ГРУППЫ
С КОНЕЧНЫМИ
КЛАССАМИ
СОПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Б книге излагается один из разде-
лов современной алгебры — группы
с конечными классами сопряженных
элементов. В ней осуществлен под-
ход, появившийся в статьях С. Н. Чер-
никова, М. И. Каргаполова, Ф. Хол-
ла конца пятидесятых годов,— опи-
сать группы с конечными классами
сопряженных элементов в терминах
прямых произведений конечных
групп. Почти все работы, связанные
с этим подходом, появились за по-
следние 20 лет, именно они и взяты
за основу. Приведены необходимые
сведения о прямых произведениях из
работ Ремака 30-х годов. Ряд резуль-
татов, ранее изложенных другим спо-
собом, рассмотрен с упомянутой точ-
ки зрения.
Книга рассчитана на математиков —
аспирантов, научных работников, а
также студентов старших курсов.
Ю. М. ГОРЧАКОВ
ГРУППЫ
С КОНЕЧНЫМИ
КЛАССАМИ
СОПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
СОВРЕМЕННАЯ
АЛГЕБРА
Ю.М. ГОРЧАКОВ
ГРУППЫ
С КОНЕЧНЫМИ КЛАССАМИ
СОПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
-**U-*^ *
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978
517.1
Г 71
УДК 512.8
20203—048
Г ------------61-78
053(02)-78
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1978
ВВЕДЕНИЕ
В теории бесконечных групп один из обычных спосо-
бов выделить объект для изучения — описать его при по-
мощи «условий конечности». Одно из таких условий —
конечность классов сопряженных элементов.
, Группы с конечными классами сопряженных элемен-
тов впервые появились (хотя и без названия) в работах
А. П. Дицмана (1937, 1938, [19, 20]). Его лемма (см. лем-
му 1.1. гл. II): конечное инвариантное множество перио-
дических элементов порождает конечную нормальную
подгруппу,— послужила инструментом для изучения
групп с конечными классами сопряженных элементов.
Сам класс этих групп появился в работе Бера (1940, [65])
в связи с изучением силовских подгрупп в бесконечных
группах. Силовская теория локально нормальных групп,
т. е. периодических групп с конечными классами сопря-
женных элементов (см. следствие 1.3 гл. II), оказалась
почти такой же, как в конечном случае, но сопряжен-
ность при этом пришлось заменить на локальную сопря-
женность. Понять, откуда появилась локальная сопря-
женность, нетрудно, так как силовские р-подгруппы ло-
кально нормальных групп — это, в точности, те подгруп-
пы, пересечение которых с любой конечной нормальной
подгруппой — силовская р-подгруппа в последней (см.
теорему 3.1 гл. III). Другими словами, силовская р-под-
группа локально нормальной группы — объединение си-
ловских р-подгрупп конечных нормальных подгрупп, а в
конечных группах силовские подгруппы сопряжены.
П. А. Гольберг (1946, [8]) ввел понятие локально внут-
реннего автоморфизма — автоморфизма, который на вся-
ком конечном подмножестве группы действует как внут-
ренний. Подгруппы называются локально сопряженными,
если они переводятся друг в друга локально внут-
\
It
ВВЕДЕНИЕ
ренним автоморфизмом. В [8] доказано, что силовские
р-подгруппы локально нормальной группы локально со-
пряжены (теорема 3.2 гл. III). Как оказалось (см. тео-
рему 3.8 гл. III), холловские теоремы о существовании
полных силовских баз и их сопряженности также верны.
Верно (см. С. Н. Черников, 1955, [58]) с заменой сопря-
женности локальной сопряженностью обобщение теоре-
мы Цассенхауза о дополняемости нормальной подгруп-
пы, порядок которой взаимно прост с индексом (см. тео-
рему 3.6 гл. III). Конечность числа силовских р-подгрупп
и их сопряженность — эквивалентные условия в локаль-
но нормальных группах (см. теорему 3.5 гл. III). Этот
результат для счетных групп получен Бером (1940, [65]),
в общем случае (без использования счетного случая) —
М. И. Каргаполовым (1957, [26]).
Хотя силовская теория получилась весьма гладкой,
по моему мнению, она не является специфичной для ло-
кально нормальных групп. Именно поэтому в данной
книге нет многочисленных обобщений теорем, подобных
силовским.
И. Шур в связи с некоторыми вопросами теории пред-
ставлений конечных групп изучал группы, конечные над
центром. Для теории групп с конечными классами сопря-
женных элементов необходимо следующее утверждение
Шура (см., например, [82], стр. 417): если центр группы
имеет конечный индекс, то коммутант ее конечен. Более
точное описание групп, конечных над центром, было по-
лучено И. Шуром в 1907 году (см., например, [82],
стр. 631). Так как оно нам не понадобится, то формули-
ровать его не будем. Как следствие теоремы Шура сра-
зу получается теорема Б. Неймана (1951, [86]): в группе
с конечными классами сопряженных элементов элементы
конечных порядков образуют подгруппу, содержащую
коммутант (см. следствие 1.5 гл. II). Так же просто по-
лучается интересная теорема Ю. Г. Федорова (1951, [52]):
если все нетривиальные подгруппы бесконечной группы
имеют конечный индекс, то группа является цикличе-
ской.
Лемма Дицмана и теорема Шура имеют своими про-
стыми следствиями следующие весьма важные критерии
конечности классов сопряженных элементов в произволь-
ной группе:	.	-
ВВЕДЕНИЕ
5
В группе G классы сопряженных элементов тогда и
только тогда конечны, когда выполняется одно из сле-
дующих условий:
1)	фактор-группа G/Z(G) локально нормальна и каж-
дый элемент группы G содержится в конечно порожден-
ной нормальной подгруппе (Бер, 1948, [68]);
2)	группа G либо локально нормальна, либо является
центральным расширением абелевой группы без круче-
ния при помощи локально нормальной труппы (С. Н. Чер-
ников, 1957, [60]);
3)	группа G — подгруппа прямого произведения ло-
кально нормальной группы и абелевой группы без кру-
чения (1959, см. теорему 1.9 гл. II).
Из последней теоремы следует, что основные трудно-
сти для изучения представляет локально нормальный
случай. Трудности, которые возникают в общем случае,
недавно рассматривались Л. А. Курдаченко [32—39].
Прямые произведения конечных групп, их подгруппы
и гомоморфные образы подгрупп, очевидно, локально
нормальны. В некоторых случаях они действительно
исчерпывают весь класс. Так Н. В. Черникова (см. 1956,
[55]), С. Н. Черников (1958, [61]), М. И. Каргаполов
(1958, [27]) доказали вложимость в прямое произведение
конечных групп локально нормальных групп соответст-
венно следующих классов: 1) групп, все подгруппы ко-
торых дополняемы, 2) слойно конечных групп с конечны-
ми силовскими р-подгруппами по всем р (см. теорему
4.1 гл. II), 3) групп без абелевых нормальных подгрупп
(см. следствие 3.10 гл. II). Поэтому выглядит обоснован-
ной программа изучения локально нормальных групп че-
рез прямые произведения конечных групп, выдвинутая
С. Н. Черниковым (1959, [62]). Крупный вклад в изуче-
ние локально нормальных групп внес Ф. Холл (1959,
[79]). Он доказал, что счетные локально нормальные
группы — гомоморфные образы подпрямых произведений
конечных групп (см. теорему 2.13 гл. II). Вместе с тем
построенный им пример несчетной локально нормальной
группы (см. пример 2.11 гл. II) показывает, что локаль-
но нормальные группы не исчерпываются гомоморфными
образами подпрямых произведений конечных групп. Но
все же, как тесна связь прямых произведений конечных
групп и локально нормальных- групп? Если группа вло-
6
ВВЕДЕНИЕ
жима в прямое произведение конечных групп, то она,
очевидно, вложима в декартово произведение конечных
групп. Условие вложимости локально нормальной группы
в декартово произведение конечных групп не кажется
очень жестким, так как (см. предложение 2.9 гл. II)
фактор-группа любой локально нормальной группы по
центру — поддекартово произведение конечных групп.
Для произвольных групп (см. Ю. М. Горчаков, 1967,
1971, [14, 15]) результат Ф. Холла обобщен следующим
образом: локально нормальная подгруппа декартова
произведения конечных групп — гомоморфный образ под-
прямого произведения конечных групп (теорема 3.6
гл. II). Так как существуют примерные абелевы груп-
пы без элементов бесконечной высоты, неразложимые
в прямое произведение циклических групп, то в фор-
мулировке теоремы нельзя выбросить слова «гомоморф-
ный образ», т. е. вложимости в прямое произведение нет.
Как мне кажется, эту теорему можно усилить таким об-
разом: локально нормальную подгруппу декартова про-
изведения конечных групп можно так вложить в (другое)
декартово произведение конечных групп, что каждый
элемент группы при этом вложении будет иметь лишь ко-
нечное число нецентральных проекций. Ввиду сделанно-
го выше замечания, более сильное утверждение невоз-
можно.
Недавно Томкинсон (1977) получил утверждение,
подтверждающее это предположение, а именно он до-
казал вложимость в прямое произведение коммутанта
финитно аппроксимируемой группы с конечными класса-
ми сопряженных элементов (см. теорему 3.15 тл. II). Мне
кажется, что должен быть справедлив более сильный
результат: коммутант произвольной локально нормаль-
ной группы разлагается в произведение счетных поэле-
ментно перестановочных нормальных подгрупп. О других
предположениях смотрите конец § 3 гл. II. На возможную
справедливость сформулированного утверждения указы-
вает.такой результат (см. Ю. М. Горчаков, 1976,(17, 18]):
коммутант подпрямого произведения конечных групп —
прямое произведение счетных нормальных подгрупп (тео-
рема 3.16 гл. II).
Теперь рассмотрим вопрос о представлении группы
подпрямыми произведениями конечных групп.
ВВЕДЕНИЕ
7
В теории абелевых групп хорошо известны теоремы
Прюфера и Куликова:
Абелева р-группа конечного периода разлагается в
прямое произведение циклических подгрупп (Прюфер,
см. [29], стр. 85).
Счетная абелева р-группа без элементов бесконечной
высоты разлагается в прямое произведение циклических
подгрупп (Прюфер, см. [29], стр. 87).
Примарная абелева группа А тогда и только тогда
разложима в прямое произведение циклических групп,
когда она является объединением возрастающей последо-
вательности	... таких своих подгрупп,
что у каждой из них высоты элементов в группе А конеч-
ны и ограничены в совокупности (Л. Я- Куликов, см. [31]).
В соответствии с работой А. И. Мальцева [42] естест-
венно считать, что элемент а#=1 (не обязательно комму-
тативной) группы А имеет конечную высоту, если его об-
раз в некоторой конечной фактор-группе группы А отли-
чен от единицы. Нетрудно установить зависимость меж-
ду прюферовской высотой и высотой в рассматриваемом
смысле. Если А — абелева р-группа и а#=1 —элемент из
А, то высота h элемента а равна A=logp(min |А/А{|),
где А{ пробегает все подгруппы конечного индекса в А,
не содержащие а. В силу теоремы о подгруппах прямых
произведений циклических групп, вложимость в прямое
произведение циклических групп и разложимость в пря-
мое произведение таких же групп — одно и то же. Таким
образом, следующие результаты являются аналогами и
обобщениями теорем Прюфера и Куликова для неком-
мутативных групп (см. § 2 гл. II).
Локально нормальная группа, аппроксимируемая
классом конечных групп, порядки которых ограничены в
совокупности, изоморфно вложима в прямое произведе-
ние конечных групп ограниченных порядков (Ю. М. Гор-
чаков, 1974, [16]).
Счетная финитно аппроксимируемая локально нор-
мальная группа изоморфна подгруппе прямого произве-
дения конечных групп (Ф. Холл, 1959, [79]).
Группа А тогда и только тогда изоморфно вложима
в прямое произведение конечных групп, когда она ло-
кально нормальна и является объединением возрастаю-
щей последовательности 1 =A0=Ats ... sAn£ • • • таких
8
ВВЕДЕНИЕ
своих нормальных подгрупп, что каждая фактор-группа
(п=0,1,... ) аппроксимируется в Л/Л„ классом’
конечных групп, порядки которых ограничены в совокуп-
ности (Ю. М. Горчаков, 1974, [16]).
В обзоре С. Н. Черникова (1959, [62]) сформулиро-
ван следующий вопрос: «Каким условиям должна удов-
летворять локально нормальная группа, чтобы ее можно
было вложить в прямое произведение конечных групп?»
Приведенные выше теоремы, по-видимому, решают этот
вопрос. Поскольку достаточные условия вложимости в
прямое произведение нелегко получить из необходимого
и достаточного, то сформулируем некоторые из них.
Ю. М. Горчаков (1976,(18]) и Томкинсон (1977) до-
казали, что фактор-группа финитно аппроксимируемой
локально нормальной группы по центру — подпрямое
произведение конечных групп (см. следствие 3.7 гл. II).
Методы доказательства различные. В данной книге до-
казательство взято из [18]. Томкинсон вывел результат
из теорем 2.8 и 3.15 гл. II. Условие финитной аппрокси-
мируемости в теореме отбросить нельзя (пример 2.11
гл. II). В качестве следствия получаем: фактор-группа
по второму члену верхнего центрального ряда любой ло-
кально нормальной группы — подпрямое произведение
конечных групп (см. следствие 3.8 гл. II). Как опять по-
казывает пример 2.11 гл. II, уменьшить ядро гомомор-
физма здесь .нельзя, так как существует локально
нормальная группа, фактор-группа которой по центру со-
держит абелеву подгруппу без элементов бесконечной вы-
соты, неразложимую в прямое произведение циклических
подгрупп. Итак, с точностью до расширений локально
нормальная группа — это лодпрямое произведение ко-
нечных групп и опять-таки локально нормальная нильпо-
тентная ступени 2 группа. Из последнего результата лег-
ко следует вложимость всей группы в прямое произведе-
ние конечных групп, если группа либо не имеет центра
(Ю. М. Горчаков, 1961, [И]), либо не имеет абелевых нор-
мальных подгрупп (М. И. Каргаполов, 1958, [27]).
Если 'Проанализировать доказательства (см. §§ 2, 3
гл. II), то можно увидеть, что по существу все они про-
водились по одной схеме: строилась в группе всюду плот-
ная нормальная подгруппа в некоторой топологии,
либо — очень похожая на всюду плотную подгруппу.
ВВЕДЕНИЕ
9
В главе I сделана попытка (см. теорему 3.22 и следст-
вие 3.23 гл. I) более откровенно провести идею построе-
ния .всюду плотной подгруппы. В работе [18] доказатель-
ство теоремы содержит пробел, поэтому неясно, верна
ли она. Все следствия из нее верны, так как для них до-
статочно более слабого варианта теоремы (доказатель-
ство в [18] дано именно для него), который здесь реализо-
ван (теорема 3.22 гл. I). В частности, теорема 3.22 дает
существование в подпрямом произведении конечных
групп всюду плотной в тихоновской топологии подгруп-
пы, которая разлагается в прямое произведение счетных
нормальных подгрупп. Эта всюду плотная подгруппа
всегда содержит коммутант. В качестве следствия полу-
чаем описание нормальных подгрупп подпрямых произ-
ведений конечных групп несчетного числа множителей
(см. следствие 3.23 гл. I). Оно оказалось очень похожим
на ремаково описание нормальных подгрупп в прямых
произведениях трупп (см. предложение 3.4 гл. I). Описа-
ния нормальных подгрупп подпрямого произведения счет-
ного числа конечных групп пока нет. Неясно, например,
следующее: если G — подпрямое произведение конечных
групп и N—нормальная в G подгруппа, то можно ли
найти такое подпрямое произведение конечных групп Н
и в нем такую нормальную подгруппу М, что GIN^H/M.
и	В силу следствия 3.23 гл. I, для справедли-
вости этого утверждения достаточно, чтобы оно было
верно для счетного числа множителей.
Слойно конечные (см. § 4 гл. II) группы счетны, но
из холловского описания счетных локально нормальных
групп как гомоморфных образов подпрямых произведе-
ний конечных групп результаты С. Н. Черникова (1948,
1958, [57, 61]) не следуют. Это произошло по двум при-
чинам: 1) как уже отмечено, нормальные подгруппы под-
прямых произведений счетного числа конечных групп не
описаны, 2) слойно конечные группы с конечными силов-
скими подгруппами финитно аппроксимируемы, но дока-
зать финитную аппроксимируемость в данном случае —
это все равно, что доказать вложимость в прямое про-
изведение конечных групп.
Устроены, слойно конечные группы весьма просто
(см. теоремы 4.1 и 4.5 гл. II): они — произведения двух
множителей, один является центром (слойно конечным),
10
ВВЕДЕНИЕ
другой — слойно конечной группой с конечными силов-
скими подгруппами по всем р, т. е., как доказано, под-
прямым произведением конечных групп, лишь конечное
число прямых множителей которого могут иметь эле-
менты равных порядков.
Вложимость в прямые произведения конечных групп
и изучение свойств подпрямых произведений полезны
при изучении вопросов определения мощностей классов
сопряженных и локально сопряженных подгрупп. Точ-
ная их оценка дана следующим утверждением
(Ю. М. Горчаков, 1971, [15], см. теорему 4.9 гл. I): если
G— гомоморфный образ подпрямого произведения ко-
нечных групп, Н—подгруппа G, Но — наибольшая нор-
мальная в G подгруппа из Н и |Я:Я0|=/1—бесконеч-
ное кардинальное число, то |с1(Я)|=Л, |Ьс1(Я) | =2*.
Отсюда сразу следует, что в том же классе групп с! (Я) =
=Ьс1(Я) тогда и только тогда, когда с1(Я) конечен
(Томкинсон, 1969, [107], см. теорему 4.9 гл. III). (Здесь
символы Ьс1(Я) и с1'(Я) обозначают соответственно класс
локально сопряженных подгрупп я сопряженных под-
групп, содержащий подгруппу Я). Для произвольных
локально нормальных групп теорема 4.9 гл. I позволяет
свести исследование к случаю нильпотентных ступени 2
групп (см. доказательство теоремы 2.13 гл. III и лемму
2.12 той же главы). Ввиду теоремы 3.6 гл. II и следствия
3.8 гл. II, это неудивительно. Получилось равенство
(Хартли, 1976, [80], см. теорему 2.13 гл. III) |Ьс1(Я)] =
=2h. Зависимость между |с1(Я) | и | Lcl (Я) | оказалась
сложной (см. предложение 2.14 гл. III) и еще не иссле-
дована. В доказательстве нильпотентного случая исполь-
зовано интересное (хотя и простое) описание группы ло-
кально внутренних автоморфизмов: она — проективный
предел групп автоморфизмов, полученных ограничением
группы внутренних автоморфизмов на конечных нор-
мальных подгруппах. Группа внутренних автоморфиз-
мов в ней плотна в топологии, определенной централи-
заторами конечных нормальных подгрупп (см. теоре-
му 2.11 гл. III).
Как только начали изучать группы с конечными клас-
сами сопряженных элементов, сразу же возник вопрос
о группах с конечными классами сопряженных подгрупп.
Наиболее сильные результаты здесь получил И. И. Ере-
ВВЕДЕНИЕ
11
мин (1959, [22]). Он установил следующее интересное
утверждение (см. теорему 4.2 гл. II): пусть G— локаль-
но нормальная группа, А — бесконечная над Z(G) под- .7-
группа с конечным множеством л (Л) простых делителей
порядков элементов. Тогда в А существует абелева под-
группа, определяющая бесконечный класс сопряженных
с ней 'подгрупп труппы G. По моему мнению, эта теорё-. 7 ...
ма может быть развита в том же направлении, как тео-
рема 4.9 гл. I и результаты § 2 гл. III, т. е. в ней можно
получить равенства, связывающие |С(Д)| и мощности 5
классов сопряженных и локально сопряженных абелевых .
подгрупп из А. Приведенная выше теорема позволила
свести случай периодических групп с конечными клас-
сами сопряженных р-подгрупп по всем р к центральным
расширениям при помощи слойно конечных групп с ко-
нечными силовскими подгруппами (теорема 4.5 гл. III). -
Указанные классы просто совпали. Там же получено опи-
сание групп с конечными классами сопряженных абеле-
вых подгрупп (см. теорему 4.6 гл. III): они конечны над
центром. Из этого результата моментально следуют ре-
зультаты Б. Неймана (1955) и Л. Фукса (1954) (см. след-
ствия 4.7 и 4.8 гл. III). Избранный порядок изложения
(см. § 4 гл. III) таков, что он ясно показывает особую
роль слойно конечных групп в классе локально нормаль-
ных групп. Теорема 4.2 охватывает все случаи, кроме как
раз слойно конечного, что не 'случайно. Пример 4.3 гл. III
(на эту тему) настолько прост, что в комментариях не
нуждается.
В результате можно сделать вывод, что с финитно
аппроксимируемыми локально нормальными группами
разобраться удалось, в смысле их связи с подгруппами
прямых произведений конечных групп. Общий случай
локально нормальных групп (если говорить точнее, вви-
ду следствия 3.8 гл. II, нильпотентных ступени 2 и не фи-
нитно аппроксимируемых) неясен. В настоящее время
имеются лишь примеры, которые показывают, что удач-
ных предположений о структуре таких групп нет. В тек-
сте книги имеются такие примеры. Стоит отдельно ска-
зать о примере несчетной локально нормальной группы,
все абелевы подгруппы которой счетны (см. [71]). Он
не дает надежды описать локально нормальные группы
только в терминах абелевых подгрупп. Но если вспомнить
12
ВВЕДЕНИЕ
вопрос о разложимости коммутанта локально нормаль-
ной группы, то может возникнуть надежда, что в общем
случае группа устроена так: в ней есть всюду плотная
подгруппа (в некоторой топологии, определенной подгруп-
пами конечного индекса), разложимая ib произведение
таких поэлементно перестановочных счетных нормальных
подгрупп, что фактор-группа по этой всюду плотной под-
группе будет абелева и даже, более того, она будет со-
стоять из частного .вида локально внутренних автомор-
физмов, действующих лишь на конечном числе множите-
лей нестабильно. Поскольку все это предположения, то
еще рано говорить о более точном строении.
Заметим, наконец, что данная книга (как видно по
оглавлению и по введению) касается в основном тех воп-
росов теории групп с конечными классами сопряженных
элементов, которые прямо 'связаны с прямыми произ-
ведениями конечных групп. По изучаемой теме приведе-
на почти полная библиография. Значительная часть ра-
бот в тексте не упоминается.
ГЛАВА I
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 1. Подгруппы, декартовых произведений
Если задано семейство групп Ga (а<=А), то из групп
этого семейства можно построить новую группу G сле-
дующим образом.
Элементы множества G — семейства элементов ga по
одному из Ga для каждого а^А. Записывать их будем
так:
П ga-
а&А
Умножение семейств определим следующим образом:
П ga • П ha = П ra, Га — gaha.	(1)
аеД а&А а^А
Нетрудно убедиться, что множество G с умножением. (1) —
группа. Единицей ее служит элемент. П 1«, где 1Д —еди-
дед
ница группы Ga- Обратным к элементу Ц& является
аеД
элемент П ga1-
аед
Группу G с умножением (1) называют декартовым
произведением групп Ga (а^А) и часто обозначают сим-
волом по».	‘	
аеД
Каждую группу Ga называют множителем G.
Если §= П то ga называют проекцией элемента
аеД
g на Ga или а-й проекцией элемента g. Пусть Н — под-
группа в G. Совокупность а-х проекций элементов группы
14
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 1
Н образует некоторую группу Ha^Ga. Ее называют
проекцией Н на Ga или а-й проекцией подгруппы Н.
Если для всякого а из А проекция Н на Ga равна Ga,
то Н называют поддекартовым произведением групп Ga
(аеА).
Очевидно следующее предложение ([96], § 3, лемма 3).
Лемма 1.1. Если G — поддекартово произведение
групп Ga (аеА) и Н—его нормальная подгруппа, то
проекции На группы Н нормальны в Ga.
Пусть На (аеЛ) — семейство нормальных подгрупп
группы Н. Определим отображение Ремака группы Н в
группу П ЩНа'
h~+ П hHa, he Н.
аеА
Теперь легко получается
Теорема 1.2 (Ремак [96], теорема 3). Если На
(аеА) — семейство нормальных подгрупп группы Н с пе-
ресечением N, то отображение Ремака — гомоморфизм
группы Н в группу П Н1На с ядром N, причем H/N —
аеА
поддекартово произведение групп Н1На (аеА).
Группа П Ga, где АаВ, не принадлежит 0= П Ga.
а&А	а&В
Она изоморфна подгруппе Q из G, состоящей из всех эле-
ментов группы G, которые имеют своими проекциями на
Ga (аеВ\А) единицу. Очень часто эти две группы мы
будем отождествлять. Например, если Н—подгруппа G,
то через Я‘ будем часто обозначать подгруппу ЯП<2, где
Л=В\6. Но писать будем при этом НЬ=НГ\ П <?в.
*	аеА
Если Н — подгруппа в G, то каждому элементу Л= П Ла
из Н сопоставим «укороченное» произведение П ha. Сово-
аеА
купность всех таких укороченных произведений образует
группу, которую называют проекцией Н на П Ga.
аеА
Пусть g — П ga — элемент из П Ga. Совокупность всех
аеА	аеА
аеА, для которых ga^l, называют носителем элемента
g. Носитель единичного элемента пуст. Носителем под-
группы назовем объединение носителей всех ее элемен-
§п
ПОДГРУППЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
15
тов. Если g — элемент, Н — подгруппа декартова произ-
ведения, то для их носителей употребляют обозначения
suppg, supp Н (см. [29], 'стр. 19). Если Н — подгруппа
пGa и М — проекция Яна П Ga (В^А), то носите-
а&А	' asB
лем М назовем B(|supp Я.
Совокупность элементов декартова произведения
групп Ga (аеЛ) с конечными носителями образует груп-
пу. Эту группу называют прямым произведением групп
Ga (а^А) и иногда обозначают X Ge. Элементы прямо-
оеА
го произведения обозначают при этом знаком X ga- Эта
вел
запись предполагает конечность носителя элемента. Пря-
мое произведение, очевидно, нормально в декартовом. Де-
картово произведение конечного числа групп совпадает
с прямым.
Другие обозначения для прямого произведения, на-
пример,
П Ge, Dr Ga (аеЛ), d. р. Ga (seA).
а^А
В теории групп принято считать, что группа G явля-
ется произведением своих подгрупп Ge (аеЛ),.если вы-
полняется ряд условий, одно из которых: группа G по-
рождается подгруппами G„ (аеЛ). Поэтому декартово
произведение бесконечного множества групп — это про-
сто не произведение.
Нетрудно охарактеризовать декартово произведение
«внутренним» образом.
Предложение 1.3. Группа Н изоморфна декар-
тову произведению G = П Ga тогда и только тогда, ког-
аеА
да Н имеет нормальные подгруппы На для всех а^А,
такие, что:
1)	Я/Я„ изоморфна Ga для всех а\
2)	ПНа=1;
asA
3)	для любого семейства элементов ha (аеЛ) из Н
существует такой элемент h^H, что haHa=hHa для всех
аеЛ.
Доказательство. Пусть семейство Яв<зЯ (аеЛ)
удовлетворяет условиям 1)—3). Из теоремы 1.2 и уело-
16
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
вия 2) следует, что Н изоморфна некоторой подгруппе
«группы G= П ЩНа. Нужно показать, что отображение
лед
Ремака — изоморфизм групп И и G, т. е. отображение
Н на всю G. Пусть ПАаНо— произвольный элемент
из G. По условию 3) существует такой элемент h^H,
что ЛаЯо=ЛЯо при всех аеЛ. Отсюда П haHa= П ЬНа,
а&А	а^А
что и требовалось.
Обратно, пусть G — П Ge. Положим На— П 6ь-
аел	ЬеА\а
Для групп На условия 1) — 3) очевидны. Предложение до-
казано.
Говорят, что группа Н разложима в поддекартово про-
изведение, если в ней существует система отличных от
единицы нормальных подгрупп, пересечение которых —
единица, и неразложима в противном случае.
Нормальная подгруппа Н группы G называется мини-
мальной, если Н содержится во всякой нормальной под-
группе из G, имеющей с Н неединичное пересечение.
Группа может не иметь минимальных нормальных под-
групп: такова бесконечная циклическая группа. Если
N и М — две различные минимальные нормальные под-
группы, то ЯП-А4=1. Конечная группа всегда имеет ми-
нимальные нормальные подгруппы.
Предложение 1.4. Группа тогда и только тогда
неразложима в поддекартово произведение, когда она
имеет единственную минимальную нормальную подгруп-
пу, содержащуюся во всякой неединичной нормальной
подгруппе.
Доказательство. Дойустим, что группа G нераз-
ложима в поддекартово произведение групп. Тогда пере-
сечение N всех нормальных неединичных подгрупп отлич-
но от 1. По определению N содержится во всех неединич-
ных нормальных подгруппах, т. е. N — минимальная нор-
мальная подгруппа. Она единственна, так как, если М —
другая минимальная нормальная подгруппа, то ЯПЛ1=1.
Это означало бы, что G разложима в поддекартово про-
изведение.
Пусть, обратно, N — единственная минимальная нор-
мальная подгруппа группы G, содержащаяся во всякой
§ 1]	ПОДГРУППЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ	17
неединичной нормальной подгруппе. Тогда пересечение, .
всех неединичных нормальных подгрупп равно N. Отсюда
G неразложима в поддекартово произведение групп.
Предложение доказано.
Минимальные нормальные подгруппы конечных групп -
хорошо изучены: они (см. [95])—прямые произведения.* .
изоморфных простых групп. В общем случае они устрое-
ны сложно. В группе ю конечными классами сопряжен-
ных элементов минимальные нормальные подгруппы ко-,
нечны (см. лемму 1.1 гл. II).
Теорема 1.5 (Биркгоф [69]). Всякая группа — под-
декартово произведение групп, неразложимых в подде-
картово произведение.
Доказательство. Если группа G неразложима в
поддекартово произведение, то для G теорема верна.
Пусть G разложима и iy=geG. По лемме Цорна
(см., например, [54], стр. 28) в G существует максималь-
ная нормальная подгруппа Ке, которая не содержит g.
Всякая неединичная нормальная подгруппа фактор-груп-
пы GIKg содержит gKe. Следовательно, пересечение всех
неединичных нормальных подгрупп группы GIKg отлич-
но от единицы, и группа GIKg неразложима в поддекар-
тово произведение. Пересечение Q Kg=i, так как G
разложима. Теорема теперь следует из теоремы 1.2.
Для случая конечных групп теорема 1.5 доказана Ре-
маком ([96], § 3, следствие из теоремы 6). Биркгоф [69]
ее доказал для универсальных алгебр.
Несколько расширим одно из понятий, введенных Ре-
маком ([96], § 1). Подгруппу Н поддекартова произве-
дения G групп Go (аеЛ) назовем ящичной в G, если
Я=ОП П На, где На — проекция Н на Ga. Если в G вве-
а&А
сти тихоновскую топологию, индуцированную топологией
декартова произведения (см., например, [45], стр. 87, или •
[30], стр. 127, 131, 193, 194), то всякая ящичная подгруп-
па замкнута в этой топологии (считаем Ge дискретными).
Обратное неверно, так как существуют замкнутые, но не
ящичные подгруппы. Есл-и подгруппа Н ящична в G и
если проекции некоторой подгруппы М совпадают с про-
екциями На группы Н для всех аеЛ, то Н назовем ящи-
ком группы М в G. Значение ящичных подгрупп состоит
в следующем предложении.
18
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I .
Предложение 1.6. Если Н — ящичная нормаль-
ная подгруппа поддекартова произведения G групп Ga
(а^А) и На — проекция Н на Ga, то G/H—поддекартово
произведение групп Ga!Ha (аеД).
Доказательство. По лемме 1.1 Ha<sGa. Пусть
g= П ga- Рассмотрим отображение
вел
П gaHa-	(2)
аеА
Оно, очевидно, является гомоморфизмом. Если g принад-
лежит ядру, то gaHa=Ha для всех деД. Получаем ga<=Ha
для всех деД, т. е. geOCl П На. Так как п—ящичная
аеА
подгруппа, то g^H. Итак, Н — ядро гомоморфизма (2).
Предложение доказано.
Рассмотрим вопрос о ящичности некоторых подгрупп.
Предложение 1.7. Пусть G=* П Ga, G' — ком-
а&А
мутант группы G, Ga' — коммутант Ga- Коммутант G'
группы G является ящичной подгруппой тогда и только
тогда, когда в множестве А существуют такое конечное
подмножество В (возможно пустое) и такое натуральное
число п, что для всех а<=А\В каждый элемент из Ga'
есть произведение п коммутаторов. Всегда П Ga'—
а&А
ящик для G'.
