/
Текст
ДИНАМИКА
ПОЛЕТА
В НЕСПОКОЙНОЙ
АТМОСФЕРЕ
Ю. П. ДОБРОЛЕНСКИИ
Динамика
полета
в неспокойной
атмосфере
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1969
УДК 620.7.915.073
В книге рассматриваются особенности динамики самолета, обусловлен-
ные движением воздуха относительно земной поверхности. Основное вни-
мание уделено влиянию на полет самолета турбулентного движения возду-
ха. Во многих рассмотренных случаях одновременно дается аналитическая
оценка воздействия дискретного прямоугольного порыва ветра. Результаты
аналитического исследования движения самолета в турбулентной атмосфере
сравниваются с данными летных экспериментов.
Систематизированы сведения по кинематике турбулентного движения
воздуха и дан обзор методов аналитического описания этого движения.
Подробно описан способ получения уравнений продольного и бокового дви-
жения самолета с учетом ветра. Получены передаточные функции для
параметров, характеризующих как движения центра тяжести, так и угло-
вые движения самолета при воздействии порывов ветра. С помощью этих
передаточных функций оценено установившееся движение самолета при
воздействии дискретных прямоугольных порывов.
Анализ динамики самолета в турбулентной атмосфере проводится
путем моделирования уравнений движения на аналоговых машинах. Этим
методом получены среднеквадратичные значения и спектральные плотности
параметров движения самолета при полете с зажатыми рулями и при
использовании автопилота. Оценено влияние турбулентности и характе-
ристик самолета на его движение. Показано, что использование авто-
пилота приводит к некоторому уменьшению возмущений параметров
полета в этих условиях.
Рассмотрены различные методы парирования нагрузок на самолет,
обусловленных действием порывов ветра, и дана оценка возможностей
этих методов.
Приведены уравнения, описывающие процессы взлета и посадки при
наличии ветра и рассмотрен ряд примеров, поясняющих использование
этих уравнений.
В приложениях содержатся некоторые характеристики самолетов и
краткие сведения о методике получения и обработке данных о порывах
ветра и параметрах движения самолета в турбулентной атмосфере.
Книга рекомендуется инженерам авиационной промышленности. Вместе
с тем она будет полезна студентам старших курсов авиационных инсти-
тутов.
Таблиц — 20. Иллюстраций — 159. Библиогр. назв. — 52.
Рецензент канд. техн, наук Л. Г. Сапронкин
Редактор канд. техн, наук О, К. Соболев
5—1968
2-4-3
Предисловие
Исследования динамики полета самолета в настоящее время
проводятся по двум основным направлениям. К первому направ-
лению относится определение диапазона скоростей, взлетно-по-
садочных данных, скороподъемности, потолка, дальности и дру-
гих летных характеристик самолета. Второе направление связано
с исследованием устойчивости и управляемости самолета, причем
сюда же следует отнести учет влияния упругости его конст-
рукции.
Из указанного большого круга задач динамики полета в дан-
ной книге рассматриваются лишь те, при решении которых суще-
ственную роль играет движение воздуха относительно земной
поверхности (ветер). Но даже и после такого ограничения круг
вопросов, подлежащих рассмотрению, остается достаточно боль-
шим. По этой причине автор не претендует на исчерпывающее
освещение всех проблем, связанных с полетом самолета в неспо-
койном воздухе. Основное внимание в книге уделено динамике
полета в условиях турбулентной атмосферы, т. е. в условиях, так
называемой, «болтанки».
В первой главе систематизированы материалы по характери-
стикам постоянной и переменной составляющих ветра. Приводи-
мые результаты экспериментального исследования поля скоро-
стей ветра в турбулентной атмосфере подтверждают возможность
использования для описания этого поля аппарата стационарных
случайных функций.
Вторая глава посвящена получению уравнений динамики са-
молета в неспокойном воздухе и методам моделирования движе-
ния самолета в условиях турбулентной атмосферы. Рекомендова-
ны структурные схемы формирующих фильтров для получения
спектральных плотностей и дисперсий как ветра, так и парамет-
ров возмущенного движения самолета в турбулентной атмосфере.
В третьей и четвертой главах достаточно детально рассматри-
вается продольное и боковое движение самолета в неспокойном
воздухе. Выявлено влияние масштаба турбулентности на спек-
тральные плотности и дисперсии параметров движения в этих
условиях. Рассмотрено влияние некоторых характеристик автопи-
3
лотов на динамику полета при порывах ветра. Для продольного
движения приведена методика учета влияния таких факторов как
нестационарность обтекания, размах крыла, плечо хвостового
оперения и упругость конструкции. Для бокового движения
оценено значение неравномерности распределения скорости вер-
тикального порыва по размаху крыла.
Пятая глава содержит краткое описание пассивных и актив-
ных систем парирования нагрузок на самолет, возникающих под
воздействием порывов ветра. Дана оценка вероятности достиже-
ния в полете допустимых значений перегрузки. Установлено, что
использование автопилота, стабилизирующего угол тангажа, при-
водит к уменьшению вероятности выхода самолета на предельно
допустимые углы атаки.
В шестой главе рассмотрены некоторые вопросы динамики
взлета и посадки самолета в неспокойном воздухе.
Автор благодарен И. С. Захарову и А. П. Калугину за помощь
в описании характеристик постоянной составляющей ветра.
Автор считает также своим долгом выразить признательность
В. И. Фуникову и Г. Д. Петрову, выполнившим моделирование
динамики полета самолета в турбулентной атмосфере (резуль-
таты приведены в гл. 3—5).
Все критические замечания и пожелания по содержанию кни-
ги автор просит направлять по адресу: Москва, И-51, Петров-
ка, 24, издательство «Машиностроение».
ГЛАВА I
Движение воздуха
относительно
земной поверхности
§ 1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Движение самолета происходит в общем случае под
действием следующих сил: тяги двигателя, силы тяжести и аэро-
динамических сил, обусловленных взаимодействием самолета
с воздушной средой. Точки приложения, величины и направления
этих сил определяют как траекторию центра тяжести самолета,
так и угловые движения его относительно центра тяжести. На
тягу двигателя и аэродинамические силы оказывает существенное
влияние распределение по траектории полета самолета таких
метеорологических факторов как ветер, температура, давление,
плотность и влажность воздуха. Чтобы прогнозировать метеоус-
ловия по маршрутам полетов, на метеостанциях производится
периодическое измерение основных метеорологических факторов,
а также ряда других параметров (облачность, осадки, дальность
видимости), знание которых необходимо для обеспечения полетов.
Из всех метеорологических факторов на динамику полета наи-
большее влияние оказывает ветер. Ветром, в широком смысле
слова, называется любое движение воздуха относительно земной
поверхности. Движение воздуха вызывается отличием действи-
тельного распределения давления в атмосфере от гипотетического
распределения, соответствующего неподвижной атмосфере. Пер-
вопричиной, вызывающей нарушение равновесного состояния
атмосферы, является неравномерный нагрев различных частей
атмосферы прямым и отраженным солнечным излучением. Сле-
довательно, движение атмосферы поддерживается за счет энергии
солнечной радиации. Это движение имеет турбулентный, т. е.
хаотический, случайный характер. Однако некоторые составляю-
щие этого движения характеризуются настолько большими мас-
штабами, что с точки зрения динамики полета их можно рассмат-
ривать как движение с постоянной скоростью. К таким дви-
жениям, несомненно, .можно отнести глобальное движение
воздушных масс, в котором среднее значение скорости ветра
сохраняется постоянным или почти постоянным в течение полета
самолета на расстояние в сотни километров. К подобного же
5
рода движениям относятся струйные течения. Струйными тече-
ниями называются горизонтальные потоки воздуха в верхней
тропосфере или в стратосфере, имеющие на определенной высоте
четко выраженный максимум скорости. Длина струйных течений
исчисляется тысячами, а ширина — сотнями километров. Толщи-
на струйного течения невелика и обычно лежит в пределах 2—
5 км.
Движения воздуха очень больших масштабов происходят над
ограничивающей их земной поверхностью. Поэтому среднее на-
правление ветра в вертикальной плоскости практически совпа-
дает в данной точке с горизонтальным направлением. Эти гори-
зонтальные и постоянные (с точки зрения воздействия на само-
лет) скорости движения воздуха оказывают существенное влия-
ние на решение навигационных задач *. Кроме того, сильный
ветер значительно осложняет, а иногда делает невозможным
взлет и посадку самолета.
Описанным крупномасштабным движениям атмосферы всегда
сопутствуют движения воздуха значительно меньшего масштаба,
называемые турбулентностью. Под турбулентностью атмосферы
с точки зрения практики полетов самолетов принято понимать
такое ее состояние, когда в определенной области имеют место
порывы ветра, случайные как по величине, так и по направлению,
протяженностью в несколько километров и меньше. Ниже будут
рассмотрены различные виды турбулентности атмосферы. Здесь
же ограничимся кратким перечнем задач, при решении которых
необходимо учитывать динамику полета самолета в турбулент-
ной зоне.
Полет в турбулентной атмосфере связан с появлением пере-
грузок, линейных колебаний центра тяжести самолета и угловых
колебаний относительно центра тяжести («болтанка»). При высо-
кой интенсивности турбулентности перегрузки могут достигать
настолько значительной величины, что самолет теряет управляе-
мость, а в исключительных случаях — разрушается. Поэтому ме-
тоды динамики полета, позволяющие достаточно точно опреде-
лить перегрузки, которые действуют в центре тяжести в других
точках конструкции самолета при полете в турбулентной атмос-
фере, представляют несомненный интерес.
Линейные и угловые колебания самолета, вызываемые поле-
том «в болтанку», оказывают существенное влияние на качество
работы устанавливаемого на некоторые современные самолеты
оборудования: фотоаппаратуры, радиолокационных станций и
прецизионных приборов. Когда самолетом управляет летчик, в
силу случайного характера его воздействий на органы управления
при полете в болтанку, аналитические расчеты указанных колеба-
ний весьма затруднительны и обычно для этой цели использова-
лись экспериментальные данные. В настоящее время в связи с
* Эти задачи в данной книге не рассматриваются.
6
широким использованием автопилота для управления самолетом
возникла возможность аналитически определять линейные и угло-
вые колебания самолета в турбулентной атмосфере на большин-
стве этапов полета.
Ниже приводятся некоторые экспериментальные данные, ха-
рактеризующие движение воздуха относительно земной поверх-
ности, и аналитические зависимости, полученные путем аппрокси-
мации этих экспериментальных данных.
§ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОСТОЯННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВЕТРА
Для каждого конкретного полета и экипаж самолета и руко-
водитель полетов имеют данные о силе и направлении постоянной
составляющей ветра на аэродромах взлета и посадки. Эти дан-
ные используются экипажем при расчете и выполнении взлета и
посадки. Метеослужба сообщает также экипажу ориентировочные
сведения о ветре на маршруте, которые уточняются экипажем
в процессе полета при штурманских расчетах.
Однако часто возникает необходимость оценить влияние ветра
на динамику не в конкретном полете, а для всех полетов, которые
будут производиться самолетом данного типа во время его экс-
плуатации. Эта задача стала особенно актуальной в связи с все
более широким использованием систем автоматического управ-
ления самолетом, для которых ветер является одним из основных
возмущающих воздействий.
Для решения этой задачи в полном объеме необходимо рас-
полагать некоторыми общими характеристиками распределения
скорости и направления ветра в любой момент времени для каж-
дой точки в рассматриваемом районе от уровня земли до предель-
ных высот полета самолета. Поскольку, как указывалось в §1.1,
движение атмосферы является турбулентным процессом, ско-
рость и направление ветра в каждой точке и в каждый момент
времени имеют случайный характер. В настоящее время полные
характеристики поля скоростей ветра отсутствуют. Поэтому ниже
будут приведены лишь некоторые характеристики средней ско-
рости ветра, которые могут быть использованы при анализе дина-
мики полета самолета.
Для тропосферы закономерно возрастание скорости ветра по
мере увеличения высоты. Максимальное значение скорости ветра
в тропосфере обычно наблюдается вблизи тропопаузы. Если над
местом измерения вертикального профиля скорости ветра прохо-
дит струйное течение, то максимум скорости ветра выражен очень
резко. На рис. 1.1 приведена типичная зависимость скорости по-
стоянной составляющей ветра 1FO от высоты * yg при интенсивном
В динамике полета координаты центра тяжести самолета принято изме-
рять в земной системе координат xg, yg, zg причем ось xg этой системы сов-
падает с направлением полета, а ось yg — вертикальна.
7
струйном течении [1]. Поскольку этот профиль состоит из отрез-
ков прямых, для каждого из этих отрезков можно указать вели-
чину вертикального градиента скорости ветра. Эти величины по-
казаны на рис. 1.1 справа. Подчеркнем, что действительный вер-
тикальный профиль скорости ветра меняется в широких пределах
как в зависимости от географического положения данного пункта,
так и от времени года и суток. Максимальные значения скорости
ветра на оси струйного течения могут колебаться в пределах
30—200 м/сек. Нижний предел скорости ветра (30 .м/сек) условно
считается минимальным значением для струйных течений. Верх-
ний предел (200 м/сек) близок к максимальным значениям ско-
рости ветра, зарегистрированным при наблюдениях струйных те-
чений. Средняя скорость тропосферных струйных течений на ос-
новании данных, приведенных в [2], составляет 40—50 м/сек.
Рис. 1.1. Типичный профиль скорости
ветра в районе интенсивного струйно-
го течения. Значения у g приведены
в км
Высота струйного течения,
т. е. высота, на которой ско-
рость ветра максимальна,
также колеблется в широких
пределах. Так, например, над
Москвой высота струйных
течений изменяется в преде-
лах от 5 до 17 км [2]. Зимой
в тропосфере в умеренных
широтах наблюдаются боль-
шие скорости ветра, чем ле-
том.
В нижней части страто-
сферы скорость ветра умень-
шается, причем летом эта
скорость в умеренных широ-
тах на высотах около 25 км
падает до нуля. Последнее
связано с переменой преоб-
ладающего направления вет-
ра с западного на восточное (обращение ветра). Начиная с вы-
соты около 25 км скорость ветра увеличивается с увеличением
высоты, достигая максимума на высотах 50—60 км. Среднее зна-
чение скорости ветра на этой высоте составляет 80—100 м/сек
зимой и 60—80 м/сек летом [2].
В стратосфере, как и в тропосфере, имеют место струйные
течения, однако они изучены пока очень слабо.
Для анализа динамики взлета и посадки самолетов следует
более подробно рассмотреть имеющиеся данные о скорости ветра
в приземном слое атмосферы. Вследствие трения потока воздуха
о земную поверхность и местные предметы скорость ветра на
малых высотах (начиная с 100—200 ж) резко падает при умень-
шении высоты. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 1.2, на
котором приведены усредненные за год профили ветра на малых
8
высотах в районе Ленинграда [3]. Эти графики показывают, что
на очень малых высотах ветер днем оказывается большим, чем
ночью. Выше точки, которая для данной местности лежит на вы-
соте около 50 м, ветер в ночное время становится большим, чем
в дневное. Хотя приведенный профиль скорости ветра на малых
высотах и является типичным по форме, но нужно иметь в виду,
что все характеристики таких профилей в очень сильной степени
зависят от метеорологических условий в приземном слое. Суще-
ствует большое число различных формул для аналитического
расчета этого профиля [4]. Однако
все эти формулы требуют знания
различных параметров, зависящих
от метеоусловий. Очевидно, что та-
кого рода формулы непригодны для
общей оценки влияния ветра на ди-
намику самолета, который непрерыв-
но проходит через районы с изменя-
ющимися метеоусловиями. Для ре-
шения этой задачи нужны осреднен-
ные статистические характеристики
ветра на малых высотах, полученные
в результате обработки эксперимен-
тальных данных.
В ряде работ показано, что вер-
тикальный профиль постоянной со-
ставляющей скорости ветра на ма-
лых высотах может быть приближен-
но описан степенным законом:
Рис. 1.2. Профили ветра на ма-
лых высотах:
/ — день (от 10 до 17 час); 2 — ночь
(от 22 до 5 час); 3 — сутки
(у л V
/
(1.1)
где Wo — математическое ожидание постоянной составляющей
ветра;
yg — высота над земной поверхностью;
п—показатель степени, величина которого зависит от
метеоусловий.
Индексом «1» отмечены опорные значения высоты и скорости
ветра, на базе которых строится профиль.
Наибольшая высота, для которой можно использовать выра-
жение (1.1), ограничена значениями z/g = 300—500 м.
Величины показателя степени п, по данным работы [5], заклю-
чены в пределах 0,145—0,77, а по данным работы [6] — в преде-
лах 0,1—0,4. В результате обработки значительного количества
экспериментальных данных установлено, что среднее значение п
лежит в пределах 0,15—0,2. Для опорной высоты t/gi = 10 м реко-
мендуется принимать значение математического ожидания сред-
него ветра ^01=3—4 м/сек. Профиль среднего ветра на малых
9
высотах, получаемый на основании (1.1) при п=0,2 и Wai =
=4 м/сек (yg\—\S) м), показан на рис. 1.3.
Как указывалось выше, постоянная составляющая скорости
ветра является случайной величиной. В связи с этим для анализа
влияния этой составляющей на полет самолета необходимо знать
вероятность встречи самолета с ветром той или иной скорости.
Экспериментальные данные по распределению вероятности по-
стоянной составляющей модуля скорости ветра для определенной
высоты над земной поверхностью достаточно хорошо согласуются
Рис. 1.3. Профиль средне-
го значения ветра на ма-
лых высотах
Рис. 1.4. Функция распреде-
ления вероятности встречи
ветра со скоростью, большей
некоторого значения W
с распределением Релея. Плотность распределения Релея для
этого случая определяется выражением
4 • (L2)
Z W о
где W — значение постоянной составляющей модуля скорости
ветра, вероятность встречи которого в полете на высоте
yg определяется;
Wo — среднее значение скорости ветра для полета на высоте
yg, получаемое на основании (1.1).
По плотности распределения (1.2) может быть получена функ-
ция распределения, показывающая вероятность встречи самоле-
та, летящего на высоте yg, с ветром, постоянная составляющая
скорости которого превышает заданный уровень. Эта функция
описывается выражением
« ГУ \2
F(W)=e 4^«/. (1,3'
Ю
На рис. 1.4 приведен график функции распределения вероят-
ности, построенный на основании (1.3). Он может применяться
для оценки условий большого (в пределе бесконечно большого)
числа полетов. Значения F(W) можно интерпретировать так же,
как отношение суммарной длительности тех участков полетов,
для которых скорость ветра превышает заданный уровень, к об-
щему времени полетов, если это время очень велико.
Использование распределения Релея равносильно допущению
о равной вероятности для направления ветра, что не* может силь-
но противоречить действительности, если иметь в виду, что рас-
сматриваются осредненные на большой территории характеристи-
ки направления ветра. Следует, однако, оговориться, что если эти
осредненные характеристики ветра в приземном слое использу-
ются для оценки динамики взлета и посадки, то применение рас-
пределения Релея приводит к существенным погрешностям. Это
обусловлено тем, что взлетно-посадочные полосы ориентируются
по преобладающему направлению наиболее сильных ветров в
районе аэродрома.
§ 1.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТМОСФЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В § 1.1 указывалось, что для оценки воздействия на полет
самолета скорость ветра условно рассматривается в виде суммы
двух составляющих — постоянной и переменной. Переменная со-
ставляющая скорости ветра и характеризует турбулентность
атмосферы. Турбулентным принято называть неупорядоченное,
хаотическое движение воздуха в атмосфере. В данной книге
будет рассматриваться такое турбулентное движение воздуха, при
котором скорости в любой рассматриваемой точке области, где
это движение имеет место, являются случайными функциями
координат этой точки и времени, причем функциями, которые
могут быть описаны методами теории вероятности [7].
Непосредственной причиной возникновения турбулентности' в
атмосфере являются вертикальные и горизонтальные градиенты
температуры и скорости ветра. В работе [8] указываются следую-
щие явления, обуславливающие турбулентный характер движе-
ния воздуха в атмосфере:
1) трение воздушного потока о поверхность земли и местные
предметы, вызывающие появление вертикальных и горизонталь-
ных градиентов скорости ветра;
2) вертикальные потоки воздуха, обусловленные неодинако-
вым нагревом различных участков земной поверхности; эти пото-
ки порождают так называемую термическую или конвекционную
турбулентность;
3) процессы облакообразования, связанные с появлением зна-
чительных градиентов температуры и скорости ветра;
4) взаимодействие воздушных масс с различным термическим
11
режимом, формирующих атмосферные фронты с большими гори-
зонтальными градиентами температуры и скорости ветра;
5) большие градиенты ветра на границах струйных течений;
6) деформация воздушных течений горами и возвышенно-
стями.
По происхождению, характеру и энергетическим процессам
весь диапазон движений воздуха в атмосфере может быть разбит
на три интервала:
1) интервал крупномасштабных движений воздуха;
2) инерционный интервал;
3) вязкий интервал.
Основная часть солнечной энергии, за счет которой поддер-
живается турбулентное движение, вносится в атмосферу движе-
ниями крупномасштабного интервала. Эти движения обуслов-
лены нарушением равновесного состояния атмосферы при нерав-
номерном нагреве ее за счет прямой и отраженной солнечной
радиации. Хотя эти горизонтальные крупномасштабные движе-
ния воздуха, как указывалось выше, также имеют турбулентный
характер, однако при изучении динамики полета они могут рас-
сматриваться как ветры постоянной скорости.
Очевидно, что в этом крупномасштабном интервале движение
воздуха имеет четко выраженную анизотропию, обусловленную
ограничивающим влиянием земной поверхности и зависимостью
характеристик атмосферы от высоты данной точки над этой по-
верхностью.
Энергия крупномасштабных движений передается порывам
ветра более мелкого масштаба, которые обычно относят к инер-
ционному интервалу турбулентности. В этом интервале вихревое
движение воздуха теряет непосредственную связь с вызвавшим
его крупномасштабным движением воздуха.
Вихревые порывы в инерционном диапазоне не имеют пред-
почтительного направления и в статистическом смысле их можно
рассматривать как изотропные. Естественно, что размеры наи-
больших вихрей, относящихся к инерционному интервалу, зави-
сят как от высоты рассматриваемой точки атмосферы, так и от
метеорологических условий, вызвавших турбулентность. Непо-
средственно к земной поверхности примыкает пограничный слой,
высота которого в зависимости от метеорологических условий
колеблется в пределах нескольких сотен метров [9]. Выше распо-
лагается так называемая свободная атмосфера, для которой пре-
дельно большие размеры вихрей в инерционном интервале изме-
ряются величинами от нескольких сотен метров [10] до нескольких
километров [48].
Предельно малые размеры вихрей в инерционном интервале
ограничены вязким интервалом, охватывающим область наиболее
высоких частот движения частиц воздуха. В вязком интервале
происходит превращение основной части механической энергии в
тепловую за счет сил вязкого трения. В работе [9] приведены дан-
12
ные относительно граничных размеров вихрей вязкого интервала.
Для свободной атмосферы размеры этих вихрей измеряются не-
сколькими сантиметрами. Таким образом, инерционный интервал
турбулентного движения в атмосфере охватывает диапазон вих-
рей от нескольких сот метров (или нескольких километров) до
нескольких сантиметров и представляет наибольший интерес в
смысле воздействия на динамику современных самолетов. По
мере роста скоростей полета самолетов все большее значение для
динамики полета приобретают порывы большей протяженности,
лежащие за пределами инерционного диапазона.
Если в процессе преобразования механической энергии круп-
номасштабных движений атмосферы в энергию теплового движе-
Рис. 1.5. Схема турбулентного потока воздуха в
приземном слое
ния молекул газов, входящих в состав воздуха, поступает больше
энергии, чем выделяется, то избыток энергии идет на увеличение
интенсивности турбулентного движения. Если же в тепло пере-
ходит больше энергии, чем ее поступает от крупномасштабных
движений воздуха, то турбулентность вырождается. Однако
процессы развития и вырождения турбулентности являются до-
статочно длительными и с точки зрения воздействия на быстро
летящий самолет турбулентность обычно рассматривается как
установившийся, т. е. сбалансированный в энергетическом отно-
шении процесс. Поэтому в данной книге не будут рассматривать-
ся вопросы динамики турбулентности.
Приведем некоторые данные о конкретных видах турбулент-
ности атмосферы.
Турбулентность в пограничном с земной поверхностью слое
атмосферы возникает в результате взаимодействия потока с зем-
ной поверхностью, действия конвективных потоков воздуха и
влияния вертикальных и горизонтальных градиентов скорости
ветра и температуры. На рис. 1.5 показана схема турбулентного
13
потока в приземном слое. На высотах, близких к высоте пре-
пятствий и ниже, турбулентность в некоторой степени отражает
геометрическую форму этих препятствий. По мере увеличения
высоты турбулентное движение воздуха становится случайным.
Характеристики потока в приземном слое [9] при безразлич-
ной стратификации атмосферы* не должны существенно отли-
чаться от достаточно хорошо исследованных характеристик в
турбулентном пограничном слое на плоской пластинке, продувае-
мой в аэродинамической трубе. Однако при изменении стратифи-
кации на устойчивую или неустойчивую характеристики движе-
ния воздуха в пограничном слое изменяются весьма существенно.
Рис. 1.6. Повторяемость толщин турбулентных зон:
1 — данные для северных широт СССР; 2 — данные для умеренных ши-
рот СССР; 3 — данные для южных широт СССР; 4 —канадские данные
Хотя изучение этих характеристик и ведется достаточно интен-
сивно, оно еще далеко до своего завершения. Достаточно полный
обзор имеющихся данных о турбулентности в приземном слое
приведен в работе [9].
В начале этого параграфа были указаны причины возникнове-
ния турбулентности в свободной атмосфере. Турбулентные зоны
в свободной атмосфере располагаются в виде сравнительно тон-
ких слоев, занимающих большие площади с довольно четкими
границами.
На рис. 1.6 приведены кривые, характеризующие повторяе-
мость в процентах толщин таких зон для Канады (кривая 4) и
для различных широт Советского Союза (кривые 1—3) [8].
Графики показывают повторяемость толщин, меньших, чем значе-
ния, отложенные по оси абсцисс. Кривые на рис. 1.6 показывают,
что, например, толщины зон, меньшие 1000 м, встречаются в се-
верных широтах Советского Союза приблизительно в 90% слу-
чаев, в умеренных — в 85%, в Канаде — в 75% и в южных
широтах — в 70% случаев. Максимальная толщина турбулентных
* Стратификацией атмосферы называется распределение температуры в
атмосфере по высоте, от которого зависит интенсивность процессов конвекции.
14
зон почти никогда не превосходит 2000 м. Отсюда вытекает, что
для выхода из зоны «болтанки» в тех случаях, когда это допу-
стимо -по условиям полета, следует изменить высоту.
На рис. 1.7 приведены кривые (8] повторяемости горизонталь-
ных размеров турбулентных зон. Смысл этих кривых тот же, что
и кривых на рис. 1.6. Кривые на рис. 1.7 показывают, например,
что для СССР протяженность турбулентной зоны, меньшая
20 км, встречается примерно в 20% случаев, а протяженность,
меньшая 100 км, — в 70% случаев.
Рис. 1.7. Повторяемость горизонтальных размеров
турбулентных зон:
1 — данные для умеренных широт СССР; 2 — канадские дан-
ные; 3 —данные США
Следовательно, время полета самолета в турбулентных зонах
довольно значительно и для современных самолетов измеряется
минутами.
Зоны турбулентности обычно содержат облака или же распо-
лагаются вблизи мощных кучевых облаков. Эти признаки преду-
преждают экипажи самолетов о возможном попадании в турбу-
лентную зону. Однако турбулентные зоны могут встретиться и
при безоблачной погоде. Они возникают на границе струйного
течения, а также при появлении местных градиентов скорости
ветра, вызванных обтеканием воздухом горных хребтов. В насто-
ящее время не существует бортовых средств для прогнозирования
встречи с турбулентностью при ясной погоде, благодаря чему
встреча с такой зоной является для экипажа самолета, как пра-
вило, внезапной.
Наибольшую опасность для полета самолета представляет
турбулентность при грозах. Летные инструкции для всех типов
самолетов запрещают заход самолета в грозовые зоны. Положе-
ние этих зон определяется наземными средствами метеослужбы,
а также установленными на самолетах многих типов бортовыми
15
локаторами для обнаружения гроз. Несмотря на все это, бывают
случаи попадания самолетов в грозовые зоны. Поэтому грозовая
турбулентность исследуется достаточно интенсивно.
На рис. 1.8 приведено относительное расстояние полета в усло-
виях турбулентности в зависимости от высоты [1]. Турбулентность
условно разделена на грозовую и негрозовую. Следует иметь в
виду, что графики на рис. 1.8 получены путем обработки боль-
шого статистического материала и поэтому справедливы только
для оценки средних условий при большом числе полетов. Эти
графики объективно отражают вероятность встречи с турбулент-
ностью по высотам с учетом
мер по обходу или выходу
из турбулентных зон. Эта
поправка особенно сущест-
венна для оценки условий
попадания в грозовую тур-
булентность. По мнению
автора работы [1], действи-
тельная протяженность гро-
зовых зон на порядок вы-
ше, чем показано на рис.
1.8, б, где кривые построены
с учетом применяемых в по-
летах мер по обходу гроз.
Как показывает график
на рис. 1.8, а, наиболее ча-
сто встречается турбулент-
Рис. 1.8. Относительное расстояние поле-
та в турбулентной атмосфере в зависи-
мости от высоты:
а — общие данные; б — полет в грозовых ус-
ловиях
ность на малых высотах, т. е. термическая или конвенционная
турбулентность. При увеличении высоты вероятность полета в
турбулентных условиях уменьшается. Лишь несколько ниже
тропопаузы наблюдается некоторое увеличение этой вероятности
из-за наличия на этой высоте струйных течений. Выше тропо-
паузы и в нижней стратосфере вероятность попадания в зону
турбулентности продолжает уменьшаться.
В заключение этого параграфа приведем табл. 1.1, в которой
показано, как оценивается воздействие турбулентной атмосферы
на самолет. Результат этого воздействия («болтанка») опреде-
ляется по амплитуде нормальной перегрузки, испытываемой в
полете.
Таблица 1.1
Характеристика .болганки* самолета Интенсивность .болтанки* в баллах Диапазон приращений перегрузки
Слабая О* Дпу <0,20
Умеренная а* Длу <0,50
Сильная аЗ Дпу <1,0
Штормовая а4 ДПу >1,0
16
Представляют также интерес данные по оценке летчиками
интенсивности турбулентности и соответствующие этой оценке
среднеквадратичные значения вертикальной перегрузки. Эти дан-
ные получены экспериментально в результате полетов на скоро-
стных истребителях [49]. Они являются довольно грубыми и могут
использоваться лишь для ориентировочной оценки интенсивности
турбулентности.
Результаты исследований сведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Оценка летчиком интенсивности турбулентности Среднеквадратичные значения перегрузки
Пренебрежимо слабая Слабая Умеренная Сильная Очень сильная 0,05 0,1 0,1-0,15 0,2—0,3 0,3
§ 1.4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕМАТИКИ
ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ
Для исследования динамики полета в турбулентной атмосфере
необходимо располагать аналитическим методом описания поля
скоростей ветра. В настоящее время для описания неспокойной
атмосферы с целью определения
ее воздействия на самолет приме-
няются два метода: метод дис-
кретных порывов и метод непре-
рывных случайных порывов. Пер-
вый метод появился значительно
раньше второго и до сих пор ши-
роко используется для расчета
нагрузок от вертикальных поры-
вов ветра на вновь создаваемые
самолеты. Метод дискретных по-
рывов основан на следующих до-
пущениях:
Рис. 1.9. Стандартная форма
дискретного порыва
1) форма дискретного порыва считается фиксированной;
2) под действием порыва самолет -может только перемещать-
ся по вертикали, не меняя угла тангажа;
3) динамические свойства всех самолетов одинаковы.
На рис. 1.9 показана стандартная форма дискретного порыва,
используемая для расчета нагрузок. Линейный участок нараста-
ния скорости (длины А) называется «градиентным участком»,
ь качестве независимой переменной принимается расстояние х,
проходимое самолетом за время t с постоянной скоростью V.
17
При указанных допущениях замеренные в полете прираще-
ния вертикального ускорения Ап„ пересчитываются в скорости
вертикальных порывов ветра по формуле
IT =. . 2G/S- Длу, (1.4)
где G — вес самолета;
р — массовая плотность воздуха;
V — скорость полета;
S — площадь крыла;
С* — производная по углу атаки от коэффициента подъемной
силы;
k — коэффициент ослабления перегрузки за счет «градиент-
ного участка» порыва.
Этот коэффициент вычисляется по формуле
где
c;gfk
v=--------
2G/S
и g — ускорение силы тяжести.
При расчете Wy по формуле (1.4) в качестве Anv используют-
ся амплитудные значения приращения перегрузки, зарегистри-
рованные акселерометрами, устанавливаемыми на самолете при
его нормальной эксплуатации или при полетах для исследова-
ния турбулентной атмосферы.
Необходимо отметить, что вычисленная по формуле (1.4)
скорость порыва не является истинной скоростью воздуха, так
как допущения, сделанные при получении этой формулы, явля-
ются достаточно грубыми. Однако предполагается, что использо-
вание этих скоростей порывов при вычислении нагрузок от ветра
для другого самолета дает приблизительно верные результаты.
Из самого характера приведенных выше допущений следует, что
метод дискретных порывов почти не связан с реальным характе-
ром порывов ветра в атмосфере, и его применение может дать
удовлетворительные результаты только для динамически подоб-
ных самолетов.
В данной книге будет применяться второй метод, при котором
используется статистическое описание поля скоростей ветра. Этот
метод в настоящее время широко применяется в работах по
динамике полета в неспокойной атмосфере. Статистический метод
позволяет значительно точнее описать реальные процессы движе-
ния воздуха в атмосфере, чем метод дискретного порыва, хотя
также требует введения некоторых допущений. Эти допущения
сводятся к следующему:
18
1) поле скоростей ветра на определенных участках турбулент-
ной атмосферы является однородным и изотропным;
2) для летящего самолета поле скоростей ветра является
«замороженным», т. е. не меняется со временем (гипотеза Тей-
лора).
Более подробно смысл и значение указанных допущений
будет раскрыт ниже.
Перейдем к аналитическому описанию поля скоростей ветра.
Поскольку заранее оговорено, что рассматриваемая случайная
составляющая скорости ветра является случайной функцией, то
для ее полного описания необходимо получить корреляционную
функцию или спектральную плотность, а также закон распреде-
ления мгновенных значений скорости ветра.
Как уже неоднократно указывалось выше, полный вектор
ветра W может быть условно представлен как сумма постоянной
W'o и переменной w составляющих:
IF=iF0+w. (1.5)
Ниже в этой главе_будет рассматриваться только переменная
составляющая ветра w, которая считается случайной функцией
времени и координат определенной точки поля. Рассмотрим две
точк1Гполя скоростей в данный момент времени. При таком усло-
вии w будет случайной функцией только координат пространства.
Пусть одна точка поля определяется радиусом-вектором х, а
любая другая — вектором г, проведенным из конца вектора х.
Будем полагать, что рассматриваемая турбулентность воздуха
является однородной и изотропной. Под «однородной турбулент-
ностью» понимается турбулентное движение, вероятностные ха-
рактеристики которого одинаковы для всего рассматриваемого
поля скоростей ветра. Под «изотропной турбулентностью» пони-
мается турбулентное движение, вероятностные характеристики
которого не зависят от направления г, по которому рассматри-
вается корреляционная связь между скоростями в двух точках
поля. Из общей теории однородной и изотропной турбулентности
следует, что для описания поля скоростей в этом случае доста-
точно знать две корреляционные функции для проекций вектора
скорости на оси прямоугольных координат [11]. При эксперимен-
тальном исследовании турбулентности в качестве таких функций
берут корреляционные функции для проекций вектора скорости
w на направления: совпадающее с вектором г (продольная), и
перпендикулярное к нему (поперечная). Геометрический смысл
этих проекций поясняется рис. 1.10, а. На основании рис. 1.10, а
получаем выражения для продольной и поперечной корреляцион-
ных функций *:
* См. «Приложение D».
19
/?Дг)=тоДх)-®Дх4-г), (1.6)
/?n(r) = w„(x)w„(x + r). (1.7)
Черта над произведением мгновенных значений скоростей в
(1.6) и (1.7) обозначает операцию осреднения. Знак вектора в
аргументе корреляционных функций опущен, так как в изотроп-
ной турбулентности эти функции инвариантны к повороту векто-
ра г. Функции Rt(r) и Rn(r) не являются независимыми. Соглас-
но [11] для изотропной и однородной турбулентности связь меж-
ду этими функциями определяется соотношением
Рис. 1.10. Составляющие скорости ветра: ____
а — продольные и поперечные по отношению к направлению г, по ко-
торому рассматривается корреляционная связь; б — перекрестные
На основании общей теории турбулентности [11] все перекрест-
ные корреляционные функции вида (рис. 1.10,6) тождественно
равны нулю:
^(r) = w/(x)w„(x4-r)=0,
Найдем вид корреляционных функций для проекций вектора
ветра w на оси декартовых координат. Пусть вектор скорости
ветра w в точке с координатами х, у, z (рис. 1.11) имеет состав-
ляющие о»ж(х, у, z), wy(x, у, г), wz{x, у, г). Тогда в точке 1 с ко-
ординатами х+Дх, у, z вектор скорости ветра будет иметь проек-
ции а\(х+Дх, у, г), а>у(х+Дх, у, г), а»г(х4-Дх, у, z). Соответ-
ственно, в точке 2 с координатами х, у+&у, z проекции будут
иметь вид wx(x, у+Ьу, z), wy(x, y+by, г), wz(x, y+ky, z), и в
20
точке 3 с координатами х, у, z+bz — aix(x, у, z+\z), wy(x, у, z+
+te), wz(x, у, z+Az) *.
Сравнивая расположение проекций векторов скорости на
рис. 1.11 и 1.10, на основании формул (1.6), (1.7) и (1.9) полу-
чаем следующие очевидные соотношения.
На основании формулы (1.6)
Wx(X, у, z)wx(x-\-^x, у, z)=wy(x, у, z)wy(x, у + ^у, z)=
=™г(х, У, z)w,(x, у, z-j-Az) = Rt(г). (1.10)
Рис. 1J1. Составляющие ветра по осям
декартовой системы координат в четырех
точках поля скоростей ветра
При этом под г понимается та координата, по которой рассмат-
ривается корреляционная связь.
На основании формулы (1.7)
wy(x, у, z)wy(x-LAx, у, z)=w.(x, у, z)«l(x-]-Ax, у, z) =
=wx(х, у, z) wx (х, у -4- A#, z; == w. (x, у, z) ISO, (X, у -j- Al/, z)=
=™r(x, y, z) wx(x, y, z-f- A.')=®y (X, y, z) Wy (X, I/, z + Az) =
= #n(r). (1.11)
На основании формул (1.9) остальные восемнадцать корреляци-
онных функций вида U'-w, и w.wx тождественно равны
нулю.
Поскольку в каждой из приведенных в (1.10) и (1.11) корре-
ляционных функций изменяется только один аргумент, вычисле-
_* Чтобы не затемнять чертежи, на рис. 1.11 надписи у проекций вектора
w в точках 2 и 3 не сделаны.
21
ние любой из этих функций производится на основании общей
формулы *
х
Х~Ю° ЛЛ J
—X
Характер корреляционных функций (г) и 7?п(г) был уста-
новлен при помощи экспериментов в аэродинамических трубах,
в которых создавалась практически однородная и изотропная
турбулентность. В результате обработки указанных эксперимен-
тов для продольной и поперечной корреляционных функций
были получены аппроксимирующие аналитические выражения
следующего вида [12]:
/?Дг)=^е“|г,''\ (1.12)
(1-13)
2 —2 —2
где aV!=‘Wt='wn —среднее
Рис. 1.12. Графики нормированных
корреляционных функций продоль-
ной и поперечной составляющей
скорости ветра
значение квадрата (дисперсия)
любой компоненты скорости тур-
булентного движения воздуха;
L — так называемый масштаб
турбулентности.
Непосредственной подстанов-
кой можно убедиться, что аппро-
ксимирующие формулы (1.12) и
(1.13) удовлетворяют соотноше-
нию (1.8).
Графики функций Rt(f) и
/?п(г) в нормированной форме
приведены на рис. 1.12. Эти гра-
фики показывают, что масштаб
турбулентности L является удоб-
ной характеристикой линейных
размеров области, в которой соответствующие составляющие
скорости коррелированы заметным образом. Необходимо заме-
тить, что масштаб турбулентности L в формулах (1.12) и (1.13)
принят одинаковым чисто формально. Из графиков на рис. 1,12.
видно, что функция Rn(r) резче спадает к оси абсцисс, чем функ-
ция Rt(r). Если определить масштаб турбулентности как инте-
грал от нормированной корреляционной функции, то получим
следующие значения масштабов для продольной и поперечной
корреляционных функций:
о© оо
Lt=— \ Rt(r)dr=\er-^>Ldr=L,
J J
W о 0
(1.14)
♦ См. «Приложение D>.
22
£„=Ц-Л Rn(r)dr = \(\—r]2L}e~^Ldr — L]2. (1.15)
J J
о 0
Формулы (1.14) и (1.15) показывают, что продольный мае*
штаб в два раза больше поперечного. Это обстоятельство всегда
нужно иметь в виду при использовании формул (1.12) и (1.13),
где оно не отражено в явной форме вследствие применения в
обеих формулах одного и того же параметра L.
Поскольку ниже для анализа динамики самолета будут ши-
роко использоваться частотные методы, возникает необходимость
перейти от корреляционных функций к спектральным плотностям.
Спектральная плотность случайного стационарного процесса
связана с его корреляционной функцией выражением *
оо
S(2)=—/?(r)cos2rrfr, (1.16)
Л J
о
где Q — пространственная угловая частота, если г — простран-
ственная координата;
Й=2л/Х. (1.17)
В формуле (1.17) А есть длина волны спектральных состав-
ляющих скорости турбулентного движения воздуха.
Подставляя в (1.16) значения продольной и поперечной кор-
реляционных функций из (1.12) и (1.13), получаем выражения
для соответствующих спектральных плотностей **:
£.(2)=4 —------------, (1.18)
Sn(Q) = a2w±—LLggp (1.19)
На рис. 1.13 и 1.14 приведены графики нормированных спект-
ральных плотностей, построенные по формулам (1.18) и (1.19)
для различных масштабов турбулентности L. Сравнение кривых
на этих рисунках показывает, что с увеличением масштаба тур-
булентности спектральная плотность и, следовательно, мощность
и энергия порывов ветра увеличиваются в области низких частот
и уменьшаются в области высоких.
Для удобства математических преобразований, ниже будет
использоваться так называемая безразмерная частота v, опреде-
ляемая формулой
v.-=2£. (1.20)
* См. <Приложение D».
** Выражения (1.18) и (1.19) для спектральных плотностей и соответст-
вующие им выражения (1.12) и (1.13) для корреляционных функций исполь-
зуются Национальной ассоциацией по авиации и космонавтике США [1].
23
Рис. 1.13. Графики нормированной спектральной плотности
продольной составляющей скорости ветра
Рис. 1.14. Графики нормированной спектральной плотности
продольной составляющей скорости ветра
Если в выражениях (1.18) и (1.19) для спектральной плотно-
сти перейти к безразмерной частоте, то они приобретают вид:
о2 2
О'21’
S,(») = °* 1 +3>1 . (1-22)
nV ’ Я (1 + >2)2
Необходимость изменения постоянного множителя в (1.21) и
(1.22) по сравнению с (1.18) и (1.19) вытекает из тождества
<£=[ S(2)d2 = fs(v)dv, (1.23)
S S
Рис. 1.15. Графики нормированных приведенных спектральных
плотностей составляющих скорости ветра в функции безраз-
мерной частоты
Графики нормированных спектральных плотностей в функции
безразмерной частоты, построенные на основании (1.21) и (1.22),
даны на рис. 1.15.
Приведенные выше аналитические выражения корреляцион-
ных функций и спектральных плотностей для проекции вектора
случайного ветра характеризуют лишь пространственное распре-
деление поля скоростей ветра. Поэтому эти данные справедливы
только для какого-нибудь, пусть произвольного, но одного момен-
та времени, для которого поле скоростей является «заморожен-
25
ним». Между тем, перемещение самолета в пространстве, всегда
связано с определенными временными интервалами. Следова-
тельно, полученные выше характеристики поля скоростей в тур-
булентной атмосфере нельзя безоговорочно использовать для
определения возмущений, действующих на самолет. Указанное
затруднение можно обойти, используя гипотезу Тейлора [11, 13].
Согласно этой гипотезе поле скоростей турбулентного движения
при исследовании динамики самолета может считаться «заморо-
женным». В отличие от предыдущего поле считается «заморо-
женным» на все время полета, а не для какого-либо одного мо-
мента времени. Обоснование гипотезы Тейлора заключается в
следующем. Из-за большой скорости полета самолета по сравне-
нию со скоростями турбулентного движения воздуха самолет про-
летает дистанцию, на протяжении которой корреляционная связь
между этими скоростями достаточно сильна, настолько быстро,
что за время пролета этой дистанции поле скоростей ветра
сколько-нибудь существенно не изменяется. На основании гипо-
тезы Тейлора полученные выше аналитические характеристики,
справедливые, строго говоря, для одного момента времени, при-
меняются для всего времени полета самолета.
Кроме того, если рассматривать самолет как точку *, движу-
щуюся в направлении оси х, то из всех корреляционных функций
(1.10) и (1.11) останутся только три, зависящие от переменной
х; остальные переменные (у и z) остаются неизменными и их по
этой причине можно опустить. Для продольной составляющей
ветра wx на основании (1.10) получаем продольную корреляци-
онную функцию
(х)=wx (х) мх (х+Дх). (1.24)
Для нормальной wv и поперечной wz составляющих ветра на
основании (1.11) получаем поперечные корреляционные функции:
/?яу (х)=wy (х) (х+Дх), (1.25)
Rm (*) = (х) wz (х + М- I1-26)
Наконец, учтем, что для «замороженного» на все время поле-
та самолета поля скоростей ветра существует однозначная связь
между пройденным самолетом расстоянием х и временем t:
x=r=Vt. (1.27)
Соотношение (1.27) дает возможность перейти в общих выра-
жениях (1.24) — (*1.26) для корреляционных функций составляю-
щих ветра от пространственной координаты х к временной t. Сле-
довательно, такой переход можно сделать и в конкретных ана-
* Случаи, когда учитываются размеры самолета, будут рассмотрены при
решении конкретных задач в гл. 3.
26
литических выражениях (1.12), (1.13) для этих функций. В ре-
зультате замены |г| на V (т) получаем выражения:
/?<(т)=а^“|,|Г/£ , (1.28)
^nW=«w(l-h|^/2Z)^-|t|W. (1.29)
Очевидно, что выражение (1.28) относится к составляющей
wx, а выражение (1.29) —к составляющим wv и tvz.
Пространственные спектральные характеристики поля скорос-
тей являются функциями пространственной угловой частоты й.
Временные спектральные характеристики, отражающие процесс
взаимодействия этого поля с самолетом, должны, естественно,
быть функциями временной угловой частоты ф. Эти частоты свя-
заны очевидным соотношением
йх=ф£ (1.30)
Подставляя в (1.30) значение х из (1.27), получаем
Й=ф/У. (1.31)
Применяя к (1.28) и (1.29) преобразование Фурье, получаем
выражения для спектральных плотностей как функции ф:
' nV 1 + O2Z.2/V2
5 ((D)— £а«> 1 + Зш2£2/К2
" ПУ (1 + <о2£2/У2)2 '
(1.32)
(1.33)
Формула (1.32) относится к составляющей wx, а формула
(1.33) — к составляющим w„ и wz.
Сравнивая (1.32) и (1.33) и с (1.18) и (1.19), а также с (1.21)
и (1.22), устанавливаем, что между спектральными плотностями,
записанными в различной форме, существует следующая связь:
$(ф)=$(2)/И=ЭД£/1А (1.34)
Рассмотрим, в какой степени приведенные выше аналитиче-
ские выражения для корреляционных функций и спектральных
плотностей поля скоростей атмосферной турбулентности согла-
суются с введенными в § 1.3 понятиями трех интервалов турбу-
лентного движения атмосферы. Наиболее удобно для этого вос-
пользоваться графиком спектральной плотности, представленной
как функция пространственной частоты й. В качестве примера на
рис. 1.16 приведен график продольной спектральной плотности,
построенный на основании (1.18), при <rw2=l м2-сек~2 и £=300 .и.
На этом графике нанесены границы трех интервалов турбулент-
ного движения воздуха. Ясно видно, что в крупномасштабном
интервале, занимающем сравнительно узкую часть спектра (если
27
отложить частоты не в логарифмическом, а в обычном масшта-
бе), спектральная плотность почти не зависит от частоты Q или
от длины волны Л=2л/£2. Следует заметить, что эта часть спект-
ра, полученная из аналитического выражения для изотропной
турбулентности, вряд ли может достаточно хорошо отражать
процессы в реальной атмосфере, так как известно, что движение
воздуха в этом интервале анизотропно. Кроме того, длины волн,
большие горизонтальной протяженности турбулентной зоны (см.
рис. 1.7), в реальной ат-
мосфере не имеют физиче-
ского смысла. Несмотря
на указанные недостатки
аналитической формулы,
применение ее для иссле-
дования динамики самоле-
та не вызывает существен-
ных неточностей, так как
влияние длинноволновых
ветровых возмущений на
самолет очень невелико.
Как правило, измерение
результатов этого влия-
ния лежит за пределами
возможностей самолет-
ной измерительной аппа-
ратуры.
Инерционный диапа-
зон в логарифмических
координатах характеризу-
ется линейной зависимо-
стью спектральной плот-
ности от пространствен-
ной частоты, что соответ-
ствует степенной функции
(см. рис. 1.16).
аналитических выражениях
Рис. 1.16. Интервалы турбулентного движе-
ния воздуха
В введенных в этом параграфе
(1.18) и (1.19) спектральная плотность в инерционном диапазоне
практически пропорциональна Q-2.
На рис. 1.16 наклон кривых спектральной плотности на участ-
ке вязкого интервала такой же, как и на участке инерционного
интервала. Это противоречит теоретическим оценкам спектра в
вязкам интервале, согласно которым наклон кривых должен быть
значительно большим, чем в инерционном интервале. Отмеченный
недостаток используемых здесь аналитических формул для атмос-
ферной турбулентности связан с желанием получить как можно
более простые и поэтому удобные для расчетов выражения.
Стремление к упрощению привело также к тому, что выраже-
ния (1.12) и (1.13) для корреляционных функций не дают нуле-
28
Рис. 1.17. Упрощенный (сплош-
ная) и более точный (пунктир)
график корреляционной функ-
ции для скорости ветра
вого значения для производной при г=0. При переходе через
значение г=0 производная от корреляционной функции изменяет-
ся скачком. Например, в (1.12) при подходе справа к нулю
/ dRt (г) \ I dRt (г) \
=-----— , а при подходе слева — =
\ dr L \ dr
х о
gw Указанное обстоятельство поясняется рис. 1.17.
L
Корреляционная функция для производной от случайной
функции определяется как вторая производная от корреляцион-
ной функции для самой случайной функции. Поэтому вторая про-
изводная от корреляционной
функции для скорости соответ-
ствует корреляционной функ-
ции для ускорения частиц воз-
духа при турбулентном движе-
нии.
Так как упрощенное описа-
ние корреляционной функции
для скорости турбулентного
движения воздуха приводит к
появлению скачка в значении
для первой производной от этой
функции при г=0, то, очевидно,
что вторая производная от нее,
т. е. корреляционная функция
для ускорения частиц воздуха
будет содержать импульсивную
функцию (6-функцию) при г=0. Как указано в «Приложении D»,
в этом случае дисперсия случайного процесса будет равна беско-
нечности, что не .может иметь место для реальных процессов. По-
лучение бесконечного значения дисперсии для ускорения частиц
воздуха турбулентного движения является следствием отмеченно-
го выше упрощения при аналитическом описании корреляционной
функции для скорости турбулентного движения.
При более резком спаде спектра в вязком интервале указан-
ное противоречие устраняется, и график корреляционной функ-
ции для скорости ветра вблизи значения г=0 получает вид, по-
казанный на рис. 1.17 пунктиром. В этом случае (dfi =0.
\ dr /г=с
Приближенное аналитическое выражение для участка корреля-
ционной функции /?(г) вблизи г=0, связывающее характер
корреляционной функции на этом участке с масштабом турбу-
лентных движений воздуха в вязком интервале, можно найти в
работе [7].
Приведенные выше аналитические выражения для корреля-
ционных функций и спектральных плотностей продольной и попе-
29
речной составляющих вектора случайной составляющей скорости
ветра, как указывалось, найдены в результате обработки экспери-
ментальных данных, полученных при исследовании турбулент-
ности в аэродинамических трубах. Теоретическая оценка спек-
тральной плотности в инерционном диапазоне, выполненная
впервые А. Н. Колмогоровым [14], дает результаты, несколько
отличные от приведенных выше. В соответствии с этой оценкой
спектральная плотность в инерционном диапазоне должна быть
пропорциональна Q-5/3.
На основании этого Карман [50] предложил следующие фор-
мулы для продольной и поперечной корреляционных функций и
спектральных плотностей поля скоростей турбулентного движе-
ния воздуха.
Корреляционные функции:
(1.36)
где L — масштаб турбулентности;
АГ»/, (г)> Х"»/» (г) — модифицированные функции Бесселя дроб-
ного порядка;
Г (х) — гамма-функция.
Коэффициент 2!/з/Г(’/з) равен 0,59253. Для сравнения на
рис. 1.18 приведены графики поперечных корреляционных функ-
ций, построенные на основании выражения (1.13) (пунктир) и
выражения (1.36) (сплошная). Сравнение графиков показывает,
что эти корреляционные функции незначительно отличаются друг
от друга.
Спектральные плотности, соответствующие (1.35) и (1.36),
имеют вид:
S,(2)=-»=4-----------------(137>
я [1+(1,339£2)2]'
5„(2) = 4-^
8
1 + v<1)339£2>2
О
[1 +(1.339L2)2]U/6
(1.38)
Для инерционного диапазона масштабов турбулентного дви-
жения, т. е. при значениях 1,339 £й^1, формулы (1.37) и (1.38)
30
Рис. 1.18. Графики нормированных
корреляционных функций, построен-
ных на основании формул (1.36) —
сплошная и (1.13)—пунктир
обеспечивают пропорциональность спектральной плотности вели-
чине Q-5/3, как это следует из теоретических положений. Графики
спектральных плотностей, соответствующие выражениям (1.37) и
(1.38), не приводятся, так как они подобны аналогичным графи-
кам на рис. (1.13) и (1.14), построенным на основании формул
(1.18) и (1.19), и незначительно отличаются лишь наклоном
участков в области высоких частот. Заметим, что аналитические
выражения (1.35) — (1.38) для поля скоростей турбулентности
атмосферы сохраняют основные недостатки, отмеченные уже
при рассмотрении выражений (1.12) — (1.15), а именно:
1) недостаточно резкое
уменьшение спектральной
плотности с увеличением час-
тоты в вязком диапазоне;
2) скачкообразное измене-
ние производной от корре-
ляционной функции при пере-
ходе через значение г=0.
, В работе [48] указывается,
что при очень тщательной об-
работке экспериментальных
данных по атмосферной турбу-
лентности,
функции и спектральные плот-
ности для поперечной состав-
ляющей скорости случайного
корреляционные
ветра несколько лучше аппрок-
симируются выражениями (1.35)—(1.38), чем выражениями
(1.12) — (1.15). Однако следует отметить, что в зависимости от ме-
теорологических условий экспериментально получаемые спект-
ры атмосферной турбулентности имеют довольно большой раз-
брос значений показателя степени у Q на инерционном интервале,
вследствие чего незначительное различие между аппроксимация-
ми (1.12)—(1.15) и (1.35) — (1.38) не имеет для большинства за-
дач динамики полета существенного значения. Кроме того, вы-
ражения (1.12) — (1.15) выгодно отличаются от выражений
(1.35) —(1.38) своей простотой. Это обстоятельство существенно
облегчает аналитические исследования движения самолета в тур-
булентной атмосфере при использовании формул (1.12) —(1.15),
а также моделирование этого движения на аналоговых машинах.
