Автор: Тауц Я.
Теги: физика электроника электротехника полупроводники полупроводниковые приборы
Год: 1962
Текст
• .
v**' -ч‘
Jan Таис
FOTO A TERMOELEKTRICKE JEVY
V POLOVODICICH
Книга крупнейшего чехословацкого специалиста по полу-
проводникам проф. Тауца посвящена фото- и термоэлектри-
ческим явлениям в полупроводниках, на которых основана
возможность прямого преобразования световой (солнечной)
и тепловой энергии в электрическую.
В книге дано краткое изложение физики полупроводни-
ков, в частности теории явлений переноса. Основная часть
книги посвящена фотовольтаическому эффекту и термоэлек-
трическим явлениям. Здесь излагаются результаты ориги-
нальных исследований, проведенных в Чехословацкой Акаде-
мии наук. Описываются также фотомагнитные и термомаг-
нитные явления в полупроводниках. Автор приводит теорию
перечисленных явлений и дает анализ результатов экспери-
ментальных исследований.
Книга рассчитана на специалистов — научных работников
и инженеров, работающих в области исследования и примене-
ния полупроводников.
Редакция литературы по физике
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Возникновение электродвижущих сил в полупроводниках под
воздействием различных факторов является вполне самостоятель-
ной проблемой физики полупроводников, интересной как в науч-
ном, так и в практическом отношении. Достаточно указать, что
исследования эффектов возникновения в полупроводниках электро-
движущей силы под влиянием света и тепла послужили основой
для весьма важных технических приложений, в результате чего
появилось новое направление в электро- и радиотехнике, разраба-
тывающее проблемы непосредственного преобразования тепловой
и световой энергии в электрическую. В ходе этих разработок
были, как известно, созданы новые источники тока, причем до-
стигнутые коэффициенты полезного действия уже позволяют ставить
вопрос о промышленном использовании таких источников, о широ-
ком внедрении их в электроэнергетику.
Ведущиеся широким фронтом исследования других эффектов,
приводящих к возникновению электродвижущей силы в полупровод-
никах, дают все основания считать, что в этом направлении будут
достигнуты большие практические успехи. Уже сейчас фотомагнитный
эффект и холловская разность потенциалов начали использоваться
для создания ряда измерительных и контрольных приборов
Предлагаемая
ского ученого,
проф. Я. Тауца,
охватывающим и
электродвижущей
Весьма
вниманию читателей монография известного чеш-
крупнейшего специалиста по полупроводникам
является по существу первым научным трудом,
обобщающим почти все случаи возникновения
силы в полупроводниках.
ценной особенностью данной монографии является
прежде всего то, что она возникла на основе непосредственной
и многолетней экспериментальной работы самого автора и его
коллег по наиболее существенным разделам рассматриваемой про-
блемы. В монографии использован также обширный литературный
материал и содержится глубокий анализ большого количества экс-
периментальных работ, на основе которых сделаны обобщающие
выводы.
Значительное место в монографии занимает изложение основных
представлений теории полупроводников и описание рассматриваемых
Предисловие редактора перевода
явлений. Первые две главы, посвященные этим вопросам, яв
ляются оригинальными по подходу и манере изложения.
Другим важным достоинством данной монографии являете
сочетание глубокого физического содержания с математически!
анализом и большим количеством расчетных формул. В цело!
книга, несомненно, будет полезна большому кругу лиц, работаю
щих в области полупроводников; она может стать настолько'
книгой для физиков-экспериментаторов и инженеров, работающие
в области изучения электрических, фотоэлектрических и други:
свойств полупроводников, а также ценным учебным пособием дл
аспирантов и студентов, специализирующихся в данном напра
влении.
Перевод настоящей книги выполнен с чешской рукописи, лю
безно предоставленной автором. Одновременно в издательств
Пергамон пресс готовился к изданию английский перевод это:
книги. В английское издание проф. Тауц внес некоторые допол
нения и изменения, которые были нами учтены по присланно:
автором копии корректурных листов.
Редактор пользуется возможностью выразить благодарност
автору за его помощь в подготовке русского издания.
Б. Т. Коломиец
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Полупроводники в последние годы стали играть важную роль
в решении проблемы преобразования солнечной и тепловой энер-
гии в электрическую. Работа в этом направлении требует знания
основных закономерностей, которым подчиняется возникновение
электродвижущих сил в полупроводниках; этим закономерностям
посвящена данная монография.
Настоящее издание представляет собой перевод с рукописи,
подготовленной автором в- 1960 г. на основе книги „Электродви-
жущие силы в полупроводникахвышедшей в Праге в 1958 г.,
и в известной мере может рассматриваться как новое, полностью
переработанное и дополненное издание указанной книги.
Книга содержит анализ фотовольтаических, термоэлектрических,
фотомагнитных и термомагнитных явлений, рассматриваемых с еди-
ной точки зрения. В качестве примеров кратко указывается на
возможные практические приложения этих явлений; однако основ-
ное внимание уделено изложению физических принципов и уста-
новлению соотношений между отдельными явлениями.
Основу монографии составляют работы по фотовольтаическим
и термоэлектрическим явлениям, проведенные в Институте техни-
ческой физики Чехословацкой Академии наук в 1952—1957 гг. и
посвященные изучению общих условий, при которых в полупро-
водниках возникают электродвижущие силы. Помимо этого, с целью
наиболее полного рассмотрения физических основ данного круга
явлений дается подробный анализ физических свойств полупровод-
ников и происходящих в них процессов и приводятся результаты
работ других авторов.
В первой, вводной главе даны основные представления физики
полупроводников, необходимые для дальнейшего изложения, и
описаны общие закономерности явлений переноса в полупровод-
никах. Это сделано для того, чтобы монография была понятной
кругу читателей, знакомых в общих чертах лишь с основами
физики полупроводников.
Книга предназначена прежде всего для физиков и инженеров,
которые ведут исследовательскую работу в области физики твер-
дого тела и занимаются разработкой полупроводниковых преобразо-
8
Предисловие автора к русскому изданию
вателей энергии. Надеюсь, что она будет полезна также всем тем
кто желает ознакомиться с этой областью физики или заниматьс
изучением физики полупроводников.
Большой честью для меня является тот факт, что моя книг
выходит в русском переводе в СССР, где работы в этой облает
физики имеют славную традицию. Хорошо известно, что совет
скими физиками был открыт целый ряд важнейших эффектов
впервые правильно объяснена физическая сущность фотовольтаи
ческих и фотомагнитных явлений, до значительной степени развит
их теория, равно как и теория термоэлектрических явлений, соз
даны новые типы фотоэлементов и термоэлементов и в наиболе
важных случаях результаты исследовательской работы доведен!
до практического применения.
В заключение мне хотелось бы выразить свою сердечную при
знательность за интерес к настоящей монографии проф. Б. Т. Ко
ломийцу, по инициативе которого книга была переведена на рус
ский язык, а также М. П. Михайловой за ее большую работ1
над переводом.
Ян Тауц
1
Основные представления физики
полупроводников
Теория возникновения электродвижущей силы в полупровод-
никах, составляющая содержание настоящей монографии, излагается
феноменологически. Это означает, что вводится ряд параметров,
таких, как эффективная масса носителей тока, их концентрация,
подвижность, среднее время жизни и т. п., которые могут быть
определены либо экспериментально, либо путем расчета с помощью
квантовой механики, описывающей поведение электронов в кри-
сталлах. Расчет этих параметров не является нашей целью. Однако
мы считаем необходимым подробно разъяснить, что означает каж-
дый из них и как они связаны между собой. Основные предста-
вления физики полупроводников возникли не только в результате
анализа экспериментальных данных; решающую роль в этом во-
просе сыграла квантовая механика, позволившая принципиально
объяснить некоторые особенности электропроводности кристаллов.
Поэтому здесь мы вводим соответствующие понятия в том виде,
как их определяет квантовая механика. Рассматриваемые нами
конкретные примеры не дают, разумеется, исчерпывающих сведе-
ний о свойствах полупроводниковых материалов и методах расчета.
В первой главе мы не выводим соотношений квантовой меха-
ники, описывающих поведение электронов в кристалле, а рассма-
триваем только основные результаты. Мы стремимся рассматривать
более подробные модели, разработанные на основании новых
экспериментальных данных и более сложных расчетов, так как
современная техника эксперимента шагнула настолько далеко
10 Гл. I/. Основные представления физики полупроводников
вперед, что использование упрощенных моделей приводит к боль-
шим расхождениям теории с результатами измерений.
Мы ограничимся рассмотрением главным образом кристаллов
полупроводников определенного вида, характеризуемых преобла-
данием химической связи гомеополярного типа, т. е. таких, в ко-
торых связь между атомами осуществляется преимущественно
с помощью обобществленных электронов. Типичными представи-
телями полупроводников этого вида являются германий, кремний
и соединения элементов третьей и пятой группы (мы будем обо-
лш Dv\
значать их А и В J.
Теория, описывающая поведение электронов в этих кристал-
лах, основывается на представлениях квантовой механики. Однако
не может быть и речи о том, чтобы сделать попытку точно ре-
шить уравнения для такой сложной системы, какой являются ядра
и электроны в кристаллах полупроводника. Поэтому в реальных
расчетах исходят из некоторого приближения. Наиболее известной
и широко используемой апроксимацией является так называемая
одноэлектронная теория кристалла, которая приводит к зонной
модели полупроводников. В последнее время были предложены
другие методы приближения. Однако для кристаллов полупровод-
ников указанного типа применение одноэлектронной модели вполне
оправдано и позволяет получить хорошее согласие с эксперимен-
тальными данными;
§ 1. ЗОННАЯ МОДЕЛЬ И СТРУКТУРА
ПРИВЕДЕННОЙ ЗОНЫ
. При расчете разрешенных значений энергии электрона Е в од-
ноэлектронном приближении рассматривается один электрон из
всего числа электронов в кристалле и определяются силы, дей-
ствующие на него со стороны ядер и других электронов. В про-
стейшем случае действующие силы выражаются через потенциаль-
ную энергию электрона V(г) внутри кристалла. Для оценки этого
потенциала используются различные приближения. Решение может
быть уточнено по методу самосогласованного поля Хартри—Фока,
насколько это возможно, принимая во внимание сложность мате-
матического аппарата. Волновая функция ф (г), описывающая по-
ведение рассматриваемого электрона, определяется из уравнения
Шредингера
етл+у(ф(г)==^(г)- (1Л)
п- taj
Наиболее важным свойством функции V (г) является ее перио-
дичность:
V(r) = V(r + d), (1.2)
§ 1. Зонная модель и структура приведенной зоны
11
где d — произвольный вектор решетки, определяемый выражением
d = ^2а2-|-^за3. (1.3)
Здесь dk—целое число, аА — три независимых соответственно
выбранных основных вектора, задающих трансляционную симмет-
рию кристаллической решетки. Основной вектор означает наи-
меньшее возможное перемещение в определенном направлении, ко-
торое переводит кристаллическую решетку в тождественную ей
решетку.
На уравнение Шредингера необходимо наложить соответствую-
щие граничные условия. Обычно выбирают так называемые усло-
вия периодичности.
Рассмотрим бесконечный кристалл, из которого вырезан прямо-
угольный параллелепипед, ограниченный гранями Afap Л^а2, Л/а3,
пересекающимися в начале координат (AZ — произвольно выбранное
большое целое число). Этот параллелепипед содержит А/3 отдель-
ных элементарных ячеек, каждая из которых имеет объем a^2 X а3.
Полный объем параллелепипеда (который мы будем называть
„основной ячейкой“) обозначим буквой О.
Условие периодичности заключается в том, что две точки
в пространстве внутри бесконечного кристалла эквивалентны (т. е.
все рассматриваемые функции имеют в обеих точках одинаковые
значения), если они связаны вектором
N = 7Vd. (1.4)
Для волновой функции электрона ф(г) с учетом граничных
условий периодичности выполняется соотношение
ф(г) = ф(г + М). (1.5)
Решение уравнения Шредингера (1.1) с граничным усло-
вием (1.5) можно найти в виде функций Блоха
6 (г) = и (г) ехр /кг. (1.6)
Здесь и (г) — функция той же периодичности, что и V (г):
й(г)=й(г + Ф* (1*7)
а вектор к имеет значение волнового вектора электрона
(| к | = 2тг/к).
Функция (1.6) соответствует плоской волне, распространяю-
щейся в направлении, которое определяется волновым векто-
ром к. Вследствие условий периодичности вектор к может при-
нимать только те значения, которые удовлетворяют соотношению
12 Гл, \1, Основные представления физики полупроводников
где kk—- целые числа, а ЬА— единичные векторы обратной
решетки кристалла, определяемые соотношениями
1, если k~k\
О, если k ± kf.
(1.9)
Из формы функций Блоха и из определения (1.9) можно
заключить, что если два вектора к отличаются на вектор обрат-
ной решетки
h = ^2^2 + ЛзЬз (!-Ю)
(где hk — целые числа), то волновые функции (1.6), соответ-
ствующие этим векторам, эквивалентны. Поэтому достаточно
Фиг, 1. Приведенная зона для структуры типа
алмаза.
Истинные положения точек получаются умножением
указанных на фигуре чисел на 2п/а, Постоянная ре-
о о
шетки а равна для алмаза 3,56 А, для кремния 5,42 А,
О о
для германия 5,62 А и для серого олова 6,46 А.
задать волновую функцию только в области центральной основ-
ной ячейки обратной решетки. Такие векторы называют приведен-
ными волновыми векторами, а основную ячейку — приведенной
зоной. На фиг. 1 представлена приведенная зона для решетки
$ 1. Зонная модель и структура приведенной зоны
13
алмаза (такую же решетку имеют германий и кремний). Начало
координат принято выбирать таким образом, чтобы оно соответ-
ствовало центру обратной симметрии, который всегда сущест-
вует в обратной решетке, если даже исходная решетка его не
имеет.
Из соотношения (1.8) можно сделать вывод, что плотность
разрешенных значений вектора к в приведенной зоне постоянна.
Всего в приведенной зоне имеется № разрешенных значений век-
тора к. В объеме й3к обратного пространства содержится
(2тг)3
разрешенных состояний. Если предположить, что в приведенной
зоне к имеет определенное значение, то можно подставить функ-
цию (1.6) в уравнение Шредингера (1.1) и найти разрешенные
значения энергии Е (к) и соответствующие им функции и (к, г).
Здесь снова необходимо воспользоваться приближенными мето-
дами, так как точное решение получить невозможно. Знание
типа симметрии данной кристаллической решетки обычно позво-
ляет сделать заключение о характере решения, не прибегая к
расчету. Рассмотрим в основных чертах решение.
Для каждого значения к существует набор собственных функ-
ций и соответствующих им собственных значений энергии. Будем
помечать их индексом а. Значения энергии Д<(к) образуют зоны
разрешенных значений энергии, чередующиеся с зонами запрещен-
ных значений энергии, т. е. так называемую зонную модель
(схему) энергий электрона в кристалле. Такая типичная зонная
схема представляет собой набор узких зон, соответствующих.низ-
ким энергиям, над которыми располагаются зоны, непрерывно
расширяющиеся по мере увеличения энергии.
С точки зрения электрических свойств представляют интерес
следующие зоны. Наивысшая зона, которая в полупроводниках
при абсолютном нуле полностью заполнена электронами и кото-
рую называют валентной зоной. Над ней располагается запрещен-
ная зона, а выше снова зона разрешенных энергий, или так назы-
ваемая зона проводимости, которая при абсолютном нуле сво-
бодна. Уже такая качественная схема разрешенных энергий
электронов позволяет выяснить основные свойства полупровод-
ников. Однако для построения более подробной теории электри-
ческих свойств необходимо знать зависимость энергии элек-
трона Еа от волнового вектора к внутри каждой зоны. Об
этой зависимости часто говорят как о структуре приведенной
зоны. Остановимся прежде всего на общих свойствах функ-
ции Да(к).
14 Г л, 1. Основные представления физики полупроводников
Функцию Еа (к) можно считать непрерывной функцией к
в приведенной зоне. Она имеет производные всех порядков во
всех точках, за исключением тех, в которых рассматриваемая
зона а соприкасается с другими зонами. В точках последнего
типа, в которых одно значение энергии соответствует п кван-
товым состояниям, энергетический уровень n-кратно вырожден.
Так, например, если в некоторой точке соприкасаются зоны а
и а', то Еа (к) — Еа> (к) и состояния (а, к), (а', к) двукратно
вырождены. Как правило, вырождение наступает только в опре-
деленных участках зоны, особых с точки зрения их симме-
трии. Симметрия функции £а(к) в приведенной зоне тождественна
симметрии приведенной зоны в обратном пространстве. Отсюда
следует, что если функция Еа (к) имеет в точке к0 максимум или
минимум, то она имеет экстремумы во всех точках, эквивалент-
ных по симметрии точке, заданной вектором к0. Всегда выпол-
няется соотношение
Еа (к) = Еа (- к).
(1-12)
Далее, функция Еа (к) имеет одинаковые значения в любых
двух точках поверхности приведенной зоны, которые могут быть
соединены вектором обратной решетки h, определяемым выраже-
нием (1.10).
Симметрия потенциальной энергии V (г) в уравнении Шредин-
гера приводит к определенной симметрии функции Еа(к) в при-
веденной зоне. На основании этого во многих случаях можно
определить, в каких точках соприкасаются отдельные зоны и,
следовательно, где возникает вырождение. Если, кроме того,
рассмотреть взаимодействие магнитных диполей, связанное
с орбитальным движением электронов и со спином (так назы-
ваемое спин-орбитальное взаимодействие), то условия симметрии
функции £а(к) изменятся. При этом часто вырождение, опре-
деленное без учета спин-орбитального взаимодействия, сни-
мается.
Следуя по намеченному нами пути, принципиально возможно
рассчитать функции f(k) для валентной зоны и зоны проводи-
мости. Однако в процессе расчета возникают значительные труд-
ности математического характера. Поэтому при определении струк-
туры необходимо опираться на экспериментальные данные, полу-
ченные из измерений циклотронного резонанса [217], изменения
сопротивления в магнитном поле [381], из оптических измерений и
т. д. Найденную по этим данным функцию Е(к) можно наглядно
представить различными способами. Воспользуемся одним из
наиболее простых способов и представим зависимость функции Е
от к для выбранных направлений вектора к.
§ 1. Зонная модель и структура приведенной зоны
15
На фиг. 2 приведена простая структура зон в том виде,
в каком она часто используется при качественном рассмотрении
электрических свойств полупроводников. Она отличается тем, что
обе зоны имеют невырожденные экстремумы в точке к = 0.
Поверхности постоянной энергии Е (к) = const в окрестности точ-
ки к=0 изображаются в пространстве концентрическими сферами,
В качестве примера реальной структуры на фиг. 3 представ-
лена структура приведенной зоны
теоретических расчетов, а также
по данным циклотронного резо-
нанса и оптических измерений
[216]. В этой работе была опре-
делена также структура приве-
денной зоны кремния, которая
в основных чертах сходна со
структурой приведенной зоны
германия.
На фиг, 3 представлено шесть
энергетических зон, определяю-
щих свойства зоны проводимости
и валентной зоны. Они описы-
ваются функцией £а(к) для двух
направлений вектора к, которые
обозначены [100] и [111] (см.
фиг. 1).
Наиболее интересными обла-
стями в приведенной зоне являются
германия, определенная путем
Фиг. 2. Зависимость энергии
электрона Е от волнового век-
тора к в валентной зоне и в зоне
проводимости (простой случай).
минимумы зоны проводимости и
максимумы валентной зоны. Как
показано ниже, это связано с тем,
что концентрация электронов
в зоне проводимости и концентрация уровней в валентной зоне
могут быть сравнительно малы, так что все электроны будут
находиться вблизи минимума зоны проводимости, а незаполненные
уровни будут сосредоточены около максимума валентной зоны.
Свойства этих экстремумов рассматриваются более подробно
в следующем параграфе.
Рассмотрим здесь еще понятие ширины запрещенной зоны EG.
В простой структуре, показанной на фиг. 2, эта ширина пред-
ставляет собой разность энергий между минимумом зоны прово-
димости и максимумом валентной зоны; оба экстремума находятся при
одном и том же значении к = 0. В более сложных случаях (например,
структура приведенной зоны германия или кремния) Ео опреде-
ляется как расстояние между наиболее глубоким минимумом зоны
проводимости и наиболее высоким максимумом валентной зоны.
16 Гл. \1. Основные представления физики полупроводников
Очевидно, что в этом случае эти две точки не соответствуют
одному и тому же значению к.
к
Фиг. 3. Зависимость Е от к в валентной зоне и в зоне
проводимости германия для направлений [100] и [111]
в приведенной зоне (см. [216]).
Показаны оптические переходы, рассматриваемые в гл. 1, § 11,
Значения Ео для полупроводников лежат в пределах от деся-
тых долей до единиц электронвольта (например, для a-Sn
Zfp. = 0,08 эв, для InSb — 0,18 эв, для Ge — 0,62 эв, для
Si— 1,1 эв, для AlSb— 1,5 эв, для А1Р — около 3 эв при темпе-
ратуре 3003К) и зависят от температуры (см, § 4 настоя-
щей главы).
§ 2. Эффективная масса электронов
ъ
17
§ 2. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНОВ
Выше было отмечено, что наиболее важными областями в при-
веденной зоне являются экстремумы. Если в данной точке энер-
гетическая зона не вырождена, т. е. не происходит касания двух
энергетических зон,
то в окрестности этой точки функцию Е (к)
можно представить рядом Тейлора, Если к0
области максимума или минимума и введено
к — к0 = к\ то можно записать
Л2 VI VI
£ (к) = £ (кп) + ГГУ У-^-,
47 \ и/ I gK2 т..
i У
где Z, j = х, у, z и
соответствует
обозначение
(1-13)
(1.14)
Выражение l//nZ;- представляет собой симметричный тензор,
называемый тензором эффективной массы электрона, поскольку
его компоненты обладают размерностью обратной массы.
С помощью такого формального метода мы вводим понятие
эффективной массы электрона, физический смысл которого рас-
сматривается в § 6 настоящей главы.
Более наглядное выражение энергии через эффективную массу
можно получить, если рассмотреть тензор эффективной массы
в системе координат, в которой недиагональные члены (Z Ф J)
исчезают. Составляющие вектора kz = k — k0 в новой системе
координат обозначим kf, kfb, k'c, а соответствующие эффективные
массы — ma, nib, mc. Тогда в окрестности точки к0
/ kft^ kr<^ \
5(к) = Е(к0) + М-Н-------------------------1-|-------. (1.15)
и 1 ол:2 \ та 1 тпь mc / v 7
Поскольку тензор эффективной массы, согласно определению,
является мерой искривления поверхностей постоянной энергии
в рассматриваемой точке, три его главные составляющие положи-
тельны в минимуме и отрицательны в максимуме энергети-
ческой зоны.
Случай, когда точки минимума или максимума вырождены,
является более сложным. Можно показать, что поверхности
постоянной энергии в окрестностях таких точек не являются
эллиптическими, а имеют неправильную форму. В ^данном случае
также вблизи к0 разность энергий f(k) —£(к0) пропорциональна
к — к0|2, но она имеет более сложную зависимость от направляю-
щих косинусов вектора к — к0.
На фиг. 2 и 3 показаны примеры структуры экстремумов
в приведенной зоне. В простейшем случае (см. фиг. 2), когда
2 я. Тауц
18 Гл. \1. Основные представления физики полупроводников
ша — шь = пгс, значение Е(к) вблизи максимум# валентной зоны,
которому соответствует энергия Evi составляет
Л2 kz I2
E(k) = E “Л _L, (1.16)
где пгр > 0 — эффективная масса дырки (как будет выяснено
ниже, она положительна).
Вблизи минимума зоны проводимости Ес энергия
№ I kf l2
f(k) = JE + " 1±_L, (1.17)
4 7 mn x 7
где mn— эффективная масса электрона (tnn > 0). Если справед-
ливо выражение (1.16) или (1.17), то мы говорим о сферических
поверхностях энергии.
В случае германия минимумы зоны проводимости лежат на
осях [111]; они расположены в центрах гексагональных плоско-
стей, ограничивающих приведенную зону (ср. фиг. 1).. Суще-
ствуют четыре различных минимума: точки пересечения оси [111]
с противоположными гексагональными плоскостями соответствуют
одному и тому же состоянию, поскольку вектор, который их
соединяет, является основным вектором обратной решетки h,
согласно выражению (1.10). Поверхности постоянной энергии
представляют собой эллипсоиды вращения, вытянутые вдоль
оси [111]. Соответствующие эффективные массы, определенные
по циклотронному резонансу при 4° К» равны [216—218]
mnl— 1,57m, mnZ = 0,082m,
где индекс I соответствует продольной массе, а индекс t — по-
перечной.
Для кремния минимумы энергии в зоне проводимости лежат
на осях [100], примерно на третьей четверти расстояния от центра
до точки пересечения осей [100] с плоскостями квадрата (см.
фиг. 1). В этом случае существуют шесть эквивалентных мини-
мумов. Поверхности постоянной энергии также представляют со-
бой эллипсоиды вращения, вытянутые вдоль оси [100], с эффек-
тивными массами [216—218], равными при 4° К соответственно
= 0,98m, тл/ = 0,19т.
В обоих случаях вблизи минимума выполняется равенство (1.15),
где ma = mb — mnt и тс = шп1\ ось с для германия совпадает
с направлением [111], а для Si —с направлением [100].
Структура приведенной зоны такого типа, какую имеют герма-
ний и кремний, характеризуется несколькими минимумами, распо-
ложенными вне центра приведенной зоны; эти минимумы не вы-
рождены. Структура такого рода носит название однозонной модели
§ 2. Эффективная масса электронов
19
с несколькими минимумами. Такую структуру имеют зоны прово-
димости некоторых соединений типа однако большинство
из них имеет минимум в начале координат (к = 0).
Структура валентных зон германия и кремния сложнее. Мак-
симумы располагаются ближе к центру зоны; две энергетические
зоны VI и V2 соприкасаются, так что эта точка двукратно вы-
рождена (см. фиг. 3). Если бы не происходило спин-орбиталь-
ного взаимодействия, вырождение было бы трехкратным, но бла-
годаря наличию такого взаимодействия третья валентная зона УЗ
несколько смещается в сторону более низких энергий.
Зависимость Е от к в зонах VI и V2 описывается более
сложным выражением, чем (1.15). В соответствии с результатами
опытов по циклотронному резонансу было предложено следующее
выражение [217]:
£ (к) = Е„ - [ AF ± ]/SW + С" + ЙЧ)].
(1.18)
где k?z—составляющие вектора к в прямоугольной системе
координат р — (k2x4“ £2-|- #^2]. Отрицательный знак соответ-
ствует более высокой зоне (VI), а положительный — более низ-
кой зоне (V2). Определенные экспериментально значения коэф-
фициентов A, Bt С для германия и кремния равны
Ge: Л =13,0, В=8,7, С=11,4,
Si: Л = 4,1, В=1,4, 0 = 3,7.
Вследствие вида функции (1.18) эффективные массы электро-
нов определены неоднозначно. В ограниченной области функцию
(1.18) можно заменить сферической поверхностью; тогда для
эффективной массы мы получим ряд значений, распределенных
в некотором интервале. Принятые средние значения отрицательной
эффективной массы электрона (т. е. эффективной массы дырки)
составляют [218]
Ge: tnpVl = 0,28m, mF2 = 0,044m,
Si: mpZ1 = 0,49m, mpV2 — 0,16m.
В третьей валентной зоне V3 значение максимальной энергии
уменьшено на величину, соответствующую энергии спин-орбиталь-
ного взаимодействия (для германия она составляет около 0,28 эв,
для кремния — 0,035 эв). Вблизи этого значения энергии поверх-
ности постоянной энергии сферические; в этом случае применимо
выражение вида (1.15) с эффективными массами
Ge: mpV3 = 0,077m,
Si: mpK3 = 0,24m.
20 Гл. 17. Основные представления физики полупроводников
Теперь мы должны сделать некоторые предварительные заме-
чания о понятии дырки. Дырками называют незаполненные элек-
тронами состояния вблизи верхнего края валентной зоны, осталь-
ные уровни которой заполнены электронами. В § 6 рассматриваются
физические обоснования для введения понятия дырки и дается его
более точное определение. Эффективная масса дырки имеет знак,
обратный знаку эффективной массы электрона. Эффективные
массы дырок положительны, так как у верхнего края валентной
зоны эффективные массы электронов отрицательны.
Характерным свойством германия и кремния является то, что
в окрестности максимума имеются три валентные зоны. Отсюда
следует, что должны существовать три сорта дырок, каждый из
которых обладает своей эффективной массой, а следовательно,
своей динамической характеристикой.
§ 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ПРИМЕСЕЙ
И ДЕФЕКТОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
В предыдущих параграфах мы уже отмечали, что в идеальном
периодическом кристалле разрешенные уровни электронов обра-
зуют зоны. Особенно большой интерес представляют валентная
зона и зона проводимости, между которыми расположена зона
запрещенных энергий. Волновые функции состояний электронов
в зонах разрешенных энергий соответствуют поступательно дви-
жущимся волнам, так что электрон не связан с каким-либо одним
атомом, но может перемещаться по всей кристаллической решетке.
При абсолютном нуле температуры эти зоны заполнены электро-
нами, начиная с самой нижней зоны по направлению к более вы-
сокой. На каждом из разрешенных уровней, плотность которых
в обратном пространстве определяется выражением (1.11), могут
находиться два электрона с противоположными спинами. Послед-
нюю полностью заполненную зону мы называем валентной зоной.
Такая зона является типичной для полупроводника в отличие от
металлов, у которых при абсолютном нуле существует зона, лишь
частично заполненная электронами. При более высоких темпера-
турах электроны в полупроводнике могут быть возбуждены и пе-
рейти из валентной зоны на энергетические уровни в зоне
проводимости. Распределение электронов по разрешенным уров-
ням при температурах, отличных от нуля, рассматривается в § 4
настоящей главы.
В настоящем параграфе обратим внимание на то, как изменяется
схема энергетических уровней идеального кристалла, если в нем
имеются дефекты, т. е. отклонения от идеальной периодической
структуры. Вкратце влияние дефектов можно охарактеризовать
тем, что в кристаллах, обладающих дефектами, имеются энерге*
§ 3. Энергетические уровни примесей и дефектов решетки 21
тические уровни, расположенные внутри запрещенной зоны. Этим
состояниям соответствуют локализованные волновые функции, опи-
сывающие электрон, связанный с дефектом.
Наиболее простым дефектом является наличие атома элемента
пятой группы периодической системы в кристалле элемента чет-
вертой группы. Рассмотрим, например, атом мышьяка в германии;
ион As+ может входить в решетку германия таким образом, что
замещает в ней атом германия (так называемая замещающая при-
месь). Мышьяк имеет пять валентных электронов. Для реализации
валентной связи требуется четыре электрона; пятый электрон свя-
зан положительным зарядом иона. В этом связанном состоянии
электрон обладает более низкой энергией, чем электрон, нахо-
дящийся в зоне проводимости. При высокой температуре под
влиянием тепловых колебаний связанный электрон может отры-
ваться от иона мышьяка и перемещаться как свободный электрон
кристаллической решетки; иными словами, электрон может пе-
рейти в зону проводимости. Такого типа примеси или дефекты
кристаллической решетки называют донорами. В основном состоя-
нии они нейтральны, а при возбуждении дают положительно за-
ряженный ион и один свободный электрон.
Важно знать, какая наименьшая энергия необходима для осво-
бождения электрона с донорного уровня и перемещения его в зону
проводимости (другими словами, энергетическое расстояние ниж-
него уровня зоны проводимости от уровня энергии электрона,
связанного с донором), т. е. какова энергия ионизации донора.
Сравнительно хорошее для теоретических расчетов согласие
с экспериментом дает простая модель, впервые предложенная
Моттом, которая основана на аналогии с моделью атома водорода.
Если рассматривается атом мышьяка в германии, то свободный
электрон движется, как и в атоме водорода, в поле одного эле-
ментарного заряда, однако на него одновременно воздействуют
силы и со стороны остальных атомов. Эти силы можно прибли-
женно описать, вводя в выражение для потенциала электрона
диэлектрическую постоянную Ко, которая для германия в 16 раз
больше, чем для вакуума (для кремния/Со— 12, для InSb Ко = 16).
Это объясняется тем, что электрон, связанный с ионом мышьяка
силой кулоновского взаимодействия, перемещается в решетке по
орбите, радиус которой в раз больше радиуса атома во-
дорода, так что этот электрон попадает в поле многих атомов
решетки германия. Отсюда для энергии ионизации ED > 0 по-
лучаем
ED = EH - 2 । (1,19)
"гэфф. ^0
где энергия ионизации атома водорода (13,62 зв).
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
Не ясно, какое значение /пЭфф, нужно подставлять в выраже-
ние (1Л 9). Хорошее приближение получается, если взять /пЭфф. = т.
Для энергии ионизации донора типа мышьяка в германии получим
в согласии с экспериментом значение порядка 0,01 эв. Расчет
с учетом реальной энергетической структуры зоны проводимости
германия дал такое численное значение, которое получилось бы
из выражения (1Л9), если вместо т подставить среднее геоме-
трическое трех главных эффективных масс [216].
Если в кристаллическую решетку элемента четвертой группы
ввести атом элемента третьей группы, то этот атом может занять
такое положение (например, индий в германии), при котором он.
замещает атом основной решетки. Недостаток одного электрона
приводит к образованию одной ненасыщенной связи, т. е. к де-
фекту в энергетической структуре кристалла. При некоторой до-
статочно высокой температуре один из электронов у верхнего
края валентной зоны возбуждается и дополняет недостающее звено
связи. В результате этого в валентной зоне образуется дырка,
которая, как объясняется ниже, может перемещаться по кристал-
лической решетке и обусловливать ее электропроводность. Дефект
такого рода называют акцептором. В основном состоянии акцеп-
тор нейтрален; при возбуждении он принимает электрон из ва-
лентной зоны (или, иными словами, дырка, связанная на акцеп-
торе, освобождается и переходит в валентную зону).
Ввиду аналогии между свободным электроном и дыркой можно
снова воспользоваться выражением (1.19) для расчета энергии
ионизации акцептора. В согласии с результатами более точных
расчетов и с экспериментальными данными мы получим величину
того же порядка, что и для доноров, так что энергетические
уровни акцепторов такого типа расположены вблизи верхнего
края валентной зоны.
Если концентрация доноров велика, то волновые функции
электронов, связанных на донорах, перекрываются. В этом слу-
чае происходит обобществление электронов, и их энергетические
уровни образуют зону, в которой будет наблюдаться электри-
ческая проводимость. Примесная зона может настолько расши-
риться, что частично перекроется с зоной проводимости. В этом
случае энергия активации равна нулю. Тогда и вблизи абсолютного
нуля в зоне проводимости существуют свободные электроны.
Такая картина в действительности наблюдается на опыте. Крити-
ческая концентрация, при которой наступает перекрытие зоны
доноров с зоной проводимости, равна 1,2 • 1017 доноров на 1 см3
для германия и 1,8 • 1018 доноров на 1 см3 для кремния [216].
Природа и поведение тех дефектов решетки, которые мы рас-
сматривали выше, довольно хорошо объясняются теоретически и
экспериментально. Однако существует большое количество дефек-
§ 4, Распределение электронов и дырок при равновесии
тов другого рода, свойства которых могут быть определены пока
лишь экспериментальным путем.
При облучении германия или кремния частицами высокой энер-
гии образуются дефекты, которые можно описывать как атомы,
перемещенные из нормального положения в решетке в межузлия.
Атом германия в межузлии ведет себя как дважды ионизованный
донор. Пустое место, которое остается в решетке после пере-
мещения атома германия, проявляет себя как акцептор; электрон
может быть на нем локализован, поскольку он максимально уда-
лен от воздействия остальных валентных электронов. В кремнии
при облучении возникают пары донор — акцептор с энергетиче-
скими уровнями, лежащими вблизи центра запрещенной зоны.
Примесь элементов, не принадлежащих к третьей и пятой
группам, в кристаллах элементов четвертой группы дает более
сложную картину. Как показывает опыт, а также качественное и
теоретическое рассмотрение [216, 219, 220], присутствие атомов
таких элементов, как золото, железо, медь и т. п., приводит
к образованию нескольких энергетических уровней в запрещенной
зоне. При этом некоторые энергетические состояния соответствуют
донорам, а другие — акцепторам, согласно определению, которое
мы ввели выше. Энергетические уровни доноров этих элементов не
всегда расположены вблизи зоны проводимости, а акцепторов —
вблизи валентной зоны, как это характерно для элементов третьей
и пятой групп. При больших концентрациях примесей наступают
более сложные явления, как это наблюдалось для кремния [557].
Наряду с рассмотренными дефектами в кристаллической ре-
шетке германия и кремния существуют и дефекты другого рода.
Это дислокации и тепловые дефекты, возникающие при резком охла-
ждении германия от температуры свыше 600° С. Оба эти вида дефек-
тов ведут себя как акцепторы. На макроскопических неоднородно-
стях решетки, какими являются поверхность германия или границы
зерен и т. п., также возникают локализованные состояния электро-
нов, которые проявляются преимущественно как акцепторы.
Дефекты кристаллической решетки часто ведут себя не только
как доноры и акцепторы, но и как центры рекомбинации или
ловушки электронов и дырок; природа этих явлений рассматри-
вается в § 12 настоящей главы.
§ 4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В УСЛОВИЯХ ТЕПЛОВОГО
РАВНОВЕСИЯ
В предыдущих параграфах мы принципиально выяснили, как
выглядит система разрешенных уровней кристалла полупроводника.
Рассмотрим теперь вопрос о распределении электронов по отдель-
24 Гл. 7. Основные представления физики полупроводников
ним разрешенным энергетическим уровням в случае теплового
равновесия при произвольной температуре.
Концентрация электронов в любом выбранном интервале раз-
решенных энергий выражается произведением плотности этих со-
стояний на вероятность их заполнения.
Плотность разрешенных энергетических состояний D(E) в ин-
тервале энергий от Е до E-\-dE в зоне проводимости или
в валентной зоне определяется по формуле (1.11) путем расчета
объема в приведенной зоне, соответствующей этому интервалу
энергий. Из выражения (1.11) следует (мы полагаем 0—1 см3,
так как
сталла)
вычисляем число состояний в единичном объеме кри-
D (Е) dE = A- f rf3k. (!.2О)
Здесь d3k нужно выразить как функцию Е и произвести интегри-
рование в указанных пределах. Цифра 2 в формуле (1.20) озна-
чает, что этот уровень может быть занят двумя электронами
с противоположными направлениями спинов. В простейшем слу-
чае, представленном на фиг. 2, когда в области экстремума к = 0
между Е и к имеет место соотношение (1.17) или (1.16), легко
провести интегрирование и получить следующие результаты:
в зоне проводимости
W)
в валентной зоне
D (В)
(1.21а)
(1.216)
Здесь Ес соответствует нижнему краю зоны проводимости,
а Еу — верхнему краю валентной зоны. Величина mnd обозначает
эффективную массу электрона, которая в этом простейшем случае
равна эффективной массе электрона тп в зоне проводимости,
а величина mpd равна эффективной массе дырки т в валентной
зоне, каждая из которых определена способом, указанным в § 2
[выражения (1.17), (1.16)]. В общем случае структуры приведенной
зоны эффективные массы mnd и т d для плотности состояний
являются средними значениями масс, определенных в § 2. Легко
показать, что для структуры с v невырожденными минимумами
в приведенной зоне [например, структура зоны проводимости
германия (v = 4) или кремния (v = 6)] справедливы формулы (1.21),
в которые вместо mnd нужно подставить
mnd = (y2tnna^nbmnc)ls
[величины тпа, определяются уравнением (1.15)].
§ 4. Распределение электронов и дырок при равновесии 25
Для случая структуры такого типа, какой является структура
максимумов валентной зоны германия и кремния, в области макси-
мума также справедливы формулы (1.21), но при этом нужно найти
численные значения mpd. В этом случае определение эффективных
масс и mpd имеет смысл только тогда, когда энергия, соот-
ветствующая спин-орбитальному взаимодействию, будет или kT,
или <^kT; если эта энергия одного порядка с kT, то mnd и m d
будут существенно зависеть от энергии в той области, которая
рассматривается при расчете концентраций электронов или дырок.
Таблица 1
Относительные эффективные массы для
плотности состояний mnd]m и mpd:m
в германии и кремнии
Ое
S1
mndlm. 0,55 1,08
mpd!m в зоне VI 0,35 0,53
mpd]in в зоне V2 0,041 0,156
mpdlm общее 0,36 0,59
В табл. 1 приведены эффективные массы германия и кремния
для плотности состояний, рассчитанные по. эффективным массам,
приведенным в § 2 настоящей главы. В табл. 1 приведены два
сорта дырок: медленные (с большой эффективной массой) и быстрые
(с малой эффективной массой), которые соответствуют зонам VI
и V2 (см. § 2). Дырки в зоне V3 мы не рассматриваем, так как
эта зона почти не заполнена дырками вследствие относительно
большого значения энергии спин-орбитального взаимодействия по
сравнению с kT (см. фиг. 3).
Для зонной структуры общего типа простые зависимости
ь
D (Е) ~ (Е - Еср и D (Е) ~ (Ev - Ер
не выполняются. В качестве примера сошлемся на работу Эрен-
райха [331], относящуюся к зоне проводимости InSb. структура
которой была рассчитана Кейном [332].
Вероятность заполнения электроном состояния с энергией Е
в зоне проводимости или валентной зоне определяется статистикой
Ферми — Дирака. Она основана на том, что в каждом разрешенном
квантовом состоянии может находиться не более двух электронов
с противоположными спинами. Поскольку мы ввели в функцию
плотности состояний D..(E) множитель 2, функцию распределения
26 Гл. I/. Основные представления физики полупроводников
Ферми можно записать в обычной форме
(1-22)
где Со — так называемый химический потенциал электронов. В одно-
родном полупроводнике он совпадает с так называемым уровнем
Ферми EF, определяемым обычно через электрохимический потен-
циал. Разница между химическим и электрохимическим потенциа-
лами проявляется в неоднородном полупроводнике (см. § 5).
Вначале мы будем предполагать, что Со известно и что на этой
Зона проводимости
Уровень Ферми
Фиг. 4. Энергетическая схема однородного полу-
проводника при тепловом равновесии.
основе выведены некоторые соотношения. Способ определения
этой величины мы рассмотрим в конце параграфа. Индекс 0 озна-
чает, что рассматривается состояние теплового равновесия.
Концентрация электронов в зоне проводимости в интервале
энергий от Е до E-^dE равна f^D(E)dE, а полная концентрация
электронов в зоне проводимости
п0
D (£) dE
(1.23)
Уровни энергии отсчитываются согласно фиг. 4. Верхний предел
интегрирования взят равным ос вместо верхнего края зоны проводи-
мости (который неизвестен). Вносимая этим ошибка мала вследствие
чрезвычайно малой вероятности заполнения состояний с большой
энергией, для которых Е —
§ 4. Распределение электронов и дырок при равновесии
27
В валентной зоне нас интересует не столько концентрация
электронов, сколько концентрация дырок. Для нее мы получаем
следующее выражение:
D (Е) dE______
1 -hexp [(Co —‘
(1-24)
Выражения (1.23) и (1.24) можно преобразовать, введя кинети-
ческие энергии ер и энергии Сл0, Ср0, согласно следующим
соотношениям (см. фиг. 4):
в зоне проводимости
в валентной зоне
(1-25)
'рО*
По определению, и С э связаны между собой соотношением
рэ= (1.26)
/гЭ
Тогда выражения (1.23) и (1.24) можно записать в виде
"о
1 + ехр [(ей
D п (ея)
(1.27)
- £
v г
Выражение для р0 имеет такой же вид, но индекс п заменяется на р.
Если
£>(£) = £> (г
4 7 п\ п) п
[см. (1.21)], то в выражении (1.27) интеграл по зоне проводимости
можно выразить с помощью функции
tm di ___
exp (t — x)
(1.28)
Значения этой функции приведены в приложении Г.
Тогда nQ запишется в виде
где
2nmndkT\3/2
№ /
(1-29)
(1.30)
28 Гл. \1. Основные представления физики полупроводников
। II, I ! I I I ... иннт^ч!.
величину Nc обычно называют эффективной плотностью разрешен-
ных состояний электронов в зоне проводимости.
Если предположить, что в зоне валентности D(E) — —г'К
то выражения (1.29) и (1.30) применимы к дыркам с заменой п0
на /?0 и индекса п на р. При этом величина, соответствующая Nc,
обозначается через Nv (эффективная плотность состояний дырок
в валентной зоне).
Выражение (1.29) можно значительно упростить, если вместо
статистики Ферми воспользоваться классической статистикой при
условии, что —В случае ^n^kT <—4 для функции
(Сдд/ЛГ) с достаточной точностью (ошибка при ^nJkT = — 4
составляет около 0,7% и быстро падает с ростом —
выполняется соотношение
(1.31)
и выражение для п0 принимает вид
«о = Nc ехР fe) •
Аналогично для дырок
Из равенств (1.32) и (1.26) вытекает соотношение между
равновесными концентрациями электронов и дырок
(1.33)
поРо =
kT)'
которое справедливо в том случае, если можно пользоваться клас-
сической статистикой.
' Введем несколько определений. Если в полупроводнике кон-
центрация свободных электронов (т. е. электронов в зоне проводи-
мости) преобладает над концентрацией дырок, т. е. /?0, то
его называют несобственным полупроводником, или полупровод-
ником /г-типа; если /?0^>/г0, то полупроводник будет /7-типа.
Проводимость полупроводников п- и p-типа возникает под влия-
нием примесей, так как полностью свободный от примесей полу-
проводник имеет одинаковые концентрации свободных электронов
и дырок. Чистый (без примесей) полупроводник обладает собствен-
ной проводимостью, которая характеризуется тем, что п0р0 = nz.
Если п0 мало отличается от /?0, то обычно не говорят об п- или
/?-типе полупроводника, а рассматривают это как переходный
случай между собственным и несобственным полупроводниками.
В несобственном полупроводнике n-типа свободные электроны
называются основными носителями тока, а дырки — неосновными
носителями; в полупроводнике p-типа— наоборот.
§ 4. Распределение электронов и дырок при равновесии 29
Совокупность электронов в зоне проводимости, которую иногда
называют электронным газом, подчиняется законам классической
статистики, если —С0^&7'; при этом расстояние от уровня
Ферми до зоны проводимости велико по сравнению с kT. В этом
случае говорят о невырожденном электронном газе. Невырожденный
электронный газ характеризуется неравенством п0 <$Т N При
заданной концентрации электронов «0 вырождение наступит скорее
в том случае, когда плотность разрешенных энергетических состоя-
ний меньше, т. е. когда меньше эффективная масса для плотности
состояний mnd [см. формулу (1.21)]. Если —Ся0 становится сравни-
мым с kT, то формулами классической статистики пользоваться
уже нельзя, и наступает переход к вырождению. О вырождении
электронного газа можно с уверенностью говорить лишь в том
случае, если уровень Ферми лежит внутри зоны проводимости
(^0 > 0)- Такое явление наблюдается у металлов; для них харак-
терно наличие сильного вырождения, что приводит к другим,
но также простым соотношениям. Для полупроводников характер-
ным является противоположный случай невырожденного электрон-
ного газа, для которого справедлива классическая статистика.
Аналогичные определения и замечания можно сделать для совокуп-
ности дырок.
Равновесное распределение электронов в зоне проводимости и
в валентной зоне описывается функцией Ферми /0 (1.22). Этот
простейший вид функции распределения, полученный для четко
определенной’ системы разрешенных уровней энергии, несправедлив,
однако, для локализованных энергетических уровней. Для доноров
нужно принять во внимание то, что хотя незанятый донорный
уровень допускает два разрешенных состояния для электрона
(соответствующих противоположным спинам), но если на донорном
уровне уже связан один электрон, второй электрон с противо-
положным спином не может попасть на этот же уровень вследствие
электростатического отталкивания со стороны первого электрона.
Поэтому функция распределения для заполнения донорных уровней
имеет вид
(1.34)
где Др(> 0)-—энергия ионизации доноров, введенная в § 3,
a E'd отсчитывается от основного уровня энергии, как и С (вывод
выражения (1.34) см., например, в книге [270], стр. 369).
30 Гл. \1. Основные представления физики полупроводников
Из тех же соображений для акцепторов получим
/од
1 + 2 ехр
1 -р 2 ехр
(1.35)
(£д + ЗДЖ
где Е'—уровень электрона, связанного на акцепторе, отсчитан-
ный от того же уровня нулевой энергии, что и V а £л(> 0) отсчи-
тывается от верхнего края валентной зоны.
Если концентрация доноров в кристалле равна NDi то концен-
трация связанных на них электронов будет равна f$DND, т. е.
равна числу нейтральных доноров. Если концентрация акцепторов
равна Л/^, то концентрация связанных на них электронов будет
равна /ол^Д’ т* е- равна числу акцепторов с отрицательным
зарядом. Были выведены более сложные соотношения для распре-
деления электронов по отдельным уровням в случае, когда при-
месь имеет несколько локализованных состояний (например, золото
в германии) или когда положение энергетических уровней примеси
зависит от температуры (см. [271, 304, 368]).
Перейдем теперь к вопросу о расчете распределения электро-
нов по отдельным системам уровней в случае теплового равно-
весия. Будем исходить из следующих двух принципов:
а) Состояние теплового равновесия между совокупностями
электронов (дырок) характеризуется статистикой Ферми, которая
устанавливает, что все эти совокупности имеют одинаковое зна-
чение энергии С, задающей положение уровня Ферми.
б) Кристалл полупроводника в целом нейтрален.
Условие электрической нейтральности мы можем записать
в виде равенства положительного и отрицательного зарядов в ре-
шетке (умножение на величину —е опускаем):
n0 + N Af$A
Ро "h— foD^
(1.36)
Если в кристалле имеется несколько типов доноров или акцептов
ров, то в это уравнение вместо NAf^ и Nn(l—/ор) войдут
суммы членов от отдельных типов доноров и акцепторов.
Теперь можно подставить в уравнение (1.36) значения функ-
ций, определяемые выражениями (1.23), (1.24), (1.34) и (1.35);
для данной температуры Т из этого уравнения можно вычислить
а с его помощью определить п0 и р0 из (1.23) и (1 .24). Для
полупроводников n-типа уровень Ферми находится в верхней поло-
вине запрещенной зоны, а для полупроводников р-типа — в ниж-
ней половине. Уровень Ферми располагается тем ближе к той или
иной зоне, чем больше концентрация основных носителей тока.
Для невырожденного собственного полупроводника (ND =
^Д/д = 0) положение уровня Ферми можно определить из равен-
$ 4. Распределение электронов и дырок при равновесии
31
ства /г0
р0 с помощью выражений (1.23) и (1.24):
1 3
2" “Ь j k Т1 п
mpd
mnd
(1-37)
Из этого выражения видно, что уровень Ферми собственного полу-
проводника находится приблизительно посредине запрещенной зоны
(если m d того же порядка величины, что и mnd).
Для концентрации свободных электронов и дырок, используя
соотношение (1.33), получаем
«о = Ро = exp (— . (1.38)
Введя разность между уровнем Ферми рассматриваемого полу-
проводника и уровнем Ферми собственного полупроводника, в слу-
чае применимости классической статистики можно привести выра-
жения (1.32) к следующему виду, который иногда бывает удобен:
жения (1.32) к следующему виду, который иногда бывает
«о
ъ0
kT
(Vcexp
kT
ехр
0 X)Z
kT
X)Z
kT
(1.39а)
ni ехр
ъ0/
kT
Рассмотрим
траций. Весьма
проводнике концентрация доноров ND преобладает над
трацией акцепторов NA, и энергия их ионизации ED —
значительно меньше Ео. Тогда акцепторы полностью заполнены
электронами с доноров, так как их энергетические уровни лежат
гораздо ниже.
Будем рассматривать только такой интервал температур, в ко-
тором можно пренебречь концентрацией дырок р0 в валентной
зэне. Тогда из равенств
л0 = fl “i----------------------------------\ ,
теперь два случая
распространенным
практического расчета
является случай, когда
концен-
в полу-
концен-
о
kT
легко вывести соотношение, найденное впервые де Буром и ван
Гилом,
kT
D Л А "О
Проанализируем это соотношение для трех важных случаев:
(1.40)
32 Гл. I/. Основные представления физики полупроводников
a) rr^ND— NА. Это случай полной ионизации доноров, харак-
терный для германия и подобных ему полупроводников, содержа-
щих примеси с низкой энергией активации (например, мышьяк,
сурьма и т. п.), начиная уже с температур выше температуры
жидкого воздуха. Концентрация электронов проводимости здесь
не зависит от температуры.
б) Во втором случае nQ<^ND — NAi но nQ^>NA. Тогда
Это случай слабой ионизации доноров. Энергия ионизации доно-
ров здесь равна удвоенной энергии активации, измеренной по зави-
симости п0 от температуры.
в) В последнем случае очень слабой ионизации доноров
nQ<^ND — Na и nQ<^NA. Тогда
(1-42)
Аналогичные соотношения имеют место для дырок, нужно
лишь заменить ND на NA, NA на ED на ЕА и Л/^/2 на 2A/^.
Концентрацию неосновных носителей тока легко учесть в том
случае, когда полупроводник находится в той области температур,
где доноры или акцепторы полностью ионизованы1) [336]. Это
имеет место, например, для германия или кремния с примесями
мышьяка или индия, практически начиная с температур выше
100°К. Из уравнения электрической нейтральности
— N $ N А Ро
и уравнения (1.33) получим
(Ng — NA)
ND-NA f Г (ND~ NAy
2 L . 4
(1.43)
Зная n0, можно определить С' из уравнения (1.23).
Величина Eq не является постоянной, но изменяется с темпе-
ратурой. Это связано, с одной стороны, с тем, что с температу-
рой изменяются размеры элементарной ячейки кристалла, а сле-
довательно, и размеры приведенной зоны, а, с другой стороны,
*) Из соотношения
доноров:
(1.36) легко получить условие полной ионизации
§ 5. Равновесное распределение в неоднородном полупроводнике 33
с тем, что тепловые колебания меняют потенциальное поле внутри
кристалла, в котором движутся электроны. Зависимость Ео от
температуры для гомеополярного полупроводника типа германия,
согласно теоретической работе Антончика [221], которая нахо-
дится в хорошем качественном согласии с экспериментом, квад-
ратична для низких температур, линейна для более высоких тем-
ператур и экспоненциальна для высоких температур (см. также
[95, 96, 105, 106]).
В средней линейной области наклон dEQ!dT наиболее кру-
той. Для германия и кремния наклон составляет примерно
- 4 • 10"4 dejzpad. Как правило, Ео уменьшается с температурой.
Исключением являются полупроводники PbS, PbSe, РЬТе, у кото-
рых ширина запрещенной зоны увеличивается с повышением
температуры.
Отметим еще, что сильное магнитное поле может изменить
положение уровня Ферми и концентрацию носителей тока. Это
явление связано со спином электрона (парамагнитная часть) и кван-
тованием орбит свободных электронов в магнитном поле (диамаг-
нитная часть), как впервые показал Ландау [15]. Эффект становится
значительным, когда энергия (Р — магнетон Бора) сравнима
или больше, чем kT [272, 382]. На этом явлении основан также
фотомагнитный эффект в неоднородном магнитном поле, рассма-
триваемый в гл. 5, § 3. В очень сильных магнитных полях наблю-
даются и другие эффекты, например изменение энергии активации
примесей под влиянием деформации электронного облака и пр.
[325, 326].
§ 5. РАВНОВЕСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
И ДЫРОК В НЕОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
Более сложные закономерности наблюдаются в том случае,
если образец полупроводника неоднороден, например если вблизи
его поверхности или вдоль него меняется концентрация доноров
или акцепторов и т. п. Представим себе, что в некоторой части
образца концентрация доноров выше, чем в остальной части. Если
температура достаточно высока, так что доноры ионизованы, то
в этой части образца имеется повышенная концентрация элек-
тронов, которые путем диффузии проникают в другие части образца.
Если бы речь шла об электрически нейтральных частицах, напри-
мер атомах газа, такой процесс приводил бы к выравниванию
концентрации электронов по всему образцу. Установившееся в этом
случае равновесие, очевидно, характеризовалось бы тем, что хи-
мический потенциал электронов был бы во всем образце посто-
янным.
34 Гл. \1. Основные представления физики полупроводников
В действительности электроны и ионизованные доноры элек-
трически заряжены. При удалении электронов от доноров, с кото-
рых они были освобождены, образуется пространственный заряд,
и вследствие этого возникает электрическое поле, которое пре-
пятствует диффузии электронов. В положении равновесия создается
такое поле, которое приводит к возникновению электрического
тока, уравновешивающего диффузионный ток. Распределение этого
электрического поля F можно записать с помощью электрического
потенциала ср:
F =— grad ср. (1.44)
Необходимо специально рассмотреть смысл электрического потен-
циала ср внутри кристалла. Обычно его определяют следующим
образом. Рассмотрим область в кристалле полупроводника, кото2*
рая содержит достаточно большое число атомов, чтобы можно
было говорить о кристалле и пользоваться формулами квантовой
механики электронов в кристалле. Однако эта область должна
быть достаточно малой с макроскопической точки зрения, чтобы
можно было и в случае неоднородного полупроводника считать
среднее по времени значение электрического потенциала —V(г)/е,
входящего в уравнение . Шредингера (1.1), периодическим в про-
странстве. Определим макроскопический потенциал ср как среднее
по координате значение этого периодического потенциала. Оче-
видно, что такое определение будет тем менее точным, чем больше
grad ср.
При рассмотрении равновесия в неоднородных системах с элек-
трическим потенциалом термодинамика вводит так называемый
электрохимический потенциал, определяемый равенством
Ер - % - еу0. (1.45)
Поскольку при таком определении электрохимический потенциал
можно считать тождественным уровню Ферми, мы обозначим его
Ер, чтобы не вводить лишних обозначений для одной и той же
величины.
В уравнении (1.45) Со обозначает химический потенциал, который
входит в выражение (1.22). При определении его в неоднород-
ном полупроводнике снова представим себе, чго кристалл разде-
лен на области, большие с атомной точки зрения, но малые
с макроскопической точки зрения, так что каждую область можем
принимать за однородную и определять для нее химический по-
тенциал Со с помощью уравнения (1.23). Очевидно, в сильно неод-
нородном полупроводнике указанное определение теряет смысл,
и в этом случае нельзя пользоваться уравнениями статистической
механики, приведенными в § 4 настоящей главы. Такие случаи мы
здесь рассматривать не будем.
§ 5. Равновесное распределение в неоднородном полупроводнике 35
В условиях теплового равновесия в неоднородной системе элек-
трохимический потенциал должен быть постоянен во всей системе:
Ер Со — = const» (1-46)
На фиг. 5 показаны эти потенциалы.
Выражения (1.32) и (1.39) для концентрации носителей тока,
выведенные в предыдущем параграфе, справедливы й для неод-
с
Фиг. 5. Энергетическая схема неодно-
родного полупроводника при тепловом рав-
новесии.
неродного полупроводника, если потенциал не меняется слишком
быстро с расстоянием. Вопрос о границах применимости этих вы-
ражений кратко рассматривается в работе Гаретта и Брэттейна [222].
Если подставить в выражение (1.39) уровень Ферми Е?, ко-
торый постоянен во всей системе, то получим это выражение
в чаще всего используемом виде
"о
exp
Ер
kT
(1.47 а)
(1.476)
Ро = Ъ exp
36 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
***a*ew^ шиид, ,j.i
Очень важным примером является случай р ~ «’Перехода
в полупроводниках, изображенный на фиг. 6. Левая часть образца
представляет собой полупроводник ^-типа (р0Р~^> пор), правая
часть — «-типа (n0N^> p0N). Каков бы ни был ход потенциала
p-inun
Фиг. 6. Потенциальный барьер на р— «-пере-
ходе.