Доказательство. Допустим, что G' — ящичная
подгруппа. Так как каждый элемент g^G' есть произ-
ведение некоторого числа коммутаторов
g = [g(i\ hw] [g<2>,	. [g<»>, hw],
то имеем разложение
g= П&- П	№] ...	(3)
a&A a&A
Если бы существовала такая бесконечная последователь-
ность индексов из А
^2> •••» Щи • • • ,
что в Gak существует элемент ga/t, представимый в виде
произведения не менее чем k коммутаторов, то элемент
ПОДГРУППЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
19
§ и
g = ПЯай нельзя представить в виде (3). Поэтому в А
k
существует такое конечное подмножество В (возможно
пустое), что для аеВ группа G/ содержит элементы,
которые нельзя записать в виде произведения п комму-
таторов для любого заданного натурального числа п.
Если же аеЛ\В, то существует такое натуральное чис-
ло п, общее для всех аеЛ\В, что каждый элемент из
О/ есть произведние п коммутаторов.
Пусть, обратно, такие множество В и натуральное
число п существуют, и пусть g= П ga — элемент из
аеЛ
П Ga'. Ввиду свойств Вил имеем
а^А
ga = Йа1’, Ла’1 tea’, Ла’] • • • tea"’, Л?’] ДЛЯ ЙЕ Л\В,
ga = tea1’, Л?’] tea’, Л?’] ... \g(aa\haa)] для 0t€= В.
Так как множество В конечно, то среди чисел п, па
(аеВ) есть наибольшее. Обозначим его т. Тогда
ga = tea1’, Л?’] [ga', Л?’] . . . tea"”, Л^] ДЛЯ ае Л
(там, где множителей меньше, добавим нужное число
единиц tea’, Ла°]=[1,1]=1). Поэтому
g = te(1), Л(1)] te(2>, Л(2)] ... [g™, h(m}] е G',
где
g(6)=nga’,	Л(6’=ПЛ?’	(6 = 1,2,
aeA ,	аеА
Теорема доказана.
Следствие 1.8. Коммутант декартова произведения
конечного числа групп — ящичная подгруппа.
Следствие 1.9. Коммутант декартова произведе-
ния конечных групп, порядки которых ограничены в сово-
купности,— ящичная подгруппа.
Следующий пример изложим без доказательства.
Пример 1.10. Покажем, что не всегда коммутант
декартова произведения групп — ящичная подгруппа.
Рассмотрим р-группу Ga (a=l,2,...), заданную по-
рождающими элементами х1г х2......х20 и определяющими

20	ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ - ГГЛ. {
соотношениями
xf = 1, p=f=2, [х{, X/, Хл] = 1, i, j, k = 1, 2.2a.
Элемент
g = [*i, Xa] [x3, xj ... [Хга-!, XM]	I
нельзя представить в виде произведения а—1 коммутато-
ра. Теперь по предложению 1.7 коммутант группы П Ga
а ||
не равен П G/.	I
а	1
Если считать, что Ga в предложении 1.7 дискретны, то I
можно доказать, что ящичность и замкнутость в Тихонов- 1
ской топологии коммутанта декартова произведения со- •]
впадают. В примере 1.10 коммутант не замкнут.	1
В поддекартовых произведениях коммутант может ;
быть замкнутым, но не ящичным. Там все много сложнее. !
Верхний центральный ряд начнем рассматривать с
очевидного утверждения (Ремак [93], теорема 1).
Лемма 1.11. Если два элемента декартова произве-
дения перестановочны, то и все их проекции перестано-
вочны.	i
Отсюда сразу следует утверждение, для частного
случая содержащееся в [96] (теорема 18).	'
Следствие 1.12. Если G — поддекартово произве-
дение групп Ga (а^А), то централизатор Св{Н) любого ;
подмножества Н из G — ящичная подгруппа.	I
Следствие 1.13 (Ремак [96], теорема 15). Любой
член верхнего центрального ряда с натуральным номером <
является ящичной подгруппой в поддекартовом произ-
ведении.
Заметим, что объединение таких членов, вообще го-
воря, не ящичная (и даже не замкнутая) подгруппа, в |
чем легко убедиться, рассмотрев декартово произведе-
ние нильпотентных групп возрастающих ступеней ниль-
потентности.
Следствие 1.14. Если G= П Со и у — бесконеч-
аел	1
ное порядковое число, то	*
ZV(G) = { X Zv(Ga)} • {04(0},
аеА	п
где п пробегает все натуральные числа.
ПОДГРУППЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
21
§ п
Доказательство. Допустим, что -следствие дока- -
зано для всех а<у. Если у — предельное число, то ,
утверждение следует из индуктивного предположения и
определения верхнего центрального ряда. Пусть у — не- -
предельное порядковое число. Пусть g= П g'aeZ?(G)
ДсЛ.
и h— П AoeG. Тогда [g, ft]eZ^i(G). По индуктивному
аеЛ
предположению [g, h]=zx, где ze х ZT-i(Ga), хе
аеЛ	' ,
е UZn(G). Поэтому xeZ„(G) для некоторого п. Следо-
п
вательно (см. следствие 1.13),
(ge,AJeZn(G)	. (3)
для всех аеЛ\зиррх (заметим, что supp z — конечное
множество.) Если g = П ga е Zv (G) и если существует
asA
такое конечное множество В]с|Л,£чтс(]ДП gaEi)Zn (G),
аеА\В п
ТО t=g- П	II	ZV(G). По индуктивному
аеЛ\В	аеВ
предположению для любого ае В [ga, ha] е Zv_j(Ga). По-
этому ga S Zv (Ga), a e В. Получаем ввиду конечности В,
что /G X Zv(Ga). Допустим, что следствие неверно. Тогда
аев
(по только что доказанному) существует такой элемент
g — П ga sZ?(G)> что для всякого конечного множества
оеЛ
Вс Д элемент П ga не лежит в (J Zn (G). Обозначим
аед\в	п
В1 = 0. Элемент Ц ga не лежит в (JZ?(G). Поэтому
аеА\в,	п
существует такой ахеЛ\Вх, что gat^Zx(Gai). Через В2
обозначим {«х). Элемент Ц ga не лежит в U Z„ (G). По-
аел\в>	п
этому в Л\В2 существует а2, для которого ga,^Z2(Ga,).
Продолжая этот процесс, получим такое множество В =
= {dx, а2, ..., ak, ...}, что gak<£Zk(Gak). Но тогда суще-
ствуют такие элементы hak е Gak, что
lgakt flak] Z*-l (Gafe).	(4)
Обозначим h Ц hak (остальные проекции равны 1). Тогда
k
22
ДЕКАРТОВЫ. И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
[g, /1] как элемент из ZT_i(G) должен удовлетворять (3),
но (3) и (4) противоречивы. Следствие доказано.
Лемма 1.15. Нормализатор ящичной подгруппы
поддекартова произведения — ящичная подгруппа.
Лемма очевидна.
Ясно, что нормализатор замкнутой подгруппы — замк- .
нутая подгруппа, но не обязательно ящичная.
§ 2. Метод Ф. Холла представления группы
гомоморфными образами поддекартовых
произведений
Здесь будут изложены некоторые результаты из
статьи [79].
Допустим, что группа G является произведением
вполне упорядоченного семейства нормальных подгрупп
G = GiGz... Gi...	(1<у),
у — некоторое порядковое число. Каждому i сопоставим
множество U< пар (1, х), x<=Gt. Пусть U= U Ut. Предста-
нет ,
вим каждую группу G, подстановками на множестве U.
Для каждого у из Gs построим подстановку Vj(«/) сле-
дующим образом:
	(i, У^ху),	если i <Z j,
(*» x)4f(y) =	(i, xy),	если i = /,	(0
	x),.	если i > j.
Очевидно, подстановки уДу) (t/eGj) образуют груп-
пу. Обозначим ее
Предложение 2.1. Отображение
У-+чАу)	(2)
— изоморфизм группы G} на группу G,.
Доказательство. Пусть у, z<=G}. Тогда

(i, y’^xy^jiz) = (ц z-'y'xyz),
(i, xy)v1(z) = (i, xyz),
(i, x)Vj(z)—.(i, x)
в соответствии с каждым из случаев i</, i=j, i>j. От-
сюда (t, x)v}(y)vs(z) = (i, x)4j(yz). Следовательно, (2) —
§ 2] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ПОДДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ 23
гомоморфизм. Найдем его ядро. Пусть у — элемент ядра.
Тогда Ns(y)—тождественное преобразование, т. е.
(i, *)vj(y) = (i, х) для всех хеб«. По определению у;(у)
при i=i имеем (/, l)v,-(t/) = (/, 1 -у) = (/, у). Отсюда
(/, 0 = (/> У) или 1=У, т. е. гомоморфизм (2) имеет еди-
ничное ядро. Предложение доказано.
Предложение 2.2. vZ1 (z) v; (у) v, (z) =Vj (z~lyz)
при j<.s.
Доказательство. Легко проверить, что для всех
хебй y^Gs, z<=G, верны равенства	.
(i.xjv;1 (z)V/(f/)vs(z)-
(i, Z~1y~1zxz"1yz),
(i, xz^z/z),
(i, x)
соответственно для i<.j, i=j, i>j. Следовательно,
v71(z)vj(y)v,(z) =v,(z_J/z). Предложение доказано.
Обозначим через G группу, порожденную всеми G)
Ее называют накрывающей для G.
Теорема 2.3 (Ф. Холл [79]). Отображение
чАу)-+у
для всех j<.y и всех y^Gs можно продолжить до гомо-
морфизма G на G.
Доказательство. Пусть
V/,	V/, (у2)е*... v/r (yr)Sr = 1	(3)
— произвольное соотношение группы G. Нужно доказать
(см., например, [64], стр. 54), что тогда в группе б верно
соотношение
Уе1У*..-УгГ= 1-
В силу предложения 2.1, достаточно считать, что 8<=1,
V/i (у<)=£1, у<=£1 ,(t=l. •••> Г) и /<#=/<+4 (i=l.г—1).
Обозначим У = У1Уг Ут- Если	то
v/z (Уд Vil+1 (yi+i) = v/; (Уд v//+i (Ум) Уц (У71) • vZi (yt).
Теперь по предложению 2.2 левая часть равна
vj£+i (ytyi+iy~i)'Vji(yi). Это означает, что множители в
(3) можно переставлять, не меняя значения у. Поэтому
24
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(ГЛ. I
считаем /,</2< ... <.fr. Допустим теперь, что слово у
непустое, т. е. г^1. Тогда, в силу (1), (/„ 1) vA («/,)...
• • • Vfr (У?) = (jr, уг). Из (3) следует, что левая часть рав-
на (/„ 1). Следовательно, г/г=1, что противоречит пред-
положению. Итак, слово у пустое. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь структуру группы G.
Напомним определение полупрямого произведения
любого множества групп (принадлежит С. Н. Чернико-
ву). Пусть
Glt Git G{, ...	(t<a)
— вполне упорядоченная система подгрупп группы G,
удовлетворяющая следующим условиям:
1)	G=<G«; t<a>;
2)	G<n<G,; /¥= i, j< a> = 1;
3)	G{<3(Gj-,
В этом случае группа G называется полупрямым произ-
ведением групп G{ (t<a). Примем обозначение G =
= A Gt-
i<a '
П р е д л о ж_е н и е 2.4. Группа — полупрямое произ-
ведение групп G} (j<.y)‘ G= Д Gj.
I<v
Доказательство. Условие 1) выполнено по опре-
делению G. Условие 3) доказано в предложении 2.2. До-
кажем 2). Пусть Vj(«/)e<G„; s^j, s<y>. Если Vj(z/) =^=1,
то, в силу предложений 2.1 и 2.2, его можно записать в
виде
V/ (у) - VS1 (У1) vs, (уй) ...vs* (ук),	(4)
где s,<s2< ••• <«», &¥=1, /¥=«< (i=l, •••, k). Если /<
<sk, топо(1)
(s*. l)v,(y) = (st, 1),
(sk, 1) vS1 (yt)... vSft (yk) = (sk, yk).
Из этих равенств следует у*=1, что противоречит (4).
Поэтому считаем Тогда
(/. ОV,(«/) = (/, у),
(1, О vSl (У1)... vSjsM= (/, 1).
§2] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ-ПОДДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 25
Опять получаем у=1, что означает уЛ(^) = 1. Следова-
тельно, 3) верно. Предложение доказано.
Обозначим через Hs (/<у) группу подстановок, яв-
ляющуюся ограничением G на U}. Из (1) видно, что уже
G} транзитивна на Us, так что каждое множество Uj—
область транзитивности группы G. Отсюда_следует
Теорема 2.5 (Ф. Холл (79]). Группа G — поддекар-
тово произведение групп Н} (j<Zy).
Исследуем строение Н} (j<.y). Обозначим через Qj
группу подстановок, являющуюся ограничением Gj на U},
а через Aje (j<s) —ограничение G, на Uj. Элементы из
Qi будем обозначать Wj(«/) (i/gGj), а из Ajs—через
(t/e=G„).
Теперь каждый элемент v, (t/) можно представить как
элемент поддекартова произведения групп Hs (j<Zy)
i<J
(остальные проекции равны 1). Из предложения 2.2. те-.
перь следует
Предложение 2.6. 1) w//(z)w^)w/s(z) = w7(z-1z/z),
2) w/s1 (z) w/r (y) w/s (z) = w/r (z-1i/z) при s > r.	,
Обозначим A}=(Aj,-, j<.s<.y)=Aj>j+i ... Ajs...
Предложение 2.7.
Доказательство. Пусть wy(«/)=w/>S1 (у^.. .Wj,Sk (Uk).
Тогда, в силу (1),
(/, i)w, («/)== а, у),
(1,1) W/.S, (Уд ... VfhSk (yk) =
= (/, yk1... У? • 1 • У1 • • • yk) = (/, 0-
Сравнивая равенства, получим y=l. Предложение дока-
зано.
Теорема 2.8 (Ф. Холл (79]). Группа Н3 (/<у) — по-
лу прямое произведение нормальной подгруппы Q}, кото-
рая является группой правых сдвигов группы G}, и груп-
пы А)—группы автоморфизмов, индуцированных в G}
сопряжениями с помощью элементов из <G,; j<Zs<Zy).
Вытекает из предложений 2.6, 2.7 и определения
Qj> А}.
26	ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	[ГЛ. 1
Заметим, что группа G} не обязательно нормальна в G.
Пример 2.9. Пусть Q — группа кватернионов по-
рядка 8, порожденная элементами а, Ь: а2=Ьг, а4=1,
b-lab=a~\ Положим G = GtG2, где Gt=<a>, G2=<6>.
Если бы Gi и G2 были нормальны, то по предложению 2.4
G была бы прямым произведением двух циклических
групп порядка 4, т. е. абелевой. Гомоморфный- образ G
(группа _G) неабелев. Поэтому G2 не нормальна в G.
Группа G равна GjXG2, где Gi=<Vi(a)>, G2=<v2(b)>,
v2(b)_,v1(a)v2(6) =4^0)“’ (см. предложение 2.2).
§ 3. Подгруппы прямых произведений
В § 1 определено прямое произведение любого семей-
ства групп, как подгруппа декартова произведения. Это
определение часто называют «внешним». Иногда удобнее
«внутреннее» определение. Говорят, что группа G — пря-
мое произведение своих подгрупп (или группа G разла-
гается в прямое произведение своих подгрупп) Gt
если:
1)	G=<G«; ie=/>;
2)	G<<1G;
3)	G<n<G/;Mi,/e/>=l.
Обозначение, как и для «внешнего» определения: G =
= X Gi. Если множество / конечно и равно, например,
отрезку натурального ряда {1, 2, ..., п}, то пишут также
G= X G< или G = G1XG2X...XGn.
Эквивалентность определений доказывать не будем,
так как она доказывается во многих распространенных
книгах (см., например, [45], § 5).
Если множество индексов вполне упорядочено, т. е.
7={1, 2...i, ...; i<a}, то прямое произведение можно
задать более слабыми условиями.
Предложение 3.1. Группа G — прямое произведе-
ние своих нормальных подгрупп Gt (tel) тогда и только
тогда, когда верны следующие условия-.
1) G = <G<;fe=Z>;.
2) <G<; /</>Пб^=1 для всех /<а.
Доказательство. Если G — прямое произведение
групп Gi то условия 1) и 2) верны по определе-
§3]
ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
27
нию. Пусть, обратно, выполняются условия 1) и 2). Нуж-
но доказать, что для /<а Tj=Gin<G<; i=£j, iCa>=l.
Пусть Tj^l, и пусть g=/=l—элемент из Ts, g^g^g*...
...gin, где gi^Gis, g£s#=l ($=1, 2, .... п).Всилу
2) имеем /<in. Но тогда (h<t2<.. .<in)
Sin = ggh • • • gin-is G‘n П «к t < in> = 1.
Отсюда gin = l в противоречие с предположением о g.
Предложение доказано.
Лемма 3.2 (Горчаков [13], лемма 5). Пусть Na (а С
Су) — система нормальных подгрупп группы G, вполне
упорядоченная по убыванию, т. е. если а^0, то Na^Nt.
Пусть также для любого предельного порядкового числа
ВСу верно П Na=Nf. Тогда, если На (аСу) —система
а<₽.
таких подгрупп На группы G, что NaT\Ha=\, то
П(П ^a+l)= n^«-
а<?	а<?
Доказательство. Пусть nt— произвольный эле-
мент из УЛ( П HaNa+t). Тогда п1 = Л1п2= ... =Лапв+1=
а<?
= ..., где ha^Ha и преУ₽. Предположим, что а0— пер-
вое порядковое число, для которого Л«о#=1. Возможны
два случая.
1) а0—непредельное порядковое число. Тогда na,=ha,na,+1
или ha, = naXi+v Так как Яп, Г) Мх0 = 1 и	то
ha<> — 1. Это означает, что <х0 не может быть непредельным
порядковым числом.
2) <х0—предельное порядковое число. Тогда пх е П N$=
₽<а,
=Na,. Потому ha,^Na,, т. е. опять /^=1. Противоречие
с выбором ha, показывает, что а0 не может быть пре-
дельным порядковым числом. Ввиду произвольности вы-
бора nt, лемма доказана.
Если группа G такая подгруппа прямого произведе-
ния групп Gt (i^I), что ее проекции на Gt равны Ой то
G называют подпрямым произведением групп Gt
Хороших критериев вложимости группы в прямое
произведение групп нет (таких, например, как в теореме
1.2 для представления поддекартовыми произведениями).
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 1
В статьях. Черникова [61] и Ф. Холла [79] в процессе
доказательств возник метод вложения групп в прямое
произведение счетного числа групп. Здесь мы дадим ему
явную формулировку.
Теорема 3.3. Если группа G имеет две цепочки нор-
мальных подгрупп (упорядоченных натуральными чис-
лами)
Gj с G, с • • • е Ф S ...,
Я12Я2э ... э/Дэ ....
удовлетворяющих следующим условиям-.
1) ОЛЯ*»!,
2) иб<=0,
то группа G— подпрямое произведение групп G/T{ (i=
=0, 1, 2, ...), где Т„=Ни Tt=GtHt+l (t>l).
Доказательство. Пусть H=(]Hj. Для всех i
имеем (?ЛЯ=ОЛЯ<=1 (см. 1)). Так как (см. 2)) G[)H=
= (U б«)Г1Я=и (СЛЯ) = 1, то (опять см. 2)) Н=\. Из
леммы 3.2 получаем (~)Д=1. Теорема 1.2 теперь утвер-
п
ждает, что G — поддекартово произведение групп G/Д
(i^O). Осталось показать, что носители всех элементов
конечны. Если £еО,+1\О,-, то #еД+1. Следовательно,
проекции g на группы G/Ts (j^i+\) равны 1. Теорема
доказана.
Рассмотрим некоторые подгруппы прямого произве-
дения.
Предложение 3.4 (Ремак [96], теорема 2). Если
G— X G( N<1G, Ni—проекции N на Gi} то ОЛЯ содер-
. 1^1
жит [Gi; Nf] для всех 1^1.
Доказательство. Пусть п— X Щ. Тогда [nit gf]=
i&J
=[п, £<]ебЛЯ, так как N<1G и G,<]G. Предложение
доказано.
Следствие 3.5. Коммутант прямого произведе-
ния — прямое произведение коммутантов.
Доказательство. Из предложения 3.4 получаем,
что коммутант прямого произведения содержит прямое
произведение коммутантов множителей, а больше он
быть не может. Следствие доказано.
§3]	ПОДГРУППЫ . ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ	29
Предложение 3.6. Каждый член верхнего цент-
рального ряда прямого произведения есть прямое произ-
ведение членов верхнего центрального ряда сомножите-
лей с небольшими номерами.
Вытекает из следствия 1.14.
Рассмотрим вопрос о ящичности подгрупп подцрямо-
го произведения групп.
Предложение 3.7. Любой член верхнего цент-
рального ряда подпрямого произведения групп — ящич-
ная подгруппа.
Доказательство. Пусть G — подпрямое произве-
дение групп Gt , Z}(G)—j-й член верхнего цент-
рального ряда. Для натуральных / предложение следует
из следствия 1.13. Докажем для j бесконечных. Если /—
непредельное число и для всех меньших чисел предложе-
ние доказано, то Zs_i(G) —ящичная подгруппа. По пред-
ложению 1.6 G/Zi-i(G) —подпрямое произведение групп
G</(Zj_1(G))i. В силу следствия 1.13, ZJ(G)/ZJ_1(G) —
ящичная подгруппа в G/Z}-t(G). Следовательно,
G/Zj-JOn X (Zj(G))z/(Zj.1(G))i=Zj(G)/Zi_1(G).OTcra-
»е/
да Zj(G)^Gn x (Zj(G))<. Так как произведение пря-
te/
мое, то обратное включение очевидно. Следовательно,
Zj(G) —ящичная подгруппа. Пусть /— предельное число.
Так как для всех s<Z] G|~| X (Z,(G))(==Z,(G), то
fez
GQ X (Z,(G))z = G П X ( U (Zs(G))z)o (J Zs(G) = Zz(GX
ze/	ie/ s</	s<;
Так как произведение прямое (носители элементов ко-
нечны), то GH X Zz(Gi)sZj(G). Это означает, что
»е/
Zj(G) —ящичная подгруппа. Предложение доказано.
Следствие 3.8 (Томкинсон). Если G — подпрямое
произведение конечных групп, то факторы верхнего цент-
рального ряда группы G разлагаются в прямые произве-
дения циклических групп.
Вытекает из предложения 3.7 (или следствия 1.13),
предложения 1.6 и результатов Прюфера по абелевым
группам (см., например, [40], стр. 146).
Часто бывает полезной простая теорема Кляйна —
Фрике (см, [96], теорема 1).
30
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Предложение 3.9. Если G— подпрямое произве-
дение групп Gt и G2, Ai=Gr\G{ (i=l,2), то GJAiCnGJAt.
Достаточно увидеть, что С/Л1ХЛ2~О</Л< (i=l,2).
Пример 3.10. Построим подпрямое произведение
групп, коммутант которого не является ящичной под-
группой.
Пусть р — простое число. Группу Gt зададим порож-
дающими элементами
bi, с^ di, et
и определяющими соотношениями
[at, £>,] = fa, di] = е{,
[at, ct] = [bi, cj = [at, d{] = [6i( d{] = 1,
[af, et] = [bt, e{] = [c{, et] = [dh е{] = 1.
Группа Gt—произведение двух поэлементно перестано-
вочных изоморфных групп <ай Ь(у и <съ d<> с общим цен-
тром (е{). Коммутант и центр группы G( совпадают и
равны <е(>.
В X Gt возьмем подгруппу G, порожденную эле-
1=1,2,...
ментами ££i -	hi.— hu-ifizi, ri — £2i£^i+i,	— d^id^+i,
e( (i= 1,2,. ..). Так как [g{, ht] = [rf, sf] = e2le^!,
а остальные коммутаторы, составленные из порождающих
группы G, равны 1, то коммутант G' группы G равен
X <в£«7?1>. Центр группы G равен X <^>. Он же —
1=1.2,...	1=1,2,...
ящик для G'. Очевидно, Z(G) *f=G'. Фактор-группа Z(G)/G'—
квазициклическая р-группа.
Подгруппы счетного числа конечных групп имеют сле-
дующее интересное описание, исходящее (идейно) из
теоремы 3.3.
Теорема 3.11. Если G — подпрямое произведение
конечных групп G< (i= 1,2, ...), то существует такое раз-
биение множества натуральных чисел на попарно непере-
секающиеся конечные множества At (i=l, 2, ...), что
G=HlHi...Hi...,ede Ht=G{] X G}.
§3]
ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
31
Группа G— подпрямое произведение групп Pt—про-
екций G на X Gj; носитель подгруппы Ht при этом вло-
i^Ai
жении лежит в {i, i+1}.
Доказательство. Вторая часть теоремы очевид-
на, если доказана первая. Докажем первую.
Так как группа Gt конечна, то в G существует под-
группа Slt проекция которой на Gt равна G,. Обозначим
Qi = Gn X G{. Тогда G=S1Q1. Пусть Bt—носитель S,.
iVl
Он конечен. В Qt существует такая конечная подгруппа
S2, что проекция S2 на X Gt совпадает с проекцией
iSB,U{2)
Qi. Пусть Q2=Qin X Gf. Тогда Qi = S2Q2. Нетрудно,
таким образом, построить конечные множества натураль-
ных чисел
Bt^Bi—.. . ^Вп
и подгруппы
Si,	Si, ..., Sn, 
Qi—Qi— • • • —Qn>
которые для i>l удовлетворяют следующим условиям:
1) B<={i}(J5.-1IJSUPP
2)	Si — любая конечная подгруппа, проекция которой
на X Gi совпадает с проекцией
3)	Qi = Qi-i П X Gy.
Из 2) и 3) получаем Qi-i — SiQt (i > 1). Обозначим
Hi = Qf-i П X Gy. Очевидно, Hi^Si	Те-
/’esuppS;
перь получаем равенства
G = f/iQi, Qi = ffgQz» • • ♦ > Qi = Hi+iQi+i* • • •
Из них получаем 6=Я4Я2.	. В силу 1)—3), носи-
тели S< и Q<+1 не пересекаются. Поэтому носители S, и
Si+2 также не пересекаются. Следовательно, не пересе-
каются носители Н( и Я<+2. Обозначим через A=supp Я<\
\supp#<+1. Тогда supp#«= (supp tf,\supp
U (supp 77<+1\supp Hi+i) =Л<иА+1. Теорема доказана.
32
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Следствие 3.12 (Ф. Холл [79]). Если G— подпря-
мое произведение счетного числа конечных групп, то груп-
па G является произведением двух своих подгрупп, каж-
дая из которых — прямое произведение конечных нор-
мальных подгрупп группы G.
Действительно,
G = Hj.H2 ... Hi ... =
= (Н1ХЯ3Х. . .X ЯгнХ...) • (Я2ХН4Х .. .XH2iX.. .)•
Следствие 3.13. Под прямое произведение счетного
числа конечных групп является расширением прямого
произведения конечных групп, нормальных в группе, при
помощи прямого произведения конечных групп.
Доказательство. Пусть, как в теореме 3.11, груп-
па G — подпрямое произведение конечных групп Pt (i=
= 1,2, ...), G=HiH2...H{... (i=l,2, ...) и носитель
H{^{i, i+1}. По предложению 1.6 G=G/ ХМ{, где Л4,=
= ОПЛ, — подпрямое произведение_групп_Л/.М<А)бозна-
чим Ht=Ht( X М{)1хМ(; получим С=Я1Я2...Я<... Так
i	t
как зирр(Я<ПЯ,) = 0 или {i+1}, то это произведение
прямое. Следствие доказано.
Из теоремы 3.11 сразу видно, что примеры подпрямых
произведений, неразложимых в прямое произведение ко-
нечных групп, Нужно искать именно среди подгрупп, по-
рожденных элементами, носители которых имеют мощ-
ность не более 2. Таковы примеры С. Н. Черникова и
Ф. Холла.
Пример 3.14 (Черников [57]). Построим подпрямое
(но не прямое) произведение конечных групп, лишь ко-
нечное число множителей которого имеют элементы од-
ного простого порядка.
Возьмем бесконечную последовательность простых
чисел
Рь Рг. .... Рп..
удовлетворяющую условиям
ры^ 1 (mod р2<—1p2i+i),	i = 1,2, ...
Она существует по теореме Дирихле.
Группа автоморфизмов циклической группы простого
порядка р — циклическая порядка р—1. Поэтому суще-
ствуют ГРУППЫ ПОРЯДКОВ Pupu-ipu+i
Hi^^yxcbiy,
$ 3]	ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ	J)3
а?1 = 1>	J, — a™1, tnt такое наимень-
шее натуральное^.число. =#1; что /п^2Г = li(moi>p2f_1p27+1);
В.группе х> Я/, возьмем, подгруппу. И, порожденную- эле-
ментами . а(. (i = 1,2,-...),< Ci — tip; с2 =	...» ci = -•
= &?№H1, ... -. ' ' '
Группа Я— полупрямое произведение двух локально
циклических- групп: Я= (Х <а<» Л ( Х<сД). Следова-
тельно,. все.ее силовские подгруппы-циклические.
Группа Я,неразложима в прямое произведение; Пред-
положим, что H=Ly.M. Пусть х—элемент.простого;по-
рядка р из Я; x=lm, l^L, т^М. Так как силовские под-
группы„.группы Я циклические, то,либо,/, либо-т. равен 1.
Пусть asL., Тогда a^L, так как (ct, aj^l. Из.[а,ис2]¥=
#=1 следует с2е/, и т. д. Получаем сь аь с2, а2,’...е£.
Это,означает, что H^L. Предположение с^М приводит
к Я^М. Неразложимость Я доказана.,
Пример 3.15.(Ф!. Холл [79])1. Построим подпрямое
произведение изоморфных? конечных,: групп, неразложи-
мое в прямое произведение.
Группу, диэдра: D/(i = О, .±.1, ...): можно задать по-
рождающими at-, bi,Ci и соотношениями а2 = 62 = с’.=
=	= [6/> <?<]”= 1, fab cd = fa.' В.Х DZ возьмем под-
I,
группу Я,, порожденную- элементами- g2f-i.=	=
=.cai?si+i (i — 0,.±Л, • • •)• Центр Я- равен коммутанту- и
равен. Пусть Я = L хА1,
' t
Каждый, элемент, лежащий вне . центра, можно запи-
сать в виде,,
g	gt^z, .	(1) '
где ii<i2< ...	хеИ(Я), Элементу, назовем
левым;,,.a gik— правым.жонцом элемента g.-Если^«—ле-
вый конец каю элемента 4&L, так -и элемента zneAf; то
[gi-,, П=(Я«-1, т]=Ь^Л..Эт0 означает, что-LQM'=/=1, в
противоречии с тем, что LX-M —прямое произведение.
Итак,-левые концы -элементов -I и т -различны. Также
можно показать, что различны их правые концы. Отсюда
2 К>. М. Горчаков
34
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. Г
следует, что 1т (если I и m^Z(H)) имеет запись ви-
да (1) с k^2. Но тогда gfZ^L или М, Zi^Z(H). Пусть-
giZ^L. Тогда gtZi и gozo также лежат в L. Продолжая
процесс выяснения принадлежности, получаем, что gtz*
лежат в L для всех i. Но тогда коммутант Н' группы Н
лежит в L. Ввиду следствия 3.5 и H'=Z(H), получаем
L=H. Случай giZt^M рассматривается аналогично. Тем!
самым доказана неразложимость Н.
Прежде чем изучать подпрямые произведения несчет-
ного числа конечных групп, докажем несколько простых
вспомогательных утверждений.
Лемма 3.16. Классы сопряженных элементов под-
прямого произведения конечных групп конечны.
Лемма очевидна.
Лемма 3.17 (Горчаков [18], лемма 1). Если в груп-
пе G с.конечными классами сопряженных элементов име-
ется отделимая топология, то централизатор любого ее
элемента открыт.
Доказательство. Пусть gEz.G. Подгруппа C(g)
замкнута (см., например, [4], гл. I, § 8, предложение 2).
п
Индекс C(g) в G конечен. Пусть G= (JC(g)xb гдех1=1.
i=i
Тогда C(g) = <j\Qj C(g)xzj. Так как [J С (g)x{ —замк-
нутое множество, то С (g)— открытое. Лемма доказана.
Лемма 3.18 (Горчаков [18], лемма 2). Пусть клас-
сы сопряженных элементов группы G конечны и Н —
плотная в G подгруппа. Тогда их коммутанты равны'.
H'=G'. Более того, для всяких a, b^G существуют такие-
элементы h, г^Н, что [а, 6]=[/г, b]—(h, г].
Доказательство. Пусть а, b — произвольные эле-,
менты из G. По лемме 3.17 С(Ь) —открытая подгруппа..
Так как Н плотна, то C(b)af]Hsh. Тогда существует
такой элемент сеС(Ь), что ca=h или а=с~‘Л. Отсюда
(см.. [29], стр. 36) [а, 6]=[с-‘Л, 6]=Л-‘[с“‘, b]h-[h, 6]=
=[й, 6], так как [с-1, 6]=1. Итак, [a, b]=(h, Ь]. Аналогич-
но, С(й)6Г|Яэг и существует такой ueC(ft), что ub—r
или b=u~lr. Следовательно, [a, b]=[h, b]=[h, u~lr]=[h, r]-
•r~l\h, u-1]r=[/z, г], так как [h, ы_‘]=1. Лемма доказана.