По указанным причинам в данной книге будут использоваться
формулы (1.12) —(1.15).
Если анализ динамики полета в турбулентной атмосфере ве-
дется на цифровых вычислительных машинах, то использование
формул (1.35) — (1.36) не вызывает никаких затруднений.
В заключение этого параграфа укажем, что мгновенные зна-
чения компонент вектора скорости ветра в атмосфере считаются
распределенными по нормальному закону. Для любой из компо-
31
нент скорости ветра (например, для wx) плотность вероятности
имеет вид *
(wx—1FOjr)*
1
Л®>----------у=-е ” , (1.39)
ew у 2л
где №Од- — постоянная составляющая скорости ветра в направ-
лении оси х.
Ниже будут приведены экспериментальные результаты, под-
тверждающие справедливость нормального закона распределения
для мгновенных компонент скорости ветра.
§ 1.5. РЕЗУЛЬТАТЫ НЕКОТОРЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ
На основании анализа экспериментальных данных можно оце-
нить, при каких условиях и насколько хорошо будут соответство-
вать реальным характеристикам атмосферной турбулентности
приведенные в § 1.4 аналитические выражения.
В данном параграфе будут рассмотрены следующие вопросы:
1) несколько близки теоретические и реальные характери-
стики турбулентности?; “
2) до каких минимальных скоростей полета справедлива
гипотеза Тейлора о «замороженном» поле скоростей?
3) при каких возмущениях атмосферы можно применить ана--
литические выражения для изотропной и однородной турбулент-
ности?
4) какими величинами масштаба турбулентности и средне-
квадратичного значения скорости ветра следует пользоваться при
расчетах?
5) насколько справедливо для реальной атмосферы предпо-
ложение о распределении мгновенных значений скорости ветра
по нормальному закону?
Интенсивные исследования воздействия турбулентности ат-
мосферы на динамику полета самолета ведутся уже в течение
нескольких десятков лет. Тем не менее, не на все поставленные
выше вопросы в настоящее время могут быть даны исчерпываю-
щие ответы. Это связано со сложностью изучаемого явления
и с большим числом метеорологических и других факторов, влия-
ющих на характеристики турбулентности.
За последние годы в отечественной и зарубежной периодиче-
ской печати опубликовано значительное число статей, содержа-
щих результаты экспериментального исследования спектрального
состава турбулентности атмосферы. Такие исследования в свобод-
ной атмосфере проводятся, как правило, при помощи самолета-
См. «Приложение D».
32
зондировщика. Методика этих исследований заключается в сле-
дующем:
1) на самолете-зондировщике, оборудованном соответствую-
щей аппаратурой, регистрируется нормальная перегрузка, высота
и скорость полета;
2) по записям нормальной перегрузки строится корреляцион-
ная функция, а по ней — спектральная плотность перегрузки;
Рис. 1.19. Графики спектральной плотности вертикальной
составляющей скорости ветра, полученные экспериментально
3) полученные данные с учетом динамических характеристик
самолета пересчитываются в спектральную плотность вертикаль-
ной составляющей скорости турбулентного движения воздуха.
На рис. 1.19 приведены данные нескольких измерений спек-
тральной плотности вертикальных порывов ветра, заимствован-
ные из работы [15]. Все экспериментальные кривые на этом ри-
сунке укладываются между двумя графиками (пунктир), пост-
роенными по формуле (1.19). Еще лучшее совпадение экспери-
ментальных и теоретических результатов показано на рис. 1.20 [1].
На этом рисунке приведены результаты измерения спектральной
плотности вертикальной составляющей ветра на высоте 300 м. На-
клон прямолинейного участка аппроксимирующей кривой пропор-
ционален Q-i-82.
2-2008 33
Методика измерения атмосферной турбулентности с помощью
самолета-зондировщика, описанная выше, обладает двумя суще-
ственными недостатками, снижающими точность получаемых
данных.
Первый недостаток заключается в том, что самолет, занимая
определенный объем пространства, оказывает осредняющее дей-
ствие при измерении перегрузок. Это действие тем больше, чем
больше размеры самолета. Между тем, получаемые в результате
пересчета перегрузок значения скорости вертикального ветра
Рис. 1.20. График спектральной плотности вертикальной
составляющей скорости ветра, полученный экспериментально
относят к одной точке — центру тяжести самолета. В гл. 3 будет
изложен теоретический метод, позволяющий оценить осредняю-
щее влияние размеров самолета, однако этот метод довольн*
сложен и неточен.
Вторым недостатком описанного метода является сложность
и низкая точность математических выражений, используемых для
перехода от перегрузок к скоростям ветра. Основные причины
неточности математической характеристики самолета заключают-
ся в сложности учета таких явлений как нестационарность обте-
кания в турбулентной атмосфере и нежесткость конструкции
В гл. 3 приводятся основные теоретические соображения об учете
этих факторов. Наконец, при пилотировании самолета летчиком
его действия вносят дополнительные случайные и довольно значи-
тельные погрешности.
34
В 1960 г. был разработан другой способ регистрации скоро»
стей турбулентного движения воздуха [16]. Этот способ заклю»
чается в регистрации пульсации скорости воздушного потока,
набегающего на самолет. При этом регистрируются пульсации
скорости в направлении продольной оси самолета. Копия полу-
чаемой в полете осциллограммы для продольной составляющей
скорости ветра приведена на рис. 1.21.
В результате обработки данных измерений определяется про-
дольная корреляционная функция для скорости ветра и
продольная спектральная плотность S*(<o), по которым затем
с помощью известной скорости полета самолета V могут быть
получены пространственные характеристики.
В качестве примера приведем данные обработки четырнад-
цати осциллограмм. При обработке этих осциллограмм использо-
валась методика, изложенная в «Приложении D». В табл. 1.3
указаны условия, при которых получена каждая осциллограмма
продольной составляющей скорости турбулентного движения воз-
духа, а также среднеквадратичное значение этой скорости.
Таблица 1.3
Поз. на рис. 1.22, 1.23 и 1.24 Высота полета м Скорость полета Среднеквадра- тичное значе- ние скорости порывов м/сек Оценка экипажем интенсивности болтанки
км.час м/сек
1 500 230 63,8 1,186 Средняя
2 440 235 65,2 1,795 Сильная
3 350 230 63,8 0,925 Средняя
4 960 238 66,1 0,682 Слабая
5 370 230 63,8 1,66 Сильная
6 920 210 58,4 1,31 Средняя
7 940 237 65,8 1,28 Средняя
8 780 240 66,8 0,507 Отсутствует
9 1750 250 69,4 0,493 Отсутствует
10 1650 260 72,2 0,394 Отсутствует
11 440 246 68,3 1,16 Средняя
12 440 246 68,3 1,11 Средняя
13 440 235 65,2 2,07 Сильная
14 370 230 63,8 2,20 Сильная
2*
35
В шестом столбце таблицы приведена субъективная оценка
..интенсивности болтанки экипажем самолета. Из данных таблицы
следует, что при среднеквадратичном значении скорости горизон-
тальных порывов ветра, меньшем 0,5 м)сек \ экипаж не ощущал
болтанки и считал, что полет совершается в спокойной атмос-
Рис. 1.22. Графики нормированных корреляционных функций продольной
составляющей скорости ветра, полученные экспериментально
Рис. 1.23. Графики нормированных корреляционных функций продольной со-
ставляющей скорости ветра, полученные экспериментально
* При увеличении скорости полета того же самолета это пороговое значе-
ние скорости ветра становится меньше, а при увеличении масштаба турбу-
лентности, удельной нагрузки на крыло и высоты полета — больше.
36
фере. Этот результат совпадает с оценкой условий полета по
среднеквадратичному значению скорости вертикальных порывов,
приведенной в работе [15].
Графики нормированных корреляционных функций продоль-
ной составляющей скорости турбулентного движения для осцил-
лограмм, перечисленных в табл. 1.3, приведены на рис. 1.22 и 1.23.
На этих же рисунках пунктиром показаны граничные экспоненты
с постоянными времени Т, между которыми практически разме-
щается весь пучок экспериментальных кривых. Для перехода от
временного аргумента к пространственному необходимо у каждой
кривой на рис. 1.22 и 1.23 изменить масштаб по оси абсцисс в со-
ответствии с (1.27). В этом случае знаменатель показателя огиба-
ющих экспонент, который является масштабом турбулентности,
также должен определяться из соотношения
L=VT. (1.40)
Предельные значения Т на рис. 1.22 и 1.23 равны 2,5 и 25 сек.
Так как скорость полета самолета для всех режимов, приведен-
ных в табл. 1.3, близка к 60 м)сек, то, на основании (1.36), мас-
штаб турбулентности для рассматриваемых реализаций можно
считать изменяющимся в пределах от £« 150 м до £«1500 м.
Ненормированные спектральные плотности для продольной
составляющей скорости ветра, соответствующие корреляционным
функциям на рис. 1.22,
приведены на рис. 1.24.
Для удобства сравнения с
теоретическими (рис.
1.13) экспериментальные
кривые были построены в
функции пространствен-
ной угловой частоты Q.
Для перехода к этой час-
тоте от временной (со) ис-
пользовалось соотноше-
ние (1.31). Значения спек-
тральной плотности S(Q)
пересчитаны из получен-
ных по эксперименталь-
ным данным значений
•S (со) на основании (1.34).
Сравнение характера эк-
спериментальных ненор-
мированных (рис. 1.24) и
теоретических нормиро-
ванных (рис. 1.13) кри-
вых указывает на весьма
хорошее их совпадение.
Разброс эксперименталь-
Рис. 1.24. Графики спектральных плотно-
стей, соответствующие корреляционным
функциям на рис. 1.22
37
ных кривых по вертикали объясняется различием как в мас-
штабах турбулентности L, так и в значениях дисперсии а® для
каждой реализации.
В последние годы выполнен ряд работ [17, 18, 19], в которых
рассматривались .методы повышения точности измерения скоро-
сти ветра в турбулентной атмосфере как на метеорологических
вышках, так и с помощью самолетной аппаратуры.
Методика непосредственного измерения трех компонент век-
тора случайного ветра при полете самолета в зоне турбулентно-
сти и используемая для этого аппаратура кратко описаны в «При-
ложении D».
На вопрос о том, до каких наименьших скоростей полета
самолета можно использовать гипотезу Тейлора о «заморожен-
ной» турбулентности, может быть дан достаточно обоснованный
ответ. Эта гипотеза весьма успешно применяется при обработке
данных измерений на метеорологических вышках случайных со-
ставляющих скорости ветра. При этом средние скорости ветра,
обеспечивающие перенос воздуха, измеряются единицами метров
в секунду. Таким образом, и при указанных скоростях движения
использование гипотезы «замороженной» турбулентности практи-
чески допустимо. В качестве иллюстрации, подтверждающей
обоснованность использования гипотезы Тейлора для самолетных
исследований, приведем рис. 1.25 [1], на котором показаны спек-
тральные плотности вертикальной составляющей турбулентности,
одновременно замеренные на высоте 60 м двумя методами — с
помощью самолета и с помощью привязного аэростата (при таких
измерениях самолет делает пролеты рядом с аэростатом). Совпа-
дение графиков на рис. 1.25 можно считать достаточно хорошим,
если учесть наличие целого ряда неизбежных погрешностей при
обоих методах измерения.
Вопрос о применимости аппарата стационарных случайных
функций для описания различных видов турбулентности является
весьма важным. Многочисленные эксперименты показывают, что
при помощи стационарных случайных функций достаточно хоро-
шо описываются реальные виды турбулентности в подавляющем
большинстве случаев. Однако некоторые виды, как, например,
турбулентность внутри грозового облака [1] и турбулентность
вблизи препятствий (например, горных), вероятно, не могут быть
удовлетворительно описаны с помощью аппарата случайных ста-
ционарных функций. При таких видах турбулентности в атмос-
фере, кроме случайных движений воздуха, имеют место отдель-
ные восходящие и нисходящие потоки значительной протяженно-
сти (несколько километров) со скоростями до 30—40 м)сек.
Для прямого решения вопроса об изотропности турбулентной
атмосферы необходимо иметь большое число данных по одновре-
менному измерению всех трех компонент вектора ветра. До на-
стоящего времени таких измерений проводилось очень немного.
Поэтому вопрос об изотропности атмосферы чаще всего решается
38
на основании косвенных измерений. Обычно гипотеза изотропно-
сти турбулентной атмосферы для данной высоты полета самолета
считается справедливой, если выполняется равенство максималь-
ных скоростей вертикальных и горизонтальных порывов или ра-
венство среднеквадратичных значений этих скоростей. Экспери-
Рпс. 1.25. Спектральные плотности вертикальной со-
ставляющей скорости ветра:
/ — по измерениям с помощью самолета-зондировщика; 2 —
по измерениям с помощью привязного аэростата
ментальные данные подтверждают практическое равенство гори-
зонтальных и вертикальных порывов. На рис. 1.26 приведены
максимальные скорости горизонтальных порывов в функции
максимальной скорости вертикальных порывов [20]. Каждая точ-
ка соответствует максимальным скоростям, зарегистрированным
в одном полете сквозь турбулентную зону. Полеты производились
в грозу в диапазоне высот от земли до 10 км.
39
Рис. 1.26. Экспериментальные дан-
ные по максимальным значениям
скорости вертикальных и горизон-
тальных порывов ветра
На рис. 1.27 показаны результаты измерения среднеквадра
тичных значений переменных компонент вектора скорости ветрг
для высот 50—800 м [21].
Данные на рис. 1.26, 1.27 с достаточной для практики сте
пенью точности подтверждают равенство как максимальных, таь
и среднеквадратичных значений компонент скорости ветра. Заме-
тим, что равенство среднеквадра
тичных значений сохраняется и на
меньших высотах, хотя здесь тур-
булентность анизотропна. Этот
факт лишний раз подтверждает
косвенный характер оценки, ис
пользуемой для суждения об изо
тропности турбулентности. Ра
венство среднеквадратичных зна-
чений переменных составляющих
компонент скорости ветра на ма-
лых высотах объясняется равен-
ством кинетической энергии этих
компонент (при этом вертикаль-
ная составляющая имеет более
высокочастотный спектр, чем про-
дольная и поперечная).
Для самых малых высот в ра-
боте [22] приведены данные о ха-
рактере изменения вертикальных
случайных составляющих ве'.ра.
На рис. 1.28 дано отношение амплитуды вертикальной случай-
ной составляющей ветра Wym к среднему значению горизонталь-
ной скорости Ц70.
Рис. 1.27. Экспериментальные данные по среднеквадратичным значе-
ниям трех составляющих вектора ветра
40
В литературе почти отсутствуют данные о длине участка, на
котором турбулентность атмосферы может считаться однородной,
В [23] указано, что на участках длиной 15 км величина ою в сред*
нем изменяется не более чем на 25%.
Автором данной книги с помощью специального прибора [24]
были получены осциллограммы продольной случайной составляю-
щей ветра на 30 участках при полетах в зоне термической турбу-
лентности. Средняя длина участка с однородной турбулентностью
составила 25 км при разбросе от 5 до 78 км. Естественно, что
приведенных данных недостаточно для получения достоверного
значения средней длины участка однородной турбулентности, чо
они дают возможность оценить порядок
этой величины.
При практическом использовании ана-
литических выражений для характерис-
тик атмосферной турбулентности наибо-
лее существенным является вопрос о чи-
словых величинах масштаба турбулент-
ности L и среднеквадратичного значения
составляющей скорости ow. К сожалению,
в настоящее время еще не получены до-
статочно полные данные по этим величи-
нам. Это связано с весьма существенной
зависимостью L и о1О от метеорологиче-
ских условий, а на малых высотах—и от
величины неровностей на поверхности
земли. В этих условиях достаточно труд-
но получить достоверные средние вели-
о 0,02 0,04 0,06^2
Рис. 1.28. Отношение ам-
плитуды пульсаций вер-
тикальной составляющей
скорости ветра к средне-
ЧИНЫ. му значению горизон-
В большинстве работ по вопросам тальн°й скорости на ма-
турбулентности атмосферы среднее значе-
ние масштаба турбулентности в свобод-
ной атмосфере принимается равным 300 м.
Необходимо отметить, что масштаб турбулентности обычно
определялся на основании данных о порывах ветра, полученных
путем пересчета измеренных на самолете перегрузок с учетом
динамических характеристик самолета. Такой метод обладает
низкой чувствительностью по отношению к порывам с очень ма-
лыми и с очень большими частотами, так как эти порывы создают
столь незначительные перегрузки на самолете, что они не реги-
стрируются измерительной аппаратурой. Поскольку амплитуда
высокочастотных порывов быстро уменьшается с увеличением
частоты, то их роль при определении масштаба турбулентности
незначительна. Для низкочастотных порывов имеет место другая
картина: их амплитуда не становится меньше с уменьшением
частоты. По указанной причине следует считать, что масштабы
турбулентности, определенные по данным измерений перегрузки,
41
Рис. 1.29. Графики функций
распределения вероятности пре-
вышения среднеквадратичного
значения скорости вертикаль-
ной составляющей ветра для
разных высот полета
будут меньше действительных. Это предположение подтвер-
ждается результатами исследований турбулентного движения
воздуха, проведенных в самые последние годы. При этих иссле-
дованиях использовался метод непосредственного измерения со-
ставляющих вектора скорости случайного ветра, описанный в
«Приложении D». Обобщенные данные по измерениям масштаба
турбулентности в самых различных метеорологических условиях
(от турбулентности в ясную погоду до грозовой) приведены в ра-
боте [48]. Авторы этой работы
пришли к выводу, что масштаб
турбулентности изменяется в этих
условиях в пределах от 1000 до
2000 м, причем наиболее вероят-
ное его значение ближе к 2000 м,
чем к 1000 м. Естественно, что эти
данные не относятся к низким
высотам.
На низких высотах (от 300 м и
ниже) грубо приближенно можно
считать, что для вертикальной со-
ставляющей ветра среднее значе-
ние масштаба турбулентности ра-
стет пропорционально высоте нал
земной поверхностью. Что же ка-
сается абсолютного значения это-
го масштаба, то в зависимости от
характера поверхности земли (по-
ле, лес, холмы, горы) оно меняет-
ся в широких пределах: от значе-
ния, равного высоте полета для
ровной поверхности, до значений,
в 3—4 раза больших для сильно
пересеченной местности. Для про-
дольной и поперечной компонент
масштаба турбулентности по мерс
скорости ветра уменьшение
приближения к поверхности земли должно происходить не так
резко, как для верт икальной составляющей.
Примером задания характеристик среднеквадратичного зна-
чения ветра <jw могут служить приведенные на рис. 1.29 функции
распределения этой величины для разных высот [15]. Эти графики
дают вероятность превышения данного значения и справедли-
вы для большого общего времени полета (тысячи и десятки ты-
сяч часов).
Сравнение графиков на рис. 1.29 показывает, что время поле-
та в турбулентной атмосфере с увеличением высоты полета зна-
чительно уменьшается. Так, например, время в сильно возмущен-
ной атмосфере (<гю>2 м/сек) для высот 0—3 км составляет околс
1%, для высот 9—15 км — 0,1% от общего времени полета.
42
Данные рис. 1.29 получены в период с 1935 г. по 1955 г. на ос-
новании обработки записей установленных на самолетах авиали-
ний США самописцев, регистрирующих перегрузки в функции
скорости полета. Эти данные, естественно, отражают влияние
конкретных географических условий и качества метеорологиче-
ского обеспечения полетов на этих авиалиниях.
По данным работы (1] среднеквадратичное значение верти-
кальной составляющей скорости ветра при полете в кучево-дож-
девых облаках составляет около 2,5 м/сек при средней длине
турбулентных участков около 15 км. По данным той же работы,
для грузовых условий ow состав-
ляет 4 м/сек, а в отдельных случа-
ях и 5 м/сек.
Относительно приведенных вы-
ше среднеквадратичных значений
вертикальной составляющей вет-
ра при различных метеорологиче-
ских условиях, а также относи-
тельно графиков на рис. 1.29 сле-
дует сделать одну существенную
оговорку. Эти данные получены
путем пересчета перегрузок, ис-
Рис. 1.30. Вертикальная состав-
ляющая ветра над горами при
очень сильной турбулентности
пытываемых самолетом в турбу-
лентной зоне, и отражают все неточности этого метода (о них
уже говорилось выше). В частности, эти данные предназначены
для использования в аналитических исследованиях динамики
самолета, причем наиболее вероятное значение масштаба турбу-
лентности предполагается равным 300 м, как это принималось
ранее в большинстве случаев. Если же ориентироваться на сов-
ременные данные о масштабе турбулентности и считать его рав-
ным 1000—2000 м, то значения ow для аналитических расчетов
нуждаются в существенном пересмотре, причем при этом пере-
смотре они должны значительно увеличиться. Этот вывод основан
на материалах, приведенных в гл. 3. Там показано, что перегруз-
ки, испытываемые самолетом при полете в турбулентной атмос-
фере, довольно значительно уменьшаются с ростом масштаба тур-
булентности. Поэтому, если масштаб турбулентности увеличить
с 300 м до 1000—2000 м, то для сохранения того же среднеквад-
)атичного значения перегрузки необходимо увеличить в 2—2,5
>аза среднеквадратичное значение скорости вертикальных по-
рывов. Этот вывод может быть обоснован следующим образом,
'рафики для нормированной спектральной плотности верти-
кальных порывов, приведенные на рис. 1.14, показывают, что в
диапазоне £2=0,01—1 м~1, в котором порывы ветра воздейству-
ют на самолет наиболее эффективно, значения спектральной
плотности существенно уменьшаются при увеличении масштаба
турбулентности. Следовательно, для получения одного и того
же среднеквадратичного значения перегрузки при разных мас-
43
штабах турбулентности нужно брать тем большие среднеквад-
ратичные значения скорости ветра, чем больше масштаб турбу-
лентности.
Максимальные нагрузки на самолет возникают при полете
в турбулентной атмосфере над горами и в грозовых условиях.
На рис. 1.30 показан характер изменения вертикальной составля-
ющей ветра над горами, когда максимальные приращения пере-
Рис. 1.31. Изменение высоты, приборной скорости,
нормальной и боковой перегрузок при полете по
краю грозового облака
грузки доходили до трехкратного значения [8]. Очень крупный
масштаб возмущений на рис. 1.30 по сравнению с обычной турбу-
лентностью указывает на то, что турбулентность над горами со-
храняет определенную связь с геометрией горных хребтов.
На рис. 1.31 приведены осциллограммы, показывающие харак-
тер изменения высоты yg, приборной скорости Vnp. нормальной
пу и боковой nz перегрузок при полете по краю грозового облака.
В заключение этого параграфа приведем экспериментальные
44
данные по закону распределения скорости случайной составляю-
щей ветра, полученные автором. Тщательная обработка значи-
тельного числа осциллограмм для горизонтальной составляющей
ветра, полученных в летном эксперименте, неизменно приводила
к практически нормальному закону распределения. В качестве
примера на рис. 1.32 приведены две гистограммы для плотности
вероятности значений скорости wXy полученные в результате обра-
ботки двух реализаций. Обработка была произведена по 500 точ-
0,50
3,2 -2,8-2,4 -2,0-Q,1S-dj2-Q,8-H4 О Ц4 Ц8 ЦП Ц16 2ft 2,4 2ft г»>.
<Г)
Рис. 1.32. Гистограммы для плотности вероятности про-
дольной составляющей ветра
кам, снятым с интервалом 0,5 сек. За это время самолет Ли-2
прошел расстояние около 15 км. Среднеквадратичное значение
ветра для рис. 1.32, а составляет ow=l,l м/сек, а для
Рис. 1,32, б — ow= 1,18 м/сек.
Обе приведенные гистограммы показывают достаточно хоро-
шее совпадение экспериментальных данных с теоретическими
45
кривыми плотности вероятности для нормального закона. Степень
согласованности теоретического и экспериментального распреде-
ления была оценена с помощью «критерия %2» Пирсона. Для это-
го определялись вероятности р того, что за счет чисто случайных
причин мера расхождения теоретического и экспериментального
распределения будет не меньше, чем рассчитанное для данной
осциллограммы значение %2. Эти вероятности лежат в пределах
0,2—0,5, что считается практически достаточным [25].
Приведенные экспериментальные данные подтверждают воз-
можность использования нормального закона (1.35) для описа-
ния распределения мгновенных значений составляющих скоро-
сти ветра.
ГЛАВА 2
Уравнения движения
самолета
в неспокойной атмосфере
§ 2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На рис. 2.1 схематически изображен полет самолета в неспо-
койной атмосфере. В каждой точке пространства вектор скоро-
сти ветра W может быть представлен в виде суммы проекций * на
оси земной системы координат xg, yg, zg._Ha рис. 2.1 показаны
лишь проекции переменной составляющей w вектора ветра.
Рис. 2.1. Полет самолета в неспокойной атмосфере
Самолетные оси х, у, z являются связанными осями. Как по-
казано на рис. 2.1, при порывах ветра скорость самолета относи-
тельно воздуха (воздушная скорость) V отличается от путевой
скорости Vg как по величине, так и по направлению (углы aw
и Рц,). Изменение величины и направления вектора скорости V
приводит к появлению дополнительных сил и моментов, дейст-
* Если в невозмущенном режиме полет самолета негоризонтален, то опре-
деление проекций скорости ветра следует производить в системе координат
(связанной с землей), ось х которой направлена параллельно траектории не-
возмущенного полета.
47
вующих на самолет и вызывающих возмущение исходного режи-
ма полета.
При очень сильных порывах ветра возмущения исходного ре
жима полета могут стать весьма значительными, и самолет може-
выйти на срывные режимы (с нарушением как устойчивости, та!
и управляемости полета). Исследование таких режимов полет;:
необходимо проводить по полным системам уравнений движени*,
самолета без линеаризации и разделения движения на продоль
ное и боковое. Подобные задачи чрезвычайно сложны, не подда-
ются аналитическому исследованию в общем виде и в данной
книге не рассматриваются.
Большинство же других задач динамики полета в неспокойной
атмосфере вполне удовлетворительно описывается линеаризован-
ными уравнениями, раздельно для продольного и бокового дви-
жения самолета. Такая методика позволяет получить общие
решения для исследуемых случаев полета, причем результаты тео-
ретического анализа достаточно хорошо согласуются с результа-
тами летного эксперимента вплоть до срывных режимов.
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний
относительно системы самолетных осей. Ось х системы связанных
самолетных осей х, у, г, используемых в этой книге, направлена
не по хорде крыла, как обычно, а по направлению путевой ско-
рости в невозмущенном режиме Ve. Скорость Ve составляет с хор-
дой крыла угол ае — невозмущенное значение угла атаки в ис-
ходном режиме. Поэтому при составлении уравнений моменты
инерции следует пересчитать к новым осям. Если известны момен-
ты инерции относительно главных осей инерции самолета /жг, /уг,
/я- и угол А в плоскости симметрии самолета между направлени-
ем главных и связанных осей, то значения моментов инерции в
связанных осях определяются формулами:
1X=IXT cos2 Д + r sin2 Д, /у=r sin2 Д + /у r cos2 Д,
/г=/гг, ixy=~(Jхт /уГ)8Й12Д, Iу,г = IZX = Q.
(2.1)
Взаимное положение земных (xg, yg, zg) и самолетных связан-
ных осей (х, у, г) показано на рис. 2.2. Связанные оси изображены
в произвольном положении, которое они занимают вместе с са-
молетом в какой-либо момент возмущенного движения. Переход
связанных осей в это произвольное угловое положение из исход-
ного* (xi, yi, Zi), соответствующего невозмущенному режиму,
производится с помощью трех поворотов, которые должны выпол-
няться в следующем порядке:
1) поворот на угол рыскания ф вокруг вертикальной оси у\.
в результате которого оси занимают положение хг, уз, гз, а ось х
занимает окончательное положение по курсу;
* В данном случае совпадающего с земными осями.
48
2) поворот на угол тангажа О вокруг горизонтальной оси г^,
в результате которого оси занимают положение Хз, уз, г3, а ось х
занимает окончательное положение по тангажу;
3) поворот на угол крена у вокруг оси х (или Хз, так как они
совпадают), в результате которого все оси занимают окончатель-
ное положение х, у, г.
Рис. 2.2. Взаимное положение земных и связанных координат-
ных осей
§ 2.2. УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
в неспокойной атмосфере
Чтобы получить возможно более простые уравнения динамики
самолета, не будем учитывать целый ряд явлений, оказывающих
относительно малое влияние на движение самолета. Пренебрежем
связью между продольным и боковым движениями и будем счи-
тать самолет жестким телом * * постоянной массы. При указанных
допущениях уравнения динамики продольного движения в свя-
занных осях имеют вид [26, 27]:
dVgX у у
т -----=ьл,
dt
“ '-Тг + и1/гЛ = ЕГ>
г dt
(2.2)
В уравнениях (2.2):
т — масса самолета;
Vgy — проекции путевой скорости самолета на связан-
ные оси х и у,
* Ниже, в гл. 3, будет приведена методика учета нежесткости конструк-
?<ии самолета.
49
mg2 — проекция угловой скорости самолета относитель-
но земли на связанную ось z;
/г — момент инерции самолета относительно связан-
ной оси z;
ЕА, EK — суммы проекций внешних сил на оси хну;
ЕЛ4г — сумма проекций моментов внешних сил относи-
тельно оси г.
Внешние силы складываются из аэродинамических сил, силы
веса самолета и силы тяги. Для этих сил и создаваемого ими мо-
мента относительно оси z используем следующие соотношения:
ЕА = — Gsind —А(а, V, Ж, р)-1-Рх(8Л) М, р, Т)= ’
----Gsln&-CxS-^- + Px,
ЕГ= -Geos &+Г(а, V, М, р) + Ру (8Д, М, р, Г) =
(2.о;
= - G cos » + CyS №- + Ру,
(зв, а, — , «>„ V, М, р)
В уравнениях (2.3):
О — вес самолета;
а — угол атаки;
8Д — угол поворота органа управления авиадвига-
телем;
8„ — угол отклонения руля высоты;
V — скорость самолета относительно воздуха;
M — Vja, где а — скорость звука на высоте полета;
р— плотность воздуха;
Рх, Ру—проекции силы тяги двигателей на оси х и у;
S — площадь крыльев;
р — давление воздуха;
Т— абсолютная температура воздуха;
Сх— коэффициент лобового сопротивления;
Су—коэффициент подъемной силы;
т2—коэффициент аэродинамического момента от-
носительно оси z;
ba — средняя аэродинамическая хорда.
Уравнения (2.2) дополним следующими кинематическими со-
отношениями:
_ db ш ег~ dt ’ ^.=V<xcos»-Vrysin = V gx sin & 4- У_у cos ft, dt gx • gy (2.4)
50
где xg, yg — координаты центра тяжести самолета в земных осях.
Выберем в качестве невозмущенного режима прямолинейный
равномерный полет в вертикальной плоскости при отсутствии
ветра. В этом невозмущенном режиме параметры движения само-
лета имеют следующие значения (индексом «е» будем отмечать
невозмущенный режим):
V = Ve=Vgx=const, а=ае, д=О = Ове«0е, <o^=V^y=0,
/ _ у cos & _ у sin 0
\ dt le e e \ dt Je ‘ '
Вводя небольшие отклонения всех параметров от их значений
в невозмущенном режиме и отбрасывая члены с произведением
отклонений параметров, на основании (2.2) и (2.4) получим урав-
нения движения в отклонениях:
т
MVgx
dt
= £АХ,
1 е dt
- dt-
^-=(Ve+Wgx) cos &e- Ve sin V A»- Vgy sin
-^-=(ve + ^Vgx) sin &e 4- Ve cos V Д» + Vgy cos
В уравнениях (2.5) отклонения параметров от их исходного
значения в невозмущенном режиме обозначены значком Д. У па-
раметров, которые в невозмущенном режиме равны нулю (ш^,
Vgv), значок Д здесь и ниже опускается.
Особенность уравнения динамики (первые три уравнения сис-
темы 2.5) при анализе движения в неспокойном воздухе заклю-
чается в том, что в соответствии с (2.3) в правые части этих урав-
нений входят параметры, характеризующие движение самолета
относительно воздуха (воздушная скорость V, угол атаки а и
т. п.). Левые же-части этих уравнений, учитывающие инерцион-
ные силы и момент, которые определяются движением относи-
тельно земли, имеют такой же вид, как при движении самолета
в неподвижном воздухе. Эти силы и момент определяются состав-
ляющими путевой скорости и второй производной угла тангажа.
Для удобства анализа сил и момента введем некоторые допол-
нительные кинематические соотношения, которые учитывают дви-
жение воздуха. Эти соотношения приближенно справедливы
в предположении малости скорости ветра по сравнению со ско-
ростью самолета:
51
К,=И„-.,зИ,+4У„-.„
^y=^gy wy>
В (2.6):
vox, wn — составляющие вектора ветра по осям земной сис-
темы координат, у которой ось xg совпадает с на-
правлением связанной оси х в невозмущенном ре-
жиме;
a-g — приращение угла атаки за счет изменения на-
правления вектора путевой скорости
aw — приращение угла атаки за счет составляющей
ветра wv.
Рис. 2.3. Силы и моменты, действующие на самолет в про-
дольном движении
Первые два соотношения в (2.6) вытекают из очевидного век-
торного равенства _ _ _
V^Vg-W. (2.7)
Соотношения (2.6) поясняются рис. 2.3*. Кроме параметров
движения, уже обозначенных выше, на рис. 2.3 показан угол 8
между направлением хорды крыла и вектором тяги Р.
Перейдем к анализу правых частей уравнений динамики само-
лета в неспокойном воздухе (первые три из уравнений (2.5)].
Разлагая функции, входящие в (2.3), в ряд Тейлора по их
аргументам и сохраняя только член ряда с первой степенью при-
ращения аргумента, получим следующие выражения для прира-
щений сил и моментов:
* На рис. 2.3 изображен случай, когда b.Vgx и Vgy равны нулю.
52
EX= — G cos »еД&- Xvg*Wgx_ XwxWx _ X^M -
- XvgyVgy - Xwy-wy - Xfpy±yg-\-PM cos (ae+s) ДЛ4 +
+ pp cos (ae 4- e) pP^yg-\- Pr COS (ae+ e) 7>Д^+
4- p* cos (ae s) Д8д,
EK=G sin + ^Vgje^gx+У9х<а)х+YM±M+
4- Y vgyVgy 4- YWywy 4- Yf^yg 4- PM sin (ae 4~ e) ДЛ14-
4- PP s in (ae 4- e) pMyg 4- P T sin (ae 4- e) Ty& yg 4-
4-Р«81п(а,4-е)ДЗд,
LMZ=4- M*g*Wgx+ M?*wx+M^M 4- M*vV„+
4- Mzywy 4- M^gy dVf^~ 4- МгУ d™< 4- ./W^yAyg.
(2.8)
Запись различных величин с индексом вверху есть сокращен-
ное изображение частной производной от этой величины по пара-
метру, определяемому данным индексом. Например, Xvg*=
=dX/dVgx и т. д.
Производные по Vgy и wy отражают зависимость сил и мо-
ментов от угла атаки, определяемую соотношением (2.6). Произ-
водные по путевой скорости (по Vgx и Vgy) должны в принципе
отличаться от производных по скорости ветра (по wx и wy), так
как изменение путевой скорости происходит сравнительно мед-
ленно, тогда как порывы ветра на летящий самолет действуют
с большой частотой. Это обстоятельство будет учтено ниже ме-
тодами нестационарной аэродинамики. Здесь же будем полагать,
что производные по соответствующим параметрам одинаковы
как для путевой скорости, так и для скорости ветра.
Необходимо особо остановиться на моменте, который создает-
ся в результате запаздывания скоса потока от крыла на опере-
нии. Учет этого явления для сравнительно медленных изменений
угла атаки крыла сводится к введению в третье выражение (2.8)
члена с dVygldt (соответствующего а). Так как угол атаки а в со-
ответствии с (2.6) зависит от скорости вертикальных порывов, то
формально в этом выражении появляется член с dwyldt, учиты-
вающий запаздывание в образовании на оперении скоса потока
от ветра. Однако по отношению к порывам самолет здесь и по-
чти * везде ниже рассматривается как точка, вследствие чего не
учитывается запаздывание в образовании подъемной силы на
горизонтальном оперении, создаваемой вертикальными порыва-
Исключение составляет § 3.5.
53
ми, по сравнению с образованием ее на крыле. В § 3.5 показано,
что даже для больших самолетов такое упрощение вполне допу-
стимо. Тем более допустимо не учитывать запаздывание скоса
потока на оперении, обусловленного порывами ветра. По указан-
ным обстоятельствам ниже член с производной от ветра (dwjdt)
в уравнении моментов относительно оси z учитываться не будет.
Подставляя в (2.5) значения приращений сил и моментов из
(2.8) и производя несложные преобразования, получаем систему
уравнений, описывающих продольное движение самолета в не-
спокойной атмосфере:
«А» + + а • V„ +<^у,=
=а6ДЗд 4- а-х wx+ау wy,
Ve^. -b^^Vgx+^L+b.Vgy + b^yg=
=btA\-b-xwx + b-ywy,
dA» dVgy
—;—h f »--F c'r Wex — с'й ———V™=
dfi * dt x g у dt y ey
= — сгДЗв+Cx wx — c • ,
^-=(^+AVrJcos »e- Ve sin V Д0-V^y sin »e,
^L=(^+A^)sin^ + yecos^-A» + ViryCos^.
(2.9)
Формулы для расчета коэффициентов уравнений (2.9) приве-
дены в табл. 2.1.
В табл. 2.1 приняты следующие обозначения:
_ ____ g — ускорение силы тяжести;
гг=У Izlmlbt — безразмерный радиус инерции самолета отно-
сительно оси z;
V,a—ml?e^'— относительная плотность самолета (в продоль-
ном движении); *
^e=mlpeSVe—единица относительного времени;
=Ь3ч>г1Уе — безразмерная угловая скорость;
~ Ьл da
а = -^——-------безразмерная скорость изменения угла атаки.
Система уравнений (2.9) составлена для общего случая него-
ризонтального полета и является достаточно громоздкой. Первое
упрощение, которое можно сделать без существенного снижения
общности результатов анализа, состоит в выборе горизонтального
полета в качестве невозмущенного режима. В этом случае Ое=
54
Таблица 2.1
Коэф- фици- ент * Формула Размер- ность
g cos Ъе мсект'^
1 м С 4 1 СмМ A cos^+£) сек~1
а* X те ^хе + о с и Л 2 * S^eVeae
а- У 2те (СУе~^ сек~х
ау Уе 2Ме СхеР^ 2Рр COS (ае + е) ру 2РГ COS (ае + SV2 sv^ ^)ТУ 1 сек—%
Р* cos (ье + е)/т м сек—2
^sin&j м сек—2
ь. X 1 те с + — смм + рЛ<8|п^ + 9_ L уе+ 2 СУМе+ SPeyeae J сек—1
ь. У (с;+с«) сек—1
by уе 2Рр sin (ае + в)рУ 2PTsin(ae + 1)ТУ' сек—^
^теРе '-vet' "г п "i 0 SV2e SV2 -
Р5 sin (ае + е)/т м сек—-
^3 ~С^/2хе сек—1
с& tci ~2 12легг сек—1
Сх — m^nMe/2i:27^ м—1 сек-1
С- У — тлг 1^^} сек—1
с. У — m^nl^V^y2 м^сек—1
С1 сек~^
Сз ~ m^/Qt^r2 сек—2
DO
= sin Ъе*=Ьъ =0 и cos $е= 1. Кроме того, в первом и втором урав-
нениях системы (2.9) можно отбросить члены, учитывающие из-
менение высоты, так как эти члены оказываются существенно
меньше остальных. Поскольку современные системы управления
не воздействуют на авиадвигатель, не будем учитывать члены
с бд. В результате уравнения (2.9) приобретают вид
«»Дд н- +а-х Wgx+% Vgy=a-xwx-\-a-ywy,
V^~^VgX+ -^^yVgy=-b,wx+b.wr
+ -С-И„ =
rf/2 » at • x gx dt y gy
(2.Ю)
= — CSASB-|-Wy,
dt
Эта система уравнений описывает как короткопериодические,
так и длиннопериодические движения самолета.
Как будет показано в гл. 3, для решения большинства практи-
чески интересных задач динамики полета в турбулентной атмо-
сфере система уравнений (2.10) может быть существенно упро-
щена. Это упрощение заключается в пренебрежении изменением
скорости вдоль оси х при полете в турбулентной атмосфере
(AVgx=0). В результате первое и четвертое уравнения из систе-
мы (2.10) выпадают. Случаи, когда такое допущение приводит
к принципиальным ошибкам, будут ниже оговорены особо. Пре-
небрегая ДУвх, из (2.10) получаем:
ve —
е dt
d/2
--—+Ь- V =
dt y gy
, dtti dVgy „ ,
rC” dt Cy dt cyVgy— с«д8в+
У’
(2.11)
У
Эти уравнения применяются для описания короткопериодиче-
ского движения самолета.
56
Иногда бывает удобнее выразить все функции, входящие
в (2.11), в форме угловых величин. Используя для этих целей
(2.6), получаем (без учета продольной составляющей ветра):
rfA» dag h _А
Tt dt b^~b^
—Haa£= — сйдов — ca
dti 1 * * * * * * * dt “ dt “ 8 0 “ w
(2.12)
Коэффициенты (2.12) связаны с коэффициентами (2.11) следую-
щими зависимостями: Ьа= — Ь-у, с- = — VeCy, сл=-Уес-у.
Уравнения (2.11) и (2.12) достаточно точно описывают коротко-
периодическое движение самолета и будут в дальнейшем широко
использоваться.
Уравнения (2.9) — (2.12) позволяют исследовать динамику са-
молета с зажатым или двигающимся по некоторому закону рулем
высоты в неспокойном воздухе. Однако в настоящее время само-
леты в течение значительной части из общего времени полета уп-
равляются автопилотом. Поэтому представляет интерес рассмот-
рение динамики самолета с автопилотом.
Для анализа динамики полета с автопилотам уравнения про-
дольного движения самолета должны быть дополнены уравнени-
ем (законом управления) автопилота. При математическом опи-
сании автопилота будем пользоваться уравнениями идеального
автопилота, т. е. будем пренебрегать временем запаздывания и
нелинейностью его характеристик. Допустимость такого подхода
в рассматриваемой задаче будет специально обоснована в § 3.3.
В настоящее время используются два типа автопилотов:
с жесткой обратной связью и со скоростной обратной связью.
Наибольшее распространение получили автопилоты первого ти-
па. Примером автопилота с жесткой обратной связью может слу-
жить автопилот АП-6Е.
Закон управления этого автопилота для канала руля высоты
имеет вид
ДЗВ= -Z»(A63-A&m (2.13)
где — передатбчное отношение (число) для угла тангажа О,
величина безразмерная;
Zj — передаточное отношение (число) для угловой скоро-
сти (oz, размерность — сек-,
iy— передаточное отношение для высоты yg, размерность —
рад/М или град/М;
Д$з— заданное приращение угла тангажа.
В режиме стабилизации горизонтального полета ДФ3=0.
Иногда целесообразно исключить из закона уравнения член, про-
57
порциональный высоте. В этом случае для режима стабилизации
угла тангажа в горизонтальном полете получим
(2.14)
at
Закон управления автопилота со скоростной обратной связью
для канала руля высоты можно записать в следующем виде [28]:
dt 4 л ’ 9 dt 1 9 dt-
(2.15)
где iq — передаточное отношение для угла тангажа, размер-
ность — сект';
— передаточное отношение по wz, безразмерное;
— передаточное отношение по <ог» размерность — сек.
В результате объединения уравнений самолета (2.10) и авто-
пилота (2.13) получаем систему уравнений, описывающих про-
дольное движение самолета с автопилотом в неспокойной атмо-
сфере:
rdbVex
—------gx-\-—^~ rbv^gy= — bi'Wx-vbr'W.,,
e (j f x **л 1 У &У X V
d^b I / I • s . . A<1 dVgy ,z
-------F (c& 4*cM )-----------1 - c. i«Aft — c- —— c- V„,.
dfi ' v ° 1 " 9 ’ dt " 9 У dt У ey
-Г c}i^yg=c, i^3 -[-wx-c-ywy,
(2.16)
a*Xg. =V 4-AIZ
dt ve-t Vgx,
Если объединить с уравнением автопилота упрощенные урав-
нения самолета (2.11), то получим:
(IV
[Z । dVgy I Г т/ и ' L
v’ biv«’‘-bi^-bi^
rf2A9 • z । • \ dVgy
T + Сг. 4 - Cy —t--Cy Уgy +
+ГЛД^=С« А>д&з+^®л--^. ®y.
---g- = Ve, —\VSy.
dt e dt e sy
(2.17)
58
§ 2.3. УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
в неспокойной атмосфере
Уравнения динамики изолированного бокового движения са-
молета в связанных осях имеют вид [26, 27]:
л dt * dt
(2.18)
где Vg.v, Vgs.— проекции путевой скорости самолета на осн
лиг;
w г, <ugy— проекции угловой скорости самолета относи-
тельно земли на оси хну,
Iх, 1у—моменты инерции самолета относительно осей
X и у,
/ху— центробежный момент инерции;
SZ— сумма проекций внешних сил на ось z;
Е2ИД., ЯМ?— суммы проекций моментов внешних сил отно-
сительно осей х и у,
Суммы проекций внешних сил и моментов в боковом движе-
нии определяются соотношениями:
SZ=G sin y4-Z(3, 8«, И, 7W,p)=GsiiiY4-C/S-^-,
ЪМХ=МХ$, 8Э, о„, ®у, V, М,
(2-19)
ЕЖу=Жу(?, 8Э, 8„, шу, V, М, p)=m/S
В (2.19) обозначено:
Р — угол скольжения;
бэ — угол отклонения элеронов;
бп — угол отклонения руля направления;
/ — размах крыльев;
Cz — коэффициент боковой силы;
тх — коэффициент аэродинамического момента относитель-
но оси х;
ту — коэффициент аэродинамического момента относитель-
но оси у.
Заметим, что сила и моменты бокового движения зависят от
некоторых параметров продольного движения (V, М, р). Однако
при изолированном изучении бокового движения эту связь
учесть нельзя.
59
Уравнения (2.18) должны быть дополнены следующими кине-
матическими соотношениями:
d-t । dty . а db о - d§
<!)_„= —*-----------— sin ft, = —S—COS VCOS Я-i---------------cosy,
gx dt 1 dt ’ gy dt ' dt ”
dzg
—— = — Vgx sin ф -j- Vg2 cos у cos <|>,
(2.20)
где zg — боковое отклонение центра тяжести самолета по оси zv
земной системы координат.
Выберем в качестве невозмущенного режима прямолинейный
и равномерный полет без крена и скольжения при отсутствии
ветра, характеризующийся следующими значениями параметров:
V ~V g = V gx=const,
(dz fT \
—77~/ =°-
U I I g
Для малых отклонений от исходного невозмущенного режима
на основании (2.18) и (2.20) получим систему уравнений:
<z d$g
mV, -—
e dt
f d^
x dfi
7 d^
dfl
у
db
-mVe — = MZ,
‘ dt
ху dt х
xy .V»
(2.21)
В (2.21) использованы следующие соотношения, приближенно
справедливые для малых отклонений значений параметров от
нуля:
Vgz—V&g, wgx— • *°gy = »
где — угол скольжения, определяемый по вектору путевой
скорости.
Перейдем к рассмотрению правых частей первых трех урав-
нений системы (2.21). Сила и моменты определяются движением
самолета относительно воздуха, а не относительно земли. Чтобы
облегчить анализ изменения сил и моментов в боковом движении
самолета, летящего в возмущенной атмосфере, введем некоторые
дополнительные соотношения, которые справедливы лишь при
указанных ниже ограничениях:
60
I I dwy
wx = Vgx + “*w.r = “>gx +
I dWr
u,y==v+<“«-y=<“w±-^7-
(2.22)
В уравнениях (2.22) отсутствие дополнительного индекса ука-
зывает на то, что соответствующий параметр характеризует бо-
ковое движение самолета относительно подвижной воздушной
среды; параметры с индексом g характеризуют движение отно-
сительно земли и, следовательно, относительно неподвиж-
Рис. 2.4. Действие ветра на самолет (боковое движение):
а — поперечная составляющая ветра wz и неравномерное распределение продоль-
ной составляющей u>v по размаху; б — неравномерное распределение нормальной
составляющей w у по размаху
ного воздуха. Наконец, индекс w указывает на то, что пара-
метр обусловлен подвижностью воздуха, т. е. ветром. Выра-
жения (2.22) поясняются рис. 2.4. Рис. 2.4, а поясняет пер-
вое и третье из отношений (2.22), а рис. 2.4, б — второе. Схема-
тические изображения продольной и нормальной составляющих
ветра с постоянным градиентом по размаху крыла, приведенные
на рис. 2.4, показывают, что положительный градиент dwyldz с
точки зрения вызываемого им аэродинамического момента экви-
валентен положительной угловой скорости самолета относительно
оси х, а отрицательный градиент — dwxldz— положительной
угловой скорости относительно оси у. При определении знака
и угловых скоростей (ои.х и обусловленных движением возду-
ха, необходимо иметь в виду, что составляющие ветра wx, wy и w2
характеризуют направление движения воздуха относительно
самолета, тогда как угол pw и угловые скорости <owx и дол-
жны характеризовать движение самолета относительно воздуха.
61
Поэтому для правильного учета знака этих приращений направ-
ление составляющих скорости ветра wXt wy и wz следует поменять
на обратное, что и сделано на рис. 2.4.
Подчеркнем, что учет производных dwjdz и dwvldz есть б
принципе не что иное, как учет влияния размеров самолета на
параметры бокового движения.
Геометрические соотношения на рис. 2.4 поясняют, при каких
ограничениях справедливы выражения (2.22). Упомянутые огра-
ничения заключаются в следующем:
1) выражения (2.22) справедливы лишь при постоянных гра-
диентах нормальной и продольной составляющих скорости ветра
по размаху крыла;
2) выражения (2.22) получены исходя из неравномерного
распределения составляющих ветра wx и wv по размаху крыла;
поэтому они справедливы лишь для крыла; возможность приме-
нения этих выражений для других частей самолета (фюзеляж,
хвостовое оперение) должна быть рассмотрена дополнительно.
Разлагая функции, входящие в (2.19), в ряд Тейлора по их
аргументам и сохранив только член ряда с первой степенью при-
ращения аргумента, получим выражения для правых частей
уравнений бокового движения:
SAZ=Z^+Z^w + Z\+Z“^+Z<“wxu>wx+
+Z“^y+Z“^u>wy+Z4,
+ Л1>ш„у + МХ+Х"8и,
+Л4>«,„у+М Н+Л4>н.
Подставляя в (2.18) значения приращений сил и моментов из
(2.23) и учитывая соотношения (2.22), получаем систему урав-
нений:
mVe -Z7Y-(/nHe+Z<0^)-^-=
* dt re dt v e * dt
= — Z₽« —-—I- Z wx — Z sy —- 4 -z4.
У e dz dz (2.24)
?gV x d# dt xy d& di
= -Af₽w_^_ 4-Л1Х + Л1Х
62
dz
r-Myrfg Лгу rf/2 Myg dt + /у dt2 Mygy dt —
== _ -|_ Af“w* _ Af“wy _g* _|_ м «э39 -|_ M>8H,
^L = Ve(?g~V-
at
(2.24)
Система уравнений (2.24) может быть несколько упрощена
для самолетов обычной аэродинамической схемы. Для таких
самолетов можно без внесения существенных погрешностей по-
ложить равными нулю следующие величины: Z“r> Z“’y и 1ху.
Учитывая это упрощение, после несложных преобразований из
(2.24) получаем:
d$g . , 0 , Л'Р . . .
-ту-+k&g - ^tY —— = — 4-
dt dt Ve
' dfi ~ ч dt ~ ф dt Ve 1 ч dz
4-/;^+а+48и,
, dli «з ' dwy
—Le —!_=—L_w — tl- ------4-
d/2 ' dt Ve 2 T dz —
4-«i — 4-д Л 4-/* A
I ф Э I И il
Формулы для расчета коэффициентов уравнений (2.25) при-
ведены в табл. 2.2.
В табл. 2.2 приняты следующие обозначения:
ix=4Ixlml2—безразмерный момент инерции относительно
оси х;
iy — 4Iylml- — безразмерный момент инерции относительно
оси у,
He=2mlpeSl — относительная плотность самолета в боковом
_ движении;
шх^0)х^/2Ие — безразмерная угловая скорость относительно
оси х;
<oy=<i>yZ/2Ve—безразмерная угловая скорость относительно
оси у.
Коэффициенты правых частей уравнений системы (2.25), от-
меченные штрихом, имеют ту же структуру, что и соответствую-
щие коэффициенты левых частей, но значения входящих в них
частных производных от коэффициентов силы и моментов может
быть иным, чем у коэффициентов левой части уравнений. По этой
63
Таблица 2.2
Коэф- фици- ент Формула Размер- ность
к9 - С₽/2ге сек~{
k1 giv. сек~~1
- с^1^е сек**1
— (1) , сек~^
1- сек-'
I
ч сек-1
/э сек~ъ
1ц сек—'*
п* сек-*^
п- т — m°yxlteiy сек-*1
сек—1
Пэ — «у^г/^’у сек—-
сек~*-
причине каждый из коэффициентов нуждается в специальном
рассмотрении его физической природы. При этом вначале будем
полагать, что самолет попадает в единичный порыв ветра с по-
стоянной скоростью или с постоянным градиентом по размаху
крыла. В этом случае боковой ветер оказывается эквивалентным
(если не учитывать время входа самолета в порыв) углу сколь-
жения, и штрихи у коэффициентов в уравнениях (2.25) можно
убрать, считая эти коэффициенты равными коэффициентам левой
части. К такому выводу можно прийти и при рассмотрении коэф-
фициентов и . Наличие постоянного градиента по оси z
у нормальной составляющей ветра wv (рис. 4,6) эквивалентно
угловой скорости <bwx для всего самолета. Следовательно, коэф-
фициенты и п- должны быть равны коэффициентам и
/ij, и необходимость отмечать их штрихом отпадает. Для упро-
щения расчетов без внесения существенной погрешности можно
64
коэффициент zij в правой части третьего уравнения (2.25) по-*
дожить равным нулю, так как на летных углах атаки он во много
раз (более чем на порядок) меньше других коэффициентов пра-
вых частей уравнений бокового движения. При анализе специаль-
ных режимов (посадка, полет на высоте, близкой к потолку)
необходимость учета члена с коэффициентом п'^ в правой части
третьего уравнения (2.25) должна быть подвергнута специаль-
ному анализу.
Рассмотрим коэффициенты и . Как следует из схемы
на рис. 2.4, а, наличие постоянного градиента продольной состав-'
ляющей ветра wx по оси z эквивалентно угловой скорости отно-
сительно оси у лишь для крыла, но не для фюзеляжа и хвостового
оперения, имеющих незначительную протяженность вдоль оси г,
но довольно значительную — по оси х. Поэтому в производных
/Их“ и niy’y следует учитывать лишь ту часть момента, которая
создается крылом. В работе [29] показано, что на летных углах
атаки производная т'уУ обусловлена влиянием хвостового опе-
рения и фюзеляжа, а роль крыла ничтожна. Поэтому производ-
ную туту и, следовательно, коэффициент п? можно прибли-
женно принять равными нулю. Что касается производной ШлУ'
то, чтобы указать на необходимость при ее расчете учитывать
лишь вклад крыла, отметим ее индексом «к», т. е.
(2.26)
Отсюда вытекает формула для расчета коэффициента :
/; = -(/п>)к/гЛ- (2.27)
Данные для расчета производной (/и”-у)к можно найти, на-
пример, в работе [27]. Расчеты показывают, что у самолетов
обычной аэродинамической схемы при нормальных летных углах
атаки всегда выполняется соотношение Следо-
вательно, в создании момента крена неравномерность в распре-
делении по размаху крыла продольной составляющей ветра
играет незначительную роль по сравнению с неравномерностью
по размаху нормальной составляющей (при малых углах атаки).