в области перехода, полную разность потенциалов в положении
равновесия можно получить из уравнения (1.46):
так что
— ^0Лг — б'рОЛЬ
е (Тор Толг) W-
(1.48)
После подстановки из (1.25) и (1.32) получаем
е (?0Р Родг) — -рОР ’/гСьУ1
(1.49)
е (<Рор — Тодт) =
Еа — kTIn — АЛп .
^ОР
В первой форме уравнение (1.49) применимо
даже для вырожденного полупроводника, во
для всех случаев,
второй форме
только для невырожденного полупроводника.
Потенциалы COjv, Сор определяются параметрами обеих частей
образца перед контактом (практически параметрами полупро-
водников, образующих р—n-переход, измеренными вдали от этого
перехода). Применение только термодинамики не дает возможно-
сти определить распределение потенциала в области перехода;
для этого нужно использовать другие методы (ср. гл. 3, § 6).
§ 5. Равновесное распределение в неоднородном полупроводнике 37
___ 1 '". .L ' i --Ц- H-u— |.<L. I !!! IP I; J* ^_O'" • 9 * 11 1 I U'
Вполне естественно, что полностью аналогичные уравнения
справедливы и для полупроводника, в котором переход обуслов-
лен только изменением концентрации доноров или акцепторов,
так что весь образец имеет один и тот же тип проводимости.
В р — n-переходе потенциал р*области ниже, чем потенциал
n-области: 9ор <‘Pojv* Если имеется переход типа п,* — п, где
п+ обозначает область с более высокой концентрацией доноров,
чем в /^области, то
в переходе типа р+ — р, наоборот,
?0Р+ < ?0Р‘
Из фиг. 5 очевидно, что в полупроводнике, в котором элек-
трический потенциал ср0 не постоянен, химические потенциалы Со,
энергию Е и т. д. следует измерять таким образом, чтобы
в каждой точке за основной уровень энергии принимать значе-
ние — £ср0 в этой точке. Однако электрический потенциал опре-
деляется с точностью до произвольной постоянной, так что ei о
положение можно произвольно сдвигать по вертикали1)*
Весьма важным примером неоднородности в полупроводнике
может служить его поверхность. Изучение свойств поверхности
представляет собой гораздо более трудную задачу, чем изучение
объемных свойств, поэтому мы не будем здесь заниматься по-
дробным анализом этого вопроса. Однако следует отметить, что
целый ряд важных электрических свойств поверхности удалось
описать с помощью сравнительно простого представления о том,
что непосредственно вблизи поверхности полупроводника обра-
зуется потенциальный барьер, аналогичный барьеру на р — /г-пере-
ходе. Поскольку свойства этого барьера и возникновение на
нем фото-э. д. с. можно описать феноменологическим способом,
полностью лежащим в рамках настоящей монографии, рассмотрим
кратко сущность барьерной теории поверхности, которая была
подробно разработана в последние годы на основе анализа экс-
периментальных данных, полученных для германия и кремния.
На фиг. 7 приведена схема энергетических уровней на по-
верхности германия. Представим себе, что на поверхности полу-
проводникового материала находится малопроводящий слой окиси,
который несет положительный или отрицательный заряд (в про-
9 Шокли [85, 94] предложил считать, что уровень —совпадает
с уровнем Чтобы получить выражения для концентрации электронов
и дырок с учетом этого условия, нужно положить = 0, Ер = —
?0 = «Ро*
38 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
II I ! 1. ! Jl.l 1 11 IW II рц| IT—— !_ I J 1 |“Н*—
стейшем случае — адсорбированные ионы). Знак образующегося
заряда зависит от среды, граничащей с поверхностью: например,
сухой кислород вызывает отрицательный поверхностный заряд, во-
дяные пары— положительный.
Электрический заряд, связанный в этом внешнем слое, харак-
теризуется тем, что он находится в слабом взаимодействии
с электронами внутри полупроводника. Поэтому любые внешние
Пленка окиси на поверхности
Пространственный заряд
Фиг. 7. Потенциальный барьер на поверхности
германия.
воздействия на электроны или дырки, находящиеся внутри полу-
проводника (например, увеличение их концентрации при облуче-
нии), вызывают лишь слабые „медленные" изменения заряда внеш-
него слоя. Эти состояния называют „медленными" поверхност-
ными состояниями. Плотность связанного на поверхности заряда
на 1 см2 обозначим через Yss.
Заряд этих внешних медленных поверхностных состояний дол-
жен быть уравновешен зарядом внутри полупроводника, поскольку
электрическое поле вне полупроводника должно быть в положе-
нии равновесия равно нулю. Оказывается, что заряд в медленных
состояниях уравновешивается двумя типами зарядов: зарядом в так
называемых „быстрых" поверхностных состояниях с плотностью
и пространственным зарядом с плотностью на потенциальном
барьере, проникающем вглубь полупроводника:
(1.50)
§ 5. Равновесное распределение в неоднородном полупроводнике 39
Пространственный заряд на потенциальном барьере возникает та-
ким же образом, как на потенциальном барьере р — п-перехода;
он обязан своим происхождением неподвижным ионизованным до-
норам й акцепторам, а также подвижным электронам и дыркам.
Опыты показали, что нередко часть электронов и дырок, обуслов-
ливающих пространственный заряд, связана на энергетических
состояниях, расположенных в запрещенной зоне, которые быстро
приходят в равновесие с зарядом на потенциальном барьере и
в объеме полупроводника (за время порядка микросекунды или
меньше); поэтому эти состояния называются быстрыми состояниями.
Предполагают, что они локализованы между полупроводником и
пленкой окиси. Часто , их рассматривают в непосредственной связи
с так называемыми „поверхностными состояниями Тамма кото-
рые должны существовать на совершенно чистой . поверхности
полупроводника. Необходимость существования таких состояний
вытекает из решения уравнения Шредингера, если вместо гранич-
ных условий периодичности, рассмотренных в § 1 настоящей
главы, воспользоваться граничными условиями, соответствующими
поверхности полупроводника.
Для наших целей мы воспользуемся следующей точкой зре-
ния. На поверхности имеется некоторый заряд определяемый
внешними условиями. Этот заряд уравновешивается суммой за-
рядов, находящихся в быстрых состояниях и на потенциальном
барьере. Быстрые состояния можно представить себе в виде си-
стемы разрешенных энергетических уровней в запрещенной зоне,
которые могут быть заполнены электронами или дырками. Рав-
новесное распределение электронов и дырок в такой системе под-
чиняется статистике Ферми — Дирака. Эта система находится в рав-
новесии в объеме полупроводника; следовательно, электрохими-
ческий потенциал EF постоянен по всему объему полупроводника
вплоть до его поверхности.
Важным параметром, характеризующим поверхностные свойства,
является разность потенциалов фс<9 — ?о объемн.» т- е- высота по-
верхностного потенциального барьера.
Эту разность можно определить из уравнения (1.50) [которое
соответствует уравнению (1.36)], если помимо объемных парамет-
ров полупроводника известен также его поверхностный заряд
в медленных поверхностных состояниях и поло кение и плотность
энергетических уровней быстрых состояний. Однако при расчете
пространственного заряда на барьере нельзя ограничиваться уравне-
ниями статистики, а необходимо использовать уравнение Пуассона.
Поэтому к данной проблеме мы вернемся ниже (см. гл. 3. § 9).
С помощью сравнительно простых представлений можно про-
верить рассмотренные качественные выводы о высоте потенциаль-
ного барьера на поверхности.
a
тг-mun
Vos > тобъемн.
Инверсионный
слой
Vos тобъемн
Vos < Уобъемн.
Фиг, 8. Потенциальные барьеры на поверхности полупроводников п-
и /7-типа при разных знаках поверхностного заряда.
§ 6. Действие электрического и магнитного полей на электроны 41
I --------------------------------------------------—....... ---- . г
Если полный пространственный заряд (в медленных и быст-
рых СОСТОЯНИЯХ) положителен, ТО (pOj------% объемн. > Для полу-
проводника /t-типа это означает, что концентрация электронов
возрастает по направлению к поверхности, и около поверхности
образуется слой, обогащенный электронами (фиг. 8, а). Барьер
системы поверхность — объем аналогичен барьеру на — /t-пере-
ходе. В полупроводнике p-типа возникает в этом случае слой,
обедненный дырками (аналогично р“ — р-переходу). Такая убыль
дырок может способствовать возникновению вблизи поверхности
слоя, где концентрация электронов преобладает над концентра-
цией дырок, так что у поверхности образуется слой /t-типа, ко-
торый называют „инверсионным* (фиг. 8, б). Барьер системы по-
верхность объем соответствует в этом случае п — р-переходу.
В качестве примера можно указать на то, что поверхность гер-
мания имеет тенденцию заряжаться положительно в среде, содер-
жащей водяные пары.
Если полный поверхностный заряд отрицателен, то ср0<? —
— <р0 Объемн. < 0. В полупроводнике p-типа возникает слой, обо-
гащенный дырками (барьер аналогичен барьеру на р+—р-пере-.
холе) (фиг. 8, г). В полупроводнике /t-типа возникает слой, обеднен-
ный электронами (/г“ — /г-переход), который может перейти и
в инверсионный слой (р — /t-переход) (фиг. 8, в). Поверхность
германия имеет тенденцию заряжаться отрицательно в окислитель-
ной среде.
§ 6. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО
ПОЛЕЙ НА ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ
н
В предыдущих параграфах мы описывали систему разрешен-
ных уровней энергии электрона и рассматривали заполнение их
электронами в случае теплового равновесия.
В настоящем параграфе мы покажем, как изменяется равно-
весное распределение электронов под влиянием электрических
и магнитных сил, действующих на электроны внутри кристалла.
Одна из них является следствием возникновения добавочного элек-
трического поля F, накладывающегося на периодическое внутрен-
нее поле кристалла. Такое добавочное поле может появиться за
счет приложенного внешнего напряжения или вследствие нерав-
номерного распределения примесей, как в переходах типа р -— п,
(см. § 5). Кроме того, на электрон действует магнитное поле
с индукцией В. Эта сила пропорциональна скорости v электрона
в состоянии, характеризуемом волновым вектором к, для которой
квантовая механика с помощью представлений о волновом пакете
42
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
дает следующее значение:
О—
V = gradk Е (к). (1.51)
Это равенство позволяет выразить суммарную силу действую-
щую на электрон:
5 = — e(F-|_vx В). (1.52)
При некоторых предположениях, которые подробно рассмот-
рены в книге Шпенке [270], сила действующая на электрон,
изменяет его волновой вектор к согласно следующему соотношению:
dk
~dt
(1.53)
Этот закон можно выразить эквивалентным способом
рение dvfdtz
dN 1 ~
dt тпц и*
через уско-
(1.54)
где тензор l/mZy- определен выражением (1.14). Уравнение (1.54)
имеет форму закона Ньютона в классической механике, в кото-
ром выступает тензор масс 1/т;-. Статическое определение этого
тензора, рассмотренное в § 2 и использованное в § 4 для расчета
плотности состояний, теперь можно дополнить динамическим оп-
ределением. Эффективная масса представляет собой величину,
характеризующую данный электрон в кристалле с точки зрения
его реакции на воздействие внешних сил. Она простым способом
учитывает влияние внутренних сил в кристалле на динамические
свойства электрона.
Плотность электрического тока в изотропном полупроводнике
дается выражением
(1.55)
5
где суммирование производится по различным совокупно гям элек-
тронов с одинаковой скоростью vs.
Распределение электронов по отдельным энергетическим уров-
ням в заполненной зоне не может изменяться под действием элек-
трического поля, поэтому полностью заполненная зона не может
проводить электрический ток. Напротив, не полностью заполнен-
ная зона проводит электрический ток, поскольку электрическое
поле может переводить электроны с более низких энергетических
уровней на более высокие.
Для полупроводников характерен случай, когда зона проводи-
мости слабо заполнена электронами, которые расположены у ниж-
него края зоны и обладают постоянной положительной эффектов-
§ 6. Действие электрического и магнитного полей На электроны 43
ной массой. Глубокие энергетические уровни в валентной зоне
при обычных температурах полностью заполнены электронами, так
что электрический ток вообще не проходит. При более высоких
температурах в валентной зоне возникают незаполненные энерге-
тические уровни у верхнего края, где электроны могут иметь
постоянную, но отрицательную эффективную массу. Можно на-
глядно себе представить, что под действием электрического поля
на эти пустые места перескакивают электроны с более низких
энергетических состояний, так что эти незаполненные состояния
под влиянием электрического поля перемещаются по кристаллу
в направлении, обратном тому, в котором перемещаются электроны.
Такие незаполненные состояния соответствуют недостающим элек-
тронам в валентных зонах атомов полупроводника. Они назы-
ваются дырками, и им приписывается положительная эффектив-
ная масса (ее абсолютная величина равна массе электрона в том
же состоянии) и положительный заряд.
Таково наглядное динамическое определение понятия дырки,
формально введенного в § 2. Это понятие теоретически обосно-
вывается квантовой механикой. Проще всего понятие дырки можно
проиллюстрировать, рассмотрев эквивалентность заполненной зоны
(которая не проводит ток) вместе с совокупностью положитель-
ных частиц, с одной стороны, и почти заполненной зоны с от-
сутствующими электронами, с другой стороны, как это сделано
в книге Шпенке [270]- Там же указаны пределы, в рамках кото-
рых такое рассмотрение имеет физический смысл. Ток в полу-
проводниках обусловлен электронами, находящимися в зоне про-
водимости, и дырками в валентной зоне; при определенных обстоя-
тельствах к этому току может добавляться ток по примесным
зонам.
Электрический ток, возникающий в полупроводнике под дей-
ствием электрического поля F, можно рассчитать с помощью
уравнения (1.53), но при условии, что электрон перемещается
в идеальной периодической решетке и его движение ничем не на-
рушено. При этом в постоянном электрическом поле значение
вектора к электрона в зоне проводимости непрерывно увеличива-
лось бы, так что он удалялся бы от минимума зоны проводи-
мости. Тогда невозможно было бы считать его эффективную массу
постоянной: она изменялась бы до тех пор, пока, наконец, с при-
ближением к верхнему краю зоны проводимости не достигала отри-
цательных значений, т. е. электрон был бы замедлен электри-
ческим полем. Возникло бы периодическое движение электрона.
Однако до сих пор такого явления не наблюдалось, поскольку
не могло быть осуществлено условие достаточно большой длины
свободного пробега. В обычных случаях электрической проводи-
мости движение электрона затруднено вследствие столкновений
44
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
с неоднородностями структуры решетки, поэтому уравнение (1.53)
справедливо лишь для малых промежутков времени пробега элек-
трона между столкновениями. Эти промежутки времени слишком
малы, чтобы электрон мог приобрести значительную энергию,
поэтому он все время остается вблизи нижнего края зоны прово-
димости. Структурными неоднородностями, которые ограничивают
длину свободного пробега электрона, могут служить различного
рода дефекты решетки, например примеси и т. п., а также теп-
ловые колебания атомов решетки. Поэтому прежде чем присту-
пить к изучению вопроса об электропроводности кристаллов, мы
рассмотрим основные представления теории тепловых колебаний
кристаллической решетки и их взаимодействия со свободными
электронами и дырками.
§ 7. ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Атомы не занимают точно своих идеальных положений в кри-
сталлической решетке, а вследствие теплового возбуждения со-
вершают около них непрерывные колебания. Такие колебания
согласно квантовомеханическим представлениям существуют и при
абсолютном нуле температуры и соответствуют так называемой
энергии нулевой точки. Амплитуда тепловых колебаний обычно
мала по сравнению с взаимными расстояниями между атомами,
вплоть до температуры плавления кристаллов.
Вследствие взаимной связи атомов нельзя рассматривать коле-
бания каждого атома в отдельности, но нужно принимать во вни-
мание движение всей системы атомов в кристалле. Хаотические
колебания решетки можно разложить на так называемые нормаль-
ные колебания решетки, аналогично тому, как произвольные ко-
лебания струны можно представить в виде суммы,отдельных гар-
монических колебаний, подчиняющихся граничным условиям. В слу-
чае кристаллической решетки также можно ввести граничные
условия периодичности, как это было сделано в § 1 настоящей
главы, и рассмотреть кристалл, который содержит А/3 элементар-
ных ячеек и а атомов (или ионов) в каждой ячейке. Поскольку
каждый атом обладает тремя степенями свободы, а в периоди-
ческом кристалле А3 атомов, то всего имеется 3aN3 разрешен-
ных колебаний кристалла. Мы будем называть их нормальными
колебаниями.
Каждое нормальное колебание представляет собой волну, на-
правление распространения которой определяется волновым век-
тором q и которая характеризуется длиной волны k = 2rr/|q| и
частотой у. В качестве волнового вектора по тем же сообра-
жениям, что и для вектора к в § 1, рассмотрим приведенный
£ 7. Тепловые колебания кристаллической решетки
45
вектор q, определенный аналогичным образом. Этот приведенный
вектор q имеет N3 разрешенных значений, равномерно распреде-
ленных в приведенной зоне.
Аналогия между к и q основана на том, что в обоих случаях
мы исходим из геометрического рассмотрения распространения
волн в одной и той же периодической структуре. Если в § 1 нас
интересовала зависимость энергии электрона от к, то здесь — за-
висимость частоты v от q. Волна, соответствующая определенному
нормальному колебанию, может быть продольной или поперечной
с двумя главными направлениями поляризации. Если мы имеем
только один атом в элементарной ячейке, то получим три функции,
характеризующие зависимость v от q, каждая из которых отно-
сится к одному из упомянутых колебаний. Если элементарная
ячейка содержит а атомов, то мы получим а систем по три функ-
ции, которые можно расположить по возрастающим значениям v;
тогда можно говорить об а ветвях колебательного спектра.
В случае германия и кремния в элементарной ячейке находится
два атома, так что колебательный спектр имеет две ветви. Ветвь
с более низкими частотами колебаний называют акустической; она
характеризуется тем, что оба атома в элементарной ячейке сме-
щаются в одинаковом направлении. Ветвь с более высокими часто-
тами колебаний называют оптической в соответствии с тем, что
в полярных кристаллах (NaCl и др.) эти колебания могут быть
возбуждены оптически; она характеризуется тем, что атомы в од-
ной элементарной ячейке смещаются в противоположных напра-
влениях.
В качестве примера на фиг. 9 приведен колебательный спектр
германия, измеренный Брокхаузом [439] и теоретически рассчитан-
ный Германом [440]. Дана частота v как функция q для двух на-
правлений вектора q [100] и [111[. Типичной характеристикой
акустической ветви является то, что
v(q)—>0, когда |q|~>0,
для всех трех направлений колебаний (одно продольное LA, два
поперечных ТА), Для малых значений |q| частота v пропорцио-
нальна |q| для каждого направления распространения волны.
Фазовая скорость в этом случае постоянна (она имеет два разных
значения для LA и 7L4), что также характерно для акустических
волн в кристалле. Для всех трех направлений колебаний опти-
ческой ветви v(q) приближается к ненулевому значению, когда
|q|->0.
Энергия каждого нормального колебания квантована. Разрешен«
ные значения энергии задаются тем же выражением, что и для
осциллятора:
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
где п — целое положительное число или нуль; Число п — кван-
товое число, которое соответствует степени возбуждения рассмат-
риваемого колебания. По соображениям, которые поясним ниже,
принято говорить, что колебание с энергией Av содержит п фо-
нонов, иными словами, в кристалле возбуждается п, фононов
с частотой v (или с энергией Av). Следовательно, фонон опреде-
ляется как единичное квантовое возбуждение определенного нор-
мального колебания.
Фиг. 9. Колебательный спектр кристалличе-
ской решетки германия [439].
ТА и LA — поперечные и продольные акустические колебания,
ТО и LО — соответствующие оптические колебания.
На вопрос, насколько возбуждается определенное колеба-
ние при некоторой температуре Т (т. е. сколько фононов п
с энергией Av существует при температуре Т), отвечает статистика
Бозе — Эйнштейна. Она отличается от статистики Ферми — Ди-
рака тем, что здесь заполнение энергетических уровней фононами
не ограничивается какими-либо правилами, поэтому число фононов
с энергией Av может быть как угодно велико. При тепловом рав-
новесии среднее число фононов с энергией Av определяется зако-
ном Планка
«ср. =-----........., • (1.57)
р exp (Av/A7) — 1 ' 7
При абсолютном нуле гаср. = 0; средняя энергия при этом не
нулевая и равна Av/2. При более высоких температурах среднее
значение энергии определенного колебания равно сумме энергии
§ 7. Тепловые колебания кристаллической решетки 47
нулевой точки и энергии ncp.Av- Сумма средних энергий всех
разрешенных колебаний дает полную колебательную энергию
кристалла.
При низких температурах возбуждаются только длинноволно-
вые колебания акустической ветви с малой энергией Av. При
более высоких температурах возбуждаются все акустические коле-
бания. Однако возбуждение оптических колебаний требует срав-
нительно высоких температур.
Полезность представления о фононах следует из рассмотрения
взаимодействия электрона с колебаниями решетки. Это взаимодей-
ствие осуществляется двояким образом: либо электрон передает
часть своей энергии решетке, так что определенное колебание
с частотой v увеличивает свое квантовое число п на единицу;
либо при взаимодействии электрон получает часть энергии от ре-
шетки, так что квантовое число определенного колебания с часто-
той v уменьшается на единицу. В первом случае мы говорим, что
образовался один фонон с энергией Av, во втором — что один
фонон с энергией Av исчез. Взаимодействие электрона с решеткой,
при котором число п изменяется больше чем на единицу, т. е.
при котором возникает или исчезает более чем один фонон, мало
вероятно.
Понятие фонона позволяет не только наглядно, но и количест-
венно описывать взаимодействие электрона с колебаниями решетки.
Обозначим волновой вектор электрона перед столкновением че-
рез к и после столкновения — через к7, а его энергию соответ-
ственно через Е (к) и В (к7). Фонон, возникающий или исчезающий
при столкновении, обладает энергией Av и волновым вектором q.
При взаимодействии электрона с фононом выполняются два закона.
Прежде всего выполняется закон сохранения энергии
Е (k7) = Е (к) ± Av, (1.58)
где знак минус указывает на образование фонона, а знак плюс —
на его исчезновение. Второй закон выражает связь между волно-
выми векторами:
k7 = k + q + h. (1.59)
В это уравнение введен вектор обратной решетки h [согласно
выражению (1.10)], чтобы все векторы к, к7 и q лежали в при-
веденной зоне. Уравнение (1.59) соответствует закону сохранения
импульса, так как к и q после умножения на А/2тс приобретают
размерность импульса (вектор Ак/2к представляет импульс сво-
бодного электрона в вакууме). Поэтому фонон можно рассматри-
вать как квазичастицу, которая подчиняется правилам, аналогичным
правилам для частицы в классической механике,
48
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
Если зона проводимости имеет несколько минимумов, как у
германия и кремния, то электрон после взаимодействия с фононом
может перейти либо в другое энергетическое состояние вблизи
того же самого минимума, либо к другому минимуму той же зоны.
При низких температурах происходят столкновения с длинновол-
новыми акустическими фононами, и электрон остается вблизи того
же самого минимума. При более высоких температурах начинают
играть роль столкновения с акустическими фононами, обладающими
более высоким значением импульса, при которых электрон может
перейти в окрестность другого минимума. При очень высоких
температурах электрон вступает во взаимодействие с оптиче-
скими колебаниями. Это справедливо для полупроводников с гомео-
полярной связью, которые здесь рассматриваются. Для полупро-
водников с полярной связью (ионные кристаллы) взаимодействие
с оптическими колебаниями происходит во всем интервале темпе-
ратур.
§ 8. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Плотность электрического тока, который возникает в полу-
проводнике под влиянием электрического поля F, можно вычис-
лить по формуле (1.55). Для простоты рассмотрим одномерный
случай и изотропный полупроводник (например, полупроводник
с кубической структурой, которой обладает также решетка алмаза).
Электрическое поле F и плотность тока I имеют составляющие
только в направлении оси х. Ввиду того что скорости распре-
делены непрерывно, сумму нужно заменить интегралом. Из (1.55)
и (1.11) получим выражение для плотности тока
(1.60)
где f — функция распределения, зависящая от энергии электрона,
температуры и электрического поля. Интегрирование нужно про-
водить по всей приведенной зоне, соответствующей единичному
объему кристалла. Если вместо функции распределения /(£*к)
(2?к — энергия, соответствующая волновому вектору к) подставить
функцию распределения Ферми, соответствующую равновесному
состоянию /0, согласно выражению (1.22), то мы получим 0,
так как при условии теплового равновесия число электронов,
имеющих скорость vx, равно числу электронов со скоростью
— <их для всех значений vx. Однако под влиянием электрического
поля распределение по скоростям изменяется. Новая функция
распределения f рассчитывается из условия стационарного состоя-
ния, которое называется уравнением Больцмана. Изменение
§ 8. Электропроводность
49
функции df в интервале времени dt должно быть равно нулю:
(1.61)
dt
Это изменение складывается из двух частей. Функция распреде-
ления / меняется прежде всего под воздействием силы — eFx.
Изменение функции распределения под влиянием поля опреде-
ляется выражением [уравнение (1.53)]
df\ df dE dkx 2it p df dE
* ниJlc **
(1.62)
Используя равенство (1.51), это выражение
к виду
можно преобразовать
(1.63)
Как было отмечено в § 6, наличие постоянного электрического
поля в идеальном кристалле привело бы к колебательному дви-
жению электронов при абсолютном нуле. В реальных кристаллах
и при ненулевых температурах имеются нарушения идеальной
периодичности решетки, которые препятствуют невозмущенному
движению электронов. Взаимодействия электронов с этими нару-
шениями идеальной периодичности для наглядности называются
столкновениями.
Столкновения противодействуют изменению функции распреде-
ления f электрическим полем, стремясь сохранить такие же соот-
ношения, как при тепловом равновесии. Стационарное условие
(1.61) запишется в виде
df
dt
1столки.
(1.64)
Определение (<?//<?Остолкн. является одной из труднейших про-
блем теории полупроводников. Оно основано на квантовомехани-
ческом расчете взаимодействия электрона с дефектом. В самом
простейшем случае (d//dZ)CT0JIKH пропорционально изменению
/ — /0. Посредством соотношения
(1.65)
вводится время т, которое называют временем релаксации. Это
название происходит от того, что разность / — /0 возвращается
в равновесное нулевое состояние по экспоненциальному закону
ехр(—Z/т), как это следует из уравнения (1.65). Следовательно,
время т характеризует воздействие среды на электрон; малое зна-
чение т соответствует сильному воздействию, большое значение
слабому воздействию.
50
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
Предполагаем далее, что время релаксации электрона зависит
только от его энергии (или скорости). Если соотношение (1.65)
справедливо с квантовомеханической точки зрения, то функцию f
легко определить в предположении, что она мало отличается от
функции /0, и поэтому в уравнении (1.64) можно брать /0
вместо /. Это предположение обычно хорошо выполняется, по-
скольку электропроводность только в том случае не зависит от
величины электрического поля (и, следовательно, выполняется
закон Ома), если энергия электрона, полученная им от электри-
ческого поля, мала по сравнению с его тепловой кинетической
энергией. (Для очень сильных полей это предположение перестает
быть справедливым, и электропроводность зависит от поля.) Тогда
из уравнения (1.64) следует
и для плотности электрического тока получим из выражения (1.60)
(1.66)
Это выражение далее можно привести .к форме, применимой в том
случае, когда поверхности постоянной энергии в обратном про-
странстве сферические. Интегрирование можно провести отдельно
по зоне проводимости и по валентной зоне, так что обычно вы-
полняется соотношение
Пусть шп — эффективная масса электронов в зоне проводимости
со сферической симметрией. В интеграле (1.66) единственная
величина, зависящая от угла, — это rf3k, поэтому интегрирования
по углу можно провести так же, как при получении выражения
(1.21). В интеграле (1.66) переменной интегрирования является
энергия Е. С учетом изотропии рассматриваемого случая v2=v2J3.
Из (1.17) получим Тогда выражение (1.66) можно
записать в виде
29/V e^m^F
1 if фЛ
IF”
(1.67)
Здесь /л0 определяется выражением (1.22), в котором полагаем
§ 8. Электропроводность
51
Аналогичное выражение имеет место для дырок. В интеграле
(1.67) вместо fnQ берем
, 1 > / £z? \1
Л><) = [1 + ехР ---kT~)
[см. выражение (1.27)].
Величину I/Fx называют проводимостью о0. Для нее также
справедливо соотношение
°о — С/г0 + Ср0*
Легко показать, что проводимости ая0 и ар0 пропорциональны
соответственно концентрации электронов в зоне проводимости гг0
и концентрации дырок в валентной зоне pQ. Мы можем записать
°л0 = еП0?И’ арО=еРо?‘р’ (1-68)
где и — так называемые подвижности электронов и дырок^
Сравнивая с выражением (1.55), мы видим, что и [л предста-
вляют собой средние значения скорости, приобретаемой электро-
ном в зоне проводимости (дыркой в валентной зоне) при воздей-
ствии единичного электрического поля.
Выражение для подвижности электронов, вытекающее из (1.67),
можно привести к удобному виду, подставляя средние значения
некоторых величин в зоне проводимости или в валентной зоне.
Для любой величины у в зоне проводимости имеем
(1.69)
Полностью аналогичное выражение имеет место для средних зна-
чений в валентной зоне.
Дальнейшее рассмотрение будем проводить для электронов
в зоне проводимости. Однако соотношения (1.70) — (1.87) остаются
неизменными и для дырок, если заменить индекс п индексом р.
Средние значения, согласно (1.69), часто приходится рассчи-
тывать для случая, когда время релаксации можно выразить
в виде
(1-70)
и Dn(e согласно (1.21).
52 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
С помощью функций, определенных соотношением (1.28),
после исключения д/п^дгп и интегрирования по частям получим
/т<еА=:(е^+Л = 2 + у + -trP+s~'!l • С1-71)
Если применима классическая статистика, это соотношение
выразить через Г-функцию:
можно
/^es\ = (efr+5\
\ п п/ \ п /
(1.72)
Для невырожденного полупроводника (для которого fnQ 1)
па
kT ‘
(1.73)
Подвижность электронов в невырожденном полупроводнике
3kTm„
J
(1-74)
Выражение (1.74) удобно представить в несколько ином виде.
Рассчитаем среднее значение энергии, согласно (1.72),
что соответствует известному из классической статистики закону
равномерного распределения кинетической энергии по трем сте-
пеням свободы. Тогда можно написать
(1.76)
где связанные с подвижностью времена релаксации тя опреде-
ляются средними значениями:
(I-77)
В случае вырожденного полупроводника получаются более
сложные соотношения. Выражение (1.67) для 1п после интегриро-
вания по частям можно выразить через функции F (C„0/& 7), если
D (е )
п\ п}
Эти соотношения здесь не приводятся, по-
скольку они нам не понадобятся.
Из кг антовой механики следует, что определение времени ре-
лаксации т посредством соотношения (1.65), которое зависит
$ 8. Электропроводность
только от энергии электрона, является хорошим приближением
для случая взаимодействия электронов с акустическими фононами
(другими словами, для рассеяния электронов на тепловых колеба-
ниях решетки). Количественные расчеты рассеяния этого типа
основаны на различного рода приближениях, наиболее известным
из которых является теория Шокли и Бардина [120]. Она рассма-
тривает взаимодействие электронных волн с продольными дефор-
мациями кристалла, обусловленными акустическими колебаниями,
описанными в § 7. В рассматриваемом случае (сферические по-
верхности энергии в обратном пространстве) для такого типа рас-
сеяния в невырожденном полупроводнике выполняются следующие
правила.
Время релаксации тл пропорционально l/vn (т. е. Сред-
ней длиной свободного пробега называется расстояние, которое
электрон (или дырка) проходит между двумя столкновениями;
это понятие заимствовано из классической теории проводимости.
Среднюю длину свободного пробега 1п можно определить через
время релаксации:
= О-78)
Поскольку хп зависит от скорости электрона, для случая тепло-
вого рассеяния средняя длина свободного пробега электрона не
зависит от скорости электрона. Используя выражения (1.74) и
(1.72), после подстановки
V ^п/тп
(1.79)
можно рассчитать подвижность электрона или дырки для случая
теплового рассеяния:
__ 4е1п
~~ 3'/'2лт^7’ ’
(1.80)
Из теории Бардина — Шокли следует, что
eEndmlk Т
(1.81)
Здесь clt—средняя продольная упругая постоянная полупровод-
ника, End — смещение нижнего уровня зоны проводимости при
единичном расширении решетки. (Для дырок — смещение верх-
него уровня валентной зоны.) Эту величину Бардин и Шокли
называют потенциалом деформации. Если можно предположить,
что эти величины не зависят от 71, то мы получим
- 5 / 8/
тп 12Т 72
(1.82)
.54 Гл. /. Основные представления физики полупроводников
В атомарных полупроводниках (например, германий, кремний)
взаимодействие электронов с оптическими колебаниями решетки
обычно осуществляется только при больших скоростях электро-
нов, т. е. в сильных электрических полях, где подвижность начи-
нает падать с полем, как было показано экспериментально и
теоретически [429]. Для кристаллов, в элементарной ячейке которых
находится два атома (например InSb), взаимодействие с оптическими
колебаниями осуществляется уже при сравнительно низких темпе-
ратурах. Этот случай более сложный, и его рассмотрение мы
отложим до конца настоящего параграфа.
Возможность использования времени релаксации [соотношение
(1.65)]. для расчета тока связана с тем, что направление движения
электрона после столкновения полностью не зависит от направле-
ния, в котором электрон двигался до столкновения. Если же, на-
пример, направление движения электрона после столкновения
отличается от направления его движения перед столкновением на
постоянный угол 6, то время релаксации т нельзя использовать
для расчета плотности электрического тока. В этом случае электри-
ческий ток спадает с временем медленнее, чем концентрация
рассматриваемой группы электронов, которая убывает как
ехр (—£/т). Соотношения остаются простыми, если можно показать,
что плотность тока также уменьшается экспоненциально, но с дру-
гим временем релаксации Тогда можно использовать выведен-
ные выше соотношения для плотности тока, но в них необходимо
подставить время релаксации для тока
Типичным примером является рассеяние электронов или дырок
на ионизованных примесях. Если в полупроводнике имеется
ионизованных примесей в 1 см3, то среднее расстояние между
ними а А/’прим.- Эти примеси представляют собой дефекты в идеаль-
ной кристаллической решетке, и время релаксации равно времени,
необходимому для пролета электроном расстояния а, т. е. оно
равно афи, Однако ионизованная примесь приводит к некоторому
отклонению от первоначального направления движения электрона,
пролетающего мимо нее. Согласно теории, разработанной Конвелл
и Вайскопфом [97], можно определить время релаксации для
тока, которое в случае невырожденного полупроводника равно
где Ej — *1е21Ка (К—диэлектрическая постоянная). Можно показать,
что при расчете подвижности возникает лишь малая ошибка, если
величину ^п]Е1 заменить ее средним значением; поэтому во всех
последующих выкладках можно считать, что в случае рассеяния
на ионизованных примесях Тогда из выражения (1.74)
§ 8. Электропроводность
получаем для подвижности электронов
P'zz
К2 (kTf*
^прим.0 7/1 п
(L84)
Подвижность носителей тока в этом случае возрастает с темпера-
турой.
В полупроводниках при низких температурах обычно преобла-
дает рассеяние на ионизованных примесях, а при высоких темпе-
ратурах— рассеяние на тепловых колебаниях решетки. В пере-
ходной области нужно учитывать в расчетах время релаксации тл,
определенное из следующего соотношения (которое обычно
справедливо для случая комбинированного рассеяния):
1 1
хп/ прим.
1
реш.
(1.85)
Помимо описанных типов рассеяния носителей тока, в полу-
проводниках были рассмотрены и другие. Так, Эргинсой (ср. [216])
вывел соотношение для рассеяния электронов на нейтральных
донорах, согласно которому не зависит ни от энергии электрона,
ни от температуры. Этот тип рассеяния наблюдается только при
очень низких температурах, когда доноры не ионизованы.
Другим типом рассеяния на нейтральных примесях является
рассеяние электронов в сплавах типа Si — Ge. Брукс [216] тео-
ретически г оказал,что в этом случае рассеяние можно характери-
зовать средней длиной свободного пробега, не зависящей от энер-
гии электрона и температуры, так что для расчета подвижности
можно пользоваться выражением (1.80). Еще одним типом рас-
сеяния является рассеяние на дислокациях, которое, как показал
Рид [216], может играть заметную роль. Наконец, может проис-
ходить рассеяние электронов на дырках, электронов на электронах
и дырок на дырках [331, 334, 495].
Соотношения, рассмотренные в настоящем параграфе, выведены
в предположении, что поверхности постоянной энергии в зоне
проводимости сферические. Если это предположение не выпол-
няется, нужно исходить из выражения (1.66), которое обычно
справедливо для изотропного полупроводника в предположении
существования времени релаксации. В качестве практически важного
примера укажем на результаты Херринга [223], полученные им
для случая, когда поверхности постоянной энергии представляют
собой эллипсоиды, центры которых лежат вне центра приведенной
зоны, как это наблюдается для зон проводимости германия и крем-
ния (см. § 1 и 2 настоящей главы). Тогда для подвижности
56 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
электронов ’выполняется соотношение (1.76), где также равно
3/2feT, а эффективная масса в зоне проводимости шп , которую
нужно подставить в выражение (1.76) вместо гпП1 определяется
соотношением
1 Г 1 . 1
3 _ mnb
(1.86)
Средние значения определяются интегралами, в которых в каче-
стве переменной интегрирования сохраняется rf3k, как и в исход-
ном соотношении для плотности тока (1.66). Выражение (1.76)
для справедливо только в предположении, что проводимость
кристалла по всем направлениям одинакова. Это справедливо для
кристаллов кубической структуры. Если условие изотропности не
выполняется, что может иметь место и в случае кубических струк-
тур, например при несимметричной деформации, то электропро-
водность является тензором; методы вычислений в таких случаях
описаны в работе [223].
Для рассматриваемой кубической структуры можно рассчитать т
по таким же формулам, как в случае сферических поверхностей
энергии; тогда для теплового рассеяния снова получим —- Т'\
однако вместо в формулах (1.80) и (1.81) нужно подставить
значение
тГг = J <т пат nb™ псГ''* ----h ) • (1 -8?)
'* о \ тпа тпЪ тпс /
Для германия величина (jnjni) 2 имеет значение 80,8, для крем-
ния— 20,4 (согласно [216]). Однако ни для германия, ни для
кремния не выполняется соотношение (1.87) для дырок, так как
валентная зона обладает иной структурой (см. § 1). Соотношение
(1.87) и соображения, высказанные в предшествующем ему абзаце,
справедливы только тогда, когда электроны при рассеянии остаются
в том же эллипсоиде приведенной зоны. При наличии нескольких
эллипсоидов всегда имеется возможность того, что электрон после
взаимодействия с фононом (или с другим дефектом) перейдет
в другой эллипсоид; этот случай называется „междузонным рас-
сеянием". Херринг вывел приближенные выражения для случая рас-
сеяния электронов на тепловых колебаниях решетки [223] и
показал, что с помощью упомянутого представления можно было бы
объяснить наблюдаемую зависимость от Т в германии п-типа.
Точные измерения показывают также, что в области теплового
рассеяния пропорционально не Т“1,5, а F . По теории
Херринга это можно было бы объяснить тем, что в случае рас-
сеяния при комнатной температуре примерно половина электронов
переходит в другой эллипсоид.
§ 8. Электропроводность
Для рассеяния на ионизованных примесях соотношения сложнее.
Этот случай был качественно рассмотрен Бруксом [216].
Структура валентной зоны, германия или кремния приводит
к значительным усложнениям при расчете подвижностей. Поэтому
количественная теория до сих пор не разработана. Основной
трудностью является выяснение вопроса, почему в области тепло-
вого рассеяния рь пропорционально Г'2’3, а не 7"“. Попытки
количественного выяснения этой проблемы основывались на пред-
положении о существовании нескольких типов дырок с различными
массами. Чтобы получить согласие с экспериментом, нужно выбрать
подходящую температурную зависимость массы дырок (в частности,
дырок с большей эффективной массой [216]).
Если электронный или дырочный газ вырождены, то выполняется
основное соотношение (1.66), выведенное для сферических по-
верхностей энергии. Более сложная структура приведенной зоны
была рассмотрена либо для случая, когда^ нет вырождения (тогда
выполняются соотношения настоящего параграфа), либо для случая
очень сильного вырождения, характерного для металлов. Для
промежуточного случая теория до сих пор не разработана.
Предыдущие рассуждения относились к тем случаям, когда
можно определить время релаксации. Это несправедливо для так
называемого полярного рассеяния, т. е. рассеяния электронов на
продольных оптических колебаниях кристаллической решетки, ко-
торая содержит два различных атома в элементарной ячейке. Дело
в том, что энергия оптического фонона сравнима с энергией элек-
трона. В этом случае нужно исходить непосредственно из уравне-
ния Больцмана и решить его при более общих предположениях,
как это было сделано в работе Ховарта и Зондхаймера [139].
Они воспользовались вариационным методом, введенным в теорию
явлений переноса Колером [86]. Обобщенная теория явлений пере-
носа, которая в принципе способна описать такие случаи, была
развита Прайсом [430].
В качестве грубого приближения для рассмотрения явлений
переноса в случае полярного рассеяния иногда пользуются соот-
ношениями, выведенными в предположении существования времени
релаксации; при этом вместо т подставляются значения
т/—s°, т. е. г = 0 для е<<^йуоптл
т ~ £,/г, Т. е. r = i ДЛЯ в^>Ьопт.
(1.87а)
(см. работы Родо по изучению InSb [335, 383]).
Точный анализ явлений переноса в InSb с учетом реальной
структуры зоны проводимости при использовании правильного метода
расчета полярного рассеяния электронов проведен в работах Эрен-
58 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
_______--_м_м-ч_________________________ L _______
райха [331, 431]. Оказывается, что в чистом InSb полярное рас-
сеяние преобладает над рассеянием на акустических колебаниях
для температур свыше 2009К и над рассеянием электронов на
дырках в области ' температур ниже 500° К. Теория находится
в согласии с измеренным значением подвижности и ее темпера-
турной зависимостью. Показано, что электроны вступают во взаимо-
действие только с продольными оптическими фононами, и в InSb
3,5
ОЗ'-1--1-1-1--1-1—1--1-1-1--1-L.
'0'2 4 6 8 Ю 12
Ю3/Т, (Ж
Фиг. 10. Зависимость удельной проводимости
а \ом~х • ся~1] от температуры Т для четырех
образцов InSb [437].
это взаимодействие сравнительно слабое. Это отличает InSb от
полярных кристаллов (ионных кристаллов типа NaCl), где такое
взаимодействие сильное.
В качестве типичного примера хода удельной проводимости о
в широком интервале температур на фиг. 10 приведена зависи-
мость с от Т для четырех образцов InSb—двух образцов я-типа
и двух образцов р-типа [224].. На фиг. 10 хорошо виден переход
от несобственной проводимости при низких температурах (примеси
полностью ионизованы, а слабо зависит от 7) к собственной про-
водимости (а экспоненциально зависит .от 1/Т).
§ 9. Теплопроводность 59
L l„Jhl. 1^41 II Ш —II '—*—' — I j I ' ^^1 PLLJ...I.IU-I-UJK. 1'jLW. J-J J I л . .^11
§ 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
dTIdx ’
Если в полупроводнике имеется градиент температуры, то
возникает поток тепла, пропорциональный градиенту dTjdx. В изо-
тропном случае можно определить положительную скалярную
величину х, называемую удельной теплопроводностью, следующим
соотношением:
(1.88)
где А— плотность потока тепла.
Поскольку электрический ток также связан с переносом теп-
ловой энергии, это определение нужно дополнить условием, тре-
бующим, чтобы при измерении потока тепла электрический ток
был равен нулю.
Поток тепла в полупроводниках складывается из двух частей.
С одной стороны, тепловая энергия переносится непосредственно
колебаниями кристаллической решетки (фононами); эту часть
удельной теплопроводности называют решеточной (или фононной)
и обозначают через Хф. С другой стороны, тепловая энергия пере-
носится электронами; соответствующую часть уделгной теплопро-
водности называют электронной и обозначают через хэ. Резуль-
тирующая теплопроводность х = Хф-ф-хэ.
Приведенное соотношение не означает, однако, что решеточная
и электронная теплопроводности не влияют друг на друга. Взаимо-
действие электронов с фононами обусловливает ,не только рас-
сеяние электронов, что проявляется в электропроводности и элек-
тронной теплопроводности хэ, но влияет также на поток фононов,
переносящих поток тепла. В металлах концентрация электронов
велика, поэтому она почти полностью исключает возникновение
фононного потока тепла; в этом случае хэ^>Гф. Напротив, в полу-
проводниках с малой концентрацией носителей тока перенос теп-
ловой энергии фононами почти не тормозится взаимодействием
с электронами; здесь Хф^>хэ. Однако если концентрация носи-
телей тока в полупроводнике велика, то Хф и хэ могут быть
сравнимы по величине.
Удельная теплопроводность Хф в идеальном непроводящем
кристалле была бы бесконечно большой, если бы колебания атомов
были чисто гармоническими. При таких условиях фононы без помех
распространяются в кристалле и не взаимодействуют друг с другом.
Взаимодействие фононов связано с ангармоничностью колебаний
атомов. Целесообразно ввести понятие средней длины свободного
пробега фононов /ф аналогично тому, как это делается для элек-
тронов в теории электропроводности. В кристаллах без дефектов А
падает с температурой, поскольку взаимодействие фононов с
60 Гл, 1. Основные представления физики полупроводников
w . Иг-П;Г.Мч^;.;" _п ^-^--„ j ~ ~1гтт_|... -r.-ji i.L.i i_ •-i-_. — „ *l- - - 1 _l-i- । r
фононами возрастает с повышением температуры. Можно показать,
что в этом случае при определенных предположениях
т ’
Средняя длина свободного пробега фонона в реальном кристалле
зависит от различных нарушений идеальной структуры решетки,
таких, как присутствие электронов и дырок, наличие чужеродных
атомов в решетке и т. п. Например, можно получить /ф, не зави-
сящую от температуры в широком температурном интервале,
в кристалле, состоящем из двух или более компонент, заполняю-
щих узлы кристаллической решетки в произвольном порядке.
Аналогичный случай может наблюдаться в аморфных веществах.
Для удельной теплопроводности хф выполняется соотношение,
выведенное впервые Дебаем [10], которое аналогично соотноше-
нию для теплопроводности газов:
хф = |сС/ф. (1.89)
Здесь С — удельная теплоемкость (на 1 см3), с — средняя скорость
звука (скорость фононов). Если /ф слабо зависит от температуры
(рассеяние на примесях), то ход хф с температурой преимуще-
ственно определяется ходом С, Начиная с нулевого значения при
Т=(), хф вначале быстро, а затем медленно возрастает с темпера-
турой и при температуре Дебая и выше становится постоян-
ной (см., например, [336)]. Однако при более высоких темпера-
турах, как правило, происходит взаимодействие фононов с фоно-
нами, и хф падает с повышением температуры вследствие падения /ф.
Поэтому на кривой Хф(Т) обычно наблюдается максимум.
Удельная теплопроводность хф всегда тем меньше, чем ниже
порядок симметрии решетки. Например, теплопроводность кри-
сталла, состоящего из атомов двух различных сортов, меньше,
чем в случае одинаковых атомов; кроме того, хф также меньше
для структур с более низкой симметрией. Для структур одинако-
вого типа хф падает с возрастанием атомного веса. Для практи-
ческого применения термоэлектрических явлений важно, чтобы хф
было по возможности минимальным; с такой точки зрения мы
вернемся к этому вопросу в гл. 4, § 4, п.2.
Обзор теоретических и экспериментальных данных по хф, а также
ссылки на литературу приведены в работе Бермана [140] и более
сжато в книге Киттеля [336] (см. также [172]).
При расчете электронной части хэ удельной теплопроводности
поступают таким же образом, как и при расчете электрического
тока (см. § 8). Однако функцию распределения необходимо опре-
§ 9. Теплопроводность
ui I. _l.|‘^u-^^wujj^!"iiJa .i.i.i__j __л™*д
делить при наличии не только электрического поля, но и градиента
температуры.
Выражение для потока тепла можно вывести из выражения для
электрического тока, если принять во внимание, что каждый
электрон и дырка переносят кинетическую энергию. При этом
необходимо помнить, что электрический ток равен нулю. Кроме
того, каждая пара электрон — дырка переносит энергию, соот-
ветствующую возбуждению электрона, из валентной зоны в зону
проводимости, как показали Давыдов и Шмушкевич [58] и Прайс
[225]. Выражение для электронной части удельной теплопровод-
ности имеет вид
где /ло = |з„о/со и tPo = opolo0 (вывод см. [273]). В случае сфери-
ческих поверхностей энергии Q* и Р* определяются выражениями
fir fit
(1.91)
(1.92)
Для дырок справедливы аналогичные выражения с заменой п на р.
Смысл Q* подробно рассмотрен в гл. 4, § 3, Значения Q* и
Р* зависят от типа рассеяния носителей тока. В случае, когда
т—ег, имеем Q* ~T и Р*~Т2. Для полупроводников п-типа
принимается во внимание только первая часть выражения для
удельной теплопроводности (7 о = О), так что
const. а0Т,
(1.93)
где константа \Рп — Qn/fT е не зависит от температуры (пока
не меняется тип рассеяния носителей тока). Это известный закон
Видемана — Франца. Если справедлива классическая статистика,
то для рассеяния на тепловых колебаниях значение константы
равно 2&2/е2 (т. е. 1,5-10 8 в^град^ как можно вывести из
выражений (1.91), (1.92) и (1.72). В более общем случае, когда
т—значение константы для невырожденного полупроводника
составляет
(1.94)
62 Гл, 1, Основные представления физики полупроводников
- | | | --- IU . . I ШИ 11 . -Т‘ . 'I'-.r-T „ ,, . 1^,1, -
Если удельные проводимости ?п0 и а 0 того же порядка вели-
чины, то третий член в выражении (1.90) имеет заметную вели-
чину; он может играть существенную роль вблизи облает, соб-
ственной проводимости. Наличие этого члена приводит к тому,
что -полная теплопроводность Хк, —|—при высоких температурах
часто снова возрастает.
§ 10. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И ИЗМЕНЕНИЕ
СОПРОТИВЛЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Магнитное поле приводит, с одной стороны, к появлению
электрического поля в направлении, перпендикулярном к направ-
лению тока (так называемый эффект Холла), а с другой, оно
ведет к изменению электропроводности. Эти явления сами по
себе достаточно сложны, поэтому мы рассмотрим только неко-
торые основные соотношения, которые потребуются в гл. 4.
Точный вывод соотношений, при котором нужно исходить из
уравнения Больцмана и подставлять в него вместо силы — ер
все выражение (1.52), читатель может найти в литературе [94, 223].
Здесь же мы рассмотрим только простейшие соображения приме-
нительно к невырожденному полупроводнику и для случая слабых
магнитных полей.
Выражение (1.66) для плотности тока электронов, вызванного
электрическим полем в направлении х, можно записать в виде
, 2e2Fx с r, f ч s w ^Fx F л
пх 3m „kT J xnznDn (sn) fпэ dsn 3m kT J xnzndn’
i & u J if
о 0
где dn — концентрация электронов (или дырок) с энергией,
щей в интервале от гп до en-\-den. Плотность тока 1пх
жается здесь посредством интеграла от отдельных плотностей
тока, соответствующих группам носителей тока с той же энергией:
(1.95)
лежа-
выра-
п
2e2Fx
3m„kT
(1.96)
Предположим, что кроме электрического поля, направленного
по оси х, на полупроводник действует магнитное поле с индук-
цией В в направлении оси z. Как известно из теоремы Лармора,
это поле вращает всю систему носителей тока с угловой
скоростью
еВ
О) О -- *
в тп
(1-97)
Это вращение длится только в течение времени релаксации tn,
так что в направлении у возникает составляющая тока, плотность
<j? 10, Эффект Холла а изменение сопротивления в магнитном поле 63
которого равна
Для полной плотности тока в направлении оси у получим
2 е2Рх еВ г 2 г\ / х
т----— ^пгпОп (£л) /л0 аг
3 mnkT mn J 4 7 J
. о
(Г.98)
(1.99)
n*
Угол между направлениями двух токов, который называют углом
Холла, определяется выражением
(1.100)
где \ъпН— так называемая холловская подвижность,
с обычной подвижностью соотношением
связанная
(1.101)
Справедливость этого соотношения можно показать и для случая
вырождения.
Няя/Ня с помощью равенства (1.71) получаем (если
Для
V'nH ____ + (J*no/kT) F'h {4kT)
’ (2r 4 З)2 +1/2 Т)
(1.102)
Отсюда для классического случая получим [см. (1.72)]
М- и
ГпН
(1.103)
Часто рассматривается случай классического полупроводника
с тепловым рассеянием носителей тока (г = — 1/2)t для которого
= Зк/8* для рассеяния на ионизованных примесях (г = 3/2)
имеем ^/^ = 315^/512; для случая сильно вырожденного элек-
тронного газа в металле, где const (все электроны обладают
практически одинаковой энергией вблизи уровня Ферми), ^пН/^п- - 1.
Если структура приведенной зоны сходна со структурой зоны
проводимости германия (см. § 1), то, согласно [223], правую
часть равенства (1.103) нужно умножить на
(1.104)
Для тока дырок выражение (1.98) нужно заменить выражением
ах (1.105)
64 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
и угол Холла определяется следующим образом:
(1.106)
Выражения (1.101) — (1.103) для дырок не изменяются, нужно
лишь заменить индекс п на р.
Влияние магнитного поля можно описать кратко следующим
образом: в бесконечном полупроводнике электрический ток откло-
няется на угол Холла 6И, 0р, определяемый выражениями (1.100)
и (1.106), который имеет отрицательное, значение для электронов
(0П < 0) и положительное для дырок (0^ > 0). Однако реальный
полупроводник имеет конечные размеры. Представим себе образец
в форме призмы, через которую протекает ток J в направлении х;
он находится в магнитном поле, ориентированном вдоль направ-
ления z. Размер образца в направлении х значительно больше,
чем в направлениях у и z. Вследствие отклонения тока, согласно
выведенной формуле, возникает составляющая тока в направ-
лении у, в'котором ток длительно протекать не может, поэтому
на стенках образца появляется заряд, ведущий к возникновению
электрического поля с составляющей Fy в направлении у.
Последнее приводит к возникновению тока в этом направлении.
Следовательно, мы можем написать для образца п-типа
^пу I ^дО^у
, _ J (1.107)
1/г* Ду Дг ’
где Ду, Д^— размеры образца в направлениях у, z.
Из уравнений (1.107) можно найти составляющую Fy поля.
Интеграл J Fydz дает напряжение Холла U И, измеренное между
двумя боковыми поверхностями образца, перпендикулярными
к направлению z\
UH = d108)
следующие
(1.109)
Величина RHi определяемая этим равенством, есть так называемая
постоянная Холла, для которой выполняются
соотношения:
п ________^пн * ^пН г
сД0
П _____ '^рн __ \
“ ер. •
§10. Эффект Холла и изменение сопротивления в магнитном поле 65
При расчете постоянных Холла RH{V RHp мы предполагали,
что весь образец находится при постоянной температуре (это так
называемые изотермические постоянные Холла). В действитель-
ности мы обычно измеряем адиабатическую постоянную Холла,
так как под влиянием магнитного поля в образце возникает гра-
диент температуры. Поэтому измеряемое холловское напряжение
включает также термоэлектрическое напряжение (так называемый
эффект Эттингсгаузена). В полупроводниках с высокой фононной
теплопроводностью этот градиент температуры невелик, так что
обычно им можно пренебречь. Однако в металлах его нужно
принимать во внимание. Соотношения для эффекта Эттингсгаузена
были выведены Маделунгом [334].
Если полупроводник содержит одновременно и электроны и
дырки, то постоянная Холла
Нп
t2 R
ьр(У^Нр’
(1.110)
где tnQ = ал0/а0, = ар0/о0 (вывод см. [94]). Поверхности образца
должны быть обработаны таким образом, чтобы происходила
интенсивная рекомбинация носителей тока. В противном случае
наблюдаются отступления от этой формулы.
Типичный ход постоянной Холла в полупроводниках приведен
на фиг, 11 (измерения для InSb). В области несобственной про-
водимости (при низких температурах) RH < 0 для образца п-типа
и Rff > 0 для образца p-типа. В области собственной проводи-
мости RH < 0, так как для InSb \\гН > Поэтому при повы-
шении температуры постоянная Холла в образцах InSb /?-типа
меняет знак.
Постоянная Холла для слабых магнитных полей обычно не
зависит от В. Это не имеет места, если структура приведенной
зоны более сложная. Примером может служить валентная зона
германия и кремния. В этих полупроводниках p-типа соотноше-
ния значительно сложнее. Виллардсон, Харман и Бир [174]
постулировали наличие двух типов дырок: медленных в зоне VI
и быстрых в зоне V2 (см. фиг. 3). Они показали, что постоянная
Холла может сильно изменяться при наличии небольшой концен-
трации быстрых дырок.
В более сильных магнитных полях RH зависит от В. Однако
в предельном случае очень сильного поля имеет место следующая
зависимость:
RHn->— — ’ когда (1.111)
t'PQ
независимо от типа рассеяния и структуры приведенной зоны.
Этот результат соответствует тому, что очень сильное магнитное
поле поворачивает электронные и дырочные токи на 90°,. независимо
66
Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
от их времени релаксации. Поэтому в данном случае получаем
такой же результат, как для т = const.
Для несобственного полупроводника электрическое поле
Холла в направлении у может скомпенсировать только среднюю
скорость электронов или дырок в том же направлении. Под влия-
нием магнитного поля пути большинства электронов в направ-
лении х искривляются, что приводит к увеличению сопротивления
0,7-
лг!__1_» _J J_____i I I 1,1-------1--I. I ,
' О 2 4 6 8 10 12
1OS/T, (°К)"
Фиг. 11. Зависимость постоянной Холла
R [см3/а • сек} от температуры, измеренная на
тех же образцах, что и для фиг. 10.
образца в направлении х даже для изотропного полупроводника
со сферическими поверхностями энергии; это явление называется
эффектом изменения сопротивления в магнитном поле.
Изменение удельной проводимости в слабых магнитных полях
можно наглядно вывести на основании следующих соображений.
Поступим таким же образом, как при выводе соотношений для
эффекта Холла. Из формулы (1.107) видим, что плотность тока
в направлении у складывается из двух частей: части ^пцВ1пх,
связанной с вращением тока в направлении х под действием
магнитного поля, и второй части соответствующей электри-
ческому полю. Магнитное поле в направлении у действует на
§ 10. Эффект Холла и изменение сопротивления в магнитном поле 67
эти токи и вращает их в направлении х. Сущность эффекта
изменения сопротивления в магнитном поле заключается в том,
что магнитное поле действует на обе указанные выше составляю-
щие тока 1пу по-разному.
Согласно выражениям (1.99) и (1.100), составляющая
приводит к появлению тока — в направлении х. Однако
составляющая №пнВ1Пх не приводит к возникновению тока
— Такое различное влияние магнитного поля нужно
рассматривать так же, как при выводе соотношения (1.99),
а именно, используя составляющие тока dln, отвечающие группам
носителей тока с одинаковой энергией. Легко показать, что вра-
щение тока электронов под влиянием магнитного поля опреде-
ляется выражением
е2 63еЛ
— =------(1.112)
пН m (%)
Следовательно, в направлении х возникает добавочный
электрический ток, который мы полагаем равным нулю в случае
измерений при постоянном токе через образец:
^х=0-
Подставляя вместо F его выражение (1.107), а вместо
выражение (1.100), получаем
и/20
/го
(1.113)
Аналогичное соотношение имеет место для полупроводника
р-типа.