Пусть G — поддекартово произведение групп Gf
Подгруппа Н группы G называется плотной в G
$ 3]	ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ	35
на если проекция H(J) группы Н на П G< плотна
ieJ
в проекции G(J) группы О на ту же группу.
Окрестностями элемента g^G служат пересечения
б А ( П Vtx П 6Л,
\<ем ze/\M /
где М — произвольное конечное множество( a Vt—окре-
стность проекции g{ элемента g на G( (teM).
Пусть g(J) — проекция g на П Gt и V—окрестность
ieJ
g. Произвольная окрестность элемента g(J)—это про-
екция V(J) множества V на П G( для любой окрестно-
сти V элемента g, соответствующей конечному множе-
ству MsJ.
Лемма 3.19; Для того чтобы Н была плотна в G на
необходимо и достаточно, чтобы группа Н была
плотна в G на всяком конечном подмножестве М из J.
Доказательство. Если Н плотна на J, то для
всякого g(J)^G(J) и всякой его окрестности V(J) име-
ем У(У)ПЯ(У)т£0. Тогда для любого конечного подмно-
жества M^J имеем V (М)(]Н (М) ^0. Так как V(A1) —
произвольная окрестность элемента g(M), то Я(Л1)
плотна в G(M), т. е. Н плотна в G на всяком конечном
подмножестве М из J.
Пусть Н плотна в G на всяком конечном подмноже-
стве Пусть g(J) —произвольный элемент из H(J)
и У(У) — его окрестность. V (У) — проекция на П б< не-
iej
которой окрестности V элемента g^G, соответствующей
некоторому конечному множеству М. Так как Q=GA
А П Gf содержится во всякой окрестности единицы, со-
&М
ответствующей множеству М, то VQ—V. Теперь из
V.(M)nff(M),=^=0 следует VQQH^0 или VQH^0. Но
тогда У(1)Г[Н(Г)=£0. Лемма доказана.
Лемма 3.20 (Горчаков (18], лемма 4). Пусть G^
= П G< и Ht плотны в G на У<, где Н^Н^..	..—
te/
подгруппы G и У|=У2£.подмножества У.
Тогда Н= U плотна в G на J** М Л.
2»
36
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Вытекарт из леммы $.19, как всякое конечное под-
множество принадлежит /< для некоторого i.
Лемма 3.21 (Горчаков [18], лемма 5)- Пусть G—
бесконечная подгруппа прямого произведения X ко-
нечных групп и проекция G на Gt равна Gt для всех iel.
Тогда существует такое счетное подмножество 1^1, что
подгруппа (?П X G( плотна на I.
!&
Доказательство. Пуст^ /0={it} для некоторого
ite7. В G существует конечная нормальная подгруппа
ffu проекция котрррй на Gti совпадает с (?<,. Пусть —
мнржестро -таких ii=/, что проекция Ht на G{ отлична qt 1.
Очевидно, Д—конечное множество. A\=Gn х G< имеет
i&t
в G конечный индекс. Итак, пусть для всех s<Ct построе-
ны Н9, К, и I, со следующими условиями;
1)' Я,—конечная подгруппа, Я.^Я? при
2) I, (s> 1) — подмножество в 7, состоящее из верх i,
для которых проекция Я» на Gt отлична от 1.
3)Я/=ОП *Gt,
4)	Я.-нЯ. = G для s Hr К t;
Построим Ht, Kt, ft, удовлетворяющие, условиям 1)—4).
Так к?к Hf-t конечна (см. 1)), то конечно ft-i (см. ?)).
Но тогда конечен индекс в G группы Kt-t (см. 3)). Сле-
довательно, существует конечная подгрупп? Ht, содержа-
щая fft-t и удовдртрдряющая условию HtKt-i=G. Мцо-
жретво It строим кад в 2), a Kt— как в 3). Итак, Н„ К„
I, с условиями 1)—4) построены для всех натуральных $•
Пусть Я= и^,, 7= U I,. Покажем, ЧТО Я плотн? па
S	” S
J. В сиду усдовця 4)> пРДГРУппа Я»-н плотна в G на
По лемме 3.20 получаем, что Я плотна в G на 7. Так как
Я содержится в (?П X Git то лемма доказан?.
Теорема 3.22. tlycnu> G—бесконечная подгруппа пря-
мого произведения X Gi круечных групп. Тогда I можно
представить как объединение (J /(а) вполне упорядоченной
а<с
по включению цепочки таких подмножеств 1(a), что:
1)	I (а +1) \/ (а) — счетное множество-,
§ $	ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ	37
2)	подгруппа G<a) = G Q X G{ плотна в G на 1(a);
1ё1(а)
3)	если а— предельное число, то 1(a) = (J /(/).
1<а
Доказательство. По.лем^е 3.21 существует та-
кое счетное подмножество /(1), что G(1) —G|~| X G(
плотна в G на 7(1). Пусть уже построена цепочка под-
множеств
/(!)<=/(2)с.. .с/($)с=...,	s<.b,
удовлетворяющих условиям 1)—3) заключения леммы.
Возможны два случая.
Д) b — предельное число. Тогда, в силу леммы 3.20,
группа (J G(s> плотна в G на I(b)=\JI(s). Так как
UG^SG^, то G(b) плотна в G на 1(b).
s<b
‘ Б) b—непредельное число. Обозначим через G (6—1)
проекцию G на X G{. В силу леммы 3.21,сущест-
вует такое счетное подмножество J 7\7 (Ь — 1), что Q =
= G(b— 1) П X Gt плотна в G(b— 1) на J. Q является
teJ
проекцией подгруппы И = G Q X Gt. Пусть М — произ-
вольное конечное подмножество в 5 = I(b - 1) U J. Тог-
да М = (I(b— 1) П 7И) U (J П М). В силу леммы 3.19,
достаточно доказать, что Н плотна в G на М. Пусть
g€= G. Так как Q плотна в G на J, то Н плотна в G на J.
Поэтому Н плотна в G на J П М. Это означает, что в Н
существует элемент h, проекция которого на X Gt рав-
на проекции на эту же группу элемента g. Рассмотрим
gh~K Его проекция на х равна 1. Так как С(6-1>плот-
на в G на I(p — 1), то рна плотна в G на I(b— 1) П М.
Поэтому в G*6-1* существует элемент f, проекция которого
на X Gt равна проекции gh~l. Так как проекция f на
ге/(ь-1)Пм	г
X G/ равна T/’To’g/T1/-1 имеет на1Х Gt единичную проек-
ццю, т. е. проекции g и fh на группу X G< равны. Это
означает, что Н плотна в G на /{(6 — 1) (J J. Обозначим
38
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Z (6) = I (Ь — 1) U J, G(b) = Н. Процесс выбора I (Ь) закон-
чится, как только получим / = |J I (а). Теорема доказана.
а<с
Следствие 3.23. В обозначениях теоремы 3.22 пусть
S<G, J(a) = /(a+l)V(a), J(0) = 7(l), Q(e) = SA
A X Gt. Тогда
IS, G]c x Q(a>,
a<c
Cq(G/S) = Cq (G/X Q(a)).
a<c
Доказательство. Докажем первую часть следст-
вия. Пусть	—> проекция S на X G<, £><“>—проекции
te/(a)	f
G на ту же группу, S(s)=SAG(e). По теореме 3.22 G(c
плотна в D(a). Следовательно, для любых ЛеЯ(о),
в G(a) существует такой элемент г, что [ft, d}—[h, г] (сь.
лемму 3.18). Отсюда [Hla\ D™]=[Hia\ GM]=[S, G<“’]s
=S(O). Так как [S, G]= (J [S, G(o)], то достаточно дока-
a<c
зать, что
[S, G(e)] с X Q(/?	G
/<«
Так как Qm=Sw, то [S, G(1)]sQ(0). Пусть для всех b<G
включение (2) выполнено. Докажем его для а.
к) а—предельное порядковое число. Тогда /(а) =
= U ИР). Отсюда G(a) = (J G<6). Получаем
Ъ<а	Ь<а
[S, G^l = [S, и G®] = и IS, G(b)] G
b<a	Ь<а
<= U (X Q(fl) = х Qy).
b<a ]<b	j<a
Б) a — непредельное порядковое число. По индуктив-
ному предположению, имеем
[S, G(a-1)]S X Qw.
/<а-х
Пусть, как и ранее, h^HM,	r^Gw. Тогда. ft=
=ft'ft", d=d'd", где ft',	ft", d"—проекции ft и d
на X Gt. По лемме 3.18 [ft', d'h^lh', rQ для r'eG'*-0.
и
ПОДГРУППЫ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
39
Итак, [ft, dl=[h'h", d'd"]=[h', d^h", d"}=[h', r'W', d"l От-
сюда [ft", d"]=[h', d\^SM. Ho [ft", d'^ X G«.
(o—1)
Поэтому [h", d"]eQ(a-1). Следовательно, любой коммута-
тор из [S, G(a)] равен произведению коммутатора из
[S, G(o-1)] и элемента из Q(a^>. Поэтому [S, G(e)]s
£[S, G’-^XQ^’s X Q<«.
i<“
Первое утверждение следствия доказано. Докажем
второе.
Пусть <?SeZ(G/S), q = х Яа, где qa—проекция q на
a<«	Jefc- - • -.
. х G/. Пусть х—произвольный элемент из|С””и х —
= Х^а, где хо — проекции х на те же группы. Так как
а<с
flS лежит в центре G/S, то [q, x]eS. Найдем [q, х]. Ком-
мутатор [q, х] имеет конечное число неединичных
Проекций:
l^a,» XOl], [<7a»« Xa,], • • • » [Яаг> Xaf],
где а1<.а1<1 ... <аг. По лемме 3.18 существует такой
^aieG(o,+1), что lqa„ хЛ1] = [qai, Уа,]- Так как [qai, t/a.] =
— [ЯгУаД, то [qai, xaJ S S. Пусть уже доказано, что
fan, xaJ е S для »</<г. По лемме 3.18 существует
7	,	л(а(+1)
атакой yzG i , что
[X qat, X х^] = [X	У\-
Ki Ki Ki
Так как
[X у] = [q, y]f=S,
то
lqai, xaf] = lq, y]-(* 1я<н> *ч1Г‘ e s.
Итак, для всякого i^r
lqat, Xa{] e S n X G} = Q(“* \
i&(at)
Это доказывает вторую часть утверждения. Следствие
доказано.
Заметим, что G(a)—замкнутая в тихоновской тополо-
гии подгруппа, но она может не совпадать с проекцией
40
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(ГЛ. I
группы G на. X G,, так как в проекции она может‘быть
&1<а)
не замкнутой.
Пример 3.24. Группа Н из примера 3.15 не замкну*
та в X ©ъ но всюду плотна в этом прямом произведении.
i	_
Рассмотрим группы Dt (i=0, ±1, ...), порожденные эле-
ментами Oi, bi, с{ с теми же соотношениями, как и в Dt.
Подгруппу Н породим элементами gf, которые выбраны
подобно gi. В прямом произведении
G = (X Dj)-X(X Di)
i	I
возьмем подгруппу Q = (HXH, аоао, сосо>. Группа НХН
всюду плотна в Q, Н и Н замкнуты в Q, Н не замкнута,
но всюду плотна в X Dt.
§ 4.	Гомоморфные образы подпрямых произведений
Пусть й— наименьший класс групп, содержащий-дан-
ный класс групп Л и удовлетворяющий следующим усло-
виям:
1)	если группа Я принадлежит й, то и любая ;ее под-
группа принадлежит й;
2)	класс й вместе с любой группой Н содержит 'все
ее гомоморфные образы;
3)	если семейство групп Ht (i^I) лежит в й, то в й
лежит и группа X Н4.
feZ
Класс групп й назовем прямым многообразием, по-
рожденным классом Л. Часто для него употребляют обо-
значение qsd Л или QSD Л.
Для групп с конечными классами сопряженных эле-
ментов большой интерес представляет прямое многооб-
разие, порожденное классом всех конечных групп. Этот
класс содержит все конечные группы, их прямые произ-
ведения, подгруппы прямых произведений и фактор-груп-
пы последних.
Предложение 4.1. Прямое многообразие, порож-
денное классом всех конечных групп, совпадает' с клас-
сом всех фактор-групп подпрямых произведений конеч-
ных групп.
$4] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ПОДПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Ц
Это предложение получается из следующей более об-
щей леммы.
Лемма 4.2. Прямое многообразие й, порожденное
данным классом групп Л, совпадает с классом всех фак-
тор-групп подгрупп прямых произведений групп клас-
са А.
Доказательство. Обозначим через класс всех
фактор-групп всех подгрупп прямых произведений групп
класса Л. Нужно доказать, что Q=Qt. Возможны сле-
дующие случаи:
1)	Пусть Оей1 и N — нормальная подгруппа G. До-
кажем, что G/N’ содержится в Qi. Так как G~HIR, где
Н — подпрямое произведение групп Ht которые
являются подгруппами групп из Л, то Н содержит такую
нормальную подгруппу D, что D^R, D/R~N, G/N~H/D.
Поэтому G/N^Qi.
2)	Пусть. GeQ, и Н— подгруппа G. Докажем, что
ДейР Группа G есть гомоморфный образ К/N подгруп-
пы К прямого произведения X групп класса Л. Так
let
как Дс=О, то существует такая подгруппа D группы К,
что D]N~H. Следовательно, Дейь
3)	Пусть Д = X Hi, где Hiе Qv Покажем, что Де й
/е/
Так как Hi изоморфна KdNi, где Ki6^ х А/ (здесь
е Л), то из этого включения и соотношения X Ri/Ni
~(Х Az)/(X Nft следует, что группа Д изоморфна фактор-
te/ IS/
группе некоторой подгруппы группы X Du, где V —
= I X (и Ai). Потому Д е йх. Лемма доказана.
Теорема 4.3 (Горчаков [18], следствие 1). Беско-
нечный гомоморфный образ подпрямого произведения ко-
нечных групп можно представить как фактор-группу H/N
по центральной подгруппе подпрямого произведения счет-
ных групп. Представление можно выбрать так, чтобы
центр Н/N был образом центра Н.
Сразу вытекает из следствия 3.23.
Счетные группы здесь (очевидно) — гомоморфные об-
разы нодпрямых произведений счетного множества ко-
нечных групп.
42
ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 1
Лемма 4.4 (Ф. Холл [79], лемма 1 из § 4). Если Н —
бесконечная подгруппа группы Q из прямого многообра-
зия, порожденного конечными группами, то | G: СО(Я) |
<|Я|.
Доказательство. Пусть Н — подгруппа подпря-
мого произведения G конечных групп G( Тогда
|supp//| = |#|. ГруппабП X G{ лежит в Са(Н) и
feJ\suppH
имеет индекс, не больший |suppff|. Итак, если Н — под-
группа подпрямого произведения конечных групп, то лем-
ма верна.
Пусть H=S/N—'подгруппа G=QIN, где Q — под-
прямое произведение конечных групп Qt (iel). В каждом
смежном .классе группы S по N возьмем по одному пред-
ставителю. Пусть J — объединение их носителей. Очевид-
но, |7|<|Я|. Обозначим P=Sf] X’Qj. Тогда S=PN,
feJ *
Р|^|Я|. Так как С0(Н) = C0(PN/N)=>CQ(P)N/N и
Q : CQ (Р) | | Р |, то, учитывая предыдущее, получаем
|G : Са(Н) |<|Я|.
В силу леммы 4.2, лемма доказана.
Лемма 4.5. Пусть Р — периодическая часть центра
декартова произведения конечных групп Gt . Тогда
группа Р( X G{) принадлежит прямому многообразию,
tel
порожденному классом конечных групп.
Доказательство. Группа Р — объединение цик-
лических поэлементно перестановочных конечных групп.
Поэтому Р( X G() —произведение поэлементно переста-
te/
новочных конечных групп. В силу предложения 2.4 и
теоремы 2.3, Р( X Gt)—гомоморфный образ прямого
lei
произведения конечных групп. Лемма доказана.
Докажем, наконец, основное утверждение этого пара-
графа.
Теорема 4.6 (Горчаков [18], следствие^). Пусть
G — гомоморфный образ подпрямого произведения ко-
нечных групп. Тогда G/Z(G)—подпрямое произведение
конечных групп.
Доказательство. В силу теоремы 4.3, предложе-
ния 1.6 и следствия 1.13, теорему достаточно доказать
для счетного случая.
$ 4] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ПОДПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 43
По условию GeaHIN, где Hcz X Ht, Н( конечны.
4=1
В силу леммы 3.16, классы сопряженных элементов в Н,
а следовательно, и в G конечны. G— периодическая
группа. Теперь сошлемся на теорему 2.7 из следующей
главы. Теорема доказана.
Ссылка на утверждение следующей главы оказалась
необходимой, так как нормальные подгруппы подпрямых
произведений счетных групп еще плохо изучены.
Некоторое отношение к изучению нормальных под-
групп имеют следующие утверждения.
Предложение 4.7. Пусть N — нормальная подгруп-
па подпрямого произведения Н групп Н{ (i— 1, 2, ..., s).
Тогда, если N является подпрямым произведением тех же
групп Ht (i=l, 2, .... s), то фактор-группа H/N— ниль-
потентная группа класса не выше s — 1.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что NP\Ht= 1 (t= 1, 2, ..., s). В самом деле, это
следует из предложения 1.6, так как подгруппа
(ЛГП/Л) X ... X (ЯПЯ.) ящичная.
Докажем лемму индукцией по s. При $=1 ясно, что
H=Hi=N и фактор-группа H/N— единичная подгруп-
па, т. е. группа класса 0. Предположим, что лемма верна
для всех целых чисел, меньших s.
Пусть h± и п — произвольные элементы из НПЯ, и N
соответственно. Тогда, так как и N нормальны в
Н, то элемент h^n~lhin принадлежит пересечению групп
N и ЯПЯр Так как	то Я(")Я1Г|Я=1. Отсюда
вытекает, что ЛГ1я_|Л1П=1, т. е. произвольный элемент
из Hf]Hi перестановочен с произвольным элементом из
N. Так как проекция N в Hi совпадает с Hi, то ЯГ|Я, ле-
жит в центре Яь а потому и в центре Н.
Каждому элементу h=hih2...h, из Н, где ht— проек-
ция h в Н(, сопоставим элемент h2...h,. Очевидно, это
сопоставление определяет изоморфное отображение
HlH(}Hi в Н2Х..-ХН„. Ясно, что проекциями групп
H/HHHi и N(Hr]Hi)/HnHi в Ht (i=2, 3, ..., s) будут
сами Н^ По индуктивному предположению, фактор-груп-
па H/Hr\Hi/N(Hf)Hi)/HQHi — нильпотентная группа
класса не выше s — 2. Так как последняя группа изо-
морфна группе H/N(H(~]Ht)~H/N/N (HClH^/N и так как
H\\Hi лежит в центре Н, то Н/N, как расширение под-
4^
44	ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	[ГЛ. 1
группы	своего центра с помощью группы
H/N(Hr\Hi) —группы класса —2, есть нильпотентная
группа класса не выше s—1. Предложение доказано.
Предложение 4.8. Пусть N — нормальная под-
группа подпрямого произведения G групп Gt . Если
проекция N в Gt (i^I) совпадает с Git то фактор-группа !
GIN имеет возрастающий центральный ряд.
Доказательство. Если доказать, что для любых
групп G и N, удовлетворяющих условиям предложения,
G/N имеет неединичный центр, то она имеет возрастаю-
щий центральный ряд.
В силу предложения 1.6 и следствия 1.13, можно
ограничиться случаем iy4=lVr]Gf=l для всех ie/.
Предположим, что для некоторого ie/ пересечение
GHG,- отлично от единицы. Так как проекции групп О и
N на Gt совпадают, то [GHG,, G]s[G4, G]={G1, N]^
^N(~]Gi. Ho jVDG<=l. Поэтому Gf]G< лежит в Центре
группы G/N. Это означает, что центр группы G/N бтли-
чен от единицы. Следовательно, нужно рассматривать
случай, когда GHG4= 1 для всех ieZ.	,
В этом доказательстве длиной элемента будем счи- (
тать число его неединичных проекций, а длиной группа
G относительно N— длину элемента из G\AT, который
имеет наименьшую длину среди всех элементов из G\1V.
Ясно, что длина группы G относительно N при различных
вложениях в прямое произведение различна, но ^1.
Пусть п — длина группы G относительно N и наимень-
шая длина при всех гомоморфных вложениях группы G в
прямое произведение, при которых ядро гомоморфизма со-
держится в N и при которых выполняются условия лем-
мы. Существуют такое вложение группы G в X G/ и та-
кой элемент g^G\N, что g = gt^  • • gin, где gtj =£ 1,
gijGE Gt.. Так как мы предполагаем верным условие
G п Gi = 1, то G Q вц — 1 и G~GjG Q Git. Поэтому при
вложении группы G в прямое произведение X G/ дли-
на группы G относительно N уменьшилась, она — 1.
Но при этом вложении, вообще говоря, не выполняется
условие A/T"1G1=1. Так ,же, как сделано прежде, можно
получить новое вложение, при котором это условие вы-
полняется. Получим противоречие с тем, что п — наи-
$ 4] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ПОДПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
45
меньшая длина при всех вложениях. Следовательно,
группа G/N имеет неединичный центр. Предложение до-
казано.
Наконец, последнее утверждение главы составляет
Теорема 4.9 (Горчаков [15]). Пусть группа G при-
надлежит прямому многообразию, порожденному клас-
сом конечных групп, Н — ее подгруппа и Но— наиболь-
шая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в
Н. Тогда, если индекс |Я: Яо| =Л бесконечен, то
|с1(Я)|=йы |Lcl(/f)|=2\
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмот-
реть случай Я#=1. По лемме 4.4 |с1(Я)|^Л. В силу
предложения 4.1, группа G изоморфна фактор-груйпе
К/N подгруппы К прямого произведения X конёч-
te/
ных групп. Н изоморфна подгруппе D/N.
Пусть d(,W — произвольный неединичный элемент из
D/N, <7(1) = X di')- Так как Не’,= 1, в К. существует
tesupprfd)
такой элемент х(1) = х что (х^Г1 не при-
tesuppjcO)
надлежит DN. Предположим, что уже Построены цепоч-
ки элементов
dw,<P\ ... ,d(0, ... ,х«, х<*>, ... ,х<г>. i<b,
удовлетворяющие условиям:
1)' №=D,xwt=K\ .
2) (x^-'d^x^&DN-,
3) (supp d® U supp x<*>) П (U (supp d^ (J supp х<Л)) = 0.
i<i
Пусть | b | < | H |. Положим
F К П X Ks, M = Z\(U (supp<f« U suppx»)).
seM	i<b
В группе К существует такая нормальная подгруппа А
мощности, равной | 7C/F1, что /С = AF. Пусть 7? =
= КП X	Ks,P = RftD .Так как |К/Р|<|Я|, то
se/\supp4
PN/N =£ 1. Отсюда в К существует такой элемент у, что
У'Ру&РК. Так как К AF, н А существует элемент а,
проекция которого' в группе X Ks равна проекции в ней
ss/\Af
46	ДЕКАРТОВЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ	[ГЛ. !
элемента у. Тогда а~гу е F. Но проекция а~гу в группе
X К, совпадает в ней с проекцией элемен-
s£/\suppX
та у. Поэтому (a.-ly)P(a-ly)<£.PN. Возьмем а~1у=хт, а
в качестве dm—элемент р<=Р с условием (х<ь,)_1рх((,)^
фРЫ. Элементы d(b) и хт удовлетворяют условиям 1) —
3). Следовательно, процесс выбора элементов d(i) и x(i)
с условиями 1)—3) закончится на номере Ъ мощности,
равной ]Я|.
Из определения элементов d(<) и x(i) видно, что груп-
пы (x(0)_1Dx(i), i<Zb, все различны. Действительно, если
(x<i>)-‘Dx<<)=(x»))-‘Dx»>, то c=x<<>(xw>)-‘«=N(£>). Но
ввиду 3), c_1d<<)c= (x(i))_1d(<)x(<)^D. Противоречие с
ceN(D). Получаем |с1(Я)|^Л. Так как I cl (Н) I ^h,
то | cl (Я) |=/г.
Пусть V — множество всех функций, сопоставляющих
i<b числа ±'1. Возьмем ое V. Обозначим через X мно-
жество U suppx<‘). Пусть /е X Ki. Положим Х(/) =
и(0=—1	fez
= supp t Л X. Ясно, что для некоторых 4» Ч> • • • > 4 < Ъ
х (0 = U *1т (/), где Xtm (/) = X (О Л supp x<W ф 0- Тог-
т=1
k
да / = Г х tim, где f — проекция t на X Кр tim—про-
m=i	/е/\х
екция / на х Кр Через р, обозначим отображение
. *V
группы X Ki в X Кр которое элементу t сопоставляет
/е/ ieZ
элемент р0(/) = f хitmxVm>. Очевидно, р0 — авто-
т=1
морфизм группы X Ki- Пусть Y — произвольное конечное
t<=i
подмножество в I. Тогда ptt (X Ki) =* X Кр Положим
ieY i&
K(Y) = К Л (X Ki). Так как х^ при любом i<Zb принад-
leY
лежит. К, то pv(K(Y))^K. Поэтому р,(К(У))=/<(У).
Так как pv — взаимно однозначное отображение и К(¥)
конечно, то p,(K(Y))=K(Y). Группы K(Y) образуют
локальную систему подгрупп группы К. Поэтому ограни-
чение р, на К есть локально внутренний автоморфизм
группы К. Подгруппа N нормальна в К. Следовательно,
$ 4] ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ ПОДПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 47
pv(N)=N. Знаком р„ будем обозначать также и локаль-
но внутренний автоморфизм группы К/N, индуцирован-
ный ограничением автоморфизма р, на группу К.. Пусть
— две функции из V. Тогда о (О = + 1, t»(i)=—1
для некоторого i<Zb. Это означает по построению d(t),
x(i) и автоморфизма что po(d(i))=d(0, p„(d(<>) =
= (х(0)~М(<)х(<). Отсюда следует, что рв#=р«>. Так как
|У|=2*, то | Lcl (Я) | ^2\ Пусть Нг, zeZ— множество
всех конечных подмножеств Н. Так как |Я|=й (счита-
ем Яо=1), то |Z|=ft. Каждое Нх может иметь в G
лишь конечное число сопряженных множеств. Поэтому
множеств вида с?Нхсх, zeZ, существует не более чем
2А. Следовательно, | Lcl (Я) | =^2А. Но тогда [Ьс1(Я)[ =
=2А. Теорема доказана.
ГЛАВА II
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ
ЛРОИЗВЕДЕНИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
§1. Сведение к периодическому случаю
Подмножество группы G нормально в G, если для
всяких теМ и g^G g~lmg^M. Группа называется
локально нормальной, если любое конечное множество
ее элементов содержится в конечной нормальной под-
группе.
Лемма 1.1 (Дицман [19, 20]). Конечное нормальное
множество элементов конечного порядка порождает ко-
нечную нормальную подгруппу.
Доказательство. Пусть G — группа, М =
= {mt, /п2, ..., т,} — конечное нормальное подмножест-
во элементов, порядки которых равны klt kit ..., k,.
Каждый элемент из <М> можно записать в виде
0=0^...aq,	(1)
где а^М. и каждый элемент mt встречается не более
k,—1 раз. Будем считать znj-</n2<:... </п,. Если Ь=
=bibt...bt — другое слово вида (1), то будем считать
а<6, если выполняется одно из условий:
1) ч<Ъ.
2) at—bi,..., ар—bp, aP+i<Zbp+i.
Множество всех слов вида (1) вполне упорядрчено. Наи-
меньшее слово в нем т.1. Слово вида (1) назовем канони-
ческим, если at^a2^ ... ^aq. Докажем что всякое сло-
во вида (1) равно каноническому. Этим докажем лемму,
так как канонических слов всего fetfe2... k,.
Слово каноническое. Пусть все слова, меньшие а,
равны каноническим. Если в слове а вида (1) впервые
то_а/Ой-1 =	Та!К w М нормально,
§ 1]	СВЕДЕНИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКОМУ СЛУЧАЮ	49
то aF+iajOit+ieЛ4. Итак, а = аг ...	••at-
Если в этом слове некоторый элемент mt встречается бо-
лее чем kj—1 раз подряд, то, выбросив из него т**, со-
кратим длину записи (1) для слова а. В этом случае по
индуктивному предположению а равно каноническому
слову. Если же а после преобразования снова имеет вид
(1), то новая запись для а меньше прежней, так как
ai+1<.at. И опять по предположению а равно слову с ка-
нонической записью. Лемма доказана.
Следствие 1.2. Если классы сопряженных элемен-
тов в группе G конечны, то элементы конечного порядка
группы G образуют подгруппу (очевидно, характеристи-
ческую) .
Доказательство. Если а и b имеют конечные
порядки, alt а2, ..., а, — сопряженные к а элементы,
bi, Ьг, ..., Ьг.— сопряженные к Ь элементы, то М=
= {а,....а„ bi, ..., Ьт} — конечное нормальное множе-
ство элементов конечного порядка. По лемме 1.1 <Af> —
конечная нормальная подгруппа!, ab^M. Следовательно,
аЬ имеет конечный порядок. Следствие доказано.
Следствие 1.3. Периодическая группа с конечны-
ми классами сопряженных элементов локально Нор-
мальна.
Доказательство. Пусть аъ аг, ..., ак— элементы
из G. Множество сопряженных к at элементов обозначим
Mf. Множество	конечно и нормально. По лем-
ме 1.1 <М> — конечная нормальная подгруппа.
В связи с представлениями конечных групп Шур изу-
чал группы, конечные над центром. Одну из его теорем
приведем ниже (см. Хупперт [82], стр. 417).
Теорема 1.4 (Шур). Если центр группы имеет ко-
нечный индекс, то коммутант ее конечен.
п
Доказательство. Пусть G=(JZ(G)x{. Тогда
каждый коммутатор из G имеет вид [zxh 2%]=[х{, xj,
где z, z'eZ(G). Следовательно, G имеет лишь конечное
число коммутаторов.
Для любого g^G'QZ(G) по Определению перемеще-
ния (см. Холл [54], стр. 226) имеем VG^Z(G) (g) =gn. Так
как ядро перемещения содержит G', то gn— 1.
50
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. 11
Из конечности G/Z(G) и периодичности GTIZ(G)
получаем, что каждый коммутатор имеет конечный по-
рядок. В силу леммы 1.1, коммутант конечен. Теорема
доказана.
Следствие 1.5 (Нейман [86]). В группе с конечны-
ми классами сопряженных элементов элементы конечно-
го порядка образуют подгруппу, содержащую коммутант.
Доказательство. В силу следствия 1.2, достаточ-
но доказать периодичность коммутанта. Ясно, что это
нужно доказать для конечно порожденных групп.
п
Пусть G—<gi( gt...gn). Так как Z(G) = Г)С(^) и
индексы C(gt) в G конечны, то G/Z(G) конечна. В силу
теоремы 1.4, следствие доказано.
Следствие 1.6 (Федоров [52]). Если каждая нетри-
виальная подгруппа бесконечной группы G имеет в G ко-
нечный индекс, то G — циклическая бесконечная группа.
Доказательство. Пусть g^G и g=j£l. Так как
C(g)s(g), то индекс C(g) в G конечен. Следовательно,
классы сопряженных элементов в группе G конечны. Так
как G конечно порождена, то G/Z(G) —конечная группа.
По теореме 1.4 коммутант группы G конечен. Но тогда
G'=l. Следствие доказано.
Теперь получим три критерия конечности классов со-
пряженных элементов.
Теорема 1.7 (Бер [68]). В группе G классы сопря-
женных элементов тогда и только тогда конечны, когда
G/Z(G) локально нормальна и каждый элемент группы
G содержится в конечно порожденной нормальной под-
группе.
Доказательство. Пусть классьГсопряженных эле-
ментов группы G конечны и g е G. Индекс С (g) в G ко-
п	п
нечен. Пусть G == (j C(g)x/. Положим U - C(g)Q (AQx/))-
i=l	i==l
Индекс U в G конечен. Это означает, что g“ лежит в U
для некоторого s. Отсюда g‘ перестановочен как с C(g),
так и со всеми х{. Следовательно, g’eZ(G). Итак,
G/Z(G)—периодическая группа. В силу следствия 1.3,
G/Z(G) локально нормальна. Так как g имеет конечное
число сопряженных элементов, то он содержится в по-
рожденной ими подгруппе, которая, очевидно, нормаль-
на в G.
SU
СВЁДЁНИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКОМУ СЛУЧАЮ
£1
Пусть,, обратно, G/Z(G) локально нормальна и каж-
дый элемент из G содержится в конечно порожденной
нормальной подгруппе. Пусть g^N<\G, где N конечно
порождена. Так как G/Z(G)—локально нормальная
группа, то NZ(G)IZ(G)~NIN\}Z(G) конечна. По тео-
реме 1.4 коммутант К группы N конечен. Следовательно,
достаточно доказать, что элемент Kg имеет конечное
число сопряженных в G/К, т. е. можно считать, что N —
абелева группа. В некоторой степени s элемент g лежит
в Z(G). Поэтому для всякого xeG имеем x~tg‘x=g‘.