На основании этих данных, в дальнейших расчетах будем счи-
тать, что I,- =0.
При анализе движения самолета в неспокойном воздухе чле-
ны £Н6Н) /н£н> Пз5э будем также считать равными нулю вследствие
их малости по сравнению с другими членами правых частей урав-
нений (2.25).
3-2008 6S
С учетом приведенных выше соображений относительно коэф-
фициентов правых частей уравнений (2.25) последние для рас-
сматриваемого случая воздействия на самолет порыва с постоян-
ной скоростью или с постоянным градиентом по размаху должны
быть записаны в форме:
d$g I ъ Й а
-----—Лту--------------—— да
at 1 n dt V.
Mg+
^1
dt2
-2-+^
dtp_____ np
~7T~~e
(2.28 •
' _L /
I dt “T * dt
При анализе движения самолета без автопилота в уравнения.':
(2.28) следует положить бэ=бн=О. Четвертое уравнение оказы-
вается изолированным. Оно может быть использовано для опре-
деления бокового отклонения центра тяжести самолета от исход-
ной прямолинейной траектории, вызываемого порывом ветра
Это уравнение можно использовать и для определения боковой
перегрузки в земных осях.
Для анализа управляемого полета уравнения (2.28) должны
быть дополнены уравнениями автопилота. Эти уравнения в об-
щем случае связывают углы отклонения элеронов и руля на-
правления с координатами р, у> Ф и zg. Благодаря уравнениям
автопилота система (2.28) становится замкнутой.
В настоящее время наиболее широко используются автопило-
ты, в законы управления которых не вводится сигнал бокового
отклонения zg центра тяжести самолета от заданной траектории.
В этом случае четвертое уравнение системы (2.28) остается изо-
лированным и при наличии автопилота.
При изучении законов управления боковым движением огра-
ничимся рассмотрением автопилотов с жесткой обратной связью.
В настоящее время используются две различные структурные
схемы автопилотов для стабилизации углов рыскания и крена: с
перекрестной связью и без нее.
Перекрестная связь вводится для устранения отклонений о:
прямолинейного полета с помощью координированных доворотов
Поэтому при рассогласовании по любому из углов (рыскания илв
крена) отклоняются оба рулевых органа — элероны и руль на-
правления.
При отсутствии перекрестной связи руль направления откло-
няется только при рассогласовании по углу рыскания, а элеро-
ны— по углу крена.
66
Уравнения идеального автопилота с перекрестной связью
имеют вид:
8э=НУ + S -уу + h (Фз - Ф),
8н=/т¥-Л(Фз-Ф)+А
(2.29)
где фз — заданное значение угла рыскания.
Если в уравнениях (2.29) положить =0, то они превра-
тятся в законы управления автопилота без перекрестных связей.
Поэтому для сокращения объема работы анализ динамики систе-
мы самолет — автопилот проведем с уравнениями автопилота с
перекрестной связью (2.29). Все полученные аналитические вы-
ражения будут справедливыми и для самолета с автопилотом
без перекрестной связи, если в них положить равными нулю пере-
даточные числа 1ф и /т .
В результате объединения (2.28) и (2.29) получаем уравнения
системы самолет — автопилот, находящейся под воздействием
неспокойной атмосферы:
——+ —— = -^— w2,
dt ' g 1 dt Ve г
ЭД- + — T (^4 + Ш — + Н^У+h — “ W=
Pls 1 4 7 ' 7 э/ df ’ 7 эг I ф т эт
/а , dWy . .
+ + +/ф«н)-^- +Л«нФ =
= ®г+/М.
dZg
~=^(^-ф)-
(2.30)
Уравнения (2.28) и (2.30) позволяет провести анализ бокового
движения самолета без автопилота и самолета с автопилотом
при воздействиях боковых порывов ветра, а также нормальных
порывов, имеющих определенный градиент по размаху крыла.
§ 2.4. ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Во втором и третьем параграфе данной главы показано, что
Движение самолета в неспокойном воздухе во многих случаях
описывается системой линейных дифференциальных уравнений С
постоянными коэффициентами. Для любой координаты возмущен*
3* 6?
ного движения самолета система линейных уравнений всегда
может быть сведена к одному уравнению вида
а° lte~+ai + ’ • • +ал~1-7Г +апУ=
. dmx . . dm~'x .
—— Ол - —I- и л “ " 1
0 dtm 1 1 '
at
(2.31)
где x — возмущающее воздействие, известная функция вре-
мени;
у — координата движения самолета (реакция на возму-
щение), искомая функция;
di, bi — постоянные коэффициенты, зависящие от парамет-
ров самолета.
Заметим что для реальных систем всегда справедливо соот-
ношение п^т.
Динамические свойства любой системы, описываемой уравне-
нием вида (2.31), очень нагляд-
но характеризуются переход-
ной функции H(t), которая
представляет собой реакцию
системы или выходную величи-
ну при воздействии на систему
возмущения в виде единичной
функции (единичного скачка).
При этом не важно, может ли
быть создано в реальных усло-
виях возмущающее воздейст-
вие в виде единичной функции.
Если известно аналитическое
выражение для переходной
функции, то реакция системы
Рис. 2.5. Переходный процесс для
угла атаки самолета при скачко-
образном отклонении руля высоты
на возмущение практически любой формы может быть найдена с
помощью интеграла Дюамеля (интеграла свертки).
В качестве примера на рис. 2.5 изображена реакция самолета
по углу атаки при скачкообразном изменении положения руля
высоты.
Если возмущающее воздействие описывается импульсной или
б-функцией, то реакция системы называется импульсной переход-
ной (весовой) функцией К (0- Переходная и импульсная пере-
ходные функции связаны между собой соотношением
dt
(2.32)
При исследовании динамических систем очень широко исполь-
зуется также так называемая передаточная функция. Для полу-
чения передаточной функции системы, описываемой уравнением
(2.31), введем в рассмотрение оператор дифференцирования
68
p=d/dt, который преобразует функцию времени в производную
этой функции. Производным второго и более высоких порядков
соответствуют положительные степени оператора р, т. е.
fp^&ldt*, p3=d?ldt3 и т. д.
Преобразование функции в кратные интегралы осуществляет-
ся с помощью отрицательных степеней оператора р, т. е.
p-2 = JJ(...)d/2 и т. д.
Заменяя в уравнении (2.31) производные оператором р в со-
ответствующей степени, получим
(аорп at р"-14- ... + a„.ip+ап) у=
=(*оР'в + ^Р'"-14- • • • + Ьт-хр -\-Ьт)х, (2.33)
или
N(p)y=M(p)x. (2.34)
В выражении (2.34) N(p) и М(р) являются рациональными
функциями оператора р, т. е. также операторами, но более слож-
ными.
Из (2.34) получаем
y=-^x=wylx(p)x. (2 35)
Оператор Wy/X(p), который, как это вытекает из (2.35), пре-
образует возмущающее воздействие в реакцию данной системы,
называется передаточной функцией этой системы.
Из (2.35) можно получить и другое часто встречающееся вы-
ражение для передаточной функции
Wylx(p)=-^. (2.36)
Для систем, описываемых уравнением вида (2.31), передаточ-
ная функция есть дробно-рациональная функция оператора р:
Wy/X (»)= -М2+Л Рт-. + • • • + bm-i Р+. ьт (2.37)
У аорп + л1рл-1 + ...+ая_,р + ап
Рассмотрим некоторые свойства передаточной функции для
случая, когда возмущающее воздействие является единичной
функцией.
Значение выходной величины в установившемся режиме
(/=оо) при воздействии вида единичной функции можно полу-
чить непосредственно из уравнения (2.31), если положить рав-
ными нулю все входящие в него производные: у=Ьт1ап. Это же
значение может быть получено из выражений для передаточной
функции (2.35) и (2:37), если положить р=0. Таким образом,
limy(O=limUZz>(p). (2.38
/-►ао р->0
Можно также показать, хотя и более сложным путем, что
начальное значение выходной величины (t-О) при воздействии
69
вида единичной функции определяется значением передаточной
функции при р=<х>, т. е.
t ~>0 Р~ГОО
(2.39)
Рассмотрим также используемое ниже понятие частотной ха-
рактеристики системы, описываемой дифференциальным уравне-
нием (2.31).
Пусть возмущающее воздействие
x(t) изменяется по синусоидальному
закону, т. е.
л(/)=Дж81п(ш/+фх), (2.40)
где фя — начальная фаза возмущаю-
щего воздействия.
В этом случае выходная величи-
на или реакция системы
вившемся режиме также
ляться синусоидальной
времени:
у(*)=Ду8т(ш/+Фу),
где — начальная фаза
величины.
Представляя синусоидальные величины (2.40) и (2.41) в комп-
лексной форме, получаем
х(^=АхеНш^ =
где Ах=Ахе^х — комплексная амплитуда возмущающего воз-
действия;
у (/W)=Ayei(a“+У =
жении руля высоты
в устано-
будет яв-
функцией
(2.41)
выходной
(2.42)
(2.43)
где Ay=AyeWy—комплексная амплитуда выходной величины.
Частотной или амплитудно-фазовой характеристикой системы
или комплексной передаточной функцией называется отношение
комплексных амплитуд выходной величины и возмущающего воз-
действия.
Подставляя значения x(ja>t) и в уравнение (2.31), на-
ходим частотную характеристику системы
Ay (/т) _ ьй (/<>)*” + bi + ... + &т_1 /<> + ьт (2 44)
( /«>) а0 < /“)Я + < 7®)"-1 + • • • + ап-1 J“> + ап
Сравнивая (2.44) и (2.37), устанавливаем, что частотная ха-
рактеристика может быть получена из передаточной функции
путем замены оператора р на оператор /<в. Следовательно,
70
'w,«(/«)= _’2±= h. e>»,-V =uz,(2.45)
A(J“) A]c
где Wyix («>)=AylАх—модуль или амплитудная характеристи-
ка;
<Р=argWy/X(ju>)—аргумент или фазовая характеристика.
Амплитудная характеристика выражает зависимость ампли-
туды выходной величины от частоты возмущающего воздействия.
Аналогичную зависимость для фазы выходной величины дает фа-
зовая характеристика.
В качестве примера на рис. 2.6 приведены амплитудная и
фазовая характеристики для угла атаки при синусоидальном дви-
жении руля высоты.
§ 2.5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
В настоящее время для исследования движения самолета
широко применяется моделирование уравнений динамики полета
на аналоговых электронных или
электромеханических вычислитель- _ , ч ‘ .
ных машинах. Линейная
В данной книге рассматривается система
методика моделирования лишь од- -------------------
ной специфической задачи — дина- Рис. 2.7. Линейная система при
мики движения самолета в турбу- стационарном случайном воз-
лентной атмосфере. При этом счи- мущении
тается, что турбулентность является
стационарным случайным процессом, который описывается ана-
литическими выражениями, проведенными в гл. 1.
Движение любой системы, описываемой линейным дифферен-
циальным уравнением вида (2.31), под действием стационарного
случайного возмущения может быть исследовано хорошо извест-
ными методами с использованием аппарата корреляционных
функций или спектральных плотностей. В данной книге исполь-
зуется аппарат спектральных плотностей. Спектральная плот-
ность Sv((o) выходной величины какой-либо системы, имеющей
частотную характеристику Wylx(jto) (рис. 2.7), определяется вы-
ражением
Sy («>) = I Wylx (/<о) |2 Sx (о>) = W*lx (ш) Sx (<»), (2.46)
где Sx((o) —спектральная плотность возмущения.
Спектральная плотность весьма полно характеризует измене-
ние выходной величины под действием случайного стационарного
воздействия, так как показывает, как распределена по частотам
дисперсия выходной величины. Однако на практике чаще огра-
ничиваются оценкой изменения выходной величины по ее средне-
71
квадратичному значению ау, которое связано со спектральной
плотностью формулой*
Sy(w)cfo>.
о
При исследовании динамики самолета аналитическое опреде-
ление как спектральной плотности, так и среднеквадратичное
значения (или дисперсии <rv2) является весьма трудоемким про-
цессом. Это объясняется сложностью передаточных функций и.
следовательно, частотных характеристик самолета.
Для вычисления спектральной плотности и дисперсии пара-
метров движения самолета можно использовать аналоговые ма-
шины [30]. Определение спектральной плотности выходной вели-
чины на аналоговых машинах основано на моделировании
соотношения (2.46). Спектральная -плотность ветра является
дробно-рациональной функцией частоты <о, в которую со входит
только в четных степенях. Поэтому спектральную плотность вход-
ной величины можно представить в виде квадрата модуля ча-
стотной характеристики некоторой линейной системы, обычно
называемой формирующим фильтром:
5х(<о)=|1Гх/х,(/ш)[2=М7^.(ш),
где х — входная величина исследуемой системы;
Xi — синусоидальный сигнал частоты о, подаваемый на вход
формирующего фильтра с частотной характеристикой
Wx/xl (io>).
Учитывая (2.48), из (2.46) получаем
5у (ш)=| WXIXl (/о>) Wylx (/ш) |>. (2.49)
Из (2.49) следует, что если последовательно соединить -модели
формирующего фильтра и исследуемой системы и подать на вход
фильтра синусоидальный сигнал частоты ©, то квадрат ампли-
(2.47)
(2.48)
Рис. 2.8. Блок-схема моделирования спектральной плотно-
сти выходной величины
туды выходного сигнала будет равен спектральной плотности
выходной величины исследуемой системы при этой частоте. Блок-
схема моделирования спектральной плотности выходной вели-
чины приведена на рис. 2.8. Буквами БП на этом рисунке обо-
* См. «Приложение D».
72
значен блок перемножения, возводящий в квадрат величи-
ну у(®)-
Рассмотрим методику определения параметров формирую-
щего фильтра для моделирования спектральной плотности воз-
мущающего воздействия.
В качестве примера возьмем выражение (1.33) для спектраль-
ной плотности поперечной составляющей случайного ветра и
представим его в более удобной форме:
где
1 + Зд2а>2
(1 + а2т2)2 ’
(2.50)
a^LlVe.
Приравняем (2.50) квадрату искомой частотной характерис-
тики Wx!Xl (7<о) (2.48):
5„(<о)=| (2.51)
Рис. 2.9. Структурная схема формирующего фильтра для получе-
ния спектральной плотности
Нетрудно заметить, что соотношению (2.51) будет удовлетво-
рять следующее выражение:
rxM1(/«>)=-2sL-V^ 1+/1,73д<д_.. (2.52)
1/Г (1 -ьуа«)2 4
Из (2.52) следует, что передаточная функция формирующего
фильтра для поперечной составляющей ветра должна иметь вид
Wxx (о)= Va 1 + 1 '™ар- = ----boP + bV (2.53)
V7 а + «р)2 Ул Р2 + а1Р+аг
где
^=2/0, а2=1/а2, b0 = 1,73/]/а, ^=1/а3'2. (2.54)
Структурная схема моделирования передаточной функции
вида (2.53) на аналоговой машине приведена на рис. 2.9.
Необходимо обратить внимание на то, что при использовании
фильтра, собранного по схеме рис. 2.9, среднеквадратичному
73
значению ветра приводится в соответствие амплитуда синусом
дальнего напряжения, подаваемого от инфранизкочастотного ге-
нератора. На выходе схемы 2.9 должна измеряться амплитуде
напряжения, получающегося после блока перемножения. Ампли-
туда синусоидального напряжения на входе должна быть умень-
шена в /я раз [формула (2.53)], чтобы формирующий фильтр
соответствовал исходному выражению для спектральной плот-
ности.
Формирующий фильтр несколько другой схемы может был
использован для получения дисперсии выходных параметров си-
стемы, находящейся под воздействием стационарного возму
щения.
Определение дисперсии параметров исследуемой системы
на аналоговой машине обосновывается соотношением
оо оо
= f Sy(«)rf®= f IWXIXlU^Wylx(J^d^. (2.55)
о 6
С другой стороны, известно, что частотная характеристика и
импульсная переходная функция линейной системы связаны
между собой теоремой Релея:
оо оо
Ку (0 dt = — С I Wx/Xi (/ш) М7у/Ж (/ш) I2 du. (2.56)
J Л J
о о
В интеграле левой части теоремы Релея нижний предел —ос
заменен на 0, так как импульсная переходная функция Kv(t) при
«О тождественно равна нулю.
Правые части (2.55) и (2.56) различаются только коэффици
ентом 1/л. Поэтому
оо оо
32=^ K2(t)dt=± |/к1Гж/Х1(/ш)1Гу/х(/а>)|2^ш. (2.57i
о о
Выражение (2.57) показывает, что для получения дисперсии
в форме интеграла от квадрата импульсной функции некоторой
системы при принятом соотношении (2.47) между дисперсией и
спектральной плотностью частотная характеристика этой системы
должна быть умножена на V л.
Формула (2.57) неудобна для моделирования, так как требу
ет воздействия на систему импульсной функцией. В обычных
интеграторах внешние воздействия задаются в форме единичной
функции. Из (2.32) следует, что если Kv(0 есть импульсная пере-
ходная функция системы с частотной характеристикой
то она же есть переходная функция системы с частотой характе-
ристики j(oIF(j<B). По этой причине на блок-схеме для модели-
74
рования дисперсии (рис. 2.10) передаточная функция формирую-
щего фильтра имеет дополнительный множитель р, а на вход
подается единичная функция. Передаточная функция формирую-
Рис. 2.10. Блок-схема моделирования дисперсии выходной величины
щего фильтра, соответствующего спектральной плотности (2.50),
с учетом дополнительных множителей Vя и р будет иметь вид
ну / _\ 1Р 1,73д/>2_____ Ъор1 + b^p ео\
(р)=бда V а -=°w • (2-58)
(I + аР)2 Р2 + Я-1Р + а2
Рис. 2.11. Структурная схема моделирующего фильтра для по-
лучения дисперсии
Коэффициенты а,- и определяются формулами (2.54). Струк-
турная схема моделирования этого фильтра приведена на
рис. 2.11.
Из выражения (2.57) • следует, что квадрату дисперсии иссле-
дуемой величины соответствует напряжение на
выходе схемы (рис. 2.10) после окончания пере-
ходного процесса, вызванного подачей на вход
ступенчатой функции. Теоретически это время
равно бесконечности. Практически при исследова-
нии динамики самолета оно колеблется в преде-
лах единиц или десятков секунд. На рис. 2.12 по-
казана типичная осциллограмма выходного на-
пряжения схемы (рис. 2.10) при исследовании пе-
регрузки, вызываемой случайным вертикальным,,
ветром.
Приведенная методика моделирования дина-
мики системы, на которую действует возмущение, Рис. 2.12. Ос-
имеющее характер стационарной случайной функ- циллограмма
Нии, дает возможность достаточно быстро иссле- выходТ^блок*
довать движения самолета в турбулентной атмос- схемы на
Фере. рис. 2.10
75
ГЛАВА 3
Продольное движение
самолета
в неспокойной атмосфере
§ 3.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВЕТРА
Основной задачей данного параграфа является получение и
анализ передаточных функций для параметров продольного дви-
жения самолета в неспокойной атмосфере. В последующих пара-
графах этой главы передаточные функции используются для
получения на основании соотношений (2.46) и (2.47) характери-
стик продольного движения в турбулентной атмосфере.
Переходные функции продольного движения, рассматривае-
мые совместно с передаточными функциями, дают наглядное
представление о поведении самолета при попадании в одиночный
порыв ветра вида единичной ступенчатой функции. Хотя таких
порывов в реальной атмосфере не существует, однако встречают-
ся порывы с большим градиентом, которые в первые секунды их
воздействия на самолет можно считать близкими к ступенчатым.
В данной главе произведено сравнение динамики самолета
с зажатыми рулями и при управлении автопилотом. Исследова-
ние поведения самолета с зажатыми рулями представляет не
только теоретический, но и практический интерес, поскольку инст-
рукции рекомендуют летчику при полете в неспокойной атмос-
фере по возможности не вмешиваться в управление самолетом,
удерживая рули в определенном положении. Однако все чаще для
управления самолетом в этих условиях используется автопилот.
Оценим роль продольной и нормальной составляющих скоро-
сти ветра в возмущении параметров продольного движения. Для
этого рассмотрим передаточные и переходные функции самолета
с зажатым рулем высоты и самолета, управляемого автопилотом
с высотным корректором [закон (2.13)] и без него [закон (2.14)].
На основании полной системы уравнений (2.10), справедливой
для горизонтального полета самолета с зажатым рулем высоты,
получаем следующие передаточные функции при воздействии
горизонтальной составляющей ветра.
Для угла тангажа *
* Выражения для коэффициентов этой и остальных передаточных функ-
ций, характеризующих продольное движение, приведены в «Приложении А».
76
U/»;w (p)= - =-----------*oP2 + »,P--- (3.1)
x A(p) pi 4- atp3 + a2₽2 + a3p + a4
Отрицательный знак передаточной функции (3.1) указывает
на то, что в первый момент после попадания в попутный поток
воздуха постоянной скорости (№х>0) самолет опускает нос
(АО<0). В установившемся режиме (р = 0) приращение угла
тангажа становится равным нулю.
Для приращения скорости по связанной оси х
W^v iw Cl'P3 + с‘р2 +-С2Р + . (3.2)
gx^x^> А(р) А(р) '
Совпадение свободных членов числителя и знаменателя пере-
даточной функции (3.2) свидетельствует о том, что в установив-
шемся режиме приращение путевой скорости равно посто-
янной скорости горизонтальной составляющей ветра wx.
Для скорости по связанной осп у
Wv ./«, (Р)= - -^- =------rf|ip8 + rfip2- . (3.3)
gy'w^’ А(р) А(р) k
Для вертикальной скорости самолета (в земных осях)
Н7 { ________f (р) _ _ еорз+е^г + егР ,,
Wy^x^~ А(р) ~ А(р) ( ’
Для горизонтальной перегрузки
Wnx/Ux(/>) = !Wx(р). (3.5)
л Л rtf Л
Для вертикальной перегрузки
^v/w/P)=-^ ;w (Р>- (3.6)
уж g yglWx
Вид передаточных функций (3.3) — (3.6) позволяют утверждать,
что в установившемся режиме (р=0) при воздействии постоян-
ного ветра Wx приращения параметров Vgy, yg, пх и пу равно
нулю.
Передаточные функции для самолета с зажатым рулем высо-
ты при воздействии вертикальной составляющей ветра имеют
следующий вид.
Для угла тангажа
г„. (,)- - (3.7)
' Л(р) Л{р1
Отрицательный знак передаточной функции (3.7) указывает
на то, что в первый момент после попадания в восходящий поток
постоянной скорости (Wy>0) устойчивый самолет опускает нос
вниз («клюет на ветер»). В установившемся режиме (р=0) при
77
б)
78
^V'w/p)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
постоянной скорости вертикального ветра приращение угла тан»
гажа равно нулю.
Для приращения скорости по связанной оси х
G(p) _ goP* 3 + giP2+£2/»
А(Р) А(р)
•Для скорости по связанной оси у
Wv (д) - Шр) ^оР3 + ftiр2 + h%p + Д4
л(р) Л(р)
Щля вертикальной скорости самолета (в земных осях)
(р)=1 (Р)- = - —+ **Р' + °4.
W''' А(р) А(Р)
Свободные члены числителей и знаменателей (3.9) и (3.10)
совпадают, что указывает на то, что в установившемся режиме
вертикальная скорость самолета будет равна скорости постоян-
ного по величине ветра Wy.
Для горизонтальной перегрузки
^лх/«-у(Х>)= (3.11)
л У g 6* у
Для вертикальной перегрузки
(3.12)
На рис. 3.1 в качестве примеров приведены амплитудно-час-
тотные характеристики для практически наиболее важных пара-
метров продольного движения тяжелого транспортного самолета
в крейсерском режиме полета (ниже для краткости этот самолет
будем называть самолетом № 1). Эти характеристики построены
по рассмотренным выше передаточным функциям для угла тан-
гажа, вертикальной и горизонтальной перегрузок при действии
вертикальной (кривые 1) и горизонтальной (кривые /') состав-
ляющих ветра. Начальные участки этих же характеристик в бо-
лее крупном масштабе для о показаны на рис. 3.2 (кривые /).
На рис. 3.2 характеристики самолета построены только при воз-
действии вертикальной составляющей ветра, так как графики на
рис. 3.1 показывают, что угол тангажа и вертикальная перегрузка
Рис. 3.1. Амплитудные характеристики для угла тангажа (а),
вертикальной (б) н горизонтальной (в) перегрузок при дейст-
вии вертикальной и горизонтальной составляющих ветра (са-
молет Хз 1). Характеристики, относящиеся к горизонтальному
ветру, отмечены штрихом:
1 — самолет с зажатым рулем; 2 — самолет с автопилотом [закон (2.13)];
3 — самолет с автопилотом [закон (2.14)]
79
при воздействии горизонтальной составляющей ветра примерно
на порядок меньше, чем от вертикальной. Несколько больше роль
горизонтальной составляющей в создании горизонтальной пере-
грузки (рис. 3.1,в), но последняя по абсолютной величине мала
и в большинстве случаев практически не представляет интереса.
На основании этого ниже, как правило, будет анализироваться
поведение самолета под действием вертикальных порывов ветра.
Рис. 3.2. Начальные участки ам-
плитудных характеристик для
приращений угла тангажа (а),
вертикальной (б) и горизон-
тальной (в) перегрузок при
действии вертикальной состав-
ляющей ветра (самолет № 1):
1 — самолет с зажатым рулем; 2 —
самолет с автопилотом [закон
(2.13)]; 3 — самолет с автопилотом
[закон (2.14)]; 4 — самолет с авто-
пилотом [закон (2.13), упрощенные
уравнения самолета (2.11)
Графики на рис. 3.2 показывают, что на очень низких часто-
тах характеристики самолета с зажатыми рулями содержат пи л
значительной амплитуды, обусловленный длиннопериодически?'
движением (фугоиды). Это обстоятельство хорошо подтверж
дается переходными процессами, соответствующими входу само
лета № 1 в вертикальный поток воздуха, имеющий скорость
Wy= 10 м/сек, (рис. 3.3).
Необходимо обратить внимание на то, что приращение угла
атаки Да, вызванное вертикальным порывом ветра, уменьшается
80
практически до нуля за время короткопериодического движения
и не возмущается в процессе фугоидных колебаний. Переходная
функция для угла атаки практически совпадает с переходной
функцией для вертикальной перегрузки. Поэтому при анализе
продольного движения главным образом с точки зрения перегру-
зок, испытываемых самолетом, можно ограничиться боЛее про-
Рис. 3.3. Переходные процессы самолета № I с зажатым рулем, полученные по
полным уравнениям (2.10), при воздействии вертикального ветра
стыми уравнениями (2.11). Ниже будет показано, что для само-
лета с автопилотом без высотного корректора такое допущение
тем более справедливо, так как автопилот уничтожает фугоидные
Рис. 3.4. Переходные процессы самолета № 1 с зажатым рулем, полу-
ченные по полным уравнениям (2.10), при воздействии горизонтального
ветра
колебания, и переходные характеристики, получаемые по полным
(2.10) и упрощенным (2.11) уравнениям, совпадают лучше, чем у
самолета без автопилота.
На рис. 3.4 приведены переходные процессы для самолета
№ 1 с зажатым рулем, соответствующие входу самолета в попут-
ный поток воздуха, имеющий скорость Ч7ж=10 м/сек. Чтобы бо-
лее наглядно представить фугоидные колебания, масштаб вре-
мени уменьшен. Переходные процессы на рис. 3.4 показывают, что
81
у самолета с зажатым рулем при попадании, в горизонтальный
порыв угол атаки почти не возмущается, а приращения угла тан-
гажа, путевой скорости и высоты совершают слабо затухающи’
колебания с большим периодом. При этом колебания скорости i.
высоты полета совершаются относительно значений этих величии
в новом установившемся режиме.
Получим передаточные функции для параметров движении
самолета с зажатыми рулями при воздействии горизонтальной
составляющей ветра на основе более, простых уравнений (2.11)
Для угла тангажа *
(3.13)
Для скорости по связанной оси у
Wvgylv>x(p)=
Р’(р)
А' (р)
dop + rfj
А'(р)
(3.14;
Для вертикальной скорости самолета
^(Р)=
Е’(Р)
рА'(р)
е'оР- + е[р + е'2
рА'(р)
Для вертикальной перегрузки
^x(P)=-TWyjw (/>)•
ух g yg^x
(3.15.
(3.16)
Рассмотрим передаточные функции для параметров продоль-
ного движения при воздействии вертикальной составляющей
ветра. Функции получены на основе (2.11).
Для угла тангажа
(д) =------------------(3.1/1
А‘(р) А'(р) '
Для скорости по связанной оси у
Wv -w (р)= H'(PL = h°p + <\ (3.18.
vgyw^' А'(р) А'(р) '
Для вертикальной скорости самолета
W- . (р)=- Г(р)- = + . (3.19)
А'(р) А'(р)
* Выражения для коэффициентов передаточных функций (3.13) — (3.19 >
приведены в «Приложении А».
82
Для вертикальной перегрузки
<за»
Найдем также передаточную функцию для дополнительной
перегрузки, вызываемой угловыми движениями самолета, т. е. его
колебаниями относительно центра тяжести. Эту перегрузку опре-
делим лишь для случая вертикальной составляющей ветра. Пере-
даточная функция для перегрузки на плече I от центра тяжести,
вызываемой угловыми движениями, имеет вид
^Vwy(p)=-^-U7»/Wy(p). (3.21)
Плечо I имеет положительный знак для точек, расположенных
от центра тяжести к хвосту самолета.
Необходимо отметить, что передаточные функции (3.13) и
(3.15) не могут быть использованы для расчета движения само-
лета при действии случайного ветра, так как они содержат чисто
интегрирующее звено в качестве множителя. Это обстоятельство
приведет к бесконечно большим значениям дисперсии угла тан-
гажа и вертикальной скорости при воздействии случайного ветра.
Такой результат является следствием пренебрежения изменением
скорости полета. Передаточные функции (3.1) и (3.4) для тех же
параметров, но полученные по полным уравнениям (2.10), лише-
ны указанного недостатка.
Частотные характеристики для угла тангажа и перегрузки,
полученные на основании упрощенных формул, практически со-
впадают с теми, которые приведены на рис. 3.1, а и б (кривые 1
и /')• Это подтверждает высказанное выше утверждение о том,
что короткопериодическое движение самолета без автопилота при
воздействии ветра достаточно хорошо описывается системой
уравнений (2.11).
В частотных характеристиках, полученных по упрощенным
уравнениям, исчезают пики на малых частотах (рис. 3.2,а и в),
соответствующие фугоидам. Однако площадь этих пиков ничтож-
на и, следовательно, ничтожна их роль при определении диспер-
сии угла тангажа и перегрузки при воздействии на самолет слу-
чайного ветра. Для иллюстрации всех этих положений рассмот-
рим переходные . процессы самолета № 1, полученные по
Уравнениям (2.11). Эти функции соответствуют входу самолета
в вертикальный ветер №=10 м!сек (рис. 3.5). Сравнение рис. 3.5
с рис. 3.3 показывает, что в пределах времени затухания корот-
копериодического движения процессы на обоих рисунках близки
друг к другу.
Перейдем к анализу передаточных и переходных функций с
автопилотом. Объединяя уравнения самолета (2.10) и автопилота
с законом управления (2.13), получаем передаточные функции
Для параметров продольного движения.
83
При воздействии горизонтальной составляющей ветра этг
функции имеют следующий вид.
Для угла тангажа *
uz»/w (р) = - ----------J^ + hPl+ hP-------- (3.22,
х Kip) р* + kipi + й2р3 + кзР2 + kiP -г k6
Для горизонтальной перегрузки
Wn lw (р) = — AL£L= _L W + АР4 + hF + hP* + ЪР (3 2з
xx g Kip) g Kip)
Рис. 3.5. Переходные процессы самолета № 1 с зажатым рулем, полученные по
упрощенным уравнениям (2.11), при воздействии вертикального ветра
Для вертикальной перегрузки
Wn /w (р) = -Л М(Р)_= _Д_ 'Порь + т^+’Ы 3 24
g Kip) g Kip) v
Передаточные функции при воздействии вертикальной состав-
ляющей ветра имеют следующий вид.
Для угла тангажа
uz8/w (»)= ”1£L= _ ЪР\±П1Р\+п,Р + пз (з,2,5)
1 Kip) Kip)
Для горизонтальной перегрузки
U7 (n)=— Q1PL— 1 ?оР5 + ?1/и+У2Р3 + УзР2-Ь^4Р (3 26)
g Kip) g Kip)
Для вертикальной перегрузки
У7Я (p)=-L ±L₽1 =±./-о-Р5 + Г^ + ^ + гз/>1. (3.27)
яу“’у^ g К(р) g К{р} '
Амплитудно-частотные характеристики, построенные на осно-
вании передаточных функций** (3.22) — (3.27) для самолета № 1
* Выражения для коэффициентов передаточных функций (3.22)—(3.27)
приведены в «Приложении А».
** Значения передаточных чисел автопилота приведены в «Приложении А»
84
приведены на рис. 3.1 (кривые 2 и 2'). Кривые 2 относятся к воз-
действию вертикальной, а кривые 2' — горизонтальной составля-
ющих ветра. Для малых частот характеристики, относящиеся к
вертикальному ветру, приведены на рис. 3.2 (кривые 2). Харак-
теристики на рис. 3.2 показывают, что автопилот с законом
управления (2.13) срезает пик фугоидных колебаний для верти-
кальной перегрузки и уменьшает пик для горизонтальной пере-
грузки. Неблагоприятным обстоятельством является смещение
j A exт ~0t32° Дур \р 1 6; Ьу$хл2,32 м/сек
'5 । У Jv, 'i “0,525° У Да=/7,/7° ° wdX О м MfCW — t 100
м/сек
Рис. 3.6. Переходные процессы самолета № 1 с автопилотом [закон (2.13)],
полученные по полным уравнениям (2.10), при воздействии вертикального ветра
пика на характеристике угла тангажа на нулевую частоту
(рис. 3.2,а), в результате чего действие вертикального ветра при-
водит к значительному отклонению всех параметров от их значе-
Рис. 3.7. Переходные процессы самолета № 1 с автопилотом [закон (2.13)],
полученные по упрощенным уравнениям (2.11), при воздействии вертикаль-
ного ветра
ний в установившемся режиме. На рис. 3.2, а приведена также
амплитудно-частотная характеристика 4, построенная по упро-
щенной передаточной функции, когда изменение скорости не
учитывается [уравнения (2.11) и автопилот (2.13)]. В характери-
стике 4 отсутствует пик на нулевой частоте, что очень существен-
но влияет на динамику самолета.
Проиллюстрируем эти результаты с помощью переходных
Функций для самолета № 1, представленных на рис. 3.6 и 3.7.
Переходные функции на рис. 3.6 получены по полным уравнениям
(2.10). Осциллограммы на рис. 3.6 указывают на очень неблаго-
приятный характер переходного процесса у самолета с автопило-
том, имеющим высотный корректор, при попадании в вертикаль-
ный поток воздуха. Чтобы стабилизировать самолет на новой
85
высоте, при ветре, направленном, например, вверх, автопилот за-
ставляет самолет опустить нос, вследствие чего увеличивается
скорость полета. Для обеспечения равновесного режима при но-
вом значении скорости нужно значительно уменьшить угол атаки.
Вследствие малого значения передаточного числа автопилота по
высоте (iv=0,07 град • руля/м) все эти нежелательные явления
развиваются очень медленно. Поэтому в подавляющем большин-
стве случаев самолет выйдет из зоны действия вертикального
порыва раньше, чем указанные явления успеют развиться. Но и
при кратковременном воздействии на самолет вертикальных по-
рывов влияние высотного корректора будет отрицательным.
К этому надо добавить, что в качестве датчика сигналов об изме-
нении высоты в настоящее время используется барометрический
прибор-статоскоп. Такой датчик работает удовлетворительно
лишь в условиях спокойной атмосферы. В турбулентной атмос-
фере наблюдаются пульсации давления, которые воспринимаются
датчиком как колебания высоты полета. В этих условиях коррек-
тор высоты может давать ложные и значительные по величине
сигналы на автопилот, которые вызовут нежелательные эволю-
ции самолета.
Второй особенностью рассматриваемого движения самолета
с автопилотом, имеющим высотный корректор, при попадании в
вертикальный поток воздуха является принципиальная невозмож-
ность исследования этой задачи с помощью уравнений в откло-
нениях (2.10), если скорости вертикального ветра значительны.
В этом случае отклонения скорости и углы атаки от исходных
значений получаются такими большими, что для исследования
динамики полета необходимо использовать исходные нелинейные
уравнения. Поэтому движение самолета, показанное на рис. 3.6,
исследовалось при скорости ветра W„=l м/сек. Даже при этом
условии установившиеся значения отклонений параметров от их
значений в невозмущенном режиме, вычисленные по приведенным
выше передаточным функциям, получаются следующими:
Д&уст=-1,15°, ДК^=17,5.и/сек, Ду? = 29.и.
На рис. 3.6 эти значения не показаны, так как за время осцил-
лографирования процесс не достиг установившегося состояния.
На рис. 3.7 приведены переходные процессы для того же слу-
чая, но без учета изменения скорости полета (уравнения 2.11).
Здесь значение скорости вертикального ветра принималось рав-
ным 10 м/сек, так как в поведении системы самолет — автопилот
нет никаких особенностей. Фугоидные колебания уничтожаются
автопилотом, переходные процессы быстро заканчиваются, и са-
молет продолжает полет с незначительным отклонением высоты.
Сравнение рис. 3.6 и 3.7 ясно показывает, что исследование
динамики самолета с автопилотом, имеющим высотный коррек-
тор, необходимо проводить с учетом изменения скорости.
86
На рис. 3.8 приведены переходные процессы для самолета
№ 1 с автопилотом, имеющим высотный корректор, показываю-
щие поведение самолета при попадании в попутный поток возду-
ха №х=10 м!сек. Эти функции получены по полным уравнениям
самолета (2.10). В этом случае не возникает таких больших от-
клонений от исходного режима, как это имело .место при входе
самолета с автопилотом, имеющим высотный корректор, в вер-
тикальный поток воздуха (рис. 3.6). Однако процесс перехода к
новому установившемуся режиму, также весьма затянут и состав-
ляет в рассматриваемом примере около 10 мин.
Вследствие установленного выше отрицательного влияния вы-
сотного корректора на динамику полета в возмущенной атмос-
фере рассмотрим поведение самолета с автопилотом без высот-
Рис. 3.8. Переходные процессы самолета № 1 с автопилотом с высотным кор-
ректором, полученные по полным уравнениям (2.10), при воздействии горизон-
тального ветра
ного корректора, т. е. с законом управления (2.14). Объединяя
уравнения (2.10) и (2.14), получаем следующие передаточные
функции при воздействии горизонтальной составляющей ветра.
Для угла тангажа *
U7»/O, (р)= - -£l£L=----------------------------
Tip) pi + tipt + hpl + hp + ti
Для горизонтальной перегрузки
W (п) = — и = — Uop4 + “iP3 +• цаР2 + азР
пх^Р> g Т(р} g Т(р)
Для вертикальной перегрузки
/_)_____1_ У(Р) _____!_«оР4 + t>iP3 + t>2P2
"У g Т{Р) g Т(р)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
Для самолета с-автопилотом без высотного корректора пере-
даточные функции при воздействии вертикальной составляющей
ветра имеют следующий вид.
Для угла тангажа
U78/w (р)= -•=-------------
Tip) Tip)
(3.31)
* Выражения для коэффициентов передаточных функций (3.28) —(3.33)
приведены в «Приложении А».
87
Для горизонтальной перегрузки
(р)=— 4^- = — —+>' + Х2Р2 (3.32)
х у g Т(Р) g v
Т(р)
Для вертикальной перегрузки
Wn /w (р)=—22£L=_L УоР* + У\Г + УгР + УгР ' /3 33)
у ” g Т(р) g , Т(р) * 1
Амплитудно-частотные характеристики, построенные на осно-
вании передаточных функций (3.28) —(3.33) для самолета № 1,
приведены на рис. 3.1 (кривые 3 и 3'). В большем масштабе для
«о начальные участки характеристик, относящихся к вертикаль-
ному ветру, показаны на рис. 3.2 (кривые 3). Графики на рис. 3.2
свидетельствуют о том, что характеристики самолета с автопило-
том без высотного корректора [закон (2.14)] идут в области ма-
лых частот наиболее благоприятным образом. Что касается бо-
лее высоких частот (рис. 3.1), то здесь различие между характе-
Рис. 3.9. Переходные процессы самолета № 1 с автопилотом [закон (2.14)],
полученные по полным уравнениям (2.10), при воздействии вертикального ветра
ристиками 2 и 3 незначительно. Особенно мало оно для
вертикальных перегрузок (рис. 3.1,6), которые представляют
наибольший практический интерес.
Переходные процессы при вертикальном порыве для самолета
№ 1 с автопилотом, закон управления которого выражается урав-
нением (2.14), представлены на рис. 3.9 и 3.10. Переходные про-
цессы на рис. 3.9 получены по полным уравнениям (2.10), а на
рис. 3.10 — по упрощенным (2.11). Сравнение этих процессов по-
казывает, что при исследовании поведения самолета с автопило-
том без высотного корректора вполне допустимо использовать
упрощенные уравнения самолета.
Характер переходных процессов весьма благоприятен, нет не-
желательных выбросов угла атаки в область отрицательных
значений. Все это подтверждает выводы, сделанные на основании
частотных характеристик.
На рис. 3.11 приведены переходные процессы для самолета
№ 1 с автопилотом без высотного корректора, соответствующие
входу самолета в попутный поток воздуха, имеющий скорость
88
Wx= Ю м!сек. Эти процессы получены на основании полных урав-
нений (2.10). Характер переходных процессов позволяет утвер-
ждать, что при отсутствии высотного корректора переход к но-
вому установившемуся режиму происходит плавно и в сравни-
тельно короткое время.
В заключение этого параграфа рассмотрим характеристики
самолета с автопилотом со скоростной обратной связью, закон
Рис. 3.10. Переходные процессы самолета № 1 с автопило-
том [закон (2.14)], полученные по упрощенным уравнениям
(2.11), при воздействии вертикального ветра
Рис. 3.11. Переходные процессы самолета № 1 с автопилотом без высот-
ного корректора, полученные по полным уравнениям (2.10), при воздей-
ствии горизонтального ветра
управления которого выражается уравнением (2.15). Объединяя
(2.15) с упрощенными уравнениями продольного движения
(2.11), найдем передаточную функцию для вертикальной пере-
грузки от вертикальной составляющей ветра
W„ lw *>p' + *iP + w‘i + ‘3p . (3 34)
У У g ф(р)- g /И + f 1 р3 + ?2Р2 + ТзР + ?4
Амплитудно-частотная характеристика самолета № 1, пост-
роенная на основании (3.34), приведена на рис. 3.12 (кривая /).
89
При построении этой характеристики использовались, как и ра-
нее, данные самолета № 1, приведенные в «Приложении А».
Значения передаточных чисел i» и сохранены теми же, что и
в предыдущих примерах, а число /д=0,15 сект1 выбрано из усло-
характеристика для приращений
вертикальной перегрузки самолета
№ 1 с автопилотом при действии
вертикальной составляющей ветра
1 — автопилот со скоростной обратной
связью (закон 2.15); 2 — автопилот
с жесткой обратной связью (закон 2.14)
вия получения вполне удовлетво-
рительного переходного процесса
при отработке системой управля-
ющего воздействия по углу тан-
гажа.
Для сравнения на рис. 3.12
приведена частотная характерис-
тика (кривая 2) самолета № 1 с
автопилотом, имеющим закон уп-
равления (2.14). Сравнение кри-
вых 1 и 2 показывает, что система
самолет — автопилот со скорост-
ной обратной связью имеет прак-
тически такую же амплитудно-
частотную характеристику, что и
система самолет — автопилот с
жесткой обратной связью. Таким
образом, автопилот со скоростной
обратной связью не может дать
каких-либо преимуществ при по-
лете в турбулентной атмосфере.
§ 3.2. ПРОДОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА
В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Па основании методики моделирования, изложенной в § 2.5,
проведем анализ продольного движения самолета в турбулентной
атмосфере. Основное внимание при таком анализе обращается
обычно на определение колебаний угла тангажа и вертикаль-
ной перегрузки, испытываемой самолетом. Эти параметры про-
дольного движения представляют наибольший интерес в боль-
шинстве практических задач, связанных с полетом самолета в
условиях «болтанки».
Использование упомянутой выше методики позволяет полу-
чить достаточно полные характеристики движения самолета в
турбулентной атмосфере. Для получения характеристик продоль-
ного движения самолета в данном параграфе использовались
упрощенные уравнения (2.11). Все характеристики относятся к
динамике самолета под действием вертикальных порывов, по-
скольку в § 3.1 было установлено, что возмущения от горизон-
тальных порывов значительно (как правило, на порядок) мень-
ше, чем от вертикальных.
Рассмотрение начнем со спектральных плотностей перегрузки
90
и угла тангажа для самолета № 1 с автопилотом и без него.
Спектральные плотности получены по схеме, показанной на
рис. 2.8. На рис. 3.13 приведены нормированные спектральные
плотности приращений вертикальной перегрузки и угла тангажа
самолета № 1 с автопилотом и без него *, обусловленных верти-
кальным ветром. Штрихом отмечены кривые, относящиеся к са-
молету без автопилота. Нормирование спектральных плотностей
весь и везде ниже проведено по дисперсии случайной составля-
вшей вертикального ветра. На рис. 3.13 приведено по шесть
Кафиков для трех различных масштабов турбулентности L:
О 6 8 10 ы,сек-1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 со, саг
а} 6}
Рис. 3.13. Нормированные спектральные плотности приращений вертикальной
^перегрузки (а) и угла тангажа (б) самолета № 1 с зажатым рулем и с авто-
пилотом (штрихом отмечены кривые для самолета с зажатым рулем):
/ — £«50 jh: 2 — L-300 м\ 3 — L-1500 м
кривые 1 соответствуют масштабу £ = 50 м, кривые 2 — £=300 м
и кривые 3 — £=1500 м. Выбор такого большого диапазона в
масштабе турбулентности объясняется отсутствием в настоящее
время достоверных данных о возможном пределе изменения этой
величины **.
Анализ кривых на рис. 3.13 показывает, что автопилот суще-
ственно уменьшает колебания самолета по тангажу и несколько
уменьшает вертикальную перегрузку. Уменьшение колебаний по
* В этом параграфе предполагается, что автопилот имеет закон управле-
ния (2.14), т. е. высотный корректор выключен; использование автопилота с
другим законом управления будет оговорено.
** В работе [15] в качестве наиболее вероятного рекомендуется масштаб
L=300 м.
91
тангажу вполне закономерно, так как автопилот и предназначен
для стабилизации заданного значения этого угла. Уменьшение
же перегрузки не является очевидным, и ниже этот результат
будет подвергнут специальному анализу. Необходимо отметить
также, что спектр вертикальных перегрузок самолета может ока-
заться примерно на порядок шире спектра колебаний по тангажу
(при малых масштабах турбулентности). Так как автопилот воз-
действует на динамику самолета только за счет изменения
тангажа, то область его действия лежит в пределах частот
О—0,5 гц. Такой результат хорошо подтверждается кривыми для
спектральной плотности перегрузки на рис. 3.13, а. Начиная с час-
тоты, несколько большей 0,5 гц, спектральные плотности для
самолета с автопилотом и без него практически совпадают. Сле-
довательно, в этой области частот ускорения самолета воспроиз-
водят вертикальные порывы ветра. На самых низких частотах
автопилот несколько уменьшает пик кривой спектральной плот-
ности перегрузки и смещает его в область более низких частот.
Это смещение может быть объяснено тем, что у самолета без
:автопилота на очень низких частотах перегрузки снижаются за
счет колебаний по тангажу, а при наличии автопилота этого не
; происходит, так как автопилот стабилизирует угол тангажа. Это
отрицательное действие автопилота компенсируется его положи-
тельным действием на несколько более высоких частотах, на ко-
1 торых самолет без автопилота за счет присущей ему колебатель-
ности имеет значительные вертикальные перегрузки. Перегрузки
. у самолета с автопилотом на этих частотах оказываются мень-
*шими (см. рис. 3.13).
Наконец, на основании кривых спектральных плотностей на
рис. 3.13, а можно утверждать, что с увеличением масштаба тур-
булентности L дисперсии приращения перегрузки уменьшаются.
Однако количественно оценить дисперсии приращения угла тан-
гажа по этим кривым затруднительно.
Все выводы, сделанные на основании рис. 3.13 для самолета
№ 1, оказываются справедливыми и для самолета № 2, хотя эти
самолеты относятся к разным типам. Самолет № 1, как уже от-
мечалось, является тяжелым транспортным самолетом, а самолет
Хе 2 — легким одноместным истребителем.
На рис. 3.14 приведены спектральные плотности приращений
вертикальной перегрузки и угла тангажа самолета № 2, обуслов-
ленных вертикальной составляющей ветра. Цифрой 1 отмечены
спектральные плотности самолета с зажатым рулем, цифрой 2 —
с автопилотом. Спектральные плотности на рис. 3.14 относятся к
масштабу турбулентности L=300 м.
Хотя самолет № 2 более чем в 10 раз легче самолета № h
принципиальных различий в кривых спектральных плотностей
перегрузки и угла тангажа у них нет. Лишь за счет очень боль-
шой статической устойчивости самолета № 2 у него шире спектр
колебаний угла тангажа. Это связано с большей скоростью по-
92
лета самолета № 2. Нужно заметить, что при прочих равных усло-
виях ширина спектра любого параметра будет пропорциональна
скорости полета.
Рассмотрим среднеквадратичные значения колебаний пара-
метров продольного движения самолета и их зависимость от
масштаба L, которая видна и на рис. 3.13—3.14. Более четко эта
зависимость отражена на приводимых ниже графиках.
Среднеквадратичные значения параметров продольного дви-
жения определяются по дисперсиям этих параметров, которые в
свою очередь могут быть получены моделированием по блок-схе-
ме, показанной на рис. 2.10.
Рис. 3.14. Нормированные спектральные плотности приращений вертикаль-
ной перегрузки (а) и угла тангажа (б) самолета № 2:
/ — с зажатым рулем; 2 — с автопилотом
На рис. 3.15 показаны среднеквадратичные значения прира-
щений вертикальной перегрузки, угла тангажа и дополнительной
перегрузки, обусловленной угловыми колебаниями, для самоле-
та № 1, отнесенные к среднеквадратичному значению вертикаль-
ной составляющей ветра. Эти среднеквадратичные значения
представлены в функции масштаба турбулентности L. Кривые,
отмеченные цифрой 1, относятся к самолету с зажатым рулем,
цифрой 2 — к самолету с автопилотом, имеющим закон управ-
ления (2.14), и цифрой 3 — к самолету с автопилотом, имеющим
закон управления (2.13) (с высотным корректором).
Графики на рис. 3.15, а показывают, что наибольшую пере-
грузку от вертикальных порывов в турбулентной атмосфере на
всем диапазоне изменения масштаба L испытывает самолет без
автопилота (кривая /), несколько меньшую — самолет с автопи-
лотом, имеющим высотный корректор (кривая 3), и наимень-
93
шую — самолет с автопилотом без высотного корректора (кри-
вая 2).
Данные рис. 3.15,6 дают основание утверждать, что автопи-
лот уменьшает колебания самолета № 1 по тангажу в 3—4 раза.
За исключением очень малых значений L эти колебания почти
не зависят от масштаба турбулентности. Последнее замеча-
ние справедливо и для среднеквадратичных значений перегру-
зок (рис. 3.15, в), вызываемых угловыми колебаниями самолета.
Перегрузки от угловых движений определялись для точки в хво-
Рис. 3.15. Нормированные среднеквадратичные значе-
ния приращений вертикальной перегрузки (а), угла
тангажа (б) и перегрузки от угловых колебаний (в)
в функции масштаба турбулентности для самолета
/ — с зажатым рулем; 2 — с автопилотом без высотного кор-
ректора; 3 —с автопилотом с высотным корректором
94
стовой части фюзеляжа, удаленной на 15 м от центра тяжести.
Даже при таком плече они оказались сравнительно небольшими.
При уменьшении плеча эти перегрузки будут пропорционально
уменьшаться.
Среднеквадратичные значения приращений вертикальной пе-
регрузки и угла тангажа в функции масштаба турбулентности L
для самолета № 2 приведены на рис. 3.16. Кривые, отмеченные
цифрой 1, относятся к самолету с зажатым рулем, цифрой 2 —
к самолету с автопилотом
без высотного корректо-
ра. Сравнение этих кри-
вых с кривыми для само-
лета № 1 (см. рис. 3.15)
позволяет сделать следу-
ющие выводы. Несмотря
на значительно большую
статическую устойчивость
самолета № 2 по сравне-
нию с самолетом № 1
влияние автопилота на
снижение среднеквадра-
тичных перегрузок для не-
го оказалось большим,
чем для самолета № 1.
Ниже этому результату
будет дано объяснение.
Сравнение абсолютных
значений перегрузок для
разных самолетов делать
не имеет смысла, так как
у них различны основные
факторы, определяющие
перегрузку от вертикаль-
ного ветра: скорость, вы-
^^град-сек*м~1
О 200 ЬОО ООО 800 1000 1200 Цм
6)
Рис. 3.16. Нормированные среднеквадратич-
ные значения вертикальной перегрузки (а)
и угла тангажа (б) в функции масштаба
турбулентности L для самолета № 2:
/ — с зажатым рулем; 2 — с автопилотом; 3 —
с автопилотом, идеально стабилизирующим угол
тангажа — «>)
сота и удельная нагрузка на крыло.
Большая статическая устойчивость самолета № 2 проявилась
в том, что колебания по тангажу уменьшаются при использова-
нии автопилота в меньшей степени, чем у самолета № 1.
В заключение этого параграфа рассмотрим причины, вызы-
вающие снижение перегрузки самолета в турбулентной атмо-
сфере при использовании автопилота. Очевидно, что автопилот,
стабилизирующий заданный угол тангажа самолета, препятст-
вует угловому движению самолета, за счет которого уменьшают-
ся углы атаки и перегрузки, вызываемые вертикальными поры-
вами. На основании этого положения иногда делается вывод,
что автопилот, стабилизирующий угол тангажа, снижает без-
опасность при полете в болтанку и должен выключаться в этих
условиях. В действительности поведение самолета при воздейст-
95
вии на него вертикального порыва нельзя свести только к угло-
вому движению и, кроме того, должен учитываться характер это-
го углового движения. При попадании самолета в вертикальный
поток воздуха за счет приращения перегрузки появляется вер-
тикальная скорость центра тяжести («вспухание»), которая так-
же уменьшает приращение угла атаки, обусловленное ветром.
Проиллюстрируем эти утверждения с помощью осциллограмм,
Рис. 3.17. Переходные процессы короткопериодического движения самолета
№ 1 при воздействии ступенчатого вертикального ветра:
а — с зажатым рулем; б — с автопилотом
снятых для короткопериодического движения самолета № 1 при
попадании в ступенчатый ветер Wv=l м!сек. На рис. 3.17 приве-
дены переходные процессы для самолета с зажатым рулем и с
автопилотом. На этом рисунке представлены процессы измене-
ния приращений, угла атаки, перегрузки, угла тангажа и верти-
кальной скорости центра тяжести. При этом масштаб для вер-
тикальной скорости умышленно выбран таким, чтобы ординаты
ее соответствовали приращению угла атаки, обусловленному
этой скоростью. Следовательно, все кривые на рис. 3.17 изобра-
жены в одном угловом масштабе.
96
Анализ кривых на рис. 3.17, а показывает, что в интервале
времени, за который перегрузка первый раз спадает до нуля
(около 1 сек), ординаты вертикальной скорости больше ординат
угла тангажа и, следовательно, больше роль этой составляю-
щей короткопериодического движения самолета в устранении
приращения угла атаки. После окончания переходного процес-
са 20% начального возмущения угла атаки продолжают компен-
сироваться вертикальной скоростью и 80%—изменением угла
тангажа.
Как показывают графики на рис. 3.9, для самолета с автопи-
лотом без высотного корректора учет изменения скорости полета
[использование полных уравнений (2.10)] очень незначительно
изменяет переходные процессы.