Для изменения удельного сопротивления в магнитном поле
в простейшем случае (сферические поверхности энергии, тепловое
рассеяние, полупроводник n-типа) имеет место следующая
зависимость, как легко вывести из (1.113), (1.104) и (1.72):
с/го
(1.114)
Изменение сопротивления в поперечном магнитном поле, опи-
санное выше, равно нулю, если т не зависит от 8 [см. (1.113)].
Однако, если структура энергетических зон не изотропна, маг-
нитное поле может изменять сопротивление даже в том случае*
когда т не зависит от е и В параллельно I.
Такой эффект изменения сопротивления в магнитном поле
очень сильно зависит от структуры зон; он был успешно исполь-
68 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
зован для изучения структуры энергетических зон германия, крем-
ния и других полупроводников [381, 487]. Этот третий тип изме-
нения сопротивления в магнитном поле наблюдается в собственных
полупроводниках [487].
§11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОЛУПРОВОДНИКОМ
Свет, падающий на кристалл, в той или иной степени погло-
щается в кристалле. Поглощение происходит путем взаимодей-
ствия фотонов с электронами или с кристаллической решеткой.
Второй тип поглощения играет большую роль в ионных кристал-
лах. Для гомеополярных кристаллов он менее важен; здесь осу-
ществляется главным образом взаимодействие фотонов с электро-
нами.
При взаимодействии фотона с электроном электрон переходит
из одного квантового состояния, характеризуемого волновой функ-
цией R, в другое квантовое состояние с волновой функцией
Фа', к'
(а, ос7 обозначают энергетические зоны). Если электрический
вектор электромагнитного излучения лежит в направлении х, то
вероятность перехода, согласно правилам квантовой механики,
пропорциональна квадрату матричного элемента
ф* хф dxdydz. (1.115)
f । а к (А ।
Это выражение справедливо при условии, что длина волны света
много больше длины волны электрона 2к/|к|, которая одного
порядка величины с расстоянием между атомами, т. е. 10 8 см.
Это условие выполняется для видимого света (длина волны порядка
10"4 см), но несправедливо для рентгеновского излучения.
Если в это выражение подставить вместо ф волновую функ-
цию электрона в кристалле (1.6), то легко показать, что выра-
жение (1.115) имеет ненулевое значение только в том случае,
когда волновой вектор конечного состояния к7 равен волновому
вектору начального состояния к. Равенство
ч
к7 = к (1.116)
по существу говорит о сохранении импульса; при этом импуль-
сом Zz/k кванта света, в соответствии с приведенными выше усло-
виями, можно пренебречь по сравнению с импульсом электрона,
так что в равенство он не входит. Из этого равенства следует,
что световая волна может вызвать переход электрона из одной
зоны в другую. При переходе электрона выполняется, разумеется,
закон сохранения энергии. Если валентная зона и зона проводи-
§ 11. Взаимодействие излучения с полупроводником
69
мости имеют простую структуру (см. фиг. 2), то переход элек-
трона может произойти только в предположении, что энергия
фотона Лу больше, чем расстояние между зонами EG при к—0.
Для фотонов с длиной волны больше hcfEG полупроводник
прозрачен; фотон с более короткой длиной волны поглощается,
причем образуются электрон в зоне проводимости и дырка в ва-
лентной зоне. Длину волны hc!EG называют краем (границей)
поглощения кристалла.
В случае более сложной структуры приведенной зоны, как,
например, для германия и кремния, энергия, соответствующая
инфракрасной границе поглощения, с учетом условия (1.116) должна
быть больше, чем Ео (см. фиг. 3 и последний абзац § 1). В дей-
ствительности, энергия на краю поглощения приблизительно равна
энергии Eg, определенной по температурной зависимости концен-
трации носителей, тока в области собственной проводимости из
соотношения (1,38). Это различие можно объяснить существова-
нием так называемых „непрямых" переходов. Условие (1.116)
выполняется только для идеальной кристаллической решетки без
дефектов. Если в решетке существуют какие-либо нарушения
идеальной периодичности, то может происходить такой переход
электронов, при котором не выполняется соотношение (1.116).
Такие переходы происходят в германии. Как показали Холл, Бар-
дин и Блатт [175], этот факт вместе с наблюденной зависимостью
коэффициента поглощения от энергии фотона вблизи края погло-
щения теоретически можно объяснить, предполагая, что в пере-
ходе электрона из валентной зоны в зону проводимости участвуют
три частицы: электрон, фотон и фонон. Этот переход может про-
исходить двумя способами, представленными на фиг. 3:
а — — b или а — аП — £>.
Интенсивность этих „непрямых" переходов, конечно, во много раз
меньше интенсивности „прямых" переходов, для которых выпол-
няется соотношение (1.116).
Положение края поглощения hcfEG зависит от температуры,
как следует из рассмотрения данных, приведенных в конце § 4
настоящей главы. Температурная зависимость EG обычно изме-
ряется по сдвигу края поглощения.
Поглощение света, характеризуемое прямыми или непрямыми
переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости
и ведущее к существованию края поглощения, является типичным
для полупроводников. Начиная с края поглощения по направлению
к более высоким энергиям фотона практически осуществляется
только такой тип поглощения. Однако за краем поглощения по
направлению к большим длинам волн можно наблюдать и другие
типы поглощения.
70 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
Если зона проводимости или валентная зона состоит из не-
скольких перекрывающихся зон, то условие (1.116) может выпол-
няться при переходе электрона из одной зоны в другую. Погло-
щение такого типа, обусловленное переходами с—с1 или d—df
на фиг, 3, осуществляется, например, в валентной зоне германия
или кремния. Таким путем можно объяснить, например, полосы
поглощения, измеренные в германии p-типа в области 4 як Кайзе-
ром, Коллинзом и Феном [141]. Этот тип поглощения согласуется
также с моделью структуры валентной зоны, определенной по
результатам измерений циклотронного резонанса и изменения
сопротивления в магнитном поле.
Примеси представляют собой еще один источник поглощения
света. При низких температурах доноры и акцепторы не ионизо-
ваны. Фотон может вызвать переход электрона с нейтрального
донора в зону проводимости или переход электрона из валентной
зоны на нейтральный акцептор, при котором образуется дырка.
При очень низких температурах можно наблюдать возбужденные
состояния доноров, которые часто образуют систему уровней,
соответствующих водородной структуре [219]. Непосредственное
наблюдение соответствующих уровней поглощения подтверждает
простую теорию, развитую в § 3 настоящей главы. Изучение
спектров поглощения при низких температурах позволяет опреде-
лить систему энергетических уровней в более сложных случаях,
когда примеси имеют несколько уровней, как, например, железо
или марганец в германии и т. п. [219].
Поглощение света происходит и на носителях тока, находя-
щихся в одной и той же зоне. Однако, согласно правилу (1.116),
свободные электроны не могут поглощать свет и оставаться в той
же зоне. Чтобы могло произойти взаимодействие с фотонами,
необходимо наличие нарушений идеальной периодичности решетки,
какими являются тепловые колебания или примеси. Такой тип
поглощения действительно наблюдается на опыте в полупровод-
никах с большой концентрацией носителей [275].
Поглощение света может происходить, наконец, при прямом
взаимодействии фотона с решеткой полупроводника. Особенно
сильно это проявляется в полярных кристаллах. В гомеополярных
полупроводниковых соединениях наблюдались полосы поглощения,
соответствующие прямому поглощению света кристаллической
решеткой полупроводника. Появление аналогичных, но сравни-
тельно слабых полос поглощения в германии и кремнии можно
объяснить следующим образом. Колебания решетки типа алмаза,
соответствующие оптическим колебаниям, приводят к искажению
пространственного заряда вблизи атомов, т. е. к возникновению
электрических диполей, обусловливающих взаимодействие с излу-
чением.
§ 11. Взаимодействие излучения с полупроводником
С точки зрения вопросов, рассматриваемых в этой книге,
важно знать, образуются ли при поглощении света свободные
носители тока или нет. Возникновение свободных носителей тока
в полупроводнике при освещении принято называть внутренним
фотоэлектрическим эффектом. Фотоэлектрически активным является
поглощение фотонов, вызывающее переход электронов из валент-
ной зоны в зону проводимости, поскольку оно ведет к появлению
одного свободного электрона в зоне проводимости и одной дырки
в валентной зоне. Поглощение света на примесях также может
быть фотоэлектрически активным, так как обычно оно приводит
к появлению либо одного электрона в зоне проводимости, либо
одной дырки в валентной зоне.
В случае фотоэлектрического возбуждения пары электрон —
дырка возникают одновременно отрицательный и положительный
заряды. Обе частицы могут перемещаться в полупроводнике, не
нарушая электрической нейтральности кристалла.
Однако при поглощении на примесях только один из двух
освобожденных зарядов подвижен (например, свободный электрон),
а второй связан на примеси (положительный заряд неподвижного
донора). В этом случае электрон не может покинуть кристалл,
не нарушая его электрической нейтральности, если только он не
будет замещен новым электроном, попадающим в кристалл через
подводящие контакты.
В обоих указанных случаях в полупроводнике возникает фото-
проводимость (изменение сопротивления полупроводника при осве-
щении), но только в первом случае, как показано в гл. 3, § 3,
в полупроводнике может возникнуть фотовольтаический эффект
(появление разности потенциалов при освещении).
Поглощение при переходе электрона из одной зоны в другую
внутри сложной валентной зоны, а также поглощение свободными
носителями тока или кристаллической решеткой не приводят
к образованию новых носителей тока, т. е. не являются фото-
электрически активными.
В случае фотоэлектрически активных типов поглощения осо-
бый интерес представляет вопрос, сколько свободных носителей
тока создается при поглощении одного фотона. Для наших целей
мы будем рассматривать главным образом поглощение в основной
зоне. Мы будем называть квантовым выходом т] число пар элек-
трон — дырка, возникающих при поглощении одного фотона.
В качестве примера на фиг. 12 приведена зависимость кванто-
вого выхода от энергии фотона для германия [337, 338], Вблизи
края поглощения 0,70 эв квантовый выход приблизительно равен
единице. Такое же значение квантового выхода наблюдается и
для фотонов больших энергий, вплоть до энергии Е' = 2,2 эв>
где наблюдается излом на кривой. (Более поздние измерения
72 Гл. L Основные представления физики полупроводников
показали, что Е'лежит при более высокой энергии 2,8—2.9 эв [441].)
Для значений энергии фотонов выше 2,2 эв квантовый выход
возрастает. При высоких значениях энергии пропорционален
энергии фотона. На образование одной пары электрон—“дырка
затрачивается энергия е —2,5 эв.
Ф и г. 12. Зависимость квантового выхода т? вну-
треннего фотоэффекта в германии от энергии фо-
тона Е. [343].
Таким образом, можно различать две области:
а) Область низких значений энергии фотона Ev от Ео до Е\
В этой области квантовый выход постоянен: один фотон освобо-
ждает одну пару электрон — дырка.
б) Область высоких значений энергии фотона Е , '^> в кото-
рой энергия, необходимая для освобождения пары электрон —дырка,
постоянна (равна е).
Вблизи энергии Е' находится переходная область, в которой т]
может быть более сложной функцией Ev для Ev > Е'. Обзор по
этим вопросам приводится в работе [220].
На фиг. 12 высокие значения энергии фотонов соответствуют
измерениям с рентгеновскими лучами. Однако та же закономер-
ность и приблизительно такие же значения е наблюдаются и при
§ 11, Взаимодействие излучения с полупроводником
73
облучении полупроводника частицами значительно более высоких
энергий, такими, как .а-, ^-частицы и у-лучи.
На краю поглощения энергия фотона Е^ = Е0 как раз доста:
точна для освобождения одной пары электрон — дырка. Если
энергия фотона лежит в интервале EQ < Е^ < £', то один фотон
также освобождает лишь одну пару, но образующиеся при этом
частицы (электроны и дырки) обладают более высокой кине-
тической энергией, которая быстро теряется при взаимодействии
с решеткой. Однако если кинетическая энергия этих частиц
достаточно велика, то вероятность взаимодействия с колебаниями
решетки будет меньше, чем вероятность ионизации атома полу-
проводника, при которой образуется следующая свободная пара
электрон — дырка. При взаимодействии полупроводника с части-
цами большой энергии возникновение свободных носителей тока
происходит путем последовательной ионизации. Вначале всегда
образуются быстрые электроны, которые ионизуют следующие
атомы. Тем самым объясняется, почему е всегда получается почти
постоянным, какое бы излучение мы ни использовали. Можно
предполагать, что потери энергии электрона, обусловленные его
взаимодействием с кристаллической решеткой, в области высоких
энергий очень малы; это связано с тем, что вследствие большой
разницы между массами ядра и электрона быстрые,электроны при
столкновениях передают кристаллической решетке лишь незначи-
тельную долю энергии. Только после того как энергия электрона
значительно уменьшится, он вступает во взаимодействие с коле-
баниями решетки, прежде всего с оптической ветвью. Поэтому е
в первом приближении не зависит от энергии фотона, хотя,
конечно, нужно принять во внимание, что при больших энергиях
возникают потери на вторичное излучение.
Разность между энергией, необходимой для образования одной
пары электрон — дырка в области высоких энергий, и энергией,
необходимой для создания пары у края поглощения, е — Ео обычно
переходит в энергию тепловых колебаний решетки.
Значение пороговой энергии Е'^ зависит от минимальной энер-
гии электрона в рассматриваемой решетке, при которой вероят-
ность ионизации больше, чем вероятность взаимодействия с коле-
баниями решетки. Эта энергия мало отличается от минимальной
энергии электрона, необходимой для ионизации, так как вероят-
ность ионизации вначале быстро возрастает с ростом энергии
электрона. Расчет энергии ионизации (т. е. минимальной энергии
электрона, необходимой для осуществления перехода электрона
из валентной зоны в зону проводимости) проводится таким же
образом, как при взаимодействии с фотоном, т. е. с учетом зако-
нов сохранения энергии и импульса. Однако импульсом быстрого
74 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
электрона здесь пренебрегать нельзя. Теория квантового выхода
в германии в области перехода к более высоким энергиям фотона
(т. е. вблизи рассмотрена в работе Антончика [339] (см.
также [433]). Шокли [556] предложил другую теорию квантового
выхода, основанную на анализе относительной роли ионизующих
и неионизующих столкновений; в этой теории условие сохранения
импульса не является основным.
Взаимодействие видимого, инфракрасного и ультрафиолетового
излучения с полупроводником подробно рассмотрено в обзоре
Фена [275] и в монографии Мосса [434].
Излучение и частицы высоких энергий не только обусловли-
вают возникновение носителей тока, но и непосредственно воз-
действуют на кристаллическую решетку. Образующиеся при этом
дефекты можно представить себе как атомы, перемещенные со своих
нормальных положений в межузлия и на свободные места в кри-
сталлической решетке.
Чтобы переместить атом, ему нужно сообщить некоторую
минимальную энергию, которая для германия составляет примерно
20 эв. Если эту энергию атом получает от электрона, то ввиду
значительной разницы в массах электрона и атома германия энер-
гия электрона должна быть не менее 0,32 Мэв. Следовательно,
р-лучи с энергией больше 0,32 Мэв нарушают решетку кристалла
германия. Это значение минимальной энергии электрона тем больше,
чем тяжелее атомы, составляющие полупроводник. Тяжелые заря-
женные частицы весьма интенсивно разрушают решетку. Воздей-
ствие [3-лучей на кристаллическую решетку сопровождается по-
явлением быстрых электронов.
Создаваемые при облучении дефекты решетки ухудшают свой-
ства полупроводника. Так, в германии они ведут себя как акцепторы,
в силу чего облучение германиевого барьерного фотоэлемента
частицами высоких энергий приводит к появлению р-проводимости
даже в /z-области, и свойства фотоэлемента ухудшаются. В крем-
нии эти дефекты вызывают увеличение удельного сопротивления.
Обычно центры нарушения решетки имеют несколько уровней и
в зависимости от условий ведут себя как доноры или как акцеп-
торы, как ловушки или как весьма эффективные центры рекомби-
нации. Присутствие их приводит также к уменьшению подвижности
носителей тока. Влияние облучения частицами высоких энергий на
полупроводники рассматривается в работах [433, 342].
§ 12, РЕКОМБИНАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
После фотоэлектрически активного поглощения фотона полу-
проводник оказывается в возбужденном состоянии, в котором он
может находиться только ограниченное время. Затем он опять воз-
§ 12. Рекомбинация электронов .и дырок
вращается в основное состояние. Рассмотрим рекомбинацию элек-
тронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, следую-
щую за поглощением фотона в основной полосе поглощения.
Рекомбинация может осуществляться несколькими способами;
упомянем прежде всего о двух наиболее важных: электрон может
непосредственно рекомбинировать с дыркой или один из реком-
бинирующих партнеров может вначале захватываться центром
рекомбинации и только здесь происходит его рекомбинация с дру-
гим партнером.
Поскольку полупроводник не находится при температуре абсо-
лютного нуля, в нем под влиянием тепловой энергии непрерывно
протекают процессы возбуждения и обратные им процессы реком-
бинации. Эти процессы протекают при состоянии теплового равно-
весия, которое характеризуется распределением концентрации
электронов по отдельным энергетическим уровням согласно ста-
тистике Ферми (§ 4). Такое распределение не зависит от того,
каким способом происходит возникновение или рекомбинация
носителей тока. Однако если равновесное распределение изменится
под влиянием какого-либо воздействия извне, то возвращение
в исходное состояние равновесия будет зависеть от природы этих
процессов.
Рассмотрим однородный электрически изолированный полупро-
водник, в объеме которого (например, в результате облучения)
возникает постоянное количество пар электронов и дырок g^
в 1 см3 за 1 сек сверх того количества пар gG, которое создается
теплом. Если полупроводник не облучается, то число пар gQi
создаваемых теплом, компенсируется рекомбинацией и
При облучении полное число пар.., рекомбинирующих в 1 см3 за
1 сек, /?полн. больше /?0 —g*0- Избыточную по сравнению с равно-
весной рекомбинацию характеризует рекомбинационная функция
ПОЛИ.
Тогда для изменения концентрации носителей тока имеем следую-
щие соотношения:
др
(1.117)
где Rn и Rp—значения R для электронов и дырок. Можем теперь
найти, как зависит рекомбинационная функция Ra, R от пара-
метров полупроводника и от температуры.
Если рекомбинация происходит прямым переходом электрона
из зоны проводимости в валентную зону, то Rn = R = R и /?поли.
пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок.
Таким образом,
гпр
-А
г (пр — П2
(1.118)
76 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
где величина /?0 исключается при использовании условия R = О,
когда пр имеет значение, соответствующее тепловому равновесию
n pQ = п,2 [соотношение (1.33)].
Равенство (1.118) можно записать и в другом виде, если ввести
п — Пц-\~&п, р — р0-j- Дп и предположить, что Дп<^по4-Ро‘>
тогда
А> —г (п0-Рр0)Дя. (1.119)
В стационарном
получаем
где
случае /< = gv, и для
прироста концентрации
(1.120)
(1.121)
Для нарастания и спада Дп получаем из (1.117) соответственно
(1.122)
Мы видим, что величина т, называемая средним временем жизни,
имеет двойной смысл. Во-первых, она определяет стационарное
значение Knm = g^. Это выражение обычно можно использовать
для определения среднего времени жизни. Во-вторых, величина т
характеризует нарастание или спад Дп. Однако такое определение
имеет смысл лишь в том случае, если нарастание и спад описы-
ваются экспоненциальной функцией. Это справедливо, если Дп
мало, так что не зависит от Дп. В этом можно удостовериться
подстановкой в выражение (1.117); легко видеть, что в этом слу-
чае т имеет постоянное значение (1.121), как и по первому опре-
делению. Однако если т зависит от Дп, то спад или нарастание
нельзя выразить простой экспоненциальной зависимостью.
Более сложным является случай рекомбинации через рекомби-
национные центры. Предположим, что концентрация этих центров
мала по сравнению с концентрацией носителей тока, так что про-
странственным зарядом можно пренебречь. Из условия электриче-
ской нейтральности снова следует, что
Дп = Др,
Рассмотрим случай, когда свободные центры рекомбинации могут
захватить электрон, но не дырку. Если центром рекомбинации
захвачен электрон, то такой центр может захватить дырку, но не
другой электрон. Для такого случая Шокли и Рид [121] вывели
§ 12. Рекомбинация электронов и дырок
77
следующее соотношение для невырожденного полупроводника:
(1.123)
ч
здесь
Nt — концентрация центров рекомбинации, сп -— среднее значе-
ние сп, определенное следующим образом:
J ^nfnQ^n. (£й)
о_______________________________
Л со
(1.124)
J /по&п-(еп)
О
Совершенно аналогично определяется В классическом полу-
проводнике средние значения у по (1.124) и (у) по (1.69)
тождественны.
Величина сп есть вероятность того, что электрон с энергией
в интервале от до £n-[-den будет за 1 сек захвачен свободным
центром рекомбинации; ср— аналогичная вероятность того, что
дырка будет захвачена центром рекомбинации. Если обозначить
через tvn и <ир скорости электрона и дырки и через qn и q—эф-
фективные сечения центра рекомбинации для электронов и дырок,
то сп и ср будут средними значениями величин и vpqp для
всех состояний с энергиями от до + и от ёр до е~\-de .
Пусть пг и рт — концентрации электронов и дырок в случае,
когда уровень Ферми совпадает с энергетическим уровнем Et,
соответствующим центру рекомбинации (отсчитывается от того же
основного уровня, что и Ес и т. д. на фиг. 4). При выводе соот-
ношения (1.123) было сделано предположение, что центр реком-
бинации имеет только один энергетический уровень. Тогда пт и рг
определяются выражениями
(1.125)
Обозначим через Сы положение уровня Ферми в собственном
полупроводнике [см. (1.37)]. Все используемые ниже формулы
выведены в предположении, что Et находится в верхней половине
запрещенной зоны:
Et>^i.
78 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
Формулы для случая Et < Со/ можно вывести из приведенных
выше соотношений, если поменять местами электроны и дырки.
Среднее время жизни т [в соответствии с (1.120)] определяется
выражением
(1.126)
Тогда для т получим
(1.127)
Величина х 0 представляет собой среднее время жизни дырок,
рекомбинирующих в сильно легированном материале /z-типа. Здесь
все центры рекомбинации заполнены электронами, так что число
дырок, захваченных за 1 сек в 1 см3, равно просто Ср, умножен-
ному на плотность созданных дырок. Аналогично, тд0 — время
жизни электронов в сильно легированном материале р-типа.
Если Дл мало, то т не зависит от Дп и мы получаем простое
выражение
(1.128)
Для больших значений Дп.т х является функцией Дя/П; если
Дпт^>п0 и Д/гт^>р0, то х снова постоянно и равно ^о + ^о-
Из анализа Шокли и Рида следует, что приведенное выше
выражение справедливо в предположении, что концентрация цент-
ров рекомбинации Nt значительно меньше, чем любая из концен-
траций п0, р0, пг и рг. При большой концентрации центров
рекомбинации это предположение может не выполняться и хотя
в стационарном состоянии Rn — Rp3 но Дп^Др, так как при
определении электрической нейтральности кристалла нужно учи-
тывать также концентрацию электронов на центрах рекомбинации.
В этом случае стационарные концентрации Дпте, &рт определяются
двумя средними временами жизни — и ър — LpmfR, но
спад и. нарастание при малых концентрациях Д/глг, &рт опреде-
ляются двумя другими временами [121, 334].
Случай рекомбинации на центрах с несколькими энергетиче-
скими уровнями рассмотрен в работе [414]. Обзор по рекомбина-
ции электронов и дырок приводится в статье Мени и Брея [386].
Роуз [340] рассмотрел вопрос о кинетике рекомбинации с более
общей точки зрения.
Весьма важным является вопрос о том, что происходит с энер-
гией, освобождаемой при рекомбинации. Рекомбинационные пере-
ходы могут быть или излучательными, когда энергия освобождается
§ 12. Рекомбинация электронов и дырок
79
в виде фотона, или безызлучательными, когда энергия переходит
в тепловую энергию кристаллической решетки.
В полупроводниках типа фосфоров излучательные переходы
могут составлять значительный процент от общего числа перехо-
дов. В германии и кремнии такие переходы наблюдались при
электролюминесценции на р — n-переходах, однако их интен-
сивность очень мала (ср. [434], гл. VI). В валентных полупровод-
никах эти излучательные переходы обычно связаны с прямым
переходом электрона из зоны проводимости в валентную зону.
Росбрук и Шокли [176] показали, что если бы в германии среднее
время жизни определялось только переходами такого рода, то
значение его составляло бы около 1 сек, тогда как на самом
деле оно не превышает 10”2 сек, а обычно значительно меньше.
Отсюда следует, что в германии, так же как и в кремнии,
центры рекомбинации играют решающую роль. С уменьшением
ширины запрещенной зоны растет вероятность прямой рекомбина-
ции. Было высказано мнение, что в некоторых материалах с малым
значением EG, таких, как InSb, PbS, PbSe, РЬТе, должна играть
существенную роль прямая рекомбинация [579], что может объяс-
нить наблюдаемые малые значения времени рекомбинации (напри-
мер, для InSb 10 7— 10~6 сек).
Рекомбинационные центры в германии и кремнии проявляют
себя как атомы элементов, образующих энергетические уровни
вблизи центра запрещенной зоны, например меди и никеля, а также
дислокации и дефекты решетки, создаваемые, .например, быстрым
охлаждением германия от температуры выше 600° С и облучением
а-частицами или другими частицами высокой энергии, приводящими
к смещению атомов из узлов кристаллической решетки.
Наряду с упомянутыми двумя основными типами рекомбинации
в полупроводниках могут существовать и другие.- В некоторых
полупроводниках (например, в PbS) наблюдалась рекомбинация,
вероятность которой пропорциональна квадрату концентрации
электронов [142, 226, 227, 341]. Для ее объяснения было посту-
лировано, что энергия, выделяющаяся при прямой рекомбинации
электрон — дырка, передается другому электрону. Такой тип
рекомбинации аналогичен эффекту Оже, наблюдаемому при поглоще-
нии рентгеновского излучения в атомах. Ландсберг [435] на основе
теории, опирающейся на эффект Оже, дал хорошее объяснение
наблюдаемого времени рекомбинации в InSb.
На поверхности кристалла также происходит рекомбинация
носителей тока, которая в сущности тождественна с объемной
рекомбинацией и отличается от нее лишь тем, что происходит на
плоскости. Объемная рекомбинация характеризуется рекомбина-
ционной функцией 7?; поскольку отклонения от равновесных
80 Гл. 1. Основные представления физики полупроводников
концентраций малы, ее можно выразить через среднее время жизни
[выражение (1.126)]. Поверхностная рекомбинация определяется
таким же образом, как разность числа пар электрон — дырка,
рекомбинирующих на 1 см2 поверхности за 1 сек, и числа пар,
создаваемых теплом на 1 см2 за 1 сек. Для малых значений Дп
поверхностная рекомбинация выражается с помощью так называе-
мой скорости поверхностной рекомбинации 5 [см/сек]:
/?повеохн —S&n. (1.129)
Скорость поверхностной рекомбинации зависит от свойств полу-
проводника и от обработки поверхности. Например, для германия»
поверхность которого обработана путем шлифовки или с помощью
пескоструйного аппарата, 5 порядка 104 см/сек, тогда как для
поверхности, обработанной травлением, s может быть меньше
102 см/сек.
Поверхностная рекомбинация обычно протекает через посред-
ство центров рекомбинации. В этом случае для можно
вывести выражение, полностью аналогичное выраж ни о (1.123),
с той только разницей, что в него входят величины, относящиеся
к поверхности. Поскольку концентрация носителей тока, согласно
этому выражению, зависит от высоты потенциального барьера,
скорость рекомбинации также зависит от нее. При неизменных
центрах рекомбинации можно менять скорость рекомбинации,
варьируя высоту барьера. Это один из методов изучения природы
таких центров рекомбинации.
Помимо центров рекомбинации, в полупроводниках могут быть
также центры, действующие как ловушки. Эти ловушки захваты-
вают электроны или дырки, причем вероятность рекомбинации их
(с дыркой или электроном) мала. Этот количественный критерий
отличает ловушки от центров рекомбинации, хотя каждый данный
атом или дефект решетки при различных условиях (температура,
концентрация носителей) может вести себя либо как ловушка,
либо как центр рекомбинации. Ловушки появляются при неста-
ционарных процессах, когда они могут вызвать отклонения от
экспоненциального спада, как наблюдалось, например, для крем-
ния [143, 227, 228].
Наиболее отчетливо действие ловушек проявляется при низких
температурах и малых освещенностях. Важную роль они играют
при фотопроводимости.
При наличии ловушек нужно различать два типа среднего
времени жизни. Время жизни т, о котором мы до сих пор гово-
рили, соответствует среднему времени существования пары элек-
трон— дырка. Если хотя бы один из носителей исчезнет, напри-
мер путем захвата на ловушке, то пара перестает существовать.
С величиной этого времени связана диффузия носителей тока,
§ 12. Рекомбинация электронов и дырок
81
а следовательно, явления, характерные для фотовольтаического,
фототермоэлектрического и фотомагнитного эффектов, рассматри-
ваемых в гл. 3—5.
При фотопроводимости в расчет принимается другое среднее
время жизни т7, которое определяется как среднее время сущест-
вования по крайней мере носителя тока одного типа, так что
в него включается время, в течение которого носитель тока вто-
рого типа захвачен на ловушке, поскольку в течение этого вре-
мени электропроводность повышена. Следовательно, всегда т72>^.
Знак равенства справедлив для случая, когда в полупроводнике
нет ловушек или когда измерения проводятся в таком интервале
температур, где они не проявляются.
Для фотосопротивлений наличие ловушек, в которых один тип
носителей тока имеет большое среднее время жизни, тогда как
другой, тип носителей тока свободен, является существенным усло-
вием получения высокой чувствительности [257].
Феноменологическая теория явлений
переноса в полупроводниках
г
§ 1. ОСНОВЫ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
С феноменологической точки зрения мы можем рассматривать
совокупность электронов и дырок в полупроводниках как сово-
купность частиц, характеризующихся своими концентрациями,
эффективными массами и подвижностями. Оба последних параме-
тра могут зависеть от направления в кристаллической решетке.
Эти параметры могут быть определены путем прямых измерений
или вычислены методами квантовой механики и кинетической
теории явлений переноса. Для последующих выводов примем их
за феноменологические константы. Теория возникновения элек-
тродвижущих сил (э. д. с.) в полупроводниках построена с помощью
этих констант и некоторых других, которые мы' введем. Число
вводимых феноменологических параметров, конечно, больше, чем
число независимых параметров в квантовомеханической теории.
В отличие от последней феноменологическая теория, сформулирован-
ная рассмотренным ниже способом, применима при весьма общих
предположениях, поскольку здесь нет необходимости пользоваться
упрощенной моделью для энергетического спектра электронов
в полупроводнике. Другим преимуществом феноменологического
способа изложения является то, что он позволяет вывести соотно-
шения между отдельными явлениями в полупроводниках, опреде-
лить их место по отношению к другим способам возникновения
э. д. с, (например, в гальванических элементах) и предсказать
новые явления. Чтобы сделать наглядной связь с кинетическим
§ L Основы феноменологической теории
способом описания, остановимся на методах квантовомеханического
расчета тех из используемых феноменологических констант, ко-
торые не были рассмотрены в гл. 1.
Прежде всего необходимо выяснить сущность условия тепло-
вого равновесия. Предполагаем, что совокупность электронов и
совокупность дырок находятся, с одной стороны, каждая в со-
стоянии теплового равновесия и, с другой стороны, в тепловом
равновесии с кристаллической решеткой. В случае носителей тока,
созданных тепловыми переходами, это естественно. Однако мы
предполагаем, что и носители тока, возникающие при поглощении
фотона, находятся в тепловом равновесии с решеткой. Можно
считать, что это предположение справедливо при описании всех
явлений, которые протекают за время, значительно большее, чем
время, в течение которого электрон, освобожденный фотоном,
сохраняет избыточную кинетическую энергию (по сравнению со
средней тепловой энергией). Вследствие сильного взаимодействия
с решеткой, это время чрезвычайно мало и по теоретической
оценке [493] составляет 10"11—10“ сек. Опыты Рывкина [177]
(см. также [122]) дают экспериментальное подтверждение того
факта, что электроны и дырки находятся в тепловом равновесии
с кристаллической решеткой.
Условие теплового равновесия с кристаллической решеткой
означает, что распределение электронов по отдельным энерге-
тическим уровням описывается с помощью функции распределения
Ферми — Дирака (см. гл. 1, § 4), в которой температура Т озна-
чает температуру кристаллической решетки. Для концентрации
электронов в зоне проводимости имеем
D (£) dE
(2.1)
exp [(£— 'QjkT\
и для концентрации дырок в валентной зоне
dE. (2.2)
Здесь D (f) dE — число разрешенных состояний электронов в энер-
гетическом интервале Е, E-{-dE [см. выражения (1.21)].
Выражения (2.1) и (2.2) определяют два важных параметра Сп,
Ср, которые называются химическими потенциалами совокупности
электронов в зоне проводимости и совокупности электронов
в валентной зоне. Из теории Ферми —Дирака известно, что если
две совокупности частиц находятся в равновесии, то их химиче-
ские потенциалы равны. Следовательно, если совокупность элек-
84 Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
тронов в зоне проводимости находится в тепловом равновесии
с совокупностью электронов в валентной зоне, то
Сл0 = СрО — Со
(2.3)
и выражения (2.1) и (2.2) тождественны выражениям (1.23) и (1.24).
В этом случае химический потенциал всей совокупности элек-
тронов единый; он называется уровнем Ферми, и расчет его при-
Ф и г. 13. Энергетическая схема одно-
родного полупроводника с избыточ-
ными концентрациями носителей
тока.
веден в гл. 1, § 4. Это состоя-
ние обозначают символом О
(концентрации п0, р0).
Из равновесия обеих сово-
купностей электронов порознь
с кристаллической решеткой
еще не следует, что обе сово-
купности находятся в равнове-
сии друг с другом. Такое от-
сутствие равновесия наблю-
дается, например, когда полу-
проводник освещен, так что в
установившемся состоянии кон-
центрации и и р больше, чем
концентрации, соответствую-
щие тепловому равновесию.
В этом случае Сд Ср, и если
известны . п и р, то выраже-
ния (2.1) и (2.2) определяют
с и с;*
Вместо £*, Сд, Ср часто
бывает целесообразно ввести
такие же обозначения, как в соотношениях (1.25) (фиг. 13). Тогда
выражения (2.1) и (2.2) принимают одинаковый вид
Рп (£п) ^£п_____
ехр [(ел — Сл)МТ]
(2.4)
(выражение для р получается простой заменой индекса п на /?).
Величину Сл мы будем называть химическим потенциалом
совокупности электронов, а Ср — химическим потенциалом сово-
купности дырок. Условие теплового равновесия обеих совокупно-
стей между собой выражается равенством (1.26):
чл0 ~Ь ^G9
§ 1. Основы феноменологической теории 85
В случае применимости классической статистики химические по-
тенциалы С определяются следующими выражениями, которые
получаются из (2.4) в предположении, что —
kT:
п
ехр
k Т
kT ’
мА
О
kT
где величины Nc, определяются выражением (1.30).
В случае неравновесных концентраций также можно
электрохимические потенциалы,
лано в гл. 1, § 5 для слу-
чая теплового равновесия. При
ввести
аналогично тому, как это сде-
этом для совокупности электро-
нов вводится электрохимический
потенциал, характеризуемый так
называемым квазиуровнем Фер-
ми EFn, а для совокупности ды-
рок— квазиуровнем Ферми EF
(фиг. 14):
Ер—- L/j еер Ес Е С#
(2.7а)
Ерр — ^~р вер ~ Еф ^эр eept
(2.76)
В состоянии равновесия
EFn — EFp==EF. (2.8)
Введение этих квазипотенциа-
Ф и г. 14. Энергетическая схема
неоднородного полупроводника
с избыточными концентрациями
носителей тока.
лов Ферми целесообразно для
решения некоторых проблем в неоднородных полупроводниках,
например в теории р — n-перехода Шокли [85]. Значение их
заключается в том, что в области-потенциального барьера можно
предполагать, что рекомбинации носителей тока не происходит,
если ширина барьера мала по сравнению с длиной диффузии,
как это часто бывает. В таком случае при малых плотностях тока
во всей области барьера квазипотенциалы Ферми почти постоянны
(см. гл. 3, § б). Если же рекомбинация происходит, то EFn и EFp
нельзя считать постоянными и применимость этих понятий огра-
ничена. .
86
Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
С помощью квазиуровней Ферми концентрацию электронов и
дырок можно выразить аналогично тому, как это сделано в (1.47):
(2.9а)
(2.96)
Основным является вопрос о том, как влияют внешние условия
на рассматриваемые совокупности электронов и дырок, и в осо-
бенности, при каких условиях возникают стационарные электри-
ческие токи. С кинетической точки зрения, эта проблема частично
рассматривается в гл. 1. Теперь мы покажем, как она решается
с точки зрения феноменологической теории.
§ 2. ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Основой феноменологического описания стационарных про-
цессов является сравнительно новая ветвь термодинамики — так
называемая термодинамика необратимых стационарных процессов.
Она отвечает на вопрос о том, каким образом можно определить
обобщенные „силы", обусловливающие возникновение „токов", и
какие количественные соотношения между отдельными явлениями
имеют место при неизменных во времени условиях (т. е. в ста-
ционарном случае).
Одна из основных проблем, которая относится к области
термодинамики необратимых процессов, может быть наглядно
проиллюстрирована на следующем примере. Градиент электриче-
ского потенциала вызывает появление электрического тока, про-
порционального этому градиенту; таким же образом градиент
температуры приводит к возникновению потока тепла. Если
в проводнике одновременно существуют электрический и тем-
пературный градиенты, то плотность электрического тока / и
плотность потока тепла lq (в одномерном случае) можно пред-
ставить в виде
/= аи grad а12 grad Т,
Iq = й21 grad © + «22 grad Т;
здесь at,— константы, которые могут зависеть, например, от Т,
но никогда не зависят от grad ср или grad Т. Эти выражения можно
рассматривать как эмпирические. Они справедливы только в пер-
вом приближении, но обычно при самых общих условиях (напри-
мер, член с константой выражает закон Ома для электро-
§ 2. Термодинамика необратимых стационарных процессов
проводности, а член с а22— закон Фурье для теплопроводности).
Аналогично тому как классическая термодинамика позволяет
вывести соотношения между некоторыми константами (например,
соотношение Майера между удельными теплоемкостями газов при
постоянном давлении и постоянном объеме и т. п.), точно так
же основным достоинством термодинамики необратимых процессов
является общий метод, позволяющий найти соотношения между
коэффициентами О существовании таких соотношений в от-
дельных случаях известно было давно, однако только в 1931 г.
Онзагер вывел общий метод их получения. Применительно к нашему
рассмотрению этот метод можно сформулировать следующим
образом (вывод см. в [123]).
Предположим, что систему можно разложить на макроско-
пически малые области, в которых термодинамические величины
(температура, химические потенциалы и т. д.) можно считать по-
стоянными. Эти области достаточно велики с микроскопической
точки зрения, т. е. они содержат большое количество атомов,
поскольку иначе нельзя было бы определять термодинамические
величины. Внутри каждой области выполняются законы клас-
сической термодинамики. С их помощью можно найти, изменение
энтропии, возникающее в данной области. Если бы все процессы
внутри рассматриваемой области были обратимы, то выполнялось
бы известное соотношение между приростом энтропии dS и
тепла dQ:
dS^-2-. . (2.11)
Однако если внутри этой области протекают необратимые процессы,
то энтропия возрастает и
dS>^2-. (2.12)
В рассматриваемой области
за секунду возникает энтропия
(2.13)
Если нам удастся выразить возрастание энтропии за
секунду
в виде
(2.14)
где J-t — токи, которые нас интересуют,
ствующие выбранным токам Jz, то
силы, соответ-
(2.15)
88 Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
Для выбранной таким образом системы токов и сопряженных сил
выполняется теорема Онзагера: величины образуют симме-
тричную матрицу
(2.16)
Покажем, как эту систему токов и сопряженных сил Онзагера
можно применить для вывода феноменологических уравнений для
токов в полупроводниках.
Будем рассматривать три рода „токов" и „сил": 1) электриче-
ский ток с плотностью /, 2) поток частиц с плотностью Iv,
3) поток тепла с плотностью Л и попытаемся найти сопряжен-
ную систему сил X}t XN, Xq. Эти силы будут зависеть от гра-
диентов электрического и химического потенциалов и градиента
температуры Т. Система сил упрощается, поскольку, очевидно,
I — eIN.
(2-17)
Ограничимся рассмотрением электронов в зоне проводимости.
Определим прежде всего возрастание энтропии за секунду. Будем
исходить из известного термодинамического соотношения (часто
называемого соотношением Гиббса), предполагая его справедли-
вость внутри рассматриваемой области:
Т dsn — da„ — t>'ndn,-> (2.18)
/1 . I 4*
здесь sn — энтропия на 1 см3,
объем считается постоянным.
ип — внутренняя энергия на 1 см3,
Это соотношение можно записать
также в виде
(2.19)
Чтобы исключить производные по времени, используем уравнение
непрерывности для плотности тока частиц InN
4 + div/^ =0. (2.20)
Изменение плотности энергии можно выразить следующим об-
разом:
div — е1п.ч grad ср,
(2.21)
так что уравнение (2.19) можно переписать в виде
div
f nq “F div InN -- eInN grad cp
(2.22)
(2.23)
и, вводя ток энтропии с плотностью
§ 2. Термодинамика необратимых стационарных процессов
привести к виду
dsn
dt
Z^Tgrad
tiq T
div/„s
(2.24)
непрерывности для энтропии. Если в рассматри-
не возникает энтропия, то левая часть равна нулю1,
правая часть обозначает возрастание энтропии.
Это уравнение
ваемой области
Следовательно,
Очевидно, уравнение (2.24) имеет форму теоремы Онзагера,
где „силы* определяются выражениями
Xni = grad ср,
nN = —T £rad
* ‘ nq 7 о>----
(как обычно [123], общий множитель 1/Т опущен; это, конечно,
не влияет на соотношения Онзагера). С учетом равенства (2.17)
вместо трех соотношений мы можем написать только два — для
плотности электрического тока и потока тепла:
e grad <p
e grad <p
T grad -y
T grad
1
a12 у grad T,
1
a22-r grad?.
(2.26)
(2.27)
Соотношения Онзагера приводят к равенству
(2.28)
Легко вывести физический смысл констант аи и rz22. Кон-
станта связана с удельной электрической проводимостью
сп(ап — <зп1е), а а^-—с удельной теплопроводностью хя(о22==:
= — ъпТ). Наглядный смысл третьей константы можно выяснить
следующим образом. В соотношениях (2.26) и (2.27) положим
grad 7*= 0 и разделим (2.27) на (2.26). Тогда получим
Дау—(2.29)
«П ~ «И 4/(-^) 'l v ’
Величина Q* обозначает плотность потока тепла, которая соот-
ветствует единичной плотности тока электронов (один электрон
на 1 см2 в 1 сек) в случае, когда grad Т— 0. Величину Qn на-
зывают теплотой переноса электронов.
90 Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
Значение Q' можно определить из кинетических соображений.
Поскольку эта величина существует только в системах с темпе-
ратурным градиентом, мы рассмотрим более детально ее смысл
в гл. 4, а здесь укажем только на основные особенности. Вели-
чина состоит из двух частей: электронной части Q*' и фо-
нонной части Q* Электронная часть Q* может быть найдена
согласно данному выше определению из соотношений, приведен-
ных в гл. 1, § 8. Для плотности электрического тока, перено-
симого электронами в зоне проводимости, согласно уравнению
(1.67), имеем
о
(2.30)
Каждый электрон, который участвует в переносе тока, перено-
сит энергию Е = Ес-]-еп (см. фиг. 4), так что для 1п получим
(2 31)
Здесь Q* обозначает среднюю кинетическую энергию переноса
электронов, которая определяется выражением
(2.32)
Средние значения определены выражением (1.69). Величина Q*
в зависимости от свойств полупроводника рассматривается
в гл. 4, § 3.
Теплота переноса Q* = Q*^Ес соответствует действию фо-
нонов с низкой частотой на электроны в зоне проводимости (так
называемое увлечение электронов фононами). Это явление рас-
сматривается в гл. 4, § 3.
Рассмотрим подробнее член, содержащий grad в уравне-
нии (2.26). Его смысл лучше всего выясняется в простейшем
случае, когда применима классическая статистика, температура
постоянна (grad Т = 0) и край зоны проводимости имеет постоян-
ное положение по отношению к выбранному уровню нулевой
энергии (grad Ес = 0). После подстановки из (2.6) третий член
§ 2. Термодинамика необратимых стационарных процессов 91
уравнения (2.26) принимает вид
подставляя еп\ьГ1, получаем
kT^n §*га^ п = eDn £га^ П-
(2.33)
Этот член при указанных обстоятельствах соответствует диффу-
зии электронов из областей повышенной концентрации в области
с более низкой концентрацией. Эта часть тока не равна нулю
только в той области, где grad п отличен от нуля. Величина Dn
в выражении (2.33) представляет собой постоянную диффузии
электронов. Из (2.33) следует, что она связана с подвижностью
так называемым соотношением Эйнштейна
= (2.34)
которое, однако, справедливо только для невырожденного элек-
тронного газа. Если это условие не выполняется, то из соотно-
шений (2.26) и (1.29) можно вывести более общее соотношение
F-
(2.35)
где функции Fm определены уравнением (1.28). При выводе соот-
ношения (2.35) было сделано предположение, что Dп(еУ ~ еУ?,
согласно (1.21).
Выражение (2.26) можно представить в нескольких различных
формах (см. преобразования, рассмотренные в [123], § 52). Часто
пользуются, например, формой
4 = [grad (— еср + 0+ grad ?], (2.36)
О
где величина
(2.37)
имеет смысл энтропии, переносимой одним электроном на 1 слА
в 1 сек. Эта энтропия переноса не зависит от выбора нулевого
уровня энергии.
Полностью аналогичные соотношения имеют место для дырок.
Некоторые другие примеры применения термодинамики ста-
ционарных необратимых процессов к полупроводникам рассмот-
рены в работах [415, 442]. Грин [560, 574] применил термодина-
мику для исследования отдельных особенностей термоэлектри-
ческого и фотовольтаического эффектов.
92
Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
§ 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
в.
Теория возникновения электродвижущих сил в полупровод-
никах основана на уравнениях для плотности электрического тока,
уравнении непрерывности для электрического тока и уравнении
Пуассона.
1. Уравнения для плотности электрического тока
Вывод этих уравнений в соответствии с законами термоди-
намики необратимых стационарных процессов для случая электро-
нов в зоне проводимости рассмотрен в предыдущем параграфе.
Аналогичным образом можно поступить, рассматривая электроны
в валентной зоне, и вывести уравнение для плотности тока дырок.
Эти уравнения справедливы, если выполняются некоторые ус-
ловия: распределение энергий электронов или дырок соответ-
ствует температуре решетки Т (условие теплового равновесия),
электрическое поле не слишком сильное (так что энергия, кото-
рую электрон или дырка получают от электрического поля в пе-
риод между двумя столкновениями, мала по сравнению со сред-
ней тепловой энергией— см. гл. 1, § 8) и частота электрического
поля не слишком высока (период переменного поля большой по
сравнению со временем релаксации). Приведем эти уравнения
в нескольких формах, применимых в случае изотропного полу-
проводника:
П I р‘
I л I 'Л "
л = -— I — ^gradcp+Tgrad-^
(2.38)
п = (— е grad Ф + grad + S*' grad Т) ,
(2.40)
(2.41)
Аналогичные уравнения имеют место для I с заменой индекса
п на
Если grad Ес = 0 и gradE^ = 0, то можно ввести значение
энергии согласно (Г.25) и записать уравнения (2.39) и (2.40)
в виде, не зависящем от выбора нулевого уровня энергии:
(2.42)
§ 3. Основные уравнения теории полупроводников 93
— [— е grad ср -f-
&
(2-43)
(2.44)
Gp г * ]
— [— е grad ср — grad — Sp grad 7j.
&
(2.45)
Между значениями параметров переноса существуют следующие
соотношения:
Q„ = Qn~Ec, (2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
2. Влияние магнитного поля
Уравнения для плотности электрического тока существенно
меняются, если необходимо учесть изменение электрической про-
водимости в магнитном поле. Ограничимся здесь случаем, когда
и а можно считать не зависящими от магнитного поля (слабые
магнитные поля) и когда весь полупроводник находится при по-
стоянной температуре. Тогда по соображениям, рассмотренным
в гл. 1, § 10, можно написать для изотропного полупроводника
1Л = 1°-HI„ X м tg 9„. (2-50)
Такое же уравнение имеет место для | если заменить индекс п
индексом р, В этих уравнениях Гп и Гр представляют собой плот-
ности токов в отсутствие магнитного поля, согласно (2.39), (2.40),
(2.42) — (2.45). Вектор к/7 является единичным вектором в напра-
влении магнитного поля с индукцией В. Углы Холла 0Л, 0р опре-
деляются выражениями (1.100) и (1.106). Если эти углы малы,
уравнение (2.50) существенно упрощается и принимает вид
0 _и 0 Гт° v k 1
п 11п /X n77J*
В случае, когда grad Т Ф 0, уравнения принимают более слож-
ный вид, который мы рассмотрим в гл. 5, § 4.
94
Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
3. Уравнение непрерывности
Пренебрегая присутствием ловушек (см. гл. 1, § 12), для изме-
нения во времени концентрации носителей тока можно написать
дп
dt
(2.52)
др Л —divlp
dt е
(2.53)
где g^— число пар электрон — дырка, создаваемых в 1 см3 за
1 сек, R—число рекомбинаций в 1 с ж3. за 1 сек, согласно опре-
делению в гл. 1, § 12. В стационарном состоянии, когда dn[dt = 0,
dpldt—Q, справедливо уравнение
div L — — div L — eR — eg^-
(2.54)
4. Уравнение Пуассона
В рассматриваемом случае уравнение Пуассона можно запи-
сать в виде
div F = “г (р — п Ц- (2.55)
Здесь N&, Na—концентрации ионизованных доноров и акцепто-
ров, занятых электронами, — еЪгь обозначает пространственный
заряд. С точки зрения величины этого заряда можно рассматри-
вать следующие два крайних случая:
7. Электрическая нейтральность. Любые малые нарушения
электрической нейтральности приводят к возникновению сильных
электрических полей, так что в каждом случае появляются значи-
тельные силы, препятствующие нарушению электрической ней-
тральности. Однако нельзя предполагать существование полной
электрической нейтральности в том случае, когда возникает э. д. с.,
так как ее появление обусловлено наличием электрического поля
в полупроводнике. Если это поле мало и непрерывно меняется
по длине образца, то пренебрежимо мало по сравнению с ti
и р. Например, электрическому полю с градиентом 100 efcM2
в германии 16 • 8,86 • 10“14 а • сек/в • см) соответствует пре-
небрежимо малая концентрация о/г = (Kje) • dFJdx = 7,5 • 108
В таком случае в каждой точке полупроводника (за исключением
локализованных потенциальных барьеров) можно включить в урав-
нение для плотности тока и в уравнение непрерывности условие
электрической нейтральности:
п— Пц — р — р0 = Дп. (2.56)
§ 4, Возникновение э, д. с.
95
Такая простая форма уравнения справедлива в том случае,
если не учитывается наличие ловушек; в противном случае нужно
рассматривать также заряд электронов или дырок на ловушках.
2, Большой пространственный заряд. Большой простран-
ственный заряд возникает в тех областях, где резко меняются
параметры полупроводника, например вблизи поверхности, в р—п-
переходе и т. п. В этих областях имеется сильное электрическое
поле. Соответствующие соотношения рассматриваются в гл. 3, § 6.
§ 4. ВОЗНИКНОВЕНИЕ Э. Д. С.
Теперь мы можем сформулировать основную проблему настоя-
щей книги — проблему возникновения э. д. с.
Рассмотрим кольцо из полупроводника, изображенное нафиг. 15.
Кольцо разорвано в точках а, а', где припаяны контакты для
Фиг. 15. Кольцо из полупроводника, рассматри-
ваемое в тексте.
измерения э. д. с. компенсационным (потенциометрическим) мето-
дом. Точки а, аг должны быть выбраны таким образом, чтобы
в них и в их непосредственной близости полупроводник имел
одинаковые свойства (одинаковая температура, тот же химический
состав, нулевое магнитное поле, нулевая концентрация избыточ-
ных носителей тока). Это условие соответствует теореме Гиббса,
согласно которой разность электрических потенциалов однозначно
96 Гл, 2. Феноменологическая теория явлений переноса
определяется только между двумя точками одинакового химиче-
ского состава, находящимися, при одинаковой температуре. Отказ
от учета этой теоремы в прошлом часто приводил к неверным
результатам в теории фотовольтаического эффекта.
Если при освещении полупроводника возникают только носи-
тели тока того же знака, что и носители тока в темноте, то, как
показали впервые Ландау и Лифшиц [42], напряжение, возникаю-
щее в полупроводнике, компенсируется изменением контактного
потенциала. Это заключение справедливо в предположении, что
распределение энергии носителей тока подчиняется статистике
Максвелла — Больцмана (см. [58]). Прежде чем был выяснен этот
вопрос, в ряде работ рассчитывалась э. д. с., возникающая в не-
собственном полупроводнике, в котором при освещении возни-
кают только основные носители тока, несмотря на то, что в дей-
ствительности эта э. д. с. пренебрежимо мала. Схема, предста-
вленная на фиг. 15, исключает ошибочные выводы такого рода.
Из нее естественно следует, что присутствие избыточных носите-
лей тока является необходимым условием для возникновения фото-
вольтаического эффекта (см. гл. 3, § 3).
Очевидно, что для возникновения э. д. с. требуется, чтобы
система получала откуда-то энергию. Появление э. д. с. может
быть обусловлено освещением (фотовольтаический эффект) или
градиентом температуры (термоэлектрический эффект), но не может
быть связано с наличием только магнитного поля. В последнем
случае могут возникнуть сложные эффекты, такие, как фотомаг-
нитный или термомагнитный.
В гл. 3 мы рассмотрим фотовольтаический эффект, в гл. 4—
термоэлектрический (вместе с фотоэлектрическим эффектом при
градиенте температуры) и, наконец, в гл. 5 — более сложные
явления, наблюдаемые в присутствии магнитного поля.
Если магнитное поле равно нулю, то легко провести расчеты,
поскольку существенные черты явлений, происходящих в изотроп-
ном полупроводнике, можно представить с помощью одномерной
модели. В этом случае, который служит основой для выводов,
рассматриваемых в гл. 3 и 4, можно предполагать, что по всему
сечению кольца на фиг. 15 все параметры постоянны, так что
все величины являются функциями только х. Тогда электрическое
поле имеет составляющую только в направлении х:
d®
dx
Значение F получим из условия, что при измерении э. д. с.
в каждой точке плотность тока равна нулю:
(2.57)
$ 4. Возникновение э. д. с.
Э. д. с., измеренная между контактами а и а\ имеет значение
F dx >
(2.58)
где интегрирование проводится от а до аг и знак выбран таким
образом, что U > 0, когда контакт а положителен.
Если в каждой точке полупроводника выполняются условия,
позволяющие применить для Ini I соотношения, приведенные
в § 3, п. 1 настоящей главы, то мы получим, согласно (2.57), (2.39)
и (2.40), выражение
или
(2.59)
(2.60)
где мы ввели приведенные параметры
Подставляя это значение F в выражение для U, получаем
соотношение, анализируя которое можно вывести основные свой-
ства э. д. с., как это показано в гл. 3 и 4.- Для действительного
расчета U нужно знать значения соответствующих параметров
в полупроводнике. -
Предположим, что подвижности электронов и дырок Qn и Qp,
время жизни т, распределение акцепторов и доноров (которые
считаем полностью ионизованными), распределение освещенности
и температуры известны. Тогда четыре неизвестные величины:
1п — — / ср, п, р можно определить из четырех уравнений (2.42),
(2.44) [или (2.43), (2.45)], (2.54) и (2.56).
Если известны пир, то легко определить и В урав-
нения (2.42)— (2.45) подставим концентрации п, р вместо
в предположении применимости классической статистики. Тогда
эти уравнения будут иметь вид
(2.61)
(2.62)
dp ар ** 1 dT
ip = aPF — eDP-d^--^-Qp ~т^
98 Гл. 2. Феноменологическая теория явлений переноса
где
(2.63)
обозначают избыток кинетической энергии электрона над средней
кинетической энергией
CQ
\ *nDn (*«) ехр (— d&n
______________________________
со
j &п (ел) ехр
о
(2.64)
Аналогичное выражение имеет место для ер.
Для сферических поверхностей энергии в случае применимости
классической статистики гп — г =3l2kT\ т. е. эти значения то-
ждественны значениям в формуле (1.75).
Часто оказывается целесообразным исключить из приведенных
выше уравнений F и ввести плотность полного электрического
тока I, При этом вместо уравнений (2.61) и (2.62) получим
где
\eL> ~fa ёт ~dx *
- аР т г\ d'p Wp Q
Р a dx о еТ dx
и эффективная постоянная диффузии
(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
Из этих соотношений вытекает тот важный факт, что в не-
собственных полупроводниках (определение см? в гл. 1, § 4)
эффективная постоянная диффузии равна постоянной диффузии
неосновных носителей тока и не зависит от концентрации носи-
телей.
Если эти выражения подставить в уравнение непрерывности
(2.54) и учесть условие электрической нейтральности (2.56), то
мы получим дифференциальные уравнения для п и р. При их
решении нужно учитывать соответствующие граничные условия,
например условие непрерывности ср, Л, п, р, 1п, 1р.
Расчет распределения концентраций в полупроводниках типа
германия подробно рассмотрен в работах [98, 107, 144]. На по-
§ 4. Возникновение э. д. с.
верхности кристалла нужно использовать также соответствующие
граничные условия для избыточной концентрации носителей тока.
Соотношение, аналогичное (2.54), имеет место для составляю-
щей плотности тока в направлении к поверхности:
п поверхн.
р поверхн.
поверхн.
eR
ь*' поверхн.
(2.69)
где — число пар электрон — дырка, возникающих под влия-
нием освещения на 1 см2 поверхности за 1 сек-, /?поверхн. опреде-
лена в гл. 1, § 12.
лава
Фотовольтаические явления
Ь-.
§ L ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Фотовольтаический эффект (возникновение э. д. с. при осве-
щении полупроводника) был впервые обнаружен на селене Адам-
сом и Деем в 1876 г. Позднее большое внимание было уделено
изучению этого явления в закиси меди Си2О. Кобленц [11] и
Дембер [19, 26] наблюдали возникновение э. д. с. между освещен-
ной и неосвещенной частями некоторых полупроводниковых
кристаллов, в частности Си2О. Этот эффект был эксперимен-
тально и теоретически изучен Иоффе й его сотрудниками.
В 1927 г. Грондаль [13] и позднее Ланге [16] наблюдали
возникновение э. д, с* на контакте Сп2О и Си, т- е- так назы-
ваемый барьерный фотовольтаический эффект; основные особен-
ности этого эффекта были выявлены Шоттки [17, 18, 21] и др.
Обзор литературы за эти годы можно найти в статье Грон-
даля [30] и в книгах Иоффе [40], Боутри [43] и Ланге [49].