Если x~lgx=gh, где h^N, то x~igax=g,h‘. Отсюда
h’—\. Так как N содержит конечное число элементов ко-
нечного порядка, то элемент g имеет конечное число со-
пряженных. Теорема доказана.
Следующий критерий имеет более простую формули-
ровку.
Теорема 1.8 (Черников [60]). Группа G тогда и
только тогда имеет конечные классы сопряженных эле-
ментов, когда она либо локально нормальна, либо явля-
ется центральным расширением абелевой группы без
кручения при помощи локально нормальной группы.
Доказательство. Пусть G имеет конечные клас-
сы сопряженных элементов. Если она периодическая, то
локальная нормальность утверждается следствием 1.3.
Если G не является периодической группой, то по теоре-
ме 1.7 G/Z(G) локально нормальна. Так как расширение
периодической группы при помощи периодической груп-
пы— периодическая группа, то достаточно доказать, что
в Z(G) содержится максимальная подгруппа Н без кру-
чения. Это вытекает из леммы Цорна ([54], стр. 28).
Пусть, обратно, G — центральное расширение группы
Н без кручения при помощи локально нормальной груп-
пы. Из теоремы 1.4 получаем С'ГЩ=1- Группа G как
подпрямое произведение абелевой группы G/G' и ло-
кально нормальной группы G/Н имеет конечные классы
сопряженных элементов. Теорема доказана.
Утверждение третьего критерия более соответствует
идее книги — описывать группы с конечными классами
сопряженных элементов через прямые произведения. Оно
сформулировано впервые, по-видимому, в работе Ф. Хол-
ла [79]. Заметим, что Ф. Холл не утверждает свое автор-
ство.
52
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. П
Теорема 1.9. Классы сопряженных элементов груп-
пы G тогда и только тогда конечны, когда G — подгруппа
прямого произведения локально нормальной группы и
абелевой группы без кручения.
Доказательство. Всякая подгруппа прямого про-
изведения локально нормальной группы и абелевой груп-
пы без кручения, очевидно, имеет конечные классы со-
пряженных элементов.
Пусть G имеет конечные классы сопряженных элемен-
тов. Если она периодическая, то по следствию 1.3 она ло-
кально нормальна. Пусть G не является периодической
группой. В силу следствия. 1.6, G имеет периодическую
подгруппу Н, содержащую коммутант группы G. Фактор-
группа G/H—абелева группа без кручения. По теореме
1.8 в центре группы G содержится такая подгруппа без
кручения Q, что фактор-группа G/Q локально нормальна.
Так как ЯГ)ф=1, то G — подпрямое произведение ло-
кально нормальной группы G/Q и абелевой группы без
кручения G/Н. Теорема доказана.
Лемма 1.10. Если в группе G с конечными классами
сопряженных элементов коммутант нормальной подгруп-
пы Н конечного индекса конечен, то и коммутант группы
G конечен.
Доказательство. Если доказать конечность ком-
мутанта группы GjH', то лемма будет доказана. Поэтому
можно Считать, что Н—абелева группа. Пусть G=
= U	Ясно, что Z(G)=/ff"|(ri C(xt)) имеет в G ко-
Д=»1	1—1
нечный индекс. Из теоремы 1.4 получаем конечность ком-
мутанта. Лемма доказана.
Теорема 1.11 (Нейман [87]). Мощности классов со-
пряженных элементов тогда и только тогда ограничены
одним числом, когда коммутант группы конечен.
Доказательство. Пусть коммутант G' группы G
конечен, х — произвольный элемент из G. Тогда для лю-
бого g^G верно равенство g~ixg—^x, g]. Элементов
[х, g] существует не более чем |G'|. Отсюда мощности
классов сопряженных элементов ограничены числом
Пусть, обратно, мощности классов сопряженных эле-
ментов ограничены одним числом. Пусть коммутант G'
группы G бесконечен. Пусть [at, 1. Коммутант труп-
S4
ТЕОРЕМЫ ТИПА ПРЮФЕРА - КУЛИКОВА
53
пы Ci^Cdaj, &J) бесконечен по лемме 1.10. Поэтому в
Ci существуют такие элементы а2, Ь2, что [а2, и
[а2, ^2}=^[«1, М- Положим С2=С({а1( Ь,, а2, Ь2}). КоМму-
тант группы С2 бесконечен. Продолжая этот процесс,
можно выбрать элементы at, bt (i= 1,2,...), для которых
справедливы соотношения: 1) [a,-, biJ^faj, &j, 2) at,bte
eC({aJ( b}}). Тогда элемент a=aiat...ak имеет не менее
k различных сопряженных элементов bt~labt—(^a, bt]=
=a[ah &J (i=l, 2, ..., k) в противоречие с ограниченно-
стью мощностей классов. Теорема доказана.
§ 2. Теоремы типа Прюфера — Куликова
Пусть Н — поддекартово произведение изоморфных
конечных групп Нй (а^А). Подмножество В из А назовем
однородным участком группы Н в А, если проекция груп-
пы H/Z(B) в декартовом произведении П Яв/2(Я«) изо-
аеВ
морфна каждой из групп 77e/Z (Яв). (H/Z(H) можно рас-
сматривать как подгруппу группы II /7a/Z (//<,)•) Однород-
аеА
ный участок назовем максимальным, если он не содер-
жится ни в каком большем однородном участке.
Лемма 2.1. Существуют максимальные однородные
участки.
Доказательство. Пусть czB2cZ ...,
j, —последовательность однородных участков. По-
ложим В = U Bt. Так как На изоморфны, то обозначим
i<i
группу, изоморфную На!Z(На), через Q. Для каждого i
проекция Ri группы H/Z(H) на П На/Z(На) изоморфна
Q. Пусть R — проекция H/Z(H) на П Ha/Z(Ha). Проек-
а^В
ция R на п HafZ(Ha) совпадает с Ri- Если R не изоморф-
на Q, то В Содержит собственное подмножество С, для ко-
торого R П П Ha/Z (Ца) Ф 1. Пусть i < / Такой первый ин-
ЛР=С
деке, что СПВ/т«=0. Тогда RiП П Ha/Z (Яв)¥=1
aeBf ПС
54
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. II
и R< не изоморфна Q. Противоречие. Поэтому Rc^Q. По
лемме Цорна ([54], стр. 28) существуют максимальные
однородные участки. Лемма доказана.
Лемма 2.2. Различные максимальные однородные
участки не пересекаются.
JXp казательство? Пусть [Вх и Вг—максимальные
однородные участки и Вг П В2=/=0. Обозначим через Ri
проекцию Я/2(Я) на а Г[Яа/2(Яа)(1 — 1,2). Так как В< —
максимальный однородный участок, то Ri Q Л[Н^2(На)—
аеС
— 1 для всякого С CI Bi. Множество Вх U В2 не является
однородным участком. Обозначим через R проекцию Н 17(H)
на П На/2(На). Имеем R f) ПЯа/2(Яа)т= 1 для Сс
a&BiUBj	аеС
(ZBX [J В2. Так как Cfi Bi=/=B< хотя бы для одного i, то
для него из Cf) В{ ± 0£следуетв_/?< Q П Н<Л(На)ф 1
аеСр|В/
Это противоречит максимальности В<. Поэтому СГ)В<=
=0 для этого i. Так как В,ПВ2^=0, то СПВХ (/¥=0—
собственное подмножество Bh что опять-таки невозмож-
но. Лемма доказана.
Л е м м а 2.3 (Горчаков [16], лемма 1). Пусть Н — под-
декартово произведение конечных групп Н, (аеЛ). Если
А — однородный участок группы Н, то
1) Я разлагается в прямое произведение некоторой
конечной подгруппы К и некоторой подгруппы центра Т;
2) существует такое конечное подмножество В^А,
что К изоморфна своей проекции на П Н„
Доказательство. По определению однородного
участка Н/Z (Я) ~Яа/2 (Я,), т. е. индекс 2 (Я) в Я коне-
чен. Группа Я локально конечна. Поэтому представите-
ли смежных классов Я по 2 (Я) порождают конечную
подгруппу S. Я=52(Я), но это произведение, возмож-
но, не прямое. Порядки элементов 2 (Я) ограничены в
совокупности. Поэтому 2 (Я) разлагается в прямое про-
изведение циклических групп (см. [29], стр. 85). Пересе-
чение 5П2(Я) конечно. Носитель его в прямом произве-
дении циклических групп конечен. Возьмем все цикличе-
ские множители, соответствующие этому носителю. Их
прямое произведение обозначим Р. Положим 2(Я) =
«2J
ТЕОРЕМЫ ТИПА ПРЮФЕРА —КУЛИКОВА
55
=?Х<Э- Обозначим K=SP. Тогда H=KZ(H) =
=K(PxQ)=KQ. Для <7sKr)Q=SP(~|Q получаем q=
=sp, где seS, реР. Отсюда s=qp~i^PxQ=Z(H),
т. е. seSf|Z(Zf)sP. В этом случае q=sp^P. Так как
РП<2=1, то q—l. Итак, /СПФ=1. Произведение Н=
=KQ — прямое. Утверждение 1) доказано.
Пусть Я\{1} =	fe<2>, ..., kif>}. Существует
такой, что проекция kV) на На{ отлична от 1. Положим
В — {Oj,аа, ..., Of}. Тогда ЯП П На не имеет общих
аеА\В
неединичных элементов С К. Это означает, что К изоморф-
на подгруппе проекции Я на П На. Утверждение 2) доказано.
аеВ
Лемма доказана.
Пусть Я — поддекартово произведение изоморфных
конечных групп На (а&А). Подмножество В из А назы-
вается участком понижения группы Н, если проекция Я
на П Яо изоморфно вложима в декартово произведение
а&В
групп меньших порядков. Участок понижения В=Д
максимален, если Д\В не содержит участков пони-
жения.
Лемма 2.4 (Горчаков [16]). Существует максималь-
ный участок понижения.
Доказательство. Очевидно, объединение попар-
но непересекающихся участков понижения — участок по-
нижения. Если В — участок понижения, то либо он мак-
симален, либо Д\В содержит участок понижения С и
тогда B|JC — также участок понижения. Лемма Цорна
([54], стр. 28) дает теперь существование максимального
участка понижения. Лемма доказана.
Л ем м а 2.5 (Горчаков [16], лемма 2). Пусть локально
нормальная группа Н является поддекартовым произве-
дением конечных изоморфных групп На (аеД) и допу-
стим, что все однородные участки И в А конечны. Если
некоторый элемент из Н имеет бесконечно много нецент-
ральных проекций, то А содержит бесконечный участок
понижения для группы Н.
Доказательство. 1. Так как в А нет бесконечных
однородных участков, то никакая конечная нормальная
подгруппа не может иметь для бесконечного числа а^А
56
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. II
своей проекцией группу На. Действительна, пусть К —
конечная нормальная подгруппа Н и пусть ае=А,
проекция К на На равна Яо}. Пусть У—проекция К. на
П На и X—проекция Н на ту же группу. По лемме 1.1
а=В
гл. I Сл(У) совпадает с ХП П 2(Я„), а ввиду локальной
нормальности группы Н имеет в X конечный индекс.
Пусть 12, ..., lt — все неединичные элементы группы
X/Z(X). Множество {1, 2, ..., /} имеет 2‘ подмножеств
/(з),з=1,2, . ,,2‘. Для каждого s обозначим А,=
= П supp/,. Если I(s)—0, то Л»=0. Носитель, эле*
te/(s)
мента /, рассматривается в группе П Яо/2(Яв). Опре-
аев
делим B(s) как разность А, и объединения всех Л„ для
которых /(s)c/(r). В (s) — однородный участок группы
X. Так как В= U B(s), то В конечно. Сформулирован-
S=1
ное выше утверждение доказано.
2. Допустим, что существует бесконечное множество
В с А, удовлетворяющее следующему условию: если S —
проекция H/Z (Н) на П HJZ (На), Q = S Q х HJZ (На),
аеВ	аеВ _
если существует конечная нормальная подгруппа К, для
которой H/Z (Я) = Q К, и если все проекции К на
Ha/Z(Ha)(a^В) отличны от 1, то существует бесконеч-
ный участок понижения для группы Н. Если лемму дока-
зать для большей группы, то она будет верна и для любой
ее подгруппы, являющейся поддекартовым произведением
тех же групп. Поэтому считаем, что Я содержит П 2(Яа).
аеА
Обозначим через S проекцию Я на П Яв. Ясно, что
__	аеВ __	__
S/Z (S) S. Пусть Q и К. — полные прообразы Q и К. в S.
Тогда S = Q/С Так как Z(S) = Ц 2(Яа), то Q — М Z(S),
аеВ
где М =QPl X На- Так как индекс Z(S) в К конечен,
аев
то K=RZ(S), где R-,конечная подгруппа, проекция
которой на Яо содержит Z(Ha) для всех йеВ. Имеем
S~MRZ(S). В силу утверждения первого абзаца, суще-
$ 2]
ТЕОРЕМЫ ТИПА ПРЮФЕРА — КУЛИКОВА
57
ствует такое конечное множество Сс.В, что проекция /?
на На отлична,от На для всех ,аеВ\С. Обозначим через
Р носитель jRD X На- Пусть D=P(JC. Все неединичные
элементы проекции Q группы R на II На имеют беско-
a&B\D
вечные носители. Обозначим через N проекцию М нд
;Ц На и через Т — проекцию S на ту же группу. Тогда
вёВ\Т>
r=(iV.XQ)Z(T)., (HXQ)nZ(T)=Z(H)xZ(Q). Обозна-
чим через Zp(Ha), ZP(N), ZP(Q), ZP(T) силовскце р^прд-
группы соответственно групп Z(7/e), Z(N), Z.(.Q), Z(l}.
Тогда ZP(W) = X Zp(Ha), ZP(T) = П Zp(Ha).‘Следо-
вательно, ZP(N) сервантна в ZP(T). Конечная подгруппа
(Zp(Q)XZP(Ar))/Zp(iV) группы Zj>(T)/Zp(iV) содержится в
конечной сервднтной подгруппе FP[ZP (N). Группа сер-
вантна В Zp(Г). Поэтому Zp(f)—FpxLp. Группа Zp(-jV)
сервантна в Fp. Отсюда получаем F‘P=ZP(N) XUP. Полог
жим y,P=Zp{Q)tUp. ‘Имеем Zp(N) = (ZP(N) Vp) XL?. Обо-
значим ,У=Ф(Х Vp), 'L= X £P-Группа V конечна. T=
p	p
— NVL. Так как Z(NV.) =Z(H)Z(V), to HVQL =
= Z(N)Z(V)(~]L. Для силовских подгрупп имеем
ZP(#)VpfILp==l. Следовательно, jV.V|~|L=l. Произведе-
ние W--может не быть прямым, но пересечение -УП-Гко-
нечно. Пусть E=D(J supp (А^ПУ). Обозначим через W
проекцию Т на П На, через О — проекцию :N на
;П На, через Z — проекцию V и через I — проекцию L
аёВ\Е
на ту же группу. Тогда IF=ZX/XO. Здесь J лежцт -в
центре, О состоит из .элементов с конечными носителями,
a Z—-конечная группа. ,W/Z(W) —подгруппа декартова
произведения групп,/fe/Z(7/e) для деВ\£.,Ввиду Е=1С
и.выбора С, проекции Z на HalZ(Ha) и О на HalZ\-Ha)
отличны от'Де/Z (Яо) ,для всех аеВ\Е. Это . означает,
что W — поддекартцво произведение некоторых подгрупп
группы Г/о, т. е. В\Е — бесконечное множество пониже-
ния. Утверждение доказано.
; 3. Допустим, что Н имеет элемент, бесконечное ^мно-
жество проекций которого находится вне групп .Z (Ца).
Докажем, что существует (множество В, указанное ,втп. 2
доказательства. Используем такое определение: если
5Й	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫк ПРОИЗВЕДЕНИЯХ [tJi; it
h, g—произвольные элементы Н, то назовем их парал-
лельными на С=Л; если их проекции для аеС различ-
ны, ht-T^g* Пусть	fta^Z(7f«) для a^Bi, где
В,. — бесконечное множество. Так как группы На конеч-
ны и изоморфны, то существуют такие элементы й(<>
(i=l, 2, ..., s), что 1) они попарно параллельны на не-
котором бесконечном подмножестве С=ВЪ 2) если Л^=
(i=l, 2, ..., s), то существует такое конечное
подмножество D^C, что h„=ha> для любого a^C\D и
некоторого /, зависящего от а. Действительно, если Л<‘>
удовлетворяет условию 2), то система построена и s=l.
Если же nw не удовлетворяет 2), то существует Л<2), па-
раллельный /г(|) на бесконечном подмножестве Вг из Bt.
Если уже построена система hw, hm, ..., h(i> попарно
параллельных элементов на бесконечном подмножестве
Bt^Bt, то либо эти элементы удовлетворяют условию 2)
на Bt, либо существует элемент Л(<+1), параллельный всем
Л(1>, ..., h(i) на некотором бесконечном подмножестве
В1+1=В,. Так как порядки групп На ограничены, то про-
цесс выбора остановится на некоторой системе й(1),
й(2), ..., Л(,), которая будет удовлетворять как 1), так и
2). Пусть К — минимальная нормальная подгруппа, по-
рожденная элементами /i(i) (i=l, 2, ..., s). Так как она
конечна, то на некотором бесконечном подмножестве
/?=С любые два элемента из К либо равны, либо парал-
лельны. Пусть Q — проекция К на П Н„ S—проекция
аеД
Н на ту же группу. В силу условия 2), S=QC(Q). Дей-
ствительно, пусть seS\Q. По условию 2) существует
такой aeR, что sa=qa для некоторого q= П Я» из Q.
Так как sq-1 имеет на На единичную проекцию и так как
лишь единичный элемент из нормальной подгруппы Q
имеет хотя бы для одного a^R единичную проекцию, то
sq~l&C(Q). Так как для всех a^R группа Q имеет не-
центральную проекцию Qa, то проекция C(Q) на На от-
лична от На для всех a^R. Можно считать, что- для
C(Q) утверждение верно. Но тогда оно, очевидно, верно
для S. Лемма доказана.
Теперь можно доказать аналог первой теоремы Прю-
фера (см. [29], стр. 85).
Теорема 2.6 (Горчаков [16], теорема 4). Локально
нормальная группа, являющаяся поддекартовым произ-
§2J
ТЕОРЕМЫ ТИПА ПРЮФЕРА-КУЛИКОВА
59
ведением конечных групп, порядки которых ограничены
в совокупности, изоморфно вложима в прямое произве-
дение конечных групп ограниченных порядков.
Доказательство. Теорему достаточно доказать
для локально нормальной группы Н, которая является
поддекартовым произведением конечных групп На (а<=А),
изоморфных одной и той же группе В. Пусть A— U Л„
ф€Ф
где Л,—максимальный однородный участок, Нч—проек-
ция Н на П НЛ. По лемме 2.3, п. 1),	где
<к=Аф
К, — конечная пруппа, Тф — абелева группа. В множестве
Л, содержится такое конечное подмножество М9, что
изоморфна своей проекции на П Н, (см. лемму 2.3,
п. 2)). Теперь группа Н — поддекартово произведение
групп НЛ (а^М— U А1Ф) и Г, (<реф). При этом вложе-
фЕф
нии группа Н не имеет бесконечных однородных участков
в М, так как однородные участки группы Н в М — это
Л!, (<реф).
Итак, можно считать, что группа Н — поддекартово
произведение изоморфных конечных групп На (а^А) и
что все однородные участки Я в Л конечны.
Если М— максимальный участок понижения группы Н,
то по лемме 2.5 каждый элемент из Н имеет в П Я.
аеА\Л1
лишь конечное число нецентральных проекций. Это дока-
зывает теорему.
Аналог второй теоремы Прюфера для абелевых групп
(см., например, [29], стр. 87) получил Ф. Холл.
Т ё о р е м а 2.7 (Ф. Холл [79]). Счетная локально нор-
мальная группа, являющаяся поддекартовым произведе-
нием конечных групп, изоморфно вложима в прямое про-
изведение конечных групп.
Доказательство. Пусть G— счетная локально
нормальная подгруппа декартова произведения конеч-
ных групп Л* (t=l, 2,...). Группу G можно представить
00
как объединение tj Gt конечных нормальных подгрупп
Gt, удовлетворяющих условию G^G^. Пусть G<=
= {1, gt, •••> Существует такой номер jt, что про-
екция gt на Кцотлична от 1. Положим /={/г,	/.}•
60	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ (ГЛ. II ।
Тогда S(== GQ П К? имеет с G{ едцничцре пересечение и	1
имеет в G конечный индекс. Обозначим Я<=31ПЗ?Г1 ? ? •	j
...HSj (i=l, 2, ...). Группы G( и Ht удовлетворяют
условиям теоремы 3.3 гл. I. Теорема доказана.
Наконец, докажем аналог критерия Куликова [31]-
Для формулировки его введем определение: подгруппа
Н группы А аппроксимируется в А некоторым классом
групп, если для любого неединичного элемента Л из Я
существует фактор-группа группы А рассматриваемого
класса, образ элемента h в которой отличен от 1.
Теорема 2.8 (Горчаков [16], теорема 6). Группа А
тогда Ц только тогда изоморфно вложцма в прямое; про- ‘
изоедение конечных групп, когда она локально нормаль-
на и является объединением возрастающей последова-
тельности
1=Л0^Л1=...еЛв=...	(1)	.
таких своих нормальных подгрупп, что каждая фактор-
группа An+l/An (п=0, 1, 2, ...) аппроксимируется в |
Л/Лп классом конечных групп, порядки которых ограни- |
чены в совокупности.	i
Доказательство. Если Л имеет ряд (1), то и
всякая подгруппа В^А имеет ряд l^BpSB^...
... sB„^ ..., где Вп=АпГ\В. В группе Л существует
такая нормальная подгруппа S„, что 5ВПЛВ=ЛВ_1 и
A/Sn — поддекартово произведение конечных групп,
порядки которых ограничены в совокупности. '
Пусть Qn=S„nB. Имеем фвПВв= (5вГ)В) Л (ЛвПВ) = j
=.(3ППЛ„) ПВ ==Вв_1( B/Qn~BSn/S„ — цоддекартово про- ,
изведение конечных груцц, порядки которых ограничены (
в совокупности. Таким образом, В имеет ряд вида (1). j
Это означает, что существование ряда вида (1) можно |
доказывать лишь для прямых произведений конечных :
групп, а не любых подпрямых произведений. Но для
прямых произведений существование ряда (1) очевидно.
Обратно, пусть локально нормальная группа Л име-
ет ряд (1). Докажем, что А — подпрямое произведение
КРцечВД* групд. Пусть — такие жр, кдк рдн^ще, црд- ;
группы в Л. Очевидно, П 5В=1. Поэтому Л вложима
/1=1,2#...
в П Л/5П (см. теорему 1.2 гл. I). Проекция групцы At
4
$ 2]	ТЕОРЕМЫ ТИПА ПРЮФЕРА — КУЛИКОВА	61
равна 1 на всех группах A/Sn, начиная с n==i-j-l. Тар
как Л==иЛ, то каждый элемент из А имеет лишь ко-
л	~г'
нечное число неединичных проекций. Теорема доказана.
Нетрудно убедиться, что теоремы 2.6 и 2.7 — частные
случаи теоремы 2.8.
Полезно следующее очевидное утверждение.
Предложение 2.9. Фактор-группа локально нор-
мальной группы по центру —г поддекартово произведение
конечных групп.
Доказательство. Центр локально нормальной
группы — пересечение централизаторов конечных нор-
мальных подгрупп, причем централизаторы сами нор-
мальны и имеют конечные индексы в группе. Теперь
из теоремы 1.2 гл. I получаем справедливость предло-
жения.
Следствие 2.10 (Ф. Холл [79]). Фактор-группа
счетной локально нормальной группы по центрупод-
прямое произведение конечных групп.
Вытекает из предложения 2.9 и теоремы 2.7.
Для-несчетных групп как теорема 2.7, так и след-
ствие 2.10 неверны. Примером к теореме 2.7 служит пе-
риодическая часть декартова произведения циклических
р-групп возрастающих порядков (см. [29], стр. 88). Для
следствия 2.10 пример построен в [И]. Рассмотрим по-
добный
Пример 2.П (Горчаков [13]). Обозначим через Нп
(п=1, 2, ...) группу, порожденную матрицами (?» и Ъм
/1 0 0\	/10 0\
Оп = 1 1 0 , Ьп = 11 0 ,
\0 0 1/	\0 1 1/
рассматриваемыми над кольцом вычетов цр модулю Рп,
где р— некоторое простое число, В группу Я==|1ЯП
_	п
возьмем две подгруппы Л —П<Яп> и В— X <&«>• Цусть
п	«	'
А — периодическая часть группы Л. Положим Н=
=(Л, В). Ясно, что коммутант Н' группы Н совпадает с
группой X <сп>, где с„еЯ„,
п
( 1 0 0\
0 1Q).
1 0 V
62
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. II
В. Я'возьмем элементы d„=cnCn+i' (п=1, 2, ...). Так
как сп принадлежит центру группы Нп, то Н' есть центр
группы Н. Положим £>=<d„; п= 1,2, .. .>. Тогда H'/D —
коммутант группы H/D — является квазициклической
группой. Тождество [хт, у] ='[х, у]т показывает, что вза-
имный коммутант любого элемента группы Н/D с ней —
циклическая группа. Отсюда H/D — локально нормаль-
ная группа. Фактор-группа	очевидно,
изоморфна прямому произведению групп (Ау.Н')1Н',
Так как (ЛхЯ')/Я'~Д, то, как известно
(см. [29], стр. 88); (ДхЯ')/Я',‘ а потому и H/D/H'ID, изо-
морфно не вложима в прямое произведение конечных
групп. Итак, Н/D локально нормальна и фактор-группа
ее по центру не вложима в прямое произведение конеч-
ных групп.
Счетная локально нормальная группа также не всег-
да является подгруппой прямого произведения конечных
групп.
Пример 2.12 (Эрдёш '[72]). Пусть р — фиксирован-
ное простое число, G — группа, порожденная элемента-
ми Ь^а1г а2, .... ап, ..., которые удовлетворяют опреде-
ляющим соотношениям Ьр—а? =1, atb=baf, а^—Ьарч,
где i#=/, i, /=1, 2, ...
Центр и коммутант группы G равны <6>. Так как ком-
мутант конечен, то .О локально нормальна. При вложе-
нии G в прямое произведение все множители должны
быть нильпотентными класса 2. Если бы G была вложи-
ма в прямое произведение конечных групп, то центр G
был бы бесконечен. Но он конечен и равен <&>. Пример
построен.
Все же для счетных групп дело обстоит неплохо.
, Теорема 2.13 (Ф. Холл [79]). Счетная локаль-
но нормальная группа — гомоморфный образ подпрямо-
го произведения конечных групп.
Доказательство. Счетная локально нормальная
группа — произведение конечных нормальных подгрупп:
G=GiG2 ... G< ...
В силу теорем 2.3 и 2.5 гл. I, теорема доказана.
Холл [79] построил пример локально нормальной
группы несчетной мощности, которая не является гомо-
з] финитно аппроксимируемые группы - ’ Д
морфным образом подгруппы прямого произведения ко-
нечных групп. Такими же свойствами обладает группа
Н/D из примера 2.11.
Пример 2.14. Пусть H/D — группа из примера 2.1,1.
Тогда централизатор BDID в Н/D совпадает с BH'jb,
т. е. он счетен, а его индекс континуален. В силу леммы
•4.4 гл. I, получаем, что Н/D не является гомоморфным
образом подпрямого произведения конечных групп (по
этой лемме индекс должен быть счетным).
§ 3. Финитно аппроксимируемые локально
нормальные группы
Финитно аппроксимируемые группы — это поддекар-
товы произведения конечных групп.
Начнем с леммы, принадлежащей Томкинсону. Она
несколько точнее леммы 4 из [13]. Доказательство то
же.
Лемма 3.1. Пусть локально нормальная группа
G— поддекартово произведение групп Ga, а<у, пусть
далее G имеет такую систему подгрупп На, а<у, что
проекция каждого элемента группы На на Gt, р^а, со-
держится в центре Оц, а произведение проекции На+г на
группу Ga и Z(Ga) совпадает с Ga. Тогда G — подгруппа
(X Ge).Z(nG«).
«<V	а<?
Доказательство. Пусть g=IIga— некоторый
л - “<т
элемент группы G, и пусть бесконечное множество его
проекций лежат вне центров групп Ga, скажем, g01, go», • • •
..., gak, ... Так как, по условию леммы, проекция груп-
пы #Ofct8 на Gak вместе с центром последней порождает
группу Gak, то в Hak+i существует элемент h(k\ проекция
которого ha* на Geft неперестановочна с gak. По условию
леммы, проекция на Gp, Р > a* 2, лежит в центре Gp.
Тогда элементы (Л(8<+1))"1§Л<8<+1), i = 0, 1, ..., все различ-
ны. В самом деле, элемент (/i(8f+1))"1g/i<8r+1) имеет на группе
Gas<+1 проекцию, отличную от ga8/+1; а на группах Ов8/+1
— проекции, равные ga,^- Так как в локально нор’’
мальной группе любой элемент имеет конечное число со-
64	ПЙЕДСТАВЛЁНИЯ В Прямых ПРОИЗВЕДЕНИЯХ (ГЛ. И
пряженных элементов, то полученное противоречие по-
казывает, что лишь конечное число проекций каждого
элемента группы G лежат вне центров групп Ga. Лемма
доказала.
Теорема 3.2 (Горчаков [12], следствие 2). Локаль-
но -нормальная подгруппа декартова произведения счет-
ного множества конечных групп изоморфна поддекарто-
ву произведению счетного множества конечных групп,
каждый элемент которого имеет не более конечного чис-
ла нецентральных проекций.
Доказательство. Пусть G — локально нор-
мальная группа, являющаяся поддекартовым произведе-
нием конечных групп G< (1=1, 2, ...). Обозначим через
Gw подгруппу 0(1 И Gn. Фактор-группа G/Gw конеч-
на. Поэтому существует такая конечная нормальная под-
группа Ki, нто G—KiGw. Обозначим Gw через Hw.
Предположим, что уже построены цепочки. нормальных
подгрупп	... =эй(п),
удовлетворяющие условиям:
1)	Д, (i=.l,2, ..., п)—конечные группы;
2)	Й<0 = 6(s/) для некоторого s,-, s<<s2< ... <s„;
3)	G=KtHW-
4)	KW+1) = 1.
Построим Kn+i и Я<п+1>, удовлетворяющие условиям 1)—4).
Ясно, что существует такое дп+1 ^>sn, что Кп A G<s"+1) = 1.
Обозначим G<Sn+1) через Я(п+1). Так как последняя имеет в G
коцеуный индекс, то «существует такая конечная нормаль-
ная додгрупда /(п+ь содержащая Кп, что G==Kn+l#(n+1).
Такимобраз.ом, построены бесконечные цепочки нормаль-
ных подгрупп
XiStfaG ...	...»
удовлетворяющие условиям 1)—4). Ясно, что ПЯ(П>=1.
Положим Ра=НФ, Рп=К,пН'‘п*г'> (п=1, 2, ...). Тогда в
сиду леммы.3.2 гл. I,	А Рп= 1. По лемме 3.1 G — под-
плел,...
декартово произведение конечных групп G/P„, каждый
элемент которого имеет не более конечного числа нецен-
тральных проекций. Теорема доказана.-
§ з]	ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ГРУППЫ	85
Неизвестно, справедливо ли утверждение теоремы 3.2
для несчетного числа множителей. Известно более сла-
бое (см. лемму 4.5 гл. I) утверждение, а именно, что в
этом случае группа — гомоморфный образ подпрямого
произведения конечных групп (см. ниже).
Теорема 3.3 (Горчаков- [15], теорема 1). Пусть
локально нормальная группа G есть подгруппа декарто-
ва произведения множества бесконечной мощности g ко-
нечных групп. Тогда она изоморфна поддекартову про-
изведению групп меньших чем g мощностей, каждый
элемент которого имеет лишь конечное число нецен-
тральных проекций.
Доказательство. Если g счетна, то утвержде-
ние следует из теоремы 3.2. Пусть g — произвольная
мощность. Предположим, что для всех меньших мощно-
стей теорема верна. Докажем ее для g. Обозначим через
а наименьшее порядковое число мощности g. Тогда
Ga П G{. Обозначим через Gm подгруппу Gf) П G,.
Ка	i<i<a
Фактор-группа G/G(1) конечна. Поэтому
G/G(1) = P1G(1)/G(1> • Z (G/G(1>),
где Pi — конечная нормальная подгруппа. Обозначим
G(1) через Hi. Пусть уже построены цепочки нормальных
подгрупп группы G
...»
Я4=Я2= ...	.... 1<Ь,
удовлетворяющие условиям:
1)	0/Я<=Р1Я</Я<-2(0/Я<);
2)	Р< конечна, если i — конечное порядковое число, и
1Л|^1Л, если 1 — бесконечное порядковое число, где
|i|—мощность множества всех меньших порядковых
чисел;
3)	Я<+1ПЛ=1;
4)	H&G™-,
5)	если i конечно, то G/H{—конечная группа; если i
бесконечно, то G/Я,— подгруппа декартова произведе-
ния конечных групп в числе, не большем | i |.