На рис. 3.17,6 показано влияние автопилота, стабилизирую-
щего угол тангажа, на короткопериодическое движение самолета.
Все кривые также имеют одинаковый угловой масштаб. Авто-
пилот значительно уменьшает колебания угла тангажа самолета,
но при этом соответственно возрастает вертикальная скорость са-
молета. В установившемся режиме ДФ=0 и dyg/dt= Wy. Возра-
стание вертикальной скорости у самолета с автопилотом по срав-
нению с самолетам без автопилота может быть вызвано только
увеличением времени действия перегрузки. Действительно, пере-
грузка на рис. 3.17,6 спадает медленнее, чем на рис. 3.17, а. Если
подсчитать ее среднеквадратичное значение, то при Wy= 1 м/сек
для самолета без автопилота она равна оЯу=0,0289, а для само-
лета с автопилотом — оп =0,0332. Таким образом, за счет ав-
топилота среднеквадратичное значение перегрузки при воздейст-
вии на самолет ступенчатого порыва ветра возрастает на 15%.
Однако на основании этих результатов нельзя делать окончатель-
ных выводов, так как в реальной атмосфере <е может быть сту-
пенчатых порывов ветра.
Все приведенные выше экспериментальные данные о средне-
квадратичных значениях перегрузки для турбулентной атмосфе-
ры при любых масштабах турбулентности свидетельствуют об об-
ратном результате, т. е. о снижении перегрузки при включении
автопилота. Причина этого заключается в том, что процёсс устра-
нения перегрузки у самолета без автопилота, как правило, носит
колебательный характер. За счет колебаний самолета амплитуды
изменений угла атаки и перегрузки у самолета без автопилота
при полете в турбулентной атмосфере (в определенном диапазоне
частот) становятся больше, чем у самолета с автопилотом. Это
положение подтверждается кривыми спектральной плотности пе-
регрузки для двух самолетов, приведёнными на рис. 3.13, а и
3.14, а. Об отрицательном влиянии колебательного характера реак-
ции самолета на ступенчатый порыв ветра можно судить также по
осциллограммам, приведенным на рис. 3.18. На этих рисунках по-
казана реакция самолета № 2 на единичный порыв Wy= ). м[сек.
4-2008
97
Как и на предыдущих рисунках, все кривые сняты в одном угло-
вом масштабе. На рис. 3.18, а приведены переходные процессы
для самолета с зажатым рулем, а на рис. 3.18, б — с автопилотом:
Так как самолет № 2 обладает большой статической устойчи-
востью, то у него изменение угла тангажа играет решающую роль
в парировании перегрузки от ветра. Вертикальная скорость ма-
ла, и ее значение в этом процессе невелико, хотя на обоих рисун-
ках в самом начале процесса эта скорость имеет большие орди-
наты, чем угол тангажа. Даже при наличии автопилота влияние
Рис. 3.18. Переходные процессы короткопериодического движения самолета
№ 2 при воздействии ступенчатого вертикального ветра:
а —с зажатым рулем; б —с автопилотом
момента статической устойчивости обычно настолько велико, что
роль колебаний по тангажу значительно больше, чем роль верти-
кальной скорости (рис. 3.18,б). Однако вследствие колебательно-
го характера реакции самолета № 2 с зажатым рулем на сту-
пенчатый порыв при полете в турбулентной атмосфере снижение
перегрузки за счет автопилота оказывается даже большим, чем
у самолета № 1 с меньшей статической устойчивостью, но и с
меньшей колебательностью при ступенчатом порыве.
Нетрудно показать, что увеличение статической устойчивости
полезно лишь для самолета с автопилотом, тогда как для само-
98
лета без автопилота оно не приводит к положительным результа-
там. На рис. 3.19 представлены графики среднеквадратичных
значений перегрузки самолета № 1 в функции коэффициента мо-
мента статической устойчивости с; .Значение этого коэффициента
варьировалось от нуля (нейтральный самолет) до, примерно,
пятнадцатикратного значения от номинального (с; = 0,673). Рас-
четы проведены для масштаба турбулентности L=300 м. Кри-
вая 2 относится к самолету с автопилотом и показывает сравни-
тельно небольшое уменьшение перегрузки при значительном
увеличении су . Перегрузка для самолета с зажатым рулем (кри-
вая /) с ростом коэффици-
ента статической устойчи-
вости не только не умень-
шается, но даже несколько
увеличивается. Такой ре-
зультат объясняется увели-
чением колебательности уг-
ловых движений с ростом
статической устойчивости
Рис. 3.19. Нормированные среднеквадра-
тичные значения перегрузки от верти-
кальных порывов для самолета № 1 в
функции от коэффициента момента ста-
тической устойчивости:
/ — с зажатым рулем; 2 —с автопилотом
самолета.
Рассмотрим, наконец,
как будет влиять жесткость
стабилизации угла тангажа
с помощью автопилота. Не-
значительные изменения пе-
редаточного числа й не вы-
зывают сколько-нибудь существенных изменений перегрузки.
При значительном же уменьшении г» перегрузки будут при-
ближаться к перегрузкам самолета без автопилота. Как
было показано выше, обычные автопилоты хорошо стаби-
лизируют угол тангажа при полете в турбулентной атмо-
сфере. Поэтому даже существенное увеличение передаточно-
го числа is не должно вызвать очень больших изменений пере-
грузки. В качестве примера рассмотрим предельный (практиче-
ски неосуществимый) случай для самолета № 2, когда t*9=oo,
и колебания по тангажу устранены полностью. Среднеквадратич-
ные значения перегрузки в функции масштаба турбулентности I.
для этого случая представлены на рис. 3.16, а (кривая 3). Срав-
нение кривой 3 с кривой 2 (самолет с автопилотом, имеющим но-
минальное значение 19) показывает, что при бесконечно большом
'9 перегрузки возрастают. Однако в области малых масштабов
турбулентности перегрузки при 19=00 все же меньше, чем у са-
молета без автопилота (кривая /), что можно объяснить только
отрицательным влиянием угла тангажа при отсутствии автопило-
та. В области больших L кривая 3 идет выше остальных кривых.
В этой области спектр возмущений более узок, частота их мень-
ше, и у самолета без автопилота за счет статической устойчиво-
сти перегрузки существенно снижаются, несмотря на отрицатель-
ное влияние колебаний по тангажу.
4*
99
§ 3.3. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РЕАЛЬНОГО АВТОПИЛОТА
НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Рис. 3.20. Структурная схема ис-
полнительного механизма с жест-
кой обратной связью
В § 2.2 при рассмотрении уравнений автопилота было огово-
рено, что принятые для анализа законы управления описывают
идеальные автопилоты. «Идеальность» этих автопилотов заклю-
чается в том, что при анализе динамики системы самолет — ав-
топилот не учитываются запаздывания автопилота и нелинейно-
сти в его характеристиках. Современные автопилоты имеют
достаточно хорошие технические характеристики, и их запаздыва-
ние и различные нелинейности обычно не оказывают существен-
ного влияния на динамические
свойства системы самолет — ав-
топилот в режиме стабилизации
угловых координат.
В данном параграфе оцени-
вается влияние указанных осо-
бенностей реальных автопилотов
па динамику полета в турбулент-
ной атмосфере с целью обоснова-
ния возможности использования
в этом случае уравнений идеаль-
ных автопилотов.
Рассмотрим влияние следующих характеристик реальных ав-
топилотов:
I) времени запаздывания:
2) зоны нечувствительности;
3) ограничения угла отклонения руля.
Анализ проведем для автопилотов с жесткой обратной связью,
поскольку именно этот тип автопилотов получил в настоящее вре-
мя преимущественное распространение.
Основным источником запаздывания автопилота обычно яв-
ляется его исполнительный механизм (привод рулевого органа).
Структурная схема исполнительного механизма автопилота с
жесткой обратной связью показана на рис. 3.20.
На этом рисунке обозначено:
и — сигнал, поступающий на исполнительный механизм
с чувствительного элемента или счетно-решающего уст-
ройства автопилота;
Дб — угол отклонения руля;
Ui — сигнал обратной связи, поступающий по этой цепи с ко-
эффициентом £с;
kn — коэффициент усиления исполнительного механизма,
равный отношению угловой скорости руля и напряже-
ния Ди на входе;
Тп — постоянная времени исполнительного механизма.
Структурная схема исполнительного механизма, показанная
на рис. 3.20, справедлива для электрических, гидравлических и
100
пневматических рулевых машин. На основании этой структурной
схемы получаем дифференциальное уравнение, описывающее ди-
намику исполнительного механизма автопилота:
М. dt> ' «„IS. dd «. ' '
Исполнительные механизмы автопилотов конструируются так,
чтобы постоянная времени Тп была как можно меньше (практи-
чески сотые доли секунды). Эта постоянная делится на произ-
ведение коэффициентов kjzc, которое обычно лежит в пределах
3—10 сект1. По указанным причинам коэффициент при второй
производной оказывается очень малым, и этим членом можно
пренебречь. В результате из (3.35) получаем уравнение инерци-
онного звена
Гв^Г+Д8=/в“’ (336)
где ra = \jknkc—постоянная времени исполнительного меха-
низма;
4а=1/£с—передаточное число исполнительного меха-
низма.
Значение постоянной времени Та у современных автопилотов
равно 0,1—0,3 сек, и она в основном определяет запаздывание ав-
топилота. Время затухания короткопериодического движения у со-
временных самолетов с автопилотом колеблется в пределах 3—
10 сек (см., например, рис. 3.17,6 и 3.18,6). Поэтому можно ут-
верждать, что запаздывание автопилота не должно сколько-ни-
будь значительно влиять на динамику системы самолет — автопи-
лот. Для проверки этого утверждения при условиях полета в тур-
булентной атмосфере на рис. 3.21 приведена зависимость средне-
квадратичных значений перегрузки (кривая /) и угла тангажа
(кривая 2) для самолета № 1 в функции запаздывания автопилота
Та. Масштаб турбулентности L равен 500 м. Графики на этом ри-
сунке показывают, что с увеличением постоянной времени авто-
пилота, т. е. его запаздывания, колебания по тангажу увеличива-
ются, а перегрузка незначительно уменьшается. При этом посто-
янная времени изменялась от 0 до значения Та=1 сек, которое не
встречается в реальных автопилотах.
Снижение перегрузки при увеличении запаздывания автопило-
та объясняется тем, что при этом ухудшается стабилизация угла
тангажа и несколько увеличивается положительная роль момен-
та статической устойчивости. Однако использование этого эффек-
та путем искусственного увеличения запаздывания автопилота
при полете в возмущенной атмосфере нецелесообразно, так как
снижение перегрузки оказывается ничтожным.
На основании изложенного можно утверждать, что время за-
паздывания реальных автопилотов не оказывает сколько-нибудь
заметного влияния на наиболее существенный параметр движе-
101
ния самолета в турбулентной атмосфере — вертикальную пере-
грузку.
Перейдем к анализу влияния зоны нечувствительности на ха-
рактеристики автопилота при полете в турбулентной атмосфере.
На рис. 3.22 показана характеристика автопилота с зоной нечув-
ствительности. На этом рисунке обозначено:
2а — ширина зоны нечувствительности;
₽ — угол наклона линейного участка характеристики (тангенс
этого угла равен передаточному числу автопилота). Пунктирная
прямая, проходящая через начало координат, является характе-
ристикой идеального автопилота (без зоны нечувствительности).
квадратичные значения перегруз- автопилота с зоной нечув-
ки и угла тангажа самолета № 1 ствительности
в функции постоянной времени
исполнительного механизма авто-
пилота:
/ — перегрузка; 2 —угол тангажа
При случайных колебаниях угла тангажа под действием по-
рывов ветра угол отклонения руля будет также случайной функ-
цией. Связь между этими величинами определяется нелинейной
характеристикой, показанной на рис. 3.22.
Для нелинейных систем связь между вероятностными харак-
теристиками возмущающего воздействия и каким-либо выходным
параметром в общем виде не выражается в аналитической форме.
Однако в приближенной форме такую связь можно найти, если
использовать метод статистической линеаризации нелинейностей.
Основная идея этого метода состоит в аппроксимации нелиней-
ной характеристики линеаризованной зависимостью между слу-
чайными функциями, статистически эквивалентной этой харак-
теристике.
Задача статистической линеаризации решена в работе [36]
для безынерционных нелинейных элементов с самыми различны-
ми характеристиками. На основании [36] нелинейная характери-
стика рис. 3.22 при случайном стационарном характере измене-
102
ния аргумента (в данном случае угла тангажа) может быть
линеаризована следующим образом:
Д8 = ЛшД&, (3.37)
где i»—tgp — передаточное число линейного автопилота;
Л»— коэффициент, зависящий от отношения средне-
квадратичного значения угла тангажа а » к поло-
вине ширины зоны нечувствительности а. Его
значение определяется формулой [36]
Л»=1-2Ф/— 1 (3.38)
(а \
— ] — интеграл вероятности с нулевым нижним преде-
’♦ /
лом, определяемый табл. D. 1 (см. «Приложе-
ние D»).
Зависимость Л» от о» /а представлена на рис. 3.23. Этот гра-
фик показывает, что за счет линеаризующего влияния колебаний
угла тангажа зона нечувствительности
в характеристике автопилота сглажи-
вается. Каждому среднеквадратичному
значению угла тангажа соответствует
свое передаточное число автопилота,
определяемое на основании (3.38).
При небольших среднеквадратич-
ных значениях угла тангажа зона не-
чувствительности существенно умень-
шает передаточное число автопилота,
что необходимо принимать во внима-
ние при расчетах. В практически наи-
более важном случае интенсивной тур-
булентности, когда среднеквадратич-
ные значения угла тангажа значитель-
но превосходят половину зоны нечувствительности, коэффициент
k » близок к единице, и зону нечувствительности автопилота мож-
но не учитывать.
Абсолютное значение зоны нечувствительности по угловым ко-
ординатам у различных современных автопилотов отличается не-
значительно. У автопилотов, используемых в настоящее время,
значения зоны нечувствительности по всем трем каналам (тан-
гаж, крен, рыскание) лежат в пределах 0,2—0,5°.
Приведенная выше методика учета зоны нечувствительности
автопилота по угловым координатам может быть применена и
для оценки влияния зоны нечувствительности в характеристиках
автопилота по линейным координатам и по угловым скоростям.
Необходимо заметить, что передаточное число линеаризован-
ного автопилота с зоной нечувствительности зависит от значения
неизвестного входного сигнала, воздействующего на нелинейный
103
элемент параметра системы, например, среднеквадратического
значения угла тангажа, зависящего в свою очередь от передаточ-
ного числа. По этой причине решение задачи о движении самоле-
та при учете зоны нечувствительности должно производиться
методом последовательных приближений. Ввиду громоздкости
метода его применение практически возможно только на вычис-
лительных машинах.
Рассмотрим влияние ограничения угла отклонения руля на ра-
боту автопилота при полете в турбулентной атмосфере. Отклоне-
ние рулей при управлении полетом с помощью автопилота
ограничивается весьма существенно по сравнению с отклонением,
которое может сделать летчик с помощью штурвала или педалей.
квадратичные значения угла отклоне-
ния руля высоты самолета № I в
функции масштаба турбулентности
автопилота с ограничением
угла отклонения руля
высоты вверх на 25° и вниз на 15°. Полный же диапазон переме-
щения руля высоты с помощью автопилота составляет всего 6°,
т. е. ±3°. Ограничение отклонения рулей с помощью автопилота
диктуется необходимостью обеспечить безопасность полета при
выходе автопилота из строя.
Характеристика автопилота с учетом указанного ограничения
(без зоны нечувствительности) показана на рис. 3.24. Чтобы оце-
нить влияние этого ограничения на динамику полета в турбулент-
ной атмосфере, определим, насколько отклоняется руль при раз-
личных скоростях ветра. На рис. 3.25 представлена зависимость
среднеквадратичного значения угла отклонения руля высоты са-
молета № 1 в функции масштаба турбулентности L. Наибольшее
среднеквадратичное значение угла отклонения руля на единицу
среднеквадратичного значения скорости ветра на рис. 3.25 равно
0,135. Даже в грозовых условиях вероятность попадания в об-
ласть с <т»=5 м/сек ничтожно мала. При aw=5 м/сек среднеквад-
ратичное значение угла отклонения руля составит 0,675°. На ос- -
новании «правила За» можно утверждать*, что максимальное
значение угла отклонения руля у самолета № 1 с вероятностью
См. «приложение D», стр. 244.
104
0,997 не превысит значения Абт=2,025°. Таким образом, руль вы-
соты на самолете № 1 при полете в турбулентной атмосфере да-
же при ом =5 м/сек не дойдет до ограничений, и при анализе ди-
намики системы самолет— автопилот в этих условиях можно не
учитывать ограничение угла отклонения руля высоты.
Хотя этот вывод получен по данным конкретного самолета,
он имеет достаточно общий характер, поскольку ограничение уг-
лов отклонения рулевых органов при использовании автопилота
для всех самолетов выбирается на основании одного и того же
критерия безопасности. Кроме того, если характеристики самоле-
та и автопилота известны, то этот вывод может быть проверен
по приведенной выше методике. Полученные результаты дают
возможность при анализе динамики самолета в турбулентной ат-
мосфере не учитывать ограничений отклонения руля высоты, если
закон управления автопилота имеет обычный вид.
Когда самолетом в аналогичных условиях управляет летчик,
углы отклонения руля будут значительно больше. Летчик не успе-
вает во время отклонить руль для стабилизации самолета в усло-
виях болтанки, отклонения угловых координат быстро накапли-
ваются, и для их ликвидации приходится давать большие откло-
нения руля.
§ 3.4. ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ ОБТЕКАНИЯ
НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
В § 2.2 получены уравнения продольного движения самолета
в турбулентной атмосфере. Коэффициенты вращательных произ-
водных для аэродинамических сил и моментов, действующих на
самолет, на основании гипотезы стационарности [26] считались
постоянными величинами, не зависящими от характера обтекания
самолета. Такое предположение не является строгим, так как
в процессе возмущенного движения имеет место неустановивший-
ся режим обтекания самолета, для которого гипотеза стационар-
ности в общем случае несправедлива. Тем не менее в большом
числе практически интересных задач динамики полета результаты
расчета возмущенного движения самолета, полученные на основе
этой гипотезы, хорошо совпадают с результатами летного экспе-
римента. Это совпадение объясняется тем, что возмущенное дви-
жение самолета, как правило, протекает сравнительно медлен-
но, и влияние нестационарное™ обтекания оказывается малым.
Принципиально иное положение возникает при полете самоле-
та в турбулентной атмосфере, т. е. при случайных порывах ветра,
спектр которых содержит довольно высокие частоты. Именно они
и создают силы и моменты, определяющие возмущенное движе-
ние самолета. Следовательно, в рассматриваемой задаче влияние
нестационарности должно быть специально проанализировано.
Решению задачи определения сил и моментов при нестацио-
нарном обтекании несущей поверхности в настоящее время по-
105
священо значительное число работ как в отечественной *, так и
в зарубежной технической литературе. В общей постановке эта
задача весьма сложна и для ее решения используются цифровые
вычислительные машины. В данной книге с целью получения более
простых аналитических выражений, которые могут быть исполь-
зованы для моделирования, для учета влияния нестационарности
обтекания при дозвуковой скорости полета используется менее
точная методика, предложенная в работе [13].
Чтобы учесть нестационарность обтекания крыла при образо-
вании подъемной силы, достаточно рассмотреть этот процесс при
скачкообразном или синусоидальном изменении угла атаки. По-
скольку в данной книге используется аппарат спектральных функ-
ций, рассмотрим выражение для комплексной амплитуды не-
стационарной подъемной силы крыла бесконечного размаха при
синусоидальном изменении угла атаки (в потоке несжимаемого
воздуха)
ДГ (»=С^$Ф (jk) Да(/ш), (3.39)
где Ф(/Л)— функция Сирса, равная относительному значе-
нию комплексной амплитуды подъемной силы
крыла при синусоидальном изменении угла
атаки с частотой <о и единичной амплитудой;
4=ш^а/2Ие — аргумент функции Сирса;
q — скоростной напор.
Если принять за характерный линейный размер крыла поло-
вину средней аэродинамической хорды Ьа/2, то аргумент k будет
равен числу Струхаля.
Функция Сирса имеет довольно сложное аналитическое выра-
жение, содержащее функции Бесселя. Однако ниже потребуется
только квадрат модуля функции Сирса, для которого в работе
[37] дано следующее приближенное выражение:
IФ (jk) 12=------=------------- (3.40>
1 u 11 14-2яЛ 1 + а>лд,/уе 4
На рис. 3.26 приведены графики точного значения квадрата
модуля функции Сирса и значения, определяемого формулой
(3.40). Сравнение этих графиков показывает, что формула (3.40)
обеспечивает достаточно хорошую аппроксимацию.
Как было указано, функция Сирса учитывает нестационар-
ность обтекания крыла бесконечного размаха в несжимаемом
воздухе. Конечные размеры размаха крыла будут вносить тем
большую погрешность, чем меньше удлинение крыла.
При переходе к сверхзвуковым скоростям полета сжимаемость
воздуха начинает оказывать существенное влияние на величину
подъемной силы крыла. Поэтому для этих скоростей нельзя
пользоваться функцией Сирса. Однако следует подчеркнуть, что
* См. например, работы [51, 52].
106
при переходе к сверхзвуковым скоростям полета влияние неста-
ционарное™ довольно быстро убывает. Обозначим через kB
коэффициент, равный отношению подъемной силы крыла с уче-
том нестационарное™ обтекания к подъемной силе без учета это-
го явления. Зависимость этого коэффициента от числа М полета
показана на рис. 3.27. График на рис. 3.27 справедлив для само-
лета с определенным цп (относительная плотность) и отношением
САХ к масштабу турбулентности (s=ba/L). Величина коэффи-
циента ka в области дозвуковых скоростей сохраняется постоян-
ной и определяется влиянием функции Сирса. При изменении
М от 0,9 до 1,6 наблюдается резкое увеличение kH до зна-
чения, близкого к единице. В пределе при неограниченном
увеличении М коэффициент kK стремится к единице.
Перейдем к анализу продольного движения самолета с учетом
нестационарное™. В этом случае уравнения (2.11) (при учете
только вертикальной составляющей ветра) должны быть записа-
ны в форме:
+b.Vgy=b'.wy,
dt dt У gy У y
+<***--c-^- -c-V„=-c^-c\. wy.
♦ dt У dt y y
(3-41)
Коэффициенты силы и момента, создаваемых порывами ветра,
отмечены штрихом. Нестационарность обтекания будет учиты-
ваться только для этих членов уравнений (3.41). Коэффициенты
всех членов левых частей уравнений (3.41) будем считать посто-
янными, так как возмущенное движение самолета не содержит
столь высоких гармоник, чтобы нужно было учитывать нестацио-
нарность обтекания, обусловленную этим движением. Коэффици-
ент b характеризует подъемную силу, создаваемую за счет угла
атаки от вертикальных порывов ветра. Поэтому на основании
(3.39) получаем
^(уш)=&.Ф(/Л). (3.42)
Момент самолета относительно поперечной оси определяется
как разность моментов подъемных сил крыла и оперения. По этой
причине будем полагать, что учет нестационарности при опреде-
лении коэффициента момента может быть также произведен с
помощью функции Сирса, как это было сделано в формуле (3.42)
для коэффициента подъемной силы:
(3.43)
В результате из уравнений (3.41) с учетом (3.42) и (3.43) по-
лучаем комплексные передаточные функции для угла тангажа и
перегрузки самолета без автопилота с учетом нестационарности:
107
Г»,-(/•)= - ф^=
У A’(ja)
— “2 + > + с4 + с/е) + Ьу% + су Ve
"V,«=7^m*W-
Рис. 126. Графики точного и приближен- Рис. 3.27. Отношение подъемной
ного значений функции Сирса силы крыла с учетом нестацио-
нарное™ обтекания к подъем-
ной силе без учета этого явле-
ния в функции числа М
стационарность, только множителем Ф(/Л). Аналогичные переда-
точные функции для самолета с автопилотом (2.14) имеют вид
«Ч.,(Л)-- 'у//)*-ф(^). . (3-46)
где Д" (/<»>)«= —у»3—ш2(^ +^+^4+^»)+
+ Л(*у Съ + Ь-у <Ж+С&+ Су V«)+ Ь-у W
^ъ<>’=7-^ф('4)' '3'48>
где
Г (jw,)=b^[ — /ш3—ш2 (с* + с- Ve+с^) 4- juci 4].
108
При расчете изменения параметров продольного движения
самолета от воздействия случайного ветра по формуле (2.46) не-
обходимо иметь квадрат модуля комплексной передаточной функ-
ции. Поэтому во все расчеты при учете нестационарности обтека-
ния войдет квадрат модуля функции Сирса, определяемый при-
ближенным выражением (3.40).
По передаточным функциям (3.46) и (3.48) для самолета
№ 1 с автопилотом были определены среднеквадратичные значе-
ния приращений вертикальной перегрузки и угла тангажа. Ре-
зультаты расчета перегрузки в виде графиков в функции мас-
штаба турбулентности представлены на рис. 3.28 (кривая /). На
Рис. 3.28. Нормированные среднеквадратичные значе-
ния вертикальной перегрузки самолета № 1 при воз-
действии вертикального ветра:
1 — с учетом нестационарности обтекания; 2 — без учета
этого явления
этом же рисунке приведены среднеквадратичные значения пере-
грузки, полученные без учета нестационарности (кривая 2). Срав-
нение графиков 1 и 2 на рис. 3.28 показывает, что учет нестацй-
онарности обтекания уменьшает значения вертикальной пере-
грузки на величину от 5 до 20% в зависимости от масштаба
турбулентности. Большая цифра относится к наименьшему значе-
нию масштаба и, следовательно, к наибольшей ширине спектра
ветра. Этот результат вполне закономерен, так как функция Сир-
са быстро убывает с увеличением частоты. Данные по перегруз-
кам самолета без автопилота не приводятся, так как они не
вносят ничего нового по сравнению с уже сказанным относитель-
но самолета с автопилотом.
Приращения угла тангажа при учете нестационарности ока-
зались практически такими же, как и полученные ранее значения
(рис. 3.17, б) без учета этого явления. Такой результат объяс-
няется тем, что, как уже отмечалось, спектр колебаний угла тан-
гажа очень узок, и влияние нестационарности лежит в пределах
точности моделирования.
Учет нестационарности обтекания с помощью функции Сирса
при моделировании несложен, и в Проводимых ниже результатах
расчетов влияние нестационарности будет учтено.
109
§ 3.5. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРОВ САМОЛЕТА НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА
В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
В предыдущих параграфах данной главы самолет рассматри-
вался как точка в поле скоростей турбулентного движения возду-
ха, так как предполагалось, что эти скорости одинаковы для всей
его поверхности. Очевидно, что для больших самолетов такой
подход является приближенным. В этом параграфе будет рас-
смотрена методика, позволяющая оценить влияние размеров са-
молета на силу и момент, возникающие при полете в турбулент-
ной атмосфере.
При анализе продольного движения самолета с учетом его
размеров необходимо прежде всего учесть два обстоятельства:
неравномерность вертикальной составляющей порывов ветра
по размаху крыла и несовпадение этих составляющих на крыле и
хвостовом оперении в один и тот же момент времени.
Рассмотрим вначале, как изменится спектральная плотность
вертикальной составляющей ветра, если учесть неравномерное
распределение этой составляющей по размаху крыла. Общее вы-
ражение для приращения подъемной силы крыла в случае, когда
угол атаки является произвольной функцией времени и координа-
ты z данного сечения крыла по размаху, может быть получено
в форме интеграла Дюамеля [39]:
//2
dtx Г К (tb z) Ьа [(* - /,). z] dz, (3.50)
-7/2
где K(t, z) — импульсная переходная функция (функция Гри-
на) подъемной силы крыла;
Да (/„ г) — приращение угла атаки;
I— размах крыла.
Импульсная переходная функция физически представляет со-
бой подъемную силу, создающуюся на элементе крыла dz, отстоя-
щем на расстоянии z от корневой хорды, когда изменение угла
атаки на этом элементе характеризуется б-функцией. Найдем
вначале переходную функцию подъемной силы, т. е. подъемную
силу, возникающую на том же элементе dz, если изменение угла
атаки имеет характер единичного скачка. В работе [38] показа-
но, что относительное распределение подъемной силы по раз-
маху при скачкообразном изменении угла атаки по существу не
зависит от времени и совпадает со стационарной формой этого
распределения. При подобном допущении от времени будет за-
висеть лишь общая величина подъемной силы. Следовательно,
переходная функция может быть представлена в виде двух со-
множителей, один из которых является только функцией времени,
а другой — функцией только координаты г, определяющей поло-
жение элемента dz на крыле:
ПО
ДГ(0= ?
Н (/, -г)=у Яг (О 8 (z). (3.51)
В выражении (3.51) множитель e(z) представляет собой ста-
ционарное распределение подъемной силы при единичном скачке
угла атаки, определяемое формулой:
, % b(z)Cvz
e(z)=4^’ <3-52)
где b (z)— хорда крыла в сечении z;
Су — коэффициент подъемной силы всего самолета;
Суг — коэффициент подъемной силы сечения z.
Второй множитель в (3.51) Яу(О характеризует изменение
общей величины подъемной силы при скачкообразном измене-
нии угла атаки и определяется формулой
Яу(/)=С;<75т/-^-1 (3.53)
Функция ф, входящая в (3.53), определяет относительное из-
менение во времени подъемной силы при единичном скачке угла
атаки. Поскольку между импульсной переходной функцией д(0
и переходной функцией Н (t) существует простая связь, опреде-
ляемая выражением (2.32), из (3.51) получаем окончательную
формулу для импульсной переходной функции:
(3.54)
где
KY(t)^CnyqS-^~. (3.55)
Заметим, что преобразование Фурье функции dtf(t)!dt дает
функцию Сирса Ф(/Л), введенную в § 3.4.
Перейдем к определению приращения подъемной силы, созда-
ваемого неравномерным распределением вертикальной состав-
ляющей ветра по размаху. Заменив на основании (2.6) в выра-
жении (3.50) приращение угла атаки на вертикальную составля-
ющую ветра wy и введя вместо аргумента t — ti линейную
координату Ve (t —1\), получим
« tit
\ dtx \ K(iuz)Wy{Vt(t~t^z]dz. (3.56)
е -оо —1/2
Так как wy есть случайная функция, то и ДУ»(0 будет слу-
чайной функцией времени. Корреляционная функция для подъем-
ной силы, обусловленной ветром, определится формулой
оо ОО 1/2 1/2
/?г(6) = ( С ( \ K^zJKth^YX
v2 J J J J
е —оо—п—цъ—ЦЪ
1П
X ®»y [Ve zj -Wy [Ve (i+T — /2), z2] ,dzi dz2 dtx dt2. (3.57)
Корреляционная функция скорости ветра, стоящая под интег-
ралом (отмечена чертой), является функцией как пространствен-
ной координаты (г), так и времени (т). Однако, используя гипо-
тезу Тейлора, на основании (1.27) можно связать аргументы х
и t и считать эту функцию зависящей только от пространствен-
ных координат х и г. В случае изотропной (или даже осесиммет-
ричной) турбулентности указанная корреляционная функция
будет зависеть лишь от абсолютного значения пространственного
смещения, т. е. от УДх2-|- Дг2. Следовательно, можно считать, что
[V* ~ *i). zi] We (*+''- =
=^у (j/^Ст+Л—f2)2 + (z2 —zx)2 ). (3.58)
Учитывая формулы (3.54) и (3.58), из (3.57) получаем
оо оо
\ KY^Ky^R^V^dt.d^ (3.59)
V2 J J
г — оо —00
где Яи^Ует) — является усредненной по размаху крыла корре-
ляционной функцией для вертикальной составля-
ющей ветра:
1/2 1/2 _____________
\ /?wv[/yx2+(z2-z1)2e(z1)e(z2)dz1rfz2
—1/2 -</2
Наконец, используя прямое преобразование Фурье, из
получаем выражение для усредненной по размаху крыла
ральной плотности вертикальной составляющей ветра:
оо 1 ш V )
\ ~е<
Лк е J
— оо
Очевидно, что в общем случае произвольной формы распреде-
ления подъемной силы по размаху при единичном скачке угла
атаки, т._ е. при произвольной форме зависимости е(г), определе-
ние Rm, и Sm по выражениям (3.60) и (3.61) может быть выпол-
нено лишь численными методами. В работе [13] приведен резуль-
тат аналитического интегрирования выражений (3.60) и (3.61)
для простейшего случая равномерного распределения подъемной
силы по размаху. В частности, для усредненной спектральной
плотности вертикального ветра получена формула
-^7- -rh- <3v2A угр [Kl0(k ут+?2)-
Й2
(.3.60)
(3.60)
спект-
(3.61)
-k/1 -i-v2Ko(£/14-v2)4-(i -3v2) [2-
— 2k /1+v2Ki (k VT+?2)- k2(14- V2)Ko(k ут+?2)]}, (3.62)
где v=o>£/V(, — безразмерная частота;
//£ — относительный размах;
Ко и Ki — модифицированные функции Бесселя второго
рода первого и нулевого порядков [33];
К,о — интеграл функции Бесселя, определяемый фор-
мулой:
К/о (*)=J Ко (-*1) • (3.63)
о
Дисперсия усредненной по размаху крыла вертикальной сос-
тавляющей ветра на основании (3.62) определяется формулой
2 2 1 — е~к /ч сл\
°W9--' • (3.64)
k
На рис. 3.29 и 3.30 показаны графики отношения a»9/®w и
приведенной усредненной спектральной плотности. Эти графики
позволяют определить усредняющее влияние размаха крыла на
спектральную плотность
случайного ветра. Указан-
ное влияние сказывается
прежде всего в уменьше-
нии дисперсии этой со-
ставляющей при увеличе-
нии размаха крыла (см.
рис. 3.29). Такой резуль-
тат легко объяснить, если
учесть, что при стремле-
нии размаха к бесконеч-
ности подъемная сила от
ветра должна стать рав-
ной нулю, так как вдоль
размаха будет действовать
Рис. 3.29. График отношения дисперсий
усреднеиного по размаху крыла верти-
кального ветра к дисперсии ветра в
одной точке в функции относительного
размаха крыла
одинаковое число восходящих и нис-
ходящих потоков одновременно.
Графики на рис. 3.30 показывают, что вместе с уменьшением
дисперсии увеличение размаха приводит к более резкому спаду
спектральной плотности на больших частотах. Если спектральная
плотность для любой точки самолета на больших частотах убы-
вает пропорционально v2 [см. (1.22)], то усредненная по размаху
спектральная плотность на этих частотах убывает более интен-
сивно.
Перейдем к анализу влияния на момент относительно попереч-
ной оси запаздывания момента оперения, которое вызывается
тем, что горизонтальное оперение попадет в ветер позже, чем
113
крыло. В результате этого запаздывания возникает дополнитель-
ный момент, который не может быть учтен, если самолет считает-
ся точкой.
Момент относительно поперечной оси, обусловленный только
вертикальным ветрам, создается за счет подъемных сил крыла
Рис. 3.30. Графики отношения усредненной по раз-
маху крыла приведенной спектральной плотности
вертикального ветра к дисперсии этого ветра в
одной точке в функции безразмерной частоты
и оперения, вызываемых этим ветром. На основании этого момент
тангажа может быть определен выражением
« 1/2
-00 —//2
+ J (3.65)
где Кмк(0—импульсная переходная функция момента танга-
жа, создаваемого крылом при воздействии ветра
wv в виде 6-функции;
Кмо(О — импульсная переходная функция момента тангажа,
создаваемого оперением при воздействии ветра
в виде 6-функции;
Ьг.о — плечо горизонтального оперения.
114
Импульсная переходная функция для момента крыла отли-
чается от импульсной переходной функции Кг (0 для подъемной
силы (3.55) только геометрическими соотношениями. Для им-
пульсной переходной функции момента крыла справедливо выра-
жение
KMAt)=KY(t)xK\Ve, (3.66)
где хк — расстояние между центром давления крыла и центром
тяжести самолета.
Выражая функцию Ху(0 через коэффициент b’v, получаем
КмЛ^Ь.тх^^-. (3.67)
7 at
Импульсная переходная функция для момента горизонталь-
ного оперения наиболее просто может быть получена с учетом
того, что этот момент равен разности момента всего самолета и
момента крыла:
Км^=Км^)-Кмк(!). (3.68)
Определяя момент всего самолета через его параметры, полу-
чаем выражение
ЛГЛо(0=-(с/г4-^тхк)-^-. (3.69)
На основании соотношения (3.65) можно получить выражение
для корреляционной функции момента, создаваемого ветром —
— т). Применяя к этой корреляционной функции пре-
образование Фурье, получаем выражение для спектральной
плотности момента, вызываемого вертикальным ветром:
^(•)=|rM(Mpswt(«>)+ir0(/«)psw(<»)+
+ 2 Re [eitt,L™lv‘W0 (» WK (- »] Sw (®), (3.70)
где символ Re обозначает действительную часть комплексного
выражения.
Комплексные передаточные функции для момента крыла и
оперения на основании (3.67) и (3.69) определяются соотноше-
ниями:
(»=6; тхкФ (Л)=1ГКФ (А), (3.71)
-(^4+^^)Ф(/Л)--1Г0Ф (Л). (3.72)
Подставляя выражения (3.71) и (3.72) в (3.70), получаем
’ Sm(<o)=[IFX»(0>)+^oS«(‘b)+2cos«МX
(/•)!*. (3.73)
115
Для упрощения этого выражения введем соотношение
(3.74)
Коэффициент г для нормальной компоновки самолета отрица-
телен. В предельном случае нейтрального самолета г=—1. Для
других центровок обычно | г| меньше 1, но больше нуля. С учетом
(3.74) из (3.73) получим
5Л1(ш)=1Г02[г25да ,(«,)+$„(«,)+
4^ 2г cos (ш£г.0/ИJ Sw (и)] | Ф (» р. (3.75)
Наконец, для упрощения анализа влияния запаздывания мо-
мента оперения относительно момента крыла можно, не внося
существенной погрешности, пренебречь усредняющим влиянием
размаха крыла на момент крыла. В этом случае =$«(<)),
и из (3.75) получаем
Saj(«>)=U^o[1-|- г2-|-2г cos (<о£г.о/Уе)] | Ф (/ш)|2 Sw(o>). (3.76)
Очевидно, что спектральная плотность момента без учета
запаздывания момента оперения относительно момента крыла
может быть получена из (3.76), если положить £г.о=0:
S’m (ш)=IFo2 (1 + г)21Ф (»|2 (•»)• (3.77)
Найдем отношение среднеквадратичных значений моментов,
подсчитанных на основании (3.76) и (3.77), т. е.
1 J
= ! ... (3.78)
Это отношение дает относительную ошибку, получающуюся
в случае, когда запаздывание момента оперения относительно
момента крыла не учитывается. После подстановки в (3.78) выра-
жений для соответствующих спектральных плотностей получаем
---------------/1+г2+2Л(^г.о/£,£г.о/^), (3.79)
°м 1 + г
где функция ¥ определяется формулой
°j COS (<o£r.0/Ve) Sw (<а) | Ф (Л>) | 2
ф / Lr.o , LT.O \ ф (3.80)
' L Ь* ' J $„(<>) |Ф(/‘‘>)12*»
116
'В качестве примера на рис. 3.31 приведен построенный по
формуле (3.80) график Т в функции Lr.0/L для двух значений
Lr.ofba- На рис. 3.32 приведены построенные на основании (3.79)
графики отношения среднеквадратичных значений моментов
Цм/фм в функции коэффициента г для различных значений
Lr.o/L. Эти графики показывают, что среднеквадратичное значе-
ние момента от вертикальной составляющей ветра <jM, получен-
ное с учетом запаздывания момента оперения относительно
момента крыла, оказывается больше среднеквадратичного значе-
Рис. 3.31. График функции Ч*1, постро-
енный на основании формулы (3.80)
Рис. 3.32. График отношения средне-
квадратичного значения момента от
вертикального ветра, определенного с
учетом плеча горизонтального опере-
ния, к среднеквадратичному значению
момента, определенного без учета это-
го плеча
ния момента одь для которого запаздывание не учитывалось.
При г—>-0 указанный эффект стремится к нулю. При г—>—1
отношение моментов стремится к бесконечности. Этот вывод не
противоречит физике рассматриваемого явления, так как он яв-
ляется результатом стремления к нулю момента ом для ней-
трального самолета. Среднеквадратичное значение момента Ом-,
создаваемого вертикальным ветром, для нейтрального самолета с
учетом запаздывания может быть подсчитано по спектральной
плотности (3.76). Оно будет отличным от нуля и тем большим,
чем больше Lr.0/L.
Таким образом, из графиков на рис. 3.31 и 3.32 следует, что
учет запаздывания момента оперения относительно момента кры-
ла имеет тем большее значение, чем больше отношение LT.0/L и
117
абсолютное значение коэффициентов г. Этот коэффициент опре-
деляется через параметры самолета формулой
г_________Ьутхк
С< lg -f* Ь. мхц
У У
Полученные выше формулы для спектральных плотностей вер-
тикальной составляющей ветра (с учетом усредняющего действия
размаха крыла) и момента (с учетом влияния плеча горизонталь-
ного оперения) позволяют перейти к анализу динамики боль-
шого * жесткого самолета в турбулентной атмосфере. Уравнения
продольного движения большого самолета будут отличаться от
уравнений (3.41) для малого самолета только видом правых
частей:
-су^у=-^8-+д^^/4-
Правые части уравнений (3.82) определяются выражениями
(3.56) и (3.65). Из уравнений (3.82) могут быть получены пере-
даточные функции для различных параметров продольного дви-
жения. Ограничимся анализом наиболее важного параметра —
вертикальной перегрузки. Комплексная передаточная функция
для перегрузки имеет вид
(/«>) =
— “2 + 7* (с-уе + С^+с.yVe
— + е'у е
gig — ®2 + >(6. +с^ + с-Уе) + Ь.с^+с^У-е
XWmU*),
(3.83)
где Wy(jto) и определяются преобразованием Фурье
функций ДУ»(0 и ДМ»(0.
Чтобы определить дисперсию и. среднеквадратичное значение
перегрузки, необходимо найти ее спектральную плотность. Эта
спектральная плотность определяется выражением:
$«,(•>)=( 1^10) |2|«М»|2+| ^2(»|2Х
X (|^к(/‘“)[2 +|^0(/ш)|2+2Ее[?ш£г.о/^0(7ш)^к(-уш)] } +
+2Re [IF, (/•) IF2 (- » W у (»1FK (»+
+ IF, (/•) IF2 ( - /ш) IFr (>) 1FO (— »]) Sw , (<»), (3.84)
* Термином «большой» для краткости обозначается самолет, у которого
учитываются эти два фактора (размах и длина).
118
I Н4(/ш) и UZ2(/<o)—комплексные передаточные функции,
стоящие соответственно в первой и
второй квадратных скобках правой
части (3.83);
UZy(/\o)=^m®(/<»)/Ve — передаточная функция для подъем-
ной силы крыла при воздействии
вертикального ветра.
После подстановки в (3.84) значений передаточных функций
и выполнения операций по выделению действительной части
комплексных выражений получаем расчетную формулу для спек-
тральной плотности перегрузки большого самолета
.2
с М=^у_____________________$«,96->)|Ф(Л»)12_________________х
"г gi + Ш2 [(й. + с. + c.-Ve)2 + й. с. + Ve] + (*. + C. Ve)2
V2
* 9.
+(су 4+Ъу тх^—2 cos (“»4.о/ ve) (су 4+ьу тхк)Х
X b- mxj—2сVe (- «»2 4- су Vt)
(3.85)
На рис. 3.33 представлен график (кривая /) спектральной
плотности перегрузки для самолета Ns 1, рассчитанный по фор-
муле (3.85), т. е. с учетом размаха и плеча горизонтального опе-
рения. Чтобы влияние размеров
самолета было выражено более,
ярко, масштаб турбулентности
выбран небольшим (L=il50 м).
Кривая 2 на этом же рисунке да-
ет спектральную плотность, опре-
деленную с учетом лишь усред-
няющего влияния размаха, но без
учета влияния плеча горизонталь-
ного оперения. Она определялась
на основании передаточной функ-
ции (3.45) для малого самолета,
но вместо спектральной плотно-
сти ветра в данной точке Sw (w)
использовалась усредненная по
размаху спектральная плотность
Si» (to). Спектральная плотность
перегрузки для самолета № 1 без
учета его размеров на рис. 3.33 не
нанесена, так как она почти сли-
вается с кривой 1.
Рис. 3.33. Нормированные спект-
ральные плотности перегрузки са-
молета Xs 1 от вертикального ветра:
/ — с учетом влияния размаха крыльев
н плеча горизонтального оперения; 2 —
с учетом только размаха
119
Среднеквадратичные значения перегрузки для этих трех слу-
чаев следующие:
1) без учета размеров самолета стПу=0,0536;
2) с учетом только усреднения по размаху оПу=0,0485;
3) с учетом размаха и плеча горизонтального оперения
=0,0521.
Сравнение кривых на рис. 3.33 и среднеквадратичных значе-
ний перегрузки для рассмотренных случаев позволяет сделать
следующие выводы.
Характер кривых спектральной плотности практически не ме-
няется при учете поперечного и продольного размеров самолета.
Усредняющее действие размаха крыла для больших самолетов
и малых масштабов турбулентности приводит к довольно ощути-
мому снижению вертикальной перегрузки от вертикальных поры-
вов. В рассмотренном примере это снижение составило около
10%. Однако влияние плеча горизонтального оперения приводит
к увеличению среднеквадратичного значения момента, созда-
ваемого ветром, к увеличению колебаний самолета относительно
центра тяжести и, в конечном итоге,— к увеличению перегрузки
до значения, близкого к перегрузке малого самолета.
Для наиболее вероятных значений масштаба турбулентности
(L=300 м) влияние поперечного и продольного размеров даже
для тяжелых самолетов будет настолько незначительным, что в
подавляющем большинстве случаев оно может не приниматься во
внимание.
§ 3.6. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ САМОЛЕТА
НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
У современных самолетов, обладающих большими скоростя-
ми, в полете возникают довольно значительные деформации кон-
струкции. При большинстве эволюций самолета его движение
характеризуется очень малыми частотами, а собственные частоты
упругих колебаний элементов самолета значительно выше (на
порядок и более). Поэтому при медленных эволюциях самолета
упругие деформации его конструкции не оказывают существен-
ного влияния на динамику полета. Именно этим объясняется то
обстоятельство, что в работах по динамике полета самолет обыч-
но считается твердым телом.
При полете самолета в возмущенной атмосфере перегрузки
изменяются очень резко, практически повторяя пульсации скоро-
сти ветра. Как будет показано ниже, деформации конструкции в
этих условиях могут оказывать существенное влияние на динами-
ку самолета.
Выведем уравнения продольного движения упругого самолета,
летящего с постоянной скоростью. Эти уравнения могут быть
получены путем рассмотрения вертикального перемещения всех
120
"Сточек самолета. Вертикальное перемещение любой точки само-
лета в земной системе координат определяется выражением-
п
Ду (х, z, (3.86)
< = i
где q, — i-ая обобщенная координата движения самолета, соот-
ветствующая одной из п учитываемых степеней сво-
боды;
— i-ая нормальная форма колебаний, с помощью которой
координата преобразуется в вертикальное переме-
щение.
Так как уравнение (3.86) должно учитывать полное верти-
кальное перемещение любой точки самолета, то понятие «нор-
мальная форма» в этом уравнении распространяется не только
на упругие колебания, но и на колебания самолета как твердого
тела.
Уравнение Лагранжа для упругого тела имеет вид
d dT ОТ , dU -
-------------------1------== р,
dt dqi dqi dqi
(3.87)
где T — кинетическая энергия тела;
U — потенциальная энергия тела, обусловленная его дефор-
мацией;
qi — скорость изменения i-ой обобщенной координаты;
Ft — обобщенная сила или момент, вызывающий изменение
i-ой обобщенной координаты.
Кинетическая энергия любой точки самолета, имеющей массу
Дт(х, г), при ее вертикальном перемещении выражается фор-
мулой
Д7’=-1-Д/п (х, z)
^i(x, z) ’q( (/)
г=1
(3.88)
Отсюда получаем
п
z)^(x, г)Ш /=1, 2,.... п. (3.89)
J dqt
3=1
После интегрирования выражения (3.89) по поверхности са-
молета в плане получаем первый член левой части уравнения
(3.87)
Л
1 = 1,2,...,». (3.90)
at оа»
/=1
121
В формуле (3.90) через Мц обозначены обобщенные инерци-
онные коэффициенты, которые определяются выражением
Afj = J J |л (х, z) (х, z)(х, z) dx dz, (3.91)
s
где ц(х, z) — масса на единицу поверхности самолета S в плос-
кости xoz, по которой берется интеграл (3.91).
Второй член левой части уравнения (3.87) равен нулю, так как
кинетическая энергия самолета не зависит от координаты qt.
Третий член левой части этого уравнения, учитывающий потен-
циальную энергию деформации самолета, определяется методом
Релея [39]. Идея этого метода заключается в том, что упругие
колебания частей самолета, имеющие, как правило, довольно
слабое затухание, при определении третьего члена уравнения
(3.87) считаются незатухающими. Вследствие этого экстремаль’
ные значения кинетической и потенциальной энергий колебаний
элементов конструкции самолета равны друг другу. Очевидно, что
максимум потенциальной энергии имеет место в тот момент,
когда эти элементы занимают одно из крайних положений, и их
кинетическая энергия равна нулю, а максимум кинетической
энергии — в момент, когда эти элементы приходят через положе-
ние равновесия, и их потенциальная энергия равна нулю. Поло-
жим, что обобщенные координаты упругих степеней свободы
изменяются по синусоидальному закону
^(=Д£81пш/>* /, (3.92)
где ©ife — собственная частота fe-ой гармоники колебаний в i-ой
степени свободы.
Ограничимся лишь первой гармоникой этих колебаний и ин-
декс k=l опустим. Подставив (3.92) в (3.90) и произведя инте-
грирование по поверхности самолета S, получим максимальное
значение кинетической энергии для упругой формы колебаний
1 = 1,2....п, (3.93)
где Мц — определяется формулой (3.91).
С другой стороны, потенциальная энергия при деформации
пропорциональна квадрату обобщенной координаты. Для t-ой
координаты получаем
(3.94)
где с. — неизвестный коэффициент пропорциональности.
Максимальное значение потенциальной энергии равно
Л?. (3.95)
122
В соответствии со сказанным выше для определения коэффи-
циента С{ можно приравнять максимальные значения кинетиче-
ской (3.93) и потенциальной (3.95) энергий, в результате чего
получаем
с^М^*. (3.96)
Подставив значение в (3.94), находим
(3.97)
Дифференцируя (3.97) по qt, определяем третий член уравне-
ния (3.87)
-^-=4f//(e^/(jS). (3.98)
Обобщенная сила стоящая в правой части уравнения
(3.87), определяется через работу, проделанную внешними сила-
ми на виртуальном перемещении qi. Таким образом, общее вы-
ражение для этой силы должно иметь вид
(3.99)
где W — работа внешних сил.
Подставляя в уравнение (3.87) значения всех его членов из
(3.90), (3.98) и (3.99), получаем уравнения продольного движе-
ния ynpyforo самолета в форме
п
У ЛГ/;<7;(04-ЛТ//<»?^(0=-^- , *=1,2.......Л. (3.100)
dQi
7=1
Наиболее существенными видами деформаций для современ-
ных самолетов являются изгиб и кручение крыла, а в некоторых
случаях и изгиб фюзеляжа. Уравнения (3.100) позволяют учесть
влияние первых гармоник
(тонов) любых видов дефор-
мации самолета. В приводи-
мом ниже примере анализа
движения упругого самолета
в турбулентной атмосфере
учтем лишь основную де-
формацию— первую форму
изгиба крыла. Пренебреже-
ние другими формами изгиб-
ных колебаний, соответст-
вующими более высоким
частотам, основывается на
физически очевидном иред-
Рис. 3.34. Три координаты, определя-
ющие движение самолета с учетом
изгиба крыла
123
положении, что упругие степени свободы влияют на устойчивость
и управляемость самолета только тогда, когда их частоты отно-
сительно низки. При таком допущении продольное движение са-
молета, летящего с постоянной скоростью, может быть описано с
помощью трех обобщенных координат (рис. 3.34):
< 7i=А# — изменение угла тангажа;
< 72=Д№ — вертикальное перемещение центра тяжести само-
лета;
У ъ=Ук— вертикальное отклонение оси жесткости крыла у
его конца.
Подставив эти координаты в уравнения (3.100), получим си-
стему уравнений (п=3):
d^yg dfi + ^12 </2Д8 da + ^13 42Ук da =Л,
Л121 <Шуе +м22 42Д& + */23 d2yK =Л. (3.101)
da da da
мп d2^Vg da + Л4з2- dW da “F^33 • й2Ук dt -|-Af33a)KyK—F 3.
В качестве объектов расчета в данном параграфе будут ис-
пользоваться большие самолеты № 1 иК«3*. Характеристики
самолета № 3 заимствованы из работы [40]. Формулы для рас-
чета инерционных коэффициентов и их значения для самолетов
№ 1 и № 3, а также общие соображения по вычислений первой
формы изгибных колебаний крыла приведены в «Приложении В».
Уравнения (3.101) отличаются от уравнений жесткого само-
лета только учетом изгибных колебаний крыла. Если положить
yK=dyvjdt=d2yKldti=Q, то эти уравнения превратятся в упро-
щенные уравнения короткопериодического движения самолета
(2.11). Поэтому правые части первых двух уравнений должны
содержать все члены, которые входят в уравнения (2.11). Кроме
того, в правых частях этих уравнений появятся силы и моменты,
обусловленные колебаниями крыла. В правую часть третьего из
уравнений (3.10) войдут аэродинамические силы, вызываемые
как колебаниями крыла, так и движением всего самолета.
Учитывая сравнительно низкую частоту первой гармоники
изгибных колебаний крыла, определение сил и моментов, связан-
ных с этими колебаниями, проведем на основе гипотезы стацио-
нарности (см. «Приложение В»). После определения и подста-
новки в систему (3.101) значений обобщенных сил, а также после
приведения этой системы к более удобному виду, получаем урав-
нения самолета с упругим крылом, летящего в поле скоростей
вертикального ветра:
* См. «Приложение А».
124
rf2A& dVgy
~dt? 1 di~
. аль
С"
। , , а2Ук . , <lyK
^„+^—+6'—+
4-Аук=^у,
rfV*y С у I с а2ук I с.аУ*
dfi ’ ’ dt У dt У gv к dt? к dt
+ скУк = — ^Д8в—Су wy,
Й2Д» <М& , dVgy ,, , d*yK
е* ~diT +е*~ +*y ~dT~ +ey^y+“^r+
+ *K -77- + (WK+ек) Ук=ey Wy.
(3.102)
Формулы для коэффициентов уравнений (3.102) и их значения
для самолетов № 1 и № 3 приведены в «Приложении В».
Для исследования управляемого полета система уравнений
(3.102) была дополнена уравнением автопилота (2.14) без кор-
ректора высоты.
Рассмотрим динамические характеристики самолета с упру-
гим крылом при воздействии на него ступенчатого вертикального
порыва ветра. Результаты интегрирования уравнений (3.102) в
форме осциллограмм переходных процессов представлены на
приводимых ниже рисунках. Все данные на этих рисунках отно-
сятся к действию на самолет вертикального ветра, имеющего
скорость Wv=l м/сек.
Рассмотрим вначале осциллограммы переходных процессов
для самолета № 1. На рис. 3.35 показана реакция самолета с
автопилотом на управляющий сигнал Д^з=1°. Рис. 3.35, а отно-
сится к жесткому, а рис. 3.35, б — к упругому самолетам. На по-
следнем рисунке приведена осциллограмма для отклонений конца
крыла (ук). Сравнение этих рисунков показывает, что при обыч-
ных медленных эволюциях самолета изгиб крыла не оказывает
существенного влияния на характер изменения параметров ко-
роткопериодического движения. Поэтому для анализа медленных
движений самолета вполне допустимо использовать представле-
ние о самолете как о твердом теле, что и было отмечено вначале
этого параграфа.