В цитируемых работах было выяснено, что фотовольтаический
эффект не связан с давлением фотонов, на электроны, как пред-
полагали некоторые физики, но обусловлен диффузией носителей
тока. Эта точка зрения нашла свое отчетливое отражение
в работах Френкеля [31, 41]. Шагом вперед явились работы
Ландау и Лифшица [42] и позднее Давыдова [50], которые пока-
зали, что возникновение фотовольтаического эффекта связано
с неравновесной концентрацией неосновных носителей тока.
В 1939 г. появилась работа Мотта [56], посвященная выяснению
101
§ /. Исторические замечания
IJ L { Г .. Jl_L !Ч|И| .'xbl' «4^1 « L-M-, ш I. ш и I.
вопроса, каким образом неравновесная концентрация носителей
тока приводит к появлению э. д. с. в присутствии запор-
ного слоя.
Фотовольтаический эффект наблюдался также и на других
материалах; в 1937 г. были созданы фотоэлементы на основе
Ag2S [51] и T12S [52].
Основное значение имеет открытие фотовольтаического эффекта
на р — n-переходах внутри полупроводникового кристалла. Это
явление впервые наблюдалось на слитках кремния [62, 87, 92],
затем в PbS [65, 71, 72] и в германии [73, 99].
В последнее время этот эффект наблюдался на многочислен-
ных полупроводниковых соединениях, например InSb [178,
179, 229], GaAs [230, 276, 284], InAs [180], InP [277],
AlSb [278], CdS [181, 182], CdSb [510], CdTe [330, 375, 465],
SiC [543] и других.
Фотовольтаический эффект был обнаружен также в ряде
органических веществ [167, 266, 267, 449, 462]; сущность явле-
ния в материалах этого рода до сих не совсем ясна!).
Практическое применение в качестве индикаторов света или
измерителей светового потока нашли прежде всего фотоэлементы
из селена и закиси меди. Фотоэлементы, основанные на принципе
р — n-перехода в кремнии, обладают значительным коэффициентом
полезного действия для преобразования световой энергии
в электрическую и с успехом применяются как преобразователи
солнечной энергии [183, 184]; они являются существенной частью
ядерных батарей [184, 185].
Теория указанных явлений была подробно разработана рядом
авторов (Лашкарев [79, 124]* 2), Леховек [70,-74, 80], Фен [88],
Губанов [145], Мосс [231]).
При этих явлениях возникновение постоянной во времени
э. д. с. связано с наличием потенциальных барьеров у контакта
либо внутри полупроводника (так называемый барьерный фото-
эффект, или фотоэффект в запирающем слое), либо около
невыпрямляющих контактов (эффект Дембера). Однако при опре-
деленных условиях фото-э. д. с. может возникнуть и в объеме
полупроводника, как было показано в работах Тауца [233] и
Троусила [279]. Это недавно обнаруженное явление мы исполь-
зуем в качестве отправного пункта в наших дальнейших рас-
смотрениях, так как на нем легко показать существенные и общие
черты фотовольтаического эффекта.
!) Нестационарный фотовольтаический эффект (см. ниже) на органи-
ческих полупроводниках конденсаторным методом изучала Пуцейко [464].
2) Работы Лашкареьа относятся к Си2О; экспериментальные резуль-
таты описаны в работах [66, 78]; новые данные цитируются в работе
Андриевского и Рвачева [455].
102 Гл. 3. Фотовольтаические явления
В случае прерывистого освещения можно наблюдать возникно-
вение э. д. с. и тогда, когда полупроводник находится между
двумя электродами, с которыми (или с одним из которых) он не
имеет проводящего контакта. Это явление наблюдал еще Дембер
(см. выше); позднее оно было изучено рядом авторов [27, 45,
81, 90, 126, 146, 450—454, 464]. Все значение этого явления
было раскрыто в работах Брэттейна [75, 111], который исполь-
зовал его для прямого доказательства существования потенциаль-
ного барьера на поверхности германия и кремния. Это явление
часто используется также для изучения свойств поверхностного
барьера (см. § 8 настоящей главы).
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим конкретный случай, представленный на фиг. 15.
Общие условия для такого полупроводникового кольца рассмот-
рены в гл. 2, § 4. В настоящей главе мы предполагаем, что
область b — с . на фиг. 15 освещается постоянным светом; рас-
стояния а — b и с — а' выбраны таким образом, что избыточная
концентрация носителей тока практически не проникает к кон-
тактам а, а'. Необходимо выяснить, какая э. д. с. появляется
между контактами а, аг\ Очевидно, что для ее возникновения
прежде всего должна быть некоторая асимметрия в кольце;
рассмотрим подробнее, какого рода эта асимметрия.
Схема фиг. 15 исключает явления на контакте полупровод-
ника с металлом, поэтому мы не будем их рассматривать. Гра-
ничные явления в нашем случае протекают вблизи точек Ь, с
внутри полупроводника с известными параметрами.
Суммируем все предположения, которые мы будем исполь-
зовать в нашем рассмотрении и на которые будем ссылаться.
1. Рассматриваем полупроводник типа германия, т. е. с боль-
шой подвижностью носителей тока, со сравнительно высоким
значением электропроводности и без ловушек. Большинство крис-
таллов практически электрически нейтрально (смысл этого усло-
вия см. в гл. 2, § 3). Если даже в некоторой части кристалла
(у погерхности или на р — n-переходе) имеется значительный
пространственный заряд, то большая часть кристалла остается
практически нейтральной и сохраняет свою нейтральность при
освещении. Это условие не выполняется, например, в ионных
кристаллах, где при фотоэлектрических явлениях возникают про-
странственные заряды. Указанным предположениям удовлетворяют
кристаллы с гомеополярной связью, например германий, кремний
соединения элементов третьей и пятой группы периодической
системы и другие полупроводниковые соединения.
£ 2. Основные предположения
103
2. Предполагаем одномерный случай; это означает, что тол-
щина образца мала по сравнению с длиной диффузии носителей
тока или по сравнению с обратной величиной коэффициента
поглощения излучения, так что концентрация носителей тока
практически постоянна ио всему сечению.
3. Доноры и акцепторы практически полностью ионизованы,
даже если концентрация носителей тока не соответствует тепло-
вому равновесию. Это предположение приводит к значительному
упрощению реальных расчетов, однако оно справедливо лишь
для некоторых полупроводников, некоторых типов примесей и
в определенном температурном интервале. При этом предполо-
жении в уравнении Пуассона (2.55) можно положить
4. Отношение подвижности электронов к подвижности дырок
Ъ = |лЛ/р. постоянно по длине образца. Это предположение обычно
достаточно хорошо выполняется, так как значение [1л/[л меньше
меняется вдоль образца, чем |лл или р- в отдельности.
5. Совокупности электронов и дырок подчиняются законам
классической статистики, т. е. n<^Nci и в освещен-
ной части полупроводника.
Важным вопросом является следующий: какова в л шина
избыточной концентрации носителей тока, возникающих при
данном распределении освещения в области b — с. Способ реше-
ния приводится в гл. 2, § 4. Здесь мы выведем распределение Дп
для простейшего случая, которое потребуется в дальнейших
выкладках.
Если первое и второе из перечисленных выше предположений
выполняются, то для полупроводника гг-типа применимы уравне-
ния (2.54) и (2.66), в которых полагаем dTfdx = 0, а полупро-
водник считаем однородным, т. е. nQ = const, р0 —const:
dtp
dx
e Д/2
d &n
dx
Отсюда получаем уравнение для Д/г
d2 кп &п ..
(3.1)
(3.2)
(3.3)
При выводе этого уравнения мы предполагали, что рекомби-
национную функцию можно выразить с помощью соотноше-
ния (1.126), в котором время рекомбинации т не зависит от кон-
центрации носителей (см. обсуждение применимости этого условия
104
Гл. 3. Фотовольтаические явления
в гл. 1, § 12). Величина L = УОрх обозначает длину диф-
фузии дырок.
Поскольку решение можно выразить в виде суммы потен-
циальных функций, то в соответствии с предположением о нуле-
вой концентрации избыточных носителей тока в точках а, а'
можно воспользоваться граничным условием Д/г = О для
х = —сю, х = -|-оо. Другим условием является требование
того, чтобы Ага и d^njdx были непрерывными функциями. Если
размеры освещенной области b — с гораздо больше, чем длина
диффузии L , то легко показать, что значение Д/г приближается
к постоянной величине ^nm — gvx.
Для других частей кольца получим следующие выражения:
области а, b
^птехр
области Ь, с
&п -
^ехр
если
Ъ < -л Дх;
с
если
Дп = Д^
/ j £
- Дх;
области с9 af\
Дп = --.г Ди ехр
здесь
&х
Для полупроводника p-типа справедливо аналогичное выраже-
ние, если вместо Lp подставить для собственного полупро-
водника используем соотношение Lt — у D-x, где определяется
выражением (2.68):
Выражение,' справедливое для более общих условий, вывел
Богданов [327].
- Для нашего рассмотрения часто оказывается достаточным
использовать следующее распределение, которое мы получим из
§ 3. Возникновение фотоэлектродвижущах сил
105
предыдущего, полагая А —> 0:
в области а, Ь: Д/г —0,
в области b, с: kn = Lnm, (3-5)
• в области с, а': Д/г = 0.
Такое распределение не приводит к большим ошибкам, если
с__Ь~^> L (или Ln> Lj). Это условие мы будем считать шестым
предположением.
Другим условием применимости этого распределения служит
требование, чтобы изменение параметров полупроводника на
расстоянии, равном длине диффузии, было малым. Кроме того,
не учитывается изменение t и вдоль образца.
Теперь нас интересует вопрос, при каких условиях можно
пользоваться выведенным выражением для распределения Д/г в том
случае, если полупроводник неоднороден. Внутри неоднород-
ного полупроводника при тепловом равновесии существует
электрическое поле Fo (см. гл. 2, § 4). Для случая слабого
освещения, которое незначительно изменяет Fo, добавочная кон-
центрация Д/г приводит к появлению дырочного тока плотности
еД/грр/^о, который складывается с током диффузии, опреде-
ляемым выражением (3.2). Если в рассматриваемом приближении
считать FQ постоянным, то после подстановки в (3.1) получим
следующее дифференциальное уравнение для Д/г:
d2 &п eF0 d Ln An g^x /3
kT dx Zf ‘ 1 ’
Легко показать, что в предположении •
(3.7)
вторым членом в (3.6) можно пренебречь, и уравнение (3.6)
переходит в (3.3).
Если освещенность, а следовательно, и концентрация Д/г
возрастает, то внутреннее поле F изменяется. Однако с ростом
Д/г |F| всегда уменьшается, как это подробно выяснено в § 5
настоящей главы. Поэтому распределение (3.4) можно исполь-
зовать и в случае неоднородного полупроводника, если только
внутреннее электрическое поле Fo в темноте удовлетворяет
условию (3.7).
§ 3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРО,ДВИЖУЩИХ сил
Вернемся к случаю, представленному на фиг. 15. Рассмотрим
выражение для э. д. с. при условии теплового равновесия носи-
телей тока с решеткой во всем кольце, так что в каждой точке
106
Гл. 3. Фотовольтаические явления
выполняются соотношения, приведенные в гл. 2, § 3, п. 1. Такой
случай можно реализовать, если градиент параметров полупро-
водника (в особенности градиент концентрации примесей)
в образце мал. В § 6 рассматривается случай, когда внутри
области Ь, с это условие не выполняется в узком интервале,
т. е. в р — п-переходе.
Покажем [343], что анализ простого квазиравновесного
случая позволяет получить выражения, которые легко обобщить
и на случай р — п-перехода.
В одномерном случае (второе предположение в § 2 настоящей
главы) для U выполняется равенство (2.58), где F задано выра-
жением (2.59), в котором, однако, dTfdx — 0. Тогда для U
можно написать
Рассмотрим прежде всего случай постоянной ширины запрещен-
ной зоны: dEGjdx = 0. Фотовольтаические явления при dEGfdx Ф 0
рассматриваются в § 8 настоящей главы.
Выражение (3.8) можно упростить следующим образом:
Если положить
и использовать соотношения =+
жение (3.9) можно привести к виду
(3.9)
(3.10)
то выра-
(З.И)
Условия возникновения э. д. с. получаются из рассмотрения
интегралов (3.9) и (3.11).
Э. д. с. равна нулю (U — 0), если полупроводник не освещен,
т. е. если Д/г 0 и Д£Л = ДС =0. Если полупроводник освещен,
но в темноте однороден, так что dCnQ — — йКр0 и b — р.п/р.р = const,
то также U — 0, поскольку в этом случае tn, tp, ЬГ,п, ДСр яв-
ляются функциями только Д/г и интеграл (3.9) по замкнутому кон-
туру равен нулю. Наконец, интеграл (3.11) также равен нулю,
если имеется только один тип носителей тока, т. е. если tn~ 1,
^ = 0 или /„ = 0, /р=1.
Условием возникновения э. д. с. является одновременное
наличие неоднородности и неравновесной концентрации носителей
тока, поскольку интеграл (3.11) отличен от нуля только в том
случае, если tn, tp, t£n, меняются вдоль образца таким
$ 3. Возникновение фотоэлектродвижущик сил
107
образом, что не могут быть выражены однозначной функцией
одной переменной. Поэтому необходимо присутствие двух неза-
висимых факторов, определяющих tn, tp, ДСЛ, ДСр.
Уравнение (3.11) выполняется, даже если Дп 4= &Р* Рассмотрим
освещенный неоднородный полупроводник с носителями одного
типа, преобладающими в темноте. Если генерируются только
свободные основные носители, то фото-э. д. с. равна нулю;
если же генерируются только свободные неосновные носители,
то она может быть не равна нулю. „Свободными" носителями мы
называем носители, не захваченные ловушками.
В дальнейшем изложении всюду предполагается случай
электрической нейтральности, согласно гл. 2, § 3, так что
Дп = Др. Формальное развитие теории фото-э. д. с. на основе
выражения (3.11), но без сохранения условия нейтральности
(Дп =£ Д/?), может быть получено аналогичным путем. Однако
расчет реального распределения Дп и Др значительно сложнее,
чем приведенный в § 2 настоящей главы, поскольку нужно учи-
тывать силы, связанные с пространственными зарядами. Распреде-
ление Дп с учетом влияния пространственного заряда было рас-
считано Губановым [214]; расчет фото-э. д. с. для такого случая
провел Лашкарев [79]. Учет нарушения условия* нейтральности
необходим в случае некоторых полупроводников, например Си2О.
Мы рассматриваем здесь только стационарное состояние (за
исключением § 9). Кинетика фотовольтаических явлений в полу-
проводниках упомянутого выше типа рассмотрена Толпыго
[136—138, 328, 329, 448].
Наиболее важным случаем неоднородности является изменение
концентрации доноров и акцепторов вдоль образца; этот случай
мы рассмотрим в последующих параграфах настоящей главы.
Другой возможностью является изменение отношения подвиж-
ностей носителей тока Ь — Ртг/lV Если, например, п0 и pQ
постоянны по длине образца, то интеграл (3.11) дает
kT Vbc — 1
^mc
^mb
aob -
(ЗЛ2)
где bb, bc — значения b в точках b, c\ g06, o0/?— удельные прово-
димости в темноте; &smb, — изменения удельных проводимо-
стей в точках 6, с под действием освещения. При выводе этого
выражения использовалось шестое предположение предыдущего
параграфа для распределения Дп.
Роуз1) показал, что фотовольтаический эффект возникает
в полупроводнике, распределение ловушек в котором таково, что
отношение времен жизни свободных электронов и дырок изме-
няется вдоль образца. Такое изменение можно рассматривать как
A. Rose, частное сообщение.
108 Гл. 3. Фотовольтайческиё явления
™ .'i.™ I1' «и мсА^.1 л ' *.hiWiivi4,
изменение отношения эффективных подвижностей электронов
и дырок, поскольку последние зависят от отношения времени,
в течение которого носитель свободен, к времени, в течение
которого он захвачен ловушкой.
Аналогично э. д. с. может возникать в том случае, если вдоль
образца меняется эффективная масса носителей тока. Однако оба
упомянутых эффекта малы.
Важно уяснить себе, что изменение концентрации центров
рекомбинации вдоль однородного образца (которое влияет только
на изменение среднего времени жизни носителей тока) не может
привести к возникновению э. д. с., поскольку оно вызывает
только изменение Дп; этот случай эквивалентен неоднородному
освещению однородного образца.
Применимость выражений (3.8), (3.9), (3.11) и их анализ огра-
ничиваются только первым и вторым предположениями, приведен-
ными в § 2 настоящей главы. В следующих параграфах настоящей
главы для упрощения выкладок мы будем считать, что выпол-
няются и остальные'- предположения (третье, четвертое и пятое).
§ 4. ТЕОРИЯ ОБЪЕМНОГО ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКОГО
ЭФФЕКТА
Практически наиболее важным случаем неоднородности моно-
кристаллического полупроводника является неравномерность рас-
пределения концентрации электрически активных примесей. Суще-
ственное изменение их концентрации может происходить на
расстояниях, которые или велики, или малы по сравнению с дли-
ной диффузии электронов и дырок. В первом случае можно
предполагать, что совокупности электронов и дырок находятся
в равновесии с кристаллической решеткой в каждой точке полу-
проводника. Кроме того, можно считать, что выполняется условие
(3.7). Этот случай мы рассмотрим в настоящем параграфе; второй
случай рассматривается в § 6.
Рассчитаем э. д. с., возникающую между контактами а, а'-,
когда в области Ь, с на фиг. 15 концентрация активных примесей
переменна. Введем обозначение ND—NA = N и предположим,
что dNfdx =# 0 всюду в области Ь, с. Такой объемный фотоэле-
мент изображен на фиг. 16.
Объемная фото-э. д. с. выражается интегралом (3.11), который
можно вычислить с учетом предположений, приведенных в § 2.
Значения подставим из уравнений (3.10) и (2.6):
= = (3.13)
^*0 \ /(,0 /
и аналогично для ДС.
$ 4. Теория объемного фотовольтаического эффекта
109
to
Отсюда получим
d а'г 1 Д/г dn®
— ДГ _ — kT-------------------- —s-
dx 1 hnlriQ z?q dx
kT-
1 1
LnjnQ TIq
d&rt
dx
(3.14)
Фиг. 16. Объемный фотовольтаический эффект.
А — освещенный образец, Б—распределение Д/2, В — уровни энер-
гии в темноте.
что после подстановки в выражение (3.10) дает
___ kT С / __ р.я Ьп dn0 . ?-Л, (!^п
& J \ 4“ «о У'п^- + У'рР dx
An Лрй
** Р*/г^ Н- \^оР Ро dx
dLn
+ \>‘рР ~dx
Между равновесными концентрациями п0, р0 существует
шение (1.33), из которого следует
1 dfi§ I 1 dpo q
пй dx ‘ Ро dx
(3.15)
соотно-
(3.16)
по
Гл. 3. Фотовольтаические явления
Подставляя в (3.15), получаем
Н~ У'рР ^6
dnQ
dx
dx,
kT
ud =------
a e
Если Vc 0, то должно
№p
№nP “h №pp
dLn
-г- dx,
dx
выполняться условие
(3.17)
(3.18)
(3.19)
1 dnQ 1 } q
n0 dx kT dx
хотя бы в некоторых освещенных участках полупроводника.
Следовательно, возникновение э. д. с. Uc обусловлено тем, что
Фиг. 17. Распределение Ал и р0 в полупроводнике,
используемое для расчета объемной э. д. с. при сла-
бой освещенности.
химический потенциал совокупности электронов и дырок в тем-
ноте не остается постоянным по длине образца; поэтому такую
э. д. с. называют „химической”. Э. д. с. соответствует диф-
фузионному напряжению, возникающему в областях изменения Дп
при неодинаковой подвижности носителей тока Ее назы-
§ 4, Теория объемного фотовольтаического эффекта
вают „диффузионной". Эту составляющую э. д. с. иногда называют
также э. д. с. Дембера.
Интеграл (3.18) можно преобразовать с помощью соотношения
(1.33) таким образом, чтобы подынтегральная функция была функ-
цией только я0 и Дп (но не pQ). Тогда
dnQ
----dx.
dx
(3.20)
Простые соотношения для э. д. с. полупроводников п- или
p-типа получаются в случае слабой освещенности (Да<^а0). Для
полупроводника я-типа
^-dx
dx
(3-21)
kT Рп Р77 Т *
& “1“ <1
(3.22)
Р'П + Нр
Выражение для Ud мы получили из (3.19) интегрированием по
частям. Для э. д. с. при слабой освещенности в полупроводнике
и-типа получим
U
(3.23)
Выражение для полупроводника p-типа получается таким же
путем; его можно найти также, заменив в выражении (3.23) е
на — е, Ь на 1/#, индекс п на индекс р\
(3.24)
Если можно положить (хотя бы приближенно), что в областях,
где Да не равно нулю, р0 = 1/а0 меняется линейно (т. е. dp^dx — const),
то для полупроводника п-типа
^Ро
dx
(3.25)
Интеграл равен площади заштрихованной области на фиг. 17,
умноженной на е (р„ 4~ р„). В случае хода Д/г, представленного
на фиг. 17, после подстановки из уравнений (3.4) получим
и = — — = — — ттог <3.26)
е 14- b dx m е 1 + # и
где8р0 = р0£?— р06— разность между удельными сопротивлениями
в точках с и Ь.
112
Гл. 3. Фотовольтаические явления
Приведем типичный пример численных значений для германия,
в котором Ь — 2,1. Пусть
Рос — Рог> — 15—5 = 10 ом ‘ см>
т. е- °оср. '^0,1 о л”1 • см , пусть также
-^- = 0,1
аоср.
и, следовательно, Дсг £^0,01 ом~ • см, Т — 300° К. Тогда
X*
L7 = 0,026 • 0,65 • 10 • 10-2 — 1,7 мв.
При более сильном освещении э. д. с. перестает быть прямо
пропорциональной Дот, т. е. интенсивности освещения, но растет
медленнее, чем по линейному закону, и приближается в конце
концов к некоторому максимальному значению.
Выведем зависимость э. д. с. от освещенности. При этом
в отличие от упрощающего условия dpjdx = const, использован-
ного выше, примем другое условие, связанное с ходом Дп,
а именно, шестое предположение в § 2 для распределения Дп.
Тогда выражение (3.20) примет вид
= -i т....7'" г-------• <3-27>
® а п -4- с -нет. а-
/?0 « пО пг • tn ip
где мы ввели обозначения = = е^п^.
Интегрирование легко выполняется. Результат зависит от знака
выражения ® = 4а. а. — Да2:
r In ip m
1) © > 0, т. е. Дат < 2 у ^i^ip (очень слабое освещение):
(3.28)
(3.29)
. (3.30)
m
£ 4, Теория объемного фотовольтаического эффекта
ИЗ
Это общие выражения для Uс в предположении справедливости
уравнений (3.5). Отметим, что здесь не накладывается ограниче-
ние на тип полупроводника (/г или р). Формулы значительно
упрощаются, если ввести такое ограничение.
Рассмотрим полупроводник я-типа. Тогда oin и значительно
меньше, чем и следовательно, в случаях (1) и (2)
1,0
Фиг. 18. Зависимость относительной величины
объемной фото-э. д. с. [по формуле (3.34)]
от интенсивности освещения, характеризуемой отно-
сительным изменением проводимости &ст/°оЬ> для
различных значений отношения
До/г<^Ъ0, и Тогда для случаев (1) и (2)
получим выражения, приведенные выше для слабой освещенности.
Аналогичное выражение получим для случая (3) из выраже-
ния (3.30), если положим
р
/ — ®<О(» ИЛИ «Ос-
Из выражения (3.30) можно также определить ход Uс для любой
заданной освещенности. Если Ьзт 2 У ainal , то у — 2)=:Дат
и выражение (3.30) принимает вид
|n 1 Ч~ Ддсг/аос
е 1 + '
(3.31)
114
Гл, 3, Фотовольтаические явления
Выражение для другой составляющей э. д.
записать в виде
k Г pfl Рр Р d А<Т
@ И/2 ~Н J Gq Aj
с. Ud можно
(3.32)
Если распределение Ап имеет вид (3.5), то Да#=0 только
в окрестности точек х = Ь, с, где электрическая проводимость а0
имеет практически постоянные значения оог?, Тогда легко
получить
(3.33)
In *
РТ2 "+~ Р'р
выражение (3.33) не зависит от типа
имеет место для выражения (3.31)
любом случае.
е
Из вывода очевидно,
полупроводника, как
что
это
для ис. но выполняется в
Выражение для полной э. д. с. полупроводника я-типа имеет
вид
kT
In
ОС
(3.34)
1 ~Ь ^ml^Qb
Зависимость U от для различных значений отношения <5цс/<з$ь
представлена на фиг. 18. При достаточно сильном освещении U
достигает максимального значения (насыщения), которое равно
В приведенном выше примере для слабой освещенности
макс
0,026 • 0,65 • In 3 — 18,5 мв.
§ 5. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОБЪЕМНОГО
ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
Выясним физический смысл Uc и U d. Условие выпол-
няется в случае, если в темноте химические потенциалы совокуп-
ности электронов и совокупности дырок различны в точках b и с.
Это следует из выражения (3.18), которое для сильной освещен-
ности Ап^^> п^-\- дает
(3.35)
Происходящие при этом процессы можно представить следую-
щим- образом.
Между точками b и с в темноте существует разность потен-
циалов, равная (Соь — Сос)/^ поскольку, как известно (см. гл. 1, § 5),
$ 5. Физический смысл объемного фотовольтаического эффекта 115
в условиях равновесия электрохимический потенциал Со — еу всюду
одинаков (см. фиг. 16). Следовательно, в каждой точке прост-
ранства между b и с в темноте существует некоторое электриче-
ское поле Fo. Разность потенциалов между точками b и с уравно-
вешивается разностью потенциалов равной величины, но обратного
знака, поэтому между точками а и а/ в темноте напряжение равно
нулю. Если оба конца кристалла имеют неодинаковые свойства,
то хотя бы часть напряжения, компенсирующего разность потен-
циалов в темноте между точками а и а', возникает у контактов.
Пусть в области Ь, с при освещений создаются добавочные
носители тока; тогда на них начинает действовать электрическое
поле Fo, и эти носители будут перемещаться. Если контакты а, а/
не соединены, то возникают электрические заряды, которые вызы-
вают такое изменение поля Ло, при котором ток прекращается.
На контактах а, аг возникает непосредственно измеряемое напря-
АР (Д/7
' о
В случае, представленном на фиг. 16, конец а заряжается
положительно, а конец а' — отрицательно; следовательно, Uc > 0.
При освещении напряженность электрического поля в области Ь, с
должна падать от величины Ло до величины, которую обозначим
через F; будем полагать, что J/7! —
можно представить следующим образом.
В темноте в каждой точке области б, с соблюдается равенство
между плотностью электрического тока, вызванного полем, OqFq
и плотностью электрического тока, связанного с диффузией. При
освещении концентрация носителей тока возрастает на Д/г, с0 уве-
личивается до значения а > а0, но ток, обусловленный диффузией,
не меняется, так как внутри области b,с d\nfdx = 0. Из равен-
ства обоих токов (а/7 и диффузионного) следует,
Поле Д/7 не компенсируется в полупроводнике
него по х дает э. д. с. U с.
Если освещенность увеличивается так, что Ап
растает, то напряженность поля [ F | непрерывно
очевидно, что Д/7 не может превзойти максимального значения 17% |-
В предельном случае электрическое поле
и \ * о
и интеграл от
в
непрерывно воз-
падает. Однако
|F| = |F0|-ДЛ
в области Ъ, с равно нулю, и разность потенциалов, которая
существовала между точками b и с в темноте, исчезает. В кольце
остается напряжение, которое в темноте компенсировало разность
потенциалов между точками b и с, и это остаточное напряжение
мы измеряем как э. д. с. фотоэлемента. Величина ее в данном
случае равна — (Со&— В случае очень сильной освещенности
имеется тесная аналогия между рассматриваемым фотоэлементом
и гальваническим элементом. Очевидно, что возникающая э. д. с.
116
Гл. 3. ФотоёбльТаичес^иё явления
соответствует разности
9
е. некоторой химической
реакции, которая состоит в перемещении электрона из области
с химическим потенциалом в область с химическим потенциа-
лом Соб-
Известно, что разность
Ы)&
в невырожденном полупро-
воднике может достигать максимального значения EG\ это наблю-
дается в том случае, если одна часть образца представляет собой
полупроводник /7-типа с большой концентрацией дырок (уровень
Ферми в этом случае близок к верхнему краю валентной зоны),
а вторая часть — полупроводник n-типа с большой концентрацией
электронов (уровень Ферми здесь лежит очень близко к нижнему
краю зоны проводимости). Тогда э. д. с. Uc соответствует энер-
гии, которая необходима для создания одной пары электрон —
дырка. Следовательно, только в этом крайнем случае э. д. с.
фотоэлемента соответствует энергии реакции, которая означает
создание пары электрон — дырка; во всех прочих случаях э. д. с.
всегда меньше. Легко видеть, что в общем случае сильной осве-
щенности э. д. с. Uc соответствует не EG, а реакции, связан-
ной с переносом электрона из области с химическим потенциалом ~ос
в область с химическим потенциалом Со&.
В случае слабой освещенности соотношения в фотоэлементе
иные, чем в гальваническом элементе. Основная разница заклю-
чается в том, что э. д. с. гальванического элемента всегда отве-
чает изменению свободной энергии в соответствующей химической
реакции, тогда как в случае фотоэлемента это справедливо лишь
при очень сильной освещенности. При слабой освещенности э. д. с.
возрастает с освещенностью. Это связано с тем, что в фотоэле-
менте носители тока образуются и в темноте (как в среде, в кото-
рой возникает электрическое поле). В образовании э. д. с. участ-
вуют только избыточные носители тока, созданные освещением,
однако проводимость обусловлена всеми носителями тока. Только
в том случае, если концентрация избыточных носителей тока
настолько возрастет, что концентрацией носителей тока в темноте
по сравнению с ней можно пренебречь, будут справедливы соот-
ношения, аналогичные соотношениям для гальванического элемента,
в котором все свободные носители тока участвуют в образовании
э д. с. Согласно теории Нернста, в гальваническом элементе
двойной слой на поверхности металла, который является основой
для возникновения э. д. с., не обладает электропроводностью.
Из литературы известен фотоэлемент, который аналогичен
гальваническому элементу в том смысле, что его э. д. с. не зави-
сит ют интенсивности освещения. Крамер [12], а в последнее время
Омарт [108] описали фотоэлемент, состоящий из двух пластин
металлов с различной работой выхода; газ между пластинами
§ §. Физический смысл объемного фотовольтаического эффекта 117
ионизован радиоактивным излучением. Опыт показал, что э. д. с.
такого фотоэлемента определяется контактным потенциалом обоих
металлов и не зависит от интенсивности излучения, которое меняет
только внутреннее сопротивление элемента. Этот факт находится
в согласии с приведенной здесь.точкой зрения, что зависимость
э. д. с. от интенсивности освещения, наблюденная для фотоэле-
ментов с внутренним фотоэффектом, связана с проводимостью
в темноте (об этом типе фотоэлементов см. § 8 настоящей
главы).
Другая составляющая э. д. с. возникает на краях освещенной
части. В областях, где d^njdx не равно нулю, образуется элек-
трическое поле, если подвижности электронов и дырок различны;
величина и направление электрического поля таковы, что оно
ускоряет диффузию носителей тока с меньшей подвижностью и
замедляет диффузию носителей тока с большей подвижностью, так
чтобы результирующий ток был равен нулю. В литературе этот
тип электрического поля часто называют полем Дембера. Возник-
шие у обоих концов разности потенциалов компенсируются, если
оба края освещенной части Ь, с расположены в материале с оди-
наковыми свойствами и при одной и той же температуре. Однако
в нашем предположении это не так; следовательно, возникает
результирующее напряжение. В этом случае э. д. с., измеренная
между контактами а и а\ является суммой этого напряжения и
напряжения, о котором говорилось выше.
Это „диффузионноеи напряжение аналогично диффузионному
напряжению, которое появляется в гальваническом элементе на
контакте двух электролитов. Так же как в гальванических эле-
ментах, в некоторых фотоэлементах диффузионное напряжение
может быть значительно ниже, чем напряжение, связанное с раз-
ностью химических потенциалов.
Возникновение фото-э. д. с. не обязательно связано с присут-
ствием локализованных барьеров (у контактов или в резко выра-
женных р — /г-переходах), наличие которых необходимо для
проявления выпрямляющих свойств. Поэтому фотовольтаический
эффект не обязательно связан с выпрямлением.
Рассмотрим теперь, каким образом проявляется эффект фото-
проводимости в неоднородном полупроводнике. Пусть мы имеем
призму из полупроводника единичного сечения с невыпрямляющими
контактами в областях а, а', с помощью которых через призму
пропускается постоянный ток с плотностью J. Образец не будет
обнаруживать выпрямляющих свойств в том случае, если на длине
диффузии носителей тока его проводимость мало изменяется.
Тогда не может происходить и перенос носителей тока под влия-
нием электрического поля, который является сущностью эффекта
выпрямления.
118
Гл. 3. Фотовольтаические явления
При освещении прерывистым светом в образце появляется
переменный ток i и возникает добавочное напряжение и. При
расчете этих величин будем снова исходить из основных уравне-
ний, приведенных в гл. 2, § 3. Легко получить уравнение для
рассматриваемого фотоэлемента
где
/7+УД/?,
с* ।
Р С dx
с J а0 4- Да
(3.36)
— сопротивление освещенного кольца,
дя = —4 Др /Zx = — _р__ — —) rfx
— изменение сопротивления кольца под влиянием освещения, взя-
тое с обратным знаком (А/? >0), U — объемная э. д. с.
Если фотоэлемент подключен к внешнему сопротивлению
ЯВнешн.= — и1^ т0 напряжение и на этом сопротивлении можно
вычислить из уравнения (3.36):
и = • (3,37)
1 । ^с/^внешн.
Если А?внешн. = оо, то получим э. д. с. холостого хода:
и
(3.38)
Таким образом, и
направления тока
от величины тока
зависит от направления тока J. При изменении
величина
изменяется на 2U независимо
У. Даже при очень сильной освещенности это
изменение теоретически может достигать максимального значения
2Ео!е, что для германия составляет около 1,4 в.
В отличие от этого известно, что в случае большой величины
градиента проводимости, когда возникает выпрямляющее дей-
ствие,
может значительно отличаться для обоих направле-
ний тока; например на р — /г-переходах в германии или кремнии
эта разница достигает сотен вольт.
Толчком к изучению фотовольтаического эффекта послужило
наблюдение его Троусилом на длинном совершенном образце,
вырезанном из монокристалла германия, в котором отсутствовали
р -—n-переходы, а также и другие локализованные потенциальные
барьеры. Основные черты явления были описаны в работах
[232, 233]. Позднее Троусил [279] провел дальнейшие измерения,
качественно подтвердившие основные выводы теории; на фиг. 19
воспроизведены результаты этих измерений. Верхняя кривая пред-
ставляет ход напряжения, снимаемого с контактов, один из кото-
рых припаивался к концу образца, а второй перемещался вдоль
§ 5. Физический смысл объемного фотовольтаического эффекта 119
образца; через образец течет постоянный ток. Нижняя кривая
дает объемную фото-э. д. с. при постоянной ширине освещенной
области. Из фиг. 19 видно, что максимум фото-э. д. с. располо-
жен в том месте, где вторая производная напряжения достигает
наибольшего значения (т. е. где первая производная удельного
сопротивления d^Jdx имеет максимальное значение).
Фиг. 19. Результаты измерений' объемной фото-э. д. с.
(по Троусилу [279]).
Обратим внимание на то, что по ходу объемной фото-э. д. с.
можно сделать заключение о том, что при вытягивании кристалла
возникает весьма малая неоднородность распределения примесей,
которую нельзя вообще определить с помощью обычных измере-
ний удельного сопротивления. Таким образом, объемная фото-
s. д. с. является весьма чувствительным индикатором однородности
кристалла, что имеет большое значение для практического кон-
троля однородности полупроводниковых материалов.
Удобный метод проведения таких измерений предложил
Франк [280]. Этот метод основан на компенсации объемной
э. д. с. U напряжением фотопроводимости —возникающим
в этом же месте вследствие изменения сопротивления при освещении.
Схема метода представлена на фиг. 20. На образец падает
прерывистое освещение; возникающий сигнал измеряется с помощью
усилителя с вольтметром. Меняя ток J, можно добиться, чтобы
120
Гл. 3. Фотовольтаические явления
добавочное напряжение и стало равно нулю. В этом случае из
равенства (3/37) следует
£7=—УД/?. (3.39)
Если подставить сюда значения U и R в предположении слабой
освещенности, то для полупроводника /г-типа получим выражение
(3.40)
где q— сечение образца. При известных b и о0 можно непо-
средственно определить внутреннее поле в любом участке
й
Фиг. 20. Компенсационный метод измерения
объемной фото-э. д. с.
образца. С помощью этого метода Франк проверил правильность
теории объемной фото-э. д. с. Он сравнил электрическое поле Fo,
измеренное непосредственно указанным способом и вычисленное
по формуле, которую легко вывести из (2.60),
Г о
kT 1 da0
е dx
(3-41)
Результаты Франка представлены на фиг. 21. На верхнем
рисунке изображен ход измеренного удельного сопротивления. На
нижнем рисунке крестиками нанесены значения Fo, рассчитанные
по формуле (3.41); сплошная кривая соединяет значения электри-
ческого поля, измеренные методом компенсации объемной фото-
э. д. с. Видно, что результаты расчета хорошо согласуются
с экспериментальными данными в пределах точности опыта. Точ-
ность ограничивается ошибками в определении удельного сопро-
~ —। J . ....... .- ii - 2
'0 10 20 30
x, мм
Фиг. 21. Результаты измерений проводимости и объемной
фото-э. д. с. (по Франку [280]).
122
Гл. 3. Фотовольтаические явления
гивления, но не фото-э. д. с., измерение которой производится
этим методом весьма точно.
Кремпаски [488] дальше развил теорию объемного фотоволь-
таического эффекта. Свидерский [496] сообщил о новых приме-
нениях метода объемной фото-э. д. с. Орошник и Мени [443, 492]
применили этот метод для быстрого количественного определения
распределения удельного сопротивления в одномерном и двумер-
ном случаях.
Независимо от этих работ объемную фото-э. д. с. наблюдали
Лашкарев и Романов [281], которые развили теорию этого явле-
ния при освещении очень узким световым пучком; эта теория не
ограничена условием электрической нейтральности Д/г = Др.
§ 6. БАРЬЕРНЫЙ ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
Барьерный фотовольтаический эффект является одним из наи-
более известных и наиболее часто используемых видов фотоволь-
таических явлений. Он возникает на потенциальном барьере, напри-
мер между металлом и полупроводником, у поверхности полу-
проводника или на р — /г-переходе. В первом из этих случаев
теория фотовольтаического эффекта должна опираться на ряд
гипотез, недостаточно проверенных экспериментально, поскольку
явления на контакте между полупроводником и металлом до сих
пор еще не нашли удовлетворительного объяснения.
Рассмотрим освещенный р — /г-переход, для которого барьер-
ный фотовольтаический эффект хорошо изучен и на примере
которого можно выяснить все основные физические закономер-
ности.
Между полупроводниками /г- и p-типа образуется потенциаль-
ный барьер, высота которого срй0 > 0 в темноте всегда определяется,
согласно основной теореме теплового равновесия [см. уравнение
И 48)], разностью уровней Ферми
о =---------------
160 е
(3.42)
Ширина этого барьера зависит от распределения концентраций
акцепторов и доноров в обоих материалах вблизи перехода. Даже
в том случае, если бы между материалом, легированным приме-
сями p-типа, и материалом, легированным примесями /г-типа, был
резкий переход, потенциальный барьер всегда имел бы конечную
ширину, так как по обе стороны перехода образуется простран-
ственный заряд. Распределение потенциала ср0 можно определить
в этом простейшем случае из уравнения Пуассона (2.55) в пред-
положении одномерной геометрии, если пренебречь пространствен-
§ 6. Барьерный фотовольтаический эффект
123
ным зарядом свободных носителей тока и считать, что справед-
ливо третье предположение из перечисленных в § 2 настоящей
главы:
^г?о
dx2
(3.43)
Пусть центр барьера соответствует х — 0; крайние точки его
в материале р- и я-типа — хро и xN0 — определены условием
с?<ро/й?х = О. Тогда легко найти ширину такого барьера хй0 =
= хро хт:
/2К Nd + Na
— nbna <3-44>
где Nd и Л/л— концентрация доноров в материале n-типа и
акцепторов в материале p-типа. В типичных случаях срд0 порядка
десятых долей вольта, так что для получаем значение порядка
10-5—10 4 см. Электрическое поле достигает максимума в цен-
тре рассматриваемого перехода:
F — — 1 NdNa zq 4^
гомакс.— \dx/x=0~~y К ND + NA^bQ’ ( Л0-)
Для /^омакс. получим значение порядка 104 в/см. В таких
сильных полях энергия электрона, приобретенная между двумя
столкновениями (т. е. за время релаксации т, согласно гл. 1, § 8),
FevcpT сравнима или больше, чем средняя кинетическая энер-
гия 3/2 kT {^р определяется уравнением (1.75)};
Внутри барьера не только не выполняется условие (3.7), но
не всегда применимы и основные уравнения [(2.39) и др.], по-
скольку из-за условий, сильно отличающихся от условий теплового
равновесия, теряют смысл определения электрической проводимости
и химических потенциалов. Для расчета в таких случаях исполь-
зуются следующие два способа:
1. Принимают, что такие понятия, как электрическая проводи-
мость, химические и электрохимические потенциалы, приближенно
сохраняются и внутри барьера. Шириной барьера обычно можно
пренебречь по сравнению с длиной диффузии. Внутри узкого
барьера можно пренебречь рекомбинацией и генерацией носите-
лей тока, так что, согласно уравнению (2.54),
dltl dln
— - = —~ = 0
dx dx *
т. е. электронный и дырочный токи не меняются при прохожде-
нии через барьер. Обычно вводят еще предположение о том, что
124 Гл. 3. Фотовольтаические явления
. IAJF ' И. !> HJ.W.Ul“l>l 1.1Д-- .114. -« FLk^lLRN. 1 lll-JJ^ X aUV.'LOT^"U 1 1 III - I - HA.R I * I . .,-Пт,ГипА, ||^<W. 4Sn ibjI^JI- .fK.lj II W ц ||_; |..
электронный и дырочный токи очень малы, так что, согласно
(2.40),
— е grad <р —[— grad С/г — 0, — е grad ср 4" ьга(1 ^р ~ 0-
Следовательно, квазиуровни Ферми EFjv EF (2.7) внутри барьера
постоянны. Если к барьеру приложено внешнее напряжение U
(U > 0, если положительный полюс приложен к материалу
p-типа), то общая высота барьера cp6 = cpfe0—U. Отношение кон-
центраций электронов и дырок на обеих сторонах барьера опре-
деляется соотношением Больцмана
nN
Пр
(3.46)
2. Второй способ заключается в том, что вводят следующее
предположение: внутри барьера тепловая энергия электронов или
дырок пренебрежимо мала по сравнению с энергией, которую
электрон, или дырка получают от электрического поля на расстоя-
нии, сравнимом со средней*длиной свободного пробега. В отличие
от „диффузионной" теории [уравнения (2.39) — (2.45)] это утвер-
ждение приводит к „диодной" теории — по аналогии с формулами
вакуумной электроники, где движение электрона в основном опре-
деляется электрическим полем и слабо зависит от столкновений
электронов с ионами. Эта „диодная" теория справедлива лишь
в ограниченных участках пространства, например внутри р — п-
перехода. Для наших целей достаточно выбрать соответствующие
граничные условия для таких участков (они должны быть малы
по сравнению с длиной диффузии). Наиболее естественно выбрать
те же граничные условия, которые рассмотрены выше при описа-
нии первого способа расчета, т. е. постоянство электронного и
дырочного токов внутри барьера и выполнимость соотношения
Больцмана (3.46) на краях барьера.
Из приведенных доводов очевидно, что „диффузионная" и
„диодная" теории приводят к одинаковым результатам при рас-
чете барьерной фото-э. д. с. Однако „диффузионная" теория
позволяет учесть некоторые детали в распределении простран-
ственного заряда. Это не имеет большого значения для теории
фотовольтаического эффекта на р — n-переходе, но существенно
в теории фотовольтаического эффекта на поверхности полупро-
водника (см. § 9 настоящей главы).
Рассмотрим фотоэлемент, представленный на фиг. 22, В даль-
нейших выкладках предполагаем, что он имеет единичное сечение.
Оба контакта соединяют материалы с одними и теми же свой-
ствами. Слева от освещенного барьера расположен материал
/птипа, справа — л-типа. Внизу приведено распределение потен-
§ 6. Барьерный фотовольтаический эффект
циала. Область применимости „диодной“ теории находится вблизи
потенциального барьера между точками — хр и xN. Предпола-
гаем, что ширина этой области xP~}~xN мала по сравнению
с длиной диффузии, и, следовательно, в ней не происходит
сколько-нибудь заметной рекомбинации носителей тока.
В области вне барьера электрическое поле слабое, и плот-
ность тока определяется только диффузией (если выполняется
•Ч
Фиг. 22. Фотоэлемент с р — ^-переходом.
условие
чаем сравнительно
(2.62) получаем
пр рр} тем самым мы ограничиваемся слу-
сильного освещения). Из уравнений (2.61) и
dn
kT^n dx '
(3.47а)
(3.476)
Разберем здесь только случай применимости классической
статистики. Подстановка в уравнение непрерывности (2.54) дает
дифференциальные уравнения для концентрации неравновесных
носителей тока. Для простоты ограничимся рассмотрением только
дырок в материале я-типа; тогда получим
hn
d2Ln
dx2
(3.48)
pN
pN
Индексы N, P .используются для обозначения величин, измерен-
ных в областях п- и p-типа соответственно, в отличие от индек-
сов п. р, относящихся к электронам и дыркам.
Фото-э. д. с. в этом случае также складывается из двух ча-
стей: Uc, локализованной на барьере, и „диффузионной* Ud на
обоих концах освещенной части.
126
Гл. 3, Фотовольтаические явления
Предполагаем, что края освещенной части удалены от краев
барьера на расстояние, во много раз большее, чем длина диф-
фузии носителей тока. Для расчета можно выбрать следующие
граничные условия:
х = оо, Ля — AnN = gvxN, (3.49)
x^xN, р =рхр^\—^, (3.50)
где срй > 0 — высота барьера. Граничное условие (3.50) тожде-
ственно (3.46). Предполагаем, что концентрация дырок в точке
— хр. так велика, что убылью ее вследствие диффузии дырок
в область ft-типа и приростом вследствие освещения можно пре-
небречь по сравнению с pQp. Следовательно, Рх —Р$р* Это пред-
положение означает, что Длр<^рор (и аналогично в материале
я-типа). Индекс нуль относится здесь к величине, соответствую-
щей тепловому равновесию в темноте.
Решение уравнения (3.48) с граничными условиями (3.49) и
(3.50) дается выражением
Р —• Pon 4“ Sv
(3.51)
Отсюда для плотности тока дырок в материале ft-типа получаем
1 pN
LpN
Pop ехР
Pon — g^N exP
При нулевом токе высота барьера в темноте <ps0 определяется
соотношением
Pon
Pop «ХР
(3.53)
Используя это соотношение для плотности тока дырок в точке
Хдг, получаем
kTp N /
= —£ Pon (exP
ЛГ pN X
pN
Аналогичное выражение
в точке хр:
kT? D
1 пР
П0Р
получим для плотности тока электронов
kT^pN
§ 6, Барьерный фотовольтаический эффект
127
Поскольку в барьере не происходит убыли дырок за счет
рекомбинации, полный ток выражается в виде суммы
(3.56)
Рассмотрим случай, когда темновая разность потенциалов ком-
пенсируется разностью потенциалов такой же величины на вто-
ром неосвещенном барьере, так что измеряемое напряжение
Uc — —(% — срг»о). Из (3.54) — (3.56) получим основное уравне-
ние фотоэлемента с локализованным резким барьером
(3.57)
где Is — плотность тока насыщения фотоэлемента в темноте [т. е.
плотность тока р — ^-перехода, включенного как выпрямитель
в запорном направлении с обратным напряжением U (— U
^ПР^Р
V'pnPqn
pN
Величина Ц, представляющая собой взятую с обратным знаком
плотность тока короткого замыкания (для Uс = 0), в случае рас-
сматриваемой геометрии запишется в виде
(3.59)
Фото-э. д. с. получим из уравнения (3.57), положив 7 = 0:
(3.60)
Уравнение (3.57), легко распространить на случай сильной осве-
щенности, т. е. когда сравнимы или больше, чем п0ЛГ,
р0Р. Если допустить, что и в этом случае плотность тока вне пере-
хода определяется только диффузией [т. е. соотношениями (3.47)],
то достаточно вместо (3.50) рассмотреть следующее граничное
условие:
/ е® \
PxN = (Pop + bnmP) exp | — (3.61)
и поступить аналогичным образом. Тогда вместо (3.57) получим
более общее уравнение
(3.62)
Гл. 3. Фотовольтаические явления
где
sN
kTv< nnari
’ пР OP
(3.63а)
(3.636)
(З.бЗв)
Для Д/г^ n07V соотношение (3.62) переходит
в (3.57). Для Д^р Pop, ^nmN nQN получается э. д. с. холо-
стого хода = если предположить, что для больших кон-
центраций Д^7П Tp = T2V, так-что Д/г^р = Дп^дг.
Предположения, при которых было выведено равенство (3.62),
становятся непригодными в случае очень больших избыточных
концентраций. Прежде всего нельзя забывать о том, что мы не
можем выходить за рамки применимости классической статистики;
%v Н“ < Ne, Pop
Далее, с ростом освещенности электрическое поле внутри пере-
хода падает и перестают выполняться основные предположения
для барьера, рассмотренные выше. При этом явления в барьерном
фотоэлементе относятся уже к области объемных явлений, что
проявляется, например, в том факте, что ток короткого замыка-
ния меньше, чем число пар электрон — дырка, возникающих
в активном пространстве за 1 сек, В фотоэлементах, которые
практически используются, обычно сильно легируют обе части
р — n-перехода, и фотоэлемент работает в области не слишком
сильной освещенности, где выполняется соотношение (3.57).
Вследствие неодинаковой подвижности электронов и дырок на
границах освещенной части возникает диффузионная э. д. с.; рас-
чет ее легко провести по аналогии с расчетом в § 4 настоящей
главы. При условиях, которые мы здесь рассматриваем, диффу-
зионная э. д. с. в случае не слишком большой освещенности
приближенно составляет
Ud ~ ~ГГ ь -j-1 ' Ролг) (3.64)
По указанной выше причине обычно р— я-переход создается
таким образом, что материалы р- и /г-типа имеют большую
проводимость; тогда Ud пренебрежимо мало по сравнению с U с.
Формула (3.60) была выведена в 1949 г. Феном [88, 89], ко-
торый вместе с Беккером проверил ее экспериментально [99]. На
фиг. 23 приведена измеренная ими зависимость фото-э. д. с.
$ 7. Полупроводниковые фотоэлементы 129
U от интенсивности освещения, которая находится в качествен-
ном согласии с результатами теории [Ud пренебрегаем, согласно
(3.64)].
Переходные явления в фотоэлементе с р — «-переходом были
изучены Рывкиным [373, 417, 447] и Хартманом [562]. В работе
Фиг. 23. Зависимость фото-э. д. с. U фотоэле-
мента ср — «-переходом от интенсивности осве-
щения (в относительных единицах) (по Беккеру
и Фену [99]).
[570] рассматривается изменение фото-э. д. с. в зависимости от
приложенного магнитного поля.
§ 7. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ФОТОЭЛЕМЕНТЫ
Барьерные фотоэлементы с р — «-переходом, используемые на
практике, обычно имеют другую конструкцию и иной способ
освещения, чем те, которые мы до сих пор рассматривали. Основ-
ное уравнение (3.57) остается справедливым, однако константы Is
и Ц имеют другие значения.
Ввиду практической важности этих фотоэлементов рассмотрим
формулы для нескольких используемых конструкций. Их вывод
основан на тех же методах, что и в предыдущем параграфе.
Рассмотрим прежде всего такой же фотоэлемент, как в пре-
дыдущем параграфе (т. е. одномерный случай), но с произвольным
распределением освещения, описываемым функцией ^(х). Тогда в
предположении, что подводящие контакты удалены от освещенной
части на достаточное число длин диффузии LnP (или L N)t
130
Гл. 3. Фотовольтаические явления
для Is выполняется соотношение (3.58), однако 19 определяется
выражением
(3.65)
Специальными случаями применимости этого выражения являются
следующие:
1. Если g\(x)^=0 только в непосредственной близости от барьера
(для x<^Lnp, х <^Lто экспоненциальные члены в формуле
(3.65) можно считать равными единице, и Д равно полному числу
пар электрон — дырка, возникающих за 1 сек при поглощении
фотонов. Следовательно, в этом , случае все электроны и дырки,
Фиг. 24. Применение метода светового зонда
для определения длины диффузии неосновных
носителей тока.
м»
создаваемые светом, участвуют в образовании тока короткого
замыкания Д.
2. Если освещение равномерное, = const на расстоянии cNt
ср от перехода, то для //из (3.65) следует
'pN
ехр
pN / J
(3.66)
Для L N, Ср^> LnP это выражение переходит в выраже-
ние (3.59), рассмотренное в § 6.
3. Для измерения длин диффузии LnP, LpN используется ме-
тод освещения, показанный на фиг. 24 (метод светового зонда) [110].
В этом случае для материала /7-типа получим
(3.67)
и аналогичное выражение для материала /z-типа. Если мы измеряем
ток короткого замыкания Ц (или э. д. с. U при слабой освещен-
ности), то для различных расстояний можно определить LnPi
Д v по зависимости 1п|Д| от х. При выводе уравнений в пре-
$ 7. Полупроводниковые фотоэлементы
131
диффузии (если
Фиг. 25. Фотоэле-
мент ср— и-пере-
ходом, освещае-
мым в поперечном
направлении.
дыдущих параграфах мы пренебрегали поверхностной рекомбина-
цией носителей тока. Можно ожидать, что соотношения (3.58),
(3.65) и (3.66) приближенно выполняются и при ненулевой поверх-
ностной рекомбинации носителей тока, если вместо LnP, L N под-
ставить значения, определенные на этом же переходе методом,
рассмотренным выше для третьего случая, поскольку их можно
рассматривать как эффективные значения длин
освещение не меняет величину поверхностной
рекомбинации).
Указанные соотношения приближенно спра-
ведливы и в том случае, когда условия одно-
мерности выполняются не совсем точно (т. е.
когда избыточные носители тока присутствуют
только на части сечения перехода, а остальная
часть сечения перехода действует как парал-
лельное сопротивление).
Хотя рассмотренная форма перехода вслед-
ствие простоты геометрических соотношений
удобна для проведения физических измерений
(ср., например, [338]), она не пригодна с точки
зрения использования р — /г-перехода для пре-
образования световой энергии в электрическую.
Для этой цели наиболее выгодной формой пе-
рехода является переход, изображенный на
фиг. 25. Соотношения для различных типов пе-
рехода были выведены в работах [187, 282, 283].
В качестве примера укажем здесь на результат,
полученный Риттнером [282]. При выводе пред-
полагается: 1) контакты омические (невыпрям-
ляющие) и имеют пренебрежимо малое сопро-
тивление, 2) площадь контактов на материале
p-типа пренебрежимо мала по сравнению с осве-
щенной поверхностью, 3) освещение не слиш-
ком сильное (Д/гт<^р0Р, п0ЛГ) и 4) фотоны поглощаются
вблизи поверхности.
Толщину материала р- и /z-типа обозначим через dpi dNi число
пар электронов и дырок, возникающих на 1 см2 поверхности
в 1 сек при поглощении света,— через (в случае единичного
квантового выхода оно равно числу фотонов, поглощенных на
I см2 в 1 сек) и скорость рекомбинации на поверхности материала
р-типа — через s.
Расстояние dp выберем малым по сравнению с LnP> но доста-
точно большим, по сравнению с шириной потенциального барьера.
Тогда внутри материала р~ и /г-типа выполняются соотношения
(3.47) и (3.48).. Расчет проводится таким же образом, как в § 6,
132
Гл. 3. Фотовольтаические явления
1<Ч I Н.П» I .'Л'-. -_ I , । , ,
но на освещенной поверхности материала р-типа выполняются
граничные условия (2.69):
d Ln
dx
— eGv — es Ln.
(3.68)
Предполагаем, что электроны и дырки образуются на поверх-
ности полупроводника в слое, тонком по сравнению с dp, так
что в уравнении (3.48) равно нулю.
Если поверхность обработана таким образом, что скорость
поверхностной рекомбинации s мала (s<^D/7Prfp), то можно
обычным способом вывести соотношение (3.57), в котором Д, I
имеют следующие значения:
/v = eQv sh ——, (3.69)
Ln?
г „ К'Г ( РпРП0Р dP . V-p^PoN dN \ /Q ~П1
L- esn.QP-\- kT I—j-----th-----1—f-r-----cth-y—I. (3.70)
\ LnP ^nP pN "pX /
Эти выражения служат хорошим приближением даже в том случае,
если фотоны проникают вглубь материала на расстояние, не пре-
вышающее + L N. В случае света это условие выполняется
для всех длин волн вплоть до края поглощения. Если р— п-пере-
ход облучается быстрыми электронами, то нужно всегда учитывать
большую глубину их проникновения в материал. Этот случай рас-
смотрен в работе [283].
Сравним теперь фотовольтаический эффект на р — п-переходе
с объемным эффектом. Очевидно, объемный фотовольтаический
эффект и фотовольтаический эффект на локализованном барьере
представляют собой два крайних случаях одного и того же физи-
ческого явления: в обоих случаях возникновение э. д. с. обуслов-
лено наличием внутреннего электрического поля, однако детали
механизма образования э. д. с. различны.
В первом случае выполняются условия, близкие к тепловому
равновесию; во втором случае—более или менее отличные условия.
Максимальная э. д. с. Uс обоих фотоэлементов одинакова. Из
соотношений, выведенных для барьерного фотоэлемента в § 6,
следует, что она не может превышать величины
%0— Л
То же значение получается из выражения (3.35) для объемного
фотовольтаического эффекта.
Максимальное значение, которое может иметь отношение
Кос — \!е для Данного материала, составляет Eaje. Это значение
§ 7. Полупроводниковые фотоэлементы
133
достигается в том случае, если в точке b материал очень сильно
легирован примесями p-типа, а в точке с —примесями /z-типа (или
наоборот).
Барьерные фотоэлементы, как правило, имеют более высокий
к. п. д. Благодаря сильному электрическому полю электрон и
дырка находятся в барьере в течение интервала времени, который
гораздо меньше, чем их среднее время жизни. Поэтому в активном:
пространстве фотоэлемента не происходит рекомбинации, и все
дырки и электроны, образовавшиеся в области барьера (и те, ко-
торые попали туда путем диффузии), участвуют в образовании
тока короткого замыкания.
Напротив, объемная фото-э. д. с. зависит от стационарного
прироста концентрации носителей тока kttm~ рекомбинация
электронов и дырок, сопровождающая этот процесс, существенно
снижает к. п. д. Сравнение к. п. д. объемного и барьерного
фотоэлементов проведено в работе [343].
Остановимся теперь на к. п. д. преобразования энергии фо-
тонов в электрическую энергию. С точки зрения термодинамики
нет причин, по которым такое преобразование не могло бы про-
исходить с к. п. д., близким к 100%, в отличие от термоэлементов,
для которых нужно ожидать гораздо меньших значений к. п. д.