Если b — предельное число и П Я<«£1, то это пере-
i<Zb
сечение примем за Нь. Очевидно, Яь удовлетворяет уело-
3 ю. М. Горчаков
66	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ [ГЛ. I!
виям 4) и 5). По индуктивному предположению GfHb—
=K„IHb-Z(GIHb)t где |Кд/Яь|<|Ь|. Так как | U
i<b
| b |, то существует такая нормальная подгруппа Рь,
содержащая |J Pt, что GIHb=PbHbIHb-Z(GIHb), |Л>|=^
^|Ь|-
Если же Ь — непредельное число, то ввиду 2) суще-
ствует нормальная подгруппа Т с условием ТПЯб-,= 1,,
удовлетворяющая условию 5). Положим ЯЬ=7'Г|О(1,).
Группу Рь выберем как и в предыдущем случае. Процесс
выбора групп Pi и закончится при некотором Ь^а.
Положим Di=PtHw (ls^.i<zb^a) и Db=H2. В силу
леммы 3.2 гл. I, Г)Р<=1. Из леммы 3.1 следует, что G —
поддекартово произведение групп G/D< (i<b), каждый
элемент которого имеет лишь конечное число нецентраль-
ных проекций. Каждый множитель G/D, есть произведе-
ние группы, мощность которой меньше g, на центр.
Ввиду следующего очевидного предложения: если R —
подгруппа бесконечной мощности р абелевой группы Т,
то Т имеет такую подгруппу V, что	и мощность
фактор-группы T/V равйа р, группу G/Dt можно изо-
морфно вложить в прямое произведение группы, мощ-
ность которой меньше g, и абелевой группы. Как извест-
но, абелева группа изоморфна подгруппе прямого про-
изведения счетных групп. Следовательно, если g —
несчетная мощность, то для группы G получили нужное
вложение. Теорема доказана.
Следствие 3.4 (Горчаков [15], следствие 1). Пусть
локально нормальная группа G есть подгруппа декарто-
ва произведения множества бесконечной мощности g
конечных групп. Тогда | G/Z (G) |
Лемма 3.5 (Горчаков [15], лемма 4). Пусть G—
декартово произведение групп G{ , принадлежа-
щих прямому многообразию, порожденному классом ко-
нечных групп. Тогда подгруппа Z(G) (XG<) также
iel
принадлежит этому прямому многообразию.
Лемма очевидна.
Теорем а 3.6 (Горчаков [14], теорема 2, [15], след-
ствие). Финитно аппроксимируемая локально нормаль-
ная группа — гомоморфный образ подпрямого произве-
дения конечных групп.
§ 3]	ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ГРУППЫ	67
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G — локально нормаль-
ная финитно аппроксимируемая группа: Gcz П G< —
te/
конечные группы, |Z|=g— бесконечная мощность.
Утверждение теоремы эквивалентно тому, что G принад-
лежит прямому многообразию, порожденному конечными
группами (см. предложение 4.1 гл. I). Теорема верна,
если g счетна (см. теорему 2.7). Предположим, что для
всех локально нормальных групп, которые вложимы в
декартово произведение конечных групп в числе, мень-
шем g, теорема верна. Докажем ее для g. По теореме 3.3
группа G изоморфно вложима в декартово произведение
групп меньших чем g мощностей: Gaz П Н}, причем
каждый элемент имеет лишь конечное число нецентраль-
ных проекций. Считаем, что проекция G на Н} равна Я,-.
В этом случае Н} — фактор-группа группы G. Пусть
H}=GjA. В каждом смежном классе группы G по Л
выберем по представителю и породим ими подгруппу В.
Мощности групп Hs и В равны и Я^~В/ЛПВ. Так как
В — подгруппа группы G, то она изоморфно вложима в
декартово произведение конечных групп в числе, мень-
шем g (напомним, что |#j|<gj. По индуктивному пред-
положению В, а потому и И;, лежит в прямом многообра-
зии, порожденном конечными группами. Теперь теорема
следует из леммы 3.5.
Следствие 3.7 (Горчаков [18], Томкинсон). Фак-
тор-группа финитно аппроксимируемой локально нор-
мальной группы по центру — подпрямое произведение
конечных групп.
Вытекает из теоремы 3.6 и из теоремы 4.6 гл. I.
Следствие 3.8. Фактор-группа произвольной ло-
кально нормальной группы по второму члену верхнего
центрального ряда — подпрямое произведение конечных
групп.
Вытекает из предложения 2.9 и следствия 3.7.
Как уже ранее отмечено' (см. пример 2.11), фактор-
группа локально нормальной группы по центру (по пер-
вому члену) не всегда вложима в прямое произведение
конечных групп.
Следствие 3.9 (Горчаков [11]). Локально нор-
мальная группа без центра — подпрямое произведение
конечных групп без центра.
з*
68
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. II
Получается из предыдущего следствия, так как второй
член верхнего центрального ряда здесь равен 1. Множи-
тели не имеют центров, в силу предложений 1.6 и 3.7
гл. I.
Следствие 3.10 (Каргаполов [27]). Локально
нормальная группа без абелевых нормальных подгрупп—
подпрямое произведение конечных полупростых групп.
Вытекает из следствия 3.8, предложения 1.6 гл. I и
того, что наибольшая локально разрешимая подгруппа
подпрямого произведения конечных групп ящична.
Теорема 1 из [12] ошибочна. Существует финитно
аппроксимируемая группа со счетным центром, не вло-
жимая в прямое произведение конечных групп. Для по-
строения группы нужна
Лемма 3.11. Если G — подпрямое произведение ко-
нечных групп Gu N<1G и порядки элементов из N вза-
имно просты с порядками элементов из G/N, то N —
ящичная подгруппа.
Доказательство. В силу леммы 1.1 гл. I, проек-
ции Nt группы N на Gt нормальны в G{, порядки N{ и
GilNt взаимно просты. Пусть Q=GD X Nt. Очевидно,
Q<]G, Всякий простой делитель порядка элемента
из Q является делителем порядка некоторого элемента
из N. Так как порядки элементов N и G/N взаимно про-
сты, то Q=N. Лемма доказана.
Пример 3.12. Пусть р=Н=2— простое число. Пусть
G,— группа, порожденная элементами at, bt, ct, dt, et,
с определяющими соотношениями
af = = = df = = 1,
[af, bi] = [ct, d{] = et,
[a», ci] = [fy, c(] = [ait d{] = [bi, d{] = 1,
[ab e{] = [b{, e(] = [c{, e{] = [d{, e{] = 1.
В X Gi возьмем подгрупйу G, порожденную элемен-
1=1,2,...
ТЗМИ gi =	hi = &2i-l&2b Гi = C2f^2f+1, &i = ^2i dii+i,
(i =1,2, ...). Коммутант G' группы G равен X
Центр G равен X (et->. Фактор-группа Z(G)/G' — квази-
1=1,2,...
§ 3]	ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ГРУППЫ	69
циклическая р-группа. Далее, G/G'=Z(G)/G'x7, где Т
разлагается в прямое произведение циклических групп.
Пусть V( — пространство над простым полем характери-
стики на котором Gi действует неприводимо. За-
писав сложение в V/ мультипликативно и рассматривая Gt
как группу автоморфизмов абелевой элементарной груп-
пы V{, образуем полупрямое произведение Di — ViXGt
(i = 1, 2, ...). В X Di возьмем подгруппу D, порожден-
ную всеми Vi (1=1,2, ...) и группой G. Обозначим
V= X Vi. Тогда D = VXG.
Пусть А —множество континуальной мощности. Обо-
значим через £)(Х) = V(X)XG(I) группы, изоморфные D, для
всех ?.е А. Пусть Q = X D<%>, R = X Z (G<M), S =
= X (G(X>)', W = X ИХ). Коммутант Q' группы Q
Лед	leA
равен WXS. Фактор-группа Q/Q' — прямое произведение
группы, изоморфной R/S, и группы, разложимой в пря-
мое произведение циклических групп: QIQ'=LIQ'y^PIQ',
где L/Q'~R/S.
Рассмотрим группы Н( (i=l, 2, ...) из примера 2.11
(простое число р в примерах одно и то же). Обозначим
C=ZH, где Z— периодическая часть центра группы
П Н= X Ht. Так как LIQ'~C/H (обе они —
<=1,2,...
прямые произведения квазициклических р-групп с кон-
тинуальным числом множителей), то в прямом произве-
дении CxQ можно взять подгруппу U, порожденную
группами Н, Р и элементами, которые являются произ-
ведениями представителей смежных классов, соответ-
ствующих друг другу при изоморфизме LIQ'c^CIH, взя-
тых по одному из класса. Ясно, что Uf\C=H, U[}Q=P.
Группа Q не имеет центра. Так как Н счетна и Uf}C=H,
то U имеет счетный центр, равный Z(H), U финитно ап-
проксимируема.
Допустим, что U изоморфно вложима в прямое про-
изведение конечных групп. По лемме 3.11 W ящична.
Тогда, в силу предложения 1.6 гл. I, U/W — подпрямое
произведение конечных групп. В группе U/W ящичной
подгруппой является RW/W. В этом случае фактор,-
группа UIWIRW/W^-UIRW — подпрямое произведение
70	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ [ГЛ. II
конечных групп. Но она содержит подгруппу, изоморфную
периодической части декартова произведения цикличе-
ских р-групп возрастающих порядков, и не может быть
подпрямым произведением конечных групп (см. [29],
стр. 88). Итак, U — локально нормальная финитно ап-
проксимируемая группа со счетным центром, не вложи-
мая в прямое произведение конечных групп.
Предложение 3.13 (Томкинсон). Пусть G — фи-
нитно аппроксимируемая локально нормальная группа,
w такое первое порядковое число, что |t»| = |G|. Тогда
G обладает цепями нормальных подгрупп
H0C.Hi(Z ... СЯ/С
... ZDMfZ) ..., i<w,
удовлетворяющими следующим условиям:
1)	U Hi = G;
2)	Я0=1,М0=С;
3)	|Я4| конечна для конечного i и |Я<|	|i| для бес-
конечного I;
4)	Н{Г\М(=1;
5)	GjMi конечна для конечного i, GjMt— поддёкар-
тово произведение конечных групп в числе, не большем
| i |, для бесконечного i;
6)	если i — непредельное число, то H^t-i=G, где
7)	если i ~ предельноечисло, mo Hi = U Ht, М:= f} Mt
i<i	i<i
Доказательство. Группу G можно представить
как объединение возрастающего ряда подгрупп Gt
(i<w), которые удовлетворяют условию: если i конеч-
но, то Gt конечна; если i бесконечно, то |Gt|^|i|. До-
пустим, что подгруппы Н(, М{ для всех i<Zv<Zw выбра-
ны так, что выполняются условия 2)—7). Вместо усло-
вия 1) возьмем
1') Н{=>0(.
Построим подгруппы Н„, М„, которые удовлетворяют
условиям И), 2)—7). Члены с натуральными номерами
можно построить как в теореме 3.2. Поэтому сразу счита-
ем номера бесконечными. Возможны два случая.
§ з]	ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ГРУППЫ
а)	о —предельное порядковое число. Положим Но =
= и Ht, Mv = П 'Mt. Так как Gt<^Hi для i<o. то
i<v	t<v
Gv - U Gi cz U Hi = Hv (Г) верно). Проверим 3). I Яп| =
i<v	i<v	' 1	1
= 5	|11 = 1°1- Условие 5) проверяется так же
i<v	i<V
просто: Но П Мо = (I) Hi) П Mv = U (Ht R Mv) с
i<v	i<v
£ U(#/RMf)=l. Так как G/Mv—поддекартово про-
/<0
изведение групп G/Mi (i <С о), то из 6) для i v следует
6) для i = v.
б)	о — непредельное порядковое число. В силу след-
ствия 3.4, | GJZv-t | | v—11. Так как группа локально
нормальна, то существует такая нормальная подгруппа
К мощности —11, что KZv-i—G. Положим Н„=
=Hv_lGt,K.. Для Hv выполняются Г), 3), 6). Так как G
финитно аппроксимируема, то для каждого g^Hv суще-
ствует нормальная подгруппа R(g) конечного индекса,
не содержащая g. Обозначим через L пересечение всех
R (g). Фактор-группа C/L — поддекартово произведение
конечных групп G/R(g) (см. теорему 1.2 гл. I). Очевид-
но, ЬПЯО=1. Определим Afs=Aft_tRL. Тогда AftR#o=l
и G/Mt^G/LxG/Mv-t — поддекартово произведение ко-
нечных групп в числе, не большем |v|. Итак, группы Нь
М{ построены для всех K.W. Они удовлетворяют усло-
виям 1'), 2)—7). Отсюда получаем, что условие 1) также
выполнено. Предложение доказано.
Предложение 3.14 (Томкинсон). При условиях
предложения 3.13 коммутант G' группы G — прямое про-
изведение групп меньших чем |G| мощностей. Каждый
прямой множитель коммутанта содержится в коммутанте
подгруппы, мощность которой меньше | G |.
Доказательство. Ht, Mt возьмем как в предло-
жении 3.13. Положим No—Mt, Nt—[H{, б]Л4<+1 (l^i<
,<ш). По лемме 3.2 гл. I R Nt=l. Пусть C<=Cc(G/AR.
Так как N^M{+1, то С,э71+1. Имеем
(см. п. 6) предложения 3.13). Это означает, что при вло-
жении G в П GfNi произведение проекции подгруппы
i<w
Ht+2 на группу G/Nt и центра GfNt (равного CJNi) есть
GINt. Для j^i [Я<, G]s[#j, G]s/Vj. Поэтому проекция
72	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ [ГЛ. II
Н{ на все группы G/Nj (j^i) принадлежит их центрам.
Условия леммы 3.1 выполнены. Получаем, что каждый
элемент группы G' может не содержаться лишь в конеч-
ном числе С{.
Пусть i — предельное порядковое число. Через i+<o
обозначим следующее за I предельное число. Определим
Xt= [/Л+», G] ГЖ-. Докажем, что
О' = [Яе,С]х ХХЬ	(1)
i<w
где i пробегает все предельные числа, меньшие w. Най-
дем пересечение
Xt П <Х/; / i> = Х{ Q <Х/; j < О <XZ; j > i> =
= G] П Mt) Q
n (Wi*. gj n Mf, i< i> <АН^, G] П Mf, j > »>.
Так как
[Ян,61(]А!/СЯ/4в	(j<i),
<[Я/+в>, G] П Mf, j>i> c
TO
Xi n <Xf, j + i> С я^ П Mi n <я/+в>; j < i> Mi^.
Из равенств (см. пп. 7) и 4) предложения 3.13)
<Я/+Ш; j < i> = Hi, Hi П Mi = 1
следует
Xi П <Xf, j	с Ни» П	(Mi П Н() =
~ Hi-нй А м^о, = i
Получаем
<XZ; i < w) = x Xi.
i<a>
Найдем
[Я«, G] П X Xi = [Яш, G] П X ([Я(+., G] П M{).
i<W	1<W
Так как [Яш, G]^Ha и [Я,+в, О]ПМ4е.Мв, то [Я„, G]Q
Г) X Х,=ЯИ Г)А1в=1. Следовательно, в правой части
i<w
(1)—прямое произведение.
§ 3]
ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ГРУППЫ
73
Теперь покажем, что обе части в (1) равны.
Пусть xeG'=[G, G] = [ U G]= U [Н{, 6].
i<u>	t<W
Пусть i такое наименьшее порядковое число, что хе
е[Я,-, G]. Тогда i—непредельное (среди предельных)
порядковое число, т. е. /=/+©, где /— предельное по-
рядковое число, или 1=®.
Если i=o, то хе[Я<», О] = [ЯМ, G]X X Х{. Если
i>G), то i=/+(o. Элемент х, как доказано выше, содер-
жится во всех, кроме конечного числа, N,= [H„ G]AI,+1.
(Здесь s — любое, как предельное, так и непредельное,
порядковое число.) Так как / — предельное число, то су-
ществует такое k<j, что хе[Я„ G]A4a+1 для всех s из
промежутка k^.s<Zj.
Пусть х = AsOTj+i, где hs <= [Hs, G], ms+1 e Ms+1. Допу
стам, что уже доказаны равенства hs — hr и ms+1 = mr+1
для всех s, г из промежутка k^s^r<Zt (/</). Так как
ht-itrit = Л//И/+1, то = т^т'1. Но включения Ht-i £
с Ht, Mt+i S Mt дают h^ht-i Ht, т(+1т? e Mt. Отсюда
h^ht-r = /П/+1/П?1 e Mt П Ht = 1 (cm. n. 4) предложения 3.13)
Это означает, что Л/-г= ht и mt = т^. Итак,
hk 7 hja-i ... = hs == ...,
s<j.
fHk¥i —mk+2 = ... —	— • • •,
Получаем U Hs = Я/, ntk+i e U Ms^ = Mj, t. e.
s</	s<j
хе[Я,-, GlAfj. Так как	С] = [Я}+И, G], то
xs [Я.+в, G]D[H„ 0]Л4,= [Я„ 0](Л4Л[Я/+», G]) =
= [Я,-,0]^.
Мы можем предположить, что для s<Zi уже доказа-
но, что всякий элемент хе.[Я„ G] принадлежит правой
части (1). В частности, [Я;, G] принадлежит правой ча-
сти (1). Отсюда и из хе[Яь G]X} получаем принадлеж-
ность х правой части (1). Равенство (1) доказано.
Каждый множитель правой части (1) имеет мощность,
меньшую, чем G, так как [Яш, G] ^Я», X{='[Ht+a, G] П
ГШ^Яя., (см. п. 3) предложения 3.13 и определение w).
Если xsXi, то х= [хь х2] [х„ х*] ... [x2Jk-i, х2Л] для неко-
торых элементов хъ х2, ..., хи из G, которые назовем
и
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. П :
частями элемента х. Части х определяются неоднознач-
но. Для каждого х^Х( зафиксируем некоторую систему
-М(х) его частей. Тогда группа Г{=<Л1(х); имеет
такую же мощность, как Xf. Коммутант группы F( содер-
жит Х{. Вторая часть предложения доказана. Предложе-
ние доказано.
Теорема 3.15. (Томкинсон). Коммутант финитно
аппроксимируемой локально нормальной группы — под-
прямое произведение конечных групп.
Для счетных групп утверждение следует из теоремы
2.7. Допустим, что теорема доказана для групп меньших
мощностей. Тогда утверждение теоремы следует из пред-
ложения 3.14.
Теорема 3.16. Коммутант подпрямого произведе-
ния конечных групп — прямое произведение счетных
нормальных подгрупп.
Доказательство. Примем обозначения теоремы 3.22
гл. I. Так как I = U /(л)» то G = (J (№. Обозначим
а<с	[а<с
через D(a> проекцию G на П Glt через Н(а) — проекцию G
на П G/, где J (а) = I (а 1)\/(а). Положим Q(a> =G (~]
i&(a)
п П G/, Rw = Q(a) Q [G(a+1), G(a+1)J. Докажем, что
zsJ(a)
G' = [G<1), G(1)] x X Rla\	(2)
a<c
где а пробегает непредельные числа.
Допустим, что уже доказано
[G(6), G(b>] = [G(1), G(1)] x X RM	(3)
a<b
для всех b<_d^c. Докажем (3) для d.
Если d — предельное число, то GW) = (J G(6) и
6«*
{G(d), G(<0] = U [G(b), G(i)J. Утверждение 3) в этом случае
b<d
сразу следует из предложения 3.1 гл. I.
Пусть d — непредельное число. Тогда
[G<d>, Q<d)] s	X [H(d-1),
Так как по теореме 3.22 гл. I G(<,-1) плотна в то по
5 4)	СЛОЙНО КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ	75
лемме 3.18 гл. I имеем [D(d-,), D‘d-‘>] = [G(d-,), G0*-0].
Теперь включение [G(d~1', G(d-1)]s[G<d), G(d)] влечет
[Я(<*“1), /Z(d-I>]s[G(d), G(d)]. Следовательно, получаем
[G<"°, G(d)] = [G(</-1), G(</-1)] x R^.
Отсюда следует (3) для d. Из (3) для всех d<Zc вытека-
ет (2). Теорема доказана.
Следствие 3.17. Если группа принадлежит пря-
мому многообразию, порожденному классом конечных
групп, то коммутант — произведение счетных поэлемент-
но перестановочных нормальных подгрупп.
Теперь, если вспомнить теорему 3.6, то возникает во-
прос о том, не будет ли коммутант финитно аппроксими-
руемой локально нормальной группы разлагаться в пря-
мое произведение счетных нормальных подгрупп. Также
возможно, что коммутант произвольной локально нор-
мальной группы разлагается в произведение счетных по-
элементно перестановочных нормальных подгрупп, или
хотя бы более слабое утверждение, что коммутант при-
надлежит прямому многообразию, порожденному клас-
сом конечных групп.
§ 4. Слойно конечные группы *)
Группа называется слойно конечной, если она имеет
не более чем конечное число элементов каждого поряд-
ка. Ясно, что она периодическая. Так как при сопряжении
порядки элементов сохраняются, то классы сопряжен-
ных элементов слойно конечной группы конечны. Также
ясно, что слойно конечная группа счетна. Таким образом,
слойно конечная группа является счетной локально нор-
мальной. Очевидно, не всякая счетная локально нормаль-
ная группа слойно конечна. Структура слойно конечных
групп оказалась тесно связанной с тонкими прямыми
произведениями конечных групп (см. Черников [57, 61]),
т. е. такими прямыми произведениями X G<, в кото-
/=1,2,... ,
рых для всякого простого числа р существует такой но-
мер i(p), что, как только	р не делит |G,|. Под-
*) Класс слойно конечных групп впервые появился без термина)
в статье [56], где были исследованы слойно конечные р-группы.
76
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
[ГЛ. И
группу тонкого прямого произведения, являющуюся под-
прямым произведением, будем называть тонким подпря-
мым произведением. Как показывает пример 3.14 гл. I,
существуют тонкие подпрямые произведения, неразло-
жимые в прямое произведение. Тонкие подпрямые произ-
ведения конечных групп — слойно конечные группы. Не
всякая слойно конечная группа — тонкое подпрямое про-
изведение конечных групп (например, квазициклическая
р-группа).
Если для какого-либо простого числа р силовская
р-подгруппа локально нормальной группы конечна, то,
как это следует из теорем Силова для конечных групп,
все силовские р-подгруппы конечны, они сопряжены и
число их конечно. Так как всякий элемент конечного по-
рядка — произведение попарно перестановочных р-эле-
ментов (р-элемент — элемент, порядок которого — сте-
пень р), то число элементов каждого фиксированного по-
рядка в локально нормальной группе с конечными силов-
скими р-подгруппами по всем р конечно. Итак, локально
нормальная группа с конечными силовскими р-подгруп-
пами и слойно конечная группа с конечными силовскими
р-подгруппами — это одно и то же.
Теорема 4.1 (Черников [61]). Класс слойно конеч-
ных групп с конечными силовскими р-подгруппами по
всем р совпадает с множеством всех тонких подпрямых
произведений конечных групп.
Доказательство. Пусть G — слойно конечная
группа с конечными силовскими подгруппами, g — ее
p-элемент, Р — силовская р-подгруппа, содержащая g.
Подгруппа С(Р) имеет в G конечный индекс, О=С(Р)П
ПР содержится в центре С(Р). Пусть С(Р)= (J Н{,
1=1,2,...
Ht конечна. Так как H(=DxQi и множите-
ли, ввиду взаимной простоты их порядков, определяются
однозначно, то C(P)=DXQ, где Q= U Q{. Подгруп-
/=1,2....
па Q имеет конечный индекс в G и не содержит р-эле-
ментов. Допустим, что выбраны для всех р нормальные
подгруппы Np конечного индекса, которые не содержат
элементов порядка р. Тогда П N,= l. Группа G финит-
р
но аппроксимируема. По теореме 2.7 G — подпрямое про-
изведение конечных групп. Так как силовские подгруппы
г
$ 4]	СЛОЙНО КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ	77
группы G конечны, то подпрямое произведение тонкое.
Теорема доказана.
Лемма 4.2. Если А — абелева р-группа и А/В — ее
бесконечная элементарная фактор-группа, то А имеет
бесконечно много элементов порядка р.
Доказ ательство. Пусть Л/В= X <а<В>. Рас-
смотрим Лп=<аъ а2, . ,.,ап>. Очевидно, Ап/В(~1Ап=
=АпВ/В — элементарная фактор-группа порядка рп.
Отсюда по теореме о конечно порожденных абелевых
группах Лп — прямое произведение точно п циклических
групп. Поэтому она имеет точно рп—1 элемент порядка р.
Следовательно, Л имеет бесконечно много элементов по-
рядка р. Лемма доказана.
Лемма 4.3. Пусть Р—р-группа класса нильпотент-
ности 2 и Р/Z, где Z^Z(P),— бесконечная элементарная
фактор-группа. Тогда Р имеет бесконечно много элемен-
тов порядка р.
Доказательство. Считаем, что Z имеет конеч-
ное число элементов порядка р. Если а и Ъ^Р, то
и [а, 6] eZ. Поэтому
[а, &]*=[а₽, 6] = 1.
Покажем, что для всякого a^Z существуют такие а(
(i=l, 2, ...), что [а, а<] = 1 и a{Z^ajZ при i=#J- Так как
элементов порядка р в Z конечное число, то существуют
такие элементы bt (i=l, 2, ...), что <Ь{7>=/=<&^> и
[а, &(] = [а, &,]. Обозначим ai_t=bl671 (Z=2, 3, ...).
Тогда [а, а;] = 1 и atZ=^a^Z.
Рассмотрим подгруппу Л = <аь а2....ап, .. .>. Так
как Л/ЛП-Z — бесконечная элементарная группа, то все
условия леммы для Л выполняются. Вместе с тем
Л=С(а). Обозначим a=&t. В Л возьмем bgfcZ. Центра-
лизатор СЛ (Ь2) содержит такие элементы сь с2, ...
..., сп, .... что с,(2Г|Л) ^Ci(ZnA), Пусть С=<с1(
с2, ..., сп, .. .>. Группа С/С|~)2—бесконечная элемен-
тарная. Продолжая этот процесс, получим такие попарно
перестановочные элементы bt (t=l, 2, ...), что btZ=£b/..
Группа BjBf}Z — бесконечная элементарная группа,
В — абелева группа. В силу леммы 4.2, получаем спра-
ведливость леммы 4.3.
78	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ [ГЛ. IJ
Лемма 4.4 (Черников [58]). Пусть G— локально
конечная группа и Z — такая подгруппа Z(G), что по-
рядки элементов групп Z и G/Z взаимно просты. Тогда
G=ZXH.
Доказательство. Пусть G= LJ—объедине-
teZ
ние локальной системы конечных подгрупп группы G.
Тогда Gt= (GjQZ) ХН{— единственное разложение
группы G,-, так как порядки групп Gt(~lZ и Gt/GiTlZ~
~G{Z/Z взаимно просты. Следовательно, G=ZxH, где
Н= U Лемма доказана.
is/
Теорема 4.5 (Черников [57]). Группа G тогда и
только тогда слойно конечна, когда G—HQ, H^Z(G),
Н= 1 или Н — прямое произведение квазициклических
р-групп по некоторым р с конечным числом множителей
для каждого р, Q — слойно конечная группа с конечны-
ми силовскими подгруппами.
Доказательство. Если A/Z — бесконечная эле-
ментарная р-подгруппа группы , G/Z, где ZsZ(G), то но
лемме 4.4 H=PxQ, где Р—р-группа класса 2, удовле-
творяющая условиям леммы 4.3, a Q — подгруппа из Z,
не содержащая p-элементов. Р имеет бесконечно много
элементов порядка р, что невозможно. Итак, все элемен-
тарные подгруппы в G/Z конечны.
Так как по следствию 2.10 G/Z(G) —подпрямое про-
изведение конечных групп, то из конечности всех элемен-
тарных подгрупп группы G/Z(G) следует, что это под-
прямое произведение тонкое.
Пусть Pi<p»< ... <.pt<. ... — все простые дели-
тели порядков элементов G/Z(G).
Для всякого р группа G/Z(G) имеет конечное число
p-элементов. Пусть pt — простое число, PJZ(G)—мно-
жество всех pi-элёментов G/Z(G). Все pi-элементы груп-
пы G содержатся в Р,. Так как PJZ(G) конечно, то цен-
трализатор Ct множества всех pi-элементов имеет в G
конечный индекс. Пусть подгруппа RJZ(G) конечного
индекса в G/Z(G) имеет единичное пересечение
с Pi/Z(G). В G существует такая конечная нормальная
подгруппа S,, что G—SJC^Pi). Все ргэлементы груп-
пы CiflPi содержатся в центре. Они образуют снловскую
Pi-подгруппу Го группы Z(G). По лемме 4.4
= 7’0ХЛ, где Lt не имеет р,-элементов. Получаем G=
§4]
СЛОЙНО КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
L79
5=5^0^=51112(0). Обозначим л0={Р1}. Ясно, что
ЛоПл(£1)=0. Группа 11/2(0)П1! имеет лишь ко-
нечное множество P2/Z(G)A£i лгэлементов для л4=
= (л(51)\л0)и{р2}, где p2^=pi, р2ел (G/Z(G)). Группа
Р2 содержит все лгэлементы £ь Централизатор С2 мно-
жества Р2 имеет в £t конечный индекс. Пусть подгруппа
P2/Z(G)ri£i конечного индекса в £i/Z(G)f)£i имеет с
P2/Z(G)f'|£1 единичное пересечение. Поэтому существу-
ет такая конечная нормальная в G подгруппа S2, что
£1=52(С2ПРг)- Пусть Л—силовская лгподгруппа груп-
пы С2ЙР2, она лежит в Z(G). По лемме 4.4 С2Г1Р2=
=Tt><£2. Получаем G=5t52£2Z(G).
Допустим, что уже выбраны нормальные подгруппы
51, 52, ..., 5„,	£12£22 ... э£п,
удовлетворяющие следующим условиям:
1)	5, конечна (i=l, 2, ..., и);
2)	G=SiS2 ... 5i£.Z(G);
3)	Sidi-i, [5{, li+i] = 1;
4)	л (51-1) Пл (£0=0;
I	/
5)	и л(5/) содержит {рх, р2, ..., р„}.
/=1
Построим Sn+i и £„+1. Пусть л„=л (5П) \л (Sn_t)r
если p»H@ji(5i5a ... Sn_t), и л„= (л(5„)\n(5„_i))|j
U{P«+i) в противном случае. Группа G/Z(G) содержит
конечное множество Pn+i/Z(G) л„-элементов. Все л„-эле-
менты из G содержатся в P„+i. Централизатор Cn+i мно-
жества Рп+1 имеет в £„ конечный индекс. Пусть подгруп-
па Pn+i/Z(G)n£n конечного индекса в £„/Z(G)(~)£B имеет
единичное пересечение с Рв+1Г)£в/2(0)Г)£в. Следователь-
но, существует .такая конечная нормальная в G подгруп-
па 5п+1, что £п=5п+1(Сп+1ПРп+1). Силовская л„-подгруп-
па Тп группы Сп+1ПЯп+1 лежит в Z(G). По лемме 4.4
Сп+1ПРп+1=ТяХ£п+1. Ясно, что 5n+i и £»+1 удовлетворя-
ют условиям 1)—5)..Итак, группы 5„ и £„ построены для
всех натуральных п. Группа 5=5iS2 ... 5„ ... слойно
конечна, в силу условий 1), 4), 3). По условию 2) G=
— (Sj52 ... 5i—i) 5i£iZ (G). По условию 3) [5i52 .. . 5t—i,
£i]=l, а по условию 4) Lt и_ Si52...5i-i не имеют
элементов одинакового порядка. Поэтому, если какая-то
силовская р-подгруппа группы G/Z(G) содержится в
80	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ . [ГЛ. Ц
*
StS2 ... S<_IZ(G)/Z(G), то все силовские р-подгруппы
содержатся в (StS2 ... S<_1)S1Z(G)/Z(G). Это означает,
что SZ(G) = G.
Пусть Z(G) = X Zp, где ZP— силовская р-подгруппа
р
Z(G). Далее, Zp=HpxKp, где Нр— полная подгруппа,
/Ср — редуцированная. Так как Zp имеет конечное число
элементов порядка р, то Нр — прямое произведение ко-
нечного числа квазициклических р-групп или Нр=\.
Нетрудно убедиться, что /Ср конечна. Пусть Н= X Нр,
р
ХКР, Q=KS. Тогда G=HQ.
р
Осталось показать, что силовские подгруппы в Q ко-
нечны. Пусть S(p> — конечная нормальная подгруппа, со-
держащая все силовские р-подгруппы из S. Подгруппа
KPSip) конечна и нормальна в G. Образы /С и S в
G/KpSipy не имеют p-элементов. Они также нормальны в
G/KpS(p) и, следовательно, их произведение не имеет
p-элементов. Это означает, что все p-элементы содержат-
ся в /CpS(p). Теорема доказана.
Следствие 4.6 (Половицкий [43]). Группа тогда
и только тогда слойно конечна, когда она является тон-
ким подпрямым произведением черниковских групп, ко;
нечных над центром.