На рис. 3.36 показана реакция жесткого самолета с автопило-
том (а) и с зажатым рулем (б) на единичный порыв ветра. Этот
рисунок дан для сравнения динамических характеристик жест-
кого и упругого самолета, реакция которого на единичный порыв
показана на рис. 3.37. Рис. 3.37,а относится к самолету с авто-
пилотом, рис. 3.37,6 — к самолету с зажатым рулем. Сравнение
кривых на 3.36 и 3.37 дает основание утверждать, что упругость
крыла практически не влияет на характер реакции по углу тан-
гажа и вертикальной скорости и существенно изменяет характер
125
Рис. 3.35. Реакция самолета № 1 с автопилотом на управляющий
сигнал по тангажу:
а —жесткого; б —с учетом изгиба крыла
Рис. 3.36. Реакция жесткого самолета № 1 на единичный вер-
тикальный порыв ветра:
а — с автопилотом; б — с зажатым рулем
126
реакции по вертикальной перегрузке. Для упругого самолета
значительно (почти в два раза) снижается начальное значение
перегрузки. Это снижение объясняется тем, что эффективный
угол атаки, а следовательно, и приращение подъемной силы при
изгибе крыла становятся меньше, чем у жесткого крыла. Однако
у жесткого самолета перегрузка вначале резко падает, а у само-
Рис. 3.37. Реакция самолета № 1 на единичный вертикальный
порыв ветра с учетом изгиба крыла:
а —с автопилотом; б— с зажатым рулем
лета с гибким крылом вначале растет, причем максимальное
значение перегрузки становится больше начального значения
для жесткого самолета.
Отклонение -конца крыла (см. рис. 3.37) практически повто-
ряет закон изменения перегрузки. Исключением является на-
чальный момент, в который перегрузка возрастает мгновенно, а
отклонение конца крыла — более плавно. Максимальное откло-
нение конца крыла достигает 0,037 м при скорости вертикального
порыва Wv= 1 м!сек. Отклонение сравнительно невелико потому,
что рассматривается режим полета на высоте z/g=8000 м, где
плотность воздуха сравнительно малая. У земли это отклонение
значительно возрастает.
127
Самолет № 1 имеет прямое крыло. Изгиб стреловидного крыла
сопровождается некоторой особенностью — появлением дополни-
тельного отрицательного угла атаки, уменьшающего общее при-
ращение угла атаки, которое получалось бы для прямого крыла.
Для иллюстрации влияния стреловидности крыла на динамику
самолета с гибким крылом ниже приведены осциллограммы
переходных процессов, вызванных воздействием единичного сту-
пенчатого порыва ветра на самолет № 3, имеющий стреловидное
крыло.
Реакция жесткого самолета с автопилотам (а) и с зажатым
рулем (б) показана на рис. 3.38. Те же характеристики для упру-
Рис. 3.38. Реакция жесткого самолета № 3 на единичный порыв ветра:
а— с автопилотом; б —с зажатым рулем
того самолета приведены на рис. 3.39. Сравнение этих рисунков
позволяет утверждать, что за счет стреловидности крыла доволь-
но существенно снижается перегрузка самолета при действии
единичного порыва. Чтобы подтвердить факт снижения перегруз-
ки именно вследствие стреловидности крыла, на рис. 3.40 пока-
зана реакция самолета № 3 на единичный порыв в предположе-
нии, что стреловидность крыла у него равна нулю. Все весовые,
аэродинамические и прочностные характеристики крыла и всего
самолета сохранены прежними. Сравнение графиков на рис. 3.39
и 3.40 убедительно свидетельствуют о положительном влиянии
стреловидности на динамические характеристики упругого само-
лета в возмущенной атмосфере. Заметим, что если не учитывать
изгиб крыла, то и при стреловидном и при прямом крыле будет
получена одинаковая реакция самолета на единичный порыв,
приведенная на рис. 3.38.
Перейдем к количественной оценке влияния изгиба крыла на
динамику полета в турбулентной атмосфере.
Рассмотрим спектральные плотности и среднеквадратичные
значения параметров продольного движения самолета в этих
условиях.
На рис. 3.41 показаны спектральные плотности приращений
угла тангажа и вертикальной перегрузки самолета № 1 при по-
128
I
I
5 сек
-I
Рис. 3.39. Реакция самолета Ns 3 (со стреловидным крылом) на единичный вертикальный порыв
ветра с учетом изгиба крыла:
а — с автопилотом; б — с зажатым рулем
Рис. 3.40. Реакция самолета Ns 3 на единичный вертикальный порыв ветра в предположении,
что стреловидность у него отсутствует:
а — с автопилотом; б — с зажатым рулем
лете в поле скоростей вертикальных порывов. Те же данные для
самолета № 3 даны на рис. 3.42. Кривые, отмеченные цифрой /,
относятся к жесткому самолету, цифрой 2 — к самолету с гибким
прямым крылом, цифрой 3 — к самолету с гибким стреловидным
крылом. Цифрами без штриха отмечены кривые для самолета с
автопилотом, цифрами со штрихом — к самолету с зажатым
Рис. 3.41. Нормированные спектральные плотности приращения угла тангажа
(а) и вертикальной перегрузки (б) самолета № 1 с зажатым рулем и с авто*
пилотом; штрихом отмечены кривые для самолета с зажатым рулем:
1 —. жесткий самолет; 2 — с учетом изгиба крыла
рулем. В табл. 3.1 приведены среднеквадратичные значения угла
тангажа и (перегрузки для всех случаев, показанных на рис.
3.41—3.42. Как кривые спектральных плотностей на всех рисун-
ках, так и данные табл. 3.1, относятся к масштабу турбулентности
£==300 лик действию на самолет случайного ветра с дисперсией
=1 м2!сек2.
Графики на рис. 3.41, а и 3.42,6 и данные табл. 3.1 показы-
вают, что упругость крыла не оказывает существенного влияния
на спектральную плотность и среднеквадратичное значение коле-
баний угла тангажа.
»эо
5)
Рис. 3.42. Нормированные спектральные плотности приращений угла
тангажа (а) и вертикальной перегрузки (б) самолета № 3 с зажатым
рулем и с автопилотом; штрихом отмечены кривые для самолета с
зажатым рулем:
/ — жесткий самолет; 2 — с учетом изгиба прямого крыла; 3 — с учетом из-
гиба стреловидного крыла
5*
13<
Таблица 3.1
Кривые на рис. 3.41—3.42 1 г 2 2' 3 3'
в угл. мин Самолеты № 1 4,0 11,0 4,0 11,7 — —
№ 3 5.4 12,0 6,6 10,0 6,0 12,6
<*Пу Самолеты № 1 0,044 0,052 0,054 0,059 — —
№ 3 0,066 0,073 0,078 0,093 0,052 0,061
Графики спектральной плотности перегрузки на рис. 3.41,6
и 3.42, б существенно отличаются для различных рассмотренных
случаев и поэтому требуют более детального обсуждения. Срав-
ним друг с другом кривые, относящиеся к одному методу управ-
ления (с автопилотом или без него). Кривые на рис. 3.41,6 пока-
зывают, что у самолета № 1 изгиб крыла сказывается совершенно
одинаково при полете с автопилотом и с зажатым рулем. Изгиб
вызывает появление второго пика на частоте, несколько меньшей
2 гц, что приводит к некоторому увеличению перегрузки. Этот
результат подтверждается осциллограммами на рис. 3.36 и 3.37.
Для самолета № 3 (рис. 3.42,6) гибкость крыла наоборот
приводит к уменьшению перегрузки (кривые 3 и <?') по сравнению
с перегрузкой жесткого самолета (кривые 1 и /')• Снижение
перегрузки у самолета № 3 за счет изгиба стреловидного крыла
связано, как уже упоминалось, с появлением отрицательного угла
атаки. Это совпадает с выводами, сделанными на основании пере-
ходных функций для самолета № 3 (рис. 3.38 и 3.39). Прямое гиб-
кое крыло у самолета № 3 (рис. 3.42, кривые 2 и 2') значительно
увеличивает перегрузку. Это связано с наличием пика на кривых
спектральной плотности с максимумом в области 1 гц. Включение
автопилота во всех рассмотренных случаях приводит к уменьше-
нию перегрузки на 10—15%.
Для более четкого представления о влиянии изгиба крыла на
перегрузку самолета при полете в турбулентной атмосфере при-
ведем графики зависимости среднеквадратичного значения пере-
грузки в функции масштаба турбулентности. Данные приводятся
только для самолета с автопилотом. Кривые для самолета с за-
жатым рулем имеют тот же характер, но располагаются не-
сколько выше соответствующих кривых для самолета с авто-
пилотом.
На рис. 3.43 приведены данные для жесткого самолета № 1
(кривая /) и для этого же самолета с упругим крылом (кривая
132'
2). В области наиболее вероятного масштаба L = 300 м увеличе-
ние перегрузки за счет изгиба крыла составляет около 15%, а для
самого малого масштаба L = 50 м это увеличение составляет 35%.
На рис. 3.44 даны среднеквадратичные значения перегрузки
для жесткого самолета № 3 (кривая /) и для этого же самолета
с прямым (кривая 2) и стреловидным (кривая 3) гибкими
крыльями. Здесь влияние изгиба крыла проявляется в еще более
сильной степени, чем для самолета № 1.
Рис. 3.43. Нормированные средне’
квадратичные значения вертикальной
перегрузки самолета № 1 с автопило-
том в функции масштаба турбулент-
ности:
/.— жесткий самолет; 2 —с учетом изгиба
крыла
Рис. 3.44. Нормированные средне-
квадратичные значения вертикальной
перегрузки самолета № 3 с автопило-
том в функции масштаба турбулент-
ности:
1 — жесткий самолет; 2 — с учетом изги-
ба прямого крыла; 3 — с учетом изгиба
стреловидного крыла
Таким образом, изгиб крыла, особенно для больших самоле-
тов, приводит к существенному изменению величины перегрузки,
испытываемой при полете в турбулентной атмосфере. Для само-
летов с прямым крылом изгиб последнего увеличивает средне-
квадратичное значение перегрузки в этих условиях. Изгиб стре-
ловидного крыла (при обычных для современных самолетов
значениях угла стреловидности) может снизить перегрузку от
атмосферных возмущений.
§ 3.7. ОТКЛОНЕНИЕ САМОЛЕТА ОТ ЗАДАННОЙ ТРАЕКТОРИИ
ПРИ ПОЛЕТЕ В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Современные автопилоты обычно содержат так называемый
высотный корректор, т. е. статоскоп, дающий на исполнительный
механизм сигнал при изменении заданной высоты полета. В § 3.2
было показано, что при наличии высотного корректора перегруз-
ки, испытываемые самолетом в турбулентной атмосфере, возрас-
тают. Увеличение перегрузки имеет место даже при идеальной
работе статоскопа в качестве измерителя высоты. В действитель-
ности статоскоп измеряет давление, которое также колеблется
в возмущенной атмосфере, что приводит к подаче на рули неже-
133
лательных сигналов, не связанных с изменением высоты. По ука-
занной причине трудно ожидать, что данные теоретического рас-
чета колебаний самолета по высоте, произведенного в предполо-
жении идеальной работы статоскопа, будут хорошо совпадать
с результатами эксперимента. Тем не менее, даже в этих условиях
полезно оценить порядок величины колебания центра тяжести
самолета по высоте, поскольку заранее трудно сказать, о каких
величинах может идти речь. С этой целью на рис. 3.45 привёдены
среднеквадратичные значения
Рис. 3.45. Нормированные среднеквад-
ратичные значения колебаний высоты
полета самолета № 1 при действии
вертикальных порывов ветра в функ-
ции масштаба турбулентности:
/ — номинальное передаточное число авто-
пилота по высоте; 2 — передаточное число
уменьшено в 3 раза
отклонения по высоте самолета
№ 1 с автопилотом, имеющим
высотный корректор (закон
(2.13)], в функции масштаба
турбулентности. Кривые даны
для двух значений передаточ-
ного числа автопилота по
высоте. Кривая 1 относится
к номинальному значению
iv=0,07 град!м, а кривая
2 к уменьшенному — tv=
=0,025 град 1м. Уменьшение
этого передаточного числа обу-
словлено наличием у корректо-
ра зоны нечувствительности по-
рядка ±(10—20) м. В соответ-
ствии с данными § 3.3, влияние
зоны нечувствительности при-
водит к значительному уменьшению передаточного числа при
полете в турбулентной атмосфере. Данные на рис. 3.45 показы-
вают, что среднеквадратичные значения колебаний высоты поле-
та измеряются единицами метров на единицу среднеквадратич-
ного значения скорости вертикальной составляющей ветра. Эти
колебания в сильной степени зависят от передаточного числа
автопилота по высоте.
Большое значение в условиях летной эксплуатации самолета
имеет режим полета по глиссаде планирования при заходе на
посадку.
Среднеквадратичные колебания центра тяжести самолета от-
носительно глиссады на единицу среднеквадратичного значения
скорости вертикальных порывов ветра составляют в этих усло-
виях также несколько метров и уменьшаются по мере приближе-
ния самолета к взлетно-посадочной полосе. На конечном этапе
посадки — приземлении — вертикальные порывы ветра быстро
уменьшаются, как показано на рис. 1.28, и не могут вызвать
заметных возмущений высоты полета самолета. Так как угол
атаки на этапе приземления велик, то большую роль начинают
играть горизонтальные, а в боковом движении самолета — попе-
речные порывы ветра.
134-
§ 3.8. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЕРЕГРУЗКИ ПРИ ПОЛЕТЕ
В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
При решении некоторых практических задач возникает необ-
ходимость быстрой оценки перегрузки, обусловленной вертикаль-
ной составляющей ветра, хотя бы и с довольно значительной
погрешностью. Такой метод, чрезвычайно простой и удобный,
приведен в работе [37].
Найдем подъемную силу крыла самолета, летящего горизон-
тально и с постоянной скоростью, возникающую под действием
вертикальной скорости
ветра wv. Схема ско-
ростей и сил показана
на рис. 3.46. Для упро-
щения дальнейшего
анализа пренебрежем
угловыми движениями
крыла и, следователь-е
но, всего самолета. Это
допущение и является
Рис. 3.46. Схема скоростей и сил для крыла
при воздействии вертикального ветра
основной причиной по-
грешности рассматриваемого метода. С учетом указанного допу-
щения самолет под действием силы У может двигаться только
вертикально. Изменение этой силы по сравнению с ее невозму-
щенным значением вызывается как ветром, так и движением
крыла. На основании изложенного, уравнение второго закона
Ньютона для вертикального движения самолета должно иметь
вид
т-^-=Г(у,) + У(дау), (3.103)
где Y(yg) —сила, вызываемая вертикальным движением крыла;
Y(wy) —сила, вызываемая ветром wv (возмущающая сила).
Для несжимаемого потока эти силы определяются выраже-
ниями [37]
(3.104)
- r(wy)=C;^-T(f)wy(0, (3.105)
где Cy?btSj8— присоединенная аэродинамическая масса;
CypSVgC(f)—коэффициент аэродинамического демпфирова-
ния;
С (/) и <?(/)— специальные функции, учитывающие нестацио-
нарный характер обтекания крыла *.
* Функция <р(0 уже упоминалась в данной главе —см. формулу (3.53)
и далее.
135
Подставляя (3.104) и (3.105) в исходное уравнение (3.103),
получаем дифференциальное уравнение вертикального движения
самолета под действием вертикального ветра
\ <Pyg t c;fSVe ^/л dVg _
8 / rf/2 + 2 *' dt
CbSVe
=—k~ (3.106)
Для применения спектральных методов необходимо найти
комплексную передаточную функцию самолета. Эту функцию
получаем из (3.106) в форме
-------b **(Л>-----------. (ЗЛ07)
------“----------
Ve(2i*„/C; +0,25)
где G(/<o) —преобразование Фурье для функции C(t).
Функции <р(() и C(t) при синусоидальном характере верти-
кального ветра превращаются в функции Сирса и Теодорзена.
Функция Сирса аппроксимируется выражением (3.40), а функция
Теодорзена в пределах нужного диапазона частот приближенно
равна единице [41].
На основании соотношений (2.46) и (2.47), используя переда-
точную функцию (3.107) и спектральную плотность (1.33), нахо-
дим выражение для дисперсии перегрузки:
2 ___^2 7 V2 1 1 + 3v2
°Пу °W (2ft +.0,25)2 J »2 + «2 1 + nSv (1 + v2)2
(3.108)
где
a = l/S(2ft + 0,25), s=b,IL, k = pnjCy.
Производя простейшие преобразования и пренебрегая в.скоб-
ке знаменателя числом 0,25 по сравнению с большой величиной
2|*.П/СУ . получаем окончательное выражение, связывающее сред-
неквадратичное значение вертикальной перегрузки со средне-
квадратичным значением скорости вертикального ветра:
________ /~ / (ft, s)
"у w 2G/S У я
(3.109)
В формуле (3.109) через I(k, s) обозначен определенный ин-
теграл правой части. Назовем ]//(Л, з)/к коэффициентом реак-
ции самолета на случайный ветер. На рис. 3.47 представлены
номограммы, отражающие зависимость этого коэффициента от
136
его двух параметров: приведенной плотности k и отношения сред-
ней аэродинамической хорды Ьл к масштабу турбулентности L.
Для конкретного самолета и определенной высоты полета этот
коэффициент будет постоянной величиной.
Основным достоинством формулы (3.109) является ее просто-
та. Формула ясно показывает, что при постоянном среднеквад-
ратичном значении ветра перегрузки возрастают пропорциональ-
но скорости полета. Влияние высоты не так очевидно, так как
Рис. 3.47. Номограммы для коэффициента реакции самолета
на вертикальные порывы ветра
плотность воздуха входит в числитель формулы и в параметр k,
определяющий коэффициент реакции на ветер.
Увеличение удельной нагрузки на крыло (G/S), характерное
для современных самолетов, приводит к уменьшению перегрузки
1см. (3. 109)]. С другой стороны, коэффициент реакции на ветер
возрастает с увеличением цп и, следовательно, с увеличением
удельной нагрузки. Последнему обстоятельству нетрудно дать
простое физическое объяснение. При малой относительной плот-
ности самолета цп перегрузки невелики, так как самолет легко
увлекается порывами ветра, что и объясняет изгиб кривых на
рис. 3.47 при малых k. По мере увеличения р.п увеличение самоле-
137
та вертикальными порывами играет все меньшую роль, вслед-
ствие чего I (k, s)Ik увеличивается.
При переходе к околозвуковым и сверхзвуковым скоростям
полета структура формулы (3.109) сохраняется. Однако номограм-
мы на рис. 3.47, полученные с учетом функции Сирса, становятся
менее точными, так как применение этой функции обосновано
только для несжимаемого потока.
В заключении этого параграфа рассмотрим пример использо-
вания формулы (3.109). На рис. 3.48 приведены среднеквадра-
тичные значения перегрузки от
вертикальных порывов для са-
молета № 1: кривая 1 относит-
ся к самолету с автопилотом,
кривая 2 — к самолету с зажа-
тым рулем. Данные для пост-
роения этих кривых получены
моделированием по принятой в
данной книге методике. Кри-
вая 3 получена по формуле
(3.109). Очевидно, что при ис-
пользовании этой формулы на-
личие или отсутствие автопило-
та не играет роли, так как при
выводе формулы предполага-
лось, что колебания угла тан-
гажа отсутствуют. Таким обра-
зом, расчет по формуле (3.109)
Рис. 3.48. Нормированные среднеквад-
ратичные значения перегрузки самоле-
та № 1 от вертикальных порывов вет-
ра в функции масштаба турбулент-
ности:
/ — с автопилотом; 2 — с зажатым рулем;
3 — по формуле (3.109)
должен давать тот же результат, что и расчет рассмотренного в
конце § 3.2 предельного случая идеальной стабилизации само-
лета по тангажу (i =юо). Поэтому приведенное в том парагра-
фе физическое объяснение расположения кривых 1, 2 и 3 на
рис. 3.16, а остается верным и для кривых на рис. 3.48. Различие
этих рисунков состоит лишь в том, что вследствие хорошего
естественного демпфирования колебаний угла тангажа у само-
лета № 1 перегрузка, подсчитанная с учетом этих колебаний
(рис. 3,48, кривые 1 и 2), всегда меньше перегрузки, определяе-
мой по формуле (3.109) без учета угловых движений.
§ 3.9. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
ПО ПРОДОЛЬНОМУ ДВИЖЕНИЮ САМОЛЕТА
В ТУРБУЛЕНТНОЙ атмосфере
Результаты летных исследований продольного движения убе-
дительно подтверждают принципиальную правильность изложен-
ного в предыдущих параграфах этой главы статистического под-
хода к динамике самолета в турбулентной атмосфере. В качестве
одного из примеров приведем результаты обработки данных, по-
лученных в более чем двухстах полетах тяжелого транспортного
138
самолета в условиях «болтанки». При осреднении не учитыва-
лись различия в режимах конкретных полетов, скорость, высота,
Бес самолета. Разделение данных проведено лишь по трем видам
управления самолетом (летчик, автопилот с корректором высоты
и автопилот без корректора высоты). Результаты обработки дан-
ных, полученных в этих полетах, приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Режим управления град \ град
Летчик 0,177 1,826 0,720
Автопилот без корректора высоты 0,155 0,481 0,572
Автопилот с корректором высоты 0,172 0,785 0,793
Данные табл. 3.2 подтверждают преимущества управления
самолетом при полете в «болтанку» с помощью автопилота (осо-
бенно без корректора высоты), которые были выявлены выше на
основании теоретического рассмотрения этого вопроса.
. Рис. 3.49. Нормированные спектральные плотности вертикальной перегруз-
ки при полете в турбулентной атмосфере:
I — летчик; 2 — автопилот с корректором высоты; 3 — автопилот без корректора вы-
соты
На рис. 3.49 приведены графики нормированной спектральной
плотности, полученные по реализации, зарегистрированной для
вертикальной перегрузки в одном из полетов, о которых упоми-
налось выше.
Режим полета, к которому относятся графики на рис. 3.49, сле-
дующий: уг=3600.и, У=400 км/час. Эти графики также относятся
139
к трем видам управления самолетом. Увеличение спектральной
плотности перегрузки при частоте около 2 гц (со= 12 сек-1) объ-
ясняется влиянием первого тона изгибных колебаний крыла само-
лета. В нормированной форме графики спектральной плотности
незначительно отличаются друг от друга, однако среднеквадра-
тичные значения перегрузки, отнесенные к среднеквадратичному
значению вертикальной составляющей ветра *, различаются
довольно существенно:
летчик — оп>//о«>у=0,122 сек • м-1;
автопилот с корректором высоты — /% «=0,091 сек-м-1;
автопилот с корректором высоты — оп /cw =0,108 сек-м-1.
Укажем на возможность использования экспериментальных
данных, полученных при полете в турбулентной атмосфере, для
уточнения характеристик продольного движения самолета. Дей-
ствительно, из (2.46) следует, что
И/Д«>)=5уЙ5ж(ш). (3.110)
Следовательно, если в результате эксперимента будут полу-
чены спектральные плотности возмущения (вертикального ветра)
и выходной реакции самолета (любой интересующий нас пара-
метр движения), то на основании (3.110) можно найти амплитуд-
но-частотную характеристику самолета. Сравнение этой, полу-
ченной путем эксперимента, характеристики с характеристикой,
рассчитанной по заводским данным самолета, позволяет опреде-
лить, насколько точны эти данные.
В качестве примера такого сравнения приведем материалы из
работы [48]. На рис. 3.50 представлены амплитудно-частотные
характеристики для сверхзвукового истребителя с треугольным
крылом, рассчитанные на основании заводских данных самолета.
На этом же рисунке приведены экспериментальные данные. Эти
характеристики дают значения вертикальной перегрузки при
воздействии вертикального синусоидального ветра единичной
амплитуды (U7mv=l м/сек) различной частоты. Сплошной линией
изображена характеристика самолета с учетом действия демпфе-
ра тангажа, пунктирной — без учета влияния демпфера. Данные
эксперимента показывают, что в процессе полетов, которые вы-
полнялись в условиях грозовой турбулентности, элевоны при
управлении от демпфера доходили до механических ограничите-
лей, после чего демпфер выключался. Поэтому следовало ожи-
дать, что действительная частотная характеристика самолета в
диапазоне частот, где демпфер эффективен, должна лежать
между сплошной и пунктирной кривыми.
* В процессе эксперимента определялось среднеквадратичное значение
горизонтальной составляющей скорости ветра. На основании гипотезы об изо-
тропности турбулентности предполагалось, что среднеквадратичные значения
вертикальной составляющей ветра имеют ту же величину.
140
Точками на рис. З.бО отмечены значения вертикальной пере-
грузки, полученные на основании соотношения (3.110) по экспе-
риментальным значениям спектральных плотностей вертикальных
порывов ветра и вертикальной перегрузки.
Полет НЧ Полет N*2
М-0,92 yg- 10500м М-0,85 ур-ШОм
в) г)
Рис. 3.50. Сравнение частотных характеристик самолета, полученных расчет*
ным (сплошная и пунктирная линии) и экспериментальным (точки) путями
(Пунктирные линии соответствуют случаю отсутствия демпфера)
Совпадение теоретических, и экспериментальных частотных
характеристик самолета на рис. 3.50, а, биг весьма хорошее.
Лишь для режима полета, отраженного на рис. 3.50, а, совпаде-
ние получилось хуже, причем следует отметить, что действитель-
ная статическая устойчивость самолета в этом режиме оказалась
значительно выше, чем предполагалось на основании теоретиче-
ских данных.
ГЛАВА 4
Боковое движение самолета
в неспокойной атмосфере
§ 4.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВЕТРА
При полете самолета в турбулентной атмосфере наибольшие
перегрузки возникают в продольном движении. Именно этим объ-
ясняется то обстоятельство, что боковое движение самолета при
долете в неспокойном воздухе исследовано как в нашей стране,
так и за рубежом значительно менее полно, чем продольное.
Переходные функции, приводимые в данном параграфе, дают
наглядное представление о боковом движении самолета при воз-
действии одиночного порыва ветра. В последующих параграфах
на основе этих передаточных функций проводится исследование
динамики самолета с зажатыми рулями и при управлении автопи-
лотом.
Вначале рассмотрим передаточные функции для параметров
бокового движения (0, у. ф. гя) самолета без автопилота при воз-
действии на него поперечного ветра wz. Эти функции получены из
уравнений (2.28).
Передаточная функция * для путевого угла скольжения рв
тит / 1 Д (Р) 1
Wf>g/wz(p) Ve А(р) Ve
Приведем передаточную функцию для угла скольжения ** р,
вызываемого боковым ветром wz. Эта функция получается из
(4.1) и первого из соотношений (2.22):
^р) * р4 4-(Д1 — Ьо)Р*+(#2— МР2 + (аз — &2)Р (4 2)
z уе J ‘
1>оР* + + b2p + at (4 1)
р* + АР8 + а2Р2 + азР + а4
А(Р)
* Значения коэффициентов at и передаточной функции (4.1), выражен-
ные через коэффициенты уравнений (2.28), приведены в «Приложении С». Там
же приведены выражения для коэффициентов всех рассматриваемых ниже
ередаточных функций.
** Напомним, что через р обозначен угол скольжения относительно воздуха.
142
С помощью передаточных функций (4.1) и (4.2) рассмотрим
пределы иаменения угла скольжения самолета, попавшего в попе-
речный поток постоянной скорости Wz, движущийся в положи-
тельном направлении оси z (ветер в левый борт). Угол скольже-
ния относительно воздуха 0 (формула 4.2) при /=0 (р=оо)
скачком увеличивается до значения р=—WzIVe, а по окончании
переходного процесса (<=оо; р=0) становится равным нулю.
Положение самолета и векторов его путевой и воздушной скоро-
сти, а также скорости ветра в этих предельных случаях схемати-
чески представлено на рис. 4.1. Угол скольжения относительно
Рис. 4.1. Положение самолета и векторов скорости полета и ветра
при t=0 и t=oo
земли (формула 4.1) при 1—0 остается равным нулю, затем уве-
личивается и в установившемся режиме становится равным
Wz/ve (рис. 4.1).
Передаточная функция для угла крена
(д)= —----= J— W-+ С'Р . (4.3)
1 Ve А(р) Ve А(р) К '
Передаточная функция (4.3) показывает, что при входе само-
лета в поперечный порыв ветра положительного направления
(в левый борт) самолет отклоняется по крену в положительном
направлении (на правое крыло). В установившемся режиме этот
крен становится равным нулю.
Передаточная функция для угла рыскания
Гф/да (р)=— . (4.4)
*' Ve А (р) Ve А(р)
Из (4.4) следует, что при входе самолета в поперечный порыв
ветра положительного направления самолет, обладающий устой-
чивостью пути (пр =d0>0), начинает разворачиваться влево, а
по окончании переходного процесса направление его продольной
оси в горизонтальной плоскости становится таким же, каким оно
было до встречи с порывом (ф=0). Устойчивый самолет при по-
143
падании в поперечный порыв ветра стремится совместить про-
дольную ось с вектором воздушной скорости V.
Передаточная функция для бокового отклонения центра тяже-
сти от исходной прямолинейной траектории
U7 , ( +• (^1—^о)р2 + (^2 — + /Л
-------------------------------• (4-5)
Наличие оператора р в качестве множителя в знаменателе
(4.5) показывает, что в установившемся режиме координата будет
возрастать по линейному закону (за счет сноса самолета посто-
янным поперечным ветром), как показано на рис. 4.1.
Рис. 4.2. Движение самолета с зажатыми рулями после входа в поперечный
прямоугольный ступенчатый порыв ветра
Рис. 4.3. Движение самолета с зажатыми рулями после входа в верти-
кальный порыв с постоянным градиентом по размаху крыла
Для иллюстрации выводов, сделанных при анализе передаточ-
ных функций (4.1) — (4.5), приведем переходные процессы для
бокового движения самолета № 1 с зажатыми рулями (рис. 4.2 и
4.3). Прежде чем перейти к анализу осциллограмм на рис. 4.2,
необходимо сделать следующее замечание. Исследуемый самолет,
подобно многим другим самолетам, без системы управления спи-
144
рально неустойчив. Математически это обстоятельство выражает-
ся в том, что коэффициент характеристического полинома А (р)
[формулы (4.1) — (4.5)] оказывается отрицательным. Спирально
неустойчивый самолет, будучи предоставлен сам себе, очень мед-
ленно отклоняется от заданного направления полета. Вследствие
медленности этот процесс не вызывает усложнения пилотирова-
ния самолета, тем более, что летчик, непрерывно воздействуя на
органы управления (особенно на элероны), устраняет влияние
спиральной неустойчивости. Однако при интегрировании на ана-
логовых машинах уравнений, описывающих движение самолета,
чрезвычайно неудобно иметь дело с неустойчивой системой.
Кроме того, на практически важный начальный период реакции
самолета при ветре (до 5—10 сек) наличие или отсутствие незна-
чительной спиральной неустойчивости влияния не оказывает.
Чтобы устранить указанную неустойчивость и облегчить тем
самым исследование движения самолета на аналоговой машине,
Нужно сделать коэффициент а4 полинома А(р) положительным.
Для этого достаточно, как следует из формул (С.1) «Приложе-
ния С», положить равным нулю коэффициент . Такое допуще-
ние не оказывает заметного влияния на боковое движение само-
лета. Это сделано в рассматриваемом примере, и числовые
значения передаточных функций самолета № 1, приведенные в
«Приложении С», вычислены в предположении, что =0. Но
даже и при таком допущении малый корень характеристического
полинома, приближенно равный отношению коэффициентов
а4/аз, обуславливает настолько медленное затухание переходного
процесса, особенно по углу рыскания, что на установившемся
режиме больше сказывается дрейф нулей интеграторов, чем зна-
чение коэффициентов передаточной функции. Поэтому коэффи-
циент а4 в примере искусственно увеличен, чтобы ускорить время
затухания переходных процессов. По этой причине на осцилло-
граммы для самолета без автопилота, приводимые на рис. 4.2 и
4.3, следует смотреть как на иллюстрацию, достаточно точную для
первых 5—10 сек и качественно верную для установившегося
режима. Значения параметров в установившемся режиме, ука-
занные на рис. 4.2, были определены по передаточным функциям,
и поэтому они также точны, но время достижения этого режима
будет значительно больше, чем это/лмеет место на приводимых
осциллограммах. Такое искажение действительной картины не
является сколько-нибудь существенным, так как при воздействии
порыва ветра на самолет без автопилота практически важна ре-
акция самолета в первые секунды после входа в порыв. Затем
летчик вмешивается в управление, и дальнейшее движение само-
лета обусловлено, главным образом, действиями летчика. Под
^аким углом зрения и должны рассматриваться переходные функ-
ции самолета без автопилота, представленные на рис. 4.2 и 4.3.
Осциллограмма на рис. 4.2 иллюстрирует поведение самолета
№ 1 без автопилота при воздействии поперечного ветра Wz типа
145
единичной функции с интенсивностью 10 м/сек. Кривые для углов
Р«. М и линейной координаты центра тяжести zg качественно
подтверждают те заключения, которые были сделаны при анализе
передаточных функций (4.1) —(4.5). Однако время затухания
переходных процессов должно быть значительно больше, чем это
следует из осциллограмм. Это время можно достаточно точно оце-
нить, приняв его равным трем постоянным времени экспоненты,
определяемой малым корнем полинома Л(р). Этот корень
/>4= а4Мз=0,01 сект2. Следовательно, постоянная времени равна
Т=1/р4=100 сек, и время затухания переходных процессов со-
ставляет около 300 сек.
Реакция самолета без автопилота на поперечный ветер на
начальном участке носит нежелательный колебательный ха-
рактер.
Рассмотрим передаточные функции для тех же параметров
бокового движения самолета, на который воздействует нормаль-
ная составляющая ветра, имеющая постоянный градиент по раз-
маху крыла awx=dwvldz.
Передаточная функция для угла скольжения (так как o>z=0,
то путевой и воздушный углы скольжения совпадают)
lF₽/m (р)= -1- = -l- е<><р)+-е'-. (4.6)
p/mwx^/ т А(Р) т А(р) ' '
Отрицательный знак перед (4.6) указывает на то, что при
положительном значении <awx (при более сильном ветре на пра-
вом крыле *) угол скольжения будет отрицательным, т. е. самолет
будет скользить на левое крыло.
Передаточная функция для угла крена
W / (о)== — Г F(p^ — — I- р2+Лр + ^ (4 7)
S А(р) S А(р) * ?
Из (4.7) следует, что при положительном значении (owx у
самолета будет опускаться левое крыло (отрицательный угол
крена).
Передаточная функция для угла рыскания
W (п\______1 G(P) f. gpP2 + g\P + gj (Л й\
Выражение (4.8) показывает, что при положительном значе-
нии ©их самолет будет непрерывно разворачиваться против часо-
вой стрелки.
Передаточная функция для координаты центра тяжести
1У/ ✓ ; \г («о + g^p"2 + («1 + g\)p + g2 /ДО\
~l\ * (4 У)
♦ При условии, что скорость ветра направлена вверх.
146
Из (4.9) вытекает, что при положительном значении ©wx в
установившемся режиме боковая координата центра тяжести са-
молета будет увеличиваться пропорционально квадрату времени
в направлении отрицательной части оси zg.
На рис. 4.3 приведены осциллограммы, полученные при инте-
грировании системы уравнений (2.28) для самолета № 1, с учетом
воздействия нормальной составляющей ветра, имеющего посто-
янный по размаху крыла градиент. Этот градиент ti>wx=dwv/dz
был взят равным 1 град/сек, что соответствует неравномерности
вертикальной составляющей ветра по размаху, равной 0,0175 м/сек
на 1 м размаха крыла. Даже при таком небольшом градиенте
установившиеся значения всех параметров, кроме р, получаются
чрезвычайно большими (см. рис. 4.3). Это лишний раз подчерки-
вает условный характер приводимых осциллограмм для полной
длительности переходных процессов бокового движения самолета
без автопилота. Очевидно, что задолго до окончания этих про-
цессов угол крена станет настолько большим, что нарушится ли-
нейная зависимость сил и моментов от параметров движения, и
уравнения (2.28), полученные методом линеаризации для малых
отклонений параметров от их значений в невозмущенном режиме,
перестанут быть справедливыми. Кроме того, в реальной атмос-
фере не существует порывов ветра с градиентом dwy/dz постоян-
ного знака на большом расстоянии, которое проходит самолет
даже за время в несколько десятков секунд.
Таким образом, переходные процессы, показанные на рис. 4,3,
так же как и на рис. 4.2, могут считаться количественно верными
лишь для первых 5—10 сек от начала действия порыва. Дейст-
вительная продолжительность переходных процессов, показанных
на рис. 4.3, будет также близка к 300 сек, что значительно пре-
восходит время, указанное на осциллограмме.
Перейдем к рассмотрению передаточных функций самолета
с автопилотом. Эти передаточные функции получаются из урав-
нений (2.30). Анализ начнем с передаточных функций по отноше-
нию к поперечному ветру wz.
Передаточная функция для путевого угла скольжения
/_ч 1 В’(р) 1 Ь'оР4 + Ь'\Р* + Ь2Р2 + ЬзР + Л5
/W \Р) "== ~ t t f г г *
g Z A'(p) Ve p5 4- «iP4 + ^2P3 + a3P2 + atP + a5
(4.10)
Передаточная функция для угла скольжения относительно
воздуха
.„z . . lPs + (a'i — b'0)pi + (a'2 — b'l)p»+(a3 — b'2)p^ + (.ai — b,3)p
V,--------------------------------------------
(4.11
147
Передаточная функция для угла крена
А' (р) Ve
СрР3 + c'iP2 + ЪР
А'(р)
Передаточная функция для угла рыскания
W=-l-^=-L + +
у* А,(р) уе А,(р)
(4.12)
(4.13)
С (р) 1
Передаточная функция для координаты центра тяжести
. *0 Р4 + (61 “ rfo)+ (43~ <Z2)/’+а5 /л 1Лл
----------------- <41)
Сравнение передаточных функций (4.1)—(4.5) для самолета
без автопилота с передаточными функциями (4.10) — (4.14) для
самолета с автопилотом показывают, что структура этих функций
не изменилась. Поэтому и реакция самолета с автопилотом на
поперечный ветер остается в качественном отношении такой же,
Рис. 4.4. Движение самолета с автопилотом после входа в поперечный
прямоугольный ступенчатый порыв ветра
как рассмотренная выше реакция на этот ветер самолета без
автопилота. Влияние автопилота состоит лишь в том, что он улуч-
шает качество переходных процессов бокового движения само-
лета. В первую очередь это улучшение заключается в сокращении
времени переходных процессов. Кроме того, характер процессов
может быть сделан более благоприятным, т. е. неколебательным.
Проиллюстрируем сказанное на примере того же самолета
№ 1. Переходные процессы на рис. 4.4 показывают, как изменя-
ются углы pg, у, ф и координата zg при попадании самолета с
автопилотом в поперечный ветер с постоянной скоростью
ie»z=10 м!сек. Сравнение этих кривых с кривыми для самолета
без автопилота (см. рис. 4.2) подтверждает сделанный
выше вывод о принципиально одинаковом характере переходных
148
процессов в обоих случаях. Это сравнение показывает также рез-
кое сокращение времени и улучшение качества переходных про-
цессов при наличии автопилота.
Рассмотрим передаточные функции самолета с автопилотом
при действии нормальной составляющей ветра с постоянным гра-
диентом <awx=dwvldz по размаху крыла.
Передаточная функция для угла скольжения
,а (р)= -1- = -/• - е°~21 У ±3... (4.15)
Передаточная функция для угла крена
U7T/m (/>)= -/• - р3+/1р2 + /г<+<3 . (4.16)
1 А' (р) А'(р)
Передаточная функция для угла рыскания
(/>)=/• / -8^21 g\p t. (4.17)
T A (p) ’ A'(p) '
Передаточная функция для координаты центра тяжести
w / I/ ^~go)P2 + ie[-g\)p+e2+ g'2
MrZ l(D \Р) — •'Z v е •
zgrwx^' Iе A (p)
Выше отмечалось, что при входе самолета в поперечный
порыв передаточные функции (и, следовательно, переходный про-
цесс) имеют принципиально одинаковый характер как при нали-
Рис. 4.5. Движение самолета с автопилотом после входа в вертикальный
порыв с постоянным градиентом по размаху крыла
чии автопилота, так и без него. Переходные процессы различа-
ются при этом лишь длительностью и степенью демпфирования
колебаний. При входе самолета в вертикальный порыв с посто-
янным градиентом по размаху крыла дело обстоит иначе. Срав-
нение передаточных функций (4.6) — (4.9) для самолета без
149
автопилота с передаточными функциями (4.15) — (4.18) для само-
лета с автопилотом показывает, что для углов р и у структура
передаточных функций не изменяется, угол ф при наличии авто-
пилота ограничивается определенной величиной, а для коорди-
наты центра тяжести в установившемся режиме сохраняется
постоянной скорость, а не ускорение. Кроме того, как и для попе-
речного ветра, автопилот должен резко сократить длительность
переходных процессов. Наконец, автопилот во много раз сокра-
щает отклонения параметров в установившемся режиме от их
значения в невозмущенном режиме.
В качестве иллюстрации этих положений на рис. 4.5 приве-
дены переходные функции для параметров бокового движения
при входе самолета в вертикальный порыв с постоянным по раз-
маху градиентом. Подчеркнем, что для получения заметных от-
клонений от невозмущенного режима градиент порыва <ошж взят
в десять раз больше, чем в случае самолета без автопилота, т. е.
10 град/сек, что соответствует неравномерности вертикальной
составляющей ветра по размаху, равной 0,175 м/сек на 1 м раз-
маха крыла.
Несмотря на такой значительный градиент, отклонения углов
0, у и ф от исходного нулевого значения невелики. Таким обра-
зом, автопилот хорошо справляется с внешним воздействием рас-
смотренного типа.
В заключении заметим, что осциллограммы на рис. 4.4 и 4.5
для самолета с автопилотом в отличие от осциллограмм на
рис. 4.2 и 4.3 не содержат каких-либо условностей и с учетом
сделанных допущений точно описывают движение самолета под
действием порывов ветра указанных выше типов.
§ 4.2. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
САМОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ
Как указывалось в § 4.1, приведенные там выражения для сил
и моментов, действующих на самолет в возмущенной атмосфере,
могут быть использованы лишь для анализа движения самолета,
вызываемого единичными порывами заранее выбранной формы.
Однако в реальных условиях полета таких порывов не бывает.
Поэтому выводы предыдущего параграфа представляют интерес
главным образом для оценки влияния постоянного поперечного
ветра, вызывающего снос самолета. Анализ влияния нормальной
составляющей ветра с постоянным по размаху крыла градиентом
был проведен для получения передаточных функций, используе-
мых ниже.
Целью этого параграфа является получение аналитических
выражений для сил и моментов, вызывающих возмущение боко-
вого движения самолета в турбулентной атмосфере, т. е. в усло-
виях, значительно более близких к реальным, чем те, которые
рассматривались в § 4.1. Из сказанного следует, что ниже будут
150
рассматриваться выражения для правых частей уравнений (2.28)
я (2.30), поскольку именно эти правые части обусловлены дейст-
вием ветра. Что касается левых частей уравнений этой системы,
то они учитывают силы и моменты, возникающие в результате
движения самого самолета, а не воздуха. Так как движение са-
молета под действием ветра имеет примерно те же линейные и
угловые скорости, что и при управляющих воздействиях рулевых
органов, левые части уравнений (2.28) и (2.30) могут быть ис-
пользованы для описания этого движения.
В создании боковой силы и моментов относительно осей х и у
поперечным ветром наибольшую роль играют вертикальное опе-
рение и фюзеляж. В общей постановке задачи о воздействии
поперечного ветра на самолет коэффициенты сил и моментов,
обусловленных ветром, являются функцией частоты изменения
этого ветра [31]. Однако в работе [29] приведены эксперименталь-
ные данные, показывающие, что боковая сила и моменты относи-
тельно осей х и у от ветра wz незначительно зависят от частоты
(в пределах частот, практически оказывающих воздействие на
боковое движение самолета). Поэтому в данной работе будем
считать, что коэффициенты k?, 1$ и правых частей уравнений
(2.28) и (2.30) являются постоянными величинами, определяе-
мыми формулами табл. 2.2.
Необходимо лишь выбрать выражение для корреляционной
функции и спектральной плотности случайной составляющей по-
перечного ветра wz. В соответствии с рис. 1.10 при поперечном
ветре должны использоваться формулы для поперечных корре-
ляционной функции (1.13) и (1.29) и спектральной плотности
(1.19), (1.22) и (1.33).
Перейдем к определению момента относительно оси х, вызы-
ваемого градиентом нормального ветра по размаху. В пределах
линейного участка кривой Cy=f(a) этот момент может быть вы-
ражен следующим образом:
Z/2
Yz(z)zdz, (4.19)
-1/2
где У2 — антисимметричная подъемная сила на единицу длины
по размаху крыла (в сечении г).
Эта распределенная антисимметричная подъемная сила опре-
деляется формулой
Y* (z)=Cv(z)qeb(z), (4.20)
где Су (г) —коэффициент антисимметричной подъемной силы в
сечении z;
b (г) — хорда крыла в сечении z;
qe — скоростной напор в невозмущенном движении.
151
Коэффициент антисимметричной подъемной силы в сечении г
может быть выражен в форме
Cy(z)=C;(*)«w. (4.21)
где Су (г) — наклон кривой Су (z)=/ (а);
aw=wy(x, z)IVe — угол атаки в сечении z, обусловленный вет-
ром wy-
С учетом (4.20) и (4.21) выражение (4.19) приобретает вид
1/2
mxlSqe= С CJ(z)aw^(z)rfz. (4.22)
—1/2
Произведя в (4.22) элементарные преобразования, получим
выражение для коэффициента момента крена, обусловленного
нормальным ветром, в функции координаты х, определяющей
положение центра тяжести самолета на траектории полета:
где
— т*
т (л)=-----—
’ 4Ve
е (г) wy (х, z) dz,
e(z)=
(*)*>(*)
(4.23)
(4.24)
и
z=2zjl.
Функция s(z) представляет собой распределение подъемной
силы крыла при линейном антисимметричном изменении угла
атаки вдоль размаха.
Перейдем к определению корреляционных функций для коэф-
фициента момента крена, обусловленного неравномерным и слу-
чайным распределением вертикальной составляющей ветра по
размаху. На основании (4.23) эта функция определяется выра-
жением
х
/?« (х2—x,)=lim \ m_r(x2)mx(xi)rfx1= lim —^-Х
х Х-°° 2Х i Х-.О» 2л
х (т7*)2 1 1
X 5 2 \ zJdZi {&(z2)Wy(x2, z^dzydxx =
-X 16Уг Л 21
( 1 1
— Z_ ( U(z1)e(z2)/?w (х2 — х„ z2 — zx)dzxdz2, (4.25)
16V’ J y
152
где
х
Rw (х2-хи ^2-^)= lim —\ wу(ль z2)dxx. (4.26)*
У Х~><» 2A J
-X
Корреляционная функция для вертикальной составляющей
ветра зависит от двух координат. Такая функция уже рассматри-
валась в гл. 3 при анализе усредняющего действия размаха кры-
ла на подъемную силу, создаваемую вертикальным ветром [фор-
мула (3.58)]. На основании допущения об осесимметричности
турбулентности можно считать, что эта корреляционная функция
зависит только от абсолютного значения пространственного сме-
щения, т. е. от х,)2-|-(г2—zj 2.
Вводя новые переменные с помощью подстановок
х2 — хх — Vt,
можно представить выражение (4.25) в виде
( 2
П)*1, (4.27)
8V2 J y
где
‘-i _ _ _
r(l)= e(^1)e(z14-ij)rfz1
и
i)) = <^l/(Vex)2 + (/1|/2)2].
(4.28)
(4.29)
В (4.29) Rn является поперечной корреляционной функцией,
определяемой формулами (1.13) и (1.29). Пояснение преобразо-
ваний, сделанных при переходе от (4.25) к (4.27), приведено в
«Приложении С».
Поскольку в данной работе для расчета используется аппарат
спектральных плотностей, необходимо от корреляционной функ-
ции (4.27) перейти к спектральной плотности коэффициента
момента крена. С помощью преобразований Фурье получаем
SmM-----L- \ Rmx(^)e~^VeXd(Vet). (4.30)
Подставив выражение для /?mx(Vet) в (4.30), получим
[ «Л 2
5тх(ш)=-^4- (Г(ч)Р(«/И„ l)rf4, (4.31)
8лУ* J
153
лэ . СО т
Р(^е, \ е 'Ve Tl)d(^). (4.32)
— оо
При теоретическом анализе сил и моментов, создаваемых кры-
лом, обычно рассматриваются следующие типы распределения
подъемной силы по размаху: равномерное, эллиптическое, пара-
болическое и треугольное. Эти термины определяют характер
распределения подъемной силы при скачкообразном изменении
угла атаки крыла. В работе [32] показано, что характер распре-
деления подъемной силы по размаху не оказывает значительного
влияния на спектральную плотность коэффициента момента. По-
этому в данной работе будет рассмотрен только простейший
случай равномерного распределения^ подъем ной силы по размаху.
Вывод формулы для функции e(z) при равномерном распреде-
лении подъемной силы по размаху приведен в «Приложении С».
Подставив значение этой функции в (4.28) из выражения (4.31),
получим формулу для спектральной плотности коэффициента
момента крена, обусловленного неравномерностью нормального
ветра по размаху [32]:
( “И2
SmxW='*w [mxX[L Sft(v). (4.33)
nV*
Функция SK(v), входящая в правую часть (4.33), в свою оче-
редь определяется выражением *
с , ч 18
fl4(l + v2)2
аМ Ко (х) dx 4- [а 4+ 16а2 (1 - v2)] Ко (М+
о
4- 12а3 (3 - v2)+32а (1 - v2)] Ki (а)+2а2 (1 - 3v2) - 32 (1 - v2) , (4.34)
де а=£ /1+А £=//£ и К0(а), Ком-
модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и
первого порядков [33].
Безразмерная частота v, являющаяся аргументом в (4.34),
связана с временной частотой и соотношениями (1.20) и (1.31),
откуда следует
v=w£/IZe. (4.35)
На рис. 4.6 приведены графики функции SK(v), построенные
на основании (4.34) для различных значений k — отношения раз-
маха крыла к масштабу турбулентности.
* Вывод этой формулы приведен в «Приложении С».
154
Как следует из (4.19), формула (4.33) выражает спектраль-
ную плотность безразмерного коэффициента момента крена. Для
перехода к той форме, в которой моменты учитываются в урав-
нениях (2.28) и (2.30), этот коэффициент должен быть умножен
на lSpeVe2/2 и разделен на 1Х. В выражение для спектральной
плотности эти дополнительные множители войдут в квадрате.
Рис. 4.6. Графики функций S* (v), входящей в выражение для
спектральной плотности безразмерного коэффициента момента
крена
После некоторых преобразований спектральная плотность коэф-
фициента момента крена, обусловленного неравномерным рас-
пределением по размаху крыла вертикальной составляющей вет-
ра, приобоетает окончательный вид
у - S^^AS^). (4.36)
1^6
Применение формулы (4.36) для расчета параметров боко-
вого движения поясняется в следующем параграфе.
§ 4.3. БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ
АТМОСФЕРЕ
Как показывают уравнения (2.28) и (2.30), а также переда-
точные и переходные функции, рассмотренные в § 4.1, боковое
движение самолета в возмущенной атмосфере складывается из
двух составляющих. Одна из этих составляющих обусловлена
155
поперечным ветром wz, а вторая — градиентом нормального
ветра по размаху крыла.
Проведем исследование бокового движения самолета в турбу-
лентной атмосфере с помощью моделирования, общая методика
которого изложена в § 2.5. Некоторое отличие будет заключаться
лишь в анализе составляющей бокового движения, обусловленной
неравномерным распределением нормального ветра по размаху
крыла. Это отличие будет рассмотрено ниже.
Перейдем к анализу каждой из указанных выше составляю-
щих бокового движения.
Боковое движение под действием поперечного ветра. Доста-
точно полные характеристики бокового движения в турбулентной
атмосфере под действием поперечного ветра могут быть получены
путем моделирования.
В § 4.2 уже указывалось, что вероятностные характеристики
для поперечного ветра имеют тот же вид, что и для нормального
ветра. Поэтому передаточные функции и структурные схемы фор-
мирующих фильтров для определения спектральной плотности и
дисперсии параметров бокового движения, обусловленных дейст-
вием поперечного ветра, будут такими же, как рассмотренные в
§ 2.5 передаточные функции и схемы фильтров для нормаль-
ного ветра.
Эти фильтры объединяются с динамической моделью бокового
движения, набранной на основании уравнений (2.28) и (2.30) на
аналоговой вычислительной машине.
Рассмотрим результаты моделирования бокового движения,
вызываемого поперечным ветром, для самолета № 1 — тяжелого
пассажирского самолета. Этот самолет имеет автопилот с пере-
крестными связями в каналах курса и крена. Значения переда-
точных чисел автопилота и коэффициентов уравнений приведены
в «Приложении С».
На рис. 4.7 даны графики нормированных спектральных плот-
ностей углов крена и рыскания, а также боковой перегрузки для
самолетов № 1 с автопилотом. На рис. 4.8 приведены те же дан-
ные, но для самолета № 1 без автопилота. Нормирование всех
графиков проведено по дисперсии поперечного ветра.
На каждом из рис. 4.7—4.8 приведено по три графика спек-
тральных плотностей для трех различных масштабов турбулент-
ности: кривые 1 соответствуют масштабу £=50 м, кривые 2 —
£=500 м и кривые 3 — £=1500 м.
Анализ графиков на рис. 4.7—4.8 показывает, что автопилот с
перекрестными связями значительно увеличивает спектральные
плотности крена и перегрузки на низких частотах. В этом диапа-
зоне (<в<1 сек~1) имеет место пик колебаний угла рыскания.
Вследствие влияния перекрестных связей автопилота колебания
угла рыскания и вызывают увеличение колебаний по крену
(и перегрузки). Перекрестная связь с крена на курс обычно неве-
156
Рис. 4.7. Нормированные спект-
ральные плотности углов крена
(а) и рыскания (б) и боковой пе-
регрузки самолета № 1 (в) с ав-
топилотом, обусловленные попе-
речным ветром:
1-£=50 м\ 2—L-500 м; 3-L-1500 м
Рис. 4.8. Нормированные спектральные плотности углов крена (а) и рыска-
ния (б) и боковой перегрузки (в) самолета № 1 с зажатыми рулями, обуслов-
ленные поперечным ветром:
/-L-50 м\ 2 — м; 3 — L-1500 м
157
лика, а поэтому колебания по курсу не увеличиваются, а умень-
шаются при наличии автопилота с такой связью.
По графикам на рис. 4.7—4.8 можно выяснить, как влияет
масштаб турбулентности L на дисперсию параметров бокового
движения. Однако более четко влияние L выражено на рис. 4.9,
где представлены среднеквадратичные значения этих параметров
в функции масштаба турбулентности. Эти значения отнесены к
(при действии поперечного ветра):
1 — с зажатым рулем; 2 — с автопилотом; пунктир — с автопилотом без перекрестных
связей
среднеквадратичному значению поперечного ветра. Кривые, от-
меченные цифрой 1, относятся к самолету без автопилота, а циф-
рой 2 — к самолету с автопилотом. Графики на рис. 4.9 подтвер-
ждают сделанное выше заключение о влиянии автопилота с пере-
крестными связями на боковое движение самолета при действии
поперечного ветра. Кроме того, на основании этих графиков мож-
но утверждать, что среднеквадратичные значения изменений
параметров бокового движения, вызываемых поперечным ветром,
меньше зависят от масштаба турбулентности, чем среднеквадра-
тичные значения параметров продольного движения. Заметное
уменьшение среднеквадратичных значений имеет место лишь в
области очень малых масштабов (£<100 м), которые встречают-
ся очень редко, а может быть и вообще не встречаются в реаль-
ных условиях полета.