уже по принципиальным соображениям. Однако такой высокий
к. п. д, осуществим только при освещении монохроматическим
светом с длиной волны hc}EQ. При очень сильной освещенности
в правильно сконструированном фотоэлементе возникнет э. д. с.,
почти равная Ё^е. Фотоэлемент должен быть сконструирован
таким образом, чтобы получаемый ток соответствовал числу возни-
кающих за 1 сек электронов и дырок. С этой точки зрения барьер-
ный фотоэлемент с р — n-переходом имеет большие преимущества,
так как все излучение поглощается непосредственно в области
потенциального барьера.
Стопроцентное использование энергии поглощенных фотонов
EGN\ (Л/\) — число фотонов, поглощенных в 1 сек) в принципе
было бы достигнуто в том случае, если бы возможно было создать
такой фотоэлемент, внутреннее сопротивление которого в темноте
было бы бесконечно большим и который при эксплуатации осве-
щался таким сильным светом, чтобы его внутреннее сопротивле-
ние было равно нулю. Это можно показать путем следующих
рассуждений.
Из соотношения (Зя57) вытекает, что ток короткого замыкания
фотоэлемента равен — /v, что в нашем случае составляет —eNv.
Когда фотоэлемент не замкнут накоротко, U с Ф Q И
если /s Ф 0; случай /^ = 0 означает бесконечно большое сопро-;
тивление фотоэлемента в темноте. При освещении, однако, не-
обходимо, чтобы внутреннее сопротивление фотоэлемента падалд
134
Jfchf ыЬ
Гл. 3. Фотовольтаические явления
. м_ _ГН<НЖ1НМ hiiLri.ii.il I l '1пСг1 j !! - ~ J НС J Г ~Г~ ~Т 1 — -J-
до значения, очень малого по сравнению с сопротивлением на-
грузки, чтобы внутри фотоэлемента не возникали большие потери
при прохождении тока.
Эти требования не могут быть никогда точно выполнены; они
указывают лишь на тот путь, по которому нужно идти для повы-
шения к. п. д. фотоэлементов. Исходя из очень общих соображе-
ний (см. термодинамическое рассмотрение Мюзера [380] и Роуза
[554] и рассмотрение Шокли, основанное на принципе детального
равновесия [588]), можно показать, что Is никогда не может быть
равным нулю. Это означало бы, что х—>оо, а последнее невоз-
можно, так как даже в самом чистом материале с совершенной
кристаллической структурой всегда происходит рекомбинация но-
сителей тока.
Кроме того, очень низкое внутреннее сопротивление, которое
может быть достигнуто при очень интенсивном освещении, может
вступить в противоречие с требованием быстрого собирания но-
сителей тока, появившихся при освещении. Поле внутри барьера
падает с увеличением освещенности. Электрон и дырка, возникшие
в результате поглощения фотона, находятся в области барьера
в течение длительного интервала времени.; при этом явление по
своим свойствам приближается к объемному фотовольтаическому
эффекту, что приводит к меньшим значениям тока короткого
замыкания. Однако такая сильная освещенность практически не-
достижима.
Чтобы иметь представление о том, какая освещенность реальна,
отметим, что прямой несфокусированный солнечный свет соот-
ветствует приблизительно 4 • 1017 фотонов на 1 см2 в 1 сек с энер-
гией больше 0,7 эв (ширина запрещенной зоны германия). Если
предположить, что излучение практически полностью поглощается
на поверхности, то носители тока заполняют пространство порядка
длины диффузии, умноженной на 1 см2. Тогда концентрация избы-
точных носителей тока
= 4 • 1(Р-Ъ.
t I V f
Подставляя типичные значения Ю”4 сек, L = 10”1 см, полу-
чаем Дят = 4 • 1014 см~\ что значительно меньше обычной концен-
трации доноров и акцепторов. Таким образом, даже при сравни-
тельно сильной освещенности мы всегда находимся в области, где
применимо уравнение (3.57). Это справедливо также для обычных
технических солнечных батарей.
Рассмотрим теперь барьерный фотоэлемент без потерь, как на
фиг. 25, и рассчитаем его максимальный к. п. д. [282]. Нагрузочное
сопротивление /?внецш, должно быть выбрано таким образом, чтобы
$ 7. Полупроводниковые фотоэлементы
135
подаваемая на него мощность была максимальной:
Отсюда следует
(3.71)
1
(3.72)
Напряжение на сопротивлении /?вне1Ш1, определяется выражением
* ^внешн
(3.73)
где S-—площадь фотоэлемента (освещенная поверхность). Под-
ставляя в уравнение (3.57), получаем
elSR
внешн.
kT
(3.74)
что вместе с (3.73) приводит к уравнениям, записанным в форме,
«предложенной Риттнером:
у + С = ехр (— "2Г ), (3.75)
\ / г u /
(3.76)
С = -£-Ч-1. (3.77)
Эти уравнения можно численно решить для различных значений С.
Если заменить у соответствующим выражением, удовлетворяющим
уравнению (3.75), то для нагрузочного сопротивления получим
(3.78)
а для мощности (отдачи) фотоэлемента
Если фотоны длины волны X поглощаются на поверхности
полупроводника ((?v фотон!см2 • сек) и квантовый выход т] = 1,
то для к. п. д. преобразования световой энергии в электрическую
получим
^фотоэлемента
SG.,hc!\ ’
(3.80)
где Р определяется выражением (3.79).
Наиболее выгодным является случай, когда полупроводник
освещается светом с длиной волны, немного меньшей, чем hc!E0.
Если освещение немонохроматическое, то важным моментом
является выбор полупроводника с подходящим значением Ео.
13b Гл. 3. Фотовольтаические явления
Фотоэлемент использует только фотоны с энергией больше EG.
Очевидно, что полупроводник с большим значением EG будет
давать большую э. д. с., но малый ток короткого замыкания; для
полупроводника с малой Ео справедливо обратное утверждение.
Для данного распределения энергии в спектре излучения суще-
ствует оптимальное значение EG.
Лоферски [285] рассмотрел этот вопрос и показал, что для
солнечного излучения, падающего на землю, кривая к. п. д. имеет
плоский максимум при 24% для значений EG, лежащих между 1,25
и 1,5 эв. Кремний, ширина запрещенной зоны которого EG= 1,1 эв,
близко подходит к этому оптимальному значению, и в настоящее
время он используется для создания солнечных батарей. По тео-
ретическим расчетам его максимальный к. п. д. составляет 21,6%
[234]. В последние годы появился ряд работ, посвященных теории
и конструкции фотоэлементов этого типа [499, 521, 534, 535,
573, 576, 588, 589, 591, 592], а также экспериментальным данным,
полученным с такими фотоэлементами [183, 234, 287, 387, 445,
446].
Шокли и Квиссер [521, 588] рассмотрели теоретически макси-
мальный к. п. д. идеального преобразователя солнечной энергии
с р — п-переходом. Их рассуждения, основанные на общих зако-
нах квантовой механики, привели к заключению, что теоретически
максимальное значение к. п. д. составляет примерно 30% для
ширины запрещенной зоны 1,1 эв. Это значение может быть по-
лучено для идеального р — /г-перехода с временем жизни носи-
телей тока, ограниченным прямой рекомбинацией.
Они рассмотрели также вопрос о том, почему на практике
кремниевые солнечные фотоэлементы с р — n-переходом имеют
значительно более низкие к. п. д. (самое высокое достигнутое до
сих пор значение к. п. д. составляет 14%) [234, 387, 557].
Согласно Шокли, важной причиной такого расхождения является
то, что для р — я-перехода в действительности не выполняется
теоретическое соотношение между током и напряжением, подоб-
ное (3.57). Получаемая экспериментально зависимость содержит
множитель exp (eUJAkT) [вместо exp (eUJkT) в уравнении (3.57)],
где постоянная А больше единицы. В некоторых случаях были
найдены значения А, близкие к трем» В упомянутых выше рабо-
тах, а также в работе Шокли и др. [561] предлагаются возможные
объяснения такого поведения.
Возникает вопрос, не существуют ли другие полупроводниковые
материалы с шириной запрещенной зоны, близкой к оптимальному
значению, такие как InP, GaSb, CdTe, AlSb, которые позволили
бы получить более высокий к. п. д. Известно правда, что фото-
элементы из перечисленных материалов имеют более низкий к. п. д.
Лучшим из них является, по-видимому, GaAs [230, 284, 444, 463,
§ 7. Полупроводниковые фотоэлементы
137
.bl. . —L
490, 555], для которого достигнут к. п. д. 7%; для 1пР и CdTe
полученные значения к. п. д. значительно ниже [345, 491, 533,
552]. Однако технология приготовления этих материалов значив
тельно менее разработана, чем для кремния. Мосс [573] на осно-
вании теоретического анализа определил, что при усовершенство-
вании технологии для GaAs легко получить к. п. д. от 20 до 25%
(даже с учетом того, что в GaAs время жизни носителей тока
мало вследствие прямой рекомбинации [558]). Такой же анализ
для кремния показал, что для него нельзя ожидать к. п. д.
больше 15%. Однако Клейнман [589] пришел к противоположному
выводу, а именно, что кремний имеет преимущество по сравнению
с GaAs. По-видимому, вопрос о новых материалах для солнечных
фотоэлементов в настоящее время вызывает разногласия, и его
решения нужно ожидать в будущем.
Основной причиной большой разницы между высокими к. п. д.,
достижимыми с монохроматическим излучением, и сравнительно
низкими к. п. д., получаемыми при преобразовании солнечного
излучения, является плохая способность простого фотоэлемента
реагировать на распределение энергии в солнечном спектре. Было
предложено несколько способов увеличения к. п. д. путем соз-
дания фотоэлементов сложной конструкции.
Простейшая возможность [416] заключается в использовании
ряда фотоэлементов 1, 2, 3, . .., изготовленных из полупровод-
ников, выбранных таким образом, что EGX > EG2 > и т* д-
Контакты этих фотоэлементов должны быть полупрозрачными
(сетка или полупрозрачные металлические контакты) и иметь
омическое сопротивление. Излучение прежде всего попадает на
первый фотоэлемент, который использует излучение с энергией,
большей £*g1; излучение с меньшей энергией проходит через пер-
вый фотоэлемент и попадает на второй, который использует энер-
гию от Ет до и т. д.
Другая возможность состоит в использовании полупроводника
с переменной шириной запрещенной зоны. Известно, что EG
можно непрерывно изменять в твердых растворах двух или более
полупроводников. Например, добавляя кремний в германий, можно
создать полупроводники с любой шириной запрещенной зоны EG
в интервале от 0,7 до 1,1 эв. Теория фотовольтаического эффекта
на таких барьерах изложена в § 8, п. 2 настоящей главы. Труд-?
ности, связанные с реализацией этих идей, рассмотрены в рабо?
тах [499, 588].
Еще одна интересная возможность создания фотоэлемента,
который был бы лучше приспособлен к солнечному спектру, чем
полупроводник с определенным значением EG, рассмотрена в. ра-
боте [499]. Барьер создается в полупроводнике со сравнительно
большим Ео, что выгодно с точки зрения получения большого
138
Гл. 3. Фотовольтаические явления
напряжения. В полупроводнике расположены примесные центры
с энергетическими уровнями, лежащими, например, в середине
запрещенной зоны. Излучение с энергией между Ео)2 и EG
поглощается двояким образом: отчасти оно вызывает переход
электронов из валентной зоны на уровни незанятых центров,
отчасти — с заполненных центров в зону проводимости. Таким
образом, новые пары электрон—дырка создаются под влиянием*
излучения с энергией меньше EG. Такие .переходы, названные
двойными оптическими переходами, недавно были наблюдены
в CdS и ZnS [520], где они приводят к так называемой „анти-
стоксовской4 люминесценции; излучение люминесценции имеет
более короткую длину волны, чем возбуждающее излучение. Пока
ничего не известно о существовании таких центров в материалах,
пригодных для создания фотоэлементов. Основная трудность за-
ключается в том, что присутствие таких центров повлечет за
собой повышенную рекомбинацию носителей тока [588].
Еще одна возможность состоит в использовании фотовольтаи-
ческого эффекта, основанного на эмиссии электронов из метал-
лического контакта в полупроводник, как описывается в § 8, п. 5
настоящей главы. Это явление позволяет также использовать
излучение с энергией ниже EG полупроводника, как это было
показано для фотоэлементов Си — CdS. Рейнолдс и др. [181]
получили для этого фотоэлемента к. п. д., равный 6% при пре-
образовании солнечной энергии.
Солнечные батареи могут работать и при низких температу-
рах 1). Оки оправдали себя в качестве источников энергии на
спутниках и космических ракетах. На Земле эти фотоэлементы
также нашли разнообразное техническое применение. Если фото-
элементы соединены последовательно, как это делается обычно,
к. п. д. всего устройства быстро падает, если на один из эле-
ментов по каким-либо причинам не попадает излучение, так как
его внутреннее сопротивление не изменяется.
Для некоторых применений солнечных фотоэлементов суще-
ственно иметь большой к. п. д. (нацример, на космических
кораблях); в этих случаях оправдывает себя более сложная и
дорогая конструкция. Однако во многих других случаях, наоборот,
важна прежде всего низкая стоимость установки, и достаточно
иметь меньшее значение к. п. д. (например, в наземных устрой-
ствах для использования солнечной энергии, если имеются большие
площади). При этом некоторые материалы, которые легко изго-
товлять в больших количествах (например, органические вещества
или тонкие пленки полупроводников [590]), могут сделать воз-
можным использование солнечной энергии в больших масштабах.
9 Температурная зависимость к. п. д. изучена в работе {502].
$ Другие фотовольтаические эффекты 139
~г“-11 .. „.Il I nil it I I H UH M .. " I I I II IM.—. — I — , , — —-.. 111 » ! I II JH
Фотовольтаический эффект на /? —n-персходе можно также при-
менить для создания детекторов различного излучения. Однако
в этом случае обычно выгоднее использовать явление фотопро-
водимости на р — n-переходе с приложением предварительного
напряжения в запорном направлении (так называемые фотодиоды).
Основным их преимуществом по сравнению с фотовольтаическими
элементами является значительно меньшее время релаксации и
легкость согласования с усилителем; недостатком является высокий
уровень шума.
При использовании фотоэлементов с р — n-переходом для
преобразования излучений высокой энергии, таких как рентгенов-
ские лучи [189], у-лучи [247, 391, 235, 276] или потоки
частиц [102, 112, 185, 277, 353, 392, 433, 497, 498], получаются
меньшие значения к. п. д. Энергия е, необходимая для создания
пары электрон—дырка (см. гл. 1, § 11), в этом случае больше,
чем вблизи края поглощения, поэтому максимальный теоретиче-
ский к. п. д. в Е0/е раз меньше. Коэффициент поглощения такого
излучения также препятствует получению высоких к. п. д. По-
этому созданные до сих пор „атомные" батареи на кремниевых
р — /г-переходах, облучаемых В-лучами от источника Sr90 — Y90,
пока имеют малые значения к, п. д. [184].
Однако главная трудность при конструировании таких батарей
заключается в том, что жесткое излучение разрушает кристал-
лическую решетку (см. гл. 1, § 11), а это в свою очередь при-
водит к небольшому сроку службы фотоэлемента или к дальней-
шему падению к. п. д. всего процесса, если отфильтровать
„вредные" составляющие излучения.
§ 8. ДРУГИЕ ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
1. Фотоэффект на контакте полупроводника
с металлом
На контакте между полупроводником и металлом возникает
фото-э. д. с., механизм появления которой такой же, как и на
р — я-переходе. Однако, хотя в принципе эти фотоэффекты
одинаковы, сложная природа потенциального барьера в случае
контакта с металлом затрудняет теоретическое рассмотрение.
Одним из типов фотоэлементов,, основанных на этом принципе,
являются точечные германиевые фотодиоды, в которых, например,
вольфрамовый зонд касается освещенной поверхности германия
/г-типа. Фото-э. д. с. обычно значительно возрастает, если кон-
такт предварительно отформован сильным импульсом тока. В ма-
териале n-типа в результате формовки создается под зондом слой
Гл. 3. Фотовольтаические явления
p-типа, так что здесь образуется р — я-переход. Теория для этого
случая полностью аналогична теории р — //-перехода в одномер-
ной геометрии, изложенной в § 6 настоящей главы, однако здесь
нужно принимать во внимание другую геометрию перехода. Удоб-
ным приближением является сферическая геометрия, разобранная
в работе Бардина [103]. Для случая, представленного на фиг. 26,
можно вывести выражение
(3.81)
которое аналогично выражению (3.47). Константа (3 обычно меньше
единицы; она выражает отклонение реальной вольтамперной харак-
Полупроводник
Фиг. 26. Фотоэлемент с металлическим
точечным контактом.
Свет падает на верхнюю поверхность полупроводника.
Металлический
точечный
контакт
теристики контакта от идеальной характеристики (осуществляемой
для р — n-перехода, если р= 1) и определяется из опыта, так же
как ток насыщения J$. В случае сферической геометрии
Jv = kTpp (3.82)
где An — избыточная концентрация дырок (равная избыточной
концентрации электронов). Если можно предположить, что rb<^Lp,
то Дп определяется из уравнения (3.89); в этом случае Дп = Дп5.
Контакты такого типа приводят к ряду интересных явлений,
если около них имеется избыточная концентрация носителей тока.
Эти вопросы подробно рассмотрены в книге Хениша [347].
Другим типом фотоэлементов, основанных на барьере между
полупроводником и металлом, являются меднозакисные, селеновые
§ 8. Другие фотовольтаические эффекты 141
. 'l . J i г , . . С*
и другие фотоэлементы, в которых барьеры образуются в резуль-
тате соответствующей химической и термической обработки.
В этой связи интересно упомянуть о так называемом эффекте
Дембера, который представляет собой возникновение э. д. с. на
контакте между полупроводником и металлом, в котором отсут-
ствует потенциальный барьер. Это явление сходно скорее с объем-
ным эффектом, и неоднородность полупроводникового кольца,
рассмотренного выше, наличие которой необходимо для появления
фото-э. д. с., заключается в том, что часть кольца состоит из
полупроводника, а часть из металла (фиг. 27). Здесь играет роль
только диффузионное напряжение U d, которое для этого случая
определяется выражением (3.86). Диффузионную часть фото-э. д. с.
называют напряжением Дембера по имени ученого, впервые ее
наблюдавшего. В последнее время это явление было изучено на
а*
Фиг. 27. Кольцо, составленное из металла
(а — б/, df — а') и полупроводника (d — dr)\ часть
кольца b — с освещена (явление Дембера).
невыпрямляющих кристаллах (Си2О) Лашкаревым и Косоного-
вой [66, 78]. Напряжение Дембера можно наблюдать также между
полупроводником и не касающимся его металлическим контактом,
как показано в § 9 настоящей главы.
2. Фотопьезоэлектрический эффект
В § 3 после вывода выражения (3.8) мы наложили ограни-
чительное предположение dE0/dx = Q, Сделаем теперь несколько
замечаний относительно случая, когда dEQjdx =£ 0.
На фиг. 28 представлен переход между полупроводниками 1
и 2 с шириной запрещенной зоны EGi и EG2. Равновесие между
двумя полупроводниками характеризуется тем, что Ер постоянна
во всей системе. В темноте должно быть 7^ = 0, /р0 = 0. Легко
видеть, что после подстановки в уравнение (2.39) = Ес-j-Сл
и = Ev — С каждое из этих уравнений позволяет определить
eF§ -j- dEcfdx и еЛ0-|- dEJdx, но не отдельно eF^
На фиг. 28 видно, что в таком переходе нижний край зоны
проводимости имеет иной наклон, чем верхний край валентной
зоны, так что эффективное поле, действующее на электроны,
будет отлично от поля, действующего на дырки. Интересные
следствия этого факта рассмотрены в работах [355, 393].
142
Гл. 3. Фотовольтаические явления
Подстановкой в уравнение (3.8) можно показать, что и в этом
случае для фото-э. д. с. выполняются соотношения (3.11) с анало-
гичными ограничительными предположениями. При преобразовании
Фиг. 28. Переход между полупроводниками
с различной шириной запрещенной зоны;
часть Ь, с освещена.
уравнения можно поступать таким же образом, как при расчете
объемной фото-э. д. с. в § 4 настоящей главы; однако уравнение
(3.16) нужно заменить уравнением
1 drt^ 1 dpa 1 dn? 1 dE^
---------!>_|--, G. (3.83)
Hq dx pQ dx nt dx kT- dx
Если EG const, то обычную объемную фо'то-э. д. с. нужно
заменить э. д. с., составляющая UG которой задается выраже-
ниями:
для несобственного полупроводника (я- или /7-типа)
^G~ ^GbE (3.84)
где EGc, Еоь-~з№жш Eo в крайних точках освещенной части
(см. фиг. 28);
для собственного полупроводника
1 b — 1 р
2F Т+Т nib +
(3.85)
Это выражение справедливо лишь в предположении, что (п^-|~Дп )
весьма мало отличается от (nlb ~ф- A/zm).
Известно, что ширина запрещенной зоны полупроводника Ео
меняется с давлением [394]. Поэтому неоднородности, обусловлен-
§ 8. Другие фотовольтаические эффекты-
143
ные неравномерным сжатием
воднике фото-э. д. с
Завьетовой [436] для гер-
мания и кремния. Этот эф-
фект был назван фотопье-
зоэлекТрическим.
Основные черты опыта
ясны из фиг, 29. На об-
разец полупроводника давят
два изолированных острия,
и измеряется фото-э. д. с.
при освещении световым
зондом. На фиг. 29 предста-
влены также результаты из-
мерений для кремния jP-типа.
Наблюдаемые явления нахо-
дятся в удовлетворительном
согласии с теорией; однако
нужно учесть, что распре-
деление механического на-
пряжения слишком сложно,
для того чтобы можно было
провести количественное
сравнение более точное, чем
до порядка величины. Мо-
жет неблагоприятно ска-
заться также зависимость
отношения подвижностей
|хл/[л от давления,
как
приводят к появлению в полупро-
было показано в работе Тауца и
-Ю
-20
-30
Фиг. 29. Фотопьезоэлектрический
эффект в монокристаллическом образце
кремния (570 ом • см) (по Тауцу и За-
вьетовой [436]).
Давление
х, мм
За Продольный (латераль-
ный) фотоэффект
Уолмарк [348] наблюдал
возникновение э. д. с. в фо-
тоэлементе, основанном на
принципе фиг. 30. Часть
образца полупроводника /г-типа сильно легируется акцепторами,
в результате чего создается р — /г-переход. Если образец освещен,
как показано на фиг. 30, то на контактах a, а/ возникает фото-
э. д. с.; эта э. д. с. отрицательна при освещении слева от оси симмет-
рии, положительна при освещении справа от оси и равна нулю при
освещении в центре (JJ 0, когда а положительно). Этот эффект,
имеющий ряд интересных применений, объясняется следующим обра-
зом. Дырки, образующиеся при поглощении фотонов в материалу
* . + л
144
Гл. 3. Фотовольтаические явления
«-типа, легко проникают в материал p-типа и заряжают его поло-
жительно. Если материал p-типа обладает значительной проводи-
мостью, то вся p-область оказывается под постоянным положи-
тельным потенциалом, и наступает эмиссия дырок в материал
/г-типа по всей площади перехода (т. е. ток дырок, попадающих
на переход в месте освещения, компенсируется при общем нулевом
токе током дырок со всей площади перехода).
В случае, представленном на фиг. 30, правый конец заряжается
положительно, и возникающее электрическое поле притягивает
электроны, создаваемые одновременно с дырками при поглощении
фотонов справа от оси, так что внутри образца сохраняется элек-
трическая нейтральность.
Заметим еще, что продольные эффекты, основанные на эмиссии
неосновных носителей тока в область, отличную от той, где они
Фиг. 30. Продольный (латеральный) фотоэффект.
образовались при освещении, могут представлять собой серьезную
помеху при измерении длины диффузии методом светового зонда,
описанным в § 7 настоящей главы. Они могут привести к полу-
чению кажущихся больших значений длины диффузии [237].
Продольному фотоэффекту посвящены работы Госара [389] и
Луковского [500].
4. Высоковольтный фотовольтаический эффект
Теория, рассмотренная в предыдущих параграфах, принципиально
не может объяснить возникновения фото-э. д. с., больших EGle.
Однако на опыте в различных случаях наблюдались фото-э. д. с./
превышающие в несколько раз максимальное значение EGfe (напри-
мер, в пленках PbS [65, 249, 286]).
В последнее время Пенсэком [395] обнаружено появление вы-
соких напряжений (сотни вольт) на пленках CdTe, напыленных
испарением в вакууме под определенным углом (неперпендикулярно
к подложке). Голдстайн [396] измерил свойства этих пленок и
пришел к выводу, что речь идет о наборе последовательных
р — «-переходов. Дальнейшие результаты приводятся в работе
Голдстайна и Пенсэка [459].
§ 8. Другие фотовольтаические эффекты 145
Основная трудность заключается в том, как объяснить, почему
в ряду переходов р— п — р — п— р — п фото-э. д.с. дают
только р — л-переходы, а не п, — р-переходы, т. е. почему не
происходит компенсации соответствующих фото-э. д. с. Легко
представить себе такое геометрическое распределение, при кото-
ром э. д. с. от отдельных р — ^-переходов суммируются (см.,
например, фиг. 31). Пенсэк и Голдстайн предлагают в своей ра-
боте [459] более конкретную модель, которая, однако, до сих
пор не подвергалась экспериментальной проверке. Возбуждение
высокой фото-э. д. с. наблюдалось также в пленках других мате*
риалов: Sb2Se3, Sb2S3, Sb2jt.Bi2(i-x)S3 [531], Ge, Si [572].
Фиг. 31. Распределение p —-n-переходов, при
котором происходит суммирование фото-э. д. с.
Длина диффузии носителей тока мала, так что избыточ-
ные носители не проникают к внутренним р — fl-пер входам,
которые не освещены.
Высоковольтный фотоэффект наблюдался и на монокристаллах,
например ZnS [397]. При освещении этих кристаллов возникает
напряжение, которое может достигать величин порядка 100 в)см.
Однако внутреннее сопротивление образцов весьма высоко
(1011—1014 ом), поэтому обычно легче измерить ток короткого
замыкания. Черофф и Келлер [398] и Лемпицки [486] нашли, что
знак фото-э. д. с. зависит от длины волны, как это изображено
на фиг. 32. На фиг. 32 представлена также зависимость от поля-
ризации используемого света, отмеченная в работе [460].
В работах [397, 399, 400] устанавливается связь между воз-
никновением фото-э. д. с. такого типа и присутствием в кристалле
дефектов упаковки.
Известно, что ZnS кристаллизуется в двух модификациях —
кубической и гексагональной. Кубические кристаллы (сфалерит)
растут в направлении [111], гексагональные (вюрцит) —в напра-
влении [001]. Обычно ZnS состоит из кристаллов обеих модифи-
каций; приготовить чистые монокристаллы одной модификации
146
Гл. 3. Фотовольтаические явления
очень трудно. Дефекты упаковки представляют собой переход
между ними. Значения ширины запрещенной зоны этих двух моди-
фикаций отличаются друг от друга на величину около 0,1 эв.
На переходах между двумя модификациями образуются потенци-
альные барьеры, на которых при освещении возникает фото-э. д. с.,
аналогично тому, как это рассмотрено в п. 2 настоящего параграфа.
______I_____।______। 1 I_____________।_____i_
300 310 320 330335340 350 360 370
Л,
Фиг. 32. Зависимость тока короткого замыкания
(в произвольных единицах) освещенного кристалла
ZnS от длины волны [460].
Свет поляризован перпендикулярно к оси с (сплошная кривая)
или параллельно ей (пунктирная кривая).
Для объяснения величины получаемой фото-э. д. с. необходимо
предположить, что на одном барьере появляется напряжение при-
мерно 0,1 в, что находится в хорошем согласии с разностью зна-
чений ширины запрещенной зоны для обеих модификаций.
Херман и Лобнер высказали предположение, что переходы от
кубической модификации к гексагональной и наоборот осуще-
ствляются с помощью одной и той же геометрической операции,
поэтому оба типа барьеров дают э. д. с. одинакового знака. Не
вполне ясно, однако, как можно было бы с помощью этой модели
объяснить зависимость фото-э. д. с. от длины волны света.
Тауц [461] предложил модель, слагающуюся из барьеров двоякого
типа (возникающих на переходе между полупроводниками с раз-
личными значениями Eq и связанных с градиентом концентрации
£ 3, Другие фотовольтаические эффекты 147
--'Г-. - - г_ - .1 .... I 114- - .. - - " - - - - - - —
примесей), с помощью которой можно объяснить как возникнове-
ние больших фото-э, д. с., так и зависимость от длины волны.
Хатсон [564] предположил, что барьеры возникают в результате
пьезоэлектрического эффекта за счет градиентов деформации (см.
п. 2 настоящего параграфа), образующихся на дефектах упаковки
(и на границах зерен в пленках). Черофф [563] измерил темпера-
турную зависимость фото-э. д. с.; он пришел к выводу, что мо-
дель, основанная на простой комбинации р — /г-переходов, не
объясняет наблюдаемых фактов.
Важным свойством кристаллов ZnS является то, что в них
определена не только ось, но и направление. Черофф и Келлер
[398] предположили, что объяснение высоковольтного фотовольтаи-
ческого эффекта должно как-то учитывать эту особенность.
5. Возникновение фото-э. д. с. при энергии
фотонов меньше ширины запрещенной зоны
Рейнолдс и др. [181, 182] наблюдали фотовольтаический эффект
в кристаллах CdS, освещенных излучением, длина волны которого
больше, чем длина волны, соответствующая краю поглощения
данного материала. Это было объяснено предположением, что
в запрещенной зоне находится примесная зона, в которой носи-
тели тока имеют некоторую подвижность. В этом случае фото-
вольтаический эффект соответствует переходам электронов между
этой примесной зоной и валентной зоной или зоной проводимости.
Вильямс и Бьюб [501] подробно исследовали это явление и
показали, что наблюденные факты гораздо лучше можно объяснить
с помощью другого предположения, а именно, что этот эффект
обусловлен эмиссией электронов с металлического контакта в полу-
проводник.
В § 5 настоящей главы мы упоминали о фотоэлементе Крамера
и Омарта, который состоит из двух пластин металлов с различной
работой выхода, разделенных слоем газа. Если газ ионизуется
при поглощении излучения, то возникает фото-э. д. с., соответ-
ствующая разности работ выхода. Таким же образом возникает
э. д. с., если обе пластины находятся в вакууме и одна из них ♦
эмиттирует больше электронов, чем другая, например потому,
что она подогревается. На этом эффекте основаны вакуумные и
газонаполненные термоэлементы, созданные в последнее время
(см., например, [424, 525, 528]).
Аналогичное явление наблюдается, если одна пластина осве-
щается, так что возникает внешняя электронная эмиссия [593].
В данном случае максимальная возможная разность потенциалов
соответствует разности работ выхода, к которой нужно добавить
кинетическую энергию электронов; если освещение производится
Гл. 3. Фотовольтаические явления
излучением высокой энергии, эта последняя часть может значи-
тельно преобладать.
Минимальная энергия фотона, необходимая для выхода элек-
трона из металла в вакуум, для большинства металлов составляет
несколько электронвольт, так что длина волны соответствующего
излучения лежит в ультрафиолетовой области. Если металл нахо-
дится в непосредственном контакте с изолятором (или полупро-
водником), то минимальная энергия излучения, необходимая для
перехода электрона из металла в изолятор, ниже, чем для выхода
его из металла в вакуум. Если можно пренебречь пространствен-
ным зарядом, то эта минимальная энергия равна разности работ
Свет
Фиг. 33. Схема фотоэлемента Си
[501].
CdS
хода электрона
гласно [501],
энергии около
\лакс. 1,2 М-К.
Фотоэлемент
ный Вильямсом
представлен ш
выхода электрона из ме-
талла и из полупроводника
[59, 168]. Например, работа
выхода электрона из меди
в вакуум составляет около
4,5 эв, что соответствует
Хмакс. те 0,28 мк\ для пере-
в CdS, со-
достаточно
1 эв., т. е.
изучен-
и Бьюбом,
фиг. 33.
Он обнаруживает фотоволь-
если его освещать светом
края поглощения CdS (CdS
освещении возникает фото-
таический эффект и в том случае,
с длиной волны больше длины волны
был прозрачен для X > 0,52 мк). При
э. д. с. около 0,3 в, причем металлический электрод заряжен поло-
жительно. Фотоэлемент чувствителен к излучению с длиной волны
до 1,1 мк. Авторы объясняют механизм действия фотоэлемента
эмиссией электронов из меди в CdS, который для хорошей работы
фотоэлемента должен иметь по возможности максимальную электро-
проводность n-типа. Если CdS чистый, то возникает только обыч-
ный фотовольтаический эффект для длин волн меньше края по-
глощения 2). При больших длинах волн э. д. с. не появляется,
что находится в согласии с предложенным объяснением длинно-
волнового эффекта, так как положение уровня Ферми в чистом
CdS таково, что у контакта с медью образуется лишь небольшой
барьер.
1) Фотовольтаический эффект в CdS в области сильного поглощения
был изучен в работе [520]. Аномальный фотовольтаический эффект
в монокристаллах CdS наблюдался и был объяснен в работе [530].
§ 9. Фотоэффект на поверхности полупроводника 140
Интересные эксперименты подобного типа были выполнены
также Наджаковым и Андрейчиным [109, 126, 186, 505, 506] для
фотоэлементов, состоящих из слоя серы или CdS между двумя
различными металлами. Фото-э. д. с, таких фотоэлементов при
сравнительно слабом освещении достигает постоянного значения,
соответствующего разности работ выхода обоих металлов.
§ 9. ФОТОЭФФЕКТ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА
На поверхности полупроводника при освещении может воз-
никнуть напряжение, которое проявляется как изменение контактной
разности потенциалов между полупроводником и металлической
1ПЮ
10 ом
Усилитель
и
вольтметр
Фиг. 34. Схема измерения контактной разности
потенциалов между металлом (а) и полупровод-
ником (Ь) и ее изменения при освещений.
сеткой на схеме фиг. 34. Контактная разность потенциалов изме-
ряется обычно методом Кельвина, принцип которого ясен из фиг. 34.
Сетка а приводится в колебательное движение таким образом,
что она с определенной частотой приближается и удаляется от
поверхности полупроводника Ь. Если между сеткой и поверхностью
полупроводника имеется какое-то напряжение, то в цепи возникает
переменный ток, который затем усиливается и измеряется с по-
мощью электронного вольтметра. Напряжение, подводимое от
батареи, меняют таким образом, чтобы отклонение вольтметра
было равно нулю; тогда это напряжение будет равно разности по-
тенциалов между металлической сеткой и поверхностью полу-
проводника. Изменение контактной разности потенциалов при осве-
щении является, по определению, поверхностным фотовольтаическим
напряжением. Если при освещении поверхность полупроводника
заряжается положительно, это напряжение считается положительным.
150 Гл. 3. Фотовольтаические явления
Поверхностный фотовольтаический сигнал проще всего из-
мерять, используя неподвижную сетку и прерывистое осве-
щение.
Очевидно, здесь речь идет о явлении, совершенно отличном
от фотовольтаических эффектов, которые рассмотрены выше;
основное различие состоит в том, что от такого фотоэлемента при
постоянном освещении нельзя получить постоянного тока. Мы
рассматриваем здесь это явление потому, что сущность его такая же,
как и разобранных выше фотовольтаических явлений, а его теория
строится таким же образом, как теория фотовольтаического эф-
фекта на р — n-переходе. Это указывает на общезначимость фено-
менологической теории, излагаемой в данной монографии. Поверх-
ностный фотоэффект не является удобным средством для изучения
электронной структуры поверхности, хотя он имеет большое зна-
чение при комплексном исследовании поверхности одновременно
несколькими методами. На этих вопросах мы останавливаться не
будем. Отсылаем читателя к соответствующей литературе по фи-
зике поверхности полупроводников [354].
Выясним прежде всего качественно сущность поверхностного
фотоэффекта. Как показано в гл. 1, § 5, на поверхности полу-
проводника образуется поверхностный барьер, в котором или
в непосредственной близости от которого при освещении освобо-
ждаются носители тока. Под влиянием электрического поля в барьере
избыточные носители тока движутся точно так же, как при объем-
ных фотоэффектах и заряжают поверхность полупроводника,
вследствие чего возникает фотовольтаическое напряжение. Отсюда
сразу же следует, что в полупроводнике с положительным барьером
> ?о объемы.) фотовольтаическое напряжение U'c отрицательно
(см. фиг. 8, случаи а, #), а в полупроводнике с отрицательным
барьером (ср0£ < ср0объемы.) (случаи с, сГ) напряжение Uс положительно.
(Индекс „объемн.“ соответствует внутренней области полупровод-
ника, удаленной от барьера, а индекс s обозначает поверхность.)
Следовательно, определение знака фотовольтаического эффекта
позволяет непосредственно определить знак поверхностного потен-
циального барьера.
Даже в этом случае нужно учитывать присутствие диффузион-
ной части фото-э. д. с. Udi знак которой не зависит от типа
темновой электропроводности материала и знака поверхностного
барьера. Эта диффузионная (демберовская) фото-э. д. с. опреде-
ляется так же, как в § 4 настоящей главы, однако в этом случае
имеются не две диффузионные э. д. с. на каждой стороне осве-
щенной области, а только одна, для которой из выражения (3.32)
получаем
Ud = — 4-=Ет 1п (1 + А - (Й + *)А/2------). (3.86)
в Ь ~j~ I \ btlQ объемы. 1 Pq объемы./
§ 9. Фотоэффект на поверхности полупроводника
151
В более ранних работах [27, 45, 81, 434, 435, 126, 146] по-
верхностный фотовольтаический эффект объяснялся с помощью
диффузионной фото-э. д. с. Поскольку знак Ud зависит только
от знака заряда избыточных носителей тока с большей подвиж-
ностью, это явление было использовано для определения возник-
новения в полупроводнике свободных носителей тока при погло-
щении света и для определения знака этих носителей.
Однако на германии и кремнии было обнаружено, что знак
фото-э. д. с. зависит от состояния поверхности и его можно из-
менить, подвергая, например, последнюю действию различной среды;
часто величина фото-э. д. с. значительно больше, чем это соот-
ветствует выражению (3.86). Отсюда следует, что наблюдаемые
явления нельзя объяснить только с помощью диффузионной фото-
э. д. с. и что здесь существенную роль играет поверхностный
барьер [75, 436, 190]. Опыты на других материалах также пока-
зали недостаточную точность конденсаторного метода для опре-
деления знака носителей тока [458]. Поэтому необходимо быть
очень осторожным при интерпретации результатов, полученных
этим методом (см. дискуссию на конференции по фотоэлектриче-
ским явлениям в Киеве в 1957 г. [450]).
Теория поверхностного фотовольтаического эффекта основана
на следующих предположениях. На полупроводник падает свет,
который поглощается практически полностью на его поверхности.
Для простоты рассмотрим полупроводник n-типа. Поверхностный
барьер узок по сравнению с длиной диффузии дырок, и внутри
барьера рекомбинации не происходит. Избыточная концентрация
электронов равна избыточной концентрации дырок (— Дп). Ды-
рочный ток в барьере постоянен: dljdx = 0 и настолько мал,
что практически PF—можно считать константой. Это озна-
чает, что мы используем первое из предположений, введенных
в теории фотоэффекта на р — n-переходе в § 6 настоящей главы.
Дальнейшие рассуждения такие же, как для случая р — п-пе-
рехода.
Для распределения концентрации дырок получаем
Дп = Дп^ехр(----(3.87)
[% —0 на поверхности, х > 0 по направлению вглубь полупро-
водника; Дп5 = (Дп)Хг=0]. Пусть дырочный ток определяется только
диффузией (обсуждение этого предположения см. в § 2 настоящей
главы); тогда
152
Гл. 3. Фотовольтаические явления
Граничные условия (2.69) приводят к уравнению
(3.89)
которое определяет Д/г у поверхности. В соответствии с введен-
ными выше предположениями Д/г начинает убывать только в объеме
полупроводника; во всей области барьера Д/г определяется урав-
нением (3.89).
При расчете высоты поверхностного барьера мы исходим из
уравнения (1.50) для электрической нейтральности всей системы,
независимо от того, находится ли барьер в темноте или освещен.
Мы не рассматриваем здесь все аспекты проблемы и поэтому не
будем касаться зарядов в „быстрых" состояниях. Чтобы рассмот-
реть эти состояния, необходимо обратить внимание на их реальную
структуру (распределение разрешенных уровней электронов), что
выходит за рамки настоящей книги. Общие расчеты были сделаны
в работах Гаретта — Брэттейна [236] и Джонсона [388].
Предположим с самого начала, что поверхностный заряд
в „медленных" состояниях уравновешивается пространственным
зарядом в потенциальном барьере Предполагаем, что освеще-
ние длится в течение интервала времени, который мал по сра-
внению с постоянной времени, характеризующей выравнивание
заряда между полупроводником и медленными состояниями, но
велик по сравнению с временем рекомбинации носителей тока,
так что в полупроводнике присутствуют совокупности электронов
и дырок, каждая из которых находится в тепловом равновесии
с кристаллической решеткой. Тогда const во время освеще-
ния. Задача заключается в том, чтобы определить, как должна
меняться высота барьера при освещении, чтобы пространственный
заряд оставался постоянным.
Для описания поверхностного барьера непригодна простая
апроксимация, предложенная в начале § 6 настоящей главы; по-
этому мы используем более общую формулу [236], для вывода
которой будем исходить из уравнения Пуассона (2.55), которое
простым интегрированием приведем к виду
dx
\2
р (?) ^?;
(3.90)
здесь р(<р) — пространственный заряд в рассматриваемой области:
Р (?) = е [(р — робъемн.) (^ ^объемн.Ж
(3.91)
где Робъемн.» «объемн. ~ значения внутри полупроводника, где про-
странственный заряд равен нулю. Далее полагаем ? = 0, d^jdx =. 0,
§ 9. Фотоэффект на поверхности Полупроводника
Подставим вместо р, рОбъемн.> п> «объемн. выражения (2.9) и вос-
пользуемся приведенным выше предположением о постоянстве
величин ЕР , Ер по всему барьеру. Тогда можно провести инте-
пр
грирование и получить
-г?5> (3.92)
dx е L 7
где
/ _ 1 ( 2k тк
е \ Щ
(например, для германия при комнатной температуре L имеет
значение 1,4* 10 4 см). и
(3.93)
(3.94)
Здесь знак
< 0,
* соответствует ср > 0, а знак р“ соответствует
£о
л0
объемн.
объемн.
Р& объемн,
И !— 1—— Щ1
П;
*4
I —--1
^0 объемн.
(3.95)
и ДС ДС„ — изменения химических потенциалов на внутренней
стороне барьера в полупроводнике. Согласно (3.13),
ДГ=6Пп( 1 + А^Л ' (3.96)
п \ П0 объемн. / '
и аналогично для
В выражении для $ первый член относится к пространствен-
ному заряду дырок, второй — к пространственному заряду элек-
тронов, третий — доноров и четвертый — акцепторов. По значению
dyjdx на поверхности можно определить пространственный заряд
в барьере (отнесенный к 1 сл2), используя соотношение, извест-
ное из электростатики: полный ток вектора Kdyjdx по замкнутому
пространству равен полному заряду внутри этого пространства.
Отсюда легко получить
(3.97)
где — значение § на поверхности (<р = cps).
напряжение Uc = e(vs— рассчитывается
Фотовольтаическое
из соотношения
(3.98)
154 Гл, 3. Фотовольтаические явления
Полное выражение достаточно сложно, поэтому мы его здесь
не приводим. Выражение для получим из (3.94), куда подставим
ДСЛ = ДС =0, ср.= ср^0; выражение для получим из того же
уравнения, в котором положим ср — ср5 = Uc> а вместо ДС ,
ДСЛ подставим их выражения из (3.96). Таким образом мы получим
соотношение между Uc и -Д«г Зависимость Д«5, от интенсивности
освещения определяется выражением (3.89), справедливым при
не слишком больших освещенностях.
Тщательная экспериментальная проверка теории в той форме,
которая здесь рассмотрена (т. е. в пренебрежении пространственным
зарядом в быстрых состояниях), содержится в работе Джонсона [388].
Для германия эта теория вполне удовлетворительно объясняет
экспериментальные факты. Джонсон [346] показал также, что
теория фотовольтаического эффекта на р — ««переходах может
быт> представлена в форме, полностью аналогичной теории
поверхностного фотоэффекта. Из его результатов следует, что
наличие ловушек в материале не влияет на стационарный фото-
эффект на р — «-переходе, но изменяет поверхностный фотоэффект.
Если поверхность полупроводника освещать постоянным светом,
то мы получим следующую зависимость поверхностного фото-
вольтаического эффекта от времени: сигнал быстро достигает
максимума после включения света и затем спадает в течение
некоторого времени до нуля. Такой ход связан с тем, что за этот
промежуток времени возрастает заряд в медленных состояниях,
который уравновешивает пространственный заряд. После выклю-
чения света появляется сигнал обратной полярности, соответ-
ствующий разрядке медленных состояний. Времена релаксации
достигают десятков секунд и даже минут (см., например, [374]);
подобный эффект наблюдался в Cs3Sb [456].
Другой тип поверхностного фотоэффекта проявляется на кон-
такте полупроводника с электролитом. Это первый из когда-либо
наблюдавшихся фотоэффектов. Он был обнаружен Беккерелем [1]
и часто называется его именем. Этот эффект легко обнаруживается
на многих веществах, однако его интерпретация затруднительна,
так как обычно он сопровождается химическими реакциями.
Брэттейн и Гаретт [248] экспериментально исследовали контакт
германия с некоторыми типами электролитов и объяснили основные
свойства.
Глава
Термоэлектрические явления
§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Различают три основных типа термоэлектрических явлений:
а) эффект Зеебека—возникновение термоэлектрического напряжения
в цепи, состоящей из двух проводников, места соединения которых
находятся при различных температурах, б) эффект Пельтье — выде-
ление или поглощение тепла на контакте двух проводников при
прохождении электрического тока и в) эффект Томсона — выделение
или поглощение тепла в объеме проводника при прохождении
электрического тока и наличии градиента температуры.
Эффект Зеебека был открыт в 1821 г., эффект Пельтье —
в 1834 г. Интересно, что оба физика дали неправильное истолко-
вание обнаруженных явлений. Зеебек наблюдал отклонение маг-
нитной стрелки вблизи термоэлемента, составленного из различных
проводящих или полупроводящих веществ; он сделал вывод, что
эти вещества намагничиваются благодаря наличию градиента темпера-
туры. Этой гипотезы Зеебек придерживался с большим упорством,
поскольку с ее помощью он хотел объяснить намагничивание
земного шара как следствие разности температур между экватором
и полюсами. Пельтье рассматривал результаты своих измерений
как доказательство ошибочного утверждения о том, что закон
Джоуля справедлив только для электрических токов большой
плотности.
Теория термоэлектрических явлений была приведена в соответ-
ствие с обоими началами термодинамики в 1854 г. Томсоном [2]*
156 Гл. 4. Термоэлектрические явления
На основе теоретического анализа зависимости между эффектами
Зеебека и Пельтье он показал, что должен существовать еще один
(третий) термоэлектрический эффект — выделение или поглощение
тепла вдоль проводника с градиентом температуры при прохождении
по нему электрического тока. Этот эффект, названный его именем,
позднее был обнаружен экспериментально. Между коэффициентами,
характеризующими все три явления, существуют два соотношения,
называемые соотношениями Томсона.
При выводе этих соотношений Томсон использовал следующее
предположение: термоэлектрические явления протекают обратимо
и не зависят от необратимых процессов, протекающих одновременно
в проводнике, т. е. от выделения джоулева тепла и от тепло-
проводности. Это предположение не следует из термодинамики,
поэтому ход рассуждений Томсона подвергался критике; наиболее
известной является критика Больцмана [5].
Однако опыты показали справедливость соотношений Томсона
в пределах точности измерений. Только Онзагер [22, 23] разработал
общий метод построения теории необратимых стационарных про-
цессов; в рамках новой термодинамики соотношения Томсона
остались неизменными, и их правильность была подтверждена
в ряде работ [56, 57, 60, 61, 63, 82, 104, 118, 123, 161, 200,
250, 299, 401].
Наряду с указанной теорией термоэлектрических явлений,
которая приводит только к выводу соотношений Томсона, одно-
временно с кинетической теорией электропроводности была развита
кинетическая теория термоэлектрических явлений [32]. Формулы,
выведенные для термоэлектродвужущей силы в металлах, в прин-
ципе справедливы и для полупроводников, если принять во вни-
мание, что в полупроводниках электронный газ не вырожден, как
в металлах, и применима классическая статистика. Бронштейн [29]
первый вывел правильное соотношение для термо-э. д. с. полу-
проводника, опираясь на теорию полупроводников, разработанную
Вильсоном [24, 25]. Теория термо-э. д. с. в полупроводниках
была развита позднее в целом ряде работ [33—35, 46, 47, 57,
89, ИЗ, 128, 147—149, 191, 288] и привела к принципиальному
объяснению результатов измерений при более высоких темпера-
турах.
Фредерикс [150, 151] и Джебалл [192] при измерениях на
германии при низких температурах обнаружили термо-э. д. с.,
достигающую значений, на порядок больших, чем это можно было
объяснить с помощью существующей теории. Объяснение пред-
ложили независимо Фредерикс [150, 151] и Херринг [153, 193]
на основе представлений о том, что при наличии градиента темпера-
туры фононы влияют на движение электронов и дырок и при
низких температурах увеличивают термо-э. д. с. Такое увлечение
$ 2. Основные уравнения
157
носителей тока фононами уже в 1945 г. предсказал Гуревич
[64, 67, 68] для металлов. Обзоры по теории термоэлектрических
явлений в полупроводниках опубликовали Самойлович и Корен-
блит [160] и Джонсон [298].
Металлические термоэлементы используются главным образом
для измерения температур или в качестве индикаторов теплового
излучения. Соответствующим образом сконструированные термо-
элементы позволяют непосредственно преобразовать тепловую
энергию в электрическую или использовать явление Пельтье для
целей охлаждения. Теория этих двух явлений была предложена
Альтенкирхом уже в 1909 г. [7,8]. Существовавшие тогда термо-
элементы из металлических материалов имели незначительный
к. п. д. (менее 1%) в соответствии с теорией Альтенкирха.
Только в последнее время изучение термоэлектрических свойств
полупроводников привело к открытию материалов, которые
позволяют создавать термоэлектрические элементы с к. п. д. 8%
и более. Успешные опыты по созданию полупроводниковых термо-
элементов и охлаждающих элементов были проведены во многих
местах (см. § 4, п. 2 настоящей главы).
Все рассмотренные выше термоэлектрические явления проис-
ходят при концентрации носителей тока, соответствующей тепло-
вому равновесию. В последнее время были наблюдены и теоретически
объяснены явления, которые наступают при наличии неравновесных
концентраций носителей тока. Эти явления могут происходить при
освещении полупроводников (термофотоэлектрический эффект [240])
или при наличии резкого градиента температуры (тепловая инжек-
ция неосновных носителей тока [154, 299, 349]).
Последнее явление приводит к возникновению термо-э. д. с.
в однородном полупроводнике, концы которого находятся при
одинаковой температуре, а середина имеет более высокую темпера-
туру и спад температуры к обоим концам является несимметричным.
Много усилий посвятил изучению этого явления Бенедикс [14],
поэтому оно часто называется его именем. До сих пор предста-
вляется не вполне ясным, существует ли этот эффект в металлах;
однако соответствующая э. д. с. должна быть невелика. Напротив,
в полупроводниках этот эффект легко наблюдать [292].
§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основная схема для измерения термо-э. д. с. представлена
на фиг. 35. Контур состоит из двух проводящих однородных
материалов 1 и 2, соединенных в точках b и с, которые находятся
при разной температуре Л и Т7 (предполагается, что T'f > Р).
Материал 2 разорван в точках a, af, где припаяны контакты для
158
Гл, 4. Термоэлектрические явления
измерения э. д. с. компенсационным методом. Температура кон-
тактов а и а! одинакова (и равна 7V,/). Согласно общепринятому
правилу измеренная термо-э. д. с. t/2ji — - t/]j2 положительна,
если контакт, находящийся при более низкой температуре, поло-
жителен.
Фиг. 35. Схема измерения термо-э. д. с.
Дифференциальная термо-э. д. с. alj2 определяется как термо-
э. д. с., отнесенная к единичной разности температур:
(4-1)
Дифференциальная термо-э. д. с. alj2 является функцией темпера-
туры Т = Т (Т'^Т7') и зависит от свойств обоих материалов.
Термо-э. д. с. связана как с явлением Томсона, так и с явле-
нием Пельтье. Эффект Пельтье проявляется в том, что при про-
текании через контур фиг. 35 постоянного тока один контакт
нагревается (выделяя тепло в окружающую среду), а второй —
охлаждается (отбирая тепло от окружающей среды). Пусть J > О,
тогда ток течет в направлении а —> b —> с -н> а/. Обозначим через Q2j1
тепловую мощность, поглощаемую на контакте b при J>0. Будем
считать Q2j1 > 0, если на контакте b тепло отбирается от окру-
§ 2. Основные уравнения
жающей среды. Величина Q2j1 пропорциональна электрическому
току J:
где 1 — коэффициент Пельтье.
При определении знака коэффициента Пельтье целесообразно
воспользоваться правилом, основанном на зависимости между
знаком термо-э. д. с. и теплом Пельтье.
Если в контуре, представленном на фиг. 35, участок с нагре-
вать, а участок Ь охлаждать, то в замкнутом контуре возникнет
ток, протекающий в определенном направлении. Если теперь через
контур пропустить ток того же направления, то участок с будет
охлаждаться (Q. > 0), а участок b — нагреваться (Qb < 0). Если,
например, между двумя различными полупроводниками или между
полупроводником и металлом имеются выпрямляющие контакты,
то из этого правила следует, что при протекании тока в пропускном
направлении выпрямляющие контакты нагреваются, а в запорном—
охлаждаются. При этом, однако, должно выполняться условие:
рекомбинация носителей тока должна происходить в непосред-
ственной близости от контактов путем безызлучательных пере-
ходов.
Явление Томсона представляет собой выделение (или поглощение)
тепла в проводнике с градиентом температуры dTjdx при про-
текании тока. Тепло, отбираемое от окружающей среды на длине dx
проводника, пропорционально току и градиенту температуры:
т <*Т
J dx.
т dx
Коэффициент хт называется
Три коэффициента а,
ниями Томсона
коэффициентом Томсона.
т связаны между собой соотноше
Т2 Т1
Дифференциальная
определению, зависят
ние (4.5) позволяет
термо-э. д. с. и коэффициент Пельтье, по
от свойств обоих материалов. Соотноше-
вычислить абсолютную дифференциальную
термо-э. д. с. материала.
Согласно (4.5), можно записать
о
о
160
Гл. 4. Термоэлектрические явления
-w-_ - - _•-J. ________________——М
При написании этого уравнения предполагается, что а1(2 = 0 при
Т=0; к этому мы еще вернемся. Очевидно, что alj2 выражается
через сумму двух членов, каждый из которых относится лишь
к одному материалу. Величина
(4-7)
О
называется абсолютной термо-э. д. с. материала 1. Если для опре-
деленного вещества измерить тг1 как функцию Т, то из (4.7) можно
найти 04 как функцию Т.
Если известно 04 для одного вещества, то абсолютную вели-
чину а2 для другого вещества можно определить путем измерения
а1,2» согласно соотношению
a12 = a2 — 04. (4.8)
Абсолютная дифференциальная термо-э. д. с. металлов была
определена в работах [28, 268, 422, 423]. Для а были найдены
значения порядка единиц — десятков микровольт на градус.
Абсолютная дифференциальная термо-э. д. с. полупроводников
обычно выше, чем для металлов по крайней мере на порядок
величины. При измерении а1>2 по схеме фиг. 35, где 1 — полупро-
водник, а 2 — металл, получаем a2ti^ai в пределах точности
измерений. При расчетах термо-э. д. с. полупроводников обычно
считают, что материал 2 имеет а2, равное нулю, откуда a2>1 = a1 = a.
Величина а называется дифференциальной термо-э. д. с. полупро-
водника.
Для металлов условие а—>0 при Г—>0 следует из третьего
начала термодинамики (теорема Нернста). Если металлы ниже тем-
пературы Ts становятся сверхпроводящими, то а = 0 при Т < Т$.
Колер [114] показал, что третье начало термодинамики в случае
полупроводников приводит только к условию aa->0 при Т->0.
Если проводимость полупроводника о—>0 при Т—>0 (как это
бывает, если нет проводимости по примесной зоне), то из усло-
вия aa—>0 не следует, что а-ч>0 при Т->0.
Во всех этих рассуждениях предполагается, что концентрация
носителей тока в полупроводнике 1 соответствует тепловому
равновесию. Явления, наблюдаемые в присутствии избыточных кон-
центраций носителей тока, рассматриваются в § 5—7 настоящей
главы.
Для расчета э. д. с. можно воспользоваться интегралом (2.58)*
в который вместо F подставить выражение (2.60). Предполагаем,
что Т — Т -j- АД где LTВсе свойства материалов 1 и 2
можно считать функциями только от Тг так как предполагается,
что материалы 7 и 2 однородны/
§ 2. Основные уравнения
161
Тогда из (2.58) и (2.60) получаем для термо-э. д. с.
(4.9)
Первый интеграл равен нулю благодаря условию, что точки а и а7
имеют одинаковые свойства (состав и температуру). Если S*o, S*
положить равными нулю в материале 2 (чтобы получить абсолют-
ную термо-э. д. с. материала /), то из (4.9) следует
(4.Ю)
и с учетом того, что ДТ<^Г7, это приводит, согласно теореме
о среднем значении интеграла, к общему выражению для диффе-
ренциальной термо-э. д. с. а полупроводника или металла
t па + f Ла .
пр п ' рО р
(4.Н)
Если подставить вместо их
/гО ’ рО
то можно также записать
значения из (2.48), (2.49),
Дифференциальная термо-э. д. с. полупроводника с двумя
типами носителей тока дается суммой дифференциальных термо-
Э. д. с., соответствующих каждому типу носителей тока, и а
умноженных на коэффициенты t Из формулы (4.12), учи-
тывая значения входящих в нее величин (см. гл. 1, §4), можно видеть,
что для полупроводника я-типа термо-э. д. с. а отрицательнаt
а для полупроводника p-типа а положительна. В случае собст-
венного полупроводника знак а зависит от того, какой тип носи-
телей тока обладает большей подвижностью [см. (4.14)].
Рассмотрим только один тип носителей тока, например элек-
троны в зоне проводимости. Очевидно, что дифференциальная
термо-э. д. с. зависит от суммы потенциальной энергии — и ки-
нетической энергии переноса Q* В полупроводниках абсолютные
значения обеих этих энергий складываются, поэтому дифферен-
циальная термо-э. д. с. велика. В металлах—С,й0 < 0 и мало отли-
чается от Q* Поэтому сумма их мала, и дифференциальная термо-
э. д. с. металлов мала по сравнению с дифференциальной термо-
э. д. с. полупроводников. .
Для расчета дифференциальной термо-э. д. с. нужно прежде
всего определить Ся0. Если известна концентрация электронов и
эффективная масса электронов mndi то Ся0 можно найти из
162
Гл. 4. Термоэлектрические явления
соотношения (1.29). Наоборот, по известным значениям ап и /г0
можно определить эффективную массу mnd, если, конечно, известно
также Q*.
В случае применимости классической статистики после подста-
новки из уравнения (1.32) получим для дифференциальной термо-
s. д. с. полупроводника /г-типа
(4.13а)
.и аналогично для полупроводника р-типа
(4.136)
Величины Q*, Q* определены в гл. 2, § 2; более подробный анализ
приведен в § 3 настоящей главы.
Для собственного полупроводника
Соотношения Томсона легко вывести из известного соотно-
шения термодинамики, согласно которому прирост энтропии равен
количеству тепла, обратимо подводимому к системе от среды,
деленному на Т. Аналогичное соотношение справедливо и для тер-
модинамики необратимых процессов: прирост тока энтропии вдоль
образца Д5*//(—е) равен теплу, подводимому к проводнику за еди-
ницу времени, деленному на Т.