Доказательство. Если G — тонкое подпрямое
произведение черниковских групп, конечных над центром,
то G, очевидно, слойно конечна.
Нужно доказать обратное. По теореме 4.5 G=HQ,
ZfsZ(G), Н = X Нр, Нр — прямое произведение квази-
р
циклических р-групп в конечном числе или Нр=1, Q —
тонкое подпрямое произведение конечных групп Q{
(i=l, 2, ...) (см. теорему 4.1). Пусть H(i> = X Нр.
P<&t(Qi)
Обозначим Q(i) = Qn Х^ Q* G(i)=Q(i|/f(i|. Фактор-группа
G/G{i} — черниковская группа, конечная над центром.
Всякий элемент как из Н, так и из Q лежит во всех G(<),
кроме конечного числа. Поэтому G/D — подпрямое про-
изведение групп GIGl'i\ где D= f| Я(,). Так как G=
=Z)X ( X HP)Q, то следствие доказано.
ГЛАВА III
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО
СОПРЯЖЕННЫЕ ПОДГРУППЫ
f
§ 1. Существование нильпотентных подгрупп
Теорема 1.1 (Семенова [48]). Пусть G — финитно
аппроксимируемая локально нормальная группа, Н — ее
бесконечная нормальная подгруппа и Q — подгруппа, по-
рожденная всеми минимальными нормальными подгруп-
пами группы G, содержащимися в Н. Тогда |Q| = |л|.
Доказательство. В локально нормальной груп-
пе минимальные'нормальные подгруппы конечны. Так
как G финитно аппроксимируема, то для всякого g=/=l
из Q существует нормальная подгруппа N (g) конечного
индекса в G, не содержащая g. Пусть N=i\N(g). Ясно,
что /VHQ=1. Так как N[]H<iG, то из N[)Я=/=1 следова-
ло бы, что содержит конечную отличную от 1 нор-
мальную подгруппу группы G. Следовательно, со-
держит неединичную минимальную нормальную подгруп-
пу К группы G. По определению подгруппы Q имеем
KsQ. Отсюда /УГК2=А1. Противоречие. Итак, NQH—l.
Рассмотрим-' ряд G/Af=/7A7/V=QA7/V. Докажем, что
QN/N порождена всеми минимальными нормальными
подгруппами группы G/N, содержащимися в HN/N. Груп-
па QN/N порождается образами минимальных нормаль-
ных подгрупп группы G, содержащихся в Н. Пусть М —
произвольная минимальная нормальная подгруппа груп-
пы G, содержащаяся в Н. Тогда MN/N — минимальная
нормальная подгруппа группы G/N. Действительно, если
RJNczMN/N, то R=Nx (Л4П^). Так как R<1G и M<3G,
тр Mr\R<lG,‘ Из минимальности М следует, что А4П/?==1,
т. ё. R—N и R/N=l'. Итак, QN/N порождается некото-
х/а4 Ю. М. Горчаков
82
СОПРЯЖЕННЫЙ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. fit
рыми минимальными нормальными подгруппами группы
G/N, содержащимися в HN/N. Докажем, что всеми. Дей-
ствительно, пусть M/N— произвольная минимальная
нормальная подгруппа группы G/N, содержащаяся в
HN/N. Тогда M=Nx(M(Vi), MHH<G. Если RczMQH,
R<1G, то RN/N<1G/N, RN/N<=.HN/N. Так как M/N мини-
мальна в G/N, то RN/N=1, т. е. RN—N. Так как R^H
и ЯПЯ=1, то R=l. Итак, M/N— образ минимальной
нормальной подгруппы МГ]Н группы G, содержащейся
в Я. А так как MQ/fciQ, то M/N^QN/N.
Поскольку | QN/N | = | Q |, | НN/N | = | Н |, теорему до-
статочно доказать для случая N—1. Поэтому считаем G
поддекартовым произведением групп G/N(g), g^Q.
В силу следствия 3.4 гл. II, G=Z(G)S, где |S| = |Q|,
S=Q и S<|G. Пусть Zp — силовская р-подгруппа группы
//nZ(G). Нижний слой Тр группы Zp имеет ту же мощ-
ность, что и Zp\ Tp^Q. Так как НГ№(0)= X Zp и
I XZP| = | хТр|,то pnZ(G)|<|Q|.
р	р
Рассмотрим фактор-группу
G/ЯП Z (G) = Z (С)/Я П Z (G) • S (Я П Z (О))/Я П Z (G).
Группа ЯП2(0) имеет с Z(G)/Hf]Z(G) единичное пере-
сечение. Следовательно, ее мощность не выше | S | = | Q |.
Итак, |Я|^|ЯПг(О)|-|S|^|Q|. Теорема доказана.
Цоколем группы называют подгруппу, порожденную
минимальными нормальными подгруппами.
Следствие 1.2 (Семенова [48]). Мощность цоколя
бесконечной финитно аппроксимируемой локально нор-
мальной группы совпадает с мощностью группы.
Лемма 1.3. Цоколь любой группы — прямое про-
изведение некоторых минимальных нормальных под-
групп.
Доказательство. Пусть G — группа,С — цоколь.
Пусть Nt — минимальная нормальная подгруппа. Если
C=Nt, то лемма доказана. Пусть уже выбраны такие
минимальные нормальные подгруппы N, (i</), что
Я<л=Х N&C. Если NU)=C, то лемма доказана. Если
«/
N{n^=C, то Nlii не содержит некоторой минимальной нор-
мальной подгруппы Nj. Ясно, что	1. В силу пред-
। jj СУЩЕСТВОВАНИЕ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ПОДГРУПП	83
ложения 3.1 гл. I, <ATW, JVJ>= X Nt=Nli+i>. Для неко-
i<Z+i
торого j должны получить Nli)=C. Лемма доказана.
Следствие 1.4 (Семенова [48]). Бесконечная фи-
нитно аппроксимируемая локально нормальная группа
имеет равномощную себе абелеву подгруппу.
Доказательство. Пусть G удовлетворяет условию,
С — цоколь G. По лемме 1.3 С= X N{,	— минималь-
i<i
ные нормальные подгруппы G. В каждом множителе Nt
возьмем абелеву подгруппу А(^1. Тогда СэА= X А(.
i<i
Так как |С| = |А|, ввиду конечности Nt (i</), и так как
|C| = |G| по теореме 1.1, то |A| = |G|. Следствие до-
казано.
Следствие 1.5 (Семенова [48]). Бесконечная ло-
кально разрешимая финитно аппроксимируемая локаль-
но нормальная группа имеет равномощную себе нормаль-
ную абелеву подгруппу.
Доказательство., Пусть Q — цоколь группы G.
По лемме 1.3 Q= X Q,. Из локальной разрешимости
следует абелевость Q,. В силу следствия 1.2, |Q| = |G|.
Следствие доказано.
Следствие 1.6 (Семенова [48]). Бесконечная фи-
нитно аппроксимируемая локально нормальная р-группа
равномощна со своим центром.
Доказательство. Пусть G удовлетворяет усло-
вию следствия, С= X Nt—цоколь G. По следствию 1.2
|C| = |G|. Так как G локально нормальна и является
р-группой, то она локально нильпотентна, ввиду нильпо-
тентности конечных р-групп (см. [64], стр. 117). По тео-
реме 111 из [20] Af4czZ(G). Следовательно, CsZ(G) и
|C|<|Z(G)|. Отсюда |G|	|Z(G) |, т. е. |G| = |Z(G)|.
Следствие доказано.
ЛеМма 1.7 (Семенова [48]). Пусть G — подпрямое
произведение периодической группы Gt и абелевой груп-
пы без кручения Gt. Тогда | G2f)G | = | G21.
Доказательство. В силу предложения 3.9 гл. I,
G1/G(~|G1a>G2/GriG2. Так как Gt— периодическая группа,
то G2/GDG2 периодична и, следовательно, G|~|G2=A1,
Группу G2 можно представить как объединение попарно
пересекающихся по 1 локально циклических групп:
4*
84 СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ (ГЛ. .III
G2= U Н* Так как G2/GDG2 периодична, то, Я,П
/е/
П(ОПО2)^1. Если G2 счетна, то G(~)G2 счетна и |G2| =
= IGf-|G2|. Пусть G2 несчетна. Тогда из счетности Я, сле-
дует, что |G2| = |/|. Но GQG2= U (W)(Gf)G2)). Сле-
довательно, |G(~)G2| = |/|. Получаем |G2| = |GDG2|.
Лемма доказана.
Теорема 1.8 (Семенова [48]). 1) Бесконечная груп-
па с конечными классами сопряженных элементов имеет
равномощную себе нильпотентную подгруппу класса ^2.
2) При дополнительном условии локальной разреши-
мости она содержит равномощную себе нормальную
нильпотентную подгруппу класса ^2.
Доказательство. По теореме 1.9 гл. П G — под-
прямое произведение локально нормальной группы G, и
абелевой группы без кручения G2. Если lG| = |GnG2|,
то утверждение 1) теоремы доказано. Если G | > | Gr|G21,
то по лемме 1.7 | G2| < | G|. Так как предложение 3,9гл. I
дает изоморфизм G^GQG, и G2/G(")G2, то получаем
|G(~|Gt| а= | G|. Фактор-группа (GnGt)/Z(GnGt)—фи-
нитно аппроксимируемая локально нормальная группа
(см. предложение 2.9 гл. II). Поэтому (следствие 1.4)
(GDGi)/Z(GnGl) имеет равномощную себе абелеву под-
группу A/Z(Gf)Gi). Класс А не превосходит 2 и |Л| =
= |G||G1| = |G|, что и требовалось. Утверждение 1) до-
казано.
Пусть G локально разрешима. Из теоремы 1.7 гл. II
следует, что G/Z(G) локально нормальна. Так как
G/Z(G) финитно аппроксимируема, то, в силу следствия
1.5, G/Z(G) имеет равномощную себе нормальную абе-
леву подгруппу A/Z(G). Группа А имеет, класс нильпо-
тентности ^2 и равномощна G. Теорему доказана..
Теорема 1.9 (Семенова [48]). 1) Любая подгруппа
класса нильпотентности п~^2 бесконечной группы с ко-
нечными классами сопряженных элементов содержите#
в нильпотентной того же класса подгруппе, равномощной
группе.
2) При дополнительном условии локальной разреши-
мости группы и нормальности исходной нильпотентной
подгруппы объемлющая нильпотентная подгруппа может
быть выбрана нормальной.
$ 1] r ' СУЩЕСТВОВАНИЕ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ПОДГРУПП
85
. Доказательство. Пусть группа G и ее подгруп-
па Н удовлетворяют -условиям утверждения 1) теоремы.
Если |Z(G)| = |G|, то Z(G)// — нильпотентная группа
того же класса, что и Н, и утверждение 1) доказано.
Пусть |Z(G) | < | G|. Так как Н и Z(G)/7 одного и того
же класса нильпотентности, то считаем, что /7=Z(G).
Классы сопряженных элементов группы G конечны.
Поэтому индексы централизаторов этих классов конечны.
Пересечение всех централизаторов — центр G. Итак,
G/Z(G) финитно аппроксимируема. По теореме 1.7гл. II
G/Z(G) локально. нормальна. Теперь теорема 3.6 гл. II
утверждает, что GIZ(G) —гомоморфный образ подпря-
мого произведения конечных групп. По лемме 4.4 гл. I
имеем |G/Z(G) : C(W/Z(G)) |^|H/Z(G}|. Так как
|С(Я/Z(G)) | = |G], то из следствия 1.4 получаем, что
C(/f/Z(G)) имеет абелеву подгруппу AfZ(G), равномощ-
ную G. Рассмотрим АН. Коммутаторные соотношения
дают уг(АН) = [АН, АН] = [Л, Л] [Л, Н] [Н, Я]. Группа
Я=[Л, Л] [А, Н] по выбору Л принадлежит Z(G). Итак,
у2(ЛЯ)==-Оу2(Я).. Далее, у3.(ЛЯ) =[у2(ЛЯ), АН]=
= [Dy2 (Н), АН] = [у2.(Я), ЛН] = [у2 (Я), Л ] [у2 (Я), Н]
= [у2(Я),.Л] у3(Я). Так как [у2(Я), Л] = [Я, Н, Л] =
=[Н, А, Н] [Л, Н, Н] (см. [29], стр. 38, 39) и [Я, Л]=
sZ(G), ввиду выбора Л, то [у2(Я), Л] = 1. Итак,
у3(ЛЯ) ==у3(Я). Пусть уже доказано, для i^3, что
у,(ЛЯ) =у<(Я). Тогда
У/+. (ЛЯ) = [у< (ЛЯ), АН] = [у, (Я), ЛЯ] =
- 1У<(Я), Л] [у:(Н), Н] = [Y< (Я), Л] у,+,(Я).
Найдем
lY; (Я), Л] — [Y/-j (Я), Я, Л] =
= [Я,Л,у<_,(Я)][Л,у,_1(Я),Я1.
Так .как [Я, A]^Z(G), то оба последних множителя рав-
ны 1. Получаем [у<(Я), Л]==1. Учитывая предыдущие
равенства, имеем у«(ЛЯ) =у<(Я) для всех i^3. Это озна-
чает, что.классы нильпотентности групп ЛЯ и Я совпа-
дают. Утверждение 1) доказано.
Допустим теперь, что G и Я удовлетворяют условиям
утверждения.2). Также, как в доказательстве утвержде-
ния 1), рассмотрим C{H/Z(G)). Из нормальности Н еле-
86
сопряженный и Локально сопряж подгруппы (гл. ш
дует нормальность C(#/Z(G)). Пусть Q/Z(G) —подгруп-
па из C(#/Z(G)), порождейная всеми минимальными
нормальными подгруппами группы G/Z(G), содержащи-
мися в C(H/Z(G)). По теореме 1.1 Q/Z(G) равномощна
G/Z(G). Группа QH равномощна G. Так же, как в дока-
зательстве утверждения 1), можно доказать, что
"fi(QH) =у((Н) для 1^3.	!
Это завершит доказательство утверждения 2). Теоре-
ма доказана.
Локально нормальная группа может, вообще говоря,
не иметь равномощных себе абелевых подгрупп, так что
в следствии 1.4 условие финитной аппроксимируемости
нелишне. Также в теоремах 1.8 и 1.9 нельзя отказаться
от того, что класс нильпотентности и ^2.
§ 2. Мощность классов локально сопряженных
подгрупп
Автоморфизм ф группы G называется локально, внут-
ренним, если для любого конечного множества AfsG Су-
ществует такой элемент geG, что m’f=g~'mg для вся-
кого пг^М. Локально внутренние автоморфизмы обра-
зуют подгруппу в группе всех автоморфизмов. Если п и
Q — подгруппы G, то их называют локально сопряжен-
ными, если существует такой локально внутренний авто-
морфизм ф группы G, что HV=Q. Совокупность всех под-
групп, локально сопряженных данной подгруппе Н, на-
зывают классом локально сопряженных подгрупп и обо-
значают Ьс1с(Я) или просто Ёс1(Я), если ясно, о какой
группе идет речь.	,
Для доказательств необходимы некоторые вспомога-
тельные утверждения.
Лемма 2.1. Пусть ф — локально внутренний авто-
морфизм локально нормальной группы G, N — нормаль-
ная подгруппа G. Тогда ограничение ф на N — автомор-
физм N, т. е. N9=N.
Доказательство. Так как G локально нормальна,
то N= (J Nt, где N( — конечные нормальные подгруппы
iei
группы G. По определению локально внутреннего авто-
морфизма существует такой элемент gt из G, что
МОЩНОСТЬ КЛАССОВ tcl(//)
М
Ml
gr^gi^nf для всякого леЯ,. Следовательно, Nt9=N.
для всех iel. Но тогда NV=N. Лемма доказана.
Лемма 2.2 (Стоунхьюер [102]). Если G — локально
нормальная группа, N — нормальная подгруппа в G,
Ф — локально внутренний автоморфизм G/N, то сущест-
вует такой локально внутренний автоморфизм ф груп-
пы G, что автоморфизм, индуцированный ф на G/N, сов-
падает с ф.
Доказательство. Пусть Gt (iel)—локальная
система конечных нормальных подгрупп группы G. Счи-
таем, что i^j тогда и только тогда, когда G(^Gj. Так
как группа Gt конечна, то существует лишь конечное мно-
жество автоморфизмов группы Git полученных трансфор-
мированием группы Gt элементами из G, действие кото-
рых на Gt/Nr\Gt совпадает с ф. Обозначим множество та-
ких автоморфизмов через Ф«. Для />/ установим отобра-
жение п{}: Фг-Mfy. Пусть ф<еф4. Тогда существует такой
элемент gi^G, что g^—g^ggt для всякого g^Gt. По оп-
ределению ф< для любого g&Gt имеем
g*1 = g'fn, n&N f\Gt.
Если geGt, to g*1 &G/ и gveG(. Следовательно, n =
— (g*)"1 (g^1)s Gt, g*‘!= g9^, n^Ni}Gj. Поэтому огра-
ничение ф, на Gj принадлежит Ф/. Остальные условия
существования полного проекционного множества (см. [41])
очевидны. Итак, пусть ф5( (ге /) — полное проекционное
множество. Определим ф: G->G, считая ограничение ф на
G( равным ф ъ. Очевидно, ф—локально внутренний авто-
морфизм. По лемме 2.1 Я*=Я и можно определить
(gN)*=g*N. Докажем, что ф и ф совпадают на G/N.
Нормальные подгруппы G{N/N образуют ло-
кальную систему в G/N. Поэтому, если для любого teZ
доказать, что ф и ф совпадают на GtN/N, то лемма дока-
зана. Пусть geGt. Тогда
ч>«.
g^ = g ‘ =gvn, nf=N[]Gi.
Это завершает доказательство.	~
Лемма 2.3. Пусть G — группа, N — подгруппа из
H^G, нормальная в G. Тогда
|с1с(Я)[ = |с1в/л,(Я/Я)|.
й СОПРЯЖЁННЫЕ И ЛОКАЛЬНО' СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ (ГЛ.'к!
Лемма очевидна.-
Лемма 2.4 (Хартли [80]). Пусть G — локально нор-
мальная группа, Н — ее подгруппа и N—подгруппа из Н,
нормальная в G. Тогда ~~	-
|Ьс1й(Я)| = \Lc\g/n(H/N)\..
Доказательство. В силу леммы 2.1, Я’=Я; здесь
Ф— локально внутренний автоморфизм G. Поэтому, если
Я, и Я2 содержат Я и Я? =Я2, то	Итак,
|Ьс1й(Я)|>|Ъс1й/л/(Я/Я)|.	• 
Пусть (Я1/Я)Ф=Я2/Я, где <р — локально внутренний
автоморфизм G/N. По лемме 2.2 существует такой .ло-
кально внутренний автоморфизм ф группы G, что,ф и <р
совпадают на -G/Я. Но тогда	Следова-
тельно, Я^. =Я2,.Отсюда r.v . • > •-	.
-• |Ьс1й(Я)|<|ЬсГй/у(Я/Я)р;	у
Лемма доказана.	.
Лемма 2.5 (Стоунхьюер [J02]). Если <р — локально
внутренний автоморфизм подгруппы Н локально нор-
мальной группы G, то существует такой локально внут-
ренний автоморфизм ф группы G, что ограничение ф наН
равно <р.	..	.	.	..
Доказательство. Пусть G(- (fe/)—локальная система
конечных нормальных подгрупп группы G. Счйтаем; что Г
упорядочено согласно, включениям групп Gt. Пусть Ф;—
множество, автоморфизмов группы G{, совпадающих на-
Я fl б/ с ф ц полученных трансформированиями при помощи.
элементов из G. Определим отображения л(/-: Ф;->ФУ для
«>/. Пусть ф,ЕФ<. Тогда gf{=g~lggi для некоторого
g,eG и всякого geG<. Ёсли^еЯПС,, rog** =g4.
Так как Я Q G, с Я f] то ограничение ф( на Gj при-
надлежит Ф/. Итак, получаем полноё проекционное мно-
жество ф5((1’е/) (см. [41]). Определим ф: G->G, считая
g^ — g*1’ для g<=Gh '	
Лемма 2.6 (Хартли [80], предложёнйе 3). Пусть.
Q — локально нормальная группа, Н — ее подгруппа,
Н9 — наибольшая .'нормальная в Q, подгруппа из Н. Если
$ 21'	МОЩНОСТЬ КЛАССОВ Let (Я)	89
Л=|Я:Я0|—бесконечное кардинальное число, то
|Ьс1(Я)|<2*.
Доказательство. Пусть D — наименьшая нор-
мальная подгруппа, содержащая Н. Так как |Я/Я0| =
= |Я/Я0|, то локально сопряженных подгрупп не больше
чем подмножеств в DIHt, т. е. не больше чем 2\ Лемма
доказана.
Лемма 2.7. Пусть G—локально нормальная груп-
па, Н — ее подгруппа, N<3G и NQH—l, Q — такая под-
группа Н, что QN<3G, <р — локально внутренний'автомор-
физм G. Тогда из Q’#=Q следует НЧ=/=Н.
Доказательство. Пусть Q’^Q и ЯФ=Я. Если
g^Q., то g^H и ^еЯ. Но QAf<]G. Поэтомуg4’=sn, seQ,
n&N. Отсюда n=s~lg9^H. Это означает, что п=1. Итак,
^p=seQ или Q’sQ. Так как Я’“*=Я и Q^Q*~i,TO мож-
но доказать	т. е. QsQ’. Получили QV=Q. Про-
тиворечие. Лемма доказана.
Лемма 2.8. В локально нормальной группе сущест-
вует набор силовских р-подгрупп (по одной для каждо-
го р), который порождает всю группу.
Доказательство. Пусть G локально нормальна,
G=	— объединение конечных нормальных подгрупп.
Ге/
Каждая подгруппа G« имеет конечное множество на-
боров силовских подгрупп (по одной для каждого р), лю-
бой из которых порождает G<. Если G^Gj, то определим
отображение М-по правилу:
^/(Л, ...» Рп) = (Р1ПСь ...»
где (Рп ..., Рп) — набор силовских подгрупп группы G,.
Группы PiQG,.....Р„П<?« либо равны 1, либо — силов-
ские подгруппы группы G<. Очевидно, если G^GjsG*, то
1|)Л1|)у=фл. Поэтому (см. [41]) существует полное проек-
ционное множество наборов силовских подгрупп групп Gt.
Объединение их — набор силовских подгрупп группы G,
порождающий G. Лемма доказана.
Лемма 2.9. Пусть G — локально нормальная группа,
Н— ее абелева р-подгруппа, Z=Z(G), ЯГ)2=1, HZfZ=
= X HJZ — прямое произведение минимальных нор-
tez
мольных подгрупп группы G/Z, Q — некоторое множество
р'-элементов. Если мощность множества групп Н^\Н{ та-
5 К). М. Горчаков
90 СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. nt
ких, что N 2 Q, равна 0, то индекс в Н наиболь-
шей нормальной относительно Q подгруппы из Н равен
Доказательство. Рассмотрим R— X —
i&
прямое произведение тех ЯГ)Я«, для которых QgC
С£М(ЯГЖ). Пусть Л<еЯПЯ<( x(eQ и хг’Лл^ЯПЯ*.
Пусть М — наибольшая нормальная относительно Q под-
группа из R.
Если хеО, то через /(х) обозначим те ie/, для кото-
рых х действует на HJZ нетождественно. Пусть A<Z—та-
кой элемент из HJZ, что
x-'ZhiZxZfr htZ	(i g= I (x)).
Так как [A<Z, xZ]'#=l и [/^Z, xZ] принадлежат разным
HJZ, то они все различны. Отсюда следует конечность
/(х).
Пусть //-элемент х действует тождественно на HJZ.
Для всякого	имеем x~lhx=hz, где zeZ. Пусть
t — порядок х. Тогда Л=х_‘/гх‘=Лг‘. Отсюда г‘=1. По-
рядки h и hz равны р. Так как h и z перестановочны, то
z”=l. Из взаимной простоты t и р получаем z=l. Итак,
если //-элемент х действует на HJZ тождественно, то он
действует тождественно на НГ\Н{.
Пусть i^J. Элементы
x^hiJi^Xb = x^hhxtl • x^h/xtt
не лежат в R для всех / е J, кроме конечного числа, так как
xTth^Xi,/?, a	— ft/1 для всех /, кроме конечного
числа. Получили, что Л^Л/1 Й М Для /е (xg)- Пусть
уже выбраны индексы ilt i2, .... is, ... (s < г) такие, что
hijiy & М для всех s, / < г. Если | г | = 0, то из того, что
образы элементов hls различны в RIM, получаем | R/М | = 0,
что и требовалось доказать. Пусть | г |.<0. Тогда
I U Ж)Ю' Следовательно, J\((J / (*/.)) =h 0* Возьмем
s<r	s<r
в этом множестве ir. Как и выше, можно показать, что
hifij* fjg М для всех з < г. Это означает, что можно по-
строить такое множество индексов ix, iit is, г),
что hijiif€£ М для всех s, j < г и | г | = 0. Лемма доказана.
Хорошо известна следующая	__
$2]	МОЩНОСТЬ КЛАССОВ Lcl (Я)	91
Лемма 2.10. Если N — нормальная подгруппа груп-
пы G, то ограничение на N группы внутренних автомор-
физмов группы G — группа некоторых автоморфизмов N,
изоморфная G/C(N).
Доказательство. Если g^G, то отображение
ф(£):х-»-£_1Х£ для всякого xgG— автоморфизм группы
G, который называют внутренним автоморфизмом, инду-
цированным элементом g. Так как N<fU)=g~iNg=N, то
ограничение ф(§) автоморфизма ф(^) на N — автомор-
физм N. Соответствие	есть гомоморфизм
группы внутренних автоморфизмов группы G на группу
некоторых автоморфизмов группы N. Найдем его ядро.
Пусть ф(§) действует на N тождественно, т. е. x*U)=x
для любого хеАГ. Отсюда g~ixg=x для любого x^N. Это
равносильно тому, что geC(lV). Итак, ядро гомоморфиз-
ма ф(й')-*-ф(я) состоит из всех ф(£) с g<=C(N). Лемма
доказана.
Для дальнейшего нужно описание группы локально
внутренних автоморфизмов, данное Хартли [80].
Рассмотрим локально нормальную группу G. Она —
объединение всех своих конечных нормальных подгрупп
G< (i<=/). Считаем i^j тогда и только тогда, когда G(^Gj.
Обозначим через А группу внутренних автоморфизмов
группы G. Ограничение Л, группы А на G{ изоморфно
G/Ct, Ct=C(Gt) (см. лемму 2.10). Обозначим через ft го-
моморфизм А на At. Если i^j, то Л<— ограниче-
ние Aj на G(. Соответствующий гомоморфизм обо-
значим через fjt. Очевидно,	Если	то
В группе G введем топологию, взяв в качестве
системы открытых окрестностей единицы группы Ct. Эта
тойология, вообще говоря, неотделима. Группа А изо-
морфна G/Z, Z=Z(G)=f]Ct. В группе А возьмем топо-
i&J
логию группы GIZ, т. е. фактор-топологию. Полученная
топология хаусдорфова. Она совпадает с индуцированной
на А топологией проективного предела групп Л< (ie/).
Обозначим через L проективный предел групп Л« (ieZ);
Ь=11тЛ«.
Теорема 2.И (Хартли [80]). Примем обозначения
предыдущего абзаца. Тогда каждый элемент группы L
можно рассматривать как автоморфизм группы G. Груп-
па L— группа всех локально внутренних автоморфизмов
группы G. Группа А плотна в L.
5*
92 СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
Доказательство. Пусть Z=lima<eL. Если Z</,
то Oi—f^Oj). В группе А существуют такие элементы bt,
что ft(bt) =а(. Рассмотрим I как отображение G-*-G. Если
g^Git то считаем l(g)=at(g). Пусть g^G^Gj. Так как
GiCzGk и GjCiGb для некоторого k, то g^Gk. Так как а, и
а, —ограничения а* на Gt и G„ то ak(g) =a{(g) и ak(g) ==
=ai(g)> т- е- a<(g)=ai(g)- Следовательно, 1(g) одно-
значно определен. Теперь ясно, что I—автоморфизм G.
Действительно, если Л, g^G, Toh,g<=Gt для некоторого г,
Тогда l(hg) —a{(hg) =Oi(h)a{(g) =l(h) 1(g). Если 1(g) =g
для всех g^G, то Of(g)=g для всех g^Gf. Тогда at —
тождественный автоморфизм G(. Следовательно, ядро
отображения группы L в группу автоморфизмов груп-
пы G единичное. По определению действия I на G I —ло-
кально внутренний автоморфизм G.
Пусть <р — произвольный локально внутренний автомор-
физм группы G. На каждой из групп Gt он индуцирует
некоторый внутренний автоморфизм а^. Для всякого x&Gi
di(x) = g^xgt, где gi^G. Пусть Z</. Тогда
Имеем a.j(x) — g'jlxgj для всех xeG/и некоторого g/E G.
На Gt g^xgj = g71xgi, т. е. ограничение а,- на Gi равно di
Получаем ai=ffl(af). Это означает, что ф и Z=lim а{ дей-
ствуют на G одинаково. Итак, L=limXf — группа всех
локально внутренних автоморфизмов.
Если аеД, то a—lira а,, где at—ограничение а на Gt,
Пусть Ц— централизатор Gt в L. Тогда L=ALt. Это
означает, что А плотна в L. Теорема доказана.
Лемма 2.12 (Хартли [80], лемма 5.2). Пусть G —
локально нормальная группа, Н — элементарная абелева
р-группа из G, [Н, G, G]=l, Н не содержит неединичных
нормальных подгрупп группы G. Тогда |Lcl0(H) |=2,н|.
Доказательство. Пусть, как и ранее, L — группа
локально внутренних автоморфизмов группы G, Д—
группа внутренних автоморфизмов. Пусть Р—м(Н).
Из [Я, G, G]=l следует [Н, GjsZ=Z(G). Пусть хеР,
йеЯ. Тогда x~lhx=h[h, х]. Так как [h, x]eZ, x~lhx^H
и ЯП2=1 (ввиду ЯГ)2<]6),: то [п, х]еЯ и, следо-
вательно, [ft, х]=1. Получаем N(H)=C(H). Цен,-
трализатор С (Н) — замкнутая подгруппа в G (см. [5],
гл. III, § 2, предложение 3; нужно еще учесть, что,
$ 2]	МОЩНОСТЬ КЛАССОВ Lcl(H)	93
хотя топология в G неотделима, замыкание единицы ле-
жит в центре).
Обозначим через В группу внутренних автоморфизмов
группы G, индуцируемых элементами из С (Я). Через В{
обозначим fi(B) (iel). Сужение изоморфизма At
на В есть изоморфизм В{ (см. [5], гл. III, § 7, пред-
ложение 3). Если доказать, что |L : Л4| =2“, где а= |Я|,
М=lim Bit то лемма будет доказана.
Так как С (Я) = С(Я2), то С(Я)Об. В силу того же
предложения (см. ссылку выше), L/M = lim AtlBt. Следо-
вательно, О/С(Я)— группа автоморфизмов группы HZ
(см. лемму 2.9).
Пусть Я = (J fij, Qj — наименьшая нормальная под-
/Е/
группа, содержащая Ht. Тогда Q/ = Я/ X (Q/ П Z). Система
подгрупп Q/ (/ е J) — часть системы Gi (i е /). Пусть С/ =
=	® J)- Ясно, что С(Я) = П С/. Если Я/ = Сд(С/),
то	Так как индекс С/ в G конечен, то G — CjK.j,
где Kj — конечная нормальная в G подгруппа. Для каж-
дого feeKj C^(fe) имеет в Я/ конечный индекс. Тогда
С — U Сл. (fe) имеет в Я/ конечный индекс. Очевидно,
C<]G. Так как Я не имеет неединичных нормальных под-
групп группы G, то С = 1. Получили, что Я/ — конечная
группа. Это означает, что различных С/ (/ е J) столько же,
сколько элементов в Я. Ввиду^С(Я) = Q С/, проективный
jsJ
предел L/Af=lim AJBi имеет не менее а различных про-
екций A JBt. Каждое вполне упорядоченное подмножество
в I счетно. Поэтому |L/A4| ^2“. Получаем |Ьс10(Я) |^2“.
Но по лемме 2.6 | Lcle (Я) | ^2“. Лемма доказана.
Теорема 2.13 (Хартли [80]). Пусть G — локально
нормальная группа, Н — ее подгруппа, Но — наибольшая
нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в Н.
Если а=|Я:Яо| —бесконечное кардинальное число, то
|Ьс1(Я)|=2“.
Доказательство. Рассмотрим сперва счетный
случай. Пусть
я = яоияли ••• LWnU ...
94
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. ш
В группе G существуют такие элементы gn (п=2, 3,...),
что g~nXngn^H. Рассмотрим группу
Q=<fl,gn п=2, 3,.. .>.
Она счетна. Наибольшая нормальная в Q подгруппа из Н
равна Но, в силу выбора элементов gn (п=2, 3, ...).
По теореме 2.13 гл. II Q — гомоморфный образ подпря-
мого произведения конечных групп. В силу теоремы 4.9
гл. I, |Ес1«(Я) |=2«. Так как |Lcle (Я) | >|LclQ(tf) |, то
| Lcle (Я) | ^2®. По лемме 2.6 | Lcle (Я) | г^2“. Для счетно-
го случая теорема доказана.