158
Рассмотрим результаты моделирования бокового движения,
вызываемого поперечным ветром, для самолета № 2 — одномест-
ного истребителя. На рис. 4.10 приведены графики нормирован-
ной спектральной плотности углов крена и рыскания, а также
боковой перегрузки для самолета № 2 с автопилотом без пере-
крестных связей. На рис. 4.11 приведены те же данные для само-
лета № 2 без автопилота. Графики, отмеченные цифрой /, соот-
ветствуют масштабу турбулентности L = 50 м, цифрой 2 — £ =
= 500 м.
На рис. 4.12 приведены среднеквадратичные значения тех же
параметров в функции масштаба турбулентности L. На рис. 4.12
цифрой 1 отмечены кривые, относящиеся к самолету с зажатыми
рулями, цифрой 2 — с автопилотом.
Сравнивая графики спектральных плотностей и среднеквадра-
тичных значений отклонений параметров бокового движения са-
молетов № 1 и № 2, вызываемых поперечным ветром, можно
сделать следующие выводы:
1) спектры всех параметров для самолета № 2 оказались
значительно шире, чем для самолета № 1, что объясняется боль-
шими путевой устойчивостью и скоростью самолета № 2;
2) среднеквадратичные значения возмущений параметров для
обеих самолетов различаются незначительно, хотя самолеты по
своим данным совершенно различны;
159
Рис. 4.11. Нормированные
спектральные плотности углов
крена (а), рыскания (б) и бо-
ковой перегрузки (в) для са-
молета № 2 с зажатыми руля-
ми, обусловленные поперечным
ветром:
/ —L-50 м, 2 — L-5O0 м
160
3) отсутствие перекрестных связей в автопилоте самолета
№ 2 обусловило более высокую эффективность этого автопилота
в смысле уменьшения колебаний по крену и боковой перегрузке,
вызываемых поперечным ветром.
Боковое движение при наличии градиента нормального ветра
по размаху крыла. Методика моделирования бокового движения
самолета в турбулентной атмосфере при наличии градиента нор-
мального ветра по размаху крыла несколько отличается от рас-
смотренной выше методики моделирования этого движения под
действием поперечного ветра. Это отличие обусловлено тем, что
момент крена, создаваемый градиентом нормального ветра по
размаху крыла, учитывается с помощью выражений (4.34) —
(4.36) для спектральной плотности коэффициента этого момента.
Как показывает формула (4.34), спектральная плотность коэффи-
циента момента крена является достаточно сложной функцией
безразмерной частоты v и не обладает нужной формой для пере-
хода к передаточной функции формирующего фильтра *. Поэтому
для моделирования необходимо выражение (4.34) аппроксими-
ровать дробно-рациональной функцией, содержащей только чет-
ные степени. Аппроксимирующие функции, полученные методом
избранных точек [34] для всех значений k = lfL, приведенных па
рис. 4.6, имеют вид:
£=1,0,
£=0,5,
£=.0,25,
£=0,125,
(4.37)
с ,, 0,52 + 0,0175*2
1+0,25*2+0,01*4 ’
5 (Л— 0.23 + 0,0055*2
1 + 0,169*2 + 0,002*4 ’
S (v)— 0,09 + 0,0034*2
+ 0.12-.2 + 0,0019*4 ’
„ , . 0,03 + 0,0016*2
5b(v)=---------------------- ,
7 1 + 0,12*2 + 0,0007*4
k=0,0625, .. £ / ч 0>009 + 0>0000353v2 *^V' 1 + 0,018*2 + 0,0000163*4 ’
k = 0,03125, s (у)_ 0.0028 + 0,00007*2 * 1 + 0,059*2 + 0,0000275*4 ’
Л=0,015625, 5 /д_- 0,0008 + 0,000183*2 1 + 0,34*2+ 0,00011*4 *
Подчеркнем, что формулы (4.37) могут быть использованы для
анализа бокового движения любого самолета, так как в них фигу-
рируют безразмерная частота v и относительный размах крыла k.
* Аргумент v имеет не только четные, но и дробные показатели степени;
кроме того, в (4.34) входят бесселевы функции этого аргумента.
6—2008 161
Если выражения (4.37) записать в виде
АЛ2 + Ci
do** + dp2 + 1
(4.38)
то общий вид передаточной функции формирующего фильтра для
получения спектральной плотности параметров бокового движе-
ния будет следующим:
W'x/x. (Р)=% _V-+ i'----, (4.39)
ЛоР2 + а\Р 4* 1
где p=pLIVe—безразмерный оператор дифференцирова-
ния;
д — 1 /~ (т £)
г Л |/ ---------------множитель, полученный на основа-
у нии формулы (4.36)*;
а0=1Л/0. = 4-21Л/0, b0=Vc0, 6i=/q. (4.40)
Из (4.37) с помощью выражений (4.40) получаются следую-
щие передаточные функции формирующего фильтр.а для модели-
рования спектральной плотности параметров бокового движения
при различных значениях относительно размаха крыла k:
k = 1,0, (р)=^У'а 0,72 + 0,132/, 1+0,677+0,1 A2
6 = 0,5, wXIXl (р)=^ Уд 0,48 + 0,07417 1+0,5077+0,044772
6 = 0,25, ^ххАр) — ^^ А' 0,3 + 0,05837~ 1 +0,4557+ 0.043572
6=0,125, WXlx. (p) = <JwVA 0,173 + 0,047 1+0,4157+0,026472 • (4.41)
6 = 0,0625, Wxixt (р)=^ А 0,095 + 0,005947 1 + 0,1617+0,0040472
6 = 0,03125,’ wxlx, Cp)=°wV~a 0,0529 + 0,00835 7 1 +0,2637+0,005272
6=0,015625, WxlXt(p) = ^V~A 0,0283 + 0,0135 7 1 + 0,67+ 0,010572 j !
* Если рассчитываемые угловые величины (у, яр, Р) должны измеряться в
градусах, то коэффициент VА следует умножить еще на 57,3.
162
Необходимо подчеркнуть, что при разных k и определенном /
изменяется масштаб турбулентности L. Следовательно, в каждой
из приведенных в (4.41) передаточных функций_множитель VА
и коэффициент для перехода от безразмерного р к размерному р
оператору дифференцирования будут иметь различные значения.
В «Приложении С» приведены передаточные функции для само-
летов № 1 и 2, полученные на основании формул (4.41).
Моделирование фильтров с передаточными функциями (4.41)
выполняется по схеме, приведенной на рис. 2.8. Следует заметить,,
что передаточные функции (4.41) не содержат в явном виде мно-
жителя 1/в отличие от передаточной функции (2.53), а по-
этому входной сигнал не нужно уменьшать в /л раз, как это
показано на рис. 2.8.
В соответствии с § 2.5 передаточная функция формирующего
фильтра для получения дисперсии параметров исследуемой си-
стемы (при подаче на вход единичной функции) будет отличаться
от передаточных функций (4.41) только дополнительным множи-
телем Уяр. Моделирование таких фильтров выполняется по
схеме рис. 2.10. Входной сигнал этой схемы должен быть увели-
чен в У п раз.
Ниже описаны результаты исследования влияния неравномер-
ного распределения нормального ветра по размаху для самолетов
№ 1 и 2. Это исследование выполнено с помощью моделирования
по приведенной выше методике.
На рис. 4.13 показаны графики спектральных плотностей для
отклонений угла крена и поперечной перегрузки самолета We 1 с
автопилотом, вызываемых случайным градиентом вертикального
ветра по размаху крыла. На рис. 4.14 приведены данные для того
же самолета № 1, но без автопилота. Данные по отклонениям
углов рыскания и скольжения здесь не приводятся, так как от-
клонения этих углов от неравномерного распределения верти-
кального ветра по размаху ничтожны по величине.
Кривые на рис. 4.13—4.14, отмеченные цифрой 1, относятся к
L — 37,5 м, цифрой 2 — к £=299,2 м и цифрой 3— к £=1196,8 м.
Отсутствие на рис. 4.13 кривых с цифрой 3 связано с невозмож-
ностью изобразить их в выбранном на этих рисунках масштабе.
Использование для масштаба турбулентности некруглых чисел
вызвано тем, что графики функций Sh(v) на рис. 4.6, применяе-
мые в расчете, построены для значений относительного размаха
1=1; 0,5 и т. д., что соответствует масштабам турбулентности,
равным и кратным размаху крыла. Все графики спектральных
плотностей на рис. 4.13—4.14 нормализованы по дисперсии нор-
мальной составляющей ветра.
Графики спектральной плотности угла крена для самолета
№ 1 практически аналогичны графикам для перегрузки; поэтому
влияние автопилота можно установить, сравнивая кривые для
угла крена. Сравнение графиков для угла крена показывает, что
6* 163
автопилот влияет на колебания по крену иначе, чем в случае
действия поперечного ветра. Колебания по курсу в рассматривае-
мом случае малы. Поэтому автопилот эффективно уменьшает
Рис. 4.13. Нормированные спектральные плотности
угла крена (а) и боковой перегрузки (б) для са-
молета № 1 с автопилотом, обусловленные нерав-
номерным распределением вертикального ветра по
размаху крыла:
/-£=37.5 м\ 2—£-299,2 м
колебания угла крена и перегрузки при любых масштабах турбу-
лентности.
Более наглядно влияние масштаба турбулентности на средне-
fl 10 7
сек
а) .5)
Рис. 4.14. Нормированные спектральные
плотности угла крена (а) и боковой пе-
регрузки (б) для самолета № 1 с зажа-
тыми рулями, обусловленные неравно-
мерным распределением вертикального
ветра по размаху крыла:
/-£«37.5 м, 2 — L~W9,2 м\ 3 —£=1196,8 л
квадратичные значения
отклонений параметров
бокового движения, вызы-
ваемых неравномерно-
стью нормального ветра
по размаху, отражено на
рис. 4.15. Среднеквадра-
тичные значения этих па-
раметров отнесены к сред-
неквадратичному значе-
нию нормального ветра.
Цифрой 1 отмечены кри-
вые, относящиеся к само-
лету без автопилота, циф-
рой 2 — с автопилотом.
Отсутствие на рис. 4.15, б
кривой 1 для самолета без
автопилота связано с тем,
что передаточная функ-
ция (4.8) для угла рыска-
ния в этом случае содер-
1Й4
жит интегрирующее звено. Это обстоятельство, как известно, при-
водит к бесконечно большим значениям дисперсии системы, на-
ходящейся под воздействием случайного стационарного возмуще-
ния. Графики на рис. 4.15 показывают, что среднеквадратичные
значения отклонений параметров бокового движения самолета
№ 1, обусловленных случайным градиентом нормального ветра
Рис. 4.15. Нормированные среднеквадратичные значения параметров
бокового движения самолета № 1 (а — угол крена; б — угол рыска-
ния; в — угол скольжения; г — боковая перегрузка):
1 — с зажатыми рулями; 2 — с автопилотом
по размаху, имеют наибольшую величину при малых масшта-
бах турбулентности, близких к размаху крыла. Эти значения до-
вольно резко убывают с увеличением L до 200—400 м, а затем их
уменьшение с увеличением масштаба становится менее резким.
Для самолета № 2 отклонения углов рыскания и скольжения,
вызываемые неравномерным распределением нормального ветра
по размаху, весьма малы по сравнению со значением этих вели-
чин при поперечном ветре. Такой результат вполне закономерен,
если учесть, что размах крыла этого самолета в четыре раза
меньше, чем у самолета № 1. Поэтому для самолета № 2 ограни-
чимся рассмотрением одного параметра — угла крена.
165
На рис. 4.16 приведены графики спектральной плотности угла
крена для самолета № 2 с автопилотом, а на рис. 4.17 — без авто-
пилота. Кривые, отмеченные цифрой 1, относятся к £=38,4 м и
цифрой 2 — к £=614,4 м.
Рис. 4.16. Нормированная спект-
ральная плотность угла крена для
самолета № 2 с автопилотом, обус-
ловленная неравномерным распре-
делением ветра по размаху крыла:
1 — £-38,4 ж; 2 - £=614,4 м
Рис. 4.17. Нормированная
спектральная плотность
угла крена для самолета
№ 2 с зажатыми рулями,
обусловленная неравно-
мерным распределением
ветра по размаху крыла:
/ — £=38,4 м\ м
Рис. 4.18. Нормированные среднеквадратичные
значения угла крена в функции масштаба тур-
булентности:
/ — с зажатыми рулями: 2 —с автопилотом
На рис. 4.18 показаны среднеквадратичные значения отклоне-
ний угла крена в функции масштаба турбулентности. Кривая,
отмеченная цифрой 1, относится к самолету без автопилота, циф-
рой 2 — с автопилотом. Графики на этом рисунке указывают на
166
весьма высокую эффективность автопилота в смысле уменьшения
колебаний самолета № 2 по крену.
Сравнивая графики спектральных плотностей и среднеквад-
ратичных значений отклонений параметров бокового движения
самолетов № 1 и 2, вызываемых неравномерностью нормального
ветра по размаху, можно сделать следующие выводы:
1) возмущения углов скольжения и рыскания у самолета с
малым размахом (самолет № 2) оказываются ничтожно малыми;
2) отсутствие перекрестных связей в автопилоте самолета № 2
приводит к более существенному снижению возмущений угла кре-
на по сравнению с самолетом № 1.
Оценим роль поперечной и нормальной составляющей ветра
в возмущении параметров бокового движения самолета. Сравни-
вая рис. 4.9, а иге рис. 4.15, а и г соответственно, нетрудно уста-
новить, что для самолета с большим размахом крыла (самолет
№ 1) роль неравномерного распределения нормального ветра по
размаху в создании отклонений по крену и боковой перегрузке
более значительна, чем роль поперечного ветра. Перекрестные
связи в автопилоте увеличивают возмущения по углу крена и
перегрузке.
Для самолета с малым размахом крыла (самолет № 2) коле-
бания по крену от нормального ветра оказываются больше, чем
от поперечного ветра.
При сравнении рис. 4.9, б и в с рис. 4.15, б и в видно, что даже
у самолета № 1, имеющего большой размах и малую путевую
устойчивость, возмущения углов рыскания и скольжения от по-
перечного ветра превосходят возмущения этих углов от нормаль-
ного ветра. Для самолета № 2, имеющего малый размах и боль-
шую путевую устойчивость, возмущения углов рыскания и сколь-
жения от нормального ветра оказались практически ничтожными
по сравнению с возмущениями от поперечного ветра.
На рис. 4.19 приведены результирующие графики, показыва-
ющие, как зависят среднеквадратичные значения отклонений па-
раметров бокового движения самолета № 1, вызываемых суммар-
ным действием поперечной и нормальной составляющих ветра,
от масштаба турбулентности. Кривые, отмеченные цифрой /, от-
носятся к самолету с зажатыми рулями, цифрой 2 — к самолету
с автопилотом. Поскольку у § 1.4 было показано, что составляю-
щие ветра по различным осям некоррелированы, то результирую-
щее среднеквадратичное значение любого параметра движения
самолета может быть найдено как корень квадратный из суммы
дисперсий этого параметра, обусловленных отдельными составля-
ющими ветра. Кроме того, полагаем, что турбулентность изотроп-
на, т. е. среднеквадратичные значения составляющих ветра оди-
НИКОВЫ. (Jwy &wz == &w*
Графики на рис. 4.19, а показывают, что автопилот уменьшает
колебания по крену примерно в 3 раза по сравнению с колеба-
167
ниями при полете без автопилота. Для угла рыскания (см.
рис. 4.19,6) сравнение провести нельзя, так как при полете без
автопилота этот угол теоретически стремится к бесконечности.
Угол скольжения (см. рис. 4.19, в) уменьшается при использова-
нии автопилота в 1,3—2 раза, а боковая перегрузка (см.
рис. 4.19, г) —приблизительно в 2 раза.
400 600 1200 L.M
5)
Рис. 4.19. Нормированные среднеквадратичные значения параметров бокового
движения самолета № 1 (а — угол крена; б — угол рыскания; в — угол сколь-
жения; г — боковая перегрузка), вызываемые одновременным действием попе-
речного ветра и неравномерностью распределения вертикального ветра по раз-
маху крыла; значения даны в функции масштаба турбулентности:
X — с зажатыми рулями; 2 — с автопилотом, пунктир — автопилот без перекрестных
связей
400 800 1200 L.M
Пунктиром на рис. 4.19 показаны среднеквадратичные значе-
ния соответствующих параметров бокового движения, которые
имели бы место при отключении перекрестных связей в автопи-
лоте самолета № 1.
В заключение этой главы приведем результат сравнения экс-
периментальных данных о параметрах бокового движения с дан-
ными, рассчитанными при помощи изложенной выше методики.
Экспериментальные данные получены путем записи параметров
движения в полете на тяжелом пассажирском самолете с автопи-
лотом и последующей обработки этих данных по методике, изло-
женной в «Приложении D». На рис. 4.20 приведены эксперимен-
168
тальные кривые спектральных плотностей для параметров боко-
вого движения (сплошные линии). По графику спектральной
плотности вертикальной перегрузки были подобраны масштаб
турбулентности L и среднеквадратичное значение скорости ветра
aw, имевшие место в полете. Найденные таким образом значения
L и ow были использованы для определения параметров бокового
движения на аналоговой машине в предположении, что турбу-
лентность изотропна.
Рис. 4.20. Спектральные плотности
параметров бокового движения:
сплошная линия — эксперимен-
тальные данные; пунктир — рас-
четные данные (а — боковая пере-
грузка; б — угол рыскания; в —
угол крена)
Кривые спектральных плотностей, полученные указанным ме-
тодом, приведены также на рис. 4.20 (пунктир). На этих же
графиках указаны дисперсии параметров, определенные в экспе-
рименте (индекс «э») и путем моделирования (индекс «т»). Дис-
персии угла рыскания (рис. 4.20,6) и угла крена (рис. 4.20, в)
имеют размерность «угловые минуты в квадрате».
Совпадение кривых спектральных плотностей и дисперсий
параметров бокового движения, полученных экспериментально и
на основании аналитических расчетов, достаточно хорошее.
Отметим также, что многочисленные эксперименты доказы-
вают существенное уменьшение колебаний самолета по углам
крена и рыскания при управлении самолетом в турбулентной
атмосфере с помощью автопилота по сравнению со случаем,
169
когда самолетом управляет летчик. Углы отклонения рулевых
органов при этом существенно не изменяются. Для подтвержде-
ния этого в табл. 4.1 приведены экспериментальные результаты,
полученные на тяжелом транспортном самолете при полете на
высоте 4000 м в кучевых облаках.
Таблица 4.1
Режим управления град ?Рад град <jj град
Летчик 3,43 3,52 0,82 0,42
Автопилот без кор- ректора высоты 0,67 0,37 0,99 0,51
Автопилот с коррек- тором высоты 0,85 0,53 1,28 0,68
В табл. 4.1 приведены среднеквадратичные значения парамет-
ров бокового движения в градусах. Как показывают данные
табл. 4.1, использование автопилота без корректора высоты при
полете в болтанку приводит к уменьшению колебаний по углу
крена в 5 раз и по углу рыскания — почти в 10 раз. Корректор
автопилота испытывает влияния пульсаций давления и вносит
дополнительные возмущения в канал управления рулем высоты,
что сказывается и на качестве стабилизации параметров бокового
движения.
ГЛАВА 5
Возможности парирования
нагрузок от воздействия
ветра на самолет
§ 5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При полете в неспокойной атмосфере самолет испытывает
перегрузки от действия порывов ветра, направленные по всем его
осям — продольной, нормальной и поперечной. Однако хорошо
известно, что наиболее значительные перегрузки направлены по
нормальной оси. Они возникают от действия порывов ветра вдоль
этой же оси. Эти перегрузки почти не зависят от угла наклона
траектории. Поэтому ниже для упрощения будем рассматривать
горизонтальный полет и вертикальные перегрузки от вертикаль-
ных порывов ветра.
Предельные значения вертикальных перегрузок для самолета
ограничиваются либо прочностью конструкции, либо выходом на
режим сваливания. Кроме анализа предельных значений пере-
грузки, в проблеме влияния ветровых нагрузок на самолет суще-
ствует еще один аспект, который требует учета всех, в том числе
и очень малых нагрузок.
Такая задача возникает при расчете ресурса самолета из
условия усталостной прочности его планера. Экспериментальные
данные показывают, что атмосферная турбулентность является
основным фактором, определяющим ресурс конструкции само-
лета. Ниже приводятся относительные значения отдельных видов
нагрузок на планер, приводящих к появлению дефектов в его кон-
струкции (при этом общее число дефектов принято за 100% [49]):
нагрузки при взлете и посадке........................- 5%
нагрузки от воздействия турбулентности атмосферы..... 57%
нагрузки от маневрирования в контрольных полетах...... 22%
нагрузки от маневрирования в обычных полетах.......... 16%
Следует отметить, что для самолетов местных авиалиний в
связи с меньшей высотой их полета относительное значение вет-
ровых нагрузок в создании дефектов, обусловленных усталостью
конструкции, еще больше и составляет около 85% [49].
Наконец, сходная задача рассматривается при оценке ком-
фортабельности полета в турбулентной атмосфере для пассажи-
171
ров и экипажа, хотя в этом случае небольшие перегрузки суще-
ственного значения не имеют.
В данной главе рассматриваются методы определения допу-
стимых значений перегрузки, а также возможные способы
уменьшений нагрузок, вызываемых вертикальными порывами.
Приводится методика количественной оценки той или иной систе-
мы автоматического управления самолетом с точки зрения веро-
ятности достижения определенных значений перегрузки. Эти
значения выбираются заранее из условий рассматриваемой зада-
чи. В частности, это могут быть предельно допустимые значения
перегрузки.
§ 5.2. ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕГРУЗКИ И СКОРОСТЕЙ
ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПОРЫВОВ ВЕТРА
Как было упомянуто в предыдущем параграфе, допустимые
значения вертикальных перегрузок для самолета определяются
двумя факторами:
1) прочностью конструкции или физиологической выносливо-
стью человека по отношению
Рис. 5.1. Изменение коэффици-
ента подъемной силы при дей-
ствии ступенчатого вертикаль-
ного порыва ветра
к перегрузке;
2) выходом самолета на боль-
шие углы атаки, при полете на ко-
торых возможна потеря управля-
емости и сваливание.
В зависимости от режима по-
лета ограничение вертикальной
перегрузки может определяться
либо первым, либо вторым из ука-
занных факторов.
Условия прочности дают более
или менее постоянное значение
предельной перегрузки, которое
изменяется в некоторых пределах
при изменении веса самолета и
не зависит от режима полета.
Условия выхода самолета на
большие углы атаки под действи-
ем вертикальных порывов ветра
тесно связаны с режимом полета
самолета. Перегрузка, соответствующая допустимым углам ата-
ки, может меняться в очень широких пределах. Рассмотрим этот
вопрос более подробно. Пусть в исходном режиме горизонтально-
го полета со скоростью V? угол атаки аг.п и коэффициент подъ-
емной силы С„г.п для данного самолета имеют значения, показан-
ные на рис. 5.1. Допустим, что вертикальный порыв ветра носит
идеализированный, но наиболее неблагоприятный ступенчатый
характер. В момент входа в такой порыв угол атаки самолета из-
менится на величину аш = шу/У. Приращение угла атаки вызовет
172
приращение коэффициента подъемной силы на величину ДС„,
как показано на рис. 5.1. При большем значении скорости верти-
кального порыва приращение будет больше, и общее значение
коэффициента подъемной силы может достигнуть значения Су(Л,
при котором происходит сваливание самолета. Поэтому в качест-
ве допустимого значения выбирают Судоа<Сусу. Иногда Cynfln
определяют как такое значение коэффициента подъемной силы,
при котором начинается тряска самолета, вызываемая местными
срывами потока на крыле.
Значение перегрузки будет максимальным в момент входа
самолета в порыв *, а затем оно будет уменьшаться за счет изме-
нения угла тангажа и появления вертикальной скорости у само-
лета. Это максимальное значение перегрузки может быть полу-
чено из (1.4), если положить k= 1:
у 2G/SI '
(5.1)
Чтобы показать, как влияет изменение в широком диапазоне
скорости и высоты полета на перегрузки, вызываемые входом в
ступенчатый вертикальный порыв ветра, рассмотрим конкретный
пример. На рис. 5.2
приведены графики
гаи=/(М) для разных
высот полета самолета,
имеющего следующие
данные: G/S —
= 300 кГ/м2, треуголь-
ное крыло с углом стре-
ловидности 50°, суже-
нием 7 и удлинением
2,45; скорость порыва
W\/=12 м/сек. Графики
па рис. 5.2 показывают,
что при М<1,0 пере-
грузка от порыва ветра
увеличивается пропор-
ционально скорости.
Затем уменьшение Су
Рис. 5.2. Графики приращений вертикальной
перегрузки, испытываемой самолетом при
входе в ступенчатый порыв на разных вы-
сотах, в функции числа М полета
за счет сжимаемости сначала замедляет рост перегрузки от поры-
ва, а при дальнейшем увеличении скорости приводит к некоторо-
му уменьшению перегрузки. На больших высотах из-за малости
р значения перегрузки невелики. Однако графики на рис. 5.2 не
учитывают того, что на некоторых режимах порыв со скоростью
12 м/сек будет недопустим по соображениям выхода на большие
углы атаки.
* Если не учитывать нестационарность обтекания крыла.
173
Для рассмотрения вопроса о предельных порывах введем сле-
дующие очевидные соотношения:
ДСУ
4 = 7^ (5.2)
г.п
И
(5.3)
Gy
Для определения величины перегрузки и скорости порыва вет-
ра, допустимых с точки зрения выхода на большие углы атаки,
необходимо располагать графиком зависимости СУДОп=7(М).
Пример такого графика, отражающего влияние сжимаемости
Рис. 5.3. Графики потребных и располагае-
мых значений коэффициента подъемной си-
лы в функции числа М полета
Рис. 5.4. Графики допустимых
приращений вертикальной пере-
грузки на разных высотах
воздуха на Судоп, приведен на рис. 5.3. Кроме этого, на рис. 5.3
показаны графики для значений коэффициента подъемной силы
Cyr.n=f (М), необходимых для горизонтального полета на различ-
ных высотах.
Как следует из графиков на рис. 5.3, для каждой скорости и
высоты полета существует вполне определенное приращение ДСУ.
которое доводит значение коэффициента подъемной силы до ве-
личины Су доп-
На основании соотношения (5.2) и данных рис. 5.3 эти прира-
щения ДСУ могут быть пересчитаны в приращения перегрузки
До» доп, допустимые по условиям выхода на значения Су доп-
Результаты такого расчета приведены на рис. 5.4.
Для малых высот и определенного диапазона скоростей эти
приращения перегрузки довольно значительны и могут превосхо-
дить перегрузки, допустимые по условиям прочности конструк-
174
Рис. 5.5. Графики допустимых
скоростей вертикальных ступен-
чатых порывов на разных высо-
тах в функции числа М полета
ции. Для больших высот диапазон допустимых скоростей полета
сужается и значительно уменьшаются максимальные величины
Д/l]/ ДОП*
С помощью формулы (5.3). и графиков, приведенных на
рис. 5.4, могут быть получены значения скоростей ступенчатых
вертикальных порывов ветра, выводящих самолет на значения
коэффициента подъемной силы Су доп. Графики для этих значений
скоростей приведены на рис. 5.5.
Они показывают, что для каждой
высоты существует минимальная
скорость полета, при которой да-
же незначительные вертикальные
порывы приводят к соотношению
Cv>Судой* Из этих же графиков
следует, что при полете на боль-
шой высоте допустимые скорости
вертикальных порывов невелики.
Значения допустимых скоро-
стей вертикальных порывов, при-
веденные на рис. 5.5, найдены в
предположении, что самолет вхо-
дит в ступенчатый порыв. Однако
такие порывы в реальных услови-
ях полета не встречаются. Гораз-
до более правильно отражает сос-
тояние реальной атмосферы пред-
ставление о случайном характере поля скоростей порывов ветра.
При таком представлении для оценки воздействия ветра на само-
лет необходимо использовать вероятностный подход.
§ 5.3. ПАССИВНЫЕ МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ НАГРУЗОК
ОТ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПОРЫВОВ ВЕТРА
Формула (5.1) показывает, что при прочих равных условиях
увеличение удельной нагрузки крыла (G/S) снижает перегрузку
от вертикальных порывов ветра. У современных самолетов на-
грузка на крыло непрерывно растет, но одновременно растет и
скорость полета, так что проблема снижения ветровых нагрузок
продолжает оставаться весьма актуальной.
В § 5.1 были перечислены причины, которые обуславливают
желательность снижения нагрузок, испытываемых самолетом при
полете в неспокойном воздухе. Этой проблеме в настоящее время
уделяется значительное внимание. Например, в работе [42] пере-
числено 14 возможных систем и методов парирования ветровых
нагрузок. Указанные системы парирования принято делить на
активные и пассивные. К активным относятся автоматические
системы, воздействующие на органы управления самолетом: руль
высоты, закрылки, элероны и т. п. К пассивным относятся раз-
175
личные системы, изменяющие геометрию или аэродинамические
характеристики крыла.
В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые пассивные
методы уменьшения нагрузок от вертикальных порывов ветра.
Крыло переменной стреловидности. Такое крыло уже находит
применение на современных самолетах и предназначено для по-
вышения аэродинамического качества в широком диапазоне из-
менения скорости полета. Одновременно такое крыло обеспечива-
ет возможность некоторого уменьшения нагрузок от вертикаль-
ных порывов. Это достигается за счет уменьшения С“ при увели-
чении стреловидности крыла и сокращении его удлинения. Суще-
ствует также возможность уменьшения площади крыла при
увеличении стреловидности, что приводит к увеличению удельной
нагрузки GJS.
Телескопическое крыло. Концевые части такого крыла имеют
возможность убираться внутрь жесткой части. Применение теле-
скопического крыла было бы полезно как для повышения аэроди-
намического качества на сверхзвуковых скоростях, так и для
уменьшения нагрузок от ветра, за счет увеличения удельной на-
грузки G/S. Одновременно происходит уменьшение и , так как
уменьшается удлинение. Однако до сих пор телескопические
крылья не нашли применения в связи с большими конструктив-
ными трудностями, которые нужно преодолеть для их создания.
Складывающееся крыло. В качестве одной из пассивных
систем для уменьшения нагрузок от вертикальных порывов пред-
лагается крыло с отгибающимися на 90° концами. Отогнутые
концы крыла играют роль концевых шайб. Вследствие эффекта
концевых'шайб у крыла с отогнутыми концами не происходит
заметного снижения С* по сравнению с прямым крылом. Умень-
шение нагрузок от порывов происходит за счет увеличения удель-
ной нагрузки G/S из-за сокращения площади крыла при отгибе
его концов.
Кроме указанных выше, в работе [42] перечислен еще ряд
пассивных устройств уменьшения нагрузок от вертикальных по-
рывов. К этим устройствам относятся:
1) интерцепторы для срыва плавного обтекания крыла с целью
уменьшения С* ;
2) элевоны, приводимые в действие за счет изгиба крыла под
действием порывов;
3) шарнирно-закрепленные части поверхности крыла, которые
в спокойной атмосфере соединены с крылом жестко, а при поры-
вах — шарнирно; в результате эффективная площадь крыла при
порывах несколько снижается.
Все эти методы требуют еще больших исследований для ре-
шения вопроса об их применимости с целью парирования ветро-
вых нагрузок.
176
§ 5.4. АКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ СНИЖЕНИЯ НАГРУЗОК
ОТ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПОРЫВОВ ВЕТРА
Рассмотрим некоторые автоматические системы, предназна-
ченные для снижения нагрузок от ветра. При этом остановимся
только на принципиальных возможностях и свойствах этих си-
стем. Поэтому анализ динамики будем проводить без учета не-
линейностей системы управления и нежесткости конструкции
самолета. Учет этих факторов значительно усложняет рассмат-
риваемую задачу и может внести существенные изменения в при-
водимые ниже результаты.
Разделим автоматические системы для уменьшения нагрузок
от ветра на две группы. К первой группе отнесем системы типа
автопилота, управляющие подъемной силой с помощью руля вы-
соты. Для лучшего парирования перегрузок закон управления
автопилота может быть существенно изменен. Возможности та-
кого изменения закона управления по сравнению с используемым
в настоящее время имеются. Однако, поскольку такие законы
пока не применяются, ограничимся анализом схемы с автопило-
том, в котором, кроме обычных сигналов, введен сигнал, пропор-
циональный перегрузке в центре тяжести.
Ко второй группе отнесем автоматические системы, управля-
ющие непосредственно подъемной силой крыла — с помощью
закрылков или любых других управляющих поверхностей или
устройств. Для удобства анализа положим, что самолет, кроме
системы, управляющей подъемной силой крыла, снабжен автопи-
лотом обычной схемы. В качестве сигналов, воздействующих на
автомат, управляющий подъемной силой крыла, рассмотрим
сигналы, пропорциональные вертикальной перегрузке в центре
тяжести самолета и скорости вертикального порыва ветра.
Автопилот с сигналом перегрузки в центре тяжести самолета.
В этом случае самолет управляется автопилотом, воздействую-
щим на руль высоты. В закон управления автопилота вводится
дополнительный член, пропорциональный вертикальной перегруз-
ке в центре тяжести самолета. Такой сигнал может быть получен
с помощью акселерометра, установленного вблизи центра тяже-
сти самолета.
Структурная схема системы управления самолетом приведена
на рис. 5.6. Динамика этой системы описывается уравнениями
самолета (2.11) и уравнением автопилота, которое должно быть
записано в следующей форме:
А*,=- 'о (Д»з - А») + , (5.4)
где in — передаточное число автопилота по перегрузке.
Этой системе соответствует следующая передаточная функция
для перегрузки от вертикальной составляющей ветра:
177
Рис. 5.6. Структурная схема системы управления с автопило-
том, имеющим дополнительный сигнал по вертикальной пере-
грузке в центре тяжести самолета
Рис. 5.7. Переходные процессы самолета № 4 при входе
в ступенчатый вертикальный порыв:
а —с обычным автопилотом; б— с автопилотом, имеющим до-
полнительный сигнал перегрузки в центре тяжести самолета
178
b.
v P3 + (с» + Ci'V‘ + cil»> P +
U7n (p)= -----------y-----—------— , (5.5)
^(p)=P3 + (b- +с^с.-Уе+с.^Р^+
+1Ve (Cy + by cbi„lg) + b-y (tj+cs ц)+с. /#] p+b-v cz i*. (5.6)
Анализ характера коэффициентов многочлена (5.6) передаточ-
ной функции (5.5) показывает, что подача на руль высоты сигна-
ла, пропорционального перегрузке, эквивалентна увеличению
коэффициента статической устойчивости с- на величину bi Wn\g.
В § 3.2 было показано, что значи-
тельное увеличение статической
устойчивости сопровождается уве-
личением колебательности угло-
вых движений самолета. Это под-
тверждается видом переходных
функций для самолета № 4 *,
приведенных на рис. 5.7. На этом
рисунке показана реакция само-
лета на ступенчатый вертикаль-
ный порыв ветра, имеющего ско-
рость wy=\ м/сек. Переходные
функции на рис. 5.7, а относятся
к самолету с серийным автопило-
том для этого самолета (i»=l;
=0), а на рис. 5.7, б — с рас-
сматриваемой системой управле-
ния (й = 1; i’8=0; in = 25°) **.
Необходимо подчеркнуть, что бо-
лее быстрое снятие перегрузки
Рис. 5.8. Нормированные сред-
неквадратичные значения пере-
грузки в центре тяжести само-
лета № 4 в функции коэффи-
циента момента статической
устойчивости (при 0W =
= 1 м/сек)
автопилотом, имеющим сигнал по перегрузке, достигается за
счет большого расхода и большой скорости движения руля высо-
ты (рис. 5.7, б).
Для более полной оценки возможности рассматриваемой схе-
мы на рис. 5.8 приведен график среднеквадратичного значения
перегрузки в центре тяжести самолета № 4, отнесенной к средне-
квадратичному значению скорости случайных вертикальных
порывов, в функции коэффициента статической устойчивости Су
(поскольку была установлена эквивалентность членов b- cnijg
и су). График на рис. 5.8 построен для масштаба турбулентности
£ = 300 м. При изменении су от действительного для данного са-
молета значения су =3,2 до значения су =20, т. е. примерно, в
* Данные самолета № 4 и режима его полета приведены в «Приложе-
нии А».
** Передаточное .число in имеет размерность градусы (или радианы) угла
отклонения руля на единицу вертикальной перегрузки.
179
6 раз, среднеквадратичное значение перегрузки уменьшается при-
близительно на 35%.
Эффективность рассматриваемой системы уменьшения пере-
грузки во всем диапазоне масштабов турбулентности для само-
лета № 4 иллюстрируется на рис. 5.9. Кривая 3 относится к само-
лету с обычным автопилотом, стабилизирующим угол тангажа,
кривые 1 и 2 — к самолету с автопилотом с сигналом по перегруз-
ке (кривая 2 — = кривая 1 — »„=40°). Эти графики показы-
вают, что среднеквадратичное значение перегрузки при й = 20<>
Рис. 5.10. Нормированные средне-
квадратичные значения перегруз-
ки самолета № 4 от угловых дви-
жений для сечения фюзеляжа, от-
стоящего на 7 м от центра тяже-
сти, в функции масштаба турбу-
лентности (при ow = l м!сек)\
1 — автопилот с передаточным числом
по перегрузке i п =20°; 2 — то же, но
Iп =40°; 3 — обычный автопилот
Рис. 5.9. Нормированные среднеквад-
ратичные значения перегрузки в цент-
ре тяжести самолета № 4 в функции
масштаба турбулентности (при <JW =
= 1 м/сек)-.
1 — автопилот с передаточным числом
по перегрузке I п «20°; 2 — то же, но /д=
”40°; 3 — обычный автопилот
уменьшается примерно на 30%, а при in=40° — на 50%. Однако
с увеличением передаточного числа in резко возрастает дополни-
тельная перегрузка от углового ускорения самолета. На рис. 5.10
приведены среднеквадратичные значения этой перегрузки для
сечения фюзеляжа, отстоящего на расстоянии 1=7 м от центра
тяжести. Кривые 1, 2 и 3 относятся к тем же значениям переда-
точных чисел автопилота, которые указывались для рис. 5.9.
Мгновенное значение перегрузки в сечении фюзеляжа, находя-
щемся на некотором удалении от центра тяжести, равно сумме
мгновенных значений перегрузки в центре тяжести (Дп») и пере-
грузки от углового ускорения (п&). Среднеквадратичное значе-
ние суммарной перегрузки является сложной функцией этих
составляющих. Однако в процессе исследования было установ-
лено, что для самолета с обычными характеристиками угловых
движений среднеквадратичное значение суммарной перегрузки
для точек оси фюзеляжа, расположенных впереди центра тяже-
сти, равно, примерно, разности среднеквадратичных значений оПу
180
и о»», а для точек, расположенных позади центра тяжести,—
сумме этих значений. Учитывая это положение, на основании
графиков на рис. 5.9 и 5.10 можно сделать вывод, что значитель-
ное увеличение передаточного числа (например, для самолета
№ 4 — свыше 20°) нецелесообразно по трем причинам:
1) значительные увеличения in не приводят к пропорциональ-
ному снижению перегрузки в центре тяжести;
2) при увеличении in резко возрастает дополнительная пере-
грузка от угловых ускорений, что неблагоприятно отражается на
комфорте пассажиров, размещенных в хвостовой части фюзе-
ляжа;
Рис. 5.11. Реакция самолета № 4 с автопилотом, имеющим сигнал по
перегрузке, на ступенчатый управляющий сигнал по тангажу
3) при принятых в современных автопилотах ограничениях по
углу отклонения руля высоты диапазон работы автопилота суще-
ственно сужается при увеличении передаточного числа in.
Кроме всего прочего, введение в закон управления автопилота
сигнала перегрузки резко ухудшает управляемость самолета, так
как для достаточной эффективности этого сигнала передаточное
число in должно быть довольно значительным, что в свою очередь
эквивалентно чрезмерному увеличению статической устойчивости.
На рис. 5.11 приведены осциллограммы реакции самолета № 4 с
законом управления (5.4) на управляющий сигнал по тангажу
ДФ3= 1° (й =1, ij =2,0, in=20°). Как видно из графиков, пере-
ходный процесс затянут более чем до 15 сек.
Самолет № 4, использованный для расчетов, имеет короткий
фюзеляж. Для самолетов с длинным фюзеляжем рассмотренная
схема управления будет особенно неудачна, так как снижение
перегрузки в центре тяжести будет сопровождаться значитель-
ным увеличением перегрузки в хвостовой части фюзеляжа.
Автомат управления закрылками, реагирующий на скорость
вертикального порыва и автопилот. В этом случае самолет управ-
ляется автопилотом обычной схемы, а автомат управления за-
крылками (или элевонами) служит для уменьшения нагрузок от
воздействия порывов ветра. Для управления автоматом исполь-
зуется сигнал, пропорциональный скорости вертикальных поры-
вов ветра, которая измеряется специальным прибором (приборы
для измерения на самолете скорости вертикальных порывов
181
описаны в работах [18, 19]). Структурная схема системы управ-
ления самолетом приведена на рис. 5.12. Из этой структурной
схемы следует, что автомат управления закрылками работает по
разомкнутой схеме. В нем используется принцип компенсации
внешнего возмущения.
При восходящем порыве автомат отклоняет закрылок вверх,
при нисходящем — вниз. Такой метод парирования перегрузок не
Рис. 5.12. Структурная схема системы управления само-
летом, включающей в себя обычный автопилот и авто-
мат закрылков, реагирующий на вертикальный порыв
требует поворота всего самолета, следовательно, запаздывание
в компенсации подъемной силы, создаваемой порывом ветра,
будет определяться только запаздыванием исполнительного меха-
низма автомата. Поэтому можно ожидать, что рассматриваемая
схема парирования нагрузок будет более эффективна, чем
первая.
Для этой схемы уравнения продольного движения самолета
несколько изменяются по сравнению с ранее использованными
в данной работе, так как в данном случае уравнения должны
учитывать действие закрылка. Упрощенные уравнения (2.11) в
этом случае приобретают вид:
Ve^_+^_+b.Vg__b^b.Wy,
, 4Д& dV gy
----hCi.--с-——— c- l/_v = — с,Дов—с3Ао —c-wv,
dt* 1 * dt y dt y ey 6 y y
(5.7
с\:
где Дбз — угол отклонения закрылков.
Значения коэффициентов Ь3 и с3 приведены в табл. 2.1. Пред-
полагается, что конструкция закрылков позволяет отклонять их
от нейтрального положения вверх и вниз.
Уравнение автомата для управления закрылками возьмем
в форме уравнения инерционного звена
Т3 -^ + Д8з = *«-®'у. (5-8)
182
где Т3 — постоянная времени автомата;
kw — передаточное число автомата; его размерность — граду-
сы (или радианы) угла отклонения закрылка на еди-
ницу скорости вертикальной составляющей ветра.
Динамика рассматриваемой системы описывается совокуп-
ностью уравнений (2.14), (5.7) и (5.8). Этой системе уравнений
соответствует передаточная функция для перегрузки, обусловлен-
ной вертикальным ветром:
w (p)=J-_M£L> (5.9)
у у g M/0 ’
где
-Мзр+(^+^+г8/;)р+с4/;+ув(с. -^-ь.)]} ,(5.ю)
Дз(р) = (7'зр+1){р3 + (&-+^+^Уе + с81»)р2 +
+ьу (*»+м»)+Мв1/’4Лг«/»}- (5.П)
На основании (5.9) можно установить так называемые усло-
вия инвариантности [43] продольного движения самолета к вер-
тикальным порывам ветра. Для этого необходимо, чтобы полином
(5.10) числителя передаточной функции (5.9) был тождественно
равен нулю. Это требование выполняется при соблюдении трех
условий:
7'3=0, ^ц>==^у/^з» ^3^у=^у^3*
Первое условие — отсутствие запаздывания в работе такого
мощного исполнительного механизма, каким является автомат
для управления закрылками, принципиально неосуществимо.
Между тем, как будет показано ниже, даже небольшое запазды-
вание сильно сказывается на эффективности рассматриваемой
схемы. Второе условие выражает равенство приращений подъем-
ной силы от воздействия вертикального ветра wy и от отклонения
закрылка А53. Третье условие выражает равенство приращений
момента относительно оси z, обусловленных порывом wy и от-
клонением закрылка Д63. Следует заметить, что даже выполнение
указанных трех условий, строго говоря, не обеспечивает инвари-
антности продольного движения самолета к вертикальным поры-
вам ветра вследствие влияния изменения лобового сопротивления
самолета, вызываемого отклонением закрылков. Изменение лобо-
вого сопротивления приводит к изменению скорости полета и,
следовательно, к изменению всех коэффициентов, входящих в
уравнения продольного движения самолета. Последнее в свою
очередь приводит к возмущениям продольного движения. Обес-
183
лечить компенсацию изменений лобового сопротивления при
быстрых движениях закрылка практически невозможно.
Переходные функции для самолета № 4 с рассматриваемой
системой приведены на рис. 5.13. Эти функции показывают реак-
цию системы (few=7,0 град • сек * м~х) на ступенчатый порыв
Рис. 5.13. Переходные процессы самолета № 4 с автоматом закрылков при
входе в ступенчатый порыв при различных значениях передаточного числа
kw и постоянной времени Т3 автомата закрылков
ветра со скоростью Wy=l м)сек. Рис. 5.13, а относится к случаю,
когда постоянная времени была равна 0,1 сек, а рис. 5.13,6—
0,5 сек. При Г3=0,1 сек перегрузка уменьшается очень резко и
возмущение угла атаки невелико. При Г3=0,5 сек перегрузка
Рис. 5.14. Нормированные средне-
квадратичные значения перегрузки в
Центре тяжести самолета № 4 при на-
личии автомата закрылков, реагирую-
щего на порывы ветра, в функции
масштаба турбулентности (при aw=
= 1 м/сек):
1 - постоянная времени Г —0; 2 — т =
сек, з-Т3 -0,5 сек\ 4- Л -о (авто-
Q мат выключен)
уменьшается более плавно и
угол атаки возмущается
значительно.
На рис. 5.14 для этого же
самолета приведены средне-
квадратичные значения пе-
регрузки, отнесенные к сред-
неквадратичному значению
скорости порывов, в функ-
ции масштаба турбулентно-
сти при различных значени-
ях постоянной времени Т3:
кривая 1 — постоянная вре-
мени Т3=0, кривая 2 — Т3=
= 0,1 сек; кривая 3—Т3=
= 0,5 сек; кривая 4 относит-
ся к самолету без автома-
та закрылков. Графики на
рис. 5.14 показывают, что
при отсутствии запаздывания
(7’3=0) рассматриваемая схема очень эффективно снижает пере-
грузки (примерно в 10 раз). Однако эта схема очень чувствитель-
на к запаздыванию в работе автомата. При Т3=0,1 сек перегруз-
ки уменьшаются всего в два раза по сравнению с кривой 4, а при
Гз=0,5 сек эффективность автомата становится очень малой.
Схема чувствительна также к величине передаточного числа kw.
Это видно из графиков на рис. 5.15, где приведены кривые
<jny/aWy =7(£) для четырех значений ku?: оптимального —
= 7,0 град• сек*м~х (кривая /), kw= 10 град*сек-м~х (кривая 2),
й1С=4,2 град • сек * м~х (кривая 3) и kw = 0, т. е. автомат выключен
(кривая 4). Во всех случаях было принято, что Т3=0. Данные
рис. 5.15 показывают, что и перекомпенсация и недокомпенсация
резко снижают эффективность системы.
0 500 1000 L, н
Рис. 5.15. Нормированные среднеквад-
ратичные значения перегрузки в цент-
ре тяжести самолета № 4 при нали-
чии автомата закрылков, реагирую-
щего на порывы ветра, в функции
масштаба турбулентности (при crw—
= 1 м!сек)-.
*-*w = l0,0; 3-few«4,2; 4-
kw —0 (автомат выключен)
о 500 1000 L. н
Рис. 5.16. Нормированные средне-
квадратичные значения перегруз-
ки самолета № 4 от угловых дви-
жений для сечения фюзеляжа, от-
стоящего на 7 м от центра тяже-
сти, в функции масштаба турбу-
лентности (при ow=l м!сек)
z-7we°; 2-7’з“0’1 сек> J-73 =
«0,5 сек\ 4 — (автомат выклю-
чен)
Перегрузки, обусловленные угловым ускорением самолета, не
возрастают, как это имело место для первой схемы, а уменьша-
ются примерно в такой же степени, как и перегрузки в центре
тяжести. Об этом свидетельствуют графики, приведенные на
рис. 5.16, где даны среднеквадратичные значения перегрузки от
угловых движений на расстоянии 7 м от центра тяжести самолета
(кривая 1 — постоянная времени Г3=0, кривая 2 — Т3 = 0,1 сек,
кривая 3 — Т3=0,5 сек, кривая 4 — kw=0, т. е. автомат выклю-
чен). Полученный результат нетрудно объяснить, если учесть, что
при наличии управляемых закрылков изменения угла тангажа
происходят очень плавно и на малую (по сравнению с первой
схемой) величину. Поэтому перегрузки от углового ускорения
оказываются малыми.
185
Управляемость самолета при рассматриваемой схеме никак
не изменяется, так как автомат закрылков реагирует только на
вертикальный ветер.
Недостатком этой схемы является большая чувствительность
автомата закрылков к запаздыванию. Кроме того, аппаратура
для измерения вертикальной составляющей ветра сложна. Ука-
занных недостатков в значительной степени лишена следующая
система управления.
Автомат управления закрылками, реагирующий на перегруз-
ку в центре тяжести самолета, и автопилот. Структурная схема
этой системы приведена на рис. 5.17. Из этой схемы видно, что
Рис. 5.17. Структурная схема системы управления самолета,
включающей в себя обычный автопилот и автомат закрыл-
ков, реагирующий на перегрузку в центре тяжести самолета
в отличие от предыдущей, рассматриваемая система имеет замк-
нутый контур регулирования отклонения перегрузки от ее зна-
чения в прямолинейном полете, равного единице. Чувствитель-
ным элементом здесь является обычный акселерометр, установ-
ленный в центре тяжести самолета.
Уравнение автомата для этой схемы имеет вид
+ (5.12)
где kn — передаточное число автомата по углу отклонения за-
крылка на единицу перегрузки *.
Динамика этой схемы описывается уравнениями автопилота
(2.14), самолета (5.7) и автомата (5.12). Этим уравнениям соот-
ветствует следующая передаточная функция для перегрузки от
действия вертикального ветра:
W„ lw (p)=_L2d£L (5.13)
» у g M/0
* Передаточное число kn имеет размерность—градусы (или радианы)
угла отклонения закрылков на единицу вертикальной перегрузки.
186
Рис. 5.18. Переходные процессы самолета № 4 с обычным автопилотом и
автоматом закрылков при входе в ступенчатый порыв при различных зна-
чениях передаточного числа kn и постоянной времени Т3 автомата за-
крылков
187
где
Д4 (р) — {TiP +1) [ р1 + (г» + Су V е + г»/») Р 4" ci, *’»] Ру (5.14)
Mp)=((WFH^ -К +^в + гЛ)Р2 +
+(*;*»+*у ct%-|-с-у VJр + сг i9] +
-1-^[^+(^+^+сЛ)р24-
о L
/ «• X 11
+ {С'Л+Су¥с--f—czVe]p .
\ "3 / J J
(5.15)
Из анализа передаточной функции (5.13) следует, что полное па-
рирование перегрузки от ветра с помощью рассматриваемой схе-
мы управления обеспечить нельзя даже при Т3=0. Однако при
неограниченном увеличении передаточного числа kn ц ограничен-
ном значении Т3 перегрузка стремится к нулю.
Рнс. 5.19. Нормированные среднеквадратичные значения перегрузки в цент-
ре тяжести самолета № 4 при наличии автомата закрылков, реагирующего
на перегрузку, в функции масштаба турбулентности (а — Г3=0,1 сек»
б — Г3=0,5 сек):
/—Л -250; 2 —£ -150; 3-Л -50; 4-* -0
л л л л
На рис. 5.18 приведены переходные функции рассматривае-
мой системы управления для самолета № 4 при различных соче-
таниях передаточного числа kn и постоянной времени Т3. Эти
графики представляют реакцию самолета на ступенчатый ветер
со скоростью Wu—1 м/сек. Графики показывают, что, увеличивая
kn, можно обеспечить требуемый характер кривой перегрузки при
реальных значениях запаздывания автомата закрылков.
Рассмотрим эффективность системы управления самолетом
при полете в турбулентной атмосфере. На рис. 5.19 приведены
графики зависимости а„ —f(L) для различных значений kn
1Я8
и T-j (самолет № 4). Эти графики показывают, что с увеличени-
ем kn эффективность автомата непрерывно возрастает. Однако
снижение среднеквадратичного значения перегрузки не пропор-
ционально увеличению kn. Например, как видно из графиков
рис. 5.19, изменение kn от 0° до 50° дает такое же снижение пере-
грузки, как последующее
изменение kn от 50° до
250°. Кроме того, выбор
очень больших значений
передаточного числа kn
нежелателен из-за связан-
ного с этим увеличения
расхода закрылков.
Как и в предыдущей
системе управления, с
уменьшением перегрузок
уменьшаются и колебания
угла тангажа. Это хоро-
шо видно на графиках
рис. 5.20, где представле-
ны перегрузки от угловых
движений для сечения
фюзеляжа, отстоящего на
Рис. 5.20. Нормированные среднеквадра-
тичные значения перегрузки самолета
№ 4 от угловых движений для сечения
фюзеляжа, отстоящего на 7 м от центра
тяжести, в функции масштаба турбулент-
ности (при а w — 1 м)сек):
l — k~2W, 2 —* -150; 3- * -50; 4 - k =0
п п п п
7 м от центра тяжести.
Управляемость самолета при использовании третьей системы
управления ухудшается. Это видно из графиков переходных функ-
ций на рис. 5.21, представляющих реакцию самолета на управ-
ляющий сигнал по тангажу Д03= 1°. Если поворот самолета по
Рис. 5.21. Переходные процессы самолета №4с автоматом закрылков,
оеагирующдм на перегрузку, при ступенчатом управляющем сигнале
по тангажу
углу тангажа протекает практически так же, как и без автомата
закрылков, то время, нужное для изменения угла наклона траек-
тории (Д0=ДФ—Да), существенно увеличивается. Этот недоста-
ток может быть устранен постановкой в цепь управляющего сиг-
нала автомата закрылков фильтра высоких частот, поскольку
низкочастотные составляющие перегрузки могут быть устранены
за счет естественной реакции самолета с автопилотом. В этом
189
случае возникающие при маневре самолета медленные измене-
ния перегрузки также почти не будут передаваться на автомат
закрылков.
В заключение этого параграфа рассмотрим несколько осцил-
лограмм, иллюстрирующих продольное движение самолета № 4
при полете в турбулентной атмосфере.
wy,м/сек
Рис. 5.22. Осциллограммы параметров продольного движения самолета
№ 4 в турбулентной атмосфере:
а —с зажатым рулем; б —с обычным автопилотом
190
Wk и/сел
Рис. 5.23. Осциллограммы параметров продольного движения самолета
№ 4 с автоматом закрылков, реагирующим на перегрузку, и автопилотом
в турбулентной атмосфере (при различных значениях параметров автомата
закрылков)
191
Эти осциллограммы получены путем моделирования уравне-
ний самолета и системы управления на аналоговой машине, при-
чем в качестве возмущения использовался случайный ветер с ха-
рактеристиками, соответствующими полученным в реальной ат-
мосфере. Методика получения случайных сигналов с заданными
характеристиками приведена в работе [44].
На рис. 5.22 и 5.23 представлены осциллограммы для верти-
кального ветра wy, перегрузки Anv, угла тангажа ДО, углов от-
клонения руля высоты Д0в и закрылков ДО3.
На рис. 5.22 приведены осциллограммы для самолета без ав-
топилота и автомата, на рис. 5.22, б — с автопилотом без автома-
та. Из сравнения этих осциллограмм видно, что самолет без ав-
топилота имеет довольно значительные колебания угла тангажа,
в результате которых кривая перегрузки сильно отличается от
кривой ветра. Автопилот уменьшает колебания угла тангажа.