Эффект Пельтье соответствует пространственному изменению
тока энтропии. Для простоты предположим, что оба проводника
на фиг. 35 представляют собой полупроводники /г-типа, и рас-
смотрим контакт Ь. Для прироста тока энтропии, согласно при-
веденному выше замечанию и по формуле (4.2), получим
Если принять во внимание, что, согласно (4.8) и (4.11),
то легко получить соотношение Томсона (4.4).
Эффект Томсона соответствует изменению тока энтропии с тем-
пературой. Рассмотрим однородный полупроводник n-типа с тем-
пературным градиентом dTjdx, через который протекает ток
§ 3. Теплота переноса
163
Для изменения тока энтропии на расстоянии dx, согласно (4.3),
получим
J dS* dT
е dT dx
(4.16)
Так как =то отсюда вытекает соотношение Том-
сона (4.5).
Относительно выполнимости соотношения Томсона (4.4) были
высказаны сомнения Штеенбеком и Баранским [376] на основе про-
деланных ими измерений на германии. Однако недавно Баран-
ский [587] показал, что расхождения были обусловлены неодно-
родностью образцов.
Основные уравнения теории термоэлектрических явлений в ани-
зотропных материалах приведены в работах [161, 200]. Просто
написанный обзор особенностей термоэлектрических явлений в ани-
зотропных средах дается в книге Ная [378] (он обозначает энтро-
пию буквой S вместо 5*).
Влияние механических напряжений на термо-э. д. с. теорети-
чески рассмотрено Прайсом [288] и Дребблом [419]. Эксперимен-
тальные результаты содержатся в работах [470] (теллур) и [485]
(германий п-типа).
Зависимость дифференциальной термо-э. д. с. от поверхно-
стных явлений исследована экспериментально Земелем [558] и тео-
ретически Грином [559].
§ 3. ТЕПЛОТА ПЕРЕНОСА
Теплота переноса является величиной, характерной для термо-
электрических явлений. В гл, 2, § 2, рассмотрено ее определение
и выведены основные соотношения. Здесь мы проведем более
подробный анализ.
Электронные составляющие
нием (2.32):
определяются выраже-
пе
(4.17)
Величину Q* легко вычислить, если зависимость от можно
представить в виде т Тогда из (1.71) следует
• /L Iit
2r+ 5 Pr+s,^kT}
2г+ 3 ’
(4-18)
что в случае применимости классической статистики приводится
к виду [согласно (1.72)]
(4-19)
164
Гл. 4. Термоэлектрические явления
Особыми случаями являются рассеяние на тепловых колеба-
ниях решетки:
Q*ne = 2kT (4.20)
и рассеяние на ионизованных примесях:
4ЛТ.
(4.21)
Случай смешанного рассеяния рассмотрели Ансельм и Кляч-
кин [129]; они нашли, что всегда 2kT < Q*e < 4kT. Соотношения
были выведены в предположении сферических поверхностей энер-
гии. Такие же соотношения имеют место для дырок.
С физической точки зрения Q* тем больше, чем большая доля
тока, переносится быстрыми электронами. Например, при рассеянии
на ионизованных примесях быстрые электроны меньше рассеи-
ион. \ “с/реш.*
такую структуру приведенной зоны, кото-
ваются, чем медленные, тогда как в случае теплового рассеяния
наблюдается обратная зависимость. Поэтому
Если рассматривать
рую, например, имеет зона проводимости германия или кремния,
то, согласно Херрингу [241], электроны могут рассеиваться таким
образом, что они переходят из одного эллипсоида в другой
(см. гл. 1, § 8). Такой тип рассеяния приводит к тому, что боль-
шая доля тока переносится медленными электронами и Q*e < 2kT.
Рассмотрение случая валентной зоны германия усложняется нали-
чием двух типов дырок (см. [195], а также [193]). При изучении
рассеяния на ионизованных примесях Спитцер и Хёрм [155] при-
няли во внимание рассеяние электронов на электронах и нашли,
что Q* = 3,2&Т; согласно этой работе, значение 4kT справедливо
только для сильно компенсированных полупроводников (величина
.,ND— Na\ мала по сравнению с NDi Мл).
Расчет часто приводит к значениям Q^jkT, Q*JkT, которые
зависят от Т. Например, дальнейшее приближение при расчете
рассеяния на тепловых колебаниях приводит к более сложному
выражению, зависящему от температуры, в то время как первое
приближение дает значение 2 [298].
Особенно сложным являются выражения для Q*^, Q* в случае
рассеяния на оптических колебаниях, когда нельзя пользоваться
выражением (4.17) вследствие неприменимости приближения для
времени релаксации [476].
Для InSb этот вопрос рассмотрен подробно в работах Эрен-
райха [331, 431]. В качестве примера на фиг. 36 *) приведены
вычисленные им значения Q! IkT для различных типов рассеяния,
!) Автор благодарит Эренрайха за предоставление этой фигуры,
§ 3. Теплота переноса
165
которые дают хорошее согласие с экспериментом (см. § 4 настоя-
щей главы).
Приближенные выражения, основанные на апроксимации (1.87а),
приведены в работах Родо [335, 383]. Величины Q^jkT и
Фиг. 36. Теплота переноса Qne для InSb (по Эренрайху
[331, 431]).
Л —рассеяние электронов на акустических колебаниях решетки, рассчи-
танное методом потенциалов деформации (см, гл. I, § 8); В —полярное
рассеяние электронов; С —рассеяние электронов на дырках; D — комбини-
рованное рассеяние (полярное и электрон — дырка) для эффективного заряда
иона с * — 0,13 (определение см. в [331]); Е— то же самое для е* = 0,20.
как правило, возрастают с температурой и их значения порядка
единицы (обычно они лежат в пределах от 2 до 4).
Другая составляющая Q* Q* связана с влиянием потока
фононов на движение электронов и дырок. Этот эффект обнару-
жили на германии почти одновременно Фредерикс [150, 151] и
Джебалл [152, 192]. Они нашли, что дифференциальная термо-
э. д. с. германия при низких температурах достигает больших зна-
чений, которые не могут быть объяснены на основе соотноше-
ний (4.12) при — Q*==Q*g.
Результаты измерений на германии /7-типа представлены на
фиг. 37. Сплошная линия изображает изхмеренную дифференциальную
166
Гл. 4. Термо электрические явления
термо-э. д. с., пунктирная линия — ее „ электронную “ соста-
вляющую. Фредерикс [151] и Херринг [153, 193] объясняют раз-
личие между этими кривыми тем, что в изотропном полупровод-
нике с градиентом температуры фононы не обладают изотропным
распределением по скоростям, как в случае нулевого градиента
температуры, но имеют результирующую составляющую скорости
в направлении этого градиента. Электроны (или дырки) увле-
каются фононами при их движении, так что холодный конец за-
ряжается отрицательно (или положительно); в обоих случаях это
/4
1OQ
200
300
72
Фиг. 37. Зависимость дифферен-
циальной термо-э. д. с. а от темпе-
ратуры, измеренная на германии
/г-типа (с концентрацией примесей
1,5 • 1014 акцепторов на 1 сж3) по
Джебаллу и Халлу [192].
Пунктирная кривая дает значения а, вычис-
ленные в предположении, что Q == Q . Раз-
р pg
личие между двумя кривыми обусловлено
влиянием фононов.
явление увеличивает абсолютное значение дифференциальной термо-
э. д. с. Движение фононов может тормозиться либо наличием при-
месей, либо взаимодействием фононов с фононами, которое растет
с температурой. Следовательно, этот эффект можно наблюдать
только на совершенных монокристаллах достаточно чистых полу-
проводников и при низких температурах (см. фиг. 37).
Теория этого явления для металлов была предложена уже
в 1945 г. Гуревичем [67], а позднее — Клеменсом [115, 196, 242].
Пикус [116] применил ее к полупроводникам. Для оценки средней
длины свободного пробега фононов он использовал формулу (1.89)
из теории фононной теплопроводности
-фс/ф. - т (4-22)
§ 3. Теплота переноса
167
где время релаксации фононов с—’Средняя скорость
звука, С — удельная теплоемкость при постоянном объеме, отне-
сенная к единичному объему.
После подстановки величин, известных из опыта, Пикус
получил очень малые значения для /ф (и, следовательно, тж) и
отсюда заключил, что фононы слабо влияют на величину термо-
э. д. с. Это заключение оказалось ошибочным по следующим
соображениям: в образовании фононной теплопроводности
участвуют все разрешенные типы акустических фононов, и /ф,
Тф представляют собой средние значения для всей совокупности
фононов. Однако оказалось, что из всей совокупности фононов
во взаимодействие с электронами или дырками вступают только
длинноволновые фононы. Эта группа фононов находится в сравни-
тельно слабом взаимодействии с коротковолновыми фононами, и,
следовательно, энергия передается лишь медленно; они довольно
слабо тормозятся даже в результате других столкновений вслед-
ствие большой длины волны. С носителями тока длинноволновые
фононы находятся в сильном взаимодействии, но мы предполагаем,
что концентрация носителей мала. Поэтому и т' для этой
группы фононов имеют более высокие значения, чем 1$ и Гф,
входящие в уравнение теплопроводности (4.22).
Из соотношений (2.26) и (2.27) следует, что для расчета
Q* <2*ф необходимо определить, какой электрический ток воз-
никает при увлечении носителей тока потоком фононов или
какой тепловой поток фононов вызывается электрическим током.
Первый способ использован в работах [64, 67, 68, 151, 197, 198],
второй — в работах [153, 196]. В этих работах подробно изла-
гается теория. Здесь мы рассмотрим лишь простой вывод Пар-
ротта [197], основанный на первом способе, в формулировке
Херринга [390].
Проблема упрощается при введении следующих предположений:
а) Рассматривается полупроводник п-типа.
б) Все рассматриваемые фононы, которые находятся во
взаимодействии с электронами в изотропном полупроводнике,
соответствуют акустической ветви колебательного спектра, и их
частота равна c|q|/2ic, где с—скорость звуковых волн, одина-
ковая для.всех фононов, q—волновой вектор фононов.
в) Процессы столкновений этой группы фононов, которые
стремятся восстановить равновесное распределение, можно
описать с помощью одного времени релаксации т! и одной сред-
ней длины свободного пробега I'
Распределение по скоростям в случае градиента температуры
является анизотропным, поскольку в направлении от теплого
163
Гл. 4. Термоэлектрические явления
конца к холодному движется больше фононов, чем в противо-
положном направлении. Это явление грубо можно описать таким
образом, что рассматриваемые фононы перемещаются со средней
скоростью .t/ф, которая равна скорости, с которой должен дви-
гаться наблюдатель, чтобы он измерял нулевой поток тепла для
данной группы фононов. Этот поток наблюдатель в покое выра-
зил бы через произведение ги и плотности тепловой энергии.
Этот поток тепла можно также представить в виде произве-
дения х, определяемого выражением (4.22), на градиент темпера-
туры, однако в (4.22) вместо /ф и Тф нужно подставить гораздо
большие величины Z1, Тф,
а вместо С — значение удельной тепло-
емкости С', соответствующее рассматриваемой группе фононов.
Сравнивая оба выражения- для потока тепла и подставляя вместо
плотности тепловой энергии СГТ (что справедливо для длинновол-
новых фононов), получим* приближенное выражение
<4-23>
Если рассеяние электронов происходит на этих фононах, то
электроны при нулевом электрическом поле приобретают среднюю
скорость т/ф. Тогда возникнет электрический ток плотности
/ф = — епоъф. (4.24)
Сравнение с выражением (2.42) позволяет получить для Q*
выражение
* ____ ________ I ес^ф
лФ “ anQ grad Т ~~ 3 р.~ *
е Г
(4.25)
Если, помимо взаимодействия с электронами, происходит еще
рассеяние на примесях, то правую часть равенства нужно умно-
жить на множитель так как только часть $ф всех соударений
происходит с рассматриваемыми фононами.
Используя другой, более точный метод, можно получить
такое же выражение для Q* но без множителя т/з:
--.-------—--
Но
(4.26)
где с' — некоторое среднее значение скорости
„фононной" части дифференциальной термо-э.
(4.12), имеем
/2 1
__ Фдф . V ф
М ~ ёТ ““ ” рпТ •
звука [193]. Для
д. с., согласно
(4.27а)
£ 3. Теплота переноса
169
Рассматривая полупроводник /7-типа, можно
образом получить
__ФрФ____ 5ФС ТФ
М~ еТ ~ ррТ *
аналогичным
(4.276)
(4.28)
1°К, так
мы хотим
Подставляя вместо подвижности р. выражение (1.76), можно
привести выражение для дифференциальной термо-э. д. с к виду
k ТПрС Тф
kT ‘ тР[Х ’.
ь
Величина k/e равна 86,3 мкв/град, трс' /к порядка
что "Сф должно значительно превышать тр1х, если для арф
получить наблюдаемое значение порядка 103 MKefzpad.
Херринг [390] приводит следующие значения для герма-
ния />-типа:
1) Для Г=80°К: тр(1^6,8 • 10-12 сек. (рР[Х = m-pV-p/e, где
т =0,35/п); из (4.28) следует для Зф< — 1,1 • 10-8 сек (за сг
принята скорость продольных волн). Согласно (4.22),
Тф = 7,7 • 10-11 сек (с—средняя скорость акустических волн).
2) Для Т= 20° К: т_ =5,4- 10“п сек- s.< = 2,6- 10“7 сек\
7 г ’ р Р* y j ip
Тф —- 4,1 • 10~9 сек.
С понижением температуры вначале время релаксации т'
увеличивается, а затем приближается к насыщению. Значение т'
при насыщении зависит от размеров образца и соответствует
рассеянию длинноволновых фононов на стенках образца.
Значение т' при насыщении для продольных и поперечных
звуковых волн т' и т' можно определить, согласно [193], по
формуле Казимира [53]
czV = с/хф/= ьи, . (4.29)
где а —сторона квадратного сечения образца, ct, ct — средние
значения продольной и поперечной скорости звука. Для образца
германия размерами я —0,2 см t'z = 3,8 • 10 7 сек. Приведенное
выше значение т' при 20° К указывает на то, что здесь, вероятно,
уже наступило рассеяние на стенках образца. Действительно,
опыт показал, что при очень низких температурах зависит от
размеров образца [192].
Явление увлечения фононами было обнаружено сравнительно
недавно, поскольку для его. наблюдения необходимы чистые и
170
Гл. 4. Термоэлектрические явления
совершенные монокристаллы полупроводника и опыт должен
проводиться при очень низких температурах. Этот эффект встре-
чается во всех полупроводниках. Он наблюдался на германии р-
и п-типа [150—152, 192, 199], на кремнии р~ и п-типа [243],
на InSb /7-типа [244], на MoS2 р-типа [156], на теллуре [467],
на алмазе [468] и на других материалах.
С теоретической точки зрения исследование этого явления
имеет особое значение в связи с проблемой взаимодействия длинно-
волновых фононов с носителями тока, как было показано,
в частности, в работах Херринга [193, 390]. Вопрос о возмож-
ности разложения Q* на составляющие Q*ne и Q* рассмотрен
Аппелем [356].
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
г
Мы рассмотрим два возможных применения термоэлектри-
ческих явлений: для определения некоторых параметров полу-
проводников и для непосредственного преобразования тепловой
энергии в электрическую или, наоборот, путем использования
эффекта Пельтье для создания охлаждающих элементов.
1. Определение эффективных масс
Наиболее ранней экспериментальной работой по термо-э. д. с.
полупроводников является работа Бедекера [9], который пытался
связать это явление с проводимостью и постоянной Холла.
В качестве примера на фиг. 38 приведена типичная для полу-
проводников зависимость дифференциальной термо-э. д. с. от
температуры. Это результаты измерений, проведенных Тауцем и
Матиашем [161] на образцах InSb.
Из (4.12) следует, что для полупроводника р- или п-типа
(когда 1^поап1^> ^ро^р или наоборот) можно определить положение
уровня Ферми, если известно значение (Q* или Q* При доста-
точно высокой температуре, когда эффект увлечения фононами
можно не учитывать, можно вычислить эту величину, если
известен тип рассеяния носителей тока. Для InSb |лл/[л имеет
большое значение (в работе [157] приводится значение 85), и,
следовательно, |tntfin | tp^p не только для образца n-типа, но
по всей области собственной проводимости. При этих условиях
^оар пренебрежимо мало, и уровень Ферми можно определить
по формуле
(4.30)
§ 4. Применение термоэлектрических явлений
171
На фиг. 39 изображено положение уровня Ферми, рассчитанное
по этой формуле при трех различных предположениях: a) Q*n — 2kT,
б) Q* — 4kT и в) Q*n определяется функцией, введенной Эрен-
райхом (см. фиг. 36), которая очень точно совпадает с действи-
тельным ходом этой величины. Каким бы приближением мы ни
Фиг. 38. Зависимость дифференциальной- термо-э. д. с. а от темпера-
туры для четырех образцов InSb, данные для которых приведены на
фиг. 10 и 11.
Кривые а и & теоретически рассчитаны Эренрайхом [431]: кривая а — для £*=0,13, кривая
6 —для £*=0,20: они соответствуют случаю комбинированного рассеяния (полярное и
электрон —дырка) (см. фиг. 36). Теоретические кривые справедливы для области собст-
венной проводимости.
пользовались, очевидно, что электронный газ будет вырожден
(Сл0 > 0) практически во всей области, в которой можно исполь-
зовать формулу (4.30).
Если положение уровня Ферми известно из измерений диф-
ференциальной термо-э. д. с., а концентрация носителей тока—из
измерений эффекта Холла, то из (1.29) можно определить эф-
фективную массу mnd и mpd для плотности состояний.
Этот метод был применен к электронам в InSb целым рядом
исследователей [238, 301, 293, 302]. В результате этих работ
было найдено, что mnd равно примерно 0,036m при комнатной’
и более высоких температурах и 0,013m при температурах ниже
комнатной. Это последнее значение согласуется с измерениями
Гл. 4, Термоэлектрические явления
Фредерикса и др, [244], а также со значением, полученным
методом циклотронного резонанса (если положить mnd^mn, что
в случае InSb допустимо в первом приближении).
Это увеличение эффективной массы с температурой было
объяснено тем, что с увеличением энергии электрон попадает
Ф и г.
39. Зависимость положения уровня Ферми от температуры для
тех же образцов InSb, что и на фиг. 38.
Сплошные кривые рассчитаны в предположении, что Q — 2йГ; пунктирные кривые для
J
образцов /г-типа —в предположении, что О —4йГ. Пунктирные кривые для образцов
p-типа (при низких температурах) построены с использованием значений Q , представ-
ленных кривой Е на фиг. 36.
в такие участки приведенной зоны, где искривление поверхностей
постоянной энергии меньше. Однако Эренрайх [331, 431] показал,
что при учете реальной зонной структуры и реального рассеяния
носителей тока можно рассчитать зависимость дифференциальной
термо-э. д. с. от температуры, использовав значение эффективной
массы определенное методом циклотронного резонанса. Кривая
Эренрайха, справедливая для области собственной проводимости,
представлена на фиг. 38 [431].
Шоттки [162] из измерений термо-э. д. с. определил эффек-
тивную массу дырок в селене и получил значение
§ 4. Применение термоэлектрических явлений
173
Измерение термо-э. д. с. для германия было проведено
Ларк-Горовитцем и др. [69], Фредериксом [151] и Джебаллом и
Халлом [192]. Измерения последних двух авторов дали очень
ценные результаты, касающиеся эффекта увлечения фононами
при низких температурах (см. § 3 настоящей главы), которые
были использованы при построении теории этого явления. Резуль-
таты цитированных выше работ можно обсуждать только на
основе детальной квантовомеханической теории явлений переноса,
что лежит за пределами настоящей монографии.
Джебалл и Халл, анализируя электронную часть термо-э. д. с.
при высоких температурах, нашли для германия mnd = (Q,75 ± 0,2)
что полностью согласуется со значением, приведенным в табл. 1,
и такое же значение для m d (здесь совпадение хуже). Для крем-
ния эти же авторы [243] в основном тем же методом получили
/п^//п^1, однако эффективную массу дырок mpd им не удалось
определить с достаточной точностью.
Зависимость ntnd в InSb от концентрации. электронов была
изучена в работах [583, 584]. Термоэлектрические свойства сильно
легированного германия n-типа описываются в работе [569].
В общем очевидно, что даже очень точные измерения термо-
э. д. с. не позволяют с достаточной точностью определить эф-
фективную массу для плотности состояний.
Ниже перечисляются работы, посвященные измерению термо-
э. д. с. в различных полупроводниках:
алмаз [468],
серое олово [465, 300],
AlSb [406],
GaSb [469],
InAsJVx I474» 472> 473L
Te Se [169],
PbSe, PbTe [133, 311, 358—360, 545, 553],
HgCd, HgTe, HgSe [269, 517, 581],
Bi2Te3, Bi2Se3, Sb2Te3 [204, 251, 254, 255, 306, 310, 344,
357—360, 403, 409, 410, 475, 477, 478, 490, 519, 540, 566],
ZnSb, CdSb [130—132, 426, 437, 438, 509, 510, 512],
Sb —Те [256],
CoSb [309],
CoSb3 [408],
TiO2 [84, 511],
Cu2O [93],
различные окислы *) [188, 425, 47.1],
!) Теория термо-э. д. с. в веществах, в которых прохождение
электрического тока связано с перескоком электронов с иона на сосед-
ний ион, рассматривается в работе-[479].
174 Гл. 4. Термоэлектрические явления
бориды и карбиды [427],
МпА13 [544],
сплавы Si — Сг [550].
Регель и его сотрудники исследовали термо-э. д. с. расплав-
ленных полупроводников: теллура и селена [170], германия [372],
InSb, GaSb [480].
Значительный интерес представляет использование термо-э. д. с.
для определения разности температур между обычными электро-
нами, находящимися в состоянии теплового равновесия с решет-
кой, и „горячими" электронами, которые получили избыточную
энергию под действием электрического поля. Попытку измере-
ния этой разности температур предприняли Штеенбек [303] и
Кёниг [429].
2. Термоэлектрические генераторы и охлаждающие элементы
Важными областями применения термоэлектрического эффекта
являются термоэлектрические генераторы тока и охлаждающие
элементы. Принципиальная схема этих устройств представлена на
гг
Фиг. 40. Принципиальная схема термоэлек-
трического генератора тока или охлаждаю-
щего элемента.
фиг. 40. Элементы состоят из двух полупроводников 1 и 2, один
из которых р-типа, а другой — /г-типа; к ним припаяны метал-
лические контакты. Если элемент должен работать как генератор
электрического тока, то между обоими концами полупроводников
поддерживается разность температур Т! — Т!. Наоборот, если
через элемент пропускать электрический ток от внешнего источ-
ника, то один конец будет нагреваться, а другой — охлаждаться
в зависимости от направления тока; на этом основана конструк-
ция охлаждающего элемента. Эффективность этих процессов опре-
деляется значениями дифференциальной термо-э. д. с. аЬ2, электро-
проводности а2 и теплопроводности у4, х2. Теорию к. п. д.
термоэлементов и охлаждающих элементов развил Альтен-
кирх [7, 8]. Она основана на простом рассмотрении потерь на
§ 4. Применение термоэлектрических явлений
175
джоулево тепло и потерь на теплопроводность. Окончательные
выражения приведены здесь в той форме, которую им придал
Иоффе [350].
Прежде всего оказывается, что для достижения максималь-
ного к. п. д. сечения S2 обеих ветвей термоэлемента нужно
выбирать в соответствии с отношением
(4-31)
(см. также [404]).
Если элемент используется как генератор тока, то оптималь-
ное нагрузочное сопротивление /?опт. определяется выражением
(4,32)
вн.
— внутреннее сопротивление термоэлемента, а
а
(4.33)
определяемый как отношение электрической мощ-
опт, к тепловой мощности,
нагретому концу, при этих условиях дается
ности, выделяемой на сопротивлении R
подводимой
выражением
^термоэлемента
/Т"
(4.34)
гДе Т” > Т и М определено выражением (4.32).
Если термоэлемент работает как охлаждающий элемент, то
к. п. д. определяется как отношение тепловой мощности, отби-
раемой от окружающей среды у холодного спая, к подводимой
электрической мощности и дается выражением
Холодильника
где Т" < 7\
Это выражение справедливо только при условии,
менту приложено оптимальное напряжение
опт. ^1» 2
(4.35)
что к эле-
(4.36)
опт.
Из соотношения (4.35) следует, что максимальная разность
температур Т — т7, которую МОЖНО получить при Холодильник = 0»
составляет
Д7макс=Г-Г=фг2. (4.37)
Из приведенных выражений очевидно, что к. п. д. термо-
элемента при обоих включениях зависит, с одной стороны, от
температур Т Т', и, с другой — от свойств материалов через
176
Гл, 4. Термоэлектрические явления
посредство величины z. Кроме того, необходимо, чтобы и а2
имели разные знаки и чтобы для; каждого полупроводника отно-
шение а2а/х было по возможности наибольшим.
Что касается практического использования термоэлектрических
- генераторов и охлаждающих элементов, то здесь центральной
проблемой является отыскание подходящих материалов. В этом
направлении были достигнуты первые успехи, однако вопрос нужно
пока считать открытым.
В то время, когда Альтенкирх проводил свои исследования
(около 1910 г.), в его распоряжении были только металлические ма-
териалы, для которых выполняется закон Видемана—Франца (см.
гл. 1, § 9) и дифференциальная термо-э. д. с. мала — не превы-
шает нескольких десятков микровольт на градус. Максимальный
к. п. д. для этого случая равен примерно 1%, что не предста-
вляет интереса с точки зрения технического применения.
Для полупроводников положение более благоприятное, по-
скольку дифференциальная, термо-э. д. с. во много раз больше.
Однако здесь проявляется большая фононная теплопроводность,
которая добавляется к электронной теплопроводности. Поэтому
основной проблемой является отыскание полупроводника с высо-
ким значением термо-э. д. с., большой электропроводностью
(т. е. с высокой подвижностью носителей тока) и с малой фо-
нонной теплопроводностью.
Маслаковец в 1940г. создал термоэлектрический генератор
на основе PbS и получил к. п. д. 3% [289]. Телкес [76, 194]
исследовала. различные металлы и интерметаллические полупро-
водниковые соединения с точки зрения их пригодности для созда-
ния термоэлектрических генераторов. Этой проблемой занимались
также Юсти и Лаутц [130, 131], которые изучали интерметалли-
ческое соединение CdSb. Голдсмид и Дуглас использовали
полупроводниковое соединение Bi2Te3 для создания полупро-
водниковых охлаждающих элементов и получили в 1954 г.
разность температур 26°С [204] и позднее 40° С [254] (см.
также [399]).
Иоффе и его сотрудники систематически работали в указанном
направлении в течение многих лет и исследовали целый ряд различных
материалов, в основном пригодных для постройки охлаждающих эле-
ментов. Перечень достигнутых результатов приводится в работах
Иоффе и др. [289, 290, 377], а также Коленко и Стильбанса [402].
Недавно Иоффе и др. [507] рассмотрели различные нерешенные
физические проблемы в этой области. Иоффе, Мойжес и Стиль-
банс [551] проанализировали возможности использования полу-
проводников для получения электроэнергии.
В 1956 г. группа Иоффе получила на охлаждающих элемен-
тах разность температур около 70° С, которая была еще увеличена
§ 4, Применение термоэлектрических явлений 177
в более поздних работах. Попытаемся привести здесь главные
идеи, на которых основан прогресс в этой области.
Как было отмечено выше, основная проблема заключается
в том, чтобы найти материал с максимальным значением а2о/х.
Для каждого материала нужно подобрать легирование примесями,
которые определяют концентрацию носителей тока, так чтобы а2о
было по возможности наибольшим. Этот .вопрос решить сравни-
тельно легко. Для данного полупроводника а2с максимально,
когда а равно около 170 мкв]град [402, 403]. Отсюда следует,
что концентрация носителей тока должна быть сравнительно вы-
сокой, так что уровень Ферми оказывается вблизи валентной зоны
или зоны проводимости, или даже имеется слабое вырождение
(уровень Ферми смещен на несколько kT внутрь валентной зоны
или зоны проводимости [405]).
Основная трудность заключается в том, что имеется фононная
составляющая теплопроводности, которая обычно значительно
превышает электронную. Согласно соображениям, рассмотренным
в гл. 1, § 9, с этой точки зрения необходимо использовать по-
лупроводники с большими средними атомными весами, как было
выяснено в работах- [201—203]. Поэтому начали проводиться
исследования с бинарными соединениями тяжелых элементов, та-
кими как PbSe, PbS, HgTe, HgSe, Bi2Te3, Bi2Se3 и др.
А. В. и А. Ф. Иоффе показали [205, 307, 308, 536], что
наиболее выгодными являются тройные системы, например смесь
полупроводниковых соединений PbSe—РЬТе. При добавлении
в РЬТе селена атомы селена замещают атомы теллура. При этом
оказывается, что фононная составляющая теплопроводности вначале
падает с увеличением содержания селена и для концентрации
PbSe : РЬТе—1 : 1 достигает плоского минимума, в то время как
подвижность носителей тока меняется мало (фиг. 41). Это обу-
словлено тем, что неправильности структуры сравнительно слабо
влияют на среднюю длину свободного пробега носителей тока,
поскольку их длина волны порядка десяти межатомных расстоя-
ний, но они существенно уменьшают среднюю длину свободного
пробега коротковолновых фононов, длина волны которых прибли-
зительно равна расстоянию между атомами. Отношение рьЛ/хф
в твердом растворе РЬТе—PbSe в 1,5 раза больше, чем в чи-
стом РЬТе и в 2 раза больше, чем в чистом PbSe.
Типичные значения параметров полупроводниковых материалов,
интересных с точки зрения применения термоэлектрических свойств,
приведены в табл. 2.
Тройные системы типа, представленного в табл. 2, являются
очень хорошими материалами для изготовления охлаждающих
элементов, а также термоэлектрических генераторов с горячим
концом при температуре не более 250° С. Рози и др. [594]
178
Гл. 4. Термоэлектрические явления
рассмотрели проблему материалов для термоэлектрических генера-
торов и нашли, что при более высоких температурах могут успешно
применяться тройное соединение AgSbTe2 и его сплавы с GeTe,
представляющие собой лучшие материалы p-типа, и РЬТе—SnTe —
лучший материал n-типа для температур 250—550° С. Используя
комбинацию перечисленных материалов, они получили к. п. д.
около 12% в области температур от 20 до 550° С.
200
I - » I_________I™____I_____\0
о 20 40 60 80 100
PbSe, %
Фиг. 41. Зависимость подвижности элек-
тронов и фононной теплопроводности х.
раствора РЬТе -р PbSe от содержания PbSe
(по Коленко и Стильбансу [402]).
Технология приготовления (материалы, спеченные в порошке,
поликристаллические и монокристаллические) сильно влияет на
результаты. Оптимальные процессы приготовления и значения па-
раметров, полученные в промышленных лабораториях, по-види-
мому, не были опубликованы. В монографии Голдсмида [504]
описываются практические применения термоэлектричества. Мно-
гие результаты исследований приведены в сборнике [529].
В последнее время большое внимание уделяется другим слож-
ным системам, основанным на соединениях элементов III—V групп
(например, InAs^P^^, Ga^In^^As) и на соединениях теллура,
таких, как
AgSbTe2_xSex [516, 517],
AgSbTe2—РЬТе—SnTe, AgInTe2—HgTe—CdTe [513],
AgTlTe [514],
p-Ag2Te [515].
Таблица 2
Свойства типичных материалов, пригодных для термоэлектрических применений
Материал При- месь Тип - 1 ® 1> мкв/град -1 Л—1 вт-см -град град 1 Теоретические значения
* дт макс. (Г =300° К) ^макс. (Tz/ = 600° к, Т* =300° К)
Металлы 105—106 10 0,2 4 <3- К)4 < 14° К < 296
Бинарные соединения Bi2Te3 *** р 525 240 2- 10“2 1,51 -10~3 | } 54° К 9,296
В12Те3 *** AgJ п 1148 202 2,16 • 10 2 2,16- 10‘3
Тройные соединения (5Ь2Тез)о,75 — /D. >**» (В12Тез)о.25 Ge р 1530 L 180 1,41 10-2 3,5- 10 ‘3 1 1 [ 78° К 1 13,5%
(В12Тез)о,75 — (^12^ез)о>25 п CuBr п 732 208 1,13- 10-2 2,8-10-3
* По формуле (4.37).
** По формуле (4.34)*
*** По [403].
**** По [475].
***** по [410].
180
Гл. 4. Термоэлектрические явления
Для высоких температур нужно использовать тугоплавкие полу-
проводники» такие, как, например, окислы металлов, керамические
материалы и т. п. Однако, несмотря на изучение термоэлектри-
ческих свойств этих веществ (литературу см. в п. 1 настоящего
параграфа), существенного прогресса пока достигнуто не было.
Для преобразования тепловой энергии от источников с высокой
температурой, по-видимому, более выгодным является не эффект
Зеебека в твердом веществе, а вакуумный или газовый термо-
элемент, принцип работы которого описан в гл. 3, § 8, п. 5
[528, 551].
§ 5. ТЕРМОФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, как изме-
няется величина термо-э. д. с. полупроводника при освещении.
Концентрация носителей в этом случае будет отличаться от кон-
центрации в условиях теплового равновесия, так что соотношения
Томсона (4.4) и (4.5) не выполняются. Указанное явление род-
ственно явлениям, рассмотренным в гл. 3, § 3, так как возникно-
вение э. д. с. при освещении можно считать обусловленным раз-
личием в химических потенциалах на краях- освещенной области.
Ограничим свои рассуждения предположениями 1, 2, 3, 5 и 6,
согласно гл. 3, § 2, и случаем слабой освещенности Да/а0<^1.
Формула для разности между э. д. с., измеренной на осве-
щенном и неосвещенном полупроводнике,
была выведена Тауцем [240] в предположении, что Ев и b = ]in/^p
не зависят от Г; более общая формула, справедливая без этого
предположения, приведена в работе Ван-дер-По и Полдера [297].
Теория явления рассмотрена при условиях, представленных на
фиг. 42. Внутри освещенной части Ь, с имеется перепад темпе-
ратур, приходящийся на область d, е. Градиент этого перепада
невелик, так что переноса концентрации носителей тока, рассмат-
риваемого в § 6 настоящей главы, не происходит.
Из равенств (2.58), (2.59) можно вывести выражение для U
J т Т ( ± Q п 4. QР ЛТ X 'г( f ___________f \
• — е j \ п kT ' р kT ) е ? \п п ? р }
(4-38)
Выражение для f70 имеет такую же форму и отличается только
индексом 0 при величинах. Предполагается, что Qn / T=(Qn—
§ 5. Термофотоэлектрический эффект
181
и Qp/Тне зависят от температуры [см. формулы (2.63), (2.64) и
(4.19)]- Во втором члене не только п0 и р0, но также и отно-
шение подвижностей b рассматриваются как функции Т. В третьем
члене
В предположении, что доноры и акцепторы полностью ионизо-
ваны, п0 и связаны соотношением n0 — N~\~pQ. Далее пола-
гаем, что полупроводник в темноте однородный, т. е. N
= ND—*Na представляет собой константу; тогда dti^-dp^
В области d, е величина Д/г = const, так что
dn = dnG = d Т, dp — ^~rdT. (4.39)
В окрестности точек Ь, с имеем
dti = d&n, d
d&n.
Подставляя эти выражения в
= Т' — т <С Г и. Д<зт/о0 С ]
(4.38) и предполагая
получаем
(4.40)
что ДТ =
b
N
MJ
n i У р
Ст
db 1 ^^z/г
A dT
(4.41)
182
Гл. 4. Термоэлектрические явления
Если подставить в это выражение значения параметров для
германия, то можно убедиться, что &U/&T лежит в интервале
1—10 MKefzpad. Эти значения очень малы по сравнению с обыч-
ной термо-э. д. с., однако они лежат в пределах измерений.
Такое измерение интересно провести потому, что по полученному
значению &UJ&T (при знании прочих параметров) можно вычи-
слить сумму
Qn ~НQp ^Qn—Qp (4.42)
Эта сумма позволила бы получить некоторые сведения о харак-
7
тере рассеяния носителей
тока.
Экспериментальное под-
тверждение существования
этого эффекта было получе-
но по схеме фиг. 43. Об-
разец германия находился
в хорошем тепловом кон-
такте с двумя изолирован-
ными металлическими бло-
ками и освещался прерыви-
стым светом. Если темпе-
ратура обоих блоков была
различна, то возникал си-
гнал, регистрируемый с по-
фиг. 43. Схема для эксперименталь-
ного наблюдения термофотоэлектриче-
ского эффекта.
/ — освещенный образец, 2 — диафрагмирование
контактов, 3— блоки из анодированного алюми-
ния, 4 — подогрев верхнего блока, 5 —узкопо-
лосный усилитель, 6 — ламповый вольтметр.
мощью усилителя и элек-
тронного вольтметра. Обыч-
ная термо-э. д. с. в этой
схеме исключается.
Результаты измерений
Тауца [240] подтвердили су-
ществование этого эффекта
и дали согласие с теорией по порядку величины. Помехи при
измерениях были связаны с наличием объемной фото-э. д. с.,
поскольку не удалось приготовить достаточно однородные образцы;
поэтому результаты недостаточно точны, чтобы сделать какие-либо
выводы о величине суммы Qn -[-Qp.
§ 6. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ
ГРАДИЕНТАХ ТЕМПЕРАТУРЫ
В явлениях, рассмотренных в гл. 3 и в § 5 настоящей главы,
неравновесная концентрация носителей тока была связана с по-
глощением фотонов. Однако имеются и другие причины возни-
$ 6. Термоэлектр. явления при больших градиентах температуры 183
---- Г— | I- , I II —Ь л .ы j — — —и |» 1
Ч.-Л 1 1-----------------------------------------------ш
кновения неравновесной концентрации носителей тока. Наиболее
известная из них — инжекция электронов и дырок в полупровод-
ник, на которой основана работа транзисторов. Эта инжекция
обусловлена диффузией и действием электрического поля на
неосновные носители, которые переходят из области с большой
концентрацией в области с малой концентрацией. Областью
с большой концентрацией дырок является, например, инверсион-
ный слой под металлическим контактом, касающимся материала
п- или p-типа, и р — n-переход (подробное описание этого явле-
ния см. в книге Шокли [94]). Подобная неравновесная концен-
трация, если только она имеет место в области потенциального
барьера или вообще в неоднородной области, может привести
к появлению э. д. *с.
Возникновение э. д. с. на потенциальных барьерах наблюдалось
и было теоретически рассмотрено в работе Бардина [103]. Оче-
видно, что природа возникновения этой э. д. с. в основном
такая же, как и в случае явлений, рассмотренных в гл. 3 и § 5
настоящей главы. Однако вследствие разной геометрии распре-
деления неравновесных концентраций и потенциальных барьеров
выведенные выше формулы нельзя использовать непосредственно,
и ход расчета отличается в деталях.
В настоящем параграфе мы рассмотрим появление э. д. с.
при возникновении неравновесных концентраций носителей тока
в областях резкого перепада температуры. Физическая природа
этого явления аналогична эмиссии носителей тока в транзисторах,
как об этом уже говорилось выше. В областях с более высокой
температурой концентрация носителей тока выше, и они диффун-
дируют в области с более низкой температурой. Таким образом,
в областях с более высокой температурой концентрация носите-
лей тока уменьшается по сравнению с равновесным состоянием
(Длг < 0), а в областях с более низкой температурой — соответ-
ственно увеличивается (Дп >0).
Однако это явление будет наблюдаться лишь в том случае,
е?ли градиент температуры достаточно велик, так что происходит
заметное изменение концентрации носителей на расстояниях мень-
ших, чем их длина диффузии.
Созданная таким образом неравновесная концентрация приво-
дит к ряду эффектов, рассмотренных в работе Тауца [299],
к тепловой эмиссии носителей тока, к явлению Бенедикса, к те-
пловому выпрямлению, и, кроме того, влияет на электронную
теплопроводность. Мы рассмотрим здесь только наиболее инте-
ресные из них, а именно, влияние неравновесной концентрации
носителей тока на термо-э. д. с., ведущее к появлению эффекта
Бенедикса.
184 «
Г л. 4. Термо электрические явления
!• Распределение концентраций носителей тока
в полупроводнике с градиентом температуры
Выведем дифференциальное уравнение для распределения кон-
центрации дырок р в полупроводнике с градиентом температуры.
Если известно /Л то п можно определить из соотношения п =
— где N ~ ND — Д/Л. Подставляя выражения (2.65) и (2.66)
в уравнение непрерывности (2.54), в котором мы полагаем
получаем
Г) । dp т d / \ । Q* \ ।
& dx2 ‘ е dx dx dx \ о /dx dx \ а еТ / *"
d2T wp $**
dx2 а еТ
e(p—pQ)
- - - = 0. (4.43)
Здесь индекс п для величины ап нужно рассматривать как
п — Величины D, о Q**, т представляют собой функ-
ции р и Т, так что это дифференциальное уравнение является
очень сложным. Его можно существенно упростить, если предпо-
ложить, что разность температур в полупроводнике мала по сравне-
нию со средней температурой, так что т, можно считать
не зависящими от температуры (а также и от концентрации р).
Далее будем рассматривать только линейный перепад темпера-
туры в полупроводнике, поэтому dTfdx = ДТ/Дх — const и
d?Tldx2=Sh Однако это последнее условие справедливо только
в том случае, если теплопроводность определяется в основном
фононной составляющей (и, следовательно, в первом приближении
не зависит от концентрации электронов) и 'теплопроводностью
электронов и дырок по сравнению с ней можно пренебречь.
В работе [299] приведен ход рассуждений, позволяющий убедиться,
до какой степени выполняется это условие. Оказывается, что для
полупроводников такого типа, как германий и кремний, это условие
выполняется весьма хорошо. Эти предположения значительно упро-
щают расчет, и в то же время не затрагивают основных черт
изучаемых явлений.
Рассмотрим два крайних случая: полупроводник n-типа (п^§> р)
и собственный полупроводник (п —р). В обоих случаях уравне-
ние (4.43) можно записать в виде
d2p 1 dp j? __ ,. ...
dx2 “Г" Lt dx Z.2 ~ L ’ 1 ’
' Характеристические длины Lt, L имеют следующие значения:
а) полупроводник п-типа
1 _ Q** 1 dT el
~Tt ~ ТГ ~Т ~dx “ 1-Т ’
L = L = VtD ;
4Г *
(4.45)
(4.46)
§ 6. Термоэлектр. явления при больших градиентах температуры 185
б) собственный полупроводник
1 1 Q** 1 dT~
й~~~2~кТ~Т dx '
L = Ll=V^Di,
kT 2 у n
Ир
(4.47)
(4.48)
(4.49)
Величины L представляют собой длины диффузии: характеристи-
ческая длина Lt при / = 0 обратно пропорциональна градиенту
температуры и сумме
Выражение для равновесной концентрации дырок можно найти
в предположении, что в областях перепада температуры она слабо
отличается от концентрации на самом холодном участке
Фиг. 44. Распределение температур, рассма-
триваемое в тексте.
Легко показать, что в этом случае для равновесной концентрации
дырок в точке х можно пользоваться выражением
= expf-^-V (4.50)
где р' ~ равновесная концентрация дырок в точке х = 0, соот-
ветствующей температуре Tf.
Длина, характеризующая спад равновесной концентрации дырок,
дается соотношениями:
а) для полупроводника я-типа
1
^0
(4.51)
б) для собственного полупроводника
1 АГ
_____ Сг_______
— 2kT'2 Дх ’
(4.52)
Для конкретного расчета мы будем рассматривать распределе-
ние температур согласно фиг. 44. Здесь имеются две области
186
Гл. 4. Термоэлектрические явления
(—со, 0), (Дх, со), в которых dTjdx = 0, и область
в которой
(О, Дх),
ат ± дг
— = const — -7—•
dx Lx
Для случая /=0 решение имеет вид
в области (— со, 0):
О’
области (0, Дх):
2 ехр
ехр
(4.53)
области (Дх, оо):
где
о
2L
(4.54)
о
Выражения (4.53) выведены при граничных условиях р = р' при
х= — со и р — р^ при х = оо. Константы — С. можно опре-
делить из четырех уравнений, которые получаются из требования
непрерывности р и дырочного тока в точках х — 0, х — Дх.
Требование непрерывности р следует из предположения, что
не существует резких изменений концентрации носителей тока,
которые привели бы к появлению пространственных зарядов.
Из этого требования, в свою очередь, вытекает непрерывность
плотности электронного и дырочного токов, которые, согласно
уравнению непрерывности (2.54), могут быть представлены выра-
жением, пропорциональным интегралу \ Lttdx.
Хотя расчет довольно элементарен, но результаты не удается
представить в наглядной форме, поэтому рассмотрим более подробно
два крайних
а) случай
тем. что
случая (предполагая, что EQfkT^> 1, LO<^AZ):
резкого перепада температуры» характеризующийся
о
б) случай
щийся тем
постепенного перепада температуры, характеризую-
что •
§ 6, Термоэлектр, явления при больших градиентах температуры 187
Понятия „резкий* и „постепенный* перепады
согласно приведенным определениям, связаны с
фузии носителей тока.
температуры,
длиной лиф-
Таблица 3
Значения констант в выражениях (4.53)
Константа
Резкий перепад
температуры
Постепенный перепад
температуры
L <Lo<Lt
2 l0/L — 1 exp 1
1 Л'ехр(—Дл/Л)
2 1 — L9/L
p'o
p [/’o — Pa exP (— Д*М)
Значения констант для этих случаев приведены в табл. 3.
В столбце для резкого перепада температуры формулы упрощены
благодаря тому, что ехр(—1, так как, согласно (4.45)
и (4.47),
Ьх _ Q*» ДГ у
Lt ~2kT' Т' 1
с учетом того, что АТ<^Т'.
Константы Сг, С4 имеют значение избыточных концентраций
дырок Др(=Д/г) в точках х = 0, х = Константа С\ всегда
положительна, С4 всегда отрицательна. Под влиянием градиента
температуры в области с более высокой температурой наступает
убыль концентрации дырок, и дырки переносятся в области с более
низкой температурой. Происходит в некотором роде тепловая
диффузия.
188
Гл. 4. Термоэлектрические явления
В случае резкого перепада температуры убыль дырок не свя-
зана с рекомбинацией, так что Сг—]С4|; в случае постепенного
перепада температуры часть дырок исчезает за счет рекомбинации,
и < |С4|. Если Дх^>£, то Сг не зависит от р$, а только от р'
и от градиента температуры (на длине Ао); для С4 положение анало-
гично. Следовательно, в этом случае при переносе носителей тока
играют роль только окрестности точек х —О и х = &х.
Константы и |С4| падают с уменьшением градиента темпера-
туры. Это находится в согласии с естественным ожиданием, что
для перепада температуры на расстоянии, большом по сравнению
с длиной диффузии, в каждой точке имеется практически равно-
весная концентрация носителей тока.
Чтобы составить представление о порядке величины изменения
концентрации, проведем расчет конкретных значений для германия
n-типа (N= 1014 см~3) и для германия, представляющего собой
собственный полупроводник.
В первом случае при 7' = 270° К и 71// = 300°К имеем
//=7,2* 1011 сж“3, р" = 2 • 1013 см~3; во втором случае
p'Q — 8,5 • 1012 см~\ р" —4,9 • 1013 см~3. В качестве типичного
значения для L выберем L = 0,1 см. Рассеяние носителей тока
при этих условиях преимущественно обусловлено тепловыми колеба-
ниями решетки, так что Q^ = Q^ = (2kT и Q**/kT=l. В случае
резкого перепада температуры (Дх — 10~3 см, Lt = 10~2 cm<^L)
для полупроводника /г-типа Сх =— С4 = 10i3 см~3 (10% п$), а для
собственного полупроводника = — С4 == 2 • 1013 см~3 (230% р'Л.
В случае постепенного перепада температуры (Дх = 1 см} для
полупроводника /z-типа (iz=10 см, Ло —3,6* 10 1 см} Сх —
= 1,4-Юп см~3 (0,14% /г'), С4=-2,2*10*2 ^3(-2,2%/Q
а для собственного полупроводника (Lf = 20 см, = 7,2 • 10 см)
С1 = 6,9*1011 см~3(831% р'), С4=— 3*1012 сл/"3(— 6,1% Pq).
2. Термо-э. д. с. при неравновесных концентрациях
В полупроводнике, в котором имеется перепад температуры,
всегда возникает термо-э. д. с. Теория этого явления для случая
настолько малого градиента температуры, что не происходит
переноса носителей тока, рассмотрена в § 2 и 3 настоящей главы.
Если, это условие не выполняется, то термо-э. д. с. зависит от вели-
чины градиента температуры. В соответствии с этим на полупро-
воднике, оба конца которого находятся при одинаковой температуре,
но по длине которого имеются два. противоположно направленных
перепада температуры, возникает заметное напряжение, если гра-
диенты различны по величине. Это явление в литературе называется
§ 6. Термоэлектр. явления при больших градиентах температуры 189
явлением Бенедикса. Выведем теперь соотношения для той части
термо-э* д. с., которая обусловлена избыточными носителями тока,
т. е, для изменения термо-э. д. с. при резком перепаде темпе-
ратуры.
В выражении (2.59) введем обозначения
Интегрируя Ро, получаем известное выражение для термо-э. д. с.
U = ф Pqdx. Интегрируя ДР, получаем часть термо-э. д. с., свя-
занную с переносом носителей тока, так как ДР =Р 0 только
в областях, где Ди 0. Тогда для ДР получим
ДР
(4.55)
В случае применимости классической статистики выраже-
ние (4.55) можно привести к виду
ДР
Уо — [(^ + 1)/(6гсо +А))]
е 1 + (b + 1) An[(bnQ + /?0)
Л70 £ Т d / Ди \ .
е 1 (Ь 1) Ди/(^и0 + ро) dx \ и0 / ’
tpQ kT d / Ди
Г 1 + (b + 1) АпЦЬщ + р0) dx \ pQ
(4.56)
Добавочную э. д. с.
4-оо
Д[/ £ ДР dx — f ДР dx
(4.57)
вычисляем для двух случаев — для полупроводника и-типа и для
собственного полупроводника.
а) Полупроводник и-типа pQi n0 = const)
d / An \ 1 d An
dx \ Po / Pq dx
An E„ dT
________(j______
/>0 kT2 dx '
(4.58)
190
Гл. 4. Термоэлектрические явления
При интегрировании берем
const = ДТ/Дх. Тогда получим
const, dTfdx —
В случае резкого перепада температуры с помощью результа-
тов, приведенных в табл. 3 (Дх—>0), можно найти значения инте-
гралов (4.60) и (4.61):
Дх 1 + (b + 1) (X)' — p'^febn^ '
(4.62)
(4.63)
Для случая, когда перенос концентрации носителей тока мал
(&«0)^>Дп), при резком перепаде температуры получим
At/
Ро
(4.64)
В случае постепенного перепада температуры и слабого пере-
носа концентрации носителей тока
1 И ( Д-Ч1 I р'о
Дх~ 2 Lo L ехр\ L J J \ \fL + 1/LO
V/-Q Ро~~Ро
(1/Z.1/£0) (1/Z, —1/£0) М
То ) 1
1/Z.-M/U Ъпй^
F 2 " f
L Tp — Рр
2Lq bn0
(4.65)
б) Собственный полупроводник. Для At/ имеем
(4.66)
(4.67)
§ 6. Термоэлектр. явления при больших градиентах температуры 191
Выкладки здесь также не сложны. Для случая резкого пере-
пада температуры и слабого переноса концентрации носителей
тока (| tij)
k b — 1 1
Д£7 =-----------
е Z> + 1 2
1)ДГ. (4.68)
Pi /
Если подставить в приведенные формулы численные значения,
то мы найдем, что часть термоэлектрического напряжения, завися-
щая от градиента температуры, мала по сравнению с обычным
термоэлектрическим напряжением. Поэтому при измерении LU
целесообразно использовать такую схему, в которой обычное
Фиг. 45. Условия при измерении эффекта Бенедикса.
термоэлектрическое напряжение компенсируется; тогда легко изме-
рить At/.
Напряжение At/ отличается от обычного термоэлектрического
напряжения тем, что оно быстро растет с температурой. В числен-
ном примере, рассмотренном в конце п. 1, для полупровод-
ника /z-типа получаем при Т — 270° К, Tf = 300° К и резком пере-
паде температуры At/ — 0,063 мв; при вдвое большем перепаде
температуры (71/ = 330°К) At/= 5,3 мв\ при втрое большем
(717 = 360° К) At/= 21 мв и т. д. При постепенном спаде тем-
пературы At/=17 мкв (Г = 270° К, Т7 = 300°К).
Для экспериментальной проверки эффекта Бенедикса в полу-
проводниках удобно пользоваться схемой, представленной на фиг. 45
(согласно [147]), В этой схеме обычная термо-э. д. с. U компенси-
руется. В полупроводнике, оба конца которого находятся при
одинаковой температуре Т t имеются два перехода температуры
противоположного направления, один на расстоянии Дх, меньшем
длины диффузии носителей тока Л, другой — на расстоянии Дхх,
которое во много раз больше L. Эта схема позволяет измерять
термо-э. д. с. At/.
192
Гл. 4, Термоэлектрические явления
Большой помехой при проведении эксперимента является
неоднородность образцов г). Неоднородность образца приводит
Ф и г. 46. Результаты измерений
эффекта Бенедикса в германии
(по Троусилу [292]).
Кривые А и В соответствуют разным на-
правлениям градиента температуры.
к тому, что между точками а, а/
на схеме фиг. 45 измеряется
также обычная термо-э. д. с.,
поскольку не происходит полной
компенсации термо-э. д. с. UQ на
перепадах Дх и Дх7. Поэтому
необходимо, чтобы эта обычная
э. д. с. была по возможности
минимальной; тогда ее можно
отличить от напряжения AZ7 по
различной зависимости от ДТ.
Это удалось осуществить
Троусилу [292] на образцах соот-
ветствующей формы, вырезанных
из германия. Результаты измере-
ний представлены на фиг. 46. По-
скольку образец не вполне одно-
роден, появляется небольшая
обычная термо-э. д. с. Однако, как
указано выше, MJ быстро растет
с разностью температур и преоб-
ладает над обычной термо-э. д. с.
Поскольку &U имеет знак, обрат-
ный знаку обычной термо-э. д. с.,
при высокой разности темпера-
тур измеряемая э. д. с. меняет
свой знак, как это видно из
фиг. 46. Данные Троусила сравни-
вались с теорией, и было найдено
согласие с ней в пределах точ-
ности измерений и расчета.
В отличие от эффекта Бене-
дикса на металлах, где этот
эффект, если он вообще сущест-
вует, очень мал и трудно под-
дается измерению, в полупровод-
никах рассматриваемого типа он
довольно резко выражен и срав-
нительно легко наблюдается.
*) Основы теории возникновения термо-э. д. с. в неоднородных полу-
проводниках изложены в работе Тауца [147]. Баранский [420, 508] изучал
эффекты Зеебека, Пельтье и Томсона в полупроводниках с градиентом
концентрации примесей.
§ 7. Термоэлектр. явления в присутствии потенциального барьера 193
§ 7. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПРИСУТСТВИИ
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА
В настоящем параграфе мы остановимся на таких случаях,
когда избыточные дырки, возникшие благодаря градиенту тем-
пературы, достигают резко выраженного потенциального барьера.
Рассмотрим прежде всего простой одномерный случай, когда
барьер расположен на некотором расстоянии х0 от перепада тем-
пературы. Затем мы перейдем к случаю, когда термо-э. д. с. сни-
мается с помощью точечного контакта, под которым расположен
потенциальный барьер. Этот случай на практике осуществляется
в одной из схем для измерения термо-э. д. с.; наблюдаемый ход
термо-э. д. с. сильно отличается от хода, измеренного с.плоскими
электродами, и наша теория хорошо объясняет это расхождение.
Рассмотрим случай, представленный на фиг. 45, где в точке —х0
имеется резкий потенциальный барьер на р — n-переходе. Будем
предполагать, что расположенный слева от точки —* мате-
риал p-типа, а справа — тг-типа. Расчет распределения концентра-
ций носителей тока такой же, как в § 6, п. 1. Рассмотрим область
вправо от точки —х0 в материале n-типа. Будем исходить из
уравнения (4.44), но вместо граничного условия х —— оо, р =
выберем здесь
(4.69)
т. е. такое же условие, как (3.53). Здесь Uc — напряжение на
барьере. Концентрация р' равна концентрации дырок в точке
х— —л:0 в материале я-типа при нулевом напряжении на барьере,
т. е. равновесной концентрации дырок при температуре Т'.
В области (—х0, 0) решение имеет вид
(4.70)
Константы G1? О2, О3 определяются из условия (4.69), которое
выполняется в точке —х0, и из условия непрерывности р и dpjdx
в точке х = 0. Здесь р, с одной стороны, дается выраже-
нием (4.70), а с другой — первым из выражений (4.53). Если
подставить выражение (4.70) в (2.66), то получим выражение,
аналогичное (3.55) (здесь 1 = 1р)
kT'^p / Xq \ / sh x^Lp \
1+eX!’r 77; v + di a:0/p -1;=
kT'\}PP^ ^xJLp Г (eU c\
Lp chx0ILp-A^\kT)
(4.71)
194
Гл. 4, Термоэлектрические явления
Значение
из (4.71) для
выражением
Cj можно взять из табл. 3. Э. д. с. вычисляется
I — 0. Если xJLп^> 1, то э. д. с дается простым
kT'
(4.72)
В качестве примера
полупроводника п-типа
численного значения U с приведем случай
рассмотренный в конце § 6, п. 1. Для
резкого перепада температуры
для постепенного перепада температуры
транзисторах р — п — р или п
1100-500д
Фиг. 47. Схема измерения анор-
мальной термо-э. д. с. в германии.
1 — вольфрамовый контакт, 2—кристалл
германия, 5—подложка с подогревом.
Практически этот эффект наблюдается в р — /г-переходах и
— р — п, если вблизи перехода
возникают градиенты темпера-
туры. Здесь можно говорить
о „тепловой эмиссии неосновных
носителей тока“, которая обычно
представляет собой помеху при
использовании перечисленных
устройств.
Для получения резких пере-
падов температуры в эксперимен-
тах целесообразно использовать
точечный контакт (зонд), касаю-
щийся поверхности кристалла и
находящийся при другой темпе-
ратуре, так как при этом пере-
пад температуры сосредоточен
на расстоянии порядка диаметра
контактной поверхности зонда.
Исследование термоэлектриче-
ских явлений при перепаде температуры, сконцентрированном у по-
верхности, позволяет определить свойства слоев, прилегающих не-
посредственно к поверхности кристалла.
Можно, например, регистрировать изменения, происходящие
в этих слоях при формовке электрическими импульсами, и изу-
чать сущность этого процесса, имеющего основное значение для
производства точечных германиевых диодов [117, 159]. В таких
опытах поверхности германия касается заостренный вольфрамовый
зонд, который нагревается; измеряется э. д. с. между этим зондом -
§ 7. Термоэлектр. явления в присутствии потенциального барьера 195
и подложкой, к которой припаян кристалл германия. При малых
значениях разности температур наблюдаемый ход э. д. с. можно
описать с помощью теории
обычной термо-э. д. с. Однако
в случае больших разностей
температур при определенных
условиях (например, для шли-
фованной нетравленой поверх-
ности кристалла) наблюдаются
значительные отклонения от
обычного хода э. д. с., а часто
даже изменение ее знака.
Исходным пунктом для
объяснения этих отклонений
явился опыт, описанный в работе
Тауца и Троусила [154], схема
которого приведена на фиг. 47.