Пусть а — несчетное кардинальное число. В силу лем-
мы 2.6, |Ьс10(Я) | ^2®. Нужно доказать обратное нера-
венство.
По лемме 2.4 |Ьс1в(Я) | = |Ес10/Но(Я/Я0) |. Группа
Н/Но не имеет неединичных нормальных подгрупп группы
G/Ho. Поэтому считаем, что Яо=1. В частности, ЯГ)2=1,
rAeZ=Z(G).
Рассмотрим (HxZ}IZ как подгруппу G/Z. В силу
предложения 2.9 гл. II, G/Z финитно аппроксимируема.
Поэтому- G/Z — гомоморфный образ подпрямого произ-
ведения конечных групп (см. теорему 3.6 гл. II). Если
наибольшая нормальная в G/Z подгруппа В/Z группы
HZfZ имеет в HZjZ индекс а, то'по теореме 4.9 гл. I
|Lcl0/z(BZ/Z) | =2а. В силу леммы 2.4, |Lcl0(#Z)| =
= \Lda/z(HZ/Z)\. Так как |Ес1в(Я) I > |Lcl0(BZ) |, то
|Ьс10 (Я) | >2®.
Пусть индекс В/Z в HZ/Z меньше а. Тогда IB/ZI =
= \HZ/Z\. Так как В= (ЯрВ) XZ, то |ЯАВ| = |B/Z| =а.
Если доказать, что | Lcl (ЯРВ) | =2®, то по лемме 2.7 по-
лучим |Ьс1(Я) | ^2“. Поэтому в дальнейшем считаем, что
HZ<$G.
Так как ^XZ)'=Я' и Я не имеет неединичных нор-
мальных подгрупп группы G, то Я'=1. Следовательно,
Я — абелева группа. Пусть Н— X Яр— прямое произве-
р
дение силовских р-подгрупп. Хотя бы для одного р имеем
| Я | = |ЯР| (в противном случае теорема верна для каж-
дой из групп Яр, а потому и для X Яр), Так как, в силу
р
леммы 2.7, | Lcl (Яр) |	| Lcl (Я) |, то теорему достаточно
доказать для Нр. Поэтому далее считаем, что Н является
р-группой.
$ 2j	МОЩНОСТЬ КЛАССбв Lel(tf)
По теореме 1.1 подгруппа Q/Z группы HZ/Z, порож-
денная минимальными нормальными подгруппами груп-
пы G/Z, содержащимися в HZfZ, равномощна HZIZ. От-
сюда | <2Г|Я | = | Н|. По лемме 2.7 | Lcl (QfW) | ^ | Lcl (Я) I.
Следовательно, теорему достаточно доказать для <2Г]Я.
Поэтому считаем, что HZ)Z= X HJZ, где HJZ—неко-
iei
торые минимальные нормальные подгруппы группы G/Z.
Получаем Я= Х^(ЯПЯ«)_.
В силу леммы 2.8, G порождается некоторым набором
своих силовских ^-подгрупп G„ взятых по одной для каж-
дого q из n(G).
Рассмотрим группу T=GPHZ. Пусть наибольшая нор-
мальная в GPHZ подгруппа Я(р> из Я имеет в Я индекс а.
По лемме 2.5 |Ьс1т(Я) |	|Ьс10(Я) |. Теорему достаточно
доказать для T=G. Считаем Н<р\ как и ранее, равной 1.
Так как HZ/Z—произведение минимальных нормальных
подгрупп и T/Z— р-группа, то HZjZ лежит в центре.T/Z.
Лемма 2.12 утверждает в этом случае справедливость
теоремы. Считаем |Я: Я(р) | <<х.
Пусть №— наибольшая подгруппа из Я, нормальная
относительно S = <G9; q=j=p). Так как
= Яо = 1, то | Я: Я^^ | = а. Теперь, в силу леммы 2.9,
мощность множества~групплЯ П Я<, для которых сущест-
вуют такие //-элементы Xi из S, что х71(Я(~|Я<)х^Я|^Я/,
равна а. Но тогда равна а мощность аналогичного мно-
жества для //-элементов х{ из группы G, для некоторого
q=£p. По лемме 2.9 индекс в Я наибольшей нормальной
относительно G, подгруппы из Я равен а. Следовательно,
теорему достаточно доказать для группы G=GqHZ. Рас-
смотрим <G„ Я>. Для всяких xeG„ h^H имеем х~Чгх=
=h'z, h'^H, zeZ. Так как hp= 1, то |h'z\ —р. Из \h'| =р
и перестановочности h' и z следует, что z=l или |z|=p.
Следовательно, D=<G„ Я>Г)2 — элементарная абелева
группа. Отсюда
<G„ Я>=<ЯХЯ) XGe=F.
Ясно,, что Ьс1,(Я)=Ьс1в(Я). Пусть [G„ ЯПЯ<]=Я<.
По теореме Машке о приводимых представлениях

СОПРЯЖЁННЫЕ и лбкдльнб соПряЖ. подгруппы [ГЛ. ш
(ЯПЯ<) XD<=K<xDt, где K<<G. Получаем
Н X D = X (Я П Ht) X D = X Kt X D.
/е/	te/
В результате	'
F = ((X Ki)XGq) x D.
is/
Так как FID финитно аппроксимируема, то F финитно
аппроксимируема. Из теоремы 3.6 гл. II и теоремы 4.9
гл. I получаем, что |Ьс1У(Я) |=2“. Теорема доказана.
Предложение 2.14 (Хартли [80], предложение3).
Если G — локально нормальная группа, Н — ее подгруп-
па, 0=|с1(Я)|, 0= |Ш(Я) |, а= |Я : Яо|, где Н„ — наи-	•
большая нормальная в G подгруппа из Н и а — беско-
нечное число, то
1)	а^2“;
2)	р^р=2а<22₽.
Доказательство. 1) Пусть S — множество пред-
ставителей (по одному из каждого класса) группы G. по
Мв(Я). Тогда |S|=p. Пусть ssS. Так как G локально .
нормальна и Сн ($) ^ЯП$_1Я.$, то индекс ЯП$-1Я« в Я ко-
нечен. Поэтому HF\s~lHs содержит нормальную в Я под- <
группу Я(з) конечного индекса в Я, содержащую Яо. \
Тогда Я0=ПЯ(з). В силу теоремы 1.2 гл. I, Я/Яо— под- j
sss	I
декартово произведение групп Я/Н(з). Следовательно, I
|Я/Я0|<2\	_	_	i
2)	Очевидно, р^р. По теореме 2.13 0=2“. Из 1) еле- *
дует последнее неравенство. Предложение доказано.
Утверждение 0^22р было ранее получено Т. Я. Се-
меновой (см. [49]).
Равенства в предложении 2.14 могут достигаться.
В этом легко убедиться на примере 2.11 гл. II (см. при-
меры из [80]).
§	3. Силовские подгруппы
Силовская р-подгруппа группы G — это р-подгруппа,
которая не содержится ни в какой большей р-подгруппе.
По лемме Цорна ([54], стр. 28) силовские р-подгруппы
существуют в G, если существуют р-подгруппы. Более
§ 3]
СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ
9?
того, любая р-подгруппа содержится в некоторой силов-
ской р-подгруппе. В. случае локально нормальных групп
Бер [65] дал более удобное описание силовских р-под-
групп. В этой теореме допустим некоторую непоследо-
вательность (обычную, в таких случаях) в определениях,
считая силовской р-подгруппой единичную подгруппу,
если в группе нет элементов порядка р.
Теорема 3.1 (Бер (65]). Подгруппа Н локально нор-
мальной группы G тогда и только тогда является силов-
ской р-подгруппой группы G, когда для всякой конечной
нормальной подгруппы F пересечение HP\F—силовская
р-подгруппа группы F.
Доказательство. Пусть Н — силовская р-под-
группа G, F — любая конечная нормальная подгруппа
труппы G. Так как CB(F)<1H, то Cif(F)<3HF. Индекс
CH(F) в Н конечен. Очевидно,
HF/Ca(F) =H/CB(F) -ГСЯ(Г)/СН(Г).
Так как CH(F) — р-группа и так как расширение р-груп-
пы при помощи р-группы — р-группа, то Я/Ся(Р) —си-
ловская р-подгруппа HF/CB(F). Индект H/CB(F) в
HF/CB(F) взаимно прост с р. Поэтому \HF:H\ =
= |F :	| взаимно прост с р. Следовательно, Hf}F —
силовская р-подгруппа в F.
Пусть, обратно, Я(~|Г — силовская р-подгруппа в
каждой конечной нормальной подгруппе F группы G.
Так как Н= (J (ЯГ)/7), то Н — р-группа. Пусть фэЯ,
F
Q— силовская р-подгруппа группы G. Тогда для всякой
конечной нормальной подгруппы F пересечение QC|F —
силовская р-подгруппа группы F. Но MlFsQnF и QAF
также является силовской р-подгруппой в F, т. е. ЯГ)Г=
= Qn^- Отсюда Н— (j (Я(~|Г) = |_J (Q(V)=Q. Теорема
F	F
доказана.
Теорема 3.2 (Гольберг [8], теорема 7). В локально
нормальной группе любые две силовские р-подгруппы ло-
кально сопряжены.
Доказательство. Пусть локально нормальная
группа G = U С,-—объединение конечных нормальных под-
групп.-^Считаем если G;CG/. Пусть Р и Q — две
силовские. р-подгруппы, Р = U (F Г) б«)Г Q = U (Q П
/е/	isl
98
СОПРЯЖЕННЫЕ и ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
По теореме 3.1 РАФ и <2АФ— силовские р-подгруппы
в Gt. По теореме Силова они сопряжены, т. е. существуют
такие Xi^Gt, что х?1 (Pf\G{)xt=Qr]Gt. Пусть Л —группа
внутренних автоморфизмов группы G. Обозначим через
Л ограничение А на G{. Если i^j, то ограничение А, на
Gt равно At. Пусть f#— отображение, которое сопостав-
ляет каждому элементу из А{ его ограничение на G{.
Если	то fufn=fu- Пусть В( — множество всех
автоморфизмов af из At, для которых а<(РАФ) =РАФ-
Через tjt обозначим ограничение fjt на В}. Имеем
Для	Поэтому (см. [41]) существует пол-
ное проекционное множество bt Пусть &=limbj —
локально внутренний автоморфизм, для которого
b(P)=Q (см. теорему 2.11). Теорема доказана.
Лемма 3.3 (Каргаполов [26]). Пусть N — нормаль-
ная подгруппа локально нормальной группы G. Тогда,
если Р — силовская р-подгруппа группы G, то PN/N —
силовская р-подгруппа группы G/N. Обратно, каждая си-
ловская р-подгруппа фактор-группы G/N является обра-
зом некоторой силовской р-подгруппы группы G при
естественном отображении G на G/N.
Доказательство. Пусть Р — силовская р-под-
группа группы G и M/N — произвольная конечная нор-
мальная подгруппа в G/N. В каждом смежном классе
группы М по N возьмем по одному представителю. Из
конечности MJN следует, что они содержатся в конечной
нормальной подгруппе К группы G. Отсюда M=NK. По
теореме 3.1 РАК—силовская р-подгруппа группы К.
Рассмотрим отображение
ф: Nx-+(Nf\K)x,
где хеК. Как известно (и ясно), ф — изоморфизм
M/N=NK/N на KJNflK. При этом изоморфизме
(РАК)К/К переходит в (РАК) (КАК)/КАК. Так как
К — конечная группа и РАК — ее силовская подгруппа,
то . (РАК) (КАК)/КАК— силовская подгруппа группы
К/КАК. Но тогда (Pf)K)N/N, как прообраз при изомор-
физме ф силовской подгруппы, является силовской в
MIN. Очевидно,
рк/к п м/к о (Р А К) к/к a ]M/Kj= (РАК) к/к.
$3]
СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ
99
Так как подгруппа (Pf)K)N/N является силовской в
М/М, то PN/Nr\M/N, K.aK р-группа, ее содержащая, так-
же силовская р-подгруппа в М/N. Теперь, в силу теоре-
мы 3.1, PN/N — силовская р-подгруппа G/N. Лемма до-
казана.
Следствие 3.4 (Каргаполов [26]). Если все силов-
ские р-подгруппы локально нормальной группы сопряже-
ны между собой, то все силовские р-подгруппы любой
фактор-группы также сопряжены между собой.
Теорема 3.5 (Каргаполов [26]). Силовские р-под-
группы локально нормальной группы G сопряжены тог-
да и только тогда, когда их число конечно.
Доказательство. Пусть силовские р-подгруппы
группы G сопряжены. По следствию 3.4 силовские р-под-
группы G/Z(G) также сопряжены. Пусть PI7.(G)—си-
ловская р-подгруппа, P0/Z(G) — наибольшая нормальная
в G/Z(G) подгруппа из P/Z(G). В силу предложения 2.9,
теоремы 3.6 гл. II и теоремы 4.9 гл. I, индекс P^/ZAG)
в P/Z(G) конечен. Это означает, что силовские подгруп-
пы в G/P0~G/Z(G)/P0/Z (G) конечны. Так как G локаль-
но нормальна, то число силовских р-подгрупп в G/Р, ко-
нечно. Поэтому конечно число силовских р-подгрупп в
G/Z(G). Пусть Р4 и Pt — различные силовские подгруп-
пы в G. По лемме 3.3 PjZ(G)/Z(G) и PaZ(G)/Z(G) —си-
ловские подгруппы в G/Z(G). Пусть они равны. Тогда
T=PtZ(G) =PtZ(G) =PiXH=PtxH, где H — совокуп-
ность всех р'-элементов группы Z(G). Разложение груп-
пы Т в прямое произведение единственно из-за того, что
множители не имеют элементов одинаковых порядков.
Следовательно, Pt=P2, в противоречие с их выбором.
Получаем P1Z(G)/Z(G)=5^P2Z(G)/Z(G). Это означает,
что число силовских подгрупп в G конечно.
Обратное утверждение справедливо в более общей
ситуации (см. [40], стр. 346). Для полноты все же его
докажем.
Так как силовских р-подгрупп в G конечное число, то
по теореме 2.13 силовская р-подгруппа Р группы G со-
держит нормальную в G подгруппу Р конечного индекса
в Р. Группа G/Po имеет конечную силовскую р-подгруп-
пу. Поэтому все силовские р-подгруппы G/Pt конечны и
сопряжены. Всякая силовская р-подгруппа из G содер-
жит Ро и, следовательно, является прообразом некоторой
100
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. ш
силовской подгруппы из GfPa. Отсюда следует сопряжен-
ность всех силовских р-подгрупп. Теорема доказана.
Хорошо известна теорема Цассенхауза (см. [82],
стр. 126, 127): если индекс нормальной подгруппы N ко-
нечной группы взаимно прост с |АГ|, то N имеет дополне-
ние и все дополнения сопряжены. Приведем обобщение
этой теоремы.
Максимальную л-подгруппу группы обычно называ-
ют силовской я-подгруппой группы. (Напомним, что
я-группа— это периодическая группа, порядки элемен-
тов которой делятся лишь на простые числа из множест-
ва л.) Определений силовских л-подгрупп и л-групп су-
ществует много. Здесь достаточно этого (как самого про-
стого) .
Теорема 3.6. Нормальная силовская л-подгруппа А
локально нормальной группы дополняема в ней (Черни-
ков [58]); все дополнения к А локально сопряжены.
Доказательство. Группа G — объединение всех
конечных нормальных подгрупп: G = (J G{. Считаем
i&I
тогда и только тогда, когда G.sGj. Так как расширение
л-группы при помощи л-группы — л-группа, то G/А не
имеет неединичных л-подгрупп. Пересечение A{=AC]Gt —
л-подгруппа и А= (J А,. Так как AGi/A;~G</AnGi=
Ге/
= Gi/Ah то Gt/Ai не имеет неединичных л-подгрупп. По
теореме Цассенхауза (см. выше) Gt=AtXHf и все допол-
нения к Ai сопряжены в G{. Обозначим через Ф группу
*внутренних автоморфизмов группы G, через Ф<— огра-
ничение Ф на G{. Пусть Mt — множество всех дополнений
к А{ в Gt. Для i</ определим 6j(: M^Mi следующим об-
разом. Если Н^М,, то &ц(Н}) =H}f]Gt. Действительно,
AjHj=G). Пусть g^Gi. Тогда g=ah, a^Ajt h^Hs. Так как
aGi—h-lGi и порядки их взаимно просты, то aeG, и
h^Gi. Следовательно, H£}G( — дополнение к А{ в G,.
Если	то бм6л=бы. Поэтому существует полное
проекционное множество Н( (i^I) (см. [41]). Пусть
Я= U Ht. Так как 0<=А<Я„ то G = (J G{ = (J AtHi=
i<=J	i<=l iei
--= ( U At) ( (J Ht) =AH. Первая часть теоремы доказана.
Ге/ Ге/
Пусть Н и Q — дополнения к А в G. Обозначим Н<=
Q«=QnG<. Тогда Hi и Q{ — дополнения к А, в
G(. Действительно, если g^G(, то g=ah, aeA, h^H.
$ 3J	СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ	101
Элементы aGt, h~lGt равны и имеют взаимно простые по-
рядки. Поэтому аеСл Следовательно, G{=AtHt.
Также доказывается G{—AiQ{. По теореме Цассенхауза
для Hp=Qi. Пусть Д<— множество таких <реФ<,
что Я? =Q{. Отображение которое для i<Zj сопостав-
ляет его ограничение на G(, отображает А} на At.
Если	то fufn=fu- Поэтому (см. [41]) существует
полное проекционное множество ф< (ie/). Тогда
Ф=Нтф< — локально внутренний автоморфизм с №=(£
(см. теорему 2.11). Теорема доказана.
Продолжим изучение локально нормальных групп в
соответствии с идеями Холла — Черникова о дополняе-
мости подгрупп.
Теорема 3.7 (Черников [58]). Локально нормаль-
ная группа локально разрешима тогда и только тогда,
когда ее силовские р-подгруппы (по всем р) дополняемы.
Доказательство. 1) Пусть локально нормаль-
ная группа G локально разрешима; G= (J Gt, где Gt —
конечные нормальные подгруппы. Так как G локально
разрешима, .то G< разрешимы. Пусть р — фиксированное
простое число, Р — силовская р-подгруппа. По теореме
3.1 Z’QG, — силовская р-подгруппа в G*. В силу резуль-
татов Ф. Холла [76], Gt= (Pf]G{)Ht, где Ht — р'-подгруп-
па из Gt. Обозначим через Af< множество всех дополнений
группы PflGi в Gt. Пусть fa— отображение М} в'М, при
i^j, определенное так: если H}^MS, то fn(Hj) =Hf)Gt.
Покажем, что	Пусть g^Gt. Так как G}=
= (РГ\О])Н5, то g=uh, где uePQGj, h^H}. Элементы
uG{ и h~lG{ равны и имеют взаимно простые порядки. От-
сюда ueGf и /teG«. Это означает, что	Если
то, очевидно, fufn=fhi. Следовательно, существу-
ет полное проекционное множество Н{	Тогда
Я= (J Hi — дополнение к Р в G.
tez
Пусть, обратно, всякая силовская р-подгруппа Р груп-
пы G дополняема в G, т. е. G=PH, Р(~|Я=1. Группа G —
объединение U G< конечных нормальных подгрупп. По
tez	_	_
теореме 3.1 РЛФ— силовская р-подгруппа G«. Пусть
g^Gt. Тогда g=uh, и^Р, h^.H. Так как uGi=h~lGt и по-
рядки их взаимно просты, то ueG, и h^Gt (напомним,
что G<<jG). Это означает, что G{= (PQGj) (ЯЛС<), т. е.
102 сопряженные и локально сопряж. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
каждая силовская р-подгруппа (по любому р) группы Gt
дополняема в Gt. В этом случае группа Gt разрешима
(см. Ф. Холл [78], Чунихин [63]). Итак, G локально раз-
решима. Теорема доказана.
Пусть G — группа, jr(G) —множество простых дели-
телей порядков её элементов. Для каждого pen(G)
возьмем силовскую р-подгруппу Gp. Множество Gp
(p^it(G)) называется полной силовской базой G, если:
1)	G=<Gp;p&i(G)>;
2)	GpGq= GqGp для всех р, (G).
Пусть Нр (ptti(G)) и Qp (pert(G))—две полные
силовские базы группы G. Они называются локально со-
пряженными, если существует такой локально внутрен-
ний автоморфизм <р группы G, что =Q, для всех
pen(G).
Если Н — подгруппа группы G, Нр (p&i(H)) —пол-
ная силовская база Н, то будем говорить, что базу Нр
(р^п(Н)) группы Н можно включить в полную силов-
скую базу группы G, если G имеет полную силовскую
базу Gp (p&t(G)) и для всякого рея (Я) HP^GP.
Теорема 3.8. Локально нормальная группа тогда и
только тогда имеет полную силовскую базу, когда она
локально разрешима (Бер [65]).
Все полные силовские базы локально нормальной
группы локально сопряжены (см. Стоунхьюер [102]).
Всякую полную силовскую базу подгруппы локально
нормальной и локально разрешимой группы можно вклю-
чить в некоторую полную силовскую базу всей группы.
Доказательство. 1) Пусть локально нормаль-
ная группа G имеет полную силовскую базу Gp
(pttt(G)) и F— конечная нормальная в G подгруппа.
Тогда FC(F)/C(F) —подгруппа в G/C(F). По лемме 3.3
G/C(F) имеет полную силовскую базу GPC(F)/C(F)
(pen(G)). Поэтому G/C(F) разрешима (см. [78]); От-
сюда разрешима
FC(F)/C(F)~F/FnC(F).
Так как Ff]C(F) =Z(F), то F разрешима. Это означает,
что G локально разрешима.
2)	Пусть Нр (p&i(G)) и Qp (pert(G)) —две полные
силовские базы группы G. Группа G — объединение
«31
СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ
103
G, конечных нормальных подгрупп. Считаем тог-
да и только тогда, когда G^G,. Группы НРГ]О<=НР( и
Q,>riG<=Qw — силовские р-подгруппы в Gt (см. теорему
3.1)_. Так как 04=<Яр(; pen(G)>=<Qpi; p<=jt(G)>, то
условие 1) в определении полной силовской базы выпол-
нено для групп Нр< и Qpi. Пусть р, q&t(G). Группа
HpHq/Z(HpHq) финитно аппроксимируема (см. предло-
жение 2.9 гл. II). По лемме 3.3 образы Нр и Hq вфактбр-
группах образуют полную силовскую базу. Поэтому ко-
нечные фактор-группы HpHq являются л-группами, где
л={р, q}. Группа HpHq/Z(HpHq)—как поддекартово
произведение конечных л-групп (она периодическая) —
л-группа. Пусть g=ab, а^Нр, b^Hq, — элемент из
Z(HpHq). Тогда [ab, а]=[6, а]=1. Отсюда g— л-элемент.
НРИЧ, как расширение л-группы при помощи л-группы, —
л-группа. Следовательно, Gt(~)HpHq является л-группой.
Так как Н^Н^О^НцНд и |ЯяЯд(| = | 6<ПЯ,Я,|, то
ЯМЯ?<= Gtf\HpHq — группа. Отсюда Яр( (рел(б)) —
полная силовская база группы G{. Так же можно пока-
зать, что (p<=n(G)) —полная силовская база груп-
пы Gi. Как показал Ф. Холл [77], полные силовские базы
конечной группы сопряжены, т. е. в Gt существует такой
элемент х, что х_1<ЭР1х=Яр( (pen(G)).
Пусть Ф — группа внутренних автоморфизмов группы G,
Ф/—ограничение Ф на Gi,	—-множество техфеФь
которые переводят базу Qpi (р & л (G)) в базу И# (р е л(О)).
Пусть fj( — отображение, которое каждому (ре А/ ставит
в соответствие его ограничение на G{. Так как Qpf П Gi —
= Qpi, HPl П G{ = Hpl и (Qp/ n <?,)’= HPl f}Gi, TO Qvpl=Hpt.
Это означает, что ограничение <р на Gi — элемент Д<. Оче-
видно,	для	Существует (см. [41])
полное проекционное множество <pi(ie /) Так как qJ/ —Н,я
и QP = U Qpi, Нр = U Нр[, то = Нр, где ф = li-n ф,—
/е/	is/
локально внутренний автоморфизм (см. теорему 2.11).
Получили, что базы Нр(р^ n(G)) и Qp (р ^n(G)) локально
сопряжены.
3)	Пусть Я — подгруппа локально нормальной и ло-
кально разрешимой группы G. Пусть Нр (рея (Я)) —
полная силовская база группы Я. Группа G — объеди-
«ХУ
104 СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
нение конечных нормальных подгрупп G( Счита-
ем, что эквивалентно G{^G}. Пусть Ht=H(~\Gi
Тогда Н= [| Н{. Как в 2), можно показать, что Нр(=
=Н{Г\Н„ (рел.(Я))—полная силовская база группы Ht.
Как показал Ф. Холл [77], в Gt существует такая полная
силовская база Gpi (рел(б)), что Hpi^Gpi. Объедине-
ние Gp= () Gp< — силовская подгруппа группы G (см.
ieJ
теорему 3.1). Если р, q^n(G), то из GpiGqi=G9iGpt сле-
дует, что GpGg=GqGp. Следовательно, Gp (p&t(G)) —
полная силовская база группы G. Так как
Нр = U HptC U Gpl -= G„,
i&l tel
то силовскую базу Hp (р^л(Н)) можно включить в пол-
ную силовскую базу группы G. Теорема доказана.
Как видим, все силовские результаты, верные в конеч-
ном случае, верны в локально нормальном с заменой со-
пряженности локальной сопряженностью. Можно ли то
же самое сказать о локально конечных группах? Оказы-
вается почти всегда — нет. Каргаполов [28] построил при-
мер периодической разрешимой группы G, которая имеет
следующие свойства;
1) G имеет нормальную, но не дополняемую р-под-
группу;
2) G не имеет полной силовской базы.
Построим другой пример (см. Горчаков [10]), который
решает те же вопросы, но при несколько больших огра-
ничениях.
Пример 3.9. Рассмотрим множество функций <р(п),
ф(п), ... натурального аргумента п, принимающих це-
лые положительные значения. Пусть равенство <р(п) =
=ф(л) выполняется лишь для конечного числа значений
аргумента п. Такие функции будем называть конечно
сцепленными. Множество Af попарно конечно сцеплен-
ных функций будем называть максимальным, если оно
не содержится в другом множестве попарно конечно
сцепленных функций. В силу теоремы Цорна (см., на-
пример, [3], стр. 388), существует хотя бы одно мак-
симальное множество попарно конечно сцепленных
функций.
$3]	СИЛОВСКИЕ, ПОДГРУППЫ	105
Рассмотрим декартово произведение
(fe,r/=l,2, ...)
t(k,i)
неабелевых групп Gu порядка 2ри, где ри — простое чис-
ло. В каждой из групп Gu выберем по два элемента аы и
Ьи второго порядка. В группе G возьмем элементы ап
(и=1, 2, ...) по правилу: проекция элемента ап в группе
Gn, (з=1, 2,...) равна ап„ остальные проекции элемента
ап равны единице, т. е.
=	• • • ^пв ...
Любой функции <р из некоторого (фиксированного) мак-
симального множества М попарно конечно сцепленных
функций поставим в соответствие элемент Ь9 группы G
по правилу: проекция элемента Ь9 в группе О,|ф(1)
(s=l, 2, ...) равна элементу 6,. ф(<), все остальные проек-
ции элемента Ь9 равны единице, т. е.
• • • ^s.<P(s) • • •
Положим Л = <ап; п=1, 2, .. .>, В = (Ь9; ф&М>. Пусть
Н— X Gu (k, 1=1, 2, ...). Покажем, что коммутант N'
группы V, порожденной группами А, В, Н, равен комму-
танту Н' группы Н. Очевидно, для этого достаточно до-
казать, что взаимный коммутант [Л, В] принадлежит
группе Н'.
Все проекции элементов ап (п=1, 2, ...) и 6, (ф&М),
кроме проекций с индексами п, ф(п), перестановочны,
потому
fam =	ф(п)>	»(п|]еЯ •
Следовательно, N'=H'.
Докажем, что коммутант N' группы N не дополняем
в N. Для этого достаточно показать, что в группе ЛГ не
существует силовской 2-подгруппы У2, дополняющей под-
группу N'.
Предположим, что такая подгруппа V2 существует,
т. е. N= V2N'. Тогда любой элемент ап (п= 1, 2,...) пред-
ставим в виде an = vnwn, где t»„eV2, wn<=N'. Элемент о„
отличается от элемента ап лишь конечным числом про-
екций, так как элемент wn^N' имеет конечное число про-
екций, отличных от единицы. Потому существует такой
106 СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
номер s„, что проекция элемента vn с индексами п, sn
равна ап>,п. Пусть <р— функция натурального аргумен-
та п, сопоставляющая натуральному числу п число sn.
Так как М — максимальное множество попарно конечно
сцепленных функций, то в нем найдется функция ф, не
конечно сцепленная с <р, т. е. такая, что равенство <р (п) =
=ф(п) выполняется для бесконечного числа значений
аргумента п. Элемент Ъ* представим в виде b*=v*wt,
где f^eV2, w^N'. Элемент о* лишь конечным числом
проекций отличен от элемента Ъ*. Так как функции <р и ф
не конечно сцепленные, то среди элементов о2, ...
существует бесконечное число элементов, не-
перестайовочных с элементом Пусть [t>A, Так
как силовские р-подгруппы группы G, очевидно, элемен-
тарные абелевы, то мы пришли к противоречию с тем,
что элементы vh, щ принадлежат одной и той же силов-
ской 2-подгруппе V2 группы N.
Следовательно, группа N' не дополняема в группе. N.
Выберем числа ри двумя способами.
1) Пусть рм=Р>т тогда и только тогда, когда k=s и
1=г. В этом случае силовские р-подгруппы группы N при
р^=2 имеют простые порядки. В силу теоремы 5 из ра-
боты Горчакова [9], они дополняемы в N. Любая 2-под-
группа V группы N дополняема в N, так как она имеет
единичное пересечение с N'. Следовательно, в группе N
дополняемы все р-подгруппы по всем р. Коммутант N'
группы N является нормальной л-подгруппой, где л=
= {pw; k, 1=1, 2, ...}. Так что нормальные л-подгруппы
могут быть недополняемыми, если даже все р-подгруппы
по всем р дополняемы. Группа N не имеет полной силов-
ской базы, так как 2-подгруппа из этой базы дополняла
бы N'. Это, в частности, означает, что условие дополняе-
мости силовских р-подгрупп отлично от условия сущест-
вования полной силовской базы, хотя в локально нор-
мальных группах они совпадают (см. теоремы 3.7 и 3.8).
2) Пусть ры=3 для всех k и I. Тогда силовская 3-под-
группа N' группы N не дополняема в N, хотя она нор-
мальна в N.
В связи с теоремой 3.8 уместно напомнить известный
вопрос: является ли локально разрешимой локально ко-
нечная группа, обладающая полной силовской базой?
J 4] КОНЕЧНОСТЬ КЛАССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ПОДГРУПП Ю7
§ 4. Конечность классов сопряженных подгрупп
Лемма 4.1. Пусть А — абелева р-подгруппа локаль-
но нормальной группы G. Если индекс С (Л) в G беско-
нечен, то А содержит подгруппу, которая определяет бес-
конечный класс сопряженных подгрупп.
Доказательство. Так как индекс С(Л) в G
бесконечен, то ЛП2(О) имеет в А бесконечный индекс.
(Будем говорить в таких случаях, что А бесконечна над
центром.) В силу предложения 2.9 гл. II, нижний слой
BZ(G)/Z(G) группы >1Z(G)/Z(G) бесконечен. Так как
B=Z(G) (В|~|Л), то вместо А можно рассматривать ВГ)Л.
Итак, считаем, что 4Z(G)/Z(G) —элементарная абелева
р-группа.
Известно, что Л = X Л<, где А, — локально цикличе-
tez
ские (или циклические) р-группы (см. [29], стр. 79). Пусть
ate4\Z(G). Пусть /t=suppai. Обозначим Л(1>=
=Л("| х А{. Фактор-группа Л/Л(1), как подгруппа пря-
мого произведения конечного числа квазициклических
р-групп, имеет полную (возможно единичную) подгруппу
В,/Л(1) конечного индекса. Так как группа A/AfiZ(G)
элементарна, то Aw (Af)Z(G)) содержит ВР Следова-
тельно, Л(1) бесконечна над центром. Поэтому
Л^’Х/а,, Z(G)> непусто. Возьмем в нем at. Обозначим
/2=/1|Jsupp аг. Фактор-группа Л/Л(2), где Л (2,=ЛП X А{,
имеет полную подгруппу B2/Am конечного индекса. Так-
же В2=Л(2)(ЛПг(О)). Таким образом, можно выбрать
элементы сц (1=1, 2, ...), удовлетворяющие условию
<М=Л<«-«>\<аъ ..., Ф-», Z(G)>,
Л(0 = ЛП X As,
se/\zf
4=4-iUsupp at.