На рис. 5.23 приведены те же данные, но для самолета с ав-
топилотом и автоматом третьей схемы при большом значении
передаточного числа kn и двух величинах постоянной времени Т3.
Осциллограммы на рис. 5.23 указывают на то, что система уп-
равления с автоматом закрылков существенно снижает нагрузки,
действующие на самолет.
Реализация описанных выше систем парирования нагрузок
от ветра представляет значительные трудности в связи с необхо-
димостью создания быстродействующих приводов очень большой
мощности для управления закрылками.
§ 5.5. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ДОСТИЖЕНИЯ В ПОЛЕТЕ
ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИИ ПЕРЕГРУЗКИ
Предположим, что значение допустимой для данного режима
полета перегрузки определено тем или иным способом. Как по-
казано в § 5.2, это приращение для одних режимов определяется
условиями прочности и тогда оно одинакова для всех таких ре-
жимов. Для других режимов допустимое приращение перегрузки
связано с выходом самолета на значения коэффициента подъем-
ной силы доп- Каждому из этих режимов соответствует свое
значение &пу доп (см. рис. 5.4). При этом, как и в § 5.2, положим,
что С“ = const до значения Судоп. При таком предположении для
анализа вопросов, связанных с безопасностью полета, можно ис-
пользовать линейные уравнения продольного движения, которые
применялись в предыдущих главах книги.
Пусть ДПу(0 есть приращение вертикальной перегрузки в од-
нородной турбулентности. Экспериментально установлено [45],
что распределение мгновенных значений перегрузки в практиче-
ски однородной турбулентности с высокой достоверностью подчи-
няется нормальному (гауссову) закону. В этом случае по
формуле Райса [15, 46] можно определить математическое ожи-
192
дание числа превышений в одну секунду приращением перегруз-
ки Дли(^) некоторого заданного значения £ этого приращения*.
Будем полагать, что заданное значение приращения перегрузки
ровно допустимому значению, т. е. £=Дп„дОп. Формула Райса
может быть записана в форме
(ЗЛб?
где оПу — среднеквадратичное значение приращения вертикаль*
ной перегрузки для реализации
— математическое ожидание числа пересечений в секун-
ду (с положительным наклоном) реализацией нулево-
го уровня.
Из определения No следует, что эта величина имеет размер-
ность частоты. Значение No определяется формулой
1 ''у
<5J7)
2п вп
У
где оПу —среднеквадратичное значение производной от реализа-
ции Дп„(/).
Заметим, что как AZ(g), так и No, дают число превышений
в секунду только для положительного (или отрицательного) зна-
чения ДПу(0- Для получения общего числа превышений, включа-
ющего положительные и отрицательные значения Дп„(0, значе-
ния N(t>) и No нужно увеличить в два раза.
На основании соотношений (2.46) и (2.47) получаем выраже-
ние для среднеквадратичного значения приращения вертикаль-
ной перегрузки через амплитудную характеристику самолета и
спектральную плотность вертикальных порывов ветра.
“ °W л/ J Iw(7ю) 12 rfu>»
Г о
(5.18)
где sw(©) —нормированная спектральная плотность ветра.
Для данного режима полета в условиях стационарной турбу-
лентности подкоренное выражение является постоянной величи-
ной, на основании чего из (5.18) следует
°«y=°w^, (5.19)
где
А = j/jl^y'Wy^^wW^ - (5.20)
* Число превышений принимается равным числу пересечений с положи-
тельным наклоном реализацией Длр (0 заданного значения приращения пере-
грузки
7—2008 193
Рис. 5.24. Сравнение экспери-
ментальных и расчетных ре-
зультатов определения частоты
превышения определенных зна-
чений приращений перегрузки
при полете в турбулентной ат-
мосфере
Если спектральная плотность какой-либо случайной стацио-
нарной функции x(t) есть Sx(i), то спектральная плотность про-
изводной от этой функции равна <о25ж(/). На основании этого,
с учетом (5.18), получим выражение для среднеквадратичного
значения производной приращения вертикальной перегрузки
J <“Ми^(>)12^(,°)*п = а”В’ (5’21)
где В для полета в условиях стационарной турбулентности так-
же является постоянным числом.
Следует заметить, что вычисление В связано с определенны-
ми трудностями, тогда как вычисление А может быть выполнено
с помощью аналоговых вычисли-
тельных машин на основании ме-
тодики, приведенной в § 2.5. Зат-
руднения при вычислении величи-
ны В связаны с тем, что при ис-
пользовании для спектральной
плотности вертикального ветра
упрощенного выражения (1.33)
интеграл, стоящий под корнем
(5.21), является расходящимся.
Указанное затруднение можно
устранить несколькими методами.
Во-первых, в качестве верхнего
предела интеграла можно взять
не бесконечность, а наибольшее
значение частоты, еще существен-
ной для самолета, т. е. практиче-
ски несколько десятков колеба-
ний в секунду. Во-вторых, можно
учесть нестационарность обтека-
ния использовав формулу (3.40)
для квадрата модуля функции
Сирса. Чтобы использовать для вычислений приведенную в кни-
ге методику моделирования движения самолета в турбулентной
атмосфере, нужно для конкретной задачи формулу (3.40) аппро-
ксимировать в диапазоне существенных частот выражением, со-
держащим квадрат круговой частоты <о. Наконец, в-третьих,
можно учесть усреднение вертикальных порывов по размаху
крыла и использовать выражение (3.62) для спектральной плот-
ности вертикальных порывов.
На основании (5.19) и (5.21) получаем из (5.16) окончатель-
ное выражение для частоты превышения приращением перегруз-
ки заданного значения
, в
N (ty———— е w . (5.22)
А
194
В работе [46] приведены результаты сравнения эксперимен-
тального определения значений N(Z) при различных £ с расчет-
ными значениями, вычисленными по формуле (5.22), и характе-
ристикам того же самолета и тех же условий турбулентности,
которые имели место при проведении эксперимента. Эти данные
показаны на рис. 5.24. Совпадение результатов эксперимента
(крестики) с расчетными (сплошная кривая) весьма хорошее. Это
указывает на возможность использования формулы Райса (5.16)
для определения характеристик движения самолета в турбулент-
ной атмосфере.
Для количественной оценки различных методов и систем уп-
равления самолетом в условиях действия порывов ветра следует
задаться допустимым значением приращения перегрузки £, опре-
делить N(t,) для этих методов управления и сравнить получен-
ные значения частот достижения заданного значения перегрузки.
Очевидно, что лучшим будет способ управления, при котором чис-
ло N(&) получается меньшим. Однако само по себе значение чис-
ла N(t,) мало что дает, и поэтому указанную процедуру сравне-
ния различных методов управления самолетом можно упростить,
если рассмотреть сразу отношение чисел N(£) для этих методов.
Запишем формулу (5.22) для двух различных способов управ-
ления в виде
- — f—V
1 Д 2а^ \ )
^iW=-4--T-e ” (5-23)
2я
И
(-Ц2
1 R \ Аг /
' <5-24’
/Я
Отношение ЛМ?) и W2(S) показывает, во сколько раз изменится
вероятность выхода самолета на заданное значение приращения
перегрузки $ при переходе от первого вида управления самолетом
ко второму. Назовем это отношение коэффициентом выигрыша,
если он окажется больше единицы, или коэффициентом проигры-
ша в противном случае:
:« Л1~Л2
= -Mi А1А1
N2<4) Л\В2
Всегда можно выбрать за первый тот способ управления, при
котором среднеквадратичное значение приращения перегрузки
больше, т. е. Л1>Лг. При этом условии коэффициент К. будет
больше единицы.
Для конкретного самолета и определенного режима полета
величины Л(, Лг, В\ и В2 являются постоянными. Из формулы
7* 195
(5.25)
Рис. 5.25. Коэффициент вы-
игрыша в функции средне-
квадратичного значения вет-
ра при переходе от управ-
ления летчиком к управле-
нию автопилотом
(5.25) следует, что при этом условии коэффициент выигрыша бу-
дет увеличиваться при возрастании допустимой перегрузки и
уменьшаться при росте среднеквадратичного значения скорости
ветра aw. Такой результат нетрудно объяснить. С увеличением до-
пустимой перегрузки £ резко падает вероятность ее достижения,
и небольшое снижение перегрузки будет сказываться значитель-
но сильнее, чем при малых При £=0 для всех значений о„-
и единице. Аналогичные соображе-
ния объясняют влияние ow. В пре-
дельном случае <Ja,=0 коэффициент
К равен бесконечности.
Рассмотрим пример использова-
ния формулы (5.25) для сравнения
двух способов управления самоле-
том № 1 в турбулентной атмосфе-
ре *. В качестве первого способа
возьмем управление с помощью лет-
чика, в качестве второго — управле-
ние автопилотом. При этом на осно-
вании данных, приведенных в § 3.9,
примем, что при первом способе
среднеквадратичное значение пере-
грузки возрастает на 34%.
Поскольку самолет № 1 является
тяжелым транспортным самолетом,
для него допустимое приращение
перегрузки в крейсерском режиме
выбирается из условий прочности
конструкции планера. Это допусти-
мое приращение составляет £=
= ДМудоц= 1,4.
Результаты расчета коэффициента выигрыша для этого слу-
чая в функции среднеквадратичного значения вертикальной со-
ставляющей ветра приведены на рис. 5.25. Значения К показы-
вают, во сколько раз уменьшается вероятность выхода самолета
на С„доп при переходе от управления с помощью летчика к уп-
равлению автопилотом.
Очень большие значения коэффициента выигрыша (см.
рис. 5.25) убедительно доказывают целесообразность применения
автопилота при полете в условиях турбулентности. Эта рекомен-
дация становится недостаточно обоснованной лишь при очень
сильной турбулентности, когда движение самолета не может быть
описано линейными уравнениями. При большой интенсивности
турбулентности, например, при полете в зоне кучевых облаков
или грозы система самолет — автопилот может стать существен-
но нелинейной по двум причинам. Во-первых, из-за большой ско-
? Все расчеты проведены для жесткого самолета.
196
рости вертикальных порывов приращения коэффициента подъем-
ной силы выходят за пределы линейного участка кривой Cv=f (а).
Во-вторых, отклонения руля перестают быть пропорциональными
управляющему сигналу вследствие влияния ограничений по угло-
вой координате или по величине шарнирного момента. Поэтому
автопилот не сможет парировать воздействие порывов большой
интенсивности и надежно обеспечить стабилизацию самолета.
Наличие указанных ограничений у современных автопилотов и
вызывает необходимость отключения их и переход к управлению
летчиком в условиях очень сильной турбулентности.
В рассмотренном примере расчета коэффициента К в функ-
ции среднеквадратичного значения скорости вертикальных поры-
вов использовались данные неманевренного самолета, для кото-
рого ограничивающим фактором является максимальная допусти-
мая эксплуатационная перегрузка, определяемая из условий
прочности. Для маневренных самолетов (например, истребите-
лей) максимальная допустимая эксплуатационная перегрузка ве-
лика и может быть реализована лишь при маневре на больших
скоростях и малых высотах. От вертикальных порывов ветра воз-
никают перегрузки в несколько раз меньшие, чем при маневре.
Поэтому для маневренных самолетов нельзя подставлять в фор-
мулу (5.25) в качестве £ значение перегрузки, определяемой из
условий прочности. Для таких самолетов нужно располагать дан-
ными, подобными приведенным на рис. 5.4, и на основании этих
данных строить графики для коэффициента К в функции числа
М для разных значений <т» и высот полета.
ГЛАВА 6
Взлет и посадка
самолета
в неспокойной атмосфере
§ 6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Взлетно-посадочные характеристики самолета, т. е. скорости
отрыва и посадки, длины разбега и пробега зависят от большого
числа факторов. К ним относятся параметры самолета и аэродро-
ма — вес, состояние тормозной системы и покрышек колес, ка-
чество и состояние взлетно-посадочной полосы (ВПП), а также
метеорологические условия — скорость и направление ветра,
температура и плотность воздуха. Возможность взлета и посад-
ки на данный аэродром в сложных метеоусловиях определяет-
ся оснащенностью его наземным посадочным оборудованием и
так называемым «минимумом погоды» для самолета данного
типа. «Минимумом погоды» для самолета и определенных назем-
ных посадочных средств называется совокупность минимальных
значений высоты нижней кромки облачности и наклонной дально-
сти видимости, при которых можно безопасно осуществлять взлет
и посадку этого самолета. Однако, кроме «минимума погоды», на
принятие решения о взлете или посадке существенное влияние
оказывают характеристики ветра в районе аэродрома. Составля-
ющая ветра, совпадающая с направлением ВПП, изменяет длину
разбега при взлете и пробеге после посадки по сравнению с зна-
чениями этой длины, необходимыми для взлета и посадки в спо-
койной атмосфере. Составляющая ветра, перпендикулярная на-
правлению ВПП, существенно усложняет процессы взлета и по-
садки, а при увеличении бокового ветра свыше определенного
предела взлет и посадка на данную ВПП прекращаются. Чтобы
обеспечить взлет и прием самолетов при сильном ветре в круп-
ных аэропортах делают несколько ВПП, расположенных по раз-
личным направлениям.
В данной главе будет рассмотрено влияние постоянной со-
ставляющей ветра на процессы взлета и посадки самолета. Влия-
ние порывов ветра на эти процессы не рассматривается по двум
причинам. Во-первых, еще пока нет достаточного количества ста-
тистических характеристик порывов ветра в нужном диапазоне
198
высот. Гипотеза об изотропности турбулентности, используемая
при получении аналитических характеристик поля скоростей вет-
ра в гл. 1, для малых высот несправедлива. Во-вторых, динамика
самолета на некоторых этапах взлета и посадки в принципе опи-
сывается нелинейными уравнениями, требующими специальных
методов решения, не рассматриваемых в данной книге. В тех же
случаях, когда задача может быть сведена к линейной и стацио-
нарной, для учета действия порывов ветра на взлете и посадке
можно пользоваться методами, описанными в гл. 2—4.
§ 6.2. ВЗЛЕТ В НЕСПОКОЙНОЙ АТМОСФЕРЕ
Взлетом называется процесс движения самолета от момента
старта до момента достижения некоторых минимальных значе-
ний высоты и скорости полета. Схема взлета показана на рис. 6.1.
«Стандартное препятствие» по оси ВПП, указанное на рис. 6.1,
и для взлета и для посадки считается имеющим высоту 25 м.
Рассмотрим более подробно первый из двух основных этапов
Рис. 6.1. Схема взлета:
1 —‘ точка старта; 2 — разбег; 3 — отрыв; 4 — разгон с подъемом;
5 — взлетная дистанция
взлета — этап разбега. Движение самолета по ВПП, по сравне-
нию с его движением в воздухе, связано с рядом особенностей,
основными из которых являются влияние реакций опор (колес)
и изменение аэродинамических сил вследствие близости земли.
Длина разбега является очень важной характеристикой са-
молета. Она зависит от многих факторов, причем некоторые из
них не поддаются точному учету. К таким факторам в первую
очередь относится коэффициент трения колес о ВПП, который
в сильной степени зависит от погоды (осадков) и состояния по-
крышек колес, а также аэродинамические силы, величина кото-
рых в некоторой степени зависит от действий летчика. Поэтому
длина разбега окончательно определяется в процессе летных ис-
пытаний самолета. Ветер оказывает очень существенное влияние
на длину разбега самолета. Так, например, для самолета Ил-28
длина разбега при встречном ветре со скоростью 10 м!сек равна
1060 м, а при попутном ветре той же скорости — 1900 м [47]. Од-
нако, поскольку взлет всегда происходит против ветра, то укоро-
чение разбега за счет ветра создает запас по безопасности взле-
199
та. Для оценки влияния ветра на время и длину разбега можно
пользоваться приближенными формулами, которые получены в
предположении постоянства ускорения самолета в процессе раз-
бега *:
(I + -рЬ-). (6.1)
\ v отр /
0pV=Dw(l (6.2)
\ У отр /
где/рдаи/р— время разбега при ветре и в безветрие соответст-
венно;
„ и Dp — длина разбега при ветре и в безветрие соответст-
венно;
Wx — постоянная составляющая ветра, совпадающая с
направлением ВПП;
Уотр — скорость, при которой самолет отрывается от ВПП.
В формулах (6.1) и (6.2) знак плюс в скобках соответствует
попутному ветру, а знак минус — встречному. Данные о парамет-
рах взлета и посадки в безветрие могут быть найдены на основа-
нии анализа летных испытаний.
Значительно более важным для практики полетов оказывает-
ся влияние на взлет самолета боковой составляющей ветра. До
сих пор довольно значительно число случаев нарушения расписа-
ния движения самолетов связано с невозможностью осуществить
взлет из-за бокового ветра, скорость которого превосходит пре-
дел, установленный для самолета данного типа.
Рассмотрим уравнения, описывающие движение самолета в
процессе разбега при боковом ветре. Для упрощения этих урав-
нений не будем учитывать деформацию пневматиков колес и
амортизаторов стоек шасси. При таком допущении движение са-
молета при разбеге будет осуществляться в одной плоскости
(плоскости ВПП) и, следовательно, оно будет описываться дву-
мя уравнениями для проекций сил и одним уравнением моментов
относительно вертикальной оси. Для анализа этих уравнений ис-
пользуем земную (xg, yg, Zg) и связанную (х, у, г) с самолетом
системы координат. Схема сил, действующая на самолет в про-
цессе разбега, а также положение координатных осей, показаны
на рис. 6.2. На этом рисунке обозначено:
xg, zg — земные оси;
х, у, z — связанные самолетные оси;
X — сила лобового сопротивления;
У — подъемная сила;
Z — боковая сила;
G — сила веса;
* Для современных реактивных самолетов с большой тяговооруженностью
предположение о постоянстве ускорения очень близко к действительности.
200
Р — сила тяги обоих двигателей;
Ми, Мг — моменты относительно осей у и z;
Хп, Хг — силы трения качения переднего и главных колес;
Уп, Уг — реакции переднего и главных колес;
Zn, Zr — боковые силы на переднее и главные колеса,
обусловленные углом скольжения для путевой
скорости;
Рис. 6.2. Силы и моменты, приложенные к самолету при разбеге с боко-
вым ветром
’’ч.п, 2В.Л?— боковые силы на входе в правый и левый возду-
хозаборники, обусловленные углом скольжения
для воздушной скорости;
ф — угол рыскания;
Р — угол скольжения относительно вектора воздуш-
ной скорости V;
— угол скольжения относительно вектора путевой
скорости Vg\
Pw — угол скольжения, создаваемый ветром.
20!
Обозначения, относящиеся к линейным размерам, ясны из
чертежа на рис. 6.2.
Движение самолета в плоскости xgOzg описывается уравне-
ниями (в связанных осях):
dVex
т —
dt ’
т
dt
I -^4-= ЕЛ/
5 dfi >
(6.3)
Кроме уравнений (6.3), описывающих движение самолета,
при определении реакций колес должны использоваться очевид-
ные соотношения, вытекающие из допущения о движении самоле-
та в плоскости ВПП:
ЕГ=0,
ЕЛ/Х=О,
ЕЛ/г=О.
(6.4)
Перейдем к рассмотрению правых частей системы уравнений
(6.3). Из схемы сил на фиг. 6.2 вытекает, что
E?T=P-Arcosp-ArTp, (6.5)
где Хтр — суммарная сила трения, приложенная к колесам.
Сила трения определяется соотношением
Л₽=|ЛГП+ГГ), (6.6)
где р. — коэффициент трения качения; для бетонных полос этот
коэффициент изменяется в пределах 0,03—0,05.
Для определения силы реакций переднего и главных колес
шасси (Гп+Уг) воспользуемся первым из уравнений (6.4)
Yn-\-YT—G — Y. (6.7)
Приближенно принимая cos 0^1 и учитывая (6.7), из (6.5)
получаем окончательно
EX = P + (pCy-CJS-2p-!xG. (6.8)
Перейдем к анализу боковых сил, действующих на самолет
при разбеге. При этом предположим, что получаемые ниже урав-
нения будут использоваться только для анализа движения само-
лета, уже имеющего значительную скорость. Действительно, при
малой скорости управление движением самолета при наличии
ветра не вызывает особых затруднений, так как силы, вызывае-
202
мые ветром, невелики, а силы трения колес о ВПП значительны.
Воздействие бокового ветра легко парируется поворотом перед-
него колеса или раздельным торможением главных колес. По ме-
ре увеличения скорости разбега увеличивается подъемная сила,
а силы трения колес о ВПП уменьшаются. Затем переднее колесо
отрывается от ВПП, и конец разбега выполняется на главных
колесах (рис. 6.3). х
Рис. 6.3. Два участка разбега:
— на трех колесах; D2 — с поднятым передним колесом
Значительная скорость движения самолета позволяет исполь-
зовать приближенные кинематические соотношения
^VgJV и
Рассмотрим сумму проекций сил на ось г;
2Z=Z + ZB + Zn + Zn (6.9)
где Z — боковая аэродинамическая сила, вызванная
несимметрией обдува самолета;
Z3~Z0.n^Zn,a —боковые силы на входе воздухозаборников
двигателей;
Zn и Zr — боковые силы, действующие на передние и
главные колеса при наличии скольжения.
Предположим, что для управления углом рыскания на разбе-
ге используются и руль направления и поворот переднего колеса.
Проведем линеаризацию выражений для боковых сил только по
углу скольжения и углам отклонения переднего колеса и руля
направления, выбрав за исходный невозмущенный режим прямо-
линейное движение самолета. При указанных предположениях
получаем следующие выражения для боковых сил.
Боковая аэродинамическая сила Z зависит от полного угла
скольжения р относительно вектора воздушной скорости и от уг-
ла поворота руля направления бн:
Z = C9J^$g-C}S^w,+&S-^Zu. (6.10)
Боковая сила, действующая на входе воздухозаборников при
несимметричном обтекании, равна
ZB = -kPp = — kP$g+kPwz/V, (6.11)
где k= Wgx/(№вых—^вх),
203
и П^вых — скорости струи воздуха на входе и выходе
двигателя соответственно.
При полете самолета обычно ZB<^Z и ZB не учитывается. При
разбеге, особенно на начальном участке, роль ZB может стать
значительной.
Боковые силы Zn и Zr зависят от угла скольжения pg относи-
тельно вектора путевой скорости или от угла поворота переднего
колеса относительно вектора путевой скорости.
Следовательно,
Z„ + ZF=ZS^+Z*"8n + Z?0g=Zfy,+Z*"8„, (6.12)
где
ZK—Cz«( Уп"Ь Уг) — CZK{G—У).
Таким образом,
Zn-hZr=dK(G -Г) ?,+СХГп8п. (6.13)
На рис. 6.4 приведен график зависимости CZK=f(^g), которая
определяется экспериментально.
Очевидно, что коэффициент CZK
равен отношению боковой силы
колеса к нормальной реакции. Из
графика на рис. 6.4 следует, что
при угле 0g около 10° это отноше-
ние близко к единице. Начиная с
некоторого значения угла 0в его
дальнейшее увеличение приводит
к уменьшению боковой силы ко-
леса. Максимальное значение
CZK равно коэффициенту трения
скольжения для колес, движу-
Рис. 6.4. Зависимость коэффи- ЩИХСЯ по полосе.
циента боковой силы колес от На основании (6.10), (6.11) и
угла скольжения (6.13) получаем выражение для
суммы проекций сил на ось z:
+c>s (6.14)
Рассмотрим, наконец, моменты относительно оси у, действую-
щие на самолет в процессе разбега:
SAfy(6.15)
204
где Муг— момент, создаваемый боковыми силами;
— момент, обусловленный угловой скоростью <оу;;
Мур—момент от несимметричной тяги двигателей;
Му т— момент от несимметричного торможения главных
колес;
Мух— момент относительно оси у, обусловленный момен-
том относительно оси х.
На основании рис. 6.2 момент относительно оси г, создавае-
мый поперечными силами, определяется выражением:
My^lS^g-m^lS^-'w^kPx^-^-'W, -
£ £ V
(6.16)
Угловая скорость <ov вызывает появление аэродинамического
демпфирующего момента и дополнительного момента, обуслов-
ленного изменением боковых сил всех колес из-за изменения их
углов скольжения при наличии шу. Таким образом,
+МшуУк<1>у==
= (6.17)
Если правый двигатель дает тягу на ДР большую, чем левый, то
Л^Р=Дргд, (6.18)
где 2Д — расстояние от оси двигателя до плоскости симметрии
самолета.
Момент от несимметричного торможения изменяется в преде-
лах от нуля до некоторого максимального значения в зависимо-
сти от разности усилий, прикладываемых к правым и левым тор-
мозным колодкам. Максимальное значение Муч получается, когда
одно колесо полностью заторможено, а второе свободно. В этом
случае
^Tfflax=/-^-zm, (6.19)
где f — коэффициент трения скольжения между колесом и по-
верхностью ВПП.
Момент Mvx создается при появлении момента крена. Момент
крена при разбеге может появиться в результате движения со
скольжением или при отклонении элеронов, т. е.
Mx=M^g-M?xwJV+M^9. (6.20)
205
Момент крена положительного направления увеличивает реакцию
правого главного колеса и уменьшает реакцию левого. Разность
этих реакций равна
ДГГ=ЛТХ/?Ш. (6.21
Неравенство реакций главных колес вызовет неравенство сил
трения, в результате чего возникает момент рыскания
(6.22)
Подставляя в (6.22) значение ДУГ и Мх из (6.20) и (6.21), по-
лучим
МУх= %-mUS -ф-8в). (6.23)
На основании полученных соотношений находим выражения
для суммы моментов относительно оси у.
= ^/5-^+ЛРхв-СЬГпхп+^кГгхг
i ~.<и« >c
niyylS——
+ ^у/5_₽К1 + _1^(Гп^п+Ггх?) ]«,+
+*№ пхп8п - vm^lS
\-cf^Zal-(-^ntlS4-) пг, (6.24)
T? J \ V Z Z /
где c — коэффициент, изменяющийся от нуля до единицы в за-
висимости от степени несимметрии торможения колес.
В (6.14) и (6.24) для сокращения записи не раскрыты выра-
жения для реакций переднего и главных колес. На основании
третьего уравнения (6.4) с учетом (6.7) и рис. 6.2 получаем:
Y /д_____________у\ -*г 4* Р-Уп.________________М2 ~Ь Pyt
Гг = (G — Y) •*" —^ц-
«*ш
Мг + Ру,
(6.25)
Подставляя в исходные уравнения (6.3) значения правых час-
тей на основании (6.8), (6.14) и (6.24) и перенося члены с неиз-
вестными функциями (параметрами движения самолета) в левые
части уравнений, получаем:
206
m -^- + (Cx-fxQS-^-=P-[x6,
dt 2
mV^ + ^kP+lCfih-CbS-^ -CLG]₽g=
“(-V~ C^S -£-) w,+C>S 8H+С^ГЛ,
I, +ф- < r-x"+ r^) ] + (6/26>
+[(^ - 4) is -ф- 4- C| К(ГЛ - ГЛ) - ЛРхв] pg=
= - [(4 + is -£y- + -y-j wt+m'"ZS -ф- -
- Cj- ГЛ8„ - ix^’/S-ф- 8e+LPzK + cf±- zm.
Уравнения (6.26) нужно дополнить формулами (6.25) и кинема-
тическими соотношениями:
VssV^-w„ (6.27)
(6.28)
Подчеркнем еще раз, что уравнения (6.26) и (6.28) могут
использоваться не с момента трогания самолета с места, а лишь
с момента достижения самолетом такой скорости, при которой
принятые для угла скольжения приближенные соотношения
₽«> = wz/V и = Vgz/V выполняются с приемлемой степенью точ-
ности.
Па основании пяти уравнений (6.26) — (6.28) в принципе могут
быть определены пять неизвестных параметров, характеризующих
движение самолета в процессе разбега: Vgx, V, pg, ф и zg. Однако
для получения такого решения нужно задать скорость ветра со2
как функцию времени и наложить связи на большое число пере-
менных величин, входящих в правые части уравнений (6.26):
Р, ЬР, Mz, б„, бп, бэ и С.
Наиболее естественным видом этих связей являются соотно-
шения, применяемые в системах автоматического управления
взлетом самолета. Эти соотношения связывают указанные пере-
менные величины с параметрами движения самолета. Однако,
поскольку такие системы пока не получили распространения, они
здесь не рассматриваются.
При использовании уравнений (6.26) — (6.28) для анализа дви-
жения самолета в случае, когда управление осуществляется лет-
207
чиком, делаются различные допущения, сильно упрощающие
задачу. Так, например, для аналитического определения времени
и длины разбега можно воспользоваться первым уравнением
системы (6.26), если этап разбега условно разбить на два этапа,
как показано на рис. 6.3. Предполагается, что каждому из этих
этапов соответствует вполне определенный угол атаки и, следо-
вательно, определенные значения Сх и Су. Переход от первого
этапа ко второму производится после достижения самолетом ско-
рости, обеспечивающей достаточную эффективность руля высоты
для управления углом атаки.
Скорость отрыва самолета определяется по формуле
^=1/ (629)
F роЬу отр
где С„отр выбирается несколько меньше Супред, который опреде-
ляется с учетом механизации крыла и влияния близости земли.
§ 6.3. ПОСАДКА В НЕСПОКОЙНОЙ АТМОСФЕРЕ
Посадкой называется процесс движения самолета с момента
выхода самолета в район аэродрома и до момента остановки са-
молета в конце пробега по ВПП.
Ветер в районе аэродрома существенно усложняет все этапы
посадки и его влияние увеличивается по мере приближения само-
лета к земле. Продольная составляющая ветра значительно изме-
няет длину пробега самолета, которая является одной из наибо-
лее важных характеристик. Поскольку длина пробега при посадке
обычно оказывается больше длины разбега, именно пробег опре-
деляет длину ВПП. Длина пробега подсчитывается и определяет-
ся экспериментально для безветренной погоды. При наличии
составляющей ветра вдоль полосы посадка производится против
ветра и укорочение длины пробега увеличивает безопасность
посадки. По этой причине, как и при рассмотрении разбега, огра-
ничимся весьма приближенной оценкой влияния продольной со-
ставляющей ветра на время и длину пробега самолета. Приводи-
мые ниже формулы получены в предположении постоянства
замедления самолета в процессе пробега:
-£*-). (6.30)
(6.31)
\ у пос /
где tn w и tn— время пробега при ветре и в безветрие соответ-
ственно;
D„w и Dn—длины пробега при ветре и в безветрие соот-
ветственно;
Уп0С— скорость посадки.
208
В формулах (6.30) и (6.31) знак плюс в скобках соответствует
попутному ветру Wx, а знак минус — встречному.
Полученные в предыдущем параграфе уравнения для описа-
ния процесса разбега могут быть после внесения некоторых кор-
ректив использованы и для описания пробега. По этой причине
ниже рассматривается специфический этап посадки — заход на
посадку с момента начала снижения и до выхода самолета на
высоту 30—50 м.
Наличие бокового ветра существенно осложняет процесс по-
садки.
Рис. 6.5. Посадка со скольжением и с креном:
а — вид в плане, б — вид на самолет с хвоста
Для анализа динамики посадки с боковым ветром целесооб-
разно рассмотреть посадку при автоматическом управлении само-
летом, так как в этом случае процесс посадки поддается анали-
тическому описанию.
Предварительно, однако, коротко опишем особенности посадки
с боковым ветром в случае, когда самолетом управляет летчик.
Боковой ветер усложняет пилотирование самолета. Как было
показано в гл. 4, он вызывает снос самолета относительно вы-
бранной траектории полета (см. рис. 4.1), которая в случае
посадки совпадает (в горизонтальной плоскости) с осью ВПП.
Парирование сноса после выхода на ось ВПП летчик может обес-
печить двумя способами:
1) полетом со скольжением и с креном;
2) изменение курса полета относительно посадочного; при
этом посадочным считается курс оси ВПП.
Рассмотрим первый способ. С помощью руля направления и
элеронов летчик создает скольжения и крен на крыло, которое
находится со стороны ветра (рис. 6.5,а и б).
Для движения без скольжения по оси ВПП (pg=0) необхо-
димо в соответствии с (2.22) для вектора воздушной скорости V
обеспечить угол скольжения
р=₽да=-®2/Упос. (6.32)
;В знаменателе формулы (6.32) указана посадочная скорость как
наименьшая, при которой боковой ветер можно парировать только
209
аэродинамическими силами. После касания земли для парирова-
ния используются и силы трения колес о ВПП.
Учитывая, что в прямолинейном полете моменты относительно
осей х и у должны быть равны нулю, и, кроме того, полагая, что
dwx/dz=dWyldz=Q, из второго и третьего уравнений системы
(2.28) получаем:
-Л-тог4-/989=0,
я"°с (6.33)
-^-даг+«н8н=о.
V пос
Решая (6.33) относительно дэ и бн, находим углы отклонения
рулевых органов, необходимых для создания скольжения 0, обес-
печивающего парирование бокового ветра wz:
пос
г._-------
^н^пос
Если вместо коэффициентов уравнений (2.28) подставить их
значения из табл. 2.2, то для углов бэ и 6Н получаются выражения:
S — 1 &> 1
°э— ^пос 7П“э
X Q (6.35)
8„ = 1 Упос
Подставляя в (6.35) максимальные значения бэ и бц, можно
найти предельное значение скорости бокового ветра, который еще
можно парировать с помощью скольжения:
/п"э
► пос " 39 тах,
т’н
®z2= ^пос ~ 8В тах-
т?.
(6.36)
Из двух предельных значений скорости бокового ветра, давае-
мых формулами (6.36), нужно выбрать, естественно, меньшее.
Таким образом, допустимое значение бокового ветра ограничено
эффективностью рулевых органов. Обычно меньшее значение
получается по второй из формул (6.36). Покажем это на следую-
щем примере. Посадочный режим одного из самолетов характе-
ризуется следующими данными: УПос = 70 м!сек, т^=—0,063,
210
т) =—0,137, /nJ------0,069. т[» =—0,0458, 6нтах=25°=
=0,437 рад, 69щах=202=0,35 рад. Подставляя указанные значе-
ния в (6.36), получаем Wzi = 52 м/сек, а/г2=20 м/сек.
Следует иметь в виду, что допустимое в реальных условиях
значение скорости бокового ветра должно быть несколько меньше
предельного, получаемого на основании (6.36). Необходимо иметь
некоторый запас по углам отклонения рулевых органов, чтобы
парировать порывы ветра, которые всегда сопутствуют постоян-
ной составляющей ветра.
При полете со скольжением возникает боковая аэродинами-
ческая сила Z, которая стремится искривить траекторию. Для
обеспечения прямолинейного полета необходимо создать крен,
как показано на рис. 6.5, б, чтобы парировать силу Z с помощью
составляющей У" подъемной силы. Потребный угол крена нахо-
дится из первого уравнения системы (2.28) с учетом выражений
для коэффициентов и Лт, приведенных в табл. 2.2:
О4
v=—£_Яг. (6.37)
пос
Перед касанием ВПП в конце выдерживания необходимо
устранить крен и осуществить приземление на оба колеса.
При использовании второго метода парирования сноса само-
лета ветром с оси ВПП изменяется курс на угол ф = и»г/УПос
(рис. 6.6). При этом методе продольная ось самолета не совпа-
Рис. 6.6. Посадка с изменением курса полета
дает с направлением движения центра тяжести, которое проис-
ходит по оси ВПП. Перед моментом приземления следует с по-
мощью руля направления развернуть самолет, чтобы его продоль-
ная ось совпала с осью ВПП. Это особенно важно для самолетов
с хвостовым колесом, у которых главные колеса, расположенные
впереди центра тяжести, создают при касании ВПП дестабилизи-
рующий момент рыскания. У самолетов с носовым колесом глав-
ные колеса создают стабилизирующий момент рыскания при
касании ВПП, который разворачивает самолет по оси ВПП.
В процессе послепосадочного пробега самолет, обладающий
путевой устойчивостью, будет разворачиваться на ветер для
211
устранения скольжения. Чтобы парировать разворачивающий
момент, следует использовать либо несимметричное торможение
главных колес, либо поворот управляемого переднего колеса.
Анализ и формулы, полученные для характеристики посадки
при боковом ветре, относятся к установившемуся режиму.' Они
не показывают процесса перехода к этому режиму. Между тем
неблагоприятный характер этого перехода, обусловленный не-
удовлетворительными динамическими свойствами самолета, мо-
жет весьма затруднить пилотирование на режиме посадки.
Рассмотрим кратко процесс захода на посадку при автомати-
ческом управлении самолетом.
На рис. 6.7 представлена схема, возволяющая пояснить рабо-
ту системы автоматического захода на посадку. С помощью кур-
Рис. 6.7. Схема посадки с использованием курсового (КРМ) и глиссадного
(ГРМ) радиомаяков
сового (КРМ) и глиссадного (ГРМ) радиомаяков в вертикальной
плоскости, проходящей через ось ВПП, создается глиссада пла-
нирования rOit которая имеет по отношению к горизонтальной
плоскости угол наклона ()г=20—3°. Измеряя с помощью бортовой
аппаратуры нормальное и боковое отклонения самолета от глис-
сады планирования и вводя соответствующие сигналы в систему
автоматического управления, можно вывести самолет на высоту
30—50 м при удалении 500—1000 м от .начала ВПП. Управление
самолетом от этой точки до приземления выполняет
летчик.
Продольное движение самолета при посадке обычно рассмат-
ривается в вертикальной плоскости, содержащей глиссаду. Наи-
большее влияние ветер в районе аэродрома оказывает на боковое
движение. Проанализируем боковое движение, которое будем
считать происходящим в так называемой боковой плоскости, т. ё.
в наклонной плоскости, перпендикулярной вертикальной, которая
проходит через КРМ. Угол наклона боковой плоскости равен
0Г, т. е. пересечение вертикальной и наклонной (боковой) плоско-
стей происходит по линии ОО2, параллельной глиссаде ГОь Ли-
ния ОО2 в боковой плоскости совпадает с осью ВПП и поэтому
212
далее для краткости эту линию будем называть просто осью
ВПП. Заметим, что в действительности боковое движение само-
лета происходит не в боковой плоскости, а в параллельной ей
плоскости, содержащей глиссаду ГО\. Однако для упрощения
кинематических соотношений удобнее рассмотреть боковое дви-
жение самолета в боковой плоскости.
Для анализа бокового движения используем земную систему
координат, ось xg которой направлена по линии ОО2, а ось zg—
горизонтальна (см. рис. 6.7). Таким образом, боковое смещение
самолета относительно заданной траектории, за которую в боко-
вом движении принимается линия ОО2 — ось ВПП, равно zg.
С помощью бортовой аппаратуры на самолете измеряется угол
е — угол между осью ВПП и линией, соединяющей самолет и
КРМ. Этот угол считается положительным, если самолет нахо-
дится справа от оси ВПП. Дальность D есть проекция линии са-
молет— КРМ на ось ВПП. Вследствие малости угла 8 можно
считать, что дальность совпадает с расстоянием самолет — КРМ.
Наконец,\угол рыскания -ф определяет отклонение продольной оси
самолета от оси ВПП.
Рассмотрим основные соотношения, определяющие движение
центра тяжести самолета в боковой плоскости. При этом для
упрощения задачи будем пренебрегать временем переходных про-
цессов для угловых движений самолета, считая, что они происхо-
дят мгновенно. В результате этого допущения задача превра-
щается из динамической в кинематическую.
В соответствии с последним уравнением системы (2.21)
(6.38)
Подчеркнем, что в уравнении (6.38) угол является углом
скольжения для вектора путевой скорости. Поскольку автопилот
управляет углом рыскания, причем предполагается, что действи-
тельный угол рыскания ф мгновенно приобретает заданное систе-
мой управления значение ф3, в уравнении (6.38) вместо -ф введен
равный ему угол ф3.
Вследствие пренебрежения временем угловых движений угол
скольжения относительно воздуха р для устойчивого самолета
всегда будет равен нулю. С учетом этого обстоятельства на осно-
вании первого .уравнения системы (2.22)
Подставляя это значение ₽в в (6.38), получим
(6.39)
dt *
На основании рис. 6.7
z^=Dtge^De. (6.40)
213
При малом ф можно считать, что
D=D0-V/
(6-41)
(6.42)
е =
Объединяя (6.38) —(6.41), получаем
D dt W;
Ve dt Ve
Чтобы на основании (6.42) решать вопрос о движении центра
тяжести самолета, необходимо задать какой-либо закон управ-
ления углом рыскания ф3. Простейший вариант такого закона
Ф3=£,е4-Д, (6.43)
где Д — сумма ошибок чувствительных органов системы управ-
ления.
В Д входят ошибки измерителей углов ф и е. Сюда же следо-
вало бы включить также ошибку гировертикали при измерении
угла крена, который необходимо обеспечить для создания угло-
вой скорости dtyldt. Однако при кинематическом анализе предпо-
лагается, что поворот на угол -ф3 происходит мгновенно, и поэтому
указанная ошибка гировертикали не может быть учтена.
Подставляя значение ф3 из (6.43) в (6.42), получаем
4г+(Л'“1)е=ТГ~д- (6Л4)
Вводя вместо t новую независимую переменную-^— =t0—t,
из (6.44) имеем
(ти-АУ (бЛ5)
“Vo — О \ У* /
Интегрируя (6.45) и учитывая соотношение (6.40), получаем
решения (wz=Wz=const):
На рис. 6.8 приведены графики zg(t), построенные на основа-
нии (6.47) в предположении, что ветер Wz и сумма погрешностей
Д равны нулю. При их построении были выбраны следующие на-
чальные условия: £>о= Ю000 м, /о=180 сек, (Ve=55,5 м1сек)-,
zgo=lOO м. Расстояние от начала ВПП до места установки КРМ
равно 3000 м. Графики на рис. 6.8 построены для различных зна-
чений коэффициента kt, увеличение которого приводит к сокра-
щению времени процесса выхода самолета на ось ВПП.
214
Сравнивая графики между собой, можно установить, что для
рассматриваемой задачи значения k, = (7,5—10) являются до-
статочными. Следует помнить, что для реального самолета по-
ворот связан с креном, который всегда ограничивается. Увеличе-
ние ks приводит к сокращению зоны линейности системы
управления, к резкому накренению самолета и большим угловым
скоростям dty/dt, что будет вызывать неприятные ощущения у
пассажиров.
Оценим влияние ветра и погрешностей системы управления на
точность выхода самолета на ось ВПП при тех же числовых дан-
ных, по которым построены графики на рис. 6.8 для случая
kt = 10. В качестве оценки примем значение zg к моменту подхода
самолета к началу ВПП, т. е. при t— 126 сек. Подставляя это
значение в (6.47), получаем:
(6.48)
стейшей системой автоматического уп-
равления
zgi= —ЗЗЗД.
Соотношения (6.48) показывают, что при боковом ветре
Ц7г= 10 м/сек боковое отклонение составит 60 м, а при суммарной
погрешности Д=0,1 рад
боковое отклонение соста-
вит 33,3 м. Вследствие
случайного характера обо-
их факторов (Wt и А) ука-
занные отклонения могут
и суммироваться. При ши-
рине ВПП 60 м такие бо-
ковые отклонения недо- .
пустимы.
Рассмотренную систе-
му управления самолетом
будем называть статиче-
ской по отношению к бо-
ковому ветру и погрешно-
стям измерителей.
Для ликвидации отме-
ченного недостатка стати-
ческой системы автомати-
ческого управления введем 1
(6.43) интеграл от сигнала по углу е. В результате этот закон
приобретает вид
в закон управления углом рыскания
о о
(6.49)
В выражении (6.49) раскрыты составляющие ошибок системы
управления, которые будем считать случайными, но не завися-
щими от времени величинами. Объединяя закон управления
215
(6.49) с кинематическим уравнением (6.42), получаем общее
уравнение рассматриваемой системы при интегральном управ-
лении
D I /» о\ I л л Л
й—+(*• - 2) -^7 + ^е= - 0‘Де-
Vg dt* dt
(6.50)
Вид уравнения (6.50) показывает, что при интегральном
управлении постоянная составляющая ветра, а также погреш-
ность курсовой системы не влияет на точность выхода самолета
на ось ВПП, т. е. система с интегральным управлением является
астатической по отношению к указанным воздействиям. Ошибка
появляется только вследствие погрешности Де при измерении
угла е. Эта ошибка очень невелика, так что практически уравне-
ние (6.50) можно рассматривать как однородное. Это уравнение
путем перехода к новой независимой переменной ц=<7. DIVe=
= qt (t0 — t) приводится к виду
-(*.-1)1” +8=°- (6.51)
V
Наконец, подстановкой е=р.2х, где x—f(2V^i), уравне-
ние (6.51) приводится к уравнению Бесселя порядка v:
— — (6.52)
rfx2 т dt ' \ /
где
т=2 Vh=2'/^(/o-O, v=A,-1.
Решение уравнения (6.52) при начальных условиях е(О)=ео,
/ dt \ Л
(— зп О имеет вид
\ dt )t=Q
o=eo(J^±\ 2 (6.53)
\ *0 /
Учитывая (6.40), для бокового отклонения получаем
Ле —1
Zg^zJ-^} 2 ИДД^-Л^Дт)]. (6.54)
\ ч) /
В выражениях (6.53) и (6.54) J, и V» — функции Бесселя пер-
вого и второго рода порядка v=kt —1 (v— целое число); посто-
янные Ai и А2 определяются формулами:
216
A=
A =
__________YjOb)___________
шш-шш
__________________________
jj4)Y;o0)-j;(t0)Ys(t0)
где
J’ (To) = Jv—1 (To) J’ (“Чо)»
to
¥» (xo)=Yv—i (t0)-----Y, (tq),
(6.55)
kJQ=2Vk.DJVe.
На основании (6.54) построены графики zg=f (/), приведенные
на рис. 6.9. При этом были приняты следующие начальные усло-
вия: £>о=89ОО м, /О=160 сек, (Уе=55,5 м/сек)', zgo=100 м. Значе-
ние коэффициента kt было оставлено тем же, которое было вы-
брано для статической системы, т. е. k, =10 (см. рис. 6.8). На
рис. 6.9 указаны значения коэффициента qt, соответствующие
Рис. 6.9. Характер ликвидации бокового откло-
нения самолета от оси ВПП системой автома-
тического управления с интегральным законом
каждому из графиков. Сравнивая между собой кривые, которые
фактически являются траекториями (так как из-за малости ф
абсцисса xg = Ve/), можно прийти к выводу, что наиболее плав-
ная траектория получается при qt =0, и, следовательно, введе-
ние интегрального управления ухудшает переходные процессы.
Это действительно так, поскольку интегральное управление было
введено для устранения погрешностей, возникающих за счет боко-
вого ветра и ошибок измерителей, которые приводят к появлению
некоторой скорости ухода самолета от оси ВПП. Поэтому, чтобы
217
проанализировать, например, влияние бокового ветра при инте-
гральном управлении, найдем решение уравнения (6.50) при
следующих начальных условиях: е(0)=0, = (р2)’ ^>изи’
чески такие начальные условия означают, что в момент ( = 0 са-
молет попадает в порыв бокового ветра типа единичной функции.
Решение уравнения (6.50) при указанных выше начальных
условиях имеет вид
Для бокового отклонения получаем
___ 4- 1
2 leiW-*2Y,(t)], (6.57)
где
Y, (Ч)
я.- ,------,
J, (to) Y, (t0) — J, (r0) Y (to)
J, (to)
^2 =
J, (to)Y,(to)-J,(to)Y, (to)
(6.58)
На рис. 6.10 приведены траектории движения самолета, кото-
рый на расстоянии Do=89OO м от КРМ, находясь на оси ВПП,
попадает в порыв ветра №2=10 м/сек (У<?=55,5 м/сек). Значение
коэффициента Л, = 10. На рис. 6.10 указаны соответствующие
каждой траектории значения
Рис. 6.10. Характер движения самолета, управляемого
на посадке автоматически, при воздействии ступенчатого
бокового ветра
218
Кривые на рис. 6.10 показывают, что при qt =0 самолет к
моменту /=160 сек подходит к оси ВПП с большой боковой ско-
ростью, что недопустимо. При малых значениях qt максимальные
боковые отклонения самолета от оси ВПП также очень велики.
На основании графиков на рис. 6.10 можно утверждать, что для
рассматриваемого примера наиболее подходящими значениями
q, являются значения 0,5—1,0. При этих значениях qc боковое
отклонение от оси ВПП и время выхода на нее являются допусти-
мыми с точки зрения безопасности посадки.
Используя выбранный на основании анализа упрощенных ки-
нематических уравнений закон автоматического управления само-
летом при движении по равносигнальной зоне КРМ, рассмотрим
полные уравнения бокового движения самолета в этом режиме.
Для этой цели объединим уравнения самолета с автопилотом
(2.30), уравнение закона управления (6.49) и кинематические со-
отношения (6.40) и (6.41). В результате получим систему урав-
нений:
г/Ф ^3
dt Ve 4
/₽₽ +-S +<zi +Zt ^-5 +^Y+Zi>-77
dt* * * dt Y dt
= “’г-МэФз,
+(Л* +4 Ли)тг +
+ЛМ+АМз»
t t
ф3=А,е-|-^, J e df-j-AtAe-j-q*^ ДеЛ-|-А,Дф,
De,
D=D0-^
(6.59)
Для конкретного примера используем данные того же само-
лета в режиме полета со скоростью Ve=55,5 м/сек, который был
рассмотрен в приведенных выше примерах анализа упрощенных
уравнений бокового движения. Данные о коэффициентах системы
уравнений (6.59), которые используются для иллюстрации движе-
ния самолета по равносигнальной зоне КРМ, сведены в табл. 6.1’.
219
Таблица 6.1
*3 *т • ч 1э "з п. Т л. ❖
0,147 0,177 5,38 6,75 2,22 —13,7 1,45 -0,256 0,43
лн 1. т ч А А 4 ««
—0,73 1,0 0 2,0 0,2 1,о 1,4 10 0,5
В рассматриваемом примере не учитываются погрешности
чувствительных элементов системы автоматического управления,
т. е. предполагается, что Де и Дф равны нулю.
Система уравнений (6.59) с коэффициентами, указанными в
табл. 6.1, была проинтегрирована на аналоговой машине при ну-
левых начальных условиях применительно к случаю входа само-
лета в боковой поток воздуха со скоростью Wz= 10 м!сек. Резуль-
таты этого интегрирования в виде осциллограмм для наиболее
Рис. 6.11. Движение самолета в равносигнальной зоне КРМ при ступенчатом
боковом ветре:
а — без учета влияния изменения расстояния от самолета до КРМ; б — с учетом влия-
ния этого изменения
220
важных параметров бокового движения представлены на рис. 6.11
и 6.12. На рис. 6.11 показано движение самолета, который встре-
чает ступенчатый боковой ветер со скоростью IFz=10 м/сек на
расстоянии 9000 м от начала ВПП. На рис. 6.11, а даны осцилло-
граммы для случая, когда не учитывается изменение дальности
до КРМ, а на рис. 6.11, б — с учетом изменения дальности.
Рис. 6.12. Движение самолета в равносигнальной зоне КРМ
при ступенчатом боковом ветре:
а — без учета влияния изменения расстояния от самолета до КРМ;
б - с учетом влияния этого изменения
На рис. 6.12 показаны осциллограммы для этого же режима
полета, но для случая, когда самолет встречает ступенчатый бо-
ковой ветер со скоростью Wz= 10 м/сек на расстоянии 6000 м от
КРМ или 3000 м от начала ВПП. На рис. 6.12, а приведены ос-
циллограммы, характеризующие движение самолета без учета
изменения дальности, на рис. 6.12,6— с учетом этого изменения.
Момент времени, в который самолет достигает начала ВПП,
на всех рисунках отмечен стрелкой, поставленной снизу оси абс-
цисс.
Анализ приведенных на рис. 6.11—6.12 осциллограмм пока-
зывает, что система автоматического управления боковым движе-
нием самолета в режиме посадки, описываемая уравнениями
(6.59) с коэффициентами, указанными в табл. 6.1, практически
221
обеспечивает ликвидацию возмущения от бокового ветра типа
единичной функции на расстоянии, меньшем 3000 м (рис. 6.12,
кривые zg). В первые, примерно, 5 сек самолет с этой системой
ведет себя так же, как и самолет с обычным автопилотом, стаби-
лизирующим углы крена и рыскания (см. рис. 4.4). За это время
самолет будет снесен ветром от оси ВПП, сигнал управления по
углу е возрастет и начнет оказывать влияние система стабилиза-
ции самолета на равносигнальной зоне КРМ. Ветер будет про-
должать сносить самолет в сторону от ВПП, но с все меньшей
скоростью, и через 15—20 сек с начала процесса самолет начнет
возвращаться на ось ВПП. Этот процесс сопровождается плавны-
ми и небольшими по амплитуде колебаниями углов крена и
скольжения. В установившемся режиме все параметры бокового
движения самолета (крен, боковое отклонение, скольжение)
будут равны нулю. Исключение составляет угол рыскания, за счет
которого и происходит компенсация начального скольжения само-
лета, вызываемого боковым ветром.
В заключение этого параграфа сравним процессы движения
самолета при попадании в боковой ветер, полученные на основа-
нии упрощенного уравнения (6.50) и более полных уравнений
(6.59). Решение уравнения (6.50) для рассматриваемой задачи
представлено на рис. 6.10. Сравнивая график на этом рисунке,
относящийся к системе, для которой q, =0,5, с осциллограммой
для zg на рис. 6.11,6, убеждаемся в том, что на основании упро-
щенных уравнений (6.50) для бокового отклонения получаются
результаты, весьма близкие к тем, которые дает анализ движения
самолета с учетом его динамических характеристик по полным
уравнениям (6.59).
Приложения
Приложение А
A.I. ОБЩИЕ ДАННЫЕ САМОЛЕТОВ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ
ДЛЯ РАСЧЕТОВ В РАЗЛИЧНЫХ ПРИМЕРАХ, И КОЭФФИЦИЕНТЫ
УРАВНЕНИИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
, Для расчетов использовались данные пяти самолетов различ-
ных типов. Ниже приводятся эти данные и результаты расчетов
коэффициентов уравнений продольного движения.
j Самолет № 1 — тяжелый транспортный самолет с прямым
крылом. Режим полета: t/g = 8000 м, Ve=650 км/час, Af=0,585,
ре=0,05354 кГ сек2 • м~4.
Самолет №2 — истребитель со стреловидным крылом. Режим
полета: i/g= 10 000 м\ Ve=860 км!час, М=0,832, ре=0,04206 кГХ
X сек2 м~4.
Самолет № 3 — тяжелый бомбардировщик со стреловидным
крылом. Режим полета: z/g=1000 м, Уе=700 км/час, М=0,578,
ре=0,1134 кГ • сек2 • м~4.
Самолет №4 — средний пассажирский самолет с прямым
крылом. Режим полета: yg— 1000 м, Ve=288 км/час, М=0,24,
Ре=0,1134 кГ • сек2 • м~4.
Самолет №5 — тяжелый пассажирский самолет со стреловид-
ным крылом. Режим полета: yg = 2900 м, Уе=700 км/час, Л1=0,6,
ре=0,09272 кГ-см2-м~4.
Коэффициенты уравнений продольного движения сведены в
табл. А.1.
Таблица A.I
Коэффициент Самолет М 1 Самолет Nb 2 Самолет М 3 Самолет № 4 Самолет Л6-5
аЪ 0,171 0,171 0,171 0,171 0,171
а. 0,00724 0,035 — — —
223
Продолжение
Коэффициент Самолет № 1 Самолет № 2 Самолет № 3 Самолет № 4 Самолет М 5
а. 0,0268 0,0197
У “У — — . — — —
-— — •— — —
0 0,056 0 0 0
ь. 0,13 0,056 — — —
ь. 0,731 1,13 1,39 1,61 1,15
У ЬУ —— —-L —
*8 — — — — —
*3 — — — 0,323
Ч 0,676 1,28 1,14 1,65 0,94
С. 0,00567 — к». — —
с, 0,637 7,51 1,94 3,23 0,97
У с.. 0,104 0,0556 0,13 0,427 0,12
У Q 2,41 13,2 4,72 5,4 3,18
сз — — — 0,538
Примечание. В табл. АЛ даны значения коэффициентов, при ко-
торых углы в уравнениях движения измеряются не радианами, а градуса-
ми; в этом случае коэффициент при первом члене второго уравнения (2.10)
или первого уравнения (2.11) должен быть записан в форме Ve/57,3.
