель 252
Число действительное (веществен-
ное) 252
— иррацнональное 254
— комплексное 446
— мнимое 467
— натуральное 253
— воложительное (отрицательное)
253
— рациональнос 254
— целое 254
—е 213
—тп219
;
Числовая последовательпость 257
— прямая 253
Шар 224
Шаровая функция 460
Шаровой сегмснт, сектор, слой 224
Штрих Шеффера 492
‘Эвольвсита кривой (инволиотга) 537
— окружности (развертка) 144
Эволюта кривой 537
Эйлеров интеграл 1-го. 2-го рода
324, 325
Эквивалентные ирсобразования
уравиений 166
Эквиваленция 49|
Экспонента 213
Экспоненциальное распределение
84
Экстраполяция 665
Экстремаль 367
Экстремум функции 278, 288
— — локальный 278
— — условный 289
— функционала 366
Эксцентриситет 240, 244
Элементарная дизыонкция 493
— конъюикция 493
— формула 495
Элементарные (простейшие) дроби
203
— события 557
Эллипс 240, график 184
Эллниеоид 248, 249
— вращения вытянутый (силзощен-
ный) 249
Эллиптическая точка 546
Эллиптический интеграл 302
— — в Лежандровой форме 302
—- 1-го, 2-го, 3-го рода 294, 302
— оператор 445, 456 ‘
— параболоид 249
— цилиндр 251
Эллиптическое уравнение 443, 456
Эмпирическая дисперсия выборки
600
— ковариация 611
-- функция распределения 599
Эмпирические прямыс регрессии
611
Эмниричсский коэффициент корре-
ляции 611
— — регрессии 611
Эмпирическое среднес выборки 600
Эпициклоида 141, 143
Ядро линейного преобразования
193
Язык управления заданиями 696
Якобиаи 284
Греческий алфавит
Готический алфавит
Аa—альфа
ЭГа —а
ВВ—бэта
Bb—69
Гу-гамма
берлж
А6—дельта
О —ДЭ
Е & — эпсилон
ое -э
Z©—дзэта
$|—9
Нп—эта
Noд—гэ
© 0903 — тэта
5|—ха
Iг—йота
гри
Кх—каппа
$1 —йот
АЛ—ламбда
\Г—ка
Ми —Mu
21—эль
Му -ни
‘tiwt—эм
=&—кси
"и —эн
О о — омикрон
Зо —о
Пл —пи
Ур—09
Рр-ро
За—Ky
> с —cHrMa
т —эр
Тт—тау
$8—ЭС
У ь — ипсилон
ТЕ —T9
Фо -фи
Ти фу
ХХ -хи
YFь—ay
Y|—rcu
8w—po
©@—омега
гХх—ИКС
1) у — ипсилон
3$3—WoT
Илья Николаевич Бронштейн,
Константин Адольфович Семендяев
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ
для инженеров и учащихся втузов
М., 1981 г., 720 стр. с илл.
Редакторы Е. Ю. Ходан, Е. В. Шикин.
Технический редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Л. Н. Boposuna.
ИБ No 2359
Сдано в набор 30.01.80. Подписано к печати 19.02.81. Бумага
70х 100'/;,. Тин. No 1. Гариитура таймс. Печать офсетная.
Условн. печ. л. 58,5. Уч.-изд. л. 72,22. Тираж 100000 экз. Заказ
No 1168. Цепа книги 4 р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленииский проспскт, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградское произволствепно-техническое объедине-
ние «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграф-
прома при Государствениом комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной ‘горговли. 197136, Ленинград,
П-136, Чкаловский np., 15.
СПИСОК ОПЕЧАТОК
Страница.
Строка
Нациечатано
Следуст читать
200
в табл.
ay
aly
208
Первая таблица имест зид
—_
дт
1
Радианы
0
—-
—
_
—-
^
6
4
3
2
Градусы
0°
30°
45?
60?
90°
0
1
у?
Уз
,
sin x
--
—
==.
2
2
2
cos
1
уз
у
|
()
xX
ИИА
—-——
=-
2
2
2
уз
tgx
moe
1
3
—
g
0
5
У
.
Уз
cle x
/>
1
a
0
gx
р
3
237
23 св.
—(9,р,2)—(9,Ps,9),
=(p,Фф,zy,—(Р,Ф,0),
—ах —ра.
—ах —hx
е—@
¢=0
324
1 св.
=—
р
=—
›
х
x
325
3 ci.
1) 9,
...)
о
со
x
x"
361
2 CB.
[=
—
=
aan
„п!
n!
n=0
,
491 табл. 4.2, moc-
ледияя строка
A,|42
498
19 си.
()(М!)No)=(L)M\)(UUN)
() (M|()N)= (LU M)\ )(UN)
ут
о
2m+t
_
mele
)
568
2 св.
a СТИ (2.
... CMT (2)
a
a
616
26 св.
—x, 20, x, 20, ..., Xs 20
x, 20, xX, 20, ..., X¥5 20
617
19 св.
‚чтобы определясмая или каж- | , чтобы определяемая ими каж-
дая из чегырсх регионов долж- | дый из четырех регионов доле
638
13 св.
па быть покрыга.
Ken быть покрыт
641
4 св.
‚составляющий 7 = 5,
‚соответствующий / = 5,
650 табл. 7.1, стол-
1
—1|
бек 1, строка 2
столбец 2, стро-
2
2
ка5
658 табл. 7.7, 3 crpo-
— 0,135
—0 125
ка,
682 заголовок к
Хх
Xn
табл. 7.17
705
23 сн.
lim, lim, lim
lim, lim, lim,