Но тогда B—(ai, аг, .. •>=<о1>Х<йг>Х ..., atZ(G)^=
^a^Z(G) при i=£j.
Итак, положим Л = X	| — Р ,
лпг(С)= х. <af>. Пусть <at> <3 G для всех i. Возьмем
108
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. П1 ж
такой Xi, что x^diXi^ai. Так какб локально нормальна, -г’
то существует такое т > i, что x^ajXi — а/ для всех
Положим bi = асартт ". Имеем
= (аЛ^аГ = ЬоГ.
Так как [а<| = 1^1» то xi'btXi ф <bi>- Итак, мы получили
другое разложение А — X <6/>, все множители которого
1=1,2,...
не нормальны в G.
Если не все множители из 'X <а«> нормальны в G, то
либо среди них бесконечно много нормальных и тогда все
из них можно заменить ненормальными, либо среди мно-
жителей бесконечно много не являющихся нормальными
и тогда будем рассматривать только их. Поэтому счита-
ем, что все множители из А = X <а<> не нормальны в G.
£=1,2,...
Пусть [а,, х1]=с1^<а1>. Существует mlt для которого
Л(1)Х<а1>, где Д(1)= ( X <а<»ПС(х,), не содержит с,.
Либо Д(1) определяет бесконечный класс сопряженных
подгрупп, либо Д(1) имеет нормальную подгрупп В(1) ко-
нечного индекса. (Это следует из этого, что если g71Awgt,
i= 1, 2, ..., п, — все сопряженные с Aw подгруппы в G,
то из конечности индекса C(g<)(~]A(i) в Д(|) следует, что
С (gi) П Д(1) = С (gi) П g?AMg( с Д(1) П g?AWgt
имеет конечный индекс в Д(1). Поэтому N = Q g^A^gi
£==1
нормальна в G и имеет в Л<1) конечный индекс.) Группа
<ах> х В(1) не содержит си и В(1) <| G. Чтобы много раз
не менять обозначений, считаем В(1) = X <«/>. Сущест-
вуют такой х2, что [а2, хг] = са$Ё<а2>, и такой та, что
Д(2) х <аа>, где А(2) = ( х <а<» Л СМ, не содержит с2.
Либо Aw определяет бесконечный класс сопряженных
подгрупп, либо в Aw есть нормальная в G подгруппа В(2)
конечного индекса, В(2)^са. Пусть c2e<at>X<a2>XB(2).
Так как B(1><]G, то с2еВ(1). Это означает, что проекция
j 4] КОНЕЧНОСТЬ КЛАССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ПОДГРУПП 109 ’
Сг на <aj равна 1 Но тогда c2e<a2>XB<2\ что противоре-
чит выбору Вт. Итак, существуют такие элементы а, х.
ct (i= 1,2,...), что [а,, Xt]=Ctf£(fit, а2, .. .у=н,	.
для Группы xr^Hxt (i = l, 2, ...), очевидно, различ-
ны. Действительно, если i</ и х^Нх^х^Нх,, то х<хт»е
eN(/f). Тогда из xjxj1ajx{x^1=xj'1	и того, что ле-
вая часть содержится в Н, получаем, что с^Н в противо-
речие с выбором Cj. Лемма доказана.
Теорема 4.2 (Еремин [22]). Пусть G — локально i
нормальная группа, А — бесконечная над TAG) подгруп-
па с конечным множеством л (А). Тогда в А существует
абелева подгруппа, определяющая бесконечный класс
сопряженных с ней подгрупп группы G.
Доказательство. В силу леммы 2.8, существует
силовская р-подгруппа Р группы А, бесконечная над
центром G. Пусть o4eP\Z_(G). Так как СР(а4) имеет в
Р конечный индекс, то СР(а,) бесконечна над Z(G). По-
этому CP(at) бесконечна над (alt Z(G)>. Пусть
a2eCP(ai)\<ai, Z(G)>. Тогда СР(а1г a2) имеет в Р ко-
нечный индекс. Следовательно, СР(аъ а2) —группа, бес-
конечная над <a1( аг, Z(G)>. Продолжая эти рассужде-
ния, получим абелеву подгруппу 77=<at, a2, .. .> из Р,
бесконечную над Z(G). В силу леммы 4.1, Н содержит
подгруппу, определяющую бесконечный класс сопряжен-
ных подгрупп. Теорема доказана.
Пример 4.3 (Еремин [22]). Условие, что л(А) ко-
нечно, не является в теореме 4.2 лишним. Действительно,
пусть G1=<a<>X<6<> — неабелева группа порядка р4д4,
где pt и qt — простые числа, причем pt=£ps при i^j. Пусть
G= X Gt, А= X (fit). Так как Z(G) =1, то А беско-
fc=l,2,...	f=l,2,...
нечна над центром, но каждая подгруппа из А нормаль-
на в G.
Л е м м а 4.4 (Еремин [22]). Периодическая группа G,
являющаяся расширением своего центра при помощи
слойно конечной группы с конечными силовскими под-
группами, локально нормальна.
Доказательство. Пусть g^G. Тогда g=
=gtgz ...gn — произведение ргэлементов g{ (i= 1, 2, ...
..., п). Если доказать, что классы сопряженных р-эле-
п
ментов конечны при каждом р, то С(^)=П С(£«) имеет
z=i
110
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. III
в G конечный индекс. Тогда конечны все классы сопря-
женных элементов. Группа G/Z(G) для каждого р имеет
конечное множество ргэлементов. Они порождают конеч-
ную нормальную подгруппу F/Z(G). Все p-элементы груп-
пы G содержатся в группе F. Так как группа F имеет конеч-
ное число коммутаторов, то F по лемме 1.1 гл. II локаль-
но нормальна. Коммутант F' группы F конечен. FIF' —
абелева нормальная подгруппа группы GIF'. Так как
G/F'Z(G)—фактор-группа слойно конечной группы с
конечными силовскими подгруппами, то по лемме 3.3 она
такова же. Все p-элементы группы G/F' содержатся в
F/F'. Это означает, что силовская р-подгруппа группы
G/F' нормальна в G/F' и абелева. Так как группа F' ко-
нечна, то из конечности классов сопряженных р-элемен-
тов в G/F' будет следовать их конечность в G. Поэтому
считаем, что P<|G, Р — абелева силовская р-подгруппа
группы G. Группа G индуцирует в Р группу Ф р'-авто-
морфизмов. Пусть Фо — группа автоморфизмов, - дейст-
вующих тождественно на P/PflZ(G). Как стабильная р'-
группа автоморфизмов р-группы, Фо — единичная груп-
па, Ф/Фо — группа автоморфизмов группы P/PDZ(G).
Так как последняя конечна, то группа Ф/Фо конечна.
Итак, Ф конечна. Следовательно, С(Р) имеет в G конеч-
ный индекс, а это означает, что каждый p-элемент имеет
конечное число сопряженных. Как ранее отмечено, отсю-
да следует конечность классов сопряженных элементов
в G. В силу леммы 1.1 гл. II, лемма доказана.
Теорема 4.5 (Еремин [22]). Каждая абелева р-под-
группа периодической группы G тогда и только тогда оп-
ределяет конечный класс сопряженных с ней подгрупп
группы G, когда последняя является расширением своего
центра при помощи слойно конечной группы с конечными
силовскими подгруппами.
Доказательство. Пусть каждая абелева р-под-
группа периодической группы G определяет конечный
класс сопряженных с ней подгрупп. В частности, конеч-
ны классы циклических примарных групп. Отсюда конеч-
ны классы p-элементов по всем р. Так как всякий эле-
мент— произведение p-элементов по некоторым р, то
конечны классы любых элементов группы G. По лемме
1.1 гл. II G локально нормальна. Пусть P/Z(G) —беско-
нечная р-подгруппа группы G/Z(G). В силу леммы 3.3,
$ 4] КОНЕЧНОСТЬ КЛАССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ПОДГРУПП Щ
существует та^я р-подгруппа А, что 4Z(G)/Z(G)«
=P/Z(G). По теореме 4.2 группа А, как бесконечная над
Z(G), имеет абелеву подгруппу, определяющую беско-
нечный класс сопряженных подгрупп. Это противоречит
условию. Следовательно, силовские р-подгруппы в
G/Z(G) конечны. Как показано в § 4 гл. II (см. начало
параграфа), G/Z(G)—слойно конечная группа. В одну
сторону теорема доказана.
Пусть, обратно, G/Z(G) —слойно конечная группа с
конечными силовскими подгруппами. Она локально нор-
мальна (см. лемму 4.4). Пусть А — абелева р-подгруппа
Gj Ее образ в G/Z(G) является р-подгруппой. Но в
G/Z(G) имеется конечное множество p-элементов. Следо-
вательно, Af)Z(G) имеет в А конечный индекс. Так как
A=(Af)Z(G)}K, где К — конечная группа, то С(Д) =
=C(K)=N(A) имеет в G конечный индекс, т. е. Л .имеет
конечное кисло сопряженных подгрупп. Теорема до-
казана.
Т е о р е м а 4.6 (Еремин [22]). Группа является конеч-
ным расширением центра тогда и только тогда, когда все
ее абелевы подгруппы имеют конечное число сопряжен-
ных подгрупп.
Доказательство. Если группа конечна над
центром, то, очевидно, все абелевы подгруппы имеют ко-
нечное число сопряженных подгрупп.
Пусть в группе G конечны классы сопряженных абе-
левых подгрупп. Пусть g^G. Так как C«g>) имеет в
N(<g’>) конечный индекс, то C(g) =C«g’>) также имеет
в G конечный индекс. Классы сопряженных элементов в
G конечны. В силу теоремы 1.4 гл. II, G — подпрямое
произведение абелевой группы без кручения А и локаль-
но нормальной группы В. Пусть И — произвольная абе-
лева подгруппа из В, и пусть К — подгруппа из G, про-
екция которой на В равна Н. Очевидно, К абелева. Так
как сопряженных подгрупп К имеет конечное число, то
и Н имеет в В конечное число сопряженных подгрупп.
Следовательно, теорему достаточно доказать для локаль-
но нормальных групп.
Пусть G локально нормальна. По теореме 4.5
G/Z(G)—слойно конечная группа с конечными силов-
скими подгруппами. Из теоремы 4.1 гл. II следует, что
G/Z(G)—тонкое подпрямое произведение конечных
*12
СОПРЯЖЕННЫЕ И ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖ. ПОДГРУППЫ [ГЛ. Ill
групп. Если среди множителей произведения лишь конеч-
ное множество неабелевых, то в G/Z(G) имеется абелева
подгруппа D/Z(G) конечного индекса. Группа D/Z(G)==
= X DP/Z(G)—прямое произведение силовских р-
pe=n(G)
подгрупп. Так как D локально нормальна, то существует
такая силовская р-подгруппа Н9, что Z)P=//PZ(G) (см.
лемму 3.3). [Яр, //JsZ(G) влечет [Нр, Я4]=1. Следова-
тельно Р= X Яр.
рея(С)
Если бесконечное количество силовских р-подгрупп
Яр (рея) содержат циклические подгруппы <АР>, не нор-
мальные в Яр, то X <йр> — абелева подгруппа, имею-
рея
щая бесконечно много сопряженных подгрупп. Следова-
тельно, для всех pen(G) все подгруппы в Яр, кроме ко-
нечного числа р, абелевы. Так как все они содержат абе-
леву подгруппу конечного индекса, то D содержит абеле-
ву подгруппу Я конечного индекса. Это означает, что
G=HK, где л — конечная нормальная подгруппа. Тогда
СЯ(К) имеет в G конечный индекс и лежит в Z(G).
В этом случае теорема доказана.
Пусть среди множителей тонкого подпрямого разло-
жения группы G/Z(G) бесконечно много неабелевых.
Тогда G/Z(G) содержит бесконечную подгруппу
D/Z(G)= X <Z(G)ap>, где <Z(G)cp> не нормальна в
р=я
G/Z(G), а„ — p-элементы. Как и выше, можно показать,
что D — прямое произведение силовских подгрупп. Под-
группа X <ар> имеет бесконечно много сопряженных
рея
подгрупп, что противоречит условию. Теорема доказана.
С л е д с т в и е 4.7 (Б. Нейман [89]). Группа' конечна
над центром тогда и только тогда, когда все ее подгруп-
пы определяют конечные классы сопряженных подгрупп.
Следствие 4.8 (Фукс [74]). Группа — конечное
расширение периодической локально циклической цент-
ральной подгруппы тогда и только тогда, когда все клас-
сы изоморфных подгрупп в ней конечны.
Теорема 4.9 (Томкинсон [107]). Пусть G — гомо-
морфный образ подпрямого произведения конечных
групп, Н — подгруппа из G. Тогда с1(Я)=Ьс1(Я) в том
и только в том случае, если cl (Я) конечен.
Вытекает из теоремы 4.9 гл. !.<
ЛИТЕРАТУРА
1.	Абрамовский И. Н., 6 подгруппах прямых произведений-
конечных групп, IX Всесоюзный алгебраический коллоквиум.
Резюме научных сообщений, Гомель, 1968, 3—4.
2.	А б р а м о в с к и й И. Н., Подгруппы прямых произведений
групп, В сб. «Некоторые вопросы теории групп и колец», Ин-т
физики СО АН СССР, Красноярск, 1973, 3—8.
3.	Б у р б а к и Н., Теория множеств, «Мир», 1965.
4.	Б у р б а к и Н., Общая топология. Основные структуры, «Нау-
ка», 1968.
5.	Б у р б а к и Н., Общая топология. Топологические группы, чис-
ла и связанные с ними группы и пространства, «Наука», 1969.
6.	Берлинков М. Л., О структуре подгрупп-слойно-конечной
группы, УМН 12, № 4 (1957), 267—271.
7.	Гельфанд А. В., Некоторые оценки индекса центра в FIZ-
группе, В сб. «Теория групп .и некоторые вопросы алгебры»,
Пермский гос. ун-т, 1975, 29—45.
8.	Гольберг П. А., Силовские л-подгруппы локально нормаль-
ных групп, Матем. сб. 19 (1946), 451—460.
9.	Горчаков Ю. М., Примитивно факторизуемые группы, Учен,
зап. Пермского гос. ун-та 17, № 2 (1960), 15—31.
10.	Горчаков Ю. М., Примарно факторизуемые группы, ДАН
СССР 134, № 1 (1960), 23—24.
11.	Горчаков Ю. М., О вложимости локально нормальных групп
в прямые произведения конечных групп, ДАН СССР 138, № 1
(1961), 26—28.
12.	Горчаков Ю. М., О локально нормальных группах, ДАН
СССР 147, № 3 (1962), 537—539.
13.	Горчаков Ю. М., О локально нормальных группах, Матем.
сб. 67, № 2 (1965), 244—254.
14.	Горчаков Ю. М., Локально нормальные группы, II Всесоюз-
ный симпозиум по теории групп (Батуми, 1966). Резюме, Тби-
лиси, 1967, 10—12.
15.	Горчаков Ю. М., Локально нормальные группы, Сиб. матем.
ж. 12, № 6 (1971), 1259—1272.
16.	Горчаков Ю. М., Теоремы типа Прюфера — Куликова, Алге-
бра и логика 13, № 6 (1974), 655—661.
17.	Горчаков Ю. М., Подгруппы локально нормальных групп,
Пятый Всесоюзный симпозиум по теории групп (Краснодар,
' 1976). Тезисы докладов, Новосибирск, 1976, 21.
18.	Горчаков Ю. М., Подгруппы прямых произведений, Алгебра
и логика 15, № 6 (1976), 622—627.
19.	Дицман А. П., О р-группах, ДАН СССР 15 (1937), 71—76.
114
ЛИТЕРАТУРА
20.	Д и ц м а н А. П., О центре р-групп, Труды семин. по теорйй
групп, 1938, 30—34.
21.	Еремин И. И., Группы с конечными классами сопряженных
абелевых подгрупп, ДАН СССР 118, № 2 (1958), 223—224.
22.	Еремин И. И., Группы с конечными классами сопряженных
абелевых подгрупп, Матем. сб. 47, № 1 (1959), 45—54.
23.	Е р е м и н И. И., О центральных расширениях с помощью тонких
слойно-конечных групп, Изв. вузов, Математика 2 (1960),
93—95.
24.	Еремин И. И., Группы с конечными классами сопряженных
бесконечных подгрупп, Уч. зап. Пермского гос. ун-та 17, № 2
(1960), 13—14.
25.	Еремин И. И., О группах с конечными классами сопряжен-
ных подгрупп с заданным свойством, ДАН СССР 137, № 4
(1961), 772—773.
26.	Каргаполов М. И., О сопряженности силовских р-подгрупп
локально нормальной группы, УМН 12, № 4 (1957), 297—300.
27.	Каргаполов М. И., К теории полупростых локально нор-
мальных групп, Научн. докл. высшей школы, физ.-матем. науки,
№ 6 (1958), 3—7.
28.	Каргаполов М. И., Некоторые вопросы теории нильпотент-
ных и разрешимых групп, ДАН СССР 127 (1959), 1164—1166.
29.	Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории
групп, «Наука», 1977.
30.	Келли Дж. Л., Общая топология, «Наука», 1968.
31.	Куликов Л. Я., К теории абелевых групп произвольной мощ-
ности, Матем. сб. 16 (1945), 129—162.
32.	Курдаченко Л. А., FC-группы со слойно-конечной перио-
дической частью, Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории
групп. Тезисы докладов, Новосибирск, 1973, 93—98.
33.	Курдаченко Л. А., Некоторые обобщения слойно-конечных
групп, В сб. «Группы с заданными свойствами подгрупп», Ин-т
матем. АН УССР, Киев, 1973, 270—308.
34.	Курдаченко Л. А., Про деяк! узагальнення шарово-скшчен-
них труп, Доповш АН УССР, (А), № 3 (1974), 213—216.
35.	К у р д а ч е н к о Л. А., Непериодические группы с ограничениями
для слоев элементов, Укр. матем. ж. 26, № 3 (1974), 386—389.
36.	Курдаченко Л. А., FC-группы со слойно-конечной перио-
дической частью, В сб. «Некоторые вопросы теории групп», Ин-т
матем. АН УССР, Киев, 1975, 160—172.
37.	Курдаченко Л. А., fc-группы с ограниченными в совокупно-
сти порядками элементов периодической части, Сиб. матем. ж.
16, №6 (1975), 1205—1213.
38.	К у р Д а ч е н к о Л. А., FC-группы, периодическая часть которых
вкладывается в прямое произведение конечных групп, Пятый
Всесоюзный симпозиум по теории групп (Краснодар, 1976). Те-
зисы докладов, Новосибирск, 1976, 49—50.
39.	Курдаченко Л. А., FC-группы, периодическая часть кото-
рых вкладывается в прямое произведение конечных групп.
Матем. заметки 21, № 1 (1977), 9—20.
40.	К у р о ш А. Г., Теория групп, «Наука», 1967.
41.	Курош А. Г., Черников С. Н., Разрешимые н нильпотент-
ные группы, УМН 2, № 3 (1947), 18—59.
ЛИТЕРАТУРА
115
£
42.	Мальцев А/ И;, О гомоморфизмах на конечные группы, Уч.
зап. Ивановского пед. ин-та 18 (1958), 49—60.
43.	Половицкий Я. Д., Слойно-экстремальные группы, Матем.
сб. 56, № 1 (1962), 95—106.
44.	Половицкий Я. Д., О локально экстремальных и слойно
экстремальных группах, Матем. сб. 58, № 2 (1962), 685—694.
45.	Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, «Наука», 1973.
46.	Розенфельд X. М., Некоторые классы бесконечных групп
с заданными свойствами индексов, Уч. зап. Пермск. ун-та 22
(1962), 58—64.
47.	Розенфельд X. М., О локально нормальных группах с од-
ним свойством индексов инвариантных подгрупп, Уч. зап.
Пермск. ун-та 103 (1963), 73—76.
48.	С е м е н о в а Т. Я., О нильпотентных подгруппах ГС-групп,
В сб. «Некоторые вопросы теории групп и колец», Ин-т физики
СО АН СССР, Красноярск, 1973, 150—159.
49.	Семенова Т. Я., О сравнении мощности класса локально со-
пряженных подгрупп с мощностью класса сопряженных под-
групп, Всесоюзный алгебраический симпозиум. Тезисы докла-
дов. Часть первая, Гомель, 1975, 162.
50.	Семенова Т. Я., Одно достаточное условие принадлежности
локально нормальной группы прямому многообразию, порожден-
ному классом конечных групп, Пятый Всесоюзный симпозиум
по теории групп (Краснодар, 1976). Тезисы докладов, Новоси- '
бирск, 1976, 79.
51.	Трахтенберг А. М., Подгруппа Фраттини FC-группы, Ма-
тем. исслед. 7, № 2 (1972), 248—252, 293.
52.	Федоров Ю. Г., О бесконечных группах, все нетривиальные
подгруппы которых имеют конечный индекс, УМН 6, № 1 (1951),
187—189.
53.	Фукс Л., Об абелевых группах, в которых классы изоморфных
собственных подгрупп содержат одинаковое число подгрупп, Че-
хосл. матем. ж. 2 (77) (1952), 387—390.
54.	Холл М., Теория групп, ИЛ, 1962.
55.	Черникова Н. В., Группы с дополняемыми подгруппами,
Матем. сб. 39 (1956), 273—292.
56.	Черников С. Н., К теории бесконечных р-групп, ДАН СССР
50 (1945), 71—74.
57.	Черников С. Н., Бесконечные слойно-конечные группы,
Матем. сб. 22 (1948), 101—133.
58.	Черников С. Н., О дополняемости силовских л-подгрупп в
некоторых классах бесконечных групп, Матем. сб. 37 (1955),
557—566.
59.	Черников С. Н., О группах с конечными классами сопряжен-
ных элементов, ДАН СССР 114 (1957), 1177—1179.
60.	Черников С. Н., О строении групп с конечными классами со-
пряженных элементов, ДАН СССР 115 (1957), 60—63.
61.	Черников С. Н., О слойно-конечных группах, Матем. сб. 45
(1958), 415—416.
62.	Черников С. Н., Условия конечности в общей теории групп,
УМН 14, № 5 (1959), 45—96.
63.	Ч у н и х и н С. А., О разрешимых группах, Изв. НИИММ Том-
ского гос. ун-та 2 (1938), 220—223.
116
ЛИТЕРАТУРА
64.	Шмидт О. Ю., Избранные труды, Изд-во АН СССР, 1959.
65.	Baer R., Sylow theorems of infinite groups, Duke Math. J. 6
(1940), 598—614.
66.	Baer R., Representations of groups as quatient groups, II. Mini-
mal centrals chains of a group, Trans. Amer. Math. Soc. 58 (1945),
348—389.
67.	Baer R., Endlichkeitskriterien fur Kommutatorgruppen, Math.
Ann. 124 (1952), 161—177.
68.	Baer R., Finiteness properties of groups, Duke Math. J. 15
(1948), 1021—1032.
69.	В i г к h о f f G., Subdirect unions in universal algebras, Bull.
Amer. Math. Soc. 50 (1944), 764—768.
70.	В r i d e I a i n M., Second nilpotent BFC-groups, J. Austral. Math.
Soc. 11 (1970), 9—18.
71.	Ehrenfeucht, A., Jaber V., Do infinite nilpotent groups al-
ways have equipotent abelian subgroups, Indaget. math. 34,
№ 3 (1972), 202—209.
72.	Erdos J., The theory of groups with finite classes of conjugate
elements, Acta Math. Sci. Hungar. 5 (1954), 45—58.
73.	Fuchs L., Uber die Zerlegung einer Gruppe nach zwei Unter-
gruppen, Monatsch. Math. 57 (1953), 109—112.
74.	Fuchs L., On groups with finite classes of isomorphic subgroups,
Publ. Math. Debrecen 3 (1954), 243—252.
75.	H a i m о Franklin, Groups with a certain condition on conju-
gates, Canad. J. Math. 4 (1952), 369—372.
76.	Hall Ph., A note on soluble groups, J. London Math. Soc. 3
(1928), 98—105.
77.	Hall Ph., On the Sylow systems of a soluble group, Proc. Lon-
don Math. Soc. 43 (1937), 316—323.
78.	Hall Ph., A characteristic property of soluble groups, J. London '
Math. Soc. 12 (1937), 198—200.
79.	Hall Ph., Periodic FC-groups, J. London Math. Soc. 34 (1959),
289—304.
80.	Hartly B., Subgroups of locally normal groups, Compositio ma-
thematica 32, № 2 (1976), 185—201.
81.	Hartly B., Sylow subgroups of locally finite groups, Proc.
London. Math. Soc. 23 (1971), 159—192.
82.	Hup pert B., Endliche Gruppen, I, Springer — Verlag, Berlin-
Heidelberg— New York, 1967.
83.	Macdonald I. D., A class of FC-groups, J. London Math. Soc.
34 (1959), 73—80.
84.	Me у n Helmut, FC-groups and related classes, Rend. Sem.
Math. Univ. Padova 47 (1972), 65—75.
85.	M i 11 e r G. A., Moreno H. C., Non-abelian groups in which
every subgroups is abelian, Trans. Amer. Math. _Soc. 4 (1903),
398—404.
86.	Neumann В. H., Groups with finite classes of conjugate ele-
ments, Proc. London Math. Soc. 1 (1951), 178—187.
87.	N e u m a n n В. H., Groups covered by permutable subsets. J. Lon-
don Math. Soc. 29 (1954), 236—248.
88.	Neumann В. H., Groups covered by finitely many cosets, Publ.
Math. Debrecen 3, № 3—4 (1954), 227—242.
г
ЛИТЕРАТУРА	117
89.	Neumann В. Н., Groups with finite classes of conjugate sub-
groups, Math. Z. 63 (.1955), 76-96.
90.	Neumann В. H., Isomorphism of Sylow sybgroups of infinite
groups, Math. Scand. 6 (1958), 299—307.
91.	Neumann P. M., An improved bound for BFC p-groups, J.
Austral. Math. Soc. 11 (1970), 19—27.
92.	N i c h i g 6 r i N о b о r u, On some properties of FC-groups, J. Sci.
Hiroshima Univ., Ser. A, 21 (1957/58), 99—105.
93.	R e m a к R., Uber die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte
unzerlegbare Faktoren, J. reine angew. Math. 139 (1911), 293—
308.
94.	R e m a к R., Uber die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte
unzerlegbare Faktoren, J. reine angew. Math. 153 (1923), 131—
140.
95.	R e m a к R., Uber minimale invariante untergruppen in der Theo-
rie der endlichen Gruppen, J. reine angew. Math. 162 (1930),
1—16.
96.	R e m a к R., Uber die Darstellung der endlichen Gruppen als Un-
tergruppen direkter Produkte, J. reine angew. Math. 163 (1930),
1  44.
97.	R e m a к R.. Uber die erzeugenden invarianten Untergruppen der
subdirekten Darstellungen endlicher Gruppen, J. reine angew.
Math. 164 (1931), 197—242.
98.	R e m a к R., Uber Untergruppen direkter Produkte von drei Fakto-
ren, J. reine angew. Math. 166 (1931), 65—100.
99.	Remak R., Schiefelbusch Lary, The Trofimov number of
some infinite groups with finiteness conditions, Arch. Math. 18
(1967), 122—127.
100.	S с о 11 W. R., On a result of В. H. Neumann, Math. Z. 66 (1956),
240.
101.	Schur J., Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch
gebrochene lineare Substitutionen, J. reine angew. Math. 127
(1904), 20—50.
102.	Stonehewer S. E., Locally soluble FC-groups. Arch. Math. 16
(1965), 158—177.
103.	Stonehewer S. E., Formations and a class of locally soluble
groups, Proc. Cambridge Phil, Soc. 62 (1966), 613—635.
104.	Stonehewer S. E., Some finiteness conoitions in locally so-
luble groups, J. London Math. Soc. 43 (1968), 689—694.
105.	Takeyiro Seki, Uber die Existenz der Zerfallungsgruppe in
der Erweiterungstheorie der Gruppen, TOhoku Math. J. 48 (1941),
235—238.
106.	Tomkins on M. J., Local conjugacy classes, Math. Z. 108
(1969), 202—212.
107.	Tom к inson M. J., Local conjugacy classes, II, Arch. Math.
20 (1969), 567—571.
108.	T о m к i n s о n M. J., f-injectors of locally soluble FC-groups.,
Glasgow Math. J. 10 (1969), 130—136.
109.	Tom к ins on M. J., Formations of locally soluble FC-groups,
Proc. London Math. Soc. 19 (1969), 675—708.
110.	Tomkinson M. J., Extraspecial sections of periodic FC-groups,
Comp Math. 31 (1975), 285—302.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм внутренний 3 — локально внутренний 3 Высота элемента 7 Группа автоморфизмов стабильная ПО —	без центра 67 —	квазициклическая 68 —	конечная над центром 4 —	локально конечная 106 —	— ндрмальная 3, 48 —	— разрешимая 106 		 циклическая 83 —	накрывающая 23 —	примерная 6 —	разлагается в прямое произведе- ние подгрупп 26 —	разложимая в поддекартово про- изведение 16 — с конечными классами сопряжен- ных элементов 3 —	слойно конечная 75 —	финитно аппроксимируемая 63 —	черннковская 80 Класс локально сопряженных под- групп 10, 86 —	сопряженных подгрупп 10 Лбкально сопряженные подгруппы 3 	 силовские базы 102 Множитель декартова произведения 13 Носитель подгруппы 14 — элемента 14	Отображение Ремака 14 Подгруппа бесконечная над центром 107 —	минимальная нормальная 16 —	сервантная 57 —	ящичная 17 Полная силовская база 102 Полное проекционное множество 98 Проекция подгруппы 14 — элемента 13 Произведение групп декартово 13 	 поддекартово 14 	подпрямое 27 	полупрямое 24 	прямое 15 	тонкое подпрямое 76 	прямое 75 Прямое многообразие, порожденное классом групп 40 —	произведение подгрупп 26 р-элемент 76 р'-автоморфизм ПО р'-элемент 89 Л-группа 100 Расширение центральное 11 Силовская р-подгруппа 3, 96 — Л-подгруппа 100 Тихоновская топология 17 Универсальная алгебра 17 Условие конечности 3 Цоколь группы 82 Ящик группы 17
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................  ;	i . i i . .	3
Г л а в a I
Декартовы и прямые произведения.......................  13
§ 1.	Подгруппы декартовых произведений ....	13
§ 2.	Метод Ф. Холла представления группы гомоморфны-
ми образами поддекартовых произведений ...	22
§ 3.	Подгруппы прямых произведений..................26
§ 4.	Гомоморфные образы подпрямых произведений .	.	40
Глава II
Представления в прямых произведениях конечных групп .	48
§ 1.	Сведение к периодическому	случаю...............48
§ 2.	Теоремы типа Прюфера — Куликова................53
§ 3.	Финитно аппроксимируемые локально нормальные
группы.............................................63
§ 4.	Слойно конечные группы.........................75
Глава III
Сопряженные и локально сопряженные подгруппы ....	81
§ 1.	Существование нильпотентных подгрупп ....	81
§ 2.	Мощность классов локально сопряженных подгрупп	86
§ 3.	Силовские подгруппы............................96
§ 4.	Конечность классов сопряженных подгрупп .	.	.	107
Литература............................................. 113
Предметныйуказатель....................................118
Юрий Михайлович Горчаков
ГРУППЫ С КОНЕЧНЫМИ КЛАССАМИ
СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(Серия: «Современная алгебра»)
М., 1978 г. 120 стр.
Редактор Ф. И. Кизнер.
Техн, редактор С. Я. Шкляр.
Корректоры В. П. Сорокина, Е. В. Сидоркина.
ИБ № 11174 .
Сдано в набор 28.10.77. Подписано к печати 21.02.78. Т-05143.
Бумага 84X108732» тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 6,3. Уч.-изд. л. 6,53.
Тираж 6000 экз. Заказ № 4786. Цена книги 45 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция фнзико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»,
Москва, Шубинский пер., 10.

45 коп.
Алгебра — одна из наиболее под-
вижных частей математики. Последнее
по счету крупное изменение ее струк-
туры произошло в середине 20-го ве-
ка, когда из чисто теоретической нау-
ки, снабжавшей идеями и методами
более «прикладные» разделы мате-
матики, алгебра сама стала «приклад-
ной» наукой, найдя непосредственные
контакты с обширной областью син-
теза и математического обеспечения
вычислительной техники, с физикой и
другими отраслями науки. Это послу-
жило одним из стимулов к современ-
ному подъему алгебраических иссле-
дований, созданию новых алгебраиче-
ских дисциплин и коренной пере-
стройке ряда классических областей
алгебры.
В серии «Современная алгебра»
публикуются монографии, содержа-
щие изложение современного состоя-
ния новых или наиболее быстро ме-
няющихся разделов алгебры и смеж-
ных областей математики. Особое
внимание уделяется освещению не-
решенных вопросов и перспектив раз-
вития соответствующих разделов нау-
ки. Как правило, монографии этой се-
рии независимы друг от друга и рас-
считаны на квалифицированных чита-
телей: научных работников, аспиран-
тов и студентов старших курсов уни-
верситетов, занимающихся математи-
кой и математическими вопросами
других наук.
л