Подложка 3, к которой при-
паян кристалл германия 2 с
травленой поверхностью, по-
догревается, и полупроводник
имеет температуру Т”.. К по-
верхности германия прижима-
ется вольфрамовый контакт /.
При данных условиях охла-
ждения вольфрама (про-
стой теплоотвод) температура
области контакта Р является
некоторой функцией темпера-
туры Т\ которую можно опре-
делить экспериментально.
Типичные результаты изме-
рений э. д. с. представлены
кривой а на фиг. 48. Эта кри-
вая заметно отличается от кри-
вой б, которая соответствует
обычной термо-э. д. с. для тем-
ператур Т, Т”, измеренной
с плоскими электродами. Раз-
ность кривых а и представ-
лена кривой с.
Из сравнения кривой а и
кривых на фиг. 46 видно, что
Фиг. 48. Результаты измерений
аномальной тёрмо-э. д. с. на герма-
нии [154].
а —э. д. с., измеренная по схеме фиг. 47,
Ь — термо-э. д. с., измеренная с плоскими
электродами, с — разность кривых и и Ь.
ход их аналогичен. По аналогии с нашими предыдущими рассу-
ждениями можно выдвинуть предположение, что причиной необычной
196
Гл. 4. Термоэлектрические явления
_- - . _ - _ - I- ' -™------ — .
формы кривой а является наличие неравновесных концентраций
носителей тока.
Главная идея, лежащая в основе теории этого явления [154,
299, 349], состоит в следующем. Известно, что в германии под
точечным контактом существует потенциальный барьер. В мате-
риале n-типа, который мы здесь рассматриваем
поле в барьере направлено
I>0
Обозначения вели-
чин в окрестности точечного
контакта на схеме фиг. 47.
7 —вольфрамовая проволочка, 2 —по-
тенциальный барьер, имеющий форму
полусферы радиусом г., 3 — кристалл
германия.
электрическое
таким образом, что оно препятствует
проникновению электронов к кон-
такту, но не мешает прохождению
дырок, которые достигают границы
барьера.
Вблизи барьера имеется повы-
шенная концентрация дырок, соот-
ветствующая температуре ТЛ кото-
рая выше температуры Tf в области
барьера под контактом. Поэтому
дырки проникают к барьеру путем
диффузии. В условиях равновесия
создается напряжение такого напра-
вления, что возникает электрический
ток, противоположный току диффу-
зии. Это напряжение, измеряемое при
нулевом токе, и представляет собой
э. д. с. Следовательно, этот процесс
физически эквивалентен процессу,
описанному в начале настоящего
параграфа для одномерного случая
(см. фиг. 45).
Данному случаю ближе соответ-
ствует сферическая симметрия, пред-
ставленная на фиг. 49. Для вектора плотности электрического тока
дырок 1р, согласно уравнению (2.66), имеем
Ь = - eDp grad р
так как а 0; членом
(4.73)
(D
мы здесь пренебрегаем). Подставив выражение (4.73) в уравнение
непрерывности
div I
е Ln
получаем
div grad p
Ln
(4.74)
7. Термоэлектр. явления в, присутствии потенциального барьера 197
Нет особого смысла подробно обсуждать решение уравне-
ния (4.74), так как у поверхности существует ряд трудно кон-
тролируемых условий, например скорость рекомбинации носите-
лей тока, изменение времени жизни носителей тока под влиянием
изменений в материале, возникающих под давлением точечного
контакта (острия) и т. п. Поэтому мы ограничимся грубой оцен-
кой э. д. с., соответствующей неравновесной концентрации, согласно
работе [349].
Если предположить, что L"^>rbi то в первом приближении
в уравнении (4.74) можно положить Lp — оо (см. работу [154]) и
решать дифференциальное уравнение
div grad р =
d2p
dr2
(4.75)
с граничными условиями
(4.76)
где U'
в виде
измеряемое напряжение на барьере. Решение дается
(4.77)
Плотность электрического тока на поверхности сферы r = rbt
который течет в направлении радиуса г, может быть найдена из
уравнения (4.73):
(4'78)
Если положить здесь I — 0, то получим для э. д. с.
kT
(4.79)
Это выражение хорошо согласуется с наблюдаемым ходом
э. д. с., как это подробно рассмотрено в работе [349].
Эти рассуждения позволяют интерпретировать опыты, в которых
Гренвйлль и Хогарт [117] наблюдали аномальный ход термо-э. д. с.
элемента, состоящего из полупроводника (Ge, PbS), полирован-
ной (нетравленой) поверхности которого касался нагретый воль-
фрамовый зонд. При малой разности температур зонда и полупро-
водника знак термо-э. д. с. был обратный по сравнению с тем,
который соответствовал бы типу проводимости используемого
полупроводника. С повышением температуры зонда термо-э. д. с..
возрастала, затем она достигала максимума и начинала падать,
|98 Гл, 4, Термоэлектрические явления
меняя знак при температуре выше 50° С; после этого она уже
соответствовала типу проводимости полупроводника* Зависимость
термо-э. д. с. от температуры была обратимая. Отжиг образца
при 900° С в течение полутора часов приводил к исчезновению
• аномального хода термо-э. д. с.
Объяснение такой сложной зависимости термо-э. д. с. дается
в работе Тауца [159]. Оно основано на предположении, что
в результате полировки под зондом возникает слой с проводи-
мостью обратного знака глубиной порядка диаметра зонда, т. е.
10~4— 10”3 см, В настоящее время известно из нескольких наблю-
дений, что в германии /г-типа при полировке может возникнуть
слой /г-типа в результате создания у поверхности дефектов кри-
сталлической решетки, которые ведут себя как акцепторы. С этим
представлением находится в согласии тот экспериментальный факт,
что после отжига при 900° С аномальные явления исчезают.
Если допустить существование поверхностного слоя р-типа,
то наблюдаемое явление можно объяснить следующим образом.
Поскольку значительная доля перепада температуры сосредо-
точена в поверхностном слое, при низких температурах мы изме-
ряем термо-э. д. с., соответствующую материалу p-типа, ,т.- е.
нагретый зонд заряжается отрицательно. При более высоких тем-
пературах начинает сказываться избыточная концентрация элек-
тронов, создаваемая вследствие резкого перепада температуры
под зондом; электроны попадают к потенциальному барьеру,
образованному на переходе между слоем /?-типа и германием
n-типа/ как это описано выше в данном параграфе. Отрицательное
напряжение на зонде падает, и при дальнейшем повышении темпе-
ратуры зонд заряжается положительно, в соответствии с наблюде-
ниями Гренвилля и Хогарта.
Определение типа проводимости и свойств поверхностных слоев
полупроводниковых материалов с помощью измерений термо-э. д. с.
нагретым зондом часто используется на практике [351]. При этих
измерениях возникновениеизбыточных концентраций носителей
тока вследствие большого градиента температуры проявляется как
-помеха. Приведенное выше рассмотрение позволяет оценить, до
какой степени сказывается это-явление при данных условиях.
Холл [421, 577] теоретически исследовал возможность исполь-
зования тепловой эмиссии носителей тока в р — n-переходах для
преобразования тепловой энергии в электрическую. На основании
анализа он сделал заключение, что к. п. д. таких элементов
ниже, чем к. п. д. обычного термоэлемента, описанного в § 4,
п, 2 настоящей главы. Холл показал, что любой полупроводнико-
вый элемент^ в котором проявляются неосновные носители тока,
должен обладать низким значением к. п. д. Время жизни носите-
лей тока, по-видимому, не играет роли при выборе материала
§ 7. Термоэлектр. явления в присутствии потенциального барьера 199
. - _
для полупроводниковых термоэлементов и охлаждающих элемен-
тов. К тому же выводу пришел Катлер [575].
В работах [171, 352] был предложен новый тип охлаждающего
элемента, основанный на принципе, совершенно отличном от
эффекта Пельтье. Если на р — «-переходе при прохождении тока
в пропускном направлении происходит рекомбинация носителей
тока с возникновением излучения и это излучение может свободно
выходить из полупроводника, то при определенных условиях это
приводит к охлаждению всей системы.
лава
Фотомагнитные и термомагнитные
явления
§ 1. ЛИНЕЙНЫЙ ФОТОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ
В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Фотомагнитный эффектом называется возникновение э. д. с.
в освещенном однородном полупроводнике в магнитном поле.
В настоящем и в следующем параграфах рассмотрение ограничено
случаем однородного магнитного поля. Впервые этот эффект
наблюдали Кикоин и Носков [36, 37] в 1934 г. на Сн2О при
низких температурах. Первое правильное объяснение этого явле-
ния дал Френкель [38, 41]. Позднее фотомагнитный эффект был
обнаружен на германии [163, 164, 206—211, 258, 361], крем-
нии [207], InSb [213, 260, 312], InAs [362], PbS [165], Cu2O [212],
антрацене [541]. (См. также работы по этому эффекту [319—321,
364, 411].) В этих исследованиях было показано, как фотомагнит-
ный эффект может быть использован для определения скорости
поверхностной или объемной рекомбинации в полупроводниках.
Большинство ранних работ содержит теоретическую ошибку,
так как авторы полагают плотность продольного тока в полупро-
воднике при измерении э. д. с. холостого хода равной нулю, что
противоречит уравнению Максвелла rotF — O, как это показано
ниже. Только Росбрук [313] развил точную теорию для случая
слабых магнитных полей, которая была экспериментально под-
тверждена [361]. Мы используем ее в дальнейших выкладках.
На фиг. 50 показаны условия, необходимые для измерения
фотомагнитного эффекта. На поверхность образца (на плоскость xz)
падает свет, который поглощается в образце. Избыточная концен-
§ /. Линейный фото магнитный эффект в однородном магнитном поле 201
трация электронов и дырок не постоянна во всем объеме, но
убывает по направлению от одного конца образца к другому,
так что grad Д/г =£0. Это означает, что ток электронов и ток
дырок, текущие в направлении у, взаимно компенсируются, так
что результирующая плотность тока в направлении у равна нулю.
Магнитное поле в направлении z действует на оба эти тока,
отклоняя электроны и дырки в противоположные стороны; при
этом возникает результирующий ток в направлении х. Если оба
конца образца замкнуть накоротко, то измеряется плотность тока
короткого замыкания Если оставить оба конца разомкну-
тыми, то измеряется фотомагнит-
ная э» д. с.
На основе этих представлений
можно построить теорию дан-
ного явления. Ограничим рассмо-
трение предположениями 1, 3, 4
и 5, приведенными в гл. 3, § 2,
и случаем слабого поля, так что
выполняется соотношение (2.51).
Тогда уравнение Максвелла
♦ У
rot F = 0
приводит к уравнению
(5.1)
(5.2)
Фиг. 50. Схема измерения фото-
магнитного эффекта в однородном
магнитном поле.
Следовательно, Fx постоянно по
всему образцу. Рассмотрим обра-
зец, бесконечный в направлениях
х и z. Э. д. с., измеренная
между двумя точками в направлении х ^т. е. J Fxdx), не зави-
сит от у и постоянна по всему сечению. Отсюда следует, что I х
не может быть постоянна по всему сечению.
Представим себе образец, достаточно большой (по сравнению
с длиной диффузии) в направлении у. У верхней границы 1 к опре-
деляется суммой плотности тока, возникающей в присутствии
поля F х, и плотности тока, возникающей вследствие закручивания
диффузионных токов 1п , 1р магнитным полем. Эта вторая часть
мала или равна нулю у нижней границы образца, поэтому здесь 1Х
соответствует полю Fx. Поэтому нельзя полагать /v = 0 во всем
образце. Распределение 1Х для схемы холостого хода представлено
на фиг. 51.
Если образец имеет конечную длину и на его границах нахо-
дятся металлические электроды, то поле F будет более сложным,
202
Гл. 5. Фотомагнитные и термо магнитные явления
поскольку здесь нужно рассматривать граничные условия на гра-
нице с металлом, которые приводят к деформации поля вблизи
электродов. Этими эффектами можно пренебречь только для
образцов достаточно большой длины.
Токи диффузии электронов и дырок в направлении у, со-
гласно (2.65) и (2.66), равны
Iру = I пу = dy » (5-3)
где D определено выражением (2.68).
Действие магнитного поля на эти токи приводит к появлению
в направлении х составляющих тока с плотностями Ьп1 = — ^п!Ру
Фиг. 51. Плотность тока в образце без электродов при
измерении фотомагнитного эффекта для разомкнутой цепи
(э. д. с. холостого хода) [313].
и 9 7 навстречу которым направлены составляющие anF
Л нН
возникшие под действием электрического поля [см.
ние (1.100)]:
пх WiH&l' ру
рх ^pH^Mру вр^х*
И ' X*
уравне-
(5.4)
Суммируя оба эти уравнения, получаем для F х выражение
где
(5.5)
(5-6)
Предполагаем, что излучение почти полностью поглощается на
поверхности образца (т. е. не равно нулю у поверхности
вплоть до расстояний, малых по сравнению с длиной диффузии).
Подставляя в уравнение непрерывности (2.54), получаем для ста-
§ 1. Линейный фотомагнитный эффект в однородном магнитном поле 203
. - 11— . ,,т-. 1
ционарного случая (dnjdt — dpjdt — 0)
(Ло Ро)2
а2
d Ln
~dy~
Ln
v = o. (5.7)
Второй член в этом уравнении равен нулю, если образец
замкнут накоротко (когда Дг = 0), и зависит от квадрата 9 в слу-
чае измерений при холостом ходе; поэтому его можно не рас-
сматривать. Из уравнений (5.5) и (5.3) получим для тока корот-
кого замыкания (Fx=0)
где величины с одним и двумя штрихами относятся соответст-
венно к освещенному и темному концам, a JK-3—ток короткого
замыкания, отнесенный к единице длины образца в направлении
магнитного поля (т. е. в направлении z\.
В случае холостого хода имеем условие
у'
f/vJy = O. (5.9)
у"
Если подставить его в выражение (5.5), то получим для электри-
ческого поля внутри образца при схеме холостого хода
рХ. X.
* X
3.
(5.10)
где G— проводимость освещенного образца, отнесенная к еди-
нице длины в направлениях х и z:
(5.11)
Чтобы вычислить JK'3' и /?х'х’= t/фмД (t/фм — э. д. с., изме-
ренная на длине I в направлении х), нужно определить Д/г' и Д/г".
Для Дп выполняется дифференциальное уравнение (5.7); для уста-
новившегося случая и пренебрегая вторым членом получаем
(5.12)
204 Гл. 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления
Граничные условия для образца, согласно (2.69), имеют вид
еОч + 1ру — es' Дп для у —у',
1„.. — — es" Ln для у — у".
РУ
(5.13)
Здесь означает число пар электрон — дырка, возникающих на
единице поверхности за 1 сек в предположении, что излучение
очень сильно поглощается, s', s/f — скорости поверхностной реком-
бинации на освещенной и неосвещенной поверхностях соответст-
венно.
Росбрук [313] приводит простые решения для двух крайних
случаев очень слабой и очень сильной освещенности.
А. Слабая освещенность (До
В этом случае D
имеет вид
а0’
постоянны.
Решение
Дп
(5.14)
о
где
о
0й’
(5.15)
О
^0
величина До определяется выражением (2.68).
Возрастание проводимости образца AG при освещении
LO
п
о
рр) J An dy
у"
о
(5.16)
Для тока короткого замыкания получим
к-3' = — GqFx х’ = — ®eD0 (Ln' — Ln") =
fl „ . S" sh 2 Yo + ch 2 Yo
V AG.
(5.17)
Последняя форма этого уравнения выражает зависимость JK- 3-
от ДО, в которую не входят в явном виде s' или G,.
С экспериментальной точки зрения важны следующие случаи.
§ 1. Линейный фот о магнитный эффект в однородном магнитном поле 205
а. Для толстых образцов Ио)7>>1 (пренебрежимо малая реком-
бинация на неосвещенной стороне образца), и выражение (5,17)
принимает вид
Л3- =-. - GqFx х- = — 9 (5.18)
“г Рр
б. Для тонких образцов Уо
бинация в объеме) получаем
1 (пренебрежимо малая реком-
у-п Р'р 1
, 1ё)‘тг
У \/2D0
(5.19)
в. Для случая сильной рекомбинации на неосвещенной поверх-
ности s" ~^> s' и s" DJ'zs' имеем
jk. з. е VDol\ cfh Y. LG. (5.20)
b + Fo
Случай „ак можно использовать для экспериментального опре-
деления т, что имеет значение для полупроводников, у которых
трудно определить другим способом. Примером может слу-
жить InSb, для которого т имеет очень малые значения.
При этом методе чувствительность измерений зависит от у т
и, следовательно, падает с уменьшением т медленнее, чем для
других методов, в которых чувствительность зависит от т. В ис-
следуемом полупроводнике должны быть известны подвижности
электронов и дырок. Измеряется либо ДО с помощью эффекта
фотопроводимости, либо ток короткого замыкания с помощью
фотомагнитного эффекта. В тонких образцах (случай ,,бк) можно
при аналогичных условиях определить время рекомбинации на
неосвещенной поверхности как это видно из уравнения (5.19).
Эта методика определения времен рекомбинации и скорости
рекомбинации была с успехом использована в нескольких работах
[206, 208, 209, 258, 361, 538, 539, 568, 580].
Б, Сильная освещенность
В этом случае и также постоянно и равно
р
как для случая собственной проводимости. Окончательные выра-
жения для Дп такие же, как (5.14) и (5.17), но с заменой Do
на Dt. Выражение для х’ для случая ДО О0 имеет вид
УDi/x 5 + th
+ Р-р 3" th /0 + 1
(5.21)
206 Гл. 5. Ф ото магнитные и термомагнитные явления
Из этого выражения следует, что в случае сильной освещенности
Fx‘x’ приближается к насыщению (5.21); JK* 3‘ пропорционально
G^AG [согласно (5.10)]. Случай больших сигналов был недавно
рассмотрен Битти [567].
Теория [313] разработана для произвольной освещенности, но
ограничивается случаем малых значений 0, т. е. слабых магнитных
полей (fx | В
”|<^1). Интересны некоторые особенности этого эф-
фекта при сильных полях. Этот случай рассмотрели Ансельм [173]
и Курник и Циттер [312] в применении к InSb. Последние авторы
показали, что ток короткого замыкания имеет различную зави-
симость от В в соответствии с тем, сильная или слабая поверх-
ностная рекомбинация наблюдается. Для толстых образцов в первом
случае (xs'/L^> 1)
7К’ 3» _ . /рТ
1+ р2В2 *
во втором (xs'pB/L <CZ 1)
к.
3. , нВ
(1 + н2Я2)1/2
(5.23)
Здесь [х — подвижность неосновных носителей тока. При силь-
ной поверхностной рекомбинации JK'3* как функция В достигает
максимума и затем падает; при слабой поверхностной рекомбина-
ции JK’3’ приближается к насыщению для |хВ^>1. Это было
подтверждено экспериментально [312] (фш\ 52). В соотношениях
(5.22) и (5.23) для простоты положено и —
Теория для случая, когда поглощение не происходит в непо-
средственной близости к поверхности, развита в работах Мосса [411]
и Гартнера [364]. Теория Гартнера была экспериментально про-
верена на германии [522]. G уменьшением поглощения излучения
в полупроводнике ток падает. Одновременным измерением спек-
тральной зависимости фотомагнитного эффекта и фотопроводимости
можно определить зависимость коэффициента поглощения от длины
волны в той области, в которой прямое измерение коэффициента
поглощения затруднительно. Такой метод измерения был использо-
ван Гудвином [317] для InSb. Фотомагнитный эффект был исполь-
зован [432] для определения зависимости квантового выхода вну-
треннего фотоэлектрического эффекта в InSb от энергии поглощен-
ного фотона (см. гл. 1, § 11). Мосс [165] по спектральной
зависимости фотомагнитного эффекта определил положение края
поглощения в Pb.S (см. книгу Мосса [434]).
Изложенные выше соображения относятся к установившемуся
состоянию. Изменяющийся во времени фотомагнитный эффект
изучался в работах [207, 264]. Влияние ловушек исследовали
Циттер [413] и Миронов [481].
§ 2. Квадратичный фотомагнитный эффект в однородном поле 207
На использовании фотомагнитного эффекта основаны фото-
элементы, состоящие из образца InSb, помещенного в магнитное
поле постоянного магнита [371, 484]. Эти фотоэлементы работают
в области длин волн от 2 до 6 мк при комнатной температуре.
Они обладают большим преимуществом по сравнению с элементами,
основанными на явлении фотопроводимости, так как исключается
шум, возникающий на контактах при прохождении тока. Другим
В} гаусс
Фиг. 52. Зависимость тока короткого замыкания 7К-3, фото-
магнитного эффекта от магнитной индукции В (по Курнику
и Циттеру [312]).
Измерения проведены на InSb p-типа при 77° К. Поверхность образца
подвергнута электрической полировке (темные кружки, левая шкала) или
механической обработке (светлые, кружки, правая шкала). Кривые хорошо
описываются уравнениями (5.22) и (5.23). Для случая электролитической
полировки сигнал в 10 раз больше, чем для механической обработки.
их преимуществом является способность работать при очень высо-
ких частотах.
Сикорски [526] исследовал фотомагнитный эффект в неодно-
родных полупроводниках.
§ 2. КВАДРАТИЧНЫЙ ФОТОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ
В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Если магнитное поле не перпендикулярно к диффузионному
току, возникающему при поглощении фотонов, то наряду с линей-
ным появляется еще квадратичный фотомагнитный эффект. Это
явление также впервые наблюдалось Кикоиным и Носковым [36, 37]
на поликристаллической закиси меди, и было объяснено Френке-
лем [38, 41]. Позднее Кикоин и др. [322, 365, 532] наблюдали
при измерении на германии значительные отступления от простой
теории, которые для измерений при комнатной температуре хорошо
208 Гл. 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления
объясняются феноменологической теорией Кагана и Смородин-
ского [428]; однако при более низких температурах результаты
измерений расходятся с этой теорией [527]. Это явление на гер-
мании изучали также Кардона и Пауль [384].
Основные черты явления можно понять из фиг. 53. Магнитное
поле лежит в плоскости х, z
♦ 2
Фиг. 53. Квадратичный фотомаг-
нитный эффект.
и составляет с осью z угол ср.
Составляющая В cos ср вызывает
в направлении у обычный фото-
магнитный эффект. В направле-
нии z можно измерять напряже-
ние ^фм2> пропорциональное
в простейшем случае В2 sin 2ср,
которое соответствует квадратич-
ному фотомагнитному эффекту.
Элементарное объяснение это-
го эффекта несложно. Составляю-
щая магнитного поля В cos ср, дей-
ствуя на диффузионный ток в на-
правлении xt вызывает появление
тока в направлении у, пропорцио-
нального В cos ср. На этот ток
снова действует составляющая
В sin ср и приводит к появлению
тока в направлении z, который,
следовательно, пропорционален
В cos ср В sin ср.
Более подробную теорию
можно построить аналогично тео-
рии эффекта изменения проводи-
мости в магнитном поле (см. гл. 1, § 10), но при этом нужно рассма-
тривать оба типа носителей тока. Мы ограничимся случаем слабой
освещенности, слабого магнитного поля и сферических энергети-
ческих зон.
Электронный и дырочный токи в направлении х равны по
величине и противоположны по направлению: / х =— 1пх- В на-
правлении у возникают токи
I
РУ
1cos ср —cnFу,
рх^рн^ cos Т °pFy
(5.24)
С учетом уравнения rotF —0 получаем дВ /дх — 0, и из условия
равенства нулю тока в направлении у
(5.25)
о
о
§ 2. Квадратичный фотомагнитный эффект в однородном поле
. - . —и | | L — ГИИ м м' I мЧ F
209
находим для F :
Ву
Дх
(>\н + ^рЫв cos ?
-У~1. / !! I I I I I* • TTf—ТГ~1 |
а0 Да:
о
(5.26)
Интеграл J Fydy дает линейную э. д. с. (7фМ в направлении у,
которую можно измерять одновременно с £/фм2*
По соображениям, высказанным в гл. 1, § 10, при обсуждении
изменения проводимости в магнитном поле, магнитное поле В sin ср
действует по-разному на обе составляющие (5.24). Если ввести
величину , определенную выражением (1.112), то для тока
в направлении z можно написать
Hz = ~ ^рх^пН'^ cos т sin СР -h anFy^nHB sin ср + anFz,
pz = /px^pH’B2 cos <Psin ? — °PFyVpHS sin ? + °рВг-
(6.27)
Здесь также должны выполняться условия
Дх
4^ = ° и ( Izdx = 0.
о
Отсюда легко получить
>
„ __ В2 cos у sin у г/ 2 _„2 \ 1
г~ а0Дх >пН')'
Дх
^пУ*пн J* (5.28)
о
Для полупроводника п-типа
d Ln
dx ’
Л,х= — kT'H
Дх
f Ipxdx = kT^p(^\=Q
о
(5.29)
Для полупроводника p-типа нужно писать вместо [ip. Э. д. с.
£/фм2, измеряемая в направлении z, выражается произведе-
нием FzLz.
На фиг. 54 в качестве примера представлена зависимость £/фм2
от угла ср для образца германия p-типа по данным Кардоны и
Пауля [384]. Очевидно, что здесь имеет место не простая зави-
симость £/фМ 2 ~ cos ср sin ср, а более сложная, которую можно
представить выражением 0,54 sin (2ср -j- 2°) 4“ 0,17. Упомянутые
авторы не могли теоретически вывести это выражение непосред-
ственно из выражения (5.28) ввиду сложности валентной зоны
германия. Однако путем сравнения с феноменологической теорией
210 Гл. '5. Фото магнитные и термомагнитные явления
изменения сопротивления в магнитном поле они определили
разность — Ртр которая является функцией ср. Оказалось, что
в' общем случае вместо ^7фм2~ sin 2ср можно доказать пропор-
циональность В2 [sin (2<р —ах) + а2], где ах и а2— соответственно
функции констант полупроводника и кристаллографической ориен-
тации образца. С учетом этих ограничений было найдено хорошее
согласие теории с экспериментом.
Очевидно, что в общем случае (неизотропные энергетические
зоны и произвольная ориентация магнитного поля) одновременно
ср, град
Фиг. 54. Зависимость £7фм2 от угла ср для гер-
мания p-типа (по Кардона и Паулю [384]).
Измерения проведены при магнитном поле В=3900 гаусс.
появляются оба фотомагнитных эффекта — линейный (нечетная
функция В) и квадратичный (четная функция В). Поэтому необ-
ходима общая теория фотомагнитных эффектов. Как показал
Равич [547], удобным отправным пунктом для такой теории
являются общие выражения для плотности электрических токов
электронов и дырок в присутствии магнитного поля,
Росбруком [313]:
полученные
г k.T
ол(В) Е + —
(5.30)
>р = с/,(в)[е
kT
е
grad In р
(5.31)
Эти выражения справедливы при условии применимости клас-
сической статистики. Они выполняются для энергетических зон
произвольной формы и любой напряженности магнитного поля,
являясь значительно более общими, чем выражения (2.50) и (2.51).
£ 3. Фотомагнитный эффектов неоднородном магнитном поле 211
Мы видим, что действие магнитного поля может быть полностью
выражено его влиянием на электрические проводимости а
которые в присутствии магнитного поля в общем случае пред-
ставляют собой тензоры, содержащие как симметричную, так и
антисимметричную части. Такое сравнительно простое поведение
объясняется тем, что постоянное магнитное поле не изменяет ста-
тистику: распределение скоростей электронов и дырок остается
таким же.
Исходя из выражений (5.30) и (5.31), можно рассчитать фото-
электрические напряжения, возникающие в освещенном полупро-
воднике, расположенном в однородном магнитном поле [547]. Оче-
видно, что теория фотомагнитных эффектов тесно связана с теорией
изменения электрического сопротивления в магнитном поле,
являясь, однако, более сложной вследствие одновременного при-
сутствия электронов и дырок, возникающих при поглощении света.
Эта теория была развита в ряде работ [379, 542, 571].
§ 3. ФОТОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ В НЕОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Если на. освещенный образец действует неоднородное магнитное
поле, то можно наблюдать другой тип фотомагнитного эффекта,
который был описан в работе Тауца [315]. Этот эффект состоит
из двух частей. Одна его часть, возникающая в объеме освещен-
ного полупроводника, связана с магнитной восприимчивостью
электронного и дырочного газа. Другая часть возникает при воз-
действии магнитного поля на диффузионные токи электронов и
дырок на границах освещенной области; свойства этого последнего
явления аналогичны свойствам квадратичного фотомагнитного
эффекта, описанного в § 2.
1. Объемный эффект
Рассмотрим схему, показанную на фиг. 55. Предполагаем (пред-
положение 2 в гл. 3, § 2), что освещение выбрано таким образом,
что концентрация избыточных носителей тока постоянна по всему
сечению образца. Если это условие выполнено, то не может воз-
никнуть эффект Кикоина — Носкова, описанный в § 1 настоящей
главы, т. е. не может появиться э. д. с. в направлении, перпенди-
кулярном к магнитному полю и направлению освещения. Последний
эффект возникает при действии магнитного поля на диффузионные
токи электронов и дырок, которые появляются при неравномерном
поглощении света в полупроводнике. Явления, рассматриваемые
в настоящем параграфе, симметричны относительно оси образца,
212
Гл. 5. Фот о магнитные и термомагнитные явления
в то время как эффект Кикоина — Носкова не обладает такой
симметрией.
Как и в случаях, описанных в гл. 3, § 3, причина возникно-
вения рассматриваемого эффекта лежит в неравенстве химических
потенциалов на границах освещенной области, обусловленном не-
однородностью поля. Ландау [15] показал, что химический потен-
циал свободных электронов зависит от интенсивности магнитного
поля, в котором они находятся. Это подтверждается также для
электронов в твердом теле [44, 134, 157].
Э. д. с., измеряемую между контактами а, а', можно вычислить
по формуле (3.9); поскольку эта э. д. с. обусловлена тем, что
Фиг. 55. Принципиальная схема измерения фо-
томагнитного эффекта в неоднородном магнитном
поле.
химический потенциал вдоль образца не постоянен, мы обозначим
ее Uc:
(5.32)
Необходимо определить химические потенциалы совокупностей
электронов и дырок в присутствии магнитного поля с напряжен-
ностью Н, перпендикулярного к продольной оси образца.
Ландау [15] вывел выражение для термодинамического потен-
циала совокупности электронов в магнитном поле. Оно состоит
из двух частей—диамагнитной и парамагнитной. Диамагнитная
часть зависит от связи электронов с ионной решеткой полупро-
водника, а парамагнитная определяется спином электронов. Для
учета влияния связи носителей тока с решеткой мы воспользуемся
простейшим способом, а именно введем эффективные массы элек-
трона и дырки пгп и тр (предполагая сферическую симметрию
поверхностей энергии). Тогда для термодинамического потен-
циала совокупности электронов можно написать
(5.33)
§ 3. Фотомагнитный эффект в неоднородном магнитном поле 213
где Q°n — термодинамические функции для H—Q, J3 — магнетон
Бора. Это выражение справедливо также для совокупности дырок,
если только индекс п заменить индексом р. Выражение (5.33)
справедливо при условии
kTmn
m
Используя выражение (см., например, [119])
/г
п
можно привести (5.33) к виду
о — о0 дп Г
(5.34)
(5.36)
В случае применимости классической статистики из
(2.6) следует
равенства
дп
(5.37)
kT ’
так что
_q0______LL
П - £ЙД , у,
\21
п / - 2
Тогда для изменения химического потенциала при постоянной тем-
пературе имеем
п
ГI £
Если подставить выражение (5.39) и аналогичное выражение для
дырок в (5.32), то получим
Первый интеграл, очевидно, равен нулю, поскольку в одно-
родном полупроводнике не возникает э. д. с. (см. гл. 3, § 3).
Второй интеграл преобразуем к виду
Первый интеграл в этом выражении снова равен нулю, поскольку
выражение в скобках представляет собой константу и ф dH — 0.
Во втором интеграле Д/Л не равно нулю только в -освещенной
214
Гл. 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления
области Ь, с, если рассматривать распределение An, согласно
предположению 6 в гл. 3, § 2. В освещенной области по-
стоянно, и легко провести интегрирование. Получаем
(5.42)
Очевидно, что по измерениям э. д. с., возникающей в полу-
проводнике, помещенном в неоднородном магнитном поле, можно
определить сумму 1/^+ В некоторых случаях, например
когда можно было бы определить одну из эффектив-
ных масс. Этот метод можно сравнить с методом определения
эффективных масс из измерений магнитной восприимчивости сво-
бодных носителей тока (см., например, [151, 259]). При таком
методе нужно из измеренной восприимчивости вычесть магнитную
восприимчивость атомной решетки и примесей, что в нашем слу-
чае отпадает.
Оценим теперь величину U с. Для А/Л выполняется следующее
соотношение:
= — Ыр= (1 + ^о) 1 Д^/°а7 ’ (5-43)
так что
I г 4
Численное значение выражения ^>H(kT при 300° К составляет
2,8 • — 2,22 • Н [эрстед].
Если предположить, что 1) освещение настолько интенсивно,
что
или
т. е. порядка единицы, 2) максимальное магнитное поле равно
30 000 эрстед и 3) отношение эффективной массы тп к массе
электрона порядка единицы, то U с будет порядка тысячных долей
микровольта, т. е. чрезвычайно мала.
Существенного возрастания Uс можно достигнуть, применяя
вещества, обладающие малой эффективной массой носителей тока,
например InSb, для которого можно ожидать значений э. д. с. на
три порядка величины выше.
2. Граничный эффект
На краях освещенной части образца на фиг. 55 возникают
э. д. с., которые взаимно не компенсируются, если концы образца
находятся в магнитных полях с разной индукцией. Мы не будем
$ 3. Фотомагнитный эффект в неоднородном магнитном поле
215
здесь подробно останавливаться на этом явлении, а проведем лишь
приближенный расчет для одного частного случая.
Рассмотрим схему, представленную на фиг. 56, и обратим вни-
мание на явления, происходящие в правой части освещенной
области, которая почти полностью находится в магнитном поле
с индукцией ^(предполагаем, что магнитное поле слабо меняется
на расстоянии, равном длине диффузии носителей тока). Сущность
явления, которое мы рассматриваем в настоящем пункте, такова.
Электроны и дырки диффундируют из освещенной области
в неосвещенную; в результате возникают токи электронов и дырок
Фиг. 56. К расчету граничных явлений
при фотомагнитном эффекте в неоднород-
ном магнитном поле.
с плотностями 1пх и I . Эти токи равны по величине, но проти-
воположны по знаку, так что суммарный электрический ток равен
нулю. На эти токи действует магнитное поле в направлении у;
при этом в направлении z возникают токи с плотностями Inz п Ipz.
На них вновь действует магнитное поле, так что создаются допол-
нительные токи в направлении х с плотностями Гпх, Г . Чтобы
компенсировать эти токи, в направлении х должно иметься неко-
торое электрическое поле Fx, зависящее от индукции магнитного
поля. В случае неодинаковой индукции магнитного поля на обоих
концах освещенной части поле Fx приводит к появлению э. д. с.
Поскольку магнитное поле дважды действует на токи электронов
и дырок, этот эффект имеет квадратичную зависимость от маг-
нитной индукции.
Расчет э. д. с. в этом случае вполне аналогичен расчету £7фм2
в § 2 настоящей главы (за исключением других направлений 1Х>
В, U). Нужно лишь отметить, что магнитное поле В перпенди-
кулярно к токам Inx, I , а также к токам Inz, Ipz. Таким обра-
зом, в результирующем выражении для добавочного поля, возни-
216
Гл. 5. Фотомагнитные и термо магнитные явления
кающего в направлении х, sin ср и cos ср исчезают. Интеграл от
этого поля по х дает выражение для э. д. с., возникающей под
влиянием магнитного поля на границе с освещенной области:
В2 г
тс == ~ [(НрН' ~ ^'пН') + (Н„я + НрЯ) ^п^пН J Ipxdx
- О
(5.44)
(как обычно, предполагаем, что расстояние а/ — с^>Е).
Это напряжение Uтс добавляется к напряжению Дембера, воз-
никающему на границе освещенной области [см. выражение (3.86)].
Если однородный образец помещен в однородное магнитное поле,
то напряжение Uтс компенсируется напряжением UтЬ, возникаю-
щим на другом конце освещенной области, В неоднородном маг-
нитном поле можно наблюдать напряжение
т &тс &mb*
(5.45)
В полупроводниках п- и p-типа J Ipxdx определяется выра-
о
жением (5.29). Оценку порядка величины этого эффекта можно
получить, если положить
^пН' ’’ ^‘пН ~ Н'я’ РрН' ~ У'рн ~ I1*’
Тогда для полупроводника n-типа имеем
Аналогичное выражение справедливо для полупроводника р-типа,
но с обратным знаком и с заменой на
Для полупроводников с большой подвижностью носителей тока,
например для германия (при 300° К = 3600 см21в • сек,
рр = 1700 см^в* сек), сурьмянистого индия (рьй « 30 000 см?/в> сек,
Рр = Рл/85) и т. п., при индукции В= 10 000 гяусе=10’4 в-сек1см2
величина р-5 достигает значений порядка десятых долей единицы
или порядка единицы. Поэтому при таком освещении, когда
0,1, Um достигает легко измеряемых значений порядка
микровольта или десятков ‘ микровольт.
Таким образом, э. д. с., соответствующая граничному эффекту,
может быть значительно выше, чем э. д. с. для объемного эффекта.
Однако граничный эффект падает с уменьшением температуры
(в области преобладающего рассеяния на примесях), тогда как
объемный эффект возрастает. Кроме того, граничный эффект до-
стигает насыщения в сильных магнитных полях (см. § 1 настоя-
щей главы). Поэтому можно ожидать, что при низких температу-
§ 4. Термо магнитные, эффекты
217
рах и сильных магнитных полях будет преобладать объемный
эффект, который представляет большой интерес.
Фотомагнитный эффект в неоднородном магнитном поле при
комнатной температуре был экспериментально изучен на InSb [315].
Объемный эффект перекрывался граничным эффектом; распреде-
ление э. д. с. и порядок ее величины оказались в согласии с тео-
рией.
Рассматриваемая в этом пункте э. д. с. может возникнуть и
в однородном магнитном поле, если полупроводник неоднороден.
Если, например, удельное сопротивление в темноте в точке с
равно рОбИ а в точке b составляет р06, то [согласно (5.45)] в одно-
родном магнитном поле с индукцией В в полупроводнике я-типа
возникает э. д. с.
|С/|-^Д^!рОй-рОЙ|(|хрВ)2. (5.46)
Э. д. с. возникает также, если в окрестностях точек с и b
подвижность неосновных носителей тока различна. Следовательно,
мы имеем здесь еще один метод для определения однородности
образцов полупроводника, который может оказаться особенно
ценным для веществ, в которых фотомагнитные явления выражены
сравнительно резко, а фотоэлектрические явления — слабо (напри-
мер, для InSb). Квадратичную составляющую, которая соответ-
ствует (5.46), нужно, конечно, отличать от линейной, рассмотрен-
ной в § 1.
Э. д. с. (5.44) можно также непосредственно наблюдать как
изменение напряжения Дембера под действием поперечного магнит-
ного поля, измеренное на поверхности полупроводника методами,
описанными в гл. 3, § 9. Это явление наблюдали Арон и Грет-
цингер [245],
§ 4. ТЕРМОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ *)
Различают поперечный и продольный термомагнитные эффекты.
Первый из них, называемый обычно эффектом Нернста (точнее,
его следует называть первым эффектом Эттингсгаузена — Нерн-
ста), представляет собой возникновение э. д. с. в направлении,
перпендикулярном к направлению градиента температуры и напра-
влению магнитного поля (которое лежит в плоскости, перпенди-
кулярной к направлению градиента температуры). Второй про-
является в виде влияния поперечного магнитного поля на термо-
э. д. с. полупроводника.
hjl"l чини 1| 1| Г ! I I !
!) Более подробно термомагнитные эффекты рассмотрены в моно-
графии И. М. Цидильковского, „Термомагнитные явления в полупровод-
никах*.— Прим, ред,
218 Гл. 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления
1. Эффект Нернста
Этот эффект был обнаружен еще в 1886 г. Эттингсгаузеном
и Нернстом [3—5]. Однако в полупроводниках он был исследован
экспериментально и теоретически только в последние годы (тео-
рия: [29, 58, ИЗ, 135, 210, 225, 268, 314, 323, 390, 412, 524,
546]; эксперимент: Те [101, 265], PbSe, РЬТе [253], Ge [263, 305,
483, 537], InSb [318, 383, 582], HgSe [366], HgTe [367], GaSb
[482, 541], Si [523], GaAs [548], система InSb — AlSb [578]).
Рассмотрим изотропный однородный полупроводник, в кото-
ром в направлении х имеется градиент температуры dTjdx,
а в направлении z— магнитное поле с индукцией В. В направле-
нии у возникает электрическое поле F ; при слабой индукции
магнитного поля и не слишком большой величине градиента тем-
пературы
р о о dT ,е
dx' (5-47)
где BN — так называемая постоянная Нернста.
Расчет постоянной Нернста для собственного полупроводника
несложен. Ограничимся случаем применимости классической ста-
тистики и слабого магнитного поля, которое практически не ме-
няет электропроводность материала. Если в направлении х имеется
градиент dTjdx, то возникают два взаимно компенсирующиеся
тока электронов и дырок с плотностями 1пх и / определяемые
выражением (2.39). Если вычислить Вх из условия 11 '—Q
и подставить в выражения для 1рх и 1пх, то в предположении, что
dEa!dT = 0, получим
пх
(5.48)
Магнитное поле вращает ток 1пх на угол 9Л, а ток I—на
угол 9р, согласно (1.100). При малых значениях |6Л| и 6 в на-
правлении у возникает ток с плотностью
Iу “ 9rt) Iпх , (р*йуу —р*р^) В1Пх. (5.49)
Для компенсации этого тока в направлении у необходимо поле
(5.50)
Тогда для постоянной Нернста получаем
(5.51)
Из вывода этой формулы уже очевидно происхождение эффекта
Нернста в собственном полупроводнике. Этот эффект является
£ 4, Термо магнитные эффекты
219
следствием того, что магнитное поле создает силы, действующие
в обратном направлений на токи электронов и дырок, текущие
в направлении .градиента температуры, таким образом, что их
пространственный электрический заряд компенсируется. Очевидно,
что постоянная Нернста собственного полупроводника BNi по-
ложительна.
Если бы мы воспользовались тем же ходом рассуждений для
несобственного полупроводника, то нашли бы, что BN = 0, как
следует из (5.51) при th === 0 или tp = 0. В этом случае электри-
ческий ток в направлении градиента температуры компенсируется
тем, что возникает электрическое поле F х> обусловленное появле-
нием пространственного заряда. Однако даже в этом случае может
возникнуть эффект Нернста, но он будет гораздо слабее. Поле Fx
компенсирует здесь электрический ток только в среднем, при
этом часть носителей тока может течь в одном направлении,
часть — в противоположном. Магнитное поле, как правило, дей-
ствует по-разному на носители тока с различной энергией, поэтому
в направлении у возникает электрический ток, который должен
быть скомпенсирован электрическим полем F . . .
При проведении расчета нельзя исходить из уравнения (2.51),
так как нужно отдельно рассматривать действие магнитного поля
на носители тока с различной энергией. Проведем выкладки только
для полупроводника n-типа. Для нулевой плотности тока-в напра-
влении х, согласно (2.42), получаем
Вычислим выражение в скобках:
(5.53)
Для продольной плотности тока dlx, переносимого в направле-
нии х электронами с энергией в интервале от гп до
имеем, используя (5.53),
ednQ
(£л)
ednn х s2 1 dT
mn On) T dx
(5.54)
220
Гл. 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления
Ток, соответствующий группе электронов с энергиями от гп до
zn-\-dzn и временем релаксации тл, под влиянием магнитного поля
с индукцией В вращается на угол где — еВ!тп, согласно
(1.97); следовательно,
dly — &BxndIx. (5.55)
Для плотности тока в направлении у получим после суммирова-
ния
г __ / 6 \2 о П0 (?пгп) (?nzn)\
Т dx\ Ы
Возникновению этого тока в направлении у препятствует поле F
определяемое выражением
из которого следует
Вводя холловскую
подвижность, согласно (1.101) и (1,76),
(5.57)
(5.58)
РпН—
(5.59)
для.постоянной Нернста получим
(5.60)
Херринг [390] вывел это выражение другим способом и пока-
зал, что оно применимо для произвольной формы энергетических
поверхностей в приведенной зоне при условии, что является
функцией только гп. Для дырок выражение полностью аналогично
(и имеет тот же знак), но индекс п. нужно заменить на р. Это
объясняется тем, что с изменением знака носителей тока меняется
направление отклонения в магнитном поле, но ввиду обратного
знака электрического заряда направление тока, возникающего вдоль
оси у, будет тем же самым. Знак BNn зависит от типа рассеяния
носителей тока. Здесь выполняется правило, что знак BNn поло-
жителен, если растет
сеянии на ионизованных
с ростом как, например, при рас-
примесях. Если х ~ ггп, то в случае при-
менимости классической статистики выражение (5.60) с помощью
(1.72) можно привести к виду
BNii = ~^'nHr- (5.61)
&
Для рассеяния на тепловых колебаниях BNn = — (х/2) (k/e)
(т. е.. ,BNn —— 43-10 6 см2)град * сек)\ для рассеяния на
$ 4. Термо магнитные эффекты
221
ионизованных примесях BNn — zl2{^le} Рпн- Если время релакса-
ции т„ не зависит от ея, то BNn — 0.
Можно показать, что для полупроводника с двумя типами носи-
телей тока обычно выполняется равенство [314]
^n^Nn "Н- ^p^Np'
(5.62)
Все приведенные выше выражения касались только электронной
составляющей эффекта Нернста. Однако, так же как при термо-
электрическом эффекте, при низких температурах начинает сказы-
ваться фононная составляющая. Анализ этого сложного явления
проведен в работах [316, 319, 368, 369, 412], в которых экспе-
риментально подтверждается существование этого эффекта, пред-
сказанного впервые Прайсом [314].
Гуревич и Образцов [369] показали, что, предположив сфери-
ческую структуру зоны Бриллюэна и сделав другие упрощающие
предположения, можно показать, что
В.^ OS) ~ -ТГ •
РпО
где 3p„— изменение рп0 под влиянием поля В (см. гл. 1, § 10). Для
германия n-типа нужно рассматривать сложную структуру зоны
проводимости; Херринг и др. [412] вывели для этого случая выра-
жение
. R„ (со) — /? (5)
(В) 14°^I (0) -Л (5.63)
где RH (В) — холловская постоянная для поля с индукцией В,
алф — фононная составляющая термо-э. д. с. для В = 0. Было
показано, что для германия n-типа приближенно выполняется про*
стое соотношение
— const Iалф I {Ляя, (5.64)
где безразмерная постоянная имеет значение около 0,25.
При низких температурах в германии /г-типа [412] преобладает -
составляющая BNn$, и BN > 0. При более высоких температурах
начинает сильно сказываться электронная составляющая, которая
отрицательна для рассеяния на тепловых колебаниях, и если обра-
зец достаточно чистый, то постоянная В^ может стать отрицатель-
ной. В области собственной проводимости BNi > 0, и знак BN
снова становится положительным.
Аналогичная зависимость BN от температуры наблюдалась и
для германия р-типа [368]; в области собственной проводимости
дальнейшее повышение температуры приводит к падению Вт, так
что кривая BN(T) обнаруживает максимум в области высоких тем-
ператур.
222
Гл. 5. Фотомагнитные и термо магнитные явления
Зависимость BN от магнитного поля различна при разной тем-
пературе образца [368, 412]. Для слабого поля BN~В\ для очень
сильного поля (В—>оо) Вдг—>0. Это обусловлено тем, что в этом
случае все токи, связанные-с отдельными группами электронов,
вращаются на 90°.
В схеме для измерения эффекта Нернста в направлении у воз-
никает, кроме электрического поля, еще градиент температуры —
так называемый эффект Риги — Ледюка. Это явление аналогично
эффекту Эттингсгаузена при измерении эффекта Холла (см. гл. Г,
§ 10). В полупроводниках с большой фононной теплопроводностью
оба эти эффекта малы. Однако, если это условие не выполняется,
нужно обращать внимание на перепад температуры и рассматри-
вать так называемый адиабатический эффект Нернста в отличие
от изотермического, для которого справедливы выведенные выше
соотношения. Общие уравнения для обоих этих эффектов в полу-
проводниках были выведены Маделунгом [210, 334].
2. Продольный термомагнитный эффект
Магнитное поле, перпендикулярное к оси образца, меняет его
термо-э. д. с. Расчет электронной составляющей этого эффекта
при слабых' магнитных полях можно провести, применяя методы,
аналогичные методам, использованным в гл. 1, § 10, при расчете
изменения сопротивления в магнитном поле и выше в настоящей
главе, где рассматривалось вращение токов электронов и дырок
под влиянием магнитного поля. Мы не приводим здесь формулы
идограничимся лишь общим описанием явления.....
В собственном полупроводнике а меняется под влиянием маг-
нитного поля главным образом потому, что изменяется отношение
подвижностей носителей тока и, следовательно, . /^ и .1288].
Термо-э. д. с. несобственного полупроводника меняется в резуль-
тате изменений Q*, Q*'. Химические потенциалы Сга0, Ср0 заметно
не изменяются до тех пор, пока В не становится очень большим
(см. § 3, п. 1 настоящей главы).
Полное изменение 8Q*g, 8Q* соответствующее изменению маг-
нитного поля от В = 0 до В = оо, можно определить с помощью
рассуждений, проведенных Херрингом и др. [412]. При /?—>оо
в полупроводнике имеется распределение токов, подобное тому
случаю, когда B — Q и т—константа, не зависящая от энергии
носителей тока. Для этого случая из (4.19) следует Q*^ = Q* =
= .56 772. В случае справедливости выражения (4.19) и 8Q*
определяются выражением
..8Q^ = 8Q*e = — rkT для —> 00, “ (5.65)
§ 4. Термомагнитные эффекты
I— - ’ ' ।
Следовательно, в полупроводнике с тепловым рассеянием носи'
елей тока (г = — %) абсолютное значение термо-э. д. с. воз^
астает под действием магнитного поля. В случае рассеяния н;
онизованных примесях (г = 3/2) абсолютное значение термо-э. д. с
адает как для полупроводника п-типа,
так и для полупроводник;
>-типа.
Для слабых магнитных
олей 8а всегда пропорцио-
ально В2, для сильных по-
ей оно достигает насыще-
на. Зависимость 8але от В,
змеренная для германия
-типа Стилом [363], пред-
тавлена на фиг. 57.
При более низких тем-
ературах начинает сказы-
аться эффект увлечения фо-
онами. Для сферической
труктуры зоны Бриллюэна
уревич и Образцов [369] по-
учили ай(Ь(5)~ RHn(B).
Верринг и др. [412] теоре-
ически показали для гер-
ания л-типа, что при опре-
еленных предположениях
8а . Во
лф г л
а . Р п
лф 1 лО
0,04
О 2 4 6 8 10 12
В, гаусс
Фиг. 57. Относительное изменение
термо-э. д. с. в германии и-типа под влия
нием магнитного поля при температурам
199, 238 и 278° К (по Стилу [363]).
ля любого В; они проверили также экспериментально границь
рименимости этого соотношения. Влияние магнитного поля на с
области эффекта увлечения фононами значительно сильнее, чеь
ри более высоких температурах, для которых применима фиг. 57
[апример, из работы Джебалла и Херринга [324] следует, что апл
магнитном поле с индукцией 5— 11 500 гаусс возрастает при-
лизительно вдвое.
Этот эффект на InSb изучал Родо [316, 383], на германиг
-типа — Херринг и др. [299, 412], Эрдман и др. [370], на гер-
ании />-типа — Мочан и др. [368], на кремнии /г-типа — Крогстах
др. [565]. Теория этого эффекта рассмотрена в работах [135.
16, 323, 368, 369, 412].
П рилож ение А
Список основных обозначений
а — дифференциальная термо-э. д. с. (см. гл. 4, § 2),
В — магнитная индукция,
— отношение подвижностей электронов и дырок рл/[1 ,
с -— скорость света или звука,
Dn, D — коэффициенты диффузии электронов и дырок [см. фор-
мулы (2.34), (2.35)],
£)— эффективная константа диффузии при биполярной диффузии
согласно формуле (2.68),
D(E), Dn(en), D (гр) — плотности состояний электронов (или дырок)
[см. равенства (1.20), (1.21а), (1.216)],
С — химический потенциал электронов при тепловом равновесии
(см. гл. 1, § 4),
С—химические потенциалы совокупностей электронов в зоне
проводимости и в валентной зоне (см. фиг. 13),
С— химические потенциалы совокупностей электронов и дырок
(см. фиг. 13),
££,п — ^п — Сл0, ДС„ — ^р — ^ро — изменение химических потенциалов
равновесия,
по сравнению с состоянием теплового
е — абсолютное значение заряда электрона,
Е — энергия,
Ef — уровень Ферми (см. гл. 1, § 5),
ЕРп, Ёрр—квазиуровни Ферми (см. гл. 2, §
Ev— верхний край валентной зоны (см. фиг.
Ес— нижний край зоны проводимости (см. фиг. 4),
Ео — ширина запрещенной зоны,
еп, £п — кинетическая энергия электрона или дырки,
/ # А/
/—функция распределения Ферми,
F = — grad ср — напряженность электрического поля,
?? — сила,
ср — потенциал электрического поля,
— число пар электрон — дырка, образующихся при поглощении
фотонов в единичном объеме за единицу времени,
— число пар электрон — дырка, образующихся при поглощении
фотонов на единичной площади поверхности за единицу
времени,
Список основных обозначений
h — постоянная Планка,
Н — напряженность магнитного поля,
I —плотность электрического тока,
1Л, L — плотности электрического тока электронов и дырок,
I — плотность потока тепла,
J—электрический ток,
k — постоянная Больцмана,
к—волновой вектор электронов,
К — диэлектрическая постоянная (=8,86 . 10” д0 а . сек. в"1. см~}\
х—удельная теплопроводность,
Ln=VD^, Lp=VD^-- длины диффузии электронов и дырок,
L — Dt — эффективная длина диффузии при биполярной диф-
фузии,
X — длина волны,
т — масса электрона,
тп, тр ~~ эффективные массы электронов и дырок [согласно (1.16)
и (1.17)],
mnd, mpd — эффективные массы, входящие в формулу для плот-
ности состояний электрона (1.21а), (1.216),
[ля, Но — подвижности электронов и дырок [по формуле (1.66)],
|л н — холловские подвижности [по формуле (1.101)],
п = п0 -ф- Дга — концентрация электронов,
Дп — прирост концентрации электронов по сравнению с равновес-
ным состоянием,
— концентрация электронов (равная концентрации дырок) соб-
ственного полупроводника при тепловом равновесии,
Nv — эффективные плотности состояний в валентной зоне и
в зоне проводимости [уравнение (1.30)],
— концентрации доноров и акцепторов,
p = pQ-\-&n— концентрация дырок,
q — волновой вектор фонона,
Q/г, Qp — средние значения теплоты переноса для электрона или
дырки [уравнение (2.29)],
Q*, Q* — средние '
электроном
значения кинетической энергии, переносимой
или дыркой [см. формулу (2.32)],
*
кинетической энергии, переносимой электроном
** — избыток
или дыркой, по сравнению с их средней кинетической
энергией [см. (2.63)].
-электрическое сопротивление, рекомбинационная функция [см.
формулу (1.117)],
удельное сопротивление (— 1/а),
226
Приложение А
ап, о — электрическая проводимость, соответствующая электро-
нам и дыркам,
° = + ар>
s—скорость поверхностной рекомбинации [согласно формуле (1.29)],
5*, S* — средние значения энтропии, переносимой электроном и
дыркой [см. (2.48) и (2.49)],
t — время,
tn = cnla, t — <sp/a — переводные множители,
Т—абсолютная температура (ДТ—температурный интервал),
т — время релаксации электронов или дырок (см. гл. 1, § 8),
«с — среднее время жизни пары электрон — дырка (см. гл. 1, § 12),
U — напряжение, э. д. с.,
Uc — э. д. с., соответствующая изменению химического потенциала,
[J —э. д. с., соответствующая диффузии носителей тока,
v — скорость,
х — расстояние (Дх — расстояние между двумя точками),
Д — изменение по сравнению с равновесным состоянием (за исклю-
чением ДТ, Дх, Ду, Дг),
(у) — среднее значение у по формуле (1.69),
у — среднее значение у по формуле (2.64).
Остальные обозначения, используемые в книге, объясняются
в тексте.
Система единиц
Приведенные в книге формулы справедливы в системе единиц МКС
(метр — килограмм — секунда).
В физике полупроводников обычно принято использовать
в качестве основных единиц вольт и ампер. Константы, приве-
денные в приложении В, выражены таким образом, чтобы было
удобно пользоваться формулами в тексте.
В качестве единицы длины вместо метра часто используется
сантиметр. Формулы справедливы и в этом случае, если массы
выражать в единицах 104 кг (=104 в • а • сек? • л/"2 = в • а • сек3Х
X см~2). В такой системе единиц масса электрона т имеет зна-
чение 9,106 ГО-35 в • а • • с.и-2. Размерность индукции маг-
нитного поля В [в • сек • см~2] (1 • в сек • см~2 = 108 гаусс').
В качестве единицы энергии используется электронвольт;
1 — 1,6 • 10~19 в • а сек.
f
П риложение В
Значения констант
т = 9,106 • 10 31 кг (в • а • сек3 • м~2),
е — 1,602 • 10-19 а • сек,
6,62 10 34 в • а • сек2,
k~ 1,38 • 10~23 в • а • сек град-1 = 8^2~^~iQ~^ эв/град,
k/e = 8,63 • 10-5 в)град.
Средняя скорость электронов с эффективной массой тп, соо
гствующая тепловой энергии 3& 772,
(«Лр=}/’1.168 •IO7/-i/[СЖ/«К].
Подвижность электронов по формуле (1.76)
т„ [см2/в • сек\.
i t л
рп== — тя =1,76. 1015
'п тп \ тп
Константа Мс по (1.30)
= 2 ( 27tfflg2rf~y/2=; 4,825 • 1015 (—
V /? 2 / ’ \ т
[см-
Для дырок справедливы те же формулы с заменой индекса
1 р и Д на N„.
v
Приложение Г
Интегралы Ферми
?т О)
Г tmdt (
j 1 + ехр (г! — х) <т>
Особые случаи:
для х < — 4
для х > 20 -
(*) — 1° [ 14~ ехР U) 1;
(х) Г (от + 1) ехр (X),
гтд-\
Fm (х) •
Значения функции Fm{x) в области от х =— 4 до х = 20
для т — — Уд, 0, У2, . . ., 7 приведены в таблице. Эти значения
заимствованы из приведенных ниже работ (в некоторых из них
имеются более подробные таблицы).
McDougall J. М., Stoner Е. S., Trans. Roy. Soc., А237,
67 (1939) (F_Vj, Fy2, A/2).
Rhodes P., Proc. Phys. Soc., A204, 396 (1950) (F\, F2, F3, f4).
Wright W. R., Proc. Phys. Soc., A64, 350 (1951) (FJ.
Johnson V. A., Shipley F. M., Phys. Rev., 90, 523 (1953)
(T72’ F^i2< 7A/2).
Beer A.x C., Chase M. N., Choquard P. E., Helv. Phys. Acta,
28, 529 (1955) (F_I/s, F4v F^, Fi/2, FVt, F^, Fn/,).