Сведения о передаточных числах автопилота приведены в
табл. А.2.
Таблица А.2
Передаточное число Самолет № 1 Самолет № 2 ..Самолет № 3 Самолет № 4 Самолет № 5
1,2 1,0 2,0 1,0 2,0
i . в сек а 0,93 0,3 0,4 0 . 1,3
в град{м 0,07 0 0 0 0,08
224
А.2. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРЫ
ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОРЫВОВ ВЕТРА
В формуле (3.1):
а2=ахЬу +ауЬ± +ci(ai +^,)+1Л(а^у+<>)»
вз=аь(Ьх%- ~cx)+ci(aiby + +a,ci)«
a4=a^b-c- -b^cx),
b0=bxcy — Cx’ |
bt = b' о —b- с- . I
* x у у x J
В формуле (3.2):
co=ai>
c\=axby + a'ybx +«i(^+Cy1ZA
c2=a^bxcy-cx^c^a-xby +aybi)+ve(ai^
В формуле (3.3):
^bi> |
4=ьЩ+^Уе. J
В формуле (3.4):
eo=bx’
е2=Уе(^с--Ь’С^).
В формуле (3.7):
/о=су ЬуСу> |
fl=a-xcy -ayci~cy (aib‘y+aybx^ I
В формуле (3.8):
So=ay.
Я1=«у(^ + ^^), .
(А1)
(Л.2)
(Д.3)
И.4)
(Д.5)
(Д.6)
(Д.7)
8—2008
225
В формуле (3.9):
b-o—by,
hl=axby +aybx-\-byCi + Cy
Л2=С» {a-x by + a-у bx) + Ve (a-x c-y + a cx).
В формуле (3.10):
ЛвЪ‘
4 = +aybi +by (ci+cyVe),
4=(%+с-И,)(a• b-y + a-у bj').
В формуле (3.13):
ae=by +fy ^ + <ч>).
= by c^ + c^ Ие,
b'0 = bxCy~Cx> ]
b[=bxCy~byCx- j
В формуле (3.14):
^o—^o~b^,
i> формуле (3.15):
eo=eo=b^,
e' 4= <?i=b-x (cj -f- с- Ve),
e'2^e2=Ve(b^c- -b-c-x).
В формуле (3.17):
/о=/о=су — Ь'уСу-
В формуле (3.18):
b'^^b-y.
В формуле (3.19):
'о = h = by > = b'y (<Ч I- Cy Ve}
226
(Л.8)
(Л.9)
(Л.10)
(All)
(Л.12)
(Л.13)
(Л.14)
(Л.15)
(A16)
В формуле (3.22):
h=b-xc^-c-x, J\—cyb-x—c-xb-y, j^-bxcti^
kt = % + by -f- +1- Ve+c
k2=a-xb-y -j-a^b^ -|- (a-x -\-Ьу)(с^-\-с^-\-а-хс^Уе-\-с-уУе,
*3=Mci +^Cy)+(ai&- +a,^)(^+^)+
+ СЛ (ai+b^+V'la^+a-,, cx),
-byc^bychvЛ^Ц{ахЬу +«y^),
k5=cjyVe (a-x by -I- a- b-) - c.iy.
В формуле (3.23):
/o=«i.
Zl = «i6y +aybi +^(Ч + СуУе + СЛ\
l2 = a»(hCy-Ci) + (aiby +Mx>(C» + f«Z») +
+ ai V»+ V' (ai Cy + Oy C\ ).
h = 4<bxCy -byCx)-\-CMaxb-y +ajA)*
В формуле (3.24):
zn0=^,
mi=bx (c&+СЛ + c у
т2=Ь-хс^-\-Уе(Ьхс^ -b-yc-x\
В формуле (3.25):
n0=c-y-byc-,
n\z=axCy +a-yCx~Cy(a‘xby -Ta'ybx^
f^2— by £{*'y>
Чз = сМа'хЬу +ауЬЛ
В формуле (3.26):
?0 = «у»
91 = «у (^ + ^у^е + ^Л).
?2 = Mfy ~Ьу Су ) +ау СЛ>
Яз = а9ЬуС^у-
8»
(Л.17)
(Д.18)?
(Д.19)
(Д.20)
(Д.21)
(Д.22)
227
В формуле (3.27):
г0=^,
г^ахьУ +«Л +^(^+9^+^»
r2=(a-^ ^ауЬх){с^суУ^с^)-\-Ь-ус^,
г3=а^су —byсх)+с^+^У^а-хЬ-у +а-уЬ-х).
В формуле (3.28):
sQ--~b-c- — с-
•* Z у
S,—C- th —О Ь‘ .
1 ух х у *
(4.23)
(Д.24)
В формуле (3.29):
«o=ai>
«х=а>^ +%Ь-Х (^+^ Ие4-г6г^),
«2=(®iby +a-ybx)(^ + сЛ)+Л»(ьхсу ~
-^ + УД^с- +а-с-)+а^,
«з=л»(^с- -Ь-ус^-[-с^ахЬу +а- ^).
В формуле (3.30):
®o=*i
»l = 6i (c» + ^IZe + <?8^).
®2 = ^<V»+ VAbxCV ~СхЬуУ
В формуле (3.31):
• ^=с-у-Ь-хс-,
Wi=«iC- +а;с- ~с^ахЬ.у -\-а-уЬ]с}.
В формуле (3.32):
хй=а-у,
*4=^ (cj+c-V^ + cJ»).
Хг=а»<с-у - Ьх с -) +.а-у с6
(Д.25)
(Д.26)
(Д.27)
(Д.28)
228
В формуле (3.33):
Уо=*р
У1=а>6- 4-а- Ь- 4-Ь- (Ск-\-с--уе4-с,1Х
х у । ух1 у ' ® * у е । б а/» (д 2Q)
У8=(<^ +%Ь-х)(с^с-Уе+съ^)-\-Ь-ас^,
Уз=«♦ (*i % - b- с-х) 4-(а-х Ьу + а- Ь-х).
В формуле (3.34):
*0 = ^«
^Ь'уС^
^=ьу^
4l = b-y +^+^Vre+<7» *»»
?2=^ (^ + <ч ‘«) + ^ + <ч 4» (А 31)
чч-va-
Приложение В
ВЛ. РАСЧЕТ ИНЕРЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ПЕРВОЙ ФОРМЫ
ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА
В соответствии с общей формулой (3.91) получаем следующие
выражения для инерционных коэффициентов в уравнениях
(3.101):
Afn = m —масса самолета;
М12=Л<21=0—вследствие ортогональности первой и второй
обобщенных координат;
^i3=^8i=2 f ^'(^i) В («1)^ + 2 2 'M*1k)B(*1k)< '
0 8=1
где zt~ координата данного сечения крыла в осях, свя-
занных с осью жесткости (рис. В.1 и В.2);
/i=//cos %— размах крыла по оси жесткости;
X—угол стреловидности по оси жесткости;
т! (z,)—.масса крыла на единицу длины по оси жест-
кости;
Е (z,)— первая нормальная форма изгибных колебаний
крыла, отнесенная к вертикальному перемеще-
нию его конца;
229
mK(zlK)—масса нагрузки на крыле, сосредоточенной в
точке с координатой г1к (двигатели, шасси);
^22—Л—момент инерции самолета относительно оси z;
h/2
^23=^32= — 2 J (х0.ж+*1«л sin Z+-K1U.T COS x)£ (*1И' -
0
-2 2 (^0.ж+г1к81пх4-л1ксо5х)тк(г1к)Цг1к),
Л=1
где х0.ж— расстояние между центром тяжести и точкой
пересечения оси жесткости крыла с корневой хор-
дой (положительное, если центр тяжести лежит
впереди упругой оси);
*1ц.т, — координаты центра тяжести секций крыла в си-
стеме осей ХгО-Zi;
x1K) z1K— координаты сосредоточенных нагрузок,
lt/2 т
7Изз=2 J /n'(zi)52(zJ)rfz14-22
О Л=1
Рис В.1. Геометрические соотношения
для стреловидного крыла
Рис. В.2. Геометрические соотно-
шения для прямого крыла
Для вычисления нормальных форм и частот упругих колеба-
ний крыла или других частей самолета существует значительное
число приближенных методов. В основу большинства из этих
методов положено уравнение (3.87), которое для этих целей
записывается в форме
d дТ , дЦ
dt dqt
230
Подробное описание указанных методов можно найти, напри-
мер, в монографии [39].
Для расчета первой нормальной формы только изгибных де-
формаций крыла, а также для расчета инерционных коэффици-
ентов по приведенным выше формулам необходимо иметь сле-
дующие данные:
а) некоторые характеристики самолета;
б) геометрию крыла и положение его оси жесткости;
в) жесткость крыла на изгиб по размаху;
г) распределение массы по размаху;
д) положение центра тяжести каждой из секций крыла, на
которые оно разбивается для расчета;
е) массы сосредоточенных нагрузок крыла и координаты то-
чек их приложения.
Часть данных по самолетам № 1 и № 3 приведена в «Прило-
жении А». Дополнительные данные по п. «а» и данные по осталь-
ным пунктам приводятся ниже.
а) Характеристики самолета.
Стреловидность крыла по оси жесткости:
самолет № 1 х=0°,
самолет № 3 х=39°.
Расстояние между центром тяжести и точкой пересечения оси
жесткости крыла с корневой хордой:
самолет № 1 хо.ж=0,8л,
самолет № 3 х0.ж=—4,45 м.
б) Геометрия крыла самолетов № 1 и № 3 показана на рис.
В.1 и В.2.
Да нные по пп. «в», «г» и «д» приведены в табл. В.1.
Таблица В.1
2 zt EI кГ-м~2 т' («х) кГ сек*-м~-* х 1 ц. т
h № 1 № 3 № 1 № 3 № 1 М 3
0,0 47,9-106 38,1-10® 29,2 68,0 0,049 —0,300
0,1 42,6-10® 31,5-10® 32,3 83,6 0,165 0,132
0,2 32,6-10® 25,4-10® 31,4 52,4 0,145 0,256
0,3 23,4-10® 18,5-10® 87,0 53,8 0,051 0,260
0,4 16,0-106 13,1-10* 73,3 56,2 0,098 0,372
0,5 10,8-10® 8,3-10® 48,6 45,6 0,166 0,432
0,6 6,05-106 5,7-10® 55,3 31,1 0,039 0,258
0,7 4,0-106 4,3-10® 52,8 29,2 0,012 0,225
0,8 2,4-106 2,9-10® 39,7 25,9 0,083 0,228
0,9 1,3-106 1,7-10® 26,7 24,6 0,003 0,119
1,0 0,5-10® 1,1-10® 6,5 20,1 0,018 0,040
231
е) Данные о сосредоточенных нагрузках на крыло сведены
в табл. В.2.
Таблица В.2
Параметр Внутренний двигатель Шасси Внешний двигатель
№ 1 № 3 № 1 М 3 № 1 М 3
в кГХ z1K в ж 265 —3,49 4,5 345 —2,60 5,14 93,5 —1,94 4,5 Для самолета № 3 нагрузка от шасси объедине- на с нагрузкой от внутреннего двигателя 221 —2,86 9,1 149 -0,59 13,8
По этим данным была подсчитана первая форма изгибных
колебаний крыла для обоих самолетов. Результаты расчета при-
ведены в табл. В.З.
Значения инерционных коэффициентов и собственной частоты
первой гармоники изгибных колебаний <Bt даны в табл. В.4.
В.2, ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ (3.102)
И ИХ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ РАССМАТРИВАЕМЫХ САМОЛЕТОВ
В табл. В.5 приводятся формулы и значения коэффициентов
тех членов уравнений (3.102), которые обусловлены изгибом кры-
ла. Значения остальных коэффициентов даны в табл. АЛ «При-
ложения А».
В табл. В.5 приняты следующие сокращенные обозначения:
1/2
/i=^ b(z}^z^dz,
о
Z2=( b(z) d^-Zl—dz,
<?
1/2
b&flzjdz,
ip
/4=( b(z)-^-^dz,
J OZ\
о
где Zi=zcosx;
Хк — расстояние между центром давления крыла и центром
тяжести самолета:
для самолета № 1 хк=0,16 м,
для самолета № 3 хк=0,08 м.
232
Таблица В.З
2 *1 к 0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
№ 1 0 0,018 0,053 0,105 0,177 0,274 0,380 0,520 0,650 0,830 1,00
№ 2 0 0,020 0,062 0,112 0,183 0,275 0,378 0,514 0,656 0,837 1,00
Таблица ВА
Самолет кГсек*'ЛГ~х кГ’Сек* Л11з=Л1л кГ'сек**м—* Mn=Ig кГ-жсек* Л11з= кГ*сек* Мм “к еек”1
№ 1 5320 0 685,4 274720 —61,4 285,6 9,4
№ 3 5380 0 490 173000 —1450 244 7,07
Таблица В.5
Коэффи- циент Расчетная формула Значение для самолета Размерность
№ 1 № 3
ь.. к 0,129 0,0912 —
ь. к 0,20 0,395 сек—1
peVgC^ sin yl2lm 0 7,77 сек-1
с.. к M23II3 —0,013 —0,48 • м~1
с. к 0 0,285 м-^сек-ъ
81Пу.Хк/2//г 0 5,5 мг^секг-ъ
Af32/^33 —0,0046 —0,104 м
ч У,Л431/Л/зз 7,5 6,8 м-сек—1
е- у Afai/Afaa 2,39 2,0 —
е- у РеУ^Л/Мзз 3,7 8,6 сек—1
е. к реУвС$/3М*зз 2,03 4,85 сек—1
- pe^C;sinX/4/Af33 0 76,3 сек—1
Приложение С
С.1. ДАННЫЕ САМОЛЕТОВ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ
КОЭФФИЦИЕНТОВ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ, И КОЭФФИЦИЕНТЫ
УРАВНЕНИИ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
В примерах гл. 4 использовались данные о характеристиках
бокового движения для самолетов № 1, № 2 и Ха 5.
При исследовании бокового движения самолета № 1 был вы-
бран следующий режим полета: yg=400 м, К. = 360 км/час, ре=
—0,120 кГ • м~* • сек2, Суе=0,62.
Режим полета для самолетов № 2 и № 5 сохранен тем же, что
и при анализе продольного движения («Приложение А»). Све-
дения о передаточных числах автопилота приведены в табл. С.1.
Таблица С.1
Самолет сек ч л А* ф сек
№ 1 0,4 0 0,9 0,2 0,6 0,9
№ 2 1,0 0,35 0 0 6,0 : 2,0
234
Коэффициенты уравнений бокового движения даны в табл. С.2.
Таблица С.2
Коэффи- циент Самолет ^Коэффи-; цчеат Самолет
М 1 М 2 № 5 № 1 № 2 № 5
0,11 0,116 0,137 3,9 22,4 15,1
*7 0,098 0,0394 0,0506 "3 1,16 17,3 3,78
0,775 31,8 3,4 п. —0,04 0,048 0,0053
1. 7 1,9 2,5 4,23 7 "* 0,32 0,385 0,33
0,51 1,41 1,0 лн 0,785 5,74 1,72
С.2. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРЫ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОРЫВОВ ВЕТРА
В формуле (4.1):
а2=l-k? 4- + l^n- +
^i=^p>
Ь2 = ke, [1‘ 4^П: ),
2 -Г- (С.2)
*з=*р «4, - Vi ) +Z* - V •
В формуле (4.3):
<?о=^з»
Aj, Яр •
В формуле (4.4):
^о=«р.
4^! = /^ fljj 1^П- .
В формуле (4.6):
е0==Лт-л{,
(С.3)
(С.4)
(С5.)
235
В формуле (4.7):
/,^4-л-,
Л=^ +«?
В формуле (4.8):
£о=Лф,
ёч=кпг?.
В формуле (4.10):
(С.6)
(С.7)
+/<рн(*₽ + ^ )+•/>„.
4“Лз+^ ЦЦ+^ 4/>н4-
+'/» (^3 + Яф ) + '/ifф Па 4" x-j 4"1 ф4я j +
+/ф«и(^+^ )+/фМЛ -Д«Л’
— 4" lif 4" '/if"ф ян^в +
4-i/i (Mi + Л*»++V» (k»ni + Для)+
4" /фЛИ^р^ + /ф лн^/р /-[Яи (^р ^ф )>
Л6=1/а (^тЛр 4" ^з/^н) 4" Уф^н (^1^3 4"
Ьо~^О~^^
ь’г=ь2 4- z9 (/ф«н^₽ - ^«ф 4- ЯР) 4- '/ik? 4-
4*/фЛ1Л/{ 4”/фЛн^р>
&3= Zj Za/ф^н^з4* '/»(/ф яи^з 4" ^рЯф 4~я?) 4-
4* /ф 4* ^ф^з^ /тян(^ф 4~zp)4“/ф^н^р^ •
В формуле (4.12):
со=!=со==^
С1= 4" fф ^aZ3>
^2==Хф^9Яр4" /ф^Н^З"
(С.8)
(С.9)
f
(С.10)
236
В формуле (4.13):
dos~do=np, |
rf;=rfi4-i-/en₽,
^2=^/»^₽ f
В формуле (4.15):
<=«0=лт-«-,
<=в|+/|М1-/1Лт
e'2=^n„kr
В формуле (4.16):
f\=f14е"
f 2 = f \ 4“/ф^н*
В формуле (4.17):
Sq~Sq~^ »
g'l=gl+f^,
g'2 = g2+f^Hk^ .
(С.П)
(C.12)
(C.13)
(C.14)
С.3. К ВЫВОДУ ФОРМУЛЫ (4.27)
На рис. С.1 показан квадрат, внутри которого должно быть
проведено интегрирование выражения (4.25). Первый интеграл
берется по переменной zb но так, что-
бы независимая переменная v\=Z2—Z\
осталась постоянной. В этом случае
функцию /?Wj,(VeT, т|) при вычислении
интеграла (4.28) также нужно считать
константой. Пределы интегрирования
выражения (4.28) поясняются рис. С.1.
Если нижний предел есть Zi =—1, то
при i)=const верхний предел должен
быть 1—т). Для таких пределов инте-
грирование при положительных значе-
ниях т) включает только верхнюю часть
_квадрата, лежащую над диагональю
zj=z2. Интегрирование при отрица-
тельных значениях т>, т. е. в нижней ча-
Рис. С.1. График, пояс-
няющий процесс интегри-
рования выражения
(4.25)
сти квадрата, лежащей под диагональю, даст тот же результат.
Поэтому при переходе от (4.25) к. (4.27) постоянный множитель
в знаменателе уменьшается в два раза.
'237
нис. с.1 поясняет также переход к пределам 0 и 2 в формуле
(4.27) вместо пределов —1 и 4-1 в (4.25). В последней формуле
интегрирование должно проводиться по zz, а в (4.27)—по т].
При Zi=const переменная т) в пределах квадрата изменяется от
О до 2 при изменении z2 от —1 до 4-1.
С.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ е (г) ДЛЯ СЛУЧАЯ
РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛ Ы ПО РАЗМАХ»
КРЫЛА
В этом случае bz=ba и из (4.24) получаем
e(7)=_£yf_. (С.15)
СО
_ тх
‘х
Для определения е(г) необходимо найти вращательную про-
изводную т^. . При вращении крыла с угловой скоростью <о,
элемент крыла dz, отстоящий от плоскости симметрии на расстоя-
нии г, получает приращение угла атаки гых/Уе. Это приращение
угла атаки создает подъемную силу
dY=Cy-^-bt-^-dz (С.16)
и момент относительно оси х
dMx— —dYz— -Cyz\ba-ф- dz. (С.17)
Из (С. 17) получаем выражение для момента всего крыла:
Z/2
Afx=—2^ dMx= —
о
C$l*feVe
24
(С.18)
На основании (С.18) определяется безразмерная вращательная
производная:
(С.19)
Подставляя значение т“х из (С. 19) в (С. 15), окончательно
получаем
e(z)=6z. (С.20)
238
С.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ
ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПАРАМЕТРОВ
ДВИЖЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОГО ГРАДИЕНТОМ
НОРМАЛЬНОГО ВЕТРА ПО РАЗМАХУ
а) для самолета № 1:
* =1, £ = 37,4 м, Wxx, (р)=дго2,02 10,72 + 0Д)485*—
* =0,5, £=74,8 м, Wxlx, (p)=°w2,35---0,48 +:М55^— ,
* =0,25, £ = 149,6 м, WXIXl (p)=aw4,04---0,3 + 0,0872f , ,
’ ’ ’ 7 ’ К w 1 + 0,68* + 0,0975*2
* = 0,125, £ = 299,2 м, Wx„t(p)=aw5,7 -----°-173+ 2-’12Г—,
’ ’ ’ ,vr' w. 1+ 1,24*+ 0,237*2
*=0,0625, £ = 598,4 м, (p)=aw8,08 °-095 +°'0357^
* = 0,03125, £=1194,8 м, Wxlx, (р)=°„П,4-- °’033^°’'Л—
1 4- о, top 4- U,742/?^
б) для самолета № 2:
*=0,25, £=38,4 м, Wxx, (*)=аи,4,82----0.3 + 0,009*--
*=0,125, £ = 76,8 м, WXIXl (*)=%6,8 °’173 + 0,0123/> .
’ ’ 71 w 1 4- 0,128* + 0,00251*2
k=0,0625, £ = 153,6 м, Wx!x, (р)= aw9,64 °'095 + 0.00364*
*=0,03125, £ = 307,2 м, lWx!Xl (p)=aw13,6- 0'°53.+ 0.0103*
* = 0,015625, £ = 614,4м, Wxlx, (p)=aw19,28—°»0282 + 0,033*
7 ’ w 1 + 1,48*+ 0,064*2
С.6. ВЫВОД ФОРМУЛЫ (4.33)
Формула (4.33) получается из (4.31) после подстановки выра-
жений (4.28) и (4.32) для равномерного распределения подъем-
ной силы по размаху. В этом случае согласно (С.20) e(z) = 6z
и из (4.28) следует, чт.о
Г(Ч)=6(4-671Н-7)3). (С.2р
239
Перейдем к анализу выражения (4.32). Применив подстанов-
ки VeT=B, <a/Ve=%, 6т)/2=х и использовав формулы (4.29) и
(1.13), из (4.32) получим
/>(>-. 1—^^2+х2Ь L '<*. (С.22)
Для приведения интеграла (С.22) к табличному вводим но-
вую подстановку %=% sh t; тогда
rfE = /ch/d/, V/r$2-f-x2=Xch^
С учетом этих соотношений из (С.22) получим
, —/Ху. sh t—L х Ch t r -i
P(x, x)e<Ji \ 1—^-Chdch/rf/. (C.23)
——oo
Обозначим ZXx/4=sha, %/4L=cha,
где k=ljL.
С учетом этих обозначений из (С.23) следует
Р(Х, z)=<£z е-Л'М<+«) е~А ch ch4dt. (С.24)
Наконец, последняя подстановка /-Ha=u приводит (С.24)
к виду:
00
Р(Х, х)=°®Х f е~Аchflch(«—a)du —
-&-2- (С.25)
Л=Х \ ^“'Ache(chHCha—shasha)</«=xcha I e~Achuchudu=
=2xch Л e-A£h“ch «du=^£- Ki И). (c-26)
J AL
0
240
где Ki(A) —модифицированная функция Бесселя второго рода
первого порядка;
г=-тг ( е-лсьви J_ch2(a-a)lrf«=^-(
4L j 2£ J
— оо О
4- ch 2a J е~А ch “ ch 2u du=[Ko (A)+ch 2aK2 (A)], (C.27)
о
где Ко (А) и Кг (A)—модифицированные функции Бесселя вто-
рого рода нулевого и второго порядков.
Применяя для Кг (А) рекурентные формулы, получим
Кг(А)=4к1(А)+К0(А). (С.28)
А
Подстановка в (С. 25) значений Ц и /2 из (С.26) и (С.27) дает
। ( (-Y
Ж». ^4£{-^к,[й1ТР]+^^.’к,[йГьй].
(С.29)
Подставляя значения Г(т|) из (С.21) и Р(у, т|) из (С.29) в
(4.31), получаем
&.»- ) J(4-6l+m
х 8лУ’
( РУ ^(14-3,2)
<с-зо)
Интегрирование (С.ЗО) и дает формулу (4.33).
Приложение D
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ,
МЕТОДИКЕ ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СКОРОСТИ
ВЕТРА И ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Данные экспериментов показывают, что в большинстве слу-
чаев распределение мгновенных значений скорости ветра или
любых параметров движения самолета при полете в турбулент-
ной атмосфере с достаточной для практики точностью подчи-
241
няется нормальному закону (закон Гаусса). Плотность распре-
деления вероятности в этом случае определяется выражением
/(*)=—,
о у 2л
(D.1)
где х — случайная величина;
т — математическое ожидание этой величины;
о — среднеквадратичное значение случайной величины.
На рис. D.1 представлены графики плотности распределения
Рис. Д.1. Графики плотности веро*
ятности для нормального закона
распределения случайной величи-
ны
называемая нормированная
ности
вероятности для трех различных
значений о в предположении, что
т=0. Если т отлично от нуля, то
соответствующий график смеща-
ется по оси абсцисс на величину
т. Графики на рис. D.1 показыва-
ют, что чем больше о, тем более
вероятны значительные отклоне-
ния случайной величины от ее
математического ожидания.
Чтобы привести выражение
для плотности распределения ве-
роятности случайных величин с
различными о и т к единой фор-
ме и затем использовать для рас-
чета таблицы, применяется так
плотность распределения вероят-
/(0=-т=« 2,
/2л
(D.2)
где /= ———-----аргумент табличной функции.
О
Вероятность того, что значение случайной величины будет на-
ходиться в интервале xt — х2, определяется интегралом от плот-
ности распределения вероятности, т. е. функцией распределения
вероятности.
При нормированном распределении эта вероятность для
интервала ti-$-t2 определяется выражением
ф(А, 2 dt,
J
(D.3)
где
. _ Xj — m . __ х2 — т
— И ^2— -------
а а
242
Выражение (D.3) носит название функции Лапласа или инте-
грала вероятности.
В табл. D.1 приведены значения интеграла вероятности (D.3)
в функции /2 (в предположении, что Л = 0).
Таблица D.1
j *" _ JL
Значения интеграла вероятности Ф (/,) = —— \ е 2 dt
О
/я ф (*я) ^2 ф (С) ф (h)
0,00 0,0000 0,70 0,2580 1,50 0,4332
0,05 0,0199 0,75 0,2734 1,55 0,4394
0,10 0,0398 0,80 0,2881 1,60 0,4452
0,15 0,0596 0,85 0,3023 1,65 0,4505
0,20 0,0793 0,90 0,3159 1,70 0,4554
0,25 0,0987 0,95 0.3289 1,75 0,4599
0,30 0,1179 1,00 0,3413 1,80 0.4641
0,35 0,1368 1.05 0,3531 1,85 0,4678
0,40 0,1554 1,10 0,3643 1,90 0,4713
0,45 0,1736 1,15 0,3740 1,95 0,4744
7 0,50 0,1915 1,20 0,3849 2,00 0,4772
0,55 0,2088 1,25 0,3944 2,50 0,4938
0,60 0,2257 1,30 0,4032 3,00 0,49865
0,65 0,2422 1,35 0,4115 4,00 0,499968
0,67 0,2481 1,40 0,4192 4,50 0,499997 ,
0,68 0,2517 1,45 0,4265 5,00 0,49999997
С помощью табл. D.1 можно найти вероятность того, что зна-
чения случайной величины, математическое ожидание т которой
равно нулю, окажутся в некотором интервале ±х2. Табл. D.1
составлена для интервала 0 —t2, поэтому нужно воспользоваться
соотношением
G г,
—G О
т. е. при подсчете искомой вероятности необходимо удваивать
значения Ф(^). полученные по табл. D.I.
Величина [1—2Ф(^)] дает вероятность выхода случайной
величины за пределы интервала ±х2. Результаты расчетов све-
дены в табл. D.2, где интервалы выражены в долях а.
Таблица D.2
Xt /я 2Ф(/«) 1-2Ф (/,) Х2 2Ф (/я) 1-2Ф (G)
а/2 1/2 0,3829 0,6171 2з 2 0,9545 0,0455
а/3 2/3 0,5000 0,5000 За 3 0,997.3 0,0027
а 1 0,6827 0,3173 4з 4 0,999938 0,000062
243
Данные, приведенные в табл. D.2, показывают, что около 32%
всех значений случайной величины будут превосходить ± о, около
4,5% значений будёт превышать ±2о и лишь около 0,3% значе-
ний случайной величины выйдут за пределы ±3о. Следовательно,
можно считать, что практически все значения случайной величи-
ны попадают в интервал ±3о. В этом и заключается так назы-
ваемое «правило трех сигм». Из «правила трех сигм» вытекает
способ приблизительной оценки среднеквадратичного значения
случайной величины: это значение принимается равным одной
трети от наибольшего из известных значений. Разумеется, такая
оценка является довольно грубой.
При полете самолета в неспокойном воздухе как возмущаю-
щее воздействие (скорость ветра), так и значения параметров,
описывающих движение самолета, являются случайными функ-
циями времени. Случайной называется функция, реализация ко-
торой в результате опыта имеет случайный характер, т. е. не
может быть предсказана заранее.
Рассмотрим только один класс случайных функций, который
имеет наибольшее значение в большинстве задач динамики поле-
та в неспокойном воздухе,— стационарные случайные функции.
Случайная функция называется стационарной, если все ее веро-
ятностные характеристики (определяемые ниже) не зависят от
времени. Математический аппарат стационарных функций срав-
нительно прост, и расчеты с использованием этого аппарата вы-
полняются довольно быстро.
Дополнительным ограничением, накладываемым на рассмат-
риваемые ниже стационарные случайные функции, является
допущение о том, что эти функции обладают эргодическим свой-
ством. Случайная функция обладает эргодическим свойством в
том случае, если вероятностные характеристики, полученные
осреднением по времени одной реализации (на достаточно боль-
шом интервале наблюдения), близки к характеристикам, полу-
ченным осреднением по множеству реализаций (при фиксирован-
ном времени).
Основные вероятностные характеристики стационарной слу-
чайной функции x(t), обладающей эргодическим свойством,
определяются следующими выражениями.
Математическое ожидание или среднее значение
т
x(t)= lim x(t)dt. (D.4)
При Т-*оо £1 J
—г
Дисперсия или средний квадрат функции
_______________ г
ло(/)==ах==11т —J- ( хо' (Р.Ъ)
—г
где лг0(^)=х(/)—х(/)—центрированная случайная функция.
244
Далее будут рассматриваться только центрированные случай-
ные функции, поэтому для удобства индекс в обозначении этих
функций будет опущен.
Корреляционная функция, характеризующая степень связи
между значениями случайной функции в моменты t и t+v, равна:
г
/?ж(*)»х(0*(Ж)=Нт ^7 \ х(0х(/+т)Л. (D.6)
Г-ьоо 2Т J
—Г
Из сопоставления формул (D.5) и (D.6) вытекает, что
₽х(0)=4.
(0.7)
Прямое преобразование Фурье корреляционной функции дает
спектральную плотность случайной функции*
Sx (<•>)=— f° Rx (т) e~^zdx=— ( Rx (т) cos <Zt. (D.8)
Л J Л J
— оо О
Спектральная плотность характеризует распределение по час-
тотам мощности случайной функции x(t). Так как мощность не
может быть отрицательной, то и спектральная плотность являет-
ся положительной функцией во всем диапазоне частот от 0 до
±оо. Если известна спектральная плотность случайной функции,
то, применяя к ней обратное преобразование Фурье, получим
корреляционную функцию
7?х(т)=-^- J S(a>)^“>/d<B=^S(<»)coswTrf<o. (D.9)
— оо О
В формулах (D.8) и (D.9) замена нижнего предела интеграла
иа нуль (вместо — оо) возможна благодаря тому, что корреляци-
онная функция и спектральная плотность являются функциями
четными. Сравнение формул (D.9) и (D.7) приводит к следую-
щему соотношению:
о’в|5(<о)<Г<й. (0.10)
Аналитические выражения для корреляционных функций и
спектральных плотностей случайных стационарных процессов
могут быть самыми разнообразными. В качестве примера рас-
♦ Необходимо указать, что в формулах преобразования Фурье часто ис-
пользуются и другие коэффициенты перед интегралами; это обстоятельство
следует учитывать при расчетах.
245
смотрим характеристики случайного процесса, называемого «бе-
лым шумом» или «абсолютно случайным процессом». Спектраль-
ная плотность такого процесса постоянна во всем диапазоне
частот, т. е.
Se(<«>)=Sa (0)=const. (D.ll
Формула (D.ll) поясняет происхождение термина «белый
шум». Действительно, приближенным аналогом такого случай-
ного процесса является «белый свет», в видимом спектре которого
содержатся колебания разных частот с одинаковой амплитудой.
Корреляционная функция «белого шума» может быть полу-
чена по его спектральной плотности путем применения формулы
(D.9), что дает
(0.12
Формула (D.12) поясняет происхождение второго названия
рассматриваемого процесса — «абсолютно случайный процесс».
Корреляционная функция типа 6-функции указывает на отсут-
ствие корреляционной связи .между любыми сколь-угодно близ-
кими друг к другу значениями случайной функции.
Необходимо подчеркнуть, что случайный процесс типа «бе-
лого шума» является математической идеализацией, так как
физически такой процесс точно реализовать нельзя. Дисперсия
этого процесса, как это следует из формулы (D.10), будет бес-
конечно большой. Следовательно, и мощность, необходимая для
создания такого процесса, также бесконечна. Несмотря на это, в
тех задачах, где спектр случайного воздействия значительно пре-
восходит полосу пропускания частот исследуемой системы, с успе-
хом можно заменить реальный спектр «белым шумом».
Перейдем к рассмотрению методики измерения на самолете
случайных составляющих скорости ветра. Как само это измере-
ние, так и обработка полученных результатов являются доста-
точно сложными и трудоемкими задачами.
Основными параметрами, подлежащими измерению при опре-
делении вертикальной и поперечной случайных составляющих
ветра, являются углы атаки и скольжения соответственно. Для
определения продольной составляющей используется измерение
пульсации полного давления на входе приемника воздушного дав-
ления. Однако на результаты этих измерений существенное влия-
ние оказывают угловые и линейные перемещения самолета.
Учитывая кинематические соотношения, получаем следующие
формулы для определения каждой из составляющих истинной
скорости ветра при измерении их на самолете:
для продольной составляющей
wx(i)=(V-V)-g §(nx-W)dt, (0.13)
246
для вертикальной составляющей
<D14>
для поперечной составляющей
™г(/)=1Чф-Рф)+£\(n2 + v)dt+lv^.-lx^~ . (£>.15)
•) at at
В этих формулах, кроме уже известных обозначений, дополни-
тельно введены следующие:
«ф. ₽ф — углы атаки и скольжения, измеряемые с помощью
флюгера; эти углы считаются положительными, ес-
ли флюгер отклоняется по часовой стрелке относи-
тельно осей г и у соответственно;
пх, пу, пг — составляющие перегрузки по связанным осям, изме-
ряемые с помощью акселерометров, которые счи-
таются установленными в центре тяжести самолета;
Длу — отклонение нормальной перегрузки от значения,
х равного единице;
Zx, 1у — расстояние от места установки флюгера до центра
тяжести самолета, отсчитываемые вдоль продоль-
ной и нормальной осей;
V — воздушная скорость самолета, измеряемая прием-
_ ником воздушного давления;
V — среднее значение воздушной скорости.
Формулы (D.13)— (D.15) справедливы для небольших откло-
нений параметров от исходного режима прямолинейного горизон-
тального полета с постоянной скоростью.
Углы атаки и скольжения замеряются либо флюгером, либо
специальным приемником разности динамических давлений,
обусловленной несовпадением продольной оси этого приемника
е направлением потока набегающего на самолет воздуха. Флюгер
или приемник разности динамических давлений потока устанав-
ливаются на штанге перед носком фюзеляжа. Длина штанги
должна составлять не менее 1,5 диаметра фюзеляжа, что обес-
печивает малое искажение невозмущенного потока на ее кон-
це [48}. Кроме того, штанга должна иметь значительную жест-
кость. Собственная угловая частота штанги должна быть больше
частоты /с*, т. е. наибольшей частоты изучаемого процесса, ко-
торая еще представляет интерес.
Реализации случайных составляющих скорости ветра, полу-
чаемые на основании данных измерений и расчетов по формулам
(D.13) — (D.15), подлежат дальнейшей обработке с целью полу-
чения корреляционных функций или спектральных плотностей
этих случайных процессов.
* Частота Zc определяется формулой (D.22), приводимой ниже.
247
Рис. Д.2. График, поясняющий опре-
деление времени, за которое корреля-
ционная функция уменьшается до 5%
от своего начального значения
л—г
При определении корреляционных функций и спектральных
плотностей для случайных стационарных процессов на основании
экспериментальных данных возникает целый ряд методических
погрешностей. Эти погрешности обусловлены двумя причинами:
1) ограниченной длиной реализации;
2) заменой непрерывной функции п дискретными значениями.
Возникает необходимость
оценки указанных погрешно-
стей и выбора такой методики
обработки данных эксперимен-
та, при которой погрешности
были бы невелики. Метод ре-
шения поставленной задачи
разработан Тюкеем [46]. Тео-
ретическое обоснование метода
можно найти в работе [35].
При обработке реализации
случайной функции получаем п
значений хг-, расположенных на
равных интервалах ДЛ По фор-
муле
^(•)= 737 V х1Х1+г, г=0, 1, 2,.... т (DA6)
fTl
определяются т ординат корреляционной функции. Значение т
находится по формуле
. (D.17)
где Tmax — время, за которое корреляционная функция умень-
шается до значения |/?т| ^0,05/?г(0) (рис. D.2).
Затем определяются предварительные значения ординат кри-
вой спектральной плотности по формуле
т—1
irn
___ т
1=1
/?<СО8-^.+/?жСО$Г« ,
(£>.18)
где
ш=нс1тЫ.
Наконец, определяются уточненные (осредненные) значения
ординат кривой спектральной плотности (46]:
50(a>)=O,5Z0+O,5£x.
5r(o>)=0,25Zr_1+0,5Zr4-0,25£r+l, г-1, 2,..., zn-1,
(D.19)
248
Из этих выражений следует, что полоса осреднения для каж-
дой ординаты равна 2Дш, где
(D.2O)
Рис. Д.З. График уточненной спект-
ральной плотности
В результате расчета получаем /и+1 значений спектральной
Плотности (рис. D.3), расположенных на интервале Дю. Послед-
нее выражение показывает, что чем больше т, тем выше разре-
шающая способное! ь по частоте в проведенном расчете (интер-
вал Д/ определяется харак-
тером реализации и изме-
няться не может). Но с
уменьшением До уменьшает-
ся и полоса усреднения, что
приводит к снижению ста-
тистической достоверности
полученного значения.
Тюкей установил, что
статистическая достовер-
ность, определяемая дове-
рительной вероятностью с
помощью отношения рассчи-
танных указанным выше способом значений ординат спектраль-
ной плотности Sr(«>) к истинным значениям этих ординат 5(<о),
подчиняется закону %2-распределения. Параметром в этом зако-
не является число степеней свободы
й=1,6/г/т.
(£>.21)
График отношения Sr(©)/S(«>) в функции аргумента k с до-
верительными вероятностями 0,9 (пунктир) и 0,95 (сплошная
линия) приведен на рис. D.4.
Этот график показывает, что для получения отношения
5г(ш)/5<в, мало отличающегося от единицы, необходимо иметь
значительный аргумент k, что возможно за счет уменьшения т
(при данном п) или за счет увеличения п (при данном т).
Для иллюстрации основных положений изложенного метода
приведем в качестве примера графики спектральной плотности,
рассчитанные по этому методу (рис. D.5). Эти графики относят-
ся к спектральной плотности перегрузки, замеренной на самолете
в условиях очень интенсивной турбулентности. Среднеквадратич-
ное значение перегрузки anj,=0,49. Так как длина реализации
была небольшой, то удалось получить небольшое число дискрет-
ных значений перегрузки (п=200). На рис. D.5 представлены
графики, соответствующие числам т=10 и /и=20. При /п=10
кривая получается более плавной, но из-за малой разрешающей
способности по частоте отдельные особенности функции спект-
ральной плотности исчезли. При /п=20 разрешение по частоте вы-
249
ше, появился существенный пик на частоте со — 1, но сглаживание
и достоверность графика существенно ухудшается.
Из приведенного описания метода Тюкея вытекает следующий
порядок обработки экспериментальных данных для получения
значений спектральной плотности с требуемой статистической до-
стоверностью.
1. По характеру реализации определяется высшая существен-
ная частота fc таким образом, чтобы на участке спектра, относя-
Рис. Д.4. График отношения Sr (<o)/S(g>)
для определения достоверности рассчитан-
ных значений спектральной плотности:
----доверительная вероятность 0,95;----до-
верительная вероятность 0,9
Рис. Д.5. Графики нормирован-
ной спектральной плотности
для двух значений числа т
щемся к более высоким частотам, содержалась пренебрежимо
малая часть мощности исследуемого процесса. Свяжем эту час-
тоту с пространственными характеристиками турбулентности:
<ос VeQc
2я 2я
(D.22)
где Ve — скорость полета самолета;
Йе — высшая существенная пространственная частота, кото-
рую при исследовании поля скорости ветра рекомен-
дуется брать й~0,1 VeM~l [48}.
Полагая, что на периоде, соответствующем частоте fc, должно со-
держаться не менее двух оценок случайной функции, из (D.22)
находится интервал времени Д/, с которым нужно получать дис-
кретные значения этой функции:
!L_.
2/с VeQe 0,lVe
(D.23)
2. Исходя из ожидаемого (на основании вида реализации)
времени гт, за которое корреляционная функция достигает поло-
сы 0,05/?,(0), определяется т по формуле (D.17).
250
3. По требуемым достоверности оценок спектральной плотно-
сти и доверительной вероятности на основании графиков на
рис. D.4 определяется аргумент k.
4. С помощью формулы (D.21) определяется число точек и,
которые необходимо получить по реализации:
п=0,625/гт.
После этого можно определить общее потребное время, на ко-
тором должна быть определена реализация:
/р=пД/.
Если п получается слишком большим, то формула (D.21) по-
зволяет подобрать значения k и т так, чтобы за счет снижения
разрешающей способности и достоверности результатов получить
приемлемое число п (исходя из возможностей цифровой машины,
используемой для расчетов).
После того, как по приведенной методике получены все не-
обходимые данные относительно Д/, тип, можно приступать
к расчетам на основании (D.16), (D.18) и (D.19). Если в резуль-
тате расчета окажется, что при априорном определении тт допу-
щена существенная ошибка, следует взять новое значение тт,
полученное на основании (D.16), и определить новые значения
т, п и /р.
Для ориентировки укажем рекомендуемые в [48] значения т
и п, которые приводят к хорошим результатам:
/п=404-60 и п= 15004-4000.
В заключение заметим, что описанный .метод полезно приме-
нять не только для обработки, но и для подготовки и планирова-
ния экспериментов по регистрации реализаций случайных про-
цессов с целью предварительной оценки продолжительности реа-
лизации, обеспечивающей требуемую достоверность результатов.
Литература
1. Z b г о z е к J. К., Atmospheric gusts, J. Roy, Aeronaut. Soc., 1965, Vol. 69,
No. 649.
2. Пи нус H, 3., Шметтер С. М., Аэрология, Гидрометеоиздат,
1965.
3. Селицкая В. И., Суточный и годовой ход метеорологических эле-
ментов в нижнем слое атмосферы 0,5 км над пос. Воейково. Труды ГГО,
вып. 135, 1962.
4. Матвеев Л. Т., Основы общей метеорологии, Гидрометеоиздат,
1965.
5. С е т т о н О. Г., Мнкрометеорология, Гидрометеоиздат, 1958.
6. Г андин Л. С., Проблема ветровых нагрузок на строительные
сооружения как задача прикладной метеорологии, Труды ГГО, вып. 23, 1950.
7. Хннце И. О., Турбулентность, Физматгиз, 1963.
8. Атмосферная турбулентность, вызывающая болтанку самолетов, под
ред. Н. 3. Пинуса, Гидрометеоиздат, 1962.
9. И в а н о в В. Н., В о л к о в и ц к а я 3. И., Некоторые характеристи-
ки пограничного слоя атмосферы, сб. «Пограничный слой атмосферы», Труды
Института прикладной геофизики, вып. 2, Гидрометеоиздат, 1965.
10. Mc-Cready Р. W., The structure of atmospheric turbulence, Journal
of Meteorology, 1953, No. 6.
11. Бэтчелор Дж., Теория однородной турбулентности, ИЛ, 1955.
12. Liepman Н. W., On the application of statistical concepts to the
buffeting problem, JAS, 1952, No. 12.
13. Diederich F. W., The response of an airplane to random atmosphe-
ric disturbances, NACA report, 1345, 1958.
14. Ко л м о го p о в A. H., Локальная структура турбулентности в не-
сжимаемой жидкости прн очень больших числах Рейнольдса, ДАН СССР, 1941,
т. 30, № 4.
15. Р г е s s Н., Meadows М. Т. and Hadlock I., A Reevaluation of
Data on Atmospheric Turbulence and Airplane Gust Loads for Application in
Spectral Calculations, NACA report, 1272, 1956.
16. Д о б p о л e н с к и й Ю. П., Ми л о с л а во в Б. А., Б о р и с о в Д. П.
Устройство для измерения и регистрации пульсаций скорости ветра на высоте
полета самолета, авторское свидетельство № 134902, 1960.
17. Клинов Ф. Я., Андреев В. Д., Полтавский В. В., Лобо-
ва Л. Е., Об измерении двух компонент направления ветра на высотной
метеорологической мачте, Труды Института прикладной геофизики, вып. 2,
1965.
18. За бор ск ий Г. М.» Зайцев В. А., Ледохович А. А, Изме-
рение температуры и вертикальных составляющих скорости ветра на само-
лете, ЦИП, Материалы научной конференции по авиационной метеорологии,
Гидрометеоиздат, 1963.
252
19. Пахомов Л. А., Метод измерения трех компонент вектора скоро-
сти ветра в свободной атмосфере на самолете, Московский университет
им. М. В. Ломоносова, Диссертация на соискание ученой степени канд. техн,
наук, 1963.
20. D о п е 1 у Р., Summary of information relating to gust loads on air-
planes, NACA report, 997, 1950.
21. ZbrozekJ. K., The relationship betwem the discrete gust and power
spectra presentations of atmospheric turbulence, with a suggested model of
low—altitude turbulence, ARC RM, 1961, No. 3216.
22. Константинов A. P., Исследование турбулентной структуры ветра
в приземном слое атмосферы, Труды ГГО, вып. 16, 1969.
23. С h а г 1 е s N. В., Р h i 1 i о р G. С., Requirements for the flight cont-
rol system of a supersonic transport, SAE preprints, s. a. No. 679G.
24. Д о б p о л e н с к и й Ю. П., Турбулентность атмосферы как источник
возмущений для систем автоматического управления самолетом, Изв.
АН СССР, Энергетика и автоматика, 1961, № 5.
25. В е н т ц е л ь Е. С., Теория вероятностей, Физматгиз, 1962.
26. О с т о с л а в с к и й И. В., Стражева И. В., Динамика полета,
Машиностроение, 1965.
27. Э т к и н Б., Динамика полета, Машиностроение, 1964.
28. Д о б р о л е н с к и й Ю. П.» Иванова В. И., Поспелов Г. С.,
Автоматика управляемых снарядов, Оборонгиз, 1963.
29. В i г d J. D., F i s h e r L. R. and Hubbard S. M„ Some effects of
frequency of the contribution of a vertical tail to the free aerodynamic dampfing
of a model oscillating in yaw, NACA report, 1130, 1953.
30. Л э н и н г Дж. X., Б э т т и н Р. Г., Случайные процессы в задачах
автоматического управления, ИЛ, 1958.
31. Egglestone J. М. and Phillips W. Н., The lateral response of
airplanes to random atmospheric turbulence, NASA technical report, R—74, 1960.
32. Egglestone J. M. and D i e d e r i e h F. M., Teoretical calculation
of the power spectra of the rolling and yawing moments on a wing in random
turbulence, NACA report, 1321, 1957.
33. Ватсон Г. H., Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.
34. Лоринг А., Геффнер Дж., Методы обработки эксперименталь-
ных данных, ИЛ, 1953.
35. В 1 а с k m a n R. В., Т и к е у J. W., The measurement of power spectra
from the point of view of communications engineering, The Bell System Techni-
cal Journal, No. 3—4, 1958.
36. К а з а к о в И. E., Д о с т уп о в Б. Г., Статистическая динамика
нелинейных автоматических систем, Физматгиз, 1962.
37. Fung Y. G., Statistical aspects of dynamic loads, JAS, 1953, No. 5.
38. Reissner E. and Stevens J., Effect of finite span on the airload
distributions for oscillationg wings, NACA, T N 1195, 1947.
39. Бисп ли нгхофф P. Л., ЭшлиД, Халфмэн Р. Л., Аэро-
упругость, ИЛ, 1958.
40. Bennet F. V. and Pratt К. G., Calculated responses of a large
sweptwing airplane to continuous turbulence with flighttest comparisons, NASA
technical report, R—69, 1960.
41. Jones T., The unsteady lift of a wing of finite aspect ratio, NACA
report, 681, 1940.
42. L u t h a n d e r S. and Kaul V., A possibility for reducing the dange-
rous vibrations experienced by pilots in neavy turbulence, Proceeding of the
symposium on civil aviation safety, Stocholm, 1966.
43. Шевелев А. Г., Исследование возможности создания инвариант-
ных систем автопилотирования, Сборник научных трудов (Киевский институт
ГВФ), вып. 2, 1962.
44. Бобнев М. П., Генерирование случайных сигналов и измерение их
параметров, «Энергия», 1966.
45. Press Н. and MazelskyB., A stady of the application of po-
253
wer —spectral methods of generalized harmonie analysis to gust loads on air-
planes, NACA report, 1172, 1954.
46. Press H. and H ou b о 11 J. C., Some applications of generalized har-
monic analysis to gust loads on airplanes, JAS, 1955, No. 1.
47. Баранов А. М.» Мазурин H. И., Солонин С. В., Янко в
с кий И. А., Авиационная метеорология, Гидрометеоиздат, 1966.
48. Н о u b о 11 J. С., Steiner R. and Pratt К. G.# Dynamic res-
ponse of airplanes to atmospheric turbulence including flight data on input and
response, NASA technical report, R— 199, 1964.
49. Atmospheric turbulence and its relation to aircraft, London, Her ma-
jesty’s stationery office, 1963.
50. V о n Karman, Th., Progress in the statistical theory of turbulence.
Turbulence — classic papers on statistical theory, S. K. Friedlander and L. Top-
per, eds., Interscience Publ.. Inc., New York, 1961.
51. Белоцерковский С. M., Метод расчета воздействия порыва
на произвольное тонкое крыло, Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа,
1966, № 1.
52. Белоцерковский С. М., Метод расчета коэффициентов враща-
тельных производных и присоединенных масс тонкого крыла произвольной
формы в плане, Сб. статей по аэрогидродинамике, Труды ЦАГИ, вып. 940,
1964.
Оглавление
Стр.
Предисловие .................................................... 3
Глава 1. Движение воздуха относительно земной поверхности. . . 5
§ 1.1. Общие сведения.......................................... 5
§ 1.2. Характеристики постоянной составляющей ветра............ 7
§ 1.3. Общая характеристика атмосферной турбулентности........11
§ 1.4. Аналитическое описание кинематики турбулентного движения
воздуха в атмосфере........................................... 17
§ 1.5. Результаты некоторых экспериментальных исследований тур-
булентности атмосферы........................................ 32
Глава 2. Уравнения движения самолета в неспокойной атмосфере 47
§ 2.1. Постановка задачи .....................................47
§ 2.2. Уравнения продольного движения в неспокойной атмосфере 49
§ 2.3. Уравнения бокового движения в неспокойной атмосфере . . 59
§ 2.4. Общие характеристики динамических систем................67
§ 2.5. Моделирование движения самолета в турбулентной атмосфере 71
Глава 3. Продольное движение самолета в неспокойной атмосфере 76
§ 3.1. Передаточные и переходные функции для параметров продоль-
ного движения при воздействии ветра......................76
§ 3.2. Продольное движение самолета в‘ турбулентной атмосфере СО
§ 3.3. Влияние характеристик реального автопилота на динамику
полета в турбулентной атмосфере...............................100
§ 3.4. Влияние нестационарности обтекания на динамику полета
в турбулентной атмосфере .....................................105
§ 3.5. Влияние размеров самолета на динамику полета в турбулент-
ной атмосфере ................................................ ПО
§ 3.6. Влияние упругости конструкции самолета на динамику поле-
та в турбулентной атмосфере...................................120
§ 3.7. Отклонение самолета от заданной траектории при полете
в турбулентной атмосфере......................................133
§ 3.8. Приближенный метод расчета вертикальной перегрузки при
полете в турбулентной атмосфере...............................135
§ 3.9. Некоторые экспериментальные данные по продольному дви-
жению самолета в турбулентной атмосфере.......................138
255
Стр.
Глава 4. Боковое движение самолета в неспокойной атмосфере . .142
§4.1. Передаточные н переходные функции для параметров боко-
вого движения при воздействии ветра.........................142
§ 4.2. Силы и моменты, определяющие боковое движение самолета
в турбулентной атмосфере......................’.............150
§ 4.3. Боковое движение самолета в турбулентной атмосфере . . . 155
Глава 5. Возможности парироваиия нагрузок от воздействия ветра
на самолет . ... . ..... . ................................ 171
§ 5.1. Общие сведения ...................................171
§ 5.2. Допустимые значения перегрузки и скоростей вертикальных
порывов ветра ...... . . .:. . . .... ................• . 172
§ 5.3. Пассивные методы снижения нагрузок от вертикальных поры-
вов ветра «га .уг:.?... • ............... 175
§ 5.4. Активные системы снижения нагрузок от вертикальных поры-
вов ветра ....... . ....... .... . .....................177
§ 5.5. Оценка вероятности достижения в полете допустимых значе-
ний перегрузки........................................ 192
Глава 6. Взлет и посадка самолета в неспокойной атмосфере .... 198
§ 6.1. Общие сведения ... . ..... . . . . . . . ... . ...198
§ 6.2. Взлет в неспокойной атмосфере ............... . 199
§ 6.3. Посадка в неспокойной атмосфере ..................208
Приложение А ................................. ........... 223
Приложение В ............................................ 229
Приложение С .................... ..................... . . 234
Приложение D . ............. . ......................... 241
Литература . . . ... ... ... • • • • • .....................252
Юрий Павлович Доброленский
ДИНАМИКА ПОЛЕТА В НЕСПОКОЙНОЙ АТМОСФЕРЕ
Редактор М. С. Аникина Художник Н. Т. Дворников
Техн, редактор И. Н. Скотникова Корректор А. И. Карамышкина
Г-60537 Сдано в набор 17/IX 1968 г. Подписано в печать 20/11 1969 г.
Формат 60x90Vi6 Печ. л. 16,0 Уч.-изд. л. 13,46
Бум. л. 8,0 Бумага № 2 Тираж 3000 экз.
Цена 85 коп. Тем, план 1968 г. № 360
Издательство «Машиностроение», Москва, К-51, Петровка, 24. Заказ 1992
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7. Зак. 2008
Замеченные опечатки
Стр. Строка Напечатано Должно быть
6 13 снизу в центре тяжести в дру- гих точках в центре тяжести и в других точках
9 Формула (1.1) ( у* у \ У Al / ’ _ / У* \п \ ygl /
24 Рис. 1.14 (подпись) 1 снизу продольной поперечной
43 11 сверху для грузовых для грозовых
175 1 снизу элероны и т. п. элевоны и т. п.
221 5 и 6 снизу на всех рисунках отмечен стрелкой, поставленной снизу оси абсцисс. на рис. 6. 12 совпадает с размерной стрелкой ДЛЯ Zg.
250 9 снизу 2«0,1У^ж“1 [48]. 2«0,1л-1 [48].
253 11 сверху вып. 16, 1969. вып. 16, 1949.
Заказ 1992/2008