Madelung D., Zs. f. Naturforsch., 9a, 667 (1954); Handbuch
der Physik, Bd. XX, 1957, S.l (F_y2, Fo, /Л/2, Ft, F»/t, F2,
F3, F^, Ftli. F3, Fu/2, Fq, F-j)‘
Следующие соотношения могут оказаться полезными при про-
ведении расчетов:
= (для от >0),
Г (х -I- 1) = хГ (х),
fit
a
b
a
0,1815
Интегралы Ферми Fm (x)-a- 10s
1 0,16128
га
ь
a
a
a
10
11
0,0182
0
0
2,1918
5,2114
0,1310
0
6,56115
1,75800
0,0366
0,0990
0
0
0
0
0
0
16
17
6,07731
1,3137
2,1270
4,0182
5,0067
0
0
2,90501
6,78094
5,77073
1,01443
0
0
0
0
0
0
6,0957
1,4138
0
0
1,76277
4,12610
0,7050
1,8870
9,1744
0
0
0
0
7,13480
0
0
5,6170
5,9674
6,9076
7,7314
8,4744
0
0
0
0
0
0
0
0
7,0009
8,0003
9,0001
1,0000
1,1000
1,2000
1,3000
1,4000
1,5000
1,6000
1,7000
2,0000
0
0 1,82776
1 2,13445
2,79518
3,14775
3,51430
5,11061
5,54019
5,98128
IRJU
2,6144
4,2145
8,6145
1,1415
2,0165
1,04574
3,58112
6,40171
2,7261
7,7510
9,6072
1,1743
3,36814
7,37087
1,41237
2,45700
6,07677
3 1,05906
2
2
a
a
4
0
10
13
14
15
16
17
18
19
1,0977
3,4304
1,5421
2,9094
5,1300
2,0513
3,0048
5,9060
1,3778
3,4373
0
2,12877
5,77852
4,21325
1,11837
2,88313
7,07645
6,42490
1,35402
0
0
0
5,27190
0
1,3195
0,1194
6,0981
1,6749
1,7016
2,7034
3,1707
4,1710
5,4121
2,60317
7,06296
1,91050
5,12904
1,35419
1,94721
8,50005
1,62060
5,04304
2,04150
3,05550
4,45804
0
0 1,6210
0,1183
0,3151
0,8174
2,0404
1,0821
4,5161
1,5198
6,8481
0,6818
1,05487
2,00234
5,09479
1,41122
3,71137
5,08033
0,7148
5,0913
1,3148
7,7515|4
3,7142
7,5073
1,4445
2,6570
4,6915
2,1011
7,3774
1,0746
0,5020
9,6007
6,1153
1,4515
7,0728
9,7103
2,7183
4,0026
J
r
4
Лит ература
1839
I. Becquerel Е., Compt. RencL, 9, 561.
1882
2. Thomson W., Math. Phys. Papers (Cambridge), 1, 232, 266; 2, 192.
1886
3. Ellingshausen A., Nernst W., Wiener Ben, 94, 560.
4. Et’tingshausen A., Nernst W., Zs. f. Elektrotechn., 4, 549.
1887
5. В о It zm ann L., Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss.,
KI. II, 96, 1258 [см. также Wiss. Abh., 3, 321 (1909)].
6. N e r n st W.} Wied. Ann., 31, 760.
1909
7. Altenkirch E., Phys. Zs., 10, 560.
1911
8. A 11 e n k i r c h E., Phvs. Zs., 12, 920.
Z r *
1912
9. В a e d e k e r K., Phys. Zs., 13, 1080.
1914
10. Debye P., Vortrage liber die kinetische Theorie der Materie und der
Elektrizitat, Berlin.
19 19
11. Coblentz W. W., Nat. Bur. Standards, Sci. Papers (1919—1921).
1924
12. К r a me г J. B., The Electrician, 93, 497.
Литература
233
1927
13. Grondahl L. О., Geiger P. H., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng.',
46, 357.
1929
14. Benedicks C., Erg. exact. Naturwiss., 8, 26.
1930
15. Ландау Л. Д., Zs. f. Phys., 64, 629.
16. Lange B., Phys. Zs., 31, 139, 964.
17. Shottky W., Zs. techn. Phys., 11, 458.
18. Shottky W., Phys. Zs., 31, 913.
193 1
19. D e m b e r H., Phys. Zs., 32, 554.
20. D e m b e r H., Phys. Zs., 32, 856.
21. Schottky W., Phys. Zs., 32, 833.
22. О n s a g e r L., Phys. Rev., 37, 405.
23. О n s a g e r L., Phys. Rev., 38, 2265.
24 Wilson A. H., Proc. Roy. Soc., A133, 458.
25. Wilson A. H., Proc. Roy. Soc., A134, 277,
1932
26. D emb e r H., Naturwiss., 20, 758.
27. Bergmann L., Phys. Zs., 33, 209.
28. В о r e 1 i u s G., К e e s о m W. H., Johansson С. H., Linde J. O„
Com, Leiden, Suppl., 70a.
29. Б p о н ш т e й n H., Phys. Zs. der Sowjetunion, 2, 28.
1933
30. Grondahl L. O., Rev. Mod. Phys., 5, 162.
31. Френкель Я- И., Nature, 132, 312.
32. Sommerfeld, Bet he H., Handbuch der Physik, 2 Aufl., Bd. 24/2,
Berlin, S. 333.,
33. Fowler R. H., Proc. Roy. Soc., A140, 505.
34. Wagner C., Zs. Phys. Chem., B22, 195.
35. M 6 n c h G„ Zs. f. Phys., 83, 247.
1934
36. Кикоин И. К., Носков М. М., Phys. Zs. der Sowjetunion, 5, 586.
37. Кикоин И. К-, Phys. Zs. der Sowjetunion, 6, 478.
38. Френкель Я, И,, Phys. Zs, der Sowjetunion^ 5, 597,
* • * * :
234
Литература
1935
'39. De В о е г J. Н., van Geel W. С., Physica, 2, 186.
40. Иоффе А. Ф., Semiconducteurs electroniques, Paris.
41. Френкель Я. И., Phys. Zs. der Sowjetunion, 8, 195.
1936
42. Ландау Л., Лифшиц Е., Phys. Zs. der Sowjetunion, 9, 477.
43. В о u t г у G. A., Les phenomenes photoelectriques et leurs applica-
tions, Paris.
44. F г 6 h 1 i c h H,, Elektronentheorie der Metalle, Berlin.
45. Bergmann L., Zs. f. Phys., 100, 50.
46. Fowler R. H., Statistical Mechanics, Sections 11.74 to 11.81, Cam-
bridge.
47. Monch G., Ann. d. Phys., 26, 481.
1937
48. Давыдов Б. И., ЖЭТФ, 7, 1069, 2212.
4.
1938
49. Lange В., Photoelements, New York.
50. Давыдов Б. И., ЖТФ, 5, 79.
51. Б ер н а тс ки й В. К., Гейхман Д. С., Физ. зап. Украинской Ака-
демии наук; 7, 69.
52. Коломиец Б. Т., ДАН СССР, 19, 383.
53. Casimir Н. В. G., Physica, 5, 495.
54. Meixner J., Ann. d. Phys., 35, 701.
55. Meixner J., Ann. d. Phys., 36, 105.
1'9 3 9
56. Mott N. F., Proc. Roy. Soc., A171, 281.
57. Monch G., Ann. d. Phys., 34, 265.
1940
58. Давыдов Б. И., Шмушкевич И. М., УФН, 24, 21.
59. Mott N. F., Gurney R. W., Electronic Processes in Ionic Crystals,
Oxford.
194 1
60. M e i x n e r J., Ann. d. Phys., 40, 165.
61. Kohler M., Ann. d. Phys., 40, 1, 601.
62. Ohl R. S., US. Patent, 2 402 662, May 27.
1'94 2
63. K°hler M7 Ann. d. Phy§., 42, 142.
Литература 235
— —?h'-.—. -Дг' I-"... _» .*1 , ‘ _ . ; . -п-1 -. т “ ” . 7 ’ ’ ”
194 5
64, Гуревй-ч Л. Э., Journ. of Phys, (СССР), 9, 477. ;
1946
65. Starkiewicz J., Sos nowski L., Simpson 0., Nature, 158, 28.
66. Л а ш к a p e в В. E., К о с о н о г о в а К- М», ЖЭТФ, 16, 786.
67. Г у р е в и ч Л. Э., ЖЭТФ, 16, 193, 422.
68. Гуревич Л. Э., Journ. of Phys. (СССР), 10, 67.
69. L а г k - Н о г о w i t z К., Middleton A. E., Miller E. P., Scan-
Ion W. W., W a 1 e r s t e i n I.. Phys. Rev., 69, 259-
70. L e h о v e с K., Zs. Naturforsch., 1, 258.
1947
71. S о s n о w s k i L., Phys. Rev., 72, 641.
72. Sos nowski L., Soole V., Starkiewicz J., Nature, 160, 471.
73. В e n z e r S., Phys. Rev., 72, 1267.
74. Lehovec K., Zs. Naturforsch., 2, 398.
75. В r a 11 a i n W. H., Phys. Rev., 72, 345.
76. T e 1 k e s M., Journ. Appl. Phys., 18, 1116.
77. Дунаев Ю. А., Масл аковец Ю. FL, ЖЭТФ, 17, 901.
1948
78. Лашкарев В. Е., Ко со н о го в а К. М., ЖЭТФ, 18, 927,
79, Л а ш к а р е в В. Е., ЖЭТФ, 18, 917.
80. Lehovec К., Phys. Rev., 74, 463.
81. Рывкин С. М., ЖТФ, 18, 1521.
82. Callen Н. В., Phys. Rev.. 73, 1349.
83. Justi Е., Leitfahigkeit und Leitungsmechanismus fester Stoffe, Gof-
tingen.
84. Heni sch H. K., Electr. Commun., 25, 163.
4
1949
85. Shockley W., Bell Syst. Techn. Journ., 28, 435.
86. Kohler M., Zs. f. Phys., 125, 679.
87. Scaff J. H., Theuerer H. C., Trans. Amer. Inst Mining Metal.
Eng., 185, ,383.
88. Fan H. Y., Phys. Rev». 75, 1631.
89. YamashitaJ., Journ. Phys. Soc. Japan, 4, 310.
- 90, P ы в к и и С. М., ЖТФ, 19, 286.
9L П у ц е й к о Е. А., ДАН СССР, 67, 1009.
92. Scaff Л Н., Theuerer Н. С,, Schumacher Е. Е., Journ. Met,
185,383.
93. Greenwood N, N., A n d e r s о n J. S., Nature, 164, 346.
23б Литература
1950
94. Shockley W., Electrons and Holes Ln Semiconductors, New York.
95. Bardeen J., Shockley W., Phys. Rev., 80, 72.
96. Muto T., О у am a S., Progr. Theor. Phys., 5, 833.
97. Conwell E. M., Weisskopf V., Phys. Rev., 77, 388.
98. Roosbroeck W., Bell Syst Techn. Journ., 29, 560.
99. В e с к e r M., F a n H. Y., Phys. Rev., 78, 301.
100. Zworykin V. K., R a mb erg Ё. G., Photoelectricity and its ApplL
cation, New York.
101. Fukuroi, tanuma, Tobisawa, Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku
Univ., A2, 233.
102. Orman C., Fan H. Y., Goldsmith B. J., Lark-Ного*
w i t z K., Phys. Rev., 78, 646.
103. Bardeen J., Bell Syst. Techn. Journ., 29, 469.
104. V e r s c h a f f e 11 J. E., Bull. Acadi Roy. Belg., 36, 26, 193.
1951
105. F a n H. Y., Phys. Rev., 82, 900.
106. Muto T., О у a m a S., Progr. Theor. Phys., 6, 61.
107. Prim R. C., Bell. Syst. Techn. Journ., 30, 1174.
108. Ohm art P. E., Journ. Appl. Phys., 22, 1504.
109. Nadjakov G., Andreichin R., Compt. Rend. Acad. Sci. Bulgare,
2, 293.
110. Goucher F, S., Pearson G. L., Sparks M., Teal G. K,
Shockley W., Phys. Rev., 81, 637.
111. Brattain W. H., Semiconducting Materials, London, p. 37.
112. M с К а у К. G., Phys. Rev., 84, 829.
113. W r i"gh t R. W., Proc. Phys. Soc., A64, 984.
114. Kohler M., AbhandL Braunsch. Wiss. Ges., 3, 49.
115. К I emens P. G., Proc. Roy, Soc., A208, 108.
116. П и к у с Г. Е., ЖЭТФ, 21, 852.
117. Granville J. W., Hogarth А. С., Proc. Phys. Soc., В64, 488.
118. VerschaffeltJ. Е., Journ. phys. et rad., 12, 93.
119. Л а и д а у ЛЛифшиц E., Статистическая физика, Изд-во АН
СССР.
1952
120. Bardeen J., Shockley W., Phys. Rev., 80, 72.
121. Shockley W., R e a d W. T., Phys. Rev., 87, 835.
122. G i о r d a n о A. B., et al., Phys. Rev., 88, 1368.
123. De Groot S, R., Thermodynamics of Irreversible Processes, Amster-
dam.
124. Лашкарев В. E., Из©. АН СССР (серия физич.), 16, 18.
125. Nadjakov G., Andreichin R., Compt. Rend. Acad. Sci. Bulgare,
5Д 9.
Литература Ml
- I ч_ - - ,-_r- L-.ТГ - Ilin 1ГТ ^'7/. .77 -1 I 11 I.III.WH^ -таи IJI l.l
—’H-i i«- >11» IT .....
126. Толпыго К. Б., Изв. АН СССР (серия физич.), 16, 46.
127. В г attain W. Н., Bardeen J., Bell. Syst. Techn. Journ., 32. I.
128. L a u t z G., Zs. Naturforsch., 8a, 361.
129. Ансельм А. И., Клячкин В. И., ЖЭТФ, 22, 297.
130. Justi Е., Lantz G., Zs. Naturforsch., 7a, 191, 602.
131. Justi E., Lauzt G., Abhandl. Braunsccj. Wiss. Ges., 4, 107.
132. Девяткова E. Д., Маслаковец 1 • * I* J
ЖТФ, 22, 192.
133. Герштейн E. 3., Ставицкая T. С., Стильбанс Л. С., ЖТФ,
24, 129,
134. Dingle R. B., Proc. Roy. Soc., A211, 38, 500.
135. Толпыго К- Б., Труды Института физики УССР, 3, 52.
136. Толпыго К. Б., Изв. АН СССР (серия физич.), 16, 46.
137. Толпыго К- Б., Труды Института физики УССР, 2, 25.
138. Толпыго К. Б., ЖЭТФ, 23, 340.
1953
139. Howard D. J., Sondheimer Е. Н., Proc. Roy. Soc., А219, 53.
140. Berman R., Adv. Phys., 2, 103.
141. Kaiser W., Collins R., Fan H. Y., Phys. Rev., 91, 230, 1380.
142. Moss T. S., Proc. Phys. Soc., B66, 993.
143. Haynes J. R., Hornbeck J. A., Phys. Rev., 90, 152, 491.
144. Roosbroeck W., Phys. Rev., 91, 282.
145. Губанов А. И., ЖЭТФ, 25, 307.
146. Moss T. S., Pihcherle L., Woodward H, M., Proc. Phys, Soc.,
B66, 743.
147. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 3, 282.
148. Johnson A. V., Lark-Horowitz K-, Phys. Rev., 92, 226.
149. Madelung O., Welker H., Zs. angew. Phys., 5, 12.
150. Frederikse H. P. R., Phys. Rev., 91, 491.
151. Frederikse H. P. R., Phys. Rev., 92, 248.
152. G e b a 11 e T. H., Phys. Rev., 92, 857.
153. Herring C., Phys. Rev., 92, 857.
154. Tauc J., Trousil Z., Czechosl. Journ Phys., 3, 120.
155. Spitzer L., Harm R., Phys. Rev., 89, 977.
156. Mansfield R., Salam S. A., Proc. Phys. Soc., B66, 377.
157, Tanenb aum M., Briggs H. B., Phys. Rev., 91, 1561.
158, Kikuchi M., Onishi T.} Journ. Appl. Phys., 24, 162.
159. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 3, 259.
160. Самойлович A. f., Ко рен б лит Л. Л., УФН, 49, 243, 337.
161. D о ш e n i с a 1 i C. A„ Phys. Rev., 92, 877.
162. Schottky W., Zs. Naturforsch., 8a, 457.
163. A i g r a i n P., В u 11 i a r d H.} Compt. Rend., 236, 595, 672.
164. Moss T. S., Pinch er le L., Woodward A. M., Proc. Phys.
Soc., B66, 743.
238 Литература
165. Moss Т. S., Proc. Phys. Soc., B66, 993.
166. Busch G., Mooser E., Helv Phys. Acta, 26, 611.
167. Nod dack W, Meier H., Zs. Elektrochem., 57, 691.
168. Gilleo M. A., Phys. Rev., 91, 534.
169. Блюм А. И., ЖТФ, 23, 788.
170. Блюм А. И., P егел ь A. P., ЖТФ, 23, 783.
171. Lehovec K.,' Accardo C. A., Jamgonichian E., Phys. Rev.,
89, 20.
1954
172. Leibfried G., Schlomann E., Gott Nachr., 2a, 71.
173. Ансельм А. И., ЖТФ, 24, 2064.
174. Willardson R. К, H a r m a n T. C., Beer A. C., Phys. Rev., 96,
1512.
175. Hale L. H., В i r d e e n J., Blatt F. J., Phys. Rev., 95, 559.
176. Roosbroek W., Shockley W., Phys. Rev., 94, 1558.
177. P ы в к и н С. М., ЖЭТФ, 24, 2136.
178. Т а и с J., A b г a h a m A., Czechosl. Journ. Phys., 4, 478.
179. Avery P. G., Goodwin D. W., Lawson W. R., Moss T. S.,
Proc. Phys. Soc., B67, 761.
180. Talley R. M., Enright D. P., Phys. Rev., 95, 1092.
181. Reynolds D. C., Leies G., Antes L. L., Marburger R. E.,
Phys. Rev., 96, 533.
182. Reynolds D. С., C z у z a k S. J., Phys. Rev., 96, 1705.
183. Chapin D. M., Fuller C. S., Pearson G. L., Journ. Appl. Phys.,
25, 676.
184. P f a n n W. G., Roosbroeck W., Journ. Appl. Phys., 25, 1422.
185. Rappaport P., Phys. Rev., 93, 246.
186. Nadjakov G., Andreichin R., Compt. Rend. Acad. Sci, Bub
gare, 7, 13.
187. C u m m e г о v R. L., Phys. Rev., 95, 16, 561.
188. Morin F. J., Phys. Rev., 93, 1195, 1199.
189. В a cko v s k у J., Malkovska M., Tauc J., Czechosl. Journ.
Phys., 4, 98. .
190. Bratta in W. H., Garrett C. G. B., Physica, 20, 885.
191. Tauc J., Phys. Rev., 95, 1394.
192. G e b a 11 e T. H., H u 11 G. W., Phys. Rev., 94, 1134.
193. Herring C., Phys. Rev., 96, 1163.
.194. Те Ikes M., Journ. Appl. Phys., 25, 765, 1058.
195. Willardson R. K., Harman T. C., Beer A. C., Phys. Rev., 96,
1512.
196. К 1 e m e n s P. G., Austral. Journ. Phys., 7, 520.
197. P а г г о 11 J. E., Proc. Phys. Soc., B67, 587.
198. MacDonald D. К. C., Physica, 20, 996.
199. Mooser E., Woods S. B., Phys. Rev., 97, 172L
Литература
239
200. D о m е n i с a 1 i C. A., Rev. Mod. Phys., 26, 237.
201. И о ф ф e А. В., Иоффе А. Ф., ДАН СССР, 97, 821.
202. G о 1 d s m i d H. J., Proc. Phys. Soc., B67, 360.
203. Иоффе А. В., Иоффе А. Ф., ЖТФ, 24, 1911.
204. Golds mid H. J., Douglas R. W,, British Journ. Appl. Phys.,
5, 386.
205. И о ф ф e А, В., И о ф ф e А. Ф., ДАН СССР, 98, 757.
206. В u 11 i а г d Н., Ann. d. Phys., 15, 52.
207. В u 11 i а г d Н., Phys. Rev.., 94, 1564.
208. О b e г 1 у J. J., Phys. Rev., 93, 911.
209. Grosvalet G., Ann. Radioelectr. Comp. Gen. de TSF., 9, 360.
210. Madelung O., Zs. Naturforsch., 9a, 667.
211. A i grain P., Ann. Radioelec. Comp. Gen. de TSF., 15, 52.
212. Комар А. П., Рейнов H. M., Шалыт С. С., ДАН СССР, 96, 47.
213. Kurnick S. W., Strauss A., Zitter R., Phys. Rev., 94, 1791.
214. Г у б а н о в А. И., ЖТФ, 24, 933.
215. Контор о ва Т. А., ЖТФ, 24, 1687.
19 55
216. Brooks Н., Advances in Electronics and Electron Physics, New
York, vol. 7, p. 85.
217; Dresselhaus G., Kip A. F., Kittel G., Phys. Rev., 98, 368.
218. Hermann F., Proc. IRE, 43, 1703.
219. Burst ein E., Egli P. H., Advances in Electronics and Electron
Physics, New York, vol 7, p. I.
220. Dun! a p W. C„ Phys. Rev., 100, 1629.
221. A n t о n c i к E., Czechosl. Journ. Phys., 5, 449,
222. Garrett C. G. В., В rat tain W. H., Phys. Rev., 99, 376.
223. Herring C., Bell Syst. Techn. Journ., 34, 2.
224. Tauc J., M a t у a s M., Czechosl. Journ. Phys., 5, 369.
225. Price P. J., Phil, Mag., Ser. 7, 46, 1252.
226. P i n c h e r 1 e L., Proc. Phys. Soc., B68, 319.
227. Haynes J. R., Hornbeck J. A., Phys. Rev., 97, 311.
228. Haynes J. R., H о r n b e с к J. A., Phys. Rev., 100, 606.
229. F r e d e r i к s e H. P. R., В 1 u n t R. F. Proc. IRE, 43, 1828.
230. Gremmelmaier R., Zs. Naturforsch., 10a, 501.
231. Moss T. S., Journ. Electronics, 1, 126.
232. T a u c J., Czechosl. Journ. Phys., 5, 300.
233. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 5, 178.
234. Prince M. B., Journ. Appl. Phys., 26, 534.
235. В r a u n b e с к J., В a b о v s к у J., Naturwiss., 42, 602.
236. Garrett C. G. В., В rattai n W. H., Phys. Rev., 99, 376.
237. Moore A. F., Webster W. M., Proc. IRE, 43, 427.
238. Tauc J., Maty as M., Czechosl. Journ. Phys., 5, 369.
239. Qoldschmidt H. J., Journ. Electronics, 1, 218.
240 Литература
- — — — --- .. , а1|1 , " " 1 J 1 Ц|. .I.» I 1^^
240. T a u c J., Czechosl. Journ. Phys., 5, 528.
241. Herring C., Bell. Syst. Techn. Journ., 34, 237.
242. К 1 e m e n s P. Q.,
Proc. Phys. Soc., A68, 1113.
243. G e b a 11 e T. H., Hull G. W., Phys. Rev., 98, 940.
244. Frederikse H. P. R., M i e 1 c z a г e к E. V., Phys.
Rev., 99, 1889.
245, Aron J., Groetzinger G., Phys. Rev., 100, 1128.
246. Dresselhaus G., Kip A. F., Kittel G., Wagoner G. W.,
Phys. Rev., 98, 556.
247. Коноваленко Б. M., Рывкин С. M., Тучкевич В. M., ЖТФ,
25, 18.
248. В г a 11 a i n W. H., G a r r e 11 C. G. B., Bell Syst. Techn. Journ.,
34, 129.
249. Бер лаг a P. Я., Румш M. А., Страхов Л. П., ЖТФ, 25, 1878.
250. Самойлович А. Г., ЖТФ, 25, 823.
251. Власова Р. М., С т и л• ь б а н с Л. С., ЖТФ, 25, 469.
252. Kamadzhiev Р. R., Czechosl. Journ. Phys., 5, 60.
253. Р u 11 е у Е. Н., Proc. Phys. Soc., В68, 35.
254. Goldsmid H. J., Journ. Electronics, Ser. 1, 1, 218.
255. Васенин Ф. Я-, ЖТФ, 25, 397.
256. Васенин Ф. Я., ЖТФ, 25, 1190.
257. R о s е A., Proc. IRE, 43, 1850.
258. Buck Т. М., В г a 11 a i n W. H., Journ. Electrochem. Soc., 102, 636.
259. Stevens D. K., Crawford T. H., Jr., Phys. Rev., 99, 487.
260. H i 1 s u m C., Oliver D. J., R i с k a у z e n G., Journ. Electronics,
Ser. 1, 1, 134.
261. Образцов Я. H., Крылова Т. Ф., Мочан И. В., ЖТФ, 25, 995,
1003,2119.
262. О б р а з ц о в Я. Н., ЖТФ, 25, 995.
263. Крылова Т. В., Мочан И. В., ЖТФ, 25, 2119.
264. Н а 11 J. F., Phys. Rev., 97, 1471.
265. М о ч а н И. В., ЖТФ, 25, 1003.
266. Meier Н., Zs. Wiss. Photogs., II, 50, 301.
267. Meier H., Zs. Elektrochem., 59, 1029.
268. Pearson W. B., Templeton I. M., Proc. Roy. Soc,, A231,534.
269. Никольская E. И., P e г e л ь A. P., ЖТФ, 25, 1352.
19 56
270. S p enke E., Elektronische Halbleiter, Berlin.
271. Landsberg P. T., Proc. Phys. Soc., A64, 604.
272. Appel J., Zs. f. Naturforsch., Ila, 689.
273. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 6, 108.
274. Goldberg C., Adams E., Davis R., Phys. Rev., 105, 865.
275. Fan H. Y., Reports on Progress in Physics, Phys. Soc., 19, 107,
276. Pfister H., Zs. Naturforsch., Ila, 434.
277. G r emm el m a i er R., Welker H., Zs. Naturforsch., Ila, 420.
Литература
241
278 Abraham A., Czechosl. Journ. Phys., 6, 624.
279. T г о u s i 1 Z., Czechosl. Journ. Phys., 6, 96.
280. Frank H., Czechosl. Journ. Phys., 6, 433.
281. Л а ш к a p e в В. E.} Романов В. А., Труды Института физики
УССР, 7, 50.
282. Rittner Е. S., Photoconductivity Conference, New York, p. 215.
283. R a p p a p о r t P., L о f e r s k i J. J., Linder E. G., RCA Rev., 17,
100.
284. Jenny D. A., Lof er ski J. J., Rap pa port P., Phys. Rev., 101,
1208.
285. Loferski. J. J., Journ. Appl. Phys., 27, 777.
286. Schwabe G., Ann, d. Phys., 6, 249.
287. Маслаковец Ю. П., Полтинников С. А., Дубров-
ский Г. В., Субашиев В. К-, ЖТФ, 26, 2396.
288. Price Р. J., Phys Rev., 104, 1223.
289. Иоффе А. Ф., Полупроводниковые термоэлементы, Изд-во АН
СССР.
290. Иоффе А. Ф., Стильба нс А. С., Иорда ниш вили Е. К.,
С т а в и ц к а я Т. С., Термоэлектрическое охлаждение, Изд-во
АН СССР.
291. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 6, 108.
292. Trousil Z., Czechosl. Journ. Phys., 6, 170.
293. Chasmar R. P., Stratton R., Phys. Rev., 102, 1686.
294. An tell G. R., Chasmar R. P., Ch amp n ess С. H,. Cohen E.,
Report of the Meeting on Semiconductors at Rugby, Phys. Soc., 99.
295. Weiss H., Zs, Naturforsch., Ila, 131.
296. Keyes R. J, Zwerdling S., Foner S., Klim H. H., Lax B.,
Phys. Rev., 104, 1804.
297. Van der Pauw L. J, Polder D., Journ. Electronics, 2, 239.
298. Johnson V. A., Progress in Semiconductors, London, 1, 63.
299. Haase R., Zs. Naturforsch., Ila, 681.
300. G о 1 a n d A. N., Ewald A. W., Phys. Rev., 104, 948.
301. Weiss H., Zs. Naturforsch., Ila, 131.
302. Ro dot M., Duel os P„ К over E., Rodot H., Compt. Rend.,
242, 2522.
303. Штеенбек M.s Изв. АН СССР (серия физич.), 20, 1560.
304. Champness G. H., Proc. Phys. Soc., B69, 1335.
305. Баширов P. И., Цидильковский И. M., ЖТФ, 26, 2195.
306. D г a b b 1 е J. R., W о 1 f е R., Proc. Phys. Soc., B69, 1101.
307. И о ф ф e А. Ф., Canad. Journ. Phys., 34, 1342.
308. Иоффе А. Ф., Nuovo Cimento, Suppl., 3, Ser. 10, 702.
309. Дудкин А, Д., Абрикосов H. X., Журн. неорг. химии, 19, 2096.
310. С ин а ни С. С., Г орд я ко в а Г. Н., ЖТФ, 26, 2399.
311. Ковальчук Т. Л., Маслаковец Ю. П., ЖТФ, 26, 2317.
312. Kurnick S. W., Zitter R. N., Journ. Appl. Phys., 27, 278.
242 Л итература
313. V а и Roosbroeck W., Phys. Rev., 101, 1713.
314. Price P. J., Phys. Rev., 102, 1245.
315. Tauc J., Czechosl. Journ. Phys., 6*, 421.
316. Rodot M., Compt Rend., 243, 129.
317. Goodwin D. W., Report at the Meeting on Semiconductors at
Rugby, Phys. Soc., 137.
318. Ai grain P.} Rig aux G., Thuillier J., Compt. Rend., 242, 1145.
319. Pinch er le L., Photoconductivity Conference, New York, p. 307.
320. L a g r e n a u d i e J., Ann. Telecomm., 11, 127, 132.
321. Garreta O., Grosvalet J., Progress in Semiconductors, London,
1, 165.
322. Кикоин И. К., Быковский Ю. А., ДАН СССР, 109, 735.
323. Басс Ф. Г., Ци д и л ьковский И. М., ЖЭТФ, 31, 672.
324. Herring С., Geballe Т. Н., Bull. Amer. Phys. Soc., 1, 117.
325. Y a f e t Y., Keyes R. W., Adams E. N., Journ. Phys. Chem. So-
lids, 1, 137.
326. Keyes R. W., Sladek R. J., Journ. Phys. Chem. Solids, 1, 143.
327. Богданов С. В., ЖТФ, 26, 917.
328. К апл у нова Е. И., Толпыго К. Б., Укр. физич> журнал, 1, 344.
329. К а пл у н о в а Е. И., Т о л п ы го К. Б., ЖТФ, 26, 2167.
330. Doorn С. Z., Nobel D., Physica, 22, 338.
19 57
33L Ehrenreich Н., Journ. Phys. Chem. Solids, 2, 131.
332. Kane E. O., Journ. Phys. Chem. Solids, 1, 249.
333. Shockley W., L a st J. T., Phys. Rev., 107. 392.
334. Madelung O., Handbuch der Physik, Berlin, Bd. XX, S. 1.
335. Rodot M., Compt. Rend., 245, 1051.
336. К i 11 e 1 Ch., Introduction to Solid State Physics, New York.
337. Кос S., Czechosl. Journ. Phys., 7, 91.
338. Drahokoupil J., Malkovska M., Tauc J., Czechosl. Journ.
Phys., 7, 57.
339. An tonci k E., Czechosl. Journ. Phys., 7, 674.
340. Rose A., Progress in>Semiconductors, London, vol. 2, p. 109.
341. С о с н о в с к и й Л., Изв. АН СССР (серия физич.), 21, 70.
342. Crawford J. Н., Cleveland J. W., Progress in Semiconductors,
London, vol. 2, p. 67.
343. T a u c J., Rev. Mod. Phys., 29, 308.
344. C h i 11 d а у T. S., Journ. Appl. Phys., 28, 1035.
345. Rappaport P., Loferski J. J., Proc. 11th Annual Battery Con-
ference, May 22, 23, 1957.
346. Johnson E. O., RCA, Rev., 18, 556.
347. H e n i s c h H. K., Rectifying Semiconductor Contacts, Oxford.
348. W a 11 m a r k J. T., Proc. IRE, 45, 474.
349. Tauc J., Czechosl. Journ, Phys., 7, 376.
Л итература
350, Иоффе А. Ф, Физика полупроводников, Изд-во АН СССР.
351. Баранский П. И.» Л ашкарев В. Е, ЖТФ, 27, 1161,
352. Tauc J, Czechosl. Journ. Phys., 7, 275.
353. Вавилов В. С., Смирнов Л. С., Пацкевич В. М, ДАН
СССР, 112, 1020.
354. Kingston R. Н., Semiconductor Surface Physics, Philadelphia.
355. К roemer H., RCA Rev, 18, 332.
356. Appel J, Zs. Naturforsch, 12a, 410.
357. Satterthwaite С. B, Ure R. W, Jr, Phys. Rev, 108, 1164.
358. Коломоец H. В, Ставицкая T. С, Стильбанс Л. С, ЖТФ,
27, 72.
359. Герштейн E. 3, Ставицкая T. С, Стильбанс Л. С, ЖТФ,
27, 2472.
360. А й p а п e т я н ц С. В, Ефимова Б. А, Ставицкая T. C,
Стильбанс Л. С, Сысоева Л. M, ЖТФ, 27, 2167.
361. Buck T. M, McKim F. S, Phys. Rev, 106, 904.
362. D i x о n J. R, Phys. Rev, 107, 374.
363. Steele M. C, Phys. Rev, 107, 81.
364. Gartner W, Phys. Rev, 105, 823.
365. Кикоин И' К, Быковский Ю. А, ДАН СССР, 116> 381.
366. Ц и д и л ь к о в с к и й И. М, ЖТФ, 27, 12.
367. Цид и льковски й И. М, ЖТФ, 27, 1744.
368. Мочан И. В, Образцов Ю. Н, Крылова Т. В, ЖТФ, 27, 242.
369. Гуревич В. Л, Образцов Ю. Н, ЖЭТФ, 32, 390.
370. Erdmann J, Schultz Н, Appel J, Zs. Naturforsch, 12a, 171.
371. H i 1 s u m C„ Ross I. M, Nature, 179, 146.
372. А б л о в a M. С, P егель A. P, ЖТФ, 27, 2170.
373. Рывкин С. M, ЖТФ, 27, 8, 1676.
374. Kikuchi M, Journ. Phys. Soc. Japan, 12, 756.
375. Ломакина Г. А, В о д а к о в Ю. А, Наумов Г. П, М а с ла-
ков ец Ю. П, ЖТФ, 27, 1594.
376. Ш т е е н б е к М, Баранский П. И, ЖТФ, 27, 233.
377. Иоффе А. Ф, Semiconductor Thermoelements and Thermoelectric
Cooling, London.
378. N ye J. F, Physical Properties of Crystals, Oxford.
379. M о й ж e с В. Я-, Образцов Ю. H, ЖТФ, 27, 1446.
380. Mils er H, Zs. f. Phys, 148, 380.
1958
r I
Л
381. Glickman M, Progress in Semiconductors, London, vol. 3, p. L
382. Landsberg P, T, Proc. Phys. Soc, B71, 69.
383. R о d о t M, Journ. phys. et rad, 19, 140.
384. Cardona M, Paul W, Journ. Phys. Chem. Solids, 7, 127.
385. Fan H. Y, L ark-Hor о w i tz K-, Halbleiter und Phosphore,
Braunschweig, S. 113. /
Литвратурь
д j. к«ю±
4
итанмкт.т j 'h / 'Ч'ч 1 ~м»~1. ~'ии~'Г7~ь-—:h*Iw4^inrTrf^^V—Л J II. -sagli>
386. Many A., Bray R., Progress in Semiconductors, London, vol. 3,
p. 117.
387. Prince M. B., Wolf M., Brussels Solid State Congress, New York,
p. 1180.
388. Johnson E. O., Phys. Rev., Ill, 153.
389. Gosar P., Compt. Rend., 247, 1975.
390. Herring C., Halbleiter und Phosphore, Braunschweig, 184.
391. Gremme Imaier R., Proc. IRE, 46, 1045.
392. С олтамовУ. Б., ГришинЕ. С., ЖТФ, 28, 1394.
393. А г m s t г о n g Н. L., Proc. IRE, 46, 1307.
394. Paul W., Warschauer D. M., Journ. Phys. Chem. Solids, 5,
89, 102.
395. Pensak L., Phys. Rev., 109, 601.
396. Goldstein B., Phys. Rev., 109, 601.
397. Ellis S. G., Herman R, Loebner E. E., Merz W. J.,
S t r u с к C. W, W h i t e J. G, Phys. Rev., 109, 1860.
398. C he г о f f G.f Keller S. P., Phys. Rev., Ill, 98.
399. GoldsTmid H, J., She ar d A. RWright D. A., British Journ.
Appl. Phys., 9, 365.
400. Merz W. J., Helv. Phys. Acta, 31, 625.
401. Ma delung O., Zs. Naturforsch., 13a, 22.
402. Ко лен к о E. А., Стильб анс Л. С., Полупроводники в науке и
технике, Изд-во АН СССР, 11, 217.
403. В i г k h о 1 z V. Z., Zs. Naturforsch., 13а, 780.
404. С т и л ь б а н с Л. С., ЖТФ, 28, 262.
405. Ставицкая Т. С,, Стильбанс Л. С., ЖТФ, 28, 484.
406. Н а с л е д о в Д. Н., Слободчиков С. В., ЖТФ, 28, 715.
407. Steele М. С., Ro si F. D., Journ. Appl. Phys., 29, 1517.
408. Д у д к и н Л. Д., ЖТФ, 28, 241.
409. Айрапетянц С. В., Ефимова Б. А., ЖТФ, 28, 1768.
410. Горд яков а Г. Н., Кокош Г. Б., С иная и С. С., ЖТФ, 28, 3.
411. Moss Т. S., Halbleiter und Phosphore, Braunschweig, S. 98.
412. Herring G, Geballe T. H., Kunzler J. E., Phys. Rev., Ill, 36.
413. Z i 11 e r R. N., Phys. Rev., 112, 852.
414. Chih-Tang Sah, S ho c k 1 e у W., Phys. Rev., 119, 1103.
415. Van V 1 i e t К. M., Phys. Rev., 110, 50.
416. Jackson E. D., Trans. Conf, on the Use of Solar Energy, Tucson
1955, Vol. 5, p. 126.
417. Рывкин С. M., Стр ок ан H. Б., Маковский Л. Л., ЖТФ, 28,
1871.
418. Kearns D., Calvin M., Journ. Chem. Phys., 29, 950.
419. D г a b b 1 e J. R., Journ. Electronics, 5, 362.
420. Баранский П. И., ЖТФ, 28, 225.
421. Hall R. N.f Memo Report P-167, General Electric Physics Research
Laboratoryt Schenectady (USA).
Литература
422. С h г i s t i a n J, W., J a n J. P., Pearson W. B., Templeton L M.f
Proc. Roy. Soc., A245, 213.
423. Cusack N., К e n d a 1 L P., Proc. Phys. Soc., ^2, 898.
424. Ha t s о p о u 1 о s G., Kaye J., Proc. IRE, 46, 1574;
425. Mor in F. J., Bell Syst. Techn. Journ., 37, 1047.
426. Sm irons K., Brussels Solid State Congress, New York, 779.
427. Самсонов Г. В., Стрельникова Н. С., Укр. физич. журнал,
3, 135.
428. Каган Я. А., С мор одинокий Я. А., ЖЭТФ, 34, 1346.
19 59
429. Koenig S. Н., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 277.
430. Price P. J, Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 136.
431. Ehrenreich H., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 130.
432. Tauc J., Abraham A., Czechosl. Journ. Phys., 9, 95.
433. Tauc J., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 219.
434. Moss T. S., Optical Properties of Semiconductors, London.
435. L a n dsb er g P. T., Beattie A. B., Journ. Phys. Chem. Solids,
8, 73.
436. Tauc J., Za vet ova M., Czechosl. Journ. Phys., 9, 95.
437. Sm irons K., Stourac L., Zs. Naturforsch., 14a, 1073.
438. Justi E., Neuman G., Sneider G., Zs. f. Phys., 156, 217.
439. Brockhouse B. N., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 300.
440. Herman F. J., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 305.
441. Вавилов В. C., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 223.
442. Czaja W., Helv. Phys. Acta, 32, 1.
443. О г о s h n i k J., Many A., Journ. Electrochem. Soc., 106, 360.
444. На следов Д. H., Ц a p e н к о в Б. В., Фотоэлектрические и опти-
ческие эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полу-
проводникам, Киев, 1957, стр. 335.
445. Тучкевич В. М., Челноков В. Е., Фотоэлектрические и опти-
ческие эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полу-
проводникам, Киев, 1957, стр. 339.
446. Вавилов В. С., Галкин Г. Н., Маловетская В. М., Фото-
электрические и оптические эффекты в полупроводниках, Труды
конференции по полупроводникам, Киев, 1957, стр. 345.
447, Рывкин С. М., Строкам Н. Б., Маковский Л, Л., Фото-
электрические и оптические эффекты в полупроводниках, Труды
конференции по полупроводникам, Киев, 1957, стр. 360.
448. Т о л пыго К. Бм Фотоэлектрические и оптические эффекты в полу-
проводниках, Труды конференции по полупроводникам, Киев,
1957, стр. 268.
449. Карпович И. А., Вартаньян А. Т., Фотоэлектрические и опти-
ческие эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полу-
проводникам, Киев, 1957, стр. 290.
246 Литература
450. Р ывкин С. М., Фотоэлектрические и оптические эффекты в полу-
проводниках, Труды конференции по полупроводникам, Киев,
1957, стр. 323.
451. Акимов И. А., Пуцейко Е. К-, Фотоэлектрические и оптические
эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полупровод-
никам, Киев, 1957, стр. 301.
452. ПуцейкоЕ. К., Фотоэлектрические и оптические эффекты в полу-
проводниках, Труды конференции по полупроводникам, Киев,
1957, стр. 314.
453. Коломиец Б. Т., Ларичев В. Н., Фотоэлектрические и оптиче-
ские эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полу-
проводникам, Киев, 1957, стр. 316.
454. Кож евин В. Е., Фотоэлектрические и оптические эффекты в полу-
проводниках, Труды конференции по полупроводникам, Киев, 1957,
стр. 318, 319.
455. Андриевский А. И., Рваче в А. Л., Фотоэлектрические и опти-
ческие эффекты в полупроводниках, Труды конференции по полу-
проводникам, Киев, 1957, стр. 323.
456. Б о р з я к П. Г., Фотоэлектрические и оптические эффекты в полу-
проводниках, Труды конференции по полупроводникам, Киев,
1957, стр. 330.
457. Hal st ed R. E., Apple E. F., Prener J. S., Phys. Rev, Lett.,
2, 420.
458. Brauer P., Zs. Naturforsch., 14a, 556.
459. Goldstein В., P e n s a k L., Journ. Appl. Phys., 30, 155.
460. Cheroff G., Enck R. C., Keller S. P., Phys; Rev., 116, 1091.
461. Tauc J., Journ. Phys. Chem. Solids, 11, 345.
462. Kallmann H., Pope M., Journ. Chem. Phys., 30, 585.
463. На следов Д. H., Царенко в Б. В., Физика твердого тела, 1,
1467.
464. П у ц е й к о Е. К., ДАН СССР, 124, 796.
465. Nobel D., Philips Res. Rep., 15, 361.
466. И о ф ф e А. Ф., Journ. Phys. Chem. Solids, 8, 6.
467. Тимошенко Я, H., Шалит С, С., Физика твердого тела, 1, 1302.
468. Golds mid Н. J., Jen ns С. С., W г i g h t D/A., Proc. Phys. Soc.,
73, 393.
469. Блюм А. И., Физика твердого тела, 1, 766.
470. S у r b e G., Ann. d. Phys., 4, 132.
471. Lessoff H., Kersey Y., Home R. A., Journ.'Chem. Phys., 31,
1141.
472. Bowers R., Ure R. W., Jr., Bauerle J. E., Cornish A. J.,
Journ. Appl. Phys., 30, 930.
473. Bowers R., Bauerle J. E., Cornish A. J., Journ. Appl. Phys.,
30, 1050.
474. Weiss H., Ann. d. Phys,, 4, 122.
Литература 247
475. S m i г о u s К., S t о u r a c L., Zs. Naturforsch., 14a, 848.
476. Delves R. T., Proc. Phys. Soc., 78, 572.
477. S m i г о u s K., Cesk. cas. fys., 8, 690.
478. Stourac L., Czechosl. Journ. Phys., 9, 717.
479. Tsuji M., Journ. Phys. Soc. Japan, 14, 1640.
480. Блюм А. И., Рябцова Г. П., Физика твердого тела, 1, 761.
481. МироновА. Г., Физика твердого тела, 1, 525.
482. Емельяненко О. В., На следов Д. Н., Физика твердого тела,
1, 985.
483. М е 11 е Н., Gartner -W. W., L о s с о е С., Phys. Rev., 115, 537.
484. Kruse Р. W., Journ. Appl. Phys., 30, 770.
485. D r a b b 1 e J. R.f С г о v e s. R. D.., Phys. Rev. Lett., 2, 45L
486, Lempicki A., Phys. Rev., 113, 1204.
487. Smith R. A., Semiconductors, Cambridge.
488. К re mp a s ky. J., Cesk. cas. fys., 9, 487.
489. L о f e r s k i J. J., R a p p a p о r t P., Wysocki J. J., Proceedings of
the 13th Annual Power Conference, U. S. Army Signal Research
and Development Laboratory.
490. Ro si F. D., Abe les B., Jensen R. V., Journ. Phys. Chem. Solids,
10, 191.
491. R a p p a p.-о r t P., RCA Rev., 20, 373.
1960
492. Oroshnik J., Many., Solid State Electronics, vol. 1, 46.
493. K.p о x и н О. H., Попов Ю. М., Proc. Conf. Semiconductor Physics,
Praha.
494. Ludwig G. W., Woodbury H. H., - Proc. Conf. Semiconductor
Physics, Praha.
495. McLean T. P., Paige E. G. S., Proc. Conf. Semiconductor Physics,
Praha.
496. S w i d e г s k i J., Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha.
497. Billington E. W., Ehrenberg W., Proc. Conf. Semiconductor,
Physics, Praha.
498. Z a r e b a A., Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha.
499. Wolf M., Proc. IRE, 48, 1246.
500. Lu co v sky G., Journ. Appl. Phys., 31, 1088.
501. Williams R., В u b e R. H., Journ. Appl. Phys., 31, 968.
502. Wysocki J. J., Rappaport P., Journ. Appl. Phys., 31, 571.
503. Scharf K-, Journ. Res. Nat. Bureau Standards, A64, 297.
504. Goldsmid H. J., Applications of Thermoelectricity, Methuen mono-
graph series, London.
505. Nadjakov G., Andreichin R., Balabanov St., Compt. Rend.
Acad. Sci. Bulgare, 13, 15.
506. Nadjakov G., Andreichin R., Compt. Rend. Acad. Sci. Bulgare,
18, 19.
248
Литература
507. Иоффе А. Ф., Мойжес Б. И., Стильб а нс Л. С., Proc. Conf.
Semiconductor Physics, Praha, 619.
508. Баранский П. И,, Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha, 815.
509. Miskovsky M., S m i г о u s K., Tom an K., Proc. Conf. Semicon-
ductor Physics, Praha, 1087.
510. Stourac L., Tauc J., Za vet ova M., Proc. Conf. Semiconductor
Physics, Praha, 1091.
511. Frederikse H. P. R., Hosier W. R., Becker J. H., Proc. Conf.
Semiconductor Physics, Praha, 868.
512. Justi E., Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha, 1074.
513. Rodot H., Proc Conf. Semiconductor Physics, Praha, 100.
514. Black J., Banks E,, Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha,
1007.
515. Wood S., Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha, 1006.
516. Wolfe R., W e r n i c k J. H„ H a s z k о S. E., Proc. Conf. Semicon-
ductor Physics, Praha, 1003.
517. Ch asm ar R. P., Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha, 1018.
518. Haacke G., Poganski S., Proc. Conf. Semiconductor Physics,
Praha, 999.
519. Goldsmid H. J„ Proc. Conf. Semiconductor Physics, Praha, 1015.
520. Kallmann H., Kramer B., Shain J., Spruch G. M., Phys.
Rev., 117, 1482.
521. Queisser H. J., Shockley W., Bull. Am. Phys. Soc., II, 5, 160.
522. Brand F. A., Baker A. N., Mette H., Phys. Rev., 119, 922.
523. Mette H., Gartner W. W., Loscoe C., Phys. Rev., 117, 1491.
524. Цидильковский И. M., Широковский В. П., Физика ме-
таллов и металлургия, 9, 321.
525. Моргулис Н. Д., УФН, 70, 679.
526. Sikorski S., Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sciences techniques, 8,
No. 7.
527. Кикоин И. К., Лазарева С. Д., ЖЭТФ, 39, 1471.
528. Kaye J., Welsh J. A., Direct Conversion of Heat to Electricity,
New York.
529. E g 1 i P. H., Thermoelectricity, New York.
530. I b u k i S., К о m i у a H., Y a m a s h i t a H., Journ. Phys. Soc. Japan,
15, 2356.
531. Любин В. M., Федорова Г. А., ДАН СССР, 135, 833.
532. Кикоин И. К-, Лазарев С. Д., ДАН СССР, 135, 1371.
533. Бодяков Ю. А., Ломакина Г. А., Наумов Г. П., Масла-
ков ец Ю. Р., Физика твердого тела, 2, 15 и 53.
534. Субашиев В. К., Педиаш Е. М., Физика твердого тела, 2, 213.
535. Мойжес В. Я-, Физика твердого тела, 2, 221.
536. Иоффе А. В., Иоффе А. Ф., Физика твердого тела, 2, 781.
537. Образцов Ю. Н., Мочан И. В., Смирнова Т. В., Физика
твердого тела, 2, 830.
- Н Г
Литература 249
538. Гринберг А. А,, Физика твердого тела, 2, 836.
539. Ландсберг Е. Г., Физика твердого тела, 2, 848,
540. К о к о ш Г. В., С и н а н и С. С., Физика твердого тела, 2, 1118.
541. Амирханова Д. X., Физика твердого тела, 2, 1125.
542. Г р и н б е р г А. А., Физика твердого тела, 2, 1361.
543. X о л у я н о в Г. Ф., Физика твердого тела, 2, 1909.
544. Коло моей, Н. В., Попова Е. А., Физика твердого тела, 2, 1951.
545. Смирнов И. Я., М ой ж ес В. Я., Н енс бер г Е. Д., Физика
твердого тела, 2, 1992.
546. Ансельм А. И., Аскеров В. М., Физика твердого тела, 2, 2310.
547. Р а в и ч Ю. И., Физика твердого тела, 2, 2366.
548. Е м е л ь я н е н к о О. В., Нас ледов Д. Н., Петров Р. В., Фи-
зика твердого тела, 2, 2455.
549. Плотников Ю. И., М ат а л ы ги н а Ж. И., Физика твердого
тела, 2, 2517,
550. Никитин Е. Н., Физика твердого тела, 2, 2685.
551. Иоффе А. Ф., М о й ж ес В. Я., Стильбанс Л. С., Физика твер-
дого тела, 3, 2834.
552. Дубровский Г. В., Физика твердого тела, 2, 569,
553. Смирнов И, А., М о й ж ес В. Я., Н е н с б е р г Е. Д., Физика
твердого тела, 2, 1992.
554. Rose A. L., Journ. Appl. Phys., 31, 1640.
555. Bylander E. G., Hodges A. J., Roberts J. A., Journ. Opt
Soc. Amer., 50, 983.
1961
556. Shockley W., Czechosl. Journ. Phys., 11, 81..
557. V a 1 d m a n H., Compt. Rend., 252, 246.
558. Zemel J. N., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 27.
559. Green R. F„ Bull. Am. Phys Soc., II, 6, 27.
560. Green M., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 28.
561. Shockley W., Henley R., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 106
562. Hartman T. E., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 107.
563. Cher off G., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, HO.
564. Hutson A. R„ Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 110.
565. Kr ogstad R. S., Moss R. W., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 137.
566. T e s t a r d i L, R., В i e r 1 у J. N., Jr., Donahoe F. J., Bull Am.
Phys. Soc., II, 6, 136.
567. В e a 11 i e A. R., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 147.
568. Cunningham R. W., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 147.
569. Wolfe R., Moore R. L., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 155.
570. Dunstan W., Proc. Phys. Soc., 77, 459.
571. Г p и н б e p г А. А., Физика твердого тела, 3, 94.
250 Литература
572. Kallmann Н., Kramer B., Haidemenakis Е., М с А 1 е-
er W. J., Barkemeyer Н., Pollak Р. I., Journ. Electrochem
Soc., 108, 247.
573. Moss T. S., Solid State Electronics, vol. 2, 222.
574. Green M., Bull. Am. Phys. Soc., II, 6, 304.
575. Cutler M., Journ. Appl. Phys, 32, 222.
576. Terman L. M, Solid State Electronics, vol. 2, 1.
577. Hall R. H, Solid State Electronics, vol. 2, 115.
578. Агаев Я., Емельяненко О. В, Наследов Д. Н, Физика
твердого тела, 3, 194.
579. Барышев Н. С, Физика твердого тела, 3, 1428.
580. Романов В. А, Физика твердого тела, 3, 32.
581. Брах В. Я., Жданова В. В, Лев Е. Я, Физика твердого тела,
3, 786.
582. Амирханова Д. X, Баширов Р. И, Физика твердого тела, 3,
819.
583. Емельяненко О. В., Кесаманлы Ф. П., Наследов Д. Н.,
Физика твердого тела, 3, 1161.
584. Гашимзаде Ф. М., Кесаманлы Ф. Г., Физика твердого тела,
3, 1255.
л.
585. Sims a Z., Ceskosl. cas. fys., 11, 126.
586. May burg S., Solid State Electronics, 2, 195.
587. Баранский П. И., Физика твердого тела, 3, 1616.
588. Shockley W., Queisser J., Journ. Appl. Phys., 32, 510.
689. Kleinman D. A., Bell Syst. Techn. Journ., 40, 85.
590. Moss H. I., RCA Rev., 22, 29.
591. Lof er ski J. J., Wysocki J, J., RCA Rev., 22, 38.
592. W у s о c k i J. J., RCA Rev., 22, 57.
593. Spicer W. E., RCA Rev., 22, 71.
594. R о s i F. D., Hockings E. F., LindenbladN. E., RCA Rev.j
22, 82.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода . . *..................... 5
Предисловие автора к русскому изданию .............. 7
Глава 1. Основные представления физики полупроводников . . 9
§ 1. Зонная модель и структура приведенной зоны ..... 10
§ 2. Эффективная масса электронов . ................ 17
§ 3. Энергетические уровни примесей и дефектов кристалли-
ческой решетки....................................... 20
§ 4. Статистическое распределение электронов и дырок в усло-
виях теплового равновесия . .................... 23
§ 5. Равновесное распределение электронов и дырок в неодно-
родном полупроводнике . ..................... 33
§ 6. Действие электрического и магнитного полей на элек-
троны в кристалле .............. .................... 41
§ 7. Тепловые колебания кристаллической решетки ..... 44
§ 8. Электропроводность........................... 48
§ 9. Теплопроводность . . . . ..................... 59
§ 10. Эффект Холла и изменение сопротивления в магнитном
поле .............................................. 62
§ 11. Взаимодействие излучения с полупроводником ..... 68
§ 12. Рекомбинация электронов и дырок............... 74
Глава 2. Феноменологическая теория явлений переноса в полу-
проводниках ...... ................................. 82
§ 1. Основы феноменологической теории............... 82
§ 2. Термодинамика необратимых стационарных процессов. . 86
§ 3. Основные уравнения феноменологической теории полу-
проводников ...............,............... . . . . 92
252 Оглавление
1. Уравнения для плотности электрического тока ..... 92
2. Влияние магнитного поля........................... 93
3. Уравнение непрерывности;. ....................... 94
4. Уравнение Пуассона......................*......... 94
§ 4. Возникновение э. д. с............................ 95
Глава 3. Фотовольтаические явления . . .......................100
§ 1. Исторические замечания........................... 100
§ 2. Основные предположения........................* • Ю2
§ 3. Возникновение фотоэлектродвижущих сил.............105
§ 4. Теория объемного фотовольтаического эффекта.......108
§ 5. Физический смысл объемного фотовольтаического эффекта 114
§ 6. Барьерный фотовольтаический эффект................122
§ 7. Полупроводниковые фотоэлементы ................ • 129
§ 8. Другие фотовольтаические эффекты..................139
1. Фотоэффект на контакте полупроводника с металлом . 139
2. Фотопьезоэлектрический эффект.................... 141
3. Продольный (латеральныйрфотоэффект.............. 143
4. Высоковольтный фотовольтаический эффект...........144
5. Возникновение фото-э. д. с. при энергии фотонов меньше
ширины запрещенной зоны ............................ 147
§ 9. Фотоэффект на поверхности полупроводника..........149
Глава 4. Термоэлектрические явления...........................155
§. 1. Исторические замечания.......................... 155
§ 2. Основные уравнения............................... 157
§ 3. Теплота переноса..................................163
§ 4. Применение термоэлектрических явлений ........ 170
1. Определение эффективных масс . •..................170
2. Термоэлектрические генераторы и охлаждающие эле-
менты .................................... ....... 174
§ 5. Термофотоэлектрический эффект ............ 180
§ 6. Термоэлектрические явления при больших градиентах
температуры .......................................... 182
1. Распределение концентраций носителей тока в полу-
проводнике с градиентом температуры..................184
2. Термо-э. д. с. при неравновесных концентрациях . . . . '188
§ 7. Термоэлектрические явления в присутствии потенциаль-
ного барьера ......................................... 193
Оглавление 253
Глава 5. Фотомагнитные и термомагнитные явления.....200
§ 1. Линейный фотомагнитный эффект в однородном магнит»
ном поле *>..» ......... 200
§ 2. Квадратичный фотомагнитный эффект в однородном маг-
нитном поле................................... 207
§ 3. Фотомагнитный эффект в неоднородном магнитном поле 211
1. Объемный эффект............................211
2. Граничный эффект ..........................214
ь
§ 4. Термомагнитные эффекты .....................217
1. Эффект Нернста . ..........................218
2. Продольный термомагнитный эффект...........222
Приложение А. Список основных обозначений.......... 224
Приложение Б. Система единиц .........................227
Приложение В. Значения констант.......................228
ь
Приложение Г. Интегралы Ферми.........................229
Литература....................................... . 232
ФОТО- И ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Редактор Н. Л* Телесная
Художник Л£ Г. Ровенский
Художественный редактор
Е. И. Подмарькова
Технический редактор Л. Г. Резоухова
Корректор И, С. Цветкова
Сдано в производство 25/1V-1962 г.
Подписано печати 23/Х-1962 г.
Бумага 60 x 90 1/1е=8,0 бум. лм 16,0 печ. л,
Уч.-изд. л. 14,5. Изд. № 2/0858
Цена 1 р* 22 к. Заказ № 348
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УЦБ и ПП Ленсовяархоза4
Ленинград, Измайловский прм 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
КНИГИ ПО ФИЗИКЕ
ВЫШЛИ В СВЕТ
4
Бью б Р., ФОТОПРОВОДИМОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. Пере-
вод с английского, 558 стр., цена 2 руб. 42 коп.
Ван Бюрен, ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ. Перевод с ан-
глийского, 584 стр., цена 3 руб. 47 коп.
Смит Р., ПОЛУПРОВОДНИКИ. Перевод с английского,
467 стр., цена 2 руб. 50 коп.
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
т
Займ ан Дж., ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ. Перевод с ан-
глийского, 42 изд. л.
Смит Я. и Вейн X., ФЕРРИТЫ. Перевод с английского,
30 изд. л.